cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Мова нанова
Астравец
Першыя заняткі прайшлі 4 лютага 2015 года , іх правялі вядоўцы менскіх курсаў Алеся Літвіноўская і Глеб Лабадзенка. У далейшым весці курсы будуць настаўніца Вольга Лябецкая і журналістка Алёна Гануліч. Гімназія, дзе будуць праходзіць курсы, зусім новая — яна адкрылася 12 студзеня. Кабінеты і памяшканні абсталяваныя тэхнікай. На першых занятках прысутнічалі жыхары Астраўца і навакольных вёсак. Гасцей прывітала дырэктар гімназіі Алена Чаславаўна Севасцьян. На занятках слухачы даведаліся пра беларускія формы сваіх імёнаў, абмеркавалі безэквівалентную беларускую лексіку, патрэніраваліся ў чытанні хуткамовак, успомнілі беларускія назвы сваякоў. У канцы ўсіх чакаў музычны госць — выступ саліста Беларускай дзяржаўнай філармоніі Сержука Доўгушава.
Другі сезон распачаўся 14 кастрычніка 2015 года.
Гомель
15 лютага 2015 года  Гомель стаў 10-м горадам, дзе запрацавалі курсы. Першыя заняткі правялі выкладчыкі мінскіх курсаў Алеся Літвіноўская і Глеб Лабадзенка. На курсы ў філіял Веткаўскага музея ў гарадскім парку сабралася каля 60 чалавек. Наведнікі даведаліся пра лексіку па тэме «Крама», а таксама пра безэквівалентную лексіку ў беларускай мове. Перад грамадой выступіў саліст Белдзяржфілармоніі, лідар гурта Vuraj Сяржук Доўгушаў.
6 верасня 2015 года распачаўся другі сезон.
Мова нанова ў замежжы
Пасля ліквідацыі ў 2021 годзе курсы вымушаны пакінуць Беларусь і з’ехаць у эміграцыю, дзе цяпер працягваюць працу. Заняткі адбываюцца ў Беластоку, Быдгашчы, Варшаве , Вільнюсе , Рызе , Тбілісі, Торуні, Труймясце , Уроцлаве.
Варшава
26 верасня 2021 года ў Варшаве ў Цэнтры беларускай салідарнасці пачаліся бясплатныя заняткі беларускай мовы «Мова нанова з Варшавы». У праграме былі гульні, інтэрактыў. Музычным госцем быў лідар гурта «Dzieciuku» Алесь Дзянісаў.
У лістападзе каманда «Мовы нанова з Варшавы» пераехала на пляцоўку Беларускага моладзевага хабу.
25 лістапада 2021 года пачаліся заняткі «Мовы нанова Дзеткам». Першым госцем заняткаў быў Сяржук Кедышка.
Каманда «Мовы нанова з Варшавы» прыняла ўдзел у конкурсе беларускага кіно «Бульбамуві 2021» у намінацыі MŁODE KINO BIAŁORUSKIE 2021.
Вялікая колькасць удзельнікаў завітала на заняткі «Мовы нанова з Варшавы», якія былі прысвечаныя Міжнароднаму дню роднай мовы. Госцем сустрэчы быў аўтар канала «Жыццё Маліна» — Мікіта Мелказёраў. У ліпені 2022 года каманда далучылася да акцыі «Тыдзень беларускай культуры» і правяла заняткі для дзяцей і дарослых. А таксама прыняла ўдзел у фестывалі «Тутака-2022», дзе правялі вечар паэтаў, заняткі беларускай мовы для дарослых, а таксама паказалі казку для маленькіх «Сябры лесу».
На красавік 2023 года заняткі «Мовы нанова з Варшавы» існуюць у фармаце размоўнага клуба «Гутарок», а таксама перыядычна праводзяць розныя моўныя мастэрні, гуляюць у настолкі.
Касцюкевіч
Касцюкевіч — прозвішча.
Бачонак
Бачо́нак — возера ў Расонскім раёне Віцебскай вобласці, за 30 км на паўднёвы ўсход ад гарадскога пасёлка Расоны, за 1,3 км на паўднёвы ўсход ад вёскі Вялікія Асёткі, у басейне ракі Дрыса.
Плошча паверхні 0,04 км². Даўжыня 0,32 км, найбольшая шырыня 0,16 км. Даўжыня берагавой лініі 0,88 км.
Размешчана сярод лесу. Схілы катлавіны вышынёй 2 м. На поўначы выцякае ручай у раку Дрыса.
Кумы
Кумы (Κύμη, Cumae) — горад у Кампаніі; заснаваны выхадцамі з Халкіды каля 750 г. да н.э. Неўзабаве разбагацеў ад марскога гандлю і заснаваў свае калоніі: Дыкеархію (Путэолы), Палеопаль, Неапаль, Занклу (Месану). Кумы былі галоўным цэнтрам грэчаскага культурнага ўплыву на Рым. Храм Апалона са знакамітай кумскай Сівілай падтрымліваў сувязі з Дэльфійскім храмам. Вядомы тыран Кумаў Арыстадэм сын Арыстакрата, сучаснік Тарквінія Гордага. У 474 г. да н.э. Гіерон I атрымаў пад Кумамі вырашальную перамогу над этрускамі. У 421 г. да н.э. быў захоплены самнітамі і стаў кампанскім горадам, у 338 г. да н.э. жыхары Кумаў атрымалі статус рымскіх грамадзян (без права ўдзелу ў выбарах), у 215 г. да н.э. горад стаў рымскай муніцыпіяй, а з эпохі Аўгуста — калоніяй. Захаваліся разваліны храма Апалона з аракулам, скляпенні і праходы пячоры Сівілы.
Міхаіл Мікітавіч Валадзько
Міхаіл Мікітавіч Валадзько (, в. Паморшчына, Дзяржынскі раён - ) — Герой Сацыялістычнай Працы (1958).
З 1946 старшыня калгаса імя Гастэлы, у 1962-65 - калгаса імя Заслонава Мінскага раёна. Званне Героя прысвоена за поспехі ў развіцці вытворчасці сельскагаспадарчых прадуктаў і ўкараненне ў вытворчасць дасягненняў навукі і перадавога вопыту.
Була (гульня)
Бу́ла — беларуская народная гульня. Гуляюць дзве каманды. Кожная выбірае вядучага. Ён моцна б'е палкай з загнутым канцом па буле (драўляным шары) і гоніць яе па зямлі ў бок праціўніка, каманда памагае яму. Праціўнікі стараюцца перахапіць і вярнуць булу да ўмоўленай мяжы.
Валодзька
Валодзька — прозвішча, утворанае ад імя Уладзімір.
Пацяг
Паця́г — беларуская народная групавая гульня. Яе ўдзельнікі счапляюцца сагнутымі ў локцях рукамі ў два ланцугі. «Завадныя», якія стаяць наперадзе ланцуга, захопліваюць адзін аднаго. Па сігналу кожны ланцуг гульцоў цягне ў свой бок, каб разарваць ланцуг праціўніка або зацягнуць «заваднога» за ўмоўленую мяжу.
Zygophyllaceae
Zygophyllaceae — сямейства двухдольных раслін, якое ўключае 26 родаў. Сярод прадстаўнікоў сямейства ёсць дрэвы, кусты і травы. Многія расліны — ксерафіты.
У адпаведнасці з сістэмай класіфікацыі APG II (2003) сямейства было аднесена да групы эўразіды I, аднак не было ўключана ў які-небудзь парадак. У Сістэме класіфікацыі APG III (2009) Zygophyllaceae разам з сямействам былі змешчаныя ў парадак.
Класіфікацыя
Сямейства ўключае ў сябе 26 родаў, падзеленых на пяць падсямействаў, пры гэтым тры роды не ўваходзяць у падсямействы :
Падсямейства Morkillioideae
Падсямейства Seetzenioideae
Падсямейства Tribuloideae
Падсямейства Zygophylloideae
Апука
Апу́ка — беларуская народная гульня. Гуляюць дзве каманды. Кожная выбірае вядучага. На пляцоўцы праводзяць 2 лініі паміж камандамі на адлегласці 30 — 40 м. Удзельнікі каманды «горада» па чарзе бітой кідаюць апуку (мяч памерам з тэнісны) у бок праціўніка (у «поле»). Калі гульцы «палявой» каманды зловяць мяч з лёту, каманды мяняюцца месцамі. Калі мяч не злоўлены, «палявыя» гульцы падхопліваюць яго і ад сваёй лініі кідаюць у гульца «гарадской» каманды, які ў гэты час павінен дабегчы да чужой лініі і вярнуцца да сваіх; калі мяч пападзе ў гульца, каманды таксама мяняюцца месцамі. У залежнасці ад мясцовай назвы мяча, «горада», «поля» і інш. элементаў гульня называецца перагон, салавей, ілкі, лавец.
Sarcomastigophora
Sarcomastigophora (ад sarcodes — мясісты — поліфілетычная група у некаторых старых сістэмах разглядалася ў якасці тыпу вольнажывучых і паразітычных прасцейшых, якія перасоўваюцца з дапамогай адмысловых часовых вырастаў цытаплазмы (псеўдаподый) або бічападобных вырастаў (жгуцікаў). Налічваюць каля 18000 відаў.
Жгунь (аграгарадок)
Жгунь (, Жгунь) — аграгарадок у Добрушскім раёне Гомельскай вобласці Беларусі. Адміністрацыйны цэнтр Жгунскага сельсавета.
Геаграфія
Аграгарадок знаходзіцца за 8 км у напрамку на поўдзень ад горада Добруш, за 36 км ад Гомеля , на рацэ Жгунь і аўтамабільнай дарозе.
Вялікія Косічы
Вялі́кія Ко́січы (, Великие Косичи) — вёска ў Брэсцкім раёне Брэсцкай вобласці. Уваходзіць у склад Чэрнінскага сельсавета. Размешчаны за 11 км на паўночны ўсход ад Брэста, за 7 км ад чыгуначнай станцыі Брэст-Усходні.
У складзе камунальнага ўнітарнага сельскагаспадарчага прадпрыемства «Маладая гвардыя» (цэнтр — в. Чэрні).
Гісторыя
Паводле пісьмовых крыніц вядомы з XV стагоддзя як сяло — шляхецкая ўласнасць у Троцкім ваяводстве Вялікага Княства Літоўскага. У канцы XV стагоддзя ўладанне Б. А. Салагубовіча, які адпісаў частку маёнтка Косічы свайму брату Юрыю. У 1500 годзе вялікі князь літоўскі Аляксандр пацвердзіў гэты запіс. Пад 1567 годам пазначана ў попісе літоўскага войска.
Пасля трэцяга падзелу Рэчы Паспалітай (1795) у складзе Расійскай імперыі, у Слонімскай, з 1797 года — у Літоўскай, з 1801 года — у Гродзенскай губернях.
У 1860 годзе вёска ў складзе маёнтка Трышын, уладальнікам якога быў Гутоўскі. У 1882 годзе жыхары Вялікіх Косічаў і навакольных вёсах сумесна са свяшчэннікамі Качалоўскім і Савіцкім пабудавалі праваслаўную царкву са званіцай. У 1886 годзе ў сяле дзейнічалі валасная ўправа (з 1890 года ў в. Чэрні), праваслаўная царква, карчма. Працавала царкоўна-прыходская школа, у якой вучылася 69 хлопчыкаў і 8 дзяўчынак. У 1905 годзе сяло — цэнтр Косіцкай воласці. Непадалёку знаходзіўся аднайменны маёнтак (9 жыхароў). У сяле быў валасны сельскі фельчар, размяшчаліся ўчасткі: судовых следчых, міравых пасрэднікаў, судова-міравой акругі. Адзін раз у год працаваў прызыўны ўчастак па воінскай павіннасці. У воласці налічвалася 16 сельскагаспадарчых таварыстваў і сельскагаспадарчых абшчын; яна аб’ядноўвала 27 вёсак, у якіх было 395 двароў, 2161 мужчына, 2159 жанчын. Паводле Рыжскага мірнага дагавора 1921 года ў складзе Польскай Рэспублікі, цэнтр Косіцкай гміны Брэсцкага павета Палескага ваяводства.
З 1939 года ў складзе БССР. У студзені 1950 года арганізаваны калгас імя Фрунзэ, у які з 42 гаспадарак уступілі 32. У 1969 годзе аб’яднаны з саўгасам «Маладая гвардыя». 4 верасня 1972 года да вёскі далучаны хутар Малькі.
Zygophyllum bucharicum
Zygophyllum bucharicum — від раслін роду сямейства.
У культуры
У 2002 годзе пошта Узбекістана выкарыстала выяву расліны на паштовай марцы.
Алег Адольфавіч Валодзька
Алег (Адольф) Адольфавіч Валодзька (, в. Старчуны, Пастаўскі раён — ) — беларускі спецыяліст у галіне сельскай гаспадаркі і жывёлагадоўлі, кіраўнік-рацыяналізатар, грамадскі дзеяч. Герой Сацыялістычнай Працы (1988). Заслужаны работнік сельскай гаспадаркі Беларусі.
Яўген Сяргеевіч Касцюкевіч
Клубная кар’ера
Выхаванец жодзінскага «Тарпеда», гуляў за дубль клуба, прыцягваўся таксама да асноўнага складу. У 2008 годзе ездзіў на прагляд у маскоўскі ЦСКА, аднак з-за выяўленых праблем са здароўем быў вымушаны вярнуцца ў Беларусь і неўзабаве завяршыў кар’еру. Застаўся працаваць у Жодзіна, пазней стаў таксама гуляць у футбол на аматарскім узроўні.
Алег Адольфавіч Валодзька
У 22 гады стаў старшынёй калгаса імя Суворава Пастаўскага раёна (у цяперашні час СВК «Навасёлкі-Лучай»). Стаўшы самым маладым кіраўніком, ён здолеў з адсталага калгаса зрабіць перспектыўную, квітнеючую гаспадарку, якую нязменна ўзначальваў больш за 40 гадоў. Абіраўся дэпутатам Вярхоўнага Савета БССР.
Яўген Сяргеевіч Касцюкевіч
Клубная кар’ера
Сезон 2017 пачаў у якасці другога брамніка «Крумкачоў» пасля Антона Амельчанкі, але той пазней атрымаў траўму і пакінуў каманду, што дазволіла Касцюкевічу заняць месца ў аснове. 29 ліпеня 2017 года ў матчы з «Віцебскам» (выніковы лік 2:2) адзначыўся голам пасля ўдару ад сваёй штрафной пляцоўкі, пазней у гэтым жа матчы атрымаў чырвоную картку і быў выдалены з поля.
Алег Адольфавіч Валодзька
Узнагароды
Ганаровае званне Герой Сацыялістычнай Працы з узнагароджаннем Ордэнам Леніна і Залаты медалём «Серп і молат» прысвоена ў 1988 годзе.
Яўген Сяргеевіч Касцюкевіч
Клубная кар’ера
У студзені 2019 года падоўжыў кантракт са сталічным клубам, які змяніў афіцыйную назву на НФК. У чэрвені 2019 года пакінуў каманду.
Грамадская дзейнасць
18 жніўня падпісаў адкрыты ліст прадстаўнікоў спартыўнай галіны Рэспублікі Беларусь з патрабаваннем прызнаць несапраўднымі выбары прэзідэнта Рэспублікі Беларусь, якія прайшлі 9 жніўня 2020 года.
Вербаў
Ве́рбаў (, Вербов) — пасёлак у Добрушскім раёне Гомельскай вобласці. Уваходзіць у склад Івакаўскага сельсавета.
Да 8 снежня 1966 года пасёлак уваходзіў у склад Гардуноўскага сельсавета.
Ферэнц Мюніх
Фе́рэнц Мю́ніх (Münnich Ferenc;,  — , Будапешт) — венгерскі дзяржаўны дзеяч, старшыня Савета Міністраў Венгерскай Народнай Рэспублікі (1958—1961).
Біяграфія
У 1914 прызваны ў аўстра-венгерскую армію. У 1915 годзе узяты ў палон рускімі войскамі.
Знаходзіўся ў лагеры для ваеннапалонных у Томску, дзе ў 1917 годзе ўступіў у РКП (б).
У 1917 годзе Мюніх быў адным з арганізатараў венгерскай групы Расійскай камуністычнай партыі. Стварыў у Пермі інтэрнацыянальны атрад з венграў. Разам з часткамі Чырвонай Арміі змагаўся на Урале супраць белых.
У лістападзе 1918 года ён вярнуўся на радзіму. Пасля таго як 21 сакавіка 1919 года ў Венгрыі абвясцілі Савецкую ўладу, Ферэнц Мюніх прымаў актыўны ўдзел у стварэнні Венгерскай Чырвонай Арміі і Чырвонай міліцыі.
Пасля падзення пралетарскай дыктатуры эміграваў у Аўстрыю, затым быў у Чэхаславакіі і Германіі, дзе вёў рэвалюцыйную работу сярод працоўных. У 1922—1936 гадах — на кіруючай гаспадарчай працы ў СССР.
Удзельнічаў у Грамадзянскай вайне у Іспаніі 1936—1939 гадоў. Быў камісарам батальёна Ракашы 13-й інтэрнацыянальнай брыгады.
У Вялікую Айчынную вайну ў шэрагах Савецкай Арміі, удзельнічаў у баях пад Сталінградам.
Пасля 1945 года ў Венгрыі. Быў прызначаны начальнікам паліцыі Будапешт а. У 1949—1951 — пасланнік ВНР у Фінляндыі, у 1951—1954 — пасол у Балгарыі. У верасні 1954 — жніўні 1956 — пасол у СССР. У жніўні—лістападзе 1956 — пасол у Югаславіі.
У пачатку лістапада 1956 г., у перыяд барацьбы супраць паўстання ў Венгрыі ўдзельнічаў у стварэнні Венгерскага рэвалюцыйнага рабоча-сялянскага ўрада. У 1956 — міністр унутраных спраў ВНР. У лютым 1957 — студзені 1958 — міністр абароны ВНР. У 1958—1961 гадах — старшыня Савета Міністраў Венгерскай народнай рэспублікі.
У 1957—1965 — член Палітбюро ЦК ВСРП.
Імем Мюніха названая вуліца ў Томску. Намаляваны на венгерскай паштовай марцы 1986 года.
Гарады Арменіі
Па стане на 2011 год у Арменіі налічвалася 48 гарадоў, з якіх 45 — гэта малыя (да 50 тыс. чалавек) і сярэднія (ад 50-100 тыс. чалавек) гарады, у якіх жыве 35,6 % гарадскога насельніцтва, 3 — буйныя з насельніцтвам больш 100 тыс. чалавек — 64,4 % гарадскога насельніцтва.
Да трох найбуйнейшых гарадоў рэспублікі ставяцца: Ерэван, Гюмры, Ванадзор; у іх жыве 1 633 тыс. чалавек ці 64,3 % гарадскога насельніцтва рэспублікі.
Шырак
Дадзеныя пра насельніцтва гарадоў прыведзены па
Самніты
Самніты — старажытны італійскі народ, які размаўляў на мове оскскай групы і адносіўся да сабельскіх плямёнаў. Першапачаткова жылі ў горах Сярэдняй Італіі на поўдзень ад Лацыа на мяжы з Кампаніяй і Апуліяй. Гэты гістарычны рэгіён стаў вядомы як Самній. Тэадор Момзен злучаў паходжанне самнітаў з умбрамі. Сталіцай самнітаў лічыўся горад Бавіянум. Палітычнай формай арганізацыі была Самніцкая Федэрацыя (саюз плямёнаў). Пасля паслаблення этрускаў захапілі шырокія тэрыторыі на поўдні Італіі. У 423 годзе да н.э. самніты атакавалі і захапілі этрускую калонію Капуя, а затым у 421 годзе да н.э. — грэчаскі горад Кумы. Суседства з гарадамі Вялікай Грэцыі спрыяла элінізацыі самнітаў. У далейшым сутыкнуліся з экспансіяй Рыма (Самніцкія войны 343—290 гг. да н.э.) і вымушаны былі падпарадкавацца. Рымскі дыктатар Сула вынішчыў вялікую колькасць воінаў-самнітаў і луканаў у рымскім цырку ў якасці адплаты за ўдзел у грамадзянскай вайне на баку Марыя.
Аўлас
Аўла́с — прысвятак у беларускім народным календары, які адзначалі з язычніцкіх часоў (свята Вялеса; 11 лютага с. ст.). Царква прымеркавала да яго дзень хрысціянскага пакутніка Уласа, які ў народзе лічыўся апекуном хатняй жывёлы. Таму Аўлас называлі «каровіным святам», не шануючы якое гаспадар меў небяспеку наклікаць на сваю жывёлу бяду. Каб цяляты раслі здаровыя, гаспадыні выпякалі на Аўлас аладкі. У некаторых мясцовасцях Аўлас спраўлялі як конскае свята. У гэты дзень коней лепш кармілі, зусім не працавалі на іх (але аб'язджалі маладых коней). Аўлас часта супадаў з масленіцай — апошнім скаромным тыднем перад вялікім постам, адкуль і пайшла прыказка «на Аўласа бяры каўшом масла».
Zygophyllum
Zygophyllum — род раслін сямейства, якія растуць у пустынях Афрыкі, Палестыны, Аравіі, Сярэдняй і Цэнтральнай Азіі, Аўстраліі. Лісце супраціўнае з 2—10 лісточкамі, простае або складанае. Лісточкі плоскія або вальковыя, мясістыя. Прылісткі трявяністыя або перапончатыя.
Кветкі 4—5-членныя, адзінкавыя або па два, пазухавыя.
Віды
Па інфармацыі базы дадзеных The Plant List, род уключае 69 відаў :
Умбры
Умбры — старажытны італійскі народ, які сфарміраваўся ў Паўночнай Італіі яшчэ ў канцы бронзавага веку, але затым пад націскам этрускаў частка ўмбраў (сабіны ) мігравалі на поўдзень паўвострава (у землі оскаў), дзе паклала пачатак самнітам. Да пачатку нашай эры умбры былі заваяваны рымлянамі і раманізаваны. Народ умбраў даў назву рэгіёну Умбрыя.
Большасць даследчыкаў лічаць умбраў нашчадкамі другой індаеўрапейскай хвалі (пасля продкаў лацінаў і сікулаў) і атаясамляюць іх з культурай Вілановы.
Выяўленыя ў 1444 годзе ігувінскія табліцы пралілі святло на рэлігію ўмбраў. Пантэон багоў умбраў уключаў Феронію, Валенцію, Мінерву і некаторых іншых. У храмах узводзіліся бронзавыя статуі божаствам.
Умбры заставаліся незалежным саюзам абшчын да заваявання рымлянамі. Палітычнае жыццё ўмбраў было абмежавана памерамі ўмбрыйскіх гарадоў. Сацыяльная структура была падзелена на выразныя групы, заснаваныя на ваенных рангах. У часы кіравання Аўгуста чатыры ўмбрыйскія арыстакраты сталі сенатарамі, а сям'я імператара Нервы была родам з Умбрыі.
Рымляне ўпершыню ўступілі ў кантакт з умбрамі ў 310 годзе да нашай эры і завяршылі іх заваяванне прыкладна ў 260 годзе. Падчас самніцкіх войнаў умбры выступалі на баку варожай Рыму кааліцыі. Пасля аб'яднання Італіі некаторыя ўмбры атрымалі поўнае грамадзянства або грамадзянства без права голасу. Паводле Юліева закона ў 89 годзе ўсе ўмбры атрымалі рымскае грамадзянства.
Сікулы
Паводле падання, сікулы раней жылі ў Лацыі, аднак былі выцеснены абарыгенамі. Паводле археалагічных даных, сікулы прыбылі на востраў у канцы 2-га тысячагоддзя да н.э. і прынеслі з сабой мастацтва апрацоўкі жалеза (раней на востраве выкарыстоўвалася бронза) і прыручаных коней. З сікульскіх некропаляў найбольш вядомая Панталіка каля горада Сіракузы; яшчэ адзін некропаль выяўлены каля Нота. Пахаванні сікулаў «печкавага» тыпу маюць форму пчаліных вулляў.
Магчыма, сікулы ўпершыню згадваюцца ў егіпецкіх надпісах як адзін з «народаў мора» (шэкелеш).
Сікульская мова вядома па субстратнай лексіцы, а таксама шэрагу кароткіх надпісаў на пасудзінах грэчаскім алфавітам. Вядомыя таксама два адносна доўгія надпісы без прабелаў паміж словамі. З вялікай верагоднасцю сікульская мова адносілася да лаціна-фаліскскай падгрупы італійскіх моў, гэта значыць была найбліжэйшым сваяком лацінскай мовы (высокую ступень падабенства сікульскай мовы з лацінскай адзначаў яшчэ сучаснік Марк Тэрэнцый Варон).
Эліптычная крывая
У матэматыцы, эліптычная крывая (ЭК) —,   адзін, на якой ёсць вызначаны пункт O. Эліптычная крывая — гэта па сутнасці, г.зн. на ёй вызначана алгебраічная аперацыя множання, адносна якой пункты крывой утвараюць групу (абавязкова камутатыўную), а пункт O служыць адзінкай групы (нейтральным элементам). Часта сама крывая, без выбранага пункта O, называецца эліптычнаю крывою.
Калі y² = P(x), дзе P — кубічны мнагачлен ад x без кратных каранёў, то мы атрымліваем несінгулярную плоскую крывую 1, якая, такім чынам, з’яўляецца эліптычнаю крывою. Калі P мае чацвёртую ступень і, гэтае ўраўненне ізноў апісвае плоскую крывую роду адзін; аднак, для яе няма натуральнага выбару нейтральнага элемента. Больш агульна, любая алгебраічная крывая роду адзін, напрыклад, перасячэнне дзвюх, укладзеных у трохмерную праектыўную прастору, называецца эліптычнай крывой пры ўмове, што на ёй ёсць хоць адзін , які б выконваў ролю нейтральнага элемента.
Карыстаючыся тэорыяй, можна паказаць, што эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем камплексных лікаў, адпавядаюць укладанням тора ў. Пунты тора таксама ўтвараюць абелеву групу, і па сутнасці, гэтая адпаведнасць з’яўляецца.
Эліптычныя крывыя асабліва важныя ў тэорыі лікаў і складаюць значную вобласць сучасных даследаванняў. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца ў доказе Вялікай тэарэмы Ферма, які быў праведзены Эндру Уайлсам (пры дапамозе Рычарда Тэйлара). Яны таксама знайшлі прыкладанні ў (ECC) і.
Эліптычная крывая — гэта не эліпс: гл. аб паходжанні тэрміна ў артыкуле. Тапалагічна камплексная эліптычная крывая ёсць тор.
Эліптычныя крывыя над полем рэчаісных лікаў
Хаця фармальнае азначэнне эліптычнай крывой даволі тэхнічнае і патрабуе некаторага ведання алгебраічнай геаметрыі, можна апісаць некаторыя асаблівасці эліптычных крывых над полем рэчаісных лікаў, карыстаючыся толькі ўніверсітэцкім курсам алгебры і геаметрыі.
У гэтым кантэксце, эліптычная крывая — гэта плоская крывая, вызначаная ўраўненнем віду
дзе a і b — рэчаісныя лікі. Такое ўраўненне называецца ўраўненнем Веерштраса.
Азначэнне эліптычнай крывой таксама патрабуе, каб крывая была несінгулярнай. Геаметрычна гэта значыць, што графік не мае, самаперасячэнняў і ізаляваных пунктаў. Алгебраічна гэта ўключае ў сябе вылічэнне дыскрымінанта
Крывая будзе несінгулярнаю, калі і толькі калі дыскрымінант не роўны нулю. (І хаця множнік −16 выглядае тут недарэчным, ён аказваецца зручным пры глыбейшым вывучэнні эліптычных крывых.)
Групавы закон
Дабаўляючы «пункт на бесканечнасці», мы атрымліваем праектыўную версію эліптычнай крывой. Калі P і Q — два пункты на крывой (г.зн. іх каардынаты з’яўляюцца рашэннямі ўраўнення крывой), тады можна адназначна апісаць трэці пункт, які ляжыць на перасячэнні крывой з прамою, праведзенаю праз пункты P і Q. Звычайна існуе адзіны пункт на перасячэнні (калі прамая датыкаецца да крывой у пункце, тады гэты пункт трэба ўлічваць двойчы; а калі прамая паралельная восі y, трэці пункт вызначаецца як пункт «на бесканечнасці»).
