comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
plicati: renarium persecerunt Bis enimtres. senarius ẽ & quoti¬
ens cumque datis duobus tetragonis eorum mediaatem uo lum̃

Expanded text:
plicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volum
Abbreviated transcription (Latin):
matiri secđm quantitatem positorum ordine in parium nume¬
rorum sinuero quinarius numerus qui insecundo loco ẽ. cons¬
titutus uelit quiscuius prima acdeinceps mensuratinueni re

Expanded text:
metiri secundum quantitatem positorum ordine imparium numerorum. Si vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis cujus prima ac deinceps sit mensura invenire
Abbreviated transcription (Latin):
aec autem ꝓportiona litas & inaluromnibus uel suꝑ particularibus
uelsu ꝑpartientibus inuenitur huius modi ppria atei nomnibus conser¬
uata ut incontinua ꝓportione quod eit sub extremitatibus sitrer fuer
termini: hoca medi&ite multiplicata consurgat Sienim sint duo iiii
UIII quod ritexbis uiii: idemst ex iii. IITI. uela st inquatuor

Expanded text:
omnibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus, invenitur, hujusmodi proprietate in omnibus conservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor
Abbreviated transcription (Latin):
ipsoquaternario a deinceps maiores aliupris minoribus ab eisdem ip¬
sis diererunt quos numerositate p̃tereunt. & hoc quidem induplici
ꝓporcione cadit Sinuero sinttriplices proportioner maior terminus
aminor e terminoduplicatominore termino disrere: utsisint. ⁊.iII.
VIIII. tresabu nobinario differunt. inquemunitas idẽminor tern¬
nus duplicatus exundat i X vIIIi. atribussenario difserunt
Quemternarius duplicatus educit : & in aliis cunctis. eius modiratio
repperietur. Sinuero quadruplicessint triplicato minore ter¬
mino maior terminus aminore distabat. &si quinquii plaquadũ¬
plicato ⁊ & sisercupla quiꝰ quu plicato: & unaminus multipicatione.
quam estipsa minorum admaiores comparatio terminorũ minorem
numerus maior ex superat

Expanded text:
ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est ipsa minorum ad majores comparatio terminorum, minorem numerus major exsuperat
Abbreviated transcription (Latin):
tientis siguram. In hoc quoq ꝓpt caus aisuperius dictã ñ eruntdua
medi aates neque duae quarte. neq duae sexte seildua tertie łdua
quinte. ł dua septime ad priorũ si milem consequentiã Noneaut
difsicile secđm priorũ exempla positũ. osquoque & ꝓternostraex

Expanded text:
tientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae tientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra ex
Abbreviated transcription (Latin):
orũ aut̃ eorũq t usecutur ex emipla integreplaneq possi iꝑnotare si
inpriorem descriptiont quã secimꝰ. cũdesu ꝑparticular & multiplici loquere¬
mur ubabuno usq indenaria multiplicationẽ summa c̃creuit. diligem
uelimꝰ acumen intendere a ł primum eni ũsũ om̃s quis ecuntur c̃lati &¬
dinatas cuenientesq multiplicisspecierreddent Sinuero ad sexundũ
cunctos quit tiis̃ or dinis ałtaueris. ordinatas species suꝑ particularis ageꝰ¬
nosces Qđ nt tioor dini quicũq s̃ inquinto usu cparessuꝑ partientis
numeris pecies postas c̃uenienta spicies Multiplex uerosup particulans
ortenditur cũ a diecundum ũ sũ om̃squis quintiũ sus serie c̃parantur
ł quis in septimo łquis in nono atq ita in insinitũ st ista destriptiom
sub duplea ses quitentius subduple ses quiqua tur. a uuteri quidom adhu nemodũ¬
paratus haba inse alium niumerii totũ plusquã semel &rius
idu as łtres ł qđͣ lib& plures partieulas. secundum numeri suppar¬

Expanded text:
orum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparanti sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc moduparatus habet in se alium numerum totum plusquam semel, et ejus duas vel tres vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpar
Abbreviated transcription (Latin):
sigurarum semina in primis Numeris inuenimus Planum siqui¬
dem fecimus quo domnes dirciplinas haec interempta consumera

Expanded text:
igurarum semina in primis numeris invenimus. Planum siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumer
Abbreviated transcription (Latin):
crescit Magnitudo uero asinita inchoans quantitate modum
indiuisione non recipit: insinitissi mas enimsui corporis suscipit
sectiones Hancigitur nature insinitatem inde terminatamq

Expanded text:
crescit. Magnitudo vero, a finita inchoans quantitate, modum in divisione non recipit. Infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem, indeterminatamq
Abbreviated transcription (Latin):
terminum ponas. Nam que .XI. addenarium quadrupluse
itur qua drum sidiuidas duplum facies qui est scilica.
Nam .X. addenarium duplus est Hunc si medium conriituas.
media aemgo metrica ꝑser&. Armonicamuero medietatemta¬
li modo repperies. Difserentia interminorum in minoremtermi¬
num multiplica. a postiunge terminos. & uetaeum quunde
consectuse committeillum numerum. qui ex disserentus &ter

Expanded text:
terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medietatem, tali modo reperies: differentiam terminorum in minorem terminum multiplica, et post junge terminos, et juxta eum qui inde confectus est, committe illum numerum qui ex differentiis e
Abbreviated transcription (Latin):
solaẽ & quȩ unitate formantur comp̃hensibilis a de terminate atiusdem
substanti q seẽ dicuntur fauerosunt ł quae abȩqua libus erescunt uelitd
quacdrati ł quos ipsa unitas sormat. id.ẽ. in pareii Atuero binarius a cuncta
iuncta sunt atque contraria: exinparibus scilica a paribus hicenimstabi

Expanded text:
natae et ejusdem substantiae esse dicuntur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti juncta sunt atque contraria, ex imparibus scilicet et paribus. Hic enim stabi
Abbreviated transcription (Latin):
in ae qualia sẽꝑ diuiditur ututras que specicinum eri semperosten¬
dit: necum quam altera sine alterasit sed una pars paritati in pa¬
ritati alia deputecur ut̃ .vii. sidiuidas. in .iii. &iui altera portio
p̃ar altera in parcit : xidem hoc incunctis in paribus numeris inuenitu ne
nequeum quam in inparis diuisione p̃tersece: possunt. hagemine specues

Expanded text:
inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, imparitati alia deputatur, ut 7 si dividas in 3 et in 4, altera portio par, altera impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, p
Abbreviated transcription (Latin):
xx. Ꝙbis .xui.factus.lxiiii. tetragonꝰ. Hic enun exoctona¬
rio continenti post senariũ nascitur Octus enĩ.uIIi.lxiiii.
tetragonũ iungunt Et in aliis quoq scđm eundem modũ si
idem facias: rationis ordo non discrepat
Vud uero quod ex his duobus tota omniũ for marũ uidetur orta
probatio. non minore consideratione notandũ st. Namque crianguli
qui cunctas alias formas sicut fuperius dociamꝰ colleen ꝓducunt
His iunctis uelut ex quibusdã elementis oriuntur. Namq. exuno
primo tetragono & bmnari ꝓ prima parte aliera longiore. tirnarius triangulus
cpulatur. Et exbinario uel quaternario id est exsctundo tetragono senarius trian¬
ulus perrauir. Ex quaternario quoq et senario. domarius triangulus nasci¬
tur Etadrundem ordinem cuncta trianguloꝵ ratio constabit. Disponantur erum
alternatim interse tetragoni & parte altera longiores qui ut melius ꝑ notarentur prius

Expanded text:
et bis 16 factus 64 tetragonus. Hic enim ex octonaet bis 16 factus 64 tetragonus. Hic enim ex octonario continenti post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragonum jungunt. Et in aliis quoque secundum eumdem modum si idem facias, rationis ordo non discrepatud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio non minore consideratione notandum est. Namque trianguli qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, collecti producunt, his junctis velut ex quibusdam elementis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono, et binario primo parte altera longiore, ternarius triangulus copulatur. Et ex binario vel quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario, denarius triangulus nascitur. Et ad eumdem ordinem, cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni et parte altera longiores, qui ut melius pernotarentur, prius
Abbreviated transcription (Latin):
&bis multiplicato senario coniunctus ẽ .XXV. tetragonus & ipse¬
x impari quinario nascitur et contineni post ternariu. Quinꝗ¬
es enĩ quinque. xxuproducunt. Et quinarius post ternariũ
impar .ẽ numerus. Et insequenti quoq: radem ratioẽ Nã qur ex
aseptenario numero imparifit. & post quinariũ continenti. Sep¬
ties enĩ sepit̃: Xl uiiii. creant. At uero ubi duo altrinsitus parte
altera longiores unũ mediũ tetragonũ claudunt om̃s ex his quifi¬
unt tetragoni aparib ꝓducuntur. Nã qui ex duob et sex parte
altera longiorib & quaternario bis multiplicato.xII. tetragonus
factus .ẽ Ille a qua ternario numero ide pariꝓducitur. Qua¬
ter enĩ quattuor. xui.s̃. Et insequenti ordine quoq ubi exan. et¬
.xII. & bis in suã summã ducto nouenario . xxxui. fiunt. Ex ẽ¬
tinenti pari senario copulantur. Uii. enimsexits. xxxUI.
restituunt Nec minus intandem rationẽ cadit .ex .xii. et

Expanded text:
bis multiplicato senario conjunctus, est 25 tetragonus, et ipse ebis multiplicato senario conjunctus, est 25 tetragonus, et ipse ex impari quinario nascitur continenti post ternarium. Quinquies enim quinque 25 procedunt, et quinarius post ternarium, impar est numerus. Et in sequenti quoquo eadem ratio est. Nam qui ex a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, producitur. Quater enim quatuor 16 sunt. Et in sequenti quoque ordine ubi ex im, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari senario copulantur. Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem rationem cadet, ex 12 et 20
Abbreviated transcription (Latin):
longiores secunidũ tetragonũ ponas. in ordine quidim secundus ist
sed actu & ordine primus. ex duobus parte altera longioribus
congregatis. et bis multiplicato mnedia tetragono. rursus tetra gonꝰ
c̃ficitur. Namq in tersex et binariũ numerũ qui sunt primꝰ & seđdi
parte altera longiores. si ponatur quaternarius ordine sec undus
primus actu te tragonus. & coniungantur. duo et sex. faciunt
.VIII. Tum sibis ducantur medii .iIII. faciunt rursus octonarium
qui cum superioribus iuncti. xxii. tetragonum pandunt.
llud quoq non oportit minore admirationi suspicere quod
scđm ꝓprias naturas ubi altrinsecus duo tetragoni stant & unꝰ
parte altera longior inmedio ponitur. tetragonꝰ quinascitur
ille semꝑ abimpari ꝓcreatur. Nã ex superiorib uno et quattu¬
or etbis multiplicato binario factus ẽnouenarius tetragonꝰ qui
scilic& a trib ꝓcreatur: Ter enĩ tres: nouenarũ faciunt. Quiter¬
narius. impar ẽnumerus. Et sequens qui ex quat tuor. et .viiii.

Expanded text:
longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur. Namque inter 6 et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et conjungantur duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt rursus octonarium, qui cum superioribus juncti, sedecim tetragonum pandunt. Illud quoque non oportet minore admiratione suscipere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant, et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus qui nascitur, ille semper ab impari procreatur. Nam ex superioribus, uno et 4 et bis multiplicato binario, factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur. Ter enim tres 9 faciunt, qui ternarius impar est numerus. Et sequens qui ex quatuor et 9, et
Abbreviated transcription (Latin):
UIDIXI Sugitur inutrisque uersibus primos aspicias. singn¬
los quosinuenis qmte tragonisunt in impari locosunt constituai qmi

Expanded text:
i igitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in impare loco sunt constituti, q
Abbreviated transcription (Latin):
t uero sinter primum & secundum tetragonum pri¬
mum parte altera longiorem ponimus adutrosque
eos una proportione coniungitur. In utrisq enim proporti¬
onibus dupli multiplicitas inuenitur. Sin uero inter scđm
tertiumq tetragonum scđm parte altera longiorem po¬
nas. ses qualter& comparationis ad utrosq forma cõponit
Et si inter tertium et quartũ tetragonũ tertium parte alie¬
ra longiorẽ constituas. ses qui tertia species nasc&ur.
idem sun cunctis feceris. cunctas suꝑ particulares speci
inuenire miraberis¬
tadrundem modũ in ceteris conuenit intueri. rursussiponan¬
tur duo tetragoni exsupirius descripts id ÷ primus etscđs. et in
unũ colligantur & medius eoꝵ parte altera longior bis multi

Expanded text:
t vero si inter primum et secundum tetragonum, primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione conjungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum, tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberismodum in caeteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis mu
Abbreviated transcription (Latin):
nouindosi. Et rursus ternarius qui no uinarii pars tertia est duodenarii quarta st
Cad cundem modõ. usque infinem descriptionis geminatis huius modi partibus sicut
ipsa quoq summarum comparatio grmminata est aequas partium progressionss aspicies.
irdine numeros. primo quidem duplos. demide triplos.¬

Expanded text:
nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicie CAordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos
Abbreviated transcription (Latin):
permutato. eis dem differenti is aliae proportiones. Semperq in quibus
ifferunt sec uudum naturalis numeri ordines retragoni & parit alitra longiorts
se supirabunt. tantum quod gemiatis summulis nituralis numeri sit pro gressio
Quod mirum uideri nondebit: nos enim ipsas sunmas tetragonorum & parte
dicta longiorum geminamus ad primas setundasque proportione
aedim quoque differentiat mirabilem inmodũ atoto persquentes par¬
tes & peisdm unitates quibus superius creuerunt ꝓgridiuntur Ham
intr unum & dio tantum unitas intercedit quae unitati cui acqualis. ẽ. totum est
binarii uero mediaetas:. Eodemque modo interdio. iuii. tantum duosunt quibina¬
rii totum sunt quaternarii medietas. Inquaternariũ uero & senarium idem duo sunt
ad quaternariũ malietas. ads. nariũ pars tertia. tertia utro quisequantur. qui inter¬
uii. & uiii. consatiunsunt mehi. sunt quidem sinarii dimidium. pars uero tertiano

Expanded text:
permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminamus ad primas secundasque proportiones. Eaedem quoque differentiae, mirabilem in modum a toto per sequentes partes, et per easdem unitates quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitati cui aequalis est totum est, binarii vero, medietas. Eodem modo inter 2 et 4 tantum duo sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimidium, pars vero tertia
Abbreviated transcription (Latin):
rgo insuperiore formula hoc maximt intuindum est Namque inter unum
quiest tetragonus iduo dupla proportio est. Inter .ii. et iiii. dupla
hic ergo tetragonus cum parit alitra longiore. atque hic c̃ sequenit tenagona
cadem proportione uinguntur. differentiis uero non isdem iunguntur. Namq
duorum atque unus sola unnas differentia ẽ. sed idem duo equiter nario solo
binario relinquuntur Rursus si duo adiiii. speculeris. dupla est proportio.
Si .iiii. ad .ui. habitudinem ses qualteram recognosces. Hiergo in proportionibus
discrepant. indifferentiis paressunt. Namq. et iiii. aduob & vi. aquattu¬
or codem binario distant Insequentibus etiam eodem modo sicut in primis
fuit ratio constat Nã tadem proportio t̃. differriniis non cisdem. Nam
Vi autem qua urnarium duobus .viiii. uero senarium tribus pretereunt
nsequentibus etiam eadem ratio speculabitur. Ei semper alternatim nunc
quidem e ydem proportiones alit diffirentiac sunt: Nunc autem ordinein

Expanded text:
rgo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differentiis pares sunt. Namque et quatuor a duobus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 6 autem quaternarium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine
Abbreviated transcription (Latin):
QUA DRAT ETPARIE ATERA LONCIORES
inius uero tetragonus si ti ꝓprium latus addatur uel codem rursus demat.
partt altera longior fit. Nan que .iii. retragono si quis dio iungat uelduo
dedanit .ui. addendo pficit. & duo detra hendo: aduterq figura continet parte
ałera longiortm. que salicet magna est aliertatis uis. Omnis enĩ insinita & indi¬
ter mumaeta potentia abaequalitats natura. & asus se finmbus continente substantia
descendins aut in mtaiuis exuberat aut in minora decresett
SECVNDO UEROIOCO IMEAUIS NUMERI IeanO QADS¬
TI ET QUOPERINCIRTEE QuautaS aeCUS EnSuVS

Expanded text:
 vel parte altera longiores mnis vero tetragonus si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 4 tetragono si quis duo jungat, vel duo detrahat, 6 addendo perficiet et duo detrahendo, at uterque figuram continet parte altera longiorem, quae, scilicet magna, est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia, ab aequalitatis natura, et a suis se finibus continenti substantia discedens, aut in majus exuberat, aut in minora decrescit secundo vero loco impares numeri, tertio quadrati, et quod principaliter dualitas alterius
Abbreviated transcription (Latin):
pares. Et tertium secũndo et quar̾tũ uertio. &. quintũ quãr¬
to. casdem rur sꝰ ꝓportiones efficiꝑ no̾bis quad in superiore for¬
ma descripsimus. Sẽd hic differenti&e  abimitate ñ inchoant.
sed abinario numero minsinitũ ꝑ eosdem calculos ꝓgrediuntur
Eritq scđo primi duplus Tertius scđi ses qualter. Quartus
tertii. ses quitertius Secundum eandem conuenientiam
qua superius de monstrata est

Expanded text:
pares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est.
Abbreviated transcription (Latin):
una medi&as talis inueniri quae ad alteram extremitatem ses¬
qualtera fitadal teram ses quitercia. Altrinsecus enimpositis
saenario & ternario id ẽ. duplica medietate: siquaternarius in me¬
dio con locetur. ad ternarium numerum sesquitertiam continara¬
tionem ad senarium uero ses qualteram
Decteigiturdictumeit & duplicem ases qualtero ses qui tertioque
coniungi & as duas suꝑ particularis species duplicem perea¬
re id .ẽ. primam speciem multi plicis quantitatis. Rursus expri

Expanded text:
una medietas talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesquialtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesquialteram. Recte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesquitertioque conjungi, et has duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex pri
Abbreviated transcription (Latin):
lla uitem maxime semphonia quaeuocatur bisdia pason uelutbis
du lumquidiapason symphonia ex duplicipro portione collis¬
tur huicre iuncturȩ armonicae mediaatis uercerit Namindu

Expanded text:
lla autem maxima symphonia quae vocatur bis diapason, velut bis duplum, quoniam diapason symphonia ex duplici proportione colligitur, huic se juncturae harmonicae medietatis interserit. Nam in du
Abbreviated transcription (Latin):
tita panturam asuperficie u nointer uallo. aso liditete duob intuls
spatii uincitur. Punctum igitur aliorursus interuallo a linea
uincitur ipsa scilica quaere liqua ẽ longitudine: quarẽsi pune¬
tum uno quidem interuallo alinea suꝑ greditur idema su ꝑ

Expanded text:
tita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a su
Abbreviated transcription (Latin):
numeri nobis eadem conditione ꝓpositi idest . xxi. & uiiii. ut quales
i sint inuestigentur. cũ sibim& fuerint inuicem comparati Rursus
ausero dema ioreminoris nu meriqua natatem id ẽ. UIIII. dexxi.
rel inquntur xii. Ex his rursus demo viiii. suꝑs̃tres quisiex
nouenario detrahantur. senarius relinquetur. Quibus item siquis
ternarium demat .iii. relinguentur. De quibus .ii. detrahi nequeant

Expanded text:
numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de 21, relinquentur 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt
Abbreviated transcription (Latin):
inpoue pnqũ asuseasstertia uero qua in pare denominatios ex uiuparu
plura litasẽ. Rursus si conuertas sextapans quae parẽ de nominaai otres

Expanded text:
impar est quantitas. Tertia vero quae impar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres
Abbreviated transcription (Latin):
sitad aliud ipsum es se nom possit. Magnitudins uero alias untia
nentia motu que carentia aliauero que mobili semꝑ rotatione

Expanded text:
sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero, alia sunt rentia, alia vero, quae mobili semper rotatio
Abbreviated transcription (Latin):
numeri XII explebunt Hocaiam in alusfia Namsi x uel .XIII.
uel xui. uel XViIII. uel .xiiiꝰ. uel .Xv. superiorib: cunctis adiunxeris:
laterib: secundum hunc modum eorum laterum augm̃ta subcrescunt

Expanded text:
iam in aliis fiet. Nam si 10, vel 13, vel 16, vel 19, vel 22, vel 25 superioribus cunctis adjunxeris, , secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt
Abbreviated transcription (Latin):
monstrare uolumus in his p̃sertm formulis ordinatarum uirgula¬
rum mubatudinem Nongrauamur ad ponere Cumenimquinq uo¬
lumus demonstrare facimus quinque uirgulas ducimus que eas hoc
modo IIIII & cumseptem totidem. &cum decem ni hil ominus qui¬
a naturalius equem lib& numerum quantas insgr&in& totunitati bus

Expanded text:
monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas hoc modo, 1 1 1 1 1, et cum 7 totidem, et cum 10 nihilominus, quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus
Abbreviated transcription (Latin):
uique ex hiscoaceruats tetragonisiunt. duplici modo eius de insubstantie
participes eẽ dnr Quod uel ab aqualitate formantur tetragoni

Expanded text:
uoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni
Abbreviated transcription (Latin):
atuero superfluor acdeminutos. lon gemultos infinitos querep¬
perier nec ullis ordinibus passim in ordinate quãe dis positos & anul¬
lo certo fine generatos. Sunt autem ꝑ fectinumeri intra denarium

Expanded text:
at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri, intra denarium
Abbreviated transcription (Latin):
dempar tibus minoris ꝓtert minotem: suisueronon eisdem łama iore
uincitr uel tran sitminorem &inhlaioribus terminis maiore p

Expanded text:
dem partibus minoris praeterit minorem. Suis vero non eisdem vel a majore vincitur, vel transit minorem. Et in majoribus terminis major
Abbreviated transcription (Latin):
tur. Hiceritarminus secundum aridimeticã proportionem
elsullum numerum quama iormi norem superat diuidas. eumque
minori suꝑ ponas. quod que in deconcrescit mediumponas.
arit metica medi& as informatur. NamXI denariu manoe¬
nario superat quemsidiui das .XU. siunt. Hunesiminori. id est
denario suꝑposueris. X.A. Vnascuntur. Quem̃si medium consti¬
tua sartahmetica medidatis ordo sormatur Geometrica mue¬
ro siratione in uertiges eius numeri qui sub utrisque extremita¬
tibus contineturte tragoni sum latus inquire & hunc mediu
pone. Nai sub .MI. & denarionu mero. cac continentur. sie¬
nimdenarium in .UI. multiplices. hic numerus crescit.
orumigitur qua dringenauum require tetra gonicum latus. hi
sunt .x. uidesenim X. cccc ersiciunt Reppertum ergolatꝰ
quad racum medium constitues: uelsicam ꝓportionem qua mint
se datserminicus todiunt diuidasa id quod re linquitur mediu

Expanded text:
us terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum quo major minorem superat dividas, eumque minori superponas, quodque inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas informatur. Nam 40 denarium tricenario superat; quem si dividas 15 fiunt; hunc si minori, id est denario, superposueris, 20 et 5 nascentur; quem si medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, ejus numeri qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub 40 et denario numero 400 continentur. Si enim denarium in 40 multiplices, hic numerus crescit. Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus, hi sunt 20. Vicies enim 20, 400 efficiuntur. Repertum ergo quadratum, medium constitues. Vel si eam proportionem quam inter se dati termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur mediu
Abbreviated transcription (Latin):
rt meticam mediaatem uocamus quotiens ue ltribus uel quo dli¬
ba terminis positis aequalis atque eadem difserenti a interomnes

Expanded text:
thmeticam medietatem vocamus, quoties vel tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes
Abbreviated transcription (Latin):
ca unota men alimnulatur amine Experiartigtur lica quantum noł
in hoc itudio longis tractus ocus lab& adiecer sennera mrabieliua fuutus

Expanded text:
 uno tamen cumulatur examine. Experiare igitur licet quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adjecerit. An rerum subtilium fugas
Abbreviated transcription (Latin):
dictur. siabea primo inchoandumsit media ate quae in numeri dirit¬
rentia non in pportionis speculatione uerratur

Expanded text:
ditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versatur
Abbreviated transcription (Latin):
iores partes cenciat: Porro autem nulla erit aliadiuis ioquatot ũ
nerũ minore diuidat quanutate in duas enim partes diuino

Expanded text:
ores partes efficiat. Porro autem nulla erit alia divisio quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim partes divi
Abbreviated transcription (Latin):
neque umquam sieri potest ut cum una pars diuisionis pareuerit
alia in par inueniri queat autcũuna in parsit.alia par possit in¬
telligi In parueronumerus ẽ. quiadqua liba illã diuisiomemp

Expanded text:
Neque unquam fieri potest, ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem
Abbreviated transcription (Latin):
in ionica greciae regione utattnicho machus hoc modo formata fu¬
eruntutneque altitudo latitudini neque haeo longitudini conuenira

Expanded text:
in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenir
Abbreviated transcription (Latin):
adsex compares binarius numerus. senarium tertio maidur
Pri morergoa in compositos nullus numerus m&i&ur. p̃ter
unitatem solam : qm̃ ex nullis aliis numeris conpositis unt. sed
tantum exunitatibur insem& ipsis auetis multi plicaas quȩ pe re¬
antur: terenim unus III. & quinquies unus v & septiesu¬
nus vII. fecorunt & alii quidem quos supra descripsimus
eo demmodo nascuntur. Hii autenuiren& ipsos multipli¬
cati faciunt aliosnu meros uelut primi eos que prima mrerũ
substantiam ium ques ortitos cunetorum ase ꝓcreatraum
uelud quedamelȩm̃ta repperies: quia scilica & inconposta

Expanded text:
ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos, cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa reperies, quia scilicet, et incompos
Abbreviated transcription (Latin):
thaba nisieam quae a tota numeri quantitate de nominata sit
ut ipra pars nonsit nisiunitas utrunt .iii. U. XII.XI.XIII. XUII.
alia pars inuenietur nisi quȩ ab ipsis denominata ẽ. & ipsatan¬
tum unitas utsupraiam dictum ẽ: Intribus enim una pars sola ẽ.
id ẽ tertia quȩ atribus scilica de nominata est & ipsatertia pors
unitas: eodem que modo quinarusola quinta parsest. & hacu¬
nitas: atqueidem insingulis consequens repperietur. dicitur
autem primus & inpositus. qđ nullus eum alternumerus meci¬
atur p̃tersolam quae cunctis mater ẽ. imnitatem Nam quecer¬
narium .Ii non numerant idcirco qm̃s iso los duos contra.iii.
conpares pauciores sunt. Sinuero binarium bisracias. ampli e¬
ẽ. tribus. cum crescit in iiii: Meciturautem numerus nume¬
rum quoties ł semel uelbis Itertio uel quoties li ba numerus
adnumerum comparatus aequedeminuta summa neque aue¬
ta ad conparatinumen terminum us que peruenit: ut.ii. si

Expanded text:
t, nisi eam quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt 3, 5, 7, 11, alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra jam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. Metitur autem numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque diminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si
Abbreviated transcription (Latin):
a b& autem ꝓ pre aatem quem ad modum dictum ent contraria
arthinetica mediaati Inilla enim inminori bus terminis. maioe
erat ꝓportio inmaioribus minot in hac uero in maioribus quide

Expanded text:
abet autem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim, in minoribus terminis major erat proportio, in majoribus minor; in hac vero, in majoribus quide
Abbreviated transcription (Latin):
supͥaicularitatis inuenia qđ ncuersos supparticulares aliquis etundu hace pcipta
c̃uertat ctimiouideac suꝑ partientes ad erescere exses qualtero quide supbi partiens
ex sesquit tiosuptri partiens pereatur. aceterisetundũ communes dominationis spe¬
cies sinculla ordinis intꝑolacione nas centur disponanturigitur sic

Expanded text:
uis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic
Abbreviated transcription (Latin):
s peculatione Nonsal lit Angulares autem omnium multipli¬
ces eueni renecerree Frunt autem duplicium qui demtrirlic es¬
triplicium qua duplices quadruplorum uero quinqui pli. Etse¬
cundum eandem ordinis in commutabi lem rationem: sibi ma cunc

Expanded text:
speculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplispeculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplicestriplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cunc
Abbreviated transcription (Latin):
Et quitot superse eius dem proportionis habuerit numeros quotus
ab unitate primus eorum iac&. eius pars qua illi comparatus Niume¬
rus pornt eandem facere proportionem inueniri nequeat & tri¬
plicis quidem haec ẽ des criptio
At qua dru plisecundum hanc eorinam dercriptio ẽ ad quamscilica
quia prioribus instructus accesserit Nulla ratione trepida bit
Etdeceteris quidem multi plicibus eandem conuenientiã ꝑ nota bi
incquoque perspicuum ẽ. superparticularium quemad modum prius
ostensumẽ. primos eẽ multiplices Siquidem duplices ses qualteros
triplices ses quitertios. & multi plices cuneti cunc tos in ordinem
superparticulares creant. Estaiam in his quoque mirabi lenã¬
que ubi prima latitudofuerit duplex. o sub eisdem quis untuer¬
sus continiua lternatim poriti secundum seriem latitndinir dupli¬
ceserunt Si uerofuerint triplices &inferiores ordines
triplase insuis terminis multiplicatione superabunt in qua¬
drupla quadrupli atque hoc in infinita dõcumenta ductũ

Expanded text:
Et qui tot super se ejusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum jacet, ejus pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio: At quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit, et de caeteris quidem multiplicibus, eamdem convenientiam pernotabit. Hinc quoque perspicuum est, superparticularium quemadmodum prius ostensum est primos esse multiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum
Abbreviated transcription (Latin):
tiplicentur . faciunt ũ ccc iii: querum medius terminus id .ẽ. xxiii
su insem& ipsum ducatur: idẽ ũccc .iiii. procreantur. Vbi autem
termini .ii. duas medi&ater includunt. qđ sit multiplicatir ex¬
tremitatibus hocidem redditur in alterutrã sum mam medieca¬
tibus ductis:duo dexies enim xevi multi plicatis. ĩcI ii. procre¬
multiplicentur eosdem ĩclu. restituent: Atque hoc ẽ adimi¬
tationem cognationemq numeri panterparis. a quoparricipa¬
tione tracta haec et recognoscitur ingenerata propridas: & in

Expanded text:
tiplicentur, faciunt 2304. Quorum medius terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idem 2304 procreatur. Ubi autem termini duo duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietibus ductis. Duodecies enim 546 multiplicatis in 152 procremultiplicentur, eosdem in 152 restituent, atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei cognoscitur ingenerata proprietas. Et in
Abbreviated transcription (Latin):
ad decuplum Sic enim cognos cemus quemad modum suꝑ par¬
ticulari & suꝑ partienti & cunetis aliis princepserit s peciem mul¬
tiplicis & quaedam aliasi mulinspiciemus & ad subti litatmte¬
niussima & ad scientiam utilissima e ad exereit ationem io cun dissi ma

Expanded text:
ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem mentis jocundissima
Abbreviated transcription (Latin):
quarai ties Adeinceps ua semꝑ minore quami psuiot inter¬
mis nonesuc crescunt Atque hoc ł inses qualteris. linses quitertus
uł inalus super particularis partibus necesseer inueniri Namq
ut quaternarius contraternarium conparetur nullum intermisi m̃¬
cundo scilica sesquitertio una factaẽ intermirno inter xieñ¬
axiii. solus ẽ. septenarius. quitrans missusẽ numerus. Rursus
ut xiiii. contra xii comparemus. qui sunt in dispositonettuduoꝵ
X XI. Secundum hunc modũ quarta dispositiotres. quinta
m̃autem natura liter & secundum ꝓpriamordinis cons equen¬
tiam multiplicem in aequalitatis speciemducas p̃posuimus
primam que speciem es semonitra uimus lic& hoc no bns
postericus operisordine clarercat. hic quoque persringentes
id qđ ꝓposuimus planissime breuiterque doceamus. Siteninta¬
lir discriptio inquaponatur in &dinem us que ad denarium nu¬
merum continui numen ordo naturalis & secundo uersu du¬
plus ordo texatur Tertiotrplus. Quarto quo druplus. & hocusq

Expanded text:
quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimcundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numerus. Rursus ut 9 contra 12 comparemus, qui sunt in dispositione tertiiet 11; secundum hunc modum quarta dispositio 3, quintam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequetiam, multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque
Abbreviated transcription (Latin):
or dine panter pariunumerorũ ternarius numerus multiplicaa¬
uit quicumque ex eo procreati sunt primo sunt uersu dispositi
ursus qui eosdem iula plicante quinanon atisunt: secundo locosunt
cantititi Postuero quosseptenarius c& eros muba plicande ꝓere¬
auit : eos demtertio conscripsimus loco. atqueidem in reliquã dis¬
criptionis parte ꝑfecimus

Expanded text:
ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt primo sunt versu dispositi. Rursus qui eodem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti. Post vero quos septenarius caeteros multiplicans procreavit, eosdem tertio constituimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perficimus
Abbreviated transcription (Latin):
nũmerorumuidentur ratione sormata hocenim sutt prin¬
cipale inani moconditoris exemplar hincenim quattuea ȩlemen

Expanded text:
numerorum videntur ratione formata, hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quatuor elemen
Abbreviated transcription (Latin):
huius modi ꝓportio in ariimetica consideratione ꝓponitur: ert
morum coniunatio duplexerit ꝓpria medietate Siuero inter liti

Expanded text:
hujusmodi proportio in arithmetica consideratione proponitur. Et extremorum conjunctio duplex erit propria medietate. Si vero inter
Abbreviated transcription (Latin):
tibus ddis ferentus constitutesint Difserentia uero ẽ internumeros
quantitas. proportio ẽ duorum terminorum ad se in uicem quadam
habitudo & quasi quod ammodo continentia quorum compositio
qđ eficit ꝓportiona leẽ: Exiunetis enimꝓportionibus ꝓportiona¬
litassit : Intribus aut terminis minima ꝓportionalitas inuenitur:
ł it& iaminpluribus Sed longior ut binarius ad unum quõ duo sunt termi¬
ni duplamobtina ꝓportionem Sinuero quattuor contraduos compares
a hic quoque duplaꝓportio ẽ quos crerterminorsicontinuae conside

Expanded text:
tibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue conside
Abbreviated transcription (Latin):
procreantur. Nam qm̃ primus triplex ẽ. ternarius niume¬
rus haba unum ses quitertium id ẽ .iiii. cuius quater narii tercia
pars Non potest inueniri. atqueideo hicepitrito cara Secundus ue

Expanded text:
procreantur. Nam quoniam primus triplex est ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est 4. Cujus quaternarii tertia pars non potest inveniri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus ve
Abbreviated transcription (Latin):
que sũmã quantitatis includit quota parsẽ alt̃ numerus pariterparis illiuis:
qui eũ c̃tin& quantitatis: ĩtaque sit ut si bi partes ipsȩrespondeant ut quota pars ꝗ¬
una ẽ. tantã habeat alteram quantitatem & qtba parsista ẽ tantũ in prigrae
sumã necessersit multitudinis inueniri : & primũ fitsi pares fuerit disposi¬
tiones ut duae medi epartes sibi respondeant Postuero quȩ suꝑ ipsar sunt sibi
inuitẽ conuertantur: atq hoc idemsiat donec uterq tminus extremitatis
incurrat. panaturenim pariterparis ordo abuno usq cxxviii. hocmodo
igtur qm̃ pares dispositioness̃ ima medidas ñ potest inueniri Sunt
igitur duceide .vIII.& XI. quae considerander̃ quemad modũi psȩ

Expanded text:
que summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo, ab uno usque 128, hoc modo igitur quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est 8 et 16, quae considerandae sunt, quemadmodum ips
Abbreviated transcription (Latin):
nciens a ad platonicam intimeo animae generationem
ad inter ualla armonicae disciplinae. Ibienimiu bemur
producere atque extendere tres uel uiii ses qua laros uel
iođ lib& ses qui tertias proportiones. & ses quiquartas conpa¬
rationes eas que secundum proporitum ordinemsȩpe continuas
iubemur extendere Neautem hor libore quoda semper quide
maximo frequentius inferacifiat hac nobis ratione in quot

Expanded text:
ciens, et ad Platonicam in Timaeo animae generationem, et ad intervalla harmonicae disciplinae. Ibi enim jubemur perducere atque extendere tres vel quatuor sesquialteros, vel quotlibet sesquitertias proportiones, et sesquiquartas comparationes, eas quae secundum propositum ordinem, saepe continuas jubemur extendere. Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione, in quot