cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Pixel 7
Hardware
Το Pixel 7 έχει μπαταρία 4355 mAh, ενώ το Pixel 7 Pro έχει μπαταρία 5000 mAh. Και τα δύο τηλέφωνα υποστηρίζουν γρήγορη φόρτιση, ασύρματη φόρτιση Qi, καθώς και αντίστροφη ασύρματη φόρτιση. Το Pixel 7 είναι διαθέσιμο σε 128 ή 256 GB αποθηκευτικού χώρου και 8 GB μνήμης RAM, και το Pixel 7 Pro είναι διαθέσιμο σε 128, 256 ή 512 GB αποθηκευτικού χώρου και 12 GB μνήμης RAM. Εκτός από το τσιπ δεύτερης γενιάς Tensor, και τα δύο τηλέφωνα είναι επίσης εξοπλισμένα με τη μονάδα ασφαλείας Titan M2, μαζί με οπτικό σαρωτή δακτυλικών αποτυπωμάτων κάτω από την οθόνη, στερεοφωνικά ηχεία και Gorilla Glass Victus.
Software
Τα Pixel 7 και Pixel 7 Pro κυκλοφόρησαν με Android 13 κατά την κυκλοφορία. Θα λάβει τουλάχιστον τρία χρόνια σημαντικών αναβαθμίσεων λειτουργικού συστήματος με υποστήριξη που θα εκτείνεται έως το 2025 και τουλάχιστον πέντε χρόνια ενημερώσεων ασφαλείας με υποστήριξη έως το 2027. Εκτός από τις βελτιώσεις στο Night Sight και στο Real Tone, οι λειτουργίες κάμερας που εισάγονται στο Pixel 7 και Το Pixel 7 Pro περιλαμβάνει Guided Frame, Photo Unblur και Cinematic Blur. Μια λειτουργία macro φωτογραφίας είναι επίσης διαθέσιμη στο Pixel 7 Pro για να συνοδεύει τον πρόσθετο τηλεφακό του, όπως και οι αναβαθμίσεις στο Super Res Zoom. Η λειτουργία Direct My Call και η εφαρμογή Recorder έλαβαν αναβαθμίσεις απόδοσης, ενώ η Google ανακοίνωσε ότι η υπηρεσία VPN από το Google One θα συνδυαστεί με τη σειρά Pixel 7 χωρίς επιπλέον χρέωση.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Google Κατηγορία:Έξυπνα τηλέφωνα
Φωτάδα Τρικάλων
Η Φωτάδα είναι οικισμός της Θεσσαλίας στην Περιφερειακή Ενότητα Τρικάλων.
Γεωνικά στοιχεία
Η Φωτάδα βρίσκεται δίπλα στον Πηνειό ποταμό σε υψόμετρο 121 μέτρα ενώ απέχει περίπου 8 χλμ. δυτικά από το κέντρο των Τρικάλων. Δυτικά είναι το Βαλτινό και ο Μέλιγος, νότια η Κάτω Ελάτη και νοτιοανατολικά το Βαλομάνδρι. Αναφέρεται μετά την Ένωση της Θεσσαλίας, το 1883 στο ΦΕΚ 126Α - 02/04/1883 με την παλιά της ονομασία από την εποχή της Τουρκοκρατίας ως Τσάρα, να προσαρτάται στον τότε δήμο Πιαλίων. Το 1928 με το ΦΕΚ 81Α - 14/05/1928 μετονομάστηκε σε Φωτάδα και το 1950 με το ΦΕΚ 165Α - 04/08/1950 ορίστηκε έδρα της ομώνυμης νεοϊδρυθείσας κοινότητας. Σύμφωνα με το πρόγραμμα Καλλικράτης αποτελεί κοινότητα η οποία υπάγεται στην Δημοτική Ενότητα Καλλιδένδρου του Δήμου Τρικκαίων και σύμφωνα με την απογραφή 2011 απογράφησαν 378 κάτοικοι. Η πορεία του πληθυσμού, σύμφωνα με τις απογραφές είναι:
Παραπομπές
Κατηγορία:Χωριά του νομού Τρικάλων Κατηγορία:Δήμος Τρικκαίων
Γκέργκελι Νάγκι
Ο Γκέργκελι Νάγκι (Gergely Nagy, γενν. 27 Μαΐου 1994, Τσέγκλεντ) είναι Ούγγρος ποδοσφαιριστής, ο οποίος αγωνίζεται ως τερματοφύλακας για την Λαμία.
Σταδιοδρομία σε συλλόγους
Ο Νάγκι έχει αγωνιστεί στις ουγγρικές Γκιόρι, Ντουναουιβάρος, Βάσας και Πάκσι.
Στις 7 Ιανουαρίου 2020, υπέγραψε συμβόλαιο 2,5 ετών με την ΑΕ Λάρισας.
Διεθνής σταδιοδρομία
Ο Νάγκι έχει αγωνιστεί στις «μικρές» Εθνικές Ουγγαρίας U17, U19 και U21.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ούγγροι ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Τερματοφύλακες ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Εθνικής Ουγγαρίας Κ17 Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Εθνικής Ουγγαρίας Κ19 Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Εθνικής Ουγγαρίας Κ21 Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Γκιόρι ΕΤΟ ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Α΄ Κατηγορίας Ουγγαρίας Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Βάσας ΣΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Πάκσι ΦΚ Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Α.Ε. Λάρισας Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Σούπερ Λιγκ Ελλάδας Κατηγορία:Ξένοι ποδοσφαιριστές στην Ελλάδα
Μεταξοτυπία
Η µεταξοτυπία είναι τεχνική εκτύπωσης για τη δημιουργία μιας εικόνας με τη χρήση ενός πλαισίου με τεντωμένο πάνω σε αυτό ένα πλέγμα. Μεταξοτυπία ονομάζεται, επίσης, και η εικόνα που εκτυπώνεται με αυτή την τεχνική. Ξεκίνησε ως βιομηχανική εφαρμογή και υιοθετήθηκε από Αμερικανούς καλλιτέχνες στις αρχές του 20ού αιώνα. Το κίνημα της ποπ αρτ τη δεκαετία του ΄60 έκανε ευρύτερα γνωστή την τεχνική. Πολλές απ΄ τις πιο γνωστές δουλειές του Άντι Γουόρχολ δημιουργήθηκαν με τη χρήση αυτής της τεχνικής. Πλέον, είναι μια δημοφιλής τεχνική τόσο στις καλές τέχνες όσο και στη βιομηχανία, στην οποία χρησιμοποιείται κυρίως για εκτύπωση διαφόρων θεμάτων πάνω σε μπλούζες, καπέλα, κεραμικά, γυαλί, πολυουρεθάνη, πολυπροπυλένιο, χαρτί, μέταλλο και ξύλο. Η μεταξοτυπία συχνά προτιμάται έναντι της κλασικής εκτύπωσης λόγω χαμηλότερου κόστους, αλλά και επειδή με αυτή την τεχνική μπορούμε να τυπώσουμε σε μια μεγάλη γκάμα επιφανειών και υλικών.
Ιστορικά στοιχεία
Η μεταξοτυπία έχει τις ρίζες της στα απλά στένσιλ που χρησιμοποιούνταν στην ιαπωνική τεχνοτροπία του Καταζούμι για την διακόσμηση υφασμάτων. Επίσης μια παραπλήσια τεχνική “πρόγονος” της μεταξοτυπίας χρησιμοποιήθηκε από ιθαγενείς της Ινδονησίας οι οποίοι χρησιμοποιώντας στένσιλ κατασκευασμένα από φύλλα μπανανιάς διακοσμούσαν τα κανό τους. Παρόμοια είναι και οι τεχνική που χρησιμοποιείται από του αρχαίους Έλληνες και Αιγύπτιους από το 2500 π.Χ. Η σύγχρονη μεταξοτυπία χρονολογείται από τις αρχές του 20ού αιώνα βασιζόμενη σε τεχνικές του Άγγλου Σάμιουελ Σάιμον. Αυτές οι τεχνικές υιοθετήθηκαν από τον Τζον Πίλσγουορθ το 1914 στο Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνιας για την εκτύπωση πολύχρωμων εικόνων. Χρησιμοποιήθηκε και στη βιομηχανική παραγωγή κατά τη διάρκεια του 1ου Παγκοσμίου Πολέμου για την εκτύπωση σημαιών. Η μεταξοτυπία χρησιμοποιήθηκε εκτενώς και κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου για τη μαζική προπαγάνδα μέσα από αφίσες. Σύντομα, όμως, ανακαλύφθηκε πως τα υλικά μεταξοτυπίας έβρισκαν εφαρμογή σε πλήθος άλλων αντικειμένων, όχι μόνο χάρτινων, και έτσι η μεταξοτυπία άρχισε να χρησιμοποιείται σε στρατιωτικά ρούχα, κιτ πρώτων βοηθειών, ακόμη και χαλκομανίες για αεροσκάφη.
Η χρήση πλέγματος με φωτοευαίσθητη επίστρωση εκείνη την περίοδο έκανε την τεχνική της μεταξοτυπίας πιο εύχρηστη και διέδωσε την εφαρμογή της. Ωστόσο, από τον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο και μετά σταματά η χρήση του μεταξιού για την κατασκευή του πλέγματος αφού το μετάξι χρησιμοποιείται στον πόλεμο για κατασκευή αλεξιπτώτων, με αποτέλεσμα να υπάρχει μεγάλη έλλειψη, οπότε οι τεχνίτες της μεταξοτυπίας αναγκάζονται να στραφούν σε άλλα υλικά. Αρχικά χρησιμοποιούνται πλέγματα με ίνες από νάιλον, λύση που είχε αρκετές τεχνικές δυσκολίες. Αργότερα τα πλέγματα άρχισαν να κατασκευάζονται από πολυεστερικές ίνες, λύση που χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα.
Την ίδια περίπου εποχή δόθηκε και το πρώτο διαφημιστικό T-shirt με τη μέθοδο της μεταξοτυπίας, στην πρεμιέρα της ταινίας Ο μάγος του Οζ.
Τεχνική
Το πρώτο βήμα στη μεταξοτυπία είναι η εμφάνιση της μακέτας (φιλμ) πάνω στο τελάρο.
Στη μία πλευρά ενός πλαισίου (τελάρου) κολλάμε και τεντώνουμε καλά ένα πλέγμα από πολυεστερικές ίνες. Στη συνέχεια απλώνουμε πάνω στο πλέγμα μια φωτοευαίσθητη αλοιφή (γνωστή και ως εμουλσιόν) και την αφήνουμε να στεγνώσει με τη βοήθεια ζεστού αέρα. Γι’ αυτή την εργασία υπάρχουν και φούρνοι μεταξοτυπίας για γρήγορο στέγνωμα, ενώ υπάρχουν και σχάρες, για φυσικό στέγνωμα. Δημιουργούμε το θέμα που θέλουμε να εκτυπώσουμε πάνω σε μία διάφανη επιφάνεια (διάφανο πλαστικό, ρυζόχαρτο κ.τ.λ) είτε με το χέρι είτε με χρήση ενός εκτυπωτή. Τοποθετούμε πάνω σε ισχυρό φως (όπως σε ένα φωτομεταφορείο) τη διαφάνεια με το θέμα μας και από πάνω το πλαίσιο. Στα σημεία που υπάρχει το θέμα, το φως δεν φτάνει στη φωτοευαίσθητη πάστα, ενώ στα σημεία που δεν υπάρχει η πάστα σκληραίνει. Πλένουμε το πλαίσιο και η αλοιφή που δεν πολυμερίστηκε και δεν έχει σκληρύνει ξεπλένεται αφήνοντας πάνω στο πλέγμα ένα αντίγραφο του θέματός μας. Στη συνέχεια τοποθετούμε το πλαίσιο πάνω στην επιφάνεια που θέλουμε να εκτυπώσουμε, απλώνουμε χρώμα και με τη βοήθεια μιας σπάτουλας πιέζουμε το χρώμα για να περάσει μέσα από τα τμήματα του πλέγματος που είναι ανοιχτά. Αν θέλουμε πολύχρωμη εκτύπωση για κάθε χρώμα χρησιμοποιούμε και διαφορετικό πλαίσιο ενώ για φωτογραφικές εκτυπώσεις χρησιμοποιούμε την τεχνική της τετραχρωμίας.
Πλέον στον εμπόριο κυκλοφορούν και έτοιμα σιλικονούχα φύλλα plastisol για θερμομεταφορά, ώστε να έχουμε έτοιμο ένα σχέδιο και να το τυπώνουμε όποτε χρειάζεται.
Εφαρμογές
Η μεταξοτυπία έχει βρει εφαρμογή σε μια σειρά από καλλιτεχνικές και εμπορικές εργασίες. Πολλαπλά αντίγραφα αφισών ή πινάκων ζωγραφικής, εκτύπωση θεμάτων σε ύφασμα (μπλούζες, χαλιά, τέντες κτλ.), εκτύπωση οργάνων ενδείξεων (καντράν) οχημάτων και ρολογιών, αναπτήρων, στιλό, CD, ντοσιέ κ.τ.λ. Κύριο χαρακτηριστικό της μεταξοτυπίας είναι ότι με τη χρήση του κατάλληλου χρώματος μπορεί να εκτυπώσει μια σειρά από υλικά (χαρτί, πλαστικό, μέταλλο, ξύλο, ύφασμα κτλ.) αλλά και μια σειρά από επιφάνειες, λείες ή όχι, αφού για την εκτύπωση δεν απαιτείται πίεση ή κάποιος άλλος περιοριστικός παράγοντας. Σήμερα υπάρχουν μια σειρά αυτόματων αλλά και χειροκίνητων μηχανών που μπορούν να φέρουν εις πέρας μια σειρά εκτυπώσεων με χαμηλό κόστος και υψηλή ταχύτητα. Στην καλλιτεχνική, όμως, μεταξοτυπία χρησιμοποιούνται πιο παραδοσιακές μέθοδοι με μικρότερη συμμετοχή της μηχανής και της τεχνολογίας και μεγαλύτερη συμμετοχή του «χεριού του καλλιτέχνη».
Σήμερα, η μεταξοτυπία βρίσκει εφαρμογές και στην τεχνολογία. Ειδικά αγώγιμα μελάνια χρησιμοποιούνται στη δημιουργία μικρομπαταριών και μικροαισθητήρων.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Τυπογραφία Κατηγορία:Καλλιτεχνικές τεχνικές
Πομπόνιος Μέλα
μικρογραφία| Ανακατασκευή του παγκόσμιου χάρτη του Πομπόνιου Μέλα από τον Κόνραντ Μίλλερ (1898). Ο Πομπόνιος Μέλα, λατιν.: Pomponius Mela, που έγραψε γύρω στο 43 μ.Χ., ήταν ο πρώτος Ρωμαίος γεωγράφος (γεννήθηκε στην Tingentera (τώρα Algeciras) - απεβ. c. 45 μ.Χ.) Το σύντομο έργο του Για την κατάσταση του κόσμου (De situ orbis, libri III) παρέμεινε σε χρήση σχεδόν μέχρι το έτος 1500. Καταλαμβάνει λιγότερες από εκατό σελίδες συνηθισμένης εκτύπωσης και περιγράφεται από την Encyclopædia Britannica (1911) ως «με στεγνό στυλ και ελλιπές στη μέθοδο, αλλά καθαρού λατινισμού, και περιστασιακά ανακουφισμένο από ευχάριστες εικόνες λέξεων». Εκτός από τα γεωγραφικά μέρη της Historia naturalis του Πλίνιου (όπου ο Μέλα αναφέρεται ως σημαντική αρχή), το De situ orbis είναι η μόνη επίσημη πραγματεία για το θέμα στα κλασικά λατινικά.
Βιογραφία
μικρογραφία| Η περιγραφή της Ευρώπης από τον Πομπόνιο Μέλα (F. Nansen, 1911). Λίγα είναι γνωστά για τον Πομπόνιο, εκτός από το όνομα και τη γενέτειρά του: η μικρή πόλη Tingentera ή Cingentera (που προσδιορίζεται ως Julia Traducta) στη νότια Hispania, στον κόλπο Algeciras (Mέλα ii. 6, § 96· αλλά το κείμενο είναι εδώ φθαρμένο). Η ημερομηνία της συγγραφής του μπορεί να καθοριστεί κατά προσέγγιση από την υπαινιγμό του (iii. 6 § 49) σε μία προτεινόμενη βρετανική εκστρατεία του στην εξουσία Αυτοκράτορα, σχεδόν σίγουρα εκείνη του Κλαυδίου το 43 μ.Χ. Το ότι αυτό το απόσπασμα δεν μπορεί να αναφέρεται στον Ιούλιο Καίσαρα, αποδεικνύεται από πολλές αναφορές σε γεγονότα της βασιλείας του Αυγούστου, ειδικά σε ορισμένα νέα ονόματα, που δίνονται σε Ιβηρικές πόλεις. Ο Π. Μέλα, όπως και οι δύο Σενέκες, ο Λουκανός, ο Μαρτιάλης, ο Κοϊντιλιανός, ο Τραϊανός, ο Αδριανός, ήταν όλοι μέρος των ιταλικών κοινοτήτων, που εγκαταστάθηκαν σε διάφορα μέρη της Hispania, που τελικά μετεγκαταστάθηκαν στη Ρώμη. Εικάζεται ότι ο Πομπόνιος Μέλα μπορεί να είχε σχέση με τον Μάρκο Ανναίο Μέλα, ο οποίος ήταν γιος του Σενέκα του Πρεσβύτερου και πατέρας του Λουκανού.
Γεωγραφική γνώση
Οι γενικές απόψεις του De situ orbis συμφωνούν κυρίως με εκείνες, που επικρατούσαν μεταξύ των Ελλήνων συγγραφέων από τον Ερατοσθένη έως τον Στράβωνα: το τελευταίο μάλλον ήταν άγνωστο στον Μέλα. Αλλά ο Πομπόνιος είναι μοναδικός μεταξύ των αρχαίων γεωγράφων στο ότι, αφού χώρισε τη Γη σε πέντε ζώνες, από τις οποίες μόνο οι δύο ήταν κατοικήσιμες, ισχυρίζεται την ύπαρξη αντιπόδων (αντιχθόνων), που κατοικούν στη νότια εύκρατη ζώνη, απρόσιτη για τους λαούς των βόρειων εύκρατων περιοχών από την αφόρητη ζέστη της ενδιάμεσης διακεκαυμένης ζώνης. Για τις διαιρέσεις και τα όρια της Ευρώπης, της Ασίας και της Αφρικής, επαναλαμβάνει τον Ερατοσθένη. Όπως όλοι οι κλασσικοί γεωγράφοι από τον Μεγάλο Αλέξανδρο (εκτός από τον Κλ. Πτολεμαίο), θεωρεί την Κασπία Θάλασσα ότι ενώνεται με τον Βόρειο Ωκεανό, και αντίστοιχα για τον Περσικό και τον Αραβικό κόλπο (Ερυθρά Θάλασσα) στο νότο, ότι ενώνονται με τον Νότιο Ωκεανό. μικρογραφία| Οι ακτές του Codanus sinus (νοτιοδυτική [[Βαλτική Θάλασσα) με κόκκινο και τα πολλά νησιά του (ένα θεωρειται η Σκανδιναβία) με πράσινο.]] Οι ινδικές του αντιλήψεις είναι κατώτερες από εκείνες ορισμένων παλαιότερων Ελλήνων συγγραφέων: ακολουθεί τον Ερατοσθένη, υποθέτοντας ότι η χώρα αυτή καταλάμβανε τη νοτιοανατολική γωνία της Ασίας, απ' όπου η ακτή έτεινε προς τα βόρεια προς τη Σκυθία, και στη συνέχεια προχωρούσε προς τα δυτικά προς την Κασπία Θάλασσα. Ως συνήθως, τοποθετεί τα Ριπαία Όρη και τους Υπερβόρειους κοντά στον Σκυθικό Ωκεανό. Στη δυτική Ευρώπη οι γνώσεις του (όπως ήταν φυσικό σε ένα ισπανικό θέμα της Αυτοκρατορικής Ρώμης) ήταν κάπως πιο προηγμένες από τους Έλληνες γεωγράφους. Ορίζει τη δυτική ακτή της Ισπανίας και της Γαλατίας και την εσοχή της στον Βισκαϊκό Κόλπο με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον Ερατοσθένη ή τον Στράβωνα, και οι ιδέες του για τα βρετανικά νησιά και τη θέση τους είναι επίσης πιο ξεκάθαρες από τους προκατόχους του. Είναι ο πρώτος που ονομάζει τις Oρκάδες ή Νησιά Όρκνεϋ, τα οποία ορίζει και εντοπίζει αρκετά σωστά. Για τη Βόρεια Ευρώπη οι γνώσεις του ήταν ατελείς, αλλά μιλά για έναν μεγάλο κόλπο ("Κοδανό", Codanus sinus") στα βόρεια της Γερμανίας, ανάμεσα στα πολλά νησιά του οποίου ήταν ένα, το "Codanovia", εξέχοντος μεγέθους. Αυτό το όνομα επανεμφανίζεται στο έργο του Πλίνιου του Πρεσβύτερου ως Σκατιναβία. Η Codanovia και η Scatinavia ήταν και οι δύο λατινικές αποδόσεις του πρωτο-γερμανικού *Skaðinawio, του γερμανικού ονόματος για τη Σκανδιναβία.
Περιγραφική μέθοδος
Η περιγραφική μέθοδος του Μέλα ακολουθεί τις ακτές των ωκεανών, με τον τρόπο του περίπλου, πιθανώς επειδή προήλθε από αφηγήσεις ναυτικών. Ξεκινά από τα στενά του Γιβραλτάρ και περιγράφει τις χώρες που γειτνιάζουν με τη νότια ακτή της Μεσογείου, στη συνέχεια μετακινείται από τη Συρία και τη Μικρά Ασία στη Μαύρη Θάλασσα, και έτσι επιστρέφει στην Ιβηρική κατά μήκος της βόρειας ακτής του Ευξείνου, της Προποντίδας κ.λπ. Μετά την απαρίθμηση των νησιών της Μεσογείου, στη συνέχεια παίρνει την παράκτια όχθη του ωκεανού —προς τα δυτικά, τα βόρεια, τα ανατολικά και τα νότια διαδοχικά— από την Ιβηρική και τη Γαλατία γύρω από την Ινδία, από την Ινδία στην Περσία, την Αραβία και την Αιθιοπία. και έτσι επιστρέφει ξανά στην Ιβηρική. Όπως οι περισσότεροι κλασικοί γεωγράφοι, αντιλαμβάνεται την ήπειρο της Αφρικής ως περιτριγυρισμένη από θάλασσα και όχι πολύ νότια.
Εκδόσεις
μικρογραφία| Σελίδα τίτλου της πρώτης έκδοσης του J. Vadian, 1518. Η πρώτη έκδοση (editio princeps) του Mέλα έγινε στο Μιλάνο το 1471. Η πρώτη κριτική έκδοση ήταν του Joachim Vadian (Wien, 1518), που αντικαταστάθηκε από εκείνες των Johann Heinrich Voss (1658), Johann Friedrich Gronovius (1685 και 1696), A. Gronovius (1722 και 1728) και Tzschucke (1806), σε επτά μέρη (Λειψία· το πιο περίτεχνο από όλα)· G. Paithey's (Βερολίνο, 1867) για το κείμενό του. Εορτάστηκε όταν έγινε η αγγλική μετάφραση του Άρθουρ Γκόλντινγκ (1585).
Μία πρόσφατη αγγλική μετάφραση είναι αυτή του F. E. Romer, που δημοσιεύθηκε αρχικά το 1998. μικρογραφία| I tre libri di Pomponio Mela del sito, forma, e misura del mondo, 1557
Πηγές
Κατηγορία:Ρωμαίοι του 1ου αιώνα
Κυματική εξίσωση
Η κυματική εξίσωση είναι μια σημαντική γραμμική δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση η οποία χρησιμοποιείται για να περιγραφούν κύματα – όπως παρουσιάζονται στη φυσική – όπως ηχητικά κύματα, κύματα φωτός και κύματα στο νερό. Προκύπτει σε τομείς όπως η ακουστική, ο ηλεκτρομαγνητισμός και η ρευστοδυναμική.
Εισαγωγή
Η κυματική εξίσωση είναι μια υπερβολική μερική διαφορική εξίσωση. Αφορά συνήθως μια μεταβλητή χρόνου
t
, μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές
x1, x2, …, xn
, και μία βαθμωτή συνάρτηση u = u (x1, x2, …, xn; t), τιμές της οποίας θα μπορούσαν να διαμορφώσουν την μετατόπιση ενός κύματος. Η κυματική εξίσωση για το
είναι
Η εξίσωση μόνη της δεν καθορίζει μια λύση. Μια μοναδική λύση επιτυγχάνεται συνήθως με τον καθορισμό ενός προβλήματος με περαιτέρω συνθήκες, όπως οι αρχικές συνθήκες, που καθορίζουν το μέτρο και την ταχύτητα του κύματος. Μια άλλη σημαντική κατηγορία προβλημάτων καθορίζει τις συνοριακές συνθήκες, για τις οποίες οι λύσεις αντιπροσωπεύουν στάσιμα κύματα, ή αρμονικές, ανάλογες με τις αρμονικές των μουσικών οργάνων.
Η κυματική εξίσωση, καθώς και οι τροποποιήσεις της, βρίσκουν εφαρμογή, μεταξύ άλλων, στην ελαστική φυσική, την κβαντική μηχανική, τη φυσική πλάσματος και τη γενική σχετικότητα.
Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου
Αυτή η εξίσωση περιγράφεται τυπικά να έχει μόνο μία διάσταση χώρου "x", επειδή η μόνη άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος "t". Παρ'όλα αυτά, η εξαρτημένη μεταβλητή "y" ίσως αντιπροσωπεύει μία δεύτερη διάσταση χώρου, όπως στην περίπτωση της χορδής που βρίσκεται στο x-y επίπεδο.
Παράγωγος της κυματικής εξίσωσης
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου μπορεί να παραχθεί σε μια ποικιλία από φυσικά περιβάλλοντα. Πιο γνωστά, μπορεί να παραχθεί στην περίπτωση της χορδής που πάλλεται σε ένα επίπεδο δύο διαστάσεων, με κάθε ένα από τα στοιχεία του να έλκεται σε αντίθετες κατευθύνσεις από τη δύναμη της έντασης.
Ένα άλλο φυσικό περιβάλλον για παραγωγή κυματικής εξίσωσης σε μια διάσταση χώρου χρησιμοποιεί ο Νόμος του Χουκ. Στην Θεωρία ελαστικότητας, Ο νόμος του Hooke είναι μια προσέγγιση συγκεκριμένων υλικών, δηλώνοντας ότι η ποσότητα από την οποία ένα υλικό σώμα παραμορφώνεται(η ένταση) γραμμικά σχετίζεται με τη δύναμη που προκαλεί την παραμόρφωση.
Από τον Νόμο του Χουκ
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση χώρου μπορεί να παραχθεί από τον Νόμο του Χουκ με τον ακόλουθο τρόπο: Φανταστείτε μια σειρά από μικρά βάρη μάζας m που αλληλοσυνδέονται με χορδές χωρίς μάζα του μάκρους h. Οι χορδές έχουν σταθερά ελατηρίου k:
Εδώ η εξαρτημένη μεταβλητή u(x) μετράει την απόσταση από την ισορροπία της μάζας που τοποθετήθηκε στο x, γι'αυτό το u(x) ουσιαστικά μετράει το μέγεθος της διαταραχής (δηλαδή της έντασης) που ταξιδεύει σ'ένα ελαστικό υλικό. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα m στην θέση x+h είναι:
Η εξίσωση της κίνησης για το βάρος στην τοποθεσία x+h δίνεται εξισώνοντας αυτές τις δύο δυνάμεις:
όπου η χρονική εξάρτησης από το u(x) έχει εξηγηθεί.
Αν η σειρά των βαρών αποτελείται από N βάρη σε χώρο πάνω από το μάκρος L = Nh της συνολικής μάζας M = Nm, και η συνολική σταθερά του ελατηρίου of the array K = k/N μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση ως:
Παίρνοντας το όριο N → ∞, h → 0 και υποθέτοντας ομαλότητα παίρνουμε:
(KL2)/M είναι το τετράγωνο του πολλαπλασιασμού της ταχύτητας σ'αυτήν την ειδική περίπτωση.
Αλγεβρική προσέγγιση
Η μίας διάστασης κυματική εξίσωση είναι ασυνήθιστη για μια μερική διαφορική εξίσωση στην οποία μια σχετικά απλή γενική λύση μπορεί να βρεθεί. Ο ορισμός νέων μεταβλητών:
αλλάζει την κυματική εξίσωση σε
η οποία οδηγεί στην γενική λύση
ή ισοδύναμα:
Με άλλα λόγια, λύσεις της μιας διάστασης κυματικής εξίσωσης είναι αθροίσματα μιας συνάρτησης F που διαδίδεται δεξιά και μιας συνάρτησης G που διαδίδεται αριστερά. "Διάδοση" σημαίνει ότι το σχήμα των εν λόγω δύο αυθαίρετων μεμονωμένων συναρτήσεων σε σχέση με τον x παραμένει σταθερό, παρ'όλα αυτά οι συναρτήσεις μετακινούνται αριστερά και δεξιά με το χρόνο με την ταχύτητα c. Αυτό προέρχεται από τον Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ.
Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα είναι να σημειωθεί ότι η κυματική εξίσωση μπορεί να "παραγοντοποιηθεί":
και ως εκ τούτου:
Αυτές οι δύο τελευταίες εξισώσεις είναι συναγωγικές εξισώσεις, μια που διαδίδεται αριστερά και άλλη δεξιά, και οι δύο με σταθερή ταχύτητα c.
Για ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, οι τυχαίες συναρτήσεις F και G μπορούν να προσδιοριστούν για να ικανοποιήσουν τις αρχικές συνθήκες:
Το αποτέλεσμα είναι ο τύπος του Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ:
Με την τυπική έννοια, αν f(x) ∈ Ck και g(x) ∈ Ck−1 τότε u(t, x) ∈ Ck. Ωστόσο, οι κυματομορφές F and G μπορούν επίσης να είναι γενικευμένες συναρτήσεις, όπως η δέλτα-συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή, η λύση μπορεί να ερμηνευθεί ως μια ώθηση που ταξιδεύει προς τα δεξιά ή αριστερά.
Η βασική εξίσωση κύματος είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση και έτσι θα τηρεί την αρχή της επαλληλίας. Αυτό σημαίνει ότι η καθαρή μετατόπιση που προκαλείται από δύο ή περισσότερα κύματα είναι το άθροισμα των μετατοπίσεων που θα έχουν προκληθεί από κάθε κύμα ξεχωριστά. Επιπλέον, η συμπεριφορά ενός κύματος μπορεί να αναλυθεί με διάλυση του κύματος σε κομμάτια, π.χ. η ανάλυση Φουριέ, που χωρίζει ένα κύμα σε ημιτονοειδείς συναρτήσεις.
Ιδιομορφές κύματος στο επίπεδο
,
μπορούμε να πάρουμε μία συνήθη διαφορική εξίσωση για το χωρικό μέρος f( x)
.
η οποία είναι ακριβώς μια εξίσωση ιδιοτιμών για f(x ), εξ ου και το όνομα ιδιοτιμή. Έχει τις γνωστές λύσεις επιπέδου κύματος.
με κυματαριθμό
Η συνολική κυματοσυνάρτηση για αυτή την ιδιομορφή είναι τότε ο γραμμικός συνδυασμός
Ανδρόνικος Ζηγαδηνός
Ο Ανδρόνικος Ζηγαδηνός ήταν βυζαντινός στρατηγός στα τέλη του 13ου αρχές 14ου αιώνα.
Ο Ζηγαδηνός είναι γνωστός από έγγραφο του 1294 και ήταν δουξ του θέματος Θέμα Βολερού, Μοσυνοπόλεως, Σερρών και Στρυμώνος. Το έγγραφο αφορά μία διένεξη της Μονής Τζηντζηλουκιώτισσας την οποία και διευθέτησε, το έγγραφο βρέθηκε στην μονή Εσφιγμένου του Αγίου όρους. Το ίδιο έγγραφο τον αναφέρει "οικείο" του αυτοκράτορα.
Κυματική εξίσωση
Ιδιομορφές κύματος στο επίπεδο
όπου οι σύνθετοι αριθμοί A, B εξαρτώνται γενικά από τις ενδεχόμενες αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.
Ανδρόνικος Ζηγαδηνός
Παραπομπές
Κατηγορία:Βυζαντινοί δούκες Κατηγορία:Βυζαντινοί του 13ου αιώνα Κατηγορία:Βυζαντινοί διοικητές Θεμάτων
Κυματική εξίσωση
Ιδιομορφές κύματος στο επίπεδο
ή σε όρους των επίπεδων κυμάτων,
η οποία είναι ακριβώς στην ίδια μορφή όπως στην αλγεβρική προσέγγιση. Συναρτήσεις είναι γνωστές ως Ανάλυση Φουριέ και καθορίζονται από αρχικές και οριακές συνθήκες. Αυτή είναι μία λεγόμενη μέθοδος πεδίο συχνοτήτων, σαν εναλλακτική στους απευθείας πολλαπλασιασμούς στο πεδίο χρόνου όπως η FDTD μέθοδος, του συνόλου επάλληλων κυμάτων u(x,t).
Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε τριών διαστάσεων χώρο
Η λύση σε πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση σε χώρο τριών διαστάσεων μπορεί να επιτευχθεί από την λύση για ένα σφαιρικό κύμα. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί μετά να χρησιμοποιηθεί για να πετύχουμε τη λύση στο χώρο δύο διαστάσεων.
Σφαιρικά κύματα
Η κυματική εξίσωση δεν μένει αναλλοίωτη στην περιστροφή των χωρικών συντεταγμένων, γιατί ο τελεστής Λαπλάς δεν μένει αμετάβλητος στις περιστροφές. Ωστόσο, παρόμοια με την εξίσωση Σρέντινγκερ σε τρεις διαστάσεις, κάποιος μπορεί να λύσει για τη λύση με μηδέν τροχιακή στροφορμή, στην οποία περίπτωση ο τελεστής Λαπλάς μειώνει σε μια περιστροφικά σταθερή μορφή
Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς να περιμένετε να βρείτε τις λύσεις που εξαρτώνται μόνο από την απόσταση της ακτίνας r, αλλά όχι τις μεταβλητές γωνίας, από ένα δοσμένο σημείο. Οι λύσεις αυτές τότε ικανοποιούν
Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί ως
όπου η ποσότητα r u(r,t) ικανοποιεί την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση. Ως εκ τούτου, υπάρχουν λύσεις, με τη μορφή
όπου F και G είναι γενικές λύσεις στην μιας διάστασης κυματική εξίσωση, και μπορεί να ερμηνευθεί αντίστοιχα ως ένα εξερχόμενο ή εισερχόμενο σφαιρικό κύμα. Τέτοια κύματα παράγονται από μία σημειακή πηγή, και καθιστούν πιθανά τα αιχμηρά σήματα των οποίων ο τύπος αλλάζει μόνο από την μείωση του πλάτους καθώς το r αυξάνεται (δείτε μια εικόνα από ένα σφαιρικό κύμα στην πάνω δεξιά). Τέτοια κύματα υπάρχουν μόνο σε περιπτώσεις χώρου με μονό αριθμό διαστάσεων.
Για φυσικά παραδείγματα μη-σφαιρικών κυμάτων σε τριών διαστάσεων κυματική εξίσωση που διαθέτουν γωνιακή εξάρτηση, βλέπε κείμενα με ακτινοβολία διπόλου.
Μονοχρωματικό σφαιρικό κύμα
Αν και η λέξη "μονοχρωματικός" δεν είναι τελείως ακριβής, δεδομένου ότι αναφέρεται στο φως ή στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με καλά καθορισμένη συχνότητα, η ουσία είναι να ανακαλύψει την ιδιομορφή της εξίσωσης κύματος σε τρεις διαστάσεις.Μετά την παραγωγή στην προηγούμενη ενότητα στο Επίπεδο του κύματος ιδιομορφής, αν περιορίσουμε και πάλι τις λύσεις μας σε σφαιρικά κύματα που ταλαντώνονται σε χρόνο με σαφώς καθορισμένη γωνιακή συχνότητα \omega,στη συνέχεια η μετασχηματισμένη συνάρτηση ru(r,t) απλά έχει λύσεις επιπέδου κύματος,
,
ή
.
Από αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η ένταση κορυφής του σφαιρικού κύματος ταλάντωσης, που χαρακτηρίζεται ως το τετράγωνο του πλάτους κύματος
πέφτει με ρυθμό ανάλογο του 1/r^2, ένα παράδειγμα του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου.
Λύση ενός γενικότερου προβλήματος αρχικών τιμών
Η κυματική εξίσωση είναι γραμμική u και έχει μείνει απαράλλαχτη από μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο. Ως εκ τούτου, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μεγάλη ποικιλία λύσεων με τη μετάφραση και την άθροιση σφαιρικών κυμάτων.Έστω φ (ξ, η, ζ) μια αυθαίρετη συνάρτηση τριών ανεξάρτητων μεταβλητών, και αφήστε το σφαιρικό σχήμα κύματος F να είναι μια δέλτα-λειτουργία: δηλαδή, ας είναι F είναι μια αδύναμη όριο των συνεχών συναρτήσεων των οποίων αναπόσπαστο είναι η ενότητα, αλλά των οποίων η στήριξης (η περιοχή όπου η συνάρτηση είναι μη μηδενική) συρρικνώνεται προς την προέλευση. Ας μια οικογένεια σφαιρικών κυμάτων με κέντρο στο (ξ, η, ζ), και αφήστε το r είναι η ακτινική απόσταση από εκείνο το σημείο. Έτσι
Αν u είναι μια υπέρθεση τέτοιων κυμάτων με στάθμιση συνάρτηση φ, στη συνέχεια,
η 4πc παρονομαστής είναι μια ευκολία.
Από τον ορισμό της δέλτα-λειτουργία, το u μπορεί επίσης να γραφτεί ως
όπου α, β, και γ είναι συντεταγμένες στη μονάδα σφαίρα S, και ω είναι το στοιχείο περιοχής στο S. Αυτό το αποτέλεσμα έχει την ερμηνεία ότι το u (t, x) είναι τ φορές η μέση τιμή της φ σε μια σφαίρα ακτίνας ct επικεντρώνεται στο x:
Επομένως, η
Η μέση τιμή είναι μία άρτια συνάρτηση του t, και κατά συνέπεια εάν
τότε
Αυτές οι φόρμουλες προσφέρουν τη λύση για το πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση. Δείχνουν ότι η λύση σε ένα δεδομένο σημείο Ρ, δεδομένου (t, x, y, z) εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα σχετικά με την σφαίρα ακτίνας ct που τέμνεται από το φως κώνου που τραβιέται πίσω από Ρ. Αυτό δεν εξαρτάται από τα δεδομένα στο εσωτερικό αυτής της σφαίρας. Έτσι το εσωτερικό της σφαίρας είναι ένα κενό για τη λύση. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται αρχή Χάιγκαρ. Είναι αλήθεια για μονούς αριθμούς της διάστασης χώρου, όπου για μία διάσταση η ενσωμάτωση γίνεται πάνω από το όριο του διαστήματος σε σχέση με το μέτρο Dirac. Δεν είναι ικανοποιημένοι ακόμα και χωρικές διαστάσεις. Το φαινόμενο των κενών έχει ερευνηθεί εκτενώς στην Ατίγια, Μπότ και Γκάρντινγκ (1970, 1973).
Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε δύο διαστάσεις
Σε δύο διαστάσεις, η κυματική εξίσωση είναι
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τρισδιάστατη θεωρία για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, αν θεωρήσουμε το u ως συνάρτηση σε τρεις διαστάσεις που είναι ανεξάρτητη από την τρίτη διάσταση. Aν
τότε ο τύπος για την τρισδιάστατη θεωρία  καθίσταται
όπου α και β είναι οι πρώτες δύο συντεταγμένες στη σφαίρα μονάδα και dΩ είναι το στοιχείο περιοχή της σφαίρας. Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως αναπόσπαστο πάνω από το δίσκο D με το κέντρο (x, y) και την ακτίνα CT:
Είναι προφανές ότι η λύση στο (t, x, y) δεν εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα επί του κώνου φωτός, όπου
αλλά επίσης και σε δεδομένα που είναι εσωτερικό του εν λόγω κώνου.
Κλιμακωτή κυματική εξίσωση στη γενική διάσταση και τύποι του Κιρκόφ
Θέλουμε να βρούμε λύσεις για να utt-Δυ =
Μονοδιάστατες
Υποθέσουμε n ≥ 3 είναι ένας περιττός ακέραιος και ζ ∈ Cm 1 (Rn), ω ∈ Cm (Rn) για m = (n +1) / 2. Έστω
τότε
Άρτιες διαστάσεις
Ας υποθέσουμε ότι n ≥ 2 είναι ένας ακέραιος και ακόμη ζ ∈ Cm 1 (Rn), h ∈ Cm (Rn), για m = (n 2) / 2. Έστω
τότε
Η σύνθεση Στέρμ-Λιουβίλ
Μία εύκαμπτη χορδή που τεντώνεται μεταξύ δύο σημείων x = 0 και x = L ικανοποιεί την κυματική εξίσωση για t > 0 και 0 < x < L. Σχετικά με τα οριακά σημεία, το u μπορεί να ικανοποιήσει μια ποικιλία των συνοριακών συνθηκών. Μια γενική μορφή που είναι κατάλληλη για εφαρμογές είναι
Μια συνέπεια είναι ότι
Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος της θεωρίας Στέρμ-Λιουβίλ. Αν a και b είναι θετικά, οι ιδιοτιμές είναι όλες θετικές, και οι λύσεις είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Μια λύση που ικανοποιεί τετραγωνικά ολοκληρώσιμες αρχικές συνθήκες για τα u και ut μπορεί να ληφθεί από την επέκταση αυτών των συναρτήσεων στην κατάλληλη τριγωνομετρική σειρά.
Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους
Προσεγγίζει την συνεχή σειρά με έναν πεπερασμένο αριθμό ισαπεχόντων σημειακών μαζών απ' όπου προκύπτει το ακόλουθο φυσικό μοντέλο:
Εάν κάθε σημειακή μάζα έχει τη μάζα m, η τάση της χορδής είναι f, ο διαχωρισμός μεταξύ των σημειακών μαζών είναι Δx και ui, i = 1, ..., n είναι η μετατόπιση από αυτά τα n σημεία από τα σημεία ισορροπίας τους (δηλαδή τη θέση τους σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ των δύο σημείων συνδέσεως της χορδής) η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο i+1 είναι
και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο i−1 είναι
Λαμβάνοντας το άθροισμα των δύο αυτών δυνάμεων και διαιρώντας με τη μάζα m προκύπτει για την κατακόρυφη κίνηση:
Καθώς η πυκνότητα μάζας είναι
αυτό μπορεί να γραφτεί
Η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αφήνοντας Δx → 0 περίπτωση κατά την οποία ui(t) λαμβάνει τη μορφή u(x, t) όπου u(x, t) είναι συνεχής συνάρτηση δύο μεταβλητών, \ddot u_i παίρνει τη μορφή και
Αλλά η διακριτή σύνθεση της εξίσωσης της κατάστασης με έναν πεπερασμένο αριθμό σημειακών μαζών είναι ακριβώς η κατάλληλη για μια αριθμητική διάδοση της κίνησης των χορδών. Η οριακή κατάσταση
όπου L είναι το μήκος της χορδής παίρνει στη διακριτή σύνθεση τη μορφή που για τα ιδιαίτερα απομακρυσμένα σημεία u1 και un η εξίσωση κίνησης είναι
και
καθώς για 1 < i < n
NGC 2119
Ο NGC 2119 (άλλες ονομασίες: UGC 3380 και PGC 18136) είναι ελλειπτικός γαλαξίας στον αστερισμό Ωρίωνα. Τον ανακάλυψε ο Γάλλος αστρονόμος Εντουάρ Στεφάν στις 9 Ιανουαρίου 1880.
Κυματική εξίσωση
Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους
Αν η χορδή προσεγγίζεται με 100 διακριτές σημειακές μάζες έχει κανείς το 100 σε συνδυασμό με τις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, και  ή ισοδύναμα 200 σε συνδυασμό με τις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
Πολλαπλασιάζοντας αυτά μέχρι τις φορές
NGC 2119
Αναφορές
2119 03380 18136 Κατηγορία:Ελλειπτικοί γαλαξίες Κατηγορία:Ωρίων (αστερισμός)
Κυματική εξίσωση
Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους
χρησιμοποιώντας μια 8-ης τάξης μέθοδο πολλαπλού βήματος οι 6 καταστάσεις που εμφανίζεται στο σχήμα 2 είναι αυτές που βρέθηκαν:
Η κόκκινη καμπύλη είναι η αρχική κατάσταση σε χρόνο μηδέν κατά την οποία η χορδή είναι "ελεύθερη" σε ένα προκαθορισμένο σχήμα με όλα τα \dot u_i=0. Η μπλε καμπύλη είναι η κατάσταση την στιγμή ,δηλαδή μετά από ένα διάστημα που αντιστοιχεί στον χρόνο ένα κύμα που κινείται με το ονομαστικό κύμα ταχύτητα  θα χρειαστεί για το ένα τέταρτο του μήκους της χορδής.
Το Σχήμα 3 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που.Το κύμα ταξιδεύει με κατεύθυνση δεξιά με τη ταχύτητα χωρίς να είναι ενεργά περιορισμένο από τις συνοριακές συνθήκες στα δύο άκρα της χορδής. Το σχήμα του κύματος είναι σταθερό, δηλαδή η καμπύλη είναι πράγματι της μορφής f(x−ct).
Το Σχήμα 4 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που. Ο περιορισμός στο δεξι άκρο αρχίζει να παρεμβαίνει στην κίνηση εμποδίζοντας το κύμα να αυξήσει το τέλος της χορδής.
Το Σχήμα 5 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που όταν η κατεύθυνση της κίνησης αντιστρέφεται.Η κόκκινη,η πράσινη και η μπλε καμπύλη είναι οι καταστάσεις στους χρόνους που  ενώ οι 3 μαύρες καμπύλες αντιστοιχούν προς τις καταστάσεις στους χρόνους που με το κύμα αρχίζουν να κινούνται πίσω προς τα αριστερά.
Το σχήμα 6 και το σχήμα 7 εμφανίζουν τελικά το σχήμα της χορδής στους χρόνους που και. Το κύμα ταξιδεύει τώρα προς τα αριστερά και οι περιορισμοί στα τελικά σημεία δεν είναι ενεργοι πια. Όταν τελικά η άλλη άκρη της χορδής η κατεύθυνση θα έχει και πάλι αναστραφεί με τρόπο παρόμοιο με αυτό που εμφανίζεται στο σχήμα 6.
Πολυδιάστατοι χώροι
Η μονοδιάστατη θεωρία της αξίας αρχική-όριο μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό διαστάσεων του χώρου. Σκεφτείτε μια περιοχή D σε έναν m-διαστάσεων χ του χώρου, με σύνορο Β. Στη συνέχεια, η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αν το  x βρίσκεται μέσα  στο D και t> 0. Στο σύνορο του D, η λύση u ικανοποιεί την
όπου n είναι η μονάδα προς τα έξω κάθετα προς Β και α είναι μία μη αρνητική συνάρτηση που ορίζεται στο Β. Η περίπτωση όπου u εξαφανίζεται στο Β είναι μια οριακή περίπτωση για ένα πλησιάζει το άπειρο. Οι αρχικές συνθήκες είναι
όπου f και g ορίζονται στο  D. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την επέκταση των f και g στις ιδιοσυναρτήσεις του Λαπλάσιαν στο D, οι οποίες πληρούν τις οριακές συνθήκες. Έτσι, η ιδιοσυνάρτηση v ικανοποιεί
στο D, και
στο B.
Εάν το όριο είναι μια σφαίρα σε τρεις διαστάσεις χώρου, οι γωνιακές συνιστώσες των ιδιοσυναρτήσεων είναι σφαιρικές αρμονικές, και οι ακτινικές συνιστώσες είναι συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης.
Ανομοιογενής κυματική εξίσωση σε μία διάσταση
Η ανομοιογενής εξίσωση κυμάτων σε μία διάσταση είναι η ακόλουθη:
Η συνάρτηση s (x, t) συχνά αποκαλείται συνάρτηση προέλευσης, διότι, στην πράξη, περιγράφει τις επιπτώσεις των πηγών των κυμάτων στο μέσο που τους μεταφέρει. Φυσικά παραδείγματα των συναρτήσεων προέλευσης περιλαμβάνουν την κινητήρια δύναμη που οδηγεί ένα κύμα σε μια σειρά, είτε το φορτίο ή την πυκνότητα ρεύματος στον μετρητή Λόρενζ του ηλεκτρομαγνητισμού.
Μία μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (με τις αρχικές τιμές, που τίθενται παραπάνω) είναι να επωφεληθούν από μια ειδική ιδιότητα της εξίσωσης κύματος σε ένα μονό αριθμό διαστάσεων χώρο, δηλαδή ότι οι λύσεις της σέβονται την αιτιότητα. Δηλαδή, για κάθε σημείο (xi, ti), η τιμή του u (xi, ti) εξαρτάται μόνο από τις τιμές της f (xi + CTI) και f (xi-CTI) και τις τιμές της συνάρτησης g (x) μεταξύ (xi−cti) and (xi+cti). Αυτό φαίνεται στην τύπος του Ντ' Αλαμπέρ, που προαναφέρθηκε, όπου οι ποσότητες αυτές είναι οι μόνες που εμφανίζονται σε αυτή. Φυσικά, εάν η μέγιστη ταχύτητα διάδοσης είναι C, τότε κανένα μέρος του κύματος που δεν μπορεί να διαδοθεί σε ένα δεδομένο σημείο από ένα δεδομένο χρονικό διάστημα μπορεί να επηρεάσει το πλάτος στο ίδιο σημείο και χρόνο.
Όσον αφορά την εξεύρεση λύσης, αυτή η ιδιότητα αιτιότητας σημαίνει ότι για κάθε συγκεκριμένο σημείο επί της γραμμής εξετάζεται, η μόνη περιοχή που πρέπει να εξεταστεί είναι η περιοχή που καλύπτει όλα τα σημεία που θα μπορούσαν να επηρεάσουν το αιτιώδες σημείο που εξετάζεται. Δείξτε την περιοχή που επηρεάζει ανέμελα το σημείο (xi, ti) ως RC. Έστω ότι  έχουμε ενσωματώσει την ανομοιογενή κυματική εξίσωση πάνω από αυτή την περιοχή.
Η αριστερή πλευρά είναι τώρα το άθροισμα των τριών γραμμικών ολοκληρωμάτων κατά μήκος των ορίων της περιοχής αιτιότητας. Αυτά αποδεικνύεται πως είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστούν
Στα παραπάνω, ο όρος που ενσωματώνεται σε σχέση με το χρόνο εξαφανίζεται επειδή το χρονικό διάστημα που εμπλέκεται είναι μηδέν, έτσι dt = 0.
Για τις άλλες δύο πλευρές της περιοχής, αξίζει να σημειωθεί ότι x±ct είναι μία σταθερά, ορίζοντας xi±cti, όπου το πρόσημο επιλέγεται κατάλληλα. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να πάρουμε τη σχέση dx±cdt = 0, και πάλι η επιλογή του σωστού σημείου:
Και ομοίως για το τελικό τμήμα του ορίου :
Προσθέτοντας τα τρία αποτελέσματα μαζί και τοποθετώντας τα πίσω στο αρχικό ολοκλήρωμα:
Λύνοντας ως προς u(xi, ti) φτάνουμε στο
Στην τελευταία εξίσωση της αλληλουχίας, τα όρια του ολοκληρώματος επί της συνάρτησης απ' όπου προέρχονται έχουν γίνει σαφή. Κοιτάζοντας αυτή τη λύση, η οποία ισχύει για όλες τις επιλογές (xi, ti) συμβατές με την εξίσωση κύματος, είναι σαφές ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι απλά του τύπου του Ντ' Αλεμπέρ, όπως αναφέρθηκε παραπάνω ως η επίλυση της ομοιογενούς εξίσωσης κύματος σε μία διάσταση. Η διαφορά είναι στον τρίτο όρο, το ολοκλήρωμα επί της αρχικής συνάρτησης.
Άλλα συστήματα συντεταγμένων
Στις τρεις διαστάσεις, η κυματική εξίσωση, όταν είναι γραμμένη σε ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες, μπορεί να επιλυθεί με διαχωρισμό των μεταβλητών, που οδηγεί στην Διαφορική εξίσωση Μάθιου.
Περαιτέρω γενικεύσεις
Για να μοντελοποιήσουμε διασκεδαζόμενα κυματικά φαινόμενα,εκείνα στα οποία η ταχύτητα της διάδοσης κυμάτων ποικίλλει ανάλογα με τη συχνότητα του κύματος, η σταθερά c αντικαθίσταται από την ταχύτητα φάσης:
Η ελαστική εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις περιγράφει τη διάδοση των κυμάτων σε ένα ισοτροπικά ομοιογενές ελαστικό μέσο. Τα περισσότερα στερεά υλικά είναι ελαστικά, έτσι ώστε αυτή η εξίσωση περιγράφει φαινόμενα όπως σεισμικά κύματα στη Γη και υπερηχητικά κύματα που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση ελαττωμάτων σε υλικά. Παρότι γραμμική, αυτή η εξίσωση έχει μια πιο σύνθετη μορφή από τις εξισώσεις που δίδονται παραπάνω, καθώς πρέπει να αντιπροσωπεύει τόσο την διαμήκη όσο και την εγκάρσια κίνηση:
Σημειώστε ότι σε αυτήν την εξίσωση, τόσο η δύναμη όσο και η μετατόπιση είναι διανυσματικές ποσότητες. Έτσι, αυτή η εξίσωση είναι μερικές φορές γνωστή ως η διανυσματική εξίσωση κύματος.
Πίνακας μεταλλίων Χειμερινών Ολυμπιακών Αγώνων 1998
[[Αρχείο:1998 Winter Olympic Games medals map.png|thumb|400px|Χάρτης με τις χώρες που κατέκτησαν μετάλλιο κατά τη διάρκεια των Αγώνων.
Υπόμνημα:
Χώρες που κέρδισαν τουλάχιστον ένα χρυσό μετάλλιο.
Χώρες που κέρδισαν τουλάχιστον ένα αργυρό μετάλλιο.
Χώρες που κέρδισαν τουλάχιστον ένα χάλκινο μετάλλιο.
Χώρες που δεν κέρδισαν κανένα μετάλλιο.
Χώρες που δεν έλαβαν μέρος στους Αγώνες.]] thumb|300px|Τα μετάλλια των Αγώνων. Ο πίνακας μεταλλίων των Χειμερινών Ολυμπιακών Αγώνων του 1998 είναι μία λίστα της Διεθνούς Ολυμπιακής Επιτροπής, η οποία κατατάσσει τις χώρες με βάση τον αριθμό των μεταλλίων που κατέκτησαν στους Χειμερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες του 1998.
Συνολικά, 2.176 αθλητές από 72 χώρες έλαβαν μέρος σε 68 αγωνίσματα των 7 αθλημάτων που πραγματοποιήθηκαν στο Ναγκάνο της Ιαπωνίας, το διάστημα 7-22 Φεβρουαρίου 1998. Από τις 72 συμμετέχουσες χώρες, οι 24 κέρδισαν μετάλλιο στους Αγώνες, ενώ 15 από αυτές πανηγύρισαν την κατάκτηση έστω ενός χρυσού.
Η Γερμανία επέστρεψε στην κορυφή της κατάταξης μετά το 1992, έχοντας τα περισσότερα χρυσά αλλά και συνολικά μετάλλια. Στη δεύτερη θέση βρέθηκαν οι Νορβηγοί και στην τρίτη οι Ρώσοι. Η Δανία κατέκτησε το πρώτο -και μοναδικό έως σήμερα- μετάλλιο της σε Χειμερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες, ενώ Βουλγαρία και Τσεχία πανηγύρισαν τα πρώτα τους χρυσά.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Χειμερινοί Ολυμπιακοί Αγώνες 1998 1998
Πρωτεάση
Παλαιότερα στη Βιοχημεία η πρωτεάση ή πρωτεϊνάση ταυτιζόταν με την ενδοπεπτιδάση ακριβώς για το ίδιο έργο που επιτελεί κι εκείνη. Δηλαδή την αποδόμηση των πρωτεϊνών διασπώντας τους εσωτερικούς πεπτιδικούς δεσμούς, παράγοντας έτσι πεπτίδια.
Σήμερα όμως η πρωτεϊνάση θεωρείται ιδιαίτερος τύπος της πεπτιδάσης στον οποίο και περιλαμβάνονται τα πρωτεολυτικά ένζυμα:
Υπ΄ αυτή τη σύγχρονη κατηγοριοποίηση ο επίσημος αριθμός της πρωτεϊνάσης είναι ΕC 3.4.21-24. Συνηθίζεται δε να λέγεται και πρωτεάση. Αναστολείς της πρωτεϊνάσης είναι μικρές πρωτεΐνες όπως η αντιθριψίνη.
Whitesnake
Οι Whitesnake είναι βρετανικό ροκ συγκρότημα, το οποίο δημιουργήθηκε από τον τραγουδιστή Ντέιβιντ Κόβερντεϊλ μετά την αποχώρηση του από τους Deep Purple, το 1978.
Τα πρώτα χρόνια
left|thumb|200px|Οι Whitesnake σε ζωντανή εμφάνιση το 1981 Το χειμώνα του 1979, ο πρώην ντράμερ των Deep Purple Ίαν Πέις, πήρε τη θέση του Ντάουλ και το συγκρότημα ηχογράφησε το "Ready an' Willing", το οποίο έφθασε στο # 6 και έγινε χρυσό, στη Μεγάλη Βρετανία. Ο δίσκος περιείχε την μεγάλη επιτυχία "Fool for Your Loving" και κατά την περιοδεία για την προώθηση του οι Whitesnake εμφανίστηκαν σαν πρώτο όνομα στο φεστιβάλ του Ρέντινγκ, μαζί με το Ρόρι Γκάλαχερ και τους UFO.
Στις 1 Νοεμβρίου 1980 κυκλοφόρησε το "Live...In the Heart of the City", το οποίο σκαρφάλωσε στο # 5 στο Ηνωμένο Βασίλειο και έγινε πλατινένιο. Πέντε μήνες αργότερα, το συγκρότημα επέστρεψε με το "Come an' Get It", το οποίο ανέβηκε στη δεύτερη θέση στην πατρίδα τους και συνοδευόταν από την επιτυχία "Don't Break My Heart Again".
Το 1982, ο Μπέρνι Μάρσντεν αντικαταστάθηκε από τον Μελ Γκάλεϊ των Trapeze, το μπάσο ανέλαβε ο Κόλιν Χόντγκινσον και τα τύμπανα ο Κόζι Πάουελ. Η νέα σύνθεση κυκλοφόρησε το "Saints & Sinners" στις 20 Νοεμβρίου του 1982, ανεβαίνοντας για τέταρτη συνεχόμενη φορά στο βρετανικό Top-10. Κατά την περιοδεία του δίσκου, οι Whitesnake εμφανίστηκαν σαν πρώτο όνομα στο φεστιβάλ "Monsters of Rock" του 1983, μαζί με τους ZZ Top, Dio, Twisted Sister, Diamond Head, Meat Loaf, κ.α..
Στα τέλη του 1983, το συγκρότημα ηχογράφησε το δίσκο "Slide It In" ο οποίος έγινε το πρώτο τους άλμπουμ που έφθασε στο αμερικάνικο Top-40. Ο δίσκος περιείχε τις επιτυχίες "Guilty of Love", "Give Me More Time" και "Love Ain't No Stranger". Λίγο πριν τις ηχογραφήσεις του άλμπουμ ο Τζον Σάικς είχε πάρει τη θέση του Μίκι Μούντι, ενώ κατά τη διάρκεια της περιοδείας ο Μελ Γκάλεϊ έσπασε το χέρι του, με αποτέλεσμα ο Σάικς να αναλάβει όλα τα κιθαριστικά μέρη για τις υπόλοιπες εμφανίσεις τους.
Αλλαγή ύφους
Το 1985 και το 1986, σημειώθηκαν αρκετές αλλαγές στη σύνθεση του συγκροτήματος. Τη θέση του Γκάλεϊ πήρε ο Άντριαν Βάντενμπεργκ, ο Νιλ Μάρεϊ επέστρεψε στο μπάσο, ο Όνσλεϊ Ντάνμπαρ πήρε τη θέση του Κόζι Πάουελ στα τύμπανα, ο Τζον Λορντ αποχώρησε για να ενταχθεί στην επανένωση των Deep Purple και αντικαταστάθηκε αρχικά από τον Ρίτσαρντ Μπέιλι και στη συνέχεια το συγκρότημα συνέχισε χωρίς μόνιμο κιμπορντίστα με τη θέση να καλύπτεται κατά καιρούς από τον Μπιλ Κουόμο, το Ντον Έρεϊ τον Κλωντ Γκαντέτ ή τον Ρικ Σέρατ.
left|thumb|250px|Οι Whitesnake το 1983 Τον Απρίλιο του 1987 κυκλοφόρησε ο πιο επιτυχημένος, εμπορικά, δίσκος του συγκροτήματος με τίτλο "Whitesnake" ή "1987". Ο δίσκος παρουσίασε ένα ηχητικό σύνολο πιο εμπορικό από τις μέχρι τότε δουλειές τους, γεγονός που το βοήθησε να ανέβει στο # 2 στις Ηνωμένες Πολιτείες και το # 8 στη Μεγάλη Βρετανία, ενώ περιείχε τα σινγκλ "Here I Go Again" (# 1 στις ΗΠΑ, # 9 στο Ηνωμένο Βασίλειο), "Is This Love" (# 2 και # 9 αντίστοιχα) και "Still of the Night" (# 79 και # 16 αντίστοιχα). Το "Whitesnake" έχει βραβευθεί ως οκτώ φορές πλατινένιο στις Ηνωμένες Πολιτείες και πέντε φορές πλατινένιο στον Καναδά. Μετά την κυκλοφορία του δίσκου ο πρώην ντράμερ του Ozzy Osbourne Τόμι Όλντριτζ, αντικατέστησε τον Ντάνμπαρ στα τύμπανα, ο Ρούντι Σάρζο τον Μάρεϊ στο μπάσο και Βίβιαν Κάμπελ τον Σάικς στην κιθάρα, για να δώσει με τη σειρά του τη θέση του στον Στηβ Βάι, το 1989.
Το συγκρότημα κυκλοφόρησε το "Slip of the Tongue" ανεβαίνοντας στο Top-10 και στις δύο πλευρές του Ατλαντικού, ενώ το δίσκο συνόδευαν τα επιτυχημένα σινγκλ "Fool for Your Loving" (επανεκτέλεση του δικού τους τραγουδιού από το 1980), "The Deeper the Love" και "Now You're Gone". Κατά την περιοδεία για την προώθηση του δίσκου, το συγκρότημα εμφανίστηκε για δεύτερη φορά σαν πρώτο όνομα στο φεστιβάλ "Monsters of Rock", μαζί με τους Aerosmith.
Μετά το τέλος της περιοδείας, ο Κόβερντεϊλ ανακοίνωσε την αποχώρηση του από τη μουσική βιομηχανία με αποτέλεσμα να διαλυθεί το συγκρότημα. Παρ' όλη την αρχική του ανακοίνωση, ο τραγουδιστής του συγκροτήματος συνεργάστηκε με τον κιθαρίστα των Led Zeppelin Τζίμι Πέιτζ, για το πρότζεκτ Coverdale and Page.
Επανένωση
thumb|250px|Οι Whitesnake το 2011 Το 1994, το συγκρότημα επανενώθηκε για μια μικρή περιοδεία με σκοπό την προώθηση της συλλογής "Whitesnake's Greatest Hits". Αυτή η σύνθεση περιελάμβανε τον Κόβερντεϊλ στα φωνητικά, τον Βάντερμπεργκ και τον Γουόρεν Ντε Μαρτίνι στις κιθάρες, τον Ρούντι Σάρζο στο μπάσο, τον Ντένι Καμάσι στα τύμπανα και τον Πωλ Μίρκοβιτς στα πλήκτρα.