comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ADENHACRATIONE ET SEMITONIUMAIUS QUOBASOTOMEN
dici supraretulimus quo tamimatũ sit possumus inuenirehocmodo sit A¬
Sexuerodistanstonis abeo quodest . A. sit d̃. scilic& d. XXXI cocexli inter .B. igitur. at¬
que d̃. tonusẽ . B. uero quod est .c̃. distet semitonium minus ut sit . c̃. cccc xcuii delxiiii.
Relinquitur ergo int̃ .c̃ atque .d̃. oͣpotomeniꝓpostio. Namcumsittonus Sd ex eo si
auferas. Gc. semitonium minus c̃o. Relinquitur mausquodo potomen eẽ supra retu¬
limus: inter .d. igituratque c̃. est differentia. XXXIIĨ DCCLXXUII. hic autemsit. e. sed
eratcommatis differentia. UII. cliii. hicsit . F̃. sugitur. F̃. id quodẽ comina quinqui¬
es multiplicem fient mihi .XXXU. DCCLXU. & sithoc q Siuero idem F. quat mul¬
tiplicem fit .R. numerus quiest XXUIIIDCXII . C. igitur ab eoquodest. ẽ. maius ẽ:
R. minusedẽ quinquies auctumẽ comina : R. uero quat̃ : Ẽ. autema potomes differen¬

Expanded text:
adem hac ratione et semitonium majus quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit possumus invenire hoc modo: Sit Avero distans tonis ab eo quod est A, sit D, scilicet 531441, inter B igitur atque D tonus est; B vero ab eo quod est C distat per semitonium minus, et sit C 497664. Relinquitur auferas B C, semitonium minus, C D relinquitur majus, quod apotomen esse supra retulimus, inter D igitur atque C est differentia 33777; haec autem sit E, sed erat commotis differentia 7153, haec sit F. Si igitur F, id quod est comma quinquies multiplicem, fient mihi 35765, et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus qui est 28612. G igitur ab eo quod est E majus est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma, K vero quater, F autem apotomes differen
Abbreviated transcription (Latin):
predictũ est enim quodinnumesd̃ ual& unitas. Idempͣportionibus equalit atem ualere.
et sicut numeri caput est unitas. it aꝓportionũ ȩqualitatem eẽ principium: quocircahoc mo¬
do arithin&ica medietas abȩqualitate nascłtur. Nositis enimtribus aequis terminis
Hii duo modisunt quibus hȩeꝑportionalitas pducatur. ponatur enimprimus primo
aequus. Secundus primo ac secundo testius primo secuñdo actestio quod hoc monstrat᷑
exemplo. Sint unitates tresponatur igit᷑ primus primo aequus idest unus. Secundus
primo acsecundo idest .I. testius primo secundo actestio idest .iii. eritq dissipositiohȩc

Expanded text:
Praedictum est enim quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, Praedictum est enim quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur: positis enim tribus aequis terminis, hi duo modi sunt quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus. Secundus primo et secundo. Tertius primo secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus id est unus. Secundus primo ac secundo, id est duo. Tertius primo secundo ac tertio, id est tres, eritque dispositio
Abbreviated transcription (Latin):
onalitas. unde et intellegipotest continuam quidem ꝓportionalitatẽ intribus utmi¬
nimũ t̃minis inueniri. Disiunc tãuero inquattuor: potest autẽ inquattuor. & in
pluribus continua eẽꝓportiona litas : Si quidem hoc modo sit .i. II .III. .VIII. XUI¬
consticuti .XIIII CURITA APPELLATES INTDIGESTE SUPERIUSMEDIIT
DCIRCOATEMUNATARUMEDIETAS ARITHMETICANUN¬
cupatur. quod int̃ terminos secundum numerũ. aequa est differentia. Ceo metrica
uero secundadicitur. quod similis est qualitas ꝓpostionis. Armonica autemuocatur. ꝗm̃ est
it a coaptata ut in differentiis ac terminis aequatas ꝓpostionũ consideretur. Lodchisqui¬
dem diligentius in arithm&icis disputatum ese. Nunc uero ut cominemo remus tantũ ist a
ꝑcurrimus XU. QuemaðmodũasaEquALITATESUpRA¬
⁊ DICIE PROCESSERINT MEDIETATES
ed paulis ꝑquem ad modum istȩꝓportionalitites ab aequalitateꝓcreentur dicendũ est

Expanded text:
onalitas; unde intelligi potest continuam quidem proportionalitatem in tribus et mionalitas; unde intelligi potest continuam quidem proportionalitatem in tribus et minimis terminis inveniri, disjunctam vero in 4. Potest autem in 4 et in pluribus continua esse proportionalitas, siquidem hoc modo sit, 1, 2, 4, 8, 16. constituti. CAPUT XIV. Cur ita appellatae sint digestae superius medietates. Idcirco autem una eorum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos, secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Harmonica autem vocatur, quoniam ita est coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Et de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero ut commemoremus, tantum ista percurrimus. CAPUT XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerant medietates. Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreantur dicendum est.
Abbreviated transcription (Latin):
quamtestiã descripsimus armonica. quarumhȩc subiciamus exempla.
ꝓpostionum medi& ates quas quidemin arithmetica diximus. Sed adp̃¬
sentem tractatum. hȩ sunt interim necessariȩ: Sed interhastresmedi&ates ꝓportio¬
nalitas quidem ꝓprie& maxime geometrica nuncupatur. Id circoqm̃ ȩquis ꝓ¬
portionibus tota contexitur. sed tamen eodem ut etur ꝓmisce uocabulo. Proportuo¬
nalitãs etiam ceterasnuncupantes. X III
CCOXTINUIS IEDIETATIBUS ET DISIUNCTIS¬
EDIN HIS ALIACONTIN UAEST PROPORTIONALITAS ALIA DISIUNCIA
continuaquidem ut superius disposuimus Vnuseni idemq numerus medius.
nunc quidem maiori supponitur. Nuncuero minori p̃ponit᷑. Quotiensuero duosunt
medii disiuncta ꝓpostionalitas nuncupatur. ut ingeometrica hocmodo .I.II.III. UI.
namutestbinarius adunitatem. Ita senarius ad ternariũ & uocatur hec disiuncta ꝓpost¬

