cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Μάρτιν Φρίμαν
Ο Μάρτιν Τζον Κρίστοφερ Φρίμαν (Martin John Christopher Freeman, 8 Σεπτεμβρίου 1971 ) είναι Άγγλος κωμικός και ηθοποιός του κινηματογράφου και της τηλεόρασης, ιδιαίτερα γνωστός για τον ρόλο τους, ως Μπίλμπο Μπάγκινς, στην κινηματογραφική τριλογία Το Χόμπιτ (2012-2014), του Πίτερ Τζάκσον. Αρχικά, όμως, έλαβε δημοτικότητα, ως Tim Canterbury, στη βρετανική sitcom σειρά The Office. Εξίσου σημαντικοί και δημοφιλείς ρόλοι του είναι ως Δρ. Τζον Γουάτσον, στη βρετανική σειρά Sherlock (2010-2017) και ως Lester Nygaard, στην αμερικανική σειρά Fargo (2014).
Άλλες αξιοσημείωτες συμμετοχές στον κινηματογράφο, περιλαμβάνουν το Love Actually (2003), το The Hitchhiker's Guide to the Galaxy (2005), το Nativity! (2009), μία κωμική ταινία, σχεδόν σε αυτοσχεδιασμό και την κωμική τριλογία Three Flavours Cornetto (2004-2013). Επίσης, είχε συμμετάσχει και σε ταινίες της Marvel, ως Everett K. Ross, στις Captain America: Civil War (2016) και Black Panther (2018).
Μεταξύ αρκετών διακρίσεων και βραβείων που έχει λάβει ο Φρίμαν στην υποκριτική του καριέρα, μεταξύ αυτών, είναι ένα BAFTA Δεύτερου Καλύτερου Ανδρικού Ρόλου (2011), για το Sherlock, ένα Primetime Emmy Awards, το 2014, πάλι για την ίδια σειρά, κι ένα Screen Actors Guild Awards, στην κατηγορία Καλύτερου Κάστινγκ σε Ταινία Μεγάλου Μήκους, για το Black Panther. Σχετικά με την προσωπική του ζωή, γεννήθηκε στο Χαμσάιρ και σπούδασε στο Brooklands College. Υπήρξε σε σχέση επί 16 χρόνια με την Αμάντα Άμπιγκτον, με την οποία είχε αποκτήσει και δύο τέκνα. Είναι, επίσης, φίλος και νονός παιδιού του Σάιμον Πεγκ. Ο ίδιος δηλώνει υποστηρικτής του Εργατικού Κόμματος, με το οποίο έχει ασχοληθεί ενεργά.
Δράμα (κινηματογράφος και τηλεόραση)
Δράμα είναι ένα κινηματογραφικό και τηλεοπτικό είδος, το οποίο τις περισσότερες φορές διευκρινίζεται με άλλα υποείδη, όπως το "πολιτικό δράμα", το "ιστορικό δράμα", το "αστυνομικό δράμα" και "κωμικό δράμα" μεταξύ άλλων. Όλοι αυτοί οι όροι συνεισφέρουν ώστε να συγκεκριμενοποιήσουν το θεματικό υπόβαθρο ενός έργου. Μερικοί από τους πιο γνωστούς τύπους δράματος, στην τηλεόραση ή στον κινηματογράφο, εκτός από τα προαναφερθέντα είναι το "δράμα τρόμου", το "ψυχολογικό δράμα", το "αισθηματικό δράμα", και το "docudrama".
Μερικά από τα πιο χαρακτηριστικά δραματικά έργα στον κινηματογράφο που συνδέονται με κάποιο υποείδος, είναι το Ο Νονός (αστυνομικό δράμα), το Καζαμπλάνκα (αισθηματικό δράμα), το Ο σοφέρ της κυρίας Ντέιζι (κωμικό δράμα). Ενώ στην τηλεόραση χαρακτηριστικά έργα του είδους είναι το Νόμος και τάξη: Ειδική ομάδα (αστυνομικό δράμα) και το Πράκτορας... στο τσακ (κωμικό δράμα).
Πηγές
Κατηγορία:Κινηματογραφικά είδη Κατηγορία:Τηλεοπτικά είδη
Βιέρα Γιούροβα
Το 2019, το περιοδικόTime κατέταξε τη Γιούροβα στη λίστα με τα 100 πιο ισχυρά άτομα της χρονιάς, αναφέροντας το ρόλο της στην έγκριση του Γενικού Κανονισμού για την Προστασία Δεδομένων και των νέων δικαιωμάτων απορρήτου ως Ευρωπαία Επίτροπος.
Νεαρή ηλικία και εκπαίδευση
Η Γιούροβα μεγάλωσε στο Τρέμπιτς, μία μικρή πόλη στην οποία οι γονείς της, δάσκαλος νηπιαγωγείου και υπεύθυνος τροφοδοσίας, είχαν ένα λαϊκό συγκρότημα. Σπούδασε πολιτιστική ανθρωπολογία στο Πανεπιστήμιο του Καρόλου στην Πράγα, ενώ μεγάλωνε δύο παιδιά. Μετά την αποφοίτησή της, επέστρεψε για δουλειά στο τοπικό συμβούλιο του Τρέμπιτς.
Καριέρα στο δημόσιο τομέα
Τον Οκτώβριο του 2006, η Γιουρόβα κατηγορήθηκε ότι δέχτηκε δωροδοκία 2 εκατομμυρίων κορονών Τσεχίας από τον Λάντισλαβ Πέτα, δήμαρχο του Μπούντισοφ, Νότια Μοραβία, για την εξασφάλιση επιδοτήσεων της ΕΕ στην ανοικοδόμηση του Σατώω Μπούντισοφ. Αν και απαλλάχθηκε πλήρως, πέρασε περισσότερο από ένα μήνα στην προδικαστική κράτηση, η οποία "έφερε το διαζύγιο και την αγωνία στην οικογένειά της". Η δίωξή της σταμάτησε στα μέσα του 2008, όταν η αστυνομία εμφανίστηκε και είπε ότι η δωροδοκία δεν είχε συμβεί ποτέ.
Μεταξύ 2006 και 2013, η Γιούροβα ήταν ανεξάρτητη σύμβουλος που παρέχει συμβουλές για θέματα ΕΕ στην Τσεχική Δημοκρατία, τη Ρουμανία, τη Γερμανία, τη Λευκορωσία, τη Λετονία, την Εσθονία, τη Βόρεια Μακεδονία, τη Σερβία, το Μαυροβούνιο και τη Μολδαβία.
Πολιτική καριέρα
Η Γιούροβα είναι μέλος του πολιτικού κόμματος ΑΝΟ από το 2012 και από το 2013 είναι αναπληρώτρια πρόεδρος του κινήματος. Εκλέχτηκε Μέλος της Βουλής των Αντιπροσώπων του Κοινοβουλίου τον Οκτώβριο του 2013 και έγινε Υπουργός Περιφερειακής Ανάπτυξης τον Ιανουάριο του 2014 στην κυβέρνηση του Μποχόσλαβ Σομπότκα. Οι βαθμολογίες δημοτικότητάς της παρέμειναν σταθερά υψηλές, βοηθώντας να οδηγήσει το κόμμα στη δεύτερη θέση στις εθνικές εκλογές του 2013 και στη νίκη στις ευρωπαϊκές εκλογές του 2014.
Μέλος της Ευρωπαϊκής Επιτροπής, 2014-σήμερα
μικρογραφία| Ο Jourová καταθέτει ενώπιον του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου το 2019 για επιβεβαίωση ως [[Αντιπρόεδρος της Ευρωπαϊκής Επιτροπής|Αντιπροέδρου και Επιτρόπου για τις Αξίες και τη Διαφάνεια]] Τον Ιούλιο του 2014, τα τρία κόμματα της τσεχικής κυβέρνησης συμφώνησαν ότι ο επόμενος Ευρωπαίος επίτροπος της χώρας θα πρέπει να είναι η Γιούροβα. Εκείνη την εποχή, υπήρχε εικασία ότι θα αγωνιζόταν για τις σημαντικές θέσεις της Επιτρόπου Περιφερειακής Πολιτικής ή της Επιτρόπου για την Εσωτερική Αγορά και Υπηρεσίες.
