cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Σημαία της Μαρτινίκας
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Μαρτινίκα Κατηγορία:Μαρτινίκα
Μοράβας
Ο Μοράβας (τσέχικα και σλοβακικά: Morava, στα γερμανικά: March) είναι ένας ποταμός στην Κεντρική Ευρώπη, αριστερός παραπόταμος του Δούναβη, που έδωσε το όνομά του στην ιστορική περιοχή Μοραβία της Τσεχίας, της οποίας αποτελεί τον σημαντικότερο ποταμό. Το συνολικό του μήκος είναι 358 χιλιόμετρα. Στην αρχαιότητα και τη Βυζαντινή Αυτοκρατορία ήταν γνωστός σαν Μάργος. Πηγάζει από το όρος Κράλιτσκι Σνέζνικ, στα βορειοδυτικά σύνορα της Μοραβίας και ρέει γενικά προς τα νότια. Ο κάτω ρους του σχηματίζει το σύνορο μεταξύ της Τσεχίας και της Σλοβακίας, και για λίγο το σύνορο μεταξύ της Αυστρίας και της Σλοβακίας.
Ο Μοράβας σχημάτισε το εύφορο Μοραβιανό Πεδίο (Marchfeld) μεταξύ της κοίτης του και της Βιέννης, και από την άλλη πλευρά την πεδιάδα Ζάχορσκα νίζινα στη Σλοβακία, που φθάνει ως την Μπρατισλάβα. Χύνεται στον Δούναβη στο Ντεβίν, προάστιο της Μπρατισλάβας. Η μόνη άλλη αξιόλογη πόλη στις όχθες του Μοράβα είναι το Όλομουτς της Μοραβίας. Ο σημαντικότερος παραπόταμός του είναι ο Τάγια (γερμανικά) ή Ντύγιε (τσέχικα και σλοβακικά), που σχηματίζει το φυσικό σύνορο μεταξύ Μοραβίας και Κάτω Αυστρίας. Σημαντικός είναι και ο Μυγιάβα, που συμβάλλει με τον Μοράβα στο Κούτι. Οι αμμώδεις εκτάσεις στην αριστερή σλοβακική όχθη του Μοράβα σχηματίσθηκαν από τον άνεμο, που μετέφερε αμμώδεις εναποθέσεις από τη Βαλτική Θάλασσα επί εκατομμύρια χρόνια.
Η μέση παροχή του Μοράβα σε νερό ανέρχεται στα 120 κυβικά μέτρα ανά δευτερόλεπτο.
Ο Μοράβας δεν πρέπει να συγχέεται με το ποτάμιο σύστημα Μοράβα των Βαλκανίων, που αποτελείται από τους ποταμούς Μεγάλο Μοράβα και Νότιο Μοράβα, το μεγαλύτερο υδάτινο σύστημα της Σερβίας.
Πηγές
Κατηγορία:Παραπόταμοι του Δούναβη Κατηγορία:Ποταμοί της Αυστρίας Κατηγορία:Ποταμοί της Σλοβακίας
Α.Ο. Φάρος Κερατσινίου
Ο Αθλητικός Όμιλος Φάρος Κερατσινίου είναι ελληνικός αθλητικός σύλλογος που δραστηριοποιείται στο Κερατσίνι του Πειραιά, όπου και βρίσκεται η έδρα του, το Κλειστό Γήπεδο Κερατσινίου «Π. Νικολαΐδης». Επίσημο έτος ίδρυσής του είναι το 1971 και αγωνίζεται με χρώματα το κόκκινο και το μπλε. Διατηρεί τμήματα καλαθοσφαίρισης και πετοσφάιρισης.
Ίδρυση
Η ιστορία της ομάδας του Φάρου ξεκινά το 1971 από την περιοχή του Αγίου Ευθυμίου Κερατσινίου. Πρωτεργάτης της ιδέας ήταν ο Αρχιμανδρίτης Στέφανος Λαχάνης και οι πρώτες προπονήσεις έλαβαν χώρα στο μικρό γηπεδάκι παραπλεύρως της εκκλησίας. Ακολούθως η δραστηριότητα του σωματείου απλώθηκε, ενσωματώνοντας αθλητές από ολόκληρη την περιοχή. Το πλήρες αρχικό όνομα του συλλόγου ήταν Αθλητικός Όμιλος Αγίου Ευθυμίου Κερατσινίου «ο Φάρος».
Τμήμα καλαθοσφαίρισης ανδρών
Το τμήμα ανδρικής καλαθοσφαίρισης δημιουργήθηκε ταυτόχρονα με το σύλλογο το 1971 στην περιοχή του Αγίου Ευθυμίου Κερατσινίου. Από τις αρχές της δεκαετίας του 2010 κι ενώ συμπλήρωνε ήδη 40 χρόνια ιστορίας, η ομάδα του Κερατσινίου πέτυχε μία σειρά από διαδοχικές ανόδους για να φτάσει το φθινόπωρο του 2015 στην Α2 Εθνική Κατηγορία. Το 2016 υπήρξε φιναλίστ του Κυπέλλου χάνοντας με 101-54 από τον Παναθηναϊκό. Ως επίσημη έδρα διατηρεί το Δημοτικό Κλειστό Γυμναστήριο Κερατσινίου «Παντελής Νικολαΐδης».
Ιστορική αναδρομή
Το γυναικείο τμήμα καλαθοσφαίρισης του Φάρου ξεκίνησε με μαθήτριες από το γυμνάσιο της Χαραυγής. Σταδιακά ανέβηκε τις κατηγορίες για να φτάσει στην Α1 Εθνική Κατηγορία.
Κατά την αγωνιστική περίοδο 1992-93 ο σύλλογος κατέκτησε το Πρωτάθλημα Α' Κατηγορίας Γυναικών της Ε.Σ.Κ.Α. Δύο χρόνια μετά, την περίοδο 1994-95, η κατάκτηση της κορυφής του τελικού βαθμολογικού πίνακα της Β' Εθνικής Κατηγορίας (όμιλος Νότου) επέτρεψε την άνοδο του συλλόγου στην επόμενη κατηγορία.
Από το 1995 υπάχθηκε στη δικαιοδοσία της Ε.Σ.ΚΑ.Ν.Α. μετά τη διάσπαση της Ε.Σ.Κ.Α. σε δύο ενώσεις.
Τη χρονιά 1998-99 έλαβε χώρα η κατάκτηση του Πρωταθλήματος της Α' Κατηγορίας Γυναικών της Ε.Σ.ΚΑ.Ν.Α. με αποτέλεσμα την επιστροφή της ομάδας στη Β' Εθνική.
Κατά την αγωνιστική περίοδο 1999-00 η ομάδα τερμάτισε δεύτερη στον όμιλό της, παραμένοντας ωστόσο στην κατηγορία. Την επόμενη χρονιά, 2000-01 ο σύλλογος ολοκλήρωσε τις αγωνιστικές του υποχρεώσεις δύο θέσεις παρακάτω. Η κακή πορεία της περιόδου 2001-02 οδήγησε την ομάδα στον υποβιβασμό.
Κατά την αγωνιστική περίοδο 2011-12 η νέα κατάκτηση της κορυφής της Α' Κατηγορίας Ε.Σ.ΚΑ.Ν.Α. είχε σαν αποτέλεσμα την επιστροφή του Φάρου στα εθνικά πρωταθλήματα. Προπονητής του συλλόγου τη χρονιά αυτή ήταν ο Κώστας Μελέτης, ο οποίος ανανέωσε το συμβόλαιό του και για την επόμενη χρονιά.
Την αγωνιστική περίοδο 2012-13 ο Φάρος έλαβε μέρος στο Πρωτάθλημα της Α2 Εθνικής Κατηγορίας και συγκεκριμένα στον Όμιλο Νότου. Δεν κατάφερε, ωστόσο, να παγιώσει τη θέση του στην κατηγορία, εφόσον στην τελική κατάταξη κατέλαβε την 9η θέση. Στα πλαίσια του θεσμού του Κυπέλλου Ελλάδος ο σύλλογος αποκλείστηκε κατά την 1η Αγωνιστική της Α' Φάσης όταν γνώρισε την ήττα από τη Φ.Ε.Α. με σκορ 72-45.
Τρέχουσα αγωνιστική περίοδος
Κατά την τρέχουσα αγωνιστική περίοδο, 2013-14, ο Α.Ο. Φάρος Κερατσινίου διαγωνίστηκε στο Πρωτάθλημα της Α' Κατηγορίας Γυναικών που διοργάνωσε η Ε.Σ.ΚΑ.Ν.Α., καθώς και στο Κύπελλο Γυναικών της ίδιας Ένωσης. Ολοκλήρωσε τις αγωνιστικές του υποχρεώσεις για την κανονική περίοδο στην 7η θέση της βαθμολογίας, μένοντας εκτός των Play-Offs, όπου συμμετείχαν τη χρονιά αυτή 4 αντί για 8 ομάδες.
Ιστορική αναδρομή
Το τμήμα ανδρικής πετοσφαίρισης του Φάρου, ξεκινώντας από τις μικρές κατηγορίες με παιδιά της γειτονιάς, κατόρθωσε να φτάσει στην Α2 Εθνική Κατηγορία, όπου αγωνίστηκε για 9 αγωνιστικές περιόδους.
Στο Φάρο Κερατσινίου ξεκίνησε την καριέρα του ο διεθνής πετοσφαιριστής Μιχάλης Τριανταφυλλίδης.
Παραπομπές
Κατηγορία:Αθλητικοί σύλλογοι Πειραιά Κατηγορία:Ιδρύσεις αθλητικών συλλόγων το 1971 Κατηγορία:Ελληνικοί σύλλογοι πετοσφαίρισης
Βασίλης Καραπιάλης
Ο Βασίλης Καραπιάλης (Λάρισα, 13 Ιουνίου 1965) είναι Έλληνας παλαίμαχος διεθνής ποδοσφαιριστής που φόρεσε τις φανέλες της ΑΕΛ και του Ολυμπιακού, αλλά και της Εθνικής. Θεωρείται από τους μεγαλύτερους ποδοσφαιριστές που ανέδειξε το θεσσαλικό και ελληνικό ποδόσφαιρο.
Σε συλλογικό επίπεδο
Από πολύ μικρός ο Καραπιάλης ξεχώρισε για το ταλέντο του στο ποδόσφαιρο και σε ηλικία 14 ετών (το 1979), μεταγράφηκε στα τμήματα υποδομής του Τοξότη Λάρισας, έπειτα από παρέμβαση του καθηγητή του φυσικής αγωγής στο γυμνάσιο, που παράλληλα τότε ήταν και προπονητής στη συγκεκριμένη ομάδα, παρά το έντονο ενδιαφέρον της ομάδας της γειτονιάς του, των Αμπελοκήπων. Μαζί του στον Τοξότη ξεκίνησε και ο Γιώργος Αγορογιάννης, μετέπειτα συμπαίκτης του στην ΑΕΛ και επίσης ένας από τους μεγάλους Λαρισαίους ποδοσφαιριστές. Το ταλέντο του Καραπιάλη γρήγορα ξεχώρισε και το 1980 προωθήθηκε στην πρώτη ομάδα του Τοξότη. Στο ερασιτεχνικό πρωτάθλημα του νομού όπου αγωνιζόταν ο ομάδα, ο Καραπιάλης φανέρωσε το πλούσιο ταλέντο του και προσέλκυσε το ενδιαφέρον πολλών ομάδων της Α΄ Εθνικής. Το 1984 ο ΟΦΗ προσέφερε 2,1 εκατομμύρια δραχμές στη διοίκηση του Τοξότη, το ραντεβού για την υπογραφή του συμβολαίου συμφωνήθηκε να γίνει στην Αθήνα, αλλά ο Καραπιάλης δεν πήγε, επειδή δεν ήθελε να φύγει από τη Λάρισα, καθώς μεγάλο του όνειρο ήταν να μεταγραφεί στην αγαπημένη του ΑΕΛ. Την περίοδο 1984-85, αν και αγωνιζόταν στα χαφ, ο Καραπιάλης πέτυχε 30 γκολ και φυσικά δεν πέρασε απαρατήρητος από τη «βασίλισσα του κάμπου».
Το 1985 μεταγράφηκε στην ΑΕΛ, που πρόσφατα είχε κατακτήσει το κύπελλο Ελλάδας, αλλά χρειάστηκε να γίνει ολόκληρο «σίριαλ» για να υπογράψει στη «βυσσινί θύελλα». Η μεγάλη ομάδα της Λάρισας είχε προτεραιότητα στην απόκτηση ποδοσφαιριστών από την ευρύτερη περιοχή και το κόστος μεταγραφής ήταν ίδιο για όλες τις θεσσαλικές ομάδες, 750.000 δραχμές, στον Τοξότη όμως, θεωρούσαν πολύ μικρό το ποσό για ένα τόσο μεγάλο ταλέντο. Τελικά, και έπειτα από τις πιέσεις των φιλάθλων η διοίκηση της ΑΕΛ πείστηκε να δώσει ένα εκατομμύριο δραχμές στον Τοξότη. Ο Καραπιάλης δεν πήρε τίποτα, αλλά, όπως έχει δηλώσει, δεν υπήρχε τότε μεγαλύτερο δώρο για εκείνον από τη μεταγραφή του στην ΑΕΛ, διότι μόνο που θα αγωνιζόταν σε αυτή τη μεγάλη ομάδα αρκούσε. Αμέσως έγινε το αγαπημένο παιδί των Λαρισαίων φιλάθλων, ενώ μέχρι και προσωπικός σύνδεσμος οπαδών του δημιουργήθηκε που πήγαινε σε συγκεκριμένο μέρος του σταδίου Αλκαζάρ (έδρα της ΑΕΛ) και χάζευε τις μαγικές του ενέργειες με το πανό «Καραπιάλη You are magic». Τις δύο πρώτες χρονιές ο Καραπιάλης έπαιξε στους μισούς περίπου αγώνες, το 1987 όμως, ο Χρήστος Ανδρεούδης μεταγράφηκε στον Ηρακλή και έτσι απελευθερώθηκε μία θέση στον χώρο του κέντρου. Ο Καραπιάλης έγινε βασικός, συμμετείχε σε όλους τους αγώνες και ήταν η χρονιά που η ΑΕΛ έσπασε το κατεστημένο και έγινε η πρώτη και μοναδική μέχρι σήμερα επαρχιακή ομάδα που κατέκτησε το πρωτάθλημα Ελλάδας. Ο ίδιος ψηφίστηκε ως ο καλύτερος ποδοσφαιριστής εκείνης της περιόδου ενώ το γκολ που σημείωσε εναντίον του Πανσερραϊκού ακόμα θεωρείται ως ένα από τα καλύτερα που έχουν επιτευχθεί στο ελληνικό ποδόσφαιρο. Οι επόμενες χρονιές όμως, δεν είχαν ανάλογη συνέχεια για τον θεσσαλικό σύλλογο και πολλοί ποδοσφαιριστές του σταδιακά είτε εγκατέλειπαν την ενεργό δράση είτε μεταγράφονταν σε ομάδες της Αττικής και της Θεσσαλονίκης. Για τον Καραπιάλη, που φυσικά ήταν το μεγάλο αστέρι της ομάδας, ενδιαφέρθηκαν όλες οι υπόλοιπες μεγάλες ομάδες, εκείνος όμως, προτίμησε τον Ολυμπιακό και τελικά το 1991 τα κατάφερε. Άφησε πίσω του την αγαπημένη του ΑΕΛ και τις τόσο μεγάλες στιγμές που έζησε εκεί και κατηφόρισε στον Πειραιά.
Το καλοκαίρι του 1991 ο Καραπιάλης μεταγράφηκε στους «ερυθρόλευκους», ομαδα που υποστήριζε απο μικρός και οι οπαδοί του επιφύλαξαν εντυπωσιακή υποδοχή στις εγκαταστάσεις του Ρέντη. Έκανε ντεμπούτο σε ντέρμπι πρωταθλήματος με την ΑΕΚ, την οποία ο Ολυμπιακός νίκησε με 4-2 χάρη σε χατ-τρικ του Όλεγκ Προτάσοφ και αμέσως ο Καραπιάλης έγινε ο ηγέτης της ομάδας με «όπλα» του την εκρηκτικότητα, τη σπιρτάδα, το χαμηλό κέντρο βάρους, την πολύ υψηλή τεχνική, αλλά και την εμπειρία. Οι οπαδοί του Ολυμπιακού τον λάτρεψαν αν και οι τίτλοι άργησαν να έρθουν, με μόλις ένα κύπελλο στα πρώτα πέντε του χρόνια στο «λιμάνι», αλλά τέσσερα πρωταθλήματα, ένα κύπελλο και ένα Σούπερ Καπ στα επόμενα τέσσερα. Τον Μάιο του 2000 ο Καραπιάλης ανακοίνωσε την αποχώρησή του από την ενεργό δράση. Το τέλος ενός ακόμα μεγάλου ποδοσφαιριστή, που σε ψηφοφορία αναδείχτηκε τρίτος καλύτερος ποδοσφαιριστής του ελληνικού επαγγελματικού ποδοσφαίρου (από το 1979) πίσω από τους Βασίλη Χατζηπαναγή και Δημήτρη Σαραβάκο, ενώ θεωρείται μαζί με τον Γιώργο Δεληκάρη ως τα κορυφαία «δεκάρια», τα καλύτερα επιτελικά χαφ, στην ιστορία του Ολυμπιακού.
Τίτλοι
5 πρωταθλήματα: με ΑΕΛ 1 (1988), με Ολυμπιακό 4 (1997, 1998, 1999, 2000)
2 κύπελλα: με Ολυμπιακό (1992, 1999)
1 Σούπερ Καπ: με Ολυμπιακό (1992)
Στην εθνική Ελλάδας
Σε σύγκριση με το τεράστιο ταλέντο του ο Καραπιάλης αγωνίστηκε πολύ λίγες φορές με την Ελλάδα, μόλις 21 πετυχαίνοντας και 2 γκολ εναντίον της Μάλτας σε επίσημο αγώνα και εναντίον της Κύπρου σε φιλικό. Ντεμπούτο έκανε όταν ακόμα αγωνιζόταν στην ΑΕΛ, το 1988, αλλά αποχώρησε το 1993 οικειοθελώς. Η απόφαση του ομοσπονδιακού προπονητή Αλκέτα Παναγούλια να τον αφήσει εκτός αποστολής για το Μουντιάλ του 1994 τον πίκρανε πολύ και δεν θέλησε να αγωνιστεί ξανά στη συνέχεια στην Eθνική, παρά το γεγονός οτι ο Άνχελ Ιορντανέσκου το 1998 είχε εκφράσει την επιθυμια να τον ξανά καλέσει.
Μετά το ποδόσφαιρο
Για ένα μεγάλο διάστημα μετά το τέλος της ποδοσφαιρικής του καριέρας του ο Καραπιάλης εργάστηκε στον Ολυμπιακό είτε ως σκάουτερ είτε ως προπονητής της ομάδας Νέων του συλλόγου. Από το 1997 είναι παντρεμένος.
Στις 5 Ιουνίου 2021, τα ΜΜΕ κυκλοφόρησαν την επιστροφή του στην ΑΕΛ, έπειτα από πολλά χρόνια, στη θέση του υπευθύνου όλων των ομάδων νέων της ΑΕΛ.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Έλληνες ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Έλληνες προπονητές ποδοσφαίρου Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Εθνικής Ελλάδος Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Α.Ε. Λάρισας Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Ολυμπιακού Πειραιώς Κατηγορία:Μέσοι ποδοσφαιριστές
Αρίσταρχος ο Σαμόθραξ
Ο Αρίσταρχος ο Σαμόθραξ, περ. 220 π.Χ. - 143 π.Χ. γραμματικός και βιβλιοθηκάριος στη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας ήταν μαθητής και διάδοχος του Αριστοφάνη του Βυζάντιου.
Γεννήθηκε στη Σαμοθράκη και ήταν σύγχρονος του Πτολεμαίου του Φιλομήτορος που του ανέθεσε την εκπαίδευση του γιου του Πτολεμαίου του Ευπάτορος. Το 164 π.Χ. κατέφυγε στην Κύπρο όταν ο Πτολεμαίος Η΄ Φύσκων καταδίωκε τους φίλους του δολοφονημένου Πτολεμαίου Ευπάτορος, όπου και πέθανε από υδρωπικία.
Λέγεται ότι διέθετε παροιμιώδη μνήμη και αδιαφορούσε τελείως για την εξωτερική του εμφάνιση.
Κατά το λεξικό Σουίδα έγραψε πολυάριθμα υπομνήματα, συγγράμματα («περί Ιλιάδος και Οδυσσείας», «προς Φιλητάν», «περί Ναυστάθμου» και άλλα) και οκτακόσια σχόλια στον Πίνδαρο και ιδιαίτερα διακρίθηκε στην κριτική έκδοση των ομηρικών επών. Ο μαθητής του Αριστόνικος ο Αλεξανδρεύς μας παραδίδει πολύ ενδιαφέρουσες πληροφορίες της κριτικής μεθόδου του δασκάλου του. Μαζί με τον Ζηνόδοτο και τον Αριστοφάνη το Βυζάντιο είναι οι πρώτοι που κατέταξαν και συστηματοποίησαν τη μελέτη σημαντικών αρχαίων κειμένων, που είχαν αλλοιωθεί ή σκορπιστεί και χρειάζονταν διόρθωση και αποκατάσταση.
Παραπομπές
Κατηγορία:Αρχαίοι Έλληνες γραμματικοί Κατηγορία:Βιβλιοθηκάριοι της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας
Διάδημα (Βρετανικό Μουσείο, αρ. 144)
Στην αρχαϊκή συλλογή του Βρετανικού Μουσείου εκτίθεται με αριθμό καταλόγου 144 το εξής κόσμημα, που βρέθηκε σε τάφο κοντά σε στην Κλαυδιά, κοντά στην Λάρνακα της Κύπρου. Αγοράστηκε το 1899.
Περιγραφή
Αποτελείται από λεπτό φύλλο χρυσού με στρογγυλευμένες άκρες, κάθε μια από τις οποίες φέρει μια οπή, προφανώς για κορδόνι. Έχει έκτυπες ανάγλυφες παραστάσεις. Διακρίνονται από τα άκρα προς το κέντρο ανθοί με οκτώ πέταλα, άλλοι ανθοί λοτού που ξεπετάγονται μέσα από σπείρες, αγριοκάτσικα που καλπάζουν ενώ φέρουν μικρότερο ανθό μπροστά στο κεφάλι τους, και πάλι, στο κέντρο ένας ανθός λοτού όπως και προηγουμένως. Στην επάνω ζώνη είναι έκτυπες από αριστερά προς τα δεξιά τρεις λιονταροκεφαλές, ένας βωμός, άλλες δύο λιονταροκεφαλές, ένα μοσχαράκι καθιστό με το κεφάλι γερμένο προς τα πίσω, μια ανθρώπινη μάσκα τοποθετημένη πλαγιαστά, προφανώς με νέγρικα χαρακτηριστικά, άλλο ένα μοσχαράκι όπως πιο πριν, αλλά αναποδογυρισμένο, δύο λιονταροκεφαλές, και τέλος μια χάντρα ωοειδής με αυλάκι κατά μήκος.
Ιστορική τοποθέτηση
Το διάδημα είναι της εποχής του χαλκού.
Μαραθόπολη Μεσσηνίας
Η Μαραθόπολη ή Μαραθούπολη ή Μάραθος (συνηθισμένη αναφορά), είναι παραλιακός οικισμός κοντά στους Γαργαλιάνους και υπάγεται διοικητικά στον Δήμο Τριφυλίας, του Νομού Μεσσηνίας.
Αποτελεί το επίνειο, δηλαδή το λιμάνι, των Γαργαλιάνων. Το καλοκαίρι ο πληθυσμός του αυξάνεται, επειδή η περιοχή έχει έντονη τουριστική κίνηση και αποτελεί παραθεριστικό πόλο έλξης κόσμου από τις γειτονικές περιοχές της Μεσσηνίας, καθώς στο παραθαλάσσιο αυτό χωριουδάκι λειτουργούν ενοικιαζόμενα δωμάτια, κάμπινγκ, ξενώνες και ξενοδοχεία.
Τοποθεσία
150px|left|thumb|Παραλιακός δρόμος Φιλιατρών-Μαραθοπόλεως. 150px|left|thumb|Κατεύθυνση εισόδου προς Μαραθούπολη από τους Γαργαλιάνους. Η Μαραθούπολη έχει μηδενικό υψόμετρο (0 μ.) από τη θάλασσα, καθώς βρέχεται από τα νερά του Ιονίου Πελάγους. Βρίσκεται δυτικά από τους Γαργαλιάνους, από τους οποίους απέχει περίπου 5,5 χιλιόμετρα και νότια από τα Φιλιατρα, από τα οποία απέχει περίπου 11 χιλιόμετρα στη διαδρομή με κατεύθυνση προς την Κυπαρισσία, από την οποία απέχει περίπου 27 χιλιόμετρα. Στην αντίθετη κατεύθυνση της διαδρομής προς τα νοτιοανατολικά και την Πύλο απέχει από αυτήν επίσης περίπου 27 χιλιόμετρα.
Ιστορία
Η ίδρυση της Μαραθούπολης στην ομώνυμη ως τότε τοποθεσία, ανάγεται στο έτος 1859, σύμφωνα με διάταγμα του τότε βασιλιά Όθωνα, μετά από εισήγηση του αρμόδιου υπουργού Εσωτερικών. Η Μαραθόπολις προσαρτήθηκε στον παλαιό Δήμο Πλαταμώδους πριν από το 1889, ενώ το 1899 μεταφέρεται από το Νομό Μεσσηνίας και υπάγεται στον Νομό Τριφυλίας, για μια περίπου δεκαετία, ως το 1909, που επανέρχεται ξανά στον Νομό Μεσσηνίας, ως οικισμός της Επαρχίας Τριφυλίας. Το 1912 το χωριό αποσπάται από τον Δήμο Πλαταμώδους και ορίζεται έδρα της κοινότητας Μαραθοπόλεως. Η Μαραθόπολις παρέμεινε έδρα της ομώνυμης κοινότητας, από το 1912 ως το 1997, όταν τότε, στα πλαίσια των αλλαγών που επήλθαν στη τοπική αυτοδιοίκηση, μέσω του σχεδίου «Καποδίστριας», προσαρτάται στον κατηργημένο Δήμο Γαργαλιάνων, ενώ από το 2011, μετά τις νέες αλλαγές του σχεδίου «Καλλικράτης» ανήκει πλέον στον νέο Δήμο Τριφυλίας. Ο δήμος αυτός, συστάθηκε με το Πρόγραμμα Καλλικράτης με την συνένωση των προϋπαρχόντων δήμων Αετού, Αυλώνος, Γαργαλιάνων, Κυπαρισσίας, Φιλιατρών και την κοινότητα Τριπύλας.
Κάτοικοι
Ο οικισμός, με βάση την απογραφή του 2011, έχει 646 μόνιμους κατοίκους, οι οποίοι απασχολούνται με τον τουρισμό, το εμπόριο, την αλιεία και σε διάφορες αγροτικές εργασίες. Το καλοκαίρι ο πληθυσμός του αυξάνεται, παράλληλα με την αύξηση της τουριστικής κίνησης.
Απολλώνιο πρόβλημα
thumb|right|σχήμα 1: Μία λύση (με ροζ) στο Απολλώνιο πρόβλημα. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο
Μαραθόπολη Μεσσηνίας
Κτίρια και αξιοθέατα
thumb|200px|left|Προς τον παραλιακό πεζόδρομο της Μαραθούπολης. thumb|200px|right|Ο Ιερός Ναός Μεταμορφώσεως του Σωτήρος. thumb|200px|right|Το λιμάνι της Μαραθόπολης. Στο χωριό λειτουργεί νηπιαγωγείο, το οποίο στεγάζεται στο χώρο του πρώην δημοτικού σχολείου Μαραθούπολης, ενώ υπάρχουν εκτός από τις κατοικίες και τα εμπορικά καταστήματα, τα παραδοσιακά καφενεία του χωριού. Επίσης, καφέ και εστιατόρια, μπαρ και ψαροταβέρνες, που βρίσκονται στον παραλιακό πεζόδρομο στην νότια πλευρά του χωριού και κοντά στον λιμενοβραχίονα στην δυτική πλευρά, καθώς και πολλές τουριστικές εγκαταστάσεις με ενοικιαζόμενα διαμερίσματα-δωμάτια, ξενοδοχεία, αλλά και κάμπινγκ. Η εκκλησία του χωριού είναι ο «Ιερός Ναός Μεταμορφώσεως του Σωτήρος», ο οποίος υπάγεται στην Ιερά Μητρόπολη Τριφυλίας και Ολυμπίας.
Και από τις δυο πλευρές της Μαραθούπολης υπάρχουν παραλίες με άμμο ή βράχια. Στα αξιοθέατα της περιοχής, περιλαμβάνεται ο φυσικός κυματοθραύστης της Μαραθούπολης, δηλαδή η κοντινή νήσος Πρώτη, η οποία προστατεύει σε απόσταση 2 περίπου ναυτικών μιλίων το λιμάνι της Μαραθούπολης με τον δικό του τεχνικό κυματοθραύστη και τον μικρό του φάρο, και στην οποία βρίσκεται η παραλία Βουρλιά (η πρόσβαση γίνεται μόνο με καΐκι). Σε κοντινές αποστάσεις βρίσκονται κι άλλες παραλίες, όπως η Παραλία του Λαγκουβάρδου, η Παραλία του Αϊ-Γιαννάκη, η Παραλία του Βρωμονερίου, η Παραλία της Αγιά Σωτήρας στον Βρυσόμηλο (ή Αγία Σωτήρα) και η Παραλία της Χρυσής Ακτής, γνωστή και ως «Μάτι», κοντά στα Ρίκια.
Απολλώνιο πρόβλημα
thumb|right|σχήμα 2: Τέσσερα συμπληρωματικά ζεύγη λύσεων του Απολλώνιου προβλήματος. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο
Μαραθόπολη Μεσσηνίας
Τοπικά έθιμα - πανηγύρια
Τα τοπικά έθιμα και τα πανηγύρια της Μαραθούπολης διακρίνονται για την ιδιαιτερότητά τους:
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Χωριά του νομού Μεσσηνίας Κατηγορία:Δήμος Τριφυλίας
Απολλώνιο πρόβλημα
Στην ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων, που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.Χ.) στο έργο του . Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι, οι οποίοι εφάπτονται σε αυτούς (σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει ή όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
Το 16ο αιώνα, ο Άντριαν φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες υπερβολές χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο κατασκευές με κανόνα και διαβήτη. Ο Φραγκίσκος Βιετά κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την ακτίνα ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε σημείο), είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε ευθεία). Η προσέγγιση του Βιετά, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον Ισαάκ Νεύτωνα, ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το LORAN.
Το πρόβλημα
Στη γενική μορφή του απολλώνιου προβλήματος ζητείται η κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων οι οποίοι να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, όπου το αντικείμενο μπορεί να είναι ευθεία, σημείο ή κύκλος οιασδήποτε ακτίνας. Αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι διατεταγμένα καθ' οιονδήποτε τρόπο και μπορούν και να αλληλοτέμνονται, όμως, συνήθως λαμβάνονται ώστε να είναι διακριτά, να μην συμπίπτουν δηλαδή. Μερικές φορές οι λύσεις του προβλήματος καλούνται Απολλώνιοι κύκλοι, αν και ο όρος χρησιμοποιείται και για άλλου είδους κύκλους, επίσης σχετιζόμενους με τον Απολλώνιο.
Η ιδιότητα της επαφής ορίζεται ως εξής. Αρχικά ένα σημείο, ευθεία ή κύκλος θεωρείται ότι εφάπτεται στον εαυτό του, έτσι αν δοθεί ένα κύκλος που είναι ήδη εφαπτόμενος σε άλλους δύο δεδομένους, η διάταξη λογίζεται ως λύση στο απολλώνιο πρόβλημα. Δύο διακριτά γεωμετρικά αντικείμενα θεωρείται ότι τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Εξ ορισμού ένα σημείο εφάπτεται σε ένα κύκλο ή μία ευθεία αν τα τέμνει, δηλαδή να βρίσκεται επί αυτών. Έτσι δύο διακριτά σημεία δεν μπορούν να είναι μεταξύ τους εφαπτόμενα. Αν η γωνία μεταξύ ευθειών ή κύκλων σε ένα σημείο τομής είναι μηδενική, τότε ορίζεται ότι αυτά εφάπτονται, το σημείο τομής ονομάζεται σημείο επαφής. Στην πράξη δύο διακριτοί κύκλοι είναι εφαπτόμενοι αν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, αν τέμνονται σε δύο ή κανένα σημεία τότε δεν εφάπτονται. Το ίδιο ισχύει και για ένα ζεύγος ευθείας και κύκλου. Δύο διακριτές ευθείες δεν μπορούν να εφάπτονται στο επίπεδο, εντούτοις δύο παράλληλες ευθείες μπορεί να θεωρηθεί ότι εφάπτονται σε ένα σημείο στο άπειρο στην Γεωμετρία της αντιστροφής.
Ο κύκλος-λύση μπορεί να είναι είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά εφαπτόμενος σε κάθε ένα από τους δεδομένους κύκλους. Δύο κύκλοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι όταν αποκλίνουν ο ένας από τον άλλον στο σημείο επαφής, και βρίσκονται σε αντίθετες μεριές της εφαπτομένης σε εκείνο το σημείο, καθώς και αλληλοαποκλείονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους ισούται με το άθροισμα των ακτίνων τους. Αντιθέτως είναι εσωτερικά εφαπτόμενοι όταν και οι δύο κύκλοι κλίνουν με τον ίδιο τρόπο στο σημείο επαφής, βρίσκονται στην ίδια μεριά της εφαπτόμενης ευθείας και ο ένας κύκλος περικλείει τον άλλο. Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση των κέντρων τους ισούται με την διαφορά των ακτινών τους. Για παράδειγμα στο Σχήμα 1 ο κύκλος της ροζ λύσης εφάπτεται εσωτερικά στον μεσαίου μεγέθους δεδομένο μαύρο κύκλο στα δεξιά, ενώ είναι εξωτερικά εφαπτόμενος στον μικρότερο και στον μεγαλύτερο δεδομένο κύκλο στα αριστερά.
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί ως το πρόβλημα εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων, τέτοιων ώστε οι διαφορές των αποστάσεων τους από τρία δεδομένα σημεία να ισούνται με τρεις γνωστές τιμές. Έστω ένα κύκλος-λύση ακτίνας rs και τρεις δεδομένοι κύκλοι με ακτίνες r1, r2 και r3. Αν ο κύκλος λύση είναι εξωτερικά εφαπτόμενος και στους τρεις δεδομένους κύκλους, οι αποστάσεις του κέντρου του από τα κέντρα των δεδομένων κύκλων ισούνται με, και , αντίστοιχα. Συνεπώς οι διαφορές αυτών των αποστάσεων είναι σταθερές, όπως d1 − d2 = r1 − r2. Εξαρτώνται μόνο από τις γνωστές ακτίνες των δεδομένων κύκλων και όχι από την ακτίνα του κύκλου-λύση rs, η οποία απαλείφεται. Ο δεύτερος μετασχηματισμός του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να γενικευθεί και για εσωτερικώς εφαπτόμενους κύκλους-λύσεις (για τους οποίους η απόσταση από κέντρο σε κέντρο ισούται με την διαφορά των ακτινών), αλλάζοντας τις αντίστοιχες διαφορές αποστάσεων σε αθροίσματα αποστάσεων έτσι ώστε η ακτίνα rs του κύκλου-λύση πάλι να απαλειφθεί. Ο επαναμετασχηματισμός των αποστάσεων των κέντρων είναι χρήσιμος στις παρακάτω λύσεις του Άντριαν φαν Ρόομεν και του Ισαάκ Νεύτωνα, καθώς και στον υπερβολικό προσδιορισμό θέσης με τον οποίο εντοπίζεται μία θέση από τις διαφορές στις αποστάσεις από τρία γνωστά σημεία. Για παράδειγμα, συστήματα πλοήγησης όπως το LORAN αναγνωρίζουν την θέση του δέκτη από τις διαφορές των χρόνων άφιξης των σημάτων από τρις διαφορετικές σταθερές θέσεις, που αντιστοιχούν στις διαφορές αποστάσεων από αυτούς τους πομπούς.
Ιστορία
Έχει αναπτυχθεί πλούσιο ρεπερτόριο γεωμετρικών και αλγεβρικών μεθόδων για την λύση του απολλώνιου προβλήματος, το οποίο έχει αποκληθεί και «το πιο διάσημο από όλα» τα γεωμετρικά προβλήματα. Η αρχική προσέγγιση του Απολλώνιου του Περγαίου έχει χαθεί, αλλά έχουν προταθεί ανακατασκευές της λύσης του από τον Φραγκίσκο Βιετά και άλλους, βασισμένες σε στοιχεία από την περιγραφή του Πάππου. Η πρώτη νέα μέθοδος λύσης δημοσιεύτηκε το 1596 από τον Άντριαν φαν Ρόομεν, ο οποίος θεώρησε τα κέντρα των κύκλων-λύσεων ως σημεία τομής δύο υπερβολών. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν βελτιώθηκε από τον Ισαάκ Νεύτωνα το 1687 στο έργο του Principia, και από τον Τζον Κέισι (John Casey) το 1881.
Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη. Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η τριχοτόμηση της γωνίας. Εντούτοις πολλά τέτοια αδύνατα προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι ελλείψεις και οι παραβολές (κωνικές τομές). Για παράδειγμα ο διπλασιασμός του κύβου (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο Μέναιχμος απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών. Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
Αρκετές άλλες γεωμετρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Η πιο σημαντικές από αυτές ήταν του Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ (Jean-Victor Poncelet) (1811) και του Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν (1814). Ενώ η μέθοδος του Πονσελέ βασίζονταν στα ομοθετικά κέντρα των κύκλων και στο θεώρημα της δύναμης σημείου, η μέθοδος του Ζεργκόν εκμεταλλεύτηκε την αντιδιαμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών και των πόλων τους σε ένα κύκλο. Μεθόδους που χρησιμοποιούσαν γεωμετρία της αντιστροφής πρότεινες πρώτος ο Γιούλιους Πέτερσεν (Julius Petersen) το 1879. Ένα παράδειγμα είναι η μέθοδος της δακτυλιοειδούς λύσης του HSM Coxeter. Μια άλλη προσέγγιση χρησιμοποιεί την σφαιρική γεωμετρία Lie, που αναπτύχθηκε από τον Sophus Lie.
Αλγεβρικές λύσεις στο απολλώνιο πρόβλημα δόθηκαν για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα από τον Ρενέ Ντεκάρτ και την Ελισάβετ της Βοημίας, αν και αρκετά πολύπλοκες. Πρακτικές αλγεβρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν στα τέλη του 18ου και τον 19ο αιώνα από αρκετούς μαθηματικούς όπως ο Λέοναρντ Όιλερ, ο Νίκολας Φους, Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο Λαζάρ Καρνό, και ο Αγκουστίν Λουί Κοσί.
Διατεμνόμενες υπερβολές
thumb|right|Σχήμα 3: Δύο δεδομένοι κύκλοι (μαύρο) και ένας εφαπτόμενος σε αυτούς κύκλος (ροζ). Οι αποστάσεις των κέντρων τους d1 και d2 ισούται με r1 + rs και r2 + rs, αντίστοιχα, έτσι η διαφορά τους είναι ανεξάρτητη του rs
Η επίλυση του Άντριαν φαν Ρόομεν (1596) βασίζεται στην τομή δύο υπερβολών. Έστω οι δεδομένοι κύκλοι C1, C2 και C3. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε δύο δεδομένους κύκλους, όπως ο C1 και ο C2. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί υπερβολής της οποίας οι εστίες είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων rs, r1 και r2, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση d1 μεταξύ των κέντρων της λύσης και του C1 είναι είτε rs + r1 είτε rs − r1 ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση d2 μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του C2 είναι είτε rs + r2 είτε rs − r2 ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά d1 − d2 μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του rs. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων C2 και C3, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
Ο Ισαάκ Νεύτων (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομή μιας ευθείας και ενός κύκλου. Ο Νεύτων διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα τριπλευρισμού (trilateration), στον εντοπισμό θέσης του σημείου Ζ από τρία δεδομένα σημεία A, B και C, τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το Z στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση (Z) και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων (A, B and C). thumb|left|Ο [[γεωμετρικός τόπος των σημείων με σταθερό λόγο αποστάσεων d1/d2 προς δύο σταθερά σημεία είναι κύκλος]]
Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νεύτων κατασκεύασε τις διευθετούσες ευθείες. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο Z προς μία εστία A και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται εκκεντρότητα. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο T και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστάσεών τους, ο Νεύτων κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το Τ επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το Z. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το Z βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των διπολικών συντεταγμένων) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.
Η ανακατασκευή του Βιετά
Όπως περιγράφεται παρακάτω, το απολλώνιο πρόβλημα έχει δέκα ειδικές περιπτώσεις εξαρτώμενες από την φύση των δοσμένων αντικειμένων, τα οποία μπορεί να είναι κύκλος (C), ευθεία (L) ή σημείο (P). Είθισται αυτές οι δέκα περιπτώσεις να κωδικοποιούνται με τρία γράμματα όπως ΚΚΣ. Ο Βιετά έλυσε και τις δέκα περιπτώσεις με κανόνα και διαβήτη και χρησιμοποίησε τις λύσεις των απλούστερων περιπτώσεων για την επίλυση των πιο σύνθετων.
thumb|right|Σχήμα 4: Η επαφή μεταξύ των κύκλων διατηρείται αν οι ακτίνες τους αλλάξουν ισόποσα. Ένας κύκλος-λύση (ροζ) πρέπει να μικρύνει ή να μεγαλώσει όπως και ο εσωτερικά εφαπτόμενός του δοσμένος κύκλος (ο μαύρος δεξιά), ενώ οι εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι (οι δύο μαύροι αριστερά) το ακριβώς αντίθετο
Ο Βιετά ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης ΣΣΣ (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη όπως περιγράφεται στα Στοιχεία. Από αυτό εξήγαγε ένα λήμμα που αντιστοιχεί στο θεώρημα δύναμης σημείου, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση ΕΣΣ (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση ΕΕΕ (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις διχοτόμους. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση ΕΕΣ. Αυτές είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.
Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιετά εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα 4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δr, η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δr, ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δr. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.
Ο Βιετά χρησιμοποίησε αυτή την προσέγγιση ώστε να μετατρέψει ένα από τους δοσμένους κύκλους σε σημείο, μετασχηματίζοντας έτσι το πρόβλημα στην απλούστερη και ήδη λυμένη περίπτωση. Πρώτα έλυσε την περίπτωση KEE (κύκλος και δύο ευθείες) ελαττώνοντας τον κύκλο σε σημείο, μετατρέποντας το έτσι σε περίπτωση ΕΕΣ. Έπειτα έλυσε την περίπτωση ΚΕΣ (κύκλος, ευθεία, σημείο) χρησιμοποιώντας τρία λήμματα. Ελαττώνοντας ξανά ένα κύκλο σε σημείο μετασχημάτισε το πρόβλημα ΚΚΕ σε ΚΕΣ. Έπειτα έλυσε την περίπτωση ΚΣΣ και την ΚΚΣ, την τελευταία χρησιμοποιώντας δύο λήμματα. Τέλος έλυσε την γενική περίπτωση ΚΚΚ (τρεις κύκλοι) ελαττώνοντας τον ένα κύκλο σε σημείο μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε ΚΚΣ.
Αλγεβρικές λύσεις
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως σύστημα τριών εξισώσεων για το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου-λύση. Καθώς οι τρεις δοσμένοι κύκλοι και κάθε κύκλος-λύση πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, οι θέσεις τους μπορούν να αναπαρασταθούν με τις συντεταγμένες (x, y) των κέντρων τους. Για παράδειγμα το κέντρο τριών δεδομένων κύκλων μπορεί να γραφεί ως (x1, y1), (x2, y2) και (x3, y3) ενώ αυτό του κύκλου-λύση μπορεί να γραφεί ως (xs, ys). Παρομοίως οι ακτίνες των κύκλων μπορούν να αναπαρασταθούν ως r1, r2, r3 και rs, αντίστοιχα. Η απαίτηση ότι ο κύκλος-λύση πρέπει να εφάπτεται σε κάθε ένα από τους δοσμένους κύκλους μπορεί να εκφραστεί με ένα σύστημα δευτεροβάθμιων εξισώσεων για τα xs, ys και rs:
Οι τρεις αριθμοί s1, s2 και s3 στο δεξί μέρος των εξισώσεων μπορεί να ισούνται με ±1 και καθορίζουν το αν ο κύκλος-λύση εφάπτεται στον αντίστοιχο δοσμένο κύκλο εσωτερικά (s = 1) ή εξωτερικά (s = −1). Για παράδειγμα στα σχήματα 1 και 4 η ροζ λύση εφάπτεται εσωτερικά στον μεσαίου μεγέθους δοσμένο κύκλο στα δεξιά και εξωτερικά στον μικρότερο και τον μεγαλύτερο στα αριστερά, αν οι κύκλοι ταξινομηθούν με βάσει την ακτίνα οι συντελεστές s για αυτή την λύση θα είναι "− + −". Καθώς οι τρεις συντελεστές μπορούν να εκλεγούν ανεξάρτητα, υπάρχουν 8 πιθανά συστήματα εξισώσεων (2 × 2 × 2 = 8), που το καθένα αντιστοιχεί σε μία από τις 8 περιπτώσεις του κύκλου-λύση.
Όπου M, N, P και Q είναι γνωστές συναρτήσεις των δοθέντων κύκλων και της επιλογής των si. Η αντικατάσταση αυτών των εξισώσεων σε μία από τις αρχικές τρεις εξισώσεις δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση για το rs. Η αντικατάσταση της τιμής του rs που προκύπτει από αυτή στις γραμμικές εξισώσεις δίνει τις αντίστοιχες τιμές xs και ys.
Οι δύο ρίζες οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να είναι τριών πιθανών τύπων: δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, δύο όμοιοι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή μία εκφυλισμένη διπλή λύση) ή ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών. Η πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί στην συνήθη περίπτωση, κάθε ζεύγος λύσεων αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος λύσεων που έχουν σχέση με την αντιστροφή του κύκλου, όπως περιγράφεται παρακάτω (Σχήμα 6). Στην δεύτερη περίπτωση, και οι δύο λύσεις είναι ταυτόσημες, και αντιστοιχούν σε ένα κύκλο που αν αντιστραφεί μετατρέπεται στον εαυτό του. Σε αυτή την περίπτωση ένας από τους δεδομένους κύκλους είναι ο ίδιος μία λύση στο απολλώνιο πρόβλημα, και έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά ένα. Η τρίτη περίπτωση των συζυγών μιγαδικών ακτίνων δεν αντιστοιχεί σε κάποια γεωμετρικά πιθανή λύση, καθώς ένας κύκλος δεν μπορεί να έχει φανταστική ακτίνα. Έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά δύο. Είναι ενδιαφέρον ότι το απολλώνιο πρόβλημα δεν μπορεί να έχει επτά λύσεις, ενώ μπορεί να έχει οποιονδήποτε άλλο αριθμό λύσεων από μηδέν έως οκτώ εν γένει.
Σφαιρική Γεωμετρία Lie
Οι ίδιες αλγεβρικές εξισώσεις μπορούν να εξαχθούν από την σφαιρική γεωμετρία Lie. Αυτή η γεωμετρία αναπαριστά κύκλους, ευθείες και σημεία με ένα ενοποιημένο τρόπο, ως πενταδιάστατα διανύσματα X = (v, cx, cy, w, sr), όπου c = (cx, cy) είναι το κέντρο του κύκλου και r είναι η (μη αρνητική) ακτίνα του. Αν το r δεν είναι μηδέν, το πρόσημο s μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, το s αναπαριστά τον προσανατολισμό του κύκλου, αντίθετα με την ωρολογιακή φορά το s κύκλου είναι θετικό ενώ προς την ωρολογιακή φορά αρνητικό. Η παράμετρος w είναι μηδέν για ευθεία και ένα στις άλλες περιπτώσεις.
Σε αυτόν τον πενταδιάστατο χώρο υπάρχει ένα διγραμμικό γινόμενο παρόμοιο με το εσωτερικό γινόμενο:
Η Lie quadric ορίζεται ως τα διανύσματα των οποίων το γινόμενο με τον εαυτό τους (η τετραγωνική τους νόρμα) είναι μηδενικό, (X|X) = 0. Έστω X1 and X2 δύο διανύσματα που ανήκουν σε αυτή την quadric, η νόρμα των διαφορών τους ισούται με
Το γινόμενο επιμερίζεται στην πρόσθεση και την αφαίρεση (ακριβέστερα, είναι διγραμμικό):
Καθώς (X1|X1) = (X2|X2) = 0 (και τα δύο ανήκουν στην Lie quadric) και καθώς w1 = w2 = 1 για κύκλους, το γινόμενο οποιονδήποτε τέτοιων διανυσμάτων στην quadric ισούται με
όπου οι κάθετες γραμμές εκατέρωθεν του c1 − c2 αναπαριστούν το μήκος αυτού του διαφορικού διανύσματος, δηλαδή την Ευκλείδεια νόρμα. Η εξίσωση δείχνει ότι αν δύο quadric διανύσματα X1 και X2 είναι ορθογωνικά (κάθετα) μεταξύ τους—δηλαδή αν (X1|X2) = 0—τότε οι κύκλοι που τους αντιστοιχούν εφάπτονται. Αν τα δύο πρόσημα s1 και s2 είναι τα ίδια (δηλαδή οι κύκλοι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό), οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, και η απόσταση των κέντρων τους ισούται με την διαφορά των ακτίνων τους
Αντιστρόφως, αν τα δύο πρόσημα s1 και s2 είναι διαφορετικά (δηλαδή οι κύκλοι έχουν αντίθετο προσανατολισμό), οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και η απόσταση των κέντρων τους ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους.
Έτσι το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί στην γεωμετρία Lie ως πρόβλημα εύρεσης καθέτων διανυσμάτων στην Lie quadric, ειδικότερα ο στόχος είναι ο εντοπισμός των διανυσμάτων-λύσεων Xsol τα οποία ανήκουν στην Lie quadric και είναι ορθογωνικά (κάθετα) με τα διανύσματα X1, X2 και X3 που αντιστοιχούν στους δοσμένους κύκλους.
Το πλεονέκτημα αυτής της επαναδιατύπωσης είναι ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας για τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων, ταυτόχρονα κάθετων διανυσμάτων. Αυτό παρέχει ένα ακόμα τρόπο να υπολογιστεί ο μέγιστος αριθμός των λύσεων καθώς και να επεκταθεί το θεώρημα σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων.
Μέθοδοι αντιστροφής
right|thumb|Σχήμα 5: Αντιστροφή σε ένα κύκλο. Το σημείο P ' είναι το αντίστροφο του σημείου P ως προς τον κύκλο Μία φυσική τοποθέτηση του απολλώνιου προβλήματος είναι στην γεωμετρία της αντιστροφής. Η βασική στρατηγική των μεθόδων αντιστροφής είναι ο μετασχηματισμός ενός δοσμένου απολλώνιου προβλήματος σε ένα άλλο πιο απλό να λυθεί, οι λύσεις του αρχικού προβλήματος μπορούν να βρεθούν από τις λύσεις του μετασχηματισμένου προβλήματος με την αναστροφή του μετασχηματισμού. Οι υποψήφιοι μετασχηματισμοί πρέπει να μετατρέπουν ένα απολλώνιο πρόβλημα σε ένα άλλο, έτσι πρέπει να μετασχηματίζουν τα δοσμένα σημεία, κύκλους και ευθείες σε άλλα σημεία, κύκλους και ευθείες και όχι άλλα σχήματα. Η αντιστροφή του κύκλου έχει αυτή την ιδιότητα και επιτρέπει την συνετή εκλογή της ακτίνας και του κέντρου του κύκλου αντιστροφής. Άλλοι υποψήφιοι μετασχηματισμοί συμπεριλαμβάνουν τις Ισομετρίες του Ευκλείδιου επιπέδου, εντούτοις δεν απλοποιούν το πρόβλημα καθώς απλώς μεταφέρουν, περιστρέφουν και ανακλούν το αρχικό πρόβλημα.
Η αντιστροφή σε ένα κύκλο κέντρου O και ακτίνας R συνίσταται από την ακόλουθη διαδικασία (Σχήμα 5): κάθε σημείο P αντιστοιχίζεται με ένα νέο σημείο P' τέτοιο ώστε τα O, P, και P' να είναι συγγραμμικά και το γινόμενο των αποστάσεών του P και του P' από το κέντρο O να ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας R
Έτσι αν το P βρίσκεται εκτός του κύκλου τότε το P' βρίσκεται εντός και αντίστροφα. Αν το P ταυτίζεται με το O τότε το P θεωρείται ότι βρίσκεται στο άπειρο. (στην μιγαδική ανάλυση το άπειρο ορίζεται με όρους Ριμάνειας σφαίρας.) Η αντιστροφή έχει την χρήσιμη ιδιότητα ότι οι ευθείες και οι κύκλοι πάντα μετασχηματίζονται σε ευθείες και κύκλους, και τα σημεία σε σημεία. Οι κύκλοι εν γένει μετασχηματίζονται σε κύκλους αν υποστούν αντιστροφή, εντούτοις αν ο κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου της αντιστροφής μετασχηματίζεται σε ευθεία και αντίστροφα. Είναι σημαντικό το ότι αν ένας κύκλος τέμνει τον κύκλο της αντιστροφής σε ορθές γωνίες (κάθετη τομή) τότε παραμένει αμετάβλητος από την αντιστροφή, μετασχηματίζεται στον εαυτό του.
Οι αντιστροφές κύκλων αντιστοιχούν σε υποσύνολο των μετασχηματισμών Möbius στην Ριμάνεια σφαίρα. Το απολλώνιο πρόβλημα στο επίπεδο μπορεί να μεταφερθεί στην σφαίρα με μία αντίστροφη στερεογραφική προβολή, έτσι οι λύσεις του επίπεδου απολλώνιου προβλήματος ανάγονται στις αντίστοιχές τους στην σφαίρα. Άλλες δυνατές λύσεις με αντιστροφή στο επίπεδο πρόβλημα εκτός από τις κοινές περιγράφονται παρακάτω.
Ζεύγη λύσεων με αντιστροφή
thumb|right|Σχήμα 6: Ένα συζυγές ζεύγος λύσεων του απολλώνειου προβλήματος (ροζ κύκλοι) με τους δοσμένους μαύρους κύκλους Οι λύσεις του απολλώνιου προβλήματος εν γένει συναντώνται ανά ζεύγη, για κάθε κύκλο-λύση υπάρχει ένας συζυγής κύκλος-λύση (Σχήμα 6). Ένας κύκλος-λύση αποκλείει τους δοσμένους κύκλους που περικλείονται από τον συζυγή του, και αντίστροφα. Για παράδειγμα στο Σχήμα 6 ο ένας κύκλος-λύση (ροζ, πάνω αριστερά) περικλείει τους δύο δοσμένους κύκλους (μαύροι), αλλά αποκλείει τον τρίτο, αντίστοιχα ο συζυγής του (επίσης ροζ, κάτω αριστερά) περικλείει τον τρίτο δοσμένο κύκλο αλλά αποκλείει τους άλλους δύο. Οι δύο συζυγείς λύσεις σχετίζονται μέσω αντιστροφής, βάσει του ακόλουθου συλλογισμού.
Εν γένει, οποιοιδήποτε τρεις διακριτοί κύκλοι έχουν ένα μοναδικό κύκλο—τον ριζικό κύκλο—ο οποίος τους τέμνει όλους κάθετα. Το κέντρο αυτού του κύκλου είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων. Για παράδειγμα ο πορτοκαλί κύκλος στο Σχήμα 6 τέμνει τους μαύρους δοσμένους κύκλους με ορθές γωνίες. Η αντιστροφή με βάση τον ριζικό κύκλο αφήνει τους δοσμένους κύκλους αμετάβλητους, αλλά μετασχηματίζει τους δύο συζυγής κύκλους-λύσεις τον ένα στον άλλον. Υπό την ίδια αντιστροφή τα σημεία που αντιστοιχούν στις επαφές των κύκλων μετασχηματίζονται το ένα στο άλλο. Για παράδειγμα στο Σχήμα 6, τα δύο μπλε σημεία που βρίσκονται σε κάθε πράσινη γραμμή μετασχηματίζονται το ένα στο άλλο. Έτσι οι ευθείες που συνδέουν τα συζυγή σημεία επαφής δεν μεταβάλλονται από την αντιστροφή, συνεπώς πρέπει να διέρχονται από το κέντρο της αντιστροφής το οποίο είναι το ριζικό κέντρο (οι πράσινες ευθείες τέμνονται στο πορτοκαλί σημείο στο Σχήμα 6).
Αντιστροφή σε δακτύλιο
Αν δύο από τους τρεις δοσμένους κύκλους δεν τέμνονται, το κέντρο της αντιστροφής μπορεί να επιλεχθεί ώστε οι αυτοί οι δύο δοσμένοι κύκλοι να γίνουν ομόκεντροι. Με αυτή την αντιστροφή οι κύκλοι-λύσεις πρέπει να βρίσκονται εντός του δακτυλίου που σχηματίζεται από τους ομόκεντρους κύκλους. Συνεπώς ανήκουν σε δύο μονοπαραμετρικές οικογένειες. Στην πρώτη οικογένεια (Σχήμα 7), οι λύσεις δεν περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο ενώ στην δεύτερη οικογένεια (Σχήμα 8), οι κύκλοι-λύσεις περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο. Υπάρχουν εν γένει τέσσερις λύσεις για κάθε οικογένεια, δίνοντας συνολικά οκτώ πιθανές λύσεις, διατηρώντας την συνέπεια με την αλγεβρική λύση.
Όταν δύο από τους δοσμένους κύκλους είναι ομόκεντροι, το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας μία μέθοδο του Γκάους. Οι ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων είναι γνωστές, όπως και η απόσταση dnon από το κοινό κέντρο των ομόκεντρων στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου (Σχήμα 7). Ο κύκλος λύση μπορεί να καθοριστεί από την ακτίνα του, rs, την γωνία θ, και τις αποστάσεις ds και dT από το κέντρο του στο κοινό κέντρο των ομόκεντρων και στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου αντίστοιχα. Η ακτίνα και η απόσταση ds είναι γνωστά (Σχήμα 7) και η απόσταση dT = rs ± rnon, αναλόγως με το αν ο κύκλος λύση είναι εφαπτόμενος εσωτερικά ή εξωτερικά στον μη ομόκεντρο κύκλο. Έτσι από τον νόμο των συνημιτόνων
Η εξίσωση αναπαριστά τέσσερις λύσεις που αντιστοιχούν στις δύο επιλογές του προσήμου του θ και τις δύο επιλογές για το C. Οι υπόλοιπες τέσσερις λύσεις μπορούν να βρεθούν με την ίδια μέθοδο χρησιμοποιώντας τις αντικαταστάσεις για το rs και το ds όπως φαίνονται στο Σχήμα 8. Έτσι μπορούν να βρεθούν και οι οκτώ λύσεις του απολλώνιου προβλήματος με αυτή τη μέθοδο.
Οποιοιδήποτε αρχικά ασύνδετοι κύκλοι μπορούν να μετασχηματιστούν σε ομόκεντρους ως εξής. ο ριζικός άξονας των δύο δοσμένων κύκλων και έπειτα επιλέγοντας αυθαίρετα δύο σημεία P και Q σε αυτόν μπορούν να κατασκευαστούν δύο κύκλοι με κέντρα αυτά τα σημεία και ώστε να τέμνουν τους δύο δοσμένους κύκλους κάθετα. Αυτοί οι δύο κατασκευασμένοι κύκλοι τέμνουν ο ένας τον άλλο σε δύο σημεία. Η αντιστροφή σε ένα από τα δύο αυτά σημεία τομής, F, μετασχηματίζει τους κατασκευασμένους κύκλους σε ευθείες που διέρχονται από το F και τους δύο δεδομένους κύκλους σε ομόκεντρους, ενώ τον τρίτο σε κάποιο άλλο εν γένει κύκλο. Αυτό συμβαίνει επειδή το σύστημα των κύκλων είναι ισοδύναμε με ένα σύνολο απολλώνιων κύκλων, που συνιστούν διπολικό σύστημα συντεταγμένων.
Αλλαγή μεγέθους και αντιστροφή
Η χρησιμότητα της αντιστροφής μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με την αλλαγή μεγέθους. Όπως σημειώθηκε στην ανακατασκευή του Βιετά, οι τρεις δεδομένοι κύκλοι και ο κύκλος λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ενώ διατηρούν την επαφή τους. Έτσι το αρχικό απολλώνιο πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα άλλο που ενδεχομένως είναι ευκολότερο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι τέσσερις κύκλοι μπορούν αν αλλάξουν μέγεθος ώστε ο ένας δοσμένος κύκλος να ελαττωθεί σε σημείο, εναλλακτικά, συχνά δύο δοσμένοι κύκλοι μπορούν μεταβληθούν ώστε εφάπτονται μεταξύ τους. Και τρίτον, δύο δοσμένοι κύκλοι που τέμνονται μπορούν να ρυθμιστούν ώστε να μην τέμνονται, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η αντιστροφή σε δακτύλιο. Σε όλες αυτές τις περιπτώσει η λύση του απολλώνιο προβλήματος μπορεί να ανακτηθεί από το μετασχηματισμένο πρόβλημα με την άρση της αλλαγής μεγέθους και της αντιστροφής.