cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Θεωρία κατηγοριών
Μια αφαίρεση άλλων μαθηματικών εννοιών
Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν ως κατηγορίες. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια αφηρημένη μαθηματική θεωρία που όμως συχνά μας επιτρέπει να περιγράψουμε και να αποδείξουμε περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα, σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση της.
Το πιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία συνόλων, συμβολίζεται με Set, όπου τα αντικείμενα της είναι σύνολα και τα βέλη είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν είναι υποχρεωτικό να είναι πάντα σύνολα ούτε τα βέλη (οι μορφισμοί) πάντα συναρτήσεις. Οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας που ικανοποιεί τους βασικούς κανόνες (αξιώματα) της Θεωρίας Κατηγοριών, για τη συμπεριφορά των αντικειμένων και των βελών είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της Θεωρίας Κατηγοριών θα ισχύουν για αυτήν.
Η Θεωρία Κατηγοριών είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής, έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η Ομολογιακή Άλγεβρα είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.
Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί
Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλλάβουμε με αξιωματικό τρόπο τα κοινά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες που υπάρχουν σε διάφορες συλλογές παρόμοιων μαθηματικών δομών συσχετίζοντάς τες με το πως μετασχηματίζονται η μία στην άλλη μέσα από διαδικασίες ( συνήθως πρόκειται για συναρτήσεις ) που διατηρούν τα χαρακτηριστικά αυτών των δομών. Μια συστηματική μελέτη της Θεωρίας Κατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η κατηγορία των ομάδων, Grp, αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν δομή ομάδας, αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει και να αποδείξει θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο των αξιωμάτων για τις ομάδες. Για παράδειγμα, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, αυτός είναι ο "κλασικός" τρόπος χωρίς την χρήση μεθόδων από την Θεωρία Κατηγοριών. Θα μπορούσε όμως κάνεις επιπρόσθετα να δουλέψει και με έναν άλλο τρόπο. Αντί να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα ( τις ομάδες στο παραδειγμά μας ) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς – δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή – μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της Grp. Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας. Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην Τοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται Top), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων στις πολλαπλότητες (manifolds).
Συναρτητές ( Functors )
Μια κατηγορία είναι από μόνη της ένας τύπος μαθηματικής δομής, έτσι μπορούμε να ερευνήσουμε τις «διαδικασίες» που διατηρούν αυτήν την δομή υπό κάποια έννοια. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συναρτητής (functor).
Η χάραξη διαγραμμάτων είναι μια οπτική μέθοδος που υποστηρίζεται με τα αφηρημένα «βέλη» που ενώνονται σε διαγράμματα. Το Functors αντιπροσωπεύεται από τα βέλη μεταξύ των κατηγοριών, υπό τον όρο στους συγκεκριμένους όρους commutativity καθορισμού. Το Functors μπορεί να καθορίσει (κατασκεύασμα) τα κατηγορικά διαγράμματα και τις ακολουθίες (δηλαδή Mitchell, 1965). Ένα functor συνδέει σε κάθε αντικείμενο μιας κατηγορίας ένα αντικείμενο μιας άλλης κατηγορίας, και σε κάθε μορφισμό στην πρώτη κατηγορία ένα μορφισμό στη δεύτερη. Στην πραγματικότητα,αυτό που έχουμε κάνει είναι να καθορίσουμε μια κατηγορία κατηγοριών και functors – τα αντικείμενα είναι κατηγορίες, και οι μορφισμοί (μεταξύ των κατηγοριών) είναι functors.
Με τη μελέτη των κατηγοριών και των functors, μελετάμε όχι μόνο μια κατηγορία μαθηματικών δομών και των μεταξύ τους μορφισμών μελετάμε τις σχέσεις μεταξύ των διάφορων κατηγοριών μαθηματικών δομών. Αυτό είναι μια θεμελιώδης ιδέα, η οποία εμφανίστηκε αρχικά στην Αλγεβρική Τοπολογία. Οι δύσκολες τοπολογικές ερωτήσεις μπορούν να μεταφραστούν σε αλγεβρικές ερωτήσεις που είναι συχνά πιο εύκολο να απαντηθούν. Οι βασικές κατασκευές, όπως η θεμελιώδης ομάδα ή το θεμελιώδες groupoid ενός τοπολογικού χώρου, μπορούν να εκφραστούν ως θεμελιώδη functors στην κατηγορία groupoids κατά αυτόν τον τρόπο, και η έννοια είναι κυρίαρχη στην άλγεβρα και στις απαιτήσεις της.
Φυσικοί μετασχηματισμοί
Αφαιρώντας ακόμη μια φορά, μερικές διαγραμματικές ή/και διαδοχικές κατασκευές συσχετίζονται συχνά «φυσικά συνδεδεμένη» – μια ασαφής έννοια, εκ πρώτης όψεως. Αυτό οδηγεί στην έννοια διευκρίνισης του φυσικού μετασχηματισμού, ένας τρόπος «να χαρτογραφηθεί» ένα functor σε άλλο. Πολλές σημαντικές κατασκευές στα μαθηματικά μπορούν να μελετηθούν σε αυτό το πλαίσιο. «Naturality» είναι μια αρχή, όπως τη γενική συνδιακύμανση στη φυσική, η οποία είναι βαθύτερη από οτι αρχικά φαίνεται. Ένα βέλος μεταξύ δύο functors είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός όταν υπόκειται σε ορισμένους όρους naturality ή commutativity. Το Functors και οι φυσικοί μετασχηματισμοί («naturality») είναι οι βασικές έννοιες στη θεωρία κατηγορίας. [2]
Κατηγορίες - Ένας ορισμός.
Μια κατηγορία C αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις μαθηματικές οντότητες:
Μια κλάση -δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων- Obj(C) ή Ob(C), της οποίας τα στοιχεία καλούνται αντικείμενα. Η κλάση αυτή δεν είναι υποχρεωτικά σύνολο, ακόμα και μια γνήσια κλάση, όπως η κλάση όλων των συνόλων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί.
Μια κλάση Arw(C), ή Ηom(C), τα στοιχεία της οποίας καλούνται βέλη ή μορφισμοί. Κάθε μορφισμός f σχετίζεται με δύο, όχι απαραίτητα διαφορετικά, αντικείμενα. Το ένα, ας το συμβολίσουμε Α, ονομάζεται πεδίο ορισμού ή αρχή ή αφετηρία του βέλους και το άλλο, ας το συμβολίσουμε Β, ονομάζεται συνπεδίο ορισμού ή τέλος ή στόχος. Η έκφραση f : A → B, θα δηλωνόταν προφορικά ως «ο f είναι ένας μορφισμός από το A στο B», ή "είναι ένα βέλος με αρχή το Α και τέλος το Β", ή ακόμα πιο απλά "f από το Α στο Β". Επίσης το Α μπορεί να συμβολισθεί και ως src(f), ή dom(f), και το Β ως tar(f) ή cod(f). Η έκφραση hom(Α, Β) - εκφράζεται εναλλακτικά ως homC(Α, Β), mor(Α, Β), ή C(Α, Β)- συμβολίζει την κλάση όλων των μορφισμών από το Α στο Β.
Μια (μερικώς ορισμένη) διμελή πράξη, που συμβολίζεται με ∘, ανάμεσα στα βέλη και ονομάζεται "σύνθεση". Δηλαδή ένας διμελής εσωτερικός νόμος ο οποίος όμως δεν ορίζεται για όλα τα βέλη f και g. Ειδικότερα το g ° f ορίζεται μόνο αν tar(f) = src(g) και είναι ένα βέλος με πεδίο ορισμού το πεδίο του f και συνπεδίο ορισμού το συνπεδίο του g. Γράφεται πιο απλά και ως gf και μερικές φορές ονομάζεται και πολλαπλασιασμός των μορφισμών.
Για τα παραπάνω θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες(αξιώματα):
Α1. Κάθε βέλος έχει μοναδικό πεδίο ορισμού και μοναδικό συνπεδίο. Επομένως αν f : A → B και f : C → D τότε αναγκαστικά Α = C και B = D.
