cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Πίνακας (μαθηματικά)
Ορθογώνιος πίνακας
Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία, του οποίου οι στήλες (και οι γραμμές) είναι μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα (δηλ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας A είναι ορθογώνιος αν η αναστροφή του είναι ίση με τον αντίστροφό του:
το οποίο συνεπάγεται όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας.
Ένας ορθογώνιος πίνακας A είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος (με αντίστροφο τον A−1 = AT), μοναδιακού (A−1 = A*), και κανονικού (A*A = AA*). Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 είτε -1. Ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1. Όπως ένας γραμμικος μετασχηματισμός, κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1 είναι μια καθαρή περιστροφή, ενώ κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα -1 είναι είναι μια καθαρή αντανάκλαση, ή μια σύνθεση της αντανάκλασης και της περιστροφής.
Η μιγαδική αναλογία ενός ορθογώνιου πίνακα είναι ένας μοναδιακός πίνακας.
Ίχνος
Το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα \mathbf{A} είναι ένα άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του. Αν και ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός (όπως αναφέρεται παραπάνω), το ίχνος του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων είναι ανεξάρτητο από τη σειρά των παραγόντων: Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων: Επίσης, το ίχνος ενός πίνακα είναι ίσο με εκείνο του ανάστροφού του, δηλ.,
Ορίζουσα
Η ορίζουσα det(A) ή |A| ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι ένα αριθμός που κωδικοποιεί ορισμένες ιδιότητες του πίνακα. 'Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Η απόλυτη τιμή του ισούται με την περιοχή (στον R2) ή όγκο (στον R3) της εικόνας του ενιαίου τετραγώνου (ή κύβου), ενώ το σήμα του να αντιστοιχεί προς τον προσανατολισμό του αντίστοιχου γραμμικού χάρτη: η ορίζουσα είναι θετική, αν και μόνο αν ο προσανατολισμός διατηρείται.
Η ορίζουσα ενός 2 επί 2 πίνακα δίνεται από τον τύπο Η ορίζουσα ενός 3 επί 3 πίνακα περιλαμβάνει 6 όρους (κανόνας του Sarrus). Ο πιο μακρύς τύπος Leibniz γενικεύει αυτούς τους δύο τύπους σε όλες τις διαστάσεις.
Η ορίζουσα του γινομένου τετραγωνικών πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών τους: Προσθέτοντας ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε γραμμής σε μια άλλη, ή ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε στήλης σε μια άλλη, δεν αλλάζει η ορίζουσα. Εναλλάσσοντας επηρεάζει την ορίζουσα πολλαπλασιάζοντας την ορίζουσα με -1. Χρησιμοποιώντας αυτές τις λειτουργίες, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να τροποποιηθεί σε έναν κάτω (ή άνω) τριγωνικό πίνακα, και για τέτοιους πίνακες η ορίζουσα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του; αυτό παρέχει μια μέθοδο να υπολογίζουμε την ορίζουσα οποιουδήποτε πίνακα. Τελικά, η επέκταση Laplace εκφράζει την ορίζουσα των υποπινάκων, δηλ., ορίζουσες μικρότερων πινάκων. Η έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ένα αναδρομικό ορισμό των οριζουσών (παίρνοντας ως αρχική υπόθεση την ορίζουσα ενός 1 επί 1 πίνακα, η οποία είναι ένα μοναδικό στοιχείο, ή ακόμα την ορίζουσα ενός 0 επί 0 πίνακα, η οποία είναι 1), που μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ισοδύναμη με τον τύπο Leibniz. Οι ορίζουσες μπορούν αν χρησιμοποιηθούν για να λύσουν γραμμικά συστήματα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Κράμερ, όπου η διαίρεση των οριζουσών δύο συγγενικών τετραγωνικών πινάκων ισοδυναμεί με την αξία του καθενός από τις μεταβλητές του συστήματος.
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
Ένας αριθμός λ και ένα μη μηδενικό διάνυσμα v ικανοποιώντας την σχέση ονομάζεται ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του A, αντίστοιχα Ο αριθμός λ είναι μια ιδιοτιμή ενός n×n πίνακα A αν και μόνο αν A−λIn δεν είναι αντιστρέψιμος, ο οποίος είναι ισοδύναμος με Το πολυώνυμο pA με άγνωστο X που δίνεται από την εκτίμηση της ορίζουσας det(XIn−A) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Είναι ένα μονώνυμο  βαθμού n. Ως εκ τούτου η πολυωνυμική εξίσωση pA(λ) = 0 έχει το πολύ n διαφορετικές λύσεις, δηλ., ιδιοτιμές του πίνακα. Μπορεί να είναι πολύπλοκοι ακόμη και αν τα στοιχεία του A είναι πραγματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον, pA(A) = 0, το οποίο είναι, το αποτέλεσμα της αντικατάστασης του ίδιου του πίνακα στις δικές του χαρακτηριστικές πολυωνυμικές τιμές του μηδενικού πίνακα.
Υπολογιστικές πτυχές
Οι υπολογισμοί στους πίνακες εκτελούνται συνήθως με διαφορετικές τεχνικές. Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν από αμφότερα απευθείας αλγορίθμους ή επαναληπτικές προσεγγίσεις. Για παράδειγμα, τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα μπορούν να ληφθούν βρίσκοντας μία ακολουθία διανυσμάτων xn συγκλίνουσα σε ένα ιδιοδιάνυσμα όταν το n τείνει στο άπειρο.
Για να είσαι ικανός να διαλέξεις τον πιο κατάλληλο αλγόριθμο για κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι σημαντικό να αποφασίσεις αμφότερα την αποτελεσματικότητα και ακρίβεια όλων των διαθέσιμων αλγορίθμων. Ο τομέας που μελετά αυτά τα θέματα ονομάζεται γραμμική άλγεβρα. Όπως με άλλες αριθμητικές καταστάσεις, οι δύο κύριες πτυχές είναι η πολυπλοκότητα των αλγορίθμων και η αριθμητική ευστάθειά τους.
Αποφασίζουμε την πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου σημαίνει βρίσκουμε άνω όρια ή υπολογίζουμε πόσες στοιχειώδεις πράξεις όπως προσθέσεις ή πολλαπλασιασμοί βαθμίδων είναι απαραίτητοι να εκτελεστούν μερικοί αλγόριθμοι, π.χ., ο πολλαπλασιασμός πινάκων. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον πίνακα γινομένου δύο n-επί-n πινάκων χρησιμοποιώντας τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω χρειάζεται n3 πολλαπλασιασμούς, δεδομένου ότι οποιαδήποτε n2 στοιχεία του γινομένου, n πολλαπλασιασμοί είναι απαραίτητοι. Ο αλγόριθμος Strassen υπερτερεί σε σχέση με τον "απλό" αλγόριθμο: χρειάζεται μόνο n2.807 πολλαπλασιασμούς. Μία επίσης εξευγενισμένη προσέγγιση ενσωματώνει ειδικά χαρακτηριστικά των υπολογιστικών συσκευών.
Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις είναι γνωστές οι επιπλέον πληροφορίες όσον αφορά τους σχετικούς με τους πίνακες. Μία σημαντική περίπτωση είναι οι αραιοί πίνακες, δηλ., πίνακες των οποίων τα περισσότερα στοιχεία είναι μηδέν. Υπάρχουν ειδικά προσαρμοσμένοι αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Ax = b για αραιούς πίνακες A, όπως η μέθοδος των ζυγών.
Ένας αλγόριθμος, σε γενικές γραμμές, είναι αριθμητικά σταθερός, εαν μικρές αποκλίσεις στις τιμές εισόδου δεν οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις στο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα μέσω του τύπου του Laplace (Adj (A) υποδηλώνει τον προσαρτημένο πίνακα του A) μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης εαν η ορίζουσα του πίνακα είναι πολύ μικρή. Η νόρμα ενός πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συλλάβει την κατάσταση προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας, όπως υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα.
Στις αρχές της δεκαετίας του '70, μερικοί επιτραπέζιοι υπολογιστές μηχανικής όπως HP 9830 είχαν ROM cartridges που πρόσθεταν εντολές BASIC για πράξεις και υπολογισμούς σε πίνακες. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού όπως η APL ήταν σχεδιασμένες να μανουβράρουν πίνακες, και ποικίλα μαθηματικά προγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν με σκοπό τον υπολογισμό των πινάκων. Οι περισσότερες σύγχρονες γλώσσες προγραμματισμού γενικού σκοπού, όπως η C++, Java, Python, υποστηρίζουν πράξεις σε πίνακες μέσω επιπρόσθετων βιβλιοθηκών γραμμικής άλγεβρας (π.χ. η βιβλιοθήκη Eigen στην C++, η EJML στη Java και η NumPy στην Python.
Μπρετινιέ
Το Μπρετινιέ (γαλλικά: Bretigney) είναι γαλλική κοινότητα στο νομό του Ντου, στη διοικητική περιοχή της Βουργουνδίας-Φρανς-Κοντέ.
Πίνακας (μαθηματικά)
Αποσύνθεση
Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που καθιστούν τους πίνακες σε πιο εύκολες προσβάσιμες μορφές. Γενικά αναφέρεται ως αποσύνθεση πίνακαή τεχνικές παραγοντοποίησης. Το ενδιαφέρον όλων αυτών των τεχνικών είναι ότι διαφυλάσσουν σίγουρες ιδιότητες των εν λόγω πινάκων, όπως είναι η ορίζουσα, τάξη ή αντίστροφος, έτσι ώστε αυτές οι ποσότητες να υπολογίζονται απλοποιώντας τον μετασχηματισμό, ή οι σίγουρες λειτουργίες του πίνακα είναι αριθμητικά ευκολότερο για να διενεργήσουν κάποιους τύπους των πινάκων.
Μπρετινιέ
Παραπομπές
Κατηγορία:Κοινότητες του Ντου
Πίνακας (μαθηματικά)
Αποσύνθεση
Η LU αποσύνθεση παραγοντοποιεί πίνακες ως παράγωγος των κάτω (L) και άνω τριγωνικών πινάκων (U). Μια φορά η ορίζουσα υπολογίζεται, γραμμικά συστήματα μπορούν να λυθούν πιο αποτελεσματικά, με έναν απλό τρόπο που ονομάζεται εμπρός και πίσω αντικατάσταση. Παρομοίως, οι αντίστροφοι τριγωνικών πινάκων είναι αλγοριθμικά ευκολότερο να υπολογιστούν. Η απαλοιφή του Gaussείναι ένας παρόμοιος αλγόριθμος: μετασχηματίζει οποιοδήποτε πίνακα σε κλιμακωτή μορφή ανά γραμμή. Και οι δύο οι μέθοδοι προχωράνε πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με κατάλληλους στοιχειώδης πίνακες, οι οποίοι αντιστοιχούν μεταθέσεις γραμμών ή στηλών και προσθέτουν πολλαπλάσια μιας γραμμής σε άλλη. Η μοναδική αξία της αποσύνθεσης εκφράζει οποιονδήποτε πίνακα A ως έναν παράγωγο UDV∗, όπου U και V είναι ενιαίοι πίνακες και D είναι ένας διαγώνιος πίνακας.
Η φασματική αποσύνθεση ή διαγωνιοποίηση εκφράζει τον A ως ένα παράγωγο VDV−1, όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας και V είναι ένας κατάλληλα αντιστρέψιμος πίνακας. Αν ο A μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή, ονομάζεται διαγωνιοποιήσιμος πίνακας. Πιο γενικά, και εφαρμόζεται σε όλους τους πίνακες, η αποσύνθεση Jordan μετασχηματίζει έναν πίνακα σε κανονική μορφή Jordan, η οποία λέει ότι οι πίνακες των οποίων τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι φασματικές αποσυνθέσεις από το  λ1 στο λn του A, τοποθετημένα πάνω στην κύρια διαγώνιο και πιθανότατα στοιχεία κατάλληλα πάνω από την κύρια διαγώνιο, όπως δείχνεται δεξιά. Δίνοντας την φασματική αποσύνθεση, η nth δύναμη του A (δηλ., n φορές επαναλαμβάνεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων) μπορεί να υπολογιστεί μέσω της και η δύναμη ενός διαγώνιου πίνακα μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας τις αντίστοιχες δυνάμεις των διαγώνιων στοιχείων, οι οποίοι είναι ευκολότεροι από το να υψώσεις σε δύναμη έναν πίνακα A αντίστοιχα. Αυτό μπορεί αν χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο εκθετικός πίνακας eA, προκύπτει συχνά η ανάγκη λύνοντας γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, λογάριθμους πίνακα και τετραγωνικές ρίζες πινάκων. Για να αποφύγουμε αριθμητικά κακοσυσκευασμένες καταστάσεις, περαιτέρω αλγόριθμοι όπως είναι η αποσύνθεση Schur που μπορεί αν μας απασχολήσει.
Περίληψη αλγεβρικών πτυχών και γενικεύσεις
Οι πίνακες μπορούν να γενικεύονται με διαφορετικούς τρόπους. Η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιεί πίνακες με στοιχεία σε πιο γενικά πεδία ή ακόμα δακτυλίους, ενώ η γραμμική άλγεβρα κωδικοποιεί ιδιότητες πινάκων στην έννοια των γραμμικών χαρτών. Είναι πιθανό να εξετάσετε πίνακες με άπειρες στήλες και γραμμές. Άλλη επέκταση είναι οι τανυστές, που μπορούν να θεωρηθούν ως υψηλότερων διαστάσεων συστοιχίες αριθμών, σε αντίθεση με τους φορείς, οι οποίοι συχνά μπορούν να πραγματοποιήσουν ακολουθίες αριθμών, ενώ οι πίνακες είναι ορθογώνιοι ή δύο διαστάσεων συστοιχία αριθμών. Οι πίνακες, υπόκεινται σε ορισμένες απαιτήσεις τείνοντας να σχηματίσουν ομάδες γνωστές ως ομάδες πινάκων.
Πίνακες με πιο γενικά στοιχεία
Αυτό το άρθρο εστιάζει σε πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.<cite id="more_general_entries"> Ωστόσο, οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν με πιο γενικούς τύπους των στοιχείων από πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς. Σε πρώτο βήμα της γενίκευσης, οποιοδήποτε σώμα, π.χ., ένα σύνολο όπου οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης είναι καλά ορισμένες, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του R ή του C, όπως είναι οι ρητοί αριθμοί ή τα πεπερασμένα σώματα. Για παράδειγμα, η θεωρία κωδικοποίησης κάνει χρήση των πινάκων πάνω από πεπερασμένα πεδία. Οπουδήποτε οι ιδιοτιμές θεωρούνται, όπως είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ένα σώμα μεγαλύτερο από τους συντελεστές του πίνακα; για παράδειγμα μπορεί να είναι πολύπλοκοι σε περίπτωση ενός πίνακα με πραγματικά. Η πιθανότητα να επανερμηνεύει τα στοιχεία ενός πίνακα ως στοιχεία ενός μεγαλύτερου σώματος (π.χ., το να βλέπεις ένα πραγματικό πίνακα ως ένα μιγαδικό πίνακα του οποίου τα στοιχεία τυχαίνει να είναι όλα πραγματικά) έπειτα επιτρέπουν θεωρώντας κάθε τετραγωνικό πίνακα να διαθέτει ένα πλήρες σύνολο των ιδιοτιμών. Εναλλακτικά εξετάστε μόνο πίνακες με στοιχεία μέσα σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, όπως είναι το C, από την αρχή.
Πιο γενικά, η αφηρημένη άλγεβρα κάνει καταπληκτική χρήση των πινάκων με στοιχεία μέσα σε ένα δακτύλιο R. Οι δακτύλιοι είναι μια πιο γενική έννοια από τα πεδία με μια πράξη διαίρεσης με την έννοια ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει. Παρομοίως, οι πράξεις οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων εκτείνονται σε αυτή τη ρύθμιση, επίσης. Το σύστημα M(n, R) όλων των τετραγωνικών n επί n πινάκων στον R είναι ένας δακτύλιος το οποίο ονομάζεται δακτύλιος πίνακα, είναι ισομορφισμός στον ενδομορφισμό δακτυλίου της αριστερής R-μονάδας Rn. Αν ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός, π.χ., ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός, τότε M(n, R) είναι μία ενιαία μη αντιμεταθετική (εκτός αν  n = 1) συνειρμική άλγεβρα πάνω στον R. Η ορίζουσα τετραγωνικών πινάκων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R μπορεί ακόμη να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Leibniz; όπως ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι αντιστρέψιμη στον R, γενικεύοντας την κατάσταση πάνω στο σώμα F, όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο. Οι πίνακες πάνω από τους υπερδακτύλιους ονομάζονται υπερπίνακες.
