cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Ινδικά μαθηματικά
Τα ινδικά μαθηματικά αναδύθηκαν στην ινδική ενδοχώρα από το 1200 π.Χ. μέχρι το τέλος του 18ου αιώνα. Στην κλασική περίοδο των ινδικών μαθηματικών (400 μ.Χ. έως το 1600 μ.Χ.), σημαντικές συνεισφορές έγιναν από μελετητές όπως οι Αριαμπάτα, Βραχμαγκούπτα, Μαχαβίρα (μαθηματικός) , Μπχασκάρα Β΄, Μαντχάβα της Σανγαμάγκραμα και Νιλακάνθα Σομαΐτζι. Το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται σήμερα για πρώτη φορά καταγράφηκε στα ινδικά μαθηματικά. Ινδοί μαθηματικοί έκαναν τις αρχικές συνεισφορές στη μελέτη της έννοιας του μηδέν ως αριθμό, των αρνητικών αριθμών, της αριθμητική ς, και της άλγεβρα ς. Επιπρόσθετα η τριγωνομετρία προόδευσε στην Ινδία, και, ιδίως, οι σύγχρονοι ορισμοί του ημίτονο υ και συνημίτονο υ αναπτύχθηκαν εκεί. Αυτές οι μαθηματικές έννοιες διαβιβάστηκαν στη Μέση Ανατολή, την Κίνα, και την Ευρώπη και οδήγησαν σε περαιτέρω εξελίξεις που σχηματίζουν τώρα τα θεμέλια σε πολλούς τομείς των μαθηματικών.
Αρχαίες και μεσαιωνικές Ινδικές μαθηματικές εργασίες, όλες γραμμένες στα σανσκριτικά, συνήθως αποτελούμενες από ένα τμήμα με σούτρες στο οποίο υπήρχε ένα σύνολο κανόνων ή προβλημάτων με μεγάλη οικονομία στους στίχους  ώστε να διευκολυνθεί η αποστήθιση από έναν μαθητή. Αυτό ακολουθούνταν από ένα δεύτερο τμήμα αποτελούμενο από σχολιασμό σε πεζό λόγο (μερικές φορές πολλαπλοί σχολιασμοί από διαφορετικούς μελετητές) αυτό επεξηγούσε το πρόβλημα  πιο λεπτομερειακά  και παρείχε  δικαιολόγηση για την λύση. Στο πεζό τμήμα, η μορφή (και παράλληλα η αποστήθισή του) δεν θεωρούνταν τόσο σημαντική όσο οι ιδέες που εμπλέκονταν. Όλες οι μαθηματικές εργασίες διαδίδονταν προφορικά μέχρι περίπου το 500 π.Χ. από τότε και στην συνέχεια, διαδίδονταν τόσο προφορικά όσο και σε μορφή χειρόγραφου.
Το παλαιότερο εκτεταμένο μαθηματικό έγγραφο που παράχθηκε στην Ινδική ενδοχώρα είναι το, σε φλοιό από σημύδα χειρόγραφο Μπαχσάλι, το οποίο ανακαλύφθηκε το 1881 στο χωριό Μπαχσάλι κοντά στην Πεσαβάρ (σύγχρονο Πακιστάν) και πιθανολογείται ότι προέρχεται από τον 7o αιώνα μ.Χ..
Μία μεταγενέστερη καμπή στα ινδικά μαθηματικά ήταν η δημιουργία των αναπτυγμάτων με σειρές για τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημίτονο, συνημίτονο και τόξο εφαπτομένης) από μαθηματικούς της σχολής της Κεράλα τον 15ο αιώνα μ.Χ. Το αξιοσημείωτο επίτευγμα τους, δύο αιώνες πριν την εφεύρεση του λογισμού στην Ευρώπη, αποδείκνυε αυτό που τώρα θεωρείται ως το πρώτο παράδειγμα δυναμοσειρών (εκτός από γεωμετρικές σειρές). Παρ' όλα αυτά, δεν διατύπωσαν μια συστηματική θεωρία παραγώγισης και ολοκλήρωσης ούτε υπάρχει κάποια άμεση ένδειξη διάδοσης των αποτελεσμάτων τους εκτός της Κεράλα.
Προϊστορία
Ανασκαφές στη Χαράππα, Μοχέντζο ντάρο και άλλες τοποθεσίες τoυ πολιτισμού της Κοιλάδας του Ινδού Ποταμού αποκάλυψαν ενδείξεις χρήσης των πρακτικών μαθηματικών. Οι κάτοικοι της ΚΙΠ κατασκεύασαν τούβλα, των οποίων οι διαστάσεις με αναλογίες 4:2:1, οι οποίες θεωρούνταν ευνοϊκές για την σταθερότητα της κατασκευής των τούβλων. Χρησιμοποίησαν ένα τυποποιημένο σύστημα βαρών βασισμένο στους λόγους 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, και 500, με την μονάδα βάρους να ισούται περίπου με 28 γραμμάρια (και περίπου ίσο με την Αγγλική ουγγιά ή την ελληνική ουγγιά). Παρήγαγαν μαζικά βάρη σε κανονικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία εμπεριείχαν εξάεδρα, βαρέλια, κώνους, και κυλίνδρους, και με αυτόν τον τρόπο επιδεικνύοντας γνώσεις βασικής γεωμετρίας. Οι κάτοικοι της κοιλάδας του Ινδού ποταμού επίσης προσπάθησαν να τυποποιήσουν τη μέτρηση του μήκους σε ένα υψηλό βαθμό ακρίβειας. Σχεδίασαν έναν χάρακα—τον Χάρακα του Μοχέντζο-ντάρο —του οποίου η μονάδα μήκους (περίπου 1,32 ίντσες ή 3,4 εκατοστά) διαχωριζόταν σε δέκα ίσα μέρη. Τούβλα κατασκευασμένα στο αρχαίο Μοχέντζο-ντάρο συχνά είχαν διαστάσεις, οι οποίες αποτελούσαν ακέραια πολλαπλάσια αυτής της μονάδας μήκους.
Σαμχίτα και Βραχμάν
1012
εμπεριέχονταν σε κείμενα. Για παράδειγμα, το Μάντρα στο τέλος του annahoma ("τελετή αφαίρεσης τροφής") τελούμενη κατά την διάρκεια της ασβαμέντα επικαλείται δυνάμεις του δέκα από το εκατό εώς και το τρις-εκατομμύριο.
Η λύση για μερικά κλάσματα ήταν γνωστή στους Rigvedic ανθρώπους ως κράτη της purush Sukta ( RV 10.90.4 )
Με τα τρία τέταρτα Puruṣa ανέβηκε : το ένα τέταρτο από αυτόν ήταν και πάλι εδώ.
Η Satapatha Brahmana (-σαταπάθα μπραχμάνα-) ( προσεγγιστικά 7ος αιώνας π.Χ.) εμπεριέχει κανόνες για τελετουργικές γεωμετρικές κατασκευές που είναι παρόμοιες με τις Σούλμπα Σούτρας (Sulba Sutras).
Śulba Sūtras
Οι Śulba Sūtras(-Σούλμπα Σούτρας-)( (κυριολεκτικά, "Αφορισμοί των συγχορδιών" στα Βεδικά Σανσκριτικά) (προσεγγιστικά 700–400 π.Χ.) απαριθμούν κανόνες για την κατασκευή των θυσιαστήριον βωμών πυράς. Τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα που εξετάζονται στις Śulba Sūtras πηγάζουν από  "μία μοναδική ανάγκη,"  αυτήν της κατασκευής βωμών πυράς οι οποίοι έχουν διαφορετικά σχήματα αλλά καταλαμβάνουν την ίδια επιφάνεια. Οι βωμοί απαιτούνταν να κατασκευάζονται από πέντε επίπεδα από ψημένα τούβλα, με επιπλέον συνθήκη το ότι κάθε ένα από αυτούς  θα αποτελείται από διακόσια τούβλα και το ότι δύο διπλανά επίπεδα δεν θα πρέπει να έχουν ομόλογες διατάξεις τούβλων.
