comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
÷si ponantur t&ragoni ex superius descriptis id est primus
& secundis &inunum colligantur : & medius corum paste
altera longior bis multiplic&ur tecragonus sir:
Namque unus & quattuor siiungantur .v. faciunt eorum
binarius paste altera longior bis. ducatur : iiii. faciunt : qui
iuncti .viiii sine ulla dubitatione conficient : qui est numeris
quadratus : & ad eundem modum in aliis hoc modo dispositis
numeris quos supra descripsimus : idem constat intellegi
siuero conuestas : &inter duos primum & secundum paste
altera longiores. secundum t&ragonum ponas : qui in ordine
quidem secundus est : sed actu & opere primus: ex duobus
paste altera longiorib: congregatis : & bis multiplicato medio
t&ragono : rursus t&ragonus conficitur : Namque inter sex¬
& binarium numerum : qui sunt primus. & secundus paste altera
longiores : siponatur quaternarius ordine secundus primus
actu t&ragonus & coniungantur. II. &ui faciunt viii :¬
tum sibis ducantur medu. quattuor faciunt. rursus octona¬

Expanded text:
ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et 4, si jungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quatuor faciunt, qui juncti, 9 sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur. Namque inter 6 et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et conjungantur duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt rursus octona
Abbreviated transcription (Latin):
citas erit : quam prima consideratio inuenit interminis
ut subiecta discriptio mon&.
ullugitur dubiu messe potest quod cumom̃s termini
duplisintia differentiae quoque eorum termi¬
norum duplȩ esse uideantur : ut uno minus termino
indifferentiis õmnes poenedis positos sub terminos quorũ s̃
ipsȩ differentiae superiorordo reddiderit : est&am
aliud proprium: quod omnis adminorem i adorterminus

Expanded text:
citas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subjecta descriptio monet. Nulli igitur dubium esse potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem major terminus
Abbreviated transcription (Latin):
tuoꝵ illifocto uelis adiungere : & his xvi: & hisxxxii: & de¬
inceps duplos quis equntur : fit in omnibus duplaꝓportion ali¬
tas exproportionibus duplis : Igi tur quotiens unus tacor
idem terminus itaduobus circum seterminis cornið¬
nicat: utadunum dux sit ad alium comes: Haexꝓportiona

Expanded text:
tuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et detuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportiona
Abbreviated transcription (Latin):
uelqt̃ lib& proportronum ad suptio ad unũmatq collectio: ut aũ
communit̃ definiam as proportionalitas ẽ duarum uel plurium
ꝓpostium similis habitudo &iam sinon eisdem quantitatibus
& differentus constitutȩ sint : Deferenti a uero est Interniumeros
quantitas : proportio duorum terminorum ad seinuicẽ quaedam
habitudo : & quasi quođa modo continentia : quorum compositio
quod efficit : ꝓportiona leest ex comiunctis enim ꝓ portionib: ꝓpor¬
tionalitas fit : intribus aũ terminis. minima ꝓportionalitas in¬
uentur : Fit&iam in plurib: sed longior : utbinarius ad unum
qm̃ duos̃ termini : duplam obtin& ꝓporcionem : sinuero .iii.
comtra duo conpares a hicquoq: duplu ꝓportio est : quostres. ter¬
minos sicontinue consideros : ex duabus ꝓportionib sitp¬
portionalitus : & est ꝓportio nalitas ÷ ad .ii. & duo ad .iiii.
÷ enim ꝓportionalitus ut dictum est : collectio ꝓportionum: in
unumq: redactio : fit&iam & in longio ribus: Mamsiquat¬

Expanded text:
uotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros antitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unumduo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si qua
Abbreviated transcription (Latin):
proportionis quantitas custoditur: Harum uero me¬
di&atũidest arithin&ĩcae atquear monicae. geo m&rica
proportionalitas media es senotata est : quaeuel in

Expanded text:
proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in
Abbreviated transcription (Latin):
tia sumia relinquitur : testium terminum constituemus : Videbi s igitur hoc facto :
in minorem modum summas reuesti : & ad principaliorem habitudinẽ c̃omparatio¬
nes ꝓpostionesq reduci : ut si sit qua drupla proportio p̃rimo adiriplam: Inde
adduplam : Inde idie qualitatem usque remeure : &sisit suꝑ pasticularis sesqui

Expanded text:
tia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare. Et si sit superparticularis sesqui
Abbreviated transcription (Latin):
Atq haec quidẽ duplex ses snn UI uim¬
qualtera sũma ꝓducta est :
si uero sesqui tertiũ non conuersũ ponamus . duplus suꝑ¬
ses qui tertius inuenitur : ut subiecta discriptio docet :¬
ordinatĩ scđm superiora p̃cepta dis ponamus multipli¬
ces suꝑ partientes ordinatĩ ꝓgenitos repperiemos dis¬
ponatur. suꝑ partientis haec formula :
primo aequus : id .ẽ .u.nii : secundus primo & secuñdo :

Expanded text:
haec quidem duplex sesquialtera summa producta est. Si vero sesquitertium non conversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subjecta descriptio docet. Aordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula: primo aequus, id est 9; secundus primo et secund
Abbreviated transcription (Latin):
XUI . scđ primo & secundo : idẽ xxviii : tertius primo :
duobus secundis & tertio idẽ xluini : Omnisergo summa
disposita suꝑtripartientes efficia :
Pursus si sesqui quartũ eodẽ modo
uesteris suꝑ qua dri partiens statĩ quantitas pereabitur: ut
est ea forma quã suppositã uides : o¬
laribus & suꝑ partientibus multiplices suꝑ particulares ł
multiplices suꝑ partientes nascantur ostendere : quorũ
binas tantũ faciã diseriptiones : Nãq: si rectũ & non con¬
uersũ ses qualterũ ponimus duplex suꝑ particularis cres¬
cit: sit enĩ hoc modo: unUi uii¬

Expanded text:
cundus primo et secundo, id est 28; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet. Rursus si sesquiquartum eodem modo teris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides. Rlaribus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatu
Abbreviated transcription (Latin):
Iocirco quod primus ab unitate disiungitur atq: ideo alterit¬
tis cuius dam principium fuit quodabilla prima & semꝑ eadẽ
sub stantia : sola tamt est unitate dissimilis: Meri toergo di¬
centur hinumer paste altera langiores quod eoram Fatenrtur
unius cantsest adiecta numerositate p̃cedun : Argum̃tum
autem est al teritatem. In binario numero luste constitiuis
quod non dicitur al terum nisieduob ab his lnterquos bene¬
loquendi rationon neglegitur : Amplius quod in parnume¬
rus sola ꝑ fic̃i unitatẽ monstratus est : Par uero sola dualitate
Idest solo binario nũmero : Nam cuius cumque medi&as est
unusille in par est : Cuius uero .iI hic paritate recepta Ingemina

Expanded text:
idcirco quod primus ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos beneloquendi ratio non negligitur. Amplius quod irus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina
Abbreviated transcription (Latin):
cundo idest xii : Tertius primo duo bus secundis : & tertio ȩquus
idest xui:
ursus secunta species suꝑparticularis numeri: id est ses quiter¬
tius ꝓereatus e qđ siidẽ dequa druplo quis facere uelit :

Expanded text:
 tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est 16. Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit
Abbreviated transcription (Latin):
onem quam fecimus : cumde super partioulari. & mulcipli¬
cilo queremur: ubi ab unousque indenariam multiplica¬
tionem summa concreuit : diligens uelimus acumen inten¬
dere ad primum enim uersum omnes quise quuntur cor¬
lati ordinatas conuenientesq multiplices species reddent :
siuero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis. apta¬
ueris : ordinatas species superparticularis agnoscos
quod sitertio ordini quicumque sunt in quinto uersu coripce¬
tes super partientis numeri species positas conuetuiencer
aspicies: multiplex uero superparticularis ostonditur cũ
ad secundum uersum omnes qui sunt quintiuersus sero no
conparantur: uel quisunt in septimo: uel quis untu  pouo
aequer suni finitumisit istadis eriptio : in infintun huus
ꝓroportoni i pecier procre abuntur: manifestums db prre

Expanded text:
onem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum aute
Abbreviated transcription (Latin):
&iam : eadem ratio speculubitur : & semꝑ alternatim
nunc quidem eȩdem proportiones aliaedifferentiȩ sunt
N unc autem ordin eꝑ metato : eisdem differentiis. aliȩ propor¬
tiones: semꝑque inquibus deferunt secundum natura

Expanded text:
iam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum natura
Abbreviated transcription (Latin):
triplisint: sub ponantur sub primo quadruplo primꝰ
triplus : subsecundo : secundus: subtestio : tertius : eodẽ
modo cuncti eiusdẽ primiuesus triplinor dinẽ dirigantur :

Expanded text:
tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigantur
Abbreviated transcription (Latin):
pendi quae interim propter castigatam introduc en¬
dibreuitatem : ignota es se permittimus : nuncuero ad
sequentia propositum conuertapius coNt DII+
XXUIII DTTERTI INATQUALITAIS SPEIT QUAT DICIDSI
SVPER PARTIENS DT Q SPTEIB EIUS TICUNERATIONE¬
itur post duas primas h abitudines multiplices e& sups¬
barticultrui ras que subipsis sunt sub multiplicese
sub super par ticulares : tertia in ae qualitatis species
inuenitur : quae a nobis superius superpartiens dista
est: h aec autem ẽ quae fit cumnumerus ad alium con

Expanded text:
pendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus. CAPUT XXVIII. De tertia inaequalitatis specie quae dicitur superpartiens, deqitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares, et eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium co
Abbreviated transcription (Latin):
Quod autem dico sibi m& similium tale est : ut dupli semꝑ multiplicitas ut
superius distinctum est sesqualteros ereet: & dux sit triplex : sesqui testio

Expanded text:
Quod autem dico, sibimet similium tale est, ut dupli semper multiplicitas ut superius dictum est sesquialteros creet, et triplex sit dux sesquitertio
Abbreviated transcription (Latin):
disputatio progreditur . si ab ea prius inchoandum sit
medi&ate : quae innumeri differentia non in ꝓportionis

Expanded text:
disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis
Abbreviated transcription (Latin):
fieri potest : ut cum una pars diuisionis parfuerit : Alia impar
inueniri quaeat. Aut cum una imparsit. Alia parpossit intellagi
Imparuero numerus est quiad quam lib& illã diuisionẽ ꝑ in aequalia
semꝑ diuiditur : ut utrasq species numeri semꝑ ostendat. Necum quã

Expanded text:
fieri potest, ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unqua
Abbreviated transcription (Latin):
AD IMPARIT ER PARIS NXTU¬
RAM PERTINENTIS
EXPOSITIO
uperius igitur digestae discriptionis. haec ratio est:
si ad latitudinem respicias ubi est duorum terminoꝵ
una medi&as ipsosq terminos iungas duplos eos me¬
di&ate propria repperies: ut xxXvi. &xx. faciunt
IvI . quorum me di&as ẽ .xxuiii . qui medius est in ter
eos terminus constitutus : & rursus .xxuiii. & .xii.
si iungas faciunt .X. quorum .xx medi&as : medi¬
us eorum terminus inuenitur: At uero ubiduas medi¬
& ates habait utraeq & tremitates iunctae utrisq
me di&atib: aequaler fiunt : ut .xii. & .xxxvi. cum
iunxeris. fiunt .xl .viii . horum sime di& ates sibim &
applicaueris idest .xx. & .xxuiii. idemerit atque
in alia paste latitudinis eodem ordine quifiant nu¬
merino tati sunt neq ulla inrentio utriusq: latitu¬
dinis discrepabit: idemq: in eodem ordine inc&eris
numeris pernotabis: & hoc secundum formam pari¬
ter imparis numerifit inquohanc ꝓpri& a temesse
supnriam dictum est : rursumsi ad longitudinem

Expanded text:
ad pariter paris naturam pertinentis expositio. Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est. Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos jungas, duplos eos medietate propria reperies, ut 36 et 20 faciunt 56, quorum medietas est 28, qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rursus 28 et 12, si jungas, faciunt 40, quorum 20 medietas, medius eorum terminus invenitur. At vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates junctae, utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 cum junxeris fiunt 48, horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit, atque in alia parte latitudinis, eodem ordine qui fiant numeri, notati sunt. Neque ulla in re ratio utrisque latitudinis discrepabit, idemque in eodem ordine in caeteris numeris pernotabis, et hoc secundum formam pariter imparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra jam scriptum est. Rursum si ad longitudinem
Abbreviated transcription (Latin):
eius pars ẽ isnumerus quiuo catur primus & in cõmpo¬
situs : secundauero qui est secundus & compositus & ter¬
tia is quiquad am horum medi&ate. coniunstus est : &
abutriusq cognatione aliquid naturaliter tnchit : qui

Expanded text:
ejus pars est is numerus qui vocatur primus et incompositus. Secunda vero, qui est secundus et compositus. Et tertia is qui quadam horum medietate conjunctus est, et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui
Abbreviated transcription (Latin):
longiores ficdic : poam si duos primo respezero huius modimihi¬
numerus occurrit:
Quifit exbis. uno: Cum uero duob
sequentes .iiii. iunxero paste altera longior rursus erit : senarius
scilic& : qui fit exbis tres : cui si sequentem ad gregauero : Nas¬
citur mihi duo denaria forma quaefit. ex quater trib: : Quod si
continuatim quis faciat cunctos huius modi Numeros in comp&enti
ordine ꝓcreatos uidebit : Quam discriptionem scilic& inferior
forma de monstrat:

Expanded text:
longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihinumerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat:
Abbreviated transcription (Latin):
numero cr̃bicȩ quantitatis latus coeperit : In eundem altraidinis
ex tremitas termin&ur : Numerus ille cydicus uel sphericus
appellatur : Vt sunt multiplicationes : quae aquinario uel a senario
proficiscuntur : Nam quinquies quinque quifitxxv: ab quinq
progressus In eosdem desinit quinque : & sihos rursum quinquies
ducas : In eosdem quinq: eorũ ter minis uemi& uinquies enim xxv
fiunt exxv : & si hos rursus quinquies ducas In quinarium numerũ
extremitas terminabitur : atque hoc usque in infinitum: Idem
semo eueni& : quod insenario quoque conuenit considerari ⁊¬
hi aut̃ numeri id circo crliauocantur: quod spherał circulus

Expanded text:
numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerarHi autem numeri idcirco cyclici vel sphaerici
Abbreviated transcription (Latin):
uos autem superius laterculos diximus : quae sunt & ipsȩ
quidem solidȩ figurae hoc modo fiunt: Quoties aequalib:
spatus in longitudinem latitudinemq porrectis m̃inor his
additur altitudo ut sunt huius moditres ter .bis. quisunt .xuiii:
uel quatiuor quater bis: uel alio quo modo : uthis in altitudinem
longitudinemq: aequis m̃in or altitudo ducatur: hidefiniuntur
hoc modo : laterculi sunt : quifiunt ex aequalib: aequalit̃ minus :
asseres uero : &ipsȩ quidem figurae sunt solidae: sed hoc modo :¬
ut ex aequalib: aequalit̃ ducantur in maius : Nam sia equa fuerit
latitudo longitudini : & maior sit altitudo illȩ figurae a nobis
asseres : A graetis docides nominantur : ut siquis hoc modo faciat :¬
quattuor quater nouies : quiinde procreantur : asseres nominatis:
Sphenisci uero quos cun eolos superius appellauimus : hi sunt qui
ex in aequalib: in aequaliter ducti : ꝑ inaequalia creuerunt :¬
Crbi autem : qui ex aequalib: ae qualiter : ꝑ aequalia ꝓducti sunt :

Expanded text:
uos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt. Quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis, minor his additur altitudo. Ut sunt hujusmodi 3 ter bis, qui sunt 18, vel 4 quater bis, vel alio quolibet modo, ut his in longitudinem, latitudinemque aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaequalia crevere; cubi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt.
Abbreviated transcription (Latin):
quastus p̃rimo adsesquitestium : Inde ad ses qualterum postremo ad tres equales
terminos redire : Hoc autem nos exempligratix̃ multiplici tantum ꝓpostionȩ
docebimus: Sollertem uero in aliis quoque in ȩqualitatis specieb id experien

Expanded text:
quartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesquialterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus. Solertem vero, in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experien
Abbreviated transcription (Latin):
ponant᷑ triplices superiores:
onuers oscilicet ordine sicut duplex : hic est quoque ordo dispositus :
ponat᷑ ergo primus primo aequus : idest .uiiii. secundus primo & se

Expanded text:
nim triplices superiores, converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Ponatur ergo primus primo aequus, id est 9; secundus primo et se
Abbreviated transcription (Latin):
Si cudine conpardur triplex specier multiplicitatis
hique senumeut ista conparatio perx lit teram fiatꝰ
hi que senumeri superabunt secundum paritatis fac¬
duopua turelite conexionem : primus enim primũ
duobus superat ut unumo uise Eindus eecum grimũ
qua ternerio utbinarium senariui itsiseuus centiu
Qumbt teruas oũ nouenarius: & ad eundem coeri mo¬
ctum prt eressionis augescunt quã remnobis seilicaerao
ipsanatilis obiedit integritas nihil nobis sctrana

Expanded text:
itudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per X litteram fiat. Hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum 3, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra
Abbreviated transcription (Latin):
titur: sed me di&atis obtinens terminum : suis ȩquus
partibus nec gnts satur abundantia : nec eg& inopia :
ut .ui. uel xxuiii : Namq: senarius hab& partem me¬
diam: idest .iii . & testiam : id est duo: & sextam : idẽ .i:
quae in unam summam siredactae sint : parto tum nu¬
meri corpus suis pastib: inuenitur : xxviii. uero hab&
pos sid& quastam decimam ii : & repperies in ea ui¬
cesimam octauam ÷ : quae inunum redacta totum par¬
tibus corpus ae quabunt : xxviii. enim iuntȩ pastes
efficient: AX. DECENERATIONE NVMTRIETRETUUE
st autem in his quoq magna similitudo uistutis & ui

Expanded text:
titur. Sed medietatis obtinet, qui suis aequis partibus nec grassatur abundantia, nec eget inopia, ut 6 vel 28. Namque senarius habet partem mediam, id est 3, et tertiam, id est 2, et sextam, id est 1, quae in unam summam si redactae sint, id est 3, 2, 1, id est par totum numeri corpus suis partibus invenitur; 28 vero habet possidet quartam decimam 2, et reperies in eo vicesimam octavam 1, quae in unum redactae, totum partibus corpus aequabunt, 28 enim junctae partes efficient. CAPUT XX. De generatione numeri perfecti. Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vi
Abbreviated transcription (Latin):
non natural: institutione formata sunt : Vt enim quinarii subiectam
notulam fingant de .u. uel denarii. quam descripsimus id est .x : & alias
huius modi non natura posuit : sed usus ad finxit : Quinque enim unos¬
uel decen: uel quot lib& alios llis notulis ꝓconpendio notare uoluerunt

Expanded text:
non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam descripsimus de X, et alias hujusmodi, non natura posuit, sed usus affinxit. Quinque enim vel decem, vel quotlibet alios illis notulis pro compendio notare voluerunt
Abbreviated transcription (Latin):
nem recipit. Sed ut in neutra diuisione ułim paritati paritas uł
paritati paritas misceatur : p̃t solum paritatis principem binariũ
numerum : qui in aequalem non recipit sectionem : Proptere a
qđ ex duab: unitatib: constat. & exprima duorũ quodã modo
pãritate. Quod autem dicotale est Si enimponatur parnume¬
rus potest induo aequalia diuidi ut denarius diuiditur inquinos
Porro autem & ꝑ inae qualia ut idem denarius in .iii. & uII.
sed hoc modo ut cum una pars fuerit diuisionis par: alia quoq
parinueniatur: & si un ampar reliqua ab eiusimparitate non dis¬
crep& : Vt in eodem numero qui est denarius. Cum enim diuisus .e.
inquinos uł cum in .iii. & septẽ . Vtraeq in utraq portione partes
impares extiterunt. Siaut̃ ipse uł alius numerus par diuidat᷑
in aequales. ut octonarius in .iiii.& .iiii. &item ꝑ in aequales. ut idẽ
octonarius. in v. & .iii : in illa quidem diuisione. ut raeq partes

Expanded text:
nem recipit, sed ut in neutra divisione, vel imparitati paritas, paritati imparitas misceatur, praeter solum paritatis principem binarium numerum, qui inaequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat, et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos. Porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in 3 et in 7. Sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una impar, reliqua ab ejus imparitate non discrepet, ut in eodem numero qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in 3 et in 7 utraeque in utraque portione partes, impares exstiterunt. Si autem ipse vel alius numerus par dividatur in aequales, ut octonarius in 4 et in 4, et item per inaequales, ut idem octonarius in 5 et in 3, in illa quidem divisione utraeque partes
Abbreviated transcription (Latin):
rus hab& unum sesqui tertium : id est .iiii. cuius quaternarii
testia pars. non potest inueniri : At que ideo hic epitrito car&:
Secundus uͦ qui est .viiii . hab& ad seduo denariũ numerum ses¬
qui testium : Duo denarius autẽ : qm̃ hab& tertiã partem
inses quitertia proportione : conparatur ad eũ numerus .XVI.
siti fuerint : rursus eandemuim ꝓportionis explebunt :

Expanded text:
rus, habet unum sesquitertium, id est 4. Cujus quaternarii tertia pars non potest inveniri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est novem, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium. Duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus sedecim, siti fuerint, eamdem rursus vim proportionis explebunt
Abbreviated transcription (Latin):
pl&: cuius senarius medi&as inuenitur: siuero fuerint
duaenne di&ates iunctȩ ipsȩ utrȩque aequales erunt
superse terminis constitutis: ut ẽ in hoc ordine :
cunt : quos senarius cum denario copulatus effici et:
atq hoc innumero siorib: terminis initio sumpto
amediis euenit usq dum ad extrema ueniatur :
medi&atis loco gemina & tremitate concluditur:
ut quo ab utroque discrep& eadem ad alter utrum

Expanded text:
plet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint plet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut est in hoc ordine, cunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatur. medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut qua ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum
Abbreviated transcription (Latin):
media progredienti. quod contin&ur subextre¬
mis terminis : idem ẽ. illi quod contin&ur sub in¬
trase positis sum mulis: atq: hoc idem᷑ usque
dum ad duas medi&ater fuerit uentum. Indis¬
positionibus scilic& parib: s̃ autem fuerint lmpa¬
res dispositiones quod ab una medi&ate con¬
ficitur: hocidem sub altrinsecus positis par¬
tib: procreatur: atq: hoc usq: dum ad extremi¬
tates ꝓcessio fiat: In ea enim dispositione quae
tiplicati : quod .iiii. per octonarium numerum
ducti: utroq: enim modo .xxxii. fient: quod
si inpar sitordo ut est .ii.iiii. uiIi. idemfacient.
nario inseducto perficitur: Innumero uero pariter
impari: si fuerit unus in medio terminus circum
sepositorum terminorum : si in unũ redigantur: me¬
di&as ẽ : & idem eorum quoq qui superhos sunt ter¬
minos medi&as ẽ: atq hocusq ad extremos omniũ
ter minorum: ut in eo ordine qui est. pariter in parcum¬
a numerum : ii.VI .X. iunctus binarius cum denario. .xii. &¬

Expanded text:
media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione quae tiplicati, quod 4 per octonarium numerum ducti. Utroque enim modo 32 fient. Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem facient nario in se ducto perficitur. In numero vero pariter impari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum si in unum redigantur medietas est. Et idem eorum quoque qui super hos sunt terminos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 ex
Abbreviated transcription (Latin):
quitas matris & radicis obtinens uimipsa omnes in aequa¬
litatis specier ordinesq pnofundat᷑ sint enim nobistres
aequales terminĩ id est .iii. unitates ueltres bini uel .ĩ.
terdi uel ũ quaterni uel quantor ultra lib& ponere
quod oniministis. trib: terminis euenit idem contingit
inc&eris : ee bis igitur secundum praeceptinostriordi¬
nem uideas primum nasci multi plices & inhis duplices¬
prius dehinc triplos deinde quadruplos& ad eundem
ordinem consequentes : rurmultiplices si conuertantur:

Expanded text:
quitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in his tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur
Abbreviated transcription (Latin):
in eos dem ipsos aquib: dicitur esse conpositus:
in eos scilic& : qui compositum numerum m&i¬
untur: nihil autem quod dissolui potest. in com¬
positum ẽ sed omnirerum nec essitate conpositũ:
DE EO QUI PERSE SECUNDUS ET COMPOSITUS E
ADALIŨ PRIMUS. ET IN CÕNPOSITUS
is uero contrase positis idẽ primo & in conposi¬
to : & secundo & conposito & naturali diuersitate
disiunctis alius in medio consideratur: qui ipse
quidem conpositussit & secundus: & alterius re¬
cipiens mensioñem : atq ideo & pastis alieniuo¬
cabuli capax: sedcum fuerit ad alium eiusdem ge¬
neris numerum conparatus. nulla cumeo comiuni¬
mensura coniungitur : nec habebunt pastes e quiuo

Expanded text:
in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem quod dissolvi potest incompositum est, sed omni rerum necessitate compositum. CAPUT XVI. De eo qui per se secundus et compositus, ad alium primus et incompositus est. His vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse quidem compositus sit, et secundus, et alterius recipiens mensionem, atque ideo, et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communinsura conjungitur, nec habebunt partes aequivo
Abbreviated transcription (Latin):
in ser&in & substantiam principalem cõmpositus que est &
aliis numeris hab&q partes & ase ipso & ab alie¬
nouo cabulo de nominatas: sed ase ipso de nomina¬
tam parten solam semꝑ in his repperies unitatẽ:
ab alieno uero uocabulo uel unam. uel quotlibet
alias quanti fuerint scilic& numeri quib ille cõnpo¬
xxxiII .xxxuiiii : Horum ergo singuli habent qui¬
dem ase denominatas pastes proprias scilic& uni¬
tates: ut .uiiii. Nonam idest unum : xu: quintam
decimam : eandem rursus unitatem : & inc&eris
quos suprac discripsimus idem conuenit: habent¬
&iam abalieno uocabulo pastem : ut .uiiii. testi¬
am idest ternarium: & xu. tertiam : idẽ u & quin¬
a momnib: aluis eadem consequentia ẽ secundus
autem uocatur hicnumerus qm̃ non sola unitate
m&itur : sed&iam alieno numero aquo scilic&
coniunctus ẽ neq hab& in sequicquam principa¬
lis intellegentiae : pam & aliis numeris procrepa¬
positus autem dicitur eo quod resolui potest

Expanded text:
in se retinet substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas, sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem, ab alieno vero vocabulo, vel unam, vel quodlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compo25, 27, 33, 39. Horum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes, proprias scilicet unitates, ut 9, nonam, id est 1; 15, quintam decimam, eamdem rursus unitatem, et in caeteris quos supra descripsimus idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut 9, tertiam, id est ternarium, et 15, tertiam, id est 5, et quinin omnibus aliis eadem consequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur, sed etiam alio numero a quo scilicet conjunctus est. Neque habet in se quidquam principalis intelligentiae. Nam ex aliis numeris procreapositus autem dicitur, eo quod resolvi potest
Abbreviated transcription (Latin):
exse quad ratos efficien : Disponatur enim naturalis numerus
siunum respiciam : primus mihi natus est potestate Quad ratus :
quod siuno relicto priori testium iunxero : secundus mihi quad ratus

Expanded text:
ex se quadratos efficiet. Disponatur enim naturalis numerus si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadratus
Abbreviated transcription (Latin):
inpentagono duob: intermissis eos iungebamus quise ternario
superarent : nunc in ex agono trib: inter missis eos iungemus

Expanded text:
in pentagono, duobus intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexagono, tribus intermissis eos jungemus
Abbreviated transcription (Latin):
tionis.¬
ad angulares te tntgo nos positorum unius anguluit
prima unitas alterius uero qui contnt eatertia Binue¬
pcalt insicus anguli secundas habent unitates : & duo
angularium te trtigonorũ anguli aequũ faciant euod

Expanded text:
tionisad angulares tetragonos positorum unius anguli, sit prima unitas, alterius vero qui contra est, tertia uni vero altrinsecus anguli secundas habent unitates, et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod
Abbreviated transcription (Latin):
xduplici Igitur & sesqualtero triplex ratio ꝓpostionis
exoritur : &in eas rursus resolutione facta. reuocatur:

Expanded text:
duplici igitur et sesquialtero, triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur
Abbreviated transcription (Latin):
rationon latebit: sit continua medi &as .i.ii. iii : hc unus
aduobus : & duo atribus : solistm̃ singũlis distant : & sunt ȩae

Expanded text:
ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eae
Abbreviated transcription (Latin):
idest secundum ternarium: qnm̃ coaceruatĩ
tres multiplicati sunt: xxUIII. aut̃: eodem modo
nascuntur : sienim super .i. & .ii. qui sunt tres ad¬
das sequentem pariter parem idẽ .iiii. septena¬
riam summam facies: sed ultimum numerum
quaternarium consequenter adiunxeras : Per
hunc igitur si illam coaceruationem multi pli¬
caueris perfectus numerus procreatur: septies
enim .iiii.xxxiii. sunt : qui ẽ suis pastib: par: ha¬
bens ÷ a sede nominatum : id .ẽ uice simum octauũ :
medi&atem uero secundum binarium .xiiii. secun¬
dum quater narium .uii : septimum uero secundũ

Expanded text:
id est secundum ternarium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo nascuntur. Si enim super unum et duo, qui sunt tres, addas sequentem pariter parem, id est 4, septenariam summam facies; sed ultimum numerum quaternarium consequenter adjunxeras; per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim 4, 28 sunt, qui est suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; medietatem vero secundum binarium 14, secundum quaternarium 7,
Abbreviated transcription (Latin):
tere : duos q̃q̃ hab& octonarius crbus : & qm̃ .viiii. t&ragonus
trib ꝑlatus unitatib signabatur : solo ternario .xxvis crbilatus
urge&ur  & qm̃ xuit& ragonus .iiii. unitatum latus habebat
potestate crbi quod est unitas unus erit in latere : Omnis enim
&ragonus una suꝑficies est quattuor angulorum totidem laterũ:
Omnis autem crbus qui ext&ragonorum suꝑ ficie in profundi¬
tatem corporis creuit : ꝑt& ragoni scilic& latus multiplicatus:
habebit quidem suꝑficies .vI: quos ingula planitudo t&ragono

Expanded text:
tere, duos quoque habet octonarius cubus, et quoniam novem tetragonus tribus per latus unitatibus figurabatur, solo ternario 27 cubi latus urgetur. Et quoniam 16 tetragonus quatuor unitatum latus habebat, iam vi et potestate cubi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono
Abbreviated transcription (Latin):
portione non discrep& : & sint quidem primopares po¬
sitae q̃ dam extremituter : interhus omnes medi&ates

Expanded text:
portione non discrepet. Et sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietates
Abbreviated transcription (Latin):
me di&atibus inuenitur: sintenim eius modi
armonicae medi&atis terminr̃ quorum
extremi duplisint : &rursus alia eius modi dispositio
quorũ extimi tripli :¬
enarius igitur ad ternanium: duplus estidem autem ialia
dispositione senarius adbinanum : triplus: horumigitur
si differentius colligamus : & ad seinuicem conparemus.
epitrita proportio collegitur: Vnde diates saron sympho¬
nia resonabit : inter .iii. enim &vi ternarius est : & interbi¬
narium & senarium : quater narius: sibim& conparati

Expanded text:
medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum extimi dupli sint, et rursus alia hujusmodi dispositio quorum extimi triplienarius igitur ad ternarium duplus est. Idem autem in alia dispositione, senarius ad binarium triplus. Horum igitur si differentias colligamus et ad se invicem comparemus, epitrita proportio colligitur, unde diatessaron symphonia resonabit. Inter 3 enim et 6 ternarius est, et inter binarium et senarium quaternarius, qui, sibimet compar
Abbreviated transcription (Latin):
xviii. c̃ficiunt: quod estprioris summȩ dimidium:
III
medi& atem uocemus: Cuius hȩc ratio est: qm̃¬
arii hm&ica dispositio a equastantum ꝑ differentias
diuidit quantitates : Geom&ricauẽro : terminos ȩqua
proportione coniungit :. Atuero armonĩcu adaliquid
quodam modo relata consideratio ne : ne que solum inter¬
minis speculationem proportionis hub& : Neques olum in
differentiis: sed in utrisque communiter: quaeritenimut
quemadmodum suntadse extremitermmni sic maioris
admedium differentia contradifferentiam medi&a¬
tis adultimum : ad aliquid autem considerationem
armoniae proprie eẽ : in primi libri rerumomnium
diuisione monstrauimus: ipsarum quoque musicarũ
consonantia rum quas srmphonias nominant : pro¬
portiones in hacpene solumedi&ate frequenter
inuenie s: Namque symphonia diateseron quȩ
princeps est. & quodam modo uimobtinens ȩlim̃ti.
constituitur scilic&inepitritu proportione. ut est
quater narius ad ternarium : in eius modi armonicis

Expanded text:
 conficiunt, quod est prioris summae dimidium. II. medietatem vocemus. Cujus haec ratio est, qarithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione conjungit. At vero harmonica ad aliquid quodammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia, contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniae proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium, in ejusmodi harmonicis
Abbreviated transcription (Latin):
ntriplici quoque dispositionesimul diapente & diapa son¬
DIAPASON
sr᷑phonia conponitur : seruans sesqualteram & duplicẽ
rationem: quod subiectu discriptio doc&

Expanded text:
n triplici quoque dispositione, simul diapente et diapason symphonia componitur, servans sesquialteram et duplicem rationem, quod subjecta descriptio docet
Abbreviated transcription (Latin):
spsa quoque circulus uel sphera est : quoties enim punctum multi¬
plicaueris inseipsum unde ceperat terminatur : sienim faciat
igitur siuna fuerit multiplicatio solam planitudinem reddit
multiplicatio effectrix semꝑ ÷ profunditatis : Ex .v. Igitur &V :

Expanded text:
psa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et
Abbreviated transcription (Latin):
admodum duo ad .i. sic uiii. ad iiii & conuersim. que ad¬
modum unus ad duo: sic .iiii. ad uiii: & ꝑmotatim : quẽ ad mo¬
dum .ini. ad .i. sic viii. adbinarium : secđm quantitatẽ uero
numeriut̃s II III.IIII : Quantum enimunus aduobis
uincitur : Tm̃ ternarius a qua ternario superatur : & quanto
duo unum uincunt tanto ternarium quaternarius transit:

Expanded text:
 quemadmodum unus ad duo, sic quatuor ad octo. Et permutatim, quemadmodum quatuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit
Abbreviated transcription (Latin):
tis duo decies enim .xcui. multiplicatis ĩ cLii. procreantur :
i &ipsas multipliceotur : eosdem. ĩ cLii. restituent: atque
hoc ẽ. adimitationem cognationemq numeripariter paris.
a quo participatione tracta haec ei recognoscitur ingenerata

Expanded text:
tis. Duodecies enim 546 multiplicatis in 152 procreantur, metipsas multiplicentur, eosdem in 152 restituent, atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei cognoscitur ingenerata
Abbreviated transcription (Latin):
participat numerus quiuocatur imparit̃ par. ViIII.
DENUMERO PARITER PARI. EIUSQ EPRIETATIB
Parit̃ parnumerus est : qui potest induo paria diuidi: eiq:
pars : in alia duo paria: partisq pars : in alia duo paria. ut hoc
toties fiat usq dum diuisio partium : ad indiui sibilem naturalit̃
ꝑueniat unitatem : ut Ixiiii numerus : hab& medi&atẽ xxii.
hic autem medi &atem xui: hic uero : vIIi: hunc quoq: quat̃ narius
in aequa partitur : qui binarii duplus est : sed binarius unitatis
medi&ate diuiditur : Quae unitas naturalit̃ singularis non recipit
sectionem : Huic numero uid&ur accidere : ut qͥuaecumq: eius fue¬
rit pars : cum nomine ipso uocabulo quȩ parit̃ par inueniatur :
Tum &iam quantitate : sedideo uid&urmihi hicnumerus. parit᷑
paruocatus. quod eius omnes partes : & nomine & quantitate u÷

Expanded text:
ocatur impariter par. CAPUT IX. De numero pariter pari ejusque proprietatibus. Pariter par numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut 64 numerus habet medietatem 32, hic autem medietatem 16, hic vero 8, hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate
Abbreviated transcription (Latin):
superiorib: triangulis : Nouem uero extrib: & sex : sed utrique
insequenti ordine quad ratorum constans atque inmutabilerep¬
peritur : Pentagonorum uero sum̃ mȩ cõnficiuntur. ex uno
suꝑse t&ragono : & altrinsecus triangulo constituto : Nam¬
quinque pentagonus ex quattuor suꝑse posito t&ragono
& ex uno qui intriangũlorum ordine ponitur adgregatur
XIi uero pentagonus ex nouenario suꝑse quadrato : & tribus
secundo triangulo nascitur : Xxii uero exsedecim. & sex qua¬
adeundem modum intuentem nulla cunctatio contrari&a¬
tis inpedi& : At uero si ex agonos librata examinatione
ꝑspicias ex eisdem triangulis & suꝑ positis pentagonis pro¬
creantur : Nam que sex exagonus ex quinario pentagano :
&uno qui est intriangulorum ordine dispositus nascitur: nec alia
est origo .xv. exagoni nisi exduo denario pentagono : & ternario
triangulo : Quod si xxuuii rursus exagonum ex quib: superiorib:
nas catur : ad discas inuenies nullos nisi xxii pentagonum : senariũq

Expanded text:
superioribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique in sequenti ordine quadratorum constans atque immutabile repperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto. Namque 5 pentagonus, ex quatuor super se posito tetragono, et ex uno qui in triangulorum ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, et tribus secundo triangulo nascitur. Viginti duo vero ex 16 et 6, quadinem ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumq