Laminar eddies in a two-dimensional conduit expansion

L'article expose les resultats de calculs effectues a l'aide d'un ordinateur electronique, interessant la zone de decollement de l'ecoulement dans un elargissement, dans un rapport de 2 a 1, d'une conduite a deux dimensions, et presente des schemas d'ecoulement, et des profils de vorticite, correspondant a des nombres de Reynolds de 0 a 333. Deux methodes ont ete employees : dans l'une, on determine directement le regime permanent a partir d'equations sans termes non permanents, et dans l'autre, on aborde la solution par un procede asymptotique, correspondant a l'integration numerique des equations presentant des termes d'acceleration localisee. A conditions egales, la methode non permanente s'est revelee stable, au point de vue du calcul, alors que la methode permanente devenait instable ; lorsque les deux methodes etaient stables, leurs resultats montraient une excellente concordance. Les equations qui ont permis de construire le schema des differences correspondant au modele mathematique ayant servi pour la presente etude, sont les equations (7) et (8), couplees par l'intermediaire des conditions aux limites. La substitution de l'equation (7) en (8) fournirait une seule equation du 4e ordre, mais l'experience du passe a demontre la grande difficulte du traitement numerique d'une telle equation. L'etude de l'ecoulement a travers l'elargissement de la conduite s'est faite par deux methodes. L'une, que nous appellerons la methode "permanente", a consiste a calculer la solution en regime permanent, a partir de l'equation (8). et sans intervention du terme non permanent ζi; l'autre methode, que nous appellerons la methode "non permanente", etait basee sur l'application de l'equation (8) "telle quelle" a l'une des solutions deja fournies par la methode permanente. La methode non perrnanente a permis le passage, sans modification des dimensions de la maille, de l'ecoulement correspondent a un nombre de Reynolds donne, a un autre ecoulement, correspondant a un nombre de Reynolds bien plus eleve (ou plus faible). Les equations aux differences finies intervenant dans la methode permanente sont les equations (9) et (10), obtenues a partir des equations (7) et (8) a l'aide de formules du genre des (11) et (12). Dans les equations aux differences finies (9) et (10) , l'indice k indique le nombre des iterations ; celles-ci se font dans le sens des j et des i croissants, ou bien, ce qui revient au meme, des y et des x croissants. Pour la methode non perrnanente, on a employe les equations (13) et (14), dans lesquelles n represente l'indice du temps. On notera que la premiere de ces deux equations indique la possibilite de calculer ζ a l'instant (n + 1) δt, a partir des valeurs stables de Ψ et de ζ a l'instant nδt, et celle de ζ a l'instant (n -1) δt. Une fois faits les calculs de ζ a l'instant (n + 1) δt, on calcule la fonction de courant par iteration, a l'aide de l'equation (14). Etant donne qu'il semblait si evident que les solutions correspondant au regime permanent s'obtiendraient plus aisement a partir d'equations sans termes non permanents, la premiere partie de la presente etude a ete consacree a l'integration des equations (9) et (10) en partant du cas-limite de la disparition des forces d'inertie, soit du cas bien connu de l'ecoulement de fluage. Ensuite, une fois determine l'ecoulement correspondant a un nombre de Reynolds donne, on a fait augmenter la valeur de ce nombre dans l'equation (10), et on a repris le calcul autant de fois qu'il fallait pour obtenir des valeurs bien etablies. A cause d'instabilites du calcul, il n'est possible, pour des dimensions de maille donnees, de poursuivre ce procede, et d'obtenir de bons resultats, que jusqu'a un certain nombre de Reynolds ; une fois ce nombre de Reynolds atteint, le passage a une maille de plus petites dimensions s'impose. L'influence des dimensions de maille, et des methodes de balayage, sur la stabilite des calculs, a ete etudiee a l'aide d'un ecoulement uniforme et perturbe, en faisant pour ce dernier des calculs correspondant a une partie de la conduite a deux dimensions. Les equations (15) a (21) representent la methode par laquelle les auteurs ont aborde les conditions aux limites. Dans toute experience reelle ayant pour objet la determination d'une zone de decollement, il est necessaire d'accelerer le fluide progressivement, a partir de son etat initial au repos. Autrement dit, on n'envisagerait guere d'etablir l'ecoulement permanent recherche d'un seul coup. Par consequent, il semble qu'un schema de calcul plus naturel, pour la determination de la zone de decollement, devrait, en principe, etre propre a reproduire, sur le modele mathematique, ce qui se passe dans le milieu physique. Cependant, ceci n'a ete fait qu'apres s'etre heurte a des difficultes insurmontables avec la methode permanente, qui de prime abord etait censee plus simple et rapide. Or, la methode non permanente s'est montree a la fois d'un maniement tout aussi aise que la methode permanente, et beaucoup plus stable. La methode permanente representait un moyen different de determiner des schemas d'ecoulement; elle servait egalement a verifier et a guider la methode non permanente, dont on preconisera neanmoins l'emploi pour toute nouvelle etude. Le procede employe a consiste a changer le nombre de Reynolds dans l'equation (13), sans modifier les valeurs de la fonction de courant aux limites, ce qui peut se concevoir comme une modification brusque de la viscosite, la valeur du debit restant constante. Les figures 2 et 3 representent une serie de schemas d'ecoulement, et les profils de vorticite correspondants, obtenus par la methode permanente. Ces figures ne correspondent qu'a une partie des calculs executes pour la gamme des nombres de Reynolds s'echelonnant de 0 jusqu'a Presque 100. Les resultats des calculs effectues a l'aide de la methode non permanente sont representes sur la figure 4, qui montre le schema d'ecoulement correspondant a R = 333, et ayant ete obtenu a partir de celui correspondant a R = 200 par un artifice consistant a changer le nombre de Reynolds dans les equations aux differences finies de 200 a 333, tout en maintenant constante la valeur du debit sans dimensions. Le schema d'ecoulement correspondent a R = 200 a ete obtenu en "accelerant" de R = 48 a R = 93,3, et ensuite de R = 93,3 a R = 200. Les schemas (a) a (e) de la figure 4 montrent, successivement, les etapes initiale, intermediaire, et finale de "l'ecoulement" du calcul, en passant de R = 200 a R = 333. Une caracteristique interessante de la croissance du tourbillon est que l'ecoulement en son interieur evolue d'une maniere qui parait realiste, en ce sens que l'observation experimentale de la scission du tourbillon en deux parties est possible, dans le cas des tourbillons de forme allongee. Des calculs imposant une acceleration reelle du debit "modele" par un elargissement, ont deja ete effectues sous la direction du deuxieme auteur de l'etude ; il s'est montre que, la aussi, le tourbillon sE scindait en deux parties, de maniere semblable a celle indiquee sur la figure 4. Le dernier schema de cette figure correspond egalement a R = 200, mais il a ete obtenu en reduisant brutalement le nombre de Reynolds de 333 a 200 ; seul y figure le tourbillon de plus petites dimensions, puisque le tourbillon se retrecit tout a fait regulierement, comme s'il restait semblable a lui-meme, sans se scindre en deux. Les figures 5 et 6 indiquent la croissance calculee de la longueur relative du tourbillon, la position du centre du tourbillon, et son intensite, due aux variations du nombre de Reynolds, respectivement de 48 a 98,3, et de 333 a 200. La figure 7 presente quatre caracteristiques de tourbillons permanents, en fonction du nombre de Reynolds ; ou y notera avec interet la croissance lineaire de la longueur du tourbillon. L'utilisation de formes discretisees des equations correspondant a l'ecoulement visqueux, lorsque l'on dispose d'ordinateurs a grande capacite et rapidite de calcul poussee met a disposition un puissant moyen pour l'etude des ecoulements resistant encore aux procedes classiques d'integration analytique. Un des avantages des modeles mathematiques est qu'ils permettent d'emmagasiner "l'ecoulement", et "d'effectuer des observations complementaires" a n'importe quel moment par la suite. C'est exactement ce qu'ont fait les auteurs, en calculant la pression, la somme de Bernoulli, les efforts normaux et tangentiels, les termes tenant compte de la qualite, de mouvement et de l'impulsion, et les equations de l'energie et du travail, correspondant a l'un des ecoulements emmagasines dans les elargissements de conduites. Les resultats de ces "observations" ont deja ete presentes en vue de leur publication.