cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Δάγκειος πυρετός
Διάγνωση
Τα προειδοποιητικά σημάδια εμφανίζονται συνήθως πριν ο δάγκειος πυρετός γίνει σοβαρός. Το τεστ tourniquet είναι χρήσιμο όταν δεν μπορούν να γίνουν εργαστηριακές εξετάσεις. Για να γίνει το τεστ tourniquet, ένας επαγγελματίας υγείας τυλίγει μία μανσέτα πιεσόμετρου γύρω από τον βραχίονα του ατόμου για 5 λεπτά. Ο επαγγελματίας υγείας εξετάζει στη συνέχεια αν υπάρχουν κηλίδες αίματος στο δέρμα. Όσο περισσότερες κηλίδες υπάρχουν, τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα υπάρχει να πάσχει το άτομο από δάγκειο πυρετό.
Είναι δύσκολο να διαχωρίσεις τον δάγκειο πυρετό από τον πυρετό Chikungunya. Ο πυρετός Chikungunya είναι μια παρόμοια ιογενής λοίμωξη, που έχει πολλά ίδια συμπτώματα με τον δάγκειο πυρετό και συναντάται στα ίδια μέρη του κόσμου. Ο δάγκειος πυρετός μπορεί επίσης να έχει τα ίδια συμπτώματα με άλλες ασθένειες, όπως η ελονοσία, η λεπτοσπείρωση, ο τυφοειδής πυρετός και η μηνιγγίτιδα. Συχνά, πριν ένα άτομο διαγνωστεί με δάγκειο πυρετό, ο επαγγελματίας υγείας θα κάνει εξετάσεις για να βεβαιωθεί ότι δεν πάσχει από αυτές τις νόσους.
Μερικές φορές, η σοβαρή μορφή του δάγκειου πυρετού προκαλεί υπεζωκοτική συλλογή (όπου το εξαγγειωμένο υγρό συγκεντρώνεται γύρω από τους πνεύμονες) ή ασκίτη (όπου το υγρό συγκεντρώνεται στην κοιλιακή χώρα). Αν η ποσότητα υγρού είναι μεγάλη, τότε ο επαγγελματίας υγείας μπορεί να το προσέξει όταν εξετάζει το άτομο. Ο επαγγελματίας υγείας μπορεί να διαγνώσει σύνδρομο δάγκειου κλονισμού αν χρησιμοποιήσει ιατρικό υπέρηχο για να βρει υγρό μέσα στο σώμα. Αλλά σε πολλές περιοχές όπου ο δάγκειος πυρετός συναντάται συχνά, οι περισσότεροι επαγγελματίες υγείας και κλινικές δεν έχουν μηχανήματα υπερήχων.
Ταξινόμηση
Το 2009, ο Παγκόσμιος Οργανισμός Υγείας (Π.Ο.Υ.) ταξινόμησε τον δάγκειο πυρετό σε δύο τύπους: τη συνήθη και τη σοβαρή μορφή. Πριν από αυτό, το 1997, ο Π.Ο.Υ. είχε διαχωρίσει τη νόσο σε αδιαφοροποίητου τύπου δάγκειο πυρετό, δάγκειο πυρετό και δάγκειο αιμορραγικό πυρετό. Ο Π.Ο.Υ. αποφάσισε ότι αυτός ο παλιός τρόπος διαχωρισμού του δάγκειου πυρετού έπρεπε να γίνει πιο απλός. Αποφασίστηκε, επίσης, ότι ο παλιός τρόπος ήταν πολύ περιοριστικός: δεν περιελάμβανε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορεί να παρουσιαστεί ο δάγκειος πυρετός. Παρόλο που η ταξινόμηση του δάγκειου πυρετού άλλαξε επίσημα, η παλιότερη ταξινόμηση χρησιμοποιείται ακόμα συχνά.
Στο παλιό σύστημα ταξινόμησης του Π.Ο.Υ., ο δάγκειος αιμορραγικός πυρετός διαχωριζόταν σε τέσσερις φάσεις, που ονομάζονταν φάσεις I–IV:
Εργαστηριακές εξετάσεις
Ο δάγκειος πυρετός μπορεί να διαγνωστεί με διάφορες μικροβιολογικές εργαστηριακές εξετάσεις. Μία εξέταση απομονώνει τον ιό του δάγκειου πυρετού σε καλλιέργειες των κυττάρων. Μία άλλη εξέταση (ανίχνευση νουκλεϊκών οξέων) ψάχνει για νουκλεϊκά οξέα του ιού, χρησιμοποιώντας μία τεχνική που ονομάζεται αλυσιδωτή αντίδραση πολυμεράσης (PCR). Μία τρίτη εξέταση (ανίχνευση αντιγόνου) ψάχνει για αντιγόνα του ιού. Μία άλλη εξέταση ψάχνει στο αίμα για αντισώματα που δημιουργεί το σώμα για να πολεμήσει τον ιό του δάγκειου πυρετού. Οι εξετάσεις της απομόνωσης του ιού και της ανίχνευσης νουκλεϊκού οξέος έχουν καλύτερα αποτελέσματα από την ανίχνευση αντιγόνου. Ωστόσο, αυτές οι εξετάσεις κοστίζουν περισσότερο και δεν είναι διαθέσιμες σε πολλές περιοχές. Όταν ο δάγκειος πυρετός είναι στα πρώιμα στάδια, όλες αυτές οι εξετάσεις μπορεί να βγουν αρνητικές (δηλαδή δεν δείχνουν ότι το άτομο πάσχει από τη νόσο).
Δύναμη (μαθηματικά)
Η δύναμη είναι μαθηματική πράξη, που συμβολίζεται ως αn και περιλαμβάνει δύο αριθμούς, την βάση α και τον εκθέτη n. Όταν το n είναι θετικός αριθμός, η δύναμη αντιστοιχεί σε επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, με άλλα λόγια δύναμη είναι το γινόμενο n παραγόντων, ο καθένας από τους οποίους ισούται με α:
Δάγκειος πυρετός
Εργαστηριακές εξετάσεις
Εκτός από τις εξετάσεις αντισωμάτων, αυτές οι εργαστηριακές εξετάσεις βοηθούν στη διάγνωση του δάγκειου πυρετού μόνο κατά την οξεία, αρχική φάση της νόσου. Ωστόσο, οι εξετάσεις αντισωμάτων μπορούν να επιβεβαιώσουν ότι το άτομο πάσχει από δάγκειο πυρετό στις πιο προχωρημένες φάσεις της λοιμώξεως. Το σώμα δημιουργεί αντισώματα που πολεμούν συγκεκριμένα τον ιό του δάγκειου πυρετού μετά από 5 ή 7 μέρες.
Δύναμη (μαθηματικά)
Ο εκθέτης είναι γραμμένος δεξιά της βάσης. Η δύναμη αn μπορεί να διαβαστεί ως α στη νιοστή δύναμη ή απλά α στη νιοστή. Κάποιοι εκθέτες έχουν ιδιαιτερότητες στην ανάγνωση: για παράδειγμα το α2 διαβάζεται συνήθως α στο τετράγωνο και το α3, α στον κύβο.
Δάγκειος πυρετός
Πρόληψη
Ο Π.Ο.Υ. προτείνει ένα πρόγραμμα για την πρόληψη ενάντια στον δάγκειο πυρετό (το πρόγραμμα "Ολοκληρωμένου Ελέγχου Ξενιστών"), που περιλαμβάνει πέντε διαφορετικά μέρη:
Ο Π.Ο.Υ. επίσης προτείνει κάποια συγκεκριμένα πράγματα για τον έλεγχο των κουνουπιών και την αποφυγή τσιμπήματος. Ο καλύτερος τρόπος για να ελέγξεις το κουνούπι Aedes aegypti είναι η απαλλαγή από το περιβάλλον του. Ο κόσμος θα πρέπει ν' αδειάζει ανοιχτές δεξαμενές νερού (ώστε να μην μπορούν τα κουνούπια να γεννήσουν αυγά εκεί μέσα). Εντομοκτόνα ή παράγοντες βιολογικού ελέγχου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο των κουνουπιών σ' αυτές τις περιοχές. Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι ο ψεκασμός με οργανοφωσφορικά ή πυρεθροειδή εντομοκτόνα δεν βοηθάει. Το στάσιμο νερό θα πρέπει να εξαφανίζεται, επειδή έλκει τα κουνούπια, κι επίσης επειδή οι άνθρωποι μπορεί να έχουν προβλήματα υγείας αν αυξάνεται η ποσότητα εντομοκτόνων στο στάσιμο νερό. Για ν' αποφύγουν τα τσιμπήματα κουνουπιών, οι άνθρωποι μπορούν να φορούν ρούχα που καλύπτουν όλο το δέρμα τους. Μπορούν να χρησιμοποιούν εντομοαπωθητικά (όπως σπρέι) που βοηθούν στην απομάκρυνση των κουνουπιών (η N, N-διαιθυλο-μετα-τολουαμίδη (DEET) έχει καλύτερα αποτελέσματα). Επίσης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν κουνουπιέρες.
Δύναμη (μαθηματικά)
Η δύναμη αn μπορεί να οριστεί και όταν το n είναι αρνητικός αριθμός για μη μηδενικό α(α διάφορο του 0).
Δάγκειος πυρετός
Αντιμετώπιση
Δεν υπάρχει συγκεκριμένη θεραπεία για την αντιμετώπιση του δάγκειου πυρετού. Οι θεραπείες ποικίλουν ανάλογα με τα συμπτώματα του κάθε ατόμου. Ορισμένοι ενδέχεται να παρουσιάσουν βελτίωση αποκλειστικά με τη λήψη υγρών στο σπίτι υπό την προσεκτική παρακολούθηση του ιατρού τους. Σε άλλους απαιτείται η χορήγηση υγρών ενδοφλεβίως και μετάγγιση αίματος. Αν ένα άτομο παρουσιάσει σοβαρά προειδοποιητικά συμπτώματα, και ιδιαίτερα εάν πάσχει ήδη από κάποια χρόνια πάθηση, ίσως ο ιατρός αποφασίσει ότι απαιτείται η εισαγωγή του σε νοσοκομείο.
Δύναμη (μαθηματικά)
Δεν υπάρχει γενίκευση για όλους τους πραγματικούς α και n, όμως όταν η βάση α είναι θετικός πραγματικός αριθμός, το αn μπορεί να οριστεί για όλους τους πραγματικούς ή μιγαδικούς n μέσω της εκθετικής συνάρτησης ez. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν με όρους μιγαδικής δύναμης.
Δάγκειος πυρετός
Αντιμετώπιση
Στην περίπτωση που το μολυσμένο άτομο χρειαστεί χορήγηση υγρών ενδοφλεβίως, συνήθως μία ή δύο ημέρες είναι αρκετές. Ο ιατρός θα αυξήσει την ποσότητα υγρών έτσι ώστε ο ασθενής να αποβάλλει συγκεκριμένη ποσότητα ούρων (0.5–1 mL/kg/hr). Η αύξηση της ποσότητας συνεχίζεται επίσης μέχρι ο αιματοκρίτης (η ποσότητα σιδήρου στο αίμα) και οι ζωτικές λειτουργίες του ατόμου να επανέλθουν στα φυσιολογικά επίπεδα. Λόγω κινδύνου αιμορραγίας οι ιατροί αποφεύγουν τις επεμβατικές ιατρικές διαδικασίες, όπως είναι η ρινογαστρική διασωλήνωση (εισαγωγή καθετήρα από τη μύτη του ασθενούς στο στομάχι), τις ενδομυικές ενέσεις και την αρτηριακή παρακέντηση (τοποθέτηση βελόνας σε αρτηρία). Για την αντιμετώπιση του πόνου και του πυρετού μπορεί να χορηγηθεί παρακεταμόλη (Apotel). Μη στεροειδή αντιφλεγμονώδη φάρμακα ΜΣΑΦ (όπως είναι η ιβουπροφαίνη και η ασπιρίνη) δεν θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, γιατί ενδέχεται να αυξήσουν την πιθανότητα αιμορραγίας. Εάν οι ζωτικές λειτουργίες ενός ατόμου μεταβληθούν ή δεν βρίσκονται στα φυσιολογικά επίπεδα και αν υπάρξει πτώση του αριθμού των ερυθρών αιμοσφαιρίων, τότε θα πρέπει σύντομα να ξεκινήσουν οι μεταγγίσεις αίματος. Σε περίπτωση που χρειαστεί μετάγγιση, θα πρέπει να χορηγηθεί πλήρες αίμα στον ασθενή ή συμπυκνωμένα ερυθροκύτταρα. Κατά κανόνα δεν συνιστάται η χορήγηση αιμοπεταλίων (που έχουν διαχωριστεί από ολικό αίμα) και φρέσκου κατεψυγμένου πλάσματος.
Δύναμη (μαθηματικά)
Η δύναμη όταν ο εκθέτης είναι μητρώο χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.
Δάγκειος πυρετός
Αντιμετώπιση
Κατά τη φάση της ανάρρωσης, προκειμένου να αποφευχθεί η υπερφόρτωση με υγρά, δεν συνεχίζεται, κατά κανόνα, η χορήγηση υγρών ενδοφλεβίως. Σε περίπτωση υπερφόρτωσης με υγρά, ενώ παράλληλα οι ζωτικές λειτουργίες του ατόμου παραμένουν σταθερές, τότε αρκεί η απλή διακοπή χορήγησης υγρών. Εάν ξεπεραστεί το κρίσιμο στάδιο της νόσου, είναι δυνατό να χορηγηθεί στον ασθενή διουρητικό της αγκύλης, όπως είναι η φουροσεμίδη (Lasix), η οποία μπορεί να βοηθήσει να αποβληθούν τα περιττά υγρά από το κυκλοφορικό του σύστημα.
Δύναμη (μαθηματικά)
Η δύναμη έχει εφαρμογή και σε πολλά άλλα πεδία, όπως τα οικονομικά, η βιολογία, η χημεία, η φυσική και η επιστήμη υπολογιστών, με εφαρμογές στον ανατοκισμό, την πληθυσμιακή αύξηση, τη συμπεριφορά κυμάτων και την κρυπτογράφηση δημόσιου κλειδιού.
Δάγκειος πυρετός
Στατιστικές πιθανότητες
Τα περισσότερα άτομα με δάγκειο πυρετό αναρρώνουν και δεν έχουν μετέπειτα προβλήματα. Χωρίς θεραπεία αποβιώνει το 1-5% των προσβεβλημένων. Με καλή θεραπεία οι θάνατοι είναι λιγότεροι από 1%. Ωστόσο, 26% των ατόμων που παρουσιάζουν σοβαρά συμπτώματα της ασθένειας χάνουν τη ζωή τους.
Δύναμη (μαθηματικά)
thumb|315px|Γραφική παράσταση του y=αx για διάφορες βάσεις α: [[#Δυνάμεις του δέκα|βάση 10 ( πράσινο ), βάση e ( κόκκινο ), βάση 2 ( μπλε ), και βάση ½ ( γαλάζιο ). Κάθε καμπύλη διέρχεται από το σημείο (0,1) επειδή οποιοσδήποτε μη μηδενικός αριθμός υψώνεται στη δύναμη 0 κάνει 1. Στο x=1, η τιμή του y ισούται με την βάση καθώς οποιοσδήποτε αριθμός υψώνεται στη δύναμη 1 κάνει τον εαυτό του.]]
Ακέραιοι εκθέτες
Η πράξη της δύναμης με ακέραιο εκθέτη απαιτεί στοιχειώδη άλγεβρα μόνο.
Δάγκειος πυρετός
Στατιστικές πιθανότητες
Ο δάγκειος πυρετός συναντάται σε παραπάνω από 110 χώρες. Κάθε χρόνο μολύνονται 50-100 εκατομμύρια άνθρωποι παγκοσμίως. Επίσης, μισό εκατομμύριο εισαγωγές σε νοσοκομεία  και περίπου 12.500 έως 25.000 θάνατοι παγκοσμίως και ετησίως οφείλονται στον δάγκειο πυρετό. Ο δάγκειος πυρετός είναι η πιο συνηθισμένη ιογενής ασθένεια που διαδίδεται μέσω αρθρόποδων. Η νοσοεπιβάρυνσή του θεωρείται ότι ανέρχεται σε 1.600 έτη ζωής σε συνθήκες σωματικής ή/και πνευματικής αδυναμίας ανά εκατομμύριο πληθυσμού. Αυτό σημαίνει ότι προκαλεί την απώλεια περίπου 1.600 ζωών ανά εκατομμύριο πληθυσμού. Την ίδια περίπου νοσοεπιβάρυνση προκαλούν άλλες παιδικές και τροπικές ασθένειες, όπως είναι η φυματίωση. Ο δάγκειος πυρετός θεωρείται ότι είναι η δεύτερη σημαντικότερη τροπική ασθένεια μετά την ελονοσία. Ο Παγκόσμιος Οργανισμός Υγείας θεωρεί επίσης ότι είναι μία από τις 16 παραμελημένες τροπικές ασθένειες και δεν λαμβάνεται όσο σοβαρά θα έπρεπε. Ο δάγκειος πυρετός διαδίδεται όλο και περισσότερο παγκοσμίως. Το 2010 ήταν 30 φορές συχνότερος από ότι ήταν το 1960. Αρκετοί είναι οι παράγοντες που θεωρούνται υπεύθυνοι για την έξαρση της ασθένειας: περισσότεροι άνθρωποι ζουν σε πόλεις, η αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού, περισσότεροι άνθρωποι κάνουν διεθνή ταξίδια. Η υπερθέρμανση του πλανήτη θεωρείται επίσης ότι συμβάλλει στην αύξηση της ασθένειας.
Δύναμη (μαθηματικά)
Θετικοί εκθέτες
Η έκφραση α2 = α·α ονομάζεται τετράγωνο του α επειδή η επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά α ισούται με α2.
Δάγκειος πυρετός
Στατιστικές πιθανότητες
Περισσότερο εμφανίζεται κοντά στις περιοχές του ισημερινού. 2,5 εκατομμύρια άνθρωποι ζουν σε περιοχές όπου εμφανίζεται η ασθένεια. Το 70% κατοικεί στην Ασία και στην περιφέρεια του Ειρηνικού. Στις ΗΠΑ 2,9-8% των ατόμων που επιστρέφουν από περιοχές όπου συναντάται η ασθένεια και παρουσιάζουν πυρετό είχαν προσβληθεί κατά τη διάρκεια του ταξιδιού τους. Σε αυτήν την ομάδα ανθρώπων ο δάγκειος πυρετός είναι η δεύτερη σε συχνότητα λοίμωξη μετά την ελονοσία.
Δύναμη (μαθηματικά)
Θετικοί εκθέτες
Η έκφραση α3 = α·α·α ονομάζεται κύβος, επειδή ο όγκος κύβου πλευράς α ισούται με α3.
Δάγκειος πυρετός
Ιστορία
Ο δάγκειος πυρετός αναφέρθηκε για πρώτη φορά πριν από πολλά χρόνια. Κινεζική ιατρική εγκυκλοπαίδεια από την περίοδο της δυναστείας των Τσιν (Jin Dynasty, 265-420 μ.Χ.) κάνει αναφορά για άτομο που πιθανόν να έπασχε από δάγκειο πυρετό. Το βιβλίο έγραφε για «δηλητήριο από το νερό» που είχε σχέση με πτερωτά έντομα. Υπάρχουν επίσης γραπτές μαρτυρίες από τον 17ο αιώνα (1601-1700) για τυχόν επιδημίες δάγκειου πυρετού (γρήγορη εξάπλωση της ασθένειας μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα). Το πιο πιθανό είναι ότι οι πρώτες μαρτυρίες είναι από το 1779 και το 1780, και αναφέρουν επιδημία η οποία έπληξε την Ασία, την Αφρική και τη Βόρεια Αμερική. Από τότε έως το 1940 δεν υπήρξαν τόσες πολλές επιδημίες.
Δύναμη (μαθηματικά)
Θετικοί εκθέτες
Έτσι το 32 διαβάζεται «3 στο τετράγωνο» ή «τετράγωνο του 3» και το 23 διαβάζεται «2 στον κύβο» ή «κύβος του 2».
Δάγκειος πυρετός
Ιστορία
Το 1906 αποδείχτηκε επιστημονικά ότι οι άνθρωποι μολύνονταν από κουνούπια του γένους Aedes aegypti. Το 1907 οι επιστήμονες έδειξαν ότι ένας ιός είναι αυτός που προκαλεί τον δάγκειο πυρετό. Ήταν μόλις η δεύτερη ασθένεια η οποία αποδεικνυόταν ότι προκαλείται από ιό (ήδη είχε αποδειχτεί ότι ο κίτρινος πυρετός προκαλείται από ιό). Οι Τζον Μπάρτον Κλίλαντ (John Burton Cleland) και Τζόζεφ Φράνκλιν Σάιλερ (Joseph Franklin Siler) συνέχισαν τη μελέτη τους για την ασθένεια και προσδιόρισαν τους βασικούς τρόπους μετάδοσης του ιού.
Δύναμη (μαθηματικά)
Θετικοί εκθέτες
Ο εκθέτης ορίζει το πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση με τον εαυτό της. Για παράδειγμα, 35 = 3·3·3·3·3 = 243. Η βάση 3 εμφανίζεται 5 φορές στον επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, επειδή ο εκθέτης είναι 5. Εδώ 3 είναι η βάση, 5 ο εκθέτης και 243 η δύναμη ή πιο συγκεκριμένα, η πέμπτη δύναμη του 3 ή το 3 στην πέμπτη. Έτσι το 35 διαβάζεται απλώς 3 στην πέμπτη.
Δάγκειος πυρετός
Ιστορία της λέξης
Δεν έχει ξεκαθαριστεί από πού προέρχεται η λέξη "dengue" (δάγκειος). Μερικοί πιστεύουν ότι προέρχεται από τη φράση Ka-dinga pepo στα σουαχίλι. Η φράση αυτή αναφέρει ότι η ασθένεια προκαλείται από κακό πνεύμα. Η λέξη "dinga" στα σουαχίλι πιστεύεται ότι μπορεί να προέρχεται από την ισπανική λέξη "dengue", που σημαίνει "προσεκτικός". Ίσως με τη χρήση της προσπαθούσαν να περιγράψουν το άτομο που έπασχε από πόνο στα κόκκαλα, σύμπτωμα που προκαλεί ο δάγκειος πυρετός, με αποτέλεσμα να μετακινείται με προσοχή. Ωστόσο, είναι πιθανό η ισπανική λέξη να προήλθε από τα σουαχίλι, και όχι αντίστροφα.
Άλλοι πιστεύουν ότι ο όρος "dengue" προέρχεται από τις Δυτικές Ινδίες, όπου δούλοι με δάγκειο πυρετό φέρεται να στέκονταν και να περπατούσαν σαν "dandy" (δανδής). Γι' αυτό ονομάστηκε και "πυρετός dandy".
Δύναμη (μαθηματικά)
Εκθέτες ένα και μηδέν
Να σημειωθεί ότι το α1 είναι το «γινόμενο» ενός μόνο α, το οποίο ορίζεται να είναι α. Επίσης να σημειωθεί ότι αn − 1 = αn/α. Υποθέτοντας ότι n = 1, το αποτέλεσμα είναι α0 = 1. Ένας άλλος τρόπος να δειχθεί αυτό είναι όταν τα n, m, και n − m είναι θετικοί (και αν το α δεν είναι μηδέν), τότε φαίνεται ότι: Επεκτείνοντας στην ειδική περίπτωση όπου n και m είναι ίσα, η εξίσωση γίνεται καθώς και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι. Συνεπώς αυτό λαμβάνεται ως ο ορισμός του α0. Αυτό οδηγεί στον επόμενο κανόνα:
Δάγκειος πυρετός
Ιστορία της λέξης
Ο όρος "κοκκαλοσπάστης πυρετός" χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Μπέντζαμιν Ρας (Benjamin Rush), που ήταν ιατρός και ένας από τους  ιδρυτές πατέρες των Ηνωμένων Πολιτειών. Το 1789 σε μια έκθεσή του για το ξέσπασμα του δάγκειου πυρετού το 1780 στη Φιλαδέλφεια αναφέρθηκε στον "κοκαλοσπάστη πυρετό", αλλά περισσότερο χρησιμοποίησε τον πιο επίσημο όρο "χολώδης διαλείπων πυρετός". Από το 1828 και μετά άρχισε να χρησιμοποιείται ευρέως ο όρος "δάγκειος πυρετός". Πριν από αυτήν τη χρονολογία, καθένας χρησιμοποιούσε κάτι άλλο. Για παράδειγμα, αποκαλούσαν επίσης την ασθένεια "πυρετό που ραγίζει καρδιές" και "la dengue."<  Άλλες κοινές ονομασίες για τη σοβαρή μορφή της νόσου ήταν "λοιμώδης θρομβοπενική πορφύρα", "φιλιππινέζικος", "ταϊλανδικός αιμορραγικός πυρετός" και "αιμορραγικός πυρετός της Σιγκαπούρης".
Δύναμη (μαθηματικά)
Συνδυαστική ερμηνεία
Για τους μη αρνητικούς ακεραίους n και m, η δύναμη nm ισούται με τον πληθικό αριθμό του συνόλου των m-άδων ενός συνόλου n στοιχείων, ή ο αριθμός των λέξεων m γραμμάτων ενός αλφαβήτου n γραμμάτων.
Δάγκειος πυρετός
Έρευνα
Οι επιστήμονες συνεχίζουν την έρευνα για την ανεύρεση τρόπων πρόληψης και θεραπείας της ασθένειας. Επίσης, γίνεται προσπάθεια να βρεθούν μέθοδοι ελέγχου των κουνουπιών , να κατασκευαστεί εμβόλιο και να βρεθούν φάρμακα για την καταπολέμηση του ιού.
Πολλές απλές πρακτικές έχουν εφαρμοστεί προκειμένου να ελεγχθούν τα κουνούπια και κάποιες από αυτές ήταν αποτελεσματικές. Για παράδειγμα, είναι δυνατό να τοποθετηθούν τροπικά ψάρια γκάπυ (guppy: Poecilia reticulata) ή κωπήποδα σε λιμνάζοντα νερά, με σκοπό να τραφούν από τις προνύμφες των κουνουπιών. Οι επιστήμονες συνεχίζουν τις προσπάθειες κατασκευής εμβολίου, το οποίο θα προστατεύει και από τους τέσσερις τύπους του δάγκειου πυρετού. Μερικοί ανησυχούν ότι το εμβόλιο θα αυξήσει τον κίνδυνο να νοσήσει κάποιος σοβαρά, λόγω επίτασης της μόλυνσης εξαρτημένης από αντισώματα (antibody-dependent enhancement, ADE). Το καλύτερο δυνατό εμβόλιο θα πρέπει να έχει διάφορες ιδιότητες. Πρώτα απ' όλα θα πρέπει να είναι ασφαλές. Δεύτερον, να λειτουργεί μετά από μία ή δύο ενέσεις. Τρίτον, να προστατεύει από όλους τους τύπους. Τέταρτον, δεν θα πρέπει να προκαλεί επίταση της μόλυνσης εξαρτημένης από αντισώματα. Πέμπτον, η μεταφορά και η φύλαξή του (έως ότου χρειαστεί) θα πρέπει να είναι απλή. Τέλος, θα πρέπει να είναι χαμηλού κόστους και οικονομικά αποδοτικό. Μέχρι το 2009 είχαν δοκιμαστεί μερικά εμβόλια. Οι επιστήμονες ήλπιζαν το πρώτο εμβόλιο (ή εμβόλια) να είναι διαθέσιμο στην αγορά μέχρι το 2015.
Επίσης, συνεχίζουν τις έρευνές τους για την κατασκευή αντιικών φαρμάκων με σκοπό την αντιμετώπιση της ασθένειας και των σοβαρών επιπλοκών της. Ακόμη, προσπαθούν να ανακαλύψουν τον τρόπο δομής των πρωτεϊνών του ιού, προκειμένου να βρεθούν φάρμακα που θα αντιμετωπίζουν με επιτυχία τον δάγκειο πυρετό.
Ελλάδα
Η τελευταία επιδημία δάγκειου πυρετού στην Ελλάδα ήταν κατά τη διετία 1927-1928.
Παραπομπές
Κατηγορία:Ιογενείς ασθένειες Κατηγορία:Τροπικές ασθένειες
Δύναμη (μαθηματικά)
Συνδυαστική ερμηνεία
Δείτε επίσης ύψωση συνόλων σε δύναμη.
Αρνητικοί ακέραιοι εκθέτες
Εξ ορισμού, η ύψωση ενός μη μηδενικού αριθμού στη δύναμη -1 παράγει τον αντίστροφό του:
Ορίζεται επίσης για κάθε μη μηδενικό α και οποιονδήποτε θετικό ακέραιο n. Υψώνοντας το 0 σε αρνητική δύναμη συνεπάγεται διαίρεση με το μηδέν, έτσι δεν ορίζεται.
Ο ορισμός του α−n για μη μηδενικό α γίνεται έτσι ώστε η ταυτότητα αmαn = αm+n, που αρχικά ισχύει μόνο για μη αρνητικούς ακεραίους m και n, να ισχύει για οποιουσδήποτε ακεραίους m και n. Πιο συγκεκριμένα, αν τεθεί σε αυτή την ταυτότητα m = −n σημαίνει ότι όπου α0 ορίζεται παραπάνω, πράγμα που υποκινεί τον ορισμό α−n = 1/αn που φαίνεται πιο πάνω.
Η ύψωση σε αρνητική ακέραια δύναμη μπορεί εναλλακτικά να ειδωθεί ως επαναλαμβανόμενη διαίρεση του 1 από τη βάση. Για παράδειγμα,
Ταυτότητες και ιδιότητες
Η πιο σημαντική ταυτότητα που ικανοποιείται από την ύψωση σε ακέραια δύναμη, εφόσον η βάση δεν είναι μηδέν, είναι η εξής: Αυτή η ταυτότητα έχει συνέπεια την για α ≠ 0, και Μία άλλη βασική ταυτότητα είναι
Ενώ η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικές πράξεις (για παράδειγμα 2+3 = 5 = 3+2 και 2·3 = 6 = 3·2), η ύψωση σε δύναμη δεν είναι: 23 = 8, όμως 32 = 9.
Παρομοίως, ενώ η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικές πράξεις (για παράδειγμα (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) και (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4), η ύψωση σε δύναμη δεν είναι: 23 στην 4η κάνει 84 ή 4096, όμως 2 στην 34 κάνει 281 ή 2.417.851.639.229.258.349.412.352. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις ώστε να τροποποιήσουν την ιεραρχία των υπολογισμών, η σειρά εκλαμβάνεται συνήθως από πάνω προς τα κάτω και όχι το ανάποδο:
Δυνάμεις του δέκα
Στο δεκαδικό σύστημα, οι ακέραιες δυνάμεις του 10 γράφονται ως το ψηφίο 1 με ένα αριθμό μηδενικών να ακολουθούν ή να προηγούνται, ανάλογα με το μέγεθος και το πρόσημο του εκθέτη. Για παράδειγμα 103 = 1000 και 10−4 = 0.0001.
Η δυνάμεις του 10 χρησιμοποιούνται στον επιστημονικό συμβολισμό για να περιγράψουν μεγάλους ή μικρούς αριθμούς. Για παράδειγμα, 299,792,458 μέτρα/δευτερόλεπτο (η ταχύτητα του φωτός στο κενό) μπορεί να γραφτεί ως 2,99792458·108 m/s και εν συνεχεία κατά προσέγγιση ως 2,998·108 m/s
Τα προθέματα του SI βασίζονται σε δυνάμεις του 10 και χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν μικρές ή μεγάλες ποσότητες. Για παράδειγμα το πρόθεμα k (Kilo- Κίλο) σημαίνει 103 = 1000, έτσι ένα KPa (κιλο-πασκάλ) ισούται με 1000 Pa (Πασκάλ).
Δυνάμεις του δύο
Οι θετικές δυνάμεις του δύο είναι σημαντικές στην επιστήμη των υπολογιστών επειδή υπάρχουν 2n πιθανές τιμές σε μία δυαδική μεταβλητή n-bit.
Οι δυνάμεις του 2 είναι σημαντικές στη θεωρία συνόλων καθώς ένα σύνολο με n στοιχεία, έχει δυναμοσύνολο, ή σύνολο όλων των υποσυνόλων του με 2n στοιχεία.
Κοινή χρήση έχουν και οι αρνητικές δυνάμεις του 2.
Στο δυαδικό σύστημα, οι ακέραιες δυνάμεις του 2 γράφονται ως 1 με μηδενικά να προηγούνται ή να ακολουθούν αναλόγως με το πρόσημο και το μέγεθος του εκθέτη. Για παράδειγμα, το δύο στην τρίτη γράφεται ως 1000 στο δυαδικό.
Δυνάμεις του ένα
Όλες οι ακέραιες δυνάμεις του ένα ισούνται με ένα: 1n = 1.
Δυνάμεις του μηδενός
Αν ο εκθέτης είναι θετικός, η δύναμη του μηδενός είναι μηδέν: 0n = 0, όπου n > 0.
Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, η δύναμη του μηδενός (0n, όπου n < 0) δεν ορίζεται, καθώς εξ ορισμού συνεπάγεται διαίρεση με το μηδέν.
Αν ο εκθέτης είναι μηδέν, κάποιοι συγγραφείς ορίζουν 00=1, ενώ άλλοι το αφήνουν αόριστο, όπως αναλύεται παρακάτω
Δυνάμεις του μείον ένα
Αν το n είναι άρτιος ακέραιος, τότε (−1)n = 1.
Άν το n είναι περιττός ακέραιος, τότε (−1)n = −1.
Εξαιτίας αυτής της ιδιότητας, οι δυνάμεις του -1 είναι χρήσιμες για την έκφραση εναλλασσόμενων ακολουθιών. Για παρόμοια ανάλυση των δυνάμεων του μιγαδικού αριθμού i, δείτε Δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών.
Μεγάλοι εκθέτες
Το όριο της ακολουθίας των δυνάμεων ενός αριθμού μεγαλύτερου του ένα αποκλίνει, με άλλα λόγια αυξάνονται χωρίς όριο: Αυτό μπορεί να διαβαστεί ως «το α στην n τείνει στο +∞ (συν άπειρο) καθώς το n τείνει στο άπειρο όταν το α είναι μεγαλύτερο του ένα».
Οι δυνάμεις ενός αριθμού του οποίου η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη από ένα τείνουν στο μηδέν: Οποιαδήποτε δύναμη του ένα είναι πάντα ένα:
Αν ο αριθμός α ποικίλει τείνοντας στο 1 καθώς ο εκθέτης τείνει στο άπειρο τότε το όριο δεν είναι απαραίτητα ένα από τα παραπάνω. Μια ιδιαίτερα σημαντική περίπτωση είναι: Δείτε την ενότητα παρακάτω Δυνάμεις του e.
Άλλα όρια, ιδιαίτερα αυτά που τείνουν σε απροσδιόριστες μορφές, περιγράφονται στο όρια των δυνάμεων παρακάτω.
Πραγματικές δυνάμεις θετικών αριθμών
Η ύψωση ενός θετικού πραγματικού σε δύναμη που δεν είναι ακέραιος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους.
Οι ταυτότητες και ιδιότητες που δείχτηκαν παραπάνω για ακέραιους εκθέτες ισχύουν και για θετικούς πραγματικούς με μη ακέραιο εκθέτη. Ωστόσο η ταυτότητα
δεν μπορεί να γενικευθεί όταν το α είναι αρνητικός πραγματικός, δείτε αρνητικές νιοστές ρίζες. Η μη ισχύς αυτής της ταυτότητας είναι η πηγή των προβλημάτων με τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών, όπως περιγράφεται και στην ενότητα μη ισχύς ταυτοτήτων δυνάμεων και λογαρίθμων.
Κύρια n-οστή ρίζα
right|thumb|300px|Από πάνω προς τα κάτω: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.
Η n-οστή ρίζα ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός x τέτοιος ώστε xn = α
Αν α είναι θετικός πραγματικός και n είναι θετικός ακέραιος, τότε υπάρχει ακριβώς μία θετική πραγματική λύση της εξίσωσης xn = α. Αυτή η λύση αποκαλείται κύρια n-οστή ρίζα του α. Αυτό συμβολίζεται με n√ α , όπου το σύμβολο √   είναι το ριζικό. Εναλλακτικά, μπορεί να γραφεί ως  α1/n. Για παράδειγμα: 41/2 = 2, 81/3 = 2,
Όταν αναφέρεται η n-οστή ρίζα ενός θετικού πραγματικού α, συνήθως εννοείται η κύρια n-οστή ρίζα.
Ρητοί εκθέτες
Η δύναμη ενός θετικού πραγματικού α με ρητό εκθέτη m/n (το m/n ανάγωγο) ικανοποιεί την σχέση
όπου m είναι ακέραιος και n είναι θετικός ακέραιος.
Δυνάμεις του e
Η σημαντική μαθηματική σταθερά e, που αποκαλείται και αριθμός Euler, είναι περίπου ίση με 2,718 και είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου. Παρέχει ένα τρόπο ορισμού της ύψωσης σε δύναμη με μή ακέραιους εκθέτες. Ο αριθμός e ορίζεται ως:
Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως: ενώ το x γράφεται ως δύναμη καθώς ικανοποιεί την βασική εκθετική ταυτότητα Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για όλες τις ακέραιες, κλασματικές, πραγματικές και μιγαδικές τιμές του x. Μπορεί ακόμα να οριστεί ώστε να επεκταθεί η ύψωση σε δύναμη και σε μη αριθμητικές οντότητες όπως τα τετραγωνικά μητρώα, ωστόσο η εκθετική ταυτότητα ισχύει μόνο όταν τα x και y αντιμετατίθενται.
Μία σύντομη απόδειξη ότι το e υψωμένο σε θετική ακέραια δύναμη k είναι το ίδιο με το ek είναι:
Αυτή η απόδειξη δείχνει επίσης ότι η έκφραση ex+y ικανοποιεί την εκθετική ταυτότητα όταν τα x και y είναι θετικοί ακέραιοι. Αυτά τα αποτελέσματα είναι εν γένει αληθή για όλους τους αριθμούς και όχι μόνο για θετικούς ακέραιους.
Πραγματικοί εκθέτες
Καθώς οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί από ρητούς αριθμούς, η ύψωση σε έναν τυχαίο πραγματικό x μπορεί να οριστεί μέσω συνέχειας ως
όπου το όριο καθώς το r τείνει στο x λαμβάνεται μόνο από τις ρητές τιμές του r.
Για παράδειγμα αν τότε
Η ύψωση σε πραγματική δύναμη κανονικά υπολογίζεται με την χρήση λογαρίθμων αντί για την χρήση ορίων και ρητών δυνάμεων.
Ο φυσικός λογάριθμος ln(x) είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης ex. Ορίζεται για b > 0 και ικανοποιεί την Αν bx ικανοποιεί τους περιορισμούς του λογαρίθμου και του εκθέτη, τότε πρέπει για κάθε πραγματικό x.
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτικός ορισμός της πραγματικής δύναμης bx και συμφωνεί με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω κάνοντας χρήση ρητών εκθετών και της συνέχειας. Ο ορισμός με χρήση λογαρίθμων είναι πιο κοινός στα πλαίσια των μιγαδικών αριθμών όπως αναλύεται παρακάτω.
Αρνητικές n-οστές ρίζες
Οι δυνάμεις ενός θετικού πραγματικού είναι πάντα θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Η λύση της x2 = 4 μπορεί ωστόσο να είναι είτε 2 είτε -2. Η κύρια τιμή του 41/2, όμως το -2 είναι επίσης έγκυρη τετραγωνική ρίζα. Αν ο ορισμός της ύψωσης σε δύναμη των πραγματικών αριθμών επεκταθεί ώστε να επιτρέπονται και αρνητικά αποτελέσματα τότε το αποτέλεσμα δεν συμπεριφέρεται πλέον καλά.
Αν το n είναι άρτιος τότε η xn = α έχει δύο λύσεις αν το α είναι θετικό, οι οποίες είναι η θετική και η αρνητική n-οστή ρίζα. Η εξίσωση δεν έχει πραγματική λύση αν το α είναι αρνητικό.
Αν το n είναι περιττός, τότε η xn = α έχει μία πραγματική λύση. Η λύση είναι θετική αν το α είναι θετικός και αρνητική αν το α είναι αρνητικός.
Ούτε με η μέθοδος του λογάριθμου όυτε η μέθοδος του ρητού εκθέτη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί το αr για αρνητικό πραγματικό α και οποιονδήποτε πραγματικό r. Η er είναι θετική για κάθε πραγματικό r και έτσι το ln(α) δεν ορίζεται στους πραγματικούς για α ≤ 0. (Από την άλλη, μπορεί οριστεί οποιαδήποτε μιγαδική δύναμη ενός αρνητικού αριθμού α επιλέγοντας έναν μιγαδικό λογάριθμο του α.)
Η μέθοδος του ρητού εκθέτη δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αρνητικές δυνάμεις του α επειδή βασίζεται την συνέχεια. Η συνάρτηση f(r) = αr έχει μοναδική συνεχή επέκταση από τους ρητούς αριθμούς στους πραγματικούς για κάθε α > 0. Όταν όμως α < 0, η συνάρτηση f δεν είναι καν συνεχής στο σύνολο των ρητών αριθμών στο οποίο ορίζεται.
Για παράδειγμα, έστω α = −1. Η n-οστή ρίζα του -1 είναι -1 για κάθε περιττό φυσικό αριθμό n. Έτσι αν το n είναι περιττός θετικός ακέραιος (−1)(m/n) = −1 αν το m είναι περιττός, και (−1)(m/n) = 1 αν το m είναι άρτιος. Έτσι το σύνολο των ρητών αριθμών q για το οποίο (−1)q = 1 είναι πυκνό στους ρητούς αριθμός, όπως είναι και το σύνολο των q για τους οποίους (−1)q = −1. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση (−1)q δεν είναι συνεχής για οποιονδήποτε ρητό q.
Προσοχή χρειάζεται όταν εφαρμόζονται οι ταυτότητες των δυνάμεων με αρνητικές n-οστές ρίζες. Για παράδειγμα, −27 = (−27)((2/3)×(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27 είναι προφανώς λάθος. Το πρόβλημα προκύπτει επειδή λαμβάνεται η θετική τετραγωνική ρίζα αντί για την αρνητική στο τελευταίο βήμα, όμως εν γένει προκύπτουν τα ίδια προβλήματα με αυτά που περιγράφονται για τους μιγαδικούς στην ενότητα Μη ισχύς των εκθετικών και λογαριθμικών ταυτοτήτων
Φανταστικές δυνάμεις e
Η γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων με μιγαδικούς αριθμούς και ο ορισμός των δυνάμεων του e είναι το στοιχείο για την κατανόηση του eix για πραγματικούς x. Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο (0, 1, 1 + ix/n). Για μεγάλες τιμές του n το τρίγωνο είναι σχεδόν κυκλικός τομέας με μικρή κεντρική γωνία ίση με x/n ακτίνια. Τα τρίγωνα (0, (1 + ix/n)k, (1 + ix/n)k+1) είναι όμοια για κάθε k. Έτσι για μεγάλες τιμές του n το όριο του (1 + ix/n) είναι το σημείο στον μοναδιαίο κύκλο του οποίου η γωνία από τον θετικό πραγματικό άξονα είναι x ακτίνια. Οι πολικές συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι (r, θ) = (1, x), και οι καρτεσιανές (cos x, sin x). Έτσι eix = cos x + isin x, και αυτή είναι ο τύπος του Euler που συνδέει την άλγεβρα και την τριγωνομετρία μέσω των μιγαδικών αριθμών.
Η λύσεις της εξίσωσης ez = 1 είναι τα ακέραια πολλαπλάσια του 2πi: Πιο γενικά, αν if eb = α, τότε κάθε λύση του ez = α μπορεί να βρεθεί προσθέτονταν ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2πi στο b: Έτσι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2πi.
Πιο απλά: eiπ = −1; ex + iy = ex(cos y + i sin y).
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Από τον τύπο του Euler προκύπτει ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνημίτονο και ημίτονο είναι
Ιστορικά, το συνημίτονο και το ημίτονο ορίζονταν γεωμετρικά πριν την εφεύρεση των μιγαδικών αριθμών. Η παραπάνω εξίσωση απλοποιεί τις πολύπλοκες εξισώσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων αθρίσματος σε απλή εξίσωση ύψωσης σε δύναμη.
Μιγαδικές δυνάμεις του e
Η δύναμη z = ex+i·y μπορεί να υπολογιστεί ως ex · ei·y. Ο πραγματικός παράγοντας ex είναι η απόλυτη τιμή του z και ο μιγαδικός παράγοντας ei·y προσδιορίζει την κατεύθυνση του z.
Μιγαδικές δυνάμεις των θετικών πραγματικών αριθμών
Αν α είναι θετικός ακέραιος, και z τυχαίος μιγαδικός, η δύναμη αz ορίζεται ώς ez·ln(α), όπου x = ln(α) είναι η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης ex = α. Έτσι η ίδια μέθοδος που ισχύει για πραγματικούς εκθέτες ισχύει και για μιγαδικούς. Για παράδειγμα:
Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών
Οι ακέραιες δυνάμειες μή μηδενικών μιγαδικών αριθμών ορίζονται με επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό όπως παραπάνω. Αν i είναι η φανταστική μονάδα και n είναι ακέραιος, τότε in ισούται με 1, i, -1 ή -i, αναλόγως με το αν ο ακέραιος n είναι ίσος με 0, 1, 2, ή 3 modulo 4. Εξαιτίας αυτού, οι δυνάμεις του i είναι χρήσιμες στην έκφραση ακολουθιών με περίδο 4.
Οι μιγαδικές δυνάμεις θετικών πραγματικών ορίζονται μέσω του ex όπως στην ενότητα Μιγαδικές δυνάμεις θετικών πραγματικών αριθμών παραπάνω. Αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Η γενίκευση αυτών των συναρτήσεων στην περίπτωση των μη ακέραιων δυνάμεων μιγαδικών αριθμών οδηγεί σε δυσκολίες. Είτε πρέπει να οριστούν ως ασυνεχείς συναρτήσεις είτε ως πλειότιμες συναρτήσεις. Καμία από τις δύο επιλογές δεν είναι εντελώς ικανοποιητική.
Οι μιγαδικές δυνάμεις και λογάριθμοι διαχειρίζονται με πιο φυσικό τρόπο αν εκληφθούν ως μονότιμες συναρτήσεις σε μία επιφάνειες Ρίμαν. Οι μονότιμες εκδοχές ορίζονται από την επιλογή φύλλου. Η τιμή έχει ασυνέχεια κατά μήκος της τομής διακλαδώσεως. Επιλέγοντας μία από τις πολλές λύσεις ως κύρια τιμή, οι συναρτήσεις παραμένου ασυνεχείς και οι συνήθεις κανόνες για τον χειρισμό των δυνάμεων μπορεί να οδηγίσουν σε σφάλμα.
Η ύψωση σε μιγαδική δύναμη ενός πραγματικού είναι τυπικά διαφορετική πράξη από την ανάλογη για μιγαδικό αριθμό. Ωστόσο στην κοινή περίπτωση του θετικού πραγματικού αριθμού η κύρια τιμή είναι η ίδια.
Οι δυνάμεις αρνητικών πραγματικών αριθμών δεν ορίζονται πάντα και είναι ασυνεχείς ακόμα και όταν ορίζονται. Όταν εμπλεκονται μιγαδικοί αριθμού συνήθως χρησιμοποιείται η πράξη των μιγαδικών.
Μιγαδικές δυνάμεις μιγαδικού αριθμού
Για μιγαδικούς αριθμούς α και b με α ≠ 0, ο συμβολισμός αb είναι αμφίσημος κατά την ίδια έννοια που είναι και ο log α.
Επειδή αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό στην περίπτωση όπου α είναι θετικός πραγματικός αριθμός και χρησιμοποείται η κύρια τιμή του log α.
Αν το b είναι ακέραιος, τότε η τιμή του αb είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του log α, και συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό για ακέραιο εκθέτη.
Αν b είναι άρρητος αριθμός, τότε οι άπειρες επιλογές για το log α οδηγούν σε άπειρες διακριτές τιμές για το αb.
Ο υπολογισμός των μιγαδικών δυνάμεων γίνεται μετατρέποντας την βάση α σε πολική μορφή, όπως περιγράφεται αναλυτικά παρακάτω.
Παρόμοια δομή εφαρμόζεται και στις τετράδες (Quaternions).
Μιγαδικές ρίζες της μονάδας
thumb|right|Οι τρεις τρίτες ρίζες του 1
Ένας μιγαδικός αριθμός α τέτοιος ώστε αn = 1 για θετικό ακέραιο n ονομάζεται n-οστή ρίζα της μονάδος. Γεωμετρικά, οι n-οστές ρίζες της μονάδας κείτονται σε μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο στης κορυφές ενός κανονικού n-γώνου με την μία κορυφή να είναι στον πραγματικό αριθμό 1.
Ο αριθμός e2πi (1/n) είναι η αρχική n-οστή ρίζα της μονάδος με το μικρότερο θετικό όρισμα. (Κάποιες φορές αποκαλείται και κύρια n-οστή ρίζα της μονάδας, αλλά δεν είναι καθολική ορολογία και δεν θα πρέπει να συγχέεται με την κύρια τιμή της √ 1 η οποια είναι 1. )
Ρίζες τυχαίων μιγαδικών αριθμών
Αν και υπάρχουν άπειρες πιθανές τιμές για ένα γενικό μιγαδικό αλγόριθμο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός τιμών για τη δύναμη az στην σημαντική ειδική περίπτωση όπου z = 1/n και n είναι θετικός ακέραιος. Αυτές είναι οι n-οστές ρίζες του α, είναι οι λύσεις της εξίσωσης xn = α. Όπως και με τις πραγματικές ρίζες, η δεύτερη ρίζα ονομάζεται τετραγωνική, και η τρίτη, κυβική ρίζα.
Είναι βολικό να ορίζεται η α1/n ως η κύρια τιμή της ρίζας. Αν α είναι θετικός πραγματικός αριθμός, είναι βολικό επίσης να επιλεγεί ένας θετικός πραγματικός ως η κύρια τιμή της ρίζας α1/n. Για μιγαδικούς αριθμούς εν γένει επιλέγεται η n-οστή ρίζα με το μικρότερο όρισμα ως κύρια τιμή, όπως και με τις κύριες τιμές των ριζών της μονάδας.
Το σύνολο των n-στών ριζών ενός μιγαδικού α υπολογίζεται πολαπλασιάζονταν την κύρια τιμή α1/n με κάθε μία από τις n-οστές ρίζες της μονάδος. Για παράδειγμα, οι τέταρτες ρίζες του 16 είναι 2, -2, 2i, και -2i, επειδή η κύρια τιμή της τέταρτης ρίζας του 16 είναι 2 και οι τέταρτες ρίζες της μονάδος είναι 1, −1, i, και −i.
Υπολογισμός μιγαδικών δυνάμεων
Είναι συχνά ευκολότερο να υπολογιστούν μιγαδικές δυνάμεις γράφοντας τον αριθμό σε πολική μορφή. Κάθε μιγαδικός αριθμός z μπορεί να γραφτεί στην πολική μορφή Όπου r είναι μη αρνητικός πραγματικός και θ είναι το όρισμα του z. Η πολική μορφή έχει απλή γεωμετρική ερμηνεία: αν ένας μιγαδικός αριθμός u + iv εκληφθεί ότι αναπαριστά το σημείο (u, v) στο μιγαδικό επίπεδο χρησιμοποιώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες, τότε (r, θ) είναι το ίδιο σημείο σε πολικές συντεταγμένες. Δηλαδή r είναι η ακτίνα (radius) r2 = u2 + v2 και θ είναι η γωνία θ = atan2(v, u). Η πολική γωνία θ είναι δεν έχει συγκεκριμένη τιμή καθώς οποιοδήποτε πολλαπλάσιου του 2π και να προστεθεί σε αυτή δεν αλλάζει η θέση του σημείου. Κάθε επιλογή γωνίας θ δίνει εν γένει μια διαφορετική πιθανή τιμή για την δύναμη. Μία τομή διακλαδώσεως μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιλεχθεί μία συγκεκριμένη τιμή. Η κύρια τιμή (η πιο κοινή τομή διακλαδώσεως), αντιστοιχεί σε θ στο διάστημα (−π, π]. Για μιγαδικούς αριθμούς με θετικό πραγματικό μέρος και μηδενικό φανταστικό μέρος, η χρήση της κύριας τιμής δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με τον αντίστοιχο πραγματικό αριθμό.
Προκειμένου να υπολογιστεί η μιγαδική δύναμη αb, γράφεται το α σε πολική μορφή: τότε και συνεπως Αν το b αναλυθεί ως c + di, τότε ο τύπος για το αb μπορεί να γραφτεί πιο ρητά ως Αυτός ο τελικός τύπος επιτρέπει τον εύκολο υπολογισμό των μιγαδικών δυνάμεων από αναλύσεις της βάσης σε πολική μορφή και του εκθέτη σε καρτεσιανή μορφή. Φαίνεται εδώ και σε πολική και σε καρτεσιανή μορφή (μέσω της ταυτότητας Euler).
Παρομοίως βρίσκεται το (−2)3 + 4i, υπολογίζεται πρώτα η πολική μορφή του -2,
και γίνεται χρήση του παραπάνω τύπου ώστε να υπολογιστεί το
Η τιμή μίας μιγαδικής δύναμης εξαρτάται από τον κλάδο που χρησιμοποιείται. Για παράδειγμα, αν η πολική μορφή i = 1ei(5π/2) χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του i i, η δύναμη υπολογίζεται e−5π/2, η κύρια τιμή του i i, που υπολογίστηκε παραπάνω, είναι e−π/2. Το σύνολο όλων των πιθανών τιμών του i i δίνεται από:
Συνεπώς υπάρχουν άπειρες τιμές που είναι πιθανές τιμές του i i, μία για κάθε ακέραιο k. Όλες έχουν μηδενικό φανταστικό μέρος, έτσι μπορεί να ειπωθεί ότι το i i έχει άπειρες έγκυρες πραγματικές τιμές.
Μηδέν στη μηδενική δύναμη
right|thumb|300px|Γράφημα του z = abs(x)y οι κόκκινες καμπύλες τείνουν σε διαφορετικά όρια καθώς το (x,y) προσεγγίζει το (0,0). Οι πράσινες καμπύλες όλες τείνουν στο 1.
Οι περισσότεροι συγγραφείς συμφωνούν με τα παρακάτω που σχετίζονται με το 00, παίρνουν όμως διαφορετικές αποφάσεις όταν πρόκειται να ορίσουν το 00 ή όχι: δείτε την επόμενη υποενότητα.
Στις περισσότερες περιπτώσεις που δεν έχουν να κάνουν με την συνέχεια στον εκθέτη, ερμηνεύοντας το 00 ως 1 απλοποιεί τους τύπους και μηδενίζει την ανάγκη για ειδικές περιπτώσεις στα θεωρήματα. (Δείτε την επόμενη παράγραφο για περιπτώσεις που έχουν να κάνουν με συνέχεια.)
Για παράδειγμα:
Από την άλλη, όταν το 00 προκύπτει από όριο της μορφής, πρέπει να εκλαμβάνεται ως απροσδιόριστη μορφή.
Ιστορία των απόψεων πάνω στο 00
Διαφορετικοί συγγραφείς ερμηνεύουν την κατάσταση που περιγράφηκε παραπάνω με διαφορετικό τρόπο: Η διαμάχη συνεχίζεται τουλάχιστον από τις αρχές του 19ου αιώνα. Εκείνη την εποχή, οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν ότι 00 = 1, μέχρι που το 1821 ο Cauchy καταχώρισε το 00 μαζί με εκφράσεις όπως το στο πίνακα με τις απροσδιόριστες μορφές. Την δεκαετία του 1830 ο Libri δημοσίευσε ένα μη πειστικό επιχείρημα υπέρ του  00 = 1, και ο Möbius πήρε το μέρος του,  ισχυριζόμενος ότι   οποτεδήποτε  Ένας σχολιαστής που υπέγραψε απλά ως «S» παρείχε το αντιπαράδειγμα του  (e−1/t)t, γεγονός που σίγασε την διαμάχη για ένα διάστημα, με την κατάληξη ότι το 00 θα έπρεπε να είναι αόριστο.
Πρότυπο κινητής υποδιαστολής του IEEE
Το πρότυπο κινητής υποδιαστολής IEEE 754-2008 χρησιμοποιείται για τον σχεδιασμό των περισσοτέρων βιβλιοθηκών κινητής υποδιαστολής. Προτείνει ένα αριθμό διαφορετικών συναρτήσεων για τον υπολογισμό μίας δύναμης:
Γλώσσες προγραμματισμού
Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού με συνάρτηση δύναμης υλοποιούνται χρησιμοποιώντας την συνάρτηση pow του IEEE και συνεπώς αποτιμούν το 00 ως 1. Τα μεταγενέστερα πρότυπα της C και της C++ περιγράφουν αυτή τη συμπεριφορά ως μη κανονική. Η μέθοδος  του .NET Framework επείσης χειρίζεται το  00 ως 1.
Όρια των δυνάμεων
Στην ενότητα μηδέν στη μηδενική δύναμη υπάρχουν κάποια παραδείγματα ορίων τα οποία είναι της απροσδιόριστης μορφής 00. Τα όρια σε αυτά τα παραδείγματα υπάρχουν, αλλά έχουν διαφορετικές τιμές, δείχνοντας ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών xy δεν έχει όριο στο σημείο (0,0). Το ζήτημα είναι σε ποια σημεία έχει όριο αυτή η συνάρτηση.
Πιο συγκεκριμένα, έστω η συνάρτηση f(x,y) = xy, ορισμένη στο D = {(x,y) ∈ R2 : x > 0}. Τότε το D μπορεί να ειδωθεί ως υποσύνολο του R 2 (ήτοι το σύνολο όλων των ζευγών (x,y) με τα x,y να ανήκουν στην εκτεταμένη ευθεία των πραγματικών R = [−∞, +∞] εφοδιασμένο με γινόμενη τοπολογία), το οποίο θα περιέχει όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f έχει όριο.
Η f έχει όριο σε όλα τα οριακά σημεία του D εκτός από το (0,0), (+∞,0), (1,+∞) και (1,−∞). Σύμφωνα με αυτό μπορεί κανείς να ορίσει τις δυνάμεις xy διά της συνέχειας οποτεδήποτε 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, ακτό από τα 00, (+∞)0, 1+∞ και 1−∞, τα οποία παραμένουν απροσδιόριστες μορφές.
Υπό αυτόν τον ορισμό διά της συνέχειας, προκύπτει:
Αυτές οι δυνάμεις υπολογίζονται παίρνοντας τα όρια του xy για θετικές τιμε΄ς του x. Αυτή η μέθοδος δεν επιτρέπει ορισμό του xy όταν x < 0, καθώς τα ζεύγη (x,y) με x < 0 δεν είναι οριακά σημεία του D.
Από την άλλη, όταν ο n είναι ακέραιος, η δύναμη xn έχει σημασία για όλες τις τιμές του x, συμπεριλαμβανομένων και των αρνητικών. Αυτό μπορεί να κάνει τον ορισμό 0n = +∞ προβληματικό για αρνητικά n όταν το n είναι περιττός, καθώς σε αυτή την περίπτωση tn → +∞ καθώς το t τείνει στο 0 από θετικές τιμές αλλά όχι αρνητικές.
Αποδοτικός υπολογισμός ακέραιας δύναμης
Η απλούστερη μέθοδος για τον υπολογισμό αn απαιτεί n−1 πράξεις πολλαπλασιασμού, όμως μπορεί να υπολογιστεί πιο αποδοτικά όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. Για να υπολογιστεί το 2100, ας σημειωθεί ότι 100 = 64 + 32 + 4. Οι υπολογισμοί γίνονται με την ακόλουθη σειρά: Έτσι απαιτούνται μόνο 8 πράξεις πολλαπλασιασμού αντί για 99 (καθώς το τελευταίο γινόμενο απαιτεί 2 πολλαπλασιαμούς).
Εν γένει, ο αριθμός πράξεων πολλαπλασιασμού που απαιτείται για να υπολογιστεί το αn μπορεί να μειωθεί σε Θ(log n) χρησιμοποιώντας ύψωση σε δύναμη δια του τετραγωνισμού ή (πιο γενικά) ύψωση σε δύναμη με αλυσίδα πρόσθεσης. Βρίσκοντας την ελάχιστη ακολουθία πολλαπλασιασμών (το ελάχιστο μήκος αλυσίδας πρόσθεσης για τον εκθέτη) για το αn είναι δύσκολο πρόβλημα για το οποίο δεν είναι γνωστοί ακόμα αποδοτικοί αλγόριθμοι, υπάρχουν όμως διαθέσιμοι αρκετά αποδοτικοί ευριστικοί αλγόριθμοι.
Εκθετικός συμβολισμός για συναρτήσεις
Τοποθετώντας ένα ακέραιο εκθέτη μετά το όνομα ή το σύμβολο μίας συνάρτησης, σαν η συνάρτηση να υψώνονταν σε δύναμη, κατά κοινή χρήση σημαίνει επεναλαμβανόμενη σύνθεση συναρτήσεων παρά επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό. Συνεπώς το f3(x) μπορεί να σημαίνει f(f(f(x))), και πιο συγκεκριμένα το f−1(x) συνήθως συμβολίζει την αντίστροφη συνάρτηση της f. Οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη μελέτη των φράκταλ και των δυναμικών συστημάτων. Ο Babbage ήταν ο πρώτος που μελέτησε το πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας συνάρτησης f1/2(x).
Για ιστορικούς ωστόσο λόγους, ισχύει ειδική σύνταξη για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ένας θετικός εκθέτης στο όνομα της συνάρτησης σημαίνει ότι το αποτέλεσμα υψώνεται σε αυτή τη δύναμη, ενώ ο εκθέτης -1 υποδηλώνει την αντίστροφη συνάρτηση. Έτσι, sin2x είναι απλώς συντομογραφία του (sin x)2 χωρίς την χρήση παρενθέσεων, ενώ το sin−1x αναφέρεται στην αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου, που ονομάζεται arcsin x. Δεν υπάρχει ανάγκη για συντομογραφίες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων καθώς κάθε μία έχει το δικό της όνομα και συντομογραφία. Για παράδειγμα 1/sin x = (sin x)−1 είναι csc x (συντέμνουσα). Παρόμοια σύμβαση ισχύει και για τους λογάριθμους, όπου log2x συνήθως σημαίνει (log x)2, και όψι log log x.
Στην αφηρημένη άλγεβρα
Η ύψωση σε ακέραιο εκθέτη μπορεί να οριστεί για αρκετές γενικές δομές στην αφηρημένη άλγεβρα.
Έσρω X ένα σύνολο με μία προσεταιριστική κατά δύναμη διμελή πράξη η οποία γράφεται πολλαπλασιαστικά. Τότε το xn ορίζεται για κάθε στοιχείο x του X και οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό n ως το γινόμενο n αντιγράφων του x, το οποίο αναδρομικά ορίζεται ως
και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες
Αν η πράξη έχει επίσης αμφίπλευρα αντίστροφα στοιχεία, και ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός τότε το μάγμα είναι ομάδα. Το αντίστροφο του x μπορεί να συμβολιστεί ως x−1 και ακολουθεί όλυος τους σηνήθεις κανόνες των εκθετών.
Αν η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετική (όπως για παράδειγμα στις αβελιανές ομάδες, τότε ισχύει το ακόλουθο:
Όταν υπάρχουν διάφορες πράξεις, οποιαδήποτε από τις οποίες μπορεί να επαναληφθεί εκθετικά, είναι κοινή πρακτική να υπάρχει ένδειξη για το ποια πράξη επαναλαμβάνεται τοποθετώντας το σύμβολό της στον εκθέτη. Έτσι x*n είναι x * ··· * x, ενώ x#n είναι x # ··· # x, οποιεσδήποτε και αν είναι οι πράξεις * και #.
Ο εκθετικός συμβολισμό χρησιμοποιείται επίσης στη θεωρία ομάδων, ώστε να υποδηλώνει συζυγία. Δηλαδή, gh = h−1gh όπου g και h είναι τα στοιχεία κάποιας ομάδας. αν και η συζυγία υπακούει κάποιους κανόνες της ύψωσης σε δύναμη, δεν είναι παράδειγμα επαναλαμβανόμενου πολλαπλασιασμού υπό καμία έννοια.
Στα σύνολα
Αν το n είναι φυσικός αριθμός και το A ένα τυχαίο σύνολο, η έκφραση An χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει το σύνολο διατεταγμένων n-άδων στοιχείων του A. Αυτό είναι αντίστοιχο με το να τεθεί το An να δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων από το σύνολο {0, 1, 2, ..., n−1} στο σύνολο A. Η n-άδα (α0, α1, α2, ..., αn−1) αναπαριστά την συνάρτηση που αντιστοιχεί το i στο ai.
Για ένα άπειρο πληθικό αριθμό κ και ένα σύνολο A, χρησιμοποιείται επίσης ο συμβολισμός Aκ για να υποδηλώσει το σύνολο των συναρτήσεων από ένα σύνολο μεγέθους κ προς το A. Αυτό κάποιες φορές γράφεται κA για να διαχωριστεί από την πληθική ύψωση σε δύναμη, όπως ορίζεται παρακάτω.