cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Ομάδα
Δεύτερο παράδειγμα: Μια συμμετρική ομάδα
<li> Η προσεταιριστικότητα δεν περιορίζεται μόνο σε δύο συμμετρίες: Ξεκινούμε με τρία στοιχεία a, b και c του D4, υπάρχουν δύο δυνατοί τρόποι να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις τρεις συμμετρίες με αυτή τη σειρά για να ορίσουμε μια συμμετρία του τετραγώνου. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι να συνθέσουμε πρώτα το a και το b σε μία συμμετρία, και μετά να την συνθέσουμε με το c. Ο άλλος τρόπος είναι να συνθέσουμε πρώτα τα b και c, και μετά το αποτέλεσμα με το a. Η επιμεριστική ιδιότητα μας δείχνει ότι αυτοί οι δύο τρόποι είναι ίδιοι, δηλαδή, ένα γινόμενο πολλών στοιχείων μιας ομάδας μπορεί να γραφεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) μπορεί να ελεγχθεί από τον διπλανό πίνακα: Παρότι η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει για τις συμμετρίες του τετραγώνου  και την πρόσθεση των αριθμών, δεν ισχύει για κάθε πράξη. Για παράδειγμα, η αφαίρεση αριθμών δεν είναι προσεταιριστική: (7 − 3) − 2 = 2 δεν είναι το ίδιο με 7 − (3 − 2) = 6.
<li> Το ουδέτερο στοιχείο id αφήνει τα πάντα αναλλοίωτα: αν για κάθε συμμετρία a, εφαρμόζουμε το id μετά το a (η το a μετά το \mathrm{id}) τότε το αποτέλεσμα ισούται με a, συμβολικά,, .</li>
<li> Ένα αντίστροφο στοιχείο ανατρέπει τον μετασχηματισμό κάποιου άλλου στοιχείου. Κάθε συμμετρία μπορεί να ανατραπεί: καθένας από τους παρακάτω μετασχηματισμούς—ταυτότητα id, οι αναστροφές fh, fv, fd, fc και η περιστροφή κατά 180° r2—είναι τα αντίστροφα του εαυτού τους, διότι εφαρμόζοντάς τα δύο φορές το τετράγωνο επανέρχεται στον αρχικό του προσανατολισμό. Οι περιστροφές r3 και r1 είναι η μία αντίστροφη της άλλης, διότι περιστροφή κατά 90° και μετά περιστροφή κατά 270° (ή αντίστροφα) παράγει περιστροφή κατά 360° η οποία αφήνει το τετράγωνο αναλλοίωτο. Συμβολικά: fh • fh = id, r3 • r1 = r1 • r3 = id.</li></ol>
Σε αντίθεση με την ομάδα των ακεραίων παραπάνω, όπου η σειρά εκτέλεσης των πράξεων δεν μετράει, στην D4 έχει σημασία: fh • r1 = fc αλλάr1 • fh = fd. Με άλλα λόγια, η D4 δεν είναι αβελιανή, γεγονός που κάνει τη δομή αυτής της ομάδας πιο πολύπλοκη από την προαναφερθείσα παραπάνω ομάδα των ακεραίων.
Ιστορία
Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και ο Ευκλείδης, οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τον 18ο αιώνα.
Η σύγχρονη έννοια της αφηρημένης ομάδας αναπτύχθηκε από διάφορους τομείς των μαθηματικών. Το αρχικό κίνητρο για τη θεωρία ομάδων ήταν η αναζήτηση λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 4. Το 19ο αιώνα ο μαθηματικός Εβαρίστ Γκαλουά, επεκτείνοντας προηγούμενη δουλειά των Πάολο Ρουφίνι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, έδωσε ένα κριτήριο για την επιλυσιμότητα μιας συγκεκριμένης πολυωνυμικής εξίσωσης με χρήση της ομάδας συμμετριών των ριζών της. Τα στοιχεία μιας τέτοιας ομάδας Galois αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες μεταθέσεις των ριζών. Αρχικά, οι ιδέες του Γκαλουά απορρίφθηκαν από τους συγχρόνους του και δεν δημοσιεύθηκαν παρά μόνο μετά θάνατον. Οι ομάδες μεταθέσεων ερευνήθηκαν στη γενική τους μορφή από τον Ογκιστέν-Λουί Κοσί. Στο έργο του Άρθουρ Κέιλεϊ On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) δίνεται ένας πρώτος αφηρημένος ορισμός της πεπερασμένης ομάδας.
Η γεωμετρία ήταν το δεύτερο πεδίο στο οποίο οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά, ειδικά οι ομάδες συμμετρίας ως μέρος του προγράμματος Erlangen του Φέλιξ Κλάιν το 1872. Μετά την εμφάνιση νέων γεωμετριών, όπως της υπερβολικής και της προβολικής, ο Κλάιν χρησιμοποίησε τη θεωρία ομάδων για να τις οργανώσει πιο συνεκτικά. Επεικτείνοτας περεταίρω τις ιδέες αυτές, ο Σόφους Λι καθιέρωσε τη μελέτη των ομάδων Lie το 1884.
Η συνένωση αυτών των ποικίλων αποτελεσμάτων σε μια ενιαία θεωρία άρχισε με το Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) του Καμίλ Ζορντάν. Ο Βάλτερ φον Ντικ (1882) έδωσε μια πρώτη μορφή του σύγχρονου ορισμού μιας αφηρημένης ομάδας. Μέχρι τον 20ό αιώνα, οι ομάδες είχαν τύχει ευρείας αναγνώρισης μέσω του επαναστατικού έργου των Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους και Ουίλιαμ Μπέρνσαϊντ, οι οποίοι εργάστηκαν πάνω στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, την modular θεωρία αναπαραστάσεων του Ρίτσαρντ Μπράουερ και τις εργασίες του Ισάι Σουρ. Η θεωρία των ομάδων Lie, και γενικότερα των τοπικά συμπαγών ομάδων προωθήθηκε από τους Χέρμαν Βάιλ, Ελ Κάρταν και πολλούς άλλους. Το αλγεβρικό αντίστοιχό της, η θεωρία αλγεβρικών ομάδων, σχηματίστηκε αρχικά από τον Κλοντ Σεβαλέι (στα τέλη του 1930) και αργότερα από το καίριο έργο των Armand Borel και Ζακ Τιτς.
Το Έτος Θεωρίας Ομάδων 1960-61 του Πανεπιστημίου του Σικάγου μάζεψε ειδικούς της θεωρίας ομάδων, όπως οι Ντάνιελ Γκορστάιν, Τζον Τόμσον και Γουόλτερ Φάιτ, θέτοντας τα θεμέλια μιας συνεργασίας η οποία, με τη συμβολή πολλών άλλων μαθηματικών, ταξινόμησε όλες τις πεπερασμένες ομάδες το 1982. Αυτό το πρόγραμμα υπερέβη όλες τις προηγούμενες προσπάθειες λόγω του μεγέθους της, τόσο ως προς το μήκος των αποδείξεων, όσο και ως προς τον αριθμό των ερευνητών. Η έρευνα συνεχίζεται με σκοπό την απλοποίηση της απόδειξης της ταξινόμησης αυτής. Στις μέρες μας, η θεωρία ομάδων είναι ακόμη ένας ιδιαίτερα ενεργός κλάδος των μαθηματικών με αποφασιστική επιρροή σε πολλά άλλα πεδία.
Χαρακτηρισμοί ομάδων
Έστω A ένα σύνολο διάφορο του κενού και εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη \bullet, δηλαδή
Tότε η δομή καλείται:
Επιπλέον μια ομάδα καλείται αβελιανή ή αντιμεταθετική, αν επιπλέον ισχύει η εξής ιδιότητα:
Στοιχειώδη πορίσματα από τις ιδιότητες των ομάδων
Πολλές φορές οι ιδιότητες μπορούν να περιοριστούν στην ύπαρξη μόνο του αριστερού μοναδιαίου και αντίστροφου στοιχείου. Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ιδιότητες ισχύουν και από τις δύο πλευρές, οπότε είναι ισοδύναμες με τις παραπάνω.
Μοναδικότητα του μοναδιαίου και του αντίστροφου στοιχείου
Δύο πολύ σημαντικές συνέπειες των ιδιοτήτων των ομάδων είναι η μοναδικότητα του αντίστροφου και του μοναδιαίο στοιχείου. Μπορεί να υπάρχει μόνο ένα μοναδιαίο στοιχείο σε μία ομάδα και κάθε στοιχείο της ομάδας έχει ακριβώς ένα αντίστροφο στοιχείο. Γι’ αυτό αναφερόμαστε σ’ αυτά μιλώντας για το μοναδιαίο στοιχείο και το αντίστροφο στοιχείο.
Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα του αντίστροφου στοιχείου ενός a, υποθέτουμε ότι το a έχει δύο αντίστροφους, έστω b και c, σε μία ομάδα (G, •). Τότε:
Προκύπτει ότι το b είναι ίσο με το c. Με άλλα λόγια, υπάρχει μόνο ένα αντίστροφο στοιχείο για κάθε a. Όμοια, για να αποδείξουμε ότι το μοναδιαίο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, υποθέτουμε ότι η ομάδα G έχει δύο μοναδιαία στοιχεία, τα e και f. Τότε e = e • f = f, αφού e και f είναι ίσα.
Διαίρεση
Στις ομάδες μπορούμε να κάνουμε διαίρεση: δοθέντων στοιχείων a και b μιας ομάδας G, υπάρχει ακριβώς μία λύση x στην G που ικανοποιεί την εξίσωση x • a = b. Για την ακρίβεια, πολλαπλασιάζοντας από τα δεξιά με a−1 προκύπτει ότι x = x • a • a−1 = b • a−1. Όμοια, υπάρχει ακριβώς μία λύση y στην G που ικανοποιεί την εξίσωση a • y = b, και προκύπτει ότιy = a−1 • b. Γενικά, τα x και y δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα.
Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι ο πολλαπλασιασμός μιας ομάδας με ένα στοιχείο g είναι ισομορφισμός. Πιο συγκεκριμένα, αν το g είναι στοιχείο της ομάδας G, τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός από την G στον εαυτό της που ονομάζεται αριστερή κλάση κατά g και στέλνει το h ∈ G στο g • h. Όμοια, η δεξιά κλάση κατά g είναι ισομορφισμός της G στον εαυτό της που στέλνει το h στο h • g. Αν η G είναι αβελιανή ομάδα, η αριστερή και δεξιά κλάση ενός στοιχείου ταυτίζονται.
Βασικές έννοιες
Οι ενότητες που ακολουθούν χρησιμοποιούν μαθηματικά σύμβολα, όπως το X = {x, y, z} το οποίο υποδηλώνει ένα σύνολο X που περιέχει στοιχεία x, y, και z, ή εναλλακτικά, το x ∈ X το οποίο υποδηλώνει ότι το x είναι ένα στοιχείο του X. Ο συμβολισμός f : X → Y σημαίνει η f είναι μια συνάρτηση που στέλνει κάθε στοιχείο του X σε ένα στοιχείο του Υ.
Για να κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τα σύμβολα όπως τα παραπάνω, πρέπει να εισάγουμε έννοιες που αφορούν τη δομή τους. Υπάρχει μια εννοιολογική αρχή που διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: για να επωφεληθούμε από τη δομή των ομάδων, οι κατασκευές που σχετίζονται με τις ομάδες πρέπει να είναι συμβατές με την πράξη της ομάδας. Η συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, οι ομάδες μπορούν να συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων που ονομάζονται ομομορφισμοί ομάδων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οι ομομορφισμοί οφείλουν να τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε να μελετήσουμε τη δομή των ομάδων χωρίζοντάς τες σε υποομάδες και ομάδες πηλίκου. Η αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα στα μαθηματικά - είναι ένα παράδειγμα του να εργάζεσαι σε μία κατηγορία, στην προκειμένη περίπτωση, στην κατηγορία των ομάδων.
Ομομορφισμοί ομάδων
Οι ομομορφισμοί ομάδων είναι συναρτήσεις που διατηρούν τη δομή των ομάδων. Μία συνάρτηση a: G → H ανάμεσα σε δύο ομάδες (G,•) και (H,*) ονομάζεται ομομορφισμός, αν η εξίσωση ισχύει για όλα τα στοιχεία g, k της G. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αν εφαρμόσουμε την πράξη της ομάδας, είτε πριν είτε μετά τη συνάρτηση a. Έτσι εξασφαλίζεται ότι a(1G) = 1H, και επιπλέον a(g)−1 = a(g−1) για κάθε g της G. Έτσι, ένας ομομορφισμός ομάδων τηρεί τη δομή της G που προκύπτει από τις ιδιότητες των ομάδων.
Δύο ομάδες G και H λέγονται ισόμορφες, αν υπάρχουν ομομορφισμοί a: G → H και b: H → G, έτσι ώστε εφαρμόζοντας τις δύο αυτές απεικονίσεις τη μία μετά την άλλη με οποιαδήποτε σειρά, να προκύπτουν οι ταυτοτικές απεικονίσεις της G και της H. Δηλαδή, a(b(h)) = h και b(a(g)) = g για κάθε g της G και h της H. Κατά μία έννοια, οι ισόμορφες ομάδες μεταφέρουν την ίδια πληροφορία. Για παράδειγμα, το να αποδείξουμε ότι g • g = 1G για κάποιο στοιχείο g της G είναι το ίδιο με το να αποδείξουμε ότι a(g) * a(g) = 1H, γιατί εφαρμόζοντας την a στην πρώτη εξίσωση, προκύπτει η δεύτερη και αντίστοιχα εφαρμόζοντας την b στη δεύτερη εξίσωση, προκύπτει η πρώτη.
Υποομάδες
Στο παραπάνω παράδειγμα, το ταυτοτικό στοιχείο και οι στροφές αποτελούν την υποομάδα R = {id, r1, r2, r3}, που είναι σκιασμένη με κόκκινο χρώμα στον παραπάνω πίνακα: οποιεσδήποτε δύο στροφές αποτελούν στροφή και επιπλέον, μία στροφή μπορεί να αναιρεθεί (δηλ. να αντιστραφεί) με τις συμπληρωματικές στροφές 270° για τις 90°, 180° για τις 180°, και 90° για τις 270° (εδώ να σημειώσουμε ότι η περιστροφή προς την αντίθετη κατεύθυνση δεν μπορεί να οριστεί). Η παρακάτω συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία για να ελέγχουμε αν ένα υποσύνολο H της G είναι υποομάδα της G: αρκεί να ελέγξουμε αν g−1h ∈ H για κάθε στοιχείο g, h ∈ H. Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τις υποομάδες για να καταλάβουμε τις ομάδες ως δομές.
Σύμπλοκα
Σε ορισμένες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι δύο στοιχεία μιας ομάδας είναι το ίδιο, αν διαφέρουν κατά κάποιο στοιχείο μιας δοθείσας υποομάδας. Για παράδειγμα, στην D4 παραπάνω, μόλις πραγματοποιήσουμε μετατόπιση, το τετράγωνο δεν επιστρέφει στη θέση r2 με απλή εφαρμογή στροφής, δηλαδή η πράξη της στροφής δεν σχετίζεται με τον αν έχει πραγματοποιηθεί μετατόπιση. Τα σύμπλοκα χρησιμοποιούνται για να λυθεί αυτό το πρόβλημα: μια υποομάδα H ορίζει το δεξιό και αριστερό σύμπλοκο, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως μετατοπίσεις της H από κάποιο τυχαίο στοιχείο g. Το αριστερό και δεξιό σύμπλοκο της H που περιέχουν το g συμβολίζονται ως
Τα σύμπλοκα οποιασδήποτε υποομάδας H σχηματίζουν μία διαμέριση της G. Δηλαδή, η ένωση όλων των αριστερών συμπλόκων σχηματίζει την G και δύο αριστερά σύμπλοκα είτε ταυτίζονται είτε η τομή τους είναι το κενό. Στην πρώτη περίπτωση, το g1H = g2H ισχύει όταν και μόνο όταν g1−1 • g2 ∈ H, δηλαδή όταν δύο στοιχεία διαφέρουν κατά ένα στοιχείο της H. Όμοια και για το δεξιό σύμπλοκο. Τα αριστερά και δεξιά σύμπλοκα της H δεν είναι κατ’ ανάγκη ίσα. Αν είναι ίσα, δηλαδή αν για κάθε g της G, ισχύει gH = Hg, τότε η H ονομάζεται κανονική υποομάδα της G.
Στην D4, την εισαγωγική ομάδα συμμετρίας, τα αριστερά σύμπλοκα gR της υποομάδας R που αποτελείται από τις περιστροφές, είναι είτε ίσα με R, αν το g ανήκει στο ίδιο το R είτε ίσα με U = fcR = {fc, fv, fd, fh} (που είναι σκιασμένο με πράσινο). Η υποομάδα R είναι κι αυτή κανονική, επειδή fcR = U = Rfc και το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο στοιχείο πέρα απ’ το fc.
Σύνολο πηλίκο
Κάποιες φορές, το σύνολο των υποσυνόλων μιας υποομάδας διέπεται από τις ιδιότητες της ομάδας, και προκύπτει έτσι το σύνολο πηλίκο. Για να γίνει αυτό, μια υποομάδα πρέπει να είναι κανονική. Για οποιαδήποτε υποομάδα N, το σύνολο πηλίκο ορίζεται ως Αυτό το σύνολο υιοθετεί την πράξη (που πολλές φορές την ονομάζουμε πολλαπλασιασμό ή πρόσθεση) της ομάδας G: (gN) • (hN) = (gh)N για κάθε g και h της G. Αυτός ο ορισμός προκύπτει ξέροντας ότι η απεικόνιση G → G / N που στέλνει κάθε στοιχείο g στο σύμπλοκο gN, είναι ομομορφισμός ομάδων. Το υποσύνολο eN=N είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας και το αντίστροφο του gN στο σύνολο πηλίκο είναι το στοιχείο (gN)−1 = (g−1)N.
Τα στοιχεία του σύνολου πηλίκου D4 / R είναι το ίδιο το R, που είναι το μοναδιαίο στοιχείο, καθώς και το U = fvR. Η πράξη του σύνολου πηλίκου αναπαριστάται στον διπλανό πίνακα. Για παράδειγμα, U • U = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Η υποομάδα R = {id, r1, r2, r3}, καθώς και το αντίστοιχο σύνολο πηλίκο, είναι αβελιανές ομάδες, ενώ το D4 δεν είναι αβελιανή ομάδα. Ο σχηματισμός μεγαλύτερων ομάδων από την ένωση μικρότερων, όπως για παράδειγμα η ομάδα D4 που σχηματίζεται από την υποομάδα R και το σύνολο πηλίκο D4 / R προκύπτει από ως ημιευθύ γινόμενο.
Τα σύνολα πηλίκα και οι υποομάδες μπορούν να περιγράψουν μια ομάδα ως εξής: κάθε ομάδα είναι το πηλίκο της ελεύθερης ομάδας προς τους γεννήτορες της ομάδας, διαιρούμενοι από την υποομάδα των σχέσεων. Η διεδρική ομάδα D4, για παράδειγμα, παράγεται από δύο στοιχεία r και f (π.χ., r = r1, η δεξιά στροφή και f = fv η κάθετη (ή οποιαδήποτε άλλη) μετατόπιση), που σημαίνει ότι κάθε συμμετρία του τετραγώνου είναι πεπερασμένη σύνθεση αυτών των δύο συμμετριών ή των αντιστρόφων τους. Μαζί με τις σχέσεις
Οι υποομάδες και τα σύνολα πηλίκα σχετίζονται ως εξής: ένα υποσύνολο Η της G μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση ένα προς ένα H → G, δηλαδή κάθε όρισμα αντιστοιχίζεται σε αποκλειστικά δική του τιμή. Αντίστοιχα με τις ένα προς ένα, υπάρχουν και οι επί συναρτήσεις (κάθε στοιχείο του G είναι εικόνα κάποιου στοιχείου στο H), όπως για παράδειγμα η κανονική συνάρτηση G → G / N. Η ερμηνεία των υποομάδων και των συνόλων πηλίκων υπό το πρίσμα των ομομορφισμών, δίνει έμφαση στις δομές αυτών των ορισμών που αναφέρθηκαν στην εισαγωγή. Γενικά, οι ομομορφισμοί δεν είναι ούτε ένα προς ένα συναρτήσεις, ούτε επί. Ο πυρήνας και η εικόνα μιας ομάδας ομομορφισμών, καθώς και το πρώτο θεώρημα του ισομορφισμού το αποδεικνύουν.
Παραδείγματα και εφαρμογές
Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα και εφαρμογές για τις ομάδες. Πρώτα απ’ όλα, το σύνολο Z των ακέραιων εφοδιασμένο με την πράξη της πρόσθεσης, που περιγράφεται παραπάνω. Αν αντί για την πρόσθεση χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό, προκύπτουν πολλαπλασιαστικές ομάδες. Αυτές οι ομάδες είναι προκάτοχοι σημαντικών κατασκευών της αφηρημένης άλγεβρας. Οι ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης και σε άλλους τομείς των μαθηματικών.
Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τα σε ομάδες και μελετώντας τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, ο Ανρί Πουανκαρέ δημιούργησε αυτό που λέμε σήμερα αλγεβρική τοπολογία, ορίζοντας τη θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως η ανοιχτή περιοχή και η συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες των ομάδων. Για παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Η δεύτερη εικόνα στα δεξιά δείχνει βρόχους στον χώρο, γύρω από ένα σημείο που δεν ανήκει στον βρόχο. Ο μπλε βρόχος θεωρείται μη ομοτοπικός (γι’ αυτό και άσχετος), επειδή μπορεί να μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Η ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τον πορτοκαλί βρόχο να μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου που δεν περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, που παράγεται από τον πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο που περιστρέφεται γύρω από την τρύπα). Με αυτόν τον τρόπο, η θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει την τρύπα.
Σε πιο πρόσφατες εφαρμογές, η επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί για να παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Με παρόμοιο τρόπο, η γεωμετρική θεωρία ομάδων ασχολείται με γεωμετρικές έννοιες, όπως για παράδειγμα, τη μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται η θεωρία ομάδων είναι η αλγεβρική γεωμετρία και η θεωρία αριθμών. Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές των ομάδων. Η κρυπτογραφία βασίζεται στο συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων και στις γνώσεις πάνω στους αλγορίθμους που αποκτήθηκαν στην υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται για πεπερασμένες ομάδες. Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δεν περιορίζονται στα μαθηματικά. Επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία και η επιστήμη υπολογιστών ωφελούνται σε μεγάλο βαθμό από την θεωρία ομάδων.
Αριθμοί
Πολλά αριθμητικά συστήματα, όπως οι ακέραιοι και οι ρητοί, ανήκουν εκ φυσικού σε σύνολα που συμπεριφέρονται ως ομάδες. Σε μερικές περιπτώσεις, όπως συμβαίνει με τους ρητούς, και η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δημιουργούν ομάδες. Τέτοια αριθμητικά συστήματα είναι προκάτοχοι κάποιων άλλων γενικών αλγεβρικών εννοιών, γνωστοί ως δακτύλιοι και σώματα. Άλλες έννοιες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι και οι άλγεβρες, σχηματίζουν επίσης ομάδες.
Ακέραιοι
Το σύνολο των ακεραίων Z εφοδιασμένο με την πρόσθεση, συμβολίζεται ως (Z, +), και αναφέρθηκε παραπάνω. Οι ακέραιοι, με την πράξη του πολλαπλασιασμού αντί για την πρόσθεση, δηλαδή το (Z, ·) δεν αποτελούν ομάδα. Ενώ πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας, δεν υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο: για παράδειγμα, το a = 2 είναι ένας ακέραιος, αλλά η μόνη λύση της εξίσωσης a · b = 1 είναι το b = 1/2, που ανήκει στους ρητούς και όχι στους ακέραιους. Οπότε, δεν υπάρχει το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο στοιχείο για κάθε στοιχείο του Z.
Καμπαναριό
thumb|280px|Το καμπαναριό της [[Καρίταινας, έργο του 14ου αι., ασκητικής βυζαντινής αρχιτεκτονικής]] Το καμπαναριό ή κωδωνοστάσιο, είναι αρχιτεκτονική κατασκευή σε σχήμα πύργου με σκοπό την ανάρτηση καμπανών, και ονομάζεται έτσι άσχετα αν φέρει καμπάνες ή όχι. Συναντάται κυρίως σε εκκλησίες. Τα αρχιτεκτονικά του χαρακτηριστικά είναι διαλεγμένα κατά τέτοιο τρόπο ώστε να συμβαδίζει μεν στον γενικό αρχιτεκτονικό ρυθμό του κτιρίου, στο οποίο υπάγεται, αλλά και να λειτουργεί ως μουσικό ηχητικό όργανο για να ενισχύει τον ήχο της καμπάνας και να τον μεταφέρει όσο το δυνατό μακρύτερα.
Ομάδα
Ρητοί
Η ανάγκη ύπαρξης αντιστρόφων στον πολλαπλασιασμό μας οδηγεί στη χρήση κλασμάτων Τα κλάσματα ακεραίων (με bδιάφορο του μηδενός) ονομάζονται ρητοί αριθμοί. Το σύνολο όλων αυτών των κλασμάτων συμβολίζεται ως Q. Υπάρχει ακόμα ένα μικρό εμπόδιο για να αποτελέσει ομάδα το (Q, ·), το σύνολο των ρητών με τον πολλαπλασιασμών. Ο ρητός αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο (δηλαδή δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε x · 0 = 1), οπότε το (Q, ·) δεν είναι ομάδα.
Καμπαναριό
Τα ψηλότερα καμπαναριά της Ελλάδας
αριστερά|μικρογραφία|Ένα από τα ψηλότερα καμπαναριά στην Ελλάδα, [[Άγιος Διονύσιος Ζακύνθου|Άγιος Διονύσιος, Ζάκυνθος.]] μικρογραφία|Καμπαναριό με 400 σήμαντρα και 62 καμπάνες (προς μίμηση της [[Αγία Σοφία (Κωνσταντινούπολη)|Αγίας Σοφίας) στη Μονή Αγ. Αυγουστίνου Ιππώνος & Σεραφείμ του Σάρωφ Φωκίδος.]] Τα ψηλότερα καμπαναριά της Ελλάδος βρίσκονται: στη Ζάκυνθο στον Ιερό Ναό του Αγίου Διονυσίου, στην Αίγινα στον Ιερό Ναό του Αγίου Νεκταρίου, στην Κατερίνη στον Ιερό Ναό της Αγίας Άννης, και στο Άργος στον Ιερό Ναό του Αγίου Ιωάννη.
Ομάδα
Ρητοί
Ωστόσο, το σύνολο όλων των μη μηδενικών ρητών αριθμών Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} είναι αβελιανή ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό και συμβολίζεται ως (Q \ {0}, ·). Η προσεταιριστικότητα και το μοναδιαίο στοιχείο είναι επακόλουθα των ιδιοτήτων των ακεραίων. Η κλειστότητα όμως δεν ισχύει, εφόσον το γινόμενο δύο μη μηδενικών ρητών δεν είναι ποτέ μηδέν. Τέλος, ο αντίστροφος του a/b είναι ο b/a, οπότε ικανοποιείται η ιδιότητα του αντίστροφου στοιχείου.
Καμπαναριό
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Καμπανολογία Κατηγορία:Κτίρια και κατασκευές
Harangláb (építmény)
Ομάδα
Αριθμητική μέτρου
Στην αριθμητική μέτρου, δύο ακέραιοι προστίθενται, και μετά το άθροισμά τους διαιρείται από τον θετικό ακέραιο που ονομάζεται modulus. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής μέτρου είναι το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης. Για κάθε modulus, το n, το σύνολο των ακεραίων από 0 μέχρι n−1 σχηματίζει ομάδα υπό την αριθμητική μέτρου: το αντίστροφο ενός στοιχείου a είναι το n−a, και το 0 είναι το μοναδιαίο στοιχείο. Αυτό θυμίζει τις ώρες των ρολογιών: αν ο δείκτης του ρολογιού είναι στο 9 και προχωρήσει κατά 4 ώρες, θα καταλήξει στο 1, όπως φαίνεται στα δεξιά. Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι 9 + 4 ίσον 1 "modulo 12" ή συμβολίζοντάς το έτσι: Η ομάδα των ακεραίων modulo n γράφεται Zn or Z/nZ.
Για κάθε πρώτο αριθμό p, υπάρχει επίσης η πολλαπλασιαστική ομάδα ακεραίων modulo p. Τα στοιχεία του είναι οι ακέραιοι 1 έως p−1. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός modulo p. Δηλαδή, το σύνηθες γινόμενο διαιρείται με p και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κατά modulo. Για παράδειγμα, αν p = 5, υπάρχουν τέσσερα στοιχεία της ομάδας 1, 2, 3, 4. Σε αυτήν την ομάδα, 4 · 4 = 1, επειδή το σύνηθες γινόμενο 16 είναι ισοδύναμο με 1, αφού όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 1. Αυτό συμβολίζεται ως: Το ότι ο p είναι πρώτος διασφαλίζει ότι το γινόμενο των δύο ακεραίων, απ’ τους οποίους κανείς δεν διαιρείται από το p δεν θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του p, οπότε το σύνολο των κλάσεων θα είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Το μοναδιαίο στοιχείο είναι το 1, όπως συνηθίζεται στις πολλαπλασιαστικές ομάδες, και η προσεταιριστικότητα προκύπτει από την αντίστοιχη ιδιότητα των ακεραίων. Τέλος, το αντίστροφο στοιχείο προϋποθέτει ότι αν δίνεται ένας ακέραιος a που δεν διαιρείται με το p, υπάρχει ένας ακέραιος b τέτοιος ώστε Ο αντίστροφος b μπορεί να βρεθεί με τη χρήση της ταυτότητας του Μπεζού και το γεγονός ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης μ.κ.δgcd(a, p) ισούται με 1. Στην περίπτωση παραπάνω όπου p = 5, το αντίστροφο του 4 είναι 4, και το αντίστροφο του 3 είναι 2, αφού 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Ως εκ τούτου, πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας. Στην πραγματικότητα, αυτό το παράδειγμα είναι παρόμοιο με το (Q\{0}, ·) που αναφέρθηκε παραπάνω: αποτελείται από τα στοιχεία του Z/pZ που έχουν μια αντίστροφο με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Οι ομάδες αυτές συμβολίζονται ως Fp×. Είναι ζωτικής σημασίας για την κρυπτογράφηση κωδίκων.
Κυκλικές ομάδες
Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a. Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι: όπου a2 σημαίνει a • a, και a−3 σημαίνει a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 κτλ. Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας. Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφτούν ως
Στις ομάδες Z/nZ που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές. Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1. Κάθε κυκλική ομάδα με n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας. Ένα δεύτερο παράδειγμα για τις κυκλικές ομάδες είναι η ομάδα των n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z που ικανοποιούν την εξίσωση zn = 1. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για n = 6. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το z αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα Fp× είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν p = 5, το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, and 34 ≡ 1.
Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a, όλες οι δυνάμεις του a είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν κύκλο. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι αβελιανές, έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.
Η μελέτη των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Έτσι, πολλές θεωρίες που σχετίζονται με τις ομάδες, όπως το κέντρο και ο αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μια ομάδα δεν είναι αβελιανή.
Ομάδες συμμετρίας
Οι ομάδες συμμετρίας είναι ομάδες που αποτελούνται από συμμετρίες δοθέντων μαθηματικών αντικειμένων – είτε γεωμετρικής φύσης, όπως η εισαγωγική συμμετρική ομάδα του τετραγώνου, ή αλγεβρικής φύσης, όπως οι πολυωνυμικές εξισώσεις και οι λύσεις τους. Από εννοιολογικής άποψης, η θεωρία ομάδων μπορεί να θεωρηθεί ως η μελέτη της συμμετρίας. Οι συμμετρίες στα μαθηματικά απλοποιούν σημαντικά τη μελέτη των γεωμετρικών ή αναλυτικών αντικείμενων. Μια ομάδα λέγεται ότι δρα σε ένα άλλο μαθηματικό αντικείμενο X εάν κάθε στοιχείο της ομάδας εκτελεί κάποια λειτουργία στο X και είναι συμβατή με τους κανόνες της ομάδας. Στο παρακάτω παράδειγμα δεξιά, ένα στοιχείο τάξης 7 της (2,3,7) τριγωνικής ομάδας δρα με μετάθεση των επισκιασμένων πλαγίων τρίγωνων. Από μια ομάδα δράσης, το μοτίβο της ομάδας είναι συνδεδεμένο με τη δομή του αντικειμένου που ενήργησε.
Σε τομείς χημικών προϊόντων, όπως η κρυσταλλογραφία, ομάδες χώρων και ομάδες σημείων περιγράφουν τη μοριακή συμμετρία και τις κρυσταλλικές συμμετρίες. Αυτές οι συμμετρίες διέπουν τη χημική και φυσική συμπεριφορά των συστημάτων αυτών και της θεωρίας ομάδων επιτρέπει την απλούστευση της κβαντικής μηχανικής ανάλυσης των ιδιοτήτων αυτών. Για παράδειγμα, η θεωρία ομάδων χρησιμοποιείται για να δείξει κανείς ότι οι οπτικές μεταβάσεις μεταξύ ορισμένων κβαντικών επιπέδων δεν μπορεί να γίνει εξαιτίας της εμπλεκόμενης συμμετρίας των κανόνων.
Δεν είναι μόνο οι ομάδες χρήσιμες για την εκτίμηση των επιπτώσεων των συμμετριών στα μόρια, αλλά εκπληκτικά αυτά προβλέπουν επίσης ότι τα μόρια μερικές φορές μπορεί να αλλάξουν συμμετρία. Η επίδραση Τζιάν-Τέλερ (Jahn-Teller effect) είναι μια στρέβλωση του ενός μορίου της υψηλής συμμετρίας, όταν υιοθετεί μια συγκεκριμένη κατάσταση του εδάφους της συμμετρίας κάτω από ένα σύνολο των πιθανών καταστάσεων του εδάφους που σχετίζονται με κάθε άλλη από τις πράξεις συμμετρίας του μορίου.
Ομοίως, η θεωρία ομάδων βοηθά στην πρόβλεψη των αλλαγών στις φυσικές ιδιότητες που συμβαίνουν όταν ένα υλικό υποβάλλεται σε μια μεταβατική φάση, για παράδειγμα, ένα κυβικό σε μια τετραεδρική κρυσταλλική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι σιδηροηλεκτρικά υλικά, όπου η αλλαγή από παραηλεκτρική σε ένα σιδεροηλεκτρική κατάσταση λαμβάνει χώρα στη Θερμοκρασία Κιρί και σχετίζεται με μια αλλαγή από την κατάσταση υψηλής συμμετρίας παραηλεκτρικής κατάστασης χαμηλότερης σιδηροηλεκτρικής συμμετρίας, που συνοδεύεται από μια λεγόμενη μαλακή λειτουργία, μια παλμική λειτουργία πλέγματος που πηγαίνει στο μηδέν συχνότητα κατά τη μετάβαση.
Τέτοιο αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας βρίσκει εφαρμογή στην φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων, όπου η εμφάνισή της σχετίζεται με την εμφάνιση των μποζονίων Γκολντστόουν.
Οι πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας, όπως οι ομάδες Μάθιου (Mathieu), χρησιμοποιούνται στη θεωρία κωδικοποίησης, η οποία με τη σειρά της εφαρμόζεται στην διόρθωση σφαλμάτων των μεταδιδόμενων δεδομένων και σε συσκευές αναπαραγωγής CD. Μια άλλη εφαρμογή είναι η διαφορική θεωρία Γκαλουά, η οποία χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις που έχουν αντιπαράγωγου της προκαθορισμένης μορφής, δίνοντας κριτήρια θεωρίας ομάδων για το πότε οι λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων είναι καλά ορισμένες. Οι γεωμετρικές ιδιότητες που παραμένουν σταθερές στο πλαίσιο των δράσεων της ομάδας μελετώνται στη θεωρία (γεωμετρικής) μεταβλητότητας.
Γενική γραμμική ομάδα και θεωρία εκπροσώπησης
Οι ομάδες πινάκων αποτελούνται από πίνακες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Η γενική γραμμική ομάδα GL_n(\R) αποτελείται από όλους τους αντιστρέψιμους n \times n πίνακες με πραγματικά στοιχεία. Οι υποομάδες της αναφέρονται ως ομάδες πινάκων ή γραμμικές ομάδες. Το παράδειγμα της διεδρικής ομάδας που αναφέρθηκε παραπάνω μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ μικρή) ομάδα πινάκων. Μια άλλη σημαντική ομάδα πινάκων είναι η ειδική ορθογώνια ομάδα SO_n. Περιγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές σε n διαστάσεις. Μέσω γωνιών Όιλερ, οι πίνακες περιστροφής χρησιμοποιούνται σε γραφικά υπολογιστών.
Ομάδες Γκαλουά (Galois)
Οι ομάδες Γκαλουά αναπτύχθηκαν για να βοηθήσουν στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, αναπαριστώντας αποδοτικά τα χαρακτηριστικά συμμετρίας τους. Για παράδειγμα, οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από Ανταλλάσσοντας τα "+" και "-" στην έκφραση (δηλαδή μετατίθοντας τις δύο λύσεις της εξίσωσης) μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ απλή) πράξη ομάδας. Παρόμοιοι τύποι είναι γνωστοί για εξισώσεις 3ου κ 4ου βαθμού, αλλά δεν υπάρχουν σε γενικές γραμμές για 5ου βαθμού και άνω. Αφηρημένες ιδιότητες των ομάδων Γκαλουά που συνδέονται με πολυώνυμα (ιδίως στην επιλυσιμότητά τους) μπορούν να δώσουν ένα κριτήριο για πολυώνυμα που έχουν όλες τις λύσεις τους, και να εκφραστεί μόνο από πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και ρίζες ομοίως με τον κανόνα που είδαμε παραπάνω.
Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη μετατόπιση της θεωρίας σωμάτων και λαμβάνοντας υπόψη τη διάσπαση σώματος ενός πολυωνύμου. Η σύγχρονη θεωρία Γκαλουά γενικεύει τον παραπάνω τύπο ομάδων Γκαλουά για τις επεκτάσεις τομέα και καθορίζει, μέσω του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Γκαλουά, μια ακριβής σχέση ανάμεσα στα πεδία και τις ομάδες, υπογραμμίζοντας για άλλη μια φορά την πανταχού παρουσία των ομάδων στα μαθηματικά.
Πεπερασμένες ομάδες
Μια ομάδα ονομάζεται πεπερασμένη αν έχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Ο αριθμός των στοιχείων ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μια σημαντική κατηγορία είναι η συμμετρικές ομάδες S_N, δηλαδή οι ομάδες των μεταθέσεων N γραμμάτων. Για παράδειγμα, η συμμετρική ομάδα για 3 γράμματα S_3 είναι η ομάδα που αποτελείται από όλες τις πιθανές διατάξεις από τα τρία γράμματα ABC, δηλαδή περιλαμβάνει τα στοιχεία ABC, ACB, ..., μέχρι CBA, στο σύνολο 6 (ή 3 παραγοντικό) στοιχεία. Αυτή η κατηγορία είναι θεμελιώδης στο βαθμό που οποιαδήποτε ομάδα πεπερασμένη μπορεί να εκφραστεί ως μια υποομάδα μιας συμμετρικής ομάδας S_N για έναν κατάλληλο ακέραιο N (θεώρημα του Κέιλεϊ). Όπως με την ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου παραπάνω, η S_3 μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως η ομάδα των συμμετριών ενός ισοσκελούς τριγώνου.
<cite id=order_of_an_element>Η τάξη ενός στοιχείου a σε μια ομάδα G είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε a^n = e, όπου δηλαδή η εφαρμογή της πράξης \bullet σε n αντίγραφα του στοιχείου a. (Αν το \bullet αντιπροσωπεύει πολλαπλασιασμό, τότε αντιστοιχεί στην n-ιοστή δύναμη του a.) Στις άπειρες ομάδες, μπορεί να μην υπάρχει τέτοιο n, οπότε λέμε ότι η τάξη του a είναι άπειρη. Η τάξη ενός στοιχείου ισούται με την τάξη της κυκλικής υποομάδας που παράγεται από αυτό το στοιχείο.
Πιο εξελιγμένες τεχνικές μέτρησης, για παράδειγμα, μετρώντας πλευρικές τάξεις ομάδας αποδίδει πιο ακριβείς προτάσεις σχετικά με πεπερασμένες ομάδες: το θεώρημα Λαγκράνζ (Lagrange) δηλώνει ότι για μια πεπερασμένη ομάδα G η τάξη της κάθε πεπερασμένη υποομάδας H χωρίζει την τάξη του G. Τα θεωρήματα Sylow δίνουν αντίστροφο.
Η διεδρική ομάδα (που συζητείται ανωτέρω) είναι μια πεπερασμένη ομάδα τάξης 8. Η τάξη του r1 είναι 4, όπως είναι η σειρά της υποομάδας R που παράγει (βλέπε παραπάνω). Η σειρά του προβληματισμού fv στοιχείων κλπ. είναι 2. Και οι δύο εντολές διαιρούν το 8, όπως προβλέπεται από το Θεώρημα του Λαγκράνζ. Οι ομάδες Fp× παραπάνω έχουν τάξη p − 1.
Η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων
Οι μαθηματικοί συχνά προσπαθούν για μια πλήρη ταξινόμηση μιας μαθηματικής έννοιας. Στο πλαίσιο των πεπερασμένων ομάδων, ο στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σε δύσκολα και βαθιά μαθηματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα του Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης p, είναι κατ' ανάγκην κυκλικές (αβελιανές) Zp ομάδες. Ομάδες p2 τάξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μια πρόταση η οποία δεν γενικεύεται για τάξη p3, ως μη αβελιανή ομάδα D4 τάξης 8 = 23 όπως φαίνεται παραπάνω. Το σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λίστα μικρών ομάδων, αλλά δεν υπάρχει κατάταξη όλων των πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων. Μια ομάδα ονομάζεται απλή, αν οι μόνες κανονικές της υποομάδες είναι η τετριμμένη ομάδα και η ίδια η ομάδα. Το θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τα δομικά στοιχεία για όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί του καταλόγου όλων των πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα στη σύγχρονη θεωρία ομάδων. Ο νικητής του μεταλλίου Fields του 1998 Borcherds Richard κατάφερε να αποδείξει την τερατώδη εικασία, μια εκπληκτική και βαθιά σχέση της μεγαλύτερης πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδας -η «ομάδα τέρας»- με ορισμένες σπονδυλωτές λειτουργίες, ένα κομμάτι της μιγαδικής ανάλυσης και η θεωρία μέτρου, μια θεωρία υποτίθεται ότι θα ενοποιήσει την περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων.
Προσθετικές ομάδες
Πολλές ομάδες είναι ταυτόχρονα ομάδες και παραδείγματα άλλων μαθηματικών δομών. Στη γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, είναι τα αντικείμενα της ομάδας σε μια κατηγορία, που σημαίνει ότι είναι αντικείμενα (δηλαδή, παραδείγματα άλλη μαθηματική δομή) τα οποία έρχονται με μετασχηματισμούς (που ονομάζονται πολυμορφισμοί) που μιμούνται τα αξιώματα της ομάδας. Για παράδειγμα, κάθε ομάδα (όπως ορίζεται παραπάνω) είναι, επίσης, ένα σύνολο, έτσι ώστε μια ομάδα είναι ένα αντικείμενο της ομάδας στην κατηγορία των συνόλων.
Ομάδες Λι (Lie)
Οι ομάδες Λι (προς τιμήν του Σόφους Λι) είναι ομάδες οι οποίες έχουν επίσης μια πολλαπλή δομή, δηλαδή οι χώροι που τοπικά μοιάζουν με έναν ευκλείδειο χώρο κατάλληλης διάστασης. Και πάλι, ο ορισμός χρειάζεται επιπλέον δομή, εδώ η πολλαπλή δομή, πρέπει να είναι συμβατή, δηλαδή οι συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε πολλαπλασιασμό και η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει να είναι λεία. Ένα πρότυπο παράδειγμα είναι η γενική γραμμική ομάδα που εισάγεται παραπάνω: είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του χώρου όλων των Ν-με-Ν μήτρες, επειδή αυτή δίνεται από την ανισότητα
όπου το A συμβολίζει έναν πίνακα nxn.
Οι ομάδες Λι είναι θεμελιώδους σημασίας στη σύγχρονη φυσική: συνδέσεις του θεωρήματος Noether είναι συνεχείς συμμετρίες σε διατηρούμενες ποσότητες, περιστροφή, καθώς και μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο είναι βασικές συμμετρίες των νόμων της μηχανικής. Μπορούν, για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή απλών μοντέλων-επιβολή, ας πούμε, αξονική συμμετρία σε μία κατάσταση τυπικά θα οδηγήσει σε σημαντική απλούστευση στις εξισώσεις πρέπει κανείς να λύσει για να παρέχει μια φυσική περιγραφή. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι μετασχηματισμοί Λόρεντς, οι οποίοι αφορούν τις μετρήσεις του χρόνου και της ταχύτητας των δύο παρατηρητών σε κίνηση σε σχέση με τον άλλο. Μπορούν να προκύψουν με έναν αμιγώς φτωχό θεωρητικό τρόπο ομάδας, εκφράζοντας τους μετασχηματισμούς ως περιστροφική συμμετρία του χώρου Minkowski. Ο τελευταίος εξυπηρετεί-στην απουσία σημαντικής βαρύτητας-ως μοντέλο του χωροχρόνου στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Η πλήρης ομάδα συμμετρίας χώρου Minkowski, δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των μεταφράσεων, που είναι γνωστό ως ομάδα Πουανκαρέ. Από τα παραπάνω, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο στην ειδική θεωρία της σχετικότητας και, κατά συνέπεια, για την κβαντική θεωρία πεδίου. συμμετρίες που ποικίλουν ανάλογα με την τοποθεσία είναι κεντρικής σημασίας για τη σύγχρονη περιγραφή των φυσικών αλληλεπιδράσεων με τη βοήθεια της θεωρίας βαθμίδας.
Γενικεύσεις
Στην αφηρημένη άλγεβρα, πιο γενικές δομές ορίζονται με την απλούστευση ορισμένων από τα αξιώματα των ομάδων. Για παράδειγμα, η αλγεβρική δομή των μονοειδών δεν απαιτεί ότι κάθε στοιχείο έχει έναν αντίστροφο. Οι φυσικοί αριθμοί \N (συμπεριλαμβανομένου του 0) με την πράξη της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα μονοειδές, όπως και οι μη μηδενικοί ακέραιοι με πολλαπλασιασμό. Υπάρχει μια γενική μέθοδος ώστε να προστεθούν αντίστροφοι στα στοιχεία κάθε αβελιανού μονοειδούς, με παρόμοιο τρόπο όπως το προέρχεται από, λαμβάνοντας μία ομάδα γνωστή ως ομάδα Grothendieck. Τα ομαδοειδή είναι παρόμοια με τις ομάδες εκτός από το ότι η σύνθεση a \bullet b δεν χρειάζεται να οριστεί για όλες τα στοιχεία a και b. Τέτοιες δομές μπορούν να προκύψουν από μελέτη περίπλοκων μορφών συμμετρίας, συχνά σε τοπολογικές και αναλυτικές δομές, όπως το θεμελιώδες ομαδοειδές ή στοίβες. Τέλος, είναι δυνατό να γενικεύσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις έννοιες, αντικαθιστώντας την δυαδική λειτουργία με αυθαίρετη n-οστή (δηλαδή μια πράξη λαμβάνοντας n παραμέτρους). Με την κατάλληλη γενίκευση των αξιωμάτων της ομάδας μπορεί να δημιουργήσει μια n-αδική ομάδα.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων Κατηγορία:Συμμετρία Κατηγορία:Αλγεβρικές δομές
Καπανέας
Ο Καπανέας (αρχαία Καπανεύς) ήταν Αργείος ήρωας στην Ελληνική Μυθολογία γιος του Ιππονόου και της Αστυνόμης, εκ μητρός ανεψιός του Αδράστου και πατέρας του Σθενέλου, ένας από τους ανδρειότερους και τολμηρότερους από τους ήρωες των «Επτά επί Θήβας». Αναφέρεται επίσης μυθικός βασιλιάς της Ωλένου.
Όταν κατέλαβε το παρά τις «Ηλεκτρίδες πύλες» μέρος του τείχους, ο Καπανεύς αναρριχήθηκε στις επάλξεις και στάθηκε εκεί υπερήφανα για τον άθλο του, ζήτησε δαυλό για να πυρπολήσει και να κάψει την πόλη, ακόμη και παρά «τη θέληση των θεών», όπως βροντοφώναζε ο ίδιος. Τότε ο Δίας τιμώρησε τον υπερόπτη ήρωα και, ενόσω στέκονταν προκαλώντας στις επάλξεις να του φέρουν αναμμένο δαυλό, τον κεραυνοβόλησε.
Από την παράδοση αυτή εμπνεύσθηκαν και οι τρεις κορυφαίοι τραγικοί ποιητές, καθώς και αρκετοί αντιπρόσωποι εικαστικών τεχνών, ιδίως σε αγγειογραφίες που παριστούν συνήθως τον ήρωα να πέφτει στα γόνατα κρατώντας με το ένα χέρι την ασπίδα και με το άλλο τον αυχένα του.
Παραπομπές
Κατηγορία:Μυθολογία του αρχαίου Άργους Κατηγορία:Ήρωες της ελληνικής μυθολογίας Κατηγορία:Επτά επί Θήβας
Ντον Κάτλιν
Ο Ντον Κάτλιν (4 Ιουνίου 1938) είναι διακεκριμένος Αμερικανός ιατρός, φαρμακολόγος και επιστήμονας κατά του ντόπινγκ και των απαγορευμένων ουσιών, ο οποίος θεωρείται ως ιδρυτής και πρωτεργάτης στην έρευνα, την ανάπτυξη και την εφαρμογή σύγχρονων τεχνικών ελέγχου για αναβολικά φάρμακα στον παγκόσμιο αθλητισμό,  ευρέως γνωστός για τις καινοτομικές ανακαλύψεις του.
Σταδιοδρομία
Ο Κάτλιν έχει καθιερώσει δοκιμές/τεστ για φάρμακα (αναβολικά) που βελτιώνουν την απόδοση, και τα οποία εφαρμόστηκαν στους πρόσφατους Ολυμπιακούς Αγώνες που έγιναν στις ΗΠΑ, όπως π.χ. στους Θερινούς Αγώνες του 1984 στο Λος Άντζελες και στην Άτλαντα το 1996, καθώς επίσης και ειδικά τεστ ανίχνευσης παράνομων ουσιών για την Ολυμπιακή Επιτροπή των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής, την Ομοσπονδία Κολλεγιακού Μπάσκετ (NCAA), την Ομοσπονδία του Μπέιζμπολ (Major League Baseball) και την Ομοσπονδία του Αμερικανικού Επαγγελματικού Φούτμπολ (NFL).
Έχει επίσης αναπτύξει τεχνικές ταυτοποίησης των παράνομων αναβολικών ουσιών που χρησιμοποιούνται επί του παρόντος σε Ολυμπιακό επίπεδο, όπως και σε επαγγελματικό και συλλογικό επίπεδο. Το 1982 ο Κάτλιν ίδρυσε το Ολυμπιακό Εργαστήριο Αναλύσεων στο UCLA, το πρώτο εργαστήριο κατά του ντόπινγκ στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, το οποίο σήμερα είναι η μεγαλύτερη μονάδα ελέγχου αναβολικών στον κόσμο. Υπηρέτησε ως διευθυντής του εργαστηρίου για 25 χρόνια.
Υπηρέτησε επίσης ως πρόεδρος και διευθύνων σύμβουλος της ΜΚΟ Anti-Doping Research, Inc. (ADR), μιας μη κερδοσκοπικής οργάνωσης που ιδρύθηκε το 2005 για να ενισχύσει τις προσπάθειες για την αποκάλυψη νέων παράνομων φαρμάκων και ουσιών που χρησιμοποιούνται από ανταγωνιστές, όπως και για να αναπτύξει κατάλληλα τεστ για την ανίχνευσή τους.
Η αμερικανική εφημερίδα Chicago Tribune έχρισε τον Κάτλιν ως Αθλητή της Χρονιάς για το έτος 2002.
Προσωπική ζωή
Υπήρξε παντρεμένος με την Bernadette, μια γαλλοβελγίδα νοσοκόμα, την οποία την γνώρισε στο πανεπιστήμιο UCLA, και η οποία πέθανε από μελάνωμα το 1989. Μαζί της έκανε δύο γιους: τον Bryce Catlin, μηχανικό λογισμικού που είναι παντρεμένος και ζει στην Καλιφόρνια, και τον Oliver Catlin, αντιπρόεδρο και οικονομικό διευθυντή της CFO / Φορέας Έρευνας κατά του Ντόπινγκ, που εδρεύει στο Λος Άντζελες.
Ο ίδιος συμμετείχε στην ταινία ντοκιμαντέρ Icarus, όπου και σύστησε τον Αμερικανό παραγωγό Bryan Fogel στον Ρώσο επιστήμονα Grigory Rodchenkov. Ως επακόλουθο αυτής της γνωριμίας υπήρξαν γεγονότα που εν τέλει βοήθησαν στο να αποκαλυφθεί το Ρωσικό σκάνδαλο ντόπινγκ.
Παραπομπές
<references group="" responsive="0"> Κατηγορία:Αμερικανοί επιστήμονες Κατηγορία:Αμερικανοί ιατροί Κατηγορία:Αθλητισμός
Ερμής Ι (ατμοκορβέττα)
Η τροχήλατη ατμοκορβέττα Ερμής Ι (εκ της Αγγλικής ονομασίας ‘Μerkury’) ήταν ένα από τα πέντε πλοία που παραγγέλθηκαν το 1824 από την επιτροπή φιλελλήνων της Βρετανίας με χρήματα του δανείου των 150.000 λιρών. Το ‘Ερμής Ι’ έφθασε τον Οκτώβριο του 1828 στην Ελλάδα. Δεν έλαβε μέρος σε επιχειρήσεις και βασικά χρησιμοποιήθηκε για κρατικές μεταφορές. Η μηχανή του τοποθετήθηκε στο ‘Πρίγκιπς Μαξιμιλιανός’ που ναυπηγήθηκε το 1837 στο ναύσταθμο του Πόρου. Το 1841 το ‘Ερμής Ι’ χρησιμοποιείτο σαν τροπιστήριον (ποντόνι) για το καρενάρισμα των πλοίων.
Ιδίου τύπου πλοία είναι τα: Ακαταμάχητος και Επιχείρησις. Ενώ τα ιδίου τύπου 'Alert' και 'Dasher' δεν καθειλκύσθησαν ποτέ.
Κατηγορία:Ελληνικές Κορβέτες Κατηγορία:Ελληνικά πολεμικά πλοία της επανάστασης του 1821
Τείχη της Κωνσταντινούπολης
Ως Θεοδοσιανά τείχη της Κωνσταντινούπολης είναι γνωστά τα χερσαία τείχη με τα οποία ο Θεοδόσιος Β' τείχισε την πρωτεύουσα της Ανατολικής Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας. Η κατασκευή τους ξεκίνησε το 408 υπό την επίβλεψη του επάρχου των πραιτωρίων της Ανατολής Ανθέμιου, ενώ μετά από ένα σεισμό επισκευάστηκαν και απέκτησαν την τελική τους μορφή το 447. Η ισχυρή διπλή σειρά τειχών προστάτευσε την πόλη και κατά συνέπεια την Αυτοκρατορία σε πολλές πολιορκίες διαμέσω των αιώνων, οδηγώντας στην προσωνυμία τους ως «θεοφύλακτα». Η μόνη φορά που παραβιάστηκαν από εχθρό ήταν το 1453, όταν οι Οθωμανοί, με τη χρήση ισχυρού πυροβολικού, τα διέσπασαν και κατέλαβαν την πόλη, καταλύοντας έτσι και τη Βυζαντινή Αυτοκρατορία.
Μορφολογία
Από την εποχή που ο επώνυμος Μεγαρέας ιδρυτής της πόλης του Βυζαντίου, ο Βύζας, έφτασε στη περιοχή το 667 π.Χ., διέκρινε τη στρατηγική σημασία της τοποθεσίας, καθώς και την ευκολία που παρείχε στην άμυνα, καθώς περικυκλωνόταν από τη θάλασσα σε τρεις πλευρές. Συγκεκριμένα βρεχόταν από τον Κεράτιο κόλπο από το βορρά, από το Βόσπορο στα ανατολικά και από τη Θάλασσα του Μαρμαρά στο νότο ενώ επικοινωνεί με τη ξηρά από τα δυτικά προς τη θρακική πεδιάδα. Προς την πλευρά της Θράκης λοιπόν χτίστηκε το πρώτο τείχος της πόλης. Τα τείχη του Βυζαντίου ήταν σαφώς μικρότερα των επόμενων που θα κτιστούν για την Κωνσταντινούπολη, καθώς και η ίδια η Βασιλεύουσα ήταν πολύ μεγαλύτερη. Τα τείχη επεκτάθηκαν πρώτα από τον Ρωμαίο Σεπτίμιο Σεβήρο και ύστερα από τον Κωνσταντίνο τον Μεγάλο και τελικά πήραν την τελική τους μορφή επί Θεοδοσίου.
Τα τείχη
Τα αρχικά τείχη είχαν μέγεθος 6 χιλιομέτρων. Η οχυρωματική γραμμή που έχτισε ο Θεοδόσιος Β', 1.500 μέτρα δυτικά του Κωνσταντίνειου τείχους, ένωσε την τειχισμένη περίμετρο της περιοχής των Βλαχερνών, από το βορρά, κάθετα προς το νότο με το άκρο των θαλάσσιων τειχών που βρισκόταν στη πλευρά της Προποντίδας.
Τα χερσαία τείχη
Τα χερσαία τείχη είχαν μήκος 5.570 μέτρων και είχαν χτιστεί με σύνθετο τρόπο ως μια διπλή οχυρωματική γραμμή. Δηλαδή οι εισβολείς συναντούσαν πρώτα μια αμυντική τάφρο και ύστερα το έξω τείχος, γνωστό και ως μικρόν τείχος, ενώ εάν περνούσαν το πρώτο συναντούσαν το μεγαλύτερο έσω τείχος, γνωστό και ως μέγα τείχος ή κυρίως τείχος. Η τάφρος είχε βάθος 10 μέτρα και πλάτος 21 μέτρα και απείχε από το έξω τείχος 15 με 17 μέτρα. Το έξω τείχος προστέθηκε στις επισκευές του 447 και είχε πάχος 2,5 μέτρα και ύψος 7 μέτρα χωρίς επάλξεις και 8 με 8,5 μέτρα με τις επάλξεις. Κάθε 50 μέτρα υψωνόντουσαν τετράγωνοι πύργοι ύψους περίπου 10 μέτρων ο καθένας. Κατασκευάστηκαν συνολικά 96 πύργοι. Ανάμεσα στο έξω τείχος και το έσω τείχος υπήρχε περίβολος πλάτους 15 με 20 μέτρων. Το έσω τείχος είχε πάχος 5 μέτρα και ύψος 10 μέτρα χωρίς τις επάλξεις ενώ με τις επάλξεις έφτανε τα 13 μέτρα. Ανά 60 με 70 μέτρα ορθώνονταν τετράγωνοι ή οκτάγωνοι πύργοι που έφταναν τα 19 μέτρα ύψους, συνολικά είχε 96 πύργους όπως το έξω τείχος, ενώ ανάμεσα σε δυο πύργους του έσω τείχους παρεμβάλλονταν ένας του έξω τείχους. Κατά μήκος του χερσαίου τείχους υπήρχαν 10 πύλες, εναλλάξ μια πολιτική και μια στρατιωτική, ενώ υπήρχε και μια επίσημη για την είσοδο του αυτοκράτορα. Αυτή η πύλη ήταν η λεγόμενη Χρυσή Πύλη, η πιο περίλαμπρη από όλες, στο σημείο όπου αργότερα χτίστηκε το οχυρό Επταπύργιο (τουρκ. Γιεντί Κουλέ). Οι υπόλοιπες πολιτικές πύλες ήταν οι πύλες του Αγίου Ρωμανού, του Ρηγίου ή Ρουσίου, της Σηλυβρίας (ή Ζωοδόχου Πηγής ή Μελαντιάδος), του Χαρισίου ή Πολυανδρίου, που μένανε ανοικτές όλο το πρωί μέχρι το μεσημέρι. Οι στρατιωτικές πύλες οδηγούσαν μόνο στον περίβολο μεταξύ των τειχών, και ήταν αριθμημένες, από νότο προς βορρά: η Πύλη του Πρώτου ή αλλιώς Πύλη του Χριστού, η Πύλη του Δευτέρου, η Πύλη του Τρίτου, η Πύλη του Τέταρτου και η Πύλη του Πέμπτου. Επίσης υπήρχαν κάποιες μικρότερες πύλες γνωστές ως πυλίδες που χρησίμευαν στους στρατιώτες, για να ανεβοκατεβαίνουν στα τείχη, στους αγγελιαφόρους ή τους μυστικούς καλεσμένους ή επισκέπτες του αυτοκράτορα και στους μοναχούς που τις χρησιμοποιούσαν για να πηγαινοέρχονται στα μοναστήρια. Μια από αυτές τις πυλίδες ήταν και η γνωστή, για το τραγικό της ρόλο στην άλωση της Πόλης το 1453, Κερκόπορτα ή όπως λεγόταν αλλιώς Ξυλόκερκος πόρτα.
Οι Πύλες
Είναι οι κάτωθι:
Αναφορές
Κατηγορία:Τείχη Κατηγορία:Κτίρια και κατασκευές στην Κωνσταντινούπολη Κατηγορία:Βυζαντινή Κωνσταντινούπολη Κατηγορία:Βυζαντινά κάστρα Κατηγορία:Άλωση της Κωνσταντινούπολης
Μυρέ (Ωτ-Γκαρόν)
Βρίσκεται στα νότια της μητροπολιτικής περιοχής της Τουλούζης και εντός της ευρύτερης αστικής περιοχής της Τουλούζης, είναι η 4η πολυπληθέστερη κοινότητα του νομού, με πληθυσμό 24.945 κατοίκους (2017).
Η πόλη είναι γνωστή για τη μάχη του Μυρέ (1213) και ως γενέτειρα του Κλεμάν Αντέρ (1841-1925), εφευρέτη και πρωτοπόρου της αεροπορίας.
Οι κάτοικοι ονομάζονται Μυρεταίν.
Γεωγραφικά στοιχεία
Η κοινότητα Μυρέ βρίσκεται στο κεντρικό τμήμα του νομού Ωτ-Γκαρόν, στη διοικητική περιοχή Οξιτανία, στα νοτιοδυτικά της Γαλλίας.
Είναι η μία από τις δύο υπονομαρχίες του νομού, η άλλη είναι η κοινότητα Σαιν-Γκωντένς, σε απόσταση 72 χλμ οδικώς. Βρίσκεται 23 χιλιόμετρα νοτιοδυτικά της Τουλούζης, πρωτεύουσας του νομού Ωτ-Γκαρόν. Έχει πληθυσμό 24.945 κατοίκους (2017).
Η κοινότητα Μυρέ βρίσκεται σε ίση απόσταση από τη Μεσόγειο και τον Ατλαντικό, στην πεδιάδα του ποταμού Γαρούνα στην περιοχή της Τουλούζης. Τη διασχίζει ο ποταμός Γαρούνας στη συμβολή του με τον Λουζ, που ρέει βορειοανατολικά μέσω της κοινότητας. Ο Γαρούνας ρέει βόρεια μέσω της κοινότητας και αποτελεί μέρος των βόρειων συνόρων της.
Η έκτασή της είναι 57,84 τετραγωνικά χιλιόμετρα και το υψόμετρο κυμαίνεται ανάμεσα στα 152 και 305 μέτρα.
Στην περιοχή επικρατεί ωκεάνιο εύκρατο κλίμα, με μεσογειακές και ηπειρωτικές επιρροές, που χαρακτηρίζεται από ζεστό, ξηρό καλοκαίρι, ήπιο χειμώνα με έντονες βροχοπτώσεις και σοβαρές καταιγίδες.