Expanded text:
quam tertiam descripsimus, harmonica. Quarum haec subjiciamus exempla: quam tertiam descripsimus, harmonica. Quarum haec subjiciamus exempla: esse proportionum medietates, quas quidem in arithmetica diximus; sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie, et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo, proportionalitates etiam caeteras nuncupantes. CAPUT XIII. De continuis medietatibus et disjunctis Sed in his alia continua est proportionalitas, alia disjuncta. Continua quidem, ut superius disposuimus. Unus enim idemque numerus medius, nunc quidem majori supponitur, nunc quidem minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt medii, tunc disjuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo, 1, 2, 3, 6. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium, et vocatur haec disjuncta proporti
Abbreviated transcription (Latin):
tio ut in hisnumeris ÷ II .III. Int̃primumquippe ac.ii. & inter .ii. & iii. tantũ unitas
ut in his numeris ÷ II .IIII. nam .ii. adi. it a suntdupliquemad modũ quaternarius a dbina¬
rium. Sed interquaternariumbinariumq binarius. Interbinariũ. atq unitatem uni¬
tas differentiam facit Est uerotestium medietatisgenus. quod neq eisdemꝓpostionibus.
neque eisdem differentii s constat. Sedquẽ ad modum sehab& maximus t̃minus admini¬
mum ita sesehab&. maiorum t minorum differentia. adminorum differentiã t̃minorũ
ut in his numeris .III.IIII.UI. Nam Ui. ad .iii. duplus est. inter .ui. uero .& IIII.
binariuiÑ est. Inter quaternarium uero accernarium unitas. Sebinarius comparatus ad
unitatem rursus duplus est. Ergout est maximus t̃minus adminimũ Ita maiorum dif
equȩ sunt differentiȩ arithm&ici. Illauero inqua aequȩꝓpostiones geo metrica illa autẽ

Expanded text:
tio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac duo et inter duo et tres tantum unitas tio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac duo et inter duo et tres tantum unitas ut in his numeris 1, 2, 4. Nam duo ad unum ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat. Sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet majorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris 3, 4, 6. Nam sex ad 3 duplus est, inter sex vero et 4 binarius interest. Inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est; ergo ut est maximus terminus in numeris ad minimum, iteque sunt differentiae, arithmetica. Illa vero in qua aequae proportiones, geometrica. Illa autem
Abbreviated transcription (Latin):
triplum ses quitestio addas quadruplus effici&ur. Si quadrtiplum soqi i quasto .q .ii.¬
quuplus atq in hunc modum iunctisꝓpostionibus multiplicium ac si ꝑ pasticularium i
infinitum multiplices ꝓcreantur. XII. DE ARITHMETICACUO¬
METRICA. ARMOUICA ME DIETNT EO
UONIAM UERODEPROPORTIONIBUS QUATERAUT INTERIM TRAC¬
tandõ p̃diximus. Nunode medietatibus est dicendum: ꝓpostio enimestduorũ
terminorum ad sequȩndam comparatio: terminos autem uoco pumerorum sũ¬
mas ꝓportionalita sest aequarumppotionum collectio. proportionalitas uero intrib:
onẽ quã secundus ad testium dicitur hȩꝓportionalitas. estque intertres terminos medius
qui secundus. Hasigitur ꝓpostiones medutermini coniungentes trinipastitio est. Aut eñi
acqua estdifferentia est minoris t̃mini ad mediũ & medii ad maximũ. sed non ȩquapropor¬

Expanded text:
triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur; si quadruplum sesquiquarto, quitriplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur; si quadruplum sesquiquarto, quincuplus. Atque in hunc modum junctis proportionibus multiplicium ac superparticularium, in infinitum multiplices procreantur. CAPUT XII. De arithmetica, geometrica, harmonica medietate. Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum ad se terminorum quaedam comparatio, terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus onem quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas. Estque inter tres terminos medius, qui secundus est. Has igitur proportiones medii termini conjungentis, trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium, et medii ad maximum, sed non aequa propor
Abbreviated transcription (Latin):
post demorstrabitur. simultiplex int̾ uallum binario fuerit multiplicatũ Id etiã q
ex illa muluiplicatione pascetur. multiplex cẽ quod siid quodextalimultiplicationeꝓ
creatumsit non fuerit multiplex Tunc illud fuerit non eẽ multiplex. quodbinari¬
o fuerit multiplicatum. Itẽ si suꝑpasticutarii ꝓpostiobinario multiplicet᷑ id quod fit.
Neq suꝑpasticulare eẽ. Neq multiplex: quod siid quod extalimultiplicatione nascet᷑
neq multiplex. Neq suꝑpasticulare est. Neq multiplex: Tunc illud quo dbinario
multiplicatum est. uel pasticularis. uel alterius generis. non uero multiplicis
primam efficere multiplicem ꝓportionẽ ut si sesqualter & sesqui testius coniun¬
ses qualter .iIII. adtres. sesquitestius .iiii. ad ii. duplus. Rursus primus multi¬
plex primo additus suꝑpasticularis secundum mutiplicem ereat : Sit eni numers
qualt᷑ quiestprimussuꝑpasticularis .VI. adii. triplus quisetumdu sest multiplex. Quodsi

Expanded text:
post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam quod ex illa multiplicatione nascetur multiplex esse. Quod si id quod ex tali multiplicatione procreatum sit non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit neque superparticulare esse, neque multiplex. Quod si id quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex, neque superparticulare est, tunc illud quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis est, non vero multipliprimam efficere multiplicem proportionem, ut sesquialter et sesquitertius conjunsesquialter est, 4 ad 3 sesquitertius, quatuor ad duo duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri squialter, qui est primus superparticularis; 6 ad duos triplus, qui secundus est multiplex: quod si
Abbreviated transcription (Latin):
iorsit sesquitestia. et sesquitestia. sesquiquastamuincat. Atq. ideminceteris. hic eue¬
merorum quod apparet innumero naturali. Disponatur enimnumerus naturalis.¬
Quaternarius uero adternariũ sesquitestius. Maiores uero sunt numeri. ternarius & qui¬
ternariusminoresternarius &bin arius &unitas. Inmaioribu s igiturminor. et in mino¬
ribus maiorꝓpostio continetur. Hinc apparet quodsi aliquibus numerisꝓportionem
conitinentibus suꝑpasticularem aequapluralitas addatur . Maiorem eẽpportionẽ . an¬
te aequepluralitatis augmentum quã postea. quam eispluralitas aequa sit addita.¬

Expanded text:
jor sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in caeteris. Hinc evejor sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in caeteris. Hinc evemerorum. Quod apparet in numero naturali: disponatur enim numerus naturalisMajores vero sunt numeri tres et 4. Minores vero binarius et unitas, in majoribus igitur minor, et in minoribus major proportio continetur; hinc apparet quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem, aequa pluralitas addatur, majorem esse proportionem ante aeque pluralitatia augmentum, quam posteaquam eis aequa sit addita
Abbreviated transcription (Latin):
monstralumus Sinuero illa differentia ꝑmensio Numerorum multtudinẽ supuac¬
dat ea demq utrosq numeri pluat ate pr&ereat minoreserunte ꝑro podion e iusure¬
runt antecumeos ꝓpriadifferentia metiebatur Sintenimnum eri netũ uina
RLnIi. horum quinarius differentia est. metuatur igitur xl vIii. pumetlũquinar¬
us deciens fiunt . L. Supuaditigitur l. pumeras Aelatun piqnobusbinario
idem ł .III. undecies mnetutur fiunt. LU. qud eisdem rursusduobus. Liii.
Numerum suꝑuadit addatur utrisq binarius etdisponitur hoc modo¬
Uinoreigitur sunt propostionis.l. ad lv comparati. cum additione scilic&bi narii quos
differentia m̃saest. N aiores uero et minoresꝓpostiones hoc modo intelleguntur.
Dimidiapars maior estquamtestia. Testia pars maior est quã quasta. Quastapars
maior est quamquinta. acde inceps eodem modo. unde fit ut sesqualtera ꝓportio. ma¬

Expanded text:
monstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervamonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat, eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numerdit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri 48 et 53, horum quinarius differentia est. Metiatur igitur 48 numerum, quinarius decies fiunt 50. Supervadit igitur 50 numerus 48 numerum binario, idem quinarius 53 undecies metiatur fiunt 55, qui eisdem rursus duobus 53 numerum supervadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc modoMinores igitur sunt proportiones 50 ad 55 comparati, cum additione scilicet binarii quo differentia permensa est. Majores vero et minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars major est quam tertia. Tertia pars est major quam quarta. Quarta pars major est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio ma
Abbreviated transcription (Latin):
sunthi secundum quoseosppria differentia ꝑ mensa est. Quod siquadifferentia
numerorum ita cosnumeros quorum edifferentia metiatur. Vt eandemiñ suram. pu¬
merorum pluralitas excedat. Idemq inutriusquesit excessus. et sitdiminutior differen¬
tiȩ mensura. quã est pluralita snumerorũ maiorum obtinebunt obtinebunt ꝓpostionem
ad seinuicem numeri. si eis illud quod relinquitur. postmensionem retractum sit quã fue¬
runt in tegri: Cumeosppria differentia metiebatur: Sint enimnumeriduo. l.iii.¬
XL UIII. Ho sigit᷑ quinarius quiest corum differentia meticctur. M&itur igit᷑.¬
L U III. Numerummetit᷑ idem undeciens usq ad l.U. atq in eo iterũ ternariũ dere¬
linquit Auferatur igitur exutrisque ternirius fiunt. L& L.U. quidisponant᷑
hocmodo¬
Inininoribusenim numeri smaior semꝑ propostiorepperitur. quod paulo posteruos de¬

Expanded text:
sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, majorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo 53, 58; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igit 58 numerum metitur idem undecies usque ad 55, atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modo3 et 58. In minoribus enim numeris major semper proportio reperitur, quod paulo posterius de
Abbreviated transcription (Latin):
tquel uemodus erit ineeter is uit quisci quitestias ꝓppostionesudis extendere Ponas
Ases quitestiorũ radices quasunquaternarius atq ternarius ad se inuicem cõ¬
pariti atque ad hunc modũ multiplices. Quod si ses qui quastis sesquiquastaum
dispones radices Candemq multplicatione ses quiquastas quorlib& Extendis
Quantum autem nobis hȩ considerationss prosint sequens ordo monstrabit
meri quossuadifferentia mensa est inquaerunt ꝓportioneetium hinumeri secun¬
dum quos eos suamen sa est differentia: sint enimnumeri .L. L U. Hugitur ad se in¬
uicem ses quidecimahabitudine comparantur. & est eorum differentia quinarius. qui
scilic& est parsdetima numeri. L. Hicigitur metietur quidem .l. Numetũ. Decies.l.v.
uero undecies secundum. X. Igit᷑ atq. xi numeras . l v. &l ꝓpria differentia id
est quinarius ꝑmetiȩtur. & sunt xi adx. Sesquidecima comparatione compositi.
Inea demigiturs̃ ꝓportione numeriquosꝑpriadifferentia in tegra mensa est: Inqua

Expanded text:
tque hic modus erit in caeteris, ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem coparati. Atque ad hunc modum multiplices, quod si sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.meri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri 50, 55; hi ergo ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri 50. Hic igitur metietur quidem 50 numerum decies, 55 vero undecies; secundum decem igitur atque 11 numeros 55 et 50 propria differentia, id est quinarius, permetietur, et sunt 11 ad 10 sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est, in qua
Abbreviated transcription (Latin):
Idemq fiat continue atq itaex aequalitate. geo mecricaꝓportionalitas principium sumat Sed
deharum ꝓpostionum ꝓprietatibus ꝑquam diligentissime inarithmeticis diximus quod
si adhȩc illis instructuslector accedet. nullo dubitationis errore turbabitur. Armonica
uero medietas dequanuncpaulolatius t ractandũ est hacrationepcreatur. Constituatur
enim si quidem duplicet curamus effingere tribus aequis t̃minispositis Primus primo
acduobus secundis aequalis. Secundus duobus primiset duobus secundis. Testius se mel
primobis secundo &testio atq hoc modo sint unitates
onstituatur igitur primu s primo ac duobus secundis aequalis id estternarius. Setund

Expanded text:
Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad haec illis instructus lector accedat, nullo dubitationis errore turbabitur. Harmonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus aequis terminis positis, primus primo ac duobus secundis aequalis. Secundus duobus primis et duobus secundis. Tertius semel primo, bis secundo, et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates. Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius. Secund
Abbreviated transcription (Latin):
rur sus unbinanio fidot Sintq tresbinaru & sitprima sptime acetundo aenin mocsuodus
narius Sctundusuieo primo et diobus secundis. id est senarius. t estiusautemprimo duobus
secundis ettestio idest octonarius. FII II II¬
Hic quo quebinarius tenet differentumnter minorũ. unoint᷑ eos aturalt uncomlo o
tur. Quodsiternarius aequalitatis principiumsit F ieeter narius differentia
unominus semꝑ numeris int̃missis. atq: idem& inquat̃nario quinario que ꝑspicitur. Et
quaenos ꝓpt breuitatem tacemus isdemregulis ex sem&ipsodiligens lettor inueni&. Ceo¬
metricauero ꝓportionalitastuncque ad modum inueniri. ab equalitatepossit ostendimũs
Quandoque madmodũ abȩqualitate omnis inequalitasꝑ fluat monstrabamus. pisitam̃
fastidium est. Nunc quo quebreuiter. rep&endumest. Constituti senimtribus aequis t̃ minis
onaturprimus ntimo aequus secundus primo Ac secundo testius primod uobus secundis &testo

Expanded text:
rursus in binario fiat. Sintque tres binarii, et sit primus primo rursus in binario fiat. Sintque tres binarii, et sit primus primo ius; secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius; tertius autem primo, duobus secundis ac tertio, id est octonarius. Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum, uno inter eos naturaliter intermisso.  collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentiasemper numeris intermissis, atque idem et in quaternario, quinarioque perspicitur, et quae nos propter brevitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet. Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluit monstrabamus, nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis, ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertio primo duobus secundis ac tertio.
Abbreviated transcription (Latin):
Sed in hoc speculandũ est quod siuni¬
tas fuerit adequalitatis prin¬
cipium constituta unita setiamerit
in differentiis numerorum. Ipsiueronumeri int̃senullum int̾mittunt. Sinuerobi¬
narius teneat equalitatem binarius est differentia & unus in t̃ terminos semꝑnu
numerus int̃mittitur. Sinuero ternarius idem differentia est: int̾̃ numeros uero
duo naturalit̃ constituti in t̃mitatuntur. acde inceps ad hunc modũ. est etia
termini constituaturqueprimus primo ac secundo aequus. Secundus perimo dẽ
duobussecundis: Testius primoduobussecundis &testio. ut si sint tres unitatesi
sitprimus primo ac secundo aequus id est .NI. Secundus uero primo aeduobus. secundis
idest .iii. testius autenprimo duobussecundis & testioidest iIII.
÷̃ temanũ acbinatiumunita sint est. Nullus uero naturalis numers inemittitur post
unitatenenim moxbinarius est. Ac postbinariũ tnarius natura lit̃ constiuut usetoeia

