comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Sint. a.⁊ .b. ⁊ .o. que multiplicant .d. siue .d. sit nume¬
rus siue pͣs uel partes. Pducatur auttem ẽ. ⁊ ex ductu sin¬
gulorum in.d. ꝑueniant. f .g. h. Itaq ꝑ xxiii. sccłi. erit
unum ad.a. ⁊ .b. ⁊ . c̃. sic̃.d. ad. f.g.h. ⁊ ex diffõe erit unũ
ad easdem sic̃ .d. ad. ẽ. Ent gͦ. e. tam qͣm. f .g.h. ⁊ hoc est
quod subditur.

Expanded text:
Sint a et b et c que multiplicant d sive d sit numerus sive pars vel partes. Producatur autem e et ex ductu singulorum in d proveniant f g h. Itaque per xxiiiam secundi erit unum ad a etb et csicut d adf g h. Et ex diffinitione erit unum ad easdem sicut d ad e. Erit ergo e tanquam fg h. Et hoc est quod subditur.
Abbreviated transcription (Latin):
numerum numerent: & illos scdm
quos eum numerant: ineadem me¬
musice suit mediẽt numerenti.d. scđ̾m. e. f .g. erunt isti in
in antepremissa aigue.
i tres numeti musice medietatis aliꝙ̃
numerum numerent: illi scđm quos
ponencur.
s̃i tiit̃ pportionis que est .ã. ad.c. sint .d.e. Itaq .d. momines
illos illos ducatur.⁊ ꝑueniant. f.g.h. qui etiam in arm̃ eĩt¬

Expanded text:
numerum numerent, illi secundum quos eum numerant in arismetica memusice sint medietates numerentque d secundum e f g, erunt isti in et in antepremissa argue. i tres numeri musice medietatis aliquem numerum numerent, illi secundum quos ponentur. rmini item proportionis, que est a ad c, sint de. Itaque d in omnes illos ducatur et proveniant f g h qui etiam in armoni
Abbreviated transcription (Latin):
inigeom̃ medietate. habes duosmedios inmusica med. Ꝙ
si plures quesieris. ducas. d. in omnes ⁊ .ẽ. induos extremos.
habebis ingeom̃ .iiͦi. ⁊ tresinter eos medios in aimonica.
⁊ sic deinceps.
uotlibet numeros ingeometrica me.¬
dietate scđ̃m datam proportionem
continuare. inter singulos quorum

Expanded text:
in geometrica medietate, habes duos medios in musica medietate. Quod si plures quesieris, ducas d in omnes et e in duos extremos et habebis in geometrica quatuor et tres inter eos medios in armonica et sic deinceps. uotlibet numeros in geometrica medietate secundum datam proportionem continuare inter singulos quorum
Abbreviated transcription (Latin):
perpartientem componat: atur super¬
partiens que duplicata multiplicem suꝑparticularem con¬
stituat. Numerusq denominans partes sit.ã.⁊ numerans
sit .b. ⁊ uno maior quam. ã. sit. c̃. atq.c̃. ducaturin.ã.⁊ ꝑdue¬
to addatur .b. sitq totus. d̃. Palam autem quod ꝓportio.d.
ad.ã. est multiplex suꝑpartiens. cuius multiplicũ est deno¬
minatio. ẽ. ⁊ partium. a. ⁊ numerus earum .b. Sig̾ illa inse
ducatur ⁊ de illo sumatur quod fit ex. c̃. in se: ⁊ quod ex.ã.
in illas partes bis. erit totum numerus ⁊ relinquetur quod
fit exuno in partes illas bis. ⁊ quod exeisdem partib inse.
que qm̃ cum uno duplam suꝑparticularem consti¬
tuũt: ꝑse unum ⁊ partem faciunt. que addita cum pͥorib.
numerum ⁊ partem componunt. Patet gͦ qm̃ ꝓportio ꝑ¬

Expanded text:
perparticularem componat. Inveniatur superpartiens que duplicata multiplicem superparticularem constituat. Numerusque denominans partes sit a et numerans sit b et uno maior quam a sit c. Atque c ducatur in a et producto addatur b sitque totus d. Palam autem quod proportio d ad a est multiplex superpartiens cuius multiplicis est denominatio c et partium a et numerus earum b. Si igitur illa in se ducatur et de illo sumatur quod fit ex c in se et quod ex a in illas partes bis, erit totum numerus et relinquetur quod fit ex uno in partes illas bis et quod ex eisdem partibus in se. Que quoniam cum uno duplam superparticularem constituunt, per se unum et partem faciunt que addita cum prioribus numerum et partem componunt. Patet ergo quoni
Abbreviated transcription (Latin):
compositus ex . d.⁊. ẽ. producitur exductu.a. in cõpo¬
situm . b. ⁊c̃. Patec enim exdescriptione quod.b̃. nu¬
merat.d. scd̃m.ã.⁊.c̃. numerat. ẽ. scđm eundem. Per
.uͣi.gͥ presentis facile argumentab̾is.
Quod fit exductu alicuius numeri in

Expanded text:
compositus ex d ete producitur ex ductu a in compositum b et c. Patet enim ex descriptione quodb numerat d secundum a et c numerat e secundum eundem. Per viam ergo presentis facile argumentaberis. § x Quod fit ex ductu quotlibet numerorum
Abbreviated transcription (Latin):
donales: quod sub extremis con¬
tinetur. equale est ei quod pro¬
ducit᷑ ex mediis. Quod si ꝑducta
¶U li. ã. ad. b sicut᷑ b ad. c̃. Ponatuir aũ d̃. equaliss̃.
eritq.ã. ad .b. sicut .d.ad.c̃. Per p̾missam itaq pͥmam
partem aigues. Reliquam similiter. qm̃ quod fit ex .b.
init̃. equatur ei quodex .b. in se. sicq ꝑpremissam habet᷑
cõclusio.

Expanded text:
onales, quod sub extremis continetur equale est ei quod producitur ex mediis. Quod si producta Ut si a ad b sicut b ad c, ponatur autem d equalis b eritque a ad b sicut d ad c. Per premissam itaque primam partem argues. Reliquam similiter quoniam quod fit ex b in d equatur ei quod ex b in se. Sicque per premissam habetur conclusio.
Abbreviated transcription (Latin):
dicitur: in qua scđm unitatis adliti¬
onẽ fit ipsoꝵ cõputatio. Differẽ¬
tia numeroꝵ appellat᷑ numerus il¬
le: quo maior suꝑ minorem ha¬
bundat. Humeri ab aliis eque¬
distare dicuntur. cum ipsoꝵ ad
illos equales sunt differentie.
umerus ꝑ aliũ multiplicatur. quiꝰ
tociens coac̃uat᷑ sͥ. quotiens in mł¬
tiplicante est unitas. & qui exmł
seđm aliquem multiplicatus. illũ
s̃ ꝓducit. Pars est numerus numeri
minor maioris cũminor maiorem
numerat. & qͥ numerat᷑ numerantis¬
.s̃. multiplex appellat᷑. De nominan
est numerus scđm quem sumit᷑ pars¬
r. in suo toto. Similes dicuntur par¬
tes que abeodem numero denomin¬
t̃tur. Prima &e simpla numeri pa¬
ẜ is est unitas. Quando duo num̃i
partem habuerint cõmunem: quo

