comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
inee inom̃surabłes in potẽ¬
tia sunt quari suꝑfities qͣdra¬
tas ñ num̃at una omunis si¬
perfities. Que cũ ita sint ma.¬
niffestum est qr om̃i linee ꝓ¬
põite multe alie sunt mom̃¬
surabłes quedam inlongitu¬
dine taintũ q̃dam in longitu¬
dine atq potentia Omnis

Expanded text:
nsurabiles in potentia dicuntur, quarum superficies quadratas non numerat una communis superficies. Que cum ita sint, manifestum est quia omni linee posite multe alie sunt incommensurabiles, quedam in longitudine tantum, quedam in longitudine atque potentia. ⟨i
Abbreviated transcription (Latin):
ilinea q̃ residuum drͣ ulla¬
ue irr̃oalium q̃ pꝰ eam sunt ne¬
quidẽe sub tmino bmomii
aut sub t̾mino ⁊ ordine illiꝰ ce¬
teraꝵ lineaꝵ irrõalium q̃ bi¬
nomium subsecunt᷑. cũ aut̃ po¬
ssibłe sit lineau irrõalium se¬
riem infinitum ꝓduci ñ est pos¬
int̾mino ⁊ ordine conueniꝵe

Expanded text:
Linea, que residuum dicitur, ullave irrationalium, que post eam sunt, nequit esse sub termino binomii aut sub termino et ordine ullius ceterarum linearum irrationalium, que binomium subsequuntur. Cum autem possibile sit linearum irrationalium seriem in infinitum produci, non est posin termino et ordine convenire
Abbreviated transcription (Latin):
si minori porciõi tãquã oimidi¬
um maioris directe iungatur.
erit ut quadratum linee inde
oposite quincuplũ sit quadrati
qd̃ ex ip̃a maioris medietate por¬
cionis describitur.

Expanded text:
si minori portioni tamquam dimidium maioris directe iungatur, erit ut quadratum linee inde composite quincuplum sit quadrati quod ex ipsa maioris medietate portionis describitur.
Abbreviated transcription (Latin):
tota qͦ fient eqͣlia. Et si abeqͣlib eqͣsua auferant᷑ que relĩ¬
quitur equana sunt Et si meqͣlib cqͣlia ad das: ip̃a tota
sient incqͣna. Si fi̾nt dueres uni enͣles: ntraq earum
alii supponatur appliceturq ei ner excedat aifa alt̾mu l¬
le sibi mincimerunt equales Onmetotũ sua ꝑte maiꝰ:¬

Expanded text:
a auferantur, que relinquuntur equalia sunt. Et si inequalibus equalia addantur, ipsa tota fient inequalia. Si fuerint due res uni equales, utraque earum  alii supponatur, appliceturque ei, nec excedit altera alteram, ille sibiinvicem erunt equales. Omnes totum mai
Abbreviated transcription (Latin):
erir lineaq linee suꝑstans ei cra smꝑitat ꝑpendicłaris uo¬
catiũ Angłs uõ ara reto maiorest: obnitus diert Angulꝰ
uͭ ara tecto minorẽ a eutus apellatur Terumus antẽ est
tinetͦ irculus est fignra plana una quid̃ linea conteutr.
nee adcutumferentia ȩxtutes: ibi inuicem ff eq̃les ⁊ h̾
Semicirłs est figura diametꝰ crcł̃i ⁊ medierate cͥcramserẽ¬
tie contẽta Portio cͥcl̃i est fig̾a recta linea. ⁊ parte entumfe

Expanded text:
erit, lineaque superstans ei cui superstat, perpendicularis vocatur: angulus vero qui recto maior est, obtusus dicitur; angulus autem qui recto minor est, acutus appellatur. Terminus vero est, tinetur. Circulos est figura plana una quidem linea contenta, nee ad circumferentiam exeuntes, sibinvicem sunt equales, et hic Semicirculus est figura plana, diametro circuli et medietate circumferentie contenta. Portio circuli est figura plan
Abbreviated transcription (Latin):
numerate.a. b. Omẽs gͦ facuint manis uno integro.¶R¬
tueri lib que in huius hbu̾tis ꝓcreacione occurrant. positoꝵ en
imparium ordines .ix. semꝑ se excedunt. ⁊ medium illoꝵ ꝓxmꝰ.
Humerum imparem habundantem inuẽire
cuius suptaꝵ parcium maxima aposito ĩ

Expanded text:
numerate a b. Omnes ergo faciunt maius uno integro. Inumerate a b. Omnes ergo faciunt maius uno integro. Intueri libet que in huius habundantis procreatione occurrant. Positorum enim imparium ordines ix semper se excedunt et medium illorum proximus umerum imparem habundantem invenire cuius sumptarum partium maxima a posito i
Abbreviated transcription (Latin):
dit .a. impar que maximam debet denominare. ⁊ par sub eo
b. Sumiantur q impares ab.a. sursum. scd̃m .b. Sit ꝙ extremus.
.e. ⁊ pͥmus .a. ⁊ duplus .b. sit .d. palam autem quia medietas illoꝵ
imparium ẽ sub . d. ⁊ alt̾a supͣ. Sit item ꝓximus par supͣ .c.e atq
scd̾m ipsum sumant᷑ impares post ipsũ. Sic q extrennus ẜ et
dupius .e. sit .g. paret ꝙ qd̾ dimidium illoꝵ imparium est supͣ .s.¬
plus teto faciunt. Ad hocꝰ autem sumimꝰ tres mim̃os eq̃ distã¬
⁊ q. sunt maius duplo.p. Eum enim maior sit ꝓporcio .ł. ad.h.
Et cara .n. sit maxinius : erunt .n.⁊. q. maiꝰ qmͣ .P. bis. hac rõe
ꝑtes ab imparib supͣ .e. positis denominate plus sunt qͣm totidẽ
ꝑtes. dicte. ab .g. qm̃ illi hinc inde equaliter ab eo distant. maiꝰ
gͦ sunt dimidio unius. qm nuum̾us illaꝵ parcium est. dimidium
g. hoc est .e. Cadem racõne partes denominate ab imꝑib sub.
.4ͥ. maius dimidio faciunt. qr mauis qmͣ ꝑtes sumpte scd̃n dez

Expanded text:
it a impar qui maximam debet denominare et par sub eo b. Sumanturque impares ab a sursum secundum b. Sitque extremus c et primus a et duplus b sit d. Palam autem quia medietas illorum imparium est sub d et altera supra. Sit item proximus par supra c e atque secundum ipsum sumantur impares post ipsum. Sitque extremus f et duplus e sit g. Patetque quod dimidium illorum imparium est supra g eominate plus toto faciunt. Ad hoc autem sumimus tres numeros eque distant q sunt maius duplo p. Cum enim maior sit proportio f ad h qEt cum n sit maximus, erunt n et q maius quam p bis. Hac ratione partes ab imparibus supra e positis denominate plus sunt quam totidem partes dicte ab g quoniam illi hinc inde equaliter ab eo distant, maius ergo sunt dimidio unius quoniam numerus illarum partium est dimidium g hoc est e. Eadem ratione partes denominate ab imparibus sub e maius dimidio faciunt quia maius quam partes sumpte secundum d et
Abbreviated transcription (Latin):
a. scd̃m medietatem .e. s. ⁊ .ẜ.b. scd̃m eandem. quare .ꝑ uiii. sod̾i
b. ad. A. sicut .f. ad. do s. ⁊ si d. sit par. tunc e m̃abit .a. scd̃m eiꝰ
dimidium. s ⁊ e mim̾abit .b. scd̃m dimidium . f. Itaq sicit .B. ad
a. ita f. ad .d. Simlit̾ quoq siad .s. ad e. ita .c. ad .b.s. ⁊ q̃a
b̾. suꝑat .a. qͣnͣtum est.e. si simat᷑.h. mmor .b. imo. ip̃e excedi .a.
qͣntum est .D. ati quo habundat .c. suꝑ .b. est .ẜ. et quia .b. ad
.A. sicut. ẜ ad . D. erit ut sict .d̾. ad .a. ita .c. ad.h. orod gͦ. exa.
eguum est ei quod fit ex .h. in .b. manfestum gͦ ÷. ip̃m esse pe
altera longiorem scd̾m qd̾ ꝓponitur.
Si tres continui tangulares statuantur:qͥ
sub extremis continetur erit parce alt̾a
longior. Euius laterum maximum erit

Expanded text:
cundum medietatem e. Sed et f b secundum eandem quare per viiiam secundi b ad a sicut f ad d. Sed et si d sit par, tunce numerabit a secundum eius dimidium. Sed et e numerabit b secundum dimidium f. Itaque sicut b ad a ita f ad d. Similiter quoque sicut g ad e ita c ad b. Sed et quia b superat a quantum est e, si sumatur h minor b uno, ipse excedet a quantum est 110 d. Ac quo habundat c super b est f. Et quia b ad a sicut f ad d, erit ut sicut b ad a ita c ad h. Quod ergo ex a in c equum est ei quod fit ex h in b. Manifestum ergo est ipsum esse parte altera longiorem secundum quod proponitur. Si tres continui triangulares statuantur, qui sub extremis continetur erit parte altera longior cuius laterum maximum erit
Abbreviated transcription (Latin):
ad .l. sicut .d. ad .e. ⁊ h. ad. R. sicut .a. ad .b. quare .l. est maior R. du¬
catur it̃ .ħ. in se ⁊ in ł .⁊. R ⁊ ꝓueniant in .n.p. Sit q .c. numerus qͥ
ꝓximo loco in se ductus plus faciat quam sit .n. a quo tollatur. dimi¬
dium differencie .l. ad k .ł. minus ⁊ remaneat .g. ⁊ eodem sub lato
ex l. relinquatur .f. ⁊ quia ꝓporcio .l. ad .f. est maior quam .c. ad .ig.
erit .g. ad f.maior. qm .c. ad .l. ⁊ id̾o maior qmͣ .h. ad .c. ado .c. ad .g.
maior qͣm .f. ad. k. mmnor gͦ .h. ad .g. qͣm.g. ad. k. qd̾ gͦ fit ex .g. ĩ

Expanded text:
are f est maior k. Ducatur item h in se et in l et k et proveniant m n p. Sitque c numerus qui proximo loco in se ductus plus faciat quam sit n a quo tollatur dimidium differentie l ad k vel minus et remaneat g et eodem sublato ex l relinquatur f. Et quia proportio l ad f est maior quam c ad g, erit g ad f maior quam c ad l, et ideo maior quam h ad c. Atque c ad g minor quam f ad k. Minor ergo h ad
Abbreviated transcription (Latin):
t̾cium semꝑ esse quadratum. pat: ꝑ .x. hꝰ quocienslibet repetitam.
& rtum autem esse cubur liquet qm̃ scd̾t in tͥcium ductus qui est suus
quadratꝰ. eum ꝓducit. quia quociens in scd̾o unitas tociens ĩ qͣrte t̾cus.
et quartum semper esse cubum est manifestum. ꝑ .xi. p̾sentis. qͦaens
neccẽ ⁊ sumptam. septami autem esse quadratum cubum constat
qm̃ in ip̃o conuenut num̾i quadratoꝵ ⁊ cułoꝵ simili quoq racõne
⁊ septimus ab illo erit quadratꝰ cubicus . ⁊ sic de ceteris.

Expanded text:
semper esse quadratum patet per xam huius quotienslibet repetitam. Quartum autem esse cubum liquet quoniam secundus in tertium ductus, qui est suus quadratus, eum producit quia quotiens in secundo unitas totiens in quarto tertius et quartum semper esse cubum est manifestum per xiam presentis quotiens necesse est sumptam. Septimum autem esse quadratum cubicum constat quoniam in ipso conveniunt numeri quadratorum et cuborum. Simili quoque ratione et septimus ab
Abbreviated transcription (Latin):
tinuate sunt tamqͣm poporcio .b. ad .e. duplicata. Ducatur siquiden
a in se. ⁊ in omnes reliquos ⁊ ꝓueniant.g. h.i. contimie ꝓporciona¬
les. ꝑ uii. scd̃i ⁊ k.i.m. continue etiam ꝓporciouales. ducatur itẽ.
e in se. ⁊ fiat .n. esit ꝙ g. ad .l. sicut .ł. ad .n. Erat autem ꝑ .uͭnͥ. scd̾i
l. ad .m. sicut .c. ad .f. Et. item .g. ad. R. sicut . a. ad .d. S etiam. i.¬
ad .n. sicut .g. ad .R. ꝑ .xxii. scdi. habemus itaq int̾ .i. ⁊ .n. contuui¬
atas ꝓporciones que sunt . a. ad .d.⁊ .c. ad .. s: ⁊ quia . h. ad .l. sicut
b. ad .e. ꝑ .xuii. quarci argues.
Si tres numeri continue ꝓporcionales trib aliis
contine ꝓporcionalibꝰ comparentur extremoꝵ ad
extremos ꝓporciones continuate tainquam medi¬
orum ꝓporcio duꝓplicata si sint prmi .a.b.c.d. conti

Expanded text:
continuate sunt tanquam proportio b ad e duplicata. Ducatur siquidem a in se et in omnes reliquos et proveniant g h i continue proportionales per viiam secundi et k l m continue etiam proportionales. Ducatur item e in se et fiatn. Eritque g ad l sicut l ad n. Erat autem per viiam secundi i ad m sicut c ad f. Et item g ad k sicut a ad d. Sed etiam mad n sicut g ad k per xxiiam secundi. Habemus itaque inter i et n continuatas proportiones que sunt a ad d et c ad f. Sed et quia h ad f sicut b ad e, per xviiam quarti argues.Si tres numeri continue proportionales tribus aliis continue proportionalibus comparentur, extremorum ad extremos proportiones continuate erunt tanquam mediorum proportio duplicata. Sint primi a b c et
Abbreviated transcription (Latin):
Sint ꝓpositi figͥ. Fħ. smeri ꝙ scd̃m cõrum pporcionem
ꝓporaonales ab. ẜc. ed. de. et quod fit ex. fg. in ab st
unum diuidens. ae. hac racione fiat .l o. ex fg. inbc. ⁊it. ex
fg. in.cd. Ex ip̃o quoq in. de. fiat. lz. patet itaq ꝑ decimam pͥmi
qd̵.gh. in. de. facit ⁊ n. s per .xxu. secundi ⁊ ꝑ eaudem. primi
ab ꝓducit. om. Itaq per .ix. pͥmi qd̃ fit ex gh iti. ae. producit . in.
quare si in .n. diuidatur. gh. exhibit. a eͦ. ⁊ hoc est quod ꝓbare ĩ

Expanded text:
Sint propositi f g, f h numerique secundum eorum proportionem proportionales a b, b c, c d, d e. Et quod fit ex f g in a b sit unum dividens a e. Hac ratione fiat l o ex f g in b c et 1 t f g in c d, ex ipso quoque in d e fiat l z. Patet itaque per decimam primi quod g h in d e facit z n. Sed et per xxvam secundi et per eandem primi m in a b producit o m. Itaque per ixam primi quod fit ex g h in a e producit m n. Quare si m n dividatur per g h, exibit a
Abbreviated transcription (Latin):
diffr̃a .a. ad .b. ꝑ .b. ad .c. sit.e. Sumant᷑ item tres quoꝵ extremoꝵ
sit ꝓporcio tam qͣm .b. ad .e. qmsit f.g. h. ⁊ diffr̾a .f. qui est maxiꝰ
huus .a. ad.c. Sicut.G. adR

Expanded text:
differentia a ad b et b ad c sit e. Sumantur item tres quorum extremorum sit proportio tanquam b ad e qui sint f g h. Et differentia f, qui est maximus, huius a ad c sicut g ad
Abbreviated transcription (Latin):
ad mintiplices. Młtiplices u̾o in alias soluentur donecuent
set ad erinalitatem. Ita. gͦ omnes ad equalitatem uenientent̃¬
is mediantib slota tamen qd̾ in młtipliab ⁊ sip non mutatur
ordo t̾minor. quia semꝑ. ⁊ minor est. In aliis autem siue ip̃e ⁊̃ se
ut supparcientes sine in alias conu̾titur ordo ut a fiat maamꝰ¬
edietas est connexio extremoꝵ.
habitucline utͥusq ad medium.
cedieratum quedam principales quedã
principalib collaterales. Pe incipales sunt
tres. ꝑ sima est quando maioris et mediz
et minoris equales sunt diffrencie. & dr̃
hec arismetica medietas Es ecunda est qͣndo
maximiad medium eadẽm est ꝓporcio que¬
et medii ad minimũ et hec uocat᷑ geometͥca.
Tertia est quando maximi ad minimũ eadem
est ꝓporcio que differencie maytimiad mediũ
ad differenciam medii ad minimum. et hec
appellat᷑ musica. Collat̾alium pͥma est qͦn
maximus ad medium sicut differencia mui¬
oꝵ ad differentiam maioꝵ. S ecunda est

Expanded text:
ad multiplices, multiplices vero in alias resolventur donec ventum sit ad equalitatem. Ita ergo omnes ad equalitatem venient aliis mediantibus. Nota tamen quod in multiplicibus et supra non mutatur ordo terminorum quia semper a minor est, in aliis autem sive ipse in se ut superpartientes sive in alias convertitur ordo ut a fiat maedietas est connexio extremorum habitudine utriusque ad medium. ‹ii› Medietatum quedam principales, quedam principalibus collaterales. ‹iii› Principales sunt tres. Prima est quando maioris et medii et minoris equales sunt differentie. Et dicitur hec arismetica medietas. Secunda est quando maximi ad medium eadem est proportio que medii ad minimum. Et hec vocatur geometrica. Tertia est quando maximi ad minimum eadem est proportio que differentie maximi ad medium ad differentiam medii ad minimum. Et hec appellatur musica. ‹iv› Collateralium prima est quando maximus ad medium sicut differentia minorum ad differentiam
Abbreviated transcription (Latin):
bemam enim ꝑ p̾missam duo
extreini sunt. tamꝙͣ duplum
qd̃ eximo maliud. bis.b. qͣdrata
atq sod̃am. pitir bis. concludes .c. medium esse in hac medie¬
tate nt̾ . a. ⁊ .b. ꝑ p̾missam gͥ demonstracõm consunnabis.
H eadem quoq medietate quadrata extre¬
moꝵ duplum sunt quadrato medii et quadͥ¬

Expanded text:
iam enim per premissam duo extremi sunt tanquam duplum quod ex uno in aliud bis b, quadrata atque secundam primi bis concludes c medium esse in hac medietate inter a et b. Per premissam igitur demonstrationem consumabis. eadem quoque medietate quadrata extrem duplum sunt quadrato medii et quadr
Abbreviated transcription (Latin):
sĩtum . . Sint num̾i ab unitate dispositi ꝑ duos ordines usq ad¬
duos mimeros iuntate distantes hoc modo. unitas. a.b.s
d.e. Item q unitas . a.b.c. d. ⁊ quadratum e. sit .⁊. dico. qd̾ .⁊. est tamꝙͣ
omines nutt̃i illoꝵ ordinura coaceruati. hac racõe signentur omnes qͣ¬
diati anferiores ip̃o. sint q ita dispositi. ⁊ .t.h.xy. iuntas. Erit ꝙ .⁊. qͣ s¬
dratꝰ d ⁊ h. quadratus .c. ⁊ .x. quadratus.b.⁊.y. auadratꝰ. a. ⁊ postea unita
Erit ⁊ diffrã .s. ad .⁊. tamqͣm .e. ⁊ .d. ꝑ.ixiiii. p̾sentis ⁊ conceꝑcionem
mediante ꝑte alt̾a longiore. S ⁊ diffr̾a . ⁊. ⁊ .h. est .d. ⁊c. eadem rõe.
It̃. quo habundat .h. suꝑ ex est tamg̃.c.⁊ .b. ⁊ 2. suꝑ .y. qͣnͣtum ÷ d¬
a. s. ⁊ y suꝑ unitatem. qnͣtum est .i. ⁊ unitas. q̃m unitas est suiꝰ
ip̃nis radix. Relinquitur autem untas in uno ordine ꝓ ea q̃ est
inter quadratos. Sic ꝙ pet concepconem concludes.

Expanded text:
ximus. Sint numeri ab unitate dispositi per duos ordines usqduos numeros unitate distantes hoc modo unitas a b c d e itemque unitas a b c d et quadratum e sit z. Dico quod z est tanquam omnes numeri illorum ordinum coacervati. Hac ratione signentur omnes quadrati inferiores ipso sintque ita dispositi z t h xy unitas. Eritque t quadratus d et h quadratusc et xquadratus b et y quadratus a et postea unitas. Erit et differentia z ad t tanquam e et d per xxiiiiam presentis et conceptionem mediante parte altera longiore. Sed et differentia t et h est d et c eadem ratione. Itemque quo habundat h supea. Sed et y super unitatem quantum est a et unitas quoniam unitas est sui ipsius radix. Relinquitur autem unitas in uno ordine post ea que est inter quadratos. Sicque per conceptionem concludes.
Abbreviated transcription (Latin):
stabit ex d. ⁊c. s ⁊ quia a constat ex eisdem eritt. eqͣł .a. quare ẽ
Duplus .a. quod si ponat᷑: erit obhoc .t. equał.a. s cunt constat
exs .i.d .i.a. Constadit ex eisdem. qͣre difra ꝙ ads. exit .d. er̃t ita
b ⁊c. eque distantes ab a. ⁊ hoc ÷ qd̾ emunciat᷑.¬
mns numerꝰ catum sepositoꝵ et equalit̾ ab eo dist¬
ancium ẽ. medietas. Qd̃ si eoꝵdem fu̾it medietas illos
ab eo eque distare conueniet

Expanded text:
stabit ex d et c. Sed et quia a constat ex eisdem, erit t equalis a quare e est duplus a. Quod si ponatur, erit ob hoc t equalis a. Sed cum t constat ex c et d, et a constabit ex eisdem. Quare differentia a ad c erit d. Erunt itaque b et c equedistantes ab a. Et hoc est quod enunciatmnis numerus circum se positorum et equaliter ab eo distantium est medietas. Quod si eorundem fuerit medietas, illos ab eo equedistare conveniet
Abbreviated transcription (Latin):
e. ad c. timc ⁊ constabit ex. d ⁊ t. Et qr b constat ex eisdem exit .b
equalis ⁊ ⁊ e. constabit ex a ⁊ b. Si añt conu̾so modo ponat᷑ ꝯseq̃ns
Di duo numeri a duob numeris cͥcum se positis¬
equaliter distent illis coniunttis erunt equales. Os

Expanded text:
e ad c, tunc z constabit ex d et t. Et quia b constat ex eisdem, erit b equalis z, et e constabit ex a et b. Si autem converso modo ponatur consequi duo numeri a duobus numeris circum se positisequaliter distent, illis coniunctis erunt equales.
Abbreviated transcription (Latin):
encones sunt tres. Q uilibet numero qͥ tlibet
posse sumi equales. Quolibet numero aliꝙ̃ qͣntũ¬
libet esse maiorem. Oeriem numeroꝵ in ifuntũ
posse extendi.
omunes armi concepciones funt octo. que sunt
uicumq eiusdem siue equalium eque multipli¬
ces fuerint. ip̃i quoq er̃t equales. Quib idem nu̾s
eque multiplex fu̾it siue quoꝵ multiplices eqͣles fue¬
rint: ipsi eciam sunt equales. Omins num̾i pars
est unuitas ab ip̃o denominata. Quilibet num̾us
ut enim minor numerat maiorem aut non numerat.: Si ũio nu̾at:
ꝑs enis ẽ. si non numerat ⁊ fu̾t aliquis cõmunit̾ eos num̾ans
erit scem pars utusꝙ qm quociens fu̾it innimore: dot ꝑtes mdioris
erit mmo. Si autem cum sit omnis num̾i ꝑs umcas: exit hoc idem
ꝑ unitates monstrandum.

Expanded text:
ones sunt tres. ‹i› Cuilibet numero quotlibet posse sumi equales. ‹ii› Quolibet numero aliquem quantumlibet esse maiorem. ‹iii› Seriem numerorum in infinitum posse extendi. ommunes animi conceptiones sunt octo, que sunt ‹iii› Quicumque eiusdem sive equalium eque multiplices fuerint, ipsi quoque erunt equales. ‹iv› Quibus idem numerus eque multiplex fuerit sive quorum multiplices equales fuerint, ipsi etiam sunt equales. ‹v› Omnis numeri pars est unitas ab ipso denominata. ‹vi› Quilibet nut enim minor numerat maiorem aut non numerat. Si vero numerat, pars eius est. Si non numerat et fuerit aliquis communiter eos numerans, erit idem pars utriusque qui quotiens fuerit in minore tot partes maioris erit minor. Sin autem cum sit omnis numeri pars unitas, erit hoc idem per unitates monstrandum.
Abbreviated transcription (Latin):
yminer i qrsilibet insua proporcione mini¬
mi numerant quoslibet in sgadem ꝓporciõe
sumptos minor minorem et maior maiorẽ

Expanded text:
umeri quilibet in sua proportione minimi numerant quoslibet in eadem proportione sumptos minor minorem et maior maiorem
Abbreviated transcription (Latin):
Nota untatem omnis num̾i potestatẽ optinere cuius
latera designantur equalia. primus q post ipsum est auꝰ
latus est bmarius ⁊ sic decet̾is. Qꝰmam gͥ pentagomis qͦt̾
fu̾it post unitatẽ ex toto tetragono constrit ⁊ tͥangulari ab
uuitate toto. Idem tͥangulus qui etiam ip̃e est quem ꝓposicõ
ꝓponit ex oppõito latere tetͣgom ponat᷑ palam qr ipsum ex¬
agonum ꝯsticũe.
uilibet pentagonoꝵ post uni¬
tatem cum toto triangulari ab unitate
exagonum post unitatem simili loco po¬
situm constituit. et huius modi detrago

Expanded text:
Nota unitatem omnis numeri potestatem optinere cuius latera designantur equalia primusque post ipsam est cuius latus est binarius et sic de ceteris. Quoniam igitur pentagonus quotus fuerit post unitatem ex toto tetragono constat et triangulari ab unitate toto, idem triangulus, qui etiam ipse est quem propositio proponit, ex opposito latere tetragoni ponatur palamque ipsum exagonum constituere. uilibet pentagonorum post unitatem cum toto triangulari ab unitate exagonum post unitatem simili loco positum constituit et huiusmodi tetrago
Abbreviated transcription (Latin):
est do uno: er̃ d. ad .a. superparciens. qr denominans.a. &¬
numerans umo minor. Item cum sit diffr̾a imparium. bi¬
narius ⁊ num̾oꝵ ab unitate unitas. addet .e. suꝑ .h. imo plꝰ
qm .d. suꝑ .ã. s ⁊ f. ad .c. ad huc uno maior. quia si crescunt
diffrẽ imparium super num̾os ab uno sicut et ipsi numeri
cum sit diffr̾a .d. ad .a. minor a uno erit diffr̾a .e. ad .b. mi¬
nor .b. uno .⁊ diffrã .f. ad .c. miuor .c. uno. ⁊ ita de cet̾is. et
quia mim̾i uno distantes sunt ad mincem pͥmi: er̃t ꝓpͥes¬
Su mpares post ternarium continue sũpti
ad numeros post binarium naturau serie
ordinatos comparent᷑. exhibunt suꝑparci-¬
entes continue crescentes denomina cões

Expanded text:
est eo uno, erit d ad a superpartiens quia denominans numerans uno minor. Item cum sit differentia imparium binarius et numerorum ab unitate unitas, addet e super b uno plus quam d super a, sed et f ad c adhuc uno maior. Quia igitur crescunt differentie imparium super numeros ab uno sicut et ipsi numeri cum sit differentia d ad a minor a uno, erit differentia e ad b minor b uno et differentia f ad c minor c uno et ita de ceteris. Et quia numeri uno distantes sunt ad invicem primi, erunt pimpares post ternarium continue sumpti ad numeros post binarium naturali serie ordinatos comparentur, exibunt superpartientes continue crescentes denominationes
Abbreviated transcription (Latin):
mimerat binarius. qui cutoq par totum nilm erat numer¬
abit eum scd̾m num̾um qui et medietatem totius numerabit
ꝑ .xxu. scd̾i. Idemgͦ et erit impar ꝑ .xiii. p̾sentis. Qm̃  ergo
quicumq par eum num̾at: sod̾m parem numerat erit omĩs
talis pariter impar.¬

Expanded text:
merat binarius quicumque par totum numerat, numercundum numerum qui et medietatem totius numerabit per xxvam secundi. Idem ergo erit impar per xiiiam presentis. Quoniam ergo quicumque par eum numerat secundum imparem numerat, erit omnis talis pariter impar.
Abbreviated transcription (Latin):
d. ade: erit ꝑpͥmam huiuus .b. ad .a: sicut. e ad .d. ꝑ ante p̾missam gͥ
b. ad .c. sicut e adf. Qͣre ꝑ uͣi. huius.b. ⁊c. ad .c. sicut e f. ad .f. ꝑ
p̾mam gͦ istius ⁊ antep̾missam facile argues¬
E fuerit ad secundum sicut tertius ad quartũ:¬
Itemq primus ad quintum situt terciꝰ ad sextũ
erit sicut primus ad scd̃m et quintum: ita tertiꝰ
ad qͣrtum et sextum. ¶ uerbi gña sit a ad .b. sicut .c. ad. d.¬

Expanded text:
d ad e , erit per primam huius b ad a sicut e ad d. Per antepremissam igitur b ad c sicut e ad f. Quare per viam huius b et c ad c sicut e et f ad f. Per primam ergo istius et antepremissam facile arguesus ad secundum sicut tertius ad quartuitemque primus ad quintum sicut tertius ad sextum, erit sicut primus ad secundum et quintum ita tertius ad quartum et sextum. Ut si a ad b sicut d ad
Abbreviated transcription (Latin):
i numerꝰ ꝑ duas quaslibet diuisiones diuidat᷑:
qd̃ fit ex ductu maximi diudencium in minimũ
cum eo qd̃ ex diffr̃a ip̃ius ad altum medioꝵ ĩ diffe¬
renciam eiusdem ad minimum: tantũ ÷ qͣntũ
q̃d ex ductu duoꝵ medioꝵ unius in alt̾um
Fut si b sit detͣctus aba ⁊ d de c. sit q cota ꝑs d. quota᷑: a pars .c. Sit na
eresiduũ.a. ⁊ ẜ residuum .s. Ꝙ si non fu̾it e tota ꝑs .f. quota ẽ ac. esto
alt̾uis qui sit G̃. Constat gͦ. qd̃ quia es ÷ tora ꝑs. g. qͦta d̾ est .d.
erit compositus ex e ⁊ b. similis pars compositi ex g ⁊ d. ꝑ qrͣcam. Pat:
gͥ e esse tamqͣm õ. d. quare s equale est f. est itaq f. eque młtip᷑.
ad e sicut .c. ad ã. Et hoc ÷ qd̾ dicit us¬

Expanded text:
i numerus per duas quaslibet divisiones dividatur, quod fit ex ductu maximi dividentium in minimum cum eo quod ex differentia ipsius ad alium mediorum in differentiam eiusdem ad minimum tantum est quantum quod ex ductu duorum mediorum unius in alterumpars c. Sit itaque e residuum a et f residuum c. Quod si non fuerit e tota pars f quota est a c, esto alterius qui sit g. Constat ergo quod quia e est tota pars g quota b est d erit compositus ex e et b similis pars compositi ex g et d per quartam. Patet ergoc esse tanquam g et d. Quare g equale est f Est itaque f eque multiplex ad e sicut c ad a. Et hoc est quod dicitu
Abbreviated transcription (Latin):
datur qd ex ductu unius equalium in se ꝓducit᷑
tantum: qͣntum qd̃ fit ex ductu unius ineqͣli¬
um in reliquam cum eo qd̾ fit ex diffr̃a ĩ diffr̾ã.¬
ad .d. ea c. ad b. Sit itaq diffm̃ a. ad c.e. ⁊ ad d. sit ẜ. Qd̃ itaq fit
ex duccu .c. in d ⁊antum est qnͣtum qd̾ fit ex c. ĩ b. ⁊ in e. ꝑ nonam. s

Expanded text:
datur, quod ex ductu unius equalium in se producitur tantum est quantum quod fit ex ductu unius inequalium in reliquam cum eo quod fit ex differentia in differenad d ea c ad b. Sit itaque differentia a ad c e et ad d sit f. Quod itaque fit ex ductu c in d tantum est quantum quod fit ex
Abbreviated transcription (Latin):
D. ⁊ .e. Qe dratus autem .D. sit .f. ⁊ ꝓximus sub eo quadratus. gi qͦ
minor unitate sit .h. ⁊ ꝑte alt̾a longior inter ẜ. ⁊ g. sit .i. Et qͥa
distancia . f. ad .i. est.d.ꝑ.i. ad .g. miius eo unitate. ⁊ ideo .i. ad. h.
diffra est eciualis. d. Qum gͥ. diffr̾a. d. ⁊ e sit sit binarius qͦuiam
duplum diffre .b. ad .c. ⁊ aimex .d. fiat .f. ⁊ ex .d. ĩ binarium qͥ est
diffra enis.ad e. fiat distancia .f. ad .h. erit .h. qd̾ ex .d. ine. duco gͣ¬
g. m .ħ. fiat altera ꝑte longior. k. dico naq qd̾ ip̃e est quem qͥrimus.
.m. que .g. ad .b. s. ⁊̃ .n. ad .ã. que g. adb. quero R ad .m. que .n. ad
a. axͦ. Et ania. ex .c. ing. fit n. ⁊ exb. in h. fit .n. erit ꝓpꝰ .m. ad .n. cõ¬
posita ex pporcidne .b. ad .c. ⁊ h. ad .g. et quia f. ad .h. sicut ħ adc
qr sicut .d. ad e. est aũ. ppͦ .f. ad .g. composita ex ꝓpͦne ⁊. ad h. ⁊ h ad
g. erit .i. ad .n. pp̃. que .f. ad. gͦ. ⁊ quia inter t. ⁊ õ. uns est ꝓp̾alit᷑¬

Expanded text:
d et e. Quadratus autem d sit f et proximus sub eo quadratus g quo minor unitate sit h et parte altera longior inter f et g sit i. Et quia distantia f ad i est d et i ad g minus eo unitate, et ideo i ad h differentia est equalis d. Cum igitur differentia d et e sit binarius, quoniam duplum differentie b ad c, et cum ex d in se fiatf et ex d in binarium, qui est differentia eius ad e, fiat distantia f ad h, erit h quod ex d in e. Ducto igitur g in h fiat parte altera longior k. Dico itaque quod ipse est quem querimus. m que g ad b. Sed etiam n ad a que g ad b quare k ad m que n ad a proportio. Et quia ex c in g fit n et ex b in h fit m, erit proportio m ad n composita ex proportione b ad c et h ad g. Et quia f ad h sicut b ad c, quia sicut d ad e, est autem proportio f ad g composita ex proportione f ad h et h ad g, erit m ad n proportio que f ad g. Et quia inter f et g un
Abbreviated transcription (Latin):
adiciat᷑ lat̾i unus extrema unitas reliqͥ
eõdem modo altͥnatim medii ordiues unuis. aim mediis alt̾ius ad¬
aptentur. fient compositi ordines int̾ se ⁊ extremis pͥus factis
equales ꝑ tacnt paimi. Iam q completus est quadrangiaus cał¬
opposita latera equalia. ⁊ ob hoc equidistancia. et quia unũ
latus est latus tͥangularis teliquũ u̾o manis eo unitate. patet
eum esse parte altera longiorem.

Expanded text:
adiciatur lateri unius extrema unitas reliquieodem modo alternatim medii ordines unius cum mediis alterius adaptentur, fient 60 compositi ordines inter se et extremis prius factis equales per tertiam primi. Iamque completus est quadrangulus copposita latera equalia. Et ob hoc equidistantia. Et quia unum latus est latus triangularis, reliquum vero maius eo unitate, patet eum esse parte altera longiorem.
Abbreviated transcription (Latin):
ꝙ fit ex a. in .d. tantum est qͣntum fit ex b ind. sit aũt ut
fit ex .d. in. se ⁊ inc. ꝑ .xiiii. Qod si id qd̾ fit exc: in se ꝙ fit
⁊. addatur utr̃ꝙ: fiet e cum .z. camqͣm ⁊. ⁊ qͥd̾ fit ex de in se ⁊
bis in .c. que q̃m comuncta eqͣnt᷑ ei ꝙ fit ex .b. ĩ se ꝑ xͣini. facile¬
faole constat ꝓposicio.
qale uod fit ex minore diuidencium in se cum eo
Qd ex toto in ipoꝵ differam tantum est qͣntum

Expanded text:
 fit ex a in d tantum est quantum fit ex b in d et c in d. Sifit ex d in se et in c per xiiiiam . Quod si id quod fit ex c in se quod sit z addatur utrique, fiet e cum z tanquam z et quod fit ex d in se et bis in c que quoniam coniuncta equantur ei quod fit ex b in se per xvam . Facile constat propositio. Quod fit ex minore dividentium in se cum eo quod ex toto in ipsorum differentiam tantum est quantum
Abbreviated transcription (Latin):
nor ⁊ mmnore maior. qm̃ ꝓporcio minoris ad ip̃m a ꝑte uł ꝑtib de
nominatur: Maioris autem ad ip̃m ⁊ atoto ⁊ Marce uł ꝑtib. siue
a multiplite tocius: quare denominaco maior: et ꝓporcio maior
si u̾o tͥars sit utroq maior: idẽ patet: qm̃ maior plures partes eft
ipuris qmͣ minor sirmaptis unitatib. Qod siminor constat similiter.
am̃ sepnis poterit᷑ dethi de maiore uł tociens ⁊ remanebunt plures ciꝰ
ꝑtes Alt̾am ꝑtem similit̾ argue. Sienm t̾cuis maiore fu̾it minor
⁊ inmore maior cumꝑs sit nł ꝑtes maioris ⁊ minorem excedat minor
erit ip̃ins ad maiorem qͣm ad imnorem ꝓporc̃õ. Si utͦq finc minar.
eric ip̃e todidem ꝑtes maioris qͦt minoris sumptis unitatib s minores
q̃m maioris tenominacionis ande ad eum er ipins ꝓporcõ minor. Sĩ auͣ
utͦq maior uł pluries continebit nimorẽ. uł si equalit̾ plus suꝑ ad¬
det. ⁊ ideo ad minorem erit in maiore ꝓporcõne

Expanded text:
nor et minore maior quoniam proportio minoris ad ipsum a parte nominatur, maioris autem ad ipsum et a toto et parte vel partibus sive a multiplice totius, quare denominatio maior erit et proportio maior. Si vero tertius sit utroque maior, idem patet quoniam maior plures partes est ipsius quam minor sumptis unitatibus. Quod si minor constat, similiter quoniam sepius poterit detrahi de maiore vel totiens et remanebunt plures eius partes. Alteram partem similiter argue. Si enim tertius maiore fuerit minor et minore maior cum pars sit vel partes maioris et minorem excedat, minor erit ipsius ad maiorem quam ad minorem proportio. Si utroque fuerit minor, erit ipse totidem partes maioris quot minoris sumptis unitatibus, sed minores quoniam maioris denominationis. Unde ad eum erit ipsius proportio minor. Si autem utroque maior, vel pluries continebit minorem vel si equaliter, plus superaddet. Et ideo ad minorem
Abbreviated transcription (Latin):
Uo enim ex p̾missis habetur. dupla
cum maxima suꝑꝑticularium t̃plã
constituit. ⁊ quia dupla est tunnium suꝑparente maior que lib
cum sesqualt̾a sine eaminore suꝑparciculare. componet ppͦnem tͥpla
minorem. uł aliter. Sit suꝑparticularis. quelib⁊ auus ꝑs denõiet᷑
ab .a. ⁊ suꝑparciens cuius ꝑtes denominentur ab .b. ⁊ nument᷑
equales ꝑti dictͥe ab .a. ꝑ pͥmam hunis erunt miores eadem q̃r
cuim iua er̃t minus uno. Eum q reliquũ sit minus duolerit

Expanded text:
Ut enim ex premissis habetur, dupla cum maxima superparticularium triplam constituit. Et quia dupla est omni superpartiente maior, quelibet cum sesquialtera sive ea minore superparticulare componet proportionem tripla minorem. Vel aliter. Sit superparticularis quelibet cuius pars denominetur ab a et superpartiens cuius partes denominantur a b et numerentur equales parti dicte ab a, per primam huius erunt minores eadem quare cum illa erunt minus uno. Cumque reliquum sit minus duobus, erit
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑticularis
sine ab ip̃o siue ab alio quoꝵ unus sit ip̃e ⁊ post ipsum sint .b.c. d
dico itaq qd̾ suꝑparticiniaris dicc̾a ab.a. cum suꝑparticulari. cͦ
pars denominatura .b. ł .c. ł .d. ⁊ ita. de ceteris suꝑparcientẽ
constituit. xbi gracia ad .b. hab⁊ enim composita in denõione
sui unum ⁊ ꝑtes que dicunt᷑ ab .a. ⁊ .b. ⁊ illo qui fit ex.a. ĩb.
erit illa ꝓoͦ supparticularis s nec dupla. Relinquitur. gͦ. ut sit suꝑ¬
ꝑciens sicuit ꝓpositum est.

Expanded text:
ticularis rtionales sive ab ipso sive ab alio quorum unus sit ipse et post ipsum sint b c d. Dico itaque quod superparticularis dicta ab a cum superparticulari cuius pars denominatur a b vel c vel d et ita de ceteris superpartientem constituit. Verbi gratia: ad b habet enim composita in denominatione sui unum et partes que dicuntur ab a et b et illo qui fit ex a in b erit illa proportio superparticularis sed nec dupla, relinquitur ergo ut sit superpartiens, sicut propositum est.
Abbreviated transcription (Latin):
denominent᷑ quaꝵuna sit .b. ⁊ numerꝰ eam deuominans. ẽ.
sit enim qd̾ ꝓuenit .d. palam autem ꝑ corolłum .x. huiꝰ
ꝙ sicut .c. ad. A. ita unũ ad .d. Rum gͦ .a. nonsit ꝑss ꝑtes
.cͥ. erit .d. non ꝑs s. ꝑtes naius. Sic ⁊ et si omnes lũpste ꝑces
ꝑ.a. musciplicent᷑: ꝓuenient ꝑtes. Itaq suꝑ particulares abilł¬

Expanded text:
denominentur quarum una sit b et numerus eam denominans c. Sit enim quod provenit d. Palam autem per corollarium xie huius quod sicut c ad a ita unum ad d. Cum ergo a non sit pars sed partes c, erit d non pars sed partes unius. Sic etiam et si omnes sumpte partes per a multiplicentur, provenient partes. Itaq
Abbreviated transcription (Latin):
Trium numeroꝵ maximi ad medium
at q differencie maxum ad minim̃.
ad clifferenciam medii ad ip̃m eandem esse
maior .e. sic hẽtur. Qͥa enim diffraꝵ ip̃ius ad extͤmos minor est
minor diffr̾a. que est .e. ad a. Sic q patet .d. eẽ. indiorem.e.
ad .d. sicut .d. ad .b. ꝑ xxii. sid̃i erit .c. ad .d. sicut.d. ad. e¬
⁊ hoc ẽ qd dicitur.
scd̃m arismeticam medietatem ⁊ unꝰ scd̾m
geometͥcam. ⁊ t̾cius scd̃m armouicam. Arismne¬
ticum maximum: ⁊ armonicum minimũ.
Atsꝑ int̾ illos geometricum medium esse ꝓpͦ

Expanded text:
Trium numerorum maximi ad medium atque differentie maximi ad minimum ad differentiam medii ad ipsum eandem maior e, sic habetur. Quia enim differentiarum ipsius ad extremos minor est minor differentia que est e ad a. Sicque patet d esse maiorem e. ad d sicut d ad b, per xxiiam secundi erit c ad d sicut d ad e. Et hoc est quod dicitur. secundum arismeticam medietatem et unus secundum geometricam et tertius secundum armonicam, arismeticum maximum et armonicum minimum atque inter illos geometricum medium esse p
Abbreviated transcription (Latin):
ded ista .ꝑ. Geometͥcam in quirenda est. positis namiq ut pͥꝰ
tͥbus numeris meadẽ medietate maximo ip̃oꝵ minor diffr̾a de¬
tͣhat᷑. Sic ꝙ int̾ maximum positoꝵ ⁊ residuum ⁊ medium eoꝵdem
umeniet᷑ ista i¬
Septime t̾minos inuestigare.
Ista ⁊̃ per geometͥcam medietatera expedienda est. Si enim
sumantur tres mĩm in uia medietate ⁊ medio minor diftraꝵo
addatur. continget eadem racione int̾ eundem mediũ ⁊ cõpositũ
⁊ macimum utam posse medietadem afsignari.

Expanded text:
ed ista per geometricam inquirenda est. Positis namque, ut prius, tribus numeris in eadem medietate maximo ipsorum minor differentia detrahatur. Sicque inter maximum positorum et residuum et medium eorundem invenietur ista e. Ista etiam per geometricam medietatem expedienda est. Si enim sumantur tres numeri in illa medietate et medio minor differentiarum addatur, continget eadem ratione inter eundem medium et compositum et maximum istam posse medietatem assignari.
Abbreviated transcription (Latin):
inde per quenilib parem aliim multiplicent᷑ ⁊ ꝓueniet imꝑiter
pares. qui qm̃ rantum sunt qnͣtum si idem par in compositum ex.
aliis decttus ess erit ꝯfectus ex ipsis imparit̾ par. &ꝰ sumpar est
mim̾us datus scd̾m ip̃m statuant᷑. quicumq ꝑit̾ impares. et ꝯpõitꝰ
ex eis cum sit parit̾ impar. si omnes multiplicentur ꝑ parem. pro¬
uenient imparitꝰ. pares. &ͥ si simili rõe ꝑficient imparit̾ parem.
⁊ hoc est qd̾ intendimus.
I dato numero imparit̾ pares ex quib
conunctis impariter par efficiatur iue¬
Quoclibet imparit̾ pares. ꝙ parit̾ pares
supra binarium simul iuncti pariter
parem ues impariter parem component

Expanded text:
inde per quemlibet parem alium multiplicentur et provenient impariter pares, qui quoniam tantum sunt quantum si idem par in compositum ex aliis ductus esset, erit confectus ex ipsis impariter par. Quod si impar est numerus datus, secundum ipsum statuantur quicumque pariter impares et compositus ex eis cum sit pariter impar, si omnes multiplicentur per parem, provenient impariter pares qui simili ratione perficient impariter parem. Et hoc est quod intendimus.  dato numero impariter pares ex quibus coniunctis impariter par efficiatur inveQuotlibet impariter pares et pariter pares supra binarium simul iuncti pariter parem vel impariter parem component
Abbreviated transcription (Latin):
coniunca faciant pariter parem. deinde confirmantur pariter
pares scd̾n numerum qui ꝓpositus est ita tamen ut pͥmus eoꝵ
sit ille quẽ inpariter pares inuenti componunt. Q a gͥ ille bic
acceptus est duplicatusq sequentem constituit. seqũs eciam
bis sumptus er̃. Et quia ip̃e sequentem duplicatus constituit.
⁊ iie bis hebit᷑ ⁊ ita omnes duplum ultum consumabũt qͥ:
ariter pares et impariter pares qͦt¬
libet inuestigare: qui coniuncti numer̃
pariter parem conficiant. S siait in p̾missa fã¬
non ile s alii sumantur pariter pares. qͦt exigit num̾ns dat᷑
Atꝙ̾ consistat omines illos cum aliis imꝑiter parem ꝯstitu̾e
Secundum datum numerum pariter
pares reperire qui cum quotlibet numeri
ira pariter parib numerum impariter ya¬

Expanded text:
ariter pares secundum numerum qui propositus est ita tamen ut primus eorum sit ille quem impariter pares inventi componunt. Quia igitur ille bis acceptus est duplicatusque sequentem constituit, sequens etiam bis sumptus erit. Et quia ipse sequentem duplicatus constituit et ille bis habebitur et ita omnes duplum ultimi conservabunt qui ariter pares et impariter pares quotlibet investigare qui coniuncti numerum pariter parem conficiant. Totidem, ut proponnon ille sed alii sumantur pariter pares quot exigit numerus datus. Atque constat omnes illos cum aliis impariter parem constitueSecundum datum numerum pariter pares reperire qui cum quotlibet numeris impariter paribus numerum impariter pa
Abbreviated transcription (Latin):
gonus. tetragonicus ut pͥus. Addat᷑ item .s̃. tamꝙͣ duplum
D. id est super totus .h. atq .h.bis duplum. euisaem ⁊ fiat

Expanded text:
gonus tetragonicus ut prius. Addatur item g tanquam duplum d idest b sicque totus h atque h bis duplum eiusdem et fiat
Abbreviated transcription (Latin):
qd ex .b. in .ẽ⁊ i̾ .e. ꝑ nonam pͥmi. s ex.b .m .s. fit tan¬
gularis. cuius latus .c. ⁊ sic ꝑ xumi. huius conclude. s et
har. l.m. add̾atur item g. tamꝙͣ duplum.c. tf̾iar.⁊. Nu¬
erit ẜ.be un ⁊̃. ⁊ ꝓduct̾o detrabatur .c. residuus q fit n. qͥ
erit exagonus equangulus suꝑ latus . a. ꝑ .ix primi. eg
xxuii. huius. quia. ad̾. fit ex .b. in duplum .c. est qͣntũ
quari .bis duplum .c. ⁊ totus sit .t. inquem ducat᷑ .u. ꝓ¬
ducto ꝙ decrahat̾ . bis c. ⁊ relinquat᷑ .p. qui er̾ odogonus.

Expanded text:
quod exb in e et in c per nonam primi. Sed ex b in c fit triangularis cuius latus c et sic per xiiam huius conclude. Sed et hklm. Addatur itemg tanquam duplumc et fiat z ducaturque b in z et producto detrahatur c residuusque fit n qui erit exagonus equiangulus super latus a per ixam primi et xxiam huius, quia quod fit ex b in duplum c est quantum quam bis duplumc et totus sit t in quem ducatur b productoque detrahatur bis c et relinquatur p qui erit octogonus
Abbreviated transcription (Latin):
constituere. Sit latus datum.a. qni ponat᷑ pͥmo ẽẽ
par. huiis medietas sit .b. ⁊ mmor.a.
uo sit .c. ⁊ maior uno.d. addito ꝙ .c. super. d. fiat .e. et uẽ
e. addito .e. fiat .ẜ. cui similiter applicetur.e. ⁊ ꝓueniat .g.
Si gͦ. biducat᷑ in .d. t omnes seq̃ntes p̾mus erit tͥangͥ¬

Expanded text:
ire. Sit latus datum a qui ponatur primo esse par. Huius medietas sit b et minor a uno sit c et maior uno d additoque c super d fiat e et item c addito e fiat f cui similiter applicetur c et proveniat g. ergo b ducatur in d et omnes sequentes, primus erit triang
Abbreviated transcription (Latin):
maior. num̃i q infinicum non possunt decrescere: non qͣlibet¬
su ꝑꝑarticulari maior erit nec qualibet multiplice minor. Itẽ
qr num̃i in ĩfintum crescunt: erit econu̾so qualibet mistiplice
maior.⁊ qualib⁊ suꝑparticulari minor. patet etiam quanbet
suꝑ ꝑciente aliam esse maiorem ꝑ p̾missam. Minorem i̾io si fũ¬
mam aliam denominatam. a tonidem ꝑtib a numero maio¬
re dictis quem tam̃ num̾̃us earum non mimeret. duaꝵ u̾o re¬
liquarun qualibet maiorem esse argues ꝑꝑ maioren młtipli¬
Sola multiplice qualibet non pocest sumi
minor.et sola superparticulari qualib

Expanded text:
initum non possunt decrescere, non qualibetparticulari maior erit nec qualibet multiplice minor. Item quia numeri in infinitum crescunt, erit econverso qualibet multiplice maior et qualibet superparticulari minor. Patet etiam qualibet superpartiente aliam esse maiorem per premissam, minorem vero si sumam aliam denominatam a totidem partibus a numero maiore dictis quem tamen numerus earum non numeret. Duarum vero reliquarum qualibet maiorem esse argues propter maiorem multipliSola multiplice qualibet non potest sumi minor. Et sola superparticulari qualib
Abbreviated transcription (Latin):
Si cuilibet ex agono eqͥangulo totus senarii
mustiplex addatur quotus ip̃e est ab unita¬
te similem exagonum ꝓuenire necc̃e est.¬
quotus estrnde a pͥmo post untatem ꝑ p̾missam . ei⁊ quilibet
tasigiliaris tot hab unitates snp p̾cedentem quotus ip̃e ab
umtate Ita auot habet exagonus quilibet senarios suꝑ
unitatem tot habe unitates totꝰ dͥangularis. Itaꝙ pacet᷑
q si senarius in ulimi ducatur addatur q unitas.: ꝓueniet
totus exagonis. ⁊ sic de ceteris
S ordmentur ab unitate tͥangulares. et sin¬
guli scd̃m senarium multiplicentur: ꝓducti
addita unitate: erunt exagoni equiangłi

Expanded text:
Si cuilibet exagono equiangulo totus senarii multiplex addatur quotus ipse est ab unitate, similem exagonum provenire necesse est.quotus est ipse a primo post unitatem per premissam. Sed et quilibet triangularis tot habet unitates supra precedentem quotus ipse ab unitate. Itaque quot habet exagonus quilibet senarios super unitatem tot habet unitates totus triangularis. Itaque patet quod si senarius in illum ducatur, addaturque unitas, proveniet totus exagonus et sic de ceteris ordinentur ab unitate triangulares et singuli secundum senarium multiplicentur, producti addita unitate erunt exagoni equiang
Abbreviated transcription (Latin):
⁊b. in .c. idem ꝓueniat illum esse minimum ab eis mimeratum
sic habeto. Sit q idem .e. Si gͦ alt̾ ponatur minor uocetur .g.
quam.a. ⁊ b. num̾ent scd̃m ⁊ .l. eritq .i. adh. sicut a. ad .b. et
sicut .s. ad .d. Item q .s. a l. sicut .e. ad .g. ẜumꝙ .c. num̾et.ł. num̃¬
abit ⁊ e .g. maior minorem qd̾ ẽẽ non potest.
Quilibet duo numeri minimos numeros sue ꝓpor¬
tionis maior minorem. et minor maiorem młti¬
plicantes. minimum ab ip̃is numeratum ꝓduc̃c.
Ex hoc constat minimum quem duo numerant.
quem libet ab eis numeratum numerare.
numerant .a. ⁊b. siquidem .a. num̾atib. non querat᷑ p̾t̾ . b. Siñ
antem ⁊ fu̾int ccͣ se puimi unius in alium ducatur. Et qui ꝓuen̾
t d sit .G̃. quem cum numerent dati num̾i minorem eo non nu¬
meiabunt. Si enim possibile est ponat᷑ sit q .h. ⁊ quia. a. ⁊ b eum

Expanded text:
b in c idem proveniat, illum esse minimum ab eis numeratum sic habeto. Sitque idem e. Si ergo alter ponatur minor, vocetur g quem a et b numerent secundum h et f. Eritque f adh sicut a ad b et sicut c ad d. Itemque c ad f sicut e ad g. Cumque c numeret f , numerabit et e g maior minorem. Quod esse non potest.Quilibet duo numeri minimos numeros sue proportionis maior minorem et minor maiorem multiplicantes minimum ab ipsis numeratum producunt. Ex hoc constat minimum quem duo numerant quemlibet ab eis numeratum numerare. numerant a et b. Siquidem a numerat b, non queratur preter b. Sin autem et fuerint contra se primi, unus in alium ducatur. Et qui provenet d sit g. Quem cum numerent dati numeri, minorem eo non numerabunt. Si enim possibile est, ponatur sitque h. Et quia a et b eum
Abbreviated transcription (Latin):
h. ⁊ .l. Ducatur ꝙ .h. in onmes illos. ⁊ fiant s m .ni .o. conti¬
rue ꝓporcionales per uͣii. secundi ⁊ exalia ꝑte. post k suit .ꝓ.q .r.
Euit ꝙp ꝙ ad .p. sicut .b. ad .e. Ducaturautem .l. in .a.⁊ .f. ⁊e.¬
⁊ fiant.U.s.c. Erunt. ꝙ .b. ad.s. N.s. ad .t. sicut k. ad .p.
⁊. p. ad.q. ⁊ .q. ad .r. Erit etiam . R. a d.u. sicut h. ad .l. qr̃e. m
ad . p. sicut .R. ad .u. Itaq .in . ad. k. sicut p. ad do. smuliter
ad .s. Atq .p. est inter .m. ⁊ .s. erit uns medius inter .n. ⁊q. qͥ
sit .x. sd̾m pporcionem .m. ad .p. orͥa item .q. ad .s. ⁊. r.ad .t. sic̃
.p. ad .u. erit .o. ad .n. sicut .q. ad .s. ⁊ .r adt. Itas .o. ad .r. sicut .ar.
ad .t. orͥa. gͥ .q. ad .t. sicut .h. ad .l. erunt .x. ad q. medii. inter .n.
o ⁊ .r. qui sint .⁊. y.ꝑ. eandem itaq. ⁊ inter .s. ⁊ f. erit unus
ꝑ. duo iit̾ .d. ⁊.g. secundum qd̾ propo suimus.

Expanded text:
k m n o continue proportionales per viiam secundi et ex alia parte post k sint p q r. Eritque m ad p sicut b ad e. Ducatur autem f in a et e et f et fiant v s t. Eruntque v ad s et s ad t sicut k ad p et p adq et q ad r. Erit etiam k ad v sicut h ad f. Quare m ad p sicut k ad v. Itaque m ad k sicutp ad v. Similiter ad s atque p est inter m et s, erit unus medius inter n et q qui sit x secundum proportionem m ad p. Quia item q ad s et r ad t sicut p ad v, erito ad n sicut q ad s et r ad t. Itaque o ad r sicut n ad t. Quia igitur q ad t sicut h ad f , erunt x et q medii inter n o et r qui sint zy. Per eandem itaque et inter c et f erit unus et duo inter d et g secundum quod proposuimu
Abbreviated transcription (Latin):
maximus eos numerans .g. ⁊ minimus ab eis mimeratus. ⁊.
h̃einis autem .xxiii. ⁊ .xxͣii tertii quod quociens .g. est .ĩ .a.
tociens est .b. in .⁊.c. gͦ. sit .s. ad .a. sicut .b. ad z. ꝑ .xii. p̾sentis
argues.
Di fuerint duo numeri communicantes qͦt¬
c̾umq inter alterum eoꝵ et maximũ qͥ eos mu¬
merat totidem inter reliquum ⁊ munimum.
ab eis numeratum. continue ꝓporcionales consift̾e

Expanded text:
maximus eos numerans g et minimus ab eis numeratus z. xxiiiam et xxiiiiam tertii quod quotiens g est in a totiens est b in z. Cum ergo sit g ad a sicut b ad z, per xiiam presentis argues. Si fuerint duo numeri communicantes, quotcumque inter alterum eorum et maximum qui eos numerat totidem inter reliquum et minimum ab eis numeratum continue proportionales consiste
Abbreviated transcription (Latin):
Ponantur euisdem ꝓportionis t̾mini
minimi. a.⁊.a.b. qui coniuntt̾i faciãt¬
.D. sit qr e. maior .d. uno. s ⁊ ip̃i coniuntti faiciant .ẜ. cui adda¬
⁊ cqnale .d. sit qr tota. f.g. ducatur .a. inf .g. ⁊ fiat.h. It̃ ꝙ. ab.
in eiudem ⁊ fiat. h. k.l. pacet gͥ ꝙ ad̾ ex .b. m.f.g. fit. R.l. acq
ex b. in g fiat R. quare ex .b. intͦ. fiet .l. Sit itẽ e tplus. arc atos
ex .c. in igͣ. fiat. ⁊c. Sit ꝙ ⁊ t̃. equale.k. palam autem ꝙ ꝓpor¬
cio ħRł adh. est qͣnta ab ad a. ꝑ .uiii. scd̾i. Et quia .a.b. est mi¬
ns quam quadruplum .a. erit bͥ minus tͥplo .a. quare minꝰ
qͣmi s. fonstat gͥ am .⁊. fit equał. R. quod.⁊ est eqiuale pei
nm isciplex.d. Itꝰ quia .d ⁊.e. sunt ã se priiui eiͥ.f. aduti. mpͥroꝰ.

Expanded text:
Ponantur eiusdem proportionis termini minimi a et ab qui coniuncti faciantd sitque e maior d uno. Sed et ipsi coniuncti faciant cui addatur equale d sitque totaf g. Ducatur a in f g et fiat h itemque a b in eundem et fiat h k l. Patet igitur quod ex b in f g fit k l atque ex b in g fiat k. Quare ex b in f fiet l. Sit item c triplus a atque ex c in g fiat z t. Sitque z equalek. Palam autem quod proportio h k l ad h est quanta a b ad a per viiiam secundi. Et quia a b est minus quam quadruplum a, erit b minus triplo a. Quare minus quam c. Constat igitur cum z sit equalisk quod t est equale vel multiplex d. Item quia d e
Abbreviated transcription (Latin):
ut una sit ex eis composita. sit q .e. nimmn̾us q eam. denominans .ẜ. et
q f. in .e. qͣntum .a .ii.c. s. f. in e. qͣnͣtum .f. in .c. ⁊. d. diffr̾a. autem
a. ad f. sit .g. et qr a . in .c. quantũ.ẜ.in .c. ⁊ õ in .c. erit ꝑ concep¬
cionem ut f. in .d. sit qutum. .s. in .c. Itaq it. ad . g. sic̃.c. ad .d. qͣte
ꝑ primam huiris .ẜ. ad.g. sicut . 6.b. ad ad . a. ⁊ quia .f. ⁊g. sunt¬

Expanded text:
eam denominans f. Est quia f in e quantum a in c. Sed et f in e quantum f in c et d. Differentia autem a ad f in g. Et quia a in c quantum f in c et g in c, erit per conceptionem ut f in d sit quantum g in c. Itaque f ad g sicut c ad d. Quare per primam huius f ad g sicut b