Tenfold d-Electron Degeneracy in the Hubbard Model and Transition-Metal Magnetism. II. The Antiferromagnetic-Paramagnetic and Antiferromagnetic-Ferromagnetic Transitions

Intrasite d-d electron interactions are included in the Hubbard model, replacing the simplified s-electron picture of Penn [5]. The technique is identical with an earlier paper by Siegel and Kemeny [1] on the ferromagnetic-paramagnetic transition. Choosing k-space correlation functions to represent the paramagnetic, ferromagnetic, and antiferromagnetic states, the tenfold degenerate eigenvalue problem is solved and free energies are self consistently calculated for various combinations of the three parameters: d-band filling, direct interaction Coulomb constant divided by one third the d-bandwidth, and exchange interaction constant divided by one third the d-bandwidth. The antiferromagnetic-paramagnetic and antiferromagnetic-ferromagnetic phase boundary surfaces are plotted a t near zero and finite temperatures with the third dimension being the exchange interaction constant divided by one third the d-bandwidth (J/4T). The near zero temperature trend shows that the inclusion of exchange, as expected, enhanced the antiferromagnetic region at the expense of the paramagnetic region. This antiferromagnetic region enhancement over the para-magnetic region is exactly the opposite of the nondegenerate. t-matrix result of Caron and Kemeny [7]. Finite temperature calculations for the antiferromagnetic-paramagnetic transition show the same trend with increasing exchange, but shift the phase boundary so as to decrease the antiferromagnetic region relative to that at near zero temperature for the same value of exchange interaction constant, J. The antiferromagnetic-ferromagnetic phase boundary shift as a function of increasing d-d exchange interaction constant, J, is much harder to calculate since two ordered magnetic spin states are in competition. Within the scatter of the calculated free energy values, it is seen that the ferromagnetic region is enhanced at the expense of the antiferromagnetic region, but just barely. This enhancement is much less than that of ferromagnetic over paramagnetic. in [1], or of antiferro-magnetic over paramagnetic, here, where strongly spin ordered magnetic spin states are compared to a spin disordered state. For the slight ferromagnetic region enhancement over the antiferromagnetic region, again the trend is opposite to the t-matrix result, which enhances the antiferromagnetic region at the expense of the ferromagnetic region relative to Penn's [5] nondegenerate calculation. But again, since Penn's [5] calculation is good only to direct Coulomb interaction constant K = 0.25, while Caron and Kemeny's [7] is good rigorously down to K = 0.0, nothing can be said abont, how the calculation compares with Penn's [5] for K < 0.25. Innere d-d-Wechselwirkungen werden in das Hubbard-Modell einhezogen, wodurch dalr vereinfachte s-Elektronenbild von Penn [5] erweitert wird. Diese Methode wurde bereits in einer fruheren Arbeit uber ferromagnetisch-paramagnetische Ubergkage von Siegel und Kemeny [1] angewendet. Durch Wahl von Korrelationsfunktionen im k-Raum zur Darstellung der paramagnetischen, ferromagnetischen und antiferrornagnetisohen Zustande werden das zehnfach entartete Eigenwertproblem gelost und die freien Energien selhst-konsistent fur verschiedene Kombinationen folgender drei Parameter berechnet: d-Band-fullung, Konstante der auf ein Drittel der d-Bandhreite bezogenen, direkten Coulomb-Wechselwirkung und Konstante der auf ein Drittel der d-Bandbreite bezogenen Austauschwechselwirkung. Die Grenzflache der antiferromagnetisch-paramagnetischen und antiferro-magnetisch-ferromagnetischen Phase in der Nahe des Temperaturnullpunktes und bei end-lichen Temperaturen werden mit der dritten Dimension, der auf ein Drittel der d-Band-breite bezogenen Austauschwechselwirkungskonstante, dargestellt. Die Temperaturab-hangigkeit in der Nahe des Nullpunktes zeigt wie erwartet, das der Einschlus von Aus-tauschwechselwirkung den antiferromagnetischen Bereich auf Kosten des paramagnetisehen Bereichs vergrosert. Das ist genau entgegengesetzt dem nichtentarteten t-Matrix-Ergebnis von Caron und Kemeny [7]. Berechnungen des antiferromagnetisch-paramagnetischeri Uberganges fur endliche Temperaturen zeigen denselben Verlauf mit steigender Austausch-wechselwirkung, verschieben jedoch die Phasengrenze so, das der antiferromagnetische Bereich relativ zu dem beim Temperaturnullpunkt bei gleichem Wert der Austansch-wechselwirkungslronstante, J, abnimmb. Die antiferromagnetisch-ferromagnetische Phasengrenzenverschiebung in Abhangigkeit von der wachsenden d-d- Austauschwechselwirkung (J) ist viel schnierigor zu berechnen, da zwei geordnete magnetische Spinzustande konkurrieren. Innerhalb des Streubereiches der berechneten Werte der freien Energie ist zu sehen. Das der ferromagnetische Bereich auf Kosten des ant,iferromagnetischen Bereichs anwachst, jedoch nur gering. Diese Vergroserung ist viel geringer als die des ferromagnetischen uber den paramagnetischen in [1] und des antiferromagnetischen uber den paramagnetischen Bereich hier, wo ein stark spin-geordneter Zustand mit einem ungeordneten Spinzustand verglichen wird. Fur das leichte Anwachsen des ferromagnetischen uber den antiferromagnetischen Bereich ist der Trend wieder entgegengesetzt zum Ergebnis der t-Matrix, das den antiferromagnetischen Bereich auf Kosten des ferromagnetischen Bereichs vergrosert, entsprechend den Rechnungen von Penn [5]. Jedoch kann wiederuni nichts uber den Vergleich mit Berechnungen von Penn [5] fur K < 0,25 ausgesagt werden, da Penns Berechnungen nur fur eine direkte Coulomb-Wechselwirkungskonstante K = 0,25 und die Ergebnisse von Kemeny und Caron [7] bis zu K = 0,0 herab gultig sind.