comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Ei setum alterum duoꝵ numeroꝵ sum an¬
tur partes a reliquo dicte erit ab eo quad
ex eis componitur ꝓporcio eiusdem ad re¬
li quum de nominata. unde manifestũ
est qd̾̃ oranes ille se habent ad unum. si¬
cut reliquus ad denominantem. s gmt duo

Expanded text:
ndum alterum duorum numerorum sumantur partes a reliquo dicte, erit ab eo quod ex eis componitur proportio eiusdem ad reliquum denominata. Unde manifestum est quod omnes ille se habent ad unum sicut reliquus ad denominantem. Sint duo
Abbreviated transcription (Latin):
roducti ex duob erit ad utr̃q ꝓporco
a reliquo denominata. Qod si eius ad alter
fuerit proporcio a reliquo dic̾ta. Idem ex du¬
ctu altetius in alterum ꝓducetur. E co

Expanded text:
roducti ex duobus erit ad utrumque proportio a reliquo denominata. Quod si eius ad alterum fuerit proportio a reliqua dicta, idem ex ductu alterius in alterum producetur.
Abbreviated transcription (Latin):
ue .d. sit numerus sie . ꝑs. uel ꝑtes. ꝓqͥncatur. autem .e. et
multiplicant .d. si
ẽrit. eritumũ ad .a. ⁊ .b. ⁊ .c. sicut .d. ad ẜ .g.h. et ex diffmõe
erit unim ad easdem. sicat .d. ad e. Erit gͦ.e. tamꝙͣ f .g.h. ⁊
hoc est quod subditus
i plura quotlibet in aliquid ducantur tan¬
tum producit quantum si quotlibet eoꝵ
ducatur in illud idem. I. Ut si .a. młtiplicet .b.¬
Sit ut. ab. ducatur in .c. ⁊ siat. d. si gͥ. ab fi̾t numerus qpm̃
.D. continet .c. scd̾m ip̃m : erit ut ꝓporcõ. d. ad .c. ab ip̃o dicatur.
Si pars uł ꝑtes: qm̃ ⁊ tunc .d. erit tote ꝑtes .c. ab ip̃is quoq de¬
nominabitur ꝓporcio. Si autem .a. nim̾us .⁊ .b. pars uel ꝑtes
qm. a. descͥpcõne. d. continet .c. scd̃m .a. ⁊ totas ꝑces euis qͦte¬

Expanded text:
e d sit numerus sive pars vel partes. Producatur autem e etmultiplicant d sive erit unum ad a etb et csicut d adf g h. Et ex diffinitione erit unum ad easdem sicut d ad e. Erit ergo e tanquam fg h. Et hoc est quod subditui plura quotlibet in aliquid ducantur, tantum producitur quantum si quodlibet eorum ducatur in illud idem. Sint a et b eti plura quotlibet in aliquid ducantur, tanSit ut a b ducatur in c et fiat d. Si igitur a b fuerit numerus quoniam d continet c secundum ipsum, erit ut proportio d ad c ab ipso dicatur. Si pars vel partes, quoniam et tunc d erit tote partes c, ab ipsis quoque denominabitur proportio. Si autem a numerus et b pars vel partes, quoniam a descriptione d continetc secundum a et totas partes eius q
Abbreviated transcription (Latin):
eis composita est fit ex dutu unius ĩ aliam. Nlichil autem
aliud est insi qd̾ denominacõ ip̃ius ꝓducit᷑. ex ductͥu dnoͣis
unius in denommnacionem alteruis. Sit autem .e. denõiãs
pͥmam .⁊ .d. alt̾am.⁊ .f. compositani. ⁊ quia ꝑ p̾missam .ẜ.
in .a. facit .c.⁊ .e.ĩ.a. facit . b. erit .c. ad ẜ. sicut .b. ad. e.
⁊ ꝑmutatim .c. ad . b. sicut .f. ad .e. per p̾missam uͦ .b. in .d.

Expanded text:
eis composita est, fit ex ductu unius in aliam. Nichil autem aliud est nisi quod denominatio ipsius producitur ex ductu denominationis unius in denominationem alterius. Sit autem e denominans primam et d alteram et f compositam. Et quia per premissam f in a facit c et e in a facit b, erit c ad f sicut b ad e et permutatim c ad b sicut f ad e. Per premissam vero b in d
Abbreviated transcription (Latin):
inminorem et maior in maiorem ducaturr: &
numerus qui ex omnib aliis coaceruatur.
aliam quamlibet addere dicitur ppor¬
cionem. que cum ila continuata ip̃ã
componit. Differencia ꝓporcionis ad aliam uo¬
catur illa ꝓporcio qua eadem super reliqua habũ¬
fiat .f. ducatur autem . d. in .b . ⁊ ꝓueniat .g. erit q f. ad .g. sicut .c.¬

Expanded text:
in minorem et maior in maiorem ducatur et pnumerus qui ex omnibus aliis coacervatur.aliam quamlibet addere dicitur proportionem que cum illa continuata ipsam componit. Differentia proportionis ad aliam vocatur illa proportio qua eadem super reliquam habunfiat f. Ducatur autem d in b et proveniat g. Eritque f ad g sicut c
Abbreviated transcription (Latin):
snt .e. ⁊ ẜ. quia .e. ad .c. sicut .d. ad:. ducatur .e. in f. ⁊ preniat .g.
⁊ erit .a. ad.g. sicut d ad f. et iten .g. ad .ẜ. sicut .c. ad.ẽ. Itaq .a.
ad .g. sicit g. ad .b. ⁊ hoc est ꝙ ꝓbart m̃tendimus.
Iter quoslibet duos siꝑficiales similes t̾cum
in continua ꝓporcionaltate medium esse ne

Expanded text:
sint e et f. Et quia c ad e sicut d ad f , ducatur c in f et proveniat g. Et erit a ad g sicut d ad f et item g ad b sicut c ad e. Itaque a ad g sicut g ad b. Et hoc est quod probare intendimus.ter quoslibet duos superficiales similes tertium in continua proportionalitate medium esse ne
Abbreviated transcription (Latin):
quoti illi tetragonoꝵ post unitatem: cõ¬
uincti facient numeros pentagonos.
Est enim lacus tͥangularis manis laterum parte altera
longioris qd̾ si dematur a tͥangulari. erit qui remanet
ꝓxinius tͥ angularis descendendo ꝑ scd̃am p̾sentis. Idem
autem si parte altera longior addat᷑ fiet ꝓxiꝰ tetͣgonꝰ ꝑ pͥmissã¬

Expanded text:
quoti illi tetragonorum post unitatem, coniuncti facient numeros pentagonos.Est enim latus triangularis maius laterum parte altera longioris. Quod si dematur a triangulari, erit qui remanet proximus triangularis descendendo per secundam presentis. Idem autem si parte altera longiori addatur, fiet proximus tetragonus. Pe
Abbreviated transcription (Latin):
quadrati ad utrumq illoꝵ equalis diffr̾a coaceruatum gͥ ex ipsis erit¬
tamquam diplum quadrati ꝑ scdam pͥmi. s duplum ipħus cum du¬
altera longiores. a.⁊.b. ⁊ medius int̾ illos quadratus .c. ⁊ latera .a. fit
.d. ꝑ .e. Latera uero .b. sinc .e. ł .ẜ. Quoniam gͥ ex .e. in .d. fit .a. ⁊
ex ip̃o. in f. fit .b. eritut ex .e. in compositum ex .d. ⁊ f. fit qͣntum.a.
⁊ .b. s ⁊ per peimi scd̾am .d. ⁊.ẜ. sunt tamquam duplum .e. ⁊ qr
ex .e. in se sit .c. erit duplum .c. tamqͣm qd̾ fit ex .e. in composit̃
ex .d. ⁊ .f. et quia idem est duplum. ad.e. erit ouadratum ip̃ius qͣnt̃
qd̾ ex .e. in eundem bis. quadratum gͥ compositi ex .d. ⁊ f. est tam qͣm
a.⁊ .b. duplum .c.
I. ꝓxcini quinq parte altera longiores
cum dupło quadrati inter eos constituti componãt᷑
ꝓueniet quadratus cuius radix erunt ex minorx
minoris ⁊ maiore maioris laterib composita.

Expanded text:
quadrati ad utrumque illorum equalis differentia. Coacervatum ergo ex ipsis erianquam duplum quadrati per secundam primi. Sed duplum ipsius cum dualtera longiores a et b medius inter illos quadratus c et latera a sint det e, latera vero b sint e et f. Quoniam igitur ex e in d fit a et ex ipso in f fit b, erit ut ex e in compositum ex d et f fit quantum a et b. Sed et per primi secundam d et f sunt tanquam duplum e. Et quia ex e in se fit c, erit duplum c tanquam quod fit ex e in compositum ex d et f. Et quia idem est duplum ad e, erit quadratum ipsius quantum quod ex e in eundem bis. Quadratum igitur compositi ex d et f est tanquam a et b et duplum c. ximi quique parte altera longiores cum duplo quadrati inter eos constituti componantur, proveniet quadratus cuius radix erit ex minore minoris et maiore maioris lateribus composita.
Abbreviated transcription (Latin):
cubl. ¶Sint duo parte altera longiores . a. ⁊ .b. medius q inter cos
quadratus sit .c. cunis latus sit .d. qd̾. erit. diffr̃a int̾. a. ⁊ .c.
ad. a. tamꝙͣ .d. ad .e. Sit item. ut ex .d. in z. fiat .b. Itaq ⁊. manis est
d. imitate. Addatur itatꝑ .e. ad. A. ⁊ sit compositus .⁊. et quia ex .d. ĩ e
fit .a. eritut ex .℥. in .e. fiat .t. Etit .t. ad .a. sicut ⁊ ad .d.ꝑ.uiii. sdi

Expanded text:
. Sint duo parte altera longiores a et b mediusque inter eos quadratus sit c cuius latus sit d quod erit differentia inter a etc et  ad a tanquam d ad e. Sit item ut ex d in z fiat b. Itaque z maius est d unitate. Addatur itaque e ad a et sit compositus t. Et quia ex d in e fit a, erit ut ex z in e fiat t. Erit igitur t ad a sicut z ad d per viii4 "1
Abbreviated transcription (Latin):
itaq est qm̃ .e. num̃at . F. scd̃m.a. pacet eciam qd .d. num̾ at. f
scd̃m .b. ꝑ .xxi. scd̃i. ⁊ econu̾so. b. eundem num̾at scd̃m . d. Simi¬
li modo manifestum qd̾.c. num̾at.f. scõm. se ipsum ꝑ eandem
mediantib hinc inde duob mediis. sic q patet ꝓposicio.
i sumantur numeriab unitate continue ꝓpor

Expanded text:
aque est quoniam e numerat f secundum a. Patet etiam quod d numerat f secundum b per xxiam secundi et econverso b eundem numerat secundum d. Simili modo manifestum quod c numerat f secundum se ipsum per eandem mediantibus hinc inde duobus mediis. Sicque patet propositio. § xxvi Si numerorum ab unitate continue pr
Abbreviated transcription (Latin):
Qbanicumq ꝓporcionem super¬
partiens cum multiplici constituit: eiusmi
etiam cum eadem efficiet similis multiplex
superpartiens.
ꝓpõm. Nulla autem erit que non inc̃ hunismodi inueniatur.
qͥm̃ quota cumq fu̾it pars: similis pars erit unitas numi ipãm
denominantis. Q ͦ remocior tanto minor quia aminore parte
dicitur. Q ͦd cnissib ad untatem sit multiplex ꝓpõ. ⁊ qd̾ nulsa
p̃t eas patet. qm̃ quetumq fu̾it: tota erit int̾ numer̃ eam de¬
nominantem ⁊ initatem. Qnto remocior: tanto maior qm̃ a
maiori num̾o denominantur. sicq constat qd̾ dr¬
Si ab unitate mirieri continue dispon¬
antur ⁊ singuli ad ꝓxiinos descendendo cõ¬
parentur fient omnes suꝑparticulares ꝓ¬
porciones quanto minores quanto re¬
mociores. Ad unitatem uero omnes mł

Expanded text:
Quamcumque proportionem superrtiens cum multiplice constituit, eiusmodi etiam cum eadem efficiet similis multiplex superpartiens. em. Nulla autem erit que non inter huiusmodi inveniatur, quoniam quotacumque fuerit pars, similis pars erit unitas numeri ipsam denominantis. Quo remotior, tanto minor quia a minore parte dicitur. Quod cuiuslibet ad unitatem sit multiplex proportio. Et quod nulla preter eas, patet quoniam, quecumque i fuerit, tota erit inter numerum eam denominantem et unitatem. Quanto remotior tanto maior quoniam a maiori numero denominantur. Sicque constat quodSi ab unitate numeri continue disponantur et singuli ad proximos descendendo comparentur, fient omnes superparticulares proportiones tanto minores quanto remotiores. Ad unitatem vero omnes m
Abbreviated transcription (Latin):
Si inequales numeri equalib addantur. erit
compositoꝵ minor proporcio quam ad iunctoꝵ¬
Cum enum sit tercius maior primo. erit ipius ad scd̾m maior
ꝓporcio quam pͥmi ꝑ nonam huius. ore maior qͣm ipuis ad
quartum . ꝑ decimam itaq presentis constat scd̃m esse mi¬
norem quarto et hoc ÷ qd intenimus.

Expanded text:
Si inequales numeri equalibus addantur, erit compositorum minor proportio quam adiunctorimo, erit ipsius ad secundum maior proportio quam primi per nonam huius. Quare maior quam ipsius ad quartum. Per decimam itaque presentis constat secundum esse minorem quarto. Et hoc est quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
gͦ utrobiꝙ qd̾ fit ex eodem in parcem que suꝑ est si aim
une num̾um facit. ⁊ cum reliquo. ⁊ simuno pare uł ꝑtes.
suꝑfluunt similit̾ ⁊ in reliquo unde ⁊ si qͣntitas deuõiacio¬
nis crescat in alt̾a ꝓductͥaꝵ genus tam̃ non nutabit᷑ ꝓp̃nis
Superparticularis et similis multiplex
superparcicularis. cum eadem multiplice si

Expanded text:
ergo utrobique quod fit ex eodem in partem que superest, si cum uno numerum facit, et cum reliquo; et si in uno pars vel partes superfluunt, similiter et in reliquo. Unde etsi quantitas denominationis crescat in altera productarum, genus tamen non mutabitur Superparticularis et similis multiplex superparticularis cum eadem multiplice si
Abbreviated transcription (Latin):
lat̾a unius lat̾ib alt̾ius adaptari. ⁊ sic usq ad utimun¬
et qm̃ lat̾a omnium equalia: er̾ ut supposita directe lat̾a
S quotlibet tangulares equales in altũ
comporantur: fiet ex eis numerus serratił

Expanded text:
s adaptari et sic usque ad ultimuma omnium equalia, erit ut superposita directe latera  quotlibet triangulares equales in altum componantur, fiet ex eis numerus serrati
Abbreviated transcription (Latin):
num equiangulum. Snper latus omnes constitr preteras
exagoirum tecragoicm. Suꝑ angulum omnes pͥret̃ ecugo¬
num ⁊ octogonum. Itemq omic̃m angulum aut eue augusũ
enateri tangul aut ip̃m dmplicatum aut rectum. aut̃ t̃u

Expanded text:
num equiangulum. Super latus omnes constitui preter : num equiangulum. Super latus omnes constitui preter : exagonum tetragonicum, super angulum omnes preter exagonum et octogonum. Itemque omnem angulum aut esse angulum equilateri trianguli aut ipsum duplicatum aut rectum aut rectum
Abbreviated transcription (Latin):
simili loco sumptus. E Si enim suꝑ datum latus.
uolumus figuram collocare
aut illis totidem applicabimiis. ant plures ant pauciores. Car to¬
tite m ꝙuenire oportet quadratum. cui si uolumms ex saꝑio¬
ti partẽ addere tͥanguiare m minuendo unitates fiet pen̾cd¬
morus ues erit qd̾ amplius addatur. oed si panciores conelide¬
dur tangulus. si płres procedet tantum uel exagonus epuan¬
gulus it otogonus ut in p̾missa. quia ꝑlus adiecto uel iat̾a
p̾ducent᷑ uel exterius fient anguli. Si it̾ ab angulo incꝑe
uolumus ut ponatur primo unitas: õportet adici plures . et ħ
apitimilib⁊. cumq deslerius ꝑfectus erit t̾engularis. huiꝰ
ctrems qrdim qm ⁊ maximus. ł totidem addent᷑ uel pau¬
ciores. si totidem ꝑfecto tecragono ꝑfec̾tus eiit pentagoriꝰ
cuns superiori lateri. si quidem add̾e uolumus. ꝙm panaores
ꝑ ficiet᷑ eragonus tecragomitꝰ: ⁊i pauciores: condudet cetͣgonicꝰ
Hic nota equi anguios esse t̃angularem tetragom̃ecorrago¬

Expanded text:
iter constituere. Si enim super datum latus volumus figuram collocare, aut illis totidem applicabimus aut plures aut pauciores. Si totidem, provenire oportet quadratum. Cui si volumus ex superiori parte addere triangularem minuendo unitates, fiet pentagonus nec erit quod amplius addatur. Quod si pauciores, concludetur triangulus. Si plures, procedet tantum vel exagonus equiangulus vel octogonus ut in premissa quia plus adiecto vel latera producentur vel exterius fient anguli. Si item ab angulo incipere velimus ut ponatur primo unitas, oportet adici plures et hoc quantumlibet cumque desierimus, perfectus erit triangularis huius extremo ordini qui et maximus. Vel totidem addentur vel pauciores. Si totidem, perfecto tetragono perfectus erit et pentagonus. Cuius superiori lateri siquidem addere volumus, quoniam pauciores, perficietur exagonus tetragonicus. Si pauciores, concludetur tetragonus. Hic nota equiangulos esse triangularem, tetragonum et exago
Abbreviated transcription (Latin):
questiones solent fieri in solidis cͣc continua. detͥmineitũ natĩ
pendet utrobiq ex nat᷑a mimn̾or. Auc gͥ latera ituscr ꝓpouũt᷑
aut iaterum ꝓoͦnes. latera uͥo dupłr aut utͥusq iatera discre¬
te aut alt̾ius tantum. ⁊ alt̾us ꝑ relacionem ad alia. Sos
si fit. qr note sunt ꝓpͦnes noca er̃t ⁊ ip̃a cognitis latib tiat
utbiq quocumqp̃ modo ip̃oy muiciplicaico. ꝯeͦ nami semꝑ
idem solidi ꝓuenient ꝑ. huius. xłuiii. habitis q solidis non
ignota erit eoꝵ habitudo. Qͦd si ꝓponantur ꝓpͦnes : ille pͥmo
continuent᷑ queq̃ ex contiuatis componit᷑ solidoꝵ ꝓpͦ .ꝑ .l.¬

Expanded text:
questiones solent fieri in solidis circa continua, determinatio pendet utrobique ex natura numerorum. Aut igitur latera utriusque proponuntur aut laterum proportiones. Latera vero dupliciter aut utriusque latera discrete aut alterius tantum et alterius per relationem ad alia. Quod si sit quia note sunt proportiones, nota erunt et ipsa. Cognitis lateribus fiat utrobique quocumque modo ipsorum multiplicatio. Quoniam semper idem solidi provenient per huius xlviii3 habitisque solidis non ignota erit eorum habitudo. Quod si proponantur proportiones, ille primo continuentur queque ex continuatis componitur solidorum
Abbreviated transcription (Latin):
formamꝰ tã¬
guiarem numoꝵ disponamus. hac racõne. In supͥmoita s ponat̃
mutas atq infertꝰ bis ponatur deinde ordo dug onttatio pa¬
pletur uta. qd̾ pͥma uius relique alt̾uis adingat᷑ tcia inuae¬
emaas qr sinut dno umus intͥao ordine. ⁊ hic ntẽ duplet᷑ ita qͣs
prra eius initas bmario altnis adaptetur ⁊si. ꝑirdmemdo¬
nec eius extrema unitas infme ponat᷑. ħebit ꝙ qual iue ror do
ftatto. dipon hoc modo fiant seq̃ntes de pͥcedentib duplicatis. ħ
fado: disponant᷑ auolibet tͥmini eaulies qui aint. a.bs. d. pͥ¬
g io end̃ ⁊ ꝯ uod qͣnticumq su̾int t̾mini continue ꝓporcionalũ
scdm qͣmcum ꝙ ꝓporcionem dispositi. Et quotienscum q contione i¬
mensumpti. sicut scd̾s se ht ad pͥmum ita se h̾ebunt ad eos om̃et¬

Expanded text:
formam triangularem numerorum disponamus hac ratione. In supremo itaque ponatur unitas atque inferius bis ponatur, deinde ordo duarum unitatum dupletur ita quod prima unius relique alterius adiungatur, tertia ineruntque unus, duo, unus in tertio ordine. Et hic item dupletur ita quod prima eius unitas binario alterius adaptetur et sic per ordinem donec eius extrema unitas in fine ponatur. Habebitque quartus ordo 1,111,111,1. Et hoc modo fiant sequentes de precedentibus duplicatis. Hoc facto disponantur quotlibet termini equales qui sint a b c d psciendum est quod quanticumque fuerint termini continue proportionalium secundum quamcumque proportionem dispositi et quotienscumque continue tamen sumpti sicut secundus se habet ad primum ita se habebunt ad eos omne
Abbreviated transcription (Latin):
ep ⁊ ad R. sĩt gͦ.R.i.iii.n. continue tͥpli. Eadẽ racõe ex młtipli¬
tib siłes sr̃ꝑtitu lares elicies si a maiorit̾mino ead̾ fiat inłaplicacõ
U̾bi. gr̃a. Si sumatur.h. semel ⁊ sit .o. atp ħ. semel ⁊ sit .g. semel. et
fiat .p. sic scd̾m ordines date forme. sint ꝙ omnes .o ꝑ .q.r. er̾t q con¬
tinue ꝓporcionales. ⁊ quia ꝑ xuii. huiꝰ . p. est sesqualt̾. ad .h. er̾ similit̾
ad .o. qmͣ obiem er̾t omnes ꝯtinue sesqualt̾i. hoc gͦ .mͦ. ex datis multipͦ.
sumpt̾o inicio multipli candi .a. minimo młtiplices ꝓduces s sũpto amaxͦ
similes suꝑparticulares ꝓcreabis.

Expanded text:
erit f adk. Erunt ergok l m n continue tripli. Eadem ratione ex multiplisimiles superparticulares elicies si a maiori termino eadem fiat multiplicatio. Verbi gratia: Si sumatur h semel et fit o atque h semel et g semel et fiat p et sic secundum ordines date forme sintque omnes o p q r eruntque continue proportionales. Et quia per xviiam huius p est sesquialter ad h, erit similiter ad o quamobrem erunt omnes continue sesquialteri. Hoc ergo modo ex datis multiplicibus sumpto initio multiplicandi a minimo, multiplices produces. Sed sumpto a maximo similes superparticulares procreabis.
Abbreviated transcription (Latin):
⁊tans bis. Nicet etiam qd̾ si num̾us eox sumpaonis fuit ĩaliqͥ orde
tangularis forme cum idem sit numus conseqntium. ⁊ anteredẽ¬
ceam. comunct̃i facient seq̃ntem eiusdem forme. cim pͥmul antẽ¬
cedencinm t̾miniis cuum scdo conseqñcum ad aptet᷑. cet̾icetis ꝑ ordinẽ
donec extren.illoꝵ duos fies occuꝑent tħ adimitõnẽ dispõis fig̾e.
eq̃ gͥ ut cum dati t̾mini sint continue ꝓporcionalet sid̃m ardines
singuios date figure multiplicent᷑. Singuli ꝓuenientes continue
esundippor tionales ꝑ sextam scd̾i. Ita ꝙ sumat᷑ .a. senel ⁊ fat e

Expanded text:
tius bis. Patet etiam quod si numerus eorum sumptionis fuerit in aliquo ordine triangularis forme, cum idem sit numerus consequentium et antecedentium, coniuncti facient sequentem eiusdem forme cum primus antecedentium terminus cum secundo consequentium adaptetur, ceteri ceteris per ordinem donec extergo ut cum dati termini sint continue proportionales et secundum ordines singulos date figure multiplicentur, singuli provenientes erunt continue proportionales per sextam secundi. Itaque sumatur a semel et f
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sit primus inquo.a. scõł b t̾cius .s. qͣrtus d.⁊ qr a tota ꝑs est b. quota ꝑ
de .s. intelligant᷑ b ⁊ d. diuisi in similes ꝑtes.s. pͥma uniꝰ cum pͥma
alteruis est tamgͣ a ⁊c. similit̾ scd̾a cum sod̾a. Et quia s coniuncõ
poriens potest fieri quociens pͥmus in sdõ. conseq̃tis est ut nnuimei
equał a ⁊c. tociens possit sumi mb ⁊ d: anociensa uc sic ꝙ ꝯsłat

Expanded text:
Sit primus in quo a, secundus b, tertius c, quartus d. Et quia a tota pars est b quota pars c est d, intelligantur b et d divisi in similes partes. Sed prima unius cum prima alterius est tanquam a et c. Similiter secunda cum secunda. Et quia hec coniunctio totiens potest fieri quotiens primus in secundo, consequens est ut numerus equalis a et c totiens possit sumi in b et d quotiens a in b.
Abbreviated transcription (Latin):
autem. unitas .F. quociens. a .d. Item q .f. numeret . g. cͦciens
d .e. patet. gͦ. qm̃ g. mumerabit .c. quociens. e.b. hẽmus .gͦ.f.
⁊ .g. ꝓporcionales. int̾ unicatem ⁊ .c. ꝙ est ꝓpositum.

Expanded text:
autem unitas f quotiens a d. Itemque f numeret g quotiens d e. Patet ergo quoniam g numerabit c quotiense b. Habemus ergo f et g proportionales inter unitatem et c.
Abbreviated transcription (Latin):
partiaularis. a ⁊ numerus a qͦ ꝑs eius de nominatur sit  supꝑ¬
Su qnotlib multipłices sum antur constat ut mante pͥm bra i
quemlibet eoꝵ mb ductum ꝓducere ñm Si g  quoliet ẽo
uno melior sum itur idem ĩ eandem ductus niu. ⁊ ptem fate
Mnuttiplex itaq ab ip̃o dicta cum eadem sn pparticaeiifati¬
in plicem superparticularẽ componet

Expanded text:
particularis a et numerus a quo pars eius denominatur sit bsi quotlibet multiplices sumantur, constat, ut in antepremissa, quemlibet eorum in b ductum producere numerum. Si ergo quolibet eorum uno maior sumatur, idem in eandem ductus numerum et partem faciet. Multiplex itaque ab ipso dicta cum eadem superparticulari multiplicem superparticularem componet.
Abbreviated transcription (Latin):
Hec eciam habetur ꝑ geomettam. Statuant᷑ ⁊ enim tres numeri ĩ
geometrica medietate mar diffr̾a. a medio detrahatur. Exit q int̾
resduum ⁊ mnnimũ ꝓpõitoꝵ ⁊ medium ip̃a medietas manitesta.
Ista .a. nulla ꝓcedit. S quiblib duob t̾minis datis inuenit᷑
qm̃ int̾ quoslidet duos mim̾os ⁊ mim̾um ex eis compositum dep̾hẽ¬

Expanded text:
Hic etiam habetur per geometricam. Statuantur etenim tres numeri in geometrica medietate maiorumque differentia a medio detrahatur. Eritque inter residuum et minimum propositorum et medium ipsa medietas manifesta. Ita a nulla procedit. Sed quibuslibet duobus terminis datis invenitur quoniam inter quoslibet duos numeros et numerum ex eis compositum deprehen
Abbreviated transcription (Latin):
illaꝵ ad suum totum : sicut quelib aliarum ad suum: erit qͦ
omnes parit̾ accepte ad suimmi. ꝑ .xx. sid̾i. Quare si habundat iste
⁊ ille. Si gͦ numerans est habundans: erit ⁊ num̾atus. Itẽq
suste equalis. ⁊ ille. S quia nim̾ians ht̃ ꝑtem a se denõiatam
qͣm non ht̃ alt̾: ħ si aliis addat᷑: fiet nmus maior toto Ita
si nimerus fuerit ꝑfectus erit num̾atus habundans
Omnis quem numerat numerus habun¬
dans siue perfectus habundans esse demon

Expanded text:
 ad suum totum sicut quelibet aliarum ad suum. Erit quoque omnes pariter accepte ad suum per xx"" secundi. Quare si habundat iste, et ille. Si ergo numerans est habundans, erit et numeratus. Itemque si iste equalis, et ille. Sed quia numeratus habet partem a se denominatam quam non habet alter, hec si aliis addatur, fiet numerus maior toto. Ita si numerus fuerit perfectus, erit numeratus habundansOmnis quem numerat numerus habundans sive perfectus habundans esse demon
Abbreviated transcription (Latin):
bundat super exagonum tetragonicum
simili post uruitatem loco sumpꝰtum: qͣn¬
tus est tetragonus abunitate similit̾

Expanded text:
bundat super exagonum tetragonicum simili post unitatem loco sumptum, quantus est tetragonus ab unitate similit
Abbreviated transcription (Latin):
Dempta gͥ piramide tͥangula de serratili ita sałꝵ ut aseꝙ̃ti
ꝯmalium tanguloꝵ scd̃s tͥangularium piramidis detrahatur
de t̾cio t̾cins. ⁊ ita de inceps patet quia de penultimo auftur sup̾¬
ma unitas. piramidis et cum basis serracilis in basi piramidis
tosiat᷑ tota: serracilis ultimus tͥangularis cotus remanebit.
palam eciam qd̾ in scd̃o tͥangulari remanet latus suum. et
inomnib suꝑiorib similit̾ qui qm̃ tot sunt qͦt in illo initates
conctat qui ipsum ĩ singulis residuum quadrati sui sũmam ꝯ¬
ponit. p̃terea de t̾cio remanet mimerꝰ qui latus suũ ⁊ seqͣ.
um quadratoꝵ usq unũ anͣtitates ag̾gate erunt ut ĩ sup̃mo
t̾angulari etiam unitas residua constet quadratis ꝯnũanda
Ex quib piramis cetragona conficitur equilat̾a dẽpte pnͦ tͥag.¬
.XXXI
Omnis serratilis piramide sue basis uno
alcior.addit super eam piramidem cuius
basis tetragona. basi alt̾ius equilatera.

Expanded text:
Dempta enim piramide triangula de serratili ita scilicet ut a sequenti equalium triangulorum secundus triangularium piramidis detrahatur et de tertio tertius et ita deinceps, patet quia de penultimo auferetur suprema unitas piramidis, et cum basis serratilis in basi piramidis tollatur tota, serratilis ultimus triangularis totus remanebit. Palam etiam quod in secundo triangulari remanet latus suum et in omnibus superioribus similiter. Qui quoniam tot sunt quot in illo unitates constat quod ipsum in singulis residuum quadrati sui summam componit. Preterea de tertio remanet numerus qui latus suum et sequium quadratorum 1 usque unum quantitates aggregate erunt ut in supremo triangulari etiam unitas residua constet quadratis connumeranda. Ex quibus piramis tetragona conficitur equilatera dempte piraxxxi Omnis serratilis piramide sue basis uno altior addit super eam piramidem cuius basis tetragona, basi alterius equilatera.
Abbreviated transcription (Latin):
Et hoc tale est. ac si dr̃et. Dato lat̾e quadrati iuenire id q̃d̾ co¬
aceruatur. ex ipso cum omnib quadratis qui sub ip̃o sunt. qd̾
hoc modo fiet. eiusdem lateris tͥangularis sumat᷑. sicut ⁊ in
p̾missa tͥangularis. łcd̃m latus mltiplicet᷑. et ꝓueniet ser¬
ratilis. aui si addatur semel triangularis fiet uno alcor pira¬
mide sue sue basis. Decracta gͥ piramde eademi ab ip̃a ⁊ elui¬
quetur piramis auus basis tetragona emulatera tͥangulari.
⁊ hec est cuius sũma qr̃¬
Piramidis taius sumnam reperire cuius bas¬
is tetragona eiusdemꝙ basis latus fuerit
tas esse palam est scł scd̃m numer̃. lateris
maioris et quia basis unius ⁊ basis alt̾uis coniinite tetra¬
gonum efficunt : auus latus lateri maioris equale: et̾
ut in illis comiunc̾tis tot sirit huiꝰ modi. quot eciam ĩ lacere
unius eoꝵ erunt unitates ⁊ quia ex illis omnnb constituitͥ
cubus. palam est etiam quod ex serratilib.

Expanded text:
Et hoc tale est acsi diceret: dato latere quadrati invenire id quod coacervatur ex ipso cum omnibus quadratis qui sub ipso sunt. Quod hoc modo fiet. Eiusdem lateris triangularis sumatur sicut et in premissa triangularis secundum latus multiplicetur et proveniet serratilis. Cui si addatur semel triangularis, fiet uno altior piramide sue basis. Detracta igitur eadem piramide ab ipsa relinquetur piramis cuius basis tetragona equilatera triangulari. Et hec est cuius summa qPiramidis totius summam reperire cuius basis tetragona eiusdemque basis latus fuerit tas esse palam est scilicet secundum numerum lateris maioris. Et quia basis unius et basis alterius coniuncte tetragonum efficiunt cuius latus lateri maioris equale, erit ut in illis coniunctis tot sint huiusmodi quot etiam in latere unius eorum erunt unitates. Et quia ex illis omnibus constituitur cubus, palam est etiam quod ex serratilibus.
Abbreviated transcription (Latin):
Sit inter.a. ⁊ b. nultiplex superpartitularis. dt ꝙ si milisns¬
aylex .c. ad.a. oo s habundat .b. super .c nc. di At multb
Super parcientem inuenire que in duas super¬
particulares non posũt diuidi. uncde patet
qualibet super parciente aliam esse maio
Q̾ man enim qnͣto minor numerꝰ tanto minor mł

Expanded text:
Sit inter a et b multiplex superparticularis. Sitque similis multiplex c ad a. Quo igitur habundat b super c sit d. Atque multiplex Superpartientem invenire que in duas superparticulares non possit dividi. Unde patet qualibet superpartiente aliam esse maioQuoniam enim quanto minor numerus, tanto minor mul
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑparticulari maior erit nec qualibet multiplice minor. Itẽ
q num̾̃i ea ĩfuntum crescunt: erit etonu̾so qualibet misstiplice
maior. ⁊ qualib suꝑparticulari mior. patet etiam quauibet
suꝑ ꝑciente aliam esse maiorem ꝑ p̾missam. Minorem u̾o sisũ¬
mam aliam denomiinatam.atonidem ꝑtib a mimero maio¬
re dictis quem tam̃ nim̾us earum non mimeret. duaꝵ u̾o re¬
liquarum qualibet maiorem esse argues ꝑꝑ maioreni inttipli¬
ola multiplice qualibet non porest sumi
minor.et sola super particulari qualib
duplo ar atq .s. minus dupło .h. palam est quia .c. minꝰ est
quadruplo .a. ⁊ sic patens est qd̾ dicitur

Expanded text:
particulari maior erit nec qualibet multiplice minor. Item quia numeri in infinitum crescunt, erit econverso qualibet multiplice maior et qualibet superparticulari minor. Patet etiam qualibet superpartiente aliam esse maiorem per premissam, minorem vero si sumam aliam denominatam a totidem partibus a numero maiore dictis quem tamen numerus earum non numeret. Duarum vero reliquarum qualibet maiorem esse argues propter maiorem multipliola multiplice qualibet non potest sumi minor. Et sola superparticulari qualibet duplo a atque c minus duplo b, palam est quia c minus est quadruplo a. Et sic patens est quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ duo conungantur. fient omues tͥangulares. Eum ꝙ pͥmus post
un taotem siai ex pmno parte altera. ⁊ unitate necce est. ut qũ ẽ ae
apimitat e apmno apmo. cetragono post initatẽ ⁊ eodẽ ꝓte alta
b fiat enm ex agonum esse ꝑ p̾misam. s ⁊ ama uno rader¬
riso t̾cuuis sẽmꝑ a quadrato ⁊ inferiore ꝑte altera longiore nas¬
citur t̾aos semꝑ exagonos. ẽẽ conueniet.
Si disponãtur omues triangulares ab unita¬
te tertuis atq uno semper intermisso a
prius sumpto tercuis erit exagonus.

Expanded text:
post unitatem fiat ex primo parte altera et unitate, necesse est ut cum tertius ab unitate a primo tetragono post unitatem et eodem parte altera vel fiat eum exagonum esse per premissam. Sed et quia uno intermisso tertius semper a quadrato et inferiore parte altera longiore nascitur, tertius semper exagonus esse conveniet.Si disponantur omnes triangulares ab unitate, tertius atque uno semper intermisso a prius sumpto tertius erit exagonus.
Abbreviated transcription (Latin):
et quomam .b. minus est uno qm duplun .a. erit .s minor
uno. quam .a. Si .g. ad mõdum exagoni. supͣ.a. disponamꝰ
unitates. usq ad .b. Et tunc ip̃i applicemus direc̾te ei eqͣles
scd̃m ⁊ reliqiuos addamus ordines exagoni. ꝯsimnabitur octo
⁊. ĩ .a. ꝑ nonam pͥmi. atq inse facit tetragonum . et ĩ .a.
ꝓximum ꝑte ałta longiorem. et quia tetragonꝰ .c. totus
est ab unitate quotus ille exag̃. est post unitatem palã
Si cuilibet exangulo equiangulo post
unitatem totus tetragonus ab unitate¬
cum sequente parte alt̾a longiore coniun¬
gatur: ꝓueniet octogonus post unitatem

Expanded text:
Et quoniam b minus est uno quam duplum a, erit c minor uno quam a. Si igitur ad modum exagoni supra a disponamus unitates usque ad b et tunc ipsi applicemus directe ei equales secundum c et reliquos addamus ordines exagoni, consumabitur octoget in a per nonam primi atque in se facit tetragonum et in a proximumparte altera longiorem et quia tetragonus c totus est ab unitate quotus ille exagonus est post unitatem, palam Si cuilibet exangulo equiangulo post unitatem totus tetragonus ab unitatecum sequente parte altera longiore coniungatur, proveniet octogonus post unitatem
Abbreviated transcription (Latin):
quarte hinus. ꝑ .xxu. u̾o scd̾i idem ex̃t latus ꝓducti. ꝓductus gͦ est
quadiatus. Sic q patet pͥma pars. alt̾a sic. Si enimess. ꝓductus qͣd̾tus.
latus ens ess ꝓportionale inter multiplicantem ⁊ multiplicatum. ꝑ
conu̾sam ꝯxui. scd̃i. qͣre.ꝑ .x. huuis ess reliquus quãdratus.
i quadratus in quadratum ducatur ꝓducetur
quadratus. Si u̾o in non quadratum: non qua¬
dratus ꝓueniet. Unde patet qd̵ si quadratus nu¬
meret quadratum: sd̾m quadratum eum nũ¬
Ponatur enim si possibile est fieri ut mimeret eum scd̃m quadratum. ꝑ
p̃missam gͥ erit ⁊ ip̃e quadratus quod est contrarium posicioni.

Expanded text:
 secundi idem erit latus producti. Productus ergo est quadratus. Sicque patet prima pars. Altera sic. Si enim esset productus quadratus, latus eius esset proportionale inter multiplicantem et multiplicatum per conversam xxviam secundi. Quare per xam huius esset et reliquus quadratus. i quadratus in quadratum ducatur, producetur quadratus. Si vero in non quadratum, non quadratus proveniet. Unde patet quod si quadratus numeret quadratum, secundum quadratum eum nuPonatur enim si possibile est fieri ut numeret eum secundum quadratum. Per premissam igitur erit et ipse quadratus quod est contrarium positioni.
Abbreviated transcription (Latin):
Sint mequales porciones maior a. ⁊ minor .b. ⁊ unuis equalium fit
ꝑ ximͣi. qd̃ hoc qd̾ fit ex.c. in se cantũ est qͣntim ꝙ fit ex .b. ĩ se. ⁊ d
ꝑ . ximi. qm̃ duplum d̾ est diffet̾a .b ⁊ a. Palam gͥ qd̾ hoc ꝙ fit ex
am b. cum eo qd̾ ex .d. in se. equnm ÷ ei ꝙ fit ex se in se et hoc ÷ qd̾
ingendimus probare.

Expanded text:
Sint inequales portiones maior a et minor b et unus equalium sit per xvam quod hoc quod fit ex c in se tantum est quantum quod fit ex b in se et d r xiiiiam quoniam duplum d est differentia b et a. Palam ergo quod hoc quod fit ex a in b cum eo quod ex d in se equum est ei quod fit ex c in se. Et hoc est quod intendimus probare.
Abbreviated transcription (Latin):
ad unum sicut ipsum ad partem ab ip̃o dictam. quare unũ ad mi¬
norem sicut eqͣrio pars ad unum. Itaq ꝑ .xxii. scd̃i conclude.
Hequalium numeroꝵ maioris ad minorem
est ea que partis ab ip̃o minore denominate
ad ꝑtem. a maiore dictam ꝓporcio. ESint ires

Expanded text:
ad unum sicut ipsum ad partem ab ipso dictam. Quare unum ad miad unum sicut ipsum ad partem ab ipso dictam. Quare unum ad minorem sicut econtrario pars ad unum. Itaque per xxiiam secundi conclude. equalium numerorum maioris ad minorem est ea que partis ab ipso minore denominate ad partem a maiore dictam proportio. Ponantur
Abbreviated transcription (Latin):
et eius aliquot partes et dicitur super par¬
ciens. Aut pluries et eius aliquotam ꝑtẽ
et uocat᷑ multiplex super particularis.
Aut pluries et eiuis ali quot partes et ml¬
nplex super partiens nominatur. Mino¬
ris quoq ad maiorem habitudo totidem sepci¬
es continet que inter se sicut et pͥores diuer¬
sificantur scd̃m diu̾sitatem denominan¬
tium. S cd̃m partem aliquid multiplicare
est totam ulius sumere partera quota fu̾it
que multiplicat. Quodcumq aliud młti¬
plicet: illud ꝓducimus. quod ita se habet
ad multiplicatum: sicut ml̾ti plicans ad unuͦ.
Diuidi dicit᷑ aliquid per aliud cum illud su¬
mitur cliuidens quod per idem multipli¬
catum suminam diuidi restituat .
Ponantur num̾i loco extremoꝵ. ⁊ inum inter eos. Partesq ꝑ se
⁊ umim inter eas. Est autem ꝓporc̃õ maioris num̾i ad unum
tamquam unius ad partem ab eo denominatam. S et minor

Expanded text:
et eius aliquot partes et dicitur superparet eius aliquot partes et dicitur superpartiens. Aut pluries et eius aliquotam partem et vocatur multiplex superparticularis. Aut pluries et eius aliquot partes et multiplex superpartiens nominatur. ‹iii› Minoris quoque ad maiorem habitudo totidem species continet que inter se sicut et priores diversificantur secundum diversitatem denominantium. ‹iv› Secundum partem aliquid multiplicare est totam illius sumere partem quota fuerit que multiplicat. ‹v› Quodcumque aliud multiplicet illud produci dicimus, quod ita se habet ad multiplicatum sicut multiplicans ad unum. ‹vi› Dividi dicitur aliquid per aliud cum illud sumitur dividens quod per idem multiplicatum summam divisi restituat. Ponantur numeri loco extremorum et unum inter eos partesque per se et unum inter eas. Est autem proportio maioris numeri ad unum tanquam unius ad partem ab eo denominatam. Sed et minor
Abbreviated transcription (Latin):
lares. ꝓximi. quoꝵ maior sit tetragono cubi equilaterus. ⁊ sr¬
dos constructi serratiles. quor altitudo sit equalis laceri maio¬
ris basis. comuncti er̃t equales cubo ꝑ p̾missam: ⁊ piramides
eoꝵ equales puamidi cubi. S ⁊ maior serratilium est eque altꝰ
sue piramidi. duplo ꝙ sne basis sibi addito: fiet ei triplus. alt̾
uero qr eque altiis est alii eret uno alcor sua piramide basi gͥ
semei ei addita : fiet ei tͥplus. basis u̾o sua cam basi alteriꝰ
facumt tetragonum cubi. Qͣre si cubo addat᷑ basis sua cum
basi maioris serratilis: fiet tͥplus piramidi sue. et hoc ÷ ꝙ uoluꝰ.
Si cuilibet cubo adiungantur basis sua¬
et triangularis basi sue equilateruis. effi¬
qualitas est iequalitatis principiũ
.E Nequalitatis species sunt qͥnq.
Aut enim maior terminor conti¬
net minorem aliquociens. ut nichil super¬
fluat et dicitur multiplex proporcio. Aũ
semel tantum et eiis aliquo tam ꝑtem et
super particularis appellatur. Aut semel

Expanded text:
lares proximi quorum maior sit tetragono cubi equilaterus et seos constructi serratiles quorum altitudo sit equalis lateri maioris basis coniuncti erunt equales cubo per premissam et piramides eorum equales piramidi cubi. Sed et maior serratilium est eque altus sue piramidi duploque sue basis sibi addito fiet ei triplus. Alter vero quia eque altus est alii, erit uno altior sua piramide. Basi igitur semel ei addita fiet ei triplus. Basis vero sua cum basi alterius faciunt tetragonum cubi. Quare si cubo addatur basis sua cum basi maioris serratilis fiet triplus piramidi sue. Et hoc est quod Si cuilibet cubo adiunganturbasis suet triangularis basi sue equilaterus, effiqualitas est inequalitatis principium. ‹ii› Inequalitatis species sunt quinque. Aut enim maior terminorum continet minorem aliquotiens ut nichil superfluat et dicitur multiplex proportio. Aut semel tantum et eius aliquotam partem et superparticularis appellatur. Aut semel
Abbreviated transcription (Latin):
fleq enim in pͥma reduc̾tione semꝑ continget qm̃ . a. de b det̾s¬
to relinquat᷑ .c. potest q .a. esse suꝑꝑticularis ad .e. et cunc
una sola erit reductio potest mustiplex suꝑparticularis q̃ sid̾m
p̾missam reducet᷑ in suꝑparcicularem ⁊ finem habebit intencõ
Potest super parcet uł multiplex super parciens que et p̃p̾muit¬
lam insuperparcientem resoluctur. itasi decͣcto quociens portẽ
e as auelin quat᷑ non pars s. ꝑtes ħ quoq que est inter. e.

Expanded text:
e enim in prima reductione semper continget quoniam a de b detracto relinquitur c potestque a esse superparticularis ad c et tunc una sola erit reductio. Potest multiplex superparticularis que secundum premissam reducetur in superparticularem et finem habebit intentio. Potest superpartiens vel multiplex superpartiens que et per premissam in superpartientem resolvetur ita ut detracto quotiens potest c ab a relinquatur non pa
Abbreviated transcription (Latin):
om̃es multiplicent᷑. cantum q ꝓuenit qnͣtun si compositus eoꝵ
ꝑ eundem misltipli cetur ꝓuenit gͦ. parit̾ par. s ⁊̃ quia singuili ꝓductoꝵ st̾
imparicer pares patet factum esse qd̾ ꝓpontur sitam̃ nu̾s eoꝵ par. fuit.
ꝗd̾ si impar ꝑ parem uno minorem sumat᷑. ⁊ coac̾uati parit̾ ꝑis ad t̾tiũ.
ascendendo pariter parem. qm̃i diffr̾a est imparit̾ par: constat factum eẽ.

Expanded text:
mpositus eorum per eundem multiplicetur. Provenit ergo pariter par. Sed etiam quia singuli productorum sunt impariter pares, patet factum esse quod proponitur, si tamen numerus eorum par fuerit. Quod si impar, per parem uno minorem sumantur et coacervati pariter paris ad tertium ascendendo pariter parem, quoniam differentia est impariter par, constat factum esse
Abbreviated transcription (Latin):
et qui ex ip̃is ꝓducit᷑ ad eumdem erit pͥmus.
Sint contͣ se primi.a. ⁊ ib. ⁊ a inse ducat᷑ ⁊ fiat .c. ponat᷑ ꝙ .d.
equalis. a. et qd̾ fit ex. a. in . d. equat᷑ .c. ates tam .a. qmͣ .d. est
pͥmus ad .b. et sic ꝑ premissam argunentare.
Si fuerint duo numeri contra se pͥmi.: qui ex al

Expanded text:
e ducto producitur ad reliquum erit primus. Sint contra se primi a et b et a in se ducatur et fiat c. Ponaturque d equalis a et quod fit ex a in d equatur c atque tam a quam d est primus ad b. Et sic per premissam argumentare. § xii Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex
Abbreviated transcription (Latin):
Erit enim ille teta gomis totꝰ
ꝑ duo etrualia exibunt duo tͥangulares toti quoq ab unitate
quotus est isle tetragonus postunitatem. Alter aũt illi ꝯuĩct᷑
facit totum pentagonũ ꝑ .xii. p̾sentis. s ⁊ reliquus eidem pen¬
tagono additus totum quoq ex agonuni ꝯstituit ꝑ p̾missam.
Itaq idem parte altera uei cum eodem tetragono eumdem cõ¬
ponit

Expanded text:
Erit enim ille tetragonus totusr duo equalia, exibunt duo triangulares toti quoque ab unitate quotus est ille tetragonus post unitatem. Alter autem illi coniunctus facit totum pentagonum per xiiam presentis. Sed et reliquus eidem pentagono additus totum quoque exagonum constituit per premissam. Itaque idem parte altera vel cum eodem tetragono eundem componit
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sit min̾ris a ꝓd̾es ex.b. in.c. num̾et ꝙ eum. d. num̾us pͥmisꝰ
scdm.e. Sit q uc .d. non numeret.b. Si enim numerat u̾a est ꝓpor¬
fiut menord. qm̃ te. erit maior .c. quociens est possibile. decͣtꝰ¬
D relique sint unitates ꝓ uii. ergo pͥmi dimlabit .e ord
sr d: maior est .b. erit ut quote partes .b. ind. tote sit e ũd.
distinguantur .gͥ.b .⁊ .4. in illas ꝑtes er̾q una ꝑcium .b. uii¬
tas. ⁊ ona ꝑcium .e. sit .l. orꝰ ciens ergo unitas est. ĩn.d. tociens

Expanded text:
 Sit numerus a productus ex b in c numeretque eum d numerus primus secundum e. Sitque ut d non numeret b. Si enim numerat, vera est proposerit maior d, quoniam et e erit maior c, quotiens est possibile detraci relique sint unitates, per viiam ergo primi d numerabit c. Quod sid maior est b, erit ut quote partes b in d tote sit e in c. Distinguantur igitur b ete in illas partes eritque una partium b unitas et una partium e sit
Abbreviated transcription (Latin):
continue ad aptentur. ꝓuement omnes
ab uitate piramides. et cuiusq basis er̃
tͥangularium suoꝵ maximus.I. Si emm.c¬
latera eoꝵ ex una ꝑte directe ad aptata am uno semꝑ¬
se transgrediunt᷑ ꝑ scd̾am huius tͥangularem cõstitu¬
ent. a canis supp̾ma unitate si ad reliquos angulos ba¬
sus. linec᷑ demittantur. sicit in ante pͥmissa argum̃tare.
XXITII
Ei cuilibet num̾o equalium lat̾m omnes
ab unitate ipsi similes apponantur: qui
componetur erit piramis basem q ipĩus
eundem esse conueniet. Erit enum quelibet

Expanded text:
continue adaptentur, provenient omnes ab unitate piramides et cuiusque basis erit triangularium suorum maximus. Ordinelatera eorum ex una parte directe adaptata quoniam uno semse transgrediuntur per secundam huius triangularem constituent. A cuius suprema unitate si ad reliquos angulos basis linee demittantur, sicut in antepremissa argumentare. xviii Si cuilibet numero equalium laterum omnes ab unitate ipsi similes apponantur, qui componetur erit piramis basemque ipsius eundem esse conveniet. Si enim sib
Abbreviated transcription (Latin):
differ̃am sumantur tres numeri in eadem me¬
dietate erit medis eoꝵ ad diffr̾am que int̾ extre¬
mos p̾assignatoꝵ ꝓporcõ.

Expanded text:
differentiam sumantur tres numeri in eadem medietate, erit medii eorum ad differentiam que inter extremos preassignatorum pro
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓporcionis. que est a. ad .b. qui sint .e. f .g. ⁊ quia non numereti
.D. non numerabit .e.f. non est igͥ .e. nuitas. Sunt itaq .c. ⁊ g
ccͣ. se primi.son numerat gͦ .e.g. neq d .c. sic etiam qd̾. a.
ñ numieret .c. per triatuor minimos sumptos hebis. ultimum ĩ¬
Iumeroꝵ continue proporcionalium. Si pͥmꝰ
non numeret secundum non numerabit aliquis
eoꝵ ultimum. Quod si primus numeret uitrm̃

Expanded text:
proportionis que est a ad d qui sint e f g. Et quia a non numerat d, non numerabit e f Non est igitur e unitas. Sunt itaque e et g contra se primi. Non numerat ergo e g neque d c. Sic etiam quod a non numeret c, per quatuor minimos sumptos habebis. Ultimum inumerorum continue proportionalium si primus non numeret secundum, non numerabit aliquis eorum ultimum. Quod si primus numeret ultim
Abbreviated transcription (Latin):
Dip mm̾us multipłicis .a. ⁊ numeras ꝑtiumn sic.b. Si gͥ .a. ⁊ b.
fiunt cauales ꝑ ꝑmissam ubiꝙꝑ ꝯstat. orss sib. pars .a. similiter
corastadit ubieꝵ p. xxiui pͥmi. Si au̾t .a. ꝑs .b. dicta abe. Su¬
matur tuilibet nimerꝰ maior.a. quem łam̃ non num̾et. sit¬
ꝙ uip q̃ ducat᷑ ine ⁊ siat .d. eric q .d. maior .u. nec ab eoli
runsto ibe fiat .S̃. liimet aũt qd̾ .g. continet.d. scd̾m .a. et
enis partes abip̃o dictas. ⁊ a .b. numeratas. et qr .b. ꝑsif. patit
quua .g. addit supra .f. partem ip̃ius qd̾ si nenter num̾at᷑ altẽr
ducatur in .R. ⁊ ꝓueniet .i. qui erꝰ maior.b. nͣ ab eo nũ abitur.
Dico .g̾. qd multiplex suꝑparciens denominata ab.a. ⁊ ꝑtib

Expanded text:
s multiplicis a et numerus partium sit b. Si igitur a et b fuerint equales, per premissam ubique constat. Quod si b pars a, similiter constabit ubique per xxiiiam primi. Si autem a pars b dicta ab e, sumatur quilibet numerus maior a quem tamen non numeret sitque c qui ducatur in e et fiat d. Eritqued maior b nec ab eo iuncto b fiat g. Liquet autem quod g continet d secundum a et eius partes ab ipso dictas et a b numeratas. Et quia b pars f , patet quia g addit supra f partem ipsius. Quod si neuter numerat alterum, ducatur in k et proveniet l qui erit maior b nec ab eo numerabitur. Dico igitur quod multiplex superpartiens denomi
Abbreviated transcription (Latin):
Sint quadraci .a. ⁊ .b. ⁊ medius inter eos parce alt̾a. longior .c. latͥa¬
q eoꝵ sint.⁊ .t. Atq ex.℥. in .t. fiet .c. Erunt q .a. Ic. tamquam ꝙ
fit ex.℥. in compositum. ex ip̃o ⁊ t̃. qui sit y. si .⁊.c. cum .b. tamꝙͣ
qd̃ fit ex .t. inemndem. id÷ y. s qd ex .⁊ in .t. ⁊ .y. tamꝙͣ ꝙ ex
ỹ.in. se ꝑ nonam primi. Exit gͥ cuuadratum.y. qͣnͣtum a. ⁊ .c.

Expanded text:
i quadrati a et b et medius inter eos parte altera longior c lateraque eorum sint z, t. Atque ex z in t fiet c. Eruntque a et c tanquam quod fit ex z in compositum ex ipso et t qui sit y. Sed et c cum b tanquam quod fit ex t in eundem idest y. Sed quod ex z et t in y tanquam quod ex y in se per nonam primi. Erit igitur quadratum y quantum a etc
Abbreviated transcription (Latin):
II
denommnantes eas .c. ⁊ .d.
atꝙ ex.c. m.d. fiat.e. dico quia pars denominata. ab e. est qͥd poͣ¬
ex. a in .b. sit autem illud .f. Est siquidem unum ad .c. sicut
d. ad .e. S a. ad unum ꝓpt̾ hoc. sicut .d. ad .e. Itemq .f. ad
b. sicut .d. ad .e. ꝑ pͥmam quare f. ad .b. sicut .a. ad uum.
Itaq ex diffinicõe. er f. qd̾ ꝓducitur ex .a. in .b.
Quod fit ex ductu duar ꝑcium unius in aliã
est pars denominata a numero qui fit ex
ductu duoꝵ numeroꝵ unus in alium easdẽ

Expanded text:
ri denominantes eas c et d. Atque ex c in d fiat e. Dico quia pars denominata ab e est quod proex a in b. Sit autem illud f. Est siquidem unum ad c sicut d ad e. Sed a ad unum propter hoc sicut d ad e. Itemque f ad b sicut d ad e per primam. Quare f ad b sicut a ad unum. Itaque ex diffinitione erit f quod producitur ex a in b.Quod fit ex ductu duarum partium unius in alium est pars denominata a numero qui fit ex ductu duorum numerorum unius in alium easde
Abbreviated transcription (Latin):
Ducatur idem mim̾us innim̾um. illam deuomiuantem eritq
numerus ꝓuemens młtiplicans illam ꝑtem ⁊ ꝓducens datũ nũm.
ꝑ .xxiii. pͥmi. Si gͦ similes illi ꝑti. ⁊ scdm̃ illum nm̾um sumant᷑
eesdem ꝑte addita. Habebimus quesitum. Qͦd si ꝑtes fu̾int pͥmo eas
in partes equas redige ꝑ p̾missam: ⁊ postea mimer̃ ut pͥus in ꝑtes
uni illaꝵ similes diftͥbrie. ⁊ illis addicis habebis ꝓpositum¬

Expanded text:
Ducatur idem numerus in numerum illam denominantem eritque numerus proveniens multiplicans illam partem et producens datum numerum per xxiiiam primi. Si ergo similes illi parti et secundum illum numerum sumantur, eadem parte addita habebimus quesitum. Quod si partes fuerint, primo eas in partes equas redige per premissam et postea numerum, ut prius, in partes uni illarum similes distribue et illis additis habebis propositum