cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Λευκή ελάτη
Περιγραφή
thumb|250px|Λευκή ελάτη (Abies alba) Φτάνει σε ύψος τα 30 με 50 μέτρα, μερικές φορές μέχρι και 60 μέτρα, ενώ στην ηλικία μπορεί να φτάσει τα 500 με 600 χρόνια. Η κόμη έχει σχήμα άλλοτε ψηλό και λιγνό που συναντάται στην νότια Ευρώπη, και άλλοτε πυραμιδοειδές στις περιοχές των Άλπεων. thumb|250px|Λευκή ελάτη (Abies alba), κλαδί την εποχή της άνοιξης. Τα κλαδιά του λευκού έλατου έχουν χρώμα γκριζοκίτρινο με αραιές μικρές σκουροπράσινες βελόνες. Όταν το δέντρο είναι ακόμα μικρό, τα φρέσκα κλαριά έχουν γυαλιστερή ελαφρά γκριζωπή απόχρωση. Τα κλαδιά στην κορυφή του δέντρου παρουσιάζουν μια ελαφριά κάμψη προς τα επάνω. Οι βελόνες του έχουν μήκος δύο με τρία εκατοστά και πάχος δύο με τρία χιλιοστά.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Δέντρα Κατηγορία:Πευκοειδή Κατηγορία:Ευρωπαϊκή χλωρίδα
Διοικητική διαίρεση Περιφερειακής Ενότητας Ρόδου
Στον παρακάτω κατάλογο αναφέρονται οι δήμοι, οι δημοτικές ενότητες, οι τοπικές κοινότητες και οι οικισμοί της Περιφερειακής Ενότητας Ρόδου.
Η Περιφερειακή Ενότητα Ρόδου έχει πληθυσμό 119.830 κατοίκους.
Δήμος Μεγίστης
Έδρα του Δήμου είναι η Μεγίστη. Ο Δήμος Μεγίστης έχει μόνιμο πληθυσμό 492 κατοίκους. Στο δήμο περιλαμβάνονται:
Δήμος Ρόδου
Έδρα του Δήμου είναι η Ρόδος. Ο Δήμος Ρόδου έχει μόνιμο πληθυσμό 115.490 κατοίκους. Στο δήμο περιλαμβάνονται:
Δήμος Σύμης
Έδρα του Δήμου είναι η Σύμη. Ο Δήμος Σύμης έχει μόνιμο πληθυσμό 2590 κατοίκους. Στο δήμο περιλαμβάνονται:
Δήμος Τήλου
Έδρα του Δήμου είναι το Μεγάλο Χωριό. Ο Δήμος Τήλου έχει μόνιμο πληθυσμό 780 κατοίκους. Στο δήμο περιλαμβάνονται:
Δήμος Χάλκης
Έδρα του Δήμου είναι η Χάλκη. Ο Δήμος Χάλκης έχει μόνιμο πληθυσμό 478 κατοίκους. Στο δήμο περιλαμβάνονται:
Δείτε επίσης
Ροδου
Meaty Beaty Big and Bouncy
Meaty Beaty Big and Bouncy είναι ο τίτλος της συλλογής τραγουδιών του βρετανικού ροκ συγκροτήματος The Who, η οποία κυκλοφόρησε τον Οκτώβριο του 1971 μέσω της δισκογραφικής εταιρείας "Track Records".
Όλα τα κομμάτια της συλλογής κυκλοφόρησαν στην Μεγάλη Βρετανία σε μορφή σινγκλ, με εξαίρεση το "Boris the Spider". Τα σινγκλ αυτά γνώρισαν επιτυχία στις Ηνωμένες Πολιτείες και την Μεγάλη Βρετανία και ο τίτλος της συλλογής προήλθε από παρωνύμια των μελών του συγκροτήματος.
Στο εξώφυλλο του δίσκου, τα μέλη του συγκροτήματος κοιτούν τέσσερα παιδιά και ο αρχικός του τίτλος ήταν "The Who Looks Back".
Το "Meaty Beaty Big and Bouncy" έφθασε στο # 9 στην πατρίδα του συγκροτήματος και το # 11 στο Billboard των Ηνωμένων Πολιτειών, όπου βραβεύθηκε ως πλατινένιο.
Τραγούδια του δίσκου
2. The Kids Are Alright (Townshend) - 2:45
3. Happy Jack (Townshend) - 2:12
4. I Can See for Miles (Townshend) - 4:06
5. Pictures of Lily (Townshend) - 2:43
6. My Generation (Townshend) - 3:18
7. The Seeker (Townshend) - 3:11
8. Anyway, Anyhow, Anywhere (Daltrey, Townshend) - 2:42
9. Pinball Wizard (Townshend) - 2:59
10. A Legal Matter (Townshend) - 2:48
11. Boris the Spider (Entwistle) - 2:28
12. Magic Bus (Townshend) - 4:33
13. Substitute (Townshend) - 3:49
14. I'm a Boy (Townshend) - 3:41
Θέσεις τσαρτ
Meaty Beaty Big and Bouncy (άλμπουμ)
Επίσημη κυκλοφορία: 30 Οκτωβρίου 1971
Βραβεία
Ηνωμένες Πολιτείες (RIAA Certification): Πλατινένιος
Τα μέλη των The Who
Το "Meaty Beaty Big and Bouncy" ηχογραφήθηκε από τους εξής μουσικούς:
Πηγές
Κατηγορία:Δισκογραφία των The Who Κατηγορία:Άλμπουμ του 1971
568
Η τρέχουσα σελίδα αφορά το έτος 568 κατά το Γρηγοριανό ημερολόγιο
Θάνατοι
Κατηγορία:Έτη
Airbus A300
Ανάπτυξη και σχεδιασμός
Το 1966 ο Φρανκ Κολκ (Frank Kolk), διευθυντής της American Airlines, εξέδωσε προκήρυξη για αντικαταστάτη του Boeing 727 στις πτήσεις μεσαίων αποστάσεων εντός των ΗΠΑ. Το νέο αυτό αεροσκάφος θα έπρεπε να είναι δικινητήριο, ευρείας ατράκτου, χωρητικότητας 250 - 300 επιβατών και να έχει την ικανότητα να απογειώνεται από αεροδρόμια που βρίσκονται σε μεγάλο υψόμετρο (όπου τα αεροσκάφη χρειάζονται μακρύτερο τροχιόδρομο και ισχυρούς κινητήρες). Ένα από αυτά τα αεροδρόμια είναι και του Ντένβερ στο Κολοράντο. Οι Αμερικανοί κατασκευαστές απάντησαν με τα τρικινητήρια αεροσκάφη ευρείας ατράκτου McDonnell Douglas DC-10 και Lockheed L-1011 TriStar, καθώς τα δικινητήρια αεροσκάφη δεν επιτρέπονταν σε πολλά δρομολόγια από την Αμερικανική Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας (FAA).
Ο Γάλλος πρόεδρος Σαρλ ντε Γκωλ (Charles de Gaulle), θέλοντας να προκαλέσει την κυριαρχία των Αμερικανών κατασκευαστών αεροσκαφών, πρότεινε τη δημιουργία ενός Ευρωπαϊκού αεροσκάφους που θα μπορούσε να ανταγωνιστεί τα Αμερικανικά μοντέλα. Το Concorde ήταν τμήμα αυτής της απάντησης, σχεδιασμένο για υπερατλαντικές/υπερπόντιες πτήσεις. Η άλλη Ευρωπαϊκή απάντηση ήταν το Α300, το οποίο και σχεδιάστηκε με στόχο την προκήρυξη του Frank Kolk. thumb|200px|Airbus A300B4-603 με στοιχεία νηολογίου D-AIAS της [[Lufthansa κατά την προσγείωση στο αεροδρόμιο Χίθροου του Λονδίνου.]]
Τον Σεπτέμβριο του 1967 οι κυβερνήσεις της Βρετανίας, της Γαλλίας και της Γερμανίας υπέγραψαν Μνημόνιο Συμφωνίας για την έναρξη του σχεδιασμού ενός αεροσκάφους 300 θέσεων με την επωνυμία Airbus A300. Προηγούμενη συμφωνία είχε υπογραφεί τον Ιούλιο του 1967, αλλά περιπλέχθηκε με την άρνηση της Βρετανικής κυβέρνησης να χρηματοδοτήσει την ανάπτυξη ενός μοντέλου ανταγωνιστικού της British Aircraft Corporation, βασισμένου στο BAC 1-11, που προτιμούσε να χρηματοδοτήσει την ανάπτυξη του μοντέλου της Airbus.
