comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ca Suas parçiales porramides in quas et seuetilia
totalis Diui dditur piter acceptas ꝙ talib ꝙͣtitate excede
Di due pyramdes equealte quarum bases taargu¬
ee singule in binas piramides equales sisi q¬
piuicem ac toti similes binaq seriatilia equa¬
lia Diuidantur erit q ꝓporcio basis umiug
ed bastin alterius tanꝙͣ ꝓporcio Suorum serra¬
tilium suorum ad/ duo serratilia alterius Eat¬
quoq palã omna serratilia que fuerint in utia¬
ꝙ illarum pyrami dum ꝑiter accepta ad cuc̃ta
seratilia que in altera piramide fuerint e an¬
dem Sabere ꝓporcionem ꝙͣ basiñ eiũs piram¬
Dis ad basuñ al terins
Sint due pyramides quarum uases tuiangule eque alte
het qui dam abc d cuiuo tomis puctus e basis cangia¬
bed ꝓpothemisse ab ac ad illa uero efgh cuius conus
p unctus e sasis triangulus fgh ypothemisse ef eg
es hec secunde ppraundes diuidantur sicud in x̃missa

Expanded text:
pta duas partiales piramides in quas et serratilia pta duas partiales piramides in quas et serratilia totalis dividitur pariter acceptas quantalibet quantitate excedei due piramides eque alte, quarum bases triangule, singule in binas piramides equales sibi invicem ac toti similes binaque serratilia equalia dividantur, erit proportio basis unius ad basim alterius tamquam proportio duorum serratilium suorum ad duo serratilia alterius. Eritque palam omnia serratilia que fuerint in utralibet illarum piramidum pariter accepta ad cuncta serratilia que in altera piramide fuerint, eandem habere proportionem quam basis eius piramidis ad basim alteriusrum bases triangule, eque alte: Hec quidem a b c d cuius conus punctus a, basis triangulc d, ypothenuse a b, a c, a d. Illa vero e f g h cuius conus punctus e, basis triangulus f g h, ypothenuse e f, e g, e h. Hee due piramides dividantur sicut in premissa.
Abbreviated transcription (Latin):
duncto A Due ypothemisse he et ꝗf et a puncte
Erpothemisa Eit et ꝓtrahantur lures h̃s ke
et lh diuisa est itaq tota pnamis abcs in Suas
pyramides que suntoibef ahlil et duo serratilia quor
unum est ehfglic et est suxer uasiin qua drangulã
efgc et aliud est egdhat et est saper basim cuan¬
gulam egd de Duabus autem pyrami Sibus hbrf
et coti pyramidi abt sules constat ex diffinci¬
one corporum equalium et similium et. iõ. .ar. et se
ratilibus ꝙ sent equalia constat ex ultima undeenmn
ne dietate totius pyrami dis ex hoc manifestũ
est ꝙ rtrunq illorum Siuisibile est in Duas
puamndes quarum altera eriangula ⁊qualis uni
dnarum in quas serratiliã totalis piramis Siuidit᷑
Altera uera quadiangula que duxla est ad reliꝙͣ
quare patet ambo sertatilia ꝑiter accepta tres quarta
esei totalis piramidis Oiuise hanc gportionem si
stire quantum ad ꝓpositum illa Suo seciatilia ꝑiter acco¬

Expanded text:
puncto h due ypothenuse h e et h f, a puncto puncto h due ypothenuse h e et h f, a puncto k ypothenusa k g et protrahantur linee h k, k l et l h. Divisa est itaque tota piramis a b c d in duas piramides que sunt h b e f, a h k l et duo serratilia quorum unum est e h f g k c et est super basim quadrangulam c f g e et aliud est e g d h k l et est super basim triangulam e g d. De duabus autem piramidibus h b e f, et toti piramidi a b c d similes constat ex diffinitione corporum equalium et similium et 10 undecimi libriratilibus quod sint equalia, constat ex ultima undecimi medietate totius piramidis, ex hoc manifestum est quod utrumque illorum divisibile est in duas piramides quarum altera triangula equalis uni duarum in quas et serratilia totalis piramis dividitur, altera quadrangula que dupla est ad reliquam quare patet ambo serratilia pariter accepta tres quartas esse piramidis totalis divise. Hanc proportionem si scire quantum ad propositum illa duo serratilia pariter acce
Abbreviated transcription (Latin):
qui inpossdbite uidelioet poligonũ instuptum tirtulo
manes esse cirtulo sicud ergo supficies ⁊ non potesto
esse minõr criculo ed net maior ert Ita es recesfitart
equalis quare per secundam partem .a. tũ liquet ꝓposttũ¬
i dias equas pyramides similes et in Duo
corpora serratilia equalia que aubo ꝑiter accep¬
ta Sum dio tocius ppramidis necesse est esse
maiora¬
prori prramuis abed super basim trangulam abcd eius¬
ꝙ uertex sosidus angulus a aquo demicontur tres
ypochemisse as ac ad ad tres angulos basis et
Dundantur onnnia latera basis per equalia mn
tͣinee eẜ et eg ert q uasis eius diuisa in tris
suxficies quarum Sue sunt dno crianguli uul
eg quas ix seciada parte secunde . S et diffiintione¬
r̃at sim bum suꝑ suꝑfirretum constat esse suiles
sibi ĩmucrin et coti basi et equales ad innicem u d.
pornui Tercia est tetiagona ꝑ acellograma et iysa
/est efgc quam ꝯstat esse duplam ad triangulam
egd ex eo et .xi. primi deunctantur ergo zursus a

Expanded text:
ssibile videlicet poligonium inscriptum circulo maius esse circulo sicut ergo superficies e non potest esse minor circulo c d ita nec maior, erit ergo necessario equalis. Quare per secundam partem 7 quinti liquet quique piramidi similes et in duo corpora serratilia equalia, que ambo pariter accepta dimidio totius piramidis necesse est esse maiora. Sit piramis a b c d super basim triangulam b c d eiusque vertex solidus angulus a a quo dimittantur tres ypothenuse a b, a c, a d ad tres angulos basis et dividantur omnia latera basis per equalia in linee e f et e g. Eritque basis eius divisa in tres superficies quarum due duo sunt trianguli b e f, e g d quos ex secunda parte secunde sexti et diffinitione similium superficierum constat esse similes sibi invicem et toti basi et equales ad invicem ex 8 primi, tertia est tetragona paralellograma et ipsa est e f g c quam constat esse duplam ad triangulum e g d ex 40 et 41 primi. Dimittantur ergo rursus a
Abbreviated transcription (Latin):
et cdlr sunt Mimutem oquales quod est ꝓpositum
dem gs ꝓbabis lemiber de rotidis columxnis
Aunlisus / ħoc itaqr demonstrato / Dicoꝙ omiim duaꝵ
⁊otim darum piramidum suuclium quecunq fuerint
siue erecte siue inclinate est ꝓrorcio unius carũ
sas alteram sicud Syameter sue basis ad dyametiũ
basis asterius ꝓporcio tuxlicata Dint enni ut pu

