comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
lat̾um. Dico igitur duo lat̾a oppõĩta equidistancia in suꝑfi¬
cie: ab. ꝓtrahantur. ⁊ int̾ ea fiat suꝑficies equid istantuum
bf. ħ autẽ solita ⁊ suc bases eistem nũcupentur uõib. Qu¬
a gͥ iasis. fe. ẽ equał basi. cd: erit ex .zi. uł.z2. solid. ft: eqͣ¬
le solido. cd. At quia totale soliduu .ae. secat supficiẽ exur¬
gens suꝑ liaui .bf. cquidistant̃ duob lat̾ib oppoĩcis e ͭ ex .tq.¬

Expanded text:
ia in superficie a b protrahantur et inter ea fiat superficies equidistantium b f. Hec autem solida et sue bases eisdem nuncupentur nominibus. Quia igitur basis f e est equalis basi c d, erit ex 31 vel 32 solidum f e equale solido c d. At quoniam totale solidum a e secat superficies exurgens super lineam b f equidistanter duobus laterib
Abbreviated transcription (Latin):
Cumq sint. cd. ⁊ fe. tum bases quiͣ solida equalia. lases q¬
dem ex ypotħ. solida at̃ ex .zi. uł 3z. sequitur ex. a .q. bis as¬
sump̾ta semel ꝓ lusib ⁊ semel pro sohdis. quod solidoꝵ
re uoluimus. uuis quoq ꝯu̾samͣ cadem ipa mediante de¬
moustrare ꝙ̃ admod̾ ꝯñsas p̾cedenciũ nõ est difficile. pones.n
sequitur ex pͥma ꝑte .9 .i. tale quod ad uersarius dicit al¬
ciꝰ ⁊ ꝑciale ꝙ ab eo ab scidisti: eẽ equalia.

Expanded text:
bases quam solida equalia, bases quidem ex ypothesi, solida autem ex 31 vel 32, sequitur ex 7 quinti bis assumpta semel pro basibus et semel pro solidis quod solidorum re volumus. Huius quoque conversam eadem ipsa mediante demonstrare quemadmodum conversas precedentium non est difficile. Pones ensequitur ex prima parte 9 quinti totale quod adversarius dicit altius et partiale quod ab eo abscidisti esse equalia.
Abbreviated transcription (Latin):
Sucantur q̃ ex.G̃. erunt singuł equit istantes et etiam
ex ypocħ suĩgule singuł equales ip̃e .ii. solitoꝵ ꝓpoĩtoꝵ
attititoiẽm diffimunt. et si int̾ eas solida eqͣmdistan¬
cium lat̾um ꝑficiantur constubit ex pͥmissa u duo soli¬
ta ultimo constituta ẽẽ ad inuicem equalia. Ciuuq
duoꝵ prioꝵ ⁊ duoꝵ postenoꝵ snt hectem lases uidel
eaꝵ suꝑficies sup̾me ꝯstat ex .29. uł .2o.⁊ hac ꝯm̃t¬

Expanded text:
unt singule singulis equidistantes et etiam ex ypothesi singule singulis equales ipse enim solidorum propositorum altitudinem diffiniunt et si inter eas solida equidistantium laterum perficiantur, constabit ex premissa hec duo solida ultimo constituta esse ad invicem equalia. Cumque duorum priorum et duorum posteriorum sint eedem bases videlicet eorum superficies supreme, constat ex 29
Abbreviated transcription (Latin):
e liuee dibi directe ꝯuicte sunt linea una.
Sit a pcõb. linee.ab. exeant due lince i oppoĩtas ꝑtes que smͣ be
et bd. et faciant duos angłos qui sint bca. et bda. equales
duob rectis. tunc dico qd̾ duc linee.cb et .bd. sunt sibi min
ut. bf. Quia gͦ suꝑ lineam rcãm que est.cbe. cadit liͣ. ab
erunt angłi.c̾ b a. et. e ba. equales duob augłis rec̾as. ꝑ ypo¬
tesim erunt duo angłi. cba. et cba. equales duob augulis
angłm. dba .b. ẽẽ eauałe angło. Fba. si forte dicat adu̾sanus
equales. unde maifestum est qd quociens
due linee recte se muicem secant .x. qui sũt

Expanded text:
e linee sibi directe coniuncte sunt et linea una. Sit ut a puncto b linee a b exeant due linee | in oppositas partes que sunt b c et b d et faciant duos angulos qui sunt c b a, d b a equales duobus rectis. Tunc dico quod due linee c b et b d sunt sibi inviut b f. Quia ergo super lineam rectam que est c b e cadit linea a b, erunt anguli c b a et e b a equales duobus rectis pthesim, erunt duo anguli c b a et e b a equales duobus angulis angulum d b a esse equalem angulo f b a, si forte dicat adversarius ntra se positi sunt equales. Unde manifestum est quotiens due linee recte se invicem secant qui fiunt
Abbreviated transcription (Latin):
linea preter centrum ducatur quoscumq
duos angulos cum ꝯtingente facit du¬
obus angulis qui in alterins circulis

Expanded text:
linea preter centrum ducatur, quoscumque duos angulos cum contingente facit, duobus angulis qui in alternatis circuli
Abbreviated transcription (Latin):
& basiũ trangłas ⁊ equilat̾aꝵ ad huc re¬
ꝓͥme. ⁊ angli cubi in angłis duodecedron. ex rõcuiacõe s. Er t̃

Expanded text:
 basium triangularium et equilaterarum adhuc rerime et anguli cubi in angulis duodecedri ex ratiocinatione 8, erunt
Abbreviated transcription (Latin):
retis per ⁊ 3gͦ ingulus bi c. mtnsecꝰ sine angulus aet c prtu¬
secꝰ sunt mĩores diob rectis. Simiłr si ꝓchaturlatus .ba. pro¬
incur qd duo angli. b. et .a. sunt iinores duob rectis.

Expanded text:
rectis per 13, ergo angulus b et c intrinsecus sive angulus a et c intrinsecus sunt minores duobus rectis. Similiter si protrahatur latus b a, probabitur quod duo anguli a et b sunt minores duobus rectis.
Abbreviated transcription (Latin):
rit: oĩui erit longissima. centro autẽ ꝓpĩ¬
quiores cet̾is remotõribꝰ longiores. Lmnee
uero partiales ad circumferenciã extͥnse¬
cus applicate ea quidem q̃ dyametro ĩ di¬
rectum adiacet oũn ẽ minima. ⁊ q̃ ꝓpĩ

Expanded text:
rit omnium erit longissima, centro autem propinquiores ceteris remotioribus longiores. Linee vero partiales ad circumferentiam extrinsecus applicate ea quidem que diametro in directum adiacet omnium est minima, eique p
Abbreviated transcription (Latin):
sib ile est in duas pyramides quaꝵ alta tͥangula equał uui
duaꝵ in quas ⁊ sentilia totał pyramis diuidit᷑. alt̾a uero
quadrangula q̃ dupla ẽ ad ieliqm. qrͣ patet anibo serratili
tibi scire qnͣtũ ad ꝓpoĩtum illa duo serratilia pit̾ accepta
duas ꝑciales pẏramndes in quas ⁊ serratilia totał diuid it᷑
ꝑic̾ ꝯccepta qnͣtanilib qnͣtitatem excet̾e.¬
Ioue pyramides equialte quarum ra¬
ses tangule singule in binas pyri¬
des equalesqz sibi inicem ac toti sinules
bina qr serintilia eqͣlia diuidant᷑ erit ꝓpor¬
cõ uasis unus ad basim alt̾ius tanꝙͣ ꝓportõ
duor serratilium suoꝵ ad duo serratilia
altius entq palam omĩa serratilia q̃ fũ

Expanded text:
piramides quarum altera triangula equalis uni duarum in quas et serratilia totalis piramis dividitur, altera quadrangula que dupla est ad reliquam quare patet ambo serratilia tibi scire quantum ad propositum illa duo serratilia pariter accepta duas partiales piramides in quas et serratilia totalis dividitur pariter acceptas quantalibet quantitate exceue piramides eque alte, quarum bases triangule, singule in binas piramides equales sibi invicem ac toti similes binaque serratilia equalia dividantur, erit proportio basis unius ad basim alterius tamquam proportio duorum serratilium suorum ad duo serratilia alterius. Eritque palam omnia serratilia que fu
Abbreviated transcription (Latin):
uero corpus octo basium tͥangłanũ et
eqͥlataꝵ parit̾ acceꝑte si dyamet̾ sꝑe ea
ciuus cribentis rõnalis fi̾t: compo

Expanded text:
um, reliquum vero corpus octo basium triangularium et equilaterarum pariter accepte, si diameter spere ea circumscribentis rationalis fuerit, compo
Abbreviated transcription (Latin):
do aut addendo aut Muuiendo quod ẽ ⁊̃ mulciplices pͥme
in eadem ꝓporͦne se mẽ ad multiplices ẜe in qua mulcipli
ces ͤ se hñt ad multiplices qrͣte. Q si ⁊̃ alicubi dissonat
ĩ multiplicib dico nõ ẽẽ ꝓportõni pͥme ad ẜam: sic̃ t̾cie
ad qͣrtam. Qr at̃ dicit ĩ octauadiffõne. ẽ ac si drẽt maio

Expanded text:
d est, etiam multiplices prime in eadem proportione se habere ad multiplices secunde in qua multiplices tertie se habent ad multiplices quarte. Quod si hoc alicubi dissonat in multiplicibus, dico non esse proportionem prime ad secundam sicut tertie ad quartam. Quod autem dicit in 8 di
Abbreviated transcription (Latin):
sup̾ta suo toto minꝰ aut maiꝰ ꝯstituit. qmͣ ag̾gatiã dm̃s.
eo ꝙ ã alia qnͣti ͭ ͤ diu̾sa totũ suũ ꝯstituat. per se at̃ quo.¬
cienscũq sũpta fu̾it: non producat.
Atiplex ẽ maior minoris qñ eam
metitur minor. Pars relatiẽ dĩ ad cotũ. ⁊ ĩ
istis duob exmis : ꝯsistit eoꝵ ad ĩuicẽ relatõ. ⁊ iõ diffĩto

Expanded text:
ta suo toto minus aut maius constituit. Quam aggregativam dicimus eo quod cum alia quantitate diversa totum suum constituat. Per se autem quotienscumque sumpta fuerit non producat. ⟨ii⟩ Multiplex est maior minoris, quando eam minor metitur. Pars relative dicitur ad totum et in istis duobus extremis consistit eorum ad invice
Abbreviated transcription (Latin):
simul uinctis. q̃ fuint ex .c. in. ad. et.de. et eb. suꝑ puncta. a et
b. erigam lineas. af. et .b.g. ꝑpendicłares suꝑ li ͣ. ab. qͣꝵ utͣq
sit enuał linee .c. et ꝯplebo rectangłam sc̃ficiem. afbg. ducta
et quia ħ rectangła simul iuncta sũt equalia toti rectangło
Ifu̾it linea in partes diuisa illud qd̾ ex
ductu tocuis linee in se ipãm fit: erit

Expanded text:
simul iunctis que fiunt ex c in a d et d e et e b. Super puncta a et b erigam lineas a f et b g perpendiculares super lineam a b quarum utraque sit equalis linee c et complebo rectangulam superficiem a f g b ducta et quia hec rectangula simul iuncta sunt equalia totali rectangulo fuerit linea in partes divisa, illud quod ex ductu totius linee in se ipsam fit e
Abbreviated transcription (Latin):
fhuiti se ht̃ ex ypoth ad alium sicut uuͦs qͣdratus ad
ex ilł .4. sunt in ꝯm̃suabiles in langitudine liquet

Expanded text:
habet ex ypothesi ad alium sicut numerus quadratus ad ex illis 4 sunt incommensurabiles in longitudine. Liquet
Abbreviated transcription (Latin):
autem nuͣs est quil quad̾tus diuisibił in quadtũ et in nõ q̃dra¬
tum ut cum qui diuidit᷑ in .x. ⁊ in .. et om̃s horum eaue auil¬
tplices ⁊ muenio lineam ad cuiꝰ quadratũ se hẽati ꝯuadtũ liue¬
e ab sicut nũs. de. ad nuni.d.f. qualt̾ autẽ ipa repialtar in
demonstratõe .ii. dem̃ est anc liueani iuentam que uicc̃o est
ninor ab. coapto ꝑ pͥmam quarti int̾ cutulũ abc sitq ac:
quas querinus erit igitur ꝑ pͥmã zo 3 anguluo ie. rectus

Expanded text:
quadratum et non quadratum ut 9 qui dividitur in 4 et 5 et omnes horum eque multiplices. Et invenio lineam ad cuius quadratum se habeat quadratum linee a b sicut numerus d e ad numerum d f. Qualiter autem ipsa reperiatur, in demonstratione 11 dictum est. Hanc lineam inventam, que necessario est minor a b, coapto per primam quarti intra semicirculum a c b sitque a c quas querimus. Eri
Abbreviated transcription (Latin):
bt . błr. bn .bo uilla ꝯ̾cat alii in longitudine constat ꝓpõi¬
tum istud aut̾ sit ꝓbatur p .n. ex p̾missis qd̾ quad̾tũ n
bc ad auadͣtũ li ͤ ab est sicut nũs f. ad numͣ .d. et qͣdnĩ
liuee. ab ad qͣdratũ linee. bł. sicut nuͣs .d. ad num.h.
ergo ꝑ equã ꝓporlitatẽ quadratũ liuee. bo ad quad̾tum

Expanded text:
et b r nulla communicat alii in longitudine, constat propositum. Istud autem sic probatur: Patet enim ex premissis quod quadratum linee b c ad quadratum linee a b est sicut numerus f ad numerum d et quadratum linee a b ad quadratum linee b k est sicut numerus d ad numerum h, ergo per equ
Abbreviated transcription (Latin):
rit latus cecagomi cuiscripti a ccło ip̃
exagonum circunscribente. Sit .ab. la¬
medium duo q eẋma. ĩ ptõ .c. sit qr maior portio emĩs .bc.
Dico quod cuiusq crtuli. ab. est latus exagoui eifdem
bs. latus decagomi. ad iungutur .ii. ad liteaui . ab. ⁊ łia
bd. que sit lacus decugoni illius curuli cuuis . ab. est latus

Expanded text:
rit latus decagoni circumscripti a circulo ipsum exagonum circumscribente. Sit a b lamedium duoque extrema in puncto c. Sitque maior portio eius b c. Dico quod cuiuscumque circuli a b est latus exagoni eiusdem b c est latus decagoni. Adiungatur enim ad lineam a b linea b d que sit latus decagoni illius circuli cuius a b est latus
Abbreviated transcription (Latin):
accepti sint maiores oũnb anguł insis ꝑit̾ acceptis ut e¬
uident᷑ ꝯstat ex p̾missa tiiens quot augulos lusis hu̾it¬
repetita. Ad ii ncto sequit᷑ ex ꝯm̃ scĩa suꝑfitiales angulos¬
retis. es inqmͣ nũores quo om̃s angłi trgonoꝵ pyranutẽ
cntiudaucium qui suꝑ lat̾a lusis statute pẏramidis ꝯsti¬
tuit̃ exceduit om̃s augulos basis pit̾ acceptos.¬

Expanded text:
accepti sint maiores omnibus angulis basis pariter acceptis ut evidenter constat ex premissa totiens quot angulos basis haburepetita, adhuc necessario sequitur ex rectis eo inquam minores quo omnes anguli trigonorum piramidem circumdantium, qui super latera basis statute piramidis consistunt, excedunt omnes angulos basis pariter acceptos
Abbreviated transcription (Latin):
tantium huis .G. anguł temptis erunt ex ꝯĩ scĩa reliqͥ
Si at̃ angulus .a. supp̾nuis in assũpta piramde de płri¬
tot rectis anguł eanales qnͣtus ẽ nuu̾us anguloꝵ sue
cirauutantes quot sunt angłi sue basis. Cimiq om̃s an¬
głi sue basis sunit tot rectis angłis equales qnͣtꝰ ẽ mim̾us
suoꝵ augłoꝵ dupplicatꝰ. temptis tũ .4. ut in . 32. pͥmi

Expanded text:
dantium hiis sex angulis demptis erunt ex communi scientia Si autem angulus a supremus in assumpta piramide pluritot rectis angulis equales quantus est numerus angulorum circumdantes quot fuerint anguli sue basis, cumque omnes anguli sue basis sint tot rectis angulis equales quantus est numerus suorum angulorum duplicatus, demptis inde 4 ut in 32
Abbreviated transcription (Latin):
ciales angulos solidum quenilib ꝯtinentes ꝑit̾ acceptos
C rectis anguł ẽẽ mĩores. Sit .i. tangula pyramis. abad
a. ꝯtinentes : sunt mmores .4. rectis. Constat .n. ex. 32.
pͥmi .9. angulos tͥum tͥanguloꝵ hanc pyramitẽ circ̃stan¬
quaq ꝑ eantem quod ip̃i sunt eauales duob rectis. Cũ
gͥ sex angłi .3. tͥangłoꝵ p̾tcõꝵ hanc nrãm pyranutẽ te cͦ

Expanded text:
libet continentes pariter acceptos 4 rectis angulis esse minores. Sit enim triangula piramis a b c d a continentes sunt minores 4 rectis. Constat enim ex 32 primi 9 angulos trium triangulorum hanc piramidem circumdanquoque per eandem quod ipsi sunt equales duobus rectis. Cum igitur sex anguli
Abbreviated transcription (Latin):
quaꝵ quadrata duaꝵ lineaꝵ.ab. et .be. sunt equalia qua¬
dratis duaꝵ.ad.et.de et quia quadrata duaꝵ que sunit
be. et. ed. sunt equaliq: erunt quadrata duaꝵ que sunt
gulo. edb. pp̃ id quod linea. eb. ẽ equalis liuec . ed. et qͥa
ut̾q dnoꝵ anguloꝵ .b. et .d. est rectuis: erit ꝑ ꝯmunẽ scĩa
angulus. ab d. resid uus equał angło. adb. residuo ꝑ .G. g
p. est linea .ab. equał linee. ad. qd̾ est ꝓpositum.

Expanded text:
Quare quadrata duarum linearum a b et b e sunt equalia quadratis duarum a d et d e. Et quia quadrata duarum que sunt b e et e d sunt equalia, erunt quadrata duarum que sunt gulo e d b propter id quod linea e b est equalis linee e d. Et quia uterque duorum angulorum b et d est rectus, erit per communem scientiam angulus a b d residuus equalis angulo a d b residuo, per 6 ergo primi est linea a b equalis linee a d. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
drato .He erit quod fit ex .ca.in.ad. cum auadratis du¬
aꝵ lineaꝵ.dħ. et.he. ae. ⁊ iõ per penultĩam prumi cp̃
qͣdrato. ed. pp̃ id quod angulus .h. est rectus. ⁊ iõ c̃ q̃dra¬
to.ef. pp̃ id qd̾. ed. et. ef. sunt equales quadratis duaꝵ lineaꝵ. ha.
et .he. et iõ ꝑ penultiãm pͥ quadrato linee. ae. sed etiam ꝑ. G
si quod fit ex. ga.in. af.cum quadrato. fe. equale est quadͣto
lince. ae. Quia gͦ utr̃qr eoꝵ que fuint ex .ca.in.ad. et exga.
in.af.cum qͣdrato lic.fe. est equale quadrato li ͨ.ac. ipã erunt
ĩ seequalia. demꝑto gͦ utrimq quadrato linee. ef. erit ꝙ fit e
ca .m. ad. equale ei quod fit ex.ga.in.af.ut p ꝑ pͥmam de̾
Et ex hͣc noͣ quod puncto exͣ arcłm assignato si ab ipõ ad cͥcħ
quool secantes linee ducant᷑ rectangula q̃ ꝯtinent᷑ sub totis
⁊ eaꝵ portõnib extrinsecis. ad inuicem sunt equalia am̃

Expanded text:
d cum quadratis duarum linearum d h et h e et ideo per penultimam primi cum quadrato d e propter id quod angulus h est rectus et ideo cum quadrato e f propter id quod e d et e f sunt equales equale quadratis duarum linearum a h et h e et ideo per penultimam primi quadrato linee a e. Sed etiam per 6 secundi quod fit ex g a in a f cum quadrato f e equale est quadrato linee a e. Quia ergo utrumque eorum que fiunt ex c a in a d et ex g a in a f cum quadrato linee f e est equale quadrato linee a e, ipsa erunt inter se equalia. Dempto ergo utrimque quadrato linee e f erit quod fit ex c a in a d equale ei quod fit ex g a in a f. Sed id  Ex hac nota quod puncto extra circulum signato si ab ipso ad circulum quotlibet secantes linee ducantur, rectangula que continentur sub totis et earum portionibus extrinsecis ad invicem sunt equalia
Abbreviated transcription (Latin):
ꝙ uls̾ ꝙ fit ex tota . ab. in eustẽ ꝑtem. ac. eqũ ẽ qͣorato eniid̾
ꝑtis. ac. et ei ad̾ fit ex eatem parte. ac. in.bc̃. Fiat quadratũ
siee.ac. qd̾ sit. ac d f. et ꝑficiatur suꝑficies. ab de. pate bit¬

Expanded text:
uod fit ex tota a b in eius partem a c equum est quadrato eiusdem partis et ei quod fit ex eadem parte a c in c b. Fiat quadratum linee a c quod fit a c d f et perficiatur superficies a b d e patebit
Abbreviated transcription (Latin):
Imee a centro ueientes ꝑ equalia d̾ idant. Suptis ittq
quibl duob eiꝰ ꝓximis lat̾ib cũ liꝰ ad angͥlur abeis
ꝯtentũ. ⁊ cũ duab ad earũ ex̾mitates a centio ueĩentib
duos tanglos ab eis ꝯtentos equiangulos ad ĩnce pie
a tota quoq ẽẽ equalia.¬

Expanded text:
is itaque quibuslibet duobus proximis lateribus cum linea ad angulum ab eis contentum et cum duobus ad eorum extremitates a centro venientes duos triangulos ab eis contentos equiangulos ad invicem pea, tota quoque esse equalia
Abbreviated transcription (Latin):
angula. De in scpta: p ꝑ. ⁊a. ⁊ ⁊õ. t̾cui sũptis artub ccłi
quib lat̾a inscuipte figure.Forte sunt. binis ⁊ bins. In
hos .n. arcꝰ ipĩꝰ figure angłi tadunt. de cͥcĩsꝙpͥta at̃. duc¬
tis a curłi centro lineis ad om̃s eiꝰ angulos ⁊ ad loti ꝯtac¬
tus: facile prolabis si plene intellc̃e demͣcoĩ .i. hͦ dibl¬

Expanded text:
angula. De inscripta patet per 27 et 26 tertii sumptis arcubus circuli quibus latera inscripte figure corde sunt binis et binis. In hos enim arcus ipsius figure anguli cadunt. De circumscripta autem ductis a circuli centro lineis ad omnes eius angulos et ad loca contactus facile probabis. Si plene intellecte demonstrationi
Abbreviated transcription (Latin):
finitõnis eis quod ẽ multiplicati. ut .b. in .d. ⁊ .c. in .e. sit
D. ad .e. sic̃ .b. ad .c. qued ẽ ꝓpoĩtum.

Expanded text:
finitionis eius quod est multiplicari ut b in d et c in e sit quod ad e sicut b ad c. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
dis sit .b. ⁊ sumat᷑ tuigonus .c. eãł poligouio .b. Fiat¬
due pyranutes .a. ⁊ b. sunt equales ex ultĩa int̾poĩ¬
te .a. hꝰ. Cumq bases .b. ⁊ .c. sint equales : altitudiẽs
b. S cd̾a pars conu̾so mõ ꝓlutur. Nam si fu̾it basiẜ a
ad basim .b. ut altituto. pyramndis .b. ad altitut mẽ
pyraundis .a. erit ex scda pte ⁊ prima .7.q. basis . &. ad
basmi .c. situt altituto pẏranudis .c. ad altitud iẽm pyrauu¬
⁊ b sũt eqͣles. Si uero neutra ba suui ꝓpoĩtaꝵ pyraĩ¬
dũ fu̾it trigo sed utraq poligonia. u̾ gͣ. alt̾a penthago
alt̾a exagona q̃ ad ħ dicantur .a. ⁊ b Sumatur tiangꝰ
c. equał exagono .b. sup qmͣ fiat pyranus eq̃alta pyra
b. erunt q due pyrauntes .b. ⁊c. equales. Io q due q̃
sunt .a. ⁊ .c. etiam ꝑ conceptõmi eqͣles. quare lusis .a. ad
lnsmi .b. sic̃ alti ͭ ͦ py̾ramid̾ .c ad altitudiẽm pẏranũs¬

Expanded text:
dis sit b et sumatur trigonus c equalis poligonio b fiatdue piramides a et b sunt equales et ex ultima addiarte 7 huius. Cumque bases b et c sint equales, altitudines b. Secunda pars converso modo probatur. Nam si fuerit basis a ad basim b ut altitudo piramidis b ad altitudinem piramidis a, erit ex secunda parte et prima 7 quinti basis a ad basim c sicut altitudo piramidis c ad altitudinem pet b sunt equales. Si vero neutra basium propositarum piramidum fuerit trigona, sed utraque poligonia verbi gratia altera pentagona, c equalis exagono b super quem fiat piramis eque alta piramidi b eruntque due piramides b et c equales.Ideoque due que sunt a, c etiam per conceptionem equales, quare basis a ad basim c sicut altitudo piramidis c ad altitudi
Abbreviated transcription (Latin):
duob rectis. Ead̾ rõne duo angłi .b. intrisetꝰ et extrinsetus sic et¬
cet̾i. qr̃. ab cde. angłi intrinseci ⁊ extͥusei erunt equales .i0. rectis.
temptis gͦ intrinsecis qui sunt eqͣles .G. redis. erunt extͥuseti .s. bal
goui cꝰ unũqd̃q latꝰ duo secat ex reliquis h .q. angłos duob rectis
eqͣles. Sit quil ꝓpoĩtꝰ pentagonꝰ. abc de. ⁊ secc latus. ac. latꝰ. be¬

Expanded text:
etceteri, quare a b c d e anguli intrinseci et extrinseci erunt equales 10 rectis, demptis ergo intrinsecis qui sunt equales 6 rectis, erunt extrinseci videlicet b a l,goni cuius unumquodque latus duo secat ex reliquis habet 5 angulos duobus rectis equales. Sit qualis proponitur pentagonus a b c d e et secet latus a c latus b
Abbreviated transcription (Latin):
angłi ⁊ͥ angłoꝵ in quos ipã est resoluta punctũ mediũ resoluta ctũ¬
stantes. 4 ͦr rectis equales per .i. maĩfeste ꝯstat propositũ. Sinułr
angłis rectis sunt .n. intnͣsea ⁊ extuseci bis tot rectis eauales quot ha¬
bumt angłos ꝑ .12.. intuse at̃ sunt bis tot redtis equales quot hu̾int
angłos demptis inde. 4 ͦr g ͦ extimseti sunt eqͣles. 4 ͦ rectis ꝙ ẽ ꝓpoĩtũ¬

Expanded text:
anguli triangulorum in quos ipsa resoluta est punctum medium circumstanunt enim intrinseci et extrinseci bis tot rectis equales quot habuerint angulos per 13. Intrinseci autem sunt bis tot rectis equales quot habuerint angulos demptis inde 4, ergo extrinseci sunt 4 rectis e
Abbreviated transcription (Latin):
t̾cia ꝑte huiꝰ nota dyanetrũ incõmẽsurabilẽ coste. Clm.n. stꝰ
quadratũ dẏametii duplũ quadto coste. Dupla no ꝓporꝰ nõ sit
sicut nũoꝵ quadratoꝵ. sequit᷑ dẏametrũ ẽẽ incõm̃surabilẽ
coste in longitudine alio qn cuni quat̾narius nus sit quadã¬
tus eeñt om̃s parit̾ pores quadrati ⁊̃ ⁊̃ alu infiniti quim̃

Expanded text:
tia parte huius nota diametrum esse incommensurabilem coste. Cum enim sit quadratum diametri duplum quadrato coste, dupla vero proportio non sit sicut numerorum quadratorum, sequitur diametrum esse incommensurabilem coste in longitudine. Alioquin cum quaternarius sit numerus quadratus, essent omnes pariter pares quadrati et etiam alii infiniti qui
Abbreviated transcription (Latin):
duplicata. S ⁊̃ est ꝑ .ui. s̾.g. ad .h. ut e ad.f. duplicata
g .c. ad .d. sic̾.g. ad̾ .h. ꝙ est p ͫ. Scd̾m sic sit .e. ad .d. si¬
cut .g. nũs quadtus ad .h. num̾i qͣdratũ. Dico ꝙ .a. ⁊ .b. ẽ¬
runt in longitudine ꝯͥcautes cum enĩ sit .c. ad. d. ut .a. ad .b.
duplicata ꝑ .i8. sexti ⁊ .g. ad ħ. ꝑ .ii. sͥ ut e ad .f. duplicata

Expanded text:
i g ad h ut e ad f duplicata, ergo c ad d sicut g ad h. Quod est primum. Secundum sic: Sit c ad d sicut g numerus quadratus ad h numerum quadratum. Dico quod a et b erunt in longitudine communicantes. Cum enim sit c ad d ut a ad b duplicata per 18 sexti et g ad h ut e ad f duplicata
Abbreviated transcription (Latin):
cularis ad suꝑficiem utriusq duoꝵ cucło¬
rum dico columpnam ẽẽ erectam. Cummi
uero fu̾it suꝑ basimi intlinata: dico colũp¬
uam ẽẽ indinatam. Cumiq fu̾int duero¬
tiuite pẏmainites aut colũpne a qͣꝵ aribus
e grediant᷑ due suꝑficies sup bases earum or¬
thogõłr erecte. fu̾uit ꝙ anguli quos axes⁊
cõminies sectõnes harum superficieꝵ ⁊ in siũ

Expanded text:
cularis ad superficiem utriusque duorum circulocularis ad superficiem utriusque duorum circulorum, dico columnam esse erectam. Cum vero fuerit super basim inclinata, dico columnam esse inclinatam. Cum fuerint due rotunde piramides aut columne a quarum axibus egrediantur due superficies super bases earum orthogonaliter erecte fuerintque anguli quos axes et communes sectione
Abbreviated transcription (Latin):
uoco lnsim ipũis pyranudis. fixuni autẽ pc̃m exͣ
cutuli supeificiem signatum ucco conũ pyra¬
uud is. Liueam rectam continuantem centrũ
lnsis cum cono pyrauudis: Appello axem
seu sagittam pyranudis. ¶umq ħ sagit¬
ta fu̾it ppendicularis ad basim: dico pyra¬
nutẽ ẽẽ erectam. cum uero incdiuata: dico py
ranutem incliuatã. Cum ãt fu̾int duo cͥłi
equales descripti in supficiebꝰ equidistan¬
tibus quos una plana superficies ꝑ eorum
centra transient secu̾it fu̾int qz contuiuate
per rectani due relatiue sectõnes duaꝵ sec¬
cumferenciarũ ipõꝵ curłoꝵ. si linea ħ in cir¬
cumferencus ipõꝵ circłoꝵ equidistant̾ situi
a quo mou̾i inceperit quousq ad lccum
suum redeat cutioutat᷑ corpus qd̃ a cͤ¬
ua supficie qmͣ motu suo describit ħ linea
et a duob ꝓpoĩtis circulis continet᷑ ucto co¬
lumpnam rotuntam cuius axis siue sa¬
gita est liuea recta centra duoꝵ cutłorum
contumians. Et cum ħ sagitta fu̾it ppendi¬

Expanded text:
voco basim ipsius piramidis. Fixum autem punctum extra circuli superficiem signatum nomino conum piramidis. Lineamque rectam continuantem centrum basis cum cono piramidis appello axem seu sagittam piramidis. Cumque hec sagitta fuerit perpendicularis ad basim, dico piramidem esse erectam. Cum vero inclinata, dico etiam piramidem inclinatam. Cum autem fuerint duo circuli equales descripti in superficiebus equidistantibus quos una plana superficies per eorum centra transiens secuerit fuerintque continuate per lineam rectam due relative sectiones duarum circumferentiarum ipsorum circulorum, si linea hec in circumferentiis ipsorum circulorum equidistanter situi a quo moveri inceperit quousque ad locum suum redeat circumducatur, corpus quod a curva superficie quam motu suo describit hec linea et a duobus propositis circulis continetur, voco columnam rotundam cuius axis sive sagitta est linea recta centra duorum circulorum continuans. Et cum hec sagitta fuerit perpendi
Abbreviated transcription (Latin):
sit ad ꝯplendam łiami tatã sr̃ficies słis sr̃ficiei eq̃distan¬
ciũ lat̾um. ꝓpoĩte sicut doc p̾missa. cb. ẜuata ꝯditoẽ eius
ne laboretur ad impossi ᷝ ͤ ꝑ añp̾missã. uł ꝙ addat ad ꝯ¬
pleudaui lineam. srficiem eq̃distanciũ lat̾ũ słem sr̃fici¬
ei ꝓpoĩte sicut ꝓp ͭ ꝯdusio p̾sens ꝓpoĩtaui .ii. sr̃ficiẽ. cui ẽqͣle

Expanded text:
sit ad complendam lineam datam superficies similis superficiei equidistantium laterum proposite sicut docet premissa observata conditione eius ne laboretur ad impossibile per antepremissam vel quod addat ad complendam lineam superficiem equidistantium laterum similem superficiei
Abbreviated transcription (Latin):
ponam: eg. equalem.gh. ꝑ.z. Postea procralam. hb.li. erñt q
duoꝵ tͥangłoꝵ. qui sunt. ag̾c. et . b gh. duo lat̾a. ag. ⁊ gc. pͥmu
eqͣlia duob latib. bg. et gh .ẜi. ⁊ angłis .g. uinꝰ angło .g. alt̾uis
gło . R bo. ec quia angulus.c bd. est maior angło. Rbd. erit
duob rectis sunt iniores abe did au¬

Expanded text:
ponam c g equalem g h per 3. Postea protraham h b f eruntque duorum triangulorum qui sunt a g c et b g h duo latera a g et g c primi equalia duobus lateribus b g et g h secundi et angulus g unius angulo g alterius gulo f b d et quia angulus c b d est maior angulo f b d, eriduobus rectis angulis sunt minores. Sit
Abbreviated transcription (Latin):
Iquodlibet laterum tͥanguli directe protͣ¬
hatur faciet angulum extrinsecum ut.
angulo trianguli sibi intrisecus opposito ma
Sit ut angłs. abc. latus .ab. ptͣlatur usq ad. Dico ꝙ¬
ioreM: angulus. dbc. maior ẽ utͦq duoꝵ angłoꝵ intrmsecoꝵ ssb̾i
oppoĩtoꝵ qui sunt. b ac.et.bca. Diuitam .ii. per .i0. lneam .cb. per
ꝓtiam lineam. ch. Incelligo duos cͥangulos. ẽ ea. et bef. et qr du¬

Expanded text:
quodlibet laterum trianguli directe protrhatur, faciet angulum extrinsecum utroque angulo trianguli sibi intrinseco opposito maiorem. Sit ut trianguli a b c latus a b protrahatur usque ad d. Dico quod angulus d b c maior est utroque duorum angulorum intrinsecorum sibi oppositorum qui sunt b a c et b c a. Dividam per 10 lineam c b per eprotraham lineam f b. Intelligo itaque duos triangulos c e a et b e f et quia du
Abbreviated transcription (Latin):
se qd̾ ẽ. aebf. equũ cũ hus qui sunt ex ipa cota in unamquãq
dcaꝵ ꝑciũ. qd̾ ꝑalam patebit. ductis. eg. et. dh. equedistant̃
ae. ⁊ bf. Ałr sumatur . k. equalis. ab. erit q ꝑ p̾missam ꝙ fit
ex ductu . R. in totam. ab. eqũ ei ꝙ fit ex ductu .k. in om̃s ꝑtes
ab. et quia ex . k. in .ab. tm̃ fit qnͣtum ex .xb. in easdem ꝑtes¬

Expanded text:
 a e b f, equum est hiis que fiunt ex ipsa tota in unamquamque dictarum partium. Quod palam patebit ductis c g et d h equidistanter a e et b f. Aliter sumatur k equalis a b eritque per premissam quod fit ex ductu k in totam a b equum ei quod fit ex ductu k in omnes partes a b. Et quia ex k in a b tantum fit quantum ex a b in se e
Abbreviated transcription (Latin):
ce. ⁊ ef. sequit᷑ ꝑ ea quẽ addita sui sunt iͫ oͣ. ut qͣdnatũ
ef. sit inꝯnisurabile aggregato ex̾ duob quadratis duorũ
linearũ.cc. ⁊ ef. At cum agg̾atũ ex hus quadratis sit rõa¬
le sequitur quadtum linee cf. non esse rõuale et iõ liuea. cł
non est rõualis in potencia et idc̾to non erit suꝑficies. df. me¬

Expanded text:
 sunt in 9 ut quadratum c f sit incommensurabile aggregato ex duobus quadratis duarum linearum c e et e f. At cum aggregatum ex hiis quadratis sit rationale, sequitur quadratum linee c f non esse rationale. Et ideo linea c f non est rationalis in potentia et idcirco non erit superficies d f me
Abbreviated transcription (Latin):
Dit utraq duarum suꝑficierum. ab. et a. medialis di¬
co ꝙ suꝑficies .b. que est earum differentia est irrratõnalis
sit enim linea .cci. rationał in longitudine cui adiũgat᷑
lis .b. Si itaq suꝑficies .b. non est irrationał s rõuał eiit.
⁊ gf. sua. equał rõnał. At cum linea eg. sit ĩ d̃ualis in lon¬
gitudine. sicut sua equalis .cd. erit ꝑ . iz. linea. ef. rõuał in
quia. ꝑ pͥmã s ͭ quadratũ linee. ef. ad suꝑficien que fit
ex ef. in .ce. est sicut ef. ad ce. sequit ꝑ secundã ꝑtẽ io ͤ ut
quadratũ linee ef. sit inꝯiũsurabił suꝑficiei ex ef .in. ce. qͣ¬
dratum nõ ce. cum sit rõnale est ꝯͥcans quadrato ef. totũ

Expanded text:
it utraque duarum superficierum a b et a medialis. Dico quod superficies b, que est earum | differentia, est irrationalis. Sit enim linea c d rationalis in longitudine cui adiungatur lis b. Si itaque superficies b non est irrationalis, sed rationalis, erit et g f sua equalis rationalis. At cum linea e g sit rationalis in longitudine sicut sua equalis c d, erit per 16 linea e f rationalis in quia per primam sexti quadratum linee e f ad superficiem que fit ex e f in c e est sicut e f ad c e, sequitur per secundam partem 10 ut quadratum linee e f sit incommensurabile superficiei facte ex e f in c e. Qadratum vero c e cum sit rationale est communicans quadrato e f, totum
Abbreviated transcription (Latin):
Ilmea recta duabo lineis rectis suꝑuem̾it
fũit q angłs extͥnsecus augulo intuseco
sibi oppoĩto equalis aut duo angli intͥnseci ex
uma ꝑte duob angłis rectis equales ille due
co ex eatem ꝑte sumpto. aut duo angłi.g et .h. intͥnsea ex eatẽ ꝑte
sũpci equales duob rectis. Dico qd̾ duc li ͤ.cd. ⁊ ef. sunt eq̃distã

Expanded text:
inea recta duabus lineis supervenerit fueritque angulus extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis aut duo anguli intrinseci ex una parte duobus angulis rectis equales, ille duenseco ex eadem parte sumpto aut duo anguli g et h intrinseci ex eadem parte sumpti sint equales duobus rectis. Dico quod due linee c d et e f sunt
Abbreviated transcription (Latin):
Minum duoꝵ t̾anguloꝵ quoꝵ duo la¬
tera uiuus duob lat̾ib alt̾ib fu̾int eqͣ¬
lia. basis uero unius basi alt̾ius maior fu̾it eͭ
q angulus tanguli maioris alkayde equis

Expanded text:
ium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia, basis vero unius basi alterius maior fuerit, erit quoque angulus trianguli maioris alkaide equis
Abbreviated transcription (Latin):
taugłm. abci. figaturq latus. ab.⁊ eg fixo tot ꝑalellõg̃mũ
quousq ad locũ. suũ redeat artamducat᷑ Corꝑea gͦ sigura
hꝰ palellogͣmi motu descpta: rotunda colup̃na noĩatur. cuiꝰ
bses sut̃ duo cͥcłi. ⁊ ẽ unus eoꝵ cͥcłs ꝙ̃ destribit motu suo lĩa
d.a. ⁊ euis centr̃ est. pcs̃ a. axis at̃ huiꝰ colup̃ne dr̃ lĩa ab. qͥ
manet fixa ni motu ꝑalłi. Qe si ymaginati su̾imꝰ ꝑalellõgiũ

Expanded text:
 eo fixo totum paralellogramum quousque ad locum suum redeat circumducatur. Corporea ergo figura huius paralellogrami motu descripta rotunda columna nominatur cuius bases sunt duo circuli et est unus eorum circulus quem describit motu suo linead a et eius centrum est punctus a. Axis autem huius columne dicitur linea a b que manet fixa in motu
Abbreviated transcription (Latin):
p . i0. aͥ.a. ad .f. sit̃ .d. ad .c. et quia ẽ etiam .a. ad .b
sicut .d. ad .e. sc ͦ .b. ⁊ f. ẽẽ equales. Cũ itaq .c. nũ̾et

Expanded text:
ptimi a ad f sicut d ad e. Et quia est etiam a ad b sicut d ad e, sequitur b et f esse equales. Cum itaque c numeret
Abbreviated transcription (Latin):
Dico quod illud ꝙ fit ex. ad. in. bd. cum quadrato ed̃
est equale quadr̾ato. c̾b. ꝑ p̾missam . .ii. quadratum
ch. est equale quadͣto .cd. et quadrato .db. et ei qd̃
fit ex. bd. iii .cd. bis. Sed ex. bd.in se. et in .cd.
tantum fit qnͣtum in .cu. ꝑ pͥmam haꝵ. ⁊ iõ qnͣtũ
iiI .ac. Itaq ex .bd. in se. et ni. cd. bis ꝙͣ tũ ꝙ ex. bd

Expanded text:
in d b cum quadrato c d equale est quadrato c b. Per premissam enim quadratum c b est equale quadrato c d et quadrato d b et ei quod fit ex b d in c d bis. Sed ex b d in se et in c d tantum fit quantum in c b per primam harum et ideo quantum in a c. Itaque ex b d in se et in c d bis
Abbreviated transcription (Latin):
sicut .c. ad .d. ⁊ b. ad .e: sic̃ .f. ad .c. Dico quod̾ si .a. ẽ maior
e: ⁊ f. ent ma ͦͬd. ⁊ si mĩor : mmor. ⁊ si equał: equalis.
loc at̃ ꝓlatur per eastem. ⁊ eodem mõ quo p̾cedens. Sr.u.
a. sit maior. e. erit maior ꝓpor ͦ. a ad.bi qm .e. ad .b. arͣ
maior.c. ad .d. ꝙͣ.e. ad b. ⁊ iõ maior qmͣi .c. ad .f. Ma ͦ
e. ent tandem nmor .s. ad .d. qmͣ. ad .F. Qrͣ ꝑ eandẽ
partem eiusdem .F. eut iminor .d. ꝙ ẽ ꝓpoĩtũ. Si at̃ sit
equalis .e. sequetur ut sit ꝓportõ .c. ad .d: sic̃.c. ad .f.¬

Expanded text:
c. Dico quod si a est maior e, f erit maior d et si minor, minor et si equalis, equalis. Hec autem probatur per easdem et eodem modo quo precedens. Si enim a sit maior e, erit maior proportio a ad b quam e ad b, quare maior c ad d quam e ad b et ideo maior quam c ad f, mae,erit tandem minor c ad d quam ad f quare per eandem partem eiusdem f erit minor d. Si autem a sit equalis e, sequitur ut proportio sit c ad d sicut c ad f
Abbreviated transcription (Latin):
ninius. Sit. ir. ut basis .a. ad hasim .b. ita pyranus
a. ad cor̃pus .c. de quodico ꝙ ipm̃ nõ erit uinius n ma
pyraunde .b. Nam si possibile est ut sit: sit nuiꝰ in
solido .d. ut pyramnis .u. sit equał duob corꝑib .c. ⁊
d. pit̾ acceptis. Diuisa itaq pẏrauute .u. ut ꝓponit ÷

Expanded text:
onstravimus. Sit enim ut basis a ad basim b ita piramis a ad corpus c de quo dico quod ipsum non erit minus neque maius piramide b. Nam si possibile est ut sit minus, esto minus in solido d ut piramis b sit equalis duobus corporibus c et d pariter acceptis. Divisa itaque piramide b ut proponi
Abbreviated transcription (Latin):
tur tot seratilia detracta ẽẽ ex pyraunde .a. auot decxͣ¬
inuis ex pyraunde .b. erit q ex corrlło p̾misse sic lusis
a. ad basmi .b. ita serratilia tetracta a pyramide .a. ad
serratilia detracta a pyramide .b. sed sic erat pyramis
a. ad corꝰ .c. Itaq serratilia pyrauudis .a. ad serratilia
pẏraundis .b. sic̃ pỹramis .a. ad corꝰ .c. ⁊ puiutati ser¬
ratilia ꝑẜranudis .a. ad pyrnudẽ .a. sicut serracilia py̾¬
ramidis .b. ad corpus .c. Cumq sint serrritilia pyrami¬
dis .b. maius corpore .c. erunt serratilia pẏranudis .a.
manis pỹinunde .a. et quia ħ ẽ impossibile: ñ eͭ corpꝰ
c. minus pyraunde .b. sed nec manis. ħ .n. poĩto cũ sit

Expanded text:
ex piramide a quot detraxerimus de piramide b eritque ex corollario premisse sicut basis a ad basim b ita serratilia detracta a piramide a ad serratilia detracta a piramide b. Sed sic erat piramis a ad corpus c itaque serratilia piramidis a ad serratilia piramidis b sicut piramis a ad corpus c et permutatim serratilia piramidis a ad piramidem a sicut serratilia piramidis b ad corpus c. Cumque sint serratilia piramidis b maius corpore c, erunt serratilia piramidis a maius piramide a. Et quia hoc est impossibile, non erit corpus c minus piramide
Abbreviated transcription (Latin):
g̾. insis . a. ad lusim .b. sic̃ pẏranus .b. ad corꝰ nuuus
pyraunde .a. Ex ħ autẽ temonstratũ ẽ sequi impossibile.
indel serratilia detracta ab aliqͣ pyraude maiꝰ ẽẽ ea
pymunde a qua detrahnitur. so q relinquitur corꝰ
c. eẽ equale pyiainidrb cum nec minꝰ ea possit ẽẽ
nec manis. et ꝓportõm pyramidis .a. ad pyranudẽ .b.
eẽ sit lnsis .a. ad lusim .b. ħ at̃ erat demonstnͣdum.

Expanded text:
amis b ad corpus minus piramide a. Ex hoc autem demonstratum est sequi impossibile videlicet serratilia detracta ab aliqua piramide maius esse ea piramide a qua detrahuntur. Ideoque relinquitur corpus c esse equale piramidi b, cum nec minus ea possit esse nec maius, et proportionem piramidis a ad piramidem b esse sicut basis a ad basi
Abbreviated transcription (Latin):
eqͣles angłos ꝯtin̾e. toms̃ eas adĩuicẽ eẽ equales. sic coli¬
ge ex q̃ pͥmi .⁊ 6. eiisdẽ. ꝯstat singłas eaꝵ diuidere lat̾a
pencagonoꝵ suꝑ que cadũt ꝑ equalia. easq eẽ ad iuicẽ
equales rectis nueis a centris pentagonoꝵ ad singłos an¬
głos eoꝵ. qr̃e biue ⁊ bine si᷑ id̾ latus cade̾tes ĩ eod̾ ip̃iꝰ
latĩs pd cohibẽt. eos ꝙ utraq diuidit id̾ latus. ⁊: peri¬

Expanded text:
sic collige. Ex 5 primi et 26 eiusdem constat singulas earum dividere latera pentagonorum super que cadunt per equalia, easque esse ad invicem equales ductis lineis a centris pentagonorum ad singulos angulos eorum. Quare bine et bine super idem latus cadentes in eodem ipsius lateris p
Abbreviated transcription (Latin):
re. Aumerus primus dicitur qui so¬
la uuitate metitur. Quiuerus compo¬
situs dicitur quem alius uumerus

Expanded text:
 Numerus primus dicitur, qui sola unitate metitur. ⟨vi⟩ Numerus compositus dicitur, quem alius numerus
Abbreviated transcription (Latin):
poĩtꝰ est rectus. et per ẜam partem et per t̾ciam p̃. ut̾q
bus. et angulus tͥanguloꝵ. adf.bof. et quia lia bf. est
equal linee. ef: erunt. z lie bf af ef. ad ĩiuicẽ equales.
Quare per ꝯ tertu: ent f centr̃ circłi q̃ siti. Sit rursus tu¬
gonus. abc ambligomꝰ. sit q angulus .a. obtusus. latꝰ
bc respiciens imic angulũ obtusum quem duudo ꝑ eqͣlia.
ĩpcõ h. a quo ad media pcã reliquoꝵ duoꝵ lac̾ũ que sũt
d et e duco lineas hd et he. ent q. dh. eq̃distans. ac ⁊
eh. eq̃distans. ab. pp̃ id quod demonstratũ ẽ supͣ .z9. pͥ¬
mi. indelic quod lia secans duo lat̾a alicꝰ tanguli ꝑ equa¬

Expanded text:
positus est rectus, erit per secundam partem et per tertiam 29 primi bus et angu linee c f, erunt tres linee b f, a f, c f ad invicem equales, quare per 9 tertii erit f centrum circuli quesiti. Sit rursus trigonus a b c ambligonius sitque angulus a obtusus, latus b c respiciens hunc angulum obtusum divido per equalia in puncto h a quo ad media puncta duorum reliquorum laterum que sint d et e duco lineas h d et h e eritque d h equidistans a c et e h equidistans a b propter id quod demonstratum est supra 39 primi videlicet quod linea secans duo latera alicuius trianguli per equa
Abbreviated transcription (Latin):
tis lineis. ab be cd. et da. quas dico ꝯtin̾e quadratũ qͣsicũ
ipẽ .n. erut equales ad ĩuicẽ ꝑ.e. pͥmi t̾ assũptã pp̃ id qd̾ qͣtũ
or lic. ea. eb. ec. et. ed. sunt equales. et eor angłi qui st̃
ad .e. recti. Sed ⁊ umisquisq quatuor anguloꝵ. ab cetd
culo. erit igitur. ab cd qͣdratum per diffõnem quod ẽ ꝓpoĩtũ¬

Expanded text:
quadratum quesitum. Ipse enim erunt equales ad invicem per 4 primi ter assumptam propter id quod 4 linee e a, e b, e c et e d sunt equales et 4 anguli qui sunt ad e recti. Sed et unusquisque 4 angulorum a, b, c, d micirculo. Erit igitur a b c d quadratum per diffinitionem. Quod est propositu
Abbreviated transcription (Latin):
lmeam defuitam in ꝯtinuum rectumq qnͣtunilib
protͣhere. Item super centrum qd lib qnͣtumlib occu¬
pando spacumi: cͥcłm designare. St̾em om̃s rectos anigłos
sibi inuicem esse eqͣles. Item siliea recta super duas rͤ¬
tas imeas cecid̾it: duo q angłi ex una parte duob an¬
gulis rectis minores fu̾int illas duas lineas in eam ꝑtez

Expanded text:
e definitam, in continuum rectumque quantumlibet protrahere. Item super centrum quodlibet et quantumlibet occupando spatium, circulum designare. Item omnes angulos rectos subinvicem equales esse. Item si linea recta super duas lineas rectas ceciderit, duoque anguli ex una parte duobus rect
Abbreviated transcription (Latin):
e.f. nec excetat nec excetatur ab eã. est .n. eqͣł ꝑ ꝯu̾sam ultime cõ¬
ceptõnis. ⁊ ead̾ rõne e ͭ angłs .b. equał angło .e. ⁊ angłs .c. equalis
angło.f. Si at̃ linea .b.c. non catat sr̃ lineam .e. f. sed cadat intͣ
tͥangłmi sicut linea .e.g. f. aut exͣ. sicut linea .c.h. f. tunc due li ͤ
recte inducent suꝑficiem qd̾ est ꝯͣ ultiãm ꝑeticõnen .d. manuei¬

Expanded text:
ltime conceptionis et eadem ratione erit angulus b equalis angulo e et angulus c equalis angulo f. Si autem linea b c non cadit super lineam e f, sed cadat intra triangulum sicut linea e g f aut extra sicut linea e h f, tunc due linee recte concludunt superficiem quod est contra ultimam petitione
Abbreviated transcription (Latin):
c̾et p ͦ alt̾a alt̾am. ⁊. ꝓtͣhati li ͣ .c d. Quia gͥ t̾angłi. acd. duo la¬
t̾a . ac. ⁊ ad.sunt equalia: erit anglł. acd.equas angło. ad c. ꝑ q.
Simiłr quaꝵ tͥangło . bc d. duo lat̾a .bc. et .bd. sunt eqͣlia. er̃t
angłi. bc d. ⁊. b dc. equales ꝑ eandem. Et qr angłs . b .cd. est ma¬
ior angło. adc. sequitur angłm. bc d. ẽẽ maioiorem angło. ac d.¬

Expanded text:
d duo latera a c et a d sunt equalia, erit | angulus a c d equalis angulo a d c per 5. Similiter quia in triangulo b c d duo latera b c et b d sunt equalia, erunt anguli b c d et b d c equales per eandem et quia angulus b d c est maior angulo a d c sequitur angulum b c d esse maiorem ang
Abbreviated transcription (Latin):
lias que numero sunt in ꝯprehensibiles pret̾misit eucdites qͣꝵ ħ ẽ uua.
¶ Si due qntitates equales ad qmͣlibet tertiam euis¬
tem genis comparentur simł erunt ambeaut illa
tercia aut eque maiores aut simł equales. Item a¬
lia qnͣta est alia qnͣtitas ad qmͣlz aliam eiusdem
geius tantam esse qnͣilz tertiam ad qmͣlib qrͣta

Expanded text:
lias que numero sunt incomprehensibiles pretermisit Euclides quarum hec est una: Si due quantitates equales ad quamlibet tertiam eiusdem generis comparentur, simul erunt ambe illa tertia aut eque maiores aut eque minores aut simul equales. Item alia. Quanta est aliqua quantitas ad quamlibet aliam eiusdem generis, tantam esse quamlibet tertiam ad aliquam quartam
Abbreviated transcription (Latin):
um eas coutinenciũ inuenire. Ut si parces ꝓpor̃¬
te sunit. abc. sint eas denoiantes. def. ⁊ sumatur mim̃mꝰ
ꝙͣ nu̾at. d ef. qui sit .g. hunc dico eẽ quem ãrimus. erũt
p. nn eo ꝓpoĩte partes ꝑ .3a. qui si nõ fu̾it m̃mꝰ eas con¬
tinens. st g ͦ .n. quem nu̾abũt. def.ꝑ .38. nõ erat ges¬
uo. ꝑtes. abc. indet̾mĩate pomi et non sub qnͣtitate certa.

Expanded text:
| eas continentium invenire. Ut si partes proposite sint a, b, c sintque eas denominantes d, e, f et sumatur minimus quem numerant d, e, f qui sit g. Hunc dico esse quem querimus. Erunt enim in eo proposite partes per 37 qui si non fuerit minimus eas continens, sit o partes a, b, c indeterminate poni et non sub quantitate certa.
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicatõne nium̃i ꝓdu¬
Acuntur. Suꝑficial appel¬
latur uinu̾us qui duob lat̾ib continet᷑.
Sint ꝯtinue ꝓportõales
sunt.ac: suit ꝯͣ se pͥim. dico auod in eatẽ pportõne ñ reꝑ¬
ientr totideni mĩores. Si at̃ ꝯtiugit: sint .d e f̃. cł ꝙ p̃
uinseptuui .a. ad.s. sicut .d. ad .f. et quia .a. ⁊ .c. sũt mi¬
nie in sua ꝓportõne p.23. eiusteni. sequit᷑ ꝑ .zi. ut .a. nu¬

Expanded text:
iplicatione numeri producuntur. ⟨ii⟩ Superficialis appellatur | numerus qui duobus lateribus continetur. Sint continue proportionalessint contra se primi. Dico quod in eadem proportione reperientur non totidem minores. Si autem contingit, sint d, e, f eritque per 15 septimi a ad c sicut d ad f et quia a et c sunt minimi in sua proportione per 23 eiusdem, sequitur per 21 ut a nu
Abbreviated transcription (Latin):
rectilineꝰ angłs in senuc̾do supͣ arc̃¬
ꝯsistat: rectꝰ est. Si uͦ in portõne seĩ¬
ccłominore rͤto maior. Si autẽ in portõe
portõns angulus senucurtło maioris r¬
cũ ferencia fiat angulus. abc.ductis inicis . ab. et .bc. Dico illũ
angłm ẽẽ rectũ. procͣhatur ab ipõ angulo in centr̃. bd. eͭq ꝑ

Expanded text:
rectilineus angulus in semicirculo supra arcuconsistat, rectus est, si vero in portione semicirculo minore, recto maior, si autem in portioneportionis angulus semicirculo maioris rcumferentia fiat angulus a b c ductis lineis a b et b c. Dico illum angulum esse rectum. Protrahatur ab ipso angulo in centrum linea b
Abbreviated transcription (Latin):
recto. In oĩ at̃ ꝓuncto ultͣ.c. ut in .e. faciet ꝑ penultiã hꝰ ma
angłis ẽ reꝑire maiorẽ angło seĩcircłi ⁊ mĩorẽ non tamen eqͣ¬
le ut mõstrat᷑ ẽ ũii. hꝰ. sic in angulis portõnis ẽ reꝑire maio¬
rem recto et mmorẽ non cũ equalent p ex ista.

Expanded text:
recto. In omni autem puncto ultra c ut in e faciet per penultimarecto. In omni autem puncto ultra c ut in e faciet per penultimaangulis est reperire maiorem angulo semicirculi et minorem, non tamen equalem ut monstratum est in 15 huius, sic in angulis portionis est reperire maiorem recto et minorem, non tamen equalem, ut patet ex ista.
Abbreviated transcription (Latin):
ad qmͣ tulimꝰ instanciã uril. hꝰ.tͣnsitur .u. a tͥangulo portoĩs
senncͥcło m moris qui ẽ iminor recto ꝑ ultiãm ꝑtem hꝰ. ad ãgłs
portõnis seimarcso maior qui ẽ maior recto ꝑ penultĩam ꝑcem
huius nõ tũ ꝑ equale. cũ .n. om̃is portõ circuli sit semiards
aut maior senuarcło aut Minor. sit auteui tã angulus sem¬
circłi ꝑ pͥmam partem .iii. quã angłs portõnis m moris per
ultiãm huiꝰ nuuor recto portõns uero maioris sic maior rcõ
nõ ent alionꝰ portõnis angulus. nec simpłr aliquis ꝯtentu
a crcum ferencia. et linea recta equał recto. Ꝙ ut darius
pateat: sit in circło. abc. tuiꝰ centr̃ .d. linea. ab. cui uõ sit
det̾imãtꝰ finis ex ꝑte .b. secans ex ip̃o portõm semitircło ma¬
iorẽ. erit q ip̃ins portõnis angulus ꝑ ultiãm ꝑtem hꝰ mĩor
rector. Hiuius circłi sit dyamet̃. adc. ⁊ ymagmet᷑ li ab
.c. cooperiens dẏametr̃. adc. faciet cũ aitu angłui iumorem

Expanded text:
ad quas tulimus instantiam in 15 huius. Transitur enim ab angulo portionis semicirculo minoris qui est minor recto per ultimam partem huius ad angulum portionis semicirculo maioris qui est maior recto per penultimam partem huius, non tamen per equale. Cum enim omnis portio circuli sit semicirculus aut maior semicirculo aut minor, sit autem tam angulus semicirculi per primam partem 15 quam angulus portionis minoris per ultimam partem huius minor recto. Portionis vero maioris sit maior recto, non erit alicuius portionis angulus nec simpliciter aliquis contentus a circumferentia et linea recta equalis recto. Quod ut clarius pateat, sit in circulo a b c cuius centrum d linea a b cui non sit determinatus finis ex parte b secans ex ipso portionem semicirculo minorem. Eritque ipsius portionis angulus per ultimam partem huius minor recto, hc cooperiens diametrum a d c faciet cum arcu angulum minorem
Abbreviated transcription (Latin):
diuitat᷑ iii .c. sit q. ab. ad .bc̃: sicut .bc.ad.ca. eͭ itaq
ac. inuor. eb detrahatur gͥ ab eo equas sibi aͥ sit.cd.
Quia gͥ est ꝓpoitõ touis ab. ad totum . bc. sic̃ .bc. te¬
tructi ab. ab: ad .cd. decractum ab .bc. erit eatẽ. as.
cd. ut sit .de. equał .db. erit etiam ꝓportõ .uc. ad.cd. si¬
cut .cd. ad .de. qtͣ sicut .db. residui .ch. ad .cc. residuũ.¬

Expanded text:
c ad c a. Erit itaque a c minor c b, detrahatur igitur ab eo equalis sibi qui sit c d. Quia igitur est proportio totius a b ad totum b c sicut b c detracti ab a b ad c d detractum ab b c, erit eadem a c c d ut sit d e equalis d b, erit etiam proportio b c ad c d sic c d ad d e, quare sicut d b residui c b ad c e residuu
Abbreviated transcription (Latin):
pymiidẽ eãaltam pyramidi.a. nanc at lat̾atã pyraĩdem
ꝓ bab̾ ẽẽ siem iat̾ate pỹraundi decracte a rotunda py raĩde
.b. ꝙ ħ mõ facies. ꝓduces axes cegitacc̃e uł actu. in utͥsq pỹ¬
niundib .a. ⁊h. ⁊ a centus basi ꝓtrahas imeas rectas ad
oñis angłos inscͥptoꝵ poligonioꝵ. Erũt qr ex p̾missa añce ͭ
oñis angłos quos ꝯtin axis prraundis .a. c̃ siugłis hueis¬

Expanded text:
atam piramidem probabis esse similem laterate piramidi detracte a rotunda piramide b. Quod hoc modo facies: produces axes cogitatione vel actu in utrisque piramidibus a et b et a centris basium protrahes lineas rectas ad omnes angulos inscriptorum poligoniorum. Eruntque ex premisso antecedente omnes anguli quos continet axis pira
Abbreviated transcription (Latin):
de. ad minorẽ. ef.q̃ sit . eh. sic̃. ab. ad bc . Et q ꝑ pͥmissã. ac. ad
tur. fu̾it q totum ad totum qnͣtũ ab¬
scisum ad abscisum. erit reliqũ ad reli

Expanded text:
d e ad minorem e f que sit e h sicut a b ad b c. Eritque per premissam a c ad tur fueritque totum ad totum quantum abscisum ad abscisum, erit reliquum ad reli