cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
دوال مثلثية
التعريف باستعمال دائرة الوحدة
بما أنَّ دوراناً بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F, A, E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور 2π. بمعنى آخر، المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) محققة أياً كانت قيمة θ زومن أجل أي عدد صحيح k. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.
الدوران
يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:
القيم الجبرية
بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.
إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:
المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي 2√ مرة طول كل من الساقين، إذن: sin (45°) = cos (45°) =(√2)/2 tan (45°) = cot (45°) = 1 باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:
sin (30°)= cos (60°) = 1/2
وبالمثل، يُحسب على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي 3/2√، نتيجة لذلك:
sin (60°)= cos (30°) = √3/2
توفر كتابة البسوط باستعمال جذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة مع مقام مساوٍ 2، طريقة سهلة لتذكر القيم.
مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام باستعمال المسطرة والفرجار.
يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد عقدي غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.
بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.
بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، أُثبتت في عام 1966.
القيم الجبرية البسيطة
يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.
حساب التفاضل والتكامل
الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.
لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.
الاشتقاق والمكاملة
المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:
التعريف بواسطة التكامل
يمكن الحصول على تعريف آخر استناداً إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف الأعلى لدائرة الوحدة ، يمكن إيجاد العلاقة بين الزاوية θ وsinθ وفقًا للمعادلة التالية:
وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].
التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية
جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:
بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:
باستعمال المتسلسلات
دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.
باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:
حيث تشير !n إلى عاملي عدد.
عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:
متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام
يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.
وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.
نصف قطر التقارب لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوالتي صحيحتين، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم عقدية وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.
متسلسلات القوى لباقي الدوال
الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).
بتعبير أدق،Un هو تبديل متناوب من الرتبة n. وBn هو عدد بيرنولي من الرتبة n، وEn، هو عدد أويلر من الرتبة n.
تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوالجزئية الشكل، والتي هي دوال هولومورفية في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.
يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.
عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.
لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.
متسلسلات أخرى
يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا، وفيه تُجمَع دوال المقلوب المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:
ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:
الكسور المستمرة المعممة
الكسور المستمرة المعممة هي تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية في المجالين الحقيقي والعقدي.
يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:
متسلسلة الجداء اللانهائي
من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:
باستخدام المعادلات الدالية
يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.
مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:
cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y
بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.
في المستوى العقدي
يمكن التعبير عن الجيب وجيب التماملعدد عقدي باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع الدوال الزائدية:
من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم العقدية بيانياً عن طريق التمثيل بتلوين المجال. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.
عند تمثيل الدوال في المستوى العقدي، تُمثَّل العمدة بالألوان، والمعيار بوسائل أخرى، مثل السطوع أو الاشباع اللوني.
زوجية وفردية
الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق بالتناظر.
دورية
الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:
تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في تحويل فورييه والمعادلات الموجية.
استمرارية (اتصال)
الجيب وجيب التمام دالتان مستمرتان دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):
تعامد
تكون دالتا الجيب وجيب التمام ، أي:
تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.
تحويلا لابلاس وفورييه
تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:
تحويلا فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:
دالة ذاتية
دالتا الجيب وجيب التمام ذاتيتان لمؤثر لابلاس. على سبيل المثال، إذا كان : Δ=∇2 يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان : ، مع λ تمثل قيمة ذاتية؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية للدالتين.
حساب القيم
حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة ال حاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم.
يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.
حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.
تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أو بواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريب تشيبيشيف، تقريب بادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لوران) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح. على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.
يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل إهليلجي (عقدي).
متطابقات أساسية ومبرهنات
هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0, π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم العقدية واستخدام خصائص الدالة الأسية.
متطابقة فيثاغورس
تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:
يجب الانتباه إلى أن التدوين sin2 x + cos2 x يكافئ sin x)2 + (cos x)2).
متطابقات مجموع وفرق زاويتين
تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.
المجموع
ويُحسب كما يأتي:
الفرق
ويُحسب كما يأتي:
متطابقات ضعف الزاوية
عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.
يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء.
بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ كدالة كسرية لـ
هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى أيضاً تعويض فايرشتراس، وهو يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.
متطابقات ثلاثية الزاوية
ويُحسب كما يأتي:
قانون الجيب
يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.
حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.
قانون جيب التمام
قانون جيب التمام هو تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.
c2= a2 + 2-2ab.cos(C)
وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:
في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:
cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)
مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي } ما يعادل والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c
ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:
توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:
ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:
cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)
قانون الظل
ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:
مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.
يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.
أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:
قانون ظل التمام
ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:
و
ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:
نستنتج أن:
مبرهنة الساندويتش
تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال ، هي كما يلي:
المتباينات المشابهة هي كما يلي:
مبرهنة بطليموس
مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع رؤوسه).
ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ1+θ2+θ3+θ4=180°، فإن:
صيغة مولفيده
لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:
قانون موري
ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:
وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:
مع n=3 وα=20°.
هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:
بما أن:
توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:
زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:
الدوال العكسية
الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست متباينة، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.
يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.
غالبًا ما تستخدم التدوينات sin-1 وcos-1... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.
يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond"(التي تعني «ثانية القوس»).
يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،
يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات العقدية.
الدوال الزائدية
الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.
الدوال الزائدية هي:
يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.
بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u هي  ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.
سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.
في حالة القطع الزائد الذي معادلته x2 - y2 =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x2 + y2 =1.
في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:
هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام الأعداد العقدية تُعْرَف بالدالة الغودرمانية، وهي معرّفة في ℝ نحو بـ:
وsgn (x) هي دالة الإشارة.
علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة
يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.
مع n ممثلةً للرتبة.
يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من الرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:
Tn = cos(n.arccos(x))
حساب المتجهات
تُستخدم المتجهات (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الضرب النقطي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:
يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:
الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية
الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r, θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:
تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.
الحجوم
مع وa,b,c  هي أطوال الأحرف.
علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد العقدية
يطلق على العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية اسم صيغة أويلر:
بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:
فيُبصح:
قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:
علم الفلك
استخدمت حساب المثلثات الكروية لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ بالكسوف والخسوف، ووصف مدارات الكواكب.
في العصر الحديث، تستخدم تقنية التثليث في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية.
الخرائط والمساحة
حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات رسم الخرائط والمساحة. قياس زاوية باستخدام الجهاز أو دون استخدامه، إسقاط الخرائط (تحويل سطح ناقصي إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب الاتجاه الزاوي، والمسح الاجتيازي المفتوح والمغلق، وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في المسح الجوي.
على سبيل المثال، في التثليث، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في. يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.
في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:
قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى (الشكل (5.د)). لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:
متسلسلة فورييه وتحويل فورييه
دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية بشكل عام) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى متسلسلة فورييه:
بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.
تحويل فورييه هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:
تُحوّل الدالة الأسية العقدية إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الموجة والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات.
يستخدم تحويل جيب التمام المتقطع القريب من تحويل فورييه لتقليل حجم ملف JPEG في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية (ضغط الصور)، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.
الدوال الدورية
الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة الرقاصية لكتلة معلقة بواسطة خيط؛ وفي الكهرباء والإلكترونيات، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة الدارات الكهربائية مثل دارة مقاومة وملف ومكثف المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.
تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.
يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه مثل موجة مربعة أو موجة سن المنشار.
نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ φk، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:
حيث هو معامل المتسلسلة.
في الصورة المتحركة لموجة مربعية (5.هـ)، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.
المنحنيات الوسيطية
يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:
بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك المنحنى العجلي التحتي، اللولب، ،... وهكذا.
البصريات
التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في علم البصريات هو قانون سنيل. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:
حيث:
الملاحة
تاريخيا، استخدمت حساب المثلثات لتحديد احداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات، وحساب المسافات في أثناء الملاحة.
لا يزال حساب المثلثات مستخدمًا في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام التموضع العالمي (GPS) والذكاء الاصطناعي للمركبات الذاتية.
تُستخدم هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:
يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.
الفيزياء الميكانيكية
في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، نستخدم فيها دوال مثلثية.
من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية α، وتكتب المعادلة الوسيطية لمسارها بدلالة الزمن t على النحو التالي:
أيضا، تُحسب سرعة الجسمين V1 وV2 ومقدار الزاويتين θ وφ اللتين صنعهما الجسمان بعد التصادم المرن باستخدام الدوال المثلثية، بتطبيق قانون حفظ الزخم (في كلا المعادلتين، قبل تصادم جسمين (على اليسار) = بعد تصادم جسمين (على اليمين)):
ثابت P_x = : على المحور x
ثابت P_y = : على المحور y
القبلة
القبلة هي وجهة المصلي عند الصلاة وهي عند المسلمين الكعبة المشرفة في مدينة مكة.
يتم تطبيق نموذج الدائرة العظمى لحساب القبلة باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O والكعبة Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه الدائرة العظمى التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة ΦQ، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL، هذه الدالة مستمدة من قاعدة ظل التمام التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:
، ومنه يكون:
الهندسة الكهربائية والاتصالات
تستخدم التيارات المتناوبة في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل موجة جيبية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على التيار المستمر في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال المبادلات في المولدات.
تولد محطات الكهرباء تيارات ثلاثية الطور في الغالب. يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: و  وبالتالي تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل القدرة اللحظية، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة، ... إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة ومعامل القدرة، ...، من خلال تحليل الدوال المثلثية. الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز.
تُنمذج محددات خط نقل الطاقة الكهربائية باستعمال دوال زائدية.