Такім чынам, на крывой можна ўвесці групавую аперацыю, +, з наступнымі ўласцівасцямі: бесканечна аддалены пункт будзем разглядаць як 0, нейтральны элемент групы. Калі прамая лінія перасякае крывую ў пунктах P, Q і R, тады будзем лічыць, што ў групе гэтыя пункты звязаны роўнасцю P + Q + R = 0. Можна праверыць, што гэта ператварае крывую ў абелеву групу, і, такім чынам, у абелеву мнагастайнасць.
Няхай K — поле, над якім крывая вызначана (г.зн. каэфіцыенты ўраўнення, якое вызначае крывую, узятыя з поля K). Абазначым крывую цераз E. Тады K-рацыянальныя пункты крывой E з’яўляюцца пунктамі на E, усе каардынаты якіх ляжаць у K, уключаючы пункт на бесканечнасці. Мноства K-рацыянальных пунктаў абазначаецца як E(K). Яны таксама ўтвараюць групу, таму што ўласцівасці алгебраічных ураўненняў паказваюць, што калі P ляжыць у E(K), то і −P таксама ляжыць у E(K), і калі два з трох пунктаў P, Q і R ляжаць у E(K), то і трэці таксама там жа. Больш таго, калі K — падполе поля L, то E(K) — падгрупа групы E(L).
Вышэйназваную групу можна апісаць як алгебраічна, так і геаметрычна. Няхай зададзена крывая y² = x³ − px − q над полем K (характарыстыка якога не роўная ні 2, ні 3), і пункты P = (xP, yP) і Q = (xQ, yQ) на крывой. Будем лічыць, што xP ≠ xQ. Няхай s — нахіл прамой, праведзенай праз P і Q; г.зн.,
Паколькі K — поле, s вызначаны карэктна. Тады можна вызначыць R = P + Q = (xR, −yR) згодна з
Калі xP = xQ (трэцяя і чацвёртая карцінкі вышэй), то ёсць дзве магчымасці: калі yP = −yQ, уключаючы выпадак, дзе yP = yQ = 0, тады сума вызначаецца як 0; такім чынам, адваротны пункт для адвольнага пункта крывой атрымліваецца адлюстраваннем адносна восі x. Калі yP = yQ ≠ 0 (другая карцінка), тады R = P + P = 2P = (xR, −yR) вызначана па формулах
Спалучальнасць
Усе групавыя законы, за выключэннем асацыятыўнасці, адразу ж вынікаюць з геаметрычнага азначэння групавой аперацыі. Анімацыя справа геаметрычна ілюструе закон спалучальнасці.
Варта заўважыць, што сума трох значэнняў на любой з шасці прамых раўняецца нулю. Становішча ўсіх дзевяці пунктаў вызначаецца эліптычнаю крывою, становішчам нуля, і пунктамі a, b і c. Цэнтральны пункт з дзевяці ляжыць на прамой, праведзенай праз a і b + c, а таксама на прамой праз a + b і c. Спалучальнасць закона складання раўназначная таму, што крывая праходзіць праз цэнтральны пункт «рашоткі». Адсюль вынікае роўнасць −(a + (b + c)) і −((a + b) + c).
На анімацыі эліптычная крывая і пункт нуль зафіксаваныя, тады як пункты a, b і c перамяшчаюцца па крывой незалежна адзін ад аднаго.
Эліптычныя крывыя над полем камплексных лікаў
Вытлумачэнне эліптычных крывых як укладанняў тора ў натуральным чынам вынікае з цікавай уласцівасці. Гэтыя функцыі і іх першая вытворная звязаныя формулай
дзе g2 і g3 — пастаянныя; \wp(z) — эліптычныя функцыя Веерштраса, а \wp'(z) — яе вытворная. Відавочна, гэта сувязь выглядае дакладна так жа, як і ўраўненне эліптычнай крывой (над камплекснымі лікамі). Функцыі Веерштраса дваяка перыядычныя, г.зн. яны перыядычныя адносна Λ. Па сутнасці, функцыі Веерштраса натуральна вызначаюцца на торы T = C/Λ. Гэты тор можна ўкласці ў камплексную праектыўную плоскасць з дапамогаю адлюстравання
Гэтае адлюстраванне з’яўляецца і пераносіць натуральную структуру групы тора ў праектыўную плоскасць. Яно таксама з’яўляецца ізамарфізмам, так што тапалагічна эліптычная крывая выглядае як тор. Калі рашотка Λ звязана праз дамнажэнне на ненулявы камплексны лік c з рашоткаю cΛ, то адпаведныя крывыя ізаморфныя. Класы ізаморфных эліптычных крывых вызначаюцца па.
Класы ізаморфных крывых можна таксама вытлумачыць прасцейшым спосабам. Пастаянныя g2 і g3, якія называюцца, адназначна вызначаюцца па рашотцы, г.зн. па структуры тора. Аднак, камплексныя лікі ўтвараюць для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, і таму эліптычную крывую можна запісаць як
і
так што, роўны
Варта заўважыць, што паводле, кожную Рыманаву паверхню роду адзін можна прадставіць як тор.
Гэта таксама дазваляе лёгка зразумець, што такое на эліптычнай крывой: калі рашотка Λ нацягнута на фундаментальныя перыяды ω1 і ω2, то пункты n-кручэння — гэта пункты (класы эквівалентнасці) віду,
дзе a і b — цэлыя лікі з прамежку ад 0 да n−1.
Над полем камплексных лікаў кожная эліптычная крывая мае дзевяць. Кожная прамая праз два з гэтых пунктаў таксама праходзіць праз трэці пункт перагіну; дзевяць пунктаў і 12 прамых, праведзеных такім чынам, утвараюць.
Эліптычныя крывыя над полем рацыянальных лікаў
Крывая E, вызначаная над полем рацыянальных лікаў, таксама вызначана над полем рэчаісных лікаў, і такім чынам, закон складання (пунктаў з рэчаіснымі каардынатамі) з дапамогаю датычнай і сякучай прамой можна прымяніць на E. Яўныя формулы паказваюць, што сума двух пунктаў P і Q з рацыянальнымі каардынатамі зноў мае рацыянальныя каардынаты, бо прамая, якая злучае P і Q мае рацыянальныя каэфіцыенты. Адсюль можна паказаць, што мноства рацыянальных пунктаў крывой E утварае падгрупу групы рэчаісных пунктаў крывой E. Як і гэтая група, яна з’яўляецца абелевай, г.зн. P + Q = Q + P.
Структура рацыянальных пунктаў
Найважнейшы вынік заключаецца ў тым, што ўсе пункты можна пабудаваць па метаду датычных і сякучых, пачынаючы з канечнага ліку пунктаў. Больш дакладна сцвярджае, што група E(Q) з’яўляецца  (абелевай) групай. Па фундаментальнай тэарэме аб канечнаспароджаных абелевых групах яна з’яўляецца прамою сумаю копій Z і канечных цыклічных груп.
Доказ гэтай тэарэмы абапіраецца на два складнікі: першы — паказваем, што для любога цэлага m > 1, фактар-група E(Q)/mE(Q) будзе канечнаю (слабая тэарэма Мордэла-Вейля). Другі — увядзенне h на рацыянальных пунктах E(Q), вызначанай згодна з суадносінамі h(P0) = 0 і
Такім чынам, доказ тэарэмы з’яўляецца варыянтам і грунтуецца на паўтарэнні Еўклідавых дзяленняў на E: няхай P ∈ E(Q) — рацыянальны пункт на крывой. Запісваючы пункт P як суму 2P1 + Q1, дзе Q1 — прадстаўленне пункта P ў фактар-групе E(Q)/2E(Q), атрымліваем, што вышыня пункта P1 складае каля 1⁄4 вышыні пункта P (больш агульна, пры замене 2 на любое m > 1, замест 1⁄4 будзе 1⁄m2). Робячы тое самае з пунктам P1, г.зн. запісваем P1 = 2P2 + Q2, затым P2 = 2P3 + Q3, і г.д. канчаткова выражаем P як цэлалікавую лінейную камбінацыю пунктаў Qi і пунктаў, чыя вышыня абмежавана фіксаванаю пастаяннаю, выбранаю загадзя: па слабай тэарэме Мордэла-Вейля і другой уласцівасці функцыі вышыні пункт P такім чынам выражаецца як цэлалікавая лінейная камбінацыя канечнай колькасці фіксаваных пунктаў.
Тэарэма не эфектыўная, бо дагэтуль не знойдзена агульная працэдура вызначэння прадстаўнікоў групы E(Q)/mE(Q).
групы E(Q), г.зн. колькасць копій Z у E(Q) ці, што тое самае, колькасць незалежных пунктаў бесканечнага парадку, называецца рангам крывой E. Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера звязана з вызначэннем рангу. Існуе меркаванне, што ранг крывых можа быць адвольна вялікім, хаця вядомыя толькі прыклады адносна малога рангу. Эліптычная крывая з найбольшым дакладна вядомым рангам — такая:
Яна мае ранг 19 і была знойдзена у 2009. Вядомыя таксама крывыя з рангам не менш чым 28, але іх ранг невядомы дакладна.
Што да груп, якія ўтвараюць групы E(Q), то вядома наступнае : падгрупа кручэння групы E(Q) з’яўляецца адною з 15 наступных груп (тэарэма належыць ): Z/NZ для N = 1, 2, …, 10, ці 12, альбо Z/2Z × Z/2NZ з N = 1, 2, 3, 4. Прыклады вядомыя для ўсіх выпадкаў. Больш таго, эліптычныя крывыя, чые групы Мордэла—Вейля над Q маюць тыя ж групы кручэння, належаць да параметрызаванага сямейства.
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера (БСД) — адна з. У гіпотэзе гаворка вядзецца аб аналітычных і арыфметычных аб’ектах, вызначаных разглядаемай эліптычнай крывой.
З аналітычнага боку, важным інгрыдыентам з’яўляецца функцыя камплекснай зменнай, L, крывой E над Q. Гэта функцыя з’яўляецца варыянтам дзэта-функцыі Рымана і. Яна вызначаецца як, у якім утрымліваецца па аднаму множніку для кожнага простага ліку p.
Для крывой E над Q, зададзенай мінімальным ураўненнем
з цэлымі каэфіцыентамі ai, прывядзенне каэфіцыентаў p вызначае эліптычную крывую над канечным полем Fp (выключаючы канечныя палі для простых лікаў p, пры якіх рэдукаваная крывая мае сінгулярнасць і таму не з’яўляецца эліптычнаю, у такім выпадку кажуць, што E з’яўляецца  для p).
Дзэта-функцыя эліптычнай крывой над канечным полем Fp з’яўляецца, у некаторым сэнсе,, у якой сабрана інфармацыя аб колькасці пунктаў на крывой E са значэннямі ў канечных Fp, палях Fpn. Яна задаецца як
Унутраная сума ў экспаненце падобная на раскладанне лагарыфма, і, па факце, вызначаная такім чынам дзэта-функцыя з’яўляецца :
Затым дзэта-функцыя Хассэ — Вейля крывой E над Q вызначаецца збіраннем гэтай інфармацыі разам, для ўсіх простых p. А вызначана яна так:
дзе ε(p) = 1, калі E мае добрую рэдукцыю для p, і 0 іначай (у апошнім выпадку ap вызначаецца не так, як вышэй).
Гэты здабытак толькі пры Re(s) > 3/2. Гіпотэза Хассэ сцвярджае, што L-функцыя можа быць на ўсю камплексную плоскасць і задавальняе, якое звязвае для любых s значэнні L(E, s) і L(E, 2 − s). У 1999 было паказана, што справядлівасць гэтай здагадкі вынікае з доказу гіпотэзы Шымуры — Таніямы — Вейля, якая сцвярджае, што любая эліптычная крывая над Q ёсць, што ў сваю чаргу паказвае, што яе L-функцыя ёсць L-функцыя , для якой аналітычнае прадаўжэнне вядомае.
Такім чынам, можна гаварыць пра значэнні L(E, s) пры адвольным камплексным ліку s. Здагадка Бёрча — Свінертан-Даера звязвае арыфметыку крывой з паводзінамі яе L-функцыі ў пункце s = 1. Больш дакладна, гіпотэза сцвярджае, што парадак L-функцыі ў пункце s = 1 раўняецца рангу крывой E, і прадказвае сувязь першага складніка рада Ларана функцыі L(E, s) у гэтым пункце з некалькімі велічынямі, прывязанымі да эліптычнай крывой.
Як і гіпотэза Рымана, гэтая здагадка мае мноства вынікаў, уключаючы наступныя два:
Тэарэма аб мадулярнасці і яе прыкладанне да Вялікай тэарэмы Ферма
, некалі вядомая як гіпотэза Таніямы — Шымуры — Вейля, сцвярджае, што кожная эліптычная крывая E над Q з’яўляецца, гэта значыць, ейная дзэта-функцыя Хассэ — Вейля з’яўляецца L-функцыяй вагі 2 і ўзроўню N, дзе N —  крывой E (цэлы лік, які дзеліцца на тыя самыя простыя лікі, што і дыскрымінант крывой E, Δ(E).) Іншымі словамі, калі пры Re(s) > 3/2 запісаць L-функцыю ў выглядзе
тады выраз
вызначае парабалічную мадулярную вагі 2 і ўзроўню N. Для простых лікаў ℓ, якія не дзеляць N, каэфіцыент a(ℓ) формы раўняецца ℓ — ліку рашэнняў мінімальнага ўраўнення крывой па модулю ℓ.
Напрыклад, для эліптычнай крывой з дыскрымінантам (і правадніком) 37 сцэплена (з’яўляецца асацыяванай) форма
Для простых лікаў ℓ, не роўных 37, можна праверыць гэту ўласцівасць каэфіцыентаў. Такім чынам, для ℓ = 3 рашэнні ўраўнення па модулю 3 такія: (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), бо і a(3) = 3 − 6 = −3.
Гэтая гіпотэза, прапанаваная ў 50-я гады, была поўнасцю даказана каля 1999 на аснове ідэй Эндру Уайлса, які даказаў яе ў 1994 для вялікага сямейства эліптычных крывых.
Існуе некалькі фармулёвак гіпотэзы. Доказ іхняй раўназначнасці складаны і быў адным з асноўных напрамкаў даследаванняў у тэорыі лікаў у другой палавіне 20-га стагоддзя. Мадулярнасць эліптычнай крывой E з правадніком N можна таксама апісаць, сказаўшы, што існуе, вызначанае над Q і не роўнае тоесна пастаяннай, якое пераводзіць мадулярную крывую X0(N) у E. Сярод іншага, пункты крывой E можна параметрызаваць.
дзе, як і вышэй, q = exp(2πiz). Функцыі x(z) і y(z) з’яўляюцца мадулярнымі вагі 0 і ўзроўню 37; іншымі словамі, яны, вызначаныя на Im(z) > 0 і задавальняюць роўнасць
і тое ж справядліва і для y(z) для ўсіх цэлых a, b, c, d з ad − bc = 1 і 37|c.
Іншая фармулёўка засноўваецца на супастаўленні, прывязаных з аднаго боку да эліптычных крывых, а з другога — да мадулярных форм. Апошняя фармулёўка выкарыстоўвалася ў доказе гіпотэзы. Разгляд узроўню форм (і іх сувязь з правадніком крывой) — асабліва тонкая справа.
Самым яркім прыкладаннем гіпотэзы стаў доказ Вялікай тэарэмы Ферма (ВТФ). Дапусцім, што для простага ліку p > 5 ураўненне Ферма
мае рашэнне ў ненулявых цэлых ліках, якое, такім чынам, з’яўляецца контр-прыкладам для ВТФ. Тады эліптычная крывая
з дыскрымінантам
не можа быць мадулярнаю. Такім чынам, доказ здагадкі Таніямы — Шымуры — Вейля для гэтага сямейства эліптычных крывых (т. зв. крывых Хэлгуарча — Фрэя (Hellegouarch-Frey curves)) заключае ў сабе ВТФ. Доказ сувязі паміж гэтымі двума сцвярджэннямі, заснаваны на ідэі (1985), складаны і тэхнічна закручаны. Сувязь была ўстаноўлена у 1987.
Цэлыя пункты
Тэарэму можна сфармуляваць эфектыўна. Напрыклад, калі ўраўненне Веерштраса крывой E мае цэлыя каэфіцыенты, абмежаваныя пастаяннаю H, каардынаты (x, y) пункта крывой E, калі і x, і y цэлыя, задавальняюць няроўнасць:
Напрыклад, ураўненне
y² = x³ + 17
Іншы прыклад, задае крывую, чыё ўраўненне ў Веерштрасавай форме выглядае як
y² = x³ − 2x
, і мае толькі чатыры рашэнні з y ≥ 0 :
Абагульненне на лікавыя палі
Многія з папярэдніх вынікаў застаюцца справядлівымі, калі поле вызначэння крывой E з’яўляецца лікавым полем, г.зн. канечным поля Q. Сярод іншага, група E(K) K-рацыянальных пунктаў эліптычнай крывой E, вызначанай над K, з’яўляецца канечнаспароджанай, што абагульняе вышэйзгаданую тэарэму Мордэла — Вейля. Тэарэма паказвае, што для заданага цэлага d існуе ( ізамарфмізму) толькі канечная колькасць груп, якія могуць быць групамі кручэння групы E(K) для эліптычнай крывой, вызначанай над лікавым полем K  d. А дакладней, існуе лік B(d), такі што для любой эліптычнай крывой E, вызначанай над лікавым полем K ступені d любы пункт кручэння з E(K) мае , меншы чым B(d). Тэарэма эфектыўная: пры d > 1, калі пункт кручэння мае парадак p, для простага p, то
Як і для цэлых пунктаў, тэарэма Зігеля абагульняецца наступным чынам: няхай E — эліптычная крывая, вызначаная над лікавым полем K, а x і y — Веерштрасавы каардынаты. Тады мноства пунктаў крывой E(K), x-каардынаты якіх ляжаць у OK, канечнае.
Уласцівасці дзэта-функцыі Хассэ — Вейля і гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера можна пашырыць на гэты больш агульны выпадак.
Эліптычныя крывыя над полем агульнага віду
Эліптычныя крывыя можна вызначыць над любым полем K. Фармальна эліптычную крывую вызначаюць як несінгулярную праектыўную алгебраічную крывую над K з 1 з заданым пунктам, вызначаным над K.
Калі характарыстыка поля K не роўная ні 2, ні 3, тады любую эліптычную крывую над полем K можна запісаць у выглядзе
дзе p і q — элементы поля K, такія што мнагачлен з правай часткі x³ − px − q не мае кратных каранёў. Калі характарыстыка роўная 2 ці 3, тады трэба ўтрымаць больш членаў.
Для характарыстыкі 3, найбольш агульнае ўраўненне мае выгляд
дзе b2, b4, b6 — адвольныя сталыя, такія што мнагачлен у правай частцы мае раздзеленыя карані (абазначэнні выбраны з гістарычных прычын).
Для характарыстыкі 2 нават такая колькасць складнікаў не дастатковая, і найбольш агульнае ўраўненне будзе такое
дзе вызначаная ўраўненнем мнагастайнасць несінгулярная.
Калі б характарыстыка не была перашкодай, любое ўраўненне можна было б прывесці да вышэйназваных форм адпаведнаю заменаю зменных.
Звычайна пад крывой разумеюць мноства ўсіх пунктаў (x,y), якія задавальняюць адно з вышэйпрыведзеных ураўненняў і такія, што і x, і y з’яўляюцца элементамі поля K. Пункты крывой, абедзве каардынаты якіх належаць полю K, называюцца K-рацыянальнымі пунктамі.
Ізагенія
Няхай E і D — эліптычныя крывыя над полем k. паміж E і D — гэта f : E → D, які захоўвае базавыя пункты (іншымі словамі, адлюстроўвае зададзеныя пункты на E у зададзеныя на D).
Дзве крывыя называюцца ізагеннымі, калі існуе ізагенія паміж імі. Гэта, сіметрыя ёсць дзякуючы існаванню. Кожная ізагенія ёсць алгебраічны і, такім чынам, спараджае гомамарфізм груп эліптычных крывых для k-значных пунктаў.
Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі
Няхай K = Fq — канечнае поле з q элементаў, а E — эліптычная крывая, вызначаная над K. Хаця дакладную E над K у агульным выпадку даволі складана вылічыць,  дае, улічваючы пункт на бесканечнасці, наступную ацэнку:
Мноства пунктаў E(Fq) з’яўляецца канечнай абелевай групай. Яна ці цыклічная, ці з’яўляецца здабыткам дзвюх цыклічных груп. Напрыклад, крывая, вызначаная ўраўненнем
над F71, мае 72 пункты (71 афінны пункт, уключаючы (0,0), і адзін ) над гэтым полем, чыя групавая структура задаецца як Z/2Z × Z/36Z. Колькасць пунктаў на выбранай крывой можна вылічыць па.
Вывучэнне крывой над поля Fq аблягчаецца ўвядзеннем лакальнай дзэта-функцыі крывой E над Fq, вызначанай утваральным радам (таксама гл. вышэй)
Больш таго,
для некаторых камплексных α, β з абсалютнаю велічынёю. Гэты вынік з’яўляецца асобным выпадкам. Напрыклад, дзэта-функцыя крывой E : y² + y = x³ над полем F2 задаецца як
— сцвярджэнне аб тым, як астаткавы член у тэарэме Хассэ, абмежаваны велічынёй, змяняецца для розных простых q, калі ўзяць эліптычную крывую E над Q і прывесці яе па модулю q. Яна была даказана (для амаль усіх такіх крывых) у 2006 годзе дзякуючы вынікам Тэйлара, Харыса і Шэферд-Бэрана і сцвярджае, што астаткавы член размеркаваны раўнамерна.
Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі прымяняюцца найперш у крыптаграфіі і для вялікіх цэлых лікаў. Гэтыя алгарытмы часта выкарыстоўваюць групавую структуру пунктаў крывой E. Алгарытмы, прыдатныя для агульных груп, напрыклад, для групы абарачальных элементаў у канечных палях, F*q, можна таксама прымяніць да групы пунктаў на эліптычнай крывой. У якасці прыкладу такога алгарытму можна назваць. Цікавасць тут у тым, што выбар эліптычнай крывой дапускае большую гібкасць, чым выбар модуля q (і, такім чынам, групы абарачальных элементаў у Fq). Да таго ж, групавая структура эліптычных крывых у агульным выпадку больш складаная.
Алгарытмы на аснове эліптычных крывых
Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі ўжываюцца ў некаторых крыптаграфічных прыкладаннях і для. Як правіла, агульная ідэя ў такіх прыкладаннях заключаецца ў тым, што вядомы алгарытм, які выкарыстоўвае пэўныя канечныя групы, перапісваецца на выкарыстанне груп рацыянальных пунктаў эліптычных крывых. Падрабязней гл. таксама:
Літаратура
ва ўводзінах да кнігі, прыведзенай ніжэй, зазначыў, што «Пра эліптычныя крывыя можна пісаць бесканечна. (Гэта не пагроза.)» Такім чынам, наступны кароткі спіс з’яўляецца, у найлепшым выпадку, толькі кіраўніцтвам у велізарным аб’ёме даведачнай і навуковай літаратуры, прысвечанай тэарэтычным, алгарытмічным і крыптаграфічным бакам тэорыі эліптычных крывых.
Сіканы
Сіканы (Sicani) — найстаражытнае вядомае з антычных крыніц насельніцтва Сіцыліі, меркавана даіндаеўрапейскае. У XIII стагоддзі да н.э. былі адціснуты сікуламі і элімцамі, а пазней элінізаваны. Сіканам адпавядае археалагічная культура Кастэлуча.
Паходжанне
Тымей з Таўраменіі лічыў сіканаў абарыгенным насельніцтвам (яго сачыненне не захавалася, але на яго спасылаецца Дыядор Сіцылійскі (V,6,1-3). На востраве сапраўды на працягу шматлікіх тысячагоддзяў існавала аўтахтонная культура: важным гістарычным сведчаннем з'яўляецца выяўленне наскальных малюнкаў, датаваных каля 8000 г. да н.э.
Як сцвярджаў Фукідыд, сіканы імігравалі з Іберскага паўвострава (верагодна, Каталоніі), выцесненыя адтуль лігурамі з ракі Сікан. Гэтыя звесткі Фукідыд запазычыў у сіцылійскага гісторыка Антыёха Сіракузскага, крыніца якога невядомая, аднак паданне пра сіканаў нагадвае гісторыю з'яўлення балараў на Сардзініі.
Шэраг сучасных даследчыкаў разглядаюць сіканаў як ілірыйскае племя, якое захапіла землі, што раней належалі абарыгенам.
Культура і гістарычныя звесткі
Паводле грэчаскай міфалогіі, сталіцай сіканаў быў горад Камік.
Вялікі цырк
Вялікі цырк (Circus Maximus) — самы вялікі іпадром у Старажытным Рыме. Размяшчаўся ў даліне паміж узгоркамі Авенцінам і Палацінам. У спаборніцтвах на іпадроме маглі адначасова браць удзел 12 калясніц.
Паводле легенды, менавіта на гэтым месцы адбылося выкраданне сабінянак, а таксама выкраданне скаціны Геркулеса.
Стварэнне
Лічыцца, што спаборніцтвы на калясніцах былі ўпершыню праведзены тут яшчэ царом Тарквініем Прыскам (каля 500 да н.э.). Даліна паміж Палацінам і Авенцінам, даўжынёю ў 600 і шырынёй каля 150 м, спрадвеку, дзякуючы свайму становішчу ў найстаражытнейшай частцы горада і надзвычай зручнай канфігурацыі мясцовасці, служыла месцам конных спаборніцтваў, звязаных з найстаражытнымі гульнямі Рыма (т.зв. ludi Romani). Да 329 да н.э. прыстасаванні для скачак у гэтым месцы не згадваліся; відавочна, акрамя арэны і часовых месцаў для ганаровых гледачоў, на месцы цырка не было ніякіх пабудоў. Верагодна, даліна апрацоўвалася і давала ўраджаі, як паказваюць найстаражытныя свяцілішчы сельскіх багоў — (алтар Конса, свяцілішча трыяды Seia, Segetia, Tutilina), захаваныя і пасля ўзвядзення цырка.
Верагодна, гульні ладзіліся толькі пасля канца жніва (у 366 г. да н.э. ludi Romani фіксаваны былі на верасень). Толькі ў 329 г. быў пабудаваны старт — carceres — з дрэва з пярэстай афарбоўкай. Пастаяннай spina не было, меты былі драўляныя. Згадкі пра пастаноўку статуй, пра будаўніцтва брамы, пра аднаўленне carceres і мет, пра ўстаноўку апарата з яйкамі для падліку тураў (missus), пра набыццё клетак для звяроў і да т.п. з'яўляюцца пасля пунічных войнаў. Пры Цэзары пашырана плошча цырка і выкапаны канал (euripus) вакол арэны.
У тыя часы спаборніцтва калясніц праходзілі па прамой — даехаўшы да канца арэны калясніцы разварочваліся і імчаліся ў адваротны бок. Пазней, з развіццём каналізацыйнай сістэмы Рыма, пад арэнай быў пракладзены вялікі тунэль (прыкладна 4,5 метраў у вышыню і 2,5 метра ў шырыню), у выніку чаго з часам на арэне ўтварыўся «хрыбет». Выраўноўванне зямлі на арэне перад кожным спаборніцтвам каштавалі істотных працавыдаткаў, і таму спаборніцтвы ўжо не маглі праводзіцца па старой схеме. Правілы спаборніцтваў былі зменены, і калясніцы сталі ездзіць не па прамой, а па кальцы, агінаючы «хрыбет» арэны. Новы спосаб правядзення конных спаборніцтваў хутка прыжыўся, і з тых часоў конныя скачкі сталі праводзіцца на кальцавых іпадромах.