Familles of confidence bands for the survival function under the general random censorship model and the Koziol‐Green model

Familles of asymptotic 100(1 – α)% level confidence bands for the survival function under the general random right-censorship (GRC) model and the proportional-hazards model of random right-censorship, also known as the Koziol-Green (KG) model, are developed. The family of bands under the GRC model is based on the well-known product-limit estimator (PLE), and this family is rich in that it contains as special cases the bands of Hall and Wellner (1980) and Gillespie and Fisher (1979), and more generally, the GF-type and HW-type bands of Csorgő and Horvath (1986), as well as new bands not previously studied. The familles of bands under the KG model are based on the maximum-likelihood estimator of F under this particular model. We compare the PLE-based bands and the MLE-based bands under the KG model. This enables us to study the loss in efficiency of the former bands when used in a setting where they are not optimal. The notion of asymptotic relative width efficiency (ARWE), defined to be the limiting ratio of the sample sizes needed by the bands to achieve the same asymptotic widths, is employed to compare two bands. Through this efficiency measure it is shown that if the censoring parameter β is known, then the PLE-based bands are highly inefficient relative to the MLE-based bands when β is large. When β is not known, the MLE-based bands are asymptotically conservative. Despite their conservatism, they still dominate the PLE-based bands when β is not too small or equivalently when the degree of censoring is not too light. We also compare the various PLE-based bands under the GRC model. The resulting information is valuable for evaluating competing PLE-based bands. We illustrate the confidence bands by utilizing the well-known Channing House data. On trouve des familles de bandes de confiance de niveau asymptotique 100(1 – α)% pour la fonction de survie lorsqu'on considere les deux modeles suivants: de censure aleatoire a droite (GRC) et du type “proportional hazards” pour la censure aleatoire a droite (modele de Koziol-Green, KG). La famille de bandes sous le modele GRC est basee sur l'estimateur du type “product-limit” (PLE). Cette famille est riche, elle contient comme cas particuliers les bandes de Hall et Wellner (1980) et de Gillespie et Fisher (1979) et plus generalement les bandes de types GF et HW de Csorgő et Horvath (1986) et de nouvelles bandes qui n'ont pas encore ete etudiees. Les familles de bandes sous le modele KG sont basees sur l'estimateur a vraisemblance maximale (MLE) de F, sous ce modele particulier. On compare les bandes basees sur le PLE a celles basees sur le MLE lorsqu'on a un modele KG. Ceci nous permet d'etudier la perte d'efficacite des premieres lorsqu'on les utilise dans un contexte ou elles ne sont pas optimales. Pour cornparer deux bandes on utilise la notion d'efficacite relative des largeurs asyrnptotiques, qui se definit comme la limite du rapport des tailles echantillonnales necessaires pour obtenir la meme largeur asymptotique. En utilisant cette mesure d'efficacite on montre que, si le parametre de censure β est connu et assez grand, les bandes basees sur le PLE sont tres inefficaces par rapport aux bandes basees sur le MLE. Lorsque β n'est pas connu, les bandes basees sur le MLE sont asymptotiquement conservatrices. Malgre ceci, les bandes basees sur le MLE sont encore meilleurs que celles basees sur le PLE si β n'est pas trop petit, c'est a dire si le degre de censure n'est pas trop faible. On compare aussi les diverses bandes basees sur le PLE, sous le modele GRC. L'information obtenue est importante pour evaluer differentes bandes basees sur le PLE. Une illustration est presentee a partir des donnees de l'etude bien connue du “Channing-House”.