comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
& tertio id estxxu
Siergo sesqui tertium eodem modo uer¬
tamus. ordo supertri parciens inuenitur
Sit enim prima pro poꝰsitio ses qui tertii
Ponatur scđm priorem modum primo primus
rima duobus setundis &t̃tio id÷ xlviiIIi. Omĩs
ergo summa disposita supertripartientes esfici&
Dursus si sesqui quartum eodem modo uerteris
super quadiipartiens statim quantatas procre¬
abitur ut ÷ ea forma quam subpositam uides

Expanded text:
 tertio, id est 25. Si ergo sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima propositio sesquitertii. Ponatur secundum priorem modum, primo par rimo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet. Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procrabitur, ut est ea forma quam suppositam vides
Abbreviated transcription (Latin):
biliratione uersatur: Om̃s enim planȩ figurȩ quȩ nulla altitu dine crescunt una
tantum me dietate geume trica continu antur: Alia quaeiun gant non potest

Expanded text:
bili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest
Abbreviated transcription (Latin):
iungã nouenarius rursusoccurrit: huic sicopules septem sed ecim quadiati formase
suggerit ⁊demq sunceteris faciesi amĩs conpe tenter quadratos uideas ꝓcre ari: ađ ue¬
ro& secindo paritatis ordine. idem cunt tisarte altera longiores fiunt : Naq siduos
primores pecero huius modimihi numerus occurrit. quifit & bis uno. cutauero duobus.
sequentes quatuor iun sero parte altera loñgior rursus erit. senarius scilicet. quifit
exbis tres. cusese que tem ad grega uero nascetur mibiduo de narlafor maquȩ
fuerit latitudo longitudim. & maior sit altidudo. ille figurȩ anobis asseres. agre¬
cisde cades nominantur . ut siquis hoc modofaci& quatuor. quater noies. qui inde
ꝓcre antur asseres nominatisunt: Spericiuero quos uelemiolos cuneo los superi¬
us appellauimus hi sunt qui & inȩ qualibus inaequaliter ducti ꝑ maequalia
creuerunt. Cybiuero quiex aequa libus ae qua liter ꝑ aequalia productisunt:

Expanded text:
ungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaequalia crevere; cubi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt.
Abbreviated transcription (Latin):
trasinistra. ante. post. sibĩ a equa lem ẽẽ
necesseẽ: huic oppositum cum trarium q̃
q eẽ oporte bit. quineq longitudinem lati¬
tudinineque hȩc dd oprosenditatigerat aequalia. sed cunctis inȩ qualibus quam uis

Expanded text:
sinistra, ante, post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis
Abbreviated transcription (Latin):
medio id est xXIIII. ut sint hii duo termini .uiiii. & xxiiii: de tertio uero.
id est cxxxuiii. aufer unum primũ. id ẽ uiii. & duos secundos qui sunt reliqui.
id ẽ bis xxiiii. & relinquuntur. lxxii.: his dispositis terminis. ex qua drupla
ꝓpinquior ȩquitati ꝓportio. tripla redacta ẽ: Sunt enim hii termini suiii .xxiiii.
lxXIII Ex his autem ipsis. si feceris. ad duplam rursus comparatio remeabit: Pone

Expanded text:
medio, id est 24, ut sint hi duo termini, 8 et 24. De tertio vero, medio, id est 24, ut sint hi duo termini, 8 et 24. De tertio vero, id est 128, aufer unum primum, id est 8, et duos secundos qui sunt reliqui, id est bis 24, et relinquuntur 72. His dispositis terminis, ex quadruplis propinquior aequitati proportio, tripla redacta est. Sunt enim termini: Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplum rursus comparatio remeabit. PAufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus, octonarium, relinquunt
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpositorum terminorum summa. auferemus unum primum & duos secundos. eos
qui de medietate relicti sunt. & id qđ ex tertia summa relinquitur. tertium
terminum constituemus: Uidebis igitur hoc facto in minorem modum summas
reuerti. & ad principaliorem habitudinem comparationes. ꝓportionesq reduci.
ut si sit qua drupla ꝓportio. primo ad triplam. inde ad duplam. inde ad equali¬
tatem usq remeare : Et si sit suꝑ particularis sesqui quartus. primo ad sesquiter¬
tium. inde ad sesqualterum. postremo ad tres ȩquales terminos redire: hoc aut̃
nos exempli gratia. in multiplici tantum ꝓportione docebimus: Sollertem uero
in aliis quoq in ȩqualitatis speciebus. id experientẽ eadem ratio prȩceptorum
uiuabit: Constituantur. enim tres a se termini qua drupli suiui dexx. ii caexuiii¬
Aufer igitur ex medio minorem. id est ex triginta duob octonarium. relinquunt᷑¬
cex iiIi. & primũ octonarium terminũ pones. Scđm uero qđ relictũ fuerit ex

Expanded text:
positorum terminorum summa auferemus unum primum, et duos secundos eos qui de medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare. Et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesquialterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus. Solertem vero, in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experientem, eadem ratio praeceptorum juvabit. Constituantur enim tres ad se termini quadrupli. Aufer igiAufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus, octonarium, relinquuntur 24, et primum octonarium terminum pones, secundum vero, quod reliquum fuerit ex
Abbreviated transcription (Latin):
Degeoaae trica aRMouica. Uocant aut̃ quidam armonicã huius mo¬
dimedietatem: id circo qđ semꝑ hec ꝓporcionalitas geonetricȩ armoniȩ
cogna ta est: Ar monicam autem geome tricam̃ eybumdicunt. ita
cumulũ creuit iexequalibus ꝓficis cenf̃ ad equalia perueniens equalitc̃
tot ussibi conueniens creuerit: hec aut̃ me dietas in omnibus erbis. q̃ ÷
geomotrica ar monia ꝑspicitur: om̃is enĩ cybus. hab& latera .xiran¬
gulos VIII. suꝑficies ui: hic aut̃ ordo & dispositio armonica est: diponantur
enimii. uIII. .xiI.I hic autem quẽ admodum maior terminus ad paruissi

Expanded text:
De geometrica harmonia. Vocant autem quidam harmonicam hujusmodi me dietatem, idcirco quod semper haec proportionalita, geometricae harmoniae cognata est, harmoniam autem geometricam, cubum dicunt. Itacumulum crevit, ut ex aequalibus proficiscens, ad aequalia perveniens, aequaliter totus sibi conveniens creverit. Haec autem medietas, in omnibus cubis quae est geometrica harmonia perspicitur. Omnis enim cubus habet latera 12, angulos 8, superficies 6. Hic autem ordo et dispositio harmonica est. Disponantur enim 6, 8, 12; hic ergo quemadmodum est major terminus ad parvissi
Abbreviated transcription (Latin):
inde confectus est committe illũ numerũ qͥ ex differentus & termino
minore ꝓductus est : cuius cũ latitudinem inueniris. addis eamminori
termꝰ no & qđ in de colligitur medium terminũ pones. xenĩ & xl fa¬
eum cõmĩte : qui ex iunctis utris que confectus estid÷ iuxta. ł faciunt enĩ
quin quagies senos & inuenitur latitudo senarius : Hancigitur simeno
ntermino addas faciant .xui: & hic nu merus medius constitutus
int̃ x &e xł armonicam proportionẽ medi etatenq serua bit : t iuub¬
Hac quidem apud antiquiores inuentȩ sunt ꝓbatȩq me dietates. quas
idcirco lonigius enodatius q: tractauimus: quia hȩ maxime inanti quoꝵ
lectionibus inueniuntur & ad omnẽ poene collationis siue uim cognatio¬
nis edrum uersatur uti litas: ceteras aut̃. p̃ter edndo trans scribemus: idcir

Expanded text:
inde confectus est, committe illum numerum qui ex differentiis et termino inde confectus est, committe illum numerum qui ex differentiis et termino minore productus est. Cujus cum latitudinem inveneris, addas eam minori termino, et quod inde colligitur medium terminum pones, 10 enim et eum committe qui ex junctis utrisque confectus est, id est juxta 50, facient enim quinquagies senos, et invenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerus medius constitutus inter 10 et 40, harmonicam proportionem medietatemque servabit. CAPUT LHae quidem sunt apud antiquiores inventae probataeque medietates, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus inveniuntur, et ad omnem pene vim cognitionis eorum versatur utilitas. Caeteras autem praetereundo transcurrimus, idcir
Abbreviated transcription (Latin):
um constituas arithmeacȩ medietatis ordo formatur: Geome tricam
uero sirationem uestiges: eius numeri qui sub utris que & tremitatib con¬
tinetur. Tetra goni cũlatus inquire & hunc me dium pone: Nan sub
Xl & denarionu mero cccc continentur: Sienim denarium in&el multi¬
plices : hic numerus crescit horum igitur quadri gentorumre qͥre tetra¬
gonilatus. hi ist̃ .xx. uicies enim .xx. ccccefficiunt : Reꝑtum ergo latus.
quadratum medium constitues: ł sieã proporcionem quã inter sedati
termini custodiunt diuidas. & id quod relinquitur medium terminũ
ponas : Namque .xl. ad denarium quadru plus est : igitur qua druplũ
si diuiꝰ das duplum facias qͥ est scilic& & .xx. nã xx. addenari um duplus
est. hunc sime dium constituas medietatẽ geome tricam ꝑferet: ar moni¬
cam uero medi etatem talimodo repperies : differentiam ter minorum in
minorem terminũ multi plica& post iunge terminos. & iuxtaeum qu

Expanded text:
um constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, ejus numeri qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub et denario numero 400 continentur. Si enim denarium in 40 multiplices, hic numerus crescit. Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus, hi sunt 20. Vicies enim 20, 400 efficiuntur. Repertum ergo latus quadratum, medium constitues. Vel si eam proportionem quam inter se dati termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medietatem, tali modo reperies: differentiam terminorum in minorem terminum multiplica, et post junge terminos, et juxta eum qui
Abbreviated transcription (Latin):
tda ut sint uaꝑquixiV. sitar monica medietas . ut qua sibmma maximus nume¬
rus par ussimum p̃cedit : eadem maior differentia minor differentiam uin¬
cat: Qua uero disciplitia huius modi me die tates reperire possimus & pe¬
diendumẽ : datis duobus terminis ar ith meticã medietatem constituere
oportebit : utraque est &tremitas coniungenda qđ ꝗȩcea copulatione colli¬
gitur diuidendum: hisq: numerus quiex diuisione redatus est arith me¬
ticãmedie tatem inter extremitates. locatus efficio ut .x et .xl. suun ero
efficient .I. quossi diuidam .xxureddunti ghicerit me dius terminus
seđarithme ticã proporcionem : ł sullum numerũ quo maior minorẽ superat
diuidas eumq minori suꝑponas qđ inde coneres cit mȩ dium ponas.
arithmetica medietas informatur Nam xl. xxxxsuperat : quẽ sidiui

Expanded text:
 ut sint 5, 9, 4, 5, fit harmonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem major differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10 et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit medius terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum quo major minorem superat dividas, eumque minori superponas, quodque inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas informatur. Nam 40 denarium tri
Abbreviated transcription (Latin):
ergo qnm coniuncus est numerus neq exsimilib: eẽ coniunctum. neq ex
his quae adse inuicem nullaratione proportionis herent Frunt ergonume

Expanded text:
ergo quoniam conjunctus est numerus, neque ex similibus esse conjunctum, neque ex his quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent. Erunt ergo, nume
Abbreviated transcription (Latin):
numeri ordo naturalis. & secundo uersu duplus ordo texatur: Tertio.
triplus: quarto quadruplus: & hoc usq ad de cuplum: sicenim cog¬
noscemus quem ammodum. superparticulari. & superpartientĩ
& cunctis aliis princeps erit species multiplicis & quae dam alia si
mul inspitiemus. & ad subtilitatem tenuissima. & ad scientiam uti¬
lissima & ad extitationem. io cundissima

Expanded text:
numeri ordo naturalis, et secundo versu duplus ordo texatur, tertio vero numeri ordo naturalis, et secundo versu duplus ordo texatur, tertio vero triplus, quarto autem quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et qumul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem mentis jocundissima
Abbreviated transcription (Latin):
Quarti tres: & deinceps una semper minore. quam ipsisunt inter¬
missione suc crescunt. adq hoc uel insesqualteris. uel in ses quit̃¬
tus. uel in aliis superparticularis partibus necesseẽ inueniri:
Namq: ut quater narius contra ternarium compar&ur. Nullum
intermi si mus. postiii enim moxiui sunt : ut uero .vi. contra uiii. in secun¬
do scilic& sesqui tertio una factaẽ intermissio: inter sexenim & uiii.
solus ÷ septenarius qui transmissus : Numerus: Rursus ut nouem¬
ntra xii comparemus. qui sunt indispositione.
hunc modum quarta dispositio .iii: quinta uii intermittit¬
m̃ autem naturaliter. & secundum propriam ordinis conse¬
mus: Primamq speciem eẽ mon strauimus : lic& hoc nobis post¬
terioris operis ordine clarescat: Hic quoq per stringentes. id quod
pro posuimus : planissim e breuiterq: doceamus: sit enim talis descrip¬
tio inquaponatur in ordinem usq ad denarium Numerum continui

Expanded text:
quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt interquarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus, post 3 enim mox 4 sunt. At vero 6 contra 8, in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numerus. Rursus ut 9 contra 12 comparemus, qui sunt in dispositione hunc modum quarta dispositio 3, quinta 4 intermittitm autem naturaliter et secundum propriam ordinis consetis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui
Abbreviated transcription (Latin):
sus triplunor dinem digerantur.
Situr primum primo si compares: sesqui tertii ratio continebit᷑:
Namsi quãtuor tribus compares: habebunt inse .iiii. totum terna¬
rium & eius tertiam partem. idi. & si secundum. secundo. id ÷
octonario senarium com pares: idem inuenies: Habebit enim octo¬
narius senarium totum. & eius tertiam partem. id  V & pereandẽ
sequentiamusq in infinitum progrediendum ÷: Notandum quoq÷
quod tres: Comites sunt. duces .iiiiͦ. Rursus ui comites: ducesuu & in
eodem ordine. c&erisimili modo uocantur. duces sesquitertii comi¬
tes. sub sesquitertii. & in cunctis. secundum hanc positionẽ conuenit
AEQUA UITATIS SPETIESUS. ANTIQUIOREM ESSB MULTI PLIGITA TEM¬
ocautem ammirabile profundissimũq in istorum ordinibus in¬
uenitur. quod primus dux. Primusq: comes. adse inuicem
nulla Numeri intermissione copulantur : Nam primi senullo in me¬
dio posito transeunt. secundi inter ponunt. unum: Tertii duos:

Expanded text:
sus tripli in ordinem dirigantur. sus tripli in ordinem dirigantur. Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebunt in se 4, totum ternarium et ejus tertiam partem, id est 1, et si secundum secundo, id est octonarium senario compares, idem invenies: habebit enim octonarius senarium totum, et ejus tertiam partem, id est 2, et per eamdem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est quod 3 comites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesquitertii, comites subsesquitertii, et in cunctis secundum hunc modum posita convenit aequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicem, eoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt 1, tertii duos,
Abbreviated transcription (Latin):
par&ur. uelomnes triplices superiores: siduplicibus numeris
consequentibus apponantur: hemiolia. id ÷ ses qualtera pro¬
portio Nascitur: ui enimhabent intrase ii. & eorum mediampar¬
tem id÷ i. ui quoq continent intrase.iuii & eorum medi&atem.
id ÷iI. & ui nantrase senarium claudunt. & eiusmediam partem
id ÷ iii. Eodem quoq: modo inc&eris: Dicendum uero siquis secun¬
dam speciem superparticularis Numeri considerare desider&.
id÷ sesquitertiam qualiratione repperiat: Ac defintio quidem
huius comparationis talis est : sesqui tertius est : quiminori com¬
paratus hab& eum semel & eiustertiam partem: sed hi inueni¬
untur. si omnes ã qua ternario numero continuatim quãdru¬
plis constitutis. A ternario Numero triplices comparentur:
eruntq duces quadrupli. Comites tripli : Sit enim in ordine
hocmodo numerus paturalis ut sub eo tripli &qua drupli sub
dus subtertio. Tertius : & eodem modo cuncti. eiusdem primiuer¬

Expanded text:
paretur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris paretur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia, id est sesquialtera proportio nascetur, tres enim habent intra se duo, et eorum mediam partem, id est 1, sex quoque continent intra se 4, et eorum medietatem, id est 2, et novem intra se senarium claudunt, et ejus mediam partem, id est 3, eodemque modo in caeteris. Dicendum vero si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus, habet eum semel et ejus tertiam partem; sed hi inveniuntur si, omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis, a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, dus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi ver
Abbreviated transcription (Latin):
modo uocantur : Minores uero qui habenturtoti : & eorum aliqua
pars sub sesqualter alter subses quitertius alius subsessi quartus
alius uero sub sesqui quintus. atq: idem secundum maiorem Nor¬
mam multitu dinemq protenditur: VoCO autem maiores nu¬
meros duces: Minores comites: supes particularium quoq infini¬
ta est multitudo. ob eamrem quod eiusdem species interminabili ꝓ¬
gressione funguntur: Namq sesqualter habebit quidem duces.
omnes postternarium Numerum naturaliter triplices : Comites
uero omnes post binarium Numerum Naturaliter pares hoc modo.
ut primus primo. secundus. secundo. Tertius tertio. compar&ur &
deinceps: describantur enim. longissimiuersus triplitium Natura¬
lis numeri atq: duplitium. & sithoc modo:
rimus igitur uersus contin& numerum Naturalem. secundus.
eius. triplicem: Tertius uero. duplicem: atq: in eos. si ternarius
binario. uelsisenarius. quaternario. uel nouenarius senario cõ¬

Expanded text:
modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua unus subsesquialter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarium naturaliter pares, hoc modo, ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur, et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo: Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus ejus triplicem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario com
Abbreviated transcription (Latin):
secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt:
Trpliuero unus semper par terminus impar alius inuenitur :
Qua drupli uero : rursus semper parem custodiunt quantitatẽ
Constiti untur q: ã quarto Numero : uno exprioribus per ordinẽ
positis paribus intermisso primo paribinario : Posthunc uiui
inter misso senario. Posthunc xii transmisso denario: Atq hocidẽ
inc&eris: Quinquupli uero propositio : secundum triplicis simili¬
tudinẽ. alternatim paribus atq imparibus positis ordinatur:¬
uper particularis uero ẽ Numerus ad alterum comparatus.
quotiens hab& insetotum minorem. & eius aliquam partem:
qui siminoris habeat medi&atem. uocatur ses qualter: si uero
tertiam partem uocatur sesquitertius: siuero quartam ses¬
qui quartus : & si quintam uocatur sesqui quintus ÷ atq hisNo¬
minibus minfinitum ductis : in in finitum quoq super particu¬
larium forma progreditur. & maiores quidem Numeri hoc

Expanded text:
secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 transmisso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum triplicis similitudinem, alternatim paribus atque imparibus positis, ordinaturuperparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et partem ejus aliquam. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, vocatur sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus. Atque his nominibus in infinitum duciis, in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et majores quidem numeri hoc
Abbreviated transcription (Latin):
generatio incipit: siquis tres pumeros intermittat: Post unum
quippe & .ii. &iii sunt iii qui primi id÷ unius qua druplus
Dur sus. suntermisero quinarium. & senarium. & septenarium: Occo¬
narius michi quirtus occurr& tribus scilic& intermissis. quibina¬
rii id÷ secundi pumeri. qua druplus ẽ: At uero si post uni trosterm¬
nos intermisero id ÷ VIIII. uel x uelxi: duodenarius qui sequitur
ternarii Numeri quadruplus ẽ: Atq hoc idem in infinitum progres¬
sis Necesse ẽ euenire : semꝑq: una terminatorum intermissione
si crescat ad iectio ordinatas te multiplices Numeri uices inuenire
miraberis : si enimiii intermittas. quincuplus inuenitur: si U. sex¬
cuplus : siui septuplus semperq ipsius multiplicationis nomine.
unominus intermissionis uocabulo procreantur : Nam duplus.
unum in termitut: Triplus ii. quadruplus iii: quin cuplusuii &
dein ceps ad eundem ordinem sequentia ẽ : & omnes quidem dupli

Expanded text:
generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et 2 et 3, sunt 4, qui primi, id est unius, quadruplus est. Rursus si intermisero quinarium, senarium, et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim 4 intermittas, quincuplus invenitur, si quinque sexcuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli
Abbreviated transcription (Latin):
Horum ergo siprimum sumas parem idẽ .ii : primi duplus erit id
unitatis: siuero sequentem parem id ÷ iiii. secundiduplus ẽ id÷ duorũ:
siuero tertium parem summas. id÷ui tertii numeri innaturali
conscitutione duplus ẽ : id÷ ternarii: siuero quartum parem in spi¬
tias id÷̃ .uiii. quartinumeri id ÷ quaternarii duplus ÷ : itemq in c&e¬
ris in infinitum sumentibus sine aliquo impedimento procedit:
Triplices aut̃ nascuntur : si in eadem dispositione naturali : duo sem¬
ꝑ intermittantur & qui post duos sunt ad naturalem numerũ
comparentur excepto ternario: qui ut unitatis triplus sit so¬
lum binarium praemittit : Post unum enim &duo in sunt qui
triplus unius ẽ : Rursus post iui & u. Vi sunt qui secundi pumeri
id ÷ duorum triplus ÷: Rursus post Vsunt .iIIi. &uiir. & post hos
quiter tii pumeri id÷ ternarii triplus ẽ: atq hoc idem in infinitũ
siquis faciat sine ulla dubitatione procedit: Quadru plorum uero

Expanded text:
Horum ergo si primum sumas parem, id est 2, primi duplus erit, id est unitatis. Si vero sequentem parem, id est 4, secundi duplus est, id est duorum. Si vero tertium parem sumas, id est 6, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duo sunt ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum et duo, 3 sunt, qui triplus unius est. Rursus post 4 et 5, sunt 6, qui secundi numeri, id est duorum triplus est. Rursus post 6, sunt 7 et 8, et post hos 9, qui tertii numeri, id est ternarii triplus est. Atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vero
Abbreviated transcription (Latin):
aequaliter inchoans: aequaliterq: d&erminans: Idem autem dico
Numerat quod m&itur. sugitur bis solum maiorem Numerum
minor pumerus m&iatur : sub duplus uocabitur : siuero ter sub¬
gressio additaq: eossemper sub prae positione nominabis ut unus
duorũ, sub duplus Trium sub tripius .IIII. subqua druplus apell&ur
& consequenter: Cum autem paturaliter multiplicitas & sub¬
multiplicitas infinita sit : eorum quoq: species perproprias gene¬
rationes. in infinita consideratione uersantur: si enim positis in na¬
turali confitutione Numeris singulos persuas sequentias pares eligas
omnium ab uno parium adq: imparium sese sequentium duplices
erunt : & huius speculationis terminus deficit: Fonatur enim
Naturalis numerus. hoc modo

Expanded text:
aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subgressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, et hujus speculationis terminus non deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
collectio. uel quantitatis aceruus exunitatibus profusus. Huius igitur
prima diuisio est: imparem atq: parem: & par quidem est. qui potest in aequa

Expanded text:
collectio vel quantitatis acervus, ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in parem et imparem. Par quidem est, qui potest in equa
Abbreviated transcription (French):
plus: tertius secundi ses qualter Quartus tertii. ses qui tertius. scđm
eandem con uenientiam. quȩ superius de monstra taest

Expanded text:
plus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est
Abbreviated transcription (Latin):
numerus scđm basis ipsius angulos porrectus a Iq ultimus aggregatus : Namsite¬
trago nafuerit basis quadrata diminutione sem ꝑ ascendit. ł suꝑficiem ostendit. & sipe¬
tagona basissimili ter. & ga gona illa quoq ultima suꝑsi cieserit &agona : ergo incurta

Expanded text:
numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta
Abbreviated transcription (Latin):
Apientia profitetur : ł ssentiae autem gemine partes sunt una conti¬
na & suis partibus iuncta Nec ullis finibus diftributa Ut est arbor
lapis & omia mundi huius corpora quae propriae magnitudines ap¬
pellantur. Alia uero dis iuncta ase & desterminata partibus & qua si
aceruatim in unum redacta concilium ut grex: populus chorus acer

Expanded text:
apientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disjuncta a se, et determinata partibus, et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acer
Abbreviated transcription (Latin):
acluobus ꝓficiscitur : illum ternarius cre at quist loco in pari constituti quin¬
tum de inde siui deas . xui. &. lxxx irespicies: sed unus aquater nario nas

Expanded text:
a duobus proficiscitur, illum ternarius creat, qui sunt loco impari constituti. Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nas
Abbreviated transcription (Latin):
tur terminus. alius uero ad alium: ne cesse. ẽ habitudinẽ dis iunctã uocari. ut ad
ae qualitatem quidem ꝓportionis sunt ł. ĩ .ii.iiii .vIii. Isic enimsunt: quẽ ddmo dũ
quantita tem ueronumeri. ut sunt Ii .ii.iii. iiii. Iquam tum enim. unus aduobus
uincitur : tantum ternarius aqua ter nario superatur: & quanto .ii. unũ um¬
cuntitanto ternarium qua ternarius transit: ꝑmixtim &iam quanto unus
tribus minor ẽ. tanto hinarius quater nario: ues quantoter narius unitatem supe¬
rat : tanto binarium trans greditur quaternarius MaE a Pud anti quos¬

Expanded text:
tur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad tur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad aequalitatem quidem proportionis sunt, 1, 2, 4, 8; sic enim sunt quemadmodum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. CAPUT XLI. Qu
Abbreviated transcription (Latin):
ter minorum adse inuicem quae dem habitudo & quasi quo dã modo continen¬
tia quorum compositio qđ efficit ꝓprtionale ẽ : ex iunctis enim ꝓportionib:
ꝓportionalitas fit in tribus autẽ ter minis minima ꝓportionalitas inuenitur:
fit etiam in pluribus. sed longior: ut binarius ad unum . qm̃ duo sunt termini
duplã obtin& ꝓportionems siuero qua tuor contra duos conpares. & hic quoq¬
Est ꝓportionalitas ut dictum ẽ. collectio ꝓportionũ. in unumq redactio fit
& de inceps duplos qui secuntur sit in omnibus dupla proportionalitas : & ꝓporti¬
onibus duplis: Igitur quotiens unus aq idem terminus. ita duob circũ se
terminis cõmunicat ut ad unum duxit. ad alium comes : haec ꝓportiona litas
continua uocatur. ut unus duo. qua tuor est enim equalitas in his ꝓportionib
tres superant binarium. tantum binarius unitatem: & quantum .i. a duo bus
minor est . tantum binarius a ter nario supera tur: Sim uero alius ad unũ refer¬

Expanded text:
terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoqquatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit s 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refer
Abbreviated transcription (Latin):
latera a setantum uno sunt altera & una tantũ differunt unitate: quare dis ponant᷑ inor¬
dinẽ om̃s abuno impares & sub his om̃s ab unonũ mero pares

Expanded text:
latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares
Abbreviated transcription (Latin):
mediumeta medio ad tertium: Sint uero fuerint exbiduas tantum habebt̃
me dietates. ubi tertia in ueri non poterit. Scđm geumetri cã scilicet ꝓporcionẽ :

Expanded text:
medium, et a medio ad tertium. Si vero fuerint cubi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet proportione
Abbreviated transcription (Latin):
U trum iciunx macies orationis ad ea quae sunt caligiiantib impedita sententiis expe¬
dienda sufficiat. Qua inre michi alieni quoq iudicũ luga quaeruntur. Cuntax
utrarumq peritissimus litterarum possis g̾raiae orationis exꝑg̾ibus quantũ
denobis iudicarẽ audeant: sola tantum pronuntiatione prae scribere Atnon al

Expanded text:
Utrum jejunae macies orationis, ad ea quae sunt caligantibus impedita sententiis, expedienda sufficiat? Qua in re mihi alieni quoque judicii lucra quaeruntur, cum tu, utrarumque peritissimus litterarum, possis Graiae orationis expertibus, quantum de nobis judicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non al
Abbreviated transcription (Latin):
par uerosola dua litatendẽ sol&binarionumero: Nam ciuius cum que medietas unus ẽ.
ille in parest : cuius uero duohic paritate secepta ingeminei ae quadisiungitur.
Quare dicendumest in parem numerum eiusdem atq  insuase natura tenentis in¬
muta bilisq substantiȩ eẽ participẽ adcirco qđ ab unitate formetur: parẽ uero al¬
teri us plȩnũ ẽe naturae. id cir coquod adualitate conpletur: Q uod EXINTPA Ri
t uero positis inor dinem ab unitate in paribus & subbis adualitate paribus dsscriptis:
Acoaceruatiom parium tetragonos facit. coaceruatioparium superiores efficit par¬
tealtera longiores : quare qm̃ tetragonox hȩc natura est: ut e in paribus procreentur

Expanded text:
alitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. QuodAt vero positis in ordinem ab unitate imparibus, et sub his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur
Abbreviated transcription (Latin):
numerum est denominatur: E. tantãq: summam. quantitatis includit: quo¬
ta parsest. alter numerus pariter paris. illius quieam contin& quantitatis.
ltaq fit ut sibi partes ipse respondeant: ut quota pars unaest. tantam ha¬
beat. Altera quantitatem & quota pars istaest tantum in prioresum ma

Expanded text:
numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summa
Abbreviated transcription (Latin):
OSCRIETIO FIGURARŨ UME ROAUM IN OA DINE
imiliter aut̃ licebit & alia rum formarum quȩ pluribus angulis continen¬
tur. quanti tates ad scribere:. Sed qm̃ facilius oculis sub iecta retiner¬
tur. supra dictarum formarum numero sitas insub teriore descripcione ponat᷑¬
Hisigitur ita sese habentibus: quid in hac resit consequens uestigemus Om̃s e
tegagoni qui sub triangulis sunt natura liordinatione dispositi ex superiorib:
triangulis procreabunt᷑: illorumq collestione quadrati sigura componitur: Il lenĩ
tetragonus sit ex uno et trib: id est ex duobus superiorib triangulis: UIII uero ex tribus.
&e sex sed utriquesunt trianguli: at .x ui. ex decem &e sex: & xa .u. E .x.xxu Idemq in se¬
quentiordine quadratorum constans atq innu merabile repperitur: Penta gonorum

Expanded text:
scriptio figuratorum numerorum in ordine. Similiter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur, quantitates ascribere. Sed quoniam facilius oculis subjecta retinentur, supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatHis igitur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens investigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique sunt trianguli. At 16 ex 6 et 10, et 25 ex 10 et 15. Idemque in sequenti ordine quadratorum constans atque immutabile reperitur.
Abbreviated transcription (Latin):
erie tantum uel altitudini minuitur uel crassitu dini ꝓfondatis augetur. Aołq ideo
hos plerumque necesseẽ omnibus partibus in ae qualib: inueniri: Quidam uero hos
bomiscos uocantadẽ quas dantarulasquȩ in ionica grecia e regione. utait nicbmacus.
hoc modo formatȩ fuerunt. ut neq altitu do latitudini. nec haee longitudini con¬
uenirent : uocatur aut̃ aliis quibuscdã nominibus quȩ nunoꝑsequi suꝑua cuum iu

Expanded text:
erit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini conveniren
Abbreviated transcription (Latin):
perbinarium numerum multiplicatis imparibus procreati: Con¬
trariae uero eẽdicuntur. hae species numerorum. id est pariter pa
& pariter impar : quod in numero pariter impari. solã diuisionẽ
recipit maior extremitas : In illo uero solusminor terminus. secti¬
one solutus est : & quod in forma pariter paris numeri. ab extremitati
incipienti &usq: ad media progredienti quod contin&ur sub extremis
terminis. idem est illiquod contin&ur sub int̾rase positis summulis: atq
hoc idem usq dum ad duas me di&ates fuerit uentum indis positionib
scilic& paribus: si autem fuerint impares dispositiones quod ab una
medi&ate conficitur. hoc idem sub altrin secus posits partibus pro¬
creatur. atq hocusq dum ad extremitates progessio fiat: In ea enĩ
dispositione quae est.
idem reddunt. Ii. per .Xii
multiplicati. quod . iIII. per octonarium ducti: Utroq enim modo.¬

Expanded text:
per binarium numerum multiplicatis imparibus, procreati. Conper binarium numerum multiplicatis imparibus, procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par, et pariter impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione quae est idem reddunt 2 per 16 multiplicati, quod 4 per octonarium numerum ducti. Utroque enim modo
Abbreviated transcription (Latin):
hos siperbinarium numerum multiplices: efficies hoc modo: Uis unũ
idest duo. qui diuiditur quidem. sed eius partes indiuisibiles. reppe¬
riuntur propter in secabilis unitatis naturam: bistres bis .V. bis VII
bis uuiii. bis .xi. & deinceps ex quibus nascuntur . hi
XUIIII XII. quossidiuidas . unam recipiunt sectionem c&eram
repudiantes quod secunda diuisio abimparis medi&atepartis excli¬
ditur: His autem numeris a seinuicem : quater narii sola distantia est
ternarius. differentiam facit: Hunamq omnes quater naria se senume¬
rositate transcendunt: quodid circo contongit qm̃ primiqui positi sunt
id est eorum fundamenta binario senumerõ prȩtedebant : Quos qm̃
perbinarium multiplicamus: in quaternarium numerum creuit illa
progressio : uͦ enim perbis multiplicati : qua ternariam sum mam facient:
Igitur innaturalis numeri dispositione: pariter impares numeri qum¬
toloco ase distant solis .iIII. sepraecedunt : .IIͦI. in medio transeuntes

Expanded text:
rum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam. Bis 3, bis 5, bis 7, bis 9, bis 11, et deinceps, ex quibus nascuntur hi, 18, 22. Quos si dividas, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantia est.ternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt. Quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, hoc est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio. Duo enim per bis multiplicati quaternarii faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in medio transeuntes,
Abbreviated transcription (Latin):
mũ . ita differentia maioris ad me duac par uissimi conparatur. Per pensi
nãq duodecim ad airdupli sunt: differentia uero .xii. Ioctonarii quaterna¬
rius est : octo narii uero & senarii .ii. dupla aut̃ rati one distabt̃ luo bus
quatuor conparati. Rursus octonarius qͥ me dietas est alia su parte mi¬

Expanded text:
mum, ita differentia majoris et medii ad parvissimam comparatur. Perpensi namque 12 ad sex dupli sunt, differentia vera 12 et octonarii quaternarius est, octonarii vero et senarii duo, dupla autem ratione distabunt duobus quatuor comparati. Rursus octonarius, qui medietas est, alia sua parte mi
Abbreviated transcription (Latin):
redactae totum partibus corpus ae quabunt: xxuiii. enim iunc¬
st autem in his quoq numeris: magna similitudo uirtutis &
Quitii: Perfectos enim numeros: rarenter inuenies: Eosque
facile numerabiles. quippe qui paucisint. & nimis constantior¬
dine procreati: at uero superfluos. ac diminutos. longe multos
infinitosq rep peries: Nec ullis ordinibus passim in ordinateq
dispositos & anullo certofine generatos: Sunt autem perfecti nu
meri intradenarium numerum .vi: intracentenarium . xxuiii:¬

Expanded text:
redactae, totum partibus corpus aequabunt, 28 enim juncEst autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros raro invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunmeri intra denarium VI, intra centenarium XXVIII
Abbreviated transcription (Latin):
subripi&. Eadem tamen summarum supergressio ẽ In hoc qq̃ q̃ induplicibus fuit
rimus enim primum id ternarius binarium uno superat. Secundus u scđm duob:
& eodem c&eros ordine consecteris sosquitertia comparatio colligitur. ut uii ad iu

Expanded text:
subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundumet eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad
Abbreviated transcription (Latin):
contineitur subduabus extremitatibus minus est. eonumero quiex me die tate
conficitum tantũ quantum possunt duȩ subse difforentiȩ continere quae inter ip¬
sos sunt ter mi nos constitutȩ Pona mus enimtres terminos huius modi ui.u
uIII Sugitur tres septies augeatur in xxinumerũ cadunt. Quod simeoli ũter¬
minũ idẽ .u. in semet ipsum multi plicaueris quinqui es quinq faciunt xxv
E hic nu merus ab eo quẽ &tremitates colle gerunt qua ternario maior
ẽ. quẽ scilicet differentiȩ conficiunt: int̾rerefenm & quinq & .uii. bim inter¬
sunt. quo insemultipli ces iiii reddunt bis enim .ii. .iiii.fiunt. Recte igitur chi¬
tum ẽ in hachinus modi dis positione : qđ conti netur sub extremita tibus
minus eẽ illo numero qͥ fit ex me dietate tantum: quantum diffe¬
rentiȩ in semulti plicateres titu unt
uar tum uero pro prium huius modi
dis positionis notatur: qđ anti quio¬
res quoq habuere notissimũ qđ in hac pro por¬

Expanded text:
continetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres septies augeantur, in 21 numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt 25. Et hic numerus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario major est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos si in sese multiplices 4 reddunt, bis enim duo, quatuor fiunt. Recte igitur dictum est, in hac hujusmodi dispositione quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. Quartum vero proprium hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac propor