Στους μήνες που ακολούθησαν την συμφωνία, τόσο η Γαλλική όσο και η Βρετανική κυβέρνηση εξέφρασαν τις αμφιβολίες τους σχετικά με το αεροσκάφος. Ένα άλλο πρόβλημα που προέκυψε ήταν οι απαιτήσεις για νέο τύπο κινητήρα σχεδιασμένο από την Ρολς Ρόις, τον RB207. Τον Δεκέμβριο του 1968 οι Γαλλικές και Βρετανικές εταιρείες - συνέταιροι της Airbus, (Sud Aviation και Hawker Siddeley) κατέθεσαν νέα πρόταση για ένα αεροσκάφος 250 θέσεων, το Airbus A250. Μετονομάζοντας το A300B, δεν θα χρειαζόταν νέους κινητήρες, οπότε και ο προϋπολογισμός θα ήταν μειωμένος. Προκειμένου να προσελκύσουν εν δυνάμει Αμερικανούς πελάτες, οι Αμερικανικοί κινητήρες CF6-50 επιλέχθηκαν για το Α300 αντί για τον Βρετανικό RB207. Η Βρετανική κυβέρνηση δυσαρεστήθηκε από την απόφαση αυτή, οπότε και αποσύρθηκε από το πρόγραμμα, αλλά η Βρετανική φίρμα Hawker - Siddeley παρέμεινε ως εργολάβος για την ανάπτυξη και σχεδιασμό των πτερύγων του Α300, τα οποία και αποτέλεσαν τον κύριο άξονα για τις εντυπωσιακές επιδόσεις, είτε στις μικρές είτε στις μεγάλες υπερπόντιες πτήσεις. Χρόνια αργότερα, η Βρετανική κυβέρνηση επανήλθε στο πρόγραμμα, μέσω της British Aerospace.
Το 1972 το Α300 έκανε την παρθενική του πτήση. Το πρώτο μοντέλο παραγωγής, το Α300Β2, μπήκε σε υπηρεσία το 1972. Αρχικά η επιτυχία του ομίλου ήταν ιδιαίτερα χαμηλή, αλλά μέχρι το 1979 υπήρχαν 81 αεροσκάφη σε υπηρεσία. Η ανάπτυξη του Α320 καθιέρωσε την Airbus ως κύριο παίκτη στην κατασκευή επιβατικών αεροσκαφών, όπου το αεροσκάφος έλαβε πάνω από 400 παραγγελίες πριν καν εκτελέσει την παρθενική του πτήση, σε αντίθεση με τις 15 παραγγελίες για το Α300 το 1972. thumb|Airbus A300C4-605R της [[Islandsflug|Islandsflug Cargo κατά την τροχιοδρόμηση του στο Διεθνές Αεροδρόμιο Μπαράχας της Μαδρίτης.]]
Το Α300 είναι το πρώτο αεροσκάφος που χρησιμοποίησε τεχνικές "Just In Time". Ολοκληρωμένα τμήματα του αεροσκάφους κατασκευάζονται από μέλη του ομίλου σε όλη την Ευρώπη, και στην συνέχεια μεταφέρονται με αεροσκάφος στην τελική γραμμή παραγωγής, που βρίσκεται στην Τουλούζη (Γαλλία), δίπλα ακριβώς στο διεθνές αεροδρόμιο "Toulouse Blagnac", από έναν τετραμελή στόλο αεροσκαφών τύπου "Aero Spacelines Super Guppy" (βασισμένο στο Boeing 377). Αρχικά η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε ως μέσο για την ενιαία κατανομή εργασιών ανάμεσα στα μέλη του ομίλου ώστε να μειωθούν τα έξοδα δύο γραμμών παραγωγής. Γρήγορα όμως έγινε αντιληπτό πως αυτή η μέθοδος παραγωγής αεροσκαφών είναι οικονομικά συμφέρουσα από το να υπάρχει γραμμή παραγωγής σε μία μόνο τοποθεσία. Αυτό δεν πέρασε απαρατήρητο από την Boeing, η οποία εισήγαγε το ίδιο σύστημα, αν και 30 χρόνια αργότερα, για την παραγωγή του Boeing 787, όπου ανακατασκευασμένα Boeing 747 μεταφέρουν τις πτέρυγες και άλλα τμήματα από την Ιαπωνία προς την Αμερική.
Το Α300 ήταν το έναυσμα για την Ευρωπαϊκή συνεργασία στον τομέα της αεροπορίας. Η πρώτη του πτήση τιμήθηκε με την απεικόνισή του σε Γαλλικά γραμματόσημα των τριών φράγκων.
Τεχνολογία
Μεταγενέστερα Α300 ενσωμάτωσαν και άλλα τεχνολογικά χαρακτηριστικά, όπως:
Όλα τα παραπάνω έκαναν το Α300 ιδανικό αντικαταστάτη για τα τρικινητήρια αεροσκάφη ευρείας ατράκτου όπως τα McDonnell Douglas DC-10 και Lockheed L-1011 για διαδρομές μικρού- και μεσαίου μήκους. Στις αρχικές εκδόσεις, η Airbus χρησιμοποίησε τους ίδιους κινητήρες και παρόμοια συστήματα όπως στο DC-10.
Σε Υπηρεσία
Η Ινδική Indian Airlines ήταν η πρώτη εταιρεία πτήσεων εσωτερικού, που αγόρασε το Α300. Σήμερα, ορισμένα αεροσκάφη πετούν ακόμη με την εταιρεία.
Το 1977, η Αμερικανική Eastern Air Lines ενοικίασε τέσσερα Α300 για την αξιολόγηση σε υπηρεσιακή δραστηριότητα. Ο Φρανκ Μπόρμαν (Frank Borman), πρώην αστροναύτης και τότε διευθύνων σύμβουλος της εταιρείας εντυπωσιάστηκε, καθώς το Α300 κατανάλωνε 30% λιγότερα καύσιμα από τον στόλο των TriStar και παράγγειλε 23 Α300. Αμέσως μετά ακολούθησε παραγγελία από την Pan Am. Έκτοτε, η σειρά των Α300 ξεκίνησε να πουλά, φθάνοντας τον σημερινό αριθμό των 858 παραγγελιών.
Το αεροσκάφος ήταν ιδιαίτερα δημοφιλές για τους Ασιατικούς αερομεταφορείς, καθώς αγοράστηκε από τις Japan Air System, Korean Air, Thai Airways International, Singapore Airlines, Malaysia Airlines, Philippine Airlines, Garuda Indonesia, China Airlines, Pakistan International Airlines, Indian Airlines, Trans Australia Airlines και πολλές άλλες. Καθώς δεν υπόκειτο σε περιορισμούς από την FAA (Αμερικανική Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας) για πτήσεις ETOPS/LROPS των 60 λεπτών, που ίσχυαν για τα δικινητήρια αεροσκάφη εκείνη την εποχή, πολλές Ασιατικές εταιρείες χρησιμοποίησαν το Α300 στις πτήσεις κατά μήκος του Κόλπου της Βεγγάλης και της Νότιας Θάλασσας της Κίνας.
To 1981 η Airbus αναπτυσσόταν ταχύτατα, με πάνω από 300 αεροσκάφη να έχουν πωληθεί και παραγγελίες για 200 αεροσκάφη από 40 διαφορετικές εταιρείες. Αυτό δεν πέρασε απαρατήρητο από την Boeing, η οποία και απάντησε με το Boeing 767.
thumb|250px|Εφοδιασμος ενος αεροσκάφους Airbus A300 των Ολυμπιακών Αερογραμμών. Το Α300 χάρισε στην Airbus την εμπειρία να πουλάει και να κατασκευάζει ανταγωνιστικά αεροσκάφη. Η άτρακτος του Α300 επιμηκύνθηκε και έδωσε τα A330 και Α340, η συρρικνώθηκε για το A310. Επίσης τροποποιήθηκε για το A300-600ST Beluga Super Transporter.
Το Α300 πλησιάζει στο τέλος της καριέρας του και πλέον πωλείται ως εμπορευματικό αεροσκάφος. Ο κυριότερος (εμπορευματικός) χρήστης του Α300 είναι η Αμερικανική FedEx, η οποία τον Ιανουάριο του 2006 είχε 95 αεροσκάφη τύπου Α300/Α310. Η επίσης Αμερικανική United Parcel Service "UPS" άρχισε να χρησιμοποιεί εμπορευματικά Α300. Η τελευταία έκδοση του Α300, είναι το Α300-600R και έχει πιστοποιηθεί για πτήσεις ETOPS 180 λεπτών. Το Α300 απολαμβάνει ανανεωμένο ενδιαφέρον ως μεταχειρισμένο αεροσκάφος με μετατροπή σε εμπορευματικό μοντέλο. Τα εμπορευματικά Α300 (είτε τα νεα Α300-600R, ή τροποποιημένα πρώην επιβατικά, είτε τα -Β4, και -Β2), αποτελούν μετά το Boeing 747 τον μεγαλύτερο εμπορευματικό στόλο αεροσκαφών.
Τον Μάρτιο του 2006 η Airbus ανακοίνωσε τον τερματισμό της παραγωγής των Α300 και Α310. Το τελευταίο μοντέλο, ένα Α300-600, αναμένεται να παραδοθεί τον Ιούλιο του 2007. Επίσης, η Airbus ανακοίνωσε πως θα συνεχίσει να παρέχει σετ επισκευής για το Α300, ώστε να συνεχίσει να πετάει μέχρι το 2025 τουλάχιστον.
Παραλλαγές
thumb|A300-ZERO-G
Σχετικά Άρθρα
Μοντέλα Βασισμένα στο Α300
Παρόμοια Αεροσκάφη
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Πολιτικά αεροσκάφη
Γωνίες Euler
δεξιά|μικρογραφία|338x338εσ| Γεωμετρικός ορισμός των κλασσικών γωνιών Euler. Το (σταθερό) σύστημα συντεταγμένων xyz εμφανίζεται με μπλε χρώμα, ενώ το (περιστραμμένο) σύστημα XYZ εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Η γραμμή των κόμβων ( N ) εμφανίζεται με πράσινο χρώμα Οι γωνίες Euler είναι τρεις γωνίες που εισήγαγε ο Leonhard Euler για να περιγράψουν τον προσανατολισμό ενός στερεού σώματος σε σχέση με ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων.
Στη φυσική μπορούν επίσης να αντιπροσωπεύουν τον προσανατολισμό ενός κινητού συστήματος αναφοράς  ή τον προσανατολισμό μιας γενικής βάσης στην τρισδιάστατη γραμμική άλγεβρα. Αργότερα εισήχθησαν από τους Peter Guthrie Tait και George H. Bryan εναλλακτικές μορφές, που προορίζονται για χρήση στην αεροναυτική και τη μηχανική.
Ισοδυναμία διαδοχικών περιστροφών
Οι γωνίες Euler μπορούν να καθοριστούν με στοιχειώδη γεωμετρία ή με σύνθεση περιστροφών. Ο γεωμετρικός ορισμός δείχνει ότι τρεις στοιχειώδεις περιστροφές (περιστροφές γύρω από τους άξονες ενός συστήματος συντεταγμένων) είναι πάντοτε επαρκείς για την μετακίνηση ενός συστήματος συντεταγμένων (ή ενός στερεού σώματος, πάνω στο οποίο μπορεί να είναι στερεά προσδεμένο) σε οποιοδήποτε επιθυμητό προσανατολισμό.
Οι τρεις στοιχειώδεις περιστροφές μπορεί να είναι ή εξωγενείς (περιστροφές γύρω από τους άξονες xyz του αρχικού συστήματος συντεταγμένων, που υποτίθεται ότι παραμένει ακίνητο), ή ενδογενείς (περιστροφές γύρω από τους άξονες του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων XYZ, που είναι στερεωμένο πάνω στο κινούμενο σώμα και το οποίο και αλλάζει προσανατολισμό, μετά από κάθε στοιχειώδη περιστροφή. Το σύστημα αυτό μερικές φορές αναφέρεται σαν τοπικό σύστημα).
Οι γωνίες Euler συμβολίζονται συνήθως ως α, β, γ, ή ως φ, θ, ψ. Διάφοροι συγγραφείς, για να ορίσουν τις γωνίες Euler, μπορεί να χρησιμοποιούν διαφορετικά σύνολα αξόνων περιστροφής  ή και  διαφορετικά ονόματα για τις ίδιες γωνίες. Επομένως, πριν από κάθε συζήτηση που χρησιμοποιεί τις γωνίες Euler, πρέπει πάντα να προηγείται ο ορισμός τους.
Χωρίς να εξετάσουμε τη δυνατότητα χρήσης δύο διαφορετικών συμβάσεων για τον ορισμό των αξόνων περιστροφής (ενδογενών ή εξωγενών), υπάρχουν δώδεκα πιθανές ακολουθίες αξόνων περιστροφής, χωρισμένες σε δύο ομάδες:
(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)
.
Οι γωνίες Tait – Bryan ονομάζονται επίσης:
Μερικές φορές, και τα δύο είδη ακολουθιών ονομάζονται "γωνίες Euler". Σε αυτήν την περίπτωση, οι ακολουθίες της πρώτης ομάδας ονομάζονται κύριες ή κλασικές γωνίες Euler.
Γεωμετρικός ορισμός
Οι άξονες του αρχικού συστήματος συντεταγμένων συμβολίζονται ως x, y, z, ενώ οι άξονες του περιστραμμένου συστήματος συντεταγμένων ως X, Y, Z.
Ο γεωμετρικός ορισμός (μερικές φορές αναφέρεται ως στατικός) ξεκινά με τον καθορισμό της γραμμής των κόμβων Ν ως της τομής των επιπέδων xy και XY (μπορεί επίσης να οριστεί ως η κοινή κάθετη στους άξονες z και Z, και τότε γράφεται ως το διανυσματικό γινόμενο -εξωτερικό γινόμενο- N = z \times Ζ ). Χρησιμοποιώντας την γραμμή των κόμβων, οι τρεις γωνίες Euler μπορούν να οριστούν ως εξής:
Οι γωνίες Euler μεταξύ δύο συστημάτων αναφοράς ορίζονται, μόνο εάν και τα δύο συστήματα έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (δηλ. είναι και τα δύο δεξιόστροφα ή και τα δύο αριστερόστροφα).
Συμβάσεις στις ενδογενείς περιστροφές
Οι ενδογενείς περιστροφές είναι στοιχειώδεις περιστροφές που γίνονται γύρω από τους άξονες του (κινούμενου) συστήματος συντεταγμένων XYZ,, που είναι σταθερά συνδεμένο με το κινούμενο σώμα. Επομένως οι άξονες αυτοί, αλλάζουν τον προσανατολισμό τους μετά από κάθε στοιχειώδη περιστροφή. Το σύστημα XYZ περιστρέφεται, ενώ το xyz είναι σταθερό. Ξεκινώντας με το XYZ να ταυτίζεται αρχικά με το xyz, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ακολουθία τριών ενδογενών περιστροφών για την επίτευξη οποιουδήποτε επιθυμητού προσανατολισμού του XYZ.
Οι γωνίες του Euler μπορούν να καθοριστούν με ενδογενείς περιστροφές. Το περιστρεφόμενο σύστημα αναφορά XYZ, μπορούμε να το φανταστούμε να ταυτίζεται αρχικά με το ακίνητο xyz. Για να φτάσει στην τελική του θέση θα γίνουν τρεις περιστροφές γύρω από τους άξονές του, και κάθε φορά γύρω από τη νέα τους θέση. Οι τρεις διαδοχικές του θέσεις μέχρι να φτάσει στην τελική του θέση, μπορούν να συμβολιστούν ως εξής:
Για την παραπάνω αναφερόμενη ακολουθία περιστροφών, η γραμμή των κόμβων Ν μπορεί απλά να οριστεί ως η διεύθυνση του Χ μετά την πρώτη στοιχειώδη περιστροφή. Ως εκ τούτου, το Ν μπορεί να συμβολίζεται απλά x′. Επιπλέον, δεδομένου ότι η τρίτη στοιχειώδης περιστροφή συμβαίνει γύρω από το Ζ, δεν αλλάζει τον προσανατολισμό του Ζ. Ως εκ τούτου, το Z συμπίπτει με το z″. Αυτό μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε τον ορισμό των γωνιών Euler ως εξής:
Συμβάσεις στις εξωγενείς περιστροφές
Οι εξωγενείς περιστροφές είναι στοιχειώδεις περιστροφές που γίνονται γύρω από τους άξονες του σταθερού (ακίνητου) συστήματος συντεταγμένων xyz. Δηλ. το σύστημα XYZ περιστρέφεται, ενώ το xyz παραμένει σταθερό. Ξεκινώντας με το XYZ να επικαλύπτει αρχικά το xyz, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ακολουθία τριών εξωγενών περιστροφών  για την επίτευξη οποιουδήποτε επιθυμητού προσανατολισμού-στόχου για το XYZ. Οι γωνίες Euler ή Tait – Bryan (α, β, γ) είναι τα μεγέθη αυτών των στοιχειωδών περιστροφών. Για παράδειγμα, ο προσανατολισμός στόχος μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
Πρόσημα, περιοχές τιμών και συμβάσεις
Οι γωνίες συνήθως ορίζονται σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Δηλαδή όταν κοιτάζουμε προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα, όταν αντιπροσωπεύουν μια περιστροφή που εμφανίζεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (ωρολογιακή φορά - CW) έχουν θετικές τιμές, ενώ όταν η περιστροφή είναι αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αντιωρολογιακή φορά- CCW) έχουν αρνητικές τιμές. Η αντίθετη σύμβαση (κανόνας του αριστερού) ακολουθείται λιγότερο συχνά.
Σχετικά με τις εύρος (περιοχή) τιμών που μπορούν να πάρουν οι γωνίες (χρησιμοποιώντας συμβολισμό διαστήματος) ισχύουν τα εξής:
Οι γωνίες α, β και γ καθορίζονται με μοναδικό τρόπο, εκτός από την ειδική περίπτωση που τα επίπεδα xy και XY ταυτίζονται. Τότε οι άξονες z και Z έχουν τις ίδιες ή αντίθετες κατευθύνσεις. Πράγματι, εάν ο άξονας z και ο άξονας Z έχουν τις ίδιες κατευθύνσεις, τότε β=0 και μόνο το (α+γ) ορίζεται μοναδικά (όχι οι μεμονωμένες τιμές) και, ομοίως, εάν ο άξονας z και ο άξονας Z είναι αντίθετοι, β=π και μόνο το (α−γ) ορίζεται μοναδικά (όχι οι μεμονωμένες τιμές). Αυτές οι ασάφειες είναι γνωστές στις εφαρμογές ως κλείδωμα του gimbal.
Υπάρχουν έξι δυνατότητες επιλογής των αξόνων περιστροφής (για κάθε τύπο ακολουθιών περιστροφής δηλ. ενδογενείς ή εξωγενείς)  για τις κύριες γωνίες Euler. Σε όλες, ο πρώτος και ο τρίτος άξονας περιστροφής είναι οι ίδιοι. Οι έξι πιθανές ακολουθίες είναι:
Μετάπτωση (precession), κλόνηση (nutation) και ενδογενής περιστροφή
δεξιά|μικρογραφία|204x204εσ| Βασικές κινήσεις του Euler της Γης. Ενδογενής (πράσινο),Μετάπτωση (μπλε) και Κλόνηση (κόκκινο) Η μετάπτωση, η κλόνηση και η εγγενής περιστροφή (περιστροφή) ορίζονται ως οι κινήσεις που επιτυγχάνονται αλλάζοντας μία από τις γωνίες του Euler και αφήνοντας τις άλλες δύο αμετάβλητες. Αυτές οι κινήσεις δεν εκφράζονται ως προς το εξωτερικό σύστημα συντεταγμένων, ούτε ως προς το κινούμενο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων του σώματος, αλλά σε μείγμα. Αποτελούν μικτούς άξονες του συστήματος περιστροφής, όπου η πρώτη γωνία μετακινεί τη γραμμή των κόμβων γύρω από τον εξωτερικό άξονα z, η δεύτερη περιστρέφεται γύρω από τη γραμμή των κόμβων N και η τρίτη είναι μια εγγενής περιστροφή γύρω από το Z, έναν άξονα στερεωμένο στο κινούμενο σώμα.
Εάν το β είναι μηδέν, δεν υπάρχει περιστροφή γύρω από το Ν.Σαν αποτέλεσμα, το Ζ συμπίπτει με τα z, α και γ αντιπροσωπεύουν περιστροφές για τον ίδιο άξονα ( z ), και ο τελικός προσανατολισμός μπορεί να επιτευχθεί με μία μόνο περιστροφή γύρω από το z, με γωνία ίση με α + γ.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε μια σβούρα. Η σβούρα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά συμμετρίας της. Αυτό αντιστοιχεί στην εγγενή περιστροφή της. Περιστρέφεται επίσης γύρω από τον κεντρικό άξονά της, με το κέντρο μάζας του να περιστρέφεται γύρω περιστροφικό άξονα. αυτή η περιστροφή είναι μια προϋπόθεση. Τέλος, η σβούρα μπορεί να ταλαντεύεται πάνω-κάτω. η γωνία κλίσης είναι η γωνία κλόνησης. Το ίδιο παράδειγμα μπορεί να φανεί και με τις κινήσεις της γης.
Αν και και οι τρεις κινήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν τελεστή περιστροφής με σταθερούς συντελεστές σε κάποιο σύστημα αναφοράς, δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από αυτούς τους τελεστές ταυτόχρονα. Λαμβάνοντας υπόψη ένα πλαίσιο αναφοράς, το πολύ το ένα από αυτά θα είναι χωρίς συντελεστές. Μόνο η μετάπτωση μπορεί να εκφραστεί γενικά ως πίνακας στη βάση του χώρου χωρίς εξαρτήσεις από τις άλλες γωνίες.
Γωνίες Tait – Bryan
αριστερά|μικρογραφία|200x200εσ| Γωνίες Tait–Bryan. Ακολουθία z-y′-x" (ενδογενείς περιστροφές. Ο N συμπίπτει με τον άξονα y). Η ακολουθία γωνιών περιστροφής είναι ψ, θ, φ . Σημειώστε ότι σε αυτήν την περίπτωση η ψ > 90° και η θ είναι αρνητική γωνία. Η δεύτερη μορφή τυποποίησης, ονομάζεται γωνίες Tait – Bryan', από τους Peter Guthrie Tait και τον George H. Bryan. Αυτή η σύμβαση χρησιμοποιείται συνήθως σε αεροδιαστημικές εφαρμογές. Σε αυτήν η μηδενική γωνία ανύψωσης αντιπροσωπεύει την οριζόντια θέση. Οι γωνίες Tait – Bryan αντιπροσωπεύουν τον προσανατολισμό του αεροσκάφους σε σχέση με το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων. Όταν ασχολείστε με άλλα οχήματα, είναι δυνατές διαφορετικές συμβάσεις αξόνων.
Ορισμοί
δεξιά|μικρογραφία|325x325εσ| Γωνίες Tait – Bryan. z-x′-y ′ ακολουθία (εγγενείς περιστροφές. Το N συμπίπτει με x ′) Οι ορισμοί και οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για τις γωνίες Tait-Bryan, είναι παρόμοιοι με εκείνους που αναφέρονται παραπάνω για τις κύριες γωνίες Euler (γεωμετρικός ορισμός, ορισμός ενδογενούς περιστροφής, ορισμός εξωγενούς περιστροφής). Η μόνη διαφορά είναι ότι οι γωνίες Tait – Bryan αντιπροσωπεύουν περιστροφές γύρω από τρεις διαφορετικούς άξονες (π.χ. x-y-z ή x-y′-z″), ενώ οι κύριες γωνίες Euler χρησιμοποιούν τον ίδιο άξονα, τόσο για την πρώτη, όσο και για την τρίτη στοιχειώδη περιστροφή (π.χ. z-x-z ή z-x′-z″).
Αυτό συνεπάγεται διαφορετικό ορισμό για τη γραμμή των κόμβων στο γεωμετρικό ορισμό. Στην περίπτωση των κύριων γωνιών Euler, η γραμμή των κόμβων ορίστηκε ως η τομή μεταξύ δύο ομόλογων καρτεσιανών επιπέδων (δηλ. παράλληλων επιπέδων, όταν οι γωνίες Euler είναι μηδέν, π.χ. τα xy και XY). Στην περίπτωση γωνιών Tait-Bryan, η γραμμή των κόμβων ορίζεται ως η τομή δύο μη ομόλογων επιπέδων (δηλ. κάθετων επιπέδων, όταν οι γωνίες Euler είναι μηδέν, π.χ. τα xy και YZ).