Α2. Αν f : A → B και g : B → C τότε ορίζεται η σύνθεση g ° f : A → C.
A3. Η πράξη της σύνθεσης είναι προσεταιριστική. Πιο συγκεκριμένα για κάθε f : A → B, g : B → C και h : C → D έχω: h ° (g ° f) = (h ° g) ° f και έτσι γράφω πιο απλά h ° g ° f.
Α4. Για κάθε αντικείμενο Α υπάρχει (μοναδικό) βέλος από το Α στο Α, που το συμβολίζουμε με id(A) ή με 1Α και ονομάζεται ταυτοτικό βέλος του Α,με την εξής ιδιότητα: Για κάθε βέλος f : A → B και για κάθε βέλος g : C → A, έχω:
f ° 1A = f και 1A ° g = g.
''' Παρατηρήσεις. '''
Μερικοί συγγραφείς ειδικά της Θεωρητικής Πληροφορικής προτιμούν τον συμβολισμό f ; g αντί του g ° f.
Στον ορισμό που δώσαμε αναφέραμε ότι οι Ob(C) και Arw(C) είναι κλάσεις, αυτό ακολουθούν οι πιο πολλοί συγγραφείς βιβλίων για κατηγορίες. Οι συγγραφείς αυτοί χρησιμοποιούν την λέξη "κλάση" με την αυστηρή μαθηματική έννοια, όπως απαιτεί μια Θεωρία Κλάσεων που είναι επέκταση του ZFC της Συνολοθεωρίας, π.χ. το σύστημα GB (Gödel - Bernays ). Κάποιοι όμως συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο "συλλογή" (collection) αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόμενο να μην είναι καν κλάσεις, πολύ περισσότερο δε σύνολα έτσι όπως βλέπει τα σύνολα η Αξιωματική Θεωρία Συνόλων.
Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας ταυτοτικός μορφισμός για κάθε αντικείμενο.
Πράγματι αν το αντικείμενο Α είχε δύο ταυτοτικά βέλη, ας τα συμβολίσουμε με η και ε, θα είχαμε ότι το η ° ε ορίζεται αφού tar(ε) = src( η ) = Α. Ακόμα αφού το ε είναι ταυτοτικό θα έχω η ° ε = η. Όμως και το η είναι ταυτοτικό άρα η ° ε =ε. Αφού η σύνθεση είναι πράξη το αποτέλεσμα η ° ε είναι μοναδικό. Επομένως η = ε.
Επειδή οι ταυτοτικοί μορφισμοί είναι μοναδικοί για κάθε αντικείμενο κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζουν τα ίδια τα αντικείμενα, μπορούμε λοιπόν να τα θεωρίσουμε σαν αντιπροσώπους - αντικαταστάτες των αντικειμένων, έτσι μερικοί συγγραφείς παρεκκλίνουν από τον ορισμό που δίνεται πιο πάνω καταργόντας τα αντικείμενα και ορίζοντας τις κατηγορίες μόνο με τους μορφισμούς και την σύνθεση τους και χρησιμοποιόντας στην θέση των αντικειμένων τους ταυτοτικούς μορφισμούς.
Στην Θεωρία Κατηγοριών τις πιο πολλές φορές, για την ακρίβεια σχεδόν πάντα, γίνεται χρήση διαγραμμάτων. Για την ακρίβεια χρησιμοποιούνται κατευθυνόμενοι γράφοι (ουσιαστικά κατευθυνόμενα πολυγραφήματα) όπου τα αντικείμενα είναι οι κόμβοι και τα βέλη είναι οι ακμές, τα ταυτοτικά βέλη εννοούνται και συνήθως δεν αναπαρίστανται. Θα μπορούσαμε να πούμε οτί "ουσιαστικά" μια κατηγορία είναι ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης των ακμών (βελών) και με μοναδικά ταυτοτικά βέλη για κάθε κόμβο (αντικείμενο), έτσι ώστε να ισχύουν τα Α1 - Α4.
Μορφισμοί
Οι σχέσεις μεταξύ των μορφισμών (όπως το fg = χ) απεικονίζονται συχνά χρησιμοποιώντας τα μεταλλακτικά διαγράμματα, με «τα σημεία» (γωνίες) να αντιπροσωπεύουν τα αντικείμενα και «τα βέλη» να αντιπροσωπεύουν τους μορφισμούς.
Οι μορφισμοί μπορούν να έχουν οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες. Ένας μορφισμός φ: α → β είναι : μονομορφισμός (ή αμφί) εάν το φ ∘ g1 = φ ∘ g2 συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: Χ → a.
επιμορφισμός (ή επί) εάν g1 ∘ φ = g2 ∘ φ συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: β → x.
ομομορφισμός εάν το φ είναι αμφί και επί
ισομορφισμός εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β →a έτσι ώστε φ ∘ g = 1b και g ∘ φ = 1a. [4]
ενδομορφισμός αν α=β. ενδ(α) δείχνει την κατηγορία ενδομορφισμού του α
retraction εάν ένα σωστό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το fg = 1b.
section εάν ένα αριστερό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το gf = 1a.
Φυσικοί μετασχηματισμοί
Ένας φυσικός μετασχηματισμός είναι μια σχέση μεταξύ δύο functors. Το Functors περιγράφει συχνά τις «φυσικές κατασκευές» και οι φυσικοί μετασχηματισμοί κατόπιν περιγράφουν τους «φυσικoύς ομομορφισμούς» μεταξύ δύο τέτοιων κατασκευών. Μερικές φορές δύο αρκετά διαφορετικές κατασκευές παράγουν «το ίδιο» αποτέλεσμα. Αυτό εκφράζεται από έναν φυσικό ισομορφισμό μεταξύ των δύο functors. Εάν Φ και G είναι (covariant) functors μεταξύ των κατηγοριών Γ και Δ, τότε ένας φυσικός μετασχηματισμός η από το Φ στο G συνδέει σε κάθε αντικείμενο Χ στο Γ ένα μορφισμό ηX: Φ (Χ) → Γ (Χ) στο Δ έτσι ώστε για κάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, έχουμε ηY ∘ Φ (φ) = G (φ) ∘ ηX αυτό σημαίνει ότι το ακόλουθο διάγραμμα είναι μεταλλακτικό:
Τα δύο functors Φ και G καλούνται φυσικά ισομορφικά εάν υπάρχει ένας φυσικός μετασχηματισμός από το Φ στο G έτσι ώστε ηX είναι ένας ισομορφισμός για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ.
Καθολικές κατασκευές, όρια, και colimits
Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, πολλοί τομείς της μαθηματικής μελέτης μπορούν να ταξινομηθούν. Οι κατηγορίες περιλαμβάνουν τα σύνολα, ομάδες, τοπολογίες, και ούτω καθεξής.
Κάθε κατηγορία διακρίνεται από τις ιδιότητες που όλα τα αντικείμενά του έχουν από κοινού, όπως το κενό σύνολο ή το γινόμενο δύο τοπολογιών, όμως στον καθορισμό μιας κατηγορίας, τα αντικείμενα θεωρούνται ατομικά, δηλ., εμείς δεν ξέρουμε εάν ένα αντικείμενο Α είναι ένα σύνολο, μια τοπολογία, ή οποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια. Ως εκ τούτου, η πρόκληση είναι να καθοριστούν τα ειδικά αντικείμενα χωρίς αναφορά στην εσωτερική δομή εκείνων των αντικειμένων. Για να καθορίσει το κενό σύνολο χωρίς αναφορά στα στοιχεία, ή την τοπολογία προϊόντων χωρίς αναφορά στα ανοικτά σύνολα, κάποιο μπορεί να χαρακτηρίσει αυτά τα αντικείμενα από την άποψη των σχέσεών τους με άλλα αντικείμενα, όπως δίνονται από τoυς μορφισμούς των αντίστοιχων κατηγοριών. Κατά συνέπεια, ο στόχος είναι να βρεθούν οι καθολικές ιδιότητες που καθορίζουν μεμονωμένα τα αντικείμενα ενδιαφέροντος.
