comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
uenit iđ .iͦ.: & senarius t̾narium sua medietate iđ
norum ẽ. neq st̃ e&dẽ differentie. Est aut quẽ ad

Expanded text:
uno; et senarius ternarium sua medietate, idnorum est, neque sunt eaedem differentiae. Est autem quemad
Abbreviated transcription (Latin):
Nunc aut̃ nobis dehis numeris sermo futurus ẽ qͥ circa
figuras geometricas. & earũ spacia dem̃sionesq uersan¬
tur . Iđ de linearib numeris & detriangularib ł qua

Expanded text:
Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesque versantur, id est de linearibus numeris, et de triangularibus vel qua
Abbreviated transcription (Latin):
pars. In alias ȩqͣs diuidi potẽ & iã aliqͣndo partes parti¬
ũ diuidunt᷑ ẜ ñ ut usq ad unitatẽ ꝓ grediat᷑. ȩqͣlis illa
inmedietates diuidi. & eorũ rursus partes in alias me

Expanded text:
pars in alias aequas dividi potest, et etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis illa in medietates dividi, et eorum rursus partes in alias me
Abbreviated transcription (Latin):
uirgularũ multitudinẽ ñ grauam̃ apponere. Cũ enĩ
quinq: uolumꝰ de monstrare. faciemꝰ quinꝙ uirgulas.
decẽ nihi lominꝰ : Quia naturalius ẽ quẽ lib& nume¬
rũ qͣntas inse retin&: tot unitatib designare quã

Expanded text:
irgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, 10 nihilominus, quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus designare qua
Abbreviated transcription (Latin):
sceps im¬
paris ordinis unitas. quȩ ipsa qͥdẽ effectrix &
qͦđa modo forma q̃dã ẽ imparitatis. Quȩ in tantẽ

Expanded text:
ceps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intant
Abbreviated transcription (Latin):
ñ isdẽ . Nãq duoꝵ atq unius. sola unitas differen¬
tia ẽ. S idẽ .ii. a qͣtnario solo binario relinquun¬
tur. Rurss suii adiii s. peculeris dupla ẽ ꝓ¬
poitio. Si .iIIi. ad .VI. habitudinẽ sesqͣlterã recog

Expanded text:
n iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recog
Abbreviated transcription (Latin):
Et qm̃ cuncti scđm unitatis speciẽ naturãq imparȩs
numeri formati sunt. qͥq ex his coaceruatis tetrago

Expanded text:
m cuncti secundum unitatis speciem naturamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetrago
Abbreviated transcription (Latin):
enĩ trib ut dictũ est t̃minis aequis ꝓ portionib ordina¬
tis. ut ultimũ semꝑ medio detrahamꝰ. & ipsũ quidẽ
ultimũ. pͥmũ t̃minũ collocemꝰ. qđ demedio relinquit᷑¬
scđm Det̃tia uͦ ꝓpositorũ t̃minorũ sũma auferamis
unũ pͥmũ & duos scđos. tos qͥdemedietate relicti sunt.
& id qđ ext̃tia sũma relinqͥt᷑. t̃tiũ t̃minũ c̃stituamus
Videbis gͥ hoc facto. in minorẽ mołũ sũ mas reuerti.
& ad pͥncipaliorẽ habitudinẽ cõparationes ꝓportionesq
reduci. Vt si sit quad rupla ꝓportio pͥmo triplam

Expanded text:
enim tribus ut dictum est terminis, aequis proportionibus ordinatis, ultimum semper medio detrahamus, et ipsum quidem ultimum, primum terminum collocemus, quod de medio relinquitDe tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum, et duos secundos eos qui de medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam
Abbreviated transcription (Latin):
inȩqualitatis speciẽ cunctis p̃posuimꝰ. pͥmãꝙ speciem
eẽ monstrauimꝰ. lic& hoc nobis posterioris operis or¬
dine darescat. Hic quoq ꝑstringentes id qđ ꝓposui

Expanded text:
inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposui
Abbreviated transcription (Latin):
ens ꝓportio cognoscet᷑. atq ita insequentib ꝑ om̃sdis¬
positos numeros in infinitũ species huiꝰ numeri con¬
uenientes ordinatasq respicies. At uͦ quẽ ad modum
singuli ꝓcreant᷑ si in infinitũ qͥs cur& agnoscere.: hic

Expanded text:
ens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur, si in infinitum quis curet agnoscere, hic
Abbreviated transcription (Latin):
Demaxima & perfecta symp honia
quȩ trib distendit᷑ inter uallis.
estat gͦ demaxima ꝑfectaꝙ armoni a disserere ꝗͣinit

Expanded text:
De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis. Restat ergo de maxima perfectaque harmonia disserere, quae t
Abbreviated transcription (Latin):
subiecta descriptio.
t uͦ triangula figura cũ eã qͥs ita diuiserit. in¬
alias figuras ñ resoluit᷑. nisi inseipsam. Intria

Expanded text:
subjecta descriptio. At vero triangula figura cum eam quis ita diviserit, inas figuras non resolvitur nisi in seipsam, in tria
Abbreviated transcription (Latin):
nica aut̃ medietate. eẽtrario euenire c̃tingit.
In minorib enĩ t̃min is. minores ꝓportiones. ĩ
maiorib maior ꝓportionis qͣntitas custodit᷑. Ha¬
rũ uͦ medietatũ iđ arithmeticȩ atq armonicȩ ge¬
ometrica ꝓportionalitas media ẽẽ notata ẽ. q̃ ł¬

Expanded text:
nica autem medietate, econtrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in majoribus major proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est,
Abbreviated transcription (Latin):
tis uis. Om̃is enĩ infinita & indet̃minata po¬
tentia ab ȩqͣlitatis natura & a suis se finib: con

