cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Αναισθησία (ιατρική)
Ειδικές πληθυσμιακές ομάδες
Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που η αναισθησία πρέπει να διαφοροποιηθεί ανάλογα με το είδος της επέμβασης (π.χ. αν πρόκειται για καρδιοχειρουργική επέμβαση, καρδιοθωρακική επέμβαση ή νευροχειρουργική επέμβαση), τις ιδιαιτερότητες του ασθενή (π.χ αν πρόκειται για παιδιατρική, γηριατρική, βαριατρική ή μαιευτική επέμβαση) και σε ειδικές καταστάσεις (όπως είναι σε τραύμα, στη ρομποτική χειρουργική ή σε ιδιαίτερους περιβαλλοντικούς παράγοντες).
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αναισθησία Κατηγορία:Πόνος Κατηγορία:Χειρουργική Κατηγορία:Αναισθησιολογία
Καλυψώ
Η Καλυψώ (το όνομά της σημαίνει "καλύπτω", "κρύβω" ή "παραπλανώ") ήταν μία γνωστή Νύμφη κατά την αρχαία Ελληνική μυθολογία, που ζούσε στο νησί Ωγυγία, όπου κρατούσε τον Οδυσσέα για επτά έτη, εμποδίζοντάς τον να γυρίσει στην πατρίδα του.
Γενεολογία
Η Καλυψώ είναι κόρη του Τιτάνα Άτλαντα και της Ωκεανίδας Πλειόνης. Επομένως, αδέρφια της είναι οι Εσπερίδες, οι Πλειάδες, οι Υάδες και ο Ύας.
Ο Ησίοδος αναφέρει είτε μια διαφορετική Καλυψώ ή πιθανώς την ίδια Καλυψώ ως μία από τις Ωκεανίδες, κόρες του Τιτάνα Ωκεανού και της Τιτανίδας Τηθύος. Ο Απολλόδωρος εντάσσει μια Καλυψώ στη λίστα του με τις Νηρηίδες, τις κόρες του Νηρέα και της Ωκεανίδας Δωρίδος.
Κατά τη μυθολογία
Η Καλυψώ κατοικούσε σε ένα μεγάλο σπήλαιο, κοντά στην είσοδο του οποίου υπήρχαν φυσικοί κήποι, ιερό δάσος και πηγές. Εκεί περνούσε την ημέρα της η Νύμφη, κλώθοντας και υφαίνοντας με τις υπηρέτριές της, που ήταν και αυτές Νύμφες.
Ζούσε στη νήσο Ωγυγία, που οι αρχαίοι συγγραφείς τοποθετούν στη δυτική Μεσόγειο (συγκεκριμένα έχει προταθεί μεταξύ άλλων ότι ήταν στη Θέουτα, απέναντι από το Γιβραλτάρ, ή το νησί Γκόζο δίπλα στη Μάλτα), ενώ αναφέρεται συχνά και απλώς ως «το Νησί της Καλυψώς».
Η Καλυψώ είναι διάσημη για τον σημαντικό ρόλο που έπαιξε στην "Οδύσσεια" του Ομήρου, όπου προσπαθεί να κρατήσει τον ξακουστό Ελληνικό ήρωα Οδυσσέα στο νησί της για να τον κάνει αθάνατο σύζυγό της. Σύμφωνα με τον Όμηρο, η Καλυψώ κράτησε τον Οδυσσέα στο νησί της για επτά χρόνια, ενώ ο Απολλόδωρος λέει πέντε χρόνια και ο Υγίνος λέει έναν χρόνο. Η Καλυψώ γοήτευε τον Οδυσσέα με τα όμορφα τραγούδια της (αν και αυτός συνέχιζε να είναι δυστυχισμένος και να κλαίει, γιατί ο βαθύτερος εσωτερικός πόθος του ήταν η επιστροφή του στην πατρίδα του την Ιθάκη), ενώ ύφαινε στον αργαλειό της με μια χρυσή σαΐτα. Κατά τη διάρκεια της παραμονής του εκεί οι δυο τους έχουν σεξουαλικές επαφές, αν και ο Οδυσσέας δεν το ήθελε.
Ο Οδυσσέας δεν άντεχε άλλο να είναι μακριά από την Πηνελόπη και ήθελε να πάει στην Καλυψώ να το πει. Η προστάτιδα θεά του, η θεά Αθηνά, ζητά από τον πατέρα της, τον θεό Δία, να διατάξει την απελευθέρωση του Οδυσσέα από εκείνο το νησί. Ο Δίας συμφωνεί και διατάζει τον θεό Ερμή να πει στην Καλυψώ να αφήσει ελεύθερο τον Οδυσσέα, αφού δεν ήταν το πεπρωμένο του να ζήσει μαζί της για πάντα. Εκείνη θυμωμένα σχολιάζει για το πως οι θεοί δε θέλουν οι θεές να έχουν δεσμούς με θνητούς επειδή ζηλεύουν, αλλά τελικά συμφωνεί, και δίνει στον Οδυσσέα «μαύρο κρασί», ψωμί και υλικά για τη σχεδία του πριν ξεκινήσει για το ταξίδι. Επίσης του υπέδειξε ποιους αστέρες να παρατηρεί για να ρυθμίζει την πορεία του.
Ο Όμηρος δεν αναφέρει αν η Καλυψώ είχε παιδιά. Σύμφωνα με κάποιες αναφορές, λίγο πιο μεταγένεστερες, λένε ότι η Καλυψώ γέννησε έναν γιο από τον Οδυσσέα, τον Λατίνο. Παρ'όλα αυτά οι πιο πολλές αναφορές λένε ότι η Κίρκη ήταν η μητέρα του. Σε άλλες αναφορές, η Καλυψώ απέκτησε δύο γιους από τον Οδυσσέα, τον Ναυσίθοο και τον Ναυσίνοο. (Ο Ναυσίθοος αυτός δεν πρέπει να συγχέεται με τον βασιλιά των Φαιάκων Ναυσίθοο που αναφέρεται στην "Οδύσσεια".)
Πηγές
Κατηγορία:Οδύσσεια Κατηγορία:Νύμφες της ελληνικής μυθολογίας
Κωνσταντίνος Δημίδης
Ο Κωνσταντίνος Δημίδης (- 1869) ήταν αγωνιστής της Ελληνικής Επανάστασης του 1821, τυπογράφος και οπλοποιός από τα Γρεβενά.
Τα πρώτα χρόνια
Ο Κωνσταντίνος Δημίδης γεννήθηκε στα τέλη του 18ου αιώνα στα Γρεβενά. Σε μικρή ηλικία εγκαταστάθηκε στις Κυδωνίες προς αναζήτηση εργασίας. Εκεί έμαθε την τέχνη του οπλοποιού. Το 1818 μετέβη στο Παρίσι μαζί με τον Κωνσταντίνο Τόμπρα και μαθήτευσαν στον Φερμέν Ντιντό στην τέχνη της τυπογραφίας. Ένα χρόνο αργότερα, με την επιστροφή του στις Κυδωνίες, με συνεργάτη τον Κωνσταντίνο Τόμπρα ίδρυσαν τυπογραφείο το 1819.
Στα Ψαρά
Με το ξέσπασμα της Ελληνικής Επανάστασης του 1821, το Ιούνιο του 1821, οι Κυδωνίες πυρπολήθηκαν από τους Οθωμανούς. Διωκόμενος, μετέβη στα Ψαρά, όπου ανέλαβε ενεργό δράση. Εκεί ίδρυσε το πρώτο αυτοσχέδιο τυπογραφείο των επαναστατημένων Ελλήνων. Το 1824 ο Κωνσταντίνος Δημίδης τύπωνε προκηρύξεις και ναυτικά διπλώματα. Φιλοδοξούσε μάλιστα, να εκδόσει και εφημερίδα, και για το λόγο αυτό, ο Βρετανός φιλέλληνας, συνταγματάρχης Λέστερ Στάνχοπ απέστειλε στα Ψαρά ένα λιθογραφείο. Η Καταστροφή των Ψαρών τον Ιούνιο του 1824 ματαίωσε τα σχέδιά του.
Στην Ύδρα και στο Ναύπλιο
Την περίοδο 1827 - 1828 εργάστηκε στο τυπογραφείο της Ύδρας του Ιταλού Ιωσήφ Κιάππε, όπου εκδίδονταν η εφημερίδα Ο Φίλος του Νόμου.
Αργότερα, ο Κωνσταντίνος Δημίδης βρέθηκε στο Ναύπλιο. Εκεί με δική του πρωτοβουλία, συνεργαζόμενος πάλι με τον Κωνσταντίνο Τόμπρα, ίδρυσε το πρώτο ιδιωτικό τυπογραφείο. Το 1828 τύπωσε δύο βιβλία με τίτλους "Αριθμητική" του Διονύσιου Πύρρου και "Περίληψις του Ευαγγελίου" του Νεόφυτου Νικητόπουλου. Στη συνέχεια συνεργάστηκε με τον Εμμανουήλ Αντωνιάδη, με τον οποίο τύπωσαν την εφημερίδα "Ηώς" (1830 - 1831) και "Αθηνά" (1832 - 1833). Με τον Αντωνιάδη, ο Δημίδης κατασκεύαζε επιτόπου και χύτευε τυπογραφικά στοιχεία.
Στην Ερμούπολη και στην Αθήνα
Με την αποχώρηση του Εμ. Αντωνιάδη στην Αθήνα, ο Κωνσταντίνος Δημίδης αποφάσισε να εγκατασταθεί στη Σύρο. Στην Ερμούπολη, συνεργάστηκε με τον Γεώργιο Μελισταγή και το 1833 εξέδωσαν εγκυκλιο. Έως το 1836 εξέδωσαν 10 τίτλους.
Η προσφορά του
Η προσφορά του στην εξέλιξη της Ελληνικής τυπογραφίας και στην εξέλιξη και διαμόρφωση των ελληνικών τυπογραφικών στοιχείων υπήρξε τεράστια, καθώς ήταν ο μόνος Έλληνας στα χρόνια της επανάστασης αλλά και έως τη δεκαετία του 1850 που μπορούσε να κατασκευάσει τυπογραφικά στοιχεία υψηλής ποιότητας.
Μακτάν
Το Μακτάν είναι νησί των Φιλιππίνων δίπλα από το νησί Σέμπου με το οποίο συνδέεται με γέφυρα. Το νησί φιλοξενεί επίσης και το διεθνές αεροδρόμιο του Σέμπου.
Το 1521 έφτασε εκεί ο Μαγγελάνος όπου και σκοτώθηκε κατά τη διάρκεια της μάχης του Μακτάν.
Παραπομπές
Κατηγορία:Νησιά των Φιλιππίνων Κατηγορία:Κοραλλιογενή νησιά
Κριστόφ Ντελμότ
Ο Κριστόφ Ντελμότ, γεννημένος στις 9 Ιουνίου 1969 στην Κομίν (Βέλγιο), είναι Γαλλο-Βέλγος πρώην ποδοσφαιριστής, ο οποίος αγωνιζόταν στην θέση του αμυντικού.
Αφού διετέλεσε βοηθός προπονητή του Ζαν-Γκι Βαλέμ στην ΡΚ Λανς το διάστημα μεταξύ 2008 και 2010, έγινε προπονητής της ηλικιακής κατηγορίας U-19 της Ολιμπίκ Λυών τον Ιούλιο του 2011.
Βιογραφία
Ξεκίνησε την καριέρα του από την Λανς στη διάρκεια της σεζόν 91-92, όπου πέτυχε 2 τέρματα σε 14 αναμετρήσεις.
Έπειτα από δύο συνολικά σεζόν στην ΡΚ Λανς, αγωνίστηκε διαδοχικά στις ΚΣ Σεντάν-Αρδέννες κι έπειτα στην ΑΣ Κάννες.
Επέστρεψε στην Λανς για δύο χρόνια προτού μεταγραφεί στην Ολιμπίκ Λυών, στην οποία παρέμεινε για 7 σεζόν. Με τον σύλλογο της περιοχής του Ροδανού κατέκτησε μεταξύ άλλων τρεις τίτλους πρωταθλητή Γαλλίας και είχε την ευκαιρία να αγωνιστεί στο Τσάμπιονς Λιγκ.
Με το πέρας της σεζόν 2003-2004 και έπειτα από συνεχόμενους τραυματισμούς, μεταξύ των οποίων ένα κάταγμα στο σφυρό απέναντι στην ΟΖΚ Νις που θα τον υποχρεώσει να αποχωρίσει από τον αγώνα, αυτός που ήταν γνωστός με το προσωνύμιο Toph' Delmotte αποχώρησε με προορισμό την Σταντ ντε Ρενς, ομάδα της Β΄ Κατηγορίας, όπου αγωνίστηκε στην θέση του αμυντικού.
Το 2006, ο Κριστόφ Ντελμότ τελικώς επέστρεψε στην Λυών, ώστε να ολοκληρώσει την αγωνιστική του καριέρα στην ερασιτεχνική ομάδα της ΑΣ Σαιν-Πριέστ.
Ο Ντελμότ ήταν γνωστός για τις πολύ καλές του τοποθετήσεις (χάρη στις οποίες θα πετύχει το νικητήριο τέρμα στην νίκη στο 90ό λεπτό του Ντέρμπι Ολιμπίκ Λυών-ΑΣ Σαιντ-Ετιέν στις 21 Δεκεμβρίου 2000), την επιβλητική σωματοδομή του (1,88 μέτρα ύψος για 88 κιλά), και την ταχύτητά του.
Στη συνέχεια, πέρασε τα απαραίτητα διπλώματα προπονητικής και ανέλαβε την τεχνική ηγεσία της ΡΚ Λανς στις 27 Μαΐου 2008, μαζί με τον Ζαν-Γκι Βαλέμ. Δύο χρόνια αργότερα, ανέλαβε τον ρόλο του σκάουτερ των αντιπάλων της ΡΚ Λανς.
Παραπομπές
Κατηγορία:Βέλγοι ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Γάλλοι ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές ΡΚ Λανς Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές ΚΣ Σεντάν-Αρδέννες Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές ΑΣ Κάννες Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Ολιμπίκ Λιονναί Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Σταντ ντε Ρενς Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές ΑΣ Σαιν-Πριέστ Κατηγορία:Αμυντικοί ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Μέσοι ποδοσφαιριστές Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Λιγκ 1
Κλάιπεντα
Η Κλάιπεντα (λιθουανικά: Klaipėda [ˈkɫɐɪˑpʲeːd̪ɐ], Ρωσικά: Клайпеда, Γερμανικά: Memel, Μέμελ, ή και Memelburg, Μέμελμπουργκ, πολωνικά: Kłajpeda) είναι παραλιακή πόλη της Λιθουανίας. Βρίσκεται στο δυτικό τμήμα της χώρας και έχει πληθυσμό 187.442 κατοίκους (3η μεγαλύτερη σε πληθυσμό πόλη της χώρας). Είναι το μοναδικό λιμάνι της χώρας και συνδέεται ακτοπλοϊκώς με τη Σουηδία, τη Δανία και τη Γερμανία. thumb|250px|right|Το λιμάνι της Κλάιπεντα
Ιστορία
Η πόλη ιδρύθηκε το 1250 από Γερμανούς αποίκους. Αργότερα ανήκε στην επαρχία της Ανατολικής Πρωσίας. Το 1920 η πόλη, όπως και η γύρω περιοχή, αποκόπηκε από την υπόλοιπη Ανατολική Πρωσία και έγινε μέρος της επικράτειας του Μέμελ (το τμήμα της Ανατολικής Πρωσίας βορείως του ποταμού Μέμελ). Μετά από επανάσταση, η περιοχή ενσωματώθηκε στη Λιθουανία το 1923. Αρχικά η Κοινωνία των Εθνών διαμαρτυρήθηκε για την επανάσταση στην περιοχή, ωστόσο τον Φεβρουάριο του 1923 η ΚτΕ αποδέχτηκε την προσάρτηση της περιοχής του Μέμελ από τη Λιθουανία. Η σύμβαση της Κλάιπεντα, η οποία υπεγράφη στις 8 Μαΐου 1924, εγγυόταν την απόδοση εκτεταμένης αυτονομίας στην περιοχή.
Η προσάρτηση της Κλάιπεντα είχε τεράστιες συνέπειες για την οικονομία της χώρας. Η επικράτεια του Μέμελ κατείχε το 30% της συνολικής παραγωγής της Λιθουανίας. Το μεγαλύτερο μέρος του διεθνούς εμπορίου της Λιθουανίας περνούσε από την Κλάιπεντα, ενώ η Επικράτεια του Μέμελ, αν και κατείχε το 5% της επικράτειας της χώρας, στέγαζε το ένα τρίτο των βιομηχανιών της χώρας. Η Κλάιπεντα μέχρι το 1939 ήταν πρωτεύουσα της επικράτειας του Μέμελ. Επίσης στις τοπικές εκλογές για το κοινοβούλιο της Κλάιπεντα οι περισσότερες έδρες περνούσαν στα χέρια φιλογερμανικών κομμάτων. Το 1934-1935 οι Λιθουανοί προσπάθησαν να αντιμετωπίσουν την αυξανόμενη επιρροή των Ναζί στην περιοχή, συλλαμβάνοντας και φυλακίζοντας πάνω από 120 ναζιστές ακτιβιστές. Οι ακτιβιστές κατηγορήθηκαν για οργάνωση αντιλιθουανικής επανάστασης στην περιοχή. Παρά τις μάλλον σκληρές καταδίκες, οι κατηγορούμενοι στην δίκη Νόιμαν-Ζας απελευθερώθηκαν σύντομα λόγω πίεσης από την Ναζιστική Γερμανία. Επίσης η εκτεταμένη αυτονομία που εγγυόταν η σύμβαση της Κλάιπεντα απέτρεψε τη Λιθουανία από το να μπλοκάρει τις φιλογερμανικές συμπεριφορές στην περιοχή.
Στις 20 Μαρτίου 1939 η Ναζιστική Γερμανία έστειλε τελεσίγραφο στη Λιθουανία απαιτώντας την παράδοση της επικράτειας του Μέμελ στη Γερμανία. Στις 22 Μαρτίου 1939 η Λιθουανία αποδέχθηκε το τελεσίγραφο. Ο Αδόλφος Χίτλερ επισκέφθηκε το λιμάνι της πόλης και εκφώνησε ομιλία. Ως αποτέλεσμα της αποδοχής του τελεσιγράφου το Μέμελ και τα περίχωρά του επεστράφησαν στη Γερμανία ως μέρος της Ανατολικής Πρωσίας. Αυτή η προσάρτηση ήταν η τελευταία αναίμακτη προσάρτηση εδαφών από την Ναζιστική Γερμανία.
Μεταπολεμική εποχή
Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου και καθώς η νίκη των Συμμάχων γινόταν αναπόφευκτη, οι κάτοικοι εκκένωσαν την περιοχή, καθώς οι μάχες μεταφέρονταν δυτικότερα. Όταν ο Σοβιετικός Κόκκινος Στρατός κατέλαβε την πόλη στις 28 Ιανουαρίου 1945, στην πόλη είχαν μείνει μόνο περίπου 50 άτομα. Μετά η επικράτεια του Μέμελ ενσωματώθηκε στη Λιθουανική ΣΣΔ, σηματοδοτώντας την αρχή μιας νέας εποχής για την πόλη.
Οι Σοβιετικοί μετέτρεψαν την Κλάιπεντα στη μεγαλύτερη θαλάσσια βάση της Ευρωπαϊκής Σοβιετικής Ένωσης. Το λιμάνι της πόλης επίσης αναβαθμίστηκε σε πολύ μεγάλο βαθμό. Τον Δεκέμβριο του 1959 ο πληθυσμός της πόλης είχε διπλασιαστεί σε σχέση με τον προπολεμικό της πληθυσμό, ενώ το 1989 στην πόλη ζούσαν 203.000 κάτοικοι. Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο σχεδόν όλοι οι νέοι έποικοι κατάγονταν από περιοχές της Λιθουανίας, της Ρωσίας, της Λευκορωσίας και της Ουκρανίας, αντικαθιστώντας τον προϋπάρχοντα γερμανόφωνο πληθυσμό. Στην αρχή η τοπική αυτοδιοίκηση κυριαρχούνταν από Ρώσους, αλλά μετά το θάνατο του Ιωσήφ Στάλιν ο αριθμός των νέων εποίκων από άλλες περιοχές της Λιθουανίας ξεπέρασε τον αριθμό αυτών από άλλες περιοχές της υπόλοιπης ΕΣΣΔ. Μεταξύ των λιθουανικών πόλεων με πληθυσμό άνω των 100.000 κατοίκων, η Κλάιπεντα έχει το υψηλότερο ποσοστό ρωσόφωνων.
Δημογραφία
Το 2017, ο πληθυσμός της Κλάιπεντα έφτανε τα 172.272 άτομα. Το 53.58% του πληθυσμού ήταν γυναίκες, ενώ το 46.42% του πληθυσμού είναι άνδρες.
Αποστόλης Τότσικας
Βιογραφία
Γεννήθηκε στην Αθήνα. Είναι γιος του γνωστού ηθοποιού Γιάννη Τότσικα και κατάγεται από τη Νίκαια της Λάρισας. Μετακόμισε με τους γονείς του και τον αδελφό του Θανάση σε μικρή ηλικία στο Βόλο όπου και πέρασε τα παιδικά του χρόνια και φοίτησε μέχρι το Λύκειο. Μόλις τέλειωσε το σχολείο επέστρεψε στην Αθήνα, όπου και διαμένει. Εκεί φοίτησε στη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου από όπου αποφοίτησε το 2003.
Κλάιπεντα
Δημογραφία
Σύμφωνα με την απογραφή του 2017, η εθνική σύνθεση της πόλης είναι η εξής:
Αποστόλης Τότσικας
Καριέρα
Με το που αποφοίτησε έκανε την πρώτη του δουλειά ως ηθοποιός το 2003, αφού συμμετείχε στη μεταγλώττιση της ταινίας κινουμένων σχεδίων με τίτλο Ο Αδελφός μου ο Αρκούδος, με το ρόλο του Κενάι σειρά Οι τσιμπάε ,Μόνη εξ αμελείας Οι ιστορίες του αστυνόμου Μπέκα, Από την αρχή , MadWalk - The Fashion Music Project ,Μην αρχίζεις τη μουρμούρα
Κλάιπεντα
Αδελφοποιημένες πόλεις
Η Κλάιπεντα είναι αδελφοποιημένη με την πόλη Ντέμπρετσεν της Ουγγαρίας.
Παραπομπές
Κατηγορία:Πόλεις της Λιθουανίας Κατηγορία:Ανατολική Πρωσία
Αποστόλης Τότσικας
Καριέρα
Συνέχισε με κινηματογράφο και έτσι το 2004 έπαιξε σε 2 ταινίες: Το τέλος του χρόνου σε σκηνοθεσία του αδελφού του, Θανάση Τότσικα και στην ταινία Νύφες, σε σκηνοθεσία Παντελή Βούλγαρη, όπου και ενσάρκωσε το Νικόλα. Όσον αφορά την τηλεόραση εκείνη τη χρονιά, έπαιξε στο επεισόδιο της 10ης εντολή Το όρος του Κρόνου, στη συνέχεια στη σατιρική εκπομπή του Λάκη Λαζόπουλου 10 Μικροί Μήτσοι και στα Τα παιδιά της Νιόβης. Στο θέατρο συμμετείχε στον Ιππόλυτο του Ευριπίδη στην Επίδαυρο στο χορό όπως και στον Ήχο του όπλου.
Η πορεία του στο χώρο συνεχίστηκε και το 2005, όπου ήρθαν πολλές κινηματογραφικές παραγωγές. Αρχικά η μικρού μήκους ταινία του αδελφού του ΕΧΙΤ όπως και στη συνέχεια σε πρωταγωνιστικό ρόλο στο Γιο του φύλακα του Δημήτρη Κουτσιαμπασάκου αλλά και στην Λούφα και παραλλαγή: Σειρήνες στο Αιγαίο. Η τηλεόραση δεν τον απασχόλησε ιδιαίτερα εκείνη τη χρονιά, αφού περιορίστηκε στη συμμετοχή του στο σίριαλ του Αλέξανδρου Πανταζούδη 504 χλμ βόρεια της Αθήνας. Η δουλειά του στην τηλεόραση συνεχίστηκε με την επανασυμμετοχή του στην σειρά Η 10η εντολή στο επεισόδιο Καθ' οδόν αυτή τη φορά, ενώ ανοίχτηκε ακόμα περισσότερο στο θέατρο, όπου πρωταγωνιστούσε στην παράσταση του Αντώνη Καφετζόπουλου Αμερικάνικος Βούβαλος, αλλά και στον κινηματογράφο στην ταινία μικρού μήκους του Δημήτρη Γεράρδη Η φυγή.
Το 2007 εμφανίζεται στην τηλεόραση με έναν πρωταγωνιστικό ρόλο που θα τον κάνει ευρέως γνωστό, αυτόν του Άρη στην κοινωνική σειρά του Αλέξανδρου Πανταζούδη Μαζί σου. Με το τέλος της τηλεοπτικής σεζόν 2006 - 2007, τιμάται με το ρόλο του Ορέστη στην Ηλέκτρα του Πέτερ Στάιν. Η περιοδεία της παράστασης στην Αμερική και σε άλλα μέρη του εξωτερικού τον βοήθησε ιδιαίτερα για ένα καλό άνοιγμα στη διεθνή του καριέρα.
Αργότερα εμφανίστηκε και στην κωμική σειρά του Alpha "Υπέροχα πλάσματα", ως γκεστ σταρ στο ρόλο ενός νεαρού delivery boy τον οποίο και ερωτεύεται το Μιτσάκι (Μυρτώ Αλικάκη). Ο Αποστόλης υπηρέτησε την στρατιωτική του θητεία στην Αλεξανδρούπολη και στην Αθήνα κατά την περίοδο 2007-08.
Κατά τη σεζόν του 2008-09 εμφανίστηκε στη δραματική σειρά μυστηρίου "Το κλειδί του παραδείσου" με την Ζέτα Μακρυπούλια και το Σπύρο Παπαδόπουλο που προβλήθηκε από τον ANT1. Το 2009 επιστρέφει στην θεατρική σκηνή του «Τόπος αλλού» και στο έργο «59 σερβίτσια μόνο» του Ali Taylor. Εκεί, υποδυόταν έναν φυλακισμένο, τον Άαρον. Το 2010 καλείται για guest στον «Πόλεμο των άστρων» μαζί με την Ιωάννα Πηλιχού, ενώ το 2011 κάνει ένα «πέρασμα» και από την «Γενιά των 592 ευρώ». Το καλοκαίρι του 2010 τον συναντάμε στο Αρχαίο θέατρο της Περγάμου, στην Τουρκία, αλλά και στων Δελφών, στον ρόλο ενός προφήτη, για το έργο «Προμηθέας Δεσμώτη». Συνεργάστηκε με τον διεθνούς φήμης Μάριο Φραγκούλη, την Αντιγόνη Βαλάκου και άλλους μεγάλους καλλιτέχνες, ενώ απέσπασαν τις καλύτερες κριτικές. Τον χειμώνα του 2011 πρωταγωνιστεί στην παράσταση «Το ημερολόγιο της Άννας Φρανκ». Εκεί υποδύθηκε τον «Peter» και απέσπασε τις καλύτερες κριτικές.
Τη σεζόν 2011-2012 τον απολαύσαμε για περισσότερο καιρό, σε έναν αμιγώς κωμικό ρόλο. Πρόκειται για τον «Δημήτρη Ακίνδυνο» της επιτυχημένης σειράς του MEGA «Πίσω στο σπίτι». Στην συγκεκριμένη σειρά συνεργάζεται με τον Θοδωρή Αθερίδη, τον οποίο και παρακολουθούσε μικρός όταν συνεργαζόταν με τον πατέρα του, αλλά και την Μαρία Καβογιάννη. Παράλληλα, στο θέατρο υποδύεται έναν εντελώς διαφορετικό ρόλο, αυτόν του..κωμικού Κόμη Δράκουλα στην παράσταση "Τερατώδη προβλήματα". Στον κινηματογράφο, πρωταγωνίστησε στην μικρού μήκους ταινία "Τσέλσι-Μπαρτσελόνα" όπου στο φεστιβάλ ταινιών μικρού μήκους της Δράμας το 2012 απέσπασε τις καλύτερες κριτικές.
Μπρούσκο
Την σεζόν 2013-2017 τον βλέπουμε να πρωταγωνιστεί στη νέα καθημερινή σειρά του ΑΝΤ1 "Μπρούσκο", στον ρόλο του "Σήφη". Πρόκειται για μια ελληνοκυπριακή παραγωγή, γυρισμένη στα όμορφα Χανιά της Κρήτης και την Κύπρο. Το «ΜΠΡΟΥΣΚΟ» παρουσιάζει μια ρομαντική, αλλά και παθιασμένη ερωτική ιστορία που θα μπορούσε να έχει ως βάση τη διαχρονική ιστορία του Ρωμαίου και της Ιουλιέτας. Πρόκειται για μία σύγχρονη διασκευή του αρχέτυπου μύθου, που αφηγείται την ιστορία ενός μεγάλου έρωτα.
Συμπρωταγωνιστές του είναι ο Ανδρέας Γεωργίου, ο οποίος είναι και ο σκηνοθέτης, η Εβελίνα Παπούλια, η νεαρή Ελένη Βαϊτσου, η Φιόνα Γεωργιάδη, ο Κούλλης Νικολάου, ο Αντώνης Καρυστινός, η Τζόυς Ευείδη κ.ά.
Η σειρά ξεκίνησε να προβάλλεται και σε Βαλκανικές χώρες όπως η Σερβία και η Βοσνία, σημειώνοντας μεγάλη επιτυχία. Πρόσφατα το "Μπρούσκο" άνοιξε τα φτερά του και εκτός Ευρώπης, αφού προβάλλεται ήδη στο Ντουμπάι και σε αρκετές χώρες της Λατινικής Αμερικής όπως το Μεξικό, η Αργεντινή κ.ά.
Θέατρο / Κινηματογράφος / Τηλεόραση
Θεατρικά, ο Αποστόλης ενσάρκωσε τον Βαλεντίν Αρέγκι στην παράσταση "Το φιλί της γυναίκας αράχνης", σε σκηνοθεσία Αλέξη Ρίγλη. Η παράσταση παρουσιάστηκε στο θέατρο 104 και απέσπασε αμέσως τις καλύτερες κριτικές από κοινό και κριτικούς.
Τον χειμώνα του 2015 πρωταγωνίστησε σε δυο από τις μεγαλύτερες θεατρικές παραγωγές στο Παλλάς, στον "Κύκλο με την κιμωλία" (Μάρτιος - Μάιος 2015) σε σκηνοθεσία Κων/νου Μαρκουλάκη και στο θρυλικό μιούζικαλ "Billy Elliot" (Οκτώβριος 2015 - Ιανουάριος 2016) σε σκηνοθεσία Δημήτρη Λιγνάδη, ενσαρκώνοντας τον Tony, τον αδερφό του Billy και αποσπώντας πολύ καλές κριτικές.
Επίσης, έχει πρωταγωνιστήσει μαζί με την Άννα Βίσση στο βιντεοκλίπ του τραγουδιού Τυραννιέμαι το 2012, στο βιντεοκλίπ των Snob, "TV Star", του οποίου την σκηνοθεσία ανέλαβε ο αδελφός του, Θανάσης Τότσικας, και στο βιντεοκλίπ του τραγουδιού "Κάτι πήγε στραβά" που ερμηνεύουν οι RadioAct με την Demy. Πρόκειται για το soundtrack της πρώτης ελληνικής action thriller ταινίας "Short Fuse" στην οποία πρωταγωνιστεί και κλέβει τις εντυπώσεις. Η ταινία (παραγωγή 1821 Media / Terry Dougas & Paris Kasidokostas) γυρίστηκε το 2013, έκανε πρεμιέρα στις ελληνικές αίθουσες τον Απρίλιο του 2016 και προβλήθηκε στο Los Angeles Greek Film Festival δυο μήνες αργότερα.
Εκτός από την πρεμιέρα του "Short Fuse", το 2016 βρίσκει τον Αποστόλη να πρωταγωνιστεί και στην πολυαναμενόμενη κωμωδία της χρονιάς "The Bachelor" η οποία βγήκε στις αίθουσες τον Δεκέμβριο του 2016. Μαζί του συμπρωταγωνιστούν και οι Γιάννης Τσιμιτσέλης, Νίκος Βουρλιώτης, Θανάσης Βισκαδουράκης, Γιάννης Ζουγανέλης και αρκετοί ακόμα Έλληνες ηθοποιοί.
Στις αρχές του 2017 και ενώ η τηλεοπτική σειρά "Μπρούσκο" συνεχίζεται για 4η και τελευταία σεζόν, ο Αποστόλης πρωταγωνιστεί στην θεατρική παράσταση "Πνεύμονες - Lungs" του Duncan Macmillan μαζί με την Βάσω Καβαλιεράτου σε σκηνοθεσία Δημήτρη Λάλου στο θέατρο Tempus Verum - Εν Αθήναις σημειώνοντας πολύ μεγάλη επιτυχία και αποσπώντας εξαιρετικές κριτικές. Η παράσταση ανέβηκε για δυο εβδομάδες και στο θέατρο Αριστοτέλειον της Θεσσαλονίκης, σημειώνοντας επίσης πολύ μεγάλη επιτυχία. Επίσης, πρωταγωνίστισε στην ταινία της LACTA "Από την Αρχή" με την Έλλη Τρίγγου, σε σκηνοθεσία Βαρδή Μαρινάκη και σενάριο Μυρτώ Κοντοβά.
Την σεζόν 2017-2018 πρωταγωνιστεί στην καθημερινή σειρά του ΑΝΤ1 "Παρθένα Ζωή" (Χουάνα η Παρθένα) η οποία σημείωσε μεγάλη επιτυχία ιδιαίτερα στα νεανικά κοινά και απέκτησε πολλούς φανς. Ταυτόχρονα βρέθηκε επί σκηνής για πρώτη φορά με τη Ζέτα Μακρυπούλια στην παράσταση "Ιδιωτικές ζωές" στο θέατρο Γκλόρια σε σκηνοθεσία Αλέξη Ρίγλη.
Είχε πρωταγωνιστικό ρόλο στην κωμική σειρά του OPEN Beyond "Για πάντα παιδιά" μαζί με τον Νίκο Πουρσανίδη και τον Λεωνίδα Καλφαγιάννη, ενώ συναντά και πάλι την Τζένη Θεωνά η οποία υποδύεται την κοπέλα του. Θεατρικά, επιστρέφει και πάλι στη σκηνή του Tempus Verum - Εν Αθήναις και τους σαρωτικούς "Πνεύμονες" οι οποίοι συνεχίζουν την τεράστια επιτυχία τους για 3η χρονιά.
Από το 2019 - 2020 & 2020 - 2021 έπαιξε στις 2 τελευταίες σεζόν της σειράς Έλα στη θέση μου. στο Alpha TV στο ρόλο ως Μάρκος Ηλιάδης-Σοφοκλέους
Τη σεζόν 2021 - 2022 πρωταγωνιστεί στην σειρά Μόλις χθες. στο ΣΚΑΪ στο ρόλο ως Μιχάλης Γαζής
Τη σεζόν 2022 πρωταγωνιστεί στην σειρά  Η Γη Της Ελιάς  στο Mega στο ρόλο ως Σωκράτης Δρακόπουλος
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Έλληνες άνδρες ηθοποιοί κινηματογράφου Κατηγορία:Έλληνες άνδρες ηθοποιοί τηλεόρασης Κατηγορία:Έλληνες άνδρες ηθοποιοί θεάτρου Κατηγορία:Έλληνες άνδρες ηθοποιοί φωνής Κατηγορία:Απόφοιτοι της Δραματικής Σχολής του Εθνικού Θεάτρου
Χώρος Μπάναχ
Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη συναρτησιακή ανάλυση, ένας χώρος Μπάναχ (προφορά: <span class="IPA" title="Representation in the International Phonetic Alphabet (IPA)">/ˈbanax/ ,) είναι ένας πλήρης νορμικός διανυσματικός χώρος. Έτσι, ένας χώρος Μπάναχ είναι ένας διανυσματικός χώρος με μια μετρική που επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκος του διανύσματος και της απόστασης μεταξύ των διανυσμάτων και είναι πλήρης, με την έννοια ότι μια Κωσύ ακολουθία διανυσμάτων πάντα συγκλίνει σε ένα καλά ορισμένο όριο που είναι μέσα στο χώρο.
Οι χώροι Μπάναχ πήραν το όνομά τους από τον Πολωνό μαθηματικό Στέφαν Μπάναχ, ο οποίος εισήγαγε αυτή την έννοια και την μελέτησε συστηματικά από το  1920 έως το 1922, μαζί με τον  Χανς Χαν και τον Έντουαρντ Χέλλυ. Οι χώροι Μπάναχ αρχικά αναπτύχθηκαν από την μελέτη των συναρτησιακών χώρων από τον Χίλμπερτ, τον Φρεσέτ, και τον Ριτζ νωρίτερα τον ίδιο αιώνα. Οι χώροι Μπάναχ παίζουν κεντρικό ρόλο στη συναρτησιακή ανάλυση. Σε άλλους τομείς της ανάλυσης, οι χώροι υπό μελέτη είναι συχνά χώροι Μπάναχ.
Ορισμός
Ένας χώρος Μπάναχ είναι ένας διανυσματικός χώρος X πάνω από το πεδίο R των πραγματικών αριθμών, ή πάνω από το πεδίο C  των μιγαδικών αριθμών, ο οποίος είναι εξοπλισμένος με μια νόρμα και ο οποίος είναι πλήρης με την εν λόγω νόρμα, δηλαδή, για κάθε Κωσύ ακολουθία {xn} στον X, υπάρχει ένα στοιχείο x στο X τέτοια ώστε ή αντίστοιχα: Η δομή του διανυσματικού χώρου μας επιτρέπει να συσχετίσουμε την συμπεριφορά των Cauchy ακολουθιών με αυτήν των  σειρών διανυσμάτων που συγκλίνουν. Ένα νορμικός χώρος X είναι ένας χώρος Μπάναχ αν και μόνον αν κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά στο X συγκλίνει, Η πληρότητα του νορμικού χώρου διατηρείται αν η νόρμα είναι να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη νόρμα.
Γραμμικοί τελεστές, ισομορφισμοί
Αν X και Y είναι νορμικοί χώροι πάνω από το ίδιο σώμα  K, το σύνολο όλων των συνεχών K-γραμμικών απεικονίσεων  T  : X → Y  συμβολίζεται με B(X, Y). Στους απειροδιάστατους χώρους, δεν είναι όλες οι γραμμικές απεικονίσεις συνεχείς. Μια γραμμική αντιστοίχιση από έναν νορμικό χώρο X σε έναν άλλο νορμικό χώρο είναι συνεχής αν και μόνο αν είναι φραγμένο στην κλειστή  μπάλα του X. Έτσι, ο διανυσματικός χώρος B(X, Y) μπορεί να δώσει τον νορμικό τελέστη. Για Y από ένα χώρο Μπάναχ, ο χώρος B(X, Y) είναι ένας Μπάναχ χώρος, όσον αφορά αυτήν την νόρμα.
Αν X είναι ένας Μπάναχ χώρος, ο χώρος B(X) = B(X, X) αποτελεί μια μοναδιαία Μπάναχ άλγεβρα , ο πολλαπλασιασμός συναρτήσεων δίνεται από τη σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων.
Αν X και Y είναι νορμικοί χώροι, θα είναι ισόμορφοι νορμικοί χώροι, αν υπάρχει ένας γραμμικός ισομορφισμός  T : X → Y  τέτοιος ώστε T και η αντίστροφη απεικόνιση του   T -1   να είναι συνεχείς. Αν μία από τους δύο χώρους X ή Y είναι πλήρης (ή αυτοπαθής,διαχωρίσιμος, κ. λπ.) τότε είναι και ο άλλος χώρος. Δύο νορμικοί χώροι X και Y είναι ισομετρικά ισόμορφοι αν επιπλέον η T είναι ισομετρία, δηλαδή, ||T(x)|| = ||x|| για κάθε x στο X. Η Μπάναχ-Μαζούρ απόσταση d(X, Y) μεταξύ δύο ισόμορφων αλλά όχι ισομετρικών χώρων X και Y δίνει μια μέτρηση για το πόσο οι δύο χώροι X και Y διαφέρουν.
Βασικές έννοιες
Κάθε νορμικός χώρος X μπορεί να ενσωματωθεί ισομετρικά σε ένα χώρο Μπάναχ. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει ένας χώρος Μπάναχ Y και μιαισομετρική απεικόνιση T : X → Y  τέτοια ώστε T(X)  να είναι πυκνό στο Y. Αν το Z είναι ένας άλλος Μπάναχ χώρος έτσι ώστε να υπάρχει ένας ισομετρικός ισομορφισμός από το X σε ένα πυκνό υποσύνολο του Z, τότε ο Z είναι ισομετρικά ισόμορφος με το Y.
Αυτός ο χώρος Μπάναχ Y είναι η π λήρωση  του νορμικού χώρου X. Ο υποκείμενος μετρικός χώρος για Y είναι ο ίδιος με την μετρική πλήρωση του X, με την πράξη του διανυσματικού χώρου να επεκτείνεται από το X στο Y. Η πλήρωση του X συχνά συμβολίζεται με \widehat X.
Το καρτεσιανό γινόμενο X × Y δύο νορμικών χώρων δεν είναι με κανονικό τρόπο εφοδιασμένο με μια νόρμα.Ωστόσο, πολλές ισοδύναμες νόρμες χρησιμοποιούνται συνήθως, όπως και αναπτύσσουν ισόμορφους νορμικούς χώρους. Με αυτή την έννοια, το γινόμενο  X × Y (ή το ευθύ άθροισμα X ⊕ Y  ) είναι πλήρης αν και μόνο αν οι δύο παράγοντες είναι πλήρεις.
Αν M είναι κλειστός γραμμικός υποχώρος του νορμικού χώρου X, υπάρχει μια φυσική νόρμα πάνω στον χώρο πηλίκο X / M , Το πηλίκο X / M είναι ένας Μπάναχ χώρος όταν το X είναι πλήρης.Η απεικόνιση πηλίκο από X σε X / M , που στέλνει το x από το X  στην κλάση του   x + M  , είναι γραμμική, και έχει νόρμα  1 , εκτός όταν M = X  , στην περίπτωση αυτή το πηλίκο είναι το κενό διάστημα.
Ο κλειστός γραμμικός υποχώρος M του X λέγεται ότι είναι ένας συμπληρωματικός υποχώρος του X αν M είναι το πεδίο τιμών μιας  φραγμένης γραμμικής προβολής P από X σε M. Σε αυτή την περίπτωση, ο χώρος X είναι ισόμορφος με το ευθύ άθροισμα των M και Ker(P), τον πυρήνα της προβολής P.
Ας υποθέσουμε ότι τα X και Y είναι χώροι Μπάναχ και T ∈ B(X, Y). Υπάρχει μια κανονική ανάλυση Τ ως όπου η πρώτη απεικόνιση d είναι η απεικόνιση πηλίκο, και η δεύτερη απεικόνιση  T1 στέλνει κάθε κλάση  x + Ker(T) του πηλίκου στην εικόνα  T(x) στο Y. Η απεικόνιση είναι σαφώς καλά ορισμένη, επειδή όλα τα στοιχεία στην ίδια κλάση έχουν την ίδια εικόνα. Η απεικόνιση  T1 είναι  γραμμικός ισομορφισμός από X / Ker(T) πάνω στο πεδίο τιμών   T(X), του οποίου το αντίστροφο δεν είναι ανάγκη να είναι φραγμένη.
Κλασικοί χώροι
Βασικά παραδείγματα των χώρων Μπάναχ περιλαμβάνουν:Lp χώρους και τις ειδικές περιπτώσεις τους, οι χώροι ακολουθιών  ℓp  που αποτελείται από αριθμητικές ακολουθίες με δείκτη από  το σύνολο  N    ανάμεσά τους, ο χώρος ℓ 1  των απολύτως αθροίσιμων ακολουθιών και το χώρο ℓ2  των τετραγωνικών αθροίσιμων ακολουθιών, το χώρο c0  των ακολουθιών που τείνουν στο μηδέν και το χώρο ℓ∞   των φραγμένων ακολουθιών; στο χώρο C(K) των  αριθμητικών συναρτήσεων που είναι συνεχείς σε ένα συμπαγές Hausdorff χώρο K, που είναι εξοπλισμένος με την μέγιστη νόρμα, Σύμφωνα με το Banach–Mazur θεώρημα, κάθε χώρος Μπάναχ είναι ισομετρικά ισόμορφοι με ένα υποχώρο κάποιου  C(K). Για κάθε διαχωρίσιμο χώρο Banach X, υπάρχει ένα κλειστό υποχώρο M της ℓ1 τέτοιο ώστε X ≅ ℓ1/M.
Οι Χάρντι χώροι, οι χώροι Sobolev είναι παραδείγματα Μπάναχ χώρων που σχετίζονται με Lp χώρους και έχουν μια πρόσθετη δομή. Είναι σημαντικοί σε διάφορους κλάδους της ανάλυσης,στην Αρμονική ανάλυση και στις Μερικές διαφορικές εξισώσεις, μεταξύ άλλων.
Μπάναχ άλγεβρες
Μια Μπάναχ άλγεβρα είναι ένας Μπάναχ χώρος A  πάνω από το K = R ή C , μαζί με μια αλγεβρική δομή πάνω από το K ,τέτοιο ώστε το γινόμενο των απεικονίσεων    (a, b) ∈ A × A → ab ∈ A  είναι συνεχής απεικόνιση. Μια ισοδύναμη νόρμα στο A μπορεί να βρεθεί, έτσι ώστε ||ab|| ≤ ||a|| ||b||  για όλα τα  α, b ∈ A. α, β ∈ Α
Δυϊκός χώρος
Το κύριο εργαλείο για να αποδειχθεί η ύπαρξη συνεχούς γραμμικού συναρτησιακού είναι το Hahn–Banach θεώρημα. Ειδικότερα, κάθε συνεχές γραμμικό συναρτησιακό σε έναν υποχώρο του νορμικού χώρου μπορεί να επεκτείνεται συνεχώς σε όλο το χώρο, χωρίς να αυξηθεί η νόρμα του συναρτησιακού. Μια σημαντική ειδική περίπτωση είναι η εξής: για κάθε διάνυσμα x σε ένα νορμικό χώρο X, υπάρχει μία συνεχές γραμμικό λειτουργικό  f  στο X τέτοιο ώστε Όταν το x είναι ίσο με το διάνυσμα 0 , το συναρτησιακό   f   πρέπει να έχει νόρμα ένα, και ονομάζεται νορμικό συναρτησιακό για το x.
Το Hahn–Banach θεώρημα διαχωρισμού αναφέρει ότι δύο ξένα μη-κενά κυρτά σύνολα σε ένα πραγματικό χώρο Μπάναχ, ένα από αυτά ανοιχτό, μπορεί να χωριστεί από ένα κλειστό συσχετισμένο υπερεπίπεδο. Το ανοιχτό κυρτό σύνολο κείται αυστηρά στη μία πλευρά του υπερεπιπέδου, το δεύτερο κυρτό σύνολο βρίσκεται στην άλλη πλευρά, αλλά μπορεί να αγγίξει το υπερεπίπεδο.
Ένα υποσύνολο S σε ένα χώρο Μπάναχ X είναι ολικό εάν το γραμμικό περίβλημα του S είναι πυκνό στο X. Το υποσύνολο S είναι ολικό στο X αν και μόνο αν το μόνο συνεχές γραμμικό συναρτησιακό που χάνεται στο S είναι το 0 συναρτησιακό: αυτή η ισοδυναμία προκύπτει από το Hahn–Banach θεώρημα.
Αδύναμες τοπολογίες
Η αδύναμη τοπολογία σε ένα χώρο Μπάναχ X είναι η πιο τραχεία τοπολογία στο X για την οποία όλα τα στοιχεία x ' στον συνεχή δυϊκό χώρο  X ' είναι συνεχή. Η τοπολογία της νόρμας, επομένως, είναι λεπτότερη από την αδύναμη τοπολογία. Όπως προκύπτει από το Hahn–Banach θεώρημα διαχωρισμού  η αδύναμη τοπολογία είναι Hausdorff, και ότι ένα κλειστό κυρτό υποσύνολο με νόρμα από ένα χώρο Μπάναχ είναι επίσης ασθενώς κλειστό. Μία νόρμα-συνεχής γραμμική απεικόνιση μεταξύ δύο χώρων Μπάναχ X και Y είναι επίσης ασθενώς συνεχής, δηλαδή, συνεχής από την αδύναμη τοπολογία του X, σε αυτήν της Y.
Αν το X είναι άπειρων διαστάσεων, υπάρχουν γραμμικές απεικονίσεις που δεν είναι συνεχείς. Ο χώρος X∗ όλων των γραμμικών απεικονίσεων από το X στο υποκείμενο πεδίο K  (αυτό το διάστημα X∗  ονομάζεταιαλγεβρικός διπλός χώρος, για να το διακρίνουν από τα X ' ) προκαλεί επίσης μια τοπολογία στο X η οποία είναι λεπτότερη από την αδύναμη τοπολογία, και χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο στην συναρτησιακή ανάλυση.
Φρειδερίκη της Βυρτεμβέργης
Η Φρειδερίκη (γερμ. Friederike von Württemberg, 27 Ιουλίου 1765 - 24 Νοεμβρίου 1785) από τον Οίκο της Βυρτεμβέργης ήταν κόρη του Δούκα της Βυρτεμβέργης και με τον γάμο της έγινε πριγκίπισσα του Σλέσβιχ-Χόλσταϊν-Γκόττορπ.
Χώρος Μπάναχ
Παραδείγματα δυϊκών χώρων
Ο δυϊκός του c0 είναι ισομετρικά ισόμορφος στο ℓ1  :για κάθε φραγμένο γραμμικό συναρτησιακό   f   στο c0 , υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο  y = {yn} ∈ ℓ1  τέτοιο ώστε Ο δυϊκός του  ℓ1 είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον  ℓ∞  .Ο δυϊκός του  Lp([0, 1])  είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον Lq([0, 1]) όταν  1 ≤ p < ∞ και
Φρειδερίκη της Βυρτεμβέργης
Βιογραφία
Η Φρειδερίκη Ελισάβετ Αμαλία Αυγούστα ήταν η δεύτερη κόρη του Φρειδερίκου Β΄ Ευγένιου της Βυρτεμβέργης και της Φρειδερίκης των Χοεντσόλλερν, κόρης του Φρειδερίκου Γουλιέλμου του Βρανδεμβούργου-Σβετ.
Παντρεύτηκε τον Πέτρο, τότε Πρίγκιπα του Σλέσβιχ-Χόλσταϊν-Γκόττορπ. Το 1785 η Φρειδερίκη απεβίωσε μόλις 20 ετών λίγο μετά τον τοκετό του (νεκρού) τρίτου τέκνου της, από επιπλοκές του τοκετού ή κατ' άλλες πηγές περίπου ένα μήνα μετά τον τοκετό από καρκίνο του μαστού. Ο θάνατός της στοίχισε πολύ στον σύζυγό της, ο οποίος φρόντισε να ανεγερθεί μαυσωλείο προς τιμήν της, του οποίου την ανέγερση, αλλά και τις διακοσμητικές λεπτομέρειες επέβλεπε προσωπικά και όπου μετά την αποπεράτωσή του μεταφέρθηκαν το 1790 τα λείψανά της.
Χώρος Μπάναχ
Παραδείγματα δυϊκών χώρων
Για κάθε διάνυσμα y σε ένα χώρο Χίλμπερτ H, η απεικόνιση ορίζει ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό    fy  στο H. Το θεώρημα εκπροσώπησης του Ρίτζ ορίζει ότι κάθε συνεχές γραμμικό συναρτησιακό Η είναι της μορφής  fy  για ένα μοναδικά ορισμένο διάνυσμα y στο Η. Η απεικόνιση  y ∈ H →  fy  είναι μια αντιγραμμική ισομετρική αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από Η σε δυϊκό   H '. Όταν οι αριθμητικές τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί, αυτη η απεικόνιση είναι ένας ισομετρικός ισομορφισμός.
Όταν το K είναι συμπαγές Hausdorff τοπολογικός χώρος, ο δυϊκός M(K) της C(K) είναι ο χώρος του Ραδονίου μέτρου κατά την έννοια του Μπουρμπακί. Το υποσύνολο P(K) του M(K) αποτελείται από μη αρνητικά μέτρα μάζας 1 ( μέτρα πιθανότητας) είναι μια κυρτή w*-κλειστή υποομάδα της μοναδιαίας μπάλας του M(K). Τα ακραία σημεία του P(K) είναι τα Dirac μέτρα για την Κ. Το σύνολο των Dirac μέτρων K, που είναι εξοπλισμένα με την w*-τοπολογία, είναι ομοιόμορφα με το K. Το αποτέλεσμα επεκτάθηκε από τον Αμίρ και τον Κάμπερν και για την περίπτωση που η πολλαπλασιαστική Banach–Mazur απόσταση μεταξύ των C(K) και C(L) είναι < 2. Το θεώρημα δεν ισχύει πλέον, όταν η απόσταση είναι = 2.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Ο Πέτρος Α΄ (βουλγαρικά: Петър Ι, 900/912 - 30 Ιανουαρίου 969) ήταν τσάρος της Βουλγαρίας από τις 27 Μαΐου 927 έως το 969.
Φρειδερίκη της Βυρτεμβέργης
Βιογραφία
Το 1823, πολλά χρόνια μετά τον θάνατό της, ο σύζυγός της Πέτρος διαδέχτηκε τον εξάδελφό του Πέτρο Φρειδερίκο Γουλιέλμο του Όλντενμπουργκ ως Πέτρος Α΄ στο αξίωμα του Μεγάλου Δούκα του Όλντενμπουργκ.
Χώρος Μπάναχ
Παραδείγματα δυϊκών χώρων
Στην αντιμεταθετική άλγεβρα Banach C(K), τα μέγιστη ιδεώδη είναι ακριβώς πυρήνες των Dirac μέτρων για K, Γενικότερα, από το Τζέλφαντ-Mazur θεώρημα, τα μέγιστη ιδεώδη της μοναδιαίας αντιμεταθετικής άλγεβρας Banach μπορούν να ταυτιστούν με τους χαρακτήρες της ---όχι απλώς ως σύνολα, αλλά ως τοπολογικοί χώροι: τα πρώτα με την τοπολογία περιβλήματος-πυρήνα και το τελευταίο με τη w*-τοπολογία. Σε αυτή την ταύτιση, το μέγιστο ιδεώδες χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως ένα w*-συμπαγές υποσύνολο της μοναδιαίας μπάλας στο δυϊκό  Α '. Δεν είναι κάθε μοναδιαία αντιμεταθετική άλγεβρα Μπάναχ της μορφής C(K) για κάποιο συμπαγές Hausdorff χώρο K. Ωστόσο, αυτή η δήλωση ισχύει αν κάποιος τοποθετήσει το  Γ(K) στην μικρότερη κατηγορία των αντιμεταθετικών  C*-αλγεβρών. Η αναπαράσταση του Τζέλφαντ είναι  θεώρημα για τις αντιμεταθετικές C*-άλγεβρες που ορίζει ότι κάθε αντιμεταθετική μοναδιαία C*-άλγεβρα A είναι ισομετρικά ισόμορφη με ένα C(K) χώρο. Ο Hausdorff συμπαγής χώρος Κ εδώ είναι και πάλι το μέγιστο ιδεώδες χώρος, που ονομάζεται επίσης το φάσμα του A στο   πλαίσιο της C*-άλγεβρας.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Πρώιμη βασιλεία
Ο Πέταρ ήταν γιος του Συμεών Α΄ της Βουλγαρίας από τον δεύτερο γάμο του με την αδελφή του Γεωργίου Σουρσουβούλ. Ο Πέταρ γεννήθηκε στις αρχές του 10ου αιώνα, αλλά φαίνεται ότι ο μητρικός του θείος είχε μεγάλη επιρροή στην αρχή της βασιλείας του. Το 913 ο Πέταρ μπορεί να είχε επισκεφθεί το αυτοκρατορικό παλάτι στην Κωνσταντινούπολη μαζί με τον μεγαλύτερο αδελφό του Μιχαήλ. Για άγνωστους λόγους, ο Συμεών είχε αναγκάσει τον Μιχαήλ να γίνει μοναχός και είχε ονομάσει τον Πέτρο ως διάδοχό του.
