comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
quu plus cums es quĩ quinto. moxes quupli proportio coniugabitur
Atqueita secundum hanc progressonem cunc tae multi plicia tisspe¬
cies sineulla ordinis pmutatione narcentur: Ita utduplus cu mses¬
qualtero tiplicemcrea atriplus cumses quitertioquadrupłus
Quadruplus cumses qui quarto quinquuplum et eodem modo ut
nullus hane continuationẽ finisim pediat
aet quidem dequantitate quan secundumadaliquidspecula¬
mur ad presens dicta sufriciant. Nunc autem in hac sequen¬
tia quadamndera quantitate qua perscipsam constat nequeadali¬
quid refertur epediam : quae nobis adea prodersse possint
quaepost haec rursus derelata ad aliquiꝰ quantrcate tractabi mu
a matenim quod ammodo matbeseosspeculatio alterna proba

Expanded text:
uplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitur. Atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur. Ita vero ut duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et caeteri eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis impediataec quidem de quantitate quam secundum ad aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia, quaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna proba
Abbreviated transcription (Latin):
gabis Si uero nec dumtũ erit primus & in compositus. aliumrurs us
adiunge aui de quidñat Quod si primum in conpositum que
repperies Tunc inultima in ultitu dinenisum mae coaceruation t̃
multiplicabis Disponantur enimom̃s partaerpares numeri hoc mo¬
eique ad gregabis .ii : tuncrespicies ex hac ad gregatione qui numerus
factusnt sunt .iii. Quiscilica primusa in compositusẽ & post unita¬
tem ulti mumbinarium Numerumad gregaueras Sugitur ternariu
id .ẽ. qui ex coaceruatione collectus. ẽ ꝑbinarium multiplices quiẽ ultim̃
adgregatus ꝑrectus sineulla dubitatione nasc&ur. Bis enimtres .vi. ra¬
ciunt Qui habent unam quidemase denominatam parte midẽ sextã

Expanded text:
gabis. Si vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri, hoc moeique aggregabis 2; tunc respicies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sexta
Abbreviated transcription (Latin):
aris uero or dinis. binarius numerus princepse Quaedualitas cumin
eodem ordine paritatis sit tum principium totius ẽ alteritatis. Nam que
si seipsa multiplic& uel ꝑ latitudinem uel &iam ꝑprosunditatem uelsiquẽ
numerum insuam coneloba quantitatem continuo alter exoritur. Nan nsiinũ¬
bis duo ue bis duolis sifacias. uelbistres. uellis quattuo. uelbisquinque.
uelquem liba alium multiplic&. quisquis hinc pascitur alius quampri¬
mosuerat inuenitur Nascuntur autem exsuporime discriptione ae
primoordine : omnestetragoni hoc modo Unum enimsi respexerispri¬
mus potestate tetragonus. ẽ: Sinuero unumtribus coacerua ueris quat
tuor tetragonus exoritur. Huicsiquinarium uingam riouenarius rur

Expanded text:
aris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si facias, vel bis 3, vel bis 4, vel bis 5, vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rur
Abbreviated transcription (Latin):
licetur. Mobilis scientiam astronomicae discipline pericia iundi p¬
quibus quattuor partibus sicareatin quisitor. uerum inuenire non¬
poterit acsine hac quidems peculatione ueritatis Nulli recte sapi¬
endument. Est enimsapientia earumrerum qua uere sunt. cogi¬
tio & integra conp̃hensio Quod haec quirpernit. id .e. hassemuta
sapientia ei denuncio non reca siloso fandum: siquidem n losos

Expanded text:
licetur. Mobilis scientiam, astronomicae disciplinae peritia vinQuibus quatuor partibus si careat inquisitor, verum invenire nonpossit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapindum est. Est enim sapientia earum rerum quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit, id est, has semitas sapientiae, ei denuntio non recte philosophandum. Siquidem philoso
Abbreviated transcription (Latin):
titudine superantur. ut xiii. ł xiiii: hab& enimoctonarius partẽ
cunctȩ in unumredactȩ xii. colligunt : Mnorem scilica sum mã
toto corpore condudentes: rursus . xiiii. habent mediaatẽ id ẽsep¬
tenariũ. habent septimam idẽ .ii. habent quartã decimamidẽi.
uaeinunũ sicol lecta sint: denarii numeri sum masub crescit totosci

Expanded text:
titudine superantur, ut 8 vel 9: habet enim octonarius partem cunctae in unum redactae 7 colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent quartam decimam, id est 1, quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto sci
Abbreviated transcription (Latin):
erint nec non &iam indisiuncta eademuersalitur obseruatio¬
a libusigitur uestigus insistentem. nullus ab eadem similitudine erro

Expanded text:
erint. Nec non etiam in disjuncta eadem versabitur observatiogitur vestigiis insistentem, nullus ab eadem similitudine erro
Abbreviated transcription (Latin):
mira animi a laertate suscipias queresimpulit pig̃a meon silu moram adi¬
usmos & maturos baccho p almites ncac tte noni operis r uubirta mans is

Expanded text:
mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Niculmos, et maturos Baccho palmites, sic ad te rudimenta novi operis
Abbreviated transcription (Latin):
orumer go si primumsumas parem id ẽ .it. primidaplus erit
id ẽ unitatis. Si uerose quentem parẽ idẽ .iiii. secundiduplus
ẽ idẽ ducum. Siue rotertium paremsumas idẽ .vi. tertunu¬
meri in naturali constiatione duplus ẽ. idẽ ternarii. Si uero
quartum parem inspicias id .ẽ.viii. quartinumeri id ẽqua t̃¬
naru du pluẽ. Item que ince teris in infinitum sumentib sine

Expanded text:
orum ergo si primum sumas parem, id est 2, primi duplus erit, id est unitatis. Si vero sequentem parem, id est 4, secundi duplus est, id est duorum. Si vero tertium parem sumas, id est 6, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine
Abbreviated transcription (Latin):
aterna rionumero tripliceram parentur: Pruntque ducer qua dru¬
pli comiter trpli Sitenim inordine hocmodonumerus natura lis
utiubeo quadripli arubeotri plisunt sub ponatur subprimo qua¬
dr plo primustri plus subrecundo secundus sultertio tertius
A codem modo cuncti eiusdem primi uerius onpliinar dinedigerant¬

Expanded text:
ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigant
Abbreviated transcription (Latin):
pares. Et tertium secũndo. et quartũ tr̃tio. & quintũ quar¬
to. casdem rur sꝰ ꝓportiones efficiꝑ nõbis qua& in superiore for¬
ma descripsimus. Sẽd hic differentiae x abunitate ñ inchoant.
sed abinario numero minsinitũ ꝑ eosdem calculos ꝓgrediuntur
Eritq scđs primi duplus. Tertius scđi. ses qualter: Quartus
tertii. ses quitertius Secundum randem conuenientiam
qua superius de monstrata est

Expanded text:
pares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est
Abbreviated transcription (Latin):
numen pariter paris ponitur Docebi turnãq quã longe hicdissimili
ratione diuidatur. Nãqm̃ par .ẽ. in partesaquales recipits ection es
artes uero eius mox indiuisibilis atque in seca biles ꝑmanebuntut

Expanded text:
numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, u
Abbreviated transcription (Latin):
tad eundem modum cunc tae acaeris multiangulis prosecta
forme in altioris summae spatia plucuntur : omnis enim mul¬
torum ahgulorũ forma hsui generis figura unitati suꝑposita: ab uno i

Expanded text:
ad eumdem modum cunctae a caeteris multiangulis profectae formae, in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma, ex sui generis figura unitati superposita, ab uno i
Abbreviated transcription (Latin):
An faciunt Sedm musicam ita que qraperte superat meduos ꝓrdnal
cade parte saperatur meduus abextrimo. it puta apetato du abus
ese certusimum est. qm̃ inquocumqu numero finem faciendum pur¬
ris. ide ipse nondico noadano agri sel quan libet sit magnus & quam libe
ingentem multitudinem continens in ipsa ratione atque scuentiam numerorum
non solum duplicari utrum etiam mułtiplicari potest. ita uero suis quisque nu¬
merus pro prietatibus terminatur. ut nullus torum par. esse. cui cumque
finitisunt & omnes infinitisunt
N

Expanded text:
dem faciunt. Secundum musicam ita: Qua parte superat medius primum, eadem parte superatur medius ab extremo. Utputa VI et VIII; duabus se certissimum est, quoniam in quocunque numero finem faciendum putaveris, idem ipse non dico uno addito augeri, sed quamlibet sit magnus, et quamlibet ingentem multitudinem continens, in ipsa ratione, atque scientiam numerorum, non solum duplicari, verum etiam multiplicari potest. 2. Ita vero suis quisque numerus proprietatibus termfiniti sunt, et omnes infiniti sunt. N
Abbreviated transcription (Latin):
res ex duabus ꝓportionibus. siportionalitas Est enimꝓportionali¬
tas unum adduo & duo ad quattuor es ẽ ꝓportiona litas ut dictumeit
collectio ꝓportionum in unum que redactiosit aiama in longioribus
Namsiquattuor illis octo uelis adiungere a his. XVI. & his XX ii. &¬
deinceps duplos quisecuntur sit i nomnibus dupla ꝓportionalitas
ex ꝓportionibus duplis: Igtur quotiens unus atque idem terminur ita
duobus circum se terminis communicat. ut adunumduxsit ad alium co¬
mer haec ꝓportiona litas continua uocatur uitunus duoquattu or
Ei tenim ae qualitas in his ꝓportionibus. & que madmodum sunt iiii ad ii

Expanded text:
res, ex duabus proportionibus fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum sunt 4 ad 2,
Abbreviated transcription (Latin):
gredientibus ad pẏramidũ constituendas figurasusq. in infinitũ ꝓgre¬
ditur:et ex hoc equidẽ apparere necesse est triangulas formas ceera¬
rũ figurarũ eẽ principium : qđ om̃is pyramis aqua cũq. basi ꝓfecta uel a qua¬
dra t̃auela penta gono uel ab&agono uel abeptagono. uela quocumque

Expanded text:
gredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab hexagono, vel ab heptagono, vel a quocunque
Abbreviated transcription (Latin):
ternanium sua quarta parte suꝑuenit id ẽ uno. Asenarius ternarium
sua mediȩtã id ẽ tribus uternarius uero binarium: sua partetertia

Expanded text:
ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia
Abbreviated transcription (Latin):
is uero contrase positis id est primo & in composito & recundo &
composito & naturali diuersitate disiunctis. alius in medioc¬
sideratur. qui ipsequidem cmmpositus sit & secundus. & alterius
recipiens mensionem a T queideo & partis aliem uoca bulicapax
ed cũ fuerit ad aliũ cius dem generis niumerũ comparatus nulla
cumeo cõmuni mensurac̃ uiñ eitur nec habebunt partes ae qͥuo ca
V tsunt .xiiii adxx. nulla hor communis numerorum mensura
maitur Nisi sorte unitas qua oniniumnu merorum m̃sura cõmunise
in a c non eit  & quȩ in xxv. quintaẽ in nouenarionent Er

Expanded text:
is vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse quidem compositus sit, et secundus, et alterius recipiens mensionem, atque ideo, et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt 9 ad 25, nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas quae omnium numerorum mensura communis in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario n
Abbreviated transcription (Latin):
sius partibus par: habens .i. ã se de nominatum id eit. uicesi mum oc¬
tauum Mediga tem uero secundum binariũ xiiui Secundum

Expanded text:
suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; medietatem vero secundum binarium 14, secundum
Abbreviated transcription (Latin):
łsi superiores eosdem inferiores multi plicent: cunctos quin a¬
tifuerint in pariterp ares inuenies: atque haec est admirabilis
buius numeri forma. qđ cum fuerit ipsa dispositio discriptio qua¬
perspecta numcrorum adlatitudinem partaerinpanum. ad longiardi¬
nem pariter paniuminumerorum. propriaa s inuenitur. Suncenim duabi

Expanded text:
vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui navel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioquperspecta numerorum, ad latitudinem pariter imparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim i
Abbreviated transcription (Latin):
liter in pares. & sub his aquattuor incho antesomnes duplices a
sinthoc modo
isigitur ita positis. si primus primi multiplicatione concrescat
Lid est si quaternarii ternarius. ł siidem primus secundi id ẽ
octonarii ternanus: łsudem primus tercu idestternarius¬
sedecim &idemus que adultimũ. Esi secundus primi ł secund¬
sec undisi fecundus tertu. & eadem us que ad extremĩtatem
multiplicatio proferatur. ł sitertius a primo in choans usque in
ex tremum trans ea t. atqueita quartus & om̃s in ordinem supe¬
riores multiplicent eos qui subipsis indispositiones unt om̃s in¬
pariter pares procrea buntur. Huius autem reita lesuna mus
eemplum si .iiI. quatermulbt plices: xiisient: velsiv. quat¬
tuor multiplicent .xx. numerus. & cresc&: uelsitem .xii mu¬
ti plicent .iIII. XXuiii. sub cresces:atquehoc us que insinem:
sunt. XL. siviii . in .xii. colligentur . Lui. Atque ad hunc mo¬
dum si om̃s inferiores. duplices a superioribus multi plicentur.

Expanded text:
liter impares, et sub his a quatuor inchoantes omnes duplices, et sint hoc modo: His igitur ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonarii ternarius, vel si idem primus tertii, id est 16 ternarius, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi et secundi, vel si secundus tertii, et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multiplices, 12 fient; vel si 5 quatuor multiplicent, 20 numerus excrescet; vel si item 7 multiplicent 4, 28 succrescet, atque hoc usqufiunt 40; si 8 in 7, colligentur 56. Atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices, in superioribus multiplicentur,
Abbreviated transcription (Latin):
& eas qua sub ipsis sunt sub multiplices & subsuꝑparticulares ter¬
tia in aequalitatis species inuenitur. quaea nobissuperius suꝑ par¬
ciens dicta est haec autem ẽ quae sit cũnumerus ad aliũ conparat
hab& eũ totũ intrase & eius insuperaliquas partes łduas. ł .iii.
ł .iiii. ł qt̃ ipsa culerit t̃ paratio quahabitiido incapit aduabus pa¬
cib terciis : Namsiduas me dietates ha buerit quuillũ infrasetotu¬
cuerta duplus ꝓsuperpartiente componitur. Habe bit aute mł dua

Expanded text:
 eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus pabus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totucet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem vel dua
Abbreviated transcription (Latin):
bur partibus ẽ: Nam& latitudini longitudo & his duobus compane al¬
titudo & secundum .vI partes ide sursum deorsum. dextrasinistra
ante post sibiae qualem eẽ. recerreeit: Huic oppositum contssoria

Expanded text:
bus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contra
Abbreviated transcription (Latin):
x quorũ quinarius Numerus m&diaas ẽ : quiaut̃ circa ipsos id ẽ circaxi
mediaas ẽ. Rursus istorum qui altrinsecus positi sunt siuinganturãiã
unt a quorum quinarius rusus mediaas ẽ: hocidem in omnibus numȩris eue¬
nit us quedum adunitatis terminum ꝑiueniri queatso laenim unitas circũ

Expanded text:
 circa 6 medietas est. Rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam nt faciunt 10, quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri queat. Sola enim unitas circu
Abbreviated transcription (Latin):
peli antur quaesola uel maxime ꝓportiona litas appella¬
ri potest propterea quod in ea eisdem ꝓportionibus terminorum
ł in maioribus ł in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa
semper ꝓportio custoditur. Numeriquantitas mubtitudo que
neglegatur Contranae quamin arithmetica medi&ate. ut sunt.¬

Expanded text:
pediatur, quae sola vel maxime proportionalitas appellari potest, propterea quod in ea eisdem proportionibus terminorum, vel in majoribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque negligitur contrarie quam in arithmetica medietate, ut sunt
Abbreviated transcription (Latin):
itriq ex tremitate utraquetncitur sitaut̃ qđ da huius dispositionis exemplar.
hocmodo u uiIi. UIIII. XII. hasigturom̃s solidas quantitates gẽ redu¬
biuer Ui enim nastuntur exunobisterxii. aut̃ exbis .ii.t̃ hor

Expanded text:
traque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus dispositionis exemplar hoc modo, 6, 8, 9, 12. Has igitur omnes solidas quantitates esseex enim nascuntur ex uno bis ter, 12 autem ex bis duo ter. Horum
Abbreviated transcription (Latin):
progresno addita que cos semper sub pre postime u druola sisut
unus ducrum sub duplus triums ubtriplus .uii subqua dru plasa peo¬
lntus a cõnsequenter i Cum autem natura liter multiplictas a sab¬
multiplicitas infinita sit eorum quoque speciesꝑpropanos innetun¬
ones ininsinita consideratione uersantur Si enim postasinnaecum¬
li constititi onenumeris. singulos ꝑsuas sequentias parese ligas uni¬
niũ ab uno parium atquein pariũ seses equentium dupliceserunt
a huius speculationis terminus defieit. Ponaturenim natura¬
lis numerus hoc modo i .ii. iit.tiii.u.xi. uii.xiii. xiiii.x.

Expanded text:
progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, et hujus speculationis terminus non deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo, 1,
Abbreviated transcription (Latin):
enariusigitur ad cernarium duplus ẽ. ildem autem in alia dispositi¬
ones enarius adbinarium triplus: horimigtursi differentias colliga

Expanded text:
enarius igitur ad ternarium duplus est. Idem autem in alia dispositione, senarius ad binarium triplus. Horum igitur si differentias colliga
Abbreviated transcription (Latin):
Quacigtur causac̃ huius mo di terminorumħ abitudinem ide artc¬
meqeam cunctis aliis ꝓportiona litatibus ante ponere primum

Expanded text:
Quae igitur causa est, hujusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum
Abbreviated transcription (Latin):
ita uͭii adt̃ciũ idexui. ad uiuiiidq: inomnb. rataẽ si derati onepspicies¬
aba autem ꝓprium huius modi mediaas quod i nomni dispositione.
secundum hanc ꝓportiona litatem terminorum differentiae ine¬
adem pportione contrases unt: qua fuerint ipsi termini quorum ipse
sunt differentiae : siue enum dupli contrases int termini. duplaerunt
&iam differentia : si ue tripli triplȩ siues et undum quam liba mut¬
plicationem ea demin differentiis multiplicatas erit quam prima
consideratio inuenit in terminis. ut subi ecta discriptiomona¬

Expanded text:
id est 16 ad 8, idque in omnibus rata consideratione perspiciesbet autem proprium hujusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae sive tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subjecta descriptio mon
Abbreviated transcription (Latin):
ullugitur dubium eẽ. potest quod cumomnes termini dupli sint ita
differentiae quoque eorum terminorum duplae eẽ. uideantur. ut
u nominus termino in dieferentus omnes pene dispositos subter termi¬
nos quorum sunt ipsae dieferentia superior ordo reddiderit. Est aiã
aliud ꝓprium. quod omnis adminorem maior terminus comparatus.
psummi norem retina difrerentiã. Nam quebinarius ad unitatem ip

Expanded text:
ulli igitur dubium esse potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ip
Abbreviated transcription (Latin):
scilica lateribus aequali dimensione dispositis. Sunt antem
latera sub erescunt Nam primi potestate penta goni id ẽ unius
idemunus spatium lateristena Secundiuero quinani qui est
actiupso at queopere Primpentagonus. Iiniplatera sti sunt. Tertius ue¬
roidẽ xii. tribus in latus auetus est Quuartus. &ii quattuor nume

