comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
gitudinis capax: quẽ admodũ punctũ pͥncipium
quidẽ lineȩ ẽ. atq int̃ualli: Ipsũ uͦ nec int̃uallũ nec li¬
nea neꝙ enĩ punctũ puncto suꝑ positũ ullũ efficit

Expanded text:
gitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit
Abbreviated transcription (Latin):
cant᷑ de scripti superis nmr̃i ꝓtendent᷑. Sin uͦ
ñ eoꝵ latera sola discrepent unitate: ñ uocabit᷑ hic
numerꝰ. parte altera longior s ante longior: alterũ

Expanded text:
cantur, descripti superius numeri protendentur. Si vero n eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alteru
Abbreviated transcription (Latin):
ẽ. & idẽ eorũ qͦq qͥ suꝑ hos st̃ t̃minos medietas ẽ. at᷑q
hoc fit usq ad extremos om̃iũ t̃minorũ. ut in eoor¬
dine qͥ ẽ parit̃ impariũ numerorũ .ii. vi.x. iunctꝰ
binarius. cũ denario . xii. explet. cuiꝰ senarius medi¬
etas inuenit᷑. si uͦ fuerint due medietates iunctȩ.
ipse utreq ȩqͣles erunt suꝑse t̃minis c̃stitutis. ut

Expanded text:
Et idem eorum quoque qui super hos sunt terminos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut
Abbreviated transcription (Latin):
atꝙ hinc si fiat infinita ꝓgressio. tales cunctos in¬
uenies. factiq sunt ab uno. induplici ꝓportione. &
om̃s s̃ parit̃ pares. Illud aut̃ ñ minima c̃sideratione
dignũ ẽ . qđ eiꝰ om̃is pars ab una parte qͣcũq q̃ intra Pai¬
ipsũ numerũ ẽ denominat᷑. tantãq sũmã qͣntitatis

Expanded text:
 hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod ejus omnis pars, ab una parte quacunque quae iipsum numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑ tripartiens. sub audiri necesse sit . suꝑ tripartien qͣrtas:
qm̃ trib suꝑ qͣrtis exuberat. Et suꝑ qͣdri partienti subau¬
dit̾ suꝑ qͣdri partiens qͥntas. & ad eundẽ modũ inceteris.
uno semꝑ adiecto suꝑ habitas parces sub auditio facienda
ẽ : ut eorũ germana c̃uenientiaq his nomina hȩc st̃ ut qͥ

Expanded text:
supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus superquartis exuberat. Et superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut q
Abbreviated transcription (Latin):
Ad senariũ uͦ qm̃ medietatẽ hab& nouenarius &
uero .vIIII. Nouenarius uͦ qm̃ medietate car&.
ab hac cõparatione seclusus ẽ. Tercius uͦ duplex
ẽ .uiii. hic gͦ tres. ses qualteros antecedit. Con¬
parat᷑ enĩ ad ipsũ duodenarius numerꝰ. ad duo¬
XXUII. medio carent. Idẽ insequentib euenire
necesse ẽ. Qđ nos cũ ꝓpͥa ordinatione subdidimas.
Semꝑ enĩ hoc diuna quadã nec humana c̃stitu¬
tione speculationib: occurrit. ut quotiens cũq
ultimꝰ numerus inuenit᷑. qui loco duplicis ab uni

Expanded text:
novenarius, et vero 9. Novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est 8, hic ergo 3 sesquialteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duoero 27 medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesse est quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab uni
Abbreviated transcription (Latin):
qualis id est XVI : & inceteris qͥđẽ ad hanc formã tribus his¬
preceptis utemur.
tamꝰ. ita ut c̃ũso sint ordine : sesqlter exduplici ꝓcreabit᷑ ses¬
qͥ t̃tius extriplici. sesqͥ qͣrtꝰ ex qͣd ruplo. Sint enĩ .iii. duplices

Expanded text:
qualis, id est 16. Et in caeteris quidem ad hanc formam, tribus hisraeceptis utemur. a ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices
Abbreviated transcription (Latin):
ficies sola longitudinȩ. & latitudine c̃tinet᷑. & hic eadẽ
illa conũsio remanet. Ome enĩ qđ suꝑficies ẽ. longi¬
tudinẽ. & latitudinẽ retin&: Et qđ hȩc retinet. illuo
ẽ suꝑficies. Hȩc aut̃ suꝑficies uno tantũ intuallo soli¬
dicorporis dim̃sione superat᷑. Quȩ unorursus int̃¬
uallo. lineã uinc̃. Quȩ longitudints naturã retineas
latitudinis expersẽ. Que linea eo qđ unuis ẽ int̃ual¬
li sortita naturã a suꝑficie uno in t̃uallo a soliditate
duob spaciis uincit᷑. Punctũ g alio rursus int̃uallo
alinea uincit᷑: Ipsa scilic& q̃ reliqͣẽ longitudine.
Quare si punctũ uno qͥdẽ int̾uallo alinea suꝑ gredit᷑.
Idẽ a suꝑficie uincit᷑ duob. Irib uͦ int̾ualli dem̃sio¬
nib: asoliditate relinquit᷑. Constat punctũ ipsum¬

Expanded text:
ficies sola longitudine et latitudine continetur, et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis dimensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens, latitudinis expers est. Quae linea eo quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquit
Abbreviated transcription (Latin):
uidebimꝰ istoꝵ quenđã c̃sensũ & ad ceteras nume¬
ri partes ꝓcreandas amiciciã: ut ñ sine causa hoc
in om̃ib reb ab numeri specie natura rerũ sũpsis¬
se uideat᷑. St̃ gͥ duo ũss tetragonoꝵ ab unita¬
te om̃iũ . & abinario numero. parte alt̃a longioꝵ.¬

Expanded text:
idebimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a binario numero parte altera longio
Abbreviated transcription (Latin):
ad ꝓ pͥam qͣntitatẽ. ad similitudinẽ scilic&: pariter
paris nmr̃i. Aliȩ uͦ partes c̃t᷑riã deminationẽ su¬
muns ꝓpͥȩ qͣntitatis ad parit̃ imparis scilic& form̃.
In .xx.iiii. enĩ nmr̃o par ẽ qͣntitas. partis a pari ñmro
denominata. Nã qͣrta .ui. scđa uͦ .x. sexta uͦ .iiil. du¬
odecima iͦ q̃ uocabula partiũ aqͣntitatis paritate ñdis¬

Expanded text:
imilitudinem, scilicet pariter paris numeri. Aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter imparis scilicet formam. In 24 enim numero, par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta 6, secunda vero 12, sexta vero 4, duodecima 2, quae vocabulo partium a
Abbreviated transcription (Latin):
similis. Merito gͦ dicent᷑ hii numeri parte altera¬
sif longiores. qđ eoꝵ latera unius tantũ sese adiecta
numerositate p̃ceđnt. Argum̃tũ aut̃ ẽ alterita¬
tẽ inbinario numero iuste c̃stitui : qđ ñ dr̃ alterõ
nisi eduob abhis int̃ qͦs bene loquendi ratioñne

Expanded text:
similis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos bene loquendi ratio n
Abbreviated transcription (Latin):
ri. Extriplicib sesqͥt̃cu. ex qͣd ruplis sesq qsti &c ceteri in
hunc modũ. Ex suꝑ particularib uͦ c̃uerss suꝑ partien¬
tes nasci necesse ẽ. Ita ut ex sesqͣltero nascat̃ suꝑbi parti¬
ens. Suꝑ tripartientẽ sesqͥt̃tius gignat. & exsesqd qͣrto
suꝑ qͣ dri partiens. Rectis aut̃ positis neq: õuersis pͥoribus
suꝑ particularib multiplices suꝑ particulares oriunt᷑.¬
Rectis uͦ suꝑ partientib multiplices suꝑ partientes effi¬
ciunt᷑. Precepta aut̃ tria hȩc st̃ ut pͥmũ numerũ pͥmo¬

Expanded text:
ri. Ex triplicibus sesquitertii. Ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversites nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbiertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto quadripartiens. Rectis autem positis neque conversis prioribus rparticularibus, multiplices superparticulares oriuntRectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum
Abbreviated transcription (Latin):
bis cũ ꝓcreatis sensib ad intellegentiȩ cerciora ꝑduci¬
tur. St̃ enĩ qͥdã gradus certeq ꝓgressionũ dim̃sio

Expanded text:
biscum procreatis sensibus, ad intelligentie certiora perducit enim quidam gradus, certeque progressionum dimensio
Abbreviated transcription (Latin):
nob inlectionib: ꝓst̃. s tantũ adimplendã dena¬
ru nmri qͥntitatẽ. quȩ ne lateant ne ue sini ali
dictis medietatib cẽ c̃trarię ex quit: originẽ
trahunt. Ex his eni aia iste se censemee. Vstaũt
squarta medieras quȩ opposita uđũ emos

Expanded text:
nobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad implendam denarii numeri quantitatem. Quae, ne lateant neve sint aliqudictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex his enim etiam istae sunt constitutae. Est autem quarta medietas quae opposita videtur
Abbreviated transcription (Latin):
& in se inuicẽ cũ distantia uinctis. suꝑficies nasce¬
bant᷑. Vt siunũ & duo iungeres pͥmꝰ triangulus nas¬

Expanded text:
 in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nas
Abbreviated transcription (Latin):
uallis cstituta magia uĩ optin& Inmusici modu¬
laminis teperam̃tis & inspeculatione naturaliũ questi¬
ciũ. Et enĩ ꝑfectius huimꝰdi medietate nihil poterit in¬
ueniri ꝗ̃trib int̃ uallis ꝓducta ꝑfectissimi corporisna

Expanded text:
vallis constituta, magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis et in speculatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius hujusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus intervallis producta, perfectissimi corporis na
Abbreviated transcription (Latin):
IIII. ad didert̃ : Vt in his ꝓportionalitatib: dena¬
riȩ qͣntitatis corpꝰ efficerent. Scđm quẽ nume¬
rũ & pͥores .v. habitudines cõparationes que
descripte st̃. Ubi .v. maiorib ꝓportionib qͦs
uocauimꝰ duces. minores aptauimꝰ alios t̃minos:
quos comites di ximꝰ. Inde &iã in aristotelica nã porar¬
atq architȩ pͥus .x. p̃dicam̃toꝵ descriptione
pythagoricũ denariũ manifestũ ẽ inueniri
Quando qͥđẽ & plato studiosissanus pythagore¬

Expanded text:
tatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagor
Abbreviated transcription (Latin):
.eundẽq ductũ quantitatis explicata congeries. ut ẽ¬
De plani recti lineis figuris. quodꝙ earũ
trians ulus principiũ sit

Expanded text:
eumdemque ductum quantitatis explicata congeries, ut eDe planis rectilineis figuris, quodque earum principium sit
Abbreviated transcription (Latin):
scđs scilic& triangulus. Huic uͦ sic̃ sequentẽ quat̃¬
nariũ suꝑ posuero : Denarius explicat᷑. qͥẽ t̃cius
actu triangulus. Quos ꝑlatera disponens ad su¬
periores descriptionis exemplar cunctos triangulos
numeros sine ullius dubitationis erroribus ꝑ notabis.
Et quantas ultimus numerus inse unitates quẽ supe¬
riorib aggẽgabis. tot ipse qui fit triangulus unita¬
tes habebit in latere. Nã t̾nariũ qui ẽ pͥmꝰ actutrian¬
gulus adiecto binario unitati feceramꝰ. At hic duos
hab& in latere: & senariũ his adiecta ternarii quan¬
titate ꝓduximus. Cuiꝰ latus soli tres continent. Et
ide in aliis cunctis quot unitatis habentem numerã
suꝑiorib ad gregabis. tot unitatibus eius latera c̃¬

Expanded text:
s scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera c
Abbreviated transcription (Latin):
& qͥntũ qͣreo. easđe rurs ꝓportiones effici ꝑ notab̾.¬
Quas in suꝑiore forma descripsimꝰ. Sed hic diffe

Expanded text:
quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabquas in superiore forma descripsimus. Sed hic diffe
Abbreviated transcription (Latin):
numeri dic̃tur : Inulla alia m̃sura nisi sola unitate
c̃iuncti. Siuͦ ad aliquẽ numerũ ut superiũ distõe
finis dimirutionis ĩ currerit. erit nnares qͥsn enatiest¬

Expanded text:
numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero ad aliquem numerum ut superius dictum est finis diminutionis incurrerit, erit ejus nume
Abbreviated transcription (Latin):
litate c̃dudit᷑. sola inuenit᷑ una medietas. iđ .uiii.
quã si octies iđ insemetipsã multiplices. lx iiIͦI. ex¬
plicabit. atq idẽ reddent illi qͥ suꝑ hanc medieta¬
tẽ s̃. ut dudũ. hi qͥ suꝑduas positi faciebant. Nã
sus .bis. xxXii. facti . alxiiil. non discedunt. Et trici¬
es .bis .ii. eosdẽ cumulant. Et semel .lxiiii. ł unitas
sexagies quat̃ multiplicata. eundẽ numerũ sine ulla
uarietate restituent.

Expanded text:
uditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam sus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ulla varietate restituent.
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmo tetragono & binario pͥmo parte altera
longiore t̃narius triangulus copulat᷑. Et ex
binario ł q̃t̾nario iđ ex scđo tetragono. senari¬
us triangulus ꝓcreat᷑. Ex qͣt̾nario qͦq & sena¬
rio denarius trianguls nascit᷑: & ad eundẽ
ordinẽ cuncta trianguloꝵ ratio constabit.
Disponant᷑ enĩ alt̾natĩ int̾se tetragonu& par¬

Expanded text:
mo tetragono, et binario primo parte altera longiore, ternarius triangulus copulatur. Et ex binario vel quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario, denarius triangulus nascitur. Et ad eumdem ordinem, cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni
Abbreviated transcription (Latin):
aut̃ eorũ naturalis ẽ. quoties disponunt᷑ atrib: om̃s
pares atq impares numeri. naturalit̃ constituti &
sub his aptant᷑. alii qͥ st̃ aqͥnario numero incipientes¬
om̃s impares. His gͥ ita dispositis. si pͥmꝰ pͥmo. scđs¬
scd̾o. t̾cius t̃tio. & ceteri ceteris cõparent᷑. suꝑ parti¬
ens habitudo ꝓcreat᷑. Sit enĩ dispositio hoc modo.

Expanded text:
autem eorum naturalis est, quoties disponuntur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipienteses impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, sdo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:
Abbreviated transcription (Latin):
mpar qq̃ nm̃rs qͥ a paris nmri nͣata substantia
dis iunstus ẽ. Siqͥdẽ ille ingemina m̃bra ȩque di¬
uidipotẽ. hc nesecari queat. unitatis inpedit ĩ

Expanded text:
merus est, qui a paris numeri natura substantiaque disjunctus est. Siquidem ille in gemina membra aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis impedit i
Abbreviated transcription (Latin):
ffoctus. aequus ipse om̃ib partib ẽ. Nã &
latitudini longitudo & his duob: cõpar ẽ
altitudo & scđm sex partes. iđ sursũ deor

Expanded text:
fectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deor
Abbreviated transcription (Latin):
gͥ scđm p̃ceptinrĩ ordinẽ uideas. pͥmũ nasci multiplices.
& in his duplices pͥus. dehinc triplos. deinde qͣd ruplos. &

Expanded text:
 praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos,
Abbreviated transcription (Latin):
lẽ eẽ necesse ẽ. huic obpositũ c̃trariũq eẽ opor¬
tebit. Qui neq longitudinẽ latitudini. neq haec
duo ꝓfunditati gerat eqͣlia: s cunctis in eqͣli

Expanded text:
lem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse opotebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequali
Abbreviated transcription (Latin):
generatur. nullã creature habens p̃rogatiuam nec
auctoritatem substantiȩ nͣtalis sed muta¬
bilitatis uirium exerrorem
pro lapsio¬
N

Expanded text:
generatur non ullam creaturae habens praerogatiuam nec auctoritatem substantiae naturalis, sed mutabilitatis uitium et errorem prolapsion
Abbreviated transcription (Latin):
tionis species ꝓcreabunt᷑. Manifestũ aut̃ &iã hoc ẽ qđ hoꝵ
comites somꝑ cũ sub p̃positione dicent᷑ ut ẽ duplex sesqualt̃.
sub duplex sesqͥt̃tius. subduplex sesqͥqͣrtꝰ & c&eri qͥđẽ ad hunc
modũ.
odũ. De multiplici suꝑ partiente.¬

Expanded text:
tionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum. CAPUT XXXI. De multiplici superpartiente.
Abbreviated transcription (Latin):
cidẽ generis denominationẽ qͣntitatẽ ꝙ suscipiat.
Semꝑ enĩ sidenominatio fuerit par. qͣntitas partis

Expanded text:
dem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis
Abbreviated transcription (Latin):
xXUII. lxxxi. Uł si quadrupla ł quincupla
ł si inquã lib& multiplicitatẽ numeroꝵ sit con¬
sticuta distensio. In his enĩ qđ lib& t̃minos sũp¬
seris. ex plebt̃ ge ometricã medietatẽ: quẽ admo

Expanded text:
. Vel si quadrupla, vel si quincupla, vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio. In his enim quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmo
Abbreviated transcription (Latin):
meri tetragoni st̃. Tetragonꝰ aut̃ dr̃ ut breuisi me dicã
qđ post a latius explicabit᷑. quẽ duo ȩquales numeri¬
multiplicant. Ut in hac qͦq descriptione ẽ. unꝰ enĩ se¬
mel unus ẽ. & ẽ potestate tetragonus. Itẽ bis is .uil.

Expanded text:
meri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod etiam latius explicabitur, quem duo aequales numerimultiplicant, ut in hac quoque descriptione est: unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo
Abbreviated transcription (Latin):
eqͣles st̃. neq omĩb in eqͣles. Quos greci parallelli¬
pipedos uocant. latini nom̃ hoc ita uni formit̃
cõpositũ habere ñ possunt. Ut tam̃ ide pluriboᷤ
dictũ sit. Ea nãꝙ hoc nomine uocat᷑ figura q̃

Expanded text:
equales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, q
Abbreviated transcription (Latin):
a qͣt̾nario numero c̃tinuatĩ qͣd ruplis c̃stitutis. at̃na¬
rio numero triplices cõparent᷑. Er̃q duces qͣdrupli.
comites tripli. Sit enĩ in ordine hoc modo numerꝰ
naturalis & sub eo qͣ drupli & sub eo tripli sint. Sub¬
ponat᷑ sub pͥmo qͣdruplo. Prims triplus. subscđõ scđs̃
sub t̃cio t̃cius. & eodẽ modo cuncti eiusdem primi
uersus tripli. in ordinem digerentur¬

Expanded text:
ario numero continuatim quadruplis constitutis, ario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigantur
Abbreviated transcription (Latin):
rus ẽ qͥunitate differt ab impari. ł increm̃to ł di¬
minutione. Si enĩ pari unũ dẽpsseris. ł unũ adie¬
ceris impar efficit᷑. E si impari idẽ feceris. par c̃
m̃is qͦq numerꝰ circũ se positor¬

Expanded text:
rus est, qui unitate differt ab impari, vel incremento, vel diminutione. Si enim pari unum dempseris vel unum adjeet impar efficitur, vel si impari idem feceris, par conOmnis quoque numerus circum se positor
Abbreviated transcription (Latin):
hi sunt.
ouẽ uͦ angulorũ scđm eundẽ ordinẽ. forma pro¬
creatur. ita ut scđm aeqͥlẽ ꝓgressionẽ Primiqͦꝙ
eorũ numeri distent. Nã intriangulo qui s̃ numeri
q̃ pͥma suꝑficiei figura ẽ uno se  tantũ numerop̃cedt̃.
Qui scilic& eorũ naturã descriptionẽ q̃ ꝑficiunt. Inte¬
tragono uͦ qui scd̃s ẽ. duob sese iuncai numeri uincurĩ.

Expanded text:
hi sunt. Novem vero angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese juncti numeri vincu
Abbreviated transcription (Latin):
tigantes rationib: qͥq in matheseos disputati¬
one ũsati. quid inquaq re eẽt ꝓpͥũ subtilissi¬
me peritissimeq ediderunt. Hui rerũ om̃iũ na

Expanded text:
tigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium na
Abbreviated transcription (Latin):
ratione in quot numeris quanti possint eẽ suꝑ par¬
ticulares in uestigandũ ẽ. Om̃s enĩ multiplices tan¬
tarũ similiũ sibim& ꝓportionũ pͥncipes er̃ quoto

Expanded text:
ratione, in quot numeris quanti possint esse superparticulares, investigandum est. Omnes enim multiplices, tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto
Abbreviated transcription (Latin):
rata breuitate collegi. & q̃ tͣnscursa uelocius an¬
gustiorẽ intellegentie p̃stabant aditũ. medi¬

Expanded text:
rata brevitate collegimus. Et quae transcursa velocius angustiorem intelligentiae praestabant aditum, med
Abbreviated transcription (Latin):
atq paruissimũ ut eiꝰ pars inueniri ñ possit. Est
gͥ punctũ pͥmi int̾ualli pͥncipiũ . ñtam̃ int̾uallu.
& lineȩ capud s ñdũ linea: Sicut linea qͦq suꝑfici¬
ei pͥncipiũ ẽ . s ipsa suꝑficies non est. Et scdĩ int̾ual¬
li caput ẽ. scđm tam̃ int̃uallũ ipsa non retinet.
Iđẽ qͦq & insuꝑficiei rationẽ cadit. Quȩ & ipsa so¬
lidi corporis & triplicis int̾ualli naturale sortit᷑

Expanded text:
niri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea. Sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortit
Abbreviated transcription (Latin):
qͦđ a modo locũ ohinens. & in maiorib & in minorib
equalib ꝓportionũ cõparationib continet᷑. Hoc qͦq
qͦdđamodo ꝓpertionem. Namꝙ in artthimetica ꝓportio¬
ne medius t̾̃minꝰ eadẽ sua parte & minorẽ p̃cedit.

Expanded text:
inens, et in majoribus et in minoribus, aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque ometricam proportionem. Namque in arithmetica proporti medius terminus eadem sua parte, et minorem praecedit
Abbreviated transcription (Latin):
numerꝰ ꝗ perfectus dicit᷑. uirtutis scilic& emulator
qͥ nec suꝑuacua ꝓgressione porrigit᷑. nec ẽtracta¬
rursus deminutione remittt᷑. s medietatis obtinens
t̃minũ. suis equus partib nec crassatur habundan¬
tia. nec eget in opia. ut .ui. ł xxUI Ii. Namq: sena¬

Expanded text:
numerus qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator,  nec supervacua progressione porrigitur, nec contractarursus diminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum, suis aequus partibus, nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut sex vel 28. Namque sena
Abbreviated transcription (Latin):
il. in se simultiplices. supͣdictã faciant extremita¬
CXXUIII. inmutabili necessitate implebunt. Atq
hoc usq ad extremos t̃minos cadit . iđ .i. &. cxx.
UIII. semel enĩ extremꝰ t̃minꝰ . cxxuiii. Cencies ui¬
cies atq octies unitate multiplicata. nihil de pͥo¬
re qͣntitate mutabit᷑. Sia ut̃ impares fuerint dis¬
positiones. unꝰ mediu̾ t̃minꝰ inuenit̃: atq ipse sibi

Expanded text:
ices, supradictam facient extremita, 128 immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi
Abbreviated transcription (Latin):
continet᷑. Tetragoni cũ latꝰ inqͥre: & hunc medium
pone : Nã sub xl. &denario nm̃ro.cccc. continent᷑:
si enĩ dexariũ in xl. multiplices. hic numer̃ crescit.

Expanded text:
continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub 40 et denario numero 400 continentur. Si enim denarium in 40 multiplices, hic numerus crescit.
Abbreviated transcription (Latin):
auquid autẽ considerationẽ armonicȩ ꝓpͥe ẽẽ
in primi libri rerũ om̃ium diuisione monstraui¬
mus. Ipserũ qͦq musicarum consonantiarũ quas

Expanded text:
quid autem, considerationem harmoniae proprie in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas
Abbreviated transcription (Latin):
int̃ extremitates ẽ. N loco tantũ uerũ &iã fit
qͣntitate medietas: Ut si ponant᷑ ÷ .ii.iii.unꝰ. &
qͣt̾narii medietas inuenit᷑. Qđ sibis medietatẽ
ducas equus erit extremitatib. Bis enĩ .ii.iii.
creant. Sin uͦ disiuncta sit qđ fit ex utrisq¬

Expanded text:
inter extremitates est, non loco tantum, verum etiam fit quantitate medietas. Ut si ponantur 1, 2, 3, unus etquaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim duo, quatuor creant. Sin vero disjuncta sit, quod fit ex utrisq
Abbreviated transcription (Latin):
t sub extremitatib minꝰ eẽ illo numero qͥfit ex
metlietate tantũ. qͣntũ differentiȩ inse multi¬
plicatę restituunt.
uarcũ uͦ ꝓpͥũ hui modi dispositionis nota¬
tur. qđ antiqͥores qͦq habuere notissimum.
Qđ in hac ꝓportionalitate. ł medietatẽ inminori¬
b: t̃minis maiores ꝓportiones. In maiorib: mino¬
res cõparationes necesse ẽ inueniri. Nãq in disposi

Expanded text:
 sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. uartum vero proprium hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportionalitate vel medietate, in minoribus terminis majores proportiones, in majoribus minores comparationes necesse est inveniri. Namque in
Abbreviated transcription (Latin):
tipsices . Siquidẽ duplices sesqualrs.
triplices ses quit̾tios. & cuncti multiplices¬
t os eor ponuntunctos in ordinẽ suꝑ particulares creant. Est &iã ĩ
his hoc qͦq mirabile. Nãq ubi pͥma latitudodu
plex. & subeisdẽ qͥ sunt ũsus c̃tinui alt̃natĩ positi

Expanded text:
tiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui
Abbreviated transcription (Latin):
augmenta exagonorũ ł octogonorũ ł nouẽ laterũ figura¬
ł detẽ. ł quot lib& aliorũ c̃petenti ꝓgressione conficit᷑.
Vt enĩ in pentagono duob int̾missis eos uingebamꝰ. qui
se t̾̃nario superarent. nc̃ in exagono trib: intermissis
eos iungemꝰ qui se quat̃ nario transeant. Et erunt
quide eorũ radices & fundam̃ta ex quib iunctis

Expanded text:
orum, vel 9 laterum figura, vel 10, vel quotlibet aliorum, competenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono, duobus intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexagono, tribus intermissis eos jungemus qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus junctis
Abbreviated transcription (Latin):
In hac enĩ dispositione ꝗ̃ ẽ .iiii .ui .uiiii. Tercia sui
t̃cia sui parte rursus nouenartus senariũ uincit iđ
trib Hlab& aut̃ aliã ꝓpͥeratẽ armonica mediȩ¬
tas. ut cũ duas extremitates in unũ redactas me

Expanded text:
In hac enim dispositione, quae est 4, 6, 9, te tia sui  duobus, et tertia sui parte rursus novenarius senarium vincit, id est tribus. Habet autem aliam proprietatem harmonica medietas, ut cum duas extremitates in unum redactas, me
Abbreviated transcription (Latin):
sic hoꝵ latera a se tantũ uno st̃ altera. & una¬
tantũ differ̃ unitate. Quare disponant᷑ in ordinẽ
om̃s ab uno impares & sub his om̃s abinarionime¬
ro pares.

Expanded text:
sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et unantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares.
Abbreviated transcription (Latin):
tagoni continuo figura nascet᷑. Ethu numeri sunt eo¬
rũ radices & ut superius dictũ ẽ fundamenta.
Qui uͦ ex his c̃stant.

Expanded text:
tagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. Qui vero ex his constant
Abbreviated transcription (Latin):
enĩ ab uno om̃s parit̃ pares nume rosĩordinea¬
qͦusq uolueris. pͥmo scđm̃ ad gregabis. Et si pͥmꝰ nm̃rs¬
& in cõpositus ex illa coaceruatione fastussit. totã sũ

Expanded text:
enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordineque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam su
Abbreviated transcription (Latin):
nario. Et octonarius q̃tnario ipso q̃ tnario : &
deinceps maiores alii ipsis minorib ab eisdẽ ipsis

Expanded text:
nario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis
Abbreviated transcription (Latin):
Et si pentagona basis similit̃ & si exagona illa qͦq¬
ultima suꝑficies erit exagona. Ergͦ incurta pyra¬
mide tot erit anguloꝵ suꝑficies. quot fuerit basis.
Siuͦ illa pẏramis. ñ solũ adunitatẽ extremitatẽq
ñꝑuenit. s nec ad pͥmũ qͦq opere & act multian

Expanded text:
et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa qultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multian
Abbreviated transcription (Latin):
fiat. differentiarum cõparatio ab t̃minox ꝓpor¬
tione ñ discrep&. Et sint quidem pͥmo pares
posite quȩdam extremitates. intqͣs has om̃s me¬
dietates oporteat int̾nectere .x. & xl. Priusgͥ
arithmetica medietas aptetur. Int̃ hosgͦ sixxv.
posuero. erit mihi arithmetica ꝓportio differen¬
tiarũ quantitate in mutabilit̃ custodita: In huiꝰ

Expanded text:
fiat differentiarum comparatio, ab terminorum proportione non discrepet. Et sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietates oporteat internectere, 10 et 40. Prius igitur arithmetica medietas aptetur. Inter hos ergo si 25 posuero, erit mihi arithmetica proportio differentiarum quantitate immutabiliter custodita, in hu
Abbreviated transcription (Latin):
t̃uallorũ naturas & numerũ c̃ponant᷑. Unũ enim
in t̃uallũ duos inse c̃tin& motꝰ. ut intrib int̃ual¬
lis .ui. sese motuũ sũma c̃ficiat hoc modo. Est enĩ
in longitudine ante & retro. inlatitudine sinis¬
tra & dextra. in altitudine sursũ acdeorsum.
Necesse ẽ aut̃ ut quicquid fuerit solidũ corpus.

Expanded text:
nantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo. Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextra, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem ut quidquid fuerit solidum corpus
Abbreviated transcription (Latin):
triplicẽ t̃cius uͦ duplicẽ. atq in eo sit̾narius. bi¬
nario. ł si senarius quat̃nario. ł nouenarius sena¬
rio c̃paret᷑. ł om̃s triplices superiores. siduplicibs
numeris c̃sequentib opponant᷑ emi holia iđ ses

Expanded text:
triplicem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia, id es
Abbreviated transcription (Latin):
ris numerat sũmã sua scilic& quantitate cũ eo ȩqͣlit̃
inchoans ȩqͣlit̃ que det̃minans. Idẽ aut̃ dico numerat
qđ metit᷑. Si igit bis solũ maiorẽ numerũ minor
numerꝰ meciat᷑. subduplus uocabit᷑. Siuͦ ter: sub¬
triplus. Siqͣt̃ sub qͣdruplus. Et fit ꝑhȩc in infinitõ
ꝓgressio addita que eos sq̃ꝑ sub p̃posicione nomina¬
bis ut unꝰ duoꝵ subduplus triũ subtriplus uil.
sub qͣ druplus appellet᷑ & c̃sequent̃. Cũ aut̃ natura¬
lit̃ multiplicitas & sub multipliettas infinita sit eoꝵ
qͦq species ꝑ ꝓprias generaciones in in finita c̃sider¬
cione ũ sant. Sieñ postis innaturali c̃stitucione
qͥde duces om̃s pt̃nariũ numerũ naturalit̃ tri¬
simi ũsus tripliciũ naturalis numeri. atq dupli¬
ciũ. & sit hoc modo.¬

Expanded text:
ris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione dem duces omnes post ternarium numerum naturalitsimi versus triplicium naturalis numeri atque duplcium, et sit hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
repperire possimꝰ. expediendũ ẽ. Datis duob: t̃¬
minis si arithmeticã medietatẽ c̃stituere opor¬
tebit. utraꝙ ẽ extremitas c̃iungenda. qͦd que
exea copulacione colligit᷑ diuidendũ. Isꝙ nume¬
rꝰ qͥ ex diuisione redactus ẽ. arithineticã medieta¬
tẽ int̾ extremitates locatꝰ effici& Ut .x.xxl.

Expanded text:
reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut
Abbreviated transcription (Latin):
qͥ sequunt᷑ om̃iũ ordine multipliciũ sequencias
uarietates que custodiunt. Ad pͥmũ enĩ iđ u
nitatẽ .ii. duplus uiitriplus .iiil. qͣdruplus atq

Expanded text:
 sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, 2 duplus, 3 triplus, 4 quadruplus, atq
Abbreviated transcription (Latin):
tauã iđ .i. Quȩ cuncte in unũ redacte .uII. colligua
minorẽ scilic& sũmã toto corpore c̃dudentes. Rur¬
sus .xiiil. babent medietatẽ .Uii. iđ septinariũ. ha¬
bent septimã iđ ii. habent qͣrtã decimã iđ .i. Quȩ
in unũ sicollecta sint. denarii numeri sũma sucores¬
cit toto scilic& t̃mino minor. Atq hi qͥdẽ hoc
mͦdo st̃. ut pͥor ille qͥđe quẽ suȩ partes suꝑant ta¬
lis uideat᷑. tãquã si qͥs multis suꝑnaturã manib¬

Expanded text:
t unum, quae cunctae in unum redactae 7 colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent quartam decimam, id est 1, quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si q
Abbreviated transcription (Latin):
t᷑. Et ex hoc equidẽ apparere necesse ẽ trian¬
gulas formas. ceterarũ figurarũ eẽ pͥncipiũ. Qđ
om̃is pyramis a qͣcũq basi ꝓfecta ł aqua drato ł
apentagono ł ab exagono ł ab ẽptagono ł aquo¬

Expanded text:
. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab hexagono, vel ab heptagono, vel a quo
Abbreviated transcription (Latin):
aut̃ tales nmr̃i ita. ut substantiã nat᷑amq suã in ipsa¬
& iã ꝓpͥa generatione designent. exparit̃ parib &
parit̃ imparibs ꝓcreasi. Parit̃ enĩ impares cunsti¬
dudũ ordinatĩ positis imparib: nascebant᷑. Pariter
uͦ pares ex duplici ꝓgressione. Disponant᷑ gͥ om̃s in
inchoantes om̃s duplices. & siNThoc modo.
llis gͥ ita positis. si pͥmꝰ primi multiplicatione c̃crescat

Expanded text:
autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipspria generatione designent, ex pariter paribus bus procreati. Pariter enim impares, cunctidudum ordinatim positis imparibus, nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in inchoantes omnes duplices, et sint hoc modo: His igitur ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat
Abbreviated transcription (Latin):
& mediũ. potest una medietas¬
talis inueniri ꝗ̃ ad alterã extremi¬
tatẽ sosqualtera sit. ad alterã sesqͥt̃tia
Altrinsecꝰ enĩ positis. senario & t̃nario iđ duplici & me¬
dietate: si quat̃narius in medio collocet᷑ adt̃nariũ nu¬
merũ sesqͥt̾tiã c̃tin& rationẽ ad senariũ uͦ ses qualterã.
ecte gͥ dictũ ẽ & duplicẽ a ses¬
qualtero sesqͥ¬
has duas suꝑ particularis spe¬
cies duplicẽ ꝓcreare iđ pͥmã spẽ¬
ciẽ multiplicis qͣntitatis. Rurss
ex pͥma multiplicis specie. iđ exduplici & pͥma suꝑ¬
particulari iđ sesqualtera. c̃tinens multiplicis spe

Expanded text:
 medium potest una medietatalis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesquialtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id edietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesquialteram. ecte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesqhas duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie, id est ex duplici, et prima superparticulari, id est sesquialtera, continens multiplicis spe
Abbreviated transcription (Latin):
aut̃ q̃ sub posita ẽ. hoc mͦ fasta ẽ. qͣntoscũꝙ ĩ ordine
parit̃ pariũ num̃ roꝵ t̃naruiꝰ numerꝰ multiplica¬
uit. Quicũꝙ exeo ꝓcreatis. pͥmo ũ su st̃ dispositi.
Rursus qͥ eosdẽ multiplicante qͥnario natis. scđõ

Expanded text:
ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt primo sunt versu dispositi. Rursus qui eodem multiplicante quinario nati s
Abbreviated transcription (Latin):
qͣrta qͣtuoꝵ. & deinceps scđm suꝑ particulares
formas numeroꝵ qđ ad differentias attin&.
uno tantũ crescit adiectio. numerum expli¬
cas naturalem.
in uͦ scđm tetragonũ. pͥmo parte altera
longiori cõpares. & t̃ciũ scđo. & qͣrtũ t̃tio.

Expanded text:
rta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. undum tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio
Abbreviated transcription (Latin):
Est enĩ crculus. posito qͦdã puncto & alio eminus
defixo. illius puncti qͥ emun fixus ẽ ȩqͣlit̃ distans

Expanded text:
Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans
Abbreviated transcription (Latin):
ne cũ & longitudinis & latitudinis & ꝓfunditatis
exꝑsit om̃iũ int̃uallorũ eẽ pͥncipiũ. Etnatura in¬
secabile qđ greci atomon uocant. iđ ita diminutũ

Expanded text:
ne, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutu
Abbreviated transcription (Latin):
ursus multiplex ẽ pͥma pars maioris inȩqͣlita¬
tis cunctis aliis antiqͥoꝵ natura que p̃stancior
ut paulo p̾demons trabit᷑. hic aut̃ numerꝰ huius¬
modiẽ ut c̃paratꝰ cũ altero illũ c̃ira quẽ c̃parat ẽ
habeat plus quã semel. Qđ pͥmũ innaturalis nu¬
meri disposicione ẽ ueni&. Nãꝙ ad unũ cuncti

Expanded text:
ursus multiplex est prima pars majoris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus hujusmodi est, ut comparatus cum altero, illum contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti
Abbreviated transcription (Latin):
nouenrio. reliqͥs .vii. Qd si duo rurs septenario dep̃s¬
serĩ. suꝑs .v. atq ex his alios duos. tres rurs exuberanł.
Quos alios binario deminutos. sola unitas suꝑstes egre¬
dit᷑. Rurs siex duob unũ auferã. in uno t̃minꝰ decc¬

Expanded text:
et relicti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detrac
Abbreviated transcription (Latin):
tes. & nomine. & qͣntitate. pares parit̃ inueniant᷑.
Quomodo aut̃ & noĩe & qͣntitate. pares habeat par¬
tes hic numer̃. p̾dicemꝰ. Horũ aut̃ generatio talis

Expanded text:
tes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis
Abbreviated transcription (Latin):
ita &iã unitas in se ipsa multiplicata nihil ꝓcreat. Se¬
mel enĩ unũ nihil aliud exse gignit quã ipsa ẽ. Nã quod
int̃uallo car&. &iã uĩ gignendi int̾ualla non recipit .
Qđ in aliis numeris non uidet᷑ euenire. Om̃s ent̃ nume¬
rus inse ipsũ multiplicat᷑. aliũ quendã efficit ma¬
iorẽ quã ipse ẽ Id circo qm̃ int̾ualla multiplicata
maiore sese spatu ꝓlixitate distendunt. Iduͦ quod

Expanded text:
Ita etiam unitas in seipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quemdam efficit majorem quam ipse est, idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero quod
Abbreviated transcription (Latin):
qͥ fit .xx.v. abv. ꝓgressus in eosdẽ desinit .v. Et
si hos rursũ qͥnqͥeseducas. in eosdẽ .v. eoꝵ t̃minꝰ ue¬
ni&. Quinqͥes enĩ xx .v. fiunt .cxxv. & si hos rur¬
sus qͥnqͥes ducas. in qͥnariũ numerũ extremitas
t̃minabit̃. Atq hoc usq in infinitũ idẽ sẽꝑ¬
eueni&. Qđ in senario qͦq c̃uenit c̃siderari. Hu aũ¬
numeri id circo exclici ł sperici uocant᷑. Qđ spera
ł circulus in ꝓpͥi sẽꝑ pͥncipii reũsione formantur.

Expanded text:
 fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem sevenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi aunumeri idcirco cyclici vel sphaerici vocantur, quod l circulus, in proprii se
Abbreviated transcription (Latin):
uicunt᷑ aut̃ huiꝰ modi pyramides hoc modo. Pri¬
ma pyramis detriangulo. scđa pyramis de tetra¬
gono. t̃cia pyramis depentagono. quarta pyramis
de exagono. quinta pyramis deeͦptagono: ideq in
ceteris c̃stat᷑ numeris. Nã qm̃ lineares numeros et̃

Expanded text:
icuntur autem hujusmodi pyramides hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros e
Abbreviated transcription (Latin):
nariũ solũ in differentia retinuerint. Nec ñ
&iã in disiuncta eadẽ uersabit᷑ obseruatio.
giis insisten¬
tẽ nullus ab ea¬
dẽ similitudine
error ab duc& : Nãq si duos int̾mittas. t̃naris
differentiã c̃tinebit : Si .iii. qͣt̃narius si .iii. qͥ
narius. Aequȩ in c̃tinuis ꝓportionib: atq dis¬
iunctis. Qualitas aut̃ ꝓportionis eadẽ ñ erit:
Quã uis sint eqͥs t̃mini differentiis distributi.
Qđ si c̃ uersim ponant᷑. ut ñ eisdẽ differentus.

Expanded text:
binarium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in disjuncta eadem versabitur observatio. giis insistentem, nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si quatuor, quinarius, aeque in continuis proportionibus atque disjunctis. Qualitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem different
Abbreviated transcription (Latin):
transeat. ut duodenarius t̾nariũ & sequentes
sũmulȩ triũ semꝑ adiecta quantitate transili¬
ant. Et siqͥs subteriores aspiciat angulos. idem
ꝑ om̃s multiplicitatis species usq ad decuplum.
dispositissima ordinatione ꝑueniet. Siquis uͦin su
hac descriptione suꝑ particularis species reqͥrat.¬
tali modo repperi&. Si enĩ scđm angulũ not&.¬

Expanded text:
transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species, usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione, superparticularis species reqtali modo reperiet. Si enim secundum angulum not
Abbreviated transcription (Latin):
adminore maior t̃minꝰ c̃paratꝰ ipsũ minorẽ reti¬
n& differentiã. Namq: binarius adunitatẽ ipsa
unitate differat. Et quat᷑narius binario ipsobi

Expanded text:
ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso bi
Abbreviated transcription (Latin):
copulatꝰ effici&: atꝙ hõc innumerosiorib t̃minis¬
initio sũpto. amediis euenit. usq dũ ad extrema
ueniatur:
ueniatur. DENUMERO IMPARIT̃ PARI

Expanded text:
copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminisinitio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatur. CAPUT XI. De numero impariter pari
Abbreviated transcription (Latin):
st̃. duces uil. Rursus Vi. comites. Duces .uiil. &¬
in eodẽ ordine cȩteri simili modo uocant᷑ duces ses¬
Ad cognitionem
super particularibus
accidente.

Expanded text:
t, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesad cognitionem superparticularibus accidente.
Abbreviated transcription (Latin):
c̃uenientesq multiplicis species reddent. Siuꝰ ad seđm cune¬
tos qͥ t̃eu st̃ ordinis aptaueris. ordinatas species suꝑ particu¬
laris agnosces. Qđ si t̃tio ordini qͥcũq st̃. inqͥnto ũsu ẽpa¬
res. suꝑ partientis numeri species positas c̃uenient᷑ aspiciesb
Multiplex uͦ suꝑ particularis ostendit᷑ cũ ad scđm ũ sum
om̃s qͥsunt qͥnti ũsus serie c̃parant᷑. ł qͥ st̃ inseptimo ł qͥ st̃ in no¬
nͥͦo. atq si in infinitũ sit ista descriptio. in infinitũ huiꝰ ꝓpor

Expanded text:
enientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus pr
Abbreviated transcription (Latin):
garũ inueniendȩ generationis regula descriptionꝰ
eptem uͦ anguloꝵ figura ẽ cũ adeundẽ ordinem ꝓ¬
gressionis uno plusquã in .vi. angulorũ figura nu¬
mero intermisso suꝑiori coniunxeris. Nã sruii. in

Expanded text:
arum inveniendae generationis regula, descriptionisque. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem gressionis uno plus quam in sexangulorum figura nmero intermisso superiori conjunxeris. Nam si