comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
imparis naturam potest una medi&as inueniri : Atq una sibi ipsa
Lxiiii Vna erit sola medi&as idest viii. : Quivuii . summae totius
pars ẽ. octaua : & sibi ipsi ad de nominationem quantitatẽq: conuer

Expanded text:
imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa 64, una erit sola medietas, id est 8. Qui 8 summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque conver
Abbreviated transcription (Latin):
dinis inueniri : Et primum sit si pares fuerint dispositiones¬
ut duae mediae partes sibi respondeant : Post uero quae
suꝑ ipsassunt : sibi inuicem conuertantur: Atq hoc idem fiat:
donec ut̃q t̃minus extremitates incurrat : Ponatur enim pa¬
hoc igitur qm̃ pares dispositiones sunt : una medi& as non
potest inueniri : sunt igitur duae: id ẽ .vIII. & xvi : quas con¬
siderandũ est. quemad modum ipsȩ sibi respondeant : Totius
enim summae idest cxxviii : octaua pars ẽ .xui : sexta decima
viii : Rursus suꝑhas partes quae sunt ipsȩ sibi inuicẽ res pon¬
summae : IIII uero trigesima secunda rursus suꝑhas partes :¬
lxiiII. secunda pars est : ii. uero lix̃ quarta : donec extremita¬
tes limitem faciant : Quas dubium non ẽ eadem responsione
gaudere : est enim omnis summa semel cxxviii : Vnus uero:
centes imus uigesimus octauus : siaut̃ impares terminos ponamꝰ
id est summas Idem enim terminos nomino quod summas : secundũ

Expanded text:
dinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositionesut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pahoc igitur quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est 8 et 16, quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est 128, octava pars est 16, sexta decima 8. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem responsummae, 4 vero trigesima secunda. Rursus super has partes 64, secunda pars est, 2 vero sexagesima quarta. Donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, nomino, secundum
Abbreviated transcription (Latin):
siquis autem quarti anguli terminuma qui sercditintꝰ
tumsini qua nntat motatus est & longitudinemla¬
tididine uiqi inqua dragenos d&erminttuelit suipe¬
roribus conparare pera littere formapro sino

Expanded text:
Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam pro
Abbreviated transcription (Latin):
appareat : sicuncti in pares sibi m& adponantur : Collocats cilic&
naturali numero quadratorum ordo tex&ur : est&iam in his

Expanded text:
appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his
Abbreviated transcription (Latin):
quidem non habent ae quuocas pastes : nam quȩ
in .viiii. tertia est : in xxI None & quae in xxu.
quinta est : in nouenario non est : Ergo hiper
naturam utriq secundi & conpositi sunt : conpara¬
tiuero ad seinuicem primi in conpositiq reddunt᷑:
Quodutrosq nulla alia mensuram &itur : nisi uni¬
tas quae abutrisq denominata ẽ : N aminnouena¬
rionona est : in .xxu: uicesima quinta :DEPRIM ET IN
enenrtio autem ipsorum atq ortus. huius modĩm¬
uestigatione colligitur: quamscilica erat osthe

Expanded text:
quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in 9 tertia est, in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas quae ab utrisque denominata est. Nam in novenario nona est, in 25 vigesima quinta. CAPUT XVII. ione. Generatio autem ipsorum atque ortus hujusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthe
Abbreviated transcription (Latin):
trib: utdictum ÷ terminis a equis ꝓpostionib: ordinatis . ultimum semꝑ̧ medio
d& rahamus : &ipsum quidem altimum p̃rimum terminum collo cemus quod demedio
relinquitur secundum : D&estia uero propositorum terminorum sumina aufere¬
mus unum primum & duos secunđ eos quidemedi& ate relicti surł. & id quod exter

Expanded text:
tribus ut dictum est terminis, aequis proportionibus ordinatis, ultimum semper medio detrahamus, et ipsum quidem ultimum, primum terminum collocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum, et duos secundos eos qui de medietate relicti sunt, et id quod ex ter
Abbreviated transcription (Latin):
conutgatorum numerotum : is quasi quodam modo ba sis sit :
cunctis enum latior inuenitur : & quiante ipsum numeri coniu¬
gantur inores eẽ necessȩ est ũsque dum ad unitatem d& racto
rata pueniat qͣ puncti quodam modo & uesticis obtineat lodim
dum que in& psramide suꝑ sex ad diti sunt .u atque unus
quisenarius superat ternariam quantitatem : ipsi uero tres ÷¬
unum pluralitate transcendunt : quiunus extremum terminum
grossionis offendit : similis quoque ratio in c&eris ꝑspici potest
compositione nascuntur : Descriptis enim cunctis t&ragonis idest¬
tem primam ex hac dispositione p̃sumam er it mihi potestate
SU uesramis ipsa unitas nondum &iam opere atque actũ
cu quo nur ẽorum qua eduo tantum numeris platra portis
conindur: srnuero his sequentes nouem adiecoro fiemisixius
pumeroum forna peramidis q̃uaeplator a tribr untatin. ea uogur:
atque huic sisequentem t&ragonum xvi. suꝑ ponam tricena¬
ria mihi prramidis forma producitur : In his quoque omnibus

Expanded text:
conjugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur; et qui ante ipsum numeri conjunguntur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat, quae puncti quodammodo et verticis obtineat locum. Namque in 10 pyramide super sex additi sunt 3 atque unus, qui senarius superat ternariam quantitatem, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in caeteris prospici potest, compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, idtem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. quinque numerorum, quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes 9 adjecero, fiet mihi 14 numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus
Abbreviated transcription (Latin):
PARIS ETIMPARIS:
Et primũ quid sit numerus definiendũ ẽ. Numerus e unita¬
tum collectio : uł quantitatis aceruus ex unitatib ꝓfusus

Expanded text:
paris et imparis. Et primum quid sit numerus diffiniendum est. Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus
Abbreviated transcription (Latin):
fuerii cybiduas tantum habebuntmedi&ato : ubitestia
in ueniri non poterit : Secundum geom&ricam scilic&
pro portionem : unde formae solidae : tria interuallu
dicuntur habere : estenim unum interuallum a pri¬
inoa ad secundum : & a secundo ad testium : &atestio ad
quastum : qua escilic& est post reni distantia : Peoa
igitur & plunae figorae duobus interuallis & solidȩ
tribus contineri dñs : sintenim duo t&eragoni .iiii. sclic& &
uiiii. Horum igitur unus tantum medius meudem propor¬
tione constitui potest Namque senarius ad quatiuor
ses qualt̃ est : & nouem ad senarium : eodem modo sesqualĩ:
hoc autem idcirco euenit : quod singulalatera singalorũ
t&ragonorum efficiunt senariam medi &atem : Nam
quaternaru t&ragonilatus binarius est : Nouenari ter¬
narius : hiergo multiplicati senarium ꝑ fiterunt. bisenim
tres senarius est : & quotiens cumque datis duobust&rago¬
nis eorum medi&atem uolumus inuenire : Latera eorũ
multiplicunda sunt : & qui exhis procreabitur medie¬

Expanded text:
fuerint cubi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet proportionem. Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum, et a secundo ad tertium, et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae ibus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabuntur, medie
Abbreviated transcription (Latin):
qui quos &epoΜΗreic id est paste altera longiores: est
enim paste altera longior numerus quicumq: unitate¬
t᷑añtum lateri crescit adiecta. ut sunt sex scilic& bis tres:
uel duodecim tres quater : & consimiles: anteriore paste

Expanded text:
qui quos heteromikeis, id est parte altera longiores. Est enim parte altera longior numerus quicunque unitatetantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore ve
Abbreviated transcription (Latin):
inceps una semperminore quã i psi sunt in termissio¬
ne suceres cunt: at que hoc uel in ses qualteris uelin
ses quitertus uel in aliis superparticularis parti

Expanded text:
inceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis parti
Abbreviated transcription (Latin):
maneq aulta: ad cõmpatrtinumeri terminum
us que ꝑuenit: ut .ii. siad .ui. cõnpares binarius
numerus senarium testio m&i&ur: primos ergo
& in cõnpositos nullus numerus m&i &ur. prr&er
unitatem solam qm̃ & nullis aliis numeris cõnpo¬
sitisunt : sed tantum & unitatib insem& ipsis auc¬
tis multiplicatisq procreantur: ter enim unus iu.& quin¬
quies unus ÷ & septies unus .uii. fecerunt : & aluꝰ quiden
quos supra dȩs cripsimus ȩodemmodonascuntur : Hiaut̃
insem&ipsos multiplicati faciunt alios numeros uelut
primieosq primã rerũ substantiam uimq sostitorr
cunstorum a sepcreatorum uelut quȩ dam elȩmenta rep¬
peries quia scilic& in cõmpositi sunt & simplicigenenttio¬
ne formati atq in eos omnes quicũq exhis ꝓlacisunt nume

Expanded text:
ma, neque aucta, ad comparati numeri terminum ma, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos, cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa reperies, quia scilicet, et incompositi sunt, et simplici generatione formati, atque in eos omnes quicunque ex his prolati sunt nume
Abbreviated transcription (Latin):
ETIN COMPOSTTO¬
t primus quidem & in enpositus ẽ quinullam aliam
partem hab& nisiem quae a tota numeri quantita¬
te denominata nt : ut ipsa pars non sit nisiunitas : ut sunt
his ergo singulis nullaumquã alia pars inueni&ur
nisi quae abipsis denominata est : & ipsa tantum uni¬
tas ut supra iam dictum est : Intrib: enim una pars
solaest idẽ testia quaea trib scilic& de nomina¬
taest & ipsa tertia pars unitas: eodemq modo
quinarii sola quinta pars ẽ & haecunitas : atque
idem insingulis consequens repperi&ur dicitur
autem primus & in cõmpositus . quod nullus eum
alter numerus m&iatur pro &ersolam quae
cunctis mater .ẽ. unitatemnamq: ternarium .II.
nonnumenent: idcirco qm̃si solos duos contra
iii. cõmpares pauciores sunt : sinuero binarium
bis facias amplior ẽ tribus cũcrescit. in .iiii.
m&itur Autemnumerus numerum : quoties uel
semel uelbis uel tertio uel quoties lib& numerꝰ
ad numerum cõmparatus neque dpminuta sũ¬

Expanded text:
et incompositot primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet, nisi eam quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt 3his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra jam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. itur autem numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque diminuta sum
Abbreviated transcription (Latin):
Ita ut exsos qualtero nascatur superbi partiens : suꝑ¬
tripartientem ses qui tertius gignat : & oxsesquar¬
to : suꝑ quadri partiens : Pectis aũt positis neq: con¬
uersis prioribus suꝑ particularibus : multiplices su¬
ꝑ particulares oriuntur : Pectis uero suꝑ partien¬
tibus multiplices suꝑ partientes efficiunt᷑ : p̃cepta
aut̃ treahaec sunt : ut primũ numerũ primo facias
parem : secundũ uero primo & secundo : tertiũ pri¬
moduobus secundis tertio: Hoc igitur cum inter¬
minis aequalibus feceris : exhis qui nascentur dupli¬
ces er̃ : Dequibus duplicibus sudẽ feceris : triplices ꝓ¬
creantur : & de his qua druplices: atq: in infinitum
om̃s formas numeri multiplices ex̃plicabit : Iace

Expanded text:
ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundo vero primum, et secundo tertium, primo duobus secundis et tertio. Cum enim eum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabis. I
Abbreviated transcription (Latin):
Esse autem illa dicimus : quae nec intentione crescun: neo
retractione minuuntur : nec uariationib: ꝑmutantur : sed¬
in ꝓpria .ui. suae senaturae subsidiisnixa custõdiun : Haeo aut̃
sunt qualitates quantitates formae magnitudines : paruitates¬
quicquid adunatũ quodammodo corporib: inuenitur : Quae
ipsa quidem naturu incorporea sunt : &inmutabilis substaniȩ
ratione uigentia : Paracipatione uero corporis ꝑmu

Expanded text:
Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt, nec retractione minuuntur, nec variationibus permutantur, sedia semper vi, suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitatesquidquid adunatum quodammodo corporibus invenitur. ipsa quidem natura incorporea sunt et immutabilis substantiae ratione uigentia, participatione uero corporis
Abbreviated transcription (Latin):
bus ex tremitatibus minus est eonum ero qui exmedie¬
tate conficitur : tantum: quantum possunt duȩ subse
differentiȩ continere : qua e interipsoss̃ terminos constragȩ :¬
Ponamus enim tres terminos huius modi iii .u. uii: sugit᷑.

Expanded text:
bus extremitatibus, minus est eo numero qui ex mediate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igit
Abbreviated transcription (Latin):
figuras non resoluitur nisi inse ipsam : Intria enim tri¬
angula dissipatur
deo haec figura princeps est latitudinis.
ut c&erȩ omnes suꝑ ficies in hanc resoluantur: Ipsa uero
qm̃ nullis est principis obnoxia: neque ab alia latitudine
sumpsit inicium insese ipsa soluatur : Idem autem & innume¬
ris fieri sequens operis ordo monstrabit :

Expanded text:
figuras non resolvitur nisi in seipsam, in tria enim triangula dissipatur. Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut caeterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero quoniam nullis est principiis obnoxia, neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem et in numeris fieri sequens operis ordo monstrabit. C
Abbreviated transcription (Latin):
bronaturale totius suae plenitudinis dispendium¬
sostir&ur : Inter hos autem uelut inter in aequales
in temperantias : medii temper mentum limitis sor¬
titus est Illenumerus : quiperfectus dicitur: uirtutis
scilic& aemulator : quinec superuacua progressione
porrigitur : nec contracta rursus diminutione remit

Expanded text:
bro, naturale totius suae plenitudinis dispendiumsortiretur. Inter hos autem, velut inter aequales intemperantias, medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus diminutione remit
Abbreviated transcription (Latin):
conparemꝰ : qui sunt indispositione tertii duorum mediorũ
cundum hunc modum: quarta dis positio tres: quinta
quattuor intermittit: AUI
XXUI
DISCRIETIO PER QUÃ DOCEIUR CETERIS INATQUAL¬
TATIS SPICIEB: ANTIQUIORT̃ ISSE MULTIPLCNATIM
m̃ autem nacuraliter & secundum propriam ordinis
consequentiam multiplicem in aequalitatis speciem cũnẽ¬
tis praeposuimus primamq speciem es semonstrauimus¬
lic& hoc nobis posterioris operis ordine clarescat hic quo¬
que ꝑstringentes id quod proposuimus planis sime breui

Expanded text:
comparemus, qui sunt in dispositione tertii, duorum mediorum cundum hunc modum quarta dispositio 3, quinta 4 intermittit. CAPUT XXVI. Descriptio per quam docetur caeteris inaequalitatm autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam, multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimuslicet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime brevi
Abbreviated transcription (Latin):
uero numerus est cui hocidem accidere non potest sed
cuius induas aequales sũmas naturalis est sectio. Ali a

Expanded text:
ero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest, sed cujus in duas inaequales summas naturalis est sectio. Hoc
Abbreviated transcription (Latin):
nisiminor unita simpe dir& : Hoc aut prima &iam numenr⁊ ꝓgenum
seruat atq custodit : Namq unitas quae prima ẽ : duob: sub¬
sequentib: sola est unitate contractior : Vnde nihibmirũ ẽto¬
tum summae crem̃tũ proprio consentire principio: ha ec aũt
nob̵ consideratio maxime pro derit in his numeris cognoscendis :¬
quos suꝑfluos ułimminutos ꝑfectosq monstrabimꝰ : In illis enim

Expanded text:
nisi minor unitas impediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior. Unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit, in his numeris cognoscendquos superfluos vel imminutos imperfectosque monstrabimus. Illic enim
Abbreviated transcription (Latin):
rio praecedentes : tunc duplicis ses qui quartae
proportionis forma texetur:
a uero species hutus numeri quae est triplex serqual

Expanded text:
rio praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur. jus numeri, quae est triplex sesquial
Abbreviated transcription (Latin):
nis ad seipso situ sunt differentiȩ ad differentias consti¬
tutas  Nam que omnis terminus sibiipsi ȩqualis ÷
& differentiae differentiis sun aequales : illuo quoq¬
subtilius quodmulti huns disciplinae. peritinisi nicom achis
num quam antea perspex erunt : quodi nomni disposi

Expanded text:
nis ad seipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoqsubtilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni disposi
Abbreviated transcription (Latin):
rgo siunitate tantum discrepent qui multiplicantur¬
cripti superius numeri protendentur ⁊ sinuero aliquonũmȩ¬
ro utter .vii. uel ter quinque: uel aliquo modo alio & non eorẽ
latera sola discrepent unitate : non uocabitur hic numerus
paste altera longior sed ante longior: Alterum enim apud

Expanded text:
rgo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicanturcripti superius numeri protendentur. Si vero aliquo numero, ut ter septem, vel ter quinque, vel aliquo modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud
Abbreviated transcription (Latin):
Tugitur in utrisque uersibus primos aspitias. singulos quo sin¬
uenis: qm̃ t&ragonisunt : in inpariloco sunt constituti : qm̃ pri
mi sunt si uero tertium locumrespexeris : iiii. & viii. notubis
quorum hic aduobus ꝓficiscitur . Illum ternarius creat : quis
lo compari constituti : Quintum deinde siuideas. locũx ui& lxxxi¬
I respicies : sec lunus aquaternario nascitur : alterum nouenarius
creat: & sinonum locum rursus aspitias. t&ragonos ꝑ notũb¬
cclui eũ dlxi : Quorum superior fit Xxvi. inferior uero

Expanded text:
gitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in impare loco sunt constituti, quoniam mi sunt. Si vero tertium locum repexeris, 4 et 9 notabis, quorum hic a duobus proficiscitur, illum ternarius creat, qui sunt loco impari constituti. Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus aspicias, tetragonos pernotab256, 6561, quorum superior fit a 16, inferior vero
Abbreviated transcription (Latin):
plinae hanc tertiam natura p̃cedun In astronomiaenĩ¬
circuli spheracentrum parelleq circuli mediusq axis est : Quȩ

Expanded text:
plinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomicirculi, sphaera, centrum, parallelique circuli, mediusque axis est, qu
Abbreviated transcription (Latin):
primã inmutabilem naturam unius eiusdemq: substantiae uo¬
cant : hanc uero alterius scilic& quod a prima illa inmutabili
naturamq: inpares numeri formati sunt : quique exhis coacer¬
uatis t&ragoni fiunt duplici modo eiusdem substantiae pastici¬
pes eẽ dicuntur: quod uel ab aequalitate formantur t&ra¬
goni : uel coaceruatis in unum Numeris in paribus ꝓcreantur
Illi uero qui sunt pares qm̃binaris numeri formae sunt : quique
prima sit altent : quo d nimirũ adunitatẽ ꝑtine t & addualitatẽ : qui
numerus primus ab uno discedens:¬
exhis coa ceruati collectique inunam congeriem paste
altera longiores numeri nascuntur. hisecundum ipsius
binari numeri naturam ab eiusdem substantiãe natura
discessisse dñr Putanturq alterius naturaȩ eẽ pastici

Expanded text:
primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili naturamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tgoni, vel coacervatis in unum numeris imparibus procreantur. Illi vero qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique prima sit altera. Quod nimirum ad unitatem pertinet, et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedensex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse partici
Abbreviated transcription (Latin):
maior &tremitas : In illo uero solus minor terminus
sectione solutus ẽ: & quod in forma pariter paris
numeri ab & tremitatib incipienti & usq ad

Expanded text:
major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti, et usque ad
Abbreviated transcription (Latin):
constabit : si quae exsapientiae doctrinis elicui sa
ris effectus tuum tantũ spect& exam̃. Mec inaures peore

Expanded text:
constabit, si quae ex sapientiae doctrinis elicui, salaboris effectus, tuum tantum exspectet examen, nec in aures pr
Abbreviated transcription (Latin):
narius senario conpar&ur : uel omnes triplices supe¬
riores siduplicibus numeris consequentibus õppo¬
nantur : emiholiu id ẽ. ses qualtera propostionas¬
c&ur : ii enim habent intrese .ii . & eorum medi
am pastem id est unum : sex quoq continent intera
se .iiii : & eorum medi&atẽ id.ẽ .ii. & nouem intra
se senarium claudunt : & eius mediam pastem id ẽ¬
iii. eodemq modo inc&eris : dicendum uerosiquis
secundam speciem superpasticularis numeri con¬
siderare desider& : id .ẽ. ses qui tertiam : qualine¬
tione repperiat: ac definitio quidem huius con

Expanded text:
narius senario comparetur, vel omnes triplices supenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia, id est sesquialtera proportio nascetur, tres enim habent intra se duo, et eorum am partem, id est 1, sex quoque continent intra se 4, et eorum medietatem, id est 2, et novem intra se senarium claudunt, et ejus mediam partem, id est 3, eodemque modo in caeteris. Dicendum vero si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus co
Abbreviated transcription (Latin):
ditur : & maiores quidem numeri : homodo uocantur¬
minores uero qui habentur toti &eorum aliqua
pars unũs subsesqualter : alter subses quitestius.
alius subses quiquastus : alius uero subses qui quintus:
Atq: idem secundum maiorum normam multitudinẽ¬
que protenditur : Voco autem maiores numeros du¬
ces minores comites : superpasticularium quoq: infini¬
ta est multitudo: obeamrẽ : quod eiusdem. species in¬
terminabili progressione funguntur: namq: ses qua¬
Lter habebit quidem duces omnes. postter narium
numerum natuneliter triplices: comites uero omnes
postbinarium numerum n aturcliter pares. hoc mo¬
do: ut primus primo : secundus secundo: testius testio
compar&ur : & de inceps: discribantur enim. Longissi¬
miuersus triplicium natunelis numeri atque
duplicium: et sit hoc modo:
Primus igitur uersus contin& numerum naturalem : secun¬
dus eiũs triplicem : testius uero duplicem : atq in eositer¬
narius binario : uel si senarius qua ternario: uel noue¬

Expanded text:
ditur. Et majores quidem numeri hoc modo vocanturminores vero qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesquialter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarium naturaliter pares, hoc modo, ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur, et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo: ersus continet numerum naturalem, secundus ejus triplicem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel nove
Abbreviated transcription (Latin):
enim quid in planis numerorum figuris uis i psa quantitatis
naturaliter oper&ur ad solidos numeros Noneriulla cunc¬
tatio : sicut enim longitudini numerorum aliud interual¬
lum id est suꝑ ficiẽ ut latitudo ostender&ur adiecimus ĩta
nunc latitudini siquis addat eam quae alias altitudo: alias
crassitudo : alias profunditas appellatur solidum numers
corpus explebit :¬

Expanded text:
enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit
Abbreviated transcription (Latin):
nis perfecerunt : Circum ipsos ueroqui sunt : id est
circum angulares. longi laterinumeri sunt : Lon¬
gilateros autem uoco quos unose supergradientes
numeri multiplicant : circum .iiii. enim duo sunt
& .ui. sed duo nascuntur & uno & duobus cumunum
bis multipli caueris: sedunitas ab inario unitate
praeceditur: sex uero & duobus & tribus : bis enĩ
tres senarium reddunt: nouenarium uero : .VI. &¬
.xii. claudunt : qui .xii: & trib nascuntur & .iiii. ter
procreati sunt : pamcum .vi. & binario ternario que
nascuntur : tres binarium numerũ : uno superant : cunc¬
tĩque alii eiusdem modi sunt ut primo & secundo or¬
dine ad alter utrum multiplicatis terminis procre

Expanded text:
is perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt. Novenarium vero sex et duodecim claudunt, qui duodecim ex tribus nascuntur et 4. Ter procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procre
Abbreviated transcription (Latin):
dictu mem inerit lector : Ituesse in dubitanter intel
tuam statim geometricu medidus cumsuis pro¬
pri&atibus cunctis exoritur : arithin&icamedi&ate

Expanded text:
dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelltuam, statim geometrica medietas cum suis proprietatibus cunctis exoritur, arithmetica medietate
Abbreviated transcription (Latin):
sed qua pastesua maior terminus mediumuinert: Quod
estut me di&us atque extremitas : aequalibus medi&atẽ
& extremitatem reliquam suis pastibus superua

Expanded text:
em parte sua major terminus medium vincit. Quod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus superva
Abbreviated transcription (Latin):
pereditur : &exhoc equidem apparere necesse est Eriana uilus
formas edcerarum figurarum eẽ principium: quod ominis prra¬
mis aqua cumqba si ꝓfecta: uel a quadrato uel apentigenoo
uel ab exagono uel abeptagono uel a quacumq sumliari sales
triangulis us que aduefficem contin&iar : Scite antẽ opostce
custe suel quue quator : &edamoeps setun dam qumerorũ adicotione
ꝑfecta enim prramis est quae aqualib& ba si ꝓfecta :
usque ad primam .ui. & potestate pr̃ramidam ꝑuenit unitatẽ:
Sinuero a qua lib& ba si ꝓfecta usque adunitatem altitudo
illa ñ uenerit : custa uocabitur : Recteq huius mõdi pyramis tali
nuncũpatione signatur : siusque ad extremitatem punctum que
ñ uenerit : haec autem est : utsiquis .xui. t& ragono adiciat .uiiii.
atque huic quattuor : & abulterioris sese unitatis adiectione
suspendat : pr ramis equidem figura est : sed qm̃ usque ad a cum̃ uer¬
ticis non excreuit c̃usta uocabitur : & habebit summitatem ñ iam

Expanded text:
reditur. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab hexagono, vel ab heptagono, vel a quocunque similium, solis triangulis usque ad verticem continetur. CAPUT curtae, vel quater, et deinceps secundum numerorum adjectionem. Perfecta enim pyramis est quae, a qualibet basi profecta, usque ad primam vi et potestate pyramidum pervenit unitatem. Sin vero, a qualibet basi profecta, usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur. Recteque hujusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic 4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam
Abbreviated transcription (Latin):
pes : Iocirco qm̃ cum latera t&ragonorum ab ae qualitate
ꝑ gressa in aequalitatem propriae latitudinis ambitum

Expanded text:
pes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum
Abbreviated transcription (Latin):
aexexiiii Quod ex quadratis exꝰ parte altera longiorib: om¬
nis formarũ ratio consistat ongioris¬
uel parte altera longiores ex quadratis fiant

Expanded text:
XXIV. Quod ex quadratis ex parte altera longioribus, omnis formarum ratio consistat. Ivel parte altera longiores ex quadratis fiant
Abbreviated transcription (Latin):
III. septies auge antur: in xxi. numerum cadunt: quod si
medium terminum idesto. insem &ipsum multi plica¬
ueris : qumquies quinque : faciunt xxu & hicnume¬
rus abeo quem extremitates collegͣunt. quatemario

Expanded text:
 septies augeantur, in 21 numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt 25. Et hic numerus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario
Abbreviated transcription (Latin):
re mentis rationeui guer̃ constare manifestum ẽ : haud
quem quã in philo sophiae disciplinis ad cũmulũ ꝑ fectio¬
nis euadere nisi cuitalis prudentiae nobilitas quodã qua¬
si quã driuio uestigatur: quod recte sollertiã intuentis
non latebit : Est enim sapientia repum quae sun suiq¬
rmio immutabilem substantiam sortiuntur conp̃hensio ueritatis:

Expanded text:
re mentis ratione viguerunt, constare manifestum est haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadrivio vestigatur, quod recte solertiam intuentis non latebit. Est enim sapientia rerum quae sunt suique immutabilem substantiam sortiuntur comprehensio veritatis
Abbreviated transcription (Latin):
si uero paste altera longior ndmquã crbds procreabit᷑
hoc scilic& secundum similitudinem paris. atqueln pa¬
ris : Parenim parem simulti plic&: semper parnascit᷑:
& in par in parem simultiplic& . Inpar continuo pro¬
creabitur : siuero in par parem uelsi par inparem
multiplic& : parsem ꝑ exoritur : Hoc autem facilius
cognoscitur exlectione plutonis in libris derepubli

Expanded text:
s parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, hoc scilicet secundum similitudinem paris atque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republi
Abbreviated transcription (Latin):
trauimus : Hautẽ huius modi inueni& si duobus termi¬
nis constitutis qui ipsi tribus creuerint interuallis:
longitu dinelatitudine & profunditate : duo huius¬
modi termini me dii fuerint constituti: & ipsi tribus in t̃ uallis¬
notati : quiuel ab ȩ qualibus ꝑaequales aequaliter sintproducti :
uel abaequalibus ad inaequalia in aequalit᷑ : uel ab in aequalibus
adaequali aȩqua lit̃ ł quolib& aliomodo: atq itacũ armonicã pro¬
portionẽ custodient: alio tam̃modo comparatifaciant arrthe

Expanded text:
travimus. Haec autem hujusmodi invenietur, si duobus terminis constitutis, qui ipsi tribus creverint intervallis, longitudine, latitudine et profunditate, duo hujusmodi termini medii fuerint constituti, et ipsi tribus intervallnotati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sint producti, vel ab inaequalibus ad inaequalia aequaliter, vel ab inaequalibus ad aequalia aequaliter, vel quolibet alio modo, atque ita cum harmonicam proportionem custodiant, alio tamen modo comparati, faciunt arith
Abbreviated transcription (Latin):
cuplus : si ui septuplus : semperq: ipsius multiplica¬
tionis nomine : un ominus intermissionis uocabulo procre¬
antur : Namduplus unum in termitut : triplus .ii qua¬
druplus .iii : quinquuplus : .iiii. . & de inceps adeundem
ordinem sequentia est : & omnes quidem dupli secundũ
ꝓprias sequentias parium numerorum: pares sunt :tri¬
pliuero unus semper par. terminus : in par alius in ue¬
nitur : quadrũpliuero : rursus semper parem custo di¬
unt quantitatem : constitu unturq aquas tonumero :
uno exprioribus peror dinem positis paribus in ter

Expanded text:
cuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus inter
Abbreviated transcription (Latin):
quos ad superiorem modum scilic& discriptos. In proprus ordinib:
ꝑ notabis . ⁊¬
eptem. uero angulorum figura est : cum ad eundem ordinem
ꝓgressionis uno plus quam insex angulorum figura
numero intermisso superiori coniunxeris : Namsi iiI
interpositis qui nario uincant adgrogaueris eptagoni con

Expanded text:
Quos ad superiorem modum, scilicet descriptos, in propriis ordinibus pernotabis. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni con
Abbreviated transcription (Latin):
minorem scilic& summam toto corpore conluden¬
tes : Pursus .xiiii. habent medi &atem idẽ septe na¬
rium habent septimã id ẽ .ii. habent quastam deci¬
mam idest ÷ : qua eunum sicollectae sint : denaru
numeri sunma succrescit toto scilic& termino
minor atq hi quidem hoc modo sunt ut prior ille
quẽ suae pastes supenent talis uideatur tamquã
stquis multis supernaturam manibus natus ut centi

Expanded text:
minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent quartam decimam, id est 1, quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centi
Abbreviated transcription (Latin):
roboratus ad stringit : & has quod ammodo in aequali tatis
formas tomperata bonitate constituit : hoc autem erit pers¬
picuum suntellegamus omnes in aequalitatis species ab a¬
qualitatis creuis se primordiis ut ip̃sa quodammodo ae

Expanded text:
roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo ae
Abbreviated transcription (Latin):
& ex tremitatum aggregatio dupius est. medi&ate&
minorum terminorum propostio : maior estilla coro¬
paratione quae int̃ maiores terminos contin&ur:
quoque quod medi&us eadem sui paste & amaioreumcit᷑

Expanded text:
 extremitatum aggregatio duplex est medietate, et minorum terminorum proportio major est illa comparatione, quae inter majores terminos continetur. quoque quod medietas eadem sui parte et a majore vi
Abbreviated transcription (Latin):
parter in parib numeris minor ẽ maior surma tiens¬
cendit¬
cansi cas nbab eae torẽ e diuas eius quar tas siper parti¬
pertas rursus est superparticularis : uac siuers duas
parf tertra s: quodsi in conparatione ponatur sesqui¬
tur toieb abi tudinis efficia forma : posidios nascan¬
sunomutes quisub superpartientes uocantur hisaut
sunt quibabentur ab alionumero e cogcunt ue l drant
siergo numerus aliũ intra senumerum habens tius dua
portre habuerit : superbi partieno noraboas eius duas
portes supen tripartiens quod si .iii. super quadre¬
parioieni atq:ita progredientibus in infinitum finge¬

Expanded text:
partes imparibus numeris minorem major summa transcenditsi eum habeat totum et duas ejus quartas, superparti duas sextas, rursus est superparticularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae, Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum finge
Abbreviated transcription (Latin):
ab& autem propri&atem quemadmodum dic¬
tum est : contrariam arithm&icȩ medi&ati:
in illa enim inminoribus terminis maiorerat pro¬
portio inmaioribus minor: Inhacuero in maioribus
quidem terminis maiorest propostio: inminoribus
uerominor : Namque in hac dispositione. iii.iiii.ui.
res adquattuor conparati: ses qui testiam habitu¬
dinem: sexuero adiiii: ses qualteram reddunt:
ed malorest proportio sesqualtera a ses qui testia
tantum quantum parstertia medi&ate trans¬
cenditur : Iuste igitur medi&us quaedamgeo¬
m& nca ꝓropries es sepro portionalitas iudicatur : scilio&¬
inteream ubunmaloribus terminis minor est propor¬
tio : & inminoribus malor : & inteream ubi in malori

Expanded text:
abet autem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim, in minoribus terminis major erat proportio, in majoribus minor; in hac vero, in majoribus quidem terminis major est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione 3, es ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero ad quatuor sesquialteram reddunt; sed major est proportio sesquialtera a sesquitertia, tantum quantum pars tertia medietate transcenditur. Juste igitur medietas quaedam geometrica proprieque esse proportionalitas judicatur, sciliceinter eam ubi in majoribus terminis minor est proportio, et minoribus major, et inter eam ubi in majori
Abbreviated transcription (Latin):
tur : sed illu in qua quem admodum maximus
terminus ad paruissimum terminum ponitur:
sic differentia maximi& medii : contra differen¬
tiam medi atque parius simi comparatur : utsi sint .iii .iiii .UI ł si
II.III. UI: senarius enim quaternarium sua testia pare
superatĩdest duobus: quaternarius uero ternarium.
sua quasta paste superuenitid÷ uno & senarius ter¬
narium suamedi&ate : id est tribus: ternarius uero
binarium: sua paste testia idestunitat&rans cendii:
Quarein his neque eadem propostio terminorur :
neque sunteadem differentia e : Estautem quem¬
admodum maximus terminus ad paruis simum
terminum : sic differentia maximi & medii: addif¬
ferentiam medu atque postremi : Nam que in hac
propostione. quae est .iii.iii. .vi. maior terminus
idest senarius adpar uissimum terminum terna¬
rium duplus est: & differentia maximi & medu
id est senarii. & quaternarii duo scilic&: ad diffe

Expanded text:
tur, sed ila in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem differentiae. Est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad diffe
Abbreviated transcription (Latin):
li pastitione solu&ur secundum modum quẽ superius demonstrauim ꝓ.
Siuero quad ruplus sese acsesqͥ quastus ad glomeren : Quinquu

Expanded text:
li partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomerent, quincu
Abbreviated transcription (Latin):
marum fine prouenient : nam & primum sex: in¬
de .xxuiii : post hos .ccccxcui. Idem senarius qui
Idem octonarius
qui secundus: generatio autem. procreatio que eoꝵ
est fixa firmaq: ne quo alio modo fieripos sint nec
ut si hoc modo fiant: Aliud quiddam ullo modo uale¬
at procreari: dispositos enim abuno omnes pari¬
ter pares numeros inordinem quous que uo lueris
primo secundum adgregabis: & si primus numerꝰ
& in conpositus & illa coaceruatione factus sit : to¬
tam summam in illummultiplicabis : quem posterius
at gregauertos : siuero coaceruatione facta primꝰ

Expanded text:
marum fines provenient. Nam et primum 6, inde 28, post hos 496. Idem senarius qui idem octonarius qui secundus. Maest fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggregaveras. Si vero coacervatione facta, primu
Abbreviated transcription (Latin):
quantitas par:ut in .xuiIi: secunda eius pars est. id.ẽ
media. quod paritatis nomen est .uiiii. quaeͥm par
ẽ. quantitas: tertia uero quaeͥmpar est. de nomi¬
natio. sex cui par plunc litas est: Rursus n con¬
uertas sexta pars quae par .ẽ denominatio tres
sunt : sed ter narius impar est : & non a pars quod
impar ẽ. uocabulum .ii. . quipar numerus est : atque

Expanded text:
quantitas erit par, ut in 18. Secunda ejus pars est, id est media, quod paritatis nomen est 9, quae impar est quantitas. Tertia vero quae impar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres sunt, sed ternarius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque
Abbreviated transcription (Latin):
ic &iam innumero unitas quidem cum ipsa linearis nume¬
rus non sit : In longitudine tamen distenti numeri princi¬
pium est: & lineis numerus cumipse totius latitudinis.
experssit. In aliud tamen spatium latitudinis extentinu¬
meri sostitur initium : super ficies quoque numerorum

Expanded text:
ic etiam in numero unitas quidem cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum
Abbreviated transcription (Latin):
quentes quidem e& ragoni secundum eundem modum muftip ual¬
tione facta prouehuntur : Tort enim necesse est untates csed urboue¬
ad inlatere quot habuit primusille t& ragonus ex quo rese orodus

Expanded text:
quentes quidem tetragoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus ex quo ipse produ
Abbreviated transcription (Latin):
tqueideo arithin&ica quidemrei publicaȩ conparatur:
quae paucis regitur: id circo: quod inminoribus eius¬
terminis maior proportio sit: Musicam uero medie¬
tatem obtimatium dñt esserem publicam: ideo quodin

Expanded text:
tque ideo arithmetica quidem ei reipublicae comparatur quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus ejusterminis major proportio sit. Musicam vero medietatem optimatum dicunt esse rempublicam, ideo quod in