cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Ρευματικός πυρετός
Δερματικές αλλοιώσεις
Οι κυριότερες εκδηλώσεις από το δέρμα είναι το οχθώδες ερύθημα και τα υποδόρια οζίδια. Το οχθώδες ερύθημα εντοπίζεται στον κορμό, στους βραχίονες και στους μηρούς, ποτέ στο πρόσωπο, διαρκεί λίγες ώρες μέχρι μερικές ημέρες, επιτείνεται με θερμό λουτρό και είναι ερυθρωπό, βλατιδώδες, μη κνησμώδες, ελαφρώς επηρμένο και συνυπάρχει σχεδόν πάντοτε με καρδίτιδα. Τα υποδόρια οζίδια εντοπίζονται συνήθως στους αγκώνες, στα γόνατα και στο ινίο, σε περιοχές δηλαδή που ασκείται πίεση, συνοδεύουν δε αποκλειστικά βαριά ρευματική καρδίτιδα. Το μέγεθος των οζιδίων κυμαίνεται από μερικά χιλιοστά μέχρι 1,5 cm, είναι δε ανώδυνα, μη συμφυόμενα με τους υποκείμενους ιστούς, δεν φλεγμαίνουν και σπάνια διαρκούν πάνω από ένα μήνα.
Εργαστηριακά ευρήματα
Στα εργαστηριακά ευρήματα, που είναι μη ειδικά, περιλαμβάνονται ο αυξημένος τίτλος αντιστρεπτολυσίνης (ASTO) στο 80% των περιπτώσεων, η αυξημένη ΤΚΕ, η αυξημένη CRP (C - Reactive Protein), η λευκοκυττάρωση, η ορθόχρωμη αναιμία, η επιμήκυνση του PR (το διάστημα PR είναι ο χρόνος που χρειάζεται το ερέθισμα να φθάσει από τον φλεβόκομβο στο κολποκοιλιακό κόμβο και προσδιορίζεται με ηλεκτροκαρδιογράφημα) και η αύξηση άλλων αντιστρεπτοκοκκικών αντισωμάτων (π.χ. έναντι υαλουρονιδάσης, στρεπτοκινάσης, DNAase B).
Διαφορική διάγνωση
Η διαφορική διάγνωση αφορά κυρίως την αντιδραστική αρθρίτιδα (από σαλμονέλλα, σιγκέλλα, γερσίνια κ.α.) που είναι αρκετά συχνή στις νεαρές ηλικίες, τη νεανική ρευματοειδή αρθρίτιδα (νόσος Still), το ΣΕΛ (Συστηματικός Ερυθηματώδης Λύκος), τη βακτηριακή ενδοκαρδίτιδα, την ορονοσία και τη νόσο Kawasaki.
Πρόγνωση
Οι ασθενείς χωρίς καρδίτιδα, κατά την οξεία προσβολή του ρευματικού πυρετού, έχουν άριστη πρόγνωση. Όμως, η καρδίτιδα που συνοδεύει την πρώτη προσβολή, έχει την τάση να υποτροπιάζει σε επόμενες νοσήσεις, με αποτέλεσμα την προοδευτική, χρόνια ρευματική καρδίτιδα - βαλβιδοπάθεια, οπότε η πρόγνωση είναι δυσμενέστερη. Για την αντιμετώπιση της πρόσφατης στρεπτοκοκκικής φαρυγγικής λοιμώξεως χορηγείται πενικιλίνη V ή εναλλακτικά ερυθρομυκίνη, για 10 ημέρες. Για την αντιμετώπιση της αρθρίτιδας ή/και καρδίτιδας χορηγούνται ασπιρίνη ή κορτικοστεροειδή (κυρίως πρεδνιζόνη). Για την πρόληψη των υποτροπών χορηγείται βενζαθινική πενικιλίνη ανά μήνα για άλλοτε άλλο χρονικό διάστημα. Από την εμφάνιση των αντιβιοτικών (ιδιαίτερα της πενικιλίνης), οι ρευματικές καρδιοπάθειες, που στο παρελθόν ήταν πολύ συχνές στο δυτικό κόσμο, έχουν μειωθεί. Αυτό σχετίζεται άμεσα με την μείωση της αμυγδαλίτιδας του στρεπτόκοκκου τύπου Α και με την επιτυχή πρόληψη των επαναλαμβανόμενων λοιμώξεων στα ύποπτα άτομα
Παραπομπές
Κατηγορία:Φλεγμονές Κατηγορία:Παιδιατρική
Πέρσι Σέλλεϋ
Ο Πέρσυ Μπυς Σέλλεϋ (αγγλικά: Percy Bysshe Shelley) ήταν Άγγλος ποιητής, βασικός εκπρόσωπος του ρομαντισμού. Ανήκει, μαζί με τον Λόρδο Μπάυρον και τον Τζον Κητς, στη δεύτερη γενιά των Άγγλων ρομαντικών. Ο Σέλλεϋ δεν γνώρισε την αναγνώριση που περίμενε ως ποιητής στη διάρκεια της ζωής του. Μετά τον θάνατό του, όμως, το έργο του έγινε ιδιαίτερα δημοφιλές και επηρέασε πολλές γενιές ποιητών. Αν και η οικογένειά του ήταν αριστοκρατική, ο Σέλλεϋ είχε ριζοσπαστικές ιδέες και στράφηκε, με την ποίηση αλλά και με τον τρόπο ζωής του, εναντίον όλων των παραδοσιακών θεσμών. Ξεπέρασε την εσωστρέφεια του ρομαντικού ατομικισμού και εξέφρασε μέσω του έργου του το όραμά του για ελευθερία και κοινωνική δικαιοσύνη. Πέθανε, σε ηλικία 30 ετών, στον κόλπο Λα Σπέτσια στην Ιταλία.
Πρόωρη ωριμότητα
Ο πρώτος του γάμος ήταν με τη Χάρριετ Ουέστμπροουκ και έγινε στο Εδιμβούργο στις 29 Αυγούστου 1811, με την οποία απέκτησαν μια κόρη, την Αϊάνθυ (= Ιάνθη), και έναν γιο, τον Τσαρλς Μπυς. Τον Μάιο του 1814 και ενώ ο πρώτος του γάμος καρκινοβατούσε, ο Σέλλεϋ γνώρισε την κόρη του πνευματικού του μέντορα, φιλοσόφου Ουίλλιαμ Γκόντγουιν, Μαίρυ Γκόντγουιν, με την οποία κατέφυγε για ένα εξάμηνο στην Ελβετία και τη Γαλλία και μετά από πολλές δυσκολίες και περιπέτειες ξεκίνησαν να ζουν μαζί από το 1815. Αξίζει να σημειωθεί πως το παράνομο ζεύγος συνοδευόταν από την Κλαιρ Κλαίρμοντ, θετή αδερφή της Μαίρυ και κόρη της δεύτερης γυναίκας του Γκόντγουιν, ενώ ο Πέρσυ την ίδια εποχή με επιστολές του, καλούσε τη Χάρριετ να αποτελέσουν μαζί με τη Μαίρυ μια "συντροφιά αγάπης". Την ίδια εποχή κατάφερε να ξεπληρώσει τα χρέη του από κληρονομιά που του άφησε ο παππούς του Σερ Μπυς Σέλλεϋ. Στα 1816 αφού απέκτησε με τη Μαίρυ έναν γιο με το όνομα Ουίλλιαμ (πέθανε τριών ετών) μετακόμισε σε μια εξοχική κατοικία στη Γενεύη όπου γνώρισε τον Λόρδο Μπάυρον με τον οποίο θα αναπτύξουν μια βαθιά και μακρόχρονη φιλία με περιπλοκές, όπως το γεγονός ότι η Κλαιρ Κλαίρμοντ (θετή αδερφή της Μαίρυ) γέννησε την Αλέγκρα, κόρη του Λόρδου Μπάυρον. Την ίδια χρονιά (1816) αυτοκτονεί η επίσημη σύζυγός του Χάρριετ, γεγονός που τον συγκλονίζει, όμως 15 ημέρες μετά νυμφεύεται τη Μαίρυ. Την ίδια εποχή έχει αναπτύξει φιλία με τον Τζέημς Χένρυ Λη Χαντ ο οποίος θα τον στηρίξει σημαντικά, ως ποιητή. Την επόμενη χρονιά (1817) θα αποκτήσει το δεύτερο παιδί με τη Μαίρυ, την Κλάρα (πεθαίνει την ίδια χρονιά) ενώ αργότερα (1819) θα αποκτήσει και τρίτο παιδί τον Πέρσυ Φλόρενς (το μόνο παιδί που επιζεί).
Κύκλος της Πίζας και τραγικός επίλογος
Κυρίως για λόγους υγείας, ο Σέλλεϋ θα αρχίσει ένα οδοιπορικό στις πόλεις της Ιταλίας ξεκινώντας από τη Ρώμη συνεχίζοντας στη Φλωρεντία και καταλήγοντας στην Πίζα, από την οποία εξορμούσε συχνά στο Λιβόρνο και στη Λούκκα. Στην Πίζα δημιουργήθηκε ο κύκλος της Πίζας ένα ρεύμα επιφανών Άγγλων, Ιρλανδών, και Ελλήνων (μεταξύ αυτών ο Αλέξανδρος Μαυροκορδάτος, στον οποίον ο Σέλλεϋ αφιέρωσε το δράμα του Ελλάς) και ο Μπάυρον. Τέλος θα εγκατασταθεί στη Βίλλα Κάζα Μάνι στο Σαν Τερέντσο απέναντι από το Λέριτσι στον κόλπο της Λα Σπέτσια. Τον Ιούλιο μετέβη με το ιστιοφόρο του που είχε το όνομα Δον Ζουάν, στο Λιβόρνο να υποδεχθεί τον Λη Χαντ, όμως ένα μπουρίνι στην επιστροφή ανέτρεψε το σκάφος του, με αποτέλεσμα να πνιγεί. Η σορός του αποτεφρώθηκε στην παραλία παρουσία του Χαντ, του Μπάυρον και του Έντουαρντ Τζον Τρελώνυ. Μετά τον θάνατο του η Μαίρυ Σέλλεϋ αφιέρωσε τη ζωή της στην ταξινόμηση, διατήρηση και έκδοση των έργων του με αρκετά προβλήματα όπως την απαγόρευση της έκδοσης τους από τον πατέρα του Πέρσυ μέχρι το 1839.
Οικογένεια
Παντρεύτηκε πρώτα τη Χάρριετ Ουέστμπρουκ και απέκτησαν δύο παιδιά:
Με τη δεύτερη σύζυγό του Μαίρυ Γκόντγουιν απέκτησε τέσσερα παιδιά:
Ο Σέλλεϋ είχε διακηρύξει ότι ήταν πατέρας ενός ακόμη παιδιού, της Έλενα Άντελαϊντ Σέλλεϋ (1818 - 1820), η οποία ήταν είτε νόθη είτε υιοθετημένη κόρη του.
Επίμετρο
Ο Πέρσυ Σέλλεϋ από τη νεαρή του ηλικία διακρινόταν για τη λεπτότητα του συναισθηματικού του κόσμου, την πρωτοτυπία και επαναστατικότητα των ιδεών του. Αυτά τα χαρακτηριστικά σε συνδυασμό με την εξαίρετη κυριαρχία του στα εκφραστικά του μέσα, του προσέδωσαν ιδιαίτερη θέση στην αγγλική λογοτεχνία. Αφιέρωσε τη σύντομη ζωή του στα ιδεώδη της ειρήνης, της αδελφοσύνης και της αγάπης. Τα ιδεώδη του ήταν συχνά πολύ προωθημένα, όπως η υποστήριξη του αθεϊσμού, ενώ υπήρξε αναμφισβήτητα φιλέλληνας - στο ποίημά του Ελλάς (Hellas) υμνεί την Ελληνική Επανάσταση (1821) ενάντια στον τουρκικό ζυγό.
Πηγές
Κατηγορία:Άγγλοι ποιητές Κατηγορία:Ρομαντικοί ποιητές Κατηγορία:Άγγλοι άθεοι Κατηγορία:Απόφοιτοι του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης
Pantera
Οι Pantera Groove  metal συγκρότημα, από το Άρλινγκτον του Τέξας, που δημιουργήθηκε από τους αδελφούς Άμποτ, Βίνι Πολ (τύμπανα) και Ντάιμπαγκ Ντάρελ (κιθάρα), τότε γνωστού ως "Diamond", το 1981. Ο μπασίστας Ρεξ Μπράουν, τότε γνωστός ως Ρεξ Ρόκερ (Rex Rocker), εντάχθηκε στο συγκρότημα το 1982, μαζί με τον τραγουδιστή Τέρι Γκλέιζ. Το 1987, ο Φιλ Άνσελμο, ανέλαβε τα φωνητικά, ολοκληρώνοντας την πιο πετυχημένη σύνθεση του συγκροτήματος, που έμεινε μαζί για δεκαπέντε (17) χρόνια και κυκλοφόρησε έξι στούντιο άλμπουμ και ένα ζωντανά ηχογραφημένο, εκ των οποίων τα τέσσερα έγιναν πλατινένια, και τα δύο χρυσά, με το "Far Beyond Driven" να ανεβαίνει στην κορυφή του Billboard. Με τον Ανσέλμο, το συγκρότημα υιοθέτησε μία πιο επιθετική μουσική κατεύθυνση, με αποτέλεσμα να γίνει ένα από τα μεγαλύτερα ονόματα της heavy metal για την δεκαετία του '90. Το συγκρότημα διαλύθηκε το 2003, ενώ στις 8 Δεκεμβρίου 2004, ο Ντάιμπαγκ Ντάρελ σκοτώθηκε επί σκηνής, από διαταραγμένο οπαδό των Damageplan, τους οποίους, είχε σχηματίσει μαζί με τον αδελφό του.
Η Glam Metal εποχή
Οι Pantera (ισπανική μετάφραση της λέξης "πάνθηρας") σχηματίστηκαν το 1981 και έγιναν γνωστοί σε κλαμπ του Τέξας παίζοντας τραγούδια των Van Halen και των Kiss. Η πρώτη σύνθεση του συγκροτήματος αποτελούνταν από τον τραγουδιστή Ντόνι Χαρτ, τους κιθαρίστες Ντάιμπαγκ Ντάρελ και Τέρι Γκλέιζ, τον μπασίστα Τόμι Μπράντφορντ και τον ντράμερ Βίνι Πολ. Το 1982, ο Χαρτ αποχώρησε με τον Γκλέιζ να αναλαμβάνει τα φωνητικά, ενώ τη θέση του Μπράντφορντ πήρε ο Ρεξ Μπράουν.
left|130px|thumb| Ο [[Ρεξ Μπράουν]] Το συγκρότημα απέκτησε μεγάλη δημοτικότητα σε τοπικό επίπεδο, ανοίγοντας τις ζωντανές εμφανίσεις γνωστών glam metal συγκροτημάτων όπως οι Stryper, οι Dokken και οι Quiet Riot, ενώ κυκλοφόρησαν και τον πρώτο τους δίσκο "Metal Magic", τον Ιούνιο του 1983. Ακολούθησε το "Projects in the Jungle" με τους Pantera να ξεφεύγουν από τις έντονα μελωδικές επιρροές τους.
Το "I Am the Night" του 1985 κυκλοφόρησε σε παραγωγή του πατέρα των Νταρέλ και Πολ, Τζέρι Άμποτ, κάτι που έγινε στα τέσσερα πρώτα άλμπουμ του συγκροτήματος. Το συγκεκριμένο άλμπουμ παρουσίασε ένα πιο βαρύ ηχητικό σύνολο, αλλά το συγκρότημα έλαβε μικρής προώθησης από την δισκογραφική εταιρεία "Metal Magic", πουλώντας μόλις 25.000 αντίτυπα. Μετά από αυτή την κυκλοφορία, ο Γκλέιζ, ο οποίος είχε αλλάξει το όνομα του σε Τέρι Λι, αποχώρησε, με τους Pantera να βρίσκουν τον αντικαταστάτη του στον πρώην τραγουδιστή των Samhain και Razor White, Φιλ Άνσελμο.
Παρ' όλα αυτά, διάφορα προβλήματα συνέχιζαν να απασχολούν το συγκρότημα, με τη νέα τους εταιρεία, "Gold Mountain", να προσπαθεί να τους οδηγήσει σε πιο εμπορικά μονοπάτια. Αντιδρώντας, οι Pantera ηχογράφησαν το βαρύτερο, μέχρι τότε, άλμπουμ τους με τίτλο "Power Metal", το οποίο εκδόθηκε τελικά μέσω της δικής τους εταιρείας, "Metal Magic".
Οι Pantera πλησίασαν στην διάλυση όταν ο Ντάρελ έκανε οντισιόν για την θέση του κιθαρίστα στους Megadeth, την οποία δεν δέχτηκε αφού είχε σαν όρο να αναλάβει τα τύμπανα του συγκροτήματος ο αδελφός του, αλλά ο Ντέιβ Μαστέιν είχε ήδη συμφωνήσει με το ντράμερ Νικ Μένζα και γι' αυτό το λόγο προσέλαβε τον Μάρτι Φρίντμαν στις κιθάρες.
Επιτυχία και αναγνώριση
130px|thumb| Ο [[Dimebag Darrell|Ντάιμπαγκ Ντάρελ]] Το 1989, το συγκρότημα υπέγραψε συμβόλαιο συνεργασίας με την "Atco" και αποφάσισε να αλλάξει το μουσικό του ύφος αλλά και την εμφάνιση, υιοθετώντας ένα πιο ακραίο και ωμό στυλ. Ο δίσκος "Cowboys from Hell" ηχογραφήθηκε στα "Pantego Sound Studios" και κυκλοφόρησε τον Ιούλιο του 1990, με στοιχεία hardcore και μεγαλύτερη ένταση σε σχέση με την μελωδικότητα των προηγούμενων τους άλμπουμ. Ο δίσκος αποτέλεσε σημείο καμπής για το συγκρότημα, καθώς από το πουθενά, έγινε μια εκ των μεγαλυτέρων ελπίδων στον χώρο της heavy metal, η παρακμή της οποίας ήταν εμφανής (οι Iron Maiden έχασαν τον Άντριαν Σμιθ και τον Μπρους Ντίκινσον, οι Metallica άφησαν τη thrash metal και το γύρισαν σε hard rock, ο Ρομπ Χάλφορντ αποχωρούσε από τους Judas Priest, ο Ντίο έχανε δημοτικότητα, όπως ακριβώς κι ο Όζυ Όσμπορν κι οι Motörhead κι οι Black Sabbath - για να μη μιλήσουμε για τη hair metal, η οποία την προηγούμενη δεκαετία μεσουρανούσε). Έτσι, η απρόσμενη, μάλλον, επιτυχία των Pantera αποτέλεσε μια ανανέωση για τη heavy metal, καθώς το μόνο κλασσικό συγκρότημα που έδειχνε να μην έχει τα προβλήματα των προηγούμενων ήταν οι Megadeth του Ντέιβ Μαστέιν. Ο Ντάρελ αναγνωρίστηκε ως ένας από τους προπάτορες του νέου ήχου της χέβι μέταλ κιθάρας, με το έντονα ρυθμικό και αντικομφορμιστικό στυλ παιξίματος του. Τα βίντεο κλιπ των "Cowboys from Hell", "Domination", "Cemetery Gates" και "'Psycho Holiday" έλαβαν μεγάλο αριθμό μεταδόσεων από το "MTV", κάνοντας το συγκρότημα γνωστό διεθνώς.
Η περιοδεία για τον δίσκο ξεκίνησε από την Βόρεια Αμερική, όπου οι Pantera εμφανίζονταν με τους Exodus και τους Suicidal Tendencies. Στο ευρωπαϊκό μέρος της περιοδείας, το συγκρότημα άνοιγε τις εμφανίσεις των Judas Priest και συμμετείχε στο φεστιβάλ "Monsters of Rock" του "Tushino Air Field" της Μόσχας στις 28 Σεπτεμβρίου 1991 μαζί με τους AC/DC, Metallica και Black Crowes, όπου έπαιξαν μπροστά σε μισό εκατομμύριο θεατές.
Τον Φεβρουάριο του 1992, κυκλοφόρησε το έκτο τους στούντιο άλμπουμ με τίτλο "Vulgar Display of Power", το οποίο μπήκε στα βρετανικά τσαρτ σκαρφαλώνοντας στο # 64, ενώ ανέβηκε στο # 44 του Billboard. Το συγκρότημα παρουσίασε ένα ακόμη πιο ακραίο πρόσωπο, ενώ δήλωναν δημοσίως ότι οι ηχογραφήσεις πραγματοποιήθηκαν ενώ έκαναν χρήση ναρκωτικών. Το άλμπουμ επιβεβαίωσε την κυριαρχία των Pantera στη heavy metal και περιλάμβανε τα πασίγνωστα τραγούδια "Walk", "No Good (Attack The Radical)", "Mouth For The War", "This Love" και "A New Level".
left|130px|thumb| Ο [[Φιλ Άνσελμο]] Κατά την περιοδεία για την προώθηση του άλμπουμ, οι Pantera εμφανίζονταν με ονόματα όπως οι Megadeth, οι Sacred Reich, οι Soundgarden, οι Skid Row, κ.α. Έπαιξαν στην Ιαπωνία για πρώτη φορά τον Ιούλιο του 1992 και εμφανίστηκαν μαζί με τους Iron Maiden και τους Black Sabbath στο φεστιβάλ "Monsters of Rock" στην Ιταλία στις 12 Σεπτεμβρίου 1992.
Παρά την ακραία μορφή του, το "Far Beyond Driven" που κυκλοφόρησε τον Μάρτιο του 1994, σκαρφάλωσε στην κορυφή των τσαρτ στις Ηνωμένες Πολιτείες. Το άλμπουμ περιλάμβανε επίσης μεγάλες επιτυχίες του σχήματος, όπως το "5 Minutes Alone", και το "I'm Broken". Το συγκρότημα περιόδευσε μαζί με τους Crowbar στην Βόρεια Αμερική, συνεχίζοντας στην Λατινική Αμερική μαζί με τους Lethal και τους Animal. Το καλοκαίρι περιόδευσαν με τους Sepultura και τους Biohazard, ενώ εμφανίστηκαν στο φεστιβάλ "Monsters of Rock" στις 4 Ιουνίου 1994 μαζί με τους Aerosmith, Sepultura, Extreme, κ.α..
Το 1995, το συγκρότημα συνέχισε να περιοδεύει, αλλά μετά από μία συναυλία στο Μόντρεαλ του Καναδά, ο Άνσελμο κατηγορήθηκε για ρατσιστικά σχόλια που έκανε επί σκηνής και αναγκάστηκε να ζητήσει δημόσια συγγνώμη δεχόμενος ότι βρισκόταν σε κατάσταση μέθης.
Την ίδια χρονιά, ο τραγουδιστής των Pantera κυκλοφόρησε το πρώτο του άλμπουμ με το προσωπικό του σχήμα, τους Down, το οποίο έφερε τον τίτλο "Nola". Οι Pantera επέστρεψαν με τον δίσκο "The Great Southern Trendkill" τον Απρίλιο του 1996, σε μία πιο ενδοσκοπική και σκοτεινή κυκλοφορία σε σχέση με τους προκατόχους της. Το συγκρότημα ξεκίνησε την αμερικάνικη περιοδεία του τον Αύγουστο του 1996 μαζί με τους White Zombie και τους Deftones.
Το 1997, τα "Cowboys from Hell", "Vulgar Display of Power" και "Far Beyond Driven" έγιναν πλατινένια στις Ηνωμένες Πολιτείες και στις 29 Ιουλίου κυκλοφόρησε το ζωντανά ηχογραφημένο "Official Live: 101 Proof", ανεβαίνοντας στο αμερικάνικο Top-20. Μετά από αυτή την κυκλοφορία, το συγκρότημα αποτραβήχτηκε από τα φώτα της δημοσιότητας δίνοντας τροφή στις φήμες για διάλυση των Pantera.
130px|thumb| Ο [[Βίνι Πολ]] Το συγκρότημα επέστρεψε στην ενεργό δράση με τον δίσκο "Reinventing the Steel" τον Μάρτιο του 2000. Το σινγκλ "Revolution Is My Name" έλαβε υποψηφιότητα για βραβείο Γκράμι και το άλμπουμ ανέβηκε στο # 4 στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο κιθαρίστας των Slayer, Κέρι Κινγκ συμμετείχε στο τραγούδι "Goddamn Electric" παίζοντας το σόλο κιθάρας και οι Pantera περιόδευσαν στην Ευρώπη μαζί με τους Satyricon. Οι εμφανίσεις τους στην Βόρεια Αμερική αναβλήθηκαν λόγω τραυματισμού του Άνσελμο, ο οποίος έσπασε δύο πλευρά. Στη συνέχεια της περιοδείας, οι Pantera έφθασαν μέχρι το Άνκορατζ της Αλάσκα, ενώ έπαιξαν και στην Σεούλ της Κορέας πριν μεταβούν στην Αυστραλία τον Μάιο του 2001, μαζί με τους Corrosion of Conformity. Συνέχισαν στις Ηνωμένες Πολιτείες σε μία περιοδεία με την ονομασία "Extreme Steel", μαζί με τους Slayer, Morbid Angel, Static X και Scrape. Παρ' όλα αυτά, το συγκρότημα αποσύρθηκε από το ευρωπαϊκό κομμάτι της περιοδείας λόγω του τρομοκρατικού χτυπήματος στο Παγκόσμιο Κέντρο Εμπορίου στις 11 Σεπτεμβρίου 2001.
Διάλυση
Προς το τέλος του 2001, ο Άνσελμο ανακοίνωσε την δημιουργία δύο ακόμη συγκροτημάτων, των Southern Isolation και των Enoch. Επίσης, οι Πολ και Νταρέλ, σχημάτισαν τους Gasoline. Το 2002, ο Ανσέλμο επέστρεψε με το "Down II: Bustle In Your Hedgerow" των Down και το "Use Once And Destroy" των Superjoint Ritual. Τον Ιανουάριο του 2003, τα αδέλφια Άμποτ, δημιούργησαν τους New Found Power, με τον Πάτρικ Λάχμαν στα φωνητικά και τον Σον Μάθιους στο μπάσο. Το συγκρότημα άλλαξε το όνομα του σε Damageplan, τον Οκτώβριο εκείνης της χρονιάς, με το άλμπουμ "New Found Power" να ανεβαίνει στο αμερικάνικο Top-40, ενώ το ίδιο ετος, ο Ανσέλμο κυκλοφορεί το δεύτερο άλμπουμ των Superjoint Ritual "A Lethal Dose of American Hatred". Οι Superjoint Ritual αποτέλεσαν μια άτυπη συνέχεια των Pantera, η οποία διήρκησε, επιτυχώς, για τέσσερα χρονια (2002-2005).
Τα μέλη των Pantera αποφασίζουν να ολοκληρώσουν οριστικά την επιτυχημένη πορεία τους στο τέλος του 2003. Παρ' όλα αυτά, μέσα στο 2004, επήλθε κλίμα επιθυμίας και από τις δύο πλευρές για μια πιθανή επανένωσή τους. Η πιθανότητα αυτή χάθηκε όταν στη συναυλία των Damageplan στο Κολούμπους του Οχάιο στις 8 Δεκεμβρίου 2004, ο Ντάρελ δολοφονήθηκε επί σκηνής από τον 23χρονο Νέιθαν Γκέιλ, ο οποίος σκότωσε και άλλα τρία άτομα, πριν χάσει την ζωή του από πυρά αστυνομικών. Ο κιθαρίστας, θάφτηκε σε φέρετρο που έφερε το λογότυπο του αγαπημένου του συγκροτήματος, των Kiss, ενώ μαζί του, τοποθετήθηκε μία κιθάρα του Έντι Βαν Άλεν. Το Μάιο του 2005 κυκλοφόρησε το άλμπουμ "Rebal Meets Rebel", το οποίο αποτελεί, ανεπίσημα, το δέκατο και τελευταίο άλμπουμ των Pantera, χωρίς τον Ανσέλμο στα φωνητικά. Το άλμπουμ αυτό ανήκει στο είδος της country metal και ηχογραφήθηκε μεταξύ των χρονολογιών 1999-2003, από τους πρώην μουσικούς των Pantera με τον τραγουδιστή Ντέιβιντ Άλαν Κόε στα φωνητικά.
Φήμες για επανένωση
Από τις αρχές του 2014, υπήρξαν φήμες, σχετικά με το αν ο Phil Anselmo, μπορεί να συνεργαστεί και πάλι με τον Vinnie Paul, για να επανενωθούν οι Pantera, με τον Zakk Wylde στην κιθάρα. Πιο συγκεκριμένα, τον Μάιο του 2014, ο Anselmo, δήλωσε ότι είναι έτοιμος να διαπραγματευτεί με τον αδελφό του Dimebag, ο Vinnie Paul όμως, με τη σειρά του, ανέφερε πως δεν υπάρχει περίπτωση να συμβεί η επανένωση, για κανέναν λόγο. Όταν μάλιστα ο Βίνι Πολ έφυγε από τη ζωή τον Ιούνιο του 2018, το πλάνο αυτό εγκαταλείφθηκε. Έτσι, έπεσε η αυλαία για το συγκρότημα που κράτησε ζωντανή τη heavy metal τα δυσκολότερα χρόνια της.
Στούντιο ηχογραφήσεις
{|width="100%" align="center"|
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αμερικανικά glam metal συγκροτήματα Κατηγορία:Αμερικανικά groove metal συγκροτήματα Κατηγορία:Αμερικανικά speed metal συγκροτήματα Κατηγορία:Νικητές Kerrang! Awards Κατηγορία:Αμερικανικά thrash metal συγκροτήματα Κατηγορία:Alternative metal συγκροτήματα Κατηγορία:Οικογενειακά μουσικά συγκροτήματα Κατηγορία:Μουσικά συγκροτήματα αδελφών Κατηγορία:Heavy metal συγκροτήματα από το Τέξας
Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3
Η ταινία Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3 (αγγλικά: Insidious: Chapter 3), είναι μια υπερφυσική ταινία τρόμου του 2015 που γράφτηκε από τον Λι Γουανέλ, και σηματοδότησε το σκηνοθετικό ντεμπούτο του. Η ταινία αποτελεί ένα πρίκουελ των δύο πρώτων ταινιών και είναι η τρίτη ταινία μέσα στη συγκεκριμένη σειρά ταινιών. Στην ταινία πρωταγωνιστούν οι Ντέρμοτ Μαλρόνεϊ και Στεφανί Σκοτ, με τους Άνγκους Σάμπσον, Λι Γουανέλ και Λιν Σάιε να επαναλαμβάνουν τους ρόλους τους από τις προηγούμενες ταινίες.
Μέχρι τον Σεπτέμβριο του 2013, είχε ανακοινωθεί η πιθανότητα κυκλοφορίας μιας τρίτης ταινίας της σειράς, με τον Γουανέλ να επιστρέφει ως σεναριογράφος και τον Τζέισον Μπλουμ και τον Όρεν Πελί να βρίσκονται στην παραγωγή. Ο ιστότοπος Screen Rant, ανέφερε ότι η τρίτη ταινία δεν θα επικεντρωνόταν στην οικογένεια Λάμπερτ, αλλά σε μια νέα οικογένεια και γενικότερα σε μία νέα ιστορία, και δεν θα συνδεόταν με τα γεγονότα της δεύτερης ταινίας. Η κύρια μαγνητοσκόπηση ξεκίνησε στις 9 Ιουλίου 2014, στο Λος Άντζελες με τον τίτλο "Into The Further", και ολοκληρώθηκε σε μόλις 29 ημέρες. Τα γυρίσματα ολοκληρώθηκαν στις 18 Αυγούστου 2014.
Η ταινία κυκλοφόρησε στις 5 Ιουνίου 2015, έλαβε μικτές κριτικές από κριτικούς και κέρδισε 113 εκατομμύρια δολάρια έναντι προϋπολογισμού 11 εκατομμυρίων δολαρίων. Ένα σίκουελ, η Παγιδευμένη Ψυχή: Το Τελευταίο Κλειδί, κυκλοφόρησε τον Ιανουάριο του 2018.
Πλοκή
Αρκετά χρόνια πριν από την υπόθεση των Λάμπερτ, η έφηβη Κουίν Μπρένερ συναντά τη συνταξιούχο δαιμονολόγο Ελίζ Ρέινιερ. Η Ελίζ συμφωνεί απρόθυμα να δοκιμάσει να επικοινωνήσει με το πνεύμα της μητέρας της Κουίν, Λίλι, η οποία πέθανε ένα χρόνο πριν. Ωστόσο, η Ελίζ παροτρύνει την Κουίν να μην προσπαθήσει να επικοινωνήσει ξανά με τη μητέρα της αφού αισθάνεται μια κακόβουλη παρουσία να την ακολουθεί, κάτι που δεν είναι η μητέρα της. Μετά την ακρόαση της σε μία δραματική σχολή, η Κουίν βλέπει μια μυστηριώδη φιγούρα να την χαιρετάει από απόσταση στο δρόμο. Αφού της απέσπασε την προσοχή, χτυπήθηκε από ένα αυτοκίνητο, και μεταφέρθηκε στο νοσοκομείο, όπου ανακάλυψαν ότι έσπασε και τα δύο της πόδια.
Τώρα, καθηλωμένη στο σπίτι της με τον πατέρα της, Σον, και τον αδερφό της, Άλεξ, η Κουίν αρχίζει να βιώνει ολοένα και πιο έντονα παραφυσικά φαινόμενα, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων οραμάτων ενός σκοτεινού πνεύματος που φοράει μάσκα οξυγόνου, γνωστός και ως "Ο άνθρωπος που δεν μπορεί να αναπνεύσει", και αρχίζει να πιστεύει ότι αποτελεί την ίδια μορφή που προκάλεσε το ατύχημα της. Μία από τις γειτόνισσες της Κουίν, μια ηλικιωμένη γυναίκα με άνοια που της είχε πει στο παρελθόν συγκεχυμένα πράγματα για τον "Άνθρωπο που δεν μπορεί να αναπνεύσει", πεθαίνει.
Ο Σον συναντά την Ελίζ, που επίσης θρηνεί για τον θάνατο του συζύγου της, Τζακ, και προσπαθεί να την πείσει να βοηθήσει την κόρη του. Η Ελίζ αρνείται, δηλώνοντας ότι οι προηγούμενες επισκέψεις της στον σκοτεινό πνευματικό κόσμο του "The Further (Το Πέρα)" την έκαναν να συνειδητοποιήσει ότι ένα κακόβουλο πνεύμα την κυνηγά. Ωστόσο, ο πρώην συνάδελφός της, Καρλ, την πείθει να συνεχίσει να χρησιμοποιεί την πνευματική της ικανότητα, αφού της υπενθυμίζει την επιτυχή υπόθεσή της με τον Τζος Λάμπερτ το 1986, και υποστηρίζει ότι εκείνη είναι ισχυρότερη από οποιοδήποτε πνεύμα ή δαίμονα επειδή είναι ζωντανή και τα πνεύματα δεν είναι.
Λόγω της άρνησης της Ελίζ, ο Άλεξ προτείνει στον Σον να καλέσει τους δαιμονολόγους Σπεκς και Τάκερ, οι οποίοι έχουν δημιουργήσει μία σελίδα στο διαδίκτυο, όπου μελετούν στοιχειωμένα σπίτια. Κατά τη διάρκεια της έρευνάς τους, η Κουίν κυριεύεται από τον "Άνθρωπο που δεν μπορεί να αναπνεύσει", σπάει τα στηρίγματα των ποδιών της και επιχειρεί να επιτεθεί στους Σον, Σπεκς και Τάκερ. Καταφέρνουν να την ακινητοποιήσουν, και ο Σον αντιλαμβάνεται ότι ο Σπες και ο Τάκερ είναι απατεώνες και ετοιμάζεται να τους διώξει, ώσπου καταφθάνει η Ελίζ. Υποθέτοντας ότι ο στόχος του σκοτεινού πνεύματος είναι να προσελκύει ζωντανά θύματα στο "The Further", ώστε να μπορεί να τρώει τη ζωτική τους δύναμη, η Ελίζ αποφασίζει να μπει στον πνευματικό κόσμο, και ζητά από τους Σπες και Τάκερ να την βοηθήσουν.
Η Ελίζ πηγαίνει στο "The Further" και έχει μια σύντομη μάχη με το κακό πνεύμα που τη στοιχειώνει (γνωστό και ως "Η Νύφη στα Μαύρα"), προτού ανακαλύψει το πνεύμα του Τζακ. Ο Τζακ αρχίζει να ενθαρρύνει την Ελίζ να αυτοκτονήσει, ώστε να μπορέσουν να είναι μαζί. Η Ελίζ συνειδητοποιεί ότι ο Τζακ είναι στην πραγματικότητα ο "Άνθρωπος που δεν μπορεί να αναπνεύσει", που έχει πάρει την μορφή του πεθαμένου συζύγου της, και αφού του επιτίθεται, τον διατάζει να απελευθερώσει την Κουίν. Η Κουίν φτάνει στο πλευρό του. Η Ελίζ σπρώχνει την οντότητα μακριά, αρπάζει την Κουίν και τρέχει, αλλά τελικά δέχεται επίθεση από την οντότητα λίγο πριν μπορέσει να δραπετεύσει πίσω στον φυσικό κόσμο. Η Ελίζ καταφέρνει να νικήσει την οντότητα και να πάρει την Κουίν πίσω. Μπαίνει στον πραγματικό κόσμο, προτού το πνεύμα την πιάσει, αλλά τότε συνειδητοποιεί ότι η Κουίν πρέπει να νικήσει μόνη της την οντότητα, εφόσον, παρόλο που η Ελίζ έχει γυρίσει στον φυσικό κόσμο, την Κουίν συνεχίζει να κρατάει πίσω στον πνευματικό η οντότητα. Τότε, η Ελίζ λαμβάνει ένα μήνυμα από την πρόσφατα νεκρή γειτόνισσα: Η Λίλι είχε αφήσει στην Κουίν ένα γράμμα για να διαβάσει πριν αποφοιτήσει από το Λύκειο, αλλά η Κουίν δεν το βρήκε ποτέ. Το πνεύμα της Λίλι εμφανίζεται ξαφνικά στο "The Further" και βοηθά την Κουίν να νικήσει τον "Άνθρωπο που δεν μπορεί να αναπνεύσει". Έτσι η Κουίν γυρίζει επιτέλους πίσω. Η Ελίζ αποχαιρετάει την οικογένεια, και δηλώνει στην πλέον ασφαλή Κουίν, ότι νιώθει την παρουσία της μητέρας της στο δωμάτιο, η οποία της λέει ότι πάντα ήταν κοντά στην Κουίν, ότι ένιωσε περήφανη βλέποντας την στην οντισιόν της, και επιβεβαιώνει την ύπαρξη του γράμματος που της άφησε. Τελικά φεύγει, με τον Σπεκς και τον Τάκερ, με τους οποίους συμφωνεί να συνεργαστούν.
Αργότερα, η Ελίζ φτάνει στο σπίτι της χαρούμενη που μπορεί να συνεχίσει τη δουλειά της, αλλά παρατηρεί το σκυλί της να γαβγίζει σε κάτι ενώ βρίσκεται στην κρεβατοκάμαρα. Ξαφνικά, ο Δαίμονας με το κόκκινο πρόσωπο (βλέπε Παγιδευμένη Ψυχή) εμφανίζεται πίσω της.
Παραγωγή
Στις 15 Σεπτεμβρίου 2013, ανακοινώθηκε ότι θα υπάρξει μία τρίτη ταινία στην σειρά Παγιδευμένη Ψυχή, με τον Λι Γουανέλ να επιστρέφει ως συγγραφέας και τον Τζέισον Μπλουμ και τον Όρεν Πελί στη παραγωγή. Όταν ρωτήθηκε για τον αν θα επιστρέψει στο σίκουελ, ο ηθοποιός Πάτρικ Ουίλσον είπε: "[δεν] ξέρω πού αλλού θα μπορούσε να πάει", και ότι "[ο Τζος Λάμπερτ] έχει περάσει πολλά και νομίζω ότι η ταινία έχει ένα καλό τέλος [...] Και αυτό είναι υπέροχο, έτσι θα έπρεπε να τελειώσει." Στις 13 Νοεμβρίου 2013, ανακοινώθηκε η Focus Features και η Stage 6 Films θα διανέμουν την ταινία στις 3 Απριλίου 2015. Η ημερομηνία μεταφέρθηκε αργότερα στις 29 Μαΐου 2015.
Στις 11 Μαρτίου 2014, η ιστοσελίδα Screen Rant ανέφερε ότι η τρίτη ταινία δεν θα επικεντρωνόταν στην οικογένεια Λάμπερτς, αλλά σε μια νέα οικογένεια και γενικότερα σε μία νέα ιστορία, και δεν θα συνδεόταν με τα γεγονότα της δεύτερης ταινίας. Αναφέρθηκε επίσης ότι τόσο ο Γουανέλ όσο και ο Άνγκους Σάμπσον θα επέστρεφαν ως κυνηγοί φαντασμάτων Σπεκς και Τάκερ, μαζί με την Λιν Σάιε ως Ελίζ. Στις 7 Μαΐου 2014, ο Γουάν έγραψε στο Twitter ότι ο Γουανέλ θα έκανε το σκηνοθετικό του ντεμπούτο, σκηνοθετώντας αυτό το πρίκουελ. Τον Ιούνιο του 2014, η Στεφανί Σκοτ και ο Ντέρμοντ Μάλρονεϊ ανακοινώθηκε ότι θα συμμετείχαν στην ταινία. Στις 22 Σεπτεμβρίου 2014, κατά τη διάρκεια του Cinema Diverse Film Festival στο Παλμ Σπρινγκς, η ηθοποιός Έλι Κιτς είπε ότι είχε πρόσφατα υπογράψει για έναν μη ακόμη αποκαλυπτόμενο υποστηρικτικό ρόλο στην ταινία.
Μάρκετινγκ και διαφήμιση
Μια πρώτη αφίσα κυκλοφόρησε διαδικτυακά στις 18 Σεπτεμβρίου 2014, η οποία έδειχνε αυτή τη πρόταση πάνω σε έναν γκρίζο τοίχο: "Ο άνθρωπος που δεν μπορεί να αναπνεύσει, ο άνθρωπος που ζει μέσα στα φρεάτια, τον άκουσα να λέει το όνομά σου χθες το βράδυ, τον άκουσα στο δωμάτιό σου ενώ έλειπες, είναι εκεί αυτή τη στιγμή, στέκεται στο δωμάτιό σου." Το πρώτο τρέιλερ της ταινίας κυκλοφόρησε από την Focus Features στις 23 Οκτωβρίου 2014. Την ίδια μέρα ο σκηνοθέτης Λι Γουανέλ κάλεσε τους θαυμαστές της σειράς ταινιών να συμμετάσχουν σε μια live συνάντηση ερωτήσεων και απαντήσεων στην επίσημη σελίδα της ταινίας στο Facebook. Λίγες μέρες αργότερα, στις 28 Οκτωβρίου 2014, η ίδια σελίδα στο Facebook έφτασε τους 4 εκατομμύριους θαυμαστές.
Στις 16 Μαρτίου 2015, η Focus Features ανακοίνωσε το ντεμπούτο ενός επίσημου τρέιλερ που κυκλοφόρησε την επόμενη μέρα, στις 17 Μαρτίου 2015, κατά τη διάρκεια μιας σειράς εκδηλώσεων σε επιλεγμένες πόλεις, συμπεριλαμβανομένου του Μαϊάμι (όπου η πρωταγωνίστρια Στεφανί Σκοτ πραγματοποίησε μία συνεδρία ερωτήσεων και απαντήσεων), του Σικάγο (με τη συμμετοχή της ηθοποιού Χέιλι Κιγιόκο) και της Νέας Υόρκης (όπου το περιοδικό Fangoria φιλοξένησε μια συνεδρία ερωτήσεων και απαντήσεων με την Λιν Σάιε). Μια νέα αφίσα με την Στέφανι Σκοτ κυκλοφόρησε επίσης την ίδια μέρα. Στις 3 Ιουλίου 2014, η Focus Features μετακίνησε την ήδη ανακοινωμένη ημερομηνία θεατρικής κυκλοφορίας στις ΗΠΑ, στις 29 Μαΐου 2015. Στις 10 Δεκεμβρίου 2014, η εταιρεία διανομής ανακοίνωσε ότι η ημερομηνία θεατρικής κυκλοφορίας είχε μεταφερθεί ξανά στις 5 Ιουνίου 2015.
Box Office
Η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3 κέρδισε 52,2 εκατομμύρια δολάρια στη Βόρεια Αμερική και 60,6 εκατομμύρια δολάρια σε άλλες περιοχές, συγκεντρώνοντας το συνολικό πσοό των 112,8 εκατομμυρίων δολαρίων, έναντι προϋπολογισμού 10 εκατομμυρίων δολαρίων.
Στη Βόρεια Αμερική, η ταινία κέρδισε 1,6 εκατομμύρια δολάρια από τις νυχτερινές προεπισκοπήσεις της Πέμπτης, από 2.150 θέατρα, και 10,4 εκατομμύρια δολάρια την ημέρα της κυκλοφορίας της, από 3.003 θέατρα. Τερμάτισε στην τρίτη θέση στο εναρκτήριο Σαββατοκύριακο της, κερδίζοντας 23 εκατομμύρια δολάρια πίσω από την ταινία Spy και την ταινία San Andreas.
Εκτός της Βόρειας Αμερικής, η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3 κέρδισε 14,3 εκατομμύρια δολάρια το εναρκτήριο Σαββατοκύριακο, από 42 χώρες και 2.989 οθόνες. Αποτέλεσε τη μεγαλύτερη πρεμιέρα μιας ταινίας τρόμου στις Φιλιππίνες (1,5 εκατομμύρια δολάρια) και στο Βιετνάμ (620.000 δολάρια), το δεύτερο μεγαλύτερο στη Μαλαισία (1,6 εκατομμύρια δολάρια), και είχε επίσης επιτυχημένες πρεμιέρες στη Ρωσία και στην ΚΑΚ (2,7 εκατομμύρια δολάρια). Στο Μεξικό κέρδισε 1,8 εκατομμύρια δολάρια και στην Ινδία 620.000 δολάρια.
Αλγεβρικός ακέραιος
Ένας μιγαδικός αριθμός θ καλείται αλγεβρικός ακέραιος αν υπάρχει κανονικό πολυώνυμο p(t) με ακεραίους συντελεστές έτσι ώστε p(\theta)=0 δηλαδή όπου. Το σύνολο των αλγεβρικών ακεραίων συμβολίζεται με \mathbb{B} και αποτελεί υποδακτύλιο του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Ισχύει δε, ότι η τομή των αλγεβρικών ακεραίων με τον δακτύλιο των ρητών είναι ακριβώς ο δακτύλιος των ακεραίων. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του Θεωρήματος του Burnside, που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα που έχει τάξη γινόμενο δυνάμεων πρώτων είναι επιλύσιμη.
Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3
Κριτικές
Ο Ντάνιελ Κρούπα της ιστοσελίδας IGN, έδωσε στην ταινία βαθμολογία 7,1 στα 10, λέγοντας ότι: "Η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3 είναι η πιο σκοτεινή και ανατριχιαστική ταινία της σειράς μέχρι σήμερα." Ο Σκοτ Φούντας του περιοδικού Variety, έδωσε στην ταινία μία αρνητική κριτική, λέγοντας ότι: "Η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3, είναι ένα θλιβερό πρίκουελ μέσα στο πολύ ευχάριστο (και εξαιρετικά κερδοφόρο) δαιμονικό Σύμπαν του Τζέιμς Γουάν." Ο Τζάστιν Λόου του περιοδικού The Hollywood Reporter έδωσε μια θετική κριτική στην ταινία, λέγοντας ότι: "Η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3, μας προσφέρει μία σχετικά νεαρή πρωταγωνίστρια και αρκετά περισσότερους υποστηρικτικούς ηθοποιούς από τις προηγούμενες ταινίες, κάτι που οδηγεί σε μία ευχάριστη προσθήκη στη σειρά." Ο Κάιλ Άντερσον του περιοδικού Entertainment Weekly έδωσε στην ταινία ένα C+, λέγοντας ότι: "Η Παγιδευμενη Ψυχή: Κεφάλαιο 3, είναι το χειρότερο είδος πρίκουελ: Όχι μόνο απαίσιο, αλλά και γελοιογραφικά περιττό." Ο Μίχαελ Ορντόνα της εφημερίδας San Francisco Chronicle, έδωσε στην ταινία μηδέν στα τέσσερα αστέρια, λέγοντας ότι: "Η Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3 απλά δεν είναι τρομακτική. Ούτε λίγο, ούτε πολύ."
Αλγεβρικός ακέραιος
Παραδείγματα
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Παγιδευμένη Ψυχή: Κεφάλαιο 3
Πρίκουελ
Σε μια συνέντευξη του, ο Λι Γουανέλ ερωτήθηκε "Εάν θα υπήρχε μια τέταρτη ταινία, θα ήταν συνέχεια του Κεφαλαίου 3 ή ένα ακόμη πρίκουελ;" Ο Γουανέλ δήλωσε: "Δεν ξέρω. Δεν το έχω σκεφτεί ακόμα. Ολόκληρη η ιστορία της Ελίζ, σχετικά με το από που προέρχεται και την οικογενειακή της κατάσταση θα μπορούσε να είναι πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Νομίζω, λοιπόν, ότι υπάρχει πολύ υλικό προς αυτή την κατεύθυνση. Βλέπουμε σε όλες τις ταινίες μία ηρωίδα Ελίζ, πως θα ήταν αν βλέπαμε μία πιο ευαίσθητη πλευρά της;"
Παραπομπές
Κατηγορία:Βρετανικές ταινίες Κατηγορία:Αμερικανικές ταινίες Κατηγορία:Βρετανικές ταινίες τρόμου Κατηγορία:Αγγλόφωνες ταινίες Κατηγορία:Ταινίες του 2015 Κατηγορία:Ταινίες της Blumhouse Productions Κατηγορία:Παγιδευμένη Ψυχή (σειρά ταινιών)
Σώμα Αριθμών
Στα μαθηματικά, ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών (ή απλά σώμα αριθμών) F είναι μια πεπερασμένη (και άρα αλγεβρική) επέκταση σώματος του σώματος των ρητών αριθμών Q. Έτσι το F είναι ένα σώμα που περιέχει το Q και έχει πεπερασμένη διάσταση όταν λογίζεται ως διανυσματικός χώρος πάνω από το Q.
Η μελέτη των αλγεβρικών σωμάτων, και, γενικότερα, των αλγεβρικών επεκτάσεων του σώματος των ρητών αριθμών, είναι ένα κεντρικό θέμα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
Προϋποθέσεις
Η ιδέα ενός αλγεβρικού σώματος βασίζεται στην έννοια ενός σώματος. Ένα σώμα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων μαζί με δυο πράξεις, οι οποίες ονομάζονται πρόσθεση, και πολλαπλασιασμός, και μερικές υποθέσεις. Ένα έξοχο παράδειγμα σώματος είναι το σώμα των ρητών αριθμών, συμβολιζόμενο συνήθως με Q, μαζί με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης κτλ.
Μια άλλη ιδέα που χρειάζεται για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά σώματα είναι αυτή των διανυσματικών χώρων. Εδώ να προσθέσουμε ότι, μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι διανυσματικοί χώροι αποτελούνται από ακολουθίες των οποίων οι όροι είναι στοιχεία ενός σταθερού σώματος, όπως το σώμα Q. Οποιεσδήποτε τέτοιες δυο ακολουθίες μπορούν να προστεθούν προσθέτοντας τους όρους έναν προς έναν.Επιπρόσθετα, κάθε ακολουθία μπορεί να πολλαπλασιαστεί από ένα συγκεκριμένο στοιχείο c του σταθερού σώματος. Οι δυο αυτές πράξεις γνωστές ως διανυσματική πρόθεση και βαθμωτός πολλαπλασιασμός ικανοποιούν ένα αριθμό ιδιοτήτων οι οποίες βοηθούν στο να ορίσουμε τους διανυσματικούς χώρους αφηρημένα. Οι διανυσματικοί χώροι μπορούν να είναι "πεπερασμένης διάστασης", δηλαδή οι ακολουθίες που τους απαρτίζουν να είναι πεπερασμένου μήκους. Αν, όμως, ο διανυσματικός χώρος αποτελείται από πεπερασμένες ακολουθίες ο διανυσματικός χώορς λέγεται πεπερασμένης διάστασης, n.
Ορισμός
Ένα αλγεβρικό σώμα (ή απλά σώμα) είναι ένα πεπερασμένου βαθμού σώμα επέκτασης του σώματος των ρητών αριθμών. Εδώ η διάσταση του ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το Q λέγεται απλά βαθμός.
Αλγεβρικότητα και δακτύλιος ακεραίων
Γενικά, στην αφηρημένη άλγεβρα, ένα σώμα επέκτασης F / E είναι αλγεβρικό αν κάθε στοιχείο f του μεγαλύτερου σώματος F είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με συντελεστές e0, ..., em in E: Είναι γεγονός ότι κάθε πεπερασμένο σώμα επέκτασης είναι αλγεβρικό (απόδειξη: για x στο F απλά θεωρείστε x, x^2, x^3 ...παίρνουμε μια γραμμική εξάρτηση, π.χ. ένα πολυώνυμο x είναι μια ρίζα του!). Ειδικότερα αυτό εφαρμόζεται στα αλγεβρικά σώματα, έτσι ώστε κάθε στοιχείο f ενός αλγεβρικού σώματος F να μπορεί να γραφτεί μια ρίζα ενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Συνεπώς, τα στοιχεία του F αναφέρονται επίσης ως αλγεβρικοί αριθμοί. Δοθέντος ενός πολυωνύμου p τέτοιου ώστε p(f) = 0, μπορεί να εξασφαλιστεί ότι ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου em είναι μονάδα, διαιρώντας όλους τους συντελεστές με αυτόν, αν είναι απαραίτητο. Ένα πολυώνυμο με αυτήν την ιδιότητα είναι γνωστό ως μονικό πολυώνυμο. Γενικά θα έχει ρητούς συντελεστές. Αν, όμως, οι συντελεστές του είναι όλοι ακέραιοι, το f καλείται ακέραιος αλγεβρικός. Κάθε (συνήθης) ακέραιος z ∈ Z είναι αλγεβρικός ακέραιος, καθώς είναι ρίζα του γραμμικού μονικού πολυωνύμου: Μπορεί να δειχθεί ότι κάθε ακέραιος αλγεβρικός που είναι επίσης ρητός αριθμός είναι στην πραγματικότητα ακέραιος, εξ'ου και το όνομα "ακέραιος αλγεβρικός". Χρησιμοποιώνας ξανά αφηρημένη άλγεβρα, και συγκεκριμένα την ιδέα ενός πεπερασμένα παραγόμενου μοντέλου, μπορεί να δειχθεί ότι το άθροισμα και το γινόμενο οποιωνδήποτε δυο ακέραιων αλγεβρικων είναι επίσης ακέραιος αλγεβρικός, έπεται ότι οι ακέραιοι αλγεβρικοί του F σχηματίζουν έναν δακτύλιο που συμβολίζεται με OF και λέγεται δακτύλιος των ακεραίων του F. Είναι ένας υποδακτύλιος του (δηλαδή, ένας δακτύλιος που περιέχεται στο) F. Ένα σώμα δεν περιέχει διαιρέτες του μηδενός και η ιδιότητα αυτή κληρονομείται από κάθε υποδακτύλιο. Συνεπώς, ο δακτύλιος των ακεραίων του F είναι μια ακέραια περιοχή. Το σώμα F είναι το σώμα κλασμάτων της ακεραίας περιοχής OF. Με τον τρόπο αυτό μπορεί κανείς να μεταβεί μπροστά και πίσω μεταξύ του αλγεβρικού σώματος F και του δακτυλίου του των ακεραίων OF. Οι δακτύλιοι των ακεραίων αλγεβρικών έχουν τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες: πρώτον, OF είναι μια ακέραια περιοχή που είναι ολοκληρωτικά κλειστή στο σώμα κλασμάτων της F. Δεύτερον, OF είναι ένας Noetherian δακτύλιος. Τέλος, κάθε μη-μηδενικό πρώτο ιδεώδες του OF είναι μέγιστο ή, ισοδύναμα, η Krull διάσταση του δακτυλίου αυτού είναι ένα. Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με τις τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται Dedekind δακτύλιος (ή Dedekind περιοχή), προς τιμήν του Richard Dedekind, ο οποίος ανέλαβε μια σε βάθος μελέτη των δακτυλίων των αλγεβρικών ακεραίων.
Μονοσήμαντη ανάλυση και αριθμός κλάσης
Γενικά για Dedekind δακτυλίους, και συγκεκριμένα για δακτυλίους ακεραίων, υπάρχει μια μονοσήμαντη ανάλυση του ιδεώδη σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών. Όμως, αντίθετα με τον Z ως δακτύλιο των ακεραίων του Q, ο δακτύλιος των ακεραίων μιας κανονικής επέκτασης του Q δεν χρειάζεται την μονοσήμαντη ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο πρώτων αριθμών ή, ακριβέστερα, σε πρώτων στοιχείων. Αυτο συμβαίνει ήδη στους τετραγωνικους ακεραίους, για παράδειγμα στο OQ(√) = Z[√], η μονοσημαντικότητα της ανάλυσης αποτυγχάνει: Χρησιμοποιώντας νόρμα μπορεί να δειχθεί ότι αυτές οι δυο αναλύσεις είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμες με την έννοια ότι οι όροι δεν διαφέρουν απλά σε ένα στοιχείο στο OQ(√). Οι Ευκλείδιες περιοχές είναι περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης; για παράδειγμα Z[i], ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss, και Z[ω], ο δακτύλιος των ακεραίων του Eisenstein, όπου ω μια τρίτη ρίζα της μονάδας (διάφορη του 1), έχουν αυτή την ιδιότητα.
ζ-συναρτήσεις, L-συναρτήσεις και μαθηματικός τύπος αριθμού κλάσης
Ο μαθηματικός τύπος για τον αριθμό κλάσης δηλώνει ότι ζF(s) έχει έναν απλό πόλο στο s = 1 και ότι στο σημείο αυτό ο δείκτης δίνεται από
Εδώ r1 και r2 κλασικά συμβολίζουν τον αριθμό των πραγματικών ενσωματωμάτων και τα ζεύγη των μιγαδικών ενσωματωμάτων του F, αντίστοιχα. Ακόμη, Reg είναι ο κανονικοποιητής του F, w ο αριθμός των ριζών της μονάδας στο F και D είναι η διακρίνουσα του F.
Οι Dirichlet L-συναρτήσεις L(χ, s) είναι μια πιο απλή παραλλαγή του ζ(s). Αμφότεροι οι τύποι των συναρτήσεων κωδικοποιούν την αριθμητική συμπεριφορά του Q και του F, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το το θεώρημα του Dirichlet διεκδικεί ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο με σχετικούς πρώτους a και m, υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί. Το θεώρημα αυτό είναι πόρισμα του γεγονότος ότι η Dirichlet L-συνάρτηση είναι μη-μηδενική στο s = 1. Χρησιμοποιώντας πολύ πιο προχωρημένες τεχνικές συμπεριλαμβανομένων των αλγεβρικής K-θεωρίας και υπολογισμών Tamagawa, η μοντέρνα θεωρία αριθμών ασχολείται με μια περιγραφή των τιμών πιο γενικών L-συναρτήσεων.
Ακέραια βάση
Δουλεύοντας τοπικά και χρησιμοποιώντας εργαλεία όπως τον χάρτη του Frobenius, είναι πάντοτε δυνατό να υπολογίσουμε μια τέτοια βάση, και είναι πλέον δεδομένο για υπολογιστικά συστήματα άλγεβρας ότι διαθέτουν προγράμματα για να κάνουν κάτι τέτοιο.
Βάση δύναμης
Έστω F ένα σώμα βαθμού n. Μεταξύ όλων των πιθανών βάσεων του F (ως Q-διανυσματικός χώρος), υπάρχουν συγκεκριμένες βάσεις γνωστές ως βάσεις δύναμης, της μορφής για κάποια στοιχεία x ∈ F. Από το θεώρημα πρωτεύοντος στοιχείου, υπάρχει ένα τέτοιο x, που λέγεται πρωτεύον στοιχείο. Αν το x μπορεί να επιλεχθεί στο OF και έτσι ώστε Bx να είναι βάση του OF ως ένα ελεύθερο Z-module, τότε Bx λέγεται βάση ακέραιας δύναμης, και το σώμα F λέγεται μονογενικό σώμα. Ένα παράδειγμα σώματος που δεν είναι μονογενικό δόθηκε για πρώτη φορά από τον Dedekind. Το παράδειγμά του είναι το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας μια ρίζα του πολυωνύμου x3 − x2 − 2x − 8.
Κανονική αναπαράσταση, ίχνος και ορίζουσα
Χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό στο F, τα στοιχεία του σώματος F μπορούν να παρασταθούν από n-by-n πίνακες απαιτώντας Εδώ e1, ..., en είναι μια βάση για το F, αν το δούμε ως έναν Q-διανυσματικό χώρο. Οι ρητοί αριθμοί aij είναι μονοσήμαντα προσδιορισμένοι από το x και την επιλογή μιας βάσης αφού κάθε στοιχείο του F μπορεί να παρασταθεί μονοσήμαντα ως ένας γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης. Ο τρόπος αυτός να συσχετίσουμε έναν πίνακα με κάθε στοιχείο του σώματος F λέγεται κανονική αναπαράσταση. Ο τετραγωνικός πίνακας A παριστά το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με x της δοθείσας βάσης. Έπεται ότι αν το στοιχείο y του F παριστάνεται από έναν πίνακα B, τότε το γινόμενο xy παριστάνεται από το γινόμενο πινάκων AB. Οι αναλλοίωτες των πινάκων, όπως το ίχνος, η ορίζουσα, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εξαρτώνται μόνο από το στοιχείο x και όχι από τη βάση. Συγκεκριμένα, το ίχνος του πίνακα A(x) λέγεται ίχνος του στοιχείου x και συμβολίζεται με Tr(x), και η ορίζουσα λέγεται νόρμα του x και συμβολίζεται με N(x).
Εξ'ορισμού, οι ιδιότητες των ιχνών και των οριζουσών των πινάκων μεταφέρονται στα Tr και N: Tr(x) να είναι μια γραμμική συνάρτηση του x, καθώς εκφράζεται από Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y),, και η νόρμα να είναι μια πολλαπλασιαστική ομογενής συνάρτηση βαθμού n: ,. Εδώ λ είναι ρητός αριθμός, και x, y είναι δυο οποιαδήποτε στοιχεία του F.
Η μορφή του ίχνους είναι μια διγραμμική μορφή που ορίζεται από μέσα του ίχνους, όπως το Tr(x y). Η ολοκληρωτική μορφή του ίχνους, ένας συμμετρικός πίνακας με ακέραιες τιμές ορίζεται ως tij = Tr(bibj), όπου b1, ..., bn είναι μια ενσωματωμένη βάση για το F. Η διακρίνουσα του F ορίζεται ως det(t). Είναι ένας ακέραιος, και είναι μια αναλλοίωτη ιδιότητα του σώματος F,μη-εξαρτώμενη από την επιλογή της ενσωματωμένης βάσης. Ο πίνακας που σχετίζεται με ένα στοιχείο x του F μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δώσει άλλες, ισοδύναμες περιγραφές ακεραίων αλγεβρικών. Ένα στοιχείο x του F αλγεβρικός ακέραιος αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο pA of the matrix A που σχετίζεται με το x είναι ένα μονικό πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Υποθέστε ότι ένας πίνακας A που παριστάνει ένα στοιχείο x έχει ακέραιες καταχωρήσεις σε μια βάση e. Από το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον, pA(A) = 0, και έπεται ότι pA(x) = 0, έτσι ώστε x να είναι ακέραιος αλγεβρικός. Αντίστροφα, αν x είναι ένα στοιχείο του F το οποίο είναι ρίζα ενός μονικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές τότε την ίδια ιδιότητα διατηρεί ο αντίστοιχος πίνακας A. Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να αποδειχτεί ότι A είναι ένας πίνακας ακεραίων για μια κατάλληλη βάση του F.Σημειώστε ότι η ιδιότητα του να είναι αλγεβρικός ακέραιος ορίζεται με έναν τρόπο που ανεξάρτητος της επιλογής μιας βάσης για το F.
Παράδειγμα
Έστω F = Q(x), όπου x ικανοποιεί την x3 − 11x2 + x + 1 = 0. Τότε μια ενσωματωμένη βάση είναι [1, x, 1/2(x2 + 1)], και η αντίστοιχη ολοκληρωτική μορφή του ίχνους είναι
Το "3" στη θέση πάνω αριστερά αυτού του πίνακα είναι το ίχνος του πίνακα της αντιστοιχίας που ορίζεται από από την πρώτη βάση στοιχείου (1) στην κανονική αναπαράσταση του F στο F. Αυτή η βάση στοιχείου παράγει την ταυτότητα χάρτη στον 3-διάστατο διανυσματικό χώρο, F. Το ίχνος του πίνακα της ταυτότητας χάρτη σε έναν 3-διάστατο διανυσματικό χώρο είναι 3.
Η ορίζουσά του είναι, η διακρίνουσα του σώματος; σε αντίθεση με την διακρίνουσα ρίζας, ή την διακρίνουσα του πολυωνύμου, είναι.
Χώροι
Ένας χώρος ενός σώματος F μια ισοδύναμη κλάση από απόλυτες τιμές στο F. Ουσιαστικά, μια απόλυτη τιμή είναι μια ιδέα για να μετρήσουμε το μέγεθος των στοιχείων f του F. Δυο τέτοιες απόλυτες τιμές θεωρούνται ισοδύναμες αν δίνουν νόημα στην ίδια έννοια μικρότητας (ή απόστασης). Γενικά, εμπίπτουν σε τρεις κατηγορίες. Αρχικά (και κυρίως απροσδιόριστα), η τετριμμένη απόλυτη τιμή | |0, η οποία παίρνει την τιμή 1 για όλες τις μη-μηδενικές f στο F. Η δεύτερη και τρίτη κατηγορία είναι οι Αρχιμήδειοι χώροι και οι μη-Αρχιμήδειοι. Το συμπλήρωμα του F με βάση έναν χώρο δίνεται και στις δυο περιπτώσεις παίρνοντας ακολουθίες Cauchy στο F και εξαιρώντας μηδενικές ακολουθίες, οι οποίες είναι, ακολουθίες (xn)n ∈ N έτσι ώστε |xn| να τείνει στο μηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο. Αυτό μπορεί να δειχτεί και πάλι σώμα, το λεγόμενο συμπλήρωμα του F στον δοσμένο χώρο.
Μη-Αρχιμήδειοι χώροι
Για να βρούμε μη-αρχιμήδειους χώρους, έστω ξανά f και x όμοια με παραπάπανω. Στο Qp, το f διασπάται σε παράγοντες διαφορετικών βαθμών, κανένας από τους οποίους δεν επαναλαμβάνεται, και οι βαθμοί των οποίων αθροίζονται ως το n, τον βαθμό του f. Για κάθε έναν από αυτούς τους p-αδικά ανάγωγους παράγοντες t, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το x ικανοποιεί το t και να πάρουμε ένα ενσωμάτωμα του F σε μια αλγεβρική επέκταση πεπερασμένου βαθμού πάνω από το Qp. Ένα τέτοιο τοπικό σώμα συμπεριφέρεται σαν ένα σώμα, και οι p-αδικοί αριθμοί μπορούν να παίξουν το ρόλο των ρητών; ειδικότερα, μπορούμε να ορίσουμε τη νόρμα και το ίχνος με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δίνοντας τώρα συναρτήσεις χαρτογραφημένες μέσα στο Qp. Χρησιμοποιώντας αυτή την p-αδική νόρμα χάρτη Nt για τον χώρο t, μπορούμε να ορίσουμε μια απόλυτη τιμή αντίστοιχη ενός p-αδικά αναγώγου παράγοντα t βαθμού m με |θ|t = |Nt(θ)|p1/m. Μια τέτοια απόλυτη τιμή λέγεται μη-αρχιμήδεια ή p-αδικός χώρος του F.
Για κάθε μη-αρχιμήδειο χώρο v έχουμε ότι |x|v ≤ 1 για κάθε x στο OF, αφού το ελάχιστο πολυώνυμο για x έχει ακέραιους παράγοντες, και άρα η p-αδική ανάλυσή του έχει παράγοντες στο Zp. Συνεπώς, η νόρμα για κάθε παράγοντα είναι ένας p-αδικός ακέραιος, και ένας από είναι ο ακέραιος που ορίζει την απόλυτη τιμή για τον v.
Πρώτα ιδεώδη στο OF
Για έναν μη-αρχιμήδειο χώρο v, το υποσύνολο του OF που ορίζεται από το |x|v < 1 είναι ένα ιδεώδες P του OF. Αυτό βασίζεται στο ότι ο v δεν είναι αρχιμήδειος χώρος: δοθέντων x και y στο P, τότε Δηλαδή, το P είναι ακόμη πρώτο ιδεώδες.
Αντίστροφα, δοθέντος ενός πρώτου ιδεώδους P του OF, μια διακριτή αποτίμηση μπορεί να οριστεί θέτοντας vP(x) = n όπου n ο μεγαλύτερος ακέραιος έτσι ώστε x ∈ Pn, τη n-οστή δύναμη του ιδεώδους. Η αποτίμηση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε έναν μη-αρχιμήδειο χώρο. Υπο αυτήν την αντιστοιχία, (ισοδύναμες κλάσεις) των μη-αρχιμήδειων χώρων του F αντιστοιχούν σε πρώτα ιδεώδη του OF. Για F = Q, παίρνουμε το θεώρημα του Ostrowski: κάθε πρώτο ιδεώδες του Z (το οποίο παράγεται αναγκαστικά από έναν πρώτο αριθμό) αντιστοιχεί σε έναν μη-αρχιμήδειο χώρο και τούμπαλιν. Όμως, για γενικότερα σώματα αριθμών, η κατάσταση γίνεται πιο περίπλοκη, όπως θα δούμε παρακάτω.
Ακόμη ένας, ισοδύναμος τρόπος να περιγράψουμε μη-αρχιμήδειους χώρους είναι με εντοπισμούς του OF. Δοθέντος ενός μη-αρχιμήδειου χώρου v σε ένα σώμα F, ο αντίστοιχος εντοπισμός είναι ο υποδακτύλιος T του F όλων των στοιχείων x έτσι ώστε | x |v ≤ 1. Με βάση τη μη-αρχιμήδεια ιδιότητα ο T είναι δακτύλιος. Επιπρόσθετα, περιέχει το OF. Για κάθε στοιχείο x του F, τουλάχιστον ένα από τα x ή x−1 περιέχεται στο T. Στην πραγματικότητα, αφού το F×/T× μπορεί να αποδειχτεί ισόμορφο με τους ακέραιους, το T είναι ένας διακριτός δακτύλιος αποτίμησης, και ειδικότερα ένας τοπικός δακτύλιος. Ουσιαστικά, το T είναι απλά ο εντοπσμός του OF στο πρώτο ιδεώδες P. Αντίστροφα, το P είναι μέγιστο ιδεώδες του T.
Συνοψίζοντας, υπάρχει μια τριπλή ισοδυναμία μεταξύ μη-αρχιμήδειων απολύτων τιμών,πρώτων ιδεωδών, και εντοπισμών σε ένα σώμα.