comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
p̾missam ⁊ corolłum quarte sexti erunt iiter eos mediuꝰ
cuius ad minorem erit suꝑparciens ꝓportio.
Multiplicem suꝑparticularem que ex
duabus suꝑpartientibus equalibus
componatur: reperire. bet impar quisit
ã.⁊ proximus parsit.ũ.⁊ eius medietas sit.c̃. Ponatur gͦ
suꝑpartiens sumpta apartib denominantĩs ab .ã. ⁊ nume¬
ratis. a c̃. Sigͦ in seducatur ꝑueniet unum ⁊ partes simileᷤ
a .u. numerate.⁊ partes denominate a quadrato .ã. qui sit
.d̃.⁊ numerate a quadrato. c̃. qui sit. ẽ. ducatur aũ.ã. in .u.
⁊ fiat. f̃. Adcetq .f. suꝑ .d̃. quantum est.a. Atq .f. addatur
ẽ. sitq ꝯpositus g. ⁊ quia.d̃. apdit suꝑ.ẽ. plus quam. a.
quia g addit suꝑ .t quantum est. ae. erit .g. minus duplo
d. ⁊ quia .b.⁊.ã. sunt contra se primi. similiter.⁊.a..e
erunt ⁊ e ⁊ .d̃. contra se primi. liquet gͥ quod. a ẽ. nonẽ

Expanded text:
premissam et corollarium quarte sexti erit inter eos medius premissam et corollarium quarte sexti erit inter eos medius cuius ad minorem erit superpartiens proportio. Multiplicem superparticularem que ex duabus superpartientibus equalibus componatur reperire. a et proximus par sit b et eius medietas sitc. Ponatur ergo superpartiens sumpta a partibus denominatis ab a et numeratis a c. Si ergo in se ducatur, proveniet unum et partes similes a b numerate et partes denominate a quadrato a qui sit d et numerate a quadrato c qui sit e. Ducatur autem a in b fiat f addetque f super d quantum est a. Atque f addatur e sitque compositus g. Et quia d addit super e plus quam a et quia g addit super d quantum est a e, erit g minus duplo d. Et quia b et a sunt contra se primi similiter et a et c, erunt et e et d contra se primi. Liquet igitur quod a e non est
Abbreviated transcription (Latin):
Sit multiplex ꝓportio inter.ã.⁊ .b. Atq eadem composita
ex duab uel tribus si placet. sitq .a. au. c̃. sicut. c̃. aod. ⁊
.d. ad .b. Quia gͥ .b. est multiplex ad.a. erit ⁊ .c̃. multiplex
ad eundem. ꝑ .xiii. quarti. ⁊ sic constat ꝓpositio.
dii sipossibile sintq .b. ⁊.c̃. Sint aut minimi eiusdem pro.¬
portionis.e. f .g. h.⁊ quia .h. ad.ẽ. sic̃.d. ad.a. tunc.ħ. ꝯtine¬
bit.ẽ. ⁊ eius partem. que sit.z̃. numerabit gͥ. ⁊. ⁊̃ .h. erunt
gͦ.h. ⁊. ẽ. cõmensurabiles. quod est contrarium p̃missis.
Aliter. Sit numerus tenominans partem .t̃. addatur ei
unitas. ⁊ sit totus y ⁊ quia cuiuslib numeri pars est uni¬
tas ab ipso dicta. erit. y ad.t̃. sicut .d. ad.a. Itaq ꝑ .xii.
quarti ꝑueniet impossibile.
Ponatur quelib ꝑportio minor dupla. que ꝑ. lxi. indu
relinquitur ut sit suꝑpartiens. ⁊ sic hm̃s ꝑpositum.
ad alium est multiplex superparcicularis. Itaq ꝑ ante¬

Expanded text:
Sit multiplex proportio inter a et b. Atque eadem composita ex duabus vel tribus si placet sitque a ad c sicut c ad d et d ad b. Quia igitur b est multiplex ad a, erit et c multiplex ad eundem per xiiiam quarti. Et sic constat propositio.dii, si possibile est, sintque b et c. Sint autem minimi eiusdem proportionis e f g h. Et quia h ad e sicut d ad a, tunc h continebit e et eius partem que sit z. Numerabit igitur z et h, erunt ergo h et e commensurabiles. Quod est contrarium premissis. Aliter. Sit numerus denominans partem t addaturque ei unitas et sit totus y. Et quia cuiuslibet numeri pars est unitas ab ipso dicta, erit y ad t sicut d ad a. Itaque per xiiam quarti proveniet impossibile. Ponatur quelibet proportio minor dupla que per livam in drelinquitur ut sit superpartiens. Et sic habemus propositum. ad alium est multiplex superparticularis. Itaque per ante
Abbreviated transcription (Latin):
siduum sicut totus ad totum.
Dit primus . ã. scds .b̃. ⁊ compositus exeis. ẽ. Itemq t̾ciuᷤᷤ
.d. quartus. ẽ. ⁊ compositus .f. Sigͥ primus est minor se¬
cundo: er̃ ut quote pars uel partes eius fuerit: tote sit
tercius quarti. sitq ꝑꝑ hoc ⁊ .b. semel in.c̃.i. ẽ. in .f. suꝑẽt¬
q similes eorumpars uł partes. quare.c̃. ad .b. sic̃.F.
ad.ẽ. Siuͦ.ã. maior .b. er̃.b. tote parsuel partes. ã. quo¬
te. ẽ. fuerit.d. quare.c̃. addet supra.ã. tot ⁊ totaspar¬
tes. quot ⁊ quotas addit.f. supra.d. quare.c̃. ad .ã.
sic̃ .f. ad.d. ꝑ terciã itaq ⁊ p̃missam ⁊ it̃ terciã argue.

Expanded text:
us ad quartum. Sit primus a, secundus b et compositus ex eis c. Itemque tertius d, quartus e et compositus f. Si ergo primus est minor secundo, erit ut quote pars vel partes eius fuerit tote sit tertius quarti. Sitque propter hoc et b semel in c et e in f. Superentque similes eorum pars vel partes quare c ad b sicut f ad e. Si veroa maior b, erit b tote pars vel partes a quote e fuerit d. Quare c addet supra a tot et totas partes quot et quotas addit f supra d. Quare c ad a sicut f ad d. Per tertiam itaque et premissam et item tertiam argue.
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sit . ã. totus.a.b. detractus.⁊.c̃. residuus. Itemq .d. to¬
tus alt̾.⁊.ẽ. detractus.⁊.f. residuus. Sig.ã. fuerit minor.
nt.d. constat gͥ ꝙ eadem est ꝓportio. Si autem.ã. ma¬
ior fuerit. d. cum sit ȩconuerso sicut.d. ad.ã. itaẽ. ad
.b. primam huius: er̃ primam primi.⁊ .xxi. ⁊ .xxii. eiusd̃¬

Expanded text:
Sit a totus et b detractus et c residuus. Itemque d totus alter et e detractus et f residuus. Si ergo a fuerit minor drit d. Constat ergo quod eadem est proportio. Si autem a maior fuerit d cum sit econverso sicut d ad a ita e ad b per primam huius, erit per primam primi et xxiam et xxiiam eiusd
Abbreviated transcription (Latin):
cludent suꝑfitiem toti similem. quare equilat̾am. Nume¬
ri gͦ quoslinee inlat̾ib ꝯtingunt: equales sunt. Itaq ⁊ in
angulari ꝯuentu positus quadratus. Ꝙ circa quadratos po¬
siti sint parte altera longiores: patet qm̃ unum latus
habent cõmune cum quadrato medio. reliqua uno mi¬
ia cõi angulo naturalis series nume¬
roꝵ in longum &e latũ extendat᷑. &
ipsis inuicẽ młtiplicatis. & qͥ ꝑueni¬
unt in angłari ꝯuentu positis sisingło¬
iu ordinũ ad pͥm̃ fiat relatio: ordo.
tinuꝰ młtipliciũ ꝑcedet. Si adꝑximos
pret̾ qͣm ad pͥmũ. suꝑparticłariũ. Et
qͥcca diametrũ collocati st̃. õs er̃t qͣ
uiutate ꝓpͥnem .i. duplam relique sunt suꝑparticulares
ꝯtinue sumpte. ⁊ qm̃ pͥmus earum t̾minus est pͥmus
parium: erit ut ex binis ⁊ binis ꝯiuncte parib reliquis
timnmneirtur mediis imparib relictis. Itaq ꝑ .xuiii.uii. ar¬
isuper particulares abunitate
sumantur. binis & binis disiũc¬

Expanded text:
cludent superficiem toti similem. Quare equilateram. Numeri ergo quos linee in lateribus contingunt equales sunt. Itaque et in angulari conventu positus quadratus. Quod circa quadratos positi sint parte altera longiores, patet quoniam unum latus habent commune cum quadrato medio, reliqua uno mia communi angulo naturalis series numerorum in longum et latum extendatur et ipsis invicem multiplicatis et qui proveniunt in angulari conventu positis si singulorum ordinum ad primum fiat relatio, ordo continuus multiplicium procedet. Si ad proximos preter quam ad primum, superparticularium. Et qui circa diametrum counitate proportionem idest duplam relique sunt superparticulares continue sumpte. Et quoniam primus earum terminus est primus parium, erit ut ex binis et binis coniuncte paribus reliquis terminentur mediis imparibus relictis. Itaque per xviiiarsuperparticulares ab unitate sumantur binis et binis disiunc
Abbreviated transcription (Latin):
abunttate. erunt ⁊ ꝑpͦnes singuloꝵ ordinum ad pͥmum.¬
muttiplices ꝯtinue sumpte. Ꝙ aũ singuloꝵ ad ꝑximos
ꝑꝑ pͥmum sint ꝯtinue suꝑparticulares ꝑ uii. scdi ⁊ p̃mis¬
sam colliges. Ꝙ circa diametrum ꝯstanttes sint quadrat
palam. linee enim ad lat̾a ipsuis equidistanter ducte cõ¬

Expanded text:
ab unitate, erunt et proportiones singulorum ordinum ad primab unitate, erunt et proportiones singulorum ordinum ad primmultiplices continue sumpte. Quod autem singulorum ad proximos preter primum sint continue superparticulares, perviiam secundi et premissam colliges. Quod circa diametrum constantes sint quadrati, palam: linee enim ad latera ipsius equidistanter ducte co
Abbreviated transcription (Latin):
est unitas. ⁊ quilib eoꝵ suꝑ alt̾m addit unitatem pate
Aib adinferiorem ẽẽ suꝑparticlarem ⁊pͦnem. Nulla aũ
ent que nonut᷑ huiusmꝰi mueniatur qm̃ quota cũq
fuerit pars: similis pars erit unitas nũi ipsam denominantis.
Quo remotior tanto minor. quia aminore parte dicttur
eam denominantem ⁊ unitatem. Quanto remotior tanto
maior. qm̾ amaiori numero denominantur. Sicq ostat
Iabunitate numeri ꝯtinue disponã¬
tur: & singuli adꝑximos descen¬
dendo comparentur. fient omnes
suꝑparticulares ꝓportiones. tanto mi¬
nores quanto remotiores. Ad unita¬
tem uero omnes multiplices. tanto
minores quanto ꝑpinquiores: nume
pͥmi sic ꝯstat. Numeri si quidem primi ordinis multipli¬
cati ꝑpͥmum illius ordinis omnes illos ꝑducunt. Ent gͥ
omnium illoꝵ ad om̃s illos eadem ꝑportio. ꝑ .uiii. scdi.
atq multiplex denominata a numero pͥmo qui est mł¬
tiplicans. ⁊ qr numeri pͥmi ordinũ st̃ ꝑ ypothesim nũi

Expanded text:
est unitas et quilibet eorum super alterum addit unitatem, patet cuiuslibet ad inferiorem esse superparticularem proportionem. Nulla autem erit que non inter huiusmodi inveniatur, quoniam quotacumque fuerit pars, similis pars erit unitas numeri ipsam denominantis. Quo remotior, tanto minor quia a minore parte dicitur. eam denominantem et unitatem. Quanto remotior tanto maior quoniam a maiori numero denominantur. Sicque constatab unitate numeri continue disponantur et singuli ad proximos descendendo comparentur, fient omnes superparticulares proportiones tanto minores quanto remotiores. Ad unitatem vero omnes multiplices tanto minores quanto propinquiores. Quoniam primi sic constat. Numeri siquidem primi ordinis multiplicati per primum illius ordinis omnes illos producunt, erit igitur omnium illorum ad omnes illos eadem proportio per viiiam secundi atque multiplex denominata a numero primo qui est multiplicans. Et quia numeri primi ordinum sunt per ypothesim numeri
Abbreviated transcription (Latin):
numerus cum eadem parte: numerus multiplicis in unũ
⁊ numerum ductus numerũ semꝑfacit. Addito gͦ utrobiq
qd̾ fit ex eodem in partem que suꝑ est sicũ uno nũm fac̃
⁊ cum reliquo.⁊ si in uno pars uel partes suꝑ fluunt. simili¬
ter ⁊ inreliquo. Uñ ⁊ si quantitas denominationis crescat
in altera ꝑductarum. genus tũ non mitabitur ꝓpͥnis.¬

Expanded text:
numerus cum eadem parte, numerus multiplicis in unum et numerum ductus numerum semper facit. Addito ergo utrobique quod fit ex eodem in partem que superest, si cum uno numerum facit, et cum reliquo; et si in uno pars vel partes superfluunt, similiter et in reliquo. Unde etsi quantitas denominationis crescat in altera productarum, genus tamen non mutabitur p
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ ppremissam insuꝑpartientẽ resoluetur. ita ut detracto quo¬
ciens potest. ẽ. ab.ã. relinquatur non pars sed partes. Hec qͦ
que est inter. ẽ⁊ residuũ quod sit.f. uel reducetur insupparti¬
cularem: uel suꝑpartientem.:⁊ quia hec detractio non poss
fieri in infinitum: necẽe est occurrere suꝑparticularem:¬

Expanded text:
et per premissam in superpartientem resolvetur ita ut detracto quoet per premissam in superpartientem resolvetur ita ut detracto quotiens potest c ab a relinquatur non pars, sed partes. Hec quoque que est inter e et residuum quod sit f vel reducetur in superparticularem vel superpartientem. Et quia hec detractio non posset fieri in infinitum, necesse est occurrere superparticularem
Abbreviated transcription (Latin):
Datas super particulares inmultiplices.
Atq easdem inminores multiplices do¬
nec adequalitatem ꝑueniant reducere.
Nota quod in pͥma reductione non potest hoc semꝑ fieri. In¬
mo enim multiplices quociens possunt decrescunt insinguli
reductionib uno cum tamen denominatio partium uel par¬
tis.: sit semꝑ eadem. Cumq plus non possunt decrescere ue¬
litti si.b̃. ad.ã. sit duplum sesqualt̾um. dempto. a. erit . F. a
ẽ. sesqualterum. Modus autem reducendi idem qui ⁊ in
premissa.
Nota quod ex quibus alie procreantur: in illas tantum redu
Neq enim inprima reductione semꝑ continget. qm̃ . ã. de .b.
detracto reliqu it᷑. ẽ. potestq.ã. ẽẽ suꝑparticulares ad. ẽ. ⁊ tunc
una sola erit reductio. potest multiplex suꝑparticularis. que
scdm premissam reducetur insuꝑparticularem. ⁊ finem habe¬
bit intentio. Potest suꝑpartiens. uel multiplex suꝑpartiens. q̃

Expanded text:
Datas superparticulares in multiplices Datas superparticulares in multiplices atque easdem in minores multiplices donec ad equalitatem perveniant reducerNota quod in prima reductione non potest hoc semper fieri. Primo enim multiplices quotiens possunt decrescunt in singulis reductionibus uno cum tamen denominatio partium vel partis sit semper eadem. Cumque plus non possunt decrescere veluti si b ad a sit duplum sesquialterum, dempto a erit f ad e sesquialterum. Modus autem reducendi idem qui et in premissa. Nota quod ex quibus ille procreantur, in illas tantum reduNeque enim in prima reductione semper continget quoniam a de b detracto relinquitur c potestque a esse superparticularis ad c et tunc una sola erit reductio. Potest multiplex superparticularis que secundum premissam reducetur in superparticularem et finem habebit intentio. Potest superpartiens vel multiplex superpartiens que
Abbreviated transcription (Latin):
centur. Extegͥ inomnib idem modus reducendi in quibus ea¬
am erat idem procreandi. Ut si ponantur t̾mini. ã .b. c̃. d. deqͦ¬
lis. ã. ponatur pͥmus. qui sit. ẽ. Atq a .b. tollatur. ẽ. ⁊ remaneat
f. S ⁊ de . ẽ. tollatur. ẽ. ⁊ f. bis. ⁊ residuum sit .g̃. ⁊ de .d. tollat᷑¬
.d. ĩ. f.ter⁊.g̃. ter ⁊ relinquatur. h̃. Dico gͥ quod ⁊ illi sunt cõt¬
nue pportionales. Sint erum . iiii. t̃mini continue ꝓportionalẽ
ꝓportione que est.f. ad.ẽ. qui sint. k .i. mi.ñ. eruntq illi conti¬
nue ꝓportionales ut p̃missum est: qui exillis predicta addi¬
tione ꝑuenient. qui suit.o .p̃. q̃r̃. ⁊ quia õ. ad.R. sicut.a. ad
ẽ ⁊ sic de ceceris palam. h.g.s. e. ẽẽ pportionales. Isi .b. ad .a. fũ¬
it supra particularis: erit. ꝑ .xui. huius. ẽ. ad .f. multiplex.
Quod si muttiplex. erunt. f. ad. ẽ. uel equalis uel multiplex.
Palam autem quod sidupla: erunt equalis simaior uno mi¬
noris denominationis multiplex.

Expanded text:
centur. Erit igitur in omnibus idem modus reducendi in quibus etiam erat idem procreandi. Ut si ponantur termini a b c d et equalis a ponatur primus qui sit e atque ab tollatur e et remaneat f. Sed et de c tollatur e et f bis et residuum sit g et ded tollatur e et f ter et g ter et relinquatur h. Dico igitur quod et illi sunt continue proportionales. Sint enim quatuor termini continue proportionales proportione que est f ad e qui sint k l m n. Eruntque illi continue proportionales ut premissum est. Qui ex illis predicta additione provenient qui sint opqr. Et quiao ad k sicut a ad e et sic de ceteris, palam h g f e esse proportionales. Et si b ad a fuerit superparticularis, erit per xviam huius e ad f multiplex. Quod si multiplex, erit f ad e vel equalis vel multiplex. Palam autem quod, si dupla, erit equalis; si maior, uno minoris denominationis multiplex.
Abbreviated transcription (Latin):
tremoꝵ. ⁊ unum inter eos. Partesq ꝑse. ⁊ unum inter eas.
Est autem ꝓporcio maiorũ numeri adunum: tãquã uniuᷤ
ad partem ab eo denõttam. S ⁊ minor adunum sic̃ ip¬
sum adpartẽ ab ipso dictam. quare unum adminorem.
sic̃ econtrariopars adunum. Itaq ꝑ .xxii. scđi ꝯclude.
Inequalium numerorum maioris
adminorem est ea que partis abipso
minore denominate ad partem a

Expanded text:
tremorum et unum inter eos partesque per se et unum inter eas. tremorum et unum inter eos partesque per se et unum inter eas. Est autem proportio maioris numeri ad unum tanquam unius ad partem ab eo denominatam. Sed et minor ad unum sicut ipsum ad partem ab ipso dictam. Quare unum ad minorem sicut econtrario pars ad unum. Itaque per xxiiam secundi conclude. Inequalium numerorum maioris ad minorem est ea que partis ab ipso minore denominate ad partem a
Abbreviated transcription (Latin):
Qhalitas est in equalitati
principium. INequali¬
tatis sp̃es sunt quinq. Aut eñi ma¬
ior terminoꝵ ꝯtinet minorem ali¬
quociens ut nichil suꝑfluat. & di¬
citur multiplex ꝓportio. Aut seml
tantum & eius aliquo tampar¬
tem. & suꝑ particularis appellat.
Aut semel &e eius aliquot partes
& dicitur suꝑparties. Aut pluries.
oe eius aliquotam partem. & uo¬
catur multiplex suꝑparticulari.¬
Aut pluries &r eius aliquot partes.
& multiplex suꝑpartiens nominat᷑.
Minoris quoq admaiorem habitũdo
totidem species ꝯtinet. que inter se
sicut &e priores diu̾sificantur scđm
diuersitatem denominantium.
Scd̾m partem aliquid multiplicare
est: totam illius sumere partem.
quota fuerit que multiplicat. Qd
cũq aliud multiplicet: illud ꝑduci
dicimus: quod ita se habet admł¬
tiplicatum: sicut multiplicans
adunum. Diuidi dicitur aliqͥd
ꝑaliud. cum illud sumitur diui¬
dens quod ꝑidem multiplicatũ¬
sumam diuisi restituat: numei loco exe¬

Expanded text:
qualitas est inequalitatis principium. ‹ii› Inequalitatis species sunt quinque. Aut enim maior terminorum continet minorem aliquotiens ut nichil superfluat et dicitur multiplex proportio. Aut semel tantum et eius aliquotam partem et superparticularis appellatur. Aut semel et eius aliquot partes et dicitur superpartiens. Aut pluries et eius aliquotam partem et vocatur multiplex superparticularisAut pluries et eius aliquot partes et multiplex superpartiens nominatur. ‹iii› Minoris quoque ad maiorem habitudo totidem species continet que inter se sicut et priores diversificantur secundum diversitatem denominantium. ‹iv› Secundum partem aliquid multiplicare est totam illius sumere partem quota fuerit que multiplicat. ‹v› Quodcumque aliud multiplicet illud produci dicimus, quod ita se habet ad multiplicatum sicut multiplicans ad unum. ‹vi› Dividi dicitur aliquid per aliud cum illud sumitur dividens quod per idem multiplicatusummam divisi restituat. § i Ine
Abbreviated transcription (Latin):
st enim latus triangu
remanet ꝑximus tͥangularis descendendo ꝑ scdã p̃sentis.
Idem autem si parte altera longior addatur: fiet proximᷤ
tetragonus. ꝑp̾missam gͦ argue.

Expanded text:
st enim latus triangulremanet proximus triangularis descendendo per secundam presentis. Idem autem si parte altera longiori addatur, fiet proximus tetragonus. Per premissam ergo argue.
Abbreviated transcription (Latin):
Tres numeros in armonica med dis .ii.
metrica medietate tra tamen ut minimus sit maior maiore
differentia. Sublata gͦ eadem differentia aminimo erit int̃
residuum ⁊ eundem iam existentem medium. ⁊ medium
porum: hec ordinata medietas. ꝑ .xxi. huius.

