cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
দক্ষিণ কোরিয়ার জনপরিসংখ্যান
বিশ্লেষকরা দক্ষিণ কোরিয়ার জনসংখ্যা হ্রাসের জন্য নিম্ন জন্মহার ও দেশটির উচ্চ অর্থনৈতিক বৈষম্যের পাশাপাশি জীবনযাত্রার উচ্চ ব্যয়, ওইসিডি সদস্যদেশের হিসেবে নিম্ন মজুরি, কাজের সুযোগের অভাব এবং ক্রমবর্ধমান আবাসন-ব্যয়কে দায়ী করেন। ফলস্বরূপ, অনেক দক্ষিণ কোরিয়ান তাদের দেশকে "হেল জোসন বলে অভিহিত করেছে এবং গত দুই প্রজন্ম নিজেদেরকে "সামফো" এবং "এন-ফো" বলে মনে করেছে। এছাড়া ওইসিডি ও অন্যান্য উন্নত বিশ্বের তুলনায় দক্ষিণ কোরিয়ায় আত্মহত্যার হার সবচেয়ে বেশি।
পটভূমি
বিগত বিভিন্ন শতাব্দীতে বিভিন্ন এশীয় মানুষ কোরিয়ান উপদ্বীপে স্থানান্তরিত হয়েছিল, তবে খুব কম মানুষই এখানে স্থায়ী হয়েছে। দক্ষিণ কোরিয়া পূর্বে একটি অত্যন্ত সমজাতীয় জাতি হওয়া সত্ত্বেও, সাম্প্রতিক দশকগুলিতে বিপুল সংখ্যক বিদেশী জাতিসত্তার আবাসস্থল হয়ে উঠেছে, যেখানে উত্তর কোরিয়ায় এমনটা ঘটেনি। উত্তর কোরিয়া ও দক্ষিণ কোরিয়া উভয়ই জাতীয়তা বা নাগরিকত্বের দিক থেকে সমতুল্য এবং তারা একক, সমজাতীয় জাতিগোষ্ঠী ও রাজনৈতিক "রেইচ" (race) ধারণার অন্তর্ভুক্ত। জাতীয়তাবাদীরা কোরিয়ার মোট জনসংখ্যাকে ৮০ মিলিয়ন বলে উল্লেখ করে, যার মধ্যে উত্তর কোরিয়ার জনসংখ্যাও অন্তর্ভুক্ত।
অভিন্ন ভাষা এবং বিশেষ করে অভিন্ন জাতিসত্তাকে দক্ষিণ কোরিয়ানরা পরিচয়ের ক্ষেত্রে নাগরিকত্বের চেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান হিসেবে দেখে।
জনসংখ্যার প্রবণতা
বয়স ও লিঙ্গ অনুসারে দক্ষিণ কোরিয়ার জনসংখ্যা (জনপরিসংখ্যান পিরামিড)
ওয়ার্ল্ডোমিটারের জনসংখ্যার পূর্বাভাসের পরিসংখ্যান অনুসারে, দক্ষিণ কোরিয়ায় ২০২০ সালের মধ্যে +০.৩৮% বার্ষিক পরিবর্তন, ২০২৫ সালের মধ্যে +০.২৮% বার্ষিক পরিবর্তন, ২০৩০ সালের মধ্যে +০.২১% বার্ষিক পরিবর্তন এবং ২০৩৫ সালের মধ্যে +০.০৭% বার্ষিক পরিবর্তন হওয়ার কথা। একই পরিসংখ্যান অনুসারে, ২০৪০ থেকে ২০৫০ সাল পর্যন্ত বার্ষিক পরিবর্তনের শতাংশে একটি স্থির ঋণাত্মক পরিবর্তন আসার কথা।
১৯৪৮ সালে প্রজাতন্ত্র প্রতিষ্ঠার পর থেকে দক্ষিণ কোরিয়ার জনসংখ্যায় এক শক্তিশালী বৃদ্ধি দেখা যায় কিন্তু এরপর এর অর্থনৈতিক প্রবৃদ্ধির প্রভাবে এটি নাটকীয়ভাবে ধীর হয়ে যায়। ১৯৪৯ সালে সংঘটিত প্রথম সরকারি জনশুমারিতে দক্ষিণ কোরিয়ার মোট জনসংখ্যা গণনা করা হয় ২,০১,৮৮,৬৪১ জন। ১৯৮৫ সালের জনশুমারিতে এ সংখ্যা ছিল মোট ৪,০৪,৬৬,৫৭৭।
১৯৪৯ থেকে ১৯৫৫ সালে জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার কম ছিলো, গড়ে প্রায় ১.১% এবং মোট জনসংখ্যা ২১.৫ মিলিয়ন। ১৯৫৫ থেকে ১৯৬৬ সালে জনসংখ্যা বেড়ে দাঁড়ায় ২৯.২ মিলিয়ন। এসময় বার্ষিক জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ছিলো ২.৮% যা পরবর্তী ১৯৬৬ থেকে ১৯৮৫ সালে কমে দাঁড়ায় ১.৭%। এরপর থেকে অন্যান্য শিল্পোন্নত দেশের ন্যায় এবং স্বাস্থ্য ও সামাজিক বিষয়ক মন্ত্রনালয়ের নির্ধারিত লক্ষ্যমাত্রার কারণে বার্ষিক প্রাক্কলিত জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ছিলো ১%-এর কম। ১৯৮৯ সালের ১লা জানুয়ারি নাগাদ দক্ষিণ কোরিয়ার প্রাক্কলিত জনসংখ্যা ছিলো ৪২.২ মিলিয়ন।
১৫ বছরের নিচে মোট জনসংখ্যার অনুপাত বিভিন্ন সময়ে বেড়েছে এবং কমেছে। ১৯৫৫ সালে জনসংখ্যার ৪১.২% ছিলো ১৫ বছরের নিচে, যা ১৯৬৬ সালে বেড়ে দাঁড়ায় ৪৩.৫%। ১৯৭৫ সালে এটি কমে দাঁড়ায় ৩৮.৩%, ১৯৮০ সালে ৩৪.২% এবং ১৯৮৫ সালে দাঁড়ায় শতকরা ২৯.৯ ভাগে। অতীতে জনসংখ্যার বেশিরভাগ অংশ শিশু হওয়ায় তা দেশের অর্থনীতিতে চাপ তৈরি করেছিল, বিশেষত অর্থের এক বিশাল অংশ শিক্ষাখাতে বরাদ্দ করার কারণে। জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার কমে যাওয়া এবং বয়সের মধ্যক বেড়ে যাওয়ার (১৯৬০ থেকে ১৯৮০ সালে ১৮.৭ থেকে ২১.৮) ফলে জনসংখ্যার বয়সের গঠন তৃতীয় বিশ্বের পিরামিডাকারের পরিবর্তে উন্নত বিশ্বের ন্যায় কলামাকার ধারণ করে।
১৯৬৬ সালের পরে জনসংখ্যা বৃদ্ধি হার ও ১৫ বছরের নিচে মোট জনসংখ্যার হ্রাস, আনুষ্ঠানিক ও অনানুষ্ঠানিক জন্মনিয়ন্ত্রণ পদ্ধতির সাফল্যকেই নির্দেশ করে। রাষ্ট্রপতি রি সিংমানের সরকার (১৯৪৮-৬০) এসব ব্যপারে রক্ষনশীল ছিলো। যদিও ১৯৫৭ সালে খ্রিস্টান গির্জাগুলো পরিবার পরিকল্পনা কর্মসূচি শুরু করেছিলো। তবে ১৯৬২ সালে পার্ক চং হিয়ের সরকার এসে প্রথমবার সতর্কবার্তা শোনায় যে দ্রুত বর্ধনশীল জনসংখ্যা অর্থনৈতিক সমৃদ্ধিকে বাধাগ্রস্ত করছে এবং তারা সারাদেশে পরিবার পরিকল্পনা কর্মসূচি শুরু করে। জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার হ্রাসের অন্যান্য কারণের মধ্যে রয়েছে নগরায়ন, নারী ও পুরুষ উভয়ের বেশি বয়সে বিবাহ, শিক্ষার উচ্চহার, শ্রমক্ষেত্রে বিশাল সংখ্যক নারীর অংশগ্রহণ এবং উন্নত স্বাস্থ্যমান।
পরিবার পরিকল্পনা কর্মসূচিতে অন্তর্ভুক্ত সরকারি ও বেসরকারি সংস্থার মধ্যে ছিলো স্বাস্থ্য ও সামাজিক বিষয়ক মন্ত্রনালয়, গৃহ বিষয়ক মন্ত্রনালয়, দ্য প্লান্ড প্যারেন্টহুড ফেডারেশন অব কোরিয়া ও দ্য কোরিয়া ইন্সটিটিউট অব ফেমিলি প্লানিং। ১৯৮০-র দশকের শেষ ভাগে তাদের কর্মসূচির মধ্যে ছিলো বিনামূল্যে জন্মনিয়ন্ত্রণ সরঞ্জাম ও তথ্য সরবরাহ, পরিবার পরিকল্পনা পদ্ধতি বিষয়ক পাঠদান এবং বন্ধ্যাত্বকরণে সম্মত বাবা-মায়ের জন্য বিশেষ ভাতা ও সুবিধার ব্যবস্থা (যেমন কম মুনাফায় গৃহঋণ)। ১৯৮৪ সালে ৫,০২,০০০ জন দক্ষিণ কোরীয় নাগরিক বন্ধ্যাত্বকরণ করেন, পূর্বের বছরে যা ছিলো ৪,২৬,০০০ জন।
১৯৭৩ সালের মা ও শিশু স্বাস্থ্য আইন গর্ভপাতকে বৈধ করে। ১৯৮৩ সালে সরকার ৩ বা ততোধিক সন্তানের অধিকারী গর্ভবতী মহিলাদের জন্য স্বাস্থ্যবীমা স্থগিত করা শুরু করে। এছাড়াও সরকার ২ বা ততোধিক সন্তানের অধিকারী বাবা-মায়ের কর মওকুফ প্রত্যাহার করে।
১৯৬০ সালের মোট উর্বরতার হার (একজন মহিলা সারাজীবনে গড়ে যতজন সন্তানের জন্ম দেন) ৬.১ থেকে কমে ১৯৭০ সালে ৪.২, ১৯৮০ সালে ২.৮ এবং ১৯৮৪ সালে ২.৪-এ পৌঁছায়। ১৯৭৮ সালের জীবিত শিশুজন্মের সংখ্যা ৭,১১,৮১০ থেকে ১৯৮২ সালে গিয়ে দাঁড়ায় ৯,১৭,৮৬০-এ। এই উন্নয়নের কারণে পরিবার পরিকল্পনা বিশেষজ্ঞগণ এক নতুন "বেবি বুম" ঘটার আশঙ্কা করেন। তবে ১৯৮৬ সাল নাগাদ জীবিত শিশুজন্মের হার কমে দাঁড়ায় ৮,০৬,০৪১।
