cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Λάνα Ντελ Ρέι
Βιογραφία
Ξεκίνησε να τραγουδάει όταν ήταν μικρή, ως ψάλτης, στην χορωδία της εκκλησίας. Όταν ο θείος της την δίδαξε πώς να παίζει κιθάρα στα 18 της, ομολόγησε: «Συνειδητοποίησα ότι μπορούσα να γράψω πιθανώς ένα εκατομμύριο τραγούδια με αυτές τις έξι χορδές. Πάντα τραγουδούσα, αλλά δεν είχα σχέδιο να το επιδιώξω σοβαρά. Όταν έφτασα στη Νέα Υόρκη, άρχισα να παίζω σε κλαμπ στο Μπρούκλιν, είχα καλούς φίλους και φανατικούς οπαδούς στην underground σκηνή, αλλά παίζαμε μόνο για μας, επειδή μας άρεσε».
2005-10: Αρχές καριέρας, Kill Kill και Lana Del Rey
Στις 25 Απριλίου το 2005, η Elizabeth Woolridge Grant έγραψε ένα CD με την United Stets Copyright Office. Ο τίτλος ο οποίος ζητήθηκε ήταν Rock Me Stable με ένα ακόμα τίτλο Young Like Me να έχει ακόμα ζητηθεί. Οι τίτλοι των κομματιών είναι προς το παρόν άγνωστοι. Μεταξύ 2005-2006, ηχογραφήθηκε το άλμπουμ Sirens με όνομα «May Jailer» και κυκλοφόρησε το Μάιο του 2012. Στη πρώτη της παράσταση το 2006 για το Williamsbur Live, ένα διαγωνισμό προσωπικού τραγουδιού η Del Rey γνώρισε τον Van Wilson ο οποίος ήταν σκάουτερ για την 5 Points Records, μια ανεξάρτητη δισκογραφική εταιρία με διευθυντή τον David Nichtern. Το 2007, η Del Rey υπέγραψε ένα δισκογραφικό συμβόλαιο για 10.000$ με την 5 Points Records όταν φοιτούσε ακόμα στο πανεπιστήμιο του Fordham και τότε πήγε στο Manhattan Mobile Home Park ένα κινούμενο πάρκο στο Βόρειο Μπέργκεν στο New Jersey, και αργότερα ξεκίνησε να δουλεύει με το παραγωγό David Kahne, με τον οποίο κυκλοφόρησε τα τρία πρώτα τραγούδια του Kill Kill τον Οκτώβριο του 2008. Εξήγησε ότι «Ο David μου ζήτησε να δουλέψω μαζί του για μόνο μια μέρα αφού άκουσε το demo μου. Ο κόσμος τον γνωρίζει ως έναν παραγωγό με πολύ ακεραιότητα και ότι φτιάχνει μουσική που δεν είναι απλά ποπ». Το άλμπουμ της, ωστόσο, μπήκε στο αρχείο, και έτσι έχασε την προσοχή της. Έτσι ξεκίνησε να εργάζεται σε κοινωνική εργασία. «Προσέγγιση αστέγων, ναρκωτικά, και απεξάρτηση από το αλκόολ--αυτή είναι η ζωή μου τα τελευταία πέντε χρόνια» είπε στο Vogue UK το 2012.
Το ντεμπούτο ολόκληρου του άλμπουμ της, ονομαζόμενο Lana Del Rey, κυκλοφόρησε τον Ιανουάριο του 2010. Ο πατέρας της, Robert Grant, την βοήθησε με τη διαφήμιση του άλμπουμ, το οποίο ήταν διαθέσιμο για αγορά στο iTunes για μια μικρή περίοδο πριν αποσυρθεί. Ο David Kahne που παρήγαγε την επιχορήγηση και ο ιδιοκτήτης της προηγούμενης δισκογραφικής εταιρίας David Nichtern δήλωσαν και δύο ότι ο Grant ήθελε να πάρει τα δικαιώματα της Del Rey από την δισκογραφική εταιρία 5 Points, επειδή εκείνη ήθελε να μην κυκλοφορεί πια για να «...καταπνίξει τις μελλοντικές ευκαιρίες για να το διανείμει-- μια ηχώ από φήμες ακούστηκε ότι όλο αυτό ήταν μια υπολογισμένη στρατηγική.
Η Del Rey γνώρισε τους παροντικούς μάνατζερ της, Ben Mawson και Ed Millett, τρεις μήνες μετά το Lana Del Rey και την βοήθησαν να βγει από το συμβόλαιο με την 5 Points Records, όπου, κατά τη γνώμη της: «Τίποτα δε συνέβαινε». Σύντομα, μετακόμισε στο Λονδίνο στην Αγγλία και έμεινε με τον Mawson «για μερικά χρόνια». Για την επιλογή του καλλιτεχνικού ονόματος είπε: «Ήθελα ένα όνομα με το οποίο θα ταίριαζα τη μουσική. Πήγαινα στο Μαϊάμι πολύ εκείνο το καιρό, μιλούσα πολλά ισπανικά με τους φίλους μου από την Κούβα. Το Lana Del Rey μας θυμίζει την αίγλη του παραθαλάσσιου, ακούγεται υπέροχο όταν προφέρεται». Είχε ομολογήσει ότι οι δικηγόροι της και οι μάναντζέρ της δημιούργησαν το όνομα Lana Del Rey και την έκαναν να το υιοθετήσει ως καλλιτεχνικό όνομα. Στις 1 Σεπτεμβρίου του 2010, η Del Rey προβλήθηκε από τον Mando Diao στην εκπομπή MTV Unplugged ένα κόνσερτ στα Union Film-Studios στο Βερολίνο.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ποπ μουσικοί Κατηγορία:Ροκ μουσικοί Κατηγορία:Αμερικανίδες τραγουδίστριες  Κατηγορία:Νικητές Ivor Novello Awards Κατηγορία:Αμερικανίδες τραγουδίστριες ποπ
Παραδοσιακά επαγγέλματα στην Ελλάδα
Στα μέσα περίπου του 18ου αιώνα σημειώνονται σημαντικές μεταβολές στη δομή και την οργάνωση του μεταποιητικού τομέα στην ελληνική επικράτεια της οθωμανικής αυτοκρατορίας, με αποτέλεσμα τη διασπορά του σε διάφορες περιοχές του ελλαδικού χώρου. Σε δυσπρόσιτες ηπειρωτικές και νησιωτικές περιοχές παρατηρείται οικοτεχνική-βιοτεχνική οργάνωση με κατανομή της εργασίας κατά φύλο και ηλικία. Παράλληλα, σε περιοχές που το φυσικό περιβάλλον παρέχει πρώτες ύλες, διαθεσιμότητα τρεχούμενου νερού και ξυλείας, οργανώνονται με επιτυχία παραδοσιακά επαγγέλματα. Η οικονομική ανάπτυξη, η εισαγωγή νέας τεχνολογίας και τεχνογνωσίας, η επέκταση του εξαγωγικού εμπορίου, η συσσώρευση κεφαλαίου και η ίδρυση νέων βιοτεχνικών εργαστηρίων και βιομηχανικών μονάδων συνδυάστηκαν με μια παράλληλη αύξηση της εξειδίκευσης της παραγόμενης εργασίας. Έτσι, μεγάλοι αστικοποιημένοι οικισμοί εξειδικεύτηκαν σε συγκεκριμένες βιοτεχνικές δραστηριότητες, τα προϊόντα των οποίων δεν ικανοποιούσαν μόνο τις ανάγκες της τοπικής κοινωνίας, αλλά προορίζονταν και για εξαγωγή.
Ηπειρωτική Ελλάδα
Τα περισσότερα και διασημότερα κέντρα ειδικευμένης τέχνης οργανώθηκαν στην Ήπειρο. Στα τέλη του 18ου και τις αρχές του 19ου αιώνα τα Ιωάννινα συγκέντρωναν όλες τις τέχνες και το εμπόριο της εποχής. Οι Χιονιάδες έγιναν πασίγνωστοι για τους αγιογράφους τους, οι Βούρμπιανοι και οι Πυρσόγιαννοι για τους χτιστάδες, το Μέτσοβο για τους χρυσοκεντητάδες, το Συρράκο και οι Καραρρύτες για τους ασημιτζήδες. Κατά τα τέλη του 17ου αιώνα η Καστοριά εμφανίζεται ως ένα ανθηρότατο ελληνικό αστικό κέντρο με ιδιαίτερη ακμή χάρις στο εμπόριο των γουναρικών της. Στη Θεσσαλονίκη ισχυρό κέντρο μεταλλουργίας ήδη από τον 5ο αιώνα, εξακολουθεί να ακμάζει η μεταλλοτεχνία και τα μαγαζιά των μπακιρτζήδων καταλαμβάνουν ολόκληρους δρόμους. Η Νιγρίτα γίνεται γνωστή για τους αλατζάδες και το Σουφλί για τα μεταξωτά. Στη Θεσσαλία σπουδαία κέντρα βιοτεχνίας και χειροτεχνίας, εκτός από τα Αμπελάκια που επιδίδονταν στη βαφή υφασμάτων, είναι ο Τύρναβος για τα σταμπωτά καθώς και η Λάρισα και η Τσαρίτσανη για τα υφαντά. Στην Πελοπόννησο η Στεμνίτσα γίνεται διάσημη για τους χρυσικούς και η Δημητσάνα για τα μεταλλουργικά της προϊόντα, κυρίως καμπάνες, μανουάλια και άλλα εκκλησιαστικά και οικιακά μεταλλικά σκεύη.
Νησιωτικός χώρος
Όμοια και στο νησιωτικό χώρο, την ίδια περίοδο, αναπτύχθηκαν πολλές βιοτεχνικές δραστηριότητες, ενώ παράλληλα παρατηρήθηκε και μια τάση συστηματικής ενασχόλησης με τα τεχνικά επαγγέλματα. Το μετάξι, το βαμβάκι, ο πηλός, το ξύλο, το μάρμαρο ντόπιες ή εισαγόμενες πρώτες ύλες παράγουν επεξεργασμένα βιοτεχνικά αγαθά, τα οποία στη συνέχεια διοχετεύονταν στις  αγορές. Η εμπορευματοποίηση της βιοτεχνικής παραγωγής των νησιών, ευνοήθηκε από την ανάπτυξη της ναυτιλίας και του εμπορίου. Ωστόσο, το φαινόμενο αυτό δεν διαδόθηκε με τον ίδιο τρόπο σε όλα τα νησιά. Οι τοπικές ιδιαιτερότητες και ιδιομορφίες καθόρισαν τη φυσιογνωμία των περιοχών αυτών, όπως η γεωγραφική τους θέση, οι μεταξύ τους επικοινωνίες, οι σχέσεις τους με τη Δύση και την Ανατολή, η δημογραφική και οικονομική συγκυρία, η άνοδος της ζήτησης και ο εκχρηματισμός της οικονομίας. Ένα παράδειγμα είναι τα κέντρα δαντελοπλεκτικής, λόγω φραγκικής επίδρασης στα Επτάνησα και τις Κυκλάδες.
Εποχιακή αποδημία
Παράλληλα με την ανάπτυξη βιοτεχνικών δραστηριοτήτων εμφανίζεται και το φαινόμενο της εποχιακής αποδημίας, ομαδικού χαρακτήρα, τεχνιτών σε χερσαίους ή νησιωτικούς χώρους. Χαρακτηριστική περίπτωση αποτελούν οι τεχνίτες των μετάλλων, οι οποίοι ανήκαν σε δυο μεγάλες ομάδες: σε εκείνους που διατηρούσαν εργαστήρια στις πόλεις και σε εκείνους που μετακινούνταν ανάμεσα στα χωριά ή πόλεις για αναζήτηση πελατείας. Συνήθως, οι τοπικοί τεχνίτες προσέφεραν τις υπηρεσίες τους σε κοντινές αποστάσεις, ανταποκρινόμενοι στις ανάγκες των τοπικών οικισμών ή των κοντινών νησιών. Ευρύτερη δραστηριότητα αναπτύσσουν οι Στεμνιτσιώτες τεχνίτες, οι Καλαρρυτινοί μαστόροι, οι Τηνιακοί μαραγκοί ή μαρμαροτεχνίτες και οι αγγειοπλάστες της Σίφνου, οι οποίοι ταξίδευαν ακόμη και σε μακρινές αποστάσεις για να ασκήσουν την τέχνη τους. Σε κάποιες περιπτώσεις, οι περιοδικές μετακινήσεις συνοδεύτηκαν από περιστασιακή ή μόνιμη εγκατάσταση σε τόπους που πρόσφεραν σταθερή και συνεχή απασχόληση. Οι δραστηριότητες που δεν απαιτούσαν μόνιμες εγκαταστάσεις και εξοπλισμό ήταν οι εργασίες για την κατασκευή καλαθιών και καπέλων, μεταξωτών νημάτων, υφασμάτων και ενδυμάτων. Ο εξοπλισμός των παραδοσιακών ξυλουργείων, των σιδηρουργείων, των εργαστηρίων αγγειοπλαστικής και των βυρσοδεψείων αποτελούνταν από λίγες μόνιμες εγκαταστάσεις και έναν μεγάλο αριθμό εργαλείων χειρός. Με αυτόν τον τρόπο διαμορφώνεται το τοπίο των προβιομηχανικών τεχνικών δραστηριοτήτων, το οποίο αποτελείτο από συγκέντρωση βιοτεχνικών εγκαταστάσεων, με διαφορετικό αριθμό εργαστηρίων και βαθμό εξειδίκευσης ανάλογα με το επάγγελμα και την περιοχή, διάσπαρτα ή μεμονωμένα εργαστήρια σε μικρές αγορές, ομάδες τεχνιτών με ειδικές εμπειρικές γνώσεις που συχνά περιόδευαν, νοικοκυριά που παρήγαγαν προϊόντα για δική τους κατανάλωση αλλά και για την αγορά.
Παρακμή των παραδοσιακών μορφών οργάνωσης της εργασίας
Με το πέρασμα των χρόνων και ιδιαίτερα μετά τον 19ο αιώνα αναπτύχθηκαν νέες οικονομικές δομές εκτός συνόρων της Οθωμανικής αυτοκρατορίας. αλλά και στις ελληνικές πόλεις παρατηρείται διαφοροποίηση κάτω από μια διαφαινόμενη κεφαλαιοκρατική πίεση. Το γεγονός της διαφοροποίησης είχε ως αποτέλεσμα την άρνηση προσαρμογής των πόλεων στα νέα οικονομικά δεδομένα και τη σταδιακή αποσταθεροποίηση των συντεχνιών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι συντεχνίες των σαράφηδων, πάντα ελληνικά, (εκτός από μερικές πόλεις που υπήρχαν Εβραίοι και αρμένηδες σαράφηδες) ενώ άκμαζαν ως τα μέσα του περασμένου αιώνα σταδιακά εξαλείφθηκαν μέχρι τα τέλη του, όταν ιδρύονταν οι μεγάλες τράπεζες, σύμφωνα με τα δυτικά πρότυπα. Οι σαράφηδες ήλεγχαν όλη τη νομισματική και πιστωτική συναλλαγή της χώρας. Δάνειζαν Τούρκους τσιφλικάδες και μικροκτηματίες, πίστωναν Έλληνες εμπόρους, εμποροβιοτέχνες και συντεχνίες, άλλαζαν νομίσματα, εξέδιδαν εντολές πληρωμής και διενεργούσαν γενικά όλη τη χρηματική κίνηση που μεταγενέστερα περιήλθε στις τράπεζες.
Η κρίση που αντιμετωπίζουν στις μέρες μας τα περισσότερα από τα παραδοσιακά επαγγέλματα, είναι συνάρτηση της εξέλιξης των οικονομικών δομών και των κοινωνικών σχέσεων. Η έλλειψη ενδιαφέροντος, των αναγκών που τα δημιούργησαν, αλλά και η κυκλοφορία τυποποιημένων προϊόντων είναι μερικοί από τους λόγους που οδήγησαν στην εξαφάνιση των παραδοσιακών επαγγελμάτων. Για το λόγο αυτό, τα περισσότερα παραδοσιακά εργαστήρια καλούνται να επαναπροσδιορίσουν το προϊόν και το αγοραστικό τους κοινό, να αξιοποιήσουν και να προβάλλουν τα πλεονεκτήματά τους, να προσαρμοστούν στις προτιμήσεις της αγοράς για το χειροποίητο, το λιγότερο μαζικό και να προσδώσουν στην παραγωγή τους έναν ποιοτικό χαρακτήρα διακριτό από εκείνον των βιομηχανικών προϊόντων.
Στο πλαίσιο αυτό στις περιοχές του νησιώτικου χώρου συναντάμε ακόμη και σήμερα μικρά εργαστήρια και χειροτέχνες που κατασκευάζουν αντικείμενα, τα οποία είναι εμπνευσμένα από την παράδοση, ενώ υπάρχουν και  μικρές βιοτεχνικές μονάδες με σύγχρονο μηχανολογικό εξοπλισμό. Παρόλο που οι δρόμοι και οι τρόποι διάδοσης των νεωτερισμών στην ελληνική κοινωνία φαίνονται ως ένα βαθμό κοινοί, ωστόσο διαφέρουν οι ρυθμοί των τεχνολογικών εξελίξεων και μετασχηματισμών. Οι τεχνικές δυνατότητες στην ελληνική προβιομηχανική κοινωνία βελτιώνονται αργά, οι καινοτομίες και οι πειραματισμοί είναι ελάχιστοι, και αφορούν μόνο κάποιες εξειδικευμένες δραστηριότητες, οι εγκαταστάσεις είναι στοιχειώδεις και ο μηχανολογικός εξοπλισμός σχεδόν ανύπαρκτος. Ορισμένα εργαστήρια συνεχίζουν την οικογενειακή παράδοση, προσαρμόζοντας παράλληλα τις παραδοσιακές κατασκευές στα σύγχρονα πρότυπα, ακολουθώντας τις τάσεις της αγοράς. Πρόκειται για μικρές επιχειρήσεις των οποίων η λειτουργία και η επιβίωση στηρίζεται στην προσωπική συμμετοχή των τεχνιτών στην παραγωγή.
Επίσης, η τουριστική ζήτηση έχει επηρεάσει σε έναν σημαντικό βαθμό τις μικρές βιοτεχνίες και τα εργαστήρια. Η έντονη παρουσία υποκαταστημάτων διαφόρων αθηναϊκών και ευρωπαϊκών επιχειρήσεων στα νησιά, έχει οδηγήσει στην εξάλειψη των εργαστηρίων υφαντικής, κοσμημάτων και άλλων παραδοσιακών χειροτεχνικών δραστηριοτήτων.
Παρόλα αυτά, συναντάμε ακόμη και σήμερα χαρακτηριστικά παραδείγματα «μονοεπαγγελματισμού» όπως αυτά της Τήνου ή της Σίφνου που έχουν καθιερωθεί ως κέντρα μαρμαρογλυπτικής και κεραμικής αντίστοιχα. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα επαγγέλματος ιδιαίτερης τοπικής παράδοσης και εξειδίκευσης αποτελεί η σπογγαλιεία και η επεξεργασία σπόγγων στην Κάλυμνο. Η εξάντληση των σπογγοφόρων περιοχών  αλλά και η παρουσία του τεχνητού σφουγγαριού που είναι πολύ φθηνότερο, οδήγησαν σε μαρασμό την ελληνική σπογγαλιεία. Σήμερα το επάγγελμα έχει εκλείψει, με μοναδική εξαίρεση την Κάλυμνο, όπου υπάρχει ένας μικρός αριθμός καϊκιών σπογγαλιείας χαμηλής παραγωγής με ελάχιστους σπογγαλιείς που ασχολούνται ευκαιριακά με το επάγγελμα.
Τα παραδοσιακά ξυλουργεία καταφέρνουν να επιβιώσουν λόγω των κατασκευών  κυρίως ξύλινων στοιχείων στα σπίτια, όπως  εσωτερικές σκάλες, και ξύλινες οροφές. Σε δυσχερή θέση βρέθηκαν τα ξυλοναυπηγεία των νησιών που οι σύγχρονες εξελίξεις (η επικράτηση των πλαστικών σκαφών, ο έντονος ανταγωνισμός, τα υψηλά ενοίκια για την χρήση των ακτών, η σταδιακή απομάκρυνση ναυπηγείων από κατοικημένες περιοχές) δεν τα άφησαν ανεπηρέαστα. Ωστόσο, στις Σπέτσες, στη Σύρο, στη Σάμο και στην Κάλυμνο υπάρχουν σήμερα κάποια μικρά ναυπηγεία, τα οποία πραγματοποιούν μονάχα συντηρήσεις και επισκευές ξύλινων σκαφών.
Σύνοψη
Όσον αφορά στα προβιομηχανικά επαγγέλματα επισημαίνεται ο μονοεπαγγελματισμό της υπαίθρου. Στις προβιομηχανικές πόλεις λειτούργησε ένα σύστημα παραγωγής και διακίνησης των προϊόντων που αναπτύχθηκε σε ένα πολυεπαγγελματικό επίπεδο. Οι επαγγελματικοί κλάδοι οργανώθηκαν σε συντεχνίες, οι δομές των οποίων διευκόλυναν το τότε φορολογικό σύστημα, αλλά και την ανάπτυξη διαφόρων μορφών αλληλεγγύης. Μπορεί η μεταποίηση και η κατεργασία των πρώτων υλών, να γινόταν από οικοτεχνική και βιοτεχνική δραστηριότητα, μεμονωμένους τεχνίτες, οργανωμένα εργαστήρια ή μετακινούμενη εργατική δύναμη, όμως, βασιζόταν στην εμπειρική γνώση που μεταδιδόταν από γενιά σε γενιά ή μέσω της μαθητείας. Ωστόσο, η άρνηση σε κάθε νεοτερισμό και η εμμονή στην χειροτεχνική δραστηριότητα με παρωχημένα εργαλειακά μέσα, οδήγησε στη σταδιακή κατάργησή τους μετά την επικράτηση κεφαλαιοκρατικών παραγωγικών σχέσεων.
Τα προβιομηχανικά επαγγέλματα που κατάφεραν να επιβιώσουν κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα, ήταν αυτά που κάλυπταν τις στοιχειώδεις ανάγκες νησιωτικών συνήθως κοινωνιών, ενώ διαπιστώνεται ότι τα περισσότερα από αυτά στις μέρες μας σταδιακά συρρικνώθηκαν με τάσεις εξαφάνισης. Σταδιακά, με την αιγίδα ευρωπαϊκών προγραμμάτων, επιχειρείται, ως αντιστάθμισμα στο σύγχρονο τρόπο ζωής, η μελέτη του παραδοσιακού πολιτισμού και η αναβίωση τεχνικών του παρελθόντος, με στόχο τη διάσωση και διαφύλαξη της παραδοσιακής κληρονομιάς κάθε τόπου.
Βιβλιογραφία
Κατηγορία:Προβιομηχανικές μορφές κοινωνικής οργάνωσης
Ορθογώνιος πίνακας
Στη γραμμική άλγεβρα, ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα (π.χ., ορθοκανονικά διανύσματα).
Ισοδύναμα, ένας πίνακας Q είναι ορθογώνιος εάν ο ανάστροφος του ισούται με τον αντίστροφο του: το οποίο συνεπάγεται όπου I ο μοναδιαίος πίνακας (ή ταυτοτικός).
Ένας ορθογώνιος πίνακας Q είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμος (με αντίστροφο Q−1 = QT), ορθομοναδιαίος (Q−1 = Q*), και κανονικός (Q*Q = QQ*). Η ορίζουσα κάθε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 ή −1. Ως ένας γραμμικός μετασχηματισμός, ένας ορθογώνιος πίνακας διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, συνεπώς δρα ως μια ισομετρία του Ευκλείδειου χώρου, όπως η περιστροφή ή η ανάκλαση. Με άλλα λόγια είναι ένας ορθομοναδιαίος μετασχηματισμός.
Το σύνολο των n × n ορθογώνιων πινάκων σχηματίζει μία ομάδα O(n), γνωστή ως ορθογώνια ομάδα. Η υποομάδα SO(n) που αποτελείται από ορθογώνιους πίνακες με ορίζουσα +1 καλείται ειδική ορθογώνια ομάδα, και κάθε στοιχείο της είναι ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας. Ως γραμμικός μετασχηματισμός, κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας δρα σαν μια περιστροφή.
Γενικά
Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ειδική κατηγορία ενός ορθομοναδιαίου πίνακα και έτσι είναι πάντα ένας κανονικός πίνακας. Παρόλο που μελετάμε μόνο πίνακες με πραγματικά στοιχεία, ο ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πίνακες με στοιχεία από άλλα σώματα. Ωστόσο, οι ορθογώνιοι πίνακες προκύπτουν φυσικά από το εσωτερικό γινόμενο, και για τους πίνακες με μιγαδικούς αριθμούς οδηγούμαστε αντίθετα στην ορθομοναδιαία απαίτηση. Οι ορθογώνιοι πίνακες διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο, οπότε, για τα διανύσματα u, v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο ισχύει όπου Q  είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Για να δούμε τη σχέση με το εσωτερικό γινόμενο, ας θεωρήσουμε το διάνυσμα v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο. Σε σχέση με μία ορθοκανονική βάση, το τετράγωνο του μήκους του v είναι vTv. Εάν ένας γραμμικός μετασχηματισμός, σε μορφή πίνακα Qv, διατηρεί το μήκος του διαστήματος, τότε
Έτσι πεπερασμένης διάστασης γραμμικές ισομετρίες—περιστροφές, ανακλάσεις, και οι συνδυασμοί αυτών— παράγουν ορθογώνιους πίνακες. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές: ορθογώνιοι πίνακες συνεπάγονται ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ωστόσο η γραμμική άλγεβρα περιλαμβάνει ορθογώνιους μετασχηματισμούς μεταξύ χώρων οι οποίοι μπορεί να μην είναι ούτε πεπερασμένης διάστασης ούτε της ίδιας διάστασης, αυτοί δεν έχουν ισοδύναμο ορθογώνιο πίνακα.
Οι ορθογώνιοι πίνακες είναι σημαντικοί για αρκετούς λόγους, τόσο θεωρητικούς όσο και πρακτικούς. Οι n×n ορθογώνιοι πίνακες σχηματίζουν μία ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων, την ορθογώνια ομάδα που συμβολίζεται ως O(n), η οποία—μαζί με τις υποομάδες της— χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες.
Παραδείγματα
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ορθογώνιων πινάκων μικρής διάστασης και η πιθανή ερμηνεία τους.
Ένα παράδειγμα 2×2 πίνακα περιστροφής:
Πίνακες με μικρή διάσταση
Οι απλούστεροι ορθογώνιοι πίνακες είναι οι 1×1 πίνακες [1] και [−1] τους οποίους μπορούμε να ερμηνεύσουμε ως ταυτότητα και ανάκλαση της γραμμής των πραγματικών αριθμών από την αρχή της.
Οι 2×2 πίνακες έχουν τη μορφή:
και επειδή ειναι ορθογώνιοι ικανοποιούν τις τρεις εξισώσεις
Εξετάζοντας την πρώτη εξίσωση, χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι p = cos θ, q = sin θ τότε είτε t = −q, u = p ή t = q, u = −p. Μπορούμε να ερμηνεύσουμε την πρώτη περίπτωση ως περιστροφή κατά γωνία θ (οπου θ = 0 είναι η ταυτότητα), και τη δεύτερη σαν μία ανάκλαση ως προς μία γραμμή με γωνία θ/2.
Η ταυτότητα είναι επίσης μεταθετικός πίνακας.
Μία ανάκλαση ειναι ίση με τον αντιστοφό της, αυτό συνεπάγεται ότι ενας πίνακας ανάκλασης είναι συμμετρικός (ισούται με τον αναστροφό του) καθώς και ορθογώνιος. Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής είναι πίνακας περιστροφής, και το γινόμενο δύο πινάκων αναστροφής είναι πίνακας αναστροφής.
Πίνακες με μεγάλη διάσταση
Ασχέτως διάστασης, πάντα είναι δυνατό να κατατάξεις τους ορθογώνιους πίνακες ως καθαρώς περιστροφικούς ή όχι, αλλά για 3×3 πίνακες και μεγαλύτερους οι μη-περιστροφικοί πίνακες μπορεί να είναι πιο περίπλοκοι από τους πίνακες ανάκλασης. Για παράδειγμα,
παριστάνουν μία αναστροφή ως προς την αρχή των αξόνων και ένα στροφοκατοπτρισμό γύρω από τον άξονα z.
Επισης,οι περιστροφές γίνονται πιο περίπλοκες· δε μπορούν πλέον να χαρακτηριστούν πλήρως από μία γωνία, και μπορούν να επηρεάσουν περισσότερους από έναν επίπεδους υποχώρους. Ενώ είναι σύνηθες να περιγράφουμε ένα 3×3 πίνακα περιστροφής με βάση έναν άξονα και μία γωνία, η ύπαρξη του άξονα είναι μια τυχαία ιδιότητα αυτής της διάστασης και δεν ισχύει γενικά.
Πρωταρχικοί πίνακες
Η πιο στοιχειώδης μετάθεση είναι η μεταφορά, προκύπτει από τον μοναδιαίο πίνακα με την ανταλλαγή δύο γραμμών. Καθε n×n μεταθετικός πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n − 1 μεταφορών.
Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ κατασκευάζεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα v ως
Μια περιστροφή Γκίβενς δρα σε ένα δισδιάστατο (επίπεδο) υποχώρο που παράγεται από δύο άξονες συντεταγμένων, περιστεφόμενο κατά επιλεγμένης γωνίας. Συνήθως χρησιμοποιείται για το μηδενισμό ενός υποδιαγώνιου στοιχείου. Κάθε πίνακας πειστροφής μεγέθους n×n μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n(n − 1)/2 τέτοιων περιστροφών. Στην περίπτωση των 3×3 πινάκων, τρεις τέτοιες περιστροφές επαρκούν· και με τον καθορισμό της ακολουθίας μπορούμε να περιγράψουμε συνεπώς όλους τους 3×3 πίνακες περιστροφής (αν και όχι μοναδικά) ως προς τις τρεις γωνίες που χρησιμοποιήθηκαν, συχνά γνωστές ως γωνίες Όιλερ.
Μια περιστροφή Τζάκομπι έχει την ίδια μορφή με μια περιστροφή Γκίβενς, μόνο που χρησιμοποιείται για να μηδενιστουν και τα δύο μη-διαγώνια στοιχεία ενός 2×2 συμμετρικού υποπίνακα.
Ιδιότητες πινάκων
Ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία είναι ορθογώνιος αν και μόνο αν οι στήλες του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του Ευκλείδειου χώρου Rn με το σύνηθες Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο, το οποίο ισχύει αν και μόνο αν οι γραμμές του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση στον Rn. Μπορεί να είναι δελεαστικό να υποθέσουμε ότι ένας πίνακας με ορθογώνιες (όχι ορθοκανονικές) στήλες θα ονομάζεται ορθογώνιος πίνακας, αλλά τέτοιοι πίνακες δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον και καμία ειδική ονομασία· ικανοποιούν μόνο MTM = D, όπου D ένας διαγώνιος πίνακας.
Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι +1 ή −1. Αυτό προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των οριζουσών, ως εξής:
Το αντίστροφο δεν ισχύει· το να είναι μία ορίζουσα ίση με +1 δεν αποτελεί εγγύηση ορθογωνιότητα, ακόμη και με ορθογώνιες στήλες, όπως φαίνεται από το ακόλουθο αντιπαράδειγμα.
Στους μεταθετικούς πίνακες η ορίζουσα αντιστοιχεί στο πρόσημο της μετάθεσης, που είναι +1 ή -1.
Ισχυρότερο από τον κανόνα της ορίζουσας είναι το γεγονός ότι ένας ορθογώνιος πίνακας μπορεί να διαγωνιοποιείται πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς παρουσιάζοντας ένα πλήρες σύνολο ιδιοτιμών, οι οποίες πρέπει να έχουν (οι μιγαδικοί) απόλυτη τιμή 1.
Ιδιότητες Ομάδων
Ο αντίστροφος κάθε ορθογωνίου πίνακα είναι ορθογώνιος, όπως και το γινόμενο δύο ορθογώνιων πινάκων. Μάλιστα, το σύνολο όλων των n×n ορθογώνιων πινάκων ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της ομάδας. Είναι μια συμπαγής ομάδα Lie διάστασης n(n − 1)/2, που ονομάζεται ορθογώνια ομάδα και συμβολίζεται με O(n).
Οι ορθογώνιοι πίνακες των οποίων η ορίζουσα είναι +1 σχηματίζουν μία κατά τόξο συνεκτική κανονική υποομάδα του O(n) με δείκτη 2, την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n) των περιστροφών. Η ομάδα πηλίκο O(n)/SO(n) είναι ισόμορφη με την O(1), με την προβολή της να παίρνει τιμές [+1] ή [−1] ανάλογα με την ορίζουσα. Ορθογώνιοι πίνακες με ορίζουσα -1 δεν περιλαμβάνουν την ταυτότητα, και έτσι δεν σχηματίζουν υποομάδα, αλλά μόνο ένα σύμπλοκο· είναι επίσης (χωριστά) συνεκτικό. Έτσι, κάθε ορθογώνια ομάδα χωρίζεται σε δύο κομμάτια· και επειδή η προβολή διασπάται η O(n) είναι το ημιευθύ γινόμενο της SO(n) επί O(1). Σε πρακτικούς όρους, μια παρόμοια κατάσταση είναι ότι κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας ένα πίνακα περιστροφής και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητική μία από τις στήλες του, όπως είδαμε με τους 2×2 πίνακες. Εάν n είναι περιττός, τότε το ημιευθύ γινόμενο είναι στην πραγματικότητα ένα ευθύ γινόμενο, και κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας έναν ανάστροφο πίνακα και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητικές όλες τις στήλες του. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα των οριζουσών ότι δηλαδή κάνοντας αρνητική μια στήλη κάνει αρνητική την ορίζουσα, και έτσι κάνοντας περιττό πλήθος στηλών (αλλά όχι άρτιο) αρνητικές κάνει την ορίζουσα αρνητική.
Θεωρήστε τώρα (n+1)×(n+1) ορθογώνιους πίνακες με το κάτω δεξιά στοιχειο τους ίσο με 1. Το υπόλοιπο της τελευταιας στήλης (και τελευταίας γραμμής) πρέπει να έχει μηδενικά, και το γινόμενο δυο τέτοιων πινάκων έχει την ίδια μορφή. Το υπόλοιπο του πίνακα είναι ένας n×n ορθογώνιος πίνακας· έτσι η O(n) είναι υποομάδα της O(n + 1) (και ολων των μεγαλήτερων ομάδων).
Αφού μια στοιχειώδης ανάκλαση υπό τη μορφή ενός πίνακα Χαουζχόλντερ μπορεί να μετατρέψει κάθε ορθογώνιο πίνακα σε αυτή την περιορισμένη μορφή, μια σειρά από τέτοιες ανακλάσεις μπορεί να φέρει οποιαδήποτε ορθογώνιο πίνακα στον ταυτοτικό· έτσι μια ορθογώνια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων. Η τελευταία στήλη μπορεί να μετατραπεί σε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσμα, και κάθε επιλογή δίνει ένα διαφορετικό αντίγραφο της O(n) στη O(n+1)· με τον τρόπο αυτό η O(n+1) είναι μια δέσμη πάνω από την σφαίρα Sn με ίνα O(n).
Παρομοίως, η SO(n) είναι μια υποομάδα της SO(n+1)· και κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί από περιστροφές επιπέδου Γκίβενς χρησιμοποιώντας μία ανάλογη διαδικασία. Η δομή της δέσμης εξακολουθεί να υφίσταται: SO(n) ↪ SO(n+1) → Sn. Μία μόνο περιστροφή μπορεί να παράγει ένα μηδενικό στοιχείο στην πρώτη γραμμή της τελευταίας στήλης, και η σειρά των n−1 περιστροφών θα μηδενίσει όλα τα στοχεία εκτός από την τελευταία σειρά της τελευταίας στήλης του n×n πίνακα περιστροφής. Δεδομένου ότι τα επίπεδα είναι καθορισμένα, κάθε περιστροφή έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, τη γωνία της. Με επαγωγή, η SO(n) έχει επομένως
βαθμούς ελευθερίας, και τους ίδιους έχει η O(n).
Οι μεταθετικοί πίνακες είναι ακόμα πιο απλοί· δεν σχηματίζουν μια ομάδα Lie, αλλά μόνο μια πεπερασμένη ομάδα με τάξη n!, τη συμμετρική ομάδα Sn. Με το ίδιο επιχείρημα, η Sn είναι μια υποομάδα της Sn+1. Οι άρτιες μεταθέσεις παράγουν την υποομάδα των μεταθετικών πινάκων με ορίζουσα +1 με τάξη n!/2, την εναλλασσόμενη ομάδα.
Κανονική Μορφή
Γενικότερα, η επίδραση οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα διαχωρίζεται σε ανεξάρτητες δράσεις σε ορθογώνιους διδιάστατους υποχώρους. Δηλαδή, αν Q είναι ειδικός ορθογώνιος ότε μπορεί κανείς να βρει πάντα ένα ορθογώνιο πίνακα P, μια (περιστροφική) αλλαγή βάσης που φέρνει τον Q σε μπλοκ διαγώνια μορφή:
όπου οι πίνακες R1,...,Rk είναι 2×2 πίνακες περιστροφής, και με τα υπόλοιπα στοιχεία μηδέν. Κατ 'εξαίρεση ένα μπλοκ περιστροφής μπορεί να είναι διαγώνιο, ±I. Έτσι, κάνοντας μία στήλη αρνητική, εάν είναι αναγκαίο, και γνωρίζοντας ότι μία ανάκλαση διαγωνοποιέιται σε +1 και -1, κάθε πίνακας μπορεί να προσαχθεί στη μορφή
Οι πίνακες R1,...,Rk δίνουν διατεταγμένα ζεύγη ιδιοτιμών που βρίσκονται επί του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο· έτσι αυτή η ανάλυση επιβεβαιώνει ότι όλες οι ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή 1. Εάν n είναι περιττός, υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ιδιοτιμή, 1 ή -1· για μια 3×3 περιστροφή, το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στο +1 είναι ο άξονας περιστροφής.
Lie άλγεβρα
Ας υποθέσουμε ότι οι είσοδοι του 'Q είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις του t, και ότι για t = 0 δίνει Q = I''. Παραγωγίζοντας την συνθήκη διαγωνιοποίησης
παίρνουμε
Για t = 0 (Q = I), συνεπάγεται
Στην ορολογία των Lie ομάδων, αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα Lie μιας ομάδας ορθογωνίων πινάκων (μητρώων) αποτελείται από αντισυμμετρικούς πίνακες. Πηγαίνοντας προς την αντίθετη κατεύθυνση, ο εκθετικός πίνακας κάθε αντισυμμετρικού πίνακα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας (στην πραγματικότητα, ειδικά ορθογώνιος).
Για παράδειγμα, το τρισδιάστατο αντικείμενο της φυσικής που λέγεται γωνιακή ταχύτητα είναι μια διαφορική περιστροφή, έτσι ένα διάνυσμα στην άλγεβρα Lie  να εφάπτεται στο  SO(3). Με δεδομένο ότι ω = (xθ,yθ,zθ), με  v = (x,y,z) ένα μοναδιαίο διάνυσμα, η σωστή μορφή του αντισυμμετρικού πίνακα ω είναι
Η εκθετική μορφή αυτού είναι ο ορθογώνιος πίνακας για περιστροφή γύρω από τον άξονα v με γωνία θ· Θέτοντας c = cos θ/2, s = sin θ/2,
Οφέλη
Η αριθμητική ανάλυση εκμεταλλεύεται πολλές από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πινάκων για την (αριθμητική) γραμμική άλγεβρα, και προκύπτουν φυσικά. Για παράδειγμα, είναι συχνά επιθυμητό να υπολογίσει μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο, ή μια ορθογώνια αλλαγή βάσης. Αμφότερα λαμβάνουν τη μορφή ορθογώνιου πίνακα. Έχουν χαρακτηριστικό πολυώνυμο ίσο με ± 1 και όλες οι ιδιοτιμές τους είναι τάξης 1, κάτι που βοηθά την αριθμητική σταθερότητα. Μία συνέπεια είναι ότι ο αριθμός κατάστασης είναι 1 (η οποία είναι το ελάχιστο), έτσι ώστε τα σφάλματα δεν αυξάνονται όταν πολλαπλασιάζονται με ένα ορθογώνιο πίνακα. Πολλοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ορθογώνιους πίνακες, όπως αντανακλάσεις Householder και περιστροφές Givens για το λόγο αυτό. Είναι επίσης χρήσιμο το γεγονός ότι, όχι μόνο είναι ένας ορθογώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αλλά παίρνουμε εύκολα τον αντίστροφό του με ανταλλαγή δεικτών.
Οι μεταθέσεις είναι ουσιαστικής σημασίας για την επιτυχία πολλών αλγορίθμων, συμπεριλαμβανομένης της απαλοιφής Gauss με μερική οδήγηση (όπου οι μεταθέσεις κάνουν την οδήγηση). Ωστόσο, σπάνια εμφανίζονται ρητά ως πίνακες. Η ειδική μορφή τους επιτρέπει την αποτελεσματικότερη παρουσίαση, όπως μια λίστα από n δείκτες.
Αποσυνθέσεις
Ένας σημαντικός αριθμός αποσυνθέσεων πινάκων (Golub & Van Loan 1996) αφορούν ορθογώνιοι πίνακες, συμπεριλαμβανομένων ιδίως:
QR αποσύνθεση: M = QR, Q ορθογώνια, R άνω τριγωνικός. Singular αποσύνθεσης αξίας: 'M = UΣVT, U και V ορθογώνια, Σ'' μη αρνητική διαγώνιο. Eigendecomposition ενός συμμετρικού μήτρας(αποσύνθεση σύμφωνα με φασματικό θεώρημα): S = QΛQT, S συμμετρική, Q ορθογώνια, Λ διαγώνια. Polar αποσύνθεση: M = QS, Q ορθογώνια, S συμμετρική μη αρνητική οριστική.
Παραδείγματα
Σκεφτείτε ένα υπερορισμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπως μπορεί να συμβεί με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός φυσικού φαινομένου για να αντισταθμίσει πειραματικά σφάλματα. Έστω Ax = b, όπου A είναι m×n, m > n. Μια QR αποσύνθεση μειώνει τον A στον άνω τριγωνικό R. Για παράδειγμα, εάν το A είναι 5×3 τότε το R έχει την μορφή
Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων έγκειται στην εύρεση του x που ελαχιστοποιεί το ‖Ax − b‖, η οποία ισοδυναμεί με το προβάλλον διάνυσμα b του υποχώρου που επεκτείνεται από τις στήλες του A. Υποθέτοντας ότι οι στήλες του A (και ως εκ τούτου και του R) είναι ανεξάρτητες, η λύση βρίσκεται από την σχέση ATAx = ATb. Τώρα ο ATA είναι τετραγωνικός (n×n), και αντιστρέψιμος, και επίσης ίσος με RTR. Αλλά οι κατώτερες σειρές των μηδενικών R είναι περιττές στο γινόμενο, το οποίο ήδη είναι σε παρογοντοποιημένη κάτω τριγωνική ή άνω τριγωνική μορφή, όπως στην απαλοιφή Gauss (αποσύνθεση Cholesky). Εδώ η ορθογωνιότητα είναι σημαντική όχι μόνο για να μειωθεί η ATA = (RTQT)QR στην RTR, αλλά επίσης, για την λύση χωρίς μεγάλα αριθμητικά προβλήματα.
Στην περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος το οποίο υποτιμάται, ή αλλιώς ένας μη αντιστρέψιμου πίνακα, η ιδιάζουσα αποσύνθεση (SVD) είναι εξίσου χρήσιμη. Με τον Α στη μορφή UΣVT, μια ικανοποιητική λύση χρησιμοποιεί την ψευδοαντιστροφή Moore-Penrose,  VΣ+UT, όπου Σ+ απλώς αντικαθιστά κάθε μη μηδενική διαγώνια καταχώρηση με το αντίστοιχό της. Έστω x η είσοδος για VΣ+UTb.
Η περίπτωση ενός τετραγωνικού αντιστρέψιμου πίνακα έχει επίσης ενδιαφέρον. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι το Α είναι ένας 3×3 πίνακας περιστροφής ο οποίος έχει υπολογισθεί ως η σύνθεση των πολυάριθμων περιστροφών. Το σημείο περιστροφής δεν ταιριάζει με τη μαθηματική ιδέα των πραγματικών αριθμών, έτσι ώστε ο Α έχει χάσει σταδιακά την πραγματική ορθογωνιότητα του. Μια Gram-Schmidt διαδικασία θα μπορούσε να ορθογωνιοποιήσει τις στήλες, αλλά δεν είναι η πλέον αξιόπιστη, ούτε η πιο αποτελεσματική, ούτε η πιο αμετάβλητη μέθοδος. Η πολική αποσύνθεση παραγοντοποιεί έναν πίνακα σε ένα ζεύγος πινάκων, ο ένας εκ των οποίων είναι ο μοναδικός πιο κοντινός ορθογώνιος πίνακας στο δοσμένο πίνακα, ή ένας από τους πιο κοντινούς, αν ο δοσμένος πίνακας είναι ο χαρακτηριστικός πίνακας. (Παραπλήσια μπορεί να μετρηθεί με οποιαδήποτε νόρμα πίνακα αμετάβλητη σε μία ορθογώνια αλλαγή βάσης, όπως είναι η φασματική νόρμα ή η νόρμα Frobenius.) Για έναν σχεδόν ορθογώνιο πίνακα, η ταχεία σύγκλιση στον ορθογώνιο παράγοντα μπορεί να επιτευχθεί με μια προσεγγιστική "μέθοδο του Νεύτωνα", χάρη στον Higham (1986),(1990), επαναλαμβάνοντας κατά μέσο όρο τον πίνακα με την αντίστροφη μεταφορά του. Ο Dubrulle (1994) έχει δημοσιεύσει μια ταχεία μέθοδο με ένα βολικό τεστ σύγκλισης.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα μη ορθογώνιο πίνακα για τον οποίο ο απλός αλγόριθμος μέσου όρου διαρκεί επτά βήματα
και του οποίου η επιτάχυνση γίνεται σε δύο στάδια (με γ = 0.353553, 0.565685).
Η Gram-Schmidt δίνει μια κατώτερη λύση, που φαίνεται από μια Frobenius απόσταση 8,28659 αντί του ελάχιστου 8,12404.
Ο Κοντινότερος ορθογώνιος πίνακας
Το πρόβλημα της εύρεσης του κοντινότερου ορθογώνιου πίνακα Q σε δοσμένο πίνακα M σχετίζεται με το πρόβλημα του Ορθογώνιου Προκρούστη. Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι για να πάρουμε τη μοναδική λύση, η απλούστερη από τις οποίες παίρνει την ιδιάζουσα αποσύνθεση της M και αντικαθιστώντας τις ιδιάζουσες τιμές με μονάδες. Μία άλλη μέθοδος εκφράζει την R  ρητά, αλλά απαιτεί τη χρήση της τετραγωνικής ρίζας πίνακα:
Αυτό μπορεί να συνδυαστεί με την Βαβυλωνιακή μέθοδο για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός πίνακα για να δώσει μια επαναληπτική σχέση που συγκλίνει σε έναν ορθογώνιο πίνακα τετραγωνικά:
όπου Q_0 = M. Αυτές οι επαναλήψεις είναι σταθερές εφόσον ο αριθμός κατάσταση του M είναι μικρότερος του 3.
Spin και το PIN
Ένα λεπτό τεχνικό πρόβλημα επηρεάζει ορισμένες χρήσεις των ορθογώνιων πινάκων. Δεν είναι μόνο τα στοιχεία ομάδας με χαρακτηριστική 1 και -1  που δεν είναι συνδεδεμένα το ένα με το άλλο, ακόμη και το στοιχείο με χαρακτηριστική  +1, SO(n), που δεν είναι απλά συνδεδεμένο (με εξαίρεση για το SO(1), η οποία είναι τετριμμένη). Έτσι, μερικές φορές είναι βολικό, ή ακόμα και απαραίτητο, να εργαστεί κανείς με μια επικαλυπτόμενη ομάδα για το SO(n), την ομάδα spin, Spin(n). Ομοίως, ο O(n) έχει επικαλυπτόμενες ομάδες, τις pin ομάδες, Pin(n). Για n > 2, η Spin(n) είναι απλά συνδεδεμένη και, συνεπώς, η γενική ομάδα που επικαλύπτει για SO(n). Μέχρι στιγμής, το πιο διάσημο παράδειγμα μιας spin ομάδας είναι Spin(3), η οποία δεν είναι τίποτα άλλο παρά η SU(2), ή η ομάδα των quaternions μονάδας.
Το Pin και ομάδες Spin βρίσκονται μέσα στην άλγεβρα Clifford, που οι ίδιες μπορούν να κατασκευαστούν από ορθογώνιους πίνακες.
Ορθογώνιοι Πίνακες
Αν Q δεν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε οι σχέσεις QTQ = I και QQT = I δεν είναι ισοδύναμες. Η σχέση QTQ = I  λέει ότι οι στήλες του Q είναι ορθοκανονικές. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το Q είναι ένας m×n πίνακας με n ≤ m. Ομοίως, η σχέση QQT = I  λέει ότι οι γραμμές του Q είναι ορθοκανονικές, η οποία απαιτεί n ≥ m.
Δεν υπάρχει τυπική ορολογία για αυτούς τους πίνακες. Μερικές φορές ονομάζεται ΄΄ορθοκανονικοί πίνακες΄΄ και ενίοτε «ορθογώνιοι πίνακες", και μερικές φορές απλά "πίνακες με ορθοκανονικές σειρές ή στήλες".
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κοσμέ Τούρα
Ο Κοσμέ Τούρα (Cosmê Tura, περ. 1430 – 1495), επίσης γνωστός ως Il Cosmè ή Cosimo Tura ) ήταν Ιταλός ζωγράφος της πρώιμης Αναγέννησης (ή Quattrocento ) και θεωρήθηκε ένας από τους ιδρυτές της Σχολής της Φερράρα.
