comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Ordme quo se secunt᷑ tͥangulares sͥ
equidistant̾ supͣ ponant᷑. ⁊ qr latera
edꝵ sunt uum̾i ab unitate sumpti: erit ut ip̃a sibi ex ura
ꝑte directe suꝑposita tͥangularem conficiant: cuius extrerea
pinitas erit pͥtamidis sumitas a qͣ diretta intelligatur liea
artaum anguiun basis ĩ qua terminari conuenit reliqͦs
ordines t angularium at̾minis siquidem later̾ illoꝵ iam
dueste dispositor ꝓducant᷑ hinc nde lineẽ ecrudistãtes
duob lat̾ib basis usꝙ ad illam lineam atq ꝓpt̾ equalẽ
ꝓporcõnem erunt me ꝯtͥminalib lat̾ib tanguiariũ eqͣles
pr ilłis etiam erunt reliqui ordmes tͥangularium qmi et
hpsi sunt eisdem lat̾ib basis equi distantes. sunt enim po¬
siti ĩ equi distantib suꝑficiencib atq cum lat̾ib suꝑuis
equidistant᷑ collocatis: equales angulos continent. Eũꝙ
itasit extremitates eoꝵ ĩ pͥus dimissa linea eadem necc̃e ÷

Expanded text:
Ordine quo se secuntur triangulares sibi equidistanter superponantur. Et quia latera eorum sunt numeri ab unitate sumpti, erit ut ipsa sibi ex una parte directe superposita triangularem conficiant cuius extrema unitas erit piramidis summitas a qua directa intelligatur linea ad tertium angulum basis in qua terminari convenit reliquos ordines triangularium. A terminis siquidem laterum illorum iam directe dispositorum producantur hinc inde linee equidistantes duobus latproportionem, erunt ille conterminalibus lateribus triangularium equales. In illis etiam erunt reliqui ordines triangularium quoniam et ipsi sunt eisdem lateribus basis equidistantes. Sunt enim positi in equidistantibus superficiebus. Atque cum lateribus superius equidistanter collocatis equales angulos continent. Cumque ita sit, extremitates eorum in prius dimissa linea cadere necesse est.
Abbreviated transcription (Latin):
Qod si unius ad alium fuerit ꝓporcõ tam ꝙͣ
cubi ad cubum: quoslibet duos numeros
solidos similes esse necẽe ¶Inter qiemlibet eten

Expanded text:
od si unius ad alium fuerit proportio tanquam cubi ad cubum, quoslibet duos numeros solidos similes esse necesse est. Inter quoslibet en
Abbreviated transcription (Latin):
secundum naturalem seriera omnium illoꝵ
dupli sumant̾: ꝓuenient omnes pares ab
unitate. Erunt q parum eodem ordine sũp¬
te que numeroꝵ ab unitate dispositoꝵ ꝓpor

Expanded text:
secundum naturalem seriem omnium illorum dupli sumantur, provenient omnes pares ab unitate. Eruntque parium eodem ordine sumpte que numerorum ab unitate dispositor
Abbreviated transcription (Latin):
Data suꝑgarrticiuari quotlibet multiplices
reperire quarura quelibet cum ula młt¬
plicem componat. scaautiai eueoiune tn
plcem cui quotlibot sumant
mulciplices ꝑtes quoq ab eis denominate accipiantur qrͣum
quelib si ꝑ .a. multicetur. ꝓueniet tota ꝑs imius quota ꝑs
fliit .a. num̾i eam denominantis. Si gͦ ab eadem ꝑte nut¬
plicata supparticularis dicatur eadem cum data mustiplice iũc¬
Dara multiplite quotlibet sumere suꝑ¬
particulares quaꝵ quelibet cum ea effici

Expanded text:
Data superparticulari quotlibet multiplices reperire quarum quelibet cum illa mplicem componat. Sit pars que cum unplicem cui quotlibet sumantur multiplices, partes quoque ab eis denominate accipiantur quarum quelibet si per a multiplicetur proveniet tota pars unius quota pars fuerit a numeri eam denominantis. Si ergo ab eadem parte multiplicata superparticularis dicatur, eadem cum data multiplice iuncData multiplice quotlibet sumere superparticulares quarum quelibet cum ea effici
Abbreviated transcription (Latin):
eaꝵ composita ex õib
basim maioris. Eoniuncti gͥ faciunt tetͣgonum. Sed̾s qͦ
unius. ac sod̾s alt̾us leq̃ntem tetͣgonum ⁊ sic dum excrema
unitas minoris cum penultimo alteriꝰ pͥmum post unitatem
tetragonum. ꝯficiat. unitas. gͥ. si opponat᷑ habebunus omes
tetragonos usq ad illũ cuius latꝰ ÷ equale anguli tͥangłariͦ
piramis cuus basis quadrangula. est q ustimus tetragonꝰ
Si due piramides quarum bases tͥangula¬
res ꝓximi coniungant᷑: efficietur piram¬
is. ciuus basis tetragonus maiori tangul

Expanded text:
rum composita ex omnibubasim maioris. Coniuncti igitur faciunt tetragonum. Secundus quoque unius ac secundus alterius sequentem tetragonum et sic usque dum extrema unitas minoris cum penultimo alterius primum post unitatem tetragonum conficiat. Unitas igitur si opponatur, habebimus omnes tetragonos usque ad illum cuius latus est equale lateri triangularis piramis cuius basis quadrangula estque ultimus tetragonus Si due piramides quarum bases triangulares proximi coniungantur, efficietur piramis cuius basis tetragonus maiori triangul
Abbreviated transcription (Latin):
duo medii. ꝑ corollarium. iui p̾sentis. ꝑ duiodetim̃: quod qͣrti duos
Quicuaq se habetad cuibum sicut cubꝰ ad cubũ¬
idem ex necessitate erit cubus. ¶ Sint duo numeri. dob̃.¬
secundi. constat pͥmum de quadratis. Sint autem eoydem. cubi
ꝓp̃o .f. ad .h. composita. exꝓp̾e qne est a. ad .e. ⁊ c. ad .e. Ma item ex
a. in b. fit e. ⁊ ex .b. in .d. fit g. er̃ ꝓpͦ. ei ad g. compõita ex ꝓpõe .a. ad
b. ⁊ b. ad .d. S.a. ad b. sicut c. ad e. ⁊ b. ad dc sicut .a. ad .e. qͣre .e.
in .h. ⁊.g. ĩ .f. quare ꝓducti iatus est e. ⁊ ħ ÷ qd̾ subditur.
Si quadratus in quadratum uel cub in cubum
ducatur: Latus ꝓducti erit qui ex latere unius
in latus alterius ꝓducitur. Sꝓm

Expanded text:
duo medii per corollarium iiiie presentis. Per duodecimam quoque quarti duos Quicumque se habet ad cubum sicut cubus ad cubuidem ex necessitate erit cubus. Ut si a numeri ad bsecundi constat primum de quadratis. Sint autem eorundem cubit proportio f ad h composita ex proportione que est a ad e et c ad e. Quia item ex a in b fit e et ex b in d fit g, erit proportio e adg composita ex proportione a ad b et b ad d. Sed a ad b sicut c ad e et b ad d sicut a ad e. Quare e in h et g in f. Quare producti latus est e. Et hoc est quod subditur.Si quadratus in quadratum vel cubus in cubum ducatur, latus producti erit qui ex latere unius in latus alterius producitur. S
Abbreviated transcription (Latin):
porcionales int̾ unitatem ⁊ b. ⁊ quociens unitas ind: tociens sit a ĩ .f.
⁊ f. ir g. constat.gͦ. qd̾ .g. in .c. est quociens e ĩ .d. ꝑ .xxx. scd̾i bis. Et qr¬
.ẜ. in .g. sunt medii ꝓporcionaliter inter a ⁊c. ⁊ a. est cubus erit ⁊. c.
cub ꝑ .x. p̾sentis ⁊ hoc est qd̵ uolumꝰ.¬
Si cubus incubum ducat᷑: qui ꝓducetur erit cu

