cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Гісторыя тэорыі імавернасцей
XVII стагоддзе: Паскаль, Ферма, Гюйгенс
Паскаль у сваіх працах далёка прасунуў прымяненне камбінаторных метадаў, якія сістэматызаваў у сваёй кнізе «Трактат аб арыфметычным трохвугольніку» (1665). Абапіраючыся на імавернасны падыход, Паскаль нават даказваў (у пасмяротна апублікаваных заметках), што быць веруючым выгадней, чым атэістам (гл. «пары Паскаля)».
Тэматыка дыскусіі Паскаля і Ферма (без падрабязнасцей) стала вядома Хрысціяну Гюйгенсу, які апублікаваў уласнае даследаванне «Аб разліках у азартных гульнях» (1657): першы трактат па тэорыі імавернасцей. У прадмове Гюйгенс піша:
У трактаце Гюйгенс падрабязна выкладае пытанні, разгледжаныя Ферма і Паскалем, але ставіць і новыя пытанні. Галоўным дасягненнем нідэрландскага навукоўца стала ўвядзенне паняцця матэматычнага спадзявання, г. зн. тэарэтычнага сярэдняга значэння выпадковай велічыні. Гюйгенс таксама ўказаў класічны спосаб яго падліку :
Гюйгенс, як відаць з цытаты, спачатку выкарыстоўваў тэрмін «вартасць», а тэрмін «спадзяванне» з’явіўся ўпершыню пры перакладзе трактата Гюйгенса Ван Схоўтэнам на лацінскую мову і стаў агульнапрынятым у навуцы.
У кнізе вялікая колькасць задач, некаторыя з рашэннямі, іншыя «для самастойнага рашэння». З апошніх асаблівую цікавасць і ажыўленае абмеркаванне выклікала «задача аб спусташэнні іграка». У некалькі абагульненым выглядзе яна фармулюецца так: у ігракоў A і B ёсць a і b манет адпаведна, у кожнай гульні выйграецца адна манета, імавернасць выйгрышу A ў кожнай гульні роўная p, трэба знайсці імавернасць яго поўнага спусташэння. Поўнае агульнае рашэнне «задачы аб спусташэнні» даў Абрахам дэ Муаўр праз паўстагоддзя (1711). У нашы дні імавернасная схема «задачы аб спусташэнні» выкарыстоўваецца пры рашэнні многіх задач тыпу «выпадковае блуканне».
Гюйгенс прааналізаваў і задачу аб падзеле стаўкі, даўшы яе канчатковае рашэнне: стаўку трэба раздзяліць прапарцыянальна імавернасцям выйгрышу пры працягу гульні. Ён таксама ўпершыню прымяніў імавернасныя метады ў дэмаграфічнай статыстыцы і паказаў, як разлічыць сярэднюю працягласць жыцця.
Да гэтага ж перыяду адносяцца публікацыі англійскіх статыстыкаў Джона Граўнта (1662) і Уільяма Пеці (1676, 1683). Апрацаваўшы даныя больш чым за стагоддзе, яны паказалі, што многія дэмаграфічныя характарыстыкі лонданскага насельніцтва, нягледзячы на выпадковыя ваганні, маюць досыць устойлівы характар — напрыклад, суадносіны ліку нованароджаных хлопчыкаў і дзяўчынак рэдка адхіляецца ад прапорцыі 14 к 13, невялікія ваганні і працэнта смяротнасці ад канкрэтных выпадковых прычын. Гэтыя даныя падрыхтавалі навуковую супольнасць да ўспрымання новых ідэй.
Граўнт таксама ўпершыню склаў — табліцы імавернасці смерці як функцыі ўзросту. Пытаннямі тэорыі імавернасцей і яе прымянення ў дэмаграфічнай статыстыцы заняліся таксама Іаган Худэ і Ян дэ Віт у Нідэрландах, якія ў 1671 годзе таксама склалі табліцы смяротнасці і выкарысталі іх для вылічэння памераў пажыццёвай рэнты. Падрабязней гэты круг пытанняў быў выкладзены ў 1693 годзе Эдмундам Галеем.
XVIII стагоддзе
На кнігу Гюйгенса абапіраліся створаныя ў пачатку XVIII ст. трактаты П’ера дэ Манмора «Вопыт даследавання азартных гульняў» (Essay d'analyse sur les jeux de hazard; апублікаваны ў 1708 і перавыдадзены з дапаўненнямі ў 1713 годзе) і Якаба Бернулі «Мастацтва здагадак» (Ars conjectandi; апублікаваны ўжо пасля смерці вучонага, у тым жа 1713 годзе). Апошні меў для тэорыі імавернасцей асабліва вялікае значэнне.
«Мастацтва здагадак» Якаба Бернулі
Над трактатам «Мастацтва здагадак» Якаб Бернулі працаваў дваццаць гадоў, ужо гадоў за дзесяць да публікацыі тэкст гэтай працы ў выглядзе незакончанага рукапісу стаў распаўсюджвацца па Еўропе, выклікаючы вялікую цікавасць. Трактат стаў першым сістэматычным выкладам тэорыі імавернасцей. У гэтай кнізе аўтар прывёў, сярод іншага, класічнае азначэнне імавернасці падзеі як адносіны ліку зыходаў, звязаных з гэтаю падзеяй, да агульнага ліку зыходаў (у верагоднай (непазбежнай) падзеі імавернасць раўняецца адзінцы, у немагчымай — нулю). Сістэматычна вывучаная Бернулі імавернасная схема цяпер называецца бінаміяльным размеркаваннем.
Раней матэматыкі часцей за ўсё карысталіся самою колькасцю зыходаў; гісторыкі лічаць, што замена колькасці на «частату» (г.зн. дзяленне на агульны лік зыходаў) была зроблена са статыстычных меркаванняў: частата, у адрозненне ад колькасці, звычайна імкнецца да стабілізацыі пры павелічэнні ліку назіранняў. Азначэнне імавернасці «па Бернулі» адразу стала агульнапрынятым, яго прыводзілі Абрахам дэ Муаўр у кнізе «Вучэнне аб выпадках» (1718) і ўсе наступныя матэматыкі. Адзінае важнае ўдакладненне — што ўсе «элементарныя зыходы» павінны быць роўнаімаверныя — зрабіў П’ер-Сімон Лаплас у 1812 годзе. Калі для падзеі немагчыма падлічыць класічную імавернасць (напрыклад, з-за таго, што немагчыма выдзеліць роўнаімаверныя зыходы), то Бернулі прапанаваў выкарыстоўваць статыстычны падыход, г.зн. ацаніць імавернасць па выніках назіранняў гэтай падзеі ці звязаных з ёю.
Вялікае значэнне як для тэорыі імавернасцей, так і для навукі ў цэлым меў даказаны Якабам Бернулі першы варыянт закона вялікіх лікаў (назву закону даў пазней Пуасон). Гэты закон тлумачыць, чаму статыстычная частата пры павелічэнні ліку назіранняў збліжаецца з яе тэарэтычным значэннем — імавернасцю, і тым самым звязвае два розныя азначэнні імавернасці. Пазней закон вялікіх лікаў істотна абагульняўся і ўдакладняўся многімі матэматыкамі; як аказалася, імкненне статыстычнай частаты да тэарэтычнай адрозніваецца ад імкнення да граніцы ў матэматычным аналізе — частата можа значна адхіляцца ад чаканай граніцы, і можна толькі сцвярджаць, што імавернасць такіх адхіленняў з ростам ліку выпрабаванняў імкнецца да нуля. Разам з тым адхіленні частаты ад імавернасці таксама паддаюцца імавернаснаму аналізу.
Развіццё ідэй Бернулі
Трактат Якаба Бернулі выклікаў рэзкі ўздым цікавасці да імавернасных праблем і рост ліку даследаванняў новых задач. Абрахам дэ Муаўр апублікаваў некалькі работ, сярод якіх найбольш цікавыя артыкул «Аб вымярэнні выпадковасці, ці імавернасцях вынікаў у азартных гульнях» (1711) і трактат «Вучэнне аб выпадках» (1718), які ў XVIII стагоддзі выдаваўся тройчы. У гэтым трактаце Муаўр не толькі поўнасцю рашыў названую вышэй «задачу аб спусташэнні іграка», але і ацаніў для яе сярэднюю працягласць гульні і імавернасць выйгрышу за вызначаны лік гульняў для кожнага гульца. У іншай працы, якая называлася «Аналітычная сумесь», Муаўр даў першы варыянт тэарэмы Муаўра—Лапласа, якая апісвае размеркаванне магчымых адхіленняў статыстычнай частаты ад імавернасці. Муаўр разгледзеў толькі выпадак, калі імавернасць роўная 1/2, агульны ж выпадак для любой імавернасці даказаў Лаплас. Яшчэ адным дасягненнем Муаўра стала першае ўвядзенне ў навуку нармальнага размеркавання (1733), якое ўзнікла ў яго як прыбліжэнне бінаміяльнага размеркавання.
Данііл Бернулі, пляменнік заснавальніка тэорыі імавернасцей, таксама ўнёс уклад у гэту навуку. Ён, незалежна ад Муаўра, даследаваў нармальнае размеркаванне для памылак назіранняў, першым прымяніў для імавернасных задач метады матэматычнага аналізу, апублікаваў першы з імавернасных парадоксаў (1738).
Наступны важны крок зрабіў англійскі матэматык Томас Сімпсан, які ў ходзе заняткаў лікавым аналізам у кнізе «Прырода і законы выпадку» (1740) фактычна выкарыстаў трэцяе (разам з класічным і статыстычным) азначэнне імавернасці — геаметрычнае, прыгоднае для даследавання непарыўных выпадковых велічынь з бесканечным лікам значэнняў. У задачы XXVI Сімпсан знайшоў імавернасць таго, што наўгад кінуты на плоскасць паралелепіпед спыніцца на вызначанай сваёй грані.
Падыход Сімпсана развіў Жорж-Луі Леклерк дэ Бюфон, які ў 1777 годзе прывёў класічны прыклад задачы на геаметрычную імавернасць. Гэта была праблема, якая пазней цікавіла многіх матэматыкаў, — «»: плоскасць разлінеена роўнааддаленымі паралельнымі прамымі («у лінейку»), на яе наўгад кідаецца іголка, трэба знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ лінію. Калі даўжыня іголкі a меншая, чым адлегласць паміж лініямі l, то шуканая імавернасць раўняецца. Гэтая формула некалькі разоў правяралася эксперыментальна, у тым ліку самім Бюфонам, а ў 1901 годзе італьянскі матэматык Марыа Лацарыні (Mario Lazzarini) выкарыстаў яе для эксперыментальнага вызначэння ліку \pi. Задачу Бюфона, яе аналіз і розныя мадыфікацыі матэматыкі абмяркоўвалі многія гады.
Была рэшана найважнейшая задача разліку імавернасці складаных падзей. Англійскі матэматык Томас Баес першым у дакладным выглядзе прывёў тэарэму складання імавернасцей для некалькіх несумяшчальных падзей і асноватворныя ў тэорыі імавернасцей і статыстыцы «формулы Баеса» (1763 год, апублікаваныя пасмяротна). У сучаснай тэрміналогіі формулы Баеса дазваляюць разлічыць умоўную імавернасць, а таксама ўдакладніць разлічаную імавернасць пасля атрымання новых даных. Тэарэму множання імавернасцей раней адкрыў Муаўр (1718 год) і даў ёй цалкам сучасную, хоць і выражаную словамі фармулёўку: «імавернасць з’яўлення дзвюх залежных падзей раўняецца здабытку імавернасці з’яўлення аднае з іх на імавернасць таго, што другая павінна адбыцца, калі першая з іх ужо з’явілася».
К сярэдзіне XVIII стагоддзя аналіз гульняў усё яшчэ прыцягвае некаторую цікавасць — напрыклад, Леанард Эйлер падрабязна прааналізаваў розныя тыпы латарэй, але цэнтрам увагі матэматыкаў усё ў большай ступені становяцца дэмаграфічная статыстыка, страхаванне і ацэнка памылак (вымярэння, акруглення і пад.). Статыстыцы і страхаванню Эйлер прысвяціў нямала прац; ён, сярод іншага, рашаў задачу: ацаніць па статыстычных табліцах, якая імавернасць таго, што чалавек ва ўзросце
гадоў пражыве яшчэ
n
гадоў.
Агульныя тэндэнцыі і крытыка
У XIX стагоддзі лік работ па тэорыі імавернасцей працягваў расці, былі нават недарэчныя для навукі спробы распаўсюдзіць імавернасныя метады далёка за разумныя межы — напрыклад, на вобласць маралі, псіхалогіі, правапрымянення і нават багаслоўя. У прыватнасці, валійскі філосаф Рычард Прайс, а следам за ім і Лаплас лічылі магчымым разлічыць па формулах Баеса імавернасць наступнага ўзыходу Сонца, Пуасон спрабаваў правесці імавернасны аналіз судовых прыгавораў і верагоднасці паказанняў сведак. Філосаф Дж. С. Міль у 1843 годзе, адзначыўшы падобныя спекуляцыйныя прымяненні, назваў злічэнне імавернасцей «ганьбаю матэматыкі». Гэтая і іншыя ацэнкі сведчылі пра недастатковую строгасць абгрунтавання тэорыі імавернасцей.
Матэматычны апарат тэорыі імавернасцей тым часам працягваў удасканальвацца. Асноўнаю галіною яе прымянення ў той перыяд была матэматычная апрацоўка вынікаў назіранняў, у якіх ўтрымліваліся выпадковыя хібнасці, а таксама разлікі рызык у страхаванні і іншых статыстычных параметраў. Сярод галоўных прыкладных задач тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі XIX стагоддзя можна назваць наступныя: Ужо к сярэдзіне XIX стагоддзя складваецца імавернасная тэорыя артылерыйскай стральбы. У большасці буйных краін Еўропы былі створаны нацыянальныя статыстычныя арганізацыі. У канцы стагоддзя вобласць ужывання імавернасных метадаў пачала паспяхова пашырацца на фізіку, біялогію, эканоміку, сацыялогію.
Гаус, Лаплас, Пуасон
Карл Фрыдрых Гаус, які пастаянна займаўся астранамічнымі вылічэннямі, распрацаваў імавернасную методыку работы з вымярэннямі, у якіх утрымліваюцца хібнасці (1809). Ён глыбока вывучыў нармальнае размеркаванне, паказаў, што яно ў многіх практычных сітуацыях з’яўляецца гранічным для выпадковых значэнняў, абгрунтаваў прымяненне метаду найменшых квадратаў для ацэнкі вымеранага значэння і параметраў яго магчымага дыяпазону роскіду. Канчатковую версію тэорыі Гаус апісаў у дзвюх працах «Тэорыя камбінацыі назіранняў, схільных да выпадковых памылак» (1823, 1828). Хаця нармальны закон быў вядомы задоўга да Гауса, ягоны ўклад у тэорыю гэтага найважнейшага размеркавання настолькі вялікі, што доўгі час нармальны закон называлі «законам Гауса»; сучасны тэрмін замацаваўся дзякуючы працам Карла Пірсана ў канцы XIX стагоддзя.
Асноўныя дасягненні тэорыі імавернасцей падагульненыя ў капітальнай манаграфіі Лапласа «Аналітычная тэорыя імавернасцей» (1812 год), якая завяршыла «класічны этап» развіцця гэтай навукі. У XIX стагоддзі праца Лапласа перавыдавалася ў Францыі тройчы і была перакладзена на многія мовы свету. Лаплас даследаваў як дыскрэтныя, так і непарыўныя выпадковыя велічыні (яшчэ не ўводзячы тэрміна «выпадковая велічыня»), прычым для непарыўных даў ключавое паняцце шчыльнасці размеркавання імавернасці, раней няяўна і абмежавана выкарыстанае Даніілам Бернулі. Інтэгральнае паняцце функцыі размеркавання ўзнікла значна пазней (яго ў 1912 годзе ўвёў А. М. Ляпуноў); агульны тэрмін «выпадковая велічыня» таксама, відаць, упершыню паявіўся ў працах рускай імавернаснай школы. Увядзенне шчыльнасці імавернасці і характарыстычных функцый дазволіла Лапласу прымяніць для рашэння імавернасных задач магутныя аналітычныя сродкі, уключаючы дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных.
Лаплас прывёў формулу поўнай імавернасці для некалькіх несумяшчальных «прычын» (у сучаснай тэрміналогіі, «гіпотэз»), даказаў рад гранічных тэарэм, у тым ліку тэарэму Муаўра—Лапласа і збежнасць бінаміяльнага размеркавання да нармальнага пры павелічэнні ліку выпрабаванняў. Значная частка кнігі прысвечана статыстычным прыкладанням і рашэнню задач. Для ацэнкі магчымага дыяпазону значэнняў вымяранай велічыні Лаплас, як і Гаус, рэкамендаваў метад найменшых квадратаў.
Лаплас апісаў і сваё разуменне сутнасці выпадковасці і імавернасці. На яго думку, ход рэальных працэсаў поўнасцю прадвызначаны («дэтэрмінован»), выпадковасць узнікае толькі ў чалавечым успрыманні і толькі там, дзе чалавек не валодае поўнымі ведамі аб тым, што адбываецца:
Тэорыя памылак вымярэння
Асноўная праблема ў гэтай вобласці наступная. Хай паслядоўныя вымярэнні некаторай велічыні далі
n
блізкіх, але няроўных значэнняў. Падразумяваецца, што сістэматычныя памылкі і залежнасць велічыні ад часу вымярэння (напрыклад, пры кручэнні нябеснага купала) улічаныя, так што розніца даных выклікана чыста выпадковымі хібнасцямі. Трэба па выніках вымярэнняў знайсці найлепшую ацэнку сапраўднага значэння даследаванай велічыні.
Першае матэматычнае даследаванне гэтай практычна важнай (асабліва ў астраноміі) тэмы зрабіў Томас Сімпсан (1755). Ён зыходзіў з няправільнай гіпотэзы, што памылкі вымярэння размеркаваныя па «трохвугольным законе», але зрабіў правільны вывад — сярэдняе арыфметычнае вынікаў вымярэння бліжэй да сапраўднага значэння, чым асобнае вымярэнне. Данііл Бернулі (1778) лічыў, што шчыльнасць размеркавання хібнасцей прадстаўляе сабою дугу акружнасці, але вывад Сімпсана пацвердзіў. Ідэі Сімсана развіў І. Г. Ламберт, які ўпершыню прымяніў метад утваральных функцый і метад найбольшай праўдападобнасці, пазней абагульнены Р. Э. Фішэрам.
У XIX стагоддзі Лаплас указаў, што назіраныя хібнасці вымярэння звычайна з’яўляюцца вынікам складвання мноства выпадковых памылак, і таму іх размеркаванне павінна быць блізкае да нармальнага. Замест сярэдняга арыфметычнага ён прапанаваў статыстычную медыяну. Аднак амаль адначасова быў апублікаваны значна больш практычны метад найменшых квадратаў Гауса (1809), які і стаў агульнаўжывальным. У 1853 годзе Кашы знайшоў прыклад размеркавання, для якога сярэдняе арыфметычнае з’яўляецца вельмі кепскаю ацэнкаю. К канцу XIX стагоддзя статыстычная тэорыя апрацоўкі памылак была ў асноўным завершана.
Парадоксы Бертрана
У 1889 годзе французскі матэматык Жазэф Бертран у сваім курсе «Аналіз імавернасцей» прапанаваў некалькі парадоксаў, звязаных з геаметрычнаю імавернасцю. У кожным парадоксе рознае вытлумачэнне паняццяў «наўдачу» ці «ўзятае адвольна» прыводзіла да розных рашэнняў задачы. Прыклад аднаго з парадоксаў Бертрана: знайсці імавернасць таго, што выбраная наўдачу хорда акружнасці будзе даўжэйшая за старану ўпісанага ў гэтую акружнасць трохвугольніка. Пры розных метадах выбару хорды «наўдачу» атрымліваюцца розныя адказы. Абмеркаванне парадоксаў Бертрана садзейнічала ўдакладненню асноў тэорыі імавернасцей і сэнсу тэрміна «роўнаімаверна».
Статыстычная фізіка
Да сярэдзіны XIX стагоддзя практычнае прымяненне тэорыі імавернасцей было ў асноўным абмежавана статыстыкаю і прыбліжанымі вылічэннямі, таму агульны тэрмін «выпадковая велічыня» паявіўся даволі позна. Адным з першых выпадковых працэсаў у фізіцы стаў вывучаны Робертам Броўнам у 1827 годзе пад мікраскопам хаатычны рух кветкавага пылку, які плаваў у вадзе («броўнаўскі рух»). Яго матэматычная мадэль, аднак, з’явілася толькі ў пачатку XX стагоддзя (А. Эйнштэйн, М. Смалухоўскі, Н. Вінер).
Першыя фізічныя імавернасныя мадэлі ўзніклі ў статыстычнай фізіцы, якую распрацавалі ў другой палавіне XIX стагоддзя Л. Больцман, Д. К. Максвел і Д. У. Гібс. Больцман у шэрагу работ (1860-я гады) паказаў, што тэрмадынамічныя законы маюць імавернасна-статыстычны характар і звязаныя з пераходам фізічных сістэм з менш імавернага стану і больш імаверны, прычым мераю імавернасці з’яўляецца энтрапія. Максвел у тыя ж гады вывеў закон размеркавання хуткасцей малекул у газе, які дазваляе разлічыць энергію, даўжыню свабоднага прабегу і іншыя характарыстыкі малекул. У 1902 годзе Гібс апублікаваў манаграфію «Асноўныя прынцыпы статыстычнай механікі», якая значна паўплывала на развіццё фізікі. К канцу XIX стагоддзя вялікае практычнае значэнне імавернасных метадаў стала агульнапрызнаным фактам.
Расійская школа
У Расіі ў першай палавіне XIX стагоддзя пачалі ўзнікаць уласныя сур’ёзныя даследаванні па тэорыі імавернасцей. Першы вучэбны курс пачаў чытаць С. Раўкоўскі ў Віленскім універсітэце (1829 год), там жа ў 1830 годзе была створана першая ў Расійскай імперыі кафедра тэорыі імавернасцей. У Пецярбургскім універсітэце лекцыі з 1837 года чытаў спачатку В. А. Анкудовіч, а з 1850 года — В. Я. Бунякоўскі. Фундаментальны падручніку «Основания математической теории вероятностей» Бунякоўскі апублікаваў у 1846 годзе, і прыдуманая ім руская тэрміналогія стала агульнапрынятаю. У Маскоўскім універсітэце курс з’явіўся ў 1850 годзе, лекцыі чытаў А. Ю. Давідаў, будучы прэзідэнт Маскоўскага матэматычнага таварыства.
Артыкулы на імавернасныя тэмы публікавалі многія буйныя матэматыкі Расіі, у тым ліку М. В. Астраградскі, М. Д. Брашман, М. І. Лабачэўскі, М. Я. Зярноў. У значнай частцы гэтых работ адчуваецца моцны ўплыў прац і поглядаў Лапласа.
Першымі рускімі матэматыкамі сусветнага ўзроўню ў тэорыі імавернасцей сталі П. Л. Чабышоў і яго вучні А. А. Маркаў і А. М. Ляпуноў. Чабышоў з самага пачатку сваёй навуковай кар’еры ўдзяляў найбольшую ўвагу тэорыі імавернасцей (разам з тэорыяй лікаў), а з 1860 года змяніў Бунякоўскага на кафедры тэорыі імавернасцей і пачаў свой цыкл лекцый. Ён апублікаваў па дадзенай тэме ўсяго чатыры працы, але фундаментальныя. Асабліва цікавы яго артыкул «О средних величинах» (1866 год), дзе прыведзена «няроўнасць Чабышова», пазней узмоцненая Маркавым: Гэта формула азначае, што імавернасць адхілення любой выпадковай велічыні x ад яе сярэдняга значэння (матэматычнага спадзявання) Mx больш чым на k стандартных адхіленняў (\sigma) не перавышае. Напрыклад, адхіленне на 5 \sigma мае імавернасць 1/25, г.зн. 4 %.
У якасці выніку сваёй няроўнасці Чабышоў атрымаў надзвычайна агульную фармулёўку закона вялікіх лікаў: калі матэматычныя спадзяванні паслядоўнасці
n
збягаецца да сярэдняга арыфметычнага іх матэматычных спадзяванняў. З гэтай тэарэмы выводзяцца тэарэмы Бернулі і Пуасона; Чабышоў упершыню строга ацаніў дакладнасць гэтых тэарэм і іншых прыбліжэнняў.
У 1887 годзе з’явіўся артыкул Чабышова «О двух теоремах относительно вероятностей». У гэтай рабоце ён устанавіў, што пры некаторых (дастаткова агульных) умовах выконваецца гранічная тэарэма: сума вялікага ліку незалежных выпадковых велічынь (напрыклад, хібнасцей вымярэння) размеркавана прыблізна па нармальным законе і тым дакладней, чым больш складнікаў. Гэты вынік па сваёй агульнасці далёка перакрывае тэарэму Муаўра — Лапласа і ўсе яе аналагі. Пазней А. А. Маркаў і А. М. Ляпуноў удакладнілі і яшчэ больш абагульнілі гэту тэарэму Чабышова.
Абедзве названыя тэарэмы Чабышова займаюць цэнтральнае месца ў тэорыі імавернасцей. Асабліва важная тая акалічнасць, што Чабышоў не толькі знайшоў гранічнае размеркаванне, але ў абодвух выпадках падрабязна прааналізаваў межы магчымых адхіленняў ад гэтай граніцы.
Калі Чабышоў даследаваў незалежныя выпадковыя велічыні, то А. А. Маркаў у 1907 годзе расшырыў поле даследаванняў, разглядаючы і выпадак, калі новае выпадковае значэнне залежыць ад старога. Маркаў даказаў варыянт закона вялікіх лікаў для некаторых распаўсюджаных тыпаў залежных велічынь, увёўшы ў тэрміналогію сусветнай навукі «ланцугі Маркава». Аналізу і класіфікацыі гэтых ланцугоў Маркаў прысвяціў нямала прац; ланцугі Маркава і маркаўскія выпадковыя працэсы прымяняюцца не толькі ў матэматыцы, але і ў іншых навуках, такіх як статыстычная фізіка, квантавая механіка, тэорыя аўтаматычнага кіравання і многія іншыя. Маркаву належыць таксама імавернаснае абгрунтаванне метаду найменшых квадратаў.
А. М. Ляпунову належыць увядзенне метаду характарыстычных функцый у вучэнне аб гранічных тэарэмах тэорыі імавернасцей.
Тэарэтычныя пытанні і матэматычныя метады
У XX стагоддзі даследаванні Чабышова і Маркава працягнулі А. Я. Хінчын, А. М. Калмагораў і інш. У прыватнасці, Ярл В. Ліндэберг (1922) і Калмагораў (1926) знайшлі ўмовы, неабходныя і дастатковыя для выканання закона вялікіх лікаў.
Матэматычны апарат тэорыі імавернасцей значна ўзбагаціўся ў многіх напрамках. Пасля распрацоўкі тэорыі меры гэта агульнае паняцце аказалася зручна прымяніць у тэорыі імавернасцей, г.зн. разглядаць імавернасць як меру (канечнага альбо бесканечнага) мноства «спрыяльных падзей». Такі падыход дазваляе апісваць і даследаваць уласцівасці імавернасці на добра распрацаванай мове тэорыі мностваў.
У тэорыі дынамічных сістэм было выяўлена, што рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў некаторых сістэм паводзяць сябе як выпадковыя працэсы. Гэта значнае адкрыццё прывяло да стварэння паняцця «дынамічны хаос» і агульнай «тэорыі хаосу». Адным з прыкладаў з’яўляецца «задача трох цел» нябеснай механікі.
Да XX стагоддзя выкарыстоўваліся ў асноўным нармальнае, бінаміяльнае і (часам) пуасонава размеркаванне, аднак практычна карыснымі аказаліся і многія іншыя тэарэтычныя законы. Напрыклад, лагнармальнае размеркаванне часта сустракаецца ў выпадках, калі даследуемая велічыня ёсць здабытак некалькіх незалежных дадатных выпадковых велічынь.
Імавернасныя метады аказаліся плённымі ў многіх абласцях тэарэтычнай і прыкладной матэматыкі, нават у такіх класічных, як тэорыя лікаў ці логіка. У сваю чаргу, сучасная тэорыя імавернасцей выкарыстоўвае метады і падыходы, распрацаваныя ў функцыянальным аналізе, тапалогіі і іншых раздзелах матэматыкі, што ўзніклі ў XX стагоддзі.
Стварэнне матэматычнай статыстыкі
Матэматычная статыстыка як аснова для прыняцця надзейных рашэнняў аб выпадковых велічынях узнікла на рубяжы XIX—XX стагоддзяў дзякуючы асноватворным працам Карла Пірсана. Пірсан распрацаваў тэорыю карэляцыі, крытэрыі згоды, рэгрэсійны аналіз, алгарытмы праверкі гіпотэз, прыняцця рашэнняў і ацэнкі параметраў. Алгарытмы, прапанаваныя Пірсанам, шырока прымяняюцца ў фізіцы, медыцыне, біялогіі, сацыялогіі, сельскай гаспадарцы і інш.
Найбольш значным прадаўжальнікам прац Пірсана па прыкладной матэматычнай статыстыцы ў першай палавіне XX стагоддзя стаў Рональд Эйлмер Фішэр. Ён апублікаваў работы па планаванні эксперымента, распрацаваў метад найбольшай праўдападобнасці, тэст статыстычнай значнасці, дысперсійны аналіз і рашэнне мноства іншых практычна важных статыстычных праблем. Сумесна з Ежы Нэйманам распрацаваў канцэпцыю давяральнага прамежку (1937). Фішэр — аўтар агульнапрызнанага тэрміна «дысперсія выпадковай велічыні» (variance).
Пачынаючы прыкладна з 1920-х гадоў, хутка развіваецца тэорыя статыстычнага кантролю якасці прамысловай прадукцыі. Першую праблему па гэтай тэме разгледзеў яшчэ Томас Сімпсан у 1846 годзе. У масавай вытворчасці трэба вызначыць, па якой методыцы трэба выбраць прадметы з аднае ці некалькіх партый прадукцыі для праверкі іх якасці.
Вялікая ў нашы дні колькасць статыстычных даследаванняў, якія нярэдка даюць процілеглыя вынікі (напрыклад, аб шкоднасці ці няшкоднасці мабільных тэлефонаў ці генна-мадыфікаваных прадуктаў), павысіла актуальнасць праблемы забеспячэння верагодных вывадаў са статыстычнага абследавання. Самая частая памылка — аб’яўленне, што статыстычная залежнасць (карэляцыя) даследаваных чыннікаў нібыта сведчыць аб прычыннай сувязі паміж імі, хаця часта сувязь гэтых чыннікаў на самай справе тлумачыцца іх залежнасцю ад аднаго ці некалькіх трэціх чыннікаў. «Статыстычная залежнасць, якая б моцная яна ні была, ніколі не можа ўстанавіць прычыннай сувязі: нашы ідэі аб прычыне павінны прыходзіць не са статыстыкі, у канчатковым выніку з некаторай іншай тэорыі».
Выпадковыя працэсы
Паняцце выпадковага (ці стахастычнага) працэсу, якое ўзнікла ў пачатку XX стагоддзя, стала адным з цэнтральных, развітых і найбольш карысных прымяненняў тэорыі імавернасці. Выпадковы працэс — гэта зменная ў часе выпадковая велічыня. Першыя даследаванні выпадковых працэсаў датычыліся ў асноўным электронікі і паведамленняў тэорыі сувязі, у нашы дні можна прывесці ў якасці прыкладаў часавыя рады ў эканоміцы ці медыцыне, рэгістраграмы тэорыі механізмаў, статыстыку жыцця біялогіі папуляцый. Шырокую вобласць практычнага ўжывання мае тэорыя масавага абслугоўвання. Сярод тыповых задач аналізу выпадковых працэсаў :
Праведзена класіфікацыя тыпаў выпадковых працэсаў, распрацаваны аналітычныя сродкі іх даследавання (карэляцыйная і каварыяцыйная функцыі, спектральнае раскладанне). Для аналізу працэсаў распрацаваны такія новыя сродкі, як стахастычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні, стахастычны інтэграл, сродкі спектральнага аналізу і фільтрацыі.
Новыя прыкладанні
Новыя прымяненні імавернасных метадаў узнікалі ў XX стагоддзі пастаянна і ў многіх навуках; коратка пералічым некаторыя этапныя падзеі ў гэтым працэсе.
Цэнтральным паняццем створанай у 1920-я гады квантавай механікі з’яўляецца камплексная хвалевая функцыя, квадрат модуля якой, паводле распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі, вызначае шчыльнасць выяўлення мікрачасціцы ў зададзеным пункце прасторы. Калі прыняць такое вытлумачэнне, то ў матэматычнай мадэлі мікрасвету выпадковасць неадольная, а лапласаў дэтэрмінізм поўнасцю абвергнуты. Для мікрасвету былі распрацованы адмысловыя квантавыя статыстыкі Бозэ — Эйнштэйна і Фермі — Дзірака.
Пасля адкрыццяў Мендэля і Моргана стала зразумела, што спадчынныя прыкметы перадаюцца патомкам шляхам выпадковай камбінацыі аднае з дзвюх прыкмет (алелей) ад бацькі і аднае з дзвюх алелей ад мацеры. Выпадковы выбар бацькавай алелі вызначае заадно пол будучага патомка. На гэты працэс дадаткова накладваюцца выпадковыя мутацыі, таму імавернасныя метады леглі ў аснову генетыкі. Прымяняюцца яны таксама пры даследаванні і кіраванні развіццём біялагічных папуляцый. Істотна выкарыстоўваюцца імавернасныя падыходы (напрыклад, баесаўскія метады і метады, аснаваныя на прынцыпе найбольшай праўдападобнасці) ў, якая прадугледжвае прымяненне адмысловых вылічальных алгарытмаў і камп’ютарных праграм для пабудовы філагенетычных дрэў.
Тэорыя інфармацыі апіраецца на ўведзенае Клодам Шэнанам у 1948 годзе паняцце інфармацыйнай энтрапіі. Калі выпадковая велічыня x можа прымаць значэнні, імавернасці якіх адпаведна роўныя , то энтрапія вызначаецца формулаю: Вызначаная так энтрапія ёсць мера выпадковасці (ці нявызначанасці): яна роўная нулю, калі выпадковасці няма, г.зн. з імавернасцю 1 велічыня прымае адно пэўнае значэнне. Павелічэнне выпадковасці звязана з павелічэннем энтрапіі.
Тэорыя аўтаматычнага кіравання таксама з самага пачатку карысталася імавернаснымі метадамі. Са з’яўленнем камп’ютараў прымяненне такіх метадаў значна пашырылася. Карыстаючыся генератарам псеўдавыпадковых лікаў, можна прамадэляваць на камп’ютары выпадковыя велічыні ці працэсы з адвольным размеркаваннем, а гэта, у сваю чаргу, дазваляе даследаваць самыя розныя рэальныя працэсы шляхам іх камп’ютарнага мадэлявання (метад Монтэ-Карла).
У 2-й палавіне XX стагоддзя ў важны напрамак матэматычнай лінгвістыкі аформілася прымяненне метадаў тэорыі імавернасці і матэматычнай статыстыкі да вывучэння моўных з’яў. Шматлікія даследаванні, аснаваныя на прымяненні такіх метадаў, уключалі: атрыманне імавернасна-інфармацыйных ацэнак нормы мовы; аналіз размеркавання сінтаксічнай інфармацыі ў граніцах словаформы, кантэкстнай абумоўленасці і лішкавасці тэкстаў, узаемадзеяння выпадковых і прадвызначаных (дэтэрмінаваных) працэсаў у маўленні; распрацоўка адэкватных методык лінгвістычнага эксперыменту; выяўленне статыстычных характарыстык лінгвістычных варыяцыйных радоў і інш.
Абгрунтаванне і аксіяматызацыя
На момант стварэння тэорыі імавернасцей асноваю матэматыкі былі два класы аб’ектаў — лікі і геаметрычныя фігуры. Для тэорыі імавернасцей трэба было дабавіць у гэты спіс зусім новы аб’ект: выпадковую падзею, а таксама цесна звязаныя з ёю паняцці (імавернасць, выпадковая велічыня і інш.). Своеасаблівасць новай навукі праяўлялася і ў тым, што яе сцвярджэнні насілі не безумоўны характар, як раней было прынята ў матэматыцы, а магчымасна-імавернасны.
Па меры развіцця тэорыі імавернасцей не спыняліся спрэчкі, ці можна лічыць ідэалізаваную падзею матэматычным паняццем (і тады тэорыя імавернасцей ёсць частка матэматыкі), ці ж гэта факт, што назіраецца на вопыце (і тады тэорыю імавернасцей трэба аднесці да прыродазнаўчых навук). Розныя вучоныя выказвалі самыя розныя меркаванні аб гэтым. П. Л. Чабышоў упэўнена лічыў тэорыю імавернасцей матэматычнаю дысцыплінаю, задача якой — па вядомых імавернасцях некаторых падзей вызначыць невядомую імавернасць даследаванай падзеі. На думку Давіда Гільберта, тэорыя імавернасцей роднасная механіцы, г.зн. з’яўляецца матэматызаванай «фізічнай дысцыплінай». Аўгуст дэ Морган і яго паслядоўнік У. С. Джэванс лічылі асноўным паняццем «суб’ектыўную імавернасць», г.зн. колькасную меру нашага разумення прадмета даследавання, і звязвалі тэорыю імавернасцей з логікаю. Праблемы, звязаныя з неадназначнаю суб’ектыўнаю імавернасцю, неаднаразова абмяркоўваліся, іх часта фармулююць у выглядзе «імавернасных парадоксаў» (гл., напрыклад, «парадокс трох вязняў» ці «парадокс хлопчыка і дзяўчынкі»).
Яшчэ Бернулі даў фактычна два азначэнні імавернасці: як долі «спрыяльных выпадкаў» і як статыстычнай частаты; каб звесці другое разуменне да першага, спатрэбіўся закон вялікіх лікаў. Аўстрыйскі матэматык і эканаміст Людвіг фон Мізэс прапанаваў адваротны падыход (1914 год): лічыць азначэннем імавернасці іменна граніцу частаты. Тэорыю імавернасцей Мізэс да матэматыкі не адносіў, ён лічыў яе эксперыментальнаю навукай, якая вывучае назіраныя факты. Азначэнне Мізэса і выкладзеная ім аксіяматыка былі раскрытыкаваныя за беззмястоўнасць, бо не існуе сродкаў для высвятлення, ці мае частата пэўнай падзеі граніцу. Абмеркаванне канцэпцыі Мізэса часам працягваецца і цяпер. Былі і іншыя спробы абгрунтавання — Джон Мейнард Кейнс (1921) і Харальд Джэфрыс (1939) прапанавалі разумець імавернасць сцвярджэння як «ступень праўдападобнасці» гэтага сцвярджэння, гэты падыход таксама час ад часу ўпамінаецца ў абмеркаванні пытання.
У пачатку XX стагоддзя школа Д. Гільберта паставіла такія класічныя раздзелы матэматыкі, як геаметрыя і аналіз, на строгую аксіяматычную аснову, з’явілася аксіяматыка і ў іншых раздзелах матэматыкі: тэорыя мностваў, матэматычная логіка і інш. Наспела неабходнасць распрацаваць аксіяматыку і для тэорыі імавернасцей, бо ранейшае, напалову інтуітыўнае і нефармальнае абгрунтаванне Бернулі і Лапласа даўно ўстарэла. Першы варыянт такой аксіяматыкі даў савецкі матэматык С. Н. Бернштэйн у сваім курсе «Тэорыя імавернасцей» (1927 год). Агульнапрызнаным у навуцы стаў варыянт А. М. Калмагорава, апублікаваны ў 1929—1933 гадах і заснаваны на ідэях тэорыі меры. У другой палавіне XX стагоддзя Альфрэд Рэньі і А. М. Калмагораў даследавалі магчымасць даць абгрунтаванне тэорыі імавернасцей на аснове тэорыі інфармацыі. У нашы дні «склалася яснае разуменне таго, што тэорыя імавернасцей з’яўляецца сапраўды матэматычнай навукай, якая мае разам з тым самыя цесныя і непасрэдныя сувязі з шырокім спектрам навук аб прыродзе, а таксама з тэхнічнымі і сацыяльна-эканамічнымі дысцыплінамі».
Нягледзячы на даказаную практыкай эфектыўнасць імавернасных метадаў, роля выпадковасці ў прыродзе, прычына і межы статыстычнай устойлівасці застаюцца прадметам дыскусій. «За 200 гадоў, што прайшлі з часоў Лапласа і Гауса, навука не дабілася прасоўвання наперад у фундаментальным пытанні — калі ўзнікае статыстычная ўстойлівасць».
Вышэйшая ліга чэмпіянату Беларусі па футболе 2015
Вышэйшая ліга чэмпіянату Беларусі па футболе 2015 (Беларусбанк—чэмпіянат Рэспублікі Беларусь па футболе) — чэмпіянат па футболе сярод беларускіх каманд 2015-га года.
Чэмпіёнам, 12-ы раз у гісторыі і 10-ы раз запар, стаў барысаўскі БАТЭ. Футбольны клуб «Гомель», які заняў апошняе 14-е месца, выбыў у Першую лігу.
Рэгламент
У параўнанні з папярэднім сезонам, колькасць удзельнікаў павялічылася з 12 да 14. Адпаведна, змянілася і схема розыгрышу: каманды сталі гуляць паміж сабой па два матчы — дома і ў гасцях. Другі этап, які меў месца ў сезоне 2014, быў скасаваны, такім чынам, агульная колькасць матчаў скарацілася з 32 да 26. Капменсаваны гэты недахоп быў павялічэннем колькасці матчаў у Кубку Беларусі — у 2015 годзе на стадыях 1/16 і 1/8 сталі праводзіцца па 2 матчы (раней быў адзін).
У сувязі з далейшым пашырэннем лігі да 16 каманд у 2016 годзе, па выніках сезона Вышэйшую лігу пакідала адна каманда, якая займала апошняе месца. Замест яе пуцёўку ў Вышэйшую лігу атрымаўвалі тры першыя каманды Першай лігі.
Змены ў параўнанні з папярэднім сезонам
Клубы, якія выйшлі ў Вышэйшую лігу з Першай лігі
Клуб, які страціў месца ў Вышэйшай лізе па выніках сезона 2014
Прадстаўніцтва па рэгіёнах
У 25-м чэмпіянаце Беларусі па футболе прымалі удзел футбольныя клубы з усіх абласцей краіны.
Бамбардзіры
Крыніца: Football.By
Па турах
{| Cellpadding="0" CellSpacing="1" style="font-size:100%; border:1px solid #a0a0a0; padding:1px; text-align:center;"
Наведвальнасць
{| Cellpadding="0" CellSpacing="1" style="font-size:100%; border:1px solid #a0a0a0; padding:1px; text-align:center;"
Узнагароды
Узнагароды сезона 2015 былі абвешчаны 11 снежня 2015 года на цырымоніі «Зорны мяч».
Канстант
Флавій Юлій Канстант (Flavius Iulius Constans), больш вядомы ў рымскай гістарыяграфіі як Канстант, — рымскі імператар як цэзар у 333—337 гадах, як аўгуст у 337—350 гадах.
Канстант быў малодшым сынам імператара Канстанціна I Вялікага. У 333 годзе ён атрымаў тытул цэзара. Пасля смерці бацькі Канстант атрымаў у долю Італію, Ілірыю і Афрыку. У 340 годзе ў яго адбыўся канфлікт з яго братам Канстанцінам II, які ў выніку быў забіты, пасля чаго Канстант атрымаў сабе яго ўладанні — Іспанію, Галію, Брытанію. Імператар ваяваў з сарматамі на Дунаі, франкамі на Рэйне і піктамі і скотамі ў Брытаніі. З'яўляючыся прыхільнікам артадаксальных паглядаў, Канстант падтрымваў у арыянскай царкоўнай спрэчцы бок Афанасія Вялікага і змагаўся супраць паганцаў, іўдзеяў і у Афрыцы. Аднак у выніку змовы пад кіраўніцтвам военачальніка Магна Магненцыя імператар быў зрынуты 18 студзеня 350 года. Пасля гэтага Канстант пусціўся ва ўцёкі, але быў дагнаны і забіты непадалёк ад Пірэнеяў.
Канстант насіў «Сармацкі Найвялікшы» з 338 года.
Жыццё да прыходу да ўлады
У антычных крыніцах жыццё і кіраванне Канстанта апісваюцца вельмі коратка, і таму мы маем пра іх бедную інфармацыю. Пры рэканструкцыі яго біяграфіі выкарыстоўваюцца розныя працы IV стагоддзя і пазнейшыя працы. Дакладная дата нараджэння будучага імператара Флавія Юлія Канстанта невядомая. Выходзячы з паведамленняў рымскага гісторыка і візантыйскага Іаана Занары, паводле якіх на момант смерці Канстанту было трыццаць гадоў, можна зрабіць выснову, што ён нарадзіўся прыблізна каля 320 года. Аднак Псеўда-Аўрэлій Віктар піша, што імператар сканаў ва ўзросце дваццаці сямі гадоў. Такім чынам, з гэтай крыніцы атрымваецца, што Канстант нарадзіўся ў 323 годзе. Нямецкі гісторык Ота Зеек больш схіляецца да другой даты, бо ўзрост, што паведамляецца Еўтропіем і Іаанам Занарам, здаецца яму ўсяго толькі акругленнем дадзеных Псеўда-Аўрэлія Віктара.
Бацькам Канстанта быў рымскі імператар Канстанцін I Вялікі, а маці — Флавія Максіма Фаўста. Ён быў трэцім і самым малодшым сынам, які нарадзіўся ў гэтым шлюбе. Зневажальныя аповеды, якія перадаваліся, пра тое, што нібы яго маці была наложніца Канстанціна , па ўсёй бачнасці, з'яўляюцца блытанінай з падобнымі паведамленнямі пра іншых сыноў імператара Крыспа і Канстанціна II. Па матчынай лініі Канстант з'яўляўся ўнукам аднаго з заснавальнікаў Максіміяна Геркулія, а па бацькаўскай — яго малодшага суправіцеля Канстанцыя I Хлора. Канстант выхоўваўся як хрысціянін. Ён атрымаў адукацыю пры двары свайго бацькі ў Канстанцінопалі пад кіраўніцтвам знакамітых прамоўцаў свайго часу, у тым ліку і паэта Эмілія Магна Арборыя, які выкладаў яму лаціну.
25 снежня 333 года Канстант быў абвешчаны цэзарам сваім бацькам, па ўсёй бачнасці, у Канстанцінопалі. Як апавядае, у наступную пасля гэтай падзеі ноч «усё неба бесперапынна палала агнямі» (магчыма, гэта было паўночнае ззянне), што было вытлумачана як благое прадвесце для будучага кіравання Канстанта. Потым юны цэзар некаторы час жыў пры двары Канстанціна I, але прыблізна летам 335 года быў адпраўлены ў Італію, якая была аддадзена пад яго кіраванне. Пазней, магчыма, у 336 годзе, але ва ўсякім разе незадоўга да смерці свайго бацькі, Канстант быў заручаны з Алімпіядай, дачкой прэфекта прэторыя, што было зроблена, як здаецца, з-за палітычных меркаванняў. Аднак шлюб так і не адбыўся, і пасля гібелі Канстанта Алімпіяда выйшла замуж за цара Вялікай Арменіі.
Выгляд і асабістыя якасці
Антычныя аўтары досыць адмоўна характарызуюць Канстанта. Так, Аўрэлій Віктар піша наступнае:
«па маладосці гадоў [Канстант] ''быў вельмі неасцярожны і неўтаймаванага нораву, да таго ж паддаваўся ўплыву благіх сваіх слуг, быў, апроч таго, вельмі прагны і грэбаваў вайсковымі сіламі […]. Ён за грошы браў сабе ў закладнікі прыгожых хлопчыкаў і заляцаўся за імі, бо ўсталявана, што ён меў такі заган»''.
Тым не менш, пра праўдзівасць дадзенай характарыстыкі мы судзіць не можам. Псеўда-Аўрэлій Віктар паказвае на тое, што ў імператара было слабое здароўе, а Еўтропій піша, што Канстант не быў абдзелены палкаводніцкім талентам. Партрэты Канстанта малююць маладога чалавека, выгляд якога мае некаторыя падабенствы са статуямі Атона. Ад бацькі ён успадкаваў схільнасць да рыторыкі. Хрысціянскага сафіста імператар выклікаў да свайго двара ў Галіі, зрабіў яго сваім сатрапезнікам і запрашаў за адзін стол з тымі, каго той найболей паважаў, а потым адпусціў з дарункамі і прысвоіў яму тытул ганаровага.
Змаганне з Канстанцінам II
Пры новым падзеле Канстант атрымаў не толькі дыяцэзы Македонія, Дакія і Панонія, якія да таго належалі пляменніку Канстанціна I Далмацыю Малодшаму, да таго часу ўжо забітаму, але і разам з Канстанцінопалем, які Канстанцый II па невядомай нам прычыне саступіў малодшаму брату. Аднак, калі стасункі паміж Канстантам I і Канстанцінам II імкліва пагоршыліся, бо першы аспрэчваў права другога мець званне старэйшага аўгуста, Канстант у 339 годзе аддаў Канстанцыю II Канстанцінопаль і частку Фракіі, вылічваючы, што дзякуючы гэтаму падарунку той падтрымае яго ў спрэчцы. У прынцыпе, уладанні Канстанта з'яўляліся буферам паміж уладаннямі Канстанціна II і Канстанцыя II. Таксама Канстанцін II атрымаў апеку над сваім непаўналетнім суправіцелем. Ён прымаў законы, абавязковыя для ўладанняў абодвух братоў, і прызначаў намеснікаў у правінцыі Канстанта. Аднак ён быў незадаволены, што не атрымаў такую тэрыторыю, якая адпавядала яго статусу старэйшага аўгуста. Магчыма, Канстанцыю II таксама не падабалася тое, што фактычна ў руках яго старэйшага брата засяродзілася ўлада над трыма чвэрцямі тэрыторыі Рымскай імперыі. Тымчасам увосень 338 года Канстант здабыў перамогу ў прыдунайскіх правінцыях над сарматамі і прысвоіў сабе пераможны тытул «Сармацкі Найвялікшы». Гэты поспех узмацніў яго ўпэўненасць у сабе, і ён запатрабаваў поўнай незалежнасці і пачаў самастойна прымаць заканадаўства для сваёй тэрыторыі, на што яго падбухторваў трыбун Амфілохій. Пасля сармацкай вайны 6 красавіка 339 года Канстант пабываў у панонскім горадзе Саварыя.
Раздражнёны тым, што Канстант атрымаў Ілірыю і Фракію пасля смерці Далмацыя, Канстанцін запатрабаваў, каб ён аддаў яму афрыканскія правінцыі ў якасці кампенсацыі набытага ім багатага рэгіёна. Таксама ён патрабаваў саступіць і Італію, але Канстант адмовіўся. Апроч таго, ён заручыўся падтрымкай Канстанцыя II, перадаўшы яму некаторыя тэрыторыі (пра што гаварылася вышэй), і разам з ім займаў пасаду консула ў 339 годзе. У выніку ў 340 годзе Канстанцін II уварваўся ў Італію. На чале з бязладным натоўпам, больш прыдатным для рабавання, а не для заваявання, ён раптам уварваўся ва ўладанні Канстанта. Канстант, які знаходзіўся ў той час у дакійскім горадзе Наіс, дзе ўціхамірваў хваляванні мясцовых плямён, скіраваў супраць яго перадавы корпус ілірыйскіх войскаў, а сам выступіў праз некаторы час услед. Аднак яго падначаленыя ўладкавалі каля Аквілеі засаду і знішчылі атрад Канстанціна II і самога гасудара. Яго цела было скінута ў раку Альса. Калі Канстант з асноўнай арміяй прыбыў 9 красавіка 340 года ў Аквілею, ён выявіў, што вайна ўжо скончана. У выніку ён далучыў да сваіх уладанняў валоданні брата — Іспанію, і Брытанію. З гэтага часу ўлада над Рымскай дзяржавай прыналежала толькі яму і Канстанцыю II. Апроч гэтага, Канстант прыняў тытул «Maximus Victor ac Triumphator» (Найвялікі Пераможац і Трыумфатар).
Супольнае кіраванне з Канстанцыем II
Хваляванні ў Рымскай імперыі, найхутчэй, сталі прычынай уварвання франкаў у 341 годзе. У той час Канстант знаходзіўся на дунайскай мяжы (24 чэрвеня ён пабываў у Лаўрыакуме, дзе, па ўсёй бачнасці, ізноў уціхамірваў прымежныя плямёны). Пасля гэтага ён спешна адпраўляецца ў Галію, дзе правёў паспяховую кампанію супраць франкаў, якія нападалі ў 341 і 342 гадах. 25 студзеня 343 года імператар прыбывае ў Банонію, адкуль перапраўляецца ў Брытанію, дзе паддае рэформе сістэму абароны ўзбярэжжа і прызначае адказнага за гэта военачальніка. Мусібыць, Канстант вёў баявыя дзеянні супраць піктаў і скотаў. Пры ім быў адрамантаваны вал Адрыяна. Ён таксама стварыў новае адмысловае падраздзяленне, якое павінна займацца разведкай і рэгулярна рабіць данясенні мясцовым камандзірам. Канстант стаў апошнім законным рымскім імператарам, які наведаў Брытанію. Вядома, што ў яго кіраванне былі створаны тры легіёны:, ,. Таксама былі адрэстаўраваны лазні Агрыпы ў Рыме.
Наколькі браты былі адзіныя пры рашэнні палітычных пытанняў, гэтак вялікія былі паміж імі рэлігійныя нязгоды, злучаныя з хрысціянскімі навукамі. Тэма рэлігіі заставалася дамінантнай ва ўнутранай палітыцы. Хоць абодва імператары былі хрысціянамі, Канстанцый, як і многія яго суайчыннікі на Усходзе, быў прыхільнікам арыянства. Канстант, аднак, з'яўляўся прыхільнікам артадаксальнага хрысціянства, заснаванага на знаку веры, прынятым Нікейскім саборам. Ён таксама быў адзіным з братоў, які прыняў хрышчэнне ў 337 годзе.
Па патрабаванні Канстанта для замірэння паміж праваслаўнымі (на захадзе) і моцнай арыянскай партыяй (на ўсходзе) у 342 годзе быў скліканы, дзе імператар прыняў бок ворага арыян Афанасія Вялікага. Канстант шчодра фінансаваў заходняе духавенства, з якім меў асаблівыя адносіны. Дзякуючы імператарскай падтрымцы царква змагла змагацца з сектай данатыстаў у афрыканскіх правінцыях. Асабліва вялікую шкоду прычынялі рэгіёну — радыкальныя групоўкі, якія бароліся з сацыяльнай няроўнасцю шляхам забойства і рабавання багатых людзей.
Пастаянныя канфлікты з персамі паслабілі пазіцыі Канстанцыя II, і ў 345/346 годзе Канстант адкрыта пагражаў яму пачаць вайну, калі ён не будзе згодзен з вяртаннем Афанасія на пасаду біскупа Александрыі. Тот напісаў яму замірэнчы ліст, у якім казаў, што выканае яго жаданне. У знак замірэння браты сталі консуламі ў 346 годзе. Пры Канстанце заахвочваліся пераследы іўдзеяў і паганцаў. Супраць апошніх у 341 годзе імператар разам з Канстанцыем II выдаў закон пра забарону паганскіх ахвяраванняў.
Смерць
Хоць першая частка кіраванні Канстанта была досыць паспяховай, паступова ён пачаў губляць свой аўтарытэт. Імператар, відаць, імкнуўся атрымаць гэтулькі грошай, колькі ён мог выціснуць са сваіх падданых, а таксама займаўся продажам урадавых пастоў тым, што прапанаваў найвышэйшую цану. Таму яго вінавацілі ў прагнасці. Апроч таго, антычныя крыніцы перадаюць аповеды, што Канстант адкрыта выказваў пагарду салдатам. Імператара таксама асуджалі за гомасексуальныя схільнасці. Магчыма, на яго дзеянні ўплывала тое, што ён пакутаваў ад падагры.