Συμβάσεις
αριστερά|μικρογραφία| Γωνίες πορείας, ανύψωσης και στροφής (Z-Y ′-X ″) για ένα αεροσκάφος που χρησιμοποιεί άξονες ENU (East-North-Up), τόσο επί του σκάφους όσο και για το σταθμό παρακολούθησης εδάφους. Το σταθερό σύστημα αναφοράς x-y-z αντιπροσωπεύει έναν τέτοιο σταθμό παρακολούθησης. Οι ενσωματωμένοι στο σκάφος άξονες Y και Z δεν εμφανίζονται. Το X εμφανίζεται σε πράσινο χρώμα. Αυτή η εικόνα δεν υπακούει στον κανόνα RHS : ο γ- άξονας πρέπει να αντιστραφεί για να σχηματίσει ένα RHS με ενδείξεις θετικών γωνιών. Οι τρεις στοιχειώδεις περιστροφές μπορεί να γίνουν, είτε γύρω από τους άξονες του αρχικού συστήματος συντεταγμένων, ο οποίος παραμένει ακίνητο (εξωγενείς περιστροφές), είτε γύρω από τους άξονες του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων, το οποίο αλλάζει τον προσανατολισμό του μετά από κάθε στοιχειώδη περιστροφή (ενδογενείς περιστροφές).
Υπάρχουν έξι δυνατότητες επιλογής των αξόνων περιστροφής για τις γωνίες Tait – Bryan. Οι έξι δυνατές ακολουθίες είναι:
Πρόσημα και περιοχές τιμών
δεξιά|μικρογραφία|250x250εσ| Οι κύριοι άξονες ενός αεροσκάφους σύμφωνα με αεροπορικό πρότυπο DIN 9300. Σημειώστε ότι το σταθερό και κινητό σύστημα αναφοράς   πρέπει να συμπίπτουν, όταν οι γωνίες μηδέν. Επομένως, αυτός ο κανονισμός θα επιβάλλει επίσης μια συμβατή σύμβαση αξόνων στο σύστημα αναφοράς Η σύμβαση Tait – Bryan χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική με διαφορετικούς σκοπούς. Στην πράξη υπάρχουν αρκετές συμβάσεις αξόνων για την επιλογή των κινητών και σταθερών αξόνων, και αυτές οι συμβάσεις καθορίζουν τα πρόσημα των γωνιών. Επομένως, τα πρόσημα πρέπει να μελετηθούν προσεκτικά σε κάθε περίπτωση.
''Το εύρος τιμών για τις γωνίες ψ και φ καλύπτει 2π ακτίνια. Για τη γωνία θ το εύρος καλύπτει π ακτίνια.''
Εναλλακτικά ονόματα
Οι παραπάνω γωνίες λαμβάνονται συνήθως  μία στο εξωτερικό σύστημα αναφοράς (κατεύθυνση-heading, προσανατολισμός-bearing), μία στο εσωτερικό κινούμενο σύστημα αναφοράς  (στροφή-bank ) και μία σε ένα μεσαίο σύστημα αναφοράς, που αντιπροσωπεύει μια ανύψωση ή κλίση ως προς το οριζόντιο επίπεδο, που ισοδυναμεί με τη γραμμή των κόμβων για το σκοπό αυτό.
Για ένα αεροσκάφος, μπορούν να ληφθούν με τρεις περιστροφές γύρω από τους κύριους άξονές του, εάν γίνουν με τη σωστή σειρά:
Ως εκ τούτου, στην αεροδιαστημική ονομάζονται μερικές φορές yaw, pitch and roll. Σημειώστε ότι αυτό δεν θα λειτουργήσει, εάν οι περιστροφές εφαρμόζονται με οποιαδήποτε άλλη σειρά ή εάν οι άξονες του αεροπλάνου ξεκινούν σε οποιαδήποτε θέση μη ισοδύναμη με το παραπάνω πλαίσιο αναφοράς.
Οι γωνίες, Tait – Bryan σύμφωνα με τη σύμβαση z - y ′ - x ″ (ενδογενείς περιστροφές), είναι γνωστές ως ναυτικές γωνίες, επειδή μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τον προσανατολισμό ενός πλοίου ή αεροσκάφους ή γωνίες Cardan από τον Ιταλό μαθηματικό και φυσικό Gerolamo Cardano, ο οποίος περιέγραψε για πρώτη φορά λεπτομερώς την ανάρτηση Cardan και την άρθρωση Cardan.
Γωνίες ενός δεδομένου συστήματος αναφοράς
δεξιά|μικρογραφία|225x225εσ| Προβολές του διανύσματος Ζ δεξιά|μικρογραφία|225x225εσ| Προβολές του διανύσματος Υ Ένα συνηθισμένο πρόβλημα είναι να βρείτε τις γωνίες Euler ενός δεδομένου συστήματος αναφοράς. Ο γρηγορότερος τρόπος για να τις βρείτε είναι να γράψετε τους τρία δεδομένα διανύσματα ως στήλες ενός πίνακα και να τον συγκρίνετε με την έκφραση του θεωρητικού πίνακα (βλ. παρακάτω τον πίνακα με τους πίνακες). Από εκεί μπορούν να υπολογιστούν και οι τρεις γωνίες Euler. Ωστόσο, μπορούμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα αποφεύγοντας την άλγεβρα πινάκων, και χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδη γεωμετρία. Εδώ παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα για τις δύο πιο συχνά χρησιμοποιούμενες συμβάσεις:
Σημειώστε ότι μπορεί να ληφθεί οποιαδήποτε άλλη σύμβαση, αλλάζοντας μόνο το όνομα των αξόνων.
Κύριες γωνίες Euler
Θεωρούμε ένα περιστραμμένο σύστημα συντεταγμένων με διανύσματικές μονάδες (X,Y,Z) που δίνονται από τις συντεταγμένες τους στο κύριο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Από εκεί φαίνεται ότι:
Και επειδή
για 0<x<\pi, οπότε sinx >0, έχουμε
Επειδή το Z_2 είναι η διπλή προβολή ενός μοναδιαίου διανύσματος,
Υπάρχει μια παρόμοια κατασκευή για το Y_3, προβάλλοντας το πρώτα πάνω στο επίπεδο που ορίζεται από τον άξονα z και τη γραμμή των κόμβων. Καθώς η γωνία μεταξύ των επιπέδων είναι και, αυτό οδηγεί σε:
και τέλος, χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνημιτονική συνάρτηση,
Γωνίες Tait – Bryan
Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με μοναδιαία διανύσματα (X, Y, Z) που δίνονται από τις συντεταγμένες τους (παρατηρείστε ότι η γωνία θ είναι αρνητική),φαίνεται ότι:
Όπως και πριν,
για   έχουμε
κατά τρόπο ανάλογο με τον προηγούμενο:
Ψάχνοντας για παρόμοιες εκφράσεις με τις προηγούμενες:
Τελευταίες παρατηρήσεις
Σημειώστε ότι οι αντίστροφες ημιτονικές και συνημιτονικές συναρτήσεις παρέχουν δύο πιθανές τιμές για το όρισμα. Σε αυτήν τη γεωμετρική περιγραφή ισχύει μόνο μία από τις λύσεις. Όταν οι γωνίες Euler ορίζονται ως μια σειρά περιστροφών, όλες οι λύσεις μπορεί να είναι έγκυρες, αλλά θα υπάρχει μόνο μία εντός ευρών τιμών των γωνιών. Αυτό συμβαίνει επειδή η ακολουθία περιστροφών για την επίτευξη του πλαισίου στόχου δεν είναι μοναδική, εάν δεν έχουν καθοριστεί προηγουμένως τα εύρη τιμών.
Για υπολογιστικούς σκοπούς, μπορεί να είναι χρήσιμο να απεικονίζονται οι γωνίες χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση atan2(y, x). Για παράδειγμα, στην περίπτωση κύριων γωνιών Euler:
Μετατροπή σε άλλες παραστάσεις για άλλους σκοπούς
Οι γωνίες Euler είναι ένας τρόπος αναπαράστασης των προσανατολισμών. Υπάρχουν και άλλοι, και είναι δυνατόν να αλλάξετε από και προς τις άλλες συμβάσεις. Απαιτούνται πάντα τρεις παράμετροι για την περιγραφή των προσανατολισμών σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Μπορούν να δοθούν με διάφορους τρόπους, με τις γωνίες Euler να είναι μία από αυτές. δείτε γραφήματα στο SO (3) για άλλους.
Η αναπαράσταση προσανατολισμού που χρησιμοποιείται περισσότερο είναι οι πίνακες περιστροφής, η γωνία άξονα και τα τεταρτημόρια, επίσης γνωστά ως παράμετροι Euler-Rodrigues, οι οποίες παρέχουν έναν άλλο μηχανισμό για την αναπαράσταση τρισδιάστατων περιστροφών. Αυτό είναι ισοδύναμο με την περιγραφή της ειδικής ενιαίας ομάδας.
Η έκφραση των περιστροφών 3D σε unit quaternions αντί για πίνακες έχει ορισμένα πλεονεκτήματα:
Πίνακας περιστροφής
Όπως αναφέραμε παραπάνω οποιοσδήποτε προσανατολισμός μπορεί να επιτευχθεί συνθέτοντας τρεις στοιχειώδεις περιστροφές, ξεκινώντας από έναν γνωστό αρχικό προσανατολισμό. Ομοίως, κάθε πίνακας περιστροφής R μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών στοιχειωδών πινάκων περιστροφής. Για παράδειγμα:
είναι ένας πίνακας περιστροφής που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αντιπροσωπεύει μια σύνθεση εξωγενών περιστροφών γύρω από τους άξονες z, y, x, (με αυτή τη σειρά), ή μια σύνθεση ενδογενών περιστροφών περί τους άξονες x - y ′ - z ″ (με αυτή τη σειρά). Ωστόσο, τόσο ο ορισμός των στοιχειωδών πινάκων περιστροφής X, Y, Z, όσο και η σειρά πολλαπλασιασμού τους, εξαρτώνται από τις επιλογές που έχει κάνει ο χρήστης σχετικά με τον ορισμό τόσο των πινάκων περιστροφής, όσο και των γωνιών Euler (βλέπε, για παράδειγμα, ασάφειες στον ορισμό των πινάκων περιστροφής ). Δυστυχώς, υιοθετούνται διαφορετικές συμβάσεις, από χρήστες σε διαφορετικά αντικείμενα. Ο παρακάτω πίνακας δημιουργήθηκε σύμφωνα με το ακόλουθο σύνολο συμβάσεων:
Για λόγους απλότητας, ο ακόλουθος πίνακας του γινομένου των πινάκων χρησιμοποιεί την ακόλουθη ονοματολογία:
! Κύριες Γωνίες Euler !! Gvn;iew Tait–Bryan These tabular results are available in numerous textbooks. For each column the last row constitutes the most commonly used convention.
To change the formulas for passive rotations (or find reverse active rotation), transpose the matrices (then each matrix transforms the initial coordinates of a vector remaining fixed to the coordinates of the same vector measured in the rotated reference system; same rotation axis, same angles, but now the coordinate system rotates, rather than the vector).
The following table contains formulas for angles α, β and γ from elements of a rotation matrix R.
Για να αλλάξετε τους τύπους για παθητικές περιστροφές (ή να βρείτε αντίστροφη ενεργή περιστροφή), αναστρέψτε τους πίνακες (τότε κάθε πίνακας μετατρέπει τις αρχικές συντεταγμένες ενός διανύσματος που παραμένουν σταθερές στις συντεταγμένες του ίδιου φορέα που μετριούνται στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς. Ίδιος άξονας περιστροφής, ίδιος γωνίες, αλλά τώρα το σύστημα συντεταγμένων περιστρέφεται, αντί του διανύσματος).
Ιδιότητες
Οι γωνίες Euler σχηματίζουν ένα γράφημα σε όλα τα SO (3), την ειδική ορθογώνια ομάδα περιστροφών σε 3D χώρο. Το γράφημα είναι ομαλό, εκτός από την ανωμαλία (singularity) σε αναπαράσταση πολικών συνταταγμένονων συντεταγμένου κατά μήκος του β = 0. Δείτε διαγράμματα στο SO (3) για μια πιο ολοκληρωμένη ανάλυση.
Ο χώρος των περιστροφών ονομάζεται γενικά "Η Υπερσφαίρα των περιστροφών ", αν και αυτό είναι ένα ψευδές όνομα: η ομάδα Spin (3) είναι ισομετρική προς την υπερσφαίρα S 3, αλλά ο χώρος περιστροφής SO (3) είναι αντίθετα ισομετρικός στον πραγματικό προβολικό χώρο RP 3 που είναι ένας  2-fold quotient space  της υπερσφαίρας. Αυτή η ασάφεια 2 προς 1 είναι η μαθηματική προέλευση του spin στη φυσική.
Μια παρόμοια αποσύνθεση τριών γωνιών ισχύει για το SU (2), την ειδική μονάδα περιστροφής στον Complex 2D χώρο, με τη διαφορά ότι το β κυμαίνεται από 0 έως 2π. Αυτές ονομάζονται επίσης γωνίες Euler.
Το μέτρο Haar για SO (3) σε γωνίες Euler δίνεται από την παραμετροποίηση γωνίας Hopf του SO (3),, όπου παραμετροποιεί το S^{2}, το χώρος των αξόνων περιστροφής.
Για παράδειγμα, για να δημιουργήσετε ομοιόμορφα τυχαίους προσανατολισμούς, αφήστε τα α και γ να είναι ομοιόμορφα από 0 έως 2π, αφήστε το ζ να είναι ομοιόμορφο από − 1 έως 1 και αφήστε το β = arccos(z).
Γεωμετρική άλγεβρα
Άλλες ιδιότητες των γωνιών Euler και γενικότερα των περιστροφών μπορούν να βρεθούν από τη Γεωμετρική άλγεβρα (GA). Η GA είναι μια αφαίρεση υψηλότερου επιπέδου, στην οποία τα τεταρτημόρια είναι πλήρης υποάλγεβρα. Το κύριο εργαλείο στη GA είναι ο ρότορας όπου  γωνία περιστροφής,  άξονας περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα)  και \mathbf(I)= ψευδοβαθμωτό (trivector στο  )
Υψηλότερες διαστάσεις
Είναι δυνατόν να οριστούν παράμετροι ανάλογες με τις γωνίες Euler σε διαστάσεις μεγαλύτερες από τρεις.
Το πλήθος των βαθμών ελευθερίας ενός πίνακα περιστροφής, είναι πάντα μικρότερος από τη διάσταση του τετραγωνικού πίνακα. Δηλαδή, τα στοιχεία ενός πίνακας περιστροφής δεν είναι όλα εντελώς ανεξάρτητα. Για παράδειγμα, ο πίνακας περιστροφής στη διάσταση 2 έχει μόνο έναν βαθμό ελευθερίας, καθώς και τα τέσσερα στοιχεία του εξαρτώνται από μία μόνο γωνία περιστροφής. Ένας πίνακας περιστροφής με διάσταση 3 (ο οποίος έχει εννέα στοιχεία) έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας, που αντιστοιχούν σε κάθε ανεξάρτητη περιστροφή, για παράδειγμα από τις τρεις γωνίες του Euler ή ένα τεταρτημόριο ενός (μονάδα) μεγέθους.
Στο SO (4) ο πίνακας περιστροφής ορίζεται από δύο τεταρτημόρια, και επομένως είναι 6-παραμετρικός (τρεις βαθμοί ελευθερίας για κάθε τεταρτημόριο). Οι πίνακες περιστροφής 4× 4 έχουν επομένως 6 ανεξάρτητες συνιστώσες από τις 16.
Οποιοδήποτε σύνολο 6 παραμέτρων που ορίζουν τον πίνακα περιστροφής θα μπορούσε να θεωρηθεί επέκταση των γωνιών Euler στην διάσταση 4.
Γενικά, το πλήθος των γωνιών euler στη διάσταση D είναι τετραγωνικός σε D. δεδομένου ότι οποιαδήποτε περιστροφή συνίσταται στην επιλογή δύο διαστάσεων για περιστροφή μεταξύ τους, ο συνολικός αριθμός περιστροφών που διατίθενται σε διάσταση D είναι, για το οποίο D=2,3,4 αποδόσεις.
Εφαρμογές
δεξιά|μικρογραφία| Ένα [[γυροσκόπιο διατηρεί τον άξονα περιστροφής του σταθερό. Επομένως, οι γωνίες που μετρώνται σε αυτό το σύστημα αναφοράς είναι ισοδύναμες με τις γωνίες που μετρώνται στο εργαστηριακό σύστημα αναφοράς. ]]
Οχήματα και κινούμενα πλαίσια
Το κύριο πλεονέκτημά τους έναντι άλλων περιγραφών προσανατολισμού, είναι ότι είναι οι γωνίες είναι άμεσα μετρήσιμες από ένα γυροσκόπιο (gimbal) στερεωμένο σε ένα όχημα. Καθώς τα γυροσκόπια διατηρούν τον άξονα περιστροφής σταθερό, οι γωνίες που μετρώνται σε ένα γυροσκόπιο, είναι ίσες με τις γωνίες που μετρώνται στο σύστημα αναφοράς του εργαστηρίου.
Γενικά κατά τη μελέτη των στερεών σωμάτων, χρησιμοποιούμε δύο συστήματα συντεταγμένων. Το ένα είναι ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, το οποίο το θεωρούμε ακίνητο και συμβολίζεται συνήθως  με τα μικρά γράμματα  με xyz, και το άλλο είναι στερεωμένο ακλόνητα πάνω στο στερεό σώμα, το σύστημα του σώματος, το οποίο  και κινείται μαζί με αυτό και συμβολίζεται με τα κεφαλαία γράμματα XYZ.
Χρησιμοποιώντας τις γωνίες Euler, η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού σώματος παίρνει στο κινούμενο σύστημα αναφοράς, μία απλή μορφή. Επίσης, oι εξισώσεις Euler του στερεού σώματος είναι απλούστερες, επειδή στο κινούμενο σύστημα αναφοράς ο τανυστής αδράνειας είναι σταθερός.
Κρυσταλλογραφική υφή
μικρογραφία|Πολικές εικόνες (Pole figures) που δείχνουν την κρυσταλλογραφική υφή του γάμμα-TiAl σε ένα κράμα άλφα2-γ, όπως μετράται με ακτίνες Χ υψηλής ενέργειας. Στην επιστήμη υλικών, η κρυσταλλογραφική υφή-texture (ή προτιμώμενος προσανατολισμός) μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τις γωνίες Euler. Στην ανάλυση υφής, οι γωνίες Euler παρέχουν μια μαθηματική απεικόνιση του προσανατολισμού των μεμονωμένων κρυσταλλιτών μέσα σε ένα πολυκρυσταλλικό υλικό, επιτρέποντας την ποσοτική περιγραφή του μακροσκοπικού υλικού. Ο πιο κοινός ορισμός των γωνιών οφείλεται στο Bunge και αντιστοιχεί στη σύμβαση ZXZ. Είναι σημαντικό, ωστόσο, να σημειωθεί ότι η εφαρμογή περιλαμβάνει γενικά μετασχηματισμούς άξονων των ποσοτήτων τανυστή, δηλαδή παθητικές περιστροφές. Έτσι, ο πίνακας που αντιστοιχεί στις γωνίες Bunge Euler, είναι ο ανάστροφος αυτού που φαίνεται στον παραπάνω πίνακα.
Άλλα
Τα συστήματα ελέγχου πυρός των κανονιών απαιτούν διορθώσεις των γωνιών προσανατολισμού τους (κατεύθυνση και ανύψωση) για να αντισταθμίσουν την κλίση του καταστρώματος (pitch and roll). Στα παραδοσιακά συστήματα, ένα σταθεροποιημένο γυροσκόπιο με κατακόρυφο άξονα περιστροφής διορθώνει την κλίση του καταστρώματος και σταθεροποιεί τα οπτικά σημεία και την κεραία ραντάρ. Ωστόσο, οι κάνες των κανονιών δείχνουν προς μια κατεύθυνση διαφορετική από την οπτική γωνία προς τον στόχο, για να αντιμετωπίσουν την κίνηση του στόχου και την πτώση του βλήματος, μεταξύ άλλων παραγόντων, και λόγω βαρύτητας. Η βάση του κανονιού περιστρέφεται με το επίπεδο του καταστρώματος και απαιτεί διόρθωση. Οι προσανατολισμοί των κανονιών περιλαμβάνουν γωνίες που υπολογίζονται από τα κατακόρυφα γυροσκοπικά δεδομένα, και αυτοί οι υπολογισμοί περιλαμβάνουν γωνίες Euler.
Οι γωνίες Euler χρησιμοποιούνται επίσης εκτενώς στην κβαντική μηχανική της γωνιακής ορμής. Στην κβαντική μηχανική, οι ρητές περιγραφές των αναπαραστάσεων του SO (3) είναι πολύ σημαντικές για τους υπολογισμούς και σχεδόν όλη η εργασία έχει γίνει με γωνίες Euler. Στην πρώιμη ιστορία της κβαντικής μηχανικής, όταν οι φυσικοί και οι χημικοί είχαν μια έντονα αρνητική αντίδραση στις αφηρημένες θεωρητικές μεθόδους της ομάδας (που ονομάζονται Gruppenpest ), η εξάρτηση από τις γωνίες του Euler ήταν επίσης απαραίτητη για τη βασική θεωρητική εργασία.
Eξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία Κατηγορία:Γωνία
Νόελ Λάρκιν
Ο Νοέλ Λάρκιν (γεννημένος στις 6 Ιανουαρίου 1955, στο Athlone) είναι ένας Ιρλανδός πρώην ποδοσφαιριστής που έπαιξε για τους Άθλον Τάουν, Σάμροκ Ρόβερς και Ντέρι Σίτι.
Βιογραφία
Ο Νοέλ έκανε το ντεμπούτο του στο League of Ireland το 1971 στο Τόλκα Παρκ εναντίον της Σέλμπορν ως αριστερό μπακ. Η ευελιξία του ήταν ένα σημαντικό πλεονέκτημα για τον σύλλογο της πόλης του καθώς στα δεκατρία του χρόνια στο Σαιντ Μέλς Παρκ έπαιξε σε κάθε θέση εκτός γηπέδου.
Ο Noel κέρδισε δύο φορές το League of Ireland και τρεις φορές το Κύπελλο Ιρλανδίας με την πατρική του ομάδα. Εκπροσώπησε επίσης τον σύλλογο στο Ευρωπαϊκό Κύπελλο και πιο μνημονιακά στο Κύπελλο ΟΥΕΦΑ εναντίον της Μίλαν το 1975. Ο Νοέλ περιγράφει την εμπειρία του να παίζει στο φημισμένο Σαν Σίρο :
«Ήταν κάποια εμπειρία», είπε ο Νοέλ, ο οποίος ήταν μόλις 19 τότε. «Το Σαν Σίρο ήταν γεμάτο και ήταν πολύ τρομακτικό. Βγήκαμε στον αγωνιστικό χώρο πριν από το παιχνίδι και πολλές φωτοβολίδες άρχισαν να πέφτουν από την κερκίδα. Δεν είχαμε ξανασυναντήσει τέτοιου είδους φανατισμό. Ήταν λίγο τρομακτικό. Είχαμε επίσης δεχτεί πολλή κακή πίεση από τα ιταλικά μέσα ενημέρωσης επειδή ένιωθαν ότι κλωτσήσαμε πολύ δυνατά τους παίκτες τους στο Άθλον. Υπήρχε λοιπόν ένα πολύ άσχημο συναίσθημα απέναντί μας. Το γεγονός ότι οι φανέλες μας είχαν το ίδιο χρώμα με την Ίντερ, τους μεγαλύτερους αντιπάλους της, φάνηκε να τους ενοχλεί ακόμη περισσότερο!
«Παίξαμε εξαιρετικά καλά όμως και τους κρατήσαμε χωρίς σκορ για το μεγαλύτερο μέρος του παιχνιδιού. Νομίζω ότι δεχθήκαμε τρία στα τελευταία 20 λεπτά περίπου. Απλώς υποχωρήσαμε λίγο. Έπαιξα στη μέση της γραμμής εκείνο το βράδυ και σημάδεψα τον Τζιάνι Ριβέρα, ήταν ο αρχηγός της Ιταλίας στο Παγκόσμιο Κύπελλο και έκανε την επιστροφή του στην Μίλαν εκείνο το βράδυ. Γι' αυτό είχε πολύ κόσμο στο γήπεδο. Είναι ένας θρύλος της Μίλαν. Με πλησίασε μετά το παιχνίδι και μου είπε ότι έπαιξα καλά. Ήταν ωραίο και δεν θα το ξεχάσω ποτέ».
Ολοκλήρωσε τη σεζόν 1982/83 ως πρώτος σκόρερ με 18 γκολ στο πρωτάθλημα που του χάρισε το βραβείο Προσωπικότητας της Χρονιάς.
Ο Νοέλ εντάχθηκε στους Ρόβερς τον Νοέμβριο του 1984 έχοντας αποφασίσει να αποσυρθεί λίγες εβδομάδες πριν μόνο για ένα τηλεφώνημα από τον Τζιμ ΜακΛάφλιν (προπονητής ποδοσφαίρου) που του άλλαξε γνώμη. Έκανε το ντεμπούτο του στις 18 Νοεμβρίου σε μια νίκη 2–0 επί της Χόουμ Φαρμ. Δύο εβδομάδες αργότερα σκόραρε στο εντός έδρας ντεμπούτο του στο Μίλταουν σε ένα σφυροκόπημα 4-0 του Σαιντ Πατς. Συνέχισε με 11 γκολ (8 στο πρωτάθλημα και 3 στο Κύπελλο ΦΑΙ) εκείνη τη σεζόν καθώς η Ρόβερς κέρδισε το νταμπλ. Αυτό που θυμάται καλύτερα ήταν το νικητήριο γκολ του στον τελικό του Κυπέλλου εναντίον της Γκάλγουεϊ Γιουνάιτεντ.
Τη σεζόν 1985/86 σκόραρε 13 γκολ σε όλες τις διοργανώσεις καθώς οι Ρόβερς κέρδισε ξανά το νταμπλ με τον Νόελ να σκοράρει μια αξέχαστη κεφαλιά στη νίκη της Ρόβερς με 1–0 επί της Άρσεναλ. Τη σεζόν 1986/87 ο Νόελ σημείωσε συνολικά δεκαεπτά γκολ σε όλες τις διοργανώσεις καθώς οι Ρόβερς ολοκλήρωσε ένα τρεμπλ νταμπλ. Σκόραρε επίσης για το Λιγκ οφ Άιρλαντ σε μια ήττα 2-1 από το Ιρλανδική Λίγκα την Ημέρα του Αγίου Πατρικίου. Το επόμενο βράδυ οι Ρόβερς έπαιξαν με τη Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ και ο Νόελ έπαιξε και σκόραρε με κεφαλιά-ψαράκι, καθώς οι Ρόβερς σημείωσαν τη δεύτερη νίκη τους επί των λαμπερών αντιπάλων τους την ίδια σεζόν.
Και πάλι ο Νόελ σκόραρε στον τελικό του Κυπέλλου με ένα υπέροχο σουτ από τα 18 μέτρα. Παρά το ενδιαφέρον της Μονακό, ο Νόελ έμεινε με την Ρόβερς.
Η επόμενη σεζόν ήταν καταστροφική για τον σύλλογο καθώς το Γκλενμέιλιουρ Παρκ τέθηκε προς πώληση και οι ιδιοκτήτες μετέφεραν τους εντός έδρας αγώνες στο Τόλκα Παρκ. Καθώς οι οπαδοί της Ρόβερς μποϊκόταραν τους «εντός έδρας» αγώνες, η φόρμα του Νόελ φαινόταν να υποφέρει καθώς σημείωσε μόλις 11 γκολ σε όλες τις διοργανώσεις. Ωστόσο, αυτά περιλάμβαναν ένα χατ τρικ με κεφαλιές εναντίον της Μποέμιανς στο Ντέιλιμαουντ Παρκ. Το τελευταίο του παιχνίδι στα πράσινα και λευκά ήταν στις 8 Απριλίου 1988 σε ένα σχεδόν άδειο Τόλκα.
Συνολικά έπαιξε σε έξι ευρωπαϊκά παιχνίδια για τους Χουπς πετυχαίνοντας 34 γκολ στο πρωτάθλημα και 12 στο Κύπελλα ΦΑΙ.
Στη συνέχεια εντάχθηκε στην Ντέρι Σίτι όπου σκόραρε δύο φορές στο ντεμπούτο του και σε μία σεζόν εκεί κέρδισε το εγχώριο τρεμπλ. Κατάλληλα στον τελευταίο του αγώνα στο Πρωτάθλημα της Ιρλανδίας κέρδισε άλλο ένα μετάλλιο στο Κύπελλο για να φέρει το σύνολο της καριέρας του σε 15 τρόπαια, 6 πρωταθλήματα, 4 κύπελλα ΦΑΙ, 4 Λιγκ Καπ και 1 Τάιλερ Ολ Άιρλαντ Καπ καθώς και άλλα δευτερεύοντα μετάλλια όπως Μετάλλια Πρέζιντεντς Καπ και Λέινστερ Σίνιορ Καπ. Έκανε πάνω από 500 εμφανίσεις στο πρωτάθλημα της Ιρλανδίας.
Στη συνέχεια, ο Νόελ μετανάστευσε στην Αυστραλία και έπαιξε για τους Σπίαργουντ Νταλμάτινατς και Στίρλινγκ Μασεντόνια, κερδίζοντας άλλο ένα νταμπλ πρωταθλήματος και κυπέλλου πριν αποσυρθεί στα 38 και στη συνέχεια προπόνησε μέχρι το 1998. Αυτή τη στιγμή κατοικεί στο Μπρίσμπεϊν.
Εκπροσώπησε επίσης την ιρλανδική ολυμπιακή ομάδα 8 φορές στους προκριματικούς των Θερινών Ολυμπιακών Αγώνων του 1988, σκοράροντας στην ισοπαλία 2–2 απέναντι στην Ισπανία και στην ισοπαλία 1–1 απέναντι στην Γαλλία, όπου ηγήθηκε της ομάδας.
Πηγές
Κατηγορία:Ποδοσφαιριστές Σάμροκ Ρόβερς Κατηγορία:Ιρλανδοί ποδοσφαιριστές
Έργα με ένδειξη επιφύλαξης
Ως έργα με ένδειξη επιφύλαξης (γερμ. Vorbehaltsfilm) είναι σύμφωνα με το Ίδρυμα Φρίντριχ-Βίλχελμ-Μούρναου οι κινηματογραφικές ταινίες της Ναζιστικής Γερμανίας που προώθησαν την ιδεολογία του πολέμου, του ρατσισμού και της φυλετικής εξόντωσης στην εποχή τους, και των οποίων η προβολή επιτρέπεται μόνο σε κλειστούς χώρους και μόνο κατόπιν διαφώτισης των θεατών με ανάλογη εισαγωγική διάλεξη που θα αναλύει το ιστορικό πλαίσιο της εποχής και με διάλογο υπό τον έλεγχο ειδήμονος ιστορικού.
Ιστορική αναδρομή
Το Ίδρυμα Φρίντριχ-Βίλχελμ-Μούρναου παρέλαβε τα πνευματικά δικαιώματα αυτών των ταινιών με το ιδρυτικό καταστατικό του, το 1966. Συνολικά τέθηκαν στην αρμοδιότητα του ιδρύματος περί τα 6000 έργα από το 1920 έως και 1960.
Περίπου 1240 ταινίες των ετών 1933 - 1945 - τα χρόνια της διακυβέρνησης της Γερμανίας από τους Ναζί ταξινομήθηκαν σε τρεις κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία περιείχε έργα προς δημόσια προβολή, η δεύτερη περιείχε λογοκριμένες ταινίες που ήταν πλέον δυνατόν να προβληθούν δημόσια ενώ οι ταινίες της τρίτης κατηγορίας απαγορεύτηκε τελείως η δημόσια προβολή τους. Αρχικά απαγορεύτηκαν 219 έργα, από τα οποία μερικά αργότερα επιτράπηκαν ξανά.
Παραπομπές
Τ Κατηγορία:Κινηματογράφος στη Γερμανία Κατηγορία:Λογοκρισία
569
Η τρέχουσα σελίδα αφορά το έτος 569 κατά το Γρηγοριανό ημερολόγιο
Θάνατοι
Κατηγορία:Έτη
Βαρούχ
Ο Βαρούχ (εβραϊκά: ברוך, «μπαρούχ», δηλαδή «ευλογημένος»), γιος του Νηρία, ήταν, σύμφωνα με την Παλαιά Διαθήκη, ο γραφέας, μαθητής και αφοσιωμένος φίλος του βιβλικού προφήτη Ιερεμία. Επομένως έζησε περί τον 6ο αιώνα π.Χ.. Σύμφωνα με τον Ιώσηπο, ο Βαρούχ ήταν ένας Εβραίος από την αριστοκρατική τάξη και είχε έναν αδελφό, τον Σαραίο, αρχιθαλαμηπόλο του βασιλιά Σεδεκία του Ιούδα.