comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
initium. suꝑficies quoque numerorum cumipsa solidum
corpus non sit. additi. tamen. latitudini solidi corporis ca¬
putest. Hoc autem planius his exemplis liquebit linearis
numerus est aduobus inchoans adiecta semꝑ unitate in unũ
eundemque ductum quantitatis explicata congeries ut
Planauero suꝑficies innumeris inuenitur quoties a tribus
inchoatione facta addita descriptionis latitudine in sequen¬
tiums ẽ naturalium numerorum multitudine anguli dila¬
tantur. ut sit primus triangulus numerus secundus qua¬
dratus tertius qui sub .v. angulis contin&ur. quem pen¬
thagonum greci nominant. quartus exagonus. id est
quisex angulis includitur & ca&eri eodem modo singilla¬
tim ꝑnaturalem numerum angulos augeant inplana
scilic& descriptione figurarum. hi uero id circo a ter¬
nario numero inchoant quod latitudinis & suꝑficiei so¬
lus ternarius principium est ingeo maerica quoque idem

Expanded text:
initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit, addita tamen altitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans, adjecta semper unitate in unum eumdemque ductum quantitatis explicata congeries, ut lus. Plana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine, in sequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant; quartus hexagonus, id est qui sex angulis includitur; quitim per naturalem numerum angulos augeant, in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometrica quoque idem
Abbreviated transcription (Latin):
& profundĩ expers sit omnium inter uallorum eẽ prin¬
cipium & natura in secabile. quod greci a tonõmon uo¬
cant. Id est ita diminutum atq paruissimum uteius
pars inueniri non possit. Est igitur punctum primi in¬
terualli principium: Nontamen inter uallum & lineae caput.
sed nondum linea sicut linea quoq suꝑficiei principiũ
est. sed ipsa suꝑficies non est & secundi interualli caput ẽ
secundum tamen inter uallum ipsa non r&in&. Idem
quoque & insuꝑ ficiei ratione cadit quae &ipsa solidi
corporis & triplicis interualli naturales ortitur ini¬
tium. Ipsa uero Nectrina interualli dimensione
distenditur neculla crassitudine solidatur
ic &iam in numero unitas quidem cumipsa linearis numerus
non sit in longitudinem tamen distenti numeri principiũ est.
& linearis numerus cumipse totius latitudinis expers sit:
in aliud tamen spatium latitudinis extentinumeri sostitur

Expanded text:
et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse prinet profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque parvissimum, ut ejus pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea. Sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli dimensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatur.eari. Sic etiam in numero unitas quidem cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur
Abbreviated transcription (Latin):
illud superficies appellatur. Omnis enim suꝑficies sola
longitudine & latitudine contin&ur. & hic eadem illa
conuersio reman&. Omne enim quod suꝑficies est. longitu¬
dinem & latitudinem r&in&. & quod haec r&in& illud est
suꝑficies. haec autem suꝑficies . uno tantum interuallo
solidi corporis demensione superatur. quae unorursus
interuallo lineam uincit. quae longitudinis naturam r&i¬
nens latitudinis expers est. quaelinea quodunius est inter¬
ualli sortita naturã a suꝑficie uno interuallo asoliditate
duobus spatii interuallis uincitur. Punctum igitur alio
rursus interuallo alinea uincitur ipsa scilic& quae reliqua
est longitudine. Quare sipunctum. uno quidem interuallo
alinea suꝑ greditur. idem a suꝑficie uincitur duobus. Tribus
uero interualli demensionibus a soliditate relinquitur.
Constat punctum ipsum sineulla corporis magnitudine. uł
interualli dimensione. cum & longitudinis & latitudinis

Expanded text:
illud superficies appellatur. Omnis enim superficies sola illud superficies appellatur. Omnis enim superficies sola longitudine et latitudine continetur, et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis dimensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens, latitudinis expers est. Quae linea eo quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli dimensione, cum et longitudinis et latitudinis
Abbreviated transcription (Latin):
quid duobus interuallis expositumest. utsiqua res longitudi¬
nem habeat & latitudinem uel trina interualli demensione
porrigitur. si longitudine altitudine : latitudineq cens&ur
supra quae ad eo nihil inueniri potest ut ipsorum .vi. motuum
formae ad interuallorum naturas & numerum conponan¬
tur. Vnumenim interuallum duos inse contin& motus
utintribus interuallis sex sesẽ motuum sumia conficiat
hocmodo. Estenim in longitudine ante &raero. in latitudi¬
ne sinistra &dextera in altitudine sursum acdeorsum
Necesseestautem ut quicquid fuerit solidum corpus. hoc
habeat longitudinem latitudinem & altitudinem. & quic¬
quid haec tria in secontin& illud suo nomine solidum
uoc&ur. Haec enimtria circa omne corpus insepara¬
bili coniunctione uersantur & in natura corporum cons¬
tituta sunt quare quicquid uno inter uallo car&. illud cor¬
pus solidum non est. Nam quod duo sola interualla r& in &

Expanded text:
quod duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudiquod duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudinem habeat et latitudinem, vel trina intervalli dimensione porrigitur, si longitudine, altitudine, latitudineque censetur, supraque adeo nihil inveniri potest, ut ipsorum sex motuum formae ad intervallorum naturas et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo. Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextra, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem ut quidquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudinem, latitudinemque et altitudinem, et quidquid haec tria in se continet, illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabili conjunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quidquid uno intervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalla retinet,
Abbreviated transcription (Latin):
Nihil pcreat. Semel enimunum nihil aliud exsegignit quã
ipsa est. Nam quod inter uallo car&. &iam uim gignendi in¬
terualla uon recipit quodin aliis numeris non uid& ur
euenire. Omnis enim numerus inseipsum multiplicatus
alium quendam efficit maiorem quam ipse est. Id circo qm̃
interualla multiplicata maiore sese spatu prolixitate
distendunt. Iduero quod sine interuallo est plus quam ipsa est
pariendi non hab& potestatem. Ex hocigitur principio idest
exunitate prima omnium longitudo s ub crescit: quae ab ina¬
ruinumeri principio incunctos sese numeros explicat. qnm
primum in teruallum linea est. duo uero interualla sunt lon¬
gitudo & latitudo. id est linea & suꝑficies. triaergo interualla
sunt longitudo latitudo altitudo. idest linea suꝑficies atq soli¬
ditas. Praeer haec autem alia interualla inueniri nonpossunt.
Autenimunum interuallumerit quod longitudo est. autali

Expanded text:
nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quemdam efficit majorem quam ipse est, idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero quod sine intervallo est, plus quam ipsa est, pariendi non habet potestatem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate prima omnium longitudo succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est, duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria ergo intervalla sunt, longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit quod longitudo est, aut aliquid
Abbreviated transcription (Latin):
n& tot unitatibus designare quam notulis. Estigitur uni¬
tas uicem obtinens puncti interualli longitudinisq. principiũ
Ipsa uero nec interualli neclongitudinis capax. quem ad mo¬
dum punctum principium quidem lineae est atq inter¬
ualli. Ipsum uero nec interuallum nec linea. Neque enim
punctum puncto suꝑpositum efficit. Interuallum. uelut
sinihil nulli iungas. Nihilenim est quod exnullorum ꝓcrea.¬
tionenas catur eadem quippe &iam circa aequalitates. pro¬
postioman&. Nam si quod lib& fuerint termini pares tan¬
tum quidem a primo ad secundum. quantum as ecundo ad
tertium sed interprimum & secundum. uel secundum & ter¬
tium nulla est interualli longitudo uel spatium. sienim tres
senarios ponas hocmodo ui .ui .ui. quem admodum primus
est ad secundum sic secundus ad tertium. Sed inter primum
& secundum nihil inter est. Ui enim & ui. nulla spatu in¬
terualla disiungunt. It a&iam unitas inseipsa multiplicata

Expanded text:
net, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur uninet, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli, longitudinisque principium, ipsa vero nec intervalli, nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum quidem est a primo ad secundum, quantum a secundo ad tertium. Sed inter primum et secundum, vel secundum et tertium, nulla est intervalli longitudo vel spatium. Si enim tres senarios ponas hoc modo 6, 6, 6, quemadmodum primus est ad secundum, sic est secundus ad tertium. Sed inter primum et secundum nihil interest, 6 enim et 6 nulla spatii intervalla disjungunt. Ita etiam unitas in seipsa multiplicata
Abbreviated transcription (Latin):
si quidem fecimus quodomnes disciplinas haec inter empta
consumer&. quas minime constituta firmar&. Hoc autem
cognoscendum est quod haec signa numerorum posita sunt¬
quaenunc quoque homines insummarum designatione des¬
cribunt: Nonnaturali institutione formata sunt ut enim
quinarii subiectam notulam signant iDE uel denarii quã
des cripsimus . Id est x. & alias huius modi nonnatura posuit
sed usus ad finxit. quinq enimu nota uel x uel quod lib&
alios illis notulis proconpendio notare uoluerunt. Nequot
unitates quis monstrare uell& totiens ei uirgulae duce¬
rentur. Nosautem quotiens quã ẽ aliquid monstrare
uolumus in his presertim formulis ordinatarum uirgularũ
multitudinem Non grauamur ad ponere. Cum enim quinque
uolumus de monstrareꝰ facimus V. uirgulas. ducimus eas
hocmodo iiiii. & cum .uii. totidem. & cum .x. Nihilominus
quia naturaliusuest. quem lib& numerum quantas inse r&i¬

Expanded text:
siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta infirmaret. Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam descripsimus de X, et alias hujusmodi, non natura posuit, sed usus affinxit. Quinque enim vel decem, vel quotlibet alios illis notulis pro compendio notare voluerunt, ne quotunitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas hoc modo, 1 1 1 1 1, et cum 7 totidem, et cum 10 nihilominus, quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se reti
Abbreviated transcription (Latin):
ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia
quaedam de ea quantitate qua eperse ipsa constat Neque
adaliquid reffertur expediam. qua e nob adea prodesse
possint quae post haecrursus de relata ad aliquid quan¬
titate tractabimus. amat enim quod ã modo matheseos
speculatio alterna probationum ratione constitui.
N unc autem nob̵ dehis numeris sermo futurus est: quicir¬
ca figuras geom&ricas & earum spatia. demensionesq
uersantur. Id est delinearibus numeris & detriangula¬
ribus uel quadratis ca&erisque quossola pandit plana
dimensio. Nec non dein aequali laterum compositione con¬
iunctis. Desolidis &iam. Id est crbis &sphericis uel prra¬
midis. Laterculis &iam ueltignulis & cuneis qua e omnia
quidem geo maricae propriae considerationis sunt.
sed sicut ipra geomariae scientia abarith metica ue¬
lut quadamradice acmatre producta est. Ita &iam eius
figurarum semina in primis numeris inuenimus. Planum

Expanded text:
ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia,  de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesque versantur, id est de linearibus numeris, et de triangularibus vel quadratis, caeterisque quos sola pandit plana dimensio, nec non de inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam, id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt. Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figurarum semina in primis numeris invenimus. Planum
Abbreviated transcription (Latin):
Et si positis eisdem sex . & xuiii. nouenarius. inmedi&ate ponatur
eritadsenarium ses qualter qui ad xuiii. duplus est & ad senariũ
xuiiii. triplus est.
xdupliciigitur & ses qualtero triplexratio ꝓportionis exori¬
tur & in eas rursus resolutione facta reuocatur. si autem
hic idest triplus numerus qui est species secunda multiplicis.
secundae speciei suꝑ particularis apt&ur quactrupli continuo
forma contexitur. Et in easdemrursus partes naturali parti¬
tione solu&ur. secundum modum quem superius demonstraui¬
mus. si uero quadruplus sese acses qui quartus ad glomerent
Quiquuplus continuo fi&. &si quinquuplus cumses qui quinto.
mox ses quupli. proportio coniugabitur. Atq. ita secundũ hanc
pro gressionem cunctae multiplicitatis species sineulla ordinis
ꝑmutatione nascentur. Ita utduplus cumses qualtero triplicem
nullus hanc continuationem finis inpediat.I¬
COMMIUNIS RAIIO OAINIUA MAGNITUDINUM
Iaec quidem dequantitate quam secundum aliquid speculamur

Expanded text:
Et positis eisdem, 6 et 18, novenarius in medietate ponatur, erit ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et ad senarium 18 triplus est. Ex duplici igitur et sesquialtero, triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur, et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomerent, quincuplus continuo fiet: Et si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitur. Atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur. Ita vero ut duplus cum sesquialtero triplicem nullus hanc continuationem finis impediat.communis ratio omnium magnitudinum. Haec quidem de quantitate quam secundum ad aliquid speculamur,
Abbreviated transcription (Latin):
corpus efficerent secundum quemnumerum & priores v ha¬
bitudines. conparationesq discriptaesunt. ubiv. maioribus pro¬
portionibus quos uocauimus ducesminores aptauimus alios
terminos quos comites diximus. Inde&iam in aris tothelica
atque archrtȩ primus x praedi camentorum discrip¬
tione phrthagoricum denarium manifestum est inueniri.
quando quidem & plato studiosissimus phythagori secun¬
dum eandem disputationem diuidit. & archrtas phythago¬
ricus ante aristotilem lic& quibusdam sit ambiguum x.
haec praedi camenta constituit. in de&iam decem membro¬
rum particulae. indealia ꝑmulta qua eomnia ꝑsequi non est

Expanded text:
corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque hacorpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem licet quibusdam sit ambiguum decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam 10 membrorum particulae, inde alia permulta quae omnia persequi non est
Abbreviated transcription (Latin):
aequalitatem quidem proportionis sunt. i.ii.iiii.UIII.
sicenim sunt quemadmodum ii adi. sic unii ad iiii. & con¬
cundum quantitatem uero numeri ut sunt i. ii .iii.ini.
quantum enim unus aduobus uincitur. tantum terna¬
rius aqua ternario superatur. & quanto .ii. unum uincunt
tanto ternarium quaternarius transit. permixtim &iam
quanto unus tribus minor est. tanto binarius quaterna¬
rio uel quanto ternarius unitatem superat. tanto bina¬
rium trans greditur quater narius.
adphrtagorae uł platonis uł aristotilis scientiam
ꝑuenerunt. Hae tres medi&ates sunt. arithm&ica. geo¬
merica. armonica. postquas proportionum habitudimnes
tres aliaesunt quaes ine nomine quidem feruntur.
Uocantur autem quarta quinta uel sexta. quae superius dictis
opposite sunt. atuero posteri propter denarii numeri ꝑfectionẽ
quod erat phrthagorae conplacitus medi&ates alias iiii. ad di¬
derunt ut in his proportionalitatibus denariae quantitatis

Expanded text:
aequalitatem quidem proportionis sunt, 1, 2, 4, 8; aequalitatem quidem proportionis sunt, 1, 2, 4, 8; sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, si ocundum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post quas proportionum habitudines, tres aliae sunt quae sine nomine quidem feruntur. Vocantur autem quarta, quinta, vel sexta, quae superius dictis oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quatuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus, denariae quantitatis
Abbreviated transcription (Latin):
nuae consideres ex duobus proportionibus fit propor¬
tionalitas. Estenim proportionalitas unum ad duo & duo
ad .iiii. & est proportionalitas ut dictum est collectio pro¬
portionum in unum que redactio. fit &iam & in longiori¬
bus namsi .iiii. illis octo uelis adiungere & his XVI. & his
xxxii. & de inceps duplos qui sequuntur. fit in omnibus du¬
pla proportionalitas exproportionibus duplis. Igitur
quotiens unus atq idem terminus itaduobus circumse
terminis communieat. ut adunum dux sit ad aliũ eomes
Haec proportionalitas continua uocatur. utunus duo .iiii.
Estenim a equalitas in his proportionibus. & quem ad modũ
numeri eodemmodo est quantumenim tres superant bi¬
narium tantumbinarius unitatem. & quanto unus aduo¬
bus minor est tantumbinarius a ternario superatur.
sin uero alius adunum refertur terminus. alius uero ad
alium necesse est habitudinem disiunctam uocari ut ad

Expanded text:
nue consideres, ex duabus proportionibus fit propornue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum numeri, eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad
Abbreviated transcription (Latin):
speculationes uł ad astronomicas subtilitates ut adgeome¬
tricae considerationis uim uel&iam adu&erum lectionum
intellegentiamprodesse possint. Arithin&ica introduc̨¬
tione comniodissime terminare. Estigitur ꝓportiona litas
duarum uel trium uel quod lib& ꝓportionum ad sumptio
adunum atque collectio ut autem commiuniter definiamus
proportionalitas est duarum uel plurium proportionum
similis habitudo &iam sinon eisdem quantitatibus &
differentiis constitutae sint. Differentia uero est
internumeros quantitas. proportio est duorum ter¬
minorum ad seinuicem quaedã habitudo & quasi qđ¬
ammodo continentia quorum conpositio quando fit
proportio naleest. Ex iunctis enim proportionibus
proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima
proportionalitas inuenitur. fit &iam in pluribus sed lon¬
ꝗior utbinarius adunum qm̃duo sunt termini duplam ob¬
tin& proportionem sinuero .IIII. contra .ii. conpares. & hic
quoque dupla proportio est. quostres terminos siconti¬

Expanded text:
speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si conti
Abbreviated transcription (Latin):
creuerunt progrediuntur. Namque interunum & duo
tantum unitas intercedit quaeunitati cui aequalis est
totumest. Binarii uero medi&as eodemq modo interduo
& iiii. tantum duo sunt quibinarii totum sunt quaternaru
medi& as. Inter quaternarium uero & senarium idemduo sunt
ad qua ternarium medi&as. ad senarium pars tertia. tresuero
qui sequuntur qui inter vI.&viiii. constituti sunt medii. sunt
quidem senarii dimidium. Pars uero tertia nouenarii. & rur¬
sus ternarius qui nouenarii tertia pars est. duo denarii quar¬
ta est & ad eundem modum us quein finem discriptionis ge¬
minatis huius modi partibus sicut ipsa quoque summarum
comparatio geminata est aequas partium progressiones aspicies.
XXXIII PROBATIO QUADRAIUS EIUSDEM NATURAEESSE¬
lud autem aꝑtissimum signum est omnes t&ragonos in parib ẽẽ.
cognatos quod in omni dispositione ab uno uel induplicibus uel in

Expanded text:
creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitati cui aequalis est totum est, binarii vero, medietas. Eodem modo inter 2 et 4 tantum duo sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimidium, pars vero tertia nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicie CAPUT XXXVIII. Probatio, quadratos ejusdem esse naturae. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos imparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab uno, vel in duplicibus, vel in
Abbreviated transcription (Latin):
binario distant insequentibus &iam eodem modo sicut&ia
in primis fuit ratio constat. Nam eadem proportio est differen¬
tus non eisdem nam iiII. adVI &UI. ad uiiii. sesqualtera ꝓ¬
portione iunguntur. UI autem quaternarium duobus . Uiiii
uero senarium tribus pra& ereunt. Insequentibus &iam eadẽ
ratio speculabitur . & semꝑ alternatim Nunc quidem eedem
proportiones aliae differentiae sunt. Nunc autem ordine
ꝑmutato hisdem differentiis aliae proportiones semꝑque
in quibus differunt secundum naturales numeri ordines
t&ragoni & parte altera longiores sẽse superabunt. tantũ
quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio.
quod mirum uideri non deb&. Nos enim ipsas summas t&ra¬
gonorum & parte altera longiorum geminauimus ad pri¬
mas secundasque proportiones.
Tadem quoque differentiae mirabilem in modum a toto
ꝑsequentes partes . & ꝑ easdem unitates quibus superius

Expanded text:
, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut , eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 autem quaternarium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminamus ad primas secundasque proportiones. Eaedem quoque differentiae, mirabilem in modum a toto per sequentes partes, et per easdem unitates quibus superius
Abbreviated transcription (Latin):
lludigitur perspiciendum est quod sudem teragoni & parte
altera longiores disponantur. Ita ut alternatim sibi promixti
sint. tanta in his est coniunctio ut aliassibi in eisdem propor¬
tionibus communicent. Discrepent autem differentiis alias
uero differentiis paressint proportionibus distent. Dispo¬
nantur enim in ordinem idem illi superiores t&ragoni &
parte altera longiores ab uno. i. ii. ii . ui. uiiii. xii.¬
XUI. XX. XXU. xxx. Ergo in superiore formula
hoc maxime intuendum est . Namque inter unum qui est tera¬
gonus & duo dupla proportio est. interduo & quattuor dupla.
hicergo t& ragonus cum parte altera longiore atq hic cumse¬
quente t&ragono eadem proportione iunguntur. Differen¬
tiis uero non hisdem nam queduorum. atq unius solaunitas
differentia est. sedidem duo aquaternario solobinario
relinquuntur. rursus siduo ad .iiii. speculeris dupla est
proportio si .iiii. advi. habitudinem ses qualter amrecog¬
noscis. Hicergo in proportionibus discrepant in differen¬

Expanded text:
llud igitur perspiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, et parte altera longiores ab uno. Ergo in superiore  ab uno. Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differen
Abbreviated transcription (Latin):
& quinarius secundum efficiunt erbum qui est octinarius.
iuncti autem iii. qui sequuntur . uinarius Uininarius que
& xi crbum faciunt qui xxUIi numero contin&ur. qui est
tertius. & sequentes .iiii. quartum & quisequuntur .v. quintũ
& ad eundem modum quotus quis que erbus efficitur tãto
coniunctione in pares ad ponuntur. hoc autem diligentius
sub iecta discriptio doc&.¬

Expanded text:
et quinarius, secundum efficiunt cubum, qui est octonarius. et quinarius, secundum efficiunt cubum, qui est octonarius. Juncti autem 3 qui sequuntur, septenarius novenariusque et 11 cubum faciunt, qui 27 numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quatuor, quartum, et qui sequuntur 5, quintum, et ad eumdem modum quotus quisque cubus efficitur, tot conjunctione impares apponuntur. Hoc autem diligentius subjecta descriptio doc
Abbreviated transcription (Latin):
sugitur in utrisq uersibus primos aspicias singulos quo sin¬
uenis qm̃ t&ragonisunt inimpariloco sunt constituti. qm̃ pri¬
misunt si uero tertium locum respexeris. iii. & uiiii. notabis
quorum hic aduobus proficiscitur. Illum tertium ternarius
creat qui sunt loco in pari constituti. quintum deinde siuideas
locum XUI. X LXXXI. respicies sed unus a quaternario nascitur
alterum nouenarius creat. Et sinonum locum rursus aspicias
t&ragonos ꝑ notabis cclvi uĨI ðLxi. quorum superior
sit a XVI. inferior uero ab lxxxi. ĩdemsiminfinitum fa¬
cere libeat in dis crepanter incurrit.
propter a equalem multiplicationem participant inmut abili subs¬
tantia eiusdemq naturae sunt socii non aliorum quamin pariũ
co aceruatione produntur. Num quam uero parium. Namsi
omnes abunitate in pares disponantur. Cuncti figuras cybi¬
In hisigitur qui primus est potestate & uirtute primum crbũ
faci&. iunctiuero duo quisequuntur. ternarius scilic&

Expanded text:
gitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in impare loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum repexeris, 4 et 9 notabis, quorum hic a duobus proficiscitur, illum ternarius creat, qui sunt loco impari constituti. Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus aspicias, tetragonos pernotabis 256, 6561, quorum superior fit a 16, inferior vero ab 81. Idem, si in infinitum facere libeat, indiscrepanter incurrit. propter aequalem multiplicationem participant immutabilis substantiae, ejusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam imparium coacervatione produntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate impares disponantur, juncti figuras cubiIn his igitur qui primus est potestate et virtute primum cubum faciet. Juncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet
Abbreviated transcription (Latin):
bile &num quam in proprii statu ordinis permanens philolaus
uero. necesse est inquit omnia quae sunt uel infinita esse¬
uel finita de monstrare scilic& uolens omnia quaecumq
ex infinita amumeri sine dubio similitudinem hic enim
exuno & duobus & in pari atq in pari coniungitur quae ma¬
nifesta sunt a equalitatis atque in aequalitatis eiusdem
atq alterius diffinitae atque in diffinitae esse substantia e
quodui delic& non sine causa dictum est omnia quae ex con¬
trarus consisterent armonia quadam coniungi atq con¬
poni. estenim armonia plurimorum adunatio & dissensi
ex quibus quadrati uel parte altera longiores fiunt. sed hi
ipsi quullis coacerbatis in unum que redactis & qua dra¬
ti & parte altera longiores prodeunt. Ita enim uidebimus.
istorum quendam consensum & ad ca&eras pumeri partes
procreandas amicitiam ut non sine causa hoc in omnibus
rebus abnumeri speciae natura rerum sumpsisse uide a¬

Expanded text:
bile et nunquam in proprii statu ordinis permanens. Phyloaus bile et nunquam in proprii statu ordinis permanens. Phyloaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita vel finita esse. Demonstrare scilicet volens omnia quaecunque d numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus, et impari atque pari conjungitur. Quae manifesta sunt, aequalitatis atque inaequalitatis, ejusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia quae ex contrariis consisterent, harmonia quadam conjungi atque componi. Est enim harmonia, plurimorum adunatio, et dissentex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videa
Abbreviated transcription (Latin):
essedicuntur. Cauero sunt quaeuel ab aequalibus crescunt
uelut quadrati uelquos ipsa unitas format idest inpares.
A tuero binarius & cuncti parte altera longiore quia finita
substantia discesserunt uariabilis infinitae que substantiȩ
nominantur. Constatergo numerus omnis ex his quae longe
tantiae robur illic mobilis ꝑmutatio. hic diffinita soliditas.
hic infinita congeries multitudinis quaescilie& cumsint con¬
traria inunam tamen quod ammodo amicitiam cognationẽ¬
que miscentur &illius unitatis in formatione atq regimen¬
to unumnumeri corpus efficiunt. Nonergo inutiliter. Neq
in prouide qui dehocmundo deque hac cõmonirerum natura
ratiocinabantur hanc primum totius mundi substantiae
diuisionem fecerunt. & plato quidem intimeo eiusdem na¬
turae & alterius nominat. quic quid inmundo est atque
aliud insuanatura ꝑmanere putat indiuiduum in con¬
iunctumque & rerum omnium primum alterum diuisi¬

Expanded text:
esse dicuntur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt esse dicuntur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substantiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his quae longe tantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, hic infinita congeries multitudinis. Quae, scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur, et illius unitatis informatione atque regimento, unum numeri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque improvide, qui de hoc mundo, deque hac communi rerum natura ratiocinabantur, hanc primam totius modi substantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo ejusdem naturae, et alterius nominat, quidquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat individuum inconjunctumque et rerum omnium primum, alterum divisi
Abbreviated transcription (Latin):
estenim parte altera longior numerus quicumq. unitate tan¬
tum lateri crescit adiecta ut sunt uI scilic& bis tres uel xii.
tres quater & consimiles anteriore parte uero longior est
qui sub duobus numeris huiusmodi contin&ur. quorum late¬
ra non possid& unitatis differentia sed aliorum quorum cũq
ammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta
merito anteriore parte longiordicitur. Cur autem paste
altera longiores numeri dicantur supraiam dictum est. qua¬
dratiuero qm̃ aequam latitudinem longitudini gerunt ꝓprie
longitudinis uł eiusdem latitudinis. aptissime uocabuntur
utbis duo tertres. quater quattuor. & c&eri. Parte altera
uero longiores quod non eadem longitudine tendantur
mobile terminatum diffinitum que est quippe quodulla uaria¬
tione mut&ur numquam essedesinat numquam possit esse
quodonfuit. At haec unitas sola est & quae unitate forman¬
tur conprehensibilis &d&erminate & eiusdem substantia e

Expanded text:
Est enim parte altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore vero parte longior est qui sub duobus numeris hujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque odammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores numeri dicantur, supra jam dictum est. Quadrati vero, quoniam aequam latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendanturmobile, terminatum definitumque est, quippe quod nulla variatione mutetur, nunquam esse desinat, nunquam possit esse quod non fuit. At haec, unitas sola est, et quae unitate formatur, comprehensibilis et determinatae et ejusdem substantiae
Abbreviated transcription (Latin):
adseipsam considerate ut formarum quasdudum insuperio¬
re disputatione discripsimus informari. utquemad modũ
mundus ex inmut abili mutabiliq substantia. si comnis
numerus ext&ragonis quu inmutabilitate ꝑficiuntur
& exparte altera longioribus quunmutabilitatẽ partici¬
pant. prob&uresse conuinctus & primo quidem distri¬
buendum est. quid sint hi quos promeciis uocant. Id est
anteriore parte longiores uel qui quos
& epox upeie idest parte altera longores.

Expanded text:
ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superioad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse conjunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sunt hi quos promecas vocant, id est anteriore parte longiores, vel qui quos heteromikeis, id est parte altera longiores.
Abbreviated transcription (Latin):
ab eiusdem substantiae natura discessisse dicuntur. putanturq.
alterius naturae participes. Idcirco qm̃ cum latera t& rago¬
norum ab aequalitate progressa in aequalitatem propri ae
latitudinis ambitumtendant. Hi adiecto uno ab aequalitate
laterum discesserunt. atq ideo disimilibus lateribus & quod¬
ammodo ase alteris coniunguntur. Quare nobis notum est
quod ex his ea quae sunt in hoc mundo coniuncta sunt. Autenim
propriae inmutabilis eiusdemq: substantiae est ut dr̃ uł ani¬
ma uł mens est. uł quod cumq propriae naturae incorpora¬
litate beatur . aut mutabilis uariabilisq: naturae quod corpo¬
ribus indubi tanter uidemus accedere. Undenunc nob mons¬
trandum dumest hanc geminanumerorum natura. qua¬
dratorum scilic& & parte altera longiorum cunctas numeri
s pecies. cunctasq: habitudines. uelad aliquid relatae quanti¬
tatis ut multiplicium. uł suꝑ particularium &c&erorum ut

Expanded text:
ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno ab aequalitate laterum discesserunt, atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo alteris a se conjunguntur. Quare nobis notum est, quod ex his ea quae sunt in hoc mundo, conjuncta sunt. Aut enim propriae, immutabilis, ejusdemque substantiae est, quod Deus, vel anima, vel mens est, vel quodcunque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeterorum, vel
Abbreviated transcription (Latin):
rerum substantias constare exea quae propriae suaeque
semꝑ habitudinis est uecullu modo ꝑmutatur & ea scilic&
natura qua e uari abilis motus est sortita substantiam &
illam primo inmutabilem naturam unius eiusdem que
substantiae uocant. Hancuero alterius scilic& : quod apri¬
ma illa inmut abili discedens prima sit altera quo dnimi¬
rum adunitatem ꝑtin& & addualitatem quinumerus
primus ab uno discendens alter factus est . Et qm̃ cuncti
secundum unitatis speciem naturamque in pares numeri
formatisunt. Quique ex his coaceruatis. tera gonisunt
duplicimodo eiusdem substantia participes esre dicuntur
quod uel ab aequalitate formantur t&ragoni. uel coa¬
ceruatis in unum numeris in paribus procreantur¬
illiuero qui sunt pares qm̃binarium numeri formaesunt quiq
exhis coaceruati collectiq in unam congeriem parte altera lon¬
giores numeri nascuntur. Hisecundum ipsius binarii naturã

Expanded text:
rerum substantias constare ex ea quae propriae suaeque rerum substantias constare ex ea quae propriae suaeque semper habitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili discedens prima sit altera. Quod nimirum ad unitatem pertinet, et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens, alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris imparibus procreanturlli vero qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam,
Abbreviated transcription (Latin):
eundem locum reuersio unde moueri coeperat. spherauero
est semi circuli manente diam&ro circumductio & ad eun¬
dem locum reuersio unde prius coeperat ferri . Vnita quoq
uirtute & potestate ipsa quoque circulus uł sphera est
Quoties enim punctum in semulti plicaris inseipsum unde
coeperat terminatur. si enim faciat semelunum unus
redit. semelidem est . & si hoc rursus semel idemest. igi¬
tur. siuna fuerit multiplicatio solam planitudinem
reddit . & fit circulus. si secundo mox sphera conficitur.
Etenim secunda multiplicatio effectrix
semꝑ est ꝓfunditatis exV. igitur
& ui. paucas huius modi formas
sub scripsimus.
Qui autem denatura rerum propinquis inuestigantes
orationibus quiq imatheseos disputatione uersati quid in
quaquere ess& proprium subtilissime peritissimeq edi¬
derunt. Hirerum omnium naturas in gemina diuidentes
hacspeculatione distribuunt. Dicuntenimomnes omnium

Expanded text:
eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et 6, paucas hujusmodi formas subscripsimus: Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes omnium
Abbreviated transcription (Latin):
DECIR CU LARIBUS UELSPIIERTCIS NUMEAS
psorum uero erborum quanticum que fuerint ita ducti.
ut a quonumero cybique quantitatis latus coeperit in eundem
altitudinis extremitas termin&ur numerus ille ciclicus ut
sphericus appellatur ut sunt multiplicationes quae aquna¬
ri uł senario ꝓficiscuntur. Nam quinquies .v. qui fit xXxU.
abi ꝓgressus in eosdem desinit .v. etsihos rursum quinquies
educas in eosdem .v. eorum terminus ueni& quinquies xxU.
fiunt .cxxv. etsihos rursus quinquies ducas in quinarium
numerum extremitas terminabitur. Atq. hoc usque in
infinitum idem semꝑ ueni& quod insenario quoq conue¬
nit considerari. hi autem numeri id circo ciclici uł spherici
uocantur quod sphera uł circulus in proprii semꝑ princi¬
pii reuersione formantur. Estenim circulus posito quodã
puncto & alio eminus defixo illius puncti quieminus fixus
est aequaliter distans a primo puncto. circumductio & ad

Expanded text:
De circularibus vel sphaericis numeris De circularibus vel sphaericis numeris Ipsorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel sphaerici vocantur, quod sicut sphaera vel circulus, in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad