cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Χώρος Χίλμπερτ
Χώροι με holomorphic λειτουργίες
Οι χώροι Hardy είναι οι χώροι λειτουργίας, που προκύπτουν σε πολύπλοκες αναλύσεις και αρμονική ανάλυση, του οποίου τα στοιχεία έχουν ορισμένες ολομορφικές λειτουργίες σε ένα πολύπλοκο τομέα. Αν U χαρακτηρίζει το δίσκο μονάδας στο μιγαδικό επίπεδο. Στη συνέχεια, ο Hardy χώρος H2(U) ορίζεται ως το χώρο των ολομορφικών συναρτήσεων f στο U τέτοια ώστε τα μέσα παραμένουν οριοθετημένα για r < 1. Ο κανόνας για αυτόν τον Hardy χώρο οριοθετείται από
Οι Hardy χώροι στο δίσκο που σχετίζονται με την σειρά Fourier. Μια συνάρτηση f είναι σε H2(U) αν και μόνο αν
όπου
Έτσι,H2(U) αποτελείται από τις λειτουργίες που είναι L2 στον κύκλο, και των οποίων η αρνητικοί συχνότητα συντελεστές Fourier εξαφανίζονται.
Οι χώροι Bergman είναι μια άλλη οικογένεια ολομορφικών λειτουργειών των Hilbert χώρων. . Ας είναι το D ένα ανοιχτό σύνολο που οριοθετείται στο μιγαδικό επίπεδο (ή ένα υψηλότερων διαστάσεων χώρο complex) και αφήστε το L2,h(D) είναι ο χώρος της ολομορφικής λειτουργίας f στο D που είναι επίσης στο L2(D) με την έννοια ότι
η οποία με τη σειρά της προκύπτει από ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy. Έτσι σύγκλιση μιας ακολουθίας ολομορφικών λειτουργιών στο L2(D) συνεπάγεται επίσης συμπαγής σύγκλιση, και έτσι η λειτουργία ορίου είναι επίσης ολομορφική. Μια άλλη συνέπεια αυτής της ανισότητας είναι ότι η γραμμική λειτουργική που αξιολογεί μια συνάρτηση f σε ένα σημείο D είναι πραγματικά συνεχής στο L2,h(D). Η αναπαράσταση του θεωρήματος Riesz συνεπάγεται ότι η λειτουργική αξιολόγηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα στοιχείο της L2,h(D). Έτσι, για κάθε z ∈ D, υπάρχει μια συνάρτηση z ∈ L2,h(D), h (D) έτσι ώστε για όλες τις f ∈ L2,h(D). το ολοκλήρωμα είναι γνωστή ως πυρήνα Bergman του D. Αυτό αναπόσπαστο πυρήνα ικανοποιεί ένα ακίνητο αναπαραγωγής
Ένας χώρος Bergman είναι ένα παράδειγμα ενός πυρήνα αναπαραγωγής Hilbert χώρο, η οποία είναι ένας χώρος Hilbert λειτουργιών μαζί με ένα πυρήνα K(ζ,z), που επαληθεύει μια ιδιότητα αναπαραγωγής ανάλογη προς αυτό. Ο χώρος Hardy H2(D) παραδέχεται επίσης έναν πυρήνα αναπαραγωγής, που είναι γνωστός ως πυρήνα Szegő. Οι αναπαραγωγικοί πυρήνες είναι κοινοί σε άλλους τομείς των μαθηματικών, καθώς και για παράδειγμα, στην αρμονική ανάλυση ο πυρήνας Poisson είναι ένας πυρήνας αναπαραγωγής για τον χώρο Hilbert των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών αρμονικών συναρτήσεων στη μπάλα μονάδας. Αυτό το τελευταίο είναι ένας χώρος Hilbert σε όλα είναι συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής για αρμονικές συναρτήσεις.
Εφαρμογές
Πολλές από τις εφαρμογές των χώρων Hilbert εκμεταλλεύονται το γεγονός ότι οι χώροι Hilbert υποστηρίζουν γενικεύσεις των απλών γεωμετρικών εννοιών όπως η προβολή και την αλλαγή της βάσης από τα συνήθη πεπερασμένων διαστάσεων περιβάλλον τους. Ειδικότερα, η φασματική θεωρία της συνεχούς αυτοσυζυγής γραμμικών φορέων σε ένα χώρο Hilbert γενικεύει τη συνήθη φασματική αποσύνθεση της μήτρας, και αυτό παίζει συχνά σημαντικό ρόλο σε εφαρμογές της θεωρίας σε άλλους τομείς των μαθηματικών και της φυσικής.
Θεωρία Sturm–Liouville
μικρογραφία|Οι αποχρώσεις της παλλόμενης χορδής. Αυτές είναι ιδιοσυνάρτηση ενός σχετικού πρόβληματος Sturm-Liouville. Οι ιδιοτιμές 1,1 / 2,1 / 3, ... αποτελούν τη (μουσική) [[αρμονική σειρά.]] Στη θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι φασματικές μέθοδοι σε κατάλληλο χώρο Hilbert χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της συμπεριφοράς των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων των διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, το πρόβλημα Sturm-Liouville τίθεται στη μελέτη των αρμονικών κυμάτων σε μια συμβολοσειρά βιολιού ή ένα τύμπανο, και είναι ένα κεντρικό πρόβλημα σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις . Το πρόβλημα είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής
για μια άγνωστη συνάρτηση y σε ένα διάστημα [a,b],  ικανοποιώντας γενικές ομοιογενείς Robin συνοριακές συνθήκες Οι λειτουργίες p,q και w δίδονται εκ των προτέρων, και το πρόβλημα είναι να βρούμε τη συνάρτηση y και οι σταθερές λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μια λύση. Το πρόβλημα έχει μόνο λύσεις για ορισμένες τιμές των λ, που ονομάζονται ιδιοτιμές του συστήματος, και αυτό αποτελεί συνέπεια της φασματικής θεώρημα για συμπαγείς φορείς που εφαρμόζονται στο αναπόσπαστο φορέα που ορίζεται από τη Green λειτουργία για το σύστημα. Επιπλέον, μια άλλη συνέπεια αυτού του γενικού αποτελέσματος είναι ότι οι ιδιοτιμές λ του συστήματος μπορούν να διατάσσονται σε μια αυξανόμενη ακολουθία που τείνει στο άπειρο.
Μερικές διαφορικές εξισώσεις
Χώροι Hilbert αποτελούν βασικό εργαλείο για τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για πολλές τάξεις των μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως γραμμικές ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, είναι δυνατόν να εξετάσει μια γενικευμένη λύση (γνωστή ως ένα ασθενές) με τη διεύρυνση της κατηγορίας των λειτουργιών. Πολλές αδύναμες τυποποιήσεις περιλαμβάνουν την κατηγορία των λειτουργιών Sobolev, η οποία είναι ένας χώρος Hilbert. Ένα κατάλληλο ασθενές σκεύασμα μειώνει σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα το αναλυτικό πρόβλημα της εύρεσης ενός διαλύματος ή, συχνά αυτό είναι πιο σημαντικό, δείχνοντας ότι υπάρχει μια λύση και είναι μοναδική για τα δεδομένα στοιχεία σύνορο. Για γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού, ένα γεωμετρικό αποτέλεσμα που εξασφαλίζει μοναδική φερεγγυότητα για μια μεγάλη κατηγορία προβλημάτων είναι το θεώρημα Lax-Milgram. Αυτή η στρατηγική αποτελεί το στοιχείο της μεθόδου Galerkin (πεπερασμένων στοιχείων) για την αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. [31]
Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εξίσωση Poisson-Δυ = g με οριακές συνθήκες Dirichlet σε περιορισμένη Ω τομέα στο R2. Το ασθενές σκεύασμα αποτελείται από την εξεύρεση μιας συνάρτησης u τέτοια ώστε, για όλες τις λειτουργίες συνεχώς παραγωγίσιμη ν σε Ω φυγής στο όριο:
Αυτό μπορεί να αναδιατυπωθεί ως προς το χώρο Hilbert H1 0 (Ω) που αποτελείται από τις λειτουργίες u τέτοια ώστε u, μαζί με την ασθενή μερικές παραγώγους της, είναι ολοκληρώσιμο τετράγωνο στο Ω, και εξαφανίζονται στο όριο. Το ερώτημα, λοιπόν, μειώνει την εξεύρεση u σε αυτό το χώρο, έτσι ώστε για όλα τα v σε αυτό το χώρο
όπου α είναι μια συνεχής διγραμμική μορφή, και b είναι μια συνεχής γραμμική λειτουργικό, δίνεται αντίστοιχα από
Δεδομένου ότι η εξίσωση Poisson είναι ελλειπτικό, όπως προκύπτει από την ανισότητα Poincaré ότι η διγραμμική μορφή a είναι καταναγκαστική. Το θεώρημα Lax-Milgram εξασφαλίζει στη συνέχεια την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων της εξίσωσης.
Θεωρία Ergodic
μικρογραφία|Η διαδρομή μιας μπάλας του [[Μπιλιάρδο|μπιλιάρδου στο Bunimovich γήπεδο περιγράφεται από ένα εργοδικό δυναμικό σύστημα]] Το πεδίο της εργοδικής θεωρίας είναι η μελέτη της μακροπρόθεσμης συμπεριφοράς των xαοτικών δυναμικών συστημάτων. Η πρωτοτυπική περίπτωση ενός πεδίου που η εργοδική θεωρία ισχύει και για είναι θερμοδυναμική, στην οποία-αν και η μικροσκοπική κατάσταση ενός συστήματος είναι εξαιρετικά περίπλοκη (είναι αδύνατο να κατανοήσουμε το σύνολο των επιμέρους συγκρούσεων μεταξύ των σωματιδίων της ύλης), τη μέση συμπεριφορά για αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα είναι προσιτό. Οι νόμοι της θερμοδυναμικής, οι ισχυρισμοί για τέτοια μέση συμπεριφορά. Ειδικότερα, ένα σκεύασμα της μηδενικής νόμου της θερμοδυναμικής ισχυρίζεται ότι πάνω από αρκούντως μακρά χρονοδιαγράμματα, η μόνη λειτουργικά ανεξάρτητη μέτρηση που μπορεί κανείς να κάνει ένα θερμοδυναμικό σύστημα σε ισορροπία είναι η συνολική ενέργεια του, υπό τη μορφή της θερμοκρασίας.
Ένα εργοδικό δυναμικό σύστημα είναι εκείνο για το οποίο, εκτός από την ενέργεια, που μετράται από το Hamiltonian-, δεν υπάρχουν άλλες λειτουργικά ανεξάρτητες συντηρημένες ποσότητες στο χώρο των φάσεων. Πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι η ενέργεια Ε είναι σταθερό, και αφήστε ΩE είναι το υποσύνολο του χώρου φάσεων που αποτελείται από όλα τα κράτη της ενέργειας E (μια επιφανειακή ενέργεια), και αφήστε Tt χαρακτηρίζει το φορέα εξέλιξης στο χώρο των φάσεων. Το δυναμικό σύστημα είναι εργοδική εάν δεν υπάρχουν συνεχείς μη συνεχείς λειτουργίες της ΩE τέτοια ώστε για όλα τα w on ΩE και για κάθε χρόνο t Θεώρημα Liouville συνεπάγεται ότι υπάρχει μια μ μέτρο για την επιφανειακή ενέργεια που είναι αναλλοίωτη κάτω από το χρόνο μετάφραση. Ως αποτέλεσμα, η μετάφραση του χρόνου είναι ένα μοναδιαίος μετασχηματισμός του χώρου Hilbert L2(ΩE,μ) που αποτελείται από ολοκληρώσιμες τετραγωνικές λειτουργίες της ενέργειας επιφανείας ΩE σε σχέση με το εσωτερικό γινόμενο
Ο von Neumann με την έννοια του εργοδικού θεωρήματος αναφέρει τα εξής:
Δηλαδή, το μέσο μεγάλο χρονικό διάστημα μιας παρατηρήσιμης f είναι ίση με την τιμή της προσδοκίας του πάνω από μια επιφανειακή ενέργεια.
Ανάλυση Fourier
μικρογραφία|Υπέρθεση ημιτονοειδούς κύματος λειτουργιών βάσης (κάτω) για να σχηματίσει ένα πριονωτό κύμα (κορυφή) μικρογραφία|[[Σφαιρικές αρμονικές, ορθοκανονική βάση για το χώρο Hilbert των τετραγωνικών ολοκληρώσιμων λειτουργιών της σφαίρας, φαίνεται σχεδιάσατε κατά την ακτινική διεύθυνση]] Ένας από τους βασικούς στόχους της Ανάλυσης Fourier είναι η ανάλυση μιας συνάρτησης σε έναν (ενδεχομένως άπειρο) γραμμικό συνδυασμό του δίνεται λειτουργίες βάσης: οι συνδεδεμένες σειρές Fourier.Η κλασική σειρά Fourier σχετίζεται με μια συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα [0, 1], είναι μια σειρά της μορφής όπου
Το παράδειγμα της προσθήκης μέχρι τους πρώτους όρους σε μια σειρά Fourier για μια πριωνοτή λειτουργία δείχνεται στο σχήμα. Οι λειτουργικές βάσεις είναι ημιτονοειδή κύματα με μήκη κύματος λ / n (n = ακέραιος) μικρότερο από το μήκος κύματος λ του ίδιου του πριονωτού (εκτός από n = 1, to''θεμελιώδες κύμα). Όλες οι λειτουργικές βάσεις έχουν κόμβους στους κόμβους του πριονωτού, αλλά όλα αλλά η θεμελιώδης έχουν επιπλέον κόμβους. Η ταλάντωση των όρων αθροίζονται για το πριονωτό ονομάζεται Gibbs φαινόμενο.''
Ένα σημαντικό πρόβλημα στην κλασική σειρά Fourier ρωτά με ποια έννοια συγκλίνει η σειρά Fourier, αν όχι καθόλου, με τη λειτουργία f. Οι μέθοδοι του χώρου hilbert παρέχουν μια πιθανή απάντηση στο ερώτημα αυτό. . Οι λειτουργίες en(θ) = e2πinθ σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση του χώρου Hilbert L2([0,1]). Κατά συνέπεια, κάθε λειτουργία τετραγωνικής ολοκληρώσιμης μπορεί να εκφραστεί ως μια σειρά και, επιπλέον, αυτή η σειρά συγκλίνει στην έννοια του χώρου Hilbert (δηλαδή, στην L2 mean) Το πρόβλημα μπορεί επίσης να μελετηθεί από την αφηρημένη άποψη: κάθε χώρος Hilbert έχει μια ορθοκανονική βάση, και κάθε στοιχείο του χώρου Hilbert μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα πολλαπλάσιο αυτών των στοιχείων της βάσης. Οι συντελεστές που περιλαμβάνονται σε αυτά τα στοιχεία με βάση τα γνωστά και αφηρημένα όπως οι συντελεστές Fourier του στοιχείου του χώρου. Η άντληση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν είναι πιο φυσικό να χρησιμοποιούν διαφορετικές λειτουργίες βάσης για ένα χώρο, όπως L2([0,1]). Σε πολλές περιπτώσεις, είναι επιθυμητό να μην αποσυντεθεί μια συνάρτηση σε τριγωνομετρικές λειτουργίες, αλλά μάλλον σε ορθογώνια πολυώνυμα ή κυματίδια s, για παράδειγμα, και σε μεγαλύτερες διαστάσεις στις σφαιρικές αρμονικές. Για παράδειγμα, αν en είναι οποιαδήποτε ορθοκανονική βάση των λειτουργιών του  L2[0,1], τότε μια συγκεκριμένη λειτουργία σε L2[0,1] μπορεί να προσεγγιστεί ως ένα πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό Οι συντελεστές { α ι ​​} επιλέγονται για να κάνουν το μέγεθος της διαφοράς | | ƒ − ƒn||2 όσο το δυνατόν μικρότερη. Γεωμετρικά, η καλύτερη προσέγγιση είναι η ορθή προβολή του ƒ πάνω στον υπόχωρο που αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς του { e j ​​}, και μπορεί να υπολογιστεί με Ότι αυτή η φόρμουλα ελαχιστοποιεί τη διαφορά | |ƒ − ƒn||2 είναι συνέπεια της ανισότητα του Bessel και ο τύπος του Parseval
Σε διάφορες εφαρμογές σε σωματικά προβλήματα, μια συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε φυσική σημασία ιδιοσυνάρτησης s του διαφορικού τελεστή (συνήθως ο τελεστής Laplace): αυτό αποτελεί το θεμέλιο για τη φασματική μελέτη των λειτουργιών, σε σχέση με το φάσμα του διαφορικού χειριστή. συγκεκριμένη φυσική αίτηση περιλαμβάνει το πρόβλημα της άκουσε το σχήμα ενός τυμπάνου: δεδομένων των θεμελιωδών τρόπων δόνησης που ένας drumhead είναι ικανός να παράγει, μπορεί κανείς να συναγάγει το σχήμα του ίδιου του τυμπάνου; Η μαθηματική διατύπωση του ερωτήματος αυτού περιλαμβάνει τις Dirichlet ιδιοτιμή s της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο, που αντιπροσωπεύουν τους θεμελιώδεις τρόπους δόνησης σε άμεση αναλογία με τους ακέραιους αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τους θεμελιώδεις τρόπους δόνησης της χορδής ενός βιολιού.