Expanded text:
Sed in his hoc speculandum est, quod unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittunt. Si vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius idem differentia est, inter terminos vero duo naturaliter constituti intermittentur, ac deinceps in hunc modum: Est etiamtermini, constituaturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo et duobus secundis ac tertio, ut si sint tres unitates. Sit primo primo ac secundo aequus, id est secundo. Secundus vero primo, ac duobus secundis, id est ternarium ac binarium, unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus; idem
Abbreviated transcription (Latin):
noracluplirei ith alet auiteminmultiplicitatis genere non potest inueniri. Restat
ietu ut insu ppasticulartitis habitudinem cadit. Sit igitur prima id est seiqualt¬
ta tomppoitio. Namsiduplicem auferamus trins  qs prit i quictit sesqual

Expanded text:
nor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat nor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima, id est sesquialtera, toni proportio. Nam si duplicem auferamus, triplici, quod rel
Abbreviated transcription (Latin):
pbutione eaqua diapason insuꝑ pasticula rigenere. non eẽponenda monstraum
id quoq quodam rationis modo pclaruit Singillatimtamqi deeo acdiligentiuso
tractemus i uamꝰ insuꝑ pasticulari quis has habitudines ponendas cẽnlondix enitꝰ
inmultiplicigenere futbitur conlocandas. Naminsuꝑ pastienti uelaterisim¬
tis curponiu onpossint Superius ut arbitron explanatum est. sonantur is¬
tun isi fieri potest in multiplicigenere : et quõdiates saron consonantia minor
estdiapente Ma iordiatessa ronduplici: Dia pente uerotrplicipportioni
ronlo plicitatis aptetur ueri simileenimest ut est consonantia. diates saroꝵi
sonsonantiae. Dia pente continua. It a sidiatessaron induplicistatuitur dia¬
me satoronui duplicis pomiidest triplici. Tonus autem quo i habitudinibus
musiis postdiats soron locitur Nimirumineaꝓportione ponat᷑ quie estmi¬

Expanded text:
probatione ea qua diapason in superparticulari genere non esse ponenda monstravimus, probatione ea qua diapason in superparticulari genere non esse ponenda monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit; sigillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur collocandas. Nam in superpartienti vel caeteris mixtis cur poni non possint, superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente major, diatessaron duplici, diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile est enim ut est consonantia diatessaron consonantiae, diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuitur, diapente incontinua duplicis poni, id est triplici. Tonus autem quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est mi
Abbreviated transcription (Latin):
plicita ses quiotaua comparationonest integra sesquitestia simplex sesquioeta¬
ua uon est sesquitestiaȩ ꝓportiomisplenamedietas: Quodsi sesqui quastum ses¬
quitestio auferas id quo dredinquitur. medietatem Ses quiquastiNionefficit idẽq
Nonest in multi plicigenere inaequalitatis cad& insuppasticulare in aequalitates
genus. Sit igitur suꝑ pasticularis ꝓportiodiapason consonantia auferatur ab
ea continua consonantia. idest diapente relinquiturdiatessaron. Bi sigitur
diatessaron minus est unodiapente & ipsumdiatessaror Nonimpl& diapente con¬
sonantiae medi&atem. quod est inpossibile. Monstrabitur enimbisdiatessa¬
rontono acsemitonio consonantiam diapentȩ diapente transcendere. Quo¬
circa nediapason quidem in suꝑ pasticulari in aequalitatis generepompor est
XXIII SEMONS TRATIODIAPENTE DIATESSARON IT
ONUNT INSUPER SARTICULARIESSI
PESTATIGITUR UT DIMENTE ACDIATESSARONETTONG INS UPEA¬
pasticularitateponenda esse monstremus. Nam& sud in primaquoqͥue

Expanded text:
plicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertiae, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas; quod si sesquiquartum sesquitertio auferas, id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit, idemnon est in multiplici genere linaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente, et ipsum diatessaron non implet diapente consonantiae medietatem, quod est impossibile. Monstrabitur enim bisdiatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca nec diapason quidem in superparticulari inaequalitatsibile, diapente, diatessaron, et tonum in superparticulari esse. Restat igitur ut diapente ac diatessaron, et tonum, in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque
Abbreviated transcription (Latin):
repperiri Ueprimum quidemillud demonstrandũ que ad modum inmultipli citatis
gerere Dia pason consonantia possit agnosci Preturrendumestigitur: adbreuequid¬
dam quo prius cognito facilior demonstratiofiat. Ab omni suꝑpastrcuł ari nodrina¬
amei suop asticularem quis auferat ꝓportionem. quȩ est scilie& minor id quo d relin¬
quitur minusest eiusmedi&ate quaedetrat aest ꝓportiomis. ut in sesqualtera adeses qui¬
testia Qmsesqualtera maior est. Sesquitestiam desesqualtera detrahamus. sodlin

Expanded text:
reperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis reperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat, ab omni superparticulari, si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est ejus medietate, quae detracta est proportionis, ut in sesquialtera ac sesquitertia. Quoniam sesquialtera major est, sesquitertiam de sesquialtera detrahamus, relin
Abbreviated transcription (Latin):
sitcomonenquduarumuocum rataꝑmixtio. Sonus uero modulate uocitasus un
conenciomep ductus uitoue elerminima pascicula modulationis letg in oeisasus nu
minus aliueto medioerit᷑ in aequales Exaequalt ate qui demnuscitur sonorum.
aequalitas. Ex inaequalitateuero eaquaesecundum mediocritate distantiae i naequales s̃¬
ATa nifest ȩprimaeq ac simpliciores eueniunt ꝓportiones. quaesunt scilic& multiplicis
ac suꝑpasticularis. duplitripli quadrupli. Sesqualteri atq sesquitestu consonantiae
Exhis uero quae inreliquis ꝓpostiombus ud multimodis uel nonitadaris. uellonge om¬
nino a sedistantibus in aequalitates fiunt dissonantiae existunt. Nulla autẽ sonorum
concordia ꝓcreatur. XXI QUODOΡORTEATΡEMIITO
nODI EPAS OXINMULTIPLICIGENEREDEMONOE
HOCIGITURITADISTINCTO DEMONSTRABITUR DIAASONCONSORUAITINE
quaetunct arum optimaest in multiplici inaequalitatis genere & induplicitatis habitudmo

Expanded text:
sit duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus, una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus minus, alii vero mediocriter inaequales. Ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas. Ex inaequalitate vero ea quae secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae, primaeque ac simpliciores eveniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplices aut superparticulares, dupli, tripli, quadrupli, sesquialteri, atque sesquitertii consonantiae. Ex his vero quae in reliquis proportionibus, vel multimodis, vel non ita claris, vel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, dissonantiae existunt. Nulla autem sonorum concordia procreatur. CAPUT XX. Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur. Hoc igitur ita distincto, demonstrabitur diapason consonantiam, quae cunctarum optima est in multiplici inaequalitatis genere, et in duplicitatis habitudine
Abbreviated transcription (Latin):
sos quitestiam iuncte ponefficiunt uniumduplũ. It adiapente acdiatessa ron
unum diapison nulla rationeconcludent Quõ en ĩ diapasom indupliciꝓportio¬
ne eẽ monstratumest: Duplex ueroꝓpostio ex sesqualtero. ses quitertioq cõf¬
ponitur. di apa sonuero exdiates saroꝵ acdiapentecopulatur. Ñ est dubiu
quinsi totũ diapason induplicistatuamus diapente& diatessaron insesqual¬
tera sesquit̃cioͥq ꝓportionesint locandȩ. Aliterenim ñ poter diapa som i unc
teꝑficere. quaeconsonantia induplici ꝓportione consistit. Nisiin hisduabusppor¬
tionibus steterint ses qualtera. scilio& acsesquitestia Alia eenim ꝓportio¬
nes suꝑ pasticulares duplicem nulla rationeconiungeNT

Expanded text:
sesquitertiam junctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron sesquitertiam junctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludunt. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesquialtero sesquitertioque componitur; diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium quin, si totum diapason in duplici statuatur, diapente et diatessaron in sesquialtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason junctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint sesquialtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione conjungent
Abbreviated transcription (Latin):
Diatessa ronuero quȩ minor est inmultipliciquidem aptari nonpotest. Nonest enĩ
quicquamminus aduplici. Sit igitur sesqualter. tonusuero sex quitestia. in conti¬
nuaenim ꝓportionel ocabitur: sedduoses quitesti amplioressunt uno sesqualter o.
Duoigitur coni unã diatessaron consonantiã uincent. quod nulla ratione contim¬
g& exhisigitur approbatur di apente acdiatessarom inmultiplicigenere conlo¬
cari p̃posse. quocirca in suꝑ pasticulari in aequalitatis genere iure ponentur
XXIIII DIMaVCTUATIO DIAPENTE EIDIATES SARON
portionibus conlocantur. sunt autem maximȩ sesqualtera. & sesquitestia. hoc
uero ael ꝓbatuir hoc modo mnamsi inminoribus ꝓportionibus quã sesqualtera uel
sesquitestia Diapente acdiates sarori an sonintiȩ coblocentur Non est dubi ũ
quinsicut aliȩ quaeliboꝓpostiones suꝑpasticulares preter sesqualterata car

Expanded text:
diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim quidquam minus a se duplici. Sit igitur sesquialtera, tonus vero sesquitertia, in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesquialtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse: quocirca in superparticulari inaequalitatis genere jure ponentur. CAPUT XXIII. Demonstratio diapente et diatessaron iroportionibus collocantur. Sunt autem maxime sesquialtera et sesquitertia. Hoc vero approbabitur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesquialtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentportiones superparticulares praeter sesquialteram et
Abbreviated transcription (Latin):
quistonus: Tonusigitur setundus hancrationem in sesqurtestia ꝓpor¬
tioneonstabit. Sed tres esquitestii uno triplicis untminores T resigitur toniunumdiates¬
suron pullaratione supplebunt quodest falsissimum. Dugenimtoni ac semitonium
minus diates saron consonantiam supplent. Ex hisigitur demonstratur diatessa ronoon¬
sonantiam noneẽ multiplieem. Di coautem quõ necdiapentec onsonantia in multiplic
genere poteritconlocari. Namsiineostatuatur quõ esteiminor continua idest
diatessaron. ponlocabitur diapente in multiplici minimo id est induplici scilic& ut
sitl ocus quodiateraron amsonantia possit aptari. Seddiatesaron consonantia multi¬
plicis generis ponest quocirca neadiapente inmaiore habitudme multiplicis quã estdu¬
pla quaeminimaest aptari potest. Sugiturdiapente inmiri ma scilic& dupla-

