cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
ত্রিভুজ
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, যেকোন তিনটি বিন্দু, যখন অসমরেখ, একটি অনন্য ত্রিভুজ এবং একই সাথে একটি অনন্য সমতল (অর্থাৎ একটি দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান) নির্ধারণ করে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র একটিই সমতল রয়েছে যা সেই ত্রিভুজটিকে ধারণ করে এবং প্রতিটি ত্রিভুজই কোনো না কোনো সমতলে রয়েছে। যদি পুরো জ্যামিতিটি শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় সমতলে থাকে, তবে সমস্ত ত্রিভুজ শুধুমাত্র ওই একটি সমতলেই অবস্থান করছে; যদিও, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে, এই তত্ত্বটি আর সত্য নয়। এই নিবন্ধটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ত্রিভুজ সম্পর্কে, এবং বিশেষ করে, ইউক্লিডীয় সমতল, যদি অন্যরূপে উল্লেখিত না থাকে।
কোন্ডাপল্লী সীতারামাইয়া
কোন্ডাপল্লী সীতারামাইয়া (? - ১২ এপ্রিল, ২০০২) একজন ভারতে র মাওবাদী কমিউনিস্ট নেতা। ইনি সিপিআই (এম এল) (জনযুদ্ধ) গোষ্ঠীর প্রতিষ্ঠাতা ও প্রবীন নেতা ছিলেন।
ত্রিভুজ
ত্রিভুজের প্রকারভেদ
থাম্ব|320x320পিক্সেল| সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির কমপক্ষে ২টি সমান বাহু রয়েছে (অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজগুলি হল সমদ্বিবাহু) এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে বিভিন্ন রকম ত্রিভুজের [[অয়লার রেখাচিত্র|অয়লার ডায়াগ্রাম।]] ত্রিভুজ শ্রেণীবিভক্ত করার পরিভাষা দুই হাজার বছরেরও বেশি পুরোনো, এর প্রথম পৃষ্ঠায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ইউক্লিডের উপাদানে। আধুনিক শ্রেণিবিভাগের জন্য ব্যবহৃত নামগুলি হয় সরাসরি ইউক্লিডের গ্রীক থেকে প্রতিবর্ণীকরণ (ট্রান্সলিটারেশন) নয়তো তাদের লাতিন অনুবাদ।
কোন্ডাপল্লী সীতারামাইয়া
প্রারম্ভিক জীবন
কোন্ডাপল্লী অন্ধ্রপ্রদেশ রাজ্যের কৃষ্ণা জেলার লিংগাভরম গ্রামে এক ধনী পরিবারে জন্মগ্রহণ করেছিলেন। তিনি জোন্নাপুডু গ্রামে বেড়ে ওঠেন। ছাত্রাবস্থাতে কমিউনিস্ট রাজনীতিতে যোগ দেন তিনি।
ত্রিভুজ
বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বারা
প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড তিন ধরনের ত্রিভুজকে তাদের বাহুর দৈর্ঘ্য অনুসারে সংজ্ঞায়িত করেছেন: "τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς"
কোন্ডাপল্লী সীতারামাইয়া
শেষ জীবন
শেষ জীবনে সীতারামাইয়া রাজনীতি থেকে নিজেকে সরিয়ে রেখেছিলেন। তিনি পার্কিসন্স রোগে আক্রান্ত হন। ২০০২ সালের ১২ এপ্রিল নিজের নাতনীর বাড়িতে ৮৭ বছর বয়েসে মারা যান এই প্রবীন মাওবাদী বিপ্লবী। মৃত্যুকালে রেখে যান তার স্ত্রী কোটেশ্বরাম্মা ও দুই নাতনি কে। তার শেষকৃত্যে অল্প কিছু মানুষ উপস্থিত ছিলেন বলে সংবাদ বিজ্ঞপ্তিতে প্রচার হয়।
ত্রিভুজ
বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বারা
একইভাবে, কোণের অভ্যন্তরে ১, ২, বা ৩টি সমকেন্দ্রিক বৃত্তচাপের সজ্জাগুলি সমান কোণ নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি কোণে একই সজ্জা থাকে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র ২টি কোণে একই সজ্জা থাকে এবং একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ সমস্ত কোণে ভিন্ন নিদর্শন রয়েছে, যেহেতু সবকটি কোণ অসমান।
অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বারা
থাম্ব| [[মৌলিক উপাদানসমূহ (ইউক্লিড)|ইউক্লিডস এলিমেন্টের বিশ্বের প্রথম মুদ্রিত সংস্করণ (১৯৪২)-এর প্রথম পৃষ্ঠা, বইটির "সংজ্ঞা" বিভাগটি দেখানো হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজটিকে " অর্থোগোনিয়াস " আখ্যা দেওয়া হয়েছে, এবং প্রদর্শিত কোণ দুটি "অ্যাকুটাস" এবং "অ্যাঙ্গুলাস ওবটাস"।]] ত্রিভুজগুলিকে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ অনুসারে শ্রেণীবিভক্ত করা যেতে পারে, যা ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয়।
যে ত্রিভুজের একই মাপের দুটি কোণ রয়েছে এবং একই দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু রয়েছে তাকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা হয়। একইভাবে বলা যেতে পারে যে ত্রিভুজে সমস্ত কোণের পরিমাপ সমান এবং তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তা হল একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
মূল কথা
ডান|থাম্ব|300x300পিক্সেল| একটি ত্রিভুজ, বাহ্যিক কোণ হল d. ত্রিভুজগুলিকে দ্বিমাত্রিক সমতল চিত্র বলে ধরে নেওয়া হয়, যদি না অন্যরূপে উল্লেখিত থাকে (নীচে অসমতলিক ত্রিভুজ দেখুন)। কঠোর চিকিৎসায়, একটি ত্রিভুজকে তাই বলা হয় 2- সিমপ্লেক্স (এছাড়াও পলিটোপ দেখুন)। ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য ইউক্লিড দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল, তার এলিমেন্টস বইয়ের ১-৪, ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে লেখা। ডান|থাম্ব|300x300পিক্সেল| ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রী (একই রঙ দ্বারা কোণগুলি সমান তা নির্দেশ করা হল)। ইউক্লিডীয় স্থানের একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি। এই সত্যটি ইউক্লিডের সমান্তরাল অনুশাসনের সমতুল্য। এটি কোনো ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান নির্ধারণে সাহায্য করে, যখন দু'টি কোণের পরিমাপ জানা থাকে। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ হল একটি কোণ যা একটি অভ্যন্তরীণ কোণের রৈখিক জোড়া (এবং তাই সম্পূরক)। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণের পরিমাপ তার সংলগ্ন নয় এমন দুটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টির সমান; এটি বহিঃকোণ বহিঃকোণ উপপাদ্য । যেকোন ত্রিভুজের তিনটি বহিঃকোণের (প্রতিটি শীর্ষের জন্য একটি) পরিমাপের সমষ্টি হল ৩৬০ ডিগ্রি।
সাদৃশ্য এবং সঙ্গতি
দু'টি ত্রিভুজকে সদৃশ বলা হয়, যদি একটি ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ অন্য ত্রিভুজের অনুরূপ কোণের সমান থাকে। সদৃশ ত্রিভুজগুলির অনুরূপ বাহুগুলির দৈর্ঘ্য একই অনুপাতে থাকে এবং এই বৈশিষ্ট্যটিও ত্রিভুজের সাদৃশ্য স্থাপনের জন্য যথেষ্ট।
সদৃশ ত্রিভুজ সম্পর্কে কিছু মৌলিক উপপাদ্য হল:
একজোড়া ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য কিছু স্বতন্ত্রভাবে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল:
কিছু স্বতন্ত্রভাবে পর্যাপ্ত শর্ত হল:
একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হল:
সমকোণী ত্রিভুজ
থাম্ব| পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য একটি মূল উপপাদ্য হল পিথাগোরাসের উপপাদ্য, যেটি বলে যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। যদি অতিভুজের দৈর্ঘ্য c হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b হয়, তাহলে উপপাদ্যটি বলে যে
বিপরীতটি সত্য: যদি একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি উপরের সমীকরণটি পূরণ করে, তাহলে ত্রিভুজটির c বাহুর বিপরীত কোণটি হল সমকোণ।
সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য:
বাহুর শর্ত
ত্রিভুজ অসমীকরণ বলে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি সর্বদা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে। এই সমষ্টি কেবল একটি অবক্ষয়িত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হতে পারে, যার শীর্ষবিন্দুগুলি সমরেখ। যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কখনোই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়। তিনটি প্রদত্ত ধনাত্মক বাহুর দৈর্ঘ্য সহ একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান হয় যদি এবং কেবল যদি সেই বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি ত্রিভুজের অসমীকরণ পূরণ করে।
কোণের শর্ত
তিনটি প্রদত্ত কোণ একটি অবক্ষয়িত নয় এমন ত্রিভুজ গঠন করে (এবং প্রকৃতপক্ষে অসীম-সংখ্যক) যদি এবং কেবল যদি তা এই দুটি শর্তই পূরণ করে: (ক) প্রতিটি কোণ ধনাত্মক, এবং (খ) কোণগুলির যোগফল ১৮০°। অবক্ষয়িত ত্রিভুজ অনুমোদিত হলে, ০° কোণ অনুমোদিত।
ত্রিকোণমিতিক অবস্থা
তিনটি ধনাত্মক কোণ α, β, এবং γ, এদের প্রত্যেকটি ১৮০° এর কম, একটি ত্রিভুজের কোণ যদি এবং কেবল যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে যেকোনো একটি পূরণ করে:
শেষ সমীকরণটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন কোনো কোণ ৯০° না হয় (তাই স্পর্শক অপেক্ষকের মান সর্বদা সসীম)।
একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত বিন্দু, রেখা এবং বৃত্ত
এমন হাজার হাজার বিভিন্ন (জ্যামিতিক) অঙ্কন রয়েছে যা একটি ত্রিভুজের সাথে (এবং প্রায়শই ভিতরে) একটি বিশেষ বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত, যা কিছু অনন্য বৈশিষ্ট্য মেনে চলে: তাদের একটি সূচির জন্য ত্রিভুজ কেন্দ্রের বিশ্বকোষ নিবন্ধটি দেখুন। প্রায়শই এগুলি তিনটি বাহুর (বা শীর্ষবিন্দু) সাথে একটি প্রতিসম উপায়ে যুক্ত তিনটি লাইন খুঁজে বের করে এবং তারপর প্রমাণ করে যে তিনটি রেখা একটি একক বিন্দুতে মিলিত হয়: এইগুলির অস্তিত্ব প্রমাণ করার একটি গুরুত্বপূর্ণ উপায় হল Ceva এর উপপাদ্য, যা এই ধরনের তিনটি রেখা সমবিন্দুগামী নাকি তা নির্ধারণের একটি মাপকাঠি। একইভাবে, একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত রেখাগুলিকে প্রায়শই প্রমাণ করে তৈরি করা হয় যে তিনটি প্রতিসমভাবে নির্মিত বিন্দু সমরেখ : এখানে মেনেলাউসের উপপাদ্য একটি দরকারী সাধারণ মানদণ্ড দেয়। এই বিভাগে সাধারণত সম্মুখীন হতে হয় এরকম নির্মাণগুলির মধ্যে কয়েকটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে। ডান|থাম্ব| [[পরিবৃত্ত হল ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের কেন্দ্র।]] একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর একটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হল একটি সরল রেখা যা বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং বাহুর সাথে লম্ব হয়, অর্থাৎ বাহুর সাথে একটি সমকোণ তৈরি করে। তিনটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র-তে মিলিত হয়, সাধারণত O দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। এই বৃত্তের ব্যাস, যাকে পরিবৃত্তের ব্যাস বলা হয়, যা উপরে উল্লিখিত সাইনের সূত্র থেকে পাওয়া যায়। এই বৃত্তের ব্যাসার্ধকেপরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
থ্যালেসের উপপাদ্যটি অনুসারে, যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের একটি পাশে অবস্থিত হয় তবে বিপরীত কোণটি একটি সমকোণ। যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে অবস্থিত হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ হয়; যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাইরে থাকে, তাহলে ত্রিভুজটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ। বাম|থাম্ব| ত্রিভুজের উচ্চতাগুলির ছেদবিন্দু হল লম্ববিন্দু। একটি ত্রিভুজের উচ্চতা হল একটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি সরলরেখা যা বিপরীত বাহুর উপর লম্ব (অর্থাৎ বাহুটির সাথে একটি সমকোণ গঠন করে)। এই বিপরীত বাহুটিকে উচ্চতার ভূমি বলা হয় এবং যে বিন্দুটি উচ্চতা ভূমিকে (বা এর সম্প্রসারণকে) ছেদ করে তাকে উচ্চতার পাদবিন্দু বলে। উচ্চতার দৈর্ঘ্য হল ভূমি এবং শীর্ষবিন্দুর মাঝের দূরত্ব। তিনটি উচ্চতা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের লম্ববিন্দু বলা হয়, যা সাধারণত H দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লম্ববিন্দুটি বা লম্বকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে থাকে যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী হয়। ডান|থাম্ব| কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু হল অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র। একটি ত্রিভুজের একটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক হল একটি শীর্ষবিন্দুর থেকে একটি সরলরেখা যা সংশ্লিষ্ট কোণটিকে অর্ধেক ভাগে ভাগ করে। তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, অন্তঃকেন্দ্র, যাকে সাধারণত I দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি হল ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র। অন্তঃবৃত্ত হল সেই বৃত্ত যা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে এবং তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে। এর ব্যাসার্ধকে অন্তঃব্যাসার্ধ বলা হয়। আরও তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৃত্ত রয়েছে, বহিঃবৃত্ত ; তারা ত্রিভুজের বাইরে থাকে এবং এক বাহুকে এবং অন্য দু'টিবাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে। অন্তঃ- এবং বহিঃবৃত্তের কেন্দ্রগুলি একটি লম্বকেন্দ্রিক ব্যবস্থা গঠন করে।
বাম|থাম্ব| মধ্যমার ছেদবিন্দু হল [[ভরকেন্দ্র ।]] একটি ত্রিভুজের একটি মধ্যমা হল একটি শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুগামী একটি সরলরেখা, এবং ত্রিভুজটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে। তিনটি মধ্যমা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা জ্যামিতিক ব্যারিসেন্টার বলে, এটিকে সাধারণত G দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অনমনীয় ত্রিভুজাকার বস্তুর ভরকেন্দ্র (একটি অভিন্ন ঘনত্বের একটি পাতলা পাত থেকে কাটা) এটির ভরের কেন্দ্রও : বস্তুটি একটি অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে তার কেন্দ্রে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে ভাগ করে, অর্থাৎ একটি শীর্ষবিন্দু এবং ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের দ্বিগুণ। ডান|থাম্ব| [[নববিন্দু বৃত্ত|নয়-বিন্দু বৃত্ত একটি প্রতিসাম্য প্রদর্শন করে যেখানে ত্রিভুজের প্রান্তে ছয়টি বিন্দু রয়েছে।]] কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুত্রয়, শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুত্রয় সমবৃত্তীয় বিন্দু দিয়ে যে বৃত্তটি অতিক্রম করে তাকে নববিন্দু বৃত্ত বলা হয়। বাকি তিনটি বিন্দু যার জন্য এটির এরূপ নামকরণ করা হয়েছে তা হল ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র থেকে এর প্রতিটি শীর্ষের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দুত্রয়। নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ বহিঃবৃত্তের ব্যাসার্ধের অর্ধেক। এটি অন্তঃবৃত্ত ( Feuerbach পয়েন্টে ) এবং তিনটি বহিঃবৃত্তকে স্পর্শ করে।
বাম|থাম্ব| [[অয়লারের রেখা হল একটি সরল রেখা যা লম্ববিন্দু (লম্বকেন্দ্র) (নীল), নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), ভরকেন্দ্র (কমলা) এবং বহিঃকেন্দ্র (সবুজ)]] লম্ববিন্দু (নীল বিন্দু), নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), ভরকেন্দ্র (কমলা) এবং বহিঃকেন্দ্র (সবুজ) সমরেখ, এবং রেখাটি অয়লার রেখা (লাল রেখা) নামে পরিচিত। নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রটি লম্ববিন্দু এবং বহিঃকেন্দ্রের ঠিক মাঝখানে অবস্থিত এবং ভরকেন্দ্র ও বহিঃকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দুর মাঝের দূরত্বের অর্ধেক।
বৃত্তের অন্তঃকেন্দ্র সাধারণত অয়লার রেখার উপর অবস্থান করে না।
বাহু এবং কোণ গণনা
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বা একটি কোণের পরিমাপের জন্য বিশেষ কিছু পদ্ধতি প্রচলিত রয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজে মান গণনার জন্য কিছু পদ্ধতি উপযুক্ত; অন্যান্য পরিস্থিতিতে আরও জটিল কোনো পদ্ধতির প্রয়োজন হতে পারে।
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট
একটি কোণের সাইন (sine) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে
এই অনুপাতটি নির্দিষ্ট কোনো সমকোণী ত্রিভুজের উপর নির্ভর করে না, যতক্ষণ না এটিতে A কোণ থাকে, যেহেতু এই সমস্ত ত্রিভুজ অনুরূপ ত্রিভুজ।
একটি কোণের কোসাইন (cosine) হল অতিভুজের দৈর্ঘ্যের সাথে সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে
একটি কোণের ট্যানজেন্ট (tangent) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে
এই অনুপাতগুলির জন্য একটি দরকারী স্মৃতিবর্ধনবিদ্যা দ্বারা প্রকাশিত সংক্ষিপ্ত রূপ হল " SOH-CAH-TOA "৷
বিপরীত অপেক্ষক (ফাংশন)
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে।
বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্কট্যান (arctan) ব্যবহার করা যেতে পারে
প্রারম্ভিক জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি পাঠক্রমে, sin−1, cos−1 ইত্যাদি প্রতীক, প্রায়ই আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদির জায়গায় ব্যবহৃত হয় তবে, আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদি, উচ্চতর গণিতে প্রচলিত (মানক) প্রতীক যেখানে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সাধারণত সূচক বা ঘাত (power)-বিশিষ্ট হয়, তাই গুণাত্মক বিপরীত এবং গঠনগত বিপরীত-এর মধ্যে বিভ্রান্তি এড়াতে এরূপ প্রতীক মানক ব্যবহৃত হয়।
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট নিয়ম
বাম|থাম্ব|a, b ও c দৈর্ঘ্যের বাহু এবং যথাক্রমে α, β ও γ কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ। দ্য সাইনের নিয়ম, বা সাইন নিয়ম, বলে যে একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত তার সংশ্লিষ্ট বিপরীত কোণের সাইন ধ্রুবক, অর্থাৎ
এই উপপাদ্যের আরেকটি ব্যাখ্যা হল যে প্রতিটি α, β ও γ কোণবিশিষ্ট ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজের অনুরূপ যার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য sin α, sin β ও sin γ এর সমান। এই ত্রিভুজটি প্রথমে ১ ব্যাসের একটি বৃত্ত তৈরি করে এতে ত্রিভুজের দুটি কোণ অঙ্কন করা যেতে পারে সেই ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে sin α, sin β এবং sin γ। যে বাহুর দৈর্ঘ্য sin α, সেটি α কোণের বিপরীত, ইত্যাদি।
দ্য কোসাইনের সূত্র, বা কোসাইন নিয়ম, একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বাহুর দৈর্ঘ্যকে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে এবং অজ্ঞাত বাহুর বিপরীত কোণকে সংযুক্ত করে এই সূত্র অনুযায়ী:
a, b, c দৈর্ঘ্যের বাহু এবং যথাক্রমে α, β, γ কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের জন্য, যদি জ্ঞাত দু'টি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b দেওয়া হয়, এবং প্রদত্ত বাহু দু'টির মাঝের কোণ (বা অজ্ঞাত বাহু, c-এর বিপরীত কোণ), তৃতীয় বাহু, c নির্ণয় করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে:
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তিনটি কোণ গণনা করা যেতে পারে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে:
দ্য ট্যানজেন্টের সূত্র, বা স্পর্শক নিয়ম, একটি বাহু বা একটি কোণের মান নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন দুটি বাহু এবং একটি কোণ বা দুটি কোণ এবং একটি বাহু প্রদত্ত হয়। এই সূত্রানুযায়ী:
ত্রিভুজ সমাধান
"ত্রিভুজগুলির সমাধান" হল প্রধান ত্রিকোণমিতিক সমস্যা: একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ণয় করা (তিনটি কোণ, তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ইত্যাদি) যখন এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে অন্তত তিনটি জ্ঞাত হয় (দেওয়া থাকে)। ত্রিভুজটি একটি সমতলে বা একটি গোলকের উপর অবস্থিত হতে পারে। এই সমস্যাটি প্রায়ই বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক প্রয়োগে দেখা যায়, যেমন ভূগণিত, জ্যোতির্বিদ্যা, নির্মাণ, দিক নির্ণয় ইত্যাদি।