Expanded text:
icem equales. Quod est propositum. Idem probabis leviter de rotundis columnis similibus. ⟨2⟩ Hoc itaque demonstrato dico quod omnium duarum rotundarum piramidum similium quecumque fuerint sive erecte sive inclinate est proportio unius earum ad alteram sicut diametri sue basis ad diametrum basis alterius proportio tri
Abbreviated transcription (Latin):
uasium a et s Distiñgnontur nanq hee bases in tri¬
angulos et hee colũpne in serratlia basis quidem a
que ponatir esse quadrangula in Ouos trigonos c
et d et columpna a in duo serratilia e et d basis
uero s que sit penchagona distigatur intres tagonos
efg et colũpna s in cria seuatilia que simliter uocẽt᷑
⁊ ad bastimñ ⁊ et iterum serratilis d̃ ad serratile e
sicud basio d ad bosim e eadem racione coluxur¬
e ad seriatile ꝑ sicud basis as basiiñ f dit zorsus
colupne a ad feriatile g sicud ꝓ basis ad basum ꝙ
ica rx .x. quinti quocrens necesse fuxrit assumpta
facile comludes ꝓpositum Constat itaq ex hat ꝙ
onnes colũpne lateiote super ecardem eadem baso
uel super equales constitute si fuerint eque alte erũt
equales Cum enin ue proximo probatum est eque
alte colũpre sunt suis uasibus ꝓporcionales pouantur
uases esse aut ceedem aut equales necesse est ex

Expanded text:
basium a et b. Distinguantur namque hee bases in tribasium a et b. Distinguantur namque hee bases in triangulos et hee columne in serratilia, basis quidem a que ponatur esse quadrangula in duos trigonos c et d et columna a in duo serratilia c et d, basis vero b que sit pentagona distinguatur in tres trigonos | e, f, g et columna b in tria serratilia que similiter vocentuc ad basim e et iterum serratilis d ad serratile e sicut basis d ad ba ad serratile f sicut basis a ad basim f. At rursus columne a ad serratile g sicut basis a ad basim g. Igitur ex 24 quinti quotiens necesse fuerit assumpta facile concludes propositum. COmnes columne laterate super eandem basim, vel super equales constitute si fuerint eque alte, erunt equales. Cum enim ut proximo probatum est eque alte columne laterate sint suis basibus proportionales, ponantur autem bases esse aut easdem aut equales, necesse est ex
Abbreviated transcription (Latin):
quod dicimus
Dunes columpire laterate equealte suis basibu
sunt ꝓport onales
Prrum est quad diatur super qualestunq bases poli¬
gomas sunt tolumixinr Cotumxnas auten sacciatas
uocamus selida laterata quorã bases et superficres suỹ¬
me sunt similes et xquales cuncre uero relique sux¬
ficies ipsa solida circunstantes sunt equẽ distancium cate
talium antem soliddorum prima speces est serratiler
cum super uram triloterarum superficierum inteligatur
esse statutum  Becunda uero speciel est columxna
cirus latus bas quailãtera ꝙͣ ex duobus seratlib
necesse est esse compositam / Et tercia est cuius basis
pentagona et ipsa ex tubus serratlilibus ꝑficitur
Simpliciter autem Sico ꝙ omnis laterata columxna
in toc serratitĩa coppora potest distingui in quat triangr¬
cos sua sasis Intelligantur Itaq Due columpne la¬
terate a et s constitũte super duas bases a et s eq̃
alto Dico ꝙ eporcio columpnarum a et u est sicud

Expanded text:
quod diximus. ⟨2⟩ Omnes columne laterate eque alte suis basibus sunt proportionales. Verum est quod dicitur: Super qualescumque bases poligonias sint columne. Columnas autem lateratas vocamus solida laterata quorum bases et superficies supreme sunt similes et equales, cuncte vero relique superficies ipsa solida circumstantes sunt equidistantium laterum. Talium autem solidorum prima species est serratile cum super unam suarum trilaterarum superficierum intelligitur esse statutum. Secunda vero species est columna cuius basis sit quadrilatera quam ex duobus serratilibus necesse est esse compositam. Et tertia est cuius basis est pentagona et ipsa ex tribus serratilibus perficitur. Simpliciter autem dico quod omnis laterata columna in tot corpora serratilia potest distingui in quot triangulos sua basis. Intelligantur itaque due columne laterate a et b constitute super duas bases a et b eque alte. Dico quod proportio columnarum a et b est sicut
Abbreviated transcription (Latin):
similes utranq quorum Sue plane supfities
suiper axem seccent fuerit q harum Duao
superficierum altera inutraq priamide
super bastin eius orchogonaliter erecta et arcꝰ
uasium inter illas duas saperficiẽs contenti
sumiles erunt anrguli quos ores et due cõ¬
munes secciores basium et earum supersicide
que super bases non ponuntur or tgogona¬
citer erecte conturent adinuicem equales
dasto fune dotande porraundes ab et ed quarum
doses sunt cirtusi esgr etgeo et axi de cunee
ab et p et dyameter basium eg et ge dentlabae¬

Expanded text:
similes utramque quarum due plane superficies super axem secent fueritque harum duarum superficierum altera in utraque piramide super basim eius orthogonaliter erecta et arcus basium inter illas duas superficies contenti similes, erunt anguli quos axes et due communes sectiones basium et earum superficierum que super bases non ponuntur orthogonaliter erecte continent ad invicem equales. Sint due rotunde piramides a b et c d, quarum bases sunt circuli e f g et h k l et axes due linee a b et c d et diametri basium e g et h l, centra bas
Abbreviated transcription (Latin):
autem lateracom prramidem ꝑsabis esse simitem catiuat
piramns detiacte a rotunda piramide fmlur satrri
modo fucirs ꝓduces axes cogitatiõm ues asti ᷝ  n¬
cusq piram dibus a et s et acentus basum ptiahes
lueas ⁊etas ad onnes angusos instuptos posigo pouo

Expanded text:
autem lateratam piramidem probabis esse similem laterate piramidi detracte a rotunda piramide b. Quod hoc modo facies: produces axes cogitatione vel actu in utrisque piramidibus a et b et a centris basium protrahes lineas rectas ad omnes angulos i
Abbreviated transcription (Latin):
ꝙ icca sunt mediante columpire a quemadmedũ
gi enm ex ipses serratilibus ꝑficies solida ꝑalelleg̃riama
quorum ipsa sint mmedietates erit ixsa colux̃na
pars horum et solidorum ꝑiter acceptorum/ Sein de
laterũ in portiombus cuiculi quauõ porciõmd latera quem¬
sũt corde Dinissio arcubus illarum porcionũ ꝑ eqra
est ꝙ ħec serratilia su mame mesi taͫ n fistun
columone supe poitierreo drauennistent cono

Expanded text:
quod ipsa sunt plus medietate columne a quemadmodum quod ipsa sunt plus medietate columne a quemadmodum Si enim ex ipsis serratilibus perficias solida paralellograma quorum ipsa sint medietates, erit ipsa columna pars horum duorum solidorum pariter acceptorum. Deinde laterum in portionibus circuli quarum portionum latera qusunt corde divisis arcubus illarum portionum per equest quod hec serratilia sunt maius medietate portionum columne
Abbreviated transcription (Latin):
unius cuiusq serratilis unius ad suum ⁊elãtiuum
serriatile acterius sicud sui lateris ad latus illiũs
pporcio cuplitata et quia omnũ laterum est pporcio
dña cum cuncta serratilia unius siñt similia suis re¬
latiuis seuatibbus alterius sequitur ex iͣ quincti ue
cunctoram serratilium unius ad sua relatiua secratilia
alterius sit pporcio una quare ꝑ .ii. quinei que
sunt ⁊ elatiuã laterã columuxnarum necesse est
ex nͣ quincti ut ꝓporcio colũpnarum sit sicud suoꝵ
Supra crrcilum a Intelligantur una columxna et una p¬
ramis secundum eandem altitudinem erecte Dicartur¬
q equiuoce crrculus columpna et pnamis a Sico itaq¬
ꝙ columpna a est capla ad priamidem a suius ꝓbacio
est quoniam yreqi mooor potest esse neq minor ꝙͣ tu¬
eut resi duum eius creplum ad piramidem a insta¬
uatur ergo quartum circulo a suꝑ quod eugantur
Suo serratilia eque alca columpne columpne a de
quibus dnobus serratilibus pariter acceptis constat

Expanded text:
relativum serratile alterius sicut sui lateris ad latus illius proportio triplicata. Et quia omnium laterum est proportio una cum cuncta serratilia unius sint similia suis relativis serratilibus alterius, sequitur ex 11 quinti ut cunctorum serratilium unius ad sua relativa serratilia alterius sit proportio una. Quare per 13 quinti que sunt relativa latera columnarum, necesse est ex 11 quinti ut proportio columnarum sit sicut suorur etcetera. Supra circulum a intelligantur una columna et una piramis secundum eandem altitudinem erecte dicanturque equivoce ipse circulus et columna et piramis nomine apla ad piramidem a. | Cuius probatio est: Quoniam neque maior ponitur esse neque minor quam trerit residuum eius triplum ad piramidem a. Inscribatur ergo quadratum circulo a super quod erigantur duo serratilia eque alta columne a de quibus duobus serratilibus pariter acceptis constat
Abbreviated transcription (Latin):
alta cuius basis sit ꝙ̃tum instriptum cirtuło b et ex
residuo eius Detrahantur prraundes eiusdem altitudinis
consistentes super trigonos portionum circuli s fiat q
hoc tociẽns quousq cogente prima . io0ͬ. sit resi duum pi¬
ramdis s quius corpore s̃ d erit q ex cõmuni stientia
laterata piranns detracta quam componunt parciales xiraui¬
des detracte manis corpore e Instribatur Itoq tirollo¬

Expanded text:
alta cuius basis sit quadratum inscriptum circulo b et ex alta cuius basis sit quadratum inscriptum circulo b et ex residuo eius detrahantur piramides eiusdem altitudinis consistentes super trigonos portionum circuli b. Fiatque hoc totiens quousque cogente prima decimi sit residuum piramidis b minus corpore d. Eritque ex communi scientia laterata piramis detracta quam componunt partiales piramides detracte maius corpore c. Inscribatur itaq
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓporcio alterius ad alceram tanꝙͣ Syametii sue
basis ad syamretrum basis alteriuis ꝓportio tu¬
plicata
Blnco Suo criculi a et s super quos statuantur due ⁊o¬
cunde piramdes similes Sueq rotunde colupure
sumles et dicantur crtuti porramides et columpre
ee dametii cciorm hñs nomimibus a et b equiuo¬
de Sico itaq ꝙ ⁊portio Buarum piramnddum a et
Suarum o cosumpnaaum a et s est sicud̃ duccium sy¬
ameciorma ets poitio criplicata hoc autem si de pnr̃a¬
ardibus constitent Dicolum puis q constabit ex iͬ
quinti cum onnis colimpra rotunda sit ex premissa
capla ad se suam priamidem Se prrcum dibus autem
constabit ⁊ hoc Semonstiacione Sucente ad imxossi¬
bile est unm̃ ꝑ cõmunem stienciam positam ĩnpĩti¬
pro secunde demonstracionis huius a2. que ꝓporcio
midis a ad aliquos corpus illud eigo corpus sit c de quo¬
C dic̃o quod ip̃sum non potes esẜe minus neq ma¬
prenisse ex piramide b detrahatur latera piramis sibi eq̃

Expanded text:
diametri sue basis ad diametrum basis alterius proportio triplicata. Sint duo circuli a et b supra quos statuantur due rotunde piramides similes dueque rotunde columne similes et dicantur | circuli et piramides et columne et diametri circulorum hiis nominibus a et b equivoce. Dico itaque quod proportio duarum piramidum a et b duarumque columnarum a et b est sicut duarum diametrorum a et b proportio triplicata. Hoc autem si de piramidibus constiterit, de columnis quoque constabit ex 15 quinti cum omnis rotunda columna sit ex premissa tripla ad suam piramidem. De piramidibus autem constabit hoc demonstratione ducente ad impossibile. Est enim per communem scientiam positam in principio secunde demonstrationis huius duodecimi libri midis a ad aliquod corpus. Illud igitur corpus sit c de quo dico quod ipsum non potest esse minus neque mam in secunda parte premisse ex piramide b detrahatur laterata piramis sibi eque
Abbreviated transcription (Latin):
iustripti cirtulo a demicte lm̃ras a cono piramidis
o ꝑficiens suprer ilus poligonium lateratam piramidẽ
equialtam rotunde piram di a hane ergo studeas de¬
monstiare esse similem lacerate piramidi debracte a r̃o¬
tundda prramide s quod hoc modo facies in utraqi
xiramidde eriges axem ipsius que erit ex Diffuncione
lunea ꝯmuans uertitem priamidis cum centio Basis
Et erit ꝑpendicularis ad basim Deline a centis bast¬
uin protiahes in utroq ciroilo sem Diametios ed a om¬
nes angulos utriusqr poligoms instuxti. Cunqs ex

Expanded text:
circulo a demitte lineas a cono piramidis a perficiens super illud poligonium lateratam piramidem eque altam rotunde piramidi a. Hanc igitur studeas demonstrare esse similem laterate piramidi detracte a rotunda piramide b. Quod hoc modo facies: In utraque piramide eriges axem ipsius qui erit ex diffinitione linea continuans verticem piramidis cum centro basis et erit perpendicularis ad basim. Dehinc a centris basium protrahes in utroque circulo semidiametros ad omnes angulos utriusque poligonii inscripti. Cumque ex
Abbreviated transcription (Latin):
erratilia sibi ad inuicem equealta et qua seriatilia sus̃
uasisus sunt sunt ꝓporcionalia ut pbatum est i s.
it. .z3. ipsus mediante Curq ex p̾ma hocum additaium
Mamifestum sic hec secratilia tapla esse ad gositas p¬
ramides umẽquodq uidelicet ad suam relatinã basts¬
q i psorum equales aut duplas esse basious ipsarum Dic
aute ex .ii. siͬ. ut triplum ad criplum sicud simlu
ad siurplum¬

Expanded text:
serratilia sibi ad invicem eque alta. Et quia serratilia suis serratilia sibi ad invicem eque alta. Et quia serratilia suis basibus sunt proportionalia ut probatum est in 36 undecimi 33 ipsius mediante cumque ex prima harum additarum manifestum sit hec serratilia tripla esse ad propositas piramides unumquodque videlicet ad suam relativam basesque ipsorum equales aut duplas esse basibus ipsarum, sit autem ex 15 quinti ut triplum ad triplum ita simplum ad simplum
Abbreviated transcription (Latin):
cile serratili priori est uqte altum utrornqi bases sũ
e quales ex ypothese sequitur ipsa esse equalia hoc em̃
ꝓpositam nam ipsa est una ex tribus prrami dibus
inquas ipsam serratile diuiditur erit quoꝵ ꝑ tominẽ
stientiam ꝑpositum seratile triplum ad piramigem ppo¬
sitam¬
friper unam eandemq basiin sue suꝑ equales cõ¬
stiente fuerint equealte eas esse adiuuitem e¬
quales necesse est
Fabritato enn uno serratili eꝯuialto pirandibus ꝑpo¬
sitis super basun tuangulam equalem baeue teo¬
sicarum prrami dum aut super sasuñ qua drangulato
Suplam basibus earundem erit ipsua a Rarie tuxlu
dsingulas priaunides hoc eum constat ex pmsa e¬
Ditur ĩta ex ꝯmumi tiencia cunte ꝓposite prramides¬
alce suis basibus sunt gorcionales
fiant super bases ꝓpositarum prrcom dum aut suꝑ
alias cugonas equales aut super pallas duxlas
serratilia ipsis priaui dibus eque alta Etrunt qr ob q

Expanded text:
tile serratili priori est eque altum et utrorumque bases sunt tile serratili priori est eque altum et utrorumque bases sunt equales | ex ypothesi, sequitur ipsa esse equalia. Hoc enipropositam, nam ipsa est una ex tribus piramidibus in quas ipsum serratile dividitur, erit quoque per communem scientiam propositum serratile triplum ad propositamsuper unam eandemque basim sive super equales constitute fuerint eque alte, eas esse ad invicem equales necesse est. Fabricato enim uno serratili eque alto piramidibus propositis super basim triangulam equalem basibus propositarum piramidum aut super basim quadrangulam duplam basibus earundem, erit ipsum serratile triplum ad singulas piramides. Hoc enim constat ex premissa addita. Igitur ex communi scientia cuncte alte suis basibus sunt proportionales. Fiant super bases propositarum piramidum aut super alias trigonas equales aut super paralellogramas duplas serratilia ipsis piramidibus eque alta eruntque ob hoc
Abbreviated transcription (Latin):
aroniam cutem encendes ncc̃il De mor strandum ꝑ¬
pointdopirar dibus laceratis exceptis solis hus
quarum suꝑ bases tuangule ut oihum tagonum cog¬
maonem ex elementis que pouit sufficienter elitere
possuus quedam cabitranuir non in utile denon¬
stiacrombus h̃ic positis adiungere solis eum ebemẽ¬
tis cõtentus uuclides multa ptermisit que quanuis
ex eis seꝙͣtur non sure difficultate patent scudentib¬
Si puo solida quorum alterum serat serratile
alterum uero piromis cuus uasis triangula
super uandem basimn aut supra equalxs crigo¬
nos aut serratile suꝑ quadrangulam prrainis
euit super crigonam que quadrangule basit
se rrattls Simi dium consacuta fuerint eque alta
piramidi proposite equealam si uero seriatile fuerit sup
Sastin quadrangulam tunc sasi prramidis addiciatur trĩan¬
gulus exquo et basi piramidis ꝑficiatur suꝑficies equi¬
distancium laterum saper quã ex ixsa piranude comxle¬
acur piramidi seratile equealtum quia iꝭ ita est sena¬

Expanded text:
oniam autem Euclides nihil demonstrandum proponit de piramidibus lateratis exceptis solis hiis quarum sunt bases triangule ut omnium cognitionem ex elementis, que ponit, sufficienter elicere possimus, quedam arbitramur non inutile demonstrationibus hic positis adiungere. Solis enim elementis contentus Euclides multa ex eisr, non tamen sine difficultate patent studentibuSi duo solida quorum alterum serratile, alterum piramis cuius basis triangula super eandem basim aut super equales trigonas aut serratile super quadrangulam, piramis autem super trigonam que quadrangule basis serratilis sit dimidium constituta fuerint eque alta,piramidi proposite eque altum. Si vero serratile fuerit super basim quadrangulam, tunc basi piramidis adiiciatur triangulus ex quo et basi piramidis perficiatur superficies equidistantium laterum super quam ex ipsa piramide compleatur serratile piramidi eque altum. Quia igitur istud serra
Abbreviated transcription (Latin):
Dibus roturdis Cum ita extia supeificiem alicuius
criculi Destripti puntus signatur qui cum orcunferẽ¬
cia ipsius circuli per luram rectam ꝯtinuatur si lurea
ipsa signato puncto maiente fixo descripto circilo qͦ¬
usq ad locum unde moueri inceꝑit circunducatir cor¬
pus quod acurua superficie quam motu suo desta

Expanded text:
Cum igitur extra superficiem alicuius circuli descripti punctus signatur qui cum circumferentia ipsius circuli per lineam rectam continuatur si linea ipsa signato puncto manente fixo descripto circulo quousque ad locum unde moveri inceperit circumducatur, corp
Abbreviated transcription (Latin):
quousq ad cõtum suum redeat circunducatur corpus
quos a curus sa ꝑficre quam motr suo destabit hec
tnea et aduobus ꝓpositis circules continetur uoco
cosunpnam rotu dam̃ cuius axis suie sagita est linxa
⁊ecta tentia Quorum otcuserum continuans et cum het
sagita sueũt ꝑpendiculaus ad si ꝑfitrem utriusar
Suoium tirculorum Dico columxnam essi er ectam
Cum uero fuerit super basim intenata dics colum prõ
esse melinatam Cum fuerintͫ dotide prlam palo
ant columpne equarim auibus t fu¬

Expanded text:
ousque ad locum suum redeat circumducatur, corpus quod a curva superficie quam motu suo describit hec linea et a duobus propositis circulis continetur, voco columnam rotundam cuius axis sive sagitta est linea recta centra duorum circulorum continuans. Et cum hec sagitta fuerit perpendicularis ad superficiem utriusque duorum circulorum, dico columnam esse erectam. Cum vero fuerit super basim inclinata, dico columnam esse inclinatam. Cum fuerint due rotunde piramides aut columne a quarum axibus
Abbreviated transcription (Latin):
ad uasimn Sico piramdem esse erectam Cum uero inctinato
iosam prramidem incẽmatam Cum autem furrint Duo
circuli equales Destripti in superficiebus equi distanti¬
uus quos una plena superficies per xorum centra tian¬
Ners secierit fuerint q ꝯtinuate per lineam rectam
Sue ⁊ elaciue secciones Suarum crr̃cunferencioerum
ipsorimm drculorum si linea gec crcunferencus ipsoꝵ¬

Expanded text:
sse erectam. Cum vero inclinata, dico etiam piramidem inclinatam. Cum autem fuerint duo circuli equales descripti in superficiebus equidistantibus quos una plana superficies per eorum centra transiens secuerit fuerintque continuate per lineam rectam due relative sectiones duarum circumferentiarum ipsorum circulorum, si linea hec
Abbreviated transcription (Latin):
e qui discantium laterum est ahdli/ Cercia uero est bhcli
Due autem eius tuangulares suꝑficies sunt altera quid
tuanguluus abh ⁊eliqua uero triangulus Sel cuuꝑratile
autem quod est super basiin tuangulamn esg sit ef
glayn cuius altera Ouarum trilaterarum suꝑsicierum
est basis p̃̾dicta ⁊eliqua uero tuangulus lam cuum
autem superficierum eius equidistantium laterum p̾mna q̃
Dico itaq q̃et duo serratilia gposita ese ad inuicem equalia
ppositorũ serratilium aliud seratile sibi equale x̃mo quid
serratili super eandem uasci sit q adiũctum serratile
aphd qli cuiꝰ due crilatere suꝑficies sunt aꝑh dql
tres autem quadillatere prima quidem lhdli que est
xino tuangulo efg alius triangulus equolis qui sit
egr Ĩta ꝙ̃ tora supeificies efgr sit equi di stantium
lacerum et supei hunt tuaonrgulum fat setratle agtelus quã

Expanded text:
equidistantium laterum est a h d k, tertia vero est b h c k. equidistantium laterum est a h d k, tertia vero est b h c k. Due autem eius triangulares superficies sunt: altera quidem triangulus a b h, reliqua vero triangulus d c k. Serratile autem, quod est supra basim triangulam e f g, sit e f g l m n cuius altera duarum trilaterarum superficierum est basis predicta, reliqua vero triangulus l m n, trium autem superficierum eius equidistantium laterum prima quidem Dico itaque hec duo serratilia proposita esse ad invicem equalia. propositorum serratilium aliud serratile sibi equale. Primo quidem serratili super eandem basim sitque adiunctum serratile a p h d q k cuius due trilatere superficies sunt a p h, d q k. Tres autem quadrilatere: prima quidem a h d k que est primo triangulo e f g alius triangulus equalis qui sit e g r ita quod tota superficies e f g r sit equidistantium laterum et super hunc triangulum fiat serratile e g r l n s quod
Abbreviated transcription (Latin):
porte ⁊ꝯ. pͥmi poter s ꝙ linea at equi distat liuer sb
ec quia ixse eciam sunt adinuicem equales sequitur ex. rs¬
Ai quod ꝓpositum est ĩ dem q rodem modo concluditur eciam
si solidum ab non sit cubus sed solum corpus ꝑalellogramũ
siuẽ equalibus ẜ liueis sure Inequabus fuerit ꝯtentum sure
quoqz super bastin orthogonaliter ereccum siue ecicor suxer
ipsam inclinatum unde ampliatur in hoc .xoͣ. Signatio
cubi ad omres figuras solidas ꝑallas
Alcerum uero basim habeat equidistanciũ laterum
ipsi triangule duplain eque alta fuerint illa due
corpora necesse est esse equalia
Si superficies abed equi distantium laterum dupla trilatere
su ꝑficiẽi esg et super has duas su ꝑficies fiant duo cor¬
pora serratilia eque alta sit qi serratile quod est suxer
basim quadrangulam abħdcl cuiꝰ uosis est saꝑficies
equedistantium laterum p̃posita abcd dlia ens suꝑficies

Expanded text:
parte 29 primi propter id quod linea a t equidistat linee s b. parte 29 primi propter id quod linea a t equidistat linee s b. Et quia etiam ipse sunt ad invicem equales, sequitur ex 26 primi quod propositum est. Idem quoque eodem modo concluditur et si solidum a b non sit cubus sed solum corpus paralellogramum sive equalibus lineis sive inequalibus fuerit contentum sive quoque super basim orthogonaliter erectum sive etiam super ipsam inclinatum. Unde ampliatur in hac 40 figuratio cubi ad omnes figuras solidas paralelalterum vero basim habeat equidistantium laterum ipsi basi triangule duplam, eque alta fuerint, illa duo corpora necesse est esse equalia. Sit superficies a b c d equidistantium laterum dupla trilatere superficiei e f g et super has duas superficies fiant duo corpora serratilia eque alta. Sitque serratile, quod est supra basim quadrangulam, a b h d c k cuius basis est superficies equidistantium laterum proposita a b c d, alia eius superficies
Abbreviated transcription (Latin):
Itenq ut et es eut qr ex quarta primi at equalis th̃
et es equalis ss ꝯstat autem ex p̃ma xte .⁊9. p̃m ꝙ
angulus ꝑtꝰ est equalis angulo aꝗt et ex quarta pͥmi
angulu heꝵ est equalis angulo taꝰ Itaq ex .℥r. x̾mi
totus angulus atꝰ cum angulo ꝗta ualet Duos rectis
quare ꝑ .ix. p̾mi linẽa ah erit lurea una dc quia¬
equales quia lacera cubi sequitur ex .xͣ. primi Duas
cineas ah et cs esse equales et eque distaites Ĩdeo¬
qz per conceptiõnem earum medietates que sent et ex
b̾s eiunt equaled ex ⁊̃ autem huius maonfesturi est ꝙ
lũrea et est in superficie duatum liuneanũ as et ut et¬
ex eadem iurra as que est dyamreter cubi et xciam dra¬
ametium ab secet ergo in xuncto u dico eigo lineam gx
esse equalem lñer ut et lineam au linee us Intel¬
ligantur duo eranguli at u sou quorum anguli qui sunt
at et s sunt equales adiuuicem Similiter anguli
eorunddem qui sunt ad a et s equales adiumuicem ex x̃m

Expanded text:
t equalis t h et c s equalis s b. Constat autem ex prima parte 29 primi quod angulus p t q est equalis angulo a q t et ex quarta primi angulus h t p est equalis angulo t a q. Itaque ex 32 primi totus angulus h t q cum angulo q t a valet duos rectos, quare per 14 primi linea a h erit linea una. Similitequales quia latera cubi, sequitur ex 33 primi duas lineas a h et c b esse equales et equidistantes. Ideoque per conceptionem earum medietates que sunt a t et b s erunt equales. Ex 7 autem huius manifestum est quod linea s c est in superficie duarum linearum a h etex eadem linea a b que est diameter cubi est etiam diaametrum a b. Secet ergo ipsam in puncto u. Dico ergo lineam s u esse equalem linee u t et lineam a u linee u b. Intelligantur duo trianguli a t u, b s u quorum anguli qui sunt ad t et s sunt equales ad invicem. Similiter anguli eorundem qui sunt ad a et b equales ad invicem ex prima
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓp ositis Duabus piraundibus bases triangulas ha¬
bentibus simiabus ex ipsis ꝑfice Suo selida ꝑalello¬
grama quem adinodus Dictum est ini deironstrati¬
one premisse erurtq hec duo solida palellegrama
sumlia eo ꝙ prramiddes ponuntur  sumles adimacem
nan Duo sel di angile qui sunt ꝯmunes prraundis

Expanded text:
licata. Propositis duabus piramidibus bases triangulas halicata. Propositis duabus piramidibus bases triangulas habentibus similibus ex ipsis perfice duo solida paralellograma quemadmodum dictum est in demonstratione premisse eruntque hec duo solida paralellograma similia eo quod piramides ponuntur similes ad invicem. Nam duo solidi an
Abbreviated transcription (Latin):
uiramides a et s sunt equales di uero nentia ba¬
sium ꝓositarum piramii dum fuerit cagona s ut̃q
posigona u̾bi gracia altera pencagona aetera exagona
que ad ͭ dicantur a ẜ et s sumatur similiter triargi¬
lusc equalis exagono s super quem fiet pirans
equealta prrami di b eruntq due piramides s et
xquales i deoq Due que sũt a etc eciam ꝓ ꝯcegtioñe
equales quare basis a ad basun ⁊ siond al situdo xi¬
rcmi dis ⁊ ad alcitu dinem pirauudis a hoc eum
puper Demon seratum est ita ex .siͣ. quinci uasie a ad
uasim s̃ sicus altitudo piramdis s ad altituddinẽ
pira midis a conuersa comrerso modo constat
eni basis a ad uasim ẜ suerit ot olcitudo prroom¬
dio ad altitudinem priam dis a Qut quoq ex .a.
li sasis sasis a aid basim  e ut altitudo prraundis
⁊ as alticudinem piramisis a pdeo qi ut patet
ex puribus erunt due xiramides a et c equales
bases tuangule est pporcio alterius od alterã
tanꝙͣ lateris ad catus eius relatiuũ ꝓportio taxli

Expanded text:
sunt equales. Si vero neutra basium propositarum piramidum fuerit trigona, sed utraque poligonia verbi gratia altera pentagona, altera exagona que adhuc dicantur a et b. Sumatur similiter triangulus c equalis exagono b super quem fiat piramis eque alta piramidi b eruntque due piramides b et c equales.Ideoque due que sunt a, c etiam per conceptionem equales, quare basis a ad basim c sicut altitudo piramidis c ad altitudinem piramidis a. Hoc enim nuper demonstratum est. Est igitur ex 7 quinti basis a ad basim b sicut altitudo piramidis b ad altitudinem piramidis a. Conversa converso modo constat. Si enim basis a ad basim b fuerit ut altitudo piramidis b ad altitudinem pi basis a ad basim c ut altitudo piramidis c ad altitudinem piramidis a. Ideoque ut patet ex prioribus erunt due piramides a et c equales,  quarum bases triangule, est proportio alterius ad alteram tamquam lateris ad latus eius relativum proportio trip
Abbreviated transcription (Latin):
iter accepta quorum sases sunt cranguli didentes
poligonũm instriptum circulo a maiũs titpło doramiebe
e et quiã ixsa saterata cõsupna et tux calaso lmamprra¬
nidem sicud demonstiatum est in h̃ns que premisia aĩe
sequitur ex secunda parte. o ͭ qut   ot rotuna pia¬
miy s sit minor laterata puanio latãte tosam xne
cuid basis est poligoniũ Instuptum basi rotunluora¬
midis a quõd est impossibile Eest eia pnanns laberato
pais ixsius xriamisis rotunde nonest pl prlanate at
minus  parte sur columpnẽ / s ne ppna s

Expanded text:
iter accepta quorum bases sunt trianguli dividentes poligonium inscriptum circulo a maius triplo piramide a. Et quia ipsa laterata columna est tripla ad suam piramidem sicut demonstratum est in hiis que premissa sunt, sequitur ex secunda parte 10 quinti libri ut rotunda piramis a sit minor laterata piramide laterate columne cuius basis est poligonium inscriptum basi rotunde piramidis a. Quod est impossibile. Est enim piramis laterata pars ipsius piramidis rotunde. Non est igitur piramis a minus
Abbreviated transcription (Latin):
eque alca esse fecatilibus pirami dib̃ alcerius Sur
enm sint pirau des equealte sit quoq utraq ectã
Suulsa m duas prryndes equales sibi toti ꝙr scim¬
des et duo setratilia equalia et sũt edue poces¬
ales piramndes eque aler eo ꝙ sim̃les et equales
quo facile patebit Semissie auerticibus ꝑi lũ
prĩami dum ꝑpendicularibus ad bases ixdrum de
pite accepte comxonant altitudinẽm cotalis pira¬
nuedis Siuise sintq ambo serratilia eque alta uri
parcialium piramndum ei uidelioẽt que super ꝑcialẽ
cuangulum Gasie totalis prrami dis comxonitur urõ
est fas dmorgere serratilia unuis istaru xirami¬
Sum esse equealta serratilibus alcerius earum Cor¬
relarium uero ex eo maifestum est ꝙ similiter bases
parcialium prramidum sit se habent adinuicem sig
bina seiratilia unius ad uma serratilia alterius et

Expanded text:
eque alta esse serratilibus piramidis alterius. eque alta esse serratilibus piramidis alterius. Cum sint piramides eque alte, sit quoque utraque harum divisa in duas piramides equales sibi totique similes et in duo serratilia equalia et sint due partiales piramides eque alte eo quod similes et equales quod facile patebit demissis a verticibus partialium piramidum perpendicularibus ad bases ipsarum, de pariter accepte componant altitudinem totalis piramidis divise sintque ambo serratilia eque alta uni partialium piramidum ei videlicet que super partialem triangulum basis totalis piramidis componitur, non est fas ambigere serratilia unius istarum piramidum esse eque alta serratilibus alterius earum. Corollarium vero ex eo manifestum est quod similiter bases partialium piramidum sic se habent ad invicem sicut bina serratilia unius ad bina serratilia alterius. Et
Abbreviated transcription (Latin):
pporcio sexti tuanguli bcd ad triangulum qi lda
est sicud lurẽe bd ad linẽam kd duxlicata x
eaandem quoq est p̃portio trianguli fgh ad trĩangu¬
lum uqħ sicud lnee fħs ad lineam iħ Duplicata
cumq secꝭ cinr̃a bs ad lineam lrd sicud linẽa si ad
cmeam uh utrobiq xnii est dupla ꝓportio erit
triangulus Ged ad tuangulum kard sicud triangiaꝰ
fgꝰ ad tuangusum uꝗs et ꝑmutatin criangulius ued
ad triangulum fgħ sicud trangulus koqd ad trian
gulum uꝗħ triangulus autem lre d ad triangulum uqs
est sicud seriatiẽe existens super ipsum ad serratile
existens super illum ꝑ .℥t. ii. huius quoq serratilis
aSiltus est sicud amborum setiatisium prramidos di
ꝑiter acceptorum ad ambo serratilia prramidis e pit
Actepta ex. ri.li. necesse est eniñ ut sit duplum as
Suxtum quenadmodum simplum ad stinplum ĩtaqi
conctude ex .ii. ⁊ͥ quinat quod ꝓpositum est Sormitat
antem se sibitas serratilia unius haccum priantsĩ

Expanded text:
oportio trianguli b c d ad triangulum k m d est sicut linee b d ad lineam k d duplicata. Per eandem quoque est proportio trianguli f g h ad triangulum n q h sicut linee f h ad lineam n h duplicata. Cumque sit linea b d ad lineam k d sicut linea f h ad lineam n h utrobique enim est dupla proportio erit triangulus b c d ad triangulum k m d sicut triangulus f g h ad triangulum n q h. Et permutatim triangulus b c d ad trgulum n q h. Triangulus autem k m d ad triangulum n q h est sicut serratile existens super ipsum ad serratile existens super illum per 33 undecimi. Huius quoque serratilis ad illud est sicut amborum serratilium piramidis a pariter acceptorum ad ambo serratilia piramidis e pariter accepta ex 15 quinti. Necesse est enim ut sit duplum ad duplum quemadmodum simplum ad simplum. Itaque conclude ex 11 quinti quod propositum est. Dormitas autem si dubitas serratilia | unius harum piramidum
Abbreviated transcription (Latin):
ĩgitur quemadmadum p̃ns exprramnde a intrlegitur
detrahi prramis laterata sibi equaalta cuũs basio sit qũt¬
tum criculo a instriptum quam lateratam urrame dem
coustat esse plus dinndio piramidis rotide ĩtem
de residno piramidis a rursus intelligantur Reciahi
piramides equialce statute super tuanangulos des que
sunt in portiomibus basis et hoc totiens fiat ut ex
p̾ma decimi relinquatur ex prranude a inimus cor¬
pore s erit q piramis lacerata instrepto poligono fix¬
stans quam componunt laterate pyramides ex rotunde
xyramnde detracte mams ͣ parte rotunde columx¬
ne a et quia ut ꝓbatum est in p̾cedentibus get p¬
ramis laterata est tercia pars sur coluxne laterate
Sam a esse minorem coluxna lacerata eiusdem al¬
titudinis cuius uasis est poligoniũ bast rotunde pra¬
muidis sustuixtum hoc autem ĩmpossibile non qrt¬

Expanded text:
Igitur quemadmodum prius ex piramide a intelligatur detrahi piramis laterata sibi eque alta cuius basis sit quadratum circulo a inscriptum quam lateratam piramidem constat plus esse dimidio piramidis rotunde. Item de residuo piramidis a rursus intelligantur detrahi piramides eque alte statute super triangulos c, d, e, f qui sunt in portionibus basis et hoc totiens fiat ut ex prima decimi relinquatur ex piramide a minus corpore b. Eritque piramis laterata inscripto poligonio superstans quam componunt laterate piramides ex rotunda piramide detracte maius tertia parte rotunde columne a. Et quia ut probatum est in precedentibus hec piramis laterata est tertia pars sue columne laterate, am rotundam a esse minorem columna laterata eiusdem altitudinis cuius basis est poligonium basi rotunde piramidis inscriptum. Hoc autem impossibile. N
Abbreviated transcription (Latin):
mide a uidelioet ad ⁊ est sue syametri ad dya¬
metrum alterius pporcio cuplicata hoc autem est
impossibile nam ex hoc demonstraminus sequitur¬
ꝙr pars sit maoor suo toto cum ita corpus ⁊ non passit
esse minud neq maius rotunda priamidas erit neaes¬
sario sibi equale ideoq ex secunda parte a ͤ quincti

Expanded text:
a videlicet ad d est sicut sue diametri b ad diametrum alterius proportio triplicata. Hoc autem est impossibile. Nam ex hoc demonstravimus sequi quod pars sit maior suo toto. Cum ergo corpus c non possit esse minus neque maius rotunda piramide b, erit necessario sibi equale. Ideoque ex secunda parte 7 quinti
Abbreviated transcription (Latin):
altitũ dines ꝓpositaruan colupnarum lateratarũ imitur
Sico ꝙ colum pne euint equales canem uini ceds
sint bases xedem q actitudines columxnarũ suarã¬
qz piramdum erunt bases et altitũdines pnrami¬
dum positarũ columxnarum muture si hoc ut posi¬
tum est uerum fuerit de colup̾ns erunt ĩtaq pi¬
raundes iquales gut in .A. quius demonsatum
est ĩta et colupns equales cum ip̃se cri ple sint
ad suas piramnides quare patet secunda pars ꝓposit
est ꝓporcio alceriũs ad alceram tanꝙͣ lateciolũ
sium ⁊ elatiuũ latus ꝓporcio tuplicata¬

Expanded text:
lumnarum lateratarum mutue, dico quod columne erunt equales. Cum enim eedem sint bases eedemque altitudines columnarum suarumque piramidum, erunt bases et altitudines piramidum propositarum columnarum mutue. Si hoc, ut positum est, verum fuerit de columnis, erunt itaque piramides equales prout in 7 huius demonstratum est. Igitur et columne equales cum ipse triple sint ad suas piramides. Quare patet secunda pars eius quest proportio alterius ad alteram tamquam lateris ad suum relativum latus
Abbreviated transcription (Latin):
sn est sicud ꝓporcio alseu suñs prromuidis s adal¬
tituddinem priamedio a et si hoc fuerit̃ dico pnaindes¬
a et b esse equales Shibrantir quidem Ouobus tu¬
goms a et s et asu duo qui sincetd utobrs ta¬
be suꝑficies ac et sd equidistantium cãten e s¬
pnamidibus super sãses ac et os. comoleantiu so¬
cda ꝑalellagiama prnandibus ppoitis equo alta q

Expanded text:
b est sicut proportio altitudinis piramidis b ad alb est sicut proportio altitudinis piramidis b ad altitudinem piramidis a. Et si hoc fuerit, dico piramidesa et b esse equales. Adhibeantur quidem duobus trigonis a et b alii duo qui sint c et d ut fiant ambe superficies a c et b d equidistantium laterum amidibus super bases a c et b d compleantur solida paralellograma piramidibus propositis eque alta que
Abbreviated transcription (Latin):
midẽm a sicud trigom e ad trigonimi a sequitur ex .⁊4.
qͣ uis assup̃ta ꝙ sit ꝓpocio aggregati ex onmbus pirami¬
Sibus cde et ipsũs est piramis s ad prraidem a sicud
aggregati ex omnbus trigonis cde ec ipsum est pencha¬
gonuis s as trigonum a constat ergo quod uoluimus
Onnes lacerate pamides. equealte suis basibus
proporcionales esse ꝓbantur
Si alca fuerint surer basu cagonam premissa
ꝯstat quos dicitur Di autem uasis ueriusq fuerit
poligonia utralibet ipsarum basium resoluta in trian¬
gulos et ipsa pirami de in piramibes triangulos
Simsitur  reliquam sicus sue basio ad olsim alcerut
esse quos dit dicimus
Si due pirannides triaagulocuum bosian fuerint
equales earum Gases earundem alatudimbus
mutue erunt esi uero bases et alcitudines fue
eit nõs in qb. eiusdem Demonstrauimus Deserra
sases triangulas Entelligantur enin Due pirami¬
des equales super duos trigonos a et s que di¬
cantur a et s̃/ Sico ĩtaqi ꝙ ꝓporcio basis ad bassiñ

Expanded text:
midem a sicut trigoni e ad trigonum a, sequitur ex 24 quinti bis assumpta quod sit proportio aggregati ex omnibus piramidibus c, d, e et ipsum est piramis b ad piramidem a sicut aggregati ex omnibus trigonis c, d, e et ipsum est pentagonus b ad trigonum a. Constat igitur quod volumus. ⟨5⟩ Omnes laterate piramides eque alte suis basibus proportionales esse probantur. Si astat quod dicitur. Si autem basis utriusque fuerit poligonia, utralibet ipsarum basium resoluta in triangulos et ipsa piramide in piramides triangulas,dividitur ad reliquam sicut sue basis ad basim alteriusesse quod diximuse piramides triangularum basium fuerint equales, earum bases earundem altitudinibus mutue erunt. Si vero bases et altitudines fueret nos in 36 eiusdem demonstravimus de serrabases triangulas. Intelligantur enim due piramides equales super duos trigonos a et b que dicantur a et b. Dico itaque quod proportio basis a ad basim
Abbreviated transcription (French):
due in ꝯtinua ꝓporcione que sint e et l quẽa dinedĩ
Docet ioͣ.. u. et duabus linr̃is ⁊ et d dilie dus que sint g
et q confent ita ex ioͣ et difrincione ꝓporcionis triplicate

Expanded text:
due in continua proportione que sint e et f quemadmodum due in continua proportione que sint e et f quemadmodum docet 10 sexti et duabus lineis | c et d alie due que sint g et h. Constat igitur ex 36 et diffinitione proportionis triplicate
Abbreviated transcription (Latin):
as continue ꝓporcionales Cum enin duo solida ꝑallã¬
ad et cb sit equalia et equealtat ex xpothesi ist
ipsa Erunt super bases equales ꝑ quersas ii et. ii.
et quia ipse bases eorumy sunt equiangule sequitur ex
prima porte .ii. s̾. ꝙ ipse sint mutuorum laterum
̃caq ꝓporcio as ad bc sicud bc ad ed quare constat ꝓpo¬
Si fuerint quodlibet linee ꝓporcionales solida quoq¬
sua equi distancium at similium unius cuiusq cred¬
ationis superficierum erunt pportionalia si uaro so¬
li da xqui distandum ac sumlium unius ciuusq
crracionis suꝑficierum fuerint ꝓportionalia liuxx
quoq aquibus ipsa solida ꝯtinentur eaĩt ꝓportionales
ex presse scmłia Duob enin o libitum fabricatis saꝑ
Suas liuras a et s cetera secindum precexta ⁊a. ꝯstituᵒ.¬
to erune/ dico hec quatuor solida esse ꝓporcionalia et
econuerss Bubiungantur eni duabus lineis a et s̃

Expanded text:
s continue proportionales. Cum enim duo solida paras continue proportionales. Cum enim duo solida parad et c b sint equalia et eque alta ex ypothesi, ipsa erunt super bases equales per conversas 31 et 32. Et quia ipse bases eorum sunt equiangule, sequitur ex prima parte 13 sexti quod ipse sint mutuorum laterum. Itaque proportio a b ad b c sicut b c ad c d. Quare constat pSi fuerint quotlibet linee proportionales, solida quoqsua equidistantium atque similium uniuscuiusque creationis superficierum erunt proportionalia. Si vero solida equidistantium atque similium uniuscuiusque creationis superficierum fuerint proportionalia, linee quoque a quibus ipsa solida continentur erunt proportionales. expresse similia. Duobus enim ad libitum fabricatis super duas lineas a et c cetera secundum precepta 27 constituenda erunt. Dico hec 4 solida esse proportionalia et econverso. Subiungantur enim duabus lineis a et b
Abbreviated transcription (Latin):
et laterum mutuorum Si itaq linee altitudinũ super
uases ipsorum orthogonaliter insistũt consta ex .zi. ipsa esse
equalia Cum eum h̃re linre stilicet be sint equales
et ipse fuit determinẽt altituddinem seldorum erunt so¬
lida eque alta at si linee altitudinum ipsorum non insistũt
sius basibus orthogonaliter ab ipsarum sũmtatibus ad
bases ꝑpendicularibus demissis erunt ex p̾missa hee
ꝑpendiculares adiunitem equales ipse enin erunt sicud
erant in premisse demonstiacionis figura due luree
pꝯ et lu quas demonstrainꝰ oꝑtere esse equales
quia ita omnum solidorum altitudo ex ꝑpendicularib
a suinitatibus eorum ad suad bases descendentibus
Diffim̃tur erunt ex.zrͣ. Duo solida ad et eb equalia /
pal̃m corpus ad sit equale et equiangulum corpori palle¬
palellõ bt et corpus be contineatur amediã cuum lieaꝵ
continenciũ corpus ad erunt tres liner continentes corpus¬

Expanded text:
et laterum mutuorum. Si itaque linee altitudinum super et laterum mutuorum. Si itaque linee altitudinum super bases ipsorum orthogonaliter insistunt, constat ex 31 ipsa esse equalia. Cum enim hee linee sint equales et ipse determinent altitudinem solidorum, erunt solida eque alta. At si linee altitudinum ipsorum non insistunt suis basibus orthogonaliter, ab ipsarum summitatibus ad bases perpendicularibus demissis erunt ex premissa hee perpendiculares ad invicem equales, ipse enim erunt sicut erant in premisse demonstrationis figura due linee p q et l n quas demonstravimus oportere esse equales. Quia igitur omnium solidorum altitudo ex perpendicularibus a summitatibus ipsorum ad suas bases descendentibus diffinitur, erunt ex 32 duo solida a d et c b equalia. C paralellogramum corpus a d sit equale et equiangulum corpori paralellogramo b c et corpus b c contineatur a media trium linearum continentium corpus a d, erunt tres linee continentes a d corpu