comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
tiplicem suꝑpa¬
ticularem ꝑducat: ꝓntũ est in spicere. Puenit enim uͥnun
⁊ ipsa pars a qua sumtt᷑ bis ⁊ pars ab ip̃sa ꝑducta. S ipsa
bis facit unum. cum gͦ suꝑ duo habundet᷑ pars ipsius ⁊ip¬
sa sit pars tocius: restat condudere. Quod autem que¬
libet alia duplicata suꝑpartientem ꝑducat: constat. qñ
omnis alia pars duplicata minuit ab uno uel ipsams
maius. quare ipsa bis cum parte sua non ꝑficit unũ
⁊ obhoc eins superparticusaris duplicata non ꝑ ficd
duplam. S nec suꝑparticularem recdlit ꝑp̃missam. it¬
linquitur gͦ ut superpartientem. Quod est propo¬
situo.

Expanded text:
tiplicem superparticularem producat, promptum est inspicere. Provenit enim unum et ipsa pars, a qua sumitur bis, et pars ab ipsa producta. Sed ipsa bis facit unum. Cum ergo super duo habundet pars ipsius et ipsa sit pars totius, restat concludere. Quod autem quelibet alia duplicata superpartientem producat, constat quoniam omnis alia pars duplicata minuit ab uno vel ipsam vel maius quare ipsa bis cum parte sua non perficit unum. Et ob hoc eius superparticularis duplicata non perficit duplam. Sed nec superparticularem reddit per premissam, relinquitur ergo ut superpartientem. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
.T.maius gͦ quam . k. erit gͦ.R. paites.ħ. Simili rõe qm̃
ab. est minor .F. non numerabit.f. quod fit ex. ab. in fg.
scest. hbl.⁊ qr.E. numerat .l. nec .ĩ. numerabit eum. qua¬
re neq. þl.⁊ qr .l. est quantum. k.bis. ⁊ .b. ꝑnonam pri¬
mi ⁊ quia.⁊. est equale. R⁊ t̃. equale uel maius quã d̃.

Expanded text:
z t, maius ergo quam k. Erit ergo k partes h. Simili ratione quoniam z t, maius ergo quam k. Erit ergo k partes h. Simili ratione quoniam a b est minor f , non numerabit f quod fit ex a b in f g idest h k l. Et quia f numerat f , nec f numerabit eum. Quare neque h k. Et quia l est quantum k bis et b per nonam primi et quia z est equale k et t equale vel maius quam d
Abbreviated transcription (Latin):
mi.ã.⁊. ab. qui ꝯiuncti faciant . d. staq ẽ. maior.d̃. uno. S
⁊ ipsi ꝯiuncti faciant. f. cui addatur equale .d. sitꝙ tota
F. Ducatur.ã. in.fg. ⁊ fiat .ħ. It̾q. ab. in euudem ⁊ fiat ħ̃
ll̃ Patet gͥ qd qd ex b in. fg. fit.kl. atq ex .b. in g̃. fiat. k
quãre ex .b. in.f. fiet. ĩ. Sit item.c̃. triplus .a. Atq ex. ẽ.
in.g̃. fiat. ⁊t. sitꝙ.⁊̃. equale.k. Palam autem quod ppor¬
o. hll ad .h. est quanta. ab.at. ã ꝑ.uiii. sccłi. ⁊ qr. ãb. est
nnus quam quadruplum.ã. erit .b. minus triplo.ã. qͣre
minus quam.c̃. Constat gͥ cum. ⁊̃. sit equale.R. quod t̃.
est equale uel multiplex.d. It qi d. ⁊ .e. sunt ccͣ se pͥmi.
ent.F adutrumq pͥmus. Itaq ⁊ fg. ad.d̃.⁊ ao .f. ꝑ nonã
t̃ui bis. ⁊ quia.a. minor. d. quod fit ex .ã. in.sg̃. non nu¬
uieratur.a.d.⁊ qr .d. numerat. R.k. quoq nõ numerat
haqr. fg. mauis est quam triplum .d. mauis erit.ħ. qͣm

Expanded text:
mi a et ab qui coniuncti faciantd sitque e maior d uno. Sed et ipsi coniuncti faciant cui addatur equale d sitque totaf g. Ducatur a in f g et fiat h itemque a b in eundem et fiat h k l. Patet igitur quod ex b in f g fit k l atque ex b in g fiat k. Quare ex b in f fiet l. Sit item c triplus a atque ex c in g fiat z t. Sitque z equalek. Palam autem quod proportio h k l ad h est quanta a b ad a per viiiam secundi. Et quia a b est minus quam quadruplum a, erit b minus triplo a. Quare minus quam c. Constat igitur cum z sit equalisk quod t est equale vel multiplex d. Item quia d et e sunt contra se primi, erit f ad utrumque primus. Itaque et f g ad d et ad f per nonam tertii bis. Et quia a minor d, quod fit ex a in f g non numeratur a d. Et quia d numerat k, k quoque non numerat h. Et quia f g maius est quam triplum d, maius erit h quam
Abbreviated transcription (Latin):
pares tantum. I. numeraret ꝑqͥntã
tercii cõmunicaret cum alt̾o illoꝵ. Uel gͦ alt̾ eum nume¬
raret quod estinpossibile ꝑ .xiii. p̃sentis: uel ipse alt̾um
quod similiter est in conueniens. uel aliquis num̾aret
eos ꝯmuniter. quem oporteret ẽẽ imparem ꝑ .xiii.⁊ hoc
est qd̾ ẽẽ ñ potest.

Expanded text:
par eum numeraret, per quintam tertii communicaret cum altero illorum. Vel ergo alter eum numeraret quod est impossibile per xiiiam presentis vel ipse alterum quod similiter est inconveniens vel aliquis numeraret eos communiter quem oporteret esse imparem per xiiiam. Et hoc est quod esse non potest.
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑximi erunt cõmensurabiles. sumantur maximi eõ
numerantes. sintq ẽ. f .gͣ. eruntq illi in eadem ꝓportio¬
ne continue ꝑpͥnales ꝑ corollarium scde huius. Maxi¬
mi autem duos ⁊ duos illorum numerantes sint.h.R
eruntq .ħ. ad. ñ. sicut.ã. ad .b. Cum aũ. ẽ. numeret a
g. numeret.d. cum sint.a. ⁊.d̾. contra se pͥmi ꝑ quintã
tione .ħ. ⁊.ħ. Constat autem ꝑ corollarium .xxiii. t̃cii ꝙ
.g. scđm. R. Quociens gͦ unitas in .ħ. ⁊.ħ. in .ẽ.⁊ .ẽ.in.ã.
Similiter quociens unitas in. k a.R. totiens in .g̃.⁊g̃. in
.d. sicq patet ꝓpositio.

Expanded text:
proximi erunt commensurabiles, sumantur maximi eos numerantes sintque e f g eruntque illi in eadem proportione continue proportionales per corollarium secunde huius. Maximi autem duos et duos illorum numerantes sint h k. Eritque h ad k sicut a ad b. Cum autem e numeret a et g numeret d cum sint a et d contra se primi per quintam tione h et k. Constat autem per corollarium xxiiiam tertii quod g secundum k. Quotiens ergo unitas in h et h in e et e in a. Similiter quotiens unitas in k et k totiens in g et g in d. Sicque patet propositio.
Abbreviated transcription (Latin):
dendo donec numerus eoꝵ sit ut differentia .b. suꝑ.a.
que est par. Quia gͥ duo qui sunt cͥca. ẽ. sunt ut eiꝰ duplũ
quod est.d. ipsi cũ .d. facient duplum eius.⁊deinde qui
cura. d. facient etiam ipsius duplum. quare omnes si¬
mul duplum dupli. ⁊ sic tinue ꝯpositus semꝑ de dupliᷤ
ipsorum. quare pariter par ut ꝓponitur.

Expanded text:
dendo donec numerus eorum sit ut differentia b super a que est par. Quia igitur duo qui sunt circa e sunt ut eius duplum quod est d, ipsi cum d facient duplum eius. Et deinde qui circa d facient etiam ipsius duplum. Quare omnes simul duplum dupli et sic continue compositus semper de duplis ipsorum quare pariter par, ut proponitur.
Abbreviated transcription (Latin):
Iit ulem par .b. ꝑximusq illi descendendo
I.parit̾ parsit. a. Ipse etiam̃ si fuenit parit̃
par. suffitiet. Quot itaq sunt unitates in eius dimidis..
tot ꝯtinuentur pariter impares abunitate ꝑximusq as¬
cendendo pariter par sit. c̃. circa quem hinc ⁊ inde su¬
mantur pariter impares scđm dimidium .a. ut om̃s
sint sub numero.a.⁊ qr. c̃. non est pariter impar. ꝑx¬
imi pares hinc iñ erunt de acceptis p̾arit̃ imparibus.
Suq interbinos ⁊ binos medius erit. cum gͦ ꝯiuncti sit
quantum .c̃. sumptiꝰ scđm. ã. ꝯstat eos ostituere pariter
parem.qui sit. d. Sigͥ .b. fuerit pariter par. factum est
ꝓpositum: Sin autem ꝑximus sub.d. pariter par sit¬
.ẽ.⁊ cirra ipsum duo parit̃ impares.⁊ alii duo circa ip¬
sum.d. Idemq ꝯtinue cita omnes pariter pares ascen

Expanded text:
idem par b proximusque illi descendendo pariter par sit a. Ipse etiam, si fuerit pariter par, sufficiet. Quot itaque sunt unitates in eius dimidio tot continuentur pariter impares ab unitate proximusque ascendendo pariter par sit c circa quem hinc et inde sumantur pariter impares secundum dimidium a ut omnes sint sub numero a. Et quia c non est pariter impar, proximi pares hinc inde erunt de acceptis pariter imparibus. Sicque inter binos et binos medius erit. Cum ergo coniuncti sint quantum c sumptus secundum a constat eos constituere pariter parem qui sit d. Si igitur b fuerit pariter par, factum est propositum. Sin autem, proximus sub d pariter par sitet circa ipsum duo pariter impares et alii duo circa ipsum d. Itemque continue circa omnes pariter pares ascen
Abbreviated transcription (Latin):
sisumantur duo ⁊ duo erunt eoꝵ pͥmus par atq alter impar.
Unitas gͥ potentia er̃ & impar ⁊ trangularis. cui sibinariꝰ
ueniet par per pͥmam eiusdem. Atq illi si addatur se¬
quens impar. fiet impar ꝑscd̾am eius.⁊ qr par additus
seruat similem pͥori.⁊ impar semꝑmutat. duos quidem
⁊ duos int̾ se similes habebis ꝑꝑ parem. seil abaliis dissi¬
miles ꝑꝑ imparem. ordine stabili ut subditur.

Expanded text:
si sumantur duo et duo erunt eorum primus par atque alter impar. Unitas igitur potentia erit et impar et triangularis cui si binarius veniet par per primam eiusdem. Atque illi si addatur sequens impar fiet impar per secundam eius. Et quia par additus conservat similem priori et impar semper mutat, duos quidem et duos inter se similes habebis propter parem, sed ab aliis dissimiles propter imparem ordine stabili ut subditur.
Abbreviated transcription (Latin):
duo equalia diuidi. In cuius medietates si nuimeruᷤ
scđm quem numerat ducatur: numeratũ ꝑducit ꝑ
nonam pͥmi. I alt̾am itaq ductus eiusdẽm ꝑficit
medietatem. Dimidium g cum habeat. par ẽẽ con¬
uncitur.
¶ Sienim ponatur quod

Expanded text:
duo equalia dividi. In cuius medietates si numerus secundum quem numerat ducatur, numeratum producit per nonam primi. In alteram itaque ductus eiusdem perficit medietatem. Dimidium ergo cum habeat, par esse convincitur. . Si
Abbreviated transcription (Latin):
Sin autem diuidatur touens donec occuirat impar.
⁊ quociens hoc subdiuisio facta est: tociens ab untta¬
te fiat pariter parium duplatio. Sicq ꝑ .xxu. scdi.
sumpto penultmo parium.⁊ ꝑ .xxxiii. presentis argue.

Expanded text:
Sin autem, dividatur totiens donec occurrat impar. Sin autem, dividatur totiens donec occurrat impar. Et quotiens hec subdivisio facta est totiens ab unitate fiat pariter parium duplatio. Sicque per xxvam secundi sumpto penultimo parium et per xxxiiiam presentis argue.
Abbreviated transcription (Latin):
Qu̾ia eñim medietas eius par est.⁊ quia ipsa
Qm̃ uero non est a duob duplus. si ipse induo media⁊
dimidia eius in media resoluantur ⁊ sic de inceps. in
hac continua resolutione necesse est aliud ab unitate
occurrere qd̾ diuisionem non ferat. Ericq idem ob
hoc numerus impar. qͥ etiã datũ parẽ nũabit. Ex
descriptione gͥ er̃ ille ĩpartt̃ par.
umerus a duobus non duplus.cꝰ
medietas par: est impariter par.
am quia par numerat eum scđm parem. patet ex y¬
ypotesi.⁊ quia impar numerat eum qui ⁊ pariter impa¬
riter imparem eum numerantem numerabat ꝑ xxiii.
primi ꝯstat aliqem parem scdm imparem eum nu¬
merare.eritq ideo idem impariter par.
Exductu pariter paris in pariter.
imparem:ꝑuenit impariter par.
edietas siquidem eius erit par. Alio quin erit parit̃
impar. ht̃ gͥ medietas eius aliam medietatem. quare nu¬
merat eum duplus binarii qui est pariter par scđm di¬
midium dimidii. qui si fuerit impar numerus. sufficit.

Expanded text:
Quia enim medietas eius par est et quia ipsaio. Quoniam vero non est a duobus duplus: si ipse in duo media et dimidia eius in media resolvantur et sic deinceps, in hac continua resolutione necesse est aliud ab unitate occurrere quod divisionem non serat. Eritque idem ob hoc numerus impar qui etiam datum parem numerabit. Ex descriptione igitur erit ille impariter par. umerus a duobus non duplus cuius medietas par, est impariter par. Nam quia par numerat eum secundum parem, patet ex ypothesi. Et quia impar numerat eum qui et pariter imparem eum numerantem numerabat per xxiiiam primi, constat aliquem parem secundum imparem eum numerare. Eritque ideo idem impariter par. ii Ex ductu pariter paris in pariter imparem provenit impariter par. Medietas siquidem eius erit par. Alioquin erit pariter impar. Habet igitur medietas eius aliam medietatem quare numerat eum duplus binarii qui est pariter par secundum dimidium dimidii. Qui si fuerit impar numerus, sufficit.
Abbreviated transcription (Latin):
Iproposuimus. ã .b.
g̃. d. Dico qm̃ ꝯpositus ex. ãbg. est ad .d̃. primus. Si
enim aliquis eos numeret: idem cõm unicabit cum
altera radicum illius ꝓportionis que est.ã. ad .b. perp̃¬
missam. Erit gͦ numerus cõmuntter numerans alt̃¬
am radicum ⁊ compositum.S qm̃ utraq radicum
numerat utrumq medioꝵ. Idem numerus ꝑ .xxiii. pͥ¬
minumerabit. b.g̃. ⁊ ꝯpositum. Numerabit gͦ ⁊ reli¬
quũ .i.ã. qd̾ est inpossibile ꝑ.uͦ. presentis.

Expanded text:
proposuimusa b g d. Dico quoniam compositusex a b g est ad d primus. Si enim aliquis eos numeret, idem communicabit cum altera radicum illius proportionis que est a ad b per premissam. Erit ergo numerus communiter numerans alteram radicum et compositum. Sed quoniam utraque radicum numerat utrumque mediorum, idem numerus per xxiiiam primi numerabit b g et compositum. Numerabit ergo et reliquum idest a. Quod est impossibile per vam presentis.
Abbreviated transcription (Latin):
quotas ⁊ numerans qm̃ de nominãs
partem cum numeret minorem: numerabit ⁊ maiorẽ
ꝑ .xxiii. pͥmi.⁊ quemlibet illarum ad suum totum sicut
quemilib allaꝵ ad suum: er̃ qͦ omnes pariter accepte
ad suũ. ꝑ .xx. scđi. quare si habundat iste ⁊ ille. Sigͦ nu¬
merans est habundans: erit ⁊ numeratus. Itemq siis¬
te equalis ⁊ ille. s qr numerans ht̃ partem a se denoĩa¬
tam quã non ht̃ alter. hec si aliis addatur fiet nume¬
rus maior toto. Itaq si numerus fuerit ꝑfectus erunt
numeratus habundans.
Omnis quem numerat numerus ha¬
bundans siue ꝑfectus: habundãs
ẽe demonstratur.  t ãiminint nont̃¬

Expanded text:
s et numerans quoniam denominans partem cum numeret minorem numerabit et maiorem per xxiiiam primi. Et quelibet illarum ad suum totum sicut quelibet aliarum ad suum. Erit quoque omnes pariter accepte ad suum per xx"" secundi. Quare si habundat iste, et ille. Si ergo numerans est habundans, erit et numeratus. Itemque si iste equalis, et ille. Sed quia numeratus habet partem a se denominatam quam non habet alter, hec si aliis addatur, fiet numerus maior toto. Ita si numerus fuerit perfectus, erit numeratus habundans. Omnis quem numerat numerus habundans sive perfectus habundans esse demonstratur. Habet enim tot
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sit totus numerus. ã. ⁊ pars ipsius .b.
tus tociiis. ⁊ pars partis.c̃. s numerus denoĩanᷤ¬
.b. sit.d. ⁊ denominans. c̃. sit. ẽ.⁊ qui fit exductu .d. in. ẽ.
sit. f. Diuidat᷑ autẽ. f. in partes equales. ẽ. Itẽq. ã. in par¬
tes equales .ũ. Manifestum autẽ ꝙ equales numero eit¬

Expanded text:
 Sit totus numerus a et pars ipsius b et pars partis c, sed numerus denominansb sit d et denominans c sit e. Et qui fit ex ductu d in e sit f. Dividatur autem f in partes equales e. Itemque a in partes equales b. Manifestum autem quod equales numero e
Abbreviated transcription (Latin):
tus abuñitate ex agonus tetragonicus . a. silicet t̾ciuꝰ
pꝰunitatem.⁊ tetragonus tercius ab unitate .b. Sit
autem quartus tetragonus. c̃. ⁊ medius parte altera
longior.d.s ⁊ ꝑ.xu. huius .c̃..d. ꝯponunt .ã. Sunt
autẽ.b.⁊ .c̃. mauis quam . d. duplicatus uno. ꝑscd̾am pͥmi
⁊ .xxiii uͦi. Sit etiam. ẽ. totus triangularium abunitate qͦt̾
b. quadeatoꝵ. exitq .d. duplus illiuis. quare .b. ⁊d ⁊ .c̃. sunt
maus uno quam .ẽ. sexies sumptus facit exagonum equi¬
angulum t̾uum ab unitate ⁊ hoc unitate addita ꝑp̃mis¬
sam sirꝙ idem.f. Constat gͦ qm̃ ĩdem. f. ꝯponit᷑ ex. a ⁊. b ait
intendimus.

Expanded text:
tus ab unitate exagonus tetragonicus a scilicet tertius post unitatem et tetragonus tertius ab unitate b. Sit autem quartus tetragonus c et medius parte altera longior d. Sed et per xvam huius c et d componunt a. Sunt autem b et c maius quam d duplicatus uno per secundam primi et xxiiiiam sexti. Sit etiame totus triangularium ab unitate quotus b quadratorum. Eritque d duplus illius quare b et d et c sunt maius uno quam e sexies sumptus. Sed sexies sumptus facit exagonum equiangulum tertium ab unitate et hoc unitate addita per premissam sitque idem f. Constat ergo quod idem f componitur ex a et b ut intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
mer eas denominantes.d.e.t. Inueniatur gͥ minor nume¬
rus q̃m numerãt .d. ẽ. f̃. ⁊ sit .g̃. numerentq eum scđm . h.
l.ĩ. Sito pars. a.g̃. dicta .m. Patet gͥ ꝑp̃missam. m̃. nũare.
.i. easq omnes partter acceptas manifestũ est equales ẽẽ
.a .b.c̃. ⁊ hoc est quod erat ꝓpositum.

Expanded text:
meri eas denominantes d e f. Inveniatur igitur minor numerus quem numerant d e f et sit g numerentque eum secundum h k l. Sitque pars a g dicta m. Patet igitur per premissam m numerare l easque omnes pariter acceptas manifestum est equales esse ab c. Et hoc est quod erat propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ .t. sunt equales. Ducatur siquidem. ã. in .b. ⁊ fiat .g.
sicut .a. ad.c̃.⁊ quia ꝑterciam .ã. ad .c̃. sicut .b. ad.d.
eut.g̃. ad .d. sicut ad. f. Sunt gͦ. ẽ. ⁊.f. equales. Si aũ
et s fuerint equales. erit .g̃. adeos ꝓportio una.⁊ quia
ut dictum est gͣ. ad.ẽ. sicut .b. ad .d. It̾q .g̃. ad.f. sicut
.ã. ad.c̃. erit.ã. ad. c̃. sicut .b. ad.d̾. Per. iii. ergo argue.

Expanded text:
g. sicut a ad c. Et quia per tertiam a ad c sicut b ad d, erit g ad e sicut ad f. Sunt ergo e et f equales. Si autem e et f fuerint equales, erit g ad eos proportio una. Et quia, ut dictum est, g ad e sicut b ad d itemque g ad f sicut a ad c, erit a ad c sicut b ad d. Per iiiam ergo argue.
Abbreviated transcription (Latin):
gͥ.g̃. est equalis .i. Diuiso gͦ. Ig. ꝑ equa. ad .õ. sit .r̃. eqͣ¬
lis differentie dimidii.⁊ .g. atq .u. equale dimidio dif¬
ferentie qͦ dimidii ad totum. głm. sit equał. q̃. ert̃q qͣ¬
Arata.r̃.⁊.u.⁊q̃. que ꝓponebant᷑ que sint.pẽ. nẽ. fe. Dif¬
ferentie enim quadratoꝵ c̃ sint que ex differentiis
lat̃m incomposita exipsis ꝑducunt᷑. ert compositũ ex.r̃. ⁊ .u.¬

Expanded text:
igitur g est equalis f. Diviso ergo f g per equa ad o sit r equigitur g est equalis f. Diviso ergo f g per equa ad o sit r equalis differentie dimidii et g atque v equale dimidio, differentie quoque dimidii ad totum glm sit equalis q. Erunt quadrata r et v et q que proponebantur que sint pe, ne, fe. Differentie enim quadratorum cum sint que ex differentiis laterum in composita ex ipsis producuntur, erit compositum exr et ve
Abbreviated transcription (Latin):
¶Duplum cuius¬
ꝙ sit.c̃. ⁊ adiciatur cuilibr nũo qui sit .b. ⁊ faciat.a. Com¬
positusq ex.ã.⁊ .b. sit.d. ⁊ ex. c̃. in.ã.⁊.b. fiant .h. ⁊.k. atq
ex.ã.⁊ .b. in.d̃. ꝑueniant. ẽ ⁊. f. Ponat᷑q. głm. equalis. e.
ita ut .g̃. sit equalis .f. eritq residuum ꝙ fit ex. ẽ. in .d̃. qͣ¬
cũq.d. sit tamquã .b.b.⁊.c̃. it̃ .b. in se bis.⁊ in .c̃.semel fac̃
.g. atq .ã. in.c̃. fac̃ .l. er̃t .lg. tamqͣm qd̾ fit ex.b̃. inse. bis.⁊¬
ab. ꝙ est.d̃. in .c̃. cuiꝰ qm̃ dimidium est ꝙ ex .b. inse semel
⁊ex.d. indimidiũ. c̃. er̃ .gl. in duo media eidem equalia
diuisibile. S nͭ .g. equale est .l. si enim ẽẽt. foret.d̃. ad .ã.
sic̃ .c̃. ad .b. Sint autẽ minimi t̾mini ꝑpͦnis .ã. ad .b. ⁊̃.⁊y.
quorum differentia .x̃. ⁊ compositus ex eis . t̃. ⁊ ob hoc erit
.t̃. ad.2̃. sic̃.x. ad .ỹ. Subrracto gͥ.y. de .x̃. remaneat. s. er̃¬

Expanded text:
Duplum cuiusd sit c et adiciatur cuilibet numero qui sit b et faciat a. Compositusque ex a et b sit d et ex c in a et b fiant h et k. Atque ex a et b in d proveniant e et f. Ponaturque g l m equalis e ita ut g sit equalis f eritque residuum quod fit ex c in d qucumque d sit tanquam b bis et c, item b in se bis et in c semel facit g atquea in c facit f , erunt f g tanquam quod fit exb in se bis etab, quod estd, in c cuius quoniam dimidium est quod ex b in se semel et ex d in dimidiumc, erit g l in duo media eidem equalia divisibile. Sed nec g equalis est f. Si enim esset, foret d ad a sicut c ad b. Sint autem minimi termini proportionis a adb z et y quorum differentia x et compositus ex eis t et ob hoc erit t ad z sicut x ad y. Subtracto igitur y de x remaneat s eri
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ponantur cõmensurabiles. ã.⁊ .b. ⁊ maximus eos num̃¬
I ans .g̃. ⁊ minimus ab eis numeratus .⁊̃. habemus autem
ex .xxiii. ⁊ .xxiiii. c̃cii quod quociens .g̃. est in .ã. tociens est .b.
in.⁊. t̃ gͦ. sit .g. ad.ã. sicut .b. ad. ⁊̃.ꝑ .xii. presentis argueᷤ¬
Si fuerint duo numeri communican¬
tes: quotcumq inter alterum eorũ
&e maximum qui eosnumerat. toti

Expanded text:
 Ponantur commensurabiles a et b et maximus eos numerans g et minimus ab eis numeratus z. Habemus autem ex xxiiiam et xxiiiiam tertii quod quotiens g est in a totiens est b in z. Cum ergo sit g ad a sicut b ad z, per xiiam presentis argueSi fuerint duo numeri communicantes, quotcumque inter alterum eorum et maximum qui eos numerat totide
Abbreviated transcription (Latin):
quos inuenitur illa proportio.
situs. Omnis enim numerus se ipsum numerat.Si gͥ
aliquem non numerat. ad eum est pͥmus. Sin autẽ:
erit numerus preter ipsum qui ⁊ ipsum̃ alium
numeret. non est igitur primus.
¶Ponatur numerus compositus.ã. ꝑductus ex .b. in
ic̃. Quorum uel alcer est primus. uel ut̃q composi¬
tus. Quod si alter est primus: patet ꝓportio. Suiter¬
ꝙ compositus. sit ut .b. fiat ut exductu.d. in .ẽ. Si
item uterq istorum compositus est: sit ut .d. fiat ex
.g̃. in .F. hac ratione in infinitum decrescent nume¬
n si non aliquis occurrat pͥmus. Quod si occurre¬
rit.: idem numerabit.ã. per.xxiii. primi.¬

Expanded text:
quos invenitur illa proportio. situs. Omnis enim numerus se ipsum numerat. Si igitur aliquem non numerat, ad eum est primus. Sin autem erit numerus preter ipsum qui et ipsum et alium numerat, non est igitur primus. onatur numerus compositus a productus ex b in c quorum vel alter est primus vel uterque compositus. Quod si alter est primus, patet propositio. Si uterque compositus, sit ut b fiat ex ductu d in e. Si item uterque istorum compositus est, sit ut d fiat ex g in f , hac ratione in infinitum decrescent numeri, si non aliquis occurrat primus. Quod si occurrerit, idem numerabit a per vicesim
Abbreviated transcription (Latin):
Date suꝑparticularis pars¬
componat: ab.ã. denominetur. Sũmamꝰ
gͥ ab unitate ꝓpͦnales siue abipso siue ab alio. quoꝵ
unus sit ipse. ⁊ post ipsum sint .b.c.d. Dico itaq qd
suꝑparticularis dicta ab.ã. cum suꝑparticulan cuiꝰ
pars denominatur a .b. uel. c̃ ł .d̃.⁊ ita decet̃is suꝑpar¬
tientem constituit. Uerbigr̃a ad.u. ht̃ enum compo¬
sita indenominatione sui unum ⁊ partes que dicũ¬
stituunt ꝑ .xiii. huius qm̃. ẽ. est denumero illoꝵ ꝑpͦ¬
nalium: non erit illa ꝑportio suꝑparticularis. sednec
uupla. Relinquitur ergo ut sit iuꝑpaitiens. sicut ꝑ¬
positum est.