Expanded text:
portionales inter unitatem et b. Et quotiens unitas in d totiens sit a in f et f in g. Constat ergo quod g in c est quotiens e in b per xxiam secundi bis. Et quia f et g sunt medii proportionaliter inter a et c et a est cubus, erit et c cubus per xiam presentis. Et hoc est quod volumus
Abbreviated transcription (Latin):
Im non cubum cub ducat᷑ ꝓducetur ñ
cubus. Ex quo liquet quod si cubus numeret
cubum secundum cubum eum numerabit.
Si enim feri potest ut scd̾m cubum eum num̾et ponat᷑. Si ⁊ ꝑ
ancepremis ani eundem esse cubum conueniet qͥd̾ est dicto opp̃m.¬

Expanded text:
in non cubum cubus ducatur, producetur non cubus. Ex quo liquet quod si cubus numeret cubum, secundum cubum eum numeraSi enim fieri potest ut secundum cubum eum numeret, ponatur. Sed et per antepremissam eundem esse cubum conveniet quod est dicto opp
Abbreviated transcription (Latin):
latitudinis. Necẽe est gͦ uintatem relinqui. Pacet.gͦ. & de tͣctum
esse tͥangularem ⁊ residuum tͥangularem. atꝙ ip̃os eauales: qͦ¬
nã lat̾a eqͣlia.
remanebit longitudo equalis latiudini. Residnũ gͦ esse tetra¬
gonum patet. Eundem q equalem esse duob tͥangularibus.
dendoaiumerum ducatur. ꝓducetur q parce altera longior¬
cnius si medietates sumpseris. ꝑ .iiii. p̾sentis ꝑficies ꝓpositum.
.¶ Dispositis enim mimeris ab muitate si
simiantur. duo ⁊ duo erunt eoꝵ. pͥmus
cui si binarius adatur: fiet tͥangitiaris impar .s.ii. Seãns
q aimpair si illi addat᷑ fiet tͥangularis par ꝑ qͥntam. septimi. sed
uli prmnis post illum imparem. qui est impar addat᷑ ꝓueniẽt
par per pͥmam enisdem. Acq illi si addatur seq̃ns impar fiet
iper ꝑ scd̾am euis. ⁊ qr par. additus ꝯseruat smilem pͥori et
impar sẽper mutat duos auidema ⁊ duos int̾ se similes hẽbis ip̃
parem. s ab alii s dissimiles p̃p̃ imparem ordine ut subditu.¬

Expanded text:
latitudinis. Necesse est ergo unitatem relinqui. Patet ergo et detractum esse triangularem et residuum triangularem atque ipsos equales quoniam latera equalia. emanebit longitudo equalis latitudini. Residuum ergo esse tetragonum patet. Eundemque equalem esse duobus triangularibus dendo numerum ducatur produceturque parte altera longioruius si medietatem sumpseris per iiiiam presentis perficies propositum. . Dispositis enim numeris ab unitate si sumantur duo et duo erunt eorum primus cui si binarius addatur fiet triangularis impar scilicet iii. Sequens ergo impar si illi addatur, fiet triangularis par per tertiam septimi. Quod si illi primus post illum imparem qui est par addatur, proveniet par per primam eiusdem. Atque illi si addatur sequens impar fiet impar per secundam eius. Et quia par additus conservat similem priori et impar semper mutat, duos quidem et duos inter se similes habebis propter parem, sed ab aliis dissimiles propter imparem ordine stabili u
Abbreviated transcription (Latin):
Eritꝰ gͥ .c. d.e. continne ꝓporcionales per .uii. ⁊ uiii. scd̃i in
ꝓporcõne a.⁊.b. Itemq ꝑ .xii. tercii ⁊ quartam p̾sentis erunt ĩ sua
ꝓporcione minimi. ducatur item .a. in omnes illos ⁊ ꝓueniant
f. g. h.b̾an .e. ⁊ fiat .l. Exunt q f .g. h .l. quatuor nim̾ conti¬
illi in eadem ꝓporcione continue ꝓporcionales. ꝑ corollarium sod̾e
huius. Maxmi autem duos.⁊ duos illoꝵ numerantes sint .h. R
Erunt q hͣ. R. sicut .a. ad .b. Euni autem .e. numeret. A.i.G̃.
num̾et .d. cum sint a. ⁊ d. contra se pͥmr ꝑ qͥntam huius ꝑ uiii
tercii. erunt e. ⁊ g. conͤ se primi. Cadem racione h⁊ . k. bõstat

Expanded text:
ntinue proportionales per viiam et viiiam secundi in proportione a et b. Itemque per xiiam tertii et quartam presentis erunt in sua proportione minimi. Ducatur item a in omnes illos et proveniant f g h et b in e et fiat f. Eruntque fg h l quatuor numeri contiilli in eadem proportione continue proportionales per corollarium secunde huius. Maximi autem duos et duos illorum numerantes sint h k. Eritque h ad k sicut a ad b. Cum autem e numeret a et g numeret d cum sint a et d contra se primi per quintam huius, per viiiam tertii erunt e et g contra se primi. Eadem ratione
Abbreviated transcription (Latin):
gh. demantur item de. głi. equale. et. sit. gm. ⁊ equale cd. qd̃
fit. gn. Erit q per .U. ⁊ derciam scdi km ad. et. sicut in n. ad
.c.d. et sicut. nh. ad ab. gͦ coniunctim ꝑ .xͣx. scd̾i sicut .Rmi. p
.ab. S n h. equale estidi. gͥ dl. ad. ab. sicut. gh. ad compõitũ
ex tͥb precedentib ⁊ hoc est qd̃ pponitur ad ꝓbandum
Si numerum continue ꝓporcionalium. pͥmus
de scd̃o et ultimo tollatur. que proportioẽ.
residuum scd̃i ad pͥmum.: ea est residui ulti

Expanded text:
 equale e f sitque g m et equale c d quod sit g n. Eritque per vam et tertiam secundi k m ad ef sicut m n ad c d et sicut n h ad a b, ergo coniunctim per xxam secundi sicutk m et m a b. Sed n h equale est d l igitur d l ad a b sicut k h ad compositum ex tribus precedentibus. Et hoc est quod proponitur probandumSi numerorum continue proportionalium primus de secundo et ultimo tollatur, que proportio est residui secundi ad primum ea est residui ulti
Abbreviated transcription (Latin):
Sint t̾mini date ꝓporcionis a ⁊b. et eorum differencia
C.⁊ .d. Sit mimeriis scd̃m quem numerari debent ⁊
minorem . d. uno multiplicent᷑. a.⁊.b. ⁊ prouẽiant
.f. ⁊ g. quoꝵ differenciam .c. tociens num̾ are conuẽier
Sumptis ergo int̾ eos medus scd̾m diffr̾as equales .c.
fiet ut omnes sint sub numero .d. multiplicet᷑. item
.s. dones proueniat maior e. ⁊ hoc fiat scd̃m . h. du¬
catur. gͦ. ħ in f. ⁊ g. ⁊ omnes medios ⁊ ꝓuemant. k
⁊ .l. mẽdii int̾ illos quoꝵ ad muicem differencie ma¬
iores sunt .e. ⁊ ꝓposicio extremoꝵ tamquam a. ad .b.
Quotlibet num̾os scd̃m arismeticam medieta¬
tẽ sim̃e quoꝵ diffire dato num̾o ñ sint mino¬
res extremoꝵ u̾o proporcio sit date ꝓꝑcioni

Expanded text:
Sint termini date proportionis a et b et eorum differentia c. Et d sit numerus secundum quem numerari debent et minorem d uno multiplicentur a et b et proveniant f et g quorum differentiam c totiens numerare conveniet. Sumptis ergo inter eos mediis secundum differentias equales c fiet ut omnes sint sub numero d. Multiplicetur item c donec proveniat maior e et hoc fiat secundum h. Ducatur ergo h in f et g et omnes medios et proveniant k et l et medii inter illos quorum adinvicem differentie maiores sunt e et proportio extremorum tanquam a ad b.Quotlibet numeros secundum arismeticam medietatem sumere quorum differentie dato numero non sint minores, extremorum vero proportio sit date proportioni
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ nonam oct̾aui qui sit .c. Itaq .c. diuidat.a. ⁊ exeat .e. Si gͥ.e.
multplicetur ꝑ omnes num̾os usq .b. ꝓducta er̃t. in hac medie¬
tate ꝑ p̾missam. ⁊ ip̃a integre constituent .a.
Datum numerum in quotlibet ꝑtes que arisme¬
tica medietate se excedant diuidere. sit. a aab.¬
.l. Itaq ꝑ t̾ciam ⁊ qͥntam ⁊ item t̾aam scd̃i .a. ad g sicut .c. ad .h.
Itemq sicut . a. ad k. ita .c. ad .i. oluare ꝑ easdem si̾cut .a. ad e ata
.c. ad .f. ⁊ hoc ÷ qd̾ sequit᷑.

Expanded text:
 nonam octavi qui sit c. Itaque c dividat a et exeat e. Si igitur e multiplicetur per omnes numeros usque b, producta erunt in hac medietate per premissam. Et ipsa integre constituent a.Datum numerum in quotlibet partes que arismetica medietate se excedant dividere. Sit f. Itaque per tertiam et quintam et item tertiam secundi a ad g sicut c ad h. Itemque sicut a ad k ita c ad f. Quare per easdem sicut a ad e ita c ad l. Et hoc est quod sequitur.
Abbreviated transcription (Latin):
Quoꝵ superficialium similum. si alt̾ in alium
ducatur. ꝓducetur numerꝰ quadratus:¬
Latus cium tetragonicum illius quadrati int̾cidet p̾naliter int̾
illos. per .xxu. scd̃i. Illos.gͥ. esse siꝑficiales similes ꝑ xli. hꝰ
conuince s.
Si ex ductu duor num̾oꝵ unius inaltm ꝓducat̃.
quadratus. illos duos superficiales fimiles esse

Expanded text:
um superficialium similium si alter in alium ducatur, producetur numerus quadratusLatus enim tetragonicum illius quadrati intercidet proportionaliter inter illos per xxviam secundi. Illos igitur esse superficiales similes per xlam huius convinces. Si ex ductu duorum numerorum unius in alterum producatur quadratus, illos duos superficiales similes esse
Abbreviated transcription (Latin):
Sint . a .b.c. continue ꝓporcionales in sua ꝓporcione mini¬
ini. ssumerent. ꝙ .d.e.f. scd̃m .g. quem nentra radicum
num̾et. sint q radices h .l. dico ꝙ non erit quartus
cum .d.e.F. continue ꝓporcion ales. Si. enim est ponatur
k. post .f. slumerabunt autem.a .b.c. tres. ultimos illoꝵ
F. ad .k. Qͥre sicut . h. ad . ł. ꝑ .xix. gͦ tercii. mimerabit
Si numeri quotlibet insua pporcione minimi
numerent todidem alios lccł̃m numer a neut᷑
terminor illius ꝓporcionis numeratum.
non erit alius cum illis continue ꝓporcionalis.

Expanded text:
Sinta b c continue proportionales in sua proportione minimi. Numerentque d e f secundum g quem neutra radicum numeret. Sintque radices h l. Dico quod non erit quartus cum d e f continue proportionalis. Si enim est, ponatur k post f. Numerabunt autem a b c tres ultimos illorum f ad k. Quare sicut h ad f. Per xixam ergo tertii numerabit Si numeri quotlibet in sua proportione minimi numerent totidem alios secundum numerum a neutro terminorum illius proportionis numeratum, non erit alius cum illis continue proportionalis.
Abbreviated transcription (Latin):
alios continue etiam ꝓporcionales ducan¬
tur. et qui puenient erunt contiuue ꝓles¬
tem melium ⁊ duo extrema: series nu
b̾ d. ȩqualis. da. sit qr. d.c. et erit. db. ad. dc. sicut. dc. ad.cl. per
quintam scd̃i Qͦ mam it̃. dc. est maior. b. dechrai potest ab eo
ei equalis qui sit .ce. erit q dc. ad .ce. sicut. ce. ad. ed. ꝑ eandem.
Et quia it. e.d. ab .et. potest detrahi non erit finis huius detrac¬
tionis qd̃ est impossibile.
umerum ita diuidere ut que toci¬
ens ad maiorem porcionem ea maioris ad mino

Expanded text:
alios continue etiam proportionales ducantur et qui provenient erunt continue proptem medium et duo extrema, series numb d equalisd a sitque d c et erit d b ad d c sicut d c ad c b per quintam secundi. Quoniam item d c est maior c b, detrahi potest ab eo ei equalis qui sit c e. Eritque d c ad c e sicut c e ad e d per eandem. Et quia item e d ab e c potest detrahi, non erit finis huius detractionis quod est impossibile. § xi Numerum ita dividere ut que totius ad maiorem portionem ea maioris ad mino
Abbreviated transcription (Latin):
aR numerus est qui ex parib pͥmis
partib constat. Potest q omnis di¬
uidi per duo equalia. In par est
In quo aliqua pͥma pars ab q pari adclit q
supra parem unitatem. Parium num̾orũ
Pariter par est quem nullus impar nume¬
rat. P ariter impar est quem quicumq nu
par est quem quidam par impariter: qͥdã
secundum parem numerat. M edius inter
duos dicitur numerꝰ qui intẽt ẽos positus eqͣl̃¬
ab utroq distat. Qedii dicunt᷑ duo numeri
qui non habentes aliquem interpositum eqͣ¬
les habent ad extremos ad extremos differ̃as.
Derfectus mimerus appellatur qui ex omnibus
ꝑtib siuis comunctis ꝑfiaitur. Habundans di¬
citur ad quem omines partes sue comꝑate ma¬
ius h̃r̃e inueniuntur Dumnutꝰ autem uocat᷑
Ex descͥpaone etenim paris ciquslibet eoꝵ habet medietatẽ
O̾mnes autem eoꝵ medietates coniuucte dimidumi constiuẽt
coaceruati ex ip̃is . ꝑ .ui. p̾mi. Ille gͥ cum medietatem habeat
unitas palant est

Expanded text:
ar numerus est qui ex paribus primis partibus constat potestque omnis dividi per duo equalia. ‹ii› Impar est in quo aliqua prima pars absque pari additque supra parem unitatem. ‹iii› Parium numPariter par est quem nullus impar numerat. ‹v› Pariter impar est quem quicumque nuvi› Impariter par est quem quidam par impariter, quidam secundum parem numerat. ‹vii› Medius inter duos dicitur numerus qui inter eos positus equalab utroque distat. ‹viii› Medii dicuntur duo numeri qui non habentes aliquem interpositum equales habent ad extremos differentias. ‹ix› Perfectus numerus appellatur qui ex omnibus partibus suis coniunctis perficitur. ‹x› Habundans dicitur ad quem omnes partes sue comparate maius habere inveniuntur. ‹xi› Diminutus autem vocatur Ex descriptione etenim paris quilibet eorum habet medietatem. Omnes autem eorum medietates coniuncte dimidium constituent coacervati ex ipsis per viam primi. Ille igitur cum medietatem habeat,unitas, palam est
Abbreviated transcription (Latin):
Si gͥ ata inse ducatur ⁊ deillo sinatur qd̾ fid ex.c. uise. et ꝙ
ex a. inuias partes bis: erit totum numerus et rolinquetur
qͥd̾ fio ex uno inpartes ulas bis et qd̾ ex eifdem ꝑtib in se q̃ qm̃ c̃
ino duplam suꝑparticularem constituunt. ꝑ se unũ ⁊ ꝑtẽ faciũt
que addita cumpriorib numer̃ ⁊ ꝑtem componunt. paret gͦ
qñi ꝓporcõ ꝓduct̾a erit multiplex suꝑparcicularis. ⁊ hoc fuit
ꝓbandum.

Expanded text:
Si igitur illa in se ducatur et de illo sumatur quod fit ex c in se et quod ex a in illas partes bis, erit totum numerus et relinquetur quod fit ex uno in partes illas bis et quod ex eisdem partibus in se. Que quoniam cum uno duplam superparticularem constituunt, per se unum et partem faciunt que addita cum prioribus numerum et partem componunt. Patet ergo quoniam proportio producta erit multiplex superparticularis. Et hoc fuit probandum.
Abbreviated transcription (Latin):
Cultiplicem suꝑ ꝑcientem ex qua geminata
multiplex suꝑparciens ꝓueniat: demum
I.b. Sit q .c. scd̾m quem sumende sunt
suꝑparticulares equales. Denide maior .c. ducat᷑ in .a. ⁊ .b. ⁊ fiãt
.d. ꝑ e. ut int̾. d.⁊.e. sint num̾ plures qmͣ unitates in .c. maxiꝰ¬
q . eoꝵ qui est ꝓximus post .d. sit . f. Et quia ꝓporcõ que est ẜ. ad .d.
est suꝑꝑticularis ⁊ minima omnium que sunt contimue inter
numeros usq. ad .e. eadem continiata sibi ant̾. g. ⁊ h. scd̃m .c.
erit ꝓporcõ .h. ad .g. minor qm .d. ad e. Et quia .d. num̾at h
immeret .e. tociens. R. qͣppt̾ ent .k. minor . g. st quia qͦtꝰ
est. K. a.g. tot intereos sunt suꝑꝑticulares: erit ut eadem cũ
continiratis ꝓpocionib inter. h. ꝑg constituant eam ꝓporcio¬
nem que est int̾. a. ⁊ b. ⁊ hoc ÷ qd ꝓposminus

Expanded text:
ultiplicem superpartientem ex qua geminata multiplex superpartiens proveniat demum et b. Sitque c secundum quem sumende sunt superparticulares equales. Deinde maior c ducatur m ad b et fiant d et e ut inter d et e sint numeri plures quam unitates in c maximusque eorum qui est proximus post d sit f. Et quia proportio que est f ad d est superparticularis et minima omnium que sunt continue inter numeros usque ad e, eadem continuata sibi inter g et h secundum c erit proportio h ad g minor quam d ad e. Et quia d numerat h, numeret e totiens k. Quapropter erit k minor g. Et quia quotus est k a g tot inter eos sunt superparticulares, erit ut eadem cum continuatis proportionibus inter h et g constituant eam proportionem que est inter a et b. Et hoc est quod proposuimus.
Abbreviated transcription (Latin):
erit residuus residm tota pars quota docus tocius
Sit ut prins a detractus ab ae. ⁊ c decͣctus a cf. sit itaq e̾f.
residua. Qͥ a gͥ a est ꝑtesc. quote ae ef. erit ⁊ e ꝑtes f. quoce¬
a e. ef. Sit enim b. una parcium . ae. ⁊ d una ꝑcium a. decͣto¬
q d. de b. reliquatur g. ꝑ p̾missam gͥ er̃.g. tota ꝑs est quota
b est a e. It q g tota ꝑs fͥ. quota b est cf. Rum sit gͥ ae tot
ꝑtes cf. quociens est b ĩ. ae. ⁊ tote quociens b in cf. atq g.
totiens mne: quociensb ĩ ae. s. ⁊ s cociens ĩ f. qͦciens .b. ĩ ef.
er̾ e tot ⁊ tote ꝑtes f. trnot ⁊ quote est ae.c ẜ.¬
Si quote ꝑtes totus tocius tote fuerit partes decͤctꝰ
decracti erit residiuis residui tote partes quote
c. sit e. Et qui fit ex ductu d. in e. sit f. diuidatur aũt. ẜ in ꝑtes
etiuales e. Itemq a: in ꝑtes equales b. Mamfestum aũt ꝙ equał
a. que est equalis .b. ꝑ pͥmam ꝑcem f. qm̃ equat᷑ e. Itemq scd̾am

Expanded text:
erit residuus residui tote partes quote totus totius. Sit, ut prius, a detractus ab a e et c detractus a cf. Sint itaque e et f residua. Quia ergo a est partes c quote a e cf, erit et e partes f quotea e c f. Sit enim b una partium a e et d una partium a detractoque d de b relinquaturg, per premissam ergo erit g tota pars e quota b est a e. Itemque g tota pars f quota b est cf. Cum sit ergo a e tot partes c f quotiens est b in a e et tote quotiens b in c f atque g totiens in e quotiens b in a e, sed et g totiens in f quotiens b in c f erit e tot et tote Si quote partes totus totius tote fuerit partes detractus detracti, erit residuus residui tote partes quotec sit e. Et qui fit ex ductu d in e sit f. Dividatur autem f in partes equales e. Itemque a in partes equales b. Manifestum autem quod equales a, que est
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmo ponatur. diuisibilis
ꝑ. duo. equallia cuius medietas sit .b. latus. autem. a. sit .c. Qͥa
gͥ.c. est medus ꝓporcionalit̾ int̾ binarium ⁊ .b. ⁊ quia binariꝰ est
numerus. primis. per pͥmam. gͥ quarti ⁊ pͥmam cerccii binarius
numeradit .b. cuius medietas fit .d. cͥa quem nu̾t sint maror . e.¬
⁊ inin̾oi .f. quoꝵ quadrata sint .g. ⁊h. dico. gͦ qd̾.g. est tamquã
h. pã. differencia enim .e. ⁊ .f. est biuariꝰ. Compositus quoq ex ipsis
⁊ b. ec qr ex biario in .b. fit .a. et qd ex diffr̾a lat̾m in compositũ ex
ipsis est diffc̾a quadratoꝵ manifestum est .a. eise diffrãm .g. ⁊ h. qͥ
sunt quadrati .e. ⁊ .ẜ. constat gͦ ꝓpositun. si u̾o a. sit indiuisibilis.
niinierabit inferiorem eo unitatenbinarius ꝑ .xxxi. primi. medie¬
dat super quadratum a. quantum e quãdrat᷑. k. hoc autẽ conftat
ꝑ xoͣ. primi quia .ł. bis ami unitate componit. sic ꝙ inuenim̃ ꝓpõit̃¬

Expanded text:
primo ponatur divisibilis per duo equalia cuius medietas sit b, latus autem a sit c. Quia igitur c est medius proportionaliter inter binarium et b et quia binarius est numerus primus, per primam igitur quarti et primam tertii binarius numerabit b cuius medietas sit d circa quem numeri sint maior e et minor f quorum quadrata sint g et h. Dico ergo quod g est tanquam h et a. Differentia etenim e et f est binarius, compositus quoque ex ipsis est b. Et quia ex binario in b fit a et quod ex differentia laterum in compositum ex ipsis est differentia quadratorum, manifestum est a esse differentiam g et h qui sunt quadrati e et f. Constat ergo propositum. Si vero a sit indivisibilis, numerabit inferiorem eo unitate binarius per xxxiam primi. Medie habundat super quadratum a quantum est quadratus k. Hoc autem constat per xviiiam primi quia k bis cum unitate componit a. Sicque invenim
Abbreviated transcription (Latin):
tum est qͣntũ quadratum.d. et quia ꝑ t̾ciam p̾sentis quadratũ .c.
potest suꝑ id qd̾ fit ex .a. in .b. quantũ ÷ qnadratum diffr̃e .a. ad .c.
sequitur ita esse ut ꝓponit᷑

Expanded text:
tum est quantum quadratum d et quia per tertiam presentis quadratum c potest super id quod fit ex a in b quantum est quadratum differentie a ad c, sequitur ita esse ut proponitur.
Abbreviated transcription (Latin):
FUt si amb. ꝓducat .c. sit e ut . d. eiundem numeret. Ant gͦ. d.
erit pͥmus aut compositus. Si pͥmus: num erabit alter illoꝵ ꝑ
p̃missam. Ent gͥ esdem mensurabilis. Si composiais aliquis p̾mꝰ
eimdera numerabit .ꝙ. scd̾am p̾sentis. qui sit.e. s ꝑ xxiii. pmi . e.
nrmerabit .s. quare ꝑ d̾missã num erabit ⁊ a. uł .b. Qum. gͦ comũit̾
numeret .s. alterum. erunt scd̾m illam d. ⁊ ĩdem cõm ensura

Expanded text:
Ut si a in b producat c. Sitque ut d eundem numeret. Aut ergo d erit primus aut compositus. Si primus, numerabit alterum illorum per premissam. Erit igitur eidem commensurabilis. Si compositus, aliquis primus eundem numerabit per secundam presentis qui sit e. Sed per xxiiiam primi e numerabit c quare per premissam numerabit et a vel b. Cum ergo communiter num
Abbreviated transcription (Latin):
D. qui sint .e.f. int̾ quos sit medius scd̾m musicam medietatẽ qͥsit .g.
S int̾ eosdem medius scd̃m arisinethicam sit.h. Qͥa gͥ .e. ad .h. sicut.s̃.
ad f. ⁊ qr ꝑ .xix. huiꝰ. e. ad . h. sicut a ad .b. erit .c ad d. sicut .g. ad f.
ꝑ p̾missam gͥ argue. Alt̾am ꝑtem sic. suanat᷑ siquidẽ int̾ a. ⁊.d mediꝰ
scd̃m arismeticã medietatẽ. Atq ꝑ xliiii. huius argue. eum eqͣlem .b.
Qͦd si non int̾ eos: inter duplos eoꝵ.¬
Iint̾ duos num̃os alii duo medii ꝓpͤalit̾ sumãt᷑:
Surnat᷑ q maior scd̃m arismeticam medietatem:
Sumet᷑ minor scd̃m armonicam. & d simior se¬
cundũ armonicam: maior scd̃m arismethicam

Expanded text:
d qui sint e f inter quos sit medius secundum musicam medietatem qui sitg, sed et inter eosdem medius secundum arismeticam sit h. Quia igitur e ad h sicut ! g ad f Alteram partem sic: Sumatur siquidem inter a et d medius secundum arismeticam medietatem. Atque per xliam huius argue eum equalem b. Quod si non inter eos, inter duplos eorinter duos numeros alii duo medii proportionaliter sumantur sumaturque maior secundum arismeticam medietatem, sumetur minor secundum armonicam; quod si minor secundum armonicam, maior secundum arismeticam
Abbreviated transcription (Latin):
¶Primam partem sic asseu̾amns. Si emm ꝑte altera longior esset
quadratus: ex utriusq descripcione. ⁊ scd̾a ꝑte. xxui scd̾i sequeret᷑ ĩ con¬
ueniens .s. inter duos num̾os solanintate distantes medium esse ĩ con¬
tinua ꝓpͦalitate. Scd̾a ꝑs constabit hoc modo ponatur a parte altera
longior esse cubus auus duo satera .d̾. ⁊.c. ⁊ eoꝵ euadrata .d. ꝑ .e. et latꝰ
.A. in eo qd̾ aibus est sit .f. auus quadratus sit .℥. erit gͦ ex corost. qͣrte
peesentis. inter .z. ⁊ d. meduns incontinua propͦalite qui sit g. eritq
ꝓpͦ .d. ad .g. ⁊ .g. adx. sicut .b. ad f. It̃q int̾ ⁊. ⁊ e medius .h. auꝰ¬

Expanded text:
Primam partem sic asseveramus. Si enim parte altera longior esset quadratus, ex utriusque descriptione et secunda parte xxvie secundi sequeretur inconveniens, scilicet, inter duos numeros sola unitate distantes medium esse in continua proportionalitate. Secunda pars constabit hoc modo: ponatur a parte altera longior esse cubus cuius duo latera b et c, et eorum quadrata d et e. Et latus a in eo quod cubus est sit f cuius quadratus sit z. Erit ergo ex corollario quarte presentis inter z etd medius in continua proportionalitate qui sit g eritque proportio d ad g et g ad z sicut b ad f. Itemque inter z et e medius h cu
Abbreviated transcription (Latin):
niens. Si ccͣ. se pͥmi: erit ut̾q cubus ꝑ sadcam p̾sentis. It̃. si. o ⁊ d fu̾nt
comensurabiles. ⁊ idem sequetur inconuemens. Si uͦ non erit ut̾q aubꝰ
Sit dacus parte alt̾a longior a. ⁊ enis lat̾a. b.c. maior .b. ⁊ dnpli co

Expanded text:
niens. Si contra se primi, erit uterque cubus per secundam presentis. Item si c et d fuerint commensurabiles, idem sequetur inconveniens. Si vero non, erit uterque cubus ab eo parte altera lon
Abbreviated transcription (Latin):
iis um atur mimerus minimus quem num̾¬
ant numeri prinii assignati alium ab illis nũm
primum eundem numerare est inpossibile.
¶Suit a .b .g.d. mumeri illas ꝑces denominantes ⁊ minimus ab
eis mi̾atus sit .e. s ꝑ num̾i sd̾m quos eum numerant sint. e ẜ ħ ĩ.
qui etim num̾abunt .c. ẜ onu̾sa uice scd̾m datos ini̾os. Runt enꝑ
ꝑtes illius ab illis dicce. S ⁊ eum minimum esse hmodi ꝑtes hnceni
Qͥa si alt̾ fu̾it sit ut .R. ⁊ ꝑtes eus. m . n .p. que abillis denominate er̃t
gͦ conuerso modo. ab .g.d. ꝑtes .R. ab istis dicde unde sequit᷑. e ĩ
esse minimum qm̃ a .b. g .d. nuiment¬

Expanded text:
i sumatur minimus numerus quem numerant numeri primi assignati, alium ab illis numerum primum eundem numerare est impossibile.b g d numeri illas partes denominantes et minimus ab eis numeratus sit c. Sed et numeri secundum quos eum numerant sint e f h l qui etiam numerabunt c conversa vice secundum datos numeros. Erunt ergo partes illius ab illis dicte. Sed et eum minimum esse huiusmodi partes habentem. Quia si alter fuerit sit ut k et partes eius m n p q ab illis denominate erunt ergo converso modoa b g d partes k ab istis dicte. Unde sequitur c non esse minimum quema b g d nume
Abbreviated transcription (Latin):
Disponantur mnordine unitaates dati numeri. ⁊
qui est maximus equales ordines ad aptentur doneo totidẽ
faciant quot sunt unitates in lat̾e unitatib sibi directe
adaptatis. demde super suꝑuis latus cotidem. ⁊ suniies eodem¬
q modo ponant᷑ ordines imitatum qͦt sunt sub inferiori
uno semper decrescentes ⁊ habebis octogonunt equilatẽr.¬

Expanded text:
Disponantur in ordine unitates dati numeri et qui est maximus equales ordines adaptentur donec totidem faciant quot sunt unitates in latere unitatibus sibi directe adaptatis. Deinde super superius latus totidem et similes eodemque modo ponantur ordines unitatum quot sunt sub inferiori uno semper decrescentes et habebis octogonum equilater
Abbreviated transcription (Latin):
¶Cota qd ex quib alie ꝓxreant᷑: in illas tantun reducent᷑. Erit gͥ
N om̃ib mod̾ idem reducendi in quib eciam erat idem ꝓc̾andi.
ut si pouant᷑ t̾mini. a .b .c. d. et equalis .a. ponat᷑ pim̃ius q̃ sic
.e. atꝙ a .b. coliatur. e. ꝑ remaneat.F. s ⁊ de .c. tollat᷑.e. ł
F.bis. ⁊ residuum sit .g.⁊. de .d. tollat᷑ d.⁊ .f. t̾er ⁊ g.ter. ⁊
relinquatur .h. Dico gͦ qd̾ ⁊ illi sunt continue ꝓpͦnales. Sĩt
enini. iii. tͥmini. ꝯtimie ꝓporcionales ꝓporcione qͣ est .ẜ. ad .E.
qͥ sint błm .n. Er̃t ꝙ isli continue ꝓporcionales ut p̾missum.
est: qui ex illis p̾dc̃a addiciõne ꝓuenient qui sint .o.ꝑ. ꝙ .r.
et quia .o. ad k sicut .a. ad .e.℥. sic de cet̾is palam. h .g. f.e
esse ꝓporcionales. ⁊ si .b. ad .a. fu̾it supͣ ꝑtianaris erit ꝑ xbi
huius .e. ad .ẜ. młtiplex. Qͦd si młtiplex erit .f. ad .ẽ. ł eqͣlis
ui nuuiciplex. palam autem qd̾ si dupla: erit equalis: si ma¬

Expanded text:
ota quod ex quibus ille procreantur, in illas tantum reducentur. Erit igitur in omnibus idem modus reducendi in quibus etiam erat idem procreandi. Ut si ponantur termini a b c d et equalis a ponatur primus qui sit e atque ab tollatur e et remaneat f. Sed et de c tollatur e et f bis et residuum sit g et ded tollatur e et f ter et g ter et relinquatur h. Dico igitur quod et illi sunt continue proportionales. Sint enim quatuor termini continue proportionales proportione que est f ad e qui sint k l m n. Eruntque illi continue proportionales ut premissum est. Qui ex illis predicta additione provenient qui sint opqr. Et quiao ad k sicut a ad e et sic de ceteris, palam h g f e esse proportionales. Et si b ad a fuerit superparticularis, erit per xviam huius e ad f multiplex. Quod si multiplex, erit f ad e vel equalis vel multiplex. Palam autem quod, si dupla, erit equalis; si ma
Abbreviated transcription (Latin):
sunit . e. ⁊ ẜ. Sit. ꝙ .g. numerans .c. dico quia comum cabit aimi .e. uł¬
cum f. sumantur namq tres eiusdem ꝓporcionis minimi qͥ sunt¬
h.l. R. Q a igt᷑ex .e. in k. fit .c. p .u. tercũ comunicabit. guł. cũ
se fit k. palam eandem qm̃ est cõmensurabił cum .f. sic q pacet
ꝓpositio
fuerint quoclibet numeri in sua ꝓporcione mi¬
Sint quatuor nimeri ut proposuimus a. b.g. d. dico qm̃ compõitꝰ¬
ex. abg. est ad .d. primus. Si enim aliauis eds mimeret idemcõmili¬
cabit cum altera radicum ullius ꝓpoicionis que est .a. adb. ꝑ p̾missã
erit gͦ num̃us comiunter num̾ans alt̾am radicun. ⁊ compositum

Expanded text:
sint e et f. Sitque g numerans c. Dico quia communicabit cume vel cum l. Sumantur namque tres eiusdem proportionis minimi qui sinth l k. Quia igitur ex e in k fit c, per vam tertii communicabit g vel cum se fit k, palam per eandem quoniam est commensurabilis cum f. Sicque patet propositioportione miSint quatuor numeri ut proposuimusa b g d. Dico quoniam compositusex a b g est ad d primus. Si enim aliquis eos numeret, idem communicabit cum altera radicum illius proportionis que est a ad b per premissam. Erit ergo numerus communiter numerans alteram radicum et c
Abbreviated transcription (Latin):
Si numeri continue proporcionales fuerint ĩ
sua proporcione minimi non erit extremi ad
aliquem que fuerit primi ad scd̃m ꝓporcio.

Expanded text:
Si numeri continue proportionales fuerint in sua proportione minimi, non erit extremi ad aliquem que fuerit primi ad secundum proportio.
Abbreviated transcription (Latin):
contra se paimi tertium eis continua ꝓporciona¬
litate ad iungi non est possibile.¶ Sit numeri. cõtͣ¬
meret .c. pb. d. fcd̃m. e. qui .a. neutro numeretur. Eum ergo constet¬
qͥd̃ .a. ad .b. ficut .c. ad .d. non erunt . d. ad aliquem . uł. aliquis ad
.c. sicut. ad .d. si enim esset ponatur.f. sit .ꝙ .f. ad .d. sicut .d. ad e
Itaq quociens.a. numerat.d. tociens .b.f. ꝑ .xx. ⁊ xix. tercii
igitur tertii.a. numerabit .e. q̃d est contͣ ỹpotesym.
Si duo numeri contra se primi numerent
alios duos scd̃m numerum a neutro eorum
numeratum illis quoq in continua ꝓporcio¬
nalitate non adiungetur tercius  sint . a.b.c.
ꝑ .u. presentis ⁊ ꝑ .xx. ℥ xiͣx. tercii. nimerabunt .b. ⁊ .d.
equaliter. Q ͦd.si .a. mimerabit .d. ⁊.b.e. num̾ abit.⁊ .A.¬

Expanded text:
contra se primi, tertium eis in continua proportionalitate adiungi non est possibile. Si enim tmeretc et bd secundum e qui a neutro numeretur. Cum ergo constetquod a ad b sicut c ad d, non erit d ad aliquem vel aliquis ad c sicut c ad d. Si enim esset, ponatur f sitque f ad d sicut d ad c. Itaque quotiens a numerat d totiens b f per xxam et xixam tertii. m igitur tertii a numerabit e. Quod est contra ypothesim. Si duo numeri contra se primi numerent alios duos secundum numerum a neutro eorum numeratum, illis quoque in continua proportionalitate non adiungetur tertius. Sint numeri per vam presentis, et per xxam et xixam tertii numerabunt b et d equaliter. Quod si a
Abbreviated transcription (Latin):
intermisso tertium semper esse quadratum. Qedra¬
tum u̾o ab unitate cubum et dubb intermiss
quartum semper esse cubum. Septimum aũt
quadratum cubicum. Atq quinq intermissis sep¬
trmum semper esse quadratum cubicum est necẽe¬
liqui omnes quadrati: posito scd̾o esse quãdrato: erunt omnes qui
int̾missi sunt quadrati gͦ omnes. Si u̾o fu̾t scd̾s cibis: erit ⁊ t̾aus.
cubus. ꝑ .xui. huius. ⁊ quia quartus ꝑpͥmissam ⁊ a quolib illoꝵ qͣrtꝰ
sumptus erit similiter cubus per .xi. pͥsentis. Illis autem sumptis:
omnes sumentur. omnes itaq cubi sic ꝙ patet ꝓpͦ¬

Expanded text:
intermisso tertium semper esse quadratum. Quartum vero ab unitate cubum et duobus intermissis quartum semper esse cubum. Septimum autem quadratum cubicum atque quinque intermissis septimum semper esse quadratum cubicum est neceliqui omnes quadrati. Posito secundo esse quadrato erunt omnes qui intermissi sunt quadrati, ergo omnes. Si vero fuerit secundus cubus, erit et tertius cubus per xviam huius. Et quia quartus per premissam, et a quolibet illorum quartus sumptus erit similiter cubus per xiam presentis. Illis autem sumptis omnes sumentur. Omnes itaque cubi. Sicque patet p
Abbreviated transcription (Latin):
Inueniamus maximam que ex duab componatur que
ait intera. ⁊ .b. quor diffr̾a .c. ⁊ quia .a. est maior .c. põiro
qd̃ .d. sit minor .b. uno. er̾ ppͦ .b. ad .d. minor. qm .a. ad .c. Addi¬
to gͥ .d. cm .b. fiat .e. erio. q e. aid .b. maior qͣm .b. ad . a.
⁊ quod supparciens sit: manifestum. patet quoq tam in
dual supparticilares non pogͥ ni ge as to¬

Expanded text:
Inveniamus maximam que ex duabus componatur que sit inter a et b quorum differentia c. Et quia a est maior c, posito quod d sit minor b uno erit proportio b ad d minor quam a ad c. Addito igitur d cum b fiat e eritque c ad b maior quam b ad a. Et quod superpartiens sit, manifestum. Patet quoque eam in duas superparticulares non posse
Abbreviated transcription (Latin):
lil
Super parcientem inuenire que in duas super¬
particulares non posũt diuidi. uncle patet
qualibet superparciente aliam esse maio

Expanded text:
li Superpartientem invenire que in duas superparticulares non possit dividi. Unde patet qualibet superpartiente aliam esse maio
Abbreviated transcription (Latin):
siuie .a. ad .d. ⁊b. ad .c. referantur semꝑ eadem erit composita ꝓpoico
Dit eim ꝓporcõ .a. ad .c. suꝑ ꝓpoicõnem .a. ad .d. qͣatum.ẽ. pporcd̃ id
frolicid ⁊ ad b utrimq addita. eauidem omponit᷑. Itt̃a.a. ald ꝓ nnoe.
audantum est quantum .a. ad b ⁊ cad f.ut̾mq gͦ addita ꝓpõe
que est e ad .d. tota quoq erit equalis Qͣre ꝑmedum prne cõniñe
tui nit temiqͥm renqne. Sic quoq quatioi per tres anguuntus.
Si quotlibet num̾iad totiden alios comparentire
ꝓporciones eor quolibet modi sumptorum eand̾

Expanded text:
sive a add et bad creferantur semper eadem erit composita proportio. Addit enim proportio a ad c super proportionem a ad d quantum est proportio d proportioa ad b utrimque addita eandem componit. Item a ad f et c ad b tantum est quantum a ad b et c ad f. Utrimque ergo addita proportione que est e ad d tota quoque erit equalis. Quare per medium prime coniuncte sunt tanquam relique. Sic quoque quatuor per tres argSi quotlibet numeri ad totidem alios comparentur, proportiones eorum quolibet modo sumptorum eandem
Abbreviated transcription (Latin):
t̾aus est impar. Et quia item tercius mimerat quartum scd̾m p̾cedẽtẽ
enit nuo ⁊ quartꝰ impar. Sic ꝙ posteriores ꝑ pcedentes ꝓb abut᷑
esse imꝑes.

Expanded text:
tius est impar. Et quia item tertius numerat quartum secundum precedentem, erit quoque et quartus impar. Sicque posteriores per precedentes probabuntur esse impares.
Abbreviated transcription (Latin):
qui est extremus alioꝵ.⁊ ꝓducatur .ł. quem dico esse uum̾um ꝑfem̃.
palam siquid̾ est qd̾ prius sumpti omnes mim̾ãt eum. sałꝑ a bcd.
ponant᷑ q mitni scd̾m quos eum mim̾ant. et sint .e .g.h. R. Et qm̃
isti sunt tote ꝑtes .f. quote unitas. ⁊ a. ⁊ .b. ⁊c. sunt ꝑtes .d. et q̃m
iste minus unitate semꝑ componunt quam sit .d. que est pars ip̃iꝰ
ab ip̃o denominata. Similit̾.e. g.h. R. facat minus qmͣ f. scd̾n
ꝑtem ipñis .a.d. denominatam . ꝑ xaiii. scd̾i. que est .e. ⁊ qr uintas
⁊.a .b .e. d. bunt tamꝙͣ .e. additi qͦq illis faciunt. f. Si gͦ plures
ꝑtes non hu̾it palan euni ꝑfoñ esse. Qo̾d autem p̾ter illos al
eum mimeret est impossibile. Si enim num̾eret: ponat᷑ ⁊ sit .in.¬
pa fiaunt eums habent destripaonem per ꝑri miit

Expanded text:
qui est extremus aliorum, et producatur f quem dico esse numerum perfectum. Palam siquidem est quod prius sumpti omnes numerant eum sciliceta b c d ponanturque numeri secundum quos eum numerant et sint e g h k. Et quoniam isti sunt tote partes f quote unitas et a et b et c sunt partes d et quoniam iste minus unitate semper componunt quam sit d que est pars ipsius ab ipso denominata, similiter e g h k faciunt minus quam f secundum partem ipsius a d denominatam per xxiiiam secundi que est e. Et quia unitas et a b c d sunt tanquam e, additi quoque illis faciunt f. Si ergo plures partes non habuerit, palam eum perfectum esse. Quod autem preter illos alius eum numeret, est impossibile. Si enim numeraret, ponatur et sit m nperficiunt eum, habebit descriptionem perfecti.
Abbreviated transcription (Latin):
si i mas ꝑtes. du cat᷑ ꝓueniet multiplex .a. ⁊ insuper totidem ꝑtes¬
unde sequitur qd̾ si multiplex dicta. ab .c. millam ducatur. ꝓuẽito
multiplex suꝑparciens. Sunisiter fiet. Si quolib multiplice .aͦ maioe
uno sumat᷑. ⁊ multiplices ip̃oꝵ in iiam ducant᷑.

Expanded text:
s partes ducatur, proveniet multiplex a et insuper totidem partessequitur quod si multiplex dicta a c in illam ducatur, proveniet multiplex superpartiens. Similiter fiet si quolibet multiplice a maior uno sumatur et multiplices ipsorum in illam ducantur.
Abbreviated transcription (Latin):
iam fuerint duo numeri cͣc primi et mino¬
re de maiore qͦ ad potest detracto residurim a pͣ
de tracto detͣhatur continua facta detractione
unitatem relinqui est necc̃e. Qͦd si unitas re¬
sidua fuerit positos numeros ĩcõmensurabiles
esse conueniet. ¶Minor si maiorem numerat: eumesse
q huifmodi continua de tract̃ione. nect̾e aliquem relinqui qͥ
ante relictum num̾et alioq̾n contĩgeret semper minorem eo
esse residuum. Et quiã infinita non poss fieri diminucio re¬
igitur relinquitur ante relictum numerans. dico illum eum
esse maximum comunit̾ eos num̾antẽ. si enim maior eo põa᷑.
ꝑ .xii. primi maiorem nim̾are minoiem oftend̾es.
Datie duob numeris cõmunicantib maximũ
eds numerantem inuenire. unde manifestũ ⁊
quod omnis numerꝰ duos numeros quoscimq
num̾ans maximum eos numerantem numerab̃.
gm autem qm̃ . d.ꝑ s sunt cõmensurabiles. ꝑ p̾misse corolla¬
rium. Sumat᷑ maytimus ꝑ eamdem eo numẽrans qui sit .e.

Expanded text:
Cum fuerint duo numeri contra se primi et minore de maiore quoad potest detracto residuum a prius detracto detrahatur, continua facta detractione unitatem relinqui est necesse. Quod si unitas residua fuerit, positos numeros incommensurabiles esse convenieque huiusmodi continua detractione necesse est aliquem relinqui qui ante relictum numeret. Alioquin contingeret semper minorem eo esse residuum, et quia infinita non posset fieri diminutio, re Quicumque igitur relinquitur ante relictum numerans dico illum eum esse maximum communiter eos numerantem. Si enim maior eo ponatur, per xiiam primi maiorem numerare minorem ostenderes.Datis duobus numeris communicantibus maximum eos numerantem invenire. Unde manifestum est quod omnis numerus duos numeros quoscumque numerans maximum eos numerantem numerabit. n autem quoniam d et c sunt commensurabiles per premisse corollarium, sumatur maximus per eandem eos numerans qui sit e.
Abbreviated transcription (Latin):
Sit mnaior.a. detractus .b. residuus .s. qui si fuit unitas constat
ꝓposicio. si autem numerꝰ idem detrahatur. qͦciens potest .d.b. ⁊
relinquat᷑ .D. qui uel erit unitas uł num̾ius pͥmiis ad .c. Ite
d. de .c. detrahatur quociens potest. erit ꝙ residnum minus.d.
sit ꝙ .e. qd̾ uel er̾ uitas uł mim̃us primus add. ꝑ̃ p̾missam cͥ
sidetratur a.d. remanebit minus eo. ⁊ qͥa ħ diminucio non p̃
fieri in infinitum. ꝙ quidem ess si semꝑ remaneret numerꝰ
ad detractum pͥmus᷑. restat ut uintas relinquat᷑. patet.gͥ.
ps pͥma. reliquum radueste: Si enm ponerentur qñ surabͥ ile¬

Expanded text:
Sit maior a, detractus b, residuus c. Qui si fuerit unitas, constat propositio. Si autem numerus idem detrahatur quotiens potest de b et relinquatur d qui vel erit unitas vel numerus primus ad c. Itemque d de c detrahatur quotiens potest eritque residuum minus d sitque e quod vel erit unitas vel numerus primus ad d per premissam. Qui si detrahatur a d remanebit minus eo. Et quia hec diminutio non potest fieri in infinitum quod quidem esset si semper remaneret numerus ad detractum primus, restat ut unitas relinquatur. Patet igitur pars prima. Reliquum indirecte. Si enim ponerentur commensurabile
Abbreviated transcription (Latin):
k. quoq non nun̾iat .ħ. ⁊ quia ẜ .g. marꝰ est qm tͥplum. D.
mni racõe qm̃. a.b. est minor f. non num̾abitꝰ ł. qd fit ex .a.b.
in.f .g. id ÷ h.k .ł. Et quia f. mu̾iat .l. nec .i. num̾abit eim qͣre
neq . h. R. et quia .l. est qͣntum .K. bis ⁊ .b. ꝑ nonam pͥmi. et qr
⁊ eft. equaie R⁊t. equale uł maieis qͣm .d. ⁊id. mauis u rhta¬

Expanded text:
 est quam triplum d, li ratione quoniam a b est minor f , non numerabit f quod fit ex a b in f g idest h k l. Et quia f numerat f , nec f numerabit eum. Quare neque h k. Et quia l est quantum k bis et b per nonam primi et quia z est equale k et t equale vel maius quam d et d mai
Abbreviated transcription (Latin):
.b. ⁊ .c. quelib uel eadem. uel diuersa. Qa gͥ .b. est minus
duplo a. atꝙ .c. minus dupło .h. palam est quia .c. minꝰ est
quãdruplo .a. ⁊ sic patens est qd̾ dicitur.
Ponantur eiusdem ꝓportionis t̾mini
minimi . a. ⁊ .a.b. qui coniuntt̾i faciãt¬
.D. sit. qre. maior .d. uno.s ⁊ ip̃i coniuncti faciant.ł. cui adda¬
⁊ equale.d. sit q tota. ẜ .g. Dncatur .a. int .g. ⁊ fiat .h. It ꝙ. a.b.
in enidem ⁊ fiat. h. k.l. patet gͥ ꝙ ad̾ ex.b. in. f .g. fit.tl. acq
ex.b. i g. fiat. R. quare ex .b. intͦ. fiet .I. Sit itẽ .c. dplus. ac atos
ex .s. in .g̃. siat . ⁊c. sit ꝙ ⁊ t̃. equale .R. ꝑalam auem ꝙ ꝓpor

Expanded text:
eadem vel diversa. Quia igitur b est minus que c minus duplo b, palam est quia c minus est quadruplo a. Et sic patens est quod dicitur. Ponantur eiusdem proportionis termini minimi a et ab qui coniuncti faciantd sitque e maior d uno. Sed et ipsi coniuncti faciant cui addatur equale d sitque totaf g. Ducatur a in f g et fiat h itemque a b in eundem et fiat h k l. Patet igitur quod ex b in f g fit k l atque ex b in g fiat k. Quare ex b in f fiet l. Sit item c triplus a atque ex c in g fiat z t. Sitque z equalek. Palam
Abbreviated transcription (Latin):
detrahatura. de .b. quocienslibet. sit ꝙ detrattint.. i residuũ.d.¬
dico quod. d. est pͥmus ad.a. uel est unitas. si enmm̃ ess com̃sima¬
bilis cunta ponatur cõmunis mensura e numerabit q e. etiam. s
a.⁊ .b. er̾t cõmunicantes ꝙ eit contͣ ypothesym
Si sint duo numeri contre se primi minor q
de maiore aliquociens detrahatur aut relĩquet᷑
unitas aut numerus ad detractum primus.

Expanded text:
detrahatur a de b quotienslibet sitque detractum c et residuum d.detrahatur a de b quotienslibet sitque detractum c et residuum d.Dico quod d est primus ad a vel est unitas. Si enim esset commensurabilis cum a, ponatur communis mensura e numerabitquee etiam c a et b erunt communicantes. Quod est contra ypothesimSi sint duo numeri contra se primi minorque de maiore aliquotiens detrahatur, aut relinquetur unitas aut numerus ad detractum primus.
Abbreviated transcription (Latin):
Iut. si a .⁊b. Sint contra se primi. ⁊ ex.a. in se fiat .s. ⁊ ex.b.
in se fiat.d. Item q . a in .c. ⁊ b. in .d. ducat᷑ ⁊ ꝓueniant.e.⁊ f
Dico .gͦ qd̾ .c.x.d. sunt contͣ se pͥmi. Constat eni ꝑ p̾missam
ꝙ .c. est pͥmus ad .b. ꝑ eamdem gͥ. erit .s. pͥmus ad .d. qra. gͦ.
tam .c. qͣm. a. est pr̃imus ⁊ ad.b .⁊. ad .d. ex̃ ꝑ ante p̾missã
.& pͥmusad eosdem. per eamdem gͥ ⁊ .f. erit primus ad .e. et
Ssi fuerint duo numeri contͣse pͥmi qui ex eis ꝓ¬
ducent᷑ erunt ad inuicem primi. Qod si idem
in ꝓductos ducãt᷑. et qui inde ꝓducent᷑. er̃t ꝯtͣ
se primi. Sic q deinceps si pͥncipia mꝑdustos ducãt᷑.
pͥmi. Est enim ꝑ decimã presentis bis sumptam e. ad.c. ⁊d ipͥmꝰ
ꝑ.gͦ eamdem erit idem ad.f. primus qd debuimus ostendere:¬
Si. duo numeri ad alios duos uterq ad utr̃ts
fuerit primus et qui ex eis ꝓducitur. ad ꝓdut¬
tum ex reliquis erit primus N.a. ⁊.b. cum sit̃¬

Expanded text:
Ut si a et b sint contra se primi et ex a in se fiat c et ex b in se fiat d. Itemque a in c et b in d ducatur et proveniant e et f. Dico ergo quod c et d sunt contra se primi. Constat enim per premissam quod c est primus ad b, per eandem igitur erit c primus ad d. Quia ergo tam c quam a est primus et ad b et ad d, erit per antepremissam e primus ad eosdem. Per eandem igitur et f erit primus ad e. Et Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex eis ducentur erunt ad invicem primi. Quod si idem in productos ducantur et qui inde producentur erunt contra se primi. Sicque deinceps si principia in productos ducantur, primi. Est enim per decimam presentis bis sumptam e ad c et d primus. Per ergo eandem erit idem ad f primus. Quod debuimus ostendereSi duo numeri ad alios duos uterque ad utrumque fuerit primus, et qui ex eis producitur ad productum ex reliquis erit primus. Sint a et