Γραμμική_παλινδρόμηση
Ερμηνεία
δεξιά|425px|μικρογραφία|The sets in the [[Anscombe's quartet have the same linear regression line but are themselves very different.]] Ένα μοντέλο εφοδιασμένο με γραμμική παλινδρόμηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ μιας μόνο μεταβλητής πρόβλεψης xj και μιας μεταβλητής απόκρισης  y  όταν όλες οι άλλες μεταβλητές πρόβλεψης στο μοντέλο "κρατούνται σταθερές". Συγκεκριμένα, η ερμηνεία του βj είναι η αναμένεται αλλαγή στην  y  για αλλαγή μιας μονάδας στο xj όταν οι άλλες συμμεταβλητές παραμένουν σταθερές, που είναι η αναμενόμενη τιμή της μερικής παραγώγου του  y  σε σχέση με xj. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται το  μοναδικό αποτέλεσμα  της xj με θέμα  y . Σε αντίθεση, η  οριακή επίδραση  του xj με θέμα  y  μπορεί να αξιολογηθεί χρησιμοποιώντας συντελεστή συσχέτισης ή απλή γραμμική παλινδρόμηση μοντέλων, αφορούν xj τo y Αυτή η επίδραση είναι το συνολικό παράγωγο του  y  σε σχέση με την xj. Πρέπει να δοθεί προσοχή κατά την ερμηνεία των αποτελεσμάτων παλινδρόμησης, καθώς κάποιες από τις παλινδρομήσεις δεν μπορεί να επιτραπεί για οριακές αλλαγές (όπως ψευδομεταβλητές, ή ο όρος τομής), ενώ άλλες δεν μπορούν να θεωρηθούν σταθερές (ας θυμηθούμε το παράδειγμα από την εισαγωγή: θα ήταν αδύνατο σε "ti σταθερό" και την ίδια στιγμή να μεταβάλει την τιμή της t<subκρ>i 2). Είναι πιθανό ότι το μοναδικό αποτέλεσμα μπορεί να είναι σχεδόν μηδέν, ακόμα και όταν το οριακό αποτέλεσμα είναι μεγάλο. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι κάποια άλλη συνμεταβλητή καταγράφει όλες τις πληροφορίες xj, έτσι ώστε, όταν η μεταβλητή είναι στο μοντέλο, δεν υπάρχει καμία συμβολή των  Χ  j στη μεταβολή των ' 'y' '. Αντίθετα, η μοναδική επίδραση της xj μπορεί να είναι μεγάλη, ενώ το οριακό αποτέλεσμα είναι σχεδόν μηδενική. Αυτό θα συνέβαινε αν οι άλλες συμμεταβλητές εξηγούν τη μεγάλη διακύμανση του  y , αλλά κυρίως εξηγούν παραλλαγή με έναν τρόπο που είναι συμπληρωματικό με αυτό που συλλαμβάνεται από xj. Στην περίπτωση αυτή, συμπεριλαμβανομένων και των άλλων μεταβλητών το μοντέλο μειώνει το μέρος διακύμανσης των  y  που δεν έχει σχέση με xj, ενισχύοντας έτσι την προφανή σχέση με xj. Η έννοια της έκφρασης "κρατούμενη σταθερά" μπορεί να εξαρτάται από το πώς προκύπτουν οι τιμές των μεταβλητών πρόβλεψης. Εάν ο πειραματιστής καθορίζει άμεσα τις τιμές των μεταβλητών πρόβλεψης σύμφωνα με μια σχεδίαση μελέτης,όπου οι συγκρίσεις του ενδιαφέροντος μπορεί κυριολεκτικά να αντιστοιχούν σε συγκρίσεις μεταξύ των οποίων οι μονάδες πρόβλεψης μεταβλητών έχουν "κρατούμενη σταθερά" από τον πειραματιστή. Εναλλακτικά, η έκφραση "κρατούμενη σταθερά" μπορεί να αναφέρεται σε μια επιλογή που πραγματοποιείται στο πλαίσιο της ανάλυσης δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση, θα «κρατήσουμε μεταβλητή σταθερά" περιορίζοντας την προσοχή μας στα υποσύνολα των δεδομένων που τυχαίνει να έχουν μια κοινή τιμή για τη συγκεκριμένη μεταβλητή πρόβλεψης. Αυτή είναι η μόνη ερμηνεία της "κρατούμενης σταθεράς" που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια μελέτη παρατήρησης. Η έννοια του «μοναδικού φαινομένου" είναι ελκυστική όταν μελετά ένα πολύπλοκο σύστημα όπου πολλαπλά αλληλένδετα συστατικά επηρεάζουν τη μεταβλητή απόκρισης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί κυριολεκτικά να ερμηνευθεί ως η αιτιώδης επίδραση μιας παρέμβασης που συνδέεται με την τιμή μιας μεταβλητής πρόβλεψης. Ωστόσο, έχει υποστηριχθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις η ανάλυση πολλαπλής παλινδρόμησης δεν αποσαφηνίζει τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών πρόβλεψης και της μεταβλητής απόκρισης όταν οι προγνωστικοί παράγοντες συσχετίζονται μεταξύ τους και δεν έχουν εκχωρηθεί μετά από ένα σχέδιο μελέτης. Μια ανάλυση των κοινών χαρακτηριστικών μπορεί να είναι χρήσιμη για την απεμπλοκή των κοινών και μοναδικών επιπτώσεων των συσχετισμένων ανεξάρτητων μεταβλητών. Πέρα από την πολλαπλή παλινδρόμηση: Χρησιμοποιώντας την ανάλυση των κοινών χαρακτηριστικών κατανοούνται καλύτερα τα αποτελέσματα. ==Επεκτάσεις== Πολυάριθμες επεκτάσεις γραμμικής παλινδρόμησης έχουν αναπτυχθεί, οι οποίες επιτρέπουν ορισμένες ή όλες από τις υποθέσεις να στηρίζονται στο βασικό μοντέλο για να χαλαρώσουν.