Long-term orbit prediction for the Venus Radar Mapper Mission using an averaging method

I . I n t r o d u c t i o n The slow r e t r o g r a d e r o t a t i o n ( a b o u t 1.48' per d a y ) o f V e n u s p o s e s an i n t e r e s t i n g a ~ p e c t i n t h e l o n g t e r m o r b i t p r e d i c t i o n o f t h e s p a c e c r a f t d u r i n g t h e mapping p h a s e o f t h e Venus Radar Mapper Mission.' Even though t h e h a r m o n i c c o e f f i c i e n t s o f V e n u s a r e r e l a t i v e l y s m a l l ( a b o u t t h e f a c t t h a t t h e s p a c e o r a f t w i l l make r e p e a t e d p a s s e r O v e r t h e same p o r t i o n o f t h e p l a n e t may p r o d u c e s i g n i f i c a n t d e v i a t i o n s f r o m t h e n o m i n a l o r b i t . The s c i e n c e i n s t r u m e n t s o n b o a r d a n d t h e l i m i t e d amount of f u e l a v a i l a b l e r e q u i r e 8 minimal number o f m a n e u v e r s d u r i n g t h e m a p p i n g p h a s e . The c o s t o f u s i n g h i g h p r e c i s i o n n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t o d e t e r m i n e t h e e f f e c t s o f t h e g r a v i t y harmonics on v a r i o u s m a p p i n g o r b i t s w o u l d b e p r o h i b i t i v e l y e x p e n s i v e . An a l t e r n a t i v e i s t o u s e a v e r a g i n g methods . I n a S i n g l y a v e r a g e d m e t h o d u s e d b y D a l l a s and Khan'. and a p p l i c a b l e t o E a r t h o r b i t i n g spacec r a f t , t h e S h o r t p e r i o d te rms ( o f t h e o r d e r o f t h e o r b i t a l p e r i o d ) and t h e medium p e r i o d t e r m s ( d a i l y ) are e l i m i n a t e d f r o m t h e d i s t u r b i n g f u n c t i o n . What i s l e f t are s e c u l a r and l o n g p e r i o d te rms due t o z o n a l s a n d r e s o n a n t t e s s e r s l s . The r e s o n a n t t e s s e r a l s i n c l u d e d i n t h e d i s t u r b i n g f u n c t i o n depend on t h e o r b i t a l p e r i o d . The r e s u l t i n g equat i o n s o f mot ion can b e i n t e g r a t e d n u m e r i c a l l y w i t h l a r g e s t e p s i z e s i n t h e o r d e r o f d a y s . I n t h e c a s e o f V e n u s , t h e r e a r e no medium p e r i o d t e r m s , nor a r e t h e r e any r e s o n a n t phenomena. T h e r e f o r e , o n l y t h e s h o r t p e r i o d te rms h a v e t o be e l i m i n a t e d from t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n . The a u t h o r h a s modif i e d t h e a l g o r i t h m s d e v e l o p e d by D a l l a s and Khan h e r e s e a r c h d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r was c a r r i e d o u t a t t h e J e t P r o p u l s i o n L a b o r a t o r y , C a l i f o r n i a I n s t i t u d e o f Technology, u n d e r NASA C o n t r a c t NAS 7-918. ' S u p e r v i s o r , ~ e r r e s t i a l P l a n e t s M i s s i o n ~ e s i g n Group, M i s s i o n D e s i g n S e c t i o n Member AIAA d Copyright @ Arncrican lnslituto of Aeronautirs and Astronautics, Inr.. 1984. All rights resewed. I t o p r e d i c t m o t i o n o f a s p a c e c r a f t a b o u t B s l o w l y r o t a t i n g p l a n e t . I n t h e f o l l o w i n g , s e c t i o n I1 g i v e s t h e equat i o n s Of mot ion i n t h e n o n s i n g u l a r ( i n c c c e n t r i c i t y o n l y ) v a r i a b l e s . S e c t i o n 111 g i v e r t h e r e c u r r i v e f o r m u l a t i o n o f t h e g o o p o t e n t i a l and i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s . S e c t i o n I V g i v e n t h e t h i r d b o d y p o t e n t i a l a n d i t s d e r i v a t i v e s . S e c t i o n V g i v e s r e s u l t s o f t h c a v e r a g i n g method and compared them w i t h C o w e l l ' s m e t h o d i n b o t h n u m e r i o a l a c c u r a c y and c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y . The compar i s o n i s per formed u s i n g a d e s k t o p microcomputer. S e c t i o n V I i s t h e summary. 11. E a u a t i o n r o f Motion The L a g r a n g e ' s p l a n e t a r y e q u a t i o n s u s i n g c l a s s i c a l o r b i t a l e l e m e n t s a r e . TO e l i m i n a t e t h e s i n g u l a r i t y d u e t o z e r o e c c e n t r i c i t y , t h e v a r i a b l e s h a n d k a r e i n t r o duced . h = e s i n w , k = e c o r o . T o f a c i l i t a t e t h e e l i m i n a t i o n o f t h e f a s t v a r i a b l e , t h e mean a n o m a l y , b u t r e t a i n i n g t h e l o n g t o r m e f f e c t s o f resonances w i t h t e s s e r a l harmon i c s , a new v a r i a b l e , AN, c a l l e d t h e ' s t r o b o s c o p i c mean node' i s i n t r o d u c e d . hN = (M+o)/So + (a-0) , where 0 i s t h e Greenwich h o u r a n g l e and S o i s t h e r a t i o o f two r e l a t i v e l y p r i m e i n t e g e r s P /O app r o x i m a t i n g t h e number of o r b i t s p e r p l a n e t revol u t i o n . Godeon3 g i v e s an i l l u m i n a t i n g d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s i c a l m e a n i n g o f h The s e l e c t i o n o f P and 0 w i l l b e d i s c u s s e d i n 8 i c t i o n 111. W T o t r a n s f o r m t h e p l a n e t a r y e q u a t i o n s o f "10t i o n f r o m c l a s s i c a l o r b i t a l e l e m e n t s t o t h e ~ C W s e t o f e l e m e n t s , t h e f o l l o w i n g d e r i v a t i v e s a x 0 nocded. a R a R a n aR a x a n a n a n a x N a n _ _ = -_ _ + _-d h h d e dw d t e d t d t dk k d e dw d t c d t d t t k , _= -_