cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Απολλώνιο πρόβλημα
Αλλαγή μεγέθους ώστε δύο δοσμένοι κύκλοι να αλληλοεφάπτονται
Στην δεύτερη προσέγγιση, οι ακτίνες των δοσμένων κύκλων ρυθμίζονται αναλογικά με μία ποσότητα Δr έτσι ώστε δύο από αυτούς να εφάπτονται μεταξύ τους. Το σημείο επαφής επιλέγεται ως το κέντρο της αντιστροφής σε κύκλο ώστε να τέμνει τον καθένα από τους εφαπτόμενους κύκλους σε δύο σημεία. Με την αντιστροφή, οι εφαπτόμενοι κύκλοι μετασχηματίζονται σε παράλληλες ευθείες: το μοναδικό σημείο επαφής τους βρίσκεται στο άπειρο, έτσι δεν συναντώνται. Η ίδια αντιστροφή μετασχηματίζει τον τρίτο κύκλο σε άλλο κύκλο. Η λύση του αντεστραμμένου προβλήματος πρέπει να είναι είτε (1) μία ευθεία παράλληλη στις δύο δοσμένες παράλληλες και εφαπτόμενη στον τρίτο δεδομένο κύκλο, είτε (2) ένας κύκλος σταθερής ακτίνας που εφάπτεται στις δύο ευθείες και τον τρίτο κύκλο. Η άρση της αναστροφής και η ρύθμιση όλων των κύκλων κατά Δr παράγει τον κύκλο-λύση που εφάπτεται στους αρχικούς τρεις κύκλους.
Η επίλυση του Ζεργκόν
thumb|right|Σχήμα 9: Οι δύο εφαπτόμενες στα δύο σημεία επαφής ενός δοσμένου κύκλου τέμνονται στον [[ριζικό άξονα R (κόκκινη ευθεία) των δύο κύκλων λύσεων (ροζ). Τα τρία σημεία τομής στο R είναι οι πόλοι των ευθειών που συνδέουν τα μπλε σημεία επαφής σε κάθε δεδομένο κύκλο (μαύροι)]]
Η προσέγγιση του Ζεργκόν είναι να θεωρήσει τους κύκλους-λύσεις σε ζεύγη. Έστω ένα ζεύγος κύκλων λύσεων που σημειώνεται ως CA και CB (οι δύο ροζ κύκλοι στο Σχήμα 6) και έστω τα σημεία επαφής τους με τους δοσμένους κύκλους A1, A2, A3, και B1, B2, B3, αντίστοιχα. Η επίλυση του Ζεργκόν στοχεύει στον εντοπισμό αυτών των σημείων και έτσι στην λύση για αυτούς τους δύο κύκλους. Η ενόραση του Ζεργκόν ήταν ότι η ευθεία L1 μπορούσε να κατασκευαστεί έτσι ώστε τα A1 και B1 να βρίσκονται οπωσδήποτε πάνω της, αυτά τα σημεία μπορούν να αναγνωριστούν ως τα σημεία τομής της L1 με τον δοσμένο κύκλο C1 (Σχήμα 6). Τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία επαφής μπορούν να εντοπιστούν με παρόμοιο τρόπο, βρίσκοντας τις ευθείες L2 and L3 που περιέχουν τα A2 και B2, και A3 και B3 αντίστοιχα. Για την κατασκευή μιας ευθείας όπως η L1, δύο σημεία πρέπει να αναγνωριστούν ότι βρίσκονται πάνω της, αλλά αυτά τα σημεία δεν είναι κατ' ανάγκη σημεία επαφής. Ο Ζεργκόν μπόρεσε να αναγνωρίσει δύο άλλα σημεία για κάθε μία από τις τρεις ευθείες. Ένα από τα δύο σημεία είχε ήδη αναγνωριστεί: το ριζικό κέντρο G κείται και στις τρεις ευθείες (Σχήμα 6).
Για τον εντοπισμό ενός δεύτερου σημείου των ευθειών L1, L2 και L3, ο Ζεργκόν παρατήρησε ότι υπάρχει παλινδρομική σχέση μεταξύ αυτών των ευθειών και του ριζικού άξονα R των κύκλων λύσεων, CA και CB. Για να γίνει κατανοητή αυτή η σχέση, ας θεωρηθούν δύο εφαπτόμενες ευθείες στον κύκλο C1 στα σημεία επαφής A1 και B1 με τον κύκλο-λύση. Η τομή αυτών των εφαπτόμενων είναι ο πόλος της L1 στον C1. Αφού οι αποστάσεις από τον πόλο στα σημεία επαφής A1 και B1 είναι ίσες, ο πόλος πρέπει επίσης να βρίσκεται στον ριζικό άξονα R των κύκλων-λύσεων, εξ ορισμού (Σχήμα 9). Η σχέση μεταξύ των των πόλων και των πολικών ευθειών είναι παλινδρομική, αν ο πόλος της L1 στονC1 βρίσκεται στον R, ο πόλος του R στον C1 βρίσκεται αντίστοιχα στην L1. Έτσι αν μπορεί να κατασκευαστεί ο R, μπορεί να βρεθεί ο πόλος του P1 στον C1 και έτσι να βρεθεί το ζητούμενο δεύτερο σημείο της L1 (Σχήμα 10).
thumb|left|Figure 10: Οι πόλοι (κόκκινα σημεία) του ριζικού άξονα R στους τρεις δοσμένους κύκλους βρίσκονται στις πράσινες γραμμές που ενώνουν τα σημεία επαφής. Αυτές οι ευθείες μπορούν να κατασκευαστούν από τους πόλους και το [[ριζικό κέντρο (πορτοκαλί)]]
Ο Ζεργκόν βρήκε τον ριζικός άξονας R των άγνωστων κύκλων λύσεων ως εξής. Κάθε ζεύγος κύκλων έχει δύο ομοθετικά κέντρα, αυτά τα δύο σημεία είναι οι δύο πιθανές τομές των δύο εφαπτόμενων ευθειών στους δύο κύκλους. Έτσι, οι τρεις δοσμένοι κύκλοι έχουν έξι ομοθετικά κέντρα, δύο για κάθε διακριτό ζεύγος κύκλων. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτά τα έξι σημεία βρίσκονται σε τέσσερις ευθείες, τρία σημεία σε κάθε ευθεία, επιπλέον κάθε ευθεία αντιστοιχεί στον ριζικό άξονα ενός εν δυνάμει ζεύγους κύκλων-λύσεων. Για να το αποδείξει αυτό ο Ζεργκόν θεώρησε ευθείες που περνούν από τα αντίστοιχα σημεία επαφής των δοσμένων κύκλων, π.χ. η ευθεία που ορίζεται από το A1/A2 και η ευθεία που ορίζεται από το B1/B2. Έστω X3 το ομοθετικό κέντρο των δύο κύκλων C1 and C2, τότε τα A1/A2 καιB1/B2 είναι αντιομόλογα σημεία και οι ευθείες τους τέμνονται στο X3. Συνεπάγεται λοιπόν ότι τα γινόμενα των αποστάσεων είναι ίσα.
το οποίο υποδηλώνει ότι το X3 βρίσκεται στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων-λύσεων. Ο ίδιος συλλογισμός μπορεί να εφαρμοστεί και στα άλλα ζεύγη κύκλων, έτσι ώστε τα τρία ομοθετικά κέντρα των δοσμένων κύκλων πρέπει να βρίσκονται στους ριζικούς άξονες ζευγών λύσεων.
Συνοψίζοντας, η επιθυμητή ευθεία L1 ορίζεται από δύο σημεία, το ριζικό κέντρο G των τριών δοσμένων κύκλων και του πόλου στο C1 μίας από τις τέσσερις ευθείες που ενώνουν τα ομοθετικά κέντρα. Βρίσκοντας τους ίδιους πόλους στα C2 και C3 βρίσκονται οι 'L2 και L''3 αντίστοιχα. Συνεπώς και τα έξι σημεία μπορούν να εντοπιστούν, από τα οποία μπορεί να βρεθεί ένα ζεύγος λύσεων. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τις υπόλοιπες τρεις ευθείες ομοθετικών κέντρων βρίσκονται έξι ακόμα λύσεις, δηλαδή οκτώ συνολικά. Εντούτοις αν μία ευθεία Lk δεν τέμνει τον κύκλο της Ck για κάποιο k δεν υπάρχει ζεύγος λύσεων για αυτή την ευθεία ομοθετικών κέντρων.
Δέκα συνδυασμοί σημείων, κύκλων και ευθειών
Το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων που να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, τα οποία μπορεί να είναι κύκλοι, σημεία, ή ευθείες. Έτσι προκύπτουν δέκα τύποι του προβλήματος, ένας για κάθε συνδυασμό κύκλων, ευθειών και σημείων, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να κωδικοποιηθεί με τρία γράμματα, είτε Κ, Ε, or Σ αναλόγως αν το στοιχείο είναι κύκλος, ευθεία ή σημείο αντίστοιχα. Για παράδειγμα ο τύπος του απολλώνιου προβλήματος με ένα δεδομένο κύκλο, μία ευθεία και ένα σημείο σημειώνεται ως ΚΕΣ.
Μερικές από αυτές τις ειδικές περιπτώσεις είναι πολύ ευκολότερο να επιλυθούν από την γενική περίπτωση των τριών κύκλων. Οι δύο απλούστερες περιπτώσεις είναι τα προβλήματα της κατασκευής ενός κύκλου που να περνάει από τρία σημεία (ΣΣΣ) ή να εφάπτεται σε τρεις ευθείες (ΕΕΕ), τα οποία επιλύθηκαν αρχικά από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Για παράδειγμα το πρόβλημα ΣΣΣ μπορεί να λυθεί ως εξής. Το κέντρο του κύκλου-λύση ισαπέχει από τα τρία σημεία, και έτσι πρέπει να βρίσκεται στη μεσοκάθετο κάθε δύο εξ αυτών. Έτσι το κέντρο είναι το σημείο τομής οποιονδήποτε δυο από τις μεσοκαθέτους δύο σημείων. Παρομοίως στην περίπτωση ΕΕΕ το κέντρο πρέπει να βρίσκεται στην διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο από τις ευθείες και συνεπώς στο σημείο τομής δύο τέτοιων διχοτόμων. Εφόσον υπάρχουν δύο τέτοιες διχοτόμοι σε κάθε σημείο τομής των δεδομένων ευθειών υπάρχουν τέσσερις λύσεις στο γενικό πρόβλημα ΕΕΕ.
Τα σημεία και οι ευθείες μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις κύκλων, ένα σημείο μπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος με απείρως μικρή ακτίνα και μία ευθεία ως κύκλος με απείρως μεγάλη, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο άπειρο. Από αυτή την οπτική το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων εφαπτόμενων σε τρεις δεδομένους κύκλους. Οι υπόλοιπες εννιά περιπτώσεις μπορούν να θεωρηθούν ειδικές περιπτώσεις του γενικού προβλήματος. Αυτές οι ειδικές περιπτώσεις συχνά έχουν μικρότερο αριθμό λύσεων από το γενικό πρόβλημα. Για παράδειγμα κάθε αντικατάσταση ενός δεδομένου κύκλου με σημείο υποδιπλασιάζει των αριθμό των λύσεων καθώς ένα σημείο εφάπτεται ταυτόχρονα και εσωτερικά και εξωτερικά στην λύση.
Αριθμός λύσεων
thumb|right|Σχήμα 11: Μία εκδοχή του απολλώνιου προβλήματος χωρίς λύση. Ένας κύκλος λύση (ροζ) πρέπει να τέμνει τον μαύρο διαγραμμισμένο δοσμένο κύκλο για να εφάπτεται και στους δύο άλλους δοσμένους κύκλους (επίσης μαύροι)
Το πρόβλημα της απαρίθμησης του αριθμού των λύσεων διαφορετικών τύπων του απολλώνιου προβλήματος ανήκει στο πεδίο της απαριθμητικής γεωμετρίας. Ο γενικός αριθμός λύσεων για κάθε ένα από τους δέκα τύπους του απολλώνιου προβλήματος δίνεται στον Πίνακα 1. Εντούτοις, ειδικές διατάξεις των δοσμένων στοιχείων μπορεί να αλλάξουν τον αριθμό των λύσεων. Για παράδειγμα το απολλώνιο πρόβλημα δεν έχει λύση αν ένας από τους κύκλους χωρίζει τους άλλους δύο (Σχήμα 11), για να εφάπτεται και στους δύο μη διαγραμμισμένους κύκλους, ο κύκλος λύση θα πρέπει να τέμνει τον διαγραμμισμένο. Αντίστροφα αν όλοι οι δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται στο ίδιο σημείο τότε οποιοσδήποτε κύκλος εφάπτεται σε αυτό το σημείο είναι λύση του προβλήματος, τέτοιες περιπτώσεις του απολλώνιου προβλήματος έχουν άπειρες λύσεις. Αν οσοιδήποτε από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται υπάρχουν αντίστοιχα άπειρες λύσεις. Αν μόνο δύο από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται τότε υπάρχουν δύο διακριτοί δοσμένοι κύκλοι και τα κέντρα των κύκλων λύσεων σχηματίζουν μία υπερβολή, όπως χρησιμοποιήθηκε στην μία λύση του απολλώνιου προβλήματος.
Πρώτη φορά έγινε εξαντλητική καταμέτρηση των λύσεων για όλες τις πιθανές διατάξεις των τριών κύκλων, σημείων και ευθειών από των Muirhead το 1896, ενώδουλειά προς την κατεύθυνση αυτή είχε γίνει από τον Στρόλ (Stroll) και τον Study. Εντούτοις, το έργο του Muirhead ήταν ατελές, επεκτάθηκε το 1974 και η οριστική καταμέτρηση, 33 διακριτών περιπτώσεων δημοσιεύτηκε το 1983. Παρόλο που οι λύσεις του απολλώνιου προβλήματος εν γένει εμφανίζονται ανά ζεύγη που σχετίζονται δι' αντιστροφής σε μερικές περιπτώσεις είναι δυνατόν να υπάρχει περιττός αριθμός λύσεων. Π.χ. υπάρχει μοναδική λύση στην περίπτωση ΣΣΣ ή όταν ένας ή τρεις δοσμένοι κύκλοι είναι οι ίδιοι λύσεις. (Ένα τέτοιο παράδειγμα δίνεται παρακάτω στην ενότητα για το θεώρημα του Καρτέσιου.) Παρόλα αυτά δεν υπάρχει απολλώνιο πρόβλημα με επτά λύσεις. Έχουν αναπτυχθεί εναλλακτικές λύσεις βασισμένες γεωμετρία των κύκλων και των σφαιρών και έχουν χρησιμοποιηθεί για περισσότερες διαστάσεις.
Αμοιβαίως εφαπτόμενοι κύκλοι: Κύκλοι Soddy και το Θεώρημα του Καρτέσιου
Αν οι τρεις δοσμένοι κύκλοι είναι αμοιβαίως εφαπτόμενοι, το απολλώνιο πρόβλημα έχει πέντε λύσεις. Τρεις λύσεις είναι οι ίδιοι οι τρεις δοσμένοι κύκλοι, καθώς ο καθένας εφάπτεται στον εαυτό του και στους άλλους δύο. Οι υπόλοιπες δύο λύσεις (που φαίνονται με κόκκινο στο σχήμα 12) που αντιστοιχούν στον εγγεγραμμένο και τον περιγεγραμμένο κύκλο ονομάζονται και Κύκλοι του Soddy. Αυτή η ειδική περίπτωση του προβλήματος είναι γνωστή και ως πρόβλημα των τεσσάρων νομισμάτων. Οι τρεις δοσμένοι κύκλοι αυτού του προβλήματος σχηματίζουν μία Αλυσίδα Steiner που εφάπτεται στους δύο κύκλους Soddy.
thumb|left|Σχήμα 12: Οι δύο λύσεις (κόκκινο) στο απολλώνιο πρόβλημα με αμοιβαίως εφαπτόμενους δοσμένους κύκλους (μαύρο), με σημειωμένες τις καμπυλότητές τους
Οποιοσδήποτε από τους κύκλους Soddy αν παρθεί μαζί με τους τρεις δοσμένους κύκλους παράγει ένα σύνολο κύκλων που είναι όλοι αμοιβαίως εφαπτόμενοι σε έξι σημεία. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων σχετίζονται με μία εξίσωση που είναι γνωστή ως Θεώρημα του Καρτέσιου. Το 1643 σε ένα γράμμα του στην πριγκίπισσα Ελισάβετ της Βοημίας ο Καρτέσιος έδειξε ότι:
όπου ks = 1/rs και rs είναι η καμπυλότητα και η ακτίνα του κύκλου-λύση αντίστοιχα και παρομοίως οι καμπυλότητες k1, k2 and k3 και οι ακτίνες r1, r2 and r3 των τριών δοσμένων κύκλων. Για κάθε σύνολο τεσσάρων αμοιβαίως εφαπτόμενων κύκλων υπάρχει ένα δεύτερο σύνολο τεσσάρων αμοιβαίως εφαπτόμενων κύκλων που εφάπτονται στα ίδια έξι σημεία.
Το θεώρημα του Καρτέσιου ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα το 1826 από τον Jakob Steiner, το 1842 από τον Philip Beecroft, και ξανά το 1936 από τον Frederick Soddy. Ο Soddy εξέδωσε τα πορίσματά του στο επιστημονικό περιοδικό Nature ως ποίημα, The Kiss Precise (Το ακριβές φιλί). Η πρώτη στροφή περιγράφει τους κύκλους του Soddy ενώ η δεύτερη το θεώρημα του Καρτέσιου. Στο ποίημα δύο κύκλοι αναφέρεται ότι «φιλιούνται» (kiss) όταν εφάπτονται ενώ ο όρος «bend» αναφέρεται στην καμπυλότητα k του κύκλου.
Γενικεύσεις
thumb|left|Σχήμα 13: Ένα συμμετρικό απολλώνιο έμβυσμα (ονομάζεται και Leibniz packing από τον εφευρέτη της, [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς)]]
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί από το επίπεδο σε σφαιρική επιφάνεια και άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Για την σφαίρα, το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή όλων των κύκλων (όρια των σφαιρικών τομών) που εφάπτονται σε τρεις δοσμένους κύκλους επί της σφαίρας. Αυτό το σφαιρικό πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί σε επίπεδο πρόβλημα χρησιμοποιώντας στερεογραφική προβολή. Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις στο επίπεδο πρόβλημα μπορούν να καθοριστούν οι λύσεις του του σφαιρικού προβλήματος με αντιστροφή της στερεογραφικής προβολής. Ακόμα γενικότερα, μπορεί να θεωρηθεί το πρόβλημα τεσσάρων εφαπτόμενων καμπυλών που προκύπτουν από την τομή τυχαίων δευτεροβάθμιων επιφανειών με τέσσερα επίπεδα, όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τον ''Charles Dupin. ''
Λύνοντας το απολλώνιο πρόβλημα επαναληπτικά για την εύρεση των εγγεγραμμένων κύκλων, τα κενά μεταξύ των εφαπτόμενων κύκλων μπορούν να πληρωθούν αυθαίρετα, σχηματίζοντας το απολλώνιο έμβυσμα, γνωστή και ως Leibniz packing ή Apollonian packing. Αυτό το έμβυσμα είναι φράκταλ, όντας αυτοόμοιο και έχοντας διάσταση Hausdorff d η οποία δεν είναι μεν γνωστή με ακρίβεια αλλά είναι της τάξης του 1,3, το οποίο είναι μεγαλύτερη από από μία κανονική (ή πεπερασμένου μήκους) καμπύλη (d = 1) αλλά μικρότερη από από αυτή του επιπέδου (d = 2). Το απολλώνιο έμβυσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς τον 17ο αιώνα, και είναι καμπύλος πρόδρομος του τριγώνου Σιερπίνσκι. Το απολλώνιο έμβυσμα έχει στενούς δεσμούς με άλλα πεδία των μαθηματικών, για παράδειγμα, είναι το οριακό σύνολο των συνόλων Klein.
Η διάταξη με ένα κύκλο να εφάπτεται σε τέσσερις κύκλους στο επίπεδο έχει ειδικές ιδιότητες, οι οποίες διερευνήθηκαν από τον Larmor (1891) και τον Lachlan (1893). Αυτή η διάταξη είναι και η βάση του θεωρήματος του Casey, όντας ταυτόχρονα και γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου.
Η επέκταση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις, δηλαδή το πρόβλημα εύρεσης σφαίρας που να εφάπτεται σε τέσσερις δοσμένες σφαίρες, μπορεί να λυθεί με ανάλογες μεθόδους. Για παράδειγμα, οι δοσμένες και η σφαίρα-λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος έτσι ώστε μία δεδομένη σφαίρα να ελαττωθεί σε σημείο διατηρώντας τις επαφές όλων των σφαιρών. Η αντιστροφή σε αυτό το σημείο, μετασχηματίζει το πρόβλημα σε αυτό της εύρεσης ενός επιπέδου που να είναι εφαπτόμενο σε τρεις δοσμένες σφαίρες. Υπάρχουν εν γένει οκτώ τέτοια επίπεδα, τα οποία δίνουν τις λύσεις του αρχικού προβλήματος αναστρέφοντας την αντιστροφή και επαναφέροντας το μέγεθος. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε πρώτη φορά από τον Πιέρ ντε Φερμά, ενώ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι ανά τους αιώνες. Reprinted in Euler's Opera Omnia, series 1, volume 26, pp. 334–343.
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί σε d διαστάσεις, ώστε να ζητείται η κατασκευή υπερσφαιρών εφαπτόμενων σε ένα σύνολο d + 1 υπερσφαιρών. Μετά την δημοσίευση του Frederick Soddy μιας νέας απόδειξης του θεωρήματος του Καρτέσιου το 1936, αρκετοί έλυσαν (ανεξάρτητα) την περίπτωση των αμοιβαίως εφαπτόμενων αντικειμένων που αντιστοιχεί στους κύκλους Soddy d διαστάσεων.
Εφαρμογές
Η κύρια εφαρμογή του απολλώνιου προβλήματος, όπως διατυπώθηκε από τον Ισαάκ Νεύτωνα, είναι ο υπερβολικός τριπλευρισμός, ο οποίος έχει στόχο τον καθορισμό της θέσης από τις διαφορές αποστάσεων μεταξύ τουλάχιστον τριών σημείων. Για παράδειγμα ένα πλοίο μπορεί να ζητά να καθορίσει την θέση του από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης σημάτων από τρεις συγχρονισμένους μεταδότες. Λύσεις του απολλώνιου προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν στον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο για να καθοριστεί η θέση ενός στοιχείου πυροβολικού από τον χρόνο που χρειάστηκε για να ακουστεί μια βολή σε τρεις διαφορετικές θέσεις, ενώ ο υπερβολικό τριπλευρισμός είναι η αρχή που χρησιμοποιούν το Σύστημα πλοήγησης Decca και το LORAN. Παρομοίως η θέση ενός αεροσκάφους μπορεί να καθοριστεί από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης του σήματος του αναμεταδότη του σε τέσσερις σταθμούς λήψης. Αυτό το πρόβλημα πολυπλευρισμού είναι ανάλογο με την γενίκευση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις και έχει εφαρμογές σε παγκόσμιου εντοπισμού θέσης όπως το GPS. Χρησιμοποιείται ακόμα για τον καθορισμό της θέσης ζώων (πουλιά και φάλαινες) αν και δεν λαμβάνεται υπόψη στο πρόβλημα το γεγονός της διαφοράς στην ταχύτητα του ήχου ανάλογα με την διεύθυνση (το μέσο διάδοσης δεν είναι ισότροπο).
Το απολλώνιο πρόβλημα έχει και άλλες εφαρμογές. Στα Principia (Βιβλίο 1, Πρόταση 21) ο Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποίησε την λύση του απολλώνιου προβλήματος για να κατασκευάσει μία τροχιά στην ουράνια μηχανική από το κέντρο έλξης και παρατηρήσεις των εφαπτόμενων ευθειών στην τροχιά που αντιστοιχούν σε στιγμιαίες ταχύτητες. Η ειδική περίπτωση του προβλήματος στην οποία οι τρεις δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους βρίσκει εφαρμογή στην μέθοδο κύκλου Hardy–Littlewood της αναλυτικής θεωρίας αριθμών για την κατασκευή της καμπύλης Hans Rademacher για την μιγαδική ολοκλήρωση, που δίνεται από τα όρια ενός απειροσυνόλου κύκλων Ford, που καθένας εξ αυτών εφάπτεται με μερικούς άλλους. Τέλος, το απολλώνιο πρόβλημα έχει εφαρμογές σε μερικούς τύπους προβλημάτων συσκευασίας τα οποία προκύπτουν σε διάφορα πεδία όπως στον κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων που χρησιμοποιείται στα DVD και στον σχεδιασμό φαρμακευτικών παρασκευασμάτων που συνδέονται με ένα συγκεκριμένο ένζυμο κάποιου παθογενούς βακτηρίου.
Βιβλιογραφία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Renault Galion
Τα Renault 2.500 kg (ή 2T5) και το Renault Galion ήταν φορτηγά / φορτηγά με ικανότητα μεταφοράς 2,5 τόνων που κατασκευάστηκε από τη Renault μεταξύ 1947 και 1957 και στη συνέχεια από τη θυγατρική της Saviem μεταξύ 1957 και 1965.
Το 1965, μετά από διάφορες αναθεωρήσεις του σχεδιασμού Galion, η Saviem εισήγαγε την πιο μοντέρνα και ισχυρή γκάμα Saviem Super Galion και το Galion διακόπηκε.
Οι εκδόσεις βενζίνης και των δύο προηγούμενων Renault 2T5 και Renault Galion είχαν τα κωδικά ονόματα R2160, R2161, R2162, R2163, R2164, R2165, R2166, R2167, R2168 και R2169. το πετρέλαιο R4166, R4168, R4240, R4242, R4243, R4244, R4245, R4246 και R4247.
Μέχρι το 1961, η Saviem παρήγαγε μεταξύ 50 και 60 Galions την ημέρα. Τότε προσφέρθηκαν με τουλάχιστον δύο κινητήρες inline-τέσσερις: το 3-λίτρο diesel 4 192 που παρέχεται από την Perkins, με μέγιστη ισχύ εξόδου 52 bhp (39 kW) στις 2.400 σ.α.λ. και μονάδα 2-λίτρων βενζίνης Renault με μέγιστη ισχύ εξόδου 56 bhp (42 kW) στις 3.300 σ.α.λ. Το φορτηγό είχε κιβώτιο μετάδοσης κίνησης στους πίσω τροχούς μέσω μιας γενικής άρθρωσης, σε συνδυασμό με ένα τετρακίνητο κιβώτιο ταχυτήτων. Το Galion τοποθέτησε διάφορους βενζινοκινητήρες. Ορισμένες εκδόσεις χρησιμοποίησαν το 668-8 με μέγιστη ισχύ εξόδου 53 PS (39 kW, 52 bhp) στις 3.300 rpm και ροπή 12,8 kg⋅m (126 N⋅m, 93 lb⋅ft) στα 2.000. Άλλες εκδόσεις Galion χρησιμοποίησαν τον 2,1 λίτρων 671-2 Étendard. Το 671-2 είχε ισχύ εξόδου 56 PS (41 kW; 55 bhp) στις 3.300 σ.α.λ. και ροπή 14.3 kg⋅m (140 N⋅m; 103 lb⋅ft) στις 2.000 σ.α.λ. Στο Σαλόνι Αυτοκινήτου του Παρισιού το 1962, η Renault ανακοίνωσε έναν νέο κινητήρα ντίζελ για το Galion, αντικαθιστώντας τη μονάδα Perkins. Ο νέος κινητήρας, που ονομάζεται 580, ήταν μια τετρακύλινδρη μονάδα 2,72 λίτρων και είχε ισχύ εξόδου 58 bhp (43 kW) στις 2.900 σ.α.λ. και ροπή 115 lb⋅ft (156 N⋅m; 15.9 kg⋅m).
Κατηγορία:Φορτηγό
Πρώτη κατηγορία ποδοσφαίρου Τουρκίας
Η Πρώτη Κατηγορία Τουρκίας (τουρκικά: TFF 1. Lig, γνωστή ως PTT 1. Lig για εμπορικούς λόγους) ιδρύθηκε το 2000, έπειτα από το διαχωρισμό της από την Δεύτερη Κατηγορία Τουρκίας (TFF 2. Lig), λόγω αναδιοργάνωσης της Δεύτερης Κατηγορίας. Το πρωτάθλημα ξεκίνησε την περίοδο 2001-2002 με την ονομασία Δεύτερη Ένωση Τουρκίας Κατηγορία Α με 20 ομάδες. Ο αριθμός των ομάδων μειώθηκε σε 18 το 2002. Το πρωτάθλημα πήρε τη σημερινή του ονομασία την περίοδο 2007-2008.
Δομή
Η 1. Λιγκ αποτελείται από 18 ομάδες. Οι τρεις ομάδες που θα τερματίσουν στις πρώτες θέσεις κερδίζουν απευθείας την άνοδο στη Σούπερ Λιγκ, ενώ οι άλλες τρεις ομάδες που βρίσκονται στις τελευταίες θέσεις υποβιβάζονται στην 2. Λιγκ.
Σημείωση
Η 1. Λιγκ δεν είναι η πρώτη κατηγορία. Είναι η δεύτερη. Αυτό ισχύει από το 2001 καθώς η Super Lig έγινε η Πρώτη Κατηγορία.
Κατηγορία:Ποδοσφαιρικές διοργανώσεις Τουρκίας
Ντόνι Μπράσκο (ταινία)
Το Ντόνι Μπράσκο (Donnie Brasco) είναι γκανγκστερική βιογραφική ταινία αμερικανικής παραγωγής 1997, σε σκηνοθεσία Μάικ Νιούελ. Πρωταγωνιστούν ο Τζόνι Ντεπ και ο Αλ Πατσίνο.
Υπόθεση
Υποδυόμενος τον έμπορο διαμαντιών Ντόνι Μπράσκο, ο μυστικός πράκτορας του FBI Τζόσεφ Πιστόνε, μπαίνει στους κύκλους της μαφιόζικης φαμίλιας του Λέφτι, ενός μεσόκοπου εκτελεστή. Ανάμεσα στους δύο άντρες αναπτύσσεται δυνατή φιλία και εμπιστοσύνη, χωρίς βέβαια ο Λέφτι να γνωρίζει την πραγματική ταυτότητα του Τζο. Αλλά και ο Τζο, από την πλευρά του, διακινδυνεύει τον γάμο του, τη δουλειά του και την ίδια του τη ζωή, καθώς ο θαυμασμός του για τον γκάνγκστερ μέντορά του μεγαλώνει μέρα με τη μέρα όλο και περισσότερο.
Box office
Το Ντόνι Μπράσκο κυκλοφόρησε στις κινηματογραφικές αίθουσες στη Βόρεια Αμερική στις 28 Φεβρουαρίου 1997. Η ταινία κέρδισε 11,6 εκατομμύρια δολάρια από 1.503 κινηματογραφικές αίθουσες κατά τη διάρκεια του πρώτου Σαββατοκύριακου. Συνέχισε να έχει έσοδα 41,9 εκατομμύρια δολάρια στη Βόρεια Αμερική και 83 εκατομμύρια δολάρια από άλλες αγορές και τελικά κέρδισε συνολικά 124,9 εκατομμύρια δολάρια.
Κριτικές
Στον ιστότοπο συγκέντρωσης κριτικών Rotten Tomatoes, η ταινία έχει βαθμολογία έγκρισης 88% με βάση 57 κριτικές, με μέση βαθμολογία 7,80/10. Η κριτική συναίνεση του ιστότοπου αναφέρει: "Ένα έντονο, λεπτομερειακό πορτρέτο της ζωής στο οργανωμένο έγκλημα, ενισχυμένο από δυνατές ερμηνείες του Αλ Πατσίνο και του Τζόνι Ντεπ. Στο Metacritic, η ταινία έχει «γενικά ευνοϊκές κριτικές». Το κοινό που συμμετείχε σε δημοσκόπηση από το CinemaScore έδωσαν στην ταινία ένα μέσο βαθμό "B+" σε μια κλίμακα Α+ έως F.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αμερικανικές ταινίες Κατηγορία:Αμερικανικές αστυνομικές δραματικές ταινίες Κατηγορία:Ταινίες σε σκηνοθεσία Μάικ Νιούελ Κατηγορία:Αγγλόφωνες ταινίες Κατηγορία:Ταινίες του 1997 Κατηγορία:Ταινίες που συσχετίζονται με το οργανωμένο έγκλημα στις Ηνωμένες Πολιτείες Κατηγορία:Ταινίες βασισμένες σε πραγματικά γεγονότα Κατηγορία:Ταινίες γυρισμένες στη Φλόριντα Κατηγορία:Ταινίες γυρισμένες στο Μαϊάμι Κατηγορία:Ταινίες γυρισμένες στη Νέα Υόρκη Κατηγορία:Ταινίες τοποθετημένες στη Νέα Υόρκη Κατηγορία:Ταινίες τοποθετημένες στη Φλόριντα
Κοένρεντ της Νορθουμβρίας
Ο Κοένρεντ της Νορθουμβρίας (Coenred, πέθανε το 718) βασιλιάς της Νορθουμβρίας (716 - 718) ήταν διάδοχος του Όσρεντ της Νορθουμβρίας, ο συγγραφέας Ιωάννης του Φορντάν αναφέρει ότι ο Κοένρεντ ήταν ο δολοφόνος του. Ανήκε σε δευτερεύοντα κλάδο του βασιλικού Οίκου της Βερνικίας, μακρινός πρόγονος του ήταν ο Ίδα της Βερνικίας, ο Κοένρεντ ήταν ο πρώτος από τον κλάδο του που βασίλευσε στην Νορθουμβρία. Τα Χρονικά του Ούλστερ καταγράφουν τον θάνατο του Κάθγουιν βασιλιά των Σαξόνων (718), τον συσχετίζουν πιθανότατα με τον Κοένρεντ. Ο Γουλιέλμος του Μαλμέσμπορρι περιγράφει τον Κοένρεντ ότι ανήκε στην "ίδια πάστα με τον Όσρεντ" δηλαδή φιλόδοξος, σκληρός, ενεργητικός και πολεμοχαρής. Ο τρόπος θανάτου του είναι άγνωστος, τον διαδέχθηκε ο Όσρικ της Νορθουμβρίας αδελφός του Όσρεντ και εκείνον με την σειρά του διαδέχθηκε ο Κέολγουλφ της Νορθουμβρίας αδελφός του Κοένρεντ.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Βασιλείς της Νορθουμβρίας Κατηγορία:Βασιλικός Οίκος της Νορθουμβρίας
Πάνθεον του Κομιτάς
Το Πάνθεον του Κομίτας είναι νεκροταφείο και πάρκο που βρίσκεται στο Γερεβάν, την πρωτεύουσα της Αρμενίας. Σε αυτό βρίσκονται θαμμένα αρκετά επιφανή πρόσωπα της νεότερης και σύγχρονης αρμενικής Ιστορίας.
Περιγραφή
Συστάθηκε το 1936 στην περιοχή Σενγκαβίτ, μετά τη διάλυση του προηγούμενου νεκροταφείου Μλερ και του αντίστοιχου παρεκκλησίου. Έλαβε την ονομασία του προς τιμήν του σημαντικού ιερέα και θεμελιωτή της αρμενικής μουσικής Σολομών Σολομωνιάν, γνωστού ως Κομιτάς (1869-1935), ο οποίος θάφτηκε εκεί.
Ο χώρος περιλαμβάνει 60 τάφους, στους οποίους συγκαταλέγονται και εκείνοι προσωπικοτήτων όπως ο συνθέτης Αράμ Χατσατουριάν, ο σκηνοθέτης Σεργκέι Παρατζάνωφ, ο λογοτέχνης Χνκο Απέρ, η ποιήτρια και ακτιβίστρια Σίλβα Καπουτικιάν, η τραγουδίστρια Γκοάρ Γκασπαριάν κ.ά. Το 2005 πραγματοποιήθηκαν εκτεταμένες εργασίες ανακατασκευής στον χώρο.
Παραπομπές
Κατηγορία:Νεκροταφεία στην Ευρώπη Κατηγορία:Γερεβάν
Κνιαζ
Κνιαζ ή Κνεζ είναι ιστορικός σλαβικός τίτλος, που χρησιμοποιείται τόσο ως βασιλικός όσο και ως αριστοκρατικός τίτλος σε διαφορετικές εποχές της ιστορίας και σε διαφορετικά αρχαία σλαβικά εδάφη. Συνήθως μεταφράζεται ως πρίγκιπας, δούκας ή κόμης, ανάλογα με το συγκεκριμένο ιστορικό πλαίσιο και τα δυνητικά γνωστά λατινικά ισοδύναμα του τίτλου για κάθε φορέα του ονόματος. Στις λατινικές πηγές ο τίτλος μεταφράζεται συνήθως ως comes ή princeps, αλλά η λέξη προήλθε αρχικά από το πρωτογερμανικό kuningaz (βασιλιάς).
Η θηλυκή μορφή που μεταγράφεται από τα βουλγαρικά και τα ρωσικά είναι κνιαγκίνια (княгиня), κνέγκινια στα σλοβενικά και σερβοκροατικά (σερβικά κυριλλικά: кнегиња), κνιαχινιά (княгіня) στα λευκορωσικά και κνιαζιούνα (князёўна) είναι η κόρη του πρίγκιπα, στα ουκρανικά. Στα ρωσικά, η κόρη ενός κνιαζ είναι κνιαζνά (княжна) και ο γιος είναι κνιαζίτς (княжич στην παλιά του μορφή).
Ο τίτλος προφέρεται και γράφεται παρόμοια σε διαφορετικές ευρωπαϊκές γλώσσες. Στη σερβοκροατική και σε ορισμένες δυτικές σλαβικές γλώσσες, η λέξη αργότερα υποδήλωνε τον «άρχοντα» και στα τσεχικά, τα πολωνικά και τα σλοβακικά σημαίνει επίσης «ιερέας» (kněz, ksiądz, kňaz), καθώς και «δουκάς» (knez, kníže, książę, knieža). Στα σορβικά σημαίνει απλώς «Κύριος» (από το «Δάσκαλος»). Σήμερα ο όρος κνεζ εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ως η πιο κοινή μετάφραση του «πρίγκιπα» στη σλοβενική, βοσνιακή, κροατική και σερβική λογοτεχνία. Το Κνεζ απαντάται επίσης ως επώνυμο στην Σοσιαλιστική Ομοσπονδιακή Δημοκρατία της Γιουγκοσλαβίας.
Μεσαίωνας
Η έννοια του όρου άλλαξε κατά τη διάρκεια της ιστορίας. Αρχικά ο όρος χρησιμοποιήθηκε για να δηλώσει τον αρχηγό μιας σλαβικής φυλής. Αργότερα, με την ανάπτυξη του φεουδαρχικού κράτους, έγινε ο τίτλος του ηγεμόνα ενός κράτους και μεταξύ των Ανατολικών Σλάβων (ρωσικά: княжество, ουκρανικά: князівство, που παραδοσιακά μεταφράζεται ως δουκάτο ή πριγκιπάτο), για παράδειγμα, του Ρως του Κιέβου. Στις μεσαιωνικές λατινικές πηγές ο τίτλος αποδόθηκε είτε ως rex είτε ως dux. Στην Πρώτη Βουλγαρική Αυτοκρατορία, ο Βόρις Α΄ της Βουλγαρίας άλλαξε τον τίτλο του σε κνιαζ μετά τη μεταστροφή του στον Χριστιανισμό, αλλά ο γιος του, Συμεών Α΄, υιοθέτησε τον ανώτερο τίτλο του τσάρου σύντομα το 913. Στο Ρως του του Κιέβου, καθώς ο βαθμός συγκεντροποίησης μεγάλωνε, ο ηγεμόνας απέκτησε τον τίτλο Βελίκι Κνιαζ (Великий Князь, μεταφρασμένο ως Μέγας Πρίγκιπας ή Μέγας Δούκας).
Όταν το Ρως του Κιέβου κατακερματίστηκε τον 13ο αιώνα, ο τίτλος Κνιαζ συνέχισε να χρησιμοποιείται στις ανατολικές σλαβικές πολιτείες, όπως το Κίεβο, το Τσερνίχιβ, το Νόβγκοροντ, το Περεϊάσλαβ, το Μεγάλο Δουκάτο του Βλαντίμιρ, η Μοσχοβία, το Τβερ, το Βασίλειο της Ρουθηνίας και το Μεγάλο Δουκάτο της Λιθουανίας.
Ρωσία
Καθώς το Βασίλειο της Ρωσίας κέρδισε την κυριαρχία σε μεγάλο μέρος του πρώην Ρως του Κιέβου, ο Μεγάλος Κνιαζ (великий князь) Ιβάν Δ΄ της Ρωσίας στέφθηκε Τσάρος το 1547. Από τα μέσα του 18ου αιώνα και μετά, ο τίτλος Μεγάλος Κνιαζ αναβίωσε για να αναφέρεται σε γιους και εγγονούς Ρώσων Αυτοκρατόρων (αρσενικής γραμμής).
Ο τίτλος Κνιαζ (ρωσικά: князь) συνέχισε ως κληρονομικός τίτλος της ρωσικής ευγένειας που κατάγονταν από τον Ρούρικ ή τον Γκεντιμίνας. Τα μέλη των οικογενειών Ρουρικιδών ή Γκεντιμινιδών ονομάζονταν πρίγκιπες όταν κυβερνούσαν κυρίαρχα μεσαιωνικά πριγκιπάτα. Αφού οι δήμονές τους απορροφήθηκαν από τη Μοσχοβία, εγκαταστάθηκαν στην αυλή της Μόσχας και εξουσιοδοτήθηκαν να συνεχίσουν με τους πριγκιπικούς τους τίτλους.
Από τον 18ο αιώνα και μετά, ο τίτλος απονεμήθηκε περιστασιακά από τον Τσάρο, για πρώτη φορά από τον Πέτρο Α΄ της Ρωσίας στον συνεργάτη του, Αλεξάντρ Ντανίλοβιτς Μένσικοφ, και στη συνέχεια από την Αικατερίνη Β΄ της Ρωσίας στον εραστή της, Γκριγκόρι Ποτέμκιν. Μετά το 1801, με την ενσωμάτωση της Γεωργίας στη Ρωσική Αυτοκρατορία, διάφοροι τίτλοι πολυάριθμων τοπικών ευγενών αποδίδονταν αμφιλεγόμενα στα ρωσικά ως «κνιαζ». Παρομοίως, πολλοί μικροί ευγενείς των Τάταρων διεκδίκησαν το δικαίωμά τους να χαρακτηρίζονται «κνιαζ» επειδή κατάγονταν από τον Τζένγκις Χαν.
Πολωνική-Λιθουανική Κοινοπολιτεία
Όπως σημειώθηκε παραπάνω, ο τίτλος knyaz ή kniaz έγινε κληρονομικός ευγενής τίτλος στο Μεγάλο Δουκάτο της Μόσχας και στο Μεγάλο Δουκάτο της Λιθουανίας. Μετά την ένωση του Βασιλείου της Πολωνίας και του Μεγάλου Δουκάτου της Λιθουανίας, το κνιαζ έγινε αναγνωρισμένος τίτλος στην Πολωνική-Λιθουανική Κοινοπολιτεία. Μέχρι τη δεκαετία του 1630 –εκτός από τον τίτλο pan, που υποδήλωνε συμμετοχή στη μεγάλη τάξη των ευγενών σλάχτα – το κνιαζ ήταν ο μόνος κληρονομικός τίτλος που αναγνωρίστηκε επίσημα και χρησιμοποιήθηκε επίσημα στην Πολωνική-Λιθουανική Κοινοπολιτεία. Σημαντικοί κάτοχοι του τίτλου κνιαζ περιλαμβάνουν τον Ιερεμία Βισνιοβιέτσκι.
Πηγές
Κατηγορία:Τίτλοι ευγενείας Κατηγορία:Τίτλοι ευγενείας της Βουλγαρίας Κατηγορία:Τίτλοι ευγενείας της Ουκρανίας Κατηγορία:Τίτλοι ευγενείας της Σερβίας Κατηγορία:Τίτλοι ευγενείας της Κροατίας Κατηγορία:Τίτλοι εθνικής ηγεσίας Κατηγορία:Δούκες Κατηγορία:Πρίγκιπες
Γ΄ κατηγορία ποδοσφαίρου ανδρών Κύπρου 1972-73
Η Γ΄ κατηγορία Κύπρου 1972-73 αποτέλεσε το 3ο πρωτάθλημα στη Γ΄ κατηγορία ποδοσφαίρου της Κύπρου. Το πρωτάθλημα κατέκτησε ο Νέος Αιώνας Τρικώμου για 1η φορά στην ιστορία του.
Σύστημα διεξαγωγής
Στο πρωτάθλημα της Γ΄ κατηγορία την περίοδο 1972-73 συμμετείχαν 14 ομάδες. Οι ομάδες αναμετρήθηκαν αναμεταξύ τους από δύο φορές, μία εντός και μία εκτός έδρας. Πρωταθλήτρια ανακηρύχτηκε η ομάδα που συγκέντρωσε τους περισσότερους βαθμούς. Η πρωταθλήτρια ομάδα προβιβάστηκε στη Β΄ κατηγορία 1973-74. Η τελευταία ομάδα θα υποβιβαζόταν στα αγροτικά (τοπικά) πρωταθλήματα αλλά η Δικαστική Επιτροπή της ΚΟΠ διέγραψε δύο ομάδες με την κατηγορίας στησίματος αγώνας και έτσι η τελευταία ομάδα δεν υποβιβάστηκε.
Αλλαγές σε σχέση με την περίοδο 1971-72
Ομάδες που προήχθησαν στην Β΄ κατηγορία 1972-73
Επιπρόσθετα ο Απόλλων Αθηαίνου συγχωνεύθηκε με τον Οθέλλο Αθηαίνου, διατηρώντας το όνομα Οθέλλος. Ο Οθέλλος συμμετείχε στη Β΄ κατηγορία 1972-73.
Ομάδες που εντάχθηκαν στη δύναμη της ΚΟΠ:
Συμμετέχουσες ομάδες
Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει αλφαβητικά τις ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα.
Βαθμολογία
Η τελική βαθμολογία του πρωταθλήματος ήταν:
Πηγή:
1Το παιχνίδι μεταξύ ΕΝΑΖ-Σωτήριου Πελενδρίου είχε αναβληθεί λόγω ακαταλληλότητας του σταδίου ΓΣΟ και διεξήχθη αφότου οι υπόλοιπες ομάδες έδωσαν τα παιχνίδια τους. Ο Σωτήριος χρειαζόταν νίκη με 16-0 για να μην διαβαθμιστεί. Κέρδισε με 17-0. Ο Αχιλλέας Καϊμακλίου, ο οποίος υποβιβαζόταν μετά από το αποτέλεσμα αυτό, διαμαρτυρήθηκε στον Κυπριακό Οργανισμό Αθλητισμού και στην Κυπριακή Ομοσπονδία Ποδοσφαίρου. Η Δικαστική Επιτροπή της ΚΟΠ εξέτασε το γεγονός και θεώρησε ότι το αποτέλεσμα ήταν προσυμφωνημένο και προχώρησε σε παντοτινή διαγραφή των δύο ομάδων από την ομοσπονδία. Ο Αχιλλέας Καϊμακλίου παρέμεινε στην Γ΄ κατηγορία.
Δείτε επίσης
Κατηγορία:Εγχώρια ποδοσφαιρικά πρωταθλήματα 1972-1973 Κατηγορία:Γ΄ κατηγορία ποδοσφαίρου ανδρών Κύπρου
Φύλαρχος (αξίωμα)
Η λέξη φύλαρχος («φυλή» + αρχείν) που σημαίνει «αρχηγός φυλής», έχει χρησιμοποιηθεί, μεταξύ άλλων, και σε αυτές τις περιπτώσεις:
Στην Αρχαία Αθήνα, φύλαρχοι ονομάζονταν οι επικεφαλής του ιππικού κάθε μιας από τις δέκα φυλές της πόλης.
Κατά την Πρωτοβυζαντινή περίοδο, από τον 4ο έως τον 7ο αιώνα, ο τίτλος απονεμόταν στους αρχηγούς των αραβικών φυλών - συμμάχων της Αυτοκρατορίας στην Ανατολή (ουσιαστικά το ισοδύναμο του «σεΐχη»), τόσο σε αυτούς που εγκαταστάθηκαν εντός όσο και εκτός της Αυτοκρατορίας. Ειδικά την περίοδο από το 530 έως περίπου το 585, οι μεμονωμένοι φύλαρχοι υπάγονταν σε έναν ανώτατο φύλαρχο από τη δυναστεία των Γασσανιδών.
Η λέξη έχει χρησιμοποιηθεί επίσης και στην Ουτοπία του Τόμας Μορ (1516), όπου οι ηγέτες των πόλεων ονομάζονται φύλαρχοι.
Παραπομπές
Κατηγορία:Βυζαντινοί τίτλοι και αξιώματα Κατηγορία:Αθηναϊκά πολιτειακά αξιώματα Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις
Πράσινη Αριστερά (Δανία)
Το κόμμα είναι αυτή τη στιγμή το πέμπτο μεγαλύτερο του Φόλκετινγκ, κατέχοντας 16 από τις συνολικά 179 έδρες, ενώ συμμετέχει στην κυβέρνηση της Χέλε Τόρνινγκ-Σμιτ, μαζί με τους Σοσιαλδημοκράτες και το Δανικό Κοινωνικό Φιλελεύθερο Κόμμα.
Παραπομπές
Κατηγορία:Πολιτικά κόμματα της Δανίας Κατηγορία:Σοσιαλιστικά κόμματα Κατηγορία:Οικολογικά κόμματα
Λίο Μπέρτος
Ο Λεωνίδας "Λίο" Χρήστος Μπέρτος (Leo Bertos) γεννήθηκε στις 20 Δεκεμβρίου 1981. Είναι διεθνής ποδοσφαιριστής από τη Νέα Ζηλανδία με καταγωγή από την Ελλάδα. Αγωνίζεται ως επιθετικός μέσος, ενώ έλαβε μέρος με την Εθνική Νέας Ζηλανδίας στο Παγκόσμιο Κύπελλο Ποδοσφαίρου 2010, το οποίο διεξήχθη στη Νότια Αφρική.
Καταγωγή και ξεκίνημα
Ο παππούς του Λέο Μπέρτος ονομαζόταν Λεωνίδας και γεννήθηκε στη Ρουμανία από Έλληνα πατέρα. Έζησε στο Γουέλινγκτον αλλά μετακόμισε στην Ελλάδα, όπου παντρεύτηκε και επέστρεψε στη Νέα Ζηλανδία. Ο πατέρας του ονομάζεται Γεώργιος και η μητέρα του Γκέιλ, η οποία κατάγεται από τη φυλή των Μαορί της Νέας Ζηλανδίας. Ο Λίο Μπέρτος μεγάλωσε στο Γουέλινγκτον σε ποδοσφαιρικό περιβάλλον, αφού ο πατέρας και ο παππούς του ήταν ποδοσφαιριστές. Μάλιστα τα πέντε αδερφια Μπέρτος (Λεωνίδας, Βάσος, Λάκης, Τάκης και Κρις) ίδρυσαν το 1953 την ποδοσφαιρική ομάδα "Απόλλων", πρόδρομο της Γουέλινγκτον Ολύμπικ. Ξεκίνησε το ποδόσφαιρο μαζί με τον αδερφό το Αδάμ με παρότρυνση του παππού του, ο οποίος τους έπαιρνε και τους έκανε απογευματινές προπονήσεις μετά το σχολείο. Έπαιξε στο τοπικό κολλέγιο από το 1995 ως το 1999. Από το 1997 ως το 2000 αγωνίστηκε με τη Γουέλινγκτον Ολύμπικ (Wellington Olympic AFC), την ομάδα των Ελλήνων μεταναστών της χώρας, στην εθνική κατηγορία της χώρας.
Επαγγελματική καριέρα
Το 2006 υπέγραψε στην Περθ Γκλόρι, με την οποία αγωνίστηκε δύο σεζόν στην Α΄ κατηγορία (A-League) της Αυστραλίας, παίζοντας συνολικά σε 35 ματς. Στο ενδιάμεσο των δύο σεζόν δοκιμάστηκε από τη Σκόντα Ξάνθη, αλλά δεν έπεισε ώστε να υπογράψει συμβόλαιο στην ομάδα της Α΄ Εθνικής.
Τον Ιανουάριο του 2008 επέστρεψε στη Νέα Ζηλανδία και υπέγραψε συμβόλαιο δύο ετών στους Γουέλινγκτον Φίνιξ, ομάδα του ελληνο-νεοζηλανδού επιχειρηματία Τέρι Σερεπίσιου, που αγωνίζεται στην αυστραλιανή Α-Λιγκ. Εκεί αγωνίζεται ως σήμερα.
Εθνική ομάδα
Στις 14 Νοεμβρίου 2009, στο Ουέλινγκτον, στον καθοριστικής σημασίας αγώνα κατά του Μπαχρέιν για την πρόκριση στην τελική φάση του Παγκοσμίου Κυπέλλου, έπειτα από δική του όμορφη εκτέλεση κόρνερ, ο Ρόρι Φάλον πέτυχε με κεφαλιά το μοναδικό γκολ του ματς, που έδωσε την πρόκριση, αφού η πρώτη μεταξύ τους αναμέτρηση είχε λήξει με ισόπαλο σκορ 0-0. Στο Παγκόσμιο Κύπελλο Ποδοσφαίρου 2010 στη Νότια Αφρική έπαιξε και στα τρία ματς του ΣΤ΄ Ομίλου, από τον οποίο η ομάδα του αποκλείστηκε ούσα αήττητη, έχοντας κατορθώσει να αποσπάσει τρεις ισοπαλίες.
Εξωτερικοί Σύνδεσμοι
Κατηγορία:Νεοζηλανδοί ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Έλληνες ομογενείς ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Μέσοι ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Παγκοσμίου Κυπέλλου 2010 Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Κυπέλλου Συνομοσπονδιών FIFA 2009 Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Μπάρνσλεϊ ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Ρότσντεϊλ ΑΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Τσέστερ Σίτι ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Εθνικής Νέας Ζηλανδίας Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Μπάροου ΑΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Σκάρμπορο ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Γιορκ Σίτι ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Περθ Γκλόρι ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές ολυμπιακής ομάδας Νέας Ζηλανδίας Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Γουέλινγκτον Ολύμπικ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Νάσιοναλ Λιγκ (αγγλικό ποδόσφαιρο) Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Ιστ Μπένγκαλ ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Νορθ Ιστ Γιουνάιτεντ ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Φούτμπολ Λιγκ (Αγγλία) Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Σούπερ Λιγκ Ινδίας Κατηγορία:Νεοζηλανδοί ελληνικής καταγωγής
Καλάμι
thumb|right|175px|Ψάθα
Το καλάμι ή καλαμιά είναι κοινή ονομασία πολλών μονοκότυλων πολυετών συνήθως φυτών. Τα καλάμια βρίσκονται σε τέλματα, έλη, σε όχθες λιμνών, ποταμών, ρυακιών, χειμάρρων και σε ήρεμα νερά. Ο όρος καλαμιά μπορεί επίσης να σημαίνει την καλάμη του στάχυος ή ακόμα τη συστάδα καλάμων. Όλα γενικά τα φυτά που χαρακτηρίζονται ως καλάμια έχουν ριζώματα ή παραφυάδες, τα φύλλα τους είναι μακριά ταινιοειδή και στο πάνω μέρος τους έχουν μία μακριά ταξιανθία.
Ο βλαστός είναι συμπαγής ή κοίλος, ξυλώδης, λυγίζει από τον αέρα και αυτό βοηθάει στη διασπορά των διαφόρων σπόρων του.
Είδη
Υπάρχουν πολλά είδη καλαμιών. Στην Ελλάδα βρίσκουμε τα εξής :
Χρήσεις
Στην Κύπρο συναντάμε συχνά το είδος Arundo donax (ιδανικό για κατασκευή πνευστών) τοσο σε παράκτιες αλλα και ορεινές περιοχές. Οι καλαμιές και τα καλάμια χρησιμοποιήθηκαν για πλέξιμο καλαθιών ή κοφινιών που είναι μεγάλα καλάθια. Τέτοιες κατασκευές μπορούν να χρησιμοποιουθούν μεταξύ άλλων για την αποθήκευση της παραγωγής του σιταριού.
Το καννίν είναι μικρό κομμάτι καλαμιού. Στο παρελθόν μικρά κομμάτια καλαμιών ήταν χρήσιμα στους ηλεκτρολόγους που ασχολούνταν με τις επισκευές και περιελίξεις ηλεκτρικών μοτέρ.
Εκφράσεις
Λέμε ότι κάποιος "έχει καβαλήσει το καλάμι" όταν πιστεύει για τον εαυτό του ότι είναι πολύ σπουδαίος.
"Απόμεινε σαν την καλαμιά στον κάμπο", σημαίνει έρημος και απροστάτευτος (σελίδα 185-ΗΛΙΟΣ).
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ποοειδή Κατηγορία:Χλωρίδα του Μεξικού Κατηγορία:Βρώσιμα φυτά Κατηγορία:Φυτά εισβολείς Κατηγορία:Φυτά κήπου
Ρέτζιναλντ Λήπερ
Σερ Ρέτζιναλντ «Ρεξ» Γουίλντιγκ Άλλεν Λήπερ GBE KCMG (25 Μαρτίου 1888 – 2 Φεβρουαρίου 1968) ήταν Βρετανός δημόσιος υπάλληλος και διπλωμάτης. Ήταν ο ιδρυτής του Βρετανικού Συμβουλίου.
Ο Λήπερ ήταν ο Βρετανός πρέσβης στην ελληνική κυβέρνηση το 1943-46 (σε εξορία στο Κάιρο μέχρι τον Οκτώβριο του 1944). Έπαιξε κρίσιμο ρόλο στις πολιτικές εξελίξεις στην Ελλάδα το 1944, ειδικά στην υποστήριξη της ελληνικής μοναρχίας στο πρόσωπο του Βασιλιά Γεωργίου Β΄ της Ελλάδας. Μετά την απελευθέρωση, ο Λήπερ συνέχισε να αποτελεί μια από τις κύριες επιρροές κατά τη διάρκεια της θητείας του, η οποία περιελάμβανε τα πρώτα στάδια του Ελληνικού Εμφυλίου Πολέμου.
Παραπομπές
Κατηγορία:Βρετανοί διπλωμάτες Κατηγορία:Ιστορία της Ελλάδας κατά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο
Νικόλαους Χάρνονκουρτ
Ο Νικόλαους Χάρνονκουρτ (Johann Nicolaus Graf de la Fontaine und d’Harnoncourt-Unverzagt, 6 Δεκεμβρίου 1929 - 5 Μαρτίου 2016 ) ήταν Αυστριακός μαέστρος, ιδιαίτερα γνωστός για τις ιστορικά τεκμηριωμένες εκτέλέσεις κλασικής και προκλασικής εποχής. Ξεκινώντας ως τσελίστας, ίδρυσε το δικό του σύνολο οργάνων περίοδο, Concentus Musicus Wien, στη δεκαετία του 1950, και έγινε πρωτοπόρος του κινήματος της πρώιμης μουσικής. Περί το 1970, Χάρνονκουρτ άρχισε να διευθύνει όπερες και κλασικές συμφωνίες, και αργότερα διεθνούς φήμης συμφωνικές ορχήστρες, εμφανιζόμενος σε κορυφαίες αίθουσες συναυλιών, όπερες και φεστιβάλ. Το ρεπερτόριο του διευρύνθηκε έκτοτε για να συμπεριλάβει συνθέτες του 19ου και του 20ού αιώνα. Το 2001 και το 2003, διεύθυνε τη Συναυλία της Πρωτοχρονιάς της Βιέννης. Ο Χάρνονκουρτ είναι επίσης ο συγγραφέας πολλών βιβλίων, κυρίως σε θέματα ιστορίας, απόδοσης, και αισθητικής της μουσικής.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αυστριακοί μουσικοί Κατηγορία:Παραλήπτες του βραβείου Erasmus Κατηγορία:Βραβευμένοι με Γκράμι Κατηγορία:Κόμητες της Αυστρίας
Ιωδοχλωρομεθάνιο
Το χλωριωδομεθάνιο ή μεθυλενοχλωριωδίδιο, αλλά συμβολίζεται επίσης συχνά συντομογραφικά ως Halon-10101, είναι μια άχρωμη υγρή οργανική ένωση της ομόλογης σειράς των διαλογονοαλκανίων. Θεωρητικά προκύπτει από το μεθάνιο, αν αντικατασταθούν δύο (2) άτομα υδρογόνου από ένα άτομο χλωρίου και ένα ιωδίου. Έτσι προκύπτει ο χημικός του τύπος: CH2ClI στη θέση αυτού του μεθανίου (CH4).
Αντιδράσεις υποκατάστασης
1. Υδρόλυση προς χλωρομεθανόλη:
2. Επίδραση με RONa προς χλωρομεθυλενοαλκυλαιθέρα:
3. Επίδραση με RC≡CNa προς 1-χλωροαλκίνιο-2:
4. Με RCOONa προς χλωρομεθυλενοαλκυλεστέρα:
6. Με RNa προς αλκυλοχλωρίδιο:
7. Με NaSH προς χλωρομεθανοθειόλη:
8. Με RSNa προς χλωρομεθυλενοαλκυλοθειαιθέρα:
9. Με NaI προς διιωδομεθάνιο:
10. Με NH3 προς χλωρομεθυλεναμίνη:
11. Με RNH2 προς χλωρομεθυλεναλκυλαμίνη:
12. Με R1NHR2 προς χλωρομεθενοδιαλκυλαμίνη:
13. Με PH3 προς χλωρομεθυλενοφωσφίνη:
14. Με NaNO2 προς χλωρονιτρομεθάνιο:
Αναγωγή
1. Με NaBH4:
2. Με υδρογόνο «εν τω γεννάσθαι», δηλαδή μέταλλο + οξύ:
Πηγές
Κατηγορία:Διαλαλκάνια Κατηγορία:Οργανικές ενώσεις χλωρίου Κατηγορία:Οργανικές ενώσεις ιωδίου Κατηγορία:Αλομεθάνια
Renault ADx
Το Renault ABx είναι μια σειρά μεσαίων φορτηγών εμπρός ελέγχου που παράγονται από τη Renault μεταξύ 1934 και 1937. Η γκάμα κατασκευάστηκε από το ABF και το ABG. Η Renault ανέπτυξε επίσης ένα λεωφορείο / πούλμαν που ονομάζεται ZP χρησιμοποιώντας την ίδια καμπίνα.
Πείσανδρος (μυθολογία)
Στην ελληνική μυθολογία με το όνομα Πείσανδρος είναι γνωστά τα παρακάτω 4 πρόσωπα, όλα από τα ομηρικά έπη:
Πηγές
Κατηγορία:Τρωικός Πόλεμος Κατηγορία:Τρώες Κατηγορία:Οδύσσεια Κατηγορία:Μνηστήρες της Πηνελόπης
Τολούκα
Η Τολούκα ιδρύθηκε το 1522. Κατά την εποχή του εκχριστιανισμού στο Μεξικό, οι κάτοικοί της δέχθηκαν το 1524 τη νέα θρησκεία από φραγκισκανούς ιεραπόστολους, με επικεφαλής τους το μοναχό από το Μπούργος της Ισπανίας Andres de Castro. Ένα μνημείο προς τιμήν του έχει ανεγερθεί στην ομώνυμη πλατεία της πόλης, ανατολικά του καθεδρικού ναού της Τολούκα.
Στην κεντρική πλατεία της πόλης, την Πλατεία των Μαρτύρων (Plaza de los Martires), βρίσκεται η έδρα της πολιτικής και διοικητικής εξουσίας: Το Κυβερνητικό Μέγαρο, τα Δικαστήρια, η Βουλή των Αντιπροσώπων και το Δημοτικό Μέγαρο. Είναι όλα κτίσματα που ξεχωρίζουν για την ιδιαίτερη αρχιτεκτονική τους, κατασκευασμένα από ηφαιστειακή πέτρα, αλλά και τη χρωματική σε κόκκινο και άσπρο πρωτοτυπία.
Ενδιαφέρον παρουσιάζει, κοντά στην κεντρική επίσης πλατεία της πόλης, το Κοσμοβιτράλ (Cosmovitral), που ξεχωρίζει ως κτήριο για τα εξαιρετικής τέχνης πολύχρωμα βιτρώ του, φιλοτεχνημένα από το Μεξικανό ζωγράφο Λεοπόλδο Φλόρες (Leopoldo Flores), καθώς και το βοτανικό κήπο του με τα σπάνια φυτά από όλα τα μέρη του κόσμου. Το Μουσείο Καλών Τεχνών της Τολούκα, που ιδρύθηκε το 1945, στεγάζει αξιόλογα ζωγραφικά έργα και γλυπτά Μεξικανών καλλιτεχνών από το 16ο έως το 19ο αιώνα. Στις "Πορτάλες" (Portales), στοές με διαδοχικές αψίδες που φτιάχτηκαν το 1832, χτυπά η καρδιά της κοινωνικής και εμπορικής ζωής στην Τολούκα.
Η θρησκευτική αρχιτεκτονική της Τολούκα, σε ποικίλες μορφολογικές τεχνοτροπίες, αντιπροσωπεύεται από τον Καθεδρικό Ναό της πόλης (1867), αλλά κυρίως από τις πιο παλιές εκκλησίες: Santa Veracruz, El Carmen, Santa Maria de Guadalupe και La Merced. Η κοινωνική ζωή της πόλης επικεντρώνεται στο Θέατρο Μορέλος (Teatro Morelos), που ιδρύθηκε το 1969 και είναι από τις πιο αξιόλογες θεατρικές σκηνές στο Μεξικό. Μπροστά στο θέατρο έχει ανεγερθεί ο χάλκινος έφιππος ανδριάντας του Μεξικανού επαναστάτη Χοσέ Μαρία Μορέλος (Jose Maria Morelos, 1765 - 1815), που ηγήθηκε του Μεξικανικού Πολέμου της Ανεξαρτησίας.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Πόλεις του Μεξικού
Renault AHx
Το Renault AHx ήταν μια σειρά ελαφρών / μεσαίων φορτηγών με μεταφορική ικανότητα από 2 έως 5 τόνους που κατασκευάστηκε από τη Renault μεταξύ 1941 και 1947. Διάφορες εκδόσεις χρησιμοποιήθηκαν στον Β 'Παγκόσμιο Πόλεμο από τις Γερμανικές δυνάμεις.
Μετά τον πόλεμο, οι εξελίξεις των AHS2 και AHN (AHS3 / AHS4 και AHN2 / AHN3) με 2 και 3,5 τόνους ωφέλιμου φορτίου αντίστοιχα, παρήχθησαν κυρίως για την πολιτική αγορά. Το 1947, αυτά τα φορτηγά αντικαταστάθηκαν από το Renault Galion. Η καμπίνα AHx ήταν επίσης η βάση για φορτηγό ωφέλιμου φορτίου 7 τόνων, το Renault 208 E1.
Το AHS διαθέτει κινητήρα βενζίνης Inline-Four 2,38 λίτρων (με 52 μετρικές ιπποδύναμες (38 kW)) ενώ οι AHN και AHR χρησιμοποιούν μονάδα βενζίνης inline-6 ​​4,05 λίτρων, η τελευταία με ισχύ εξόδου 75 ίππων φρένων (56 kW). Τα τρία μοντέλα είχαν κιβώτιο ταχυτήτων 4 ταχυτήτων. Τόσο η Renault AHS όσο και η AHN έχουν εκδόσεις εξοπλισμένες με αεριοποιητή χρησιμοποιώντας κινητήρες παρόμοιες με τις βενζινοκινητήρες. Η έκδοση AHS (AHSH) έχει ισχύ εξόδου 35 μετρικών ιπποδύναμης (26 kW) στις 2.800 σ.α.λ, ενώ η έκδοση AHN (AHNH) έχει ισχύ εξόδου 52 μετρικών ιπποδύναμης (38 kW) στις 2.800 σ.α.λ.
Η σειρά AHx διαθέτει διάταξη καμπίνας προς τα εμπρός, σχέδιο που εισήγαγε η Renault το 1934 και σταδιακά επεκτάθηκε σε όλη τη σειρά φορτηγών της. Το AHN έχει ύψος 2,6 μέτρα, μήκος 6,4 μέτρα και πλάτος 2,4 μέτρα.
Πρωτάθλημα πετοσφαίρισης ανδρών Volleyleague 2015-2016
Ομάδες
Στη Volleyleague της περιόδου 2015–16 μετείχαν δώδεκα ομάδες. Οι ομάδες που κατέλαβαν τις θέσεις 1−10 στο πρωτάθλημα Volleyleague της περιόδου 2014–15, παρέμειναν στην πρώτη κατηγορία. Οι ομάδες που κατέλαβαν τις θέσεις 11-12 μετά τα πλέι άουτ, υποβιβάστηκαν στην Α2 Κατηγορία. Τέλος, οι ομάδες που κατέλαβαν τις δύο πρώτες θέσεις των αγώνων μπαράζ ανόδου της Α2 κατηγορίας για την περίοδο 2014–15, προβιβάστηκαν στη Volleyleague. Συγκεκριμένα την περίοδο 2014−2015:
Κανονική περίοδος
Στην πρώτη φάση, την κανονική περίοδο, διεξάγονται δύο γύροι, σύνολο 22 αγώνων για κάθε ομάδα. Στη συνέχεια οι ομάδες που καταλαμβάνουν τις θέσεις 1-4 προκρίνονται στα Play off για τις θέσεις 1−4, οι ομάδες των θέσεων 5-9 καταλαμβάνουν τις αντίστοιχες θέσεις στην τελική κατάταξη χωρίς επιπλέον αγώνες και τέλος οι ομάδες των θέσεων 10-12 προκρίνονται, υπο προϋποθέσεις, στα Play out.
Βαθμολογία
Πηγή: volleyleague.gr
Play out
Οι ομάδες που καταλαμβάνουν τις θέσεις 10 έως 12 στην κανονική περίοδο συμμετέχουν, υπο προϋποθέσεις, στα Play out για την αποφυγή του υποβιβασμού.
Προϋποθέσεις διεξαγωγής (ή μη) των πλέι άουτ:
Τρόπος διεξαγωγής:
Εν τέλει η διαδικασία των πλέι άουτ δεν διεξήχθη, καθώς με την ολοκλήρωση της κανονικής περιόδου ο 11ος Άρης είχε διαφορά 7 βαθμών από τον 10ο Ηρακλή. Οι ομάδες του Άρη και του Γ.Σ. Λαμίας υποβιβάστηκαν αυτομάτως στην Α2.