comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
sitio & coniunctio ex inparibus fit inmd tubi lieos naturȩ¬
pronuntiabo coniunctos: quoduero paste altera longiores¬
ex copulitione parium procreantur : Num quam alteri¬
tatis uari&ate separantur.
lludigitur ꝑ spicien dumest quod sudem t&ragoni & parte
altera longiores deponantur : Ita ut alter natim sibi ꝑmixti sint
Tantuinhis est coniunetio: ut alias sibi meisdemproportionib

Expanded text:
sitio et conjunctio ex imparibus fit, immutabili eos naturapronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longioresex copulatione parium, procreantur, nunquam tatis varietate separantur.llud igitur perspiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionib
Abbreviated transcription (Latin):
uariabilisq naturae quod corporibus indubitanter uide¬
mus aecidere : Vnde nunc nobis monstrandum est hãc
gemina numerorum natura quadratorum scilie&
& pastẽ altera longiorum: cunctas numeri species
cunctasq habitudines uel ad aliquid relatȩ quantitatis
ut multiplicium uel suꝑ pasticularium. & c&erorum
uel adse ipsam consideratȩ. ut formarum quas dudum
insuperiore disputatione discripsimus in formapilu
ut quem ad modum mundus ex inmutabili mutabiliq
substantia sic omnis numerus ext&ragonis quiin¬
mutabilitate ꝑ ficiuntur : & ex paste altera longuo¬
ribus quimutabilitattm pasticipant : ꝓb&iur cẽ coniunetis¬
& primo quidem distribuendum est. qui sint. hi: quos

Expanded text:
ariabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse conjunctust primo quidem distribuendum est, qui sunt hi quo
Abbreviated transcription (Latin):
cis & hac ad gregatione quinumerus factus sit:
sunt iii : quiscilic& primus & in conpositus est & post
unitatem : ultimum binarium numerum ad gre¬
gaueras : sigitur ternarium id ẽ qui exco acerua¬
tione collectus est perbinarium multiplices qui ẽ
ultimus adgregatus : perfectus sineulla dubitatio¬
ne nasc&ur: bis enim tres .vI. faciunt : qui habent
unam quidem ase de nominatam partem idest
sextam : Tres uero medi & atem : secundum duali¬
tatem: At uero duo secundum co aceruationem

Expanded text:
cies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, tres vero medietatem secundum dualitatem, at vero duo secundum coacervationem
Abbreviated transcription (Latin):
sesenumero troens grediuntur comparati. ad eos quia trib
inchoantes : ternaria sese quantitate. praetereunt : ne cceiois
difficile : alias eius partos secundum praedictum modum diligen

Expanded text:
sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligen
Abbreviated transcription (Latin):
hocosiam est : quodhorum comites semper cur sub prte¬
postion dicentuo: ut est sub duplex ses qualter sduldele
po qurre duss sib duplex sosqui quartus ÷ edert qudem
ibaplse mueto si per partiens est quotiens nuneras a dnume¬
rum comparatus hab& in sealium numerum totum plus quã
semel : &cius uelduas ueltres : uel quot lib& plures partieu¬
las : secundum numeri super partientis figuram: in hõc quo¬
que propter causa superius dictam nonerunt dugȩ racsbi¬
Qatos: ne que duae quartae : ne queduae᷑ sex̃ tae : sedduae
tortiae uelduae quintae : uelduae septimae : ad priorũ¬
similem consequentiam: no ẽ. a utem difficileprecunedun
proprias partes duplex superbi partiens uel duplex super¬
tripartiens uol duplex super quadripartiens: e rursus tri
plex superbi partiens & triplex super tripastiens : &tri¬
plex super quadri partiens : & similiter : ut octo ad tres
conparati faciunt duplicem superbi partientem: xni
ad .ui. & omnes quicumque ab .uiii. incipientes i octonario

Expanded text:
hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem iplex vero superpartiens est, quoties numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad prioresimilem consequentiam. Non est autem difficile secundum proprias partes, duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiplex supertripartiens, et triplex superquadripartiens, et similiter. Ut 8 ad 3 comparati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario
Abbreviated transcription (Latin):
ut in continua propostione quod fit sub extremita¬
tibus. sitres fuerint termini: hoc amedi&ate multi¬
plicata consurgat : si enim sint .ti. iiii.uiii. quod fir
ex bis uiii idem fit ex qͣter .iiiIi: uelsi sit inquattuor
Terminis disuincta propostio : quod fit subutris que
ex tremitatib ĩdduarũ medi&atũ multi plicatione concrescat:

Expanded text:
ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor terminis disjuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat.
Abbreviated transcription (Latin):
ut sisint .II. .iiii. uiii. xui. quod fitexbis xvi: id ex quater
UIII. reddatur : Ex emplar autem nobis maximum cer¬
tissimum qu ȩsit illudubiex aequalitate diximus
Omnes inȩqualitatis species fundi illicenim in omnibus

Expanded text:
Ut si sint 2, 4, 8, 16, quod fit ex bis 16, id ex quater 8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim, in omnibus
Abbreviated transcription (Latin):
in hoc numero res pondentib: sibi inuicem partib: multiplicatis:
maior exgrȩmitas eius demnumeri summaq: conficitur : &

Expanded text:
in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis, major extremitas ejusdem numeri summaque conficitur.
Abbreviated transcription (Latin):
inaequalib: inueniri : Quida muero hos bomscos uocant: idest
quasdam arulus quae inionica graeciae regione. ut ait nicho¬
machus hoc modo formatae fuerunt : ut neque altitudo latitudin
neque haec longitudini conuenireł : Vocatur autẽ aliis quibusdẽ
nominib: quae nunc ꝑsequi suꝑ uacuum iudicauimus: Igitur
crbi aequalib sespacus porrigentis : & huius formae quam dixi¬
mus gradata distributione dispositae medi&atessun quaẽ neq
cunctis pastib aequales sunt :
neque omnib in aequales quos graeci parale le pipedos
uocant : Latin nomen hoc: Itaun farmiter compositum habere¬
non possunt : Vt tam̃ idem plurib: dictum sit : Ea que
hoc nomine uocatur figura quae alter natimpo sitis latitudinib:
contin&ur ⁊¬

Expanded text:
inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc prosequi supervacuum judicamus. Igitur cubi aequalibus spatiis se porrigentibus et hujus formae, quam diximus, gradata distributione disposita, medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum haberenon possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur
Abbreviated transcription (Latin):
uius modi uero formas quales sum quae uocantur a graecis
quarum figurarum numerus hoc modo difiniendus est:¬
paste altera longi or est numerus : quem siin latitudine discri¬
sed non cunctis aequalib: sed semꝑ minus uno : Namque neclatera
laterib: cuncta cunctis a equa sunt : Nec longitii dini latitudo ÷
sedut dictum est cum hinc altera pars maior fuerit : uno tantum
minorem p̃cedit ac superat : si enim numerum naturalem dispo

Expanded text:
ujusmodi vero formas quales sunt quae vocantur a Graecis quarum figurarum numerus quoque hoc modo diffiniendusParte altera longior est numerus, quem si in latitudinem descrised non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem dispo
Abbreviated transcription (Latin):
gatione fungatur eũ quoq numerũ neces se ẽ in ꝓpriu
semꝑ sese habentem aequalit̃ substantia ꝑmanere
fumq compositum non exdiuersis : Quid enim numeri

Expanded text:
gatione fungatur, eum quoque numerum necesse est, in propria semper sese habentem aequaliter substantia, permanere, eumque compositum non ex diversis. Quid enim numeri
Abbreviated transcription (Latin):
creant : Atuero ubiduo altrinsecus paste altera longiores unum
medium t&ragonum claudunt : Om̃s ex his qui fiunt t&ragoni :
a parib: producuntur : Namꝰex duob &vi. paste altera longiorib:

Expanded text:
creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longiorib
Abbreviated transcription (Latin):
berem : tutantum dignus eomunere uidebare : eoque ma¬
gis inerrato opus eẽ intelle gebam: Nam& si apudte facilis
ueniae locus e& : Aliquando tam̃ ipsam formidabat facilitatẽ
suspecta securitas: Arbi trabar enimnihiltantae reue¬
rentiae oblatũ irio portere : qđ non elaboratũ ingenio
ꝑfectum studio dignũ postremo tanto otiouider & ur:
Nonigitur ambigo quin ꝓtua in me beniuo lentia suꝑuacua
reseces hiantia suppleas: errata rep̃hendas : Commode
dictu : animia lacritute suscipias : Quaerẽ simpulit pigrã
consilu moram : Nimio senimmihi fructus placitura restituen:
Noui quippe quanto studiosius nr̃a quã c&erorũ bon adiligamꝰ:
Recte ergo quasi aureos cerericulmor : & maturos bacho

Expanded text:
berem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque mgis in errato opus esse intelligebam. Nam etsi apud te facilis venire locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem uspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe quanto studiosius nostra quam caeterorum bona diligamus. Recte ergo quasi aureos Cereri culmos, et maturos Baccho
Abbreviated transcription (Latin):
Nonstat igitur primo quidem loco unitatem propriae in¬
md tubilis que substantiae eius que naturae : dualitatẽ
uero primum alteritatis mdtationis qu eesse principiũ:

Expanded text:
Constat igitur primo quidem loco, unitatem propriae immutabilisque substantiae ejusdemque naturae, dualitatem vero primam, alteritatis mutationisque esse principiu
Abbreviated transcription (Latin):
TIO PARIS ETIMPARIS PER ALTERUT RUM.
Nuodsi haec &iam ꝑ alterũ tras species definienda sunt dic &ur

Expanded text:
tio paris et imparis per alterutrum. Quod si haec etiam per alterutras species diffinienda sunt, dicetur
Abbreviated transcription (Latin):
Hinc quoque ꝑspicuum est suꝑ pasticularium quemadmodũ¬
prius ostensum est : primos eẽ mult plices: si quidemdi¬
plices: ses qualteros : triplices ses quitestios & cunct mul

Expanded text:
Hinc quoque perspicuum est, superparticularium quemadmodprius ostensum est primos esse multiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti mul
Abbreviated transcription (Latin):
citur: Testium testio: sesquitestia propostio procreatur : si quar¬
tum quasto : ses qui quasta : & si quintum quinto : sesquiquinta
& hĩc suꝑ pasticularium normam in quamuis longissimum spa¬
tium progrediens: integram. in offensamq repperies : Ita ut in

Expanded text:
citur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in
Abbreviated transcription (Latin):
propinquior aequitat᷑ Propostio tripla redacta est : sunt enimꝰ termini:¬
VIIi . xxuii lxexii : Ex his autem ip̃sisidem si feceris ad duplam rursus conpa¬
ratioremeabit : Pone enim primum minor: aequum idest .viii : & ex secundo
auferprimum xvi. relinquentur : sed extertio idest exlxxii auferprimũ
id est .viii . & duos secundos id est .bis xvi &erit reliqua pars .xxxii : quib:
positis ad duplas propostiones habitudo redigitur : .vIII. .xvi. xxxii : Idem uerd

Expanded text:
propinquior aequitati proportio, tripla redacta est. Sunt enim termii: Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplum rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et ex secundo aufer primum, 16 relinquentur. Sed ex tertio, id est ex 72, aufer primum, id est 8, et duos secundos, id est bis 16, et erit reliqua pars 32. Quibus positis, ad duplas proportiones habitudo redigitur. Idem vero ex his si
Abbreviated transcription (Latin):
uertat continuo uideat suꝑ paruentes adcrescere : &
exsesqualtero quidẽ suꝑ bi partiens : exsesqui tertio : suꝑtri¬
partiens ꝓereatur : & ceteri scđm communes de nominatio¬
nis species : sine ulla ordinis int̃po latione nascentur : dispo¬
natur igitur sic : uiiiiui ini¬
uperioris igitur discriptionis primo : primus aequus nu¬
merus adscribatur Id.ẽ uiiii : secundus uero primo. &
secundo : id xv: Tertius uero primo duob: secundis &
tertio : idest xxu¬

Expanded text:
ertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic: Superioris igitur descriptionis, primo primus aequus numerus ascribatur, id est 9, secundus vero primo et secundo, id est 15, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id
Abbreviated transcription (Latin):
tes summulae : trium semper adiecta quantitate tnen¬
siliant: & siquis subteriores aspiciat angulos ĩ dem̃ per
omnes multiplicatas species : usq ad decuplum disposi¬
tissima ordinatione perueniat: si quis uero in hac dis¬
criptione super particularis species requirat : tali
modo repperi & : sienim secundum angulum not& cuius
est initium quater narius eique superiac& binarius
atque adhuno sequentem quis accomodet ordinem ses

Expanded text:
tes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione proveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, ses
Abbreviated transcription (Latin):
Ne quot unitates quis monstrare uell& : toties es uirgulae ducerentur:
Nos autem quotiesc̃q aliquid monstrare uolumus in his p̃sestim formulis
ordinatarum uirgularum multitudinem non grauamur adponere:
Cumenim .vͦ. uolumus de monstrare : faciemus ÷ꝰ uirgulas ducemusq: eas
hoc modo : uiii & cum septẽ : totidem : & cum .x . nihilominus : quia natu¬
ralius est quem lib& numerum quantas inser&in& totunitatib: de

Expanded text:
ne quotiens unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas hoc modo, 1 1 1 1 1, et cum 7 totidem, et cum 10 nihilominus, quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus de
Abbreviated transcription (Latin):
positis extertio id est xaxta duob: sumptis primo idest .vii. & duobus secundis
id est octonariis suꝑ sunt .viii : Quibus dispositis prima nobis aequitas cadit :
in aequalitatis species animumtendat eandem conuenientiam intituban¬
ter inueni& : quare pronunti andum est : nec ulla trepiditione dubitandũ :
quod quem ad modum ꝑse constantis quantitatis unitas principium & lem̃tũ
est: lta & ab aliquid relatȩ quantitatis aequalitas mater est : De monstra ui

Expanded text:
positis, ex tertio, id est 32, sumptis primo, id est 8, et duobus secundis, id est duobus octonariis, supersunt 8. Quibus dispositis, prima nobis aequalitas cadit, inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravi
Abbreviated transcription (Latin):
tate in opes: oppressosq quad am naturae suae
inopia minor quam ipsi sunt pastium summa conpo¬
nit: atque illi quidem quorum pastes ultraquã sa¬
tis ẽ sese porrexerint : super flui nominantur :
ut sunt .Xii: uel .xxiiii. Hienim suis pastibus conpa¬
ratimaior ẽ pastium summam totocorpore sostiun¬
tur : Est enim duo denarii medi&as: ui pars ter¬
tia : iiii. pars quasta : ii. pars .ui .ii: pars duo deci
19
ma i Omnisq: hic cumulus redundat in xvi. &
totius corporis sui multitudinem uincunt: Rur¬
quarta .ui: sexta .iiii. octaua .iii. duo decima .u¬

Expanded text:
tate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt, superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas 6, pars tertia 4, pars quarta 3, pars sexta 2, pars duodecima 1 est. Omnisque hic cumulus redundat in 16, et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rurquarta 6, sexta 4, octava 3, duodecima
Abbreviated transcription (Latin):
ses qualterum secũndus duo : testius : tres : quastus q̃uatiuor : & secundum
hunc ordinem : eadem sit in infinitum progressio : Neque umquam fieri

Expanded text:
sesquialterum, secundus duos, tertius tres, quartus quatuor, et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio. Neque unquam fieri
Abbreviated transcription (Latin):
cumpriorib: quam illa est antiquior uideatur: Proprie
tamen ipsanumerorum natura: omnis astrorũ cursus ommsq
astronomica ratio constituta est : sic enim ortus occasusq
colligimus : sic tarditates uel ocitatesq errantiũ siderũ cus¬
todimꝰ sic defectus & multiplices lunae uariationes agnos¬
cimus : Quare qm̃ prior ut claruit arithm &ĩcaeuis est
hiic disputationis sumamus ex ordium
II. DO SUBSTANTIA NUMERI
Omnia quaecumq a primeua rerum natura constructa
sunt numerorum uidentur ratione formata hoc eñ

Expanded text:
cum prioribus, quam illa est, antiquior videatur. Proprie tamen ipsa numerorum natura, omnis astrorum cursus, omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordium. CAPUT II. De substantia numeriOmnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, videntur numerorum ratione formata. Hoc en
Abbreviated transcription (Latin):
facile numenebiles: quippe qui pͣauci sunt &nimis cons¬
tantiordine procreati: atuero superfluos ac diminutos
longe multos infinitos que repperies nec ullis ordinibus
pͥassim in ordinate que dispositos & a nullo cestofine
generatos : sunt autem per fecti numeri intradenariũ
numerum .VI. In tntcentenarium xxuiii: In tra millena¬
semper hinũmeri : duobus parib: terminantur .ui.¬
& uiii : & semper alternatim in hos numeros sum

Expanded text:
facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis consordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo finegeneratos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium numerum 6, intra centenarium 28, intra millenasemper hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros sum
Abbreviated transcription (Latin):
ne mensura constabit : alios ergo sirerpicias uel
qui alios mensi sunt : uel qui ipsi ab alius mediũn

Expanded text:
ne mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiun
Abbreviated transcription (Latin):
trisq: quodã modo ad c&eras obtin& portionem : Haec estaut̃
arithm&ica : Haec enim cunctis prior est: Nonmodo qđ hanc
ille huius mundanae molis conditor ds̃ primã suae habuit

Expanded text:
trisque quodammodo ad caeteras obtinet portionem? Haec autem est arithmetica. Haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille hujus mundanae molis conditor Deus, primam suae habuit
Abbreviated transcription (Latin):
Io circo qm̃ inter ualla multiplicata maiore sese spacii ꝓlixitate disten¬
dunt : Iduero quod sine inter uallo est : plusquam ipsa est pariendi
ñ habe ł potestatem : Ex hocigitur principio idest exunitate prima

Expanded text:
idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero quod sine intervallo est, plus quam ipsa est, pariendi non habet potestatem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate prima
Abbreviated transcription (Latin):
Atq: inde qui suꝑ ipsossunt &usq: ad supra dictas extremi¬
tater: sienim fuerint dis positiones secundũ naturam paris
duos inmedio t̃minos continebunt : Vt in ea dispositione
numerorũ inqua extremus t̃minus cxxuiii. finitur:
n hoc enimnumero medi&ates suit viii. scilic& & Xui:
Quaeins e multiplicatȩ : maioris summam crescente plura

Expanded text:
atque inde qui super ipsos sunt, usque ad supradictos extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones, secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum in qua extremus terminus 128 finitur. In hoc enim numero medietates sunt 8, scilicet, et 16 quae in se multiplicatae majoris summam crescente plura
Abbreviated transcription (Latin):
diuisione non recipit in finitissimas enim sui corporis susci¬
pit sectiones: hanc igitur naturae infinitatẽ ind&erminatãq:
potentiam : philo sophia sponte repudiãt : Nihilenim qđ

Expanded text:
divisione non recipit. Infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem, indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim q
Abbreviated transcription (Latin):
AX DETORU EXEMELIS IN SUPFRIORE FORMULA IN UENIENDIS
orum autem : eorumq quise quuntur exempla integre
Yplaneque possumus pernotare : simpriorem discripti

Expanded text:
 eorum exemplis in superiore formula inveniendis. Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descripti
Abbreviated transcription (Latin):
aequales sunt de trochiminuiq non poterunt :
Hos igitur commensurabiles pronunti abimus : & .ẽ.
eorum qui reliquus est ternarius mensura communis:
ALIA PARTITIO PARIS SECUNDŨ PEREECTOS
IN PERFECTOS EI ULTRA QUAM PEREECTOS
cde in paribus numeris quantum introductionis per dã¬
mittebat breuitas expeditum est : Rursus nume¬
rorum parium sic fit secunda diuisio: Aluenim sunt
eorum superflui alii diminuti. secundum ut roos que
habitudines in aequalitatis : omnis quippe in aequa¬
litas aut inmaioribus . Aut inminoribus considera

Expanded text:
aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus, et est eorum qui est reliquus ternarius mensura communis. CAPUT XIX. Alia partitio paris secundum perfectos, imperfectos et ultra quam perfectos. Ac de imparibus numeris, quantum introductionis permittebat brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus considera
Abbreviated transcription (Latin):
qui sunt .uii : quos si duorursus septenario demserĩ
supersunt .u: atq e his alios duotres rursum &u¬
beraent : quos alios binario diminutos : solaunitas
superstes egredi&ur : Rursus si & duobus unum
auferam : in uno terminus d&ractionis hȩrebit: quẽ  uu¬
duorum illorum numerorum. id est .uiiii. & xxuiiii .¬
solumneque alium constat essemensuram : Hosergo
contrase primos uocabimus: sed sint aliinumeri nob
eadem conditione propositi idest .xxi. & uiiii: ut
quales hisint : inuestigentur cum sibim& fuerint
inuicem conparati: Rursus aufero demaiore mino¬
ris numeri quantitatem : id est .uiIii. dexxi: relin¬
quuntur .XIIi. Ex his rursus demo .viIii. super sunt .iii .
Quisi ex nouenario d&na hantur : senarius relinquet᷑ :
Quibus i temsiquis ternarium demat .iii. rel inquen¬
tur dequibus iii. d&rchi nequeant. atquehic est
sibi ipsi aequalis : nam .iii. quid & nhebantur us que
adternarium numerum peruenerunt : A quoqm̃

Expanded text:
cti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, cti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est 9 et 29, solum neque alium constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de 21, relinquentur 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam 3 qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo, quoniam
Abbreviated transcription (Latin):
retnctionis impediat:. Aut aliquis nume rufumpar
necessario siutriq numeri in pares ꝓponanture sẽc
eum quirelinquitur numerum sibi ipsi uidebis de qua¬
lem ergo si inunum incurrat uicissim usta sabtracu¬
tio primi contra seneces sarionumeni dicentur denul¬
la aliamensura nisi sola unitate coniunti : siuero ad
aliquem numerum ut superius dictum est finis dȩmi¬
nutionis incurrerit . erit numerus quim &i tur
ut rasq: summas: atque eundem ipsum qui reman¬
serit dicemus utrorũque communem es se mensũ¬
ram : a geenim duos numeros propositos habeamꝰ
quos iubeamur agnoscere : Aneos aliqua mensura
cominunis metiatur: At que hi sint .uiiii. scilic& : &¬
xxviiii. hoc igitur modo faciemus reciprocam demi¬
nutionem : auferamus demaiore minorem: hocest
dexxviiii : Nouenarium relinquentur .xx Ex his
ergo .xx : rursus minorem de trachemus idest
vIIII. & relinquentur .Xi. ex his rursus d&raho
.viiii . relicti sunt .ii. quossi detraho nouenario reli¬

Expanded text:
retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero ad aliquem numerum ut superius dictum est finis dinutionis incurrerit, erit ejus numerus qui metiatur utrasque summas, atque eumdem ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mensura communis metiatur. Atque hi sint 9 scilicet et 29, hoc igitur faciemus modo reciprocam diminutionem. Auferamus de majore minorem, hoc est de 29 novenarium, relinquentur 20. Ex his ergo 20 rursus minorem detrahamus, id est 9, et relinquentur 11. Ex his rursus detraho 9, relicti sunt 2. Quos si detraho novenario, et reli
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓponimus : Hoc autem non solum at&ragono prramidis
sed in omnib: ab omni multi angulo progredientib: specularilic& :

Expanded text:
ponimus. Hoc autem non solum a tetragono pyramidis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari lic
Abbreviated transcription (Latin):
tientes: Namq in his ut in prce dictis proportionibusmi¬
nores numeri & eorum quoq species omnes addita
sub prcepositione dicuntur : quorum difinitio tals uei¬
di potest: multiplex suꝑ particularis. est : quoties uinne¬
rus ad numerum conpanctus : hab& eum plus quam seuel
reius unam partem hoc. ẽ. hab & eum aut dupbuui aut
triplum
aut qua d ruplum aut quotiens lib& aeas qua libet al¬
quam ꝑartem uel mediam uel tertiam uel quartam uel

Expanded text:
tientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, mitientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, minores numeri, et eorum quoque species omnes, addita sub praepositione, dicuntur. Quorum definitio talis reddi potest: multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus, habet eum plus quam semel et ejus unam partem, hoc est, habet eum aut duplum, aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet aliquam partem, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel
Abbreviated transcription (Latin):
tias : & cumdico super tripartiens : sub audiri necersesit:
suꝑtripartiens quartas : qm̃tribus superquastis &ube¬
net : & super quadri partienti : sub auditur super quadri¬
partiens quintas : & ad eundemmõdum inc&eris unosem¬
per adiecto super habitas partes sub auditio facienda est
ut eorum germana conuenientia que his nomina haec sint :
ut quidicitur superbi partiens : idem dicatur superbi¬
tertius : quidicitur super tripastiens is sit supertriquar¬
tus : & quidicitur superqua dripartiens : idemdicatur
super qua driquintus : eademq similitudine :usque in in¬
finitum nomina producantur: XxUiu ++CΥΚ
DEMULTIEHE SUPERPARTICULARIMPRN¬
gitur relatae ad aliquid quantitatis simplices & pruue
specier haesunt: duaeuero alia e xhis uelut exali quibus
principiis conponuntur: ut multiplices superpasticulares
& multiplices super partientes: horumq cõmites submulti¬
plices super particulares : & sub multiplices supeb par¬

Expanded text:
tias. Et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus superquartis exuberat. Et superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur. CAPUT XXIX. De multiplici superparticulari. Igitur relatae ad aliquid quantitatis, simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae, ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares, et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares, et submultiplices superpar
Abbreviated transcription (Latin):
lus numerus primus est sic in solidis qui uo eaetur prramis
ꝓfunditatis ẽẽ principium: Omatumi eureuer intarum
snnumeris figurarum necesse est inuenire patimo dnen
ensnumer prgamis alias a triangulaba si in altitu dinerr
osererta er alias at&ragona alias a pentagroai
se cundum sequentium multitudines angulotum : adunũ
e cuminis uesticem subleuata: posito enim triangulo
atque discripto sipertres angulos singulae rectȩ lineae
stantes ponantur : hae que tres indinentur. ut adunum
medium punctum uestices iungant: fit prramis quae
cum triangula basi profecta sit tribus angulis ꝑ latera
conduditur hoc modo sit a ẽ c̃ Triangulum sihuic
igitur triangulo ꝑtres angulos erigantur lineae & ao
unum punctum conuestantur quod est .d. lta utd punctũ
non sit inplano sed pendens illȩ scilic& lineae ad ipsum
erecte uelticem : & quodam modo cacumen .d. facient:¬

Expanded text:
lus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque disposito, si per tres angulos singulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut ad unum medium punctum vertices jungant, fit pyramis. Quae cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem, et quodammodo cacumen d facient
Abbreviated transcription (Latin):
dem si at& ragona ba si proficiscatur:
& adunum uesticem eius lineȩ dirigantur:
Era psramis quattuor triangulorum ꝑlatera : & De
finetantum tatragono iubasi posito suꝑ quam ipsa figurta
fundata est: & sũpentagono surgant quinque liseue ÷ quinq
rursus prramis triangulis continebitur : &s
abexagono sextriangulis nihilominus & quantos¬
pura que angulos habuerit figura suꝑ quam
prramis resid&: totipsa ꝑ latera triangulis
contin&ur : ut ex subiectis discriptionib: palam et¬
cuntur autem huius modi prramides hoc modo:
Prima prramis : d&riangulo secuprramis d&etragono
Testia prramis depentagono : Quasta prramis deexagono:
Quinta prramis de eptagono : Idemque in c&eris constat nume¬
ris : Nam qm̃ lineares numeros eẽ diximus qui abuno profect
his autem ordinatim compositis : & inse inuicem cum distantia
sunetis suꝑ ficies nascebantur : ut sunum & duo lungercs

Expanded text:
em si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae dirigantur, erit pyramis quatuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam figura ipsa fundata est, et si a pentagono surgant quinque lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebitur, et si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam ecuntur autem hujusmodi pyramides hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus qui ab uno profecti His autem ordinatim compositis, et in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres
Abbreviated transcription (Latin):
prae tereas : terñarii : sitres quaternarii : si quat¬
tuor : quinarii : & ad eundem modum uno plus quam
inter miseris : eritilla quam qua erimus diffe

Expanded text:
praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, et ad eumdem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus diffe
Abbreviated transcription (Latin):
pereunte : In hac enimdis positione x . xx. xl
quemad modum estmaior cidmedium : sic medius
ad extremum : & quod continetur ub ex tremitatib.
ȩquum est ei quod amulti plicimedi &ate compl&ur :
differentiae quoque eorum: in eadem sunt propor

Expanded text:
pereunte. In hac enim dispositione 10, 20, 40, quemadmodum est major ad medium, sic medius ad extremum. Et quod continetur ab extremitatibus, aequum est ei quod a multiplici medietate completur. Differentiae quoque eorum in eadem sunt propor
Abbreviated transcription (Latin):
c&eris secundum unitatis ꝓ gressionem : in naturali salic& numero
secundum superiorum figurarum. incrementa tenduntur ⁊

Expanded text:
eris secundum unitatis progressionem, in naturali scilicet numero, secundum superiorem figurarum incrementa renduntur
Abbreviated transcription (Latin):
Hunc tntens gredere : atq: alium qui ꝰ tsequitur ad gre¬
gabis : si uero necdum fuerit primus & in conpositus
alium rursus adiunge : & uide quidfiat : quod sipri¬
mum in conpositumq repperies : tunc inultimȩ
multitudine summae : coacer uationem multiplica¬
bis disponantur enim omnes pariter pares nume¬
facies ergo itapones ÷ eiq ad gregabis .ii : tuncrespi

Expanded text:
hunc transgredere, atque alium qui sequitur aggregabis. Si vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeFacies ergo ita: pones 1, eique aggregabis 2; tunc respi
Abbreviated transcription (Latin):
ides neut᷑ cum superius innaturalis numeri dispositione
se termini s ingulis praeterirem : pra & ermissis duobis
& inii unus adiii: &ui adquinarium conparatibinarium
solum in differentia retinuerim : nec non &iam indisiuneta:
eadem uersabitur obseruatio. ⁊

Expanded text:
idesne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 4, unus ad tres, et 3 ad quinarium comparati, binarium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in disjuncta eadem versabitur observatio.
Abbreviated transcription (Latin):
Testius secundi ses÷ qualter : Quastus testii ses quitestius secđim
eandem conuenientiam : quae superius de monstrata est:
Rursus quadrati in incẽ in parib differunt : parte altera longiores parib: :

Expanded text:
tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est. Rursus quadrati invicem imparibus differunt, parte altera longiores, paribus.
Abbreviated transcription (Latin):
xuiiĩ Nascuntur autem numeri hi qui extensi inlatitudinem¬
quinque angulos pandunt ab eadem naturalis numeri
quantitate in sese coaceruata : Ita utduob semꝑ interiectis numeris

Expanded text:
um. Nascuntur autem hi numeri qui extensi in latitudinemquinque angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in sese coacervata, ita ut duobus semper interjectis numeris
Abbreviated transcription (Latin):
Namprimus primum quem numerat : secundum primum nu¬
merat : id .ẽ. secundum se & secundum primus quem

Expanded text:
Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se, et secundum primus quem
Abbreviated transcription (Latin):
duȩ medi&utes : quas superius diximus: uiii.xii. xuiii.
xxuii Octonariugitur latus est binarius. bis enimbini
bi soctonarium ferum ternarius uero xauii. qbilatus::
terenim trester xxii restituunt: medi& sigitur quȩ
iuxtu octonarium Sid ÷ xii. mutuatur duolatera
expropinquo sibi octonario: & aliud unum
lutis
&x a brinsitus posito xxvii. cibo : bisenimbini ter : xiipandunt:¬
& xuiii. eadem ratione duolutera a propinquosibi xxuii.
cĩbo colligit : & uno altrinsecus posito octonario : tres enim
terbis .xviii. Concludunt : Hocautem uniuersaliter spe¬
culandumest : si t&ragonus t&ragonum multiplic&:
sine dubio t&ragonus prouenit: sin uero paste altera lon¬
giorem num quam teragonus semꝑ paste al tera lon¬
crescit: Rur¬
sus sicrbus crbum multiplicauerit: crbi forma conficit᷑:

Expanded text:
duae medietates quas superius diximus, 8, 12, 18, 27, octonarii igitur latus est binarius, bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longiorcrescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficit
Abbreviated transcription (Latin):
sub praepositione nominabis : ut unus duorum
sub duplus triũ subtriplus . iiii. sub quadruplus
appellaetur & consequenter : cũ autem nature lit̃

Expanded text:
sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturalit
Abbreviated transcription (Latin):
& his si fuat rem omnem ad aequitatis summaseliquabimus : Pone enim primũ
minori ȩquum id est .viii. : & auferex xvi. octonarium : remanenł .vII. : quib:

Expanded text:
 his si fiat, rem omnem ad aequalitatis summas eliquabimus. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et aufer ex 16 octonarium, remanent 8, quib
Abbreviated transcription (Latin):
Quiuero aliquam mensuram pra&er unitatemi
uelulieris onae pastis uocabulum sostiuntur eos
ro illudgenus persecundi & composti priu ue
io dmcon positiadalterutrum comparati ha c

Expanded text:
qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos ro illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac
Abbreviated transcription (Latin):
tis scilic& uel docentis uelcedentis ueluapulantis¬
uel quȩ cumq ad aliquid relata aliter de nominatis
contneriis conparantur: XXII. DESPECIEBUS MA¬
IORIS QUANTITATIS ET MINORIS¬
aioris uero in aequalitatis .v. partes sunt est enim
una qua e uocatur multiplex : alia s uperpasticularis :¬

Expanded text:
tis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantisvel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis comparantur. CAPUT XXII. De speciebus majoris inaequalitatis et minorisajoris vero inaequalitatis quinque partes sunt. Est enim una quae vocatur multiplex, alia superparticularis
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicent uiscilicet & xii facient Lxii: quonume¬
ro cxliiii duplus ẽ: inuenemũshic quoq om̃s musicas
consonantias : namq: uiii. adui. & uiiii adxii conparati
ses qui tertiã ꝓportionẽ reddunt: & simuldiates sa¬
ron consonantiã .vi uero ad uiiii. uel uiii ad xii. conpara¬
ti : reddunt ꝓportionẽ ses qualterã sed diapente effi
ciunt symphoniã : xiiuero ad senariũ consideratĩ duplo¬
cẽ quidem ꝓportionẽ sed dia pason symphoniã canunt :¬
uiii uero & uiiii. ipsi contrase medii considerati: epog¬
deum iungunt : qui inmusico modulamine tonos
uocatus: qua e omnium musicorũ sonorũ mensara cõ¬
munis ẽ: omnĩ enim ẽ sonus iste paruissimus : unde
notũ est quoddia tesseron & diapente consonantia¬
rũ tonos differentia ẽ : sicut int̃ses qui tertiã & ses

Expanded text:
multiplicent, sex scilicet et 12, facient 72, quo numemultiplicent, sex scilicet et 12, facient 72, quo numero 144 duplus est. Inveniemus hic quoque omnes musicas consonantias. Namque 8 ad 6 et 9 ad 12 comparati sesquitertiam proportionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam. Sex vero ad 9 vel 8 ad 12 comparati, reddunt sesquialteram  symphoniam. Duodecim vero ad senarium considerati duplicem proportionem, sed diapason symphoniam canunto vero et 9 ipsi contra se medii considerati, epogum jungunt, qui in musico modulamine tonus vocatur, quae omnium musicorum sonorum mensura communis est. Omnium enim est sonus iste parvissimus. Unde notum est quod diatessaron et diapente consonantiarum, tonus differentia est, sicut inter sesquiterti
Abbreviated transcription (Latin):
ses qualtera ꝓportio ẽ: & quod continetur sub extremitatibus
idẽ .ẽ ei quod sit exmadiis : nãq: quod fit ex duo decies sex a equumẽ
es quod fit ex octies .uiiii: geo metrica ergo ꝓportiohunusmo¬
di ẽ: arithin&ica autẽ est si duo denarius ad nouenariũ
& nouenarius ad senariũ conparetur : mutrisq: enim
ter narius differentia ẽ : & iunctȩ extremitates medie¬
tate duplȩsunt: si enim iunxeris senariũ & xii facies xviii.
qui est nouenario medio termino duplus: in his ergo geo¬
metricam arith in &icã que meditatẽ pers peximus : hic quoq:
ar monica medietas inuenitur. sixii adiii & rursus viii. ad
senarium conparemus. Qua enim parte senarii. Octonari¬
us senariũ superat. idest parte tertia : eadẽ duo denarii paste
octonarius superatur : Quattuor enim quib: octona¬
rius aduo denario uincitur. duo denarii tertia pars est¬
& si ex tremitates iungas ui scilicet & xii . easq ꝑ octonariũ
mediũ multiples oxliiii. sunt: quod si se extremitates

Expanded text:
sesquialtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus idem est ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex duodecies 6, aequum est ei quod fit ex octies 9: geometrica ergo proportio hujusmodi est; arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium, et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est, et junctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim junxeris senarium et duodecim facies 18, qui est novenario medio termino duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque medietatem perspeximus. Hic quoque harmonica medietas invenitur, si 12 ad 8 et rursus 8 ad 6 comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte, octonarius superatur. Quatuor enim quibus octonarius a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si extremitates jungas 6 scilicet et 12, easque per octonarium medium multiplices, 144 sunt. Quod si se extremitates
Abbreviated transcription (Latin):
temaloris : Ni tenim arit m&ica dispositio .ii.ii.iiii:
Ternarius igitur numerus binarium testia sua par¬
te p̃cedit: ideuno: & a quaternario testia sua paste
praeceditur : id ÷ uno : atuero ternarius non eadem
paste minoris minorem uincit uelmaloris amalorẽ
sup eratur : Nam quemin orem id estbinarium uno
superat : idestipsius medi&ate binarii : A quaterna¬
rio uero uno relinquitur: quae pars quaternaru.
quastuest: Necteigitur dictum est: mediuniter¬
minum in huiusmodi medi&ate: eadem sui paste
& minorẽ uincere & amaiore superari. sed non eis¬
dem pastibus uel minoris minorem trans gredere
uel maloris a malor&ianscendi contrari ȩ armonica
medi&as propostioner hab& : Nam que non eadem
paste suamedus terminus in hac propostione uel
minorem uincit uelamalore superatur. sed eadem
paste minoris minorem superat : qua paste maloris
amalore superatur: In hac enim dispositione armo¬
nicuquacest .ii.iii.VI. Ternariur binariuroter

Expanded text:
te majoris. Sit enim arithmetica dispositio 2, 3, 4. Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris minorem vincit, vel majoris a majore superatur. Namque minorem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medietate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est medium terminum in hujusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a majore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel majoris a majore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua, medius terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a majore superatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte majoris a majore superatur. In hac enim dispositione harmonica, quae est 2, 3, 6, ternarius binarium ter
Abbreviated transcription (Latin):
relinquitur: Qua eomnes scilic& propri&ates non al¬
terius nisi arithm&icue medi&atis sunt: quod si supeniis

Expanded text:
relinquitur, quae omnes scilicet proprietates non alterius nisi arithmeticae medietatis sunt. Quod si superius