Πρώτα χρόνια
Η προέλευση του ζωγράφου είναι ταπεινή: γεννήθηκε στη Φερράρα, γιος ενός τσαγκάρη που ονομαζόταν Ντομένικο. Δεν υπάρχει καμία πληροφορία σχετικά με τη μαθητεία του, την οποία ο Βαζάρι συνδέει με τον μυστηριώδη καλλιτέχνη Γκαλάσσο Φερραρεζε (Galasso Ferrarese), μια σχεδόν μυθική μορφή, που συνδεότανι με φιλία με τον Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα.
Τα πρώτα έγγραφα που τον αφορούν χρονολογούνται στη διετή περίοδο 1451-1452, όταν διακόσμησε ορισμένα αντικείμενα για την Αυλή των Έστε, όπως μερικές σημαίες με εθνόσημο των Έστε και το κράνος που δόθηκε ως έπαθλο στον νικητή ενός ιππικού αγώνα. Αυτά τα έργα αποτελούσαν την καθημερινότητα στα καλλιτεχνικά εργαστήρια και αντιπροσώπευαν για τους καλλιτέχνες μια από τις σημαντικότερες πηγές διαβίωσης. Ίσως ήταν σε θέση να εργαστεί μεταξύ των εκονογράφων της Αυλής.
Από τα μέσα του 1452 έως τον Απρίλιο του 1456 δεν υπάρχουν άλλα έγγραφα στη Φερράρα σχετικά με την παρουσία ττου Τούρα, οπότε έχει υποτεθεί ότι μπορεί να πραγματοποίησε ταξίδι, ίσως διαμένοντας στη Βενετία και, ιδιαίτερα, στην Πάδοβα, όπως φαίνεται να υποδεικνύουν πολλές ενδείξεις ύφους στα έργα του. Ίσως ο ίδιος ο Έστε ήταν ο χορηγός του ταξιδιού μαθητείας του, πιθανώς ενδιαφερόταν για τις πρώιμες καλλιτεχνικές του δεξιότητες. Το εργαστήριο του Φραντσέσκο Σκουαρτσόνε (Francesco Squarcione) ήταν ενεργό εκεί, το πιο σημαντικό στη σφυρηλάτηση ταλέντων στη βόρεια Ιταλία από το οποίο βγήκαν πολλοί δάσκαλοι που διέδωσαν το αναγεννησιακό ύφος, όπως ο Κάρλο Κριβέλλι, ο Μίχαελ Πάχερ και, ιδιαίτερα, ο Αντρέα Μαντένια.
Ένας άλλος θεμελιώδης δάσκαλος για αυτόν ήταν ο Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα, τον οποίο ίσως συνάντησε προσωπικά στη Φερράρα το 1458-1459, από τον οποίο δανείστηκε την αίσθηση για τη γεωμετρική χωρική κατασκευή, το μνημειακό πνεύμα και τη χρήση καθαρού φωτός, το οποίο χρησιμοποίησε πάνω απ ' όλα στο παρασκήνιο. Η τρίτη θεμελιώδης συνεισφορά ήταν το έργο των Φλαμανδών, ορατό και στη Φερράρα, στις συλλογές του μαρκήσιου, από τους οποίους απέκτησε την αίσθηση για ελάχιστη παρατήρηση λεπτομερειών και για την απόδοση, μέσω της χρήσης ελαιογραφίας, των διαφορετικών υφών των υλικών, από τη λάμψη των πολύτιμων λίθων έως τις απαλές ανακλάσεις των βελούδου.
Υπό τον Μπόρσο των Έστε
δεξιά|μικρογραφία|476x476εσ| Madonna Roverella (1470-1474), [[Εθνική Πινακοθήκη Λονδίνου|Εθνική Πινακοθήκη, Λονδίνο]] Το 1456 ο Τούρα επιστρέφει στη Φερράρα, όπου γίνεται ζωγράφος με την πλήρη έννοια, εμφανίζεται μεταξύ ττων μισθοδοτουμένων από την Αυλή, ακόμη και με κατοικία στο κάστρο, το οποίο μαρτυρά τη θέση του ως αυλικού ζωγράφου, αντικαθιστώντας τον Άντζελο Μακκανίνο (Angelo Maccagnino) που είχε πεθάνει στις 5 Αυγούστου εκείνο το έτος. Στη Φερράρα εργάστηκε για τον Μπόρσο των Έστε και τον Έρκολε Α΄ των Έστε, χωρίς να αποχωρήσει ποτέ. Προικισμένος με μεγάλη προσωπικότητα και πολυμορφικές δεξιότητες, ήταν παρών σε όλες τις καλλιτεχνικές εκδηλώσεις της Αυλής των Έστε και οι διάφοροι δούκες που διαδέχθηκαν ο ένας τον άλλον, στα πενήντα χρόνια της καλλιτεχνικής του ζωής, τον χρησιμοποίησαν στα πιο διαφορετικά έργα, όπως γινόταν με τους αυλικούς καλλιτέχνες της εποχής, που δεν γνώριζαν μια άκαμπτη εξειδίκευση: ήταν, εξειδικευμένος ζωγράφος, σκηνογράφος σε συγκεντρώσεις και αγώνες, διακοσμητής επίπλων, ρούχων, κουβερτών, κεραμικών και σχεδιαστής καρτούν (χαρτόνια με σχέδια) για ταπισερί.
Μεταξύ των πρώτων έργων του, τεκμηριώνεται ένα τοξωτό παράθυρο για τη θύρα του καθεδρικού ναού. Έργα όπως η Παναγία και το Βρέφος με Αγίους από το Μουσείο Fesch στο Αιάκειο και η Παναγία Βρεφοκρατούσα από την Εθνική Πινακοθήκη Ουάσιγκτον, συνήθως αποδίδονται σε αυτήν την περίοδο.
Το 1458 τεκμηριώνεται στις εργασίες στο εργαστήριο Belfiore, όπου ο καλλιτέχνης συνεχίζει το έργο του Μακκανίνο, πιθανότατα επίσης ζωγραφίζει μερικά από τα έργα που ξεκίνησε ( Τερψιχόρη στο Μουσείο Poldi Pezzoli στο Μιλάνο και Καλλιόπη σην Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου).
Το 1460, του δόθηκε επιδότηση από την Αυλή των Έστε. Οι μαθητές του περιλαμβάνουν τον Φραντσέσκο ντελ Κόσσα (Francesco del Cossa) και τον Φραντσέσκο Μπιάνκι.
Αν και αυτά ήταν χρόνια πυρετώδους δραστηριότητας, μόνον οι μεγαλοπρεπείς πόρτες του εκκλησιαστικού οργάνου του καθεδρικού ναού της Φερράρα διασώζονται από εκείνη την περίοδο, τις οποίες πληρώθηκε στις 2 Ιουνίου 1469, όπου ζωγράφισε τον Ευαγγελισμό από τη μία πλευρά και τον Άγιο Γεώργιο και την πριγκίπισσα από την άλλη. Συνεργάστηκε στη ζωγραφική μιας σειράς «μούσες» για ένα "Studiolo" του Ανακτόρου Belfiore του Λεονέλλο των Έστε στη Φερράρα, συμπεριλαμβανομένης της αλληγορικής μορφής της Καλλιόπης στην Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου. Ενώ οι μεμονωμένες αποδόσεις συζητούνται συχνά, μεταξύ των καλλιτεχνών που πιστεύεται ότι ολοκλήρωσαν τη σειρά ήταν ο Άντζελο ντι Πιέτρο ντα Σιένα, που ονομάζεται επίσης Άντζελο Παρράζιο (Angelo Parrasio) και ο Μικέλε Παννόνιο (Michele Pannonio).
Ένα από τα σπίτια του κατά τη διάρκεια της παραμονής του ζωγράφου στη Φερράρα ήταν σίγουρα στη "via delle Vecchie", η οποία για πολύ καιρό έφερε το όνομα "οδός Τούρα" γι' αυτόν τον λόγο.
Υπό από τον Έρκολε Α΄
Με την άνοδο στην εξουσία του Έρκολε Α' των Έστε (1471), ο Τούρα διορίστηκε αυλικός πορτρετίστας, ρόλος στον οποίο αφοσιώθηκε μέχρι το 1486 όταν αντικαταστάθηκε από τον νεότερο Έρκολε ντε' Ρομπέρτι.
Το Πολύπτυχο Roverella, από το 1470-1474, σήμερα είναι διεσπαρμένο σε διάφορα μουσεία. Ζωγραφισμένο για τον εορτασμό του επίσκοπου της Φερράρα Lorenzo Roverella, το κεντρικό τμήμα βρίσκεται στην Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου με την Παναγία Βρεφοκρατούσα να κάθεται σε περίτεχνο θρόνο και να περιβάλλεται από άδοντες Αγγέλους.
Παρά την αφοσίωσή του στην οικογένεια Έστε, στην οποία έδωσε το έργο ολόκληρης της ζωής του και έχοντας ηγετικό ρόλο σε μια ομάδα καλλιτεχνών της Εμίλια, ο Κοσμέ Τούρα πέθανε κουρασμένος και φτωχός, όπως μαρτυρείται από ένα από τα γράμματα του 1490 προς τον Δούκα Έρκολε, από τον οποίο ζήτησε την πληρωμή ενός από τα έργα του, ίσως του θαυμάσιου Αγίου Αντωνίου της Πάδοβα, που επί του παρόντος βρίσκεται στην Galleria Estense στη Μόντενα, λέγοντας κυριολεκτικά "Δεν ξέρω πώς να ζήσω και να επιζήσω με αυτόν τον τρόπο επειδή δεν βρίσκω ένα επάγγελμα ή ικανότητα που να μπορεί να θρέψει την οικογένειά μου ".
Τα γεγονότα της ιστορίας της Φερράρα, με την καταστροφική παραβολή των δουκών στα τέλη του 16ου αιώνα, οδήγησαν στην καταστροφή των περισσότερων έργων του. μικρογραφία| Άγιος Γεώργιος και ο Δράκος, Θήκη οργάνου καθεδρικού ναού της Φεράρα, 1469
Ύφος
Η ζωγραφική του Τούρα είναι προικισμένη με μεγάλη πρωτοτυπία στο ιταλικό πανόραμα της εποχής, με πλούσιες διακοσμημένες συνθέσεις και σχεδόν γλυπτική πλαστικότητα των μορφών, σε έναν φαινομενικό ρεαλισμό που ανήκει περισσότερο στη φαντασία παρά στην πραγματικότητα. Τα χρώματα είναι φωτεινά και εξωπραγματικά, που συχνά κάνουν τα θέματα να μοιάζουν με μέταλλο ή πέτρα, βυθισμένα σε μια τεταμένη και σουρεαλιστική ατμόσφαιρα, με μια ονειρική γεύση. Οι εμπειρίες που προέρχονται από την ευγενική τέχνη του διεθνούς γοτθικού, με τις εορταστικές τους προθέσεις, συγχωνεύονται και μεταμορφώνονται μέσω της επιρροής του ζωγράφου Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα και των Φλαμανδών. Η σχολαστική αναζήτηση για λεπτομέρειες και αδύνατα τοπία βρίσκεται αργότερα σε ζωγράφους της Σχολης του Δούναβη.
Επιλεγμένα έργα
μικρογραφία| Madonna of the Zodiac, [[Πινακοθήκη της Ακαδημίας (Βενετία)|Πινακοθήκη της Ακαδημίας]]
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ιταλοί ζωγράφοι
Εθνόσημο των Τερκς και Κέικος
Το εθνόσημο των νήσων Τερκς και Κέικος  παραχωρήθηκε στα νησιά από τη Βασίλισσα της Αγγλίας το 1965.
Αποτελείται από έναν θυρεό που φέρει ένα κοχύλι, έναν αστακό και έναν κάκτο σε φόντο κίτρινο. Εκατέρωθεν του θυρεού βρίσκονται ως υποστηρικτές του φλαμίνγκο.
Υπάρχει επίσης στο εθνόσημο ένας πελεκάνος ανάμεσα σε δύο φυτά σιζάλ που συμβολίζουν τη σχέση των νησιών με τη βιομηχανία κατασκευής σχοινιών.
Ο θυρεός βρίσκεται και στη σημαία των Τερκς και Κέικος, όπως επίσης και στη σημαία του Κυβερνήτη.
Παραπομπές
Τερκς Κατηγορία:Τερκς και Κέικος
Citroën NAMCO Pony
Το Citroën NAMCO Pony ήταν μικρό οικονομικό τζιπ που παρήχθη από την ελληνική εταιρεία NAMCO από το 1973 μέχρι το 1983, πουλώντας παγκοσμίως 30.000 μονάδες. Το αυτοκίνητο χρησιμοποίησε το αμάξωμα από το Citroën Acadiane, που ήταν πιο σκληρό από το αμάξωμα του Dyane, του Fourgonette και του Citroën 2CV. Το αυτοκίνητο πουλήθηκε ως έκδοση τζιπ του Citroën 2CV, αν και μηχανικά είχε λίγα κοινά στοιχεία με αυτό το μοντέλο.
Το τζιπάκι Pony ήταν πολύ δημοφιλές στην Ελλάδα, όπου τελικώς το 1985 το NAMCO Pony Super αντικατέστησε το παλαιό Pony. Στην Ελλάδα το Pony πούλησε 17.000 μονάδες, ενώ τα υπόλοιπα πήγαν ως εξαγωγή σε άλλες χώρες.
Η παραγωγή του ολοκληρώθηκε το 1983.
Κατηγορία:Μοντέλα Citroën Κατηγορία:Επαγγελματικά αυτοκίνητα
Βλαστός (αποσαφήνιση)
Η λέξη και επώνυμο Βλαστός μπορεί να αναφέρεται:
Σύνδρομο ευθραύστου χρωματοσώματος X
Το σύνδρομο εύθραυστου χρωμοσώματος Χ (FXS), λέγεται και σύνδρομο Μάρτιν-Μπελ, περιγράφει μια γενετική διαταραχή που εμφανίζεται ως αποτέλεσμα μετάλλαξης γονιδίου FMR1 στο χρωμόσωμα Χ. Η διαταραχή αυτή προκαλεί ήπια έως μέτρια νοητική υστέρηση που μπορεί να σχετίζεται με διαταραχές συμπεριφοράς και διακριτά φυσικά χαρακτηριστικά, όπως υψηλό μέτωπο, προεξέχοντα και μεγάλα αυτιά, αρθρώσεις των δακτύλων σε υπερέκταση, πλατυποδία με πρηνισμό και, σε εφήβους και ενήλικες άνδρες, μεγάλους όρχεις. Τα χαρακτηριστικά αυτά αναπτύσσονται με την πάροδο του χρόνου και μπορεί να μην είναι εμφανή μέχρι την εφηβεία. Περίπου το ένα τρίτο των προσβεβλημένων ατόμων έχουν διαταραχές στο φάσμα του αυτισμού (ASD), και καθυστερημένη ομιλία. Η υπερδραστηριότητα είναι συχνή και οι επιληπτικές κρίσεις εμφανίζονται περίπου στο 10% των περιπτώσεων.
Το σύνδρομο έγινε γνωστό ως το σύνδρομο εύθραυστου Χ επειδή ορισμένα άτομα με τη διαταραχή αυτή βρέθηκαν να έχουν ένα τμήμα του χρωμοσώματος Χ, το οποίο φαινόταν να είναι σπασμένο ή εύθραυστο, χωρίς να έχει αποχωριστεί. Αργότερα έγινε γνωστό ότι το γονίδιο FMR1 βρίσκεται ακριβώς στο σημείο αυτό. Το γονίδιο FMR1 βρίσκεται στο γενετικό τόπο Xq27.3 και κληρονομείται με φυλοσύνδετο επικρατή τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι οι άντρες επειδή έχουν μόνο ένα χρωμόσωμα Χ προσβάλλονται περισσότερο.
Η διαταραχή προκαλείται από την επανάληψη της τριπλέτας CGG εντός του γονιδίου FMR1. Αυτό οδηγεί σε σίγαση (μεθυλίωση) αυτού του τμήματος του γονιδίου και μειωμένη ή καθόλου παραγωγή της πρωτεΐνης (FMRP), η οποία απαιτείται για την κανονική ανάπτυξη των συνδέσεων μεταξύ των νευρώνων. Η διάγνωση απαιτεί γενετικό έλεγχο για τον προσδιορισμό του αριθμού των επαναλήψεων. Φυσιολογικά, υπάρχουν μεταξύ 5 και 40 επαναλήψεις, ενώ στο σύνδρομο εύθραυστου Χ εμφανίζονται περισσότερες από 200.
Ο κίνδυνος εμφάνισης της ασθένειας μπορεί να εκτιμηθεί μέσω συγκεκριμένου ελέγχου γενετικής προδιάθεσης. Προς το παρόν δεν υπάρχει θεραπεία και αντιμετωπίζονται μόνο τα συμπτώματα. Συνιστάται πρώιμη εκπαιδευτική παρέμβαση. Η διαταραχή εμφανίζεται σε 1 στα 4.000 αγόρια, 1 στα 8.000 κορίτσια.