cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
সূচকীকরণ
ধারা সংজ্ঞা
এই অসীম ধারা টি, যেটি প্রায়শই যে কোন ইচ্ছামূলক জটিল সূচকের জন্য এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন ez এর সংজ্ঞা হিসেবে গণ্য করা হয়, তা সকল জটিল সংখ্যা z এর জন্য সম্পূর্ণরূপে অভিসারী।
ক্লাব দেপোর্তিভো তেনেরিফে
ইতিহাস
ক্লাব প্রতিষ্ঠার প্রায় ৪৯ বছর পর, ১৯৬১–৬২ মৌসুমে তেনেরিফে প্রথমবারের মতো স্পেনের পেশাদার ফুটবলের শীর্ষ স্তর লা লিগায় অংশগ্রহণ করতে সক্ষম হয়েছিল। ১৯৬১ সালের সালের ৩রা সেপ্টেম্বর তারিখে, লা লিগায় ক্লাব ইতিহাসে নিজেদের প্রথম ম্যাচে তেনেরিফে রিয়াল সোসিয়েদাদের বিরুদ্ধে ৪–১ গোলের ব্যবধানে জয়লাভ করেছিল। তবে, তারা লা লিগায় তাদের প্রথম মৌসুমটি স্মরণীয় করে রাখতে পারেনি, কেননা ১৯৬১–৬২ লা লিগায় তারা ৬টি জয় এবং ৭টি ড্রয়ে মাত্র ১৯ পয়েন্ট অর্জন করে পয়েন্ট তালিকার ১৬তম দল হিসেবে লা লিগা হতে অবনমিত হয়েছিল।
সূচকীকরণ
ধারা সংজ্ঞা
যখন z সম্পূর্ণ কাল্পনিক, অর্থাৎ z = iy, যেখানে y বাস্তব, উপরের ধারাটি নিম্নরূপ ধারণ করে:
,
যা পুনর্বিন্যস্ত করে লেখা যায় (যেহেতু ধারাটি সম্পূর্ণভাবে অভিসারী)-
।
লিমিট সংজ্ঞা
থাম্ব|251x251পিক্সেল|এই অ্যানিমেশনটি পুনরাবৃত্ত গুণের মাধ্যমে প্রদর্শন করে যে, কীভাবে n এর মান (চিত্রে N) ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃদ্ধি পেতে থাকলে এর মান -১ এর দিকে অগ্রসর হয়। k = 0 ... n, এর জন্য এর মানগুলো হচ্ছে বহুভুজীয় পথের শীর্ষসমূহ, k এর জন্য যার সর্ব বামপ্রান্ত হচ্ছে । এটা দৃশ্যমান যে, k এর মান ক্রমশ বাড়তে থাকলে, তার সীমা -১ এর নিকটবর্তী হতে থাকে, যা অয়লারের অভেদ কেই চিত্রিত করে। এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন এর আরেকটি রূপায়ন হচ্ছে এর সীমা হিসেবে, যখন n এর মান অসীমের দিকবর্তী হয়। এই সংজ্ঞাতে n-তম শক্তিকে পোলার আকৃতি তে পুনরাবৃত্ত গুণ হিসেবে ধরে নিয়ে অয়লারের সূত্রের চিত্রায়নে ব্যবহার করা যায়। যে কোন জটিল সংখ্যাকে পোলার আকৃতি হিসেবে উপস্থাপন করা যায়, যেখানে r পরম মান ও θ আর্গুমেন্ট। দুটি জটিল সংখ্যা ও এর গুণফল ।
কোন জটিল সমতলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ ধরে নেওয়া যাক, যার শীর্ষগুলি হলো, ও । n এর বৃহৎ মানের জন্য, ত্রিভুজটি একক ব্যাসার্ধ ও ক্ষুদ্র কেন্দ্রস্থ কোণ রেডিয়ান বিশিষ্ট একটি প্রায় বৃত্তাকার ক্ষেত্র। এর আসন্ন মান হিসেবে একটি সংখ্যা বসানো যায় যার পোলার আকৃতি । সুতরাং, n অসীমের দিকবর্তী হলে এর সীমা এর দিকে অগ্রসর হতে থাকে; যা একক বৃত্ত টির ওপর ঐ বিন্দুটিকে নির্দেশ করে, ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে যার কোণের পরিমাপ x রেডিয়ান। কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা য় বিন্দুটির স্থানাংক , সুতরাং ; যা- আবারও- সেই অয়লারের সূত্রটিই; ধারার সংজ্ঞার মতো এখানেও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সাথে একই যোগসূত্র বহন করে।
পর্যায়বৃত্তি
এজন্য যদি এমন একটি জটিল সংখ্যা হয় যেন, তাহলে প্রত্যেক যা কে সিদ্ধ করে তা থেকে পাওয়া যায়, এর অর্থ, এর সাথে এর যে কোন পূর্ণ সংখ্যার গুণিতক যোগ করা হয়:
এর মানে, কোন পূর্ণ সংখ্যা k এর জন্য জটিল এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন, একটি পর্যাবৃত্ত ফাংশন যার পর্যায় ।
জটিল সংখ্যার শক্তি
অশূন্য জটিল সংখ্যার পূর্ণ-সাংখ্যিক শক্তিসমূহকে উপরের মত পুনঃপুনঃ গুণ বা ভাগের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি i কাল্পনিক একক ও n একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তাহলে n কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল (পরম মান) ০, ১, ২ নাকি ৩ - সেই অনুসারে in এর মান যথাক্রমে ১, i, ,অথবা -i । এ কারণে, i এর শক্তিসমূহ এককের মূল এর অনুক্রম প্রকাশ করার ক্ষেত্রে কার্যকরী।
ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জটিল শক্তিকে ওপরের ধনাত্মক বাস্তব ভিত্তিবিশিষ্ট জটিল সূচকসমূহ অংশের মত ex এর মাধ্যমে সংজ্ঞা দেওয়া হয়। এই ফাংশনগুলো অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
বাংলাদেশী সরকারসমূহের তালিকা
এটি বাংলাদেশের সরকারের মন্ত্রিসভার একটি তালিকা।
সূচকীকরণ
জটিল সংখ্যার শক্তি
এই ফাংশনগুলোকে সাধারণ ক্ষেত্রে তথা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা নয় এমন অপূর্ণ শক্তির জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে বর্ধিত করতে গেলে সমস্যার সম্মুখীন হতে হয়। হয় আমরা বিচ্ছিন্ন ফাংশন এর সংজ্ঞা দিই অথবা বহুমান-বিশিষ্ট ফাংশন এর। তবে দুটোর কোনটাই পুরোপুরি সন্তোষজনক নয়।
জটিল সংখ্যার মূলদ শক্তি অবশ্যই কোন বীজগাণিতিক সমীকরণের সমাধান হতে হয়। অতএব, সবসময়ই এর একটি সসীম সংখ্যক সম্ভাব্য মান থাকে। উদাহরণস্বরূপ, w = z১/২, সমীকরণ w২ = z এর সমাধান হতে হবে। কিন্তু যদি w একটি সমাধান হয়, তাহলে  -w ও আরেকটি সমাধান, কেননা (-১)২ = ১।  মুখ্যমান, যা একটি অনন্য কিন্তু কিছুটা ইচ্ছামূলক সমাধান, সাধারণ নিয়ম মেনে বেছে নেওয়া যায় এবং তা অমূলদ শক্তির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।
কোন রিম্যান তলের ওপর জটিল শক্তি ও লগারিদমকে একক-মান ফাংশন হিসেবে নিয়ে আরও স্বাভাবিকভাবে কাজ করা যায়। কোন একটি পৃষ্ঠ নির্বাচনের মাধ্যমে এদের একক-মান ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই মানটি আবার একটি শাখা খণ্ড (branch cut) বরাবর বিচ্ছিন্ন। অনেকগুলো সমাধান থেকে একটিকে মুখ্যমান হিসেবে বেছে নিলে এমন কতগুলো ফাংশন রয়ে যায় যারা অবিচ্ছিন্ন নয়, এবং শক্তির প্রচলিত নিয়মাবলি দ্বারা কাজ করতে গেলে তা আমাদের দিগভ্রান্ত করতে পারে।
জটিল লগারিদমের বহুমান ধর্মের কারণে, জটিল সংখ্যার যে কোন অমূলদ শক্তির অসংখ্য সম্ভাব্য মান থাকে। এগুলো থেকে একটি একক-মানকে মুখ্যমান হিসেবে বেছে নেওয়া হয়, যে নিয়ম মেনে তা বেছে নেওয়া হয় তার অন্যতম একটি বৈশিষ্ট্য হচ্ছে, কোন জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ ধনাত্মক ও কাল্পনিক অংশ শূন্য হলে যে মান পাওয়া যায়, তা ওপরে বাস্তব ভিত্তির জন্য বর্ণিত নিয়মে প্রাপ্ত মানের সমান হয়।
কোন বাস্তব সংখ্যাকে জটিল ঘাতে উন্নীত করার প্রক্রিয়া তার অনুরূপ জটিল সংখ্যার জন্য যে প্রক্রিয়া, তা থেকে ভিন্ন। তবে, উভয় ক্ষেত্রেই ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য মুখ্যমান একই হয়।
ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার শক্তিসমূহ সবসময় সংজ্ঞায়িত নয়, এমনকি যেখানে সংজ্ঞায়িত সেখানেও এরা বিচ্ছিন্ন। প্রকৃতপক্ষে, তারা শুধুমাত্র সংজ্ঞায়িত যখন তাদের সূচক একটি মূলদ সংখ্যা, যার হর একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা। যখন জটিল সংখ্যা নিয়ে কাজ করা হয়, তখন সাধারণত জটিল সংখ্যার প্রক্রিয়াগুলোই ব্যবহার করা হয়।
জটিল ভিত্তিবিশিষ্ট জটিল ঘাতসমূহ
কোন জটিল সংখ্যা w (w ≠ 0) ও z হলে, wz চিহ্নলিপিটি log w এর মতই দ্ব্যর্থক বা অস্পষ্ট।
