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Emmy Noether
Trabayos determinantes pa la álxebra astracta
Les visites de Van der Waerden yeren parte d'una converxencia de los matemáticos de tol mundu escontra Gotinga, que se convirtió nel centru más importante de contautu ente la investigación en física y matemátiques. De 1926 a 1930 el topólogu rusu Pavel Alexandrov dio una clase na universidá. Noether y él rápido convirtiéronse en bonos amigos. Empezó a referise a ella como der Noether (el Noether), utilizando l'artículu nominativu masculín singular alemán como apellativu cariñosu p'amosar el so respetu escontra ella. Ella intentó buscar la manera de llograr un puestu pa él en Gotinga como profesor regular, pero namái foi capaz d'ayudar a asegurase una beca de la Fundación Rockefeller. Dambos atopábense con regularidá y esfrutaben aldericando sobre los puntos de mancomún de la álxebra y la topoloxía. Na so alocución nel homenaxe que recibió en 1935, Alexandrov referir a Emmy Noether como "el más grande matemáticu de tolos tiempos".
Docencia y alumnáu
En Gotinga, Noether supervisó más d'una docena de doctorandos. El primeru foi Grete Hermann, quien defendió la so tesis en febreru de 1925. Darréu faló reverentemente del so "madrina de tesis". Noether tamién dirixó la tesis de Max Deuring, quien s'estremó como estudiante de grau y siguió contribuyendo significativamente nel campu del álxebra aritmética. Hans Fitting, a quien se conoz pol teorema de Fitting y el lema de Fitting. Zeng Jiongzhi, quien probó'l teorema de Tsen. Tamién trabayó estrechamente con Wolfgang Krull, quien fixo avanzar grandemente'l álxebra conmutativa cola so Hauptidealsatz (teorema del ideal principal) y el so teoría de la dimensión na álxebra conmutativa, p'aniellos conmutativos.
Amás del so instintu pa les matemátiques, Noether foi respetada pola so considerancia escontra los demás. Anque delles vegaes portóse duramente contra los que lu contradicíen, ganóse reputación pola so solicitú y paciencia colos alumnos nuevos. La so llealtá a la precisión matemática fixo qu'un colega calificar como una "crítica severa", pero combinó la so esixencia de precisión con una actitú cuasi maternal. Un colega darréu describir d'esta miente: "dafechu esprendida de cualquier egoísmu y llibre de vanidá, enxamás pidió nada pa sigo, sinón que promovió'l trabayu de los sos alumnos percima de too".
El so estilu de vida frugal deber a que se-y negaron les soldaes pol so trabayu. Sicasí, a pesar de que la universidá empezó a retribuirle con un pequeñu salariu en 1923, siguió viviendo de forma modesta. Se -y retribuyó de forma más arrogante a la fin de la so vida, pero aforraba la metá del so salariu p'ayudar al so sobrín, Gottfried Y. Noether.
Mayormente despreocupada pol so aspeutu y modales, centróse puramente nos sos estudios hasta'l puntu d'escluyir la posibilidá d'una rellación romántica o de siguir la moda. Una importante alxebrista, Olga Taussky-Todd, describió un refrigerio pa muyeres, nel que Noether, totalmente metida nun discutiniu matemáticu, "cuspía la so comida constantemente y llimpiábase nel so vistíu, ensin qu'esto-y afectara lo más mínimo". Los alumnos más esmolecíos poles apariencies nun soportaben qu'usara la blusa de moquero y desabriérase del so pelo, cada vegada más revueltu a midida que avanzaba la clase. Dos alumnes averar a ella nuna ocasión nel descansu d'una clase de dos hores pa espresar les sos esmoliciones, pero fueron incapaces de meter baza nel enérxicu discutiniu matemáticu que taba calteniendo con otros alumnos nesi momentu.
Acordies col obituariu pronunciáu por van der Waerden tres la muerte de Emmy Noether, ella nun siguía un programa preestablecido nes sos clases, lo cual atayaba a dellos alumnos. Les sos clases yeren un tiempu de discutiniu bonal colos sos alumnos, pa pensar y clarificar los problemes más avanzaos del momentu en matemátiques. Dalgunos de les resultaos más importantes desenvolver nestes clases, y los apuntes de los estudiantes acabaron formando la base de dellos testos importantes, como los de van der Waerden y Deuring.
Dellos de los sos colegues asistíen a les sos clases, y ella dexaba que dalgunes de les sos idees, como la del "productu cruzáu" (verschränktes Produkt n'alemán) d'álxebres asociatives fueren publicaes por otros. Esiste un rexistru nel que figura Noether como profesora de cursos que duraron siquier cinco semestres en Gotinga:
Estos cursos con frecuencia precedíen a publicaciones importantes nestes árees. Noether falaba bien rápido —reflexando la rapidez de los sos pensamientos, según dicíen munchos— y pidía gran concentración a los sos alumnos. Aquellos a los que-yos ofendía los so estilu, sentíense de cutiu alienados. Unu d'ellos escribió nun cuadiernu con al respective de una clase que terminó a la 1:00 pm: "Son les 12:50, ¡gracies a Dios!" Dellos alumnos pensaben que se basaba demasiáu en discutinios bonales. Sicasí, los sos alumnos más aplicaos refalfiar nel entusiasmu con que tresmitía les matemátiques, especialmente porque les sos clases con frecuencia faíen sobre los trabayos más recién qu'ellaboraren xuntos.
Desenvolvió un círculu zarráu de colegues y estudiantes que pensaben de forma similar y tendíen a escluyir a quien nun lo faíen asina. Los "outsiders" que dacuando visitaben les clases de Noether solíen pasar namái 30 minutos na aula enantes d'abandonala envolubraos na frustración o'l tracamundiu. Unu de los sos estudiantes habituales anotó asina unu d'estos incidentes: "L'enemigu foi derrotáu; foise."
La devoción de Noether pol so oficiu y los sos alumnos nun entendía d'hores lectives. Una vegada que l'edificiu de la universidá taba cerráu por vacaciones, axuntó a la so clase nes escaleres de la entrada, llevar pol monte y dio-yos clase nuna cafetería local. Más tarde, al ser apostrada pol Tercer Reich, habría de convidar a los sos alumnos a la so casa p'aldericar los sos futuros planes y conceutos matemáticos.
En Moscú
thumb|Noether enseñó na [[Universidá Estatal de Moscú nel iviernu de 1928-29.]]
Nel iviernu de 1928-29 Noether aceptó una invitación de la Universidá Estatal de Moscú, onde siguió trabayando con P. S. Alexandrov. Amás de siguir coles sos investigaciones, impartió clases d'álxebra astracta y xeometría alxebraica. Trabayó colos topólogos Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, quien más tarde estimaron la so contribución al desenvolvimientu de la teoría de Galois.
Anque la política nun foi central na so vida, Noether tomóse ciertu interés n'asuntos políticos, y según Alexandrov, amosó un considerable sofitu a la revolución rusa de 1917. Emmy sentíase especialmente feliz por ver les meyores soviéticos nos campos de la ciencia y les matemátiques, que consideraba indicativos de les nueves oportunidaes que brindaba'l proyeutu bolxevique. Esta actitú tráxo-y problemes n'Alemaña, rematando nel desallugu de la pensión onde vivía por causa de les protestes de los cabezaleros estudiantiles que se quexaben por vivir con una "xudía marxista".-
Noether entamó volver a Moscú, un enfotu nel que recibió'l sofitu de Alexandrov. Dempués de que dexara Alemaña en 1933, intentó llograr una cátedra na Universidá Estatal de Moscú al traviés del Narkompros. Anque'l so esfuerciu nun tuvo ésitu, caltuvo correspondencia frecuente mientres los años 1930 y en 1935 fixo planes pa volver a la Xunión Soviética. Mentanto'l so hermanu Fritz aceptara un puestu nel Institutu pa la Investigación en Matemátiques y Mecánica de Tomsk, Rusia, en perdiendo'l so emplegu n'Alemaña.
Reconocencia
En 1932 Emmy Noether y Emil Artin recibieron el Premiu Ackermann-Teubner Memorial pola so contribución a les matemátiques. El premiu traía un pagu en metálicu de 500 Reichsmarks y foi vistu como una reconocencia oficial llargu tiempu retrasáu polos sos considerables trabayos nel campu. Sicasí, los sos colegues espresaron frustración pol fechu de que nun fuera escoyida pa l'Academia de Ciencies de Gotinga y enxamás foi promovida al puestu de Ordentlicher Professor (caderalga).
thumb|left|Noether visitó [[Zúrich en 1932 pa dirixise al plenariu del Congresu Internacional de Matemáticos.]]
Los colegues de Noether celebraron el so cincuenta cumpleaños en 1932 a la manera típica de los matemáticos: Helmut Hasse dedicó-y un artículu nos Mathematische Annalen, onde confirmó'l so barruntu de que dellos aspeutos de l'álxebra non conmutativa son más simples que los de la conmutativa probando una llei de reciprocidá non conmutativa. Esto complació inmensamente a Noether. Hasse tamién-y unvió un acertijo matemáticu, el "acertijo de sílabes mμν", que resolvió darréu. El acertijo perdióse.
En setiembre del mesmu añu Noether pronunció una alocución (großer Vortrag) al plenariu del Congresu Internacional de Matemáticos de Zúrich sobre los "Sistemes hipercomplejos nes sos rellaciones cola álxebra conmutativa y la teoría de númberos". Al congresu asistieron ochocientes persones, ente elles los colegues de Noether Hermann Weyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull. Había cuatrocientos venti participantes oficiales y presentáronse ventiún alocuciones al plenariu. Aparentemente, la posición prominente de Noether como conferenciante yera una reconocencia de la importancia de la so contribución a la matemática. El congresu de 1932 describir n'ocasiones como'l puntu álgido de la so carrera.
Espulsión de Gotinga
Una de les primeres aiciones del gobiernu de Hitler foi la Llei pa la Restauración del Serviciu Civil Profesional que cesó del so puestu a los funcionarios xudíos y políticamente sospechosos — a menos de que demostraren la so llealtá a Alemaña sirviendo na primer guerra mundial. N'abril de 1933 Noether recibió una notificación del Ministeriu Prusianu de Ciencies, Arte y Educación pública que lu comunicaba que "En base al párrafu 3 del Códigu del Serviciu Civil del 7 d'abril de 1933, pola presente retíro-y el derechu d'enseñar na Universidá de Gotinga." A dalgunos de los colegues de Noether, incluyendo Max Born y Richard Courant, tamién-yos fueron revocaos los sos puestos. Noether aceptó la decisión con aselu, sofitando a otros mientres aquellos difíciles momentos. Hermann Weyl escribió darréu que "Emmy Noether —el so valor, franqueza, el so desdexamientu pol so propiu destín, el so espíritu conciliador, a pesar del ablayamientu que nos arrodiaba, yera un aliviu moral." Como yera d'esperar, Noether siguió concentrada nes matemátiques, axuntando a los alumnos nel so apartamentu p'aldericar sobre la teoría de los cuerpos de clases. Cuando unu de los sos estudiantes apaeció vistíu col uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), nun amosó nengún signu d'esmolición y, según díxose, inclusive-y sonrió más tarde.
Bryn Mawr
thumb|El [[Bryn Mawr|Bryn Mawr College dio un llar atopadizu a Noether mientres los dos últimos años de la so vida.]]
Como docenes de profesores que se quedaren ensin emplegu empezaron a buscar puestos docentes fora d'Alemaña, los sos colegues de los Estaos Xuníos buscáron-y asistencia y oportunidaes llaborales. Albert Einstein y Hermann Weyl fueron escoyíos pol Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton ente qu'otros trabayaron p'atopar el patrocinador que se precisaba nos trámites d'inmigración. Noether foi contactada por representantes de dos instituciones educatives, el Bryn Mawr College n'Estaos Xuníos y el Somerville College na Universidá d'Oxford, Inglaterra. Tres una serie de negociaciones cola fundación Rockefeller, aprobóse la concesión d'una beca pa Noether en Bryn Mawr y llogró un puestu ellí, empezando a finales de 1933.
En Bryn Mawr, Noether conoció y trabó amistá con Anna Wheeler, quien estudiara en Gotinga xustu primero que Noether llegara ellí. Otra fonte de sofitu nel College foi la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, quien convidó con entusiasmu a los matemáticos locales por que vieren a la "Doctora Noether n'aición". Noether y un pequeñu grupu d'estudiantes trabayaron rápido col llibru de 1930 de van der Waerden Álxebra Moderna I y partes de la Theorie der algebraischen Zahlen d'Erich Hecke (Teoría de númberos alxebraicos, 1908).
En 1934, Noether empezó a dar clases nel Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton por invitación d'Abraham Flexner y Oswald Veblen. Tamién trabayó y supervisó a Abraham Albert y Harry Vandiver. Sicasí, sobre la Universidá de Princeton (venceyada, pero distinta del Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton) reparó que nun foi bien recibida en "una universidá d'homes, onde nun s'almitía a nenguna muyer". Los sos díes nos Estaos Xuníos fueron placenteros, arrodiada como taba de colegues que-y sofitaben y absorbíen coles sos temes favorites. Nel branu de 1934 retornó por un curtiu tiempu a Alemaña p'atopase con Emil Artin y el so hermanu Fritz enantes de dirixise a Tomsk. Anque munchos de los sos anteriores colegues fueren obligaos a abandonar la universidá, pudo usar la biblioteca como "investigadora invitada estranxera".
Fallecimientu
thumb|Los restos mortales de Emmy Noether atopar nel pasaxe qu'arrodia'l claustru de la Biblioteca M. Carey Thomas.
Unos díes dempués de la muerte de Noether, los sos amigos y allegaos en Bryan Mawr celebraron un serviciu na so memoria na President Park's house. Hermann Weyl y Richard Brauer viaxaron dende Princeton y falaron con Wheeler y Taussky sobre la so colega sumida. Nos meses que siguieron, empezaron a apaecer homenaxe per escritu per tol mundu: Al d'Albert Einstein xunióse'l de van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov pa presentar los sos respetos. El so cuerpu foi encenráu y les cenices soterraes nel claustru de la biblioteca M. Carey Thomas Library en Bryn Mawr.
Contribución a la matemática y la física
En primer llugar y primero de too, Noether ye recordada nes matemátiques como alxebrista y polos sos trabayos na topoloxía. Los físicos apreciar más pol famosu teorema que lleva'l so nome, yá que tien consecuencies de gran algame pal estudiu de les partícules subatómiques y la dinámica de sistemes. Amosó una aguda propensión pal pensamientu astractu, lo que-y dexaba averar se a problemes matemáticos d'una forma orixinal. El so amigu y colega Hermann Weyl describió'l so trabayu como autoridá en tres époques claramente distintes:
Na primer dómina (1908-19), Noether ocupar en primer llugar de los invariantes diferenciales y alxebraicos, empezando cola defensa de la so tesis so la direición de Paul Albert Gordan. Los sos horizontes matemáticos ampliáronse, y el so trabayu empezó a faese más xeneral y astractu a midida que foise familiarizando col trabayu de David Hilbert, gracies a estreches interaiciones col socesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Dempués del so treslláu a Gotinga en 1915, ellaboró'l trabayu que darréu s'amosó de capital importancia pa la física, el teorema de Noether.
Na segunda dómina (1920-26), Noether dedicar al desenvolvimientu de la teoría d'aniellos.
Na so tercer dómina (1927-35), Noether centrar nel álxebra non conmutativa, tresformamientos lliniales y cuerpos conmutativos numbéricos.
Contestu históricu
Nel sieglu trescurríu dende 1832 hasta'l fallecimientu de Noether en 1935, el campu de les mátemáticas —específicamente'l álxebra— sufrió una fonda revolución, que los sos ecos entá se sienten. Los matemáticos de los sieglos anteriores trabayaron en métodos práuticos pa resolver tipos específicos d'ecuaciones, por casu les ecuaciones cúbiques, y de cuartu y quintu grau, según problemes rellacionaos cola construcción de polígonos regulares con regla y compás. Empezando cola prueba efectuada por Carl Friedrich Gauss en 1829 de qu'un númberu primu como cinco podía ser factorizado n'enteros de Gauss, la introducción per parte d'Évariste Galois del conceutu de grupu en 1832, y el descubrimientu per parte de William Rowan Hamilton de los cuaterniones en 1843, les investigaciones matemátiques diben determinando les propiedaes de sistemes cada vegada más astractos definíos por regles cada vegada más universales. Les contribuciones más importantes de Noether a les matemátiques vinieron pol desenvolvimientu d'esti nuevu campu, el álxebra astracta.
Álxebra astracta y begriffliche Mathematik (matemática conceptual)
Dos de los dos oxetos más básicos na álxebra astracta son los grupos y los aniellos.
Un grupu consiste nun conxuntu dotáu d'una operación que combina dos elementos cualesquier y da un terceru. La operación tien de satisfaer ciertes condiciones pa ser un grupu: tien de ser zarrada (cuando s'aplica a cualquier par d'elementos, l'elementu xeneráu tien de pertenecer tamién al conxuntu), ten de ser asociativa, tien de tener un elementu neutru (un elementu que combináu por aciu la operación con cualesquier otru da como resultáu l'elementu orixinal, como sumar cero o multiplicar por unu), y pa cada elementu tien d'esistir un elementu inversu.
Un aniellu ye un conxuntu dotáu de dos operaciones. La primera da al conxuntu estructura de grupu, y la segunda operación ye asociativa y distributiva con al respective de la primer operación. Puede o nun ser conmutativa. Si cada elementu distintu de cero tien un inversu multiplicativu (un elementu x tal que ax = xa = 1), l'aniellu llámase aniellu de división. Un cuerpu defínese como un aniellu de división conmutativu.
Los grupos estúdiense frecuentemente por aciu representaciones de grupu. Na so forma más xeneral, éstes consisten en tomar un valor del grupu, un conxuntu, y una aición del grupu sobre'l conxuntu, esto ye, una operación esterna que toma un elementu del grupu y un elementu del conxuntu, y da un elementu del conxuntu. Con frecuencia, el conxuntu ye un espaciu vectorial y el grupu ta representáu por simetríes del espaciu vectorial. Por casu, hai grupos que pueden representase por aciu rotaciones del espaciu. Noether consideró esti tipu de simetríes nel so trabayu sobre los invariantes en física.
Una forma poderosa d'estudiar los aniellos ye al traviés de los sos módulos. Un módulu consiste nun valor d'un aniellu, otru conxuntu, de normal distintu del conxuntu subxacente llamáu'l conxuntu subxacente del módulu, una operación sobre pares d'elementos del conxuntu subxacente del módulu y una operación que toma un elementu del aniellu y un elementu del módulu y da un elementu del módulu. El conxuntu subxacente del módulu y la so operación tienen de formar un grupu. Un módulu ye una versión de la teoría d'aniellos d'una representación de grupu: inorando la segunda operación del aniellu y l'operación sobre pares d'elementos del módulu determina una representación de grupu. La utilidá real de los módulos ye que los tipos de módulos qu'esisten y el so interaiciones revélase la estructura del aniellu de formes que nun son evidentes a partir del propiu aniellu. Un casu especial importante d'esto ye un álxebra. La pallabra álxebra significa tantu una tema dientro de les matemátiques como un oxetu más específicu estudiáu dientro de la mesma álxebra. Nesta segunda acepción consiste nuna eleición de dos aniellos y una operación que toma un elementu de cada aniellu y da un elementu del segundu aniellu. Esta operación efectuar el segundu aniellu nun módulu sobre'l primeru. Con frecuencia'l primer aniellu ye un cuerpu.
Pallabres como "elementu" y "operación de combinación" son demasiáu xenerales y pueden aplicase a munches situaciones astractes y del mundu real. Cualquier conxuntu de coses qu'obedezan les regles d'una (o dos) operaciones ye, por definición, un grupu (o aniellu), y obedez a tolos teoremas sobre grupos (o aniellos). Los númberos eneteros y les operaciones de adición y multiplicación son namái un exemplu. Por casu, los elementos pueden ser datos de computación en pallabres, na que la primer operación de combinación ye la dixunción esclusiva y la segunda ye una conxunción lóxica. Los teoremas de la álxebra astracta son potentes porque son xenerales. Gobiernen munchos sistemes. Puede imaxinase que poco se puede concluyir sobre objeto definíos con tan poques propiedaes, pero precisamente nesto anicia'l legáu de Noether: afayar lo máximo que pueda concluyise a partir d'un conxuntu dau de propiedaes, o dichu otra manera, identificar el mínimu de les propiedaes esenciales d'una observación en particular. A diferencia de la mayor parte de los matemáticos, nun realizó astraiciones xeneralizando a partir d'exemplos conocíos. En llugar d'ello trabayó direutamente coles astraiciones. Como recordó van der Waerden nel obituariu de Emmy:
Esto ye la llamada begriffliche Mathematik (matemática conceptual) que ye carauterística de Noether. Esti estilu de matemátiques foi adoptáu por otros matemáticos, y tres la so muerte florió en nueves formes como la teoría de categoríes.
Los enteros tienen propiedaes adicionales que nun se xeneralicen a tolos aniellos conmutativos. Un exemplu importante ye'l teorema fundamental de l'aritmética, que diz que cada enteru positivu puede ser factorizado namái en númberos primos. Les factorizaciones úniques non siempres esisten n'otros aniellos, pero Noether atopó un únicu teorema de factorización, conocíu anguaño como'l teorema de Lasker-Noether theorem, para ideales de munchos aniellos. Gran parte del trabayu de Noether centrar en determinar qué propiedaes correspuenden a tolos aniellos, en diseñar nuevos análogos de los vieyos teoremas sobre los enteros y en determinar el mínimu conxuntu de premises necesaries pa llograr ciertes propiedaes de los aniellos.
Teoría de la invariante alxebraica
Gran parte del trabayu de Noether na primer dómina de la so carrera taba acomuñáu cola teoría de los invariantes, principalmente la teoría de les invariantes alxebraiques. La teoría de los invariantes trata de les espresiones que permanecen constantes (invariantes) baxu grupos de tresformamientos. Como exemplu cotidianu, si una vara de midir ríxida someter a rotación, les coordenaes (x, y, z) de los sos estremos camuden, pero'l so llargor L dada pola fórmula L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 permanez constante. La teoría de invariantes foi una área d'investigación activa a finales del sieglu XIX, promovida en parte pol programa de Erlangen de Felix Klein, acordies col cual los distintos tipos de xeometría tendríen de ser caracterizaes poles sos invariantes so tresformamientos, por casu, la razón anarmónica de la xeometría proyectiva. L'exemplu arquetípico d'una invariante ye'l discriminante B2 − 4AC d'una forma binaria cuadrática de Ax2 + Bxy + Cy2. A esta llámase-y invariante porque nun camuda por substituciones lliniales x→ax + by, y→cx + dy con determinante ad − bc = 1. Estes substituciones formen el grupu llinial especial SL2. (Nun hai invariantes sol grupu llinial xeneral de toes los tresformamientos lliniales invertibles porque estos tresformamientos pueden ser multiplicación por un factor esguilar. Pa remedialo, la teoría clásica de los invariantes tamién considera invariantes relatives, que yeren formes de invariancia salvo un factor esguilar). Puede preguntar por tolos polinomios en A, B, and C que nun camuden pola aición de SL2; a éstos llámase-yos invariantes de les formes cuadráticas, y resulten ser los polinomios del discriminante. De manera más xeneral, puede preguntar polos invariantes de los polinomios homoxéneos A0xry0 + ... + Arx⁰yr de grau cimeru, que van ser ciertos polinomios nos coeficientes A0, ..., Ar, y de forma entá más xeneral, pueden plantegase cuestiones similares sobre los polinomios homoxéneos en más de dos variables.
Una de les principales metes de la teoría de los invariantes ye resolver el "problema de base finita". La suma o productu de dos invariantes cualesquier ye un invariante, y el problema de la base finita plantegaba si yera posible llograr tolos invariantes empezando por una llista finita de invariantes, llamaos xeneradores, y dempués añedir o multiplicar los xeneradores ente sigo. Por casu, el discriminante ufierta una base finita (con un elementu) pa los invariantes de les formes binaries cuadráticas. El direutor de tesis de Noether, Paul Albert Gordan, foi conocíu como'l "rei de la teoría de los invariantes", y la so principal contribución a les matemátiques foi la so solución en 1870 del problema de la base finita pa invariantes de polinomios homoxéneos en dos variables. Probó la esistencia d'una base finita por aciu un métodu constructivu p'atopar tolos invariantes y los sos xeneradores, pero nun foi capaz de desenvolver esti enfoque constructivu pa invariantes de polinomios en trés o más variables. En 1890 David Hilbert probó un planteamientu similar pa los invariantes de polinomios homoxéneos en cualquier númberu de variables. Ye más, esti métodu funcionaba non yá pal grupu especial llinial, sinón tamién pa dalgún de los sos subgrupos como'l grupu especial ortogonal. La so primer prueba produció ciertu discutiniu porque nun apurría un métodu pa construyir los xeneradores, anque en trabayos posteriores fixo que'l so métodu fuera constructivu. Pa la so tesis Noether amplió la prueba computacional de Gordan a polinomios homoxéneos en trés variables. L'aproximamientu constructivu de Noether fixo posible estudiar les rellaciones ente los invariantes. Darréu, en volviéndose escontra métodos más astractos, dixo de la so tesis que yera Mist (esllava) y Formelngestrüpp (un revoltixu d'ecuaciones).
Teoría de Galois
La teoría de Galois trata de los tresformamientos de cuerpos numbéricos que permutan los raigaños d'una ecuación. Considérese una ecuación polinómica d'una variable x de grau n, nel que los coeficientes pertenecen a dalgún cuerpu base», que podría ser, por casu, el cuerpu de los númberos reales, el de los númberos racionales o'l de los enteros módulu 7. Pueden esistir o non valores de x qu'anulen esti polinomiu. Estos valores, si esisten, llámense raigaños. Si'l polinomiu ye x2 + 1 y el cuerpu ye'l de los númberos reales, entós el polinomiu nun tien raigaños, porque cualquier valor de x fai que'l polinomiu seya mayor o igual qu'unu. Sicasí, si'l cuerpu s'estiende, entós el polinomiu puede tener raigaños, y si estiéndese-y lo suficiente, va tener un númberu de raigaños igual al so grau. Siguiendo col exemplu previu, si'l cuerpu estender a los númberos complexos, entós el polinomiu tien dos raíz, i y −i, ondei ye la unidá imaxinaria, esto ye, i2 = −1. De manera más xeneral, la estensión del cuerpu nel qu'un polinomiu puede factorizarse nos sos raigaños conozse como cuerpu de descomposición del polinomiu.
El grupu de Galois d'un polinomiu ye'l conxuntu de toles maneres de tresformar el cuerpu de descomposición ensin camudar nin el cuerpu base nin los raigaños del polinomiu (na xíriga matemática, esos tresformamientos denominar automorfismos). El grupu de Galois de x2 + 1 consta de dos elementos: El tresformamientu identidá, qu'unvia cada númberu complexu a sigo mesmu, y la conxugación, que fai corresponder i a −i. Una y bones el grupu de Galois nun camuda'l cuerpu base, dexa los coeficientes del polinomiu inalteraos, de cuenta que debe tamién dexar inalteráu'l conxuntu de toes los raigaños. Sicasí, cada raigañu puede tresformase n'otru raigañu, de cuenta que'l tresformamientu determina una permutación de n raigaños ente sigo mesmes. La importancia del grupu de Galois vien del teorema fundamental de la teoría de Galois, que prueba que los cuerpos que tán ente'l cuerpu base y el cuerpu de descomposición tán en correspondencia biunívoca colos subgrupos del grupu de Galois.
En 1918, Noether publicó un artículu de gran importancia sobre'l problema inversu de Galois. En llugar de determinar el grupu de Galois de tresformamientos d'un cuerpu dau y la so estensión, Noether preguntóse si, dau un cuerpu y un grupu, siempres ye posible atopar una estensión del cuerpu que tenga al grupu dau como'l so grupu de Galois. Amenorgó esto al llamáu problema de Noether, que pregunta si'l cuerpu fixu d'un subrupo G del grupu de permutaciones Sn actuando sobre'l cuerpu k(x1, ..., xn) ye siempres una estensión trascendente pura del cuerpu k. (Mentó esto per primer vegada nun artículu de 1913, onde atribuyía los problema al so colega Fischer.) Amosó qu'esto yera ciertu pa n = 2, 3, o 4. En 1969, R. G. Swan atopó un contraejemplo pal problema de Noether siendo n = 47 y G un grupu cíclicu d'orde 47 (anque esti grupu puede realizase como un grupu de Galois sobre los númberos racionales por otros métodos). El problema inversu de Galois sigue ensin resolvese.
Física
Noether foi convidada a Gotinga en 1915 por David Hilbert y Felix Klein, quien precisaben de la so esperiencia na teoría de invariantes p'ayudar a entender la relatividá xeneral, una teoría xeométrica de la gravitación desenvuelta principalmente por Albert Einstein. Hilbert reparara que la caltenimientu de la enerxía paecía ser violada na relatividá xeneral, debíu al fechu de que la enerxía gravitacional podía de la mesma exercer atraición gravitacional. Noether desmontó esta paradoxa y creó una ferramienta fundamental pa la física teórica cola so primer teorema de Noether, que demostró en 1915, pero que nun publicar hasta 1918. Resolvió'l problema non yá pa la relatividá xeneral, sinón que determinó les cantidaes calteníes pa cualesquier sistema de lleis físiques que tenga dalgún tipu de simetría continua En recibiendo'l so trabayu, Einstein escribió a Hilbert estes pallabres: "Ayeri recibí de la señorita Noether un artículu bien interesante sobre los invariantes. Impresionóme qu'esti tipu de coses puedan ser entendíes d'una manera tan xeneral. ¡La vieya guardia de Gotinga tendría de tomar delles lleiciones de la señorita Noether! Paez que sabe lo que fai."
Pa ilustrar la importancia d'esti teorema, si un sistema físicu portar con independencia de la so orientación nel espaciu, dizse que les lleis físiques que la gobiernen son tienen simetría de rotación. A partir d'esta simetría, el teorema de Noether amuesa que'l momentu angular del sistema tien de caltenese. El mesmu sistema físicu nun precisa ser simétricu. Un asteroide de superficie irregular que xira caóticamente nel espaciu caltién el so momentu angular a pesar de la so falta de simetría. Ye la simetría de les lleis físiques que gobiernen el sistema la que ye responsable de la llei del caltenimientu. Otros exemplos: si un esperimentu físicu da la mesma resultancia en cualquier llugar y en cualquier momentu, entós les sos lleis son simétriques so traslaciones (continues) nel espaciu y el tiempu. En virtú del teorema de Noether, estes simetríes espliquen les ley de caltenimientu del momentu llinial y la enerxía d'esti sistema, respeutivamente.
El teorema de Noether convirtióse nuna ferramienta fundamental na moderna física teórica, tantu pola perspeutiva que da sobre les lleis de caltenimientu como por ser una ferramienta práctico de cálculu. El teorema dexa a los investigadores determinar les cantidaes calteníes a partir de les simetríes reparaes nun sistema físicu. Recíprocamente, facilita la descripción d'un sistema físicu basándose en lleis físiques hipotétiques. Pa ilustrar esti puntu, supóngase que s'afaya un nuevu fenómenu físicu. Entós los modelos teóricos que se propongan pal fenómenu tienen de satisfaer el teorema de Noether: si la teoría tien una simetría continua, entós el teorema de Noether garantiza que la teoría tien una cantidá caltenida, y por que la teoría seya correuta, esti caltenimientu tien de ser observable n'esperimentos.
Segunda dómina (1920-26)
Anque les resultaos de la primer dómina de Noether fueron impresionantes y preseos, la so fama como matemática fuelga más nel trabayu fundamental qu'efeutuó na so segunda y tercer dómines, como alverten Hermann Weyl y B. L. van der Waerden nel obituariu de Emmy.
Condiciones ascendentes y descendentes de cadena
Nesta dómina, Noether fíxose famosa pola so maña nel usu de les condiciones ascendentes (Teilerkettensatz) o descendentes (Vielfachenkettensatz) de cadena. Dizse qu'una socesión de subconxuntos non vacíos A1, A2, A3, etc. d'un conxuntu S ye puramente ascendente si cada unu ye un subconxuntu del siguiente
La condición de cadena ascendente rique qu'estes socesiones descompónganse dempués d'un númberu finito de pasos. N'otres pallabres, toes estes socesiones tienen de ser finitas. A la inversa, con una socesión de subconxuntos puramente descendente:
la condición de la cadena descendente rique que tales socesiones descompónganse dempués d'un númberu finito.
Les condiciones ascendentes y descendentes de cadena son xenerales, esto ye, pueden aplicase a munchos tipos distintos d'oxetos matemáticos, y a la primer vista nun paecen bien potentes. Sicasí Noether amosó cómo esplotar eses condiciones pa llograr les máximes ventayes: por casu, utilizándoles p'amosar que tou conxuntu de sub-oxetos tien un elementu maximal o minimal, o qu'un oxetu complexu puede xenerase a partir d'un númberu menor d'elementos. Estes conclusiones de cutiu son pasos cruciales nuna demostración.
Munchos tipos d'oxetos nun álxebra astracta pueden satisfaer les condiciones de cadena, y davezu si satisfaen una condición ascendente de cadena llámense noetherianos nel so honor. Por definición, un aniellu noetheriano satisfai una condición ascendente de cadena nos sos ideales esquierdu y derechu, ente que un grupu noetheriano defínese como un grupu nel que toa cadena puramente ascendente de subgrupos ye finita. Un módulu noetheriano ye un módulu nel que toa cadena puramente ascendente de submódulos descomponse dempués d'un númberu finito. Un espaciu noetheriano ye un espaciu topolóxicu nel que toa cadena puramente ascendente de subespacios abiertos descomponse dempués d'un númberu finito de términos. Esta definición establecer de tal manera que l'espectru d'un aniellu noetheriano ye un espaciu topolóxicu noetheriano.
La condición de la cadena frecuentemente ye "heredada" polos subobjetos. Por casu, tolos subespacios d'un espaciu noetheriano son de la mesma noetherianos. Tolos subgrupos y grupo cociente d'un grupu noetheriano son de la mesma noetherianos, y mutatis mutandis, lo mesmo predicar de los submódulos y cocientes de módulos d'un módulu noetheriano. Tolos aniellos cociente d'un aniellu noetheriano son noetherianos, pero eso nun ye necesariamente válidu pa los sos subanillos. La condición de cadena tamién puede heredase por combinaciones o estensiones d'un oxetu noetheriano. Por casu, les sumes finitas direutes aniellos noetherianos son noetherianas, según l'aniellu de series de potencies formales sobre un aniellu noetheriano.
Otra aplicación d'estes condiciones de cadena ye la inducción noetheriana —tamién conocida como orde bien encontáu— que ye una xeneralización de la inducción matemática. Frecuentemente úsase p'amenorgar proposiciones xenerales sobre coleiciones d'oxetos a proposiciones sobre oxetos en particular d'esa coleición. Supóngase que S ye un conxuntu parcialmente ordenáu. Una forma de probar una afirmación sobre los oxetos de S ye suponer la esistencia d'un contraejemplo y deducir una contradicción, probando d'esa manera la contrapuesta de l'afirmación orixinal. La premisa básica de la inducción noetheriana ye que tou subconxuntu non vacíu de S contién un elementu minimal. En particular, el conxuntu de tolos contraejemplos contién un elementu minimal, el contraejemplo minimal. Pa probar l'afirmación orixinal, por tanto, ye abonda probar daqué aparentemente muncho más débil: por cada contraejemplo esiste un contraejemplo menor.
Aniellos conmutativos, ideales y módulos
L'artículu de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoría d'ideales en dominios d'integridá, 1921), ye'l fundamentu de la teoría xeneral d'aniellos conmutativos y da una de les primeres definiciones xenerales d'un aniellu conmutativu. Antes del so artículu, munchos de les resultaos na álxebra conmutativa acutar a exemplos especiales d'aniellos conmutativos, como los aniellos polinómicos sobre cuerpos o aniellos d'enteros alxebraicos. Noether probó que nun aniellu que satisfai la condición de cadena ascendente sobre un ideal, tolos ideales xenerar de forma finita. En 1943 el matemáticu francés Claude Chevalley acuñó'l términu, aniellu noetheriano, pa describir esta propiedá. Una de les consecuencies principales del artículu de Noether de 1921 ye'l teorema de Lasker-Noether, qu'amplía los teorema de Lasker sobre la descomposición primaria d'ideales n'aniellos polinómicos a tolos aniellos noetherianos. El teorema de Lasker-Noether puede contemplase como una xeneralización del teorema fundamental de l'aritmética qu'afirma que cualesquier enteru positivu puede espresase como un productu de númberos primos y que dicha descomposición ye única.
El trabayu de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estructura astracta de la teoría d'ideales en cuerpos de númberos alxebraicos y de funciones, 1927) caracterizó los aniellos nos que los ideales tienen una factorización única n'ideales primos como los dominios de Dedekind: los dominios integrales que son noetherianos, 0 o 1-dimensionales, y zarraos integralmente nos sos cuerpos cocientes. Esti artículu tamién contién lo qu'anguaño se conoz como los teoremas d'isomorfismu, que describen dellos isomorfismos naturales y otres resultaos básiques alrodiu de los módulos noetherianos y artinianos.
Teoría de la eliminación
En 1923-24, Noether aplicó la so teoría d'ideales a la teoría de la eliminación—nuna formulación que s'atribúi al so alumnu, Kurt Hentzelt — amosando que los teoremas fundamentales de la factorización de polinomios podíen treslladase direutamente. Tradicionalmente, la teoría de la eliminación ocupar de la eliminación d'una o más variables d'un sistema d'ecuaciones polinómiques, davezu por aciu el métodu de les resultantes. Pa ilustrar esti puntu, un sistema d'ecuaciones frecuentemente puede escribise como'l productu d'una matriz M (que los sos elementos son los coeficientes) por un vector v (que les sos componentes son les potencies socesives de x) que s'iguala al vector cero, M•v = 0. De resultes, el determinante de la matriz M tien de ser igual a cero, lo que da llugar a una nueva ecuación na que la variable x foi esaniciada.
Teoría de los invariantes de grupos finitos
Téuniques como la solución non constructiva orixinal de Hilbert al problema de la base finita nun podíen aplicase pa llograr información cuantitativa sobre los invariantes d'una aición de grupu, y nin siquier podíen aplicase a toles aiciones de grupu. Nel so artículu de 1915, Noether resolvió'l problema de base finita pa un grupu finito de tresformamientos G qu'actúa sobre un espaciu vectorial finito-dimensional sobre un cuerpu de carauterística cero. La so solución amuesa que l'aniellu de les invariantes xenerar por invariantes homoxéneos que'l so grau ye menor o igual al orde del grupu finito. A esto llámase-y cota de Noether. El so artículu daba dos demostraciones de la cota de Noether, que permanecen válides cuando la carauterística del cuerpu ye coprima con |G|!, el factorial d'orde |G| del grupu G. El númberu de xeneradores necesarios nun satisfai necesariamente la cota de Noether cuando la carauterística del cuerpu estrema a |G|, pero Noether nun foi capaz de determinar si la cota yera correuta cuando la carauterística del cuerpu estrema a |G|! pero non a |G|. Mientres munchos años, determinar la verdá o falsedá de la cota nesti casu foi un problema abiertu conocíu como la "llaguna de Noether". Finalmente resolvióse de forma independiente por Fleischmann en 2000 y Fogarty en 2001, demostrando dambos que la cota sigue siendo válida.
Nel so artículu de 1926, Noether estendió'l teorema de Hilbert a representaciones d'un grupu finito sobre un cuerpu cualesquier. El nuevu casu que nun se siguía de la obra de Hilbert yera cuando la carauterística del cuerpu estrema al orde del grupu. La resultancia de Noether foi ampliáu darréu por William Haboush a tolos grupos reductivos por aciu la so demostración de la conxetura de Mumford. Nesti artículu Noether tamién introduz el lema de la normalización de Noether, qu'amuesa qu'un dominio A xeneráu finitamente sobre un cuerpu K tien un conxuntu x1, ..., xn d'elementos algebraicamente independientes tales que A ye la clausura integral sobre K[x1, ..., xn].
Contribuciones a la topoloxía
A Noether atribúyense-y les idees fundamentales que conducieron al desenvolvimientu de la topoloxía alxebraica a partir de la primitiva topoloxía combinatoria, en concretu la idea de grupos d'homoloxía. Acordies con lo que diz Alexandrov, Noether asistía a clases impartíes por Heinz Hopf y él mesmu nos branos de 1926 y 1927, onde "taba de cutio faciendo observaciones, que frecuentemente yeren fondes y sutiles", y sigue diciendo que:
La suxerencia de Noether de que la topoloxía tenía d'estudiase algebraicamente foi adoptada darréu por Hopf, Alexandrov, y otros, y convirtióse nuna tema de discutiniu frecuente ente los matemáticos de Gotinga. Noether reparó que la so idea de grupu de Betti fai que la fórmula Euler-Poincaré seya bono d'entender, y el mesmu trabayu de Hopf sobre esta materia "lleva'l calquier d'estes observaciones de Emmy Noether". Noether menta les sos propies idees sobre la topoloxía namái marginalmente nuna publicación de 1926, onde les cita como una aplicación de la teoría de grupos.
Corcos del Valle
Símbolos
120px|left|Escudu de Corcos L'escudu heráldicu y la bandera que representen al conceyu fueron aprobaos oficialmente la. L'escudu se blasona de la siguiente manera:
La descripción testual de la bandera ye la siguiente:
Mythimna comma
Mythimna comma (Leucania coma) ye una poliya de la familia Noctuidae. Dellos autores asitiala nel xéneru Mythimna. Atópase en toa Europa.
Emmy Noether
Contribuciones a la topoloxía
thumb|upright|left|[[Helmut Hasse trabayó con Noether y otros p'atopar la teoría de les álxebres centrales simples.]]
Corcos del Valle
Patrimoniu
thumb|250px|left|Vista del [[Monesteriu de Palazuelos|Monesteriu de Sta. María de Palazuelos en Corcos del Valle (Valladolid)]] thumb|left|250px|Casa consistorial El Monesteriu de Palazuelos foi fundáu nel sieglu XIII como abadía cisterciense, masculina, nel estilu típicu de la orde. Foi reformáu nel sieglu XVI, con importantes amiestes renacentistes, atribuyíes al maestru canteru d'orixe cántabru Juan de Nates.
Abandonáu cola desamortización de Mendizábal, namái se caltién l'antigua ilesia abacial, apocayá restaurada.
Emmy Noether
Númberos hipercomplejos y teoría de la representación
Llevárense a cabu munchos trabayos sobre los númberos hipercomplejos y representaciones de grupu a principios del sieglu XX, pero siguíen siendo desemeyaos. Noether unificó les resultaos y dio la primer representación xeneral de la teoría de grupos y álxebres. En resume, Noether subsumió la teoría estructural del álxebra asociativa y de la representación de grupos nuna única teoría aritmética de módulos ya ideales que satisfaen les condiciones ascendentes de cadena. Esti únicu trabayu de Noether ye de fundamental importancia pal desenvolvimientu de la álxebra moderna.
Kerch
Kerch (rusu: Керчь, ucraín: Керч, tártaru de Crimea: Keriç) ye una ciudá portuaria, asitiada na mariña oriental de la península de Crimea. La ciudá topar nel estrechu de Kerch que comunica'l mar d'Azov col mar Negru. La so soberanía ta aldericada con Ucraína, una y bones esta nun reconoz el referendu de 2014 sobre la so adhesión a Rusia. Dichu referendu foi refugáu pola resolución 68/262 de l'Asamblea Xeneral de les Naciones Xuníes (llamada Integridá territorial d'Ucraína) aprobada por 100 países el 27 de marzu de 2014.
Emmy Noether
Álxebra non conmutativa
Noether tamién foi responsable d'otres meyores nel campu de la álxebra. Con Emil Artin, Richard Brauer, y Helmut Hasse, fundó la teoría de les álxebres centrales simples.
Un artículu bien influyente publicáu por Noether, Helmut Hasse, y Richard Brauer trató de les álgebra de división, que son aquellos sistemes alxebraicos nos que ye posible la división. Probaron dos teoremas importantes; un teorema local-global qu'afirma que si una álxebra de división finita dimensional central sobre un cuerpu numbéricu alxebraicu descomponse llocalmente en cualquier elementu, entós descomponse tamién globalmente (colo que ye trivial), y de esto deducieron el so teorema principal (Hauptsatz): toa álxebra de división central finito-dimensional sobre un cuerpu numbéricu alxebraicu F descomponse sobre una estensión cíclica ciclotómica. Estos teoremas dexen clasificar toles álxebres de división finito dimensionales y centrales sobre un cuerpu numbéricu dadu. Un artículu posterior amosó, como un casu especial d'un teorema más xeneral, que tolos subcuerpos maximales d'una álxebra de división D son cuerpo de descomposición. Esti artículu tamién contién el teorema de Skolem-Noether qu'afirma que dos inclusiones d'una estensión d'un cuerpu K nuna álxebra simple central finito-dimensional sobre K, son conxugaos. El teorema de Brauer-Noether ufierta una carauterización de los cuerpos de descomposición d'una álxebra de división central sobre un cuerpu.
Kerch
Amás de ser un puertu pesqueru, desenvuelve una intensa actividá manufacturera derivada del so allugamientu nuna rexón productora de mineral de fierro y gas natural. Cuenta, por tanto, con establecimientos metalúrxicos (fierro y aceru) y químicos, fábriques de maquinaria y de tresformamientu del pexe.
Mythimna comma
Les ales anteriores d'esta especie comparten el color del suelu pálidu y venación prominente d'otros "zócalos", pero tien muncho más fuertes marques escures que la mayoría de los sos parientes, ente ellos una gruesa vena basal negra que-y da el so nome común. Les ales posteriores son de color gris o marrón escuro con llixeros flecos. El valumbu ye de 35 a 42 mm. Esta especie vuela na nueche en xunu y xunetu y siéntese atraíu pola lluz y l'azucre.
La canesba aliméntase de delles yerbes como la Deschampsia y Festuca. La especie envierna como bárabu adultu nuna celda debaxo de la superficie del suelu.
Kerch
La ciudá ye la sede d'un institutu d'investigaciones oceanográfiques. Ente los llugares d'interés cunta con un muséu arqueolóxicu y cola ilesia de San Xuan Bautista, que data del sieglu VIII.
Historia
La ciudá foi fundada nel sieglu VI e. C. col nome de Panticapea; yera nos sos oríxenes una colonia griega. Dempués del sieglu V e. C. y mientres unos cuantos sieglos, la ciudá y la so contorna fueron posesión del reinu independiente del Bósforo.
Nel añu 63, Panticapea foi destruyida parcialmente por un terremotu bien violentu, del que pudo recuperase con dificultá. La invasión de los godos, y más tarde de los hunos (248), Le infligió golpes entá más duros. Finalmente, Justino I (518-527) incorporar al Imperiu bizantín.
A principios del sieglu XIV yera una colonia de Xénova y en 1475 cayó en manes del Imperiu turcu otomanu. Rusia la anexonó en 1771 mientres una de les guerres rusu-turques. Nel intre de la guerra de Crimea resultó seriamente estropiada, y lo mesmo asocedió mientres la Segunda Guerra Mundial.