Expanded text:
tis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia, ab aequalitatis natura, et a suis se finibus con
Abbreviated transcription (Latin):
d hunc modũ in infinita ꝓgressio ẽ. om̃sꝙ or¬
dine trianguli aequi lateri ꝓcreabunt᷑. Et
pͥmũ om̃iũ ponent id qđ ex unitate nascitus. T̃

Expanded text:
Ad hunc modum infinita progressio est, omnesque ordine trianguli aequilateri procreabuntur, et primum omnium ponent, id quod ex unitate nascitur,
Abbreviated transcription (Latin):
PΟrCΗΚEΙC ΕTERΟ ΜΙΚΕC Nos dicere pos¬
sumꝰ parte altera longiores qͣrũ figurarũ numerꝰ
hocmͦ definiendus ẽ. Parte altera longior ẽ nume¬
r̾ quẽ si in latitudinẽ describas. & ipse qͥđẽ qͣt uor¬
ꝓuenit laterũ & qͣtuor anguloꝵ. ẜ ñ cunctis a eqͣlib
s semꝑ minus uno. Nãq: nec latera laterib cunc¬
ta cunctis eqͣ st̃. neq longitudini latitudo. sut
dictũ ẽ. Cũ hinc altera pars maior fuerit. uno
tantũ minorẽ p̃cedit ac suꝑat. Si enĩ numerũ
tiplices. talis nascet᷑ numerꝰ: Uł si scđm ꝑt̾ciũ.¬

Expanded text:
teromikeis, nos dicere possumus parte altera longiores, quarum figurarum numerus modo diffiniendus est. Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum imum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secu
Abbreviated transcription (Latin):
& longitudinẽ latitudinẽq: in qͣdragenos det̃minat
uelit suꝑ iorib c̃parare. ꝑx. litterȩ formã ꝓ portione
clata quadrupli multitudinẽ ꝑ notabit. His que
ẽ ordinabilis suꝑ se ꝓgressio. ut pͥmꝰ pͥmũ tribus

Expanded text:
 longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem pernotabit. Hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus
Abbreviated transcription (Latin):
unũ ł bis duo.
iiii. ł bis .v. ł que lib& aliũ multiplic& qͥs qͥs hinc
nascit᷑ alius quã pͥmo fuerat inuenit᷑. Nascunt᷑ aũ
ex suꝑiori descriptione & expͥmo ordine om̃s tetra¬
goni hoc modo. Unũ si respexeris. pͥmꝰ potestate

Expanded text:
Nam bis duo, 4, vel bis 5, vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate
Abbreviated transcription (Latin):
qͦdã modo c̃tinentia. Quoꝵ c̃positio qđ effiẽ pro¬
portionale ẽ. Exiunctis .ii. ꝓportionib ꝓpor¬
tionalitas fit. Intrib: aut̃ t̃minis minima ꝓpor¬
tionalitas inuenit᷑. Fit enĩ in plurib sed longior. Ut

Expanded text:
ntia. Quorum compositio quod efficiportionale est. Ex junctis enim proportionibus prtionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut
Abbreviated transcription (Latin):
inc igitur siquis ad alias in eqͣlitatis species animum
tendat. eandem conuenientiã intitubant̃ inueni

Expanded text:
inc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveni
Abbreviated transcription (Latin):
ternarius sesqualter est duorum. Quatuor uero
sesquitercius ternarii. sed .iiii. duplus duorum
icgͥ sesqualt̃ & sesqͥt̃cius unũ dupli¬
cẽ c̃ponunt. At u si fuerint
medietas & duplus int̃ duplicẽ

Expanded text:
ternarius, sesquialter est duorum, quatuor vero, sesquitertius ternarii, sed 4 duplus duorum. igitur sesquialter et sesquitertius unum duplcem componunt. At vero si fuerint medietas et duplus, inter duplice
Abbreviated transcription (Latin):
sortit᷑ẽ. S. in c̃traria diuisione nat̾ȩ numeri parit̃
paris opponit᷑. Docebit nãq quã longe hic dissimi li
ratione diuidat᷑. Nã qm̃ par ẽ. in partes eqͣles recipit
sectionẽ. Partes uͦ eiꝰ mox indiuisibiles. atq insecabiles
les. mox enĩ hos numeros si ngemina fueris diuisione
partitꝰ in curris in imparẽ quẽ secare ñ possis. Acci¬
dit aut̃ his. qđ om̃s partes c̃trarie denominatas ha¬
bent quã s̃ qͣntitates ipsarũ partiũ q̃ denominant᷑.
neq umꝗͣ fieri potest ut quelib& pars huiꝰ numeri.

Expanded text:
sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles les. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri
Abbreviated transcription (Latin):
sitis aggregatur & ad eandẽ sequentiã cuncti pro¬
numeri exnaturalis numeri dispositione. Non
quẽ ad modũ suꝑiores trianguli ut ordinatis ad
se inuicẽ numeris congregent᷑. s uno semꝑ inter¬
misso qui sequit᷑ sicũ suꝑiore ł suꝑiorib colliga¬
tur ordinatos exse qua dratos offici&. Dispona t̃¬
enĩ numerus naturalis hoc modo.
x his gͥ siunũ respiciã. pͥmꝰ mihi natꝰ ẽ potestate qͣ

Expanded text:
sitis aggregatur. Et ad eamdem sequentiam cuncti pronumeri ex naturalis numeri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiori vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficiet. Disponatuenim naturalis numerus hoc modo: Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi nat
Abbreviated transcription (Latin):
differentia ẽ. Minor uͦ ẽ differentia octona¬
rii & senarii. iđ .ii. qͥsenarius adbinariũ tri¬
plus ẽ. & diapason simul & diapente conso¬
nantiã sonant. Illa uͦ maior consonantia quȩ
ẽ bis diapason ꝗ̃ ex quad ruplo fit in medii t̾mi¬
ni iđ octonarii & eiꝰ differentię cõparatione ꝑ

Expanded text:
tia octonarii et senarii, id est 2. Qui senarius ad binarium triplus est, et diapason simul et diapente consonantia sonant. Illa vero major consonantia quae est bis diapason, quae ex quadruplo fit in medii termini, id est octonarii, et ejus differentiae comparatione
Abbreviated transcription (Latin):
unũ latꝰ ex altrinsecꝰ posito xxuii. cybo. Bis enĩ bini
ter .xii. pandunt. Et xuiii. eadẽ ratione duo latera
aꝓpͥnqͦ sibi xxuii. cẏbo colligit. & unũ altrinsecus
posito octonario. Tres enĩ ter bis xuiii. condudunt.
Hoc aut̃ uniũsalit̃ speculandum ẽ. si te tragonꝰ tetra¬
gonũ multiplic& sine dubio tetragonꝰ ꝓuenit. Sin
uͦ parte altera longior tetragonũ multiplic&. ł te¬
tragonꝰ parte altera longiorẽ. Nũꝙ tetragonꝰ neq par

Expanded text:
unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem
Abbreviated transcription (Latin):
sitas. Et ut breuit̃ huiꝰ forma ꝓcreationis appa¬
reat. si cuncti impares sibim& apponantur
Collocato scilic& naturali numero : qͣdratorum
ordo texet᷑. Est &iã in his hȩc naturȩ stabili¬
tas & in mubilis ordinatio: Qđ tot unitates u¬
nus quisq qͣdratorũ retinebit in latere. qͣnti
fuerint numeri ad coniunctionẽ ꝓpͥã con¬
gregati. Nã in pͥmo qͣdrato qm̃ ex uno fit unꝰ
latꝰ texitur. Et in nouenario qm̃ trib nu¬
meris ꝓcreat᷑. latꝰ t̃nario continet̃ atq idẽ
in alus uidere lic&. DEPENTAGONIS. EO Q¬

Expanded text:
sitas. Et ut breviter hujus forma procreationis appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtitas et immobilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus latus texitur, et in novenario, quoniam tribus numeris procreatur, latus ternario continetur. Atque idem in aliis videri licet. CAP
Abbreviated transcription (Latin):
potestate pentagoni iđ unius. idẽ spatiũ u̾nus lateriste¬
net. Scd̃i uͦ quinarii quiest actu ipso atq opere primꝰ
pentagonꝰ bini ꝑ latera fixi sunt. Tercius uͦ iđ .xii. trib
in latꝰ auctus est. Quartꝰ xxii. qͣtuor numerorũ in la¬
tere qͣntitate distendit᷑. Atq idẽ in ceteris scđm unita¬
a scunt᷑ aut̃ hu numeri qui extensi in latitudinem
quinq angulos pandt̃ ab eadẽ nat̾alis numeri qͣn¬
titate in sese coaceruata. ita ut duob semꝑ inter

Expanded text:
potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet. Secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt. Tertius vero, id est 12, tribus in latus auctus est. Quartus 22, 4 numerorum in latere quantitate distenditur. Atque idem in caeteris secundum unitaNascuntur autem hi numeri qui extensi in latitudinem, quinque angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in sese coacervata, ita ut duobus semper inter
Abbreviated transcription (Latin):
Hoc aut̃ nos exempli grã in multiplici tantũ ꝓpor¬
tione docebimꝰ. Sollertem uͦ in alus qͦq in ȩqͣlitatis

Expanded text:
Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus. Solertem vero, in aliis quoque inaequalitatis
Abbreviated transcription (Latin):
ris numerͦ cũ ipse totius latitudinis ex ꝑs sit. In aliud
tam̃ spaciũ latitudinis extentinumeri sortit᷑ initium.
Suꝑficies quoq numerorũ cũ ipsa solidum corpꝰ nonsit.
Additatam̃ latitudini solidi corporis caput est. Hoc
autẽ planius his exemplis liquebit. Linearis numerꝰ
est. aduob inchoans adiecta semꝑ unitate in unũ¬

Expanded text:
ris numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit, addita tamen altitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans, adjecta semper unitate in unu
Abbreviated transcription (Latin):
ł si duo
semel. ł si tres semel. ł si .iiii. semel. ł si quẽ lib&
aliũ numerũ multiplic&: aqͣntitate sua isquẽ
multiplicat numer̃ ñ recedit. Qđ circa aliũ nu¬
merũ ñ potest inueniri. Paris uͦ ordinis bina¬
rius numerꝰ pͥnceps ẽ. Quȩ dualitas cũ in eođẽ
ordine paritatis sit : tũ pͥncipiũ totius ẽ al¬
teritatis. Nãq siseipsã multiplic& ł ꝑlati

Expanded text:
l si duo semel, vel si tres semel, vel si quatuor semel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet
Abbreviated transcription (Latin):
est & VIIII. ad senarium. eođe mͦ sesqlter. Hoc aũ
id cirto euenit. qđ singula latera singulorum tetra

Expanded text:
est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetra
Abbreviated transcription (Latin):
collectionẽ quartũ decimũ duo qͥ uocabulo mȩdietatis
opponitur. Ergo cũ hireꝑti sint sialios inuenire

Expanded text:
collectionem, quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire
Abbreviated transcription (Latin):
positione ab uno ł induplicib ł in triplicibu.
tal naturȩ ordo c̃serit᷑. ut nũꝙ nisi scđm im¬
parẽ locũ tetragonus inueniat᷑. Dispona¬
mꝰ enĩ in ordinẽ numeros pͥmo quidẽ duplos
deinde. triplos.

Expanded text:
ab uno, vel in duplicibus, vel in triplicibus talis naturae ordo conseritur, ut nunquam nisi secundum imparem locum tetragonus inveniatur. Disponamus enim in ordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.
Abbreviated transcription (Latin):
rib triangulis. Nouẽ uͦ extrib & sex. s utriq sunt
XU. Iđeq insequenti ordine qͣdratorũ c̃stans atq
in mutabile reperit᷑. Pentagonorũ uͦ sũ mȩ confi¬
ciunt᷑ ex uno suꝑ  tetragono & altrinsecꝰ triango¬
lo c̃stituto. Nã quinq pentagonꝰ ex iiii. suꝑsepo

Expanded text:
ribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique sunt 15. Idemque in sequenti ordine quadratorum constans atque immutabile reperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto.
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicatis . ĩ . cLii. ꝓcreant᷑. duȩ uͦ eorũ medie¬
plicent᷑. eosdẽ ĩ. clii. restituent. Atq hocẽ adimi¬
tationẽ cognationẽq numeri parit̃ paris. aqͦ par

Expanded text:
multiplicatis in 152 procreantur, duae vero eorum medieplicentur, eosdem in 152 restituent, atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo par
Abbreviated transcription (Latin):
artib munim̃ta c̃stituo. Neq enĩ fere ulla sic cunc¬
tis ab soluta partib nulliuꝰ ĩdiga. suis tantũ ẽ sci¬

Expanded text:
artibus munimenta constituo. Neque enim fere ulla, sic cunctis absoluta partibus, nullius indiga, suis tantum est sc
Abbreviated transcription (Latin):
cae quidem̃ sunt apud antiqͥores inuen¬
te ꝓbateq medietates. Quas idcirco longi¬
us enodaciusq tractauimꝰ. quia hȩ maxime

Expanded text:
Hae quidem sunt apud antiquiores inventae probataeque medietates, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime
Abbreviated transcription (Latin):
id iuxta. l. facient .ii. quinquagres senos:
& inuenit᷑ latitudo senarius. Hunc gͥsi mi¬
nori t̃mino addas. faciunt .xui. Et hic nu¬
mer̃ medius constitutus. int̃ x. & xl. ar¬
mionicã ꝓpertionem msedietatemq seruabit:

Expanded text:
 juxta 50, facient enim quinquagies senos, et invenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerus medius constitutus inter 10 et 40, harmonicam proportionem medietatemque servabit.
Abbreviated transcription (Latin):
ẽ. Et qͥ suꝑ illos duos s̃. qͥ medio iungunt᷑. si cõponan¬
t̃ &iã ipsoꝵ supͣdictꝰ numerꝰ media portioẽ &

Expanded text:
. Et qui super duos illos sunt qui medio iunguntur, si componuntur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio
Abbreviated transcription (Latin):
differentiȩ sunt : Nc̃ aut̃ ordine ꝑmutato eis¬
dẽ differentus. aliȩ ꝓportiones : semꝑq in quib:
differunt. scđm naturalis numeri ordines te¬
tragoni & parte altera longiores sese supera¬
bunt : tantũ qđ geminatis sũ mulis naturalis
num̃ri fit ꝓgressio. Quod mirũ uideri ñ deb&.
Nos enĩ ipsas sũmas te tragonoꝵ & parte altera

Expanded text:
differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera
Abbreviated transcription (Latin):
parte altera longior crescit. Rursus cyb sybum multi¬
plicauerit cybi forma conficit᷑. Siuͦ parte alta longior
cybũ ł cybus parte altera hongiorem. nũꝗ cyb ꝓcrea¬
bitur. Hoc scilic& scđ̃m similitudinẽ paris atq imparis.
Par enĩ parẽ si multiplic& semꝑa par. nascit᷑. Et impar
imparẽ si multiplic& impar continuo ꝓcreabit᷑. Sin uͦ
impar parẽ ł si par imparem multiplic&. parsemꝑ ex¬
oritur. Hoc aut̃ facilius cognoscit᷑ exlectione platonis
in libris derebublica. eo loco qͥ nuptialis dr̃. Quẽ exꝑ

Expanded text:
per antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, hoc scilicet secundum similitudinem paris atque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex
Abbreviated transcription (Latin):
differ̃. qͦs numerositate p̃tereunt. Et hoc quidẽ
induplici ꝓportione cadit. Sin uͦ sint triplices ꝓ¬
si sint .i .iii .VIIII. Tres ab unobinario differ̃. in
quẽ unitas iđ minor t̃minꝰ duplitat exundat. &

Expanded text:
differunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices psi sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat,
Abbreviated transcription (Latin):
tura & uis naturalis qͣntitatis opponit. Nuis¬
modi enĩ ꝓportiones q̃ ad t̃minoꝵ differenti¬
as ꝑtinent. ut paulo pꝰ demonstrabit᷑. in natura¬
lis pͥmũ numeri dispositione cognoscimꝰ. De¬
inde qđ insuperiore libro disputantib. nob ap¬
paruit arithmeticã iũ geometrica atq musica

Expanded text:
tura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica
Abbreviated transcription (Latin):
VI.A.IIII. eodẽ binario distant. Insequentib: & iã
eodẽ mͦ sicut in pͥmis fuit ratio c̃stat. Nã eađẽ
ꝓportio ẽ. differentus ñ eisdẽ. Nã iiii. ad vi. &¬
UI. ad uiiii. sesqͣltera ꝓportione iungunt᷑. Ui.
reunt. In sequentib: &iã eadẽ ratio speculabit᷑.

Expanded text:
atuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 reunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabit
Abbreviated transcription (Latin):
om̃s quẽꝙ aliũ simul numerea. qͦsdã aut̃ ex his
ab alio posse metiri. ita ut ab uno tantũ numeren¬
t. alios uͦ ut & iã apluribus. Quosdã aut̃ ut p̃ter
unitatẽ eorũ nulla m̃sura sit. Quigͦ nullã men¬
surã p̃ter unitatẽ recipiuNt. hos pͥmos & ĩ cõposi¬
tos iudicabimꝰ. Qui uͦ aliꝗͣ m̃surã p̃ter unitatẽ
ł alienigenȩ pastis uocabulũ sortiunt᷑: eos ꝓnim

Expanded text:
mquam alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerenro ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabu
Abbreviated transcription (Latin):
figurarũ. necesse ẽ inuenire pͥmordia. Est aut̃ py¬
ramis alias a triangula basi in altitudinẽ se se

Expanded text:
figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese
Abbreviated transcription (Latin):
duȩ qͣuintȩ ł duȩ septimȩ. ad pͥorũ similẽ consequentiã. Non¬
ẽ aut̃ difficile scđm̃ pͥorũ exempla positorũ. Hosqͦq &
p̃ter nr̃a exempla numeros inuenire. Uocabunt᷑q

Expanded text:
priorem similem consequentiam. Nonem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunt
Abbreviated transcription (Latin):
idet᷑ aut̃ quẽ ad modu in planis figuris triangulis
numerꝰ pͥmꝰẽ. sic in solidis qͥ uocat᷑ pyramis ꝓfun¬
ditatis eẽ pͥncipiũ. Om̃iũ qͥppe ratarũ innumeris

Expanded text:
idetur autem quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris
Abbreviated transcription (Latin):
gͦ latus quadratum medium constitues.
Uł si cam ꝓportionem quam int̾sedati t̾mi¬
ni custodiunt diuidas. & id qđ relinquit᷑
medium t̃minum ponas. Namq xl. ad
denarium quadruplus est. Igitur quad ru¬
plum si diuidas. duplum facies. qui est sci¬
lic& .xx. Nam .xx. addenarium duplus
est. Hunc si medium constituas. medietatẽ
geo maricam ꝑfe r&. Armonicã uͦ medieta

Expanded text:
itues. Vel si eam proportionem quam inter se dati termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medieta
Abbreviated transcription (Latin):
lisq naturȩ qđ corporib: indubitant̃ uide¬
mꝰ accidere. Vnde nc̃ nob̵ monstrandũ ẽ : ac
gemina numerorũ natura qͣdratoꝵ scilic&
& parte altera longiorẽ cunctas numeri spe¬
qͣntitatis. ut multipliciũ ł suꝑ particulariũ

Expanded text:
lisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri speiquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticulariu
Abbreviated transcription (Latin):
modi scilic& dispositione.x.xXU. xl. Uidesenĩ
ut quindena sese sũmulȩ qͣntitate transcendant:
Om̃s ꝓpͥetates quas supͣ diximꝰ in medietate arith¬
metica conuenire. ab hac hui modi dispositio¬
s ne ñ repperies alienas. Namq quẽ ad modũ unꝰ¬
quisq eox t̃minꝰ ad se ipsũ ẽ qm̃ sibi aeqͣlis est

Expanded text:
modi, scilicet dispositione 10, 25, 40. Vides enim ut quindenae sese summulae quantitate transcendant. Omnesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire ab hac hujusmodi dispositione non reperies alienas. Namque quemadmodum unusquisque eorum terminus ad seipsum est, quoniam sibi aequalis est
Abbreviated transcription (Latin):
tetragonis eox medietatẽ uolum inuenire. latera eo ẜ
multiplicanda su&. & qͥ ex his ꝓcreabit medietas est.
Si Aut̃ cybi sint ut uiii. & xx. UIi. duȩ tantũ inter
hos eadẽ ꝓportione medietates constitui queunt .xii.

Expanded text:
tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabuntur, medietas est. Si autem cubi sint, ut 8 et 27, duae tantum inter hos eadem proportione medietates constitui queunt
Abbreviated transcription (Latin):
dices aut̃ ꝓportionũ uoco numeros insuꝑiore disposi¬
tione descriptos qͣsi qͥb om̃is sũma supͣ dicte c̃paratio¬
nis innitit᷑. In hoc qͦq uidendũ ẽ qm̃ cũ due partes ex

Expanded text:
dices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. In hoc quoque videndum est quoniam, cum duae partes
Abbreviated transcription (Latin):
ẽ ut siquis xui. tetragono adiciat .uiiii. atq
huic .iiii. & ab ulterioris sese unitatis adiectione
suspendat : Pyramidis eqͥdẽ figura ẽ . s qm̃ usq

Expanded text:
 ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic 4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed q
Abbreviated transcription (Latin):
faciens sequentes ũsus altutris c̃paraueris. Om̃s sine
ullo in pedim̃to species suꝑ particularis agnosces. Hõc

Expanded text:
faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc
Abbreviated transcription (Latin):
rũ numerositas in subteriore descriptione ponatur:
Qui figurati numeri ex quib figuratis nu¬
meris fiant. inq eo qđ triangulus nume¬
rus om̃ium reliquorũ principiũ sit

Expanded text:
rum numerositas in subteriore descriptione ponatur. CAPUT XVIII. Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant, atque quod triangulus numerus omnium reliquorum principium sit
Abbreviated transcription (Latin):
eadẽ qͣlitas ꝓportionis eueniat : Geo metrica ta
ł ꝓportionalitas. ñ arithmetica nominat᷑. Est
aut̃ ꝓpͥũ huiꝰ medietatis: Qđ si in trib t̃minis spe

Expanded text:
eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur. Est autem proprium hujus medietatis, quod si in tribus terminis spe
Abbreviated transcription (Latin):
rot. Uideo pͥmã atꝙ in c̃posita. Quã siꝑse ipsam
multiplico. eadẽ mihi unitas ꝓcreat᷑. Semel eni .i.¬
sola efficit unitatẽ. ꝙ partib suis ȩqͣlis ẽ poten¬
cia solũ ceteris & iã actu atꝙ opere ꝑfectis. Rec¬
te igit᷑ unitas ꝓpria uirtute ꝑfectaẽ qđ & pͥma ẽ.

Expanded text:
 quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enisolam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et
Abbreviated transcription (Latin):
gͥ quinarii numeri ad t̾nariũ cõparatio c̃sidere¬
t̃ erit suꝑ partiens ille qͥ uocat᷑ bi partiens. Hlab&

Expanded text:
 quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille qui vocatur superbipartiens. Habet
Abbreviated transcription (Latin):
sio. unde moueri cȩptꝰ ẽ. Sp era uͦ ẽ semi circuli
manente diam&ro circũductio & ad eundẽ locũ re¬
ũsio. Unde prius cȩperat ferri. Unitas qͦq uirtute &
potestate. ipsa qͦq cirtulus ł spera ẽ. Quotiens enĩ prnc¬
tũ inse multiplicaueris. in se ipsũ unde cȩperat t̃mi¬
nat᷑. Sienĩ faciat semel unũ. unꝰ redit : & si hoc rursis
semel idẽ ẽ. Igit᷑ siuna fuerit multiplicatio solam

Expanded text:
sio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum resio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam
Abbreviated transcription (Latin):
impar ẽ. Et hoc idẽ in cunctis imparib numeris
inuenit̃. neq umꝗͣ in imparis diuisione p̃t̃ se eẽ

Expanded text:
impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, praeter se e
Abbreviated transcription (Latin):
in hac utreq impares extiter̃. Neq umq̃ fieri potest.¬
ut cũ una pars diuisionis par fuerit. alia impar in¬
ueniri queat. ut cũ una impar sit . alia par posset in¬
tellegi. Impar uͦ numer̾ ẽ . qͥ ad quã libet illã diuisio¬
nẽ. ꝑ in ȩqͣlia semꝑ diuidit᷑. ut utrasq species nume

Expanded text:
in hac utraeque impares exstiterunt. Neque unquam fieri potest,ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar iniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividi
Abbreviated transcription (Latin):
choans. usq in extremũ tͣnseat. atꝙ ita qͣrtus. &
om̃s in ordinẽ suꝑiores multipliceñ eos qͥ sub ipsis
in dispositione st̃. om̃s imparit̃ pares ꝓcreabunt᷑.
Huiꝰ aut̃ rei tale sumamꝰ exẽplũ. Sitres. qͣter mul¬
merꝰ excresc&: E sudẽ .iiil. multiplicent . uii.xx.

Expanded text:
choans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater mulmerus excresc
Abbreviated transcription (Latin):
fiunt xł. SI UIił. in .uii. colligent᷑. L .ui. Atq
adhunc modũ. si om̃s inferiores duplices. a superio¬
ribus multiplicent̃. ł si superiores eosdẽ inftͥores
multiplicent. cunstos qͥnati fuerint imparit̃ pares

Expanded text:
fiunt 40; si 8 in 7, colligentur 56. Atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices, in superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares
Abbreviated transcription (Latin):
mitatib id duarũ medietatũ multiplicatione.
exbis XVI. id exquat̃ .viii. reddat᷑. Exemplar÷
autẽ nob̵ maximũ certssimũq fit illud ubi ex
equalitate. diximꝰ om̃s in equalitatis speties fun

Expanded text:
mitatibus, id duarum medietatum multiplicatione ex bis 16, id ex quater 8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex equalitate diximus omnes inaequalitatis species fun
Abbreviated transcription (Latin):
triangulo. Qđ sixxviii. rursus ex agonũ ex qͥb:
suꝑiorib: nascat᷑ ad discas. nullos inuenies. nisi
xxii. pentagonũ senariũq: triangulũ atq hoc
inceteris. Nec hunc geniturȩ ordinẽ eͥptagonoꝵ
ꝓoreatio refutabit. Nãq: ex suꝑse exagonis &
exeminꝰ positis triangulis ꝓcreant᷑. Septẽ enĩ epta¬
goñ nascit᷑ exsenario ex agono & uno potestate trian¬

Expanded text:
triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate trian
Abbreviated transcription (Latin):
latus ẽ binarius. bis enĩ bini .bis. octonarũ ferunt. T¬
narius uͦ xxuii. cybi latus est. Ter enĩ tres ter .xxuii.
restituunt. Medietas gͥ que iuxta octonariũ ẽ iđ .xii.
Mutuatur duo atera ex ꝓpinquo sibi octonario. & aliud

Expanded text:
latus est binarius, bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud
Abbreviated transcription (Latin):
uperiuiꝰ digestȩ descriptionis hȩc ratio ẽ. Si ad lati¬
tudinẽ respicias. ubiẽ duoꝵ terminorũ una
medietas. ipsosq t̃minos uingas. duplos eos medi¬
etate ꝓpͥa. reperies. ut .xxx ui. & .xx. faciunt
eos t̃minꝰ c̃stitutꝰ. Et rurs xxviil. & .xii. siuin¬
gas. faciunt .xl. Quoꝵ .xx. medietas. mediu eoꝵ
t̃minꝰ inuenit᷑. At uͦ ubi duas medietates habea.
utrȩq extremitates iunstȩ utrisq medu¬
fiunt .xl. uiil. Horũ simedietates sibim& ad¬
parte latitudinis eodẽ ordine qͥ fiant numeri no¬
tatist. Neq ulla inre ratio utriusq latitudinis
discrepabit. idẽq in eod ẽ ordine ceteris numeris

Expanded text:
ur digestae descriptionis haec ratio est. Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos jungas, duplos eos medietate propria reperies, ut 36 et 20 faciunt eos terminus constitutgas faciunt 150, quorum 20 medietati medius eorum terminus invenitur. Ac vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates junctae utrisque medifiunt 48; horum si medietates sibimet apparte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepavit. Idemque eodem ordine in caeteris numerigas faciunt 150, quorum 20 medietati medius eorum
Abbreviated transcription (Latin):
sigitur ita sese habentib quid in hacͥ resit conse¬
quens uestigemus. Om̃s enĩ tetragoni qͥ subtriangu¬
lis sunt naturali ordine dispositi. exsuꝑiorib: triangu¬
lis ꝓcreant᷑. illoꝵq collectione qͣdrati figura c̃ponitur.

Expanded text:
igitur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens investigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur.
Abbreviated transcription (Latin):
particularib & suꝑ par¬
tientib multiplices suꝑ particulares ł multiplices
suꝑ partientes nascant᷑ ostendere quoꝵ binas tantũ faciã
descriptiones. Namq sirectũ & ñ c̃ũsũ ses qualterũ ponimꝰ
duplex suꝑ particularis excresc̃. fit enĩ hoc modo
onat᷑ scđm suꝑiorẽ modũ¬

Expanded text:
particularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatur secundum superiorem modu
Abbreviated transcription (Latin):
qͥ st̃ pares qm̃ binarii numeri formȩ st̃. Quiq ex
his coaceruati collectiq in unã c̃geriẽ parte altera

Expanded text:
t pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera
Abbreviated transcription (Latin):
metit᷑. Quinqͥes enĩ quinario multiplicato .xxu. sue¬
cresct̃. Siuͦ pꝰ hunc qͥliba& qͣtuor ĩtermittat. eadem

Expanded text:
metitur. Quinquies enim quinario multiplicato, 25 succrescunt. Si vero post hunc quilibet 4 intermittat, eadem
Abbreviated transcription (Latin):
dupla ꝓportio ẽ. Quos tres t̃minos si c̃tinue con¬
sideres : ex duab ꝓportionib: fit ꝓportionalitas.

Expanded text:
dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas.
Abbreviated transcription (Latin):
lã unã multiplicationẽ recipiant a eqlẽ ꝓue¬
hunt ꝓfunditatẽ. Nã qͣtuor tetragonꝰ. duos
hab& in latere & natꝰ ẽ exbis duob Bis enĩ duo
.iiii. facunt. Hos gͦ .i. ex ipsius latere simul¬
tiplices aeqͣlt̃ cybi forma nascet᷑. Nã sibis binos
bis facias: octonaria qͣntitas crescit : & ẽ pͥmꝰ

Expanded text:
lam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus
Abbreviated transcription (Latin):
differencia scilic& qͥnanii stonariiq: intris. xipse
qͦq suꝑbi partiens inuenitun.
Dispositio decem medietatum
is ponamꝰ gͥ cunctas medietates in ordinẽ : u cuiꝰ¬
modi om̃s sint. facillime possit intellegi.

Expanded text:
pse quoque superbipartiens invenitur. Dispositio decem medietatum. Disponamus igitur cunctas medietates in ordinem, ut cujusmodi omnes sint, facillime possint intelligi.
Abbreviated transcription (Latin):
paratur. łpensi namq xii. advi. dupli sunt.
Differentia uͦ xii. & octonaru quat̾narius est:
Octonaru uͦ & senarii duo: Dupla dut̃ ratio

Expanded text:
paratur. Perpensi namque 12 ad sex dupli sunt, differentia vera 12 et octonarii quaternarius est, octonarii vero et senarii duo, dupla autem ratio
Abbreviated transcription (Latin):
gebamus. qui se se innaturali dispositione seque¬
rent᷑ & setantũ unitate transirent. Quadrati uͦ
numeri. iđ tetragoni ꝓcreatio fiebat exnumerss
qui uno in t̾misso copulabant᷑. cũ se binario supe¬
rarent. Pentagoni uꝰ natura fuit ex duob interposi

Expanded text:
gebamus, qui sese in naturali dispositione sequerentur, et se tantum unitate transirent; quadra i vero numeri, id est tetragoni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interposi
Abbreviated transcription (Latin):
iestis numeris. superiori ł superiorib uincens ternario
eũ cui uingendus ẽ ad gregetur. Nãq unitati inter
perant unitatẽ. Quinarius pentagonꝰ ꝓcreabitur.
Post iii. uͦ si in t̃misso quinario & senario septẽ aggre¬
ges. duo denariũ pentagonũ ꝓcreabis. Nãq unus &
rursus laterib continent᷑. scđm hunc modum
eorũ laterũ augm̃ta succrescunt. Nãꝙ intrianga¬
linumeri natura ꝓcreationeꝙ. ipsos numeros iun

Expanded text:
ectis numeris superiori vel superioribus, vincens ternario eum cui jungendus est aggregetur. Namque unitati, interperent unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. Post 4 vero si, intermisso quinario et senario, 7 aggreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namque 1 rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jun
Abbreviated transcription (Latin):
qͥ naruis. rursus medietas ẽ. Hoc idẽ in om̃ib numeris
euenit. usq đu ad unitatis t̃minũ. ꝑueniri queat. So¬
la unitas circũ se duos t̃minos ñ habet. atq ideo eĩ qͥ ẽ
ꝓpe se solius ẽ medietas. Nã iuxta unũ solus ẽ bina¬
rius naturalit̃ c̃stitutꝰ. cuiꝰ unitas media pars est.
Quare c̃stat pͥmã eẽ unttatẽ cunctoꝵ qͥ sunt in natu¬
rali dispositione numerorũ. & eã rite totius quã uis
PARIS NUME RI.¬

Expanded text:
uorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri queat, sola prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam rite totius quamvis pparis numeri
Abbreviated transcription (Latin):
cesse ẽ. Erunt aut̃ dupliciũ qͥdẽ triplices. tripliciũ¬
quadruplices qͣd ruplorũ uͦ qͥncupli & scđm eandẽ or¬
dinis in cõmutabilẽ rationẽ sibim& cuncta c̃sentient.
Quib ex positis ad sequentẽ operis seriẽ. c̃petens dispu
lum ex quibus suꝑ particu laribus medi¬
etate posita interuallis fiat. eiusq IN UE¬
niendi regula.
igͥduȩ pͥmȩ suꝑ particularis species c̃iungant᷑.
pͥma species multiplicationis ex orit᷑. Om̃is enĩ du¬

Expanded text:
cesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, tripliciuquadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cuncta consentient, quibus expositis, ad sequentem operis seriem competens disputlum ex quibus superparticularibus medietate posita, intervallis fiat, ejusque inveniendi regula. superparticulares species conjungantur, prima species multiplicitatis exoritur. Omnis au
Abbreviated transcription (Latin):
tiȩ participes: illos uͦ numeros qͦs parte altera
langiores paritas creat. alterius dicemꝰ eẽ substan

Expanded text:
tiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substan
Abbreviated transcription (Latin):
re uoluert̃. ne qͦtiens unitates qͥs monstrare uellecto¬
tiens ei uirgulȩ ducerent᷑. Nos a ut̃ quotiens aliquid
monstrare uolumꝰ. in his p̃sertĩ formulis. ordinatar

Expanded text:
re voluerunt, ne quotiens unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatar
Abbreviated transcription (Latin):
Quȩ ꝑ in ȩqles spatioꝵ grads in eqͣlit̃ ꝓuehunt᷑.
Hȩc aut̃ forma greco nomine scalenos uocatur
Nos uͦ gradatũ possumꝰ dicere qđ aminore modo
uelud gradib crescat ad maus. Uocant aut̃ eandẽ
figurã greci qͥdã sphe niscon. nos aut̃ cuncũ pos¬
sumꝰ dicere. Et enĩ qͦs ad ꝗlib& illã rẽ constringen¬
dã cuneos formant. neq latitudinis neq longitu¬
dinis. neq altitudinis. habita ratione qͣntũ cõmo¬
dũ fuerit tantũ ł altitudini minuit᷑ ł crassitu¬
dini ꝓfunditatis auget᷑. Atq ideo hosplerũq
necesse ẽ om̃ib partib in aeqͣlib inueniri. Qui¬
dã uͦ hos bomiscos uocant. iđ qͣsdã arulas q̃ in io

Expanded text:
er inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Io
Abbreviated transcription (Latin):
inde ad duplam. inde ad eqͣlitatẽ usq. remeare Et
si fit suꝑ particularis ses qͥqͣrtꝰ. pͥmo ad sesgͥt̃tiũ inde

Expanded text:
inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare. Et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde
Abbreviated transcription (Latin):
aris aut̃ numeri species s̃ .iii. Est enĩ una quȩ
dr̃ parit̃ par. Alia uͦ parit̃ impar. Tertia im¬
parit̃ par & c̃traria qͥđẽ locũ ꝙ obtinentia sũmita¬
tũ uident̃ eẽ parit. par & parit̃. impar. medietas

Expanded text:
aris autem numeri species sunt 3. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas
Abbreviated transcription (Latin):
nariũ numerũ ducti. Utroq enĩ modo .xxxii. fient
qđ si imparsit ordo. ut ẽ .ii.IIII.UIII. idẽ facient ex¬
tremi. qđ medietas. Bis enĩ octo s̃ .XVI. quatuor quat̃
s̃.xui. Qui numerꝰ aqͣtnario inseducto ꝑficit᷑. In nu¬
umero uͦ parit̃ impari. si fuerit unꝰ inmedio t̃minꝰ. cir¬

Expanded text:
narium numerum ducti. Utroque enim modo 32 fient. Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem facient extremi quod medietas. Bis enim 8 sunt 16, quatuor quater sunt 16, qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In nuvero pariter impari, si fuerit unus in medio terminus, cir
Abbreviated transcription (Latin):
imparit̃ .par. DEΝUMERO PARITER PA¬
RI. EIUSG PPRIETATIBUS
arit̃ par. numerꝰ ẽ. qͥ potest induo paria diui¬
di eiꝰq pars in alia duo paria. partisꝙ pars. in
alia duo paria. ut hoc toties fiat usqdũ diuisio par

Expanded text:
PUT IX. De numero pariter pari ejusque proprietatibus. Pariter par numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio par
Abbreviated transcription (Latin):
ereentur: Ita ut qđ nascit̃ ex duob longi lateris altrinsecꝰ¬
positis & bis medio tetragono tetragonꝰ sit: Et rursus qđ
ex duob altrinsecꝰ tetragonis. & uno medio longi latero.
bis facto nascit᷑. ipse qͦq tetragonꝰ sit. Et ut angulorũ
totius descriptionis. ad angulares tetragonos positaꝵ.
unius anguli sit. pͥma unitas. alterius uͦ qͥ c̃tra ẽ tercia:
Bini uͦ altrinsecꝰ anguli scdas habeant unitates. & duo¬
angulariũ tetragonorũ anguli ȩquũ faciunt. qđ sub ip¬
sis continet᷑. illi qđ fit ab uno illorũ qͥ ẽ altrinsecꝰ angu¬
lorũ. Multa &iã alia st̃ q̃ in hac descriptione utilia
possunt ad mirabiliaq ꝑpendi . q̃ inter̃ ꝓpt̃ castitatã

Expanded text:
reentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecpositis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duoangularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub isis continetur, illi quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigata
Abbreviated transcription (Latin):
unfinitas pluralitates accrescere. spatia uͦ iđ magni¬
tudines in in finitissimas minui paruitates. atq i deo
hic ẽtra euenit. Hec nãq paris diuisio spatio ẽ max

Expanded text:
nfinitas pluralitates accrescere, spatia vero, id est magnitudines, in infinitissimas minui parvitates, atque ideo hic contra evenit; haec namque paris divisio, spatio est max
Abbreviated transcription (Latin):
ñs cõposits. & scđs. hunc trans gredere. atq aliũ
qͥad sequit᷑ ad gregabis. Siuͦ neccłũ fuerit pͥmꝰ

Expanded text:
 compositus et secundus, hunc transgredere, atque alium qui sequitur aggregabis. Si vero necdum fuerit p