comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
trae tertia biniuero al trinsecus anguli secundas habent unta¬
ter A duo angulanum tetragomnorũ angu̾li &quũ facient qđ subipsis
continetum lli qđ sit abuno illor quieit altrins etus anguloꝵ Multa
&ias̃ alia quae in hac descriptione utiliapossint ad mirabilia que ꝑpen¬
di quȩ interim ꝓpt̃ castigatã introducendi breuitatẽ ignota eẽ ꝑ
mitimus Nunc uero ad sequentia ppositu conuerta mus

Expanded text:
t tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse ttimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus
Abbreviated transcription (Latin):
enta gonorum uerosum me conficiuntur ex uno superse tetrago¬
no a altrinsecus triangulo confituto Nam quinque pentagonus
a quattuor superse possteragono & ex uno qui intriangulo¬
rum ordineponitur adgreatur Xii uero pentaganus ex no¬
uenario superse quadrato & tribus secundotriangulo nascitur
illa cunctatio contranaatis inpediat atuero siex agonos liba

Expanded text:
entagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto. Namque 5 pentagonus, ex quatuor super se posito tetragono, et ex uno qui in triangulorum ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, et tribus secundo triangulo nasciturulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos lib
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpo nata imper& agnoscere. utrum aliqua mensura commes surabiles
sint ancertesola unitas uitros quemaiatur. repperiendi arstalis ẽ: Dets
enm duobus numerisi naequalibus auserre dema iore minorem opor¬
tebit. & quirelictus fuent simaior est auferne exeorursus minorem

Expanded text:
 et imperet agnoscere utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, reperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem
Abbreviated transcription (Latin):
IIT: a .Iiͦ. ad .i. duplus ẽ: III uero adduo ses qualar sed maiorest
ꝓportio dupli qua ises qualtera In armonica auaem medietate econ¬
trario eueni re contingit. Inminoribus enim terminis minores ꝓpor¬
tiones. in maioribus maior ꝓportionis quantitas custo ditur harũ
uero medi&atum idẽ arithmeticȩ atque armonicȩ zeometri ca ꝓpo¬
tionalitas mediaeẽ. notata est Quae uel in maioribus ł inminoribi
terminis. aequas nume rorum qualitates in ꝓportiona litate castodit
Inter maiusuero & minus aequalitas lo coponitur medidais
& dearith metica quidem medi &ate satis dictum est

Expanded text:
t 2 ad unum duplus est, 3 vero ad 2 sesquialter, sed major est proportio dupli quam sesquialtera. In harmonica autem medietate, econtrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in majoribus major proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in majoribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter majus vero et minus, aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est.
Abbreviated transcription (Latin):
SRIN CIPIUM SICUTIRI ANCUTUS PLANARUM
idetur autem quemadmodum inplanis figꝑris. eriangulus Nume¬
rus primusẽ : sic in solidis quiuocatur piramis ꝓrunditaos eẽ prin¬
cipium Omnium quippe ratarum innumeris figurarum: neces

Expanded text:
rincipium, sicut triangulus planarum, et de speciebus. Videtur autem quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum neces
Abbreviated transcription (Latin):
i uero omner nan lacoruc sinenis urriucmparati idẽ triangulite¬
tragimis uelcetra goni pentagonis uel pentagoni exagonis łhi rursus
epta gonis si nealiqua dubitatione trangũlis secerũ perabunt
Namques ternarium triangulum qua ternario uel quaternarium
tetragonum quinario uel quinarium pentagonum senario eago¬
no ł senarium exagonum septenario eptagono compares: primos e
triangulo id ẽ solatranseunt unitate atuero sisenarius contrario¬
ienarium uel hic contra duodecim. uel hic contra quindecim ł quin

Expanded text:
i vero omnes si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra 12, vel hic contra 15, vel 15 con
Abbreviated transcription (Latin):
de notabitur in aliis sequentibus sesepers pectũ omnes que secian¬
gulis antecedent. Qua reper fecte ut arbitror demonstra tument
omnium formarum principiume lementum que esse triangulum
luia ẽ Prac cognitis enim quid in planis riu merorum figuris uisipsa
quantitatis niatura liter operetur. ad solidos rumeros fionerit ulla
cunetatio Sicutenim longitudini Numerorum aliudinter uallũ
idẽ superficiem ut latitudo osten deretur adiecimus itanunc lati¬
tudini siquis addateam qua alias altitudo alias crasntudo. alias
pfunditas appel latur solidum riumeri corpus &plebit

Expanded text:
rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium elementumque esse triangulum via est. Praecognito enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit
Abbreviated transcription (Latin):
Lammodo forma quaeilamẽ inparitatis quae intantum eius den nec muta¬
bilis substantia e ẽ. utcum łse iprã mula plicauerit. ł in planitudine łin
ꝓfunditate uelsi alium quemliba riumerum ꝑseipram multiplico aprio¬
risquantitatis sormadis crepat. Na inques semesi se mel raciasene io

Expanded text:
ammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facies, vel si
Abbreviated transcription (Latin):
collectio ł quantuatis aceruus exunitatibus pfusus huiusigitur pri¬
ina diuisicent in imparem atqueparẽ & parqui demẽ. qui potes
ina qualia duodiuidi un ome dio ñ intercedente. In paruero quẽ

Expanded text:
collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Hujus igitur prima divisio est in imparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercidente. Impar vero que
Abbreviated transcription (Latin):
perlatera concluditur. hoc modo : sit A. B. C. triangulum
i huic igitur triangulo pertres angulos erigantur lin&e & ad
unum punctum conuertantur quodẽ. Dꝰ ita ut dpunctum nonsit in
lano sedpendens: illercilic& linaee adipsum erectae uerticem & quo
damodo carumen. D. facient : Mertebasis A. B .C. unumtriangu¬
lum: ꝑlatera uero triatriangul& ĩdẽ unumori angulũ. AdB ali¬
uduero bDE: tertiũ uero eOA A

Expanded text:
per latera concluditur hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem, et mmodo cacumen d facient, et erit basis a, b, c, unum triangulum, per latera vero, tria triangula, id est unum triangulum a, d, b, aliud vero b, d, c, tertium ver
Abbreviated transcription (Latin):
quemadmodum .ẽ maxi m terminꝰ ad pariussimum sic maiorũt̃¬
minorũ differentia ad differentiã minorũ hicaũt econtrario
no & mediadu plum ent. eoqd continetur sub medio atquepariussim
tes quinta scilic& & sextageometricae medietati contrariaenint
& eidemuidentur opposita Estaut̃ quinta medietas quoties

Expanded text:
maximus terminus ad parvissimum, sic majorum terminorum differentia ad differentiam minorum. Hic autem econtrario.no et medio duplum est eo quod continetur sub medio atque parvissimo; tes, quinta scilicet et sexta, geometricae medietati contrariae sunt, et eidem videntur oppositae. Est autem quinta medietas, quotie
Abbreviated transcription (Latin):
possumꝰ obliuionetrans nattere qđ in hoc numero responue n
conficitur a primu sipares fuerint dispositiones mediimultiplicutu
tq inde quisuꝑipiossunt a usque adsupra dictas etremitates. Sitnu
fuerint pares dis positiones seđ naturã paris duos in medioterminos
continebunt utinea dispositione nu merorũ inqua extrem̾termiñ exxxiui.

Expanded text:
possumus oblivione transmittere, quod in hoc numero respondenticonficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones, medii multiplicantur, atque inde qui super ipsos sunt, usque ad supradictos extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones, secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum in qua extremus terminu
Abbreviated transcription (Latin):
ad xuiii: sesqualtera tantum ꝓportione iunguntur: in his qq̃ cadem la¬
terum ratio ẽ Namq exuno erbo qui ꝓpinquiore: una medi&as duolatera
colligit: ealternatim uero postounum halia quoque medictate idem ẽ.
onanturenim duoeybi & inmedio eorum duaemedi &ates quas superius di¬
ximus. UIII XII. XUIII. XXUII Occonarligitur. latus ẽ. binarius bis
enimbinĩbis: oc tonarium fecerunt: Ternarius uero XXVII erbi latus ẽ:
erenimtrerter XVII. restiuunt Medi&asigitur quȩ iuxta octonanum

Expanded text:
ad 27, sesquialtera tantum proportione junguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque ex uno cubo qui propinquior est, una medietas duo latera colligit; ex alternatim vero posito, unum. In alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cubi, et in medio eorum duae medietates quas superius diximus, 8, 12, 18, 27, octonarii igitur latus est binarius, bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium
Abbreviated transcription (Latin):
binarirunus. NI autemuno qua drupla maieren relatione qͥuas
co quod semꝑhaec ꝓportiona litas geometrbȩ armoni ecogna

Expanded text:
binarii, unus; 4 autem uno quadruplo major est relatione, quae co quod semper haec proportionalita, geometricae harmoniae cogna
Abbreviated transcription (Latin):
altera Quodnimirum adunitatem ꝑtina & addualitatem. quinume¬
rus primus abuno discedens: alterfactus ẽ: & qm̃ cuneti secundum unto¬
tis speciem piaturam q: inparer riumeri sormati sunt

Expanded text:
altera. Quod nimirum ad unitatem pertinet, et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens, alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque impares numeri formati sunt
Abbreviated transcription (Latin):
iplic& a quantitate sua isquem multiplicat. piumerus non recedit
Quodcirea alium pumerum non potest inueniri

Expanded text:
iplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑmitatur ea scilica natura quȩ uariabilis moturẽ. sortita sub stantiã
illam primo inmutabilem Natura munius eiusdemque substantiae uocan
Hancuero alterius scilica. quod a prima illa in mobilidiscedens primant:

Expanded text:
mutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili discedens prima
Abbreviated transcription (Latin):
ternarius medius binarium tertia suipar teuincit. Idem ternari¬
us a senano tota suiqua nitate superatur. Id . ẽ. tribus. idemq

Expanded text:
ternarius binarium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota sui quantitate superatur, id est tribus. Idemq
Abbreviated transcription (Latin):
ADALTERŨ UERO PRIMI ET INCOMPOSITI PRUCREA
eneratio aut̃ ipsorum atqueortus. huiusmodi inuestigatione tol¬
ligitur quamscilic& erato thenescribu: nominabat: qđ cunc

Expanded text:
ad alterutrum vero primi et incompositi procreatione. Generatio autem ipsorum atque ortus hujusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunc
Abbreviated transcription (Latin):
illums ex aliis interpcositis quem posteos numen series dabit
perquinanũ id ẽ. persec undũ tertu cum m̃sura percurra

Expanded text:
illum sex aliis interpositis, quem post eos numeri series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurr
Abbreviated transcription (Latin):
tiplica a quantitate sua isquem multiplicat numerus non recedit
Quodcirca alium pumerum non potest inueniri

Expanded text:
tiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri
Abbreviated transcription (Latin):
plicata niil procreat Semel enum unum nul aliud ex segignit quã ipsa ẽ
am quod int̃ uallo cara: &iamuimgignendi interualla nĩ recĩpit

Expanded text:
plicata nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit,
Abbreviated transcription (Latin):
s portionibus disputantes quȩ nobis ł ad musicas speculitimes ł ad
as tronomicas subtilitates ł ad geometrice considerationis uim łaiam
adua erum lectionem inteł ligentiam ꝓdersepos sint. Aritͥ maicã
introductionẽ commo dissime terminargea igiturꝓ portionalitas

Expanded text:
portionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas
Abbreviated transcription (Latin):
gemina fueris diusioue ꝓaraitur incurririnim parem quẽ secare nom pos
quã s̃ quantitatu ipsarũ partiuquȩ denominantur Neque umiquã sie¬
ri potest ut que lib& pars huius nu meri eius demgeneris: denomina

Expanded text:
gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non posquam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denomina
Abbreviated transcription (Latin):
so: sentagoni uero duobus : exa gonioibus: eptagonire lictis quat tuor
nascebantur: Nunc uero ad solidorum corporum pereationem ipse
nobis su perficies: naturaliter figura teruenient : & ad faciendas qui dẽ

Expanded text:
so, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quide
Abbreviated transcription (Latin):
que aequis minor abcitu  ronatur hidenni untur hoc modo lat¬
culirunt. quisiunt exae qua libus aequ liter minus. Asseres uero
ipst quidem sigura sunt solidae sed bacmodo ut ex aqualibus a¬
iualiterducantur inmaius. Namsiequasuerit latitudo longitu¬
dinia mauor sitaltitudo illae sigurte a nobis asseres. A grecis doci¬
des nomi nantur: utrinus hoc modo faciat quattuor quatermna¬
uiei quimdepereantur. asseres nominatisunt sphenisci uero
uoscun tola superius appella uimus: hi sunt quiex in e quali

Expanded text:
que aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequali
Abbreviated transcription (Latin):
quies uero iI suntNΑ denaru dupluse Sexauero media asert. quando
tribur terminis constitutis quemadmodumẽ maia terminus ad mediu
sic munorumttermuneum differencia ad dirserentia maximorum Indis¬
positione enim quȩe .i.iiIi. ui maximus terminus ad mediũ ses qualaer

Expanded text:
unt 10, et 20 denarii duplus est. Sexta vero medietas est quando tribus terminis constitutis, quemadmodum est major terminus ad medium, sic minorum terminorum differentia ad differentiam maximorum. In dispositione enim quae est 1, 4, 6, maximus terminus ad medium sesquialter
Abbreviated transcription (Latin):
neloquendi rationon neglegitur: Am̃plius quod in par numerus solap
ficiunitate monstratus e. Paruero sola dualitate id ẽ. solo binarionu¬
mero: Namcuius cumque medi& as ẽ. unus illem parẽ: Cuius uero

Expanded text:
ne loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero
Abbreviated transcription (Latin):
quet. & tremitas coniungenda quod que exea copu latione col¬
ligitur diuidendum. Is que numerls quiex diuisione redactus
ẽ arthimeticam mediaatem inter extremitates locatus ersiua¬

Expanded text:
que est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus effi
Abbreviated transcription (Latin):
pordioi ninino ribus minor &si mũnum extremitates redigantur.
a mediaatis quanttat coneres cantduplus indefattuꝵ piumerus
abeo qui e solis multiplicatis &xtremitatibus pereatur. Atq hoc qui¬
deminterminis paribus constitutume Atuero simpares ꝓponantur ut
sun .X. & XIX aptatiis medius .X artthmeticam proportionem
medictatems quantitate termini trans gredientur & omnissuperiusdi¬
ta ppriaas arithmetica media atis in histerminis custoditur
Sedsi x. numerum in ediumpona ntutrint .XXV ΧΩ. ingeometri¬
cam mediaatem terminire labuntur. equa libur termi norum as
inuicem ꝓportionibus custoditis viui uero sunte rutrosq: terminos
ponam utsint .v .UIIII. XIX. sitar monica medidas. utqua sum ma
maxinius pumerus paruissimum pcedit eadem maior differen¬
ta minorem differentiam uincat. Quauero disciplinahuiunno¬
di medietates repperire possimus e pediendume. datis duobus
terminis siarit hmeticam medietatem constitere oportebit utra¬

Expanded text:
portio, in minoribus minor. Et si in unum extremitates redigantur, et medietatis quantitate concrescant, duplus inde conficitur numerus ab eo qui ex solis multiplicatis extremitatibus procreatur. Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est. At vero si impares proponantur, ut sunt 5 et 45, aptatus medius 25, arithmeticam proportionemmerorum quantitate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. Novem vero si inter utrosque terminos ponam, ut sint 5, 9, 4, 5, fit harmonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem major differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utra
Abbreviated transcription (Latin):
medi aates neque duae quarte. neq duae sexte seildua tertie łdua
quinte. ł dua septime ad priorũ si milem consequentiã Noneaut
difsicile secđm priorũ exempla positũ. osquoque & ꝓternostraex

Expanded text:
medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra ex
Abbreviated transcription (Latin):
orũ aut̃ eorũq t usecutur ex emipla integreplaneq possi iꝑnotare si
inpriorem descriptiont quã secimꝰ. cũdesu ꝑparticular & multiplici loquere¬
mur ubabuno usq indenaria multiplicationẽ summa c̃creuit. diligem
uelimꝰ acumen intendere a ł primum eni ũsũ om̃s quis ecuntur c̃lati &¬
dinatas cuenientesq multiplicisspecierreddent Sinuero ad sexundũ
cunctos quit tiis̃ or dinis ałtaueris. ordinatas species suꝑ particularis ageꝰ¬
nosces Qđ nt tioor dini quicũq s̃ inquinto usu cparessuꝑ partientis
numeris pecies postas c̃uenienta spicies Multiplex uerosup particulans
ortenditur cũ a diecundum ũ sũ om̃squis quintiũ sus serie c̃parantur
ł quis in septimo łquis in nono atq ita in insinitũ st ista destriptiom
sub duplea ses quitentius subduple ses quiqua tur. a uuteri quidom adhu nemodũ¬
tientis siguram. In hoc quoq ꝓpt caus aisuperius dictã ñ eruntdua

Expanded text:
orum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparanti sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modutientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae
Abbreviated transcription (Latin):
uaede nominationes cumpa rersint: inueniuntur inpares quantitates
a cums int pares sum mȩ suntinpares de nominationes.
Ias cuntur autem tales numen: itauts ubstantiam naturam queniã
in ipsa&iam propriageneratione designent & pariter paribus
& pariterinparibus procreati Pariterenim in pares cuncti: dudũo¬
dinatim posttis in paribus nascebantur. Partter uero pares. e

Expanded text:
uae denominationes cum pares sint inveniuntur impares quantitates, et cum sint pares summae, sunt impares denominationes. Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent, ex pariter paribus et pariter imparibus procreati. Pariter enim impares, cunctis dudum ordinatim positis imparibus, nascebantur, pariter vero pares e
Abbreviated transcription (Latin):
quas minime constituta si rei lacati st li os autem cognoscendum est. quod
haec signa nu mero rum posita sunt quae nunc quoq homines insum¬
marum designatione describunt ñ natura li insitutione formatas
tenimqui narii subiectam Notulam singant de .V. ł denarii quam de

Expanded text:
quas minime constituta infirmaret. Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam de
Abbreviated transcription (Latin):
nt exmul tiplicatis extremitatibus hocfit si me di usterminus nui&
capiat plura litatis augmenta. Namduo de cier xixiii faciunt
dxuui aaedius uero eorum terminus. idẽ xxiiii. simulti plicetu i
edsdemrrsus. dIXI procreabit &rursus sixIIIi in xevimul

Expanded text:
t ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiet pluralitatis augmenta. Nam duodecies 48 faciunt 576; medius vero eorum terminus, id est 24, si multiplicetur, eosdem rursus 576 procreabit. Et rursus si 24 in 546 mul
Abbreviated transcription (Latin):
minoris numeri suꝑ habuert ꝑeasdẽ partes in paribus numeris
minorem maior summa transcendit. Nasieũ habeattotũ & duare nis quar¬
uȩ enimis extȩ parrtertiae qđ si in conparatione ponatur serquittia
habitudinis erncia formam Portos nascuntur comites qui subsu ꝑpar

Expanded text:
minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quarDuae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuper
Abbreviated transcription (Latin):
lam modo relata consideratione Neque solum in terminis spe¬
cu lationem ꝓpaationis haba nequeso lumin diesrentus sedinueris q cõ¬
Quacritenim utquem ad modum sunt ad scextremiterminisic maiorir ad me¬
diumn disserenti a contra dieferentiã medietatis adultimum Ad ali¬
quid autem considerationem armonica ꝓpriae eẽ. in primilibrtrerum
omnium diuisione monstrauimus ipsarum quoque musicarum ẽ¬
sonantiarum quas simphonias nominant ꝓportiones. in hac pene
rola medietate frequenter inuenies Nam que simphonia diatessa¬
ron quȩ princepsẽ. & quodammodo i mobtinens elemente constitu¬
itur scilica ineprtrita ꝓportionẽ utẽ. qua ternarius ad ternariumin

Expanded text:
ammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque comQuaerit enim ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia, contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniae proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium
Abbreviated transcription (Latin):
interualli dimensione distenditur. neculla crassitudine solida
sit in longitudinem tam̃ distentinumeri principiumẽ . A linea¬
ris numerus cumi psetotius latitudinis expesrit in aliud tam̃
s patium latitudinis extentinumeri sortiturinitium Superni

Expanded text:
intervalli dimensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatsit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superfi
Abbreviated transcription (Latin):
Nhacigitur coniunetione Necesseẽ ut semper qui ultimus sitconiu¬
gatorum numeruni his quasi quodammodo bassis sit: cunctis enim
latiorinuenitur A quiante iprum numeri coniungantur minores
st necesse ẽ us quedum ad unitater detractiorata perueniat

Expanded text:
hac igitur conjunctione necesse est ut semper qui ultimus sit conjugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur; et qui ante ipsum numeri conjunguntur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat
Abbreviated transcription (Latin):
a amuore uincitur & minorem ipsa suꝑuenit srioneadem autem para
mimcus minoremtr anst᷑ u el maioris a maiore relinquitur quaeons

Expanded text:
a majore vincitur, et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit, vel majoris a majore relinquitur, quae
Abbreviated transcription (Latin):
musica ui mastrorum currus anti quitate p̃cedere : quam superare
ropͥt tam̃ ipsanu merorum natura omis astrorũ cursus omnisq
astronomica racio consttitutaẽ. sicenimortus occasusq colligimus
sictarditates ue locitatesq errantiũ siderũ custodimus. Ncdereetus
x multiplices lunae uariationer agnoscimus quare priae utelaruit

Expanded text:
musicae vim, astrorum cursus antiquitate praecedere, quam superareroprie tamen ipsa numerorum natura, omnis astrorum cursus, omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare quoniam prior,
Abbreviated transcription (Latin):
& septenarium octimarius mihi quartus occurrit. tribusscilica in termis¬
sis qui in narii id .ẽ. secundinumeri qua druplus ẽ: Atuero sipost .viii. tres
terminos intermisero: id .ẽ.xiiii. uel .x. łxI. duodenarius quisequitar
ternarii numeri. qua druplusẽ ⁊ atque hoc i demininsinitum ꝓgrersis
nec esseẽ euenire. semꝑ que una terminorum intermissione sicrescat
adiectio ordinatas temultiplicis pumeriuices inueniremira beris

Expanded text:
 septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis
Abbreviated transcription (Latin):
a na ioes quidem numeti hoc modo uocantur ainoresuero
qui habientur totia cou maliqua pans unus subses qualaor al au¬
idem secum dium inaioremi normam multi tudinem que ꝓtenditut¬
num quoqut in sintae multitudo obeamrem ꝗd eius deiispecien
terminabili progrernonerunguntur. Nam questsꝰ qualtor habebit
quiden ducri om̃s postor narium numeram natia a ltre erqli soi
conites uero omnes p ostbinariũ numetum natura leterpares. hoeio¬
donttes unus dorumor setundus secundo tercus tercioneompntui¬

Expanded text:
Et majores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero Et majores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua pae secundum majorum normam multitudinemque progrediturium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarium naturaliter pares, hoc modo, ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comp
Abbreviated transcription (Latin):
septuplus semꝑ que ipsius multiplicationis nomine unomi nus uit̃¬
missionis uocabulo procreantur Nã duplus unum intermitti
triplus .i. quadruplus .iii. quinqua plus .iiii. & deinceps a deunde
ordinem sequentia ẽ: Aomnes quidem dupli secundũ propras
sequentias parium numerorum parer sunt:: In pliuero unussem¬
per partermimis in paralius inuenitur. Quad rupliuero rursus
semꝑ parem cus codiunt quanttatem: Constituuntur quea quar¬
tonumero uno ex prigribus ꝑoedinem positis paribus intermino
primopari binario poshune .xiii. intermisso renario posthune
xIi. trans misso denario at que hocidem inceteris Quinquapli
uero propositio secundum triplicis simi litudinem alternatim
paribus atquem paribus positis ordinatur
uper particularis uero estnumerus adalterũ comparatus quoriens
habã inse totum minceem a eius aliquam partem Quisi mmo¬
ris habeatmedia iuem uocatur tes quialaer Siueretertia pariquua
auetis on insi nitum quoquȩ suꝑ particularũ forma pgreditur

Expanded text:
septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 transmisso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum triplicis similitudinem, alternatim paribus atque imparibus positis, ordinaturuperparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et partem ejus aliquam. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, duciis, in infinitum quoque superparticularium forma progreditur.
Abbreviated transcription (Latin):
ammodo forma quaedamẽ inparitatis quae intantum eius dem nec muta¬
bilis substantia e ẽ utcum łse iprã mula plicauerit ł in planitudine ł in
ꝓfunditate uelsi alium quemliba riumerum ꝑseipsam multiplico aprio¬
ris quantitatis sormadis crepat: Na inquesi semes si se mel raciasenel iluo
semel uelsi iiIͦ semeb uel si .iiͦII. semel uelquẽ liba aliũ numerum mu

Expanded text:
ammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facies, vel si semel unum semel, vel si
Abbreviated transcription (Latin):
tres aqua les termini id .ẽ .iii. unitates. łtresbini. ł trester¬
ni Itres quaterni. uel quantos ultra lib& ponere. Qđ enim
inunis .iii. bus terminis euenioadem contingit inc&eris¬
Exhisigitur secundum p̃ceptinostri &dinem. uideas primũnas u

Expanded text:
tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis evenit, idem contingit inEx his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nas
Abbreviated transcription (French):
N amque intrianguli Niumerinatura procreatione que i psosnumerosiun¬
gebamus qui ses einnaturali dispositione requerentur & retantũ unitate
transirent. Quadratiuero numeri idẽ tetragoni ꝓcreatio nebat exnume¬
ris quiuno intermisso copulabantur cumsebinario superarent. Penta¬
goni uero niatura fut ex duobus interpositis relictisque. qui seternaro

Expanded text:
Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositione sequerentur, et se tantum unitate transirent; quadra i vero numeri, id est tetragoni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui se ternar
Abbreviated transcription (Latin):
qua literinhoans arqualiter que decerminans : Idem autem
diconui m erat qđ mecitur: Sugitur bissolum maiorem numerã

Expanded text:
qualiter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numer
Abbreviated transcription (Latin):
altitu dinis habitaratione quantum com modum fuerit tantum
ue lalt̃itudini minuitur. uelgras situdini profunditatis augetur.
Atqueideo hosplerumque necerreest omnibus partibus in equa libus in¬
ueniri Quidamuerabos bomicos uocant. id .ẽ. quasdam arũ las. quas

Expanded text:
altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas qua
Abbreviated transcription (Latin):
iacessaron enim & diapente & dia pason. ab antecedentis numeri nõmi¬
nibus nuncupantio Ipsorum quo que sonorum aduersus seppertio
solis neque aluis nũ meris in uenitur. quieninsonus india pasonsim pho¬
nia eit idem duplicĩs numeri ꝓportione colligitur quae diaaes saron
ẽ. mudulatio epitrita conlatione componitur. Quam dia pente sin¬
phoniam uocant hemiolia medi& ate coniungitur. quin numeris e¬
pogdo us ẽ idem tonus in musica Et nesingula ꝑsequilaborẽ huius

Expanded text:
iatessaron enim et diapente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nuncupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio, solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur. Quae diatessaron est modulatio, epitrita collatione componitur. Quam diapente symphoniam vocant, hemiolia medietate conjungitur. Qui in numeris epogdous est, idem tonus in musica. Et ne singula persequi laborem, hujus
Abbreviated transcription (Latin):
in muta bilem substantiã uim que sortitasunt. uere ꝓpriaeque
dicuntur horũigitur id estque sunt ꝓpria. qua ques uono¬
mine essentiȩ nominantur scientiã sapientia ꝓsitetur Essen¬
tiae autem geminae partessunt Una continua & suis partibus
iuncta nec ullis sinibus distributa ut est arbor lapis & omnia mu
huius corpora quaeꝓ priae magnitu dines appellantur aliauero
edis iuncta a se & de terminata partibur a quasi aceruatim in
ũnum redacta concilium ut grexpopulus chorus aceruus a quic¬
quid÷ quorum partes ꝓprus ex tremitatibus terminantur & ab
alterius si nedis cretasunt his ꝓprium ẽ. nomem inultitudo
Rursus multitidinis aliasunt ꝑse uttres ł quactuor ł tecrago ñ¬
areb tres decent iđ gram matica. Rethorita. Si alectica quatuor docent̃ arithmetica. grometrica. musica astromõmia

Expanded text:
immutabilem substantiam vimque sortita sunt vere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est, quae sunt proprie, quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam, sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disjuncta a se, et determinata partibus, et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acervus, et quidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel tetragonad videndum: grammatica, rhetorica dialectica, arithmetica, geometrica, musica et astrologia
Abbreviated transcription (Latin):
aimus terminus ad pariussimum terminum ponitur sic differen¬
stia maximi & medii contra differentiam medii atque par uissimi con¬
paratur titnant iti. itii ui uelsi it i ui senarius enim qua

Expanded text:
imus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, 6. Senarius enim qua
Abbreviated transcription (Latin):
addis cam minoritermino & quod indecolligtur mediumar¬
X A N xixsunt Que nsi multiplices indenarium id estinmi¬
norem decies xi. oporta cec efsicies Quostrecentos unta
cum comꝰmitte qui ex iunctis utrisq confectus ẽ. id est uixal
sacientenim quinquaies senos. &inuenitur latitudo senarius
unc igiturñ minori termino addas faciunt xui & hic nume¬
rus medius constittus inter .X. & .vI. armonicam proportio¬
nem medieratem que seruabit

Expanded text:
ur medium terquem si multiplicas in denarium, id est in minorem, decies 30, oportet 300 efficias. Quos 300 juxta eum committe qui ex junctis utrisque confectus est, id est juxta 50, facient enim quinquagies senos, et invenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerus medius constitutus inter 10 et 40, harmonicam proportionem medietatemque servabit
Abbreviated transcription (Latin):
illorumque collectione qua dratifigura componitur Qu attuor enim
tetragonus sit exuno & tribus. idẽ ex duobus superiori bustrangu¬
lis Nouem uero extribus & sex sed utrique sunt trianguli at
ordinequa dratorum constans atque immutabile repperitur

Expanded text:
illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique sunt trianguli. Atordine quadratorum constans atque immutabile reperitur
Abbreviated transcription (Latin):
sinitur In hoc enim numero mediaaters̃ .uiii. scilica .& . XUi. quam
remultiplicante maioris sum mã crescente plura litate conficient.
Octierenim XvI łredecies vuisimultiplices. exuiii sum ma conerese a

Expanded text:
initur. In hoc enim numero medietates sunt 8, scilicet, et 16 quae in se multiplicatae majoris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim 16, vel sedecies 8 si multiplices, 128 summa concres
Abbreviated transcription (Latin):
id ẽ partealaera longiores Cstenimparit altera longiornumerus : qui cumq
unitate tantum lateri crercitadiecta : ut sunts ex stilica lis tres ł duo dexim
tresquater & consimiles Antȩriore uero parte longiorẽ quisubduobus Niu¬
meris huiusmodicontinetur: Quorum latera rompossid et iunitatis difseren¬
tia sedaliorum quorum cumquenumerorum : Uiterquinque. ueltersexł qua¬
terseptem quodam modo enim longitudine in plisiorem modum porrecta
merito anteriore parte longior dicitur Curautem parte altera longores
numeridicantur supraiamdictum ẽ. Quadratiuero qm̃ae quam latitudine
longtu dinigerunt: ppria longitu dinis Ferusdem latitudinis ãptissi meuo ca¬
buntur it bis. duo ter tres quater quattuor & coeri Partealaera uero
longiorei quod noneadem longitu dinetendantur alterius quodammodo
longitudinis & partealtera longiorli uocantur

Expanded text:
id est parte altera longiores. Est enim parte altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore vero parte longior est qui sub duobus numeris hujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter 5, vel ter 6, vel quater 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores numeri dicantur, supra jam dictum est. Quadrati vero, quoniam aequam latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo longitudinis, et parte altera longiores vocantur
Abbreviated transcription (Latin):
exsi milibus esceconiunctum neque ex his qua ad seinui cem nulla
ratione ꝓportionis hȩrent: eruntergonu meros prima quaeuinꝰ

Expanded text:
ex similibus esse conjunctum, neque ex his quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent. Erunt ergo, numeros, prima quae
Abbreviated transcription (Latin):
sunttudi NTii Sicenim sunt quem ad modum dno edunum
sierosto ad quacuor & conueram que madimodam unus adedno
sie qu aetuco ad octo s ꝑ mutatim quema a modurr paumnerat am
sicorto ad binarium. Secundum quantitate mueur rumenir uar
a quaternario superatur A quantũnduo unumia neurti dus anmornariunt
quante mariosapcintu Fer mitetion an am quanto unus tibus minore. tente
hinasius queternario. Nelquantoternarius untatemsiperat. tanto li¬
narium trangreditur quaternarius¬

Expanded text:
modum duo ad unum, si octo ad quatuor, et conversim, quemadmodum unus ad duo, sic quatuor ad octo. Et permutatim, quemadmodum quatuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sa quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius
Abbreviated transcription (Latin):
ro quie .uiiii. haba adseduo denarium Numerum ses quiter¬
tium Duodenarius aut̃ qm̃ hab& tertiam partem. insesqui¬
tertia pro portione÷ conparatur ad eum numerus. XUi. qui
fuerint eandemrursus uimproportionis explebunt. Quos
LXIIII ad nullum ses qui tertium rursus aptabis. qm̃ parte ter¬
tia Nontenentur. atque hoc incunetis triplicibus inuenitur
ut extremus e isdem proportionis niumerustantus antese pre¬
cedentes habeat quantos primus eorumn abunitate disbesserit

Expanded text:
ro, qui est novem, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium. Duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus sedecim, qui fuerint, eamdem rursus vim proportionis explebunt. Quos sexaginta quatuor ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus ejusdem proportionis numerus, tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate d
Abbreviated transcription (Latin):
quaternarium suꝑ posuero denarius explicatur quiest tertius actitori¬
angulus. Quos ꝑ latera disponens ad superioris descriptionis emplar
cunc tortriangulos numeros si neullius dubitationis erroribus ꝑrctas
quantas ultimus pumerus inseunitates haba que m superi oribus
ad gregabis. totipse quifit triangulus unitates habebit in latere
Namternarium quiẽ primus actutriangulus. adiec tobinario unitati fe¬
ceramus. At hieduos hab& in latere & senarium his adiecta terno¬
rii quantitate ꝓduximus. cuius latus solitres continent. &idem in aliis
cunctis quo iunitates habentem numerum superioribus ad grega ue¬
ris totunitatibus eius latera contine buntur
s ed non intrib: angulis utsuperi orforma sed quattuor Ipse quoque
aequali laterum dim̃sione porrigitur. Sunt aut̃. huius modi

Expanded text:
quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera continebuntur. sed non in tribus angulis ut superior forma, sed quatuor. Ipse quoque aequali laterum dimensione porrigitur. Sunt autem hujusmodi
Abbreviated transcription (Latin):
Siuero illa prramis non solum adunitatem extremitatẽ que nonꝑue¬
uit sed nec ad primum quoque opere & actu multi angulum. eius ge¬
neris cuius suerit basis : biscurta uocabitur. VtrΑ XVI. tetragono ꝓ¬
nciscens usquem nouem terminum ponat neque ex crescat ad .iiii.¬
& quođ cum que tetragoni defuerint. torier eam curtã eẽ dicemusut

Expanded text:
Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non peSi vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus generis cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus
Abbreviated transcription (Latin):
uel queb is curtae. uelqua ercurtȩ. uel quȩ quater & deinceps : Num e¬
rorum adiectionem Perfecta enim prramis ẽ. quae aquali ba basi ꝓsec¬
ta usque ad primum ui & potestatem prrami dam ꝑuenitunicatem
Sinuero aqualiba basi pͣsectausque ad unitatem altitudo illa nonuene¬
ri curta uoca bitur. Recta que uius modi pyramis tolinuncupati¬
one signatur. sius que a d extremitatem punctumque raonuenerit
Hacc auteme ut siquis XXI. ta ragono adiciat X TT TI: at que huic
demsigura ẽ ỹ Sedqm̃ usq ad cacumen uerticis Nionex creuit: curta uo¬
cabitur X habebit summitatem rioniam punctum quodunitasẽ. sed su¬
ꝑsiciem quod ẽ qui liba numerus secundum basis ipsius angulos. por¬
rectus at queultimus ad gregatus. Namsite tragona fuerit basis:
quadrata diminutione semꝑ ascendit sipenta gona basissimi lit̃:
& siex igon& illa quoque ultima suꝑncieserit exagona: Ergo incur¬
ta prramide toteritangulorum suꝑsicien qđ fueri basis.

Expanded text:
el quae bis curtae, vel quae ter curtae, vel quater, et deinceps secundum numerorum adjectionem. Perfecta enim pyramis est quae, a qualibet basi profecta, usque ad primam vi et potestate pyramidum pervenit unitatem. Sin vero, a qualibet basi profecta, usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur. Recteque hujusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic dem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis.