Mathematical Platonism and Dummettian Anti‐Realism

Summary The platonist, in affirming the principle of bivalence for sentences for which there is no decision procedure, disconnects their truth-conditions from conditions that would enable us to prove them - as if Goldbach's conjecture, say, might just happen to be true (§1). According to Dummett, what has gone wrong here is that the meaning of the relevant sentences has been conceived so as to go beyond what could be learned in learning to use them, or displayed in using them competently (§2). Dummett draws the general conclusion that accounts of meaning must traffic only in decidable circumstances (§3). I suggest (§5) that Dummett can be right about platonism but wrong in this general conclusion: the centrality of decidable circumstances in competent use of language is a special feature of mathematical language. (The epistemology of understanding yields no good argument against this suggestion: ≪4.) This means that someone who recoils from the anti-realism constituted by Dummett's generalized anti-platonism, in the case of, say, statements about other minds, need not be recoiling into a close analogue of platonism, as Dummett suggests (§6). We can reinstate the intuitive idea that platonism goes wrong by inappropriately modelling the epistemology and metaphysics of mathematics on the epistemology and metaphysics of the natural world. And we make room for the suggestion (§§7-9) that anti-realism makes a converse mistake; in this vein, I propose a picture of Dummettian anti-realism as a novel expression of familiar and suspect epistemological and metaphysical thoughts. Resume Le platonicien, en affirmant le principe de bivalence pour des enonces ou il n'y a pas de procedure de decision, deconnecte ses conditions de verite des conditions qui nous permettraient de les demontrer - comme si par exemple la conjecture de Goldbach pouvait etre simplement juste par accident (§1). Selon Dummett, l'erreur commise, c'est que la signification des enonces en question a ete concue comme allant au-dela de ce qu'on peut apprendre en apprenant a les utiliser, ou de ce qu'on peut demontrer en les utilisant avec competence (§2). Dummett tire la conclusion generate qu'on ne peut rendre compte de la signification que dans des circonstances decidables (§3). Je suggere (§5) que Dummett a peut-etre raison au sujet du platonisme, mais tort dans sa conclusion generale: l'importance des circonstances decidables pour utiliser le langage de facon competente est une particularite du langage mathematique. (L'epistemologie de la comprehension ne fournit pas ? argument valable contre cette suggestion: ≪4.) Cela signifie que quelqu'un qui recule devant l'anti-realisme que represente l'anti-platonisme generalise de Dummett, par exemple dans le cas de l'existence de la vie interieure ? autrui, n'est pas pour autant oblige, ainsi que Dummett le pretend, ? adopter une attitude analogue a celle du platonicien (§6). Nous pouvons rehabiliter l'idee intuitive que l'erreur du platonisme consiste a conformer de facon inappropriee l'epistemologie et la metaphysique des mathematiques sur le modele de l'epistemologie et de la metaphysique du monde naturel. Et nous suggerons (§§7-9) que l'anti-realisme commet l'erreur inverse: je crois reconnaitre dans l'anti-realisme dummettien, sous une nouvelle forme, des conceptions epistemologiques et metaphysiques aussi familieres que suspectes. Zusammenfassung Indem der Platonist das Prinzip der Bivalenz fur Satze ohne Entscheidungsverfahren bejaht, trennt er ihre Wahrheitsbedingungen von den Bedingungen ab, die es uns erlauben wurden, sie zu beweisen - als wenn, sagen wir, Goldbachs Vermutung zufallig wahr sein konnte (§1). Was sich gemass Dummett hier als fatsch erwiesen hat, ist, dass die Bedeutung der relevamen Satze uber das hinaus erdacht worden ist, was beim Lernen ihrer Verwendungsweise erlernt oder durch ihren kompetenten Oebrauch dargestellt werden kflnnte (§2). Dummett zieht daraus die allgemeine Folgerung, dass die Darstellungen von Bedeutung ausschliesslich mit entscheidbaren Sachverhalten umgehen miissen (§3). Ich schlage vor (§5), dass Dummett bezuglich des Platonismus recht, aber bezuglich der folgenden generellen Konklusion unrecht haben kann: Der Vorrang der entscheidbaren Sachverhalte im kompetenten Gebrauch der Sprache ist ein spezielles Merkmal der mathematischen Sprache. (Die Erkenntnistheorie des Verstehens liefert kein gutes Argument gegen diesen Vorschlag: ≪4.) Das bedeutet, dass jemand, der mit dem durch Dummetts verallgemeinerten Anti-Platonismus konstituierten Anti-Realismus zuruckhalt, beispielsweise im Falle von Aussagen uber andere Geister (§minds≪, Anm. d. Ubers.) nicht - wie Dummett dies vorschlagt - in eine Analogie zum Platonismus fallen muss (§6). Wir konnen die intuitive Idee wiedereinfuhren, dass der Platonismus durch das unangebrachte Ubertragen der Erkenntnistheorie und Metaphysik der Mathematik auf die Erkenntnistheorie und Metaphysik der naturlichen Welt fehlgeht. Und wir schaffen Raum fur den Vorschlag (§§7-9), dass Anti-Realismus einen umgekehrten Fehler macht; in diesem Zusammenhang skizziere ich den Dummettschen Anti-Realismus als neuen Ausdruck vertrauter und verdachtiger erkenntnistheoretischer und metaphysischer Gedanken.