Geometric Derivations Of Minimal Sets Of Sufficient Multiview Constraints

Geometric interpretations of four of the most common determinant formulations of multiview constraints are given, showing that they all enforce the same geometry and that all of the forms commonly in use in the machine vision community are a subset of a more general form. Generalising the work of Yi Ma yields a new general 2 × 2 determinant trilinear and 3 × 3 determinant quadlinear. Geometric descriptions of degenerate multiview constraints are given, showing that it is necessary, but insufficient, that the determinant equals zero. Understanding the degeneracies leads naturally into proofs for minimum sufficient sets of bilinear, trilinear and quadlinear constraints for arbitrary numbers of conjugate observations. Resume L’article propose des interpretations geometriques pour quatre des formulations les plus courantes de determinants de contraintes multi-vues, montrant qu’elles respectent toutes la meme geometrie et que toutes les formes couramment utilisees en vision industrielle sont des sous-ensembles d’une formulation plus generale. La generalisation des travaux de Yi Ma aboutit a une forme trilineaire de determinant 2 × 2 et quadrilineaire de determinant 3 × 3. Les descriptions geometriques de solutions degenerees de contraintes multi-vues montrent qu’il est necessaire mais non suffisant que le determinant soit nul. Comprendre les degenerescences conduit naturellement a trouver des ensembles minimaux suffisants de contraintes bilineaires, trilineaires et quadrilineaires pour un nombre arbitraire d’observations conjuguees. Zusammenfassung Dieser Beitrag gibt geometrische Interpretationen der vier am haufigsten verwendeten Determinantenformulierungen fur Zwangsbedingungen bei Mehrfachaufnahmen im Bereich des maschinellen Sehens an. Es wird gezeigt, dass alle Formulierungen die gleiche Geometrie erzwingen und eine Untermenge einer generellen Losung darstellen. Die Generalisierung der Arbeit von Yi Ma ergibt eine neue, allgemeine 2 × 2 trilineare und 3 × 3 quadlineare Determinantenformulierung. Es werden die geometrischen Beschreibungen von degenerierten Zwangsbedingungen bei Mehrfachaufnahmen gegeben, die zeigen, dass es notwendig, aber nicht hinreichend ist, dass die Determinante zu Null wird. Das Verstandnis der Degeneriertheiten fuhrt zu Beweisen fur die minimal ausreichenden Satze von bilinearen, trilinearen oder quadlinearen Zwangsbedingungen fur eine beliebige Anzahl von konjugierten Beobachtungen. Resumen Se da una interpretacion geometrica de cuatro de las formulaciones determinantes mas comunes de restricciones multivista, demostrando que todas aplican la misma geometria y que todas las formas comunmente utilizadas en vision artificial son un subconjunto de una forma mas general. La generalizacion del trabajo de Yi Ma proporciona nuevos determinantes generales trilineales 2 × 2 y quatrilinieales 3 × 3. Ademas, hace una descripcion geometrica de las restricciones multivista degeneradas, mostrando que es condicion necesaria, pero no suficiente, que el determinante sea igual a cero. La comprension de las degeneraciones supone inevitablemente realizar pruebas por conjuntos minimos suficientes de restricciones bilineales, trilineales y cuatrilineales para un numero arbitrario de observaciones homologas.