Expanded text:
scilicet lateribus aequali dimensione dispositis. Sunt autem scilicet lateribus aequali dimensione dispositis. Sunt autem latera succrescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet. Secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt. Tertius vero, id est 12, tribus in latus auctus est. Quartus 22, 4 nume
Abbreviated transcription (Latin):
rius mihi quadratus excutur quod sirurs us relictome dio quaterna¬
rio quinarium similier ad gregauero qua dratus mihi tertius idẽ.
nouenarius procreatur unus enum & .iii. & u. uiiii. colligunt
sum ma concreseit id ẽ. quuartiqua drati ru mero sitas. & ut breui¬
ter huius forma procreationis appareat sicuncti in pares sibima
adponantur collocatos cilic& natura linumero qua dratorum ordo
texetur. Est aiamin his haeenaturȩ subitas &inmutabi lisordina¬
tio quod tot unitates unus quisque quadratorum rainebit in lat¬
re quanti fuerint numeri ad coniunetionem propriam congregati
quaternario qm̃ & uno & trib procreatur. qui duos unt termini
binario latus texitur. & in nouenario qm̃tribus rumeris procre¬
atur latus ternario continetur atque idem in alus uiderelica¬
entagonus uero Numerus ẽ. qui ipsequidem in latitudinẽ secun¬
dumunitatem discriptis quidemquinq: angulis contin&. cunctis

Expanded text:
rius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius procreatur. Unus enim et 3 et 5 novem colliguntsumma concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter hujus forma procreationis appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et immobilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregatiquaternario, quoniam ex uno et tribus procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur, et in novenario, quoniam tribus numeris procreatur, latus ternario continetur. Atque idem in aliis videri licentagonus vero numerus est qui ipse quidem in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur, cunctis
Abbreviated transcription (Latin):
ed in his quoques ecundum naturalam numerum: laterum augm̃¬
ta sub crescunt srimus enim uII. & potentia quadratus id .ẽ. u¬
nitas unũ hab& in latere. Secundus uero qui actuprimus ẽ id ẽ. quat
tuor duobus ꝑlatera positis continetur Tertius uero id ẽ. nouem
quis ecundusẽ. opere trib: in latere positis ad gregatur. & adean¬
dem sequentiam cuncti ꝓcedunt
ascuntur auteitales numeri ex naturalis numeridis positione r
quemad modum superiores trianguli ut ordinatis ad seiniucemnu¬
meris congregentur sed uno semper intermisso qui sequitur sicũ
superiore ł superioribus colligatur ordinatos ex se qua dratos
eefici& disponatur enim numerus Natura lis boemo do¬
igitur siunum res piciam. primus mihinatus est potestate qua drc
Q uodsi uno relicto priortercium iunxero secundus mihi qua drac¬
A tuero sihis intermisso senario septenarium iungam tota insedecim
erficitur Nanisi uni relicto binarioternarium ad posuero quaterna¬

Expanded text:
ed in his quoque secundum naturalem numerum, laterum augmenta succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere. Secundus vero, qui actu primus, id est 4, duobus per latera positis continetur. Tertius vero, id est novem, qui secundus est opere, tribus in latere positis aggregatur. Et ad eamdem sequentiam cuncti procedunNascuntur autem tales numeri ex naturalis numeri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiori vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficiet. Disponatur enim naturalis numerus hoc modoigitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadragitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. efficitur. Nam si uni relicto binario quinarium apposuero, quaterna
Abbreviated transcription (Latin):
uos autem superius laterculos diimus qua sunta irse quidemsili¬
dae sigura hoc modosiunt. Quotiens ae qualib snatiu in
longitiu linem latitudinem quȩ porgetas miner sur addiiural

Expanded text:
uos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt. Quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis, minor his additur al
Abbreviated transcription (Latin):
quattuor unitatum latus habebat: totidem Ixiiii crbus inlatere
tere Omnis enimtetragonis unaquidem superacies ẽ quattuor angulo¬
rum totidem laterum. Onnis autem erbus quiexte tragonorum suꝑsici
emp sunditatem corparis creuit ꝑtetragoni scilica latus mula plicatus
habebit quidems upersicies .VI. ÷ Quorum singula planitudo tetragono ill

Expanded text:
quatuor unitatum latus habebat, totidem 64 cubus in latere tere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono ill
Abbreviated transcription (Latin):
quoninnero exliiii dupluse. Inueniemus hic quoque oms musicas c̃ionan¬
tias Nãq uiuadui axiii adxii. c̃parati sesquitertiamꝓportionũ red¬

Expanded text:
quo numero 144 duplus est. Inveniemus hic quoque omnes musicas consonanquo numero 144 duplus est. Inveniemus hic quoque omnes musicas consonantias. Namque 8 ad 6 et 9 ad 12 comparati sesquitertiam proportionem red
Abbreviated transcription (Latin):
sionib nuati sunt In hisigitur geometrica ꝓportiona lita sinuenitur sixii
iduii łxiiii ad senariũ conparemus Utraq enim c̃paratiosesqualatra
ꝓportio ẽ & quod c̃tinetursub extremitatib idẽ e ei qđ fit & medus
Namq qđ sit eduodecies vi equũ e eis qd atexoccies xiiii: Se ometrica orgo
ꝓportio huius modie Artcħmetica aut ẽ siduodenari us ad nouenarium
a noue narius adsenarium comparatur. Intrisque enimternarius dissi¬
rentiae Qiincteextremitates media ateduplerunt Sienimiunx erbse¬
narium & xii faciesxuiii quiẽ nouenario mediotermino daphus huluis
er qo geemeericam aridnneticã quã e mediaatem ꝑspeximus. hic quoque
armonica mediaas inuenitur stuii ad uiua rursurviii ad senariũs c̃pare¬
mus Quaenim partesenaruoctonarius senarium superat Id ẽ. partet¬
tia cadem duodenarii parteoetimarius superatur uuenĩ qui i. occona¬
đ sise extremitates multiplicent ui scilica & xii. faciut lxii Qqu

Expanded text:
sionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas invenitur, si 12 ad 8 vel 9 ad 6 comparemus. Utraque enim comparatio sesquialtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus idem est ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex duodecies 6, aequum est ei quod fit ex octies 9: geometrica ergo proportio hujusmodi est; arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium, et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est, et junctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim junxeris senarium et duodecim facies 18, qui est novenario medio termino duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque medietatem perspeximus. Hic quoque harmonica medietas invenitur, si 12 ad 8 et rursus 8 ad 6 comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte, octonarius superatur. Quatuor enim quibus octonaQuod si se extremitates multiplicent, sex scilicet et 12, facient 72,
Abbreviated transcription (Latin):
ta unum solus ẽ binarius natura liter constituitus ciuus untas media parsẽ
Quart̃stat᷑ primace unitatemcuntorũ qui suntin naturali dispostti onenu me

Expanded text:
ta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione nume
Abbreviated transcription (Latin):
unc uero depporti ona litatibus deque me diaatibus dicendume
a primum quidem deea medi&ate tractabimur quȩrecundum quan

Expanded text:
unc vero de proportionalitatibus, deque medietatibus dicendum est. Et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quan
Abbreviated transcription (Latin):
serentia adminorũ differentiã conparata ut .iiii. ui uII. Et¬
enimsex adii. sesqualterẽ Quoru mest differentia binarius
eptenarii uero a quat narii. t̃narius differentia ẽ Quemsi ad
superiorem bi narium conparemus. ses qualtera ꝓportione con¬
inaitur quarta uero quae inordine decimaȩ. consideratur
intribus terminis cumta liꝓportione medius terminus ad paruis¬
simum comparatur qua liexeremorum differentia conera maiorũ
terminum differentiam ꝓportione coniungitur. ut f.iii. v.uiii
uinarius enim medi us cerminus ad cernariũ suꝑbiptiense Extre¬
morum uero differenti a oetinarii scilica aternarii quinarius qui
conparatus contrama iorum terminoru differentiam scilic& qui¬
narii a octonarii qui est ternarius. a ipse quoque suꝑbi peiens inue
sint facillime possint intellegi

Expanded text:
ntia ad minorum differentiam comparata, ut 4, 6, 7. Etenim 6 ad 4 sesquialter est, quorum est differentia binarius; septenarii vero et quaternarii, ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesquialtera proportione conjungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum tali proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quali extremorum differentia contra majorum terminorum differentiam proportione conjungitur, ut sunt enim medius terminus, ad ternarium superbipartiens est. Extremorum vero differentia, octonarii scilicet et ternarii, quinarius, qui comparatus contra majorum terminorum differentiam, scilicet quinarii et octonarii, qui est ternarius, et ipse quoque superbipartiens insint, facillime possint intelligi
Abbreviated transcription (Latin):
pars xxxiiͦ Quibus positis ad duplas proportiones habitudore¬
digitur. VIII .XUI. XV  uergeahissifiat remomnemad
aequa litatis summas eliquabimus Pone enim primum minoria¬
quum idẽ. U.II. & aurer ExXUi octonarium. remanent UIII
Q uilus positis. extertio id ẽ. triginta duobus sumptis primo id ẽ¬
octo & duobus secundis id ẽ. octonariis supersunt uIII. Quibus
dis positis prima nobis aequalitas cadit. ut sub iectae sum mula&
docent. UIII & UIII X vIii. Hincigitur siquis ad alias in aequã¬
litatis species animum tendat eandem conuenientiam intitu¬
banter inuenia. quare pronuntiandum est ec ulla trepidatio¬
ne dubitandum. quod quem ad modum pers e constantis quantita¬
tis unitas principium &elementum est. ita & ad aliquid relatȩ
quantitatis aequalitas mater ẽ demonstra uimus enim quo

Expanded text:
pars 32. Quibus positis, ad duplas proportiones habitudo redigitur. Idem vero ex his si fiat, rem omnem ad aequalitatis summas eliquabimus. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et aufer ex 16 octonarium, remanent 8, quibus dispositis, ex tertio, id est 32, sumptis primo, id est 8, et duobus secundis, id est duobus octonariis, supersunt 8. Quibus dispositis, prima nobis aequalitas cadit, ut subjectae summalae docent. Hinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim quo
Abbreviated transcription (Latin):
diuerotranguli qui opere atque actu secundus est idertsenarii cres¬
ciutt natura linu mero in latĩbus t̃ narius inuenitur. Tertiiuero
idẽ denarii quaternarius latus contina :: quartiuero idert evqui

Expanded text:
di vero trianguli qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur. Tertius vero, id est denarii, quaternarius latus continet, et quanti vero, id est 15, qui
Abbreviated transcription (Latin):
aequa litatem dictum ẽ. sed diũsis distantibus q signata sunt ad modũ
liscentis scilic& ł docentis ł cȩdentis uel uapulantis uelquaecum¬
que ad aliquid relata aliterdenomi natis contrariis cõparant᷑

Expanded text:
aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis comparant
Abbreviated transcription (Latin):
nos me diaasẽ: atque hocusque ad extremos omniumterminorum
uti ne oordine qui ẽ pariter in parium nu merorum .ii. xx iunetus
binarius cum denario .xii. expla cuiussenarius medi &as inueni¬
tur: Si uero suerint duȩ medi& ates iunctȩ ipsȩ ut requȩ equales eñ
su perse terminis conaitutis: ut est in hocordine .iI. UI XXIIII
hunetienim u a .xiiii. insed ecim crescunt. quossenarius cũ
denario copulatus efficia atque hoc in numero sioribus termi

Expanded text:
nos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut est in hoc ordine, 2, 6, 10, 14. Juncti enim 2 et 14, in 16 crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus termi
Abbreviated transcription (Latin):
ces extremitates. In longitudinemuero: pariterparis numen remppri¬
Natem que designat. Qđ enim sub duabus medixatibus contina
ȩqualees ei qđ sub extremis consicitur uel quod ab una nrtidat
nascitur equa lece illi: quod subutrisque extremitati conti netur
iscriptio aut quȩ subposiae hoc modo sastae Quantos cumquem

Expanded text:
ces extremitates. In longitudinem vero, pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem quae supposita est, hoc modo facta est. Quantoscunque
Abbreviated transcription (Latin):
hartres alias. de quibussupra disseruimus suis commentarus ad di¬
derunt Sequens aut a& as que mad modum diximus ad inplen¬
dam denariam quantitatem alias .iiii media ates apposuit quas

Expanded text:
has tres alias, de quibus supra disseruimus, suis commentariis addidere. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad implendam denariam quantitatem, alias quatuor medietates apposuit, quas
Abbreviated transcription (Latin):
ꝗam & partes soluuntur. &usque ad unitatem sectio illa non per¬
uenit sed anteunitatem inuenitur terminus quemseca renon
possis obtin& autem quaeilliquoque recipiunt: quoꝰ quȩdã
partes eius rerpondent de nominantur que secundũ genus suũ

Expanded text:
am et partes solvuntur, et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet autem quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes ejus respondent, denominanturque secundum genus suu
Abbreviated transcription (Latin):
quionis u noma iorib: laterib pere atisunt. Nãcum vi & binario terna¬
no que nascuntur: tresbinariũ numerũ unosuperant. cunetique¬
alii eiusm nodis ut primoa secundo ordine ad alterutrũ inubiplicatis
positisa bismediotetra gono tetra gonus sit &rursur qđ ex duob. alt̾ru

Expanded text:
Qui omnes, uno majoribus lateribus procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunalii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis eris altrinsecus, et bis medio tetragono tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altr
Abbreviated transcription (Latin):
ascuntur autem trianguli dis posita naturali quantitate riumero¬
rum siprioribus semper multitudo sequentium congrega ur
ptire huit sisecundum ad grega uero quiin natura binumne a mdiso¬
sitione descuptus e id ebinarium primus mihetria ngu lui opest
mactu nas cetur id ẽ ternarius Siuero huietertium & natura sinu¬
mero ad iecero secundus mihiopere a accutriangulus rocrtata si nu

Expanded text:
ascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur.opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adjece
Abbreviated transcription (Latin):
arĩpar numerus est qui potest induo pariã diuidicius que pars inalia su¬
duo : paria partis que pars malia dũo paria ut hoc toties riat us quedũ diuifio

Expanded text:
r par numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio
Abbreviated transcription (Latin):
numerum .vI. intracentena rium xxxiii. intramil lenarium
CCCC XCXI. intradecemmilia. XIII CxXUIII. & seper hi numeri¬
du obus paribur terminantur .vI.XXIII. & remper alanatimin

Expanded text:
narium VI, intra centenarium XXVIII, intra millenarium CCCCXCVI. duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in
Abbreviated transcription (Latin):
us quedum adduas medi aates fuerituentum indis postaionibui set¬
lic aparibus Si aut suerint in parer dispositiones: qđ abuna me¬
diaate conficitur. hocidem: sub altrinsecus positis parti bis pereat
ique hocus quedũ ad extremititis pꝰcesnosiat : In ea enimdis positiome
quaest ui iiii uii Xui idemreddunt ii perxui mulaplicau qd
uI poctonarium numerum ducti utroque enum modo AXii sient

Expanded text:
usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione quae est 2, 4, 8, 16, idem reddunt 2 per 16 multiplicati, quod 4 per octonarium numerum ducti. Utroque enim modo 32 fient.
Abbreviated transcription (Latin):
ed hie primus rursus a incompositus ẽ. huneigitur cum eureoti
adgregati summa m alti plica. ut nant se decies. xi. qui cere¬
XCVI explicant haecaut̃ est intramillenarium numerum perstica
a sius partibus aequanu merositas. Igitur prima unitas uirtute atque
potentia ponaiam actuuelre aipsa persecta ẽ Namsi primã ipsam sup

Expanded text:
ed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa multiplica, ut fiant sedecies 31, qui 496 explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam su
Abbreviated transcription (Latin):
ed maiorert proportio ses qualtera. ses quitertia tantum quantum
parstertia medidate transcenditur iustaeigitur medicas quaedã
geometrica propria que eẽ : ꝓportionalitas indicatur. Scilica inter

Expanded text:
ed major est proportio sesquialtera a sesquitertia, tantum quantum pars tertia medietate transcenditur. Juste igitur medietas quaedam geometrica proprieque esse proportionalitas judicatur, scilicet inter
Abbreviated transcription (Latin):
tat̃ Armoni amautem geometricam eybumdicunt. Itaen
ex longitudine in latitudinem distentuse. &ina laitudinis cumu¬
lum creuit ut & aequalibus psiciscens ad aqualia ꝑueniens
equaliter totus sibi conueniens creueritꝰVEOMETRICA ARMIONIS¬
Daec autem me dietas i n omnibus cybis quȩ ẽ geometrica ar¬
monia ꝑspicitur Omnis enimerbus haba latera .xii. angules
XIII suꝑncies sex hicaute mordo a disposito armanica ẽ. dispo¬
nanturenim XI XIII.xII Hicergoquemad modume maur
terminur ad paruunmum ita disperentia maious admedii ame¬
di acparursimi comparatur. Perpensi namquexii ad sexdu¬
plirunt : dieferentia autem .xiiͦ. et octorarii quaternariuse
Octonarii uero a senarii .ii: duplaautem rationedĩstabunt duo¬
biis quattuor comparati: rursur octorius qui medietase alia
sua parteminorem pcedit a alia sua partanaior pceditu

Expanded text:
t, harmoniam autem geometricam, cubum dicunt. Ita enim ex longitudine in latitudinem distentus est, et in altitudinis cumulum crevit, ut ex aequalibus proficiscens, ad aequalia perveniens, aequaliter totus sibi conveniens creverit. Haec autem medietas, in omnibus cubis quae est geometrica harmonia perspicitur. Omnis enim cubus habet latera 12, angulos 8, superficies 6. Hic autem ordo et dispositio harmonica est. Disponantur enim 6, 8, 12; hic ergo quemadmodum est major terminus ad parvissimum, ita differentia majoris et medii ad parvissimam comparatur. Perpensi namque 12 ad sex dupli sunt, differentia vera 12 et octonarii quaternarius est, octonarii vero et senarii duo, dupla autem ratione distabunt duobus quatuor comparati. Rursus octonarius, qui medietas est, alia sua parte minorem praecedit, et alia sua parte a majore praeceditu
Abbreviated transcription (Latin):
dumominium cõllectionem quartũ decimum ii. quĩuocabu lomedi¬
&atis opponitur. Ergo cumhii reperti sunt sialios inuenire secte¬
ris eademoporte gratione uestiges. Ponas enim .i. licebit & porthune

Expanded text:
dum omnium collectionem, quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hun
Abbreviated transcription (Latin):
lius bentuo lentia conplecteretur acceptũ he ge ipseconiide ransat¬
tuli nonignaua opum pondera quibus adro us nibil ens

Expanded text:
ius benevolentia complecteretur acceptum. Haec ipse considerans, attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil ins
Abbreviated transcription (Latin):
ad setermi nisunt. sicminorum differentia terminorum. ad ma¬
iorum differentiam comparatur. Estaut̃ ꝓpriũ in hac quoque disposttio

Expanded text:
ad se termini sunt, sic minorum differentia terminorum ad majorum differentiam comparatur. Est autem proprium in hac quoque disposition
Abbreviated transcription (Latin):
tiplices.LXIIII. explicabit atqidem reddent illi qui suꝑ hanc me¬
di& atenis utdudũ hi quisuper duas positi faciebanti nãquat̃. XUi

Expanded text:
tiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16,
Abbreviated transcription (Latin):
ficie uincitur duobustribus uero inter ualli dimens ionibus aso¬
liditate relinquitur: constat punctum ipsum nineulla corporis
magnitudine ł in terualli dimensione. cum a. longitudinis
& lacitudinis & ꝓfunditatis experssit: omnium interu allorum
eẽ principium & natura insecabile quod greci atomom uocant
id e. ita diminutum atq par uissimum. uteius parsin uenirin
possit Estigitur punctum int̾ualli principium Nontamen
interuallum. & linge caput sed non dum linea Sicut linea
quoque super siciei principiũ est sed ipsa supersicies non en & secun¬
li interualli capud est secundũ tamen interuallũ ipsa ñraina
Idem quoque & insuperficieicadit quae & ipsa solidi corporis atri

Expanded text:
ficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli dimensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque parvissimum, ut ejus pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea. Sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem qu