cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Derivada
Conceutos y aplicaciones
Delles funciones nun tienen derivada en toos o en dalgún de los sos puntos. Por casu, una función nun tien derivada nos puntos en que se tien una tanxente vertical, una discontinuidá o un puntu angulosu. Afortunadamente, gran cantidá de les funciones que se consideren nes aplicaciones son continues y la so gráfica ye una curva nidia, polo que ye susceptible de derivación.
Les funciones que son diferenciables (derivables si falar nuna sola variable), son aproximables linealmente.
Definiciones de derivada
thumb|350px|Esquema qu'amuesa les medríes de la función en x y en y. En terminoloxía clásica, la diferenciación manifiesta'l coeficiente en qu'una cantidá y\, camuda por cuenta de un cambéu n'otra cantidá x\,.
En matemátiques, coeficiente ye un factor multiplicativu que pertenez a ciertu oxetu como una variable, un vector unitariu, una función base, etc.
En física, coeficiente ye una espresión numbérica que por aciu dalguna fórmula determina les carauterístiques o propiedaes d'un cuerpu.
Nel nuesu casu, reparando la Gráfica d'una función gráfica de la derecha, el coeficiente del que falamos vendría representáu nel puntu P\, de la función pola resultancia de la división representada pola rellación, que como puede comprobase na gráfica, ye un valor que se caltién constante a lo llargo de la llinia recta azul que representa la tanxente nel puntu P\, de la función. Esto ye bono d'entender yá que el triángulu rectángulu formáu na gráfica con vértiz nel puntu P\,, por enforma que lo dibuxemos más grande, al ser una figura proporcional la resultancia de ye siempres el mesmu.
Esta noción constitúi l'aproximamientu más rápidu a la derivada, yá que l'acercamientu a la rimada de la recta tanxente ye tantu pela derecha como pela izquierda de manera simultánea.
Llende como cociente de diferencies
thumb|right|Recta secante ente f(x) y f(x+h).
La derivada d'una función f\, ye la pendiente xeométrica de la recta tanxente del gráficu de f\, en x\,. Ensin el conceutu que se va a definir, nun ye posible atopar direutamente la rimada de la llinia tanxente a una función dada, porque solamente conozse un puntu na llinia tanxente: (x,f(x))\,. La idea ye averar la llinia tanxente con múltiples llinies secantes que tienen distancies progresivamente más pequeñes ente los dos puntos que crucien. Cuando se toma'l llende de les rimaes de les llinies secantes d'esta progresión, consíguese la rimada de la llinia tanxente. Defínese, pos, la derivada tomando la llende de la rimada de les llinies secantes, al averales a la llinia tanxente. P'atopar les rimaes de les llinies secantes próximes, escuéyese un númberu h\, relativamente pequeñu. h\, representa un cambéu relativamente pequeñu en x\,, que puede ser positivu o negativu. La rimada de la recta que pasa polos dos puntos y  ye:
thumb|260px|Enclín de la secante de la curva y=f(x).
espresión denomada «cociente de Newton».
La derivada de f en x ye entós la llende del valor del cociente diferencial, conforme les llinies secantes averar a la llinia tanxente:
Si la derivada de f \, esiste en tolos puntos x \,, puede definise la derivada de f \, como la función que'l so valor en cada puntu x \, ye la derivada de f \, en x \,.
Puesto que sustituyir h \, por 0 produz una división per cero, calcular direutamente la derivada puede nun ser intuitivu. Una téunica posible consiste n'operar nel numberador, de manera que pueda atayase la h \, del denominador. Y eso ye posible fácilmente nos polinomios. Pero pa munches otres funciones la resultancia ye inciertu. Afortunadamente, hai regles xenerales que faciliten estremar la mayoría de les funciones simples.
Continuidá y diferenciabilidad
Faciendo estes medríes cada vez más pequeños, les variaciones fáense más pequeñes; cuando estos avérense a cero, nel llende d'una función llende,
colo que se llogra, f(x)=y. Pa un puntu particular a, quier dicir que, y si esti postreru llende esiste significa en consecuencia por un teorema de llendes (una llende esiste si y namái si los dos llendes llaterales esisten y son iguales) que toa función f(x) que cumpla con
ye continua nel puntu a. De resultes lóxica, toa función derivable nel intervalu abiertu I, ye continua en I.
Condición necesaria
thumb|240px|derecha|La función [[valor absolutu nun tien derivada nel puntu (0,0).]] La rellación nun funcionar a la inversa: el qu'una función seya continua nun garantiza la so derivabilidad. Ye posible que les llendes llaterales sían iguales pero les derivaes llaterales non; nesti casu concretu, la función presenta un puntu angulosu en dichu puntu.
Un exemplu recurrente na lliteratura avezada — pue ser la función valor absolutu (tamién llamada módulu) nel puntu (0,0) \,. Dicha función esprésase:
Pa valores infinitamente cercanos a 0, por dambes cañes, la resultancia tiende a 0. Y la resultancia nel puntu 0 ye tamién 0, polo tanto ye continua. Sicasí, les derivaes resulten:
De manera informal, si'l gráficu de la función tien puntes agudes, atáyase o tien saltos, nun ye derivable. Sicasí, la función y=x|x| ye diferenciable pa tou x. Tópese la so función derivada. N'otros términos, qu'una función seya continua ye una condición necesaria por que dicha función seya diferenciable. (Ver "Analís matemáticu" d'Apóstol.)
Derivada d'una función
thumb|Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, una y bones el "swing" d'una función camuda cuando camuda l'argumentu.
Considerando la función f definida nel intervalu abiertu I y un puntu a fixu en I, tiense que la derivada de la función f nel puntu a\, defínese como sigue:
si esti llende d'una función llende esiste, de lo contrario, f', la derivada, nun ta definida. Esta última espresión coincide cola velocidá instantánea del movimientu continuu uniforme aceleráu en cinemática.
Anque podríen calculase toles derivaes emplegando la definición de derivada como una llende, esisten regles bien establecíes, conocíes como teoremas pal cálculu de derivaes, que dexen calcular la derivada de munches funciones d'alcuerdu a la so forma ensin tener que calcular por fuercia la llende. Tales regles son consecuencia direuta de la definición de derivada y de regles previes, como puede apreciase en tou bon testu de cálculu infinitesimal.
Tamién puede definise alternativamente la derivada d'una función en cualquier puntu del so dominiu de la siguiente manera:
La cual representa un acercamientu de la rimada de la secante a la rimada de la tanxente yá seya pela derecha o pela izquierda según el signu de a\,. L'aspeutu d'esta llende ta rellacionáu más cola velocidá instantánea del movimientu uniformemente aceleráu que cola rimada de la recta tanxente a una curva.
Sicasí la so aparente diferencia, el cálculu de la derivada por definición con cualesquier de les llendes enantes espresaes, apurre siempres la mesma resultancia.
Exemplu
Sía la función cuadrática f(x)= x2 definida pa tou x perteneciente a los reales. Trátase de calcular la derivada d'esta función pa tou puntu x ∈ R —yá que ye continua en tolos puntos del so dominiu—, por aciu la llende del so cociente de diferencies de Newton. Asina,
Notación
Esisten diverses formes pa nomar a la derivada. Siendo f una función, escríbese la derivada de la función f\, respectu al valor x\, en delles maneres.
Mar de Banda
El  mar de Banda (n'indonesiu, Laut Banda) ye un mar que s'atopa nel océanu Pacíficu occidental, y que les sos agües pertenecen a Indonesia y Timor Oriental. Ta asitiáu ente los archipiélagos de les Célebes, les Moluques y les islles menores de la Sonda. Tien un llargor d'unos 1.000 km en direición Este Oeste y de unos 500 km, Norte-Sur. Nél atopa la cuenca de Banda, qu'algama una fondura de 7.440 metros.
Derivada
Notación de Newton
y asina socesivamente.
Mar de Banda
Islles
El mar de banda ta bordiáu poles siguiente islla:
Derivada
Notación de Leibniz
Otra notación común pa la diferenciación ye debida a Leibniz. Pa la función derivada de f\,, escríbese:
Tamién puede atopase como, ó. Lléese «derivada de y\, (f\, ó f\, de x\,) con al respeutive de x\,». Esta notación tien la ventaya de suxurir a la derivada d'una función con al respeutive de otra como un cociente de diferencial d'una función diferenciales.
Con esta notación, puede escribise la derivada de f nel puntu a de dos maneres distintos:
Si y=f(x)\,, puede escribise la derivada como
Les derivaes socesives esprésense como
la cual puede escribise como
La notación de Leibniz ye bien útil, por cuanto dexa especificar la variable de diferenciación (nel denominador); lo cual ye pertinente en casu de diferenciación parcial. Tamién facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» paecen atayase simbólicamente:
Na formulación popular del cálculu por aciu llendes, los términos «d» nun pueden atayase lliteralmente, porque por sigo mesmos son indefiníos; son definíos solamente cuando s'usen xuntos pa espresar una derivada. En analís non estándar, sicasí, puede vese como númberos infinitesimales que s'atayen.
Verdaderamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como'l cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamaos «diferenciales». Estos infinitésimos nun yeren númberos sinón cantidaes más pequeños que cualquier númberu positivu.
Notación de Lagrange
La notación más simple pa diferenciación, n'usu actual, ye debida a Lagrange. Pa identificar les derivaes de f\, nel puntu a, escríbese:
pa la segunda derivada, : pa la tercer derivada, : pa la enésima derivada (n > 3). (Tamién pueden usase númberos romanos).
Lléese «efe prima de xe» pa la primer derivada, «efe dos prima de xe» pa la segunda derivada, etc. Pa la función derivada de f\, en x\,, escríbese. De manera asemeyada, pa la segunda derivada de f\, en x\,, escríbese, y asina socesivamente.
Notación de Euler
lléese «d\, sub x\, de f\,», y los símbolos D y ∂ tienen d'entendese como operadores diferenciales.
Cálculu de la derivada
La derivada d'una función, en principiu, pue ser calculada de la definición, por aciu el cociente de diferencies, y dempués calcular la so llende. Na práutica, namái les derivaes d'unes poques funciones son conocíes, les derivaes d'otres funciones son fáciles de calcular utilizando regles pa llograr derivaes de funciones más complicaes d'otres más simples.
Derivaes de funciones elementales
La mayor parte de los cálculos de derivaes riquen tomar eventualmente la derivada de delles funciones comunes. La siguiente llista incompleta apurre dalgunes de les más frecuentes funciones d'una variable real usaes y les sos derivaes.
onde r ye cualesquier númberu real, entós
onde quiera qu'esta función seya definida. Por casu, si, entós
y la función derivada ye definida namái pa númberos positivos x, non pa. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) ye cero pa x ≠ 0, lo que la convierte na regla de la constante (espuesta embaxo).
Regles avezaes de derivación
En munchos casos, el cálculu de llendes complicaes por aciu l'aplicación direuta del cociente de diferencies de Newton puede ser anuláu por aciu l'aplicación de regles de diferenciación. Dalgunes de les regles más básiques son les siguientes: = 0. \,
Exemplu de cálculu
La derivada de
ye
Equí, el segundu términu calculóse usando la regla de la cadena y el terceru usando la regla del productu. La derivaes conocíes de funciones elementales x2, x4, ensin(x), ln(x) y exp(x) = yx, según la constante 7, tamién fueron usaes.
Diferenciabilidad
Una función con dominiu nun subconxuntu de los reales ye diferenciable nun puntu x si la so derivada esiste nesi puntu; una función ye diferenciable nun intervalu abiertu si ye diferenciable en tolos puntos del intervalu.
La derivada d'una función diferenciable pue ser, de la mesma, diferenciable. La derivada d'una primer derivada llámase derivada segunda. D'una manera asemeyada, la derivada d'una derivada segunda ye la derivada tercer, y asina socesivamente. Esto tamién recibe'l nome de derivación socesiva o derivaes d'orde cimeru.
Xeneralizaciones del conceutu de derivada
El conceutu simple de derivada d'una función real d'una sola variable foi xeneralizáu de delles maneres:
Latón
thumb|Productu fabricáu con latón, [[cerrojo de HerBron.]] 200px|thumb|Componente de latón. El latón ye una aleación de cobre y cinc. Les proporciones de cobre y cinc pueden variar pa crear una variedá de latones con propiedaes diverses. Nos latones industriales el porcentaxe de cinc caltiénse siempres inferior al 50%. La so composición inflúi nes carauterístiques mecániques, la fusibilidad y la capacidá de conformanza por fundición, forxa, troquelado y mecanizado. En fríu, los lingotes llograos pueden tresformase en llámines de distintes espesures, banielles o cortase en tires susceptibles d'espurrise pa fabricar alambres. El so densidá tamién depende de la so composición. Polo xeneral, la densidá del latón ronda ente y. El so puntu de fusión ta ente los 900 y los 940°C, dependiendo de la composición.
Magar el bronce ye, sicasí, principalmente una aleación de cobre con estañu, dellos tipos de latones denominar bronces. El latón ye una aleación sustitucional que s'utiliza pa decoración por cuenta que'l so rellumu da-y un aspeutu similar al del oru, p'aplicaciones en que se riquir baxa resfregón, como cerradura y válvules, para fontanería y aplicaciones llétriques, y, estensamente, n'instrumentos musicales como trompetes y campanes, amás de platillos de baxu costu (Power Beat, Paiste 101, 201 y en delles cantidaes de la serie Pst, Planet Z) poles sos propiedaes acústiques.
El latón ye conocíu pol ser humanu dende dómines prehistóriques, inclusive primero que'l mesmu cinc fora descubiertu. Entós producíase por aciu l'amiestu de cobre con calamina, una fonte natural de cinc. Nes villes alemanes de Breinigerberg, un antiguu sitiu romanu, afayóse onde esistía una mina de calamina. Mientres el procesu d'entemecíu, el cinc estrayer de la calamina y entemezse col cobre. El cinc puru, per otra parte, tien un bajísimo puntu de fusión como pa ser producíu poles téuniques antigües pal trabayu del metal.
Tipos de latón
En función del so porcentaxe de Zn, reconócense tres grupos principales de latones.
Delles aleaciones avezaes recibíen nomes especiales; asina, llamábase “similor” a l'aleación de cobre y cinc en proporción 80 a 20; “metal del príncipe Alberto” a la mesma aleación en proporción 84 a 16; y “crisocola” a la de 82 partes de cobre, 6 de cinc y 6 d'estañu.
Los latones, d'alcuerdu a los elementos minoritarios qu'intervengan na aleación, son maleables namái en fríu, y non en caliente, y dalgunos nun lo son a nenguna temperatura. Tolos tipos d'esta aleación vuélvense argayadizos cuando se calecer a una temperatura próximo al puntu de fusión.
El latón ye más duru que'l cobre, pero fácil de mecanizar, troquelar y fundir, ye resistente a la oxidación, a les condiciones salines y ye maleable, polo que puede laminarse en planches fines. El so maleabilidad varia según la composición y la temperatura, y ye distinta si entemecer con otros metales, inclusive en cantidaes mínimes.
Nel latón al plomu, el plomu ye práuticamente insoluble nel latón, y dixébrase en forma de finos glóbulos, lo que favorez la fragmentación de les forgaxes nel mecanizado. Tamién el plomu tien un efeutu de llubrificante pol so baxu puntu de fusión, lo que dexa menguar la gastadura de la ferramienta de corte. El latón almite pocos tratamientos térmicos y namái se realicen recocidos de recristalización y homogeneización.
Aplicaciones
El latón tien un color doráu, polo que s'utiliza en bixutería y elementos decorativos. Otres aplicaciones de los latones tomen los campos más diversos, dende la calderería hasta'l armamentu, soldadura, hasta la fabricación d'alambres, tubos de condensador, terminales llétriques y ellaboración de dinero-moneda. Nun ye atacáu pel agua salada, d'ende que s'use nes construcciones de barcos, n'equipos pesqueros. Tamién ta presente na fabricación de munchos instrumentos musicales de vientu, llingüetes sonores pa armonios, acordiones y rexistros de lengüetería para órganos musicales. Amás, pola so aición antimicrobiana, usar nos pomos de les puertes nos hospitales, que se desagafen solos a diferencia de los metálicos.
Dientro de les aplicaciones decoratives, emplégase sobremanera pa la confección de llámpares, barres de cortina de altran y pa delles pieces trabayaes dientro de la orfebrería. Los países que mayor consumu demuestren nesti tipu de enseres son los países del este d'Europa, bálticos o de l'antigua Xunión Soviética. Tamién los países árabes, principalmente los mayores productores de petroleu, ya inclusive dellos países asiáticos.
El latón nun produz chispes por impautu mecánicu, una propiedá atípica nes aleaciones. Esta carauterística convierte al latón nun material importante na fabricación d'envases pa la manipulación de compuestos inflamables. Pol so fácil mecanizado y bon preciu de les forgaxes reciclaes úsase enforma pa la fabricación de válvules industriales. Coles mesmes utilízase na fabricación de hélices de barcu pola so resistencia a la cavitación, ya inclusive en delles caxes d'ordenadores onde s'asitia la placa base.
La Prénessaye
La Prénessaye ye una comuña francesa del departamentu de Côtes-d'Armor, na rexón de Bretaña. Llenda con.
Tien una población de y una superficie de  km².
Shiho Ogawa
Shiho Ogawa (小川 志保, ), ye una futbolista xaponesa.
Chiquinquirá Delgado
Chiquinquirá Delgado  ye una actriz, presentadora de televisión y modelu venezolana. Tuvo casada col tamién animador Daniel Sarcos. Foi la presentadora del programa Entertainment Tonight de la Cadena CBS.
En siendo coronada primer finalista del Miss Venezuela 1990 y llograr el primer llugar nel "Miss Flower Queen" en Xapón, empecipia la so carrera de modelu.
Na filmación del videu Barcu al debalu, que reafitó la so fama, conoz al cantautor Guillermo Dávila con quién contrái nupcias el 21 de setiembre de 1991. D'esti matrimoniu naz la so primer fía María Elena, pero unos años más tarde la pareya divórciase.
En 1999 empecipiar na actuación cola telenovela venezolana Calypso del escritor César Miguel Rondón.
Esi mesmu añu convertir na imaxe de la canal Sony Entertainement Television y tamién ye presentadora, na mesma cadena televisiva, de les seiciones “Lo último” y “Estilo Sony”.
En 2000 foi la villana de la telenovela María Rosa, búscame una esposa, en Perú. Al tornar a Venezuela anima'l programa de concursos Mega Match de Venevisión tamién foi la suplente de Viviana Gibelli cuando esta postrera nun podía animar La guerra de los sexos y actúa na telenovela Mambo y canela.
Como modelu grabó videoclips xunto a Luis Miguel y Alejandro Fernández.
En 2004 desempeñóse como presentadora invitada nel programa Despierta América, tresmitíu pola cadena Univision, asina mesmu en Sábadu Xigante de la mesma cadena.
En 2005 convertir nuna de les presentadores programa Portada's, programa matutín venezolanu de tresmisión diaria producíu por Venevisión, similar a Despierta América, d'Univision, na cual duru hasta'l 2009.
Esi mesmu añu protagoniza'l musical infantil La Cenicienta, que tamién foi presentáu en delles ciudaes de Venezuela.
Tamién en 2005 llanza una llinia de productos de cuidos pa la piel que lleven el so nome "Chiqui", n'alianza con Laboratorio Vargas.
La institución bancaria Bancu Occidental de Descuentu la contrata de manera esclusiva por que seya la imaxe del bancu.
Venevisión la reinstala el 16 d'abril de 2009 na presentación del programa Donde nace el amor. El programa tien como oxetivu formar pareyes al traviés de seiciones especiales, nes que los participantes vense namái a la fin del espaciu cola idea de llograr que'l televidente préstese y esfrute un momentu distintu na so casa.
El 11 de payares de 2010, Daniel Sarcos y Chiquinquirá Delgado publiquen na prensa un comunicáu nel cual anuncien la so separación matrimonial.
En 2011 incorporóse como una de los presentadores del programa matutín Despierta América d'Univision, tiempu dempués de la salida de la presentadora mexicana Ana María Canseco. Nesi mesmu añu foi presentadora en dellos especiales de la cadena, como los Premios Latin Grammy.
Nel 2012 foi la presentadora del programa Entertainment Tonight de la cadena CBS. Pal 2013 torna a Miami, Estaos Xuníos pa ser la presentadora d'un nuevu programa d'entretenimientu y entevistes na cadena Univision.
Chiquis Rivera
Janney Marín Rivera (n. Los Angeles, California, Estaos Xuníos; 26 de xunu de 1985), más conocida como Chiquis Rivera, ye una cantante, compositora, empresaria y productora d'Estaos Xuníos. Ye fía de la super estrella, la Diva de la banda Jenni Rivera.
Chiquis empezó la so carrera artística nel 2014, al publicar el so primer senciellu tituláu «Palombu Blancu». Fixo'l so debú en televisión internacional mientres los Premiu Xuventú al presentar el so segundu senciellu «Esa Nun Soi Yo».
Chiquis empezó a grabar el so primer álbum en 2014, publicando «Palombu Blancu» como un tributu a la so madre, la finada super estrella llatina Jenni Rivera. La so primer apaición en televisión foi nel reality show Jenni Rivera Presents: Chiquis & Raq-C y tamién en I Love Jenni.
Chiquis ye tamién una muyer de negocios qu'influyó ya inspiró a les comunidaes hispanes moces col so valor, fuercia y tenacidá. el so primeru y segundu álbum tuvieron nel 1 llugar de billboard ...En 2015, tuvo nomada a los Premios Lo Nueso na categoría Artista Femenina Rexonal del Añu xunto cola so madre Jenni Rivera. Amás, nesta entrega de premios tuvo una participación especial una y bones cantó la tema "La Malquerida".
Llibros
El 7 d'abril del 2015 salió a la vienta'l so llibru tituláu Forgiveness ("Perdón"), que se convirtió rápido nel Best Seller del New York Times.
Murtala Mohammed
Recibió'l poder tres el golpe d'Estáu que derrocó al so predecesor, Yakubu Gowon, y morrió mientres un fallíu intentu de golpe d'Estáu.
W. S. Gilbert
William Schwenck Gilbert foi un dramaturgu, libretista y ilustrador inglés. Ye conocíu polos sos 14 óperes risibles producíes en collaboración col compositor Sir Arthur Sullivan, ente les que s'atopen H.M.S. Pinafore, The Pirates of Penzance y una de les obres representaes con mayor frecuencia na hestoria del teatru musical, El Mikado. Estes, según otres de los sos óperes del Savoy, siguen siendo interpretaes regularmente a nivel mundial.
Gilbert tamién escribió Bab Ballads, una coleición de versos llixeros acompañaos por caricatures realizaes por él mesmu. Amás, escribió más de 75 obres y llibretos, numberoses hestories, poemes, cantares y otres pieces, tantu series como risibles. Les sos obres y el so estilu realista pa la direición teatral inspiraron a otros artistes, incluyendo a Oscar Wilde y George Bernard Shaw. Acordies con The Cambridge History of English and American Literature, la facilidá llírica [de Gilbert] y la so maestría de la métrica alzó la calidá poética de la ópera risible a una posición que nun había alcanzáu enantes y que nun volvió algamar dende entós.»
Inicio
Gilbert nació nel númberu 17 de Southampton Street en Strand (Londres). El so padre, quien tamién se llamaba William Gilbert, foi un ciruxanu naval que más tarde se convirtió n'escritor de noveles y cuentos, dalgunos de los cualos fueron ilustraos precisamente pol so fíu. La madre de Gilbert foi Ann Mary Bye Morris, fía del Dr. Thomas Morris. Los sos padres yeren distantes y severos y Gilbert nunca tuvo una rellación cercana con ellos. Dempués de la separación de los sos padres en 1876 les rellaciones empioraron, especialmente cola so madre. Gilbert tuvo trés hermanes menores: Jane Morris, quien se casó con Alfred Weigall, un miniaturista; Maude y Florence (nenguna de los dos casóse). Gilbert yera moteyáu «Bab», diminutivu de baby (ñácaru), y «Schwenck», n'honor al padre de los sos padrinos.
Siendo un neñu, Gilbert viaxó per Europa colos sos padres hasta establecese finalmente en Londres en 1849. Foi educáu en Boulogne-sur-Mer (Francia) a partir de los siete años d'edá (más tarde llevaría un diariu en francés por que los sirvientes nun pudieren lleelo), siguió la so educación na Western Grammar School en Brompton (Londres) y más tarde na Great Ealing School, onde foi delegáu escolar, escribió obres pa presentaciones escolares y collaboró cola escenografía. Más tarde, asistió al King's College de Londres, graduándose en 1856. Solicitó un puestu nos Gordon Highlanders pero, col inesperáu fin de la Guerra de Crimea, nun yeren necesarios tantos soldaos y namái había puestos civiles, polo que sirvió nel Serviciu Civil por cuatro años, trabayu que nun-y prestó. En 1859, xunir a l'acabante formar Fuercia Voluntario, na cual permaneció hasta 1878, algamando'l rangu de Capitán. En 1863, recibió un heriedu de £300, qu'usó p'abandonar el Serviciu Civil y empecipiar una carrera pocu esitosa como barrister (yá entrara al Inner Temple como estudiante), permediando namái cinco veceros per añu.
A partir de 1861, p'aumentar los sos ingresos, Gilbert compunxo cuentos, arengues risibles, ilustraciones grotesques, crítiques de teatru (munches de la cualos yeren una parodia de la obra criticada) y, sol pseudónimu de «Bab», ilustró poemes pa delles revistes risibles, principalmente Fun, empecipiada en 1861 por Henry James Byron. Tamién publicó cuentos, artículos y crítiques en publicaciones como The Cornhill Magacín, London Society, Tinsley's Magacín y Temple Bar Magacín. Amás, Gilbert yera'l corresponsal en Londres de L'Invalide Russe y un críticu de drama pal Illustrated London Times. Nos años 1860, contribuyó colos anuarios navidiegos de Tom Hood, con Saturday Night, Comic News y Savage Club Papers. En 1870, The Observer unviar como corresponsal a Francia pa cubrir la Guerra Franco-prusiana.
Gilbert cásase con Lucy Agnes Turner en 1867, de 17 años, a quien escribiera cartes romántiques mientres años. Gilbert y Lucy teníen muncha vida social en Londres y, más tarde, en Grim's Dyke, siguieron entamando fiestes y siendo convidaos a otros llares, imaxe ésta qu'oldea cola ufiertada en, por casu, la película Topsy-Turvy. La pareya nun tuvo hijo pero sí delles mascotes, dalgunes d'orixe exóticu.
Primeres obres
Gilbert escribió y dirixó delles obres cuando taba na escuela, pero la so primer producción profesional foi Uncle Baby, que foi representada mientres siete selmanes na seronda de 1863.
En 1865-66, Gilbert collaboró con Charles Millward en delles pantomimes, incluyendo una llamada «Hush-a-Bye, Baby, On the Tree Top, or, Harlequin Fortunia, King Frog of Frog Island, and the Magic Toys of Lowther Arcade» (1866). Sicasí, el primer ésitu en solitariu de Gilbert vieno unos pocos díes dempués del estrenu de Hush-a-Bye Baby. Daquién pidiera al so amigu Tom Robertson escribir una pantomima, pero él nun se creía capaz de faelo en menos de dos selmanes, polo qu'encamentó a Gilbert. Escrita en menos de diez díes, Dulcamara, or the Little Duck and the Great Quack, una parodia de L'elisir d'amore de Gaetano Donizetti, foi desaxeradamente popular. De resultes, Gilbert escribió una serie d'óperes risibles, pantomimes y farses, llenes de calambures (tradicionales nes parodies d'esi periodu), anque amosando, coles mesmes, señales de sátira, que sería carauterística de los trabayos posteriores de Gilbert.
La última parodia d'ópera de Gilbert, Robert the Devil, una burlla de la ópera de Giacomo Meyerbeer Robert le diable, formó parte del ciclu d'inauguración del Gaiety Theatre en Londres en 1868. La pieza foi'l so mayor ésitu entós daquella, siendo representada mientres más de 100 nueches nesi local y más tarde interpretada n'otres partes d'Inglaterra.
Nel teatru victoriano «degradar temes belles y elevaes... fuera normal nes parodies y esperábase qu'asina fuera.» Sicasí, les parodies realizaes por Gilbert yeren consideraes inusualmente de bon gustu comparaes coles d'otros dramaturgos nel teatru londinense. A partir de 1869, Gilbert alloñar d'esti estilu y empezó a escribir obres con argumentos orixinales y menos calambures.
Los espectáculos de German Reed y otres obres de principios de los años 1870
Cuando Gilbert empezó a escribir, el teatru perdiera reputación. Operetes pésimamente traducíes y afeches del francés y parodies ruinamente escrites y lascivas apoderaben los escenarios londinenses. Como lo describió Jessie Bond, «traxedies rebuscaes y farses vulgares yeren tou lo que l'espectador podía escoyer y el teatru convirtiérase nun llugar de mala reputación pal xefe de familia británicu».
Dende 1869 hasta 1875, Gilbert xunir a una de les figures líderes na reforma teatral, Thomas German Reed (y la so esposa Priscilla Horton), que la so Gallery of Illustration buscaba recuperar la respetabilidad del teatru ufiertando espectáculos familiares en Londres. Tres meses dempués del estrenu de la última parodia de Gilbert (The Pretty Druidess), producióse la primera de les sos pieces pa la Gallery of Illustration, Non Cards. Gilbert creó seis espectáculos musicales pa German Reed, dalgunes con música compuesta per este mesmu productor.
