comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
autem. geminae partes sunt: Vn a continua : & suis partib: ⁊
iuncta : nec ullis finib: distributã : ut est arbor lapis &
om̃a mundihuuis corpora quae ꝓprie magnitudines appeb¬
chorus aceruus: & quic̃quid quorum partes ꝓpriis extre¬
mitatib: terminantur. & ab alterius fine discr&ȩ sunt : his
ꝓprium nomen est multitudo : Rursus multitu dinis alia sunt
ꝑse : ut tres uł quattuor uel t&ragonus uł qui lib& nume¬
rus: Qũi ut sit nullo indig& ⁊ Alia uero ꝑse ipsa : non

Expanded text:
autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appelchorus, acervus, et quidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel tetragonus, vel quilibet numerus, qui, ut sit, nullo indiget. Alia vero per seipsa non
Abbreviated transcription (Latin):
imparemnumerum eẽ qui unitate differt a pari uł crem̃to
uł diminutione Item parnumerus est quiunitate differt ab
unum adieceris : impar efficitur: uł si impari idem feceris : par
mnis quoq: numerus circum sepositorũ & naturali sibi m& disposi¬
tione iunctorum medi&as est: & qui suꝑ duos illos sur̃. quime¬
dio iunguntur si componant᷑ &iam ipsorũ supradictus numerus mediu¬
portio est : & rursus illorũ qui sunt suꝑsecundo loco iunctos quicum
ipsi quoq: sint conpositi prior his numerus medi&atis loco est¬
& hoc epot usquedum occurrens unita eminum ponat : Vt sipo¬
nat quis quinarium numerum : altrin secus circaipsũ sunđ suꝑ iiii.

Expanded text:
imparem numerum esse, qui unitate differt a pari, vel incremento, vel diminutione. Item par numerus est, qui unitate differt ab unum adjeceris, et impar efficitur, vel si impari idem feceris, par cOmnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositione junctorum medietas est. Et qui super duos illos sunt, qui medio junguntur, si componantur, etiam ipsorum supradictus numerus medportio est, et rursus illorum qui sunt super secundo loco junctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus mediet hoc erit usque dum occurrens unitas, terminum ponat, ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt qu
Abbreviated transcription (Latin):
docuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates adcres¬
cere: spatia uero idestmagnitudines. in infinitissima sminui
paruitates Atq ideo hic contra euenit. Haec namq paris
diuisio spatio ẽ maxima paruissima quantitate. Impar

Expanded text:
docuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates accrescere, spatia vero, id est magnitudines, in infinitissimas minui parvitates, atque ideo hic contra evenit; haec namque paris divisio, spatio est maxima, parvissima quantitate. CAP
Abbreviated transcription (Latin):
capax : quem admodũ punctũ pritticipium
quidem lineae est atque inter ualli : Ipsum uero neinter uallum
neclinea : Neque enim puncto punctum suꝑ positum ullum efficit

Expanded text:
capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit
Abbreviated transcription (Latin):
nicam medi&a tem coniungere uelim xuimihinu¬
merus interextremitates utras queponendus est:
ut sit hocmodo x .XUI. XL. :Nunc̃igitur lic&
in huius modi dispositione : omnes armonicas proprie

Expanded text:
nicam medietatem conjungere velim, 16 mihi numerus inter extremitates utrasque ponendus est, ut sit hoc modo 10, 16, 40. Nunc igitur licet in hujusmodi dispositione omnes harmonicas proprie
Abbreviated transcription (Latin):
XX. Horumergo siprimum sumas parem : id. ẽ .ii.
primi duplus erit ĩdẽ unitatis : siuero sequentem parẽ
id ẽ .iiii. secundi duplus : ĩdẽ duorum: siuero tertiũ
parem sumas id ẽ .ui. testunumeri innaturali cons¬
titutione duplus est : id est ternarii : si uero quastũ
parem inspicias id ẽ .uiii: quastinumeri : id ẽ qua¬
ternarii duplus ẽ : Itemq: inc&eris in infinitum
sumentibus sine aliquo inpedimento ꝓrocedit: tri

Expanded text:
. Horum ergo si primum sumas parem, id est 2, primi duplus erit, id est unitatis. Si vero sequentem parem, id est 4, secundi duplus est, id est duorum. Si vero tertium parem sumas, id est 6, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Tri
Abbreviated transcription (Latin):
Omnis inȩqualitas a nobis adequalitatem rursus uelut ad quoddam
ȩlimentum proprii generis resoluatur : Hoc autem trina rursus im

Expanded text:
obis inaequalitas ad aequalitem rursus, velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus im
Abbreviated transcription (Latin):
utrosq m&iatur: Repperiendi arstalis ẽidatis enĩ
duobus numeris in aequalibus: au ferre demaiore
minorem opostebit & qui relictus fuerit si maior
est auferre xeorursus minoreri: siero minor

Expanded text:
utrosque metiatur, reperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor
Abbreviated transcription (Latin):
primus triangulus nascer&ur id est tres : & cumhis adiun¬
geremus testium id est ternarium : senarius triangulus
rursus occurrer& : & post host & ragoni uno inter misso penta¬
gom uero duobus: ex agonitribus : ȩp̃tagoni relictis quat ruor
nascebantur : Nuncuero ad solidd orum corporum procreatio¬
nem ipsae nobis suꝑficies naturaliter figlratae ꝓuenientr:
&ad factiendus quidem pyramides atriangulo ipsi nobis triaug
conponendi sum : Adprõcereandas uero pyramid esaasõag¬
no t&eragoni : Adeas uero quae sunt apenta gono pentago no

Expanded text:
primus triangulus nasceretur, id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pe
Abbreviated transcription (Latin):
qͥbis : & spericis uel psramidis : laterculis &iam: uel tignulis
& cuneis : quae om̃a quidem : geo m&ricae propriae considerationis
sunt sed sicut ipsa geo m&ri ae scientia ab arithim&ica uelut quadam
radice acmatre ꝓducta est : Ita&iam eius figurarum semina in primis
numeris inuenimus : planum siquidem fecimus quod om̃s disciplina
haeo inter empta consumer& : quas minime constituta firmar& :

Expanded text:
bis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt. Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figurarum semina in primis numeris invenimus. Planum siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta infirmar
Abbreviated transcription (Latin):
gona o fuerit basis quadrata diminutione semꝑ ascendit
Sisi pentagona ba sis similiter : & siexagona illa quoque ultima sup

Expanded text:
gona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima sup
Abbreviated transcription (Latin):
maneant : Neq enim exnon subsistentib: effici quicquam
potest & sunt ipsa dissimilia & potentia cõmponendi
Haec aut̃ sunt quib: numerus constat. Paratq: impar. quȩ
diuina quadam potentia cumdis paria sint contrariaque.
tamen ex una genitura ꝓ fluun & inunam cõnpositionem

Expanded text:
maneant. Neque enim ex non existentibus effici quidquam potest, et sunt ipsa dissimilia et potentia componendi. Haec autem sunt quibus numerus constat, par atque impar. Quae divina quadam potentia cum disparia sint contrariaque, tamen ex una genitura profluunt, et in unam compositionem
Abbreviated transcription (Latin):
ille cuius eodem modo conpositae pastes totius ter¬
mini multitudine supenentur : ut .uiii. uel xiiii .¬
habet enimostonarius partem mediam id est
iiii. hab& & quastam idẽ .ii. hab& & octauam id ẽ
i: qua e cunctae in unum redactae : .VII. colligunt

Expanded text:
ille, cujus eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut 8 vel 9: habet enim octonarius partem mediam, id est 4; habet et quartam, id est duo; habet et octavam, id est unum, quae cunctae in unum redactae 7 colligunt
Abbreviated transcription (Latin):
quaedam deea quantitate quae ꝑse ipsa constat: Neque ad aliqͥd
refertur expediam : quae nob adea prodeẽ possint : quae posthȩc

Expanded text:
quaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec
Abbreviated transcription (Latin):
merus medi&as est : Rursus istorum qui altrinsecus positi sun
suungantur &iam hi quin arii numeri duplisunt: Nam suꝑnii
quinarius rursus medi&as est : Hoc idem in omnib: numeris
euenit : usq dum adunitatis t̃minum ꝑ ueniriqueat: soluenim¬
unitas circũ se duos t̃minos non hab& : Atq ideo eiꝰ qui est ꝓpese :
solius est medi&as : Nam iuxta unum solus ẽ binarius naturalũ
constitutus: Cuius unitas media pars est : Quare constat primã
ẽẽ unitatem cunctorum qui sunt innaturali dispositionenu¬
merorum & eam rite totius quamuis ꝓlixae gen& ricẽ plura¬
litatis agnosci.UIII. DIUISIO PARIS NUMORI
Paris aut̃ numeri species sunt .iii : Est enimuna quae dicit᷑
parit̃ par. Alia uero parit̃ impar Tertia imparit᷑ par : & con

Expanded text:
medietas erit. Rursus illorum qui altrinsecus positi sunt, si iungantur, etiam hi quinarii numeri duplices erunt. Nam suquinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri queat, solunitas circum se duos terminos non habet, atque ideo ejus, qui est prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam rite totius quamvis prolixae, genitricem pluralitatis agnosci. CAPUT VIII. Divisio paris numeri Paris autem numeri species sunt 3. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et con
Abbreviated transcription (Latin):
ces ses qualteros creant: ut est. subiecta discriptio.
ero atrib inchoent dispositiones & trib sese transili¬
ant : & ad eos aptentur quia septe nario inchoantes

