Helium states II. Perturbation treatment of the ground state using the coordinates r

In an attempt to improve upon the convergence properties of the Hylleraas-Scherr-Knight-Midtdal perturbation expansion for the ground-state energies and eigenfunctions of the helium isoelectronic sequence, the term r is included in the zeroth-order Hamil-tonian. This term dominates the usual perturbation r for the ground state of these systems, and by removing it from H(1) we substantially reduce, in some sense, its size. In order to find the exact eigenfunction of the resulting zeroth-order Hamiltonian it was found necessary to include in H(0) two additional terms involving the delta function δ(r1 − r2) = δ(r ) and one such term in H(1). Approximate first- and second-order eigenfunctions are calculated variationally giving the energies to fifth order. The results are disappointing. The errors in the energies to fifth order for He, Li+, and Be2+, although quite small, are significantly larger than the corresponding errors in the more conventional perturbation treatment. Reasons for the failure to improve upon the earlier results are discussed. A “paradox” noted some time ago by Snyder and Parr is examined in an Appendix. Pour ameliorer la convergence du developpement de perturbation de Hylleraas-Scherr-Knight-Midtdal pour les energies et les fonctions propres de l'etat fondamental de la serie isoelectronique a l'atome de helium, on a transfere le terme r a I'hamiltonien d'ordre zero. Ce terme-ci domine la perturbation ordinaire, r, dans l'etat fondamental de ces systemes, et en le soustrayant de H(1) on reduit, en quelque sens, la grandeur de la perturbation. Pour trouver la fonction propre exacte de l'Hamiltonien d'ordre zero, il fǔt necessaire d'ajouter a H(0) deux termes supplementaires qui contiennent la fonction delta, δ(r1 − r2) = δ(r ) ainsi qu'un terme du měme type aH(1). Des fonctions propres approchees du premier et du second ordre ont ete calculees par une methode variationnelle, ce qui donne des energies jusqu'au cinquieme ordre. Les resultats sont decourageants. Bien que les erreurs des energies du cinquieme ordre soient assez petites pour He, Li+, et Be2+, elles sont plus grandes que les erreurs correspondantes de la methode conventionnelle. On discute les raisons de cet echec. Dans un appendice on examine un “paradoxe”, note par Snyder et Parr. In einem Versuch die Konvergenz der Hylleraas-Scherr-Knight-Midtdal-schen Storungsentwicklung fur die Energien und die Eigenfunktionen des Grundzustands der mit He isoelektronischen Reihe, wurde das Glied r im Hamiltonoperator nullter Ordnung eingeschlossen. Dieses Glied dominiert die gewohnliche Storung r im Grundzustand dieser Systeme, und wenn es von H(1) abgezogen wird, konnen wir die Grosse der Storung vermindern. Um die exakte Eigenfunktion des Hamiltonoperators nullter Ordnung zu finden, erwies es sich notwending in H(0) zwei weitere Glieder einzufuhren, die die Deltafunktion δ(r1 − r2) = δ(r ) enthalten. Auch in H1 musste ein solches Glied eingefuhrt werden. Approximative Eigenfunktionen erster und zweiter Ordnung wurden mit einer Variationsmethode berechnet, was Energien zur funften Ordnung gab. Die Resultate sind enttauschend. Die Fehler in den Energien funfter Ordnung fur He, Li+, Be2+, obgleich ganz klein, sind grosser als die entsprechenden Fehler in der gewohnlichen Storungsmethode. Mogliche Grunde dieses Misslingen werden diskutiert. Ein “Paradoxon”, das von Snyder und Parr notiert worden ist, wurde in einem Anhang untersucht.