Expanded text:
Tres numeros in armonica medietate dismetrica medietate ita tamen ut minimus sit maior maiore differentia. Sublata ergo talem differentia a minimo erit inter residuum et eundem iam existentem medium et medium priorum hec ordinata medietas per xxam huius.
Abbreviated transcription (Latin):
tur.d.ẽ. f. Sitq differentia.ã. ⁊ .b. g̃. ⁊ differentia .b. ⁊ . c̃. sit.h.
nor ꝓp̃ quam .ẽ. ad .R. Itemqr ꝑ .xx. huuis .g̃. ad .ħ. maior
ꝓpͦ quam .K. ad .l. erit .g̃. ad.i. minor qͣm .k. ad. ñ quare
ꝑ quintam quinti: erit .b. ad.m̃. minor ꝓpꝰ quam. ẽ. ad. ñ.
Peandem gͦ dupli .b. ad.mn. minor ꝑpꝰ quam dupli. ẽ. ad.
n.i quia compositus ex. ã. ⁊.c̃. suꝑat duplum .b̃. quantum ẽ¬
iñ. ⁊ similiter ꝯ positus ex.d.⁊.f. excedit duplum. ẽ. quantũ est
ñ Itaq ex his que in scdo digesta sunt argum̃tũ elice.

Expanded text:
tur d ef. Sitque differentia a et b g et differentia b et c sit h. nor proportio quam e ad k. Item quia per xxam huius g ad h maior proportio quam k ad l, erit g ad m minor quam k ad n. Quare per quintam quinti erit b ad m minor proportio quam e ad n. Per eandem ergo dupli b ad m minor proportio quam dupli e ad n. Et quia compositus ex a et c superat duplum b quantum est m et similiter compositus ex d et f excedit duplum e quantum est n, itaque ex hiis que in secundo digesta sunt argumentum elice.
Abbreviated transcription (Latin):
rus quem non numeret.ã. ⁊ in illũ
ẽ. eum numeret. Eritq ꝑ .xxu. scd̃i. sic̃.ã. ad .b. ita. c̃.
ad .ẽ. ꝑpremissam gͥ ⁊ ante p̾missam.⁊.ã. numerabit
Positis duobus numeris cc seprimiᷤ.xxi.
si alter ducatur innumerum ꝙ
reliquus non numeret. ꝑductꝰ qͦ
ab eodem non numerabitur.

Expanded text:
rus quem non numeret a et in illum de eum numeret. Eritque per xxvam secundi sicuta et d b ita c ad e, per premissam igitur et antepremissam et a numerabit Positis duobus numeris contra se primis si alter ducatur in numerum quem reliquus non numeret, productus quoque ab eodem non numerabitur.
Abbreviated transcription (Latin):
uod siunius ad alium fuerit ꝑportio
tam qͣm cubi ad cubum. quoslibet
duos numeros solidos similes ẽẽ ne¬
eosdem qͦ erunt duo similit̾ medii. ꝑ. liii. itaq huius.
argue eos solidos similes.

Expanded text:
uod si unius ad alium fuerit proportio tanquam cubi ad cubum, quoslibet duos numeros solidos similes esse neeosdem quoque erunt duo similiter medii. Per liiiam itaque huius argue eos solidos similes.
Abbreviated transcription (Latin):
nueniamus maximam que ex duab iponatur. q̃
sit inter.ã.⁊.b. quoꝵ differentia. c̃⁊ quia.a. est maior
.c̃. posito quod. d. sit minor .b. uno. er̃ ꝑpͦ.b. ad .d. minor ꝙͣ¬
.ã. ad.c̃. Aodito gͥ.d. cum .b. fiat. ẽ. eritq. ẽ. ad .b. maior
quam .b. ad.ã.⁊ quod suꝑpartiens sit: manifestum.
Patet quoq eam in duas supparticulares non posse

Expanded text:
nveniamus maximam que ex duabus componatur que sit inter a et b quorum differentia c. Et quia a est maior c, posito quod d sit minor b uno erit proportio b ad d minor quam a ad c. Addito igitur d cum b fiat e eritque c ad b maior quam b ad a. Et quod superpartiens sit, manifestum. Patet quoque eam in du
Abbreviated transcription (Latin):
¶Quod enim fit exillis in illum. equũ
equale ei quod exillo incompositum. ꝑpremissa
itaq patet argum̃tũ.

Expanded text:
enim fit ex illis in illum equum eequale ei quod ex illo in compositum. Per premissam itaque patet argumentum.
Abbreviated transcription (Latin):
positoq reliqui impares applicent᷑:
erit ut ꝓpͦnes ꝯpositorum ad nume¬
ros post binarium sumptos: sint
diuerse multiplices suꝑparcientes.
d abeodem numero &e parces nume¬
ratas & multiꝑlices denominatas
tuunt. Omnes autem due preter quam iste.qm̃ alt̾a
tantum uel neutra est alt̃i istarum equalis. ⁊ reliqua
minor ꝑpͦnem ista dupla minorem efficient. que qm̃
ñ est multiplex erit suꝑparticulans uel suꝑpartienᷤ¬

Expanded text:
positoque reliqui impares applicentur, positoque reliqui impares applicentur, erit ut proportiones compositorum ad numeros post binarium sumptos sint diverse multiplices superpartientes sed ab eodem numero et partes numeratas et multiplices denominatas tuunt. Omnes autem due preter quam iste quoniam altera tantum vel neutra est alteri istarum equalis et reliqua minor, proportionem ista dupla minorem efficient que quoniam non est multiplex, erit superparticularis vel superpartien
Abbreviated transcription (Latin):
liquis imparib eidem diunctis aggre¬
gantur ad numeros a duob disposi¬
tos comparentur.ꝑuenient diuerse
multiplices supparticulares. sed nu¬
meros multiplicium &e denomina¬
dones partium similes habentes.
Sint duo primi impares. a. ⁊ .b.⁊ ex eis compositus sit
.c̃. cui addantur reliqui impares qui sint . d.e. f. ⁊ ꝯposi¬
ti suit .g. h.k. Numeri aũ post. a. ꝯtinue sumpti sĩt
.l. mñ .ñ. Quia gͥ.b. addit suꝑ.a. binarium ⁊ .c. suꝑ ip̃m
bis addet eum̃ ⁊ qr binarius est minor.ã. uno: erunt eiꝰ
partes.⁊. c̃. er̃. ad .a. multiplex suꝑpartiens. Quia aũ
ad id qd fit exbinario in .a. additur semel ĩd ad cõplen¬
partes .l.er̃ .g̃. ad .l. multiplex superpartiens. Palam aũ
bit . ñ.⁊ addet. m̃. Palam. gͦ inter singłos eẽ multiplicẽ
suꝑpartientem.⁊ quod denominatio multiplicis est nũs
ille qui numerat partes minor denominante uno. Uñ
⁊ ueram liquet ẽe ꝑpositionem.
Si duo pͥmi impares diungantur. com xliiii.¬

Expanded text:
liquis imparibus eidem coniunctis aggregantur ad numeros a duobus dispositos comparentur, provenient diverse multiplices superparticulares secundum numeros multiplicium et denominationes partium similes habeSint duo primi impares a et b et ex eis compositus sit c cui addantur reliqui impares qui sint d e f et compositi sint g h k. Numeri autem post a continue sumpti sint l m n. Quia igitur b addit super a binarium et c super ipsum bis addet eum et quia binarius est minor a uno, erit eius partes et c erit ad a multiplex superpartiens. Quia autem ad id quod fit ex binario in a additur semel idem ad complenpartes l, erit g ad l multiplex superpartiens. Palam autem bit n et addet m. Palam ergo inter singulos esse multiplicem superpartientem, et quod denominatio multiplicis est numerus ille qui numerat partes, minor denominante uno. Unde et veram liquet esse propositionem.Si duo primi impares coniungantur com
Abbreviated transcription (Latin):
medium esse ex descͥptione liquet.
as Nen ista pgeometicam in quirenda est medietatem. Posi¬
ps eam ꝙ ut prius tbus numeris ineadem medietate. maxmo
ipsorum iinor differntia detħatur. Sicꝙ inter maxmum po¬
sitoꝵ ⁊ residuum ⁊ medium eoꝵdem muenierar ista meaiera s.

Expanded text:
medium esse ex descriptione liquet.medium esse ex descriptione liquet.Sed ista per geometricam inquirenda est. Positis namque, ut prius, tribus numeris in eadem medietate maximo ipsorum minor differentia detrahatur. Sicque inter maximum positorum et residuum et medium eorundem inveni
Abbreviated transcription (Latin):
Hec etiam habetur ꝑ geometͥcam. Statuantur ⁊ enim tres num̃i
ingeomẽt̃ medietate. maiorumq differentia a medio detrahat᷑.
Fritq uiter residuum ⁊ minimum ꝓpositoꝵ ⁊ medium: ipsa me¬
diecas manifesta.
pom Asta a nulla ꝑcedit. Sed quib lib duob ter¬
naRe. minis datis inuenitur. qm̃ inter quoslib duos nu¬
meros ⁊ numexum ex eis compositum deprehenditur. Ut si¬
ex. a. ⁊.c̃. fiat . b. erit sicut.a. ad.c̃. ita differentia.c. ⁊ .b. que ẽ
.ã. ad differentiam.a.⁊ .b. que. est.c̃. Iõq hanc iter medieta¬
tes computan nolumus.
metica elicttur. In eadem enum medietate tbus t̾nimis ordinatĩ
mininio eordem maior differentia aditiatur. Ereq unter cõpositũ
emedium positoꝵ : minimum ħ preassignata medietas ꝑ xei p̃¬
sentis.
nba ueio ꝑ armonicam habi potest. Tres enim nunen in eadem
medietate odinentur. Aliusq inter extremos transmittatis dif¬
ferruris repiatur. Quem inter eos scđm ꝓpositam medietatẽ

Expanded text:
Hic etiam habetur per geometricam. Statuantur etenim tres numeri in geometrica medietate maiorumque differentia a medio detrahatur. Eritque inter residuum et minimum propositorum et medium ipsa medietas manifesta. edit. Sed quibuslibet duobus terminis datis invenitur quoniam inter quoslibet duos numeros et numerum ex eis compositum deprehenditur ut ex a et c fiat b. Erit sicut a ad c ita differentia c et b, que est a, ad differentiam a ad b, que est c. Ideoque hanc inter medietates computari volumus. metrica elicitur. In eadem enim medietate tribus terminis ordinatis minimo eorundem maior differentia adiciatur. Eritque inter compositum et medidium positorum et minimum hec preassignata medietas per xxam presentis.ta vero per armonicam haberi potest. Tres enim numeri in eadem medietate ordinentur. Aliusque inter extremos transmutatis differentiis reperiatur. Quem inter eos secundum propositam medietatem
Abbreviated transcription (Latin):
munis.t̃. diffecentia aũ ẽ. ad.ã. sit. ⁊̃. Cum sitgͥ
d. differentia. ẽ. ad.c̃. tunc .⁊̃. constabit ex .d.⁊.t̃.¬
⁊ quia .b. constat ex eisdem. er̃ b̃. equał.⁊̃.⁊.ẽ. cõ¬
stabit ex .ã.⁊ .b. Si autẽ conũso modo ponat᷑ con¬
Siduo numeri aduob numeris cir¬
cum se positis equaliter distent:
illis coniunctis erunt equales. Ꝙ
si eis equales fuerint: ab ipsis eque¬
quartus. d ⁊ qr.ã. tota pars est .b. quota pars.d.ẽ
.d. intelligantur.b. ⁊.d̃. diuisi insimile̾ partes. Sed
prima unius cũ prima alterius est tamqͣm.ã.⁊. c̃.
pfieri quotiens primus in scd̾o: consequens est ut
numerus equalis. ã.⁊. c̃. totiens possit sumi in .b.⁊
.d. quociens. ã. in .d. Sicq constat propositio.
Si fuerit primus scđi quota parster¬
mus scđi.c̃. quartus.d. sitq ã Martes .b. sumꝑte¬
scd̃m. ẽ. denominate in .ħ. scd̾m. f. quax una sit .gͥ.
s ⁊ una partium .c̃. sit .ħ. sicq compositus ex.g̃. ⁊ .h.¬

Expanded text:
ifferentia autem e ad a sit z. Cum sit ergo d differentia e ad c, tunc z constabit ex d et t. Et quia b constat ex eisdem, erit b equalis z, et e constabit ex a et b. Si autem converso modo ponatur conSi duo numeri a duobus numeris circum se positis equaliter distent, illis coniunctis erunt equales. Quod si eis equales fuerint, ab ipsis equequartus d. Et quia a tota pars est b quota pars c est d, intelligantur b et d divisi in similes partes. Sed prima unius cum prima alterius est tanquam a et c. Spotest fieri quotiens primus in secundo, consequens est ut numerus equalis a et c totiens possit sumi in b et d quotiens a in b. Sicque constat propositio. § v Si fuerit primus tote parteius c, quartus d. Sitque a partes b sumptendum e, denominate in b secundum f quarum una sit g, sed et una partium c sit h. Sicque compositus ex g et h pe
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sint duonumeri. ã.⁊ .b. quorum¬
.h. ꝯposita ex ꝓpͦne. que est.ã. ad. ẽ. ⁊.c̃. ad.ẽ. Quia ttẽ exã.
in .b. fit. ẽ. ⁊ ex .b. in.d. fit.g̃. er̃ ꝓpͦ. ẽ. ad .g̃. ꝯposita ex ꝑpͦne
iquadratus in quadratum uel cub
incubum ducatur: latus ꝑducti
erit qui ex late unius in latus alti¬

Expanded text:
 Sint duo numeri a et b quorumposita ex proportione que est a ad e et c ad e. Quia item ex a in b fit e et ex b in d fit g, erit proportio e adg composita ex proportione quadratus in quadratum vel cubus in cubum ducatur, latus producti erit qui ex latere unius in latus alt
Abbreviated transcription (Latin):
ductu unsꝰ eorum inalt̾m fit mediꝰ ꝓpͦnalit̃ int̃ qͣdratoᷤᷤ
eundem ẽẽ parte alt̾a longiorẽ patens est ex descͥptione.
Q aũparte alt̾a longioris ad q̃mlibr quadratoꝵ diffe¬
rentia sit ipsius quadrati latus. per.xiii. ⁊ .xiiii. primiar¬
guit
i dispositis ab unttate numeris qua
te altera longiores. & cuiuslibet illo¬
rum ad illos differentiam lateri suo¬
tus. binarius parte altera longior.⁊ inter duos quosq par
sit parte alt̾a longior ⁊ niter duos qͦsq parte alt̾a longio¬
res quadrat̃ ẽẽ constat. cuius ad utrumq illoꝵ equalis
est distantia. ꝑ alt̾am partẽ p̃misse. binis gͦ ⁊ binis ꝑxi¬
mis ꝯunctis ꝯ positoꝵ dimidia eĩt omnes quadrati ab
unitate ꝑ sccdam pͥmi.

Expanded text:
eorum in alterum fit medius proportionaliter inter quadratos, eundem esse parte altera longiorem patens est ex descriptione. Quod autem parte altera longioris ad quemlibet quadratorum differentia sit ipsius quadrati latus, per xiiiam et xiiiiam primi arguiti dispositis ab unitate numeris quadte altera longiores et cuiuslibet illorum ad illos differentiam lateri suotus, binarius parte altera longior, inter duos quosque partsit parte altera longior, et inter duos quosque parte altera longiores quadratum esse constat cuius ad utrumque illorum equalis est distantia per alteram partem premisse. Binis ergo et binis proximis coniunctis compositorum dimidia erunt omnes quadrati ab unitate per secundam primi.
Abbreviated transcription (Latin):
Sumatur quelib suꝑparciens. cuius partes dẽnomi¬
nenturab.a.⁊ numerentur: a .b. Si gͦ binarius ducatur
in omnes illas. ꝑuenient silies partes numerate ãnũo
qui fit exbinario in .b. sitq idem numerus.c̃. Palam
aũ quod.ã. nõ numerat.c̃. neq enim ei equalis est. qr
.b. non numerat.ã. neq pars cum ipse sit maior .b.⁊
sic patet prua pars. Quod autem alia quelibet:
leuiter ꝯstabit. si a numero multiplicis partes deno¬
minentur ⁊ deeis sumantur scđm numerum minorĩ
eo.⁊ ipsum non numerantẽ.⁊ ab eis suꝑparciens deno¬
minata cum eadem multiplice ꝯponet multiplicem.
Sicq tota asseritur ꝓposito.

Expanded text:
Sumatur quelibet superpartiens cuius partes denominentur ab a et numerentur a b. Si ergo binarius ducatur in omnes illas, provenient similes partes numerate a numero qui fit ex binario in b sitque idem numerus c. Palam autem quod a non numerat c neque enim ei equalis est quia b non numerat a neque pars cum ipse sit maior b. Et sic patet prima pars. Quod autem alia quelibet leviter constabit, si a numero multiplicis partes denominentur et de eis sumantur secundum numerum minorem eo et ipsum non numerantem, et ab eis superpartiens denominata cum eadem multiplice componet multiplicem. Sicque tota asseritur propositio.
Abbreviated transcription (Latin):
equantur ei quod ex.c̃. in .ẽ. erit quod addit quadratũ
.R. supra quadratum .h. minus eo quod ex. c̃. in .ẽ. quantũ
quod fit ex.c̃. in.ã. Patet item quod quadratum .h. addit su¬
ꝑ quadratum .g̃. quantum quod fit ex. c̃. in se ⁊ in .f. quod
minus est eo quod fit ex. c̃. in.ẽ. quantum est quod fit ex
.c̃. in.ã. Constat gͥ quod quanto habundat quadratum
.k. suꝑ quadratum.ħ. tanto suꝑat quadratum.h. quadra¬
tum. g̃. erunt gͦ illoꝵ quadrata in arsmethica medietate. ꝑ
corollarium gͦ quarte sexti argue. hoc idem habetur ꝑ .xii.u.
sint.õ. ⁊ inter .b. ⁊.c̃. ẽ. Quia gͥ quadratum .d. est quantum
quod fit ex .b. in.ã. addet idem suꝑ quadratum .b̃. quantũ
ꝙ fit ex.b. in differentiam suam ad.a. ⁊ quia quadratum
.ẽ. ẽ quantũ ꝙ fit ex.b. in c̃. addit suꝑ qͣdiratũ.e. qͣdratũ .b. ꝙ
fit ex.b. in differentiam suam ad.ẽ. ⁊ qi equales sunt differẽ¬

Expanded text:
equantur ei quod ex c in e, erit quod addit quadratum equantur ei quod ex c in e, erit quod addit quadratum k supra quadratum h minus eo quodexcine quantum quod fit ex c in a. Patet item quod quadratum h addit supra quadratum g quantum quod fit ex c in se et in f quod minus est eo quod fit ex c in e quantum est quod fit ex c in a. Constat igitur quod quanto habundat quadratum k super quadratum h tanto superat quadratum h super quadratumg. Erunt ergo illorum quadrata in arismetica medietate. Per corollarium ergo quarte sexti argue. Hoc idem habetur per xiiam sit d et inter b et c e. Quia igitur quadratum d est quantum quod fit exb in a, addet idem super quadratum b quantum quod fit ex b in differentiam suam ad a. Et quia quadratum e est quantum quod fit ex b in c, addit super quadratum e quadratum b quod fit ex b in differentiam suam ad c. Et quia equales sunt differe
Abbreviated transcription (Latin):
uratum.d.⁊ quia ꝑt̾ciam presentis quadratum. c̃. potest suꝑ
id quod fit ex .ã. in .b. quantum est quadratum differentie. a.
ad .c̃. sequitur ita ẽẽ ut ꝓponitur.
Sunter duos numeros medii duo pro¬
tanto amplius potest: quantum est
qͣdratũ
differentie iꝑsius ad alterutrum extre¬
ex eis sit. c̃. cuius duplus sit. d. Sitq. ẽ. in quo sit . d. quocien
.b.in.a.⁊ quia compositus ex.ã.⁊. c̃ ⁊ ꝑprimam .uii. par.
eius medietas .g̃. Compositusq ex .g̃. ⁊. c̃. sit .h. Itemq . h. ⁊.ã
componant .R. Patet autem ꝑ .xu. pͥmi quod quadratũ
.k. excedit quadratum .h. quantum est quadratum. ã. ⁊
quod fit ex .h. bis in.ã. ⁊ hoc est quadratũ.ã. ⁊ ꝙ fit ex. ã. in
.d.⁊. f. S quod fit ex.ã. inse ⁊ in .f. minuit ex eo quod fit ex
.a.in.ẽ. quantum quod fit ex.ã. in.c̃. ⁊ quod fit ex.ã. in .d.
est quantum quod fit ex .b. in.ẽ. ⁊ quia quod ex.a.⁊ .b. in.e.

Expanded text:
dratum d et quia per tertiam presentis quadratum c potest super id quod fit ex a in b quantum est quadratum differentie a ad c, sequitur ita esse ut proponitur.nter duos numeros medii duo protanto amplius potest quantum est quadratum differentie ipsius ad alterutrum extreex eis sit c cuius duplus sit d. Sitque e in quo sitd quotiens b in a. Et quia compositus ex a et c est per primam septimi par, t f. Et eius medietas g. Compositusque ex g et c sit h. Itemque h et a componant k. Patet autem per xvam primi quod quadratum k excedit quadratum h quantum est quadratum a et quod fit ex h bis in a. Et hoc est quadratum a et quod fit ex a in d et f. Sed quod fit ex a in se et in f minuit ex eo quod fit ex a in e quantum quod fit ex a in c. Et quod fit ex a in d est quantum quod ex b in e. Et quia quod ex a et b ine
Abbreviated transcription (Latin):
¶Constet primo de duobus qui suit. a⁊.u.
⁊ minimus quem numerant sit ẽ. ⁊.f. sit
p̃rimus numerans. ẽ. Itemq ã. numeret.ẽ. seđm . g. qui
er̃ unus minimoꝵ sue ꝓpꝰnis numerans .b. ꝑ quartam
g huius ⁊. numerabit᷑.a. uel.g. ⁊ si.g numerent .⁊ .b.⁊
habebimꝰ quod intendimus. Sint it̃ numeri dati.a.b. e.
numerant.a.b. c̃. alio quĩn in conueniens argueretur
per corolłum .xxiiii. Sitgͥ f primus qui numeret .d.
Numerabit itaq id̃ aut.ẽ. aut .ħ. ut ostensum est sed
q̃mcũq eoꝵ numerat. numerabit ⁊ unũ inferioꝵ eadẽ
ratione. ⁊ hoc est quod uolumus.

Expanded text:
Constet primo de duobus qui sint a et t minimus quem numerant sit e et f sit primus numerans e. Itemque a numeret e secundum g qui erit unus minimorum sue proportionis numerans b. Per quartam igitur huius f numerabit a vel g. Et si g numeret, et b et habebimus quod intendimus. Sint item numeri datia b c etnumeranta b c. Alioquin inconveniens. Argueretur per corollarium xxiiii6 . Sit igitur f primus qui numeret d. Numerabit itaque idem aut e aut h ut ostensum est. Sed quemcumque eorum numerat, numerabit et unum inferiorum eadem ratione. Et hoc est quod volumus.
Abbreviated transcription (Latin):
dati paris sumantur ꝯ⁊tinue pariter pares circa singu¬
los quorum possint sũmi parter impares ita ut nume¬
rus omnium sit quidatus est par.⁊ quia bini ⁊ bini:
iuncti sunt tamquam medii duplicati. exipsis ita
iunctis pariter pares ꝯtinue ꝯstitui ꝯtinget. ꝑ ante pre¬
Scđ̾m datum parem pariter impare
sumere. qui impartter ꝑarem c̃o¬
iuncti constituant. ner impares nus
niamus. qui faciant pariter parem. Scdm aliquemgͦ
pariter parem omnes multiplicent᷑. tantumq ꝑuenti
quantũ si ꝯpositus eoꝵ ꝑ eundem multiplicetur. ꝑuenit
gͦ parit̾ par. S etiam qr singuli ꝑductoꝵ sunt impa¬
riter pares. patet factum ẽẽ quod ꝑponitur. si dñ nu¬
merus eoꝵ par fuerit. Quod si impar. ꝑ parem uno
minorẽ sumant᷑. ⁊ coac̃uati partter par̾is ad t̾̃cium
ascendendo pariter parem qm̃ differentia est imꝑarit̃
p̃ar: ꝯstat factum eẽ quod ꝓponitur. s de ss¬

Expanded text:
dati paris sumantur continue pariter pares. Circa singulos quorum possint sumi pariter impares ita ut numerus omnium sit qui datus est par. Et quia bini et bini coniuncti sunt tanquam medii duplicati, ex ipsis ita iunctis pariter pares continue constitui continget per antepreSecundum datum parem pariter impares sumere qui impariter parem coniuncti constituant. Secundum niamus qui faciant pariter parem. Secundum aliquem ergo pariter parem omnes multiplicentur tantumque provenit quantum si compositus eorum per eundem multiplicetur. Provenit ergo pariter par. Sed etiam quia singuli productorum sunt impariter pares, patet factum esse quod proponitur, si tamen numerus eorum par fuerit. Quod si impar, per parem uno minorem sumantur et coacervati pariter paris ad tertium ascendendo pariter parem, quoniam differentia est impariter par, constat factum esse quod proponitur. § xl
Abbreviated transcription (Latin):
qui coniuncti faciant pariter parem. demñ ꝯtinue sũan¬
tur pariter pares scđm numerum qui ꝑpositus est ita dñ
ut primus eoꝵ sit ille q̃m impariter pͥares inuenti po¬
nunt. Quia gͥ ille bis acceptus est duplicatisq sequen¬
tem ꝯstituit. sequens etiam bis sumptus er̃.⁊ quia ipse
sequentem duplicatus ꝯstituit. ⁊ ille bis habebitur.⁊ ita
omnes duplum ultimi ꝯsũabunt. qui est pariter par.
numerum pariter parem ꝯfitiant.
Sic̃ in p̾̃missa factum est pͥus inueniamus illos impa¬
riter pares qui componant pariter parem. Deinde nõ
ille sed alii sumantur pariter pares quot exigit nũs
datus. Atq constat omnes illos cum aliis impariter
parem constituere. ⁊ hoc est quod dicitur.

Expanded text:
qui coniuncti faciant pariter parem, deinde continue sumantur pariter pares secundum numerum qui propositus est ita tamen ut primus eorum sit ille quem impariter pares inventi componunt. Quia igitur ille bis acceptus est duplicatusque sequentem constituit, sequens etiam bis sumptus erit. Et quia ipse sequentem duplicatus constituit et ille bis habebitur et ita omnes duplum ultimi conservabunt qui est pariter par.numerum impariter parem constituant. Sicut in premissa factum est, prius inveniamus illos impariter pares qui componant pariter parem. Deinde non ille sed alii sumantur pariter pares quot exigit numerus datus. Atque constat omnes illos cum aliis impariter parem constituere. Et hoc est quod dicitur. §
Abbreviated transcription (Latin):
Scdm numerum eoꝵ si parfuerit sumantur parit̃
impares qui faciant parit̾ parem. Dein ꝑ quemilibr pa¬
rem alium multiplicentur.⁊ ꝑuenit impariter pares:
qui qm̃ tm̃ sunt quantum si idem par in ꝯpositum ex
aliis ductus ẽẽt. erunt dfectus exip̃is impariter par. Ꝙ
si impar est numerus datus scdm ipsum statuantur qͥ¬
cumq pariter impares. ⁊ ꝯpositus exeis cum sit parteri¬
par: si omnes multiplicent᷑ ꝑ parem ꝑuenient imparit̃
pares. Qui si miltter rõe ꝑficient imparit̃ parem. ⁊ boc
est ꝙ irtendimus
N d̾ato numero impartter pares exq¬
bus coniunctis impariter par effi¬
ciatur. inuestigare: medietates pares sunt.¬
⁊ cum ipse dimidium ꝯpositi ex ipsis ꝯstituant. medietaᷤᷤ
ꝯpositi ex ipsis par erit. Quare totus uel partter par uł
impariter par.
uodibet impartter pares. & pariter.

Expanded text:
Secundum numerum eorum si par fuerit sumantur pariter impares qui faciant pariter parem. Deinde per quemlibet parem alium multiplicentur et provenient impariter pares, qui quoniam tantum sunt quantum si idem par in compositum ex aliis ductus esset, erit confectus ex ipsis impariter par. Quod si impar est numerus datus, secundum ipsum statuantur quicumque pariter impares et compositus ex eis cum sit pariter impar, si omnes multiplicentur per parem, provenient impariter pares qui simili ratione perficient impariter parem. Et hoc est quod intendimusn dato numero impariter pares ex quibus coniunctis impariter par efficiatur investigare. Set cum ipse dimidium compositi ex ipsis constituant, medietas compositi ex ipsis par erit. Quare totus vel pariter par vel impariter par. § li Pariter pares et impariter
Abbreviated transcription (Latin):
alterum ducatur ꝑueniet numerus aquo denoĩabit᷑ ꝯ posi¬
ta ꝑ .uiii. huius.gͦ ob hoc multiplexerit.

Expanded text:
alterum ducatur, proveniet numerus a quo denominabitur composita per viiiam huius, ergo ob hoc multiplex erit. §
Abbreviated transcription (Latin):
trice medietatis. a .u.c̃.⁊ differentie eoꝵ . d. ẽ. Numerusq singu¬
lis addendus sit. F. Quia gͦ quo habundat. fa. suꝑ. fb. est
.o.⁊ quo habundat. fb. suꝑ . fc. est. ẽ.⁊ ꝑnonam sedi. f. ad. d̃.
est minor ꝑpͦ quam eiusdem ad. ẽ. ⁊.ã. ad .d̃. sic̃ . b. ad. ẽ.
ior est ꝓpꝰ quam. fb. ad .tc. ⁊ hoc fuit demonstrandum.
Si dispositis a liquot numeris in..
hac medietate numeri equales
singulis adlantur: inter maioreᷤᷤ
compositorum maior erit propor¬
tio.¬
s inminori ꝑpͦne. dico gͦ qd̃. ad. ad. bẽ. est maior
ꝓpͦ quam. be ad.ef. Stͭ enim quod ex ã in.f ꝓduct̃ g.
quod ex.b. in.ẽ.h. ⁊ quod ex .d. in.c̃. l. eruntq ꝑmam quinti
ꝓportio.g̃. ad .ħ. differentia ꝓpͦnis que est. ã. asb. supra ꝓpor
sunt quam duplum .ħ. ⁊ qr quod ex. ã. in.c̃iquod ex .d. in
ł sunt quantum quod ex .b. in se.⁊.ẽ. inse erunt eadem.ẽ.
¶ ⁊.i. maius quam quadrata .b̃. ⁊. ẽ. cum duplo.l. Mauis

Expanded text:
trice medietates a b c et differentie eorum d e. Numerusque singulis addendus sit f. Quia ergo quo habundat f a super f b est d et quo habundat f b super f c est e et per nonam secundi f ad d est minor proportio quam eiusdem ad e et a ad d sicut b ad e, eriior est proportio quam f b ad f c. Et hoc fuit demonstrandum. Si dispositis aliquot numeris in hac medietate numeri equales singulis addantur, inter maiores compositorum maior erit proportio.sed in minori proportione. Dico ergo quod a d ad b e est maior proportio quam b e ad c f. Sit enim quod ex a in f producitur g et quod ex b in e h et quod ex d in f. Eritque per primam quinti proportio g ad h differentia proportionis que est sunt quam duplumh. Et quia quod ex a in c et quod ex d in f sunt quantum quod ex b in se et e in se, erunt eadem cum g et f maius quam quadrata b et e cum duplo h. Maius
Abbreviated transcription (Latin):
.ẽ. est maximus qui numerat.ã .b. c̃. Posito eni ꝙ sit.f.
rolł argues.f. numerare. ẽ. maiorem scił minorem ꝙ
uicem compositis: maximum eos
communtter numerantẽ reꝑire.
Sint .ã.⁊ .b. minimi insua ꝑpͦne. Dico itaq qͣuod sũt
ccͣ. se primi. Si enim fuerint cõmensurabiles. sit eoꝵ
ẽ. quare.ã.⁊ .b. ñ sunt in sua ꝑpͦne minimi.

Expanded text:
e est maximus qui numerata b c. Posito enim quod sit f , e est maximus qui numerata b c. Posito enim quod sit f , oque corollarium argues f numerare e maiorem scilicet minorem quod vicem compositis maximum eos communiter numerantem reperire.Sint a et b minimi in sua proportione. Dico itaque quod sunt contra se primi. Si enim fuerint commensurabiles, sit eorum e. Quare atib non sunt in sua proportione minimi.
Abbreviated transcription (Latin):
ens possibile est de maiore. patetq quia relinq̃tur eo
minor. Idemq detͣcto quociens potest detrahatur. facta¬
ꝙ huiusmͦi ꝯtinua detractione necẽe est aliquem relin¬
qui qui añ relictũ numeret. Alioqͥn ꝯtinget semꝑ mi¬
norem eo ẽẽ residuum.. qr infinita non poss fieri dimi¬
nittio relinqueretur unttas. ẽẽntq tẽ numeri dati cͣc
se pͥmi. Quicumꝙ gͥ relinquit᷑ añ relictum nũans:
dico illum eum ẽẽ maximum cõmuniter eos numerã¬
tem. Si enim maior eo ponatur ꝑ .xiioi. primi maiorem
numerare minorem ostenderes.
Datis duob numeris cõmunican¬
tib:maximum eos numerantẽ
inuenire. Unde manifestum est
quod omnis numerus duos nu¬
meros quoscumq numerans.
maximũ eos numerantẽ numera
sunt cõmensurabiles ꝑpremisse corrollariũ. sumatur
maxmus ꝑ eandem eos numerans. qui sit. ẽ. Dicogͦ ꝙ

Expanded text:
ens possibile est de maiore. Patetque quia relinquetur eo ens possibile est de maiore. Patetque quia relinquetur eo minor. Idemque detracto quotiens potest detrahatur factaque huiusmodi continua detractione necesse est aliquem relinqui qui ante relictum numeret. Alioquin contingeret semper minorem eo esse residuum, et quia infinita non posset fieri diminutio, relinqueretur unitas essentque tunc numeri dati contra se primi. Quicumque igitur relinquitur ante relictum numerans dico illum eum esse maximum communiter eos numerantem. Si enim maior eo ponatur, per xiiam primi maiorem numerare minorem ostenderes.Datis duobus numeris communicantibus maximum eos numerantem invenire. Unde manifestum est quod omnis numerus duos numeros quoscumque numerans maximum eos numerantem numerasunt commensurabiles per premisse corollarium, sumatur maximus per eandem eos numerans qui sit e. Dico ergo quod
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sit maior. a detractus . u residuus. c̃. qui si fueret unttã.
constat ꝓpositio. Si autem numerus .idem detrahatur
quociens potest. de.u. ⁊ relinquatur.d. qui uł erit uni¬
tas uel numeriis primus ad.c̃. Itemq d. de .c̃. detraha¬
tur quociens potest er̃q residuum minius. d̃. sitq ẽ. qd ł
e᷑ unitas ł numerus primus ad .d̃. ꝑpremissam. qui
si decrahatur a .d̃. remanebit minus eo. ⁊ qr ħ diminu¬
tio non potest fieri minfintt̃. ꝙ quidem eẽt si semꝑ re¬
maneret numerus ad detractum pͥmus. restat ut uni¬
tas relinquatur. Patet gͥ pars pͥma. Reliquum indi¬
tecte. Si enim ponerentur cõmensurabiles. nũm eos
numerantem unitatem numerare ꝯuinc̃es xiio pͥmi
Cum fuerint duo numeri cͣc se primi.
& minore de maiore quo ad potest
detracto residuũ aprius detracto
detrahatur: continua facta decͣcti¬
one: unitatem relinqui est necẽẽ.
Quod si unitas residua fuerit. po¬
sitos numeros inconmensurabiles
¶Minor si maiorem nume

Expanded text:
Sit maior a, detractus b, residuus c. Qui si fuerit unitas, constat propositio. Si autem numerus idem detrahatur quotiens potest de b et relinquatur d qui vel erit unitas vel numerus primus ad c. Itemque d de c detrahatur quotiens potest eritque residuum minus d sitque e quod vel erit unitas vel numerus primus ad d per premissam. Qui si detrahatur a d remanebit minus eo. Et quia hec diminutio non potest fieri in infinitum quod quidem esset si semper remaneret numerus ad detractum primus, restat ut unitas relinquatur. Patet igitur pars prima. Reliquum indirecte. Si enim ponerentur commensurabiles, numerum eos numerantem unitatem numerare convinceres per xiCum fuerint duo numeri contra se primi et minore de maiore quoad potest detracto residuum a prius detracto detrahatur, continua facta detractione unitatem relinqui est necesse. Quod si unitas residua fuerit, positos numeros incommensurabiles Minor si maiorem numer
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯstat itaq qr tota pars uel parces. c. erit.a. quote .b. erit
de.d. Si aũ tota pars: constat ꝓpostio. Si partes ponat᷑
.ẽ. una partiũ. ã.⁊.f. una partiuim .b. Patet gͦ quod
.ẽ. ad.f. sic̃. c̃. ad.d̃.⁊ iõ sic̃.ã. ad .b. non sunt itaq .ã.⁊
.XIX

Expanded text:
Constat itaque quia tota pars vel partes c erit a quote b erit de d. Si autem tota pars, constat propositio. Si partes, ponatur e una partium a et f una partium b. Patet ergo quod e ad f sicut c add et ideo sicut a ad b. Non sunt itaque a et xix