Οι πίνακες που δεν έχουν πάντα όλα τους τα στοιχεία στον δακτύλιο – ή ακόμα σε κανένα δακτύλιο γενικά. Μία ειδική αλλά κοινή περίπτωση είναι οι block πίνακες, οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι από μόνα τους πίνακες. Τα στοιχεία δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνικοί πίνακες, και έτσι δεν χρειάζεται να είναι μέλη κανενός συνηθισμένου δακτυλίου; αλλά τα μεγέθη τους πρέπει να πληρούν σίγουρα προϋποθέσεις συμβατότητας.
Σχέσεις με γραμμικές απεικονίσεις
Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να επαναδιατυπωθούν με ένα πιο φυσικό τρόπο: η κατηγορία όλων των πινάκων με στοιχεία σε ένα σώμα k με πολλαπλασιασμό όπως η σύνθεση είναι ισοδύναμη προς την κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικών χώρων και γραμμικών απεικονίσεων πάνω από αυτό το σώμα.
Πιο γενικά, το σύνολο των m×n πινάκων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναπαρασταθούν οι R-γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ των ελεύθερων συζυγών Rm και Rn για έναν αυθαίρετο δακτύλιο R με ενότητα. Όταν η n = m σύνθεση αυτών των απεικονίσεων είναι δυνατή, και αυτό δημιουργεί τον δακτύλιο πίνακα των n×n πινάκων αντιπροσωπεύοντας τον ενδομορφισμό δακτυλίου του Rn.
Ομάδες πινάκων
Μία ομάδα είναι μία μαθηματική δομή αποτελούμενη από ένα σύνολο αντικειμένων μαζί με μία δυαδική πράξη, δηλ., μία συνάρτηση που δέχεται δύο στοιχεία και επιστρέφει ένα τρίτο, ικανοποιώντας ορισμένες συνθήκες. Μία ομάδα στην οποία τα αντικείμενα είναι πίνακες και η λειτουργία της ομάδας είναι πίνακας πολλαπλασιασμού ονομάζεται ομάδα πινάκων. Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο μίας ομάδας πρέπει να είναι αντιστρέψιμο, οι γενικότερες ομάδες πίνακα είναι ομάδες όλων των αντιστρέψιμων πινάκων ενός δεδομένου μεγέθους, ονομάζονται οι γενικές γραμμικές ομάδες.
Κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι ισομορφική προς ένα μία ομάδα πίνακων, όπως προκύπτει από την κανονική αναπαράσταση της συμμετρικής ομάδας. Οι γενικές ομάδες μπορούν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας πίνακα ομάδων, που είναι συγκριτικά περισσότερο κατανοητά, με την έννοια της αναπαραστατικής θεωρίας.
Άπειροι πίνακες
Εαν ο R είναι ένας δακτύλιος με μονάδα, τότε ο δακτύλιος των ενδομορφισμών του όπως το δεξιό πρότυπο R είναι ισομορφικό προς το δακτύλιο του πίνακα πεπερασμένης στήλης  του οποίου τα στοιχεία είναι με δείκτες από I\times I, και του οποίου οι στήλες κάθεμία περιέχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Τους ενδομορφισμούς του M μπορούμε να τους σκεφτούμε όπως το αριστερό πρότυπο R καταλήγοντας σε ένα ανάλογο αντικείμενο, οι πίνακες πεπερασμένης γραμμής των οποίων οι γραμμές καθεμία έχουν πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία.
Εάν οι άπειροι πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν γραμμικές απεικονίσεις, τότε μόνο εκείνοι οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν των οποίων οι στήλες έχουν πεπερασμένο μη μηδενικών στοιχείων, για τον ακόλουθο λόγο. Για έναν πίνακα A να περιγράψει μία γραμμική απεικόνιση f: V→W, βάσεις και για τους δύο χώρους πρέπει να έχουν επιλεχθεί: θυμηθείτε ότι εξ ορισμού αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφεί μοναδικά ως ένα (πεπερασμένο) γραμμικό συνδυασμό] βάσης διανυσμάτων, έτσι γραμμένο ως μία (στήλη) διάνυσμα v από συντελεστές, μόνο πεπερασμένα πολλά στοιχεία vi είναι μη μηδενικά. Οι στήλες του A περιγράφουν τις εικόνες μέσω της f των μοναδικών διανυσμάτων βάσης του V στη βάση του W, τα οποία έχουν νόημα μόνο αν αυτές οι στήλες έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στις γραμμές του A ωστόσο: στο γινόμενο A·v υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί μη μηδενικοί συντελεστές που περιλαμβάνουν το v, έτσι κάθε ένα από τα στοιχεία του, ακόμα και αν είναι δοσμένο ως άπειρο άθροισμα γινομένων, περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλούς μη μηδενικούς όρους και είναι συνεπώς καλά ορισμένοι. Επιπλέον αυτό συμβάλλει στο σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού των στηλών του A που αποτελεσματικά περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλά από αυτά, από όπου το αποτέλεσμα έχει μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία, επειδή κάθε μία από εκείνες τις στήλες περιλαμβάνει. Επίσης μπορεί κανείς να δει ότι γινόμενα δύο πινάκων του δοσμένου τύπου είναι καλά ορισμένα (υπό την προϋπόθεση ότι ως συνήθως ο δείκτης στήλης και ο δείκτης γραμμής των συνόλων ταιριάζουν), είναι ξανά του ίδιου τύπου, και αντιστοιχεί στη σύνθεση των γραμμικών απεικονίσεων.
Σ'αυτό το πνεύμα, οι άπειροι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τους τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου η σύγκλιση και η συνέχεια προκαλούν ερωτήματα, τα οποία καταλήγουν σε βέβαιους περιορισμούς οι οποίοι πρέπει να επιβάλλονται. Ωστόσο, η ρητή άποψη για τους πίνακες τείνει να θολώσει το θέμα, και η αφαίρεση και περισσότερο ισχυρά εργαλεία της συναρτησιακής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί αυτού.
Άδειοι πίνακες
Ένας άδειος πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) είναι μηδέν. Οι άδειοι πίνακες βοηθούν να αντιμετωπίσουμε απεικονίσεις που περιλαμβάνουν το μηδενικό διανυσματικό χώρο. Για παράδειγμα, αν ο A είναι ένας 3-επί-0 πίνακας και ο B είναι ένας 0-επί-3 πίνακας, τότε ο AB είναι ο 3-επί-3 μηδενικός πίνακας cαντίστοιχος προς τη μηδενική απεικόνιση από ένα τρισδιάστατο χώρο V στον εαυτό του, ενώ ο BA είναι ένας 0-επί-0 πίνακας. Δεν υπάρχει κοινός συμβολισμός για τους άδειους πίνακες, αλλά τα περισσότερα συστήματα υπολογισμού άλγεβρας επιτρέπουν τη δημιουργία και τον υπολογισμό με αυτά. Η ορίζουσα του 0-επί-0 πίνακα είναι 1 ως εξής από σχετικά το άδειο γινόμενο απαντά στον τύπο του Leibniz για την ορίζουσα όπως το 1. Αυτή η τιμή είναι επίσης συνεπής με το γεγονός ότι η ταυτοτική απεικόνιση από κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρο στον εαυτό του έχει ορίζουσα 1, ένα γεγονός το οποίο συχνά χρησιμοποιείται ως μέρος του χαρακτηρισμού των οριζουσών.
Εφαρμογές
Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαραχθούν από συγκεκριμένου πραγματικούς 2 - 2 πίνακες μέσω
που σύμφωνα με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών και πινάκων αντιστοιχούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, 2 - 2 πίνακες αντιπροσωπεύουν τον πολλαπλασιασμό με μερικούς μιγαδικούς αριθμούς μηδαμινής αξίας, όπως παραπάνω. Μια παρόμοια ερμηνεία είναι πιθανή για κβατέρνια, και επίσης για άλγεβρα Κλίφορντ γενικά.
Γρήγορες τεχνικές κρυπτογράφησης όπως η αποκρυπτογράφηση Χιλ χρησιμοποιούν επίσης πίνακες. Παρ'όλα αυτά, λόγω της γραφικής φύσης των πινάκων, αυτοί οι κωδικοί είναι συγκριτικά εύκολοι να σπάσουν. Τα γραφικά υπολογιστή χρησιμοποιούν πίνακες τόσο για να αναπαραστήσουν αντικείμενα και να υπολογίσουν μετατροπές αντικειμένων χρησιμοποιώντας πίνακες περιστροφής ώστε να εκτελέσουν καθήκοντα όπως προβάλλοντας ένα τρισδιάστατο αντικείμενο σε μια δισδιάστατη οθόνη, αντίστοιχα με μια θεωρητική κάμερα παρακολούθησης. Πίνακες από πολυώνυμο δαχτυλίδι είναι σημαντικοί για την μελέτη της θεωρίας ελέγχου.
Θεωρία Γράφων
Ο πίνακας γειτνίασης ενός πεπερασμένου γράφου είναι μια βασική έννοια της θεωρίας γράφων. Καταγράφει ποιες κορυφές του γράφου συνδέονται μεταξύ τους με μια ακμή. Πίνακες που περιέχουν μόνο δύο διαφορετικές τιμές (1 και 0 που σημαίνει για παράδειγμα "ναι" και "όχι", αντίστοιχα) ονομάζονται λογικοί πίνακες. Ο πίνακας αποστάσεων περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις αποστάσεις των ακμών. Αυτές οι έννοιες μπορούν να εφαρμοστούν σε ιστοσελίδες συνδεδεμένες με υπερσυνδέσμους ή πόλεις που συνδέονται με δρόμους κλπ., Σε αρκετές περιπτώσεις όπως π.χ. σε ένα οδικό δίκτυο, λίγες κορυφές είναι απευθείας συνδεδεμένες με άλλες κορυφές και επομένως οι πίνακες γειτνίασης τείνουν να είναι αραιοί, δηλαδή περιέχουν λίγες μη μηδενικές εγγραφές. Ως εκ τούτου, ειδικά προσαρμοσμένοι αλγοριθμικοί για πίνακες έχουν χρησιμοποιηθεί στην θεωρία γράφων.
Ανάλυση και γεωμετρία
Ο Εσσιανός πίνακας μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ƒ: Rn → R αποτελείται από δεύτερη παράγωγο της ƒ σε σχέση με τις διάφορες κατευθύνσεις συντεταγμένων, δηλαδή. Κωδικοποιεί πληροφορίες σχετικά με την τοπική συμπεριφορά ανάπτυξης της συνάρτησης: δοθέντος κρίσιμου σημείου x = (x1, ..., xn), δηλαδή, ένα σημείο όπου οι πρώτες μερικές παράγωγοι της ƒ εξαφανίζονται, η συνάρτηση έχει  τοπικό ελάχιστο εάν ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος. Ο Τετραγωνικός προγραμματισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ελαχίστου ή μεγίστου δευτεροβάθμιων συναρτήσεων που σχετίζονται στενά με αυτές που συνδέονται με πίνακες (βλέπε παραπάνω).
Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν εξετάζοντας τον πίνακα των συντελεστών της υψηλότερης τάξης διαφορικών φορέων της εξίσωσης. Για τις μερικώς ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις αυτός ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος, το οποίο έχει καθοριστική επιρροή στο σύνολο των πιθανών λύσεων της εν λόγω εξίσωσης.
Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων είναι μια σημαντική αριθμητική μέθοδος για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, εφαρμόζεται ευρέως στην προσομοίωση πολύπλοκων φυσικών συστημάτων. Επιχειρεί να προσεγγίσει τη λύση σε κάποια εξίσωση με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις, όπου τα τμήματα επιλέγονται σε σχέση με ένα επαρκώς λεπτό πλέγμα, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξίσωση πινάκων.
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Οι στοχαστικοί πίνακες είναι τετραγωνικοί πίνακες των οποίων οι γραμμές είναι διανύσματα πιθανοτήτων, δηλ., των οποίων τα στοιχεία είναι μη αρνητικά και συνοψίζονται σε ένα. Οι στοχαστικοί πίνακας χρησιμοποιούνται για να ορίσουν την αλυσίδα Markov με πολλά πεπερασμένα κράτη. Μια γραμμή του στοχαστικού πίνακα δίνει την κατανομή πιθανότητας για την επόμενη θέση κάποιου σωματιδίου επί του παρόντος στην κατάσταση που αντιστοιχεί στη γραμμή. Ιδιότητες της αλυσίδας Markov, όπως οι καταστάσεις απορρόφησης, δηλ., ποιες καταστάσεις θα επισκεφθούν τελικώς, μπορούν να προσδιοριστούν κοιτάζοντας τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων μετάβασης.
Η στατιστική επίσης κάνει χρήση πινάκων σε διάφορες μορφές. Η περιγραφική στατιστική ασχολείται με την περιγραφή συνόλων δεδομένων, τα οποία μπορεί συχνά να παρασταθούν ως πίνακες δεδομένων, οι οποίοι μπορούν στη συνέχεια να υποβληθούν σε τεχνικές μείωσης διάστασης. Ο πίνακας συσχέτισης κωδικοποιεί την κοινή διακύμανση αρκετών τυχαίων μεταβλητών. Μια άλλη τεχνική που χρησιμοποιεί πίνακες είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση, μια μέθοδος που προσεγγίζει ένα πεπερασμένο σύνολο ζευγών (x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN), με μια γραμμική συνάρτηση η οποία μπορεί να τυποποιηθεί σε όρους πινάκων, που σχετίζονται με τη Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές των πινάκων.
Οι τυχαίοι πίνακες είναι πίνακες των οποίων οι εγγραφές είναι τυχαίοι αριθμοί, υπόκεινται σε κατάλληλη κατανομή πιθανότητας, όπως οι πίνακες κανονικής κατανομής. Πέρα από την θεωρία πιθανοτήτων, εφαρμόζονται σε τομείς που κυμαίνονται από την θεωρία αριθμών μέχρι τη φυσική.
Συμμετρίες και μετασχηματισμοί στη φυσική
Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και οι σχετικές συμμετρίες διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική. Για παράδειγμα, το στοιχειώδες σωματίδιο στη θεωρία κβαντικού πεδίου ταξινομούνται ως αναπαραστάσεις της ομάδας Lorentz της ειδικής σχετικότητας και, πιο συγκεκριμένα, με τη συμπεριφορά τους στο πλαίσιο της ομάδας περιστροφής. Συγκεκριμένες αναπαραστάσεις εμπεριεχομένων των πινάκων Pauli και γενικά των πινάκων γάμμα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της φυσικής περιγραφής των φερμιονίων, που συμπεριφέρονται ως spinors. Για τα τρία ελαφρύτερα κουάρκ, υπάρχει μια ομάδα-θεωρητική αναπαράσταση που αφορά την ειδική ενιαία ομάδα SU(3); για τους υπολογισμούς τους, οι φυσικοί χρησιμοποιούν μια βολική αναπαράσταση πίνακα που είναι γνωστή ως πίνακας Gell-Mann, η οποία χρησιμοποιείται επίσης για την SU(3) ομάδα βαθμίδας που αποτελεί τη βάση της σύγχρονης περιγραφής των ισχυρών πυρηνικών αλληλεπιδράσεων της κβαντικής χρωμοδυναμικής. Ο πίνακας Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, με τη σειρά του, εκφράζει το γεγονός ότι τα βασικά μέλη κουάρκ που είναι σημαντικά για την ασθενή αλληλεπίδραση δεν είναι το ίδιο, αλλά σχετίζεται γραμμικά με τα βασικά μέλη κουάρκ που ορίζουν τα σωματίδια με συγκεκριμένες και διακριτές μάζες.
Γραμμικοί συνδυασμοί των κβαντικών καταστάσεων
Ένας άλλος πίνακας που χρησιμεύει ως ένα βασικό εργαλείο για την περιγραφή των πειραμάτων σκέδασης που αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο της σωματιδιακής φυσικής: Σύγκρουση αντιδράσεων, όπως στους επιταχυντές σωματιδίων, όπου σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν κατευθύνονται το ένας προς το άλλο και συγκρούονται σε μιας μικρή ζώνη αλληλεπίδρασης, με ένα σύνολο μη αλληοεπιδρώμενων σωματιδίων ως αποτέλεσμα, μπορεί να περιγραφεί ως το γινόμενο των εξερχόμενων κρατών σωματιδίων και ένας γραμμικός συνδυασμός των μελών προστιθέμενων σωματιδίων. Ο γραμμικός συνδυασμός δίνεται από έναν πίνακα που είναι γνωστός ως S-πίνακας, ο οποίος κωδικοποιεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων.
Κανονικοί τρόποι
Μια γενική εφαρμογή των πινάκων στην φυσική είναι στην περιγραφή των γραμμικά συνδεδεμένων αρμονικών συστημάτων. Οι εξισώσεις κίνησης τέτοιων συστημάτων μπορούν να περιγραφούν σε μορφή πίνακα, με έναν πίνακα μάζας πολλαπλασιάζοντας μια γενικευμένη ταχύτητα για να δώσει τον κινητικό όρο, και ένας δυναμικός πίνακας πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα μετατόπισης για τον χαρακτηρισμό των αλληλεπιδράσεων. Ο καλύτερος τρόπος για να ληφθούν λύσεις είναι να προσδιοριστεί το αυτοδιάνυσμα του συστήματος, την κανονική λειτουργία, διαγωνιοποιώντας την εξίσωση του πίνακα. Τεχνικές όπως αυτή είναι ζωτικής σημασίας όταν πρόκειται για την εσωτερική δυναμική των μορίων: οι εσωτερικές δονήσεις των συστημάτων που αποτελούνται από αμοιβαίως δεσμευμένα άτομα συστατικού. Είναι επίσης αναγκαία για την περιγραφή οι μηχανικές δονήσεις και ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωμάτων.
Γεωμετρική οπτική
Η Γεωμετρική οπτική παρέχει επιπλέον εφαρμογές πινάκων. Σε αυτή την προσεγγιστική θεωρία, η κυματική φύση του φωτός είναι παραμελημένη. Το αποτέλεσμα είναι ένα μοντέλο στο οποίο οι ακτίνες φωτός είναι όντως γεωμετρικές ακτίνες. Εάν η εκτροπή των ακτίνων φωτός μέσω οπτικών στοιχείων είναι μικρή, η ενέργεια ενός φακού ή ενός ανακλώμενου στοιχείου σε μια δεδομένη ακτίνα φωτός μπορεί να εκφραστεί ως πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύο συνιστωσών με έναν πίνακα 2 προς 2 που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς ακτίνων: οι συνιστώσες του διανύσματος είναι η κλίση των ακτίνων φωτός και η απόσταση της από τον οπτικό άξονα, όσο ο πίνακας κωδικοποιεί τις ιδιότητες του οπτικού στοιχείου. Για την ακρίβεια, υπάρχουν δύο ειδών πίνακες, δηλαδή. ένας πίνακας διάθλασης που περιγράφει την διάθλαση σε μια επιφάνεια του φακού, και ένας πίνακας μετάφρασης, που περιγράφει την μετάφραση του επιπέδου αναφοράς στην επόμενη διαθλώμενη επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται ένας άλλος πίνακας διάθλασης. Το οπτικό σύστημα, που αποτελείται από ένα συνδυασμό φακών και/ή αντανακλώντων στοιχείων, περιγράφεται απλώς ως ο πίνακας που προκύπτει από το προιόν  των πινάκων των εξαρτημάτων.
Ηλεκτρονικά
Η παραδοσιακή ανάλυση πλέγματος στα ηλεκτρονικά οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να περιγραφούν με πίνακα.
Η συμπεριφορά πολλών ηλεκτρονικών συστατικών μπορεί να περιγραφεί μέσω πινάκων. Έστω A ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εισόδου του στοιχείου v1 και ρεύμα εισόδου i1ως στοιχεία του, και έστω B ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εξόδου του στοιχείου v2 και του ρεύματος εξόδου i2 ως στοιχεία του. Στη συνέχεια, η συμπεριφορά του ηλεκτρονικού στοιχείου μπορεί να περιγραφεί με B = H · A, όπου H είναι ένας 2 x 2 πίνακας που περιέχει ένα στοιχείο  αντίστασης (h12), ένα στοιχείο εισόδου (h21) και δύο αδιάστατα στοιχεία (h11 and h22). Υπολογίζοντας ένα κύκλωμα τώρα μειώνεται σε πολλαπλασιασμό πινάκων.
Ιστορία
Οι πίνακες έχουν μεγάλη ιστορία σχετικά με την εφαρμογή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και ήταν γνωστοί ως συστοιχίες μέχρι το 1800. Το κινέζικο κείμενο Τα εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική τέχνη είναι το πρώτο παράδειγμα της χρήσης των μεθόδων διάταξης των στοιχείων ενός πίνακα για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων,όπως και για τη έννοια της ορίζουσας. Το 1545 ο Ιταλός μαθηματικός Τζερόλαμο Καρντάνο έφερε τη μέθοδο στην Ευρώπη όταν δημοσίευσε το Ars Magna. Ο Ιάπωνας μαθηματικός Seki Kowa χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για τη διάταξη των στοιχείων για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων το 1683. Ο Ολλανδός μαθηματικός Jan de Witt εκπροσωπούσε τους μετασχηματισμούς των πινάκων χρησιμοποιώντας τη διάταξη των στοιχείων το 1659 στο βιβλίο Στοιχειά του Curves (1659). Μεταξύ 1700 και 1710 ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε τη χρήση της διάταξης των στοιχείων για την καταγραφή πληροφοριών ή λύσεις και πειραματίστηκε με πάνω από 50 διαφορετικά συστήματα για τη διάταξη των πινάκων. Ο Gabriel Cramer παρουσίασε τον κανόνα του Κράμερ το 1750.
Ο όρος "πίνακας" (Λατινικά "μήτρα", που προέρχεται από το mater—μητέρα ) επινοήθηκε από τον James Joseph Sylvester το 1850, ο οποίος κατανόησε έναν πίνακα ως ένα αντικείμενο που οδηγεί σε μια σειρά από ορίζουσες που σήμερα ονομάζονται δευτερεύoντα αντικείμενα, δηλαδή, τις ορίζουσες των μικρότερων πινάκων που απορρέουν από το αρχικό αφαιρώντας στήλες και γραμμές. Σε ένα έγγραφο το 1851, ο Sylvester εξηγεί:
Ο Arthur Cayley δημοσίευσε μια πραγματεία σχετικά με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς με τη χρήση πινάκων που δεν εναλλάσσονται οι τύποι των συντελεστών που ερευνώνται, όπως ήδη έχει γίνει. Αντ'αυτού όρισε πράξεις όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, όπως και τους μετασχηματισμούς αυτών των πινάκων και έδειξε την προσεταιριστική και την επιμεριστική ιδιότητα που πραγματοποιήθηκε αλήθεια. Ο Cayley ερεύνησε και απέδειξε τη μη-αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων καθώς και την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πινάκων. Η πρόωρη θεωρία των πινάκων έχει περιορίσει τη χρήση των συστοιχιών σχεδόν αποκλειστικά με τις ορίζουσες ο αφηρημένος χειρισμός του Arthur Cayley ήταν πρωτοποριακός. Είχε πολύ σημαντικό ρόλο αφού πρότεινε μια έννοια ανεξάρτητη από τον πίνακα των συστημάτων εξίσωσης. Το 1858 ο Arthur Cayley δημοσίευσε τα απομνημονεύματά του για τη θεωρία των πινάκων στην οποία πρότεινε και απέδειξε το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον.
Ένας Άγγλος μαθηματικός που ονομαζόταν Cullis ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε σύγχρονη σημειογραφία  στήριγμα για τους πίνακες το 1913 και έδειξε ταυτόχρονα την πρώτη σημαντική χρήση του συμβολισμού A = [ai,j] που εκπροσωπεί έναν πίνακα όπου το ai,j αναφέρεται στην  i-οστή σειρά και στη j-οστή στήλη.
Η μελέτη των οριζουσών ξεπήδησε από διάφορες πηγές. Αριθμός-θεωρητικά προβλήματα (που οδήγησαν τον Karl) αφορούσαν συντελεστές τετραγωνικής μορφής, δηλαδή, εκφράσεις όπως x2 + xy − 2y2, και γραμμικές απεικονίσεις σε τρεις διαστάσεις για έναν πίνακα. Ο Gotthold Eisenstein ανέπτυξε περαιτέρω αυτές τις έννοιες, όπως η παρατήρηση ότι, στο σύγχρονο ιδίωμα, το γινόμενο των πινάκων είναι μη-μεταθετικό. Ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ ήταν ο πρώτος που απέδειξε γενικές δηλώσεις σχετικά με τις ορίζουσες χρησιμοποιώντας ως ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα A = [ai,j] το εξής: να υποκαταστήσει τις δυνάμεις ajk από ajk στο πολυώνυμο όπου Π συμβολίζει το γινόμενο των ενδεικτικών όρων. Επίσης έδειξε, το 1829, ότι οι ιδιοτιμές των συμμετρικών πινάκων είναι πραγματικές. ο Jacobi μελέτησε τις "συναρτησιακές ορίζουσες"—αργότερα ονομάστηκαν ορίζουσες Jacobi από τον Sylvester—που συνήθιζε να περιγράφει γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε τοπικό (ή απειροελάχιστο) επίπεδο, δείτε παραπάνω; Kronecker's Vorlesungen über die Theorie der Determinanten και Weierstrass' Zur Determinantentheorie, μαζί δημοσιεύτηκαν το 1903, οι πρώτες ορίζουσες αξιωματικά, σε αντίθεση με προηγούμενες πιο συγκεκριμένες προσεγγίσεις όπως ο τύπος του Cauchy που αναφέρθηκε. Σ' εκείνο το σημείο, οι ορίζουσες είχαν εδραιωθεί.
Πολλά θεωρήματα αρχικά είχαν εδραιωθεί για μικρούς πίνακες μόνο, για παράδειγμα το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον αποδείχτηκε για 2×2 πίνακες από τον Cayley στα προαναφερθέντα απομνημονεύματα, και από τον William Rowan Hamilton για 4×4 πίνακες. Ο Georg Frobenius, δουλεύοντας πάνω στις διγραμμικές μορφές, γενίκευσε το θεώρημα για όλες τις διαστάσεις (1898). Επίσης στο τέλος του 19ου αιώνα η απαλοιφή των Gauss–Jordan (γενικεύοντας μία ειδική περίπτωση που σήμερα είναι γνωστή ως απαλοιφή του Gauss) εδραιώθηκε από τον Wilhelm Jordan. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι πίνακες πέτυχαν ένα κεντρικό ρόλο στη γραμμική άλγεβρα. μερικώς λόγω της χρήσης τους στην ταξινόμηση των συστημάτων υπερσύνθετων αριθμών του προηγούμενου αιώνα.
Άλλες ιστορικές χρήσεις της λέξης “πίνακας” στα μαθηματικά
Ο Μπέρτραντ Ράσελ και Alfred North Whitehead στο έργο τους Αρχές Μαθηματικών (1910–1913) χρησιμοποίησαν τη λέξη “πίνακας” στα συμφραζόμενα του Αξιώματος αναγωγιμότητας. Πρότειναν αυτό το αξίωμα ως μέσο αναγωγής κάθε συνάρτησης προς μία χαμηλότερου τύπου, επιτυχημένα, έτσι ώστε στο “κάτω μέρος” (0 εντολή) η συνάρτηση είναι ταυτοτική προς τον εαυτό της Επέκταση: Για παράδειγμα μία συνάρτηση Φ(x, y) δύο μεταβλητών x και y μπορεί να αναχθεί σε μία συλλογή συναρτήσεων μοναδικής μεταβλητής, π.χ., y, σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” ai αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής x. Και τότε η συλλογή των συναρτήσεων με μοναδικές μεταβλητές y που προκύπτει, δηλ., ∀ai: Φ(ai, y), μπορεί να αναχθεί σε έναν “πίνακα” τιμών σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” bi αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής y:
Ο Άλφρεντ Τάρσκι στο έργο του Εισαγωγή στη Λογική, το 1946, χρησιμοποίησε τη λέξη “πίνακας” ως συνώνυμο με το συμβολισμό του αληθούς πίνακα όπως συνηθίζεται στη μαθηματική λογική.
Ιωάννης Β΄ των Μπριέν
Βιογραφία
Ήταν γιος του Αλφόνσου μεγάλου Καμεράριου της Γαλλίας και της Μαρίας των Λουζινιάν κόμισσας του Ε. Η μητέρα του ήταν κόμισσα του Ε και του Σεν-Μαριτίμ, διαδέχθηκε τον πατέρα του σαν κόμης του Ε (1270).
Οικογένεια
Ο Ιωάννης Β΄ ντε Μπριέν νυμφεύτηκε τη Βεατρίκη, κόρη του Γκυ Γ΄ του Σαιν-Πολ κόμη του Σαιν-Πολ (από τον Οίκο του Σατιγιόν). Απέκτησαν πέντε τέκνα :
Έσλινγκεν
Το Έσλινγκεν αμ Νέκαρ (γερμ.: Esslingen am Neckar) είναι πόλη στη νοτιοδυτική Γερμανία, το οποίο ανήκει στο ομόσπονδο κρατίδιο της Βάδης-Βυρτεμβέργης και είναι η δέκατη μεγαλύτερη πόλη του. Βρίσκεται 14 χλμ. νοτιοανατολικά της Στουτγκάρδης. Είναι χτισμένη στις όχθες του ποταμού Νέκαρ (Neckar). Ο ποταμός διασχίζει την πόλη από νοτιοανατολικά προς βορειοδυτικά. Το Έσλινγκεν είναι γνωστό στην ευρύτερη περιοχή για το μεσαιωνικό χριστουγεννιάτικο παζάρι του (γερμ.: Weihnachtsmarkt).
Ιστορία
Τον 1ο αιώνα μ.Χ. η περιοχή έγινε μέρος της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου υπήρχε μια ρωμαϊκή αποθήκη στην περιοχή της Ομπερέσλινγκεν. Το Έσλινγκεν αναφέρθηκε για πρώτη φορά το 777 ως Ezlinga. Έλαβε δικαιώματα πόλης το 1229 υπό τον αυτοκράτορα Φρειδερίκο Β΄. Στο διάστημα μεταξύ του 13ου και 16ου αιώνα υπήρξαν πολλές συγκρούσεις μεταξύ της ελεύθερης αυτοκρατορικής πόλης και τους κόμητες της Βυρτεμβέργης. Περίπου ο μισός πληθυσμός έχασε τη ζωή του στον Τριακονταετή Πόλεμο μεταξύ 1618 και 1648, λόγω της πείνας ή επιδημιών. Το Έσλινγκεν έχασε την ανεξαρτησία του ως αυτοκρατορική πόλη το 1803, οπότε έγινε μέρος του Δουκάτου της Βυρτεμβέργης.
Το Έσλινγκεν κατελήφθη από στρατιώτες των ΗΠΑ τον Απρίλιο του 1945, προς το τέλος του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Κατά τη διάρκεια του πολέμου η πόλη υπέστη πολύ μικρή ζημιά.
Hochschule Esslingen
Η πόλη είναι έδρα της Ανωτάτης Σχολής Εφαρμοσμένων Επιστημών του Έσλινγκεν (γερμανικά: Hochschule Esslingen), γνωστής κυρίως για την μηχανολογία και τη μηχανική αυτοκινήτων.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Πόλεις της Βάδης-Βυρτεμβέργης
Πρωτάθλημα Basket League Κύπρου Ανδρών 2020-2021
Η Α΄ κατηγορία καλαθοσφαίρισης ανδρών Κύπρου 2020–21 αποτελει την 66η διοργάνωση από την ίδρυση της Α' Κατηγορίας Κύπρου, ενώ αποτελει την 54η υπό την αιγίδα της Κυπριακής Ομοσπονδίας Καλαθόσφαιρας.
Σύστημα διεξαγωγής
Στο πρωτάθλημα συμμετέχουν 9 ομάδες οι οποίες αναμετρώνται τρεις φορές μεταξύ τους στην κανονική περίοδο. Οι πρώτες τέσσερις συμμετέχουν στα πλέι-οφ. Η τελευταία ομάδα στο τέλος της κανονικής περιόδου διαβαθμίζεται στη Β1 κατηγορία. Τη θέση στο νέο πρωτάθλημα παίρνει η πρωταθλήτρια της Β1 κατηγορίας. Η πρωταθλήτρια ομάδα συμμετέχει στη διοργάνωση Basketball Champions League και η κυπελλούχος ομάδα στο FIBA Europe Cup. Και οι δύο διοργανώσεις ανήκουν στην FIBA.
Συμμετέχουσες Ομάδες
Οι ακόλουθες 9 ομάδες (με αλφαβητική σειρά) αγωνίστηκαν στην Α' Κατηγορία Καλαθοσφαίρισης Ανδρών Κύπρου κατά τη διάρκεια της περιόδου 2019-20:
2020 2021 Πρωταθλημα Κυπρου Α Ανδρων 2020 2021 Πρωταθλημα Κυπρου Α Ανδρων 2020 2021
Σπύρος Χαλικιάς
Ο  Σπύρος Χαλικιάς γεννήθηκε στους Καρουσάδες της Κέρκυρας, το 1927. Το πρώτο από τα έξι παιδιά του Νίκου και της Ερήνης Χαλικιά. Αγωνιστής, μακρονησιώτης, φωτορεπόρτερ, δούλεψε στην εφημερίδα "Αυγή". Καλλιτέχνης - φωτογράφος με τα θέματά του να είναι εμπνευσμένα από το παιδί και το γέρο, από τους αγώνες του Ελληνικού Λαού, το 114. Η Πράβντα, σε κύριο άρθρο της τον αποκαλεί "ο φωτορεπόρτερ της αλήθειας". Πολλές φορές βραβευμένος στην ΕΣΣΔ, την Κούβα και τη Γαλλία. Πολλές φορές φυλακισμένος και κατά τη διάρκεια της προσωπικής του αντίστασης στη χούντα αλλά και πριν την επιβολή της δικτατορίας, έχει υποστεί διώξεις, βασανιστήρια, δεν άντεξε, υπέστη σοβαρότατη βλάβη η υγεία του, πέθανε στους Καρουσάδες το χωριό του, το 1981.
Σημείωση
Με το ίδιο όνομα και επώνυμο είναι και ο ογκολόγος γιατρός Σπύρος Χαλικιάς
Κατηγορία:Έλληνες φωτογράφοι
Δηλητηρίαση από μανιτάρια
Η δηλητηρίαση από μανιτάρια αναφέρεται στις επιβλαβείς επιπτώσεις από την κατάποση των τοξικών ουσιών που υφίστανται σε ένα μανιτάρι. Αυτά τα συμπτώματα μπορεί να ποικίλουν από μια ελαφρά γαστρεντερική δυσφορία μέχρι τον θάνατο σε περίπου 10 ημέρες. Οι τοξίνες που υπάρχουν σε ένα μανιτάρι είναι δευτερογενείς μεταβολίτες, οι οποίοι παράγονται από τον μύκητα. Η δηλητηρίαση από τα μανιτάρια είναι συνήθως το αποτέλεσμα της κατάποσης άγριων μανιταριών μετά από εσφαλμένη αναγνώριση ενός τοξικού μανιταριού ως βρώσιμης τροφής. Ο πιο συνηθισμένος λόγος για την εσφαλμένη ταυτοποίηση είναι η στενή ομοιότητα αναφορικά με το χρώμα και την γενική μορφολογία των τοξικών μανιταριών με τα βρώσιμα μανιτάρια. Για να αποφευχθεί η δηλητηρίαση από τα μανιτάρια, οι συλλέκτες μανιταριών είναι εξοικειωμένοι με τα μανιτάρια που είναι κατάλληλα για βρώση καθώς και με οποιαδήποτε παρόμοια τοξικά μανιτάρια. Η ασφάλεια στην κατανάλωση των άγριων μανιταριών ενδέχεται να εξαρτάται από την προετοιμασία που ακολουθείται πριν το μαγείρεμα.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Δηλητήρια Κατηγορία:Μανιτάρια
ABN AMRO
Η ABN AMRO Bank είναι ολλανδική κρατική τράπεζα με έδρα το Άμστερνταμ. Η ABN AMRO Bank είναι η τρίτη μεγαλύτερη τράπεζα στην Ολλανδία. Επανιδρύθηκε στη σημερινή της μορφή το 2009, μετά από την απόκτηση και την διάλυση της αρχικής ABN AMRO από την τραπεζική κοινοπραξία αποτελούμενη από τις Royal Bank of Scotland Group, Santander Group και Fortis. Μετά την κατάρρευση της Fortis, η οποία απέκτησε την ολλανδική επιχείρηση, κρατικοποιήθηκε από την ολλανδική κυβέρνηση, μαζί με την Fortis Bank Nederland.
Η τράπεζα είναι αποτέλεσμα μιας μακράς ιστορίας συγχωνεύσεων και εξαγορών που χρονολογούνται στο 1765. Το 1991, Algemene Bank Nederland (ABN) και AMRO Bank (παρόμοια περίπτωση με τη συγχώνευση της Amsterdamsche Bank και της Rotterdamsche Bank τη δεκαετία του 1960) συμφωνήθηκε να συγχωνευθούν για να δημιουργήσουν την ABN AMRO. Μέχρι το 2007, η ABN AMRO ήταν η δεύτερη μεγαλύτερη τράπεζα στην Ολλανδία και η όγδοη μεγαλύτερη στην Ευρώπη από πλευράς περιουσιακών στοιχείων. Εκείνη την εποχή τα περιοδικά The Banker και Fortune Global 500 την τοποθέτησαν στη λίστα των 15 μεγαλύτερων τραπεζών στον κόσμο, ενώ είχε δραστηριότητες σε 63 χώρες, με πάνω από 110.000 υπαλλήλους.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Επιχειρήσεις της Ολλανδίας
Γιάννης Γαΐτης
Ο Γιάννης Γαΐτης (Αθήνα, 4 Μαρτίου 1923 – 22 Ιουλίου 1984) ήταν Έλληνας ζωγράφος, χαράκτης και γλύπτης. Είναι γνωστός για τα «Ανθρωπάκια» του, μορφές που δεν έχουν ατομικά χαρακτηριστικά και έχουν πανομοιότυπο ντύσιμο με ριγέ κοστούμι και καπέλο, σε ένδειξη διαμαρτυρίας για τη μαζοποίηση του σύγχρονου ανθρώπου.
Βιογραφία
μικρογραφία|αριστερά|Αντιπροσωπευτικό έργο με τα ανθρωπάκια, του Γαΐτη. Ο πατέρας του ήταν Τήνιος και η μητέρα του, Παναγιώτα, από τα Δολιανά Αρκαδίας. Σπούδασε αρχικά στην Ανωτάτη Σχολή Καλών Τεχνών και έπειτα στο Παρίσι. Ανάμεσα στους δασκάλους του ήταν και ο Κωνσταντίνος Παρθένης. Το 1949 συμμετείχε μαζί με άλλους καλλιτέχνες όπως ο Αλέκος Κοντόπουλος στην ίδρυση της καλλιτεχνικής ομάδας των λεγόμενων «Ακραίων», της οποίας τα μέλη ξεχώρισαν για την ενασχόλησή τους με μορφές αφηρημένης τέχνης. Το 1954 μετέβη στο Παρίσι με σκοπό να ολοκληρώσει τις σπουδές του φοιτώντας στη Σχολή Καλών Τεχνών και στην Ακαδημία Grande Chaumiere. Παράλληλα οργάνωσε εκθέσεις στην Αθήνα και στη γαλλική πρωτεύουσα, όπου εγκαταστάθηκε με τη σύζυγό του, Γαβριέλα Σίμοση, και έλαβε μέρος σε αρκετές ατομικές και ομαδικές εκθέσεις, τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Έλληνες ζωγράφοι
Όλιβερ Κρόμγουελ
Ο Όλιβερ Κρόμγουελ, (στα σχολικά βιβλία ιστορίας αναφερόταν ως Κρόμβελ), (αγγλικά: Oliver Cromwell, 25 Απριλίου 1599 - 3 Σεπτεμβρίου 1658) ήταν Άγγλος στρατιωτικός και πολιτικός ηγέτης που ανέλαβε τα ηνία της Μεγάλης Βρετανίας κατά την περίοδο 1653-1658, ύστερα από την εκτέλεση του βασιλιά Καρόλου Α΄ της Αγγλίας και ύστερα από τον Αγγλικό Εμφύλιο Πόλεμο. Έγινε ευρύτερα γνωστός για τη συντηρητική Πουριτανική πολιτική που ακολουθούσε, καθώς και για την προσάρτηση της Σκωτίας και της Ιρλανδίας στη Κοινοπολιτεία της Αγγλίας, καθώς και πολέμιος του Καθολικισμού.
Βιογραφία
Ελάχιστα είναι γνωστά για τα 40 πρώτα χρόνια της ζωής του. Γεννήθηκε στις 25 Απριλίου 1599 στο Χάντινγκτον του Κέμπριτζσαϊρ της Αγγλίας. Στις 22 Αυγούστου 1620 παντρεύτηκε την Ελίζαμπεθ Μπούρσιερ, με την οποία απέκτησαν εννέα παιδιά, μεταξύ αυτών και τον Ρίτσαρντ, διάδοχό του στη διοίκηση της Αγγλίας. Το 1628 εξελέγη βουλευτής για το Χάντινγκτον μέχρι το 1629, ωστόσο η παρουσία του στη βουλή ήταν αδιάφορη, καθώς εκφώνησε έναν μόλις λόγο κατά του Αρμινιανιστή ιερέα Ρίτσαρντ Νηλ. Ο Κρόμγουελ συμμετείχε ενεργά στον Πρώτο Αγγλικό Εμφύλιο Πόλεμο. Στις 30 Ιανουαρίου 1649, ο βασιλιάς Κάρολος Α΄ εκτελείται και ο Όλιβερ Κρόμγουελ αναλαμβάνει την εξουσία, ωστόσο αναγνωρίζεται από τους Σκωτσέζους ως βασιλιάς ο γιος του Καρόλου Α΄, Κάρολος Β΄. Μετά την ανάληψη της εξουσίας από τον Κρόμγουελ, ξεσπά ο Αγγλο-Ολλανδικός Πόλεμος, με αφορμή την φορολόγηση από την Ολλανδία. Επίσης, επιδίωξε διώξεις των Καθολικών σε όλη τη Βρετανία, ενώ εξασφάλισε αποικίες στην Αμερική, καθώς και τη δημιουργία πολιτειών στην Αμερική, όπως η Βιρτζίνια και Μέριλαντ. Γενικά, η πολιτική του χαρακτηρίστηκε ως συντηρητική. Ο Κρόμγουελ πέθανε στις 3 Σεπτεμβρίου 1658, ενώ υπάρχουν διάφορες φήμες πάνω στον θάνατό του, όπως ο θάνατος από ελονοσία, ακόμα και εκτέλεσή του, ενώ το σώμα θάφτηκε στο Αββαείο του Ουέστμινστερ.
Μάρκελλος (αδελφός Ιουστίνου Β΄)
Ο Μάρκελλος, λατιν. Mαrcellus (απεβ. πριν το 582/3) ήταν αδελφός του Ιουστίνου Β΄ (565-578) και στρατηγός του θείου του Ιουστινιανού Α΄.
Βιογραφία
Ήταν γιος του Δουλκιδίου (Δουλκισσίμου) και της Βιγιλαντίας, αδελφής του Ιουστινιανού Α΄. Αδέλφια του ήταν ο Ιουστίνος Β΄ και η Πραιέκτα.
Το 544 ο Μάρκελλος διορίστηκε στρατηγός μαζί με τον Κωνσταντινιανό στον συνεχιζόμενο Πόλεμο της Λαζικής (541-562) εναντίων των Σασσανιδών της Περσίας, αντικαθιστώντας τους στρατηγούς που σκοτώθηκαν Ιούστο (εξάδελφο του Ιουστινιανού Α΄) και Περάνιο. Σύμφωνα με τον ιστορικό Προκόπιο ο Μάρκελλος ήταν ακόμη νέος, "μόλις είχε φθάσει να ανδρωθεί". Δεν καταγράφτηκαν δραστηριότητες εκεί και η σύρραξη έληξε με εκεχηρία.
Επανεμφανίζεται το 562, όταν μία μεγάλη ορδή Βουλγάρων εισέβαλε στα Βαλκάνια και λεηλάτησε τη Θράκη ως τις παρυφές της Κωνσταντινούπολης. Ο Ιουστινιανός Α΄ όρισε τον Μάρκελλο να οδηγήσει στρατό εναντίον τους. Αναφέρεται ξανά ως πατρίκιος το 565, όταν έπαιξε σημαντικό ρόλο μαζί με τον Βαδουάριο στις τελετές κατά την ενθρόνιση του Ιουστίνου Β΄.
Δεν γνωρίζουμε πότε απεβίωσε· το 582/583 η περιουσία του διαιρέθηκε από τον Μαυρίκιο και δόθηκε στον πατέρα αυτού Παύλο και τον αδελφό αυτού Πέτρο.
Οικογένεια
Νυμφεύτηκε την Ιουλιανή, κόρη του Φλαβίου Αναστασίου Παύλου Πρόβου Μοσκιανού Πρόβου Μάγνου υπάτου το 518.
Πηγές
Κατηγορία:Βυζαντινοί του 6ου αιώνα Κατηγορία:Βυζαντινοί στρατηγοί Κατηγορία:Βυζαντινοί Πατρίκιοι
Στέβαν Άλεκσιτς
Ο Στέβαν Άλεκσιτς (Стеван Алексић) (23 Δεκεμβρίου 1876 - 2 Νοεμβρίου 1923) ήταν Σέρβος ζωγράφος γεννημένος στην Αυστροουγγαρία. Το έργο του ανήκει στη Σχολή του Μονάχου. Είναι ιδιαίτερα γνωστός για τη σειρά των αυτοπροσωπογραφιών του, που χρονολογείται από το 1895 έως το 1922, το οποίο ταυτόχρονα απεικονίζει την εξέλιξη του στυλ και της τεχνικής του, καθώς και τις αλλαγές στη σωματική του διάσταση και τον χαρακτήρα του, και είναι η μεγαλύτερη τέτοια συλλογή στη Σερβική ζωγραφική.
Βιογραφία
Ο Στέβαν Άλεκσιτς γεννήθηκε στις 23 Δεκεμβρίου 1876, στο Αράντ, τη σημερινή Ρουμανία, από μια οικογένεια καλλιτεχνών. Ο πατέρας του Ντούσαν και ο παππούς Νικόλα ήταν και οι δύο ζωγράφοι. Τελείωσε το δημοτικό του σχολείο στο Αράντ, όπου έλαβε τα πρώτα μαθήματα ζωγραφικής από τον πατέρα του. Το 1895 μετακόμισε στο Μόναχο, όπου σπούδασε στην Ακαδημία Καλών Τεχνών στην τάξη του Νικόλαου Γύζη. Όταν ο πατέρας του πέθανε, το 1900, αποφάσισε να εγκαταλείψει τις σπουδές του και να μετακομίσει στο Μόντος (το σημερινό χωριό Γιάσα Τόμιτς, στη Βοϊβοντίνα της Βόρειας Σερβίας). Εκεί έχτισε ένα σπίτι με ένα στούντιο και παντρεύτηκε την τοπική δασκάλα, Στεφανία Λούκιτς, το 1905. Το υπόλοιπο της ζωής του πέρασε ζώντας στο Μόντος και εργαζόταν ως ζωγράφος. Πέθανε στις 2 Νοεμβρίου 1923. Με αφορμή την τεσσαρακοστή επέτειο του θανάτου του, οι πολίτες του Γιάσα Τόμιτς δημιούργησαν ένα μνημείο. Με την ευκαιρία της ανέγερσης του μνημείου, το Εθνικό Μουσείο στο Ζρένιανιν, με την υλική βοήθεια από την Πολιτιστική και Εκπαιδευτική Κοινότητα του Δήμου Σέτσανι, διοργάνωσε την πρώτη έκθεση έργων του Άλεκσιτς στο Γιάσα Τόμιτς.