cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Σύνολο Μάντελμπροτ
Οι εικόνες του συνόλου Μάντελμπροτ παρουσιάζουν ένα απείρως περίπλοκο όριο που αποκαλύπτει προοδευτικά όλο και πιο λεπτομερείς αναδρομικές λεπτομέρειες σε αυξανόμενες μεγεθύνσεις. Μαθηματικά, το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ είναι μια καμπύλη φράκταλ. Το "στυλ" αυτής της αναδρομικής λεπτομέρειας εξαρτάται από την περιοχή του ορίου του συνόλου που εξετάζεται. Οι εικόνες του συνόλου Μάντελμπροτ μπορούν να δημιουργηθούν με τη δειγματοληψία των μιγαδικών αριθμών και τον έλεγχο, για κάθε σημείο του δείγματος c, εάν η ακολουθία  πηγαίνει προς το άπειρο. Αντιμετωπίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του c ως συντεταγμένες εικόνας στο μιγαδικό επίπεδο, τα εικονοστοιχεία μπορούν στη συνέχεια να χρωματιστούν ανάλογα με το πόσο σύντομα η ακολουθία  διασχίζει ένα αυθαίρετα επιλεγμένο κατώφλι (το κατώφλι πρέπει να είναι τουλάχιστον 2, επειδή το -2 είναι ο μιγαδικός αριθμός με το μεγαλύτερο μέγεθος στο σύνολο, αλλά διαφορετικά το κατώφλι είναι αυθαίρετο). Αν το c διατηρηθεί σταθερό και μεταβληθεί η αρχική τιμή του z, λαμβάνουμε το σύνολο Julia που αντιστοιχεί στο σημείο c.
Το σύνολο Μάντελμπροτ έχει γίνει δημοφιλές και εκτός των μαθηματικών, τόσο για την αισθητική του όσο και ως παράδειγμα σύνθετης δομής που προκύπτει από την εφαρμογή απλών κανόνων. Είναι ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα μαθηματικής οπτικοποίησης, μαθηματικού κάλλους και μοτίβου.
Ιστορία
Το σύνολο Μάντελμπροτ έχει τις ρίζες του στη σύνθετη δυναμική, ένα πεδίο που διερευνήθηκε για πρώτη φορά από τους Γάλλους μαθηματικούς Πιερ Φατού και Γκαστόν Τζούλια στις αρχές του 20ού αιώνα. Το φράκταλ ορίστηκε και σχεδιάστηκε για πρώτη φορά το 1978 από τους Ρόμπερτ Γ. Μπρουκς και Πίτερ Ματέλσκι στο πλαίσιο μιας μελέτης των ομάδων Κλάιν. Την 1η Μαρτίου 1980, στο ερευνητικό κέντρο Τόμας Τζ. Γουάτσον της IBM στο Γιόρκταουν Χάιτς της Νέας Υόρκης, ο Μπενουά Μαντελμπρότ οπτικοποίησε για πρώτη φορά το σύνολο. μικρογραφία|316x316px|Η πρώτη δημοσιευμένη εικόνα του συνόλου Μάντελμπροτ, από τους Ρόμπερτ Γ. Μπρουκς και Πίτερ Ματέλσκι το 1978. Ο Μάντελμπροτ μελέτησε το χώρο παραμέτρων των τετραγωνικών πολυωνύμων σε ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε το 1980. Η μαθηματική μελέτη του συνόλου Μάντελμπροτ ξεκίνησε πραγματικά με την εργασία των μαθηματικών Αντριέν Ντουαντί και Τζον Χ. Χάμπαρντ (1985), οι οποίοι καθόρισαν πολλές από τις θεμελιώδεις ιδιότητές του και ονόμασαν το σύνολο προς τιμήν του Μάντελμπροτ για το επιδραστικό έργο του στη μορφοκλασματική γεωμετρία.
Οι μαθηματικοί Χάιντς-Όττο Πέιτγκεν και Πέτερ Ρίχτερ έγιναν γνωστοί για την προώθηση του συνόλου με φωτογραφίες, βιβλία (1986) και μια διεθνή περιοδεύουσα έκθεση του γερμανικού Ινστιτούτου Γκαίτε (1985).
Στο εξώφυλλο του περιοδικού Scientific American τον Αύγουστο του 1985 παρουσιάστηκε ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του συνόλου Μάντελμπροτ. Το εξώφυλλο δημιουργήθηκε από τους Πάιτγκεν, Ρίχτερ και Σάουπε στο Πανεπιστήμιο της Βρέμης. Το σύνολο Μάντελμπροτ έγινε γνωστό στα μέσα της δεκαετίας του 1980 ως επίδειξη γραφικών υπολογιστών, όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί για να σχεδιάσουν και να απεικονίσουν το σύνολο σε υψηλή ανάλυση.
Το έργο των Ντουάντι και Χάμπαρντ έλαβε χώρα σε μια εποχή που το ενδιαφέρον για τη σύνθετη δυναμική και τα αφηρημένα μαθηματικά αυξανόταν και η μελέτη του συνόλου Μάντελμπροτ αποτελεί έκτοτε ένα από τα κεντρικά σημεία αυτού του πεδίου.
Επίσημος ορισμός
Έτσι, ένας μιγαδικός αριθμός c είναι μέλος του συνόλου Μάντελμπροτ αν, ξεκινώντας από z_0 = 0 και εφαρμόζοντας επανειλημμένα την επανάληψη, η απόλυτη τιμή του z_n παραμένει περιορισμένη για όλα τα n > 0
Παραδείγματος χάριν, για c = 1, η ακολουθία είναι 0, 1, 2, 5, 26, ..., η οποία τείνει στο άπειρο, οπότε το 1 δεν είναι στοιχείο του συνόλου Μάντελμπροτ. Από την άλλη πλευρά, για c = - 1 c=-1, η ακολουθία είναι 0, -1, 0, 0, -1, 0, ..., η οποία είναι περιορισμένη, οπότε το -1 ανήκει στο σύνολο.
Το σύνολο Μάντελμπροτt μπορεί επίσης να οριστεί ως ο τόπος συνδεσιμότητας της οικογένειας των τετραγωνικών πολυωνύμων, το υποσύνολο του χώρου των παραμέτρων c για το οποίο το σύνολο Julia του αντίστοιχου πολυωνύμου σχηματίζει ένα συνδεδεμένο σύνολο. Κατά τον ίδιο τρόπο, το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ μπορεί να οριστεί ως ο τόπος διακλάδωσης αυτής της τετραγωνικής οικογένειας, το υποσύνολο των παραμέτρων κοντά στο οποίο η δυναμική συμπεριφορά του πολυωνύμου (όταν επαναλαμβάνεται επανειλημμένα) αλλάζει δραστικά.
Βασικές ιδιότητες
Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι ένα συμπαγές σύνολο, αφού είναι κλειστό και περιέχεται στον κλειστό δίσκο ακτίνας 2 γύρω από το αρχικό σημείο. Ένα σημείο c ανήκει στο σύνολο Μάντελμπροτ αν και μόνο αν |z_n|\leq 2 για όλα τα n\geq 0. Με άλλα λόγια, η απόλυτη τιμή του z_n πρέπει να παραμένει μικρότερη ή ίση με 2 για να ανήκει το c στο σύνολο Μάντελμπροτ, M, και αν αυτή η απόλυτη τιμή υπερβαίνει το 2, η ακολουθία δραπετεύει στο άπειρο. Αφού c=z_1, προκύπτει ότι |c|\leq 2, διαπιστώνοντας ότι το c θα βρίσκεται πάντα στον κλειστό δίσκο ακτίνας 2 γύρω από το αρχικό σημείο.
Η τομή του M με τον πραγματικό άξονα είναι το διάστημα. Οι παράμετροι αυτού του διαστήματος μπορούν να τεθούν σε μία προς μία αντιστοιχία με εκείνες της πραγματικής λογιστικής οικογένειας,
Με αυτόν τον τρόπο, επιτυγχάνουμε μια αντιστοιχία μεταξύ ολόκληρου του χώρου παραμέτρων της λογιστικής οικογένειας και του συνόλου Μάντελμπροτ.
Οι Ντουάντι και Χάμπαρντ έδειξαν ότι το σύνολο Μάντελμπροτ είναι συνδεδεμένο. Κατασκεύασαν έναν ρητό σύμμορφο ισομορφισμό μεταξύ του συμπληρώματος του συνόλου Μάντελμπροτ και του συμπληρώματος του κλειστού μοναδιαίου δίσκου. Ο Μάντελμπροτ υπέθεσε αρχικά ότι το σύνολο Μάντελμπροτ ήταν ασύνδετο. Η εικασία αυτή βασίστηκε σε εικόνες υπολογιστή που παρήχθησαν από προγράμματα που δεν ήταν σε θέση να ανιχνεύσουν τα λεπτά νήματα που συνδέουν τα διάφορα μέρη του M Μετά από περαιτέρω πειράματα, αναθεώρησε την εικασία του, αποφασίζοντας ότι το M  πρέπει να είναι συνδεδεμένο. Μια τοπολογική απόδειξη της συνδεσιμότητας ανακαλύφθηκε το 2001 από τον Τζέρεμι Καν. Εξωτερικές ακτίνες των κυμάτων κοντά στην ήπειρο περιόδου 1 στο σύνολο Μάντελμπροτ
Ο δυναμικός τύπος για την ομοιομορφία του συμπληρώματος του συνόλου Μάντελμπροτ, ο οποίος προκύπτει από την απόδειξη των Ντουάντι και Χάμπαρντ για τη συνδεσιμότητα του M, οδηγεί σε εξωτερικές ακτίνες του συνόλου Μάντελμπροτ. Αυτές οι ακτίνες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του συνόλου Μάντελμπροτ με συνδυαστικούς όρους και αποτελούν τη ραχοκοκαλιά του παραπαζλ Yoccoz.
Το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ είναι το σημείο διακλάδωσης της οικογένειας των τετραγωνικών πολυωνύμων. Συγκεκριμένα, το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ είναι το σύνολο όλων των παραμέτρων c για τις οποίες η δυναμική του τετραγωνικού χάρτη παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τα c, δηλαδή μεταβάλλεται απότομα υπό την επίδραση αυθαίρετων μικρών μεταβολών του c.. Μπορεί να οριστεί ως το σημείο διακλάδωσης της οικογένειας των τετραγωνικών πολυωνύμων. Μπορεί να κατασκευαστεί ως το οριακό σύνολο μιας ακολουθίας επίπεδων αλγεβρικών καμπυλών, των καμπυλών Μάντελμπροτ, του γενικού τύπου που είναι γνωστές ως πολυωνυμικές λεμνιστικές καμπύλες. Οι καμπύλες Μάντελμπροτ ορίζονται θέτοντας, και στη συνέχεια ερμηνεύοντας το σύνολο των σημείων στο μιγαδικό επίπεδο ως καμπύλη στο πραγματικό καρτεσιανό επίπεδο βαθμού 2^{n+1}in x και y. Κάθε καμπύλη n > 0 είναι η απεικόνιση ενός αρχικού κύκλου ακτίνας 2 υπό p_n. Αυτές οι αλγεβρικές καμπύλες εμφανίζονται στις εικόνες του συνόλου Μάντελμπροτ που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον "αλγόριθμο του χρόνου διαφυγής" που αναφέρεται παρακάτω.
κέντρο|μικρογραφία|438x438εσ|Μεταβολή της μέγιστης τιμής επανάληψης (40-300) στο σημείο -0,067 836 112 642 258 32 + 0,661 746 039 125 054 6 i του συνόλου Μάντελμπροτ.
Άλλες ιδιότητες
Η κύρια καρδιοειδής καμπύλη είναι ο χώρος της περιόδου 1. Πρόκειται για την περιοχή των παραμέτρων c για την οποία ο χάρτης
διαθέτει ένα ελκυστικό σταθερό σημείο. Αποτελείται από όλες τις παραμέτρους της μορφής
για κάθε \mu στον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο. Στα αριστερά της κύριας καρδιοειδούς, προσαρτημένη σε αυτήν στο σημείο c=-3/4, είναι ορατός ένας κυκλικός βολβός, ο βολβός περιόδου 2. Ο βολβός αποτελείται από cγια τα οποία η f_c έχει κύκλο έλξης περιόδου 2. Πρόκειται για τον γεμάτο κύκλο ακτίνας 1/4 με κέντρο το -1.
Γενικότερα, για κάθε θετικό ακέραιο q>2 υπάρχουν \phi(q)κυκλικοί βολβοί εφαπτόμενοι στην κύρια καρδιοειδή που ονομάζονται βολβοί περιόδου q (όπου \phi δηλώνει τη συνάρτηση φ του 'Οιλερ), οι οποίοι αποτελούνται από τις παραμέτρους c για τις οποίες η f_c έχει κύκλο έλξης περιόδου q. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε πρωταρχική ρίζα qth της μονάδας (όπου ), υπάρχει ένας βολβός περιόδου q που ονομάζεται \frac{p}{q}, ο οποίος εφάπτεται στην κύρια καρδιοειδή στην παράμετρο
και η οποία περιέχει παραμέτρους με q-κύκλους που έχουν συνδυαστικό αριθμό περιστροφής\frac{p}{q}. Πιο συγκεκριμένα, οι q περιοδικές συνιστώσες του Φατού που περιέχουν τον ελκυστικό κύκλο αγγίζουν όλες η μία την άλλη σε ένα κοινό σημείο (που συνήθως ονομάζεται σημείο \alpha). Αν ονομάσουμε αυτές τις συνιστώσες αριστερόστροφα, τότε η f_c αντιστοιχίζει τη συνιστώσα U_j στη συνιστώσα. Η αλλαγή της συμπεριφοράς που συμβαίνει στο είναι γνωστή ως διακλάδωση: το ελκτικό σταθερό σημείο "συγκρούεται" με έναν απωθητικό κύκλο περιόδου-q. Καθώς περνάμε μέσα από την παράμετρο της διχοτόμησης στη σφαίρα, το ελκτικό σταθερό σημείο μετατρέπεται σε απωθητικό σταθερό σημείο (το \alpha -σταθερό σημείο) και ο κύκλος περιόδου-q γίνεται ελκτικός.
Υπερβολικά στοιχεία
Οι βολβοί που είναι εσωτερικές συνιστώσες του συνόλου Μάντελμπροτ στις οποίες οι χάρτες f_c έχουν έναν ελκυστικό περιοδικό κύκλο ονομάζονται υπερβολικές συνιστώσες.
Εικάζεται ότι αυτές είναι οι μόνες εσωτερικές περιοχές του M και ότι είναι πυκνές στο M. Αυτό το πρόβλημα, γνωστό ως πυκνότητα υπερβολικότητας, είναι ένα από τα σημαντικότερα ανοιχτά προβλήματα της μιγαδικής δυναμικής. Οι υποθετικές μη υπερβολικές συνιστώσες του συνόλου Μάντελμπροτ συχνά ονομάζονται "queer" ή συνιστώσες-φάντασμα. Για πραγματικά τετραγωνικά πολυώνυμα, το ζήτημα αυτό αποδείχθηκε τη δεκαετία του 1990, ανεξάρτητα από τον Λιούμπιτς και από τους Γκράτσικ και Σβιόντεκ. (Σημειώστε ότι οι υπερβολικές συνιστώσες που τέμνουν τον πραγματικό άξονα αντιστοιχούν ακριβώς σε περιοδικά παράθυρα στο διάγραμμα Φάιγκενμπαουμ. Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει επομένως ότι τέτοια παράθυρα υπάρχουν κοντά σε κάθε παράμετρο του διαγράμματος).
Δεν μπορούν να προσεγγιστούν όλες οι υπερβολικές συνιστώσες με μια ακολουθία άμεσων διακλαδώσεων από το κύριο καρδιοειδές του συνόλου Μάντελμπροτ. Μια τέτοια συνιστώσα μπορεί να επιτευχθεί με μια ακολουθία άμεσων διακλαδώσεων από την κύρια καρδιοειδή ενός μικρού αντιγράφου του Μάντελμπροτ (βλ. παρακάτω).
Κάθε μία από τις υπερβολικές συνιστώσες διαθέτει ένα κέντρο, το οποίο είναι ένα σημείο c τέτοιο ώστε η εσωτερική περιοχή Φατού για την f_c(z) να έχει έναν υπερ-ελκυστικό κύκλο - δηλαδή η έλξη να είναι άπειρη. Αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος περιέχει το κρίσιμο σημείο 0, έτσι ώστε το 0 να επιστρέφει στον εαυτό του μετά από μερικές επαναλήψεις. Επομένως, για κάποιο n. Αν ονομάσουμε αυτό το πολυώνυμο Q^{n}(c) (αφήνοντάς το να εξαρτάται από το c αντί του z), έχουμε ότι  και ότι ο βαθμός του Q^{n}(c) is 2^{n-1}. Συνεπώς, η κατασκευή των κέντρων των υπερβολικών συνιστωσών είναι δυνατή με τη διαδοχική επίλυση των εξισώσεων Ο αριθμός των νέων κέντρων που παράγονται σε κάθε βήμα δίνεται από το OEIS του Sloane: A000740.
Τοπική συνδεσιμότητα
Εικάζεται ότι το σύνολο Μάντελμπροτ είναι τοπικά συνδεδεμένο. Αυτή η εικασία είναι γνωστή ως MLC (για το Μάντελμπροτ τοπικά συνδεδεμένο). Με την εργασία των Αντριέν Ντουαντί και Τζον Χ. Χάμπαρντ, αυτή η εικασία θα οδηγούσε σε ένα απλό αφηρημένο μοντέλο "τσιμπημένου δίσκου" του συνόλου Μάντελμπροτ. Ειδικότερα, θα συνεπαγόταν τη σημαντική εικασία της υπερβολικότητας που αναφέρθηκε παραπάνω.
Το έργο του Ζαν-Κριστόφ Γιοκόζ καθιέρωσε την τοπική συνδεσιμότητα του συνόλου Μάντελμπροτ σε όλες τις πεπερασμένα επανακανονικοποιήσιμες παραμέτρους, δηλαδή, χονδρικά μιλώντας, σε εκείνες που περιέχονται μόνο σε πεπερασμένα πολλά μικρά αντίγραφα Μάντελμπροτ Από τότε, η τοπική συνδεσιμότητα έχει αποδειχθεί σε πολλά άλλα σημεία του M, αλλά η πλήρης εικασία είναι ακόμα ανοιχτή.
Αυτο-ομοιότητα
μικρογραφία|300x300px|Η αυτο-ομοιότητα στο σύνολο Μάντελμπροτ απεικονίζεται με μεγέθυνση σε ένα στρογγυλό στοιχείο ενώ η σάρωση γίνεται προς την αρνητική κατεύθυνση x. Το κέντρο της οθόνης μετακινείται προς τα αριστερά, από το πέμπτο στο έβδομο στρογγυλό στοιχείο (-1,4002, 0) στο (-1,4011, 0), ενώ η προβολή μεγεθύνεται κατά έναν παράγοντα 21,78 για να προσεγγίσει το τετράγωνο του λόγου Φάιγκενμπαουμ Αυτο-ομοιότητα στο σύνολο Μάντελμπροτ που παρουσιάζεται με μεγέθυνση σε ένα στρογγυλό χαρακτηριστικό ενώ η σάρωση γίνεται προς την αρνητική κατεύθυνση x. Το κέντρο της οθόνης μετακινείται αριστερά από το πέμπτο στο έβδομο στρογγυλό χαρακτηριστικό (-1,4002, 0) έως (-1,4011, 0) ενώ η προβολή μεγεθύνεται κατά έναν παράγοντα 21,78 για να προσεγγίσει το τετράγωνο του λόγου Φάιγκενμπαουμ.
Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι αυτο-ομοειδές υπό μεγέθυνση στις γειτονιές των σημείων Μισιούρεβιτς. Εικάζεται επίσης ότι είναι αυτο-ομοειδές γύρω από τα γενικευμένα σημεία Φεϊγκενμπάουμ (π.χ. -1,401155 ή -0,1528 + 1,0397i), με την έννοια ότι συγκλίνει σε ένα οριακό σύνολο. Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι γενικά οιονεί αυτο-ομοειδές, καθώς μπορούν να βρεθούν μικρές ελαφρώς διαφορετικές εκδοχές του εαυτού του σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες. Αυτά τα αντίγραφα του συνόλου Μάντελμπροτ είναι όλα ελαφρώς διαφορετικά, κυρίως λόγω των λεπτών νημάτων που τα συνδέουν με το κύριο σώμα του συνόλου.
Άλλα αποτελέσματα
Η διάσταση Χάουστορφ του συνόλου Μάντελμπροτ είναι ίση με 2, σύμφωνα με ένα αποτέλεσμα του Μιτσουχίρο Σισικούρα. Το γεγονός ότι αυτή η διάσταση είναι κατά έναν ακέραιο μεγαλύτερο από την τοπολογική διάσταση, η οποία είναι 1, αντικατοπτρίζει τη φράκταλ φύση του συνόλου Μάντελμπροτ. Το αποτέλεσμα του Σισικούρα δείχνει ότι το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ είναι "κυματιστό"- γεμίζει τοπικά τον χώρο τόσο αποτελεσματικά όσο μια δισδιάστατη επίπεδη περιοχή. Επομένως, είναι πιθανό το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ, αν και καμπύλη, να έχει μη μηδενικό εμβαδόν (ή, πιο επίσημα, να έχει θετικό επίπεδο μέτρο Λεμπέσκε). Το ερώτημα αν αυτό ισχύει στην πραγματικότητα παραμένει ανοιχτό.
Στο μοντέλο Μπλουμ-Σουμπ-Σμαλ του πραγματικού υπολογισμού, το σύνολο Μάντελμπροτ δεν είναι υπολογίσιμο, αλλά το συμπλήρωμα του είναι υπολογίσιμο. Πολλά απλά αντικείμενα (π.χ. το γράφημα εκθετικοποίησης) δεν είναι υπολογίσιμα ούτε στο μοντέλο BSS. Προς το παρόν, δεν είναι γνωστό αν το σύνολο Μάντελμπροτ είναι υπολογίσιμο στα μοντέλα πραγματικών υπολογισμών που βασίζονται στην υπολογίσιμη ανάλυση, τα οποία αντιστοιχούν περισσότερο στη διαισθητική έννοια της "ανίχνευσης του συνόλου από έναν υπολογιστή". Ο Χέρτλινγκ έδειξε ότι το σύνολο Μάντελμπροτ είναι υπολογίσιμο σε αυτό το μοντέλο, αν η εικασία της υπερβολικότητας είναι αληθής.
Σχέση με τα σύνολα Τζούλια (Julia)
Ως συνέπεια του ορισμού του συνόλου Μάντελμπροτ, υπάρχει στενή αντιστοιχία μεταξύ της γεωμετρίας του συνόλου Μάντελμπροτ σε ένα δεδομένο σημείο και της δομής του αντίστοιχου συνόλου Τζούλια. Παραδείγματος χάριν, μια τιμή του c ανήκει στο σύνολο Μάντελμπροτ αν το αντίστοιχο σύνολο Τζούλια είναι συνδεδεμένο. Το σύνολο Μάντελμπροτ μπορεί επομένως να θεωρηθεί ως ένας χάρτης συνδεδεμένων συνόλων Τζούλια. Αυτή η αρχή αξιοποιείται σε όλα σχεδόν τα βαθιά αποτελέσματα για το σύνολο Μάντελμπροτ. Για παράδειγμα, ο Σισικούρα απέδειξε ότι, για ένα πυκνό σύνολο παραμέτρων στο όριο του συνόλου Μάντελμπροτ, το σύνολο Τζούλια έχει διάσταση Χάουστορφ δύο, και στη συνέχεια μετέφερε αυτή την πληροφορία στο επίπεδο παραμέτρων. Ομοίως, ο Γιόκοζ απέδειξε πρώτα την τοπική συνδεσιμότητα των συνόλων Τζούλια, πριν την καθιερώσει για το σύνολο Μάντελμπροτ με τις αντίστοιχες παραμέτρους. .
Γεωμετρία
Για κάθε ρητό αριθμό, όπου τα p και q είναι σχετικά πρώτοι, μια υπερβολική συνιστώσα περιόδου q διχάζεται από την κύρια καρδιοειδή σε ένα σημείο στην άκρη της καρδιοειδούς που αντιστοιχεί σε εσωτερική γωνία. Το τμήμα του συνόλου Μάντελμπροτ που συνδέεται με την κύρια καρδιοειδή σε αυτό το σημείο διακλάδωσης ονομάζεται άκρο p/q-limb. Πειράματα σε υπολογιστές δείχνουν ότι η διάμετρος του άκρου τείνει στο μηδέν καθώς. Η πιο γνωστή τρέχουσα εκτίμηση είναι η ποιότητα Yoccoz-ine, η οποία δείχνει ότι το μέγεθος τείνει στο μηδέν ως
Ένα άκρο με περίοδο q limb θα έχει q-1"κεραίες" στην κορυφή του άκρου του. Η περίοδος ενός συγκεκριμένου βολβού προσδιορίζεται με την καταμέτρηση αυτών των κεραιών. Ο αριθμητής του αριθμού των περιστροφών, p, προκύπτει από την αρίθμηση κάθε κεραίας αριστερόστροφα από το σκέλος, από 1 έως q-1, και τον προσδιορισμό της μικρότερης κεραίας
Το π στο σύνολο Μάντελμπροτ
Σε μια προσπάθεια να αποδείξει ότι το πάχος του μέλους p/qείναι μηδέν, ο Ντέιβιντ Μπολ πραγματοποίησε ένα πείραμα σε υπολογιστή το 1991 στο οποίο υπολόγισε τον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται για να αποκλίνει η σειρά για ( που είναι η θέση του). Δεδομένου ότι η σειρά δεν αποκλίνει για την ακριβή τιμή, ο αριθμός των απαιτούμενων επαναλήψεων αυξάνεται με ένα μικρό \varepsilon. Αποδεικνύεται ότι ο πολλαπλασιασμός της τιμής του \varepsilon με τον αριθμό των απαιτούμενων επαναλήψεων δίνει μια προσέγγιση του \pi η οποία γίνεται καλύτερη για μικρότερα \varepsilon. Παραδείγματος χάριν, για \varepsilon = 0,0000001, ο αριθμός των επαναλήψεων είναι 31415928 και το γινόμενο είναι 3,1415928''. Το 2001, ο Άαρον Κλεμπάνοφ απέδειξε την ανακάλυψη του Μπολ. ''
Ακολουθία Φιμπονάτσι στο σύνολο Μάντελμπροτ
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η ακολουθία Φιμπονάτσι βρίσκεται μέσα στο σύνολο Μάντελμπροτ και ότι υπάρχει σχέση μεταξύ του κύριου καρδιοειδούς και του διαγράμματος Φάρεϊ. Με την απεικόνιση του κύριου καρδιοειδούς σε ένα δίσκο, η ποσότητα των κεραιών που εκτείνεται από την αμέσως μεγαλύτερη υπερβολική συνιστώσα και η οποία βρίσκεται μεταξύ των δύο προηγουμένως επιλεγμένων συνιστωσών, αντιστοιχεί στην ακολουθία Φιμπονάτσι. Ο αριθμός των κεραιών συσχετίζεται επίσης με το διάγραμμα Φάρεϊ και τα ποσά του παρονομαστή στις αντίστοιχες κλασματικές τιμές, οι οποίες σχετίζονται με την απόσταση γύρω από το δίσκο. Τα δύο μέρη αυτών των κλασματικών τιμών μπορούν να προστεθούν μαζί μετά το \frac{1}{3} για να προκύψει η θέση της επόμενης υπερβολικής συνιστώσας στην ακολουθία. Έτσι, η ακολουθία Φιμπονάτσι των 1, 2, 3, 5, 8, 13 και 21 βρίσκεται στο σύνολο Μάντελμπροτ.
Έκθεση εικόνων
Τα όρια του συνόλου Μάντελμπροτ παρουσιάζουν πιο περίπλοκες λεπτομέρειες όσο πιο κοντά κοιτάζει κανείς ή μεγεθύνει την εικόνα. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας ακολουθίας εικόνας που μεγεθύνεται σε μια επιλεγμένη τιμή c.
Τα νησιά στο προτελευταίο στάδιο φαίνεται να αποτελούνται από άπειρα μέρη, όπως συμβαίνει με το αντίστοιχο σύνολο Τζούλια J_c. Συνδέονται με μικροσκοπικές δομές, έτσι ώστε το σύνολο να αντιπροσωπεύει ένα απλά συνδεδεμένο σύνολο. Οι μικροσκοπικές δομές συναντώνται σε έναν δορυφόρο στο κέντρο, ο οποίος είναι πολύ μικρός για να αναγνωριστεί σε αυτή τη μεγέθυνση. Η τιμή του c για το αντίστοιχο J_c δεν είναι το κέντρο της εικόνας αλλά, σε σχέση με το κύριο σώμα του συνόλου Μάντελμπροτ, έχει την ίδια θέση με το κέντρο αυτής της εικόνας σε σχέση με τον δορυφόρο που φαίνεται στο βήμα 6.
Εσωτερική δομή
Ενώ το σύνολο Μάντελμπροτ αναπαρίσταται συνήθως με την παρουσίαση των λεπτομερειών των εξωτερικών ορίων, η δομή του οριοθετημένου συνόλου μπορεί επίσης να αποκαλυφθεί. Παραδείγματος χάριν, υπολογίζοντας αν μια δεδομένη τιμή c είναι δεσμευμένη ή όχι, εφόσον παραμένει δεσμευμένη, η μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται από τον αριθμό αυτό μπορεί να συγκριθεί με την τιμή c στο συγκεκριμένο σημείο. Αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του αθροίσματος των τετραγώνων, ο αριθμός που θα υπολογιστεί θα είναι max : (real^2 + imaginary^2) - c:(real^2 + imaginary^2). Το μέγεθος αυτού του υπολογισμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια τιμή σε μια κλίση.
Αυτό παράγει αποτελέσματα όπως τα παρακάτω, κλίσεις με ευδιάκριτα άκρα και περιγράμματα καθώς πλησιάζετε τα όρια. Οι κινούμενες εικόνες χρησιμοποιούνται για να αναδείξουν τα όρια της διαβάθμισης.
Multibrot σύνολα
Τα σύνολα Multibrot είναι οριοθετημένα σύνολα που βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο για μέλη της γενικής μονικής μονοπαραγοντικής πολυωνυμικής οικογένειας αναδρομών
Για έναν ακέραιο αριθμό d, αυτά τα σύνολα είναι τόποι συνδεσιμότητας για σύνολα Τζούλια που κατασκευάζονται από τον ίδιο τύπο. Ο πλήρης κυβικός τόπος συνδεσιμότητας μελετήθηκε επίσης- εδώ εξετάζουμε την αναδρομή δύο παραμέτρων, της οποίας τα δύο κρίσιμα σημεία είναι οι μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες της παραμέτρου k. Μια παράμετρος βρίσκεται στον τόπο κυβικής συνδεσιμότητας αν τα δύο κρίσιμα σημεία είναι σταθερά. Για γενικές οικογένειες ολομορφικών συναρτήσεων, το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ γενικεύεται στον τόπο διακλάδωσης.
Το σύνολο Multibrot προκύπτει μεταβάλλοντας την τιμή του εκθέτη d. Το άρθρο περιέχει ένα βίντεο που δείχνει την εξέλιξη από d = 0 έως 7, οπότε υπάρχουν 6, δηλαδή (d-1) λοβοί γύρω από την περίμετρο. Γενικά, όταν το d είναι ένας θετικός ακέραιος, η κεντρική περιοχή κάθε ενός από αυτά τα σύνολα είναι πάντα ένα επικόμβιο από (d-1)  λοβούς. Μια παρόμοια εξέλιξη με αρνητικούς ακέραιους εκθέτες οδηγεί σε (1-d) υποδοχές μέσα σε ένα δακτύλιο, όπου η κύρια κεντρική περιοχή του συνόλου είναι μια υποκυκλοειδής από (1-d) ακρολοφίες.
Υψηλότερες διαστάσεις
Δεν υπάρχει τέλεια επέκταση του συνόλου Μάντελμπροτ σε 3D, επειδή δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο των μιγαδικών αριθμών στο οποίο να μπορεί να επαναληφθεί. Υπάρχει μια επέκταση των μιγαδικών αριθμών σε 4 διαστάσεις, τα κουατερνιόνια, η οποία δημιουργεί μια ιδανική επέκταση του συνόλου Μάντελμπροτ και των συνόλων Τζούλια σε 4 διαστάσεις, τα οποία μπορούν στη συνέχεια να κοπούν ή να προβληθούν σε μια τρισδιάστατη δομή. Το σύνολο Μάντελμπροτ των κουατερνιόνων (4 διαστάσεις) είναι απλώς ένα στερεό της περιστροφής του συνόλου Μάντελμπροτ σε 2 διαστάσεις (στο επίπεδο j-k), και επομένως δεν είναι ενδιαφέρον να το δούμε. Αν πάρουμε μια τομή σε 3 διαστάσεις στο παίρνουμε ένα στερεό της περιστροφής του συνόλου Μάντελμπροτ σε 2 διαστάσεις γύρω από τον πραγματικό άξονα.
Άλλες μη αναλυτικές απεικονίσεις
αριστερά|μικρογραφία|Εικόνα του φράκταλ Tricorn/Mandelbar|180x210εσ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το φράκταλ του τρικέρατου, ο τόπος συνδεσιμότητας της αντι-ολομορφικής οικογένειας
Το τρικέρατο (που μερικές φορές ονομάζεται επίσης Mandelbar) εντοπίστηκε από τον Milnor στη μελέτη του για τις παραμετρικές φέτες των πραγματικών κυβικών πολυωνύμων. Δεν είναι τοπικά συνδεδεμένο. Η ιδιότητα αυτή κληρονομείται από τον τόπο συνδεσιμότητας των πραγματικών κυβικών πολυωνύμων.
Μια άλλη μη αναλυτική γενίκευση είναι το φράκταλ του φλεγόμενου πλοίου (Burning Ship), το οποίο λαμβάνεται με την επανάληψη των παρακάτω:
Σχέδια σε υπολογιστή
Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί αλγόριθμοι για την απεικόνιση του συνόλου Μάντελμπροτ με τη χρήση υπολογιστή. Εδώ προτείνεται ο πιο διαδεδομένος και απλούστερος αλγόριθμος, δηλαδή ο αφελής αλγόριθμος "χρόνος διαρροής". Στον αλγόριθμο του χρόνου διαρροής, εκτελείται ένας επαναλαμβανόμενος υπολογισμός για κάθε σημείο x, y στην περιοχή σχεδίασης και, ανάλογα με τη συμπεριφορά αυτού του υπολογισμού, επιλέγεται ένα χρώμα για το συγκεκριμένο εικονοστοιχείο (pixel).
Οι θέσεις x και y κάθε σημείου χρησιμοποιούνται ως αρχικές τιμές σε έναν επαναλαμβανόμενο ή επαναληπτικό υπολογισμό (που περιγράφεται λεπτομερώς παρακάτω). Το αποτέλεσμα κάθε επανάληψης χρησιμοποιείται ως αρχικές τιμές για την επόμενη. Οι τιμές ελέγχονται σε κάθε επανάληψη για να διαπιστωθεί εάν έχουν φθάσει σε μια κρίσιμη κατάσταση "διαρροής" ή "διάσωσης". Εάν επιτευχθεί αυτή η συνθήκη, ο υπολογισμός σταματά, το εικονοστοιχείο σχεδιάζεται και εξετάζεται το επόμενο σημείο x, y.
Το χρώμα κάθε σημείου αντιπροσωπεύει πόσο γρήγορα οι τιμές έφτασαν στο σημείο διαφυγής. Συχνά, χρησιμοποιείται μαύρο χρώμα για να δείξει τις τιμές που αποτυγχάνουν να διαφύγουν πριν από το όριο επανάληψης και χρησιμοποιούνται προοδευτικά ανοιχτότερα χρώματα για τα σημεία που διαφεύγουν. Αυτό δίνει μια οπτική αναπαράσταση του αριθμού των κύκλων που απαιτούνται για την επίτευξη της συνθήκης διαφυγής.
Για την απόδοση μιας τέτοιας εικόνας, η περιοχή του μιγαδικού επιπέδου που εξετάζουμε υποδιαιρείται σε ορισμένο αριθμό εικονοστοιχείων. Για να χρωματίσουμε ένα από αυτά τα εικονοστοιχεία, ας συμβολίσουμε c το μέσο του εικονοστοιχείου αυτού. Επαναλαμβάνουμε το κρίσιμο σημείο 0 κάτω από τοf_c, ελέγχοντας σε κάθε βήμα αν το σημείο της τροχιάς έχει ακτίνα μεγαλύτερη από 2. Αν ναι, τοc δεν ανήκει στο σύνολο Μάντελμπροτ και χρωματίζουμε το εικονοστοιχείο ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων που χρησιμοποιήθηκαν για την ανακάλυψή του. Διαφορετικά, συνεχίζουμε την επανάληψη μέχρι να φτάσουμε σε έναν σταθερό αριθμό βημάτων, μετά από τον οποίο αποφασίζουμε ότι η παράμετρός μας βρίσκεται "πιθανώς" στο σύνολο Μάντελμπροτ, ή τουλάχιστον πολύ κοντά σε αυτό, και χρωματίζουμε το εικονοστοιχείο με μαύρο χρώμα.
Σε ψευδοκώδικα, αυτός ο αλγόριθμος θα έμοιαζε ως εξής. Ο αλγόριθμος δεν χρησιμοποιεί μιγαδικούς αριθμούς και προσομοιώνει χειροκίνητα τις πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας δύο πραγματικούς αριθμούς, για όσους δεν έχουν μιγαδικό τύπο δεδομένων. Το πρόγραμμα μπορεί να απλοποιηθεί εάν η γλώσσα προγραμματισμού περιλαμβάνει πράξεις σύνθετου τύπου δεδομένων.
για κάθε εικονοστοιχείο (Px, Py) στην οθόνη do x0 := scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.00, 0.47)) y0 := scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1.12, 1.12)) x := 0.0 y := 0.0 iteration := 0 max_iteration := 1000 while (x*x + y*y ≤ 2*2 AND iteration < max_iteration) do xtemp := x*x - y*y + x0        y := 2*x*y + y0         x := xtemp iteration := iteration + 1 color := palette[iteration] plot(Px, Py, color)
Εδώ, σχετικά με τον ψευδοκώδικα για c, z και f_c: και έτσι, όπως φαίνεται και στον ψευδοκώδικα στον υπολογισμό των x και y:
Για να έχουμε πολύχρωμες εικόνες του συνόλου, η ανάθεση ενός χρώματος σε κάθε τιμή του αριθμού των επαναλήψεων που εκτελούνται μπορεί να γίνει με τη χρήση μιας από τις διάφορες συναρτήσεις (γραμμική, εκθετική κ.λπ.).
Αναφορές στη δημόσια πολιτιστική ζωή
Το σύνολο Μάντελμπροτ θεωρείται το δημοφιλέστερο φράκταλ και αναφέρθηκε αρκετές φορές στη δημόσια πολιτιστική ζωή.
Δημοσιεύσεις
(First appeared in 1990 as a Stony Brook IMS Preprint, available as arXiV:math.DS/9201272 ) (includes a DVD featuring Arthur C. Clarke and David Gilmour)
Παραπομπές
Κατηγορία:Φράκταλ Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών Κατηγορία:Φιλοσοφία των μαθηματικών Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Πέννα (αποσαφήνιση)
Η λέξη πένα μπορεί να αφορά:
Οικογένεια Γένις
μικρογραφία|Ο θυρεός των Γένις το 1605. Η Οικογένεια Γένις είναι οικογένεια Γερμανών εμπόρων, η οποία είχε μεγάλη επιρροή εντός της πόλεως του Αμβούργου από τα μέσα του 18ου έως και τον 20ο αιώνα, καθώς και στο Άουγκσμπουργκ, το Κέμπτεν και το Μέμινγκεν κατά την διάρκεια του 16ου και του 17ου αιώνα.
Η πρώτη γραπτώς καταγεγραμμένη αναφορά του συγκεκριμένου πατρώνυμου ανάγεται στο Άουγκσμπουργκ, κατά την διάρκεια του πρώτου μισού του 14ου αιώνα, όπου γίνεται αναφορά σε κάποιον Μπαρτολομέους Γένις, γεννηθέντα το 1349. Ο Γιόαχιμ (1505-1575) διετέλεσε Δήμαρχος του Άουγκσμπουργκ. Ένας εκ των εγγονών του, ο Τσίμπερτ Γένις (1587-1645), εγκαταστάθηκε στο Αμβούργο, όπου και παντρεύτηκε την κόρη μιας οικογένειας εμπόρων, τους Άμζινκ, με αποτέλεσμα την ένταξή του εντός των χανσεατικών κύκλων. Οι απόγονοί του παντρεύτηκαν σημαντικά μέλη προερχόμενα από τις διάφορες οικογένειες εμπόρων του Αμβούργου (Πάουλ Γένις (1680 - 1745), Εμάνουελ Γένις (1725 - 1783), Μάρτιν Γιόχαν Γένις (πατέρας), Μάρτιν γιόχαν Γένις (υιός)).
Στο Κέμπτεν, διάφορα μέλη της οικογένειας διετέλεσαν δήμαρχοι από το 1646 έως το 1743.
Φωκίων
Ο Φωκίων (402 - περ. 318 π.Χ.) ήταν πολιτικός και στρατηγός της αρχαίας Αθήνας.
Οικογένεια Γένις
Πηγές
Γενις Κατηγορία:Αμβούργο Κατηγορία:Εμπόριο
Φωκίων
Θεωρούνταν ο χρηστότερος δημόσιος άνδρας της εποχής του, δίκαιος, έντιμος, γενναίος, αφιλοκερδής και δημοκράτης. Το μόνο του μειονέκτημα ήταν πως δεν μπορούσε να πείσει με τον λόγο του. Αυτό δεν εμπόδισε να εκλεγεί 45 φορές στρατηγός, πράγμα πρωτοφανές στην Αθήνα. Ούτε και το ότι ήταν εκ των ηγετών της φιλομακεδονικής παράταξης, τον εμπόδισε να πολεμήσει κατά των Μακεδόνων σε αρκετές περιπτώσεις.
Στα 84 του χρόνια ο Φωκίων, θύμα των μεταξύ των Διαδόχων διαμαχών, της κυριαρχίας των δημαγωγών και της επιπολαιότητας των Αθηναίων, καταδικάστηκε σε θάνατο για προδοσία και ήπιε το κώνειο. Λαμπρή του εικόνα διέσωσε ο Πλούταρχος.
Η αρχή της σταδιοδρομίας
Ο Πλούταρχος υποθέτει ότι η καταγωγή του Φωκίωνα δεν ήταν ταπεινή, όπως ισχυρίζονταν διάφοροι προγενέστεροί του, γιατί μαθήτευσε στον Πλάτωνα και στον Ξενοκράτη και διαμόρφωσε εξ αρχής άριστο χαρακτήρα. Από νεαρή ηλικία βρέθηκε κοντά στον στρατηγό Χαβρία και απέκτησε μεγάλη πολεμική εμπειρία. Λειτουργούσε μάλιστα ευεργετικά δίπλα στον Χαβρία που ήταν φύση περίεργη : υπό ομαλάς συνθήκας ήταν νωθρός και δυσκίνητος ενώ στη μάχη παροξυνόταν και ήταν ασυγκράτητος. Ο Φωκίων λοιπόν, όταν τον έβλεπε αδρανή, φρόντιζε να του αναθερμάνει τον ζήλο, κι όταν τον έβλεπε παράτολμο τον συγκρατούσε. Γι’ αυτό κι ο Χαβρίας τον αγαπούσε, τον προήγαγε κι έκανε το όνομά του γνωστό στους Έλληνες.
Το 376 έγινε η ναυμαχία της Νάξου κατά την οποία οι Αθηναίοι νίκησαν τους Λακεδαιμόνιους για πρώτη φορά ύστερα από την καταστροφή των Αιγός Ποταμών και ανέκτησαν την κατά θάλασσαν κυριαρχίαν. Καθοριστική ήταν η συμβολή του Φωκίωνα, στον οποίον ο Χαβρίας είχε αναθέσει την αριστερή πτέρυγα. Το όνομά του δοξάστηκε και η πόλη άρχισε να βλέπει στο πρόσωπό του ένα μελλοντικό ηγέτη.
Κατόπιν ο Χαβρίας τον έστειλε να συλλέξει τις εισφορές των νησιωτικών συμμάχων, θέτοντας στη διάθεσή του είκοσι πλοία. Ο Φωκίων παρατήρησε ότι αν ήταν να κάνει πόλεμο τα είκοσι πλοία ήταν λίγα, αν όμως πήγαινε σε συμμάχους ένα πλοίο τού ήταν αρκετό. Πήγε πράγματι με την τριήρη του μόνο, συζήτησε ήρεμα και διαλλακτικά κι επέστρεψε με πλοία πολλά και χρήματα που έστειλαν οι νησιώτες.
Ο Φωκίων πήρε δύο γυναίκες. Για την πρώτη γνωρίζουμε μόνο ότι ήταν αδελφή του γλύπτη Κηφισόδοτου. Η δεύτερη ήταν αντάξια σε σωφροσύνη και απλότητα με τον Φωκίωνα. Απέκτησε ένα γιο, τον Φώκο, που δεν διακρίθηκε, βρήκε όμως τους κατηγόρους του πατέρα του και τους τιμώρησε.
Φωκίων και Φίλιππος
Το 349 στρατεύματα του Φιλίππου Β΄ εισέβαλαν στην Εύβοια εγκαθιστώντας τυράννους κι ο Φωκίων εστάλη να τα αντιμετωπίσει. Παρά τη μικρή δύναμη που είχε στη διάθεσή του, τις προδοσίες και τις λιποταξίες, κατόρθωσε να νικήσει τους αντιπάλους το 348 στις Ταμύνες, να καταλάβει το φρούριο της Ζάρητρας που βρίσκονταν σε επίκαιρη θέση στο στενότερο σημείο του νησιού και να ρυθμίσει τα πράγματα ευνοϊκά για την Αθήνα.
Το 342 ο Φωκίων οργάνωσε βοήθεια προς τα Μέγαρα και προσέδεσε την πόλη στο άρμα της Αθήνας, ενώ το 341 εξεστράτευσε πάλι στην Εύβοια.
Το 339 ο Φίλιππος επιτέθηκε στον Ελλήσποντο και οι Βυζάντιοι ζήτησαν βοήθεια από την Αθήνα. Οι ρήτορες και οι δημαγωγοί επέβαλαν στρατηγό τον Χάρη, ο οποίος επέδειξε ανάρμοστη συμπεριφορά και οι ρήτορες τώρα έπεισαν τον λαό ότι κακώς εστάλη βοήθεια. Τότε ο Φωκίων είπε στους Αθηναίους πως δεν πρέπει να οργίζονται με τους συμμάχους που δεν έδειχναν εμπιστοσύνη αλλά με τους στρατηγούς που δεν ενέπνεαν εμπιστοσύνη. Ο δήμος μετεστράφη και πάλι, κι έστειλε στον Ελλήσποντο τον Φωκίωνα που κατόρθωσε να σώσει το Βυζάντιο. Ο Φίλιππος αναγκάστηκε να αποχωρήσει κι ο Φωκίων συνέχισε τις επιχειρήσεις με επιτυχία, μέχρις ότου τραυματίστηκε κι επέστρεψε στην Αθήνα.
Όταν η σύγκρουση με τον Φίλιππο οξύνθηκε και γενικεύτηκε, ο Φωκίων, έχοντας καταλάβει ενδεχομένως το αναπότρεπτο της επικράτησής του, τάχθηκε υπέρ της ειρήνης. Τις παραμονές της μάχης της Χαιρωνείας (338), και ενώ αυτός έλειπε στα νησιά, ο δήμος εξέλεξε άλλους στρατηγούς για τον πόλεμο. Μόλις επέστρεψε, μίλησε στην Εκκλησία και ζήτησε να δεχτεί ο δήμος τη συνθήκη ειρήνης που προσέφερε ο Φίλιππος. Ένας δημαγωγός τον επέπληξε επειδή τολμούσε να μιλά για ειρήνη ενώ οι Αθηναίοι είχαν ήδη πάρει τα όπλα. «Ναι, τολμώ» απάντησε ο Φωκίων «αν και ξέρω ότι στον πόλεμο εγώ θα κυβερνώ εσένα ενώ στην ειρήνη εσύ θα εξουσιάζεις εμένα». Δεν έπεισε όμως τον δήμο. Υπερίσχυσε ο Δημοσθένης, που συμβούλευε τους Αθηναίους να πολεμήσουν όσο το δυνατόν πιο μακριά από την Αθήνα. «Ας μην εξετάζουμε πού θα πολεμήσουμε αλλά πώς θα νικήσουμε» του απάντησε ο Φωκίων. «Για τους ηττημένους όλες οι συμφορές είναι κοντά».
Μετά την ολέθρια έκβαση της μάχης της Χαιρωνείας, έκανε διμέτωπο αγώνα αφ’ ενός κατά των ταραχοποιών που ήθελαν να συνεχίσουν τον πόλεμο με στρατηγό τον τυχοδιώκτη Χαρίδημο και αφ’ ετέρου κατά του ηγέτη της φιλομακεδονικής παράταξης ρήτορα Δημάδη που ήθελε την εν λευκώ υπογραφή συνθήκης. Απέτρεψε τη στρατηγία του πρώτου αλλά υπερίσχυσε τελικά η γνώμη του τελευταίου, με αποτέλεσμα ο δήμος να μετανιώσει και πάλι για τις αποφάσεις του όταν έμαθε τους δυσβάστακτους όρους.
Όταν πέθανε ο Φίλιππος, ο Φωκίων απέτρεψε τους πανηγυρισμούς των Αθηναίων λέγοντας ότι η δύναμη των αντιπάλων τους μειώθηκε απλώς κατά ένα άτομο.
Φωκίων και Αλέξανδρος
Από τότε ο Αλέξανδρος τιμούσε εξαιρετικά τον Φωκίωνα. Και ως απόδειξη της εκτίμησής του τού έστειλε κάποτε εκατό τάλαντα, γιατί, έλεγε μόνο αυτόν θεωρούσε καλόν και έντιμο. «Ας με αφήσει λοιπόν και να φαίνομαι και να είμαι έντιμος» απάντησε ο Φωκίων. Οι απεσταλμένοι, έχοντας δει τη μεγάλη φτώχεια του σπιτικού του Φωκίωνα, έμειναν έκπληκτοι αλλά τα χρήματα τελικά επεστράφησαν. Ο Αλέξανδρος αγανάκτησε κι έγραψε στον Φωκίωνα ότι δεν θεωρεί φίλους του αυτούς που δεν τον έχουν ανάγκη. Τότε ο Φωκίων ζήτησε και πέτυχε την απελευθέρωση ορισμένων προσώπων που ο Αλέξανδρος είχε φυλακίσει.
Το 324 έφτασε στην Αθήνα ο Άρπαλος, ο ταμίας του Αλεξάνδρου –μαζί με το ταμείο. Διέφθειρε τους πάντες πλην Φωκίωνος. Κι ενώ οι πάντες κατηγορούσαν τον Άρπαλο για ν’ αποσείσουν τις υπόνοιες, μόνο ο Φωκίων κάπως τον υπερασπίστηκε και μάλιστα φρόντισε για το παιδί του όταν ο Άρπαλος πέθανε.
Ο Λαμιακός πόλεμος
Στρατηγός αυτού του πολέμου ψηφίστηκε ο Λεωσθένης, με τον οποίο, καθώς και με τους αντιμακεδόνες ρήτορες, ο Φωκίων είχε συνεχείς συγκρούσεις. Όταν διαμαρτυρήθηκε για τον πόλεμο, ο Λεωσθένης τον ρώτησε τί είχε κάνει τόσα χρόνια για τους Αθηναίους ως στρατηγός. «Μεγάλο καλό» απάντησε ο Φωκίων. «Να ενταφιάζονται οι πολίτες στα δικά τους νεκροταφεία». Κι άλλη φορά του είπε : ''«Τα λόγια σου, νεαρέ μου, μοιάζουν με κυπαρίσσια. Επιβλητικά και ψηλά αλλά χωρίς καρπούς»''. Στον Υπερείδη, που τον ρώτησε πότε επί τέλους θα συμβουλεύσει τους Αθηναίους να πολεμήσουν, απάντησε «Όταν αρχίσουν να συνεισφέρουν οι πλούσιοι και σταματήσουν να κλέβουν το δημόσιο χρήμα οι ρήτορες».
Όταν ο Λεωσθένης ολοκλήρωσε την προετοιμασία του, η πόλη εντυπωσιάστηκε και κάποιοι ζήτησαν τη γνώμη του Φωκίωνα. «Καλή για δρόμο ενός σταδίου [192 μέτρα], φοβάμαι όμως τον δόλιχο δρόμο [πολλαπλάσιος του σταδίου]. Δεν έχουμε ούτε χρήματα ούτε πλοία ούτε στρατιώτες».
Η απαισιοδοξία του φάνηκε αρχικά να διαψεύδεται. Ο Λεωσθένης νίκησε τους Βοιωτούς συμμάχους των Μακεδόνων κ’ ύστερα, στις Θερμοπύλες, τον ίδιο τον Αντίπατρο, που κατέβηκε από τη Μακεδονία με ανεπαρκείς δυνάμεις, και τον ανάγκασε να κλειστεί στο φρούριο της Λαμίας περιμένοντας ενισχύσεις. Ο Λεωσθένης τον πολιόρκησε αλλά σε μια συμπλοκή τραυματίστηκε θανάσιμα ενώ οι σύμμαχοί του είχαν ήδη αρχίσει να εγκαταλείπουν το στρατόπεδο. Νέος στρατηγός ορίστηκε ο Αντίφιλος, άνδρας συνετός και γενναίος, που νίκησε σε ιππομαχία τον Αντίπατρο και τον Λεοννάτο που είχε έρθει με ενισχύσεις από την Ασία. Ο Λεοννάτος έπεσε στη μάχη και ο Αντίπατρος κατέλαβε απρόσβλητες από το ιππικό θέσεις και περίμενε νέες ενισχύσεις.
Στη θάλασσα οι Μακεδόνες υπερτερούσαν και καταναυμάχησαν τον νεότευκτο αθηναϊκό στόλο στην Αμοργό στις αρχές του 322. Η εξαχρείωση των δημαγωγών είχε φτάσει σε τέτοιο βαθμό που ένας απ’ αυτούς, ο Στρατοκλής, κατέπλευσε μια μέρα στον Πειραιά από τον στόλο κι ανήγγειλε νίκη λαμπρή. Δυο μέρες οι Αθηναίοι πανηγύριζαν οπότε κατέφθασαν τα λείψανα του στόλου. Κι αντιμέτωπος με την οργή του δήμου, ο Στρατοκλής είπε : «Σας πείραξε που διασκεδάζατε δυο μέρες ;»
Από τον νικηφόρο στόλο των Μακεδόνων μια δύναμη αποβιβάστηκε στον Ραμνούντα και λεηλατούσε τα παράλια της Αττικής. Ο μόνος διαθέσιμος στρατηγός ήταν ο Φωκίων κι ανέλαβε να τους αντιμετωπίσει παρά τις μέχρι τότε αντιρρήσεις του. Αλλά η κατάσταση ήταν εκτός ελέγχου. Τάξη καμιά δεν υπήρχε κι όλοι του έδιναν γνώμες και συμβουλές. «Ω Ηρακλή» είπε ο Φωκίων «πόσο πολλούς στρατηγούς βλέπω και πόσο λίγους στρατιώτες!» Τελικά τους παρέταξε κατά των Μακεδόνων αλλά ένας νεαρός βγήκε από τη γραμμή προκλητικά. Μόλις όμως βγήκε κι ένας Μακεδόνας, ο νεαρός έσπευσε να επανέλθει στην παράταξη. «Δεν ντρέπεσαι» του είπε ο Φωκίων «να εγκαταλείψεις δυο θέσεις ; αυτήν που σου όρισε ο στρατηγός σου κι αυτήν που πήρες μόνος σου ;» Παρ’ όλα αυτά επιτέθηκε κατά των εχθρών και τους κατανίκησε.
Τέλος, έφτασε ο Κρατερός, όνομα λαμπρό, με πολλές ενισχύσεις. Στην Κραννώνα της Θεσσαλίας το καλοκαίρι του 322 οι Μακεδόνες νίκησαν και οι σύμμαχοι διαλύθηκαν. Ο Αντίπατρος κι ο Κρατερός βάδισαν κατά της Αθήνας. Ο Δημοσθένης, ο Υπερείδης και οι άλλοι αντιμακεδόνες εγκατέλειψαν την πόλη κι έντρομος ο δήμος έστειλε πρέσβεις στον Αντίπατρο τον Φωκίωνα και τον Δημάδη. «Αν μ’ ακούγατε όταν σας συμβούλευα, δεν θα τα είχαμε αυτά τώρα» είπε ο Φωκίων αναλαμβάνοντας την αποστολή.
Συνάντησε τον Αντίπατρο στην ακρόπολη της Θήβας, την Καδμεία, και πριν απ’ όλα ζήτησε να μη προχωρήσει άλλο αλλά όλες οι συνομιλίες και συμφωνίες να γίνουν εκεί, στη Βοιωτία. Ο Κρατερός διαμαρτυρήθηκε ότι αυτό δεν ήταν δίκαιο για τους Βοιωτούς συμμάχους τους, να μείνει δηλαδή ο στρατός στη Βοιωτία εις βάρος τους, αλλά ο Αντίπατρος τον παρακάλεσε : «Ας κάνουμε αυτή τη χάρη στον Φωκίωνα». Αλλά οι όροι που έθεσε ήταν βαρείς : το δημοκρατικό πολίτευμα καταργούνταν. Μακεδονική φρουρά θα εγκαθίστατο στη Μουνυχία. Οι αντιμακεδόνες αρχηγοί θα παραδίνονταν στους νικητές. Η Αθήνα θα πλήρωνε τα πολεμικά έξοδα και πρόστιμο για την αποστασία.
Ο Φωκίων προσπάθησε να περισώσει ό,τι ήταν δυνατόν. Κατόρθωσε να πείσει τον Αντίπατρο να εξοριστούν οι δευτερεύοντες αντιμακεδόνες στην Πελοπόννησο και όχι, όπως προβλεπόταν αρχικά, εκτός της μεταξύ Ταινάρου και Κεραυνίων ορέων χώρας, εκτός Ελλάδος δηλαδή. Αλλά όταν ζήτησε από τον Αντίπατρο να μην εγκατασταθεί Μακεδονική φρουρά στη Μουνυχία, τον ρώτησε αυτός αν εγγυάται πως οι Αθηναίοι δεν θα αποστατήσουν και πάλι. Ο Φωκίων έμεινε αμίλητος και ο Αντίπατρος του είπε : «Θέλουμε να σου κάνουμε, Φωκίωνα, όλες τις χάρες εκτός από εκείνες που θα καταστρέψουν κι εμάς κι εσένα».
Τον Σεπτέμβριο του 322 άρχισε η εφαρμογή των όρων της συνθήκης. Μακεδονική φρουρά κατάλαβε τη Μουνυχία. Το πολίτευμα έγινε ολιγαρχικό –πολίτες θεωρούνταν πλέον μόνο όσοι περιουσία άνω των δύο χιλιάδων δραχμών. Οι υπόλοιποι στερήθηκαν από όλα τα πολιτικά τους δικαιώματα, μπορούσαν όμως να πάνε στη Θράκη, όπου τους δόθηκε γη. Ο Υπερείδης και τρεις ακόμη αντιμακεδόνες ηγέτες συνελήφθησαν στην Αίγινα και θανατώθηκαν. Ο Δημοσθένης αυτοκτόνησε στον Πόρο.
Ο Φωκίων ηγέτης της Αθήνας
Κατά τον Πλούταρχο, ενόσω ζούσε ο Αντίπατρος, ο Φωκίων υπήρξε υποδειγματικός ηγέτης. Κατόρθωσε να ανακληθούν πολλοί από την εξορία, πολιτευόταν με ηπιότητα και νομιμότητα, έκρινε τους πάντες αξιοκρατικά και καθησύχαζε τους επαναστατημένους. Το εντυπωσιακότερο ήταν ότι γερνούσε μέσα στη φτώχεια, αποκρούοντας συνεχώς τις χρηματικές προσφορές του διοικητή της μακεδονικής φρουράς και τις ποικίλες παρασκηνιακές παρεμβάσεις του Αντίπατρου. Αντίθετα, ο άλλος αρχηγός της φιλομακεδονικής παράταξης, ο Δημάδης, ήταν ο πιο διεφθαρμένος Αθηναίος. Ο Αντίπατρος είχε δηλώσει ότι από τους δύο φίλους που είχε στην Αθήνα, τον Φωκίωνα και τον Δημάδη, τον μεν ένα δεν μπορούσε να τον πείσει να δεχτεί χρήματα, τον δε άλλο όσα και να του έδινε δεν μπορούσε να τον χορτάσει.
Ο διοικητής της μακεδονικής φρουράς Μένυλλος ήταν μετριοπαθής και φίλος του Φωκίωνα. Τα πράγματα από οικονομικής απόψεως πήγαιναν καλά για τους Αθηναίους. Παρ’ όλα αυτά δυσφορούσαν και ζητούσαν από τον Φωκίωνα να μεσιτεύσει στον Αντίπατρο ώστε να αποσυρθεί η φρουρά. Ο Φωκίων το απέφευγε είτε γιατί δεν πίστευε ότι θα πείσει τον Αντίπατρο είτε γιατί θεωρούσε ότι η φρουρά είχε συνετίσει τους Αθηναίους. Τότε ανάλαβε την αποστολή ο Δημάδης, που πήγε με τον γιο του στη Μακεδονία και παρουσιάστηκε στον Αντίπατρο ζητώντας την ανάκληση της φρουράς και εκτρεπόμενος μάλιστα σε απειλές. Για κακή του τύχη είχαν πέσει στα χέρια του Αντίπατρου επιστολές του Δημάδη προς τον Περδίκκα στις οποίες τον παρακαλούσε να έρθει στη Μακεδονία και την Ελλάδα «που κρεμόταν από παλιά και σάπια κλωστή» εννοώντας τον Αντίπατρο. Ο Δημάδης και ο γιος του θανατώθηκαν χωρίς πολλές διατυπώσεις.
Η διάσταση Πολυπέρχοντα–Κασσάνδρου
Στις αρχές του 319 ο Αντίπατρος πέθανε, έχοντας ορίσει αντιβασιλέα («Επιμελητή των βασιλέων») και στρατηγό αυτοκράτορα τον ηλικιωμένο Πολυπέρχοντα. Ο γιος του Αντίπατρου Κάσσανδρος δεν το ανέχθηκε και άρχισε τις ενέργειες για ν’ ανατρέψει την κατάσταση. Έστειλε αμέσως στην Αθήνα τον πιστό του Νικάνορα που ανέλαβε φρούραρχος της Μουνυχίας πριν γίνει γνωστός ο θάνατος του Αντίπατρου. Όταν τελικά ο θάνατος μαθεύτηκε, πολλοί Αθηναίοι κατηγορούσαν τον Φωκίωνα ότι ήταν εν γνώσει του γεγονότος και το είχε αποσιωπήσει. Ο Φωκίων αδιαφόρησε για τις κατηγορίες και κατόρθωσε ώστε ο Νικάνωρ να φέρεται με ηπιότητα και να ευεργετεί μάλιστα τους Αθηναίους.
Σχηματίστηκαν τώρα δύο συνασπισμοί των Διαδόχων : Ο Πολυπέρχων και η βασιλική οικογένεια, ο Ευμένης και τα υπολείμματα των οπαδών του Περδίκκα αφ’ ενός και οι Αντίγονος, Πτολεμαίος, Κάσσανδρος αφ’ ετέρου.
Για να εξουδετερώσει την επιρροή του Κάσσανδρου στην Ελλάδα, ο Πολυπέρχων εξέδωκε διάταγμα με το οποίο καταργούνταν τα ολιγαρχικά πολιτεύματα που είχε επιβάλει ο Αντίπατρος μετά τον Λαμιακό πόλεμο, και ανακαλούνταν οι εξόριστοι.
Παρά την ολιγαρχική του σύνθεση, ο δήμος απαίτησε από τον Νικάνορα να αποχωρήσει από τη Μουνυχία βάσει του διατάγματος του Πολυπέρχοντα. Αυτός όμως, πιστός στον Κάσσανδρο, όχι μόνο δεν έφυγε αλλά κατέλαβε και τα τείχη και τον λιμένα του Πειραιά. Οι Αθηναίοι κατηγόρησαν τον Φωκίωνα για τη φιλία του και την εμπιστοσύνη προς τον Νικάνορα και στο σημείο αυτό ο Πλούταρχος έχει κάποιους ενδοιασμούς για την ορθότητα της συμπεριφοράς του Φωκίωνα.
Τότε έφτασε στην Αττική ο γιος του Πολυπέρχοντα Αλέξανδρος ακολουθούμενος από τους εξόριστους, τους στερημένους από τα πολιτικά τους δικαιώματα και από ξένους. Συγκροτήθηκε «εκκλησία παμμιγής και άτακτος» που καθήρεσε τον Φωκίωνα. Ο Αλέξανδρος πάντως διαπραγματευόταν φανερά με τον Νικάνορα ερήμην των Αθηναίων και ήταν βέβαιο ότι ήθελε τη Μουνυχία, τα τείχη και τον Πειραιά για λογαριασμό του.
Ο Φωκίων συνάντησε τον Αλέξανδρο και του συνέστησε να μη παραδώσει τα φρούρια στους Αθηναίους πριν καταπολεμηθεί ο Κάσσανδρος. Εν τω μεταξύ ο ρήτορας (συκοφάντης κατά Πλούταρχον) Αγνωνίδης, που είχε ευεργετηθεί από τις περί εξορίστων ρυθμίσεις του Φωκίωνα, κατηγόρησε τον Φωκίωνα και τους λοιπούς ολιγαρχικούς για προδοσία. Κάποιοι ολιγαρχικοί έφυγαν ενώ ο Φωκίων με άλλους κατέφυγαν στον Αλέξανδρο. Αυτός τους δέχτηκε με ευμένεια και τους έστειλε στον πατέρα του, γράφοντάς του ότι δεν έπρεπε να πάθουν τίποτα ο Φωκίων και οι σύντροφοί του γιατί συμφωνούσαν μαζί του και υπόσχονταν συνεργασία. Συγχρόνως η –δημοκρατική πλέον– εκκλησία έστειλε πρεσβεία στον Πολυπέρχοντα κατηγορώντας τον Φωκίωνα και τους ολιγαρχικούς.
Κατηγορούμενοι και κατήγοροι συνάντησαν τον Πολυπέρχοντα στη Φωκίδα. Ο Επιμελητής έδειξε αμέσως τις διαθέσεις του θανατώνοντας ένα από τους συντρόφους του Φωκίωνα και διακόπτοντας πολλές φορές τον ίδιο, μέχρι που τον διέταξε να σιωπήσει. Και, παρά την επιστολή του γιου του, έστειλε δέσμιους τον Φωκίωνα και τους άλλους στην Αθήνα για μια δίκη με προαποφασισμένο, κατά Πλούταρχον, αποτέλεσμα.
Η δίκη
. Στις αρχές Μαΐου του 318 μακεδονικό απόσπασμα έφερε τους κατηγορούμενους στο μεγάλο θέατρο του Διονύσου για να δικαστούν. Οι νέοι δημοκρατικοί άρχοντες γέμισαν την εκκλησία με πλήθος από το οποίο δεν έλειπαν στερημένοι από τα πολιτικά τους δικαιώματα, ξένοι, δούλοι, ακόμα και γυναίκες. Διαβάστηκε επιστολή του βασιλιά Φίλιππου του Αρριδαίου που δήλωνε ότι αυτός μεν διαπίστωσε ότι οι κατηγορούμενοι ήταν προδότες, άφηνε όμως στους Αθηναίους την απόφαση, μια και τώρα ήταν ελεύθεροι και αυτόνομοι. Ύστερα διαβάστηκε το κατηγορητήριο που έλεγε πως ο Φωκίων και οι άλλοι ήταν υπεύθυνοι για την υποδούλωση της πατρίδας και την κατάλυση της δημοκρατίας μετά τον Λαμιακό πόλεμο.
Στη θέα του Φωκίωνα οι εντιμότεροι πολίτες σκέπαζαν τα μάτια τους κι έσκυβαν το κεφάλι δακρυσμένοι. Κάποιος σηκώθηκε και είπε ότι αφού τόσο σπουδαίο ζήτημα δίκαζαν, έπρεπε να αποχωρήσουν οι ξένοι και οι δούλοι. Του απάντησε η κραυγή «κάτω οι ολιγαρχικοί και οι μισόδημοι».
Ύστερα σηκώθηκε να απολογηθεί ο Φωκίων αλλά ο θόρυβος ήταν τόσος που δεν ακουγόταν. Ο θόρυβος σταματούσε όταν σταματούσε να μιλά ο Φωκίων κι άρχιζε πάλι όταν ξανάρχιζε αυτός να μιλά. Μόνο οι σπασμωδικές κινήσεις του κορμιού του γίνονταν αντιληπτές από όλους. Κάποια στιγμή πρόλαβε και είπε : «Θέλετε να μας σκοτώσετε δίκαια ή άδικα ;» «Δίκαια» του απάντησαν. «Και πώς θα γίνει αυτό αν δεν μας ακούσετε ;» Και πάλι άρχισε ο θόρυβος και πλησιάζοντας ο Φωκίων προς το πλήθος μπόρεσε να πει : ''«Ομολογώ ότι μου αξίζει ο θάνατος για την πολιτεία μου. Αυτούς όμως γιατί θα τους σκοτώσετε ενώ δεν σας έβλαψαν σε τίποτα ;» «Γιατί είναι φίλοι σου»''. Ύστερα σηκώθηκαν κάποιοι για να τον υπερασπιστούν αλλά μόλις το πλήθος αντιλαμβανόταν τις προθέσεις τους, τους διέκοπτε με κραυγές.
Τέλος, ήρθε η ώρα της απόφασης. Κάποιοι πρότειναν να βασανιστούν οι κατηγορούμενοι πριν θανατωθούν αλλά ο Αγνωνίδης, που πρωτοστατούσε στη δίκη, έκρινε πως ήταν βάρβαρο το πράγμα και είδε επί πλέον ότι ο αρχηγός του μακεδονικού αποσπάσματος αντέδρασε έντονα ακούγοντας την πρόταση. «Για τον Φωκίωνα δεν προτείνω τέτοιο πράγμα» είπε και ακούστηκε από το πλήθος : ''«Σωστά! Γιατί αν βασανίσουμε τον Φωκίωνα, εσένα τί πρέπει να σε κάνουμε;»'' Τελικά ο Φωκίων και τέσσερις άλλοι καταδικάστηκαν δι’ ανατάσεως των χειρών σε θάνατο. Σε θάνατο επίσης, αλλά ερήμην, καταδικάστηκαν μερικοί που πρόλαβαν να φύγουν.