L'ambiente nel teatru de los German Reed dexó a Gilbert desenvolver un estilu personal y controlar con llibertá toes los aspeutos de la producción, incluyendo decoraos, vestuariu, direición y alministración. Estos trabayos fueron un ésitu, siendo Ages Ago (1869) el primer gran trunfu de Gilbert na Gallery of Illustration. Ages Ago tamién marcó l'entamu de la so collaboración col compositor Frederic Clay, una asociación que duraría siete años y produciría cuatro obres. Foi n'unu de los ensayos pa Ages Ago onde Clay presentó al so amigu Arthur Sullivan a Gilbert.
left|thumb|300px|[[Ages Ago, 1870.]] Munchos de los elementos argumentales de los espectáculos de German Reed (según dalgunos de les sos primeres obres y les Bab Ballads) seríen usaos nuevamente por Gilbert nes óperes que realizó con Sullivan. Estos elementos inclúin pintures cobrando vida (Ages Ago, usáu de nuevu en Ruddigore), una neñera sorda que confía al fíu d'un noble a un pirata» en llugar d'a un pilotu» (Our Island Home, 1870, usáu en The Pirates of Penzance) y la señora madura con calter que ye «un gustu adquiríu» (Eyes and Non Eyes, 1875, usáu en El Mikado). Mientres esti periodu, Gilbert perfeccionó l'estilu «topsy-turvy» (desordenáu, revueltu) que tuviera desenvolviendo nos sos Bab Ballads, onde l'humor yera producíu al crear una premisa risible y trabayar el desenvolvimientu de la hestoria de manera qu'anque absurda, seya lóxica. Mike Leigh describe l'estilu de Gilbert de la siguiente manera: «Con gran fluidez y llibertá, [Gilbert] desafía de cutio les nueses mires naturales. Primero, dientro del marcu de la hestoria, fai que coses absurdes asocedan y vuelve el mundu al aviesu. Asina'l Xuez Lletráu casa a los Contrayentes, los soldaos tresformar n'estetes y asina pol estilu y casi toles óperes son resueltes por un esperimentáu movimientu... El so xeniu ye fundir opuestos con una prestidigitación imperceptible, entemecer lo irreal colo real y la caricatura colo natural. N'otres pallabres, dicir una hestoria perfectamente escandalosa nuna manera dafechu inespresiva.»
thumb|300px|Escena de [[The Happy Land, tomada del Illustrated London News de 22 de marzu de 1873, ilustrada por D. H. Friston.]] Coles mesmes que trabayaba con German Reed, Gilbert creó delles comedies de faes» nel Teatru Haymarket. Esta serie d'obres fueron realizaes basándose na idea de autorrevelación de los personaxes so la influencia de dalgún tipu de maxa o interferencies sobrenaturales. La primera d'estes obres foi The Palace of Truth (1870), basada nuna hestoria de Félicité de Genlis. Otra d'estes obres foi Creatures of Impulse, que la so música foi compuesta pol italianu Alberto Randegger. En 1871, Gilbert algamó'l so mayor ésitu hasta la fecha con Pygmalion and Galatea, una de los siete obres que produció esi añu. Eses obres y les sos socesores The Wicked World (1873), Sweethearts (1874) y Broken Hearts (1875) fixeron por Gilbert nel teatru dramáticu lo que los espectáculos de German Reed fixeren por él nel teatru musical: establecer que les sos capacidaes diben más allá de les parodies, garantiza-y credenciales artístiques y demostrar que yera un escritor d'ampliu rangu, cómodu non solo col drama humanu, sinón tamién col humor de les farses. L'ésitu d'estes obres, especialmente'l de Pygmalion and Galatea, dio a Gilbert un prestíu que sería crucial pa les sos futures collaboraciones con Sullivan.
Esos trabayos demostraron el deséu de Gilbert d'ufiertar a les audiencies respetable y educáu comedies más refinaes y de meyor gusto que les avezaes farses y parodies interpretaes en Londres. Per otru llau, mientres el mesmu periodu, Gilbert probó hasta qué llendes podía llegar una sátira nel teatru. Collaboró con Gilbert Arthur à Beckett en The Happy Land (1873), una sátira política (en parte, una parodia de la so propia obra The Wicked World), que foi de volao prohibida por cuenta de les sos caricatures pocu falagadores de William Ewart Gladstone y los sos ministros. Similarmente, The Realm of Joy (1873) taba ambientada na entrada d'un teatru que presentaba una obra escandalosa (queda implícitu que se trataría de The Happy Land), incluyendo burlles a mariña del Lord Chamberlain. Sicasí, en Charity, Gilbert usa la llibertá del teatru d'una manera distinta al faer una fuerte crítica a les distintes maneres en que la sociedá victoriana trata a los homes y muyeres que tuvieron sexo enantes del matrimoniu, lo cual antemanó les obres problemátiques» de Shaw y Ibsen.
Gilbert como direutor
Gilbert dirixó la mayoría de les sos obres y óperes y tenía firmes opiniones sobre cómo teníen d'interpretase. Foi altamente influyíu poles innovaciones na direición teatral realizaes polos dramaturgos James Planché y, especialmente, Thomas William Robertson. Gilbert asistía a ensayos d'obres empobinaes por Robertson p'aprender direutamente del direutor y empezó a aplicar les sos nueves conocencies en delles de les sos primeres obres. Buscaba realismu na actuación, anque non nel conteníu de les sos obres (aun así escribió una comedia romántica nel estilu naturalista, Sweethearts, como un tributu a Robertson), refugaba la interacción cobarde col públicu y aportunaba nun estándar de carauterización onde los personaxes nunca tán conscientes del so propiu absurdu pero yeren internamente coherentes. Con esti estilu, Gilbert sentó les bases por que futuros dramaturgos como George Bernard Shaw y Oscar Wilde floriaren nel teatru inglés.
