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Númberu primu
Infinitud de los númberos primos
Si tómase como conxuntu'l de los n primeros númberos primos, entós, onde pn# ye lo que se llama primorial de pn. Un númberu primu de la forma pn# +1 denominar númberu primu d'Euclides n'honor al matemáticu griegu. Tamién puede ellaborase una demostración similar a la d'Euclides tomando'l productu d'un númberu dau de númberos primos menos unu, el llugar del productu d'esos númberos primos más unu. Nesi sentíu, denominar númberu primu primorial a un númberu primu de la forma pn# ± 1.
Una socesión que cumple dicha propiedá ye la socesión d'Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los númberos primos, yá que cada unu de los sos términos defínese como'l factor primu más pequeñu d'unu más el productu de tolos términos anteriores. La socesión de Sylvester definir de forma similar, yá que cada unu de los sos términos ye igual a unu más el productu de tolos anteriores. Anque los términos d'esta última socesión nun son necesariamente toos primos, cada unu d'ellos ye coprimo con tolos demás, polo que puede escoyese cualesquier de los sos factores primos, por casu, el menor d'ellos, y el conxuntu resultante va ser un conxuntu infinitu que los sos términos son toos primos.
Otros enunciaos qu'impliquen la infinitud de los númberos primos
Una resultancia entá más fuerte, y qu'implica direutamente la infinitud de los númberos primos, foi afayáu por Euler nel sieglu XVIII. Establez que la serie ye diverxente. Unu de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que : onde la espresión O(1) indica qu'esi términu ta acutáu ente -C y C pa n mayor que n0, onde los valores de C y n0 nun tán especificaos.
Otra resultancia ye'l teorema de Dirichlet, que diz asina:
Una manera más débil pero elegante de formulalo ye que, si n ye un númberu natural mayor que 1, entós siempres esiste un númberu primu p tal que n < p < 2n. Esto supón que, nuna progresión xeométrica de primer términu enteru mayor que 3 y razón igual a 2, ente cada términu de la progresión y el siguiente, tiense siquier un númberu primu.
Frecuencia de los númberos primos
! n ! \pi (n) ! ! !
thumb|300px|Comparanza ente les funciones [[función π|π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (colloráu); puede vese que l'aproximamientu de π(n) con Li(n) ye meyor que la qu'hai con ]]
Una vegada demostráu la infinitud de los númberos primos, cabo preguntar cómo se distribúin los primos ente los númberos naturales, esto ye, qué frecuentes son y ónde s'espera atopar el n-ésimo númberu primu. Esti estudiu empecipiar Gauss y Legendre de forma independiente a finales del sieglu XVIII, pal cual introducieron la función enumerativa de los númberos primos π(n), y conxeturaron que'l so valor fora aproximao :.
L'enfotu de demostrar esta conxetura tomó tol sieglu XIX. Les primeres resultancies fueron llograos ente 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la esistencia de dos constantes A y B tales que : pa n abondo grande. Consiguió demostrar que, si esistía la llende del cociente d'aquelles espresiones, este tenía de ser 1.
Hadamard y De la Vallée-Poussin ellaboraron una demostración en 1896, independientemente l'unu del otru, usando métodos similares, basaos nel usu de la función zeta de Riemann, que fuera introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo qu'esperar hasta 1949 p'atopar una demostración qu'usara solu métodos elementales (esto ye, ensin usar el analís complexu). Esta demostración foi escurrida por Selberg y Erdős. Anguaño, conozse'l teorema como teorema de los númberos primos.
El mesmu Gauss introdució una estimación más precisa, utilizando la función llogaritmu integral:
En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que l'error que se comete averando \pi(n) d'esta forma ye : pa una constante positiva a y pa cada enteru m. Esta resultancia foi llixeramente ameyoráu a lo llargo de los años. Per otra parte, en 1901 Von Koch amosó que si la hipótesis de Riemann yera cierta, teníase la siguiente estimación, más precisa:
Una forma equivalente al teorema de los númberos primos ye que pn, el n-ésimo númberu primu, queda bien averáu por nln(n). N'efeutu, pn ye puramente mayor qu'esti valor.
Diferencia ente dos primos consecutivos
Per otra parte, la diferencia ente primos consecutivos pue ser tan grande como se quiera: dau un númberu natural n, se denota por n! el so factorial, esto ye, el productu de tolos númberos naturales entendíos ente 1 y n. Los númberos
son toos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entós (n+1)!+i ye divisible ente i, por tanto, ye compuestu. La socesión, qu'entiende n enteros consecutivos, nun contién nengún númberu primu. Por casu, si n=5, estos valores correspuenden a:
El siguiente valor, 6!+7=727, ye primu. De toes formes, el menor númberu primu que falta del siguiente en n ye xeneralmente enforma menor que'l factorial, por casu, el casu más pequeñu de dos primos consecutivos separaos d'ocho unidad ye (89, 97), ente que 8! ye igual a 40.320.
La socesión de les diferencies ente primos consecutivos foi profusamente estudiada en matemátiques, y alredor d'esti conceutu estableciéronse munches conxetures que permanecen ensin resolver.
Conclusión
thumb|La distribución de tolos númberos primos entendíos ente 1 y 76.800, d'esquierda a derecha y de riba abaxo. Cada pixel representa un númberu. Los píxeles negros representen númberos primos; los blancos representen númberos non primos. thumb|Imaxe con 2310 columnes que caltién múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 nes columnes respeutives. Como cabo esperar, los númberos primos van cayer en columnes concretes si los númberos tán ordenaos d'esquierda a derecha y l'anchu ye un múltiplu d'un númberu primu. Sicasí, los númberos primos tamién queden distribuyíos de manera ordenada en construcciones espirales como la [[espiral de Ulam, yá que tienden a concentrase en delles diagonales concretes y non n'otres.]]
Nuna conferencia de 1975, Don Zagier comentó:
Tests de primalidá
Na práutica, lo que se desea ye determinar si un númberu dau ye primu ensin tener qu'iguar una llista de númberos primos. Un métodu pa determinar la primalidá d'un númberu ye la división per tentativa, que consiste n'estremar socesivamente esi númberu ente los númberos primos menores o iguales al so raigañu cuadráu. Si dalguna de les divisiones ye exacta, entós el númberu nun ye primu; en casu contrariu, ye primu. Por casu, dau n menor o igual que 120, pa determinar la so primalidá basta comprobar si ye divisible ente 2, 3, 5 y 7, una y bones el siguiente númberu primu, 11, yá ye mayor que √120. Ye'l test de primalidá más senciellu, y rápido pierde la so utilidá a la de comprobar la primalidá de númberos grandes, una y bones el númberu de factores posibles crez demasiáu rápido a midida que crez el númberu potencialmente primu.
N'efeutu, el númberu de númberos primos menores que n ye aproximao :. D'esta forma, pa determinar la primalidá de n, el mayor factor primu que se precisa nun ye mayor que √n, dexando'l númberu de candidatos a factor primu en cerca de :. Esta espresión crez cada vez más amodo en función de n, pero, como los n grandes son d'interés, el númberu de candidatos tamién se fai grande: por casu, pa n = 1020 tiénense 450 millones de candidatos.
Coles mesmes, esisten otros munchos tests de primalidá deterministes que se basen en propiedaes que caractericen a los númberos primos, pero la so utilidá computacional depende enforma del test usáu. Por casu, podría emplegase el teorema de Wilson pa calcular la primalidá d'un númberu, pero tien l'inconveniente de riquir el cálculu d'un factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se remanen númberos grandes. Equí ente en xuegu'l tiempu d'execución del algoritmu emplegáu, que s'espresa na notación de Landau. Pa poder determinar la primalidá de númberos cada vez más grandes (de miles de cifres) búsquense aquellos algoritmos que'l so tiempu d'execución creza lo más amodo posible, a ser posible, que pueda espresase como un polinomiu. Magar el test de primalidá AKS cumple con esta condición, pal rangu de númberos que s'usa na práutica esti algoritmu ye desaxeradamente lentu.
Per otra parte, de cutiu basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidá (anque non segura) de ser cierta. Puede comprobase rápido la primalidá d'un númberu relativamente grande por aciu tests de primalidá probabilísticos. Estos tests suelen tomar un númberu aleatoriu llamáu "testigu" ya introducilo nuna fórmula xunto col númberu potencialmente primu n. Dempués de delles iteraciones, resuélvese que n ye "definitivamente compuestu" o bien "probablemente primu". Estos últimos númberos pueden ser primos o bien pseudoprimos (númberos compuestos que pasen el test de primalidá). Dalgunos d'estos tests nun son perfectos: puede haber númberos compuestos que'l test considere "probablemente primos" independientemente del testigu utilizáu. Esos númberos reciben el nome de pseudoprimos absolutos pa esi test. Por casu, los númberos de Carmichael son númberos compuestos, pero'l test de Fermat evaluar como probablemente primos. Sicasí, los tests probabilísticos más utilizaos, como'l test de Miller-Rabin o'l obsoleto test de Solovay-Strassen, superáu pol anterior, nun tienen esti inconveniente, entá siendo igualmente tests probabilísticos.
Dellos tests probabilísticos podríen pasar a ser determinísticos y dellos tests pueden ameyorar el so tiempu d'execución si verifíquense delles hipótesis matemátiques. Por casu, si verifícase la hipótesis xeneralizada de Riemann, puede emplegase una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidá por curves elíptiques podría ameyorar notablemente'l so tiempu d'execución si verificárense delles hipótesis de teoría analítica de númberos.
Algoritmos de factorización
Un algoritmu de factorización ye un algoritmu que dixebra unu a unu los factores primos d'un númberu. Los algoritmos de factorización pueden funcionar tamién a manera de tests de primalidá, pero polo xeneral tienen un tiempu d'execución menos ventaxosu. Por casu, puede modificar l'algoritmu de división per tentativa de forma que nun se detenga cuando se llogre una división exacta, sinón que siga realizando nueves divisiones, y non sobre'l númberu orixinal, sinón sobre'l cociente llográu. Dempués de la división por tentativa, los métodos más antiguos que se conocen son el métodu de Fermat, que se basa nes diferencies ente cuadraos y que ye especialmente eficaz cuando n ye'l productu de dos númberos primos próximos ente sigo, y el métodu de Euler, que se basa na representación de n como suma de dos cuadraos de dos formes distintes.
Más apocayá, ellaboráronse algoritmos basaos nuna gran variedá de téuniques, como les fracciones continues o les curves elíptiques, anque dalgunos son meyores de métodos anteriores (la peñerada cuadrática, por casu, basar nuna meyora del métodu de Fermat y tien complexidá computacional subexponencial sobre'l númberu de cifres de n). Otros, como'l métodu rho de Pollard, son probabilísticos, y nun garanticen topar los divisores d'un númberu compuestu.
Lo que ye güei, l'algoritmu determinístico más rápidu d'usu xeneral ye'l xeneral number field sieve, que tamién tien complexidá computacional subexponencial sobre'l númberu de cifres de n. Propúnxose un algoritmu que'l so tiempu d'execución ye polinómico sobre'l númberu de cifres de n (el algoritmu de Shor), pero rique ser executáu nun ordenador cuánticu, yá que'l so simulación nun ordenador normal rique un tiempu esponencial. Nun se conocen algoritmos pa factorizar nun ordenador tradicional en tiempu polinómico y tampoco se demostró qu'esto sía imposible.
Fórmules que solo xeneraren númberos primos
A lo llargo de la historia, buscáronse numberoses fórmules pa xenerar los númberos primos. El nivel más altu d'esixencia pa una fórmula asina sería qu'acomuñara a cada númberu natural n el n-ésimo númberu primu. De forma más indulxente, puede pidise una función f inyectiva qu'acomuñe a cada númberu natural n un númberu primu de tala forma que cada unu de los valores tomaos apaeza solo una vegada.
Na busca d'estes funciones, investigar, notablemente, les funciones polinómiques. Cabo sorrayar que nengún polinomiu, entá en delles variables, devuelve solu valores primos. Por casu, el polinomiu nuna variable f(n) = n² + n + 41, estudiada por Leonardo Euler, devuelve valores primos pa n = 0,…, 39, sicasí pa n= 40, resulta un númberu compuestu. Si'l términu constante val cero, entós el polinomiu ye múltiplu de n, polo que'l polinomiu ye compuestu pa valores compuestos de n. En casu contrariu, si c ye'l términu constante, entós f(cn) ye múltiplu de c, polo que si'l polinomiu nun ye constante, necesariamente tendrá d'incluyir valores compuestos.
Sicasí, hai polinomios en delles variables que los sos valores positivos (cuando les variables percuerren númberos naturales) son precisamente númberos primos. Un exemplu, ye esti polinomiu descubiertu por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:
Al igual qu'asocede coles fórmules con factoriales, esti polinomiu nun ye práuticu de calcular, yá que, anque los valores positivos que toma son toos primos, práuticamente nun devuelve otra cosa que valores negativos cuando se faen variar les variables a a z de 0 a infinitu.
Otru enfoque al problema d'atopar una función que solo xenere númberos primos vien dau a partir del teorema de Mills, qu'indica qu'esiste una constante θ tal que :
Clases de númberos primos
De mayor interés son otres fórmules que, anque non solo xeneren númberos primos, son más rápides d'implementar, sobremanera si esiste un algoritmu especializáu que dexe calcular rápido la primalidá de los valores que van tomando. A partir d'estes fórmules llógrense subconxuntos relativamente pequeños del conxuntu de los númberos primos, que suelen recibir un nome coleutivu.
Primos primoriales y primos factoriales
Los númberos primos primoriales, direutamente rellacionaos cola demostración euclidiana de la infinitud de los númberos primos, son los de la forma p = n# ± 1 pa dalgún númberu natural n, onde n# ye igual al productu 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de tolos primos ≤ n. Coles mesmes, un númberu primu dizse primu factorial si ye de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:
Llista d'asteroides/29001–29100
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Númberu primu
Númberos primos de Fermat
Construcción d'un [[pentágonu regular. 5 ye un númberu primu de Fermat.|thumb]] Los númberos de Fermat, amestaos a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son los númberos de la forma, con n natural. Los únicos númberos primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que yá conocía'l mesmu Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, ente que pa valores de n ente 5 y 32 estos númberos son compuestos.
Pa determinar la so primalidá, esiste un test especializáu que'l so tiempu d'execución ye polinómico: el test de Pépin. Sicasí, los mesmos númberos de Fermat crecen tan rápido que solo se lo pudo aplicar pa valores de n pequeños. En 1999 aplicar pa n = 24. Pa determinar el calter d'otros númberos de Fermat mayores utilízase'l métodu de divisiones socesives y de esa manera a fecha de xunu de 2009 conócense 241 númberos de Fermat compuestos, anque na mayoría de los casos desconoza'l so factorización completa.
Númberos primos de Mersenne
Los númberos de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, onde p ye primu. Los mayores númberos primos conocíos son xeneralmente d'esta forma, yá que esiste un test de primalidá bien eficaz, el test de Lucas-Lehmer, pa determinar si un númberu de Mersenne ye primu o non.
Otres clases de númberos primos
Esisten lliteralmente decenes de apellíos que pueden añedir al conceutu de númberu primu pa referise a un subconxuntu que cumple dalguna propiedá concreta. Por casu, los númberos primos pitagóricos son los que pueden espresase na forma 4n+1. Dichu d'otra forma, tratar de los númberos primos que'l so restu al estremalos ente 4 ye 1. Otru exemplu ye'l de los númberos primos de Wieferich, que son aquellos númberos primos p tales que p2 estrema a 2p-1 - 1.
Dalgunes d'estes propiedaes referir a una rellación concreta con otru númberu primu:
Tamién se-yos da nomes especiales a delles clases de primos que dependen de la base de numberación emplegada o de la forma d'escribir los díxitos, y non d'una fórmula matemática. Ye'l casu de los númberos somirp (primos al aviesu), que son aquellos númberos primos tales que'l númberu llográu al invertir l'orde de les sos cifres tamién ye primu. Tamién ye'l casu de los númberos primos repunit, que son aquellos númberos primos que son concatenación d'unos. Si, en llugar de considerase'l sistema de numberación decimal considérase'l binariu, llógrase otru conxuntu distintu de númberos primos repunit que, amás, coincide col de los númberos primos de Mersenne. Finalmente, los númberos primos triádicos son aquellos númberos que son primos, capicúes y simétricos respectu d'una recta horizontal.
Conxetures
Esisten numberoses entrugues abiertes alrodiu de los númberos primos. Munches d'elles son problemes bien antiguos, y una de les más significatives ye la hipótesis de Riemann, delles vegaes mentada nesti artículu como una conxetura que, de ser cierta, dexaría conocer numberoses resultancies relevantes en diversos campos de les matemátiques.
Hipótesis de Riemann
Pa entender la hipótesis de Riemann, una conxetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2023), sigue ensin resolvese, ye necesariu entender la función zeta de Riemann. Sía s un númberu complexu con parte real mayor que 1. Entós, La segunda igualdá ye una consecuencia del teorema fundamental de l'aritmética, y amuesa que la función zeta ta íntimamente rellacionada colos númberos primos.
Esisten dos tipos de ceros de la función zeta, esto ye, valores s pa los cualos ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2, s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los non triviales, que son aquellos ceros que nun s'atopen na exa real. Lo qu'indica la hipótesis de Riemann ye que la parte real de tolos ceros non triviales ye igual a 1/2.
La veracidá de la hipótesis implica una fonda conexón colos númberos primos, n'esencia, nel casu de verificase, diz que los númberos primos tán distribuyíos de la forma más regular posible. Dende un puntu de vista físicu», diz grosso modo que les irregularidaes na distribución de los númberos primos solo vienen de ruiu aleatorio. Dende un puntu de vista matemáticu, diz que la distribución asintótica de los númberos primos (según el teorema de los númberos primos, la proporción de primos menores que n ye ) tamién ye cierta pa intervalos enforma menores, con un error d'aproximao'l raigañu cuadráu de n (pa intervalos próximos a n). Ta llargamente estendíu na comunidá matemática que la hipótesis sía cierta. En concretu, la presunción más simple ye que los númberos primos nun tendríen de tener irregularidaes significatives na so distribución ensin una bona razón.
Infinitud de ciertos tipos de númberos primos
Munches conxetures traten sobre si hai infinitos númberos primos d'una determinada forma. Asina, conxetúrase qu'hai infinitos númberos primos de Fibonacci ya infinitos primos de Mersenne, pero solo un númberu finito de primos de Fermat. Nun se sabe si hai infinitos númberos primos d'Euclides.
Distribución de los númberos primos
Tamién hai numberoses conxetures que s'ocupen de determinaes propiedaes de la distribución de los númberos primos. Asina, la conxetura de los númberos primos ximielgos enuncia qu'hai infinitos númberos primos ximielgos, que son pares de primos que la so estrema ye de 2. La conxetura de Polignac ye una versión más xeneral y más fuerte de l'anterior, yá que enuncia que, pa cada enteru positivu n, hai infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n. De la mesma, una versión más débil de la conxetura de Polignac diz que tou númberu par ye la diferencia de dos númberos primos.
Coles mesmes, conxetúrase la infinidá de los primos de la forma n2 + 1. Según la conxetura de Brocard, ente los cuadraos de primos consecutivos mayores que 2 esisten siempres siquier cuatro números primos. La conxetura de Legendre establez que, pa cada n natural, esiste un númberu primu ente n2 y (n+1)2. Finalmente, la conxetura de Cramér, que la so veracidá implicaría la de Legendre, diz que:
Teoría aditiva de númberos
Otres conxetures rellacionen delles propiedad aditivas de los númberos colos númberos primos. Asina, la conxetura de Goldbach diz que tou númberu par mayor que 2 puede escribise como suma de dos númberos primos, anque tamién esiste una versión más débil de la mesma conxetura según la cual tou númberu impar mayor que 5 puede escribise como suma de tres números primos. El matemáticu chinu Chen Jingrun demostró, en 1966, que n'efeutu, tou númberu par abondo grande puede espresase como suma de dos primos o como la suma d'un primu y de un númberu que ye'l productu de dos primos. ("semi-primu").
Los cuatro problemes de Landau
En 1912, Landau estableció nel Congresu Internacional de Matemáticos Quintu Congresu Internacional de Matemáticos de Cambridge una llista de cuatro de los problemes yá mentaos sobre númberos primos, que se conocen como los problemes de Landau. Nengún d'ellos ta resueltu hasta la fecha. Trátase de la conxetura de Goldbach, la de los númberos primos ximielgos, la de Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.
Xeneralización del conceutu de númberu primu
El conceutu de númberu primu ye tan importante que se vio xeneralizáu de delles maneres en diverses cañes de les matemátiques.
Elementos primos nun aniellu
thumb|250px|Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a 500. Los primos gaussianos son, por definición, los [[enteru gaussiano|enteros gaussianos que son primos.]] Pueden definise los elementos primos y los elementos irreducibles en cualesquier dominiu d'integridá. En cualesquier dominiu de factorización única, como por casu, l'aniellu \mathbb{Z} de los enteros, el conxuntu d'elementos primos equival al conxuntu de los elementos irreducibles, qu'en \mathbb{Z} ye {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, …}.
Considérense por casu los enteros gaussianos, esto ye, los númberos complexos de la forma a+bi con a, b ∈ \mathbb{Z}. Este ye un dominiu d'integridá, y los sos elementos primos son los primos gaussianos. Hai de solliñar que'l 2 non ye un primu gaussiano, porque almiti factorización como productu de los primos gaussianos (1+i) y (1-i). Sicasí, l'elementu 3 sí ye primu nos enteros gaussianos, pero nun lu ye n'otru dominiu enteru. Polo xeneral, los primos racionales (esto ye, los elementos primos del aniellu \mathbb{Z}) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, pero nun lu son aquellos de la forma 4k+1.
Ideales primos
En teoría d'aniellos, un ideal I ye un subconxuntu d'un aniellu A tal que * si i, j ∈ I, entós la suma i + j pertenez a I
Un ideal primu defínese entós como un ideal que cumple tamién que:
Los ideales primos son una ferramienta relevante en álxebra conmutativa, teoría alxebraica de númberos y xeometría alxebraica. Los ideales primos del aniellu d'enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …
Un problema central en teoría alxebraica de númberos ye la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometíos a una estensión de cuerpos. Nel exemplu de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia d'un primu (yá que 1+i y 1-i xeneren el mesmu ideal primu), los ideales primos de la forma 4k+3 son inertes (caltienen la so primalidá) y los de la forma 4k+1 pasen a ser productu de dos ideales primos distintos.
Primos en teoría de la valoración
En teoría alxebraica de númberos surde otra xeneralización más. Dau un cuerpu \mathbb{K}, reciben el nome de valoraciones sobre \mathbb{K} determinaes funciones de \mathbb{K} en \mathbb{R}. Caúna d'estes valoraciones xenera una topoloxía sobre \mathbb{K}, y dizse que dos valoraciones son equivalentes si xeneren la mesma topoloxía. Un primu de \mathbb{K} ye una clase d'equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpu \mathbb{Q} de los númberos racionales queden representaos pola función valor absolutu según poles valoraciones p-ádicas sobre \mathbb{Q} pa cada númberu primu p.
Nuedos primos
En teoría de nuedos, un nuedu primu ye un nuedu non trivial que nun se puede descomponer en dos nuedos más pequeños. De forma más precisa, tratar d'un nuedu que nun se puede escribir como suma conexa de dos nuedos non triviales.
En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogu al teorema fundamental de l'aritmética, qu'asegura que cada nuedu puede llograse de forma única como suma conexa de nuedos primos. Por esti motivu, los nuedos primos desempeñen un papel central na teoría de nuedos: una clasificación de los nuedos foi dende finales del sieglu XIX la tema central de la teoría.
Aplicaciones na computación
L'algoritmu RSA basar nel llogru de la clave pública por aciu la multiplicación de dos númberos grandes (mayores que 10100) que sían primos. La seguridá d'esti algoritmu anicia en que nun se conocen maneres rápides de factorizar un númberu grande nos sos factores primos utilizando ordenadores tradicionales.
Númberos primos nel arte y la lliteratura
Na so novela de ciencia ficción Contact, darréu afecha al cine, Carl Sagan suxure que los númberos primos podríen ser emplegaos pa comunicase con intelixencies estraterrestres, una idea que desenvolviera de manera informal col astrónomu estauxunidense Frank Drake en 1975.
El curiosu incidente del perru a medianueche, de Mark Haddon, que describe en primer persona la vida d'un mozu autista bien dotáu en matemátiques y cálculu mental, utiliza namái los númberos primos pa numberar los capítulos.
La soledá de los númberos primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó'l premiu Strega en 2008.
Tamién son munches les películes que reflexen la fascinación popular escontra los misterios de los númberos primos y la criptografía, por casu, Cube, Sneakers, The Mirror Has Two Faces y A Beautiful Mind. Esta postrera basar na biografía del matemáticu y premiu Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.
L'escritor Griegu Apostolos Doxiadis, escribió El tíu Petros y la conxetura de Goldbach, que narra cómo un ficticiu matemática maravía de principios de sieglu XX somorguiar nel mundu de les matemátiques d'una forma apasionante. Tratando de resolver unu de los problemes más difíciles y entá non resueltos de la matemática "La Conxetura de Goldbach". La cual reza: "Tou númberu par puede espresase como la suma de dos númberos primos".
Kenji Okamoto
Kenji Okamoto (岡本 賢二, ) ye un ex-futbolista xaponés.
Adriana Angoa
Adriana Angoa Vega ye una boxeadora profesional mexicana.
Carrera profesional
Compitió en 4 ocasiones en categoría pluma de cuatro, saliendo victoriosa nuna por decisión, perdiendo les restantes.
Debutó profesionalmente'l 6 de marzu de 2012, enfrentándose a María Elena “La Muñeca” Muñoz.
Folclor
El términu inglés folklore foi usáu per primer vegada'l 22 d'agostu de 1846 pol so creador, l'arqueólogu británicu William Thoms, quien deseyaba crear una pallabra pa denominar lo qu'entós se llamaba «antigüedaes populares».
La definición más llargamente aceptada polos investigadores actuales de la especialidá ye «la comunicación artística en grupos pequeños», propuesta pol investigador de la Universidá de Pennsylvania Dan Ben Amos.
Historia
Johann Gottfried Herder dedicar por primer vegada a rexistrar y caltener deliberadamente el folclor pa documentar l'auténticu espíritu, tradición ya identidá del pueblu xermanu. La creencia de que tal autenticidá pueda esistir ye unu de los principios del nacionalismu romántico que Herder desenvolvió. Pa Herder, les clases llabradores son coles mesmes depositaries, vehículu y guardianes del xeniu popular», que se modeló por aciu el contautu de los homes cola tierra y el clima y tresmitióse de xeneración en xeneración, tanto oralmente como nes epopeyes, cuentos y lleendes. Nuna visión universalista, Herder caltuvo que cada pueblu tien el so xeniu únicu y singular, qu'apaez como fundamentu por excelencia de la renacencia cultural que tenía de dexar reunificar a los pueblos xermánicos. Prauticar en países como Panamá, Colombia, Bolivia, Perú, etcétera. El "fechu folclóricu" representáu na proyeición, seya "xenuinu auténticu", esto ye, fiel espeyu de la cultura en que se nutre y conserva y conforme executar la comunidá asonsañada.
Sobre los incentivos de Herder, los hermanos Grimm comprometiéronse como pioneros cola enorme empresa d'arrexuntar cuentos orales alemanes, pa recuperar el calter auténticu d'una cultura nacional perdida poles élites. Asina, en 1812 publicaron la primer serie de cuentos tradicionales como Kinder- und Hausmärchen (‘Histories infantiles y familiares’).
Rápido, la iniciativa de los hermanos Grimm foi asonsañada en toa Europa (del Este y l'oeste) y nos países escandinavos. A partir del sieglu XIX entama la llabor d'educar al pueblu nel so propiu folclor, qu'apaez amenaciáu de desapaición so los efeutos de la modernidá y l'urbanización. Les campañes d'espardimientu del folclor tomen la forma de verdadera propaganda nacionalista, procurando esencialmente faer resaltar la orixinalidá y singularidá propia del folclor de cada pueblu, dexando estremalo de los vecinos y venceyalo a los que, nel contestu de instauración de les identidaes nacionales, desígnase como los sos antepasaos.
En primer instancia'l folclor llindar a la tradición oral. Escontra la metá del sieglu XIX amplíase l'ámbitu del folclor, empezando los recopiladores a interesase tamién por distintes producciones que emanan de les cultures populares (creencies, medicina tradicional, traxes, artes, téuniques, etcétera).
Nun foi hasta'l sieglu XX cuando los etnógrafos empezaron a intentar rexistrar el folclor ensin manifestar metes polítiques.
Estudiu del folclor
Anque'l folclor puede contener elementos relixosos y mitolóxicos, esmolezse tamién con tradiciones dacuando mundanes de la vida cotidiana.Rellacionar con frecuencia lo práctico y lo esotérico nun mesmu bloque narrativu. Foi de cutiu confundíu cola mitoloxía, y viceversa, porque s'asumió que cualquier historia figurativa que nun perteneza a les creencies dominantes de la dómina nun tien el mesmu estatus que diches creencies dominantes. Asina, la relixón romana ye calificada de «mitoloxía» polos cristianos. D'esa forma, tantu la mitoloxía como'l folclor convirtiéronse en términos clasificatorios pa tolos rellatos figurativos que nun se correspuenden cola estructura de creencies dominante.
Dacuando'l folclor ye de naturaleza relixosa, como les histories del Mabinogion galés o les de la poesía escáldica islandesa. Munchos de los rellatos de La lleenda dorada de Santiago de la Voráxine tamién afiguren elementos folclóricos nun contestu cristianu: exemplos de felicidá mitoloxía cristiana son les temes desenvueltes en redol a San Jorge o San Cristóbal. Nesti casu, el términu «folclor» usar nun sentíu peyorativu, esto ye, mientres les histories del trotamundos Odín tienen un valor relixosu pa los nórdicos que compunxeron les histories, por cuenta de que nun encaxar nes creencies cristianes nun son consideraes «relixoses» sinón «folclóriques» polos cristianos.
Los cuentos populares son un términu xeneral pa diverses variedaes de la narrativa tradicional. La narración d'histories paez ser un elementu universal cultural, común por igual a les sociedaes básiques y les complexes. Inclusive les formes qu'adopten les histories populares son verdaderamente paecíes d'una cultura a otra, y los estudios comparativos de temes y formes narratives tuvieron ésitu al demostrar estes rellaciones.
Per otra parte, el folclor puede usase pa describir precisamente una narrativa figurada, que nun tien conteníu sagrao o relixosu dalgunu. Dende'l puntu de vista jungiano, que nun ye más qu'un métodu d'analís, puede nel so llugar corresponder a patrones psicolóxicos inconscientes, instintos o arquetipos de la mente. Esti saber puede o nun tener componentes fantásticos (tales como maxa, seres etéreos o personificaciones d'oxetos inanimaos). Estes histories populares pueden surdir d'una tradición relixosa, pero fala d'asuntos psicolóxicos fondos. El folclor familiar, como Hansel y Gretel, ye un exemplu d'esta sutil llinia.
El propósitu manifiestu del cuentu puede ser primordialmente una enseñanza mundana sobre la seguridá nel monte o secundariamente un cuentu cautelar sobre los peligros de la fame nes families grandes, pero'l so significáu latente puede remembrar una fuerte respuesta emocional por cuenta de los llargamente entendíos temes y motivos, tales como «la madre tarrecible», «la muerte» y «la expiación col padre». Puede haber un algame tantu moral como psicolóxicu na obra, según un valor lúdicu, dependiendo de la naturaleza del narrador, l'estilu de la historia, la edá media de l'audiencia y el contexto xeneral de l'actuación. Los folcloristes suélense aguantar a les interpretaciones universales de los rellatos y, onde seya posible, analicen les versiones orales d'histories en contestos específicos, más qu'en fontes impreses, que de cutiu amuesen l'efeutu del sesgu del escritor o editor.
Los rellatos contemporáneos comunes n'Occidente inclúin la lleenda urbana. Hai munches formes de folclor que son tan comunes pero que, sicasí, la mayoría de la xente nun alvierte que son folclor, tales como acertijos, rimes infantiles y cuentos de pantasmes, rumores (incluyendo teoríes conspirativas), chismes, estereotipos étnicos, costumes festives y ritos del ciclu vital (bautizos, funerales, etcétera). Los rellatos d'abducciones por ovnis pueden ser consideraes, nun ciertu sentíu, como actualizaciones de los cuentos de la Europa precristiana o inclusive d'histories de la Biblia tales como l'ascensión al cielu d'Elías. Adrienne Mayor, al presentar una bibliografía sobre esta tema, señaló que la mayoría de los folcloristes modernos desconocen en gran midida los paralelos y precedentes clásicos, en materiales que tán solo parcialmente representaos pola familiar etiqueta de "esópicos":
Teoríes del folclor
Tou fechu cultural ye un fechu social, por tanto si estudiamos el grupu humanu necesariamente tenemos de conocer el mediu social que nos arrodia y les carauterístiques que tien cada sociedá en cada dómina polo tanto la cultura no resultante del trabayu humanu cola conocencia de l'actividá llaboral y de la fabricación de los primeros preseos musicales, empecipióse la sociedá humana.
Equipu de Copa Davis de Xamaica
El equipu xamaicanu de Copa Davis representa a Xamaica na Copa Davis y ríxense pola Tennis Xamaica.
Carlos Soares Garrit
Carlos Soares Garrit ye un ex-futbolista brasilanu.
Ursula K. Le Guin
Ursula Kroeber Le Guin [] foi una escritora d'Estaos Xuníos. Espublizó obres dientro de numberosos xéneros, principalmente ciencia ficción y fantasía, anque tamién escribió poesía, llibros infantiles y ensayos, ya inclusive tradució obres d'otros autores del chinu y l'español al inglés.
Sicasí, Le Guin debe la so fama al numberosu caudal de llibros y cuentos de ciencia ficción y fantasía espublizaos a lo llargo de la so dilatada carrera y foi gallardonada con dellos premios Hugo y Nébula. Foi la primer muyer gallardonada col títulu de Gran Maestra pola Asociación d'escritores de ciencia ficción y fantasía d'Estaos Xuníos (SFWA). Considérase a sigo mesma como una muyer feminista y taoísta y nes sos noveles apaecen de cutiu idees anarquistes.
Biografía
Nació en Berkeley, California el 21 d'ochobre de 1929. El so padre foi l'eminente antropólogu Alfred Kroeber y la so madre la escritora Theodora Kroeber. Dende pequeña edúcase nuna atmósfera d'interés académicu polos mitos y lleendes de tolos pueblos de la tierra. El so interés pola lliteratura ye tempranu: yá a la edá de 11 años unvió'l so primer rellatu a la reputada revista Astounding Science Fiction y, anque refugáu, eso nun-y fixo arrenunciar.
Foi a la Escuela Radcliffe de la Universidá de Harvard, onde se graduó en 1951, y depués pasó un añu na Universidá de Columbia onde fixo'l so posgráu en llingües romances. La so tesis de maestría rellacionaba dellos aspeutos de la lliteratura romance de la Edá Media y el Renacimientu. En rematando'l so cursu de posgráu, llogró una beca Fulbright pa estudiar en Francia, onde conoció al que se convertiría nel so home, Charles Le Guin, col que casó en 1953.
A la so vuelta a EE.XX. enseñó francés en delles universidaes enantes de dedicase por completu a la lliteratura. Asoleyó seis llibro de poesía, venti noveles y más d'un centenar d'hestories, cuatro coleiciones d'ensayos, once llibros pa neños y delles traducciones (ente les que destaca'l Tao Te Ching de Lao Tse y una seleición de poemes de Gabriela Mistral). Dende 1958 vive en Portland, Oregón, onde dio a lluz a los sos trés fíos. Güei día ta considerada como una de les meyores autores vives del xéneru; nel añu 2003 foi gallardonada como "Gran Maestra" de la SFWA (la primer muyer en llograr esta distinción).
Primeres publicaciones y el ciclu Ekumen
La so primer publicación foi un cuentu de fantasía na revista Amazing en 1962, pero'l so debú como novelista nun llegó hasta cuatro años más tarde cola novela El mundu de Rocannon (1966). La historia de Rocannon cunta'l viaxe d'un científicu a un mundu pobláu por trés especies intelixentes distintes nun ambiente más propiu de la fantasía que de la ciencia ficción. En realidá, esta historia enmarcábase yá nes bases de lo que sería'l so propiu universu de creación: l'universu Hainish o Ekumen, nel que conviven distintes races humanoides descendientes d'una única civilización ancestral proveniente del planeta Hain y que la so diversidá psicolóxica y sociolóxica dexen esplorar una gran diversidá de facetes y valores de la nuestra mesma cultura.
La serie, que nos tresllada a 2500 años nel futuru, siguió mientres el final de la década de 1960 con otres noveles como Planeta d'exiliu en 1966, La ciudá de les ilusiones un añu dempués, y una de les sos obres maestres, La manzorga de la escuridá en 1969, novela premiada tanto con un Hugo como con un Nébula y que la catapultó a la fama.
Más tarde Le Guin tornó a los mundos Hainish; lo que fizo que volviera ganar el premiu Hugo gracies a la novela El nome del mundu ye Monte (1972), onde nos propón l'impresionante alcuentru ente la especie humana y otra especie, más intelixente y más desenvuelta éticamente, que resultó de la evolución, a lo llargo de munchos miles d'años, de la mesma especie humana n'otru planeta. Les polémiques temes del ecoloxismu y del pacifismu llaten constantemente a lo llargo de tola historia. Le Guin recibió dos años dempués tanto l'Hugo como'l premiu Nébula pola novela considerada la so otra obra maestra: Los quitaos: una utopía ambigua (1974). Nella enceta'l tema del anarquismu, y el de la manipulación de la vida de los individuos nun sistema totalitariu, y afonda nes dificultaes de conxugar la vivencia d'un amor auténticu con un total serviciu desinteresáu a la sociedá.
En 1975 volvió ser considerada mesmo pola Sociedá mundial de ciencia ficción como pola SFWA como la meyor escritora de ciencia ficción del añu. Esi mesmu añu apaeció una escoyeta de cuentos llamada Les dolce moraes del vientu, nel que se recueyen delles hestories difíciles d'atopar hasta la fecha, a pesar de que dalgunes ganaren los premios más importantes del so xéneru.
Le Guin tamién espublizaba davezu nes revistes de ciencia ficción de la dómina. D'aquellos cuentos salieron escoyetes como La rosa de los vientos (1982), Un pescador del mar interior (1994) y Cuatro caminos escontra'l perdón (1995). Más apocayá tornó a esti universu con una nueva escoyeta de cuentos titulada El cumpleaños del mundu y otros rellatos (2002).
Terramar
Ursula K. Le Guin tamién cultivó con muncho ésitu'l xéneru fantásticu y posiblemente la serie de fantasía otorgára-y tanta fama como les sos obres de ciencia ficción.
La serie de Terramar, na que se narra la historia d'un mozu aprendiz de magu que tien que lluchar escontra'l so propios mieos y pantasmes, foi empecipiada cola novela de 1968, Un magu de Terramar, y darréu siguida en 1971 con Les tumbes d'Atuan y La mariña más alloñada. Unu de los puntos interesantes de la serie de Terramar, sobremanera na primer novela, ye l'enfrentamientu del aprendiz de magu cola so propia "solombra", esa parte d'unu mesmu que contién el potencial inesploráu, animal y malváu del nuesu inconsciente. Idea bien cercana a les tesis psicoanalítiques de Freud, y que foi depués bien estudiada pol so discípulu Carl Gustav Jung. Esto da-y a la primer obra del ciclu de Terramar un interés que va más allá de la novela de ficción y entra de llenu na esploración del insconsciente humanu y del so potencial extra-sensorial.
Venti años depués, Le Guin volvería retomar los personaxes y escenarios oceánicos, con Tehanu (1990) y Nel otru vientu (2001), anque entrín y non siguió escribiendo dellos cuentos dientro d'esti mundu que pueden atopase n'antoloxíes como Les dolce moraes del vientu o'l más modernu Cuentos de Terramar.
Les hestories de Terramar fueron perbién acoyíes pol públicu, sicasí los premios fueron escasos. Namái Tehanu foi gallardonada con un Nébula (el primeru na historia de los gallardones dau a una novela de fantasía non científica y el terceru en tola so carrera, un récor ensin igualar por nengún otru autor desque s'instauró esti gallardón en 1965).
Lliteratura infantil y xuvenil
Ursula K. Le Guin escribió llibros infantiles y p'adolescentes o, en pallabres de l'autora, pa "mozos adultos". Una llista de los sos llibros pa neños incluyiría títulos como: The Catwings Collection (qu'inclúi Catwings, Catwings Return, Wonderful Alexander and the Catwings y Jane on her Own ), amás de títulos como Fish Soup, A Ride on the Red Mare's Back, A Visit from Dr. Katz y Tom Mouse.
Per otru llau, y destináu a un públicu más bien adultu, apaecen títulos como Very Far Away from Anywhere Else.
Adriana Alcock
Adriana Alcock foi una actriz arxentina de cine, teatru y televisión. Tuvo'l papel protagonista nel filme Otra cosa ye con guitarra (1949), dirixida por Antonio Ber Ciani y cumplió papeles menores n'otres películes. Actuó con frecuencia en telenoveles nes décades de 1980 y 1990. En 2001 recibió'l Premiu Podestá a la trayeutoria.
Ursula K. Le Guin
Otres publicaciones
Ursula K. Le Guin tamién escribió otres noveles de ciencia ficción que nun asoceden nel universu hainish. Tal ye'l casu de La rueda celeste (1971), El güeyu de la Garza (1983) y L'eternu regresu a casa (1985). Col tiempu, dalgunes de les hestories ensin rellacionase cola fantasía (anque asitiaes en países ficticios o imaxinarios) tamién tomaron la forma d'antoloxíes y apaecieron en publicaciones como los Países imaxinarios (Orsinian Tales), Malafrena y Les llaves del aire.
Adriana Alcock
En 1950 formó parte de la primer comisión directiva del Atenéu Cultural Eva Perón y en 1953 integró el repartu que nel Teatru Nacional Cervantes representó Esta nueche en Samarcanda de Jacques Deval, xunto a María Dudelo, José María Gutiérrez, Rufino Córdoba, Fanny Navarro, Miriam de Urquijo y Pedro Aleandro empobinaos por Esteban Serrador.
Ursula K. Le Guin
Otres publicaciones
La so última obra de fantasía titúlase Los Dones, gallardonada col premiu premiu PEN Center USA.
Adriana Alcock
En 1954 protagonizó por Canal 7 xunto a Jorge Lanza Les buelgues eternes, ciclu evocativo de cierta cultura nacional auspiciado pol Exércitu Arxentín con llibru de José Ramón Lluna y Manuel M. Alba.
Ursula K. Le Guin
Antropoloxía ficción
Gran parte de la obra de ciencia ficción de Le Guin estrémase pol so interés nes ciencies sociales, ente elles la socioloxía y l'antropoloxía. Les sos obres suelen esplorar aspeutos inusuales de les cultures alieníxenes que presenten mensaxes y reflexones sobro la nuestra mesma cultura. Ye nesti sentíu que dalgunos califiquen la so obra de ciencia ficción como ciencia ficción blanda frente a les corrientes muncho más materialistes y fisicistes que se suelen calificar como ciencia ficción dura.
Un exemplu d'esta reflexón ye la esploración que se fai en La manzorga de la escuridá de la nuestra identidá sexual y los nuestros tabús, per aciu de la presentación de la raza nativa de Gueden, una raza alieníxena qu'alterna la so sexualidá de forma periódica no qu'asemeyaría a un estáu de celu (kemmer) y la so reaición énte la esistencia de persones unisexuaes como'l protagonista de la historia.
La capacidá de Le Guin pa crear mundos creíbles poblaos por personaxes fondamente humanos (con independencia de que puedan ser calificaos téunicamente como tales) ye bien conocida.
La so serie de fantasía allugada nel imaxinariu mundu de Terramar tamién tien una llectura social, muncho más cercana a les reflexones sobre la nuestra humanidá que les d'otros autores bien reputaos como J. R. R. Tolkien.
Per otra parte, munchos espertos suelen incluyir a la so llista de cualidaes ya intereses el taoísmu, l'anarquismu, el feminismu, la psicoloxía y la socioloxía, cuestiones que trató con un estilu bien carauterísticu.
Noveles de la serie Terramar
Estes noveles fueron arrexuntaes en delles ediciones sol nome d'Hestories de Terramar.
Equipu de Copa Davis de Xapón
L'equipu xaponés de Copa Davis ye'l representativu de Xapón na máxima competición internacional a nivel de naciones del tenis. Empezó a participar nel añu 1921. La so meyor actuación foi na 1921 cuando perdió na final contra Estaos Xuníos por 5-0.
Yohei Sato
Yohei Sato (佐藤 洋平, ) ye un ex-futbolista xaponés.
Llista d'asteroides/89901–90000
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Colias
Colias ye un xéneru de lepidópteros ditrisios de la familia Pieridae con 85 especies distribuyíes por Eurasia, África, América del Norte, Central y del Sur.
Adriana Abenia
Adriana Abenia Gracia ye una presentadora de televisión, escritora y actriz española.