Μετά από ακρόαση του Κοινοβουλίου της ΕΕ, επιβεβαιώθηκε ως Επίτροπος Δικαιοσύνης, Καταναλωτών και Ισότητας των Φύλων της Ευρωπαϊκής Ένωσης, μέλος της Επιτροπής Γιούνκερ. Το Παρατηρητήριο Εταιρικής Ευρώπης "εξέφρασε σοβαρές αμφιβολίες" για τις πιθανές συγκρούσεις συμφερόντων λόγω των δεσμών της με τον πρόεδρο του κόμματος ANO Αντρέι Μπάμπιτς, ο οποίος είναι επίσης ο Τσέχος Υπουργός Οικονομικών και ένας δισεκατομμυριούχος επιχειρηματίας. Το κόμμα της, ANO, ανήκει στη Συμμαχία Φιλελευθέρων και Δημοκρατών για την Ευρώπη στο Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο.
Οι αρμοδιότητές της περιλαμβάνουν την ισότητα των φύλων, τη δικαστική συνεργασία εντός της ΕΕ και την προστασία της ιδιωτικής ζωής, συμπεριλαμβανομένης της ολοκλήρωσης διαπραγματεύσεων για μία ολοκληρωμένη συμφωνία ασφαλούς λιμένα ΕΕ-ΗΠΑ και τη συνεργασία με τον αντιπρόεδρο για την ψηφιακή ενιαία αγορά Άντρου Άνσιπ για να περάσει «η μεταρρύθμιση της προστασίας δεδομένων της ΕΕ και να εκμοντερνίσει και απλοποιήσει τους καταναλωτικούς κανόνες για διαδικτυακές και ψηφιακές αγορές". Επιπλέον, το χαρτοφυλάκιό της περιλαμβάνει "εποπτεία των κανόνων αμοιβών σε ολόκληρο το Σίτι του Λονδίνου, επιβολή περιορισμών αμοιβών της ΕΕ και ανώτατα όρια μπόνους", κάτι που διαγράφηκε ρητά από το χαρτοφυλάκιο του Τζόναθαν Χιλ ως Επιτρόπου για την οικονομική σταθερότητα, τις χρηματοοικονομικές υπηρεσίες και την ένωση κεφαλαιαγορών" εν μέσω ανησυχιών ότι μέλη του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου θα προσπαθήσουν να αρνηθούν το διορισμό του. Το 2018, η Γιούροβα ήταν υπεύθυνη για τη σύνταξη κανόνων για την αξιολόγηση της ανεξαρτησίας και της λειτουργίας του δικαστικού συστήματος μίας χώρας ως προϋπόθεση για τη λήψη χρημάτων από τον προϋπολογισμό της Ευρωπαϊκής Ένωσης.
Η Γιούροβα έχει εκφράσει ανησυχίες σχετικά με το κράτος δικαίου στην Πολωνία.
Τον Απρίλιο του 2021, η Γιουρόβα συμπεριλήφθηκε σε μία λίστα με οκτώ δημόσιους αξιωματούχους στους οποίους απαγορεύτηκε η είσοδος στη Ρωσία από το Υπουργείο Εξωτερικών της χώρας, ως αντίποινα για κυρώσεις της ΕΕ έναντι Ρώσων.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Τσέχοι πολιτικοί Κατηγορία:Ευρωπαίοι επίτροποι
Ορίζουσα
Στην γραμμική άλγεβρα, η ορίζουσα είναι μια τιμή, η οποία σχετίζεται με ένα τετραγωνικό πίνακα. Μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του πίνακα σε μια συγκεκριμένη αριθμητική έκφραση, αν και υπάρχουν και άλλοι τρόποι να βρούμε αυτήν την τιμή. Η ορίζουσα παρέχει σημαντικές πληροφορίες όταν ο πίνακας αποτελείται από τους συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, ή όταν αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό ενός διανυσματικού χώρου. Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική, ενώ όταν η ορίζουσα είναι μηδέν είτε δεν υπάρχουν λύσεις είτε υπάρχουν πολλές. Στην δεύτερη περίπτωση, για τις ίδιες συνθήκες σημαίνει ότι για τον μετασχηματισμό ορίζεται η αντίστροφη πράξη. Για την τιμή της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να δοθεί μια γεωμετρική ερμηνεία: η απόλυτη τιμή της ορίζουσας δίνει την κλίμακα με την οποία το εμβαδόν ή ο όγκος (ή μιας μεγαλύτερης διάστασης αναλογία) πολλαπλασιάζεται με τον σχετικό γραμμικό μετασχηματισμό, ενώ το πρόσημό της δείχνει αν ο μετασχηματισμός διατηρεί τον προσανατολισμό. Έτσι, ένας 2 × 2 πίνακας με ορίζουσα −2, όταν εφαρμόζεται στην περιοχή ενός επιπέδου με πεπερασμένο εμβαδόν, θα μετασχηματιστεί σε μια περιοχή με το διπλάσιο εμβαδόν, ενώ αντιστρέφει τον προσανατολισμό της.
Ορίζουσες εμφανίζονται σε όλα τα μαθηματικά. Η χρήση των οριζουσών στον λογισμό συμπεριλαμβάνει την Ιακωβιανή ορίζουσα σε κανόνα αντικαταστάσεως για ολοκληρώματα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Χρησιμοποιούνται για να ορίσουν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα, το οποίο είναι ένα ουσιώδες εργαλείο στα προβλήματα ιδιοτιμών της γραμμικής άλγεβρας. Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται απλά σαν ένας συμπαγής συμβολισμός για εκφράσεις που διαφορετικά θα ήταν δύσχρηστες στην καταγραφή.
Η ορίζουσα ενός πίνακα A συμβολίζεται det(A), det A, ή |A|. Σε περίπτωση που τα στοιχεία του πίνακα είναι ολογράφως, η ορίζουσα υποδηλώνεται με κάθετες γραμμές γύρω από τον πίνακα αντί για τις αγκύλες ή τις παρενθέσεις του πίνακα. Για παράδειγμα, η ορίζουσα του πίνακα γράφεται και η τιμή της είναι
Ορισμός
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να ορισθεί η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα A, δηλ. ένας πίνακας με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Πιθανώς ο πιο φυσικός τρόπος είναι να εκφραστεί από την άποψη των στηλών του πίνακα. Αν γράψουμε ένα n × n πίνακα υπό την μορφή στηλών διανυσμάτων
όπου τα a_j είναι διανύσματα διάστασης n τότε η ορίζουσα του Α ορίζεται ως
όπου b και c είναι μονοδιάστατα, v είναι ένα διάνυσμα διάστασης n και Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης n. Αυτές οι ιδιότητες δηλώνουν ότι η ορίζουσα είναι μια εναλλασσόμενη πολυγραμμική συνάρτηση των στηλών και αρκούν για να υπολογιστεί μοναδικά η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα. Έχοντας γενικότερα ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο, ο ορισμός παρακάτω δείχνει ότι μια τέτοια συνάρτηση υπάρχει και θα δειχθεί ότι είναι μοναδική.
Ισοδύναμα, η ορίζουσα μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα από γινόμενα των στοιχείων του πίνακα, όπου κάθε γινόμενο έχει n όρους και ο συντελεστής του γινομένου είναι -1 ή 1 ή 0 σύμφωνα με έναν δοθέν κανόνα: είναι, δηλαδή, μία πολυωνυμική έκφραση των στοιχείων του πίνακα. Αυτή η έκφραση μεγαλώνει ραγδαία με τη διάσταση του πίνακα (ένας n × n πίνακας δίνει n! όρους), έτσι θα δοθεί πρώτα μόνο για την περίπτωση των 2×2 και 3 × 3 πινάκων, και θα ακολουθήσει ο κανόνας για αυθαίρετης διάστασης πίνακες, όπου υπάγονται αυτές οι δύο περιπτώσεις.
Θεωρούμε ότι ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με n γραμμές και n στήλες, έτσι μπορεί να γραφεί σαν Τα στοιχεία μπορεί να είναι αριθμοί ή εκφράσεις(όπως συμβαίνει όταν η ορίζουσα χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί ένα χαρακτηριστικό πολυώνυμο). Ο ορισμός της ορίζουσας εξαρτάται μόνο από το γεγονός ότι τα στοιχεία μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με ένα αντμεταθετικό τρόπο.
Η ορίζουσα ενός Α συμβολίζεται det(A), ή μπορεί να δηλωθεί απευθείας όσον αφορά τα στοιχεία του πίνακα, γράφοντας γραμμές αντί για αγκύλες:
2 × 2 πίνακες
Η ορίζουσα ενός 2×2 πίνακα ορίζεται ως
Αν τα στοιχεία του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί, ο πίνακας Α μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παριστάνει δύο γραμμικές απεικονίσεις: μία που αντιστοιχεί την συνήθη βάση διανυσμάτων στις γραμμές του Α και μία που τα αντιστοιχεί στις στήλες του Α. Και στις δύο περιπτώσεις, οι εικόνες της βάσης διανυσμάτων σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο που αναπαριστά την εικόνα το μοναδιαίου τετραγώνου μέσω μιας απεικόνισης. Το παραλληλόγραμμο που ορίζεται από τις γραμμές του παραπάνω πίνακα είναι εκείνο που έχει τις κορυφές του στα (0,0), (a,b), (a + c, b + d), και (c,d), όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η απόλυτη τιμή της ad − bc είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου και αντιπροσωπεύει την κλίμακα στην οποία τα εμβαδά μετασχηματίζονται από τον A. (Το παραλληλόγραμμο που σχηματίζεται από τις στήλες του A είναι γενικά ένα διαφορετικό παραλληλόγραμμο, αλλά δεδομένου ότι η ορίζουσα είναι συμμετρική ως προς τις γραμμές και τις στήλες, το εμβαδόν θα είναι το ίδιο.)
Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας μαζί με το πρόσημο γίνεται το προσανατολισμένο εμβαδόν του παραλληλογράμμου. Το προσανατολισμένο εμβαδόν είναι το ίδιο με το συνηθισμένο εμβαδόν, εκτός του ότι είναι αρνητικό όταν η γωνία από το πρώτο στο δεύτερο διάνυσμα προσδιορίζει ότι το παραλληλόγραμμο στρέφεται με δεξιόστροφη φορά (η οποία είναι η αντίθετη φορά από εκείνη που θα παίρναμε από τον μοναδιαίο πίνακα).
'Έτσι η ορίζουσα δίνει το συντελεστή κλίμακας και τον προσανατολισμό που προκύπτουν από την απεικόνιση του που παριστάνεται από τον A. Όταν η ορίζουσα είναι ίση με ένα, η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από τον πίνακα είναι ισεμβαδική και διατηρείται ο προσανατολισμός.
3 × 3 πίνακες
Η ορίζουσα ενός 3×3 πίνακα ορίζεται ως
Ο κανόνας του Sarrus είναι ένας μνημονικός κανόνας για αυτόν τον τύπο: το άθροισμα των γινομένων των τριών διαγωνίων από τις βορειοδυτικές στις νοτιοανατολικές γραμμές των στοιχείων του πίνακα, μείον το άθροισμα των γινομένων των τριών διαγωνίων από τις νοτιοδυτικές προς τις βορειοανατολικές γραμμές των στοιχείων, ενώ οι πρώτες δύο στήλες του πίνακα έχουν αντιγραφεί δίπλα του όπως στην εικόνα.
Για παράδειγμα, η ορίζουσα του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα:
n × n πίνακες
Η ορίζουσα ενός πίνακα αυθαίρετης διάστασης μπορεί να ορισθεί από τον τύπο του Leibniz ή τον τύπο του Laplace.
Ο τύπος του Leibniz για την ορίζουσα ενός n × n πίνακα A είναι
Εδώ το άθροισμα υπολογίζεται από όλες τις μεταθέσεις του σ στο σύνολο {1, 2, ..., n}. Η μετάθεση είναι μια συνάρτηση που αναδιατάσσει αυτό το σύνολο των ακεραίων. Η τιμή στην i θέση μετά την αναδιάταξη σ συμβολίζεται σi. Για παράδειγμα, για n = 3, η αρχική ακολουθία 1, 2, 3 θα μπορούσε να γίνει σ = [2, 3, 1] με σ1 = 2, σ2 = 3, και σ3 = 1. Το σύνολο όλων αυτών των μεταθέσεων (επίσης γνωστό και ως συμμετρική ομάδα n στοιχείων) συμβολίζεται Sn. Για κάθε μετάθεση σ, το sgn(σ) υποδηλώνει το πρόσημο της σ, είναι +1 για άρτιες σ και -1 για περιττές σ. Το αν είναι άρτια ή περιττή μια μετάθεση μπορεί να βρεθεί ως εξής: η μετάθεση είναι άρτια (περιττή) αν η νέα ακολουθία δημιουργείται από άρτιο αριθμό (περιττό αριθμό, αντίστοιχα) αλλαγών αριθμών. Για παράδειγμα, ξεκινώντας από [1, 2, 3](με την σύμβαση για το πρόσημο ότι sgn([1,2,3]) = +1) και αλλάζοντας το 2 και το 3 έχουμε [1, 3, 2], με sgn([1,3,2]) = −1. Αλλάζοντας άλλη μία φορά έχουμε [3, 1, 2], με sgn([3,1,2]) = +1 και πάλι. Τελικά, μετά από συνολικά τρεις αλλαγές (περιττός αριθμός), η μετάθεση που καταλήγουμε είναι [3, 2, 1], με sgn([3,2,1]) = −1. Επομένως η [3, 2, 1] είναι μια περιττή μετάθεση. Ομοίως, η μετάθεση [2, 3, 1] είναι άρτια: [1, 2, 3] → [2, 1, 3] → [2, 3, 1], με άρτιο αριθμό αλλαγών.
Μία μετάθεση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή, αλλά μερικές φορές είναι βολικό να δεχόμαστε κάποιες μη-μεταθέσεις: ακολουθίες με αριθμούς που επαναλαμβάνονται ή παραλείπονται, όπως [1, 2, 1]. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο οποιασδήποτε μη-μετάθεσης είναι μηδέν: sgn([1,2,1]) = 0.
Σε οποιονδήποτε από τους n! προσθετέους, ο όρος
είναι συμβολισμός του γινομένου των στοιχείων στις θέσεις (i, σi), όπου το i παίρνει τιμές από το 1 ως το n:
Για παράδειγμα, η ορίζουσα ενός 3 × 3 πίνακα A (n = 3) είναι
Αυτό συμπίπτει με τον κανόνα του Sarrus από την προηγούμενη ενότητα.
Η επίσημη γενίκευση για κάθε διάσταση έγινε από τον Tullio Levi-Civita, δείτε επίσης (σύμβολο Levi-Civita) που χρησιμοποιεί ένα σύμβολο ψευδο-τανυστή.
Σύμβολο Levi-Civita
Η ορίζουσα για ένα n × n πίνακα μπορεί να εκφραστεί με το εντελώς αντισυμμετρικό σύμβολο Levi-Civita ως εξής:
Ιδιότητες της ορίζουσας
Η ορίζουσα έχει πολλές ιδιότητες, μερικές βασικές είναι οι εξής:
Αυτό μπορούμε να το συμπεράνουμε από τις παρακάτω ιδιότητες, αλλά βγαίνει πιο εύκολα απευθείας από τον τύπο του Leibniz( ή από την επέκταση του Laplace), στον οποίο η ταυτοτική μετάθεση είναι η μοναδική που δίνει μη μηδενικό αποτέλεσμα.
Μερικές επιπρόσθετες ιδιότητες που σχετίζονται με την επίδραση της αλλαγής συγκεκριμένων γραμμών ή στηλών στην ορίζουσα:
Οι ιδιότητες 1,7 και 8, οι οποίες είναι επακόλουθα του τύπου του Leibniz, χαρακτηρίζουν απόλυτα την ορίζουσα. Με άλλα λόγια η ορίζουσα είναι η μοναδική συνάρτηση από  n × n πίνακες σε βαθμωτούς αυτή είναι μια n-γραμμική εναλλαγή στις στήλες, και παίρνει την τιμή 1 για τον μοναδιαίο πίνακα (αυτός ο χαρακτηρισμός ισχύει ακόμα και αν οι βαθμωτοί πίνακες ανήκουν σε οποιοδήποτε αντιμεταθετικό δακτύλιο). Για να το δούμε αυτό αρκεί να επεκτείνουμε την ορίζουσα με πολυγραμμικότητα στις στήλες σε ένα(τεράστιο) γραμμικό συνδυασμό των οριζουσών πινάκων στον οποίο κάθε στήλη είναι μια κανονική βάση διανυσμάτων. Αυτές οι ορίζουσες είναι είτε 0 (από την ιδιότητα 8) είτε ±1 (από τις ιδιότητες 1 και 11 κάτω), έτσι ο γραμμικός συνδυασμός δίνει την έκφραση πάνω από το σύμβολο Levi-Civita. Αν και λιγότερο τεχνικός στην εμφάνιση, αυτός ο χαρακτηρισμός δεν μπορεί να αντικαταστήσει εξ ολοκλήρου τον τύπο του Leibniz στον ορισμό της ορίζουσας, διότι χωρίς αυτόν η ύπαρξη μιας κατάλληλης συνάρτησης δεν είναι ξεκάθαρη. Για πίνακες σε μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους, οι ιδιότητες 7 και 8 δεν ισχύουν για n ≥ 2,
Η ιδιότητα 2 παραπάνω συνεπάγεται ότι υπάρχουν οι αντίστοιχες ιδιότητες των στηλών για τις γραμμές: </li>
Για παράδειγμα, η ορίζουσα ενός
μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους παρακάτω πίνακες:
Εδώ, Β δημιουργείται από τον Α προσθέτοντας −1/2×την πρώτη γραμμή στην δεύτερη, έτσι det(A) = det(B). C δημιουργείται από τον Β προσθέτοντας την πρώτη στην τρίτη γραμμή, έτσι det(C) = det(B). Τέλος, D δημιουργείται από τον C αλλάζοντας την δεύτερη με την τρίτη γραμμή, οπότε det(D) = −det(C). Η ορίζουσα ενός (άνω)τριγωνικού πίνακα D είναι το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Επομένως, det(A) = −det(D) = +18.
Πολλαπλασιαστικότητα και ομάδες πινάκων
Η ορίζουσα του γινομένου δύο τετραγωνικών πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους:
Γι΄αυτό το λόγο η ορίζουσα είναι μια πολλαπλασιαστική απεικόνιση. Αυτή η ιδιότητα είναι μια συνέπεια του χαρακτηρισμού της ορίζουσας ως την μοναδική n-γραμμική εναλλασόμενη συνάρτηση των στηλών με την τιμή 1 του μοναδίαου πίνακα, έτσι η συνάρτηση Mn(K) → K που απεικονίζει M ↦ det(AM) μπορεί να την δει κάποιος εύκολα σαν μια n-γραμμική και εναλλασόμενη στις στήλες του M, και παίρνει την τιμή det(A) στην ταυτότητα. Ο τύπος μπορεί να γενικευτεί και για γινόμενο ορθογωνίων πινάκων, δίνοντας τον τύπο των Cauchy–Binet, που παρέχει μια ανεξάρτητη απόδειξη της πολλαπλασιαστικής ιδότητας.
Η ορίζουσα det(A) του πίνακα A είναι μη μηδενική αν και μόνον αν ο A είναι αντιστρέψιμος ή, ταυτόσημα, αν η τάξη του πίνακα ισούται με τη διάστασή του. Αν ναι, η ορίζουσα του αντίστροφου πίνακα δίνεται από:
Ειδικότερα, τα γινόμενα και οι αντίστροφοι πινάκων με ορίζουσα ένα εξακολουθούν να έχουν αυτή την ιδιότητα. Έτσι, το σύνολο τέτοιων πινάκων(σταθερού μεγέθους n) σχηματίζουν μια ομάδα γνωστή ως ειδική γραμμική ομάδα. Γενικότερα, η λέξη "ειδική" υποδηλώνει την υποομάδα μιας άλλης ομάδας πινάκων από πίνακες με ορίζουσα ένα. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν την ειδική ορθογώνια ομάδα(όπου αν το n είναι 2 ή 3 αποτελείται από όλες τις περιστροφές πινάκων]]), και η ειδική ενιαία ομάδα.
Ο τύπος του Laplace και ο προσαρτημένος πίνακας
Ο τύπος του Laplace εκφράζει την ορίζουσα ενός πίνακα με ελάσσονες ορίζουσες. Η ελάσσων ορίζουσα Mi,j ορίζεται να είναι η ορίζουσα του (n−1) × (n−1)-πίνακα που προκύπτει από τον Α διαγράφοντας την i γραμμή και την j στήλη. Η έκφραση (−1)i+jMi,j είναι γνωστή ως συμπαράγοντας. Η ορίζουσα ενός Α δίνεται από
Ο προσαρτημένος πίνακας adj(A) είναι ο ανάστροφος του πίνακα που αποτελείται από τους συμπαράγοντες, δηλ.,
Θεώρημα οριζουσών του Sylvester
Το θεώρημα οριζουσών του Sylvester αναφέρει ότι για A, ένα m × n πίνακα, και B, ένα n × m πίνακα (ώστε οι A και B έχουν διαστάσεις που τους επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σειρά):
όπου Im και In είναι ο m × m και ο n × n μοναδιαίος πίνακας, αντίστοιχα.
Από αυτό το γενικό αποτέλεσμα απορρέουν διάφορες συνέπειες.
Η σχέση με τις ιδιοτιμές και το ίχνος
Οι ορίζουσες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθούν οι ιδιοτιμές ενός πίνακα A: είναι οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης
όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας της ίδιας διάστασης με τον A. Αντίστροφα, det(A) είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του A, μετρώντας τις αλγεβρικές πολλαπλότητες. Το γινόμενο όλων των μη μηδενικών ιδιοτιμών αναφέρεται σαν ψευδο-ορίζουσα.
Ένα Ερμιτιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές. Το κριτήριο του Sylvester ισχυρίζεται ότι είναι ισοδύναμο με το να είναι θετικές οι ορίζουσες των υποπινάκων για όλα τα k από 1 μέχρι n.
Το ίχνος tr(A) είναι εξ ορισμού το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου του A και επίσης ισούται με το άθροισμα των ιδιοτιμών. Έτσι, για μιγαδικούς πίνακες A, ή, για πραγματικούς πίνακες A, Εδώ το exp(A) συμβολίζει τον εκθετικό πίνακα του Α, επειδή κάθε ιδιοτιμή λ του Α αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή exp(λ) του exp(A). Ειδικότερα, όταν δίνεται κάποιος λογάριθμος του Α, ο οποίος είναι, κάθε πίνακας L που ικανοποιεί την η ορίζουσα ενός Α δίνεται από
Για παράδειγμα, για n = 2, n=3,  και n = 4, αντίστοιχα, σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον. Τέτοιες εκφράσεις εξάγονται από τις ταυτότητες του Νεύτωνα.
Στην γενική περίπτωση, όπου το άθροισμα είναι πάνω στο σύνολο όλων των ακεραίων kl ≥ 0 που ικανοποιεί την εξίσωση
Μια ταυτότητα αυθαίρετης διάστασης n απορρέει από το ανάπτυγμα της σειράς του Mercator από τον λογάριθμο, όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας. Το άθροισμα και το ανάπτυγμα της εκθετικής χρειάζεται να πάει μέχρι το n αντί για ∞, αφού η ορίζουσα δεν μπορεί να υπερβεί τον O(An).
Κανόνας του Cramer
Για μια εξίσωση πινάκων
Αποδείχτηκε πρόσφατα ότι ο κανόνας του Cramer μπορεί να εφαρμοστεί σε O(n3) χρόνο, που συγκρίνεται με τις πιο συνηθισμένες μεθόδους επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, όπως LU, QR, ή αποσύνθεση μοναδικής τιμής.
Μπλοκ πίνακες
Έστω ότι οι A, B, C, και D είναι πίνακες διάστασης (n × n), (n × m), (m × n), και (m × m), αντίστοιχα. Τότε
Αυτό μπορεί να φανεί από τον τύπο του Leibniz ή με επαγωγή στο n. Όταν ο Α είναι αντιστρέψιμος, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ταυτότητα
που οδηγεί στην
Όταν ο D είναι αντιστρέψιμος, μια παρόμοια ταυτότητα με  \det(D) που υπολογίζεται ανάλογα, η οποία είναι,
Παράγωγος
Εξ ορισμού, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Leibniz, η ορίζουσα ενός πραγματικού (ή ανάλογα μιγαδικού)τετραγωνικού πίνακα είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση από το Rn × n στο R. Ως τέτοια είναι παντού διαφορίσιμη. Η παράγωγός της πορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Jacobi:
όπου adj(A) συμβολίζει τον προσαρτημένο του A. Ειδικότερα, αν ο A είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:
Εκφράζεται ως προς τα στοιχεία του A, είναι
Ακόμα μία ισοδύναμη διατύπωση είναι
που χρησιμοποιεί το συμβολισμό Ο μεγάλο. Στην ειδική περίπτωση όπου A = I, ο μοναδιαίος πίνακας, είναι:
Αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται στην περιγραφή του εφαπτόμενου χώρου κάποιου πίνακα των ομάδων Lie.
Αν ο πίνακας Α είναι γραμμένος ως όπου a, b, c είναι διανύσματα, τότε η κλίση σε ένα από τα τρία διανύσματα μπορεί να γραφεί σαν το εξωτερικό γινόμενο των δύο άλλων:
Ορίζουσα ενός ενδομορφισμού
Οι παραπάνω ταυτότητες σχετικά με την ορίζουσα των γινομένων και των αντίστροφων των πινάκων συνεπάγονται ότι οι όμοιοι πίνακες έχουν την ίδια ορίζουσα: δύο πίνακες A και B είναι όμοιοι, αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας X τέτοιος ώστε A = X−1BX. Πράγματι, εφαρμόζοντας επανειλημμένα τις παραπάνω ταυτότητες έχουμε:
Η ορίζουσα συνεπώς λέγεται αναλλοίωτη της ομοιότητας. Η ορίζουσα ενός γραμμικού μετασχηματισμού για κάποιον πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο V ορίζεται να είναι η ορίζουσα του πίνακα που τον περιγράφει, ως προς μια αυθαίρετη επιλογή μιας βάσης στον V. Λόγω αναλλοιώτου της ομοιότητας, η ορίζουσα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της βάσης για τον V και έτσι εξαρτάται μόνο από τον ενδομορφισμό T.
Μετασχηματισμός σε εναλλασσόμενη πολυγραμμική n-μορφών
Ο διανυσματικός χώρος W όλων των εναλλασσόμενων πολυγραμμικών n-μορφών πάνω σε ένα n-διάστατο διανυσματικό χώρο V έχει διάσταση ένα. Σε κάθε γραμμικό μετασχηματισμό T σε ένα W, όπου για κάθε w στον W ορίζουμε (T′w)(x1,...,xn) = w(Tx1,...,Txn). Καθώς ένας γραμμικός μετασχηματισμός ενός μονοδιάστατου χώρου T′ είναι ισοδύναμος με ένα βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Ονομάζουμε αυτό τον αριθμό ορίζουσα του T.
Εξωτερική άλγεβρα
Η ορίζουσα μπορεί ακόμα να χαρακτηριστεί ως η μοναδική συνάρτηση από το σύνολο όλων των n × n πινάκων με στοιχεία από ένα σώμα Κ σε αυτό το σώμα ικανοποιώντας τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: πρώτον, D είναι μια n-γραμμική συνάρτηση: λαμβάνοντας υπόψη όλες εκτός από μια στήλη του σταθερού Α, η ορίζουσα είναι γραμμική στις υπόλοιπες στήλες, είναι για οποιοδήποτε διανύσματα-στηλών v1, ..., vn, και w και κάποια αριθμητικά (στοιχεία του K) a and b. Δεύτερον, ο D είναι μια εναλλασσόμενη συνάρτηση : για κάποιον Α με δύο ταυτόσημες στήλες. Τελικά, D(In) = 1. Εδώ In είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
Αυτό το γεγονός συνεπάγεται επίσης ότι κάθε άλλη n-γραμμική εναλλασσόμενη συνάρτηση F: Mn(K) → K satisfies Το τελευταίο τμήμα προκύπτει από την προηγούμενη δήλωση: κάποιος μπορεί εύκολα να δει ότι αν η F είναι μη μηδενική ικανοποιεί F(I) ≠ 0, και η συνάρτηση που σχετίζει την F(M)/F(I) με το M ικανοποιεί όλες τις συνθήκες του θεωρήματος. Η σημασία της αναφοράς αυτού είναι κυρίως ότι εξακολουθεί να ισχύει αν το K είναι κάποιος αντιμεταθετικός δακτύλιος αντί για ένα σώμα, στην περίπτωση αυτή ο δοσμένος ισχυρισμός δεν εφαρμόζεται.
Η ορίζουσα ενός γραμμικού μετασχηματισμού Α : V → V ενός n-διάστατου διανυσματικού χώρου V μπορεί να διατυπωθεί χωρίς συντεταγμένες λαμβάνοντας υπόψη την n εξωτερική δύναμη ΛnV του V. Ο A επάγει μία γραμμική απεικόνιση
Αφού η ΛnV είναι μονοδιάστατη, η απεικόνιση ΛnA δίνεται από τον πολλαπλασιασμό με κάποιο αριθμητικό. Αυτό το αριθμητικό συμπίπτει με την ορίζουσα του Α, είναι σαν να λέμε ότι Αυτός ο ορισμός συμφωνεί με τον πιο συγκεκριμένο ορισμό που εξαρτάται από συντεταγμένες. Προκύπτει από τον χαρακτηρισμό της ορίζουσας παραπάνω. Για παράδειγμα, αλλάζοντας δύο στήλες αλλάζει η ισότητα modulo 2 της ορίζουσας, παρομοίως, μεταθέτοντας τα διανύσματα στο εξωτερικό γινόμενο v1 ∧ v2 ∧ ...  ∧ vn στο v2 ∧ v1  ∧ v3 ∧ ...  ∧ vn,ας πούμε, αλλάζει επίσης η ισότητα modulo 2.
Για το λόγο αυτό, η μεγαλύτερη μη μηδενική εξωτερική δύναμη Λn(V) λέγεται μερικές φορές και ορίζουσα του V και ομοίως για αντικείμενα που εμπλέκονται περισσότερο όπως οι διανυσματικές δέσμες ή τα αλυσιδωτά σύμπλοκα των διανυσματικών χώρων. Οι ελάσσονες ορίζουσες ενός πίνακα μπορούν να παίξουν ρόλο σε αυτή την τοποθέτηση, δίνοντας χαμηλότερες εναλλασσόμενες μορφές ΛkV με k < n.
Άπειροι πίνακες
Για πίνακες με άπειρο αριθμών γραμμών και στηλών, οι παραπάνω ορισμοί της ορίζουσας δεν μεταφέρονται άμεσα. Για παράδειγμα, στον τύπο του Leibniz, ένα άπειρο άθροισμα (όλοι οι όροι του οποίου είναι άπειρα γινόμενα) θα έπρεπε να υπολογιστούν. Η συναρτησιακή ανάλυση παρέχει διαφορετικές επεκτάσεις της ορίζουσας για τέτοιες άπειρης διάστασης καταστάσεις, οι οποίες ωστόσο λειτουργούν για συγκεκριμένα είδη τελεστών.
Η ορίζουσα Fredholm ορίζει την ορίζουσα για τελεστές γνωστούς ως  κλάση ιχνών τελεστών με μια κατάλληλη γενίκευση του τύπου
Μια άλλη άπειρης διάστασης έννοια της ορίζουσας είναι η συναρτησιακή ορίζουσα.
Επιπρόσθετες παραλλαγές
Οι ορίζουσες πινάκων σε υπερδακτυλίους (που είναι, Z2-διαβαθμισμένοι δακτύλιοι) είναι γνωστές ως υπερορίζουσες.
Η σταθερά ενός πίνακα ορίζεται σαν την ορίζουσα, εκτός από ότι οι παράγοντες του sgn(σ) που βρίσκονται στον κανόνα του Leibniz παραλείπονται. Η immanant γενικεύει και τις δύο εισάγοντας ένα χαρακτήρα της συμμετρικής ομάδας Sn στον κανόνα του Leibniz.
Υπολογισμός
Οι ορίζουσες χρησιμοποιούνται κυρίως σαν θεωρητικό εργαλείο. Σπάνια υπολογίζονται ρητά με αριθμητική γραμμική άλγεβρα, όπου για εφαρμογές όπως το να εξεταστεί η αντιστρεψιμότητα και το να βρεθούν οι ιδιοτιμές της ορίζουσα έχει σε μεγάλο βαθμό αντικατασταθεί από άλλες τεχνικές. Παρ 'όλα αυτά, ο ακριβής υπολογισμός της ορίζουσας σε κάποιες περιπτώσεις είναι απαραίτητος, και υπάρχουν διάφορες μέθοδοι διαθέσιμες για να γίνει αυτό.
Απλές μέθοδοι εφαρμογής ενός αλγορίθμου για τον υπολογισμό της ορίζουσας περιλαμβάνει την χρήση του τύπου του Leibniz ή του Laplace. Και οι δύο αυτές προσεγγίσεις είναι εξαιρετικά αναποτελεσματικές για μεγάλους πίνακες, έτσι, αφού ο αριθμός των απαιτούμενων πράξεων αυξάνεται πολύ γρήγορα: είναι της της τάξης n! (n παραγοντικό) για ένα n × n πίνακα M. Για παράδειγμα, ο τύπος του Leibniz απαιτεί να υπολογιστούν n! γινόμενα. Ως εκ τούτου, έχουν έχουν αναπτυχθεί πιο σύνθετες τεχνικές για τον υπολογισμό οριζουσών.
Μέθοδοι ανάλυσης
Δίνεται πίνακας A, μερικές μέθοδοι υπολογισμού της ορίζουσάς του γράφοντας τον A σαν ένα γινόμενο πινάκων των οποίων οι ορίζουσες μπορούν να υπολογιστούν ευκολότερα. Τέτοιες τεχνικές αναφέρονται ως μέθοδοι ανάλυσης. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν την LU ανάλυση, την QR ανάλυση ή την ανάλυση Cholesky (για θετικά ορισμένους πίνακες). Αυτές οι μέθοδοι είναι τάξης O(n3), η οποία είναι μια σημαντική βελτίωση έναντι στην O(n!)
Η LU ανάλυση εκφράζει τον A λαμβάνοντας υπόψη ένα κάτω τριγωνικό πίνακα L, ένα άνω τριγωνικό πίνακα U και ένα πίνακα μετάθεση P: Η ορίζουσα του L και του U μπορεί γρήγορα να υπολογιστεί,αφού είναι τα γινόμενα των στοιχείων της αντίστοιχης διαγωνίου. Η ορίζουσα του P είναι απλά το πρόσημο \varepsilon της αντίστοιχης μετάθεσης (που είναι +1 για ένα άρτιο αριθμό μεταθέσεων και −1 για ένα περιττό αριθμό μεταθέσεων). Η ορίζουσα του A είναι τότε
Επιπρόσθετα, η ανάλυση μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε ο L να είναι ένας μη τριγωνικός πίνακας και γι αυτό έχει ορίζουσα 1, σε αυτή την περίπτωση ο τύπος απλοποιείται επιπλέον
Επιπρόσθετες μέθοδοι
Αν η ορίζουσα του A και ο αντίστροφος του A έχουν ήδη υπολογιστεί, το λήμμα ορίζουσας πίνακα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε γρήγορα την ορίζουσα του A + uvT, όπου u και v είναι διανύσματα στήλης.
Δεδομένου ότι ο ορισμός της ορίζουσας δεν χρειάζεται διαιρέσεις, προκύπτει ένα ερώτημα: υπάρχουν γρήγοροι αλγόριθμοι που δεν χρειάζονται διαιρέσεις; Αυτό είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον για τους πίνακες πάνω σε δακτυλίους. Πράγματι αλγόριθμοι με χρόνο εκτέλεσης αναλογικά με το n4 υπάρχει. Ένας αλγόριθμος από τον Mahajan, τον Vinay, και τον Berkowitz είναι βασισμένος σε κλειστούς διατεταγμένους περιπάτους. Υπολογίζει περισσότερα γινόμενα από όσα απαιτεί ο ορισμός της ορίζουσας, αλλά μερικά από αυτά τα γινόμενα ακυρώνονται και το άθροισμα τους μπορεί να υπολογιστεί ικανοποιητικά. Ο τελικός αλγόριθμος μοιάζει πολύ με ένα επαναλαμβανόμενο γινόμενο τριγωνικών πινάκων.
Αν δύο πίνακες τάξης n μπορούν να πολλαπλασιαστούν επί M(n), όπου M(n) ≥ na για κάποια a > 2, τότε η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί επί O(M(n)). Αυτό σημαίνει, για παράδειγμα, ότι ένας O(n2.376) αλγόριθμος υπάρχει βασισμένος στον αλγόριθμο Coppersmith–Winograd.
Οι αλγόριθμοι μπορούν επίσης να αξιολογούνται σύμφωνα με πολυπλοκότητα των bit, δηλ., πόσα bits ακρίβειας χρειάζονται για να αποθηκευτούν οι ενδιάμεσες τιμές που συμβαίνουν στον υπολογισμό. Για παράδειγμα, η απαλοιφή του Gauss (ή LU ανάλυση) μέθοδοι είναι της τάξης O(n3), αλλά το μήκος των bit των ενδιαμέσων τιμών μπορεί μπορεί να γίνει εκθετικά μεγάλο. Ο αλγόριθμος Bareiss,από την άλλη μεριά, είναι μια ακριβής μέθοδος διαίρεσης βασίζεται στην ταυτότητα του Sylvester είναι επίσης τάξης n3, αλλά η περιπλοκότητα των bit είναι περίπου το μέγεθος των bit των αρχικών στοιχείων του πίνακα επί n.
Ιστορία
Ιστορικά, οι ορίζουσες θεωρούνταν ότι δεν είχαν σχέση με τους πίνακες: αρχικά, η ορίζουσα ορίστηκε σαν μια ιδότητα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Η ορίζουσα "αποφασίζει" αν το σύστημα έχει μοναδική λύση(το οποίο συμβαίνει ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική). Με αυτή την έννοια, οι ορίζουσες χρησιμοποιήθηκαν πρώτα στο Κινέζικο  βιβλίο μαθηματικών The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術, Κινέζοι επιστήμονες, γύρω στον 3ο αιώνα π.Χ.). Στην Ευρώπη, οι δύο×δύο ορίζουσες μελετήθηκαν από τον Τζερόλαμο Καρντάνο στο τέλος του 16ου αιώνα και οι μεγαλύτερες από τονLeibniz.
Στην Ευρώπη, ο Cramer (1750) πρόσθεσε στη θεωρία, διαπραγματευόμενος το θέμα σε σχέση με τα σύνολα εξισώσεων. Ο νόμος επανάληψης ανακοινώθηκε για πρώτη φορά από τον Bézout (1764).
Ο Vandermonde (1771) ήταν αυτός ο οποίος αναγνώρισε πρώτος τις ορίζουσες σαν ανεξάρτητες συναρτήσεις. Ο Laplace (1772) έδωσε τη γενική μέθοδο αναπτύγματος της ορίζουσας λαμβάνοντας υπόψη τις συμπληρωματικές τις ελάσσονες ορίζουσες: ο Vandermonde είχε ήδη δώσει μια ειδική περίπτωση. Αμέσως μετά, ο Lagrange (1773) μεταχειρίστηκε τις ορίζουσες δεύτερης και τρίτης τάξης. Ο Lagrange ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε τις ορίζουσες στα θέματα τηςθεωρίας απαλοιφής. Απέδειξε πολλές ειδικές περιπτώσεις της γενικής ταυτότητας.
Ο Gauss (1801) έκανε τη επόμενη πρόοδο. Όπως ο Lagrange, έκανε αρκετή χρήση των οριζουσών στη θεωρία αριθμών. Αυτός εισήγαγε τη λέξη ορίζουσες (ο Laplace χρησιμοποιούσε συνισταμένη), αν και όχι με την σημερινή σημασία, αλλά μάλλον ως εφαρμογή για την διακρίνουσα μιας τεταρτοβάθμιας. Ο Gauss επίσης έφτασε στην έννοια των ανάστροφων (ή αντίστροφων) οριζουσών, και πλησίασε πολύ κοντά στο θεώρημα πολλαπλασιασμού.
Ο επόμενος που συνεισέφερε ήταν ο Binet (1811, 1812), ο οποίος θεμελίωσε επίσημα το θεώρημα που αφορά το γινόμενο δύο πινάκων   m στηλών και n γραμμών, το οποίο για την ειδική περίπτωση που m = n ανάγει το θεώρημα πολλαπλασιασμού. Την ίδια ημέρα (30 Νοεμβρίου, 1812) που ο Binet παρουσίασε την εργασία του στην Ακαδημία, ο Cauchy επίσης παρουσίασε μία με το ίδιο θέμα. Σε αυτήν χρησιμοποίησε τη λέξη ορίζουσα με τη σημερινή της σημασία, συνοψίζοντας και απλοποιώντας ό,τι ήταν γνωστό ως τότε πάνω στο θέμα, βελτιώνοντας τον συμβολισμό, και έδωσε το θεώρημα πολλαπλασιασμού με μια απόδειξη πιο ικανοποιητική από του  Binet. Με αυτόν ξεκινά το θεώρημα στην γενικότητά του.
Η μελέτη ειδικών μορφών της ορίζουσας ήταν ένα φυσικό επακόλουθο της τελειοποίησης της γενικής θεωρίας. Αξονοσυμμετρικές ορίζουσες μελετήθηκαν από τον  Lebesgue, τον Hesse, και τον Sylvester; αντισυμμετρικές ορίζουσες από τον  Sylvester και τον Hankel. Κυκλοτερείς από τον Catalan, τον Spottiswoode, τον Glaisher, και τον Scott, ασύμμετρες ορίζουσες και μορφές του Pfaff, σε σχέση με τη θεωρία του ορθογώνιου μετασχηματισμού,από τον Cayley, συνεχίστηκαν από τον Sylvester, οι ορίζουσες του Wronski (όπως ονομάστηκαν από τον Muir) από τον Christoffel και τον Frobenius, σύνθετες ορίζουσες από τον Sylvester, τον Reiss, και τον Picquet, οι Ιακωβιανές και οι Εσσιανέςαπό τον Sylvester και οι συμμετρικής βαθμίδας ορίζουσες από τον Trudi. Από τα εγχειρίδια για το θέμα του Spottiswoode ήταν το πρώτο. Στην Αμερική, ο Hanus (1886), ο Weld (1893), και ο Muir/Metzler (1933) δημοσίευσαν τις πραγματείες τους.
Γραμμική ανεξαρτησία
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η ορίζουσα ενός πίνακα(με στοιχεία πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς) είναι μηδέν αν και μόνον αν τα διανύσματα στήλης του πίνακα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Έτσι, οι ορίζουσες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να χαρακτηρίσουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα. Για παράδειγμα, δίνονται δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα v1, v2 στο R3, ένα τρίτο διάνυσμα v3 κείται στο επίπεδο που παράγεται από τα προηγούμενα δύο διανύσματα ακριβώς όταν η ορίζουσα του 3 × 3 πίνακα που αποτελείται από τα τρία διανύσματα είναι μηδέν. Η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται και στην θεωρία των διαφορικών εξισώσεων: δίνονται n συναρτήσεις f1(x), ..., fn(x) (υποθέτουμε ότι είναιn−1 φορές διαφορίσιμες), η ορίζουσα του Wronski ορίζεται να είναι Είναι μη μηδενική (για κάποια x) σε ένα συγκεκριμένο διάστημα αν και μόνον αν οι δοθείσες συναρτήσεις και όλες οι παράγωγοί τους μέχρι τάξης n−1 είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αν μπορεί να δειχθεί ότι η Wronskian είναι παντού μηδέν σε ένα διάστημα τότε, στην περίπτωση των αναλυτικών συναρτήσεων, αυτό συνεπάγεται ότι οι δοθείσες συναρτήσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες.
Προσανατολισμός μιας βάσης
Η ορίζουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η ανάθεση ενός αριθμού σε κάθε ακολουθία από n διανύσματα του Rn, χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό πίνακα του οποίου οι στήλες είναι τα δοθέντα διανύσματα. Για παράδειγμα, ένας ορθογώνιος πίνακας με στοιχεία από το Rn παριστάνει μια ορθοκανονική βάση στον Ευκλείδειο χώρο. Η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα αποφαίνεται για το αν ο προσανατολισμός της βάσης είναι συνεπής ή αντίθετος με τον προσανατολισμό της  κανονικής βάσης. Αν η ορίζουσα είναι +1, η βάση έχει τον ίδιο προσανατολισμό. Αν είναι −1, η βάση έχει τον αντίθετο προσανατολισμό.
Γενικότερα, αν η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι θετική, ο A αναπαριστά ένα προσανατολισμό που διατηρείται μεσώ των γραμμικών μετασχηματισμών (αν ο A είναι ένας ορθογώνιος 2×2 ή 3 × 3 πίνακας, αυτή είναι μια περιστροφή), ενώ αν είναι αρνητική, ο  A αλλάζει τον προσανατολισμό της βάσης.
Ορίζουσα του Vandermonde(εναλλάσσουσα ορίζουσα)
Τρίτη τάξη Γενικά, η nοστής τάξης ορίζουσα του Vandermonde είναι όπου η δεξιά πλευρά είναι το συνεχόμενο γινόμενο όλων των διαφορών που μπορούν να σχηματιστούν από τα n(n−1)/2 ζεύγη αριθμών που λαμβάνονται από τα x1, x2, ..., xn, με τη σειρά που οι διαφορές λαμβάνονται στην αντίστροφη διάταξη από τις καταλήξεις που εμπλέκονται.
Κυκλοτερείς
Δεύτερη τάξη Τρίτη τάξη όπου ω και ω2 είναι οι μιγαδικές κυβικές ρίζες του 1. Γενικά, η nοστής τάξης κυκλοτερής ορίζουσα είναι όπου ωj είναι μια nοστή ρίζα του 1.
Εξωτερικοί Σύνδεσμοι
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Χένρικ Ίψεν
Ο  Χένρικ Ίψεν (Henrik Ibsen, 20 Μαρτίου 1828 - 23 Μαΐου 1906) ήταν Νορβηγός θεατρικός συγγραφέας και σκηνοθέτης. Ως ένας από τους ιδρυτές του μοντερνισμού στο θέατρο, ο Ιψεν αναφέρεται συχνά ως ο πατέρας του ρεαλισμού και ένας από τους πιο επιδραστικούς θεατρικούς συγγραφείς της εποχής του. . Σημαντικά του έργα του είναι μεταξύ άλλων τα Πέερ Γκυντ,, Το κουκλόσπιτο, Έντα Γκάμπλερ, Βρυκόλακες, Η αγριόπαπια και Αρχιμάστορας Σόλνες. Είναι ο πιο πολυπαιγμένος θεατρικός συγγραφέας στον κόσμο μετά το Σαίξπηρ, και Το κουκλόσπιτο ήταν το πιο πολυπαιγμένο έργο στον κόσμο το 2006.
Τουρκική Αστυνομία
Η Τουρκική Αστυνομία (τουρκικά: Türk Polis Teşkilatı, που σημαίνει Τουρκική Εθνική Αστυνομία), της οποίας προΐσταται η Γενική Διεύθυνση Ασφάλειας (Emniyet Genel Müdürlüğü, EGM), αποτελεί την κρατική υπηρεσία, η οποία είναι υπεύθυνη για την επιβολή του νόμου στην Τουρκία.
Χένρικ Ίψεν
Το πρώτο ποιητικό και θεατρικό έργο του Ιψεν, Πέερ Γκυντ, έχει έντονα σουρρεαλιστικά στοιχεία. Μετά από αυτό ο Ιψεν εγκατέλειψε το στίχο και έγραφε σε ρεαλιστική πρόζα. Αρκετά από τα μεταγενέστερα θεατρικά του έργα θεωρήθηκαν σκανδαλώδη από πολλούς της εποχής του, όταν αναμενόταν το ευρωπαϊκό θέατρο να δίνει πρότυπα αυστηρά ηθικής οικογενειακής ζωής και ευπρέπειας. Στα επόμενα έργα του ο Ιψεν εξέτασε τις πραγματικότητες, που κρύβονταν κάτω από την επιφάνεια, αποκαλύπτοντας πολλά που ήταν ενοχλητικά σε αρκετούς από τους συγχρόνους του. Είχε μια κριτική ματιά και διερευνούσε ελεύθερα τις συνθήκες της ζωής και τα ζητήματα ηθικής. Σύμφωνα με εκτιμήσεις πολλών κριτικών Η αγριόπαπια και το Ρόσμερσχολμ συναγωνίζονται για την πρώτη θέση μεταξύ των έργων του. . Ο ίδιος ο Ιψεν θεωρούσε ως αριστούργημά του το Ο Αυτοκράτορας και ο Γαλιλαίος.
Ο Ιψεν κατατάσσεται συχνά μεταξύ των πιο διακεκριμένων θεατρικών συγγραφέων της ευρωπαϊκής παράδοσης. Θεωρείται ευρέως ως ο μεγαλύτερος θεατρικός συγγραφέας του 19ου αιώνα. Επηρέασε άλλους θεατρικούς συγγραφείς και μυθιστοριογράφους, όπως οι Τζορτζ Μπέρναρντ Σω, Όσκαρ Γουάιλντ, Άρθουρ Μίλερ, Τζέιμς Τζόυς, Ευγένιος Ο' Νηλ και Μίροσλαβ Κρλέζα. Προτάθηκε για το Βραβείο Νόμπελ Λογοτεχνίας το 1902, το 1903 και το 1904.
Τουρκική Αστυνομία
Δομή
Η Γενική Διεύθυνση Ασφάλειας είναι οργανωμένη ως εξής:
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Σώματα ασφαλείας Α
Χένρικ Ίψεν
Ο Ιψεν έγραψε τα έργα του στα Δανική γλώσσα (την κοινή γραπτή γλώσσα Δανίας και Νορβηγίας κατά τη διάρκεια της ζωής του) και αυτά εκδόθηκαν από τον εκδοτικό οίκο Gyldendal της Δανίας. Αν και τα περισσότερα έργα του τοποθετούνται στη Νορβηγία - συχνά στο Σίεν, την πόλη-λιμάνι όπου μεγάλωσε - ο Ιψεν έζησε 27 χρόνια στην Ιταλία και τη Γερμανία και σπάνια επισκέφτηκε τη Νορβηγία κατά τα πιο παραγωγικά του χρόνια. Γεννημένος στην οικογένεια Πάους-Ιψεν, εμπόρων της ανώτερης μεσαίας τάξης, διαμόρφωσε τα έργα του σύμφωνα με το οικογενειακό του περιβάλλον και συχνά χαρακτήρες με πρότυπο μέλη της οικογένειάς του. Ηταν πατέρας του πρωθυπουργού (1903-1905) Σίγκουρντ Ιψεν. Τα έργα του Ιψεν είχαν έντονη επιρροή στο σύγχρονο πολιτισμό.
Οικογένεια και νεανικά χρόνια
Ο Χένρικ Ίψεν γεννήθηκε σε μια εύπορη εμπορική οικογένεια στην πλούσια πόλη-λιμάνι Σίεν του Μπράτσμπεργκ (Τέλεμαρκ). Γονείς του ήταν ο Κνουντ Ιψεν (1797-1877) και η Μάριχεν Αλτενμπουργκ (1799-1869). “Οι γονείς μου και από τις δύο πλευρές ήταν μέλη των πιο αξιοσέβαστων οικογενειών του Σίεν” γράφει ο ίδιος σε ένα γράμμα του προς τον κριτικό Γκέοργκ Μπράντες το 1882, εξηγώντας ότι είχε στενή συγγένεια με "σχεδόν όλες τις εύπορες οικογένειες που δέσποζαν τότε στην πόλη και τα περίχωρά της".
Η μητέρα της Mάριχεν και ο πατριός του Κνουτ ήταν αδέλφια και οι γονείς του Χένρικ είχαν μεγαλώσει μαζί και πρακτικά ανατραφεί σαν αδέλφια. Ο πατέρας τού Κνουτ Ιψεν, ο καπετάνιος Χένρικ Ιψεν, πνίγηκε στη θάλασσα όταν ο Κνουτ ήταν νεογένητος και η μητέρα του παντρεύτηκε τον καπετάνιο Ολε Πάους τον επόμενο χρόνο. Ο Ολε Πάους ήταν αδελφός της μητέρας της Μάριχεν Χέντέβιγκ Πάους, ήταν συνεπώς θείος από μητέρα της συζύγου του. Οι οικογένειές τους είχαν επίσης πολύ στενές σχέσεις : Ο μεγαλύτερος γιος του Ολε και ετεροθαλής αδελφός του Κνουτ Χένρικ Γιόχαν Πάους ανατράφηκεβστο σπίτι της Χέντεβιγκ μαζί με την εξαδέλφη του Μάριχεν και τα παιδιά των αδελφών του Πάους, περιλαμβανομένων του Κνουτ και της Μάριχεν, πέρασαν τα περισσότερα παιδικά τους χρόνια μαζί. Η Μάριχεν Αλτενμπουργκ θεωρείτο καλή νύφη, ήταν κόρη ενός από τους πλουσιότερους εμπόρους του Σίεν. Ο πατέρας του Χένρικ προέρχονταν από μια μακριά γραμμή καπετάνιων, αλλά ο ίδιος αποφάσισε να γίνει έμπορος. Ο γάμος του με τη Μάριχεν ήταν ένα “υπέροχο οικογενειακό προξενιό”. Παλαιότεροι μελετητές του έχουν υποστηρίξει ότι ο Χένρικ Ιψεν γοητεύτηκε από τον "παράξενο, σχεδόν αιμομικτικό γάμο" των γονιών του και ασχολήθηκε με το θέμα των αιμομικτικών σχέσεων σε αρκετά έργα, ιδιαίτερα στο αριστούργημά του Ρόσμερσχολμ. Αφ' ετέρου ο Γέργκεν Χάαβε επισημαίνει ότι η στενή συγγένεια των γονέων του δεν ήταν τόσο ασυνήθιστη μεταξύ της ελίτ του Σίεν.
Όταν ο Ίψεν ήταν επτά ετών η τύχη του πατέρα του άλλαξε προς το χειρότερο και η οικογένεια αναγκάστηκε να πουλήσει το αρχοντικό της Αλτενμπουργκ στο κέντρο του Σίεν και να μετακομίσει μόνιμα στο μεγσλο εξοχικό της σπίτι στο Βένστεπ, έξω από την πόλη. Ηταν ακόμη σχετικά εύποροι, είχαν υπηρέτες και συναναστρέφονταν άλλα μέλη της ελίτ του Σίεν. Οι πιο κοντινοί γείτονές του στο Νότιο Βένστεπ ήταν ο πρώην ιδιοκτήτης και δήμαρχος Ούλριχ Φέντερικ Κούντριο και η οικογένειά του, που είχαν επίσης αναγκαστεί να πουλήσουν το αρχοντικό τους. Η αδελφή του Χένρικ Χέντβιγκ έγραψε για μητέρα τους: "Ηταν μισ ήσυχη, αξιαγάπητη γυναίκα, η ψυχή του σπιτιού της, τα πάντα για τον άντρα και τα παιδιά της, θυσιάστηκε ξανά και ξανά, χωρίς πικρία ή παράπονο." Το 1843, όταν ο Χένρικ έφυγε από το σπίτι, η οικογένεια Ίψεν τελικά μετακόμισε σε ένα σπίτι στην πόλη Σνίπετορπ, που ανήκε στον ετεροθαλή αδελφό του Κνουτ, τον πλούσιο τραπεζίτη και πλοιοκτήτη Κρίστοφερ Μπλομ Πάους.
Η παλιότερη ιστοριογραφία του Ιψεν έχει υποστηρίξει ότι η χρεοκοπία και η ταξική πτώση της οικογένειας έπαιξαν μεγάλο ρόλο στο μετέπειτα έργο του Ίψεν. Ο Χάαβε επισημαίνει ότι τα οικονομικά προβλήματα του πατέρα του τη δεκαετία του 1830 ήταν κυρίως αποτέλεσμα των δύσκολων καιρών και κάτι κοινό της οικογένειας Ιψεν με πολλές άλλες της αστικής τάξης. Ο Χάαβε υποστηρίζει ακόμη ότι ο Χένρικ Ιψεν είχε μια σχετικά ευτυχισμένη και ήρεμη παιδική ηλικία. Πολλοί μελετητές του Ιψεν έχουν συγκρίνει χαρακτήρες και θέματα στα έργα του με την οικογένεια και την ανατροφή του. Τα έργα του συχνά ασχολούνται με θέματα οικονομικών δυσκολιών, καθώς και με ηθικές συγκρούσεις τους που έχουν τις ρίζες τους σε σκοτεινά μυστικά κρυμμένα από την κοινωνία.
Ο ίδιος ο Ιψεν επιβεβάιωσε ότι τόσο είχε ως πρότυπο, όσο και ονόμασε χαρακτήρες στα έργα του, από την ίδια του την οικογένεια. Κεντρικό θέμα στα έργα του είναι η παρουσίαση γυναικών που υποφέρουν, απηχώντας τη μητέρα του Μάριχεν Αλτενμπουργκ σύμφωνα με τον Τέμπλετον που υποστηρίζει ότι η συμπάθειά του προς τις γυναίκες βρήκε τελικά χαρακτηριστική έκφραση στην απεικόνισή τους σε έργα όπως Το κουκλόσπιτο και Ρόσμερσχολμ.
Στα δεκαπέντε ο Ίψεν αναγκάστηκε να εγκαταλείψει το σχολείο. Μετακόμισε στην μικρή πόλη Γκρίμσταντ για να γίνει βοηθός φαρμακοποιού. Προκειμένου να ξεφύγει από την ανιαρή ζωή του Γκρίμσταντ αρχίζει να διαβάζει και να γράφει θεατρικά έργα. Το 1846, όταν ο Χένρικ ήταν 18 χρονών, απόκτησε ένα νόθο παιδί με μια υπηρέτρια, που αργότερα το αναγνώρισε χωρίς όμως ποτέ να το γνωρίσει. Η ιστορία του νόθου γιου του πιθανολογείται πως ήταν και η αιτία που διέκοψε κάθε σχέση με την οικογένεια του. Ο Χένρικ Ίψεν δεν συνάντησε ποτέ ξανά τον πατέρα του, ενώ είδε την μητέρα του μόνο μια φορά ξανά πριν πεθάνει. Διατηρούσε αλληλογραφία μόνο με μία από τις αδελφές του.