Cardinal functions on Boolean algebras

Resume Nous esquissons ici la theorie des applications a valeurs cardinales definies sur les algebres booleennes. Nous etudions par exemple les applications hA = min {|B| : B est une image homomorphe infinie de A}, la longueur length A = sup {|X| : X est une chaine de A}, et le nombre des ultrafiltres de A, Ult A. Nous decrivons completement en details 24 telles applications, et nous en mentionnons 16 autres. Nous pensons que l'etude de ces applications cardinales fournit un cadre commode pour analyser la structure des algebres booleennes et que c'est un bon terrain d'experimentation pour les methodes recentes de demonstration en theorie des ensembles. Beaucoup de ces applications -au moins 13- ont ete etudiees de facon approfondie sous leurs formes topologiques duales; l'etude de ces applications pour les algebres booleennes est un cas particulier et important de ces recherches. Ainsi bien des problemes que nous enoncons ont une forme topologique qui n'est resolue ni pour les espaces compacts les plus generaux, ni pour les espaces reguliers. La plupart des resultats que nous enoncons ne sont pas nouveaux; les demonstrations que nous en donnons sont simples, et font souvent partie de ce qui existe de plus classique. En general, nous n'avons pas fait l'effort de decouvrir le premier auteur de chaque resultat mais nous l'indiquons dans certains cas. Nous mentionnons 66 problemes non resolus. 1 Nous commencons par considerer quelques applications arithmetiques. la cellularite de A, cell A, est sup {|C| : C ⊂ A, ou C est forme d'elements deux a deux disjoints}. Cette application a ete etudiee de facon detaillee par COMFORT et NEGREPONTIS (1982). Les applications longueur et profondeur respectivement notees length A et depth A = sup {|C| : C ⊂ A, ou C est une chaine bien ordonnee} ont ete etudiees Mc KENZIE et MONK (1982). L'application inc A = sup {|C| : C ⊂ A ou les elements de M sont deux a deux incomparables} peut s'exprimer en fonction du nombre d'arbres contenus dans A. La densite est la měme chose que le π-poids de l'espace booleen. La ramification est une application bien connue liee a la cellularite. Les applications algebriques que nous considerons sont les suivantes: - le nombre de sous-algebres; - l'irreductibilite (irr A = sup {|X| : aucune partie propre de X n'engendre X}); - la profondeur des sous-algebres ou fonction depth de A = sup {K: il existe une suite strictement decroissante B α pour α - la longueur des sous-algebres (definie partiellement); - l'independance (sup {|B|: B est une sous-algebre libre de A)}; - hA comme definie ci-dessus; - le nombre d'endomorphismes; - le nombre d'automorphismes; Nous considerons pour terminer quelques applications qui ont, au moins implicitement, une forme topologique: le nombre d'ideaux; l'etalement (“spread”); le degre hereditaire de Lindelof; la densite hereditaire; la longueur des ideaux; le nombre d'ultra-filtres; la densite topologique; le π-caractere; le caractere; l'etroitesse (“tightness”). Abstract We give a survey of the most important cardinal functions on Boolean algebras. In addition to known results about these functions and relationships between them, we formulate many open problems.