comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ter narir qui narius quicon paratus contra maiorum terminorum differen¬
tiamscilic& qui narii & octonariiqͥi ẽ ternarius. & ipse suꝑbi partiens in

Expanded text:
ternarii, quinarius, qui comparatus contra majorum terminorum differentiam, scilicet quinarii et octonarii, qui est ternarius, et ipse quoque
Abbreviated transcription (Latin):
.uII.UIII. & enim .ui. adiii. ses qualter est. quorum est differentia binarius:
septi naruuero & quater narii ternarius differentia ẽ: quẽ si ad superiorẽ
binarium cũ paremus sesqualtera proporcione coniungitur: Quarta uero
quȩ in ordine decima est consideratur intribus terminis cũtali ꝓporti¬
one me dius terminus ad par uissimũ conparatur: quali &tremorũ dif¬
ferentia contra maiorum terminorum differentiam. ꝓporcionũ coniun¬
gitur. ut sunt.iuĩ. u .uiii.¬

Expanded text:
inarius; septenarii vero et quaternarii, ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesquialtera proportione conjungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum tali proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quali extremorum differentia contra majorum terminorum differentiam proportione conjungitur, ut sunt
Abbreviated transcription (Latin):
Pursus secunda species superparticu. Caequus iđ xui¬
laris numeri ãd ÷ sesquitertius procreatus ẽ. Quod si
idem dequa druplo quis facere uelit. sesqui quartꝰ
continuo nascitur. ut monstrabit subiecta descriptio
c̃si quidem decunctis h infinitum partibus multipli¬
catis faciat conuenienteror dinẽ suꝑparticularitatis
inueni&. Quodsi conuersos suꝑ particulares aliquis scđm haco pͣcepta conuertat: continuo

Expanded text:
ursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subjecta descriptio: Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo
Abbreviated transcription (Latin):
Iorum ergo singulihabent quidem a se denominatas partes pro¬
prias scilic& unitates ut uiiii. xonam idẽ unam .xu. quintam decimam
eandem i pursus unitatem : & in c&eris quos supra de scripsimus idem
conuenit: habent &iam ab alieno uocabulo partem : ut uiiii tertiam
idẽ ternarium : & xV tertiam id est .u: & quintam id ẽ.iII.XI. uero
tertiam .iIII. septimam .ii. & in omnibus aliis eadem consequentia ẽ:
secundus autem uocatur hic numerus. qm̃ non sola unitatem&it

Expanded text:
orum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes, proprias scilicet unitates, ut 9, nonam, id est 1; 15, quintam decimam, eamdem rursus unitatem, et in caeteris quos supra descripsimus idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut 9, tertiam, id est ternarium, et 15, tertiam, id est 5, et quintam, id est, 3; 21 vero tertiam, id est 7, septimam, 3, et in omnibus aliis eadem consequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate met
Abbreviated transcription (Latin):
tio contrarietatis in pedi&: At uero siex ago nos. librata eccaminatione ꝑspicias ex
eisdem triangulis & super sepositis pentagonis ꝓcreantur: Namquȩ .vi. exagonus ex
quinario pentagono & .i. qui est intriangulorum ordine dispositus nascitur : Nec
alia est origo .xu. exagoninisi ex duodenarii pentagono : & ter nario triangulo: Quod
si cx viii. rursus ex agonum ex quibus superioribus nascatur addiscas. nullo inueni¬
es nisixx ii. pentagonum senariumq: triangulũ. atq hoc incȩteris: Nec hunc genite¬
rei ordinem eptagonorũ ꝓcreacio refutabit : Namq: ex suꝑse ex agonis. et exeminus
positis triangulis pro creantur: Septem enim eptagonus. nascit᷑ ex senario ex ago

Expanded text:
tio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexago
Abbreviated transcription (Latin):
uno sesuꝑ gredientes numȩri multiplicant. Circũ .iiii. enĩ duo sunt & vi. Sedduo nascuntur
exuno duobus Cũ unũ bis multiplicaueris. sedunitas ab inario unitate p̃ceditur. Sex uen

Expanded text:
uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero
Abbreviated transcription (Latin):
uae omia. geom&ricae disciplinae cura sunt: Quare est er̃gõ ex hoc oftendere seni¬
orem geom&riaeuim. quod omĩs motusest postqui&em. & natura semper ftatio

Expanded text:
uae omnia geometricae disciplinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere seniorem geometricae vim, quod omnis motus est post quietem, et natura semper statio
Abbreviated transcription (Latin):
igitur unus tantum medius in eadẽ proporcione consti tinpo test: Nã se
narius ad imi. ses qualter ẽ. & uii adse narium eodẽ modo sequalter : Hoc
aut̃ ider coeuenit qđ singula latera singuloꝵ tetragonorum esfi ciunt se¬
nariam me dietatem Nam quater narii tetragoni latus binarius est
noue nari ternarius: Hiergo mul tipli cati senarium ꝑfecerunt: Bis enĩ
tres senarius ẽ. & quotiens cum que datis duobus tetra gonis. eorum me¬
die tatem uolumus inuenire latera eoꝵ multi plican clasunt . & quiꝰ his ꝓ¬

Expanded text:
tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his p
Abbreviated transcription (Latin):
Auatis latus coeperit in eumdem altitudmis ex tremitas terminetur: mime¬
rusille erelie diel spericus apellatur: ut sunt multiplicationes quae aquinario
us senario prosicis cuntur: Nam qum qui es quinque quifit . xx vab .v. ꝓgressus
in eos dem desinit : u& si hos rursus quinqui es ducas meodem .v. eorum termi¬
ius uenia quinquies enim xXV. fiunt cxxu: Ethosrursus quinquies ducas
inqu narum numerum & tremitas terminabitur ađq hoclis quȩ in in finitũ
idẽ sem ꝑ eue niet. Quod insenario quoque conuenit considerari : Hiaut̃ nume
rudurco erdietuel speria uocantur. quod spera uel circulus in prapori sem¬
ꝑ princi pureuerfione formantur: Est enim circulus posito quodam punt¬
toecalio eminus de fixo illius puacti quie minus fixus est aequa liter distans

Expanded text:
atis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel sphaerici vocantur, quod sicut sphaera vel circulus, in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans
Abbreviated transcription (Latin):
ciuitatis est: Namq: uel in maioribus uel in minoribus equali omnium ꝓpor¬
ciona litanbus aie dietate nin Gantur solidi uero nuaieri dua bus aie
dieta tinus in me dio collocant
Dost haec igitur tenpus est ut expediamus nunc qiđ clam nimis utle in p

Expanded text:
civitatis est. Namque vel in majoribus, vel in minoribus, aequali omnium proportionalitatibus medietate jungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio collocantur Post haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Pl
Abbreviated transcription (Latin):
& subsuꝑ particulares. Tertia in aequalitatis species inuenitur . quae a nobis superius suꝑ partiens
dictaẽ Flaec aũt ẽ quae fitcũ numerus ad alium cõparatus. habet eũ totũ in frase. & eius in super
aliquas partes ł us łui ł uii. ł quot ipsatulerit comparatio. Quae habitudo incipita duabus
partibus tertus. Nam siduas medietates habuerit qui illum infrase tetũ coherc& duplus prosuꝑ¬

Expanded text:
 subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro super
Abbreviated transcription (Latin):
conparatio ꝗ inter maiores terminos continetur: &tan tominorest nu¬
merus quifit ex multiplicatis & tremitatibus a beo quifit &x multi plicata

Expanded text:
comparatione, quae inter majores terminos continetur. Et tanto minor est numerus qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo qui fit ex multiplicata
Abbreviated transcription (Latin):
ꝙ redacts & qua drati &e par te altera longiores prodeunt: Ita enim uide¬
bibus istoꝵ quendãconsensum & adceteras numeri partes̃ procre andas ami

Expanded text:
 redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas ami
Abbreviated transcription (Latin):
tatem punctumq: non ue nerit: haec autem est ut siquis .xiii. tetrago noadiciat
equidem figura est : sed qm̃ usq:e ad acumen uerticis non ex creuit . curta uocabit

Expanded text:
tatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabit
Abbreviated transcription (Latin):
is p̃ceptis utemur. Suiꝰ qui ex aequalibus natis multipli¬
ces eos disponamus.
& scđm haec p̃cepta uertamus. lta ut conuersosint¬
ordine sesqualter exduplicipro creabitur. Sesquitertius extriplici. sesquiquartus exqua druplo
t constituatur primo in hoc ordine primus
par id ÷ .iiii. Secundus uero. primo & scđõpar id ÷vi. Tertius
uero primoduobus secundis & tertio sd: vIIII.¬

Expanded text:
is praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus, et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sintordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. hujusmodi: Et constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est 6, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id
Abbreviated transcription (Latin):
a primo puncto circum ductioadeim dem locum reuersiounde moueri coeptiis ẽ¬
stera uuro semi circuli manente diametro circumductio & adeundem locum:
re uersi ounde primus coeperã fieri : Unitas quoque uirtute & potestate ipsa quo¬
que eireulis uel spera est: quotiens enim punctum inse multiplicaueris in se ipsum
ter minatur: Sienim facia semel unum: unumreddit si hoc se¬
mebidẽ est & sihocrur sus femebidẽ est. Igitur siuna fuerit multiplicatiosolam
planituudinemreidit. Et fit circulus: Sisecuñ damox spera conficitur  et

Expanded text:
a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et
Abbreviated transcription (Latin):
partium : quae de nominantur : Neq: umquam fieri potest. ut quȩ¬
lib& pars huiusnumeri eiusdem generis denominationem: quanti¬
tatemq suscipiat: semper enim sidenominatio fuerit par : quantitas

