Γκέοργκ_Κάντορ
Φιλοσοφία, θρησκεία και τα μαθηματικά του Κάντορ
Η ιδέα της ύπαρξης ενός πραγματικού απείρου ήταν μια σημαντική κοινή ανησυχία εντός της σφαίρας των μαθηματικών, της φιλοσοφίας και της θρησκείας. Διατηρώντας την ορθοδοξία της σχέσης μεταξύ του Θεού και των μαθηματικών, αν και δεν είναι στην ίδια μορφή όπως πραγματοποιήθηκε από τους επικριτές του, ήταν εδώ και καιρό μια ανησυχία του Κάντορ. Απεύθυνε άμεσα αυτή τη τομή μεταξύ αυτών των κλάδων στην εισαγωγή του Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, όπου τόνισε τη σύνδεση μεταξύ της άποψή του για το άπειρο και της φιλοσοφικής του άποψης. Οι μαθηματικές απόψεις του Καντόρ συνδέθηκαν ουσιαστικά με τις φιλοσοφικές και θεολογικές επιπτώσεις τους-προσδιόρισε το απόλυτο άπειρο με τον Θεό, και θεώρησε το έργο του σχετικά με αυτούς τους αριθμούς, οι οποίοι κοινοποιήθηκαν απευθείας σε αυτόν. Συζητήσεις μεταξύ μαθηματικών αύξησαν τις αντίθετες απόψεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών σχετικά με τη φύση του πραγματικού απείρου. Μερικοί που επέμεναν στην άποψη ότι το άπειρο ήταν μια αφηρημένη έννοια η οποία δεν ήταν μαθηματικά νόμιμη, και να αρνήθηκαν την ύπαρξή της. Μαθηματικοί από τρεις μεγάλες σχολές σκέψης (κονστρουκτιβισμού, ενορατισμού και απείρου) αντιτέθηκαν στις θεωρίες του Κάντορ επί του θέματος. Για κονστρουκτιβιστές όπως ο Κρόνεκερ, αυτή η απόρριψη του πραγματικού απείρου πηγάζει από τη θεμελιώδη διαφωνία με την ιδέα ότι μη κατασκευαστικές αποδείξεις όπως το διαγώνιο επιχείρημα του Καντόρ είναι επαρκής απόδειξη ότι κάτι υπάρχει, απορρίπτοντας ότι χρειάζονται εποικοδομητικές αποδείξεις.Ο ενορατισμός απορρίπτει επίσης την ιδέα ότι το πραγματικό άπειρο είναι μια έκφραση της πραγματικότητας, αλλά να καταλήγει στην απόφαση μέσω μιας διαφορετικής διαδρομής από ότι ο κονστρουκτιβισμός. Πρώτον, το επιχείρημα του Κάντορ στηρίζεται στη λογική να αποδείξει την ύπαρξη των υπεράριθμων αριθμών ως πραγματική μαθηματική οντότητα, ενώ οι πανεπιστημιακοί πιστεύουν ότι οι μαθηματικές οντότητες δεν μπορούν να μειωθούν σε λογικές προτάσεις, προερχόμενοι αντίθετα από τις διαισθήσεις του νου. Δεύτερον, η έννοια του απείρου, ως έκφραση της πραγματικότητας είναι η ίδια που απαγορεύθηκε στον ενορατισμό, δεδομένου ότι το ανθρώπινο μυαλό δεν μπορεί να κατασκευάσει διαισθητικά ένα άπειρο σύνολο. Οι τρεις κρίσεις στα μαθηματικά: Λογικισμός, ενορατισμός και φορμαλισμός. Μαθηματικοί, όπως Luitzen Egbertus Jan Brouwer και ιδιαίτερα η Henri Poincaré υιοθέτησαν μια διαισθητική στάση απέναντι στην εργασία του Κάντορ. Αναφέροντας τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων ως ένα παράδειγμα θεμελιώδους ελαττωματικής φύσης, Ο Poincaré υποστήριξε ότι οι περισσότερε από τις ιδέες της θεωρίας συνόλων του Κάντορ πρέπει να εκδιωχθούν από τα μαθηματικά, μια για πάντα. Τέλος,οι επιθέσεις του Ludwig Wittgenstein ήταν τελειωτικές: πίστευε ότι το διαγώνιο επιχείρημα του Κάντορ συγχέεται με την πρόθεση ενός συνόλου καρδινάλιων ή πραγματικών αριθμών με το επέκταση του, συγχύζοντας έτσι την έννοια των κανόνων για την παραγωγή ενός συνόλου με ένα πραγματικό σύνολο. Μερικοί χριστιανοί θεολόγοι είδαν το έργο του ως Κάντορ ως μια πρόκληση για τη μοναδικότητα του απόλυτου απείρου στη φύση του Θεού. Ειδικότερα, νεοθωμιστές στοχαστές είδαν την ύπαρξη ενός πραγματικού απείρου που αποτελούνταν από κάτι άλλο εκτός του Θεού ο οποίος τέθηκε σε κίνδυνο "η αποκλειστική αξίωση του Θεού στην υπέρτατη αιωνιότητα. Ο Κάντορ πίστευε ότι η άποψη αυτή ήταν μια παρερμηνεία του απείρου, και ήταν πεπεισμένος ότι η θεωρία συνόλων θα μπορούσε να βοηθήσει ώστε να διορθωθεί αυτό το λάθος. Ο Κάντορ επίσης πίστευε ότι η θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του καταστρατηγούσε και τον υλισμό και τον Ντετερμινισμό – και συγκλονίστηκε όταν συνειδητοποίησε ότι ήταν η μόνη σχολή μέλος στο Halle που δεν άντεχε τις ντετερμινιστικές φιλοσοφικές πεποιθήσεις. Το 1888, ο Κάντορ δημοσίευσε την αλληλογραφία του με αρκετές φιλοσόφους σχετικά με τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της θεωρίας του συνόλων. Σε μια εκτεταμένη προσπάθεια του να πείσει άλλους Χριστιανούς στοχαστές αλλά και αρχές να υιοθετήσουν τις απόψεις του, ο Κάντορ συνεργάστηκε με τη χριστιανούς φιλόσοφους όπως Tilman Pesch και Joseph Hontheim, καθώς και θεολόγους, όπως Johannes Franzelin, που κάποτε απάντησε εξισώνοντας τη θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του με το πανθεϊσμός. Ο Καντόρ ακόμη έστειλε ένα γράμμα απευθείας στο πάπα Leo ΧΙΙΙ και απηύθυνε διάφορα φυλλάδια σ ' αυτόν.