لیۆنارد_ئۆیلەر
کارەکانی ئۆیلەر
ئۆیلەر بەشدارییەکی گەورەی کرد لە ھێما دانانی کالکۆلۆس و ئەم ھێمایانەشی پێشکەش کرد (e,t،i) یاخود (7/22 v-1) Exponential dhk یان e=2.7 1828 18 28 9045 کە e گرینگترین ژمارەیە لە ماتماتیکدا و وە بنچینەیە بۆ پێناسەکردنی لۆگاریتمی سروشتی ln e=1 بەڵێ ئۆیلەر کارێکی وای کرد کە ھەموومان تاکو ئێستا و دواتریش ئەو ھێمایانە بەکار بھێنین ھەروەھا ئۆیلەر توانی ئەم پەیوەندییە سەرسوڕھێنەرە بدۆزێتەوە e=١-. کە داڕێژرابوو لەسەر ئەم ھاوکێشەیە کە دەناسرێت بە پەیوەندی ئۆیلەر : e=cosq+isinq بەو جۆرەی بیرۆکەی نەخشەی (function) شێوازە تایبەتییەکەی خۆی وەرگرت، کە دەرکەوت لە کتێبەکانی ئۆیلەر ، ھەروەھا پێناسەی نەخشەی کرد بەوەی کە وەسفی بڕێکی گۆڕاو دەکات (داڕێژراوە لەسەر پێناسەی بڕنۆلی) بەم جۆرە :‌ y=x+4x3+3 نەخشەیە ھەروەکو چۆن y=1+x+x2+x3+x4+ نەخشەیە. کتێبەکانی ئۆیلەر ژمارەیەکی زۆر بابەتی تێدایە دەربارەی زنجیرە بێ کۆتاییەکان (المتسلسلات لانھائنە) ھەروەھا کۆی ھەڵگەڕاوە دووجاکانی دۆزییەوە ئەو بابەتە بوو کە زانا لینتز و جێمس بڕنۆلی نەیانتوانی شیکاری بۆ بدۆزنەوە کە دەکاتە :T2=١+١+١. ھەروەھا ئۆیلەر زۆر گرنگی دەدا بە پیرۆزی ژمارەکان ھەروەھا پێچەوانەی بیردۆزی ئیقلیدیسی سەلماند دەربارەی ژمارە تەواوەکان. ئیقلیدیس 300Euclide پ.ز ئەوەی ڕونکردەوە ئەگەر٢-١))ژمارەیەکی تاک بێت ئەوا (٢-١)٢-١ ژمارەیەکی تەواوە (عدد تام) بەڵام ئۆیلەر ئەوەی سەلماند کە ھەموو ژمارە تەواوە جووتەکان لەسەر شێوەی ٢(٢-١) دەبن ئەگەر ٢-١ ژمارەیەکی تاک بێت تاکو نازانرێت کە ئایا ژمارە تەواوەکان یاخود بێگومان لە ژمارە تەواوەکان ھەیە یان نا؟ لە نامەیەکدا بۆ ئۆیلەر کە زانا کۆڵدیاخ (1764-1690) Christion Goldbach نوسیویەتی دەڵێت :ھەموو ژمارەیەکی جووت گەورەترین یان یەکسان بە (e) یەکسانە بە کۆی دوو ژمارەی تاک بۆنمونە : 5+7=١٢ 13+19=٣٢ وە ئەم بیردۆزە تاوەکو ئێستا ھیچ سەلماندنێکی بۆ نەکراوە لە ڕاست و دروستی ! ھەروەھا بابەتێکی دی لەسەر ئەم شێوە کە تا ئێستا شیکاری نەکراوە دەڵێت : ئایا ژمارەیەکی ناکۆتا ھەیە لە جوتێ لە ژمارەی تاکی دوانە (بە دوو ژمارەی تاک دەوترێت دوانە کاتێک جیاوازی نێوانیان ٢ بێت بۆنمونە (١٣،١١) ، (١٩،١٧) ، (٣١،٢٩) . ئۆیلەر بابەتێکی سەرسوڕھێنەری شیکارکرد کە دەناسرێت بە ئەندازەی شوێن (ھندسە الموقع) ئەویش کێشەی حەوت پردەکەی شاری (کۆنیکبەرک) بوو کاتی خۆی لە شاری کۆنیکبەرک حەوت پرد ھەبوو بەھۆی سروشتی ئەو ڕوبارەی کە شارەکەی دەبڕی ، ڕوبارەکە دوو لقی لێ بۆتەوە کە دوو دورگەی دروست کردووە ،پرسیارەکە ئەوەیە ئایا کەسێک دەتوانێت ڕێڕەوێک وەربگرێت بەمەرجێک تەنھا یەکجار بپەڕێتەوە بەسەر ھەر پردێک نەک زیاتر ؟ ئۆیلەر سەلماندی کە ئەمە نابێت (نەشیاوە) و لە ڕاستیدا ئۆیلەر ئەم بابەتەی بەشێوەیەکی گشتی سەلماند و ڕوونی کردەوە بەوەی کە کلیلی شیکارکردنەکە بریتییە ‌لە ژمارەی پارچە وشکانییەکان کە ژمارەیەکی تاک لە پردیان ھەیە ، ئەگەردووپارچە وشکانی ژمارەیەکی تاک لە پردیان ھەبێت ئەوا پەڕینەوە شیاو دەبێت ، بەھەرجۆرێک بێت لە یەکێکیانەوە دەست پێ دەکات و لەویتریانەوە کۆتایی پێ دێت لە شاری کۆنیبەرک ژمارەی پردەکان بۆ ھەر پارچەیەک ژمارەیەکی تاکە لەبەرئەوە پەڕینەوەی ھەموو پردەکان تەنھا یەک جار کارێکی ھەرگیز نابێت ، بەپێی پێوانەی ئۆیلەر ئەگەر پردی (e) مان لابرد ئەوا بۆ ھەردوو پارچە وشکانی (b) و (c) ژمارەیەکی تاک لە پرد دەبێت ئەمەش وادەکات پەڕینەوە شیاو بێت کە دەست پێدەکات لە (b) یاخود (c) و کۆتایی دێت لە (b) یاخود (c) یەک لەدوای یەک. ئەوەی ڕاستییە کارەکانی بیرکارییە یۆنانییە کۆنەکان بەتایبەت کارەکانی ئەبۆلۆنیۆس (سەدەی سێ و دووی پ.ز) ڕێ خۆشکەربوو بۆ دۆزینەوەی ڕێگای پۆتانەکان وە لە ناوەڕاستی سەدەی حەڤدەیەمدا ڕێگای پۆتانەکان چەندین قۆناغی گرنگی بەردەوام و ڕێک و پیێکی بڕی ھەروەکو لە کارەکانی زانا فێرما (١٩٥٥-١٦٠١) و دیکارتی (١٦٦٥-١٥٩٦) دەردەکەوێت ، بەڵام ئەمانە تەنھا بابەتی چەماوە ڕوتەختەکانیان دیراسە دەکرد ، بەڵام ئۆیلەر یەکەم زانا بوو کە ڕێگای پۆتانەکانی بەکارھێنا بۆ دیراسەکردنی ھێڵەکان لە بۆشایی و ڕوتەختەکان ھەروەکو ئاشکرایە کە بابەتی جیاکاری (التفاصنل) بەھۆی پێویستبوونی ڕێگایەکی گشتی بۆ دیاریکردنی ڕووبەر و قەبارە و چەقی قورساییەکان دەرکەوت ، ئەم ڕێگایەش بۆیەکەم جار لە لایەن ئەرخەمێدسەوە (٢١٢-٢٨٧ پ.ز) بەکارھێنراوە بە ڕێک و پێکی لە سەدەی حەڤدەھەمدا پەرەی سەند ھەروەک دەردەکەوێت لە لێکۆڵینەوەکانی زانا بەناوبانگەکانی وەکو : بۆنافینتۆرا کافالێری (١٥٩١-١٦٤٧) ھەروەھا ئیفانجیلستا تۆرشەلی (١٦٠٨-١٦٤٧) کە دوو زانای ئیتاڵی بوون و خوێندکار بوون لەسەر دەرستی گالیلۆ ھەروەھا فێرماو (١٦٠١-١٦٦٥) و باسکاڵ (١٦٢٣-١٦٦٢) و چەندسن زانای تری ئەو سەردەمە و زانا ئیسحاق بارۆق (1630=١٦٧٧) کە زانایەکی ماتماتیکی بەریتانی بوو مامۆستاس نیوتن بوو لە ساڵی ١٦٥٩ ئەو پەیوەندییەی دۆزییەوە کە بابەتی دیاریکردنی ڕوبەر و بابەتی دیاریکردنی لێکەوت پێکەوە دەبەستێتەوە ، ھەروەھا زانا نیوتن (١٦٤٢-١٧٢٧) و لیبنتز (١٦٤٦-١٧١٦) لە حەفتاکانی سەدەی حەڤدەھەمدا بابەتێکیان پێشکەش کرد سەبارەت بە جیاکردنەوەی ئەم پەیوەندییە لەگەڵ بابەتە ئەندازەییە تایبەتییکان ، بەوشێوەیەش پەیوەندی نێوان حیسابکردنی تەواوکاری و حیسابکردنی جیاکاریان دۆزییەوە و ھەریەک لە نیوتن و لینتز و قەتابییەکانیان ئەم پەیوەندییەیان بەکارھێنا بۆ پەرەسەندنی شێوازەکانی جیاکردن ئەو ڕێگایانە کە بۆ جیاکردن ئەنجام دراوە و گەیشتۆتە ئێرە بەھۆی فەزڵی کارەکانی ئۆیلەرەوە بووە و پاشان ھەریەکە لە زانا م.ئوسترو جرادسکی(١٨٠١-١٨٦١) و ب.تشیبیشیف (١٨٢١-١٨٩٤) کە دوو زانای بەناوبانگی ڕوسی بوون ھەستان بە پێشخستنی ئەو ڕێگایە. ھەروەھا ئۆیلەر زانایەک بوو بەجۆرێک کە ھیچ زانایەکی ماتماتیکی دی بەوێنەی نەبوو لە تێگەیشتن لە ھونەری گۆڕین و لەبریدانانی حیسابکردنی جیاکاری و تەواوکاری ، ھەروەھا ئۆیلەر ھەوڵێکی زۆری دا بۆ دۆزینەوەی ڕێگایەکی تر (بێجگە لە سێ ڕێگاکەی نیوتن) بۆ جێبەجێکردنی تەواوکاری جیاکاری دوو ڕادە (تکامل وتفاچل الحدنن) بەڵام لە ئەنجامدا گەیشتە ئەوەی لەوسێ ڕێگایەی نیوتن ھیچ ڕێگایەکی دی نییە ، بەوجۆرە زانا تشیبیشیف لە ساڵێ ١٨٥٣ ڕاستس ئەنجامەکەی ئۆیلەری سەلماند و لە ساڵی ١٩٢٦ ھەریەک لە زانا مۆردوخای بۆلتۆفسکی بیردۆزێکیان سەلماند کە لەم ئەنجامە دەچوو، زانا دانیال بڕنۆلی (١٧٠٠-١٧٨٢) لە ساڵی ١٧٥٣ بیرۆکەی زنجیرە سێگۆشەییەکانی خستە ناو ماتماتیک کاتێک دەستیکرد بە لێکۆڵینەوە لەسەر لەرینەوەی ژێکان و بەھۆی بابەتی توانای کردنەوەی نەخشەیەک لەسەر شێوەی زنجیرە سێگۆشەییەکان چەندین گفتوگۆی توندوتیژ سەریھەڵدا لەنێوان زانا بەناوبانگەکانی ماتماتیک ، لەوکاتەدا ھەروەکو ئۆیلەر و دالامبێر (١٧١٧-١٧٨٣) و لاکرانج (١٧٣٦-١٨١٣) زانا باسکاڵ دەستیکرد بە دیراسەکردنی تەواوی تایبەتمەندییە ئەندازەییەکانی سایکلۆید و ئەنجامەکانی بڵاوکردەوە لە ساڵی ١٦٥٩. لە چل ساڵی دواییدا بەھۆی کارەکانی زاننا بەناوبانگەکانی وەکو ھوینگز و نیوتن و لیبنتز و براکانی بڕنۆڵی چەندین کارپێکردنی میکانزمی سایکلۆد دیراسە کرا و بابەتی براخیستۆخرۆنا لەسەر شێوە گشتییەکەی یەکێک بوو لە سەرچاوە بنچینەییەکانی لقێکی تازە لە ماتماتیک کە ئەویش حیسابکردنی گۆڕان بوو کە لەسەدەی ھەژدەھەمدا ئۆیلەر و لاکرانج دایانھێنا. ھەروەکو ئاشکرایە ھەرە زانا گەورەکانی سەدەی ھەژدەھەم بەشداریان کرد لە پەرەپێدانی بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییە ئاساییەکان و بەشداریکردنی ئۆیلەر بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییەکانی دەوڵەمەند کرد بە زنجیرەیەک لە دۆزینەوە گرنگەکانی بە پلەی یەکەم ، کە ماددەکانی ئەو ھاوکێشەیەی دەردەھێنا و لە زۆربەی زۆری پرسیارە میکانیکیەکان لەوانە میکانیکی ھەسارە ئاسمانییەکان و زانستی موشەکەکان (ballistics) و ئەدازە و شیکارکردنی بیرکاری ئۆیلەر لە یەکێک لە یاداشتەکانیدا کە ساڵی ١٧٤٣ بڵاوکرایەوە ڕێگایەکی کلاسیکی پێشکەش کرد بۆ شیکارکردنی ھاوکێشەیەکی بەھێڵی چونیەک لە ھەر پلەیەک بێت کە ھاوکۆلکەکانی جێگیربێت بەھۆی لەجیاتیدانانy=eKX   لەحاڵەتی ڕەگی ڕاستەقینەی دووبارە بوو بە لەجیاتیدانان eukx لەبریدانانی ھاوشێوەی euax لەحاڵەتی جووتی ڕەگی ئاوێتە a+-Bi بەھۆی ئەم پرسیارەوە گەیشتە ئەم ھاوکێشەیەی شیکار کرد بەشێوەی نەخشە سێگۆشەیی زانراوەکان. وە لە ساڵی ١٧٤٠ ئۆیلەر لەکاتی لێکۆڵینەوەکانی لەسەر یەکێک لەم ھاوکێشانە شیکارکردنی تایبەتی بەدەست ھێنا لەسەر دوو شێوەی جیاواز ex1+ex1،2COSX و تەکیدی لەسەر ھاوتاییان کردەوە بەھۆی کردنەوەکان لە زنجیرەکان ئەمەش گەیاندییە دۆزینەوەی ئە پەیوەندییە بەناوبانگەی کە دەناسرێت و پێیدەوترێت (پەیوەندی ئۆیلەر) و ئۆیلەر ھەر لە و یاداشتنامەی دا ئاماژەی بەوە کرد کە شیکارکردنی ھاوکێشەیەک لە پلەی (N) پێکدێت لە پێکھاتەی بەھێڵ لە ‌(N) لە شیکارکردنە تایبەتەکەی ، ھەروەھا زاراوە یشیکاری تایبەت و شیکاری گشتی (ھاوکێشەی تەواوکاری تەواو) ھێنایە ناو ماتماتیکەوە ، دوای ١٠ ساڵ ئۆیلەر ڕێگای شیکارکردنی ھاوکێشەی بەھێڵی ناچوونیەکی کۆلکە جێگیرەکانی بڵاوکردەوە بەھۆی کەمکردنەوەی پلەکەی بەشێوەیەکی یەک لەدوای یەک ،بۆنمونە : بە لێکدانی ئەم ھاوکێشەیە : AY+BDY+CDY=X لە eMX ئۆیلەر وایدانا کە شیکارکردنی ھاوکێشەی بەرھەمھاتوو لەسەر ئەم شێوەیە دەبێت : Emx(A1y+B1dy) کاتێک A1,B1 دوو ھاوکۆلکەی دیاری نەکراون بە جیاکاریکردنی ھەردوولای ھاوکێشەی کۆتایی و بە بەراوردکردنی ئەنجامەکە ڕادە بە ڕادە لەگەڵ ھاوکێشەکەی کە دراوە ئۆیلەر توانی A1,A2,m دیاری بکات. ھەروەھا ڕێگای جیاوازی جێگیرەکان لە لایەن ئۆیلەر زانرابوو بەکاری ھێنا لە ھاوکێشەی پلە دوو کە لە ساڵی ١٧٤٠ بڵاوی کردەوە لە لێکۆڵینەوەکەی دەربارەی ھەڵکشان و داکشان پاشان بەکاریھێنا لە ھەندێ لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی خو‌لگە ھەسارەییەکان و بڕنۆلی بەشێوەیەکی ڕاستەوخۆی ئەم ڕێگایەی دۆزییەوە لە ساڵی ١٧٤٠ وە ھەریەکە لە ئۆیلەر و کیلۆر سەرکەوتنێکی بەرچاویان بەدەست ھێنا لە لێکۆڵینەوە مەرجەکانی توانای شێوازەکانی جیاکاری بۆ تەواوکاری ،بیردۆزی سەربەخۆی ئەنجامی جیاکاریکرد بوو لە پلەکەی کە ساڵی ١٧٢١ بڕنۆلی دۆزییەوە و پاشان ئۆیلەر سەلماندی ، ھەروەھا لێکۆڵینەوەکان لە بیردۆزی ھاوکۆلکەی تەواوکاری پیشەیەک بوو بۆ ئەم مەرجانە. ئۆیلەر و کیلرۆ لە ساڵی ١٧٤٠ مەرجی توانای شێوازی (Mdx+Ndx) یان بۆ تەواوکاری ڕونکردەوە ، لە ساڵی دوایی واتە ١٧٤١ کیلرۆ مەرجی توانای شێوازی (Mdx+Ndx+pdz)ی و ڕونکردنەوە بۆ تەواوکاری. ڕێگای ھاوکۆلکەی تەواوکاری پەرەسەندنێکی فراوانتری بەخۆیەوە بینی ، بەتایبەتی لە لێکۆڵینەوەکانی ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٦٨ بۆ ١٧٦٩ کە تیایدا چەندین جۆر لە ھاوکێشەی جیاکاری پلەیەک کە ھاوکۆلکەکەی لەسەر شێوەی سەرەوە بڵاوکردەوە ، وە لەساڵی دواییدا ئۆیلەر ڕێگای ھاوکۆلکەکەی تەواوکاری گشتگیر کرد بەسەر ھاوکێشە پلە بەرزەکاندا بەھۆی مەرجی حیسابکردنی گۆڕان کە بە لێکۆڵینەوەی نەخشەی F(X,y،y,….yn) داتاشراوێکی تەواو دەردەکەوێت بۆ نەخشەیەکی تر کە پێک دێت لە داتاشراوەکان ھەتا پلەی (n-1) و ئەندامێکی دی لە ئەکادیمیای زانستەکان لە بتروسبورگ لە ساڵی ١٧٧١ ئەم مەرجەی ھەڵێنجا کە ئەویش زانا لیکسل (١٧٤٠-١٧٨٤)بوو بەبێ پەنابردنە بەر حیسابکردنی گۆڕان و دۆزینەوەی لاکرانج لە ساڵی ١٧٦٦ ھاوکێشەی ئاژەڵ بۆ ھاوکێشەی بەھێڵی چونیەک کە باسکرا ، دۆزینەوەی ئاوەڵبونی چونیەک کە باسکرا ، دۆزینەوەی ئاوەڵبوونی خۆیی بۆ دوو ھاوکێشەکە یەکێکە لە گرنگترین بەجێھێنانەکانی بیردۆزی کۆلکەی تەواوکاری ، ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٧٨ ئەم ڕاستییەی بەرجەستە کرد و بەشێوەیەکی وردتر دایڕشت. لێرەدا ناتوانین ھەموو بیردۆزەکانی ئۆیلەر بژمێرین لە بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییە ئاساییەکان ، ھەروەھا ئۆیلەر لێکۆڵینەوەیەکی تری ئەنجام دا دەربارەی تایبەتمەندی ھاوکێشە گشتییەکەی ریکاتی و سەرکەوتنی بەدەست ھێنا پاشان لەئەنجامی لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی پەردەیەکی پانی تەندکراو ئۆیلەر گەیشتە دۆزینەوەی ئەم ھاوکێشەیە : (a2-B2)u+1 du+d2u=٠ کە لەدواییدا ناسرا بە ھاوکێشەی بیسیل (١٧٨٤-١٨٤٦) و ھەر ئەم ھاھوکێشەیە زانا بڕنۆلی دیراسەی لەسەر کرد. ئۆیلەر ئەم ھاوکێشەیەی شیکار کرد لەسەر شێوەی زنجیرە نا کۆتا تەنھا جیاوازی ھەبوو بە ھاوکۆلکەی نەگۆڕ لە نەخشەی لولەکی TB(ar) ئەمەش لە ئەنجامی لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی زنجیرە قورسەکان کە بڵاوکرایەوە لە ساڵێ ١٧٣٨ و لە ساڵی ١٧٦٨ ئۆیلەر تەواوکاری جەبری ئەم ھاوکێشەیەی دۆزییەوە :