cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Παράγωγος
Παράδειγμα
Η συνάρτηση τετραγωνισμού f(x)=x2 είναι παραγωγίσιμη στο x=3, και η παράγωγός της (στο x=3) είναι ίση με 6. Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει με τον υπολογισμό του ορίου, με το h να τείνει στο μηδέν της διαφοράς πηλίκο f(3):
Η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης τετραγωνισμού στο σημείο (3,9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3 είναι f '(3)=6.
Γενικότερα, με παρόμοιο τρόπο υπολογισμού έχουμε ότι η παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης στο x=a είναι f′(a) = 2a.
Συνέχεια και παραγωγισιμότητα
thumb|right|Αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο μαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε και παραγωγίσιμη.
Αν y=f(x) είναι παραγωγίσιμη στο a, τότε η f πρέπει να είναι συνεχής στο a. Για παράδειγμα, επιλέγουμε ένα σημείο a και f μια δίκλαδη συνάρτηση που επιστρέφει την τιμή, ας πούμε 1, για όλα τα x μικρότερα του a, και επιστρέφει μια διαφορετική τιμή, ας πούμε 10, για όλα εκείνα τα x που είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το a. Η f δεν έχει παράγωγο στο a. Αν το h είναι αρνητικό, τότε το a + h είναι στο χαμηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h είναι απότομη, και αν το h τείνει στο μηδέν η κλίση τείνει στο άπειρο. Αν το h είναι θετικό, τότε το a + h είναι στο υψηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h έχει μηδενική κλίση.Κατά συνέπεια οι τέμνουσες ευθείες δεν απευθύνονται σε οποιαδήποτε κλίση, καθώς το όριο της διηρημένης διαφοράς δεν υπάρχει.
Ωστόσο, ακόμη και αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση της απολύτου τιμής συναρτήσει του x είναι συνεχής στο x=0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί. Αν το h είναι θετικό, η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι ένα, ενώ αν το h είναι αρνητικό, τότε η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι μείον ένα. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ακόμα μια συνάρτηση με ομαλή γραφική παράσταση δεν είναι παραγωγίσιμη σε σημείο όπου η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη: Για παράδειγμα, η συνάρτηση  y = x1/3 δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.
Συνοπτικά: προκειμένου μια συνάρτηση f να έχει παράγωγο είναι αναγκαίο για την συνάρτηση f να είναι συνεχής, αλλά η συνέχεια από μόνη της δεν είναι επαρκής.
Οι περισσότερες συναρτήσεις που εμφανίζονται στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλα τα σημεία. Στην ιστορία του λογισμού, πολλοί μαθηματικοί υπέθεταν ότι οι συνεχείς συναρτήσεις ήταν παραγωγίσιμες στα περισσότερα σημεία. Κάτω από συνθήκες, για παράδειγμα αν η συνάρτηση είναι μονότονη ή συνάρτηση Lipschitz, αυτό αληθεύει. Ωστόσο, το 1872 ο Weierstrass βρήκε το πρώτο παράδειγμα συνάρτησης η οποία είναι συνεχής οπουδήποτε αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Αυτό το παράδειγμα είναι τώρα γνωστό ως συνάρτηση Weierstrass. Το 1931, ο Stefan Banach απέδειξε ότι το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι σχεδόν καμία συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε σημείο. thumb|Η συνάρτησης της απολύτου τιμής είναι συνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη στο x = 0, οι εφαπτόμενες δε δίνουν την ίδια τιμή αριστερά και δεξιά.
Η παράγωγος ως συνάρτηση
Έστω f μια συνάρτηση που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Επειδή κάθε σημείο a έχει μια παράγωγο, υπάρχει μια συνάρτηση που αντιστοιχεί το σημείο a με την παράγωγο της f στο a. Αυτή η συνάρτηση συμβολίζεται f'(x) και ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση ή παράγωγος της f. Η παράγωγος της f "μαζεύει" όλες τις παραγώγους της f σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της f.
Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδέα, η παραγώγιση μετατρέπεται σε μια συνάρτηση συναρτήσεων. Η παράγωγος είναι ένας τελεστής του οποίου το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους και το πεδίο τιμών του είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Αν συμβολίσουμε αυτόν τον τελεστή D, τότε το D(f) είναι η συνάρτηση f′(x). Από την στιγμή που το D(f) αποτελεί συνάρτηση, μπορεί να πάρει τιμή στο σημείο a. Από τον ορισμό της παραγώγου ως συνάρτηση: D(f)(a) = f′(a).
Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης
Αν x(t) παριστά τη θέση ενός αντικειμένου κατά το χρόνο t, τότε οι παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης του x έχουν φυσικές ερμηνείες. Η δεύτερη παράγωγος του x είναι η παράγωγος του x'(t), η ταχύτητα, και (η δεύτερη παράγωγος) είναι η επιτάχυνση του αντικειμένου. Η τρίτη παράγωγος του x ορίζεται να είναι το τράνταγμα, και η τέταρτη παράγωγος ορίζεται να είναι το τίναγμα.
Μια συνάρτηση f δεν έχει παράγωγο,για παράδειγμα, αν δεν είναι συνεχής. Κατά τον ίδιο τρόπο, ακόμα κι αν η f έχει παράγωγο, μπορεί να μην έχει δεύτερη παράγωγο. Για παράδειγμα, έστω Με βασικούς υπολογισμούς, διαπιστώνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη), της οποίας η παράγωγος είναι
Η f'(x) είναι το διπλάσιο της απόλυτης τιμής του x, και δεν έχει παράγωγο στο 0. Παρόμοια παραδείγματα δείχνουν ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχει κ παραγώγους (όπου κ ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός), αλλά όχι κ+1 τάξης παράγωγο. Μια συνάρτηση που έχει κ παραγώγους, καλείται κ φορές διαφορίσιμη. Επιπλέον, αν η κ-οστή παράγωγος της f είναι συνεχής, τότε η f είναι διαφορικής κλάσης Cκ. (Αυτή είναι μια δυνατότερη συνθήκη από τα να έχει κ παραγώγους. Για παραδείγματα, δείτε τάξη διαφορισιμότητας). Μια συνάρτηση που έχει άπειρα πολλές παραγώγους, λέγεται απείρως παραγωγίσιμη/διαφορίσιμη ή ομαλή.
Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. Από τους κανόνες της παραγώγισης, προκύπτει ότι αν ένα πολυώνυμο βαθμού n παραγωγιστεί n φορές, τότε καταλήγει σε σταθερή συνάρτηση. Όλες οι υπόλοιπες υπακόλουθες παράγωγοι είναι μηδενικές, δηλαδή υπάρχουν. Έτσι, τα πολυώνυμα είναι ομαλές συναρτήσεις.
Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f σ'ένα σημείο x παρέχουν πολυωνυμικές προσεγγίσεις της συνάρτησης αυτής κοντά στο x. Για παράδειγμα, αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε με το σκεπτικό ότι
Αν η f είναι απείρως παραγωγίσιμη, τότε αυτή είναι η αρχή της σειράς Taylor για την f.
Σημείο καμπής
Κύριο άρθρο: σημείο καμπής
Ένα σημείο στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής. Σε ένα σημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι μηδενική, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x3, ή μπορεί να αποτύχει να υπάρχει, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x1/3. Σε ένα σημείο καμπής, η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλη σε κυρτή ή αντίστροφα.