Φρειδερίκη της Βυρτεμβέργης
Οικογένεια
Παντρεύτηκε το 1781 τον Πέτρο Α΄ του Όλντενμπουργκ και είχε τέκνα:
Χώρος Μπάναχ
Διαδυϊκός
Αν X είναι ένα νορμικός χώρος, ο(συνεχής) δυϊκός  X " του δυϊκού  X ' ονομάζεται διαδυϊκός, ή ο δεύτερο δυϊκός της X. Για κάθε νορμικό χώρο X, υπάρχει μια φυσική απεικόνιση Αυτό ορίζει την FX(x) να είναι ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό Χ ', δηλαδή, ένα στοιχείο του X ". Ο χάρτης FX : x → FX(x) είναι μια γραμμική απεικόνιση από X σε X " . Κατά συνέπεια, η ύπαρξη νορμικού συναρτησιακού   f   για κάθε x στο X,η απεικόνιση  FX  είναι ισομετρική, έτσι έ νεση.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Πρώιμη βασιλεία
Για να αποδείξει τον εαυτό του ως αξιόλογο διάδοχο στον πατέρα του τόσο στη πατρίδα όσο και στα μάτια των ξένων κυβερνήσεων, ο Πέταρ ξεκίνησε τη βασιλεία του με στρατιωτική επίθεση στη Βυζαντινή Θράκη το 927, η οποία ήταν η τελευταία εκστρατεία του Βυζαντινοβουλγαρικού πολέμου του 913-927. Παρ΄όλα αυτά, ακολούθησε τις γρήγορες επιτυχίες του, διαπραγματεύοντας κρυφά μια ειρηνευτική συνθήκη, ενώ η βυζαντινή κυβέρνηση είχε την ευκαιρία να αντιδράσει. Ο βυζαντινός αυτοκράτορας Ρωμανός Α΄ Λακαπηνός δέχτηκε με ανυπομονησία την πρόταση για ειρήνη και κανόνισε ένα διπλωματικό γάμο μεταξύ της εγγονής του Μαρίας και του βουλγάρου μονάρχη. Τον Οκτώβριο του 927 ο Πέτρος έφτασε κοντά στην Κωνσταντινούπολη για να συναντήσει τον Ρωμανό και υπέγραψε την ειρηνευτική συνθήκη, και παντρεύτηκε τη Μαρία στις 8 Νοεμβρίου στην εκκλησία της Ζωοδόχου Πηγής. Για να σημάνει τη νέα εποχή στις βουλγαρο-βυζαντινές σχέσεις, η πριγκίπισσα μετονομάστηκε σε Ειρήνη. Η συνθήκη του 927 αντιπροσωπεύει στην πραγματικότητα τον καρπό των στρατιωτικών επιτυχιών και των διπλωματικών πρωτοβουλιών του Συμεών, που συνεχίστηκαν από την κυβέρνηση του γιου του. Η ειρήνη αποκτήθηκε με τα σύνορα που αποκαταστάθηκαν στα όρια που ορίστηκαν στις συνθήκες του 897 και του 904. Οι Βυζαντινοί αναγνώρισαν τον αυτοκρατορικό τίτλο του Βουλγάρου μονάρχη (βασιλεύς, τσάρος) και το καθεστώς αυτοκεφαλίας του βουλγαρικού πατριαρχείου, ενώ η πληρωμή ενός ετήσιου φόρου στη Βουλγαρία από τη Βυζαντινή Αυτοκρατορία ανανεώθηκε.
Φρειδερίκη της Βυρτεμβέργης
Παραπομπές
Κατηγορία:Οίκος της Βυρτεμβέργης Κατηγορία:Δούκισσες της Βυρτεμβέργης
Χώρος Μπάναχ
Διαδυϊκός
Για παράδειγμα,το δυϊκό του  X = c0 ταυτίζεται με το  ℓ1 , και το δυϊκό του  ℓ1  ταυτίζεται με το  ℓ∞  ,ο χώρος των φραγμένων αριθμητικών ακολουθιών. Ύστερα από αυτές τις ταυτίσεις, FX  είναι απεικόνιση εγκλεισμού από το  c0  στο  ℓ∞. Είναι πράγματι ισομετρική,αλλά όχι από πάνω.
Αν η FX είναι έφεση, τότε ο νορμικός χώρος X ονομάζεται ανακλαστικό (βλ.παρακάτω). Είναι το δυϊκό του νορμικού χώρου, ο διαδυϊκός X " είναι πλήρης, ως εκ τούτου, κάθε ανακλαστικός νορμικός χώρος είναι ένας χώρος Μπάναχ.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Επαναστάσεις και επιδρομές
Οι αρχικές επιτυχίες της βασιλείας του Πέτρου ακολουθήθηκαν από μερικές μικρές αποτυχίες. Περίπου το 930, ο Πέτρος αντιμετώπισε μια εξέγερση με επικεφαλής τον νεότερο αδελφό του Ιβάν, ο οποίος νικήθηκε και στάλθηκε σε εξορία στο Βυζάντιο. Λίγο αργότερα ο μεγαλύτερος αδελφός του Πέτρου Μιχαήλ δραπέτευσε από το μοναστήρι του και οδήγησε μια πιο τρομερή εξέγερση, η οποία τερματίστηκε με τον πρόωρο θάνατό του. Ο νεαρότερος αδελφός, ο Βενιαμίν (επίσης ονομάζεται Μπόγιαν), κατηγορήθηκε ότι ήταν λυκάνθρωπος και μάγος από τον Ιταλό επίσκοπο Λιουτπράνδο της Κρεμόνα, αλλά προφανώς δεν αποτελούσε απειλή για την εξουσία του Πέτρου.
Χώρος Μπάναχ
Διαδυϊκός
Χρησιμοποιώντας την ισομετρική ενσωμάτωση FX,  συνηθίζεται να εξετάζεται ένας νορμικός χώρος X ως ένα υποσύνολο του διαδυϊκού. Όταν το X είναι ένας Μπάναχ χώρος, που θεωρείται ως ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του X " . Αν το X δεν είναι ανακλαστικός, η μοναδιαία μπάλα του X είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο της μοναδιαίας μπάλας του X ". Το Goldstine θεώρημα αναφέρει ότι η μοναδιαία μπάλα του νορμικού χώρου είναι ασθενώς*-πυκνή στη μοναδιαία μπάλα του bidual. Με άλλα λόγια, για κάθε x " στον διαδυϊκό, υπάρχει ένα καθαρό {xj} στον X ώστε Το καθαρό στοιχείο μπορεί να αντικατασταθεί από μια ασθενώς*-συγκλίνουσα ακολουθία, όταν ο δυϊκός της X ′ είναι διαχωρίσιμος.Από την άλλη πλευρά, τα στοιχεία της διαδυϊκής ℓ1 τα οποία δεν περιέχονται στο  ℓ1  δεν μπορούν να είναι ασθενή-όρια ακολουθιών του  ℓ1 , από την στιγμή που το ℓ1  είναι ασθενώς ακολουθιακά πλήρες.
Θεωρήματα Μπάναχ
Εδώ είναι τα κύρια γενικά αποτελέσματα για Μπάναχ χώρους που πηγάζουν από το βιβλίο του Μπάναχ (Banach (1932)) και σχετίζονται με την κατηγορία Μπαίρ . Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα,ένας πλήρης μετρικός χώρος (όπως ένας χώρος Banach,ένας χώρος Φρεσέτ ή ένας F-χώρος) δεν μπορεί να είναι ίσος με την ένωση των μετρήσιμων πολλαπλών κλειστών υποσυνόλων με κενό εσωτερικό σύνολο. Ως εκ τούτου, ένας χώρος Μπάναχ δεν είναι η ένωση των μετρήσιμων πολλαπλών κλειστών υποχώρων, εκτός αν είναι ήδη ίσος με έναν από αυτούς, ένας χώρος Μπάναχ με μια αριθμήσιμη Hamel βάση είναι πεπερασμένων διαστάσεων. Το Μπάναχ–Σταινχάους Θεώρημα δεν περιορίζεται σε χώρους Μπάναχ. Μπορεί να επεκταθεί, για παράδειγμα, για την περίπτωση όπου το X είναι ένας Φρεσέτ χώρος, με την προϋπόθεση ότι η σύναψη τροποποιείται ως εξής: κάτω από την ίδια υπόθεση, υπάρχει μια γειτονία U του 0 στον X τέτοια ώστε όλα τα T στο F να είναι ομοιόμορφα φραγμένα στο U,
Αυτό το αποτέλεσμα είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου  Μπάναχ θεωρήματος ισομορφισμού και της κανονικής ανάλυσης φραγμένης γραμμικής απεικόνισης. Αυτό είναι μια άλλη συνέπεια του Μπάναχ θεωρήματος ισομορφισμού, που εφαρμόζεται στην συνεχής bijection από M1 ⊕ ... ⊕ Mn στον X στέλνοντας τα (m1, ..., mn) στο άθροισμα m1 + ... + mn.
Ανακλαστικότητα
Ο νορμικός χώρος X ονομάζεται ανακλαστικός, όταν η φυσική απεικόνιση είναι έφεση. Ανακλαστικοί νορμικοί χώροι είναι χώροι Μπάναχ. Αυτό είναι συνέπεια του Χανν–Μπάναχ θεωρήματος. Περαιτέρω, από το  θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, αν υπάρχει ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής από τον Μπάναχ χώρο  X στον Μπάναχ χώρο Y, τότε ο Y είναι ανακλαστικός.
Πράγματι, αν ο δυϊκός του Y '  ενός Μπάναχ χώρου Y είναι διαχωρίσιμος, τότε ο Y είναι διαχωρίσιμος. Αν ο X είναι ανακλαστικός και διαχωρίσιμος, τότε ο δυϊκός του   X ' είναι διαχωρίσιμος, οπότε και ο  X ' είναι διαχωρίσιμος. Οι χίλμπερτ χώροι είναι ανακλαστικοί. Οι Lp χώροι είναι ανακλαστικοί όταν 1 < p < ∞. Γενικότερα, οι ομοιόμορφα κυρτοί χώροι  είναι ανακλαστικοί, από το Μίλμαν-Πέττις θεώρημα. Οι χώροι c0, ℓ1, L1([0, 1]), C([0, 1]) δεν είναι ανακλαστικοί. Σε αυτά τα παραδείγματα μη-ανακλαστικών χώρων X, ο διαδυϊκός του  X " είναι "πολύ μεγαλύτερος" από το X. Δηλαδή, υπό την φυσική ισομετρική ενσωμάτωση του X στο X "  που δίνεται από το θεώρημα Χανν-Μπάναχ, το πηλίκο X " / X είναι άπειρων διαστάσεων, και ακόμη μη διαχωρίσιμο. Ωστόσο, ο Ρομπερτ Κ. Τζέιμς έχει κατασκευάσει ένα παράδειγμα έναν μη-ανακλαστικό χώρο, που συνήθως ονομάζεται "οχώρος του Τζέιμς" και συμβολίζεται με J, τέτοιον ώστε το πηλίκο J " / J  είναι μονοδιάστατος χώρος. Επιπλέον, αυτό το διάστημα J είναι ισομετρικά ισόμορφο με τον διαδυϊκό. Όταν ο X είναι αντανακλαστικός, προκύπτει ότι όλα τα κλειστά και φραγμένα κυρτά υποσύνολα του X είναι ασθενώς συμπαγή. Σε ένα χώρο Χίλμπερτ H, η ασθενής συμπύκνωση της μοναδιαίας μπάλας χρησιμοποιείται πολύ συχνά με τον ακόλουθο τρόπο: κάθε φραγμένη ακολουθία στο Η έχει ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία.
Η ασθενής συμπύκνωση της μοναδιαίας μπάλα παρέχει ένα εργαλείο για την εξεύρεση λύσεων σε αντανακλαστικούς χώρους σε ορισμένα προβλήματα βελτιστοποίησης. Για παράδειγμα, κάθε κυρτή συνεχής συνάρτηση της μοναδιαίας μπάλας B από ένα ανακλαστικό χώρο επιτυγχάνει το ελάχιστο σε κάποιο σημείο Β.
Ως ειδική περίπτωση του προηγούμενου αποτελέσματος, όταν ο X είναι ένας ανακλαστικός χώρος πάνω από το R , κάθε συνεχές γραμμικό συναρτησιακό   f   στο X "που φθάνει τη μέγιστη || f || στη μοναδιαία μπάλα του X. Το ακόλουθο θέωρημα του Ρόμπερτ Κ.Τζέιμς παρέχει μια αντίστροφη πορεία. Το θεώρημα μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα χαρακτηρισμό των ασθενώς συμπαγών κυρτών συνόλων.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Σύγκρουση με το Βυζάντιο και τους Ρως
Οι σχέσεις με τη Βυζαντινή Αυτοκρατορία επιδεινώθηκαν μετά το θάνατο της συζύγου του Πέτρου στα μέσα της δεκαετίας του 960. Νικηφόρος στους Άραβες, ο αυτοκράτορας Νικηφόρος Β΄ Φωκάς αρνήθηκε να καταβάλει τον ετήσιο φόρο στη Βουλγαρία το 966, ως παράπονο για τη βουλγαρική συμμαχία με τους Μαγυάρους, και ανέλαβε μια επίδειξη δύναμης στα βουλγαρικά σύνορα. Απογοητευμένος από μια άμεση επίθεση εναντίον της Βουλγαρίας, ο Νικηφόρος Β΄ απέστειλε έναν αγγελιοφόρο στον Ρώσο πρίγκιπα Σβιάτοσλαβ Ιγκόρεβιτς για να κανονίσει μια ρωσική επίθεση εναντίον της Βουλγαρίας από το βορρά.
Χώρος Μπάναχ
Ανακλαστικότητα
Για κάθε μη-ανακλαστικό Μπάναχ χώρο X, υπάρχούν συνεχή γραμμικά συναρτησιακά που δεν φέρουν νόρμα. Ωστόσο, το θεώρημα Μπίσοπ-Φέλπς αναφέρει ότι τα συναρτησιακά που φέρουν νόρμα είναι νορμικά πυκνά στον δυϊκό X ' του X.
Πέτρος Α΄ της Βουλγαρίας
Σύγκρουση με το Βυζάντιο και τους Ρως
Ο Σβιατοσλάβος ξεκίνησε μια εκστρατεία με τεράστια δύναμη 60.000 στρατιωτών, δρομολογώντας τους Βούλγαρους στο Δούναβη και νικώντας τους σε μια μάχη κοντά στη Σιλίστρα, αρπάζοντας περίπου 80 βουλγαρικά φρούρια το 968. Εκνευρισμένος από την επιτυχία του συμμάχου του και ύποπτος για τις πραγματικές του προθέσεις, ο αυτοκράτορας Νικηφόρος Β΄ έσπευσε να κάνει ειρήνη με τη Βουλγαρία και κανόνισε το γάμο των στρατευμάτων του, παντρεύοντας του ανήλικους αυτοκράτορες Βασίλη Β΄ και Κωνσταντίνο Η΄ με δύο βουλγαρικές πριγκίπισσες. Δύο από τους γιους του Πέτρου στάλθηκαν στην Κωνσταντινούπολη ως διαπραγματευτές και επίτιμοι όμηροι. Εν τω μεταξύ, ο Πέτρος κατόρθωσε να εξασφαλίσει την υποχώρηση των ρωσικών δυνάμεων, προτρέποντας τους παραδοσιακούς συμμάχους της Βουλγαρίας, τους Πετσενέγους, να επιτεθούν στο Κίεβο.
Χώρος Μπάναχ
Ασθενής συγκλίσεις των ακολουθιών
Μια ακολουθία {xn} σε έναν Μπάναχ χώρο X είναι ασθενώς συγκλίνουσα σε ένα διάνυσμα x ∈ X αν  f (xn) συγκλίνει σ την f (x) για κάθε συνεχές γραμμικό συναρτησιακό  f   στο διπλό X '. Η ακολουθία {xn} είναι ασθενώς Cauchy ακολουθία αν  f (xn) συγκλίνει σε ένα αριθμητικό όριο L( f ), για κάθε  f  στον X '. Μια ακολουθία { fn } στον δυϊκό  X ' είναι ασθενώς* συγκλίνουσα σε ένα συναρτησιακό  f  ∈ X ' αν  fn (x) συγκλίνει σ την f (x) για κάθε x του X. Ασθενώς Cauchy ακολουθίες, ασθενώς συγκλίνουσα και ασθενώς* συγκλίνουσες ακολουθίες είναι νορμικά φραγμένες, ως συνέπεια του Μπάναχ-Σταινχάους θεωρήματος.
Όταν η ακολουθία {xn} στον X είναι ασθενώς Cauchy ακολουθία, το παραπάνω όριο L  ορίζει ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησιακό στον δυϊκό  X ', δηλαδή, το L ένα στοιχείο του διαδυϊκού του X, και το L είναι το όριο της {xn} η ασθενής*-τοπολογία του διαδυϊκού. Ο Μπάναχ χώρος X είναι ασθενώς ακολουθιακά πλήρης αν κάθε ασθενώς Cauchy ακολουθία είναι ασθενώς συγκλίνουσα στο X. Όπως προκύπτει από την προηγούμενη συζήτηση οι ανακλαστικοί χώροι είναι ασθενώς ακολουθιακά πλήρεις. Μια ορθοκανονική ακολουθία σε ένα χώρο Χίλμπερτ είναι ένα απλό παράδειγμα μιας ασθενώς συγκλίνουσας ακολουθίας, με όριο ίσο με το μηδενικό διάνυσμα. Η μοναδιαία διάνυσμα βάση της ℓp, 1 < p < ∞, ή της  c0  , είναι ένα άλλο παράδειγμα μιας ασθενώς μηδενική ακολουθία, δηλαδή, μια ακολουθία που συγκλίνει ασθενώς στο μηδενικό διάνυσμα. Για κάθε ασθενώς μηδενική ακολουθία σε ένα Μπάναχ χώρο, υπάρχει μια ακολουθία κυρτών συνδυασμών διανυσμάτων από τη δοθείσα ακολουθία που είναι νορμικά-συγκλίνουσα στο 0  μηδενικό διάνυσμα.