Oanzlwissnschoft
Mathematik
" De beliabte Frog, ob Mathematik a Natua- oda Geisteswissnschoft war, geht vo ana unvoiständign Eiteilung aus. Sie is a Struktuawissnschoft." - CARL FRIEDRICH VON WEIZSÄCKER: De Eiheit vo da Natua Dea struktuawissnschoftliche Begriff vo da Struktua entstammt dem Bemiahn um de Wend zum 20. Joahrhundat, a gmoasame Grundlog fia de gsamte Mathematik zum findn. Moßgebliche Schritt warn dofia de Entwicklung vo da naivn Mengenleah, da foamaln Logik, des Hilbertprogramm, de Gruppntheorie vo da Algebra und de Oabatn vo da Gruppn Nicolas Bourbaki. De foamale Prädikatnlogik baut aaf dea vo Georg Cantor foamalisiertn Mengaleah (naive Mengaleah) aaf. George Booles An Investigation of the Laws of Thought hot scho de Vaknüpfungsstruktuan vom logischn Denga mit da Zoihnalgebra und eahnane Rechnoatn vaglicha. Gottlob Frege hot mit dea "Begriffsschrift" des easte rein foamale axiomatische Logiksystem voaglegt, mit dem ea in de Grundgsetz vo da Arithmetik vasuacht hot, de Mathematik aaf rein logische Axiome zum grindn, indem ea vasuacht hot, den Begriff vo da Anzoi aaf dea Basis vo Begriffsumfäng und Obbuidungsrelationa zum definiern. Freges System hot jedo de Healeitung vo da russellschn Antinomie zualassn. Dem Problem is zum oana mit da Typntheorie begegnat, zum andan duach Agänzunga in da Axiomatik vo da Mengaleah. Ausgehand vo David Hilbert und Wilhelm Ackermann is umkeaht a Algebraisierung vo da Logik betriem worn. Fia de Position vom Foamalismus hot etwa jede Meng, de foamoi de Peano-Axiome gniagt hot (a Modell vo de Asiome doastöjt), de natialichn Zoin entsprocha. De Modelltheorie bschäftigt se im Bsondan mit söjche Struktuan, de axiomatisierboan Sprochn oda Theoriean entsprechan. A Modell is dobei a mit gwissn Struktuan vasengne Meng, aaf de de Axiome vo dem System zuatreffan. Foamoi san Modelle Struktuan iba ana Elementarn Sproch, in dea de Axioma foamuliert san. In da Beweistheorie buidt des struktuarelle Beweisvafoahn a wichtige Kalkül-Basis ois Beweistheorie. Beweise wern iblichaweis ois induktiv definierte Datnstruktuan dogstöjt, wia Listn oda Baam. Iba de Berechnboakeitstheorie (schau aa Berechnboakeit) buidt de foamoie Logik oan vo de historischn Ausgangspunkt vo da theoretischn Infoamatik. Mithuif vo dem abstraktn Gruppnbegriff hot se de abstrakte algebraische Struktua duach oane oda mehrere Grundmengan (vo Objekt, Elemente oda Symbole) definiern lassn und de Operationan, Relationan und Funktionan aaf de Grundmengan definiern lassn. "So is es des unbestrittne Vadeanst vo Emmy Noether, [Emil] Artin und de Algebraikern vo eahnana Schui, wia Hasse, Krull, Schreier, van dea Waerden, in de 1920a Joahr de Aafassunga vo ana modeana Algebra ois Theorie algebraischa Struktuan voi duachgsetzt ham." De Struktuan warn vo da Entscheidung vo dea Grundlongdebattn zwischn Platonikan, Foamalistn und Intuitionistn letztle unobhänge. Bereits in Freges System keannan de Prädikate söjbst zum Gengstond vo da Prädikation duach Prädikate heahara Stufn wern (und so weida). Aaf dera Basis keannan bereits große Bereich vo da Mathematik in da mathematischn Logik ausdruckt wern. De Relationszeichn, Funktionszeichn oda Konstantn buidn dobei dann den Typ vo da Sproch, äquivalent zum Typ vo ana algebraischn Struktua. So buidt se währand da Grundlegungsdebattn in da Mathematik und Logik um 1940 a "struktuarella Standpunkt" raus, dea Mathematik in Bezug zua Mathematikdidaktik zu ana Struktuawissnschoft aklärt, und ob 1955 didaktisch in Deitschland wirksam gworn is. De Gruppn vo Nicolas Bourbaki hot schließle in am 1950 vaeaffantlichtn Artikl Struktuan zum geeignatn Mittl aklät, um de gsamte Eiheit vo da Mathematik zum sichan.