comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
conparati adi. duplũ faciunt : Ergo quẽ ad modum maximus terminus ad
par uissimũ : sic minorum terminorũ differentia est ad differentiã maxi¬
morum: liquet aut̃ oppositam & quodã modo contrariam eẽ. hanc medi¬
etatem armonicȩ me die tate idcirco: qđ in illa quẽ ad modum. eẽt maxi¬
mus terminus ad par uissimũ. sic maiorũ terminorum differentia ad dif¬
ferentiam minorum. hic autem e contrario estautem ꝓprium huius me¬
dietatis qm̃ qđ continetur sub maximoter mino & medio: duplũ ẽ. eo qđ
continetur sub medio ad que par uissi mo sexies enĩ u. xxx. sunt. quin qui¬
es uero tres .xu: duȩ uero aliȩ medi etates quinta scilic&. & sexta : geo metri¬
cȩmedietati contrari ȩ sunt . & ei demindentur oppositȩ : est aut̃ quinta me¬
dietas quotiens intri bus terminis. quẽ ad modum̃ meelius termitius ad
minorem terminũ. ite eoꝵ differentix ad differentiam medii adq: maioris.

Expanded text:
comparati duplum faciunt. Ergo quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic minorum terminorum differentia est ad differentiam maximorum. Liquet autem oppositam et quodammodo contrariam esse hanc medietatem harmonicae medietati, idcirco quod in illa quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic majorum terminorum differentia ad differentiam minorum. Hic autem econtrario. Est autem proprium hujus medietatis, quoniam quod continetur sub maximo termino et medio duplum est eo quod continetur sub medio atque parvissimo; sexies enim quinque 30 sunt, quinquies vero tres 15. Duae vero aliae medietates, quinta scilicet et sexta, geometricae medietati contrariae sunt, et eidem videntur oppositae. Est autem quinta medietas, quotiens in tribus terminis, quemadmodum est medius terminus ad minorem terminum, ita eorum differentia ad differentiam medii atque majoris.
Abbreviated transcription (Latin):
me dictatis sunt: Quod si superius dicta meminerit lector ita eẽ in dubi¬
tanter intellig&. Rursus sunt̃ eosdem .x& lxl. uiginti constitam. sta¬
tinge ome trica me dictascum sui ꝓprietatibus cunctis exoritur : Arith¬
meti cãme dietate ꝑ eunte : in hacenimdis positione .xIXXIxl quẽ ad

Expanded text:
medietatis sunt. Quod si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelliget. Rursus si inter eosdem 10 et 40 viginti constituam, statim geometrica medietas cum suis proprietatibus cunctis exoritur, arithmetica medietate pereunte. In hac enim dispositione 10, 20, 40, quemad
Abbreviated transcription (Latin):
quȩ ẽ prima multiplica tis species : Si uero scđm se c̃do semitotũ he¬
mioliȩ quantitatis habitudo ꝓducitur: Si tertiũ tertio ses quitertia ꝓpor¬
tio procreatur: Si quar tum . quarto : sequi quarta: Etsiquintũ quinto:
sequi quinta: & hinc suꝑpar ticularium nor mam inquã uis longissimum
spadum pro grodiens inte gram in offensamq repperies : itaut in prima du¬
plipro portione : unitatis solius sit differentia : duonann: abuno : s. la semꝑ¬

Expanded text:
quae est prima multiplicitatis species. Si vero secundum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola sem
Abbreviated transcription (Latin):
discre pant unta te. insesqu altera uero: duorum ẽ differentia: inses ꝗ t̃tia
trium: in sesꝗ quarta quattuor & de inceps scđm suꝑ particulares formas nume¬
rerum qđ ad differentias attinet uno tantum crescit adiectio : nume rum &¬
plicans naturalem:
tragonum prima
parte altera longioric̃pares. & tertium secum do& quar tum: tertio & quintũ
quarto eas demrursus propor tione sefficiꝑnatabis quas in superiore forma des¬
scripsimus: sed hit differentiȩ ab unitate non incoant sed binarionumero
ininfinitum ꝑeosdem calculos progrediuntur. eriq: secindus primi. du

Expanded text:
discrepant unitate. In sesquialtera vero duorum est differentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. tragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi du
Abbreviated transcription (Latin):
illorũ quiẽ altrinsetus angulorum. Multa &ã sunt alia quae in hac descriptione utilie
possut admirabilia ꝙ ꝑpendi. quacinterim propt cascigatum introducendi breuitatẽ

Expanded text:
illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitate
Abbreviated transcription (Latin):
tur: eauero sunt quȩ ue lab ae qua libus crescunt. ut quadrati uel quos ipsauni¬
tas format icł im pares ad uerobinarius & cuncti parte alte ra longiores qui

Expanded text:
tur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui
Abbreviated transcription (Latin):
in longitu dine uero : pariter paris numeri : rempro pri&atemq de¬
signat̃ : Quod enim sub duabus medi&atibus contin&ur: aequale est
ei quod sub extremis conficitur. uel quod ab una medi&ate nascitur
aequale est illi quod sub utrisq extremitatibus contin&ur: Descrip¬
tio autem quae sub posita est. hoc modo factaest: Quantoscumq in
ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multipli
cabit: qui cumq ex eo procreatisunt. primo sunt. uersu dispositi:
Rursus quieo dem multiplicante quinario Natisunt. secundo loco
sunt constituti: Post uero quos septenarius c&eros multi plicans
procreauit : eosdem tertio conscribi . s loco. atq: idem in reliqua

Expanded text:
In longitudinem vero, pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem quae supposita est, hoc modo facta est. Quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternariucavit, quicunque ex eo procreati sunt primo sunt versu dispositi. Rursus qui eodem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti. Post vero quos septenarius caeteros multiplicans procreavit, eosdem tertio constituimus loco, atque idem in reliqua
Abbreviated transcription (Latin):
gis igitur ita positis si primus primi multiplicatione concrescat
idest si quater narii ternarius. uelsi idem primus secundi id est oc¬
& eadem usq ad extremum multiplicatio proferatur. uelsitertius
a primo inchoans usq in extremum transeat. atq: ita quartus &
omnes inor dinem superiores multiplicent eosqui sub ipsis indisposi¬
tionesunt: omnes impariter pares pro creabuntur: Huius autem
rei sumamus tale exemplum : si .iii. quater multiplices .xii. fient

Expanded text:
is igitur ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est ocet eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multiplices, 12 fient;
Abbreviated transcription (Latin):
sub cresc&. atq hoc usq infinem: Rursus
duplices a superioribus multiplicentur. uelsi superiores eosdem
inferiores multiplicent: cunctos quinatifuerint. impariter pares
inuenies: atq haec est ammirabilis huius numeri forma quod cũ
fuerit ipsa dispositio descriptioq: perspecta pumerorum. ad lattu¬
dinem pariter imparium. ad longitudinem pariter parium nume¬
rorum propri&as inuenitus : sunt enim duabus medi&atibus aequales
duae extremitates. uel una medi&ate: duplices extremita tes:

Expanded text:
succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus duplices, in superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter imparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim in latitudinem duabus medietatibus aequales duae extremitates, vel una medietate duae duplices extremitates.
Abbreviated transcription (Latin):
per eas dem unitates
quibus superius creue¬
runt ꝓgrediuntur.
Naminterunum &
duo. tantum unitas
int̃cedit quȩ unitas cuiȩ qualis est totũ ẽ. binarii uero me dietas: eodemq: modo
int̃duo &iiii tantum duos̃. quibinarutotum sunt . quater narii me dietas:
Int̃ qua ternarium uero & senarium idẽ duos. Ad qua ter narium uerome di¬
etas. ad senarium pars tertia: Tres uero qui secintur qui inter ui & .viiiii.
dis criptionis geminatis huius modi partibus sicit ipsã quoqr. summarum.
conparatiogominarta. ẽ. aequas partium ꝓgressio nes aspecies: PRobatio¬

Expanded text:
per easdem unitates quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitati cui aequalis est totum est, binarii vero, medietas. Eodem modo inter 2 et 4 tantum duo sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicie CA
Abbreviated transcription (Latin):
idest magnitudines. in in finitis simas minui par uitates. atq ideo hic contra
euenit : Haec namq paris diuisio. spatio est maxima Paruissima quanti¬
tate : in parueronumerus est. cui hocidem accidere non potest. sed cuius in
duas in aequales sum mas. naturalis est sectio
SECUN DUM ANTI QUIOREM MODUM DIUISIO PARIS ET IM
ecundum antiquiorem uero modum. alia est parisnumeri definitio:

Expanded text:
id est magnitudines, in infinitissimas minui parvitates, atque ideo hic contra evenit; haec namque paris divisio, spatio est maxima, parvissima quanties. Impar vero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest, sed cujus in duas inaequales summas naturalis est sectiosecundum antiquiorem modum diffinitio paris et imparis. Secundum antiquiorem vero modum, alia est paris numeri definitio
Abbreviated transcription (Latin):
medio tetragono tetragonus sit & rursas quad exduobus al trinsecus t &ragonis & uno me¬
dio longilatero bisfacto nascitur ipse quoq t& ragonussit. Et ut angulorũ totius descriptio¬
nuis ad angulares t& ragonos positorum unius anguli sit prima unitas: iterius uero qui

Expanded text:
medio tetragono tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit, et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli, sit prima unitas, alterius vero qui
Abbreviated transcription (Latin):
rea quod eadem imparis propri&ate formatus est. sed nullam
inser&in& substantiam principalem compositusq ẽ. ex aliis numeris
hab&q partes & ã seipso & ab alieno. uocabulo denominatas sed a se
ipso de nominatam partem solam: semper in his repperies unitatem

Expanded text:
rea quod eadem imparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas, sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem
Abbreviated transcription (Latin):
ciesq eius ad illarum scilic& fiunt imaginẽ proportionũ ex quibus senumerus originemtra¬
hit Nam prima pars huius uoctibuli quia multiplicis nomine posssa ẽ. multiplicis numeri spe¬
cierũ uocabulo nominandaẽ. Quae uero suꝑ particularis: eodẽ uogulo nuncupabitur quo suꝑ¬
particularis numeri species uocabantur. Dic&urenĩ quiduplicẽ Ipuerit aliũ numerũ &eius
mediam partem duplex ses qualter. Qui uero t̃tiã duplex sesquit̃ tis. qui quartã duplex sesqui quo

Expanded text:
ciesque illius ad illarum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est. Quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus media
Abbreviated transcription (Latin):
constant. sed ad quid dam aliud referuntur. ut duplum ut dimidium ut
ses qualterum uel ses qui tertium & quacquid taleest. quod nisi relatum
sit ad aliud ipsum eẽ non possit Magnitudinis uero : celia sunt manen

Expanded text:
constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesquialterum, vel sesquitertium, et quidquid tale est, quod nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero, alia sunt manen
Abbreviated transcription (Latin):
autem ex his ab alios posse m&iri. itaut ab unotantum Numerenur¬
Alios uero ut &iam apluribus: Quosdam autem ut pra&erunitatẽ
eorum Nulla mensura sit : quiergo nullam mensuram pra&eruni¬
tatem recipiunt. hosprimos & in compositos iuidicabimus: Qui
uero aliquam mensuram pra&erunitatem. uel alieni genae
partisuo cabulum sortiuntur: eos pronuntiemus. secundos. atq¬
compositos : Tertium uero illud genus. persecundi & compositi:
Primi uero & in compositi. ad alterutrum comparati. hanc in qͥ¬
sitor rationem repperies: sienim quos lib& illos num eros secun¬
dumsuam insem & ipsos multiplices quantitatem : qui procreant᷑

Expanded text:
autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerenalios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atqcompositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione reperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semetipsos multiplices quantitatem, qui procreant
Abbreviated transcription (Latin):
idest suꝑficiem. ut latitudo ostenderetur adiecimus: ita nunc latitudine siquis ad¬
udat cͥam̃quȩ alia saltitudo alias crassitudo alias ꝓfunditas appellatur. solidum

Expanded text:
id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum
Abbreviated transcription (Latin):
Si unita demprima
quȩ duobus tantum numeris ꝑlatera positis continetur : sinuero his sequentis nouem ad¬
iecero fia mihiquatuor de cimnu merorum forma piramidis. quȩ ꝑ latera tribus unitatib¬
forma ꝓducitur: in his quoq omnib piramidistat erunt unitates ꝑ later quantȩ inse nu
merorum ad gregatȩ fuerint quanti tates: Nam unitas. quȩ prima piramis est unum so¬
lum idest. seĩpsam gerit in latere: quinq ueroquȩ constant . & uno & quatuor duobus ꝑla¬
tera designatur: & xiiii. quȩ ox tribus numeris compositis sit. ternarionumero in latere
posito constituitur: hanc autem pira midam generationem monstrat subiectathscriptio.

Expanded text:
si unitatem primamrum, quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes 9 adjecero, fiet mihi 14 numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibforma producitur. In his quoque omnibus pyramidibus tot erunt unitates per latera quantae in se fuerint numerorum aggregatae quantitates. Nam unitas, quae prima pyramis est, unum solum, id est seipsam, gerit in latere. Quinque vero, quae constant ex 1 et 4, duobus per latera designatur, et 14, quae ex tribus numeris compositis fit, ternario numero in latere posito constituitur. Hanc autem pyramidum generationem monstrat subjecta descriptio:
Abbreviated transcription (Latin):
&amque in .a. pyramides super .uI. additi sunt  II atq.I. Quisenarius
superat. ternariam quantitatem: Ipsi uero .iII. unũ pluralitate transcendunt.
qui unus extremũ terminum ꝓgressionis offendit : Similis. quoq racio in
cȩteris ꝑspici potest si eorum pro creaciones diligenter uolueris perscrutari
Illȩ quoq quȩ sunt ate tragono pyramides. eadem te tragonorum superse compo¬
sicione nascunt᷑: descriptis enĩ cunctis te tragonis. id est ¶Iuiuit Ixu

Expanded text:
amque in 10 pyramide super sex additi sunt 3 atque unus, qui senarius superat ternariam quantitatem, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in caeteris prospici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae vero quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, id est: si u
Abbreviated transcription (Latin):
multitu dinem quae perse est. crithm&ica speculatur integritas. illam
uero quae ad aliquid: musici modulaminis temperamentã praenoscunt

Expanded text:
multitudinem quae per se est, arithmetica speculatur integritas. Illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt
Abbreviated transcription (Latin):
Qio igitur sesqualter & sesquitertius. unum duplicem componunt: At uero si fu¬
Derint medietas. & duplus. inter duplicem et medium potest una medietas talis ui

Expanded text:
Sic igitur sesquialter et sesquitertius unum duplicem componunt. At vero si fuerint medietas et duplus, inter duplicem et medium potest una medietas talis i
Abbreviated transcription (Latin):
plicium quidem triplices. triplicium quadruplices. quadru plorũ uero quincupli
Et scđm eandem ordinis in commutabilem rationem sibimet cuncta consentient. quib
expositis. ad sequentẽ operis seriem conpetens disputatio conuertatur: Si igitur¬
duȩ primȩ suꝑ particularis species coniunguntur: primã species multiplicationis
ex oritur÷ Omnis enim duplex & ses qualtero. ses quitertioq componitur. & omnis
sesqualter. & sesquitertius : duplicem iungunt : Nam ternarius. sesqualter ẽ duorum
Quattuor uero ses quitertius ternarii. sed quattuor. duplus du orum:¬

Expanded text:
plicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cuncta consentient, quibus expositis, ad sequentem operis seriem competens disputatio convertatur. CAPUduae primae superparticulares species conjungantur, prima species multiplicitatis exoritur. Omnis autem duplex ex sesquialtero sesquitertioque componitur, et omnis sesquialter et sesquitertius duplicem jungunt. Nam ternarius, sesquialter est duorum, quatuor vero, sesquitertius ternarii, sed 4 duplus duorum
Abbreviated transcription (Latin):
dissimilia. & potentia componendi Haec aut̃ sunt quibusnumerus constat.
par. atq: impar : Quae diuina quadam potentia cum sint disparia contrariaq:

Expanded text:
dissimilia et potentia componendi. Haec autem sunt quibus numerus constat, par atque impar. Quae divina quadam potentia cum disparia sint contrariaq
Abbreviated transcription (Latin):
merorũ. is quasi quodam mod dobasissit. cunctis enim lacior inuenit᷑ : Et qui
ante ipsum numerũ coniungant᷑ minores. eẽ neces

Expanded text:
merorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur; et qui ante ipsum numeri conjunguntur, minores esse neces
Abbreviated transcription (Latin):
tita tem & adsimilitudinem scilic& pariterparis numeri : Alia euero
partes contrariam de nominationem sumunt propriae quantita¬
est quantitas partis ã parinumero de nominata : Nam IIII .tAVPI
secunda uero .xii. sexta uero .iii. duo decima .i quaeuo cabula par¬
tium a quantitatis paritate non discrepant: Contrariae uero deno¬
minantus. ut tertia pars VIII octaua uero .iii: Vicesima .iui. ta autem.
÷quae denominationes cum paressint: inueniuntur impares quan¬
titates: & cum sint pares summae: sunt impares de nominationes:

Expanded text:
titatem, ad similitudinem, scilicet pariter paris numeri. Aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitao, par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta 6, secunda vero 12, sexta vero 4, duodecima 2, quae vocabulo partium a quantitatis paritate non discrepant. Contrariae vero denominantur, cum tertia pars octo, octava vero 3, vigesima autem quarta 1, quae denominationes cum pares sint inveniuntur impares quantitates, et cum sint pares summae, sunt impares denominationes
Abbreviated transcription (Latin):
coqđ nuns multũ nobiꝰ in loctionib: ꝓst̃ sitantum a dimplendam de nariinu¬
meri quantitatẽ : quȩ nelateant ne uesint aliquib ignorat& de ꝓmimus.
Videntur enim hȩ su pradictis medietatibus ẽẽ. contrariȩ & quibus origi
maximus terminus ad par uissimũ : sic differentia minorum ad differen¬
tiãmaximorum : ut sunt .iii .XVI. sex ad t̃narium duplus ẽ. & sunt minores
terminiai &  maximi uero huius dispositionis uI.& .v. differentia ueromino

Expanded text:
od non multum nobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad implendam denarii numeri quantitatem. Quae, ne lateant neve sint aliquibus ignoratae, depromimus. Videntur enim hae supradictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originmaximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad differentiam maximorum. Ut sunt 3, 5, 6, sex ad ternarium duplus. Et sunt minores 5 et 3, maximi vero hujus disposition
Abbreviated transcription (Latin):
mitatibus ꝓcreatur: adq hoc quidem interminis paribus constitutum
est: ad uero simpares ꝓponãtur ut sunt u & xlu. aptatus medius xxu
antbineticam pro porcionẽ me dietatem que constituit: Namsi sint :V
xxulxlu eadems se se numerorum quantitate termini trans gredientur.
& omĩs superius dicta proprietas arimeticȩ medietatis in his terminis cus¬
toditur: Sedsi .xu. numerum medium ponã ut sint .ui. xu.xl .v. ingeo¬
me tricã medictatem ter mi nire labuntur sȩ qua libuster minorum ad se
medindan uieeni ꝓpor cignibus custoditis .uiiii. uͦ si inter utisque dorii nos ponãrt

Expanded text:
mitatibus procreatur. Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est. At vero si impares proponantur, ut sunt 5 et 45, aptatus medius 25, arithmeticam proportionem medietatemque constituit. Nam si sint 5, 25, 45, eadem sese numerorum quantitate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. Novem vero si inter utrosque terminos pon
Abbreviated transcription (Latin):
um c̃paremus utra que enim conparatio ses qualtera ꝓporcio est & qđ
continetur sub& tremitatibus idem ẽ. eie meduis nãque: quod fit ex

Expanded text:
mparemus. Utraque enim comparatio sesquialtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus idem est ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex
Abbreviated transcription (Latin):
Quisi ex nouenario d&erahantur senarius relinqu&ur quibus
iten si quis ternarium demat. III relinquentur : De quibus d&ram
equeunt. atq: hic est sibi ipsi aequalis : Nam iII quid&rahebantur
usqi adternarium pumerum peruenerunt: A quo qm̃ aequa¬
essunt d&rahi minuiq: non poterunt:  Hos igitur commen¬
surabiles pernuntiabimus. & est eorum qui est reliquus ter¬
narius mensura communis.
RUIA PARTITIO PARIS SECUNDUM PER PECTOS IN E¬
EECTOS ET UI TRA QUAM PER FECTOS

Expanded text:
Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam 3 qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo, quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus, et est eorum qui est reliquus ternarius mensura communis. CAPUT XIX. Alia partitio paris secundum perfectos, impefectos et ultra quam perfectos
Abbreviated transcription (Latin):
qm̃ linea res numeros eẽ diximus qui ab uno ꝓfecti in insinitum currerent. ut sunt
Hlis aut̃ ordinatim con positis. & inse inuicem cum distantia iunctis suꝑ¬
ficies nascebant᷑. ut si unũ . & duo. iungeres: primus triangulus nasceretur
idẽ. III. Et cũ his ad iungeremus. tercium id est ter narium senari¬
us triangulus rursus occurret: Et post hos tetragoni. uno in ter misso: Pen¬
goni uero duobus exagoni trib: Epta goni relictis qua tuor nascebatur
Nuncꝰ uero ad solidorũ corporum ꝓcreacionẽ. ipsegobis suꝑficies naturalit̃
figuratȩ ꝓeruenient: Et ad faciendas quidem pyramidas atriangulo ipsi
nobis trianguli c̃ponendi sunt: Ad componen das uero pyramidasiate trago¬
no te tragoni :A deas uero quȩ sunt apentagono: pentagoni copulandisunt :
Et illȩ que sunt ab exagono & eptagono. non nisi ecagonorũ ł eptagonorũ copu¬
lacio nascent᷑: Primus ergopotestate tri angulus. unitas: candemq etiam po

Expanded text:
m lineares numeros esse diximus qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut sunt: His autem ordinatim compositis, et in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nasceretur, id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pentagono, pentagoni copulandi sunt, et illae quae sunt ab hexagono vel heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus, unitas est, eamdemque etiam po
Abbreviated transcription (Latin):
non aliam conuenientiam ꝑ notabis,¬
Hine quoq ꝑspicuum est
suꝑ particulareum quem ad modũ
prius ostensum est. primos esse
multiplices: siquidem duplices ses¬
qualteros. triplices ses quitertios. & cuncti
multiplices cunctos in ordinẽ suꝑ particulares creant: Est eciam ĩ caxx¬
in his. hoc quoq mirabile: Namq ubi prinsa latitudo fuerit duplex. & sub eis qui
sunt uersus continui alternatim positi. scđm seriem latitudinis duplices erunt:
o fuerint triplices et inferiores ordines. tripla se in suis ter
superabunt: At in quadrupla qua drupli: atq hoc infinita ductũ speculatione. non
fallit: Angulares autẽ omnium multiplices euenire necesse est: Erunt enim du

Expanded text:
amdem convenientiam pernotabiHinc quoque perspicuum est, superparticularium quemadmodum prius ostensum est primos esse multiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum speculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem du
Abbreviated transcription (Latin):
colligitur quam scilic& erathostenes : cribrum nominabat
quod cunctis imparibus in medio collocatis peream tradituri
sumus artem qui primi quiue secundi quiq: tertii generis
uideantur esse distincti : Disponantur enim. a ternarionum e¬
ro cuncti in ordinem impares. inquam lib& longissimam por¬
rectionem

Expanded text:
colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis imparibus in medio collocatis, per eam quam tradituri sumus artem, qui primi, quive secundi, quique tertii generis videantur esse, distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem impares, in quamlibet longissimam porrectionem
Abbreviated transcription (Latin):
naturali particione soluetur. scđm modum quem superius de monstrauimus : Si
uero quadruplus sese. ac sesqui quartus ad glomerent: quincuplus continuo fiet:
trinsecus enim positis senario & ternario. id est duplici et medietate.siqua ternarius
in medio collocetur. ad ternarium numerum sesquitertiã continet rationem. ad se

Expanded text:
naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomerent, quincuplus continuo fiet: trinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad se
Abbreviated transcription (Latin):
d qua drupli scđm hanc formam descriptio est. ad quam scilicet quia prioribus in¬
struetus accesserit nulla ratione traepidabit. & dȩ cȩteris quidem multiplicib eandẽ
narium uero sesqual teram:¬
Recte igitur dictum ẽ & duplicem a sesqualtero sesquitertioq coniungi. et has duas
suꝑ particularis species duplicem ꝓcreare. Id est primam speciem multiplicis quan¬
tatis ÷ rursus ex prima multiplicis specie. id ẽ ex duplici &
odecim. senarii numeri dupla est : Decem uero et uiii. ad duodenarium sesqual¬
ter. qui ad senarium numerum triplus est:
Dulla LSES QuALTER
ad sena rium sesqualter. qui ad xuiii. duplus ẽ. & ad senarium xuiii triplus:
Ex duplici igitur et sesqualtero triplex ratio ꝓportionis
exoritur. et in eas rursus resolutione facta reuoca¬
tur. Si autem hic id ẽ triplus numerus. qui est spel¬
oies secunda multiplicis. secundȩ speciei suꝑ parti Sesegalt᷑ DUPLA¬
cularis aptetur. qua drupli continuo forma contexitur. et in easdem rursus parte

Expanded text:
t quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit, et de caeteris quidem multiplicibus, eamdem narium vero sesquialteramRecte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesquitertioque conjungi, et has duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie, id est ex duplici, e 12 senarii numeri duplus est, decem vero et octo, ad duodenarium sesquialter, qui ad senarium numerum triplus est. ate ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et ad senarium 18 triplus est. Ex duplici igitur et sesquialtero, triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur, et in easdem rursus partes
Abbreviated transcription (Latin):
id est cybis. et spericis. uł prramidis. laterculis eciã uł tignulis & cuneis. quȩ om̃a
quidem geo metricȩ ꝓpriȩ considerationis sunt. Sed sicut ipsa geo metricȩ scientia
ab arithmetica uelut quadam radice ac matre ꝓducta est. ita eciam eius figurarũ¬

Expanded text:
id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt. Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figuraru
Abbreviated transcription (Latin):
t si quincuplus. cum sesqui quinto. max sescupli ꝓportio coniugabitur: atq ita scđ̾m
hano ꝓgressionem cuncte multiplieis species. sine ulla ordinis ꝑmutatione nascen¬
tur: Ita uero ut duplus cum sesqualtero triplicem creet : triplus cũ sesquitertio qua¬
druplum. quadruplus cũ sesquarto quincuplũ. & eodem modo ut nullus hano continu¬
ationẽ finis impediat :
Nunc autẽ in hac sequentia quȩdã de ea quantitate quȩ ꝑ serpsa constat neq ad a¬
luid refertur expediam. quȩ nobis ad ea ꝓdesse possint. quȩ post hȩc rursus de rela¬
ta adaliquid quantitate tractabimus Amat enim quodam modo matheseos speculatio
alterna ꝓbationũ ratione constitui. Nunc autẽ nobis de his numeris sermo futurus
est. qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesq uersantur. id est
de linearibus numeris & de triangularibus uł quadratis cȩteris q:
plana dimensio Neonon de in ęquali laterũ compositione coniunctis de solidis eciã

Expanded text:
t si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitur. Atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur. Ita vero ut duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et caeteri eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis impediat. Nunc autem in hac sequentia, quaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesque versantur, id est de linearibus numeris, et de triangularibus vel quadratis, caeterisque quos sola pandit plana dimensio, nec non de inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam,
Abbreviated transcription (Latin):
bitur. in naturalis primum numeridis positione agnoscimus: de inde qđ
superi libro dis putantib: nobis a paruit arit me ticam uimge a me trica ałq
musicaeẽ anti quiorem & qđ illatahassimul inferet. sublata uero perimerõ
quare in ordine disputatio progre dietur. sia bea primo inchoandum me
dietate quȩ in numeri differenti a non in ꝓportionis speculatione uersat᷑.
Arith meti cam me dietatẽ uocamus. quotiens uel trib uel quod¬
Ali bet ter minis positis: ae qualis. adq eadem differentia int̃ om̃s dis¬
positos terminos inuenitur: inqua ne glecta proportionis ae qualitate
terminorum tantum differentiarumq specula tio custoditur: uđr .ii .ii .iiui. .ũ
ii.iiii.iiiii. uiu .x. Iin hac enim naturalis numeri dispositione: siquis continu¬
ãtim differentias terminorum cur& aspicere. scđ marith meticã medieta temaequa

Expanded text:
bitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod bitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem, et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versatur. Arithmeticam medietatem vocamus, quoties vel tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum differentiarumque speculatio custoditur, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. In hac enim naturalis numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa
Abbreviated transcription (Latin):
METICA proportio na litas dicendũ ESTI xl ii.
sunc uero de proportionalitatibus deqͣ medietatibus dicendũ¬
est: & primũ quidem dee ame dietate tractabimus quȩ scđm quan¬
titatis  ae qualitatem ne glecta pro portionis pari litate. con¬
stitutorum terminoꝵ̃ babitudines seruat In his aut̃ quantitatib me¬
die tasista uersa tur inq his spe culanda est in quibus a seipsis termini
differunt quid aũte ẽt differen tiater minorum: superius definitum est:
hanc autem eẽ arith me ticã me di eta tem numerorum ipsaratio de clara¬
bit : qm̃ eius ꝓportio innumeri quaꝰ titate consistit: quȩ igitur causa est huius¬
modi terminorum habitudinem idest arithmeticam cunctis alissꝓportio¬
na litatibus ante ponere : Primum quod hanc nob̵ in principio ipsa nume¬
rorum natura & iuis naturalis quantitatis opponit: huius modienim ꝓportio¬
nes quaeq ad ter minorum differentias pertinent. ut paulo post de monstra¬

Expanded text:
metica proportionalitate dicendum est. Nunc vero de proportionalitatibus, deque medietatibus dicenduest. Et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, neglecta proportionis parilitate, constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem, numerorum ipsa ratio declarabit, quoniam ejus proportio in numeri quantitate consistit. Quae igitur causa est, hujusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstra
Abbreviated transcription (Latin):
que qđ medietas eadem sui parte& amaiore uincitur. & minorem ipsam
suꝑuenit : Non eadem aut̃ parteminoris. minorẽ transit. ł maioris ama¬
iore reliquitur: quȩ om̃s scilicet ꝓprietetes non alterius nisi arith inetiꝙȩ.

Expanded text:
que quod medietas eadem sui parte et a majore vincitur, et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit, vel majoris a majore relinquitur, quae omnes scilicet proprietates non alterius nisi arithmeti
Abbreviated transcription (Latin):
depro por no Na lita Ti Bus
tlehis quidem sufficienter dictum est nuncres ad monet quȩ dam de ꝓpor¬
ti onibus disputantes : quae nobis uel admusicas speculationes : uel ad astrono

Expanded text:
De proportionalitatibus. Et de his quidem sufficienter dictum est. Nunc res admonet, quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astrono
Abbreviated transcription (Latin):
eumq compositum non ex diuersis Quidenim numeri substantiam coniun ger&
cum ipsius exemplum cuncta iunxiss&: sed exseipso uid&ur eẽ compositus. Por

Expanded text:
eumque compositum non ex diversis. Quid enim numeri substantiam conjungeret, cum ipsius exemplum cuncta junxisset? sed ex seipso videtur esse compositus. Por
Abbreviated transcription (Latin):
ros primaquae iungant. ad substantiam quidem. quae constent semperq per¬
maneant. Neq: enim ex non subsistentibus efficiquicquam potest: & sunt ipsa

Expanded text:
ros, prima quae conjungant, ad substantiam quidem quae constent, semperque permaneant. Neque enim ex non existentibus effici quidquam potest, et sunt ipsa
Abbreviated transcription (Latin):
forum ꝑ mutantes. atq aliosa perientefalios digitis occlulentes. diuersosemit¬
tant sonos. ł c̃duabus altrinsecus ꝓtensis chor dis meduner uisonũ musicus

Expanded text:
foramen permutantes, atque aliud aperientes, aliud digitis occludentes, diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis chordis, medii nervi sonum musicus
Abbreviated transcription (Latin):
e cognitis enim quȩ in planis nu¬
merorũ figuris. uis. ipsa quantitatis naturaliter opereł: ad solidos numeros non.
erit ulla cunctacio: Sicut enim longitudini numerorumaliud interuallum

Expanded text:
ecognito enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum
Abbreviated transcription (Latin):
iiratione scilic& custodita. geu¬
me trica medietas explicatur: & quod continetur sub extremitatib:
equum erit ͤ qđ sub utraque medietate ad se in uicẽ multiplicata con¬
ficitur Rursus maximus. uiii terminorũ numerus: ad eũ qui sibi

Expanded text:
ratione scilicet custodita, geometrica medietas explicatur. Et quod continetur sub extremitatibus aequum erit ei quod sub utraque medietate ad se invicem multiplicata conficitur. Rursus, si maximus quatuor terminorum numerus ad eum qui sibi
Abbreviated transcription (Latin):
quaternarius in aequa partitur: Quibinarii. duplus est. sed binarius unitatis
medi &ate diuiditur. quae unitas naturaliter singularis numeri. non reci¬
pit sectionem: Huic numero uid&ur accidere : ut quae cumq: eius fuerit pars.
cum nomine ipsoq: uocabulo pariterpar inueniatur. Tum &iam quantitate:

Expanded text:
quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate
Abbreviated transcription (Latin):
terminum perueniri quaeat. sola autem unitas circum se duosterminos
non hab& atq ideo eiusquiest propese solius ẽ medi& as. Nam iuxta unum. so¬
lus est binarius naturalit̃ constitutus. Cuius unitas. media parsẽ. Quare constat
primã esse unitatẽ cunctorũ qui sunt innaturali dispositione numerorum
& eam rite totius quam uis prolixȩ genitricem pluralitatis agnosci
aris autem numeri. species tressunt: łstenim una quae dicitur parit̃ par
Aliauero parit̃ impar. Tertia impariter par: & contraria quidem loca obti¬
nentia summitatum uidentur esse pariterpar & pariter impar: medi&as autem
quae dam quae utrorumq participat est numerus qui uocatur impariter par
paria partisq pars. in aliã duo paria ut hoctotiensfiat. usq dumdisusio partium
ad inusibilem naturaliter perueniat unitatem. ut LXIIII. numerus hab&
medi&atem XXII hic autem medi&atem XUI. hicuero .vIII. huncquoq

Expanded text:
terminum perveniri queat. Sola enim unitas circum se duos terminos terminum perveniri queat. Sola enim unitas circum se duos terminos non habet, atque ideo ejus, qui est prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam rite totius quamvis prolixae, genitricem pluralitatis agnosci.ivisio paris numeri Paris autem numeri species sunt 3. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus qui vocatur impariter par.paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut 64 numerus habet medietatem 32, hic autem medietatem 16, hic vero 8, hunc quoque
Abbreviated transcription (Latin):
uel sumpari idem feceris. par continuo procreatur :
mnis quoq: numerus circum sepositorum & naturali sibim& dispositio¬
ne iunctorum media &asest: & qui super duosillos sunt quimedio iungunt᷑
si componantur : &iam ipsorum supra dictus numerus media portio est: &
rursus illorum qui sunt supersecundo loco iunctos. Cum ipsi quoq: sint com¬
positi prior hisnumerus medi&atis locoest: Et hocerit usq dum occurrens
sterminum fecerit. ut siponat quis quinarium num
cir ca ipsum sunt. super quattuor. inferius ui. Huiergo siunctisunt. facient
decem. quorum quinarius numerus medi&as est : Qui autem circa ipsos
id est circa .ui. & quattuor sunt. tresscilic&. & uii. idem iunctsint eorum qui¬
narius numerus. medi&aserit. Rursus istorum quialtrinsecus positi sunt.
siiungantur &iam hiquinariinumeri duplisunt: Nam super .iii sunt .ii.¬
us rursus medi&asest. hocidem in omnibus numeris. euenit usq: dũ adunitatis

Expanded text:
vel si impari idem feceris, par continuo procreatur. Cvel si impari idem feceris, par continuo procreatur. Ce unitatis. Omnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositione junctorum medietas est. Et qui super duos illos sunt, qui medio junguntur, si componantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est, et rursus illorum qui sunt super secundo loco junctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt, supra 4, inferius 6. Hi ergo si juncti sunt, faciunt 10, quorum 5 numerus medietas est. Qui autem circa ipsos, id est circa 6 et 4 sunt, 3 scilicet et 7; idem si juncti sunt, eorum quinarius numerus medietas est. Rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt. Nam super 3 sunt us rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis
Abbreviated transcription (Latin):
diuisionis parfuerit: alia impar in ueniri quaeat. Aut cumuna imparsit.
alia par possit intellegi: Imparuer onumerus est. qui ad quamlib& illã
diuisi onem per in aequalia semper diuiditur. ututrasq species numeri semꝑ
ostendat necumquam altera sinealtera sit: seduna pars paritati. imparitati
altera deputetur. ut uii. sidiuidas in .III. atq: quattuor: altera portio
par. altera impar est : & hocidem incunctis imparibus inuenitur: Neq
um quam in imparis diuisione pra&er se eẽ possunt haegemine species:
aenaturalit̃ uimnumeri substantiãq: componunt
DEFINITIO PARIS ETIM PARIS PERALTERUTRUM:
uod sihaec &iamper alterutras species definienda sunt : Dic&ur imparem
numerum eẽ. quiunitate difert apari. uel cremento. uel diminutione.
Par item numerusest. quiunitate differt ab impari. uel cremento. uel di¬
minutione : si enim pariunum dem seris. uel unum adieceris. imparefficitur.

Expanded text:
rs divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, rs divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, imparitati alia deputatur, ut 7 si dividas in 3 et in 4, altera portio par, altera impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, praeter se esse possunt hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componuntfinitio paris et imparis per alterutrum. uod si haec etiam per alterutras species diffinienda sunt, dicetur imparem numerum esse, qui unitate differt a pari, vel incremento, vel diminutione. Item par numerus est, qui unitate differt ab impari, vel incremento, vel diminutione. Si enim pari unum dempseris vel unum adjeceris, et impar efficitur,
Abbreviated transcription (Latin):
cipit: sed ut inneutra diuisione. uel imparitati paritas. uel paritati
iparitas misceatur : Pra&ersolum paritatis principembinarium nu¬
merum qui in aequalem non recipit sectionem: propterea quod exduab
unitatibus constat: & exprimaduoru quodam modo paritate: Quod autĩ
dico taleest si enim ponatur parnumerus potes induo aequa diuidi. ut
denarius diuiditur. inquinos: Porro autem. & per in aequalia. utidem
denarius intres. & septem: sed hocmodo. ut cum una pars fuerit. diuisionis-
par. alia quoq: par inueniatur : & siuna impar. reliqua ab eius imparitate
non discrep&. ut in eodem numero qui est denarius. Cumenim diuisus ẽ
inquinos uel cum intres. & septem : utraq: inutraq: portione parte s impares
extiterunt: si autem ipse uel alius numerus par. diuidatur inaequales
ut octonarius. in .iiii. & .iiii. & item per in aequales. ut idem octonarius
inquinq & iii in illa quidem diuisione. utraeq partes pares facte sunt:

Expanded text:
ionem ita quod in neutra divisione vel imparitati paritas vel paritati imparitas misceatur, praeter solum paritatis principem binarium numerum, qui inaequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat, et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos. Porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in 3 et in 7. Sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una impar, reliqua ab ejus imparitate non discrepet, ut in eodem numero qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in 3 et in 7 utraeque in utraque portione partes, impares exstiterunt. Si autem ipse vel alius numerus par dividatur in aequales, ut octonarius in 4 et in 4, et item per inaequales, ut idem octonarius in 5 et in 3, in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, et