Expanded text:
partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas p
Abbreviated transcription (Latin):
& hissimiles : Moxenim
hosnumeros ingemina fueris diuisione partitus : incurris in imparẽ
quem secare non possis: accidit autem his quod omnes partes con¬
trarie denominatas habent aliter quam sunt quantitates ipsarũ

Expanded text:
 his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsaru
Abbreviated transcription (Latin):
dualitatem: At uero .II. secundum coaceruationem. idẽ secundum
ternarium qm̃ coaceruati ii multiplicati sunt: xxuuii autem eodẽ
modo uascuntur: sienim super .i & ii qui sunt: ui addas sequentem
Ipariter parem id ẽ .iiii septenariam facies summam. sed ultimum
Numerum quaternarium consequenter ad iunxeras: ꝑhunc igitur
si illam coaceruationem multipli caueris ꝑfectus numerus procrea t᷑
septies enim
qui est suis partibus par Ha bens ÷ ase
denominatum idẽ uicesimũ octauum: Medi&atem uero secundum
dum omnium collectionem: Quartum decimũ. idẽ duo. qui uoca¬
bulo medi&atis opponitur: Ergo cum hireperti sunt sialios in¬
uenire secteris eadem oportet ratione uestiges: Ponas enim .i. lice¬
bit & posthunc duo iii. qui in septenarium cumulantur: sed dehoo
dudum extitit. uxuiii perfectus: huic igitur qui sequitur pariten

Expanded text:
dualitatem, at vero duo secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo nascuntur. Si enim super unum et duo, qui sunt tres, addas sequentem pariter parem, id est 4, septenariam summam facies; sed ultimum numerum quaternarium consequenter adjunxeras; per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim qui est suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; medietatem vero secundum dum omnium collectionem, quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur parite
Abbreviated transcription (Latin):
recipit. id est ternarium: Binarius enim contra ternarium comparatus. sesqual¬
terã efficit ꝓportionem : Ternarius uero qm̃ medietatẽ non recipit: non est alter
numerus ad quem in ratione sesqualtera comparetur : Quaternarius uero numerus
secundus duplus est: Hic ergo. duos sesqualteros prȩcedit: Est enim ad ipsum qui¬
dem comparatus senarius numerus. ad senarium uero qm̃ medietatem habet noue¬
narius. & sunt duo sesqualteri. ad quattuor scilicet .ui. ad sex .uiiii. Noue inarius
uero. qm̃ medietate caret : ab hac comparatione sedusus est: Tertius uero duplex
est .uiii.: Hic ergo tres sesqualteros antecedit: Comparatur enim ad ipsum duode¬
narius numerus. ad duodenarium xuiii. ad xuiii. Rursus xxvii. At uero xxuii
medio carent. idemq in sequentibus euenire necesse est: qđ nos cum ꝓpria ordinati¬
one subdidimus: Semꝑ enim hoc diuina quadam nec humana constitutione specu¬

Expanded text:
recipit, id est ternarium. Binarius enim contra ternarium comparatus sesquialrecipit, id est ternarium. Binarius enim contra ternarium comparatus sesquialteram efficit proportionem. Ternarius vero, quoniam medietatem non recipit, non est alter numerus ad quem in ratione sesquialtera comparetur. Quaternarius vero numerus, secundus duplex est, hic ergo duos sesquialteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medietatem habet novenarius, et sunt duo sesquialteri, ad 4 scilicet 6, ad sex vero 9. Novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est 8, hic ergo 3 sesquialteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium 18, ad 18 rursus 27. At vero 27 medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesse est quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, specu
Abbreviated transcription (Latin):
niri. atq ideo hic epitrito caret: Scđs uero qui est uiiii. habet
ad se duodenarium numerũ ses quitertium. duo denarius autẽ qm̃ habet
tertiã partem in ses quitertia ꝓportione. comparatur ad eum. numerus xxi. qui
si laxiiii. appositi fuerint : eandem rursus uim ꝓportionis explebunt : Quos lx .iiii.
ad nullũ ses quitertium rursus aptabis. qm̃ parte tertia non tenentur: Atq hoo in
cunctis triplicibus inuenitur. ut extremus eiusdem ꝓportionis numerus : tantos ante
se precedentes habeat. quanto primus eorũ ab unitate discesserit: Et qui tot suꝑ se e¬
iusdem ꝓportionis habuerit numeros quotus ab unitate primus eorũ iacet eius pars
qua illi comparitus numerus possit eandẽ facere ꝓportionem. inueniri nequit
Et triplicis quidem. hȩc est descriptio
tate locatio: Primus ergo duplex est binarius numerus. qui unum solum sesqualterũ

Expanded text:
niri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est novem, habet niri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est novem, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium. Duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus sedecim, qui si sexaginta quatuor appositi fuerint, eamdem rursus vim proportionis explebunt. Quos sexaginta quatuor ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus ejusdem proportionis numerus, tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit. Et qui tot super se ejusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum jacet, ejus pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio: tate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesquialterum
Abbreviated transcription (Latin):
iubemur extendere : Ne autem hoc labore quodam semꝑ quidem maximo frequen¬
tius inferaci fiat. hac nobis ratione in quođ numeris quanti possint esse suꝑ parti¬
culares uestigandũ est: Om̃s enim multiplices tantarum similium sibimet ꝓpor¬
tionũ principes erunt: quoto ipsi loco ab unitate discesserint: Quod autem dico
sibimet similium. tale est ut dupli semꝑ multiplicitas. ut superius distinctũ est
sesqualteros cre & dux sit triplex sesquitertiorũ. quad ruplus sesquiquartis: Primus
ergo duplex. unũ solũ habebit sesqualterũ. secundus duo. tertius tres. quartus
quattuor. Et scđm hunc ordinẽ. eadem fit in infinitũ ꝓgressio: Neq umquam
fieri potest. ut uł suꝑ & ꝓportionũ numerũ. uł ab eo sit diminutior ȩquabilis ab uni
ab unitate sit par : talis sit ut in medietates diuidi. secariq non possit.
Idem contingit eciã in triplicibus:¬
cuius quaternarii tertia pars non potest inue¬

Expanded text:
jubemur extendere. Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse superparticulares, investigandum est. Omnes enim multiplices, tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserunt. Quod autem dico, sibimet similium tale est, ut dupli semper multiplicitas ut superius dictum est sesquialteros creet, et triplex sit dux sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum habebit sesquialterum, secundus duos, tertius tres, quartus quatuor, et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio. Neque unquam fieri potest ut vel superet proportionum numerum, vel ab eo sit diminutior aequabilis ab uniab unitate sit par, talis sit ut in medietates dividi secarique non possit. Idem contingit etiam in triplicibus,Cujus quaternarii tertia pars non potest inve
Abbreviated transcription (Latin):
occasusq colligimus. sic tarditates uelocitatesq errantium. syderum custodimꝰ.
sic defectus. & multiplices lunae uariationes agnoscimus: quare qm̃prior ut
claruit arith̃m&icae uis est: hinc disputationis summamus exordium:¬
DE SUB STANEIA NU ME RI
mnia quae cumq: a primeua rerum natura constructa sunt: Numerorũ
uidentur ratione formata Hocenim fuit principale in animaͦ corditoris

Expanded text:
occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordiumDe substantia numeri. Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris
Abbreviated transcription (Latin):
cione medie tates constitui que unt. xii. scilic& & xuii: Nam q xii.
ne iunguntur: in his quoq eadem laterum ratioẽ : namq ex uno clbo
qui ꝓpm quior ẽ una medietas duo latera colligit. & alter natim uͦ po¬
sito unum in alia quo q medietãte idem est: ponantur etim duo erbi
& in medio eorum duȩ mmediȩtates quas superius diximus. unxui.xuii.
xxuiii. Octo narii igitur latus est binarius bis enĩ binibis. octonariũ ferunt
ternarius uero xxvii. cybila tus ẽ. ter enim tres ter. xxuugestituunt:
Medietas igitur quȩ iuxta octonarum est id ÷ xiraccipit mutuatur luo
latera &x ꝓpn quo sibi octonario : & alium unum latus al trinsecus posito
xxiiii. er bobis enim biniter xii pandunt & xuiii eadem ratione duola¬
tera aꝓpinquosibi xxiii. erbocolligit : & unũ altrinsecus posito oc donario
tresenimterbis x uii concluditur: hoc aut̃ uniuersaliter spe gulandũ . ẽ.
site traigonus tetrago num multi plic& sine dubio tetra gonus ꝑuenit:

Expanded text:
ione medietates constitui queunt, 12 scilicet et 18, namque 12 ne junguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque ex uno cubo qui propinquior est, una medietas duo latera colligit; ex alternatim vero posito, unum. In alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cubi, et in medio eorum duae medietates quas superius diximus, 8, 12, 18, 27, octonarii igitur latus est binarius, bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetrag
Abbreviated transcription (Latin):
cium exnatuli numero ad iecero scđs̃ mihi opere : &c actu triangulus procreatur:
uꝑ unum onim &eduo sitercium id est ternarium ad gregauero senariũ ex tendit
Scđs̃ scilice triangls : Huic uero si consequentem quater nariũ suꝑ posuero: denarius ex pli¬
catur: Quiest tercius ac tu triangulus: quos ꝑlatera disponens: ad superioris
discripcionis exemplar cunctos triangulos numeros. sine ullius dubitacionis
erroribus.ꝑ notabis : & quantas ultimus numerus inse unitates habet
quẽ superioribus ad gregabis. tot ipse qui sit triangulus unitates habebit in
latere :¬
Nam ter narium qui est primus actu triangłs adiectobinari¬
ounitatifeceramus : At hic duos hab& in latere : & senarium his adecta ter¬
narii quantitate produximus cuius latus salitres continent: Et ideꝰ in aliiscuno¬
tis quođ uni tates habentem numerũ superioribus ad grega ins. tot uni tatibus eius
tudinẽ pandit. Sed nontribus angulis ut superior forma sed quat tuor: Ipseꝗꝗ

Expanded text:
ium ex naturali numero adjecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium, aggregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latereNam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus tudinem pandit, sed non in tribus angulis ut superior forma, sed quatuor. Ipse quoque
Abbreviated transcription (Latin):
uus & quic quid quorum partes propriis extremitatibus terminantur
& ab alterius fine discr& a sunt His proprium nomen est multitudo
Rur sus multitu dinis cclia sunt perse. ut tres. uel quatuor. uel t&ra gonus.
uel qui lib& numerus : qui ut sit nullo indig& Aliauero per se sẽipsa non

Expanded text:
uidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel tetragonus, vel quilibet numerus, qui, ut sit, nullo indiget. Alia vero per seipsa non
Abbreviated transcription (Latin):
unde formȩ solidȩ triainter ualla dicuntur babere: Est unum interuallum a
primo ase cundum & a secundo ad tertium & atertiu ad quartum quȩ scilicet¬
ẽ. post trema distantia. Rec teigitur & pla nȩfigurȩ duo bus interuallis & solidȩ
tbus contineri dicuntur: Sint enimduo tetra goni iiuscili c& & unuirhorũ

Expanded text:
Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum, et a secundo ad tertium, et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horu
Abbreviated transcription (Latin):
p̃ rostornimeroꝵ uffronationẽ qua si quidam fertor animus puraintollẽgeotia reboratus adstringit & hasquodã
mado in aequalitatis formas temperatabonitate canstituit. Hlocaũt erit ꝑspicuũ suntellegamus
om̃s in aequalitatis species abqualitatis creuisse primordus. ut ipsa quod ãmodo aequitas matris &

Expanded text:
 immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et do inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris
Abbreviated transcription (Latin):
lia duo diuidi unomedio non intercidente: Impar uero est. quem nullus in ae¬
qualia diuidit. quod in medio praedictus tnus intercidat. & haec quidem hu

Expanded text:
lia duo dividi, uno medio non intercidente. Impar vero quem nullus in aequalia dividit, quin in medio praedictus unus intercidat. Et haec quidem huj
Abbreviated transcription (Latin):
corpora quattuor non ignoramus efficere.namq ut ait ex imbri. terra. anima.
gignuntur & igni: Sed in hȩc rursus eius quattuor elementa: fit postrema
solutio: Ita igitur qm̃ ex ȩqualitatis marginẽ. cunctas in ęqualitatis spoties

Expanded text:
corpora non ignoramus efficere. Namque ut ait ex imbri terraque omnia gignuntur et igni; sed in haec rursus ejus 4 elementa fit postrema resolutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine cunctas inaequalitatis species
Abbreviated transcription (Latin):
Uidetur aut̃ quem ad modũ in planis figuris triangulus numerus primus est : sic in
solidis qui uocatur prramidis ꝓ funditatis eẽ principium: Omĩ um quippe ratarum in

Expanded text:
eciebus. Videtur autem quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in
Abbreviated transcription (Latin):
plicatus habebit quidem suꝑficies auquorum singula planitu do. tetragono illi priori
ae qualis est. latera uero .xii. quorum unum qđ q singulis hisquȩ superioris fuere tetra

Expanded text:
plicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetra
Abbreviated transcription (Latin):
sũ ordine ponitur ad gega tur: & ni uero pentagonus ex nouenario suꝑse qua drato
angulo &xXXxV. &XXΩ. &a in ordinem adeundem modum intuentem nulla cunc ta

Expanded text:
um ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, iangulo, et 35 ex 25 et 10, et in ordinem ad eumdem modum intuentem nulla cuncta
Abbreviated transcription (Latin):
creatis. Nã cũ ui exbinario ternarioq nascuntur tres binarium numerũ uno superant
cunctiq alii eiusdem modis̃. ut primo & scđo ordine ad alterutrum multi plicatister¬
minis ꝓoresitur. Ita ut quod nascetur exduobus longilateris altrinsecus positis &bis

Expanded text:
creati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis
Abbreviated transcription (Latin):
tione proponitur: & extremorũ cum iunctio duplexerit ꝓpͥȩ mȩdi¬
etati: Siue int̾ .iiii. quiest tertius ter minus. ȩqua parte quarti.
quartum terminum superet. & ȩqua primi apͥmo supepe tur:
Armonica huimodi ꝓporciome dietas que per spicitur & quod con¬
tinetur subextre morum adgregatione & multipli catione medietatis
duplec est e quol sub utraque extremitate c̃ficitur: sitaut̃ qđ dam huiꝰ
dispositiones &xemplar hoc moclo Ui .uiii.uiii.xii: basigitur om̃s solidas
quantitatos eẽ non dubium est sexenimnas cuntur &x unobis ter: duode¬
cim autem duobus ter: horumautẽ medietates ortonarius sit semel

Expanded text:
tione proponitur. Et extremorum conjunctio duplex erit propria medietate. Si vero inter quatuor qui est tertius terminus, a qua parte quarti, quartum terminum superet, et aequa primi a primo superetur, harmonica hujusmodi proportio medietasque perspicitur: et quod continetur sub extremorum aggregatione et multiplicatione medietatis, duplex est eo quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus dispositionis exemplar hoc modo, 6, 8, 9, 12. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, 12 autem ex bis duo ter. Horum autem medietates, octonarius fit semel
Abbreviated transcription (Latin):
ne : ut est quaternarius al ternarium inuius modi armonicis medietatib in ue¬
nitur: sint enim enis modi armonicȩ medietatis termini. quorum &tremi dupli
sint &rur sus enis aliauius modi dis positio quorum extremitripli. Itnsnuuir¬
III.III.Senarius igitur ad ternarium du plis estdemautem maliadis positi¬
cem conparemus. Epitrita ꝓporcio colligit᷑ : undechatessaron smphonia ressonabit
int̾itresenim & uit̾ narius estait᷑ interbinarium & senarium quater narius.
qui sibim& c̃parati ses qui tertiam efficiunt ꝓpor cionem: cumunctus numer& qͥ nario¬
neadem quoq medietatem& diapente sim pho¬
nia con ponitur quam ses qualtera habitudo
constiit: Nam mutris que. dispositionib his

Expanded text:
ne, ut est quaternarius ad ternarium, in ejusmodi harmonicis medietatibus invene, ut est quaternarius ad ternarium, in ejusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum extimi dupli sint, et rursus alia hujusmodi dispositio quorum extimi tripli. Senarius igitur ad ternarium duplus est. Idem autem in alia dispositiad se invicem comparemus, epitrita proportio colligitur, unde diatessaron symphonia resonabit. Inter 3 enim et 6 ternarius est, et inter binarium et senarium quaternarius, qui, sibimet comparati, sesquitertiam efficient proportionem. In eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his
Abbreviated transcription (Latin):
Consideran dum forsitan uicleatur cur hano armonicã¬
me dieta tem uoce mur cuius hec ratio est. qm̃ arithme tica dis positio ȩquas tan¬
tum ꝑ differentias diuidit quantitates. geumetrica uero terminos a equa
ꝓporcione coniungit: atueroar monica adaliquid quo dam modore lata
consideratione neq solum in terminis speculationẽ ꝓporcionis hab&: neq so¬
lum in differentiis sedinutris que conmuri t̃ querit enĩ ut quemad modum st̃
adse extremit̃mini. sic maioris ad me dii differentia contradifferentiam mecli¬
etatisultimi adaliquid autem considerationem armonicȩ ꝓprie eẽ in pͥmi
li brirerum tininium diuisione muns trauiitius. ipsarum quoq musicarum c̃so¬
nantiarum quas simpho niasi consonantia nominant ꝓpor ciones in hac penesola
medietate fre quenter inuenies: Namq simphonia diatesaron quȩ princep
.ẽ. quoclam modouim obtinens elementi constituitur stilic& in epitrita ꝓporcio¬

Expanded text:
Considerandum forsitan videatur cur hanc harmonicamedietatem vocemus. Cujus haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione conjungit. At vero harmonica ad aliquid quodammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia, contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniae proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportio
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓfomnditatẽ : Nã quaternarius tetragonis duos habet in latere. & natus est &xbis duo¬
bus bis enim duo quatuor faciunt: hosergo duos & ipsius latere simulti plices aequass¬
ter cybiforma nascetur: Nã sibis benosbis facias octonaria quantitas crescit: & est
primus inc cybꝰ : .VIIIi. uero tetragonus. qm̃ tres hab& in latere. & factus est &xtribus mul¬
tiplicatis sieiunam lateris multiplicationẽ ad inxeris. rursus aliuscrbus ae quabili
laterum formatione concres cit: terenm. tresauiii. si tertio duxeris . xXIII. elbifigu¬
ra ꝓducitur & xuii. qui est ex.iiii. siquater auges cat . Lx.iiiͦi. cibus pari laterum di¬
men sione cras sabitur: Et se quentes quidem tetragoniscłm eumdem modum multi¬
plicatione facta ꝓuesuntur : tot aut̃ ne cesseẽ unita tes cybus habeat in latere : quot ha

Expanded text:
funditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetragonus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione crescit. Ter enim tres si tertio duxeris, 27 cubi figura producitur. Et 16, qui est ex 4, si quater augescat, sexaginta quatuor cubus pari laterum dimensione crassabitur, et sequentes quidem tetragoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, quot ha
Abbreviated transcription (Latin):
acies ergo ita : pones ÷ eiq ad gregabis ii . tum respicis exhacad¬
gregatione quinumerus factus sit III. quiscilic& primus & in com¬
positus est: & post unitatem ultimum binarium Numerum ad gre¬
gaueras: sugitur ternarium idẽ qui excoa ceruatione colles tusẽ
perbinarium multiplices quiest ultimus ad gregatus. ꝑfec tussine ulla
dubitatione nasc&ur: bisenim ii sexfaciunt: quihab& unam quidẽ
de nominatam partem idẽ sextam : NII uero medi&atem: secundã

Expanded text:
acies ergo ita: pones 1, eique aggregabis 2; tunc respicies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sextam
Abbreviated transcription (Latin):
Namq & .iIII. ad uobus & ui adiii. eodem binariodisteoit insequentibus
&iã eodem molo sicut in primis fu it ratioconstat Nam eadem ꝓportio ẽ¬
indifferentiis non eis dem namini. adui.& ui. ad uiiii. ses qualte p̃portione
iunguntur. Sex autem qua ternarium duobus. Nouem uero senarium ui
prȩtereumt᷑.: insequentib etiam ea demratiosperula bitur. & sem ꝑ alter na¬
tim Nunc quidem eaedem ꝓportiones. aliȩ differentiȩ sunt: Nunc aut̃
ordine ꝑmutatio eisdem differentus aliȩ ꝓportiones : sem ꝑq inquibus differ̃
scđm natura lis numeri ordines tetragoni. Etpar tealtera longiores se se su

Expanded text:
atuor a duobus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 autem quaternarium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese su
Abbreviated transcription (Latin):
NTERON NES PRIS CE AUC EO RITATIS UIROS QUIETI¬
tagora duce puriore mentis ratione uiguerunt constare mani festum est
Naud quem quam in philosophiae disciplinis ad cumulum ꝑ fectionis euade re
Nisi cuitalis prudentiae nobilitas. quasi quodam qua druuio uestigatur. quod
recte intuentis sollertiam non latebit ESt enim sapientia rerum quae
sunt suiq immutabilem substantiam sortiuntur: comprehensio ueritatis
ł St autem illadicimus. quae nec in extensione crescunt xecr&ractatione

Expanded text:
omnes priscae auctoritatis viros qui, Pythagora duce, puriore mentis ratione viguerunt, constare manifestum est haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadrivio vestigatur, quod recte solertiam intuentis non latebit. Est enim sapientia rerum quae sunt suique immutabilem substantiam sortiuntur comprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt, nec retractione
Abbreviated transcription (Latin):
sisit in .iIIͦI. t̃minis dis iuncta ꝓportio qđ fit subutrisq &xtre mitatibus id ex¬
duarum medie tatum multiplicatione concrescat : ut sisint duo. iiii uurxui
qđ fit exbis xiii. id ex quat̃. uureddatur: Exemplar aut̃ nobis maximũ
certissimũq fit illud ubi ex equalitate diximus om̃s me qualitates species
fondi: Illic enim inomnibus. ł multiplicibus. ł suꝑ parcientibus. ł suꝑ par¬
ticula ribus. ł inceteris coniuuctis. geume trica ꝓporcionalitas custo ditur:

Expanded text:
si sit in quatuor terminis disjuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat. Ut si sint 2, 4, 8, 16, quod fit ex bis 16, id ex quater 8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim, in omnibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, vel in caeteris conjunctis, geomet
Abbreviated transcription (Latin):
modi continetur quorum latera ñ possid& unitatis differentia. sedalioꝵ
quorũ cumq numeroꝵ ut terquinq łter sex: ł quater septem: quodammo¬
doeni Iongitudine in proxi orẽ modum porrecta mentoanteriore parte lon¬
gior dr: Cura ũ parte alte ralongiores numeri dicantur. supra iam dictumẽ:
qua diratiuero quõ ae quam latitucsinẽ. Longitu dini gerunt propͥȩ longitudinis.
uebenef ueleniflem latitudlinis aptissime uocabuntur: ut bis duo tertres. qua¬
ter quatuor & ceteri: par te altera uero longiores quod non eadẽ longitudine
uod omnia exeiusdea naturae talt FRIusnatura consistant
Imne autem quicquid in propria natura substantiaeq eẽ ammo bileter

Expanded text:
modi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter 5, vel ter 6, vel quater 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores numeri dicantur, supra jam dictum est. Quadrati vero, quoniam aequam latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine cantur CAPUT XXXII. Quod omnia ex ejusdem natura et alterius natura consistunt, Omne autem quidquid in propria natura substantiaque est immobile, ter
Abbreviated transcription (Latin):
effici& formã. Posthos nascuntur comites qui sub suꝑ partientes uocantur. Hiaũt s̃ qͥ habentur ab
alio numero & eorum ł duae ł tres ł quattuor ł quolib& aliae partes. Siergo numerus alium in¬
trase numerum habens eiusduas partes habuerit suꝑbi partiens nominatur. Sinuero tres super¬
tripartiens. Quod si quattuor super quadri partiens: Atq ita ꝓgredientibus in infinitum fin¬
gere nomina lic&. Ordo aũt eorum naturalis : quotiens disponuntur a tribus om̃s pares atq in¬
pares numeri natura liter constituti. Et subhis aptantur Alii qui sunt aquinario numero in¬

Expanded text:
efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae, vel 3, vel 4, vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quoties disponuntur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero in
Abbreviated transcription (Latin):
duobus numerisnunc quidemarithmeticam. nunc uerogoome tricam:
nuncaut̃ armonicã medietatem &x periamur inserere : ut rectum ꝓpriumq
medietatis nomensit. qđ manentibus. &tremitatibus hucaq illuc ferriper¬
tatem differentiarum tantumratio ȩ quabilitasq: seruetur: Cum uerogeo¬
me tricamrata sepro por cionum iunctura custodiat: Sinautem armonica
fiat differentiarum c̃paratio: ab terminorum ꝓporcione non discre p&:

Expanded text:
duobus numeris, nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc autem harmonicam medietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus extremitatibus huc atque illuc ferri pertatem differentiarum tantum ratio aequalitasque servetur. Cum vero geometricam, rata se proportionum junctura custodiat. Sin autem harmoni a fiat differentiarum comparatio, ab terminorum proportione non discrep
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓficisci uidemus. omnis in ȩqualitas a nobis ad ȩqualitatem rursus uelut ad
quoddam elementum ꝓprii generis resoluatur: Hoc autem trina rursus impe¬
ratione colligitur ea que rȩsoluendi ars. datis quibus libet tribus terminis in

Expanded text:
ficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitem rursus, velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars. Datis quibuslibet tribus terminis, in
Abbreviated transcription (Latin):
ita singillatim specebus quinq maioris. hisquae supra dictaesunt op
cularis: sub superpartiens: multiplex. subsuper particulariss&
multipler sub suꝑ partiens.
DEMULTI PLI CI EIUSQ SPESIEBUS EARUM SENERATIONIB
ursus multiplex ẽ prima. pars maioris in aequalitatis. cunctis alus
antiquior Nataraq: praestantior ut paulo post de monstrabit᷑:
Hic autem huius modiest. ut cam paratus cum altero illum con¬
tra com paratus est. habeat plusquam semel. quod primum innatu¬
ralis numeri dispositione conueni&: Namq: adunum. Euncti quise¬
multiplices quantitates: Quod autem dictumẽ. plusquam semel.
id abimario numero principium capit. & in infinitum ꝑternariũ
qua ternariumq: & c&erorum ordinem sequentiumq: progreditur:
Contra hunc uero dis criminatusest ille qui uocatur sub multiplex
& haec quoq prima minoris quantitatis species est: Hic autem nu¬

Expanded text:
ita singillatim specibus quinque majoris his quae supradictae sunt opita singillatim specibus quinque majoris his quae supradictae sunt opcularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis, et multiplex subsuperpartiens.De multiplici ejusque speciebus, earumque generationibus. Rursus multiplex est prima pars majoris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus hujusmodi est, ut comparatus cum altero, illum contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti qui semultiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus quam semel, id a binario numero principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille qui vocatur submultiplex, et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem nu
Abbreviated transcription (Latin):
amicus ẽ uicinusq: uicino: itan aequalis. aequalibus : In aequalis
uero quantitatis gemina diuiaest: secatur enim quod in aequale
est: in mauis atqminus. quaentraria sibim& denominatione
finguntur : Namq maius mino maus est. &minus maiore minꝰ ẽ
& utraq non eisdem uocabus. quemad modum secundum ae¬
qualitatem dictum est. sed diussis distantibusq signata sunt. am
modum discentis scilic&. ueldcentis. uel cedentis. uel uapulantis.
uel quaecumq: ad aliquid relta. aliter denominatas contrariis
aioris uero i aequalitais. quinq sunt partes: Est enim i¬
una quae uoiatur mulaplex. Alia suꝑ particularis. Ter
tia super partiens. quata multiplex super particularis:
Quinta multiplex siper partiens: Hisigitur quinq partibus ma¬
ioris: oppositȩ sunt aliae quinq partes minoris. quem ammo dũ
ipsum mauis minosi semper opponitur: Quae minoris species

Expanded text:
amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali. Inaequalis amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali. Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in majus atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque majus minore majus est, et minus majore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis ajoris vero inaequalitatis numeri quinque sunt partes: est enim una quae vocatur multiplex, alia superparttia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque majoris partibus, oppositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum majus minori semper opponitur, quae minoris species,