Η κβαντομηχανική
μικρογραφία|Η [[ατομικό τροχιακό|τροχιακά ενός ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο υδρογόνου είναι ιδιοσυνάρτηση s του ενέργειας.]] Στο μαθηματικά αυστηρή διατύπωση της κβαντομηχανικής, που αναπτύχθηκε από τον John von Neumann, οι πιθανές καταστάσεις (πιο συγκεκριμένα, η καθαρή κατάσταση) είναι ένα σύστημα κβαντικής μηχανικής που εκπροσωπείται από το μοναδιαίο διάνυσμα (που ονομάζεται κρατικών φορέων) που κατοικούν σε ένα πολύπλοκο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert, που είναι γνωστή ως το χώρο κατάστασης, και ορίζεται μέχρι ένα σύνθετο αριθμό του κανόνα 1 (ο παράγοντας φάσης). Με άλλα λόγια, οι πιθανές καταστάσεις είναι σημεία του projectivization από ένα χώρο Hilbert, που συνήθως ονομάζεται σύνθετη προβολική χώρο. Η ακριβής φύση αυτού του χώρου Hilbert εξαρτάται από το σύστημα. Για παράδειγμα, η θέση και η ορμική στάση για ένα μοναδικό μη-σχετικιστικό σπιν μηδέν σωματίδιο είναι ο χώρος όλων των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών λειτουργιών, ενώ η στάση για την περιστροφή ενιαίων πρωτονίων είναι μονάδα στοιχείων των δύο διαστάσεων συγκροτημάτων Hilbert χώρων των spinors. Κάθε παρατηρήσιμη αντιπροσωπεύεται από ένα αυτοσυζυγή γραμμικό τελεστή που δρουν στο χώρο κατάστασης. Κάθε ιδιοκατάσταση του ένα παρατηρήσιμο αντιστοιχεί σε μία διοσυνάρτηση του φορέα, καθώς και των συνδεδεμένων ιδιοτιμών αντιστοιχούν στην αξία του παρατηρήσιμου εν λόγω ιδιοκατάσταση.
Η εξέλιξη του χρόνου από μια κβαντική κατάσταση περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, στο οποίο η Hamiltonian, ο χειριστής που αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια του συστήματος, δημιουργεί την εξέλιξη του χρόνου.
Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο κρατικών φορέων είναι ένα σύνθετο αριθμό γνωστό ως πιθανότητα πλάτος. Κατά τη διάρκεια μια ιδανικής μέτρησης του συστήματος της κβαντικής μηχανικής, η πιθανότητα ότι ένα σύστημα καταρρέει από μια δεδομένη αρχική κατάσταση σε μια συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση δίνεται από την πλατεία της απόλυτης τιμής των πλατών πιθανοτήτων μεταξύ των αρχικών και των τελικών καταστάσεων. Τα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης είναι οι ιδιοτιμές του χειριστή που εξηγεί την επιλογή του αυτο-τελεστή, για όλες τις ιδιοτιμές πρέπει να είναι πραγματική. Η κατανομή πιθανότητας παρατηρούνται σε μια δεδομένη κατάσταση μπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας τη φασματική αποσύνθεση του αντίστοιχου οικονομικού φορέα.
Για ένα γενικό σύστημα, η στάση συνήθως δεν είναι καθαρή, αλλά, αντίθετα, εκπροσωπήθηκαν ως στατιστικά μείγματα καθαρών στάσεων, ή μικτές καταστάσεις, με μήτρες πυκνότητα: ιδιο-τελεστές της εντοπίζουν για ένα χώρο Hilbert. Επιπλέον, για γενικά συστήματα κβαντικής μηχανικής, τα αποτελέσματα μιας μόνο μέτρησης μπορεί να επηρεάσει άλλα μέρη του συστήματος, κατά τρόπο που περιγράφεται αντί από ένα θετικό φορέα αξιόλογο μέτρο. Έτσι, η δομή και των δύο κρατών και παρατηρήσιμα στην γενική θεωρία είναι σημαντικά πιο περίπλοκη από ό, τι την εξιδανίκευση για τα καθαρή στάση.
Αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg αντιπροσωπεύεται από τη δήλωση ότι οι φορείς εκμετάλλευσης που αντιστοιχούν σε ορισμένες παρατηρήσιμες δεν μετακινούνται, και δίνει μια ειδική μορφή συλλέκτη που πρέπει να έχουν.
Πυθαγόρεια ταυτότητα
Δύο διανύσματα u καιv σε ένα χώρο Hilbert H είναι ορθογώνιες όταν = 0. Ο συμβολισμός γι 'αυτό είναι u ⊥v. Γενικότερα, όταν S είναι ένα υποσύνολο στο Χ, ο συμβολισμός u ⊥S σημαίνει ότι u είναι ορθογώνιο σε κάθε στοιχείο από το S. Όταν u και v είναι ορθογώνιο, το ένα έχει
Ότι η Πυθαγόρεια ταυτότητα, όπως αναφέρεται ισχύει σε οποιοδήποτε εσωτερικό χώρο του γινομένου, η πληρότητα απαιτείται για την επέκταση της Πυθαγόρειας ταυτότητας στη σειρά. Μια σειρά Σ uk τα ορθογώνια διανύσματα συγκλίνουν στο H   αν και μόνο αν η σειρά των τετραγώνων των κανόνων συγκλίνει, και Επιπλέον, το άθροισμα μιας σειράς ορθογωνικών φορέων είναι ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία έχει ληφθεί.
Ταυτότητα παραλληλόγραμμο και πόλωση
μικρογραφία|Γεωμετρικά, η ταυτότητα παραλληλογράμμου ισχυρίζεται ότι AC 2 </ sup> + BD 2 </ sup> = 2 (AB 2 </ sup> + AD 2 </ sup>). Στα λόγια, το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι διπλάσιο από το άθροισμα των τετραγώνων των οποιωνδήποτε δύο παρακείμενων πλευρών. Εξ ορισμού, κάθε χώρος Hilbert είναι επίσης ένα Banach χώρου. Επιπλέον, σε κάθε χώρο Hilbert η ακόλουθη ταυτότητα παραλληλογράμμου ισχύει: Αντίθετα, κάθε χώρος Banach στον οποίο κατέχει η ταυτότητα παραλληλογράμμου είναι ένας χώρος Hilbert, και το εσωτερικό γινόμενο είναι μοναδικό και καθορίζεται από τον κανόνα της ταυτότητα πόλωσης. Για πραγματικούς χώρους Hilbert, η ταυτότητα πόλωση είναι Για σύνθετους χώρους Hilbert, είναι Ο νόμος του παραλληλογράμμου σημαίνει ότι κάθε χώρος Hilbert είναι ένας ομοιόμορφος κυρτός χώρος Banach.
Καλύτερη προσέγγιση
Αν C είναι ένα μη κενό κλειστό κυρτό υποσύνολο ενός χώρου Hilbert H και x ένα σημείο στο Χ, υπάρχει ένα μοναδικό σημείο y ∈ C που ελαχιστοποιεί την απόσταση μεταξύ Χ και σημεία C,
Αυτό το σημείο y είναι η ορθή προβολή της Χ σε F, καθώς και τη χαρτογράφηση PF : x → yείναι γραμμική (βλ. Ορθογώνια συμπληρώνει και προβλέψεις). Αυτό το αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα σημαντική στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, ιδίως αριθμητική ανάλυση, όπου αποτελεί τη βάση των ελαχίστων τετραγώνων.
Δυαδικότητα
Ο διπλός χώρος  Η * είναι ο χώρος όλων των γραμμικών συναρτήσεων από το χώρο  Η στο πεδίο βάσης. Μεταφέρει ένα φυσικό πρότυπο, που ορίζεται από την παρακάτω σχέση Αυτό το πρότυπο ικανοποιεί το νόμο του παραλληλογράμμου, και έτσι ο διπλός χώρος είναι επίσης ένας χώρος στον οποίο ορίζεται ένα εσωτερικό γινόμενο. Ο διπλός χώρος είναι επίσης πλήρης, και γι 'αυτό είναι ένας χώρος Hilbert από μόνος του.
