cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
জটিল সংখ্যা
জটিল সমতল
right|thumb| জটিল সমতলেz এবং এর কনজুগেট \bar{z} এর জ্যামিতিক প্রকাশ। জটিল সংখ্যা z কে দেখা যেতে পারে একটি দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার উপর একটি অবস্থান ভেক্টর হিসেবে। এই দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থাকে কে বলা হয় জটিল সমতল বা কম্পলেক্স প্লেন অথবা জেন-রবার্ট আরগ্যান্ড এর নামানুসারে আরগ্যান্ড সমতল (see and )। একটা জটিল সংখ্যা z কে তাই কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় একটা বিন্দু হিসেবে ভাবা যায়। কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় জটিল সংখ্যাটির x = Re(z) হচ্ছে x অক্ষ এবং একইভাবে y = Im(z) হচ্ছে y অক্ষ। একটি জটিল সংখ্যাকে এভাবে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশিত রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির আয়তাকার রূপ বা বীজগাণিতিক রূপ।
পরম মান, অনুবন্ধী এবং দূরত্ব
একটি জটিল সংখ্যা z=x+yi এর পরম মান (বা মডুলাস বা মান) হিসাব করা হয় দ্বারা।
পরম মানের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল:
এখানে z এবং w যেকোনো জটিল সংখ্যা। এখান থেকে আমরা পাই |1|=1 এবং. আমরা যদি জটিল সমতলে দূরত্বকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি যে, তাহলে জটিল সংখ্যার সেটটা একটা মেট্রিক স্পেস এ পরিণত হয় এবং তখন আমরা লিমিট বা সীমা এবং অবিচ্ছিন্নতা কে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।
একটি জটিল সংখ্যা z=x+yi এর অনুবন্ধী জটিল হচ্ছে x-yi':, যেটাকে \bar{z} বা z^*\, দ্বারা প্রকাশ করা হয়। চিত্র হতে আমরা দেখি \bar{z} হচ্ছে x অক্ষের সাপেক্ষে z প্রতিবিম্ব। তাইz+\bar{z} এবং উভয়ই বাস্তব সংখ্যা। জটিল সংখ্যা এবং তাদের অনুবন্ধী নিয়ে বেশ কিছু অভেদ বা সূত্র আছে।
শেষের সূত্রটি বিশেষ ভাবে ব্যবহৃত হয় যখন z কে কার্টেসিয়ান কো-অর্ডিনেটে দেওয়া থাকে।
জটিল সংখ্যার অপারেশন সমুহের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
X = 'A + 'B|thumb|alt=জটিল সংখ্যা X = AB|right|thumb X = A*|right|thumb
জটিল সংখ্যার যোগ, গুণ এবং অনুবন্ধীকরণ অপারেশন গুলো সাধারণ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা মেনে চলে।
এই জ্যামিতিক ইন্টারপ্রিটেশন এর সাহায্যে জ্যামিতিক সমস্যা কে অ্যালজেব্রিক (এখানে অ্যালজেব্রা শব্দটি প্রচলিত বীজগণিত থেকে একটু আলাদা) সমস্যায় পরিবর্তন করা যায় এবং একই ভাবে অ্যালজেব্রিক সমস্যাকে জ্যামিতিক সমস্যায় হিসেবে দেখা এবং সমাধান করা যায়। যেমন, একটা একটা সম ১৭-ভুজ তৈরির জ্যামিতিক সমস্যা কে অ্যালজেব্রিক্যালি x17 = 1 এই সমীকরণের সাহায্যে বিশ্লেষণ করা সম্ভব। যেখানে সমীকরণের সমাধান গুলো সেই ১৭-ভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো কে প্রতিনিধিত্ব করে।
পোলার আকৃতি
z = x+iy, এই কার্তেসীয় প্রকাশকে পোলার আকৃতিতেও প্রকাশ করা হয়। z এর আনুসাঙ্গিক পোলার স্থানাংকটি r =  |z| ≥ 0, যেটাকে বলা হয় পরম মান বা মডুলাস এবং φ = arg(z), যেটাকে বলা হয় z এর আর্গুমেন্ট অথবা  কোণ. যদি r = 0 হয় তখন φ এর যেকোনো মানের জন্যই z একই বিন্দু নির্দেশ করে। এক্ষেত্রে একটা অনন্য প্রকাশ (ইউনিক রিপ্রেজেন্টেশন) পাওয়ার জন্য arg(0) = 0। ধরা হয়। যদি r > 0 হয় তখন আর্গুমেন্ট φ মডুলো 2π; অনন্য(ইউনিক) হয়। অর্থাৎ, যদি যেকোনো দুইটি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট এর পার্থক্য 2π এর গুণিতক হয়, তখন তাদেরকে ইকুইভ্যালেন্ট বা সমতুল্য ধরা হয়। অনন্য পাওয়ার জন্য φ এর মানকে অনেক সময় (-π,π], অর্থাৎ, −π < φ ≤ π ব্যবধিতে আবদ্ধ করা হয়। তখন এই আর্গুমেন্ট কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলে। এভাবে কোনো জটিল সংখ্যাকে তার পোলার স্থানাংকে প্রকাশ করলে তাকে বলা পোলার আকৃতি বলা হয়।
কার্তেসীয় আকৃতি থেকে পোলার আকৃতিতে রূপান্তর
(দেখুন আর্গ ফাংশন এবং atan2.)
এই ফর্মুলা থেকে প্রাপ্ত φ এর মান (−π, +π] ব্যবধিতে আবদ্ধ। যেখানে y এর ঋণাত্মক মানের জন্য φ ও ঋণাত্মক। যদি শুধু মাত্র [0, 2π) ব্যবধির ধনাত্মক সংখ্যা প্রয়োজন হয়। তখন সূত্র থেকে প্রাপ্ত φ এই এর মানের সাথে ''2π': যোগ করে নিতে হবে।
পোলার আকৃতির চিহ্ন
পোলার আকৃতিতে সাধারণত প্রকাশ করা হয় আকারে। এটাকে বলা হয় ত্রিকোণমিতিক আকৃতি, কখনো কখনোcis φ দ্বারা cos φ + i sin φ. বোঝানো হয় তখন লেখা হয় z = r cis φ অয়লার’স ফর্মুলা বা অয়লারের সূত্র ব্যবহার করে জটিল সংখ্যার আরেকটা সুন্দর প্রকাশ হচ্ছে যেটাকে বলা হয় এক্সপনেনশিয়াল আকৃতি
পোলার আকৃতিতে গুণ, ভাগ, ঘাত এবং মূল নির্ণয়
এবং
পূর্ণ সংখ্যার ঘাতের জন্য দ্য মরগানের সূত্র অনুসারে আমরা পাই,
যেখান থেকে পাওয়া যায়,
দুইটি জটিল সংখ্যার যোগ কোনো ভেক্টর সমতলে দুইটি ভেক্টরের যোগের মতোই। আর দুইটি জটিল সংখ্যার গুণকে দেখা যেতে পারে একই সাথে প্রয়োগ করা একটা রোটেশন বা ঘূর্ণন এবং স্ট্রেচিং বা বিবর্ধনের মত।
i দিয়ে গুণ করাকে দেখা যেতে পারে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটা 90 ডিগ্রি (π/2 রেডিয়ান) ঘূর্ণন হিসাবে। তাই জ্যামিতিকভাবে দেখলে i2 = −1 সমীকরণের অর্থ হলো দুইটা 90 ডিগ্রি ঘূর্ণন অর্থাৎ একটা 180 ডিগ্রি (π রেডিয়ান) ঘূর্ণন. এমনকি এই হিসাবে (−1) • (−1) = +1 কে জ্যামিতিক ভাবে দেখা যেতে পারে দুইটা 180 ডিগ্রি ঘূর্ণন হিসাবে।
যদি c একটি জটিল সংখ্যা হয় এবং n যদি একটা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তখন কোনো জটিল সংখ্যা z যদি zn = c এই সমীকরণ সিদ্ধ করে তাহলে z কে বলা হয় c এর n-তম মূল। যদি c=0 হয় তাহলে তার ঠিক n টি ভিন্ন ভিন্ন n-তম মূল থাকবে। এই n-তম মূল
গুো কে পাওয়া যাবে যদি আমরা c কে লিখি হিসাবে যেখানে r > 0 and φ, হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা তখন c এর n-মূ মূলসমুহের সেট হচ্ছে যেখানে \sqrt[n]{r} দ্বারা বাস্তব সংখ্যা r এর প্রচলিত n-তম ধনাত্মক মূল কে বোঝানো হয়। যদি c = 0, হয় তখন c এর n-তম মূল হয় শুধু মাত্র 0। যেখানে n-তম মূল হিসাবে এই 0 এর মাল্টিপ্লিসিটি n ধরা হয়।
জটিল সংখ্যা কতটা জটিল/বাস্তব/অবাস্তব/কাল্পনিক?
জটিল সংখ্যার সেটকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে এখান থেকে আমরা সহজেই দেখি যে যখন b=0. ঐতিহাসিকভাবে দেখলে জটিল সংখ্যার থিওরি ডেভেলপড হয়েছে বাস্তব সংখ্যার বেশ পরে। আমরা আগেই দেখেছি x^2=-1 এই ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে গিয়ে এই জটিল বা কাল্পনিক সংখ্যার উৎপত্তি। যেখানে একটি সমাধান হিসেবে x=i কে ধরা হয় যেন i^2=-1 হয়। এই i হলো আমাদের পরিচিত কাল্পনিক একক যার সাহায্যে গণিতের থিওরিসমূহ বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে জটিল সংখ্যার সেটে উন্নীত হয়।
অস্বচ্ছতার সূচনা
জটিল সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম অস্বচ্ছতার সূচনা হয় এর নামকরণ থেকে। ইংরেজি বা বাংলা, সব ভাষায় এই সংখ্যার পরিভাষা হচ্ছে ‘কম্পলেক্স’, ‘ইমাজিনারি’, ‘অবাস্তব’, ‘কাল্পনিক’ এবং সর্বোপরি ‘জটিল’ সংখ্যা। নাম শুনেই শিক্ষার্থীদের মনে সন্দেহপ্রবণতার সৃষ্টি হওয়া স্বাভাবিক।
একজন শিক্ষার্থী যখন প্রথম যোগ বা বিয়োগ শেখে তখন পরিচিত হয় ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সাথে। তখনও পর্যন্ত সে জানে যে ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তার সামনে উদাহরণ হিসেবে দেখানো হয় একটি ব্যাগে বলের সংখ্যার, বা একছড়া কলায় কলার সংখ্যা।
এরপর যখন সে পাটিগণিত শেখে, তখন পরিচিত হয় ভগ্নাংশের সাথে। তখন সে এই ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা কে কল্পনা করতে পারে অতিক্রান্ত দূরত্ব বা অন্যান্য উদাহরণ দিয়ে। যেমন, হয়তো একজন লোক ১ ১/২ কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করেছে।
এর পর বীজগণিত শেখার সময় যখন তার প্রথম পরিচয় হয় ঋণাত্মক সংখ্যার সাথে। এই সংখ্যাকে সে প্রথমে একটু সন্দেহপ্রবণ দৃষ্টিতে দেখে। কারণে এই সংখ্যার বাস্তব উদাহরণ সৃষ্টি করা সহজসাধ্য নয়। তার পরে এক সময় সে হয়ত এটা বুঝতে সেখে ঋণ এর ধারণা থেকে। যেমন, আমার কাছে কেউ 5 টাকা পায়, সেসময় আমার কাছে আর কোনো টাকা না থাকার অর্থ হলো ওই মুহূর্তে আমি -5 টাকার মালিক।
কিন্তু এরপর উচ্চতর গণিত শিখতে গিয়ে সে যখন পরিচিত হয় জটিল সংখ্যার সাথে, তখন তার পক্ষে এরকম বাস্তব উদাহরণ খুঁজে বের করা মুশকিল হয়ে যায়। কিছু বহুপদীর মূল এর সাহায্যে উদাহরণ দেওয়া হলেও সেগুলো সন্তোষজনক মনে হয় না। উপরন্তু সংখ্যাটির নাম ‘জটিল সংখ্যা’ যার আবার একটা ‘কাল্পনিক’ অথবা ‘অবাস্তব’ অংশ আছে। নামকরণ থেকে প্রাপ্ত এই বিভ্রান্তিকর তথ্যের জন্য তার পক্ষে জটিল সংখ্যাকে একটা সংখ্যা হিসেবে ‘ইমেজ’ বা কল্পনা করা কঠিন (বেশিরভা
তাহলে জটিল সংখ্যা কি?
আসলে সকল সংখ্যাই কাল্পনিক!! আমাদের অতিপরিচিত সংখ্যা 1,2,3,... -1 বা \sqrt{3} এরা সবই আমাদের মনের কল্পনা ! এসব সংখ্যাকে আমরা কল্পনা করে নিয়েছি আমাদের বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য এবং পর্যবেক্ষণের সাহায্যে নিশ্চিত হয়েছি যে আদর্শ অবস্থায় আমাদের গাণিতিক সমাধান গুলো ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান হিসেবেও কাজ করে। এ বিষয়ে মনে করা যেতে পারে যে, সব ধরনের গণিতের সূচনাই হয় কিছু ‘স্বীকার্যের’ উপর ভিত্তি করে। যে স্বীকার্যগুলো আমরা প্রমাণ ছাড়াই মেনে নিই(আসলে প্রমাণ সম্ভব নয়)। শুধু এই ‘পর্যবেক্ষণ’ থেকে যে তারা বাস্তব সমস্যার সমাধানে কার্যকরী এবং স্ববিরোধী নয়।
আমাদের পরিচিত বাস্তব সংখ্যা গুলিকে যেমন আমরা ব্যবহার করি বীজগণিত/পাটিগণিতের সাহায্যে আমাদের বাস্তব জগৎ এর সমস্যা সমাধান এর জন্য। তেমনি আমরা জটিল সংখ্যাকেও ব্যবহার করি কোয়ান্টাম মেকানিক্স, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান(দুইটি সম্পর্কিত, কিন্তু আলাদা বিষয়), কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রো ডাইনামিক্স ছাড়াও উচ্চতর গণিত বা বিজ্ঞানের এমন হাজার ক্ষেত্রে, যেখানে গাণিতিক সমীকরণ বা রাশিগুলো আমাদের বাস্তব জগৎ এর বিভিন্ন ঘটনা, পরিমাপ, এবং রাশিমালা নির্দেশ করে।
আসলে বীজগণিত শেখার শুরুতে একজন শিক্ষার্থী যেমন প্রশ্ন করে, " এই সমীকরণের বাস্তব অর্থ কি? a এর সাথে b কে যোগ করে কি লাভ? a বা b কি কোনো সংখ্যা হতে পারে?” তেমনই জটিল সংখ্যা নাম শুনে এবং z=a+ib আর i^2=-1 এ ধরনের (তখন পর্যন্ত তার গাণিতিক ধারণা অনুযায়ী) প্রথাবিবিরুদ্ধ সমীকরণ দেখে এবং এদের নাম “জটিল”, “অবাস্তব” এসব দেখে সে নিজেও এটাকে “অবাস্তব” ভাবতে শুরু করে। জটিল সংখ্যা শিক্ষার প্রাথমিক বাধা এটাই । অতএব, জটিল সংখ্যা ঠিক ততটাই জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব যতটা জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব অন্য আর সব সংখ্যা। তাই জটিল সংখ্যা, কাল্পনিক অংশ এসব নাম কে শাব্দিক অর্থে না নিয়ে জটিল সংখ্যা সম্পর্কে যে সঠিক চিত্রটা আমরা পেতে পারি তা হো ল।
অর্থাৎ, জটিল সংখ্যা অবাস্তব সংখ্যা নয়।(আক্ষরিক অর্থে)
একটি প্রচলিত বিভ্রান্তি
আমরা যখন জটিল সংখ্যার কাল্পনিক একক i\, কে হিসাবে দেখি তখন সহজেই একটা সমীকরণে পৌছতে পারি। এই সমীকরণ ও শিক্ষার্থীদের কাছে জটিল সংখ্যাকে জটিল বা অবাস্তব মনে হবার আরেকটা কারণ। কিন্তু এর ব্যাখ্যা হচ্ছে। \sqrt{ab} অপারেশন টি শুধু মাত্র তখনই ডিস্ট্রিবিউটিভ যখন a এবং b ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। তাই সমীকরণটি অশুদ্ধ। এই ভুল থেকে বাঁচার জন্য গাউস কর্তৃক প্রস্তাবিত পন্থা হচ্ছে, বর্গমূল এর মধ্যে ঋনাত্মক সংখ্যা এসে গেলেই প্রথমেই সেটাকে  আকারে লিখে নেওয়া যাতে পরবর্তীতে বর্গমূল চিহ্নের মধ্যে ঋনাত্মক চিহ্নের কোনো অপারেশন না হয়।
বাস্তব সংখ্যার কাল্পনিক ঘাত: অয়লারের তত্ত্ব
কোনো বাস্তব সংখ্যার কাল্পনিক ঘাত অয়লার এর তত্ত্ব অনুযায়ী বের করা যায়। তত্ত্ব টি নিম্নরূপ যেমনঃ
প্রয়োগ
"বাস্তব" এবং "কাল্পনিক" শব্দ দুটি অর্থবহ ছিল যখন জটিল সংখ্যাকে শুধু বাস্তব সংখ্যা সংক্রান্ত হিসাবে সাহায্যকারী ধারণা হিসাবে ব্যবহার করা হতো। যেখানে শুধু "বাস্তব অংশ" আক্ষরিক অর্থে "বাস্তব জগৎ"-এর প্রতিনিধিত্ব করত। পরবর্তীকালে, বিশেষ করে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের আবিষ্কারের পরে দেখা যায় যে বাস্তব সংখ্যার প্রতি প্রকৃতির কোনো অতিরিক্ত প্রীতি নেই। বরং অনেক "বাস্তব" ঘটনাই গাণিতিকভাবে বর্ণনার সময় জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক হয়ে পড়ে। ফলে জটিল সংখ্যার সেই "কাল্পনিক অংশ" "বাস্তব অংশের" মতই ভৌত বাস্তবতা নিয়ে হাজির হয়।
নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব
নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে প্রায়ই ভৌত ব্যবস্থাকে লাপ্লাস রূপান্তরের মাধ্যমে সময় ডোমেইন থেকে ফ্রিকোএন্সি ডোমেন-এ নিয়ে যাওয়া হয়। এর পর সেই ব্যবস্থার পোল এবং জিরো কে জটিল সমতলে বিশ্লেষণ করা হয়। রুট লোকাস, নাইকুইস্ট প্লট এবং নিকোল প্লট এইসব বিশ্লেষণী পদ্ধতিতে জটিল সমতলকে ব্যবহার করা হয়।
যেমন, রুট লোকাস পদ্ধতিতে পোল এবং জিরো সমুহ জটিল সমতলের বাম অর্ধতল নাকি ডান অর্ধতলে অবস্থিত তা বিশেষ ভাবে গুরুত্বপূর্ণ( অর্থাৎ, রুট এর বাস্তব অংশ শুন্য অপেক্ষা বড় নাকি ছোট)। যদি কোন সিস্টেমের পোল সমুহ, কোন সিস্টেমের জিরো যদি ডান অর্ধতলে থাকে তাহলে সিস্টেমটি ননমিনিমাম ফেজ সিস্টেম।
সিগন্যাল বিশ্লেষণ
সিগন্যাল বিশ্লেষণ এবং অন্য আরও কিছু ক্ষেত্রে জটিল সংখ্যাকে পর্যায়বৃত্ত ভাবে পরিবর্তনশীল সিগন্যাল এর গাণিতিক প্রকাশে ব্যবহার করা হয়। সাইন এবং কোসাইন দ্বারা প্রকাশিত কোনো বাস্তব ফাংশন যার প্রকাশে জটিল ফাংশন ব্যবহৃত হয় এবং সেখানে জটিল ফাংশনের বাস্তব অংশ সেই সিস্টেমের ভৌত পরিমাপ সমূহ প্রকাশ করে। যেমন নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের একটা সাইন তরঙ্গের জটিল প্রকাশে পরম মান |z| দ্বারা বিস্তার এবং আর্গুমেন্ট arg(z) দ্বারা ফেজ বা দশা নির্দেশিত হয়। যেখানে z হচ্ছে সেই সাইন তরঙ্গের জটিল সংখ্যায় প্রকাশিত রূপ।
ফুরিয়ার বিশ্লেষণে সময় কোনো সিগন্যালকে (যেটা বাস্তব সংখ্যার একটি ফাংশন আকারে প্রকাশিত) অনেকগুলো পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করতে জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়। এক্ষেত্রে ব্যবহৃত পর্যায়বৃত্ত ফাংশনগুলি এই, আকারের। ω দ্বারা কৌণিক গতি বোঝানো হয় এবং জটিল সংখ্যা z, পূর্বে বর্ণিত পদ্ধতিতে একই সাথে বিস্তার এবং দশা উভয়কেই ধারণ করে।
তড়িৎ প্রকৌশলে পরিবর্তনশীল বিভব এবং তড়িৎ প্রবাহের বিশ্লেষণে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহৃত হয়। রোধ, ধারক এবং আবেশক কে জটিল সংখ্যার সাহায্যে কম্পাঙ্কনির্ভর একটা একীভূত রাশিতে প্রকাশ করা হয়। যাকে আমরা বলি ইম্পিডেন্স. (যেহেতু i দ্বারা পরিবর্তী প্রবাহ প্রকাশ করে সেহেতু তড়িৎ প্রকৌশলি এবং পদার্থ বিজ্ঞানীগণ অনেক সময় কাল্পনিক একক i কে j লিখে প্রকাশ করে থাকে)। ইম্পিডেন্সের সাহায্যে পরিবর্তী প্রবাহ এবং বিভবের বিশ্লেষণে ব্যবহৃত এই গাণিতিক প্রক্রিয়াকে বলা হয় ফেজর ক্যালকুল্যাস। এই পদ্ধতিকে সম্প্রসারিত করে ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং এ প্রয়োগ করা হয়। যেখানে সিগন্যাল ট্রান্সমিট, কম্প্রেস এবং পুনরুদ্ধারে ফুরিয়ার বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।
ইমপ্রোপ্রার ইন্টিগ্রাল
ফলিত গণিতে অনেক বাস্তব সংখ্যার ফাংশনের ইম্প্রোপার ইন্টিগ্রাল বের করার জন্য জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়। এ ধরনের বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। (দেখুন কন্টুর ইন্টিগ্রেশন)
কোয়ান্টাম মেকানিক্স
জটিল সংখ্যার ফিল্ড কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়নের সাথে ওতপ্রোত ভাবে জড়িত। যেখানে সাধারণত জটিল সংখ্যা ভিত্তিক হিলবার্ট স্পেস কে অন্তর্নিহিত গাণিতিক সংগঠন হিসাবে ব্যবহার করা হয়। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল ভিত্তি- তথা শ্রোডিঙার সমীকরণ এবং হাইজেনবার্গের মেট্রিক্স মেকানিক্স- জটিল সংখ্যার সাহায্যে গঠিত।
আপেক্ষিকতা
বিশেষ আপেক্ষিকতা এবং সাধারণ আপেক্ষিকতাতে স্পেস-টাইম বা স্থান-কালএর মেট্রিকসংক্রান্ত কিছু সমীকরণ অনেক সরল হয়ে যায় যদি সময় কে কাল্পনিক সংখ্যার চলক হিসাবে প্রকাশ করা হয় (ক্লাসিক্যাল রিলেটিভিটিতে এধরনের ব্যবহার তেমন না থকলেও কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিতে এটা অত্যাবশ্যক)। আপেক্ষিকতায় ব্যবহৃত স্পিনর (সেটা টেন্সর এর একটা সাধারণীকৃত রূপ) এর জন্যেও জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক।
ফলিত গণিত
ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানের সময় সাধারণত, প্রথমে ক্যারেক্ট্যারিস্টিক ইকুয়েশনের জটিল মূল গুলো নির্ণয় এবং এর পরে পুরো সিস্টেম কে f(t) = ert আকারের বেস ফাংশনের সাপেক্ষে সমাধান করা হয়।
ফ্লুইড ডাইনামিক্স
ফ্লুইড ডাইনামিক্সে জটিল সংখ্যার ফাংশন দ্বারা দ্বিমাত্রিক পোটেনশিয়াল ফ্লো প্রকাশ করা হয়।
ফ্র্যাক্টাল
কিছু কিছু ফ্র্যাক্টাল জটিল সমতলে প্লট করা হয়। যেমন, ম্যান্ডেলব্রট সেট এবং জুলিয়া সেট ইত্যাদি।
পরিভাষা
(পড়বার সূত্র: English term (বাংলা লিপিতে ইংরেজি শব্দের ধ্বনিভিত্তিক উচ্চারণ) - বাংলা পরিভাষা)
রুক্মিণী মৈত্র
রুক্মিণী মৈত্র (জন্ম: ২৭ জুন ১৯৯১) হলেন একজন ভারতীয় বাঙালি অভিনেত্রী ও মডেল। তিনি বহু আঞ্চলিক, জাতীয় ও আন্তর্জাতিক পন্য ও ম্যাগাজিনে শুভেচ্ছা দূত হিসাবে কাজ করেছেন। এর মাধ্যমে তিনি নিজেকে প্রতিষ্ঠা করেছেন। রুক্মিণী মৈত্রের অভিনীত প্রথম চলচ্চিত্র চ্যাম্প মুক্তি পায় ২০১৭ সালে।
প্রথম জীবন
রুক্মিণী মৈত্র হলেন সৌমেন্দ্রনাথ মৈত্র ও মধুমিতা মৈত্র'র কন্যা। রুক্মিণী মৈত্রের দাদা হলেন রাহুল মৈত্র। রুক্মিণী এসেছেন উচ্চ শিক্ষিত পরিবার থেকে। তার ঠাকুরদা এন.বি. মৈত্র পেশায় একজন আইনজীবী । রুক্মিণী বিদ্যালয়ের পড়াশোনা শেষ করেন কারমেল কন্ভেট স্কুল থেকে। এর পর তিনি এমবিএ করেন লরেটো কলেজ, কলকাতা থেকে।
কর্মজীবন
রুক্মিণী মৈত্র ১৩ বছর বয়সেই মডেলিং -এর সঙ্গে যুক্ত হন।তার প্রতিটি বিজ্ঞাপনের চুক্তির পর আর পিছনে ফিরে তাকাতে হয়নি। সে আঞ্চলীক, জাতীয় ও আন্তর্জাতিক বহু পণ্যে বিজ্ঞাপনের কাজ করেছেন। যেমন- রিলায়েন্স, লাকমে, ভোডাফোন, সানসিল্ক, প্যারাসুট, টাইটান, টাটা টি, রাডো, ফেমিনা, রয়াল স্টাগ, পিসি চন্দ্র জুয়েলার্স ,ভিমা জুয়েলার্স, আজভা, সেনকো গোল্ড, আইটিসি, বিগ বাজার এফবি, লাক্স, ইমামি, এবং তিনি কাজ করেছেন ফ্যাশন ডিজাইনার - মাসাবা গুপ্তা, অনিতা ডুংরি, সুনিতা বর্মা, দেব আর লিন, অঞ্জু মদি প্রমুখ ব্যক্তিদের সঙ্গে।
তিনি অতিতে বহু আঞ্চলিক ও জাতীয় চলচ্চিত্রে অভিনয়ের অনুরোধ পেয়েছেন।তিনি মডেলিং-এর জন্য চলচ্চিত্রে অভিনয় থেকে বিরত ছিলেন। তিনি বাংলা চলচ্চিত্র চ্যাম্প-এ দেবের বিপরীতে অভিনয়ের দ্বারা চলচ্চিত্র জগতে পদার্পণ করেছিলেন। চলচিত্রটি ২০১৭ সালে মুক্তি পেয়েছিলো। চলচিত্রটি বক্সিং খেলার গল্পের এর উপর নির্মিত। এই ধরনের চলচ্চিত্র বাংলায় প্রথম নির্মিত।      মুভিটির বাজেট ছিলো ৫ কোটি রুপি এবং আয় করেছিলো ৮.৯০ কোটি রুপি। এছাড়াও আরো চারটি বাংলা মুভিতে অভিনয় করেছেন। এবং চারটাতেই তার সহশিল্পী ছিলেন দেব। সম্প্রতি মুক্তি পাওয়া সানাক মুভির মাধ্যমে বলিউডে ডেব্যু হয় তার। মুভিতে তিনি বিদ্যুৎ জামওয়াল এর বিপরীতে ছিলেন।
জেফ বেজোস
জেফরি প্রেস্টন জেফ বেজোস একজন মার্কিন ইন্টারনেট উদ্যোক্তা এবং বিনিয়োগকারী। তিনি একজন প্রযুক্তি উদ্যোক্তা যিনি ই-কমার্সের বৃদ্ধিতে মুখ্য ভূমিকা পালন করেছেন। তার নেতৃত্বে আমাজন.কম ওয়ার্ল্ড ওয়াইড ওয়েব এর বৃহত্তম খুচরা বিক্রেতায় পরিণত হয়। ২০১৩ সালে তিনি দ্য ওয়াশিংটন পোস্ট ক্রয় করেন।
জীবনী
বেজোস ১৯৬৪ সালের ১২ জানুয়ারি মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের নিউ মেক্সিকো অঙ্গরাজ্যে জন্মগ্রহণ করেন। তিনি প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয় থেকে তড়িৎ প্রকৌশল ও কম্পিউটার বিজ্ঞান এ ব্যাচেলর অব সায়েন্স ডিগ্রি লাভ করেন। ২০১৯ সালে ফোর্বসের বিশ্বজোড়া কোটিপতি তালিকায় প্রথম তিনি । ১৩১ বিলিয়ন মার্কিন ডলারের মালিক জেফের পরিবার।
অ্যামাজন
১৯৯৪ সালের বসন্তে, বেজোস পড়েছিলেন যে ওয়েব ব্যবহার বছরে ২৩০০% হারে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং শেষ পর্যন্ত একটি অনলাইন বইয়ের দোকান স্থাপনের সিদ্ধান্ত নিয়েছে। তিনি এবং তার তত্কালীন স্ত্রী ম্যাকেনজি স্কট ডি ই শায় তাদের চাকরি ছেড়ে যান এবং নিউইয়র্ক সিটি থেকে সিয়াটলে ক্রস-কান্ট্রি ড্রাইভে তার ব্যবসায়িক পরিকল্পনা লেখার পরে ১৯৯৪ সালের ৫ জুলাই ওয়াশিংটনের বেলভ্যুতে একটি ভাড়া নেওয়া গ্যারেজে অ্যামাজন প্রতিষ্ঠা করেন । হেলমে বেজোস এবং স্কট এর অপারেশনে অবিচ্ছেদ্য ভূমিকা গ্রহণের সাথে-লেখার চেকগুলি, বইগুলির উপর নজর রাখা, এবং সংস্থার প্রথম ফ্রেইট চুক্তিগুলির সাথে আলোচনার সাথে-এই গ্যারেজ-চালিত অপারেশনটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বাড়ার জন্য ভিত্তি স্থাপন করা হয়েছিল। সিয়াটলে বসতি স্থাপনের আগে বেজোস ট্যাক্স প্রদান এড়াতে সান ফ্রান্সিসকো -র কাছে একটি ভারতীয় রিজার্ভেশনে তাঁর সংস্থা স্থাপনের তদন্ত করেছিলেন। বেজোস প্রথমে তার নতুন সংস্থা ক্যাডাব্রার নাম রেখেছিল তবে পরে দক্ষিণ আমেরিকার অ্যামাজন নদীর পরে নামটি পরিবর্তন করে অ্যামাজনে পরিণত হয়েছিল, কারণ নামটি বর্ণমালার শুরুতে এ চিঠি দিয়ে শুরু হয়েছিল। সেই সময়ে, ওয়েবসাইটের তালিকাগুলি বর্ণমালা করা হয়েছিল, সুতরাং গ্রাহকরা অনলাইন অনুসন্ধানগুলি পরিচালনা করলে "এ" দিয়ে শুরু করা একটি নাম শীঘ্রই উপস্থিত হবে। এছাড়াও, তিনি "অ্যামাজন" হিসাবে বিশ্বের বৃহত্তম নদীর নাম হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন যা তিনি আশা করেছিলেন যে বিশ্বের বৃহত্তম অনলাইন বইয়ের দোকানে পরিণত হবে তার জন্য উপযুক্ত। তিনি অ্যামাজনে বিনিয়োগ হিসাবে তাঁর পিতামাতার কাছ থেকে আনুমানিক 300,000 ডলার গ্রহণ করেছিলেন। তিনি অনেক প্রাথমিক বিনিয়োগকারীদের সতর্ক করেছিলেন যে অ্যামাজন ব্যর্থ হবে বা দেউলিয়া হয়ে যাবে এমন 70% সম্ভাবনা রয়েছে। যদিও অ্যামাজন মূলত একটি অনলাইন বইয়ের দোকান ছিল, বেজোস সর্বদা অন্যান্য পণ্যগুলিতে প্রসারিত করার পরিকল্পনা করেছিল। বেজোস অ্যামাজন প্রতিষ্ঠার তিন বছর পরে, তিনি এটিকে প্রাথমিক পাবলিক অফার (আইপিও) দিয়ে প্রকাশ করেছিলেন। ফরচুন এবং ব্যারনের সমালোচনামূলক প্রতিবেদনের প্রতিক্রিয়া হিসাবে, বেজোস বলেছেন যে ইন্টারনেটের বৃদ্ধি বর্ডারস এবং বার্নস এবং নোবেলের মতো বৃহত্তর বইয়ের খুচরা বিক্রেতাদের কাছ থেকে প্রতিযোগিতা ছাড়িয়ে যাবে।
1998 সালে, বেজোস সংগীত এবং ভিডিওর অনলাইন বিক্রয়ের জন্য বৈচিত্র্যযুক্ত এবং বছরের শেষের দিকে তিনি বিভিন্ন অন্যান্য ভোক্তা পণ্য অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সংস্থার পণ্যগুলি প্রসারিত করেছিলেন। বেজোস ছোট প্রতিযোগীদের আক্রমণাত্মক অধিগ্রহণের জন্য অর্থায়নের জন্য 1997 সালের ইক্যুইটি অফার চলাকালীন উত্থাপিত $ 54 মিলিয়ন ব্যবহার করেছিলেন। 2000 সালে, বেজোস ব্যাংকগুলি থেকে 2 বিলিয়ন ডলার ধার নিয়েছিল, কারণ এর নগদ ব্যালেন্সগুলি কেবল $ 350 মিলিয়ন ডলারে নেমেছে। ২০০২ সালে, বেজোস অ্যামাজনকে অ্যামাজন ওয়েব সার্ভিসেস চালু করতে পরিচালিত করেছিল, যা আবহাওয়া চ্যানেল এবং ওয়েবসাইট ট্র্যাফিক থেকে ডেটা সংকলন করেছিল। ২০০২ সালের শেষের দিকে, অ্যামাজন থেকে দ্রুত ব্যয় যখন রাজস্ব স্থবির হয়ে পড়ে তখন এটি আর্থিক সঙ্কট সৃষ্টি করে। সংস্থাটি প্রায় দেউলিয়া হয়ে যাওয়ার পরে, তিনি বিতরণ কেন্দ্রগুলি বন্ধ করে দিয়েছিলেন এবং অ্যামাজন কর্মীদের 14% ছাড়িয়েছিলেন। 2003 সালে, অ্যামাজন আর্থিক অস্থিরতা থেকে প্রত্যাবর্তন করেছিল এবং 400 মিলিয়ন ডলার লাভ করেছে। ২০০৮ সালের একটি টাইম প্রোফাইল অনুসারে, বেজোস এমন একটি ডিভাইস তৈরি করতে চেয়েছিলেন যা ভিডিও গেমগুলির অভিজ্ঞতার অনুরূপ পড়তে "প্রবাহের অবস্থা" অনুমতি দেয়। ২০১৩ সালে, বেজোস অ্যামাজন ওয়েব সার্ভিসের পক্ষে কেন্দ্রীয় গোয়েন্দা সংস্থা (সিআইএ) এর সাথে $ 600 মিলিয়ন ডলার চুক্তি অর্জন করেছিল। সেই বছরের অক্টোবরে, অ্যামাজন বিশ্বের বৃহত্তম অনলাইন শপিং খুচরা বিক্রেতা হিসাবে স্বীকৃত হয়েছিল।
বৈভব ও প্রতিপত্তি
২০১৯ সালে ফোর্বসের বিশ্বজোড়া কোটিপতি তালিকায় ১ম তিনি । ১৩১ বিলিয়ন মার্কিন ডলারের মালিক বেজোস পরিবার।
মোহাম্মদ ইসহাক
মোহাম্মদ ইসহাক (জন্ম: ১৯৩৫) একজন বাংলাদেশি ইসলামি পণ্ডিত ও রাজনীতিবিদ৷ তিনি হেফাজতে ইসলাম বাংলাদেশের সাবেক উপদেষ্টা ও খেলাফত মজলিসের বর্তমান আমির। তিনি আবদুল মোনেম খানের মন্ত্রীসভার সদস্য ছিলেন।
জীবনী
তিনি ১৯৩৫ সালে পাবনায় জন্মগ্রহণ করেন। সিরাজগঞ্জ হাজী আহমদ আলী আলিয়া মাদ্রাসা থেকে কামিল পাস করেন, এরপর ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় থেকে মাষ্টার্স শেষ করে এগ্রিকালচার এবং সিভিল ডিফেন্স ট্রেনিং কোর্স শেষ করেন। তিনি পাবনা কামিল আলীয়া মাদ্রাসার অধ্যক্ষ ছিলেন। রাজনীতি শুরু করেন জমিয়ত উলামায়ে ইসলাম দিয়ে। ছাত্রাবস্থায় বৃহত্তর পাবনা জেলার নেজামে ইসলাম পার্টির প্রচার সম্পাদক ছিলেন। স্বাধীনতা পরবর্তী মুসলিম লীগের ভাইস প্রেসিডেন্ট, হাফেজ্জি হুজুরের খেলাফত আন্দোলনের কেন্দ্রীয় কমিটির সদস্য এবং আজিজুল হকের খেলাফত মজলিসের মহাসচিব ও নায়েবে আমির ছিলেন। পূর্ব বাংলার শেষ গভর্নর মোনেম খাঁর মন্ত্রীসভায় বেসিক ডেমোক্রেটিক লোকাল গভর্নমেন্ট ডেভেলপমেন্ট বর্তমান (এলজিআরডি মন্ত্রণালয়)-এর মন্ত্রী ছিলেন।
মার্টিন কেন্ট
মার্টিন ফ্রান্সিস কেন্ট (Martin Kent; জন্ম: ২৩ নভেম্বর, ১৯৫৩) কুইন্সল্যান্ডের মসম্যান এলাকায় জন্মগ্রহণকারী প্রথিতযশা ও সাবেক অস্ট্রেলীয় ক্রিকেটার। অস্ট্রেলিয়া ক্রিকেট দলের অন্যতম সদস্য ছিলেন তিনি। ১৯৮১ সময়কালে সংক্ষিপ্ত সময়ের জন্য অস্ট্রেলিয়া দলের পক্ষে আন্তর্জাতিক ক্রিকেটে অংশগ্রহণ করেছেন। ঘরোয়া প্রথম-শ্রেণীর অস্ট্রেলীয় ক্রিকেটে কুইন্সল্যান্ড দলের প্রতিনিধিত্ব করেছেন। দলে মূলতঃ মাঝারিসারির ডানহাতি ব্যাটসম্যান হিসেবে খেলতেন মার্টিন কেন্ট।
ঘরোয়া ক্রিকেট
১৯৭৪ থেকে ১৯৮১ সাল পর্যন্ত প্রথম-শ্রেণীর ক্রিকেটে কুইন্সল্যান্ডের পক্ষে খেলেছেন মাঝারিসারির ব্যাটসম্যান মার্টিন কেন্ট। ১৯৭৪-৭৫ মৌসুমে কুইন্সল্যান্ডের পক্ষে অভিষেক ঘটা খেলায় ১৪০ রানের ইনিংস খেলেছিলেন তিনি। জিলেট কাপের পরের খেলায় করেন ৭৬ রান। এরপর পুরো মৌসুমে রান খরায় ভোগেন তিনি। তাসত্ত্বেও, ওয়েস্টার্ন অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ৫৮ ও সাউথ অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ৫৯ রানের ইনিংস খেলেছিলেন।
পরের মৌসুমের গ্রীষ্মে সাউথ অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ১০৩ ও ভিক্টোরিয়ার বিপক্ষে ১০১ রান তুলেন মার্টিন কেন্ট।
দক্ষিণ আফ্রিকা গমন
গ্রেগ চ্যাপেলের সাথে নিয়মিতভাবে ব্যাটিংয়ে জুটি গড়তেন। আমন্ত্রিত একাদশ ইন্টারন্যাশনাল ওয়ান্ডারার্সের সদস্যরূপে তৎকালীন নিষিদ্ধ ঘোষিত দক্ষিণ আফ্রিকা গমনের প্রস্তাবনা পান। ঐ দলটিতে চ্যাপেল ভ্রাতৃদ্বয় ও ডেনিস লিলি’র ন্যায় বিখ্যাত খেলোয়াড়ের অংশগ্রহণ ছিল। একমাত্র সদস্যরূপে মার্টিন কেন্টেরই আন্তর্জাতিক ক্রিকেট খেলার অভিজ্ঞতা ছিল না। ঐ সফরের মাত্র কয়েকদিন পূর্বে তিনি বৈবাহিক সম্পর্ক স্থাপন করেন ও তাদের মধুচন্দ্রিমা ঐ সফরে সম্পন্ন হয়।
কেন্ট বেশ ভালো খেলেন। ৫৫, ৬৭ ও ৫২ এবং ১৫৫ রানের ইনিংস খেলেন। ইন্টারন্যাশনাল ওয়ান্ডারার্সের পক্ষে রান সংগ্রহের দিক থেকে শীর্ষস্থানে ছিলেন ও ৫৬ গড়ে ৩৯৮ রান সংগ্রহ করতে পেরেছিলেন।
১৯৭৬-৭৭ মৌসুমের শুরুরদিক পর্যন্ত দল নির্বাচকমণ্ডলীর নজরে ছিলেন। সফরকারী পাকিস্তান একাদশের বিপক্ষে ১২২ রান ও সাউথ অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ৮২ রানের ইনিংস করা সত্ত্বেও উপেক্ষিত থাকেন তিনি। ১৯৭৭ সালে ইংল্যান্ড সফরের অ্যাশেজ সিরিজে অন্তর্ভুক্ত ঘটা ক্রেগ সার্জেন্ট, কিম হিউজ ও ডেভিড হুকসের তুলনায় এগিয়ে থাকলেও তাকে রাখা হয়নি।
বিশ্ব সিরিজ ক্রিকেট
ডব্লিউএসসি অস্ট্রেলীয় একাদশের সদস্যরূপে নিম্নমূখী রানের খেলায় ৪০, ৫৮ ও ১১০ রানের ইনিংসগুলো খেলেন। এরফলে, দ্বিতীয় সুপারটেস্টে তাকে রাখা হয়। কিন্তু উভয় ইনিংসেই তিনি ব্যর্থতার পরিচয় দেন। তবে, তৃতীয় সুপারটেস্টে অধিকতর ভালো খেলেন। ৪৩ ও ৪০ রানের ইনিংস খেলে অস্ট্রেলিয়াকে জয়লাভে সহায়তা করেন মার্টিন কেন্ট। কিন্তু, ৫ম সুপারটেস্টের উভয় ইনিংসে জোড়া শূন্য পান।
পরবর্তী গ্রীষ্মে ডব্লিউএসসি ক্যাভেলিয়ার্স একাদশের সদস্যরূপে গমন করেন। বিশ্ব একাদশের বিপক্ষে ১১৪ ও ৫৫ রানের ইনিংস খেলার পূর্ব-পর্যন্ত রান খরায় ভোগেন। একপর্যায়ে অস্ট্রেলিয়া একাদশে ফিরে কয়েকটি একদিনের খেলায় অংশ নেন। এ পর্যায়ে সর্বোচ্চ ৬২ রান তুলেছিলেন তিনি। সর্বশেষ সুপারটেস্টেও তিনি খেলার সুযোগ পান। এবারও উভয় ইনিংসে ব্যর্থ হন।
অস্ট্রেলিয়া একাদশের সদস্যরূপে মার্টিন কেন্ট ওয়েস্ট ইন্ডিজ গমন করেন। সুপারটেস্টের খেলাগুলোয় অংশ নেন তিনি। প্রথমটিতে ৯ ও ৩০ রান তোলার পর একদিনের খেলায় অস্ট্রেলিয়ার পক্ষে ১০৯ রান তুলেন। দ্বিতীয় সুপারটেস্টে ৭৮, তৃতীয়টিতে ৭ ও ৪৫, ৫১ ও ২৮ এবং ৪০ ও ০ রান তুলেন।
১৯৭৯-৮০ মৌসুমটিতে তেমন সুবিধে করতে পারেননি মার্টিন কেন্ট। কোন প্রথম-শ্রেণীর সেঞ্চুরি করতে না পারলেও ১৯৮০-৮১ মৌসুমে তার খেলা বেশ উপভোগ্য ছিল। ৫৮.৮১ গড়ে ৯৪১ রান তুলেন। তন্মধ্যে, তাসমানিয়ার বিপক্ষে ৭৭ ১৭১ ও ৬৮ সাউথ অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ৭৮ ও ১০১ এবং সাউথ অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ৭৮ ও ১০১ রান তুলেন। ম্যাকডোনাল্ডস কাপের চূড়ান্ত খেলায় কুইন্সল্যান্ডের পক্ষে ৪১ রান তুলে দলকে জয়লাভে সহায়তা করেন ও ম্যান অব দ্য ম্যাচের পুরস্কার পান।
আন্তর্জাতিক ক্রিকেট
সমগ্র খেলোয়াড়ী জীবনে তিন টেস্ট ও পাঁচটি একদিনের আন্তর্জাতিকে অংশগ্রহণের সুযোগ ঘটে মার্টিন কেন্টের। ১৯৭৯-৮০ মৌসুমের গ্রীষ্মের শেষ পর্যন্ত অস্ট্রেলিয়ার একদিনের দলের পক্ষে খেলার জন্য মনোনীত হন। ১২, ৩৩ ও ৩ রান সংগ্রহ করতে পেরেছিলেন তিনি।
১৯৮১ সালে ইংল্যান্ড গমনের উদ্দেশ্যে অস্ট্রেলিয়া দলে অন্তর্ভুক্ত করা হয় মার্টিন কেন্টকে। গ্রেগ চ্যাপেলকে এ সফরের জন্য মনোনীত করা হয়নি। অন্যদিকে কিম হিউজ শুরুতে ভেবেছিলেন যে, তিন নম্বরে ব্যাটিং করার জন্য কেন্টকে তার স্থলাভিষিক্ত করা হবে। তবে, শুরুরদিকের খেলাগুলোয় ব্যর্থ হলে ট্রেভর চ্যাপেলের দূর্দান্ত ৯১ রানের ইনিংস তার স্থলাভিষিক্ত করতে বাধ্য হয়।   একপর্যায়ে, চ্যাপেলকে মনোনীত করা হয় ও মার্টিন কেন্টকে দ্বাদশ ব্যক্তি হিসেবে অবনমন ঘটানো হয়।
খ্যাতনামা তৃতীয় টেস্টে ইংল্যান্ড জয় পায় ও কেন্ট দ্বাদশ ব্যক্তি ছিলেন। পূর্বেকার সর্বোচ্চ ২৭ রানকে পাশ কাটিয়ে ওরচেস্টারশায়ারের বিপক্ষে ৯২ রান তুলে স্বীয় শক্তিমত্তা প্রদর্শন করেন তিনি। ফলশ্রুতিতে, চ্যাপেলকে পাশ কাটিয়ে তাকে চতুর্থ টেস্টে খেলানো হয় ও চ্যাপেলকে দ্বাদশ খেলোয়াড়ে নিয়ে যাওয়া হয়।
এ সফরের দ্বিতীয়ার্ধ্বে কেন্ট অস্ট্রেলিয়ার অন্যতম সেরা ব্যাটসম্যান ছিলেন। এ পর্যায়ে তিনি ১৭১ রান করেন। তন্মধ্যে, পরিবর্তিত উদ্বোধনী ব্যাটসম্যান হিসেবে ওভালে অর্ধ-শতক করেছিলেন। ৪র্থ টেস্টে ৪৬ ও ১০, ৫ম টেস্টে ৫২ ও ২ এবং ৬ষ্ঠ টেস্টে ৫৪ ও ৭ রান করেন।
অবসর
১৯৮১-৮২ মৌসুমের শুরুতে কুইন্সল্যান্ডের সদস্যরূপে সফরকারী পাকিস্তান একাদশের বিপক্ষে ৯২ রানের ইনিংস খেলার মাধ্যমে বেশ ভালোভাবে শুরু করেন। গ্রাহাম ইয়ালপ ও ডার্ক ওয়েলহামের পরিবর্তে পাকিস্তানের বিপক্ষে সিরিজের প্রথম টেস্ট খেলার জন্য তাকে দলে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। তবে, গুরুতরভাবে পিঠের আঘাতের কারণে স্থানচ্যুত হন ও দলের বাইরে অবস্থান করতে বাধ্য হন তিনি। ঐ মৌসুমে ক্রিকেটের বাইরে অবস্থান করেন। এরপর আগস্ট, ১৯৮২ সালে সকল স্তরের ক্রিকেটকে বিদায় জানান মার্টিন কেন্ট।
মূল্যায়ন
সমগ্র খেলোয়াড়ী জীবনে ৬৪টি প্রথম-শ্রেণীর খেলায় অংশ নিয়েছিলেন মার্টিন কেন্ট। ৩৬.০৩ গড়ে ৩৫৬৭ রান তুলেন তিনি। তন্মধ্যে, তাসমানিয়ার বিপক্ষে ব্যক্তিগত সর্বোচ্চ ১৭১ রানের ইনিংস ছিল তার। চমৎকারভাবে স্লিপ ফিল্ডার হিসেবে মাঠে অবস্থান করে ৬০ ক্যাচ তালুবন্দী করেছেন।
Q
Q (উচ্চারণ: কিউ) লাতিন বর্ণমালার সপ্তদশ বর্ণ।
হুভার বাঁধ
হুভার বাঁধ মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের নেভাডা এবং আরিজোনা রাজ্যের সীমান্তে কলোরাডো নদীর ব্ল্যাক ক্যানিয়ন অঞ্চলে স্থাপিত একটি কংক্রিট খিলানের মাধ্যাকর্ষণ বাঁধ। এটি ১৯৩১ সাল থেকে ১৯৩৬ সালের মধ্যে মহামন্দার সময় নির্মিত হয়েছিল এবং ৩০ সেপ্টেম্বর ১৯৩০ সালে রাষ্ট্রপতি ফ্রাঙ্কলিন ডি রুজভেল্টের দ্বারা উৎসর্গিত হয়েছিল। হাজার হাজার শ্রমিকদের একটি বিশাল প্রচেষ্টার দ্বারা এটি নির্মাণ করা হয়েছিল এবং একশত বেশি মৃত্যুর ঘটনা ঘটেছিল নির্মাণকার্যে। মূলত ১৯৩৩ সাল থেকে বোল্ডার ড্যাম নামে পরিচিত বাঁধকে আনুষ্ঠানিকভাবে ১৯৪৭ সালে কংগ্রেসের যৌথ প্রস্তাব দ্বারা রাষ্ট্রপতি হার্বার্ট হুভারের নামে বাঁধের নামকরণ করা  হয় হুভার বাঁধ।
প্রায় ১৯০০ সাল থেকে ব্ল্যাক ক্যানিয়ন এবং কাছাকাছি বোল্ডার ক্যানিয়নকে বন্যা নিয়ন্ত্রণ, সেচের জল সরবরাহ এবং জলবিদ্যুৎকেন্দ্র তৈরির জন্য একটি বাঁধ স্থাপনের স্থান হিসাবে পরিদর্শন করা হয়। ১৯২৮ সালে কংগ্রেস প্রকল্প অনুমোদন করেছিল। বাঁধ নির্মাণের বিজয়ী দরপত্রটি সিক্স কোম্পানিজ, ইনক নামে পরিচিত একটি কনসোর্টিয়াম দ্বারা জমা দেওয়া হয়েছিল। ১৯৩১ সালের শুরুতে বাঁধ নির্মাণ শুরু করে সংস্থাটি। এই ধরনের একটি বড় কংক্রিট কাঠামো আগে কখনও তৈরি করা হয়নি এবং এর কয়েকটি কৌশল অমূল্য ছিল। উষ্ণ গ্রীষ্মকালীন আবহাওয়া এবং নির্মাণ স্থানের কাছাকাছি সুযোগ-সুবিধার অভাবগুলিও সমস্যার সৃষ্টি করে। তা সত্ত্বেও, ১ মার্চ  ১৯৩৬ সালে সিক্স কোম্পানিজ (বংলা:ছয় কোম্পানি) বাঁধটি যুক্তরাষ্ট্রীয় সরকারের হাতে তুলেদেয় ঘোষিত সময়সূচীর দুই বছর আগে।
হুভার বাঁধটি আয়তন (যখন এটি পূর্ণ হয়) বা জলধারণের ক্ষমতা অনুযায়ী আমেরিকার বৃহত্তম জলাশয় লেক মিড গঠন করে। বাঁধটি নেভাডার বেল্ডার শহরের কাছাকাছি অবস্থিত, যেটি  মূলত লাস ভেগাসের প্রায় ৩০ মাইল (৪৮ কিমি) দক্ষিণ-পূর্ব বাঁধ নির্মাণ প্রকল্পের কর্মীদের জন্য নির্মিত পৌরসভা। বাঁধের জেনারেটর নেভাডা, অ্যারিজোনা এবং ক্যালিফোর্নিয়ার জনসাধারণের ও ব্যক্তিগত ব্যবহারের জন্য বিদ্যুৎ শক্তি সরবরাহ করে। হুভার বাঁধ একটি প্রধান পর্যটন আকর্ষণ; প্রায় এক মিলিয়ন মানুষ প্রতি বছর এই বাঁধ ভ্রমণ করেন। হুভার বাঁধ বাইপাস চালু হবার পূর্বে বৃহত্তর ভ্রমণকারী মহাসড়ক মার্কিন রুট ৯৩ (মার্কিন ৯৩) অক্টোবর ২০১০ সাল পর্যন্ত বাঁধের উপর দিয়ে বিস্তৃত ছিল।
পুঁজির জন্য অনুসন্ধান
মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে দক্ষিণ-পশ্চিমাঞ্চলের বিকাশ ঘটে, কলোরাডো নদীটি সেচ জলের সম্ভাব্য উৎস হিসাবে দেখা হয়। ১৮৯০-এর দশকের শেষদিকে ভূমি ফটক উইলিয়াম বিটি মেক্সিকো সীমান্তের উত্তরে আলমো খালটি নির্মাণ করেছিলেন, তখন সেচের জন্য নদীকে বিচ্ছিন্ন করার প্রাথমিক প্রচেষ্টা হয়েছিল; একটি নির্জন এলাকাতে চলার আগে মেক্সিকোতে খালটি ডুবে গিয়েছিল। বেটিকে ইম্পেরিয়াল ভ্যালির নাম দেওয়া হয়েছিল। যদিও ইম্পেরিয়াল খাল থেকে জল উপত্যকায় বিস্তৃত বসতিতে প্রেরণের অনুমতি দেয়, তবে খালটি বজায় রাখার জন্য ব্যয়বহুল প্রমাণিত হয়। কলোরাডো নদী দ্বারা সাল্টন সাগরকে ভরাট করার ফলে একটি বিপর্যয় ঘটে। দক্ষিণ প্যাসিফিক রেলপথ ১৯০৬-০৭ সালে জলপথটিকে স্থিতিশীল করার জন্য $৩ মিলিয়ন ব্যয় করে। এই প্রকল্পে  যে পরিমাণ অর্থ ফেরত পাওয়ার প্রত্যাশিত ছিল, তা যুক্তরাষ্ট্রীয় সরকার দ্বারা ফিরিয়ে আনা হবে এমন ভবা হয়েছিল। জলপথটি স্থিতিশীল হওয়ার পরেও, সীমান্তের মেক্সিকান পার্শ্বের জমি মালিকদের সাথে বিরোধের কারণে এটি ব্যর্থ প্রমাণিত হয়েছিল।
বৈদ্যুতিক শক্তি সরবরাহ প্রযুক্তির উন্নতির কারণে, লোয়ার কলোরাডো জলবিদ্যুৎ-শক্তি সম্ভাব্যতার জন্য বিবেচিত হয়েছিল। ১৯০২ সালে লস এঞ্জেলেসের এডিসন ইলেকট্রিক কোম্পানি ৪০ ফুট (১২ মিটার) শিলা বাঁধ নির্মাণের আশায় নদীকে জরিপ করে, যা ১০,০০০ হর্সপাওয়ার (৭,৫০০ কেউডব্লিউ) তৈরি করতে সক্ষম। যাইহোক, সেই সময় বিদ্যুতের সরবরাহের সীমা ৮০ মাইল (১৩০ কিলোমিটার) ছিল এবং সেই সীমার মধ্যে মাত্র কয়েকজন গ্রাহক (বেশিরভাগ খনি) ছিল। হুভার বাঁধের স্থান হয়ে ওঠার বিকল্প সহ এডিসন নদীর উপর জমি অধিগ্রহণের জন্য ভূমি বিকল্পগুলি অনুমতি দেয়। এডিসন নদীর তলদেশে থাকা ভূমি বিকল্পগুলি ভেঙে দেওয়ার অনুমতি দেয়-হুভার বাঁধের স্থান হয়ে ওঠার জন্য একটি বিকল্প সহ।
পরবর্তী বছরগুলিতে, পুনরুদ্ধারকরণ ব্যুরো (বিওআর), এছাড়াও, সেই সময়ে পুনরুদ্ধার পরিষেবা হিসাবে পরিচিত; একটি বাঁধের জন্য লোয়ার কলোরাডোকে স্থান হিসাবে বিবেচিত করে। সার্ভিস প্রধান চীফ আর্থার পাওয়েল ডেভিস ড্যামনাইট ব্যবহার করে প্রস্তাবিত বাঁধের ২০ মাইল (৩২ কিলোমিটার) উত্তরে বোল্ডার ক্যানিয়নের দেয়াল ভেঙ্গে ফেলার প্রস্তাব দেন। নদীটি ধ্বংসাবশেষের ছোট ছোট টুকরো বহন করে নেবে এবং অবশিষ্ট ধ্বংসাবশেষকে অন্তর্ভুক্ত করে একটি বাঁধ নির্মাণ করা হবে। ১৯২২ সালে, বহু বছর ধরে এটি বিবেচনা করার পর, পুনরুদ্ধার পরিষেবাটি অবশেষে প্রস্তাবটি প্রত্যাখ্যান করে, অনির্বাচিত কৌশল সম্পর্কে সন্দেহ প্রকাশ করে এবং প্রশ্ন করে যে এটি আসলে অর্থ সঞ্চয় করবে কি না।
বিদ্যুৎ কেন্দ্র এবং জলের দাবি
বাঁধ ভিত্তি এবং মোড়ের জন্য খনন সঙ্গে পাওয়ার হাউস খনন একযোগে সম্পন্ন হয়েছিল। বাঁধের তলদেশে অবস্থিত এই ইউ-আকারের কাঠামোর খননটি ১৯৩৩ সালের শেষদিকে নভেম্বর ১৯৩৩ সালে প্রথম কংক্রিটের মাধ্যমে সাথে সম্পন্ন হয়। কংক্রিটের কাজ শেষ হওয়ার আগেই ১৯৩৫ সালের ১ ফেব্রুয়ারি লেকের মাটি ভরাট শুরু হয়। মে। ১৯৩৫  সালের ৩০ শে সেপ্টেম্বর আনুষ্ঠানিক উদ্বোধনের সময়ে পাওয়ার হাউস নির্মাণ একটি প্রকল্প অপূর্ণ ছিল; এটি এবং অন্যান্য কাঠামো শেষ করতে ৫০০ জন কর্মী কাজ চালিয়ে যায়। পাওয়ার হাউসের ছাদটিকে বোমা প্রতিরোধী করার জন্য, এটি কংক্রিট, রক এবং ইস্পাতের স্তরগুলি প্রায় ৩.৫ ফুট (১.১ মিটার) বেলে এবং বালির স্তর সহ শীর্ষে নির্মিত হয়।
১৯৩৬ সালের শেষার্ধে, লেক মিডে জলের স্তর বিদ্যুৎ উৎপাদনের অনুমতি দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণে ছিল এবং অ্যালিস চালার্স নির্মিত তিনটি  ফ্রান্সিস টারবাইন-জেনারেটর কাজ শুরু করে নেভাদার পার্শ্বে। ১৯৩৭ সালের মার্চ মাসে নেভাদার আরও একটি জেনারেটর  কাজ শুরু করে এবং আগস্টের মধ্যে প্রথম অ্যারিজোনার জেনারেটর কাজ শুরু করে। ১৯৩৯ সালের সেপ্টেম্বরের মধ্যে আরও চারটি জেনারেটর চালু ছিল এবং বাঁধের বিদ্যুৎকেন্দ্রটি বিশ্বের বৃহত্তম জলবিদ্যুৎ সুবিধা হিসাবে পরিণত হয়। চূড়ান্ত জেনারেটরটি ১৯৬১ সাল অবধি পরিষেবাতে রাখা হয়নি, তখন সর্বোচ্চ উতপাদনের ক্ষমতা ১,৩৪৫ মেগাওয়াট ছিল।  মূল পরিকল্পনায় নদীর তীরে  আটটি বৃহত জেনারেটর স্থাপনের কথা বলা হয়, তবে অ্যারিজোনা পার্শ্বে  জন্য ১ টির বৃহত জেনারেটরের পরিবর্তে দুটি ছোট জেনারেটর স্থাপন করা হয়। ছোট জেনারেটরগুলি এমন সময়ে ছোট সম্প্রদায়ের সেবা দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রতিটি জেনারেটরের উৎপাদন ক্ষমতা একটি একক পৌরসভায় উৎসর্গ করা হয়, বাঁধের মোট উৎপাদিত বিদ্যুৎ  গ্রিডের উপরে স্থাপন এবং ইচ্ছামত বিতরণযোগ্য করে তোলার আগে।
পরিবেশগত প্রভাব
হুভার বাঁধের নির্মাণ ও পরিচালনার ফলে জলের প্রবাহ এবং ব্যবহারের পরিবর্তনগুলি কলোরাডো নদী ডেল্টায় একটি বিশাল প্রভাব ফেলেছে। বাঁধটি নির্মাণের ফলে এই নদীর মোহনার বাস্তুতন্ত্রের অবনতি ঘটে। বাঁধটি নির্মাণের পরে ছয় বছর ধরে, লেক মিড ভরা অবস্থায় ছিল, ফলে নদীর মোহনায় কার্যত কোনও জল পৌঁছায়নি। একসময় ডেল্টার মোহনা থেকে  ৪০ মাইল (৬৪ কিলোমিটার) দক্ষিণে মিঠা জল-লবণাক্ত জল মিশ্রিত অঞ্চল ছিল। বাঁধ নির্মাণের ফলে এর বিপরীত দৃশ্য দেখা যায় এবং নদীর মুখের জলে লবণাক্ততার মাত্রা বৃদ্ধি পায়।
হুভার বাঁধ নির্মাণের আগে কলোরাডো নদী প্রাকৃতিক বন্যার ঘটনা ঘটত। বাঁধটি প্রাকৃতিক বন্যাকে দূরীভূত করেছিল, ফলে উদ্ভিদ ও প্রাণী বন্যার সাথে অভিযোজিত বহু প্রজাতির জীবনযাপনকে হুমকির মধ্যে ফেলেছিল এই বাঁধ। বাঁধটি নির্মাণের ফলে বাঁধ থেকে নদীর তলদেশে স্থানীয় মাছের জনসংখ্যা ধ্বংস হয়েছিল। কলোরাডো নদীর মূল প্রজাতির মাছের চারটি প্রজাতি বিপন্ন হিসাবে তালিকাভুক্ত রয়েছে, এই প্রজতিগুলি হল বনিটেল চাব, কলোরাডো পাইকমিনো, হ্যাম্পব্যাক চাব এবং রেজারব্যাক চুষুক ।
প্রধান প্রকৌশলী (বাংলাদেশ সেনাবাহিনী)
প্রধান প্রকৌশলী বা ইএনসি বাংলাদেশ সেনাবাহিনীর প্রধান প্রকৌশলী। যিনি সেনা সদর দফতরের প্রিন্সিপাল স্টাফ অফিসার বা পিএসও। তিনি প্রকৌশলী ব্যাটালিয়ন ও সামরিক প্রকৌশল সার্ভিস (এমইএস) এর প্রধান। বর্তমান প্রধান প্রকৌশলী হলেন মেজর জেনারেল জুবায়ের সালেহীন এসইউপি, এনডিইউ, পিএসসি।
গীতমোহন ত্রিপুরা
গীতমোহন ত্রিপুরা ত্রিপুরার একজন ভারতীয় রাজনীতিবিদ। তিনি ভারতের কমিউনিস্ট পার্টি (মার্ক্সবাদী) এর একজন সদস্য যিনি ১৯৯৮ সালে জোলাইবাড়ি থেকে নির্বাচনে জয়ী হন।
রাধনপুর রাজ্য
রাধনপুর (গুজরাটি: રાધનપુર) মুসলিম শাসক দ্বারা শাসিত ব্রিটিশ ভারতের একটি দেশীয় রাজ্য ছিল। ১৯৪৮ খ্রিষ্টাব্দের ১০ই জুন এই রাজ্যকে ভারতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়।
ইতিহাস
রাধনপুরের ফৌজদার বাবি রাজবংশের প্রথম জওয়ান মর্দ খান ১৭২৯ খ্রিষ্টাব্দে নবাব উপাধি ধারণ করেছিলেন, কিন্তু এই অঞ্চলের প্রকৃত স্বাধীন নবাব হিসেবে তার পুত্র দ্বিতীয় জওয়ান মর্দ খান প্রথম এই রাজ্য শাসন করেন। তিনি আহমেদাবাদ শহরে মারাঠা সৈন্যদের একটি অবরোধ প্রতিরোধ ও আক্রমণের বিরুদ্ধে প্রতিরক্ষার দায়িত্বে ছিলেন, কিন্তু পরে শহর সমর্পণ করতে বাধ্য হন। ১৭৫৩ খ্রিষ্টাব্দের ৩০শে মার্চ তাকে ক্ষতিপূরণ হিসেবে মারাঠারা পত্তন, বড়নগর, সামি, মুনিপুর, থরড়, বিশালনগর, খেরালু, রাধনপুর, বিজাপুর ও থরওয়ারাহ প্রভৃতি অঞ্চলের জায়গীর প্রদান করলে রাধনপুরকে কেন্দ্র করে তিনি স্বাধীন রাজ্য গঠন করেন। তার পৌত্র প্রথম মহম্মদ শের খান ১৮১৩ খ্রিস্টাব্দের ১৬ই ডিসেম্বর ব্রিটিশদের সঙ্গে সন্ধিচুক্তি করে তাঁর রাজ্যকে ব্রিটিশ রক্ষাধীন রাজ্যে পরিণত করেন। নবাব [[মহম্মদ জোরাওয়ার শের খান ও মহম্মদ বিসমিল্লাহ খানের রাজত্বকালে রাজ্যে আধুনিক শিক্ষাব্যবস্থা, বিচারব্যবস্থা, স্বাস্থ্যকেন্দ্র ও সেচব্যবস্থার উন্নতি সাধিত হয়। রাজ্যের অষ্টম নবাব দ্বিতীয় মহম্মদ শের খান নাবালক অবস্থায় সিংহাসনলাভ করলে ১৮৯৫ খ্রিস্টাব্দ থেকে ১৯০৭ খ্রিস্টাব্দ পর্যন্ত ডব্লিউ. বীল, ম্যালকম থমাস লাইড, জর্জ ব্রুডরিক ও'ডোনেল, ফ্রেডরিক উইলিয়াম ওডহাইস এবং নর্মান সিনক্লেয়ার কগহিল প্রভৃতি ব্রিটিশ আধিকারিকেরা রাজপ্রতিনিধি রূপে রাজ্যশাসন করেন। তাঁর আমলে রাজ্যে বিনামূল্যে শিক্ষাব্যবস্থার প্রচলন হয়। পরবর্তী নবাব মহম্মদ জালালউদ্দীন খানের রাজত্বকালে অভ্যন্তরীণ করপ্রদান ব্যবস্থাকে বাতিল করা হয়। রাজ্যের অন্তিম নবাব মুর্তজা খান ১৯৪৮ খ্রিস্টাব্দের ১০ই জুন তিনি সদ্যস্বাধীন ভারতের সঙ্গে রাজ্যের অন্তর্ভুক্তির চুক্তিতে স্বাক্ষর করেন। ১৯৭১ খ্রিস্টাব্দের ২৮শে ডিসেম্বর ভারত সরকার সংবিধান সংশোধন করলে রাজ্যের নবাব পদের বিলুপ্তি ঘটে।
নবাব
রাধনপুর রাজ্যের নবাবরা বাবি রাজবংশের একটি প্রশাখার অন্তর্গত। পরিবারগত দিক থেকে তাঁরা জুনাগড় ও বালাসিনোর রাজ্যের নবাবদের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত। এই রাজ্যের নবাবদের তালিকা নিম্নে প্রদত্ত হল -
আয়ুথায়া (নগর)
আয়ুথায়া (อโยธยา, ), আনুষ্ঠানিকভাবে থেস্টাবান মুয়াং আয়োথায়া (เทศบาลเมืองอโยธยา), ফ্রা নাখোন সি আয়ুথায়া প্রদেশের ফ্রা নখোন সি আয়ুথায়া জেলার একটি শহর। এটি একটি শহর (থেতসাবন মুয়াং ) যা টাম্বুনস ফাই লিং, হেনত্রা এবং খ্লং সুয়ান ফ্লুর কিছু অংশ জুড়ে রয়েছে।
বাস্তব সংখ্যা
গণিতে, বাস্তব সংখ্যা((ইংরেজি:Real number)) হলো একটি অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের মান যা একটি রেখা বরাবর দূরত্ব উপস্থাপন করে বা প্রদর্শন করে। অন্যভাবে বলা যায়, বাস্তব সংখ্যা হলো একটি পরিমাণ যাকে একটি অসীম সংখ্যক দশমিক প্রসারণ হিসেবে উপস্থাপন করা যায়। সপ্তদশ শতাব্দীতে, রেনে দেকার্ত, সর্বপ্রথম বহুপদী সমীকরণের বাস্তব এবং কাল্পনিক মূল বা বীজ এর পার্থক্য নির্দেশ করতে রিয়েল বা বাস্তব বিশেষণটি ব্যবহার করেন। বাস্তব সংখ্যা বলতে সকল মূলদ সংখ্যা যেমন: পূর্ণ সংখ্যা (–৫) এবং ভগ্নাংশ \frac{4}{3} বা ৪/৩ এবং সকল অমূলদ সংখ্যা যেমন-\sqrt{2} ২ এর বর্গমূল বা (১.৪১৪২১৩৫৬. . .) যা একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা প্রভৃতি অন্তর্ভুক্ত। এছাড়া, সকল ট্রান্সেডেন্টাল বা তুরীয় সংখ্যা যেমন- পাই (৩.১৪১৫৯২৬৫...)। বাস্তব সংখ্যা প্রায়শ পর্যবেক্ষণযোগ্য ভৌত বিষয় যেমন- সময়, ভর, শক্তি এবং একক মাত্রা, দূরত্ব, গতিবেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ প্রভৃতি পরিমাপকরণে ব্যবহৃত হয়। বাস্তব সংখ্যার সেটকে R অথবা \mathbb{R} এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। বাস্তব সংখ্যাগুলোকে একটি অসীম দৈর্ঘ্যের সরলরেখায় অবস্থিত পরস্পর সমদূরবর্তী অসংখ্য বিন্দু দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এই রেখাকে বলা হয়, সংখ্যারেখা বা বাস্তব সংখ্যা রেখা। যেকোনো বাস্তব সংখ্যা একটি সম্ভাব্য অসীম দশমিক উপস্থাপনা দ্বারা নির্ধারিত হতে পারে, যেমন- ৮.৬৩২ যেখানে প্রতিটি ক্রমিক অঙ্ক পূর্ববর্তী সংখ্যার এক দশমাংশের একক হিসেবে পরিমাপ করা হয়। বাস্তব সংখ্যারেখাকে একটি জটিল সমতলের অংশ ধরা হয় এবং বাস্তব সংখ্যাগুলো হলো ঐ সমতলে অবস্থিত জটিল সংখ্যার অংশ।
থাম্ব|বাস্তব সংখ্যাগুলোকে অসীম দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট সংখ্যারেখার অসংখ্য বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা হয়। বিশুদ্ধ গণিতের আধুনিক মান অনুযায়ী, বাস্তব সংখ্যার উপরিউক্ত বিবরণ যথেষ্ট সুসংজ্ঞায়িত নয়। প্রকৃতপক্ষে, উনবিংশ শতকের গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিকাশগুলোর মধ্যে একটি হলো- বাস্তব সংখ্যার সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা নির্ণয় ও তা অনুধাবন। বর্তমান আদর্শ স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা হলো যে, বাস্তব সংখ্যাগুলো আইসোমরফিজম পর্যন্ত একটি অনন্য ডিডেকাইন্ড-কমপ্লিট অর্ডারড ক্ষেত্র (\mathbb{R} ; + ; · ; <), তৈরি করে। অন্যদিকে, বাস্তব সংখ্যার জনপ্রিয় গঠনমূলক সংজ্ঞা হলো- (মূলদ সংখ্যার) কচি অনুক্রম, ডিডেকাইন্ড কাট, ও অসীম দশমিক প্রসারণ এর গাণিতিক প্রক্রিয়া এবং ক্রম সম্পর্ক সহ একত্রে সুনির্দিষ্ট ব্যাখ্যা অন্তর্ভুক্ত করে। এসব সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞার সমার্থক ও সমতুল্য। বাস্তব সংখ্যার সেট অসংখ্য সেট। এই অর্থে যে, সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং সব বাস্তব সংখ্যার সেট উভয়ই অসীম সেট, বাস্তব সংখ্যা থেকে স্বাভাবিক সংখ্যা পর্যন্ত কোনো এক-এক অপেক্ষক হতে পারে না।
প্রকৃতপক্ষে, সকল বাস্তব সংখ্যার অঙ্কবাচকতা প্রকাশ করা হয় "\mathfrak c" এই প্রতীক দিয়ে এবং একে কনটিয়ামের অঙ্কবাচকতা বলা হয়। আরো উল্লেখ্য যে, এটি অবশ্যই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট (যাকে \aleph_0, 'আলেফ-নট' বলা হয়) এর থেকে বৃহত্তম হবে। বাস্তব সংখ্যার অঙ্কবাচকতার এমন কোনো উপসেট নেই, যা সুনির্দিষ্ট ও সুস্পষ্টভাবে \aleph_0 থেকে বৃহত্তর এবং সুনির্দিষ্ট ও সুস্পষ্টভাবে \mathfrak c থেকে ক্ষুদ্রতর।— এমন বিবৃতিকে কনটিনিয়াম হাইপোথিসিস বলা হয়। আধুনিক গণিতশাস্ত্রের আদর্শ সংস্থা এর মতে— জারমেলো-ফ্রেংকেল সেট তত্ত্ব এবং নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ বা (জেএফসি) অনুযায়ী উপরিউক্ত বিবৃতিটি প্রমাণযোগ্যও নয়, আবার, খণ্ডনযোগ্যও নয়। বস্তুত, জেএফসি-এর কিছু মডেল কনটিনিয়াম হাইপোথিসিস এর শর্ত পূরণ করলেও, অন্যগুলো তা লঙ্ঘন করে।
ইতিহাস
খ্রিস্টপূর্ব ১০০০ অব্দ নাগাদ প্রাচীন মিশরীয়গণ সাধারণ ভগ্নাংশের ব্যবহার জানত; আবার, খ্রিস্টপূর্ব ৬০০ অব্দ নাগাদ প্রাচীন বৈদিক যুগে শূল্ব সূত্রের উল্লেখ পাওয়া যায়, যেখানে অমূলদ সংখ্যার বর্ণনা উল্লেখযোগ্য। খ্রিস্টপূর্ব ৭৫০-৬৯০ অব্দের দিকে ভারতীয় গণিতবিদ যেমন- মানব সংখ্যার অমূলদত্ব  সম্পর্কে জানতেন। তিনি কিছু সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করেন, যেমন- ২ ও ৬২ এর বর্গমূল। তবে তিনি এই সংখ্যাগুলোর বর্গমূল পুরোপুরি নিঁখুতভাবে নির্ণয় করতে পারেন নি।   প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের দিকে গ্রিক গণিতবিদ পিথাগোরাস অমূলদ সংখ্যার গুরুত্ব অনুধাবন করেন ও বিভিন্ন ক্ষেত্রে অমূলদ সংখ্যা ব্যবহার করেন। তিনি ২ এর বর্গমূলের অমূলদত্ব ব্যাখ্যা করেন।
মধ্যযুগে, ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা সম্পর্কে অবগত হয় এবং বিভিন্নক্ষেত্রে এগুলো ব্যবহার করতে থাকে। পরবর্তীতে, এসব গণিতবিদদের হাত ধরে আরবীয় গণিতবিদগণ উপরিউক্ত সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা ধারণার ব্যাপক উন্নয়ন সাধন করে। আরবীয় গণিতবিদগণ অমূলদ সংখ্যাকে বীজগাণিতিক বিষয় হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করে এবং এর ফলে তাদের দ্বারা অ্যালজেব্রা বা বীজগণিতের উদ্ভব ও বিস্তৃত বিকাশ সাধিত হয়। আরবীয় গণিতবিদগণ সংখ্যা এবং ব্যাপকতাকে একীভূত করে বাস্তব সংখ্যা ধারণা বিস্তারিত ব্যাখ্যা করেন। মিশরীয় গণিতবিদ আবু কামিল শুজা ইবনে আসলাম (৮৫০-৯৩০ খ্রিস্টাব্দ) সর্বপ্রথম অমূলদ সংখ্যার সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান নির্ণয় করেন। এছাড়া, তিনি সমীকরণের সহগ, যা প্রায়শ বর্গমূল, ঘনমূল এবং চতুর্থক মূল পর্যন্ত হয়, তা নির্ণয় করেন অমূলদ সংখ্যা বা বাস্তব সংখ্যার সাহায্যে। ষোড়শ শতকে, সাইমন স্টিভিন আধুনিক দশভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি ব্যাখ্যা করেন দিয়ে এবং জোর দিয়ে বলেন যে, দশ ভিত্তিতে মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যার কার্যপদ্ধতির মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। সপ্তদশ শতাব্দীতে, ডেকার্ত প্রথম বহুপদী সমীকরণের বীজ নির্ণয়ে "রিয়েল" বা "বাস্তব" শব্দ প্রয়োগ করেন। তিনি দেখান যে, বাস্তব সংখ্যা, "কাল্পনিক" বা "অবাস্তব" সংখ্যা থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন। ১৮দশ এবং ১৯শ শতকে, বাস্তব সংখ্যার অংশ অমূলদ সংখ্যা ও তুরীয় সংখ্যা নিয়ে ব্যাপক গবেষণা হয়েছে৷ জন হেনরিচ ল্যাম্বার্ট (১৭৬১) প্রথম প্রমাণ করেন যে, পাই মূলদ সংখ্যা হতে পারে না; যদিও প্রমাণটি ছিল ত্রুটিপূর্ণ। পরবর্তীতে, অ্যাড্রিয়েন ম্যারি ল্যাগেনড্রি (১৭৯৪) প্রমাণটি সম্পূর্ণ করেন, এবং আরো প্রমাণ করেন যে, পাই কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গমূল নয়। পাওলো রুফিনি (১৭৯৯) এবং নিলস্ হেনরিক আবেল (১৮৪২) উভয়েই আবেল-রুফিনি উপপাদ্য আবিষ্কার করেন এবং প্রমাণ করেন, পাটিগণিতীয় গাণিতিক প্রক্রিয়া ও সমীকরণের বীজ যুক্ত সাধারণ সূত্র দিয়ে, কুইন্টিক বা উচ্চতর সমীকরণগুলো সমাধান করা যাবে না। ফরাসি গণিতবিদ এভরিস্টে গ্যালোস (১৮৩২), একটি প্রদত্ত সমীকরণ সমাধানে র্যাডিকেল বা সমীকরণ বীজ ব্যবহার করার কৌশল আবিষ্কার করেন ও প্রদর্শন করেন। যাকে গ্যালোস তত্ত্ব বলা হয় ও যা সমীকরণ সমাধানে নতুন দিগন্ত তৈরি করে। ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ লিউভল (১৮৪০) প্রমাণ করেন যে, e অথবা e২, পূর্ণসংখ্যা ভিত্তিক দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ বা মূল হতে পারবে না। তিনি আরো প্রমাণ করেন, তুরীয় সংখ্যার অস্তিত্ব রয়েছে। জর্জ ক্যান্টর (১৮৭৩) এই প্রমাণটি সম্প্রসারণ করেন এবং খুব সংক্ষিপ্তভাবে পুনরায় এটি প্রমাণ করেন।
চার্লস হারমাইট (১৮৭৩) সর্বপ্রথম প্রমাণ করেন, e একটি ট্রানসেডেনটাল বা তুরীয় সংখ্যা। জার্মান গণিতবিদ ফার্ডিনান্দ ভন লিন্ডম্যান (১৮৮২) প্রমাণ করেন,  একটি ট্রানসেডেনটাল বা তুরীয় সংখ্যা। পরবর্তীতে, ওয়েরসট্রাস (১৮৮৫), লিন্ডম্যানের প্রমাণকে সরলীকরণ করেন, আরো পরে ডেভিড হিলবার্ট (১৮৯৩) এবং সর্বশেষ অ্যাডলফ হারউইটজ ও পল গর্ডন আধুনিকভাবে ঐ প্রমাণটি সম্পাদন করেন।  ১৮ শতকে ক্যালকুলাসের বিকাশে বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেটকে সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত না করেই ব্যবহার করা হতো। ১৮৭১ সালে জর্জ ক্যান্টর সুস্পষ্টভাবে ক্যালকুলাসে বাস্তব সংখ্যা সফল প্রয়োগ করেন। প্রথম সুস্পষ্ট সংজ্ঞা ১৮৭১ সালে জর্জ ক্যানটর দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। ১৮৭৪ সালে, তিনি দেখিয়েছেন, সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট অগণিতভাবে অসীম, কিন্তু সমস্ত বীজগাণিতিক সংখ্যার সেট গণনাযোগ্যভাবে অসীম। ব্যাপকভাবে প্রচলিত বিশ্বাসের পরিবর্তে বিশ্বাস করা হয়, তাঁর প্রথম পদ্ধতিটি, ১৮৭১ সালে প্রকাশিত বিখ্যাত ডায়গোনাল আর্গিউমেন্ট নয়।
বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্যসমূহ
যে সকল স্বীকার্যসমূহের উপরে বাস্তব সংখ্যা ধারণাটি প্রতিষ্ঠিত সেগুলি হচ্ছেঃ ইত্যাদি
রহিম ইয়ার খান
রহিম ইয়ার খান পাকিস্তানের পাঞ্জাব প্রদেশের একটি শহর।
জনসংখ্যা
১৯৯৮ সালে শহরের জনসংখ্যা ছিল ২৩৩,৫৩৭, তবে পাকিস্তানের ২০১১ সালের আদমশুমারি অনুসারে, জনসংখ্যা ১৯ বছরে প্রায় ৮০.০২% বৃদ্ধি পেয়ে বেড়ে দাঁড়িয়েছে ৪২০,৪১৯।
শিক্ষা
জেলার স্বাক্ষরতার হার দশম শ্রেণি স্তর বিদ্যালয়ের মোট ৩৮%, যা স্থানীয়ভাবে 'ম্যাট্রিক পরীক্ষায় স্নাতক' নামে পরিচিত।
শিক্ষা প্রতিষ্ঠান
শহরে কয়েকটি উল্লেখযোগ্য শিক্ষাপ্রতিষ্ঠান রয়েছে, এর কয়েকটি নিম্নরূপ:
অমূলদ সংখ্যা
অমূলদ সংখ্যা হল সেসব বাস্তব সংখ্যা যেগুলোকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না। অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক-এ প্রকাশ করার চেষ্টা করলে দশমিকের পর যত ঘর অবধি-ই দেখা হবে, কোন পৌনঃপুনিকতা (recurrence) দেখা যাবে না।
ইতিহাস
প্রাচীন গ্রিসে পিথাগোরাস সম্পর্কিত অমুলদ সংখার ইতিহাসটি বেশ রোমাঞ্চকর। হিপ্পসাস নামক পিথাগোরাসের শিষ্য( যারা পিথাগোরিয়ান নামে পরিচিত)\sqrt{2} আবিষ্কার করেন। হিপ্পসাস পিথাগোরাসের সদ্য আবিস্কৃত সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র (কোন সমকোনী ত্রিভূজের অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বৰ্গক্ষেত্রেরদ্বয়ের সমষ্টির সমান)ব্যবহার করে, দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ১ একক ধরে, অতিভুজ বের করতে গিয়ে একটা গোল বাধিয়ে ফেলেন। তিনি কিছুতেই অতিভুজ হিসাবে যে \sqrt{2} পেয়েছেন তার মান আর হিসাব করতে পারছিলেন না। পরে বুঝলেন যে, এটা আর সব অন্য মুলদ সংখ্যার মত নয়, যাদের দুইটি পুর্ণ সংখ্যার অনুপাত আকারে লেখা সম্ভব। পরবর্তিতে আরো এরকম সংখ্যা আবিস্কৃত হয়। আর গণিতবিদেরা এদের নাম দেন অমুলদ সংখ্যা। প্রাচীন ভারতবৰ্ষেও অমূলদ সংখ্যার চিহ্ন পাওয়া যায়৷ শ্রীনিবাস রামানুজন বলেছিলেন যে \sqrt{2} এর মান যতো খুশি ততো ঘর। অতি সুপরিচিত একটি অমুলদ সংখ্যা হচ্ছে বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত(যাকে গ্রিক অক্ষর পাই π দ্বারা নির্দেশ করা হয়)। π= ৩.১৪১৫৯২৬৫ .......
খলিলুল্লাহ খলিলি
খলিলুল্লাহ খলিলি  (১৯০৭-১৯৮৭; - খলিল্লাহ খলিলি; অন্যান্য উচ্চারণ 'খালিলুল্লাহ, খলিল উল্লাহ'')  আফগানিস্তানের বিংশ শতাব্দির প্রধানতম কবি এবং উল্লেখযোগ্য ঐতিহাসিক, কূটনৈতিক এবং দেশের বিশ্বস্ত বন্ধু। শাস্ত্রীয় ফার্সি কবিদের মধ্যে তিনি শেষতম কবি এবং আফগাণ কবিগণের মধ্যে তিনিই প্রথম আফগান সাহিত্যে আধুনিক ফার্সি কাব্য এবং নিমাই ধরন নিয়ে আসেন। তিনি খোরাসানি ধরনেও অভিজ্ঞ ছিলেন এবং ফারুকী সিসতানির অনুসারী ছিলেন। আফগান কবিদের মধ্যে ইরানে একমাত্র তারই প্রচুর ভক্ত রয়েছে এবং সেখানে তার বেশকিছু নির্বাচিত ইরানি ভাষায় প্রকাশিত হয়েছে। ইরানি সাহিত্যের নামকরা সাহিত্যিক এবং বুদ্ধিজীবিগণ তার রচনাগুলোর প্রশাংসা করেছেন। অনেকেই তাকে আফগানিস্তানের ফার্সি ভাষার সবচেয়ে উচুঁমানের সমসাময়িক কবি হিসেবে বিবেচনা করেন। তিনি "হিরু অব খোরাসান", আফগানিস্তানের আমির হাবিবুল্লাহ কালাকানির বিতকিত র্জীবনী, নামক জীবনী গ্রন্থের জন্যও তিনি  অধিক পরিচিত।
জীবনী
খলিলি আফগানিস্তানের কাবুল প্রদেশে ১৯০১ খ্রিষ্টাব্দে জন্মগ্রহণ করেন এবং হাবিবুল্লাহ কালাকানি যে গ্রমে জন্মেছেন তিনিও সেখানে জন্মগ্রহণ করেন। তিনি  একচেটিয়াভাবে [[ফার্সি ভাষা |ফার্সি ভাষায় সাহিত্য রচনা করেছেন এবং মাঝে মধ্যে তিনি তাজিক জাতীয়তাবাদ ধারণার সাথে সম্পৃক্ত ছিলেন। তিনি পশতু সাফি জাতিভুক্ত ছিলেন।  তার পিতা, মিজা মুহাম্মদ হুসেইন খান, রাজা হাবিবুল্লাহ খানের অর্থ মন্ত্রী ছিলেন এবং কাবুল ও জালালাবাদে তার নিজস্ব বাসভবন ছিল, কিন্তু পরবর্তীতে তিনি পদচ্যুত হন এবং আমানুল্লাহ খান, হাবিবুল্লাহ খানের পুত্র এবং উত্তরসূরী, কর্তৃক মৃত্যুদন্ড প্রদান করা হয়। তার মাতা আব্দুল কাদির খানের, আঞ্জলিক সাফি গোত্রের নেতা, কন্যা ছিলেন  খলিলির বয়স যখন সাত বছর তথন তার মাতা মারা যান।
খলিলি ১১ বছর বয়স পর্যন্ত কাবুলে বসবাস এবং পড়ালেখা চালিয়ে যান। যখন হাবিবুল্লাহ খান, আফগানিস্তানের রাজা, এর হত্যাকান্ডের পর, তার পুত্র আমানুল্লাহ খান তার পিতার শাসন ব্যবস্থা সংস্কার করেন এবং তার পিতার শাসন আমলের সময় নিয়োজিত খলিলির পিতাসহ অলেককেই গ্রেপ্তার করেন এবং মৃত্যুদন্ড প্রদান করেন।
সাহিত্যকর্ম
খলিলুল্লাহ খলিলি বহুমুখী প্রতিভার অধিকারী কবি ছিলেন। তিনি ৩৫ কাব্যগ্রন্থ প্রকাশ করেন যার মধ্যে তার বিখ্যাত সাহিত্য কর্ম "আসখা ওয়া হুনহা" (অশ্রু এবং রক্ত), সোভিয়েত দখলদারিত্বের সময় লিখিত, এবং "আয়ার-ই আয হোরাসান" (''হিরু অব হোরসান")ও রয়েছে। কিছু নির্বাচিত চতুষ্পদী শ্লোক এবং সম্প্রতী প্রকাশিত “পোকা-মাকড়ের সমাবেশ”, ব্যতীত তার অধিকাংশ সাহিত্যকর্ম সর্ম্পকে ইংরেজি সাহিত্যের পাঠকগণ অবহিত ছিলেন না।
অ্যাডলফ স্যাক্স
আয়ান্টনি-জোসেফ "অ্যাডলফ" স্যাক্স (৬ই নভেম্বর, ১৮১৪ - ৭ই ফেব্রুয়ারি, ১৮৯৪ খ্রিষ্টাব্দ) ছিলেন একজন বেলজিয়ান আবিষ্কারক ও সুরকার। তিনি স্যাক্সোফোন আবিষ্কার করেন।তিনি বাঁশি এবং সানাই বাজাতেন। তার অন্যান্য সৃষ্টিগুলোর মধ্যে রয়েছে স্যাক্সোট্রোম্বা, স্যাক্সহর্ন এবং স্যাক্সটুবা. ২০১৫ সালের ৬ নভেম্বর গুগল গুগোল ডুডোলের মাধ্যমে তার ২০১তম জন্মদিন পালন করে।
শৈশব ও কৈশোর
১৮১৪ খ্রিষ্টাব্দে ৬ নভেম্বর বেলজিয়ামের দিনান্তেতে আয়ান্টনি-জোসেফ স্যাক্স জন্মগ্রহণ করেন। তার পিতা- মাতা ছিলেন মি. ও মিসেস চার্লস জোসেফ স্যাক্স।. তার নামের প্রথম অংশ আয়ান্টনি হলেও তিনি শৈশব থেকেই অ্যাডলফ হিসেবেই পরিচিতি লাভ করেন। তার মা-বাবাও নিজেদের যন্ত্রের ডিজাইন করতেন। তারা (স্যাক্সের মা-বাবা) ফ্রেন্সহর্ণের ডিজাইনে কিছু পরিবর্তন এনেছিলেন। অ্যাডলফ ছোটবেলা থেকেই তার নিজের যন্ত্র তৈরি করা শুরু করেন। মাত্র ১৫ বছর বয়সে একটি প্রতিযোগিতার জন্যে তিনি দুটি বাঁশি ও একটি সানাই তৈরি করেছিলেন। পরবর্তীকালে তিনি ব্রাসেলস রয়েল সঙ্গীতবিদ্যালয়ে কণ্ঠ চর্চার পাশাপাশি ঐ যন্ত্র দু'টিরও চর্চা করেন।