ক্ষেত্রফল
যেখানে b হল ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, এবং h ত্রিভুজের উচ্চতা। "ভূমি" শব্দটি যে কোনও বাহুকে নির্দেশ করে এবং "উচ্চতা" ভূমির বিপরীত শীর্ষ থেকে ভূমি-ধারণকারী রেখার উপর একটি লম্বের দৈর্ঘ্যকে নির্দেশ করে৷ ৪৯৯ খ্রিস্টাব্দে আর্যভট্ট, এই চিত্রিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছেন আর্যভটীয় (বিভাগ ২.৬)
যদিও সরল, এই সূত্রটি তখনই উপযোগী হয় যদি উচ্চতা জ্ঞাত হয়, যা সবসময় জ্ঞাত থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের জরিপকারীর জন্য প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা তুলনামূলকভাবে সহজ, কিন্তু তিনি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রটির 'উচ্চতা' নির্মাণ করা তুলনামূলকভাবে কঠিন বলে মনে করতে পারেন। ত্রিভুজ সম্পর্কে কী কী তথ্য প্রদত্ত তার উপর নির্ভর করে অনুশীলনে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রায়শই ব্যবহৃত সূত্রগুলির একটি নির্বাচন নীচে দেওয়া হল।
ত্রিকোণমিতির দ্বারা
ফ্রেম| উচ্চতা h নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করা হচ্ছে। ত্রিকোণমিতি প্রয়োগের মাধ্যমে একটি ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।
(যেখানে A-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল α, B-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল β, C-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল \gamma এবং c রেখাংশ হল AB)।
AAS থেকে পাই:
এবং অনুরূপভাবে যদি a বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়।
ASA থেকে পাই:
এবং অনুরূপভাবে যদি b বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়।
হিরনের সূত্র
ত্রিভুজের আকৃতি তার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। অতএব, ক্ষেত্রফল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য থেকেও নির্ণয় করা যেতে পারে। হিরনের সূত্র দ্বারা:
যেখানে অর্ধ-পরিসীমা বা ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক।
হিরনের সূত্র আরও তিনটি সমতুল্য রূপে প্রকাশ করা যায়
সদিক রাশি (ভেক্টর) দ্বারা
একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে স্থাপিত একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সদিক রাশি ব্যবহার করে নির্ণয় করা যেতে পারে। মনে করা যাক ভেক্টর AB এবং AC যথাক্রমে A থেকে B এবং A থেকে C পর্যন্ত নির্দেশ করে। তবে ABDC সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
যা AB এবং AC ভেক্টরের ক্রস গুণফলের পরম মান। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক,
ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলকে ডট গুণফলের মাধ্যমে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে:
স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে
তিনটি সাধারণ শীর্ষবিন্দুর জন্য, সমীকরণটি হল:
যা আবার নিম্নরূপেও প্রকাশ করা যেতে পারে
যদি বিন্দুগুলিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অনুক্রমিকভাবে চিহ্নিত করা হয়, উপরের নির্ণায়কের রাশিমালা ধনাত্মক তাই পরম মান চিহ্নগুলি বর্জন করা যেতে পারে। উপরের সূত্রটি জুতার ফিতার সূত্র (shoelace formula) বা সার্ভেয়ারের সূত্র নামে পরিচিত।
যদি আমরা জটিল তলে শীর্ষবিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করি এবং তাদেরকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমানুসারে, , এবং দ্বারা চিহ্নিত করি, এবং তাদের জটিল অনুবন্ধীগুলিকে \bar a, \bar b, এবং \bar c হিসাবে চিহ্নিত করি, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি
জুতার ফিতা (shoelace) সূত্রের সমতুল্য।
রৈখিক সমাকল (লাইন ইন্টিগ্রেল) ব্যবহার করে
এই পদ্ধতিটি একটি যদৃচ্ছ বহুভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য উপযুক্ত। L-কে x- অক্ষ ধরে, ক্রমিক শীর্ষবিন্দু (xi,yi) এবং (xi+1,yi+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল হল ভূমি গুণ গড় উচ্চতা, যথা (xi+1 − xi)(yi + yi+1)/2. ক্ষেত্রফলের চিহ্ন হল পরিক্রমের দিকের একটি সামগ্রিক সূচক, ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিক্রমা নির্দেশ করে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তিনটি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
যদিও রৈখিক সমাকল পদ্ধতিতে অন্যান্য স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক পদ্ধতির সাথে একটি যদৃচ্ছ স্থানাঙ্ক পদ্ধতির মিল রয়েছে, এটি অন্যান্য পদ্ধতির থেকে ভিন্ন, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে মূলবিন্দু বা ভিত্তি হিসাবে কোনো বাহু যদৃচ্ছ নির্বাচন করে না। তদুপরি, L দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার বিকল্পটি প্রচলিত তিনটি স্বাধীন মাত্রার পরিবর্তে মাত্র দুইটির প্রতিশ্রুতি দেয়, যেহেতু স্থানীয় দূরত্বের মাত্রা (উদাহরণস্বরূপ উপরের xi+1 − xi) যেখানে পদ্ধতিতে L-এর উপর লম্ব একটি অক্ষ নির্বাচন করার প্রয়োজন হয় না।
পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায়, রৈখিক সমাকল ব্যবহার করার জন্য কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় রূপান্তর করার প্রয়োজন নেই, যেহেতু বহুভুজের ধারাবাহিক শীর্ষবিন্দু (ri,θi) এবং (ri+1,θi+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল riri+1sin(θi+1 − θi)/2 দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এটি θ-এর সকল মানের জন্য বৈধ, যদিও |θ|, π-এর চেয়ে অনেক বেশি মাত্রার হলে সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা কিছুটা হ্রাস পায়। এই সূত্রের দ্বারা ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার দিকে পরিক্রম নির্দেশ করে, যা পোলার এবং কার্তেসীয় স্থানাংকগুলি মিশ্রিত করার সময় অনুধাবন করা উচিত। ঠিক যেমন y- অক্ষ নির্বাচন করা কার্তেসীয় স্থানাংকগুলিতে রৈখিক সমাকলের জন্য অপ্রয়োজনীয়, তেমনই শূন্য নির্দেশকারী  নির্বাচন করা এখানে অপ্রাসঙ্গিক.
হিরন-এর সূত্রের অনুরূপ সূত্র
তিনটি সূত্রের গঠন হিরনের সূত্রের মতোই কিন্তু ভিন্ন ভিন্ন চলকের ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়। প্রথমত, a, b, এবং c বাহু থেকে মধ্যমাকে যথাক্রমে m a, m b, এবং m c এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টি (ma + mb + mc)/2 σ হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা পাই
পরবর্তীতে, a, b এবং, c বাহু থেকে যথাক্রমে ha, hb এবং, hc, উচ্চতা নির্দেশ করে এবং উচ্চতার অন্যনোকগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে নির্দেশ করে,আমরা পাই
এবং কোণগুলির সাইনগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে নির্দেশ করে, আমরা পাই
যেখানে D হল বৃত্তের ব্যাস:
পিকের উপপাদ্য ব্যবহার করে
যদৃচ্ছ জালি বহুভুজের (একটি গরাদের উপর সমান দূরত্বে উল্লম্ব এবং অনুভূমিকভাবে সংলগ্ন জালি বিন্দু এবং জালি বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ বহুভুজ অঙ্কিত) ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার কৌশলের জন্য পিকের উপপাদ্যটি দেখা যেতে পারে।
উপপাদ্যটি বিবৃত করে:
যেখানর I অভ্যন্তরীণ জালি বিন্দুর সংখ্যা এবং B হল বহুভুজের সীমানায় থাকা জালি বিন্দুর সংখ্যা।
অন্যান্য এলাকার সূত্র
অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রফলের সূত্র বিদ্যমান, যেমন
যেখানে r হল অন্তঃব্যাসার্ধ, এবং s হল অর্ধপরিসীমা (আসলে, এই সূত্রটি সমস্ত স্পর্শক বহুভুজের জন্য প্রযোজ্য), এবং
যেখানে ব্যাসার্ধগুলি যথাক্রমে a, b, c বাহুর বহিঃবৃত্তের স্পর্শক।
আমরা আরো পাই
এবং
যেখানে পরিবৃত্তের ব্যাস D; এবং
এলাকাটিকে আবার নিম্নলিখিভাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে
১৮৮৫ সালে, বেকার ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য শতাধিক স্বতন্ত্র সূত্রের একটি সংগ্রহ বের করেন। এর মধ্যে রয়েছে:
পরিবৃত্তের জন্য (পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ) R, এবং
ক্ষেত্রফলের উর্দ্ধসীমা
পরিসীমা p সহ যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল T নিম্নলিখিত অসমীকরণটি সিদ্ধ করে
যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয় তবেই উভয়পক্ষ সমান হয়।
T ক্ষেত্রের অন্যান্য উর্দ্ধসীমা নিম্নলিখিত অসমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়
এবং
ক্ষেত্রকে দ্বিখণ্ডিত করা
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এমন অসংখ্য রেখা রয়েছে। তাদের মধ্যে তিনটি হল মধ্যমা, যা একমাত্র ক্ষেত্রফলের সমদ্বিখণ্ডক যা ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল আরও তিনটি ক্ষেত্রফল সমদ্বিখন্ডক রয়েছে।
একটি ত্রিভুজের মধ্য দিয়ে যেকোনো রেখা যা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং এর পরিধি উভয়কে অর্ধেক ভাগ করে তা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী। যেকোনো প্রদত্ত ত্রিভুজের জন্য এর সংখ্যা এক, দুই বা তিন হতে পারে।
সাধারণ ইউক্লিডীয় ত্রিভুজগুলির জন্য আরও সূত্র
এই বিভাগের সূত্রগুলি সমস্ত ইউক্লিডীয় ত্রিভুজের জন্য সত্য।
মধ্যক, কোণ সমদ্বিখণ্ডক, লম্ব বাহুদ্বিখণ্ডক, এবং উচ্চতা
মধ্যমা এবং বাহুগুলি নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত
এবং অনুরূপভাবে m b এবং m c এর জন্য।
A কোণের বিপরীত বাহু a এর জন্য, অভ্যন্তরীণ কোণ সমদ্বিখণ্ডকের দৈর্ঘ্য নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়
অর্ধপরিসীমা s এর জন্য, যেখানে সমদ্বিখন্ডকের দৈর্ঘ্য হল শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর ছেদবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।
অভ্যন্তরীণ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়
যেখানে বাহু এবং ক্ষেত্রফল হল T.
