cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Υπόθεση Ρίμαν
Θεώρημα του Littlewood
Η απόδειξη του Littlewood χωρίζεται σε δύο περιπτώσεις: η υπόθεση Ρίμαν θεωρείται ψευδής (περίπου μισή σελίδα του ), και η υπόθεση Ρίμαν θεωρείται αληθής (περίπου μια ντουζίνα σελίδες).
Εικασία κλάσεων αριθμών του Γκάους
Αυτή είναι η εικασία (πρώτη φορά αναφέρθηκε στο άρθρο 303 του Γκάους Disquisitiones Arithmeticae) ότι υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός φανταστικών τετραγωνικών πεδίων με συγκεκριμένο αριθμό κλάσης. Ένας τρόπος να το αποδείξουμε θα ήταν να δείξουμε ότι η διακρίνουσα D → −∞ ο αριθμός κλάσης h(D) → ∞.
Η παρακάτω ακολουθία θεωρημάτων που αφορούν την υπόθεση Ρίμαν περιγράφεται στο :
Θεώρημα (Hecke; 1918). Θέτουμε D < 0 να είναι η διακρίνουσα ενός φανταστικού τετραγωνικού αριθμητικού πεδίου K. Υποθέτουμε την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για L-συναρτήσεις όλων των φανταστικών τετραγωνικών Dirichlet χαρακτήρων. Στη συνέχεια, υπάρχει μια απόλυτη σταθερά C έτσι ώστε
"D" "Θεώρημα (Mordell; 1934). Αν η υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής τότε h(D) → ∞ καθώς D → −∞."
"Θεώρημα (Heilbronn; 1934). Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής για την L-συνάρτηση κάποιου φανταστικού τετραγωνικού Dirichlet χαρακτήρα τότε h(D) → ∞ καθώς D → −∞."
(Στη δουλειά των Hecke και Heilbronn, οι μόνες L-συναρτήσεις που προκύπτουν είναι αυτές που συνδέονται με φανταστικούς τετραγωνικούς χαρακτήρες, και είναι μόνο για αυτές τις L-συναρτήσεις για τις οποίες η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής ή η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής προορίζεται; ενα λάθος στη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για την L-συνάρτηση ενός κυβικού χαρακτήρα Dirichlet θα σήμαινε κυριολεκτικά ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής, αλλά αυτό δεν ήταν το είδος του σφάλματος της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν που είχε στο μυαλό του ο Heilbronn, άρα η υπόθεση του ήταν πιο περιορισμένη από το κανονικό η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής.)
Το 1935, ο Carl Siegel αργότερα ενίσχυσε το αποτέλεσμα χωρίς τη χρήση υπόθεσης Ρίμαν ή γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν με οποιονδήποτε τρόπο.
Η ανάπτυξη της συνάρτησης του Όιλερ
Το 1983 ο J. L. Nicolas απέδειξε ότι
για απείρως πολλά n, όπου φ(n) είναι η συνάρτηση του Όιλερ και γ είναι η σταθερά του Όιλερ. Ο Ribenboim παρατηρεί ότι: Η μέθοδος της απόδειξης είναι ενδιαφέρον, δεδομένου ότι η ανισότητα αυτή παρουσιάστηκε για πρώτη φορά με βάση την υπόθεση ότι η υπόθεση Riemann είναι αλήθής, δεύτερον υπό την αντίθετη υπόθεση.
L-σειρές του Dirichlet και άλλα αριθμητικά πεδία
Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί να γενικευθεί αντικαθιστώντας την συνάρτηση ζήτα με την επίσημη παρόμοια, αλλά πολύ πιο γενική, παγκόσμιες L-συναρτήσεις. Στο ευρύτερο αυτό πλαίσιο, περιμένει κανείς οι μη τετριμμένες ρίζες των παγκόσμιων L-συναρτήσεων να έχουν πραγματικό μέρος 1/2. Είναι αυτές οι εικασίες, παρά την κλασική υπόθεση Ρίμαν μόνο για την απλή συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, οι οποίες αντιπροσωπεύουν την πραγματική σημασία της υπόθεσης Ρίμαν στα μαθηματικά.
Η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις L-συναρτήσεις Dirichlet. Ειδικότερα, αυτό συνεπάγεται την εικασία ότι οι ρίζες Siegel (ρίζες των L-συναρτήσεων μεταξύ 1/2 και 1) δεν υπάρχουν.
Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις Dedekind ζήτα συναρτήσεις των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων. Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν για αβελιανή επέκταση των ρητών είναι ισοδύναμη με την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν. Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί επίσης να επεκταθεί στις L-συναρτήσεις των χαρακτήρων Hecke αριθμητικών πεδίων.
Η μεγαλιώδης υπόθεση Ρίμαν την επεκτείνει σε όλες τις αυτομορφικές συναρτήσεις ζήτα, όπως είναι ο μετασχηματισμός του Mellin των ιδιομορφών Hecke.
Πεδία συναρτήσεων και συναρτήσεις ζήτα με πολλαπλοτήτες πέρα των πεπερασμένων πεδίων
Ο εισήγαγε τις παγκόσμιες συναρτήσεις ζήτα των (δευτεροβάθμιων) πεδίων συναρτήσεων και εικάστηκε ένα ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν για αυτούς, το οποίο είχε αποδειχθεί από τον Hasse της περίπτωσης γένους 1 και από τον  γενικότερα. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι το άθροισμα Γκάους, του δευτεροβάθμιου χαρακτήρα ενός πεπερασμένου πεδίου μεγέθους q (με τον q περιττό), έχει απόλυτη τιμή
είναι πραγματικά ένα παράδειγμα της υπόθεσης Ρίμαν στη ρύθμιση του πεδίου συνάρτησης. Αυτό οδήγησε τον να εικάσει μια παρόμοια δήλωση για όλες τις αλγεβρικές πολλαπλότητες; οι αποτελεσματικές εικασίες του Weil είχαν αποδειχθεί από τον.
Αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα αριθμητικών διατάξεων και των L-παραγόντων τους
Οι αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα γενικεύουν τις Ρίμαν και Dedekind ζήτα συναρτήσεις καθώς και οι ζήτα συναρτήσεις με πολλαπλότητες πέρα των πεπερασμένων πεδίων σε κάθε αριθμητική διάταξη ή μια δίαταξη πεπερασμένου τύπου πάνω στους ακέραιους. Η αριθμητική συναρτηση ζήτα μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης της διάστασης του Κρόνεκερ n μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο κατάλληλα ορισμένων L-συναρτήσεων και ενός βοηθητικού παράγοντα Jean-Pierre Serre. Υποθέτοντας μια συναρτησιακή εξίσωση και μερομορφική συνέχεια, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τον L-παράγοντα αναφέρει ότι οι ρίζες της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω στην κεντρική γραμμή. Αντίστοιχα, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για την αριθμητική ζήτα συνάρτηση μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης δηλώνει ότι οι ρίζες τησ μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω στις κάθετες γραμμές και οι πόλοι της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω σε κάθετες γραμμές. Αυτό είναι γνωστό για διατάξεις σε θετική χαρακτηριστική και ακολουθεί από τον Pierre Deligne, αλλά παραμένει εντελώς άγνωστη στη χαρακτηριστική μηδέν.
Συναρτήσεις ζήτα Selberg
Ο εισήγαγε τις συναρτήσεις ζήτα Selberg μιας επιφάνειας Ρίμαν. Αυτές είναι παρόμοιες με τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν: έχουν μια συναρτησιακή εξίσωση, και ένα άπειρο γινόμενο παρόμοιο με το γινόμενο Όιλερ, αλλά παρμένο από κλειστές γεωδαισιακές παρά πρώτες. Ο τύπος ίχνους του Selberg είναι ο ανάλογος για τέτοιες συναρτήσεις των αναλυτικών τύπων στη θεωρία πρώτων αριθμών. Ο Selberg απέδειξε ότι οι συναρτήσεις ζήτα Selberg ικανοποιούν το ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν, με τα φανταστικά μέρη των ριζών τους να σχετίζονται με τις ιδιοτιμές του τελεστή Laplace της επιφάνειας Ρίμαν.
Συναρτήσεις ζήτα Ihara
Η συνάρτηση ζήτα Ihara ενός πεπερασμένου γραφήματος είναι μια ανάλογη της συνάρτησης ζήτα Selberg που εισάχθηκε από τον Yasutaka Ihara. Ένα ομαλό πεπερασμένο γράφημα είναι ενα γράφημα Ραμανούτζαν, ένα μαθηματικό μοντέλο αποτελεσματικών δικτύων επικοινωνίας, αν και μόνο αν η συνάρτηση του ζήτα Ihara ικανοποιεί την αναλογία της υπόθεσης Ρίμαν, όπως τονίστηκε από τον T. Sunada.
Εικασία ζεύγους συσχέτισης του Montgomery
Ο πρότεινε την εικασία ζεύγους συσχέτισης την οποία οι συσχετισμένες συναρτήσεις των (κατάλληλα κανονικοποιημένων) ριζών της συνάρτησης ζήτα πρέπει να είναι οι ίδιες με αυτές των ιδιοτιμών ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα. Ο έδειξε ότι αυτό υποστηρίζεται από μεγάλης κλίμακας αριθμητικούς υπολογισμούς αυτών των συναρτήσεων συσχέτισης.
Άλλες συναρτήσεις ζήτα
Υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα συναρτήσεων ζήτα με αναλογίες της υπόθεσης Ρίμαν, κάποιες από τις οποίες έχουν αποδειχθεί. Οι συναρτήσεις ζήτα Goss των πεδίων συναρτήσεων έχουν μια υπόθεση Ρίμαν, που αποδείχθηκε από τον. Η κύρια εικασία της θεωρίας του Iwasawa, αποδείχθηκε από τους Barry Mazur και Andrew Wiles για κυκλοτομικά πεδία, και από τον Wiles για ολοκληρωμένα πραγματικά πεδία, προσδιορίζει τις ρίζες μιας p-αδικης L-συνάρτησης με τις ιδιοτιμές ενός τελεστή, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλογη της εικασίας του Χίλμπερτ–Pólya για p-αδικες L-συναρτήσεις.
Θεωρία Τελεστή
Οι Χίλμπερτ και Polya ισχυρίστηκαν ότι ένας τρόπος για να ολοκληρωθεί η υπόθεση του Riemann θα ήταν να βρεθεί ένας αυτοσυζυγής τελεστής, fαυτό- συζυγής τελεστής, από την ύπαρξη του οποίου θα συνεπαγόταν η δήλωση των πραγματικών μερών των μηδενικών σημείων των ζ(s), όταν θα εφαρμοζόταν το κριτήριο των πραγματικών ιδιοτιμών. Ορισμένα επιχειρήματα υπέρ της εν λόγω υπόθεσης προκύπτουν από τις διάφορες αναλογίες των συναρτήσεων ζ του Riemann, των οποίων οι μηδενικές τιμές αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του ίδιου τελεστή: οι μηδενικές της συνάρτησης ζ της πολλαπλότητας ενός πεπερασμένου πεδίου αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές ενός στοιχείου του Frobenius για μια ομάδα συνομολογίας, τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ Selberg είναι οι ιδιοτιμές ενός Τελεστής Λαπλάς για μία επιφάνεια του Ρίμαν, και οι μηδενικές τιμές μίας p-adic συνάρτησης ζήτα αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα μίας δράσης Galois σε ιδανικές ομάδες.
Ο έδειξε ότι η κατανομή των μηδενικών τιμών της συνάρτησης ζ του Reimann παρουσιάζει κοινές στατιστικές ιδιότητες με τις ιδιοτιμές των τυχαίων πλεγμάτων που προκύπτουν από το Γκαουσιανό μοναδιαίο σύνολο. . Το στοιχείο αυτό υποστηρίζουν οι Χίλμπερτ – Polya.
Το 1999, ο Μάικλ Μπέρυ και ο Jon Keating υποστήριξαν ότι υπάρχει μία άγνωστη ποσοτικοποίηση του \hat H από την κλασική  Hamiltonian H = xp έτσι ώστε
και ακόμη πιο έντονα, ότι οι μηδενικές τιμές του Reimann να είναι κοινές στο φάσμα του τελεστή. Το παραπάνω έρχεται σε αντίθεση με την κανονική ποσοτικοποίηση, γεγονός που οδηγεί στην αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg [x,p]=1/2 και τους φυσικούς αριθμούς ως φάσμα για τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή. Το κρίσιμο σημείο είναι ότι ο Hamiltonian θα πρέπει να είναι ένας αυτό-συζυγής τελεστής, έτσι ώστε η ποσοτικοποίηση θα ήταν η υλοποίηση του προγράμματος των Χίλπμερτ–Polya. Αναφορικά με αυτό το ποσοτικό μηχανικό πρόβλημα, οι Μπέρυ–Connes ισχυρίστηκαν ότι το αντίστροφο δυναμικό του Hamiltonian συνδέεται με τη μισή - παράγωγο της συνάρτησης,
σύμφωνα με τη μέθοδο των Berry – Connes
. Αυτό οδηγεί σε έναν Hamiltonian, του οποίου οι ιδιοτιμές είναι το τετράγωνο του φανταστικού μέρους των μηδενικών τιμών του Ρίμαν και, επίσης, η συναρτησιακή ορίζουσα του Hamiltonian τελεστή είναι απλώς η συνάρτηση Xi του Ρίμαν. Στην πραγματικότητα η συνάρτηση Xi του Reimann θα μπορούσε να είναι ανάλογη στη συναρτησιακή ορίζουσα (παράγωγο Hadamard)
όπως αποδείχθηκε από τον Connes και άλλους.
Ο Zagier (1983) κατασκεύασε ένα φυσικό πεδίο αναλλοίωτων συναρτήσεων του άνω μισού επιπέδου το οποίο έχει ιδιοδιανύσματα υπό τον τελεστή Laplacian, το οποίο αντιστοιχεί στις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν – και σημείωσε ότι στη σπάνια περίπτωση που θα μπορούσε κάποιος να αποδείξει την ύπαρξη ενός κατάλληλου θετικού ορισμένου εσωτερικού γινομένου σε αυτό το πεδίο, θα μπορούσε να ακολουθήσει η υπόθεση του Ρίμαν. Ο ανέλυσε ένα παρόμοιο παράδειγμα, όπου εξαιτίας ενός περίεργου ιού, ένα ηλεκτρονικό πρόγραμμα κατηγοριοποίησε τις μηδενικές τιμές της ζήτα συνάρτησης του Ρίμαν ως ιδιοτιμές του ίδιου Λαπλασιανού τελεστή.
Οι μελέτησαν τις προσπάθειες που έγιναν για να κατασκευαστεί ένα κατάλληλο φυσικό μοντέλο που να σχετίζεται με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν.
Θεώρημα του Lee-Yang
Το Θεώρημα του Lee-Yang αναφέρει ότι τα μηδενικά της συγκεκριμένης συνάρτησης επιμερισμού στη στατιστική μηχανική βρίσκονται όλα σε μια "κρίσιμη γραμμή" με το πραγματικό μέρος 0, και αυτό έχει οδηγήσει σε κάποια υπόθεση για μια σχέση με την υπόθεση Ρίμαν.
Αποτέλεσμα του Turán
Ο έδειξε ότι αν οι συναρτήσεις
δεν έχουν μηδενικά, όταν το πραγματικό μέρος του s είναι μεγαλύτερο από ένα τότε
όπου λ(n) είναι η συνάρτηση Liouville που δίνεται από (-1)r, αν ο n έχει r πρώτους παράγοντες. Έδειξε ότι αυτό με τη σειρά του θα σήμαινε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αλήθεια. Ωστόσο απέδειξε ότι η Τ(Χ) είναι αρνητική για απείρως πολλά Χ (και επίσης διέψευσε τη στενά συνδεδεμένη εικασία της Pólya), και   έδειξε ότι τα μικρότερα τέτοια x είναι. Spira έδειξε από αριθμητικούς υπολογισμούς ότι η πεπερασμένη σειρά Dirichlet παραπάνω, για Ν=19 έχει ένα μηδέν με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1. Ο Τουράν έδειξε επίσης ότι μία κάπως ασθενέστερη υπόθεση, η ανυπαρξία των μηδενικών με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από το 1+N−1/2+ε για μεγάλο "Ν" στην πεπερασμένη σειρά Dirichlet παραπάνω, συνεπάγεται επίσης την υπόθεση Ρίμαν, αλλά ο έδειξε ότι για όλα τα αρκετά μεγάλα  N οι σειρές αυτές έχουν μηδενικά με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1 + (log log N)/(4 log N). Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα του Τουράν είναι κενή αλήθεια και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βοηθήσει να αποδειχτεί η υπόθεση Ρίμαν.
Μη αντιμεταθετική γεωμετρία
Ο είχε περιγράψει μια σχέση μεταξύ της υπόθεσης Ρίμαν και της μη αντιμεταθετικής γεωμετρίας, και δείχνει ότι μία κατάλληλη αναλογία του τύπου ίχνους του Selberg για τη δράση της idèle ομάδας στο χώρο κατηγορίας adèle συνεπάγεται την υπόθεση Ρίμαν. Μερικές από αυτές τις ιδέες αναλύονται στο.
Ο χώρος του Χίλμπερτ(Hilbert) με ακεραίες(παντού αναλυτικές) συναρτήσεις
έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν θα ακολουθούταν από μια θετική συνθήκη σε ένα συγκεκριμένο χώρο του Χίλμπερτ των ακεραίων συναρτήσεων. Ωστόσο ο έδειξε ότι οι απαραίτητες θετικές προϋποθέσεις δεν είναι ικανοποιητικές.
Ψευδοκρύσταλλοι
Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα σχηματίζουν ένα ψευδοκρύσταλλο, που σημαίνει μια κατανομή με διακριτική στήριξη του μετασχηματισμού Fourier, είχε επίσης διακριτική στήριξη. Ο πρότεινε, προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν με ταξινόμηση, ή τουλάχιστον τη μελέτη, 1-διαστάσεων ψευδοκρυστάλλων.
Πολλαπλές συναρτήσεις ζ
Η απόδειξη του Deligne για την υπόθεση Ρίμαν αναφορικά με τα πεπερασμένα πεδία χρησιμοποίησε τις συναρτήσεις ζ για την πολλαπλότητα των γινομένων, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της πρότυπης συνάρτησης ζ, έτσι ώστε να περιοριστούν τα πραγματικά μέρη των μηδενικών τιμών της πρότυπης συνάρτησης ζ. Αναλογικά, ο  εισήγαγε τις πολλαπλές συναρτήσεις ζ, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της συνάρτησης ζ του Ρίμαν. Για να κάνει τις σειρές να συγκλίνουν περιόρισε το σύνολο των μηδενικών τιμών ή των πόλων, όλα με μη – αρνητικό υποθετικό τμήμα. Μέχρι τώρα, τα γνωστά όρια των μηδενικών τιμών και των πόλων των πολλαπλών συναρτήσεων ζ δεν είναι αρκετά δυνατά, ώστε να δώσουν χρήσιμες εκτιμήσεις για τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν.
Πλήθος των μηδενικών στοιχείων
Η συναρτησιακή εξίσωση σε συνδυασμό με το επιχείρημα της αρχής συνεπάγεται ότι ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα με φανταστικό μέρος μεταξύ 0 και T δίνεται από για s=1/2+iT, όπου το επιχείρημα ορίζεται μεταβάλλοντας τη συνεχώς κατά μήκος της γραμμής με Im(s)=T, ξεκινώντας με το επιχείρημα 0 στο ∞+iT. Αυτό είναι το άθροισμα ενός μεγάλου, αλλά καλά κατανοητού όρου
και ενός μικρού αλλά αρκετά μυστηριώδη όρου Έτσι, η πυκνότητα των μηδενικών με φανταστικό μέρος κοντά στο Τ είναι περίπου log(T)/2π, και η συνάρτηση S περιγράφει τις μικρές αποκλίσεις από αυτό. Η συνάρτηση S(t) πηδά κατά 1 σε κάθε μηδενικό της συνάρτησης ζήτα, και για t ≥ 8 μειώνεται μονότονα μεταξύ μηδενικών με παράγωγο κοντά −log t.
Ο Karatsuba (1996) απέδειξε ότι κάθε διάστημα (T, T+H] για περιέχει τουλάχιστον σημεία όπου η συνάρτηση S(t) αλλάζει πρόσημο.
Αυτό υποδηλώνει ότι S(T)/(log log T)1/2 μοιάζει με μια τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο 0 και διακύμανση 2π2 ( απέδειξε αυτό το γεγονός). Ειδικότερα |S(T)| είναι συνήθως κάπου γύρω (log log T)1/2, αλλά μερικές φορές πολύ μεγαλύτερες. Η ακριβής σειρά της αύξησης του S( Τ) δεν είναι γνωστή. Δεν υπήρξε μόνιμη βελτίωση στο αρχικό φράγμα του Ρίμαν S(T)=O(log T), αν και η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται το ελαφρώς μικρότερο φράγμα S(T)=O(log T/log log T). Η πραγματική τάξη του μεγέθους μπορεί να είναι κάπως μικρότερη από αυτή, όπως τυχαίες συναρτήσεις με την ίδια κατανομή όπως S(T) τείνουν να έχουν μεγαλύτερη ταξη για το log(T)1/2. Στην άλλη κατεύθυνση, δεν μπορεί να είναι πάρα πολύ μικρή: showed that S(T) ≠ o((log T)1/3/(log log T)7/3), και υποθέτοντας ότι η υπόθεση Ρίμαν Μοντγκόμερι έδειξε ότι S(T) ≠ o((log T)1/2/(log log T)1/2).
Αριθμητικοί υπολογισμοί επιβεβαιώνουν ότι S αναπτύσσεται πολύ αργά: |S(T)| < 1 για T < 280, |S(T)| < 2 για T <, και η μεγαλύτερη τιμή της |S(T)| που βρέθηκε μέχρι στιγμής δεν είναι πολύ μεγαλύτερη από 3.
Η εκτίμηση του Ρίμαν ότι S(T) = O(log T), σημαίνει ότι τα κενά μεταξύ των μηδενικών είναι φραγμένα, και ο Littlewood το απέδειξε, δείχνοντας ότι οι διαφορές ανάμεσα στα φανταστικά τους μέρη τείνουν στο μηδέν.
Θεώρημα των Hadamard και de la Vallée-Poussin
Οι και  ) ανεξαρτήτως απέδειξαν ότι το 0 δεν μπορεί να βρίσκεται στη γραμμή του Re(s) = 1. Στη συναρτησιακή εξίσωση όπου δεν υπάρχουν μηδενικά με πραγματικό μέρος  μεγαλύτερο από το 1,  συμπεραίνεται  ότι όλα τα μη-τετριμμένα μηδενικά πρέπει να βρίσκονται στο εσωτερικό της κρίσιμης λωρίδας 0 < Re(s) < 1. Αυτό ήταν ένα σημαντικό βήμα στην απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.
Τα δυο πρωτότυπα των αποδείξεων, όπου η λειτουργία ζήτα δεν έχει μηδενικά με πραγματικό μέρος 1, είναι παρόμοια, και εξαρτώνται από την απόδειξη στην οποία προκύπτει ότι αν ζ(1+it) εξαφανίζεται, τότε ζ(1+2it) είναι μοναδική, κάτι το οποίο  δεν είναι δυνατόν. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι με τη χρήση της ανισότητας για σ>1, t πραγματικό, και κοιτάζοντας στο όριο σ → 1. Αυτή η ανισότητα προκύπτει λαμβάνοντας το πραγματικό μέρος από το λογάριθμο του Όιλερ όπου το σύνολο είναι μεγαλύτερο από όλες τις πρώτες δυνάμεις pn, άρα το οποίο είναι τουλάχιστον 1, επειδή όλοι οι όροι στο άθροισμα είναι θετική, λόγω της ανισότητας
Περιοχές χωρίς μηδενικά
Ο De la Vallée-Poussin (1899–1900) απέδειξε ότι, εάν σ + it είναι μηδέν της Ζήτα συνάρτησης του Ρίμαν, τότε 1 − σ ≥ C⁄log(t) για κάποια θετική σταθερά C.Με άλλα λόγια τα μηδενικά δεν μπορούν να είναι πάρα πολύ κοντά στη γραμμή υπάρχει μια χωρίς-μηδενικά περιοχή  κοντά σε αυτή τη γραμμή. Αυτή η χωρίς-μηδενικά περιοχή έχει διευρυνθεί από αρκετούς συγγραφείς. Ο έδωσε μια έκδοση με ρητές αριθμητικές σταθερές:  ζ(σ + it ) ≠ 0 όταν |t | ≥ 3 και
Μηδενικές τιμές στην κρίσιμη γραμμή
Ο και ο  ) έδειξαν ότι υπάρχουν απείρως πολλά μηδενικά στην κρίσιμη γραμμή, εξετάζοντας στιγμές ορισμένων λειτουργιών που σχετίζονται με τη συνάρτηση Ζήτα. Ο απέδειξε ότι τουλάχιστον ένα (μικρό) θετικό ποσοστό των μηδενικών  κείνται επί της γραμμής. Ο  βελτίωσε αυτό το ποσοστό στο ένα τρίτο των ριζών συσχετίζοντας τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα με εκείνα της παραγώγου της, και ο  βελτιώθηκε περαιτέρω σε αυτό με τα  δύο πέμπτα.
Τα περισσότερα μηδενικά βρίσκονται κοντά στην κρίσιμη γραμμή. Πιο συγκεκριμένα, οι ) έδειξαν ότι για κάθε θετικό ε, όλα, αλλά ένα απειροελάχιστο ποσοστό των μηδενικών βρίσκονται σε απόσταση ε της κρίσιμης γραμμής. Ο  δίνει αρκετά πιο ακριβές εκδόσεις αυτού του αποτελέσματος, που ονομάζεται μηδενική εκτίμηση πυκνότητας, στο οποίο δεσμεύεται ο αριθμός των μηδενικών σε περιοχές με φανταστικό μέρος στα πιο πολλά T και πραγματικό μέρος τουλάχιστον 1/2+ε.
Εικασίες των Hardy–Littlewood
Το 1914 ο Godfrey Harold Hardy απέδειξε ότι ότι έχει απείρως πολλά πραγματικά μηδενικά.
Έστω N(T) είναι ο συνολικός αριθμός των πραγματικών μηδενικών, είναι ο συνολικός αριθμός των μηδενικών περιττής τάξεως της συνάρτησης που βρίσκεται στο διάστημα (0, T].
Οι επόμενες δύο εικασίες των Hardy and Τζον Έτενσορ Λίτολγουτ Littlewood για την απόσταση μεταξύ των πραγματικών μηδενικών  και για την πυκνότητα των μηδενικά  για χρονικά διαστήματα (T, T+H] ] για αρκετά μεγάλο T > 0,  και με όσο το δυνατόν λιγότερο αξία του a > 0, όπου ε > 0 είναι αυθαίρετα μικρό αριθμό, άνοιξαν  δύο νέες κατευθύνσεις στην έρευνα της Ζήτα συνάρτησης:
1. για κάθε ε > 0 υπάρχει ώστε για το T \geq T_0 και  το διάστημα (T,T+H] περιέχει ένα μηδενικό περιττής τάξεως της συνάρτησης.
2. για κάθε ε> 0 υπάρχουν και c = c(ε) > 0, τέτοια ώστε για T \geq T_0 και  η ανισότητα  είναι αληθής.
Εικασία του Selberg
Ο Alte Selberg (1942) μελέτησε το πρόβλημα των Hardy – Littlewood 2 και απέδειξε ότι για κάθε ε>0 αντιστοιχεί και c = c(ε) > 0, με αποτέλεσμα για T \geq T_0 και  η ανισότητα  να είναι αληθής. Ο Selberg υπέθεσε ότι το παραπάνω θα μπορούσε να επεκταθεί σε H=T^{0.5}. Ο Karatsuba (1984a, 1984b, 1985) απέδειξε ότι για μία σταθερή ε που ικανοποιεί τη συνθήκη 0 < ε < 0.001,, ένα αρκετά μεγάλο T και για, , το διάστημα (T, T+H) περιέχει τουλάχιστον cHln(T) πραγματικές μηδενικές τιμές από τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και επομένως επιβεβαιώνει την υπόθεση του Selberg. Οι εκτιμήσεις των Selberg και Karatsuba δεν μπορούν να βελτιωθούν αναφορικά με τη σειρά ανάπτυξης καθώς T → ∞.
Ο απέδειξε ότι ένα ανάλογο της υπόθεσης του Selberg ικανοποιεί σχεδόν όλα τα διαστήματα (T, T+H],, όπου ε είναι ένας αυθαίρετος μικρός παγιωμένος θετικός αριθμός. Η μέθοδος του Karatsuba μας επιτρέπει να ερευνήσουμε τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν για τα πολύ μικρά διαστήματα της κριτικής γραμμής, δηλαδή, για τα διαστήματα (T, T+H], ), το μήκος H, το οποίο αναπτύσσεται πολύ αργά, ακόμα και έναν αυθαίρετα μικρό βαθμό Τ. Συγκεκριμένα, απέδειξε ότι για όλους τους αριθμούς ε, το  ικανοποιεί τη συνθήκη   σχεδόν για όλα τα διαστήματα (T, T+H] για  περιέχουν τουλάχιστον   μηδενικές τιμές για τη συνάρτηση. Αυτήν η εκτίμηση είναι πολύ κοντά στο αποτέλεσμα που προκύπτει από την υπόθεση Ρίμαν.
Αριθμητικοί υπολογισμοί
Η συνάρτηση
έχει τις ίδιες μηδενικές τιμές όπως η συνάρτηση ζ στην κρίσιμη γραμμή, και είναι πραγματική για την κρίσιμη γραμμή, εξαιτίας της συναρτησιακής εξίσωσης, έτσι ώστε να μπορεί κάποιος να αποδείξει την ύπαρξη των μηδενικών τιμών ακριβώς στην πραγματική γραμμή μεταξύ δύο σημείων, ελέγχοντας αριθμητικά αν η συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσημα σε αυτά τα σημεία. Συνήθως, σε έναν τύπο
όπου η Z συνάρτηση του Hardy και η Ρίμαν–Siegel συνάρτηση θήτα θ ορίζονται μοναδικά από αυτόν τον τύπο και με τη συνθήκη ότι είναι ομαλές πραγματικές συναρτήσεις με θ(0) = 0. Υπολογίζοντας πολλά διαστήματα όπου η συνάρτηση Z αλλάζει πρόσημο, μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι υπάρχουν πολλές μηδενικές τιμές για την κρίσιμη γραμμή. Για να επαληθευτεί η υπόθεση Ρίμαν μέχρι ένα υποθετικό σημείο T των μηδενικών τιμών, θα πρέπει κανείς να ελέγξει αν υπάρχουν περαιτέρω μηδενικές τιμές κάτω από τη γραμμή αυτής της περιοχής. Αυτό μπορεί να γίνει αν υπολογίσει κανείς το συνολικό αριθμό των μηδενικών τιμών σε αυτήν την περιοχή και ελέγχοντας αν είναι ίδιος με τον αριθμό των μηδενικών τιμών που βρέθηκαν στη γραμμή. Αυτό επιτρέπει σε κάποιον να επαληθεύσει την υπόθεση Ρίμαν υπολογίζοντας οποιαδήποτε επιθυμητή τιμή T (δεδομένου ότι όλες οι μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ σε αυτήν την περιοχή είναι απλές και πάνω στην κρίσιμη γραμμή).
Παρακάτω παρουσιάζονται ορισμένοι υπολογισμοί των μηδενικών τιμών της συνάρτησης ζ. Μέχρι τώρα όλες οι μηδενικές τιμές που έχουν ελεγχθεί είναι πάνω στην κρίσιμη γραμμή και είναι απλές. (Μία πολλαπλή μηδενική τιμή θα μπορούσε να προκαλέσει προβλήματα στην εύρεση αλγορίθμων και η οποία εξαρτάται από τον εντοπισμό των αλλαγών στα πρόσημα μεταξύ των μηδενικών τιμών). Για τους πίνακες των μηδενικών τιμών δείτε or.
Τα σημεία του Gram
Το σημείο του Gram Το σημείο του Gram είναι ένα σημείο πάνω στην κρίσιμη γραμμή 1/2 + it όπου η συνάρτηση ζ είναι πραγματική και μη – μηδενική. Αν χρησιμοποιήσουμε την παράσταση για τη συνάρτηση ζ πάνω στην κρίσιμη γραμμή, ζ(1/2 + it) = Z(t)e− iθ(t),όπου η Z συνάρτηση του Hardy,, είναι πραγματική για πραγματικά t, και η θ είναι η  Ρίμαν–Siegel συνάρτηση θήτα, θα διαπιστώσουμε ότι η συνάρτηση ζ είναι πραγματική όταν sin(θ(t)) = 0. Αυτό υποδεικνύει ότι θ(t) είναι ένας πολλαπλός ακέραιος του π, ο οποίος επιτρέπει τον εύκολο υπολογισμό των σημείων Gram, λόγω της θέσης τους, αντιστρέφοντας απλά τον τύπο για τη θ. Συνήθως αριθμούνται ως gn for n = 0, 1, ..., όπου gn είναι η μοναδική λύση για τη θ(t) = nπ.
Ο Gram σημείωσε ότι συνήθως υπήρχε ακριβώς μία μηδενική τιμή για τη συνάρτηση ζήτα μεταξύ δύο σημείων Gram; Ο Hutchinson ονόμασε αυτήν την παρατήρηση νόμο του Gram. Υπάρχουν αρκετές ακόμα δηλώσεις που αποκαλούνται νόμος του Gram: για παράδειγμα, η (−1)nZ(gn) είναι συνήθως θετική, ή η Z(t) έχει συνήθως αντίθετο πρόσημο για διαδοχικά σημεία Gram. Τα υποθετικά σημεία γnτων πρώτων μηδενικών τιμών (με μπλε χρώμα) και τα πρώτα σημεία Gram gn παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα.
Ένα σημείο Gram θεωρείται καλή αν η συνάρτηση ζ έχει θετικό πρόσημο στο 1/2 + it. Οι δείκτες για τα "κακά" σημεία Gram, όπου η Z έχει "λανθασμένο" πρόσημο είναι οι 126, 134, 195, 211 ...Διαδικτυακή Εγκυκλοπαίδεια για τις ακέραιες ακολουθίες. Το Gram block είναι ένα διάστημα που ορίζεται από δύο σημεία Gram και δηλώνει ότι όλα τα σημεία Gram που βρίσκονται σε αυτό το διάστημα είναι κακά. Μία αναδιατύπωση του νόμου του Gram, η οποία καλείται νόμος Rosser, εξαιτίας των δηλώνει ότι τα Gram blocks έχουν έναν αναμενόμενο αριθμό μηδενικών τιμών (τον ίδιο αριθμό με τα διαστήματα Gram), παρόλο που κάποια μεμονωμένα διαστήματα Gram σε ένα block μπορεί να μην έχουν μόνο μία μηδενική τιμή. Για παράδειγμα, το διάστημα που ορίζεται από τα σημεία g125 και g127 είναι ένα Gram block που περιέχει ένα μοναδικό κακό σημείο Gram g126, και περιέχει τον αναμενόμενο αριθμό 2 των μηδενικών τιμών, παρόλο που κανένα από τα δύο διαστήματα Gram δεν περιέχει μία μοναδική μηδενική τιμή. Ο Rosser κ.ά. υποστήριξαν ότι δεν υπάρχουν εξαιρέσεις στον κανόνα του Rosser στα πρώτα 3 εκατομμύρια μηδενικά στοιχεία, αν και υπάρχουν άπειρες εξαιρέσεις στο νόμο Rosser αναφορικά με ολόκληρη τη συνάρτηση ζ. Οι νόμοι του Gram και του Rosser δηλώνουν ότι κατά μία έννοια οι μηδενικές τιμές δεν παρεκκλίνουν πολύ από τις αναμενόμενες θέσεις τους. Η απόσταση από ένα μηδενικό σημείο από την αναμενόμενη θέση του ελέγχεται από τη συνάρτηση S η οποία ορίζεται παραπάνω, και η οποία αναπτύσσεται εξαιρετικά αργά: η μέση τιμή της είναι της τάξεως (log log T)1/2,, η οποία φτάνει στο 2 για το Τ περίπου στο 1024. Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο νόμοι ισχύουν τις περισσότερες φορές για μία μικρή τιμή του Τ, αλλά συνήθως στο τέλος διασπώνται. Πράγματι, ο απέδειξε ότι τόσο ο νόμος Gram όσο και ο νόμος Rosser παρουσιάζουν σφάλματα για μία θετική αναλογία περιπτώσεων. Πιο συγκεκριμένα, αναμένεται ότι στο 73% των περιπτώσεων μία μηδενική τιμή περικλείεται από δύο διαδοχικά σημεία Gram, αλλά, μακροπρόθεσμα, στο 14% των περιπτώσεων περικλείεται μία μη μηδενική τιμή και στο 13% δύο μηδενικές τιμές.
Επιχειρήματα υπέρ και κατά της υπόθεσης Ρίμαν
Οι μαθηματικές εργασίες για την υπόθεση του Ρίμαν διατηρούν μία επιφύλαξη ως προς την αλήθεια της. Μεταξύ των συγγραφέων που εκφέρουν μία άποψη, οι περισσότεροι από αυτούς, όπως ο Ρίμαν (1859) ή ο, υπονοούν πως πιστεύουν (ή τουλάχιστον ελπίζουν) να είναι αληθής. Οι λίγοι συγγραφείς που εκφράζουν σοβαρές αμφιβολίες για την αλήθεια της, όπως ο, ο οποίος επιχειρηματολογεί υπέρ της σκεπτικής του θέσης, και ο , ο οποίος δηλώνει ξεκάθαρα πως πιστεύει ότι είναι ψευδής και ότι δεν υπάρχουν κανενός είδους αποδείξεις για αυτήν και ούτε κάποιος φανταστικός λόγος που θα την καθιστούσε αληθή. Το κεντρικό θέμα συζήτησης των ερευνητικών άρθρων (, και ) είναι ότι οι αποδείξεις υπέρ της αλήθειας της είναι ισχυρές, αλλά δεν είναι καθοριστικές, με αποτέλεσμα παρόλο που μπορεί να είναι αληθής, μπορεί να υπάρχει μία λογική αμφιβολία για αυτήν.
Μερικά επιχειρήματα υπέρ (ή κατά) της υπόθεσης του Riemann κατηγοριοποιούνται από τους, και  και περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αιτιολογίες.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ Κατηγορία:Εικασίες Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Ντιονκουντά Τραορέ
Ο Ντιονκουντά Τραορέ (Dioncounda Traoré, 23 Φεβρουαρίου 1942-) είναι πολιτικός από το Μάλι. Διετέλεσε υπηρεσιακός πρόεδρος από τον Απρίλιο του 2012 ως το Σεπτέμβριο του 2013. Υπηρετεί ως πρόεδρος της Εθνοσυνέλευσης από το Σεπτέμβριο του 2007 και είναι αρχηγός της Συμμαχίας για τη Δημοκρατία στο Μάλι-Αφρικανικό Κόμμα για Αλληλεγγύη και Δικαιοσύνη (ADEMA-PASJ) από το 2000. Ήταν επίσης πρόεδρος της Συμμαχίας για τη Δημοκρατία και την Πρόοδο (ADP), ενός συνασπισμού κομμάτων που υποστήριξε την επανεκλογή του προέδρου Αμαντού Τουμανί Τουρέ το 2007.
Πολιτική καριέρα
Γεννήθηκε στο Κατί το 1942. Σπούδασε στη Σοβιετική Ένωση, στο Πανεπιστήμιο του Αλγερίου και στο Πανεπιστήμιο της Νίκαιας και δίδαξε στο εκπαιδευτικό κολέγιο του Μάλι (ENSUP) από το 1977 ως το 1980. Συνελήφθη αργότερα για τη συνδικαλιστική του δράση και στάλθηκε στη Μενακά, στο βόρειο Μάλι. Συνακόλουθα, ανέλαβε γενικός διευθυντής της Εθνικής Σχολής Μηχανικών. Έλαβε μέρος στον αγώνα για τη δημοκρατία που κορυφώθηκε με την ανατροπή του προέδρου Μούσα Τραορέ τον Μάρτιο του 1991. Υπήρξε ιδρυτικό μέλος του ADEMA και εξελέγη δεύτερος αντιπρόεδρος στο ιδρυτικό του συνέδριο, που διεξήχθη στις 25–26 Μαΐου 1991, με τον Αλφά Ουμάρ Κοναρέ να εκλέγεται πρόεδρος του κόμματος και το Μαμαντού Λαμίν Τραορέ να εκλέγεται πρώτος αντιπρόεδρος.
Μετά την εκλογή του Κοναρέ στην προεδρία του Μάλι στις εκλογές του 1992, ο Ντιονκουντά Τραορέ διορίστηκε υπουργός Δημοσίων Υπηρεσιών, Εργασίας και Εκσυγχρονισμού της Δημόσιας Διοίκησης στις 9 Ιουνίου 1992 και έπειτα ανέλαβε υπουργός Προεδρίας για θέματα Άμυνας στις 16 Απριλίου 1993. Παρέμεινε στο τελευταίο αξίωμα ως τις 25 Οκτωβρίου 1994, οπότε ανέλαβε υπουργός Εξωτερικών. Στο πρώτο τακτικό συνέδριο του κόμματός του, το Σεπτέμβριο του 1994, εξελέγη πρώτος αντιπρόεδρος του κόμματος, με νέο πρόεδρο τον Ιμπραΐμ Μπουμπακάρ Κεϊτά.
Εξελέγη βουλευτής στην περιφέρεια της Ναρά το 1997 και προκειμένου να καταλάβει την έδρα του παραιτήθηκε από υπουργός Εξωτερικών στις 24 Αυγούστου 1997. Έγινε πρόεδρος της κοινοβουλευτικής επιτροπής του ADEMA και μετά την παραίτηση του Κεϊτά τον Οκτώβριο του 2000, ο Τραορέ εξελέγη πρόεδρος του ADEMA στο πρώτο έκτακτο συνέδριο του κόμματος, στις 25–28 Νοεμβρίου 2000. Έχασε την έδρα του στη Ναρά στις βουλευτικές εκλογές του 2002.
Έπειτα από τη διεξαγωγή των βουλευτικών εκλογών του 2007, ο συνασπισμός του Τραορέ κέρδισε τον δεύτερο γύρο με 58,41% των ψήφων. Στην πρώτη σύνοδο της Εθνοσυνέλευσης υπό τη νέα της σύνθεση στις 3 Σεπτεμβρίου 2007, ο Τραορέ εξελέγη πρόεδρός της, με 111 ψήφους έναντι 31 για το Μουντάγκα Ταλ από το Εθνικό Κογκρέσο για τη Δημοκρατική Πρωτοβουλία (CNID), ένα άλλο μέλος του ADP.
Έπειτα από το στρατιωτικό πραξικόπημα του 2012 που επέφερε και διεθνείς κυρώσεις στο Μάλι, επιτεύχθηκε συμφωνία στην Μπουρκίνα Φάσο υπό την αιγίδα της ECOWAS και υπογράφηκε στις 6 Απριλίου 2012 για παράδοση της εξουσίας από τον επικεφαλής της στρατιωτικής χούντας, Λοχαγό Αμαντού Σανογκό στον Ντιονκουντά Τραορέ, ο οποίος έγινε προσωρινός πρόεδρος μέχρι τη διεξαγωγή προεδρικών εκλογών. Ο Τραορέ είχε φύγει από τη χώρα μετά το πραξικόπημα, για να επιστρέψει στις 7 Απριλίου.
Η τελετή ορκωμοσίας του έγινε στις 12 Απριλίου 2012. Ο Τραορέ υποσχέθηκε μα πολεμήσει συνολικά την εξέγερση των Τουαρέγκ στο Βορρά.
Στις 13 Αυγούστου επαναδιόρισε τον πρωθυπουργό Σεΐκ Μοντιμπό Ντιαρά δίνοντάς του περιθώριο 3 ημερών για σχηματισμό κυβέρνησης εθνικής ενότητας.
Επίθεση τον Μάιο του 2012
Στις 21 Μαΐου 2012 στρατιώτες που ήταν υπέρ των πραξικοπηματιών κατάφεραν να μπουν στο γραφείο του Τραορέ στην Μπαμακό. Οι διαδηλωτές μετέφεραν ένα ψεύτικο φέρετρο με το όνομα του Τραορέ γραμμένο πάνω σε αυτό και εξουδετέρωσαν δύο άντρες της φρουράς. Όταν ένας από τους φρουρούς έβαλε ένα κράνος στο κεφάλι του Τραορέ για να τον προστατεύσει, οι επιτιθέμενοι χρησιμοποίησαν το κράνος για να χτυπήσουν τον Τραορέ. Άλλοι από το πλήθος τον γρονθοκόπησαν και ο Τραορέ ξεγυμνώθηκε, ενώ το πλήθος μετέφερε κομμάτια από τα ρούχα του.
Ο Τραορέ τραυματίστηκε σοβαρά στο κεφάλι και μεταφέρθηκε σε νοσοκομείο χωρίς να έχει τις αισθήσεις του. Τρεις από τους διαδηλωτές σκοτώθηκαν και άλλοι τραυματίστηκαν όταν η φρουρά του προέδρου άνοιξε πυρ εναντίον των επιτιθέμενων. Ο Τραορέ υποβλήθηκε σε εξετάσεις που έδειξαν ότι τελικά δεν είχε τραυματιστεί πολύ σοβαρά και οδηγήθηκε σε ασφαλές μέρος. Ο πρωθυπουργός κάλεσε σε αυτοσυγκράτηση και σε τερματισμό των διαδηλώσεων, δηλώνοντας ότι η επίθεση "δεν είχε αξία για τη χώρα". Ο Τραορέ εν συνεχεία μετέβη στη Γαλλία για περαιτέρω εξετάσεις (είχε βηματοδότη) και επέστρεψε στις 27 Ιουλίου, έπειτα από 2 μήνες.
Τον Σεπτέμβριο του 2013 τον διαδέχθηκε ο Ιμπραΐμ Μπουμπακάρ Κεϊτά.
Παραπομπές
Κατηγορία:Αρχηγοί κράτους του Μάλι Κατηγορία:Πρόεδροι του Μάλι
Αταλαντονήσι
Το Αταλαντονήσι ή Ταλαντονήσι  ή "τρίκορφη νήσος Αταλάντη" ή Αταλάντη (νησίδα) βρίσκεται στον Βόρειο Ευβοϊκό κόλπο (και πιο συγκεκριμένα στον κόλπο της Αταλάντης). Έχει μήκος 1.850 μέτρα περίπου με κατεύθυνση από ΝΑ προς ΒΔ, πλάτος 500 μέτρα και ύψος 127 μέτρα. Η έκτασή του είναι 1.615 στρέμματα. Απέχει 1.200 μέτρα από το λιμάνι του οικισμού της Σκάλας Αταλάντης. Πολύ κοντά στο νησί βρίσκεται η νησίδα Αγίου Νικολάου και άλλη μία, επίσης μικρή, νησίδα το Πρασονήσι.
Η ιστορία του νησιού
Το όνομα του νησιού οφείλεται στη μυθολογική ηρωίδα Αταλάντη, και αυτό το όνομα φέρει από τον 5ο π.Χ. αιώνα τουλάχιστον. Είναι πολύ πιο πιθανό και η παρακείμενη πόλη της Αταλάντης να πήρε το όνομα της από το νησί, παρά να συνέβη το αντίθετο. thumb|right|Το Αταλαντονήσι Πιθανώς το νησί αρχικά να αποτελούσε κομμάτι της στεριάς, που από κάποια φυσική αιτία (σεισμό) να αποκόπηκε. Η πρώτη ιστορική αναφορά για το Αταλαντονήσι, απαντάται στο Θουκυδίδη, που αναφέρει ότι το 431 π.Χ. οι Αθηναίοι, κατά τη διάρκεια του Πελοποννησιακού Πολέμου, οχύρωσαν το νησί και κατασκεύασαν φρούριο, ώστε να προστατευτούν οι ακτές της Εύβοιας από τους Λοκρούς πειρατές.
Το 426 π.Χ. όμως τα οχυρωματικά αυτά έργα γκρεμίστηκαν από σεισμό, που πιθανώς προκλήθηκε με επίκεντρο το ρήγμα της Αταλάντης. thumb|left|Η νήσος του Αγίου Νικολάου
Με την Νικίειο ειρήνη το 421 π.Χ. το Αταλαντονήσι παραχωρήθηκε από τους Αθηναίους στους Λακεδαιμονίους.
Το 279 π.Χ. το Αταλαντονήσι έστειλε 700 πεζούς στρατιώτες, με αρχηγό το Μειδία, στις Θερμοπύλες για να αποκρούσουν, από κοινού με άλλους Έλληνες, την εισβολή των Γαλατών υπό το Βρέννο. Η έκβαση της εκστρατείας ήταν νικηφόρα. Οι Γαλάτες ηττήθηκαν και ανακόπηκαν οι επεκτατικές βλέψεις τους στον ελλαδικό χώρο.
Κατά την Πρωτοχριστιανική περίοδο λέγεται ότι υπήρχε εκκλησία στην μία άκρη του νησιού, η οποία βυθίστηκε πιθανόν λόγω του μεγάλου σεισμού του 1894 στην περιοχή. Αναφορές για το Αταλαντονήσι δεν υπάρχουν μέχρι το 1821. Το νησί αποτέλεσε καταφύγιο των κατοίκων της Αταλάντης και ορμητήριο των επαναστατών κατά τη διάρκεια της Ελληνικής Επανάστασης. Τον χειμώνα του 1821 ο τουρκικός στρατός υπό τους Ομέρ Βρυώνη και Κιοσέ Μεχμέτ περνώντας από την Αταλάντη, αιχμαλωτίζει τους κατοίκους της και καίει όλα τα σπίτια. Όσοι κατάφεραν να σωθούν, κατάφυγαν για ασφάλεια στο Αταλαντονήσι και διέμεναν σε σκηνές και καλύβες. Το επόμενο έτος πανώλη θα πέσει στο Αταλαντονήσι.
Το 1824 ο Τουρκικός στόλος καταλαμβάνει το Αταλαντονήσι, καταστρέφει τις εγκαταστάσεις του, σφάζει και αιχμαλωτίζει όσους είχαν καταφύγει εκεί. Το 1826, πριν τη μάχη της Αταλάντης, εκεί συγκεντρώνονται οι ελληνικές δυνάμεις (1500 Θεσσαλομακεδόνες) με τους Μακεδόνες αρχηγούς Αγγελή Γάτσο και Τάσο Καρατάσο και το Γάλλο Φιλέλληνα Ολιβιέ Βουτιέ (με άλλους 80 στρατολογημένους άνδρες).
Σύμφωνα με πηγές στο Αταλαντονήσι υπήρχαν, έως και το 1910, τέσσερις εκκλησίες, εκ των οποίων όμως καμία δεν σώζεται μέχρι σήμερα. Αντιθέτως, εκκλησία είναι χτισμένη στην παρακείμενη νησίδα του Αγίου Νικολάου.
Χλωρίδα και πανίδα
Σήμερα το Αταλαντονήσι αποτελεί έναν αξιόλογο βιότοπο, με πλούσια πανίδα –θηρεύσιμη και μη- και χλωρίδα. Η βλάστηση του νησιού αποτελείται από αγριελιές και σχίνα.
Τα θηράματα που συναντώνται στην Ε.Κ.Π. Αταλαντονησίου είναι: ο γνήσιος Κρητικός αίγαγρος (κρι-κρι, λατ: Capra aegagrus creticus), φασιανός, πέρδικα (τσούκαρ), αγριοκούνελο, ορτύκι (γραμμωτό), μπεκάτσα, τσίχλα και κότσυφας (Turdus merula).
Παραπομπές
Κατηγορία:Νησιά της Ελλάδας Κατηγορία:Νομός Φθιώτιδας
Κόρδοβα
Η Κόρδοβα (ισπ. Córdoba, αραβ. قرطبه Qurţuba) είναι πόλη στα νότια της Ισπανίας. Στα ελληνικά απαντάται και ως Κορδούη ή Κορδύβη στις αρχαίες πηγές. Βρίσκεται στις όχθες του ποταμού Γουαδαλκιβίρ και αποτελεί πρωτεύουσα της ομώνυμης επαρχίας της Κόρδοβας. Έχει 325.453 κατοίκους. Είναι έδρα επισκοπής.
Η Κόρδοβα γνώρισε μεγάλη ακμή από το 756 και καθ' όλη τη διάρκεια του 8ου αιώνα μ.Χ., όταν γνώρισε την εξουσία των Μαυριτανών και έγινε πρωτεύουσα Εμιράτου του Αμπντ αλ Ραχμάν Γ΄ (912-961). Ήταν περίφημη για τα δέρματα της (cordwainer) και για τους αργυροχόους της, οι οποίοι λέγεται ότι προέρχονταν από τη Δαμασκό. Σήμερα, η οικονομία της βασίζεται στην απόσταξη οινοπνευματωδών ποτών και στην χειροτεχνία (προϊόντα από μαλλί, λινό και μετάξι).
Το ιστορικό κέντρο της πόλης ανακηρύχθηκε το 1984 Μνημείο Παγκόσμιας Κληρονομιάς από την UNESCO. Η ίδια η πόλη αποτελεί αμάλγαμα διαφορετικών πολιτισμών και θρησκειών κατά το πέρασμα των αιώνων και την μακραίωνη ιστορία της.
Ιστορία
thumb|left|150px|Ο ρωμαϊκός ναός στην Κόρδοβα thumb|right|250px|Το εσωτερικό του Τεμένους της Κόρδοβας
Η πόλη ιδρύθηκε από τους Ρωμαίους το 169 π.Χ. και ονομαζόταν Corduba (εξελλ. Κορδούη), πρωτεύουσα της επαρχίας της Βαιτικής, η πρώτη αποικία που ίδρυσαν οι Ρωμαίοι σε εκείνη την περιοχή. Ο Στράβων μας πληροφορεί ότι δυο ήταν οι μεγαλύτερες σε δόξα και ισχύ πόλεις της Χερσονήσου: η Κόρδοβα, που ιδρύθηκε από το Κλαύδιο Μάρκελλο, και τα Γάδειρα, η πρώτη λόγω του εδάφους και της έκτασής της και η δεύτερη λόγω του εμπορίου της και της συμμαχίας της με τους Ρωμαίους.
Το όνομα της πόλης μάλλον έχει καρχηδονιακή προέλευση. Λόγω του μεγάλου αριθμού ευγενών ανάμεσα στους αποικιστές, η πόλη κέρδισε τον τίτλο της Πατρικίας. Τον 1ο αιώνα π.Χ., η πόλη βοήθησε τους γιους του Πομπήιου εναντίον του Ιουλίου Καίσαρα, στον οποίο όμως κατέληξε μετά την μάχη στη Μούντα το 45 π.Χ., οπότε και εκδικήθηκε την αντίστασή της, οδηγώντας στη σφαγή 20.000 κατοίκους. Ο επίσκοπος Όσιος από την Κόρδοβα συμμετείχε στην οικουμενική σύνοδο της Νικαίας, το 325, καθώς και στη σύνοδο της Σαρδικής, το 343.
Από τη ρωμαϊκή εποχή της πόλης σώζονται η ρωμαϊκή γέφυρα, ο ναός του Κλαύδιου Μαρκέλλου κ.ά. Μετά την πτώση της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, από τον 5ο μέχρι και τις αρχές του 8ου αιώνα την πόλη κατείχαν Βησιγότθοι βασιλείς, αλλά μέχρι τον 8ο αιώνα άρχισε να κερδίζει έδαφος η ισλαμική εξάπλωση από τη Βόρεια Αφρική και το 711 καταλήφθηκε από τους μουσουλμάνους.
Την μεγάλη της ακμή, η οποία αντικατοπτρίζεται και στα εντυπωσιακά οικοδομήματα παραδοσιακής αρχιτεκτονικής, τη γνώρισε η πόλη όταν ήταν πρωτεύουσα του Χαλιφάτου της Κόρδοβας των Ουμαγιάδων, υπό τον Αμπντ αλ-Ραμάν Γ', το 929, και είχε πληθυσμό που έφτανε τους 500.000 κατοίκους. Την εποχή εκείνη και για τον τότε γνωστό κόσμο, ήταν η δεύτερη μεγαλύτερη πόλη μετά την Κωνσταντινούπολη, γι' αυτό άλλωστε και την αποκαλούσαν Κόσμημα και Κωνσταντινούπολη της Δύσης.
Το 13ο αιώνα, η Κόρδοβα πέρασε και πάλι στα χέρια των Χριστιανών κατά την ισπανική Ρεκονκίστα (1236, Φερδινάνδος Γ´ της Καστίλης), αλλά σαν πόλη είχε ήδη αρχίσει να χάνει το παλιό της μεγαλείο από τον 11ο αιώνα, όταν αποτέλεσε το μήλον της έριδος ανάμεσα σε αντιμαχόμενες δυναστείες που ήθελαν να διαδεχτούν τη γραμμή του αρ Ραμάν.
Ο ερχομός των Ισπανών στην εξουσία περισσότερα επιτάχυνε παρά ανέκοψε την παρακμή των τεχνών, της οικονομίας και του πληθυσμού της πόλης. Κατά τον 19ο αιώνα, η Κόρδοβα προσπαθούσε να ανακάμψει από την καταστροφή του 1808, όταν οι Γάλλοι εισέβαλαν και ερείπωσαν την πόλη.
Πολιτική
Η Κόρδοβα στην Ισπανία ανέπτυξε την κατάρτιση και θεσμοθέτηση του πρώτου Κανονισμού Συμμετοχής των Πολιτών. Το 1986, ο Κανονισμός διευρύνθηκε ενσωματώνοντας τη λειτουργία των Τοπικών και Κλαδικών Συμβουλίων και την δημιουργία του Συμβουλίου του Κινήματος των Πολιτών. Το 1991, αναπτύχθηκε ένα Δίκτυο Δημοτικών Κέντρων και το 2001 η Κόρδοβα ήταν η πρώτη ευρωπαϊκή πόλη που υιοθέτησε τον συμμετοχικό προϋπολογισμό.
Αξιοθέατα
Η πόλη διατηρεί σαν κυρίαρχο το αραβικό στοιχείο στην αρχιτεκτονική της.
Το πιο σημαντικό μνημείο της πόλης είναι ο καθεδρικός ναός της Μεθκίτα της Κόρδοβας (στα αραβικά τζαμί), αρχαίο μουσουλμανικό τέμενος που χτίστηκε το 785 και μέχρι τις μέρες μας αποτελεί δείγμα "ένωσης" του χριστιανικού με το ισλαμικό στοιχείο. Είναι το μεγαλύτερο ισλαμικό τέμενος της Ευρώπης και παγκοσμίως: έχει 19 νάρθηκες και διπλή καμάρα με 856 κολόνες, οι οποίες έχουν κατασκευαστεί βάσει διαφορετικών αρχιτεκτονικών ρυθμών. Μετά την κατάκτηση της πόλης από τους Χριστιανούς το 13ο αιώνα, το τέμενος μετατράπηκε στον Καθεδρικό ναό της πόλεως και αργότερα ξανακτίστηκε μερικώς.
Ήταν κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Αλφόνσου ΙΑ΄ της Καστίλης, οπότε και χτίστηκε και το ανάκτορο Αλκάθαρ (ή Αλκαζάρ) πάνω στα προϋπάρχοντα τείχη του παλιότερου μαυριτανικού κάστρου. . Το Αλκάθαρ ήταν αρχικά φρούριο χριστιανών μοναχών το 1328, το οποίο αργότερα χρησιμοποιήθηκε ως παλάτι από τον Αλφόνσο ΙΑ΄.
Το φρούριο της Καλαχόρα ανακατασκευάστηκε το 1369 από τον Ερρίκο Β΄ της Καστίλης για να υπερασπίσει την πόλη από τον αδερφό του, Πέτρο Α΄ της Καστίλης. Τον 18ο αιώνα χρησιμοποιήθηκε ως φυλακή και τον 19ο αιώνα ως σχολείο θηλέων.
Διατηρείται ακόμη επίσης μια ρωμαϊκή γέφυρα (Puente Romano), η οποία κατασκευάστηκε από τον αυτοκράτορα Αύγουστο, μια παλιά συναγωγή, μια από τις τρεις που υπάρχουν στην Ισπανία, τα Αναγεννησιακά Παλάθιο ντε Βιάνα και το Παλάτι των Δουκών, η Μεντίνα Αζαχάρα (10ος αιώνας), το Κάστρο Αλμοδόβαρ, που χτίστηκε από τους Άραβες το 760 και αργότερα χρησιμοποιήθηκε ως βασιλική κατοικία, τα λουτρά του χαλιφάτου και η εβραϊκή συνοικία Τζουντερία.
Μουσεία
Στην Galería de la tortura (Μουσείο Βασανιστηρίων), ο επισκέπτης βλέπει τον τρόπο με τον οποίο βασανίζονταν οι συλληφθέντες από τον 13ο έως τον 19ο αιώνα, ενώ στο Μουσείο Καλών Τεχνών υπάρχουν πίνακες των Γκόγια, Μουρίγιο και Χουάν Ντε Βαλντές Λεάλ.
Το Museo Vivo de Al-Ándalus αναδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο οι Εβραίοι, οι Μουσουλμάνοι και οι Χριστιανοί συμβίωσαν ειρηνικά στην πόλη της Κόρδοβας.
Διάσημες προσωπικότητες από την Κόρδοβα
thumb|right|100px|Μαϊμονίδης thumb|right|100px|Σενέκας
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Μνημεία Παγκόσμιας Κληρονομιάς στην Ισπανία
Μάρκελλος της Άγκυρας
Ο Μάρκελλος της Άγκυρας (θάνατος: 374 Κ.Χ.) ήταν επίσκοπος της Άγκυρας και ένας από τους επισκόπους που ήταν παρόντες στην Σύνοδο της Άγκυρας και στην Πρώτη Σύνοδο της Νίκαιας. Ήταν ισχυρός αντίπαλος του Αρειανισμού, αλλά κατηγορήθηκε ότι υιοθέτησε το αντίθετο άκρο του τροποποιημένου Σαβελλιανισμού. Καταδικάστηκε από ένα συμβούλιο των εχθρών του και εκδιώχθηκε από το ιερατικό του αξίωμα, αν και κατάφερε να επιστρέψει και να ζήσει ήσυχα όντας υπεύθυνος μίας μικρής συνάθροιση τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Βίος
Λίγα χρόνια μετά την Σύνοδο της Νίκαιας (το 325) ο Μάρκελλος έγραψε ένα βιβλίο εναντίον του Αστέριου του Σοφιστή, μιας εξέχουσας προσωπικότητας στο κόμμα που υποστήριξε τον Άρειο. Από αυτό το βιβλίο σώθηκαν μόνο θραύσματα. Ο Μάρκελλος κατηγορήθηκε ότι υποστήριξε πως η Τριάδα στη Θεότητα δεν ήταν παρά μια προσωρινή διανομή. Σύμφωνα με τα θραύσματα που σώζονται, ο Θεός ήταν αρχικά ένα μόνο Όν (υπόσταση), αλλά κατά τη δημιουργία του σύμπαντος ο Λόγος βγήκε από τον Πατέρα και ήταν στην ουσία η "Δραστηριότητα του Θεού στον κόσμο". Αυτός ο Λόγος έγινε ενσαρκωμένος στον Χριστό και έτσι αποτελούσε την Εικόνα του Θεού. Το Άγιο Πνεύμα εξελίχθηκε επίσης ως τρίτο Θείο Πρόσωπο από τον Πατέρα και από τον Χριστό σύμφωνα με το Κατά Ιωάννην 20:22: «φύσηξε στα πρόσωπά τους και τους λέει: "Λάβετε Πνεύμα Άγιο".». Ωστόσο, κατά την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων, ο Χριστός θα επιστρέψει στον Πατέρα και η Θεότητα θα είναι και πάλι η απόλυτη ενότητα.
Ο Μάρκελλος εκδιώχθηκε στην Κωνσταντινούπολη το 336 σε συμβούλιο υπό την προεδρία του Ευσέβιου της Νικομήδειας, των Αρειανών και του Βασιλείου της Άγκυρας που διορίστηκε στη θέση του. Ο Μάρκελλος ζήτησε αποζημίωση στη Ρώμη από τον Πάπα Ιούλιο Α´, ο οποίος έγραψε στους επισκόπους που είχαν εκδώσει τον Μάρκελλο, υποστηρίζοντας ότι ο Μάρκελλος ήταν αθώος από τις κατηγορίες που άσκησαν εναντίον του. Η Σύνοδος της Σέρντικα (κέντρο της σημερινής Σόφιας της Βουλγαρίας) (343) εξέτασε επισήμως το βιβλίο του και το κήρυξε απαλλαγμένο από αίρεση. Φαίνεται όμως ότι δεν είχε αποκατασταθεί όταν ο Κωνσταντίνος Β', που απειλήθηκε από τον αδερφό του με πόλεμο, επέτρεψε την αποκατάσταση του Αθανασίου της Αλεξάνδρειας και του Παύλου της Κωνσταντινούπολης στα ιερατικά τους αξιώματα το 345. Ωστόσο, η σύνοδος έκανε τον μαθητή του Μάρκελλου, Φωτεινό (Photinus), ο οποίος αργότερα δίδαξε μια παραλλαγή της θεολογίας του Μάρκελλου, επίσκοπο του Σίρμιου. Το 344, η Σύνοδος της Αντιόχειας αφόρισε τον Μάρκελλο πάλι και συνέταξε το Μακρόστιχο (Macrostich), ένα δόγμα που απαριθμούσε τις πεποιθήσεις και τις αντιρρήσεις τους στις διδασκαλίες του Μάρκελλου (μεταξύ άλλων).
Οι σχέσεις του Αθανασίου με τον Μάρκελλο ήταν περίπλοκες και η επικοινωνία μεταξύ τους διακόπηκε για λίγο, αλλά στο τέλος των ζωών και των δύο, ο Αθανάσιος αντιστάθηκε στις προσπάθειες του Βασιλείου της Καισάρειας να τον καταδικάσει και τελικά αποκατέστησε τις σχέσεις του με τον Μάρκελλο. Η Β´ Οικουμενική Σύνοδος καταδίκασε τους Μαρκελλιανούς, αλλά όχι τον ίδιο τον Μάρκελλο.
Ο Τζον Ουέσλι Χάνσον (John Wesley Hanson) και άλλοι ιστορικοί της Καθολικής Εκκλησίας της Αμερικής έγραψαν πως η θεολογία του Μάρκελλου περιελάμβανε μια πίστη στον οικουμενισμό, ότι όλοι οι άνθρωποι θα σωθούν τελικά. Αναφέρεται από τον αντίπαλό του Ευσέβιο ότι είπε «Τι άλλο να σημαίνουν οι λέξεις, "μέχρι την εποχή της αποκατάστασης" (Πράξεις 3:21), πέρα απο το ότι ο απόστολος σχεδίασε να επισημάνει εκείνη την ώρα ότι συμμετέχουν όλα τα πράγματα σε αυτή την τέλεια αποκατάσταση.». (Contra Marcellum 2:14)
ΝΔ
Η συντομογραφία ελληνικών χαρακτήρων ΝΔ ή Ν.Δ. μπορεί να αναφέρεται:
Πανγκιπούγι
Το Πανγκιπούγι (ισπανικά: Panguipulli) είναι πόλη και κοινότητα στην επαρχία Βαλδίβια, νότια Χιλή, διαχειρίζεται από το δήμο Πανγκιπούγι. Η πόλη είναι γνωστή για τη φυσική ομορφιά της και ονομάζεται "Πόλη των Ρόδων" (Ισπανικά: La Ciudad de las rosas). Το Πανγκιπούγι βρίσκεται στη δυτική άκρη της Λίμνης Πανγκιπούγι, και είναι σε έναν Λιθώνα στην κεντρική κοιλάδα της Χιλής. Το μεγαλύτερο μέρος της κοινότητας βρίσκεται στα βουνά των Άνδεων και τις κοιλάδες.
Οι πρώτοι καταγραμμένοι κάτοικοι του Πανγκιπούγι ήταν ιθαγενείς Μαπούτσες.
Δεν ήταν μέχρι το 1946 ότι η πόλη ιδρύθηκε επίσημα.
Ο δήμος χρησιμοποιεί τις κοντινές επτά λίμνες κυρίως στις τουριστικές προσφορές του. Μερικά κοντινά τουριστικά αξιοθέατα περιλαμβάνουν: οι ιαματικές πηγές, το ηφαίστειο Μότσο-Τσοσουένκο, και το Βιολογικό Καταφύγιο Ουίλο-Ουίλο.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Κατηγορία:Πόλεις της Χιλής Κατηγορία:Κοινότητες της Χιλής
Ζάχος Θάνος
Ο Ζάχος Θάνος (Πειραιά ς 1884-Αθήνα 1946) ήταν Έλληνας, ηθοποιός, θιασάρχης και θεατρικός συγγραφέας.