wz এর মান নির্ণয়ের জন্য প্রথমে w এর লগারিদম, log w বেছে নেওয়া যাক। এই মানটি মুখ্যমান  হতে পারে (গতানুগতিক মান, যদি অন্য কোন নির্দেশনা না থাকে), অথবা log w এর অন্য কোন শাখা হতে প্রাপ্ত মানও হতে পারে, যা পূর্বনির্ধারিত থাকে। তাহলে, জটিল এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন ব্যবহার করে লেখা যায়-
এই সংজ্ঞাটি, পূর্ববর্তী সংজ্ঞা যেখানে w একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা ও log w এর (বাস্তব) মুখ্যমান ব্যবহার করা হয়, তার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।
যদি z একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তাহলে wz এর মান log w নির্বাচনের ওপর নির্ভরশীল নয়, এবং তা পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচকের সূচকীকরণের ক্ষেত্রে পূর্বে যে সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে, তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
যদি z (z > 0) একটি মূলদ সংখ্যা m/n (লঘিষ্ঠ আকার) হয়, তাহলে log w এর গণনাযোগ্যভাবে অসংখ্য মান (countably infinitely many) হতে wz এর কেবলমাত্র n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন মান পাওয়া যায়; এই মানগুলো হচ্ছে সমীকরণ sn = wm এর  n সংখ্যক জটিল সমাধান s।
যদি z একটি অমূলদ সংখ্যা হয়, তাহলে log w এর গণনাযোগ্য অসংখ্য মান থেকে wz এর অসংখ্য অনেক (infinitely many) ভিন্ন ভিন্ন মান পাওয়া যায়।
জটিল শক্তির হিসাব করা হয় ভিত্তি w কে পোলার আকৃতিতে রূপান্তরের মাধ্যমে, যা নিম্নে বিস্তারিত বর্ণনা করা হয়েছে।
একই রকম একটি কাঠামো চতুষ্টয় ব্যবস্থা (quaternions) এর ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা হয়।
এককের জটিল মূল
মূল নিবন্ধ: এককের মূল থাম্ব|220x220পিক্সেল|১ এর তিনটি তৃতীয় মূল যদি কোন জটিল সংখ্যা w এমন হয় যেন wn = ১, যেখানে n একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, তাহলে n হচ্ছে এককের একটি n–তম মূল। জ্যামিতিকভাবে, এককের n-তম মূলগুলো কোন জটিল তলে একটি একক বৃত্তের ওপর n–বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম বহুভুজের শীর্ষগুলোতে অবস্থিত, যার একটি শীর্ষ, বাস্তব সংখ্যা ১ এর ওপর থাকে।
যদি wn = ১ কিন্তু wk ≠ ১ হয়, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা k যেন 0 < k < n এর জন্য, w কে এককের আদি n–তম মূল বলা হয়। -১ হচ্ছে এককের একমাত্র আদি বর্গমূল। এককের চতুর্থ মূলের দুটি আদি মূলের মধ্যে একটি হলো কাল্পনিক একক i; অন্যটি হচ্ছে −i।
সংখ্যাটিকে লঘিষ্ট ধনাত্মক আর্গুমেন্ট-যুক্ত এককের n–তম আদি মূল বলা হয়। (একে কখনো কখনো এককের মুখ্য n–তম মূল বলা হয়, যদিও এই পরিভাষা সর্বজনীন নয় এবং n√১ এর মুখ্যমান, যার মান ১, তার সাথে সংমিশ্রণ অনুচিৎ।)
এককের অন্যান্য মূলগুলো পাওয়া যায়,
যে কোন জটিল সংখ্যার মূল
যদিও কোন সাধারণ জটিল লগারিদমের জন্য অসীমভাবে অনেক সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়, তবে wq এর জন্য, গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ একটি ক্ষেত্র যেখানে q = ১/n  ও n একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, সেক্ষেত্রে কেবল সসীম সংখ্যক মান বিদ্যমান। এগুলো হচ্ছে w এর n-তম মূলসমূহ; এরা zn = w সমীকরণটির সমাধানসমূহ। বাস্তব মূলের মত এক্ষেত্রেও দ্বিতীয় মূলকে বর্গমূল ও তৃতীয় মূলকে ঘনমূল বলা হয়।
গণিতে w১/n কে মূলের মুখ্যমান হিসেবে সচরাচর সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা প্রচলিত অর্থে, সেই n–তম মূল যার আর্গুমেন্ট এর পরম মান ক্ষুদ্রতম। যখন w একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তখন w১/n কে অনন্য ধনাত্মক বাস্তব n–তম মূল হিসেবে সংজ্ঞায়নের প্রচলিত প্রথার সাথে এটি সংগতিপূর্ণ। অন্যদিকে, w যদি ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা, এবং n একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে অনন্য n–তম মূলটি ক্ষুদ্রতম আর্গুমেন্টযুক্ত n–তম মূল দুটির কোনটিই নয়। এক্ষেত্রে, w১/n এর অর্থ প্রসঙ্গের ওপর নির্ভরশীল হতে পারে, এবং ত্রুটি এড়ানোর জন্য বিশেষ সতর্কতা অবলম্বন করতে হতে পারে।
কোন জটিল সংখ্যা w এর n-তম মূল এর মুখ্যমান w১/n কে এককের n-তম মূলগুলি দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়। যেমন, ১৬ এর চতুর্থ মূলগুলো হচ্ছে- ২, -২, ২i, এবং −২i, কেননা ১৬ এর চতুর্থ মূলের মুখ্যমান ২ ও -২, আর এককের চতুর্থ মূলগুলি হচ্ছে ১, −১, i, এবং −i।
জটিল শক্তির গণনা
অনেক ক্ষেত্রেই জটিল শক্তিসমূহের গণনা পোলার আকৃতিতে লিখে করলে তা তুলনামূলক সহজতর হয়। প্রত্যেক জটিল সংখ্যা কেই পোলার আকৃতিতে নিম্নরূপে লেখা যায়-
যেখানে r একটি অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা ও θ হচ্ছে z এর (বাস্তব) আর্গুমেন্ট। পোলার আকৃতির একটি সরল জ্যামিতিক ব্যাখ্যা আছে: যদি একটি জটিল সংখ্যা u + iv কোন জটিল সমতলে কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় একটি বিন্দু (u, v) কে নির্দেশ করে, তাহলে (r, θ) হচ্ছে পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায় ঐ একই বিন্দুটি। তার মানে, r হচ্ছে “ব্যাসার্ধ” r2 = u2 + v2 এবং θ হচ্ছে “কোণ” θ= atan2(v, u)। পোলার কোণ θ এর অর্থ অস্পষ্ট কেননা, 2π এর যে কোন পূর্ণ-সাংখ্যিক গুণিতক θ এর সাথে যোগ করলেও ঐ বিন্দুর অবস্থান একই থাকে। θ এর প্রতিটি মান থেকে সাধারণত ঐ শক্তির সম্ভাব্য ভিন্ন ভিন্ন মান পাওয়া যায়। একটি শাখা খণ্ড (brach cut) ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট একটি মান নির্বাচন করা যায়। মুখ্যমানটি (সবচেয়ে প্রচলিত শাখা খণ্ড) পাওয়া যায় যখন θ এর মান (-π, π] ব্যবধির মধ্যে থাকে। যেসব জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ ধনাত্মক ও কাল্পনিক অংশ শূন্য, তাদের ক্ষেত্রে মুখ্যমান ব্যবহার করে প্রাপ্ত মান অনুরূপ বাস্তব সংখ্যার সমান হয়।
জটিল ঘাত wz নির্ণয়ের জন্য w কে পোলার আকৃতিতে লেখা হয়:
এরপর
এবং এভাবে
।
যদি z কে ভেঙে c + di আকারে লেখা হয়, তাহলে wz এর সূত্রটি আরও স্পষ্টভাবে লেখা যায়-
সর্বশেষ এই সূত্রটি ভিত্তিকে পোলার আকৃতিতে ও ঘাতটিকে কার্তেসীয় আকৃতিতে নিয়ে সহজে জটিল শক্তি নির্ণয়ে সাহায্য করে। এটি এখানে পোলার ও কার্তেসীয় – উভয় আকারেই (অয়লারের অভেদ এর মাধ্যমে) দেখানো হয়েছে।
নিচের উদাহরণগুলিতে মুখ্যমান, যে শাখা খণ্ডে θ এর মান (−π, π] ব্যবধির মধ্যে থাকে, তা ব্যবহার হয়েছে। হিসাব করার জন্য i কে পোলার আকৃতি ও কার্তেসীয় আকৃতিতে লেখা হয়:
অতঃপর, উপরের সূত্রে r = ১, θ = π/২, c = 0, and d = ১ বসিয়ে পাওয়া যায়:
এবং উপরের সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়,
কোন শাখা ব্যবহৃত হয়েছে তার ওপর জটিল সংখ্যার মান নির্ভর করে। যেমন, যদি পোলার আকৃতি i = ১e৫πi/২ ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়, তাহলে নির্ণীত মান পাওয়া যায় e−৫π/২; ওপরে নির্ণীত এর মুখ্যমান হচ্ছে e−π/2। এর সকল সম্ভাব্য মানের সেট পাওয়া যায় নিম্নরূপে :
সুতরাং, প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যা k এর জন্য এর অসংখ্য সম্ভাব্য মান থাকতে পারে। তাদের সকলেরই কাল্পনিক অংশ শূন্য বলে কেউ বলতে পারে যে, এর অসীম সংখ্যক বৈধ বাস্তব মান বিদ্যমান।
শক্তি ও লগারিদমিক অভেদাবলির ব্যর্থতা
জটিল শক্তি ও জটিল লগারিদম যেভাবেই একক-মান ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হোক না কেন, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য কিছু কিছু শক্তি ও লগারিদমিক অভেদ, জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যর্থ হবে। যেমন:
লগারিদমের যে শাখাই ব্যবহার করা হোক, অভেদের একই ধরনের ব্যর্থতা বজায় থাকবে। বড়জোড় এটুকু বলা যেতে পারে যে (যদি কেবলমাত্র এই ফলাফল ব্যবহৃত হয়):
লগ-কে বহুমান ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করলেও এই অভেদ সিদ্ধ হয় না। log(wz) এর সম্ভাব্য মানগুলো z ⋅ log w এর মানগুলোকে উপসেট হিসেবে ধারণ করে। Log(w) কে, log(w) এর মুখ্য মানের হিসেবে ব্যবহার করে এবং m, n কে যে কোন পূর্ণ সংখ্যা ধরে নিয়ে, উভয় পক্ষের সম্ভাব্য মানগুলো হলো:
এবং
।
অন্যদিকে, যখন x একটি পূর্ণ সংখ্যা, সকল অশূন্য জটিল সংখ্যার জন্য অভেদগুলো বৈধ।
সূচকীকরণকে যদি বহুমান ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তাহলে (−১ ⋅ −১)১/২ এর সম্ভাব্য মানগুলি হচ্ছে {১, −১}। অভেদটি সিদ্ধ হলেও, {১} = {(−১ ⋅ −১)১/২} বলাটা ভুল।
কিন্তু পূর্ ণ সংখ্ যা n অশূন্য হলে এটি মিথ্যা। ত্রু টি হচ্ছে: সংজ্ঞানুসারে, হচ্ছে এর চিহ ্নলিপি, একটি প্রকৃত ফা ংশন, এবং হচ্ছে এর একটি চিহ্নলিপি, যা একটি বহুমান ফাংশন। এজন্য, x = e হলে এই চিহ্নলিপিটি দ্ব্যর্থক। এখানে, ঘাতের বিস্তারের আগেই দ্বিতীয় বাক্যটি হওয়া উচিৎ:
অতএব, ঘাতের বিস্তারের সময় অব্যক্তভাবে ধরে নেওয়া হয়েছে, z এর জটিল মানসমূহের জন্য, যা সঠিক নয়, কেননা জটিল লগারিদম হচ্ছে বহুমান-বিশিষ্ট। অন্য কথায়, ভুল অভেদ (ex)y = exy অবশ্যই এই অভেদটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে; যা বহুমান ফাংশনগুলোর মধ্যে একটি প্রকৃত অভেদ।
মনোয়েড
পূর্ণ-সাংখ্যিক ঘাতের সূচকীকরণকে যেকোন গৌণিক মনোয়েড (multiplicative monoid) এ সংজ্ঞায়িত করা যায়। মনোয়েড হলো একটি বীজগাণিতিক কাঠামো, যা একটি সেট X ও সেটটি গঠনের একটি নিয়ম (“গুণ প্রক্রিয়া”) যা সংযোগ বিধি মেনে চলে, এবং একটি গৌণিক অভেদ (১) নিয়ে গঠিত। সূচকীকরণকে আরোহী পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়-
গণিতশাস্ত্রের অনেক গুরুত্বপূর্ণ কাঠামোই মনোয়েড এর অন্তর্ভুক্ত, এর মধ্যে আছে গুচ্ছ (groups) ও চক্র (rings) (গুণের অধীনে), পরেরটির আরও সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হলো ম্যাট্রিক্স চক্র (matrix rings) ও ক্ষেত্র (fields)।
ম্যাট্রিক্স ও রৈখিক অপারেটর
যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A কে নিজের সাথেই n–সংখ্যক বার গুণ করলে তার গুণফলকে ম্যাট্রিক্স শক্তি বলে। এছাড়াও, কে অভেদ ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং যদি A বিপরীতযোগ্য (invertible) হয়, তাহলে ।
ম্যাট্রিক্স শক্তি অনেক সময়ই বিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা (discrete dynamical system) প্রসঙ্গে দেখা যায়, যেখানে ম্যাট্রিক্স A দ্বারা কোন ব্যবস্থার দশা ভেক্টর x থেকে ব্যবস্থাটির পরবর্তী দশা এ রূপান্তর প্রকাশ করা হয়। এটি, উদাহরণস্বরূপ, একটি মার্কভ শৃঙ্খল (Markov chain)এর প্রমিত ব্যাখ্যা। তাহলে, হচ্ছে দুই ধাপ সময় পর ব্যবস্থাটির দশা, এবং একইভাবে, হচ্ছে ব্যবস্থাটির দশা, n-সংখ্যক সময় ধাপের পর। ম্যাট্রিক্স শক্তি হচ্ছে বর্তমান দশা ও n ধাপ পরবর্তী ভবিষ্যত দশার মধ্যে দশান্তর ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, ম্যাট্রিক্স শক্তি নির্ণয় কোন গতিশীল ব্যবস্থার বিবর্তনের সমাধানের সমতুল্য। অনেক ক্ষেত্রেই, ম্যাট্রিক্স শক্তি আইগেন-মান ও আইগেন-ভেক্টর ব্যবহার করে উপযুক্তভাবে নির্ণয় করা যায়।
ম্যাট্রিক্স ছাড়াও আরও সাধারণ রৈখিক অপারেটরগুলোর সূচকীকরণ করা যায়। এর একটি উদাহরণ হচ্ছে ক্যালকুলাসের ব্যবকলনীয় অপারেটর,, যেটি ফাংশন এর ওপর ক্রিয়াশীল একটি রৈখিক অপারেটর, যা একটি নতুন ফাংশন প্রদান করে। ব্যবকলনীয় অপারেটরের n–তম শক্তিই হচ্ছে n–তম অন্তরক সহগ:
।
সসীম ক্ষেত্র
কোন ক্ষেত্র হচ্ছে একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যেখানে গুণ, যোগ, বিয়োগ, ভাগ সবই সুসংজ্ঞায়িত এবং তাদের সমস্ত পরিচিত বৈশিষ্ট্য মেনে চলে। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব সংখ্যাসমূহ একটি ক্ষেত্র গঠন করে, যেমনটা জটিল সংখ্যাসমূহ ও মূলদ সংখ্যাসমূহও করে থাকে। এসব পরিচিত ক্ষেত্রের উদাহরণ, যাদের সবগুলোই অসীম সেট গঠন করে, তাদের থেকে আলাদা ক্ষেত্রও আছে যাদের কেবল সসীম সংখ্যক উপাদান আছে। এর সবচেয়ে সরলতম উদাহরণ হচ্ছে দুটি উপাদানবিশিষ্ট একটি ক্ষেত্র যেখানে যোগ ও দ্বারা এবং গুণ ও দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফিতে সসীম ক্ষেত্রে সূচকীকরণের প্রয়োগ রয়েছে। যেমন, সসীম ক্ষেত্রে সূচকীকরণ গণনাগতভাবে সুলভ, কিন্তু বিচ্ছিন্ন লগারিদম (এক্সপোনেনসিয়শনের বিপরীত) গণনাগতভাবে সুলভ নয়; ডিফি-হেলম্যান কী বিনিময়- এ এই বিষয়টি ব্যবহার করা হয়।
কোন সসীম ক্ষেত্র F এর এমন একটি বৈশিষ্ট্য আছে যে সেখানে একটি মৌলিক সংখ্যা p আছে যেন F এর অন্তর্ভুক্ত সকল x এর জন্য ; অর্থাৎ, x কে p–সংখ্যক বার নিজের সাথে যোগ করলে যোগফল শূন্য। উদাহরণস্বরূপ, তে মৌলিক সংখ্যা p = 2 এর এই বৈশিষ্ট্য আছে। এই মৌলিক সংখ্যাকে ক্ষেত্রটির চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য বলা হয়। ধরা যাক, F একটি ক্ষেত্র যার চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য p, এবং ফাংশন বিবেচনা করা যাক যা F এর প্রতিটি উপাদানকে p শক্তিতে উন্নীত করে। একে বলা হয় F এর ফ্রোবেনিয়াস স্ব-রূপান্তর (Frobenius Automorphism)। নবীনের স্বপ্নের অভেদ (Freshman's dream identity), এর কারণে এটি ক্ষেত্রটির একটি স্ব-রূপান্তর। ফ্রোবেনিয়াস স্ব-রূপান্তর সংখ্যাতত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ কেননা তা F এর মৌলিক উপগুচ্ছের (prime subfield) মাধ্যমে এর গ্যালোয়া গুচ্ছ (Galois group) তৈরি করে।
বিমূর্ত বীজগণিতে
পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচকের সূচকীকরণ বিমূর্ত বীজগণিতে মোটামুটি সাধারণ কাঠামোর জন্য সংজ্ঞায়িত করা যায়।
ধরা যাক, X একটি শক্তি-সংযোজনশীল (power-associative) দ্বিমিক প্রক্রিয়াযুক্ত সেট যা গুণ আকারে লেখা যায়। তাহলে X এর যে কোন উপাদান x এবং যে কোন অশূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা n এর জন্য, xn, x এর  n –সংখ্যক প্রতিলিপির গুণফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত; যা পৌনঃপুনিকভাবে
এর নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য আছে
যদি কোন প্রক্রিয়ায় দ্বি-পার্শ্বিক বিপরীতক থাকে এবং তা সংযোজনশীল হয়, তাহলে ম্যাগমা (magma) একটি গুচ্ছ হয়। x এর বিপরীতককে x−১ দ্বারা নির্দেশ করা যায় এবং তা সূচকের সকল প্রচলিত নিয়ম মেনে চলে।
যদি গুণ প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য হয় (উদাহরণস্বরূপ, আবেলীয় গুচ্ছে), তাহলে নিচের বাক্যটি সত্য:
যদি দ্বিমিক প্রক্রিয়াটি যোগ আকারে লেখা হয়, যেমনটা আবেলীয় গুচ্ছের ক্ষেত্রে প্রায়শই করা হয়, তাহলে “সূচকীকরণ হচ্ছে পুনরাবৃত্ত গুণফল”- একে আবার ব্যাখ্যা করা যায় “গুণন হচ্ছে পুনঃপুনঃ যোগ” হিসেবে। এভাবে, সূচকীকরণের উপরিল্লিখিত প্রতিটি সূত্রের সদৃশ একটি রূপ গুণনের সূত্রাবলির মধ্যে পাওয়া যায়।
কোন সেটে কতিপয় শক্তি-সংযোজনশীল দ্বিমিক প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত থাকলে এবং এর যে কোনটির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হলে, কোন প্রক্রিয়াটির পুনরাবৃত্তি হচ্ছে- তার প্রতীকটি ঊর্ধ্বলিপিতে উল্লেখ করাটা প্রচলিত আছে। এভাবে, x∗n হচ্ছে x ∗ ... ∗ x, আবার x#n is x # ... # x, ∗ এবং # যে প্রক্রিয়াই হোক না কেন।
ঊর্ধ্বলিপি চিহ্ন আরও ব্যবহার করা হয়, বিশেষত গুচ্ছ তত্ত্বে, অনুবন্ধী নির্দেশ করার জন্য। তার মানে, gh = h−1gh, যেখানে g ও h হচ্ছে কোন একটি গুচ্ছের উপাদান। যদিও অনুবন্ধী আর সূচকীকরণ একই কতগুলো নিয়ম মেনে চলে, তবুও অনুবন্ধী কোনভাবেই পুনরাবৃত্ত গুণফলের উদাহরণ নয়। কোয়ান্ডল (quandle) হচ্ছে একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যেখানে অনুবন্ধীর এই নিয়মগুলো কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে।
সেটসমূহে
মূল নিবন্ধ: কার্তেসীয় গুণজ
যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং A যে কোন একটি সেট হয়, তাহলে An দ্বারা অনেক সময়ই A এর উপাদান দ্বারা গঠিত n-টুপল (n-tuples) সমূহের অনুক্রমিক সেট (set of ordered n-tuples) নির্দেশ করে। এটা An কে কোন সেট {0, 1, 2, ..., n−1} হতে সেট A তে গঠিত ফাংশনগুলোর সেট নির্দেশ করার সমতুল্য; n-টুপল (a0, a1, a2, ..., an−1) ঐ ফাংশনের প্রতিনিধিত্ব করে যা i কে ai এ প্রেরণ করে।
কোন একটি অসীম অংকবাচক সংখ্যা κ ও একটি সেট A এর জন্য, Aκ প্রতীকটিও κ আকারের সেট হতে সেট A তে গঠিত সকল ফাংশনের সেট বোঝায়। একে কখনো কখনো κA লেখা হয় অঙ্কবাচক সূচকীকরণ থেকে আলাদা করে বোঝানোর জন্য, যার সংজ্ঞা নিম্নে উল্লেখ করা হয়েছে।
এই সাধারণীকৃত এক্সপোনেনসিয়ালটি সেটের প্রক্রিয়াগুলির জন্য বা অতিরিক্ত কাঠামো যুক্ত সেটসমূহের জন্যও সংজ্ঞায়িত। যেমন, রৈখিক বীজগণিতে, কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রত্যক্ষ সমষ্টিকে, যথেচ্ছ সূচক সেটসমূহের মাধ্যমে প্রকাশ করা অর্থবহ। অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি,
তাহলে যদি প্রত্যেক i এর জন্য Vi = V হয়, এর ফলে প্রাপ্ত প্রত্যক্ষ সমষ্টিকে এক্সপোনেনসিয়াল চিহ্নলিপিতে V⊕N, অথবা সরলভাবে VN হিসেবে লেখা যায়, যেখানে প্রত্যক্ষ সমষ্টিকে পূর্বনির্ধারিত হিসেবে মেনে নেওয়া হয়। আবার আমরা সেট N কে একটি অংকবাচক সংখ্যা n দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে Vn পেতে পারি, যদিও অংকবাচকতা n বিশিষ্ট কোন সুনির্দিষ্ট প্রমিত সেট নির্বাচন না করলে, এটি শুধুমাত্র সমরূপিতা (isomorphism) পর্যন্তই সংজ্ঞায়িত থাকে। V কে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র R ধরে নিলে (কোন ভেক্টর ক্ষেত্র তার নিজের ওপরই প্রযুক্ত বলে মনে করা হয়) এবং n কোন স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, আমরা যে ভেক্টর ক্ষেত্র পাই তা রৈখিক বীজগণিতের আলোচনায় সবচেয়ে প্রচলিত, বাস্তব ভেক্টর ক্ষেত্র Rn ।
যদি কোন সূচকীকরণ প্রক্রিয়ার ভিত্তি একটি সেট হয়, তবে ঐ সূচকীকরণ প্রক্রিয়াটি হচ্ছে কার্তেসীয় গুণজ, যদি অন্যথায় উল্লেখ না থাকে। যেহেতু একাধিক কার্তেসীয় গুণজ হতে একটি n-টুপল তৈরি হয়, যা উপযুক্ত অঙ্কবাচকতা বিশিষ্ট কোন সেটের ওপর একটি ফাংশন দ্বারা উপস্থাপন করা যায়, SN এক্ষেত্রে সোজাসুজি N হতে S এর মধ্যে গঠিত সকল ফাংশনের সেট:
শ্রেণি তত্ত্বে
কোন কার্তেসীয় আবদ্ধ শ্রেণিতে, এক্সপোনেনসিয়াল প্রক্রিয়া ব্যবহার করে যে কোন বস্তুকে আরেকটি বস্তুর ঘাতে উন্নীত করা যায়।  এটা কার্তেসীয় গুণজ কে সেটের শ্রেণিতে সাধারণ রূপ দান করে। যদি একটি কার্তেসীয় আবদ্ধ শ্রেণিতে ০ কোন প্রারম্ভিক বস্তু হয়, তাহলে এক্সপোনেনসিয়াল বস্তু ০০, যে কোন প্রান্তিক বস্তু ১ এর সাথে সমরূপী হবে।
অংকবাচক ও ক্রমবাচক সংখ্যায়
মূল নিবন্ধ: অংকবাচক পাটীগণিত ও ক্রমবাচক পাটীগণিত
সেট তত্ত্বে, অঙ্কবাচক ও ক্রমবাচক সংখ্যার জন্য এক্সপোনেনসিয়াল ফাংশন বিদ্যমান।
যদি κ ও λ অঙ্কবাচক সংখ্যা হয়, κλ দ্বারা λ অঙ্কবাচকতা বিশিষ্ট কোন সেট হতে κ অঙ্কবাচকতার কোন সেটের মধ্যে গঠিত ফাংশনগুলোর সেট বোঝায়। যদি κ ও λ সসীম হয়, তাহলে তা সাধারণ পাটীগণিতীয় প্রক্রিয়ার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যেমন, ২ উপাদানবিশিষ্ট কোন সেট থেকে গঠিত ৩-টুপলের সেট এর অঙ্কবাচকতা ৮ = ২৩। অঙ্কবাচক পাটীগণিতে, κ0 সর্বদাই ১ (এমনকি যদি κ একটি অসীম সংখ্যা বা শূন্য হয় তবুও)।
অঙ্কবাচক সংখ্যার সূচকীকরণ, ক্রমবাচক সংখ্যার সূচকীকরণ থেকে আলাদা, যার সংজ্ঞা দেওয়া হয় আন্তঃসসীম আরোহের (transfinite induction) সীমা প্রক্রিয়ার সীমার মাধ্যমে।
পুনরাবৃত্ত সূচকীকরণ
মূল নিবন্ধ: টেট্রেশন এবং হাইপার-অপারেশন
ঠিক যেমন স্বাভাবিক সংখ্যার সূচকীকরণ পুনরাবৃত্ত গুণন প্রক্রিয়া দ্বারা অনুপ্রাণিত, ঠিক তেমনি পুনরাবৃত্ত সূচকীকরণ এর ভিত্তিতেও একটি প্রক্রিয়ার সংজ্ঞায়ন করা সম্ভব; এই প্রক্রিয়াকে কখনো কখনো হাইপার-৪ (hyper-4) বা টেট্রেশন (tetration) বলা হয়। টেট্রেশন এর পুনরাবৃত্তি করলে তা থেকে আরেকটি প্রক্রিয়া পাওয়া যায়, এবং এভাবে চলতেই থাকে, এই ধারণাকে বলা হয় হাইপার-অপারেশন (hyperoperation)। এই প্রক্রিয়াগুলোর অনুক্রমকে অ্যাকারম্যান ফাংশন ও নুথ এর ঊর্ধ্ব-তীর চিহ্নলিপি দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ঠিক যেমন সূচকীকরণ, গুণ প্রক্রিয়া থেকে দ্রুততরভাবে বাড়তে থাকে, যেটা আবার যোগ প্রক্রিয়া থেকে দ্রুততরভাবে বর্ধনশীল; ঠিক তেমনি টেট্রেশন হচ্ছে সূচকীকরণ অপেক্ষা অধিকতর বর্ধনশীল। যোগ, গুণ, সূচকীকরণ এবং টেট্রেশন এর মান (৩,৩) বিন্দুতে নির্ণয় করলে প্রাপ্ত মান যথাক্রমে ৬, ৯, ২৭ এবং ৭ ৬২৫ ৫৯৭ ৪৮৪ ৯৮৭ (= ৩২৭ = ৩৩৩ = ৩৩)।
শক্তির সীমা
শূন্যের শূন্যতম শক্তি থেকে সীমার কতগুলো উদাহরণ পাওয়া যায় যেগুলো অনির্ণেয় আকৃতি ০০ এর মত। এই উদাহরণগুলোতে, যেখানে দুই চলকবিশিষ্ট কোন ফাংশন xy এর (০,০) বিন্দুতে সীমার অস্তিত্ব নেই, সেক্ষেত্রেও সীমার অস্তিত্ব আছে, কিন্তু তার মান ভিন্ন। সেক্ষত্রে ফাংশনের কোন বিন্দুগুলোতে তার সীমা বিদ্যমান, তা বিবেচনা করা যেতে পারে।
আরও স্পষ্টভাবে বললে, ধরা যাক কোন ফাংশন f(x, y) = xy, D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} -এ সংজ্ঞায়িত। তাহলে D কে R2 এর উপসেট হিসেবে দেখা যায় (অর্থাৎ, সকল ক্রমজোড় (x, y) যেখানে x, y বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা রেখা R = [−∞, +∞], এর অন্তর্ভুক্ত, যা গুণফল টপোলজির (product topology) সাথে অন্বিত ), যা ফাংশনটির ঐ বিন্দুগুলো ধারণ করে যেখানে তার সীমা আছে।
প্রকৃতপক্ষে, D এর সকল আহরণ বিন্দুতেই (accumulation points) f of, এর সীমা আছে, ব্যতিক্রম শুধু (0, 0), (+∞, 0), (১, +∞) এবং (১, −∞)। সেই অনুসারে, যখন 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, তখন অবিচ্ছিন্নতার দ্বারা xy এর শক্তিসমূহের সংজ্ঞায়ন করা যায়, এর ব্যতিক্রম ঘটে  00, (+∞)0, ১+∞ and ১−∞ এর ক্ষেত্রে, যেগুলো অনির্ণেয় আকারেই রয়ে যায়।
অবিচ্ছিন্নতার এই সংজ্ঞা মোতাবেক, আমরা পাই:
·       x+∞ = +∞ এবং x−∞ = 0, যখন ১ < x ≤ +∞।
·       x+∞ = 0 এবং x−∞ = +∞, যখন 0 ≤ x < ১।
·       0y = 0 এবং (+∞)y = +∞, যখন 0 < y ≤ +∞।
·       0y = +∞ এবং (+∞)y = 0, যখন −∞ ≤ y < 0।
x এর ধনাত্মক মানের জন্য xy এর সীমা নিয়ে এই মানগুলো পাওয়া যায়। এই পদ্ধতিতে x < 0 হলে,  xy এর কোন সংজ্ঞা পাওয়া যায় না, কেননা, (x, y) জোড় যেখানে x < 0, সেগুলো D এর আহরণ বিন্দু নয়।
অন্যদিকে, যখন n is একটি পূর্ণ সংখ্যা, তখন xn, ঋণাত্মক মানসহ x এর সকল মানের জন্যই অর্থবহ। এতে করে উপরে ঋণাত্মক n এর জন্য যে সংজ্ঞা, 0n = +∞ পাওয়া গিয়েছিল, তা n এর বিজোড় মানের জন্য অনিশ্চয়তা সৃষ্টি করে, কারণ সেক্ষেত্রে, x যদি ধনাত্মক মানের মধ্য দিয়ে  0 এর নিকটবর্তী হতে থাকে, তাহলে xn → +∞, কিন্তু ঋণাত্মক মানের বেলায় তা নয়।
পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচকের সাহায্যে কার্যকর গণনা-প্রক্রিয়া
পুনরাবৃত্ত গুণনের মাধ্যমে bn এর মান নির্ণয়ে n − 1 সংখ্যক বার গুণ করতে হয়, কিন্তু এটা আরও সুচারূরূপে নির্ণয় করা যায়, যা নিচের উদাহরণের সাহায্যে দেখানো হয়েছে। ২১০০ এর মান বের করতে হলে, লক্ষ্য করুন যে, ১০০ = ৬৪ + ৩২ + ৪। ক্রমানুসারে নিচের মানগুলো বের করুন:
১. ২২ = ৪
২. (২২)২ = ২৪ = ১৬
৩. (২৪)২ = ২৮ = ২৫৬
৪. (২৮)২ = ২১৬ = ৬৫,৫৩৬
৫. (২১৬)২ = ২৩২ = ৪,২৯৪,৯৬৭,২৯৬
৬. (২৩২)২ = ২৬৪ = ১৮,৪৪৬,৭৪৪,০৭৩,৭০৯,৫৫১,৬১৬
৭. ২৬৪ ২৩২ ২৪ = ২১০০ = ১,২৬৭,৬৫০,৬০০,২২৮,২২৯,৪০১,৪৯৬,৭০৩,২০৫,৩৭৬
এই ধাপগুলো ব্যবহার করলে ৯৯ বারের পরিবর্তে কেবল ৮ বার গুণ করতে হয় (যেহেতু শেষ ধাপের গুণফলে দুই বার গুণ করতে হয়)।
সাধারণভাবে, bn এর মান নির্ণয়ে যত বার গুণন প্রক্রিয়া সম্পন্ন করতে হয় তার সংখ্যা, বর্গকরণের মাধ্যমে সূচকীকরণ বা (আরও সাধারণভাবে) সংযোজন-শৃংখল সূচকীকরণ ব্যবহার করে  Θ(log n)-এ কমিয়ে আনা যায়। bn এর জন্য ন্যূনতম-সংখ্যক গুণনের অনুক্রম বের করা (সূচকের জন্য সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্যের সংযোজন-শৃংখল ) বেশ কঠিন একটা সমস্যা, যার জন্য এখন পর্যন্ত সর্বোৎকৃষ্ট কোন সমাধান-পদ্ধতি জানা নেই (দেখুন উপসেট সমষ্টি সমস্যা), কিন্তু তুলনামূলকভাবে কার্যকর অনেক অনুসন্ধানমূলক সমাধান-পদ্ধতি রয়েছে।
ফাংশনের নামে এক্সপোনেনসিয়াল চিহ্নলিপি
ঐতিহাসিক কারণে ত্রিকোণমিতিক এবং অধিবৃত্তীয় ফাংশনে প্রয়োগের ক্ষেত্রে এই চিহ্নলিপির সুনির্দিষ্ট ও বিচিত্র ব্যাখ্যা রয়েছেঃ ফাংশনের সংক্ষিপ্তরূপের ওপর কোন ধনাত্মক সূচক বসালে ফাংশনটি ঐ ঘাতে উন্নীত বোঝায়, যদিও সূচক -১ হলে তা আবার বিপরীত ফাংশনকে নির্দেশ। তার মানে, হচ্ছে এর বন্ধনীমুক্ত সংক্ষিপ্ত রূপ, যেখানে  দ্বারা সাইন এর বিপরীত ফাংশন নির্দেশ করে, একে  ও বলা হয়। প্রতিটি ত্রিকোণমিতিক ও অধিবৃত্তীয় ফাংশন এর বিপরীতকের নিজস্ব নাম ও সংক্ষিপ্তরূপ আছে; উদাহরণস্বরূপ, ; বিপরীত ফাংশনের জন্য, । একই রকম প্রথা লগারিদমের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যেখানে  বলতে সাধারণত বোঝায়, নয়।
প্রোগ্রামিং এর ভাষায়
প্রোগ্রামিং ভাষাসমূহ সাধারণত সূচকীকরণকে অন্বিত অপারেটর (infix operator) বা (উপসর্গ) ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করে থাকে, কেননা এগুলো রৈখিক চিহ্নলিপি যেগুলো ঊর্ধ্বলিপি-সহায়ক নয়।
অন্যান্য অনেক প্রোগ্রামিং ভাষায় সূচকীকরণের জন্য গাঠনিক সহায়তার অভাব আছে, কিন্তু তাদের লাইব্রেরি ফাংশন রয়েছে:
সাধারণ সূচকীকরণের তুলনায়, নির্দিষ্ট কিছু সূচকের জন্য আরও দ্রুত xy নির্ণয়ের বিশেষ উপায় রয়েছে। এর মধ্যে ক্ষুদ্র ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (x2 এর বদলে x*x ; x−1 এর বদলে 1/x) এবং মূলসমূহ (x0.5 এর বদলে sqrt(x) ; x1/3 এর বদলে cbrt(x) ) অন্তর্ভুক্ত।
সকল প্রোগ্রামিং ভাষা অবশ্য সূচকীকরণের জন্য একই সংযোজন প্রথা মেনে চলে নাঃ Wolfram language, গুগল অনুসন্ধান এবং অন্য অনেকে ডান-সংযোজন (অর্থাৎ, a^b^c এর মান a^(b^c) হিসেবে বের করা হয়), অনেক কম্পিউটার প্রোগ্রাম যেমন- মাইক্রোসফট অফিস এক্সেল এবং Matlab বামদিকে সংযোজন করে (অর্থাৎ, a^b^c এর মান (a^b)^c হিসেবে বের করা হয়)।
পেঙ্গুইন (চলচ্চিত্র)
পেঙ্গুইন হল ২০২০ সালের একটি ভারতীয় রহস্য রোমাঞ্চকর চলচ্চিত্র। এটির রচয়িতা এবং নির্দেশক ছিলেন ঈশ্বর কার্তিক। এটি ছিল তাঁর প্রথম পরিচালিত চলচ্চিত্র। এর সহ-প্রযোজনায় ছিলেন কার্তিক সুব্বারাজ। এই ছবির নায়িকার ভূমিকায় ছিলেন কীর্তি সুরেশ। এটি একাধারে তামিল এবং তেলুগু উভয় ভাষায় চলচ্চিত্রায়িত করা হয়েছিল। এটি ২০২০ সালের ১৯শে জুন অ্যামাজনের প্রাইম ভিডিওতে মুক্তি পেয়েছিল।
ঘটনা
এই চলচ্চিত্রের ঘটনাটি গড়ে উঠেছে রিদম নামে একটি তরুণীকে ঘিরে। সে উটিতে তার স্বামী গৌতমের সাথে সুখে বসবাস করে। সে আট মাসের সন্তান-সম্ভবা। সুখের জীবন যাপন করেও, সে রাত্রে প্রায়ই একটি দুঃস্বপ্ন দেখে যে চার্লি চ্যাপলিনের মুখোশ পরা একজন লোক একটি শিশুর ক্ষতি করতে যাচ্ছে। এরপর ধারাবাহিক ফ্ল্যাশব্যাকের মাধ্যমে তার দুঃখজনক অতীত প্রকাশিত হয় - ছয় বছর আগে, রঘু নামে অন্য এক ব্যক্তির সাথে তার বিবাহ হয়েছিল। তাদের একটি পুত্র সন্তান হয়েছিল, যার নাম অজয়। রিদম অজয়কে অত্যন্ত ভালবাসত এবং তাকে ছাড়া থাকার কথা ভাবতেও পারতনা। কিন্তু, একদিন, স্কুলের পরে, অজয়ের স্কুলের বন্ধুরা এসে তাকে জানাল যে চার্লি চ্যাপলিন মাস্ক পরা একজন অজ্ঞাতপরিচয় লোক অজয়কে অপহরণ করে নিয়ে গেছে। সে প্রচণ্ড ভেঙে পড়ে পুলিশকে সব জানায়। তারা প্রচুর অনুসন্ধান চালিয়েছিল অজয়ের, কিন্তু তাকে পাওয়া যায়নি। তারা তার রক্তমাখা জামাকাপড় পেয়েছিল। সেখানে পুষ্প স্তবক দেওয়া মানব দেহের অন্ত্র পড়েছিল এবং তার ওপর লেখা ছিল -'শান্তিতে ঘুমাও'। অজয়কে খুঁজে না পেয়ে, রিদম মানসিক ভাবে অবসাদগ্রস্ত হয়ে পড়েছিল। এরপরে রঘুর দ্বারা অত্যাচারিত হয়ে সে বিবাহ বিচ্ছেদ করতে বাধ্য হয়। রিদমের এই সমস্ত দুর্দশার সাক্ষী ছিল গৌতম। সে রিদমের প্রতি সহানুভূতিশীল হয়ে ওঠে এবং পরে তাদের বিবাহ হয়। এইখান থেকে গল্প আবার বর্তমানে চলে আসে।
যেখানে অজয়কে শেষ দেখা গিয়েছিল, সেই দিঘির ধারে রিদম প্রায়ই চলে যায়, তার সাথে থাকা তার খুশির মুহূর্তগুলির স্মৃতিচারণ করে। এইরকম এক দিন, সে দেখতে পেল একজন আহত ব্যক্তিকে একজন মুখোশধারী ব্যক্তি তাড়া করেছে। আহত লোকটি তাকে বলে বাঁচতে চাইলে সে যেন পালিয়ে যায়। সে তাকে আরও বলেছিল যে সে ওই মুখোশধারী ব্যক্তির সাথে একটি হারিয়ে যাওয়া শিশুকে দেখেছিল। রিদম পালাতে পেরেছিল, কিন্তু তার আগেই তার চোখের সামনে হত্যাকারী সেই লোকটিকে হত্যা করেছিল। রিদমের মনে হয়েছিল ঘাতক তাকে লক্ষ্য করেও তাকে পালাতে দিয়েছিল। উদ্বেল রিদম পুলিশের কাছে গিয়ে দিঘিটিতে অনুসন্ধান করার জন্য তাদের অনুরোধ করে। হারিয়ে যাওয়া শিশুটিই যে অজয় সেই বিষয়ে নিশ্চত হয়ে​​ - সে পুলিশ ইন্সপেক্টরকে (যে তার বন্ধুও ছিল) ডাকে এবং তার বেদনাদায়ক অভিজ্ঞতার কথা বর্ণনা করে। ইন্সপেক্টরটি তার কথা উড়িয়ে দিয়ে বলে যে, আরেকটি শিশু - যে অঞ্জনা নামের একটি মেয়ে, সেও সম্প্রতি নিখোঁজ হয়ে গেছে। কোন কথা না শুনে রিদম আবার দিঘির কাছে ফিরে যায়, কিন্তু হঠাৎ কাছের জঙ্গল থেকে আগত একটি শিশু তাকে আক্রমণ করে। ভাল করে দেখে, রিদম চমকে ওঠে। শিশুটি তারই পুত্র অজয়।
ডিএনএ পরীক্ষা করে নিশ্চিত হওয়া যায় যে ছেলেটি সত্যই অজয়। রিদম এতে অত্যন্ত খুশী হয়। হতবাক রঘু এসে অজয়ের এই দুর্দশাগ্রস্ত অবস্থা দেখে কষ্ট অনুভব করে। রিদমের বন্ধু ডাঃ মাঠী জানায় যে অজয় ​​সম্ভবত তার অপহরণকারী দ্বারা নির্যাতিত হয়েছে; তার শরীর মারাত্মকভাবে ক্ষতবিক্ষত, সে কারো সাথে কথা বলছেনা এবং তার আচরণের বিশেষ কোন ধরন পাওয়া যাচ্ছে না। রঘুর সম্মতি নিয়ে রিদম অজয়কে সঙ্গে করে নিয়ে যায়, গৌতমের সাথে একসাথে থাকার জন্য। রিদম অজয়ের সাথে কথোপকথন চালানোর এবং ভাব বিনিময়ের চেষ্টা করেছিল, কিন্তু কোনও ফল হয় নি। এক রাত্রে, রিদম শোনে অজয় গান গাইছে ​​"টুইঙ্কল টুইঙ্কল"। তার আঁকাগুলিও রিদমের চোখে পড়ে। সেগুলি থেকে ইঙ্গিত পাওয়া যাচ্ছিল যে অপহরণকারী তখনও তাকে অনুসরণ করছে। একদিন, রঘুর সাথে একটি রেস্তোঁরায় কথা বলতে গিয়ে, রিদম অপহরণকারীকে দেখতে পেয়েছিল কিন্তু তাকে অনুসরণ করতে পারেনি। সে অল্প সময়ের জন্য অজয়কেও হারিয়ে ফেলেছিল, কিন্তু রঘু তাকে খুঁজে বের করতে সক্ষম হয়। আর এক রাত্রে, অপহরণকারী সরাসরি রিদমের বাড়িতে চলে এসে ইশারায় অজয়ের সাথে যোগাযোগ করে। রিদম অপহরণকারীর সাথে লড়াই করে, কিন্তু অপহরণকারী তাকে পরাস্ত করতে সক্ষম হয় এবং পালিয়ে যায়। রিদমের বাড়ির চারিদিকে সুরক্ষা কর্মী মোতায়েন করা হয় এবং তার প্রতি পদক্ষেপে লক্ষ রাখা হয়। যদিও ডাক্তার ডেভিড জানত যে অপহরণকারী অজয়ের সাথে ইশারার ভাষার মাধ্যমে কথা বলে কিন্তু সেটি সাধারণ ইশারা ভাষার থেকে আলাদা ছিল যাতে অন্য কেউ বুঝতে না পারে। সেইজন্য ডেভিড, রিদমকে, কোন স্বর-সম্বন্ধীয় চিকিৎসকের পরামর্শ নিতে বলেছিল। চিকিৎসকের কাছে যাবার সময় তার গাড়িটি খারাপ হয়ে যায়। তখন রিদম অপ্রত্যাশিত কিছুর সন্ধান পায়।
প্রযোজনা
২০১৯ সালের আগস্ট মাসে, ঘোষণা করা হয়েছিল যে কীর্তি সুরেশ শিরোনামহীন একটি "রহস্য রোমাঞ্চকর" চলচ্চিত্রে অভিনয়ের জন্য চুক্তিবদ্ধ হয়েছেন। এটির প্রযোজনা করার কথা জানানো হয়েছিল স্টোন বেঞ্চ ফিল্মস এর অধীনে কার্তিক সুব্বারাজের এবং পরিচালনা করার কথা ঈশ্বর কার্তিকের। কার্তিকের এটিই প্রথম পরিচালনা। প্রযোজনার ক্ষেত্রে, ছবিটি, স্টোন বেঞ্চ ফিল্মসের তৃতীয় উদ্যোগ ছিল, এবং প্যাশন স্টুডিওর অধীনে কার্তিকেয়ন সন্তানম, সুধান সুন্দরম ও জয়রাম এর সহ-প্রযোজক ঘোষিত হয়েছিলেন। মূল চিত্রগ্রহণ সেপ্টেম্বর থেকে শুরু হয়েছিল, এবং এই দ্বভাষিক চলচ্চিত্রটি তামিল ও তেলুগু ভাষায় তৈরি হয়েছিল। 'পেঙ্গুইন' শিরোনামটি ১৭ই অক্টোবর ঘোষণা করা হয়েছিল, সেই দিন ছিল কীর্তি সুরেশের জন্মদিন। মূল চিত্রগ্রহণের কাজ নভেম্বর মাসে শেষ হয়ে গিয়েছিল। এই ছবিতে বেশ কয়েকজন নবাগত অভিনেতার পাশাপাশি লিঙ্গা এবং মাধমপত্তি রঙ্গরাজ মূল চরিত্রে অভিনয় করেছেন।
সাউন্ডট্র্যাক
এই ছবির সংগীত রচয়িতা ছিলেন সন্তোষ নারায়ণন। ২০২০ সালের ১৬ই জুন "কোলাম" গানটি একক সঙ্গীত হিসাবে প্রকাশিত হয়েছিল, এর তেলুগু সংস্করণ ছিল "প্রণাম", এবং মালায়ালম সংস্করণ "ওমালে"।
মুক্তি
পেঙ্গুইন চলচ্চিত্রটি ২০২০ সালের ১৯শে জুন তামিল এবং তেলুগু ভাষায় প্রাইম ভিডিওতে মুক্তি পেয়েছিল। মালয়ালম ভাষায় ডাব করে এর একটি সংস্করণও এই সঙ্গে মুক্তি পেয়েছিল। প্রথমে এই চলচ্চিত্রটির মুক্তি পাবার কথা ছিল প্রেক্ষাগৃহে, কিন্তু কভিড-১৯ মহামারীর কারণে, এর ডিজিটাল মুক্তির সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল।
সুলাইমান আবদুল আজিজ আল রাজেহী
শেখ সুলাইমান বিন আব্দুলাজিজ আল রাজেহী ( আরবী : سليمان بن عبد العزيز الراجحي, জন্ম ১৯২৮) একজন সৌদি আরব শিল্পোদ্যাক্ত ও বিলিয়নিয়ার। ২০১১ সালের হিসাবে, তার সম্পদ ফোর্বস ম্যাগাজিন অনুমান করা হয়েছিল $ ৫.৯ বিলিয়ন,। তাকে বিশ্বের ১৬৯ তম ধনী ব্যক্তি হিসাবে বলা হয়েছে।
তিনি তার অর্ধেক সম্পাদক দানে উত্সর্গ, ইসলামী ব্যাংক শুরু, দাতব্য কাজের সমর্থন এবং কার্যকর জাতীয় প্রকল্পগুলি বাস্তবায়নের জন্য ২০১২ সালের কিং ফয়সাল আন্তর্জাতিক পুরস্কার পেয়েছিলেন।
জীবনী
সুলায়মান আল রাজি সৌদি আরব আল বুকায়রিয়াহ এর মধ্যে অবস্থিত আল কাসিম প্রদেশে জন্মগ্রহণ করেন। এবং নাজদ প্রান্তরে বেড়ে ওঠেন যেখানে তিনি এবং তার ভাই সালেহ মরুভূমি জুড়ে উটের কাফেলা নিয়ে মক্কা এবং মদিনার শহরগুলিতে যাত্রীদের জন্য অর্থ ব্যয় করে তাদের ব্যবসা শুরু করেছিলেন।
সুলায়মান আব্দুলাজিজ আল রাজি তার পরিবারের আল রাজী ব্যাংকে বৃহত্তম ব্যক্তিগত অংশীদারত্ব রয়েছে, যা নিয়মিতভাবে সৌদি আরবের সমস্ত ব্যাংকিং গ্রুপের মধ্যে সর্বাধিক লাভজনক কার্যক্রমের কথা জানিয়েছে। তিনি ব্যাংকের একজন সহ-প্রতিষ্ঠাতা, বড় ভাই সালেহকে নিয়ে তিনি বর্তমানে তাডাওলের সবচেয়ে সম্মানিত প্রতিষ্ঠান হিসাবে জাতীয়ভাবে স্বীকৃত চেয়ারম্যান।
আল রাজি ভাইদের ব্যবসায়ের প্রবৃদ্ধি এবং প্রসারণ সৌদি আরবে প্রবাসী শ্রমিকদের বন্যার ফলে ১৯৭০-এর দশকে তেল বাড়ছে।
আল রাজীরা তাদের উপার্জন বাড়িতে ইন্দোনেশিয়া এবং পাকিস্তানের মতো জায়গায় পাঠাতে সহায়তা করেছিল। ১৯৮৩ সালে, ভাইরা সৌদি আরবের প্রথম ইসলামী ব্যাংক খোলার অনুমতি পেয়েছিল, এটি সুদের উপর নিষেধাজ্ঞার মতো ধর্মীয় আচারগুলি পালন করবে।
সুলাইমান ও তার ভাইয়েরা জিপসাম, কৃষি, ইস্পাত এবং অন্যান্য শিল্প খাতে পারিবারিক বিনিয়োগকে বৈচিত্র্যযুক্ত করার পরেও আল রাজি পরিবার আল রাজি ব্যাংকের সর্বাধিক অংশীদার হিসাবে রয়েছে।
তাঁর উচ্চশিক্ষা ডিগ্রি ছিল প্রাথমিক ডিগ্রি। তিনি সৌদি আরবে থাকেন এবং তার কমপক্ষে ২৩ জন সন্তান রয়েছে।
মানবপ্রীতি
আল রাজি পরিবারকে সৌদি আরবের বেশিরভাগ লোকেরা দেশের ধনী নন-রোয়ালি এবং বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় দানবিকদের মধ্যে বিবেচনা করে।
তিনি তার নিজ শহরে সুলায়মান আল রাজি বিশ্ববিদ্যালয় প্রতিষ্ঠা করেছিলেন, একটি অলাভজনক বিশ্ববিদ্যালয়। বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রধান ফোকাস স্বাস্থ্য এবং ইসলামী ব্যাংকিংয়ের উপর, তবে অন্যান্য অনুষদও রয়েছে।
প্যাংকর জ্যাকহ্যামার
দ্য প্যাংকর কর্পোরেশন জ্যাকহ্যামার (The Pancor Corporation Jackhammer) হচ্ছে একটি ১২ গেজের, গ্যাস-চালিত স্বয়ংক্রিয় শটগান। এটি এখন পর্যন্ত তৈরি খুব অল্প সংখ্যক সম্পূর্ণ স্বয়ংক্রিয় শটগানের একটি। ১৯৮৭ সালে এই অস্ত্রটির পেটেন্ট করা হলেও, কখনও ব্যাপকভাবে এটির উৎপাদনের উদ্যোগ নেওয়া হয়নি। শুধুমাত্র কয়েকটি কার্যকর প্রোটোটাইপ তৈরি করা হয়েছিলো। কিছু সূত্র অনুসারে, বর্তমানে এর মধ্যে শুধু দুইটি প্রোটোটাইপের অস্তিত্বই বিদ্যমান। ১৯৯০ সালের শেষের দিকে অস্ত্রটির পেটেন্টের বর্তমান স্বত্বাধিকারী তৃতীয় মার্ক এর পেটেন্ট বিক্রির চেষ্টা করেন। তিনি সাড়ে তিন লক্ষ মার্কিন ডলারে এর পেটেন্ট, প্রোটোটাইপ, এবং উৎপাদন স্বত্ব বিক্রির করার ঘোষণা দিয়েছিলেন। অস্ত্রটির মৌলিক ও স্টাইলিশ ডিজাইন, ধ্বংসাত্মক ক্ষমতার কারণে এটি নানা টেলিভিশন প্রোগ্রাম, চলচ্চিত্র, এবং ভিডিও গেমসে ব্যবহৃত হয়েছে।
মির্জাপুর লোকসভা কেন্দ্র
মির্জাপুর লোকসভা কেন্দ্রটি উত্তরপ্রদেশ রাজ্যের ৮০ টি লোকসভা কেন্দ্রের একটি এবং ১৯৫২ সালের লোকসভা কেন্দ্রটি প্রতিষ্ঠিত হয়। এটি তফসিলী জাতি ও তফসিলী উপজাতিদের জন্য সংরক্ষিত নয় এবং মোট ৫ টি বিধানসভা কেন্দ্র নিয়ে গঠিত। এই লোকসভা কেন্দ্রের সদর দফতর মির্জাপুর শহরে অবস্থিত। লোকসভা কেন্দ্রের অন্তর্গত এলাকার সরকারি ভাষা হল হিন্দি।
এই লোকসভা কেন্দ্র থেকে নির্বাচিত সদস্য ভারতীয় সংসদের লোকসভাতে প্রতিনিধিত্ব। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। বিশেষ করণে ৫ বছরের পূর্বেই নির্বাচন হয়, যা উপনির্বাচন নামে পরিচিত।
বিধানসভা কেন্দ্র গুলি
লোকসভা কেন্দ্রটি ৫ টি বিধানসভা কেন্দ্র নিয়ে গঠিত।  এগুলি হল-
এই বিধানসভা কেন্দ্রটি উত্তর প্রদেশের ৩০৩ টি বিধানসভা কেন্দ্রের একটি এবং এই বিধানসভা কেন্দ্রের নির্বাচিত সদস্য উত্তর প্রদেশ বিধানসভাতে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। এই কেন্দ্রটি তফসিলী জাতিদের জন্য সংরক্ষিত। এই বিধানসভা কেন্দ্রটি উত্তর প্রদেশের ৩০৩ টি বিধানসভা কেন্দ্রের একটি এবং এই বিধানসভা কেন্দ্রের নির্বাচিত সদস্য উত্তর প্রদেশ বিধানসভাতে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। এই কেন্দ্রটি তফসিলী জাতি ও তফসিলী উপজাতিদের জন্য সংরক্ষিত নয়। এই বিধানসভা কেন্দ্রটি উত্তর প্রদেশের ৩০৩ টি বিধানসভা কেন্দ্রের একটি এবং এই বিধানসভা কেন্দ্রের নির্বাচিত সদস্য উত্তর প্রদেশ বিধানসভাতে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। এই কেন্দ্রটি তফসিলী জাতি ও তফসিলী উপজাতিদের জন্য সংরক্ষিত নয়। এই বিধানসভা কেন্দ্রটি উত্তর প্রদেশের ৩০৩ টি বিধানসভা কেন্দ্রের একটি এবং এই বিধানসভা কেন্দ্রের নির্বাচিত সদস্য উত্তর প্রদেশ বিধানসভাতে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। এই কেন্দ্রটি তফসিলী জাতি ও তফসিলী উপজাতিদের জন্য সংরক্ষিত নয়। এই বিধানসভা কেন্দ্রটি উত্তর প্রদেশের ৩০৩ টি বিধানসভা কেন্দ্রের একটি এবং এই বিধানসভা কেন্দ্রের নির্বাচিত সদস্য উত্তর প্রদেশ বিধানসভাতে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতি ৫ বছর অন্তঃর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। এই কেন্দ্রটি তফসিলী জাতি ও  তফসিলী জাতিদের জন্য সংরক্ষিত নয়।
মির্জাপুর লোকসভা কেন্দ্র বিজয়ী বর্তমান ও প্রাক্তন এমপিদের তালিকা
নিচের সারণীটি শুরু থেকে শেষ নির্বাচন পর্যন্ত এই সংসদীয় আসনের সকল বিজয়ী ও প্রাক্তন সংসদ সদস্যের নাম উপস্থাপন করে। এটি প্রতিটি এমপি দ্বারা প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা এবং তারা যে রাজনৈতিক দলের সাথে যুক্ত তাও দেখায়। আসনটির বর্তমান সংসদ সদস্য হলেন আপনা দল (সোনেলাল)-এর অনুপ্রিয়া প্যাটেল।
মোহনপুর রেলওয়ে স্টেশন
মোহনপুর রেলওয়ে স্টেশন হল পূর্ব রেলওয়ের আসানসোল রেলওয়ে বিভাগের অধীনে জাসিডিহ-দুমকা-রামপুরহাট লাইনের একটি রেলওয়ে স্টেশন। এটি ভারতের ঝাড়খন্ড রাজ্যের কাটবন ছিট, মোহনপুর, দেওঘর, দেওঘর জেলায় অবস্থিত।
ইতিহাস
জাসিডিহ জংশন থেকে দুমকা রেললাইন ১২ জুলাই ২০১১ সালে চালু হয় এবং দুমকা থেকে আমবাঝর রেলপথ জুন ২০১৪ সালে স্থাপন করা হয়। রামপুরহাট থেকে পিনারগরিয়া পর্যন্ত ট্র্যাকটি ২৫ নভেম্বর ২০১২-এ চালু হয়। মোহনপুর রেলওয়ে স্টেশন সহ দুমকা থেকে রামপুরহাট পর্যন্ত সম্পূর্ণ একক রেলপথটি ৪ জুন ২০১৫ সালে চালু হয়।
ভবিষ্যৎ সম্প্রসারণ
-দীর্ঘ জসিডিহ-হাঁসডিহা-পিরপেইন্টি লাইন নির্মাণাধীন রয়েছে। ২০২১ সালের মার্চ পর্যন্ত, মোহনপুর-হাঁসডিহা এবং গোড্ডা-পিরপাইন্টি বিভাগে কাজ চলছে। হাঁসডিহা-গোড্ডা বিভাগ সম্পূর্ণ হয়েছে এবং গোড্ডা থেকে নয়াদিল্লি পর্যন্ত হামসাফার এক্সপ্রেসের একটি প্রস্তাব বিবেচনাধীন রয়েছে। ঝাড়খণ্ডের সাঁওতাল পরগনা বিভাগের গোড্ডা জেলাকে ভারতের বাকি অংশের সাথে সংযুক্ত করার জন্য এই লাইনটিকে গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করা হয়। গোড্ডা-পাকুর লাইনও পরিকল্পনা করা হয়েছে।
অজিৎ ইকবাল সিং
অজিৎ ইকবাল সিং (জন্ম ১৯৪৩ ) হলেন একজন ভারতীয় গণিতবিদ৷ তাঁর বিশিষ্টতা হচ্ছে "কার্যকরী বিশ্লেষণ" এবং "হরাত্মক বিশ্লেষণ"।ভারতীয় বৈজ্ঞানিক এবং প্রযুক্তিবিদের শীর্ষতম অনুষ্ঠান "ভারতীয় জাতীয় বিজ্ঞান একাডেমী"র(INSA) তিনি একজন সভ্য। তিনি এলাহাবাদস্থিত "জাতীয় বিজ্ঞান একাডেমী, ভারত"-এরও একজন সদস্যা৷
শিক্ষা
অজিৎ ইকবাল সিং ইন্দ্রপ্রস্থ কলেজ থেকে ১৯৬৩ সালে গণিতে স্নাতক ডিগ্রী অর্জন করে, এবং একটা বিষয়ে দিল্লী বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ১৯৬৫ সালেও স্নাতক ডিগ্রী অর্জন করেন। ১৯৬৯ সালে তিনি কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় থেকে গণিতে ডক্টরেট ডিগ্রী অর্জন করেন। তাঁর গবেষণা-গ্রন্থের নাম ছিল Contributions to the Theory of Linear Operators in Locally Convex Spaces। তাঁর তত্ত্বাবধায়ক ছিলেন ফ্রাংক স্মিথিস সিং ১৯৬৬ সাল থেকে ১৯৬৯ সাল পর্যন্ত নিউহাম কলেজের একজন "কমনওয়েলথ বৃত্তিধারী" হিসাবে কেমব্রিজে উপস্থিত ছিলেন।
কর্মজীবন
স্নাতকোত্তর শিক্ষা সমাপ্ত করে উঠেই সিং ইন্দ্রপ্রস্থ কলেজে শিক্ষক হিসাবে যোগদান করেন। কেমব্রিজ থেকে ডক্টরেট ডিগ্রী লাভ করার পর, তিনি দিল্লীতে আসেন এবং হিন্দু কলেজে যোগদান করেন। তিনি গবেষণা ছাড়াও কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং হরাত্মক বিশ্লেষণে শিক্ষাদান করেছিলেন। ১৯৭৪ সালে সিংকে দিল্লী বিশ্ববিদ্যালয়ের দক্ষিণ এলাকার গণিতের রিডার হিসাবে নিযুক্তি দেওয়া হয়৷ ১৯৮৪ সাল থেকে ১০০৮ সাল পর্যন্ত তিনি সেই স্থানে অধ্যাপনা করে যান৷ ২০০৮ সালে তিনি দিল্লীতে থাকা ভারতীয় পারিসাংখ্যিক প্রতিষ্ঠান-এর একজন অতিথি অধ্যাপকের দায়িত্ব গ্রহণ করেন।
কর্ম
অজিৎ ইকবাল সিং স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থানে রৈখিক চল (linear operators in locally convex spaces),সংস্থিতি বৈজ্ঞানিক বীজগণিত (Topological Algebra)কে ধরে হরাত্মক বিশ্লেষণ সম্পর্কিত একাধিক গবেষণায় জড়িত।
পুরস্কার এবং স্বীকৃতি
অজিৎ সিংকে দিল্লী বিশ্ববিদ্যালয় "রায় বাহাদুর ব্রীজমোহন লাল সাহেব স্মারক স্বর্ণপদক" এবং "রবি কান্তা দেবী" পুরস্কার প্রদান করেন।
রূপতত্ত্ব (দর্শন)
উদ্ভব ও বিকাশ
এডমন্ড হুসার্ল-এর রুপতত্ত্বের বা প্রতিভাসতত্বের পর্যালোচনা আরম্ভ হয় বিংশশতাব্দীর প্রথমার্ধে Logical Investigation গ্রন্থে। তবে প্রতিভাস বিজ্ঞানের উদ্ভব হয়েছে কয়েকটি স্তর অতিক্রম করে। পরবর্তীকালে ধাপে ধাপে প্রতিভাস বিজ্ঞান একটি পরিপূর্ণতা লাভ করেছে।
ফ্রান্সের প্রত্যক্ষবাদ
অগাস্ট কোঁতের(১৭৯৮-১৮৫৭) মতে পৃথিবীতে অস্তিত্বশীল বিষয়ের ভিত্তি হলো বৈজ্ঞানিক জ্ঞান।জগৎ প্রকৃতিতে এই বিষয়গুলোকে কেবলমাত্র ইন্দ্রিয় প্রতয়ক্ষণের মাধ্যমেই জানা যায়।এগুলো জানার জন্য কোনো বিচারবাদী ধারণার দরকার হয় না।এই ইন্দ্রিয় প্রত্যক্ষণের জ্ঞান মানুষের ভিতরে ধীরে ধীরে জন্ম নেয়।মানুষের সাধারণ জ্ঞানবোধটি জগৎ প্রকৃতির সম্পর্কে জানতে পারেনা।এ প্রসংগে কোঁতে জগৎ প্রকৃতিকে জানার জন্য মানুষের জ্ঞানচর্চাকে তিনটি পর্যায়ে ভাগ করেছেন।যেমন-
১. পৌরাণিক ও বিশ্ব সম্বন্ধীয়। ২. অধিবিদ্যক সম্বন্ধীয়। ৩. প্রত্যক্ষবাদ।
এ প্রত্যক্ষবাদের মাধ্যমেই কোঁতে মনে করেন জগৎ প্রকৃতিকে জানা যায়।
জার্মান প্রত্যক্ষবাদ
জার্মান প্রত্যক্ষবাদীদের মধ্যে অ্যাভেনারিউস (১৮৫৩-১৮৯৬) ও আর্নস্ট মাখ (১৮৩৮-১৯১৬) উল্লেখযোগ্য।এরা প্রত্যক্ষণীয় জগৎ প্রকৃতি ও বাস্তব বিষয়কে জানা জরুরি বলে মনে করেন যেটি অধিবিদ্যার বিপরীতে প্রতিষ্ঠা করা হয়। এ দুজন প্রত্যক্ষবাদী ধর্মের স্থানে বিজ্ঞান, শিল্প ও সমাজকে প্রতিষ্ঠার চেস্টা করেছেন। তবে অ্যাভেনারিউস অভিজ্ঞতার সংগে বিচারবাদকে গ্রহণ করেছেন এবং এই বিচারবাদকে তিনি পদ্ধতিবাদের ছাঁচে ফেলেছেন।আর অন্যদিকে আর্নস্ট মাখ মনে করেন প্রত্যক্ষবাদ হলো একটি প্রাকৃতিক বিজ্ঞান যেখানে মনোবিজ্ঞানের স্থান আছে।হুসার্ল অ্যাভেনারিউসের অভিজ্ঞতাভিত্তিক বিচারবাদ ও আর্নস্ট মাখের প্রাকৃতিক বিজ্ঞান ভিত্তিক প্রণালীতত্ত্ব রুপত্ত্বের উদ্ভব হিসেবে গ্রহণ করেন।
ইংলিশ অভিজ্ঞতাবাদ
ইংলিশ অভিজ্ঞতাবাদ যেটি উনিশ শতকে বিস্তৃতি লাভ করেছিলো সেটি মানববুদ্ধি উন্মেষকে স্বীকার করতো।এ কথার অর্থ হলো এই ইংলিশ অভিজ্ঞতাবাদ জ্ঞান বিজ্ঞানকে অভিজ্ঞতার মাধ্যমে জানতে চায়।
উনিশ শতকের ইংলিশ অভিজ্ঞতাবাদ সতের ও আঠারো শতকের অভিজ্ঞতাবাদের ভুল সংশোধন করে এই অভিজ্ঞতাবাদ মনে করে যে বাস্তবকে ইন্দ্রিয়জ্ঞানের সাহায্যে জানা যায়।এই অভিজ্ঞতাবাদের প্রবর্তক ছিলেন মিল,স্পেন্সার প্রমুখ।
মিল-এর মতে জগৎ প্রকৃতিকে জানার জন্য বৈজ্ঞানিক গবেষণার প্রয়োজন রয়েছে।বিজ্ঞান সবসময়ে তার নবয় কৌশলে জগৎ প্রকৃতি বিষয় বস্তুকে ব্যাখ্যা করে। এই ব্যাখ্যায় যে বিষয়টি উপযোগী মনে করা হয় সেটিকেই গ্রহণ করা হয়। এখানে নৈতিকতাকে স্বীকার করা হয় না। মিল-এর এই বাস্তব পরীক্ষা নিরীক্ষা রুপতত্ত্বের উদ্ভবে বিস্তর অবদান রেখছে।
স্পেন্সার মনে করেন নৈতিকতার প্রয়োজন আছে তবে এই নৈতিকতাকে ইতিহাস সংস্কৃতি সভ্যতা ইত্যাদি বিষয়ের সংগে পরখ করে দেখতে হবে। কারণ নৈতিকতা মানুষের জীবনে বিশেষ ভূমিকা পালন করে থাকে। সে কারণেই বাস্তব জগতে নৈতিকতার প্রয়োজন আছে।স্পেন্সারের এই জীবনমুখি বাস্তব নৈতিকতাকে রুপতত্ত্বে হুলার্স গ্রহণ করেন।
জার্মান অভিজ্ঞতাবাদ
জার্মান অভিজ্ঞতাবাদের জনপ্রিয় প্রবক্তা ছিলেন ফ্রান্স প্রেটানো (১৮৩৮-১৯১৭)। এরিস্টটল ও স্কলাস্টিক দর্শন সম্বন্ধে তিনি খুবই ভালো জানতেন। তার তিনি প্রমাণের সাহায্যে নিশ্চিত স্থানে পৌছানোর চেস্টা করেন। তার কাছে নিশ্চিত জগৎ হল অভিজ্ঞতা। এখানে উল্লেখ্য যে কান্টও নিশ্চিত জ্ঞানে পৌছাতে গিয়ে অভিজ্ঞতাপূর্ব জ্ঞানের প্রয়োজনীয়তার কথা বলেন।অর্থাৎ প্রেটানো তার দর্শনে কোনো প্রকার পূর্ব অভিজ্ঞতাকে প্রশ্রয় দেননি।
প্রেটানো-এর একজন ঘনিস্ঠ শিষ্য হিসেবে হুসার্ল তার এই অভিজ্ঞতাকেই তার রুপত্ত্ত্বের জন্য গ্রহণ করেন।
জার্মান নব্য কান্টীয় চিন্তাধারা
উনিশ শতকের চিন্তাধারায় বস্তুবাদ ও উপোযোগবাদে নতুন নতুন চিন্তার উদ্ভব ঘটে। এ নতুন চিন্তাধারার প্রবক্তারা ভাববাদী দর্শনকে সংস্কার করার চেস্টা করেন। এ বিষয়কে কেন্দ্র করে জার্মানীতে নব্য কান্টীয় স্তর তৈরি হয়।
ফেব্রুয়ারি ২০১৭
ফেব্রুয়ারি ২০১৭-এ বিশ্বব্যাপী সংঘটিত ঘটনার সংক্ষিপ্ত-সার।
রূপতত্ত্ব (দর্শন)
জার্মান নব্য কান্টীয় চিন্তাধারা
জার্মান নব্য কান্টীয় চিন্তাধারার মধ্যে বলতে গেলে ধর্মের বিষয়টি ছাড়া বাকী সবগুলো বিষয়কেই হুসার্ল তার রুপতত্ত্বে গ্রহণ করেছেন।
রুপতত্ত্বের বিকাশ
আধুনিক দর্শন বিভিন্ন শাখায় নতুন নতুন মতবাদের ঝান্ডা উড়িয়েছে। হুসার্লের রুপত্ত্ব থেকে ও বিংশ শতকের তিনটি নব্য ধারার বিকাশ ঘটে।যেমন:
১. অস্তিত্ববাদ ২. নব্য প্রত্যক্ষবাদ ৩. জ্ঞানবিদ্যক উত্তরণ
অস্তিত্ববাদ
এটি বিংশ শতাব্দীর একটি শীর্ষ স্থানীয় মতবাদ। এই মতবাদটি মানুষের মুখে মুখে ঘুরে বেড়ায়। অস্তিত্ত্ববাদের কথা,নীতিমালা মানুষের কাছে একটা সময়ে কর্তব্য হিসেবে গৃহীত হয়েছে।বিশেষ করে সাধারণ মানুষে র কাছে।যেখানে উনিশ শতকের জীবন দর্শন অভিজাত শ্রেণীর জন্যই শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ ছিলো। এই অভিজ্ঞতাবাদ এককথায় সাধারণ মানুষের অস্তিত্বকে স্বীকার করেছে।এ মতবাদ তাত্ত্বিক বিষয়ের বিপরীতে জাগতিক বিষয় সম্বন্ধে আলোচনা করে।এ দর্শন তৈরি হবার পিছনে কিছু পূর্ব শর্তের প্রয়োজন হয়। এ পূর্বশর্তগুলো আমেরিকা ইংল্যান্ড ও মতো পুজিবাদী দেশগুলোতে তৈরি হয়নি বা ব্যবহার হয়নি।
জার্মান অস্তিত্ববাদ
মানুষের মধ্যকার সামজিক নিরাপত্তাহীনতা,ভয় উৎকন্ঠাজনিত ইত্যাদি সমস্যার কথাকে অস্তিত্বের সংকট বিবেচনা করে তা আলোচনা করেন কার্ল জ্যাসপার্স।তার মতে হেগেল তার অধিবিদ্যা ও যুক্তিশাস্ত্রে সত্তা সম্বন্ধে এ কথা বলে গেছেন যে কাজ সম্পাদন করতে হবে।কারণ এ কাজ সামাজিক অবস্থা সহযোগী। অন্যদিকে হাইডেগার এই সমস্যার সমাধান খোঁজবার চেষ্টা করেন যেমনটি তার গুরু হুলার্স রুপতত্ত্বে সন্ধান করেছিলেন। হাইডেগারের মতে বস্তুবাদী দার্শনিকের বিপরীতে ভাববাদী দর্শনকে নতুনভাবে বিকশিত করার কথা বলেছেন। তার মতে কান্ট হেগেল ও জার্মান ভাববাদ সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয়নি। যদি আদতে হতোই তবে জার্মান সমাজের এ দুরবস্থা হতোনা বলে তিনি মনে করতেন।
ফরাসি অস্তিত্ববাদ
ফ্রেঞ্চ অস্তিত্ববাদের কথা প্রথম যিনি বলেন তিনি হলেন জাঁ পল সার্ত্রে।এ অস্তিত্ববাদ নান্দনিক বিষয়কে প্রাধান্য দেয়। সার্ত্রে সামাজিক সংস্কারবন্চিত লোক। তিনি প্রথম জীবনে হাইডেগারের অনুসারী হতে চেয়েছিলেন।সামাজিক সমস্যা সমাধানে তার কথা হলো মানুষের সত্তা বা অধিবিদ্যক ধারণার আদতে কোনো প্রয়োজনই নেই কারণ তা মানুষের জীবনে সুখ পরিপূর্ণভাবে প্রদান করে না। মানুষের জন্য দরকার নিজের অস্তিত্বকে স্বীকার করা। অস্তিত্ব স্বীকার হলেই মানুষের জীবনে সত্য অর্জিত হয়। কারণ মানুস সবসময়েই মূলত স্বাধীন।স্বাধীনতাই মানুষকে সাহায্য করে সবকিছুকে চিনতে,ভাবতে ও অর্জন করতে। সার্ত্রে তার নানা সাহিত্য কর্মে উপন্যাসে দেখিয়েছেন একটি সমগ্রের বিবেচনাহীনতার কাছে ব্যক্তিমানুষ কতই না অসহায়! তিনি মনে করেন এই মানবতাবাদ পৃথিবীতে অস্তিত্বশীল মানুষের জন্য হতে পারে চূড়ান্ত মানবতার। ব্যক্তি যদি তার অস্তিত্ব বিষয়ে সচেতন থাকে তবে তাকে শোষন করা সহজ নয়।
নব্য প্রত্যক্ষবাদ
হ্বিটগেনস্টেইনের মতে "বাস্তব ঘটনার সাথে সংযুক্ত বাস্তবসত্তা বাস্তব ঘটনা থেকেই উদ্ভূত"। তিনি বলেন ভাষার উদ্দেশ্য হলো বাক্যের যৌক্তিক প্রতিফলনের সাহায্যে প্রত্যক্ষণীয় বিষয়কে জানা, ভাষার সাহায্যে বস্তুর প্রকৃত রুপ বা চিত্র-কে উপস্থাপন করা।তার মতে ""The proporsition is a picture of reality"
নব্য প্রত্যক্ষবাদে সবচেয়ে বেশি ভূমিকা রাখে ভিয়েনা চক্র । এ চক্রের সদস্য ছিলেন মরিজ শ্লিক, হ্যানস হ্যান, রুডলফ কার্নপ,ফ্রাংক প্রমুখ। তারা বৈজ্ঞানিক জ্ঞানকে স্বচ্ছ ও যথার্থ করার জন্য বিজ্ঞানকে অধিবিদ্যা থেকে দূরে রাখার কথা বলেন। এবং তা করার জন্য পরখনীতি সাধনের কথা বলেন।
জ্ঞানবিদ্যক উত্তরণ
কার্ল পপার পরখনীতির সমালোচনা করে মিথ্যায়ন নীতির অবতারণা করেন। জ্ঞানবিদ্যক উত্তরণে এই নীতির ধারাবাহিকতায় কার্ল পপারের শিষ্য লাকাটোস এসে আবার কারণাপের সাথে একমত পোষন করেন এবং বলেন পপার কারণাপের পরখনীতিকে যে ভুল বলেছেন তা একদম ঠিক নয়।তিনি বলেন এখানে আংশিক ভুল ছিলো।সে ভুল ঠিক করলেই পুরোপুরি সত্য প্রতিষ্ঠা হয়।ল্যাকাটোস বিজ্ঞানের অগ্রগতির জন্য হিউরিস্টিক পদ্ধতির কথা বলেন। হিউরিস্টিক পদ্ধতি হলো বিশেষ কোন পদ্ধতি অনুসরন না করে সুবিধা অনুযায়ী কাজ করা।