comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ne ꝓporcionales erunte
ut si sit a ads sicud d ad ẜ bad e sicut t ad dent
a od e sicud ⁊ ad ẜ ducatur eum c in det f
et purmant g et h eñt qr ꝑ premisam g ad̃ h̃ sic
quia ex f in d fit li fret ddem le equerso ꝑ .i7. xx s
In ꝑ quia igitur exc et d iu f fuint li et li erunt
ꝑ hanc .i9. q̃dd l sicut c̃ ad d quia sicud s ade
et qua icm ostensiun est ꝙy est g ad q sicut ads
Suit p.xi. a ad e situd g ad li sed sit riat etiam ꝑc¬
os f siz q ad li est ig ita a ad e sicut e adẜ quod
est ppositum Idem ꝓbabis si fuerit in utroq ordñe
numen pluẽs tribus quem admodum ꝓbatur ma.¬
Si fuerm̃t &. nuimeri ꝓporcionales quod ex ducu x̾¬
mi in ultimũ pducrtur equũ erit ei quod ex Suctu

Expanded text:
portionales erunt. Ut si sit a ad b sicut d ad f | et b ad e sicut c ad d, erit a ad e sicut c ad f. Ducatur enim c in d et f et proveniant g et h. Eritque per premissam g ad h sicut quia ex f in d fit k, fiet idem econverso per 10 ex d in f. Quia igitur ex c et d in f fiunt h et k, erit per hanc 19 h ad k sicut c ad d, quare sicut b ad e. Et quia iam ostensum ad k. Sed sic etiam erat c ad f, est igitur a ad e sicut c ad f. Quod est propositum. Idem probabis si fuerint in utroque ordine numeri plures tribus quemadmodum probatur Si fuerint 4 numeri proportionales, quod ex ductu primi in ultimum producetur equum erit ei quod ex ductu
Abbreviated transcription (Latin):
recte ꝓporcionatis nont ꝓponit de monstrar dĩ in mi¬
ineriso sed eam demonstiabimus infia sup .i9. huius
nec esti necessarium ut pre de morstronus in mime¬
ris quod demonstratum ẽ x. nͣ gic de ꝙͣtitatibus
in genere uidelicet si quotlibet ꝓporciones in nimeus
fuerint equales uin et erdem ippas esse equales uel
easdem hot gumn maifestum est ꝑ diffuntionen ut

Expanded text:
recte proportionalitatis, non proponit demonstrandum in numeris, sed eam demonstrabimus infra super 19 huius. Nec est necessarium ut predemonstremus in numeris quod demonstratum est per 11 quinti de quantitatibus in genere videlicet si quotlibet proportiones in numeris fuerint uni equales vel eedem ipsas esse sibi equales vel easdem. Hoc enim manifes
Abbreviated transcription (Latin):
clrdes cum ista ꝓponat ꝑticulariter ꝙ illa uniuesaliter
uane illa demon̾stratur in hoc ꝓposiuisset hant hit i a ͦ
Et quare autem non demonstrant eaur simxliciter ꝑ¬
i9. cͣ ac uero nec madum illius demonstiationis possĩ
aufferre ad de monstritionem huius cum ista de monstiat᷑
in quantitatibus in genere per ꝯporcionalitatem ꝓ¬
porcionalitatem ꝑ mutatam que infra de mostiatur in
mueus/ Exiscimo autrm et racionabiliter ꝯuic̃ti uidet᷑
enclidem ꝙͣ multu demostiatoris arisimetici giã io
in quo sint numemerorum aliqua p̃cognioone transi¬
re non poterat consta assumere idcrrco xlura eoru
que in liͦ de quantitatibus in genere de monstrauit hic
rexeteret est de monstranda de mumeris quomã ⁊
alia peria princioia uidelicet numerorum que ĩigis
principia uero iuimerorum magis ulrio se intrlletri
d politant facilius qr ꝙͣ illa Egent enu illa incellettu disxesto¬
nigis di xosito

Expanded text:
clides, cum ista proponat particulariter quod illa universaliter, vane illa demonstrata in quinto proposuisset hanc hic in septimo et quia iterum non demonstrant eam simpliciter i. At vero nec modum demonstrationis possunt affirmare ad demonstrationem huius cum illa demonstretur de quantitatibus in genere per propor|tionalitatem permutatam que infra demonstratur in numeris. Existimo autem et rationabiliter convinci videtur Euclidem quem vultum demonstratoris arismetici, gratia decimi in quo sine numerorum aliqua precognitione transire non poterat constat assumere idcirco plurima eorum que in quinto de quantitatibus in genere demonstravit, hic repetere demonstranda de numeris, quoniam per alia principia propria, videlicet numerorum, que magis principia vero numerorum magis ultro se intellectui applicant faciliusque quam illa. Egent enim illa intellectu magis disposito
Abbreviated transcription (Latin):
ad c tota pars uel portri quota ul quote bss
itaq fuerit pors constat ꝑpositum aut si partes
Sit e una ꝑcium a et f una xcium s et qui a tota
pare est et ꝑ xpothesin quota fs erit D ꝑ diffm¬
cionem ꝓportib e ad e sicut f ad d quore punita¬
tm ead f c add quare sieut de ad s non sunt itaq

Expanded text:
a, c tota pars vel partes quota vel quote b, d. Si itaque fuerit pars, constat propositum. At si partes, sit e una partium a et f una partium b et quia tota pars est e, c per ypothesim quota f, d, erit per diffinitionem proportio e ad c sicut f ad d, quare permutatim e
Abbreviated transcription (Latin):
nalibus uerbi gratia sit gporcio a adu sicut e ad d fiat¬
qr ed a in de et ees in oẜ dico ꝙ e et f sunt
e qualebet eꝯuerso Ducatur eui ci Inu et fiat s erit¬
qr p. id g ad e sicut s ad d et quia ꝑia exs in a
fit g et ex eodem in cẜ erit ꝑ id g ad f sicut a ad

Expanded text:
 Sit proportio a ad b sicut c ad d fiatque ex a in d, e et ex b in c, f. Dico quod e et f sunt equales et econverso. Ducatur enim a in b et fiat g eritque per 18 g ad e sicut b ad d et quia per 17 ex b in a fit g et ex eodem in c fit f, erit per 18 g ad
Abbreviated transcription (Latin):
e f tota pars aut partes quota ul quote Gd Aut
cotiens ꝯtinebit as et et quociens es et tota pars
aut partes suꝑsluent t ma et f inx quota uel quote
S in u Euia ergo quota pars url partes est at tota
uel tote est ef aut quotiens a contiuet e tociens e
f et quota pars aut partes e suꝑfluit in a tota uel
tote f iue erit ꝑ diffinitionem a ad c sicud ead
f dunit i guur ut prointur numen Ase et alu

Expanded text:
e, f tota pars aut partes quota vel quote b, d aut totiens continebit a, c et e, f quotiens b, d et tota pars aut partes superfluent c in a et f in e quota vel quote d in b. Quia ergo quota pars aut partes est a, c tota vel tote est e, f aut quotiens a continet c totiens e, f et quota pars aut partes c superfluunt in a tota vel tote f in e eritque per diffinitionem a ad c sicut e ad f. Sint igitur ut proponitur numeri a, b, e et alii
Abbreviated transcription (Latin):
di a duob nimeris quorum alter alterius
portes ꝓpositis partes ille subtrahantur
e resi diuis a coc et cote ꝑ residiu e quõt et quote
est a Sit enii g una ꝑcium a et q̃ una ꝑcum c
Erit qr p̃pter ypottesur s tota pars a quota h̃c et
cota ⁊ quota bs detrahatur igitur ħ de a rema¬
neat l erit qr l ꝑ premissam tota pors e quota
gao et ⁊ toca E ꝑ eandem quota gs quia igit᷑
e et f babent portem cõmunẽ que est e ene ꝑ¬

Expanded text:
i a duobus numeris, quorum alter alterius partes, propositis partes ille subtrahantur, e residuus a tot et tote partes f residui b quot et quote est a, b. Sit enim g una partium a et h una partium c eritque propter ypothesim g tota pars a quota h, c et tota b quota h, d. Detrahatur igitur h de g et remaneat | k eritque k per premissam tota pars e quota g, a et tota f per eandem quota g, b. Quia igitur e et f habent partem communem que est k,
Abbreviated transcription (Latin):
Si a dubus numeris secundum suas ꝓportiones
duo nimeri detrahantur erit ꝓporcio reliqua ad
⁊ eliquũ tarꝙͣ ꝓporcio totius ad totum
Quod ꝓpoint euclides in iꝯͣ aͥ de ꝙͣtitatibus in g. ꝓ
point hic de nuimeris ut si sit ꝓporcio totius / a as
corũ s sicut c detratti db a ad d deciactũ a señt
es residui a ad s residium ẜ sicut a ad G Si emĩ
nem diffiisᵒ siulium parcium c tota pois aut ꝑtes¬
⁊ tota poro aut aut partes / quota ul quote est ab
S diffricicurm ĩgitur erit et ꝓporcio una quod est pro¬
Atum/ ex si a ue s maior erit ꝑ pͥmam ꝑtem xremisse
quota pare ant̃ partes sa tota uel tote le quare
quatꝰ ues daᵐ eota ul tõte ert fe itaq p̃ secudam
Bartem Bremisse e ad ẜ sicud a ad s. quare constat

Expanded text:
Si a duobus numeris secundum suas proportiones duo numeri detrahantur, erit proportio reliqui ad reliquum tamquam proportio totius ad totum. Quod proposuit Euclides in 19 quinti de quantitatibus in genere, proponit hic de numeris ut si sit proportio totius a ad totum b sicut c detracti ab a ad d detractum a b, erit e residui a ad f residuum b sicut a ad b. Si enim nem diffie tota pars aut partes f quota vel quote est a, b, per diffinitionem igitur erit et proportio una. Quod est propositum. Quod si a sit maior b, erit per primam partem premisse quota pars aut partes b, a tota vel tote d, c, quare per 7 vel 8 tota vel tote erit f, e. Itaque per secundam partem
Abbreviated transcription (Latin):
Si fuerunt quatuor numeri quorũ primus tote
portes secim di quote gercius quarti Erunt x¬
nuis et tercuis ꝑiter accepti tote portes secũs
portibus Sunt itaq ut prius quatuor nuimeri abe
S sicqpt sicoi ut b sit cot et tote a quot et quote
Sest e dico ꝙ s et o pariter accepti erunt tot
et cote porrtes a et c ꝑiter acceptorum quot et qͦte
uest a dico autem toc et totas qr parciũ plaritas
Siobus nimeris diffuntur quoꝵ alter nimerater
Sicitur alter denominator ut cum Diciius 3ͨ.q.
igitur s est portes a sit ut sit eius partes numerate
abl et denominate a li erutt q similiter ꝑ positũ

Expanded text:
atuor numeri quorum primus tote partes secundi quote tertius quarti, erunt primus et tertius pariter accepti tote partes secundipartibus. Sint itaque ut prius 4 numeri a, b, c, d sitque ut b sit tot et tote partes a quot et quote d est c. | Dico quod b et d pariter accepti erunt tot et tote partes a et c pariter acceptorum quot et quote b est a. Dico autem tot et totas quia partium pluralitas duobus numeris diffinitur quorum alter numerator dicitur, alter denominator ut cum dicimus tres qigitur b est partes a, sit ut partes eius sint numerate ab h et denominate a k eritque s
Abbreviated transcription (Latin):
cuntiu ⁊ porciones que cadem de nominacier aut
⁊ecipiunt maior uero que maiorem miner aurẽ
infuntum posse procedere / Nullum numerum
I infintum posse diminui
omunes amini concepciones sunt. io. /Sis
porrs minor est suo toto Quecunq eiusDen
sue equaliũ fuerint eq̾multiplices ĩpsi ꝯuoor
eunt equaces Euibus idem mimerus e quim̃e¬
tiplex fuent siue quorum equimultiplices fueriit
equales et ipsi eciam erunt equales simis nure¬
ri pors est unitas ab ipso denominata/ Sms
pors est minor que maiorem habet de nommacio¬
nem mcior uero que minorem Quilibet numerus
totus est as uintate quota pars ipsis est
unitas quitunq numerus in uintatem Suat̾
trahatur Donet mimus eo suꝑsit ac deinde
De minore ipsum reliqũ douet ninus es relin¬
q̃uatur Itemq areliquo primo ⁊ eliquũ secũ¬
Dum ꝯuousq mimus eo suꝑsit acq in huuste¬
modi ꝯcia detraccione nullus fuerit ⁊ elicus

Expanded text:
cuntur proportiones que eandem denominationem recipiunt. Maior vero que maiorem. Minor autemorum in infinitum posse procedere. ⟨iv⟩ Nullum numerum in infinitum posse diminui. ∗∗∗ Communes animi conceptiones sunt 10: ⟨i⟩ Omnis pars minor est suo toto. ⟨ii⟩ Quicumque eiusdem sive equalium fuerint eque multiplices, ipsi quoque erunt equales. ⟨iii⟩ Quibus idem numerus eque multiplex fuerit sive quorum eque multiplices fuerint equales, et ipsi etiam erunt equales. ⟨iv⟩ Omnis numeri pars est unitas ab ipso denominata. ⟨v⟩ Omnis pars est minor que maiorem habet denominationem, maior vero que minorem. ⟨vi⟩ Quilibet numerus totus est ab unitate quota pars ipsius est unitas. ⟨vii⟩ Quicumque numerus in unitatem trahatur donec minus eo supersit, ac deinde de minore ipsum reliquum donec minus eo relinquatur, itemque a reliquo primo reliquum secundum quousque minus eo supersit, atque in huiuscemodi continua detractione n
Abbreviated transcription (Latin):
pors uel poires a Ant enin s numeratur ldnt non si
mimeratur pore eius est ꝑ diffinitionem Si non nu¬
merat᷑ ipsum aut ergo sunt ad inuuoem primi aut non
Suon sunt es inucem primi habebunt ꝑ Siffinic¬
ueni partẽ cõmunem que quotiens fuerie in b toc
partes de Sicrorr esse u ꝑ diffiitionem si autem sit̃
iuuidem prum quia cum omns inimeri pare est

Expanded text:
rs vel partes a. Aut enim b numerat a aut non. Si numerat, pars eius est per diffinitionem. Si autem non numerat ipsum, aut ergo sunt ad invicem primi aut non. Si non sunt ad invicem primi, habebunt per diffinitionem partem communem que quotiens fuerit in b tot partes a dicetur b esse per diffinitionem. Si autem sint ad invicem primi, quia tamen omn
Abbreviated transcription (Latin):
uulium si ꝑ ficierum pentagonus ꝯstitutus super luurã
ficies sibi inuicem similes esse necesse estͤ
Sit uterq pentagonoꝵ dbt Sef similes pentagons
gali/ Sico eos esse suimłes sibi iuuicem est em̃i ut̃q
eorum equiangulus pentagono għl ꝑ ꝯclusionem
Siffiniciomis sumlium suꝑficierum quare sunt equian¬
guli adimnuicem Sumliter quoaa ꝑ ꝯuersionem eiusdem
diffinicionis aporcio ab ad għ est sicut ac ad gli
et għ od de est sicut ql as ss̃ ergo ꝑ equã ꝓpor¬
ciõnalitatem as as de est sicut ac as dꝭ eodem
modo ꝓbabis reliqua latera pentagonorum abc et
deꝭ contimencia equos angulos esse ꝓporcionalia
ꝑ diffim cionẽ itaqi sum łium suꝑficierum ipsi sut

Expanded text:
similium superficierum pentagonus constitutus supra lineam similium superficierum pentagonus constitutus supra lineam erficies sibi invicem similes esse necesse est. Sit uterque pentagonorum a b c, d e f similis pentagono g h k. Dico eos esse similes sibi invicem. Est enim uterque eorum equiangulus pentagono g h k per conversionem diffinitionis similium superficierum, quare sunt equianguli ad invicem. Similiter quoque per conversionem eiusdem diffinitionis proportio a b ad g h sicut a c ad g k et g h ad d e sicut g k ad d f, ergo per equam proportionalitatem a b ad d e sicut a c ad d f. Eodem modo probabis reliqua latera pentagonorum a b c, d e f continentia equos angulos esse proportionalia. Per diffinitionem itaque similium superficierum ipsi sunt
Abbreviated transcription (Latin):
cdetg /⁊ diuĩdo hunc pentagonum in criangulos
Sutis liuris Sẜ et gd et super punctum d con¬
sei tuam angulum equalem angulo c ducta abet
sliper princtum ẜ constitus alium añgulum qui sit abh
e qualem angulo esg ꝑtracta linea bh̃ quonsd ꝯcuriat
cun d̾ s in xuncto q̃ erit q ꝑ. 3r. pmi angulus
ahs equalis angulo cdt cgd et ⁊ deo ꝑ .x. huius
latera Suorum tridoigulorum ged et hab sunt¬
ꝓporcionalia facio q angulũ h̃blr Sucta liura
blr equalem angulo gof et angulum kbl Sucta
linea se equalem angulo fde et angulum bhlr ducta
emea her equalem angulo daf et anguluim s l l
Ducta linea alli equalem angulo Sft out qr ꝑ
fectus penta gonus qui constituendus erat suꝑ luurã
as Est enin equiangulus Soco pentagono ꝓpter oqua¬
atatem angulorum tuangulorum in quos est uterq
Siuisus/ s et laterum ꝓporcionalium propter ꝓpor¬
cionalitatem latrrum ipsorum ipsorum cuangulorum q̃.
ex .xͣ quius ooudenter cepparet quare ꝑ siffinicionẽ

Expanded text:
o hunc pentagonum in triangulos ductis lineis d f et d g et super punctum a constituo angulum equalem angulo c ducta linea a h et super punctum b constituo alium angulum qui sit a b h equalem angulo c d g. Protracta linea b h quousque concurrat cum a h in puncto h eritque per 32 primi angulus a h b equalis angulo c g d et ideo per 4 huius latera duorum triangulorum g c d et h a b proportionalia. Facio quoque angulum h b k ducta linea b k equalem angulo g linea b l equalem angulo f d e et angulum b h k ducta linea h k equalem angulo d g f et angulum b k l ducta linea k l equalem angulo d f e. us pentagonus qui constituendus erat | supra lineam a b. Est enim equiangulus dato pentagono propter equalitatem angulorum triangulorum in quos est uterque divisus, sed et laterum proportionalium propter proportionalitatem laterum ipsorum triangulorum que ex 4 huius evidenter apparet, quare per diffinitionem
Abbreviated transcription (Latin):
in aximũ min̾oꝵ eos cõmuniter nuimerãtiũ in uerire
Prius ꝙͣ hãc terciam ꝯclusionem demonstienus
Semonstrandum arbitremur ipsis antecedens uide¬
licet ꝓpesitis tubus imgris qualiter poterimus certi¬
ficars an ipsi sunt adiuuicem compositi Suit itaq
tres numeri abs de quibus uolo undere xtrum ipl
siut adiuuitem couixositi ꝑ p̾mã igitur inquiro an
Suo prim numeri qui sunt as sint adimicem p̾m¬

Expanded text:
um eos communiter numerantium invenire. Priusquam hanc tertiam conclusionem demonstremus, demonstrandum arbitramur ipsius antecedens videlicet propositis tribus numeris qualiter poterimus certificare an ipsi sint ad invicem compositi. Sint itaque tres numeri a, b, c de quibus volo videre utrum ipsi sint ad invicem compositi. Per primam igitur inquiro an duo primi qui sunt a et b sunt ad invicem p
Abbreviated transcription (Latin):
o quin ꝑ correlatinũ precedendt̃ sequeretur maiorẽ
iimerare minorem S. aucem Snon nuimeratur e
orunt tamen dus c et d adiuucem compositi per
ypotesim et correlanum uũ precedentis et diffrincionẽ
sic ĩgitur maximus numerans eos e dico x esse ma¬
ximĩ numerantem abt E eum eos numeret ꝑ hãc¬
mimerantem ⁊ et d Et ꝑ penultimam ꝯcexcionem
⁊t ꝙ nullus mcor eo miineret eos sit patet Sit eñ

Expanded text:
oquin per corollarium precedentis sequeretur maiorem numerare minorem. Si autem non numerat c, erunt tamen c et d ad invicem compositi per ypothesim et corollarium precedentis et diffinitionem, sit igitur maximus numerans eos e. Dico e esse maximum numerantem a, numerantem c et d et per penultimam conceptionem. Et quod nullus maior eo numeret eos, sic patet. Sit en
Abbreviated transcription (Latin):
mumeraret etiam S ꝑ corr ͫ precedentis si qr
Si autem es sunt compositi erunt eciam abt aiu
iucem comxositi Si enmi ꝑ premissam maximus¬
inaximus immeruw numerans c et e qui eciam
ꝑ penultimani ꝯceptionem numerabit a et s quare
ꝑ aiffinitiorem abt sunt adquncem compositi
Sinuili quoq modo scietur ppositis quotlis et pluib
ꝙͣ tubus an onino sint aduuicem comxositi ꝑ¬
positis itaq tribus qui sunt adimicem comxositi

Expanded text:
iam d per corollarium precedentis. Sicque Si autem c et d sint compositi, erunt et a, b, c ad invicem compositi. Sit enim per premissam e maximus numerans c et d qui etiam per penultimam conceptionem numerabit a et b, quare per diffinitionem a, b, c sunt ad invicem compositi. Simili quoque modo scietur propositis quotlibet pluribus quam tribus an omnes sint ad invicem compositi. Propositis itaque tribus qui sun
Abbreviated transcription (Latin):
ẜ d s es otrabatur ex es quotiens potest et sit
r esi dium gb quod sit unitas Sico tunc duos ni¬
metos ab et cd esse ꝯtra se p̾mõs Si em̃ sunt comxo¬
siti numerabit eos cõmuniter per diffuncionem aliquis
numerus preter uintatem que sit ħ et quia h mi¬
meratur ed numerabͭ ac ꝑ penultimã ꝯcepcionem
et quia idem nuimeratur ab munerabi⁊ eciam st es¬
ꝑ ultimam ꝯtexcionem ergo et ef ꝑ penultimõ¬

Expanded text:
 d detrahatur ex e b quotiens potest et sit residuum g b quod sit unitas, dico tunc duos numeros a b et c d esse contra se primos. Si enim sunt compositi, numerabit eos communiter per diffinitionem aliquis numerus preter unitatem qui sit h. Et quia h numerat c d, numerabit a e per penultimam conceptionem. Et quia idem numerat a b, numerabit etiam e b per ultimam conceptionem, ergo et c f per penultim
Abbreviated transcription (Latin):
Siffiicionem uolo ĩnuenire maxinũ inimerum uõs
cõmuniter nimerantem / eScdm̃ modum et summlitudi¬
nem prioris minuo minorẽ de maiori quoad possu
uidelitet ed dt ab et sit residuum es Item q es
Se Se quoad possũ et sit residuum f̾d et qua
guinsino Di Siumiucio non pocest fieu in infuntum

Expanded text:
diffinitionem, volo invenire maximum numerum eos communiter numerantem secundum modum et similitudinem prioris. Minuo minorem de maiore quoad possum videlicet c d de a b et sit residuum e b. Itemque e b de c d quoad possum et sit residuum f d. Et quia huius diminutio non potest
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpositis duobus quibustumq numeris Inuestiganus
ucium ip̃si sunt contia se primi / Scced emũ tali facta
mutua distracciere ꝑuematur ad unitatem ipsi sunt
gͣ se pn ꝑ di cuitem sit status anteꝙͣ ꝓuemãtur ad
unitatem ipsi sunt comxositi¬
ꝓpositis duobus nuimeris e¬

Expanded text:
positis quibuscumque duobus numeris investigamus utrum ipsi sint contra se primi. Si enim tali facta mutua detractione perveniatur ad unitatem, ipsi sunt contra se primi. Si autem sit status antequam perveniatur ad unitatem, ipsi sunt compositis duobus numeris
Abbreviated transcription (Latin):
numeri adinuicem compositi siue cõmunicantes
Sicimbir quos alius imerus ꝙͣ uitas meti¬
tur Nullus q corum est ad aliũ p̾mus nu
merus ꝑ alium multiplicari dicitur qui tociens
sibi coalternatur quociens In multiplicante est uni
nuimeri partem habuerum conmnunen tot ꝑtes
manioris Sicitur esse minor quociens eadem

Expanded text:
Numeri ad invicem compositi sive communicantes dicuntur, quos alius numerus quam unitas metitur nullusque eorum est ad alium primus. ⟨ix⟩ Numerus per alium multiplicari dicitur qui totiens sibi coacervatur quotiens in multiplicante est unituando duo numeri partem habuerint communem, tot partes maioris dicetur esse minor quotiens eadem
Abbreviated transcription (Latin):
areg anguli feg d su arcus lit est equalis arcui ag
angulus adc est equalis angulo cohg et angulꝰ kat an¬
gulo meg et si maior maiores et si minor minores ꝑ
es tercii ꝑ diffuntionem itaq in ꝯtinue ꝓporcionalitats
ꝓportio arcus ut ad arcum fs est sicut anguli udt ad angilu
phis et sicut anguli bac/ as angulum feg quod est ppositũ
⁊tem itellige in eedem trrculo liber sexhimis
liber septimis
merus est multitudo ex uintatib compo¬
sita naturalis series numezorum Sicitur
in qua secundum uintaris addicionem
fit ipsorum cõꝑatio Differentia numeroꝵ appellat᷑
mimerus quõ maior abundat ammore Rumerus
prinius dicitur qui una sola unitate metitur

Expanded text:
g anguli f e g. Sed si arcus k c est equalis arcui m g, angulus k d c est equalis angulo m h g et angulus k a c angulo m e g et si maior, maiores et si minor, minores per 26 tertii. Per diffinitionem itaque incontinue proportionalitatis proportio arcus b c ad arcum f g est sicut anguli b d c ad angulum f h g et sicut anguli b a c ad angulum f e g. Quod est propositum. Idem intellige in eodem circulo. Explicit liber sextusmerus est multitudo ex unitatibus composita. ⟨iii⟩ Naturalis series numerorum dicitur in qua secundum unitatis additionem fit ipsorum computatio. ⟨iv⟩ Differentia numerorum appellatur numerus quo maior habundat a minore. ⟨v⟩ Numerus primus dicitur, qui sola unitate metitu
Abbreviated transcription (Latin):
ed est equale bt demxto utusca es erit/ as iquali
es et angulus f unius angulo f alterius s rgo ꝑ .iz.
huius latera sunt mutelresia erge ef ad frd sicut as as
ss et quia ef est equalis as et sis aẜ erit as/ ad as
sicut af ad fs ergo per diffinicionem est diisa ut
ꝑpoitur I dem eciam potest demonstrari ex n ecũ

Expanded text:
d equale b c dempto utrimque c f erit a d equale e b et angulus f unius angulo f alterius, ergo per 13 huius latera sunt mutekefia, ergo e f ad f d sicut a f ad f b et quia e f est equalis a b et f d, a f, erit a b ad a f sicut a f ad f b, ergo per diffinitionem est divisa ut proponitur. Idem etiam potest demonstrari ex 11 secundi.
Abbreviated transcription (Latin):
gam eorum qui sunt supra centrum ꝙ eorum qui sunt
supra cricunserenciam as est sicut arcus sc as arcum
Eg Continuabo enin cum illis Suobus orcubus alios arcus
equales siue secundum nimezum eundem sure secundã
Siuersos sit qz arcus ub equalis ut et uterq dnorum

Expanded text:
eorum qui sunt supra centra quam eorum qui sunt supra circumferentias est sicut arcus b c ad arcum f g. Continuabo enim illis duobus arcubus alios arcus equales sive secundum eundem numerum sive secundum diversos sitque arcus k b equalis b c et uterque duo
Abbreviated transcription (Latin):
squase pasessogramid Seb̃t adlurcam Satam aduingi qued
bdat aut Siminnat ad comxlecionem suree pasillogͥ¬
ma siunde ꝑase llogiamo Sato ⁊esoluemus intriangulos
et ipsis i e diãblus Sestrbeniis suꝑficiem equidistõ¬
cium cãterum cotah suꝑficiei ꝓposite equalem hoc cultẽ
qualiter fiat se strre iolueris require  huui desue¬

Expanded text:
m adiungi quod addat aut diminuat ad completionem linee paralellogramum simile paralellogramo dato resolvemus in triangulos et ipsis mediantibus describemus superficiem equidistantium laterum totali superficiei proposite equalem. Hoc autem qualiter fiat si scire volueris, require 25 huiu
Abbreviated transcription (Latin):
quiuo supet mm eSretacem es constituo palello graonum
felmile d et complebo super cotam lineam as ꝑ
palellogramum bg quia igitur⁊ non est maior padetio¬
gramo es si equalis ei aut mĩnor sicut positum est Si fuou
ei equalis enit palellogianum es quale intenditui ꝑ Sisin
sit minor in supficie aliqua cui equalis et sumłis d
fiat secundum Socimam ⁊a huius quare ꝑ quer sionẽ

Expanded text:
tituo paralellogramum e f simile d et compleo super totam lineam a b paralellogramum b g. Quia ergo c non est maior paralellogramo e f, sed equalis ei aut minor sicut positum est. Si fuerit ei equalis, erit paralellogramum e g quale intenditur per 36 psit minor in superficie aliqua cui equalis et similis d fiat secundum doctrinam 25 huius que sit
Abbreviated transcription (Latin):
Nnos penultuna xrimi Se suꝑficrebi quartis ꝓpouit dic
pemltima sexti De ommibus suꝑficresud sumlib unde est
ista canto uinuersalior ꝙͣto suꝑficies latera quarto Sit
taq cuangulus ⁊ ectan gulus abt cuius angulus a sit
rectis Sico ꝙ suꝑficies ꝯstituta super latus sc est xqualit
Dnab suꝑfinebũs cõstitutis super as et at cum enes
tres suꝑficres fuerint sumles in figura et situ/ Ducam ꝑ¬
per ditularem ad ad lineam bt̃ erit qr ꝑ secindc̃ partem
sicu erit ꝑ̃ couelatinũ ia. quius ꝑporcio suꝑficiei constitute

Expanded text:
 penultima primi de superficiebus quadratis proponit hec penultima sexti de omnibus superficiebus similibus. Unde hec est illa tanto universalior quanto superficies laterata quadrato. Sit itaque triangulus rectangulus a b c cuius angulus a sit rectus. Dico quod superficies constituta super latus b c est equalis duabus superficiebus constitutis super a b et a c cum omnes tres superficies fuerint similes in figura et situ. Ducam perpendicularem a d ad lineam b c eritque per secundam partem situ, erit per corollarium 17 huius proportio superficiei constitute
Abbreviated transcription (Latin):
tant fueritq illa .x. latera secundum equidistã¬
ciam ⁊ elata ꝓporcienalia illos duos triangulos
super unam lineam ⁊ ectam constitutos esẜe
necesse est
Sune Duo trianguli dibt dce constituti super angulĩ
acd sit qr at equidistans de et de et ab et sit ppor¬
cio at ad de sicut as addt ⁊ dico ꝙ due basts eor
stilicet ut et ce sunt linea ur̃a / Eest enui angulus
a equalis angulo d quia uterqi eorum est equalis
angulo acd per primam ptem 2ꝯ. prim ꝑ presẽ¬

Expanded text:
latera secundum equidistantiam relata proportionalia, illos duos triangulos super unam lineam rectam constitutos esse necesse est. Sint duo trianguli a b c, d c e constituti super angulum a c d sitque a c equidistans d e et d c, a b et sit proportio a c ad d e sicut a b ad d c. Dico quod due bases eorum scilicet b c et c e sunt linea una. Est enim angulus a equalis angulo d quia uterque eorum est equalis angulo a c d per primam partem 29 primi, e
Abbreviated transcription (Latin):
a policato deest ad compoletionem liure sintlune cola
suipeios pametium consistens suxxr. Sum Dium collecat
S it Sata lurea ab super cuius Dun diui t u constituat᷑
palellogianaun ad cuius Syameter be et ad lineam ab
applitetur ꝑalellegrannun as cuud unum lacus sedet

Expanded text:
ompletionem linee simile et super diametrum consistens super dimidium collocati. Sit data linea a b super cuius dimidium c b constituatur paralellogramum c d cuius diametrum b e et ad lineam a b applicetur paralellogramum a f cuius unum latus secet
Abbreviated transcription (Latin):
lis pentagono d eodem modo super luream een que est
ecumddum latutus guius suꝑficiei constituo aliam suꝑficiem
⁊ ectangulam equalem exagono b quiã facio lo equolem e
et op equalem u et pq equalem f et qr equalem g ut
pono ꝑ .9. huiud liuram in medio loco ꝓportionalem inter
Cuiram hlr et liuram ler et suꝑ xam secundum doctrinã
i. huius constituo superficiem u similem suꝑficiei d Sico
eam esse quã querimus et equalem suꝑficien s Sũ xñi
primam et secundam sunt ꝯstitute similes suꝑficies ui¬
De licet a et u eut q ꝑ correlatiuum ia. huiũs d ad un
sicut hlz hurer adler quare per primam huiud sicut
gñ ad ur/  deo per primam partem . Aᵉ Q. sicut d
as ur / et propte hoc per secundam partem eiufdem

Expanded text:
modo super lineam k n que est secundum latus huius superficiei constituam aliam superficiem rectangulam equalem exagono b quia facio k o equalem e et o p equalem b et p q equalem f et q r equalem g ut m s t proportionalem inter lineam h k et lineam k r et super eam secundum doctrinam 19 huius constituo superficiem v similem superficiei a. Dico ipsam esse quam querimus et equalem superficiei b. Cum enprimam et secundam sint constitute superficies similes videlicet a et v, erit per corollarium 17 huius a ad v sicut h k ad k r, quare per primam partem huius sicut h n ad n r. Et ideo per primam partem 7 quinti sicut a ad n r et propter hoc per sec
Abbreviated transcription (Latin):
abus cineis cd et do siml sumptis erit suꝑficies consui¬
al̃ta super Et̃ eͥqualis duabus suꝑficiebus ꝯstitutis suꝑ
ca et as sinul sux̃tie quod est po situm Tomrersam
 quias possumus facile demosciar ꝑmodi Demõ¬
ss cngulus a est recou ponam enim angulum cad uctĩd
ota cieamn ass equalem as erit qr hanede supsicies¬

Expanded text:
abus lineis c d et d b simul sumptis, erit superficies constituta super b c equalis duabus superficiebus constitutis super c a et a b simul sumptis. Qu huius possumus facile demonstrare per modum demonquod angulus a est rectus. Ponam enim angulum c a d rectum et lineam a d equalem a b et claudo superficie
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓporcionalitatem a ad xe sicut e ad ꝑ quia ero
as ade et triangulorũ sicut cadẜ eut ꝓportio pẽ¬
ta gonore sicut triangulorum et hoc est primd/ Se¬
cun dũ sit patet sint duo pentagom simłes et
qualiter fiat dictum est suxra io ͫ hnis et super
g fiat sicut docet .i9. huius suꝑficies simĩlis illi
que est cõscituta super lineooꝵ e erit ꝙ ꝑ premissam
suiulis ei que conscituta est super lineam derit q ꝑ¬

Expanded text:
ionalitatem a ad e sicut c ad f. Quia ergo a ad e et triangulorum sicut c ad f, erit proportio pentagonorum sicut triangulorum. Et hoc est primum. Secundum sic patet. Sint duo pentagoni similes et m qualiter fiat dictum est supra 10 huius et supra g fiat sicut docet 19 huius superficies similis illi que est constituta supra lineam c. Eritque per premissam similis ei que constituta est supra lineam d eritq
Abbreviated transcription (Latin):
sicut c ad d / Dico ꝙ si suꝑficies sumles constitu aoit᷑
super a ⁊s utpote duo pentagom sumles et alie s¬
miles cõstituantur suꝑ  et d utpote Duo tuanguli
similrs erit ꝓporcio pentagonorũ sicut tuanguloruã
ex si fuerint pentagom similes similiter et tuan¬
guli similes fuerit q ꝑporcio pentagono ad penta¬
gonum sieut crianguli ad triangulum Dico ꝙ erit
pporcio a ads sicud e ad d Subingatur em̃ liueis

Expanded text:
ut c ad d. Dico quod si similes superficies constituantur supra a et b utpote duo pentagoni similes et alie similes constituantur supra c et d utpote duo trianguli similes, erit proportio pentagonorum sicut triangulorum. Quod si fuerint pentagoni similes et similiter etiam trianguli similes fueritque proportio pentagoni ad pentagonum sicut trianguli ad triangulum, dico quod erit proportio a ad
Abbreviated transcription (Latin):
Si in suo spacio ꝑalellogramũ portiale dist¬
inctum toti palellogramo simile acq secundid̃
su illrus esse fuerit trita eiusdem Syamretꝰ
consistat
Sit in palellogramio sd Sistintum palellograum
fg quos sit simiee sibi et secudũ saum esse
Sest partitipans cum eo in anguloe ^dico ꝙ palello¬
graũ fg consistit tuca Dyametium palellogror

Expanded text:
Si in suo spatio paralellogramum partiale disiunctum toti paralellogramo simile atque secundum suum illius esse fuerit, circa eiusdem diametrum consistitparalellogramo b d sit disiunctum paralellogramum f g quod sit sibi simile et secundum suum esse idest participans cum eo in angulo c. Dico quod paralellogramum f g consistit circa diametrum paralellogrami
Abbreviated transcription (Latin):
et endem sunt e Nondutem est necessarium ut suꝑ¬
ficies ħl loo et / am q equidistantium laterum que sunt¬
e quales triangulis cad aut suꝑficies lro op or pq et qui
que sunt equales tuangulis es fg sint rectangule. Si
ut angulus extansecus suꝑficiez lin sit equalis angulo
In trinse co suꝑficie l Et extrinsecus ayni intn̾seco ml¬

Expanded text:
autem necessarium ut superficies h l, l m et m n equidistantium laterum equales triangulis c, a, d aut superficies k o, o p, p q et q r equales triangulis e, b, f, g sunt rectangule. Sed ut angulus extrinsecus superficiei l m sit equalis angulo intrinseco superficiei l h et extrinsecus
Abbreviated transcription (Latin):
cunde et multixlex tercie ad multiplex quarte Ent
cta sensus ĩstius Siffuncionis Inꝯtinue ꝓporcionales
suit/ qucate quantitates Et pporcio prime adRecundã
sicut teroe ad quartam cum sumxtis equennloplicib¬
sigo dͥmam et ad terciam Itemqs eque multiplicib ad
Ilex quarte s non Siffunt sul hac forma propter cuui¬
ram Adictam licet aporte rei sit idem non est ontem
cessarum ut quatuor quantitates Abe d sunt eus

Expanded text:
rtie ad multiplex quarte. Erit itaque sensus istius diffinitionis: Incontinue proportionales sunt 4 quantitates et proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam cum sumptis eque multiplicibus ad primam et tertiam, itemque eque multiplicibus ad iplex quarte. Sed non diffinivit sub hac forma propter causam predictam licet a parte rei idem sit. Non est autem necessarium ut 4 quantitates a, b, c, d sint eius
Abbreviated transcription (Latin):
Eodem modo supersicres edu que ogreditur ab axe
cS erit erecta super uasiin prramidis ed ortogonaliter
siñt ita q Duo arcus fõ et kl sum les et intelli¬
gand gantur sue suprisicies abꝭ cd̃sr egredi as
axibus et secare piramides Sico ita duos an¬
guegs aeẜ eder esse ad inuicem equales ꝑtrahant̾
enin Sie linee si et lru quia ita dũe piramdes
as et cs sunt similes et due supersicies as m
cdu stantes orthogononaliter super based egre¬
Siuntiri as earum axibus erit ex diffiñtione
simlium prrdandum angulus abm equalis angulo
cdiot quia ex Diffuncione liunre supra suꝑficiem
ppenditulariter erectecte uterq duorum anguloꝵ
abm cud est rectus erunt ex zrͣ priim et .x
sexti Suo trianguli abm et edu laterũ ꝓporciona¬
Ciũm ut ꝓporcio liure as ad liuram es sicus
soo ad si et sicud aar ad cu et quia ex diffi¬

Expanded text:
gonaliter. Eodem modo superficies c d n, que egreditur ab axe c d, erit erecta super basim piramidis c d orthogonaliter. Sint itaque duo arcus f g et k l similes et intelligantur due superficies a b f, c d k egredi ab axibus et secare piramides. Dico igitur duos angulos a b f, c d k esse ad invicem equales. Protrahantur enim due linee f m et k n. Quia igitur due piramides a b et c d sunt similes et due superficies a b m, c d n stantes orthogonaliter super bases egrediuntur ab earum axibus, erit ex diffinitione similium piramidum angulus a b m equalis angulo c d n. Quia ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter erecte uterque duorum angulorum a m b, c n d est rectus, erunt ex 32 primi et 4 sexti duo trianguli a b m et c d n laterum proportionalium, ut proportio linee a b ad lineam c d sicut b m ad d n et sicut a m ad c
Abbreviated transcription (Latin):
est in linea am ꝙ ex . 6. huius et diffinicione liuear
e quidistancium quas nes necesse est esse in suꝑficie una
constat scudiase intuenti Dehint a xmicto q ducãt᷑
Sue ppendiculares una ad lineam ab quesit qr et
alia as lineam at que sit. qͥd. Similiter quoqi a xutto
u dacantur alie due ꝓpendiculares una ad biream de

Expanded text:
est in linea a m quod ex 6 huius et diffinitione linearum est in linea a m quod ex 6 huius et diffinitione linearum equidistantium quas necesse est esse in superficie una facile constat studiose intuenti. Dehinc a puncto q ducantur due perpendiculares una ad lineam a b que sit q r et alia ad lineam a c que sit q s. Similiter quoque a puncto n ducantur alie due perpendiculares una ad linea
Abbreviated transcription (Latin):
super que ꝑpendiculares ceciderint ad eosddem angulos
planos Sue recce linee ducantur Suo anguli
qui aducibus illis lineis acq duabus ypotemissus
continentur cõtinentur equi sibi ad imucem ess ꝓbanit᷑
Sint duo anguli plani d et d equales contenti lureio ab
ac et de dl et super cos engantur due lurre xxo¬
temissaliter ag ds sitq angulus cag equalis argulo
qdẜ et angulus gas equalis angulo ħde acqr in dua¬
bus ypochemissis ag et dh signentur quomodolibet Duo
puncto li et ¶ aquibus secundum precexta ad huius
demietantur ad suꝑficies angulorum a et d due ꝓpẽ¬
Diculares que sint krai et lu et prociahantur due
linre am et bn/ dico ita angulum gami ese equalem an¬
gulo hdn Si linea alr est equalis dl bens bere quid
sin autem ex liuea ag sumatur aꝑ equalis dl aut
a puc̃to ꝑ Dimiitatur ꝑpendicularis ad suꝑficiem anga
C a que sit ꝑq m ainfestum est ita ꝙ punetum ꝙ

Expanded text:
super que perpendiculares ceciderint ad eosdem angulos super que perpendiculares ceciderint ad eosdem angulos planos due recte linee ducantur, duo anguli qui a duabus illis lineis atque duabus ypothenusis continentur equi sibi invicem esse probantur. Sint duo anguli plani a et d equales contenti lineis a b, a c et d e, d f et super eos erigantur due linee ypothenusaliter a g et d h. Sitque angulus g a c equalis angulo h d f et angulus g a b equalis angulo h d e atque in duabus ypothenusis a g et d h signentur quomodolibet duo puncta k et l a quibus secundum precepta 11 huius dimittantur ad superficies angulorum a et d due perpendiculares que sunt k m et l n et protrahantur due linee a m et d n. Dico igitur angulum g a m esse equalem angulo h d n. Si linea a k est equalis d l, bene quidem. Sin autem, ex linea a g sumatur a p equalis d l et a puncto p dimittatur perpendicularis ad superficiem anguli a linea que sit p q. Manifestum est igitur quod punctum q
Abbreviated transcription (Latin):
erint q cõmuniter super bases trigonas uel cõmuniter
super bases tugonas tetragonas Sases eorum alstudimbus
psorum mutire exunt W si bases cotum siis altitu dimbus
fuerint mutue I psa serratilia erunt equalia quem admnedum
de solidis palellogramis .zxͣ. et .34 ꝓponunt hoc autẽ
facile pacet ex hus que dicta sunt in .3ir s uero
serratilia fueriñt adĩncem similia erit ꝓporcio unius ad
alterum  situd ꝑporcio lateris unius ad suum relatiunũ
Satuss alberius pporcio triplicata quenadinod de asidis
datellogiamis s. ꝓponit quod ex radem is. facite tisi
patebit Rreillis Renatilibiis similibus socidis pastio polet
Inilium corporumᶜ similium superficierum et ex hoc ꝙ seira¬
tilia pomintur adinugem similia et .gx primi lene est¬
Due xpothemisse in aere statuoentur cum laterib
angulorum subiacentium singulos sugulis equos cõ
tinentes acq in illis ypothemissis duo puncta sig¬

Expanded text:
erintque communiter super bases trigonas vel communiter erintque communiter super bases trigonas vel communiter super bases tetragonas, bases eorum altitudinibus eorum mutue erunt. Quod si bases eorum suis altitudinibus fuerint mutue, ipsa serratilia erunt equalia quemadmodum de solidis paralellogramis 34 et 35 proponunt. Hoc autem facile patet ex hiis que dicta sunt in 35. Si vero serratilia fuerint ad invicem similia, erit proportio unius ad alterum sicut proportio lateris unius ad suum relativum latus alterius proportio triplicata quemadmodum de solidis paralellogramis 36 proponit. Quod ex eadem 36 facile tibi patebit, si ex illis serratilibus similibus solidis paralellogramsimilium corporum et similium superficierum et ex hoc quod serratilia ponuntur ad invicem similia et ex 34 primi leve esdue ypothenuse in aere statuantur cum lateribus angulorum subiacentium singulos singulis equos angulos continentes, atque in illis ypothenusis duo puncta sig
Abbreviated transcription (Latin):
logramorum basium est una ꝓportio ex 33. cum ĩtaq
sit solidorum ꝑ allellogramorum ꝓporcio sicud setratilium
quia sicud simpeum ad simplum sit duplum ad duxlum
ex iiͣ q. acq basium solidorum ꝑuu palellogramorum
est xportio sicud basium serratiliũm dut eniñ redem erũt
Gases senratilium et solidorum ꝑalellogramorum et hoc
quidem erit cum bases serratiliũ fuerint cetragone aunt
Gnn ex senatilibus super easdem bases erunt solida ꝑalel¬
logiama comxolenda aut bases serratilium erunt sub diyoli
aut bases solidoium ꝑalellegranorum et hoc quidem ert
cum bases serratilium fuerint cõmuniter trigore unnt ẽm
eiũt ex setiatilibus solida ꝑallã comxlen da adĩtis
ad uases serratilium suꝑficiebus crigonis ut fiant bases
serratilium cum trigonis adĩctis superficies equidistancium
laterum Sequitur ut sit ꝓporcio serratilium sicud suarum
uasium Eodem quoq modo si seriatilia fuerint equalia fu¬

Expanded text:
que basium est una proportio ex 33. Cum itaque que basium est una proportio ex 33. Cum itaque sit solidorum paralellogramorum proportio sicut serratilium quia sicut simplum ad simplum sic duplum ad duplum ex 15 quinti atque basium solidorum paralellogramorum estsolidorum paralellogramorum et hoc quidem erit cum bases serratilium fuerint tetragone, tunc enim erunt ex serratilibus super easdem bases solida paralellograma complenda, aut bases serratilium erunt subduple ad bases solidorum paralellogramorum et hoc quidem erit cum bases serratilium fuerint communiter trigone, tunc enim erunt ex serratilibus solida paralellograma complenda adiunctis ad bases serratilium superficiebus trigonis ut fiant bases serratilium cum trigonis adiunctis superficiebus superficies equidistantium laterum sequitur ut sit proportio serratilium sicut suarum basium. Eodemque modo si serratilia fuerint equalia fu
Abbreviated transcription (Latin):
drun esse qued Diin esper scie autẽ oportes o¬
continue precedentes de morstratum est de solidis ꝑar¬
lellegramis ⁊ dem quoq uerum est de seriatilibus quoꝵ
uases cõmuniter sunt cugone aut cõmuniter cetragonẽ
hoc autem ex ⁊dͬ et ex hac .3s. et .si. xam cõtinuꝵ
preci dentibus constabit in gemoso inspecton si emu fuerĩt
senatilia quelibet eguralta sux eandem basim uel super
equales ꝯmuniter tamen trigonas aut cõmuniter tetra¬
gonas cum Ipsa sint dimĩ dium solidorum polellog̾inore
suarum altitudinum ex 2d. yxsa erunt equalia ex. ⁊ꝯͣ.
et tubus eam sequentibus ex hiis enn constat solida
ꝑalellograma ipsis serratilibus duxla esse equalia mn¬
liter quoq si fuerint duo serratilia super bases ꝯmaniter
cugonas aut cõniunter tetragonas eque alca ĩpsa erunt
suis basibus stmilia ꝓporcionalia quenadiodum de soldis
palellegianno ⁊3. ꝓponit ipsa eum sunt ex ed. Simĩdia
Polidorum ꝑalellogramorum sue altitudimis eorumm patts¬

Expanded text:
e autem oportet continue precedentes demonstratum est de solidis paralellogramis, idem quoque verum est de serratilibus quorum bases communiter sunt trigone aut communiter tetragone. Hoc autem ex 28 et hac 36 et 7 eam continue precedentibus constabit ingenioso inspectori. Si enim fuerint serratilia quelibet eque alta super eandem basim vel super bases equales communiter tamen trigonas aut communiter tetragonas cum ipsa sint dimidia solidorum paralellogramorum suarum altitudinum ex 28, ipsa erunt equalia ex 29 et tribus eam sequentibus. Ex hiis enim constat solida paralellograma ipsis serratilibus dupla esse equalia. Similiter quoque si fuerint duo serratilia super bases communiter trigonas aut communiter tetragonas eque alta, ipsa erunt suis basibus proportionalia quemadmodum de solidis paralellogramis 33 proponit. Ipsa enim sunt ex 28 dimparalellogramorum sue altitudinis eorum
Abbreviated transcription (Latin):
lineio cer et if in illa uero q̃l et qm Sic̃o ita istat
piramides esse Siuisas in pramides ta angulas similes
et manero equales Confererntiar euin adiuucem
Due piramides acde bh̃lil quarum com sunt a et s
Constat autem .ex .xpo triangulum ed cad essr simiłe
tuangulo hblr et triangulo dac tuangulo libl et
quiã eciam ix ypothesi angulus d est equalis angulo
Er et lacera es et de cõtinencia angulum d sunt
pporcionalia lateribus h̃l et lil continencia angulum li
erunt ex .u. S. Duo tranguli cde et hłil equianguli¬
⁊ deoq ꝑ .x sexti erit ꝓporcio ed ad qlr sicud ce ad l
Cunq ex ꝑxochesi sit ꝓporcio ca ad h̃s et eciam ac

Expanded text:
lineis c e et c f, in illa vero h l et h m dico igitur istas piramides esse divisas in piramides triangulas similes et numero equales. Conferantur enim ad invicem due piramides a c d e, b h k l quarum coni sunt a et b. Constat autem ex ypothesi triangulum c a d esse similem triangulo h b k et triangulum d a e triangulo k b l. Et quia etiam ex ypothesi angulus d est equalis angulo k et latera c d et d e continentia angulum d sunt proportionalia lateribus h k et k l continentibus angulum k, erunt ex 6 sexti duo trianguli c d e et h k l equianguli. Ideoque per 4 sexti erit proportio c d ad h k sicut c e ad h l. Cumque ex ypothesi sit pr
Abbreviated transcription (French):
li a sira fis ll que ob hot ent dyameter cru
⁊ a ꝑtrahatur aurem in cirtulo a uai eyance¬
ter secand hant orchegonaliter que sit mp ado
instribatur tirtulo a quartum pliarin et siuudendo
arcus porcionum cirtuli a ꝑ equalia ꝑsitiatur
in crĩculo a poligonum sumbe ille qued esi inscuxtr̃
circulo s et dd singulas angulo e quius poligom demere

Expanded text:
que ob hoc erit diameter circuli a. Protrahatur autem in circulo a alia diameter secans hanc orthogonaliter que sit m n sicque inscribatur in circulo a quadratum k m l n et dividendo arcus portionum circuli a per equalia perficiatur in circulo a poligonium simile illi quod est inscriptum circulo
Abbreviated transcription (Latin):
resatuus angulio quos ꝯtinet axis prramidis s oĩ
sungilis lineis Ductis a centio circiai s ad engulos po¬
dexm scor instapti et quia ex diffinicione rotundoum
sexs et Sifficionibus sumlium suporficierum et simlium
corporum ꝙ die laterate pramides a et s sure sum¬
earum sit sicild Syametiorum suarum basium trrplicata
et quit omins columpna rotunda ripola tupla est ad
sianp prramidem hoc eni faffitienter Demonstiatum est
sune clumpnre et sue prramides fuerint erecte sire in¬
cimate sequitur ex i4ͫ qͫ ut eciam quaruonlibet colĩp¬
naium iotundarum sumlium sit ꝓporcio sicud suarum¬

Expanded text:
tinet axis piramidis b cum singulis lineis ductis a centro circuli b ad angulos poligonii sibi inscripti. Et quia ex diffinitione rotundaruminitionibus similium superficierum et similium corporum quod due laterate piramides a et b sint simearum sit sicut diametrorum suarum basium triplicata. Et quia omnis columna rotunda tripla est ad suam piramidem hoc enim sufficienter demonstratum est sive columne et sue piramides fuerint erecte sive inclinate sequitur ex 15 quinti ut etiam quarumlibet columnarum rotundarum similium sit pr
Abbreviated transcription (Latin):
sagitam piramudis Cũqr hec sagita fuerit ꝑpendicuiaruis
ad uasim Sico piramidem esst erectam Cum uero incl̾inati
ipsam priamidem incc̃matam Cum autem fuerint Duo
cuculi equales Destupti in superficiebus equi distanti¬
uus quos una plena superficies per eorum centra tian¬
Nens secuient fuerint q ꝯtinate per lineam rectam
Sue ⁊ elaciue secciones Suarum circurferentiderum

Expanded text:
cularis ad basim, dico piramidem esse erectam. Cum vero inclinata, dico etiam piramidem inclinatam. Cum autem fuerint duo circuli equales descripti in superficiebus equidistantibus quos una plana superficies per eorum centra transiens secuerit fuerintque continuate per lineam rectam due relative sectiones duarum