cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Βατιώνας Ηλείας
Παραπομπές
Κατηγορία:Χωριά του νομού Ηλείας Κατηγορία:Δήμος Πηνειού
Μεθύδριο Αρκαδίας
Το Μεθύδριο είναι χωριό της Αρκαδίας.
Πρώην ανεξάρτητη κοινότητα και σήμερα δημοτικό διαμέρισμα του Δήμου Βυτίνας. Μέχρι το 1915 ήταν γνωστό σαν Nεμνίτσα αλλά άλλαξε στο σημερινό του όνομα όταν μετά τις ανασκαφές, που ξεκίνησαν το 1910, ανακαλύφθηκε η αρχαία πόλη Μεθύδριο.
Από τον οικισμό κατάγονταν οι προσωπικότητες της Ελληνική Επανάστασης Πάνος Αναγνωστόπουλος, Προκόπης Λογιώτατος και Θεοδώρητος Βρεσθένης.
Παρατήρηση: Η Νεμνίτσα προσηρτήθη το 1835 στο Δήμο Μεθυδρίου, γεγονός το οποίο μας μαρτυρεί πως, ήταν ήδη γνωστή η ύπαρξη της αρχαίας πόλεως στην περιοχή, ενώ Μεθύδριον μετωνομάσθη  το 1927(Πηγή:Εταιρεία Τοπικής Ανάπτυξης και Αυτοδιοίκησης: Νεμνίτσα Αρκαδίας).
Παραπομπές
Κατηγορία:Χωριά του νομού Αρκαδίας Κατηγορία:Δήμος Βυτίνας Κατηγορία:Δήμος Γορτυνίας Κατηγορία:Χωριά του Μαινάλου
Άγιος Γεώργιος Σητείας Λασιθίου
Ο Άγιος Γεώργιος είναι χωριό και έδρα ομώνυμης κοινότητας, της δημοτικής ενότητας και δήμου Σητείας, της περιφερειακής ενότητας (τέως νομού) Λασιθίου, στην περιφέρεια Κρήτης, σύμφωνα με το πρόγραμμα Καλλικράτης. Πριν το σχέδιο Καποδίστριας και το πρόγραμμα Καλλικράτης, ανήκε στην επαρχία Σητείας του νομού Λασιθίου, στο γεωγραφικό διαμέρισμα Κρήτης. Στην τοπική κοινότητα Αγίου Γεωργίου ανήκουν και οι οικισμοί Επάνω Επισκοπή και Σωτήρα.
Γεωγραφία
Ο Άγιος Γεώργιος είναι χωριό στο ανατολικό τμήμα του νομού Λασιθίου, στους ανατολικούς πρόποδες του όρους Ορνό και πάνω από την κοιλάδα του ποταμού Πεντέλη. Βρίσκεται πάνω στην επαρχιακή οδό Σητείας-Ιεράπετρας, σε μέσο σταθμικό υψόμετρο 320. Απέχει 85 χλμ. περίπου Α.ΝΑ. του Αγίου Νικολάου. Η τοπική κοινότητα είναι χαρακτηρισμένη ως αγροτικός ημιορεινός οικισμός, με έκταση 8,657 χμ² (2011).
Διοικητικές μεταβολές μέχρι τον «Καλλικράτη»
μικρογραφία|486x486px|αριστερά|Η κοινότητα σε σχέση με τον δήμο. Ο οικισμός αναγνωρίστηκε το 1925 ως Τουρτούλοι και προσαρτήθηκε στην κοινότητα Μαρωνίας. Το 1947 ορίστηκε έδρα της κοινότητας Τουρτούλων. Το 1955 μετονομάστηκε σε Άγιος Γεώργιος. Με το ΦΕΚ 244Α - 04/12/1997 αποσπάστηκε από την κοινότητα Αγίου Γεωργίου και προσαρτήθηκε στον δήμο Σητείας.
Δείτε: Κοινότητα Αγίου Γεωργίου Σητείας
Παραπομπές
κατηγορία:Χωριά του νομού Λασιθίου κατηγορία:Δήμος Σητείας
Χειροσφαίριση στους Ολυμπιακούς Αγώνες
Η χειροσφαίριση εντάχθηκε στους Ολυμπιακούς Αγώνες το 1936. Στη συνέχεια αποσύρθηκε και ξανάγινε ολυμπιακό άθλημα το 1972.
Ιστορικές πληροφορίες
Το χάντμπολ διεξήχθη για πρώτη φορά σε Ολυμπιακούς Αγώνες στο Βερολίνο το 1936. Τότε διεξαγόταν σε ανοιχτά γήπεδα με ομάδες των έντεκα παικτών. Μεσολάβησε ο Β' Παγκόσμιος πόλεμος και στη συνέχεια το άθλημα στην παλιά του μορφή δεν γνώρισε ευρεία ανάπτυξη. Έτσι αποσύρθηκε από τις ολυμπιάδες.
Όταν πήρε τη σημερινή του μορφή, ως άθλημα σάλας με ομάδες των επτά παικτών, άρχισε να γίνεται δημοφιλές. Έτσι ξανάγινε ολυμπιακό άθλημα πάλι στη Γερμανία στην Ολυμπιάδα του Μονάχου το 1972. Από το 1976 στο πρόγραμμα των ολυμπιάδων προστέθηκε και το αγώνισμα των γυναικών.
Στην πρώτη διοργάνωση, το 1936, συμμετείχαν έξι χώρες με ομάδες χάντμπολ. Το 1972 πήραν μέρος 16 ανδρικές ομάδες. Από το 1976 ορίστηκε να μετέχουν 12 ανδρικές και 6 γυναικείες ομάδες, οι οποίες προκρίνονται μέσω προολυμπιακών τουρνουά. Από το 1988 οι γυναικείες ομάδες που μετέχουν αυξήθηκαν σε 8, το 2000 έγιναν 10 και το 2008 θα πάρουν μέρος 12.
Στα μετάλλια αρχικά κυριάρχησαν οι χώρες της ανατολικής και κεντρικής Ευρώπης, που είχαν μεγαλύτερη παράδοση στο άθλημα. Αργότερα άρχισαν να έχουν διακρίσεις οι χώρες της Άπω Ανατολής ενώ στις γυναίκες διακρίνονται ιδιαίτερα οι Σκανδιναβικές χώρες.Το χάντμπολ παίζεται σε ομάδες των 7 ατόμων.
Πηγές
Κατηγορία:Αθλήματα στους Θερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες Ολυμπιακους
Ρεντ Μπάτονς
Ο Ρεντ Μπάτονς (αγγλ. Red Buttons), καλλιτεχνικό ψευδώνυμο του Άαρον Τσουάτ (αγγλ. Aaron Chwatt, 5 Φεβρουαρίου 1919 - 13 Ιουλίου 2006), ήταν Αμερικανός ηθοποιός. Βραβεύτηκε με ένα Όσκαρ για το ρόλο του στρατιωτικού Κέλι στην ταινία Σαγιονάρα (Sayonara) το 1957. Στην τηλεόραση διατηρούσε το «The Red Buttons Show», ενώ στον κινηματογράφο εμφανίστηκε στις ταινίες Χατάρι (Hatari, 1962), Η μεγαλύτερη ημέρα του πολέμου (The Longest Day, 1962), Σκοτώνουν τα άλογα όταν γεράσουν (They Shoot Horses, Don't They?, 1969), Η περιπέτεια του Ποσειδώνα (The Poseidon Adventure, 1972), Ο Πιτ και ο δράκος (Pete's Dragon, 1977).
Χρυσές Σφαίρες
Υποψηφιότητες:
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Βραβευμένοι με Όσκαρ Β' Ανδρικού Ρόλου Κατηγορία:Βραβευμένοι με Χρυσή Σφαίρα Β΄ Ανδρικού Ρόλου Κατηγορία:Αμερικανοί άνδρες ηθοποιοί κινηματογράφου Κατηγορία:Αμερικανοί άνδρες ηθοποιοί τηλεόρασης
Πεντάγεια
Η Πεντάγεια είναι κοινότητα της επαρχίας Λευκωσίας στην Κύπρο. Μετά την τουρκική εισβολή του 1974, το χωριό δεν ελέγχεται από την Κυπριακή Δημοκρατία. Το έδαφος της κοινότητας ανήκει εκ του νόμου (de jure) στην Κυπριακή Δημοκρατία, ενώ εκ των πραγμάτων (de facto) ανήκει στο μη αναγνωρισμένο κράτος της Τουρκικής Δημοκρατίας Βορείου Κύπρου.
Πληθυσμός
Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τον πληθυσμό του χωριού σύμφωνα με τις απογραφές πληθυσμού που πραγματοποιήθηκαν στην Κύπρο έως το 1973. Μετά την τουρκική εισβολή του 1974 δεν πραγματοποιήθηκε απογραφή στο χωριό από την Κυπριακή Δημοκρατία, αφού το έδαφος του δεν ελέγχεται από αυτήν.
Πηγές
Κατηγορία:Κοινότητες της Επαρχίας Λευκωσίας
Κύπελλο Ιντερτότο 1986
Στο Κύπελλο Ιντερτότο 1990 δεν υπήρχαν νοκ-άουτ γύροι και έτσι δεν υπήρξε τελικός νικητής.
Ομίλοι
Οι ομάδες διαχωρίστηκαν σε 12 ομίλους των 4 ομάδων ο κάθε ένας.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Κύπελλο Ιντερτότο ΟΥΕΦΑ
Κάτω Κρυά Λασιθίου
Τα Κάτω Κρυά είναι ορεινό χωριό και έδρα της ομώνυμης κοινότητας του δήμου Σητείας, της περιφερειακής ενότητας Λασιθίου, στην ανατολική Κρήτη. Βρίσκεται σε υψόμετρο 550 μέτρων και απέχει 18 χιλιόμετρα από την Σητεία.
Δείτε: Κοινότητα Κρυών μικρογραφία|362x362px|αριστερά|Η κοινότητα σε σχέση με τον δήμο.
Παραπομπές
Κατηγορία:Χωριά του νομού Λασιθίου Κατηγορία:Δήμος Σητείας
Πολυώνυμο
Για παράδειγμα, x2 − x/4 + 7 είναι ένα πολυώνυμο, αλλά x2 − 4/x + 7x3/2 είναι μια αλγεβρική παράσταση που δεν είναι πολυώνυμο, επειδή ο δεύτερος όρος περιέχει μια διαίρεση με την μεταβλητή x (ο όρος 4/x), και επίσης επειδή ο τρίτος όρος περιέχει έναν εκθέτη που δεν είναι μη αρνητικός ακέραιος (3/2).
Ετυμολογία
Η λέξη πολυώνυμο προέρχεται από το Ελληνικό πολύ, και το Λατινικό binomium, «binomial». Η λέξη εισήχθηκε στην λατινική γλώσσα από τον Φραγκίσκο Βιετά.
Πολυωνυμική συνάρτηση
Μία πολυωνυμική συνάρτηση  είναι μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα πολυώνυμο. Μερικές φορές, ο όρος πολυώνυμο αφορά τα πολυώνυμα που είναι αναλυτικά γραμμένα ως το άθροισμα (ή την διαφορά) των όρων περιλαμβάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις με μη μηδενικούς ακέραιους εκθέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, τα άλλα πολυώνυμα ονομάζονται πολυωνυμικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, (x-y)^2 είναι μία μαθηματική παράσταση που αντιπροσωπεύει το ίδιο πράγμα με το πολυώνυμο Ο όρος "πολυώνυμο", σαν ουσιαστικό, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ποσότητες που μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα κάποιων παραμέτρων, όπως στον πολυωνυμικό χρόνο, που χρησιμοποιείται στην θεωρία πολυπλοκότητας.
Τα πολυώνυμα εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Για παράδειγμα, με πολυωνυμικές εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν αρκετά προβλήματα από την χημεία και φυσική ως τα οικονομικά και την κοινωνιολογία. Επίσης στην μαθηματική ανάλυση και την αριθμητική ανάλυση τα πολυώνυμα χρησιμοπιούνται για την προσέγγιση άλλων συναρτήσεων. Στα ανώτερα μαθηματικά, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή πολυωνυμικών δακτυλίων, μία βασική διαδικασία στην άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία. Αυτοί οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι με την σειρά τους βρίσκουν εφαρμογές στην κρυπτογραφία και την θεωρία κωδικοποίησης.
Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες φυσικές δυνάμεις. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής. Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου.
Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής x συμβολίζεται με P(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν. Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι:
Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με \mathbf{0}, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν.
Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με.
Πλήρες πολυώνυμο ονομάζεται ένα στο οποίο, διαφορετικά λέγεται ελλιπές. Για παράδειγμα, είναι πλήρες ενώ το  είναι ελλιπές.
Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το 0^0 δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι a_0 x^0, αλλά a_0.
Πραγματικό πολυώνυμο είναι ένα πολυώνυμο όπου όλοι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Σε ένα πραγματικό πολυώνυμο οι μεταβλητές μπορεί να παίρνουν είτε πραγματικές είτε μιγαδικές τιμές, αλλά μία πραγματική πολυωνυμική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς. Αντίστοιχα ένα ακέραιο πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι ακέραιοι και ένα μιγαδικό πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι μιγαδικοί.
Επισκόπηση
Για παράδειγμα: είναι ένας όρος. Ο συντελεστής του είναι -5, οι μεταβλητές είναι οι x και y, ο βαθμός του x είναι 2, ενώ ο βαθμός του y είναι ένα. Ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των δύο μεταβλητών, έτσι έχουμε 2 + 1 = 3.
Το άθροισμα πολλών όρων μαζί μας δίνει ένα πολυώνυμο. Για παράδειγμα, το παρακάτω είναι ένα πολυώνυμο:
Αποτελείται από τρεις όρους: ο πρώτος είναι βαθμού 2, ο δεύτερος έχει βαθμό 1, και ο τρίτος είναι μηδενικού βαθμού.
Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βάλουμε τους όρους στην κατάλληλη σειρά. Σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, οι όροι συνήθως τοποθετούνται ανάλογα με τον βαθμό, είτε «μειώνοντας τις δυνάμεις του x», με τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη πρώτο, είτε «αυξάνοντας τις δυνάμεις του x». Το πολυώνυμο στο προηγούμενο παράδειγμα είναι γραμμένο μειώνοντας τις δυνάμεις του x. Ο πρώτος όρος έχει συντελεστή 3, μεταβλητή x, και εκθέτη 2. Στον δεύτερο όρο, ο συντελεστής είναι –5. Ο τρίτος όρος είναι σταθερά. Αφού o βαθμός ενός μη μηδενικού πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος απ του βαθμούς των όρων, αυτό το πολυώνυμο έχει βαθμό 2.
Δύο όροι με την ίδια μεταβλητή υψωμένοι στην ίδια δύναμη ονομάζονται όμοιοι όροι, και μπορούν να συνδυαστούν, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, σε έναν όρο του οποίου οι συντελεστές είναι το άθροισμα των συντελεστών των όρων που συνδυάστηκαν. Αυτό μπορεί να κάνει τον συντελεστή 0.
Εναλλακτικές μορφές
Γενικά κάθε παράσταση μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο αν αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, και δυνάμεις αριθμών. Έτσι ώστε να μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα όρων. Για παράδειγμα, (x + 1)3 είναι ένα πολυώνυμο; με κανονική μορφή is x3 + 3x2 + 3x + 1. Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, χρειάζεται μία πιο ακριβείς ορολογία για να μην υπάρχουν παρανοήσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορούμε να πούμε: (x + 1)3 είναι μια πολυωνυμική παράσταση που μπορεί να επεκταθεί ή να ξαναγραφεί στο πολυώνυμο x3 + 3x2 + 3x + 1. Παρ όλες τις διαφορές σαν εκφράσεις, είναι ίσες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με άγνωστο x και ακέραιους συντελεστές.
Πράξεις με πολυώνυμα
Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία πράξη η οποία μπορεί να προσδιοριστεί αξιολογώντας ένα πολυώνυμο. Μία συνάρτηση ƒ μιας μεταβλητής καλείται πολυωνυμική πράξη εάν ικανοποιεί
για όλες τις παραμέτρους x, όπου n ένας μη αρνητικός ακέραιος και a0, a1,a2, ..., an είναι σταθεροί συντελεστές.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ, η οποία αντιστοιχεί πραγματικούς σε πραγματικούς, ορίζεται από
είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση μιας μεταβλητής. Πολυωνυμικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών μπορούν επίσης να προσδιοριστούν, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών, όπως Ένα παράδειγμα είναι επίσης η οποία, παρ'όλο που δεν μοιάζει με πολυώνυμο, είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση αφού για κάθε x ισχύει f(x)=2x^2-1 (δείτε πολυώνυμα Chebyshev).
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι μία κατηγορία συναρτήσεων που έχουν πολλές σημαντικές ιδιότητες. Είναι όλες συνεχείς, ομαλές, πλήρεις, υπολογίσιμες, κτλ.
Πρόσθεση πολυωνύμων
Τα πολυώνυμα μπορούν να προστεθούν χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (βάζοντας όλους τους όρους τους μαζί σε ένα κοινό άθροισμα), ανακατατάσσοντας τους όρους, και συνδυάζοντας τους όμοιους. Για παράδειγμα, αν τότε που μπορεί να απλοποιηθεί στο
Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής και, το άθροισμά τους είναι το πολυώνυμο  με συντελεστές  για κάθε.
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων
Για να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο πολυωνύμων, εφαρμόζουμε επανειλημμένα την επιμεριστική ιδιότητα, τα αποτελέσματα της οποίας σε κάθε όρο ενός πολυωνύμου πολλαπλασιάζονται με κάθε όρο του άλλου. Για παράδειγμα, αν τότε που μπορεί να απλοποιηθεί στο
Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής και, το γινόμενό τους είναι το πολυώνυμο  με συντελεστές  για κάθε.
Διαίρεση πολυωνύμων
Για τους ακεραίους, υπάρχουν δύο είδη διαιρέσεων για τα πολυώνυμα. Η Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων η οποία είναι γενίκευση της Ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων. Από αυτήν προκύπτουν δύο πολυώνυμα, ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο που έχουν την παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων: δοθέντων δύο πολυωνύμων a και b έτσι ώστε b ≠ 0, υπάρχει μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων, q, το πηλίκο, και r, το υπόλοιπο, έτσι ώστε a = b q + r και ο βαθμός (το μηδενικό πολυώνυμο θεωρείται ότι έχει αρνητικό βαθμό). Είτε με το χέρι είτε με υπολογιστή, αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον αλγόριθμο της πολυωνυμικής διαίρεσης.
Μία μορφή πηλίκου πολυωνύμων είναι το αλγεβρικό κλάσμα, όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ονομάζεται «ρητή συνάρτηση» η «ρητό κλάσμα» και δεν είναι, γενικά, πολυώνυμο. Η διαίρεση πολυωνύμου με αριθμό, ωστόσο, δίνει ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, x^3/12 είναι ένας κανονικό όρος πολυωνύμου (και ένα πολυώνυμο μόνο του) επειδή είναι ισοδύναμο με το και το  είναι απλά μια σταθερά. Όταν αυτή η παράσταση χρησιμοποιείται σαν όρος, ο συντελεστής της είναι. Για παρόμοιους λόγους, αν υπάρχουν μιγαδικοί συντελεστές, μπορεί να υπάρχει όρος (2 + 3i) x3; παρ όλο που φαίνεται ότι μπορεί να χωριστεί σε δύο όρους, ο μιγαδικός αριθμός 2 + 3i είναι ένα μιγαδικός αριθμός, και είναι ο συντελεστής αυτούς του όρου. Η παράσταση 1/(x2 + 1) δεν είναι πολυώνυμο επειδή περιέχει διαίρεση με ένα μη πολυώνυμο. Η παράσταση (5 + y)x δεν είναι πολυώνυμο, επειδή χρησιμοποιεί μία μεταβλητή σαν εκθέτη.
Αφαίρεση πολυωνύμων
Αφού η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση της αντίθετης ποσότητας, και οι εκθέτες μπορούν να αντικατασταθούν από επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, όλα τα πολυώνυμα μπορούν να κατασκευαστούν με σταθερές και μεταβλητές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.
Παράγωγος πολυωνύμου
Η παράγωγος ενός πολυωνύμου είναι το πολυώνυμο Αν ο δακτύλιος των συντελεστών δεν περιέχει τους ακεραίους (για παράδειγμα αν οι συντελεστές είναι ακέραιοι modulo κάποιου πρώτου αριθμού p), τότε kak πρέπει να ερμηνευθεί ως το άθροισμα του ak με τον εαυτό του, k φορές. Για παράδειγμα, πάνω απ τους ακεραίους modulo p, η παράγωγος ενός πολυωνύμου xp+1 είναι το πολυώνυμο 0.
Παράγουσα πολυωνύμου
Τα πολυώνυμα στους ακεραίους, δεν έχουνε αναγκαστικά παράγουσα. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο x2+1 δεν έχει παράγουσα στους ακεραίους.
Πολυωνυμικές εξισώσεις
Μία πολυωνυμική εξίσωση, καλείται επίσης αλγεβρική εξίσωση, είναι μία εξίσωση στην οποία ένα πολυώνυμο τίθεται ίσο με ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, είναι μία πολυωνυμική εξίσωση. Στην περίπτωση πολυωνυμικής εξίσωσης μίας μεταβλητής, η μεταβλητή θεωρείται ως άγνωστη, και προσπαθούμε να βρούμε τις πιθανές τιμές για τις οποίες και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης είναι ίσα για την ίδια τιμή (γενικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις). Μία πολυωνυμική εξίσωση έρχεται σε αντίθεση με μία πολυωνυμική ταυτότητα όπως (x + y)(x – y) = x2 – y2, όπου και τα δύο μέλη αντιπροσωπεύουν το ίδιο πολυώνυμο σε διαφορετικές μορφές, και σαν συνέπεια για κάθε τιμή των μεταβλητών x και y, τα δύο μέλη είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι μια πολυωνυμική ταυτότητα είναι μία πολυωνυμική εξίσωση για την οποία όλες οι πιθανές τιμές των αγνώστων είναι λύσεις.
Στην απλή άλγεβρα, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το θεώρημα Abel-Ruffini βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η αριθμητική προσέγγιση των ριζών μπορεί να υπολογιστεί (δες αλγόριθμος εύρεσης ριζών). Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας.
Παραγοντοποίηση πολυωνύμων
Όλα τα πολυώνυμα έχουν μία εκτεταμένη μορφή, στην οποία η επιμεριστική και προσεταιριστική ιδιότητα χρησιμοποιούνται για να διώξουμε όλα τα κενά και η αντιμεταθετική ιδιότητα χρησιμοποιείται για να φτιάξει τις κατάλληλες συνθήκες για τα επόμενα και να τα συνδυάσει. όλα τα πολυώνυμα με συντελεστές σε μία μοναδική παραγοντοποιήσιμη κατηγορία (για παράδειγμα, οι ακέραιοι η ένα σώμα) επίσης έχουν παραγοντοποιημένη μορφή στην οποία το πολυώνυμο είναι γραμμένο ως το παράγωγο ενός αμείωτου πολυώνυμου και μιας σταθεράς. Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών, τα αμείωτα πολυώνυμα είναι γραμμικά. Για παράδειγμα, η παραγοντοποιημένη μορφή του είναι πάνω απ τους ακεραίους και πάνω απ τους μιγαδικούς.
Η παραγοντοποιημένη μορφή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου μιας μεταβλητής προσδιορίζεται μοναδικά και έχει την μορφή όπου a_n\ne 0. Αυτη η μορφή μερικές φορές θεωρείται ο ορισμός του πολυωνύμου μιας μεταβλητής.
Τιμή πολυωνύμου
Η τιμή ενός πολυωνύμου προϋποθέτει την ανάθεση τιμής σε κάθε μεταβλητή και έπειτα την διεξαγωγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων.
Για πολυώνυμα μιας μεταβλητής, η εκτίμηση είναι πιο αποτελεσματική χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner:
Η εκτίμηση πολυωνύμων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του υπολοίπου της πολυωνυμικής διαίρεσης μέσω πολυωνύμων βαθμού ένα, αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x) by (x-a) είναι f(a); δείτε Θεώρημα για πολυωνυμικά υπόλοιπα. Αυτό είναι πιο αποτελεσματικό απ τον συνηθισμένο αλγόριθμο της διαίρεσης όταν το πηλίκο δεν χρειάζεται.
Εύρεση πολυωνυμικών ριζών
Στην απλή άλγεβρα, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το θεώρημα Abel-Ruffini βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η αριθμητική προσέγγιση των ριζών μπορεί να υπολογιστεί (δες αλγόριθμος εύρεσης ριζών). Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας.
Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων
Ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων στις οποίες κάθε μεταβλητή παίρνει την ίδια την ίδια τιμή κάθε φορά που εμφανίζεται σε οποιαδήποτε απ τις εξισώσεις. Γραμμική άλγεβρα είναι, βασικά, η μελέτη της μεθόδου λύσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους. Αν υπάρχουν περισσότεροι άγνωστοι απ τις εξισώσεις, το σύστημα καλείται αδύνατο. Αν υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις από τους αγνώστους, το σύστημα καλείται αόριστο. Τα αόριστα συστήματα είναι κοινά σε πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, για μια χαρτογράφηση των Η.Π.Α. χρησιμοποιούνται υπολογιστές για την λύση 2,5 εκατομμυρίων εξισώσεων με 400.000 αγνώστους.
Η μέθοδος Βιέτ σχετίζει τους συντελεστές ενός πολυωνύμου με συμμετρικά πολυώνυμα συνάρτηση των ριζών του.
Πρόσθεση
Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν. Παράδειγμα: (2x3 -3x2) + (3x2 +4x) = (2x3 -3x2 +0x) + (0x3 +3x2 +4x) = (2x3 + 0x3) + (-3x2 +3x2) + (0x +4x) = 2x3 +0x2 +4x = 2x3 +4x Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές.
Διαίρεση
Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) και υ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα.
Πολυωνυμική συνάρτηση
Μια συνάρτηση ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία  τέτοια ώστε να ισχύει:
Η ταυτότητα ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα  συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική.
Ανάπτυγμα σειράς Τέιλορ
Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει:
Όπου fν(x0) η νιοστή παράγωγος της f στο x0.
Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικές βάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Τέιλορ μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση.
Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x0 και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x0 και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι.
Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Τέιλορ, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f.
Ιστορία
Η εκτίμηση των ριζών των πολυωνύμων, ή η «λύση αλγεβρικών εξισώσεων», είναι ανάμεσα στα παλαιότερα προβλήματα των μαθηματικών.Ωστόσο,η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε σήμερα καθιερώθηκε μόλις τον 15ο αιώνα. Πριν από αυτό, οι εξισώσεις γράφονταν με λέξεις. Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό πρόβλημα απ τους Κινέζους Η αριθμητική σε εννιά στάδια, περίπου στα 200 π.Χ, ξεκινάει «Τρία μέρη μιας καλής σοδειάς, δύο μέρη μιας μέτριας σοδειάς, και ένα μέρος μιας κακής σοδειάς πωλούνται για 29 dou.» Θα έπρεπε να γράψουμε 3x + 2y + z = 29.
Σημειογραφία
Η πιο πρόσφατη γνωστή χρήση του συμβόλου της εξίσωσης γίνεται στο βιβλίο του Robert Recorde The Whetstone of Witte,το 1557. Το σύμβολο + για την πρόσθεση, − για την αφαίρεση, και η χρήση ενός γράμματος για έναν άγνωστο εμφανίζεται στο βιβλίο του Michael Stifel Arithemetica integra, το 1544.Ο René Descartes, στο La géometrie,το 1637, εισήγαγε το μοντέλο του γραφήματος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Καθιέρωσε τα γράμματα απ την αρχή του αλφαβήτου για να τις σταθερές και τα γράμματα απ το τέλος του αλφαβήτου για τις μεταβλητές, όπως φαίνεται απ τα παραπάνω, στην γενική μορφή για ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, τα a δηλώνουν σταθερές και τα x δηλώνουν μεταβλητές.Ο Descartes εισήγαγε την χρήση των εκθετών.
Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων
Κάθε πολυώνυμο P με μεταβλητή x αντιπροσωπεύει μία συνάρτηση, ƒ(x) = P (όπου οι λύσεις του x στο P αντιστοιχούν σε τιμές της ƒ), ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση του P; η εξίσωση του x που γίνεται f(x) = 0 είναι η πολυωνυμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο P. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που ονομάζονται ρίζες του πολυωνύμου, είναι τα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση ƒ (είναι τα σημεία όπου το γράφημα της ƒ τέμνει τον άξονα x). Ένας αριθμός a είναι μία λύση του P αν και μόνο αν το x − a (of degree one in x) διαιρεί το P. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το x − a διαιρεί το P περισσότερες από μία φορά: Εάν το (x − a)2 διαιρεί το P τότε a καλείται πολλαπλή ρίζα του P, διαφορετικά a καλείται απλή ρίζα του P. Εάν P είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχει η μεγαλύτερη δύναμη m όπως (x − a)m που διαιρεί το P, η οποία καλείται πολλαπλότητα της ρίζας a στο P. Όταν P είναι το μηδενικό πολυώνυμο, η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση είναι ασήμαντη, και σε αυτήν την περίπτωση είναι σύνηθες να παραλείπεται όταν όταν με τους παραπάνω ορισμούς κάθε αριθμός μπορεί να είναι ρίζα ενός μηδενικού πολυωνύμου, με απροσδιόριστη (ή άπειρη) πολλαπλότητα. Με αυτήν την εξαίρεση, ο αριθμός των ριζών του P, ακόμη και να μετρηθεί με τις αντίστοιχες πολλαπλότητες, δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του P.
Μερικά πολυώνυμα, όπως το x2 + 1, δεν έχουν καθόλου ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς. Εάν, ωστόσο, επεκτείνουμε το πεδίο των ριζών στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μη σταθερό έχει τουλάχιστον μία ρίζα αυτό είναι το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Αν χωρίσουμε διαδοχικά τους παράγοντες του x − a, κάποιος βλέπει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν σταθερό. Ο αριθμός των μιγαδικών ριζών με τις πολλαπλότητες τους είναι ακριβώς ίσως με τον βαθμό του πολυωνύμου.
Υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στην εκτίμηση και τον υπολογισμό των ριζών. Μέθοδοι για τον υπολογισμό ριζών πολυωνύμου βαθμού 2, με συνθήκες τετραγώνου είναι γνωστές απ την αρχαιότητα (quadratic equation),και για πολυώνυμα βαθμού 3 η 4 παρόμοιες μέθοδοι (που χρησιμοποιούν κυβικές ρίζες όμως) έχουν βρεθεί τον 16ο αιώνα (κυβική εξίσωση και τεταρτοβάθμια εξίσωση για τις μεθόδους και Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια, Λοντοβίκο Φεράρι, Τζερόλαμο Καρντάνο, και Βιετά για ιστορικές λεπτομέρειες). Αλλά μέθοδοι για 5ου βαθμού πολυώνυμα δεν έχουν βρεθεί ακόμη. Το 1824,ο Niels Henrik Abel απέδειξε το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικά μέθοδος, που να περιλαμβάνει μόνο αριθμητικές πράξεις, που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 η μεγαλύτερου (δες Abel-Ruffini theorem). Το 1830,ο Εβαρίστ Γκαλουά, μελέτησε την μεταλλαγή των ριζών ενός πολυωνύμου, επεκτείνοντας το θεώρημα Abel-Ruffini, δοθείσας μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάποιος μπορεί να αποφασίσει αν είναι επιλύσιμο με πρωτογενή αναλυση, και αν είναι, να το λύσει. Αυτό το αποτέλεσμα σημάδεψε την Θεωρία Γκαλουά και Θεωρία ομάδων, δύο σημαντικούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Ο Galois ο ίδιος παρατήρησε ότι οι υπολογισμοί με την μέθοδο του είναι ανέφικτοι. Παρόλα αυτά, μέθοδοι για επιλύσιμες εξισώσεις βαθμού 5 και 6 έχουν δημοσιευθεί.
Για πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών η εντύπωση μιας ρίζας δεν υπάρχει, και υπάρχουν συνήθως άπειροι συνδυασμοί για τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η πολυωνυμική συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Ωστόσο οι βέβαιοι συνδυασμοί για τέτοια πολυώνυμα μας δείχνουν ότι μόνο για πεπερασμένους συνδυασμούς όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν.
Για ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους, υπάρχουν αλγόριθμοι που μας δείχνουν αν έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών ριζών. Αν ο αριθμός των ριζών είναι πεπερασμένος, υπάρχουν αλγόριθμοι για να υπολογίσουν τις ρίζες. Οι μέθοδοι που υπάρχουν σ αυτούς τους αλγόριθμους περιγράφονται στο άρθρο systems of polynomial equations. Η ειδική περίπτωση που όλα τα πολυώνυμα είναι βαθμού ένα καλείται σύστημα γραμμικών εξισώσεων, για το οποίο ένα άλλο σύνολο από μεθόδους λύσεις υπάρχει, περιλαμβανομένου και του κλασσικού της Γκαουσιανής απόρριψης.
Έχει δειχτεί από τον Richard Birkeland και τον Karl Meyr ότι οι ρίζες κάθε πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν σε συνθήκες πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων υπερβολικής γεωμετρίας. Ο Ferdinand von Lindemann και ο Hiroshi Umemura έδειξαν ότι οι λύσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν σε συνθήκες Siegel modular functions, γενικεύσεις του θεωρήματος theta που εμφανίζονται στην θεωρία ελλειπτικών συναρτήσεων. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί των ριζών των τυχαίων πολυωνύμων είναι γενικεύσεις των μεθόδων που είχαν ανακαλυφθεί για την λύση της εξίσωσης quintic.
Γραφήματα
Μια πολυωνυμική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράφημα.
Το γράφημα ενός μη σταθερού πολυωνύμου (μιας μεταβλητής) πάντα τείνει στο άπειρο όταν η μεταβλητή αυξάνει (κατά απόλυτη τιμή).
Τα γραφήματα των πολυωνύμων αναλύονται στον λογισμό με την χρήση τομών, κλίσεων, concavity,και συμπεριφοράς.
Οι εικόνες παρακάτω δείχνουν γραφήματα πολυωνύμων.
Πολυώνυμα και λογισμός
Ένα σημαντικό θέμα του λογισμού είναι η ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων και η προσέγγιση τους με πολυωνυμικές συναρτήσεις. Η κορύφωση αυτών των προσπαθειών είναι το Θεώρημα Taylor, το οποίο γενικά κάνει κάθε σύνθετη συνάρτηση τοπικά να μοιάζει με πολυωνυμική, και το θεώρημα Stone-Weierstrass, το οποίο λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση οριοθετεί μια compact interval του άξονα των πραγματικών μπορεί να προσεγγιστεί όσο κοντά θέλουμε από μία πολυωνυμική συνάρτηση. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις συνήθως χρησιμοποιούνται σε παρεμβολές συναρτήσεων.
Ο υπολογισμός παραγώγων και ολοκληρωμάτων πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά απλή. Για την πολυωνυμική συνάρτηση η παράγωγος με μεταβλητή το x είναι και το άπειρο ολοκλήρωμα
Θεωρητική άλγεβρα
Στη θεωρητική άλγεβρα, υπάρχει διαφορά μεταξύ πολυωνύμων και πολωνυμικών συναρτήσεων. Ένα πολυώνυμο f μιας μεταβλητής X πάνω από ένα δακτύλιο του R ορίζεται με την μορφή όπου n ένας φυσικός αριθμός, οι συντελεστές είναι στοιχεία του R, και το X είναι επίσημο σύμβολο, του οποίου οι δυνάμεις Xi είναι απλά για αντικατάσταση των συντελεστών ai, έτσι η δοθείσα μορφή είναι ένας τρόπος κωδικοποίησης της ακολουθίας, με n και ai = 0  για κάθε i > n. Δύο πολυώνυμα με την ίδια τιμή του n θεωρούνται ίσα αν και μόνο αν η ακολουθίες των παραγόντων τους είναι ίσες επιπλέον κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με κάθε πολυώνυμο με μεγαλύτερη τιμή για το n αν του τοποθετήσουμε την μεταβλητή μπροστά από κάθε παράγοντα που είναι ίσως με τον μηδέν. Αυτά τα πολυώνυμα δημιουργούνται προσθέτοντας απλός αντιπροσώπους στους παράγοντες (ο κανόνας της επέκτασης με μηδενικούς συντελεστές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι τέτοιοι παράγοντες υπάρχουν). Έτσι κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με το άθροισμα των όρων που χρησιμοποιούνται στην κανονική του μορφή, αν ένας όρος aiXi ερμηνεύεται σαν πολυώνυμο με μηδενικούς παράγοντες σε όλες τις δυνάμεις του X εκτός από Xi. Έπειτα για να προσδιορίσουμε την πολλαπλότητα, αρκεί ο distributive law για να περιγράψει το παράγωγο 2 όρων, το οποίο δίνεται απ τον τύπο
Έτσι το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές απ τον δακτύλιο του R αποτελεί ξεχωριστό δακτύλιο, τον πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από το R, που συμβολίζεται με R[X]. Η αντιστοιχία από το R στο R[X] που στέλνει το r στο rX0 είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, με το R να θεωρείται υποδακτύλιος του R[X]. Αν το R είναι αντιμεταθετικό, τότε το R[X] είναι μία άλγεβρα πάνω από το R.
Κάτι που μπορούμε να παρατηρήσουμε για τον δακτύλιο του R[X] είναι ότι προκύπτει από το R προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο X στο R, και επεκτείνοντας το κατά ελάχιστο τρόπο σε δακτύλιο στο οποίο το X δεν ικανοποιεί άλλες σχέσεις παρά μόνο τις υποχρεωτικές, συν την αντιμεταθετικότητα με όλα τα στοιχεία του R (δηλαδή ). Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσουμε όλες τις δυνάμεις του X και τους γραμμικούς τους συνδυασμούς επίσης.
Η διάταξη τον πολυωνυμικών δακτυλίων, μαζί με ιδεώδη, είναι σημαντικά εργαλεία για την κατασκευή νέων δακτυλίων μέσα από τους γνωστούς. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των μιγαδικών αριθμών, ο οποίος μπορεί να κατασκευαστεί από τον πολυωνυμικό R[X] πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με την προσθήκη του ιδεώδους των πολλαπλοτήτων του πολυωνύμου X2 + 1. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κατασκευή πεπερασμένων πεδίων, που γίνεται παρόμοια, αρχίζοντας απ το πεδίο των ακεραίων modulo κάτι πρώτος αριθμός ως συντελεστής του δακτυλίου R (δες modular arithmetic).
Αν R είναι αντιμεταθετικό, τότε η μοναδιαία συνάρτηση μπορεί να συσχετιστεί με κάθε πολυώνυμο P στον R[X], μία πολυωνυμική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών ίσο με το R (πιο γενικά η μοναδιαία συνάρτηση έχει ίδιο πεδίο ορισμού και τιμών unital associative algebra πάνω από το R). Η μοναδιαία συνάρτηση διατηρεί την τιμή f(r) υποκαθιστώντας την τιμή r με το σύμβολο X στο P. Ένας λόγος που διαχωρίζουμε τα πολυώνυμα απ τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι πάνω από κάποιους δακτυλίους διαφορετικά πολυώνυμα μπορεί να μας δώσουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση (δες μικρό θεώρημα του Fermat) για παράδειγμα όπου R είναι οι ακέραιοι modulo p). Αυτή δεν είναι η περίπτωση όταν το R είναι πραγματικοί η μιγαδικοί αριθμοί,πως οι δύο περιπτώσεις διαχωρίζονται στην ανάλυση. Ένας ακόμη πιο σημαντικός λόγος για να διαχωρίσουμε τα πολυώνυμα και τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι οι πράξεις στα πολυώνυμα (όπως η Ευκλείδεια διαίρεση) χρειάζονται να κοιτάξεις από τι αποτελείται ένα πολυώνυμο σαν έκφραση από το να εκτιμήσεις σαν σταθερή τιμή για το X. Και πρέπει να σημειωθεί ότι αν το R δεν είναι αντιμεταθετικό, δεν υπάρχει καμία (λειτουργικής) περίπτωση πωλυωνυμικής συνάρτησης.
Διαιρετότητα
Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένα κύριο στοιχείο μελέτης είναι η διαιρετότητα ανάμεσα στα πολυώνυμα. Αν το R είναι μια ακέραια περιοχή και f και g πολυώνυμα του R[X], ισχύει ότι f διαιρεί τοg η f είναι διαιρέτης του g εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο q του R[X] τέτοιο ώστε f q = g. Κάτι που δείχνει ότι κάθε μηδενικό δίνει ένα γραμμικό διαιρέτη, η πιο σωστά, αν f είναι ένα πολυώνυμο του R[X] και r είναι ένα στοιχείο του R τέτοιο ώστε f(r) = 0, τότε το πολυώνυμο (X − r) διαιρεί το f. Ισχύει και το αντίθετο. Το πηλίκο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ατελή διαίρεση πολυωνύμων.
Αν F είναι ένα πεδίο και fκαι g πολυώνυμα στο F[X] με g ≠ 0, τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα q και r στο F[X] με και τέτοια ώστε ο βαθμός του r είναι μικρότερος απ τον βαθμό του g (χρησιμοποιώντας τη σύμβαση ότι το πολυώνυμο 0 έχει αρνητικό βαθμό). Τα πολυώνυμα q και r είναι μοναδικά προσδιορισμένα από τηνf και την g. Αυτό ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση, διαίρεση με υπόλοιπο η ατελής πολυωνυμική διαίρεση και δείχνει ότι ο δακτύλιος F[X] είναι ένας Ευκλείδειος χώρος.
Δείτε επίσης: Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων.
Κατηγοριοποίηση
Τα πολυώνυμα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με πολλές διαφορετικές ιδιότητες.
Αριθμός μεταβλητών
Μία κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων βασίζεται στον αριθμό των διαφορετικών μεταβλητών. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής ονομάζεται μονοπαραμετικό πολυώνυμο, ένα πολυώνυμο με περισσότερες από μία μεταβλητή πολυπαραμετρικό πολυώνυμο. Είναι δυνατόν να ταξινομήσουμε περαιτέρω τα πολυπαραμετρικά πολυώνυμα σαν δυπαραμετρικά, τρειπαραμετρικά, και ούτω καθεξής, ανάλογα με τον μέγιστο αριθμό μεταβλητών που περιέχουν. Είναι ξεκάθαρο ότι κάθε διπαραμετρικό πολυώνυμο είναι και τριπαραμετρικό, και ούτω καθ'εξής.
Βαθμός
Ένας δεύτερος βασικός διαχωρισμός των πολυωνύμων γίνεται με βάση των βαθμό τους. Θυμηθείτε ότι ο βαθμός ενός όρου είναι το άθροισμα των εκθετών στις μεταβλητές, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων.
Συνήθως, ένα πολυώνυμο βαθμού n, για n μεγαλύτερο του 3, ονομάζεται πολυώνυμο βαθμού n, ωστόσο οι φράσεις τεταρτοβάθμιο και πεμπτοβάθμιο χρησιμοποιούνται μερικές φορές. Η χρήση ονομάτων για βαθμούς μεγαλύτερους του 5 είναι ακόμη πιο σπάνια. Τα ονόματα των βαθμών μπορεί να αφορούν τα πολυώνυμα ή τους όρους τους. Για παράδειγμα, στο ο όρος 2x είναι ένας όρος πρώτου βαθμού σε ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο.
Στο ευρύτερο πλαίσιο της πολυωνυμικής παρεμβολής υπάρχει ένα μπέρδεμα των δύο παραπάνω κατηγοριοποιήσεων. Για παράδειγμα, μια διγραμμική παρεμβολή]], είναι το παράγωγο δύο μονοπαραμετρικών πολυωνύμων, είναι διπαραμετρικό αλλά δεν είναι γραμμικό; παρόμοια αμφισημία επηρεάζει και την δικυβική παρεμβολή.
Το πολυώνυμο \mathbf{0}, που θεωρούμε ότι δεν έχει καθόλου όρους, ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο. Αντίθετα σε άλλα σταθερά πολυώνυμα, οι βαθμοί τους δεν είναι μηδενικοί. Ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου είναι απροσδιόριστος, η προσδιορίζεται σαν αρνητικός (ανάμεσα στο –1 και –∞). Αυτές οι συμβάσεις είναι σημαντικές όταν εξηγούμε την Ευκλείδεια διαίρεση των πολυωνύμων. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι επίσης μοναδικό σε αυτό είναι το μόνο πολυώνυμο που έχει άπειρο αριθμό ριζών.
Αν ένα πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή, τότε οι όροι του συνήθως γράφονται απ τον μεγιστοβάθμιο προς αυτόν με την μικρότερη δύναμη («μείωση δυνάμεων») η απ τον μικρότερου βαθμού στον μεγιστοβάθμιο («αύξηση δυνάμεων»). Ένα μονοπαραμετρικό πολυώνυμο του x βαθμού n έχει την γενική μορφή όπου
Εδώ ο όρος cnxn ονομάζεται πρωτεύων όρος και ο συντελεστής του cn ο πρωτεύων συντελεστής; αν ο πρωτεύων συντελεστής είναι 1, το μονοπαραμετρικό πολυώνυμο ονομάζεται μονικό.
Σημειώνεται εξαιρουμένου του πρωτεύοντος συντελεστή cn (το οποίο πρέπει να είναι μη μηδενικό διαφορετικά το πολυώνυμο δεν θα είναι βαθμού n) αυτή η γενική μορφή επιτρέπει στους παράγοντες να είναι μηδέν; όταν αυτό συμβαίνει ο αντίστοιχος όρος είναι μηδέν και μπορεί να βγει απ το άθροισμα χωρίς να αλλάζει το πολυώνυμο. Πρέπει ωστόσο να αναφέρουμε ότι ο ci είναι παράγοντας του xi, ακόμη και όταν ci είναι ίσο με 0, έτσι ώστε xi να μην αποτελεί όρο; για παράδειγμα κάποιος μπορεί να πει για τον σταθερό όρο του πολυωνύμου,εννοώντας c0 ακόμη και αν αυτός είναι ίσος με μηδέν.
Στην περίπτωση πολυωνύμων περισσότερων μεταβλητών, ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές βαθμού n αν όλοι οι όροι του έχουν βαθμό n. Για παράδειγμα,  είναι ομογενές βαθμού 5. Για λεπτομέρειες, δες Ομογενές πολυώνυμο.
Συντελεστές
Στην κατηγοριοποίηση με βάση των αριθμό μεταβλητών, όταν εργαζόμαστε με συντελεστές από ένα γνωστό σύνολο, όπως είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιούμε συντελεστές και από κάθε υποσύνολο αυτού. Έτσι x^2 + 3x -5 είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,αλλά είναι επίσης και ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, επειδή οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των μιγαδικών.
Αριθμός μη μηδενικών όρων
Τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν με βάση τους όρους με μη μηδενικούς παράγοντες, έτσι ένα πολυώνυμο με έναν όρο καλείται μονόνυμο, με δύο όρους δυόνυμο, και ούτω καθ εξής. (Μερικοί συγγραφείς με την λέξη «μονόνυμο» εννοούν το «μονικό μονόνυμο». )
Προσέγγιση συναρτήσεων
Τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση συναρτήσεων, όπως το ημίτονο, συνημίτονο και η εκθετική.
Χαρακτηριστικό πολυώνυμο
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα περιέχει πληροφορίες για τις ιδιοτιμές του. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός αλγεβρικού στοιχείου καταγράφει την απλούστερη αλγεβρική σχέση που ικανοποιείται από αυτό το στοιχείο. Το χρωματικό πολυώνυμο ενός γράφου μετράει τον αριθμό των κατάλληλων χρωματισμών του γραφήματος.
Κωδικοποίηση πληροφοριών
Τα πολυώνυμα συχνά χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση πληροφοριών.
Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου
Τα πολυώνυμα μπορεί να περιέχουν περισσότερες από μία παραμέτρους, τέτοια ονομάζονται πολυπαραμετρικά. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών είναι θεμελιώδους σημασίας στην αλγεβρική γεωμετρία η οποία μελετά τον ταυτόχρονο μηδενισμό όλων πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Αυτοί οι δακτύλιοι εναλλακτικά μπορούν να κατασκευαστούν επαναλαμβάνοντας την κατασκευή ενός δακτυλίου με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα και συντελεστές άλλους δακτυλίους: έτσι ο δακτύλιος R[X,Y] πολυωνύμων του X και του Y μπορεί να θεωρηθεί σαν δακτύλιος (R[X])[Y] πολυωνύμων του Y με συντελεστές πολυώνυμα του X, ή ο δακτύλιος (R[Y])[X] πολυωνύμων του X με συντελεστές πολυώνυμα του Y. αυτές οι παρατηρήσεις συμφωνούν με τις αριθμητικές πράξεις (είναι ισομορφισμοί δακτυλίων), αλλά μερικά σημεία όπως ο βαθμός ή πότε ένα πολυώνυμο θεωρείται μονικό μπορεί να διαφέρουν. Μπορούν να κατασκευαστούν δακτύλιοι πολυωνύμων με άπειρες παραμέτρους, αλλά απ την στιγμή που τα πολυώνυμα είναι (πεπερασμένες) εκφράσεις, κάθε πολυώνυμο μπορεί να περιέχει μόνο πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων.
Ένα δυαδικό πολυώνυμο που η δεύτερη παράμετρος έχει την μορφή εκθετικής συνάρτησης, για παράδειγμα το P(X,eX), ονομάζεται εκθετικό πολυώνυμο.
Τα πολυώνυμα Laurent, επιτρέπουν να υπάρχουν αρνητικές δυνάμεις στις παραμέτρους τους.
Τα πηλίκα πολυωνύμων ονομάζονται ρητές εκφράσεις (ή ρητά κλάσματα), και συναρτήσεις που υπολογίζουν ρητές εκφράσεις ονομάζονται ρητές συναρτήσεις. Τα ρητά κλάσματα είναι μορφές πηλίκων πολυωνύμων (αποτελούνται από πολυώνυμα όπως οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από ακεραίους,γράφοντας ένα κλάσμα με δύο από αυτούς). Η ρητή συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα ρητό κλάσμα είναι το πηλίκο των πολυωνυμικών συναρτήσεων που προσδιορίζεται απ τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ρητών κλασμάτων. Τα ρητά κλάσματα περιλαμβάνουν τα πολυώνυμα Laurent, αλλά δεν αποκλείουν τους παρονομαστές απ τις δυνάμεις των παραμέτρων. Ενώ οι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσδιορίζονται για κάθε τιμή των παραμέτρων, μία ρητή συνάρτηση προσδιορίζεται μόνο για τιμές των παραμέτρων γα τις οποίες ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Μια ρητή συνάρτηση δίνει ρητό αποτέλεσμα για κάθε τιμή για την οποία ορίζεται; αυτό δεν ισχύει για άλλες συναρτήσεις όπως τις τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και εκθετικές
Η σειρά δύναμης είναι σαν τα πολυώνυμα, αλλά μπορεί να περιέχει άπειρους μη μηδενικούς όρους, όποτε δεν έχει πεπερασμένο βαθμό. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα δεν μπορούν να γραφούν λεπτομερώς (όπως δεν μπορούν και οι πραγματικοί αριθμοί), αλλά γενικά ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τα πολυώνυμα.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Άλγεβρα
Βαλκανικοί Αγώνες Στίβου 1997
Οι 52οι Βαλκανικοί Αγώνες Στίβου 1997 έγιναν στην Αθήνα, στο Ολυμπιακό Στάδιο από 27 ως 29 Ιουνίου. Μετείχαν οκτώ βαλκανικές χώρες. Νικήτρια αναδείχθηκε η Ελλάδα στους άνδρες, σε 22 αγωνίσματα, και η Ρουμανία στις γυναίκες, σε 21 αγωνίσματα. Στο πρόγραμμα προστέθηκαν η σφυροβολία και το επι κοντώ γυναικών, ενώ διεξήχθη ξεχώριστο βαλκανικό πρωτάθλημα μαραθωνίου στο Αγρίνιο, στις 6 Απριλίου, εκτός βαθμολογίας.
Ανδρών
* Διεξήχθη ξεχωριστό πρωτάθλημα στο Αγρίνιο, εκτός βαθμολογίας.
Γυναικών
* Διεξήχθη ξεχωριστό πρωτάθλημα στο Αγρίνιο, εκτός βαθμολογίας.
Πηγές
Κατηγορία:Βαλκανικοί Αγώνες Στίβου Κατηγορία:Στίβος το 1997 Κατηγορία:Διοργανώσεις στίβου στην Αθήνα
Μύρτος Λασιθίου
Ο Μύρτος είναι χωριό και έδρα ομώνυμης κοινότητας του Δήμου Ιεράπετρας στην Περιφερειακή Ενότητα Λασιθίου. Βρίσκεται επί της επαρχιακής οδού Ιεράπετρας - Βιάννου και απέχει 14 χιλιόμετρα από την Ιεράπετρα και 24 χιλιόμετρα από την Άνω Βιάννο.
Περιγραφή
Η παραλία του Μύρτου, στενή και αμμώδης, ανήκει στις πολυσύχναστες ακτές που, όμως, προτιμούνται για οικογενειακές διακοπές, ιδιαίτερα από τους Ευρωπαίους. Η παραλία του Μύρτου βρίσκεται μπροστά από τις ταβέρνες και τα εστιατόρια της περιοχής. Είναι πλήρως οργανωμένη με ομπρέλες, ντους, αποδυτήρια, ναυαγοσώστη, καθώς επίσης διαθέτει και οργανωμένους χώρους για θαλάσσια αθλήματα όπως beach volley. Επίσης, υπάρχει και σχολή ιστιοπλοΐας. Προχωρώντας δυτικά από την κεντρική παραλία, υπάρχει χώρος κατάλληλος για κατασκήνωση, ενώ ανατολικά υπάρχει παραλία με χοντρά βότσαλα.
Οι κάτοικοι ασχολούνται με τις τουριστικές επιχειρήσεις και επίσης με την καλλιέργεια μπανάνας και εσπεριδοειδών.
Ιστορικά στοιχεία
thumb|Το μνημείο με τα ονόματα των εκτελεσθέντων το 1943 από τους Γερμανούς thumb|Ο αρχαιολογικός χώρος [[Πύργος Μύρτου|Πύργος Μύρτου.]] Κοντά στο χωριό ανακαλύφθηκαν τα ερείπια προανακτορικού μινωικού οικισμού που χρονολογείται από το 3000 - 2600 π.Χ. στη θέση Φούρνου Κορυφή, και ενός ανακτορικού έως το 1600 π.χ. στον Πύργο Μύρτου ενώ δίπλα στη θέση Άγιος Αντώνιος υπάρχουν τα ερείπια ρωμαϊκής πόλης με λιμάνι και θερμαινόμενα ψηφιδωτά ρωμαϊκά λουτρά.
Κούμανι Ηλείας
Το Κούμανι (ή ο Κούμανης) είναι ένα χωριό της ορεινής Ηλείας. Στην απογραφή του 2011 βρέθηκε να έχει 498 μόνιμους κατοίκους ενώ το ομώνυμο δημοτικό διαμέρισμα είχε συνολικά 506.
Μύρτος Λασιθίου
Ιστορικά στοιχεία
Η παλαιότερη θέση του χωριού ήταν στο Μετόχι, στη σημερινή περιοχή που λέγεται Άγιος Βασίλειος. Έπειτα οι κάτοικοι κατέβηκαν στην περιοχή του Μύρτου.
Κούμανι Ηλείας
Τοποθεσία
Απέχει 50 χιλιόμετρα από τον Πύργο, 70 χλμ. από την Πάτρα και 90 χλμ. από την Τρίπολη. Βρίσκεται πάνω στην οδό που συνδέει την Ολυμπία με την εθνική οδό που ενώνει την Πάτρα και την Τρίπολη. Το υψόμετρο του είναι περίπου 650 μέτρα. Το κλίμα είναι δροσερό το καλοκαίρι και ο χειμώνας ήπιος. Διοικητικά ανήκει στο Δήμο Αρχαίας Ολυμπίας.
Είναι χτισμένο στο κέντρο περίπου του καταπράσινου οροπεδίου της Φολόης (γνωστό από την αρχαιότητα από τον κένταυρο Φόλο, στον οποίο οφείλει άλλωστε την ονομασία του), που σκεπάζεται από το μεγαλύτερο αυτοφυές δάσος πλατύφυλλης βελανιδιάς, όχι μόνο της Ελλάδος αλλά των Βαλκανίων (η έκτασή του είναι περίπου 45.000 στρέμματα), γεγονός που έχει καταστήσει την περιοχή προστατευόμενη από το Κοινοτικό Δίκτυο Natura 2000. Το δάσος είναι επίπεδο και βατό με πλούσια και σπάνια πανίδα και χλωρίδα. Δίνει έτσι τη δυνατότητα στον επισκέπτη για ευχάριστους και ενδιαφέροντες περιπάτους. Το χωριό περιβάλλεται από άγονα πετρώδη βουνά, γύρω του βρίσκονται δύο μεγάλες χαράδρες που τις διασχίζουν δυο ποτάμια, η Γκούρα και το Κουμανέικο ποτάμι. Ακριβώς δίπλα είναι το μεγάλο δάσος από βελανιδιές, η λεγόμενη Κάπελη.