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ক্রমেই হ্রাস পেতে থাকে এবং ২০০৫ থেকে ২০১০ সালে দক্ষিণ কোরিয়ার উর্বরতার হার ছিলো ১.২১, জাতিসংঘের মতে যা পৃথিবীর অন্যতম ক্ষুদ্রতম। প্রতিস্থাপন হার ২.১-এর তুলনায় উর্বরতার হার অনেক নিচে থাকায় তা জাতীয় সতর্কবার্তার জন্ম দেয়। কেউ কেউ এক বার্ধক্যে উপনীত সমাজের আশঙ্কা করেন যার বৃদ্ধি ও বিকাশ বাধাগ্রস্ত হয়ে পড়বে এবং এটি এর বিশাল সংখ্যক বয়স্ক নাগরিকদের ভরণপোষণে অক্ষম হবে। সম্প্রতি কোরীয় সরকার তাদের নির্বাচনী প্রচারণায় এ বিষয়টি অন্তর্ভুক্ত করেছে এবং আশ্বাস দিয়েছে যে তারা নারীদের সন্তান ধারণে উৎসাহ প্রদানের জন্য সামাজিক সংস্কার কর্মসূচি গ্রহণ করবে।
বিংশ শতাব্দীর শেষে দেশটির জনসংখ্যা বেড়ে দাঁড়ায় ৪৬ মিলিয়নে এবং জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার হয় ০.৯% থেকে ১.২%-এর মধ্যে। ধারণা করা হচ্ছে ২০২৩ সাল নাগাদ প্রায় ৫২.৬ মিলিয়নে গিয়ে জনসংখ্যা স্থিতিশীল হবে। এশিয়াউইক ম্যাগাজিনের কথায় "স্থিতিশীল ট্যালি ফিলিপিনের ১৯৮৩ সালের জনসংখ্যার কাছাকাছি হবে, কিন্তু তাদের [ফিলিপিনোদের] স্থানের এক তৃতীয়াংশেরও কম জায়গায় গাদাগাদি অবস্থায়"।
২০১৯ সাল নাগাদ, দক্ষিণ কোরিয়ার জন্মহার বেশ ক্ষুদ্র সংখ্যায় পৌঁছেছে। ২০১৯-এর ফেব্রুয়ারিতে দেশটির জন্মহার ০.৯৮, যা এর প্রতিস্থাপন হার ২.১ জন্মের বেশ নিচে। দক্ষিণ কোরিয়া এখন সর্বাপেক্ষা দ্রুত বার্ধক্যে অগ্রসরমান উন্নত দেশ। কোরীয় সরকার (ও তাদের জন্মহার বিষয়ে ব্যর্থ প্রচেষ্টা) এবং তরুণদের জন্য খারাপ অর্থনৈতিক পরিবেশকে এর মূল কারণ হিসেবে দায়ী করা হয়।
জনবসতির প্যাটার্ন
দক্ষিণ কোরিয়া পৃথিবীর অন্যতম ঘনবসতিপূর্ণ দেশ। ১৯৮৯ সালে জনসংখ্যার ঘনত্ব ছিলো প্রতি বর্গ কিলোমিটারে প্রায় ৪২৫ জন, যা '৮০-র দশকে যুক্তরাষ্ট্রের গড় জনসংখ্যার ঘনত্বের তুলনায় প্রায় ১৬ গুণ। একই সময়ে চীনে এ সংখ্যা ছিলো ১১৪, ফেডারেল রিপাবলিক অব জার্মানিতে (পশ্চিম জার্মানি) ছিলো ২৪৬ এবং জাপানে ছিল ৩২৩। যেহেতু কোরিয়ার ৭০ ভাগ ভূমি পাহাড়ে ঢাকা এবং মূল জনসংখ্যা নিচু ভূমিতে বসবাস করে, তাই সাধারণ জনসংখ্যার ঘনত্ব এ গড় মানের চেয়ে অনেক বেশি ছিলো। ১৯৭৫ সাল নাগাদ, এটা ধারণা করা হয় যে কোরিয়ার ৫০,০০০-এর বেশি জনসংখ্যাবিশিষ্ট ৩৫ টি শহরের জনসংখ্যার ঘনত্ব প্রতি বর্গ কিলোমিটারে ছিলো ৩,৭০০। নগরীতে ক্রমাগত মানুষের স্থানান্তরের ফলে ১৯৮০-র দশকের শেষে এ সংখ্যা আরও বেশি ছিলো।
১৯৮৮ সালে সিউলের জনসংখ্যার ঘনত্ব ছিলো ১৭,০৩০, যেখানে ১৯৮০ সালে এ সংখ্যা দাঁড়ায় ১৩,৮১৬ তে। দ্বিতীয় বৃহত্তম শহর বুসানে ১৯৮৮ সালে জনসংখ্যার ঘনত্ব হয় ৮,৫০৪, যা ১৯৮০ সালে ছিলো ৭,২৭২। রাজধানীকে ঘিরে রাখা কিয়ংগি প্রদেশ ছিলো দেশের সর্বাপেক্ষা ঘনবসতিপূর্ণ প্রদেশ, যেখানে দেশের চতুর্থ বৃহত্তম শহর ইনছন অবস্থিত। অন্যদিকে উত্তর-পূর্ব দিকের কাংওন প্রদেশ ছিলো সর্বাপেক্ষা কম জনসংখ্যার ঘনত্বের প্রদেশ।
দক্ষিণ কোরিয়ার গ্রামীণ এলাকা নদী অববাহিকায় ইতস্তত বিক্ষিপ্তভাবে গড়ে উঠেছে, যেখানে একসাথে অল্প কয়েকটি থেকে শুরু করে কয়েকশত ঘর পর্যন্ত রয়েছে। গ্রামগুলো দক্ষিণদিকে অবস্থিত এবং পাশেই রয়েছে পর্বতমালা, যা শীতকালীন বায়ুপ্রবাহ থেকে তাদের সুরক্ষা দেয়।
১৯৬০ সাল থেকে নগরায়নের গতি বৃদ্ধির কারণে গ্রামীণ জনসংখ্যায় দৃশ্যমান হ্রাস ঘটে এবং ঐতিহ্যবাহী গ্রামীণ জনজীবন ধীরে ধীরে বিলীন হয়ে যাচ্ছে।
উর্বরতা
বিগত ২০ বছরে দক্ষিণ কোরিয়ায় বিশ্বের তুলনামূলক সর্বনিম্ন উর্বরতা ও বিবাহের হার দেখা যায়। ২০২০ সাল নাগাদ, এটি বিশ্বের সর্বনিম্ন উর্বরতার হারযুক্ত দেশ, যেখানে এ মান ০.৮৪। সিউলে সম্ভবত বিশ্বের সর্বনিম্ন উর্বরতার হার রয়েছে, মাত্র ০.৬৩।
জনসংখ্যার বার্ধক্য
দক্ষিণ কোরিয়ার জনসংখ্যার বার্ধক্য এক সমস্যা হয়ে দাঁড়িয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, বার্ধক্যগ্রস্থতার এ হার মানব ইতিহাসে এই প্রথমবার দেখা যাচ্ছে। ১৮ বছরে বার্ধক্যের হার ৭% থেকে ১৪% (সর্বাপেক্ষা দ্রুত) হওয়ার এ ঘটনা জাপানকেও পিছনে ফেলে দিয়েছে। পরিসংখ্যানেও এ ব্যপারটি দৃশ্যমান, যেখানে ৬৫ বা তার বেশি বয়সী জনসংখ্যার শতকরা হার ১৯৫৫ সালের ৩.৩% থেকে বেড়ে ২০০৯ সালে ১০.৭%-এ দাঁড়ায়। জনসংখ্যা পিরামিডের আকৃতি ১৯৯০-এর দশকের পিরামিড আকৃতি (অধিক তরুণ জনসংখ্যা ও অল্প বয়স্ক জনসংখ্যা) থেকে ২০১০ সালে রম্বস আকৃতিতে (অল্প তরুণ জনসংখ্যা ও অধিক মধ্যবয়সী জনসংখ্যা) পৌঁছেছে।
জনসংখ্যার বার্ধক্যের সাথে বেশকিছু বিষয় জড়িত। দ্রুত বার্ধক্যগ্রস্থ জনসংখ্যা শ্রমশক্তিতে নেতিবাচক প্রভাব ফেলে। বিশেষত, বিশেষজ্ঞদের ধারণা এর ফলে শ্রমজীবীদের পরিমাণ হ্রাস পেতে পারে। ৫০ বা ৬০-এর দশকে উপনীত জনসংখ্যার এক বিরাট অংশ স্বেচ্ছায় অবসরে চলে যায় বা যেতে বাধ্য হয়। ফলে অর্থনৈতিকভাবে সক্রিয় জনসংখ্যা হ্রাস পেতে থাকে। এছাড়া দ্রুত বার্ধক্যের ফলে শ্রমশক্তিতে তরুণ ও প্রবীণ জনবলের অনুপাতে ভারসাম্য নষ্ট হয়। যার ফলে শ্রমক্ষেত্রে প্রাণবন্ততা ও উদ্ভাবনী শক্তির অভাব দেখা দিতে পারে। উপাত্তে দেখা যায়, সমাজে তরুণদের সংখ্যা কম হলেও ১৫-৬৪ বছর বয়সী অর্থনৈতিকভাবে সক্রিয় জনসংখ্যা ৫৫.৫% থেকে ২০% বেড়ে ৭২.৫%-এ দাঁড়িয়েছে। ফলে দেখা যাচ্ছে শ্রমশক্তির বেশিরভাগ অংশ মধ্যবয়সী কর্মীদের দ্বারা গঠিত।
একটি সম্ভাব্য পরিণতি এমন হতে পারে যে দক্ষিণ কোরিয়া বিনিয়োগের ক্ষেত্রে আকর্ষণ হারাবে। বিনিয়োগকারীদের মধ্যে ভিয়েতনামের মতো দেশে স্থানান্তরিত হওয়ার প্রবণতা বাড়তে পারে, যেখানে সস্তায় প্রচুর তরুণ শ্রমিক পাওয়া যায়। অথবা এমন সম্ভাবনা রয়েছে যে মধ্যবয়সী এসব শ্রমিকদের প্রশিক্ষণের ক্ষেত্রে তারা উচ্চমূল্য ধার্য করতে পারে। উপরন্তু,স্বাস্থ্যসেবার ব্যয়ও উচ্চতর হতে পারে এবং বয়স্কদের জন্য একটি ভাল স্বাস্থ্যসেবা ব্যবস্থা বজায় রাখার জন্য সরকারকে আরও অর্থ বরাদ্দ করতে হতে পারে।
খুব কম জন্মহারের কারণে, ১৯৬০-এর দশকে জন্মগ্রহণকারী এক বিশাল প্রজন্ম মারা যেতে শুরু করলে দক্ষিণ কোরিয়া রাশিয়ান ক্রস প্যাটার্নে প্রবেশ করবে বলে পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে। ফলে বেশ কয়েক দশক ধরে জনসংখ্যা হ্রাস পেতে পারে।
সঙ্গীত নাটক অকাদেমি
সঙ্গীত নাটক একাডেমি বা রাষ্ট্রীয় সঙ্গীত, নৃত্য ও নাটক একাডেমি ভারত সরকারের দ্বারা প্রতিষ্ঠিত ভারতীয় সঙ্গীত, নাটক ও নৃত্যের বিকাশ ও প্রচারের উদ্দেশ্যে স্থাপন করা একটি সরকারী সংস্থা। এর মুখ্য কার্যালয় দিল্লীর ফিরোজশাহ রাস্তার রবীন্দ্র ভবনে অবস্থিত।
ইতিহাস
১৯৫২ সালের ৩১ মে তারিখে ভারতের শিক্ষা মন্ত্রণালয়ের সহযোগিতায় সঙ্গীত নাটক একাডেমি প্রতিষ্ঠা করা হয়। এর প্রথম নির্দেশক ছিলেন ডঃ পি. ভি. রাজমান্নার। ১৯৫৩ সালের ২৮ জানুয়ারী তারিখে ভারতের রাষ্ট্রপতি ডঃ রাজেন্দ্র প্রসাদ সংসদ ভবনে আয়োজিত এক বিশেষ কার্যসূচীর মাধ্যমে আনুষ্ঠানিক ভাবে এর উদ্বোধন করেন। একাডেমিটি সঙ্গীত নাটক একাডেমি ফেলোশিপ ও পুরস্কার প্রদান করে।
কার্য
একাডেমিটি দেশের প্রদর্শনী কলা অর্থাৎ সঙ্গীত, নৃত্য ও নাটকের শীর্ষ প্রতিষ্ঠান হিসাবে কার্য করে। ভারতীয় প্রদর্শনী কলার বিকাশ ও প্রচার এর অন্যতম প্রধান লক্ষ্য। ভারতীয় সংস্কৃতি ও ঐতিহ্য স্বরূপ প্রদর্শনী কলার মাধ্যমে প্রচার করা হয়। এটি দেশে বিদেশে নানা অনুষ্ঠান ও কার্যসূচী আয়োজিত করে। এছাড়া সরকারের সাথে মিলে প্রদর্শনী কলার উন্নতির জন্য কাজ করে।
সঙ্গীত নাটক একাডেমির প্রতিষ্ঠা করা কয়েকটি প্রতিষ্ঠান হল,
এছাড়া একাডেমিটি
মঞ্জুর হোসেন বুলবুল
মঞ্জুর হোসেন বুলবুল একজন বাংলাদেশি রাজনীতিবিদ ও একাদশ জাতীয় সংসদ সদস্য। মঞ্জুর হোসেন বুলবুল ফরিদপুর-১ আসন থেকে ২০১৮ সালে একাদশ জাতীয় সংসদ নির্বাচনে বাংলাদেশ আওয়ামী লীগের মনোনয়নে সংসদ সদস্য নির্বাচিত হন।
জন্ম ও শিক্ষাজীবন
মঞ্জুর হোসেন বুলবুলের জন্ম আলফাডাঙ্গা উপজেলার টগরবন্দ ইউনিয়নের পানাইল গ্রামে।
রাজনৈতিক ও কর্মজীবন
মঞ্জুর হোসেন বুলবুল রূপালী ব্যাংকের বর্তমান চেয়ারম্যান। তিনি রাজনীতিতে নতুন এবং তিনি প্রথম বারের মতো সংসদ সদস্য নির্বাচিত হয়েছেন।
ন্যাটোর আফগানিস্তান সদর দপ্তরে বোমা হামলা ২০০৯
২০০৯ সালে ন্যাটোর আফগানিস্তান সদর দপ্তরে বোমা হামলার ঘটনা ঘটে ২০০৯ সালের ১৫ ই আগস্ট, যখন একজন তালেবান আত্মঘাতী বোমাহামলাকারী আফগানিস্তানের কাবুলে ন্যাটো সদর দপ্তরের বাইরে নিজেকে বিস্ফোরিত করে। বোমা হামলায় কমপক্ষে সাতজন নিহত ও ৯১ জন আহত হয়।
আক্রমণ
বোমারু তার বিস্ফোরক পেলোড বিস্ফোরণ করার আগে তিন বা তার কম পুলিশ-চেকপয়েন্টের মাধ্যমে সনাক্ত না করে তার অটোমোবাইলটি চালায়, যা আনুমানিক এবং,  ন্যাটো ঘাঁটির প্রধান ফটক থেকে। দেশটির প্রেসিডেন্ট নির্বাচনের পাঁচ দিন আগে এই হামলা চালানো হয়, যা ফেব্রুয়ারির পর রাজধানীতে প্রথম বড় ধরনের হামলা।
পরবর্তী ঘটনাবলী
এই আক্রমণে ৯১ জন আহত হয়েছিল এবং তাৎক্ষনিক সাতজন বেসামরিক লোককে হত্যা করেছিল, যদিও ডাক্তাররা বলেছিলেন যে কিছু রোগী পরে আঘাতের কারণে মারা যাওয়ার ঝুঁকিতে ছিলেন। আইএসএএফ ব্রিগেডিয়ার জেনারেল এরিক ট্রেম্বলে সামরিক বাহিনীর মধ্যে হতাহতের ঘটনা এড়াতে পেরেছেন বলে জানিয়েছেন, যদিও তিনি বিস্তারিত জানাননি। তালেবানরা ভিন্নভাবে দাবি করেছে, তারা চারটি গাড়ি ধ্বংস করে এবং মার্কিন দূতাবাসের ২৪ জন কর্মচারীকে হত্যা করেছে। আহতদের মধ্যে সংসদ সদস্য আওয়া আলম নুরিস্তানি এবং রাষ্ট্রপতি হামিদ কারজাইয়ের একজন নারী প্রচারাভিযান ব্যবস্থাপক ছিলেন। হামলার পর কারজাই ঘোষণা করেন যে "আফগানিস্তানের শত্রুরা এই ধরনের হামলা চালিয়ে জনগণের মধ্যে ভীতি সৃষ্টি করার চেষ্টা করছে যখন আমরা নির্বাচনের কাছাকাছি চলে আসছি, কিন্তু মানুষ এখনও তাদের ভোট দেওয়ার জন্য ব্যালট বাক্সে যাওয়ার গুরুত্ব বুঝতে পারছে।"
তালেবানের একজন মুখপাত্র দেশটির দ্বিতীয় নির্বাচনকে ব্যাহত করার জন্য এটি একটি পদ্ধতি হিসেবে এই হামলা চালানো হয়েছে বলে দাবি করেছেন। জাবিহুল্লাহ মুজাহিদের মুখপাত্র বলেন, '৫০০ কিলোগ্রাম বিস্ফোরক বোঝাই একটি (টয়োটা হিলক্স) সার্ফ গাড়িতে করে আমাদের একজন আত্মঘাতী বোমা হামলাকারী আইএসএএফ সদর দপ্তর লক্ষ্য করে হামলা চালায়। আমরা ভবিষ্যতেও এ ধরনের অভিযান অব্যাহত রাখব এবং আফগান ও বিদেশি বাহিনীর বিরুদ্ধে আমাদের অভিযান আরও ত্বরান্বিত করব।
মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের দূতাবাস এবং রাষ্ট্রপতির প্রাসাদের মধ্যে অবস্থিত শহরের সবচেয়ে কড়া সুরক্ষিত রাস্তায় এই বিস্ফোরণটি ঘটে। বিস্ফোরণটি তাদের প্রভাবিত করেনি বা এটি ন্যাটো সদর দফতরের খুব বেশি ক্ষতি করেনি। ২০০২ সালে ন্যাটো কম্পাউন্ড নির্মাণের পর এটিই ছিল প্রথম হামলা ।
অ্যানথ্রাক্স (ব্যান্ড)
right|150px|thumb| আই এন মিউজিক ফেস্টিভ্যালে ২০০৯ সালে অ্যানথ্রাক্স অ্যানথ্রাক্স একটি আমেরিকান হেভি মেটাল ব্যান্ড বা ১৯৮১ সালে গঠিত হয়। ১৯৮০-এর দশকের অন্যতম জনপ্রিয় একটি থ্রাশ মেটাল ব্যান্ড হলো অ্যানথ্রাক্স যাদের ১০ মিলিয়ন কপি অ্যালবাম বিক্রি হয়েছে সারা বিশ্বে। ব্যান্ডটিকে প্রথম ৪টি বড় থ্রাশ মেটাল ব্যান্ডের মধ্যে (স্লেয়ার, মেগাডেথ ও মেটালিকা) অন্যতম ধরা হয়ে থাকে। ১৯৮১ সালের মাঝামাঝিতে অ্যানথ্রাক্স ব্যান্ডটি গঠিত হয় গিটারিস্ট স্কট ইয়ান ও ড্যানি লিল্কারের মাধ্যমে। একটি জীব বিজ্ঞান পাঠ্যবই থেকে তারা নামটি খুঁজে পায় ও তাদের কাছে নামটি যথেস্ট শয়তান মনে হয়। অ্যানথ্রাক্স ১৯৮৩ সালের শেষের দিকে প্রথম অ্যালবাম রেকর্ড করে যার নাম ফিস্টফুল অব মেটাল। অ্যালবামটি কিছু আন্তর্জাতিক মনোযোগ আকর্ষণে সক্ষম হয়। ১৯৮৪ সালের জানুয়ারি মাসে অ্যালবামটি মুক্তি পায়। ১৯৮৯ সালে এমটিভি একটি প্রতিযোগিতার আয়োজন করে যেখানে বিজয়ীর বাসায় ব্যান্ডটি যাবে।এই প্রতিযোগিতায় একজন মেয়ে ভক্ত জয়ী হয় ও পরবর্তীকালে অ্যানথ্রাক্স তার বাসায় যেয়ে ব্যাপক বিধ্বংসী তৎপরতা চালায়। ২০০১ সালে আমেরিকায় অ্যানথ্রাক্স জীবাণুর আক্রমণ হলে অ্যানথ্রাক্স ব্যান্ড তাদের ওয়েবসাইট পরিবর্তন করে যাতে রোগটা সম্পর্কে তথ্য দেয়া যায়।কিন্তু ব্যান্ডটি তাদের নাম পরিবর্তন করেনি। অ্যানথ্রাক্স ১৬ই জুন, ২০১০ সালে স্লেয়ার, মেগাডেথ ও মেটালিকা ব্যান্ডের সাথে বেমোয়ো এয়ারপোর্টে পোল্যান্ডে প্রথমবারের মতো কনসার্ট করে। এটা সনিস্ফেয়ার ফেস্টিভ্যালের একটা অংশ ছিল। পরে তারা ২৬শে জুন রোমানিয়ায়, ২৭ শে জুন তুরস্কে ও সবশেষে ৭ই আগস্ট সুইডেনে সনিস্ফেয়ার ফেস্টিভ্যালের অংশ হিসেবে কনসার্ট করে। পেন্টেরা ব্যান্ডের ফিল এ্যান্সেলমো ভলিউম ৮: দ্যা থ্রেট ইস রিয়েল অ্যালবামে কাজ করে।
রাধে : ইয়োর মোস্ট ওয়ান্টেড ভাই
রাধে : ইয়োর মোস্ট ওয়ান্টেড ভাই হচ্ছে প্রভু দেবা পরিচালিত ২০২১ সালে মুক্তিপ্রাপ্ত ভারতীয় হিন্দি ভাষার মারপিটধর্মী চলচ্চিত্র। এটি সালমান খান ফিল্মস, সোহেল খান প্রোডাকশন ও রিল লাইফ প্রোডাকশন প্রাইভেট লিমিটেডের ব্যানারে প্রযোজনা করেছেন সালমান খান, সোহেল খান এবং অতুল অগ্নিহোত্রী। চলচ্চিত্রটিতে অভিনয় করেছেন সালমান খান, দিশা পাটানি ও রনদীপ হুদা। ২০১৯ সালের ৪ নভেম্বর চলচ্চিত্রটির মূল চিত্রগ্রহণ শুরু হয়।
কাহিনী
দি আউটলস (২০১৭) কোরিয়ান চলচ্চিত্রের উপর ভিত্তি করে এই চলচ্চিত্রটির কাহিনী রচনা করা হয়েছে।
রাজশ্রী দেশপাণ্ডে
রাজশ্রী দেশপাণ্ডে হচ্ছেন ভারতের একজন অভিনেত্রী। ২০১৫ সালে মুক্তিপ্রাপ্ত চলচ্চিত্র এ্যাংরি ইন্ডিয়ান গডেসেসএ তিনি অভিনয় করে মূল পরিচিতি পেয়েছিলেন। এরপর তিনি 'সেক্সি দুর্গা' নামের একটি চলচ্চিত্রে অভিনয় করেন যেটি ভারতে অনেক সাড়া জাগায়। ব্রিটিশ ক্রাইম ড্রামা ম্যাক মাফিয়াতে তিনি মঞ্জু চরিত্রে অভিনয় করেছেন। ওয়েব সিরিজ স্যাক্রেড গেমসএ সুভদ্রা চরিত্রে তার অভিনয় ছিলো বেশ প্রশংসনীয়। তিনি আরো ওয়েব সিরিজে কাজ করেছেন।
পূর্ব জীবন
রাজশ্রী দেশপাণ্ডে মহারাষ্ট্র প্রদেশের ঔরঙ্গাবাদে জন্মগ্রহণ করেছিলেন, তার বাবা-মা দুজনেই নির্মাণ শ্রমিক ছিলেন। তিন ভাইবোনের মধ্যে রাজশ্রী সবচেয়ে ছোট। তিনি আইন নিয়ে মহারাষ্ট্র প্রদেশের একটি ডিগ্রী কলেজে অধ্যায়ন করেছিলেন। মুম্বাইতে তিনি চলচ্চিত্রে অভিনয়ের ব্যাপারে ছোটো খাটো প্রশিক্ষণ নিয়েছিলেন।
কর্মজীবন
রাজশ্রী তার চলচ্চিত্র কর্মজীবন আমির খান অভিনীত চলচ্চিত্র তালাশ (২০১২) এর মাধ্যমে করেছিলেন, তিনি প্রিয়া নামের একটি ছোটো চরিত্রে ছিলেন। এরপর তিনি টেলিভিশন নাটকে অভিনয় করেন, সনি টিভিতে এবং কালার্স টিভিতে। এরপর তিনি সালমান খান অভিনীত কিক এ অভিনয় করেন এবং ২০১৫ সালে হারাম নামের একটি মালয়ালম ভাষার চলচ্চিত্র মুক্তি পায় যেটাতে তিনি দ্বৈত ভূমিকায় ছিলেন। ২০১৫ সালে তিনি এ্যাংরি ইন্ডিয়ান গডেসেস নামের একটি নারীবাদী চলচ্চিত্রে অভিনয় করেছিলেন যেই চলচ্চিত্রটি তাকে আসল অভিনেত্রীর মর্যাদায় প্রতিষ্ঠিত করেছিলো, চলচ্চিত্রটিতে তিনি একটি কাজের বুয়ার চরিত্রে অভিনয় করেছিলেন। টরোন্টো আন্তর্জাতিক চলচ্চিত্র উৎসবে এই নারীবাদী চলচ্চিত্রটি প্রথম রানার আপ হয়েছিলো, এছাড়াও চলচ্চিত্রটি রোম চলচ্চিত্র উৎসবে পিপলস চয়েস এ্যাওয়ার্ড জেতে। ২০১৭ সালের মালয়লাম চলচ্চিত্র সেক্সি দূর্গাতে রাজশ্রী মুখ্য ভূমিকায় অভিনয় করেন। চলচ্চিত্রটি নেদারল্যান্ডসের রোটেরডাম চলচ্চিত্র উৎসবে হিভোস টোগার এ্যাওয়ার্ড জিতেছিলো।
২০১৮ সালের জানুয়ারীতে রাজশ্রী ব্রিটিশ ক্রাইম ড্রামা ম্যাকমাফিয়াতে অভিনয় করেন। তিনি ওয়েবসিরিজ স্যাক্রেড গেমসএ অভিনয় করেন, যেটা অনুরাগ কাশ্যপ দ্বারা পরিচালিত ছিলো। রাজশ্রী সুভদ্রা চরিত্রে অভিনয় করেছিলেন যেটি ছিলো নওয়াজুদ্দীন সিদ্দিকীর অভিনয় করা গণেশ গায়তোন্ডে চরিত্রের পত্নীর চরিত্র, তিনি ভালোই প্রশংসিত হয়েছিলেন চরিত্রটিতে অভিনয়ের জন্য। ভারতীয় উর্দু লেখিকা ইসমত চুগতাইের চরিত্রে তিনি মন্তো চলচ্চিত্রে (২০১৮ তেই মুক্তি পায়) অভিনয় করেন যেটি ছিলো নন্দিতা দাস নির্মিত চলচ্চিত্র। স্যাক্রেড গেমসে কাহিনীর প্রয়োজনে তাকে তার বক্ষ অনাবৃত করতে হয় এবং ফলশ্রুতিতে তিনি সমালোচনার মুখে পড়েছিলেন কারণ তার স্তনদ্বয় ক্যামেরার সামনে সত্যিসত্যি প্রদর্শিত হয়েছিলো, তিনি সমালোচনার জবাবে নিজেকে একজন পেশাদার অভিনেত্রী হিসেবে উল্লেখ করে বলেছিলেন তিনি তার স্তন দেখিয়ে কোনো ভুল কাজ করেননি।
ডক্সিসাইক্লিন
ডক্সিসাইক্লিন হল একটি ব্রড-স্পেকট্রাম টেট্রাসাইক্লিন-শ্রেণির অ্যান্টিবায়োটিক, যা ব্যাকটেরিয়া এবং নির্দিষ্ট কিছু পরজীবী দ্বারা সৃষ্ট সংক্রমণের চিকিৎসায় ব্যবহৃত হয়। এটি ব্যাকটেরিয়াজনিত নিউমোনিয়া, ব্রণ, ক্ল্যামাইডিয়া সংক্রমণ, লাইম রোগ, কলেরা, টাইফাস এবং সিফিলিসের চিকিত্সার জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি কুইনাইন এর সংমিশ্রণে ম্যালেরিয়া প্রতিরোধ করতেও ব্যবহৃত হয়। ডক্সিসাইক্লিন মুখ দিয়ে বা শিরায় ইনজেকশনের মাধ্যমে নেওয়া যেতে পারে।
সাধারণ পার্শ্বপ্রতিক্রিয়াগুলির মধ্যে রয়েছে ডায়রিয়া, বমি বমি ভাব, বমি হওয়া এবং রোদে পোড়া হওয়ার ঝুঁকি। গর্ভাবস্থায় ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয় না। ডক্সিসাইক্লিন হল টেট্রাসাইক্লিন শ্রেণীর একটি ব্রড-স্পেকট্রাম অ্যান্টিবায়োটিক। টেট্রাসাইক্লিন শ্রেণীর অন্যান্য এজেন্টের মতো, এটি প্রোটিন উৎপাদনে বাধা দিয়ে ব্যাকটেরিয়াকে ধীর করে বা মেরে ফেলে। এটি একটি প্লাস্টিড অর্গানেল, এপিকোপ্লাস্টকে লক্ষ্য করে ম্যালেরিয়াকে হত্যা করে।
ডক্সিসাইক্লিন ১৯৫৭ সালে পেটেন্ট করা হয়েছিল এবং ১৯৬৭ সালে বাণিজ্যিকভাবে ব্যবহার করা হয়েছিল। এটি বিশ্ব স্বাস্থ্য সংস্থার প্রয়োজনীয় ওষুধের তালিকায় রয়েছে। ডক্সিসাইক্লিন জেনেরিক ওষুধ হিসেবে পাওয়া যায়। ২০১৯ সালে, এটি মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে ৯০তম সর্বাধিক নির্ধারিত ওষুধ ছিল, যার ৮ মিলিয়নেরও বেশিপ্রেসক্রিপশনে ছিল।
ডানকান ফ্লেচার
ডানকান অ্যান্ড্রু গোয়েন ফ্লেচার, ওবিই (Duncan Fletcher; জন্ম: ২৭ সেপ্টেম্বর, ১৯৪৮) সলিসবারিতে জন্মগ্রহণকারী জিম্বাবুয়ের সাবেক আন্তর্জাতিক ক্রিকেটার ও কোচ।  এছাড়াও, তিনি ভারতীয় জাতীয় পুরুষ ক্রিকেট দলের কোচের দায়িত্ব পালন করেছেন। ১৯৯৭-২০০৭ মেয়াদকালে ইংল্যান্ড ক্রিকেট দলের কোচ ছিলেন ডানকান ফ্লেচার। টেস্ট ক্রিকেটে ইংল্যান্ডের দুরবস্থাকে দূরে ঠেলে পুণরুজ্জীবন ঘটাতে সমর্থ হয়েছেন তিনি।
ব্যক্তিগত জীবন
ডানকান ফ্লেচার দক্ষিণ রোডেশিয়ার সলিসবারিতে জন্মগ্রহণ করেন যা বর্তমানে জিম্বাবুয়ের হারারে এলাকায় অবস্থিত। রোডেশিয়ার কৃষক পরিবারের সন্তান ফ্লেচারের আরও চার ভাই রয়েছে। তার বোন অ্যান গ্র্যান্ট মস্কোতে অনুষ্ঠিত ১৯৮০ সালের গ্রীষ্মকালীন অলিম্পিক গেমসে জিম্বাবুয়ের প্রমিলা হকি দলের অধিনায়কত্ব করেন ও দলকে স্বর্ণপদক প্রাপ্তিতে সহায়তা করেন। এছাড়াও, অ্যালান ফ্লেচার নামীয় এক ভাই রোডেশিয়া ক্রিকেট দলের হয়ে ১৯৭০-এর দশকের শেষার্ধে প্রথম-শ্রেণীর ক্রিকেট খেলেছেন।
খেলোয়াড়ী জীবন
ফ্লেচার ১৯৮২ সালের আইসিসি ট্রফি জয়ী জিম্বাবুয়ে দলের সদস্য ছিলেন। সমগ্র খেলোয়াড়ী জীবনে ছয়টিমাত্র একদিনের আন্তর্জাতিকে অংশগ্রহণ করেছেন ডানকান ফ্লেচার। অংশগ্রহণকৃত সবগুলো ওডিআই ক্রিকেট বিশ্বকাপে খেলেছিলেন। ঐ সময়ে জিম্বাবুয়ে দলের টেস্ট খেলার মর্যাদাপ্রাপ্তি ঘটেনি।
ইংল্যান্ডে অনুষ্ঠিত ১৯৮৩ সালের ক্রিকেট বিশ্বকাপের তৃতীয় আসরে জিম্বাবুয়ে দলের সদস্যরূপে অংশ নেন। ৯ জুন, ১৯৮৩ তারিখে নটিংহামে অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ওডিআইয়ে প্রথমবারের মতো খেলতে নামেন। আলী শাহ, গ্র্যান্ট প্যাটারসন, অ্যান্ডি পাইক্রফট, ডেভিড হটন, জ্যাক হেরন, কেভিন কারেন, ইয়ান বুচার্ট, পিটার রসন, জন ট্রাইকোস ও ভিন্স হগের সাথে একযোগে ওডিআই অভিষেক ঘটে তার। ২০ জুন, ১৯৮৩ তারিখে বার্মিংহামে ওয়েস্ট ইন্ডিজের বিপক্ষে সর্বশেষ ওডিআইয়ে অংশ নেন তিনি।
কোচিং
২০০০-২০০৪ মৌসুমে ইংল্যান্ড দলের কোচের দায়িত্ব পালনকালে তিনি দলকে দেশের বাইরে শ্রীলঙ্কা, পাকিস্তান, ওয়েস্ট ইন্ডিজ এবং দক্ষিণ আফ্রিকার বিপক্ষে বেশ কয়েকটি সিরিজ জয় করিয়েছেন। ২০০৪ সালে ইংল্যান্ড ধারাবাহিকভাবে ৮টি টেস্ট জয় করে। তন্মধ্যে সবচেয়ে বড় সাফল্য ছিল ১৮ বছরের মধ্যে ইংল্যান্ডের কোচ হিসেবে অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ২-১ ব্যবধানে অ্যাশেজ সিরিজ জয় করানো। এরফলে তিনি এর স্বীকৃতিস্বরূপ অর্ডার অব দ্য ব্রিটিশ এম্পায়ার (ওবিই) উপাধিতে ভূষিত হন।
সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ
গণিতে সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ (সাব্যস) বলতে এমন একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণকে বোঝানো হয় যেখানে কেবল একটি স্বাধীন চলক, সেই স্বাধীন চলকের এক বা ততোধিক ফাংশন এবং ঐ ফাংশনটির বা ফাংশনসমূহের অন্তরজসমূহ থাকে। আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ যা একের অধিক স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে গঠিত হয় বা হতে পারে তার পরিপ্রেক্ষিতেই "সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ" শব্দ-সমষ্টিটিতে সাধারণ শব্দটি ব্যবহার করা হয়।
ব্যবকলনীয় সমীকরণ
রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ হচ্ছে এমন একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ যা কোনো অজানা ফাংশন এবং এর অন্তরজগুলোতে একটি রৈখিক বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে এই রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণটি নিম্নোক্ত আকারের একটি সমীকরণ
এখানে এবং b(x) হলো ইচ্ছামাফিক নির্ধারিত ব্যবকলনযোগ্য ফাংশন যাদের রৈখিক হওয়া আবশ্যকীয় নয় এবং  হলো x চলকযুক্ত অজানা ফাংশন y-এর ধারাবাহিক অন্তরজ।
সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলোর মধ্যে, রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলো বিভিন্ন কারণে গুরুত্বপূর্ণ একটি ভূমিকা পালন করে। অধিকাংশ মৌলিক এবং বিশেষ ফাংশন, পদার্থবিজ্ঞান এবং ফলিত গণিতে যেগুলোর সম্মুখীন হতে হয়, সেগুলো হচ্ছে রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের সমাধান (দেখুন: হলোনোমিক ফাংশন)। অ-রৈখিক সমীকরণের সাহায্যে যখন কোনো ভৌত প্রপঞ্চ বা ঘটনার মডেল তৈরি করা হয়, তখন একটি সহজ সমাধানের নিমিত্তে সেগুলো সাধারণত রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের মাধ্যমে অনুমান করা হয়। সুস্পষ্টভাবে সমাধান করা যায় এমন কিছু  অ-রৈখিক সাব্যস-কে একটি সমতুল্য রৈখিক সাব্যস-এ রূপান্তর করে সমাধান করা হয়। (উদাহরণের জন্য রিকাটি সমীকরণ দেখুন।)
পটভূমি
গণিত, সামাজিক বিজ্ঞান, প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের অনেক প্রসঙ্গ বা উপাদান থেকেই সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহকে বের হয়ে আসতে দেখা যায়। কোনো পরিবর্তনের গাণিতিক বর্ণনায় ব্যবকলন এবং অন্তরজ ব্যবহার করা হয়। সমীকরণের মাধ্যমে বিভিন্ন ব্যবকলন, অন্তরজ এবং ফাংশনের মধ্যে এমনভাবে পারস্পরিক সম্পর্ক স্থাপিত হয় যে একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ এই সম্পর্কের একটি ফলাফল হিসেবে আবির্ভূত হয়, যা পরিবর্তনশীল প্রপঞ্চ, বিবর্তন এবং বৈচিত্র্যের বিবরণ ও ব্যাখ্যা দেয়। প্রায়শই, বিভিন্ন রাশিকে অন্যান্য রাশিসমূহের পরিবর্তনের হার হিসেবে (উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সাপেক্ষে সরণের অন্তরজ), কিংবা অন্যান্য রাশিসমূহের নতিমাত্রা (গ্রেডিয়েন্ট) হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই সংজ্ঞায়ন নির্ভর করে রাশিগুলো কীভাবে ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলোকে গ্রহণ করছে তার উপর।
বিশেষায়িত গাণিতিক ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণী বলবিজ্ঞান অন্তর্ভুক্ত। বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় পদার্থবিজ্ঞান এবং জ্যোতির্বিজ্ঞান (মহাজাগতিক বস্তুর বলবিদ্যা), আবহাওয়াবিজ্ঞান (আবহাওয়া মডেলিং), রসায়ন (বিক্রিয়ার হার), জীববিজ্ঞান (সংক্রামক রোগ, জেনেটিক প্রকরণ), বাস্তুবিদ্যা, জনসংখ্যা মডেলিং (জনসংখ্যার প্রতিযোগিতা) এবং অর্থনীতি (সঞ্চয়ের প্রবণতা, সুদের হার ও বাজারের ভারসাম্যের মূল্য পরিবর্তন)।
অনেক গণিতবিদ ব্যবকলনীয় সমীকরণ নিয়ে অধ্যয়ন ও অনুসন্ধান চালিয়েছেন এবং এই ক্ষেত্রটিতে অবদান রেখেছেন, যার মধ্যে রয়েছেন নিউটন, লিবনিজ, বার্নোলি পরিবার, রিকাটি, ক্লেরো, ডি'আলেমবার্ট এবং অয়লার।
নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটি সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলোর একটি অতি পরিচিত উদাহরণ। F বলের অধীনে t সময়ে কোনো বস্তুর x সরণের মধ্যে সম্পর্ক হলো এই সূত্রটি যাকে এই ব্যবকলনীয় সমীকরণের মাধ্যমে লেখা হয়:
এই সমীকরণে m ধ্রুব ভরের একটি বস্তুকণার গতি উপস্থিত রয়েছে। সাধারণভাবে, F হলো নির্দিষ্ট সময় t-এ বস্তুকণার অবস্থান x(t)-এর একটি ফাংশন। x(t) অজানা ফাংশনটি ব্যবকলনীয় সমীকরণটির উভয় পাশে দেখা যাচ্ছে এবং এই ফাংশনকে F(x(t)) সংকেতটির মাধ্যমে নির্দেশ করা হয়েছে।
সংজ্ঞা
ধরা যাক, x একটি স্বাধীন চলক, y একটি অধীন চলক এবং y = f(x) হলো x-এর একটি অজানা ফাংশন। কোন সংকেতটি লেখকের পছন্দ এবং কোন সংকেতটি হাতে থাকা ব্যবকলনীয় সমস্যার জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত সেসবের ভিত্তিতে ব্যবকলনের সংকেত আলাদা আলাদা হয়। এই প্রসঙ্গে বলা যায়,  লিবনিজের সংকেত (dy⁄dx, d2y⁄dx2, …, dny⁄dxn) ব্যবকলন এবং সমাকলনের জন্য বেশি উপযোগী, পক্ষান্তরে ল্যাগ্রাঞ্জের সংকেত (y′, y′′, …, y(n)) যেকোনো ক্রমের অন্তরজসমূহের নিরবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনার জন্য বেশি উপযোগী। এছাড়াও, পদার্থবিজ্ঞানে ক্ষুদ্র ক্রমের সময় অন্তরজসমূহকে উপস্থাপনের জন্য নিউটনের সংকেত ব্যবহার করা হয়।
সাধারণ সংজ্ঞা
x, y এবং y-এর অন্তরজসমূহের একটি ফাংশন F বিবেচনা করা যাক,যেখানে এই ফাংশনটি নিম্নোক্ত আকারের একটি সমীকরণ গঠন করে:
এই সমীকরণটিকে বলা হয় n ক্রমের এক্সপ্লিসিট সাব্যস।.
আরও সাধারণভাবে বলা যায়, n ক্রমের একটি ইমপ্লিসিট সাব্যস নিম্নোক্ত আকার ধারণ করে:
স্বায়ত্তশাসিত ব্যবস্থা বা সমীকরণ:x-এর উপর নির্ভরশীল নয় এমন ব্যবকলনীয় সমীকরণকে স্বায়ত্তশাসিত ব্যবস্থা বা সমীকরণ বলা হয়। রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ:যদি F ফাংশনটিকে y-এর নিম্নোক্ত অন্তরজগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশের আকারে লেখা যায়, তাহলে এটি একটি রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ হবে বলা হয়।
এখানে,
ai(x)
এবং
r(x)
হচ্ছে x-এর ধারাবাহিক ফাংশন।
r(x) ফাংশনটিকে নলা হয় উৎস বা মূল শব্দ যা থকে আরও দুটি শ্রেণিবিভাগ পাওয়া যায়:
সমগোত্রীয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ:যদি r(x) = 0 হয় এবং এর ফলে একটি "স্বয়ংক্রিয়" সমাধান তুচ্ছ সমাধান y = 0 হয়, তাহলে একটি রৈখিক সমগোত্রীয় সমীকরণের সমাধান হবে একটি পূরক ফাংশন, যাকে yc দ্বারা নির্দেশ করা হয়। অসমগোত্রীয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ:যদি r(x) ≠ হয়, তাহলে পূরক ফাংশনটির বাড়তি সমাধান হবে আংশিক সমাকলজ, যাকে yp দ্বারা সূচিত করা হয়।
অরৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ:এটি এমন একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ যাকে রৈখিক সমাবেশের আকারে লেখা যায় না।
সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের ব্যবস্থা
বেশ কিছু ব্যবকলনীয় সমীকরণ পরস্পরের সাথে সংযোজিত হয়ে সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে। যদি y একটি ভেক্টর হয় যার y(x) উপাদানগুলো ফাংশন হয়, যেখানে y(x) = [y1(x), y2(x),..., ym(x)] এবং F ভেক্টর ফাংশনটি y এবং y-এর অন্তরজগুলোর একটি ভেক্টর ফাংশন হয় তাহলে -এর নিম্নোক্ত সমীকরণটি n ক্রমের ও m মাত্রার সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের একটি এক্সপ্লিসিট ব্যবস্থা হবে।
কলাম ভেক্টরের আকারে সমীকরণটি হবে:
এদেরকে রৈখিক হতে হবে তেমনটা বাধ্যতামূলক নয়। এর ইমপ্লিসিট সাদৃশ্য (implicit analogue) হলো:
যেখানে 0 = (0, 0, ..., 0) হচ্ছে শূন্য ভেক্টর। ম্যাট্রিক্সের আকারে লিখবে এটি হবে:
এছাড়াও, কিছু কিছু উৎসে (গ্রন্থ, নথি, প্রবন্ধ ও অন্যান্য) আকারের একটি ব্যবস্থার ক্ষেত্রে  জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্সের নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হওয়ার আবশ্যকীয়তার কথা বলা হয়েছে, যাতে করে একে একটি ইমপ্লিসিট সাব্যস [ব্যবস্থা] বলা যায়; এই জ্যাকবিয়ান নন-সিঙ্গুলারিটির শর্ত মেনে নিয়ে একটি ইমপ্লিসিট সাব্যস ব্যবস্থাকে একটি এক্সপ্লিসিট সাব্যস ব্যবস্থায় রূপান্তরিত করা যায়। একই উৎসসমূহে একটি সিঙ্গুলার জ্যাকবিয়ান সহযোগে ইমপ্লিসিট সাব্যস ব্যবস্থাসমূহকে ব্যবকলনীয় বীজগাণিতিক-সমীকরণ নামে অভিহিত করা হয়েছে। এই স্বাতন্ত্র্য কেবল নামের ক্ষেত্রেই নয়, মূলতঃ ব্যবকলনীয় বীজগাণিতিক-সমীকরণগুলোর পৃথক বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং এগুলো বরং (নন-সিঙ্গুলার) সাব্যস ব্যবস্থা অপেক্ষা এদের সমাধানের সাথে অধিকতর সম্পর্কযুক্ত।  এই স্কিম অনুসারে, সম্ভবত বাড়তি অন্তরজের ক্ষেত্রে, হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স এবং অন্যান্যগুলোকেও নন-সিঙ্গুলার অনুমান করা হয়, যদিও এটা উল্লেখ করতে হয় যে, একের চেয়ে বড় ক্রমের যেকোনো সাব্যসকে প্রথম ক্রমের সাব্যস-ব্যবস্থার আকারে লেখা যায় এবং সচরাচর এটা করাও হয়, যা সকল ক্রমের ক্ষেত্রে জ্যকবিয়ান-সিঙ্গুলারিটি-মানদণ্ডটিকে এই শ্রেণিবিভাগের নিমিত্তে সুবিস্তৃত হওয়ার জন্য পর্যাপ্ত করে তোলে।
সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের একটি ব্যবস্থার আচরণকে একটি দশা চিত্রের প্রয়োগের মাধ্যমে দৃশ্যমান করানো যায়।
সমাধান
একটি নির্দিষ্ট ব্যবকলনীয় সমীকরণ F বিবেচনা করি, যেখানে আরও ধরা যাক, u এমন একটি ফাংশন যেখানে u: I ⊂ R → R, যখন I একটি ব্যবধি।
এখন, u-কে F-এর একটি সমাধান বা যোগজ বক্ররেখা বলা হবে, যদি u ফাংশনটি I ব্যবধিতে n-সংখ্যক বার ব্যবকলনযোগ্য হয় এবং
উপর্যুক্ত ব্যবকলনীয় সমীকরণটির দুটি নির্দিষ্ট সমাধান u: J ⊂ R → R বং v: I ⊂ R → R হলে, u-কে v-এর একটি সম্প্রসারণ বলা হবে, যদি I ⊂ J হয় এবং
যে সমাধানের কোনো সম্প্রসারণ নেই তাকে বলা হয় চরম সমাধান (maximal solution)। যে সমাধান সকল R-এর ওপর সংজ্ঞায়িত তাকে বলা হয় সার্বজনীন সমাধান (global solution)।
n-তম ক্রমের কোনো সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান হলো এমনই একটি সমাধান, যে সমাধানে n সংখ্যক স্বেচ্ছানির্বাচিত স্বাধীন সমাকলন-ধ্রুবক বিদ্যমান। ধ্রুবকগুলোকে নির্দিষ্ট মানসমূহে বসিয়ে একটি নির্দিষ্ট সমাধান প্রতিপাদন করা হয়। নির্দিষ্ট সমাধানকে সচরাচর 'প্রাথমিক শর্ত' কিংবা 'সীমানা শর্ত' পূরণের জন্য বেছে নেওয়া হয়। কোনো একক সমাধান হচ্ছে এমনই একটি সমাধান, সাধারণ সমাধানের স্বেচ্ছানির্বাচিত ধ্রুবকগুলোর জন্য নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করে যে সমাধানটি পাওয়া যায় না। রৈখিক সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রেক্ষাপটে, নির্দিষ্ট সমাধান পদটি সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণটির যেকোনো সমাধানকে বুঝিয়ে থাকতে পারে (যেখানে, প্রাথমিক শর্তগুলো মেনে চলা বাধ্যতামূলক নয়), যে সমাধানটি পরে সমজাতীয় সমাধানে (সমজাতীয় সাব্যস-এর একটি সাধারণ সমাধান) যোগ করা হয়, যা পরে মূল সাব্যসটির একটি সাধারণ সমাধান গঠন করে।
নির্দিষ্ট সমাধান পদটি এই প্রবন্ধের অনুমান নির্ভর পদ্ধতি অংশে ব্যবহার করা হয়েছে। অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতির আলোচনায় এবং পরামিতির পরিবর্তনের আলোচনায় এই পরিভাষাটি (নির্দিষ্ট সমাধান) প্রায়শই ব্যবহার করা হয়।
সসীম সময়-ব্যবধানের সমাধান
অ-রৈখিক স্বায়ত্তশাসিত সাব্যস-এর ক্ষেত্রে, কিছু শর্তাধীনে সসীম মেয়াদের (সময়-ব্যবধানের) সমাধানগুলোর বিকাশ করা সম্ভব, এর অর্থ এখানে যে, কোনো ব্যবস্থা তার নিজস্ব গতিশীলতা প্রভাবে একটি চূড়ান্ত মুহূর্তে শূন্য মানে পৌঁছবে এবং সেখানে চিরকালের জন্য শূন্যে অবস্থান করবে। সসীম ব্যবধানের এই সমাধানগুলো সম্পূর্ণ বাস্তব রেখার উপর বিশ্লেষণী ফাংশন হতে পারে না, এবং যেহেতু এই সমাধানগুলো তাদের চূড়ান্ত মুহূর্তে নন-লিপশিৎজ ফাংশন হবে, তাই তারা লিপশিৎজ ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের সমাধানগুলোর অনন্যতাকে সমর্থন করে না।
উদাহরণস্বরূপ, নিম্নোক্ত সমীকরণটি:
সসীম সময় ব্যবধানের এই সমাধানটিকে স্বীকার করে:
একক সমাধান
সাধারণ এবং আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের একক সমাধানসমূহের তত্ত্বটি লিবনিজের সময় থেকে গবেষণার একটি বিষয় ছিল, তবে কেবল উনিশ শতকের মাঝামাঝি থেকে এটি বিশেষ মনোযোগ পেয়েছে। এই বিষয়টির উপর একটি মূল্যবান কিন্তু স্বল্প-পরিচিত কাজের মধ্যে রয়েছে Par Louis Houtain-এর Des solutions singulières des équations différentielles (১৮৫৪)। জিন গ্যাস্টন ডার্বোক্স (১৮৭৩ সাল থেকে) এই তত্ত্বের নেতৃত্বে ছিলেন এবং এই সমাধানগুলোর জ্যামিতিক ব্যাখ্যায় তিনি নতুন একটি ক্ষেত্র চালু করেছিলেন, যেটা নিয়ে বিভিন্ন লেখক বিশেষকরে ফেলিস ক্যাসোরাটি এবং আর্থার কেলি কাজ করেছিলেন। প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের একক সমাধানগুলোর তত্ত্বটি (১৮৭২) পরবর্তী উল্লেখযোগ্য কাজ হিসেবে প্রত্যাশিত, যা আনুমানিক ১৯০০ সালের দিকে স্বীকৃতি পায়।
কোয়ডরেচার বা ক্ষেত্রকলনে সংকোচন
ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলো নিয়ে কাজের ক্ষেত্রে প্রাথমিক প্রচেষ্টাটি ছিল এদেরকে কোয়ডরেচারে সংকোচনের লক্ষ্যভিত্তিক। n-তম মাত্রার সাধারণ সমীকরণ সমাধানের নিমিত্তে একটি পদ্ধতির অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে এটি যেমন অষ্টাদশ শতাব্দীর বীজগণিতজ্ঞদের আশায় পরিণত হয়েছিল, তেমনিভাবে যেকোনো ব্যবকলনীয় সমীকরণের একত্রীকরণের নিমিত্তে একটি সাধারণ পদ্ধতি অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে এটি বিশ্লেষকদেরও আশায় রূপান্তরিত হয়েছিল। সে যাই হোক, কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস (১৭৯৯ সালে) দেখান যে, জটিল ব্যবকলনীয় সমীকরণের জন্য জটিল সংখ্যার প্রয়োজন হয়। এর পরই, বিশ্লেষকরা ফাংশনের অধ্যয়নকে আলোচনায় প্রতিস্থাপন করতে শুরু করেন এবং এইভাবে একটি নতুন ও উর্বর শাখারও চালু করেন। অগাস্টিন লুইস কোশি ছিলেন সর্বপ্রথম যিনি এই দৃষ্টিভঙ্গির গুরুত্ব উপলব্ধি করেছিলেন। তারপরে, আসল যে প্রশ্নটির উদয় হয়েছিল, সেটি "জানা ফাংশন বা এদের যোগজগুলোর মাধ্যমে কোনো সমাধান সম্ভব কি না" এই প্রশ্নটি নয়, বরং এই প্রশ্নটিই যে, কোনো "নির্দিষ্ট ব্যবকলনীয় সমীকরণ" স্বাধীন চলক বা চলকসমূহের কোনো ফাংশনের সংজ্ঞার জন্য সন্তাষজনক কি না এবং যদি তাই হয় তবে এর চরিত্রগত বৈশিষ্ট্যগুলো কী কী।
ফুক্সের তত্ত্ব
লাজারাস ফুক্সের দুটি স্মৃতিকথায় অভিনব এক পদ্ধতির অনুপ্রেরণা দেওয়া রয়েছে, পরবর্তীকালে থোমে এবং ফ্রোবেনিয়াস যেটা নিয়ে বিশদ আলোচনা করেছিলেন। ১৮৬৯ সালের শুরুর দিকে কোলেট ছিলেন একজন বিশিষ্ট অবদানকারী। একটি অ-রৈখিক ব্যবস্থাকে একত্রীকরণের নিমিত্তে তার দেওয়া পদ্ধতিটি ১৮৬৮ সালে বার্ট্রান্ডের দেওয়া কাজের সাথে সংযুক্ত ছিল। আলফ্রেড ক্লেবস তার অ্যাবেলিয়ান যোগজের তত্ত্বে বিষয়বস্তুর সমান্তরালে এই তত্ত্বটির সমালোচনা করেছেন (১৮৭৩)। যেহেতু আনুপাতিক রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তিত থাকা মৌলিক বক্ররেখার বৈশিষ্ট্য অনুসারে শেষোক্ত তত্ত্বটিকে শ্রেণীবিন্যস্ত করা যায়, তাই ক্লেবস ব্যবকলনীয় সমীকরণের দ্বারা সংজ্ঞায়িত তুরীয় (transcendent) ফাংশনগুলোকে, আনুপাতিক এক-এক রূপান্তরের অধীনে f = 0 পৃষ্ঠতল সংশ্লিষ্ট অপরিবর্তনীয় (invariant) বৈশিষ্ট্য অনুসারে, শ্রেণীবিন্যস্ত করার প্রস্তাব করেছিলেন ।
লী-এর তত্ত্ব
১৮৭০ সাল থেকে সোফাস লীয়ের কাজ ব্যবকলনীয় সমীকরণের তত্ত্বকে অধিকতর ভাল একটি ভিত্তির উপর স্থাপন করে রেখেছে। তিনি দেখিয়েছেন যে, লী গ্রুপ ব্যবহার করে, পূর্বতন গণিতবিদদের সমাকলন তত্ত্বগুলোকে একটি সাধারণ উৎসে স্থানান্তর করা যেতে পারে। উপরন্তু তিনি দেখিয়েছেন যে, যেসব সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ একই শূন্যসন্নিকর্ষী রূপান্তরসমূহকে স্বীকার করে নেয় সেসব সমীকরণ তুলনীয় সমাকলন অসুবিধাগুলোকেও উপস্থাপন করে। এছাড়াও তিনি কন্টাক্ট রূপান্তরের বিষয়টির উপরও জোর দিয়েছেন।
ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলোর উপর লীয়ের গ্রুপ তত্ত্বটি এই বলে সত্য প্রমাণিত হয়েছে যে, (১) ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের সমাধানের জন্য পরিচিত অস্থায়ী ও তাৎক্ষণিক (ad hoc) অনেক পদ্ধতিকে এই তত্ত্বটি একত্রিত করে এবং (২) সমাধান বের করার জন্য এই তত্ত্বটি শক্তিশালী নতুন উপায়সমূহ বাতলে দেয়। সাধারণ এবং আংশিক উভয় ধরনের ব্যবকলনীয় সমীকরণে এই তত্ত্বটির প্রয়োগ রয়েছে।
একটি সাধারণ সমাধান পদ্ধতিতে, সমাধান থেকে সমাধানের অবিচ্ছিন্ন শূন্যসন্নিকর্ষী রূপান্তরসমূহকে তথা ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রতিসাম্য গুণাবলিকে ব্যবহার করা হয়। রৈখিক এবং অ-রৈখিক (আংশিক) ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের গঠন-কাঠামো বোঝার জন্য অবিচ্ছিন্ন গ্রুপ তত্ত্ব, লী বীজগণিত, এবং ব্যবকলনীয় জ্যামিতি ব্যবহার করা হয়, যাতে করে, ব্যবকলনযোগ্য সমীকরণ উৎপাদনের নিমিত্তে এর ল্যাক্স জোড়াসমূহ, রিকার্সন অপারেটর, বেকলান্ড রূপান্তর খুঁজে পাওয়া যায়, এবং সবশেষে যাতে ব্যবকলনীয় সমীকরণের জন্য সঠিক বিশ্লেষণাত্মক সমাধান খুঁজে বের করা যায়।
গণিত, পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল এবং অন্যান্য শাখায় উদ্ভূত ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের সমাধানের নিমিত্তে প্রতিসাম্য পদ্ধতিসমূহ প্রয়োগ করা হয়েছে।
স্টার্ম-লিউভিল তত্ত্ব
স্টার্ম-লিউভিল তত্ত্ব হচ্ছে বিশেষ ধরনের দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণের একটি তত্ত্ব। এদের সমাধানগুলো আইগেন-মানভিত্তিক এবং এই সমাধানগুলো রৈখিক অপারেটরের সেসকল আইগেন ফাংশনের সাথে সম্পর্কযুক্ত, যে আইগেন ফাংশনগুলো দ্বিতীয় ক্রমের হোমোজেনাস রৈখিক সমীকরণের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত।
এই সমস্যাগুলোকে স্টার্ম-লিউভিল সমস্যা হিসেবে চিহ্নিত করা হয় এবং জে.সি.এফ স্টার্ম এবং জোসেফ লিউভিলের (যারা ১৮০০-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে এসব নিয়ে অধ্যয়ন-অনুসন্ধান করেছিলেন) নামানুসারে এদেরকে নামকরণ করা হয়। স্টার্ম-লিউভিল সমস্যাগুলোতে অসীম সংখ্যক আইগেন মান থাকে এবং সংশ্লিষ্ট আইগেন ফাংশনগুলো একটি সম্পূর্ণ, লম্বিক সেট তৈরি করে, যা লম্বিক সম্প্রসারণকে সম্ভব করে তোলে। এটি ফলিত গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের একটি মূল ধারণা। স্টার্ম-লিউভিল সমস্যাগুলো নির্দিষ্ট আংশিক-ব্যবকলনীয়-সমীকরণসমূহের বিশ্লেষণেও দরকারী।
সমাধানের অস্তিত্ব এবং অনন্যতা
সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক মান সমস্যাগুলোর সমাধানসমূহের অস্তিত্ব এবং অনন্যতাকে স্থানীয় এবং সার্বজনীন উভয় ক্ষেত্রেই প্রতিষ্ঠা করে এমন বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে।
এই উপপাদ্য দুটির প্রতিটির মৌলিক রূপ কেবল স্থানীয় ফলাফলের নিশ্চয়তা দেয়, যদিও একটি সার্বজনীন ফলাফল পাওয়ার জন্য শেষোক্ত উপপাদ্যটিকে প্রসারিত করা যেতে পারে, উদাহরণ হিসেবে যদি গ্রোনওয়ালের অসমতার শর্তগুলো পূরণ করা হয়।
এছাড়াও, অনন্যতার উপপাদ্যগুলো উপরের লিপশিৎজ উপপাদ্যের মতো ব্যবকলনীয় জ্যামিতিক সমীকরণের ব্যবস্থাগুলোতে প্রয়োগ করা হয় না, যে ব্যবস্থাগুলোর জন্য কেবল এদের (অ-রৈখিক) বীজগাণিতিক অংশ থেকে উদ্ভূত একাধিক সমাধান থাকতে পারে।
স্থানীয় অস্তিত্ব এবং অনন্যতা উপপাদ্যের সরলীকৃত রূপ
উপপাদ্যটি সহজ ভাষায় নিম্নরূপভাবে বলা যেতে পারে।
উপর্যুক্ত সমীকরণ এবং প্রাথমিক মান সমস্যার জন্য, যদি F ফাংশনটি এবং ∂F/∂y অন্তরজটি x-y সমতলস্থ নিম্নোক্ত বদ্ধ আয়তক্ষেত্রটিতে অবিচ্ছিন্ন হয়:
এবং a ও b বাস্তব হয় (
a, b ∈ R
),
×
চিহ্নটি কার্তেসীয় গুণজকে, উপরন্তু তৃতীয় বন্ধনী চিহ্ন বদ্ধ ব্যবধিকে নির্দেশ করে, তাহলে কিছু
h ∈ R
এর জন্য একটি ব্যবধি I থাকবে, যেখানে
হবে এবং এই ব্যবধিতে উপর্যুক্ত সমীকরণটির জন্য ও প্রাথমিক মান সমস্যাটির জন্য সমাধানটি পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, এই ব্যবধিতে একটি সমাধান রয়েছে এবং এটি সেটি অনন্য। যেহেতু, F-কে রৈখিক হতে হলে কোনো সীমাবদ্ধতা নেই, তাই এটি অ-রৈখিক সমীকরণসমূহের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যে অ-রৈখিক সমীকরণগুলো F(x, y) আকার ধারণ করে। উপরন্তু এটি সমীকরণের ব্যবস্থাতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে।
সমাধানের সার্বজনীন অনন্যতা এবং সর্বোচ্চ ডোমেইন
যখন পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যের অনুমিতিগুলো মেনে চলা হয়, তখন স্থানীয় অস্তিত্ব এবং অনন্যতাকে একটি বৈশ্বিক ফলাফলে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে। আরো সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়:
যেকোনো প্রাথমিক শর্ত (x0, y0) এর জন্য এমনই একটি অনন্য সর্বোচ্চ (সম্ভব হলে অসীম) খোলা ব্যবধি I_{\max} এর অস্তিত্ব রয়েছে:
যাতে করে, এই প্রাথমিক শর্ত পূরণ করে এমন যেকোনো সমাধান সেই সমাধানটির জন্য একটি বাঁধা হয় যে সমাধানটি এই প্রাথমিক শর্তকে I_\max ডোমেইন সহযোগে মেনে চলে।
যে ক্ষেত্রে, সে ক্ষেত্রে ঠিক দুটি সম্ভাবনা থাকে:
যেখানে, Ω হলো খোলা সেট, F যার মধ্যে সংজ্ঞায়িত। এবং হলো এর সীমানা।
লক্ষ্যণীয় যে, সমাধানের সর্বোচ্চ সমাধানটি
এর মানে এই যে F(x, y) = y2, পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যটি মেনে নিয়ে যা C1 এবং এর ফলে যা স্থানীয়ভাবে লিপশিৎজ-অবিচ্ছিন্ন।
তথাপি, এমন একটি সরল ব্যবস্থাপনায়, সকল \R সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেইন হতে পারে না, যেহেতু সমাধানটি হচ্ছে:
যার নিম্নোক্ত সর্বোচ্চ ডোমেইন রয়েছে:
এটা থেকে সুস্পষ্টভাবেই দেখা যাচ্ছে যে, সর্বোচ্চ ব্যবধি প্রাথমিক শর্তাবলির উপর নির্ভরশীল হতে পারে। y-এর ডোমেইনটিকে হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে, কিন্তু এটা করা হলে ব্যবধি নয় এমন একটি ডোমেইন পাওয়া যাবে। ফলতঃ, প্রাথমিক শর্তাবলির বিপরীতে গেলে প্রাথমিক শর্তাবলি সাথে থাকা সম্পর্কটি বিচ্ছিন্ন হয়ে যাবে এবং এর ফলে, প্রাথমিক শর্তাবলির বিপরীত অবস্থাটি প্রাথমিক শর্তাবলির মাধ্যমে অনন্যভাবে নির্ধারণ অসম্ভব হবে।
সর্বোচ্চ ডোমেইনটি \R হবে না, কারণ
যা উপরের উপপাদ্য অনুসারে সম্ভাব্য দুটি ঘটনার একটি।
মাত্রা বা ক্রমের সংকোচন
যদি কোনো ব্যবকলনীয় সমীকরণের মাত্রা বা ক্রমকে সংকুচিত করা যায় তাহলে একে সহজেই ব্যবকলন করা যায় অর্থাৎ সহজেই সমাধান বের করা যায়।
প্রথম ক্রমের ব্যবস্থায় সংকোচন বা রূপান্তর
n ক্রমের নিম্নোক্ত এক্সপ্লিসিট ব্যবকলনীয় সমীকরণটি বিবেচনা করা যাক:
এখন, i = 1, 2,..., n এর জন্য অজানা ফাংশনসমূহের একটি নতুন গুচ্ছকে সংজ্ঞায়িত করার মাধ্যমে উপর্যুক্ত এক্সপ্লিসিট ব্যবকলনীয় সমীকরণটিকে n প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের একটি ব্যবস্থারূপে লেখা যেতে পারে। তাহলে, প্রথম-ক্রমের সংযোজিত ব্যবকলনীয় সমীকরণসমূহের n-মাত্রিক ব্যবস্থাটি হবে:
ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে একে আরও সন্নিবিষ্টভাবে লিখলে পাওয়া যাবে:
যেখানে,
সঠিক সমাধানসমূহের সারসংক্ষেপ
কিছু ব্যবকলনীয় সমীকরণের এমন সমাধান রয়েছে যেগুলো সঠিক এবং বদ্ধ আকারে লেখা যায়। এখানে কয়েক শ্রেণির গুরুত্বপূর্ণ সমাধান দেওয়া হলো।
P(x)
,
P(y)
Q(y)
ও
M(x,y)
N(x,y)
x
b
হচ্ছে সুনির্দিষ্ট বাস্তব ধ্রুবক, আর
C1, C2, ...
হচ্ছে স্বেচ্ছাধীন ধ্রুবক (সাধারণত যেগুলো জটিল সংখ্যা)। ব্যবকলনীয় সমীকরণগুলোকে এদের সমতুল্য এবং বিকল্প আকারে দেওয়া রয়েছে, সমাকলনের মাধ্যমে যেগুলোর দ্বারা সমাধানের দিকে যাওয়া যায়।
যোগজ সমাধানের ক্ষেত্রে, λ এবং ε হলো কৃত্রিম বা অস্থায়ী চলক (সমষ্টিতে ব্যবহৃত সূচকসমূহের continuum সমরূপ), এবং
চিহ্নটি λ-এর সাপেক্ষে
F(λ)
λ = x
প্রতিস্থাপনকে কেবল বুঝিয়েছে, যেখানে ধ্রুবক যোগ করার ব্যাপারটি এড়ানো হয়েছে।
অনুমান নির্ভর পদ্ধতি
যখন সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধানের অন্যান্য সমস্ত পদ্ধতিই ব্যর্থ হয়, কিংবা যে ক্ষেত্রে একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধানটি কেমন হতে পারে সে সম্পর্কে নিজস্ব কিছু অন্তর্দৃষ্টি বা সূক্ষ্ম অনুমান থাকে, সেক্ষেত্রে কখনও কখনও সমাধানটি কী হবে সেটা অনুমান করে এবং এটি সঠিক কি না তা যাচাই করে ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধান করা সম্ভব। এই পদ্ধতিটি ব্যবহারের ক্ষেত্রে, ব্যবকলনীয় সমীকরণটির জন্য সাধারণভাবে একটি সমাধান অনুমান করে নেওয়া হয়, এবং তারপরে এই সমাধানটি উক্ত ব্যবকলনীয় সমীকরণটিকে মেনে চলে কি না তা যাচাই করার জন্য উক্ত ব্যবকলনীয় সমীকরণে সমাধানটি প্রয়োগ করে দেখা হয়। যদি সমাধানটি উক্ত সমীকরণকে মেনে চলে তাহলে একটি নির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া গেছে বলা যায়, এর অন্যথা হলে, পুনরায় অন্য একটি সমাধান অনুমান করে সেই একই প্রক্রিয়া চালানো হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণের জন্য আকারের সমাধান রয়েছে এমনটা অনুমান করা যেতে পারে, যেহেতু এটি এমনই একটি অতি সাধারণ সমাধান যা ভৌতভাবে সাইনোসাইডাল আচরণ করে।
নন-হোমোজেনাস প্রথম ক্রম সাব্যস-এর ক্ষেত্রে প্রথমেই ব্যবকলনীয় সমীকরণটির হোমোজেনাস অংশটির একটি "ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান" খুঁজে বের করা প্রয়োজন, অন্যথায় সমগ্র নন-হোমোজেনাস সমীকরণের জন্য সমাধান অনুমান করে নিয়ে কাঙ্ক্ষিত সমাধান বের করতে হবে।
অবশেষে, সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণের মোট সমাধান পেতে এই উভয় সমাধান একসাথে যোগ করা হয়। ফলে এটি হবে:
রাজা রামমোহন রায় পুরস্কার
রাজা রামমোহন রায় পুরস্কার হল প্রেস কাউন্সিল অব ইন্ডিয়া কর্তৃক প্রদত্ত একটি বার্ষিক পুরস্কার। পুরস্কারটি ভারতে সাংবাদিকতায় সবচেয়ে বেশি উৎকর্ষ সাধনকারী ব্যক্তিদের প্রদান করা হয়। এটি ভারতের ন্যাশনাল প্রেস ডে উপলক্ষে ১৬ ই নভেম্বর নতুন দিল্লিতে একটি বার্ষিক অনুষ্ঠানে উপস্থাপন করা হয়। এটি ২০১০ সালে প্রেস কাউন্সিল অব ইন্ডিয়া দ্বারা প্রবর্তিত বিভিন্ন ক্ষেত্রে "সাংবাদিকতায় শ্রেষ্ঠত্বের জন্য জাতীয় পুরস্কার"-এর মধ্যে একটি এবং ২০১৩ সাল থেকে পুরস্কৃত করা শুরু হয়েছিল।
সর্বপ্রথম ইন্ডিয়া টুডে-র সন্তোষ কুমার ও মালয়ালা মনোরমার সি.কে. শিবানন্দনকে অনুসন্ধানী সাংবাদিকতায় তার অসামান্য অবদানের স্বীকৃতিস্বরূপ রাজা রামমোহন রায় পুরস্কার প্রদান করা হয়েছিল। পুরস্কারটি প্রেস কাউন্সিল অব ইন্ডিয়া দ্বারা পরিচালিত হয়, এবং এটি ভারতের সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কার হিসাবে বিবেচিত হয় যা একজন সাংবাদিক সাংবাদিকতায় পেতে পারেন। এই পুরস্কার ২০২০ সাল পর্যন্ত মোট ৮ জন ব্যক্তিকে প্রদান করা হয়েছে।
স্ক্রিন র‍্যান্ট
স্ক্রিন র‍্যান্ট অনলাইন ভিত্তিক একটি বিনোদন সংবাদের ওয়েবসাইট যা ২০০৩ সালে চালু হয়। সাইটটি টেলিভিশন, চলচ্চিত্র, ভিডিও গেম এবং চলচ্চিত্রের তত্ত্বগুলি নিয়ে সংবাদ প্রকাশ করে। ভিক হোলট্রেম্যান নামক ব্যক্তি কর্তৃক এটি চালু হয়েছিল এবং এটির মূল সদরদপ্তর ছিল ইউটার অগডেনে।
২০১৫ সালে, ভালনেট, ইনক. নামক মন্ট্রিয়ল ভিত্তিক একটি অনলাইন মিডিয়া প্রকাশক স্ক্রিন র‍্যান্টকে অধিগ্রহণ করে।
রেগান রিজ
রেগান রিজ (লস এঞ্জেলেস, ক্যালিফোর্নিয়া, ২৩ অক্টোবর, ১৯৮৪) একজনঅ বসরপ্রাপ্ত মার্কিন পর্নোগ্রাফিক অভিনেত্রী এবং ইরোটিক মডেল এবং আমেরিকান বি-মুভি অভিনেত্রী।
গোপালপুর ইউনিয়ন, টুঙ্গিপাড়া
গোপালপুর ইউনিয়ন বাংলদেশের ঢাকা বিভাগের গোপালগঞ্জ জেলার টুঙ্গিপাড়া উপজেলার একটি ইউনিয়ন।
অবস্থান ও সীমানা
গোপালপুরের সীমানা :
পূর্বে ছত্রকান্দা (কাটালীপাড়া)
দক্ষিণে পাটগাতি ইউনিয়ন
পশ্চিমে রঘুনাথপুর ইউনিয়ন
উত্তরে হিরন ইউনিয়ন
শিক্ষা
শিক্ষার হার :
শিক্ষা প্রতিষ্ঠান
দর্শনীয় স্থান:
বেলেডাঙার বিল
কৃতী ব্যক্তিত্ব :
০১. কেশব লাল বালা
চিঙ্কি যাদব
চিঙ্কি যাদব একজন ভারতীয় মহিলা স্পোর্ট শ্যুটার, যিনি ২৫ মিটার পিস্তল বিভাগে প্রতিযোগিতা করেন। ২০১৯ এশিয়ান শুটিং চ্যাম্পিয়নশিপের ফাইনালের জন্য বাছাই হয়ে তিনি ২০২০ গ্রীষ্মকালীন অলিম্পিকে ভারতের পক্ষে একটি কোটা অর্জন করেছিলেন।