comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Tres numeros in hac medietate inuenire qͦꝵ¬
ꝓporcionis medii ad differenciam ad ꝓͦnem
extremoꝵ diffr̾a sit qualibet data ꝓpõne minor
demonstratur.
extremus extremi duplus erit me¬
dius differencie triplus et conuertitur.
Qod si alit̾ maius duplo alterius: erit
et medius maius triplo differencie et
econuerso:
item numerus quem illi cõmuniter numerent ⁊
sit .G. ⁊ secundum quos mimerant̾ sint. h .R. deinde.a. ⁊
eadem proporcio et differencie eorum equales.G.
Si. gͥ. g. est par inter illos sumantur medii. si imꝑ.
dupplicentar omines ⁊ inter duplos sumantur quoꝵ
etiam equales esse differencie non est uidere difficle
Datis quibuslibet duabus proporcio¬
nibus scd̃m utramq in arismetica me¬
dietate tres tamieros ordinare quorũ
ad iuicem differencie sint equales.

Expanded text:
Tres numeros in hac medietate invenire quoproportionis medii ad differentiam ad proportionem extremorum differentia sit qualibet data proportione minor demonstratur. extremus extremi duplus, erit medius differentie triplus et convertitur. Quod si alter maius duplo alterius, erit et medius minus triplo differentie et econverso. item numerus quem illi communiter numerent et sit g et secundum quos eum numerant sint h k. Deinde a et eadem proportio et differentie eorum equales g. Si igitur g est par, inter illos sumantur medii. Si impar, duplicentur omnes et inter duplos sumantur quorum etiam equales esse differentias non est videre difficile. Datis quibuslibet duabus proportionibus secundum utramque in arismetica medietate tres terminos ordinare quorum ad invicem differentie sint equales.
Abbreviated transcription (Latin):
todidem alii eiusdem proporciois maiores
maiorib addantur. compositi quoq meadem
medietate inuenient̃ dispositi.
Sint geometͥte medietates. a .b.c. ⁊ diffr̃ẽ eoꝵ. d. e. Num̾us q singłis
addendus sit .f. or a. gͦ quo habundat. ẜa suꝑ f .b. est .d. ⁊ quo habũ¬
dat. fb. suꝑ. ẜc. est e. ꝑ nonã scd̾tf. ad .d. est minoi ꝓpͦ. qͣm eiusdẽ ad.e.
f.a ad fb. maior est ꝓpͦ qmͣ f̾b. ad. Ec ⁊ hoc fuit demonstrandum.

Expanded text:
totidem alii eiusdem proportionis maiores maioribus addantur, compositi quoque in eadem medietate invenientur dispositi. Sint geometrice medietates a b c et differentie eorum d e. Numerusque singulis addendus sit f. Quia ergo quo habundat f a super f b est d et quo habundat f b super f c est e et per nonam secundi f ad d est minor proportio quam eiusdem ad e aque f a ad f b maior est proportio quam f b ad f c. Et hoc fuit demonstrandum.
Abbreviated transcription (Latin):
atera numeroram dicuntur quoꝵ
uperficialis appetlatur numerus qui duobs
laterib continetur. Solidꝰ uero qͥ sub tͦb ex qͣtuor
scilicet continua multiplicacõne habet ꝓcreari.
adratus est mimerus supficialis equalibus
laterib contentus arte altera longior u̾o cuins la¬
tera sunt in equalia sed sola unitate diftancia.

Expanded text:
atera numerorum dicuntur quoruntur. ‹ii› Superficialis appellatur numerus qui duobus lateribus continetur. ‹iii› Solidus vero qui sub tribus ex quorum scilicet continua multiplicatione habet procreari. ‹iv› Quadratus est numerus superficialis equalibus lateribus contentus. ‹v› Parte altera longior vero cuius latera sunt inequalia, sed sola unitate distantia.
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ alii in alia ꝓpõne. d .c. f. s. ⁊ d. ducatur. ma ⁊ eanb. ⁊f. in .c.
⁊ ꝓueniant .g. h .l. dico. gͦ qd̾ ⁊ ip̃i suit concinue ꝓporcionales
Cum enim lat̾a. g. sint .a. ⁊ d. ⁊ lat̾a .h. sint b. ⁊ e. erit ꝓporcõ
g. ad.h. composita ex ꝓporcionib .a. ad. b. i.d. ad .e. ꝑ prem¬
issam. Simliter ⁊ ꝓporcõ .h. ad l. composita ex ꝓporciõnib
b. ad .c. ⁊ e. ad f. Rum q iste sint illis equales. composite qͦ
etuales erunt. quare .g. ad ħ. sicut .ħ. ad .l. ⁊ hoc est qd erat ꝓb̾¬

Expanded text:
t alii in alia proportione d ef. Sed et d ducatur in a et e in b proveniant g h l. Dico ergo quod et ipsi sunt continue proportionales. Cum enim latera g sint a et d et latera h sint b et e, erit proportio g ad h composita ex proportionibus a ad b et d ad e per premissam. Similiter et proportio h ad f composita ex proportionibus b ad c et e ad f. Cumque iste sint illis equales, composite quoque equales erunt. Quare g ad h sicut h ad f. Et hoc est quod erat
Abbreviated transcription (Latin):
nari est possibile. S Sit a. ad .d. sicut .l. ad .h. atq inter
.a.⁊. d. Sint medii ꝓporcionalit̾ .b. ⁊ .c.
dico enam qd̾ inter .l.⁊ .h. duo. erunt medii. Sumantur siquid̾
ꝑ xxi. scd̃i .e. ad .k. sicut . a. ad .d. quare sicut .i. ad .h. ꝑ quintam
gͥ p̃sentis ⁊ xiͣx. tertii. numerabunt e ⁊. k .l. ⁊ .h. equaliter ssu¬
Si primus ad scd̃m sicut tertius ad quaatum.
quotcumq inter primum et secundum: todidẽ

Expanded text:
 sicut f ad h atque inter a et d sint medii proportionaliter b et c. Dico etiam quod inter f et h duo erunt medii. Sumantur siquidem er xxiam secundi e ad k sicut a ad d. Quare sicut f ad h. Per quintam ergo presentis et xixam tertii numerabunt e et k l et h equaliter. NuSi primus ad secundum sicut tertius ad quartum, quotcumque inter primum et secundum totide
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ xxiiii. huius remanet paice alt̾a. longior ꝙͣ ille additus est. ꝓue¬
mentis latus. ꝑp̾missam. ⁊ qua id̾ ÷ qui ex õmib coaceruatur. pat
yi cumq ex num̃is ab unitate bis sũp¬
tis coaceruatur: est parte alt̾a longior minimũ

Expanded text:
 xxiiiiam huius remanet parte altera longior quoniam ille additus est provenientis latus per premissam. Et quia idem est qui ex omnibus coacervatur, patet icumque ex numeris ab unitate bis sumptis coacervatur est parte altera longior minimu
Abbreviated transcription (Latin):
Duob mim̾is ad alios duos ꝓporcionalib ntͦꝵ q
alter int̾ reliquos medium esse ĩ armonica medi

Expanded text:
Duobus numeris ad alios duos proportionalibus utrorumque alterum inter reliquos medium esse in armonica medi
Abbreviated transcription (Latin):
orme nuimeroꝵ ex unitatum dispõe¬
perpenduntur. Est autem disposi¬
cio prima in longum tantum. Al¬
tera in longum ⁊ latum. Rercia in longũ
et latum et altum. Quius unitatum dis¬
posicio in longum tantum est.lmearis nu¬
merus dicitur. In latum disponuntur
superficiales linearib undiq conclusi qͦꝵ
unitates dirette continuate et ad se et ad ali¬
as equales habent distancias. Qͦd fit du¬
pliciter. sclicet. ut uel unitates unitatib
directe adaptentur: uel eaꝵ interuallis oppo¬
nentur itaut singuloꝵ ordinum termini
in laterib reliquis excipiantur. I altũ

Expanded text:
orme numerorum ex unitatum disposiperpenduntur. ‹ii› Est autem dispositio prima in longum tantum, altera in longum et latum, tertia in longum et latum et altum. ‹iii› Cuius unitatum dispositio in longum tantum est linearis numerus dicitur. ‹iv› In latum disponuntur superficiales linearibus undique conclusi quorum unitates directe continuate et ad se et ad alias equales habent distantias. Quod fit dupliciter scilicet ut vel unitates unitatibus directe adaptentur vel earum intervallis opponantur ita ut singulorum ordinum termini in lateribus reliquis excipiantur. ‹v› In altu
Abbreviated transcription (Latin):
illi descendendo est cuius latus est latere illuis unitate minus.
Q detract̾o umo latere erunt reliqͣ lat̾a unꝯ contractiora. Et quia
unitatum ordmes scd̾m unitatem semper decrescaunt patet residuũ
esse triangularem ꝓxium ꝙ pͥori. am̃ latus ip̃ius minus est lat̾e
alt̾ius unitate. ⁊ hoc est ꝙ intendimus.
Si aquolibet triangulari latus suum detra¬
hatur: relinquetur tͥangularis ipsi descend¬
endo ꝓximus.¶

Expanded text:
illi descendendo est cuius latus est latere illius unitate minus. et detracto uno latere erunt reliqua latera uno contractiora. Et quia unitatum ordines secundum unitatem semper decrescunt, patet residuum esse triangularem proximumque priori quoniam latus ipsius minus est latere alterius unitate. Et hoc est quod intendimus. Si a quolibet triangulari latus suum detrahatur, relinquetur triangularis ipsi descendendo proximus.
Abbreviated transcription (Latin):
agit᷑ dataꝓporcõ diuidat᷑ in ꝓpnes quarum qͥdbet simt
equales. Sint aũt tot quot inuemiendi sunt t̾mini in geomẽt
tis totidem ꝓuement continue ꝓpͦnales et ob hoc geometͥce
modietates. pacet etiam qd̾ singuloꝵ diffra noneit dato
umeros quotlibet ingeometͥca medietate con¬

Expanded text:
ata proportio dividatur in proportiones quarum quotlibet sint equales. Sint autem tot quot inveniendi sunt termini in geometritis totidem provenient continue proportionales et ob hoc geometrice medietates. Patet etiam quod singulorum differentia non est dato otlibet in geometrica medietate con
Abbreviated transcription (Latin):
.b. sicit .b. ad.d. qͥd est imposlibile ꝑ.x. quiti. Pt si ess a. ad.c.
sicut . d. ad .d. ess. a. ad .b. sicut .c. ad .d. It̃ q . b ald .c. ⁊ c. ad.d.
sicut .d. ad .e. atq in infinitum possent decrescendo sumi numeri
continue ꝓporcionales supposicis pͥoꝵ. differenciis qd̃ ÷ impossibile
Trib numeris in hac medietate sũp̃tis ma¬
ximi ad minimum ⁊ medii ad alteram dif¬
ferenciaꝵ eandem esse ꝓporcionem est ĩ impossi.
it̃. qr similit̾.a. ad .b. maior: erit .d. ad .b. maior. Sic gͦ .b. add
minor. Qnto etiam .a. ad c. minor: tanto .b. ad e. uł. d. maior.

Expanded text:
 si esset a ad c sicut b ad d, esset a ad b sicut c ad d. Itemque b adc et cad d sicut d ad e atque in infinitum possent decrescendo sumi numeri continue proportionales suppositis priorum differentiis. Quod est impossibileTribus numeris in hac medietate sumptis maximi ad minimum et medii ad alteram differentiarum eandem esse proportionem est impossibile. Item quia similiter a ad b maior, erit d ad b maior. S ic ergo b ad d minor. Quanto etiam a ad c minor, tanto b ad e vel d maior.
Abbreviated transcription (Latin):
Quitiplices aliciuot sumere que in datam suꝑ tetti¬
parcientem ducte. ꝓcreent multiplices super¬
particulares.

Expanded text:
Multiplices aliquot sumere que in datam superpartientem ducte procreent multiplices superparticulares.
Abbreviated transcription (Latin):
Qm̃. enim compositus addit suꝑer maiorem qͣntum est minor
si quidem minor fu̾it parsꝰ maroris: erit tocius ad eum superꝑticłrit
ꝓpͦ. Si u̾o ꝑtes suꝑparciens. Sicq ꝑ pͥmam pͥmi pͥma ꝑs constat
Qd reliquum est siquidem imor fu̾it parserit compositꝰ ei mł
tiplex. Qd si maior minori non est multiplex: cim neccẽ fit eẽ
unum reliquoꝵ quatuor si fu̾it suꝑꝑticularis: ł mustiplex suꝑ¬
ꝑticularis. erit compositus imnoris młtiplex suꝑparticusaris. Siuo

Expanded text:
m enim compositus addit super maiorem quantum est minor siquidem minor fuerit pars maioris, erit totius ad eum superparto. Si vero partes, superpartiens. Sicque per primam primi prima pars constat. Quod reliquum est: siquidem minor fuerit pars, erit compositus eidem multiplex. Quod si maior minori non est multiplex cum necesse sit esse unum reliquorum quatuor si fuerit superparticularis vel multiplex superparticularis, erit compositus minoris multiplex superparticularis. S
Abbreviated transcription (Latin):
cionales.a.b .g.d.
et minimus quem num̾ant sit .s. dico. qr inter .c. ⁊ utr̃q
extremoꝵ. id est tam .a. quam .d. er̃t duo medii ꝓporcionalit̾.
S int itaq minimi quem nuimerant. a. ⁊ .b.f. et quem .b .g.
h. ⁊ quem . 6̃. d.R. erunt q f. h.k. ꝓporcionales scdm ꝓporci¬
onem .a. ad .b. ꝑ ante p̾missam. Sint item minimi quem nu¬
merant f. h.i. quem .h. kai. dico gͥ qd̾ .l. est nui̾nus quen
numerant.a.b.g. si enim ess minor . f .z.h. num̾arent
eundem. ꝑ. corolłium xxxcͤiiii. tercuĩ. Sic q ꝑ idem maior nu¬
merabit minorem. Eadem c̾a non ÷ minimꝰ quem. mu̾ant
b. g.d. Simili modo ostendetur qd̃ minimus quem nu̾ant
.I.n. est minimus nu̾atus. ab . a.b .g.d. Idem.gͦ. erit. cum
.c. Sint. autem.⁊ .s. minimi proꝑciones. ad. ad .bͦ. palam. gͥ
Si inter duos numeros quotlibet continua ꝓpor¬
cionautate sumantur inter ut̾rq eoꝵ et mini¬
mum quem omnes numerant todidem assig

Expanded text:
ionales a b g d et minimus quem numerant sit c. Dico quia inter c et utrumque extremorum idest tam a quam d erunt duo medii proportionaliter. Sint itaque minimi quem numerant a et b f e t quem b g h et quemg d k. Eruntquef h k proportionales secundum proportionem a ad b per antepremissam. Sint item minimi quem numerant f h l quem h k n. Dico igitur quod l est minimus quem numerant a b g. Si enim esset minor, f et h numerarent eundem per corollarium xxiiiic tertii. Sicque per idem maior numerabit minorem. Eadem causa n est minimus quem numerant b g d. Simili modo ostendetur quod minimus quem numerant f n est minimus numeratus ab a b g d. Idem ergo erit cum c. Sint autem t s minimi proportionis a ad b. Palam igitur Si inter duos numeros quotlibet continua proportionalitate sumantur, inter utrumque eorum et minimum quem omnes numerant totidem assig
Abbreviated transcription (Latin):
It̃ .d. mim̾abit. b ⁊ einui̾ialit.c. scd̾m eundem mmmerum. Sit u̾o
ut sd̾m .h. frit ꝙ .f. ad .h. sicit .a. ad .b. quare ⁊ sicut.d. ad e. Et quia
ẜ. duc̃tus ind. producit. a. ⁊ ħ. in .e. facit.c. erunt.a.⁊c. suꝑficiales
similes. ⁊ ħ e̾at ꝓbadũ.

Expanded text:
numerabit c secundum eundem numerum. Sit vero ut secundum h. Eritque f ad h sicut a ad b. Quare et sicutd ad e. Et quia f ductus in d producit a et h in e facit c, erunt a et c superficiales similes. Et hoc erat probandum.
Abbreviated transcription (Latin):
ens .b. in.a.⁊ quia compositus ex .a. ⁊ .s. est ꝑ pͥmam septirai
par si demat᷑. d.e. relinquitur. par . ꝑ .ui. ⁊ xxii. septimi. qui sit f.
quadratum .h. qnͣtum est quadratum .a. qd̾ fit ex a. bis ĩ. a.
⁊ hoc est quadratum. a. qd̾ fit ex .a. in .d. ⁊ f. S. qd̃ fit ex. a
ĩ se ⁊ ĩ f. minuit ex eo qd fit exa. in .e. qͣnͣtum qd̾ fit ex. a
i .c. ⁊ qd̾ fit ex a. in .d. ẽ cͣtum qd̾ ex b. m̃. e. et quiã ꝙ ex

Expanded text:
ens b in a. Et quia compositus ex a et c est per primam septimi par, si dematur de e, relinquitur par per viam et xiiam septimi qui sit f. quadratum h quantum est quadratum a et quod fit ex h bis in a. Et hoc est quadratum a et quod fit ex a in d et f. Sed quod fit ex a in se et in f minuit ex eo quod fit ex a in e quantum quod fit ex a in c. Et quod fit ex a in d est quantum quod ex b in e. Et
Abbreviated transcription (Latin):
Sit ut. ab. sit iuꝑparticularis ad .c. composicus ꝙ ex eis. fit .d. Sit ꝙ
ut .b. sit equalis .s. addat q ab. suꝑ .c. qͣntum est. A. erit q.a.
ꝑs. Et quia .d. est qntum . a. ⁊ b. ⁊c. ⁊ bc. duplum .e. addetad.
fuper duplum .c. qnͣcum est a. quare d. continet .c. bis. ⁊ eius
ꝑteni. quota est .a. erit gͦ ei multipiex suꝑꝑticułris. et qr .a. nu¬
merat .c. mim̾abit enam. a.b. eritq .c. ꝑtes ab addit autem
Disuper.ab. qͣntum est .c. Eontinet. gͦ eu̾m semel ⁊ euis ꝑtes.
quare ipsius ad illum est suppariens ꝓpͦ. S ⁊ si. ab. est. młtiplex¬

Expanded text:
Sit ut a b sit superparticularis ad c compositusque ex eis sit d. Sitque ut b sit equalis c addatque a b super c quantum est a eritque a pars. Et quia d est quantum a et b et c et b c duplum c, addet d super duplum c quantum est a. Quare d continet c bis et eius partem quota est a. Erit ergo ei multiplex superparticularis. Et quia a numerat c, numerabit etiam a b eritque c partes a b. Addit autem d supera b quantum est c. Continet ergo eum semel et eius partes. Quare ipsius ad illum est superpartiens proportio. Sed et si
Abbreviated transcription (Latin):
Dispositis nimeris. abg. d. scd̃m qd̵ ꝓponit ꝓposiciõ. ponat᷑
alium ab illis numerare.d. qui sit .e. num̾et q eum scd̾m f.
ꝑ. quartam gͥ tercii. nũabit .a. alterutr̃ ip̃oꝵ.sic q ũ miet
.e. slumerabit itat .ẜ .g. ꝑ .xxu. scd̾i. Numeret q eum scd̾m
.h. Eadem racione uł .f. uł .ħ. nuin̾abit .b. Sit q ut .h. num̾os¬
q eumi scd̾m . R. Itaq per eandem cãm. aut. k. aut h. nu̾abͭ
.a. esto ut. R. qui si alius est ab . a. non erit .a. numerus pͥmus
qd̃ est ccͣ. ypothesim . Si u̾o equalis erit. ut ꝑ p̾missam quociẽs¬
libet.⁊ repetitam ⁊ h. ⁊ .f. ⁊ .e. sit de assignato ordine. num̃̾oꝵ
ꝓporcionalium. slich gͦ accidet cͣ nostram ppõm.¬

Expanded text:
Dispositis numeris a b g d secundum quod proponit propositio. Ponatur alium ab illis numerare d qui sit e numeretque eum secundum f. Per quartam igitur tertii numerabit a alterum ipsorum sitque ut numeret e. Numerabit itaque f g per xxvam secundi. Numeretque eum secundum h. Eadem ratione vel f velh numerabit b. Sitque ut h numeretque eum secundum k. Itaque per eandem causam aut h aut k numerabit a. Esto ut k qui si alius est ab a, non erit a numerus primus. Quod est contra ypothesim. Si vero equalis, erit ut per premissam quotienslibet repetitam et h et f et e sint de assignato ordine numerorum proportionalium. Nichil ergo accidet contra nostram pro
Abbreviated transcription (Latin):
huius pot̾it idem diuidi in duos unitate distantes. Illi gͦ erunt ĩt̾
alos medii per t̾aiam primi. Alt̾am sic. si enim fu̾int int̾ eos duo
medii qm̃ idem unitate distabunt. erit ut alt̾ par sit ⁊ alt̾ impar
⁊ comuntt̾i facient min̾ium imparem . ꝑ scd̾a huius quia uͦ ⁊ abi
eundem componunt ꝑ t̾ciam primi: Si alter fu̾it par: rerit reliquꝰ
Nter parem ⁊ imparem uel nullus est medius
uel duo. quod si duo fuerint inter eos me¬
dii. alterum parem & alterum imparem ẽẽ

Expanded text:
huius poterit idem dividi in duos unitate distantes. Hii ergo erunt inter illos medii per tertiam primi. Alteram sic: Si enim fuerint inter eos duo medii, quoniam idem unitate distabunt, erit ut alter par sit et alter impar. Et coniuncti facient numerum imparem per secundam huius. Quia vero et alii eundem componunt per tertiam primi, si alter fuerit par, erit reliquus nter parem et imparem vel nullus est medius vel duo. Quod si duo fuerint inter eos medii, alterum parem et alterum imparem e
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑiter imparis diffimicõ. Q̾mam u̾o non est a duobs duplus sup̃e
in duo mediã ⁊ dimidra eus in media resoluant᷑ ͥ ⁊ fic deinceps.
in heic continuia resolucõe necc̃e est. aliud ab imitate occurrere:
q̃d̾ dilusionem non ferat. Exit q idem ob hoc num̾ns impaꝵ.
qui eciam dacum parem numerabit. Ex descripcõe gͥ erit ale mi¬
parit̾ pas¬
umerus a duob non duplꝰ. cuius me¬
dietas par: est impariter par. ¶ ssam cuia per¬
imparem eum numerantem nuimerabat per .xxii. pͥmi. const̃at

Expanded text:
ter imparis diffinitio. Quoniam vero non est a duobus duplus: si ipse in duo media et dimidia eius in media resolvantur et sic deinceps, in hac continua resolutione necesse est aliud ab unitate occurrere quod divisionem non serat. Eritque idem ob hoc numerus impar qui etiam datum parem numerabit. Ex descriptione igitur erit ille impariter paumerus a duobus non duplus cuius medietas par, est impariter par. Quia eimparem eum numerantem numerabat per xxiiiam primi, constat a
Abbreviated transcription (Latin):
Numero in duo diuiso qd̾ fit ex duttu
tocius numeri i alterum illoꝵ est quantum
qd̾ fit ex ductu eiusdem in se et in reliquum.
duoꝵ antepͥmissam oꝵ aũt sit ex ductu totius in uia equum ẽ ei
qͥd fit ex ductu utruisq in se. et utriusq in alid̾ ꝑ pͥmissam bis
S qd fit ex utroq in aliud equat᷑ ei qd̾ fit ex ductuunius bis
in reliquum. ꝑ .uiͣr. sic ꝙ facle concludes.
Si numerꝰ in duo diuidat᷑ qd̃ fit ex ductu tocius

Expanded text:
Numero in duo diviso quod fit ex ductu totius numeri in alterum illorum est quantum quod fit ex ductu eiusdem in se et in reliquum. duo per antepremissam. Quod autem fit ex ductu totius in illa equum est ei quod fit ex ductu utriusque in se et utriusque in aliud per premissam bis. Sed quod fit ex utroque in aliud bis equatur ei quod fit ex ductu unius bis in reliquum per viiiam . Sicque facile concludes. § xvi Si numerus in duo dividatur, quod fit ex toto
Abbreviated transcription (Latin):
post untacem. idest .iiii. addatur pͥmus tͥangularium .⁊.¬
u̾nitas: fiet pͥmus pentagonus. post unitatemꝰ. ⁊ sic de cet¬
eris. Et enim. qm̃ quadratus ille in num̾o quadrator Ae¬
cepta comunit̾ unitate p̾cedit uno illum tͥangularem.
in numero tͥangularium erit lacus quadrati mauis un o
latere tͥangularis. Si gͦ. adhibeatur idem ad latus qͣdrati.
compositus tͥangularis habebit ext̾iora quidem lateralia
lat̾ib quadrãti medium u̾o latus erit eis comune. patet
gͥ ex duob lat̾ib tͥangularis. ⁊ tͥb quadͣti equalib penta¬
gonum equilaterum constitutum esse.

Expanded text:
post unitatem idest iiii addatur primus triangulariuunitas, fiet primus pentagonus post unitatem et sic de ceteris. Etenim quoniam quadratus ille in numero quadratorum accepta communiter unitate precedit uno illum triangularem in numero triangularium, erit latus quadrati maius uno latere triangularis. Si ergo adhibeatur idem ad latus quadrati, compositus triangularis habebit exteriora quidem latera equalia lateribus quadrati, medium vero latus erit eis commune. Patet igitur ex duobus lateribus triangularis et tribus quadrati equalibus pentagonum equilaterum constitutum esse.
Abbreviated transcription (Latin):
bis facit unum. sum gͦ suꝑ duo habundet pars ip̃is ⁊ ip̃a. sit ꝑs.
tocius restat concluide. & od añt quelsbet alia duplicat suꝑpeientẽ
ipsarius maiuis quare ip̃a bis cum ꝑte sua non ꝑfiat unum. et
obhoc euis snper particularis dupplicata non ꝑfiat duplam ⁊
nes suꝵ ꝑtiauꝰ arem reddit. ꝑ p̾misam relinquitur gͦ ut suꝑpat¬
aentem. Qͦd est ꝓpositum.
Sola superpartitularium sesqualtera
multiplicem superparticularem ꝓcreat du¬
plicata. Omnis alt̾a super ꝑcientem ꝓporcio

Expanded text:
bis facit unum. Cum ergo super duo habundet pars ipsius et ipsa sit pars totius, restat concludere. Quod autem quelibet alia duplicata superpartieipsam vel maius quare ipsa bis cum parte sua non perficit unum. Et ob hoc eius superparticularis duplicata non perficit duplam. Sed nec superparticularem reddit per premissam, relinquitur ergo ut superpartientem. Quod est propositum. Sola superparticularium sesquialtera multiplicem superparticularem procreat duplicata, omnis altera superpartientem pro
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓuenunt mnangulari conuentu posi¬
tis si singuloꝵ ordinum ad pͥmum fiat
relacio. ordo continuus multiplicium ꝓre¬
det. Si ad ꝓximos p̾ter quam ad primum
supexparticularium. Et qui cͥca diame¬
trum collocati sunt omnes er̃t quadra¬
li. Qͥ u̾o his ꝓximi sunt hinc inde parte
altera longior e

Expanded text:
eniunt in angulari conventu positis si singulorum ordinum ad primum fiat relatio, ordo continuus multiplicium procedet. Si ad proximos preter quam ad primum, superparticularium. Et qui circa diametrum collocati sunt, omnes erunt quadrati. Qui vero his proximi, sunt hinc inde parte altera longiore
Abbreviated transcription (Latin):
ł.ita s ad .r. ⁊ ħ ad .ꝑ. Constat autem quia ꝓportio ħ.
ad ꝑ est maior quam .b. ad.m. qd̾ .mn. sit maiorp. quare .i.
maior .N. erit itaꝙ ꝓporcio ł ad .n. maior quam ad .x.
quare .6. ad I minor quam k adn. manifestum gͦ est qd̾
Si fuerit ꝓporcio tocius ad totum maior ꝙͣ¬
detracti ad detracti ad detractum: erit residui
ad residuum maior ꝓporcio quam tocius ad

Expanded text:
 adp. Constat autem quia proportio h ad p est maior quam h ad m quod m sit maior. Quare r maior n. Erit itaque proportio k ad n maior quam ad r. Quare g ad l minor quam k ad n. Manifestum ergo est quod Si fuerit proportio totius ad totum maior quam detracti ad detractum, erit residui ad residuum maior proportio quam toti
Abbreviated transcription (Latin):
et sit residuum .c. et a toto .d. denahat᷑. d. ⁊ Reliquatur
.f. Uucataut autem in omnes. ⁊ proueniat.g. cuius deciactũ
⁊ residuum sint .h. k ⁊ .l. cuius similiter detractum ⁊ residu¬
ura sint .mn .n. ꝑ .ixͣ. primi .s. ⁊b. ducatur in .d. ⁊ ꝓueniat
p. deuacło ꝙ p. de ł resdium st x. . ⁊ ꝑ duii. huuis.

Expanded text:
et sit residuum c et a toto d detrahatur e et relinquatur f. Ducatur autem a in omnes et proveniat g cuius detractum et residuum sinth, k et l cuius similiter detractum et residuum sint m, n per ixam primi. Sed et b ducatur in d et proveniat p detractoque p de f
Abbreviated transcription (Latin):
ipsi in longum & latum & altum equalit̾
distendantur: dicentur cubi. Quicumq
u̾o bases huerunt pentagonas uel exago¬
nas siue plurium laterum. et latera eqͥ¬
distanter erecta columpne nominentur.
gͦ. qd̾ in scd̃o ordine erunt pauciores unitates. quar̃ extreme uni¬
tãtes sint .d .e. Si gͥ cotidem fiunt latera. a d. ⁊ ec. er̃t ẽqui¬
distancia qm̃ uintates in utͦ ordine equaliter distant. et sic non
oncludetur triangulus. ꝑanciorȩs autem am sinit qñi qͣncũ
distat .a. ab: tantum.a.a. d. ⁊c. ab. e. si supponat᷑. h. tota. A dc.
quota e . a.d̾. distabit .h. ab.d. qͣncumi.c. ab .e. ⁊ ideo qͣntum .a.a.d
suga h. non fu̾it ꝓtima post .a. s sit .b in medio am distat. aiad.
qncumꝰ . aa bc erit longitudo iitꝰ a .⁊ h. qͣntum que int̾ a. ⁊. diaĩt̾iho
pͣd iniel. amplius qd̾ est impossibile. ⁊ id̾o oddo seq̃ns semꝑ minor uno
qram pdedens donet ȩitrema lit unitas. ⁊ quia totidem sunt ordines

Expanded text:
ipsi in longum et latum et altum equaliter ipsi in longum et latum et altum equaliter distendantur, dicentur cubi. Quicumque vero bases habuerint pentagonas vel exagonas sive plurium laterum et latera equidistanter erecta, columpne nominentur. ergo quod in secundo ordine erunt pauciores unitates quarum extreme unitates sint d e. Si igitur totidem fuerint, latera a d et e c erunt equidistantia quoniam unitates in utroque ordine equaliter distant et sic non concludetur triangulus. Pauciores autem cum sint quoniam quantum distat a a b tantum a a d et c ab c, si ponatur h tota a c quota e a d, distabit h ad quantum c ab e et ideo quantum a ad .Si ergo h non fuerit proxima post a, sed sit b in medio cum distat aa.d quantum a ah erit longitudo inter a et h quantum que inter a et d et inter h et d vel amplius quod est impossibile. Et ideo ordo sequens semper minor uno quam precedens donec extrema sit unitas. Et quia totidem ordines
Abbreviated transcription (Latin):
disposicio solidoꝵ est coaptatis insimul su¬
perficialib ex quoꝵ laterib directe sibi ap¬
tria habentes latera. alii quadrilateri. Alii
pentagoni. alii plurium laterum Quadri¬
lateroꝵ quidam latera opposita habent eqͥdi¬
distancia quidam minime.Numeroꝵ
cia alii omna latera habent equalia et di¬
cuntur tetragoni. Alii habent latera unita¬
te distancia & uocantur parte altera longi¬
ores aut amplius et dicunt᷑ ante longiores
Numeroꝵ in altum compositoꝵ diuersas eẽ
bases contingit quoꝵdam tͥangulas. alioꝵ
quadrangulas. atꝙ ita deceteris. Horum
omnium quidam habent latera simul appli¬
cata. et dicuntur piramides. Qͥdam habẽt
latera que et si insimul tendant non tam̃
conueniunt. et apellantur curte pirami¬
des. quidam habent latera equidistancia
et equaliter erecta qui superiorem et infe¬
riorem superficiem habent similes.stoꝵ
quicumq habent basim triangulam serra¬
tiles uocantur. Qͥ u̾o quadrangulam. &

Expanded text:
dispositio solidorum est coaptatis insimul superficialibus ex quorum lateribus directe sibi aptria habentes latera, alii quadrilateri, alii pentagoni, alii plurium laterum. ‹vii› Quadrilaterorum quidam latera opposita habent equidistantia quidam minime. ‹viii› tia alii omnia latera habent equalia et dicuntur tetragoni. Alii habent latera unitate distantia et vocantur parte altera longiores aut amplius et dicuntur antelongiores. ‹ix› Numerorum in altum compositorum diversas esse bases contingit quorundam triangulas, aliorum quadrangulas atque ita de ceteris. ‹x› Horum omnium quidam habent latera simul applicata et dicuntur piramides. Quidam habent latera que etsi insimul tendant non tamen conveniunt et appellantur curte piramides. Quidam habent latera equidistantia et equaliter erecta qui superiorem et inferiorem superficiem habent similes. Istorum quicumque habent basim triangulam, serratiles vocantur. Qui vero quadrangulam et
Abbreviated transcription (Latin):
simant̃ ab imitate numeri continue ꝑpconales q sunit a dõcͥ
Sit item .d. numus qui sit pͥmus ad .a. qui culidet eoꝵ comiinget᷑.
et componant᷑ e. f .g. eritq quilib eoꝵ ad quemlib alioꝵ. sine ali¬
os illins ordims prmus. Sm autem ⁊ esset aliquis cõit̾ eol nũaus
ꝑ xxuii. quarti ⁊ scd̾am tͥci. a.cõicaret cum. d. Sinnat᷑ gͥ post pͥ¬
mos. continue ꝓpͦnalis .h. deinde minimus qm̃ numerant. d.e. fa
sit.R̾. qui erit pͥimis ad .h. ꝑ.xxuii. tͥciũ. Sit aũt ꝑultimam. eiꝰd.
eft.d. addantur item. ad l. singillatim. a .b.c. ⁊ compositi sint
n .ꝑ .q. quoꝵ quilibet erit suꝑpartiłirs ad .l. Erunt eciam diffr̾e
eoꝵdem. ad .in .e.f. g. ⁊ ob hoc ꝓpͦnes suꝑparticulares. ⁊ qr suntłr

Expanded text:
sumantur ab unitate numeri continue proportionales qui sint a b c. Sit item d numerus qui si t primus ad a qui cuilibet eorum coniungatur et componantur e f g. Eritque quilibet eorum ad quemlibet aliorum sive alios illius ordinis primus. Sin autem et esset aliquis communiter eos numerans, per xxviiam quarti et secundam tertii a communicaret cum d. Sumatur igitur post primos continue proportionalis h. Deinde minimus quem numerant d e f g sit k qui erit primus ad h per xxviiam tertii. Sit autem per ultimam eiusdem est d. Addantur item ad l singillatim a b c et compositi sint n p q quorum quilibet erit superparticularis ad l. Erunt etiam differentie eorundem ad m e f g et ob hoc proportiones superparticulares et quia similiter
Abbreviated transcription (Latin):
qui p̾cedit eum duplicatus .ꝑ .xxix. pre
S et quartus cum t̾cio ⁊ scd̾o ⁊ unitate mins se duplicato et sic
de ceteris.

Expanded text:
qui precedit eum duplicatus per xxixam prertus. Sed et quartus cum tertio et secundo et unitate minus se duplicato et sic de ceteris.
Abbreviated transcription (Latin):
est quantitas discretoꝵ collectiua Ha
rom habundat. Numeri abaliis eque distare dñr.
cum pp̃oꝵ ad illos equales sunt diffẽrencie. Numerꝰ
ꝑ alium multiplicatur qͥ tociens coaceruat᷑ gͥ. quociẽs
in multiplicante est unitas. & qͥ ex multiplicacione ꝓ¬
uenit. ꝓductꝰ nominatur. Hum̾erꝰ alium numerare
d̾r qui scd̃m aliquem multiplicatus ipsum ꝓducit. Pais
numerit & qͥ numerat᷑ num̾antis multiplex applł¬
atur Denominanĩ est numerꝰ scd̃mquem sumit᷑
pars in suo toto. Similes dicunt᷑ ꝑtes que ab eodem
numĩo de nomiant᷑. Hum̃us secundum quem aliꝰ
tlcuidit̾ diuisor nominat᷑ partes u̾o inqͣs distribuit᷑
diuidencia appellant᷑ Prima et simpla numeri
pars est unitas. Quando duo numeri ꝑtem huer̃t
cõmunem quociens eadem pars fu̾it inminore tot
ꝑtes maioris dicet᷑ esse minor

Expanded text:
est quantitas discretorum collectiva. rem habundat. ‹v› Numeri ab aliis equedistare dicuntur cum ipsorum ad illos equales sunt differentie. ‹vi› Numerus per alium multiplicatur qui totiens coacervatur sibi quotiens in multiplicante est unitas; et qui ex multiplicatione provenit productus nominatur. ‹vii› Numerus alium numerare dicitur qui secundum aliquem multiplicatus ipsum producit. ‹vinumerat, et qui numeratur numerantis multiplex appellatur. ‹ix› Denominans est numerus secundum quem sumitur pars in suo toto. ‹x› Similes dicuntur partes que ab eodem numero denominantur. ‹xi› Numerus secundum quem alius dividitur divisor nominatur. ‹xii› Partes vero in quas distribuitur dividentia appellantur. ‹xiii› Prima et simpla numeri pars est unitas. ‹xiv› Quando duo numeri partem habuerint communem, quotiens eadem pars fuerit in minore tot partes maioris dicetur esse minor
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ ꝑ .xu. hauus e ⁊. di comporiunt .a. sunt autem .b. ⁊.s.
Si. etiam .e. totus tangularium ab unitate. quotꝰ .b. qͥdroꝵ
Trit q .d. duplus illuns. quare .b. ⁊ d. ⁊ .c. sunt manis uo
qm .e. sexies sumptus. s sexies sumptus facit exagonũ
eꝯmangulum t̾crum ab unitate. ⁊ hoc unitatẽ addita
ꝑ p̃missam sitq idem .ẜ. fonstat. gͦ qm̃ idem.f. ꝯponit᷑
ex .a. ⁊ .b. ut intendimus:

Expanded text:
 xvam huius c et d componunt a. Sunt autem b et c iiiam sexti. Sit etiame totus triangularium ab unitate quotus b quadratorum. Eritque d duplus illius quare b et d et c sunt maius uno quam e sexies sumptus. Sed sexies sumptus facit exagonum equiangulum tertium ab unitate et hoc unitate addita per premissam sitque idem f. Constat ergo quod idem f componitur ex a et b ut intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
Me cimi autem qui numerant binos ⁊ binos ꝑximos. sint es .g.
super corollarium.xxiii. tercii scd̃m minimos illuis ꝓporcionis eos
ꝑ .uii. scd̃i. erunt . ef .g. in eadem ꝓporcione ꝓporcionales. sumat᷑ itẽ
maxiimis qui numerat .e. ⁊ f. maxinis numerans ẜ ⁊ .g. suit q ł
q .k. ad .i. sicut .t. adz. S k. ⁊ l. diuersi erunt ab .t. ⁊ z. qr si idem
essent .t. in se ꝓducerent e ⁊ ⁊. in se .g. It̃ q .t. in e facit . a. ⁊.⁊.
in .g. facit .t. oruare ꝑ .xuͭiii. ⁊ xiiͣ tertii erunta. ⁊ d.ccͣ. se pͥmi
qd̃ est falsum . Cum gͣ.t.⁊ z. num̾ant R ⁊l. equalit̾ sit ut scd̾m
.in. qui est maximus eos num̾ans. Palam autem quia idem nu¬
merat pͥmos. quatuor ꝑ xxiiii. pͥmi. Maxcimus ⁊̃ quia si maior
eff ꝑ corolłum xuͦi. t̾cii. maior numeraret minorem. s ⁊ idem
est maximus qui mimerat .a. ⁊ .d. Sit enim ut .⁊.⁊ 4. ĩ se d̾ti
se primi. ꝑ .xii. t̾ris. erit en. maximus qui eos numerat. aboqͥn¬

Expanded text:
Maximi autem qui numerant binos et binos proximos, sint e fg. per corollarium xxiii tertii secundum minimos illius proportionis eos  c, per viiam secundi erunt e f g in eadem proportione proportionales. Sumatur item maximus qui numerat e et f et maximus numerans f et g sintquek que k ad l sicut t ad z. Sed k et l diversi erunt ab t et z quia si idem essent, t in se producerete et z in se g. Itemque tine facit a et z in g facit d. Quare per xviiiam et xiiam tertii erunt a et d contra se primi. Quod est falsum. Cum igitur t et z numerantk et l equaliter, sit ut secundum m qui est maximus eos numerans. Palam autem quia idem numerat primos quatuor per xxiiiam primi. Maximus etiam quia si maior esset, per corollarium xvie tertii maior numeraret minorem. Sed et idem est maximus qui numerat a et d. Sit enim utf et zin se ducti se primi
Abbreviated transcription (Latin):
minimus. qui numerat.g. ⁊ b. Sumat᷑ quilib num̃us qui sit
maior .b. ⁊ ad eum pͥmus qui sit. R. ducat᷑ gͦ.k. in .c. ꝓuẽiat
ł quem ⁊ .h. maximus cõmunit̾ nm̾ans erit᷑ .c. habemus ergo
ł. h.g.f. scd̾m qdꝰ intendimus.

Expanded text:
maximus qui numerat g et h. Sumatur ergo quilibet numerus qui sit maior b et ad eum primus qui sit k. Ducatur ergo k in c proveniat f quem et h maximus communiter numerans erit c. Habemus ergo l h g f secundum quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
Si numerum continue proporcionalium duo ex¬
tremi fuerint communicantes erit numerꝰ cõiter
omnes numerans. Haximus q qui omnes nu̾at
erit maximus extremos numerans. Ex hoc con¬
stat quod si aliquot ꝓporcionales inter duos nũos
communicantes ceciderint: totidem inter utr̃q
eoꝵ ⁊ numerum maximum communiter eos num̾¬
antem cade necte est. Palam etiam quod maxim
binos et binos numoꝵ ꝓporcionalium communiter
numerantes funt continue proporcionales. S Snit. d.¬
continue ꝓporcionales. ducat᷑ gͦ. ĩ .a. posito qd̾ .d. ⁊a sint minores.
⁊ ꝓducatur f. ⁊ d ĩ.b. ⁊ fiat .g. Erit q .g. ad.f. sicut .b. ad a. atos
.b. ducat᷑ in .c. proueniat.h. erit q .h. ad. g sicut .c. ad. Gonstat

Expanded text:
Si numerorum continue proportionalium duo extremi fuerint communicantes, erit numerus communiter omnes numerans. Maximusque qui omnes numerat erit maximus extremos numerans. Ex hoc constat quod si aliquot proportionales inter duos numeros communicantes ceciderint, totidem inter utrumque eorum et numerum maximum communiter eos numerantem cadere necesse est. Palam etiam quod maximi binos et binos numerorum proportionalium communiter numerantes sunt continue proportionales. Sint continue proportionales. Ducatur ergo d in a posito quod d eta sint minores et producatur f et d in b et fiat g. Eritque g ad f sicut b ad a atque b ducatur in c proveniat h. Eritque h ad g sicut c ad d. Constat
Abbreviated transcription (Latin):
uni ab unitate quot unitates sunt. a.⁊ ĩ inferiorib sed
sumptoꝵ imparium ultimum totum esse manifestum ẽ.
ta est. erit et reliqua sub eo sumpta. Et quia int ꝙ̃
sirmptam erit ut ones illi pariter accepti sint: tamq̃
b. scdm eoꝵ mim̾um mulcipli catus. s hic erat radixs p
parib ab uintate suꝑfluit .b. absq pari. erit ut si idem per in¬
eaualia diuidatur scdm .xix. p̾sentis. quor maior sic .z. ⁊ minꝰ¬
t auociens iuntas est. in .℥. totus sit ip̃e imparium ab uni¬
tate ⁊ quot unitates in .t: tot sunt pares sub ip̃o. Dunso ita
ꝑ.a. in mequales parces. ⁊ unitate distantes quar̃ maior sit

Expanded text:
um ab unitate quot unitates sunt in a et in inferioribus. Sed um ab unitate quot unitates sunt in a et in inferioribus. Sed et sumptorum imparium ultimum totum esse manifestum est.ta est, erit et reliqua sub eo sumpta. Et quia inter pienslibet sumptam erit ut omnes illi pariter accepti sint tanquam b secundum eorum numerum multiplicatus. Sed hic erat radix ipsparibus ab unitate superfluit b absque pari, erit ut, si idem per inequalia dividatur secundum xixam presentis quorum maior sit z et minort, quotiens unitas est in z totus sit ipse imparium ab unitate et quot unitates in t tot sunt pares sub ipso. Diviso itaque et a in inequales partes et unitate distantes quarum maior sit
Abbreviated transcription (Latin):
Dit quilibet nim̾us scd̾̃m quem sument᷑ impares ad cubum
constituendum. a. ⁊ euis quadratus. b. ⁊ quia ip̃e est totus ab
unitate quota pͣs eius ĩnitas: er̾ ut cot sint ip̃e ⁊ uinitas et
omnes inf ͣ eum numeri : quot sunt unitates in ip̃o. ponat᷑
gͥ idem pͥmo par. posita gͥ unitate loco imparis. ut semper
⁊ coaptata ip̃a cum pͥmo pari. ⁊ sempor impari cum seqͣnti
pari: quot fuerint sub eo impares totus ip̃e erit parium ab
unitate. Igitur tot sunt impares sub eo quot sunt unita¬
tes in eius dimidio disponantur gͥ duo ordines ab unitate
quoꝵ unus terminatur in a. ⁊ alter in .c. Sit q .c. nimor.a.
uno. ꝑ .xxxiii. itaq sexti .c. cum inferiorib suis ⁊ medieta¬
te. a. est camqͣm. oedietas .b. Exit ꝙ ut quot unitates st̃
ine. ⁊ ra. reliquis. ⁊ indiidi.a. tot sunt imꝑares usꝙ .b.
QSt itaq unitates an reliqua medietate .a. tot sumantur
impares ultra .b. quoy ułtimus sit .d. Erit. gͦ. d. totus imꝑi¬

Expanded text:
it quilibet numerus secundum quem sumentur impares ad cubum constituendum a et eius quadratus b. Et quia ipse est totus ab unitate quota pars eius est unitas, erit ut tot sint ipse et unitas et omnes infra eum numeri quot sunt unitates in ipso. Ponatur igitur idem primo par. Posita igitur unitate loco imparis ut semper et coaptata ipsa cum primo pari et semper impari cum sequenti pari, quot fuerint sub eo impares totus ipse erit parium ab unitate. Igitur tot sunt impares sub eo quot sunt unitates in eius dimidio. Disponantur igitur duo ordines ab unitate quorum unus terminetur in a et alter in c. Sitque c minor a uno. Per xxxiiiam itaque sexti c cum inferioribus suis et medietate a est tanquam medietasb. Eritque ut quot unitates sunt in c et in reliquis et in dimidio a tot sunt impares usque b. Quot itaque unitates in reliqua medietate a tot sumantur impares ultra b quorum ultimus sit d. Erit ergo d totus impari
Abbreviated transcription (Latin):
imparium ab unitate qͦt s̾unt unitates ĩ .a. ⁊ ĩ ꝯum ib
inferiorib sui ordinis . s ⁊ sumptoꝵ impariũ ułtimus cotus
fuerat imparium ab unitate. quare .h. erit illoꝵ ulcimus.
tocidem.gͥ. illoꝵ erunt sub .b. quot supra. Meduis. gͦ. illoꝵ
b. ommes. itaq cum ip̃o connum̾ati: tantum er̃t quantũ ip̃e
ꝑ. nu̾m omnium. id ÷ .a. multiplicans. Et qm̃. Ñ qn ipsum ductꝰ
ꝓͣducit. cubum manifestum est qd̃ sequit᷑¬
dispositis imparib ab unitate primi duo p̃t
unitatem coniungant᷑. ac post illos tres. Post
ipsos uero quatuor et deinceps scd̃m nat᷑ale

Expanded text:
t sunt unitates in a et in omnibus inferioribus sui ordinis. Sed et sumptorum imparium ultimus totus fuerat imparium ab unitate quare h erit illorum ultimus. Totidem igitur illorum erunt sub b quot supra. Medius ergo illorum b. Omnes itaque cum ipso connumerati tantum erunt quantum ipse per numerum omnium idesta multiplicatus. Et quoniam a in ipsum ductus producit cubum, manifestum est quod sequitdispositis imparibus ab unitate primi duo post unitatem coniungantur ac post illos tres, post ipsos vero quatuor et deinceps secundum naturale
Abbreviated transcription (Latin):
Xbi gracia. Ac. si Iubeamur diuidere aliquem num̾um ꝑ qͣtuor
ꝑtes quiarum pͥma contineat scd̾am bis. sd̾a t̾ciam totam ⁊ eius me¬
Sietatem. terca quartam ter. has gͥ ꝓporciones continuemꝰ scd̃m pre¬
imssara in t̾minis minimis. qui sint abg.d. qui coaceruati faciãt
e. Sit q nim̾us diuidendus .c. qmi dmdatur ꝑ equalia scd̃m .e. sic¬
ꝓuemant. h. R .l.m. erit q h. ad k. sicut a. ad̾ . b. Et sic de cet̾is ꝑ xiii.
schi. Et quia ex e. in f. fit .c. idem quoq fit ex ductu illoꝵ quatuor inf.¬
ꝑ .x. prum er̃t h. R . i.m. parit̾ accepti componant. o hemus gͦ.c. diui¬
sum in partes scd̾m datas ꝓporcionales ꝓpõales.¬

Expanded text:
bi gratia: Ac si iubeamur dividere aliquem numerum per quatuor partes quarum prima contineat secundam bis, secunda tertiam totam et eius medietatem, tertia quartam ter. Has igitur proportiones continuemus secundum premissam in terminis minimis qui sint a b g d qui coacervati faciant e. Sitque numerus dividendus c qui dividatur per equalia secundum e sitoveniant h k l m. Eritque h ad k sicut a ad b. Et sic de ceteris per viiiam secundi. Et quia ex e in f fit c, idem quoque fit ex ductu illorum quatuor in per xam primi, erit ut h k l m pariter accepti componant c. Habemus ergo c divisum in partes secundum datas proportiones p
Abbreviated transcription (Latin):
Rib numeris ꝓporcionalib q̃ sub extnis¬
continetur quiq ex medio in se ꝓducit᷑ sunt eqͣ¬
les. quod si illi equales fuerint. tres quoq nu¬
meri er̃t continue ꝓporcionales. C utsi ꝓporcio . a.
ad .d. et ex.a. in .d. fiat .e. et ex .c. in .b. fiat. f. s ⁊ .b. ducat᷑ ĩ. d.
⁊ fiat .G̃. quia gͥ. ead .s̃. sicut .a. ad .b atq f. ad .s. sicut .c. add
ꝑ .xͣ. ħꝰ. erit .e. maior f. Sumliter e comi̾so. si .e. maior.f. ꝑ. nonã
huius erit ꝓporcio .e. ad .G. maior qͣm f. ad .G̃. erit q ob hoc ꝓporcõ
a.ad.b. maior qͣm .c. ad .d.

Expanded text:
ribus numeris proportionalibus qui sub excontinetur quique ex medio in se producitur sunt equales. Quod si illi equales fuerint, tres quoque numeri erunt continue proportionales. Ut si a ad ad d et ex a in d fiat e et ex c in b fiat f. Sed etb ducatur in fiat g. Quia igitur e ad g sicut a ad b atque f ad g sicut c ad d, per xam huius erit e maior f. Similiter econverso si e maior f , per nonam huius erit proportio e ad g maior quam f ad g. Eritque ob hoc proportio a ad b maior quam c ad d.
Abbreviated transcription (Latin):
patet ꝓporcio. Si nt̾q compositus sit ut . b. fiat ex ductu. de nie. Si
item uterq istoꝵ compositus est: sit ut. d. fiat ex g. in.f. hac rõne
in infinitum. deccescent uumerl: si non aliquis occurrat nñs
Quod si occurrerit idem mimerabit .a. peR uicesimã
terciam psim  i.

Expanded text:
patet propositio. Si uterque compositus, sit ut b fiat ex ductu d in e. Si item uterque istorum compositus est, sit ut d fiat ex g in f , hac ratione in infinitum decrescent numeri, si non aliquis occurrat primus. Quod si occurrerit, idem numerabit a per vicesimam tertiam primi.
Abbreviated transcription (Latin):
umerꝰ p̃mus dr̃ qui non habet ꝑtẽ  n
preter unitatem. Compositus
uero qui habet numerum alium
se numerantem. Comensurabiles siue cõ¬
municantes uocantur quos comunit aliquis
numerꝰ numerat. Contra se pͥmi autem di¬
cuntur qui a nullo communiter numerant᷑.
excepta sola unirate. T ermini ꝓporcionis
dicunt᷑ numeri minimi inter quos inuenitur
ruis numerus est pͥmus ad omnem quem

Expanded text:
umerus primus dicitur qui non habet partem preter unitatem. ‹ii› Compositus vero qui habet numerum alium se numerantem. ‹iii› Commensurabiles sive communicantes vocantur quos communiter aliquis numerus numerat. ‹iv› Contra se primi autem dicuntur qui a nullo communiter numerantur excepta sola unitate. ‹v› Termini proportionis dicuntur numeri minimi inter quos invenitur is numerus primus ad omnem quem
Abbreviated transcription (Latin):
.a. in.b. ⁊ fiat .g. Erit qr g. ad .e. sicut .b. ad .d. ꝑ .uii. p̾sentis. s et
.G̃. ad .F. sicut a. ad .c. Et quia ꝑ t̾ciam .a. adc. sicut .b. ad .d. eu̾¬
õ. ad .d. sicut ãd f. sunt g .e. ⁊ p. equales. Si autem .e. ⁊ f. fu̾it̃
equales. erit .s̃. ad eos ꝓporcõ una. et quia ut dict̾um est .6. ad
e. sicut b. ad .d. Itq .G̃. ad .f. sicut .a. ad .c. erit .a. ad c: sicut .b.
ad .d. ꝑ .iii. gͦ argue.
Si fuerm̃t quatuor num̃i ꝓporcionales quod
et numeri ꝓporcionales. ¶ Ut si .a. ad b. sicut.b. d¬

Expanded text:
a in b et fiat g. Eritque g ad e sicut b ad d per viiam presentis. Sed et g ad f sicut a ad c. Et quia per tertiam a ad c sicut b ad d, erit g ad e sicut ad f. Sunt ergo e et f equales. Si autem e et f fuerint equales, erit g ad eos proportio una. Et quia, ut dictum est, g ad e sicut b ad d itemque g ad f sicut a ad c, erit a ad c sicut b ad d. Per iiiam ergo argue. Si fuerint quatuor numeri proportionales, quodet numeri proportionales. Ut sit a ad b sicut
Abbreviated transcription (Latin):
fit ex .i. iii.m. minus erit qd̃ fit ex .l. in .t. qđ fit .p. qͣm qd̾ ex .in.
in se ⁊ ipsum sit .r. S ex .l. in .n. fiat .x. qui erit maior .r. ꝑ .xxuii
ad .I. Item ꝓporcio .x. ad .p. tamcͣm .n. ad .t. et quia .n. adb. maior ꝙͣ
a ad.c̃. erit .n. adt. minor qmͣ.a. ad .d. quare ꝓporcõ .xx. ad.r nunar
quam a. ad .b. ⁊ hoc est qd̾ intendebamus

Expanded text:
fit ex l in m minus erit quod fit ex l in t, quod sit p, quam quod ex m fit ex l in m minus erit quod fit ex l in t, quod sit p, quam quod ex m in se et ipsum sit r. Sed ex f inn fiat x qui erit maior r per xxviiamad f. Item proportio x ad p tanquam n ad t. Et quia n ad b maior quam a ad c, erit n ad t minor quam a ad b. Quare proportio x ad r minor quam a ad b. Et hoc est quod intendebamus
Abbreviated transcription (Latin):
ex.a.⁊ .b. ficit .h. ⁊ ex. a. in .bͥ. ꝓuenat d. ⁊c. tociens mulciplicẽ
ut excedar .d. ⁊ hoc sit scd̃m .f. erit maior ꝓporcio .f. ad .b. quam
a. ad .c. ꝑ .xcuii. scd̾i. Itemq a .⁊ .h. componant. R ⁊ k. cum .h.
faciat .I. ⁊ ita ex continue coaceruatis quot libet fiant. ⁊ quia
a. ad .b. minor quam .b. ad .c. erit .a. ad. ħ maior quam a. ad.b.
ꝑ xu. scd̃i. atq k. ad .h minor quam .h. ad .a. s ⁊ ł. ad. R maior
quam .R. ad .h. Tot gͥ ex coaceruacione fiant tͥmini ut extrenius sit
maior.f. qui sint.nin. ita etiam ut .n. ad. in sit maior proporcio qmͣ .in.
ad .l. Auferatur auten .b. S̾.l. ⁊n. ⁊ remaneant.zc. et quia ⁊. addet
.a. suꝑ .R. ⁊.R. sinuliter super .h. ꝑ sod̾am ⁊ xx. primi quod fit exc .h.
in .z. minus est qͣm qd̾ ex łz. in se. ⁊ id̾o qd̾ exk ⁊ .h. in .⁊. hoc est .l. iñ
.⁊. minus qmͣ qd̾ ex k. in se ⁊ in .l. hoc k m .m. addito gͦ ut᷑biq quod

Expanded text:
x a et b fiat h et ex h in b proveniat d etc totiens multiplicetur ut excedat d et hoc sit secundum f erit maior proportio f ad b quam h ad c per xxviiam secundi. Itemque a et h componant k et k cum h faciat f. Et ita ex continue coacervatis quotlibet fiant. Et quia a ad b minor quam b ad c, erit h ad a maior quam a ad b per xvam secundi. Atque k ad h minor quamh ad a. Sed et f ad k maior quam k ad h. Tot igitur ex coacervatione fiant termini ut extremus sit maior f qui sint m n ita etiam ut n ad m sit maior proportio quam m ad f. Auferatur autem b de f et n et remaneant z t. Et quia z addet a super k et k similiter super h, per secundam et xixam primi quod fit ex h in z minus est quam quod ex k in se. Et ideo quod e x k et h in z, hoc est l in z, minus quam quod ex k in se et in l, hoc est k in m. Addito ergo utrobique quod
Abbreviated transcription (Latin):
at g. Eric gͥ .a. ad.g. sicut .d. ad.f. per. uni. scd̾i. Item ꝙ .g. adib. sicutx.
ad e.ꝑ.uiii. scd̾i . ⁊ quia ꝓporcio .a. ad .b. est composita ex pporcione ad
g̾. ⁊ ꝓporcione .õ. ad .b. erit ⁊ composita ex ꝓporconib que sunt .c. ad. e.
⁊ . d. ad .f. ⁊ hoc est qd ꝓbare incendimus.

Expanded text:
a ad g sicut d ad f per vii"" secundi. Itemque g ad b sicut c ad e per viiam secundi. Et quia proportio a ad b est composita ex proportione a ad g et proportione g ad b, erit et composita ex proportionibus que sunt c ad e et d ad f. Et hoc est quod probare intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
todidẽm post quemlibet fumantur quotus
ip̃e ab unitate extremum ab illo num̾ari
conueniet. Et si item totus ab illo quotus ip̃e
apͥmo idem a pͥmo num̾abitur sic q deinceps
Omnes q in medio relicti er̃t pͥmi. ẜ untatem
numierare conuenit qm̃ uices imparis gerit. Reliqui gͥ im¬
pares si didantur scd̾m ꝙ ꝯponit .xix. minores ꝙ porciones
⁊ am nimoris imparis minor porcõ est unitas. erit ut duo or¬
dianes. sirepti sicit scd̃m qd̾ .xxxiii. sexti ꝓponit. qm̃ ultimi
pedi oum ułoꝵ. erunt inemuases porcões ultim imparis. Itas

Expanded text:
totidem post quemlibet sumantur quotus totidem post quemlibet sumantur quotus ipse ab unitate, extremum ab illo numerari conveniet. Et si item totus ab illo quotus ipse a primo, idem a primo numerabitur sicque deinceps. Omnesque in medio relicti erunt primi. Primnumerare convenit quoniam vices imparis gerit. Reliqui ipares si dividantur secundum quod componit xixa minoresque portiones entur, et quoniam minoris imparis minor portio est unitas, erit ut duo ordines sumpti sicut secundum quod xxxiii1 sexti proponit. Quoniam ultimi ordinum illorum erunt inequales p