Expanded text:
quus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proporquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici sunt minores. Tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semilonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in minimo multiplici, id est duplici, scilicet ut sit locus quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente, in majore habitudine multiplicis quam est dupla quae minima est, aptari potest. Si igitur diapente in minima, scilicet dupla,
Abbreviated transcription (Latin):
tessiron a diapete tonus fit reliquus piullomodo dubnati potest q uitontis i nses¬
quradrera debeteꝑ postioncconsttai. Sedduae sesqualter ꝓportoniss ionus inses
uineurt  que a bmedũ x orithimneticis instructus sibi potestquisq colligere
Duongituos tomi diatessaror superabunt quod est in conueniens: dutessiran
etum duostonos semitoni spatiotta scso ionigitur fieriporest utdu
nquis tanumq uoe in multiplicigenere cẽprae scribat. Quõ qui dentonus mo
nor que diates sarom. Diatessaror uerominu sest quadia pente. Oiapente
quidemporantur inqua drupla. Dia tessaron intriplo: tonus induplrti
Suldi upe iteconstat exdiates saron ettono quacdruplu lgrt srdetir¬
dum hae rttionenmconstabit extriplo aodduplo quod fierineu ftn
pursusstatuattut diatessarorquidem intriplici & diapente inquadru¬
plo Sngitur auferamus triplũ a quadruplo. et ses quitestius resiuquie¬
tuuistoiur sussidittessaron diapene consonantiȩ subtrahas fit reli¬

Expanded text:
te tonus reliquus fit, nullo modo dubitari potest quin tonus in sesquialtera debeat proportione constitui. Sed duae sesquialterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens: diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest ut nsi quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor est quam diatessaron. Diatessaron vero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono. Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit, ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici, et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo, sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reli
Abbreviated transcription (Latin):
oncmominrori cẽcoꝵ sonante aptandã. Eritigitur dupeme quidem in sesqualtera du¬
consoronuero in ꝑpostione sesquitertia conlocanda. Qu od sidiates saron adiapentd
sonsonanoni subtrabiamus relinquitur spatium qđ dicitur tonus Sesquite st iu uero
sup postco nusesqualte miiamus Nelinquitur sesquiactau a ꝓpostioqua fitutao¬
nus insesquiactaua debeatcõnparatione constitui:Q NoTIIA ppo

Expanded text:
orem minori esse consonantiae aptandum. Erit igitur diapente quidem in sesquialtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantiam subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesquialterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit ut tonus in
Abbreviated transcription (Latin):
bunt quafuerunt ante quã his ternarius multiplicator acceder& Fiant igitur terlau
id estc.xcũ horumtestia Ixiiii eisdem addita cC lUi redd&. Erit igitur haec sesquiter¬
tia propostio diates saron consonantiamtenens. Nuncigiturduas sesquioctauas propostio¬
nes adc .xcii. duob senumeris continentes rato ordine conlocemus. Fiat igitur᷑ Ixxii idestco¬
XVI Rursuster Lxxxi qui sunt .c xliii qui inter duos suprascriptos terminos conlo¬
centur hocmodo CXΩΙ .CC XVΙ CC IΙCClVΙ. In hacigitur dispositione propostionũ
primus numerus ad postremũ diatessaron constituit consonantiam : idem uen primus
ad secundum & secundus ad testium geminos constituant tonos: Constat igitur spatium
quod relinquitur excc xliii ad cel .vi. inquib. minimis senitoni forma consistit
XXUIIII. DECHONSTRATIOUESNOGCO XLIIIADEC

Expanded text:
bunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter 64, bunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter 64, id est 192, horum tertia 64 eisdem addita 256 reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad 192 duobus se numeris continentes rato ordine collocemus; fiant igitur ter 72, id est 216. Rursus ter 81, qui sunt 243, qui inter duos supra scriptos terminos collocentur hoc modo: 192, 216, 243, 256. In hac dispositione proportionum, primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam. Idem vero primus ad secundum, et secundus ad tertium geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium quod relinquitur ex 243 ad 256, in quibus minimi semitonii forma consistit. CAPUT XXVIII. Demonstrationes no
Abbreviated transcription (Latin):
dictum est in ses qui octaua propostioneconsistunt Duas que sesquio tauas propostiones
continuas ad hibere nom possumus Nisimultiplexille a quo he deriuari possunt repperi¬
atur. Sit unitas prima eiusq octonarius octuplus primus. Ab hocigitur unum sesqui¬
octauum poterd deriuare: Sed quia duos quaerimus fient octiens octo atq exeo lx
explicentur: Fritigitur hi csecundus octuplus a quo possumus duas sesquiosto¬
uas propostiones educere. Namq octo quae est octaua pars Ixuii unita seo mldan
addit totam summam. IXXII ꝑficiunt. Hisuero sisua octaua similter apponatur
qui est nouenarius LXXXIreddunt Fruntt duo hitom continiui principali dispo¬
sitione conscripti Ixiuii lxi lexi Nuncigitur Ixiiii unitantum sesquit estium con¬
quiramus: Sed quõ lxiiii probantur pastem testiam Non habere : Siomnes hinumer
ternario multiplicentur moxeis pars testia contingit &omnes in cade propostione dura¬

Expanded text:
 hi ut dictum est in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones  hi ut dictum est in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, reperiatur, sit unitas prima eique octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fient octies octo, atque ex eo 64 explicentur. Erit igitur secundus octuplus a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo quae est octava pars 64 unitatum eisdem additi totam summam 72 perficiunt; his vero si sua octava similiter opponatur, quae est novenarius, 81 reddunt. Eruntque hi duo toni continui principali dispositione conscripti 64, 72, 81. Nunc igitur 64 unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam 64 probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit, et omnes in eadem proportione dura
Abbreviated transcription (Latin):
quam dehis multa nichomachus. Nostamen qua potuimus breuitate. pastimea ipsa quae
ohrtagorici affirmant promentes pastim ex hisdom quaedam consequentia argumentan¬
tes probauimus. Sidiate iaronus a diapa son addatur. consonantiã exhis coniun¬
gi non posse. Quiduero dehissentiat p̃holaemeus posterius apponam. Sed dehis actenus. pun
desemitoniis considerandum est XXUIII.
IN QUIBUS MINIMIS NUMERIS CONSTET
ideniurenio semitor axcupa nonquodu
retonorum sint .÷ adaiates. sed quod sint nonintegritoni huiusq spatii quod nunc
qui dem semitonium nuncupamus. Apud antiquicus u alini uel diesis uocabatur
Hicmodus est: Cum enim exsesqui testia propostione. quaedites saron est Duas sesquiocta¬
ues habitudines quactoni sunt auferuntur: Relinquitur spatium quod semitoniuno puin¬
cupatur ÷ Quatramusigitur duostonos continua dis positione desemptoseuded qũo oc

Expanded text:
quam de his multa Nicomachus, nos tamen qua potuimus brevitate partim ea ipsa quae quam de his multa Nicomachus, nos tamen qua potuimus brevitate partim ea ipsa quae Pythagorici affirmant promentes, partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes, probavimus, si diatessaron gi non posse. Quid vero sentiat de his Ptolemaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus; nunc de semitoniis considerandum est.in quibus minimis numeris constet. Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni. Hujusque spatii quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione quae diatessaron est, duae sesquioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed, quoniam
Abbreviated transcription (Latin):
uam eius aliquas pastes Neq cas simplices. Duab enimeum supuenit unitatib quaesunt dux
testia epastes ternurii quem primum terminũ minimumq locauimus Sunt igitur terminihi
VI I.XIII. Illud quoq quod interduas sibicontinuas consorantius cadit. &enimNeq duplum est
ꝓpostionis effici&. Quo enim dia pason acdiapente sibim& iunctae efficiunt triplum Diates sa¬
ronuero & tonus diapente consonantiã iungunt. Sidia pason consonantiae ad daturdiates sa¬
ron in consonum fit. quõ inter duplicem actriplicem. Nulla potestraturaliter propostio mul¬
tiplicitis intellegi. Quod sici aditiotonum fi& diapason diates saroꝵ &tonus quo d nihil dsto¬
bit utrum diapason acdiapentesit. Diates saronenim & tonus diapente constituunt : SiN
diapason acdiapente ii ac nouem: Erit igitur sictripla propostio iiUI UII UiIII Sed quã¬

Expanded text:
etiam ejus aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae etiam ejus aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locamus. Sint igitur termini hi, 3, 6, 8. Illud quoque quae inter duas sibi continuas consonantias cadit, etenim neque duplum est proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibi junctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam jungunt, si diapason consonantia addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quod si ei adjicio tonum, fit diapason, diatessaron, et tonus, quod nihil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit diapason ac diapente 3 ac 9: erit igitur sic tripla proportio 3, 6, 8, 9. Sed quan
Abbreviated transcription (Latin):
consonimis MluðDILITENOLECTOR AUOSCAT
quo dconsonanttaeeo pusonantus suꝑ positae alias quasdam consonantias effecerunt
cor ils ur ns ndiapene sipaphonua iungantur. fit consonantia quacexutisq. ax¬
bialuls imncup aetura ⁊ drapason selie& acdiapente cuisidiatessaron adaltu. fio
bis duapceoi. quacq uui druplimꝑpostionenten&: Quidigitat sidatessatanae i sa¬
pascu comomintias iun gamius ullam nesecundum phr tagoricos effici nt conso¬
uantia moninret ail osenim in suꝑpastiens i n aequalitauis genuscadit eot ser¬
qat uebmultiplertit ordinem uelsuꝑ pasticularitatis simplicitatem. Ageeni
statuintur numeti quibus id facilius adiꝓbemus. Sit enimt̃narius cuasset
senarius diplus selie& indiapisom consistens ꝓpostione. huic aptetur
ss quitestia quamdutes sasnẽe praediximus ut a tonarius Hisenim ad senarium diates sarom ꝓ¬
postionenten& : quioctonarius ad ternarium comparatus hal& cumbis. sednesitmultiplex habe

Expanded text:
in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis suppositae alias quasdam consonantes efficere. son, rursus si diapente symphonia jungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias jungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem, vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim statuantur numeri quibus id facilius approbemus: sit enim ternarius, cujus sit senarius, duplus scilicet, in diapason proportione consistens. Huic aptetur sesquitertia quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet, qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex, habet