Σημειογραφία και συμβολισμός του διαφορικού λογισμού
Κύριο άρθρο : Σημειογραφία και συμβολισμός του διαφορικού λογισμού
Σημειογραφία του Leibniz
Κύριο άρθρο : Σημειογραφία του Leibniz
Με την σημειογραφία του Leibniz μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο της f στο x=α με δύο διαφορετικούς τρόπους:
Στον συμβολισμό του Leibniz γίνεται σαφές ως προς πια μεταβλητή γίνεται η παραγώγιση (στον παρονομαστή). Αυτό σχετίζεται ιδιαίτερα με την μερική διαφόριση. Επίσης, με αυτήν την σημειογραφία γίνεται ευκολομνημόνευτος ο κανόνας της αλυσίδας:
Σημειογραφία του Lagrange
Ένας από τους πιο κοινούς σύγχρονους συμβολισμούς για την διαφόριση,και μερικές φορές καλείται ως τονική διαφόριση, οφείλεται στον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ και χρησιμοποιεί τον τόνο έτσι, ώστε η παράγωγος μια συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με f'(x) ή απλούστερα f'. Όμοια, η δεύτερη και η τρίτη παράγωγος συμβολίζονται Εκτός από τον τόνο, μερικοί χρησιμοποιούν τους ρωμαϊκούς αριθμούς, όπως καθώς άλλοι τοποθετούν τον αριθμό της τάξης της παραγώγου σε παρένθεση, όπως για παράδειγμα για την τέταρτη παράγωγο Ο τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται δίνοντας το σύμβολο f(n) για την n-οστή παράγωγο της f. Αυτή η σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη όταν αναφερόμαστε στην παράγωγο όντας μια συνάρτηση από μόνη της, κάτι για το οποίο η σημειογραφία του Leibniz γίνεται περίπλοκη.
Σημειογραφία του Νεύτωνα
Κατά τον συμβολισμό του Νεύτωνα για την παραγώγιση, τοποθετείται μια τελίτσα πάνω από την συνάρτηση που παριστάνει την παράγωγο. Αν y=f(t), τότε τα παριστάνουν, αντίστοιχα, την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο της y σε σχέση με την μεταβλητή t. Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά για χρονικές παραγώγους, με την έννοια ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης εκφράζει τον χρόνο. Είναι κάτι κοινό στην Φυσική και σε τομείς των Μαθηματικών που συνδέονται με την Φυσική, όπως οι διαφορικές εξισώσεις. Καθώς ο συμβολισμός αυτός γίνεται πολύ δύσχρηστος για μεγάλες τάξεις παραγώγων, πρακτικά χρειάζονται αρκετά μικρές παράγωγοι.
Διαφορικό και Παράγωγος στο χρόνο
Ο Newton προσπάθησε να εξηγήσει το λογισμό με βάση την έννοια του διαφορικού και της παραγώγου ως προς τον χρόνο,που ακολουθούσαν τις δικές του μαθηματικές εφευρέσεις.Είπε ότι ο ρυθμός παραγωγής είναι η παράγωγος ως προς τον χρόνο ενός στοιχείου,η οποία συμβολίζεται από μια μεταβλητή με μια τελεία από πάνω.Όμοια ο ρυθμός της δεύτερης παραγώγου ως προς τον χρόνο συμβολίζεται με δύο τελείες από πάνω. Αυτοί οι παράγωγοι τείνουν πολύ κοντά στο μηδέν αλλα δεν είναι μηδέν. Αλλά όταν πολλαπλασσιάζουμε δύο παραγώγους της ίδιας τάξης,το αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ κοντά στο μηδέν και το θεωρούμε ως μηδέν.Έτσι ο Newton πήρε τις παραγώγους και αντικατέστησε τις μεταβλητές του x με x+\dot{x}  και όλες τις μεταβλητές του y με  y+\dot{y}   και μετά χρησιμοποίησε τους κανόνες της παραγώγισης για να πάρει την παράγωγο και να βρει ένα αποτέλεσμα για το. Για παράδειγμα ,
χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι x^2+y^2=1  μπορούμε να δούμε    και    έτσι.
Ο Νεύτων περιέγραψε μαθηματικές ποσότητες σαν να είναι σε συνεχή κίνηση. Αυτή η κίνηση,είπε,μπορεί να θεωρηθεί ισάξια ενός σημείου που διατρέχει μια καμπύλη. Προσδιόρισε αυτή την ποσότητα και την ονόμασε  διαφορικό . Αυτή η ιδέα για το όνομα του γεννήθηκε από τον ρυθμό με τον οποίο αυτές οι ποσότητες αλλάζουν. Ο Newton το ονόμασε στη τελική  Διαφορικά και παράγωγοι ως προς τον χρόνο  και το παρουσίασε. Έτσι, αν ένα διαφορικό παριστάνεται από το x, το ονομάζει παράγωγο του χ και όμοια την δεύτερη παράγωγο και συνεχίζει και τους υπόλοιπους συμβολισμούς. Αυτό μπορεί να συσχετιστεί με τον νεότερο συμβολισμό της παραγώγου. Στην σημερινή εποχή, η παράγωγος της μεταβλητής x έχει σχέση με μια ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου,την t η οποία συμβολίζει το διάνυσμα της ταχύτητας και συμβολίζεται με dx/''dt. Με άλλα λόγια η παράγωγος της f(x) ως προς τον χρόνο t είναι dx/dt.''
Η στιγμή του διαφορικού
Ο Νεύτων καλεί ο τη στιγμή ενός διαφορικού. Η στιγμή ενός διαφορικού παριστάνει το απείρως μικρό κομμάτι στο οποίο ένα στοιχείο αυξάνεται σε ένα μικρό χρονικό διάστημα. Κάποτε επέτρεψε στον εαυτό του να κάνει μια διάρεση μέσω του ο ( παρόλα αυτά το ο δεν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν διότι αυτό θα καθιστούσε την διαίρεση αδύνατη). Ο Newton αποφάσισε ότι είναι δικαιολογημένο να απαλείψει όλους τους όρους που περιέχουν το o.
Σημειογραφία του Euler
Στην σημειογραφία του Όιλερ χρησιμοποιείται ένας διαφορικός τελεστής D, ο οποίος εφαρμόζεται σε μια συνάρτηση f δίνοντας την πρώτη παράγωγο Df. Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται με D2f και η n-οστή παράγωγος με Dnf.
Αν y=f(x) είναι μια εξαρτημένη μεταβλητή, τότε ο δείκτης x γράφεται μαζί με το D διευκρινίζοντας την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έτσι, ο συμβολισμός του Euler είναι αν και αυτός ο δείκτης συχνά παραλείπεται όταν εννοείται, για παράδειγμα όταν αυτή είναι η μόνη μεταβλητή που υπάρχει σε μια έκφραση.
Υπολογίζοντας την παράγωγο
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, να υπολογιστεί μέσω του ορισμού θεωρώντας τις διηρημένες διαφορές και υπολογίζοντας τα όριά τους. Πρακτικά, από την στιγμή που οι παράγωγοι απλών συναρτήσεων είναι γνωστές, οι παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πιο εύκολα υπολογίσιμοι χρησιμοποιώντας κανόνες για την εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.
Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων
Κύριο άρθρο : Πίνακας των παραγώγων
Τις περισσότερες φορές, ο υπολογισμός μιας παραγώγου απαιτεί την παραγώγιση μερικών κοινών συναρτήσεων. Η παρακάτω μη ολοκληρωμένη λίστα δίνει κάποιες από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους.
όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός, τότε σε κάθε σημείο όπου ορίζεται η συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν α=1/2, τότε και η συνάρτηση ορίζεται μόνο για μη αρνητικά x. Όταν x=0, αυτός ο κανόνας περικλείει τον κανόνα παραγώγισης σταθερής συνάρτησης.
Κανόνες παραγώγισης
Κύριο άρθρο : Κανόνες Παραγώγισης
Σε πολλές περιπτώσεις, περίπλοκοι υπολογισμοί ορίων με την άμεση εφαρμογή των διηρημένων διαφορών του Νεύτωνα μπορούν να αποφευχθούν με τους κανόνες παραγώγισης. Κάποιοι από τους βασικότερους είναι οι ακόλουθοι.
Το ίδιο ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.
Παράδειγμα υπολογισμού
Η παράγωγος της είναι
Εδώ, ο δεύτερος όρος υπολογίστηκε με τον κανόνα της αλυσίδας και ο τρίτος με τον κανόνα του γινομένου. Χρησιμοποιήθηκαν επίσης οι γνωστές παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων x2, x4, sin(x), ln(x) and exp(x) = ex
Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης
Η διανυσματική συνάρτηση y(t) μιας πραγματικής μεταβλητής στέλνει πραγματικούς αριθμούς σε διανύσματα στον διανυσματικό χώρο \R^n. Μια διανυσματική συνάρτηση y(t)=(y1(t), y2(t), y3(t),...,yn(t)) μπορεί να διασπαστεί στις συνιστώσες συναρτήσεις της y1(t),...,yn(t). Αυτό περιλαμβάνει, για παράδειγμα, παραμετρικές καμπύλες στο \R^2 ή \R^3. Οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις και έτσι ο παραπάνω ορισμός της παραγώγισης μπορεί να εφαρμοστεί σ'αυτές. Η παράγωγος της y(t) ορίζεται να είναι ένα διάνυσμα,το οποίο λέγεται εφαπτομενικό διάνυσμα, του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών συναρτήσεων. Δηλαδή,
Ισοδύναμα, αν το όριο υπάρχει. Η διαφορά στον αριθμητή είναι διαφορά διανυσμάτων, όχι βαθμωτών. Αν η παράγωγος της y υπάρχει για κάθε τιμή του t, τότε η y′ είναι μια άλλη διανυσματική συνάρτηση.
Αν {e1, e2, e3,...,en} αποτελεί μια βάση του \R^n, τότε η y(t) μπορεί επίσης να γραφτεί y1(t)e1, y2(t)e2, y3(t)e3,...,yn(t)en. Αν θεωρήσουμε ότι η παράγωγος μια διανυσματικής συνάρτησης διατηρεί την γραμμικότητα, τότε η παράγωγος της y(t) είναι γιατί κάθε ένα από τα διανύσματα της βάσης είναι σταθερές.
Αυτή η γενίκευση είναι χρήσιμη αν, για παράδειγμα, η y(t) είναι το διάνυσμα θέσης ενός αντικειμένου στην στιγμή t. Τότε η παράγωγος y′(t) εκφράζει την ταχύτητα του αντικειμένου την στιγμή t.
Μερικές παράγωγοι
Κύριο άρθρο: Μερική παράγωγος
Υποθέστε ότι η f είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Για παράδειγμα, Η f μπορεί να αναθεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές: Με άλλα λόγια, κάθε τιμή του x «επιλέγει» μια συνάρτηση, που συμβολίζεται fx και είναι συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής. Έτσι, Από την στιγμή που έχει επιλεγεί μια τιμή για το x, έστω α, τότε η f(x,y) καθορίζει την fα που «στέλνει» το y στο α2+αy+y2. Σ'αυτήν την παράσταση, το α είναι σταθερά, και όχι μεταβλητή, έτσι η fα είναι συνάρτηση μόνο μίας πραγματικής μεταβλητής. Συνεπώς, ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής μπορεί να εφαρμοστεί: Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε τιμή του α. Μαζεύοντας τις παραγώγους σε μία συνάρτηση το αποτέλεσμα θα ήταν μια συνάρτηση που εκφράζει την αλλαγή της f στην κατεύθυνση του y: Αυτή είναι η μερική παράγωγος της f σε σχέση με το y. Εδώ, το ∂ είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου.Για να το ξεχωρίσουμε από το γράμμα d,το ∂ μερικές φορές προφέρεται "der","del" ή "μερική" αντί του "dee".
Γενικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης f(x1, x2,...,xn) στην κατεύθυνση του xi στο σημείο (α1, α2,...,αn) ορίζεται ως: Στην παραπάνω διηρημένη διαφορά, όλες οι μεταβλητές εκτός της xi διατηρούνται σταθερές. Αυτή η επιλογή σταθερών τιμών προσδιορίζει μια συνάρτηση μίας μεταβλητής και εξ'ορισμού Με άλλα λόγια, οι διαφορετικές επιλογές της τιμής του α, δίνουν μια οικογένεια συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ακριβώς όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Αυτή η έκφραση δείχνει επίσης ότι ο υπολογισμός της μερικής παραγώγου περιορίζεται στον υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής.
Ένα σημαντικό παράδειγμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησης f(x1,...xn) σε ένα πεδίο ορισμού στον Ευκλείδιο χώρο \R^n (π.χ. \R^2 ή \R^3). Σ'αυτήν την περίπτωση, η f έχει μια μερική παράγωγο ∂f/∂xj σε σχέση με κάθε μεταβλητή xj. Στο σημείο α, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν το διάνυσμα: Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται ανάδελτα της f στο α. Αν η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο στο πεδίο ορισμού της, τότε το ανάδελτα είναι μια διανυσματική συνάρτηση ∇f που αντιστοιχεί το σημείο α στο διάνυσμα ∇f(α). Κατά συνέπεια, το ανάδελτα προσδιορίζει ένα διανυσματικό πεδίο.
Διανυσματική παράγωγος
Κύριο άρθρο:Διανυσματική παράγωγος
Αν η f είναι μια πραγματική συνάρτηση στο \R^n, τότε η μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγής της στον άξονα της συνισταμένης. Για παράδειγμα, αν η f είναι μια συνάρτηση του x και του y, τότε οι μερικές της παράγωγοι μετράνε την αλλαγή της f στην κατεύθυνση x και στην κατεύθυνση y. Ωστόσο, δεν μετράνε άμεσα την αλλαγή της f σε κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω στην διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται με την βοήθεια των διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα Η διανυσματική παράγωγος της f στην κατεύθυνση του v στο σημείο x είναι το όριο
Έστω λ πραγματικός αριθμός. Η αντικατάσταση του h με h/λ αλλάζει την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης λv σε λ φορές την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v. Συνεπώς, η διανυσματική παράγωγος στην κατεύθυνση λv είναι ίση με λ φορές την διανυσματική παράγωγο στην κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οι διανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο για μοναδιαία διανύσματα v.
Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο x, τότε προσδιορίζουν την διανυσματική παράγωγο της f στην κατεύθυνση v με τον τύπο: Αυτή είναι μια συνέπεια του ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, η διανυσματική παράγωγος είναι γραμμική στο v.
Ο ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν η f είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει τιμές στο \R^m. Απλά, εφαρμόζουμε τον παραπάνω ορισμό σε κάθε στοιχείο του διανύσματος. Σ'αυτήν την περίπτωση, η διανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα στο \R^m.
Ολική παράγωγος, ολικό ή τέλειο διαφορικό και Ιακωβιανός πίνακας
Κύριο άρθρο:Ολική παράγωγος.
Όταν η f είναι μία συνάρτηση ενός ανοικτού υποσυνόλου από το Rn στο Rm, τότε η διανυσματική παράγωγος της f στη διεύθυνση που έχουμε επιλέξει είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της f στο σημείο αυτό και στη διεύθυνση αυτή. Αλλά όταν n > 1, η διανυσματική παράγωγος μπορεί να δώσει μια ολοκληρωμένη εικόνα για την συμπεριφορά της f. Η ολική παράγωγος, ονομάζεται και (ολικό) διαφορικό, και δίνει μια ολοκληρωμένη εικόνα παρατηρώντας όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα. Αυτός είναι, για κάθε διάνυσμα v με αρχή το a, ο τύπος που αναμένεται για τη γραμμική προσέγγιση: Ακριβώς όπως η παράγωγος μιας μεταβλητής, η f ′(a) έχει επιλεχθεί έτσι ώστε το λάθος σε αυτήν την προσέγγιση να είναι όσο πιο μικρό γίνεται.
Αν n και m είναι και τα δυο ένα, τότε η παράγωγος  f ′(a) είναι ένας αριθμός και η έκφραση  f ′(a)v είναι το γινόμενο δυο αριθμών. Αλλά σε μεγαλύτερες διαστάσεις, είναι αδύνατον το f ′(a)  να είναι αριθμός. Αν ήταν αριθμός, τότε το f ′(a)v  θα μπορούσε να ήταν ένα διάνυσμα του  Rn ενώ οι άλλοι όροι θα μπορούσαν να ήταν διανύσματα του  Rm, και συνεπώς ο τύπος δε θα είχε νόημα. Για να έχει νόημα ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης, το f ′(a) πρέπει να είναι μια συνάρτηση που στέλνει διανύσματα του Rn σε διανύσματα του  Rm, και το f ′(a)v πρέπει να δηλώνει αυτή τη συνάρτηση εκτιμώντας το v.
Για να προσδιορίσετε τι είδους συνάρτηση είναι, παρατηρείστε ότι ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής Σημειώστε ότι αν επιλέξουμε άλλο διάνυσμα w, τότε αυτή η προσεγγιστική εξίσωση προσδιορίζει άλλη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας το v με w. Προσδιορίζει μια τρίτη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας και στα δυο v με w και το  a με a + v. Αφαιρώντας αυτές τις δυο νέες εξισώσεις, παίρνουμε Αν υποθέσουμε ότι το v είναι μικρό και ότι η παράγωγος τείνει συνεχώς στο a, τότε το f ′(a + v) είναι κατά προσέγγιση ίσο με το f ′(a), και συνεπώς το δεξιό μέλος είναι κατά προσέγγιση μηδέν. Το αριστερό μέλος μπορεί να ξανά γραφτεί με ένα διαφορετικό τρόπο χρησιμοποιώντας τον τύπο της γραμμικής προσέγγισης και αντικαθιστώντας το v με  v + w. Ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης συνεπάγεται: Αυτό υποδηλώνει ότι το f ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός από το διανυσματικό χώρο  Rn στον διανυσματικό χώρο  Rm. Στην πραγματικότητα, είναι πιθανό να κάνετε αυτήν την ακριβή παραγώγιση μετρώντας το λάθος στις προσεγγίσεις. Υποθέστε ότι το λάθος στον τύπο αυτών των γραμμικών προσεγγίσεων φράσεται από ένα σταθερό χρόνο ||v||, όπου η σταθερότητα είναι ανεξάρτητη από το v αλλά εξαρτάται συνεχώς από το a. Τότε, αφού προσθέσουμε έναν κατάλληλο όρο για το λάθος, όλες οι άνω προσεγγιστικές ισότητες μπορούν να αναδιατυπωθούν ως ανισότητες. Συγκεκριμένα,το f ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός πάνω σε ένα μικρό λανθασμένο όρο. Στο όριο όπου τα v και  w τείνουν στο μηδέν, πρέπει συνεπώς να είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Από τότε που ορίσαμε την ολική παράγωγο παίρνοντας ένα όριο όπως το v να πηγαίνει στο μηδέν, το f ′(a) πρέπει να είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός.
Σε μια μεταβλητή,το γεγονός ότι η παράγωγος είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση γίνεται αντιληπτό από το γεγονός ότι είναι το όριο στα πηλίκα διαφορών. Παρόλα αυτά, τα συνηθισμένα πηλίκα διαφορών δεν ορίζονται σε μεγαλύτερες διαστάσεις διότι συνήθως δεν είναι εύκολο να διαιρέσουμε διανύσματα. Συγκεκριμένα, ο αριθμητής και ο παρανομαστής των πηλίκων διαφορών δεν ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο: Ο αριθμητής βρίσκεται στον χώρο Rm  ενώ ο παρανομαστής βρίσκεται στον  Rn. Επιπλέον, η παράγωγος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, που σημαίνει οτι υπάρχει διαφορετικός τύπος για την μεταβλητή που βρίσκεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρανομαστή. Για να καταστήσουμε ακριβής την έννοια ότι η f  ′( a ) είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση, είναι απαραίτητο να υιοθετήσουμε μια διαφορετική μεθοδολογία για την πρώτης τάξεως παράγωγο για να δούμε σε ποία από αυτά τα προβλήματα απαλείφεται. Άν f :  R  →  R, τότε ο συνηθισμένος προσδιορισμός της παραγώγου χρησιμοποιείται για να προκύψει ότι ηγ παράγωγος της   f  στο  a  είναι ο μοναδικός αριθμός  f  ′( a ) τέτοιος ώστε
Αυτό ισοδυναμεί με
επειδή το όριο της συνάρτησης τείνει στο μηδέν αν και μόνο αν το όριο της απόλυτης συνάρτησης τείνει στο μηδέν. Ο τελευταίος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περισσότερες απο μια μεταβλητές αντικαθιστώντας τις απόλυτες τιμές με τις νόρμες.
Ο προσδιορισμός της ολικής παραγώγου της f στο a προσδιορίζεται κατά μοναδικό τρόπο απο τον γραμμικό μετασχηματισμό f ′(a) : Rn → Rm  τέτοιος ώστε
Αν η ολική παράγωγος υπάρχει στο a, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι και οι κατευθυνόμενες παράγωγοι της  f υπάρχουν στο a, και για όλα τα v,  το f ′(a)v είναι η κατευθυνόμενη παράγωγος της f  στην κατεύθυνση του v. Αν γράψουμε την f  χρησιμοποιώντας συντεταγμένες συναρτήσεις, έτσι ώστε f = (f1, f2, ..., fm), τότε η ολική παράγωγος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους  σε έναν πίνακα. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας της f στο a:
Μάτζικ Σλιμ
Ο Μόρις Χολτ (Morris Holt, 7 Αυγούστου 1937 – 21 Φεβρουαρίου 2013), γνωστός ως Μάτζικ Σλιμ (Magic Slim) ήταν Αμερικανός τραγουδιστής και κιθαρίστας των μπλουζ. Γεννήθηκε στο Τόρενς του Μισισίπι σε οικογένεια κολίγων. Ακολούθησε μεγάλους καλλιτέχνες του μπλουζ όπως ο Μάντι Γουότερς και ο Χάουλινγκ Γουλφ στο Σικάγο, διαμορφώνοντας τη δική του θέση στη σκηνή Σικάγο μπλουζ.
Παράγωγος
Ολική παράγωγος, ολικό ή τέλειο διαφορικό και Ιακωβιανός πίνακας
Η ύπαρξη της ολικής παραγώγου f′(a) είναι αυστηρά πιο ισχυρή από την ύπαρξη όλων των μερικών παραγώγων, αλλά αν οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν και είναι συνεχείς, τότε η ολική παράγωγος υπάρχει, δίνεται από την Ιακωβιανή, και εξαρτάται διαρκώς από το a.
Μάτζικ Σλιμ
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αμερικανοί τραγουδιστές Κατηγορία:Μπλουζ μουσικοί
Παράγωγος
Ολική παράγωγος, ολικό ή τέλειο διαφορικό και Ιακωβιανός πίνακας
Ο ορισμός της ολικής παραγώγου περιλαμβάνει τον ορισμό της παραγώγου μιας μεταβλητής. Αυτό είναι, αν η f  είναι μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε η ολική παράγωγος υπάρχει αν και μόνον αν η κοινή παράγωγος υπάρχει. Ο Ιακωβιανός πίνακας περιορίζεται σε έναν 1×1 πίνακα του οποίου η μόνη είσοδος είναι η παράγωγος f′(x). Αυτός ο 1×1 πίνακας ικανοποιεί  την ιδιότητα ότι  f(a + h) − f(a) − f ′(a)h είναι κατά προσέγγιση μηδέν, με άλλα λόγια
Εξαρτάται από την αλλαγή των μεταβλητών, αυτή είναι η διατύπωση ότι η συνάρτηση   είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της f στο a.
Η ολική παράγωγος μιας συνάρτησης δε δίνει άλλη συνάρτηση με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση της μιας μεταβλητής. Αυτό συμβαίνει επειδή η ολική παράγωγος της πολυμεταβλητής συνάρτησης έχει να καταχωρήσει πολύ περισσότερες πληροφορίες από την παράγωγο της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Αντ' αυτού, η ολική παράγωγος δίνει μια συνάρτηση από τη δέσμη εφαπτομένης της πηγής στη δέσμη εφαπτομένη του σκοπού.
Η φυσική αντιστοιχία της δεύτερης, τρίτης,και ανώτερης-τάξης των μερικών παραγώγων δεν είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, δεν είναι μια συνάρτηση στην εφαπτόμενη δέσμη, και δεν παράγεται παίρνοντας επανειλημμένως την ολική παράγωγο. Η αντιστοιχία μιας ανώτερης-τάξης παραγώγισης, καλείται ως πίδακας, δεν μπορεί να είναι γραμμικός μετασχηματισμός επειδή οι ανώτερες-τάξεις των παραγώγων εκφράζουν διακριτή γεωμετρική πληροφορία, όπως η κοίλη επιφάνεια, η οποία δεν μπορεί να περιγραφεί με όρους των γραμμικών δεδομένων όπως τα διανύσματα. Δεν μπορεί να είναι μια συνάρτηση στη δέσμη εφαπτομένης επειδή η δέσμη εφαπτομένης έχει μόνο χώρο για τη βάση του χώρου και για τις κατευθυνόμενες παραγώγους. Επειδή οι πίδακες αποθηκεύουν ανώτερης-τάξης πληροφορία, παίρνουν ως επιχείρημα επιπλέον συντεταγμένες απεικονίζοντας ανώτερη-τάξη αλλαγών στην κατεύθυνση. Ο χώρος προσδιορίζεται από αυτές τις επιπλέον συντεταγμένες που ονομάζονται δέσμη πίδακα. Η σχέση μεταξύ της ολικής παραγώγου και των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης είναι παρόμοια με τη σχέση μεταξύ της k-οστής τάξης πίδακα μιας συνάρτησης και  των μερικών του παραγώγων σε τάξη μικρότεροη ή  ίση του k.
στην οποία παίρνοντας ένα σημείο x στο Rn και ορίζοντάς το σε έναν παράγοντα του χώρου των k-γραμμικών απεικονίσεων από τον  Rn στον Rm – η "καλύτερη" (με σιγουριά ακριβή έννοια) k-γραμμική προσέγγιση της f σε αυτό το σημείο. Αν την γράψουμε ως διαγώνια απεικόνιση Δ, x → (x, x), μία γενικευμένη σειρά Τέιλορ ίσως
προκύψει ως εξής
όπου η f(a) εξισώνεται με μια σταθερή συνάρτηση, (x − a)i είναι οι συνιστώσες του διανύσματος x − a, και (D f)i και (D2 f)j k είναι οι συνιστώσες των D f και D2 f σαν γραμμικοί μετασχηματισμοί.
Γενικεύσεις
Κύριο άρθρο: Παράγωγος (γενίκευση) Η έννοια μιας παραγώγου μπορεί να επεκταθεί σε πολλές άλλες λειτουργίες. Το κοινό νήμα είναι ότι η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμεύει ως μια γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης στο σημείο αυτό.
Ιστορία
Κύριο άρθρο:Ιστορία του Λογισμού
Η δημιουργία του Λογισμού ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 1600, αλλά ο εφευρέτης του λογισμού αμφισβητείται ευρέως: Ήταν ο Ισαάκ Νεύτων και ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς; Ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς διατύπωσαν αρχικά τον διαφορικό λογισμό που ουσιαστικά κάνει χρήση της έννοιας του  απειροελάχιστου, το οποίο αναφέρεται ως ένα απείρως μικρός αριθμός. Εκείνη την εποχή πριν από την μη-τυπική ανάλυση, η έννοια των απειροστών ήταν πολύ ασαφής και ενόχλησε πολλούς μαθηματικούς. Ωστόσο, η έννοια των απειροστών ήταν απαραίτητη για την ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού.
Η μέθοδος του Νεύτωνα αφορούσε τη λήψη αναλογιών απειροστών. Οι όροι για την αναλογία η οποία είχε ένα απειροελάχιστο ως παράγοντα αντιμετωπίστηκαν ως μηδέν και έτσι το προϊόν των απειροστών είναι ίσο με μηδέν. Ο ίδιος εξήγησε, «οι όροι που έχουν [ένα απειροελάχιστο] ως παράγοντα θα είναι ισοδύναμοι με τίποτα σε σχέση με τους άλλους. Ως εκ τούτου, τα απαλοίφω ... " Τελικά οι Κωσύ, Weierstrass και Riemann, αναδιαμόρφωσαν το λογισμό όσον αφορά τα όρια και όχι τα απειροστά. Ως εκ τούτου, η ανάγκη για αυτές τις απείρως μικρές (και ανύπαρκτες) ποσότητες εξαλείφθηκε και αντικαταστάθηκε από μια έννοια των ποσοτήτων που είναι «κοντά» σε άλλες. Έτσι, η παράγωγος όσο και το ολοκλήρωμα πρέπει να επαναδιατυπωθούν όσον αφορά τα όρια.
Στο δέκατο ένατο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) εισήγαγε τη διαδικασία έψιλον-δέλτα, η οποία προέβλεπε μια αυστηρή βάση για το λογισμό και αποθάρρυνε τους μαθητές να χρησιμοποιούν την ιδέα των απειροστών. Στη συνέχεια, το 1960 ο Έιμπραχαμ Ρόμπινσον (Abraham Robinson) βρήκε έναν τρόπο για να παράσχει μια βάση για τα απειροστά και έτσι τα απειροστά έγιναν αποδεκτά. Ο Ρόμπινσον ονόμασε τη διαμόρφωση του μη τυπική ανάλυση. Ο σκοπός αυτού του υλικού είναι να εξηγήσει, να δείξει και να δικαιολογήσει την μη-τυπική σύνθεση ανάλυση των απειροστών.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση Κατηγορία:Διαφορικός λογισμός Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατάλογος υπερκαινοφανών
right|thumb|185px|Το υπόλειμμα του [[SN 1054 («Νεφέλωμα του Καρκίνου»)]] Αυτός ο κατάλογος υπερκαινοφανών περιέχει υπερκαινοφανείς αστέρες που είχαν κάποια σημασία στην ιστορία της αστρονομίας.
Κατάλογος
''Σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις το έτος που ανακαλύφθηκε ο υπερκαινοφανής περιέχεται στην ονομασία του (1η στήλη), αλλιώς βλ. τη στήλη των σχολίων.''
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*
Τσιγατελλί
Κατηγορία:Κατοικημένες περιοχές στην Επαρχία Καμπάλα Κατηγορία:Χωριά του Αζερμπαϊτζάν
Βεζούβιος
thumb|right|250px|Ο Βεζούβιος όπως φαίνεται από την Πομπηία thumb|right|250px|Εσωτερικό κρατήρα του Βεζούβιου Ο Βεζούβιος  είναι βουνό-ηφαίστειο στις δυτικές ακτές της Ιταλίας και σε απόσταση 12 χλμ. από τη Νάπολη. Μέχρι το 79 μ.Χ. το θεωρούσαν ένα απλό βουνό. Σύμφωνα με τον Στράβωνα, το βουνό Ουεσούϊον (έτσι αποκαλεί τον Βεζούβιο) ήταν σκεπασμένο με ωραίους αγρούς, εκτός από την κορυφή του, που ήταν επίπεδη, μαύρη και σκεπασμένη εδώ και εκεί, και συμπεραίνει ότι το βουνό είχε πάρει φωτιά και είχε καεί, αλλά η φωτιά έσβησε, επειδή έλειπε το καύσιμο υλικό.
Η έκρηξη του Βεζούβιου στις 24 Αυγούστου του 79 μ.Χ. κατέκλυσε τις αρχαίες ρωμαϊκές πόλεις Πομπηία, Ηράκλειο ή Ηράκλεια Καμπανίας (σημερινό Ερκολάνο), Οπλοντίδα και Σταβίες, καθώς και αρκετούς άλλους οικισμούς. Την έκρηξη περιέγραψε ο Πλίνιος ο Νεότερος, που ήταν αυτόπτης μάρτυρας της καταστροφής.
Άλλες μεγάλες εκρήξεις καταγράφηκαν το 1794, το 1872 και το 1906, προκαλώντας μεγάλες καταστροφές και θανάτους πολλών ανθρώπων. Η τελευταία έκρηξη του Βεζούβιου καταγράφηκε το 1944.
Σήμερα, οι περιοχές γύρω από τον Βεζούβιο είναι ιδιαίτερα πυκνοκατοικημένες, παρά τον κίνδυνο που γνωρίζουν οι κάτοικοι ότι διατρέχουν, καθώς το ηφαιστειογενές έδαφος του βουνού είναι ιδιαίτερα εύφορο (προσχωσιγενές). Τη μορφή και τη διαμόρφωση που έχει σήμερα ο Βεζούβιος την πήρε μετά την έκρηξή του το 79 μ.Χ., αν και οι μεταγενέστερες εκρήξεις προξένησαν κάποιες μεταβολές στην όψη του. Έχει τρεις κορυφές, τη Σόμμα βόρεια, τον καθαυτό Βεζούβιο νότια και τον Οτταγιάνο ανάμεσα. Σήμερα, ο καθαυτό Βεζούβιος έχει περιφέρεια βάσης 45 χιλιόμετρα και η διάμετρος του κρατήρα του είναι 570 μέτρα περίπου. Το ύψος του μεταβάλλεται μετά από κάθε ισχυρή έκρηξη και είναι σήμερα 1.180 μέτρα. Οι πλαγιές του βουνού είναι κατάφυτες από κήπους και αγρούς μέχρι ένα ορισμένο ύψος. Ιδιαίτερα ευδοκιμούν τα αμπέλια από αρχαιοτάτων χρόνων. Τα κρασιά του Βεζούβιου τα εκτιμούσαν ιδιαίτερα από τη Ρωμαϊκή εποχή και είναι περιζήτητο το θαυμάσιο κρασί «Λάκριμα Κρίστι» (Δάκρυα του Χριστού). Ο Βεζούβιος αναφέρεται σε πολλές ταινίες, περιοδικά, κόμικς και βιβλία.
Παραπομπές
Κατηγορία:Βουνά της Ιταλίας Κατηγορία:Ηφαίστεια της Ιταλίας
Άντα Άντλερ
Η Άντα Σάρα Άντλερ (Δανικά: Ada Sara Adler, 18 Φεβρουαρίου 1878 Φρέντερικσμπεργκ – 28 Δεκεμβρίου 1946 Κοπεγχάγη) ήταν Δανή κλασική φιλόλογος και βιβλιοθηκονόμος εβραϊκής καταγωγής.
Σταδιοδρομία
Το 1916 δημοσίευσε κατάλογο των αρχαίων ελληνικών χειρογράφων που υπήρχαν στη Βασιλική Βιβλιοθήκη της Δανίας στην Κοπεγχάγη. Συνέχισε με επιτυχία το έργο της με τη μελέτη της κλασικής αρχαιότητας και το 1931 της απονεμήθηκε η υποτροφία Ταγκέα-Μπραντ (Tagea Brandt Rejselegat) για τις συνεισφορές της στον κλάδο της κλασικής φιλολογίας. Ωστόσο, είναι κυρίως γνωστή για την αναλυτική πρώτη έντυπη έκδοση του λεξικού Σούδα, την οποία προετοίμασε και εξέδωσε σε 5 τόμους στη Λειψία κατά το διάστημα μεταξύ 1928 και 1938. Ο αριθμός Άντλερ των καταχωρήσεων στις μετέπειτα εκδόσεις του λεξικού αντιστοιχεί στην αρίθμηση που η ίδια έκανε κατά τη σύνταξη της πρώτης έκδοσης.
Συνεισέφερε επίσης αρκετά λήμματα στη γερμανική εγκυκλοπαίδεια Πάουλυ-Βισόβα της κλασικής αρχαιότητας. Ωστόσο, κατά τη διάρκεια του Β´ Παγκοσμίου Πολέμου, κατέφυγε στη Σουηδία μαζί με άλλους Δανούς εβραϊκής καταγωγής. Κατά την παραμονή της εκεί, δίδαξε την αρχαία ελληνική γλώσσα στο Δανικό σχολείο του Λουντ.
Στα τελευταία χρόνια της ζωής της, σημείωσε σημαντική πρόοδο ως προς την προσπάθεια δημιουργίας της πρώτης έντυπης έκδοσης του βυζαντινού λεξικού του 9ου αιώνα, γνωστού ως Etymologicum Genuinum, πέθανε όμως το 1946 στην Κοπεγχάγη πριν την ολοκλήρωση του.
Ήταν ξαδέρφη του φυσικού Νιλς Μπορ και του μαθηματικού Χάραλντ Μπορ.
Ιανουάριος 2005
20ος αιώνας | 21ος αιώνας | 22ός αιώνας
Δεκαετία 2000 | Δεκαετία 2010| Δεκαετία 2020
2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010
Ιανουάριος | Φεβρουάριος | Μάρτιος | Απρίλιος | Μάιος | Ιούνιος | Ιούλιος | Άυγουστος | Σεπτέμβριος | Οκτώβριος | Νοέμβριος | Δεκέμβριος
Θάνατοι
Κατηγορία:Μήνες Ετών Κατηγορία:2005
2005
Φαράγγι Σαρακίνας
Το φαράγγι Σαρακίνας είναι φαράγγι το οποίο βρίσκεται στο χωριό των Μύθων, 20 χιλιόμετρα μακρυά από την Ιεράπετρα. Το μήκος του είναι 1,5 χιλιόμετρο περίπου.
Γενικά είναι βατό, με πλούσιο το στοιχείο του νερού. Ο χρόνος που χρειάζεται για να το διασχίσεις δεν ξεπερνά τη 1,5 ώρα περίπου. Το πλάτος του κυμαίνεται από τα 3 μέχρι και τα 10 μέτρα και τα τοιχώματά του φτάνουν τα 150 μ. ύψος.
Σύμφωνα με το μύθο ο Σαραντάπηχος (γίγαντας, γιος του Δία) περνώντας από το βουνό, έσκυψε να πιει νερό στο ποτάμι. Η μακριά του γενειάδα έσχιζε το βουνό στα δύο και δημιουργήθηκε το φαράγγι. Το φαράγγι πήρε το όνομα Σαρακίνας ή Σαραντάπηχου.
Το φαράγγι έχει όλο το χρόνο νερό και το χειμώνα η στάθμη του ανεβαίνει πολύ περισσότερο, γι' αυτό και δεν γίνεται να το διασχίσει κάποιος το χειμώνα.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Σαρακινα Φαράγγι της Σαρακίνας Κατηγορία:Εθνικοί δρυμοί της Ελλάδας
Τάλαντο
Το τάλαντο είναι μονάδα μέτρησης της μάζας που χρησιμοποιούνταν κατά την αρχαιότητα από πολλούς λαούς της Μεσοποταμίας και της Μεσογείου. Οι υποδιαιρέσεις του, όταν αναφέρονταν σε πολύτιμα μέταλλα, λειτουργούσαν και ως νομίσματα.
Συνήθως ένα τάλαντο ισοδυναμούσε με το βάρος του νερού που χωρά σε έναν τυποποιημένο αμφορέα. Αυτό ποίκιλλε από λαό σε λαό. Κατά προσέγγιση ένα ελληνικό («αττικό») τάλαντο ισοδυναμούσε με 26 σημερινά χιλιόγραμμα και είχε μήκος 78 εκατοστά και πλάτος 58,3 εκατοστά, ένα αιγυπτιακό με 27, ένα βαβυλωνιακό με 30,3 και ένα ρωμαϊκό με 32,3. Οι Εβραίοι χρησιμοποιούσαν το βαβυλωνιακό τάλαντο, αλλά αργότερα το αναθεώρησαν - το βαρύ τάλαντο της εποχής της Καινής Διαθήκης θα ζύγιζε σήμερα 58,9 χιλιόγραμμα με μήκος 92,4 εκατοστά και πλάτος 70,2 εκατοστά.
Αντιστοιχίες στην αρχαιότητα
Οι Σουμέριοι, Βαβυλώνιοι και Εβραίοι διαιρούσαν το τάλαντο σε 60 μνες. Την υποδιαίρεση αυτή υιοθέτησαν και οι Έλληνες, μετατρέποντας τη μνα σε νομισματική μονάδα αναφοράς. Δηλαδή μία χρυσή μνα ισοδυναμούσε με περίπου 433 γραμμάρια χρυσού όχι μόνο ως μάζα, αλλά και ως αγοραστική δύναμη. Τάλαντα δεν κόπηκαν ποτέ και μνες μόνο σπάνια, αφού ένα τέτοιο κέρμα ήταν πολύ βαρύ για να χρησιμοποιηθεί. Κόπηκαν όμως δραχμές, δηλ. εκατοστά της μνας (περ. 4,3 γραμμάρια).
Αντιστοιχίες στην κλασική Ελλάδα
Η αττική δραχμή αποτέλεσε το βασικό νόμισμα της κλασικής εποχής και όπως είναι ευνόητο, η αξία της εξαρτιόταν από το μέταλλο που χρησιμοποιήθηκε - π.χ. μια ασημένια είχε μικρότερη συναλλακτική αξία από μια χρυσή.
Υπολογίζεται ότι ένα ασημένιο τάλαντο, δηλ. στην πραγματικότητα έξι χιλιάδες ασημένιες δραχμές, επαρκούσε για το μηνιαία μισθοδοσία των 200 ανδρών που στελέχωναν μια αθηναϊκή τριήρη κατά τον Πελοποννησιακό Πόλεμο. Ο κωμικός ποιητής Μάχων αφηγείται πως η εταίρα Φρύνη ζητούσε μία μνα για κάθε νύχτα.
Άλλες αναφορές
Ο Χριστός προσέδωσε στο τάλαντο μια νέα σημασία με την Παραβολή των Ταλάντων, όπου περιέγραψε την εργατικότητα και την καλλιέργεια των ικανοτήτων ως την πραγματική περιουσία («τάλαντα») του ανθρώπου. Βάσει αυτής της παραβολής, ο χριστιανικός κόσμος ταύτισε στη συνέχεια την έννοια του ταλάντου με το ιδιαίτερο χάρισμα - έτσι προέκυψε η σημερινή χρήση της λέξης «ταλέντο» (από το talentum, τη λατινική λέξη για το τάλαντο).
Κατηγορία:Μονάδες μάζας Κατηγορία:Νομίσματα Κατηγορία:Ιστορικά νομίσματα Κατηγορία:Ελληνικά νομίσματα Κατηγορία:Οικονομία της αρχαίας Αθήνας Κατηγορία:Αρχαία ρωμαϊκά νομίσματα
LiMux
LiMux ονομάζεται ένα εγχείρημα της δημοτικής αρχής του Μονάχου και ταυτόχρονα μία ειδική διανομή Linux της οποίας το περιβάλλον εργασίας έχει πιστοποιηθεί σύμφωνα με το πρότυπο ISO 9241, από το TÜV και είναι βασισμένη στο Debian. Παρόμοια εγχειρήματα έχουν ξεκινήσει και αλλού όπως στο Άμστερνταμ (OpenAmsterdam), στη Βιέννη (Wienux) και στη Σαραγόσα (AZLinux).
Ιστορικό
Η όλη μηχανογράφηση του Δήμου του Μονάχου στηρίζονταν κατά κύριο λόγο στα Windows. Όταν η Microsoft αποφάσισε να διακόψει την υποστήριξη για τα Windows NT 4.0 πάνω στα οποία στηριζόταν ο βασικός κορμός της μηχανογράφησης το δημοτικό συμβούλιο αποφάσισε την έρευνα αγοράς για το κόστος μετάβασης στο επόμενο λειτουργικό της Microsoft ή σε άλλο λειτουργικό. Η παραμονή σε λειτουργικά της Microsoft θα κόστιζε περίπου 35 εκ. ευρώ ενώ η μετάβαση σε λύση GNU/Linux θα στοίχιζε περίπου 37 εκ. ευρώ (μαζί με το κόστος μετατροπής και εκπαίδευσης του προσωπικού για πέντε χρόνια). Αποφασίστηκε επίσης η από εδώ και πέρα αγορά ή δημιουργία προγραμμάτων ανεξάρτητων από λειτουργικό σύστημα είτε πρόκειται για προγράμματα ελεύθερου λογισμικού ή προγράμματα ανοικτού κώδικα είτε προγράμματα ιδιόκτητου λογισμικού.
Τον Αύγουστο του 2004 η διαδικασία σταμάτησε λόγω αμφιβολιών για τις πατέντες και τα πνευματικά δικαιώματα.
Τεχνικά θέματα
Δημιουργήθηκε ένα πρόσθετο ανοικτού κώδικα για το OpenOffice.org για τη δημιουργία και επεξεργασία Προτύπων στις εφαρμογές γραφείου.
Το βασικό σύστημα είναι βασισμένο στο Debian 4.0 ("Etch") και περιλαμβάνει:
Πηγές
Κατηγορία:Debian
Maestrale (αντιτορπιλικό)
Το Maestrale ήταν το πρωτοπόρο πλοίο της ομώνυμης κλάσης τεσσάρων αντιτορπιλικών που ναυπηγήθηκαν για το Ιταλικό Βασιλικό Ναυτικό (Regia Marina) (Royal Italian Navy) στις αρχές της δεκαετίας του 1930. Ολοκληρώθηκε το 1934 και έλαβε μέρος σε επιχειρήσεις στον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο.
Περιγραφή
Τα αντιτορπιλικά της κλάσης Maestrale ναυπηγήθηκαν βάσει εντελώς νέου σχεδίου που αναπτύχθηκε προκειμένου να επιλυθούν τα προβλήματα ευστάθειας που αντιμετώπιζαν τα προγενέστερα πλοία της κλάσης Folgore. Είχαν ολικό μήκος 106,7 m, πλάτος 10,15 m και μέσο βύθισμα 3,31 m το οποίο έφθανε στα 4,3 m με πλήρες φορτίο. Το εκτόπισμά τους ανέρχονταν σε 1640 t (1610 LT) με κανονικό φορτίο και έφθανε στους 2243 t (2208 LT) με πλήρες. Το πλήρωμά τους την περίοδο του πολέμου αποτελούνταν από 190 αξιωματικούς και ναύτες.
Το προωστικό σύστημά τους μπορούσε να αποδώσει έως και 44000 shp, χάρη στους οποίους μπορούσαν να φτάσουν σε μέγιστη ταχύτητα πλεύσης 32-33 kn σε πραγματικές συνθήκες. Η ακτίνα δράσης ανέρχονταν σε 2600-2800 ναυτικά μίλια με ταχύτητα πλεύσης 18 kn και στα 690 ναυτικά μίλια με ταχύτητα 33 kn.
Ο κύριος οπλισμός αποτελούνταν από δύο ζεύγη πυροβόλων των 120 mm που ήταν εγκατεστημένα σε ένα πύργο μπροστά και ακόμη έναν πίσω από την υπερκατασκευή. Διέθεταν επίσης δύο πυροβόλα των 120 mm που έβαλαν βλήματα φωτισμού/ανάδειξης στόχων (star-shells) καθώς και δύο τρίδυμους τορπιλοσωλήνες των 533 mm. Αντιαεροπορική προστασία παρείχαν τέσσερα πολυβόλα των 13,2 mm. Παρόλο που δεν διέθεταν σόναρ ώστε να μπορούν να δράσουν ως ανθυποβρυχιακά, διέθεταν δύο εκτοξευτές βομβών βυθού. Μπορούσαν επίσης να μεταφέρουν έως και 56 νάρκες.
Σημειώσεις
<references group="Σημ." />
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αντιτορπιλικά κλάσης Maestrale Κατηγορία:Ιταλικά αντιτορπιλικά του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου
Άγνοια (θεολογία)
Άγνοια στη Θεολογία, εννοείται η (α-κούσια ή εκούσια) μη γνώση τού αληθινού Θεού και της αποκαλύψεώς Του.
Θεολογία και Άγνοια
Μιλώντας για γνώση τού Θεού, δεν την εκλαμβάνουμε απλώς ως έλλειψη πληροφοριών (εγκεφαλικώς), αλλά κυρίως ως έλλειψη της άμεσης εμπειρίας τού Θεού (καρδιακώς).
Η άγνοια του Θεού διακρίνεται σαφώς τόσο τής (θεολογικής) αγνωσίας που συνδέεται περισσότερο με την απο-φατική Θεολογία, όσο και της πλάνης που αναφέρεται κυρίως στην αίρεση.
Κατά τον ιερό Χρυσόστομο, ο άνθρωπος, καθώς επλάσθη υπό τού Δημιουργού Του, δεν ευρίσκετο ούτε σε πλήρη αγνωσία για να μην είναι ανεύθυνος των πράξεών του, ούτε σε παγγνωσία για να μην υπεραίρεται. Μετά το Προπατορικό αμάρτημα απλώθηκε στην ανθρωπότητα, μέχρι την έλευση του Χριστού, σκότος αγνοίας, η οποία, βέβαια, αυτή άγνοια δεν καταλογίζεται ως (προσωπική) αμαρτία. Ωστόσο, το σκότος αυτό τής αγνοίας δεν ήταν απόλυτο. Η Φυσική Αποκάλυψη, αν ο προχριστιανικός άνθρωπος ενδιαφερόταν και την αξιοποιούσε καταλλήλως, ήταν αρκετή για μία στοιχειώδη θεολογική και ηθική γνώση. Μετά το Χριστό έλαμψε το Φως τής θεογνωσίας στον κόσμο, καθώς ο σαρκωθείς Υιός και Λόγος Του αποκάλυψε τον Θ. Πατέρα, έτσι ώστε να καταστεί δυνατή στον χαριτωμένο (αγιασμένο) άνθρωπο η θεοπτία, που ταυτίζεται με τη θέωση και τη σωτηρία.
Στο Κανονικό Δίκαιο, διακρίνονται, ήδη από την αριστοτελική Ηθική ,
Σύγχρονοι μετα-ηθικολόγοι είτε απορρίπτουν οποιαδήποτε έμφυτη ηθική γνώση στον άνθρωπο, είτε ασχολούνται με διάφορες καζουιστικές υπολεπτομέρειες (π.χ. στάδια ή φάσεις) τής άγνοιας (μιας πράξης), περιπτώσεις που άπτονται του κοινού Ποινικού Δικαίου.
Ψυχολογία και Άγνοια
Στην Ψυχολογία, κάνουμε λόγο για άγνοια που γνωρίζει ότι αγνοεί (ενσυνείδητη), και για άγνοια που δεν γνωρίζει ότι αγνοεί (ασυνείδητη)· επίσης, για άγνοια, που, αν και αισθάνεται ότι αγνοεί, εντούτοις απομακρύνεται ή αντιστέκεται ―μέσω ψυχικών μηχανισμών ή τεχνασμάτων και σοφισμάτων (βλ. σοφιστική άγνοια)― στη γνώση, λόγω κάποιου πάθους, ανωμαλίας, συμπλέγματος, απωθήσεως ή προκαταλήψεως.
Παραπομπές
Κατηγορία:Θεολογία
EN 1991
Ο EN 1991 - Ευρωκώδικας 1 – Δράσεις, είναι μέρος μίας σειρά Ευρωπαϊκών Προτύπων, γνωστοί ως Ευρωκώδικες που ορίζει το ισχύον Ευρωπαϊκό κανονιστικό πλαίσιο για την ανάλυση και το σχεδιασμό κτιρίων και άλλων δομημάτων Πολιτικού Μηχανικού. Στο κείμενο του παρουσιάζονται οι χαρακτηριστικές τιμές για διάφορους τύπους φορτίων, οι πυκνότητες των υλικών τα οποία δύναται να χρησιμοποιηθούν σε έργα Πολιτικού Μηχανικού καθώς και η μεθοδολογία υπολογισμού των δράσεων που δύναται να πλήξουν μία κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της.
Ο Ευρωκώδικας 1 χωρίζεται στα κάτωθι μέρη:
Μέρος 1-1: Γενικές δράσεις – Πυκνότητες, ίδιον βάρος, επιβαλλόμενα φορτία σε κτήρια
Ο EN 1991-1-1 παρέχει τις κατευθυντήριες οδηγίες σχεδιασμού και τις δράσεις για τον δομοστατικό σχεδιασμό κτηρίων και τεχνικών έργων, μεταξύ των οποίων συμπεριλαμβάνονται τα ακόλουθα:
Μέρος 1-2: Γενικές Δράσεις – Δράσεις σε φορείς που εκτίθενται σε πυρκαγιά
Ο EN 1991-1-2 περιγράφει τις θερμικές και μηχανικές δράσεις για το δομοστατικό σχεδιασμό κτηρίων που εκτίθενται σε πυρκαγιά και περιλαμβάνει τις απαιτήσεις ασφαλείας και τις διαδικασίες σχεδιασμού.
Μέρος 1.3: Γενικές Δράσεις - Φορτία χιονιού
Ο EN 1991-1-3 παρέχει τις οδηγίες για τον προσδιορισμό των φορτίων λόγω χιονιού που θα χρησιμοποιούνται κατά την μελέτη κτιρίων και λοιπών τεχνικών έργων. Το κείμενο έχει εφαρμογή σε δομήματα που βρίσκονται σε υψόμετρο μικρότερο των 1500 m.
Μέρος 1-4: Γενικές δράσεις – Δράσεις ανέμου
Ο EN 1991-1-4 παρέχει τις οδηγίες για τον προσδιορισμό των δράσεων του ανέμου στο σχεδιασμό κτιρίων και λοιπών τεχνικών έργων, για κάθε μία από τις υπό θεώρηση φορτιζόμενες επιφάνειες. Περιλαμβάνει ολόκληρη την κατασκευή ή μέρη της ή στοιχεία συνδεδεμένα με την κατασκευή, π.χ. στοιχεία, πανέλα επικάλυψης και τις στερεώσεις τους, στηθαία ασφαλείας και θορύβου.
Ο EN 1991-1-4 έχει εφαρμογή σε:
Μέρος 1-5: Γενικές Δράσεις - Θερμικές δράσεις
Ο EN 1991-1-5 παρέχει τις αρχές και τους κανόνες σχεδιασμού για τον υπολογισμό θερμοκρασιακών δράσεων σε κτίρια, γέφυρες και λοιπές κατασκευές περιλαμβανομένων των δομικών τους στοιχείων. Επίσης δίδονται αρχές που χρειάζονται για την επένδυση και λοιπά προσαρτήματα κτιρίων. Στον EN 1991-1-5 περιγράφονται οι μεταβολές της θερμοκρασίας σε δομικά στοιχεία. Παρέχονται επίσης οι χαρακτηριστικές τιμές θερμοκρασιακών δράσεων οι οποίες χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό κατασκευών εκτεθειμένων σε ημερήσιες και εποχιακές κλιματολογικές μεταβολές.
Μέρος 1-6: Γενικές Δράσεις - Δράσεις κατά τη διάρκεια της κατασκευής
Ο EN 1991-1-6 παρέχει τις αρχές και τους κανόνες για τον καθορισμό των δράσεων που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την ανέγερση κτιρίων και άλλων δομιμάτων Πολιτικού Μηχανικού.
Μέρος 1-7: Γενικές Δράσεις - Τυχηματικές Δράσεις
Ο EN 1991-1-7 παρέχει τις αρχές και τους κανόνες για την προστασία των κτιρίων και άλλων δομιμάτων Πολιτικού Μηχανικού έναντι τυχηματικών δράσεων. Για τα κτίρια, ο EN 1991-1-7 περιλαμβάνει επίσης στρατηγικές για τον περιορισμό των συνεπειών στο δόμημα από την πρόκληση τοπικών βλαβών εξαιτίας τυχηματικών φορτίσεων (περιορισμός της τρωτότητας του δομήματος). Οι προτεινόμενες στρατηγικές για την αντιμετώπιση των τυχηματικών δράσεων κυμαίνονται από την παρουσίαση μέτρων που σκοπό έχουν να περιορίσουν τις συνέπειες στην ασφάλεια και λειτουργικότητα ενός δομήματος από την εμφάνιση ενός τυχαίου γεγονότος ως και τη διαδικάσια σχεδιασμού του δομήματος ώστε να φέρει με ασφάλεια τα φορτία αυτά.