في أنظمة الاتصالات، عادة ما تدعم كل قناة الاتصال نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق. ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية التضمين. في الإشارات التشابهية تكون الموجة الحاملة موجة جيبية. على سبيل المثال، في تضمين السعة، تُضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.
منصة غوفي
غوفي هي منصة على الإنترنت لتعلم برمجة الحاسوب مقرها في الهند. تقدم دورات برمجة مجانية ومدفوعة للطلاب والمهنيين العاملين باللغات الهندية. مهمة غوفي هي "جعل التعليم الفني متاحا للجميع بلغاتهم الأصلية".
التاريخ
بدأت شركة غوفي بقناة يوتيوب في عام 2011. نشرت القناة مقاطع فيديو تعليمية ودورات ومواد تدريبية أنشأها آرون براكاش وسريديفي آرون براكاش وإس بي بالاموروجان. تم نشر مقاطع الفيديو باللغة التاميلية والتيلجو والماراثية ، بهدف الوصول إلى أشخاص لا يجيدون اللغة الإنجليزية.
تَركُ آرون براكاش وسريديفي آرون براكاش وإس بي بالاموروجان وظائفهم في عام 2014 وأسسوا شركة غوفي. تم بدء العمل في الشركة برأس مال أولي قدره 1,000,000 روبية، وتم حضانة الشركة في منشأة ار تي بي اي التابعة لجامعة IIT Madras. حصلت الشركة على تمويل بذري قدره 500,000 روبية، وتم إطلاقها بشكل رسمي في نوفمبر 2014.
حصلت غوفي في أبريل 2019 على دفعة تمويلية أولية بقيمة 10000000 روبية من شركة جراي ماترز كابيتال إدلابس الأمريكية. كما حصلت الشركة على 60000000 روبية في جولة تمويلية قبل السلسلة أ من صندوق حوافز التعليم ، وهو صندوق رأس المال المخصص للتعليم والذي يتم إدارته بواسطة سي بي ايه كابيتال.
الفعاليات
نظمت غوفي بالتعاون مع إيباث في يونيو 2020، تحدي مهارات الروبوتات الطباعية للهند لتوفير فرصة للطلاب للاطلاع على أتمتة العمليات الآلية. وشملت الفعالية أكثر من 400 كلية في جميع أنحاء الهند وأكثر من 60000 مشارك.
التقدير والجوائز
تم دعم غوفي من قبل جوجل برنامج مُسْرع انطلاق في عام 2017.
(28286) 1999 CJ40
1999 سي جاي 40 (ويعرف أيضًا باسم (28286) 1999 سي جاي 40 وفق تسمية الكوكب الصغير) ؛ هو كويكب ضمن حزام الكويكبات. اكتُشف هذا الجُرم الفلكي بواسطة بحث لنكولن عن الكويكبات القريبة من الأرض في 10 فبراير 1999، وترتيبه 28286 من حيث الاكتشاف.
الوصف
اكتُشف في 10 فبراير 1999 في مرصد ماغدالينا ريدج، الواقع في مقاطعة سوكورو، نيومكسيكو في الولايات المتحدة، بواسطة مشروع بحث لنكولن عن الكويكبات القريبة من الأرض. وقد رصد المشروع 1,955 مشاهدة للكويكب إلى غاية 5 فبراير 2022 بتوقيت منطقة المحيط الهادئ، أي في مدة قدرها 12,145 يومًا (33.3 عام). تستغرق الفترة المدارية للكويكب 1,660 يومًا (4.5 عام).
الخصائص المدارية
يتميز مدار هذا الكويكب بنصف محور رئيسي يبلغ 2.74 وحدة فلكية، وحضيض قدره 2.68 وحدة فلكية، وانحراف قدره 0.0232 وزاوية ميلان 8.57 درجة بالنسبة لمسار الشمس. بسبب هذه الخصائص، أي نصف المحور الرئيسي بين 2 و3.2 وحدة فلكية وحضيض أكبر من 1,666 وحدة فلكية، يُصنف هذا الجُرم الفلكي وفقًا لقاعدة بيانات مختبر الدفع النفاث لأجرام النظام الشمسي الصغيرة كائنًا من حزام الكويكبات الرئيسي.
الخصائص الفيزيائية
يُقدر القدر المطلق (H) لـ بـ13.80 ووضاءته بـ0.060، مما يمكِّن تقدير قطره بـ 10.383كم. استُخلصت هذه النتائج بفضل ملاحظات مستكشف الأشعة تحت الحمراء عريض المجال (WISE)، وهو مرصد فضائي أمريكي وُضع في المدار في عام 2009 ويراقب السماء بأكملها بالأشعة تحت الحمراء، في عام 2011، نُشرت النتائج الأولى المتعلقة بالكويكبات من الحزام الرئيسي.
(30303) 2000 HS93
2000 إتش أس 93 (ويعرف أيضًا باسم (30303) 2000 إتش أس 93 وفق تسمية الكوكب الصغير) ؛ هو كويكب ضمن حزام الكويكبات. اكتُشف هذا الجُرم الفلكي بواسطة بحث لنكولن عن الكويكبات القريبة من الأرض في 29 أبريل 2000، وترتيبه 30303 من حيث الاكتشاف.
الوصف
اكتُشف في 29 أبريل 2000 في مرصد ماغدالينا ريدج، الواقع في مقاطعة سوكورو، نيومكسيكو في الولايات المتحدة، بواسطة مشروع بحث لنكولن عن الكويكبات القريبة من الأرض. وقد رصد المشروع 1,593 مشاهدة للكويكب إلى غاية 5 فبراير 2022 بتوقيت منطقة المحيط الهادئ، أي في مدة قدرها 10,579 يومًا (29.0 عام). تستغرق الفترة المدارية للكويكب 1,190 يومًا (3.3 عام).
الخصائص المدارية
يتميز مدار هذا الكويكب بنصف محور رئيسي يبلغ 2.2 وحدة فلكية، وحضيض قدره 1.89 وحدة فلكية، وانحراف قدره 0.139 وزاوية ميلان 2.52 درجة بالنسبة لمسار الشمس. بسبب هذه الخصائص، أي نصف المحور الرئيسي بين 2 و3.2 وحدة فلكية وحضيض أكبر من 1,666 وحدة فلكية، يُصنف هذا الجُرم الفلكي وفقًا لقاعدة بيانات مختبر الدفع النفاث لأجرام النظام الشمسي الصغيرة كائنًا من حزام الكويكبات الرئيسي.
دانيال بارتولوتا
دانيال بارتولوتا هو لاعب كرة قدم أوروغواياني في مركز الوسط، ولد في 9 يناير 1955 في مونتيفيديو في الأوروغواي. لعب مع تامبيكو ماديرو وتيغريس أونال وديبورتيفو لاكورونيا وديفينسور سبورتينغ وريال أوفييدو ونادي بويبلا ونادي مونتيري.
ضاحية الريحان (رام الله)
ضاحية الريحان ضاحية سكنية حديثة البناء تقع شمال مدينة رام الله على بعد 10 كيلو متر من المدينة. تتبع الضاحية إداريًا لبلدية رام الله.
نظرة من الداخل
تشتمل الضاحية على مئات الوحدات السكنية، إضافة للمستشفى الاستشاري العربي بسعة 250 سرير، ومول تجاري يحتوي على أكثر من 50 محل تجاري، ومسجد، وروضة أطفال، و الجامعة العربية الأمريكية، وغيرها.
أندري بوركا
أندري بوركا هو لاعب كرة قدم روماني في مركز قلب الدفاع، ولد في 15 أبريل 1993 في باكاو في رومانيا. شارك مع منتخب رومانيا لكرة القدم. أما مع النوادي، فقد لعب مع سي إف آر كلوج ونادي بوتوشاني.
بديهيات وايتمان
بديهيات وايتمان أو مسلمات وايتمان التي تُعرف أيضًا بمسلمات غاردنغ وايتمان، وتحمل اسم كل من الفيزيائي والرياضياتي السويدي لارس غاردنغ، والفيزيائيّ الأمريكي أرثر وايتمان هي محاولة لإيجاد صياغة رياضية صارمة لنظرية المجال الكمومي صاغها آرثر وايتمان في أوائل خمسينيات القرن العشرين،  ولكنها لم تُنشر سوى في عام 1964 بعد أن أكدت نظرية تشتت هاج - رويل على أهميتها وقابليتها للتطبيق.
تُعتبر مسلمات وايتمان هي الأساس لما يُعرف باسم نظرية المجال الكمومي البناءة، وتهدف إلى الوصول لقوانين صارمة تحكم مجالات الكم، وتوفّر إطاراً رياضيّاً سليماً لنظرية الكم يعتمد على مفهوم فضاء منكوفسكي للنسبية الخاصة. تُعد مسألة إيجاد مسلمات وايتمان في حالة مسألة يانغ - ميلز الوجود وفجوة الكتلة واحدة من بين مسائل جائزة الألفية السبع التي طرحها معهد كلاي للرياضيات في 24 مايو 2000 وأعلن عن مكافأة قدرت بحواليّ مليون دولار أمريكي لمن يتوصّل إلى اكتشافها.
الأساس النظريّ
تتمثل إحدى الأفكار الرئيسيّة لمسلمات وايتمان في وجود فضاء هيلبرت تعمل فيه زمرة بوانكاريه بشكل فرديّ، ومن ثمّ يمكن أن تنطبق عليها مفاهيم الطاقة، والزخم، والزخم الزاوي، ومركز الكتلة.
تعاني نظرية المجال الكمومي من مشاكل الأشعة فوق البنفسجية، لذا فإن قيمة المجال عند نقطة ما تكون غير محددة بشكلٍ جيد. تقدم مسلمات وايتمان للتغلب على هذه المشكلة آليّة لترويض الاختلافات فوق البنفسجية التي تنشأ حتى في نظرية المجال الحر. تتعامل المسلمات مع مشغلين غير محدودين، لذا يجب تحديد مجالات المشغلين.
تقيد مسلمات وايتمان البنية السببية للنظرية بفرض إما التبادلية أو اللاتبادلية بين الحقول المنفصلة الشبيهة بالفضاء، كما أنها تفترض وجود حالة بوانكاريه ثابتة فريدة الشكل تسمى الفراغ. وتفترض المسلمات أن الفراغ حلزوني، أي أن كل مجموعة المتّجهات التي يمكن الحصول عليها من خلال عناصر الحالة الفراغيّة للجبر كثير الحدود الناتج عن مشغلي المجال هي مجموعة فرعية كثيفة من فضاء هيلبرت.
المسلمات
يختلف عدد مسلمات وايتمان، ففي بعض المصادر يتم جمع أكثر من مسلمة معاً، وتتلخص فيما يلي:
المسلمة الأولى: يوجد فضاء هيلبرت المادي H حيث يمكن تمثيل زمرة بوانكاريه P_0 بشكل فردي.
المسلمة الثانية: يتركز طيف مشغل زخم الطاقة P في المخروط الضوئي العلوي (الأمامي) المغلق +V.
المسلمة الثالثة: هناك متجه وحدة فريد للوحدة | 0⟩ في فضاء هيلبرت H في حالة الفراغ، وهو ثابت بالنسبة لإحداثيات الزمكان U(a,1).
المسلمة الرابعة: المركّبة ϕi للمجال الكمومي ϕ هي توزيعات ذات قيمة عامل التشغيل ϕi (x) على نطاق فضاء شفارتز S(M) (في توزيعات مخففة) في نطاق التعريف D المشترك بين جميع المشغلين وهو كثيف في H. يوجد متجه الوحدة الفريد |0⟩ في D ويقع D نفسه تحت تأثير ϕ (f) و (a،Λ) U.
المسلمة الخامسة: تتغير المجالات الكمومية تحت تأثير مجموعة بوانكاريه، وتتحول وفقًا لتمثيل S لمجموعة لورنتز، أو SL(2,C) إذا لم يكن الدوران متكاملاً:
المسلمة السادسة: مركبتا أي مجال كمومي ϕi(x) وϕj(y) إما يتبادلا أو يتبادلا عكسيا في وجود مسافة فاصلة بين الوسيطتين x وy.
المسلمة السابعة: المجموعة D0 لمزيج من المتجهات الخطية المحدودة ذات الشكل ϕi1(f1)…ϕin(fn)|0⟩ تكون كثيفة في H.
تأثر مسلمات وايتمان
تجلى تأثير مسلمات وايتمان في مجموعة من الاستنتاجات والنظريات اللاحقة، ومنها:
نظرية التناظر في الشحنة والتكافؤ وانعكاس الوقت
هناك تناظر عام يحدث في حال تغير التكافؤ، وانعكاس الجسيمات والجسيمات المضادة وانعكاس الوقت (لا توجد أي من هذه التناظرات منفردة في الطبيعة كما اتّضح).
الحركة المغزلية
هناك علاقة بين اللف المغزلي والإحصاء، فالمجالات التي يكون عدد الكم المغزلي لها نصف عدد صحيح تتبادل عكسياً، بينما تلك التي لها عدد كم مغزلي صحيح تتبادل (وفقاً للمسلمة الثالثة)، تنطوي هذه النظرية في الواقع على تفاصيل تقنية دقيقة. ويمكن تغيير ذلك باستخدام تحويلات كلاين.
الاتصال الأسرع من الضوء
يستحيل حدوث اتصال أسرع من الضوء إذا كان اثنان من الملاحظين منفصلين عن بعضهما البعض، وكانت تصرفات أحد الملاحظين (بما في ذلك القياسات والتغييرات في هاميلتونيان) لا تؤثر على نتائج عملية القياس للملاحظ الآخر.
تاريخ مالطا تحت نظام فرسان القديس يوحنا
كانت مالطا تحت حكم نظام القديس يوحنا كدولة تابعة ل مملكة صقلية منذ عام 1530 إلى عام 1798. مُنِحت جزيرة مالطا وجزيرة غودش ومدينة طرابلس الموجودة في ليبيا الحديثة لنظام الإمبراطور الأسباني كارلوس الخامس في عام 1530، وذلك بعد فقدان جزيرة رودس. تمكنت الإمبراطورية العثمانية من أخذ طرابلس من النظام في عام 1551، ولكن فشلت محاولتها للاستيلاء على مالطا في عام 1565.
قرر النظام أن يستقر بشكل دائم في مالطا بعد حصار عام 1565، وبدأ في تأسيس مدينة فاليتا كالعاصمة الجديدة لمالطا. مرت مالطا بعصر ذهبي على مدى القرنين التاليين، تميز بازدهار الفنون والعمارة وبنماء شامل في المجتمع المالطي.
بدأ النظام في الانحدار في سبعينيات القرن السابع عشر، وبعد ذلك أضعفته الثورة الفرنسية بشدة في عام 1792. غزت القوات الفرنسية بقيادة نابليون مالطا وتمكنت من إبعاد النظام في عام 1798، وعليه أصبحت مالطا واقعة تحت احتلال فرنسي. تمرد شعب مالطا ضد الفرنسيين، وأصبحت الجزر محميات بريطانية في عام 1800. كان من المقرر أن تعود مالطا إلى النظام بموجب معاهدة أميان في عام 1802، ولكن ظل البريطانيون محتفظين بالسيطرة على الجزر حتى أصبحت رسميًا مستعمرات بريطانية بموجب معاهدة باريس في عام 1814.
السنوات الأولى
طُرد نظام فرسان القديس يوحنا من قاعدته في جزيرة رودس خلال الحصار العثماني عام 1522. استمر الانتقال من مكان إلى مكان في أوروبا لسبع سنوات حتى ترسخ نظام الفرسان في عام 1530 عندما حصل على مالطا وغودش وميناء طرابلس في شمال إفريقيا كإقطاعية دائمة من قبل الإمبراطور كارلوس الخامس، وذلك بصفته ملك صقلية. كان هذا أيضًا في مقابل رسوم سنوية تمثلت في صقر مالطي واحد، والذي كان عليهم إرساله في يوم جميع الأرواح إلى ممثل الملك، وهو نائب الملك في صقلية.
استقر نظام الفرسان في مدينة بيرجو وأصبحت عاصمتهم. أعيد بناء القلعة القديمة المعروفة بكاستروم مارس (القلعة البحرية) لتصبح حصن القديس أنجلو، وعُززت دفاعات المدينة، وأُنشِئَ العديد من المباني الجديدة، وسرعان ما بدأ النظام في سك عملته المعدنية الخاصة تزامنًا مع استقراره في مالطا.
واصل فرسان الإسبتارية أعمالهم الموجهة ضد المسلمين، وخاصة القراصنة البربريين. على الرغم من أنه لم يكن لديهم سوى عدد ضئيل من السفن، إلا أنهم سرعان ما أثاروا غضب العثمانيين الذين كانوا غير سعداء برؤية النظام يُعاد توطينه. في يوليو 1551، حاولت القوات العثمانية الاستيلاء على حصن القديس أنجلو وبلدة مدينة لاحقًا، ذلك حتى اتضح لهم أن عدد الأعداء يفوق عددهم، ومن ثم تقرر غزو غودش بعد مرور أيام قليلة. أبحرت القوات العثمانية إلى طرابلس واستولوا عليها في أغسطس. حاول نظام الفرسان إعادة إعمار غودش وتعزيز التحصينات في ميناء جراند هاربور في أعقاب هذه الهجمات. أُقِيمَت العديد من الحصون، ومن بينها حصن القديس إلمو وحصن القديس مايكل، وبدأ تعمير مدينة سنجليا حول حصن القديس مايكل. ضُربت مالطا بإعصار في وقت ما بين عامي 1551 و1556، وقد تسبب في تدمير ما لا يقل عن أربعة من سفن القوادس الخاصة بنظام الفرسان، علاوة على إنهاء حياة 600 شخص. كان هذا الإعصار أسوأ كارثة طبيعية حدثت على الإطلاق في مالطا، وأحد أعنف الأعاصير في التاريخ المسجل.
عرض كارلوس الخامس حيازة ثالثة للنظام في عام 1553، والتي تمثلت في مدينة المهدية في تونس الحديثة. على الرغم من ذلك، رفض النظام أخذ المدينة لأن اللجنة التي تأسست قررت أن إدارتها والإبقاء عليها سيكون مكلفًا للغاية، وعليه أمر الإمبراطور نائب الملك في صقلية، خوان دي فيغا، بتدمير المهدية لمنع الاحتلال الإسلامي لها. أحرق دي فيغا المدينة، واتخذ تدابير انتقامية بحق مالطا لعدم قبول المدينة، وحظر تصدير القمح إلى الجزيرة. لمحاربة هذا، أحضر السيد الأكبر سنغل المهندس فينتشنزو فوجو إلى مالطا من أجل تحسين مستوى الطواحين حتى لا يتضور السكان جوعًا. يدعي مؤلفون مثل جيوفاني فرانشيسكو أبيلا أنه في أعقاب معركة فيربيا في عام 1561، قد يكون نظام الفرسان قد حصل على دولة دمية في مولدافيا، والتي كانت محكومة من قبل المالطي الأصلي يعقوب هيراكلد حتى عام 1563. لا تزال تلك التخمينات محل خلاف.
الحصار العظيم وتبعاته
أرسل السلطان سليمان في عام 1565 قوة غزو قوامها نحو 40000 رجل لمحاصرة 700 فارس و8000 جندي، ولطردهم من مالطا، ولاكتساب قاعدة جديدة تفتح المجال لشن هجوم آخر على أوروبا. في البداية، كانت المعركة سيئة للغاية بالنسبة ل فرسان الإسبتارية حيث دُمرت معظم المدن في رودس وقُتل نحو نصف عدد الفرسان الموجودين بها. بدأ موقف المُحاصَرين في أن يصبح يائسًا بداية من 18 أغسطس، حيث تضاءلت أعدادهم يوميًا، وأصبحوا ضعفاء إلى حد أنهم لم يقدروا على الحفاظ على خط التحصينات الطويل. رفض السيد الأكبر جان باريسوت دي لافاليت اقتراح مجلسه بالتخلي عن بيرجو وسنجليا والانسحاب إلى حصن القديس أنجلو. في تلك الحرب، وُجدت احتمالية أن يتسبب قرار خاطئ واحد في الهزيمة وكشف صقلية ونابولي للعثمانيين. لم يرسل نائب الملك صقلية المساعدة، وبالكاد كان مباليًا بمصير الحصن؛ نظرًا لأنه ترك ابنه مع دي لافاليت. بغض النظر عن سبب تأخره، فقد استمر تردد نائب الملك حتى تحدد مصير المعركة تقريبًا من قبل جهود الفرسان غير المُعاوَنَة، وحتى أجبره سخط ضباطه على التحرك.
بُذلت الجهود الأخيرة لفارضي الحصار في 1 سبتمبر، لكن معنويات القوات العثمانية كانت قد تدهورت بشكل خطير، وعليه كان الهجوم ضعيفًا. ومن ناحية ثانية، كان ضعف هذا الهجوم بمثابة محفز هائل للمحاصَرين الذين بدأوا في رؤية أمل للخلاص. وصلت أخبار وصول تعزيزات صقلية بخليج مليحة إلى العثمانيين أثناء حيرتهم وارتبكاهم، وترتب على ذلك قرار عثماني بقطع الحصار والمغادرة في 8 سبتمبر، غير مدركين أن قوات التعزيزات الواصلة كانت ضئيلة جدًا. قد يكون الحصار العظيم لمالطا هو الحدث الأخير الذي فازت فيه قوات الفرسان بانتصار حاسم.
لم يتبق لفرسان الإسبتارية سوى 600 رجلًا من الرجال القادرين على حمل السلاح بعد مغادرة القوات العثمانية. تشير التقديرات الأكثر موثوقية إلى أن عدد الجيش العثماني في ذروته وصل لنحو 40000 رجلًا، عاد منهم في نهاية الأمر نحو 15000 رجل إلى القسطنطينية. يُصوَّر الحصار بشكل واضح في اللوحات الجدارية لماتيو بيريز داليتشيو في قاعة القديس مايكل والقديس جورج، والتي تُعرف أيضًا بقاعة العرش في قصر السيد الأكبر في فاليتا. يمكن العثور على أربعة من النماذج الأصلية التي رسمها بيريز داليتشيو بالألوان الزيتية بين عامي 1576 و1581 في غرفة المكعب ببيت الملكة ببلدة غرينتش في لندن.
بُنيت مدينة فاليتا الجديدة بعد الحصار، وقد سُميت تخليدًا لذكرى السيد الأكبر الذي صمد أمام الحصار. أصبحت مقر قيادة نظام الفرسان في 1571، ومازالت العاصمة لمالطا حتى يومنا هذا.
تأسس نظام محاكم التفتيش الرومانية في مالطا في عام 1574 عندما أُرسِل بيترو دوسينا من قبل البابا غريغوريوس الثالث عشر كوسيط بين السيد الأكبر والأسقف. حلت محاكم التفتيش هذه محل محاكم التفتيش القديمة في العصور الوسطى في مالطا، والتي كان يديرها أسقف باليرمو.
وجدت أزمة بين الدير العام والسيد الأكبر جان دي لا كاسييه في عام 1581، وتصاعد هذا الأمر إلى تمرد حُصر فيه لا كاسييه في حصن القديس أنجلو، وانتُخِب بعد ذلك الفارس ماثورين روميغاس كالسيد الأكبر جديد. أرسل البابا غريغوريوس الثالث عشر المبعوث غاسبار فيسكونتي لتسوية النزاع، واستُدعي لا كاسييه وروميغاس إلى روما لشرح القضية والدفاع عنها. توفي روميغاس في غضون أسبوع من وصوله إلى روما، وعاد لا كاسييه إلى منصبه الأول كسيد أكبر، وعلى الرغم من ذلك، فقد توفي أيضًا في غضون شهر واحد في روما، وبذلك انتهى النزاع تمامًا. انتُخِب هيوغ لوبنكس دا فيردل سيدًا أكبر في يناير 1582.
(29280) 1993 FD36
1993 أف دي 36 (ويعرف أيضًا باسم (29280) 1993 أف دي 36 وفق تسمية الكوكب الصغير) ؛ هو كويكب ضمن حزام الكويكبات. اكتُشف هذا الجُرم الفلكي بواسطة في 19 مارس 1993، وترتيبه 29280 من حيث الاكتشاف.
الخصائص المدارية
يتميز مدار هذا الكويكب بنصف محور رئيسي يبلغ 2.33 وحدة فلكية، وحضيض قدره 2.13 وحدة فلكية، وانحراف قدره 0.0861 وزاوية ميلان 5.9 درجة بالنسبة لمسار الشمس. بسبب هذه الخصائص، أي نصف المحور الرئيسي بين 2 و3.2 وحدة فلكية وحضيض أكبر من 1,666 وحدة فلكية، يُصنف هذا الجُرم الفلكي وفقًا لقاعدة بيانات مختبر الدفع النفاث لأجرام النظام الشمسي الصغيرة كائنًا من حزام الكويكبات الرئيسي.
دانيس كورونيل
دانيس كورونيل هو لاعب كرة قدم إكوادوري في مركز الدفاع، ولد في 24 مايو 1973 في في باراغواي، وتوفي بنفس المكان في 7 يوليو 2020. شارك مع منتخب الإكوادور لكرة القدم. أما مع النوادي، فقد لعب مع ديبورتيفو كوينكا ونادي إيميلك ونادي برشلونة ونادي ديبورتيفو إل ناسيونال.
لويس أدلارد
لويس أدلارد هو لاعب كرة قدم بريطاني في مركز الهجوم، ولد في 13 أكتوبر 2002 في إنجلترا في المملكة المتحدة. لعب مع غريمسبي تاون.
نويبا يول (فيلم 1995)
نويبا يول (بالإسبانية: Nueba Yol) هو فيلم درامي-كوميدي دومينيكاني صدر عام 1995 من بطولة لويسيتو مارتي، ومن إخراج وتأليف إنجيل مونيز. تم اختيار الفيلم كمدخل لجمهورية الدومينيكان لجائزة أفضل فيلم بلغة أجنبية في حفل توزيع جوائز الأوسكار الثامن والستون، لكن لم يتم ترشيحه.
ملخص القصة
قصة رجل أرمل متواضع يدعى "أوردوتو بالبوينا، وهو في وضع اقتصادي صعب لأنه عاطل عن العمل. يلتقي مع صديق يدعى "فيليتو" والذي يعد بأخذه إلى نيويورك. رغم شكوكه، بالبوينا مقتنع بأن كل شيء سيكون على ما يرام. ثم يذهب بالبوينا إلى نيويورك ويعيش "الحلم الأمريكي". لكنه يدرك بعد ذلك أن الولايات المتحدة ليست كما تخيلها على الإطلاق.
(28258) 1999 BM25
الوصف
اكتُشف في 18 يناير 1999 في مرصد ماغدالينا ريدج، الواقع في مقاطعة سوكورو، نيومكسيكو في الولايات المتحدة، بواسطة مشروع بحث لنكولن عن الكويكبات القريبة من الأرض. وقد رصد المشروع 2,166 مشاهدة للكويكب إلى غاية 5 فبراير 2022 بتوقيت منطقة المحيط الهادئ، أي في مدة قدرها 8,840 يومًا (24.2 عام). تستغرق الفترة المدارية للكويكب 1,390 يومًا (3.8 عام).
الخصائص المدارية
يتميز مدار هذا الكويكب بنصف محور رئيسي يبلغ 2.44 وحدة فلكية، وحضيض قدره 2.09 وحدة فلكية، وانحراف قدره 0.144 وزاوية ميلان 8.31 درجة بالنسبة لمسار الشمس. بسبب هذه الخصائص، أي نصف المحور الرئيسي بين 2 و3.2 وحدة فلكية وحضيض أكبر من 1,666 وحدة فلكية، يُصنف هذا الجُرم الفلكي وفقًا لقاعدة بيانات مختبر الدفع النفاث لأجرام النظام الشمسي الصغيرة كائنًا من حزام الكويكبات الرئيسي.
الخصائص الفيزيائية
يُقدر القدر المطلق (H) لـ بـ14.29 ووضاءته بـ0.348، مما يمكِّن تقدير قطره بـ 3.409كم. استُخلصت هذه النتائج بفضل ملاحظات مستكشف الأشعة تحت الحمراء عريض المجال (WISE)، وهو مرصد فضائي أمريكي وُضع في المدار في عام 2009 ويراقب السماء بأكملها بالأشعة تحت الحمراء، في عام 2011، نُشرت النتائج الأولى المتعلقة بالكويكبات من الحزام الرئيسي.
حقوق المثليين في بارا
يتمتع الاشخاص المثليون والمثليات ومزدوجو التوجه الجنسي والمتحولون جنسياً (اختصاراً: مجتمع الميم) في الولاية البرازيلية بارا بالحقوق القانونية ذاتها التي يتمتع بها غيرهم من المغايرين جنسيا.
الاعتراف القانوني بالعلاقات المثلية
في 28 يونيو 2012، في ولاية بارا، تزوج 28 من الأزواج المثليين في حفل أقيم في بليم.