Expanded text:
ces sesquialteros creant, ut est subjecta descriptio. ero a tribus inchoent dispositiones, et tribus sese transiliant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes
Abbreviated transcription (Latin):
Ex hisenim: &iam istȩsunt constitutȩ: est autem quastu¬
pars medi&as : qua eoppositauid&ur armonicȩ inqua
tribus terminis postas quem ad modum ÷ maximus
terminus ad paruissimum sic differentia minorum
ad differentiam maximorum : ut sunt .iiI.v. Ui: sex
adternarium : duplus e& sunt minores termini.U.¬
& .iii: maximi uerohuius dispositionis vi. & u: diffe¬
rentia uero minorum quinariscilic& & ternarii
& ternarii
duo sunt: maiorum quinarii. & senarii .i: qui
duo conparati adunum : duplum faciunt: Ergo
que madmodumest maximus terminus ad paruis¬
simum sicminorum terminorum differentia
ad differentiam maximorum : Liqu& autemopposi¬
tam: & quo dammodo contrariam essehaneme¬
di&atem: armonicȩ medi&ati: Idcirco quod in
illa quemadmodum ess& maximus. terminus ad
paruissimum sic maiorumter minorum diffe¬
rentia ad differentiam minorumhic autem
econtrario : Estautem pro prium huius medi&atis
qm̃ quod continetur sub maximotermino & me¬

Expanded text:
Ex his enim etiam istae sunt constitutae. Est autem quarta medietas quae opposita videtur harmonicae, in qua tribus terminis positis, quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad differentiam maximorum. Ut sunt 3, 5, 6, sex ad ternarium duplus. Et sunt minores 5 et 3, maximi vero hujus dispositionis 6 et 5. Differentiat ternarii 2 sunt, majorum, quinarii et senarii, 1, qui 2 ad unum comparati duplum faciunt. Ergo quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic minorum terminorum differentia est ad differentiam maximorum. Liquet autem oppositam et quodammodo contrariam esse hanc medietatem harmonicae medietati, idcirco quod in illa quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic majorum terminorum differentia ad differentiam minorum. Hic autem econtrario. Est autem proprium hujus medietatis, quoniam quod continetur sub maximo termino et me
Abbreviated transcription (Latin):
plicat numerus ñ recedit : quod circa alium numerum ñ potest
inueniri : Paris uero ordinis binarius numerus princeps est :
quaedualitas cum in eodem ordine paritatis sit : tum pripcipiũ

Expanded text:
plicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principiu
Abbreviated transcription (Latin):
lis antecedent: quarȩ ꝑfecte ut arbitror demonstratũ
est : om̃nium formarum principium ȩlementum que ẽẽ tri¬

Expanded text:
lis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium elementumque esse tri
Abbreviated transcription (Latin):
hanc ꝓ gressionem cunctae multiplicitatis species si ne ulla
ordinis ꝑmutatione nascentur : Itaut duplus cum ses qual¬
tero triplicem creet : & triplus cum sesqui testio quãdruplũ:
Quadruplus cum sesquiquasto quin quuplum: & eodem modo:

Expanded text:
hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur. Ita vero ut duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et
Abbreviated transcription (Latin):
uari&atis dissimilitudo subripi &: eadem tamen sum¬
marum super gressio est in hocquoq: quae in duplicibus

Expanded text:
arietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus
Abbreviated transcription (Latin):
cumq fabricante ratione ꝑnumeros ad signati or̃dinis inue¬
nere concordiam sed hoc quoq: prior arithm&ica declaratur
quod quaecumq natura priora sunt : his sublatis simul pos

Expanded text:
cunque fabricante ratione, per numeros assignati ordinis invenere concordiam; sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul pos
Abbreviated transcription (Latin):
differentiis pares sint proportionibus distent: Dispo¬
nantur enim in ordinem idemilli superiores t&ragoni
XUI. XX. XXU.xxx Ergo in superiore formulu hoc
maxime intuendum est : Nam que int̃ unum qui est tetra¬
gonus & duos duplu proportio est: Inter.ii . &iiii. dupla hic
ergo tetragonus cum parte altera longiore. atquebiccum
sequente tetragono: eudem proportione iunguntur:
Differentiis uero nonisdem : nam que duorum atqueunius.
solu unitus differentia est: sedidem̃ duo a qua ternario
so lobinario relinquuntur : Rursus sin. adiii. speculeris
dupluest. proportio: si nii. adi. habitudinem ses qualterã
recognosees : Hi ergo in proportionibus discrepant in diffe¬
binario distant : insequentibus &i ameodem modo sicut &iã¬
in primis fuit ratio constat: Nam quȩ eadem propostio est:
differentiis non eisdem : Nam .iiii. adui. &vi. ad uiiii. ses¬
qualtera proportione iunguntur : .vi. aut̃ uaternarium

Expanded text:
differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni,  ab uno. Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differ, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialter
Abbreviated transcription (Latin):
puaerer unitatem eorum nulla mensura sit:
quie donullam mensuram praeter unitatem
uicipiunt hos primos & in cõnpositos iudicamus:

Expanded text:
praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus
Abbreviated transcription (Latin):
mor sapientiae : quamin his spernendis ante contempserit.
Illud quoq addendum arbitror qđ cunctauis multitudinis ab

Expanded text:
mor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. Illud quoque addendum arbitror quod cuncta vis multitudinis ab
Abbreviated transcription (Latin):
cdesolidis quidem quae prramidis formam obtinen ae qualiter
crescentib: & a propria uelut radice multiangula figura pro¬
gredientibus dictum est : Est alia rursus quaedam corporum
solidorum ordinabilis compositio eõtum qui dnr qͥbi uel asseres

Expanded text:
de solidis quidem quae pyramidis formam obtinent aequaliter crescentibus, et a propria velut radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cubi vel asseres
Abbreviated transcription (Latin):
opponitur: Ergo cumhi re pestisint : si alios in¬
uenire secteris eadem oport& ntione uesti¬
ges: pones enim .i. licebit : & post hunc .ii. iiii. qui
in septinarium cumulantur : sed de hoc dudum &ti¬
tit .xXUIII. ꝑ fectus numerus : Huic igitur qui se qui¬
tur pariter par id .ẽ.uiii. continens iungatur ac

Expanded text:
opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par, id est 8, continens jungatur ac
Abbreviated transcription (Latin):
cies una semperꝑlus multiplicatione crescentibus re dicibus
oriuntur : Ra dices autem proportionum uoconumeros in supe¬
uerardis postione discriptos quasi quib omnis siina sĩpne cdict
& minore plus in maiorib: sunt : tertu semper uocabulum sub¬
auditur : ut superbi partiens quiditur : qm̃duas minoris nu¬
meri tertias pastes habet : dicatur superbi pastiens ter

Expanded text:
cies una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradicttes minore plus in majoribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur. Ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens ter
Abbreviated transcription (Latin):
omnium longitudo subcrescit : quae abinarii numeri principio :¬
incunctos sese numeros explicat: qm̃ primum inter uallum linea est

Expanded text:
omnium longitudo succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est
Abbreviated transcription (Latin):
naturam substantiãq sortitus ẽ : sed in contraria diuisione
naturae numeri parit̃ paris ponitur : docebitur namq: quã
longe hic dissimili ratione diuidatur: Nam qum̃ par .e: in
partes a ẽ quales recipit sectionem: Partes uero eiꝰ moxin¬
diuisibiles Atq in secabiles ꝑmanebun : ut sunt .VI X.XIIII.
XXIII.Xxii. & his similes : Mox enim hornumeros si inge.¬
minu
fueris diuisione partitus : incurris in imparem
quem secare non possis: accidit autem his quodomnes
partes contrariȩ denominatas habent. quam sunt

Expanded text:
naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt 6, 10, 14, 18, 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt
Abbreviated transcription (Latin):
ces: supradictam facient extremitatem : .IIII. enim tricies &bis
uel quat̃ xxxii. ducti : cxxviii. inmutabi linecessitate cõnple¬
bunt : Atq hoc usq ad extremos terminos cadit : idẽ .i. & exeuiii:
Semel enim extremus t̃minus c̃xxuiii. est : Centies uicies
at qr octies unitate multiplicata : nihildepriore quantita temutabt̃ :
Si autem impares fuȩrint dispositiones unus medius terminus
inuenitur : Atq ipse sibi ꝓpria multiplicatione responde : Ineo
namq: ordinenumerorum ubi extremus t̃minus Exiiii p̃lura¬
litate concluditur sola inuenitur un a medi&as id est uii: Quã
si octies idẽ in sem& ipsammulti plices : Lxiiii. explicabit: Atq
idem reddent illi qui suꝑ hanc medi&atem sunt : ut dudum hi
qui suꝑduas positi faciebant : Nam quat̃ .xui: Ixiiii. sunt :
Et sedecies .iiiI. idem complent : Rursurbis xxxii. facti : a
lxiIIi. non discedunt : & tricierbisii : eosdem cumulant : &
arit̃ autem imparnumerus ẽ : qui & ipse quidem paritatis

Expanded text:
ces, supradictam facient extremitatem, 4 enim trigies et bis, vel quater 32 ducti, 128 immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et ibus. Pariter autem impar numerus est qui et ipse quidem paritatis
Abbreviated transcription (Latin):
ad primumuim ꝓpostionis obtineat : Quam qui extremus ad medium inqua lib&
in aequalitatis ratione : uel in multiplicib: uel in suꝑ pasticularib: uel in suꝑ pastientib: ł in his
quae echis procreantur multiplicib suꝑ pasticularib uel multiplicibus sup

Expanded text:
ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus ad medium in qualibet inaequalitatis ratione, vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in iis quae ex his procreantur, hoc est multiplicib
Abbreviated transcription (Latin):
nequeum quam fieri potest : ut quȩ lib& pans huius nu¬
meri eius demgeneris denominationem quantitatẽ¬
que suscipiat: semper enim side nominatio fuerit par :

Expanded text:
Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par
Abbreviated transcription (Latin):
qualtera proportio declarabitur: nam tertius secundi
uersus ser qualter est: ut iii. ad .ii. uel sex: ad .iiii. uel xiiii.
ad sex : uel xii : ad uiii. Itemq inc&eris qui sunt in ea
dem serie numeri sitalis coniugatio misceatur : nulla

Expanded text:
quialtera proportio declaratur. Nam tertius secundi versus sesquialter est, ut tres ad duo, vel sex ad 4, vel novem ad sex, vel 12 ad 8, item et in caeteris qui sunt dem serie numeri, si talis conjugatio misceatur, nulla
Abbreviated transcription (Latin):
Hoc autem cognoscendum est : quod haec signa numerorum posita¬
sunt quae nunc quoque homines in sumꝰ marum designatione describuxt

Expanded text:
Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt
Abbreviated transcription (Latin):
tius : quadruplus ses qui quastus : & quotiens totum num¬
rum insemetipso continuerit : permultiplicis numeris¬
cies appellatur : quam uero pastem conparatinumȩ
dauserit : secundum suꝑ pasticularem conpanttio
hebitudinem que uocabitur: horum autem exempla huus¬
modisunt: duplex ses qualter est : ut v. ad .i. habentunis
quinque binarium numerum bis & eius mediam id ẽ i.
duplex uero sesquitertius est : septenariu Adcerna¬
rium conparatus : At uero nouenarius ad quater nari¬
um duplex ses qui quastus : si uero xi ad u. duplex
sps qui quintus : & hi semper nascentur : dir᷑ positis in or¬
dinem ab inario numero omnibus natunliter paribus
in paribiq terminis si contraeos omnes. Aquinario numie¬
ro inpares comparentur : ut primum primo : secundum
secundo tertium tertio : caute & diligenter ad ponas:

Expanded text:
tius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numtius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numerum in semetipso continuerit, per multiplicis numeri species appellatur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla humodi sunt: duplex sesquialter est, ut quinque ad duo, habent enim 5, binariumDuplex vero sesquitertius est, septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium, duplex sesquiquartus. Si vero 11 ad 5, duplex sesquiquintus. Et hi semper nascentur, dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter apponas,
Abbreviated transcription (Latin):
conparatum numerum plus quam semel hab& multipli¬
cisest hiocuero quod minorem in habenda partetrens¬
cendit super par ticularis : itaq ex utroque lioui sunt¬
couo cabulo t̃ speciesque eius adillarum scilies fiunt
imaginem ꝓportionum ex quibus ipse numerus orig¬
neiaineni ꝑ nam prima pars huius uocabuli quia
multiplicis nomine porses saest : multiplicis nume¬
ris pecierum uocabulo nominanda est: quae uero super¬
particularis est : eodem uocabulo nuncupabitur : quo
super particularis numeri species uocabantur
Dic&ur enim quiduplicem habuerit alium numerũ
& eius mediam partem duplex ses qualter : qui ue¬
rotertiam duplex ses qui tertius : qui quastam duplex
ses qui quastus : & de inceps: siuero ter eum totum
contineat & rius mediam partem : uel tertiam uel quar¬
tam : dicetur triplex ses qualter : triplex ses qui ter¬
tius triplex ses quiquastus : & eodemiodo inc&eri
dic &urque quadruplus ses qualter : quad ruplus ses quite¬

Expanded text:
comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est, speciesque illius ad illarum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est. Quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et ejus mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplex sesquialter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et eodem modo in caeteris. Diceturque quadruplus sesquialter, quadruplus sesquiter
Abbreviated transcription (Latin):
iuero aduobus paribus omnibus dispositis terminis
illiqui aquina rionumero inchoantes : quinario nume¬
ro rursus se se trensiliunt conparentur omnes dupli

Expanded text:
ero a duobus paribus omnibus dispositis terminis, illi qui a quinario numero inchoantes, quinario numero rursus sese transiliunt comparentur, omnes dupli
Abbreviated transcription (Latin):
positis considerandum primus numerus. que meoꝵ
qui sunt inordine positi primum m&iripossit :
sed duobus pra&eritis illum qui post eos ẽ. positus
mox m&itur: & sipost eundem ipsum quem men¬
sus ẽ. aliiduo tnensmissis int : illum qui post duos
est rursus m&itur: & eo demmodo siduos quis reli¬
querit: post eos qui est a primonumerom&ien¬
dus est: eodemq modo relictis semper duobus¬
omnes a primo in in finitum pergentes m&ientur :
sedi& nonuulgo neque confus e : nam primus nume¬
rus illum qui est post duos secundum selo catos
persuam quantitatem m&itur: Ternarius
per ternarium: ternarius enim numerus testio
viiii. m&itur : si autem posł nouen arium duos
reliquero : quimihi post illos incurrerit : apri¬
mo i&ien dus ẽ persecundi in paris quantita¬
tem : idẽ per quinarium : nam si post .viIii. duos
relinquam id est .xi. &xiii. ternarius numerus
xv. m&i&ur per secundi inumeri quantitatem:
idẽ per quinarii : qm̃ ternarius .xv: quinquies

Expanded text:
positis considerandum primus numerus quem eorum qui sunt in ordine positi primum metiri possit, sed duobus praeteritis, illum qui post eos est positus, mox metitur. Et si post eumdem ipsum quem mensus est, alii duo transmissi sunt, illum qui post duos est rursus metitur. Et eodem modo si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est. Eodemque modo relictis semper duobus, a primo in infinitum pergentes metientur. Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum qui est post duos secundum se locatos per suam quantitatem metitur. Ternarius metitur. Ternarius enim numerus tertio 9 metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est, per secundi imparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post 9 duos relinquam, id est, 11 et 13, ternarius numerus 15 metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius 15 quinquies
Abbreviated transcription (Latin):
efficitur : Nam siuno relicto binario ternarium ad posuero :
quaternarius mihi quad ratus exoritur: Quod si rursus relicto
medio quaternario : quinarium similiter ad gregauero :
quadratus mihi testius: id est nouenarius ꝓcreatur : unus emm &tres
& quinque nouem colligunt ⁊ At uero sihis intermisso senario :

Expanded text:
efficitur. Nam si uni relicto binario quinarium apposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius procreatur. Unus enim et 3 et 5 novem colligunt. At vero si his, intermisso senario
Abbreviated transcription (Latin):
nulla erit alia diuisio. quae totum numerũ minore diuidat quan¬
titate : induas enim partes nihilminus est : Cumenim totum¬
quis fuerit trina diuisione partitus : spatii quidem sũ maminuit᷑
sed numerus diuisionis aug&ur. Quod aut̃ dictum est sec unđu
duorum generum contrarias passiones. huiusmodi est Prae

Expanded text:
nulla erit alia divisio quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim partes divisione, nihil minus est. Cum enim toquis fuerit trina divisione partitus, spatii quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum est, secundum duorum generum contrarias passiones, hujusmodi est. Prae
Abbreviated transcription (Latin):
tis innaturali constitutione numeris: singulos
ꝑsuas sequentias pares eligas : omnium ab uno
pariũ atq in parium sese sequentiũ duplices erunt :¬
& huius speculationis terminus deficit: ponatur

Expanded text:
tis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, hujus speculationis terminus non deficit. Ponatur
Abbreviated transcription (Latin):
interuallum: uelut sinihil nulli iungas : Nihił enim est quod ex
nullorum ꝓcreatione nascatur : Eadem quippe &iam circa a equa¬
longitudo uel spatium : Sienim tressenarios ponas hoc modo :uI.UI.UI.
quem ad modum primus est ad secundum sic est secundus ad testium:
sed interprimum & secuxdum nihil inter est .Vi. enim &vi nulla spa¬
cii interualla disiungunt : Ita &iam unitas in seipsa multiplicata

Expanded text:
intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalongitudo vel spatium. Si enim tres senarios ponas hoc modo 6, 6, 6, quemadmodum primus est ad secundum, sic est secundus ad tertium. Sed inter primum et secundum nihil interest, 6 enim et 6 nulla spatii intervalla disjungunt. Ita etiam unitas in seipsa multiplicata
Abbreviated transcription (Latin):
tionem medius terminus ad paruis simum
custo dit: eam r&in& extremorum differentia.
adminorum differentiam comparata: ut .iiii.
quorum est differentiu binarius: septinarii uero
& qua ternarii: ternarius differentia est : quẽ
si ad superiorẽ binariũ comparemus : ses qualtera proportione
coniungitur : quartauero : quae in ordine decima ẽ con¬
sideratur intribus terminis cũ tali proportione me¬
dius terminus ad paruis simũ comparatur: qualiextre
morũ differentia contra maiorũ terminorũ differen
bi parciens est : extremorũ uero differentia octona¬
riscilic&ternarii : quinarius : qui comparatus contra
maiorũ terminorum differentiã. s̃cilic& quinaru
& octonarii quiẽ ternarius : & ipse super bi par¬
tiens inuenitur : disponamus igit᷑ cunctas medi& a¬
tes inordinẽ : utcuius modi om̃s sint᷑ facillime possit¬
intellegi:¬

Expanded text:
tionem medius terminus ad parvissimum tionem medius terminus ad parvissimum custodit, eam retinet extremorum differentia ad minorum differentiam comparata, ut 4, narius; septenarii vero et quaternarii, ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesquialtera proportione conjungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum tali proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quali extremorum differentia contra majorum terminorum differentperbipartiens est. Extremorum vero differentia, octonarii scilicet et ternarii, quinarius, qui comparatus contra majorum terminorum differentiam, scilicet quinarii et octonarii, qui est ternarius, et ipse quoque superbipartiens invenitur. tes in ordinem, ut cujusmodi omnes sint, facillime possiintelligi
Abbreviated transcription (Latin):
maximus terminus adultimum sic maximi
& paruis simi termini differentia
adminorum differentiam terminorum: ut in hac
dis positione : ui .uIII. VIIII : Nouenarius igitur
ad senarium ses qualterest : quorum differentiuest
ternarius: minorum uero terminorum. id est
octonarii & senariibinarius differentia est:
quiad superio rem ternarium comparatus : facit.
ses quulteram propostionem : secunda uero
in tiiii: sed octuua in ordine propostio nalitas .e:
Q uotiens intribus terminis: quemad modum
sum extremittes adseinuicem comparatue :
siceorum differentia ȩ: ad maiorum terminorũ
differentiam : ut sunt .ui. uii. uIIII: Nouem
igitur ad sex sesquulter ÷ : & eorum diffe¬
rentia : ternarius est : qui comparatus contra
maiorum differentiam. id est septenarii & no¬
uenarii quibinarius est reddit ses qualteram
pro postionem : Tertia uero inter has se¬
quentes .iiii : nona auteri snor dine propor¬
tio est: qͣndo tribus terminis positis: quam propor¬

Expanded text:
maximus terminus ad ultimum, sic maximi maximus terminus ad ultimum, sic maximi et parvissimi termini differentia, ad minorum differentiam terminorum, ut in hac dispositione 6, 8, 9. Novenarius igitur ad senarium sesquialter est, quorum est differentia ternarius. Minorum vero terminorum, id est octonarii et senarii, binarius differentia est, qui ad superiorem ternarium comparatus, facit sesquialteram proportionem. Secunda vero inter quatuor, sed octava in ordine proportionalitas est, quotiens in tribus terminis, quemadmodum sunt extremitates ad se invicem comparatae, sic eorum differentia ad majorum terminorum differentiam, ut sunt 6, 7, 9. Novem igitur ad 6 sesquialter est, et eorum differentia ternarius est, qui comparatus contra majorum differentiam, id est septenarii et novenarii, qui binarius est, reddit sesquialteram proportionem. Tertia vero inter has sequentes quatuor, nona autem in ordine proportio est, quando tribus terminis positis, quam propor
Abbreviated transcription (Latin):
dium: sic minorum
terminorum differentia
addifferentiam maximorum indis posi¬
tione enim quȩ est:i.iiI. ui. maximus
terminus ad medium : ses qualte rest : Differentia
uero minorum: idestunius & quattuor ternarius
est: maiorum uero idest quaternarii. & senarii
binarius : Ternarius autem binario comparatus.
ses qualteram habitudinem proportionis effici¬
ent: Co demautem modo haec quoqueme¬
di&as geom&ricae contraria est: Quemad¬
modum & quintu proportionem differentia¬
rum aminoribus ad maiores terminos
conuers am̃. L¬
aristo telem quemanserunt: Post uero¬
uiẽ oiqui in secuti sunt: has tresalius dequibus supra
dis seruimus suis commenturiis addiderunt :¬
equens autem a& us : quem admodum diximꝰ
adimplendam denariam quantitatem alius iniI
medi& ates apposurt : quas nonadeo quis inue¬
terum libris inueniet: Has igitur nos quam
posumus breuissimȩ dis ponamus : Prima
enim quaeest eurum in or dine uer
septimu medi &us. hoc modo coniungitur.
Cumtribus terminis quemadmodum est

Expanded text:
dium, sic minorum terminorum differentia ad differentiam maximorum. Itione enim quae est 1, 4, 6, maximus terminus ad medium sesquialter est, differentia o minorum, id est unius et 4, ternarius est, majorum vero, id est quaternarii et senarii, binarius. Ternarius autem binario comparatus, sesquialteram habitudinem proportionis efficiodem autem modo haec quoque medietas geometricae contraria est, quemadmodum et quinta propter proportionem differentiarum a minoribus ad majores terminos conversam. Aristotelemque manserunt. Post vero qui insecuti sunt, has tres alias, de quibus supra disseruimus, suis commentariis addidere. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad implendam denariam quantitatem, alias quatuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo conjungitur, cum in tribus terminis, quemadmodum est
Abbreviated transcription (Latin):
& qua eunitate formantur : Conp̃hensibiles & d&ermi¬
natae. & eiusdem substantiae eẽ dñr : Eauero sunt :¬
uel quae ab aequalib crescunt. ut quadrati: uel quos ipsa
unitas format : id est in pares : At uero binarius : &
cuncti paste altera longiores quia finita substantia
discesserunt : uariabilis infinitaeq: substantiae nominant᷑ :
Constat ergo numerus om̃is exhis quae longe disiuncta

Expanded text:
 quae unitate formatur, comprehensibilis et determinatae et ejusdem substantiae esse dicuntur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substantiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his quae longe disjuncta
Abbreviated transcription (Latin):
propri&as : & in alio uero latere longitudinis eademne¬
tio discriptioq notataest: : quare manifestum est : hunc nu¬
merum & priorib duobus esse procreatum : qnm eorum
mpar quoque numerus quiã paris numerinatura substan¬
tiaq: dis iunctus est : s̃ quidem ille ingemina aequa diui¬
dipotest hic ne secari qua eat ĩmitati simpedit inter¬
uentus .iIͦI. hab & similiter sub diuisiones : quarum una

Expanded text:
proprietas. Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est hunc numerum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum Impar quoque numerus est, qui a paris numeri natura substantiaque disjunctus est. Siquidem ille in gemina membra aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis impedit interventus. Tres habet similiter
Abbreviated transcription (Latin):
cessio quiprioribus superueniens .X& restituit
sed hic primus & in conpositus non est: hab& enim
generis alterius pastem : super illam quae est
ase ipsa de nominata: quintam decimam scilic&
unitatem : Hunc igitur qm̃ secundus ẽ. & conposi

Expanded text:
cessio, qui prioribus superveniens, 15 restituit. Sed hic primus et incompositus non est. Habet enim generis alterius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est composi
Abbreviated transcription (Latin):
medi&ates : quas idcirco longius enodatius que
tractauimꝰ qr hȩmax ime inanti quorum lectiomibus in

Expanded text:
medietates, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus in
Abbreviated transcription (Latin):
tione
Qua termini:crementum uero &inminutio
pro portionum : secundum terminos nulluest : sed
maiorum terminorum propostio: aminorumter¬
minorum proportione non discrepat : si uero armo

Expanded text:
tione qua termini. Crementum vero et imminutio proportionum secundum terminos nulla est, sed majorum terminorum proportio a minorum terminorum proportione non discrepat. Si vero harmo
Abbreviated transcription (Latin):
st autem quaedam in hac reprofunda & miranda speculatio : &ut ait
nicomachus enmusꝗtaton theo rema proficiens & ad platonicam intimaeo

Expanded text:
Est autem quaedam in hac re profunda et miranda speculatio, et ut ait Nicomachus ἐννοιόφατον θεώρημα perficiens, et ad Platonicam in Timaeo
Abbreviated transcription (Latin):
Pmixtim&iam quanto unus trib: minor : tanto binarus¬
ł quat̃nario : uel quanto ternarius unitatem superat
Tantobmarium trans greditur quaternarius : Confessȩquidan &¬
apud antiquiores nõtȩ quȩq ad phitagorȩ uel platonis uel
aristotilis scientiam ꝑuenerunt: Hȩtres medi &ater sunt :¬
Arithm&ica geo m&rica. armonicu : postquas ꝓportionum
habitudines tres aliaesunt : quaesinenomine quidem feruntꝰ :
uocanturautem : quasta : quinta: uel sexta : quae supͦ ius dictis¬
oppositie s̃: Atuero posteri propt̃ denariinumeri ꝑ fectionẽ
quod erat phitugorȩ conplacitus . medi& ates alics .iiii.
addiderunt : ut in his ꝓportionalitatibus lenariȩ quantitatis
corpus efficerent : secundum quem numerum: & prio¬
res quinque habitudines conparationesq: discriptȩ sunt:
ubi quinq: maioribus proportionibus quas uocauimus duces
minores ap tauimus aliosterminos : quo scomites diximꝰ:
in de&iam in aristotelica atq: ardrte prius decem praedi¬

Expanded text:
mixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. CAPUT XLI. Quae apud anAristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post quas proportionum habitudines, tres aliae sunt quae sine nomine quidem feruntur. Vocantur autem quarta, quinta, vel sexta, quae superius dictisoppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quatuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedi
Abbreviated transcription (Latin):
& altitudine carenT sip latera solam unam multiplicationem reti¬
piant aequalem prouehunt ꝓfunditatem : Nam quat tuor t& rago¬
nus duos hab& in latere. & natus est exbis duob : Sis enim duo
uis faciun: hosergo duo ex ipsius latere simultiplices aequalit
erbi forma nasc&ur : Nam sibis binos bis facias : octonarii quantitas
crese : & est primus hic crbus : uiii uero t&ragonus qm̃ tres haba

Expanded text:
 altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetragonus, quoniam 3 hab
Abbreviated transcription (Latin):
lana uero suꝑ ficies innumeris inuenitur : Quoties atrib:
inchoatione facta addita discriptionis latitudine :
insequentium se naturalium numerorum multitudine.
anguli dilatantur : ut sit primus triangulus numerus : secđs.
quadratus : testius qui subquinque angulis contin&ur :
quem pentagonum graeci nominar: Quastus ex agonus:
idest quisex angulis induditur : & c&eri eodem modo¬
singillatim pernaturalem numerum angulos augeant :
Inplana scilic& descriptione figurarum: Hiuero idcircoater¬
nario numero inchoant: quoð latitudinis & suꝑficies solus
ternarius principium est.: In geo m&rica quoque idempla¬
nius inuenitur: Duae enim lineae rectȩ spatium non conti¬
nent : & omnis angularis figura: uel t& ragoni: uel penta¬
goni : uel exagoni : uel cuius lib& qui plurib: angulis contin&ur :
si amedi&ate ꝑ singulas angulos lineae ꝓducantur : Tot eum
diuidunt trianguls quot ipsam figuram angulos habere
contigerit : quad ratum enim itaductȩ lineae inquattuor :¬

Expanded text:
lana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine, in sequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant; quartus hexagonus, id est qui sex angulis includitur; quisingillatim per naturalem numerum angulos augeant, in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometrica quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent, et omnis triangularis figura, vel tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita ductae lineae in 4,
Abbreviated transcription (Latin):
uno superat : secundus uero secundum : duobus: tertius testiũ
trib: & de inceps : si uero quartus ordo tertio conpa¬
r&ur : ut .iiii. ad .iii. & eodem c&eros ordine consectẽ¬
ris ses qui tertia conparatio collegitur: ut .iiii. ad .iii.

Expanded text:
uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad
Abbreviated transcription (Latin):
uero longior est : Qui sub duob numeris huius modi contin& :¬
quorum latera non possid& unitatis differentia : sed aliorũ
quorum cumq: numerorum : ut ter quinq: uelter sex.
uel quater septem : quodam modo enim longitudine in ꝓ¬
lixiorẽ modum porrecta: merito anteriore paste langior

Expanded text:
e longior est qui sub duobus numeris hujusmodi continetuquorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter 5, vel ter 6, vel quater 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior
Abbreviated transcription (Latin):
tus ẽ ille qui uocatur. submultiplex & haec quoq
prima minoris quantitatis species ẽ : Hic autem

Expanded text:
tus est ille qui vocatur submultiplex, et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem