comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
minor quam.R. ad .n. quare ꝑ qͥntam qͥnti erit .b. ad .in. minor
ppͦ. qͣm ẽ ad n. ꝑ eandem gͦ dupli .b. ad .m. minor ppͣ. qmͣ dupli c.
ad .n.⁊ quia compositus ex .a. ⁊c. suꝑat duplum . b. qntũ est .in.¬
⁊ similit̾ compositus ex .b. ⁊ẜ. excedit duplum . e. qͣnt̃ est .ni.
Itaq ex his que inscd̃o digesta sunt argumĩtum elice.

Expanded text:
minor quam k ad n. Quare per quintam quinti erit b ad m minor proportio quam e ad n. Per eandem ergo dupli b ad m minor proportio quam dupli e ad n. Et quia compositus ex a et c superat duplum b quantum est m et similiter compositus ex d et f excedit duplum e quantum est n, itaque ex hiis que in secundo digesta sunt argumentum elice.
Abbreviated transcription (Latin):
res. terciorum primus par. et eos seq̃n¬
tes impares ac sic deiceps. duplo q qͣdͣti
parum et quadrato extremi imparium
tetragoni triangulares t̾minentut¬
Sumantur quilibet duo quoꝵ umis et minor quadratꝰ
alter ꝓꝯmus. parte altera longior. exit q quadratꝰ cocicer¬
liatus. ex aliquot imparib quoꝵ numerꝰ erit latus ip̃ius :
Qum autem ꝑte altera longior sit eo maior quia ip̃e ex pa¬
rib abuntate ꝓuenit: mims q latus eius ipsoꝵ mimerꝰ
qd̾ enami erit latus qͣdrati: tonidem gͦ pares quot imꝑes.
erit q ultiimis parium suꝑans uno u̾itanim imparium.
quare usq ad ilsum parem erunt omnes mimeri ab uinta¬
te sumpti. Qͦd si quãdratus sit maior: er̃t hac racõe ĩꝑes.
usq ad ilłum sunt omnes num̾i ab unitate in ipsis sũp̃ti.
quare nłi ꝯ iuncͥti cõpoñt t̃angularem. ⁊ sic õs tͥaniꝰ sic̃ptosẽ¬

Expanded text:
res, tertiorum primus par et eos sequenres, tertiorum primus par et eos sequentes impares ac sic deinceps duploque quadrati parium et quadrato extremi imparium tetragoni triangulares terminentuSumantur quilibet duo quorum unus et minor quadratus, alter proximus parte altera longior. Eritque quadratus coacervatus ex aliquot imparibus quorum numerus erit latus ipsius. Cum autem parte altera longior sit eo maior quia ipse ex paribus ab unitate provenit minusque latus eius ipsorum numerus, quod etiam erit latus quadrati. Totidem ergo pares quot impares eritque ultimus parium superans uno ultimum imparium. Quare usque ad illum parem erunt omnes numeri ab unitate sumpti. Quod si quadratus sit maior, erunt hac ratione imparusque ad illum sunt omnes numeri ab unitate in ipsis sumpti. Quare illi coniuncti compon
Abbreviated transcription (Latin):
Atq .l. est temꝙͣ quadratum .b. ⁊ quadiuplum quadrati .a. et
quadruplum ꝓducti ex.a.in.b.ꝑ.xuii. ⁊ xii. pͥmi dempcis .gͣ.
cõmunib. remanebunt. de quadrato .d. duplum quadrati. a. ex
de duplo quadrati .c. quadratium .b. s ⁊ quia duplum quadititi .a.
minus est uno. quam quadratum .b. patet quadratum .d. minus ẽẽ
uno. auadruplum quadrati .c. Ronstat gͦ. qd̾ .l. in k ꝑdunit tͥ aa¬
gularem. S ⁊ tetragonum.ꝑ.xiiii. sexti. Simili quoq racõne et
ꝑ .ea. que hic firmata sunt arguetur quadratum f uno esse maiꝰ
qmͣ duplum quadrati.c. sed et quadratum .h. uno esse nimus
qra duplum quadrati. g. Sic q ex eis triangulares tetragonos
procieari: et sicm Reliqui oe ceatigono
Ss umantur primi post unitatem par
et impar. et composito ex ipsis minor ad¬
datur. Itemq ex illis confecto ipsoꝵ
minimus adiciatur. erit ut cum pͥmoꝵ
primus sit par: sint sequentes impa¬

Expanded text:
Atque l est tanquam quadratum b et quadruplum quadrati a et Atque l est tanquam quadratum b et quadruplum quadrati a et quadruplum producti ex a in b per xviiam et xiiiam primi. Demptis ergo communibus remanebunt de quadratod duplum quadrati a et de duplo quadrati c quadratum b. Sed et quia duplum quadrati a minus est uno quam quadratum b, patet quadratum d minus esse uno quam duplum quadrati c. Constat ergo quod l in k producit triangularem. Sed et tetragonum per xiiii1 "1 sexti. Simili quoque ratione et per ea que hic firmata sunt, arguetur quadratum f uno esse maius quam duplum quadrati e, sed et quadratum h uno esse minus quam duplum quadrati g. Sicque ex eis triangulares tetragonos procreari. Et sic in reliquis. § xi sumantur primi post unitatem par et impar et composito ex ipsis minor addatur itemque ex illis confecto ipsorum minimus adiciatur, erit ut, cum primorum primus sit par, sint sequentes impa
Abbreviated transcription (Latin):
q ⁊ fe addatur .e. ⁊ fiat .h. dico itaq a. esse parem ⁊ b. imparem ꝙ
imparem per quartam ⁊ tertiam quinti. atq .g. ⁊ h. impares. et edo
ordine in reliquis. Qͦd it̃ quadratus .a. duplicatus ⁊̾ miniat tetiagũ
hinc constat. Qͦmam enim duplicata unitas constituit .a. ip̃e qꝙ
bis sumptus suum ꝑficit quadratum. Duab gͥ unitatib a suo dis¬
ans quadrato. unum solum suscipit medium. id÷ .b. Itaq ꝑ icd̃m pͥ¬
mi. ⁊ ustnmm concepciõm et᷑. quadatum . b. qͣñtam q̃dratũ suum
dupplicatum cum adiect̾ione unuis. Qͥ diatum itaq .a. in qͣdratũ
.b. ꝓducit tͥanguiarem cuius latus duplum. quadrati .a. Itẽq
retragonis ꝑ xiiii. sexti. Sinatur item quadratum .c. qd fit .ł.¬
⁊ quãdratum .d. ꝙ fit .I. dico autem R. duplicatum exced̾e .l. uno¬
& uadratum etenim .c. duplicatũ ⁊ tamquam duplum quadrati
.b. ⁊ duplam quadrati. a. ⁊ qd. fit exb. in a qͣntum ꝑ .xiiii. pͥmi

Expanded text:
Sed et g addatur e et fiat h. Dico itaque a esse parem et b imparem, quod t f imparem per quartam et secundam septimi atque g eth impares et eodem ordine in reliquis. Quod item quadratus a duplicatus terminat tetragonum hinc constat. Quoniam enim duplicata unitas constituit a, ipse quoque bis sumptus suum perficit quadratum, duabus igitur unitatibus a suo distans quadrato unum solum suscipit medium idest b. Itaque per secundam primi et ultimam conceptionem erit quadratum b quantum quadratum suum duplicatum cum adiectione unius. Quadratum itaque a in quadratum b producit triangularem cuius latus duplum quadrati a. Idemque tetragonus per xiiiiam sexti. Sumatur item quadratum c quod sit k et quadratum d quod sit l. Dico autem k duplicatum excedere l uno. Quadratum etenim c duplicatum est tanquam duplum quadrati b et duplum quadrati a et quod fit ex b in a quater per xvam primi.
Abbreviated transcription (Latin):
Si abunitate continue designent᷑ ꝑte altera
longiores et quadrati: duo ⁊ duo coniuncti
tͥangulares omnes conficient. ¶uluci si pͥ

Expanded text:
Si ab unitate continue designentur parte altera longiores et quadrati, duo et duo coniuncti triangulares omnes conficient. Sumantur
Abbreviated transcription (Latin):
artes a duob numeris. Dicte sic se habent
ad partem a uumero ex eis compõito
denominatam sicut quadratum compositi ad
nunerum qui ex ductu unius eoꝵ in alterũ

Expanded text:
artes a duobus numeris dicte sic se habent ad partem a numero ex eis composito denominatam sicut quadratum compositi ad numerum qui ex ductu unius eorum in alteru
Abbreviated transcription (Latin):
cumdem ẽẽ parte alt̾a longiorem: patens est ex descͥpcione. aed aũtt
ꝑte. alt̾a longioris. ad quemlib quadratoꝵ differencia sit ip̃nis qͣdrati
latus. ꝑ .xiii. ⁊ .xiiii. primm arguitur.
E disposicis ab unitate numeris quadratis medii
ꝓporcionaliter int̾ ꝓximos quosq sumantur: fiẽt
omnes parce altera longiores. et cuuissibet illoz
ad illos differ̃am lateri suo equalem esse constab̃.¬
qunitas quidem est potencia quad̾ratus. bmarius parte alt̾a longior.
int̾ duos quosq parte altera. ꝑ p̾missam gͥ. cum int̾ qioslibet qͣdia¬
tos. medius sit ꝑte alt̾a. longid Et int̾ duos quoso ꝑte alt̾a lõgiorẽi¬
quadratum esse constat. auus ad utrumq uioꝵ equalis est distancia
ꝑ alt̾am ꝑtem p̾nisse. bini ħ̃ gͦ. ⁊ binis ꝓximis conunc̾tis compositoꝵ
dimidia. erunt omnes quadrati ab unitate. ꝑ scd̾am primi
Ssumant̾ ab unitate numeri parte altera lon¬
giores ꝓximis quib coniunctis dummidiis coniuncto¬

Expanded text:
eundem esse parte altera longiorem patens est ex descriptione. Quod autem parte altera longioris ad quemlibet quadratorum differentia sit ipsius quadrati latus, per xiiiam et xiiiiam primi arguitur.  dispositis ab unitate numeris quadratis medii proportionaliter inter proximos quosque sumantur, fient omnes parte altera longiores et cuiuslibet illorum ad illos differentiam lateri suo equalem esse constabUnitas quidem est potentia quadratus, binarius parte altera longior, inter duos quosque parte altera per premissam. Igitur cum inter quoslibet quadratos medius sit parte altera longior, et inter duos quosque parte altera longiorequadratum esse constat cuius ad utrumque illorum equalis est distantia per alteram partem premisse. Binis ergo et binis proximis coniunctis compositorum dimidia erunt omnes quadrati ab unitate per secundam primisumantur ab unitate numeri parte altera longiores proximis quibusque coniunctis dimidiis coniuncto
Abbreviated transcription (Latin):
inde erunt de acceptis pariter imparib Sicq int̾ bmos ⁊ mediꝰ
eos constituere pariter parem qui sit d. Si gͥ.b. fuerit pariter par
factum est ꝓpositum. Sin autem ꝓximus sub .d. parit̾. par sit .e.
⁊ cͥca ip̃m duoꝑit̾ impares. ⁊ alii duo cͥa ipsum. d. Item q conti¬
nue circa omnes pariter pares ascendendo donec numerus eorum
sit ut diffr̾a .b. super .a. que est par. orͥa gͥ duo qui sunt cͥca .e. ft̃
ut eius duplum. qd̵ est .d. ip̃i cum .d. facient duplum eus. Et de¬
inde qui circa.d. facient etiam ipĩus duplum. Qre omnes simul
duplum dupli. ⁊ sic continue compositus semꝑ de duplis ip̃oꝵ qͣre
pariter par ut proponitur¬

Expanded text:
inde erunt de acceptis pariter imparibus. Sicque inter binos et inde erunt de acceptis pariter imparibus. Sicque inter binos et eos constituere pariter parem qui sit d. Si igitur b fuerit pariter par, factum est propositum. Sin autem, proximus sub d pariter par sit e et circa ipsum duo pariter impares et alii duo circa ipsum d. Itemque continue circa omnes pariter pares ascendendo donec numerus eorum sit ut differentia b super a que est par. Quia igitur duo qui sunt circa e sunt ut eius duplum quod est d, ipsi cum d facient duplum eius. Et deinde qui circa d facient etiam ipsius duplum. Quare omnes simul duplum dupli et sic continue compositus semper de duplis ipsorum quare pariter par, ut proponitur
Abbreviated transcription (Latin):
tes sunt impares erit quoq ⁊ medietas compositi par qm̃¬
num̾us eoꝵ ꝑ quartam huius. Eum gͦ compositus non sit
pariter impar: erit parit̾ par uelimpariter par.
Si pariter impares numero pares coniun¬
pariter impar. Nno quidem sub lcito reliqui coa
conclude
Sint pariter pares .a . b.c. d. Maxmins . d. anus duplus sit
.e. ꝑ.xxx.ii. itaq p̾sentis omnes illi comunt̾ti minus sũt
.e. cumq post .d. proximus sit pariter. par .e. non erit ex eis
confectus pariter par. Erit gͥ impariter par. ꝑ.xliii. huiꝰ.
qm̃i medietas eius par que ex alioꝵ medietatib conficit᷑¬
Si diuersi pariter pares quotlibet supra
binarium sibi aggͤgentur confectus ex
unitates iñ eius dimidio. tot continuent᷑ pariter impares ab
unitate ꝑximus q ascendendo pariter par sit .c. arca quem hinc
⁊ inde sumantur pariter imꝑares scdm dimdumi .a. ut omnes sit
sub numero. A. ⁊ quia .c. non est pariter impar ꝓximi pares hĩc

Expanded text:
tes sunt impares, erit quoque et medietas compositi par, qunumerus eorum, per quartam huius. Cum ergo compositus non sit pariter impar, erit pariter pSi pariter impares numero impares coniunpariter impar. Uno quidem sublato reliqui coacconclude. Sint pariter pares a b c d, maximus d cuius duplus sit e. Per xxxiiam itaque presentis omnes illi coniuncti minus sunt e. Cumque post d proximus sit pariter par e, non erit ex eis confectus pariter par. Erit igitur impariter par per xxxvii,m : huius quoniam medietas eius par que ex aliorum medietatibus conficitSi diversi pariterpares quotlibet supra binarium sibi aggregentur, confectus ex unitates in eius dimidio tot continuentur pariter impares ab unitate proximusque ascendendo pariter par sit c circa quem hinc et inde sumantur pariter impares secundum dimidium a ut omnes sint sub numero a. Et quia c non est pariter impar, proximi pares hinc
Abbreviated transcription (Latin):
nĩ. dei rincetem duo. qui sint g. ⁊ .h. et auia. s̃ in .e. quodẽx
uuitas in.f. ⁊ similiter.e.in.Aerit ut .s. m se ductus faciat. Riẽt
i ẽ fadiat .a. quare .a. est cibus eadem quoc racione. ⁊ . d auibꝰ
esse ꝓbabit᷑.¬
bunt  .b. et lacera eorum .c. d. ducatur.q .c. in. d. ⁊ fiat.a.
ad .d.ꝑ.uiii. eiusdem. erit .a.: ad.ẽ. sicut .e. ad .b. qͣre a. ad.b⁊
tamqͣra .c. cłd. d. dupplicata
Omnis quadrati ad quadratum est tamqͣm la¬

Expanded text:
nter d et unitatem duo qui sint g et h. Et quia f in e quotiens unitas in f et similiter e in a, erit ut f in se ductus faciat e et in e faciat a. Quare a est cubus. Eadem quoque ratione et d cubus esse probabitnt a b et latera eorum c d. Ducaturque c in d et fiat e. d per viiiam eiusdem, erit a ad e sicut e ad b. Quare a ad b tanquam c ad d duplicataOmnis quadrati ad quadratum est tamquam la
Abbreviated transcription (Latin):
Csubue est numerus solidus in equalib consistẽs
laterib. Similes dicantur num̾i suꝑficiales si¬
ue solidi quoꝵ latera sunt ꝓporcionalia.
medius ꝓporcionaliter inter .a. ⁊ unitatem qui sit . d. ⁊ unus itc
et irudadem ciui sit. e. ⁊ qua.d. est in .a. quociens innitai. m. ecõ¬
steit qdi. dcera se ꝓdiut.a. trit ergo .a. qadiatus ex descͥpcõne
Erit similiter et .c. quadratus. ⁊ hoc ÷ ad̾ subditur.
sua proporcione minimi duo extremi erunt qͣd̃t

Expanded text:
Cubus est numerus solidus in equalibus consistens lateribus. ‹vii› Similes dicuntur numeri superficiales sive solidi quorum latera sunt proportionalia.medius proportionaliter inter a et unitatem qui sit d et unus inter c et unitatem qui site. Et quia d est in a quotiens unitas in d, constat quod d in se producit a. Erit ergo a quadratus ex descriptione. Erit similiter et c quadratus. Et hoc est quod subditur. sua proportione minim
Abbreviated transcription (Latin):
numerum. pͥmum ꝓducat .c.
am sit nim̾ius ꝑfccͥus. ducatur. item .a. in .d. qui sit inmor .b. nec
num& .a. ⁊ ꝓuenielt .e. quem dico esse habundantem. pͥmũ cõ¬
stabit qd̾ mullus ĩ alium ductus . ꝓducit .c. nisi alt̾ nim̾iet.a. ł sit
A. Sit. emm ut .ex.f.in.g. fiat .c. ⁊ quia ꝑ qͣrcam t̾cii alt̾um nu¬
n. er̃t partes .c. nisi unitas ⁊. a .⁊.b. Si compositus sint ꝑtes eiꝰ¬
gͥ habundet .c. suꝑ .b. in .n.o. qntum ÷ a.h. R. l. sit ut .d. addat
minor .c. additis itatp .a. h. R.i. suꝑ .d. p. q.r. ꝓueniet mauis .e.
Q re .e. est numerus habundans.

Expanded text:
numerum primum producat c qui sit numerus perfectus. Ducatur item a in d qui sit minor b nec numeret a et proveniet e quem dico esse habundantem. Primum constabit quod nullus in alium ductus producit c nisi alter numereta vel sit a. Sit enim ut ex f in g fiat c. Et quia per quartam tertii alterum nunon erunt partes c nisi unitas eta et b. Si compositus, sint partes eiuigitur habundet c super b m n o quantum esta h k l, sit ut e addat minor c. Additis itaque a h k l super d p q r proveniet maiuse. Quare e est numerus habundans.
Abbreviated transcription (Latin):
Ei adoat aliqua ꝓporcio. super alteram qͣntum ter¬
ca sup quartam erit ut composta er ppina et
cuiarta composite ex reliquis sit equalis si ꝓporciõnsi
a. ad b. addantur ĩnequales due. quaꝵ maior sit .c. ad.d. et mi¬
nor e. ad .F. Ducatur itaq .b. in .c. ⁊ ꝑsieniat .g. ⁊c. in a ⁊ fiat
et .b. in d. ⁊ fiat. K. erit q g. ad .h. sicut .a. ad.b. Itemq .h. ad
k sicut .c. ad .d. ꝑ .uii. sod̾i. ducatur iteme momines ⁊tlos. et ꝑdu¬
cantur .a. in .ii. s ⁊ ẜ. ducatur in .a.⁊ ꝓueniat ⁊. Constat gͥ e̾ciã
t. sicit.e. ad.f. Oͦuiam gͦ ꝓpo .t. ad .n .e. diffr̾a cam additaꝵ.

Expanded text:
i addat aliqua proportio super alteram quantum tertia super quartam, erit ut composita ex prima et quarta composite ex reliquis sit equalis. Verbi a ad b addantur due inequales quarum maior sit c ad d et minor e ad f. Ducatur itaque a in c et proveniat g et c in b et fiat h et b in d et fiat k. Eritque g ad h sicut a ad b. Itemque h ad k sicut c ad d per viiam secundi. Ducatur item e in omnes illos et producantur f m n. Sed et f ducatur in h et proveniat. Constat igitur etiam t sicut e
Abbreviated transcription (Latin):
scd̃s ab unitate fuerit par: reliquos omnes
pares esse. Red si idem fut imper reliquos etã¬
AX
impares esse necẽe est.¬
impares: coniuncti faciẽt
mi Alt̾a ꝑs sic. Si enim int̾ceos est meduis idem dupplicatꝰ ẽ tãmꝙͣ
illi coniuncti. Per primam partem enisdem. duplus autem illuis
cum sit par. Si alter illoꝵ fuit par erit ⁊ reliqpuuis. ꝑ .ui. huiis. Si
Ht̃ quoslibet duos quoꝵ uterq uel par uel in¬
par unus est medius. Qͦd si unus fuerit in¬
ter eos medius: erunt utriq uel pares uel im

Expanded text:
dus ab unitate fuerit par, reliquos omnes pares esse. Quod si idem fuerit impar, reliquos etiam impares esse necesse est.impares, coniuncti facient mi. Altera pars sic: Si enim inter eos est medius, idem duplicatus est tanquam illi coniuncti per primam partem eiusdem. Duplus autem illius cum sit par, si alter illorum fuerit par, erit et reliquus per viam huius; si  quoslibet duos quorum uterque vel par vel impar unus est medius. Quod si unus fuerit inter eos medius, erunt utrique vel pares vel im
Abbreviated transcription (Latin):
Sunt aucidrati cubici. a.⁊ .b. patet. gͦ. ex corollario qͣre hꝰ
qd̃ ⁊ umus ⁊ duo erunt int̾ eis continie ꝓporcionales. ⁊inus sit .c. ⁊
duo.d.e. ducatur itaq. a.nb. ⁊fiat .f. quem constat esse cubĩ
ꝑ xui. p̾sentis. S ⁊ idem eritquadratus .c. ꝑ.xxiiii. scd̾i. ꝑ p̾mista
g. erit .c. cbus. Qed autem d.⁊ e. sint quadrati: constaibit ꝑxx.
hunis bis sumptam eo qd̾ a. ⁊ b. simt quadrati

Expanded text:
Sint quadrati cubici a et b. Patet ergo ex corollario quarte huius quod et unus et duo erunt inter eos continue proportionales. Unus sit c et duo de. Ducatur itaque a in b et fiat f quem constat esse cubum per xviam presentis. Sed et idem erit quadratus c per xxviam secundi. Per premissam ergo erit c cubus. Quod autem d et e sint quadrati, constabit per xam huius bis sumptam eo quod a et b sunt quadrati.
Abbreviated transcription (Latin):
est necessarium ¶Cmuslibet enim imparis ad unitatẽ
diffr̃a est numerus par. Unue medie
łi ailsumat᷑ diffr̾a alicuiꝰ num̾i ad unitatem: erit relqͣ medie¬
tas diffr̃a dati imꝑaris ad eimudem ꝑ concepcionem. qͣre ider in
eos erit mediit sic q patet pars prima. Alt̾a sic. Si enin fu̾it me¬
dius. qm̃ eanalet sunt differ̃e erit ut ꝑ conceptum difr᷑a dati nãi
INter quemlibet imparem ⁊ unitatem unꝰ ÷
medius idem q est maior ip̃ius ꝓporcio. Qod
si int̾ unitatem ⁊ ipsum medus exciterit. ꝙͣ¬
libet numerum imparem esse conueniet.

Expanded text:
eniet. Cuiuslibet enim imparis ad unitatem differentia est numerus par. Cuius medietas si assumatur, differentia alicuius numeri ad unitatem erit, reliqua medietas differentia dati imparis ad eundem per conceptionem. Quare idem inter eos erit medius. Sicque patet pars prima. Altera sic: Si enim unus fuerit medius, quoniam equales sunt differentie, erit ut per conceptionem differentia datiInter quemlibet imparem et unitatem unus est medius idemque est maior ipsius portio. Quod si inter unitatem et ipsum medius extiterit, quemlibet numerum imparem esse conveniet.
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ numeri eas denominantes . de.ẜ. Inuemiat᷑. gͥ. minor muerꝰ ꝙ̃
num̾ant. d.e.f. ⁊ sit .g. numerent ꝙ eum scd̾m .h. k.l. Sit q ꝑs
.a .g. dicta .m. patet gͥ ꝑ p̾missam in. numerare ⁊ a. ⁊ b.⁊.c.
acceptas manifestum est equales esse a .b.c. ⁊ hoc ÷ qd̾ erat ꝓposit̃.

Expanded text:
 numeri eas denominantes d e f. Inveniatur igitur minor numerus numerant d e f et sit g numerentque eum secundum h k l. Sitque pars a g dicta m. Patet igitur per premissam m numerare et a et b et c. acceptas manifestum est equales esse ab c. Et hoc est quod erat propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
se duccus faciãt .b. ⁊ .f. in se ꝓducat .e. atq .c. ⁊ .t. ducti. ĩ b.
⁊. e. ꝓducunt.a. ⁊ d. Ducc̃o .gͥ.c. in f. fiat .g. aoq .c. ⁊ f. itẽ
aderet stem ꝙ a adih. sicut .h. ad .i. ⁊ ł. ad .d. hoc qͦ ꝓbato mã¬
nifestum est qd̾. dr̃.¬
ꝯtinue
ꝓporcionales a .b.s.d. ⁊ minimus quem nuin̾ant. ab. sit .e.
Et minimus quem nuimerant. b ⁊ d. sit .f. minimus quoq ꝙ̃
numerant .c.4.d. sit .G. Dico gͦ. qd̃ .e.f.g. sunt continue ꝓpor¬
cionales. Sumantur minum ꝓporciones que .e. ad .b. suitq t .s.
mꝯanifestum igit᷑ ꝑ .xxiiii. tertii. qd̾. a .b.c. mimerant. e f .g. sid̾m
itur qd̃ ꝓpositum est.

Expanded text:
us faciat b et f in se producat e. Atque c et f ducti in b et e producunt a et d. Ducto igitur c in f fiat g atque c et f item ad e. Itemque a ad h sicut h adl et l ad d. Hoc quoque probato manifestum est quod dcontinue proportionales a b c d et minimus quem numerant a et b sit e et minimus quem numerant b et c sit f, minimus quoque quem numerant c et d sit g. Dico ergo quod e f g sunt continue proportionales. Sumantur minimi proportionis que est a ad b sintque t s. Manifestum igitur per xxiiiiam tertii quod abc numerant e fg secundum itur quod propositum est.
Abbreviated transcription (Latin):
I fuerint tres mimeri in hac medietate dispõiti:
extremoꝵ eciam medii ad diffr̾am: eandem eẽ
ꝓporciõm impossibile. Maiorem uero siue mi

Expanded text:
i fuerint tres numeri in hac medietate dispositi, extremorum et medii ad differentiam eandem esse proportionem impossibile. Maiorem vero sive mi
Abbreviated transcription (Latin):
reductione non potest hoc semꝑfieri. primo enim młtipli¬
ces qͦaens possunt decrescunt in singu̾lis reductionib uno
cum tamen denomina co ꝑcium uł partis. sit semper eadẽ.
cũꝙ plus non possunt decresc̾e nelinti srb. sit ad a duplu
sesqualt̾m. dempto.a. er̾.f. ad .e. sesqualter̃. Modꝰ autem
reducendi idem. qui ⁊ ĩ p̾missa.
Multiplices suꝑparticulares in super parti¬
culares et mltiplices superpartientes in suꝑ¬
partientes resolues.

Expanded text:
reductione non potest hoc semper fieri. Primo enim multiplices quotiens possunt decrescunt in singulis reductionibus uno cum tamen denominatio partium vel partis sit semper eadem. Cumque plus non possunt decrescere veluti si b ad a sit duplum sesquialterum, dempto a erit f ad e sesquialterum. Modus autem reducendi idem qui et in premissa. Multiplices superparticulares in superparticulares et multiplices superpartientes in superpartientes resolve
Abbreviated transcription (Latin):
tesquastera. qm̃ ille compomunt duplam. erit gͦ residua suꝑ¬
feutiens ut ꝓponitur. Sit it int̾a.⁊ b. quelibet que est a dup
sesqualtera. qua maior sexqutt̾tia duplicata ⁊ id̾o suꝑparcieus

Expanded text:
sesquialtera. Quoniam ille componunt duplam, erit ergo residua supsesquialtera. Quoniam ille componunt duplam, erit ergo residua superpartiens ut proponitur. Sit item inter a et b quelibet que est a duplsesquialtera, quia maior sesquitertia duplicata, et ideo superpartiens
Abbreviated transcription (Latin):
.b. minor.A. Compositus ex eis fit .c. cui addatur a ⁊ ꝓuemat .d.
quo maior sit unitate. Ducantur itaq .a.ꝑ. b. in .d. ⁊ ꝓueniãt
ẜ ⁊ .u. atq .a. ducatur in .e. ⁊ fiat .h. erit q h. ad .f. suꝑꝑticulis
aũt ⁊ .x. t̾cũ. erit .c. primus ad .g. quare neq mmiabit g. n
H. erit itaq .g. ad.h. suꝑ ꝑciens. Cumq h. ad .f. sit suꝑꝑticu¬
laris. atq ẽ. ad f. sicut .b. ad .a. facc̾m est ꝓpositum. Sit itẽ
biꝑꝑciens int̾.a. pb. qui cum sint minimi: erunt ꝯtͣ sẽ pͥui
ducatur itaq .b. in se. ⁊ in .a. ⁊ ꝓueniant .c. ⁊ .d. atꝙ .c. addat᷑
.a. ⁊ fiat .e. num̾abit qr .a .e. scd̃m numer̾ imo maiorem R.
qui qm̃ est. ad .b. primis erit et .e. pͥmus ad .d. ⁊ ꝑ .x. t̾cii. et qͥa
diffr̾a eoꝵ est unitate maior: er̾. d. ad .e. suꝑꝑciens. It̃q .e. ad
.c. suꝑꝑticularis sic q constat int̾cao: Sit autẽm int̾. a. ꝑ.b. du¬
pla ꝵ̾. aqͣ. si det̾hat mĩor seluit̾aa relnquetur maior ũus

Expanded text:
int a et b, minor a. Compositus ex eis sit c cui addatur a et proveniat d quo maior sit e unitate. Ducantur itaque a et b in d et proveniant f et g atque a ducatur in e et fiat h. Eritque h ad f superparticularis autem et xam tertii erit c primus ad g. Quare neque numerabit g neque h. Erit itaque g ad h superpartiens. Cumque h ad f sit superparticularis atque g ad f sicut b ada, factum est propositum. Sit item superpartiens inter a et b qui, cum sint minimi, erunt contra se primi. Ducatur itaque b in se et in a et proveniant c et d. Atque d addatur a et fiate numerabitque a e secundum numerum uno maiorem b. Qui quoniam est adb primus, erit et e primus ad c per x3 TM tertii. Et quia differentia eorum est unitate maior, erit c ad e superpartiens. Itemque e ad d superparticularis sicque constat intentio. Sit autem inter a et b dupla proportio a qua si detrahatur minor sesquitertia, relinquetur maior quam sit
Abbreviated transcription (Latin):
duplus bmaris. qui est pariter par scdm dimidium dimidii. qui si fu¬
erit impar numerus sufficit. Sin autem diuidatur tociens donecce¬
currat impar. Et auociens hoc sub diniso facta est. tociens ab unita¬
te fiat pariter parium duplacid. Sic ꝙ ꝑ xxu. scd̾i sumpto pemltimo
pariuni ⁊ ꝑ xxiii presentis argue.
O mins im pariter par fit ex pariter pare:in
pariter imparem. Unde qd̃ omnem impariter
parem numerat pariter par impariter.

Expanded text:
duplus binarii qui est pariter par secundum dimidium dimidii. Qui si fuerit impar numerus, sufficit. Sin autem, dividatur totiens donec occurrat impar. Et quotiens hec subdivisio facta est totiens ab unitate fiat pariter parium duplatio. Sicque per xxvam secundi sumpto penultimo parium et per xxxiiiam presentis argue. Omnis impariter par fit ex pariter pare in pariter imparem. Unde patet quod omnem impariter parem numerat pariter par impariter.
Abbreviated transcription (Latin):
omines erunt impares per scd̾am huuis. oꝰ d autem non sit ĩꝑ.¬
p̾ter ulos sic ꝯstat. Si. enim ess ponatur. Cui addita ⁊ demptaᷤ
unitate. hebis duos pares hinc inde ab eo eque distantes. pote
scd̾am .gͥ ⁊ quartam prĩmi er̃t medietates eoꝵ equales ulli. S
Q ille u̾nitate a se distant ꝑatet illum eẽ. ium imparium
sic argue.
Si numeroꝵ ab unitate ordine natura¬
li dispositoꝵ duo ⁊ duo continue coniung

Expanded text:
omnes erunt impares per secundam huius. Quod autem non sit iter illos sic constat: Si enim esset, ponatur cui addita et dempta unitate habebis duos pares hinc inde ab eo eque distantes. Per secundam igitur et quartam primi erunt medietates eorum equales illi. Sed quia ille unitate a se distant, patet illum esse unum aliorum imparium.i argue. Si numerorum ab unitate ordine naturali dispositorum duo et duo continue coniung
Abbreviated transcription (Latin):
in ordine sumantur. sed ipsis ꝓporcionib conseꝙ̃¬
erit. maioris u̾o ad minus. numerꝰ scd̃m quem eũ
continet et ꝑs uł ꝑtes minoris que in maiore su¬
ꝑfinunt. S imiles.siue una ali cadem dicunt᷑
ꝓportiones que eandem recipiunt de nomina cõm
Maior u̾o que maiorem. et minor que maiorem
siꝰ quidem primus mmor fu̾it erit idem tota pars uł ꝓree side
quota tems qnarti Itacs ꝑ xgẽm pͥmi conclude sa ̾õ iaiet
eius quotas titius quartisic ꝙ ꝑ .xxxxii. argue:

Expanded text:
in ordine sumantur, sed ipsis proportionibus consequenin ordine sumantur, sed ipsis proportionibus consequenerit, maioris vero ad minus numerus secundum quem eum continet et pars vel partes minoris que in maiore superfluunt. ‹ix› Similes sive una alii eadem dicuntur proportiones que eandem recipiunt denominationem. Maior vero que maiorem et minor que minoremSiquidem primus minor fuerit, erit idem tota pars vel partes secundi quota tertius quarti. Itaque per xxxam primi conclude. Si vero maior, es quotas tertius quarti. Sic
Abbreviated transcription (Latin):
I tociens dempto pͥmo de secundo quociens t̾cio
de quarto tora ꝑs. uel ꝑtes pͥmi relinquantur in
secundo. quote tercii in quarto necc̃e est pͥmũ
totas esse ꝑtes sd̾i quotas tͥcium qͣrti. Inap̃lb ⁊de
dem generis unius ad aliam certa re¬
laciõ in qͣntitate. Numeri ad nũni
dicitur ꝓporcio minoris quidem ad maiorem. ĩ
eo quod̾ est pars uł ꝑtes. Maioris u̾o ad minorẽ
sociatis medus. hec aũt ad minus int̾ tres t̾minos con¬
sistit qm̃ saltem unum sumendum ÷ medium.
¶N continua est in qͣmadit in t̾rupcio medioꝵ
et hec ad minus quatuor exhigit t̾minos propter
alt̾ius medii sumptionem. QUando fiunt tres nu̾i
continueꝓporcionales: dicet᷑ pͥmi ad t̾cium ꝓpor¬
cio pͥmi ad secundum dupplicata. Ad qͣrtum uero
tͥpplicata. Cum autem continuate funt uel
eedem uel diu̾se ꝓporcõnes dicet᷑ primi ad ultim̃
ꝓportio ex omnib composita. Dico autem contin¬
uatas non quidem ut numeri scd̃m qͣntitatem

Expanded text:
i totiens dempto primo de secundo quotiens tertio de quarto tota pars vel partes primi relinquantur in secundo quote tertii in quarto, necesse est primum totas esse partes secundi quotas tertium quarti. Sit, ut dem generis unius ad aliam certa relatio in quantitate. ‹ii› Numeri ad numerum dicitur proportio minoris quidem ad maiorem in eo quod est pars vel partes. Maioris vero ad minorem sociatis mediis. Hec autem ad minus inter tres terminos consistit quoniam saltem unum sumendum est medium. ‹v› In continua est in qua incidit interruptio mediorum. Et hec ad minus quatuor exigit terminos propter alterius medii sumptionem. ‹vi› Quando fuerint tres numeri continue proportionales, dicetur primi ad tertium proportio primi ad secundum duplicata. Ad quartum vero triplicata. ‹vii› Cum autem continuate fuerint vel eedem vel diverse proportiones, dicetur primi ad ultimum proportio ex omnibus composita. Dico autem continuatas non quidem ut numeri secundum quantitatem
Abbreviated transcription (Latin):
ciens potest. Sit ꝙ cotus e. ⁊ residuuis f. et quociens est a in e tociens
ps uł ꝑtes est eb. totee gd. diffr̾a gͥ quarti ad g. sit ħ. Iaq ꝑ xxi. ⁊
xxii. ⁊ iterum.xxuii.⁊ xxuiii. quota ꝑs ut ꝑtes est ẜ a. cote er̃ ħ .c. et
quia ꝯuociens est ĩg. quociens ĩdem pot̃ detrabi a d. remanet ꝙ h. qͥ
totai ꝑs uł ꝑtes est ipius quote f. est a. manfestum ẽ ꝙ ꝓp̃o eñciat.¬

Expanded text:
iens potest sitque totus e et residuus f. Et quotiens est a in e totiens pars vel partes est e b tote est g d. Differentia ergo quarti ad g sit h. Itaque per xxiam et xxiiam et iterum xxviiam et xxviiiam quotapars vel partes estf a tote erit h c. Et quia quotiens c in g totiens idem potest detrahi a d remanetque h qui tota pars vel partes est ipsius quote f est a, manifestum est quod propo
Abbreviated transcription (Latin):
Si fu̾it pͥmus ad scd̾m sicut teraus ad quartum¬
xxuiii. pmi cooꝑante prima p̾sentis. Eadem gͦ erit ꝓtorc̃e. Si pͥn¬
non sit maior ⁊ c. minor erit esdem nacõne quota ꝑs uł ꝑtes .e. iu
a. toce d in b. que gͦ ꝓporcio ÷ .c. ad a. ea d. adb. ⁊ ꝑ primam q̃
a adc. ea b. ad d. ⁊ hoc ⁊ qd̵ sequitur
Si fuerit pͥmus ad scd̾m sicut tercius ad qͣrtum

Expanded text:
tertius c, quartxxviiiam primi cooperante prima presentis. Eadem ergo erit proportio. Si vero a sit maior et c minor, erit eadem ratione quota pars vel partes c in a tote d in b. Que ergo proportio est c ad a ea d ad b. Et per primam que a ad c ea b ad d. Et hoc est quod sequitur. § iv Si fuerit primus ad secundum sicut tertius ad quartum
Abbreviated transcription (Latin):
g. habemusq quatuor. d.e.ẜ.g. din̾sar̾ ꝓporconum. quia
ꝓporcio est ad d. tamquam .a. ad .b. ⁊ .fͦ. ad .e. tamqm .c.
.ix. scd̃i . atq G. ad .ẜ. tamquam .c.a.a. ⁊ est diu̾sa ab aliis. q¬
n̾iam omnes sunt contra se primi. Mmor. gͥ. quem mun̾ant
.D. ⁊ e. sit.a. Et minimꝰ quem e ⁊ .ẜ. sit. R ⁊ minimus quẽ
ẜ ⁊s̃. sit .I. Dico gͥ qd̾ .h. R.l. sunt continne ꝓporcionales
Qͥa ꝑ xxiiii t̾cii .b.in e. facit .h. s b. ĩ .f. ꝓducit. k. simili
causa. Est gͥ .k. ad h. sicut f. ad .e. Qre sicut .c. ad .b. aͥa
item .c. ducatur. iti ẜ. ad ꝓducendum .i ꝑꝑ candem rõnem
k ad .h. et hoc est qd̃ ꝓbare intendimꝰ¬

Expanded text:
roportionum quia proportio e ad d tanquam a ad b et f ad e tanquam c ixam secundi atque g ad f tanquam c ad a et est diversa ab aliis quoniam omnes sunt contra se primi. Minimus igitur quem numerant de te sit h et minimus quem e et f sit k et minimus quem f etg sit l. Dico igitur quod h k l sunt continue proportionales. Quia per xxiiiiam tertii bine facit h, sed et b in f producit k. Simili causa est igiturk ad h sicut f ad e, quare sicut c ad b. Quia item c ducatur in f ad producendum l, propter eandem rationem t k ad h. Et hoc est quod probare intendim
Abbreviated transcription (Latin):
ab uintate naturali ordine dispositi. per xuiii. huius quoꝵ¬
unus impar. alius par alt̾uatim positi pͥmi itaq parium .i. binarii.
qm̃ medietas est unit᷑as que est potencia impar ex̾ ⁊ ip̃e potña
parit̾ impar. Act̾a u̾o ⁊ diffincõne. pariter par. Scd̾s ab eo non erͥ
pariter impar qm̃ medietas eus ẽ nĩs par. Tercius: uo ⁊qͥntꝰ
⁊ sic omnes uno int̾misso: parit̾ impares. ꝑ ante p̾musam. alii
non qm̃ medietates habent pares.
Humerus parib ab unitate continuatis: ter¬
cius aprimo. atq ab illo. atq ab illo. tertius

Expanded text:
ab unitate naturali ordine dispositi per xviiiam huius quunus impar, alius par alternatim positi. Primi itaque parium idest binarii quoniam medietas est unitas que est potentia impar, erit et ipse potentia pariter impar, actu vero et diffinitione pariter par. Secundus ab eo non erit pariter impar quoniam medietas eius est numerus par. Tertius vero et quintus et sic omnes uno intermisso pariter impares per antepremissam, alii non quoniam medietates habent pares.Numeris paribus ab unitate continuatis tertius a primo atque ab illo tertius
Abbreviated transcription (Latin):
ile qui numerat ꝑtes minor denominante uno unde et
ueram liquet esse ꝓpõnem¬
i duo primi impares conuingantur com¬
posito q reli qui impares applicentur er̃
ut ꝓpõnes compositoꝵ ad numeros post
binarium sumptos: sint diuerse multi¬
plices super ꝑcientes. S ab eodem num̃o
et ꝑtes numeratas multiplices denõm

Expanded text:
ille qui numerat partes, minor denominante uno. Unde et ille qui numerat partes, minor denominante uno. Unde et veram liquet esse pi duo primi impares coniungantur compositoque reliqui impares applicentur, erit ut proportiones compositorum ad numeros post binarium sumptos sint diverse multiplices superpartientes sed ab eodem numero et partes numeratas et multiplices denom
Abbreviated transcription (Latin):
Sint duo pͥmi
impares .a.
⁊.B. ⁊ ex eis compositꝰ. sit .c. cui addant᷑ reliqui impares qͥ
sini .d. e.f. ⁊ compositi sint .g. h. k. Num̾i. aũt post . a.
continue supti sint l. in .n. oͥa.gͥ .d. addit suꝑ .a. bina¬
rium ⁊ .c. super ipsum bis. addet cum. st quiabmarius
est nuinor .a. uno: erit eius pantes .⁊ .c. er̾. ad. a mulciplex.
suꝑp artiens. oͥa. autem ad id qd̾ ex buiario fit in . a. ad¬
ditur semel idem ad complendimi .c. ⁊ binaruis in .l. duc̃¬
tus facit .c. Qͥaitem . ꝑ .xix. un. d. constat ex .a. ⁊ l.g.
ꝯtinebit .ł scd̃m .a. ⁊ add̾et .ã. qui qm est ꝑtes .l. erit
g. ad .i. multiplex suꝑparcens. pulam. añt᷑ qd .a. ꝯanet᷑
in .g. led̾m.m. Et quia.e. constat ex .l. ⁊.m .h. continebit
.ii. scd̾m .I. et addet .l. ladem quoq racõne ⁊. R. contine¬
bit .i. ꝑ addet .m. Palam. gͦ int̾ singuios esse multiplicẽ
suꝑ parcientem. ⁊ qnod denomin aco multiplicis est nũt

Expanded text:
Sint duo primi impares a et b et ex eis compositus sit c cui addantur reliqui impares qui sint d e f et compositi sint g h k. Numeri autem post a continue sumpti sint l m n. Quia igitur b addit super a binarium et c super ipsum bis addet eum et quia binarius est minor a uno, erit eius partes et c erit ad a multiplex superpartiens. Quia autem ad id quod fit ex binario in a additur semel idem ad complendum c, et binarius in f ductus facit c. Quia item per xixam septimi d constat ex a et l, g continebit f secundum a et addet a. Qui quoniam est partes l, erit g ad l multiplex superpartiens. Palam autem quod a continetur ing secundum m. Et quia e constat ex l et m, h continebit m secundum l et addet l. Eadem quoque ratione et k continebit n et addet m. Palam ergo inter singulos esse multiplicem superpartientem, et quod denominatio multiplicis est numerus
Abbreviated transcription (Latin):
minor ꝓporcio qͣm pͥmi ad scd̾m. Eonclude itaꝙ ꝓporcõm primi
ad scd̾m maiorem quam tertii ad quartum ⁊ ħ ÷ qd d̃r.¬
i primus fuerit maior tercio. compositus ex pͥ¬
mo et secundo equale composito ex tercio ⁊ qͣrto
maior erit ꝓporcio pͥmi ad scd̃m quam tercii ad

Expanded text:
minor proportio quam primi ad secundum. Conclude itaque proportionem primi ad secundum maiorem quam tertii ad quartum. Et i primus fuerit maior tertio compositusque ex primo et secundo equale composito ex tertio et quarto, maior erit proportio primi ad secundum quam tertii ad
Abbreviated transcription (Latin):
numeroꝵ argumentum: qui producentur er̃c
latus q cuiuslibet coniunttorum imparium
numerus. s. Parces quidem omnes erunt. ꝑ .xx. p̾sẽts¬
constat omnes esse parit̾ pares . ꝑ .xx.ui. quarci. Et illos t̃m.
Sin autem ponatur alius aui diuidat᷑ ꝑ medium. ⁊ medietas
ꝑ medium donec occurrat qui non possit diuidi qͥ si fu̾it ĩꝑ.
qm̃ numerat extremum faisum est qd̃. dr̾. Si u̾o unitas: euit
et idem denun̾us ab unitate duplis

Expanded text:
numerorum augmentum, qui producentur erunt cubi latusque cuiuslibet coniunctorum imparium numerus. Srius est primus, constat omnes esse pariter pares per xxviam quarti. Et illos tantum. Sin autem, ponatur alius qui dividatur per medium et medietas per medium donec occurrat qui non possit dividi. Qui si fuerit impar quoniam numerat extremum, falsum est quod dicitur. Si vero unitas, erit et idem de numeris ab unitate duplis.
Abbreviated transcription (Latin):
mus. Sint item numeri dati . a.b.c. ⁊ minimus quem num̾ant¬
a zb. ⁊ .b zc. ⁊ sit e ⁊ h. Minimꝰ autem quem numerant. e.
h. sit . d. erit q ĩdem minirus quem numm̃iant .a .b.c. alioquin
inconueniens argueretur ꝑ corolł. xxiiii. Sit gͥ.f. pͥmus qui
numeret .d. ssumerabit itaꝙ idem aut . e. aut.H. ut ostensũ ÷
s quencumꝙ eoꝵ nut̾iat: mim̾ abit ⁊ unum inferioꝵ. eadem
raçone ⁊ hoc ÷ qd̃uolumu

Expanded text:
mus. Sint item numeri datia b c et minimus quem numeranta etb etb et c et site et h. Minimus autem quem numerant e et h sit d. Eritque idem minimus quem numeranta b c. Alioquin inconveniens. Argueretur per corollarium xxiiii6 . Sit igitur f primus qui numeret d. Numerabit itaque idem aut e aut h ut ostensum est. Sed quemcumque eorum numerat, numerabit et unum inferiorum eadem ratione. Et hoc est quod volumu
Abbreviated transcription (Latin):
cio: que unius ad unum: ea omnium ad omẽs
d. ad f. dico quia .a. ad .c. sicut . d. ad .f. Erit enim ꝑt̾ciam p̾sentis
a. ad b. sicut . b. ad .e. Atq ꝑ eamdem bad e sicut .c. ad.f. Cum
igitur sit .. ad id. sicut .c. ad .f. erit per eandem .a. ad .c.
Si fuerint quotlibet num̃i alii q scdm eoꝵ nii
merum continue scd̃m eadem ꝓporcõne sumpti
extremoꝵ eamdem esse ꝓporcionem necc̃e est.

Expanded text:
io, que unius ad unum ea omnium ad omnes ad f. Dico quia a ad c sicut d ad f. Erit enim per tertiam presentis a ad d sicut b ad e atque per eandem b ad e sicut c ad f. Cum igitur sit a ad d sicut c ad f , erit per eandem a ad c Si fuerint quotlibet numeri aliique secundum eorum merum continue in eadem proportione sumpti, extremorum eandem esse proportionem necesse est.
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicium ac consequenter omnium
superparticularium species ꝓuenire conue¬
d. 4.f. ⁊ minores eo uno .g.h. k Itaq ꝑ scd̃am . ⁊ xix.
pͥmi quod ex uno. in .b. eauale est .gͦ. ⁊ qd̾ ex .a. in .c. equaie. h.
ꝑ scd̾am gͦ qͥnti conclude.

Expanded text:
multiplicium ac consequenter omnium superparticularium species provenire conved e f et minores eis uno g hk. Itaque per secundam et xixam primi quod ex uno in b equale est g et quod ex a in c equale h. Per primam ergo quinti conclude.
Abbreviated transcription (Latin):
Ab ip̃o scriatili etremus tͥ angularium subtrahatur
eritq residuus serratilis uno alcior piramide sue basis.
Idem gͥ est diuisibilis induas piramides. quaꝵ una est dri¬
ꝑ pͥmissam. S ⁊ ħ eadem diuisibilis est in duas quaꝵ una
priori equalis ⁊ alt̾a minor ea qͣntum est basis eiusdem.ꝑ
xxix p̾sentis addito itaq pͥus dempto tͥangulari. fiet illaͭ e¬
qualis alt̾i. Sc q fient t̾res equales constituentes suffic ẽ¬
cer totum serratilem. ⁊ hoc ẽ qd̾ intendimus.
et habebimnis serratilem eque alcum piramidi. Eui si duo tͥan¬
gulares adiciant᷑. erit duob alcior sic ꝙ erit piramidi tͥplus per
p̾missam. Bercia gͥ ipius si sumatur hẽbimus piramidis sumã
⁊ hoc est qd̃ dicit᷑. acsi diceret latere ꝓposito tͥangularis quod
ex ip̃o cum omnib inferiorib tͥangularib coaceruat᷑ inuenire.
Latere dato basis tͥangule piramidis super
eam constitute summam reperire.

Expanded text:
Ab ipso serratili extremus triangularium subtrahatur eritque residuus serratilis uno altior piramide sue basis. Idem igitur est divisibilis in duas piramides quarum una est triper premissam. Sed et hec eadem divisibilis est in duas quarum una priori equalis et altera minor ea quantum est basis eiusdem per i xxixam presentis. Addito itaque prius dempto triangulari fiet illa equalis alteri. Sicque fient tres equales constituentes sufficienter totum serratilem. Et hoc est quod intendimus. et habebimus serratilem eque altum piramidi. Cui si duo triangulares adiciantur, erit duobus altior sicque erit piramidi triplus per premissam. Tertia igitur ipsius si sumatur, habebimus piramidis summam. Et hoc est quod dicitur. Ac si diceret: latere proposito triangularis quod ex ipso cum omnibus inferioribus triangularibus coacervatur invenire. Latere dato basis triangule piramidis super eam constitute summam reperire.
Abbreviated transcription (Latin):
Sumatur quilibet imꝑar qui sit.a. ⁊ ꝓximꝰ. par
sit b. ⁊ euis medietas sit .c. ponat᷑ gͦ. suꝑparci¬
ens sumpta aꝑtib denominantis ab.a. ⁊ num̾atisa .c. Si .gͦ
inse ducatur: ꝓueniet unum ⁊ ꝑtes similes a .b. num̾ate. ⁊ ꝑtes
de nominate a quadrato .a. qui sit d. ⁊ num̾ate a qͣdrãto .c. qͥ
sit.e. dncatur aũt .a. in .b. ⁊ fiat f. Addet q f. suꝑ .d. qͣntũ ÷ A.
atq f. addatur . e. sit q compositus. g ⁊ quia .d. addet suꝑ .e.
plus qmͣ . a. ⁊ ꝯma .g. addit suꝑ .d. qͣntum est. a e erit .g. minꝰ
duplo d. ⁊ quia .b. ⁊. a. sunt ꝯt̾ra se primi. similit̾ ⁊ .a ℥ .c.
er̃t ⁊ .e. ⁊ .d. ꝯtra. se pͥmi. Liquet gͥ. qd̾. a .e. non est ꝑs .d.
erit .gͦ. ꝑtes. et quia ꝑtes a .g. minierate ⁊ a .d. dicte sunt
tamnuam p̾dc̃e ꝑtes młtiplicacõis ⁊ quia ip̃e unum faciunt et
ꝑtes imius. addito uno fiet ꝓductum qd̾ est. de nominacõ ꝯpõite.

Expanded text:
Sumatur quilibet impar qui sit a et proximus par sit b et eius medietas sitc. Ponatur ergo superpartiens sumpta a partibus denominatis ab a et numeratis a c. Si ergo in se ducatur, proveniet unum et partes similes a b numerate et partes denominate a quadrato a qui sit d et numerate a quadrato c qui sit e. Ducatur autem a in b et fiat f addetque f super d quantum est a. Atque f addatur e sitque compositus g. Et quia d addit super e plus quam a et quia g addit super d quantum est a e, erit g minus duplo d. Et quia b et a sunt contra se primi similiter et a et c, erunt et e et d contra se primi. Liquet igitur quod a e non est pars d. Erit ergo partes. Et quia partes a g numerate et a d dicte sunt tanquam predicte partes multiplicationis et quia ipse unum faciunt et partes unius addito uno fiet productum quod est denominatio composite
Abbreviated transcription (Latin):
Sint . a .b.c. nuneri ut ꝓpomit᷑. ⁊ sit. d. ad quemilibet illoꝵ pͥmus.
minimus q ab eis num̾atus. cum sit .e. erit .e. ad .d. primꝰ. Si enim
ꝯtͣ ẏpothesiun. Si compositus mimenabit eum aliquis primus quẽ¬
etiami unum eor num̾are adictis occasione sumpta. conunces. uñ
⁊ idem inconuemens. ꝓuenire patet.
prrrccus. N Siemim aliquis primus illum num̾aret. ⁊ uuum o¬
numeraret. Sic q pͥms non est qui positus est

Expanded text:
Sint a b c numeri ut proponitur et sit d ad quemlibet illorum primus, minimusque ab eis numeratus cum sit e, erit e ad d primus. Si enim contra ypothesim. Si compositus, numerabit eum aliquis primus. Queetiam unum eorum numerare a dictis occasione sumpta convinces. Unde et idem inconveniens provenire patet.possibile. Si enim aliquis primus illum numeraret, et unum numeraret. Sicque primus non est qui positus est
Abbreviated transcription (Latin):
sequentes item post.b. impares e f .g. h. sõ
.I. mediam. tunc .e. ꝯtinebit.a.bis ⁊ eius mediam habemus aũt
ronitur ⁊ quadratum cuiuslibet suꝑ quadratum ꝓpcimi. addit
qd̾ ex ip̃is componit᷑. ⁊ quia . e. siue .k. addit suꝑ quadratum
a imitatem : addet similit̾ .l. super quadratum .b. ⁊ .m. suꝑ
quadratum .c.4.n. super quadratum d ⁊ .o. suꝑ quadratum
i uritatem. Qͥ ce singuli eoꝵ singulos illoꝵ continent scd̾m
Si compositus ex primo pari ⁊ impari. et
qui ex reliquis imparib eidem comuntꝰ¬
tis agggantur ad numeros a duob dis¬
positos comꝑentur:ꝓuenient diuerse
multiplices superparticulares. S nume

Expanded text:
sequentes, item post b imparesef g h. Compositest mediam, tunce continebit a bis et eius mediam. Habemus autem ponitur et quadratum cuiuslibet super quadratum proximi addit quod ex ipsis componitur. Et quia e sive k addit super quadratum a unitatem, addet similiter f super quadratum b c t m super quadratum c et n super quadratum d et o super quadratum i unitatem. Quare singuli eorum singulos illorum continent secundum Si compositus ex primo pari et impari et qui ex reliquis imparibus eidem coniunctis aggregantur ad numeros a duobus dispositos comparentur, provenient diverse multiplices superparticulares secu
Abbreviated transcription (Latin):
ores ¶ Qd mim̾oꝵ auuslib ordinis sit multiplex ꝓporcõ
ad nuos pͥmi sic constat. Num̾i siquidem p̾mi ord̾is
multipłicati ꝑ pͥmum illuis ordinis omnes illos ꝓducunt. Erit
meri pͥmi ordinum sunt ꝑ hypothesim num̾i ab unitate. er̃t et
ꝓp̾nes singuloꝵ ordinum ad pͥmum multiplices continue sumpte
Sed antem singuloꝵ ad ꝓuinos ꝓpt̾ pͥmum sinc continue superꝑ¬
ticulares ꝑ .uii. scd̾i. ⁊ p̾missam colliges. Qd cͥca diametr̃ cõstan¬
tes sint quadrati. ꝑalam linee enim ad latera ip̃ius equidistanter
ducte concludent superficiem toti similem. quare eqͥ lat̾am. Nłu̾i
gͦ quos linẽe in laterib contingunt: equales sunt. Itaq ⁊ in
angulari ꝯuentu positus quadratus qd̾ cͥca quadracos positi sit̾
parte altera longiores : paret qm̃ unum latiis habent comune
cum quãdrato medio reliqͣ uno minora ħ est lira
Si a comuni angulo naturalis series nu¬
meroꝵ in longum et latum extendatur.
et ipsis inuicem multiplicatis. & qui

Expanded text:
ores. Quod numerorum cuiuslibet ordinis sit multiplex proportio ad numeros primi sic constat. Numeri siquidem primi ordinis multiplicati per primum illius ordinis omnes illos producunt, erit meri primi ordinum sunt per ypothesim numeri ab unitate, erunt et proportiones singulorum ordinum ad primum multiplices continue sumpte. Quod autem singulorum ad proximos preter primum sint continue superparticulares, perviiam secundi et premissam colliges. Quod circa diametrum constantes sint quadrati, palam: linee enim ad latera ipsius equidistanter ducte concludent superficiem toti similem. Quare equilateram. Numeri ergo quos linee in lateribus contingunt equales sunt. Itaque et in angulari conventu positus quadratus. Quod circa quadratos positi sint parte altera longiores, patet quoniam unum latus habent commune cum quadrato medio, reliqua uno minora. § xxxix Si a communi angulo naturalis series numerorum in longum et latum extendatur et ipsis invicem multiplicatis et qui
Abbreviated transcription (Latin):
uintati. A.
et seq̃ntes . b.c. d.e.f. Erit ꝙ ꝑ p̾missam . a. impar. ⁊ .b ⁊ .c.
pares .s. ⁊ .d. ⁊ e impares ⁊ .f. par. dico. gͥ qd .b. ad a. sicut
b̾marius ad unitatem. et . d. ad .c. sicut ternarius ad binariũ.
Itemq .f. ad .e. sicut .iiii. ad .iii. sumantur siquidem. quatuor
pares ad unitate qui sint h .i. Rl. Et̃ medi int̾ eos impares sint
.S.p .q. ⁊ quia .ħ. qui est binarius est latus .a. qu est t̾narius
erit ⁊ o latus .b. ⁊ .i. lacus .c. ⁊ p. latus a. ⁊ k. latus .e. ⁊q. latꝰ.f
Itaq .h. ĩ .o. facit duplum . a. ⁊ .o. in .i. facit duplum .b. s sic̃
duplum ad duplum. ita dimidium ad dimidium. erit gͦ ꝑ .uii.
sd̾i .i. ad.h. sicut .b. ad. a. Eadem etiam rõne .d. ad .c. sicut .kad
.i. ⁊ f. ad e siait .l. ad. R. atq si plures sumant᷑ fanies eos disiunctũ

Expanded text:
unitati a et sequentes b c d e f. Eritque per premissam a impar et b et c pares, sed et d et e impares et f par. Dico igitur quod b ad a sicut binarius ad unitatem et d ad c sicut ternarius ad binarium, itemque f ad e sicut iiii ad iii. Sumantur siquidem quatuor pares ab unitate qui sint h i k l e t medii inter eos impares sint o p q. Et quia h, qui est binarius, est latus a, qui est ternarius, erit et o latus b et i latus c et p latus d et k latus e et q latus f. Itaque h in o facit duplum a et o in i facit duplum b, sed sicut duplum ad duplum ita dimidium ad dimidium. Erit ergo per viiam secundi i ad h sicut b ad a. Eadem etiam ratione d ad c sicut k ad i et f ad e sicut l ad k. Atque si plures sumantur, facies eos disiunctim
Abbreviated transcription (Latin):
confit ẽ epit utmultipler. ib eo. dicta cuim dtimuts plicem¬
Data super partiente multiplices quotlib
reperue quar quelibet nullam ducta ꝓdu¬
cat multiplicem.

Expanded text:
multiplicemData superpartiente multiplices quotlibet reperire quarum quelibet in illam ducta producat multiplicem.