Την αντιστοιχία  φ ↔ u εκμεταλλεύεται η σημειογραφία  bra-ket notation  που είναι δημοφιλής στη φυσική. Είναι σύνηθες στη φυσική να υποθέτουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο,που  συμβολίζεται με ⟨ x | y⟩, είναι γραμμικό στα δεξιά, Το αποτέλεσμα ⟨x | y⟩ μπορεί να θεωρηθεί ως δράση της γραμμικής λειτουργίας  ⟨ Χ | (η the bra) on the vector |y⟩ (the ket'')
Το θεώρημα αναπαράστασης Riesz στηρίζεται ουσιαστικά όχι μόνο στην ύπαρξη ενός εσωτερικού γινομένου, αλλά και στην πληρότητα του χώρου. Στην πραγματικότητα, το θεώρημα συνεπάγεται ότι ο τοπολογικός διπλός κάθε εσωτερικού γινομένου μπορεί να ταυτιστεί με την ολοκλήρωσή του. Μια άμεση συνέπεια του θεωρήματος αναπαράστασης Riesz είναι, επίσης, ότι ένα χώρος Hilbert H είναι αντανακλαστικός, πράγμα που σημαίνει ότι η φυσική απεικόνιση από τον H στον διπλό του χώρο είναι ένας ισομορφισμός.
Ασθενώς συγκλίνουσες ακολουθίες
Σε ένα χώρο Hilbert H, μια ακολουθία {xn} είναι ασθενώς συγκλίνουσα σε ένα διάνυσμα x ∈ H όταν :
για κάθε v ∈ H.
Για παράδειγμα οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {fn} συγκλίνει ασθενώς στο 0, ως συνέπεια της ανισότητας του Bessel. Κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {xn} οριοθετείται, από την αρχή ομοιόμορφου φράγματος. Αντίθετα, κάθε φραγμένη ακολουθία σε ένα χώρο Hilbert δέχεται ασθενώς συγκλίνουσες Υπακολουθίες (θεώρημα του Alaoglu).Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθούν αποτελέσματα ελαχιστοποίησης για συνεχή κυρτή συνάρτηση,με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο το θεώρημα Bolzano-Weierstrass, χρησιμοποιείται για συνεχείς συναρτήσεις στον Rd. Μεταξύ των πολλών παραλλαγών, μια απλή διατύπωση έχει ως εξής: Άν f: H → R είναι μια κυρτή συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(x) τείνει στο +∞ όταν ||x|| τείνει στο +∞, τότε η f'' δέχεται ελάχιστο σε κάποιο σημείο x0 ∈ H. Το γεγονός αυτό (και οι διάφορες γενικεύσεις του) είναι θεμελιώδους σημασίας στην άμεση μέθοδο του υπολογισμού των μεταβολών. Τα ελάχιστα αποτελέσματα για κυρτές συναρτήσεις είναι επίσης μια άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι τα κλειστά φραγμένα κυρά υποσύνολα σε ένα χώρο Hilbert H είναι ασθενώς συμπαγή, αφού ο H είναι αντανακλαστικός.Η ύπαρξη ασθενώς συγκλίνουσας υπακολουθίας είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Eberlein-Šmulian.
Ιδιότητες χώρου Banach
Κάθε γενική ιδιότητα του χώρου Banach συνεχίζει να ισχύει και στους χώρους Hilbert. Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης δηλώνει ότι ένας 'surjective' γραμμικός μετασχηματισμός από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο, είναι μία ανοιχτή απεικόνιση που σημαίνει ότι στέλνει ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα. Μία συνέπεια είναι το φραγμένο αντίστροφο θεώρημα, ότι μια συνεχής και bijective γραμμική συνάρτηση από έναν Banach χώρο σε έναν άλλο είναι ισομορφισμός. Το θεώρημα αυτό είναι πολύ πιο απλό να αποδειχθεί στην περίπτωση των χώρων Hilbert από ό,τι στην περίπτωση των χώρων Banach. Το θεώρημα της ανοιχτής απεικόνισης είναι ισοδύναμο με το κλειστό θεώρημα γράφημα, το οποίο υποστηρίζει ότι μια συνάρτηση από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο είναι συνεχής αν και μόνο αν η γραφική της παράσταση είναι ένα κλειστό σύνολο. Στην περίπτωση των χώρων Hilbert,αυτό είναι βασικό στη μελέτη των unbounded operator.
Το γεωμετρικό Hahn-Banach θεώρημα ισχυρίζεται ότι ένα κλειστό κυρτό σύνολο μπορεί να διαχωριστεί από οποιοδήποτε σημείο έξω από αυτό μέσω ενός υπερεπιπέδου του χώρου Hilbert.Αυτή είναι μια άμεση συνέπεια της ιδιότητας καλύτερης προσέγγισης: Άν y είναι το στοιχείο ενός κλειστού κυρτού συνόλου F κοντά στο x,τότε το διαχωριστικό υπερεπίπεδο είναι κάθετο προς το τμήμα xy που διέρχεται από το μέσο του.
Φραγμένες Συναρτήσεις
Οι συνεχείς γραμμικές συναρτήσεις A : H1 → H2 από ένα χώρο Hilbert H1 σε έναν άλλο χώρο Hilbert H2 είναι φραγμένες,υπό την έννοια ότι απεικονίζουν φραγμένα σύνολα σε φραγμένα σύνολα. Αντίθετα, αν μία συνάρτηση είναι φραγμένη, τότε είναι συνεχής.Ο χώρος των εν λόγω φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων έχει έναν κανόνα, τον κανόνα των συναρτήσεων που δίνεται από την παρακάτω σχέση Το άθροισμα και η σύνθεση δύο φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων είναι και αυτή φραγμένη και γραμμική. Για y στον H2, η απεικόνιση που στέλνει x ∈ H1 στο ⟨Ax, y⟩ είναι γραμμική και συνεχής, και σύμφωνα με το Θεώρημα Αναπαράστασης Riesz μπορεί ως εκ τούτου,να εκπροσωπείται με τη μορφή για κάποιο διάνυσμα A* y στον H1. Αυτό ορίζει μία άλλη φραγμένη γραμμική συνάρτηση A*: H2 → H1, την Hermitian συζυγή του A.Μπορεί κανείς να δει ότι A** = A.
Το σύνολο B(H) όλων των φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων στον H,μαζί με τις πράξεις της πρόσθεσης και της σύνθεσης, του κανόνα και της adjoint operation, είναι ένα C*-algebra. το οποίο είναι ένα είδος συνόλου στην Άλγεβρα. Ένα στοιχείο A  του B(H) ονομάζεται  αυτοσυζυγής ή Hermitian αν A*= A.Αν A  είναι Hermitian και ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 για κάθε x, τότε το A  ονομάζεται μη αρνητικό, γράφεται A ≥ 0; αν  ισχύει η ισότητα μόνο όταν x = 0, τότε το A  ονομάζεται θετικό. Το σύνολο των αυτο-συζυγών συναρτήσεων δέχεται μία μερική διάταξη, σύμφωνα με την οποία A ≥ B αν A − B ≥ 0. Αν το A  έχει τη μορφή B* B  για κάποιο B, τότε το A είναι μη-αρνητικό, αν το B είναι αντιστρέψιμο, τότε το A είναι θετικό. Το αντίστροφο ισχύει με την έννοια ότι, για ένα μη αρνητικό A, υπάρχει μοναδική μη-αρνητική τετραγωνική ρίζα B τέτοια ώστε : Σε μία έννοια πιο ακριβή από το φασματικό θεώρημα, οι αυτοσυζυγείς τελεστές μπορούν να θεωρηθούν σαν πραγματικοί τελεστές. Ένα στοιχείο A του B(H) ονομάζεται κανονικό αν A* A = A A*. Οι κανονικοί τελεστές αποσυντίθεται στο άθροισμα των αυτοσυζυγών τελεστών και σε ένα φανταστικό πολλαπλό ενός αυτοσυζυγούς που ανταλλάσσονται το ένα με το άλλο. Τους κανονικούς τελεστές μπορούμε να τους σκεφτούμε να αποτελούνται από τον πραγματικό και τον φανταστικό τους όρο.
Ένα στοιχείο U  του B(H) ονομάζεται ενωτικό αν το U  είναι αντιστρέψιμο και το αντίστροφο δίνεται από τον U*.Αυτό μπορεί επίσης να εκφραστεί απαιτώντας 'U  be onto and ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ για κάθε x και y στο H''. Οι ενιαίοι τελεστές σχηματίζουν μία ομάδα υπό την σύνθεση, η οποία είναι η ομάδα ισομετρίας του H.
Ένα στοιχείο του B(H)είναι συμπαγής αν στέλνει φραγμένα σύνολα σε σχετικά συμπαγή σύνολα. Ισοδύναμα, μια φραγμένη φορέα T είναι συμπαγής, αν, για κάθε φραγμένη ακολουθία {xk}, η ακολουθία {Txk} έχει μια υπο-συγκλίνουσα. Πολλοί integral operators είναι συμπαγής, και στην πραγματικότητα καθορίζουν μια ειδική κατηγορία των επιχειρηματιών που αποκαλούνται φορείς Hilbert-Schmidt, που είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη μελέτη των ολοκληρωτικών εξισώσεων.Oi Fredholm φορείς διαφέρουν από ένα συμπαγή φορέα από ένα πολλαπλάσιο του ταυτότητα, και είναι ομοίως χαρακτηρίζονται ως φορείς εκμετάλλευσης με ένα πεπερασμένο διαστάσεων του πυρήνα και cokernel. Ο δείκτης του Fredholm φορέα Τ ορίζεται από Ο δείκτης είναι homotopy αμετάβλητες, και παίζει μια βαθιά ρόλο στη διαφορική γεωμετρία μέσω του δείκτη του θεώρηματος Atiyah-Singer
Μη φραγμένες συναρτήσεις
Οι μη φραγμένες συναρτήσεις είναι επίσης προσιτές σε χώρους Hilbert, και έχουν σημαντικές εφαρμογές στην κβαντομηχανική. Μία μη φραγμένη συνάρτηση Τ σε ένα χώρο Hilbert H ορίζεται ως γραμμική της οποίας η περιοχή D ( Τ) είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του Η. Συχνά, η περιοχή D ( Τ) είναι ένας πυκνός υποχώρος του Η, και στην περίπτωση αυτλη η Τ είναι γνωστή ως μια πυκνά ορισμένη συνάρτηση.
Η συζυγής μία πυκνά ορισμένης μη φραγμένης συνάρτησης  ορίζεται ουσιαστικά με τον ίδιο τρόπο όπως και στις φραγμένες συναρτήσεις. Οι αυτοσυζυγείς μη φραγμένες συναρτήσεις παίζουν το ρόλο των παρατηρήσιμων στη μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής.Παραδείγματα αυτοσυζυγών μη φραγμένων συναρτήσεων για το χώρο Hilbert L2(R) είναι:
Αυτά αντιστοιχούν στην ορμή και τη θέση παρατηρήσιμων μεγεθών, αντίστοιχα.
Σημειώστε ότι ούτε η Α ούτε η Β ορίζεται σε όλους τους H, δεδομένου ότι στην περίπτωση του  Α το παράγωγο δεν χρειάζεται να υπάρχει, και στην περίπτωση του Β η λειτουργία του γινομένου δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνο integrable. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις, το σύνολο των πιθανών επιχειρημάτων σχηματίζουν πυκνούς υποχώρους του L 2(R).
Ευθύ αθροίσματα
Δύο χώροι Hilbert H1 και H2 μπορούν να συνδυαστούν σε ένα άλλο χώρο Hilbert, που ονομάζεται ορθογώνιο ευθύ άθροισμα και συμβολίζεται : που αποτελείται από το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (x1, x2) όπου xi ∈ Hi,, και το εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται από τη σχέση :
ή αλλιώς: (βλέπε Coproduct) αποτελείται από το σύνολο όλων των οικογένειες με δείκτη : στο καρτεσιανό γινόμενο του  Hi  έτσι ώστε : Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από Κάθε ένας από τους Hi συμπεριλαμβάνεται ως ένας κλειστός υπόχωρος στο ευθύ άθροισμα όλων των Hi. Επιπλέον, οι Hi είναι ανά δύο ορθογώνιοι. Αντιστρόφως, εάν υπάρχει ένα σύστημα όλων των κλειστών υποχώρων,Vi, i ∈ I,σε ένα χώρο Hilbert H που είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και η ένωσή τους είναι πυκνή στον H τότε ο H είναι κανονικώς ισομορφικός στο ευθύ άθροισμα Vi.Στην περίπτωση αυτή, ο H ονομάζεται το εσωτερικό  άμεσο άθροισμα των Vi. Ένα ευθύ άθροισμα (εσωτερικό ή εξωτερικό) είναι επίσης εξοπλισμένο με μια οικογένεια ορθών προβολών Ei πάνω στο i η άμεση summand Hi. Οι προβλέψεις αυτές οριοθετούνται, αυτοσυζυγής, idempotent φορέων που πληρούν την προϋπόθεση orthogonality :
Ορθοκανονικές βάσεις
Η έννοια του της ορθοκανονικής βάσης από τη γραμμική άλγεβρα γενικεύεται πάνω στην περίπτωση των χώρων Hilbert. Σε ένα χώρο Hilbert H,μια ορθοκανονική βάση είναι μια οικογένεια {ek} k ∈ B των στοιχείων του H που πληρούν τις προϋποθέσεις:
Ένα σύστημα των διανυσμάτων που ικανοποιεί τις δύο πρώτες προϋποθέσεις καλείται ορθοκανονικό σύστημα ή ορθοκανονικό σύνολο (ή ορθοκανονική ακολουθία αν το B είναι αριθμήσιμο). Ένα τέτοιο σύστημα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητο.
Η πληρότητα του ορθοκανονικού συστήματος των διανυσμάτων του χώρου Hilbert μπορεί να επαναδιατυπωθεί ισοδύναμα ως:
Παραδείγματα ορθοκανονικών βάσεων :
Στην περίπτωση άπειρων διαστάσεων η ορθοκανονική βάση δεν θα είναι βάση με την έννοια της γραμμικής άλγεβρας, για να διακρίνουμε τα δύο, η τελευταία βάση επίσης ονομάζεται {Βάση Haml|βάση Hamel]]. Ότι το άνοιγμα των διανυσμάτων βάσης είναι πυκνό συνεπάγεται ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς, και η ορθογωνιότητα συνεπάγεται ότι αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική.
Χώροι Ακολουθιών
Ο χώρος ℓ2 τετραγωνικών summable ακολουθιών των μιγαδικών αριθμών είναι το σύνολο των άπειρων ακολουθιών μιγαδικών αριθμών τέτοιος ώστε
Αυτός ο χώρος έχει ορθοκανονική βάση: Πιο γενικά, αν Β είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο, τότε τότε μπορεί κανείς να σχηματίσει ένα χώρο Hilbert ακολουθιών με δείκτη το σύνολο Β, που ορίζεται από τη σχέση Η άθροιση πάνω από το B εδώ ορίζεται από τη σχέση
Ορθοκανονική βάση του ℓ2(B) που υποδεικνύεται από το σύνολο B,είναι η
Ανισότητα του Bessel και τύπος του Parseval
Ας είναι f1, …, fn ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύστημα in H. Για ένα αυθαίρετο διάνυσμα x στον H, ας είναι : Τότε ⟨x, fk⟩ = ⟨y, fk⟩ για κάθε k = 1, …, n.Επομένως,  x − y είναι ορθογώνιο σε κάθε fk,ως εκ τούτου,x − y είναι ορθογώνιο στο  y.
Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια ταυτότητα δύο φορές, προκύπτει ότι Ας είναι το {fi }, i ∈ I, είναι ένα αυθαίρετο ορθοκανονικό σύστημα in H.Εφαρμόζοντας την προηγούμενη ανισότητα σε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο J του I δίνει την  ανισότητα του Bessel (σύμφωνα με τον ορισμό του αθροίσματος ενός αυθαίρετου συνόλου μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών).
Γεωμετρικά, η ανισότητα του Bessel σημαίνει ότι η ορθή προβολή του x επί του γραμμικού υποχώρου που εκτείνεται από το fi, έχει κανόνας που δεν υπερβαίνει εκείνο του x. Σε δύο διαστάσεις, αυτός είναι ο ισχυρισμός ότι το μήκος του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου δεν μπορεί να υπερβαίνει το μήκος της υποτείνουσας.
Η ανισότητα του Bessel είναι ένα σκαλοπάτι για την πιο ισχυρή, Ταυτότητα Parseval που διέπει την περίπτωση όπου η ανισότητα του Bessel είναι στην πραγματικότητα μια ισότητα. Αν {ek}k ∈ B είναι μια ορθοκανονική βάση του H, τότε κάθε στοιχείο x του H μπορεί να γραφτεί ως
Ακόμα κι αν το Β είναι μη αριθμήσιμο, η ανισότητα του Bessel εγγυάται ότι η έκφραση είναι καλά ορισμένη και αποτελείται μόνο από μετρήσιμα πολλούς μη μηδενικούς όρους. Το άθροισμα αυτό καλείται επέκταση Fourier του Χ, και οι επιμέρους συντελεστές ⟨x,ek⟩ είναι οι συντελεστές Fourier του x.Ο τύπος του Parseval είναι τότε
Αντιστρόφως, εάν {ek} είναι ένα ορθοκανονικό σύστημα τέτοιο ώστε η ταυτότητα του Parseval να ισχύει για κάθε x, τότε η {ek} είναι ορθοκανονική βάση.
Διάσταση Hilbert
Ως συνέπεια του λήμματος του Zorn κάθε χώρος Hilbert δέχεται μια ορθοκανονική βάση. Επιπλέον, οποιασδήποτε δύο ορθοκανονικές βάσεις του ίδιου χώρου έχουν την ίδια πληθάριθμος, που ονομάζεται διάσταση του χώρου Hilbert. Για παράδειγμα, αφού ο ℓ2(B) έχει μια ορθοκανονική βάση που υποδεικνύεται από τον B, η Hilbert διάσταση του είναι ο πληθάριθμος του B (ο οποίος μπορεί να είναι ένας πεπερασμένος ακέραιος, ή ένας αριθμήσιμος ή μη αριθμήσιμος απόλυτος αριθμός).
Ως συνέπεια της ταυτότητας του Parseval, εάν {ek}k ∈ B είναι μια ορθοκανονική βάση του Η τότε η απεικόνιση Φ : H → ℓ2(B) που ορίζεται από τη σχέση  είναι ένας ισομετρικός ισομορφισμός των χώρων Hilbert:είναι μια αμφιμονοσήμαντη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε : για κάθε x και y στον H. Ο απόλυτος αριθμός του B είναι η Hilbert διάσταση του H. Έτσι, κάθε χώρος Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικός με ένα χώρο ακολουθιών ℓ2(B) για κάποιο σύνολο Β.
Διαχωρίσιμοι χώροι
Ένας χώρος Hilbert είναι διαχωρίσιμος χώρος αν και μόνο αν ο ίδιος δέχεται μία μετρήσιμη ορθοκανονική βάση. Επομένως, όλοι οι απειροδιάστατοι διαχωριζόμενοι χώροι Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικοίμε τον ℓ2. Στο παρελθόν, οι χώροι Hilbert συχνά εξ ορισμού απαιτούνταν να είναι διαχωρίσιμοι. Οι περισσότεροι χώροι που χρησιμοποιούνται στη φυσική είναι διαχωρίσιμοι και δεδομένου ότι όλοι είναι ισόμορφοι μεταξύ τους,ο ένας αναφέρεται συχνά σε οποιοδήποτε απειροδιάστατο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert ως "χώρο Hilbert". Ακόμη και στην κβαντική θεωρία πεδίου, οι περισσότεροι από τους χώρους Hilbert είναι στην πραγματικότητα διαχωρίσιμοι, όπως ορίζεται από τα αξιώματα Wightman. Ωστόσο, μερικές φορές υποστηρίζεται ότι οι μη-διαχωριζόμενοι χώρουι Hilbert είναι επίσης σημαντικοί για την κβαντική θεωρία πεδίου, κυρίως επειδή τα συστήματα στη θεωρία έχουν έναν άπειρο αριθμό ελευθερίας, και κάθε άπειρο γινόμενο τανυστή (χώρων διάστασης μεγαλύτερης από ένα) είναι μη διαχωρίσιμο. Για παράδειγμα, ένα μποζονικό πεδίο μπορεί φυσικά να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο ενός γινομένου τανυστή του οποίου οι συντελεστές αντιπροσωπεύουν αρμονικούς ταλαντωτές σε κάθε σημείο του χώρου. Από αυτή την άποψη, το πεδίο ενός μποζονίου μπορεί να φαίνεται σαν να είναι ένας μη-διαχωριζόμενος χώρος. Ωστόσο, αυτός είναι μόνο ένας μικρός διαχωρίσιμος υπόχωρος του πλήρους γινομένου τανυστή που μπορεί να περιέχει πεδία με φυσική σημασία (στο οποίο τα αισθητά μπορούν να οριστούν). Ένας άλλος μη-διαχωριζόμενος χώρος Hilbert παρουσιάζει την κατάσταση μιας άπειρου συλλογής σωματιδίων σε μια απέραντη περιοχή του χώρου. Μία ορθοκανονική βάση του χώρου αναπροσαρμόζεται από την πυκνότητα των σωματιδίων, μια συνεχή παράμετρο, και δεδομένου ότι το σύνολο των πιθανών πυκνοτήτων είναι αμέτρητο, η βάση δεν είναι μετρήσιμη.
Ορθογώνια συμπληρώματα και προβολές
Αν S είναι ένα υποσύνολο ενός χώρου Hilbert H, το σύνολο των διανυσμάτων που είναι ορθογώνια προς το S ορίζεται από τη σχέση:
S⊥ είναι ένας κλειστός υποχώρος του H (μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την γραμμικότητα και τη συνέχεια του εσωτερικού γινομένου) και έτσι αποτελεί ο ίδιος ένα χώρο Hilbert. Αν ο V είναι ένας κλειστός υποχώρος του H, τότε ο V⊥ ονομάζεται το ορθογώνιο συμπλήρωμα του V. Στην πραγματικότητα κάθε x στον H μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως x = v + w, όπου v ανήκει στον V και w ανήκει στον V⊥.Ως εκ τούτου,ο H είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των V και V⊥. Η γραμμική συνάρτηση PV : H → H που απεικονίζει το x στο v ονομάζεται ορθή προβολή πάνω στον V. Υπάρχει μια φυσική αντιστοιχία ένα-προς-ένα μεταξύ του συνόλου όλων των κλειστών υποχώρων του H και του συνόλου όλων των φραγμένων αυτο-συζυγών συναρτήσεων P έτσι ώστε P2 = P. Ειδικότερα, E2 = E είναι της μορφής PV,όπου V είναι το φάσμα των E. Για κάθε x στον H, PV(x) είναι το μοναδικό στοιχείο v του V,το οποίο ελαχιστοποιεί την απόσταση ||x − v||.
Αυτό παρέχει την γεωμετρική ερμηνεία της PV(x):είναι η καλύτερη προσέγγιση του x από στοιχεία του V.
Προβολές PU και PV καλούνται αμοιβαία ορθογώνιες εάν PUPV = 0. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι οι U και V ορθογώνιοι ως υποχώροι του Η. Το άθροισμα των δύο προβολών PU και PV είναι μια προβολή μόνο εάν U και V είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους, και στην περίπτωση αυτή PU + PV = PU+V. Η σύνθεση PUPV γενικά δεν είναι προβολή, στην πραγματικότητα, η σύνθεση είναι μία προβολή αν και μόνο αν οι δύο προβολές εναλλάσσονται, και στην περίπτωση αυτή ισχύει PUPV = PU∩V.
Περιορίζοντας το σύνολο τιμών στο χώρο Hilbert V,η ορθογώνια προβολή PV δημιουργεί μια προβολική απεικόνιση π: H → V, είναι η αυτοσυζυγής of the inclusion απεικόνιση
για κάθε x ∈ V και y ∈ H.
Ο operator norm της ορθογώνιας προβολής PV επάνω σε ένα μη-μηδενικό κλειστό υποχώρο V είναι ίσος με ένα Κάθε κλειστός υποχώρος V ενός χώρου Hilbert είναι συνεπώς, η εικόνα μιας συνάρτησης P του κανόνα τέτοια ώστε P2 = P. Η ιδιότητα της κατοχής κατάλληλων συναρτήσεων προβολής χαρακτηρίζει τους χώρους Hilbert
Ενώ αυτό το αποτέλεσμα χαρακτηρίζει τη μετρική δομή ενός χώρου Hilbert, η δομή ενός χώρου Hilbert ως τοπολογικού διανυσματικού χώρου μπορεί από μόνη της να χαρακτηρίζεται από την άποψη της παρουσίας των συμπληρωματικών υποχώρων.
Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ικανοποιεί κάποια πιο στοιχειώδη αποτελέσματα. Είναι μια μονότονη συνάρτηση με την έννοια ότι, εάν U ⊂ V, τότε με την ισότητα εκμετάλλευση, εάν και μόνο εάν ο V περιέχεται στο κλείσιμο του U. Το αποτέλεσμα αυτό είναι μια ειδική περίπτωση του Hahn-Banach θεωρήματος.Το κλείσιμο ενός υπόχωρου μπορεί να χαρακτηρισθεί πλήρως από την άποψη του ορθογώνιου συμπληρώματος: Αν V είναι ένας υπόχωρος του H, τότε το κλείσιμο του V είναι ίσο με. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι συνεπώς μία σύνδεση Galois στην μερική διάταξη υποχώρων ενός χώρου Hilbert. Σε γενικές γραμμές, το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός αθροίσματος των υποχώρων είναι η τομή των ορθογωνίων συμπληρωμάτων. . Αν οι Vi είναι επιπλέον κλειστοί .
Παραπομπές
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα Κατηγορία:Θεωρία τελεστών Κατηγορία:Κβαντική μηχανική Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση
Άννα Φρανκ
Η Άννα Φρανκ (Φρανκφούρτη, 12 Ιουνίου 1929 - στρατόπεδο συγκέντρωσης Μπέργκεν-Μπέλζεν, Φεβρουάριος ή Μάρτιος του 1945) ήταν Γερμανίδα Εβραϊκής καταγωγής που έγραψε ένα ημερολόγιο ενώ κρυβόταν, μαζί με τους δικούς της και τέσσερις οικογενειακούς φίλους, σε ένα σπίτι στο Άμστερνταμ κατά τη διάρκεια της γερμανικής κατοχής της Ολλανδίας.
Η οικογένειά της είχε μετακομίσει στο Άμστερνταμ το 1934, έναν χρόνο μετά την άνοδο των Ναζί στην εξουσία της Γερμανίας, αλλά παγιδεύτηκε όταν η γερμανική κατοχή επεκτάθηκε και στην Ολλανδία τον Μάιο του 1940. Το 1941, η Άννα έχασε τη γερμανική υπηκοότητα και έγινε άπατρις. Καθώς οι διώξεις των Εβραίων εντάθηκαν, η οικογένεια άρχισε τον Ιούλιο του 1942 να κρύβεται σε μυστικό δωμάτιό του γραφείου του πατέρα της, Όττο Φρανκ, που ήταν πίσω από τη βιβλιοθήκη του γραφείου. Μετά από δύο χρόνια ανακαλύφθηκαν και στις 4 Αυγούστου 1944 έγινε έφοδος της Γκεστάπο και η οικογένεια στάλθηκε στα στρατόπεδα συγκέντρωσης. Η Γκεστάπο λεηλάτησε τη σοφίτα, όπου κρυβόταν η οικογένειά της, αφήνοντας ανάκατα στο πάτωμα περιοδικά, βιβλία, εφημερίδες κτλ. Στο παρελθόν, για μακρό χρονικό διάστημα, πιστευόταν ότι κάποιος τους πρόδωσε, αλλά νεότερα στοιχεία δείχνουν ότι η ανακάλυψή τους ήταν μάλλον εντελώς τυχαία.
Λίγες μέρες αργότερα, μια καθαρίστρια βρήκε ανάμεσά τους το ημερολόγιο της Άννας. Χωρίς να ξέρει τι ήταν, το παρέδωσε στη Μιπ και την Έλλη, δύο κορίτσια, που η βοήθειά τους στις εβραϊκές οικογένειες δεν αποκαλύφθηκε ποτέ. Η Άννα και η αδελφή της, Μαργκότ, μεταφέρθηκαν, δύο μήνες πριν το θάνατο της μητέρας τους, στο γερμανικό στρατόπεδο συγκέντρωσης Μπέργκεν-Μπέλζεν. Εκεί η Άννα έδειξε το ίδιο κουράγιο και καρτερικότητα που την είχαν κάνει γνωστή στο Άουσβιτς. Τον Φεβρουάριο του 1945 και τα δυο κορίτσια αρρώστησαν από τύφο. Μια μέρα, η Μαργκότ, προσπαθώντας να σηκωθεί από το κρεβάτι της, που βρισκόταν ακριβώς πάνω από το κρεβάτι της Άννας, έχασε την ισορροπία της και έπεσε κάτω. Στην κατάσταση που βρισκόταν, ο οργανισμός της δεν άντεξε το σοκ και πέθανε. Ο θάνατος της αδελφής της, προκάλεσε στην Άννα αυτό που όλα τα προηγούμενα βάσανά της δεν μπόρεσαν να προκαλέσουν: έσπασε το ηθικό της. Λίγες μέρες αργότερα, πιθανότατα στις αρχές Μαρτίου, πέθανε. Ο πατέρας της, Όττο Φρανκ, ο μόνος που επέζησε από τους οκτώ του μυστικού δωματίου, γύρισε μετά το τέλος του πολέμου στο Άμστερνταμ, όπου ανακάλυψε ότι το ημερολόγιό της είχε διασωθεί. Πεπεισμένος ότι επρόκειτο για μοναδική μαρτυρία, προχώρησε στην έκδοσή του. Το ημερολόγιο εκδόθηκε στην ολλανδική γλώσσα, με τον τίτλο Het Achterhuis (Το πίσω σπίτι).
Το ημερολόγιο, που είχε δοθεί στην Άννα ως δώρο για τα 13α γενέθλιά της, περιγράφει τα γεγονότα της ζωής της από τις 12 Ιουνίου 1942 μέχρι την τελευταία μέρα που έγραψε σ' αυτό, την 1η Αυγούστου 1944. Γραμμένο στα ολλανδικά, μεταφράστηκε σε πολλές γλώσσες και έγινε ένα από τα πιο πολυδιαβασμένα βιβλία του κόσμου. Διασκευάστηκε για την τηλεόραση, τον κινηματογράφο, το θέατρο, ακόμα και για την όπερα. Το βιβλίο δίνει μια λεπτομερή περιγραφή της καθημερινής ζωής κατά τη διάρκεια της Ναζιστικής Κατοχής· μέσω των γραπτών της, η Άννα Φρανκ έγινε ένα από τα πιο γνωστά θύματα του Ολοκαυτώματος.
Πολλοί αρνητές του Ολοκαυτώματος, όπως ο Ρομπέρ Φωρισόν και ο Ντέιβιντ Ίρβινγκ, επέκριναν το Ημερολόγιο της Άννα Φρανκ ως μερικώς πλαστό.
Ελληνικές μεταφράσεις
(Het Achterhuis είναι ο πρωτότυπος τίτλος του έργου).
Παραπομπές
Κατηγορία:Γερμανοεβραίοι Κατηγορία:Γερμανοί συγγραφείς Κατηγορία:Εβραίοι συγγραφείς Κατηγορία:Γυναίκες στον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο Κατηγορία:Παιδιά
Βίσερου Κόμπε
Η Βίσερου Κόμπε, εσφαλμένα έχει επικρατήσει στον ελληνικό Τύπο το Βίσελ Κόμπε από αγγλική προφορά της λατινικής γραφής του ονόματος, (Ιαπωνικά: ヴィッセル神戸 Visseru Kōbe / Αγγλικά: Vissel Kobe) είναι ιαπωνική επαγγελματική ποδοσφαιρική ομάδα, που σήμερα αγωνίζεται στην Πρώτη Κατηγορία του Πρωταθλήματος Ιαπωνίας (Τζε 1 Λιγκ). Εδρεύει στην πόλη Κόμπε που είναι πρωτεύουσα της Περιφέρειας Χιόγκο, στη νότια πλευρά του νησιού Χονσού και αγωνίζεται στο Στάδιο Νοεβίρ, χωρητικότητας 30.132 θέσεων.
Παίκτες της ομάδας τη σεζόν 2018–19 υπήρξαν οι παγκοσμίου φήμης Ευρωπαίοι ποδοσφαιριστές Λούκας Ποντόλσκι, Νταβίντ Βίγια και Αντρές Ινιέστα.
Ιστορικό
Ο σύλλογος ιδρύθηκε το 1966 ως Καβασάκι Στιλ Σόκκερ Κλαμπ (Kawasaki Steel Soccer Club) με έδρα την πόλη Κουρασίκι στην Περιφέρεια Οκαγιάμα. Το 1995 η πόλη Κόμπε ήρθε σε συμφωνία με την Καβασάκι Στιλ (Kawasaki Steel) ώστε να μετακινηθεί η έδρα του συλλόγου στην πόλη Κόμπε και η ονομασία της να αλλάξει στη σημερινή. Λόγω της σημασίας της για την πόλη του Κόμπε, η εταιρεία Καβασάκι (Kawasaki Heavy Industries), μητρική εταιρεία του πρώην συνεργάτη της ομάδας Καβασάκι Στιλ (Kawasaki Steel), παραμένει χορηγός της ομάδας.
Αγωνίστηκε για πρώτη φορά σε επαγγελματικό επίπεδο το 1986, όταν κατάφερε και κέρδισε την άνοδο της από την προηγούμενη χρονιά (1985) στο Περιφερειακό Πρωτάθλημα, για τη Β΄ Κατηγορία της Ιαπωνίας, την τότε ονομαζόμενη Τζαπάν Σόκκερ Λιγκ 2.
Η ομάδα έχει αγωνισθεί μέχρι σήμερα 16 φορές στην πρώτη κατηγορία, 11 φορές στη δεύτερη, 2 στην τρίτη και 8 σε περιφερειακά πρωταθλήματα. Η υψηλότερη θέση που έχει κατακτήσει η ομάδα στην Τζε 1 Λιγκ είναι η 7η το 2016 όταν με 55 βαθμούς ισοβάθμησε με Σανφρέτσε Χιροσίμα αλλά έχασε την 6η θέση στη διαφορά γκολ, ενώ επίσης ήταν μόλις 3 βαθμούς κάτω από την τετράδα που οδηγεί στα κύπελλα Ασίας. Στον θεσμό του Κυπέλλου Τζε Λιγκ έχει φτάσει μέχρι τα ημιτελικά το 2015, καθώς και τρεις φορές μέχρι τα προημιτελικά το 2014, το 2016 και το 2017· ενώ στο Κύπελλο του Αυτοκράτορα έχει φτάσει και εκεί μέχρι τα ημιτελικά το 2000 όπως επίσης και μέχρι τα προημιτελικά τρεις φορές το 2003, το 2015 και το 2017.
Στάδιο
thumb|right|270px|Άποψη του γηπέδου της ομάδας από μέσα. Έχει ως έδρα το Στάδιο Νοεβίρ, γνωστό επίσης ως Στάδιο Κόμπε Σίτυ Μισάκι Παρκ (Kobe City Misaki Park Stadium). Το γήπεδο έχει χωρητικότητα 30.132 θεατών και διαθέτει αναδιπλούμενη οροφή. Οι διαστάσεις του αγωνιστικού χώρου είναι 105x68μ.
Το στάδιο αποτέλεσε ένα από τα γήπεδα που φιλοξένησαν αγώνες του Μουντιάλ 2002 που διεξήχθη στην Ιαπωνία και τη Νότια Κορέα. Οι αγώνες του παγκόσμιου κυπέλλου που έλαβαν μέρος στο στάδιο το 2002 ήταν στις 5 Ιουνίου το Ρωσία - Τυνησία 2–0 για τον 8ο Όμιλο, στις 7 Ιουνίου το Σουηδία - Νιγηρία 2–1 για τον 6ο Όμιλο και στις 17 Ιουνίου το Βραζιλία - Βέλγιο 2–0 για τη Φάση των 16.
Ουσιαστικά είναι το νέο γήπεδο που κατασκευάστηκε το μεταξύ 1999–2001 στη θέση του παλαιότερου γηπέδου της ομάδας του Κόμπε, το οποίο είχε χτιστεί το 1970 και είχε χωρητικότητα 13.000 θέσεων. Ήταν μάλιστα το πρώτο γήπεδο ποδοσφαίρου στην Ιαπωνία που είχε εγκατάσταση ηλεκτροφωτισμού και που μπορούσε συνάμα να φιλοξενήσει παιχνίδια κατά τις νυκτερινές ώρες.
Ονομασία
Η ονομασία "Vissel" είναι συνδυασμός των λέξεων "victroy" και "vessel" που στα ελληνικά σημαίνουν "νίκη" και "σκάφος", σε αναγνώριση της ιστορίας του Κόμπε ως λιμενική πόλη. Το όνομα αυτό επιλέχθηκε το 1995, έπειτα από τη μεταφορά της έδρας της ομάδας στην πόλη Κόμπε.
Χρώματα και εμφανίσεις
Χρώματα της ομάδας είναι το μαύρο, το λευκό και το κόκκινο. Παλιότερα στην πρώτη εμφάνιση - ως παραδοσιακά χρώματα της ομάδας - κυριαρχούσαν το μαύρο και το λευκό, ενώ συγκεκριμένα από το 1995 έως και το 2004 η πρώτη εμφάνιση της ήταν αμιγώς ασπρόμαυρη με ριγέ φανέλα. Χρησιμοποιείται επίσης και το γαλάζιο αλλά κυρίως σε δεύτερες εμφανίσεις.
Η εταιρεία ένδυσης και παροχής αθλητικού υλικού της ομάδας είναι η ιαπωνική Asics.
Μασκότ και παρατσούκλι
Η μασκότ της είναι ο Movi που έχει τη μορφή αγελάδας και παραπέμπει στον παγκοσμίου φήμης εκλεκτού και πάντα ποιοτικού εδέσματος Kobe beef που είναι προϊόν της πόλης. Η μασκότ "φοράει" την εκάστοτε αμφίεση της ομάδας, καθώς και ένα σε μόνιμη βάση ένα ναυτικό καπέλο ώστε να συμβολίζει την ιστορία του Κόμπε ως λιμάνι. Επιπλέον, το παρατσούκλι της ομάδας είναι Ushi που σημαίνει Αγγελάδες.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Ιδρύσεις ποδοσφαιρικών ομάδων το 1966
Φυκοκυανίνη
Η φυκοκυανίνη (αγγλ.: phycocyanin· συντομογρ.: PC) αποτελεί μια βοηθητική μπλε, φωτοσυνθετική χρωμοπρωτεΐνη που συναντάται στα κυανοβακτήρια, στα Ροδόφυτα και στα Κρυπτόφυτα. Η φυκοκυανίνη είναι υδατοδιαλυτή και έχει μοριακό βάρος μεταξύ 70 και 110 kDa. Το φάσμα απορρόφησής της είναι μεταξύ 615 – 620 nm ενώ το μέγιστο φάσμα εκπομπής φθορισμού φθάνει περίπου στα 650 nm.
Δομή
Η φυκοκυανίνη ανήκει σε μια ομάδα φωτοσυνθετικών πρωτεϊνών, τις φυκοχολοπρωτεΐνες οι οποίες αποτελούνται από πρωτεΐνες ομοιοπολικά συνδεδεμένες με φυκοχολίνες. Οι φυκοχολίνες περιλαμβάνουν τα ανοικτής-αλυσίδας τετραπυρρόλια φυκοερυθροχολίνη και φυκοκυανοχολίνη.
Παραγωγή
Η φυκοκυανίνη αποτελεί ένα από τους τέσσερις τύπους φυκοχολοπρωτεϊνών, συμπεριλαμβανομένου και της φυκοερυθρίνης. Ωστόσο δεν είναι όλες οι φυκοχολοπρωτεΐνες που παράγονται από όλα τα είδη κυανοβακτηρίων. Τα κυανοβακτήρια του γλυκού νερού τείνουν να παράγουν περισσότερο φυκοκυανίνη, ενώ η φυκοερυθρίνη συχνά αφθονεί στα θαλάσσια είδη. Ακόμη μερικοί οργανισμοί μπορεί να περιέχουν φυκοχολοπρωτεΐνες οι οποίες έχουν παραπάνω από ένα τύπο φυκοχολίνης. Έτσι οι φυκοκυανίνες που περιέχουν μόνο φυκοκυανοχολίνη, ο πιο κοινός τύπος φυκοκυανίνης, ονομάζονται C-φυκοκυανίνες (C-PC). Η C-PC αποτελείται από δύο ανόμοιες α και β πρωτεϊνικές υπομονάδες των 17 και 19 kDa αντίστοιχα με ένα μόριο φυκοερυθροχολίνης να συνδέεται στην α υπoμονάδα (α 84) και δυο μόρια φυκοερυθροβιλίνης στην β υπομονάδα (β 84, β 155). Οι δύο υπομονάδες σχηματίζουν αβ μονομερή τα οποία αθροίζονται σε α3β3 τριμερή και στη συνέχεια σε α6β6 εξαμερή τα οποία και αποτελούν τη λειτουργική μονάδα της C-PC.
Στα κυανοβακτήρια και στα Ροδόφυτα, οι φυκοχολοπρωτεΐνες σχηματίζουν τα φυκοχολοσώματα τα οποία εντοπίζονται στην εξωτερική επιφάνεια των θυλακοειδών μεμβρανών. Αντίθετα στις κρυπτομονάδες που περιέχουν είτε φυκοκυανίνη είτε φυκοερυθρίνη στο εσωτερικό των θυλακοειδών αλλά καθόλου αλλοφυκοκυανίνη, οι φυκοχολοπρωτεΐνες δεν σχηματίζουν φυκοχολοσώματα.