বীজগণিতের_মৌলিক_উপপাদ্য
বহুসত্তার জিরোয় সীমাবদ্ধ
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য যখন একটি সাধারণ অস্তিত্বের ফলাফল বলে থাকে, তাত্ত্বিক থেকে এবং ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে প্রদত্ত বহুবর্ষের শূন্যগুলির অবস্থান সম্পর্কিত তথ্য পাওয়া কিছুটা আগ্রহী। এই দিকের সরল ফলাফলটি মডিউলাসের উপর আবদ্ধ: একটি মনিক পলিনোমিয়াল zn + an - 1 zn - 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} + a_ {n- এর সমস্ত জিরো ζ 1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ n-1} + d সিডটস + a_ {1} z + a_ {0} an একটি বৈষম্য সন্তুষ্ট | ζ | ≤ আর, কোথায় আর ∞: = 1 + সর্বোচ্চ {| a 0 | ,…, | a এন - 1 | । \ \ ডিসপ্লেস্টাইল আর _ {\ ইনফটি}: = 1+ \ সর্বাধিক {{| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} | \}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর _ {\ ইনফটি}: = 1+ \ সর্বোচ্চ \ {| a_ a 0} |, d ldots, | a_ {n-1} | \}। লক্ষ্য করুন যে, যেমনটি বলা হয়েছে, এটি এখনও কোনও অস্তিত্বের ফলাফল নয় বরং এটি প্রাইরি বাউন্ড নামে অভিহিত যাকে বলে তার উদাহরণ: এটি বলে যে যদি সমাধান হয় তবে তারা কেন্দ্র এবং বর্গ ব্যান্ডের ব্যাসার্ধের ডিস্কের ভিতরে থাকে the যাইহোক, একবার বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের সাথে মিলিত হয়ে এটি বলে যে ডিস্কটিতে আসলে কমপক্ষে একটি সমাধান থাকে। আরও সাধারণভাবে, সহগের এন-ভেক্টরের যেকোন পি-আদর্শের ভিত্তিতে একটি বাউন্ড দেওয়া যেতে পারে a: = (a 0, a 1,…, an - 1), \ \ ডিসপ্লেস্টাইল a: = (a_ {0 }, a_ {1}, d ldots, a_ {n-1}),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল a: = (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}),} তা | ζ | ≤ আরপি, যেখানে আরপি হ'ল 2-ভেক্টর (1, ‖ a ‖ পি), {\ ডিসপ্লেস্টাইল (1, \ | একটি \ | _ {পি}),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল (1, of | একটি \ | _ {পি}),} q পি, 1 পি + 1 কিউ = 1, {\ ডিসপ্লেস্টাইল {\ tfrac {1} {p}} + {f tfrac {1} {কিউ} 1 = 1, 1 {\ \ ডিসপ্লেস্টাইল {f tfrac {1} {পি}} + {f tfrac {1} {কিউ}} = 1, any যে কোনও 1 ≤ পি ≤ ∞ এর জন্য ∞ সুতরাং, যে কোনও সমাধানের মডুলাসটিও বদ্ধ হয় আর 1: = সর্বোচ্চ {1, ∑ 0 ≤ কে <এন | a কে | }, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {1}: = \ সর্বোচ্চ \ বাম \ \ 1, \ যোগ _ \ 0 \ লেক কে <এন} | a_ {কে} | \ ডান \},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ R 1}: = \ সর্বোচ্চ \ বাম \ \ 1, \ যোগ _ {0 \ লে কে কে <এন} | এ_ a কে} | \ ডান \},} আর পি: = [1 + (∑ 0 ≤ কে <এন | আক | পি) কিউপি] 1 কিউ, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {পি}: = \ বাম [1+ \ বাম (\ যোগ _ {0 \ লেক কে < n} | a_ {k} | ^ {p} \ ডান) ^ {\ frac {q} {p}} \ ডান] ^ {rac frac {1} {কিউ}},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {পি}: = \ বাম [1+ \ বাম (\ যোগ _ {0 \ লে কে কে <এন} | এ_ {কে} | ^ {পি} \ ডান) ^ {rac frac {q} {পি}} \ ডান] ^ {\ frac {1} {q}},} 1 <পি <∞ এর জন্য এবং বিশেষত আর 2: = ∑ 0 ≤ কে ≤ এন | a কে | 2 {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {2}: = {\ স্কয়ার্ট {\ যোগ _ {0 q লেক কে q লেক এন} | এ_ {কে} | ^ {2}}}} আর_ {2}: = {\ স্ক্রিট {\ যোগ _ {0 \ লেক কে \ লেক এন} | এ_ {কে} | ^ {2}}} (যেখানে আমরা 1 এর অর্থ একটি সংজ্ঞায়িত করি, যা যুক্তিযুক্ত যেহেতু 1 হ'ল আমাদের বহুত্ববর্ণের n-th সহগ)। ডিগ্রি এন এর জেনেরিক বহুবর্ষের ক্ষেত্রে, পি (জেড): = আনজান + আন - 1 জেএন - 1 + ⋯ + এ 1 জেড + এ 0, {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ { n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0},} অবশ্যই একটি সোনিকের ক্ষেত্রে হ্রাস করা হয়, সমস্ত সহগকে একটি ≠ 0 দিয়ে বিভাজন করে এছাড়াও, যদি 0 টি মূল হয় না, তবে a0 ≠ 0, নিচে থেকে শিকড়ের উপরের সীমানা - তত্ক্ষণাত 1 থেকে উপরের সীমা হিসাবে অনুসরণ করুন ζ {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ f tfrac {1} {\ zeta}}} {\ \ displaystyle {f tfrac \ 1} {\ zeta}}}, এর শিকড় a 0 z n + a 1 z n - 1 + ⋯ + a n - 1 z + a n। {\ ডিসপ্লেস্টাইল a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {n-1} z + a_ {n}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল এ_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {n-1} z + a_ {n}।} অবশেষে, দূরত্ব | ζ - ζ 0 | {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা - \ জেটা _ {0} |} | eta জেটা - \ জেটা _ {0} | শিকড় থেকে কোনও বিন্দুতে ζ 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ জেটা _ {0}} eta জিতা _ {0 নিচে এবং উপরে থেকে অনুমান করা যায়, - ζ 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ জেটা - eta জেটা _ {0} } \ জেটা - \ জেটা _ {0 the বহুপদী পি (z + ζ 0) {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (z + \ জেটা _ {0})} পি (জেড + \ জেটা _ {0}) এর জিরো হিসাবে, যার সহগ z = ζ 0 এ পি (জেড) এর টেলর সম্প্রসারণ। {\ ডিসপ্লেস্টাইল z = \ জেটা _ {0}।} z = \ জেটা _ {0}}