Time-optimal nuclear rocket propellant start-up with thermal stress constraints based on distributed parameter model

Core and propellant temperature of a solid fuel element nuclear rocket are described by a pair of coupled partial differential equations depending on the power distribution and the propellant flow rate; the latter is taken as the independent control variable. The thermal stress in the core is given by a product of state and control variables.The set of partial differential equations is solved in integral form for core temperature, propellant temperature and the difference between them. These integral expressions are used in the solution of the following minimum time problem: Find the control program which increases the propellant flow rate from a given steady-state level to a fixed higher level in minimum time without exceeding a certain maximum tolerable stress in the core. This problem is shown to be equivalent to a certain fixed final time problem which requires the minimization of a functional subject to an integral equation and an integro-differential inequality constraint. To the authors' knowledge, optimal conditions for such a problem are not yet available in the literature. They are derived and used for obtaining the minimum time control law in closed form.A computer algorithm for the numerical implementation is derived. Numerical results are given for different power distributions. Les temperatures du noyau et du carburant d'une fusee atomique i? elements de carburant solide sont decrites au moyen d'une paire d'equations aux derivees partielles couplees dependant de la distribution de puissance et du debit de carburant; ce dernier est pris comme variable independante de commande. La tension thermique dans le noyau est donnee par un produit des variables d'etat et de commande.Le systeme d'equations aux derivees partielles est resolu sous forme integrale pour la temperature du noyau, la temperature du carburant et leur difference. Ces expressions integrales sont utilisees pour la solution du probleme de temps minimal suivant. Trouver le programme de commande qui augmente le debit de carburant d'un niveau donne en regime etabli i? un niveau fixe superieur en un temps minimal sans exceder une certaine tension maximale admissible dans le noyau. Il est montre que ce probleme est equivalent i? un certain probleme de temps final fixe qui necessite la minimalisation d'une fonctionnelle assujettie i? une equation integrale et i? une contrainte exprimee par une inegalite integro-differentielle. A la connaissance de l'auteur, des conditions optimales pour un tel probleme ne sont pas encore disponibles dans la literature. Elles sont trouvees et utilisees pour obtenir la loi de commande i? temps minimal sous la forme fermee.Un algorithme de calcul pour l'application numerique est obtenu. Des resultats numeriques sont donnes pour diverses distributions de puissance. Die Temperatur von Reaktorkern und Antriebsmittel eines nuklearen Raketenmotors mit festen Brennstoffelementen ist durch zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen bestimmt. Diese hangen von der Verteilung der Leistung und von der Durchfluismenge des Antriebsmittels ab, wobei die letztere bei der Regelung als unabhangige Variable betrachtet wird. Die Warmebeanspruchung im Reaktorkern ist als Produkt von Zustandsund Regelgroisen gegeben.Die Losung der beiden partiellen Differentialgleichungen fur Reaktorkerntemperatur, Antriebsmitteltemperatur und deren Differenz wird in Integralform angegeben. Diese Integralausdrucke werden bei der Losung der folgenden Minimal-Zeit-Probleme benutzt. Das Steuerprogramm ist gesucht, das die Durchfluismenge des Antriebsmittels von einer gegebenen stationaren Menge auf eine fixierte groisere Durchfluismenge in minimaler Zeit uberfuhrt, ohne dabei eine maximal zulassige Warmebeanspruchung im Reaktorkern zu uberschreiten. Dieses Problem ist, wie gezeigt wird, dem einer Aufgabe mit bestimmter fester Endzeit aquivalent und erfordert die Minimierung eines Funktionals. Dabei treten eine Integralgleichung und eine Integro-Differential-Ungleichung als Nebenbedingung auf. Nach Kenntnis der Autoren sind optimale Bedingungen fur eine solche Aufgabe in der Literatur noch nicht vorhanden. Sie werden abgeleitet und benutzt, um die Minimalzeit-Steuerung in geschlossener Form zu erhalten.Ein Algorithmus fur die numerische Auswertung auf einem Digitalrechner wird abgeleitet. Fur verschiedene Verteilungen der Warmeerzeugung werden numerische Ergebnisse geliefert. Te??epa?yp? cep?e????a ? ?op??e?o a?o??o? pa?e?? c ??ep???? ?op??e?? ??e?e??a?? o??c??a??c? ?p? ?o?o?? ?ap? co?p??e???? ????epe???a????? ypa??e??? c ?ac????? ?po???o????? ?a??c???? o? pac?pe?e?e??? ?o??oc?? ? o? pac?o?a ?op??e?o; ?oc?e???? ?epe?c? ?a? ?e?a??c??a? ?oop???a?a y?pa??e???. 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