cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Κόνσταντιν Μπέρνχαρντ φον Φογκτς-Ρετς
Ο Κόνσταντιν Μπέρνχαρντ φον Φογκτς-Ρετς (γερμ. Konstantin Bernhard von Voigts-Rhetz, 1809-1877) υπήρξε Πρώσος αξιωματικός και στρατηγός του πεζικού.
Βιοφραφία
Γεννήθηκε στις 16 Ιουλίου 1809 στην Ζέεζεν (Seesen). Πατέρας του ήταν ο Βίκτορ Φρίντριχ Άουγκουστ Βίλχελμ Άρνολντ φον Φογκτς-Ρετς (Victor Friedrich August Wilhelm Arnold von Voigts-Rhetz, 1775-1841), ανώτατος κρατικός υπάλληλος. Μητέρα του ήταν η Ντοροτέα Γιουλιάνε Καρολίνε, το γένος φον Ούσλαρ (Dorothea Juliane Karoline von Uslar, 1782-1865). Αδέλφια του ήταν ο Βίλλιαμ φον Φογκτς-Ρετς (William von Voigts-Rhetz) και Γιούλιους φον Φογκτς-Ρετς (Julius von Voigts-Rhetz), αμφότεροι επίσης στρατηγοί του Πρωσικού στρατού.
Αφού τελείωσε το γυμνάσιο στο Μπύκεμπουργκ (Bückeburg) και Μίντεν (Minden), κατατάχτηκε στο 9ο Σύνταγμα Γρεναδιέρων του Κόλμπεργκ ως τυφεκιοφόρος (Musketier) και προάχθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 1829 σε βαθμό υπολοχαγού. Ακολούθως σπούδασε στην Πρωσική Στρατιωτική Ακαδημία από το 1833 ως το 1835 και μετατέθηκε στο τοπογραφικό τμήμα αρχικά και στο επιτελείο το 1839, ενώ το 1841 προάχθηκε στον βαθμό λοχαγού. Διετέλεσε διευθυντής γεωδαιτικού και από το 1847 Ταγματάρχης και μέλος του επιτελείου του 5ου στρατιωτικού σώματος. Πήρε μέρος στις Γερμανικές επαναστάσεις 1848-1849 και αναδείχτηκε για την καταστολή των επαναστατών. Ανήλθε στα στρατιωτικά αξιώματα και πήρε μέρος με επιτυχία σε πολλές μάχες στους Αυστρο-Πρωσικούς και Γαλλοπρωσικούς πολέμους, στις οποίες τιμήθηκε με τα πιο υψηλά μετάλλια. Εν συνεχεία ανέλαβε πολιτικά αξιώματα και κυβέρνησε το νεοσύστατο κρατίδιο του Ανοβέρου. Αποσύρθηκε το 1873 λόγω υγείας και απεβίωσε στις 14 Απριλίου 1877 στο Βιζμπάντεν.
Πηγές
Κατηγορία:Πρώσοι Κατηγορία:Γερμανοί στρατιωτικοί
Άνσελ Κις
Ο Άνσελ Κις (Ancel Benjamin Keys) (26 Ιανουαρίου 1904 - 20 Νοεμβρίου 2004) ήταν Αμερικανός επιστήμονας που μελέτησε την επίδραση της δίαιτας στην υγεία. Πιο συγκεκριμένα έκανε την υπόθεση πως διαφορετικά είδη λίπους στη διατροφή έχουν διαφορετικές επιπτώσεις στην υγεία.
Εξέτασε ως επιδημία την καρδιαγγειακή νόσο και σε αυτόν οφείλονται δύο τύποι δίαιτας: το K-σιτηρέσιο, μια ισορροπημένη δίαιτα για στρατιώτες μάχης, και η μεσογειακή διατροφή.
Σημειώσεις παραπομπές
Κατηγορία:Διατροφολογία Κατηγορία:Αμερικανοί επιστήμονες
Απόδοση (χημεία)
Στη χημεία, απόδοση, που επίσης αναφέρεται ως απόδοση αντίδρασης, είναι η ποσότητα του προϊόντος που παίρνεται σε μια χημική αντίδραση. Η απόλυτη απόδοση μπορεί να δοθεί ως το βάρος σε γραμμάρια ή σε moles (μοριακή απόδοση). Η ποσοστιαία απόδοση (ή κλασματική απόδοση ή σχετική απόδοση), που χρησιμεύει στην μέτρηση της αποτελεσματικότητας μιας διεργασίας σύνθεσης, μετράται διαιρώντας την ποσότητα που επιθυμητού προϊόντος που ελήφθη με την θεωρητική απόδοση (η μονάδα μέτρησης και των δύο πρέπει να είναι η ίδια):
(όπου percent yield=ποσοστιαία απόδοση, actual yield=πραγματική απόδοση και theoretical yield=θεωρητική απόδοση)
Η θεωρητική απόδοση είναι η ποσότητα που προβλέπεται από τον στοιχειομετρικό υπολογισμό με βάση τον αριθμό των mol όλων των παρόντων αντιδραστηρίων. Αυτός ο υπολογισμός υποθέτει ότι μόνο μια αντίδραση συμβαίνει και ότι το περιοριστικό αντιδραστήριο αντιδρά πλήρως. Όμως η πραγματική απόδοση είναι πολύ συχνά μικρότερη (η ποσοστιαία απόδοση είναι μικρότερη από 100%) για πολλά αίτια:
Παράδειγμα
Αυτό είναι ένα παράδειγμα αντίδρασης εστεροποίησης όπου ένα μόριο αιθανικού οξέος αντιδρά με ένα μόριο αιθανόλης, αποδίδοντας ένα μόριο αιθανικού αιθυλεστέρα (μια διμοριακή αντίδραση δεύτερης τάξης του τύπου A + B → C):
Παραπομπές
Κατηγορία:Στοιχειομετρία
Μερική διαφορική εξίσωση
Στα μαθηματικά μία μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει άγνωστες συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους αυτών.(Σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες ασχολούνται με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τα παράγωγά τους.) Οι ΜΔΕ χρησιμοποιούνται για να διαμορφώσουν τα προβλήματα που αφορούν τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, και είτε λύνονται με το χέρι, ή χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα σχετικό υπολογιστικό μοντέλο.
Οι ΜΔΕ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια ευρεία ποικιλία φαινομένων, όπως ήχο, θερμότητα, ηλεκτροστατική , ηλεκτροδυναμική , ροή του υγρού,  ελαστικότητα και εκφυλιστική χρωμοδυναμική ροή (όταν η υψηλή στάθμη ενέργειας δεν επιτρέπει στην ισχυρή πυρηνική δύναμη να εκδηλώσει συγκεκριμένα σωματίδια π.χ. στο κέντρο μαύρων τρυπών ή πριν τον κοσμικό πληθωρισμό). Αυτά τα φαινομενικά διαφορετικά φυσικά φαινόμενα μπορεί να υλοποιούνται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τη ΜΔΕ, που δείχνει ότι αυτά διέπονται από τις ίδιες βασικές δυναμικές. Απλά όπως οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα, έτσι και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν πολυδιάστατα συστήματα. Οι ΜΔΕ βρίσκουν τη γενίκευση τους στις στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.
Εισαγωγή
Μια μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) για τη συνάρτηση είναι μια εξίσωση της μορφής: Αν η F είναι μια γραμμική συνάρτηση του u και των παραγώγων του, τότε η ΜΔΕ ονομάζεται γραμμική. Κοινά παραδείγματα των γραμμικών ΜΔΕ είναι η εξίσωση θερμότητας, η κυματική εξίσωση, η εξίσωση Laplace, η εξίσωση Helmholtz, η Klein-Gordon εξίσωση, και η εξίσωση του Poisson. Μια σχετικά απλή ΜΔΕ είναι Αυτή η σχέση σημαίνει ότι η συνάρτηση u (x, y) είναι ανεξάρτητη του x. Ωστόσο, η εξίσωση δε δίνει καμία πληροφορία σχετικά με την εξάρτηση της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή y. Ως εκ τούτου, η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι όπου f είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του y. Η ανάλογη συνήθης διαφορική εξίσωση είναι η οποία εχει λύση την όπου c είναι οποιαδήποτε σταθερή τιμή. Αυτά τα δύο παραδείγματα δείχνουν ότι οι γενικές λύσεις των συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε.) αφορούν αυθαίρετες σταθερές, ενώ οι λύσεις των ΜΔΕ αφορούν αυθαίρετες συναρτήσεις. Μια λύση μιας ΜΔΕ δεν είναι γενικά μοναδική. Πρόσθετοι περιορισμοί πρέπει γενικά να καθορίζονται στα όρια της περιοχής όπου η λύση έχει οριστεί. Για παράδειγμα, στο παραπάνω απλό παράδειγμα, η συνάρτηση f (y) μπορεί να προσδιοριστεί εάν u καθορίζεται στη γραμμή χ = 0.
Ύπαρξη και μοναδικότητα
Αν και το ζήτημα της ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει μια πολύ ικανοποιητική απάντηση κατά το Picard-Lindelöf θεώρημα, αυτό απέχει πολύ στην περίπτωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το Cauchy-Kowalevski θεώρημα λέει ότι το πρόβλημα Cauchy για κάθε μερική διαφορική της οποίας οι συντελεστές είναι αναλυτικοί στην άγνωστη συνάρτηση και τα παράγωγά της, έχει μια τοπικά μοναδική αναλυτική λύση. Παρά το γεγονός ότι το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να μη φαίνεται να διευθετεί την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων, υπάρχουν παραδείγματα γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων των οποίων οι συντελεστές έχουν παράγωγα όλων των ειδών (τα οποία δεν είναι, ωστόσο, αναλυτικά), αλλά τα οποία δεν έχουν λύσεις σε όλα: βλ. Lewy (1957). Ακόμη και αν η λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης υπάρχει και είναι μοναδική, μπορεί ωστόσο να έχει ανεπιθύμητες ιδιότητες. Η μαθηματική μελέτη από αυτές τις ερωτήσεις είναι συνήθως το πιο ισχυρό πλαίσιο των ασθενών λύσεων.
Ένα παράδειγμα παθολογικής συμπεριφοράς είναι η ακολουθία των προβλημάτων Cauchy (ανάλογα με n) για την εξίσωση Laplace.
με οριακές συνθήκες
όπου το n είναι ένας ακέραιος. Το παράγωγο του u σε σχέση με το Υ προσεγγίζει το 0 ομοιόμορφα στο Χ όσο το n αυξάνει, αλλά η λύση είναι
Η λύση αυτή προσεγγίζει το άπειρο, αν nx δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π για οποιαδήποτε μη-μηδενική τιμή του y. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση Laplace καλείται κακώς ορισμένο ή όχι καλά τοποθετημένο,δεδομένου ότι η λύση δεν εξαρτάται πάντα από τα δεδομένα του προβλήματος. Τέτοια κακώς ορισμένα προβλήματα συνήθως δεν είναι ικανοποιητικα για φυσικές εφαρμογές.
Σημείωση
Στις ΜΔΕ, είναι σύνηθες να υποδηλώνονται μερικές παράγωγοι χρησιμοποιώντας δείκτες. Τέτοιες είναι:
Ειδικά στη Φυσική, το ανάδελτα (\nabla) χρησιμοποιείται συχνά για χωρικές παραγώγους, και, για τα παράγωγα του χρόνου. Για παράδειγμα, η εξίσωση κύματος (που περιγράφεται πιο κάτω) μπορεί να γραφτεί ως
ή
όπου Δ είναι ο τελεστής Laplace.
Η εξίσωση θερμότητας σε μία διάσταση χώρου
όπου u ( t, x) είναι η θερμοκρασία, και το α είναι μια θετική σταθερά που περιγράφει το ρυθμό διάχυσης. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση αυτή συνίσταται στον προσδιορισμό u (0, Χ) = f ( Χ), όπου f ( Χ) είναι μια αυθαίρετη λειτουργία.
Γενικές λύσεις της εξίσωσης θερμότητας μπορούν να βρεθούν με την μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών. Μερικά παραδείγματα εμφανίζονται στο άρθρο εξίσωση θερμότητας. Αποτελούν παραδείγματα της σειράς Fourier για την περιοδική f και μετασχηματισμοί Fourier για μη περιοδικές f. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, μια γενική λύση της εξίσωσης θερμότητας έχει τη μορφή
όπου F είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση. Για να ικανοποιήσει τον αρχικό περιορισμό, δίνεται η  F από το μετασχηματισμό Fourier της f, που είναι
Αν η f αντιπροσωπεύει μια πολύ μικρή αλλά έντονη πηγή θερμότητας, τότε το προηγούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να προσεγγιστεί από τη διανομή δέλτα, πολλαπλασιασμένη με την ισχύ της πηγής. Για μια πηγή του οποίου η αντοχή κανονικοποιείται στο 1, το αποτέλεσμα είναι
και το προκύπτον αποτέλεσμα της εξίσωσης θερμότητας είναι
Το αποτέλεσμα αυτό αντιστοιχεί στην κανονική πυκνότητα πιθανότητας για Χ με μέση τιμή 0 και διακύμανση 2α t. Η εξίσωση θερμότητας και παρόμοιες εξισώσεις διάχυσης είναι χρήσιμα εργαλεία για τη μελέτη τυχαίων φαινομένων.
Η κυματική εξίσωση σε μία χωρική διάσταση
Η εξίσωση κύματος είναι μια εξίσωση για μια άγνωστη συνάρτηση u ( t, Χ) της μορφής
Εδώ to  u φαίνεται να μπορεί να περιγράψει την εκτόπιση μιας τεντωμένης χορδής από την ισορροπία, ή την διαφορά στην πίεση του αέρα σε ένα σωλήνα, ή το μέγεθος ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε έναν σωλήνα, και c είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί στην ταχύτητα του κύματος. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση αυτή συνίσταται στο να επιβάλλεται η αρχική μετατόπιση και η ταχύτητα μιας χορδής ή σε άλλο μέσο:
όπου f και g είναι αυθαίρετα δοσμένες συναρτήσεις. Η λύση αυτού του προβλήματος δίνεται από τον Ντ 'Αλαμπέρ τύπο:
Ο τύπος αυτός συνεπάγεται ότι η λύση στο ( t, Χ) εξαρτάται μόνο από τα στοιχεία σχετικά με το τμήμα της αρχικής γραμμής που κόβεται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες
που έχουν συνταχθεί πίσω από εκείνο το σημείο. Αυτές οι καμπύλες αντιστοιχούν σε σήματα που διαδίδονται με την ταχύτητα c προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Αντιστρόφως, η επιρροή των δεδομένων σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο επί της αρχικής γραμμής διαδίδεται με την πεπερασμένη ταχύτητα C: δεν υπάρχει καμία επίδραση έξω από ένα τρίγωνο μέσω αυτού του σημείου του οποίου οι πλευρές είναι χαρακτηριστικές καμπύλες.Αυτή η συμπεριφορά είναι πολύ διαφορετική από τη λύση για την εξίσωση θερμότητας, όπου η επίδραση μιας σημειακή πηγής εμφανίζεται (με μικρό πλάτος) ακαριαία σε κάθε σημείο στο χώρο. Η λύση που δίνεται παραπάνω ισχύει επίσης εάν t <0, και η ρητή εξίσωση δείχνει ότι η λύση εξαρτάται ομαλά από τα δεδομένα: τόσο προς τα εμπρός και προς τα πίσω τα προβλήματα Cauchy για την εξίσωση κύματος είναι καλά ορισμένα.
Γενικευμένη εξίσωση ,όπως αυτή της θερμότητας, σε χώρο μίας διάστασης
Όπου η εξίσωση ,όπως αυτή της θερμότητας, δίνει εξισώσεις της μορφής:
όπου \hat{H} είναι ένας Χειριστής Sturm-Liouville (Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ο χειριστής αυτός μπορεί στην πραγματικότητα να είναι της μορφής
Τότε:
Αν:
όπου
Σφαιρικά κύματα
Σφαιρικά κύματα είναι τα κύματα των οποίων το πλάτος εξαρτάται μόνο από την απόσταση της ακτίνας r από μια κεντρική σημειακή πηγή. Για τέτοια κύματα, η τρισδιάστατη κυματική εξίσωση παίρνει τη μορφή
Αυτό είναι ισοδύναμο με
και ως εκ τούτου η ποσότητα ru ικανοποιεί την μονοδιάστατη εξίσωση κύματος. Κατά συνέπεια, μια γενική λύση για τα σφαιρικά κύματα έχει τη μορφή
όπου F και G είναι εντελώς αυθαίρετες συναρτήσεις. Ακτινοβολία από μία κεραία αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου G είναι ιδανικά μηδέν. Έτσι, η μορφή του κύματος που μεταδίδεται από μια κεραία δεν έχει καμία παραμόρφωση στο χρόνο: ο μόνος παράγοντας στρέβλωσης είναι ο 1 / r. Αυτό το χαρακτηριστικό της αναλλοίωτης διάδοσης των κυμάτων δεν είναι παρούσα εάν υπάρχουν δύο χωρικές διαστάσεις.
Εξίσωση Laplace σε δύο διαστάσεις
Η εξίσωση Λαπλάς για μια άγνωστη συνάρτηση δύο μεταβλητών φ έχει τη μορφή
Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις.
Σύνδεση με αναλυτικές συναρτήσεις
και ακολουθεί ότι
Αντιστρόφως, δοσμένης μιας αρμονικής συνάρτησης σε δύο διαστάσεις, είναι το πραγματικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης, τουλάχιστον τοπικά. Λεπτομέρειες δίνονται στην εξίσωση Λαπλάς.
Ένα τυπικό πρόβλημα οριακών τιμών
Ο Petrovsky (1967, σελ. 248.) δείχνει πως ο τύπος αυτός μπορεί να ληφθεί από το άθροισμα μιας σειράς Fourier για φ. Εάν r <1, τα παράγωγα της φ μπορούν να υπολογιστούν με τη διαφοροποίηση κάτω από το ολοκληρωτικό σύμβολο, και μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι η φ είναι αναλυτική, ακόμη και αν u είναι συνεχής, αλλά όχι κατ 'ανάγκην διαφορίσιμη.Αυτή η συμπεριφορά είναι τυπική για τις λύσεις των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων : οι λύσεις μπορεί να είναι πολύ πιο ομαλές από ό, τι τα δεδομένα όρια. Αυτό είναι σε αντίθεση με τις λύσεις της εξίσωσης κύματος, και πιο γενικά της υπερβολικής μερικής διαφορικής εξίσωσης, οι οποίες έχουν συνήθως όχι περισσότερες παραγώγους από τα δεδομένα.
Euler-Tricomi εξίσωση
Η Euler-Tricomi εξίσωση χρησιμοποιείται στην έρευνα της transonic ροής.
Εξίσωση οριζόντιας μεταφοράς
Η εξίσωση αερίων μαζών περιγράφει τη μεταφορά μιας διατηρημένης μιας διάστασης ψ σε ένα πεδίο ταχύτητας 'u' = (u, κατά, w). Είναι:
Εάν το πεδίο ταχύτητας είναι σωληνοειδείς (δηλαδή, ∇ ⋅ 'u'), τότε η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί
Στην μονοδιάστατη περίπτωση όπου u δεν είναι σταθερά και είναι ίση με ψ, η εξίσωση αναφέρεται ως Burgers 'εξίσωση.
Ginzburg-Landau εξίσωση
Η Ginzburg-Landau εξίσωση χρησιμοποιείται στη μοντελοποίηση υπεραγωγιμότητα. Είναι
όπου p,q ∈ C κΙ γ ∈ R είναι σταθερές και i είναι η φανταστική ενότητα.
Η εξίσωση Dym
Η Dym εξίσωση πήρε το όνομά της απο τον Χάρι Dym και παρουσιάζεται στη μελέτη του σολιτονικές. Είναι
Αξία αρχικών οριακών προβλημάτων
Κύριο άρθρο: Προβλήματα συνοριακών τιμών
Πολλά προβλήματα της μαθηματικής φυσικής διαμορφώνονται ως αρχικά διασυνοριακά προβλήματα.
Παλλόμενη χορδή
Αν η χορδή είναι τεντωμένη μεταξύ δύο σημείων, όπου x = 0 και x = L και u δηλώνει το εύρος της μετατόπισης της χορδής, τότε το u ικανοποιεί την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση στην περιοχή όπου 0 < x < L και t είναι απεριόριστο. Δεδομένου ότι η χορδή είναι δεμένη στα κάτω άκρα, το u πρέπει επίσης να πληροί τις οριακές συνθήκες
καθώς και τις αρχικές συνθήκες
οδηγεί σε λύσεις της μορφής
όπου
όπου η σταθερά k πρέπει να ορίζεται. Οι οριακές συνθήκες τότε δηλώνουν ότι το  Χ είναι πολλαπλάσιο του sinkx και το k πρέπει να έχει τη μορφή
όπου n είναι ένας ακέραιος. Κάθε όρος του αθροίσματος αντιστοιχεί σε μια λειτουργία της δόνησης της χορδής. Ο τρόπος με n = 1 ονομάζεται θεμελιώδης λειτουργία, και οι συχνότητες των άλλων τρόπων είναι όλα τα πολλαπλάσια αυτής της συχνότητας. Αποτελούν τη σειρά απόηχος της χορδής, και είναι η βάση για τη μουσικη-ακουστική. Οι αρχικές συνθήκες μπορεί στη συνέχεια να ικανοποιηθούν αντιπροσωπεύοντας τις  f και g ως άπειρες σειρές από αυτούς τους τρόπους. Πνευστά τυπικά αντιστοιχούν σε δονήσεις μιας στήλης αέρα με ένα άκρο ανοικτό και ένα άκρο κλειστό. Οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες είναι
Το γενικό πρόβλημα του τύπου αυτού έχει λυθεί στη Sturm-Liouville θεωρία.
Παλλόμενη μεμβράνη
Αν μια μεμβράνη απλώνεται κατά μήκος της καμπύλης C, που αποτελεί το όριο ενός τομέα D στο πλάνο, οι δονήσεις της διέπονται από την εξίσωση κύματος
αν t>0 και (x,y) είναι στο D. Η οριακή συνθήκη είναι u(t,x,y) = 0 αν (x,y) είναι στο C. Η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών οδηγεί στον τύπο
η οποία με τη σειρά της πρέπει να πληροί
Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται Εξίσωση Helmholtz. Η σταθερά k πρέπει να είναι ορισμένη να επιτρέπει σε έναν μη-τετριμμένο V να ικανοποιεί την οριακή συνθήκη για το C. Αυτές οι τιμές του k 2 καλούνται ιδιοτιμές της Λαπλασιανής στο D, και οι σχετικές λύσεις είναι οι eigenfunctions της Λαπλασιανής στο D. Η Sturm-Liouville θεωρία μπορεί να επεκταθεί και σε αυτό το ελλειπτικό πρόβλημα ιδιοτιμών (Jost, 2002).
Άλλα παραδείγματα
Η εξίσωση Schrödinger είναι μια ΜΔΕ στην καρδιά της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής. Στην WKB προσέγγιση είναι η Hamilton-Jacobi εξίσωση.
Εκτός από τη Dym εξίσωση και τη Ginzburg-Landau εξίσωση, οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμικές με την έννοια ότι μπορούν να γραφτούν στη μορφή Au =f για ένα δοσμένο γραμμικό τελεστή  Α και μια συγκεκριμένη συνάρτηση f. Άλλες σημαντικές μη γραμμικές εξισώσεις περιλαμβάνουν τις εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν τη ροή των υγρών, και τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν ή της γενικής σχετικότητας.
Επίσης, δείτε το κατάλογος των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Ταξινόμηση
Μερικές γραμμικές, δεύτερης τάξης μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χαρακτηριστούν ως παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ή ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Άλλες, όπως η Euler-Tricomi εξίσωση έχουν διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικές περιοχές. Η ταξινόμηση παρέχει έναν οδηγό για τις κατάλληλες αρχικές και οριακές συνθήκες, και στην ομαλότητα των λύσεων.
Εξισώσεις δεύτερης τάξης
Υποθέτοντας ότι, η γενική λύση δεύτερης τάξης ΜΔΕ σε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές έχει τη μορφή
όπου οι συντελεστές A, B, C κλπ. μπορεί να εξαρτάται από x και y. Αν γύρω από μια περιοχή του επιπέδου xy, η ΜΔΕ είναι δεύτερης τάξης σε αυτην την περιοχή. Αυτή η μορφή είναι ανάλογη με την εξίσωση για μια κωνική τομή:
Ακριβέστερα, αντικαθιστώντας ∂x by X,και ομοίως για τις άλλες μεταβλητές (τυπικά αυτό γίνεται με ένα μετασχηματισμό Fourier), μετατρέπει ένα σταθερό συντελεστή-ΜΔΕ σε ένα πολυώνυμο του ίδιου βαθμού, με την μεγαλύτερο βαθμό (α ομογενές πολυώνυμο, εδώ α τετραγωνική μορφή) είναι πιο σημαντικά για την κατάταξη.
Ακριβώς όπως κάποιος κατατάσσει μια κωνική τομή και τις τετραγωνικές μορφές σε παραβολικές, υπερβολικές, και ελλειπτικές με βάση τη διακρίνουσα B^2 - 4AC, το ίδιο μπορεί να γίνει για μια δεύτερης τάξης ΜΔΕ σε ένα δοσμένο σημείο. Ωστόσο, η διακρίνουσα σε μια ΜΔΕ δίνεται από B^2 - AC, λόγω της Σύμβασης για τα xy ο όρος είναι 2 Β και όχι B.Επίσημα, η διακρίνουσα (για τη συνδεδεμένη τετραγωνική μορφή) είναι  με τον παράγοντα 4 που μειώθηκε για λόγους απλότητας.
Εάν υπάρχουν n ανεξάρτητες μεταβλητές x1, x2, ..., xn, μια γενική γραμμική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης έχει τη μορφή
Η ταξινόμηση εξαρτάται από την υπογραφή των ιδιοτιμών του συντελεστή ai,j..
Συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξεως και χαρακτηριστικές επιφάνειες
Η κατάταξη των μερικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να επεκταθεί σε συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης, όπου το άγνωστο u είναι τώρα ένα διάνυσμα με m συστατικά, και τις μήτρες συντελεστή Α ν είναι m κατά m μήτρες για ν = 1, ..., n. Η μερική διαφορική εξίσωση παίρνει τη μορφή
όπου φ έχει μια μη μηδενική κλίση, έτσι S είναι χαρακτηριστική επιφάνεια A για τον χειριστή L σε ένα δεδομένο σημείο, εάν η χαρακτηριστική μορφή εξαφανίζεται:
Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της κατάστασης είναι ως εξής: αν τα δεδομένα για το  u προδιαγράφονται στην επιφάνεια S, τότε μπορεί να είναι δυνατό να καθοριστεί η κανονική παράγωγος του u στην  S  από την διαφορική εξίσωση. Εάν τα στοιχεία για την  S και η διαφορική εξίσωση καθορίζει την κανονική παράγωγο της u στην  S, τότε  S δεν είναι χαρακτηριστική. Εάν τα δεδομένα για την  S και η διαφορική εξίσωση δεν καθορίζουν την κανονική παράγωγο του  u για την  S, τότε η επιφάνεια είναι 'χαρακτηριστική', και η διαφορική εξίσωση περιορίζει τα δεδομένα στην  S: η διαφορική εξίσωση είναι εσωτερική στην  S.
έχει m πραγματικές ρίζες λ 1, λ2, ..., λm. Το σύστημα είναι αυστηρά υπερβολικό αν οι ρίζες αυτές είναι πάντα ξεχωριστές. Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της συνθήκης είναι η εξής: η χαρακτηριστική μορφή Q (ζ) = 0 ορίζει έναν κώνο (ο κανονικός κώνος) με ομογενείς συντεταγμένες ζ.Στην υπερβολική περίπτωση, αυτό κώνος έχει m φύλλα, και ο άξονας ζ = λ ξ τρέχει μέσα σε αυτά τα φύλλα: δεν τέμνει καμία από αυτές. Αλλά όταν μετατοπίζεται από την θέση του η, ο άξονας αυτός τέμνει κάθε φύλλο. Στην ελλειπτική περίπτωση, ο κανονικός κώνος δεν έχει κανένα πραγματικό φύλλο.
Εξισώσεις μικτού τύπου
Εάν μια ΜΔΕ έχει συντελεστές που δεν είναι σταθεροί, είναι δυνατόν ότι αυτοί δεν θα ανήκουν σε κάποια από αυτές τις κατηγορίες, αλλά μάλλον θα είναι μικτού τύπου. Ένα απλό αλλά σημαντικό παράδειγμα είναι η Euler-Tricomi εξίσωση
η οποία καλείται ελλειπτικά-υπερβολική επειδή είναι ελλειπτική στην περιοχή Χ <0, υπερβολική στην περιοχή Χ> 0, και εκφυλισμένη παραβολική στη γραμμή Χ = 0.
Άπειρης τάξης ΜΔΕ στην κβαντομηχανική
Η Weyl κβαντοποίηση στο χώρο των φάσεων οδηγεί στις quantum Χάμιλτον εξισώσεις για τις τροχιές των κβαντικών σωματιδίων. Αυτές οι εξισώσεις είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ. Ωστόσο, στην ημικλασσική επέκταση έχει ένα πεπερασμένο σύστημα εξισώσεων σε οποιαδήποτε σταθερή διάταξη \hbar.Η εξίσωση της εξέλιξης της συνάρτησης Wigner είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ επίσης. Οι κβαντικές τροχιές είναι χαρακτηριστικά κβαντικές με τη χρήση του οποίου μπορεί κανείς να υπολογίσει την εξέλιξη της συνάρτησης Wigner.
Χωρισμός των μεταβλητών
Αυτό είναι δυνατό για απλές ΜΔΕ, οι οποίες ονομάζονται διαχωρίσιμες μερικές διαφορικές εξισώσεις, και ο τομέας είναι γενικά ένα ορθογώνιο (ένα προϊόν των διαστημάτων). Διαχωρίσιμες ΜΔΕ αντιστοιχούν σε διαγώνιες μήτρες - λαμβάνοντας υπόψην "την αξία της σταθεράς Χ " ως συντεταγμένη, κάθε συντεταγμένη μπορεί να κατανοηθεί ξεχωριστά.
Αυτό γενικεύει στη μέθοδο των χαρακτηριστικών, και χρησιμοποιείται επίσης στους αρχικούς μετασχηματισμούς.
Μέθοδος των χαρακτηριστικών
Σε ειδικές περιπτώσεις, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές καμπύλες των οποίων η εξίσωση μειώνεται σε μια ΣΔΕ - αλλάζοντας τις συντεταγμένες στον τομέα για να ισιώσουν αυτές οι καμπύλες,επιτρέπει το διαχωρισμό των μεταβλητών, και ονομάζεται μέθοδος των χαρακτηριστικών.
Γενικότερα, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές επιφάνειες.
Αρχικός Μετασχηματισμός
Ένας αρχικός μετασχηματισμός δύναται να μετατρέψει την ΜΔΕ σε μια απλούστερη, ιδιαίτερα σε μια διαχωρίσιμη ΜΔΕ. Αυτό αντιστοιχεί στο "diagonalizing" ένα χειριστή.
Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι η Ανάλυση Fourier, η οποία diagonalizes την εξίσωση θερμότητας με χρήση του eigenbasis ημιτονοειδών κυμάτων.
Αν ο τομέας είναι πεπερασμένος ή περιοδικός, ένα άπειρο άθροισμα των λύσεων, όπως η σειρά Fourier είναι κατάλληλο, αλλά αποτελεί την αρχική των λύσεων όπως η Fourier αρχική απαιτούνται κατά κανόνα για άπειρους τομείς. Η λύση για μια σημείακή πηγή για την εξίσωση θερμότητας έχει δοθεί παραπάνω και είναι ένα παράδειγμα για τη χρήση μιας αρχικής Fourier.
Αλλαγή των μεταβλητών
Συχνά μια ΜΔΕ μπορεί να ελλατωθεί σε μια απλούστερη μορφή με μια γνωστή λύση από μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Για παράδειγμα, η Black-Scholes ΜΔΕ
μπορεί να αναχθεί στην εξίσωση θερμότητας
με την αλλαγή των μεταβλητών (για τις πλήρεις λεπτομέρειες βλέπε Solution of the Black Scholes Equation)
Θεμελιώδης λύση
Ανομοιογενείς εξισώσεις μπορούν συχνά να επιλυθούν (για σταθερούς συντελεστές ΜΔΕ, πάντα λύνονται) με την εύρεση της θεμελιώδους λύσης (η λύση για μια σημειακή πηγή), στη συνέχεια, λαμβάνοντας τη συνέλιξη με τις οριακές συνθήκες για να πάρει τη λύση.
Αρχή της επαλληλίας
Επειδή κάθε επαλληλίας λύσεων μιας γραμμικής, ομογενούς ΜΔΕ είναι και πάλι μια λύση, οι ιδιαίτερες λύσεις που μπορεί στη συνέχεια να συνδυάζονται για να βρεθούν περισσότερες γενικές λύσεις.
Μέθοδοι για μη γραμμικές εξισώσεις
Δεν υπάρχουν γενικά εφαρμόσιμες μέθοδοι για την επίλυση μη γραμμικών ΜΔΕ. Παρόλα αυτά, η ύπαρξη και η μοναδικότητα των λύσεων φέρει αποτελέσματα (όπως το Cauchy-Kowalevski θεώρημα) που είναι συχνά δυνατό, όπως και οι αποδείξεις από σημαντικές ποιοτικές και ποσοτικές ιδιότητες των λύσεων (το να έχουμε τα αποτελέσματα αυτά είναι ένα σημαντικό μέρος της Ανάλυση ).Η υπολογιστική επίλυση των μη γραμμικών ΜΔΕ, η split-βήμα μέθοδος, υπάρχει για συγκεκριμένες εξισώσεις, όπως η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger.
Παρ 'όλα αυτά, υπάρχουν ορισμένες τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για διάφορους τύπους των εξισώσεων. Η h-αρχή είναι η πιο ισχυρή μέθοδος για την επίλυση υποτιμάται εξισώσεις. Η Riquier-Janet θεωρία είναι μια αποτελεσματική μέθοδος για την απόκτηση πληροφοριών σχετικά με πολλά αναλυτικά υπερορισμένα συστήματα.
Η μέθοδος των χαρακτηριστικών(μεθοδος μετασχηματισμού ομοιότητας) μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ορισμένες πολύ ειδικές περιπτώσεις για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια ΜΔΕ μπορεί να λυθεί μέσω της Ανάλυσης όχλησης, στην οποία το διάλυμα θεωρείται ότι είναι μια διόρθωση σε μια εξίσωση με μία γνωστή λύση. Εναλλακτικές λύσεις είναι τεχνικές Αριθμητική Ανάλυσης από την απλή διαφορά πεπερασμένων συστημάτων στην πιο ώριμη multigrid και πεπερασμένων στοιχείων μεθόδους. Πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα στον τομέα της επιστήμης και της μηχανικής λύνονται με αυτό τον τρόπο τη χρήση υπολογιστών, μερικές φορές με την υψηλή απόδοση υπερυπολογιστών.
Μέθοδο ομάδα Lie
Από το 1870 το έργο του Sophus Lie έθεσε τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων σε μια πιο ικανοποιητική βάση. Έδειξε ότι οι θεωρίες του να βρίσκεις αρχικές των ηλικιωμένων μαθηματικών μπορούν, με την εισαγωγή του τι είναι σήμερα και ονομάζονται ομάδες Lies να αναφέρεται σε μια κοινή πηγή. Και ότι οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που παραδέχονται το ίδιο για τους απειροελάχιστους μετασχηματισμούς να παρουσιάζουν παρόμοιες δυσκολίες ένταξης. Τόνισε, επίσης, το θέμα των μετασχηματισμών επαφής.
Μια γενική προσέγγιση για την επίλυση των ΜΔΕ χρησιμοποιεί την ιδιότητα συμμετρίας των διαφορικών εξισώσεων,τους συνεχείς απειροελάχιστους μετασχηματισμούς των λύσεων σε λύσεις (θεωρία Lie).Η sυνεχής Θεωρία Ομάδων,οι άλγεβρες Lie και η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιούνται για να κατανοηθούν η δομή των γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων για τη δημιουργία αρχικών εξισώσεων, ώστε να βρουν τα ζεύγη Lax, την αναδρομή των φορέων,τους BACKLUND μετασχηματισμούς και, τέλος, να βρεθούν οι ακριβείς αναλυτικές λύσεις για τις ΜΔΕ.
Οι μέθοδοι της Συμμετρίας έχουν αναγνωριστεί για τη μελέτη διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν σε μαθηματικά, φυσική, η μηχανική, και πολλούς άλλους κλάδους.
Ημιαναλυτικοί μέθοδοι
Η adomian μέθοδος αποσύνθεσης, η Αλεξάντρ Lyapunov τεχνητή μικρή μέθοδος παραμέτρων, και αυτός είναι homotopy διατάραξης της μεθόδου είναι όλες ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης homotopy μεθόδου ανάλυσης. Αυτές είναι οι μέθοδοι επέκτασης σειρών, και εκτός από τη μέθοδο Lyapunov, είναι ανεξάρτητες από τις μικρές φυσικές παραμέτρους σε σύγκριση με τη γνωστή θεωρία διαταραχών, δίνοντας έτσι αυτές οι μέθοδοι μεγαλύτερη ευελιξία και γενικότητα στη λύση.
Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ΜΔΕ
Τα τρία πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ΜΔΕ είναι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), οι μέθοδοι πεπερασμένων όγκων (ΜΠΟ) και μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών  (ΜΠΔ). Η ΜΠΣ έχει μια εξέχουσα θέση μεταξύ αυτών των μεθόδων και ιδιαίτερα στη εξαιρετικά αποτελεσματική  ανώτερη τάξη version hp-FEM. Άλλες εκδόσεις του ΜΠΣ περιλαμβάνουν τη γενικευμένη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (ΓΜΠΣ), εκτεταμένη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΕΜΠΣ),τη φασματική μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΦΜΠΣ), meshfree πεπερασμένων στοιχείων μέθοδο, ασυνεχείς Galerkin μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΑGΜΠΣ), Element-Free μέθοδος Galerkin (EFGM), Παρεμβολή Element-Free μέθοδος Galerkin (IEFGM), κλπ.
Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων
Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) (η πρακτική εφαρμογή της, συχνά γνωστή ως ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων (ΑΠΣ)) είναι μια αριθμητική τεχνική για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), καθώς και των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Η προσεγγιστική λύση βασίζεται είτε στην εξάλειψη της διαφορικής εξίσωσης πλήρως (σταθερά προβλήματα-κατάσταση), ή καθιστώντας τη ΜΔΕ σε ένα προσεγγιστικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τα οποία στη συνέχεια ενσωματώνονται αριθμητικά χρησιμοποιώντας πρότυπες τεχνικές όπως η μέθοδος του Euler, Runge-Kutta, κλπ.
Μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών
Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών είναι αριθμητικές μέθοδοι για την προσέγγιση των λύσεων εξισώσεων διαφοράς με χρήση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για την προσέγγιση παραγώγων.
Μέθοδος των πεπερασμένων όγκων
Παρόμοια με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών ή τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, οι τιμές υπολογίζονται σε διακριτές θέσεις με το "μάτι" γεωμετρία. "Ο όγκος Πεπερασμένων" αναφέρεται στο μικρό όγκο που περιβάλλει κάθε κόμβο σημείο σε ένα πλέγμα. Στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων, τα επιφανειακά ολοκληρώματα σε μια μερική διαφορική εξίσωση που περιέχουν έναν όρο απόκλιση μετατρέπονται σε ολοκληρώματα όγκου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα απόκλισης. Αυτοί οι όροι στη συνέχεια αξιολογήθηκαν ως συλλιπάσματα στις επιφάνειες τους σε κάθε πεπερασμένο όγκο. Επειδή η ροή εισέρχεται σε δεδομένη ο όγκος είναι ταυτόσημος με εκείνες αφήνοντας το παρακείμενο όγκο, αυτές οι μέθοδοι είναι συντηρητικές.
Λίμνη Νιάσα
Η λίμνη Νιάσα (πορτογαλικά: Lago Niassa), γνωστή και ως Νυάσα ή Μαλάουι, είναι μεγάλη λίμνη που βρίσκεται στην νοτιοανατολική Αφρική, στη Μεγάλη Ρηξιγενή Κοιλάδα, ανάμεσα στα κράτη Μαλάουι, Μοζαμβίκη και την Τανζανία. Η λίμνη είναι η τρίτη μεγαλύτερη στην Αφρική και η δεύτερη βαθύτερη. Η λίμνη φιλοξενεί το μεγαλύτερο αριθμό ειδών ψαριών από οποιαδήποτε άλλη λίμνη, με περισσότερα από 1.000 είδη ψαριών της οικογένειας των Κιχλιδών. Τμήμα της λίμνης στο Μαλάουι αποτελεί το Εθνικό Πάρκο Λίμνης Μαλάουι, το οποίο από το 1984 είναι Μνημείο Παγκόσμιας Κληρονομιάς.
Γεωγραφία
Η Νιάσα έχει μήκος μεταξύ 560 και 580 χιλιομέτρων και μέγιστο πλάτος 75 χιλιόμετρα. Η συνολική έκταση της λίμνης είναι 29.600 τετραγωνικά χιλιόμετρα. Το μέγιστο βάθος της είναι 705 μέτρα. Η ακτογραμμή της λίμνης βρίσκεται στο ανατολικό Μαλάουι, τη δυτική Μοζαμβίκη και τη νότια Τανζανία. Η λίμνη περιβάλλεται από οροσειρές, οι οποίες φτάνουν στα 2.000 μέτρα ύψος στα δυτικά, ενώ αυτές τα ανατολικά είναι ψηλότερες, και περιλαμβάνουν τα όρη Λίβινγκστον (2.521 μέτρα) στα ΒΑ. Στο βόρειο άκρο της λίμνης βρίσκεται το ενεργό ηφαίστειο Ρούνγκβε (Rungwe). Το μεγαλύτερο ποτάμιο σύστημα που εκβάλει στη λίμνη είναι ο ποταμός Ρουχούχου, ενώ το νερό από την λίμνη εκρέει στο νότιο άκρο της λίμνης στο ποταμό Σίρε, ο οποίος είναι παραπόταμος του Ζαμβέζη.
Η λίμνη βρίσκεται σε μια κοιλάδα, την Μεγάλη Ρηξιγενή Κοιλάδα, η οποία διατρέχει την ανατολική Αφρική και χωρίζει την Αφρικανική Τεκτονική Πλάκα στα δύο. Στη Μεγάλη Ρηξιγενή Κοιλάδα βρίσκονται και άλλες μεγάλες λίμνες της Αφρικής, όπως η λίμνη Τανγκανίκα, 350 χιλιόμετρα βόρεια της Νιάσα, η λίμνη Κίβου, λίμνη Εδουάρδου, λίμνη Αλβέρτου και η λίμνη Ροδόλφου.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Νιασα Κατηγορία:Γεωγραφία του Μαλάουι Κατηγορία:Γεωγραφία της Μοζαμβίκης Κατηγορία:Λίμνες της Τανζανίας
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας
Το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας ιδρύθηκε το 2003 με το Προεδρικό Διάταγμα No. 92/11-4-2003, με έδρα την Κοζάνη. Με την απόφαση Φ.120.61/132/61865/Β2/25.6.2003 του Υπουργού Παιδείας και Θρησκευτικών Ζητημάτων, κ. Πέτρου Ευθυμίου διορίστηκαν τα πρώτα μέλη της Προσωρινής Διοικούσας Επιτροπής.
Το 2015 διεξήχθησαν οι πρώτες εκλογές για την ανάδειξη Πρύτανη, σηματοδοτώντας την αυτοδιοίκητη λειτουργία του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας. Στην αρχική του μορφή λειτουργούσε σε 2 πόλεις, την Κοζάνη και τη Φλώρινα, με 3 Σχολές, την Παιδαγωγική, την Πολυτεχνική και τη Σχολή Καλών Τεχνών και 6 Τμήματα.
Με το Νόμο 4610/2019 (ΦΕΚ 70/Α/07.05.2019) το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας συγχωνεύτηκε με το Τεχνολογικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας.
Στη νέα του μορφή, το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας λειτουργεί με 7 Σχολές και 22 Τμήματα, που βρίσκονται σε 5 πόλεις (Κοζάνη, Φλώρινα, Καστοριά, Πτολεμαϊδα, Γρεβενά) της Περιφέρειας Δυτικής Μακεδονίας.
Ιστορία
Το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας ιδρύθηκε το 2003 με το Προεδρικό Διάταγμα No. 92/11-4-2003. Έδρα του Πανεπιστημίου ήταν η Κοζάνη. Με την απόφαση Φ.120.61/132/61865/Β2/25.6.2003 του Υπουργού Παιδείας και Θρησκευτικών Ζητημάτων, κ. Πέτρου Ευθυμίου διορίστηκαν τα πρώτα μέλη της Προσωρινής Διοικούσας Επιτροπής.
Το 2015 διεξήχθησαν οι πρώτες εκλογές για την ανάδειξη Πρύτανη, σηματοδοτώντας την αυτοδιοίκητη λειτουργία του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας. Στην αρχική του μορφή λειτουργούσε σε 2 πόλεις, την Κοζάνη και τη Φλώρινα, με 3 Σχολές, την Παιδαγωγική, την Πολυτεχνική και τη Σχολή Καλών Τεχνών και 6 Τμήματα.
Με το Νόμο 4610/2019 (ΦΕΚ 70/Α/07.05.2019) το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας συγχωνεύτηκε με το Τεχνολογικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας.
Το Τεχνολογικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας λειτούργησε αρχικά ως Κέντρο Ανώτατης Τεχνολογικής Εκπαίδευσης (ΚΑΤΕ). Το 1983 ιδρύθηκε το Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κοζάνης και το 1999 μετονομάστηκε σε Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας. Το Ίδρυμα αποτελούταν από 5 Σχολές και 11 Τμήματα, σε 5 πόλεις της Περιφέρειας της Δυτικής Μακεδονίας. Έδρα του Ιδρύματος ήταν η Κοζάνη, στην περιοχή Κοίλα, όπου βρίσκεται και η κεντρική Πανεπιστημιούπολη.
Στη νέα του μορφή, το Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας λειτουργεί με 7 Σχολές και 22 Τμήματα, που βρίσκονται σε 5 πόλεις της Περιφέρειας Δυτικής Μακεδονίας.
Το 2016 υπογράφηκε η σύμβαση ανέγερσης της νέας Πανεπιστημιούπολης στη Ζώνη Ενεργού Πολεοδομίας (ΖΕΠ) στην Κοζάνη, η οποία αναμένεται να ολοκληρωθεί εντός 2022.
Εγκαταστάσεις
220x220εσ|μικρογραφία Οι Σχολές και τα Τμήματα του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας κατανέμονται σε πέντε πόλεις της Περιφέρειας Δυτικής Μακεδονίας (Κοζάνη, Φλώρινα, Καστοριά, Γρεβενά, Πτολεμαΐδα).
Η κεντρική Πανεπιστημιούπολη βρίσκεται στην περιοχή Κοίλα Κοζάνης και στεγάζει την Πρυτανεία του Ιδρύματος, τις διοικητικές υπηρεσίες, τη Σχολή Οικονομικών Επιστημών, 2 από τα 5 τμήματα της Πολυτεχνικής Σχολής, τη βιβλιοθήκη και το πανεπιστημιακό γυμναστήριο. Στον ίδιο χώρο  βρίσκεται η φοιτητική εστία και ένα από τα δύο φοιτητικά εστιατόρια της πόλης.
Έδρα της Πολυτεχνικής Σχολής είναι η Κοζάνη. Τα Τμήματα των Μηχανολόγων Μηχανικών, Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών και Χημικών Μηχανικών λειτουργούν μέσα στην πόλη της Κοζάνης σε εγκαταστάσεις παραχωρημένες από το Δήμο ή ενοικιαζόμενες. Το Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών στεγάζεται στην οδό Σιαλβέρα και Μπακόλα, όπου βρίσκονται η γραμματεία του Τμήματος, οι αίθουσες διδασκαλίας, τα εργαστήρια και τα γραφεία του διδακτικού προσωπικού. Στο ίδιο κτήριο γίνονται και τα θεωρητικά μαθήματα του Τμήματος Χημικών Μηχανικών, ενώ τα εργαστηριακά μαθήματα του Τμήματος διεξάγονται στο κτήριο στην Οδό Αργυροκάστρου 13. Οι αίθουσες διδασκαλίας, τα εργαστήρια, η γραμματεία και τα γραφεία του διδακτικού προσωπικού του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών βρίσκονται στην οδό Καραμανλή και Λυγερής, όπου στεγάζεται και η βιβλιοθήκη της Πολυτεχνικής Σχολής.
Το Τμήμα Μηχανικών Ορυκτών Πόρων και το Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων λειτουργούν στην κεντρική Πανεπιστημιούπολη στην περιοχή Κοίλα Κοζάνης. Όλα τα Τμήματα διαθέτουν σύγχρονες εργαστηριακές υποδομές  στις οποίες διεξάγεται έρευνα αιχμής. αριστερά|μικρογραφία Η Σχολή Οικονομικών Επιστημών αποτελείται από 7 Τμήματα  από τα οποία τα 4, Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής, Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών, Τμήμα Περιφερειακής και Διασυνοριακής Ανάπτυξής και Τμήμα Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας, λειτουργούν στην πόλη της Κοζάνης. Το Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων καθώς και το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης λειτουργούν στα Γρεβενά, στο 6ο χλμ Παλαιάς Ε.Ο. Γρεβενών Κοζάνης, ενώ το Τμήμα Οικονομικών Επιστημών στην Καστοριά (περιοχή Φούρκα). Φοιτητικά εστιατόρια λειτουργούν και στις 3 πόλεις στις οποίες υπάρχουν Τμήματα της Σχολής, ενώ οι φοιτητικές εστίες βρίσκονται  στις πόλεις των Γρεβενών και της Κοζάνης.
Στην πόλη της Φλώρινας εδρεύουν οι Σχολές Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστημών,  Καλών Τεχνών καθώς και η Σχολή Γεωπονικών Επιστημών.
Η Σχολή Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστημών (3ο χιλιόμετρο Φλώρινας-Νικης) αποτελείται από 4 Τμήματα εκ των οποίων το Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσής, το Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών και το Τμήμα Ψυχολογίας λειτουργούν στη Φλώρινα ενώ το Τμήμα Επικοινωνίας και Ψηφιακών Μέσων στην Καστοριά (περιοχή Φούρκα). Εντός του κτηρίου της Σχολής, υπάρχει το φοιτητικό εστιατόριο και η βιβλιοθήκη. μικρογραφία Η Σχολή Γεωπονικών Επιστημών εδρεύει στο αγρόκτημα του Πανεπιστημίου στη Φλώρινα. Στο χώρο αυτό βρίσκονται το νεοκλασικό κτήριο της διοίκησης της Σχολής, το κεντρικό κτήριο, η φοιτητική εστία και το φοιτητικό εστιατόριο, η βιβλιοθήκη και οι αθλητικές εγκαταστάσεις.
Οι εγκαταστάσεις του Τμήματος Εικαστικών και Εφαρμοσμένων Τεχνών της Σχολής Καλών Τεχνών βρίσκονται στο 3ο χλμ. της Εθνικής Οδού Φλώρινας-Νίκης. Η Σχολή διαθέτει επίσης εργαστηριακούς και εκθεσιακούς χώρους στο χωριό Ψαράδες των Πρεσπών. Το νέο κτηριακό συγκρότημα της Σχολής πρόκειται να ανεγερθεί στο χώρο της υφιστάμενης Πανεπιστημιούπολης στη Φλώρινα και βρίσκεται στο στάδιο του διαγωνισμού.
Η Σχολή Θετικών Επιστημών εδρεύει στην Καστοριά (περιοχή Φούρκα) και αποτελείται από 2 Τμήματα, το Τμήμα Μαθηματικών και το Τμήμα Πληροφορικής. Εντός του χώρου του Πανεπιστημίου λειτουργεί και το φοιτητικό εστιατόριο. αριστερά|μικρογραφία Έδρα της  Σχολής Επιστημών Υγείας είναι η Πτολεμαΐδα. Οι εγκαταστάσεις βρίσκονται στην περιοχή ΚΕΠΤΣΕ όπου λειτουργούν το Τμήμα Μαιευτικής και το Τμήμα Εργοθεραπείας.
Φοιτητικές εστίες λειτουργούν στην Πανεπιστημιούπολη της Κοζάνης, στα Γρεβενά και στη Φλώρινα.
Σχολή Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστημών
Η Σχολή Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστημών [http://www.edu.uowm.gr/site/ ] (3ο χιλιόμετρο Φλώρινας-Νικης) αποτελείται από 4 Τμήματα εκ των οποίων το Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, το Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών και το Τμήμα Ψυχολογίας λειτουργούν στη Φλώρινα ενώ το Τμήμα Επικοινωνίας και Ψηφιακών Μέσων στην Καστοριά (περιοχή Φούρκα).
Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης
Το Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ιδρύθηκε με το Προεδρικό Διάταγμα 544/1989 και άρχισε να λειτουργεί ως παράρτημα του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης από το ακαδημαϊκό έτος 1990-91. Σύμφωνα με το άρθρο 2 του Π.Δ. 544/1989, το άρθρο 5 του Π.Δ. 99/1993 και στα πλαίσια της αποστολής του Πανεπιστημίου (άρθρο 1 του Ν. 1268/1982) το Τμήμα έχει ως αποστολή να καλλιεργεί και να προάγει τις Επιστήμες της Αγωγής με την ακαδημαϊκή και την εφαρμοσμένη διδασκαλία και έρευνα, να παρέχει στους πτυχιούχους του την απαραίτητη θεωρητική και πρακτική κατάρτιση για την επιστημονική και επαγγελματική τους σταδιοδρομία και εξέλιξη, να συμβάλλει στην εξύψωση του επιπέδου της εκπαίδευσης και στην κάλυψη των αναγκών σε ζητήματα Παιδαγωγικής, να συμβάλλει στην αντιμετώπιση και επίλυση παιδαγωγικών εν γένει προβλημάτων, και να συμβάλλει στην αντιμετώπιση της ανάγκης για συνεχιζόμενη εκπαίδευση και διαρκή επιμόρφωση του λαού.
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών
αριστερά|μικρογραφία Το Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών και ταυτόχρονα η Παιδαγωγική Σχολή Φλώρινας ιδρύθηκαν με το Προεδρικό Διάταγμα 99/1993. Η αποστολή του Τμήματος είναι:
Τμήμα Ψυχολογίας
Το Τμήμα Ψυχολογίας ιδρύθηκε το 2019 με τον Νόμο 4610/07.05.2019, που αφορά τις Συνέργειες Πανεπιστημίων και Τεχνολογικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων (ΦΕΚ υπ’ Αριθμ. 4610/07.05.2019, Τεύχ. 70, Άρθρο 14, Παράγρ 1, ι).
Το Τμήμα οδηγεί σε Πτυχία Ψυχολογίας (χωρίς ειδικεύσεις και κατευθύνσεις) και σύμφωνα με το Εθνικό Πλαίσιο Προσόντων οριοθετείται στο 6ο Επίπεδο (αντίστοιχο του Bachelor’s Degree).
Οι απόφοιτοι του Τμήματος Ψυχολογίας του Π.Δ.Μ. έχουν το δικαίωμα να λάβουν άδεια ασκήσεως επαγγέλματος του Ψυχολόγου (χωρίς ειδικότητα) κατόπιν αιτήσεώς τους στις Διευθύνσεις Υγείας των κατά τόπους περιφερειών, σύμφωνα με τις διατάξεις του Νόμου 991/1979 (ΦΕΚ 278/20. 12. 1979 τ. Α’).
Τμήμα Επικοινωνίας και Ψηφιακών Μέσων
Το Τμήμα Επικοινωνίας και Ψηφιακών Μέσων της Σχολής Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας ιδρύθηκε το 2019 (ΦΕΚ 70/2019) και λειτουργεί στην Καστοριά. Αν και νεοσύστατο, η ακαδημαϊκή του ταυτότητα μπορεί να αναζητηθεί σε μια μακρόχρονη πορεία που ξεκινά από την ίδρυση του πρώτου Τμήματος Δημοσίων Σχέσεων και Επικοινωνίας στην Ελλάδα στην Καστοριά και άφησε ένα σημαντικό αποτύπωμα στην ακαδημαϊκή κοινότητα της χώρας. Με εδραιωμένη θέση στον τομέα της Επικοινωνίας, το Τμήμα εξελίσσονταν θεραπεύοντας την πολυπλοκότητα και τις συνεχείς προκλήσεις της Επικοινωνίας.
Εντάσσοντας το 2013 στην ονομασία του το αντικείμενο των Ψηφιακών Μέσων, χωρίς αλλαγή του γνωστικού αντικειμένου του Τμήματος, ενίσχυσε τις σπουδές στο Τμήμα με την διάσταση των Ψηφιακών Μέσων αναδεικνύοντας την σημασία των εξελίξεων των νέων μέσων και του ρόλου τους στην επιστήμη της Επικοινωνίας.
Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών
μικρογραφία Το Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών ιδρύθηκε ως νέο τμήμα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας, με το Νόμο 4610/2019 (ΦΕΚ 70/Α/07.05.2019). Θεωρείται ως ένα από τα ανερχόμενα τμήματα οικονομικών επιστήμων συνδυάζοντας και προφέροντας όχι μόνο τα βασικά μαθήματα της επιστήμης αλλά υιοθετώντας τις σύγχρονες τάσεις της, προσφέροντας μαθήματα που άπτονται των συγχρόνων προβληματισμών έτσι ώστε οι απόφοιτοι να εφοδιάζονται όχι μόνο με την ακαδημαϊκή θεωρία αλλά και με την εφαρμοσμένη πρακτική της.
Το πρόγραμμα σπουδών καλύπτει το πεδίο των οικονομικών επιστημών με επίκεντρο την Διεθνοποίηση και διεθνή επιχειρηματικότητα, την παγκοσμιοποίηση και την ευρωπαϊκή οικονομική ολοκλήρωση, τις διεθνείς οικονομικές σχέσεις της ΕΕ και της Ελλάδας καθώς και την υιοθέτηση διοικητικών μαθημάτων στο πεδίο της Διεθνούς Διοίκησης επιχειρήσεων, της Λογιστικής των επιχειρήσεων και των διεθνών χρηματοοικονομικών προσδίδοντας προστιθέμενη αξία στους αποφοίτους με ένα ελκυστικό, σύγχρονο και εφαρμοσμένο πρόγραμμα.
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Το Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ιδρύθηκε το 2019 σύμφωνα με το  Νόμο 4610/2019 (ΦΕΚ 70/Α/07.05.2019) και λειτουργεί στην Κοζάνη. Οι σπουδές στο Τμήμα αποσκοπούν στην εκπαίδευση και υψηλή κατάρτιση των φοιτητών σε σύγχρονα θέματα των πεδίων της Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής.
Συγκεκριμένα, το πρόγραμμα σπουδών του Τμήματος Λογιστικής  και Χρηματοοικονομικής είναι εφάμιλλο των αντίστοιχων προγραμμάτων των πανεπιστημίων του εξωτερικού, είναι προσαρμοσμένο στην ελληνική πραγματικότητα και αποβλέπει στην κάλυψη των επαγγελματικών αναγκών του λογιστικού και χρηματοοικονομικού τομέα της χώρας.
Σκοπός του προγράμματος σπουδών είναι να προσφέρει στους φοιτητές: