cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Βικινέα
Συνεντεύξεις
Οι συντάκτες των Βικινέων έχουν πάρει συνεντεύξεις από αρκετές αξιόλογες προσωπικότητες. Ορόσημο αποτέλεσε η πρώτη συνέντευξη από ηγέτη κράτους που κατόρθωσε ποτέ να πάρει ιστοσελίδα δημοσιογραφίας των πολιτών. Το Δεκέμβριο του 2007, τα Βικινέα πήραν συνέντευξη από τον Ισραηλινό πρόεδρο και κάτοχο του Νόμπελ Ειρήνης, Σιμόν Πέρες. Άλλες σημαντικές συνεντεύξεις περιλαμβάνουν συγγραφείς, ηθοποιούς και πολιτικούς, όπως ο Ογκιστέν Μπιρόγκς (Augusten Burroughs), υποψήφιοι για την προεδρία των ΗΠΑ, ο Τόνι Μπεν, Βρετανός πολιτικός, ο Έρικ Μπογκοσιάν, ο Νικ Σμιθ, ο Τζον Κέι, πολιτικοί από τη Νέα Ζηλανδία και ο συνεφευρέτης του Παγκόσμιου Ιστόυ, Ρόμπερτ Κεγιώ.
Κριτική
Όπως και η Βικιπαίδεια, έτσι και τα Βικινέα δέχονται κριτική για την αντιληπτή αδυναμία τους να παραμείνουν ουδέτερα ή να συμπεριλάβουν μόνο αποδεδειγμένες και αληθείς πληροφορίες. Ο Ρόμπερτ Μακχένρυ, πρώην εκδότης της Εγκυκλοπαίδειας Μπριτάνικα Encyclopædia Britannica άσκησε κριτική στην αξιοπιστία του εγχειρήματος:
Ο Μακχένρυ ήταν επιφυλακτικός για τη δυνατότητα των Βικινέων να παρέχουν ουδέτερη πληροφόρηση και για τον ισχυρισμό τους ότι είναι αμερόληπτα. «Η αφέλεια είναι καταπληκτική», δήλωσε.."
Σε μία συνέντευξη της το 2007 η Σου Γκάρντνερ (Sue Gardner), ειδική σύμβουλος του συμβουλίου του Wikimedia Foundation και πρώην επικεφαλής του  CBC.ca, απέρριψε τα σχόλια του Μακχένρυ, δηλώνοντας ότι «Η δημοσιογραφία δεν είναι επάγγελμα ... στο επίκεντρο της, είναι απλώς  μια τέχνη. Και αυτό σημαίνει ότι μπορεί να ασκηθεί από οποιονδήποτε είναι ευαίσθητος και έξυπνος και σκεπτικός και περίεργος… Θυμάμαι εκείνο το πρωί της Virginia Tech – το πρωί που αποφάσισα ότι θέλω να εργαστώ εδώ [WMF]. Η συζήτηση στη σελίδα συζήτησης της ημέρας εκείνης ήταν εξαιρετικά στοχαστική. Θυμάμαι να συλλογίζομαι ότι αν το newsroom μου είχε μία τόσο έξυπνη συζήτηση (βρισκόμουν εκτός σύνδεσης εκείνη την ημέρα) θα ήμουν ενθουσιασμένη. Ναι λοιπόν, (κατά τη γνώμη μου) έχετε πλήρως αποδείξει ότι ο ΜακΧένρυ δεν έχει δίκιο. Και θα συνεχίσετε να το κάνετε..»
Τα Βικινέα έπρεπε επίσης να διατηρήσουν ένα ξεχωριστό προφίλ από τη Βικιπαίδεια, η οποία καλύπτει επίσης σημαντικές ειδήσεις σε πραγματικό χρόνο. Ο Τζόναθαν Ντι αρθρογράφος στους Τάιμς της Νέας Υόρκης δήλωσε ότι «Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ παρελθόντος και μέλλοντος έχει γίνει εξαιρετικά δυσδιάκριτη, με αποτέλεσμα η Βικιπαίδεια να έχει ακούσια στραγγαλίσει ένα από τα αδελφικά εγχειρήματα της, τα μόλις τριών ετών Βικινέα... Τα Βικινέα έχουν συρρικνωθεί και έχουν αποκτήσει νωθρότητα. Τον τελευταίο καιρό παράγουν μόλις 8 με 10 άρθρα την ημέρα… Στα μεγαλύτερα θέματα δεν υπάρχει λόγος να ανταγωνιστούν με την ανελέητη έκταση της εγκυκλοπαίδειας».
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Νεα
Διάνυσμα Λαπλάς–Ραντζ–Λεντς
Στην κλασική μηχανική, το διάνυσμα Λαπλάς-Ραντζ-Λεντς (ή απλά το διάνυσμα LRL) είναι ένα διάνυσμα που χρησιμοποιείται κυρίως για να περιγράψει το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς ενός αστρονομικού σώματος γύρω από ένα άλλο, όπως ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι. Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με νευτώνεια βαρύτητα, το LRL διάνυσμα είναι μια σταθερά της κίνησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι το ίδιο χωρίς να έχει σημασία που υπολογίζεται στην τροχιά, ισοδύναμα, το LRL διάνυσμα λέγεται ότι πρέπει να διατηρηθεί. Γενικότερα, το LRL διάνυσμα διατηρείται σε όλα τα προβλήματα στα οποία αλληλεπιδρούν δύο σώματα ωθούμενα από μια κεντρική δύναμη που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται προβλήματα Κέπλερ.
Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα πρόβλημα Κέπλερ, δεδομένου ότι περιλαμβάνει δύο φορτισμένα σωματίδια που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με το νόμο του Κουλόμπ της ηλεκτροστατικής, μια άλλη κεντρική δύναμη του αντίστροφου τετράγωνου. Το διάνυσμα LRL ήταν απαραίτητο στην πρώτη κβαντική μηχανική παράγωγη του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου, πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται σπάνια σήμερα.
Στην κλασσική και την κβαντική μηχανική, συντηρημένες ποσότητες αντιστοιχούν σε μια συμμετρία του συστήματος. Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ασυνήθιστη συμμετρία, το πρόβλημα Κέπλερ είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα σωματίδιο που κινείται ελεύθερα επί της επιφάνειας μίας τεσσάρων διαστάσεων (υπερ-) σφαίρα, επομένως όλο το πρόβλημα είναι συμμετρική υπό συγκεκριμένες περιστροφές του χώρου των τεσσάρων διαστάσεων. έτσι ώστε όλο το πρόβλημα είναι συμμετρικό υπό ορισμένες περιστροφές του τετραδιάστατου χώρου. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία προέρχεται από δύο ιδιότητες του προβλήματος Κέπλερ: το διάνυσμα της ταχύτητας κινείται πάντα σε έναν τέλειο κύκλο και, για μια δεδομένη συνολική ενέργεια, όλοι αυτοί οι κύκλοι του διανύσματος της ταχύτητας τέμνουν ο ένας τον άλλο στα ίδια δύο σημεία.
Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα πήρε το όνομά του από τους Πιέρ Σιμόν Λαπλάς, Carl Runge και Wilhelm Lenz. Είναι επίσης γνωστό ως το διάνυσμα Λαπλάς, το διάνυσμα Runge-Lenz και το διάνυσμα Lenz. Κατά ειρωνικό τρόπο, κανένας από αυτούς τους επιστήμονες δεν το ανακάλυψε. Το LRL διάνυσμα έχει ανακαλυφθεί εκ νέου αρκετές φορές και είναι επίσης ισοδύναμο με το αδιάστατο διάνυσμα εκκεντρικότητας της ουράνιας μηχανικής. Έχουν οριστεί διάφορες γενικεύσεις του LRL διανύσματος, οι οποίες ενσωματώνουν τις επιπτώσεις της ειδικής σχετικότητας, των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, ακόμα και διαφορετικών τύπων των κεντρικών δυνάμεων.
Γενικό πλαίσιο
Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).
Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) Α βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου. Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή.
Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής L, που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων r · L = 0, ομοίως δεδομένου ότι το Α βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, A · L = 0.
Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian, εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον διάνυσμα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο των αγκύλων Poisson, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.
Ιστορία των παράλληλων ανακαλύψεων
Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων. Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710. Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω,, και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3).
Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση. Η ανακάλυψη του Gibbs χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα από τον Runge Carle σε ένα δημοφιλές γερμανικό βιβλίο για διανύσματα, στην οποία αναφέρεται ο Wilhelm Lenz στην εργασία του σχετικά με την (παλιά) κβαντική μηχανική επεξεργασία του ατόμου του υδρογόνου. Το 1926, το διάνυσμα είχε χρησιμοποιηθεί από τον Wolfgang Pauli για να ερευνήσει το φάσμα του υδρογόνου με τη χρήση σύγχρονης κβαντομηχανικής, αλλά όχι την εξίσωση Σρέντινγκερ; από τη δημοσίευσή του Pauli έμεινε γνωστό ως το διάνυσμα Runge-Lenz.
Μαθηματικός ορισμός
Για ένα μόνο σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης του αντιστρόφου τετραγώνου που περιγράφεται από την εξίσωση, το LRL διάνυσμα Α ορίζεται μαθηματικά από τον τύπο
thumb|right|400px|Σχήμα 1: Το LRL διάνυσμα 'Α (εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα) σε τέσσερα σημεία (με την ένδειξη 1, 2, 3 και 4) στην ελλειπτική τροχιά ενός συνδεδεμένου σωματιδίου σημείο κινείται υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης αντίστροφου τετραγώνου. Το κέντρο της έλξης εμφανίζεται ως ένας μικρός μαύρος κύκλος από τον οποίο προέρχονται τα διανύσματα θέσης (επίσης μαύρο). Το διάνυσμα 'L' της στροφορμής είναι κάθετο στην τροχιά. Τα ομοεπίπεδα διανύσματα p Χ L εμφανίζονται σε μπλε και πράσινο, αντίστοιχα. Ορίζονται οι μεταβλητές αυτές παρακάτω. Το διάνυσμα Α είναι σταθερό σε κατεύθυνση και μέγεθος.
όπου,
Δεδομένου ότι η υποτιθέμενη δύναμη είναι συντηρητική, η ολική ενέργεια Ε είναι μια σταθερά της κίνησης
Επιπλέον, η υποτιθέμενη δύναμη είναι μια κεντρική δύναμη, και έτσι η στροφορμή L  διατηρείται καθώς και καθορίζει το επίπεδο στο οποίο το σωματίδιο ταξιδεύει. Το LRL διάνυσμα Α είναι κάθετο στη στροφορμή L, διότι και το p × L και το R είναι κάθετα στο L. Συνεπάγεται ότι το Α βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς.
Μία ποικιλία εναλλακτικών τύπων για την ίδια σταθερά της κίνησης μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν. Η πιο συνηθισμένη είναι η κλίμακα από mk για να ορίσει το διάνυσμα εκκεντρικότητας
Προέλευση των τροχιών Κέπλερ
thumb|right|350px|Σχήμα 2: Απλοποιημένη εκδοχή του Σχήματος 1, όπου ορίζεται η γωνία θ μεταξύ Α και r σε ένα σημείο της τροχιάς.
Το σχήμα και ο προσανατολισμός του προβλήματος των τροχιών Κέπλερ μπορεί να προσδιορισθεί από το LRL διάνυσμα ως ακολούθως. [1] Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο του Α με το διάνυσμα θέσεως r έχουμε την εξίσωση
όπου θ είναι η γωνία μεταξύ και Α (Σχήμα 2). Μετασχηματίζοντας το εσωτερικό γινόμενο τριών διανυσμάτων
και αναδιατάσσοντας τις αποδόσεις ο τύπος για μια κωνική τομή
και latus rectum
όπου το σύμβολο μείον αφορά στις ελλείψεις και το σύμβολο συν στις υπερβολές.
η οποία μπορεί να ξαναγραφτεί ως προς την εκκεντρικότητας
Έτσι, εάν η ενέργεια E είναι αρνητική (δεσμευμένες τροχιές), η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από το ένα και η τροχιά είναι μία έλλειψη. Αντιστρόφως, αν η ενέργεια είναι θετική (τροχιές χωρίς περιορισμούς, που ονομάζονται επίσης "διάσπαρτες τροχιές»), η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από το ένα και η τροχιά είναι μία υπερβολή. Τέλος, αν η ενέργεια είναι ακριβώς μηδέν, η εκκεντρότητα είναι μία και η τροχιά είναι μία παραβολή. Σε όλες τις περιπτώσεις, η κατεύθυνση του A βρίσκεται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας της κωνικής τομής και τα σημεία από το κέντρο της δύναμης προς την περίαψη, το σημείο της πλησιέστερης προσέγγισης.
Κυκλικά διαγράμματα της ορμής
thumb|right|280px|Σχήμα 3: Το διάνυσμα ορμής p (με μπλε χρώμα) κινείται σε έναν κύκλο,καθώς το σωματίδιο κινείται σε μια έλλειψη. Τα τέσσερα επισημασμένα σημεία αντιστοιχούν σε εκείνα του σχήματος 1. Ο κύκλος έχει κέντρο στον άξονα y στη θέση Α / L ( με ροζ χρώμα), και ακτίνα mk / L (με πράσινο χρώμα). Η γωνία η καθορίζει την εκκεντρότητα e της ελλειπτικής τροχιάς (cos η = e). Από το θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας για [[κύκλος|κύκλους, το η είναι και η γωνία μεταξύ κάθε σημείο του κύκλου και των δύο σημείων τομής με τον άξονα px, px=±p0.]]
Η διατήρηση του LRL διανύσματος Α και της στροφορμής L είναι χρήσιμη καθώς δείχνει ότι το διάνυσμα ορμής p κινείται σε έναν κύκλο με μια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη.
Λαμβάνοντας το γινόμενο
με τον εαυτό του δίνει
Με άλλα λόγια, το διάνυσμα ορμής p περιορίζεται σε έναν κύκλο ακτίνας mk / L με κέντρο (0, A / L). Η εκκεντρότητα e αντιστοιχεί στο συνημίτονο της γωνίας η που φαίνεται στο Σχήμα 3. Στο εκφυλισμένο όριο των κυκλικών τροχιών, και ως εκ τούτου εξαφανίζοντας το Α, ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων (0,0). Για λόγους συντομίας, είναι επίσης χρήσιμο να εισάγουμε την μεταβλητή. Αυτό το κυκλικό διάγραμμα ταχύτητας είναι χρήσιμο στην απεικόνιση της συμμετρίας του προβλήματος Κέπλερ.
Σταθερές της κίνησης και υπερ-ολοκληρωσιμότητα
Οι επτά μονοδιάστατες ποσότητες Ε, Α και L (που είναι διανύσματα, οι δύο τελευταίες συνεισφέρουν τρεις διατηρημένες ποσότητες κάθε μία) σχετίζονται με δύο εξισώσεις, Α · L = 0 και A2 = m2k2 + 2 m E L2, δίνοντας πέντε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τις έξι αρχικές συνθήκες (αρχική θέση του σωματιδίου και διάνυσμα ταχύτητας, το καθένα με τρεις συνιστώσες) που προσδιορίζουν την τροχιά του σωματιδίου, δεδομένου ότι ο αρχικός χρόνος δεν καθορίζεται από μια συνέχεια της κίνησης. Δεδομένου ότι το μέγεθος του Α (και η εκκεντρότητα e της τροχιάς) μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνολική στροφορμή L και την ενέργεια Ε, μόνο η κατεύθυνση του Α διατηρείται ανεξάρτητα. Περαιτέρω, εφόσον το Α πρέπει να είναι κάθετο στο L, συμβάλλει μόνον μία επιπλέον διατηρημένη ποσότητα.
Ένα μηχανικό σύστημα με d βαθμούς ελευθερίας μπορεί να έχει το πολύ 2d - 1 σταθερές της κίνησης, δεδομένου ότι υπάρχουν 2d αρχικές συνθήκες και ο αρχικός χρόνος δεν μπορεί να προσδιοριστεί από μια σταθερά της κίνησης. Ένα σύστημα με περισσότερες από d σταθερές της κίνησης ονομάζεται υπερ-ολοκληρώσιμο και ένα σύστημα με 2d - 1 σταθερές ονομάζεται μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο. Δεδομένου ότι η λύση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi σε ένα σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δώσει μόνο d σταθερές της κίνησης, τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα πρέπει να να διαχωρισθούν σε περισσότερα από ένα σύστημα συντεταγμένων. Το πρόβλημα Κέπλερ είναι μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο, δεδομένου ότι έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (d = 3), και πέντε ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης. Η Hamilton-Jacobi εξίσωση της είναι διαχωρίσιμη τόσο για σφαιρικές συντεταγμένες όσο και για τις παραβολικές συντεταγμένες, όπως περιγράφεται στη συνέχεια.
Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα ακολουθούν κλειστές, μονοδιάστατες τροχιές στον χώρο, καθώς η τροχιά είναι η τομή των επιφανειών που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι σταθερές της κίνησης. Κατά συνέπεια, οι τροχιές είναι κάθετες με όλες τις βαθμίδες όλων αυτών των ανεξάρτητων επιφανειών, πέντε σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα, και ως εκ τούτου καθορίζονται από τα συνήθη εξωτερικά γινόμενα όλων αυτών των βαθμίδων Ως εκ τούτου, όλα τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα περιγράφονται αυτόματα από την μηχανική Nambu,, εναλλακτικά, και ισοδύναμα, από την Χαμιλτονιανή μηχανική. Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετατροπής, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια. Ωστόσο, ισόποσα, είναι επίσης υπολογισμένα με το πλαίσιο Nambu, όπως αυτό το κλασσικό πρόβλημα Κέπλερ στο άτομο του υδρογόνου.
Εξέλιξη υπό διαταραγμένα δυναμικά
right|thumb|250px|Σχήμα 5: Σταδιακή μετάπτωση της ελλειπτική τροχιά, με εκκεντρότητα e = 0,667. Αυτή η μετάπτωση προκύπτει από το πρόβλημα Κέπλερ εάν η κεντρική δύναμη έλξης αποκλίνει ελαφρώς από τον νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου. Ο ρυθμός της μετάπτωσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο στο κείμενο.
Το Laplace-Runge-Lenz Α διατηρείται μόνο για μια τέλεια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη. Σε πιο πρακτικά προβλήματα, όπως η πλανητική κίνηση, ωστόσο, η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο σωμάτων δεν είναι ακριβώς ένας νόμος αντιστρόφου τετραγώνου αλλά μπορεί να περιλαμβάνει μια πρόσθετη κεντρική δύναμη,η λεγόμενη διαταραχή περιγράφεται από μια δυναμική ενέργεια h (r). Σε τέτοιες περιπτώσεις, το LRL περιστρέφεται αργά στο επίπεδο της τροχιάς, που αντιστοιχεί σε αργή αψιδωτή εκτροπή της τροχιάς. Παραδεχόμαστε ότι το διαταράσσων δυναμικό h (r) είναι μια συντηρητική κεντρική δύναμη πράγμα που σημαίνει ότι η ολική ενέργεια Ε και η στροφορμή L διατηρούνται. Έτσι, η κίνηση εξακολουθεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο L και το μέτρο Α διατηρείται από την εξίσωση A2 = m2k2 + 2mEL2. Το διαταράσσων δυναμικό h (r) μπορεί να είναι οποιοδήποτε είδος της λειτουργία, αλλά θα πρέπει να είναι σημαντικά ασθενέστερη από την κύρια αντιστρόφου τετραγώνου δύναμη μεταξύ των δύο φορέων.
Ο ρυθμός με τον οποίο περιστρέφεται το LRL διάνυσμα δίνει πληροφορίες σχετικά με το διαταράσσων δυναμικό h (r). Χρησιμοποιώντας την θεωρία διαταραχών και τις δράσης-γωνίας συντεταγμένες είναι απλό να δείξουμε ότι το Α περιστρέφεται με ρυθμό όπου Τ είναι η τροχιακή περίοδος και η ταυτότητα L dt = m r2 dθ χρησιμοποιήθηκε για να μετατρέψει το ολοκλήρωμα χρόνου σε ένα γωνιακό ολοκλήρωμα (Σχήμα 5). Η έκφραση σε ορθογώνιες παρενθέσεις <h(r)> αντιπροσωπεύει το διαταράσσων δυναμικό, αλλά κατά μέσο όρο σε μια πλήρη περίοδο, που είναι κατά μέσο όρο πάνω από ένα πλήρη πέρασμα του σώματος γύρω από την τροχιά του. Από μαθηματική άποψη ο μέσος όρος του χρόνου αντιστοιχεί στην ακόλουθη ποσότητα σε αγκύλες. Αυτός ο μέσος όρος βοηθά στην ελαχιστοποίηση των διακυμάνσεων του ρυθμού περιστροφής.
Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται για να βοηθήσει στην επαλήθευση της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν η οποία προσθέτει μια μικρή αντίστροφη κυβικών διαταραχών στην κανονική νευτώνεια βαρυτική δυναμική. Εισάγοντας αυτή τη λειτουργία στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την εξίσωση για να εκφράσουμε το r συναρτήση του θ, ο ρυθμός εκτροπή της περίαψης προκαλείται από αυτή την μη-Νευτώνεια διαταραχή υπολογίζεται να είναι που ταιριάζει με την παρατηρούμενη ανώμαλη εκτροπή του Ερμή και των πάλσαρ. Αυτή η συμφωνία με το πείραμα θεωρείται ότι είναι ισχυρή ένδειξη για τη γενική σχετικότητα.
Αγκύλες Poisson
Οι τρεις συνιστώσες Li της στροφορμής L έχουν τις αγκύλες Poisson όπου i = 1,2,3 και εijs είναι ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής δηλαδή το Levi-Civita σύμβολο. Το άθροισμα του δείκτη s χρησιμοποιείται εδώ για να αποφεύγεται η σύγχυση με την παράμετρο δύναμης k που ορίζεται παραπάνω. Οι αγκύλες Poisson που εκπροσωπούνται εδώ ως τετραγωνικές παρενθέσεις (όχι αγκύλες) τόσο για λόγους συνοχής με τις αναφορές αλλά και επειδή θα πρέπει να ερμηνευθεί ως σχέση κβαντομηχανικής μετατροπής στην επόμενη ενότητα και ως Lie παρένθεση σε μια επόμενη ενότητα.
Όπως αναφέρεται παρακάτω ένα απλοποιημένο Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα D μπορεί να οριστεί με τις ίδιες μονάδες ως στροφορμή διαιρώντας το A με . Οι αγκύλες Poisson του D με την στροφορμή L μπορεί να γραφεί σε μια παρόμοια μορφή
Οι αγκύλες Poisson της D με τον εαυτό της εξαρτώνται από το πρόσημο του Ε, δηλαδή, από το αν η ολική ενέργεια Ε είναι αρνητική (που παράγει κλειστές, ελλειπτικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη) ή θετική (που παράγει ανοικτές, υπερβολικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετράγωνου κεντρική δύναμη). Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - οι αγκύλες Poisson είναι ενώ για τις θετικές ενέργειες, οι αγκύλες Poisson έχουν το αντίθετο πρόσημο,
και έχουν μηδενικές αγκύλες Poisson με όλες τις συνιστώσες των D και L, Η C2 είναι τετριμμένα μηδέν, δεδομένου ότι οι δύο διανύσματα είναι πάντα κάθετα.
Κβαντομηχανική του ατόμου του υδρογόνου
Οι αγκύλες Poisson παρέχουν έναν απλό οδηγό για τον υπολογισμό των περισσότερων κλασικών συστημάτων: η σχέση μετατροπής των δύο κβαντομηχανικών τελεστών προκύπτει από την αγκύλη Poisson των αντίστοιχων κλασικών μεταβλητών, πολλαπλασιαζόμενη με iħ
Με τη διεξαγωγή αυτού του υπολογισμού και υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές του C_{1} τελεστή Casimir για το πρόβλημα του Κέπλερ, ο Wolfgang Pauli ήταν σε θέση να κατανοήσει τα επίπεδα ενέργειας ατόμων όμοιων με το υδρογόνο (Σχήμα 6) και, ως εκ τούτου, το ατομικό φάσμα εκπομπής τους. Αυτό το κομψό δημιούργημα επιτεύχθηκε πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Σρέντινγκερ.
Η λεπτότητα του κβαντομηχανικού τελεστή για το LRL διάνυσμα Α είναι ότι οι τελεστές ορμής και στροφορμής δεν μετακινούνται,ως εκ τούτου, το εξωτερικό γινόμενο των p και L πρέπει να ορίζεται με προσοχή. Συνήθως, οι τελεστές για τις καρτεσιανές συνιστώσες As ορίζονται βάσει ενός συμμετρικού γινομένου, από το οποίο οι αντίστοιχοι πρόσθετοι κλιμακωτοί τελεστές για το L μπορούν να οριστούν, Αυτές περαιτέρω συνδέουν διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις της L2.
όπου Η−1 είναι το αντίστροφο του Χαμιλτονιανού τελεστή ενέργειας, και το Ι είναι ο ταυτοτικός τελεστής.
Εφαρμόζοντας αυτούς τους κλιμακωτούς τελεστές στις ιδιοκαταστάσεις της συνολικής στροφορμής, αζιμουθιακής στροφορμής και τους ενεργειακούς τελεστές, οι ιδιοτιμές του πρώτου τελεστή Casimir C1 είναι n2 - 1. Είναι αξιοσημείωτο, ότι λόγω του μηδενισμού του C2, είναι ανεξάρτητα από τους l και m κβαντικούς αριθμούς, καθιστώντας τα ενεργειακά επίπεδα εκφυλισμένα.
Ως εκ τούτου, τα επίπεδα της ενέργειας δίνονται από τον τύπο ο οποίος συμπίπτει με τον τύπο Rydberg για άτομα όμοια με το υδρογόνο (Σχήμα 6). Οι πρόσθετοι τελεστές συμμετρίας Α έχουν συνδέσει εμμέσως τις διάφορες πολλαπλές l μεταξύ τους, για μία δεδομένη ενέργεια (και την C1). Στην πραγματικότητα, έχουν διευρύνει την ομάδα SO (3) σε SO (4).
Διατήρηση και συμμετρία
Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ανεπαίσθητη συμμετρία του συστήματος. Στην κλασική μηχανική,οι συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες που απεικονίζουν μία τροχιά επί μίας άλλης χωρίς να αλλάζει την ενέργεια του συστήματος. Στην κβαντομηχανική,οι συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες, που συνδυάζουν ατομικά τροχιακά της ίδιας ενέργειας, δηλαδή, εκφυλίζουν τα επίπεδα ενέργειας. Μια συντηρημένη ποσότητα είναι συνήθως συνδεδεμένη με αυτές τις συμμετρίες. Για παράδειγμα, κάθε κεντρική δύναμη είναι συμμετρική με την ομάδα περιστροφής SO (3), με αποτέλεσμα τη διατήρηση της στροφορμής L. Κλασικά, μια συνολική περιστροφή του συστήματος δεν επηρεάζει την ενέργεια μιας τροχιάς. Από πλευρά κβαντομηχανικής, οι περιστροφές αναμιγνύουν τις σφαιρικές αρμονικές του ίδιου κβαντικού αριθμού l χωρίς να να αλλάζουν την ενέργεια.
thumb|right|Σχήμα 7: Η οικογένεια των κυκλικών διαγραμμάτων της ορμής για μια δοθείσα ενέργεια Ε. Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα ίδια δύο σημεία πάνω στον px άξονα (βλέπε Σχήμα 3). Αυτή η οικογένεια των διαγραμμάτων αντιστοιχεί σε μία οικογένεια Απολλωνίων κύκλων, και το σ είναι η επιφάνεια που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι διπολικές συντεταγμένες.
Η συμμετρία για την αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη είναι μεγαλύτερη και πιο ανεπαίσθητη. Η ιδιόμορφη συμμετρία του προβλήματος Κέπλερ έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση τόσο του διανύσματος στροφορμής L και του LRL διανύσματος Α (όπως ορίστηκε ανωτέρω) και, από πλευρά κβαντομηχανικής, διασφαλίζει ότι τα επίπεδα ενέργειας του υδρογόνου δεν εξαρτώνται από τους κβαντικούς αριθμούς στροφορμής l και m. Η συμμετρία είναι πιο λεπτεπίλεπτη, καθώς η συμμετρία πρέπει να πραγματοποιείται σε έναν μεγαλύτερης διάστασης χώρο. Αυτές οι συμμετρίες συχνά αποκαλούνται "κρυφές συμμετρίες". Κλασικά, η μεγαλύτερη συμμετρία του προβλήματος Κέπλερ επιτρέπει τις συνεχείς εναλλαγές των τροχιών που διατηρούν την ενέργεια, αλλά όχι την στροφορμή. Με άλλα λόγια, οι τροχιές της ίδιας ενέργειας αλλά διαφορετικής στροφορμής (εκκεντρότητας) μπορούν να μετασχηματιστούν συνεχώς η μία στην άλλη. Από πλευρά κβαντομηχανικής, αυτό αντιστοιχεί σε αναμειγμένα τροχιακά που διαφέρουν στους l και m κβαντικούς αριθμούς, όπως τα s (l = 0) και p (l = 1) ατομικά τροχιακά. Η εν λόγω ανάμιξη δεν μπορεί να γίνει με τους συνήθεις τρισδιάστατους μετασχηματισμούς ή τις περιστροφές, αλλά είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή σε μια υψηλότερη διάσταση.
Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (4), η οποία διατηρεί το μήκος των διανυσμάτων τεσσάρων διαστάσεων Το 1935, ο Vladimir Fock έδειξε ότι το περιορισμένο κβαντομηχανικά πρόβλημα Κέπλερ είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ενός ελεύθερου σωματιδίου που περιορίζεται σε μια τρισδιάστατη σφαίρα σε χώρο τεσσάρων διαστάσεων. Συγκεκριμένα, ο Fock έδειξε ότι η κυματοσυνάρτηση Σρέντινγκερ στον χώρο ορμής για το πρόβλημα Κέπλερ ήταν η στερεογραφική προβολή των σφαιρικών αρμονικών στη σφαίρα. Περιστρέφοντας την σφαίρα και παίρνοντας πάλι την προβολή έχουμε ως αποτέλεσμα μια συνεχή αποτύπωση των ελλειπτικών τροχιών χωρίς αλλαγή της ενέργειας. Από πλευρά κβαντομηχανικής, αυτό αντιστοιχεί σε μια ανάμειξη όλων των τροχιακών της ίδιας ενέργειας με κβαντικό αριθμό n. Ο Valentine Bargmann πρόσεξε στη συνέχεια ότι οι αγκύλες Poisson για το διάνυσμα στροφορμής L και το κλιμακωτό LRL διάνυσμα D σχημάτισαν τη άλγεβρα Lie για το SO (4). Με απλά λόγια, οι έξι ποσότητες D και L αντιστοιχούν στις έξι σταθερές στροφορμές σε τέσσερις διαστάσεις, που συνδέονται με τις έξι πιθανές απλές περιστροφές σε αυτόν τον χώρο (υπάρχουν έξι τρόποι επιλογής δύο αξόνων από τους τέσσερις). Το συμπέρασμα αυτό δεν σημαίνει ότι το σύμπαν μας είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα. Αυτό σημαίνει απλώς ότι αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα φυσικής (το πρόβλημα των δύο σωμάτων για τις αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου κεντρικές δυνάμεις) είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα ελεύθερο σωματίδιο σε μια τρισδιάστατη σφαίρα.
Για θετικές ενέργειες - δηλαδή, για τα ανεξάρτητα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (3,1), η οποία διατηρεί το μήκος Minkowski 4-διανυσμάτων Και οι δύο περιπτώσεις-αρνητικής και θετικής ενέργειας-εξετάστηκαν από τον Fock και τον Bargmann, και έχουν αξιολογηθεί εγκυκλοπαιδικά από τον Bander και τον Itzykson.
Οι τροχιές των συστημάτων κεντρικών δυνάμεων - και εκείνων του προβλήματος Κέπλερ ιδίως - είναι επίσης συμμετρικές ύστερα από αντικατοπτρισμό. Ως εκ τούτου, οι SO (3), SO (4) και SO (3,1) ομάδες που αναφέρονται παραπάνω δεν είναι οι πλήρεις συμμετρικές ομάδες των τροχιών τους. Οι πλήρεις ομάδες είναι οι Ο (3), Ο (4) και Ο (3, 1), αντίστοιχα. Παρ 'όλα αυτά, μόνο οι συνδεδεμένες υποομάδες, SO (3), SO (4) και SO (3,1), απαιτούνται για να αποδειχθεί η διατήρηση της στροφορμής και των LRL διανυσμάτων. Η αντικατοπτρική συμμετρία δεν επηρεάζει τη διατήρηση, η οποία μπορεί να προέρχεται από την άλγεβρα Lie της ομάδας.
Περιστροφική συμμετρία σε τέσσερις διαστάσεις
thumb|right|300px|Σχήμα 8: Τα δυναμικά διαγράμματα του σχήματος 7 αντιστοιχούν στα στερεογραφικές προβολές των μεγάλων κύκλων σχετικά με την τρισδιάστατη σφαίρα η μονάδα. Όλοι οι μεγάλοι κύκλοι τέμνουν την ηx άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στη σελίδα,η προεξοχή είναι από τον Βόρειο Πόλο ('w' του μοναδιαίο διάνυσμα) στην ηx-ηy άξονα,όπως φαίνεται εδώ για την διάγραμμα ματζέντα από τις διακεκομμένες μαύρες γραμμές. Το μεγάλο κύκλο σε α γεωγραφικό πλάτος αντιστοιχεί σε ένα εκκεντρότητα e = sin α. Τα χρώματα των μεγάλων κύκλων που εμφανίζονται εδώ αντιστοιχούν σε διαγράμματα στο Σχήμα 7.
Η σχέση μεταξύ του προβλήματος Κέπλερ και τεσσάρων διαστάσεων περιστροφική συμμετρία SO (4) μπορεί να είναι εύκολα ορατό. Έστω τα τεσσάρων διαστάσεων καρτεσιανές συντεταγμένες θα συμβολίζεται (w, x, y, z), όπου (x, y, z) αντιπροσωπεύουν την καρτεσιανές συντεταγμένες της κανονικής r διάνυσμα θέσης. Το τρισδιάστατο διάνυσμα p ορμή συνδέεται με ένα τετραδιάστατο διάνυσμα σε μια τρισδιάστατη σφαίρα μονάδα
όπου είναι το διάνυσμα μονάδα κατά μήκος του νέου w-άξονα. Η χαρτογράφηση μετασχηματισμός p στο η μπορεί να είναι μοναδικά ανεστραμμένη? Για παράδειγμα, το x-συνιστώσα της ορμής ισούται
και ομοίως για  p y και p z. Με άλλα λόγια, το τρισδιάστατο διάνυσμα p είναι ένα στερεογραφική προβολή των τεσσάρων διαστάσεων διάνυσμα, με κλίμακα από το p0. Χωρίς εξάλειψη της γενικότητας,μπορούμε να εξαλείψουμε την κανονική περιστροφική συμμετρία επιλέγοντας τους καρτεσιανές συντεταγμένες έτσι ώστε ο άξονας-z είναι ευθυγραμμισμένο με το διάνυσμα L γωνιακή ορμή και είναι ευθυγραμμισμένες τα διαγράμματα ορμής που είναι στο Σχήμα 7,με τα κέντρα των κύκλων για την y-άξονα. Δεδομένου ότι η κίνηση είναι επίπεδη,και p και L είναι κάθετες, pz = ηz = 0 και προσοχή μπορεί να περιοριστεί στο τρισδιάστατο διάνυσμα = (ηw, ηx, ηy). Η οικογένεια των Απολλωνίων κύκλων των hodographs ορμής (Σχήμα 7) αντιστοιχεί σε μια οικογένεια των μεγάλων κύκλων σχετικά με την τρισδιάστατο σφαίρα, τα οποία τέμνουν τον ηx-άξονα στο δύο εστίες ηx = ±1, που αντιστοιχεί στην ορμή του hodograph εστίες σε px = ±p0. Αυτές οι μεγάλες κύκλοι που συνδέονται με μια απλή περιστροφή περί τον άξονα ηx-axis (Σχήμα 8). Αυτή η περιστροφική συμμετρία μετατρέπει όλες τις τροχιές της ίδιας ενέργειας σε μία άλλη,Ωστόσο, μια τέτοια περιστροφή είναι ορθογώνια προς τις συνήθεις τρισδιάστατες περιστροφές, αφού μετατρέπει την τέταρτη ηw διάσταση. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία είναι χαρακτηριστική του προβλήματος Κέπλερ και αντιστοιχεί στη διατήρηση της LRL διάνυσμα. Ένα κομψό δράση γωνίας λύση μεταβλητές για το πρόβλημα Κέπλερ μπορεί να επιτευχθεί με την εξάλειψη των απολυμένων τεσσάρων διαστάσεων συντεταγμένες υπέρ των ελλειπτικών κυλινδρικές συντεταγμένες (χ, ψ, φ)
όπου sn, cn και dn είναι ελλειπτικά λειτουργίες του Jacobi.
Οι γενικεύσεις σε άλλες δυνατότητες και σχετικότητας
Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα μπορεί επίσης να γενικευθεί για τον εντοπισμό συντηρημένες ποσότητες που ισχύουν σε άλλες καταστάσεις. Με την παρουσία ενός ηλεκτρικού πεδίου E, η συντηρημένη γενικευμένη Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα \mathcal{A} είναι
όπου q είναι το φορτίο στην τροχιά των σωματιδίων. Η περαιτέρω γενίκευση της Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα για άλλες δυνατότητες και την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η πιο γενική μορφή μπορεί να γραφτεί ως
όπου u = 1/r (βλ. θεώρημα Bertrand) και ξ = cos θ, με τη γωνία θ ορίζεται από
και γ είναι ο παράγοντας Lorentz. Όπως και πριν, μπορούμε να αποκτήσουμε μια συντηρημένη binormal διάνυσμα B παίρνοντας το γινόμενο με το συντηρημένο διάνυσμα της γωνιακής ορμής
Αυτές οι δύο φορείς μπορούν ομοίως να συνδυαστούν σε μια διατηρημένη δυαδική τανυστής W
η γωνιακή διάνυσμα ορμή διατηρείται και η κίνηση βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Η συντηρημένη δυαδική tensor μπορεί να γραφτεί σε απλή μορφή
αν και θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα ρ και r δεν είναι απαραίτητα κάθετα. Το αντίστοιχο Runge-Lenz διάνυσμα είναι πιο περίπλοκη
όπου είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης και.
Αποδείξεις ότι το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz διατηρείται στα προβλήματα Κέπλερ
Τα παρακάτω είναι τα επιχειρήματα που δείχνουν ότι το LRL διάνυσμα διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεις που υπακούουν σε ένα νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.
Άμεση απόδειξη της διατήρησης
Μια κεντρική δύναμη \mathbf{F} που δρουν στο σωματίδιο είναι
για κάποια συνάρτηση f(r) της ακτίνας r. Δεδομένου ότι η στροφορμή διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεων, και
όπου η δυναμική και όταν το προϊόν τριπλού σταυρού έχει απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lagrange
Η ταυτότητα
αποδίδει την εξίσωση
Για την ειδική περίπτωση ενός αντίστροφου τετραγώνου κεντρική δύναμη, αυτό ισούται
Μία βραχύτερη απόδειξη επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη σχέση της στροφορμής με γωνιακή ταχύτητα, ,η οποία ισχύει για ένα σωματίδιο που ταξιδεύει σε ένα επίπεδο κάθετο προς \mathbf{L}. Καθορισμός σε αντιστρόφου κεντρική πλατεία δυνάμεις, η χρονική παράγωγος της είναι
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή το μοναδιαίο διάνυσμα μπορεί να αλλάξει μόνο με περιστροφή, και είναι η τροχιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου διάνυσμα. Έτσι,A φαίνεται να είναι μια διαφορά των δύο διανυσμάτων ίσο με παράγωγα του χρόνου.
Όπως περιγράφεται παρακάτω, αυτό το διάνυσμα LRL A είναι μια ειδική περίπτωση ενός γενικού συντηρημένη διάνυσμα \mathcal{A} που μπορούν να οριστούν για όλες τις κεντρικές δυνάμεις. Ωστόσο, δεδομένου ότι οι περισσότερες κεντρικές δυνάμεις δεν παράγουν κλειστές τροχιές, το ανάλογο διάνυσμα \mathcal{A} σπάνια έχει έναν απλό ορισμό και είναι γενικά μια πλειότιμη συνάρτηση της γωνίας θ μεταξύ r και \mathcal{A}.
Hamilton-Jacobi εξίσωση σε παραβολικές συντεταγμένες
όπου το r αντιπροσωπεύει την ακτίνα στο επίπεδο της τροχιάς
Η αναστροφή αυτών των συντεταγμένων είναι
όπου Γ είναι μια σταθερά της κίνησης. Αφαίρεση και την εκ νέου έκφραση από την άποψη του καρτεσιανού ορμές px και py Γ δείχνει ότι είναι ισοδύναμο με το διάνυσμα LRL
Θεώρημα Noether
Η σύνδεση μεταξύ του περιστροφική συμμετρία περιγράφηκε ανωτέρω και η διατήρηση του LRL διανύσματος μπορεί να γίνει ποσοτική με τον τρόπο του θεωρήματος Noether. Αυτό το θεώρημα, το οποίο χρησιμοποιείται για την εύρεση σταθερές της κίνησης,αναφέρει ότι οποιαδήποτε απειροελάχιστη παραλλαγή της γενικευμένες συντεταγμένες ενός φυσικού συστήματος
που προκαλεί η Lagrangian να διαφέρουν στην πρώτη τάξη με συνολική χρονική παράγωγο
αντιστοιχεί σε μια διατηρημένη ποσότητα Γ
Ειδικότερα, η διατηρημένη LRL διανυσματική συνιστώσα As αντιστοιχεί στη διακύμανση της συντεταγμένες
όπου i είναι ίσο με 1, 2 και 3, με xi και pi είναι τα ith-συνιστώσες της θέσης και ορμής διανύσματα r και p, αντίστοιχα,ως συνήθως, δisαντιπροσωπεύει το δέλτα του Kronecker. Το προκύπτον πρώτης τάξης αλλαγή στην λαγκρατζιανές
Υποκατάσταση στο γενικό τύπο για την συντηρημένη ποσότητα Γ δίδει την συντηρημένη συστατικό As του φορέως LRL
Μετασχηματισμός Lie
thumb|right|350px|Σχήμα 9: Ο μετασχηματισμός lie από την οποία η διατήρηση του LRL διανύσματος A προέρχεται. Καθώς η παράμετρος λ κλιμάκωση ποικίλλει, η ενέργεια και γωνιακή ορμή αλλάζει,αλλά η εκκεντρότητα e και το μέγεθος και την κατεύθυνση του A δεν αλλάζουν.
Η παραγωγή θεώρημα Noether της διατήρησης του LRL διανύσματος A είναι κομψό,αλλά έχει ένα μειονέκτημα: η διακύμανση συντεταγμένων δxi περιλαμβάνει όχι μόνο τη θέση r, αλλά και την ορμή p ή, ισοδύναμα, την ταχύτητα v. Αυτό το μειονέκτημα μπορεί να εξαλειφθεί με την αντί απορρέουν τη διατήρηση του Α χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση που εγκαινίασε ο Sophus Lie. Συγκεκριμένα, το ένα μπορεί να καθορίζει μια μεταμόρφωση Lie στην οποία το r συντεταγμένες και ο χρόνος t κλιμακώνονται από διαφορετικές δυνάμεις μιας παραμέτρου λ (Σχήμα 9)
Αυτή η μεταμόρφωση αλλάζει τη συνολική γωνιακή L ορμή και ενέργεια Ε
αλλά διατηρείται EL2. Ως εκ τούτου, η εκκεντρότητα e και το μέγεθος Α σώζονται, όπως μπορεί να φανεί από την εξίσωση για την A2]]
Η κατεύθυνση Α διατηρείται, καθώς, αφού οι ημιάξονες μεταβάλλονται από μια παγκόσμια κλιμάκωση. Ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί και τρίτο νόμο του Κέπλερ, δηλαδή, ότι η ημιάξονα a και T περίοδο αποτελούν μια σταθερή T2/a3.
Εναλλακτικές διαβαθμίσεις, σύμβολα και μορφοποιήσεις
Σε αντίθεση με το momentum και το γωνιακό mementum διάνυσμα p και L,δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτός ορισμός του Laplace-Runge-Lenz διανύσματος,οι πολλές διαφορετικές συντελεστές κλίμακας και τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στην επιστημονική βιβλιογραφία. Η πιο κοινή ορισμός που δίνεται παραπάνω, αλλά μια άλλη κοινή εναλλακτική λύση είναι να διαιρέσει από τη συνεχή mk να ληφθεί ένα αδιάστατη συντηρημένη διάνυσμα εκκεντρότητας
όπου ν είναι το διάνυσμα ταχύτητος. Αυτό το κλιμακωτό ηλεκτρονικό διάνυσμα e έχει την ίδια κατεύθυνση με Α και το μέγεθός του ισούται με την εκκεντρότητα της τροχιάς. Άλλες κλίμακα εκδόσεις είναι επίσης δυνατόν, π.χ., διαιρώντας A από m μόνο
ή από p0
η οποία έχει τις ίδιες μονάδες με τη γωνιακή ορμή διάνυσμα L. Σε σπάνιες περιπτώσεις, το πρόσημο του LRL διανύσματος μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή, με κλίμακα από -1. Άλλα κοινά σύμβολα για τον LRL διάνυσμα περιλαμβάνουν a, Ε, F, J και V. Ωστόσο, η επιλογή της κλιμάκωσης και το σύμβολο για τον LRL διάνυσμα δεν επηρεάζουν τη διατήρησή της.
thumb|right|250px|Σχήμα 4:Το γωνιακό L δυναμικό διάνυσμα, το LRL διάνυσμα Α και του διανύσματος του Χάμιλτον, ο binormal Β, είναι κάθετες μεταξύ τους,Α και Β σημείο κατά μήκος του μείζονος και ελάσσονος άξονες, αντίστοιχα, από μια ελλειπτική τροχιά του προβλήματος Κέπλερ.
η οποία είναι διατηρημένη και τα σημεία κατά μήκος τησ κύριας ημιάξονας της έλλειψης,η LRL διάνυσμα Α = Β × L είναι το γινόμενο του Β και L (Σχήμα 4). Το Β διάνυσμα συμβολίζεται ως "binormal» δεδομένου ότι είναι κάθετος προς τα δύο Α και L. Παρόμοια με τον ίδιο LRL διάνυσμα, το binormal διάνυσμα μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς αποσφυροκοπήματα και σύμβολα.
Οι δύο συντηρημένες διανύσματα, Α και Β μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν μια συντηρημένη δυαδική τανυστής W
όπου α και β είναι αυθαίρετες σταθερές κλιμάκωση και \otimes αντιπροσωπεύει το tensor προϊόν (το οποίο δεν έχει σχέση με το προϊόν πολλαπλής διανύσματος, παρά το παρόμοιο σύμβολο τους). Γράφει σε ρητή συστατικά, αυτή η εξίσωση έχει ως εξής
Όντας κάθετα προς κάθε άλλο, τα διανύσματα Α και Β μπορεί να θεωρηθεί ως τους κύριους άξονες του τανυστή διατηρημένων W, δηλαδή, διαβαθμισμένη ιδιοδιανύσματα της. W είναι κάθετο προς L
δεδομένου ότι τα Α και Β είναι και τα δύο κάθετα προς L, καθώς, L ⋅ A = L ⋅ B = 0. Για λόγους σαφήνειας, η εξίσωση αυτή έχει ρητά τις συνιστώσες
Παραπομπές
Κατηγορία:Κλασική μηχανική Κατηγορία:Διανύσματα Κατηγορία:Μαθηματική φυσική
Ζαν-Κλωντ Πεκέρ
Ο Ζαν-Κλωντ Πεκέρ (Jean-Claude Pecker, 10 Μαΐου 1923) είναι Γάλλος αστροφυσικός, ομότιμος καθηγητής του Collège de France και μέλος της γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών. Διετέλεσε διευθυντής του Αστεροσκοπείου της Νίκαιας και Γενικός Γραμματέας της Διεθνούς Αστρονομικής Ενώσεως.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Γάλλοι αστρονόμοι Κατηγορία:Αστρονόμοι του 20ού αιώνα
Νικόλας Θεοδώρου
Ο Νικόλας Θεοδώρου (γενν. 17 Σεπτεμβρίου 2000, Αθήνα) είναι Έλληνας σκακιστής που κατέχει τον τίτλο του Γκραντ Μετρ. Θεωρείται ως ένα από κυριότερα νέα ταλέντα στο σκάκι.
Γεννήθηκε στην Αθήνα το 2000. Το 2006 η οικογένειά του μετακόμισε για επαγγελματικούς λόγους στο Ατσιπόπουλο του Ρεθύμνου. Μεγάλωσε εκεί, όπου και τελείωσε το δημοτικό σχολείο.
Στο Ρέθυμνο παρακολούθησε το γυμνάσιο και το λύκειο. Υπήρξε αριστούχος μαθητής και το 2018 αποφοίτησε από το Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου.
Από πολύ μικρός (2007) ξεκίνησε σκακιστικά μαθήματα στον Σκακιστικό Όμιλο Ρεθύμνου (ΣΚΟΡ). Από το 2015 είναι αθλητής της Σκακιστικής Ακαδημίας Χανίων (ΣΑΧ).
Τον Ιούλιο του 2016 κατέκτησε τον τίτλο του International Master (ΙΜ). Τον Σεπτέμβριο του 2021 συμπλήρωσε τις τρεις νόρμες για τον κορυφαίο τίτλο του Γκραντ Μετρ (GM). Σήμερα ο διεθνής βαθμός αξιολόγησής του είναι 2598 ELO, σύμφωνα με τη Διεθνή Σκακιστική Ομοσπονδία.
Έχει λάβει μέρος σε πολλές πανελλήνιες και διεθνείς σκακιστικές διοργανώσεις και έχει πετύχει πάρα πολλές διακρίσεις. Το 2022 πέτυχε, με τη σκακιστική ομάδα του Πανεπιστημίου Σεντ Λούις των ΗΠΑ, πρώτη θέση στο Final Four του Collegiate Chess των ΗΠΑ. Στην 44η Ολυμπιάδα στο Τσενάι της Ινδίας (27 Ιουλίου με 10 Αυγούστου 2022) πήρε το ασημένιο μετάλλιο για την επίδοσή του στη 2η σκακιερα, με απόδοση 2764 ELO και 7,5 βαθμούς σε 9 αγώνες, έχοντας, εν τω μεταξύ, πετύχει νίκη στον αγώνα του με τον Levon Aronian.
Τον Μάιο του 2022 έλαβε το πτυχίο του με double major στη Φυσική και στα Μαθηματικά, από το πανεπιστήμιο του Σεντ Λούις στις ΗΠΑ. Για τα επόμενα δύο χρόνια (από τον Αύγουστο του 2022) θα πραγματοποιεί μεταπτυχιακές σπουδές στο πρόγραμμα Biostatistics & Health Analytics στο ίδιο πανεπιστήμιο και με ανανεωμένη πλήρη υποτροφία για να συνεχίσει τη συμμετοχή του στην πανεπιστημιακή σκακιστική ομάδα.
Παραπομπές
Θ Θ
Βιβλιοθήκη και Αρχεία του Καναδά
Η Βιβλιοθήκη και Αρχεία του Καναδά (Library and Archives Canada, συντ. LAC· Bibliothèque et Archives Canada, συντ. BAC) είναι ίδρυμα της κυβέρνησης του Καναδά που προορίζεται στη διατήρηση και στη διάδοση διαφόρων αρχείων. Δημιουργήθηκε το 2004 από την συγχώνευση της Εθνικής Βιβλιοθήκης του Καναδά και των Εθνικών Αρχείων του Καναδά.
Ιστορία
Το κεντρικό μέρος του κτιρίου της Οττάβα αποτελείται από 9 ορόφους και δύο παρακείμενα τμήματα. Το Κέντρο Διατήρησης της Βιβλιοθήκης και των Αρχείων του Καναδά βρίσκεται στο Γκατινό. Μια νέα επέκταση αυτής της βιώσιμης και υψηλής τεχνολογίας υποδομής βρίσκεται υπό κατασκευή και το άνοιγμα της έχει προγραμματιστεί για το 2022. Στο σχεδιασμό αυτού του κτιρίου, έχει δοθεί προτεραιότητα στην προστασία του περιβάλλοντος και την ελαχιστοποίηση των εκπομπών διοξειδίου άνθρακα CO2.
Αρκετές νέες πρωτοβουλίες, όπως η ανάπτυξη ψηφιακών εργαλείων, στοχεύουν στην επέκταση της πελατειακής βάσης. Χάρη στο Co-Lab και το Numéri-Lab, οι χρήστες μπορούν να ψηφιοποιήσουν, να επισημάνουν, να μεταφράσουν και να περιγράψουν αρχεία. Η διαδικτυακή διαβούλευση παρέχει πρόσβαση σε πολλούς πόρους, ενώ ο νέος κατάλογος αναζητήσεως (Voilà) περιέχει αναφορές σε εκατοντάδες άλλα ιδρύματα στον Καναδά. Αυτό το νέο εργαλείο έρευνας ξεκίνησε στις αρχές του 2018 για να διευκολύνει τη διάδοση και την ανταλλαγή της καναδικής κληρονομιάς. Με μία πιο συγκεντρωτική προσέγγιση, ο κατάλογος δίνει στους χρήστες πρόσβαση σε μία μεγάλη ποικιλία αρχείων. Η διεπαφή του Voilà (Aurora) προορίζεται να είναι πιο ενημερωμένη και προσβάσιμη από αυτές του προηγούμενου καταλόγου, AMICUS. Η Βιβλιοθήκη και Αρχεία του Καναδά αποθηκεύει και μοιράζει μεγάλη ποικιλία αρχείων: βιβλία, ζωγραφιές, χάρτες, σχέδια, οπτικοακουστικά αρχεία, περιοδικά, αρχεία γενεαλογίας, έργα τέχνης, πανεπιστημιακές διατριβές, μετάλλια, περιορισμένα αρχειακά έγγραφα, δημοσιεύσεις της ομοσπονδιακής κυβέρνησης, απογραφές, αρχεία που σχετίζονται με την καναδική στρατιωτική κληρονομιά, φιλοτελική συλλογή κ.λπ. όλα όσα δημιουργήθηκαν στον Καναδά ή σχετίζονται με τον Καναδά (δηλαδή η χώρα και οι κάτοικοί της είναι το κύριο θέμα).
Η Ίδρυση των Εθνικών Αρχείων του Καναδά χρονολογείται από το 1872, πέντε χρόνια μετά την Καναδική Συνομοσπονδία, όταν δημιουργήθηκε ένα τμήμα στο Υπουργείο Γεωργίας για τη διατήρηση ιστορικών αρχείων. Τέσσερις δεκαετίες αργότερα, το 1912, η υπηρεσία Δημόσιων Αρχείων ιδρύθηκε με Κοινοβουλευτική πράξη.
Το 1948 ο W. Kaye Lamb διορίστηκε αρχειοφύλακας. Εκτός από τις αρμοδιότητες που σχετίζονται με αυτήν τη θέση, του ανετέθη επίσης το καθήκον να οργανώσει τη δημιουργία της Εθνικής Βιβλιοθήκης. Μόλις τον Ιούνιο του 1952 εγκρίθηκε ο νόμος για την Εθνική Βιβλιοθήκη, ο οποίος τέθηκε σε ισχύ την επόμενη 1η Ιανουαρίου. Εκείνη τη στιγμή, ο W. Kaye Lamb διορίστηκε Εθνικός Βιβλιοθηκονόμος, ενώ παρέμεινε Αρχειοφύλακας. Καθήκον της Εθνικής Βιβλιοθήκης είναι :  η σύσταση  ενός  εθνικού ταμείου, η διαχείριση της νόμιμης κατάθεσης και την καθιέρωση βιβλιογραφικό έλεγχο και εθνικές βιβλιογραφικές υπηρεσίες ". Το έτος 1967 σημαδεύτηκε με το τέλος της κατασκευής του κτιρίου της οδού Wellington στην Οττάβα, που κατασκευάστηκε για να στεγάσει την Εθνική Βιβλιοθήκη και τα Εθνικά Αρχεία.