Πράγματι, καταλήγουμε ότι οι πολυάριθμες σημαντικές κατασκευές μπορούν να περιγραφούν με έναν καθαρώς κατηγορικό τρόπο. Η κεντρική έννοια που απαιτείται για το σκοπό αυτό καλείται κατηγορικό όριο, και μπορεί να είναι για να παραγάγει την έννοια ενός colimit.
Ισοδύναμες κατηγορίες
Υπάρχει μια φυσική ερώτηση να υποβληθεί: υπό ποιους όρους μπορούν δύο κατηγορίες να θεωρηθούν «ουσιαστικά οι ίδιες», υπό την έννοια ότι τα θεωρήματα για μια κατηγορία μπορούν εύκολα να μετασχηματιστούν στα θεωρήματα για την άλλη κατηγορία; Το σημαντικότερο εργαλείο που έχει υιοθετηθεί για να περιγράψει μια τέτοια κατάσταση καλείται ισοδυναμία των κατηγοριών, η οποία δίνεται από τα κατάλληλα functors μεταξύ δύο κατηγοριών. Η κατηγορική ισοδυναμία έχει βρει τις πολυάριθμες εφαρμογές στα μαθηματικά.
Περαιτέρω έννοιες και αποτελέσματα
Οι ορισμοί των κατηγοριών και των functors παρέχουν μόνο τα πολύ βασικά της κατηγορικής άλγεβρας. Τα πρόσθετα σημαντικά θέματα παρατίθενται κατωτέρω. Αν και υπάρχουν ισχυρές αμοιβαίες σχέσεις μεταξύ όλων αυτών των θεμάτων, η δεδομένη διαταγή μπορεί να θεωρηθεί ως οδηγία για την περαιτέρω ανάγνωση.
Δυαδικότητα: Κάθε δήλωση, θεώρημα, ή καθορισμός στη θεωρία κατηγορίας έχουν έναν dual που λαμβάνεται ουσιαστικά με «την αντιστροφή όλων των βελών». Εάν μια δήλωση είναι αληθινή σε μια κατηγορία C τότε το dual του θα είναι αληθινό στη dual category Cop. Αυτή η δυαδικότητα, που είναι διαφανής στο επίπεδο θεωρίας κατηγορίας, κρύβεται συχνά στις εφαρμογές και μπορεί να οδηγήσει σε εκπληκτικές σχέσεις.
Adjoint functors: Ένα functor μπορεί να αφεθεί (ή ορθότερα) adjoint σε ένα άλλο functor που map στην αντίθετη κατεύθυνση. Ένα τέτοιο ζευγάρι adjoint functors προκύπτει χαρακτηριστικά από μια κατασκευή που καθορίζεται από μια καθολική ιδιοκτησία αυτό μπορoύμε να το δούμε ως μια αφηρημένη και ισχυρή άποψη σχετικά με τις καθολικές ιδιότητες.
Higher-dimensional categories
Πολλές από τις ανωτέρω έννοιες, ειδικά η ισοδυναμία των κατηγοριών,adjoint functor pairs, και unctor categories, μπορούν να τοποθετηθούν στο πλαίσιο τωνHigher-dimensional categories. Εν συντομία, εάν θεωρούμε ένα μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων ως «διαδικασία που μας πάει από ένα αντικείμενο σε ένα άλλο», κατόπιν οιHigher-dimensional categories μας επιτρέπουν να γενικεύσουν επικερδώς εξετάζοντας "higher-dimensional processes".
Παραδείγματος χάριν, μια (ακριβής) 2-κατηγορία είναι μια κατηγορία μαζί με «μορφισμοί μεταξύ μορφισμών», δηλ., διαδικασίες που μας επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε έναν μορφισμό σε ένα άλλο. Μπορούμε έπειτα «να συνθέσουμε» αυτούς τους «ομομορφισμούς» και οριζόντια και κάθετα, και απαιτούμε έναν 2-διαστατικό «νόμο ανταλλαγής » για να το διατηρήσουμε, αφορώντας τους δύο νόμους σύνθεσης. Σε αυτό το πλαίσιο, το τυποποιημένο παράδειγμα είναι Cat, η 2-κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών, και σε αυτό το παράδειγμα, οι ομομορφισμοί των μορφισμών είναι απλά φυσικοί μετασχηματισμοί των μορφισμών υπό τη συνηθισμένη έννοια. Ένα άλλο βασικό παράδειγμα είναι να εξεταστεί μια 2-κατηγορία με ένα ενιαίο αντικείμενο ,αυτές είναι ουσιαστικά monoidal κατηγορίες. Το Bicategories είναι μια πιο αδύνατη έννοια 2 διαστατικών κατηγοριών στις οποίες η σύνθεση των μορφισμών δεν είναι αυστηρά συνειρμική, αλλά μόνο συνειρμική «μέχρι» έναν ισομορφισμό.
Αυτή η διαδικασία μπορεί να επεκταθεί για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν, και αυτοί καλούνται ν-κατηγορίες. Υπάρχει ακόμη και μια έννοια της ω-κατηγορίας που αντιστοιχεί στον κανονικό αριθμό ω.
Οι Higher-dimensional categories είναι μέρος του ευρύτερου μαθηματικού τομέα της Higher-dimensional άλγεβρας, μια έννοια που εισάγεται από το Ronald Brown. Για μια συνομιλητική εισαγωγή σε αυτές τις ιδέες, δείτε το John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).
Ιστορία
Το 1942-45, ο Samuel Eilenberg και ο Saunders Mac Lane εισήγαγαν τις κατηγορίες, τους συναρτητές, και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως τμήμα της εργασίας τους στην τοπολογία, ειδικά στην Αλγεβρική Τοπολογία. Η εργασία τους ήταν ένα σημαντικό μέρος της μετάβασης από τη διαισθητική και γεωμετρική ομολογία στην αξιωματική θεωρία ομολογίας.Ο Eilenberg και ο Saunders Mac Lane αργότερα έγραψαν ότι ο στόχος τους ήταν να καταλάβουν τους φυσικούς μετασχηματισμούς προκειμένου να το κάνουν αυτό, οι συναρτητές έπρεπε να καθοριστούν, το οποίο απαιτούσε τις κατηγορίες.
Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο Eilenberg ήταν Πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (μίας από τους δασκάλους του Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών. Η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και ο Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που τις συντηρούν.
Η επόμενη ανάπτυξη της Θεωρίας Κατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της Ομολογιακής Άλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη Ράσελ-Whitehead των ενωμένων θεμελίων. Η γενική Θεωρία Κατηγοριών, μια επέκταση του καθολικού που πολλά νέα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που επιτρέπουν τη σημασιολογικές ευελιξία και τη λογική υψηλός-διαταγής, ήρθε αργότερα εφαρμόζεται τώρα σε όλα τα μαθηματικά.
Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες τόποι (topoi, ενικός topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην Αξιωματική Θεωρία Συνόλων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Οι τόποι μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η Θεωρία των Τόπων είναι μια μορφή αφηρημένης Θεωρίας Δραγμάτων (sheafσ), με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.
Η Κατηγορική Λογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη Θεωρία Τύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).
Η Θεωρία Κατηγοριών έχει εφαρμοστεί και σε άλλους τομείς. Παραδείγματος χάριν, ο John Baez έχει παρουσιάσει μια σύνδεση μεταξύ των διαγραμμάτων Feynman στη φυσική και των monoidal κατηγοριών. Μια άλλη εφαρμογή της Θεωρίας Κατηγοριων, πιο συγκεκριμένα: η Θεωρία Τόπων, έχει γίνει στη μαθηματική θεωρία μουσικής, βλέπε παραδείγματος χάριν στο βιβλίο The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, και Performance του Guerino Mazzola.
Πιο πρόσφατες προσπάθειες να εισάγουν προπτυχιακά σαν θεμέλιο των μαθηματικών εκαναν οι William Lawvere και Rosebrugh (2003) και Lawvere και Stephen Schanuel(1997)και Mirroslav Yotov (2012).
Πτολεμαίος Φιλάδελφος
Ο Πτολεμαίος Φιλάδελφος (Αύγουστος 36 π.Χ. - 29 π.Χ.) ήταν πρίγκιπας της Αιγύπτου, μέλος της δυναστείας των Πτολεμαίων. Ήταν το τέταρτο και μικρότερο παιδί της Κλεοπάτρας Ζ' της Αιγύπτου και το τρίτο της με τον Ρωμαίο στρατιωτικό και πολιτικό, Μάρκο Αντώνιο.
Βιογραφικά στοιχεία
Ο Πτολεμαίος Φιλάδελφος ήταν ελληνικής και ρωμαϊκής καταγωγής. Κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου 40 – 36 π.Χ., ο Αντώνιος απουσίασε από την Αίγυπτο, επιστρέφοντας στη Ρώμη και προσπαθώντας να ενισχύσει τους δεσμούς του με τον έτερο ισχυρό άνδρα της εποχής, Οκταβιανό Καίσαρα, θετό γιο του Ιουλίου Καίσαρα. Στα πλαίσια των διπλωματικών τους σχέσεων νυμφεύθηκε την αδερφή του Οκταβιανού, την Οκταβία και δεν επέστρεψε στην ανατολή για κάποια χρόνια, κανονίζοντας τις υποθέσεις του διαμέσου αντιπροσώπων. Τελικά μετέβη στη Συρία το 36 π.Χ. για να ηγηθεί μιας μεγάλης εκστρατείας κατά των Πάρθων. Επικοινώνησε και πάλι με την Κλεοπάτρα, βασίλισσα της Αιγύπτου, και το ειδύλλιό τους αναθερμάνθηκε. Η ένωση βέβαια ήταν και πολιτικοοικονομικής σημασίας, καθώς ο Αντώνιος χρειαζόταν τη στήριξη της Αιγύπτου στα σχέδιά του. Το ζεύγος, που είχε ήδη φέρει στον κόσμο δίδυμα, απέκτησε στην Αντιόχεια και ένα νέο γιο τη χρονιά αυτή, που ονομάστηκε Πτολεμαίος Φιλάδελφος. Πιστεύεται πως το όνομα αυτό του δόθηκε ώστε να συμβολίζει την αναδημιουργία του κράτους που κυβέρνησε ο Πτολεμαίος Β' Φιλάδελφος τρεις αιώνες πριν.
Οι αρχαίες πηγές αναφέρουν πως τα επόμενα χρόνια ο Αντώνιος ικανοποιούσε μια σειρά από εδαφικές επιθυμίες της Κλεοπάτρας, φτάνοντας στο σημείο να γυρίσει την πλάτη στα συμφέροντα της Ρώμης. Αρνήθηκε οικονομική βοήθεια από τη σύζυγό του, Οκταβία, και έδωσε αφορμές για πόλεμο στον Οκταβιανό, ο οποίος από την πλευρά του τις αναζητούσε. Οι κυριότερες αυτών ήταν η ανακοίνωση του διαζυγίου του από τη Ρωμαία σύζυγό του, ώστε να πάψει η Κλεοπάτρα να διαθέτει το στάτους απλής ερωμένης, η τέλεση του Θριάμβου του μετά τη νίκη του κατά των Αρμενίων στην Αλεξάνδρεια και όχι στην Ιερά Οδό της Ρώμης, και τέλος μια μεγαλόπρεπη τελετή στην οποία παραχώρησε τεράστια εδάφη της αυτοκρατορίας στην Κλεοπάτρα και τα παιδιά της. Στον Πτολεμαίο Φιλάδελφο, ο οποίος παραβρέθηκε ντυμένος με μακεδονική ενδυμασία – καυσία, χλαμύδα και κρεπίδες – αποδόθηκε η Συρία, η Φοινίκη και η Κιλικία.
Η προκλητική αυτή συμπεριφορά οδήγησε σε πόλεμο ανάμεσα στη Ρώμη και την Αίγυπτο, ο οποίος και κρίθηκε οριστικά στη Ναυμαχία του Ακτίου, σε ελληνικά ύδατα, το 31 π.Χ. Πρόκειται για την τελευταία μάχη της Αιγύπτου σαν ανεξάρτητο έθνος κατά την αρχαιότητα. Ο Οκταβιανός νίκησε κατά κράτος τον Αντώνιο και την Κλεοπάτρα, και μπήκε νικητής στην πόλη της Αλεξάνδρειας την επόμενη χρονιά. Πρώτα ο Αντώνιος και η λίγο αργότερα η Κλεοπάτρα οδηγήθηκαν στην αυτοκτονία, αφήνοντας πλέον τη χώρα στα χέρια του Οκταβιανού, ο οποίος και τη μετέτρεψε σε ρωμαϊκή επαρχία. Τα παιδιά τους, τα δίδυμα Αλέξανδρος Ήλιος, Κλεοπάτρα Σελήνη και Πτολεμαίος Φιλάδελφος μεταφέρθηκαν στη Ρώμη, όπου παρέλασαν με αλυσίδες στον Θριάμβο του Οκταβιανού.
Την ανατροφή τους αργότερα ανέλαβε η Οκταβία, όπως και όλων των παιδιών που απέκτησε ποτέ ο Αντώνιος. Εκεί τα ίχνη του Πτολεμαίου Φιλάδελφου χάνονται, επιτρέποντας στους σύγχρονους μελετητές να κάνουν απλώς κάποιες υποθέσεις σχετικά με το τι απέγινε. Μια εκδοχή τον θέλει να πέθανε το 29 π.Χ. είτε λίγο πριν είτε λίγο μετά τον Θρίαμβο του Οκταβιανού επειδή δεν άντεξε η υγεία του την αλλαγή στο κλίμα. Μια άλλη εκδοχή τον θέλει να ενηλικιώνεται και να μεταβαίνει στην Αφρική, όταν η αδερφή του Κλεοπάτρα Σελήνη, παντρεύτηκε τον βασιλιά Ιόβα Β’ της Νουμιδίας. Δεν μας είναι γνωστά στοιχεία σχετικά με συζύγους ή τέκνα του.
Πηγές
Κατηγορία:Δυναστεία των Πτολεμαίων Κατηγορία:Ελληνιστική περίοδος
Assassin's Creed Odyssey
Το Assassin's Creed Odyssey είναι βιντεοπαιχνίδι δράσης ρόλων που αναπτύχθηκε από την Ubisoft Quebec και εκδόθηκε από την Ubisoft. Αποτελεί το ενδέκατο μέρος της ομώνυμης σειράς παιχνιδιών και διαδέχθηκε το παιχνίδι του 2017, Assassin's Creed Origins. Η πλοκή του παιχνιδιού διαδραματίζεται στο έτος 431 π.Χ. κατά τη διάρκεια του Πελοποννησιακού Πολέμου μεταξύ Αθηνών και Σπάρτης. Οι παίκτες έχουν την ευκαιρία να διαλέξουν το φύλο του ή της μισθοφόρου, ο οποίος μάχεται και με τις δυο πλευρές καθώς προσπαθεί να επανενωθεί με την οικογένειά του και να ξεσκεπάσει μια κακοήθη σέκτα.
Το παιχνίδι κυκλοφόρησε παγκοσμίως για τις πλατφόρμες Microsoft Windows, PlayStation 4, Xbox One, και για το Nintendo Switch (μόνο στην Ιαπωνία) στις 5 Οκτωβρίου του 2018. Έλαβε καλές κριτικές για το open world, το οπτικό κομμάτι, τον τρόπο απεικόνισης της μάχης, την πλοκή και τους χαρακτήρες της, ενώ αντίθετα αρνητική κριτική για το grinding και τα microtransactions.
Τρόπος παιχνιδιού
Το Assassin's Creed Οdyssey δίνει μεγαλύτερη έμφαση στα στοιχεία του RPG από τους προηγούμενους τίτλους της σειράς. Περιλαμβάνει επιλογές διαλόγων, διακλαδωμένες αποστολές και πολλαπλά τέλη. Ο παίκτης δύναται να επιλέξει το φύλο του κεντρικού χαρακτήρα, παίζοντας ως Αλέξιος ή ως Κασσάνδρα. Υπάρχει επίσης η επιλογή να συνάψει ρομαντικές σχέσεις με non-playable characters και των δύο φύλων, άσχετα με το ποιο φύλο επιλέχθηκε. Εάν ο παίκτης διαπράξει εγκλήματα όπως φόνο ή κλοπή, θα κυνηγηθεί από άλλους μισθοφόρους.
Ο χαρακτήρας του παίκτη, η Κασσάνδρα (canon πρωταγωνίστρια) ή Αλέξιος, είναι μισθοφόρος και απόγονος του Σπαρτιάτη βασιλιά Λεωνίδα Α'. Κληρονομεί το σπασμένο του δόρυ, το οποίο έπειτα από τη μετατροπή του σε λόγχη χαρίζει στον παίκτη ειδικές ικανότητες στη μάχη. Το παιχνίδι επίσης χρησιμοποιεί ένα δέντρο ικανοτήτων που μπορούν να ξεκλειδωθούν με τη συλλογή εμπειρίας.
Πλοκή
Το παιχνίδι διαδραματίζεται στο 431 π.Χ., 400 χρόνια πριν από τα γεγονότα του Assassin's Creed Origins. Αφηγείται ξανά τη μυστική ιστορία του Πελοποννησιακού Πολέμου μεταξύ των πόλεων-κρατών της Αρχαίας Ελλάδας. Ο παίκτης έχει τον ρόλο του μισθοφόρου που μπορεί να μάχεται με τη Δηλιακή Συμμαχία με ηγέτη την Αθήνα, ή την Πελοποννησιακή Συμμαχία με ηγέτη τη Σπάρτη.
To κύριο storyline του παιχνιδιού είναι ο χαρακτήρας που προσπαθεί να ξαναφτιάξει τη διαλυμένη οικογένεια του αφότου αυτός και ο/η αδελφός/φη του πετάχτηκαν από το Όρος Ταΰγετος καθώς έτσι διέταξε τον πατέρα τους η μάντισσα της Σπάρτης. Όπως και στα προηγούμενα παιχνίδια, το Odyssey έχει και μια αφήγηση στο παρόν που ακολουθεί τη Λέιλα Χασάν, που συστήθηκε στο Assassin's Creed Origins.
Το παιχνίδι περιλαμβάνει μια πληθώρα ιστορικών προσώπων τα οποία συναντάς και μιλάς: τον Αλκιβιάδη, τον Αρχίδαμο, τον Αριστοφάνη, την Ασπασία, τον Βρασίδα, τον Ευριπίδη, τον Κλέων, τον Δημόκριτο, τον Ηρόδοτο, τον Ιπποκράτη, τον Παυσανία, τον Περικλή, τον Φειδία, την Πράξιλλα, τον Πολύκλειτο, τον Πυθαγόρα, τον Σωκράτη, τον Σοφοκλή και τη Θέσπις.
Περιλαμβάνει επίσης ιστορικές και μυθικές Ελληνικές τοποθεσίες όπως την Αγορά της Αθήνας, την Κεφαλονιά, την Ιθάκη, το Ωδείον της Αθήνας, το δάσος της Φολόης, το άγαλμα του Δία στην Ολυμπία, τη Νάξο, τη Λέσβο, την αρχαία Αθήνα, την αρχαία Αργολίδα, την Πνύκα, τη Μακεδονία και τα Μέγαρα. Έχει επίσης διάσημα τέρατα της ελληνικής μυθολογίας όπως τη Μέδουσα, τον Κύκλωπα και τον Μινώταυρο.
Ανάπτυξη
Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών και των ναυμαχιών με τριήρη, οι χαρακτήρες που κωπηλατούν τραγουδούν στίχους εμπνευσμένους ή ενίοτε παρμένους από την αρχαία ελληνική μουσική. Οι προγραμματιστές του παιχνιδιού συνεργάστηκαν με ιστορικούς, παράλληλα κάνοντας και οι ίδιοι έρευνα. Έτσι δημιούργησαν τραγούδια εμπνευσμένα από αρχαιοελληνικά κείμενα, ποιήματα και θεατρικά έργα, τα οποία συντέθηκαν στην Αθήνα από Έλληνα συνθέτη και ερμηνεύτηκαν από χορωδία.
Παραπομπές
Κατηγορία:Assassin's Creed Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια τοποθετημένα στην Ελλάδα Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια του Xbox One Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια των Windows Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια Stadia Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια ανεπτυγμένα στον Καναδά Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια της Ubisoft Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια του PlayStation 4 Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια ανοικτού κόσμου Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια δράσης ρόλων Κατηγορία:Βιντεοπαιχνίδια του 2018
Cinemagraph
thumb|350px|Τυπικό δείγμα cinemagraph: Το χόρτο στο προσκήνιο κινείται ελαφρά. Tα Cinemagraphs (Σίνεμαγκραφς, ελεύθερα κινηγραφίες) είναι φωτογραφίες στις οποίες εμφανίζεται μια μικρή και επαναλαμβανόμενη κίνηση. Tα cinemagraphs που δημοσιεύονται με μορφή κινούμενου GIF, μπορεί να δώσουν την ψευδαίσθηση ότι ο θεατής παρακολουθεί ένα ατέρμονο βίντεο.
Δημιουργούνται από σειρά φωτογραφιών ή βίντεο μικρής διάρκειας, που, με τη χρήση λογισμικού επεξεργασίας εικόνας, συνδυάζονται σε έναν αδιάλειπτο κύκλο διαδοχικών καρέ όπου η κίνηση μέρους της εικόνας γίνεται αντιληπτή ως επαναλαμβανόμενη ή συνεχής, σε αντίθεση με την ακινησία του υπολοίπου της εικόνας.
Ο όρος επινοήθηκε στις αρχές του 2011 από τους αμερικανούς φωτογράφους Kevin Burg και Jamie Beck, που χρησιμοποίησαν την τεχνική αυτή για να 'ζωντανέψουν' φωτογραφίες ειδήσεων και μόδας. Αποτελεί πορτμαντώ των όρων cinema (κινηματογράφος) και photograph (φωτογραφία).
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Φωτογραφία Κατηγορία:Κινούμενα σχέδια
Βρετανική Ένωση Κινημοτογραφιστών
Η Βρετανική Ένωση Κινημοτογραφιστών (αγγλικά:British Society of Cinematographers) ιδρύθηκε το 1949 από τον Μπερτ Ιζέι (23 Αυγούστου 1901 - 28 Φεβρουαρίου 1973), τότε επικεφαλής των τμημάτων διεύθυνσης φωτογραφίας των Στούντιο Ντένχαμ και Πίνγουντ, για να εκπροσωπήσει τους Βρετανούς κινηματογραφιστές στους Βρετανική κινηματογραφική βιομηχανία.
Στόχοι
Οι δηλωμένοι στόχοι κατά το σχηματισμό της Ένωσης ήταν:
Στη λαϊκή κουλτούρα
Στην ταινία του 1981 The Great Muppet Caper, οι Κέρμιτ και Φόζι σχολίασαν τις πρώτες πιστώσεις καθώς εμφανίζονται. Όταν εμφανίζεται το όνομα του κινηματογραφιστή της ταινίας Όσβαλντ Μόρις με τα μετα-ονομαστικά γράμματα, ο Φόζι ρωτά, «Τι σημαίνει το BSC;», στο οποίο ο Κέρμιτ απαντά με προβληματισμό, «Δεν ξέρω».
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Κινηματογράφος στην Αγγλία
Πρέμιερ Λιγκ
Η Πρέμιερ Λιγκ (Premier League) είναι η κορυφαία κατηγορία του αγγλικού ποδοσφαιρικού συστήματος. Αποτελείται από 20 επαγγελματικές ομάδες και η εκάστοτε νικήτρια θεωρείται πρωταθλήτρια Αγγλίας.
Η Πρέμιερ Λιγκ ιδρύθηκε στις 20 Φεβρουαρίου 1992 από 22 κορυφαίους συλλόγους της Αγγλίας, οι οποίοι αποχώρησαν από την Φούτμπολ Λιγκ (The Football League) για να σχηματίσουν την Πρέμιερ Λιγκ (μειώθηκαν σε 20 ομάδες το 1995). Ως εκ τούτου, θεωρείται ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες κατηγορίες του αγγλικού ποδοσφαίρου. Επίσης, το πρωτάθλημα μετονομάστηκε από FA Premier League σε Premier League το 2007.
Προέλευση
Παρά τις σημαντικές ευρωπαϊκές επιτυχίες κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1970 και στις αρχές της δεκαετίας του 1980, στα τέλη της δεκαετίας του '80 το αγγλικό ποδόσφαιρο άρχισε να φθίνει. Στάδια υπό κατάρρευση, φίλαθλοι οι οποίοι υπέμειναν τις φτωχές εγκαταστάσεις, ο χουλιγκανισμός ανθούσε και οι αγγλικοί σύλλογοι είχαν αποκλειστεί από τις ευρωπαϊκές διοργανώσεις για πέντε χρόνια μετά την καταστροφή του Σταδίου Χέιζελ το 1985. Η Φούτμπολ Λιγκ Φέρστ Ντιβίζιον (Football League First Division), η οποία εκείνη την εποχή αποτελούσε την κορυφαία κατηγορία του αγγλικού ποδοσφαίρου από την ίδρυσή της το 1888, ήταν πολύ πίσω από πρωταθλήματα όπως η ιταλική Σέριε Α και η Λα Λίγκα της Ισπανίας στις συμμετοχές και τα έσοδα, ενώ πολλοί κορυφαίοι Άγγλοι ποδοσφαιριστές είχαν μετακομίσει στο εξωτερικό.
Διχογνωμία με τη ΦΙΦΑ
Λόγω της επιμονής της Διεθνούς Ποδοσφαιρικής Ομοσπονδίας (FIFA) σχετικά με το ότι τα εγχώρια πρωταθλήματα πρέπει να μειώσουν τον αριθμό των αγώνων που παίζουν οι ομάδες, ο αριθμός των συλλόγων μειώθηκε σε 20 το 1995, όταν τέσσερις ομάδες είχαν υποβιβαστεί από το πρωτάθλημα και μόνο δύο ομάδες προβιβάστηκαν. Στις 8 Ιουνίου του 2006, η FIFA ζήτησε από όλα τα μεγάλα ευρωπαϊκά πρωταθλήματα, συμπεριλαμβανομένων της Ιταλικής Σέριε Α΄ και Λα Λίγκα της Ισπανίας, να μειώσουν τον αριθμό των ομάδων τους σε 18 από την έναρξη της περιόδου 2007-08. Η Πρέμιερ Λιγκ απάντησε ανακοινώνοντας την πρόθεσή της να αντισταθεί σε μια τέτοια μείωση. Τελικά, η περίοδος 2007-08 ξεκίνησε και πάλι με 20 ομάδες.
Εταιρική διάρθρωση
Η Football Association Premier League Ltd (FAPL) λειτουργεί ως εταιρεία και ανήκει στους 20 συλλόγους μέλη της. Κάθε σύλλογος είναι μέτοχος, με μία ψήφο ο καθένας σε θέματα όπως αλλαγές κανόνων και συμβάσεις. Οι σύλλογοι εκλέγουν πρόεδρο, διευθύνων σύμβουλο, και το Διοικητικό Συμβούλιο το οποίο επιβλέπει τη λειτουργία του πρωταθλήματος. Ο σημερινός πρόεδρος είναι ο Σερ Ντέιβ Ρίτσαρντς, ο οποίος διορίστηκε τον Απρίλιο του 1999, και διευθύνων σύμβουλος είναι ο Ρίτσαρντ Σκιούντμορ, οι οποίοι ανέλαβαν τα καθήκοντά τους τον Νοέμβριο του 1999. Ο πρώην πρόεδρος και διευθύνων σύμβουλος, Τζον Κουίντον και Πίτερ Λίβερ, αναγκάστηκαν να παραιτηθούν το Μάρτιο του 1999, μετά την ανάθεση των συμβάσεων συμβουλών στα πρώην στελέχη της Sky Σαμ Τσίσομ και Ντέιβιντ Τσανς. Η Ποδοσφαιρική Ομοσπονδία (The FA) δεν εμπλέκεται άμεσα στη λειτουργία της Premier League, αλλά έχει το δικαίωμα άσκησης βέτο ως ειδική μέτοχος κατά την εκλογή του προέδρου και του διευθύνοντος συμβούλου και όταν εγκρίνονται νέοι κανόνες από την Premier League.
Η Premier League στέλνει εκπροσώπους στην Ομοσπονδία Ευρωπαϊκών Συλλόγων (ECA), ο αριθμός των οποίων καθορίζεται σύμφωνα με τους συντελεστές της UEFA. Για την περίοδο 2012–13 η Premier League είχε 10 εκπροσώπους από τους αντίστοιχους συλλόγους: Άρσεναλ, Άστον Βίλα, Τσέλσι, Έβερτον, Φούλαμ, Λίβερπουλ, Μάντσεστερ Σίτι, Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ, Νιούκαστλ και Τότεναμ. Η Ομοσπονδία Ευρωπαϊκών Συλλόγων είναι υπεύθυνη για την εκλογή τριών μελών στην Επιτροπή Διασυλλογικών Διοργανώσεων της UEFA, η οποία συμμετέχει στις εργασίες όσον αφορά τις διοργανώσεις της UEFA, όπως το Τσάμπιονς Λιγκ και το Γιουρόπα Λιγκ.
Λογότυπο
Το λογότυπο της διοργανώτριας αρχής Premier League, έχει εξελιχθεί με το πέρασμα του χρόνου. Κύριο στοιχείο του αποτελεί ο λέων.
Δικαίωμα συμμετοχής στις ευρωπαϊκές διοργανώσεις
Την περίοδο 2009–10, οι προϋποθέσεις για δικαίωμα συμμετοχής στο ΟΥΕΦΑ Τσάμπιονς Λιγκ άλλαξε, καθώς οι τέσσερις κορυφαίες ομάδες της Πρέμιερ Λιγκ, πληρούν τις προϋποθέσεις για τη συμμετοχή στο ΟΥΕΦΑ Τσάμπιονς Λιγκ, με τις τρεις πρώτες ομάδες να εισέρχονται απευθείας στη φάση των ομίλων. Προηγουμένως μόνο οι δύο πρώτες ομάδες προκρίνονταν αυτόματα στους ομίλους. Η τέταρτη θέση οδηγεί στο γύρο των πλέι-οφ για μη πρωταθλητές, σε δύο αναμετρήσεις νοκ-άουτ με σκοπό την πρόκριση στη φάση των ομίλων.
Η ομάδα που τερμάτισε πέμπτη στην Πρέμιερ Λιγκ προκρίνεται στο ΟΥΕΦΑ Γιουρόπα Λιγκ, καθώς και οι ομάδες που τερματίζουν στην έκτη και έβδομη θέση μπορούν υπό προϋποθέσεις να λάβουν δικαίωμα συμμετοχής, ανάλογα με τις νικήτριες και τις φιναλίστ των δύο εγχώριων διοργανώσεων κυπέλλου. Δύο θέσεις για το ΟΥΕΦΑ Γιουρόπα Λιγκ προορίζονται για την νικήτρια της κάθε μιας από τις εγχώριες διοργανώσεις κυπέλλου. Αν η κάτοχος του Κυπέλλου Αγγλίας (FA Cup) πληροί τις προϋποθέσεις για συμμετοχή στο ΟΥΕΦΑ Τσάμπιονς Λιγκ, τότε τη θέση της στο ΟΥΕΦΑ Γιουρόπα Λιγκ καταλαμβάνει η φιναλίστ και αν η φιναλίστ έχει επίσης προκριθεί στο ΟΥΕΦΑ Τσάμπιονς Λιγκ, τότε τη θέση της στο ΟΥΕΦΑ Γιουρόπα Λιγκ καταλαμβάνει η ομάδα που τερμάτισε στην επόμενη καλύτερη θέση στην Πρέμιερ Λιγκ. Αν η νικήτρια του Λιγκ Καπ (League Cup) έχει ήδη προκριθεί, η θέση πηγαίνει στην επόμενη ομάδα με καλύτερη θέση στο πρωτάθλημα. Άλλη μία θέση στο UEFA Europa League είναι επίσης διαθέσιμη μέσω της πρωτοβουλίας Fair Play. Αν η Πρέμιερ Λιγκ έχει μία από τις τρεις υψηλότερες θέσεις στην κατάταξη του Fair Play στην Ευρώπη, η υψηλότερη κατάταξη της ομάδας στο Fair Play της Πρέμιερ Λιγκ που δεν έχει ήδη προκριθεί στο ΟΥΕΦΑ Γιουρόπα Λιγκ, λαμβάνει δικαίωμα συμμετοχής αυτόματα για τον πρώτο προκριματικό γύρο της διοργάνωσης.
Μια εξαίρεση από το σύνηθες ευρωπαϊκό σύστημα προεπιλογής συνέβη το 2005, όταν η Λίβερπουλ κέρδισε το Τσάμπιονς Λιγκ το προηγούμενο έτος, αλλά στο πρωτάθλημα της Πρέμιερ Λιγκ δεν τερμάτησε σε θέση που οδηγούσε στο Τσάμπιονς Λιγκ. Η UEFA έδωσε ειδική εξαίρεση για Λίβερπουλ ώστε να μπει στο Τσάμπιονς Λιγκ, δίνοντας στην Αγγλία πέντε θέσεις. Η UEFA, στη συνέχεια έκρινε ότι η εκάστοτε κάτοχος του τροπαίου, αυτόματα πληροί τις προϋποθέσεις για τη συμμετοχή της στη διοργάνωση του επόμενου έτους, ανεξάρτητα από την κατάταξή της στο εγχώριο πρωτάθλημα. Ωστόσο, για τις ομοσπονδίες με τέσσερις συμμετέχοντες στο Τσάμπιονς Λιγκ, αν η νικήτρια του Τσάμπιονς Λιγκ κατετάγη σε χαμηλότερη θέση από τις κορυφαίες τέσσερις στο εγχώριο πρωτάθλημα της, θα μπορούσε να προκριθεί σε βάρος της ομάδας που τερμάτησε τέταρτη στο πρωτάθλημα. Καμία ομοσπονδία δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τέσσερις συμμετέχουσες ομάδες στο Τσάμπιονς Λιγκ. Αυτό συνέβη το 2012, όταν η Τσέλσι, η οποίος είχε κερδίσει το Τσάμπιονς Λιγκ το προηγούμενο έτος και ενώ τερμάτισε έκτη στο πρωτάθλημα, προκρίθηκε στο Τσάμπιονς Λιγκ στη θέση της Τότεναμ, η οποία πήγε στο Γιουρόπα Λιγκ.
Το 2007, η Πρέμιερ Λιγκ βρέθηκε στην υψηλότερη κατάταξη των ευρωπαϊκών πρωταθλημάτων, με βάση τις επιδόσεις των αγγλικών ομάδων στις ευρωπαϊκές διοργανώσεις, για μια περίοδο πέντε ετών. Αυτό διέκοψε την οκτώ ετών κυριαρχία του ισπανικού πρωταθλήματος, Λα Λίγα.
Χορηγίες
Η Premier League είχε χορηγό από το 1993. Ο χορηγός έχει τη δυνατότητα να καθορίσει το εμπορικό όνομα του πρωταθλήματος. Υπήρξαν τρεις χορηγοί από την ίδρυσή του πρωταθλήματος.
Όπως υπάρχει χορηγία για το πρωτάθλημα, το ίδιο ισχύει και για μια σειρά από επίσημους συνεργάτες και προμηθευτές της Πρέμιερ Λιγκ. Ο επίσημος προμηθευτής μπάλας για το πρωτάθλημα είναι η Nike με βάση τη σύμβαση η οποία βρίσκεται σε ισχύ από την περίοδο 2000-01, όταν και αντικατέστησε τη Mitre.
Ρεκόρ
Η Πρέμιερ Λιγκ είναι ένα από τα αρχαιότερα επαγγελματικά ποδοσφαιρικά πρωταθλήματα με έδρα την Αγγλία και την Ουαλία. Ξεκίνησε αρχικά με την ονομασία Φερστ Ντιβίζιον ( First Division) το 1888-89 και το 1992-93 μετονομάστηκε σε Πρέμιερ Λιγκ. Από την αλλαγή αυτή και μετά υπάρχουν κάποια ιστορικά ρεκόρ τα οποία αξίζει να σημειωθούν. Κάποια από αυτά αφορούν τις ομάδες, περισσότερες νίκες/ήττες, ποια ομάδα έχει σκοράρει τα περισσότερα γκολ και ποια ομάδα έχει δεχθεί τα περισσότερα, και κάποια αλλά τους παίκτες, ποιος έχει τις περισσότερες συμμετοχές, τα περισσότερα γκολ, τις περισσότερες ασίστ και τα περισσότερα παιχνίδια χωρίς να δεχτεί γκολ ( ανέπαφες εστίες, αφορά τους τερματοφύλακες). Παρακάτω γίνεται αναφορά στους δέκα κορυφαίους της κάθε κατηγορίας.
Συλλογικά
==== Ήττες ==== Η Γουέστ Χαμ έχει ηττηθεί 394 φορές στην μεγάλη κατηγορία και ηγείται της σχετικής λίστας. Ακολουθεί η Έβερτον με 393, η Νιούκαστλ με 373, η Άστον Βίλα με 369 και η Τότεναμ με 358. Στην 6η θέση βρίσκεται η Σαουθάμπτον με 355 ήττες, στην 7η η Σάντερλαντ με 296 ενώ στην 8η και την 9η υπάρχουν δύο ομάδες έκπληξη, η Μάντσεστερ Σίτυ των 276 ηττών και η Λίβερπουλ των 259, και την δεκάδα κλείνει η Φούλαμ με 254 ήττες.
==== Γκολ Ενεργητικό ( έχουν σκοράρει) ==== Η ομάδα που έχει πετύχει 2.128 γκολ και βρίσκεται πρώτη σε αυτήν την κατηγορία είναι η Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ. Από πίσω της βρίσκονται η Άρσεναλ, 1.956 γκολ, η Λίβερπουλ, 1.927, η Τσέλσι, 1.897 τέρματα και 5η είναι η Τότεναμ, 1.676 γκολ. Στη συνέχεια είναι η Μάντσεστερ Σίτυ με 1.559, η Έβερτον 1.448, η Νιούκαστλ 1.333, η Άστον Βίλα 1.213 και η Γουέστ Χαμ 1.175.
==== Γκολ Παθητικό ( έχουν δεχτεί) ==== Η ομάδα που έχει δεχτεί τα περισσότερα γκολ στην ιστορία της Πρέμιερ Λιγκ είναι η Έβερτον με τον αριθμό ρεκόρ των 1.415 γκολ. Με 1.398 ακολουθεί η Τότεναμ. Η 3η θέση ανήκει στην Γουέστ Χαμ που έχει δεχτεί 1.378 γκολ, η 4η στην Νιούκαστλ με 1.355 γκολ παθητικό και στην 5η η Άστον Βίλα με 1.299 γκολ. Την δεκάδα συμπληρώνουν η Σαουθάμπτον, 1.215 γκολ, η λίβερπουλ, 1.121, η Άρσεναλ, 1.100, η Τσέλσι, 1.092, και η Μάντσεστερ Σίτυ, 1.042 γκολ.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ανώτατα εθνικά ποδοσφαιρικά πρωταθλήματα
Μιγκέλ ντε Θερβάντες
Ο Μιγκέλ ντε Θερβάντες Σααβέδρα (Miguel de Cervantes Saavedra, 29 Σεπτεμβρίου 1547 – 22 Απριλίου 1616) ήταν Ισπανός συγγραφέας, ο οποίος θεωρείται ευρέως ως ο μεγαλύτερος συγγραφέας στην ισπανική γλώσσα και ο κατ' εξοχήν μυθιστοριογράφος παγκοσμίως. Το έργο του ανήκει χρονικά στην «χρυσή εποχή» (περ. 1492-1648) της Ισπανίας, κατά την οποία παρατηρήθηκε εξαιρετική άνθηση στις τέχνες. Το διασημότερο μυθιστόρημά του, ο Δον Κιχώτης, συγκαταλέγεται στα κλασικά έργα της παγκόσμιας λογοτεχνίας, μεταφρασμένο σε περισσότερες από εξήντα γλώσσες και έχοντας υποβληθεί σε συστηματική ανάλυση και κριτικό σχολιασμό από τον 18ο αιώνα.
Ο Θερβάντες γεννήθηκε στο Αλκαλά ντε Ενάρες, περίπου 30 χιλιόμετρα βορειοανατολικά της Μαδρίτης, τέταρτος από τα συνολικά επτά παιδιά της οικογένειάς του. Τα νεανικά του χρόνια, για τα οποία διαθέτουμε ελάχιστες πληροφορίες, χαρακτηρίστηκαν από τις πολυάριθμες μετακινήσεις της οικογένειας σε διαφορετικές ισπανικές πόλεις. Τα παλαιότερα λογοτεχνικά έργα του χρονολογούνται το 1568, ενώ το πρώτο μυθιστόρημα του, Γαλάτεια, εκδόθηκε το 1585. Από το 1570, και για αρκετά χρόνια, πρόσφερε τις υπηρεσίες του ως επαγγελματίας στρατιώτης, λαμβάνοντας μέρος στη Ναυμαχία της Ναυπάκτου ως υπαξιωματικός του πολεμικού πλοίου Μαρκέσα (Marquesa), στην πολιορκία της Κέρκυρας (1571), καθώς και στην εκστρατεία της Τύνιδας. Κατά την επιστροφή του στην Ισπανία, εργάστηκε στην Αυλή του Φιλίππου Β' ως φοροεισπράκτορας, ενώ λίγα χρόνια αργότερα εκδόθηκε ο πρώτος τόμος του Δον Κιχώτη (1605), έργο που τον καθιέρωσε στο λογοτεχνικό κόσμο. Το 1607 εγκαταστάθηκε στη Μαδρίτη, όπου ολοκλήρωσε το μεγαλύτερο μέρος του λογοτεχνικού έργου του και έζησε μέχρι το τέλος της ζωής του.
Καταγωγή και νεανικά χρόνια
Ο Θερβάντες γεννήθηκε πιθανώς στις 29 Σεπτεμβρίου του 1547, ενώ η βάπτισή του, όπως γνωρίζουμε από αρχειακά έγγραφα, πραγματοποιήθηκε στις 9 Οκτωβρίου. Λαμβάνοντας υπόψη την πρακτική της εποχής εκείνης να βαπτίζονται τα νεογνά λίγες μόνο ημέρες μετά τη γέννησή τους, καθίσταται πιθανό και το ενδεχόμενο να γεννήθηκε μία εβδομάδα νωρίτερα, κατά τον μήνα Οκτώβριο. Σύμφωνα με το πιστοποιητικό της βάπτισής του, ως τόπος γέννησής του θεωρείται σήμερα με βεβαιότητα η ισπανική πόλη Αλκαλά ντε Ενάρες, αν και για αρκετά χρόνια πολυάριθμα χωριά ή πόλεις της Ισπανίας διεκδίκησαν τον τίτλο της γενέτειράς του. Καταγόταν από οικογένεια πρώην ευγενών, γιος του χειρουργού και πρακτικού ιατρού Ροδρίγο ντε Θερβάντες και της Λεονόρ ντε Κορτίνας, πιθανώς εβραϊκής καταγωγής που αργότερα μεταστράφηκαν στον καθολικισμό.
Επιφανή μέλη της οικογένειας Θερβάντες υπήρξαν ο προπάππους του, Ροδρίγο Ντίαθ ντε Θερβάντες, ασχολούμενος με το εμπόριο υφασμάτων και ο παππούς του Χουάν ντε Θερβάντες, νομικός και κατώτερος δικαστικός υπάλληλος. Για τα νεανικά του χρόνια, τα οποία χαρακτηρίστηκαν από συχνές μετακινήσεις της οικογένειάς του σε πολυάριθμες ισπανικές πόλεις όπου εξασκούσε το επάγγελμά του ο πατέρας του, διαθέτουμε λίγες πληροφορίες, όπως και για την εκπαίδευσή του. Σύμφωνα με μία διαδεδομένη αντίληψη, εκπαιδεύτηκε για ένα διάστημα στο περιβάλλον Ιησουιτών, πιθανώς στην Κόρδοβα, στη Σεβίλη ή στη Σαλαμάνκα, ενδεχόμενο που ωστόσο παραμένει υπό αμφισβήτηση. Σε αντίθεση με την πλειοψηφία των Ισπανών λογοτεχνών της εποχής του, ο Θερβάντες δεν φοίτησε στο πανεπιστήμιο, αν και από νεαρή ηλικία εκδήλωσε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη λογοτεχνία και εξελίχθηκε σε δεινό αναγνώστη λογοτεχνικών έργων. Την περίοδο κατά την οποία η οικογένειά του εγκαταστάθηκε στη Μαδρίτη, φοίτησε κοντά στον ουμανιστή Χουάν Λόπεθ ντε Όγιος (Juan López de Hoyos), ο οποίος ξεχώρισε τον Θερβάντες για την κλίση του στα γράμματα. Σε μια ποιητική συλλογή που εξέδωσε ο Όγιος το 1569, με κεντρικό θέμα το θάνατο της βασίλισσας Ελισάβετ του Βαλουά, τον χαρακτήρισε ως «αγαπημένο μαθητή» του. Στην ίδια συλλογή συναντώνται τα τέσσερα πρώτα δημοσιευμένα ποίηματά τού Θερβάντες, συνολικά τέσσερις συνθέσεις, μεταξύ των οποίων μία ελεγεία και ένας επιτάφιος στη μορφή σονέτου.
Σταδιοδρομία ως στρατιώτης
To 1569, ο Θερβάντες εγκαταστάθηκε στην Ιταλία, για λόγους που μέχρι σήμερα παραμένουν άγνωστοι. Σύμφωνα με ένα διαδεδομένο ισχυρισμό, η φυγή του συνδεόταν με ένα επισήμως καταγεγραμμένο περιστατικό, κατά το οποίο τραυματίστηκε ένας πολίτης ονόματι Αντόνιο ντι Σιγκούρα. Όπως βεβαιώνεται από επίσημο έγγραφο της 15ης Σεπτεμβρίου του 1569, για την πράξη αυτή καταδικάστηκε ένας Ισπανός με το όνομα Μιγκέλ ντε Θερβάντες, ωστόσο δεν θεωρείται βέβαιο πως επρόκειτο πράγματι για τον γιο του Ροδρίγο ντε Θερβάντες από το Αλκαλά ντε Εναρές. Η μετάβασή του στην Ιταλία ερμηνεύεται από ορισμένους βιογράφους του ως προσπάθεια φυγής του καταζητούμενου Θερβάντες, ωστόσο, πιθανώς αποτέλεσε απλώς κοινή πρακτική με αυτήν που ακολουθούσαν αρκετοί συμπατριώτες του, προκειμένου να προωθήσουν την επαγγελματική τους σταδιοδρομία.