Σύμφωνα με το, οι Śulba Sūtras περιέχουν "την αρχική προφορική έκφραση του Πυθαγορείου θεωρήματος ,παρόλο που ήταν ήδη γνωστό στους παλιούς Βαβυλώνιους." "The diagonal rope (') of an oblong (rectangle) produces both which the flank (pārśvamāni) and the horizontal (') produce separately.'" Από την στιγμή που η πρόταση είναι μία sūtra, είναι αναγκαστικά συμπιεσμένη και ότι το σχοινί παράγει δεν επεξηγείται ,αλλά το γενικό πλαίσιο αφήνει ξεκάθαρα να εννοηθεί τις τετραγωνικές επιφάνειες που κατασκευάζονται από τα μήκη τους, και θα αυτό θα είχε επεξηγηθεί από τον δάσκαλο στον μαθητή. Περιέχουν λίστες από Πυθαγόρειες τριάδες, οι οποίες είναι συγκεκριμένες περιπτώσεις των Διοφαντικών εξισώσεων. Περιέχουν επιπλέον προτάσεις (οι οποίες εκ των υστέρων γνωρίζουμε να είναι προσεγγιστικές) για τον τετραγωνισμό του κύκλου και "κυκλοποιήση του τετραγώνου".
Οι Baudhayana (μποτιαγιάνα) (προσεγγιστικά 8ος αιώνας π.Χ.) συνέθεσαν την Baudhayana Sulba Sutra, την γνωστή ως Sulba Sutra,η οποία περιέχει παραδείγματα από απλά Πυθαγόρειες τριάδες ,όπως:
(3, 4, 5)
,
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
, και
(12, 35, 37)
, όπως επίσης και η πρόταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τις πλευρές τετραγώνου : "Το σχοινί το οποίο είναι τεντομένο πάνω στης διαγώνιο ενός τετραγώνου παράγει μία περιοχή διπλάσια στο μέγεθος από το αρχικό τετράγωνο." Επιπλέον περιέχει την γενική πρόταση του Πυθαγορείου θεωρήματος (για τις πλευρές ενός ορθογωνίου): "Το σχοινί τεντομένο πάνω στο μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου δημιουργεί μία περιοχή την οποία σχηματίζουν μαζί οι κάθετες και οριζόντιες πλευρές." Baudhayana δίνει τον τύπο για την τετραγωνική ρίζα, Ο τύπος αυτός έχει ακρίβεια πέντε δεκαδικών στοιχείων,η πραγματική τιμή είναι  1.41421356... Αυτός ο τύπος είναι παρόμοιος σε δομή με τον τύπο που βρέθηκε σε Μεσοποτάμεια πινακίδα από την Παλαιά Βαβυλώνια περίοδο (1900–1600 π.Χ.): Σύμφωνα με τον μαθηματικό S. G. Dani,η Βαβυλωνιακή πινακίδα (σε σφηνοειδή γραφή)Plimpton 322 γραμμένη προσεγγιστικά το  1850 π.Χ. "περιέχει δεκαπέντε Πυθαγόρειες τριάδες με σχετικά μεγάλες τιμές ,συμπεριλαμβανομένου του (13500, 12709, 18541) η οποία είναι μία αρχέτυπη τριάδα, υποδεικνύοντας  ,συγκεκριμένα ,ότι υπήρχε n εξελιγμένη κατανόηση του θέματος" στην Μεσοποταμία το 1850 π.Χ.. "Αφού αυτές οι πινακίδες προηγούνται χρονικά της περιόδου κατά αρκετούς αιώνες,λαμβάνοντας υπόψη την παρόμοια εμφάνιση κάποιων από τις τριάδες, είναι λογικό να αναμένουμε παρόμοια κατανόηση να συμβαίνει και εκεί στην Ινδία." Ο Ντάνι συνεχίζει λέγοντας :
"'Δεδομένου ότι ο κύριος στόχος της Sulvasutras ήταν να περιγράψει τις κατασκευές βωμών και τις γεωμετρικές αρχές που εμπλέκονται σε αυτά, το θέμα του Πυθαγόρειου τρίκλινα, ακόμη και αν είχε πλήρως κατανοητή μπορεί να εξακολουθούν να μην έχουν εμφανίζονται στην Sulvasutras. Η εμφάνιση των τρίκλινων του Sulvasutras είναι συγκρίσιμα με τα μαθηματικά που μπορεί κανείς να συναντήσει σε ένα εισαγωγικό βιβλίο για την αρχιτεκτονική ή άλλη παρόμοια εφαρμοσμένη περιοχή, και δεν θα ανταποκρίνεται άμεσα στη γενική γνώση για το θέμα εκείνη τη στιγμή . Δεδομένου ότι, δυστυχώς , δεν έχουν βρεθεί άλλες σύγχρονες πηγές, δεν μπορεί ποτέ να είναι δυνατόν να επιλυθεί αυτό το ζήτημα με ικανοποιητικό τρόπο . '"
Τελικώς, τρεις Sulba Sutras έχουν συνταχθεί.Οι δύο που απομένουν, η  Manava Sulba Sutra συνεταγμένη από την Manava (προσεγγιστικά  750–650 π.Χ.) και η Apastamba Sulba Sutra, συνεταγμένη από την  Apastamba (προσεγγιστικά 600 π.Χ.), περιλαμβάνοντας αποτελέσματα παρόμοια με την  Baudhayana Sulba Sutra.
Ένα σημαντικό ορόσημο της Βεδικής περιόδου ήταν η εργασία της Σανσκριτικής γραμματικής (προσεγγιστικά 520–460 π.Χ.). Η γραμματική αυτή χρησιμοποίησε μια αρχική μορφή της λογικής Μπουλ, του μηδενικού τελεστή, και τις γραμματικές ελεύθερου πλαισίου , και εμπεριέχει έναν πρόδρομο της μορφής Μπάκους - Νάουρ (χρησιμοποιούμενη στην περιγραφή των προγραμματιστικών γλωσσών).
Pingala
Ανάμεσα στις δημοσιεύσεις των μελετητών της Βεδικής περιόδου, όπου συνείσφεραν στα μαθηματικά , ο πιο φημισμένος είναι ο Πίνγκαλα (piṅgalá) (fl. 300–200 BCE), ένας μουσικός θεωρητικός , ο οποίος έγραψε το Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, also Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra),μια  σανσκριτική πραγματεία στην προσωδία. Υπάρχουν στοιχειά , ότι στην δουλειά που έκανε στην απαρίθμηση των συνδυασμών των συλλαβών, ο Pingala στηρίχθηκε πάνω στο τρίγωνο του Pascal και στους Διωνιμικούς συντελεστές , παρ'ολ'αυτα δεν είχε γνώση στο του Διωνυμικού θεωρήματος.[35][36]  Η δουλειά του Pingala's  περιέχει επίσης την βασική ιδέα  των αριθμών Fibonacci (που ονομάζονται maatraameru). Ωστόσο το Chandah sutra δεν επέζησε από μόνο του τελείως, σχολιασμός στον 10ου αιώνα από τον Halāyudha, ο οποίος αναφέρεται στο τρίγωνο του Pascal σαν  Meru-prastāra (όπου σημαίνει «η σκάλα για το όρος meru»), έχει να πει  :
«Σχεδίασε ένα τετράγωνο. Ξεκινά από το μισό του τετραγώνου και σχεδίασε άλλα δυο τρίγωνα γύρω του, σε αυτά τα δυο σχεδίασε άλλα τρία και συνέχισε έτσι. Το μαρκάρισμα πρέπει να ξεκινήσει βάζοντας τον αριθμό 1 στο πρώτο τετράγωνο. Βάλε επίσης τον αριθμό 1 στα άλλα δυο τετράγωνα την δεύτερης σειράς. Στην τρίτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τρίγωνα στο τέλος και στο μεσαίο, το άθροισμα των ψηφίων στα δυο τετράγωνα βρίσκονται από πάνω του. Στην τετάρτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τετράγωνα στο τέλος. Στα μεσαία βάλε το άθροισμα των ψηφίων από τα τετράγωνα που βρίσκονται από πάνω του. Συνέχισε με αυτόν τον τρόπο. Σε αυτές τις σειρές, η δεύτερη δίνει τούς συνδυασμούς με μια συλλαβή , η τρίτη με δυο συλλαβές, ...»[35]
Το άρθρο επίσης περιέχει αυτό που ο Πινγκαλα ονόμαζε την ταυτότητα της συνδυαστικής :[36]
Ο Katyayana (c. 3rd century BCE) είναι γνωστός ως ο τελευταίος μαθηματικός την βεδικής περιόδου. Έγραψε το Katyayana Sulba Sutra που περιέχει αρκετή γεωμετρία, περιλαμβάνοντας τη γενική διατύπωση του πυθαγόρειου θεωρήματος και τον υπολογισμό της ρίζας του 2 με πέντε δεκαδικά ψηφία.
Jain Mathematics (400 BC – 200 AD)
Παρόλο που ο Jainism σαν θρησκεία και φιλοσοφία προηγείται τον πιο διάσημο εκφραστής της, Mahavira (6th century BC) όπου ήταν σύγχρονος του Gautama Buddha περισσότερα κείμενα Jain με θέματα μαθηματικών γράφτηκαν μετά τον 6ο αιώνα π.Χ. Οι περισσότεροι Jain μαθηματικοί είναι σημαντικοί ιστορικά σαν τους ζωτικούς δεσμούς μεταξύ των μαθηματικών της Βεδικής περιόδου και της "Κλασσικής περιόδου ."
Μια σημαντική ιστορική συμβολή έχουν θέση οι Jain μαθηματικοί στην απελευθέρωση των ινδικών μαθηματικών από την θρησκεία και τους τελετουργικούς περιορισμούς. Συγκεκριμένα οι γοητεία τους με την απαρίθμηση των πολύ μεγάλων αριθμών και άπειρα, τους οδήγησε να χωρίσουν τους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες : αυτούς που μπορούμε να μετρήσουμε, αυτούς που δεν μπορούμε να μετρήσουμε και τους άπειρους. Δεν είναι ικανοποιημένοι με μια απλή έννοια του απείρου, αλλά όρισαν πέντε είδη απείρων αριθμών :τους άπειρους σε μια κατεύθυνση, τους άπειρους σε δύο κατευθύνσεις , τους άπειρους σε μια περιοχή, τους άπειρους παντού και τους άπειρους διαρκώς.Επιπλέον, οι Jain μαθηματικοί επινόησαν συμβολισμούς για απλές αρμοδιότητες (και εκθέτες) αριθμών όπως τα τετράγωνα, οι κύβοι, οι οποίοι τους επέτρεψαν να καθορίσουν απλές αλγεβρικές εξισώσεις (beejganita samikaran).Οι Jain μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τη γλώσσα shunya (κυριολεκτικά κενό στα Sanskrit) όταν αναφέρονταν στο μηδέν. Περισσότερο από μια χιλιετία μετά, η ονομασία τους έγινε στα Αγγλικά η λέξη "zero" μετά από ένα βασανιστικό ταξίδι των μεταφράσεων και μεταγραφές από την Ινδία προς την Ευρώπη. (Δες Μηδέν: Ετυμολογία.)
Επιπλέον το  Surya Prajnapti, σημαντική δουλειά των Jain στα μαθηματικά περιλαμβάνει το Vaishali Ganit (c. 3rd century BC);, το Sthananga Sutra (fl. 300 BC – 200 AD); το Anoyogdwar Sutra (fl. 200 BC – 100 AD); και το  Satkhandagama (c. 2nd century AD). Στους σημαντικούς Jain μαθηματικούς περιλαμβάνονται ο  Bhadrabahu (d. 298 BC), ο συγγραφέας των δύο αστρονομικών βιβλίων, ο Bhadrabahavi-Samhita και ο σχολιαστής στο Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c. 176 BC), που έγραψε ένα μαθηματικό κείμενο που ονομάζεται  Tiloyapannati; και Umasvati (c. 150 BC), ο οποίος έγινε πιο γνωστός για την επιρροή  στα κείμενά του για την  Jain φιλοσοφία και μεταφυσική, στην σύνδεση ένα μαθηματικό έργο που ονομάζεται Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.
Προφορική παράδοση
Μαθηματικοί της αρχαιότητας και της πρόωρης μεσαιωνικής Ινδίας ήταν σχεδόν όλοι Sanskrit pandits (paṇḍita "γνωστικιστής άνθρωπος"),[37]  ο οποίος έμαθε την Sanskrit γλώσσα και λογοτεχνία, και διέθετε «ένα κοινό απόθεμα των γνώσεων στη γραμματική (vyākaraṇa),εξήγηση (mīmāṃsā) και λογική (nyāya)."[37]  Απομνημόνευση του "τι ακούστηκε" (śruti in Sanskrit) μέσω απαγγελίας έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μετάδοση των ιερών κειμένων στην αρχαία Ινδία. Απομνημόνευση και απαγγελία χρησιμοποιούνταν επίσης για να μεταφέρουν τα φιλοσοφικά και λογοτεχνικά έργα, καθώς και πραγματείες για την τελετουργία και τη γραμματική. Οι σύγχρονοι μελετητές της αρχαίας Ινδίας έχουν σημειωθεί για τα "πραγματικά αξιοσημείωτα επιτεύγματα των ινδικών pandits  που έχουν διατηρηθεί πάρα πολύ ογκώδη κείμενα από το στόμα σε στόμα για χιλιετίες.."[38]
Τεχνικές απομνημόνευσης
Prodigous ενέργεια που δαπανάται από την αρχαία ινδική κουλτούρα στην εξασφάλιση ότι τα κείμενα αυτά μεταδίδονται από γενιά σε γενιά με την υπέρμετρη πιστότητα.[39] Για παράδειγμα, η απομνημόνευση των ιερών Vedas περιλαμβάνει πάνω από έντεκα μορφές απαγγελία του ίδιου κειμένου. Τα κείμενα ήταν συνέχεια "απόδειξη-ανάγνωση" από τη σύγκριση των διαφόρων απάγγελων εκδόσεων .Στις μορφές απαγγελίας περιλαμβάνονται το jaṭā-pāṭha (literally "mesh recitation") στο οποίο κάθε δυο παρακείμενες λέξεις στο κείμενο για πρώτη φορά αναφέρεται στην αρχική τους σειρά, μετά επαναλαμβάνονται με την αντίθετη φορά και τελικά επαναλαμβάνονται ξανά με την κανονική φορά .[40] Έτσι, η απαγγελία προχώρησε όπως: word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ... Σε μια άλλη μορφή της απαγγελίας, dhvaja-pāṭha[40] (κυριολεκτικά "σημαία απαγγελία") μια σειρά από Ν λέξεις όπου απήγγειλε (και απομνημόνευση) ζευγαρώνοντας τα δύο πρώτα δύο και την τελευταία λέξη και, στη συνέχεια, προχωρεί ως: word1word2, wordN − 1wordN; word2word3, wordN − 3wordN − 2; ..; wordN − 1wordN, word1word2; Η πιο σύνθετη μορφή της απαγγελίας, ghana-pāṭha (literally "dense recitation"), σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 139), πήρε την μορφή: word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4;... Αυτοί οι μέθοδοι είναι αποτελεσματικοί ,μαρτυρείται από τη διατήρηση του αρχαιότερου ινδικού θρησκευτικού κειμένου, το Ṛgveda (ca. 1500 BCE),σαν μοναχικό κείμενο, χωρίς οποιαδήποτε παραλλαγή αναγνώσεις.[40] Παρόμοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνταν για την απομνημόνευση μαθηματικών κείμενων, των οποίων η μετάδοση παρέμεινε αποκλειστικά προφορική μέχρι το τέλος της Βεδικής περιόδου  (ca. 500 BCE).
The Sūtra genre
Μαθηματική δραστηριότητα στην αρχαία Ινδία ξεκίνησε ως μέρος ενός «μεθοδολογικού προβληματισμού» για το ιερό Vedas, η οποία πήρε τη μορφή των έργων που ονομάζεται Vedāṇgas, ή, "Ancillaries of the Veda" (7th–4th century BCE).[41] Η ανάγκη για τη διατήρηση της υγιούς του ιερού κειμένου με τη χρήση της śikṣā (phonetics) και chhandas (metrics);να διατηρήσει το νόημά της με τη χρήση vyākaraṇa (grammar) και nirukta (etymology);και να εκτελέσει σωστά τις τελετουργίες στο σωστό χρόνο με τη χρήση της kalpa (ritual) και jyotiṣa(astrology), οδήγησαν στις έξι κλάδους της Vedāṇgas.[41] Μαθηματικά προέκυψε ως μέρος των τελευταίων δύο κλάδων, τελετουργικό και την αστρονομία (η οποία περιελάμβανε, επίσης, αστρολογία). Από τα Vedāṇgas αμέσως πριν από την χρήση της γραφής στην αρχαία Ινδία, που διαμορφώθηκαν την τελευταία του αποκλειστικά προφορικής λογοτεχνίας. Είχαν εκφράζεται σε εξαιρετικά συμπιεσμένη μορφή μνημονική, το sūtra (literally, "thread"):
Οι γνώστες της σούτρα το γνωρίζουν ότι έχουν λίγα φωνήματα, να στερείται αμφισημίας , που περιέχουν την ουσία , που αντιμετωπίζει τα πάντα , όντας χωρίς παύση και αρεστός.[41]
Ακραία συντομία επιτεύχθηκε μέσω πολλαπλών μέσων, η οποία περιλάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά "η οποία περιλάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά,"[41] χρησιμοποιώντας τεχνικές ονομασίες αντί περισσότερο περιγραφικά ονόματα, σύντομες λίστες μόνο που παραπέμπουν το πρώτο και τελευταίο εγγραφές, και χρησιμοποιώντας δείκτες και οι μεταβλητές.[41] Το sūtras δημιουργεί την εντύπωση ότι η επικοινωνία μέσω κειμένου ήταν "μόνο ένα μέρος του όλου διδασκαλίας. Το υπόλοιπο της εντολής πρέπει να έχουν μεταδοθεί από το λεγόμενο Guru-shishya paramparai, 'αδιάκοπη διαδοχή από το δάσκαλό (guru) για το μαθητή (śisya),' και δεν ήταν ανοιχτή για το ευρύ κοινό »και ίσως ακόμη κρυμμένο μυστικό.[42] Η συντομία επιτευχθεί μια sūtra καταδεικνύεται στο ακόλουθο παράδειγμα από το Baudhāyana Śulba Sūtra (700 BCE).
Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στο Śulba Sūtra
Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στην Βεδική περίοδο ήταν υποχρεωμένη από το τελετουργικό να έχει μια τετράγωνη βάση και αποτελείται από πέντε στρώματα των τούβλων με 21 τούβλα σε κάθε στρώμα. Μια μέθοδος για την κατασκευή του βωμού ήταν να διαιρέσει μια πλευρά του τετραγώνου σε τρία ίσα μέρη, χρησιμοποιώντας ένα καλώδιο ή σχοινί, στην επόμενη να διαιρέσει την εγκάρσια (ή κάθετη) πλευρά σε επτά ίσα μέρη, και με αυτόν τον τρόπο να υποδιαιρέσει την πλατεία σε 21 παράλληλα ορθογώνια. Τα τούβλα ακολούθως σχεδιαστεί ώστε να είναι το σχήμα του στοιχείου παραλληλόγραμμο και δημιουργήθηκε η στοιβάδα. Για να σχηματίσουν την επόμενη στρώση, ο ίδιος τύπος χρησιμοποιήθηκε, αλλά τα τούβλα διατεταγμένα εγκαρσίως.[43] Η διαδικασία ακολούθως επαναλήφθηκε τρεις ακόμη φορές (με εναλλασσόμενες κατευθύνσεις) προκειμένου να ολοκληρωθεί η κατασκευή. Στο Baudhāyana Śulba Sūtra,Αυτή η διαδικασία περιγράφεται στις ακόλουθες λέξεις:
"II.64. Μετά τη διαίρεση του quadri - πλευρική σε επτά ,το ένα χωρίζει την εγκάρσια [ κορδόνι ] στα τρία. II.65. Σε άλλο ένα στρώμα τοποθετεί την [ τούβλα ] Βορρά- κατάδειξης."[43]
Σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 144),ο αντιπρόσωπος του την κατασκευή του βωμού έχει μόνο μερικά εργαλεία και τα υλικά που έχει στη διάθεσή του: ένα καλώδιο(Sanskrit, rajju, f.), δύο μανταλάκια (Sanskrit, śanku, m.), και πηλό για να κάνει τα τούβλα (Sanskrit, iṣṭakā, f.). Συντομίας επιτυγχάνεται στο sūtra, με το να μην παραπέμπουν ρητά πια είναι το επίθετο "εγκάρσια" πληροί τις προϋποθέσεις; Ωστόσο, από τη θηλυκή μορφή του (Sanskrit) επίθετο που χρησιμοποιείται, είναι εύκολα συμπεραίνεται ότι πληρούν τις προϋποθέσεις "καλώδιο". Ομοίως, στη δεύτερη stanza, "τούβλα" δεν αναφέρονται ρητά, αλλά προκύπτει και πάλι από το θηλυκό πληθυντικό του «Βορρά-κατάδειξης." Τέλος, η πρώτη stanza, Ποτέ δεν λέει ρητά ότι το πρώτο στρώμα των τούβλων είναι προσανατολισμένες στην κατεύθυνση Ανατολής-Δύσης, αλλά και αυτό υπονοείται με τη ρητή αναφορά του «Βορρά-κατάδειξης" στη δεύτερη stanza;για, εάν ο προσανατολισμός προορίστηκε να είναι η ίδια στις δύο στρώσεις, Δεν θα πρέπει είτε να αναφέρεται καθόλου ή να αναφέρεται μόνο στο πρώτο stanza. Όλα αυτά τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε το officiant καθώς θυμάται τον τύπο από τη μνήμη του.[43]
Γραπτή παράδοση: σχολιασμός πεζογραφία
"Η Ινδία σήμερα υπολογίζεται ότι έχει περίπου τριάντα εκατομμύρια χειρόγραφα, το μεγαλύτερο σώμα του χειρόγραφο υλικό ανάγνωσης οπουδήποτε στον κόσμο. Η εγγράμματη κουλτούρα της ινδικής επιστήμης χρονολογείται τουλάχιστον από τον πέμπτο αιώνα π.Χ. ... Όπως προκύπτει από τα στοιχεία της Μεσοποταμίας λογοτεχνία οιωνό και της αστρονομίας που τέθηκε Ινδία εκείνη την εποχή και ( ήταν) σίγουρα δεν ... σώζεται προφορικά . "[44]
Η παλαιότερη μαθηματική πεζογραφία η οποία σχολιάστηκε ήταν για το έργο, Āryabhaṭīya (written 499 CE), ένα έργο σχετικά με την αστρονομία και τα μαθηματικά. Το μαθηματικό τμήμα της Āryabhaṭīya αποτελούνταν από 33 sūtras (σε μορφή στίχο) που αποτελούνται από μαθηματικές δηλώσεις ή κανόνες, αλλά χωρίς αποδείξεις.[45] Ωστόσο, σύμφωνα με την (Hayashi 2003, p. 123),"αυτό δεν σημαίνει κατ 'ανάγκη ότι οι συντάκτες τους δεν το αποδεικνύουν. Ήταν μάλλον θέμα στυλ της έκθεση. " Από τη στιγμή του Bhaskara I (600 CE onwards),πεζογραφία σχόλια άρχισαν όλο και περισσότερο να περιλαμβάνει ορισμένα παράγωγα(upapatti). Τα σχόλια του Bhaskara I στο Āryabhaṭīya, είχαν την ακόλουθη δομή::[45] Τυπικά, για κάθε μαθηματικό θέμα, οι μαθητές στην αρχαία Ινδία απομνημονεύουν πρώτα το sūtras, η οποία, όπως προαναφέρθηκε, ήταν "εσκεμμένα ανεπαρκείς» [44]στην αιτιολογική λεπτομέρειες (για να μεταφέρω περιεκτικά τα γυμνά-οστά μαθηματικών κανόνων). Οι μαθητές στη συνέχεια εργάστηκε με τα θέματα των σχολίων πεζογραφίας με το γράψιμο (και με βάση τα διαγράμματα) σχετικά με κιμωλία και τους μαυροπίνακες. Η τελευταία αυτή δραστηριότητα, μια βάση της μαθηματικής εργασίας, ήταν αργότερα άμεση μαθηματικός-αστρονόμος, Brahmagupta (fl. 7th century CE),να χαρακτηρίσει αστρονομικό υπολογισμούς ως «έργο σκόνη" (Sanskrit: dhulikarman).[46]
Οι αριθμοί και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης
Είναι γνωστό ότι καταγράφηκε το δεκαδικό σύστημα θέσης-αξίας που χρησιμοποιούνται σήμερα για πρώτη φορά στην Ινδία, στη συνέχεια διαβιβάστηκε προς τον ισλαμικό κόσμο, και τελικά στην Ευρώπη.[47] Η συριακή επίσκοπος Severus Sebokht έγραψε στα μέσα του 7ου αιώνα μ.Χ. για τα "εννέα σημεία" των Ινδιάνων για την έκφραση αριθμούς.[47] Ωστόσο, το πώς, πότε και πού εφευρέθηκε το πρώτο δεκαδικό σύστημα αξία τόπος δεν είναι τόσο σαφής.[48]
Το πρώτα σωζόμενα σενάριο που χρησιμοποιείται στην Ινδία ήταν η Kharoṣṭhī γραφή που χρησιμοποιούνται για την καλλιέργεια Gandhara της βόρειο-δυτικά. Είναι πιστεύεται ότι είναι Αραμαϊκή προέλευση και ήταν σε χρήση από τον 4ο αιώνα π.Χ. έως τον 4ο αιώνα μ.Χ..Σχεδόν ταυτόχρονα, μια άλλη γραφή, η γραφή του Brāhmī, εμφανίστηκε σε ένα μεγάλο μέρος της υπο-ηπείρου, και θα γινόταν αργότερα το θεμέλιο της πολλά σενάρια της Νότιας Ασίας και Νοτιοανατολική Ασία. Και τα δύο σενάρια είχαν αριθμητικό σύμβολα και ο αριθμός των συστημάτων, τα οποία αρχικά δεν βασίζεται σε ένα σύστημα θέσης-αξίας.[49]
ο πρώτο σωζόμενο αποδείξεις των δεκαδικών αριθμών αξίας χώρα στην Ινδία και η Νοτιοανατολική Ασία είναι από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας CE.[50] Μία πλάκα χαλκού από Gujarat, Ινδία αναφέρει την ημερομηνία 595 CE, γραμμένο σε δεκαδική μορφή αξίας θέση, αν υπάρχει κάποια αμφιβολία ως προς τη γνησιότητα της πλάκας.[50] Δεκαδικοί αριθμοί εγγραφής τα έτη 683 CE έχουν επίσης βρεθεί σε επιγραφές πέτρα στην Ινδονησία και στην Καμπότζη, όπου ινδική πολιτιστική επιρροή ήταν σημαντική.[50]
Υπάρχουν παλαιότερες γραπτές πηγές, αν και τα σωζόμενα χειρόγραφα αντίγραφα του έργου αυτών των κειμένων είναι από πολύ μεταγενέστερες ημερομηνίες.[51] Ίσως η πρώτη τέτοια πηγή είναι το έργο της βουδιστικής φιλόσοφος Vasumitra χρονολογείται πιθανότατα στον 1ο αιώνα μ.Χ..[51] Συζητώντας τα λάκκους καταμέτρηση των εμπόρων, Vasumitra παρατηρήσεις, «Όταν [η ίδια] πηλό καταμέτρηση-κομμάτι είναι στη θέση των μονάδων, που χαρακτηρίζεται ως μία, όταν εκατοντάδες, εκατό."[51] Παρά το γεγονός ότι αυτές οι αναφορές φαίνεται να υπονοεί ότι οι αναγνώστες του είχαν γνώση ενός δεκαδική αναπαράσταση τιμή τόπο, η "συντομίας υπαινιγμών τους και την ασάφεια των ημερομηνιών τους, ωστόσο, δεν αποδεικνύουν σταθερά τη χρονολογία της ανάπτυξης της ιδέας αυτής."[51]
Ένα τρίτο δεκαδικό εκπροσώπηση εργαζόταν σε τεχνική σύνθεση στίχο, στη συνέχεια επισημαίνονται  Bhuta-sankhya (κυριολεκτικά, "οι αριθμοί αντικείμενο") χρησιμοποιείται από τις αρχές του σανσκριτικά συντάκτες των τεχνικών βιβλίων.[52] Επειδή ήταν πολλή νωρίς, τα τεχνικά έργα που αποτελείται στο στίχο, αριθμοί συχνά εκπροσωπούνται από τα αντικείμενα στο φυσικό ή θρησκευτικό κόσμο ότι η αλληλογραφία τους, Αυτό επέτρεψε μια σχέση πολλά-προς-ένα αντιστοιχία για κάθε αριθμό και έκανε σύνθεση στίχο ευκολότερη.[52] Σύμφωνα με Plofker 2009, ο αριθμός 4, για παράδειγμα, θα μπορούσε να εκπροσωπείται από τη λέξη "Veda"δεδομένου ότι υπήρχαν τέσσερα από αυτά τα θρησκευτικά κείμενα), ο αριθμός 32 με τη λέξη «δόντια» (από ένα πλήρες σύνολο αποτελείται από 32), και τον αριθμό 1 από το "φεγγάρι" (δεδομένου ότι δεν υπάρχει μόνο ένα φεγγάρι).[52] Έτσι, Veda / δόντια / φεγγάρι θα αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμητικό 1324, όπως η σύμβαση για τους αριθμούς ήταν να απαριθμήσει τα ψηφία τους από δεξιά προς τα αριστερά.[52] Η παλαιότερη αναφορά που απασχολούν τους αριθμούς αντικείμενο είναι μια ca. 269 ​​CE Sanskrit κείμενο,Yavanajātaka (κυριολεκτικά «Ελληνική Horoscopy") του Sphujidhvaja, η στιχουργία του προγενέστερου (περίπου 150 CE) Ινδικής προσαρμογής της πεζογραφίας στο χαμένο έργο της Ελληνιστικής αστρολογίας.[53]Η χρήση αυτή φαίνεται να κάνει την υπόθεση ότι από τη σήμανση μέσα του 3ου αιώνα, το δεκαδικό σύστημα αξιών μέρος ήταν γνωστό, τουλάχιστον στους αναγνώστες του αστρονομικά και αστρολογικά κείμενα στην Ινδία.[52]
Έχει διατυπωθεί η υπόθεση ότι το ινδικό σύστημα δεκαδική τιμή τόπο βασίστηκε στα σύμβολα χρησιμοποιείται στις κινεζικές πίνακες καταμέτρηση ήδη από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας π.Χ.. [54] Σύμφωνα με Plofker 2009,
Αυτοί οι πίνακες μέτρησης, όπως οι ινδικές λάκκους καταμέτρηση;, ..., είχε μια δομή δεκαδική τιμή τόπο ... Ινδοί μπορεί κάλλιστα να έχουν μάθει από αυτά την δεκαδική τιμή τόπο "αριθμοί ράβδος» από την Κινέζους βουδιστές προσκυνητές ή άλλους ταξιδιώτες, ή μπορεί να έχουν αναπτύξει την έννοια ανεξάρτητα από τις προηγούμενες σύστημα μη-τόπος-η αξία τους, αποδεικτικά στοιχεία δεν επιβιώνει για να επιβεβαιώσει είτε συμπέρασμα."[54]
Bakhshali Manuscript
Το παλαιότερο σωζόμενο χειρόγραφο μαθηματική στη Νότια Ασία είναι η Bakhshali  χειρόγραφο, το φλοιό σημύδας χειρόγραφο γραμμένο σε "Buddhist hybrid Sanskrit"[12] στο Śāradāscript, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στη βορειοδυτική περιοχή της την ινδική υποήπειρο μεταξύ του 8ου και του 12ου αιώνα CE.[55] Το χειρόγραφο ανακαλύφθηκε το 1881 από έναν αγρότη, ενώ το σκάψιμο σε ένα πέτρινο περίβλημα στο χωριό Bakhshali, κοντά στο Peshawar (στη συνέχεια, στη βρετανική Ινδία και τώρα στο Πακιστάν). Αγνώστου πατρότητας και σήμερα διατηρείται στη βιβλιοθήκη Bodleian στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, το χειρόγραφο έχει ποικιλοτρόπως ημερομηνία—ήδη από τα «πρώτους αιώνες της χριστιανικής εποχής" [56] και τόσο αργά όσο μεταξύ του 9ου και 12ου αιώνα μ.Χ...[57] Το 7ο αιώνα μ.Χ. θεωρείται πλέον μια εύλογη ημερομηνία,[58] έστω και με την πιθανότητα ότι το "χειρόγραφο σε μορφή σημερινή του αποτελεί ένα σχόλιο ή ένα αντίγραφο ενός πρόσθιου μαθηματικής εργασίας.""[59]
Το επιζών χειρόγραφο έχει εβδομήντα φύλλα, μερικά από τα οποία βρίσκονται σε θραύσματα. Μαθηματικού περιεχομένου του αποτελείται από κανόνες και παραδείγματα, γραμμένο σε στίχους, μαζί με πεζογραφικά σχόλια, τα οποία περιλαμβάνουν λύσεις για τα παραδείγματα.[55] Τα θέματα που αντιμετωπίζονται περιλαμβάνουν αριθμητικό (κλάσματα, τετραγωνικές ρίζες, κέρδη και ζημίες, απλό ενδιαφέρον, therule των τριών, και κανονισμούς falsi) και της άλγεβρας (ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις και δευτεροβάθμιων εξισώσεων), και την αριθμητική πρόοδοι.Επιπλέον, υπάρχει μια χούφτα των γεωμετρικών προβλημάτων (συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων σχετικά με τον όγκο των παράνομων στερεών). Το χειρόγραφο Bakhshali επίσης «χρησιμοποιεί ένα δεκαδικό σύστημα αξιών χώρα με μια τελεία για το μηδέν."[55] Πολλά από τα προβλήματά της είναι μια κατηγορία γνωστή ως «προβλήματα εξισορρόπησης», που οδηγούν σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα παράδειγμα από Θραύσμα ΙΙΙ-5-3V είναι η ακόλουθη:
"Ένας έμπορος έχει επτά άλογα asava, ένα δεύτερο έχει εννέα άλογα haya, και ένας τρίτος έχει δέκα καμήλες. Είναι εξίσου καλά μακριά στην αξία των ζώων τους, εάν καθένας δίνει δύο ζώα, ένα σε κάθε μία από τις άλλες. Βρείτε την τιμή του κάθε ζώο και η συνολική αξία των ζώων που κατέχονται από κάθε έμπορο. "[60]
Ο σχολιασμός πεζογραφία συνοδεύει το παράδειγμα λύνει το πρόβλημα με τη μετατροπή του σε τρεις (κάτω προσδιορίζεται) εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους και με την παραδοχή ότι οι τιμές είναι όλοι ακέραιοι.[60]
Κλασσική περίοδος(400–1600)
Αυτή η περίοδος είναι συχνά γνωστό ως η χρυσή εποχή των Ινδικών Μαθηματικών. Αυτή η περίοδος είδε μαθηματικούς, όπως Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I,Mahavira, Bhaskara II, Madhava of Sangamagrama and Nilakantha Somayaji δίνουν σε ευρύτερα και σαφέστερα σχήμα σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Η συνεισφορά τους θα εξαπλωθεί στην Ασία, τη Μέση Ανατολή, και τελικά στην Ευρώπη. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά στην Βεδική περίοδο, τα έργα τους περιλαμβάνονται τόσο αστρονομικές και μαθηματικές εισφορές. Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά της περιόδου αυτής είχε συμπεριληφθεί στην «αστρικό επιστήμη» (jyotiḥśāstra) και αποτελείται από τρεις επιμέρους κλάδους: μαθηματικές επιστήμες (gaṇita ή tantra),ωροσκόπιο, αστρολογία (horā ή jātaka) και τη μαντεία (saṃhitā).[46] Αυτή η τριμερής διαίρεση παρατηρείται σε Varāhamihira'sΚατάρτιση του 6ου αιώνα—Pancasiddhantika[61](κυριολεκτικά panca, "πέντε" Siddhanta, "το συμπέρασμα της διαβούλευσης», με ημερομηνία 575 CE)—πέντε προηγούμενα έργα, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta,Vasishtha Siddhanta και Paitamaha Siddhanta, που ήταν προσαρμογές ακόμα παλαιότερα έργα της Μεσοποταμίας, ελληνική, αιγυπτιακή, ρωμαϊκά και ινδική αστρονομία. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, τα βασικά κείμενα γράφτηκαν στα σανσκριτικά στίχο, και ακολούθησαν πεζογραφία σχόλια.[46]
Τον πέμπτο και τον έκτο αιώνα
Αν και την πατρότητά του είναι άγνωστη, η Surya Siddhanta (c. 400) περιέχει τις ρίζες της σύγχρονης τριγωνομετρίας.[citation needed] Λόγω του ότι περιέχει πολλές λέξεις ξένης προέλευσης, ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν ότι γράφτηκε υπό την επήρεια της Μεσοποταμίας και την Ελλάδα.[62]
Αυτό το αρχαίο κείμενο χρησιμοποιεί τα ακόλουθα ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις για πρώτη φορά:
Περιέχει, επίσης, τις πρώτες χρήσεις των:
Αργότερα ινδικοί μαθηματικοί όπως ο Aryabhata έκαναν αναφορές σε αυτό το κείμενο, ενώ αργότερα αραβικές and λατινικές μεταφράσεις είχαν επιρροές στην Ευρώπη και στη μέση Ανατολή.
Αυτό το ημερολόγιο του Chhedi (594) περιέχει μια πρώιμη χρήση του σύγχρονου θεσιακού Ινδο-Αραβικού συστήματος αρίθμησης που τώρα χρησιμοποιείται παγκοσμίως (βλέπε επίσης Χίντι και αραβικά αριθμητικά).
Ο Αριαμπάτα (476–550) έγραψε το Aryabhatiya. Περιέγραψε τις σημαντικές θεμελιώδεις αρχές των μαθηματικών το 332. Η πραγματεία που περιέχονται:
Ο Αραμπιάτα έγραψε επίσης το Arya Siddhanta, το οποίο σήμερα έχει χαθεί. Οι συνεισφορές του Αραμπιάτα περιέχουν:
Τριγωνομετρία:
(Βλέπε επίσης : Aryabhata's sine table)
Αριθμητική:
Άλγεβρα: μαθηματική Αστρονομία:
ο Varahamihira (505–587) δημιούργησε το Pancha Siddhanta (Οι Πέντε Αστρονομική Κανόνες). Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην τριγωνομετρία, συμπεριλαμβανομένων πίνακες ημίτονο και συνημιτόνου με 4 δεκαδικά ψηφία ακρίβειας και τους ακόλουθους τύπους σχετικά με τις συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου:
Έβδομος και όγδοος αιώνας
Τον 7ο αιώνα, δύο ξεχωριστά πεδία,Η Αριθμητική (η οποία περιελάμβανε Μέτρηση) και η Άλγεβρα, άρχισαν να εμφανίζονται στα ινδικά μαθηματικά. Τα δύο πεδία αργότερα ονομάστηκαν pāṭī-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά αλγορίθμων") και bīja-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά των σπόρων", με σπόρους—όπως οι σπόροι των φυτών—εκπροσωπούν αγνώστους με τη δυνατότητα να δημιουργήσουν, σε αυτήν την περίπτωση, the solutions of equations). Η Βραχμαγκούπτα, στο αστρονομικό έργο του Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 αιών.), περιλάμβανε δύο κεφάλαια (12 και 18) αφιερωμένα σε αυτούς τους τομείς. Το κεφάλαιο 12,που περιέχει 66 σανσκριτικούς στίχους, χωρίστηκε σε δύο τμήματα: "βασικές λειτουργίες" (συμπεριλαμβανομένων κυβικών ριζών, κλάσματα, λόγους και αναλογίες, και αντιπραγματισμού) και "πρακτικά μαθηματικά" (περιλαμβανομένων του μείγματος, μαθηματική σειρά, τα στοιχεία αεροπλάνο, στοίβαξη τούβλα, πριόνισμα ξυλείας, και συσσωρεύονται των σιτηρών). Στην τελευταία ενότητα, δήλωσε το περίφημο θεώρημα του για τις διαγώνιες ενός κυκλικού τετραπλεύρου:
Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα: Εάν ένα κυκλικό τετράπλευρο έχει διαγωνίους που είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε η κάθετη γραμμή που σύρεται από το σημείο τομής των διαγωνίων σε οποιαδήποτε πλευρά του τετραπλεύρου διχοτομεί πάντα την αντίθετη πλευρά.
Το κεφάλαιο 12 περιλάμβανε επίσης έναν τύπο για την περιοχή ενός κυκλικού τετραπλεύρου (μια γενίκευση του τύπου του Ήρωνα), καθώς και μια πλήρη περιγραφή του ακέραιου τριγώνου (δηλαδή τρίγωνα με ορθολογικές πλευρές και ορθολογικές περιοχές).
Τύπος του Βραχμαγκούπτα:Η περιοχή, A, ενός κυκλικού τετραπλεύρου με πλευρές μήκους a, b, c, d, αντίστοιχα, δίνεται από
όπου s, η ημιπερίμετρος, δίνεται από
Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα για ορθολογικά τρίγωνα: Ένα τρίγωνο με ορθολογικές πλευρές a, b, c και ορθολογική περιοχή είναι της μορφής:
Το Κεφάλαιο 18 περιείχε 103 στίχους σανσκριτικά οι οποίοι ξεκίνησαν με τους κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις που αφορούν το μηδέν και αρνητικούς αριθμούς και θεωρείται η πρώτη συστηματική θεραπεία του υποκειμένου. Οι κανόνες (που συμπεριλάμβαναν a + 0 = \ a και ) ήταν όλοι σωστοί με μια εξαιρεση:. Αργότερα στο κεφάλαιο, έδωσε την πρώτη ρητή (αν και ακόμα δεν είναι εντελώς γενική) λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
Για τον απόλυτο αριθμό πολλαπλασιάζεται με τέσσερις φορές τον συντελεστής πλατείας, προσθέστε το τετράγωνο του συντελεστή του μέσου όρου; η τετραγωνική ρίζα του ίδιου, μείον τον συντελεστή του όρου, διαιρείται διά του διπλάσιου του τετραγώνου είναι η τιμή.
Αυτό είναι ισοδύναμο με:
Επίσης, στο κεφάλαιο 18,Ο Brahmagupta ήταν σε θέση να σημειώσει πρόοδο στην εξεύρεση (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης του Pell, όπου N είναι ένας μη τετραγωνικός ακέραιος. Έκανε αυτό ανακαλύπτωντας την ακόλουθη ταυτότητα:
Ταυτότητα του Brahmagupta: η οποία ήταν μια γενίκευση της προγενέστερης ταυτότητας του Διοφάντου: Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε την ταυτότητά του για να αποδείξει το ακόλουθο λήμμα:
Λήμμα (Brahmagupta): Άν είναι λύση της  και, είναι λύση της, then:
Συνήθιζε τότε να χρησιμοποιεί αυτό το λήμμα τόσο για τη δημιουργία απείρως πολλών (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης Pell, δεδομένου μιας λύσης, όσο και για την διατύπωση του παρακάτω θεωρήματος:
Θεώρημα (Brahmagupta): Αν η εξίσωση έχει ακέραια λύση για κάποια  τότε η εξίσωση του Pell: έχει επίσης μια ακέραια λύση.
Ο Brahmagupta δεν απέδειξε όντως το θεώρημα, αλλά έδωσε παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή. Το πρώτο παράδειγμα που παρουσιάστηκε ήταν:
Παράδειγμα (Brahmagupta): Βρείτε ακεραίους \ x,\ y\ έτσι ώστεt: Σε σχόλιό του, ο Brahmagupta πρόσθεσε, "ένας άνθρωπος που θα λύσει αυτό το πρόβλημα εντός ενός έτους είναι μαθηματικός." Η λύση που έδωσε ήταν:
Ένατος εως ενδέκατος αιώνας
Ο Βιρασένα (Virasena, 8ος αιώνας) ήταν ένας Jain μαθηματικός στην αυλή του Rashtrakut βασιλιά Amoghavarsha των Manyakheta, Karnataka. Έγραψε το Dhavala, ένα σχόλιο για Jain μαθηματικά, όπου: αποτελεσματικά λογαρίθμους με βάση 2, και απαριθμεί διάφορους κανόνες που αφορούν αυτή τη λειτουργία. Ο Virasena επίσης έδωσε:
Πιστεύεται ότι μεγάλο μέρος του μαθηματικού υλικού στο Dhavala μπορεί να αποδοθεί σε προηγούμενους συγγραφείς, ειδικότερα στους Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra και Bappadeva και η ημερομηνία που έγραψε μεταξύ 200 και 600 αιών..
Ο Mahavira Acharya (800–870) από την Καρνάτακα, ο τελευταίος των αξιοσημείωτων Jain μαθηματικών, έζησε τον 9ο αιώνα και υποστηρίχθηκε από τον Amoghavarsha βασιλία των Rashtrakuta. Έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Ganit Saar Sangraha σχετικά με τα αριθμητικά μαθηματικά, αι επίσης έγραψε πραγματείες για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων μαθηματικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθηματικά:
Ο Mahavira επίσης:
Ο Shridhara (870–930), ο οποίος έζησε στη Βεγγάλη, έγραψε τα βιβλία με τίτλο Nav Shatika, Tri Shatika και Pati Ganita. Έδωσε:
Το Pati Ganita είναι ένα έργο για την αριθμητική και τη μέτρηση. Ασχολείται με διάφορες πράξεις, συμπεριλαμβανομένου:
θα μπορούσε να εκφραστεί περίπου ως
Κατάλαβε την έννοια της διαφοροποίησης μετά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που προέκυψαν από την υποκατάσταση αυτής της έκφρασης σε διαφορική εξίσωση του Aryabhata.
Ο Aryabhata II (920–1000) έγραψε ένα σχόλιο πάνω στο Shridhara, και ένα αστρονομικό σύγγραμμα Maha-Siddhanta. Το Maha-Siddhanta έχει 18 κεφάλαια, και συζητά:
Ο Shripati Mishra (1019–1066) έγραψε τα βιβλία Siddhanta Shekhara, ένα σημαντικό έργο για την αστρονομία σε 19 κεφάλαια, και Ganit Tilaka, μια ατελής αριθμητική πραγματεία σε 125 στίχους βασισμένο σε ένα έργο του Shridhara. Εργάστηκε κυρίως σε:
Ήταν επίσης ο συγγραφέας του Dhikotidakarana, ένα έργο είκοσι στίχων για: Το Dhruvamanasa είναι ένα έργο 105 στίχων για:
Ο Nemichandra Siddhanta Chakravati (1100) έγραψε μια μαθηματική πραγματεία με τίτλο Gome-mat Saar.
Ο Bhāskara II (1114–1185) Ήταν ένας μαθηματικός, αστρονόμος ο οποίος έγραψε μια σειρά σημαντικών πραγματειών, όπως τα Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam και Karan Kautoohal. Ένας αριθμός των εισφορών του αργότερα μεταδίδεται προς τη Μέση Ανατολή και την Ευρώπη. Οι συνεισφορές του περιλαμβάνουν: Αριθμητική:
Άλγεβρα:
Γεωμετρία:
Λογισμός:
Τριγωνομετρία:
Μαθηματικά Κεράλα (1300–1600)
Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα ιδρύθηκε από τον Madhava από τον Sangamagrama στην Κεράλα, Νότια Ινδία και συμπεριλάμβανε μεταξύ των μελών της: τον Parameshvara, τον Neelakanta Somayaji, τον Jyeshtadeva, τον Achyuta Pisharati, τον Melpathur Narayana Bhattathiri και τον Achyuta Panikkar. Άκμασε μεταξύ του 14ου και 16ου αιώνα και οι αρχικές ανακαλύψεις του σχολείου φαίνεται να έχουν τελειώσει με τον Narayana Bhattathiri (1559–1632). Στην προσπάθεια για την επίλυση αστρονομικών προβλημάτων, οι αστρονόμοι του σχολείου Kerala independently δημιούργησαν μια σειρά από σημαντικές έννοιες των μαθηματικών. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα όπως επέκταση σε σειρά για τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δόθηκαν στη Σανσκριτική γλώσσα σε στίχο στο βιβλίο του Neelakanta με το όνομα Tantrasangraha και ένα σχόλιο για αυτό το έργο που ονομάζεται Tantrasangraha-vakhya αγνώστου πατρότητας. Τα θεωρήματα είχαν δηλωθεί χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις για τις σειρές ημίτονο,  συνημίτονο , και αντίστροφη εφαπτομένη δόθηκαν έναν αιώνα αργότερα στο έργο Yuktibhāṣā (1500–1610), γραμμένο σε Malayalaμ, από τον Jyesthadeva, καθώς επίσης και στον σχολιασμό Tantrasangraha.
Η ανακάλυψή τους από αυτές τις τρεις σημαντικές επεκτάσεις σειρών λογισμού—πολλούς αιώνες πριν ο λογισμός αναπτύχθηκε στην Ευρώπη από τον Ισαάκ Νεύτωνα και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς—ήταν κατόρθωμα. Ωστόσο, το σχολείο Kerala δεν εφηύρε τον λογισμό, διότι, ενώ ήταν σε θέση να αναπτύξουν Σειρά Τέιλορ επεκτάσεις για τις σημαντικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, παραγώγους, όρο προς όρο Ολοκλήρωση, δοκιμές σύγκλισης, επαναληπτικές μεθόδους λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, και η θεωρία ότι η περιοχή κάτω από την καμπύλη είναι ολοκλήρωμά της, δεν ανέπτυξαν ούτε θεωρία της παραγώγισης ούτε Ολοκλήρωση, ούτε για το Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το σχολείο Κεράλα περιλαμβάνουν:
Διαισθητική χρήση της μαθηματικής επαγωγής, ωστόσο, η επαγωγική υπόθεση δεν είχε διατυπωθεί σε αποδείξεις. υπολογισμός της  περιοχής κάτω από  το τόξο του κύκλου, δεν χρησιμοποιήθηκε.)
Οι εργασίες του σχολείου Κεράλα γράφτηκαν για πρώτη φορά για τον δυτικό κόσμο από τον Englishman C.M. Whish το 1835. Σύμφωνα με τον Whish, οι μαθηματικοί του Kerala "είχαν θέσει τα θεμέλια για ένα ολοκληρωμένο σύστημα ρευστοποίησης" και αυτά τα έργα αφθονούσαν "με συνεχείς αλλαγές μορφής και σειρών για να μην βρεθεί σε καμία εργασία των ξένων χωρών."
Ωστόσο, τα αποτελέσματα του Whish είχαν σχεδόν εντελώς παραμεληθεί, μέχρι πάνω από ένα αιώνα αργότερα, όταν οι ανακαλύψεις του σχολείου Κεράλα ερευνήθηκαν και πάλι από τον C. Rajagopal και τους συνεργάτες του. Η εργασία τους περιλαμβάνει σχόλια σχετικά με τις αποδείξεις της σειράς τόξου ημιτόνου στα Yuktibhāṣā δίδεται σε δύο έγγραφα, ένα σχόλιο για την απόδειξη του Yuktibhāṣā' της σειράς ημιτόνου και συνημιτόνου και δύο έγγραφα που παρέχουν τους στίχους σανσκριτικά της Tantrasangrahavakhya για τη σειρά για τοξεφ, το ημίτονο, και συνημίτονο ( με την αγγλική μετάφραση και σχόλια).
Οι μαθηματικοί Κεράλα περιλαμβαναν Narayana Pandit]] (1340–1400), ο οποίος συνέθεσε τα δύο έργα, μια αριθμητική πραγματεία, Ganita Kaumudi, και μια αλγεβρική πραγματεία, Bijganita Vatamsa. Ο Narayana επίσης πιστεύεται ότι είναι ο συγγραφέας ενός περίτεχνου σχολιασμό του Lilavati του Bhaskara II, με τίτλο Karmapradipika (ή Karma-Paddhati). Ο Madhava of Sangamagrama (1340–1425) ήταν ο ιδρυτής της Κεράλα Σχολής. Αν και είναι πιθανό ότι έγραψε το Karana Paddhati ένα έργο που γράφτηκε κάποτε μεταξύ 1375 και 1475, γνωρίζουμε πραγματικά το έργο του προέρχεται από έργα μεταγενέστερων λογίων.
Ο Παραμεσβάρα (1370–1460) Έγραψε σχόλια για τα έργα του Μπασκάρα Α΄, Αραμπιάτα και Μπασκάρα Β΄ Το Lilavati Bhasya, σχολιασμός του Lilavati του Bhaskara II, περιέχει μία από τις σημαντικές ανακαλύψεις του: μια έκδοση για το θεώρημα μέσης τιμής. Ο Νιλακάντα Σομαγιάγι (1444–1544) συνέθεσε το Tantra Samgraha (που «γέννησε» ένα μεταγενέστερο ανώνυμο σχόλιο Tantrasangraha-vyakhya και περαιτέρω σχολιασμό από το όνομα Yuktidipaika, γραμμένο το 1501). Αναφέρθηκε και επέκτεινε τις εισφορές του Madhava.
Ο Citrabhanu (1530) ήταν ένας μαθηματικός του 16ου αιώνα από την Κεράλα ο οποίος έδωσε ακέραιες λύσεις έως 21 τύπους των συστημάτων των δύο ταυτόχρονη αλγεβρικές εξισώσεις με δύο αγνώστους. Αυτοί οι τύποι είναι όλα τα πιθανά ζεύγη των εξισώσεων από τις ακόλουθες επτά μορφές:
Για κάθε περίπτωση, ο Citrabhanu έδωσε μια εξήγηση και αιτιολόγηση της διακυβέρνησής του, καθώς και ένα παράδειγμα. Μερικές από τις εξηγήσεις του είναι αλγεβρικές, ενώ άλλες είναι γεωμετρικές. Ο Jyesthadeva (1500–1575) ήταν ένα άλλο μέλος της σχολής Kerala. Βασικό έργο του ήταν το Yukti-bhāṣā (γραμμένο στα Malayalam, μια περιφερειακή γλώσσα της Kerala). Ο Jyesthadeva παρουσίασε αποδείξεις από πολλά μαθηματικά θεωρήματα και άπειρες σειρές που νωρίτερα ανακαλύφθηκε από τον Madhava και άλλους μαθηματικούς της σχολής Kerala.
Επιρροή από τον ευρωκεντρισμό
Έχει ειπωθεί ότι οι ινδικές συνεισφορές στα μαθηματικά δεν έχουν λάβει τη δέουσα αναγνώριση στη σύγχρονη ιστορία και ότι πολλές ανακαλύψεις και εφευρέσεις από τους Ινδούς μαθηματικούς αποδίδεται σήμερα σε πολιτισμικά Δυτικούς ομολόγους τους, ως αποτέλεσμα της ευρωκεντρισμού. Σύμφωνα με την υιοθέτηση από τον GG Ιωσήφ των "Εθνομαθηματικών":"[Το έργο τους] υιοθετεί ορισμένες από τις αιτίες που διατυπώθηκαν σχετικά με την κλασσική Ευρωκεντρική τροχιά. Η συνειδητοποίηση [των Ινδικών και Αράβικων μαθηματικών] είναι πολύ πιθανό να μετριάζεται με απαξιωτικές απορρίψεις της σημασίας τους σε σχέση με τα Ελληνικά μαθηματικά. Οι συνεισφορές από άλλους πολιτισμούς - κυρίως την Κίνα και την Ινδία, γίνονται αντιληπτές είτε ως δανεικές από ελληνικές πηγές ή έχει να κάνει μόνο με μικρές εισφορές για την ενσωμάτωση της ανάπτυξης των μαθηματικών. Ένα άνοιγμα στα πιο πρόσφατα ευρήματα της έρευνας, ειδικά στην περίπτωση των Ινδικών και των Κινέζικων μαθηματικών, δυστυχώς λείπει '"Ο ιστορικός των μαθηματικών, Florian Cajori, πρότεινε ότι ο ίδιος και οι άλλοι υποψιάζονται ότι ο Διόφαντος πήρε την πρώτη γεύση αλγεβρικής γνώσης από την Ινδία». [84] Ωστόσο, ο ίδιος έγραψε ότι «είναι βέβαιο ότι τμήματα των ινδουιστών μαθηματικών είναι ελληνικής καταγωγής»