Expanded text:
dicitur in qua secundum unitatis additionem fit ipsorum computatio. ‹iv› Differentia numerorum appellatur numerus ille quo maior super minorem habundat. ‹v› Numeri ab aliis equedistare dicuntur cum ipsorum ad illos equales sunt differentie. ‹vi› Numerus per alium multiplicatur qui totiens coacervatur sibi quotiens in multiplicante est unitas; et qui ex msecundum aliquem multiplicatus ipsum producit. ‹viii› Pars est numerus numeri minor maioris cum minor maiorem numerat, et qui numeratur numerantis multiplex appellatur. ‹ix› Denominans est numerus secundum quem sumitur pars in suo toto. ‹x› Similes dicuntur partes que ab eodem numero denomin‹xiii› Prima et simpla numeri pars est unitas. ‹xiv› Quando duo numeri partem habuerint communem, quo
Abbreviated transcription (Latin):
Sit ut prius. b equalis .c̃.⁊ .a. partes quasaddit̾. ab.
supra.c.⁊ qr. d. tãquam .ã. ⁊ .b. ⁊.c̃. addet .d. suꝑduplum.c̃.
partes quote fu̾int. ã. Eritq ꝑpͦ.d̾. ad .c̃. muttiplex suꝑpar¬
ciens. Item qm̃. ab. non est multiplex .c̃. non ertt.e pa¬
rs. s partes. ab. ⁊ qr . d̾. addit suꝑ ab. quantum est c̃ ent
ꝓpꝰ . d. ad. ab. suꝑpartiens. Cademqͦ rõe ⁊ si. ab fũit mul¬
tiplex suꝑꝓartiens ad .c. qr. ⁊ .b. er̃ multiplex.c̃. ⁊ ẽ partes
superpartiens. adminorẽ uero mł¬
maiorem quantum est minor si quidem minor fuerit pa¬
stat. Q reliquum est si quidem minor fuerit pars:
cr̾it ꝯ posius ẽielem multiplex. Ꝙ simaior minori ñ ẽ
mulciplex. cũ necẽe sit ẽẽ unum reliquoꝵ .iiͦiͦi. si fu̾it suꝑ¬
particusaris ue multiplex suꝑparicularis. er̃ posteus
minoris multiplex suꝑparticularis. Si uͦ suꝑpartiens¬

Expanded text:
Sit, ut prius, b equalis c et a partes quas addit a b supra c. Et quia d tanquama et b et c, addet d super duplum c partes quote fuerunt a. Eritque proportio d ad c multiplex superpartiens. Item quoniam a b non est multiplex c, non erit c pars sed partes a b. Et quia d addit super a b quantum est c, erit proportiod ad ab superpartiens. Eademque ratione et si a b fuerit multiplex superpartiens ad c, quia et b erit multiplexc et cpartes superpartimaiorem quantum est minor siquidem minor fuerit pastat. Quod reliquum est: siquidem minor fuerit pars, erit compositus eidem multiplex. Quod si maior minori non est multiplex cum necesse sit esse unum reliquorum quatuor si fuerit superparticularis vel multiplex superparticularis, erit compositus minoris multiplex su
Abbreviated transcription (Latin):
mensura sit. f. Sigͥ.f. fũit primus. numȩrabit aliq̃m
illorum ꝑ p̃missam. q̃m ad.d. ẽẽ cõmens ẽẽ ꝯseq̃r. qd¬
est cc̃ ypothesim. Si compositus: numerabit eum aliqͥᷤ
pͥmus. quem etiam unum eorum numerare adictis
occasione sumpta:. conuinces. Uñ ⁊ idem inconueniẽs
ꝑuenire patet.

Expanded text:
ommunis mensura sit f. Si igitur f fuerit primus, numerabit aliquem illorum per premissam. Quem ad d esse commensurabilem est contra ypothesim. Si compositus, numerabit eum aliquis primus. Quem etiam unum eorum numerare a dictis occasione sumpta convinces. Unde et idem inconveniens provenire patet.
Abbreviated transcription (Latin):
quadratum constituat. sit quadratus.¬
iquadratus in quadratum ducat᷑: xiiii.¬
ꝓducet᷑ quadratus. Siuͦ in non qua¬
dratum: non quadratus ꝑueniet.
Unde patet quod siquadratus
numeret quadratũ: scđm qua¬
dratum eum numerabit.
¶ Ponatur eñi si possibile est fieri ut numeret eũ
quod est ccͣrium posttioni.

Expanded text:
quadSit datus quadratus a qui primo ponaquadratus in quadratum ducatur, producetur quadratus. Si vero in non quadratum, non quadratus proveniet. Unde patet quod si quadratus numeret quadratum, secundum quadratum eum numerabi Ponatur enim si possibile est fieri ut numeret eum quod est contrarium positioni.
Abbreviated transcription (Latin):
a. ⁊ nuimenis aquo pars eiꝰ de nõlat᷑ sit. b. cui siqͣtlibet.
multiplices sumantur ꝯstat ut in ante p̾missa. quẽ libet
eoꝵ in .b. ductum ꝑduce numerum. Sigͦ quolib eoꝵ uno
maior sumatur. idem in eandẽ ductus numerum ⁊ partẽ
faciet. Multiplex ttaq ab ipso dicta cum eadem suꝑparti¬
culari multiplicẽ suꝑꝓarticularẽ componet.

Expanded text:
a et numerus a quo pars eius denominatur sit b. Cui si quotlibet multiplices sumantur, constat, ut in antepremissa, quemlibet eorum in b ductum producere numerum. Si ergo quolibet eorum uno maior sumatur, idem in eandem ductus numerum et partem faciet. Multiplex itaque ab ipso dicta cum eadem superparticulari mul
Abbreviated transcription (Latin):
Sit .ã. numerus denominans multiplicem. cuiqͦlib
sumantur multiplices. partes quoq ab eis denominate ac¬
cipiantur. quarum quelib siꝑ.ã. multiplicetur: ꝑueniet
tota pars unius quota pars fuerit .a. numeri eãm deno¬
minantis. Si gͦ abeadem parte multiplicata suꝑparticła¬
ris dicatur. eatem cumdata młtiplice iuncta:. multipli¬
cem suꝑparticłarẽ ꝑducet. ut ꝑponitur.

Expanded text:
Sit a numerus denominans multiplicem cui quotlibet sumantur multiplices, partes quoque ab eis denominate accipiantur quarum quelibet si per a multiplicetur proveniet tota pars unius quota pars fuerit a numeri eam denominantis. Si ergo ab eadem parte multiplicata superparticularis dicatur, eadem cum data multiplice iuncta multiplicem superparticularem producet, ut proponitur.
Abbreviated transcription (Latin):
t̾us ⁊ suꝑ eos ꝯstructi serratiles. quoꝵ altitudo sit equalis
lat̃i maioris basis. ꝯiuncti erunt equales cubo ꝑpremis¬
sam.⁊ piramides eoꝵ equales piramidi cubi. S ⁊mai¬
or serratilium est eque altꝰ sue piramidi. duploq sue
basis sibi addito: fiet ei triplus. Alteruero qr eque alt̾
est alii. erit uno altior suapiramidẽ. basi gͥ semel ei addi¬
ta. fiẽt ei triplus. basis uͦ sua cum basi alterus: fatiunt
tectagonum cubi. Quare sicubo addatur basis sua cũ
basi maioris sertatilis. fiet triplus piramidi sue. ⁊ hoc
est quod uoluimus ꝑbare.
Sicuib cubo adiungantur basissua
& triangularis basi sue equilaterꝰ.
efficietur triplus sue piramidi.

Expanded text:
erratiles quorum altitudo sit equalis lateri maioris basis coniuncti erunt equales cubo per premissam et piramides eorum equales piramidi cubi. Sed et maior serratilium est eque altus sue piramidi duploque sue basis sibi addito fiet ei triplus. Alter vero quia eque altus est alii, erit uno altior sua piramide. Basi igitur semel ei addita fiet ei triplus. Basis vero sua cum basi alterius faciunt tetragonum cubi. Quare si cubo addatur basis sua cum basi maioris serratilis fiet triplus piramidi sue. Et hoc est quod volumus probare. ilibet cubo adiunganturbasis sua et triangularis basi sue equilaterus, efficietur triplus sue piramidi.
Abbreviated transcription (Latin):
¶Diuidatur primus inuni
taspͥmi. tota pars primi illoꝵ. quota scda scđi. Perp̃¬
missam itaq erit pͥmus t̾cii tota pars: qͦta unit̾as uniꝰ
iquotiens unitas inprimo dociens .uii.

Expanded text:
Dividatur primus in unitas primi tota pars primi illorum quota secunda secundi. Per premissam itaque erit primus tertii tota pars quota unitas unius quota est unitas in
Abbreviated transcription (Latin):
trangula de serratilita sili¬
cet ut aseq̃nti equalium tͥanguloꝵ scds triangulariũ
piramidis detrahatur ⁊ det̾cio t̾cius ⁊ ita deinceps. patec
quia depenultimo auferetur sup̃ma unitas piramidis.
⁊ cum basis serratilis in basi piramidis tollatur tota. serra¬
tilis ultimꝰ triangularis totus remanebit. Palam ⁊ quod
inscđo triangulari remanet latus suum̃. ⁊ inõib supe
qui ipsum insingulis residuum quadrati sui sũmam
ꝯponit. preterea det̾cio remanet numerus qui latus suñ
⁊ seqͥr ⁊ insuꝑiorib similiter. Uñ ⁊ quadrati sui sũma ex¬
c̃scit.⁊ sic omniũ quadratoꝵ usq unum quantitates ag¬
gregate erunt. ut insup̃mo tͥangulari etiã unttas resi¬
dua ꝯstet quadratis numeranda exquib piramis tetra¬
gona ꝯficitur eqͥlat̾a dẽpte piramidi tnangule.

Expanded text:
triangula de serratili ita scilicet ut a sequenti equalium triangulorum secundus triangularium piramidis detrahatur et de tertio tertius et ita deinceps, patet quia de penultimo auferetur suprema unitas piramidis, et cum basis serratilis in basi piramidis tollatur tota, serratilis ultimus triangularis totus remanebit. Palam etiam quod in secundo triangulari remanet latus suum et in omnibus supquod ipsum in singulis residuum quadrati sui summam componit. Preterea de tertio remanet numerus qui latus suum et sequitur et in superioribus similiter. Unde et quadrati sui summa excrescit et sic omnium quadratorum 1 usque unum quantitates aggregate erunt ut in supremo triangulari etiam unitas residua constet quadratis connumeranda. Ex quibus piramis tetragona conficitur equilatera dempte piramidi triangule.
Abbreviated transcription (Latin):
Sinumerils ꝑdiio eqͣlia duoq in eqͣ¬
lia diuidatur quod exductu uni¬
us equalium in se ꝑducitur: tantũ
est quantum quod fit exductu
unius in eqͣlium in reliq̃m. cũ eo
ꝙ fit ex diffã in differentiam.

Expanded text:
Si numerus perduo equalia duoque inequalia dividatur, quod ex ductu unius equalium in se producitur tantum est quantum quod fit ex ductu unius inequalium in reliquam cum eo quod fit ex differentia in differentiam.
Abbreviated transcription (Latin):
.t.ad .b. ⁊ perconceptionem que.ã. ad.d̃. ea .c̃. ad.b. Sit
itaq differentia. ã. ad .c̃. ẽ. ⁊ ad .d̃. sit .f. Quod itaq fit ex
ductu. c̃. in .d. tantum est quantũ quod fit ex.c̃. in .b. ⁊ ĩ
.ẽ. pernonam.s quod ex.c̃. in.b.⁊.ẽ.tantum est quan¬
tum coũ. quod ex .b̃. ⁊. ẽ. in.c̃. per .uiii. Quod autem ex
.ẽ. in.c̃. equatur ei quod fit ex. ẽ. in .b. ⁊f. per.ix. s quod
ex ẽ. in .b. quantum quod ex .b. in.ẽ. Quod autem ex
.b.in.c̃.⁊ in ẽ. tantum est quantum quod ex .b. in .ã. ꝑ
.iͣxͣ. constat gͥ quod hoc quod fit ex.c̃. in .d. tantum est
quantum quod ex.b. in.ã. cum eo quodexẽ. in.f. ⁊ hoc
inumerus per duas qͣs libet diuisio.xx¬
nes diuidatur: qd fit exductu maxi¬
mi diuidentiũ inminimũ. cũ eo ꝙ
ex differentia ipsius ad alt̾um medi¬
orũ indiffãm eiusdem adminim̃:

Expanded text:
ad b et per conceptionem que a ad d ea c ad b. Sit itaque differentia a ad c e et ad d sit f. Quod itaque fit ex ductu c in d tantum est quantum quod fit ex c in b et in e per nonam. Sed quod ex c in b et e tantum est quantum econverso quod ex b et e in c per viiiam Quod autem ex e in c equatur ei quod fit ex e in b et f per ixam . Sed quod ex e in b quantum quod ex b in e. Quod autem ex b in c et in e tantum est quantum quod ex b in a per ixam . Constat ergo quod hoc quod fit ex c in d tantum est quantum quod ex b in a cum eo quod ex e in f. Et hoc numerus per duas quaslibet divisiones dividatur, quod fit ex ductu maximi dividentium in minimum cum eo quod ex differentia ipsius ad alium mediorum in differentiam eiusdem ad minim
Abbreviated transcription (Latin):
Mint in equales portiones ma¬
fit.c̃. cuius adittͣq eadem est differentia ꝑ sccłam. sitq
.d. Constat autem ꝑ .xiiiiͦ. quod hoc quod fit ex .c̃. in se
tantum est quantum quod fit ex .b. in se.⁊.d̃. uise ⁊¬
.u. in.d.bis. S .b. inse ⁊ in.d. bis tantum est quantũ qd̃
exb. in .ã. per .xiiiiͦ. qm̃ duplum .d. est differentia.b. ⁊
.ã. Palam gͥ quod hoc quod fit ex. ã. in .b. cũ eo quod

Expanded text:
int inequales portiones sit c cuius ad utramque eadem est differentiam per secundam. Sitque d. Constat autem per xvam quod hoc quod fit ex c in se tantum est quantum quod fit ex b in se et d in se et b in d bis. Sed b in se et in d bis tantum est quantum quod zxbma per xiiiiam quoniam duplum d est differentia b et a. Palam ergo quod
Abbreviated transcription (Latin):
pars.g̃. quota .b. est .d. erit compositus ex. ẽ.⁊ .b. similis parᷤᷤ
compositi ex.g̃. ⁊.d. perquartam.Patet gͥ. c̃. ẽẽ tamquã
.g. ⁊ .d̾. quare .g̃. equale est.f est itaq. f. eque multiplex ad
.ẽ. sic̃. c̃. ad .ã. ⁊ hoc est quod dicitur.

Expanded text:
pars g quota b est d erit compositus ex e et b similis pars compositi ex g et d per quartam. Patet ergoc esse tanquam g et d. Quare g equale est f Est itaque f eque multiplex ad e sicut c ad a. Et hoc est quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
¶e duabus pͥmo di¬
ã.⁊ .b. comparentur ad.c̃.⁊.d. Siue enim.ã. ad.c̃. ⁊ .b. ad .d. Siue
.ã. ad. d. ⁊.b. ad.c̃. referantur. semꝑ eadem erit composita ꝓpͦ.
.b. ad .d. Pt̾ciam itaq presentis argue. Tres itẽ tribus cõ¬
⁊. ẽ. ad .d̃. Sumantur gͥ ita ut cũ utraq dispositione uno cõ¬
.ẽ. ad .d. sunt tãquã. c̃. ad .d.⁊. ẽ. ad.f. sic̃ ꝑbat̃ est.: ob hoc ꝑpꝰ¬
.a. ad.b̃.utrumq. addita eandem componit. It̾m .ã. adf.
ꝙgͦ addita ꝑpͦneque est. ẽ. ad.d. tota quoq erit equalis.
Quare ꝑ medium pͥme coniuncte sunt tamquã relique.

Expanded text:
e duabus pria et b comparentur ad c et d sive enim a ad c et b ad d sive a add et bad creferantur semper eadem erit composita proportio. b ad d. Per tertiam itaque presentis argue. Tres item tribus comet e ad d. Sumantur igitur ita ut cum utraque dispositione uno cone ad d sunt tanquam c ad d et e ad f sicut probatum est, ob hoc proportioa ad b utrimque addita eandem componit. Item a ad f  addita proportione que est e ad d tota quoque erit equalis. Quare per medium prime coniuncte sunt tanquam relique.
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmi. atq in se facit tetragonũ. ⁊ in.ã. ꝑxinũ parte alt̾a
longiorem:⁊ qi tetͣgonus. c̃. totus est ab unitate qͦtus ille.
exag̾ est post unitatem. palam est ꝙ dr᷑¬
icuilibet exangulo equiangulo pꝰ
unitatem. totus tetragonus abuni¬
tate cum sequente parte altera lõ¬
giore ꝯiungatur: ꝑueniet octogo

Expanded text:
primi atque in se facit tetragonum et in a proximumparte altera primi atque in se facit tetragonum et in a proximumparte altera longiorem et quia tetragonus c totus est ab unitate quotus ille exagonus est post unitatem, palam est quod dcuilibet exangulo equiangulo post unitatem totus tetragonus ab unitate cum sequente parte altera longiore coniungatur, proveniet octogo
Abbreviated transcription (Latin):
tur inordine unitates datinumeri. ⁊ sicut in xuiii. fac
tum est quot unitates in pͥmo. tot suꝑ ponantur uno sẽꝑ
se excedentes. Deinde suꝑ ultimum qui est maximus eq̃¬
les ordines ad aptentur. donec totidem faciant quot sunt
iuusus in lat̾e. unitatib sibi directe adaptatis. Deinde
sup supius latus totidem ⁊ similes eodemq mponant᷑
ordines unitatum quot sunt sub inferiori. uno semꝑ
decrescentes ⁊ habebis octogonum equilat̾um.
ii.ã. Maximusq ordinum ipsus sit .b̵. addatqꝑ supra
ã numerum.e. ⁊ qm̃ .b. minus estuno quam duplũ a.
erit. c̃. minor uno quam. ã. Sigͥ ad modum exagoni supͣ
.ã. disponamus unttates usq adb. ⁊ tunc ipsi applicemuᷤ
directe ei equales sccłm.c̃. ⁊ reliquos addamus ordines exa¬
goni: ꝯsumabitur octogonus. quare manifestum est ꝙ
idem exagonus cum eo quod fic ex.c̃. in .u. ꝑficit octogon.
⁊ quia.c̃. in .b. tantum est quantũ. c̃. in se ⁊ in .ã. ꝑ nonã

Expanded text:
tur in ordine unitates dati numeri et sicut in xviiiam tum est quot unitates in primo tot superponantur uno semper se excedentes. Deinde super ultimum qui est maximus equales ordines adaptentur donec totidem faciant quot sunt unitates in latere unitatibus sibi directe adaptatis. Deinde super superius latus totidem et similes eodemque modo ponantur ordines unitatum quot sunt sub inferiori uno semper decrescentes et habebis octogonum equilaterum.i a maximusque ordinum ipsius sit b addatque supra a numerum c. Et quoniam b minus est uno quam duplum a, erit c minor uno quam a. Si igitur ad modum exagoni supra a disponamus unitates usque ad b et tunc ipsi applicemus directe ei equales secundum c et reliquos addamus ordines exagoni, consumabitur octogonus. Quare manifestum est quod idem exagonus cum eo quod fit ex c in b perficit octogonum. Et quia cinb tantum est quantum c in se et in a per nonam
Abbreviated transcription (Latin):
um enim idem suꝑficialis fit exductu numeri¬
Iinnumerum: scd̾a facta multiplicatione ex de scͥptio¬
ne patet ꝑuenire solidum.

Expanded text:
um enim idem superficialis fit ex ductu numeri in numerum, secunda facta multiplicatione ex descriptione patet provenire solidum.
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Si eñi sibi suꝑ ponantur. lat̾a eo¬
rum exuna parte directe ad apta¬
ta qm̃ unosemꝑ se transgrediuntur. ꝑ scdam huiustͥ¬
angularem ꝯstituent. a cuiꝰ supp̃ma unitate si adreliqͥs
angulos basis linee demiitantur. sic̃ in ante p̃missa argu¬
mentare.
Sicuilibet numero equalium lat̾m .xxuiii.
omnes abunitate ipsi similes appo¬
nantur: qui componetur erit pira¬
mis. basemq ipsius eundem ẽe cõ¬
ueniet.¬
ueniet : b triangularib que sunt atriangula¬
il basis sue usq unitatem. Est autem basis minoris ꝑxi¬
mus triangularis post basim maioris. ꝯiuncti gͥ faci¬
unt tetragonum. Scd̾s quoq unius ac scd̾s alt̾ius seq̃ntẽ
retragonum.⁊ sic usq dum extrema unttas minoris cum
penultimo alt̾ius pͥmum post unttatem tetragonum cõ¬
ficiat. Unitas gͥ si opponatur. habebimus omnes tetrago¬
nos usq ad illum cuius latus est equale lat̾i triangula¬
ris basis maioris piramidis.⁊ qm̃ ꝑp̃missam exomnib

Expanded text:
 Si enim sibi superponantur, latera eorum ex una parte directe adaptata quoniam uno semper se transgrediuntur per secundam huius triangularem constituent. A cuius suprema unitate si ad reliquos angulos basis linee demittantur, sicut in antepremissa argumentare.Si cuilibet numero equalium laterum omnes ab unitate ipsi similes apponantur, qui componetur erit piramis basemque ipsius eundem esse conveniet.omnibus triangularibus que sunt a triangulari basis sue usque unitatem. Est autem basis minoris proximus triangularis post basim maioris. Coniuncti igitur faciunt tetragonum. Secundus quoque unius ac secundus alterius sequentem tetragonum et sic usque dum extrema unitas minoris cum penultimo alterius primum post unitatem tetragonum conficiat. Unitas igitur si opponatur, habebimus omnes tetragonos usque ad illum cuius latus est equale lateri triangularis basis maioris piramidis. Et quoniam per premissam ex omnibus
Abbreviated transcription (Latin):
exagonas siue plurium lat̾m: ce la¬
t̃a equidistant̃ erecta colũpne nõinẽ¬
¶ Hasis extreme unitates sint. a .b. c̃. ut in
Ialtero t̾mino sit. c̃. Dico gͦ ꝙ in scdo ordine
erunt pauciores unitates. quarũ ex treme unitates sĩt.
.d.ẽ. si gͥ totidem fuerint lat̾a. ad.⁊. ec̃. erunt eqͥdistã¬
tia qm̃ unitates inutroq ordine equaliter distant.⁊
sic non ꝯdudetur tͥangulus. Pauciores autem cum
sint. qm̃ quantum distat. ã. a.b. tantum .ã. a .d. ⁊ .c̃.
ab. ẽ. siponatur.h. tota a.c̃. quota. ẽ.a. d̃. distabit .h.
ab. d. quantum.c̃. ab.ẽ. ⁊ iõ quantum.ã .a.d.Si gͦ.h.
non fuerit ꝑxima pꝰ.ã. s sit .b. in medio. cum distet .a.¬
a.d. quantum .a.a .b. erit longitudo inter.ã. ⁊ .h. qͣnt̃
que int̾. ã.⁊ .d. ⁊ ĩt .h.⁊.d. uł amplius ꝙ est ĩpossibile. ⁊
iõ ordo sequens semꝑminor uno quam p̃cedens donec
extrema sit unitas. ⁊ q totidem st̃ ordines qͦt inbase

Expanded text:
exagonas sive plurium laterum et laexagonas sive plurium laterum et latera equidistanter erecta, columpne nomine Basis extreme unitates sint a b c ut in altero termino sit c. Dico ergo quod in secundo ordine erunt pauciores unitates quarum extreme unitates sint d e. Si igitur totidem fuerint, latera a d et e c erunt equidistantia quoniam unitates in utroque ordine equaliter distant et sic non concludetur triangulus. Pauciores autem cum sint quoniam quantum distat a a b tantum a a d et c ab c, si ponatur h tota a c quota e a d, distabit h ad quantum c ab e et ideo quantum a ad .Si ergo h non fuerit proxima post a, sed sit b in medio cum distat aa.d quantum a ah erit longitudo inter a et h quantum que inter a et d et inter h et d vel amplius quod est impossibile. Et ideo ordo sequens semper minor uno quam precedens donec extrema sit unitas. Et quia totidem ordines quot in base
Abbreviated transcription (Latin):
lis opponantur. ita ut singuloꝵ ordi¬
num termini in lat̃ibus reliquis ex¬
cipiant᷑. In altum dispositio solidoꝵ
est coaptatis insimul suꝑficialib.
ex quoꝵ laterib directe sibi apposi
quadrilat̃i. Alii pentagoni. Alii
pluriũ laterum. Quadrilatoꝵ.
quidam lat̾a opposita habent eqͥ¬
distantia. qͥdam minime. N ume¬
roꝵ autẽ quoꝵ lat̃a opposita sunt
hñt lat̾a unitate distantia &e uocan¬
tur parte altera longiores. aut ãpliꝰ
& dicunt᷑ añ longiores. Numeroꝵ
in altum ꝯpositoꝵ diũsas ẽẽ bases
ꝯtingit. qͦꝵdã triangulas. alioꝵ qͣ¬
drangulas. atq ita decet̾is. Hoꝵ
õium quidã hñt lat̾a simul appli¬
cata. & dnͣr piramides. quidam hñt
latera que & sunsimul tendant. ñ
tñ ꝯueniunt. & appellant᷑ curte pi¬
ramides. quidã hñt lat̾a eqͥdistã¬
Qui uͦ quadrangulam. &e ipsi inlõ¬
gum ce latũ & altum eqͣliter distẽ¬
dantur: dicentur cubi. Quicũq
uͦ bases habuerint pentagonã uel

Expanded text:
lis opponantur ita ut singulorum ordinum termini in lateribus reliquis excipiantur. ‹v› In altum dispositio solidorum est coaptatis insimul superficialibus ex quorum lateribus directe sibi appositquadrilateri, alii pentagoni, alii plurium laterum. ‹vii› Quadrilaterorum quidam latera opposita habent equidistantia quidam minime. ‹viii› Numerorum autem quorum latera opposita sunt habent latera unitate distantia et vocantur parte altera longiores aut amplius et dicuntur antelongiores. ‹ix› Numerorum in altum compositorum diversas esse bases contingit quorundam triangulas, aliorum quadrangulas atque ita de ceteris. ‹x› Horum omnium quidam habent latera simul applicata et dicuntur piramides. Quidam habent latera que etsi insimul tendant non tamen conveniunt et appellantur curte piramides. Quidam habent latera equidistanQui vero quadrangulam et ipsi in longum et latum et altum equaliter distendantur, dicentur cubi. Quicumque vero bases habuerint pentagonas vel
Abbreviated transcription (Latin):
ut enuim eum numerabit. aut non. si numerat pars
eius est. Sinon numerat: de trahat᷑ ab eo quociens potest.
remanebitq eominor.qm̃ si nichil remanserit. palam
est qd eum num̃at. Cum gͦ minor eoremaneat. idẽ
ent ipsius pars uel partes ꝑprimã.⁊ hoc ẽ ꝙ intendimꝰ
probare.
miis numerus minor maioris uł xxix.
est pars. uel detracto eo quocienᷤ
potest amaiore. relinquetur ipsi¬
us aut pars aut partes. Nt prmuue
ciens ẽ quditus.d. decrahaturq primus de scd̃o quo¬
tens potest sitꝙptotus ẽ ⁊ residuus t̃ ⁊ quotiens est aa
⁊̃ tocienssit. T in.gͣ. Postto g̃ pͥmo ee minoretuo. per
XXUII. . xxuiii. bis. quota pars uel partes est. ẽ.b. tote ẽ
erit.ħ. c̃.⁊ quia quotiens c̃. in .g̃. tociens idem potest de¬
trahi a.d. remanetq.ħ. qui tota pars uel partes est ip¬

Expanded text:
ut enim eum numerabit aut non. Si numerat, pars eius est. Si non numerat, detrahatur ab eo quotiens potest remanebitque eo minor quoniam si nichil remanserit palam est quod eum numerat. Cum ergo minor eo remaneat, idem erit ipsius pars vel partes per primam. Et hoc est quod intendimus probare.mnis numerus minor maioris vel est pars vel detracto eo quotiens potest a maiore relinquetur ipsus aut pars aut partes. Aut ec, quartus d. Detrahaturque primus de secundo quotiens potest sitque totus e et residuus f. Et quotiens est a in e totiens sit c in g. Posito ergo primo esse minore tertio per xxviiam et xxviiiam bis quota pars vel partes est e b tote est erit h c. Et quia quotiens c in g totiens idem potest detrahi a d remanetque h qui tota pars vel partes est ip
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sint numeri positi. ã.⁊ .b. ⁊ detracto .b. qui sit minor deã.
quociens potest. remaneat. c̃. ⁊. c̃. de .b. detracto. reliquus sit
d.⁊ id. de .c̃. relinquatur. ẽ.⁊ quia necẽẽ est relinqui unita¬
tem. sit ut detracto. ẽ. de. d̃. contingat. Sigͥ multiplex. ã.
debet ad dere suꝑ multiplicem .b. Sumatur alter extre¬
morum qui sit impar ab eo. ut hic. est. Sumatur multi¬
plex eiꝰ qui addat unum suꝑ multiplicem .d̃. qui sit. f.
in quo sit.ẽ. scđm . ħ. ducaturq .h.in.c̃. ⁊ fiat. fg̃. qui ad¬
det suꝑ multiplicem.d. unitatem qm̃ .ħ. in .c̃. quantũ
in .d. uel eius multiplicem ⁊ in.ẽ. dempto gͦ uno de.fg̃
remaneat. Kg. ut sit .k. ⁊ unitas equale.f. Sitq .d. in. rg̃.¬
scđm .l. qui ductus in .. faciat. m̃. cui addito uno. fiat
ñ quem numerabit.c̃. eadem ratione.⁊ sit ut scđm. t̃. qͥ
ductus in .ã. faciat.ỹ. qui similiter addit suꝑ multipli¬
cem .b. unitatem qui sit .x̃. Si autem maiorem uolumꝰ

Expanded text:
Sint numeri positi a et b et detracto b, qui sit minor, de a quotiens potest remaneat c. Et c de b detracto reliquus sit d. Et d de c relinquatur e. Et quia necesse est relinqui unitatem, sit ut detracto e de d contingat. Si igitur multiplex a debet addere super multiplicem b, sumatur alter extremorum qui sit impar ab eo ut hic e. Sumatur multiplex eius qui addat unum super multiplicem d qui sit f in quo sit e secundum h ducaturque h in c et fiatfg qui addet super multiplicem d unitatem quoniam hinc quantum in d vel eius multiplicem et in e. Dempto ergo uno de f g remaneat k g ut sit k et unitas equale f. Sitque dinkg secundum l qui ductus in b faciat m cui addito uno fiat n quem numerabit c. Eadem ratione : et sit ut secundum t qui ductus in a faciat y qui similiter addit super multiplicem b unitatem qui sit x. Si autem maiorem volumus
Abbreviated transcription (Latin):
¶Ab ipso serratili extremuiᷤ
Idem gͥ est diuisibilis induas piramides. quaꝵ una est
tuangula piramis basis. ⁊ alt̾a piramis basis cuiꝰ tecͣ¬
gona equilata basi altfius ꝑ premissam. S ⁊ hec eadẽ
diuisibilis est induas quarum una pͥori equalis.⁊ alt̾a mi¬
nor ea quantũ est basis eiusdem ꝑ.xxix.p̃sentis addito itaq
prius dempto triangulari. fiet illa equał alt̃i. Sicq fient
tres equales. ꝯstituentes sufficienter totum serratilem .⁊ hoc
est quod intendimus.

Expanded text:
Ab ipso serratili extremus tIdem igitur est divisibilis in duas piramides quarum una est triangula piramis basis et altera piramis cuius basis tetragona equilatera basi alterius per premissam. Sed et hec eadem divisibilis est in duas quarum una priori equalis et altera minor ea quantum est basis eiusdem per i xxixam presentis. Addito itaque prius dempto triangulari fiet illa equalis alteri. Sicque fient tres equales constituentes sufficienter totum serratilem. Et hoc est quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
Sint minimi t̃mini eiusdem ꝑportionis. a. ⁊ .b. Sitq c̃. scłm
quem sumende sunt suꝑparticulares equales. Deinde maio
.c̃. ducatur in .ã. ⁊ .b. ⁊ fiant.d.⁊ ẽ. ut inter.d. ⁊.ẽ. suit numeri
plures quam unitates in .c̃. maximusq eoꝵ qui est ꝑximꝰ
post .d. sit.f. ⁊ qi ꝓportio que est. f ad.õ. est suꝑparticularis ⁊
minima omnium que sunt continue inter numeros usꝙ ad
ẽ. eadem continuata sibi inter.g̃. ⁊ .h. scdm. c̃. erit ꝓportio.ħ.
ad.g̃. minor quam .d. ad. ẽ. ⁊ quia .õ. numerat . ħ̃. numeret
ẽ. totiens.R. Qua ꝓpter erit .R. minor.g̃. ⁊ quia quotus est. R̃
ag̃. tot intereos sunt suꝑparticulares: erit ut eaten eum cõ¬
tinuatis ꝓportionib inter. h ⁊ .g̃. ꝯstituant eam ꝓportionem
que est initer.a. ⁊ .b. ⁊ hoc est quod ꝓposuimus.

Expanded text:
Sint minimi termini eiusdem proportionis a et b. Sitque c secundum quem sumende sunt superparticulares equales. Deinde maior c ducatur m ad b et fiant d et e ut inter d et e sint numeri plures quam unitates in c maximusque eorum qui est proximus post d sit f. Et quia proportio que est f ad d est superparticularis et minima omnium que sunt continue inter numeros usque ad e, eadem continuata sibi inter g et h secundum c erit proportio h ad g minor quam d ad e. Et quia d numerat h, numeret e totiens k. Quapropter erit k minor g. Et quia quotus est k a g tot inter eos sunt superparticulares, erit ut eadem cum continuatis proportionibus inter h et g constituant eam proportionem que est inter a et b. Et hoc est quod proposuimus.
Abbreviated transcription (Latin):
Medii dicuntur duo numeri
qui non habentes aliquem inter¬
positum: equales habent ad extrem¬
os differentias. Perfectus numeruᷤ
appellatur qui exomnib partib su¬
is ꝯunctis ꝑficitur. Habundans
dicitur ad quem omnes partes sue
comparate maius habere inueni¬
untur. Diminutus autem uoca¬
tur cuius partes omnes coniuncte

Expanded text:
Medii dicuntur duo numeri qui non habentes aliquem interpositum equales habent ad extremos differentias. ‹ix› Perfectus numerus appellatur qui ex omnibus partibus suis coniunctis perficitur. ‹x› Habundans dicitur ad quem omnes partes sue comparate maius habere inveniuntur. ‹xi› Diminutus autem vocatur cuius partes omnes coniuncte
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sit ut. ab̃. sit suꝑparticularis ad.c̃. ꝯpositusq exeissit .d.
Sitq ut .b. sit equalis. c̃. addatq. ãb. suꝑ.c̃. quantum est
.c̃. addet .d. suꝑ duplum. c̃ quautum est .a. quare .d. cõ¬
tinet. c̃. bis. ⁊ eius partem quota est .a. ent gͦ ei multiplex
suꝑ particularis. ⁊ qr.ã. numerat .c̃. nũabit etiã. ab
eruntq. c̃. partes. ab. addit aũ.d. suꝑ. ab. quantũ est c̃
ꝯtinet gͦ eum semel ⁊ eius partes. quare ipsius ad illũ ẽ
ris: eadem est ratio.
imaioris ad minus fuerit suꝑpar¬
ticularis uel multiplex suꝑparticu¬
larisꝑportio: ꝯpositi ex eis adminorẽ

Expanded text:
 Sit ut a b sit superparticularis ad c compositusque ex eis sit d. Sitque ut b sit equalis c addatque a b super c quantum est c, addet d super duplum c quantum est a. Quare d continet c bis et eius partem quota est a. Erit ergo ei multiplex superparticularis. Et quia a numerat c, numerabit etiam a b eritque c partes a b. Addit autem d supera b quantum est c. Continet ergo eum semel et eius partes. Quare ipsius ad illum estris, eadem est ratio.maioris ad minus fuerit superparticularis vel multiplex superparticularis proportio, compositi ex eis ad minore
Abbreviated transcription (Latin):
¶Dm̃ enim totum addit su
erit ut reliqꝰ sit eiu̾dem pars. Quota autem pars eius est
tota est suꝑarticularis que est tocius adipsum.⁊ quia idẽ
numerus denominat partem atq ꝑportionẽ multiplicẽ:
erit ut tota sit suꝑparticularis tocus ad ipsum: quota
multiplex ipsius adreliquum ⁊ hoc ẽ ꝙ subditur.
.c̃. ad.ã. suꝑ particularis. simił multiplici q̃ est.ã. ad.b.

Expanded text:
m enim totum addit super illum quantum est reliquus, erit ut reliquus sit eiusdem pars. Quota autem pars eius est tota est superparticularis que est totius ad ipsum. Et quia idem numerus denominat partem atque proportionem multiplicem, erit ut tota sit superparticularis totius ad ipsum quota multiplex ipsius ad reliquum. Et hoc est quod subditur. rtio c ad a superparticularis similis multiplici que est a ad b.
Abbreviated transcription (Latin):
quotus fuerit post unitatem ex toto terͣgono cõstat ⁊ tri¬
angulari abunitate toto. Idem triangulus qui etiam
ips est quẽ ꝓpositio ꝓponit. ex opposito lat̾e tetragoni
ulibet pentagonoꝵ post unitatem
cum toto triangulari abunitate.
exagonum post unttatem simili

Expanded text:
quotus fuerit post unitatem ex toto tetragono constat et triangulari ab unitate toto, idem triangulus, qui etiam ipse est quem propositio proponit, ex opposito latere tetragoni libet pentagonorum post unitatem cum toto triangulari ab unitate exagonum post unitatem simili
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Etem̃ bases suas inipsiˢ
unius ⁊ basis alt̾ius ꝯiuncte tetragonum efficunt: cuius
latus lati maioris equale: erit ut in illis ꝯiuinctis dot sint
huius mͦi quot etiam in lat̾e unius eoꝵ erunt unitates.
ĩqt erillis omnib ostituitur cub: palam est ⁊ quod ex
serratilib¬

Expanded text:
 Etenim bases suas in ipsisunius et basis alterius coniuncte tetragonum efficiunt cuius latus lateri maioris equale, erit ut in illis coniunctis tot sint huiusmodi quot etiam in latere unius eorum erunt unitates. Et quia ex illis omnibus constituitur cubus, palam est etiam quod ex serratilib
Abbreviated transcription (Latin):
medii tres unus scdm arismethicã
medietatem. & unus scđm geome¬
tricam. & tercius scdm armonicã.
arismethicum maximum. & armo¬
nicum minimum. Atq inter ilb¬
geometricum medium ẽẽ ꝓportio¬
naliter est necesse. MDatam p̃roportionem¬
rum due sunt equales sedđm . lxiͣx. noni. Illas gͦ continuamꝰ
inter. a .b. c̃. Sumamus itaq ꝑ .xl. presentis tres t̾̃minos
armonice medietatis. scđm ꝓportionem. a. ad.c̃. sintq. d̃.
ẽ.f. Er̃q ꝑ .xii. quarti inter.d.⁊.f. medius ingeometrica.
medietate. qui sic habendus est. ducatur.d. in.F. ⁊ ꝑducti
.d. ⁊ f non sit in aimedietate medius. quod est si alter
fũit par alter impar.duplentur or¬
mus inter .h. ⁊.m. quoꝵ ꝑportio est minor uel non maior
uos numeros quoꝵ ꝑpͦ non sit data .lxii¬
ꝓpͦne maior inuestigare. inter qͦs
scđm dictas medietates tres me¬
dios assignare sit possibile.
liber iordani deeleritis arimetice. cccc

Expanded text:
tres: unus secundum arismeticam medietatem et unus secundum geometricam et tertius secundum armonicam, arismeticum maximum et armonicum minimum atque inter ilgeometricum medium esse proportionaliter est necesse. Sint inquarum due sunt equales secundum lxixam noni. Illas ergo continuamus inter a b c. Sumamus itaque per xxxixam presentis tres terminos armonice medietatis secundum proportionema ad c. Sintque d ef. Eritque per xiiam quarti inter d et f medius in geometrica medietate qui sic habendus est. Ducatur d in f et producti d si inter d et f non sit in arismetica medietate medius quod est si alter fuerit par, alter impar, duplentur omus inter h et m quorum proportio est minor vel non maior uos numeros quorum proportio non sit data proportione maior investigare inter quos secundum dictas medietates tres medios assignare sit possibile. liber Jordani de elementis arismetice cccc
Abbreviated transcription (Latin):
sis. c̃. ẽẽ maiorem .⁊.d̃.⁊.ẽ. Quod autem .d. sit maior.ẽ. sic
habetur. quia aium differentiaꝵ ipsius ad extremos mi¬
nor est ꝑpͦ quam urter differentias illius ad eosdem. eĩ
ꝑ .xuiii. sedi: differentia ipsuis ad.a. minor differentia
que est.ẽ. ad.ã. sicq patet. d. ẽẽ maiorem.ẽ. Quia itẽ
.b. ad.ẽ. tamquam.c̃. ad.ã. ꝑ.xliiii. huius.⁊ quia .a. ad
.d. sicut .d. ad .b. ꝑ .xxii. scđi: erit.c̃. ad .d. sicut .d. ad.ẽ. ⁊
hoc est quod dicitr.

Expanded text:
sis c esse maiorem et d et e. Quod autem d sit maior e, sic habetur. Quia enim differentiarum ipsius ad extremos minor est proportio quam inter differentias illius ad eosdem, erit per xviiiam secundi differentia ipsius ad a minor differentia que est e ad a. Sicque patet d esse maiorem e. Quia item b ad e tanquam c ad a per xliam huius et quia a ad d sicut d ad b, per xxiiam secundi erit c ad d sicut d ad e. Et hoc est quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
duo extremi erunt quadrati.
Quit quatuor illi. a.b. c̃.d̃. Per .xii. itaq quarti:. erũt
duo medii under:.a. ⁊ unitatem incontinua ꝓpͥnalitate
litop.ẽ. F. It̃q int̃.d̾. ⁊ unitatẽ duo qui sint. g̃. ⁊ .h. ⁊ quia
Fin ẽ. quoties unitas an .f.⁊ siłr. ẽ. in .ã. erit ut.f. use duc¬
tus faciat ẽ ⁊ i ẽ. faciat.ã. quare.a. est cub. Cadem qͦ¬

Expanded text:
duo extremi erunt cubi. Sint quatuor illia b c d. Per viiam itaque quarti erunt duo medii inter a et unitatem in continua proportionalitate sintque e f. Itemque inter d et unitatem duo qui sint g et h. Et quia f in e quotiens unitas in f et similiter e in a, erit ut f in se ductus faciat e et in e faciat a. Quare a est cubus. Eadem q
Abbreviated transcription (Latin):
Eit. ã. denominans multiplicem. sumanturq duo nũ
quoꝵ unus non numeret alium . b. ⁊ . c̃. quoꝵ maior .i. b. sit
pͥmus ad.ã. Inquirat᷑ it̃ multiplex. a.⁊. sit .d̃. qui suꝑ mul¬
tiplicem .b. addat. c̃. ⁊ numeret ad. scđm .g. Suꝑpartiẽs
gͥ cuius partium denominans sit .b. ⁊ numerans.g. est ut
ꝓponit᷑. etenim . a. in partes illas ducta similes facit s nũa¬
tas a.d.⁊ iõ numerum. ⁊ suꝑfluũt partes similes .i. a.b.
dicte ⁊ numerate. a.c̃.⁊ qr partem ñ faciunt. patet qi ꝯposi¬

Expanded text:
Sit a denominans multiplicem. Sumanturque duo numeri quorum unus non numeret alium b et c quorum maior idest b sit primus ad a. Inquiratur item multiplex a et sit d qui super multiplicem b addat c et numeret a d secundumg. Superpartiens igitur cuius partium denominans sit b et numerans g est ut proponitur. Etenim a in partes illas ducta similes facit sed numeratas a d et ideo numerum et superfluunt partes similes idest a b dicte et numerate a c et q
Abbreviated transcription (Latin):
date.⁊ .b. numerans. sitq.c̃. maior. a. uno. qui si in illas
partes ducatur. ꝑueniet multiplex. a.⁊ in suꝑ totidem
partes. Uñ sequitur ꝙ simultiplex dicta ab.c̃. in illam
ducantur: ꝑueniet multiplex suꝑpartiens. Similiter
fiet si quolib multiplice.a. maior uno sumatur.⁊ mul¬
tiplices ipsoꝵ in illam ducantur.

Expanded text:
date et b numerans. Sitque c maior a uno qui si in illas partes ducatur, proveniet multiplex a et insuper totidem de sequitur quod si multiplex dicta a c in illam ducatur, proveniet multiplex superpartiens. Similiter fiet si quolibet multiplice a maior uno sumatur et multiplices ipsorum in illam ducantur.
Abbreviated transcription (Latin):
Si uero de eisdem alii ineadem medietate.xuii.
dati minores aminorib tollantur: resi¬
dui uel erunt equales: uel eiusdem me

Expanded text:
Si vero de eisdem alii in eadem medietate dati minores a minoribus tollantur, residui vel erunt equales vel eiusdem me
Abbreviated transcription (Latin):
st si quidem medietas pariter imparis impar. Ad¬
iuncti uͦ medietas est par. que ꝯiuncte qm̃ imparem
ꝯstituunt ꝑ scdam p̃sentis. erit ut medietas tocius qui
ex eis ꝯponiturs it impar. Ideo ⁊ ipse erit part̃ impar.
ꝑ xxxiii. p̃sentis.

Expanded text:
st siquidem medietas pariter imparis impar, adiuncti vero medietas est par. Que coniuncte quoniam imparem constituunt per secundam presentis, erit ut medietas totius, qui ex eis componitur, sit impar. Ideo et ipse erit pariter impar per xxxiiiam presentis.
Abbreviated transcription (Latin):
Ducatur idem numerus in nũm il¬
irigere. Ilam denominantem. eritq numerꝰ
ꝑueniens multiplicans illam partem ⁊ ꝑducens datum
illum numerum sumantur. eadem parte addita habe¬
bimus q̃sccum. Ꝙ si paites fuerint pͥmo eas in partes
equas redige ꝑ p̃missam.⁊ postea numerum ut pͥus inpar¬
tes uni illaꝵ similes distribue. ⁊ illis additis habebis ꝑ¬
positum.

Expanded text:
Ducatur idem numerus in numerum illam denominantem eritque numerus proveniens multiplicans illam partem et producens datum illum numerum sumantur, eadem parte addita habebimus quesitum. Quod si partes fuerint, primo eas in partes equas redige per premissam et postea numerum, ut prius, in partes uni illarum similes distribue et illis additis habebis propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
sunt tanquam ꝓporcio.b. ad. ẽ. dupplicata. Ducatur si¬
quidem.ã. in se.⁊ in omnes reliquos.⁊ ꝑueniant .g.h.i.
porcionalẽs. Ducatur item.ẽ. inse. ⁊ fiat. ñ. Citi .g̃. ad
.i. sicut .l. ad.ñ. Erat autem ꝑ .uii. scdi . ĩ. adm̃. sicut. c̃. ad.f.
Et it̃ .g̃. ad.k. sicut.ã. ad.d̃. S etiam. m̃. ad.ñ. sic̃ .g. ad .R. ꝑ
xxii. scdi. hm̃s itaq int̾. ĩ.⁊ .ni. ꝯtinuatas ꝓportiones que st̃
.a. ad .d. ⁊.c̃. ad.f. S ⁊ qr .h. ad .l. sic̃ .b. ad. ẽ. ꝑ .xuii. quartiar¬

Expanded text:
sunt tanquam proportio b ad e duplicata. Ducatur siquidem a in se et in omnes reliquos et proveniant g h i coroportionales. Ducatur item e in se et fiatn. Eritque g ad l sicut l ad n. Erat autem per viiam secundi i ad m sicut c ad f. Et item g ad k sicut a ad d. Sed etiam mad n sicut g ad k per xxiiam secundi. Habemus itaque inter i et n continuatas proportiones que sunt a ad
Abbreviated transcription (Latin):
Sumantur duotͥangulares ȩquaies ⁊ adiciatur lat̃i
unius extiema unitas reliqui. Atq et onĩso latus ipsuu
ertreme unitati pͥmi. Fientq duo ordines equales uno
maiores quolibet laterum mangularis utriusq. Sigͣ
eodem uͦ alt̾natim medii ordines unius cum mediis
alterus ad aptentur. fient ꝯpositi ordines inter se & ex¬
tresus prus factis equales ꝑteriam pͥmi. Iamq ꝯple¬
tus est quadrangulus cuius opposita lata equalia ⁊ ob
hoc equi distantia.⁊ quia unum latus est latus tͥangularis.
reliquum uero maius eounitate. Patet eum ẽẽ parte alta
longiorẽ.
mnis triangularis duplicatus parte
altera. longiorem efficit.gioris quod est
manis: tollatur unitas. Atq dereliquis quoto loco ab
illo destiterint tot tollantur: quot fuerint innumero la¬
titudinis. necesse est gͦ unitatem relinqui. Patet gͥ ⁊ detͣc¬
tum ẽẽ tͥangularem ⁊ residuum tͥangularem atq ip̃oᷤ
equales qm̃ latera equalia.
Maior siquidem eoꝵ

Expanded text:
Sumantur duo triangulares equales et adiciatur lateri unius extrema unitas reliqui atque econverso latus ipsius extreme unitati primi. Fientque duo ordines equales uno maiores quolibet laterum triangularis utriusque. Si ergo eodem modo alternatim medii ordines unius cum mediis alterius adaptentur, fient 60 compositi ordines inter se et extremis prius factis equales per tertiam primi. Iamque completus est quadrangulus cuius opposita latera equalia. Et ob hoc equidistantia. Et quia unum latus est latus triangularis, reliquum vero maius eo unitate, patet eum esse parte altera longiorem. mnis triangularis duplicatus parte altera longiorem efficit. Sumantgioris quod est maius tollatur unitas. Atque de reliquis quoto loco ab illo destiterint tot tollantur quot fuerint in numero latitudinis. Necesse est ergo unitatem relinqui. Patet ergo et detractum esse triangularem et residuum triangularem atque ipsos equales quoniam latera equalia. Maior siquidem eoru
Abbreviated transcription (Latin):
inꝑrimum ascendendo numerum ducatur. ꝑduceturq
parte altera longior. cuius simedietates sumpsens.ꝑ .iiii.
p̃sentis ꝑficies propositum.

Expanded text:
proximum ascendendo numerum ducatur produceturque parte altera longior cuius si medietatem sumpseris per iiiiam presentis perficies propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
qui sub extremis continetur. quiq
exmedio in se ꝑducitur. sunt eqͣles.
Quod si illi equales fuerint: tres qͦ
numexi erunt continue ꝓporciona
¶Ut si ꝓporcio .ã. ad .b. maior .c. ad .d. ⁊ ex .ã. in¬
Les. .d. fiat. ẽ ⁊ ex. c̃. in .b. fiat. f. sed ⁊ .b. ducat᷑ in .d̾.¬
⁊ fiat .g̃. Quia gͥ ẽ. ad .g̃. sicut.ã. ad .b. atq. f. ad.g̃. sic̃.ĩ. ad
d̃.ꝑ .xͣ. huiuserit. ẽ. maior. f. Similiter econũso si .ẽ. ma¬
ior .f. ꝑnonam huiꝰ erit ꝓportio. ẽ. ad .g̃. maior qͣm. f.adg̃.
eritq obhoc ꝓportio.ã. ad .b. maior quam.t̃. ad .d.

Expanded text:
qui sub extremis continetur quique ex medio in se producitur sunt equales. Quod si illi equales fuerint, tres quoque numeri erunt continue proportionaUt si proportio a ad b maior c ad d et ex a in d fiat e et ex c in b fiat f. Sed etb ducatur in d et fiat g. Quia igitur e ad g sicut a ad b atque f ad g sicut c ad d, per xam huius erit e maior f. Similiter econverso si e maior f , per nonam huius erit proportio e ad g maior quam f ad g. Eritque ob hoc proportio a ad b maior quam c ad d.
Abbreviated transcription (Latin):
Ponatũr. quilib eoꝵ sed̃s. qui ducat᷑ in se ⁊ ꝑduc¬
tum si numeret reliquus: ille scđm quem numerat erit
q̃m queris. Sin autem: nullus ꝑ ante p̃missam.

Expanded text:
Ponatur quilibet eorum secundus qui ducatur in se et productum si numeret reliquus ille secundum quem numerat erit quem queris. Sin autem, nullus per antepremissam.