উদাহরণস্বরূপ, a দৈর্ঘ্যের বাহু থেকে উচ্চতা
বহিঃব্যাসার্ধ এবং অন্তঃব্যাসার্ধ
নিম্নলিখিত সূত্রগুলি বহিঃব্যাসার্ধ R এবং অন্তঃব্যাসার্ধ r জড়িত:
যেখানে h a ইত্যাদি হল নিম্নলেখ (সাবস্ক্রিপ্ট করা) বাহুগুলির উচ্চতা;
এবং
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর গুণফল বৃত্তের ব্যাস D এবং তৃতীয় বাহুর উচ্চতার গুণফলের সমান:
সংলগ্ন ত্রিভুজ
ধরা যাক দুটি সংলগ্ন কিন্তু অসমাপতিত ত্রিভুজ f দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ বাহু রয়েছে এবং সাধারণ একটি বহিঃবৃত্ত রয়েছে, যাতে f দৈর্ঘ্যের বাহুটি বহিঃবৃত্তের একটি জ্যা এবং ত্রিভুজদু'টির বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি হল ( a, b, f ) এবং ( c, d, f ), দু'টি ত্রিভুজ একত্রে একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ গঠন করে যার বাহুর দৈর্ঘ্য ক্রমানুসারে ( a, b, c, d )। তবে
ভরকেন্দ্র
ধরা যাক A, B, এবং C শীর্ষবিন্দুসহ একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G এবং P হল যেকোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দু। তবে বিন্দুগুলির মাঝের দূরত্ব নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত
ধরা যাক q a, q b, এবং q c হল ভরকেন্দ্র থেকে a, b, এবং c দৈর্ঘ্যের বাহুর দূরত্ব। তবে
এবং
T ক্ষেত্রফলের জন্য।
পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র এবং লম্ববিন্দু
কার্নোটের উপপাদ্যে বিবৃত হয়েছে যে বহিঃকেন্দ্র থেকে তিনটি বাহুর দূরত্বের যোগফল বহিঃব্যাসার্ধ এবং অন্তঃব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। এখানে রেখাংশের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক বলে বিবেচিত হবে যদি এবং কেবল যদি রেখাংশটি সম্পূর্ণরূপে ত্রিভুজের বাইরে থাকে। এই পদ্ধতিটি বিশেষ করে আরো দুরূহ ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য নির্ণয়ের জন্য উপযোগী, যেমন লাই বীজগণিত দ্বারা প্রণোদিত, অন্যথায় সাধারণ ত্রিভুজের মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
অয়লারের উপপাদ্য বিবৃত করে যে পরিকেন্দ্র এবং অন্তঃকেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব d দ্বারা নির্দেশিত হয়
বা সমতুল্যভাবে
যদি আমরা সূচিত করি যে লম্ববিন্দু একটি উচ্চতাকে u এবং v দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করে, আরেকটি উচ্চতাকে w এবং x দৈর্ঘ্যের অংশে এবং তৃতীয় উচ্চতাকে y এবং z দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করে, তাহলে uv = wx = yz ।
শীর্ষবিন্দুত্রয় থেকে লম্ববিন্দু H পর্যন্ত দূরত্বের বর্গ এবং বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি, পরিব্যাসার্ধের বর্গের বারো গুণের সমান:
কোণ
সাইন নিয়ম ছাড়াও, কোসাইনের সূত্র, ট্যানজেন্টের সূত্র (স্পর্শক আইন) এবং ত্রিকোণমিতিক অস্তিত্বের শর্তগুলি আগেই দেওয়া হয়েছে, যেকোনো ত্রিভুজের জন্য
মোর্লির ত্রিখণ্ডক (ট্রাইসেক্টর) উপপাদ্য
ডান|থাম্ব| মোর্লি ত্রিভুজ, প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের ত্রিখণ্ডনের ফলে উৎপন্ন হয়। এটি সসীম উপবিভাগ নিয়মের একটি উদাহরণ। মোর্লির ত্রিখণ্ডক (ট্রাইসেক্টর) উপপাদ্য বিবৃত করে যে, যেকোনো ত্রিভুজে, সন্নিহিত কোণ ত্রিখণ্ডকের ছেদকের তিনটি বিন্দু একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে, যাকে মোর্লি ত্রিভুজ বলা হয়।
শঙ্কুচ্ছেদ (কনিক্স)
উপরে আলোচনা করা হয়েছে, প্রতিটি ত্রিভুজে একটি অনন্য বৃত্ত অন্তর্লিখিত (অন্তঃবৃত্ত) রয়েছে যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে এবং ত্রিভুজের তিনটি বাহু বৃত্তটির স্পর্শক।
প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য স্টেইনার অন্তঃউপবৃত্ত (ইনলিপ্স) রয়েছে যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ এবং বাহুর মধ্যবিন্দুতে স্পর্শক। মার্ডেনের উপপাদ্য দেখায় কিভাবে এই উপবৃত্তের নাভি নির্ণয় করা যায়। এই উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল সর্বাধিক, ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত যেকোনো উপবৃত্ত ত্রিভুজের তিনটি বাহু যার স্পর্শক, তার ক্ষেত্রফলের তুলনায়।
একটি ত্রিভুজের ম্যান্ডার্ট অন্তঃউপবৃত্ত (ইনলিপ্স) হল ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত উপবৃত্ত যা ত্রিভুজটির বহিঃবৃত্তের সংযোগ বিন্দুতে বাহুত্রয়ের স্পর্শক।
ABC ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত যেকোনো উপবৃত্তের জন্য, যদি P এবং Q উপবৃত্তের নাভি হয়, তবে
উত্তল বহুভুজ
T ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট প্রতিটি উত্তল বহুভুজ সর্বোচ্চ 2T- এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত হতে পারে। একটি সামান্তরিকের জন্য সমতা সাধন হয় (কেবলমাত্র)।
বর্গক্ষেত্র
প্রতিটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র রয়েছে (ত্রিভুজের অভ্যন্তরে বর্গক্ষেত্রগুলি এমন যে, একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের বাহুর উপর থাকে, তাই দুইটি শীর্ষবিন্দু একটি বাহুর উপর থাকে এবং তাই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর অংশের সাথে সমাপতিত হয়) । একটি সমকোণী ত্রিভুজে দু'টি বর্গক্ষেত্র সমাপতিত হয় এবং ত্রিভুজের সমকোণে একটি শীর্ষবিন্দু থাকে, তাই একটি সমকোণী ত্রিভুজে কেবল দুটি স্বতন্ত্র অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র থাকে। একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজে শুধু একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র থাকে, যার একটি বাহু ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুর অংশের সাথে সমাপতিত হয়। একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের মধ্যে, একটি দীর্ঘ সাধারণ বাহু একটি ছোট অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের সাথে যুক্ত। যদি একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের q a দৈর্ঘ্যের বাহু থাকে এবং ত্রিভুজটির a দৈর্ঘ্যের একটি বাহু থাকে, যার একটি অংশ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর সাথে সমাপতিত হয়, তাহলে q a, a, a থেকে উচ্চতা h a, এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল T নীচের শর্তানুসারে সম্পর্কিত
অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সাথে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম অনুপাত হল ১/২, যা সংঘটিত হয় যখন, , এবং a দৈর্ঘ্যের ভূমি থেকে ত্রিভুজের উচ্চতা a এর সমান হয়। একটি অ-স্থূলকোণী ত্রিভুজে একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর সাথে একই ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম অনুপাতটি হল এই উভয় চরম নজির সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দেখা যায়।
ত্রিভুজ
একটি অভিসম্বন্ধ (রেফারেন্স) ত্রিভুজের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে, তিনটি বাহুর নিকটতম বিন্দুগুলি প্যাডেল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু সরবরাহ করে। যদি অভ্যন্তরীণ বিন্দুটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হয়, তাহলে প্যাডেল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের বাহুর মধ্যবিন্দু হয় এবং তাই প্যাডেল ত্রিভুজটিকে মধ্যবিন্দু ত্রিভুজ বলা হয়। মধ্যবিন্দু ত্রিভুজ অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজটিকে চারটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে যা অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের সদৃশ।
একটি ত্রিভুজ বেষ্টনকারী আকারগুলি
একটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের স্পর্শক ত্রিভুজ (একটি সমকোণী ত্রিভুজ ব্যাতীত) হল সেই ত্রিভুজ যার বাহুগুলি (শীর্ষবিন্দু) অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের স্পর্শক রেখার উপর অবস্থিত।
উপরে উল্লিখিত, প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য বৃত্ত রয়েছে, একটি বৃত্ত যা তিনটি শীর্ষবিন্দুগামী, যার কেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু।
উপরন্তু, প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য স্টেইনার বহিঃউপবৃত্ত থাকে, যা ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র থাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগামী সমস্ত উপবৃত্তের মধ্যে এটির ক্ষেত্রফল ক্ষুদ্রতম।
কিপার্ট পরাবৃত্ত (হাইপারবোলা) হল একটি অনন্য কনিক যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, ভরকেন্দ্র এবং পরিকেন্দ্রগামী।
প্রদত্ত উত্তল বহুভুজে থাকা সমস্ত ত্রিভুজের মধ্যে সর্বাধিক ক্ষেত্রফল সহ একটি ত্রিভুজ রয়েছে যার শীর্ষবিন্দুগুলি প্রদত্ত বহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু।
ভাটিণ্ডা লোকসভা কেন্দ্র
বিধানসভা কেন্দ্রসমূহ
ভারতের সীমানা পুনর্নির্ধারণ কমিশনের নির্দেশিকা অনুসারে পাঞ্জাব এর ভাটিণ্ডা লোকসভা কেন্দ্রে ২০০৯ সাল থেকে নিম্নলিখিত বিধানসভা কেন্দ্র গুলির সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে: বর্তমানে ভাটিণ্ডা লোকসভা কেন্দ্রটি ৯ টি বিধানসভা যেমন-
ত্রিভুজ
একটি ত্রিভুজের মধ্যে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্দিষ্ট করা
একটি ত্রিভুজের ভেতরের (বা বাইরের) বিন্দুগুলির অবস্থান সনাক্ত করার একটি উপায় হল কার্তেসীয় সমতলে ত্রিভুজটিকে একটি যদৃচ্ছ অবস্থানে স্থাপন করা এবং কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা ব্যবহার করা। অনেক ক্ষেত্রে সুবিধাজনক হলেও, এই পদ্ধতির সমস্ত পয়েন্টের স্থানাঙ্কের মান সমতলে যদৃচ্ছ স্থাপনের উপর নির্ভরশীল হওয়ার অসুবিধাও রয়েছে।
দুটি ব্যবস্থা সেই বৈশিষ্ট্যটি পরিহার করে, যাতে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি ত্রিভুজটিকে সরানো, ঘোরানো, বা একটি আয়নার সাপেক্ষে প্রতিফলিত করার দ্বারা প্রভাবিত না হয়, যার মধ্যে যেকোনোটি দ্বারা আমরা একটি সর্বসম ত্রিভুজ পাই, বা এমনকি এটিকে পুনর্বিন্যাস করলে একটি সদৃশ ত্রিভুজ পাই :
অসামতলিক (নন-প্লানার) ত্রিভুজ
একটি অসামতলিক (নন-প্লানার) ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যা একটি সমতলের উপর অবস্থান করে না। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে অসামতলিক ত্রিভুজের কিছু উদাহরণ হল গোলাকার জ্যামিতিতে গোলাকার ত্রিভুজ এবং পরাবৃত্তীয় (হাইপারবোলিক) জ্যামিতিতে পরাবৃত্তীয় (হাইপারবোলিক) ত্রিভুজ ।
যদিও সামতলিক ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ° হয়, একটি পরাবৃত্তীয় ত্রিভুজের কোণগুলির  সমষ্টি ১৮০° এর কম হয় এবং একটি গোলাকার ত্রিভুজের কোণগুলির  সমষ্টি ১৮০° এর বেশি হয়। একটি পরাবৃত্তীয় ত্রিভুজ একটি ঋণাত্মকভাবে ন্যুব্জ পৃষ্ঠের উপর অঙ্কন করে পাওয়া যায়, যেমন একটি স্যাডল পৃষ্ঠ, এবং একটি গোলকের মতো একটি ধনাত্মকভাবে ন্যুব্জ পৃষ্ঠে অঙ্কন করে একটি গোলাকার ত্রিভুজ পাওয়া যায়। এইরূপে, কেউ যদি পৃথিবীর পৃষ্ঠে একটি অতিকায় ত্রিভুজ অঙ্কন করে, তবে কেউ দেখতে পাবে যে এর কোণগুলির  সমষ্টি ১৮০° এর চেয়ে বেশি; প্রকৃতপক্ষে এটি ১৮০° এবং ৫৪০° এর মধ্যে হবে। বিশেষত একটি গোলকের উপর একটি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যাতে এর প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপ ৯০° এর সমান হয়, যার সমষ্টি ২৭০° পর্যন্ত হতে পারে।
বিশেষত, একটি গোলকের উপর একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি
উপরিউক্ত কোণের সমষ্টির সূত্র থেকে আমরা আরও লক্ষ্য করতে পারি যে পৃথিবীর পৃষ্ঠে স্থানীয়ভাবে সমতল: যদি আমরা পৃথিবীর পৃষ্ঠের একটি বিন্দুর আশেপাশে একটি যদৃচ্ছ ছোট ত্রিভুজ আঁকি, তাহলে ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল যা পৃথিবীপৃষ্ঠের f অংশ হবে যা শূন্যের নিকটবর্তী। এই ক্ষেত্রে কোণের সমষ্টির সূত্রটি ১৮০°-তে পরিণত হয়, যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে সমতল পৃষ্ঠের ত্রিভুজগুলির জন্য সত্য।
নির্মাণকার্যে ত্রিভুজ
ডান|থাম্ব| নিউইয়র্কের ফ্ল্যাটিরন বিল্ডিংটি একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের আকৃতির আয়তক্ষেত্র অট্টালিকার জন্য সাধারণ জ্যামিতিক আকার এবং সবচেয়ে জনপ্রিয় হয়েছে কারণ আকারটি স্তূপাকারে রাখা যায় এবং সংগঠিত করা সহজ; একটি মানদন্ড হিসাবে, আয়তাকার আকৃতির অট্টালিকার ভিতরে খাপ খাওয়ানোর জন্য আসবাবপত্র এবং দৃঢ়সংলগ্ন আসবাব (ফিক্সচার) উদ্ভাবন করা সহজ। কিন্তু ত্রিভুজ, ধারণাগতভাবে ব্যবহার করা আরও কঠিন হলেও প্রচুর শক্তি প্রদান করে। যেহেতু কম্পিউটার প্রযুক্তি স্থপতিদের সৃজনশীল নতুন অট্টালিকা উদ্ভাবন করতে সাহায্য করে, তাই ত্রিভুজাকার গঠনগুলি অট্টালিকার অংশ হিসাবে এবং কিছু ধরণের আকাশচুম্বী ভবনের সাথে নির্মাণ সামগ্রীর প্রাথমিক আকৃতি হিসাবে ক্রমবর্ধমানভাবে প্রচলিত হয়ে উঠছে। ১৯৮৯ সালে টোকিওতে, স্থপতিরা ভেবেছিলেন যে এই ঘনবসতিপূর্ণ শহরের জন্য সাশ্রয়ী মূল্যের দপ্তরের স্থান সরবরাহ করার জন্য ৫০০-তলা মিনার (টাওয়ার) তৈরি করা সম্ভব কি না, কিন্তু ভূমিকম্পের কারণে ভবনগুলির বিপদের জন্য, স্থপতিরা মনে করেছিলেন যে যদি এমন একটি ভবন নির্মাণ করতে হয় তবে ত্রিভুজাকার গঠনের প্রয়োজন।
নিউ ইয়র্ক শহরে, ব্রডওয়ের প্রধান রাস্তাগুলিকে আড়াআড়িভাবে ছেদ করে, ফলে ব্লকগুলি ত্রিভুজের মতো বিভক্ত হয় এবং এই আকারগুলির উপর ভবনগুলি তৈরি করা হয়; এরকম ত্রিভুজাকার গঠনের একটি বিল্ডিং হল ফ্ল্যাটিরন বিল্ডিং যা স্থাবর ভূসম্পত্তি (রিয়েল এস্টেট)-এর লোকেরা স্বীকার করে যে "আধুনিক দপ্তরের আসবাবপত্র সহজে সমন্বয়বিধান করে না এমন বেমানান জায়গাগুলির ঘনবসতিপূর্ণ অঞ্চল (ওয়ারেন)" রয়েছে কিন্তু এটি নির্মাণ-কাঠামোটিকে একটি লক্ষণীয় প্রতিমূর্তি (ল্যান্ডমার্ক আইকন) হতে বাধা দেয়নি। নকশাকারেরা নরওয়েতে ত্রিভুজাকার বিষয়বস্তু (থিম) ব্যবহার করে ঘর তৈরি করেছেন। ত্রিভুজাকার গঠন গির্জা এবং মহাবিদ্যালয়সহ সর্বসাধারণের অট্টালিকাগুলিতে প্রতীয়মান হয়েছে সেইসাথে উদ্ভাবনী বাড়ির নকশার জন্যও অনুকূল।
ইউনিফাইড এক্সটেনসিবল ফার্মওয়্যার ইন্টারফেস
থাম্ব|231x231পিক্সেল|ইউনিফাইড এক্সটেনসিবল ফার্মওয়্যার ইন্টারফেস ইউনিফাইড এক্সটেনসিবল ফার্মওয়্যার ইন্টারফেস একটি বৈশিষ্ট্য যা অপারেটিং সিস্টেম ও প্ল্যাটফর্ম ফার্মওয়্যার এর মধ্যবর্তী সফটওয়্যার ইন্টারফেস হিসেবে কাজ করে। ইউইএফআই বায়োসকে প্রতিস্থাপন করার জন্য তৈরি হয়েছে।
ইতিহাস
১৯৯০ এর দশকের মধ্যবর্তী সময়ে ইন্টেল-এইচপি ইটানিয়াম সিস্টেম তৈরির সময় এক্সটেনসিবল ফার্মওয়্যার ইন্টারফেস ধারণার উদ্ভব হয়। বৃহত্তর সার্ভার প্ল্যাটফর্মের জন্য বায়োসের সীমাবদ্ধতাসমূহ অগ্রহণযোগ্য ছিল।
সেবাস্তিয়ান কুলাথুনকাল
সেবাস্তিয়ান কুলাথুনকাল হলেন একজন ভারতীয় রাজনীতিবিদ, যিনি ২০২১ সালের মে থেকে পুঞ্জার নির্বাচনী এলাকার বিধায়ক হিসেবে কাজ করছেন। তার দল কেরালা কংগ্রেস (এম)। ২০২১ সালের নির্বাচনে, তিনি পূর্ববর্তী বিধায়ক পিসি জর্জের বিরুদ্ধে মোট ১৬,০০০ ভোটে জিতেছিলেন।
কাস্তেরমান
১৭৮০ সালে সংস্থাটি তৈরি করেন তুর্নে শহরের একজন সম্পাদক ও বইবিক্রেতা দোনা-জোজ়েফ কাস্তেরমান। এটি প্রথমে একটি মুদ্রণ ও প্রকাশনা সংস্থা ছিল। ১৯৩৪ সালে কাস্তেরমান ল্য পেঁতি ভ্যঁতিয়েম পত্রিকার সংখ্যাগুলি থেকে সংকলন করে দুঃসাহসী টিন‌টিন কমিকসের অ্যালবাম প্রকাশ করে। প্রথম বইটি ছিল সিরিজের চতুর্থ কমিকস ফারাওয়ের চুরুট। ১৯৪২ সাল থেকে কাস্তেরমান পূর্বের কমিকসগুলোর পুনর্সম্পাদিত রঙিন সংস্করণ বের করেছে।
কাস্তেরমান তাদের মাঙ্গা (জাপানি কমিক বই) ধারাবাহিক প্রকাশ করছে 'সাক্কা' বাণিজ্যিক নামের অধীনে।
সেটাস (পুরাণ)
thumb|right|200px|প্রাচীন কোরিন্থীয় অলংকৃত পাত্রে [[পের্সেউস, অ্যানড্রোমিডা এবং কেতো এর চিত্র।]]
প্রাচীন গ্রিক শব্দ কেটস (Κῆτος, Kētos, বহুবচন সাটিয়া κήτεα) - লাতিন ভাষায় সেটাস বলতে একটি বড় মাছ, তিমি, হাঙ্গর, অথবা একটি সমুদ্র দানবকে বোঝানো হয়েছে।
খেলনা
thumb|বাচ্চাদের জন্য তৈরি প্লাষ্টিকের খেলনা
খেলাধূলায় ব্যবহৃত সামগ্রীই খেলনা। সাধারণতঃ শিশুরা আর ঘরে পোষা জীবজন্তুরাই খেলনা নিয়ে খেলে, যদিও প্রাপ্তবয়স্কদের বা বন্য প্রাণীদের খেলনা নিয়ে খেলা অস্বাভাবিক কিছু নয়। খেলনা হিসেবে প্রচুর কিছু বাণিজ্যিকভাবে তৈরি করা হয়। আবার খেলার জন্য তৈরি করা হয়নি এমন যে কোন কিছুকেই খেলনা হিসেবে কল্পনা করে তা নিয়ে কেউ খেলতে পারে — ঘরের যে কোন জিনিসকে এরোপ্লেন ভেবে নিয়ে 'উড়িয়ে' নিয়ে যেতে পারে একটি শিশু, আবার একটা পাইন কোনকে থাপড়ে, চাপড়ে, তাড়া করে, শূন্যে ছুঁড়ে খেলতে পারে কোন প্রাণী। কিছু কিছু খেলনা আবার প্রাথমিকভাবে শুধুমাত্র খেলনা সংগ্রহকারীর জন্যই তৈরি করা হয়, খেলার জন্য নয়।
ইতিহাস
খেলনার সৃষ্টি প্রাগৈতিহাসিক কালে; বিভিন্ন প্রত্নতাত্ত্বিক স্থানে শিশুদের খেলনার উপকরণ খুঁজে পাওয়া গেছে।
খেলনার ধরণ
খেলনা নানা ধরনের হয়ে থাকে।
শিক্ষামূলক খেলনা
শিক্ষামূলক খেলনা
লেকো ভাষা
লেকো, হল একটি বিছিন্ন ভাষা, যেটি দীর্ঘ সময় ধরে বিলুপ্ত বলে জনশ্রুতি রয়েছে, এবং ধারণা করা হয় বলিভিয়ার তিতিকাকা হ্রদের পূর্বাঞ্চলে মাত্র ২৪-৪০ জন ব্যক্তি এই ভাষা ব্যবহার করে থাতেন এবং এই ভাষার সর্বমোট জনসংখ্যা প্রায় ৮০ জনের মতো।
রক হাডসন
থাম্ব|প্রেসিডেন্ট রোনাল্ড রিগ্যান এবং ফার্স্ট লেডি ন্যান্সি রিগানের সাথে হোয়াইট হাউসের নৈশভোজে হাডসন (বাম), মে ১৯৮৪ রক হাডসন (Rock Hudson; জন্ম: রয় হ্যারল্ড শেরার জুনিয়র, ১৭ নভেম্বর ১৯২৫ - ২ অক্টোবর ১৯৮৫) ছিলেন একজন মার্কিন অভিনেতা। তিনি ১৯৫০ ও ১৯৬০-এর দশকে মুখ্য অভিনেতা হিসেবে অভিনয় করেছেন। হলিউডের স্বর্ণযুগে তিনি ম্যাগনিফিসেন্ট অবসেশন (১৯৫৪), অল দ্যাট হেভেন অ্যালাউস (১৯৫৫), এবং জায়ান্ট (১৯৫৬) চলচ্চিত্রে অভিনয় করে তারকা খ্যাতি অর্জন করেন এবং শেষোক্ত চলচ্চিত্রে অভিনয় করে শ্রেষ্ঠ অভিনেতার জন্য একাডেমি পুরস্কারের মনোনয়ন লাভ করেন। তিনি পরবর্তী কালে প্রণয়ধর্মী হাস্যরসাত্মক চলচ্চিত্র পিলো টক (১৯৫৯), লাভার কাম ব্যাক (১৯৬১), এবং সেন্ড মি নো ফ্লাওয়ার্স (১৯৬৪) ছবিতে অভিনয় করে সফল হন। সেকেন্ডস (১৯৬৬), টবরুক (১৯৬৭), ও আইস স্টেশন জেব্রা (১৯৬৮) চলচ্চিত্রে কাজের পর তিনি ১৯৭০ ও ১৯৮০-এর দশকে টেলিভিশনে অভিনয় শুরু করেন। তিনি জনপ্রিয় রহস্য ধারাবাহিক ম্যাকমিলান অ্যান্ড ওয়াইফ এবং এবিসির সোপ অপেরা ডাইন্যাস্টি-এ অভিনয় করেন।
লেকো ভাষা
ধ্বনিবিজ্ঞান
লেকো ভাষার ধ্বনিতত্ত্ব বিষয়ে, নিম্নলিখিত রূপ উল্লেখ করা যেতে পারে (ভ্যান ডি কার্কের উপর ভিত্তি করে, ২০০৯: ২৮৯–২৯১)। লেকো ব্যঞ্জনবর্ণ নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে লেখা হয়ে থাকে:
রক হাডসন
যদিও তার জীবনের অনেক কিছুই গোপন ছিল, তবে এটি সর্বজনজ্ঞাত ছিল যে তিনি সমকামী ছিলেন। ১৯৮৫ সালে এইডস সংক্রান্ত জটিলতায় তার মৃত্যুর পর তার যৌন অভিমুখিতা নিয়ে বিশ্বব্যাপী আলোচনা হয়। তিনিই এইডস রোগে আক্রান্ত হয়ে মৃত্যুবরণ করা প্রথম বড় তারকা। ২০১৭ সালে দ্য ডেইলি টেলিগ্রাফ তাদের হলিউড স্বর্ণযুগের ৫০ সেরা তারকা তালিকায় তাকে ২৪তম স্থান প্রদান করে।
বানারীপাড়া পৌরসভা
বানারীপাড়া পৌরসভা বাংলাদেশের বরিশাল জেলার বানারীপাড়া উপজেলার স্থানীয় সরকার সংস্থা। ১৯৯০ সালে পৌরসভাটি প্রতিষ্ঠিত হয়। এটি একটি খ শ্রেনীর পৌরসভা ও বরিশাল-২ ( বানারীপাড়া-উজিরপুর) নির্বাচনী এলাকার অন্তর্গত।
ইতিহাস
১৯৯০ সালে গ শ্রেণীর পৌরসভা হিসেবে ৩ বর্গকিলোমিটার এলাকা নিয়ে বানারীপাড়া পৌরসভা প্রতিষ্ঠিত হয়। পরবর্তীতে ২০১৩ সালের ২৮ জুলাই এটি খ শ্রেণীর পৌরসভায় উন্নীত হয়।
প্রশাসনিক অবকাঠামো
বানারীপাড়া পৌরসভার আয়তন ৪.৭৭ বর্গ কিলোমিটার। ৯ টি ওয়ার্ড নিয়ে এ পৌরসভাটি গঠিত। এ ৯টি ওয়ার্ডে ৯জন সাধারণ আসনের ওয়ার্ড কাউন্সিলর এবং ৩ জন সংরক্ষিত আসনে মহিলা কাউন্সিলর নির্বাচিত হন। মাননীয় মেয়র ও সম্মানিত কাউন্সিলরগণ জনগনের প্রত্যক্ষ ভোটে নির্বাচিত হয়ে থাকেন। এ পৌরসভার প্রশাসনিক কার্যক্রম বানারীপাড়া থানার আওতাধীন। এটি জাতীয় সংসদের ১২০নং নির্বাচনী এলাকা বরিশাল-২ এর অংশ।
জনসংখ্যার উপাত্ত
২০১১ সালের আদমশুমারি অনুযায়ী বানারীপাড়া পৌরসভার মোট জনসংখ্যা ১০,৩৬৬ জন। এর মধ্যে পুরুষ ৫,৩৬৫ জন এবং মহিলা ৫,০০১ জন। মোট পরিবার ২,৩৭৩টি।
শিক্ষা
২০১১ সালের আদমশুমারি অনুযায়ী বানারীপাড়া পৌরসভার সাক্ষরতার হার ৮৮.৫%।
দ্য লাস্ট কিস
দ্য লাস্ট কিস ঢাকা থেকে নির্মিত প্রথম নির্বাক পূর্ণদৈর্ঘ্য চলচ্চিত্র। ইস্ট বেঙ্গল সিনেমাটোগ্রাফ কোম্পানির প্রযোজনায় অম্বুজপ্রসন্ন গুপ্ত নির্মাণ করেন নির্বাক পূর্ণদৈর্ঘ্য চলচ্চিত্র "দ্য লাস্ট কিস"।
নির্মাণ কাল
১৯২৭ সালের দিকে "দ্য লাস্ট কিস" -এর চিত্রগ্রহণ শুরু হয়।
চিত্রশিল্পী
নবাববাড়ির খাজা আজমল, খাজা আদিল, খাজা আকমল, খাজা নসরুল্লাহ, খাজা অজয়, খাজা আকিল, খাজা জহিরে, খাজা শাহেদ, শৈলেন রায় বা টোনা বাবু ছিলেন এই চলচ্চিত্রের অভিনেতা।
দৃশ্যধারণ
ঢাকা শহরের প্রাকৃতিক দৃশ্যসংবলিত দ্য লাস্ট কিস চলচ্চিত্রের দৃশ্যধারণ করা হয় মতিঝিল, দিলকুশা, শাহবাগ, নীলক্ষেত ও আজিমপুর বালিকা বিদ্যালয়ের কাছে নবাবদের বাগানে। এ ছবির চিত্রগ্রহণের কাজ শেষ হতে প্রায় এক বছর সময় লেগেছিল।
নায়ক ও নায়িকা
দ্য লাস্ট কিস ছবিতে নায়কের ভূমিকায় অভিনয় করেন ঢাকা নবাব পরিবারের সদস্য খাজা আজমল ও নায়িকার চরিত্রে অভিনয় করেন ললিতা বা লোলিটা বা বুড়ি। ললিতা ছিলেন বাদামতলী পতিতালয়ের একজন যৌনকর্মী। চারুবালা, দেববালা (দেবী) নামের আরও দুই যৌনকর্মী এতে অভিনয় করেন। হরিমতি নামে একজন অভিনেত্রীও এতে অভিনয় করেন। একবছর পর লোলিটা তার আগের পেশায় ফিরে যান।
কারিগরি ব্যবস্থাপনা
ঢাকায় চলিচ্চিত্রটির শুটিং হলেও প্রিন্ট ও প্রসেসিং হয় কলকাতায়। ১২ রিলের এই চলচ্চিত্রটি ১৯৩১ সালে মুক্তি পায় ঢাকার মুকুল টকিজে (অধুনা আজাদ সিনেমা)। এর প্রিমিয়ার শো উদ্বোধন করেন ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক ও বিশিষ্ট ইতিহাসবিদ ড. রমেশচন্দ্র মজুমদার (১৮৮৮-১৯৮০)। পরে তিনি ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের উপাচার্য (১৯৩৬-১৯৪২) হিসেবে দায়িত্ব পালন করেন। রিলিজের সময় নির্বাক এ ছবি বাংলা, ইংরেজি ও উর্দু ভাষায় সাবটাইটেল করে দেওয়া হয়েছিল। প্রায় এক মাস এ ছবির প্রদর্শনী চলে।
অঁদ্রে ব্র‍্যতোঁ
অঁদ্রে রোবের ব্র‍্যতোঁ (André Robert Breton; আ-ধ্ব-ব:[ɑ̃dʁe ʁɔbɛʁ bʁətɔ̃]; ১৮ ফেব্রুয়ারি ১৮৯৬ – ২৮ সেপ্টেম্বর ১৯৬৬) একজন ফরাসি লেখক এবং কবি। তিনি মূলত পরাবাস্তববাদের একজন সহ-প্রতিষ্ঠাতা, অগ্রণী, মুখ্য তাত্ত্বিক ও সমর্থক হিসেবেই সর্বাধিক পরিচিত। তার রচনার মধ্যে রয়েছে, ১৯২৪ সালের প্রথম পরাবাস্তববাদী ইশতেহার (Manifeste du Surréalisme, মানিফেস্ত দ্যু স্যুরেয়ালিজম), যেখানে পরাবাস্তববাদকে তিনি "খাঁটি মানসিক স্বয়ংক্রিয়তা" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন।
পরাবাস্তববাদী আন্দোলনের একজন অগ্রণী হিসাবে তাঁর ভূমিকার পাশাপাশি তিনি নাজা (Nadja) এবং লামুর ফু (L'amour Fou) এর মতো বিখ্যাত গ্রন্থের লেখক। লেখালেখি এবং দৃশ্যকলায় তার সমালোচনামূলক এবং তাত্ত্বিক কাজের পাশাপাশি এসব কর্মকাণ্ড অঁদ্রে ব্র‍্যতোঁকে বিংশ শতাব্দীর ফরাসি শিল্প ও সাহিত্যের অন্যতম প্রধান ব্যক্তিত্বে পরিণত করে।
জীবনী
অঁদ্রে ব্র‍্যতোঁ ফ্রান্সের নরম্যান্ডিতে জন্মগ্রহণ করেন। তার পিতা লুই-জ্যুসতাঁ ব্র‍্যতোঁ ছিলেন একজন পুলিশ ও নাস্তিক এবং তার মা ছিলেন একজন প্রাক্তন দর্জি। ব্রেতঁ চিকিৎসা শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ভর্তি হন ও সেখানে মানসিক ব্যাধি সম্পর্কে বিশেষভাবে আগ্রহী হয়ে ওঠেন। প্রথম বিশ্বযুদ্ধে যোগ দিতে বাধ্য হওয়ার কারণে তার শিক্ষা বিঘ্নিত হয়।
প্রথম বিশ্বযুদ্ধের সময় তিনি নঁত-এর একটি নিউরোলজিক্যাল ওয়ার্ডে কাজ করেন, যেখানে তিনি আলফ্রেড জেরি, জ্যাক ভাসের একজন ভক্তের সাথে পরিচিত হন, যার সমাজবিরোধী মনোভাব এবং প্রতিষ্ঠিত শৈল্পিক ঐতিহ্যের প্রতি ঘৃণা ব্র‍্যতোঁ-কে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করে। ব্র‍্যতোঁ ১৯২১ সালের ১৫ সেপ্টেম্বর তার প্রথম স্ত্রী সিমোন কান কে বিয়ে করেন। তারা ১৯২২ সালের ১ জানুয়ারি প্যারিসের ৪২ নং রু ফন্টেইনে স্থানান্তরিত হন। এই অ্যাপার্টমেন্ট ব্র‍্যতোঁ-র পাঁচ হাজারের অধিক আইটেমের সংগ্রহশালা হয়ে ওঠে, যেমন আধুনিক চিত্রাঙ্কন, ভাস্কর্য, আলোকচিত্র, বই, আর্ট ক্যাটালগ, জার্নাল, পাণ্ডুলিপি ইত্যাদি। তার পিতার মত, তিনিও একজন নাস্তিক ছিলেন।
ব্র‍্যতোঁ ১৯১৯ সালে লুই আরাগোঁ ও ফিলিপ সুপোর সাথে সমালোচনামূলক সাময়িকী লিতেরাত্যুর (Littérature) চালু করেন। তিনি ডাডাবাদী ত্রিস্তান জারার সাথেও যুক্ত ছিলেন। ১৯২৪ সালে পরাবাস্তববাদী গবেষণা ব্যুরো প্রতিষ্ঠায় তিনি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেন। তিনি ১৯২৪ সালে পরাবাস্তববাদী ইশতেহার প্রকাশ করেন, এবং সেই বছর থেকে লা রেভোল্যুসিওঁ স্যুরেয়ালিস্ত  পত্রিকার সম্পাদক হিসেবে কাজ করেন। এসময় একদল লেখক তার সাথে যুক্ত হন: ফিলিপ সুপো, লুই আরাগোঁ, পোল এলুয়ার, র‍্যনে ক্র্যভেল, মিশেল লেরিস, বাঁজামাঁ পেরে, অঁতোনাঁ আর্তো এবং রোবের দেসনোস।
ব্র‍্যতোঁ ১৯২৭ সালে ফরাসি কমিউনিস্ট পার্টিতে যোগ দেন, কিন্তু ১৯৩৩ সালে দল থেকে বহিষ্কৃত হন। ১৯২৮ সালে তার নাজা গ্রন্থটি প্রকাশিত হয়। এই সময়, তিনি তাঁর শিল্পকলা প্রদর্শনীঘরের চিত্রকর্মগুলি বিক্রয় করেই জীবিকা নির্বাহ করেন।
মৃত্যু
অঁদ্রে ব্র‍্যতোঁ ১৯৬৬ সালে ৭০ বছর বয়সে মৃত্যুবরণ করেন এবং তাকে প্যারিসে সমাধিস্থ করা হয়।
খালেদ মুহিউদ্দীন
খালেদ মুহিউদ্দীন একজন বাংলাদেশী সাংবাদিক ও লেখক যিনি বর্তমানে জার্মান ভিত্তিক আন্তর্জাতিক গণমাধ্যম ডয়চে ভেলে বাংলা বিভাগের প্রধান হিসেবে দায়িত্ব পালন করছেন। তিনি বাংলাদেশ সরকারের প্রাক্তন সহকারী কমিশনার ও নির্বাহী ম্যাজিস্ট্রেট এবং বিশ্ব ব্যাংকের পরামর্শক ছিলেন। তিনি বাংলাদেশের বেসরকারি স্যাটেলাইট চ্যানেল ইনডিপেনডেন্ট টেলিভিশনের টকশো আজকের বাংলাদেশের উপস্থাপক হিসেবে পরিচিতি পান।
প্রারম্ভিক জীবন
খালেদ ১৬ সেপ্টেম্বর ১৯৭৪ সালে ঢাকায় জন্মগ্রহণ করেন। তার পৈত্রিক নিবাস কুমিল্লায়। ২০০১ সালের ২ ফেব্রুয়ারি আইএফআইসি ব্যাংক কর্মকর্তা ফারহানা শাওনের সাথে বিবাহ বন্ধনে আবদ্ধ হন। বাংলাদেশের গণমাধ্যমে কর্মরত অবস্থায় স্ত্রী ফারহানা শাওন ও কন্যাকে নিয়ে ঢাকার মিরপুরে কিছুকাল বসবাস করেন।
শিক্ষা ও শিক্ষকতা
খালেদ ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণযোগাযোগ ও সাংবাদিকতা বিভাগ থেকে স্নাতক ও স্নাতকোত্তর করেছেন। এ বিভাগে খণ্ড-কালীন শিক্ষকতা করেন। এছাড়া তিনি জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয়ে খণ্ডকালীন শিক্ষক ছিলেন। তিনি যুক্তরাজ্যের ওয়েস্ট মিনিস্টার বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ২০০৩ – ২০০৪ সালে এমএ ডিগ্রি অর্জন করেন।
কর্ম জীবন
সাংবাদিকতা দিয়ে তার পেশা জীবন শুরু হলেও খালেদ কয়েক মাস বাংলাদেশ সরকারি কর্ম কমিশনের বিসিএস পরীক্ষায় উত্তীর্ণ ম্যাজিস্ট্রেট হিসেবে দায়িত্ব পালন করেন। তিনি দৈনিক প্রথম আলোর নগর পাতা সম্পাদক এবং পত্রিকাটির সিনিয়র রিপোর্টার হিসেবে আইন আদালত, খনিজ সম্পদ বিষয়ে প্রতিবেদন করেন। এছাড়া প্রথম আলোর ঢাকায় থাকি পাতার পরিকল্পনা ও সম্পাদনায় নিযুক্ত ছিলেন। কিছুকাল তিনি অনলাইন সংবাদপত্র ও বেসরকারি সংবাদ সংস্থা বিডিনিউজ২৪ডটকমে বার্তা সম্পাদকের দায়িত্ব পালন করেন। সাপ্তাহিক কাগজ ও মিডিয়া ওয়াচের সম্পাদক ছিলেন। দৈনিক আমাদের অর্থনীতির সম্পাদকের দায়িত্ব পালন করেছেন। বাংলাদেশের সংবাদ ভিত্তিক বেসরকারি টেলিভিশন চ্যানেল ইন্ডিপেনডেন্ট টেলিভিশনে ৭ বছর নির্বাহী সম্পাদকের দায়িত্ব পালন করেন। একই চ্যানেলের টক-শো ‘আজকের বাংলাদেশ’ উপস্থাপনা করেছেন। ২০০৬ সালে বাংলাদেশের সাংবাদিক হিসেবে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের আমন্ত্রণে এডওয়ার্ড আর মুরো ফেলো হিসেবে ইন্টারন্যাশনাল ভিজিটর লিডারশীপ প্রোগ্রামে যোগ দেন। ২০০৮-২০০৯ পর্যন্ত বিশ্ব ব্যাংকের পরামর্শক ছিলেন।
প্রকাশিত বই
খালেদ মুহিউদ্দীনের প্রকাশিত বইয়ের সংখ্যা ৯টি। এর মধ্যে অধ্যাপক এ এস এম আসাদুজ্জামানের সাথে যৌথভাবে লেখা যোগাযোগের ধারণা ও যোগাযোগের তত্ত্ব শিরোনামের দুটি বই রয়েছে যা ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ও বরিশাল বিশ্ববিদ্যালয়ে পাঠ্যবই হিসেবে পড়ানো হয়। প্রকাশিত বইগুলো হলো-
কার্ল ফন অসিয়েত্‌স্কি
থাম্ব|কার্ল ভন ওসিয়েটস্কি স্মৃতিসৌধ, পানকো, বার্লিন, জার্মানি কার্ল ফন অসিয়েত্‌স্কি জার্মান নোবেল বিজয়ী সাংবাদিক ও লেখক ছিলেন। সাংবাদিক ও সমালোচক হিসেবে তার খ্যাতি ছিল । হিটলারের জার্মানি কীভাবে ভার্সাই চুক্তি লঙ্ঘন করে পুনরায় সৈন্যসজ্জা শুরু করছে ও বিমান বাহিনী তৈরী করছে তা তিনি একটি রিপোর্টে সারা বিশ্বের কাছে প্রকাশ করে দেন । পরিণামে অবিলম্বে তিনি কারারুদ্ধ হন ১৯৩১ সালে।তার বিরুদ্ধে উচ্চ পর্যায়ের দেশদ্রোহের মামলা শুরু হয় । কারারুদ্ধ অবস্থাতেই তিনি ১৯৩৫ সালে শান্তিতে নোবেল পুরস্কার পান। তিনি প্রথম ব্যক্তি যিনি কারারুদ্ধ অবস্থাতে নোবেল পান ও কারারুদ্ধ অবস্থাতেই মারা যান ।
স্টিভ ডেভিস
স্টিফেন জেমস ডেভিস (Stephen James Davis; জন্ম: ৯ এপ্রিল, ১৯৫২) লন্ডনের হ্যামারস্মিথ এলাকায় জন্মগ্রহণকারী টেস্ট ক্রিকেট পরিচালনায় নিযুক্ত সাবেক অস্ট্রেলীয় আম্পায়ার। এপ্রিল, ২০০৮ সালে আইসিসি’র সেরা আম্পায়ার তালিকায় অন্তর্ভুক্ত হন স্টিভ ডেভিস।
আম্পায়ার জীবন
হোবার্টে অনুষ্ঠিত নিউজিল্যান্ড বনাম অস্ট্রেলিয়ার মধ্যকার প্রথম টেস্টের মাধ্যমে আন্তর্জাতিক ক্রিকেটে আম্পায়ার হিসেবে প্রবেশ করেন। ২৭ নভেম্বর-১ ডিসেম্বর, ১৯৯৭ তারিখে অনুষ্ঠিত বৃষ্টিবিঘ্নিত ঐ খেলায় দুই নিউজিল্যান্ডীয়ের দৃঢ়তায় অস্ট্রেলিয়ার নিশ্চিত বিজয়কে ড্রয়ে রূপান্তরিত হবার দৃশ্য মাঠে থেকে পর্যবেক্ষণ করেন তিনি। ২০০২ সাল থেকে টেস্ট ক্রিকেটসহ আন্তর্জাতিক ক্রিকেট কাউন্সিলের নিয়ন্ত্রণাধীন সহযোগী সদস্যদেশের খেলাও পরিচালনা করেছেন। ২২-২৬ নভেম্বর, ২০০১ তারিখে হোবার্টে অনুষ্ঠিত বৃষ্টিবিঘ্নিত নিউজিল্যান্ড-অস্ট্রেলিয়ার খেলা ড্র হয়। কিন্তু তিনি হাঁটুর আঘাতে মাঠ ছাড়তে বাধ্য হন ও স্থানীয় আম্পায়ার জন স্মিটন ২য় দিনে তার স্থলাভিষিক্ত হন।
২০০৭ সালের ক্রিকেট বিশ্বকাপে ডেভিস তিনটি খেলা পরিচালনা করেন। এরপর ২০০৮ সালে আইসিসি’র সেরা আম্পায়ার তালিকায় তিনি অন্তর্ভুক্ত হন।
৩ মার্চ, ২০০৯ তারিখে পাকিস্তানের লাহোরে একদল সশস্ত্র বন্দুকধারী শ্রীলঙ্কা ক্রিকেট দলের উপর আক্রমণ চালায়। এতে খেলা পরিচালনাকারী কর্মকর্তা হিসেবে সাইমন টাওফেলসহ তিনিও আক্রান্ত হন। পরবর্তীতে সাইমন টাওফেল, ক্রিস ব্রডের সাথে তিনিও পাকিস্তানি নিরাপত্তারক্ষীদেরকে এ ঘটনার জন্য দোষারোপ করেন।
৯ মার্চ, ২০১১ তারিখে ডেভিস তার শততম একদিনের আন্তর্জাতিক ক্রিকেট খেলা পরিচালনা করেন। ২০১১ সালের ক্রিকেট বিশ্বকাপের গ্রুপ পর্বে ভারত বনাম নেদারল্যান্ডসের মধ্যকার এ খেলাটি নয়াদিল্লির ফিরোজ শাহ কোটলা স্টেডিয়ামে অনুষ্ঠিত হয়েছিল। ২০১৫ সালের ক্রিকেট বিশ্বকাপ প্রতিযোগিতায় খেলা পরিচালনার জন্য ২০জন আম্পায়ারের একজন হিসেবে মনোনীত হন তিনি।
অবসর
মে, ২০১৫ সালে ইংল্যান্ড বনাম নিউজিল্যান্ডের মধ্যকার ওডিআই সিরিজ চলাকালে ২৫-বছরের বর্ণাঢ্যময় আম্পায়ার জীবনের সমাপ্তির ঘোষণা দেন। ১৭ জুন, ২০১৫ তারিখে নটিংহামের ট্রেন্ট ব্রিজে সফরকারী নিউজিল্যান্ডের বিপক্ষে ইংল্যান্ডের মধ্যকার খেলাটি ছিল তার শেষ খেলা পরিচালনা করা।
পরিসংখ্যান
১৬ সেপ্টেম্বর, ২০১৫ তারিখ পর্যন্ত স্টিভ ডেভিসের আন্তর্জাতিক ক্রিকেট খেলা পরিচালনার পরিসংখ্যান নিম্নরূপ:-
তুতুকুড়ি লোকসভা কেন্দ্র
তুতুকুড়ি বা তুতিকোরিন লোকসভা কেন্দ্রটি তামিলনাড়ু রাজ্যের ৩৯ টি লোকসভা কেন্দ্রের একটি এবং ২০০৯ সালের লোকসভা কেন্দ্রটি প্রতিষ্ঠিত হয়। এটি অসংরক্ষিত আসন এবং মোট ৬ টি বিধানসভা কেন্দ্র নিয়ে গঠিত। লোকসভা কেন্দ্রের অন্তর্গত এলাকার সরকারি ভাষা হল তামিল।
এই লোকসভা কেন্দ্র থেকে নির্বাচিত সদস্য ভারতীয় সংসদের লোকসভাতে প্রতিনিধিত্ব। প্রতি ৫ বছর অন্তর কেন্দ্রটিতে নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়। বিশেষ করণে ৫ বছরের পূর্বেই নির্বাচন হয়, যা উপনির্বাচন নামে পরিচিত।
এই লোকসভা কেন্দ্রটি তামিলনাড়ুর সমগ্র তুতুকুড়ি বা তুতিকোরিন জেলা নিয়ে গঠিত৷