cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
Οι ιδιάζουσες τιμές ως ημιάξονες μιας έλλειψης ή ενός ελλειψοειδούς
Όπως φαίνεται στην εικόνα, οι ιδιάζουσες τιμές μπορούν να ερμηνευθούν ως οι ημιάξονες μιας έλλειψης στο επίπεδο. Αυτή η ιδέα μπορεί να γενικοποιηθεί στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, με τις ιδιάζουσες τιμές κάθε n×n τετραγωνικού πίνακα να θεωρούνται ως οι ημιάξονες ενός n-διάστατου ελλειψοειδούς. Δείτε παρακάτω για περισσότερες λεπτομέρειες.
Παράδειγμα
Θεωρούμε τον 4×5 πίνακα
Μία ανάλυση αυτού του πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές  δίνεται  από τους πίνακες
Παρατηρήστε ότι τα μη διαγώνια στοιχεία του  είναι μηδέν και ότι υπάρχει και ένα διαγώνιο στοιχείο που  είναι μηδέν. Ακόμη, επειδή οι πίνακες \mathbf{U} και είναι ορθομοναδιαίοι, πολλαπλασιάζοντας με τους αντίστοιχους συζυγείς αναστρόφους παίρνουμε  μοναδιαίους πίνακες όπως φαίνεται παρακάτω. Στην περίπτωσή μας επειδή οι \mathbf{U} και  έχουν πραγματικά στοιχεία είναι ορθογώνιοι πίνακες.
και
Η παραπάνω ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές δεν είναι μοναδική. Επιλέγοντας τον V έτσι ώστε
έχουμε άλλη μία ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές.
Ιδιάζουσες τιμές, ιδιάζοντα διανύσματα και η σχέση τους με την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές
Ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός σ είναι μια ιδιάζουσα τιμή για τον M αν και μόνο αν υπάρχουν μοναδιαία διανύσματα u του Km και v του Kn τέτοια ώστε
Τα διανύσματα u και v ονομάζονται αριστερά-ιδιάζοντα και δεξιά-ιδιάζοντα διανύσματα του σ, αντίστοιχα.
Σε κάθε ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
τα διαγώνια στοιχεία του Σ είναι ίσα με τις ιδιάζουσες τιμές του M. Οι στήλες των U και V είναι, αντίστοιχα, τα αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα των αντίστοιχων ιδιάζουσων τιμών. Επομένως, το παραπάνω θεώρημα συνεπάγεται οτι:
Οι μη εκφυλισμένες ιδιάζουσες τιμές έχουν πάντα μοναδικά αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα, κατά προσέγγιση ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα φάσης της μορφής eiφ (στην περίπτωση των πραγματικών κατα προσέγγιση προσήμου). Συνεπώς, αν όλες οι ιδιάζουσες τιμες του M είναι μη εκφυλισμένες και μη μηδενικές, τότε η ανάλυση του είναι μοναδική, κατά προσέγγιση πολλαπλασιασμού μιας στήλης του U κατά ενός μοναδιαίου παράγοντα φάσης και ταυτόχρονου πολλαπλασιασμού της αντίστοιχης στήλης του V με τον ίδιο μοναδιαίο παράγοντα φάσης.
Οι εκφυλισμένες ιδιάζουσες τιμές, από τον ορισμό τους, έχουν μη μοναδικά ιδιάζοντα διανύσματα. Επιπλέον, αν u1 και u2 είναι δύο αριστερά ιδιάζοντα διανύσματα που και τα δύο αντιστοιχούν στην ιδιάζουσα τιμή σ, τότε κάθε κανονικοποιημένος γραμμικός συνδυασμός των δύο αυτών διανυσμάτων είναι επίσης ένα αριστερό ιδιάζων διάνυσμα που αντιστοιχεί στην τιμή σ. Το ίδιο ισχύει και για τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα. Κατά συνέπεια, αν ο M έχει εκφυλισμένες ιδιάζουσες τιμές, τότε η ανάλυση του σε ιδιάζουσες τιμές δεν είναι μοναδική.
Ψευδοαντίστροφος
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ψευδοαντιστρόφου ενός πίνακα. Πράγματι, ο ψευδοαντίστροφος ενός πίνακα M με ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές είναι ο
Επίλυση ομογενών γραμμικών εξισώσεων
Ένα σύστημα ομογενών γραμμικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί στη μορφή για κάποιο πίνακα \mathbf{A} και διάνυσμα \vec{x}. Μια συνήθης περίπτωση είναι ο \mathbf{A} να είναι γνωστός και ένα μη μηδενικό \vec{x} να υπολογίζεται που να ικανοποιεί την εξίσωση. Ένα τέτοιο \vec{x} ανήκει στο μηδενοχώρο του \mathbf{A} και ορισμένες φορές καλείται (δεξιό) μηδενοδιάνυσμα του \mathbf{A}. Το διάνυσμα \vec{x} μπορεί να χαρακτηριστεί σαν δεξιό ιδιάζων διάνυσμα της αντίστοιχης ιδιάζουσας τιμής του \mathbf{A} που είναι μηδέν. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν ο \mathbf{A} είναι τετραγωνικός πίνακας και δεν έχει μηδενιζόμενη ιδιάζουσα τιμή, τότε η εξίσωση δεν έχει μη μηδενικό \vec{x} σαν λύση. Ακόμα σημαίνει ότι αν υπάρχουν πολλές μηδενιζόμενες ιδιάζουσες τιμές, κάθε γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων δεξιών ιδιαζώντων διανυσμάτων είναι μια αποδεκτή λύση. Ανάλογα με τον ορισμό του (δεξιού) μηδενοδιανύσματος, ένα μη μηδενικό \vec{x} που ικανοποιεί την, με το \vec{x^*} να δηλώνει το συζηγές αντίστροφο του \vec{x}, ονομάζεται αριστερό μηδενοδιάνυσμα του \mathbf{A}.
Χώρος στηλών, μηδενοχώρος και βαθμίδα
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες μας προσφέρει επίσης μία αναπαράσταση του χώρου των στηλών και του μηδενοχώρου ενός πίνακα M. Τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα αντιστοιχούν στις μηδενιζόμενες ιδιάζουσες τιμές του M παράγουν τον μηδενοχώρο του M. Για παράδειγμα. ο μηδενοχώρος του παραπάνω παραδείγματος παράγεται απο τις δύο τελευταίες στήλες του \mathbf{V}. Τα αριστερά-ιδιάζοντα διανύσματα που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιάζουσες τιμές του M παράγουν τον χώρο των στηλών του  M. Συνεπώς, η βαθμίδα του M ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών ιδιάζουσων τιμών που είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του.
Προσέγγιση μέσω πινάκων χαμηλής τάξης
Σε μερικές πρακτικές εφαρμογές υπάρχει η ανάγκη της προσέγγισης ενός πίνακα \mathbf{M} με έναν αλλον , περιορισμένο, ο οποίος έχει μία συγκεκριμένη βαθμίδα r.  Στην περίπτωση που η προσσέγιση βασίζεται στην ελαχιστοποίηση της νόρμας του Φρομπένιους της διαφοράς   υπό τον περιορισμό   , η λύση δίνεται απο την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές του \mathbf{M},
όπου ο διαφέρει από τον   στο ότι περιέχει μόνο τις r μεγαλύτερες ιδιάζουσες τιμές  (οι υπόλοιπες αντικαθιστώνται με μηδέν). Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα των Eckart–Young,  μιας και αποδείχθηκε από αυτούς το 1936 (παρόλο που αργότερα ανακαλυφθηκε ότι ήταν ήδη γνωστό από προγενέστερους, βλέπε ).
Διαχωρίσιμα μοντέλα
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλυση ενός πίνακα σε σταθμισμένο διατεταγμένο άθροισμα διαχωρίσιμων πινάκων. Ένας πίνακας \mathbf{A}λεγεται διαχωρίσιμος αν μπορεί να γραφτεί ως εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων , ή,. Ειδικότερα, ο πίνακας M μπορεί να αναλυθεί ως εξής:
Όπου U_i και V_i είναι οι i-στές στήλες των αντίστοιχων πινάκων της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές, \sigma_i είναι οι διατεταγμένες ιδιάζουσες τιμές, και κάθε  είναι διαχωρίσιμος. Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση ενός φίλτρου επεξεργασίας εικόνας σε οριζόντια και κάθετα φίλτρα. Παρατηρήστε ότι το πλήθος των μη μηδενικών \sigma_iείναι ακριβώς η βαθμίδα του πίνακα.
Εγγύτατος ορθογώνιος πίνακας
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές του \mathbf{A} μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του εγγύτατου ορθογώνιου πίνακα  \mathbf{R} του \mathbf{A}. Η απόσταση υπολογίζεται μέσω της Φρομπένιους νόρμας του. Η λύση είναι το γινόμενο. Αποτέλεσμα το όποιο είναι διαισθητικά αναμενόμενο αφού ένας ορθογώνιος πίνακας θα έπρεπε να είχε μία ανάλυση όπου \mathbf{I} είναι ο μοναδιαίος πίνακας, έτσι ωστε αν   τότε το γινόμενο  ισοδυναμεί με την αντικατάσταση των ιδιαζόντων τιμών με μονάδες.
Ένα παρόμοιο πρόβλημα με ενδιαφέρουσα εφαρμογή στην ανάλυση σχημάτων είναι το ορθογώνιο πρόβλημα του Προκρούστη, το οποίο συνίσταται στην εύρεση ενός ορθογωνίου πίνακα \mathbf{R} ο οποίος απεικονίζει όσο το δυνατόν καλύτερα τον \mathbf{A} στον \mathbf{B}. Συγκεκριμένα,
Το πρόβλημα αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση του εγγύτατου ορθογώνιου πίνακα του.
Αλγόριθμος του Kabsch
Ο αλγόριθμος του Kabsch (επονομαζόμενος και πρόβλημα του Wahba σε άλλα πεδία) κάνει χρήση της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές για να υπολογίσει την βέλτιστη περιστροφή (με βάση και την ελαχιστοποίση μέσω της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων) που θα ευθυγραμμίσει ένα σύνολο σημείων με ένα άλλο αντίστοιχο σύνολο σημείων. Χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων εφαρμογών, για να συγκρίνουμε τις δομές των μορίων.
Επεξεργασία σημάτων
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές και ο ψευδοαντίστροφος έχουν εφαρμοστεί επιτυχημένα στην επεξεργασία σήματος και στα μεγάλα δεδομένα (big data), για παράδειγμα στην επεξεργασία γονιδιωματικού σήματος.
Άλλα παραδείγματα
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές εφαρμόζεται ευρέως και στην μελέτη των γραμμικών αντιστρόφων προβλημάτων και είναι χρήσιμη στην ανάλυση μεθόδων κανονικοποίησης όπως αυτή του Tikhonov. Χρησιμοποιείται ευρύτατα στην Στατιστική όπου σχετίζεται με την ανάλυση κυρίων συνιστωσών και την Ανάλυση Αντιστοιχιών. Στη επεξεργασία σημάτων χρησιμοποιείται στον τομέα της αναγνώρισης προτύπων. Μία ακόμη χρήση είναι η Λανθάνουσα σημασιολογική δεικτοδότηση στην επεξεργασία κειμένων φυσικών γλωσσών.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές παίζει επίσης σημαντικό ρόλο στον τομέα της κβαντικής πληροφορίας, σε μία μορφή που αναφέρεται συχνά ως ανάλυση Schmidt. Μέσω αυτής, οι καταστάσεις δύο κβαντικών συστημάτων αναλύονται, παρέχοντας μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την κβαντική διεμπλοκή τους: αν η βαθμίδα του πίνακα  είναι μεγαλύτερη από ένα.
Μία εφαρμογή της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές σε μεγάλους πίνακες είναι η αριθμητική πρόγνωση του καιρού, όπου οιμέθοδοι Lanczos χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό τον γραμμικώς ταχυτέρων αναπτυσσόμενων  αναταράξεων   της κύριας  αριθμητικής πρόγνωσης με δοσμένες αρχικές συνθήκες για ενα χρονικό διάστημα ή ισοδύναμα για τον υπολογισμό των ιδιαζόντων διανυσμάτων που αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες ιδιάζουσες τιμές του γραμμικοποιημένου διαδότη για τον παγκόσμιο καιρό σε ένα χρονικό διάστημα. Τα ιδιάζοντα διανύσματα εξόδου σε αυτήν την περίπτωση είναι ολόκληρα κλιματολογικά συστήματα. Αυτές οι διαταραχές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια από πλήρη μη γραμμικά μοντέλα για να δημιουργήσουν ένα φάσμα όλων των πιθανών εξελίξεων του καιρού, βοηθώντας έτσι στην κατανόηση της αβεβαιότητας που θα συνοδεύει την κύρια πρόβλεψη.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές έχει επίσης εφαρμοστεί στην μοντελοποίηση ελλατωμένης τάξης. Σκοπός της μοντελοποίησης ελλατωμένης τάξης είναι η ελλάτωση των βαθμών ελευθερίας περίπλοκων συστημάτων τα οποία πρόκειται να μοντελοποιηθούν. Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές χρησιμοποιήθηκε σε συνδυασμό με συναρτήσεις ακτινικής βάσης για τον υπολογισμό μέσω παρεμβολής των λύσεων τριδιάστατων ασταθών προβλημάτων ροής.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές χρησιμοποιείται σε συστηµάτα προτάσεων για την πρόβλεψη της βαθμολόγισης των προιόντων από τους καταναλωτές.
Σχέση με την παραγοντοποίηση με χρήση ιδιοτιμών
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές είναι μια γενικότερη μέθοδος με την έννοια οτι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάθε πίνακα m × n ενώ αντιθέτως η ανάλυση σε ιδιοτιμές μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε συγκεκριμένα είδη τετραγωνικών πινάκων. Παρόλαυτα, οι δύο αναλύσεις σχετίζονται μεταξύ τους.
Δοσμένης μιας ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές του M, όπως περιγράφηκε πιο πάνω, ισχύουν οι παρακάτω δύο σχέσεις:
Τα δεξιά μέλη των σχέσεων περιγράφουν την ανάλυση σε ιδιοτιμές των αριστερών μελών. Ως συμπέρασμα έχουμε οτι:
Στην ειδική περίπτωση που ο M είναι κανονικός πίνακας, που από τον ορισμό του σημαίνει ότι ειναι και τετραγωνικός, το φασματικό θεώρημα μας λέει οτι μπορεί να διαγωνιοποιηθεί ορθομοναδιαία  χρησιμοποιώντας μια βάση απο ιδιοδιανύσματα, έτσι ώστε να μπορεί να γραφτεί στη μορφή  για κάποιο ορθομοναδιαίο πίνακα U και διαγώνιο πίνακα D. Όταν ο M είναι επίσης θετικά ημιορισμένος, η ανάλυση είναι επίσης ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές.
Ύπαρξη
Μια ιδιοτιμή λ ενός πίνακα M χαρακτηρίζεται από την αλγεβρική σχέση M u = λ u. Όταν ο M είναι ερμητιανός, η χρήση του λογισμού των μεταβολών είναι επίσης δυνατή. Ας είναι ο M ένας n × n συμμετρικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία. Ορίζουμε την f:Rn → R ως f(x) = xT M x. Από το θεώρημα ακραίων τιμών, η συνεχής αυτή συνάρτηση λαμβάνει μέγιστη τιμή για κάποιο u όταν περιοριστεί στην κλειστή μοναδιαία σφαίρα {||x|| ≤ 1}. Από το θεώρημα πολλαπλασιαστών του Lagrange, το u απαραίτητα ικανοποιεί το εξής:
όπου το σύμβολο, \nabla, είναι ο τελεστής ανάδελτα.
Η παράγραφος αυτή δίνει αυτά τα δύο επιχειρήματα για την ύπαρξη της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές.
Βασισμένη στο φασματικό θεώρημα
Ας είναι M ένας m × n πίνακας με μιγαδικά στοιχεία. Ο M*M είναι θετικά ημιορισμένος και ερμητιανός. Από το φασματικό θεώρημα, θα υπάρχει ένας ορθομοναδιαίος n × n πίνακας V τέτοιος ώστε
Τότε V1*M*MV1 = D και V2*M*MV2 = 0. Το τελευταίο σημαίνει οτι MV2 = 0.
Ορίζουμε τον
Τότε
Βλέπουμε οτι αυτό είναι σχεδόν το επιθυμητό αποτέλεσμα, πλυν του ότι οι U1 και V1 δεν είναι γενικά ορθομοναδιαίοι, αλλα απλώς ισομετρίες. Για να ολοκληρώσουμε το επιχείρημα έχουμε ότι θα πρέπει να "συμπληρώσουμε" αυτούς τους πίνακες για να τους μετατρέψουμε σε ορθομοναδιαίους. Για παράδειγμα, μπορούμε να επιλέξουμε έναν U2 τέτοιο ώστε ο
να είναι ορθομοναδιαίος.
Ορίζουμε τον όπου οι έξτρα μηδενικές γραμμές προστίθενται ή αφαιρούνται έτσι ώστε το σύνολο των μηδενικών γραμμών να ισούται με το σύνολο των στηλών του U2. Τότε
που είναι και το επιθυμητό αποτέλεσμα:
Παρατηρήστε ότι το επιχείρημα αυτό θα μπορούσε να ξεκινήσει διαγωνιοποιώντας τον MM* αντί για τον M*M (αυτό δείχνει επακριβώς ότι οι MM* και M*M έχουν τις ίδιες μη μηδενικές ιδιοτιμές).
Βασισμένη στο λογισμό των μεταβολών
Οι ιδιάζουσες τιμές μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν ως τα μέγιστα του uTMv, όταν θεωρηθεί σαν συνάρτηση των u και v, πάνω απο συγκεκριμένους υποχώρους. Τα ιδιάζοντα διανύσματα είναι οι τιμές των u και v όπου παρουσιάζονται τα μέγιστα.
Ας είναι M ένας m × n πίνακας με πραγματικά στοιχεία και S^{m-1} και S^{n-1} τα σύνολα των 2-νορμ μοναδιαίων διανυσμάτων των Rm και Rn αντίστοιχα. Ορίζουμε τη συνάρτηση
για διανύσματα u ∈ S^{m - 1} και v ∈ S^{n - 1}. Θεωρούμε τη συνάρτηση σ περιορισμένη στο S^{m - 1} × S^{n - 1}. Μιας και τα S^{m - 1} και S^{n - 1} είναι συμπαγή σύνολα, η τοπολογία γινόμενο τους είναι επίσης συμπαγής. Επιπλέον, μιας και η σ είναι συνεχής, λαμβάνει τουλάχιστον μια μέγιστη τιμή για τουλάχιστον ένα ζεύγος διανυσμάτων u ∈ S^{m - 1} και v ∈ S^{n - 1}. Η μέγιστη αυτή τιμή γράφεται σ1 και τα αντίστοιχα διανύσματα u1 και v1. Μιας και το \sigma_{1} είναι η μέγιστη τιμή της θα πρέπει να είναι μη αρνητική. Αν ήταν αρνητική, αλλάζοντας το πρόσημο είτε του u1 είτε του v1 θα την έκανε θετική και επομένως μεγαλύτερη.
Υπόθεση: Τα u1, v1 είναι αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα του M με αντίστοιχη ιδιάζουσα τιμή την σ1.
Απόδειξη: Όμοια με την περίπτωση των ιδιοτιμών, από την υπόθεση τα δύο διανύσματα ικανοποιούν την εξίσωση πολλαπλασιαστών του Lagrange:
Μετά απο μερικές πράξεις, παίρνουμε
Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση από αριστερά με \vec{u}_1^T και τη δεύτερη εξίσωση και πάλι απο αριστερά με \vec{v}_1^T και παίρνοντας ||u|| = ||v|| = 1  έχουμε ότι
Σε συνδυασμό με το ζεύγος των εξισώσεων παραπάνω, παίρνουμε τα εξής
Αυτό αποδεικνύει την υπόθεση.
Περισσότερα ιδιάζοντα διανύσματα και ιδιάζουσες τιμές μπορούν να βρεθούν μεγιστοποιώντας το σ(u, v) με κανονικοποιημένα u, v τα οποία είναι ορθογώνια ως προς τα u1 και v1, αντίστοιχα.
Η μετάβαση από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς είναι παρόμοια με την περίπτωση των ιδιοτιμών.
Γεωμετρική σημασία
Επειδή οι U και V είναι ορθομοναδιαίοι, γνωρίζουμε ότι οι στήλες u1, …, um του U σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση του Km και οι στήλες v1, …, vnτου V μία ορθοκανονική βάση για το Kn (θεωρόντας και τον γνωστό βαθμωτό πολλαπλασιασμό στους χώρους αυτούς).
Ο γραμμικός μετασχηματισμός T :Kn → Km που απεικονίζει το x στο Mx έχει ιδιαίτερα απλή περιγραφή σε σχέση με αυτές τις ορθοκανονικές βάσεις: έχουμε T(vi) = σi ui, για i = 1,...,min(m,n), όπου σi είναι το i-στο στοιχείο της διαγωνίου του Σ, και T(vi) = 0 για i > min(m,n).
Η γεωμετρική σημασία της ανάλυσης ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές συνοψίζεται ως εξής: για κάθε γραμμική απεικόνιση T :Kn → Km μπορούμε να βρούμε ορθοκανονικές βάσεις των Kn και Km έτσι ώστε η T να απεικονίζει το i-στο διάνυσμα βάσης του Kn σε ένα μη αρνητικό πολλαπλάσιο του i-στου διανύσματος βάσης του Km, και να απεικονίσει την υπόλοιπη βάση σε μηδενικά διανύσματα. Σε σχέση με αυτές τις βάσεις, η απεικόνιση T αντιπροσωπεύεται από έναν διαγώνιο πίνακα με μη αρνητικά, πραγματικά στοιχεία.
Μία καλύτερη εποπτική περιγραφή των ιδιάζουσων τιμών και της ανάλυσης πίνακα σε αυτές -τουλάχιστον για πραγματικούς διανυσματικούς χώρους- είναι η εξής: Θεωρούμε μια σφαίρα S με ακτίνα ένα στον Rn. Η γραμμική απεικόνιση T απεικονίζει την σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές στον Rm. Οι μη μηδενικές ιδιάζουσες τιμές είναι τα μήκη των ημιαξόνων του ελλειψοειδούς. Ειδικά όταν n=m, και όλες οι ιδιάζουσες τιμές είναι μη μηδενικές, η ανάλυση της γραμμικής απεικόνισης T μπορεί εύκολα να αναλυθεί σαν αλληλουχία τριών συνεχόμενων κινήσεων: Θεωρούμε το ελλειψοειδές T(S) και τους άξονές του, τότε θεωρούμε τις κατευθύνσεις στον Rn που καθορίζονται από την T σε αυτούς τους άξονες. Αυτές οι κατευθύνσεις είναι μεταξύ τους ορθογώνιες. Αρχικά θεωρούμε την ισομετρία v* που απεικονίζει αυτές τις κατευθύνσεις στους άξονες συντεταγμένων του Rn. Εν συνεχεία, ο ενδομορφισμός d διαγωνιοποιημένος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, μεγεθυνμένος ή συρρικνωμένος προς κάθε κατεύθυνση, χρησιμοποιώντας τα μήκη των ημιαξόνων της T(S) ως συντελεστές μεγέθυνσης. Η σύνθεση d ο v* στέλνει την μοναδιαία σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές ισομετρικό του T(S). Για να ορίσουμε την τρίτη και τελευταία κίνηση u, θεωρούμε την ισομετρία που μεταφέρει το ελλειψοειδές στο T(S). Όπως μπορεί εύκολα να ελεγθεί, η σύνθεση u ο d ο v* ταυτίζεται με το T.
Αριθμητική προσέγγιση
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές ενός πίνακα M υπολογίζεται μεσω μία διαδικασιας που αποτελείται απο δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα, ο πίνακας υποβιβάζεται σε έναν διδιαγώνιο πίνακα, δηλαδή σε έναν πίνακα του οποιου τα μόνα μη μηδενικά στοιχεία είναι αυτά της κύριας διαγώνιου καθώς και αυτά της υποδιαγωνίου ή της υπερδιαγωνίου. Το βήμα αυτό απαιτεί O(mn2) πράξεις κινητής υποδιαστολής (floating-point operations (flops)), αν υποθέσουμε ότι m ≥ n. Στο δεύτερο βήμα υπολογίζουμε την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές του διδιαγώνιου πίνακα. Αυτό το βήμα μπορεί να γίνει μόνο με επαναληπτικές μεθόδους (όπως οι αλγόριθμοι για τις ιδιοτιμές ). Ωστόσο, στην πράξη αρκεί να υπολογίσουμε την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές μέχρι μια συγκεκριμενη ακρίβεια, για παράδειγμα την machine epsilon. Αν αυτή η ακρίβεια θεωρηθεί σταθερή τότε το δεύτερο βήμα απαιτεί O(n) βήματα, καθένα από τα οποία κοστίζει  O(n) flops. Συνεπώς, το πρώτο βήμα είναι υπολογιστικά πιο ακριβό και έτσι το συνολικό κόστος είναι O(mn2) flops.
Το δεύτερο βήμα μπορεί να γίνει με μία παραλλαγή του QR αλγορίθμου για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών, ο οποίος περιγράφηκε πρώτη φορά από τους. Η υπορουτίνα DBDSQR της βιβλιοθήκης LAPACK υλοποιεί αυτήν την επαναληπτική μέθοδο, με μερικές προσθήκες ώστε να καλυφθεί και η περίπτωση που οι ιδιάζουσες τιμές είναι πολύ μικρές. Η ρουτίνα DGESVD η οποία υπολογίζει την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές αποτελείται από ένα αρχικό βήμα χρήσης αντικατοπτρισμών Householder, αν είναι απαραίτητο, και μία QR παραγοντοποίηση.
Αναλυτικοί τύποι για 2x2 πίνακες
Οι ιδιάζουσες τιμές ενός 2x2 πίνακα μπορούν να βρεθούν αναλυτικά. Έστω όπου   οι μιγαδικοί αριθμοί που παραμετροποιούν τον πίνακα, \mathbf{I} ο μοναδιαίος πίνακας, και \sigma_i οι Pauli πίνακες. Τότε οι δύο ιδιάζουσες τιμές δίνονται από τον τύπο
Ελλατωμένες αναλύσεις σε ιδιάζουσες τιμές
Στις εφαρμογές δεν συνηθίζεται να είναι απαραίτητη όλη η ανάλυση, συμπεριλαμβανομένης και μιας πλήρους unitary ανάλυσης του μηδενοχώρου του πίνακα. Αντ'αυτού, τις περισσότερες φορές επαρκεί (και είναι και ταχύτερο και πιο οικονομικό στην αποθήκευση) να υπολογίσουμε μια ελλατωμένη μορφή της ανάλυσης. Τα παρακάτω ισχύουν για έναν m×n πίνακα M βαθμίδας r:
"Λεπτή" ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές
Μόνο τα διανύσματα της n στήλης του U που αντιστοιχούν στα διανύσματα γραμμων του V* υπολογίζονται. Τα εναπομείναντα διανύσματα στηλών του U δεν λαμβανονται υπόψιν. Αυτή η διαδικασία ειναι εμφανώς γρηγορότερη και πιο οικονομική από μια πλήρη ανάλυση αν το n≪m. Ο Un είναι τοτε ένας m×n πίνακας, ο Σn ένας n×n διαγώνιος, και ο V ένας n×n.
Το πρώτο βήμα στο υπολογισμό της "λεπτής" ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές είναι συνήθως μια QR ανάλυση του M, που είναι αρκετά ταχύτερη στον υπολογισμό όταν n≪m.
"Συμπαγής" ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές
Μόνο τα διανύσματα της r στήλης του U και της r γραμμής του V* που αντιστοιχούν στις μη μηδενικές τιμές Σr υπολογίζονται. Τα υπόλοιπα διανύσματα των U και V* δεν υπολογίζονται. Αυτό είναι ακόμα ταχύτερο και πιο οικονομικό απο την προηγούμενη μέθοδο αν ισχύει r≪n. Ο πίνακας Ur είναι τότε m×r, ο Σr r×r διαγώνιος, και ο Vr* ένας r×n.
"Αποκομένη" ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές
Μόνο τα διανύσματα της t στήλης του U και της t γραμμής του V* που αντιστοιχούν στην t μεγαλύτερη ιδιάζουσα τιμή Σt υπολογίζονται. Ο υπόλοιπος πίνακας δε λαμβάνεται υπόψιν. Η μέθοδος αυτή γίνεται ταχύτερη και οικονομικότερη απο την προηγούμενη όταν t≪r. Ο Ut είναι τότε ένας m×t πίνακας, ο Σt ένας t×t διαγώνιος, και ο Vt* ένας t×n.
Φυσικά η truncated SVD δεν είναι πλέον μια ακριβής ανάλυση του αρχικού πίνακα M, αλλά όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο κατά προσέγγιση πίνακας είναι όπως καταλαβαίνουμε η κοντινότερη προσέγγιση του M που μπορούμε να πετύχουμε από ένα πίνακα βαθμίδας t.
Ky Fan νόρμες
Το άθροισμα των k μεγαλύτερων ιδιάζουσων τιμών του M είναι μία νόρμα πίνακα, η  Ky Fan  k-νόρμα του M.
Η πρώτη από τις Ky Fan νόρμες, η Ky Fan 1-νόρμα ταυτίζεται με την νόρμα του τελεστή του  M αν αυτός θεωρηθεί γραμμικός τελεστής μεταξύ των ευκλείδιων χώρων Km και Kn. Με άλλα λόγια, η Ky Fan 1-νόρμα είναι η νόρμα τελεστή που επάγεται από το σύνηθες l2 Ευκλείδιο εσωτερικό γινόμενο. Για αυτό τον λόγο ονομάζεται και 2-νόρμα τελεστή. Εύκολα μπορεί να επαληθευτεί η σχέση μεταξύ της Ky Fan 1-νόρμας και των ιδιάζουσων τιμών. Στη γενική περίπτωση για κάθε φραγμένο τελεστη M μεταξύ χώρων  Hilbert (πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης) ισχύει ότι :
Η τελευταία από τις Ky Fan νόρμες, το άθροισμα όλων των ιδιάζουσων τιμών, είναι η νόρμα του ίχνους : ||M|| = Tr[(M*M)½] (οι ιδιοτιμές του  M* M είναι τα τετράγωνα των ιδιάζουσων τιμών.)
Νόρμα των Hilbert–Schmidt
Οι ιδιάζουσες τιμές σχετίζονται και με μία άλλη νόρμα από τον χώρο των τελεστών. Θεωρείστε το Hilbert–Schmidt εσωτερικό γινόμενο επί των n × n πινάκων το οποίο ορίζεται μέσω της σχέσης. Η επαγόμενη νόρμα θα είναι η. Επειδή το ίχνος μένει αναλλοίωτο κάτω από unitary ισοδυναμία, έχουμε ότι
όπου \sigma_i είναι οι ιδιάζουσες τιμές του. Αυτή ονομάζεται νόρμα του Φρομπένιους,Schatten 2-νόρμα, ή Hilbert–Schmidt νόρμα του M. Έυκολα προκύπτει ότι αν
η Φρομπένιους νόρμα του M συμπίπτει με
Ανάλυση τανυστή σε ιδιάζουσες τιμές
Το πρόβλημα εύρεσης μιας προσέγγισης ενός τανυστή μέσω πίνακα χαμηλής ταξης δεν είναι ορθά ορισμένο. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει η "καλύτερη" λύση, παραμόνο μια σειρά απο καλύτερες κάθε φορά προσεγγίσεις που συγκλίνουν σε άπειρα μεγάλους πίνακες. Παρ'όλ αυτά, υπάρχουν αρκετοί τρόποι να δοκιμάσουμε να κάνουμε την ανάλυση.
Φραγμένοι τελεστές σε χώρους Hilbert
Η παραγοντοποίηση μπορεί να επεκταθεί σε ένα φραγμένο τελεστή ενός διαχωρίσιμου χώρου Hilbert H. Πιο συγκεκριμένα για κάθε φραγμένο τελεστή M, υπάρχει μία μερική ισομετρία U, ένας ορθομοναδιαίος V, ένας μετρικός χώρος (X, μ), και μία μη αρνητική μετρίσημη συνάρτηση f  τέτοια ώστε
όπου T_f είναι ο πολλαπλασιαστικός τελεστής της f στον L2(X, μ).
Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν μιμηθούμε το επιχείρημα της γραμμικής άλγεβρας που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω για την περίπτωση των πινάκων. VTf V* είναι η μοναδική θετική τετραγωνική ρίζα του M*M, όπως δίνεται από τον συναρτησιακό λογισμό του Borel για αυτοσυζυγείς τελεστές. Ο U δεν χρειάζεται να είναι ορθομοναδιαίος επειδή, σε αντίθεση με την πεπερασμένη περίπτωση, δοθείσης μίας ισομετρίας U1 με μη τετριμμένο πυρήνα, δεν υπάρχει πάντα κατάλληλος τελεστής U2 τέτοιος ώστε ο
Όσο για τους πίνακες, η παραγοντοποίηση σε ιδιάζουσες τιμές είναι ισοδύναμη με την πολική ανάλυση για τελεστές: μπορούμε απλά να γράψουμε
και να παρατηρήσουμε ότι ο U V* είναι μερική ισομετρία και η VTf V* θετική.
Ιδιάζουσες τιμές και συμπαγείς τελεστές
Για να επεκτείνουμε την έννοια της ιδιάζουσας τιμής και του αριστερού/δεξιού ιδιάζοντος διανύσματος στην περίπτωση των τελεστών, πρέπει να περιοριστούμε στους συμπαγείς τελεστές. Είναι γεγονός πως οι συμπαγείς τελεστές σε χώρους Banach έχουν διακριτό φάσμα. Αυτό ισχύει και για συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert, αφού αυτοί οι χώροι είναι ειδική περίπτωση των χώρων Banach. Αν ο Τ είναι συμπαγής, κάθε μη μηδενικό λ στο φάσμα είναι ιδιοτιμή. Ακόμη, ένας συμπαγής αυτοσυζηγής τελεστής μπορεί να διαγωνιοποιηθεί από τα ιδιοδιανύσματά του. Αν ο Μ είναι συμπαγής, το ίδιο είναι και ο Μ*Μ. Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα της διαγωνιοποίησης, η unitary εικόνα της θετικής τετραγωνικής ρίζας του Tf έχει ένα σύνολο ορθοκανονικών ιδιοδιανυσμάτων {ei} που αντιστοιχούν σε αυστηρά θετικές ιδιοτιμές {σi}. Για κάθε ψ ∈ H,
όπου οι σειρές συγκλίνουν με στην νόρμα του H. Παρατηρήστε πως η παραπάνω έκφραση ισχύει και στην περίπτωση της πεπερασμένης διάστασης. Τα σi καλούνται ιδιάζουσες τιμές του M. Τα {U ei} και {V ei} μπορούν να θεωρηθούν αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα του M αντίστοιχα.
Οι συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert είναι η κλειστή θήκη των  πεπερασμένης βαθμίδας  στην ομοιόμορφη τοπολογία τελεστών. Η παραπάνω έκφραση (άθροισμα) είναι μία εξήγηση αυτού του ισχυρισμού. Μία άμεση συνέπεια αυτού είναι:
Θεώρημα: Ο M είναι συμπαγής αν και μόνο αν ο M*M είναι συμπαγής.
Ιστορία
Η ανάλυση ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές αρχικά αναπτύχθηκε από όσους ασχολήθηκαν με την διαφορική γεωμετρία, με σκοπό να ελλέγξουν αν η διγραμμική μορφή ενός πίνακα, μπορεί να ισούται με μία άλλη χρησιμοποιώνας ανεξάρτητους ορθογώνιους μετασχηματισμούς των δύο χώρων στους οποίυος δρα η διγραμμική μορφή. Ο Eugenio Beltrami και ο Camille Jordan ανακάλυψαν ξεχωριστά, το 1873 και 1874 αντίστοιχα, ότι οι ιδιάζουσες τιμές των διγραμμικών μορφών, γραμμένες σε μορφή πίνακα, συνιστούν ένα πλήρες σύνολο αναλλοίωτων  για διγραμμικές μορφές κάτω απο ορθογώνιες αντικαταστάσεις. Ο James Joseph Sylvester επίσης κατασκεύασε την ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές για πραγματικούς τετραγωνικούς το 1889, ανεξάρτητα και από τον Beltrami και από τον Τζόρνταν. Ο Sylvester ονόμασε τις ιδιάζουσες τιμές κανονικούς πολλαπλασιαστές (canonical multipliers) του πίνακα Α. Ο τέταρτος μαθηματικός που ανέλυσε έναν πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές, ανεξάρτητα των προηγουμένων, ήταν ο Autonne το 1915, ο οποίος έφτασε εκεί μέσω της πολικής ανάλυσης. Η πρώτη απόδειξη της ανάλυσης ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές για ορθογώνιους και μιγαδικούς πίνακες, φέρεται να έγινε από τον Carl Eckart και τον Gale Young το 1936, οι οποίοι την είδαν σαν γενίκευση του μετασχηματισμού του κύριου άξονα για ερμιτιανούς πίνακες.
Το 1907, ο Erhard Schmidt όρισε μία έννοια ανάλογη με αυτή των ιδιαζόντων τιμών για τους ολοκληρωτικούς τελεστές (που είναι συμπαγής, κάτω απο ορισμένες αδύναμες υποθέσεις. Δεν γνώριζε για την δουλειά που γινόταν παράλληλα πάνω στις ιδιάζουσες τιμές πεπερασμένων πινάκων. Η θεωρία αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Émile Picard το 1910, ο οποίος ήταν ο πρώτος που αποκάλεσε τα στοιχεία \sigma_k ιδιάζουσες τιμές (ή στα γαλλικά: valeurs singulières).
Πρακτικές μέθοδοι του υπολογισμού της ανάλυσης πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές, χρονολογούνται από το 1954, 1955 με τον Kogbetliantz και το 1958 με τον Hestenes. Που θυμίζουν αρκετά τον αλγόριθμο υπολογισμού ιδιοτιμών του Jacobi, που χρησιμοποιεί περιστροφές επιπέδων ή περιστροφές του Givens. Παρ' ότι αυτές αντικαταστάθηκαν από τη μέθοδο των Gene Golub και William Kahan που εκδόθηκε το 1965, που χρησιμοποιεί μετασχηματισμούς του Householder ή αντανακλάσεις. Το 1970, ο Golub και ο Christian Reinsch δημοσίευσαν μία παραλαγή του αλγορίθμου Golub/Kahan που είναι και η πιο πολυχρησιμοποιημένη μέχρι σήμερα.
Αναφορές
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Αυστριακές Κάτω Χώρες
thumb|Η σημαία των αυστριακών Κάτω Χωρών Το 1713, οι Νότιες Κάτω Χώρες, υπό ισπανική κατοχή, γίνονται οι Αυστριακές Κάτω Χώρες με το σύμφωνο της Ουτρέχτης.
Οι Αυστριακές Κάτω Χώρες
Στη διάρκεια του 17ου αιώνα οι πόλεμοι ανάμεσα στη Γαλλία και την Ισπανία σχημάτιζαν τα σημερινά σύνορα ανάμεσα στη Γαλλία και το Βέλγιο. Στα πλαίσια της συνθήκης της Ουτρέχτης, το 1713, το στέμμα της Ισπανίας περνάει στους Βουρβόνους, με τον Φίλιππο Ε΄ της Ισπανίας, εγγονό του Λουδοβίκου ΙΔ΄ να αναλαμβάνει τον βασιλικό θρόνο της Ισπανίας.
Οι Κάτω Χώρες, στα γαλλικά όλο και πιο συχνά αναφερόμενες ως Βελγικές Χώρες, παραμένουν ένα Ομοσπονδιακό Κράτος αποτελούμενο από περίπου δέκα ημιαυτόνομες Επαρχίες, που διοικούνταν από τους Αψβούργους της Αυστρίας από τη Βιέννη. Η « αυστριακή καθοδήγηση » ξαναπαίρνει στοιχεία της κεντροποιημένης κυβέρνησης των « Ισπανών » στις Βρυξέλλες.
Μια πολιτική κεντρικοποίησης
thumb|left|200px|Οι Κάτω Χώρες πριν το 1795
Υπό τη βασιλεία της Μαρίας-Θηρεσίας, μέσω των πληρεξούσιων υπουργών της και ωγενικών διοικητών της -κυρίως ο εξάδελφός της Κάρολο-Αλέξανδρο της Λωρραίνης- ο Διαφωτισμός κάνει την εμφάνισή του, και η κεντρική διοίκηση δημιουργεί μια πολιτική διοικητικής ανανέωσης, αλλά και οικονομικής και πολιτισμικής.
Με αυτόν τον τρόπο, η κεντρική διοίκηση απλώνει την εξουσία της και παρεμβαίνει όλο και περισσότερο στη διαχείριση των Κρατών. Η εξυγίανση των διοικητικών απελευθερώνει χρήματα που θα επιτρέψουν την ανάπτυξη των βιομηχανιών άνθρακα και μεταλλουργίας, κυρίως στο Αινώ (το ίδιο θα ισχύσει και για το Πριγκιπάτο της Λιέγης). Η κλωστοϋφαντουργία γνωρίζει επίσης μια ισχυρή ανάπτυξη (στη Γάνδη κυρίως), ενώ το ελεύθερο εμπόριο τονώνεται. Για να περιορίσει τη φυγή κεφαλαίων, η Μαρία Τερέζα, ακολουθώντας το αντίθετο της παραδοσιακής πολιτικής, δεν διστάζει να συμμαχήσει με τη Γαλλία το 1756.
Στο πολιτιστικό και πνευματικό πεδίο, η κυβέρνηση δεν παραμένει άπρακτη : δημιουργεί μια βασιλική και αυτοκρατορική Ακαδημία των Επιστημών και Γραμμάτων, στις Βρυξέλλες (1769-1771). Μια «Βελγική» ιστοριογραφία θα δει το φως της μέρας (Ο Ζαν Ντε Ρος ξεκινά τη συγγραφή μιας Εθνικής Ιστορίας).
Επίσης, μέχρι το 1740, καθώς τα ισπανικά χρησιμοποιούνταν ακόμα ως κοινή γλώσσα του Συμβουλίου των Κάτω Χωρών στη Βιέννη (που έγινε το 1757 Βελγικό γραφείο), η συγκέντρωση θα επιδιώξει την προώθηση της χρήσης της γαλλικής γλώσσας η οποία θα αποκτήσει δεσπόζουσα θέση στην κεντρική διοίκηση, σε βάρος των λαϊκών γλωσσών (που καταφέρνουν να επιβιώσουν εντός των κυβερνήσεων των περιοχών και των πόλεων). Οι επίσημες πράξεις ωστόσο, πρέπει πάντα να γράφονται στη γλώσσα της περιοχής.
Το 1789, η κεντρικοποίηση των απότομων μεταρρυθμίσεων (πολιτικών και θρησκευτικών) που θέλει να επιβάλει ο νέος άρχοντας Ιωσήφ Β΄ προκαλεί την αντίθεση της Γενικής Συνέλευσης και θα οδηγήσει στην εξέγερση παρά τις προειδοποιήσεις του γενικού διοικητή, της Μαρίας-Χριστίνας αρχιδούκισσας της Αυστρίας και του συζύγου της δούκα του Τέσεν.
Η ανεξαρτησία
thumb|200px|right|Σημαία των Ηνωμένων Βελγικών Κρατών. Ο ξεσηκωμός, γνωστός υπό το όνομα Επανάσταση της Βραβάντης στο Δουκάτο της Βραβάντης, δίνει θέση, μετά την ήττα των αυστριακών δυνάμεων στο Τύρνχαουτ (Turnhout), σε διακηρύξεις ανεξαρτησίας των διάφορων κρατών που αποτελούσαν τις Αυστριακές Κάτω Χώρες.
Στις 11 Ιανουαρίου 1790 οι Αυστριακές Κάτω Χώρες γίνονται η Δημοκρατία των Ηνωμένων Βελγικών Κρατών.
Η ασυνεννοησία ανάμεσα στο καθολικό κόμμα και στο φιλελεύθερο όμως αποδιοργανώνει σε σημαντικό βαθμό την άμυνα της χώρας και διευκολύνει την επιστροφή των αυστριακών δυνάμεων, που αποκαθιστούν την εξουσία τους από τον Οκτώβριο του ίδιου έτους.
Αποκατάσταση, καταλήψεις, εξαφάνιση
thumb|200px|right|Εξαφάνιση των Νοτίων Κάτω Χωρών, που είναι πλέον αναδιοργανωμένες σε διαμερίσματα της Γαλλίας (1792-1815). Το 1792, οι Αυστριακές Κάτω Χώρες καταλαμβάνονται από τους Γάλλους επαναστάτες μετά τη μάχη του Ζεμάπ, που στη συνέχεια ανακαταλαμβάνονται από την Αυστρία το 1793.
Το 1794, Βελγικά Κράτη καταλαμβάνονται ξανά από τη Γαλλία, και η προσάρτησή τους είναι οριστική την 1η Οκτωβρίου 1795. Όταν ο Ναπολέων Βοναπάρτης γίνεται Ύπατος, τα εδάφη των Κάτω Χωρών του νότου όπως και ένα τμήμα των Κάτω Χωρών του βορρά προσαρτώνται στη Γαλλική Αυτοκρατορία, και επαναδιοργανώνονται σε « βελγικά » Διαμερίσματα.
Το 1815, το Συνέδριο της Βιέννης θα συνδέσει τα βελγικά διαμερίσματα στο Βασίλειο των Κάτω Χωρών, από το οποίο θα ανεξαρτητοποιηθούν οριστικά το 1830.
Η ασυνεννοησία του 1790 δεν επαναλήφθηκε το 1830 : τα δύο κόμματα Καθολικοί και Φιλελεύθεροι ένωσαν τη προσπάθειά τους, και δεν χωρίστηκαν παρά μόνο στο τέλος του 19ου αιώνα αλλά αποτέλεσαν την πηγή του βελγικού συνθήματος : "L'Union fait la Force" (ελ: Η Ένωση αποτελεί τη Δύναμη).
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Πρώην κράτη της Ευρώπης Κατηγορία:Ιστορία της Αυστρίας Κατηγορία:Ιστορία του Βελγίου Κ Κατηγορία:Ιστορία της Ολλανδίας Κατηγορία:Πρώην Κάτω Χώρες
Μακαλού
thumb|270px|Το όρος Μακαλού Το όρος Μακαλού (στην Νεπαλεζική γλώσσα मकालु) είναι το πέμπτο ψηλότερο βουνό στη Γη, με υψός 8.481 μέτρα και βρίσκεται 20 χιλιόμετρα νοτιοανατολικά του όρους Έβερεστ, στα σύνορα Κίνας και Νεπάλ. Η μορφή του Μακαλού μοιάζει με αυτή μιας τετράπλευρης πυραμίδας. Το όνομα Μακαλού σημαίνει «μαύρο βουνό». Το όρος Μακαλού κατέκτησαν για πρώτη φορά οι Λιονέλ Τερέ και Ζαν Κουζί που συμμετείχαν σε μια γαλλική αποστολή, στις 15 Μαΐου 1955.
Το Μακαλού έχει δύο αξιοσημείωτες δευτερεύουσες κορυφές. Το Κανγκτσουνγκτσέ, ή Μακαλού Β΄ (7,678 m) περίπου 3 χλμ βόρεια-βορειοδυτικά της κύριας κορυφής. Περίπου 5 χλμ. βόρεια-βορειοανατολικά της κύριας κορυφής, κατά μήκος ενός υψιπέδου, υψώνεται το Τσόμο Λόντσο (7,804 μ.) συνδεδεμένο με ένα στενό διάσελο με το Κανγκτσουνγκτσέ στα 7.200 μ.
Γαβρολισιάδα Ευρυτανίας
Η Γαβρολισιάδα είναι μικρός οικισμός της Ευρυτανίας, που γειτονεύει με τον οικισμό των Αγράφων. Είναι χτισμένη σε υψόμετρο 1.020 μέτρων και ο πληθυσμός της, σύμφωνα με την Απογραφή του 2011, είναι 4 κάτοικοι. Ο οικισμός αναγνωρίστηκε επίσημα το 1961 και εντάχθηκε στην τότε κοινότητα Αγράφων. Σήμερα ανήκει διοικητικά στον διευρυμένο δήμο Αγράφων.
Παραπομπές
Κατηγορία:Χωριά του νομού Ευρυτανίας Κατηγορία:Άγραφα Κατηγορία:Δήμος Αγράφων
Χοιροστάσιο (ταινία Παζολίνι)
Το Χοιροστάσιο είναι ιταλική ταινία παραγωγής 1969 σε σκηνοθεσία και σενάριο του Πιερ Πάολο Παζολίνι.
Υπόθεση
Στην ταινία εκτυλίσσονται δύο παράλληλες ιστορίες.
Στην πρώτη, βρισκόμαστε στα αρχαία χρόνια σε ένα ηφαίστειο. Ένας νεαρός άνδρας που τρέφεται με έντομα και φίδια, αρχίζει να τρώει ανθρώπους. Στη συνέχεια βρίσκει και άλλους και δημιουργούν μία ομάδα. Η ομάδα αυτή επιτίθεται και καταβροχθίζει σε ανθρώπους. Στο τέλος, όμως, συλλαμβάνονται και θανατώνονται.
Στη δεύτερη, βρισκόμαστε στη μεταπολεμική Γερμανία στο αρχοντικό ενός βιομηχάνου. Ο γιος του Γιούλιαν και η αρραβωνιαστικιά του Ίντα είναι ιδεολόγοι και αντίθετοι με τις αντιλήψεις της οικογένειάς τους. Ο Γιούλιαν πηγαίνει συχνά σε ένα χοιροστάσιο και ταΐζει τα γουρούνια, ώσπου μία μέρα αυτά τον κατασπαράσσουν.
Διανομή
Κατηγορία:Ιταλικές ταινίες Κατηγορία:Ιταλόφωνες ταινίες Κατηγορία:Γαλλικές ταινίες Κατηγορία:Πολιτικές ταινίες Κατηγορία:Σινεφίλ ταινίες Κατηγορία:Ταινίες σε σκηνοθεσία Πιερ Πάολο Παζολίνι Κατηγορία:Ταινίες με παράλληλες ιστορίες Κατηγορία:Ταινίες του 1969
Αεροναυτική
Η Αεροναυτική είναι η επιστήμη της πτήσης μέσα στον αέρα.Είναι δηλαδή η εφαρμογή αρχών της φυσικής και των μαθηματικών ,για την ανάπτυξη, τη σχεδίαση την κατασκευή και την δοκιμή και την πτήση αεροσκάφους μέσα στη γήινη ατμόσφαιρα.Ο κλάδος της αεροναυτικής που ασχολείται με την ανάπτυξη, κατασκευή και δοκιμή των αεροσκαφών λέγεται Αεροναυπηγική ενώ η επιστήμη της πλέυσης χαρακτηρίζεται ως Αεροναυτιλία.
Όμπλαστ Ζάγκρεμπ
μικρογραφία|Οι περιφέρειες του Βασιλείου των Σέρβων, Κροατών και Σλοβένων Η περιφέρεια Ζάγκρεμπ (κροατικά : Zagrebačka oblast) ήταν διοικητική περιφέρεια του Βασιλείου Σέρβων, Κροατών και Σλοβένων από το 1922 έως το 1929. Διοικητικό της κέντρο ήταν η πόλη Ζάγκρεμπ.
Εκλογές περιφέρειας 1927
Στις εκλογές της 23 Ιανουαρίου 1927 η περιφέρεια είχε τα παρακάτω αποτελέσματα:
Παραπομπές
Όμπλαστ Ζαγκρεμπ Κατηγορία:Διοικητική διαίρεση της Κροατίας στο Βασίλειο Σέρβων, Κροατών και Σλοβένων
Προοπτική (σχέδιο)
thumb|right|350px|Σχέδιο βασισμένο στην τεχνική της προοπτικής Προοπτική είναι η τέχνη της προβολής μιας τρισδιάστατης εικόνας και της δημιουργίας της αίσθησης του βάθους σε μια επίπεδη επιφάνεια.
Γραμμική προοπτική
Η γραμμική προοπτική είναι μια γεωμετρική τεχνική, η οποία χρησιμοποιεί ευθείες γραμμές που δείχνουν το πώς φαίνονται τα αντικείμενα με βάση την απόστασή τους από το κοντινότερο προς το θεατή πλάνο του πίνακα. Όλες οι ευθείες που είναι κάθετες στο επίπεδο της εικόνας συγκλίνουν σ’ ένα μοναδικό «σημείο φυγής». Ο Φιλίππο Μπρουνελέσκι εισήγαγε μια τεχνική για την απεικόνιση αντικειμένων καθώς αυτά «ξεμακραίνουν» προς το σημείο φυγής, και ο Λεόνε Μπατίστα Αλμπέρτι, στο «Ντε Πικτούρα» (1435), διαμόρφωσε μια ακριβή μέθοδο προοπτικής κατασκευής, που γρήγορα υιοθετήθηκε από τους Φλωρεντινούς καλλιτέχνες του 15ου αιώνα. Αν και η γραμμική προοπτική ταιριάζει θαυμάσια στην απεικόνιση αρχιτεκτονημάτων, είναι λιγότερο εφαρμόσιμη στην τοπιογραφία, εκτός αν η σύνθεση γίνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε αυτή να προσαρμόζεται, όπως στο «Κυνήγι» (Ασμολεανό Μουσείο, Οξφόρδη), ένα ύστερο έργο του Πάολο Ουτσέλο (1397-1475).
Αιθέρια προοπτική
Ο όρος αιθέρια προοπτική επινοήθηκε από το Λεονάρντο ντα Βίντσι και περιγράφει την υποδήλωση της απόστασης με τη βαθμιαία διαμόρφωση του χρωματικού τόνου. Τα αντικείμενα που βρίσκονται στο βάθος, «μακριά» από το θεατή, ζωγραφίζονται με πιο ανοιχτά χρώματα, όπως ακριβώς συμβαίνει όταν κάποιος παρατηρεί ένα μακρινό σημείο του ορίζοντα σε μια μέρα με αρκετή υγρασία στην ατμόσφαιρα.
Αντεστραμμένη προοπτική
εναλλ.=|μικρογραφία|Αντρέι Ρουμπλιόφ, Η φιλοξενία του Αβραάμ, 1410 μ.Χ., Πινακοθήκη Τρετιακόφ, Μόσχα. εναλλ.=|μικρογραφία|Η Παναγία με Ιησού σε θρόνο, Εθνική Πινακοθήκη Ουάσινγκτον, 1250-1275 μ.Χ.Αντεστραμμένη προοπτική, που ονομάζεται επίσης αντίστροφη προοπτική, ανεστραμμένη προοπτική, αποκλίνουσα προοπτική , ή βυζαντινή προοπτική , είναι μια μορφή προοπτικής σχεδίασης στην οποία τα αντικείμενα που απεικονίζονται σε μια σκηνή τοποθετούνται μεταξύ του σημείου φυγής και της επιφάνειας προβολής. Αυτό δίνει την οπτική αίσθηση ότι τα αντικείμενα που βρίσκονται μακρύτερα από το επίπεδο προβολής απεικονίζονται μεγαλύτερα και τα κοντύτερα αντικείμενα σχεδιάζονται ως μικρότερα, σε αντίθεση με την πιο συμβατική γραμμική προοπτική για την οποία τα κοντύτερα αντικείμενα εμφανίζονται μεγαλύτερα.Οι γραμμές που είναι παράλληλες στον τρισδιάστατο χώρο σχεδιάζονται ως αποκλίνουσες προς τον ορίζοντα, αντί να συγκλίνουν όπως γίνεται στη γραμμική προοπτική σε ένα σημείο φυγής. Τεχνικά, τα σημεία φυγής τοποθετούνται έξω από τον πίνακα, με την ψευδαίσθηση ότι βρίσκονται "μπροστά" από τον πίνακα. Η ονομασία της βυζαντινής προοπτικής προέρχεται από τη χρήση αυτής της προοπτικής στις βυζαντινές και ρωσικές ορθόδοξες εικόνες. Εμφανίζεται επίσης στην τέχνη πολλών προ-αναγεννησιακών πολιτισμών και χρησιμοποιήθηκε μερικές φορές στον Κυβισμό και σε άλλα ρεύματα της σύγχρονης τέχνης καθώς και σε παιδικά σχέδια.
Οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτήν την παραδοχή της αντεστραμμένης προοπτικής, εξακολουθούν να συζητούνται μεταξύ των ιστορικών τέχνης. Δεν είναι ξεκάθαρο ακόμα πόσο σκόπιμη ήταν η απεικόνιση αυτή, δεδομένου ότι οι καλλιτέχνες που ασχολήθηκαν με τη διαμόρφωση της δεν είχαν πρόσβαση στην πιο ρεαλιστική γραμμική προοπτική.
Στοιχεία αντεστραμμένης προοπτικής μπορεί να δει κανείς και στην ιστορία του κινηματογράφου με την τεχνική του κόντρα ζουμ ή dolly zoom, όπου η συνεχής κίνηση της κάμερας λήψης προς τα εμπρός ή προς τα πίσω αλλάζοντας παράλληλα την οπτική γωνία της, δημιουργεί μία παραμορφωτική προοπτική. Το ανθρώπινο μάτι υπολογίζει συγκρίνοντας το μέγεθος με στοιχεία προοπτικής για να υπολογίσει αν ένα αντικείμενο είναι κοντά ή μακρυά. Η ανομοιογενής αλλαγή μεγεθών αυτής της τεχνικής δημιουργεί ένα συναίσθημα αναταραχής στην εντύπωση που δίνει το ζωγραφικό αντικείμενο.
Επαρχία Παντσαγκάρ
Η Επαρχία Παντσαγκάρ (βεγγαλικά: পঞ্চগড় জেলা) είναι επαρχία στο βόρειο Μπαγκλαντές, στην διοίκηση Ρανγκπούρ. Υφίσταται από το 1984. Το διοικητικό κέντρο είναι το Παντσαγκάρ. Η έκταση της επαρχίας είναι 1.405 τ.χλμ.. Σύμφωνα με την απογραφή του 2001 ο πληθυσμός της επαρχίας ήταν 829.374 άτομα. Το επίπεδο αλφαβητισμού ενηλίκων ήταν 30.6 %, σημαντικά κατώτερος από το μέσο όρο από το Μπαγκλαντές (43,1 %). Οι Μουσουλμάνοι αποτελούν το 81.79% του πληθυσμού ενώ οι Ινδουιστές το 17.64 %.
Διοικητική διαίρεση
Η επαρχία αποτελείται από 5 υποεπαρχίες (ουπαζίλα).
Οι υποεπαρχίες είναι οι παρακάτω (το όνομα σε παρένθεση είναι το διοικητικό κέντρο):
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Παντσαγκαρ
Μάου Χέυμανς
Ο Μάου Χέυμανς (14 Απριλίου 1961, Βελντχόβεν) είναι ένας Ολλανδός σχεδιαστής κόμικς.
Βιογραφία
Έχει εικονογραφήσει ιστορίες από άλλους σεναριογράφους, όπως οι Φρανκ Γιόνκερ, Έβερτ Γκέραρντς και Ίαν Κρουζ αλλά στηρίζεται κυρίως  στις ιστορίες που ο ίδιος έχει γράψει. Εκτός από κόμικς, έχει εικονογραφήσει πολλές αφίσες με τους χαρακτήρες της Λιμνούπολης. Ο αδελφός του, ο Μπας Χέυμανς είναι επίσης ένας καλλιτέχνης των Disney κόμικς.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ολλανδοί καλλιτέχνες Κατηγορία:Δημιουργοί κόμικς
Γαρύφαλλο (αποσαφήνιση)
Η λέξη Γαρύφαλλο ή Γαρυφαλλιά μπορεί να αναφέρεται:
Ναντίν Σιέρρα
Η Ναντίν Σιέρρα (αγγλικά: Nadine Sierra), γεννημένη στις 14 Μαΐου 1988 είναι Αμερικανίδα ερμηνεύτρια του λυρικού θεάτρου.Σπούδασε στο Music Academy of West.
Βιογραφία
Ξεκίνησε να τραγουδά σε ηλικία περίπου 14 ετών (Palm Beach Opera) και έκανε το ντεμπούτο της σε κονσέρτο στο Ελσίνκι το 2009.
Τραγούδησε στο κονσέρτο της Πρωτοχρονιάς του 2016 στο Θέατρο La Fenice της Βενετίας, σε ντουέτο με τον Στέφανο Σέκκο. (Stefano Secco)
Τραγούδησε στο κονσέρτο της Πρωτοχρονιάς του 2017 στο Θέατρο Massimo του Παλέρμο.
Είναι υψίφωνος με σπουδαίο φωνητικό και σκηνικό ταλέντο. Κάποιες από τις ερμηνείες της, ιδίως σε έργα του Τζουζέπε Βέρντι (Ριγκολέττο, Τζίλντα), ; έχουν καταγραφεί ανάμεσα στις κορυφαίες ερμηνείες της όπερας. ;
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Αμερικανοί υψίφωνοι
Δορυφόροι του Πλούτωνα
thumb|250px|Το σύστημα του Πλούτωνα από εικόνα του Hubble Ο Πλούτωνας έχει πέντε γνωστούς φυσικούς δορυφόρους. Ο μεγαλύτερος από αυτούς, ο Χάροντας, είναι τόσο μεγάλος ώστε μπορεί να συγκριθεί με τον Πλούτωνα και αποτελεί μ' αυτόν διπλό πλανήτη. (Ο καθένας δείχνει πάντα την ίδια όψη στον άλλο και στρέφονται γύρω από έναν άξονα έξω από αυτούς). Οι άλλοι τέσσερις δορυφόροι είναι η Νύχτα, η Ύδρα, ο Κέρβερος και η Στύγα.
Ιστορία
166px|right|thumb|Ο Πλούτωνας και οι δορυφόροι του (Καλλιτεχνική αναπαράσταση). 166px|thumb|Φωτογραφία στην οποία φαίνονται και οι 4 δορυφόροι.
Ο Χάροντας ανακαλύφθηκε από τον Τζέιμς Κρίστι στις 22 Ιουνίου 1978, σχεδόν μισό αιώνα μετά την ανακάλυψη του Πλούτωνα. Οι δύο εξωτερικοί δορυφόροι ανακαλύφθηκαν ταυτόχρονα στις 15 Μαΐου 2005 από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble. Αφού επιβεβαιώθηκαν οι τροχιές τους, τους δόθηκαν τα ονόματα Ύδρα ( Πλούτωνας III, προσωρινή ονομασία S/2005 P 1) και Νύχτα ( Πλούτωνας II, προσωρινή ονομασία S/2005 P 2). Τα ονόματα επιλέχθηκαν εν μέρει γιατί στα αγγλικά τα αρχικά γράμματα των δορυφόρων υπονοούν την διαστημική αποστολή Νέοι Ορίζοντες (New Horizons). Ο Κέρβερος ( Πλούτωνας IV ) (βλέπε και τον παρακάτω Πίνακα) ανακαλύφθηκε το 2011 ενώ η Στύγα ( Πλούτωνας V) το 2012. Η πιθανότητα δακτυλίων γύρω από τον Πλούτωνα λόγω συγκρούσεων στους μικρούς δορυφόρους του θα ερευνηθεί από τη διαστημοσυσκευή Νέοι Ορίζοντες.