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0,9 periódicu
Cortadures de Dedekind
Esta definición de los númberos reales como cortadures de Dedekind foi publicada per primer vegada por Richard Dedekind en 1872. El métodu descritu enantes p'asignar un númberu real a cada espansión decimal ye por cuenta de una publicación de calter esplicativu intitulada: "Is 0.999 ... = 1?" de Fred Richman en Mathematics Magazine, dirixida a enseñantes de matemática de nivel entemediu y los sos estudiantes. Richman nota qu'al tomar les cortadures de Dedekind en cualesquier subconxuntu trupu de los númberos racionales llógrase la mesma resultancia; en particular, utiliza fracciones decimales, pa les cualos la demostración ye más inmediata. Tamién nota que, típicamente, les definiciones dexen que { x : x < 1 } seya una cortadura pero non { x : x ≤ 1 } (o viceversa).
"¿Para qué faer esto? Precisamente pa esaniciar la posibilidá de qu'esistan númberos distintos 0,9* y 1. [...] Entós vemos que na definición tradicional de los númberos reales, la ecuación 0,9* = 1 ta incorporada dende l'empiezu." Un cambéu suplementariu del procesu lleva a una estructura distinta onde nun son iguales. Anque consistente, munches de les operaciones aritmétiques avezaes fallen, por casu la fracción 1/3 nun tien representación; vease sistemes de numberación alternativos más embaxo.
Socesiones de Cauchy
Otru métodu de construcción de los númberos reales utiliza l'ordenamientu de los racionales de manera menos direuta. Defínese primero la distancia ente x y y como'l valor absolutu |x − y|, onde'l valor absolutu |z| defínese como'l máximu ente z y −z, polo que nunca ye negativu. Defínese entós a los númberos reales como la socesión de racionales que cumplen la propiedá de les socesiones de Cauchy con esta distancia, esto ye: na socesión (x0, x1, x2, ...), una aplicación de los númberos naturales nos racionales, pa tou racional positivu δ esiste N tal que |xm − xn| ≤ δ pa tou m, n > N (la distancia ente los términos vuélvese menor que cualquier númberu racional positivu).
Cuerpu humanu
Estudiu del cuerpu humanu
miniaturadeimagen|Modelu con fines didácticos nel muséu de San Martín, [[Santiago de Compostela, España.]]
Variaciones anatómiques
N'anatomía humana, el términu variación anatómica referir a una estructura anatómica non patolóxica que ye distinta del diseñu normal. Les posibles variaciones anatómiques en cada órganu y el so suministru arterial y venoso tienen de ser conocíos polos médicu, tales como los ciruxanos o radiólogos, col fin d'identificalos. A diferencia de les anomalíes conxénites, les variaciones anatómiques son típicamente intrescendente y nun constitúin un trestornu. Por casu, los músculos accesorios son doblaos anatómicos raros de los músculu que puede asoceder y solo riquen de tratamientu onde s'alteria la función. El músculu sóleo accesoriu nel todíu ye una de tales variaciones y unu que nun precisa ser rectificáu. Otra variación más común que s'atopa n'alredor del diez per cientu de la población ye'l bazu accesoriu.
0,9 periódicu
Socesiones de Cauchy
Si (xn) y (yn) son dos socesiones de Cauchy, entós defínense como númberos reales iguales si la socesión (xn − yn) tien por llende 0. Truncamientos del númberu decimal b0,b1b2b3... xeneren una socesión de racionales que ye de Cauchy; d'esta manera define'l valor real del númberu. Depués, según esti formalismu, la xera ye amosar que la socesión de númberos racionales
tien por llende 0. Considerando'l n-ésimo términu de la socesión, pa n=0,1,2,..., tien d'amosase entós que
Esta llende calcúlase fácilmente; una demostración posible ye la siguiente: pa ε = a/b > 0 puede tomase N = b na definición de llende d'una socesión. Asina, nuevamente 0,999... = 1.
Xeneralizaciones
La resultancia 0,999... = 1 xeneralízase rápido de dos formes. De primeres, tou númberu non nulu con una notación decimal finita (equivalentemente, con una socesión infinita de ceros) tien una contraparte con infinitos nueves, por casu: 0,24999... ye igual a 0,25 esautamente como nel casu especial consideráu. Estos númberos son esautamente les fracciones decimales, y son trupes.
De segundes, un teorema comparable puede aplicase en cada radix o base, por casu: en base 2 (sistema binariu), 0,111... ye igual a 1, y en base 3 (sistema ternariu), 0,222... ye igual a 1. Los llibros de testu d'analís real suelen resalvar l'exemplu 0,999... y presenten dalguna d'estos dos xeneralizaciones dende l'empiezu.
Representaciones alternatives del 1 tamién se dan en bases non enteres, por casu, na base áurea, los dos representaciones estándar son 1,000... y 0,101010..., y esisten infinites representaciones más qu'inclúin 1s axacentes. Polo xeneral, pa cuasi tou q ente 1 y 2, esisten incontables espansiones en q-base del 1. Per otru llau, hai incontables q (incluyendo tolos númberos naturales mayores que 1) pa los cualos namái hai una espansión en q-base del 1, amás del 1,000.... trivial. Esta resultancia foi llográu per vegada primera por Paul Erdős, Miklos Horváth y István Joó alredor de 1990. En 1998, Vilmos Komornik y Paola Loreti determinaron la menor base d'esti tipu, la constante de Komornik–Loreti q = 1,787231650.... Nesta base, 1 = 0,11010011001011010010110011010011...; los díxitos vienen daos pola socesión de Thue-Morse, que nun se repite.
Una xeneralización de mayor algame fai referencia a los sistemes de numberación posicional más xenerales. Estos sistemes tamién tienen múltiples representaciones, y, per un sitiu, revisten mayor entueyu, por casu:
Imposibilidá de la representación única
El fechu de que toos estos sistemes de numberación estremaos aprovan múltiples representaciones pa dellos númberos reales, puede atribuyise a una diferencia fundamental ente los númberos reales, en cuantes que conxuntu ordenáu, y una coleición de cadenes infinites de símbolos ordenaos lexicográficamente. Ello ye que les siguientes dos propiedaes dan cuenta d'esta dificultá:
El primer puntu deduzse de propiedaes básiques de los númberos reales: L tien un supremu, R tien un ínfimu, y vese darréu que son iguales; un númberu real va tar en R o en L pero non en dambos, pos son conxuntos dixuntos. El segundu puntu xeneraliza'l par 0,999.../1,000... llográu por p1 = "0", p2 = "1". Ello ye que nun ye necesariu utilizar el mesmu alfabetu pa toles posiciones (de cuenta que por casu los sistemes de raigañu mistu pueden incluyise) o considerar la coleición completa de cadenes posibles; los únicos puntos importantes son que, en cada posición, un conxuntu finito de símbolos (que pueden depender inclusive de los símbolos previos) pueda ser escoyíu (esto ye necesariu p'asegurar eleiciones máximes y mínimes), y qu'al faer una eleición válida pa cualquier posición, el resultáu tien de ser una cadena infinita válida (de cuenta que nun se dexa «9» en cada posición si prohiben socesión infinites de «9»s). So estes premises, l'argumentu anterior amuesa qu'una aplicación que caltién l'orde de la coleición de cadenes a un intervalu de númberos reales, nun puede ser una biyección: o bien dellos númberos nun correspuenden a nenguna cadena, o bien dalgunos d'ellos correspuenden a más d'una cadena.
Marko Petkovšek demostró que pa tou sistema posicional que nome a tolos númberos reales, el conxuntu de reales que va tener representación múltiple ye siempres trupu. Llapada a esta demostración: «un exerciciu instructivu en topología punto-conxuntu»; arreya conxuntos de valores posicionales vistos como espacios de Stone y el fechu de que la so representación real vien dada por funciones continues.
Aplicaciones
Una aplicación de 0,999... como representación de 1 dar en teoría de númberos elemental. En 1802, H. Goodwin publicó una observación sobre l'apaición de 9s nes representaciones decimales periódiques de fracciones que'l so denominador son ciertos númberos primos. Por casu
Y. Midy probó un resultáu xeneral sobre estes fracciones, güei llamáu'l teorema de Midy, en 1836. La prueba ye escura, y nun ta claro si la so demostración arreya direutamente 0,999..., pero hai siquier una prueba moderna, realizada por W. G. Leavitt, que sí lo fai; si puede demostrase qu'un númberu decimal de la forma 0.b1b2b3... ye un enteru positivu, entós tien que ser 0,999..., que ye la fonte de los 9s nel teorema. Les investigaciones nesta direición pueden motivar el desarrollu de conceutos tales como máximu común divisor, aritmética modular, númberos de Fermat, orde d'elementos d'un grupu y la llei de reciprocidá cuadrática. right|thumb|Posiciones de 1/4, 2/3, y 1 nel [[conxuntu de Cantor]] N'analís real, el casu análogu en base-3: 0,222... = 1, xuega un papel esencial na carauterización d'unu de los fractales más simples: el conxuntu de Cantor:
El n-ésimu díxitu de la representación reflexa la posición del puntu na n-ésima etapa de la construcción. Por casu, el puntu 2⁄3 da cola representación avezada de 0,2 o 0,2000..., yá que ta a la derecha de la primer etapa y a la izquierda de toa etapa de construcción posterior. El puntu 1⁄3 represéntase non como 0,1 sinón como 0,0222..., pos ta a la izquierda de la primer etapa y a la derecha de toa etapa de construcción posterior.
Los nueves repitíos apaecen tamién n'otru trabayu de George Cantor: tienen de tomase en cuenta pa construyir una prueba válida, al aplicar el so prueba diagonal de 1891 a les espansiones decimales ed la non denombrabilidá del intervalu unidá. Esta demostración precisa poder declarar la diferencia ente ciertos pares de númberos reales basada nes sos espansiones decimales, polo que se deben evitar pareyes como 0,2 y 0,1999... Un métodu simple representa tolos númberos con espansión non finita; el métodu opuestu esclúi nueves repetitivos. Una variante quiciabes más cercana al argumentu orixinal de Cantor utiliza de fechu base-2: tresformando les espansiones en base-3 n'espansiones en base-2, puede demostrase igualmente la non denombrabilidá del conxuntu de Cantor.
Escepticismu na enseñanza
Los estudiantes en matemática suelen refugar la igualdá de 0,999... y 1, por razones que van dende la so apariencia desemeyada, hasta fondos equívocos sobre'l conceutu de llende d'una socesión y la naturaleza de los infinitesimales. Hai dellos factores que contribúin al tracamundiu:
Estes idees suelen malinterpretarse nel contestu tradicional de los númberos reales, anque dalgunes d'elles pueden ser válides n'otros sistemes de numberación, yá seya inventaos pola so utilidá matemática polo xeneral, o como contraexemplos instructivos pa una meyor comprensión de 0,999...
Munches d'estes esplicaciones fueron propuestes pol profesor David O. Tall, quien estudió les carauterístiques de la enseñanza y la cognición que lleven a dellos de los tracamundios qu'atopó ente los sos estudiantes del colexu. Entrugando a los sos estudiantes pa determinar por qué la vasta mayoría refuga primeramente la igualdá, atopó que «los estudiantes siguen concibiendo'l 0,999... como una socesión de númberos que s'averen más y más a 1 y non como un valor fixu, porque 'nun s'especificó cuántos llugares hai' o 'ye'l decimal más cercanu posible debaxo del 1'».
De les pruebes elementales, multiplicar 0,333... = 1⁄3 por 3 ye aparentemente una estratexa convincente pa persuadir a los estudiantes reticentes de que 0,999... = 1. Aun así, confrontados col conflictu ente la so creencia na primer ecuación y la negación alrodiu de la segunda, dellos estudiantes empiecen a descreer de la primera, o bien, terminen atayaos. Tampoco tán a salvo métodos más sofisticaos: estudiantes que son absolutamente capaces d'aplicar definiciones rigoroses, pueden entá sentir la necesidá de recurrir a imáxenes intuitives cuando son sosprendíos por resultaos matemáticos avanzaos, incluyendo 0,999... Por casu, n'analís real, una estudiante foi capaz de probar que 0,333... = 1⁄3 utilizando la definición del supremu, pa depués aportunar en que 0,999... < 1 basada na so conocencia previa de división euclídea. Dalgunos más, son capaces de probar que 1⁄3 = 0,333..., pero, confrontaos cola prueba por fracciones, aportunen en que la lóxica» prevalez sobre los cálculos matemáticos.
Joseph Mazur cunta la hestoria d'un brillante estudiante de cálculu que «cuestionaba cuasi tolo que yo dicía en clase pero nunca cuestionaba la so calculadora,» y que creía que nueve dígitos yera tolo que se precisaba pa facer matemátiques, incluyendo'l cálculu del raigañu cuadráu de 23; esti estudiante quedó inconforme col argumentu de que 9,99... = 10, llamándolo un «feroz procesu imaxinativu de crecedera infinita»."
Como parte de la teoría APOS d'Ed Dubinsky del aprendizaxe matemáticu, Dubinsky y los sos collaboradores (2005) proponen qu'aquellos estudiantes que conciben el 0,999... como una cola finita indeterminada, a una distancia infinitamente pequeña del 1, «nun construyeron entá un procesu de concepción completu del decimal infinitu». Otros estudiantes que completaron la concepción del procesu de 0,999... quiciabes nun fueron entá capaces de «encapsular» esi procesu dientro d'una concepción del oxetu», como la concepción que tienen del oxetu 1, y por esto ven el procesu 0,999... y del oxetu 1 como incompatibles. Dubinsky et al. tamién rellacionen esta habilidá mental d'encapsulación con ver 1⁄3 como un númberu con derechu propiu y con tratar al conxuntu de númberos naturales como un tou.
Na cultura popular
Cola puxanza d'Internet, los alderiques alrodiu del 0,999... trespasaron los salones de clases y son llugar común en Grupu de noticies y foros, incluyendo dellos que de fechu tienen pocu que ver coles matemátiques. Nel grupu de noticies <tt>sci.math</tt>, argumentar sobre 0,999... ye un deporte popular», y ye una de les entrugues que se respuenden nes sos FAQ (entrugues frecuentes). Les FAQ tomen de volao el casu 1⁄3, multiplicación por 10, llendes y tamién alude a les socesiones de Cauchy.
La edición del 2003 de la columna «interés xeneral» del diariu The Straight Dope alderica sobre'l 0,999... vía 1⁄3 y llendes, y fala de los tracamundios surdíos na tema:
La crónica The Straight Dope cita un discutiniu nel so propiu foru, traíu de «otru foru anónimu que trata principalmente de... xuegos de videu». Na mesma vena, la cuestión del 0,999... tuvo tanto ésitu mientres los primeros siete años del foru Battle.net de la sociedá Blizzard Entertainment, que la compañía emitió un comunicáu'l 1° d'abril de 2004 (día del pexe d'abril), afirmando que, definitivamente, ye 1:
0,999... ye tamién parte del folclor matemáticu:
En sistemes de numberación alternativos
Magar los númberos reales formen un sistema de numberación desaxeradamente útil, la decisión d'interpretar que la notación «0,999...» denota un númberu real ye, n'última instancia, una convención; Timothy Gowers acota, en Mathematics: A Very Short Introduction'', que la identidá resultante 0,999... = 1 ye igualmente una convención:
Xeografía de Francia
La República Francesa (nome llocal, République française) ye un estáu d'Europa occidental, formada per una parte metropolitana y una serie de departamentos d'ultramar. La Francia metropolitana parte con cuatro mares: El mar del Norte, la canal de la Mancha, L'océanu Atlánticu y el mar Mediterraneu, qu'amás arrodia la islla de Córcega.
0,9 periódicu
Infinitesimales
Dalgunes de les demostraciones de que 0,999... = 1 se basa na propiedá arquimediana de los númberos reales: nun hai infinitesimales non nulos. Específicamente, la diferencia 1 − 0,999... tien de ser menor que cualquier númberu racional positivu, polo que tien de ser un infinitesimal; yá que los númberos reales nun contienen infinitesimales non nulos, síguese que la diferencia tien de ser cero, y poro, los dos valores son el mesmu.
Pueden construyise estructures alxebraiques ordenaes, matemáticamente coherentes, incluyendo delles alternatives a los númberos reales, que son non arquimedianes. Por casu, los númberos duales inclúin un nuevu elementu infinitesimal ε, análogu a la unidá imaxinaria i de los númberos complexos, sacante pol fechu que ε2 = 0. La estructura que resulta ye d'utilidá en diferenciación automática. Los númberos duales pueden dotase d'un orde lexicográficu, y nesi casu los múltiplos de conviértense n'elementos non arquimedianos. Hai que notar que, sicasí, en cuantes qu'estensión de los númberos reales, los númberos duales entá traen 0,999... = 1. Hai que notar amás que, magar ε esiste nos númberos duales, tamién ε/2, polo que ε nun ye «el menor númberu dual positivu», y, ello ye que como nos reales, nun existe tal elementu.
Xeografía de Francia
Relieve
El relieve de la Francia metropolitana carauterizar pola «S francesa», que parte del sur de los Vosgos, baxa pol valle del Ródano y diríxese escontra l'oeste pel sur del Macizu Central y el norte de los Pirineos.
Los montes qu'algamen mayor altitú son los Alpes y les Pirineos. Más nidiu ye l'altor nel Macizu Central, visos antiguos y arrondaos. Na frontera con Alemaña tán Los Vosgos y Les Ardenas. Al norte de los Alpes atopa'l Jura, cubierta de camperes y con un altor que nun supera los 800 m s. n. m.
Al noroeste d'esta llinia atopa la zona herciniana que data de la yera primaria y secundaria, al sureste atopa la zona alpina que data de la era Terciaria y Cuaternaria. Esta llinia ye tamién una frontera altimétrica: la zona herciniana amuesa les fasteres arrondaes ente que la zona alpina ye más abrupta; y ye una llinia divisoria d'agües: al oeste, los ríos flúin escontra'l Atlánticu, al este, flúin escontra'l Mediterraneu. L'oeste tien una influencia oceánica, ente que al este esperimenta una influencia mediterránea que se atenúa llegando al Jura.
0,9 periódicu
Infinitesimales
indexaos polos númberos hipernaturales. Anque nun alderica direutamente 0,999..., amuesa que'l númberu real 1/3 representáu por 0,333...;...333... de resultes del principiu de tresferencia. En particular, «0,333...;...000...» y «0,999...;...000...» nun correspuenden a nengún númberu.
Xeografía de Francia
Relieve
Los puntos estremos d'elevación son el delta del ríu Ródano, les Boques del Ródano, que ta 2 metros sol nivel del mar; el puntu más altu ye'l Mont Blanc, con 4810 m s. n. m. Pa comprobar los posibles efeutos del cambéu climáticu sobre la capa de xelu y nieve del Mont Blanc, la so superficie y cume fueron midíos estensa y dacuando n'años recién; estes nueves midíes del picu superaron l'altor de 4807 m y variaron ente 4808 m y 4811 m; el cume auténticu, de roca, ye de 4792 m y queda a 40 m del cume cubiertu de xelu.
Grandes ríos
thumb|250px| Ríos de Francia.
0,9 periódicu
Infinitesimales
Coles mesmes, el númberu hiperrreal col últimu díxitu 9 a un rangu infinitu hipernatural H, satisfai la desigualdá estricta. Subsecuentemente, Karin Katz y Mikhail Katz proponen una evaluación alternativa de «0,999...»:
Toes estes interpretaciones asitien «0,999...» infinitamente cerca del 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma «absolutamente razonable» de xustificar rigorosamente la intuición de que «falta daqué bien pequeñu» ente 0,999... y 1.... Xunto con Katz & Katz, Robert Ely tamién cuestiona'l camientu de que les idees de los estudiantes sobre'l fechu de que provengan d'intuiciones errónees alrodiu de los númberos reales, ya interpretaes como intuiciones «non estándar» que pueden apreciase dientro del aprendizaxe del cálculu.
Xeografía de Francia
Grandes ríos
El Garona naz n'España, pero entra en Francia a los pocos quilómetros
0,9 periódicu
Hackenbush
La teoría de xuegos combinatorios apurre númberos alternativos a los reales; un exemplu bultable ye'l Hackenbush azul-negro infinitu. En 1974, Elwyn Berlekamp describió la correspondencia ente les cadenes Hackenbush y l'espansión binaria de los númberos reales, motiváu pola idea de la compresión de datos. Nesti exemplu, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... ye 0.0101012... = 1/3, sicasí, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...2) ye infinitesimalmente menor que 1. La diferencia ente los dos ye'l númberu surreal 1/ω, onde ω ye'l primera númberu ordinal infinitu; la representación correspondiente ye LRRRR... o 0.000...2.
Xeografía de Francia
Grandes ríos
- Somme, Orne, Vilaine, Charente, Adur, Aude, Hérault, Var, que desagüen nel mar;
0,9 periódicu
Hackenbush
Esto dase de fechu na espansión binaria de munchos númberos racionales, onde'l valor de los númberos ye'l mesmu pero l'árbol de los caminos binarios correspondientes son distintos. Por casu, 0.10111...2 = 0.11000...2, son dambes iguales a 3/4, pero la primer representación correspuende al árbol del camín binariu LRLRRR... ente que la segunda correspuende al otru camín LRRLLL....
Sustracción non definida
Nos casos en que la operación de sustracción nun tea definida, entós 1 − 0,999... a cencielles nun existe, y les pruebes daes más arriba dexen de ser válides. Estructures matemátiques nes que la operación aditiva ta definida pero non la operación de sustracción inclúin, por casu, semigrupos conmutativos, monoides conmutativos y semianillos. Richman considera dos d'estos sistemes, diseñaos de manera tal que 0,999... < 1.
Xeografía de Francia
Grandes ríos
- Mosela, Saône, Yonne, Doubs, Marne, Aisne, Oise, Allier, Cher, Loiret, Indre, Viena, Mayenne, Ariège, Lot, Tarn, Dordoña, Isère, Drôme, etc, que desagüen en ríos más grandes)
Principales canales
Les canales más notables son:
0,9 periódicu
Sustracción non definida
De primeres, Richman define un númberu decimal non negativu como una espansión decimal lliteral. Define l'orde lexicográficu y la operación d'adición, notando que 0,999... < 1 a cencielles porque 0 < 1 nel llugar de les unidaes, pero pa cualesquier x non terminal, tiense 0,999... + x = 1 + x. Depués, una peculiaridá de los númberos decimales, ye que l'adición non siempres puede atayase; otra ye que nengún númberu decimal correspuende a 1⁄3. Dempués de definir la multiplicación, los númberos decimales formen un semianillo conmutativu positivu, totalmente ordenáu.
Nel procesu de definir la multiplicación, Richman tamién define otru sistema al que llama «corte D», que ye'l conxuntu de cortadures de Dedekind de les fracciones decimales. Pelo normal, esta definición lleva a los númberos reales, pero pa una fracción decimal d, Richman alteriar llixeramente dexando tantu la corte (−∞, d ) como la corte (−∞, d ], al que llama «corte principal». La resultancia ye que nun hai infinitesimales positivos nes cortadures D, pero hai «un tipu d'infinitesimal negativu» 0− que nun tener espansión decimal.
Richman conclúi que 0,999... = 1 + 0−, ente que la ecuación «0,999... + x = 1» nun tien solución.
Xeografía de Francia
Equilibriu hidrolóxicu de la Francia metropolitana
Según Aquastat, el total de precipitación añal permediu ye de 867 milímetros, pa una área de 551 500 quilómetros cuadraos, un volume de precipitación añal de 477, 99 quilómetros cúbicos, arrondáu 478 km ³ (478 millones de metros cúbicos).
Nos años más secos (cada 10 años aproximao), la precipitación añal ye de 110 km cúbicos.
D'esti volume de precipitación, la evapo-trespiración consume 301,5 km³. Quedando 176,5 quilómetros cúbicos d'agües superficiales (ríos). El coeficiente de escurrimiento, en permediu, sumando toles cuenques ye de 320 mm añales.
Hai qu'añedir tamién 2 km³ d'agua soterraño producida, lo que fai un total de 178, 5 quilómetros cúbicos d'agua producida internamente.
0,9 periódicu
Númberos p-ádicos
right|thumb|225px|Los enteros 4-ádicos (puntos negros), incluyendo la secuencia (3, 33, 333, ...) converxe a −1. El 10-ádico análogu ye ...999 = −1.
Al ser entrugaos alrodiu de 0,999..., los novatos de cutiu piensen que tien d'haber un «9 final», creen que 1 − 0,999... ye un númberu positivu que pueden escribir como «0,000...1». Tenga o nun tenga esto sentíu, l'oxetivu intuitivu ye claru: sumar 1 al postreru 9 en 0,999... acarreta tolos 9's a 0's y dexa 1 nel llugar de les unidaes. Ente otres razones, esta idea falla pos nun hai un postreru 9» en 0,999... Sicasí, esiste un sistema que contién una cola infinita de 9's incluyendo un postreru 9.
Los númberos p-ádicos ye un sistema de numberación alternativu d'interés en teoría de númberos. Como los númberos reales, los númberos p-ádicos pueden construyise a partir de los númberos racionales vía socesiones de Cauchy; la construcción utiliza una métrica distinta na cual 0 ta más cerca de p, y muncho más cerca de pn que de 1. Los númberos p-ádicos formen un campu pa p primu y un aniellu pa otru p, incluyendo'l 10. Depués, l'aritmética ye posible nos p-ádicos, y nun hai infinitesimales.
Xeografía de Francia
Equilibriu hidrolóxicu de la Francia metropolitana
Amás, una importante cantidá d'agua provién de dellos países vecinos. Son 8,7 quilómetros cúbicos más que vienen dende otros países, de los cualos 7,7 km³ vienen de Suiza (del cursu cimeru del Ródano y del Doubs) y 1 km³ d'España (cursu cimeru del Garona). Les contribuciones de Bélxica y Alemaña considérense como insignificantes. A lo último, la contribución del Rin de 33 km³ ye un casu especial. Esti ríu ye fronterizu nuna distancia bastante llarga, pero nunca entra en territoriu francés. Por ello, considérase que la metá del so fluxu na entrada (Basilea) ye parte de los recursos d'agua de Francia producida nel estranxeru, esto ye 16,5 km cúbicos.
0,9 periódicu
Númberos p-ádicos
Nos númberos 10-ádicos, los análogos de les espansiones decimales cuerren escontra la izquierda. La espansión 10-ádica ...999 tien un postreru 9, y nun tien un primera 9. Puede sumase un 1 al llugar de les unidaes, lo que dexa detrás solo 0's dempués del acarretu: 1 + ...999 = ...000 = 0, y asina ...999 = −1. Otra derivación utiliza series xeométriques. La serie infinita multiplicada por «...999» nun converxe nos númberos reales, pero converxe nos 10-ádicos, lo que dexa reutilizar la fórmula familiar:
Shogo Nakahara
Shogo Nakahara (中原 彰吾, ) ye un futbolista xaponés.
0,9 periódicu
Númberos p-ádicos
Una tercer derivación foi inventada por una estudiante desconfiable del argumentu del so profesor basáu en llendes, pa probar que 0,999... = 1; inspirar de la prueba multiplicación por 10 na direición opuesta: si x = ...999 entós 10x = ...990, depués 10x = x − 9, polo que x = −1 nuevamente.
Robert Dudley (actor)
Biografía
El so nome completu yera Robert E. Dudley, y nació en Cincinnati, Ohio. Formar nel Lake Forest College y en Chicago, onde se tituló en ciruxía de la boca.
En 1917 actuó nel so primer filme, Seven Keys to Baldpate, actuando n'otros trés títulos de cine mudu en 1921. A partir de 1922 trabayó de manera constante, actuando en trés o cuatro cintes al añu y superando la transición al cine sonoru en 1929 con The Bellamy Trial. Dudley de cutiu interpretaba personaxes de xeniu vivu, xuraos, tenderos, cobradores, actuarios de tribunal, xueces de paz, según, dacuando, granxeros, vagamundos o obreros. Les sos actuaciones nesos pequeños papeles fueron de cutiu ensin acreitar.
Xeografía de Francia
Equilibriu hidrolóxicu de la Francia metropolitana
El total de fontes anovables d'agua nel país, poro, xuben a 203,7 quilómetros cúbicos (1 km³ = 1000 millones de metros cúbicos) de los cualos:
la tasa de dependencia con respectu al estranxeru ye del 12,37 %.
En permediu cada añu 13,5 km³ d'agua al añu salen del país a los países vecinos:
Robert Dudley (actor)
Biografía
Dudley fuera fundador del "Troupers Club of Hollywood", y tuvo casáu con Elaine Anderson, cola que tuvo dos fíos, Jewell y Patricia Lee. Rodó la so última película en 1951, As Young as You Feel, y finó en 1955 en San Clemente (California), dos díes depués de cumplir los 86 años d'edá. Foi soterráu nel Campusantu Melrose Abbey Memorial Park de Anaheim (California).
Xeografía de Francia
Equilibriu hidrolóxicu de la Francia metropolitana
La cantidá d'agua disponible (qu'inclúi tolos recursos creaos internamente, la mayoría d'apurrir esternos) ye de 203, 7 km³ al añu, pa una población envalorada en 61,9 millones d'habitantes (a finales de 2007), 3290 m³ por habitante y añu.
Mariñes
Tien mariña que da al océanu Atlánticu, a la canal de la Mancha, al mar del Norte y, nel sur, al mar Mediterraneu. Predominen les mariñes baxu y arenosu. Los principales accidentes xeográficos de la mariña atlántica son el golfu de Vizcaya o Gascuña, y la punta de Penmarch na península de Bretaña. Na canal de la Mancha atópase'l golfu de St. Malu, depués la península de Cotentin que'l so estremu ye'l cabu de la Hague, depués la badea del Sena y la badea del Somme. Dempués de la estrecha canal llamada pasu de Calais atópase un pequeñu tramu que va dar al mar del Norte, onde s'atopa Dunkerque. Nel mar Mediterraneu atópase'l golfu de Llión.
Clima
En cuanto al clima, anque Francia forma parte de la zona templada, tien branos que pueden ser calorosos. La influencia del Mediterraneu manifestar por iviernos nidios y curtios y por branos chornizos.
thumb|Imaxe por [[Satélite artificial|satélite de Francia n'agostu de 2002. Una Francia inusualmente llibre de nubes nesta imaxe tomada'l 14 d'agostu de 2002. Al norte, les nubes escurecen nel so mayor parte la canal de la Mancha, pero'l golfu de Vizcaya al oeste ta claro, lo mesmo que'l mar Mediterraneu al sur. La porción más septentrional d'España ye claramente visible na parte de baxo de la imaxe, y queda separada de Francia pelos Pirineos.]]
La disposición del relieve acentúa los contrastes de temperatures, una y bones los macizos montascosos torguen la influencia del océanu nes llanures del Y. Pel branu les temperatures aumenten sensiblemente de N. a S.; toles rexones del NON. esfruten d'un branu moderáu ensin calores escesivos, qu'oldea colos branos templaos del S. y rexón mediterránea (la temperatura medio de xunetu en Brest ye de 16,6º y en Marsella de 24,1º). Pel hibiernu les temperatures mengüen d'O. a Y., lo que traduz la influencia de les mases oceániques; nes rexones más continentales el fríu ye fuerte y persistente. Estrasburgu tien una temperatura medio en xineru de 1,6º y unos 69 díes de xelaes. Nes rexones orientales la esistencia d'un relieve en canales (riegu del Ródano) enría los vientos en direición NS; el mistral secu y fríu que sopla nel valle del Ródano, ye'l más importante.
Les precipitaciones tienen un calter moderáu, pero son rares les rexones onde les agües son inferiores a 500 mm. La pluviosidá ye abondosa na fachada atlántica y nes árees montascoses, y escasa nes llanures del interior, nes rexones abrigaes pol relieve y nel área mediterránea (Marsella, 555 mm). Nes rexones continentales les agües cayen principalmente pel branu y en forma de bastios; nes rexones mediterránees les precipitaciones, irregulares y violentes, prodúcense de primeres y fin del iviernu. En xunto el clima de Francia carauterizar por un tiempu inestable, resultáu de la llucha de les mases d'aire que s'estienden sobre'l país. Pel hibiernu l'aire frío, continental y secu, ye emburriáu polos vientos del Y. Compensaes poles depresiones atlántiques qu'aflúin sobre'l país y dulcifican el clima; pel branu la invasión del aire tropical ye llindada polos vientos del O.
Pueden estremase tres árees climátiques carauterístiques: la del dominiu oceánicu, la de dominiu mediterraneu y la continental.
La zona sometida a les influencies oceániques ye la más estensa y cubre la mayor parte del país, anque'l clima oceánicu puru esiste solamente en Bretaña y Normandía. Carauterizar por un tiempu inestable, una y bones los vientos modifiquen rápido l'estáu atmosféricu, y por temperatures non escesives; les gurrianes y les agües atenúan el fríu ivernizo. Agües abondoses, anque varien según la rexón; el númberu de díes pluviosos ye siempres eleváu: 2 díes sobre 5 en París (813 mm) y 3 sobre 5 en Brest (1298 mm), que tien más de 200 díes d'agua al añu. El crachin, orpín y caltriante, cai en Bretaña, principalmente na seronda ya iviernu. El monte de carbayos y hayas y los praos y landes entemecer con otres especies, como pinos y abeduriues. En Bretaña'l derrompimientu estendió'l bocage y les landas en desterciu del monte. Los branos demasiáu frescos esclúin el cultivu de la vide, pero les ceberes secundaries, los pumares, plantes forrajeras y hortolices afacer a esti clima. Na cuenca d'Aquitania los iviernos embruscaos, nidios y brumosos recuerden los iviernos bretonos (Burdeos recibe 1137 mm añales). Los bastios y bastiazos aborronen les primaveres tardíu y frescu; el branu, sicasí, más templáu y secu, enllargar con una seronda soleyera.
Na cuenca de París el clima oceánicu tópase degradáu d'O a Y. L'iviernu, muncho más acentuáu, ta marcáu por periodos de fríu, nevaes y sópites xelaes; el branu ye más templáu y caracterízase por agües buries de calter continental. La temperatura medio de xineru en París ye de 2,2º y en xunetu de 18,2º.
El dominiu mediterraneu carauterizar por clima secu y cielu lluminosu; la so área ye pocu estensa, yá que se topa llindada pol cuadru montascosu de los Alpes y de les Cevenas. La llatitú y la influyencia del Mediterraneu dan llugar a iviernos nidios y branos chornizos; en Marsella la temperatura de xineru ye de 7,1º y en Niza de 8º, y la media de xunetu de 24,1º y 20,9º, respeutivamente.
El clima continental entiende les tierres orientales del país; llanures y grandes valles abrigaos polos macizos montascosos, yá que nun se beneficien de la influencia de los vientos del O. Carauterízase poles estaciones acusaes, con iviernos crudos y más secos, y la presencia de los vientos locales acentúa estos calteres. Les precipitaciones menos abondoses ya irregulares cayen principalmente pel branu, sobremanera en Alsacia (Estrasburgu, 631 mm), y na seronda, que nel valle del Ródano.
El clima de monte vien determináu pol factor principal, que ye l'altitú. Carauterizar por iviernos llargos y crudos, branos frescos y curtios y precipitaciones abondoses (ente 1500 y 2000 mm). A les praderíes y cultivos de les baxes pendientes asocede'l monte frondoso y el de coníferes; ente los 1500 m y 2000 m apaez la pradería alpina.
Mediu ambiente
thumb|[[Llagu de Verdon, en Maine y Loira.]] Conforme a la normativa de la Xunión Europea, el territoriu d'esti país partir en cuatro rexones bioxeográfiques: mediterránea, continental, atlántica y, na parte francesa de los Alpes, alpina. Destaquen nel so patrimoniu natural tres sitios patrimoniu de la Humanidá declaraos pola Unesco: comparte con España el bien mistu "Pirineos – Monte Perdíu" (1997, 1999); bienes naturales son "golfu de Porto, cala de Piana, golfu de Girolata y reserva de Scandola" (1983) y les "Llagunes de Nueva Caledonia: diversidá de los petones y ecosistemes conexos" (2008), nel territoriu d'Ultramar. Cuenta con 10 acutes de la biosfera, ente elles la tresfronteriza, compartida con Alemaña, de Vosgues du Nord/Pfälzerwald. 3314,275 hectárees tán protexíes como güelgues d'importancia internacional al amparu del Conveniu de Ramsar, en total, 36 sitios Ramsar. Tien cinco parques nacionales: Ecrins, Mercantour, Port Cros, Pyrénées Occidentales y Vanoise.
Los riesgos naturales son, na Francia metropolitana, son les inundación, avalanchas, nubes de vientu en metá del iviernu, seques, quemes forestales nel sur cerca del Mediterraneu. Nos departamentos d'ultramar puede haber furacanes (ciclones), hinchentes y actividá volcánica en llugares como Guadalupe, la Martinica y la isla de Reunión.
Tocantes a los problemes medioambientales, hai ciertu dañu nos montes deriváu de l'agua acedo; la contaminación atmosférica a partir d'emisiones industriales y de la circulación de vehículos; la contaminación de les agües provienen de refugayes urbanes y de les granxes.
Xeografía humana
Les ciudaes principales de Francia son París, sede del gobiernu, Lyon, Marsella y Lille.
1. Alsacia
3. Auvernia
5. Borgoña
6. Bretaña
7. Centru
8. Champaña-Ardenas
9. Córcega
10. Francu Condáu
11. Alta Normandía
12. Islla de Francia
13. Languedoc-Rosellón
14. Lemosín
16. Midi-Pyrénées
17. Nord-Pas-de-Calais
18. Países del Loira
20. Poitou-Charentes
21. Provenza-Alpes-Costa Azul
22. Ródanu-Alpes
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Ver tamién los siguientes artículos:
Francia tamién ta presente n'otros continentes con dependencies que tienen estatutos alministrativos diversos, la Francia d'ultramar:
Xeografía económica
Los recursos naturales de Francia son: carbón, mineral ferroso, bauxita, cinc, uraniu, antimoniu, arsénicu, potasa, feldespatu, fluorita, yelsu, madera y pesca. Na Guyana Francesa hai depósitos d'oru, petroleu, caolín, niobio, tantaliu y magre.
En cuanto al usu de la tierra: tierra arable, 33, 46%; colleches permanentes, 2, 03%; otros, 64, 51%. Les cifres son otres na Francia d'Ultramar. El regadíu, na Francia metropolitana, ocupa 26. 000 quilómetros cuadraos (2003).
Xi Centauri
Xi Centauri (ξ Cen) puede referise a dos estrelles distintes na constelación de Centaurus:
Vorey
Vorey ye una comuña francesa del departamentu d'Altu Loira, na rexón d'Auvernia-Ródanu-Alpes. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Premios Andrés Solar
Los Premios Andrés Solar creáronse en 1985 pola Xunta pola Defensa de la Llingua Asturiana n'alcordanza del famosu escritor Andrés Solar. Los premios tienen 2 categoríes.
Llista d'asteroides/63801–63900
... | Previu | Llista d'asteroides | Siguiente | ...
Mitsuteru Kudo
Mitsuteru Kudo (工藤 光輝; ) ye un futbolista xaponés.
Mirepeisset
Mirepeisset ye una comuña francesa del departamentu d'Aude, na rexón d'Occitania. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Mireval-Lauragais
Mireval-Lauragais ye una comuña francesa del departamentu d'Aude, na rexón d'Occitania. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Cambridge
Cambridge ye una ciudá inglesa, capital del condáu de Cambridgeshire. Ta asitiada aproximadamente a 80 km al norte de Londres. Tien
Ye famosa pola so universidá, fundada en 1209, considerada una de les universidades más importantes del mundu.
Yssingeaux
Yssingeaux ye una comuña francesa del departamentu d'Altu Loira, na rexón d'Auvernia-Ródanu-Alpes. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Xi Ceti
Xi Ceti (ξ Cet) puede referise a dos estrelles distintes na constelación de Cetus, la bisarma marina:
Missègre
Missègre ye una comuña francesa del departamentu d'Aude, na rexón d'Occitania. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Príncipe de Conti
300px|thumb|La familia del Príncipe de Conti, en 1738, teniendo 4 años Luis Francisco II, pol pintor [[Nicolas Lancret|Lancret.]] El títulu de Príncipe de Conti (llamáu asina por Conti-sur-Selles, una pequeña población del norte de Francia asitiada aproximao a 32 quilómetros d'Amiens) ye un títulu nobiliariu francés que perteneció a una caña menor de la Casa de Condé (que de la mesma formó parte de la familia real francesa).
Esti títulu foi orixinalmente dau a Francisco de Borbón, fíu del príncipe Lluis I de Condé. Dempués de la muerte de Francisco, que finó ensin descendencia, el títulu pasó a Armando de Borbón, fíu del príncipe Enrique II de Condé.
Los príncipes de Conti fueron:
Canillas de Albaida
Canillas de Albaida ye un conceyu español, perteneciente a la provincia de Málaga, na comunidá autónoma d'Andalucía.
Llenda al norte col conceyu d'Alhama de Granada (provincia de Granada), al este y sureste col conceyu de Cómpeta, al sur col conceyu d'Árchez, al suroeste colos conceyos d'Arenas y Sayalonga, al oeste col conceyu de Salares.
Cuenta con una población de 773 habitantes.
Xeografía
El nucleu urbanu ta allugáu nes fasteres de les sierres de Tejeda y Almijara a 576 metros d'altitú, y tol so términu municipal ta incluyíu nel Parque Natural Sierres de Tejeda, Almijara y Alhama.
El conceyu falta unos 54 quilómetros de Málaga capital, enclaváu na contorna de l'Axarquía, dientro de la Ruta del Sol y del Vinu, lo mesmo que de los "Pueblos Blancos de la Costa del Sol". La llocalidá carauterizar pol so apertáu cascu urbanu, de cais estreches, tropezoses y empinaes, y cases encaladas. Tien una superficie de 33 km² y un censu de 813 habitantes en 2006. thumb|200|Vista de Canillas.
Historia
Dellos investigadores fechen nel sieglu XIII les primeres noticies sobre esti nucleu de población. Nos archivos de Al-hawz o términu de Vélez, constaba como alquería perteneciente al mesmu, col nome de Albaida (blanca), pola bayura de flores d'esti color qu'esistíen na so redolada. En 1487, tres la conquista de Vélez-Málaga polos Reis Católicos, Canillas sumir a los requerimientos d'obediencia impuestos pol rei Fernando'l Católicu. Nel añu 1569 los sos vecinos, na mayoría moriscos, xunir a los de Cómpeta y demás pueblos de la contorna remontándose contra la opresión de Felipe II, hasta que fueron ganaos na batalla del Peñón de Frigiliana. Tres la repoblación, na que predominen los cristianos procedentes de puntos cercanos de la provincia según del restu d'Andalucía, Canillas de Albaida desenvuélvese dedicaos los sos vecinos a l'agricultura, destacando nel cultivu de la vide, ceberes y olivar.
Monumentos y llugares d'interés
thumb|150px|Ilesia.
thumb|150px|Ermita de Santa Ana.
thumb|150px|Ermita de San Antón.
thumb|150px|Ponte Cuestes.
Política y alministración
L'alministración política del conceyu realízase al traviés d'un Conceyu de xestión democrática que los sos componentes escoyer cada cuatro años por sufraxu universal. El censu eleutoral ta compuestu por tolos residentes empadronaos en Canillas de Albaida mayores de 18 años y nacionales d'España y de los restantes estaos miembros de la Xunión Europea. Según lo dispuesto na Llei del Réxime Eleutoral Xeneral, qu'establez el númberu de conceyales elegibles en función de la población del conceyu, la Corporación Municipal de Canillas de Albaida ta formada por 7 conceyales.
Gastronomía
Como platos típicos de la la gastronomía llocal sobresalen el potaxe de xinoyos, les migues de farina de maíz, el choto tostáu, les farrapes, la calabaza frita y el ajoblanco. Mientres la Selmana Santa, son platos obligaos el potaxe y les tortielles de bacaláu que se comen moyaes en miel de caña. De la repostería local, con sabor morisco, destaquen les tortas de Pascua. Ye escelente'l so vinu moscatel, lleldáu en pequeñes bodegues pa consumu propiu.
Fiestes
A metá de mes de xineru celebra'l día de San Antón. En febreru se procesiona la Virxe de les Salves, que conmemora les rogativas públiques que tuvieron llugar con motivu del terremotu de 1884. El 24 de xunu, festividá de San Juan, les xentes salen al campu a "sanjuanear", como asina llamen a les escursiones y comíes campestres que tienen llugar esi día. A la fin de la primer selmana d'agostu celebra la feria n'honor de la patrona, la Virxe del Rosario. Los díes 7 y 8 de setiembre son les nueches de "les candelarias", prendiéndose candeles a les puertes de los cortixos con motivu del final de la vendimia, en plena campaña de les pases.
Redolada natural
Sito nel Parque Natural Sierres de Tejeda, Almijara y Alhama, el conceyu axunta sobresalientes curiosos naturales y mediu ambientales. Dende la llocalidá pueden entamase numberosos escursiones. Una de les más habituales ye a la Fábrica de la lluz, un llugar nel qu'hasta la década de los 70 funcionaba una minicentral llétrica. Na actualidá, el llugar ye una adecuación recreativa, avisiega por magníficos nozales y a la que les cristalines agües del Ríu Turvilla empresten un gran encantu. Cerca de la Fábrica de la Lluz tán la Cueva de les Piletas y la Cueva del Caxigal.
thumb|150px|Ríu Turvilla.
Escuela monástica
Escueles monástiques fueron les más importantes instituciones educatives de la cristiandá llatina nos llamaos "sieglos escuros" (l'antigüedá tardida, sieglos IV al VIII); importancia que caltuvieron nel restu del periodu altomedieval, dende'l Renacimientu carolinxu (cuando funcionó la escuela palatina de Aquisgrán y otres escueles carolinxes) hasta'l renacencia (cuando, sobre les escueles catedralicies empezaron a crease los studia generalia, más tarde conocíes como universidaes).
Dende'l programa educativu de Casiodoro, el currículum d'estes escueles incorporaba les disciplines arrexuntaes nel trivium y el quadrivium, empobinaes escontra los estudios relixosos.
Regles monástiques
Dende la regla monástica de Pacomio (sieglu IV) y les regles del sieglu VII (la Regula Magistri -Regla del Maestru- y la Regla de San Benitu o benedictina), a monxos y monxes riquíase-yos una parte más o menos importante d'estudiu na so actividá, especialmente na forma de llectura y escritura, especialmente la copia de los escasos manuscritos de too tipu de materies (tantu relixoses como seculares) que se curiaben nos scriptorium. Dende'l sieglu V munchos abás impunxéronse la responsabilidá d'educar a los mozos qu'entraben nel so monesteriu. Les primeres d'estes escueles monástiques teníen más d'ascétiques y espirituales que de teolóxiques o escriturísticas; pero precisamente yeren eses les cualidaes que llevaron a los monxos educaos na escuela monástica de Lerins a ser nomaos obispos.
Casiodoro
Casiodoro, n'abandonando la vida política (537) retirar a un monesteriu que fundó nes sos tierres de Vivarium (Italia meridional), diseñáu como un llugar d'estudiu y apurriendo una guía pa ello nes sos Institutiones divinarum et saecularium litterarum, onde inclúi testos tantu relixosos como d'artes lliberales. Concebía esti programa d'estudiu como un sustitutu de la escuela cristiana que deseyara establecer en Roma xunto al papa Agapito I. Complementó les llectures qu'estableció en Institutiones coles regles que diseñó en De orthographia.
Visigodos
Nel reinu visigodu de Toledo del sieglu VII establecieron centros d'enseñanza nos principales monesterios y sedes episcopales. Los estudiantes del monesteriu de los santos Cosme y Damián en Agalí (extramuros de Toledo) *MONESTERIOS FUNDAOS EN DÓMINA VISIGODA