Probability magic or knowledge out of ignorance

We express here the statement » The probability of a given b equals r « symbolically by » p(a,b) = r «. A formal axiomatic calculus can be constructed comprising all the well-known laws of probability theory. This calculus can be interpreted in various ways. The present paper is a criticism of the subjective interpretation; that is to say, of any interpretation which assumes that probability expresses degrees of incomplete knowledge: a is the statement incompletely known, b is our total knowledge, and p(a,b) is the degree to which a is (partially) entailed by b. The subjective interpretation has often been proposed as an explanation and even a sharpening of the various objective theories (e.g. the frequency theory). It is shown in the paper that this proposal cannot be realised because the subjective theory cannot lead to results which are compatible with the objective theory. This is due to various reasons, the most important of which is that the objective theory interprets » b « in » p (a, b) « as a statement of the objective conditions of an experiment and » a « as one of its possible results. The subjective theory on the other hand interprets » b « as our total relevant knowledge which will in general include some knowledge of previous results of the experiment. It is shown that this must lead to incompatibility owing to the fact that this knowledge of previous results must influence the value of the probability. It is shown, in this way, that any probabilistic theory of the process of learning from experience—that is to say, any probabilistic theory of induction—must lead to contradictions. Resume L'enonce: » La probabilite de a, si b est donne, est egale a r « est ici exprime symboliquement par » p(a,b) = r «. On peut construire un systeme axiomatique formel qui contient toutes les regles bien connues du calcul des probabilites. Ce calcul formel peut ětre interprete de manieres tres differentes. L'article contient une critique des interpretations subjectives, c'est-a-dire des interpretations qui admettent que la probabilite exprime des degres de connaissance incomplete: a est un enonce qu'on ne connait que partiellement, b est notre connaissance totale, et p(a,b) exprime le degre auquel a est implicitement contenu dans b. L'interpretation subjective a souvent ete proposee comme une explication et un renforcement des differentes theories objectives (p. ex. de la theorie de la frequence). Dans cet article, l'auteur montre que ce projet n'est pas realisable, car la theorie subjective mene a des resultats qui contredisent la theorie objective. Plusieurs circonstances sont responsables de cette situation; la plus importante, c'est que la theorie interprete le » b « dans » p(a, b) « comme une description des conditions objectives d'une experience (et a comme l'un des resultats possibles de cette experience). D'autre part, la theorie subjective interprete » b « comme notre savoir total (pour autant que celui-ci intervienne), et ce savoir inclura en general des informations sur les resultats obtenus anterieurement pour cette experience. L'auteur montre que ce fait conduit a une contradiction entre les deux interpretations, car cette connaissance doit avoir une influence sur la valeur subjective de la probabilite. A l'aide de ce raisonnement, on peut montrer que la theorie des probabilites appliquee au processus inductif tirant une experience du domaine experimental conduit a des contradictions. Zusammenfassung Die Aussage » Die Wahrscheinlichkeit von a, wenn b gegeben ist, ist gleich r « wird hier symbolisch durch » p(a,b) = r « ausgedruckt. Ein formales Axiomensystem kann konstruiert werden, das alle die wohlbekannten Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung enthalt. Dieser formale Kalkul kann in sehr verschiedener Weise interpretiert werden. Der Artikel enthalt eine Kritik der subjektiven Interpretationen; das heisst, jener Interpretationen die annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit Grade von unvollstandigem Wissen ausdruckt: a ist ein Satz der unvollstandig gewusst wird, b ist unser Gesamtwissen, und p(a,b) druckt den Grad aus zu dem a in b implizit enthalten ist. Die subjektive Interpretation wurde oft als eine Erklarung und Verscharfung der verschiedenen objektiven Theorien (z. B. der Haufigkeitstheorie) vorgeschlagen. In dem Artikel wird gezeigt, dass der Vorschlag undurchfuhrbar ist, da die subjektive Theorie zu Resultaten fuhrt, die der objektiven Theorie widersprechen. Verschiedene Umstande tragen zu dieser Situation bei. Der wichtigste dieser Umstande ist, dass die objektive Theorie das » b « in » p(a,b) « als eine Beschreibung der objektiven Bedingungen eines Experimentes interpretiert (und » a « als eines der moglichen Resultate dieses Experimentes). Andererseits interpretiert die subjektive Theorie » b « als unser Gesamtwissen (soweit es relevant ist), und dieses wird im allgemeinen Informationen bezuglich fruherer Resultate dieses Experiments einschliessen. Es wird gezeigt, dass das zu einem Widerspruch zwischen den Interpretationen fuhrt, da dieses Wissen Einfluss auf den subjektiven Wahrscheinlichkeitswert haben muss. Mit Hilfe dieses Gedankenganges wird gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie des induktiven Lernens aus der Erfahrung zu Widerspruchen fuhrt.