thumb|left|250px|Caricatura de 1884, The Ironmaster at the Savoy (El Maestru de forxa nel Savoy): Gilbert col mazu de disciplina; [[Richard D'Oyly Carte reacciona.]] Robertson «introdució a Gilbert a la noción revolucionaria d'ensayos disciplinaos y al mise-en-sccène o unidá d'estilu en tola presentación: direición, diseñu, música.» Al igual que Robertson, Gilbert esixía disciplina a los sos actores. Aportunaba en que los sos actores conocieren los sos llibretos perfectamente y qu'obedecieren les sos indicaciones nel escenariu, lo cual yera daqué relativamente nuevu naquellos díes. «Nun hai dulda de que Gilbert yera un bon direutor. Yera capaz d'estrayer de les sos actores actuaciones naturales y clares, lo cual cumplía col so deséu de presentar barbaridaes de manera direuta.» Gilbert preparábase meticulosamente pa cada trabayu nuevu, realizando modelos del escenariu, actores y pieces del set y diseñando cada aición con antelación. Gilbert nun trabayaba con actores que desafiaren la so autoridá. Amás, yera descritu como «un perfectu autócrata, aportunando en que los sos testos seyan espresaos, incluyendo la inflexón de la voz, tal que él dictar. Él pararíase nel escenariu xunto al actor o actriz y repitiría les pallabres cola aición apropiada una y otra vez hasta que fueren representaes como él desea.» Inclusive mientres llargues producciones y reestrenos, Gilbert supervisaba curioso les presentaciones de les sos obres, asegurándose de que los actores nun añedir, esaniciaren nin parafrasiaren el diálogu. Gilbert yera famosu por amosar cómo actuar, inclusive siendo una persona mayor. Tamién actuó en delles producciones mientres la so vida, incluyendo presentaciones como l'Asociáu en Trial by Jury, como sustitutu pa un actor enfermu na so obra Broken Hearts y en matinées caritatives de les sos obres d'un solu actu, tales como'l rei Claudio en Rosencrantz and Guildenstern.
Collaboraciones con Sullivan
thumb|Sir Arthur Seymour Sullivan.
Primeres collaboraciones metanes otros trabayos
En 1871, John Hollingshead encargó a Gilbert que trabayara xunto con Arthur Sullivan nuna pieza navidiega, Thespis, pal Gaiety Theatre. Thepsis tuvo mayor taquilla que cinco de los sos nueve competidores mientres la temporada navidiega y más tarde foi reestrenada pa una presentación benéfica. Sicasí, namás asocedió nesti puntu y Gilbert y Sullivan siguieron trabayando por separáu. Gilbert trabayó nuevamente con Clay en Happy Arcadia (1872) y con Alfred Cellier en Topsyturveydom (1874). Igualmente, siguió escribiendo farses, llibretos d'operetes, extravagances, comedies de faes, adautaciones de noveles y traducciones del francés. Tamién en 1874, dempués d'un alloñamientu de tres años, publicó la so última contribución pa la revista Fun (Rosencrantz and Guildenstern). Darréu arrenunció por desalcuerdos colos intereses de los nuevos dueños.
320px|left|thumb|Una ilustración contemporánea de [[Thespis (ópera)|Thespis nel Illustrated London News del 6 de xineru de 1872.]]thumb|left|320px|[[Engaged (obra)|Engaged, la obra non musical más esitosa de Gilbert.]] Cuatro años dempués de que Thespsis fora producida, dambos trabayaron xuntos nuevamente. En 1868, Gilbert publicara un pequeñu llibretu risible na revista Fun tituláu Trial by Jury: An Operetta y, en 1873, entamó col compositor y xerente teatral Carl Rosa una espansión de la obra nun llibretu d'un actu. La esposa de Rosa diba cantar el papel principal, pero morrió dando a lluz en 1874. Más tarde, esi añu, Gilbert ufiertó-y el llibretu a Richard D'Oyly Carte, pero ésti nun podía trabayar la pieza nesi momentu. A principios de 1875, Carte alministraba'l Royalty Theatre y precisaba una ópera curtia pa ser interpretada como afterpiece pa La Périchole de Jacques Offenbach, polo que contautó con Gilbert, preguntó-y alrodiu de la pieza y suxurió que Sullivan trabayara la pieza. Sullivan entusiasmar cola idea y Trial by Jury foi compuesta poques selmanes dempués. La pequeña pieza foi un ésitu, siendo presentada por más tiempu que La Périchol y reestrenada n'otros teatros.
Gilbert siguió col so propósitu de recuperar la respetabilidad pal so oficiu. Una de la barreres por que esto asocediera yera que les obres nun se publicar nun formatu fayadizu pa la biblioteca d'un caballeru», sinón n'ediciones barates y pocu curioses feches pa ser usaes polos actores, non pal llector llariegu. P'ayudar a rectificar esto, a finales de 1875, Gilbert fizo que los editores Chatto and Windus publicaren un volume de les sos obres nun formatu diseñáu p'atraer al llector xeneral, con una llamativa cubierta y una tipografía clara. El volume contenía les sos obres más respetables, incluyendo los sos trabayos más serios y rematada de manera traviesa por Trial by Jury.
Depués del ésitu de Trial by Jury, aldericóse la posibilidá de reestrenar Thespis, pero Gilbert y Sullivan nun fueron capaces de llegar a un alcuerdu con Carte y los sos patrocinadores. La música de Thespis nunca foi publicada y la mayoría alcuéntrase perdida. Pasó dalgún tiempu hasta que Carte foi capaz d'axuntar fondos pa otra ópera de Gilbert y Sullivan y mientres esti periodu Gilbert produció dellos trabayos, ente los que s'atopen Tom Cobb (1875), Eyes and Non Eyes (1875, el so últimu espectáculu pa German Reed) y Princess Toto (1876), una ópera risible de tres actos, que foi'l so postreru y más ambiciosu trabayu con Clay. Tamién escribió dos obres series, Broken Hearts (1875) y Dan'l Druce, Blacksmith (1876).
Tamién mientres esti periodu, Gilbert escribió la so obra risible más esitosa, Engaged (1877), que inspiró The Importance of Being Earnest de Oscar Wilde. Engaged ye una parodia del drama románticu y foi escrita nel mesmu estilu satíricu de munches de les Bab Ballads y de les óperes del Savoy, con un personaxe clamando'l so amor a cada muyer na obra; los inocentes escoceses «rústicos» quien se ganen la vida descarrilando trenes y cobren a los pasaxeros polos sos servicios y, polo xeneral, el romance ye escaecíu en favor del beneficiu económicu. Engaged sigue siendo interpretada anguaño por compañíes profesionales al igual que amateurs.
Los años de mayor collaboración
thumb|300px|Un afiche amosando escenes de les primeres trés óperes de Gilbert y Sullivan depués de [[Thespis (ópera)|Thespis.]] Carte finalmente entamó una sociedá en 1877 y formó la Comedy Opera Company (Compañía d'Ópera Risible) pa llanzar una serie d'óperes risibles orixinales, empecipiando cola tercer collaboración ente Gilbert y Sullivan, The Sorcerer, en payares de 1877. Esti trabayu foi un ésitu modestu y foi siguida por H.M.S. Pinafore en mayu de 1878. A pesar d'un entamu lentu debíu al branu abrasador, la obra convertir nuna favorita na seronda. Depués d'una disputa con Carte alrodiu de la división de les ganancies, los otros socios de la compañía contrataron a matones por qu'entraren al teatru una nueche a robar los escenarios y vestuariu pa tratar d'empecipiar una compañía rival. L'asaltu foi repelido por tramoyistas y otru trabayadores que permanecieron fieles a Carte, quien siguió como empresariu en solitariu y camudó el nome de la compañía pol de D'Oyly Carte Opera Company. H.M.S. Pinafore foi tan esitosa que delles producciones ensin autorizar fueron realizaes nos Estaos Xuníos. Mientres dellos años, Gilbert, Sullivan y Carte trataron, ensin ésitu, de controlar los derechos d'autor de les sos obres nos Estaos Xuníos.
thumb|left|300px|Gilbert tomó elementos de la so farsa de 1870 [[The Princess (obra)|The Princess, ilustrada equí, y usar na so ópera de 1884 Princess Ida.]] Mientres la década siguiente, les óperes del Savoy (el nome dau a la serie pol Teatru Savoy que Carte construyó p'allugales) fueron la principal actividá de Gilbert. Les esitoses óperes con Sullivan siguieron apaeciendo cada unu o dos años y delles d'elles tuvieron ente les producciones de mayor duración hasta esi momentu na hestoria del teatru musical. Depués de H.M.S. Pinafore vinieron The Pirates of Penzance (1879), Patience (1881), Iolanthe (1882), Princess Ida (1884, basada nuna de les sos farses anteriores, The Princess), El Mikado (1885), Ruddigore (1887), Los alabarderos de la Casa Real (1888) y The Gondoliers (1889). Gilbert non solo dirixó y veló por tolos aspeutos de producción d'estos trabayos, sinón que tamién diseñó'l vestuariu de Patience, Iolanthe, Princess Ida y Ruddigore.
thumb|200px|[[Litografía de El Mikado.]] Mientres esti periodu, Gilbert y Sullivan tamién collaboraron n'otru trabayu importante, l'oratoriu The Martyr of Antioch, estrenada nel Festival Musical Trienal de Leeds n'ochobre de 1880. La obra ta basada nun poema épicu de Henry Hart Milman, que Gilbert afixo nun llibretu fayadizu pa la música, amás d'amestar partes orixinales. Coles mesmes, Gilbert escribió delles obres pa ser presentaes n'otros llugares, tanto drames serios (por casu The Ne'er-Do-Wee, 1878) y trabayos humorísticos (por casu Foggerty's Fairy, 1881). Sicasí, nun volvió publicar múltiples obres cada añu, como solía faelo. Ello ye que mientres los nueve años que dixebraron The Pirates of Penzance y The Gondoliers, solo escribió trés obres, escluyendo les collaboraciones con Sullivan. Solo unu d'esos trabayos foi esitosu, Comedy and Tragedy.
En 1878, Gilbert cumplió'l so suañu d'interpretar a Arlequín, lo cual fixo nel Gaiety Theatre como parte d'una producción amateur caritativa de The Forty Thieves, parcialmente escrita por él mesmu. El productor John Hollingshead más tarde describió que, «la xema de la interpretación foi'l seriu y determináu Arlequín de W. S. Gilbert. Diome una idea de lo que Oliver Cromwell fixera del personaxe.» Otru miembru del repartu recordó que Gilbert yera incansablemente entusiasta alrodiu de la obra y convidaba al repartu a cenar al so llar pa faer ensayos extra. «Un compañeru más placentero, más bonable o prestosu de lo qu'él yera sería difícil, sinón imposible, d'atopar.» En 1882, Gilbert fixo qu'instalaren un teléfonu na so casa y nel Teatru Savoy, pa poder monitorear les actuaciones y ensayos dende l'estudiu de la so casa. Gilbert refiriérase a la nueva teunoloxía en H.M.S. Pinafore en 1878, namái dos años dempués de que fuera inventada y primero que Londres tuviera serviciu telefónicu.
La disputa de l'alfombra y el final de les collaboraciones
Delles vegaes, Gilbert tuvo una rellación de trabayu enterria con Sullivan, parcialmente causada pol fechu de que cada unu creía que'l so trabayu yera apoderáu al del otru y tamién poles personalidaes opuestes de los dos; Gilbert yera descritu como polémicu y notoriamente susceptible (anque propensu a actos d'estraordinaria bondá), ente que Sullivan evitaba los conflictos. Amás, Gilbert enllenaba los sos llibretos de situaciones confuses nes que l'orde social yera puestu al aviesu. Depués d'un tiempu, eses temes confrontaron el deséu de realismu y conteníu emocional que Sullivan tenía. Tamién, la sátira política de Gilbert burllar d'aquellos nos círculos de privilexu, ente que Sullivan taba deseosu de socializar colos ricos y nobles quien se convertiríen nos sos amigos y patrocinadores.