Τζον_φον_Νόιμαν
Μαθηματική διατύπωση Κβαντικής Μηχανικής
Ο Φον Νόιμαν ήταν ο πρώτος που αυστηρά ίδρυσε το μαθηματικό πλαίσιο για την κβαντική μηχανική, γνωστό και ως αξιώματα Ντίρατς-Φον Νόιμαν, με την εργασία του το 1932 Μαθηματικές βάσεις στην κβαντομηχανική. Αφού ολοκλήρωσε τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων, ο Φον Νόιμαν άρχισε να ασχολείται με τα αξιώματα της κβαντομηχανικής. Διαπίστωσε αμέσως, το 1926, ότι το κβαντικό σύστημα θα μπορούσε να θεωρηθεί και ένα μέρος των Χώρων Χίλμπερτ, ανάλογο με την 6Ν διάσταση (όπου Ν είναι ο αριθμός των σωματιδίων, τρεις γενικές συντεταγμένες και τρεις κανονικές ορμές για το καθένα) φάση χώρου της κλασσικής μηχανικής αλλά με απείρως πολλών διαστάσεων( αντιστοιχίζοντας τους άπειρους χώρους στο σύστημα) αντί: των φυσικών ποσοτήτων (όπως, θέση και ορμή) ως εκ τούτου θα μπορούσε να αντιπροσωπεύεται από ειδικούς γραμμικούς φορείς λειτουργίας στον χώρο. Η φυσική της κβαντομηχανικής εκ τούτου έχει μειωθεί σε μαθηματικούς γραμμικούς Ερμιτιανούς φορείς στους χώρους Χίλμπερτ. Για παράδειγμα, η αρχή της αβεβαιότητας, σύμφωνα με την οποία ο προσδιορισμός της θέσης ενός σωματιδίου εμποδίζει τον προσδιορισμό της ορμής του και αντιστρόφως, μεταφράζεται σε μη αντιμεταθετικότητα των δύο αντίστοιχων φορέων. Αυτή η νέα μαθηματική διατύπωση που περιλαμβάνονται ως ειδικές περιπτώσεις τα σκευάσματα από Χἀιζενμπερκ και Σχοντρινγκερ. Αφηρημένη θεραπεία του Φον Νόιμαν του επέτρεψε να αντιμετωπίσουμε το θεμελιώδες ζήτημα του ντετερμινισμού έναντι μη, και στο βιβλίο παρουσίασε μια απόδειξη ότι τα στατιστικά αποτελέσματα της κβαντομηχανικής δεν θα μπορούσαν ενδεχομένως να είναι οι μέσοι όροι ενός υποκείμενου συνόλου «κρυφές μεταβλητές», όπως στην κλασική στατιστική μηχανική. Το 1966, ο Τζων Σ. Μπελ δημοσίευσε ένα έγγραφο υποστηρίζοντας ότι η απόδειξη περιείχε ένα εννοιολογικό λάθος και ως εκ τούτου ήταν άκυρη (βλ. το άρθρο για τον Τζων Στιούαρτ Μπελ για περισσότερες πληροφορίες). Ωστόσο, το 2010, ο Τζέφρι Μπαμπ υποστήριξε ότι ο Μπελ παρερμήνευσε την απόδειξη του Φον Νόιμαν, και επεσήμανε ότι η απόδειξη, αν και δεν ισχύει για όλες τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες, δεν αποκλείει μια καλά καθορισμένη και σημαντική υποσυνόλου. Ο Μπαμπ έδειξε επίσης ότι Φον Νόιμαν είχε επίγνωση αυτού του περιορισμού, και ότι δεν ισχυρίστηκε ότι η απόδειξη του έχει αποκλειστεί εντελώς από τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη εγκαινίασε την αρχή της έρευνας που οδήγησε τελικά, μέσα από το έργο του Μπελ το 1964 σχετικά με το θεώρημα του Μπελ, και τα πειράματα του Άλλεν Άσπεκτ το 1982, με την επίδειξη ότι η κβαντική φυσική, είτε απαιτεί μια αντίληψη της πραγματικότητας είτε διαφέρει ουσιαστικά από εκείνη της κλασικής φυσικής, ή πρέπει να περιλαμβάνει τη μη-τοπική σε προφανή παραβίαση της ειδικής σχετικότητας. Σε ένα κεφάλαιο της μαθηματικής θεμελίωσης της Κβαντομηχανικής, Φον Νόιμαν ανέλυσε σε βάθος το λεγόμενο πρόβλημα της μέτρησης. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο της φυσικής θα μπορούσε να εξαρτάται από τη λειτουργία του καθολικού κύματος. Δεδομένου ότι κάτι "έξω από τον υπολογισμό του" ήταν απαραίτητη για να καταρρεύσει η κυματοσυνάρτηση, Φον Νόιμαν κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η κατάρρευση προκλήθηκε από τη συνείδηση του πειραματιστή (αν και αυτή η άποψη αυτή έγινε δεκτή από τον Eugene Wigner, και ποτέ δε γνώρισε μεγάλη αποδοχή από την πλειονότητα των φυσικών). Αν και οι θεωρίες της κβαντικής μηχανικής συνεχίζουν να εξελίσσονται μέχρι σήμερα, υπάρχει ένα βασικό πλαίσιο για τον μαθηματικό φορμαλισμό των προβλημάτων στην κβαντική μηχανική που κρύβεται πίσω από την πλειοψηφία των προσεγγίσεων και μπορούν να αναχθούν στους μαθηματικούς φορμαλισμούς και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά από τον Φον Νόιμαν. Με άλλα λόγια, οι συζητήσεις σχετικά με την ερμηνεία της θεωρίας, και επεκτάσεων σε αυτό, τώρα ως επί το πλείστον πραγματοποιούνται οι επί της βάσης κοινών υποθέσεων για τις μαθηματικές βάσεις.