Expanded text:
Date superparticularis pars ab a denominetur. Sumamus igitur ab unitate proportionales sive ab ipso sive ab alio quorum unus sit ipse et post ipsum sint b c d. Dico itaque quod superparticularis dicta ab a cum superparticulari cuius pars denominatur a b vel c vel d et ita de ceteris superpartientem constituit. Verbi gratia: ad b habet enim composita in denominatione sui unum et partes que dicunstituunt per xiiiam huius, quoniam e est de numero illorum proportionalium, non erit illa proportio superparticularis sed nec dupla, relinquitur ergo ut sit superpartiens, sicut propositum est.
Abbreviated transcription (Latin):
li dispositorum duo & duo conti¬
nue ꝯiungantur: fient omnes im
Prima pars ꝯstare potest ꝑ .xii. p̾sentis. Scd̾s enim
abunitate numerat omnes in illo ordine dispositos.
Alt̾a pars asserit᷑ ꝑ .xi. eiusd̃. quia scd̾s numerat t̾ciũ
scđm se. quare t̾cius est impar. Iquia item t̾cius nume¬
rat quartum scđm p̾cedentem: er̃ qͦ ⁊ quartus impar.
Sicq postĩores per p̃cedentes ꝑbabuntur ẽẽ inpares.

Expanded text:
li dispositorum duo et duo contili dispositorum duo et duo continue coniungantur, fient omnes impPrima pars constare potest per xiiam presentis. Secundus enim ab unitate numerat omnes in illo ordine dispositos. Altera pars asseritur per xiam eiusdem quia secundus numerat tertium secundum se quare tertius est impar. Et quia item tertius numerat quartum secundum precedentem, erit quoque et quartus impar. Sicque posteriores per precedentes probabuntur esse impares.
Abbreviated transcription (Latin):
positionis satis manifesta est quod silicet duplorũ¬
q̃uilib sit par eur babeat melieratm. Iataet eaa
quod nullus sit par preter eos. Si eñi ẽẽt: ẽẽt par qui non hab̾r
medietatem in num̾̃is. Ultimũ aũꝑ . uii. scd̃i ꝑbatur¬
idispositis abunitate numeris scđm .xuiii.
naturalẽ seriem. omniũ illoꝵ dupli
sumantur: ꝑuenient omnes pares
abunitate. Er̃tq parium eodem
ordine sumpte que numerorum
abunitate dispositoꝵ ꝑportiones.
unus par. Alter erat inpar. quare ⁊ coaceruati omnes
erunt imꝑares ꝑ scd̾̃am huius. Quod autem non sit ĩ¬
parp̃t᷑ illoᷤ sicostat. Si .i. ẽet ponat Cui adlita ⁊ dempta
unitate: habebis duos pares hinc inde abeo eque dis
eorum equales illi. S qr ille unitate a se distant. Pa¬
tet illum ẽẽ unum alioꝵ imparium. Tercia pars sic
ꝓbatur. Proximoꝵ si quidem ĩparium diffã est bina¬
nus mediante pare.qui qm̃ est primus: quare perpri¬
Sinumeroꝵ abunitate ordine nat᷑a.¬

Expanded text:
positionis satis manifesta est quod scilicet duploruquilibet sit par cum habeat medietatem. Patet etiam quod nullus sit par preter eos. Si enim esset, esset par qui non haberet medietatem in numeris. Ultimum autem per viiam secudispositis ab unitate numeris secundum naturalem seriem omnium illorum dupli sumantur, provenient omnes pares ab unitate. Eruntque parium eodem ordine sumpte que numerorum ab unitate dispositorum proportiones. unus par, alter erat impar. Quare et coacervati omnes erunt impares per secundam huius. Quod autem non sit impar preter illos sic constat: Si enim esset, ponatur cui addita et dempta unitate habebis duos pares hinc inde ab eo eque diseorum equales illi. Sed quia ille unitate a se distant, patet illum esse unum aliorum imparium. Tertia pars sic probatur: proximorum siquidem imparium differentia est binarius, mediante pare qui quoniam est primus per priSi numerorum ab unitate ordine natura
Abbreviated transcription (Latin):
scd̾s abunitate fuerit par: reliqͥs
omnes pares ẽẽ. Quod si idem fũ¬
it impar reliquos etiam impares
numerum parem. ꝓprimam. ⁊ t̾riam p̾sentis. Eius gͥ
medietas si sumatur: erit eadem numerus inter eosme¬
dius ꝑconũsam scde primi. Altera pars su. Si eñim
ter eos est medius. idem dupplicatus est tamquam
illi ꝯiuncti. Pprimam partem eiusdem. Duplus
ã illiꝰ cum sit par. si alter illoꝵ fuerit par. er̃ ⁊ reli¬
quus per.ui. huitis. Si autem impar ⁊ reliquus
per.uii.¬

Expanded text:
dus ab unitate fuerit par, reliquos omnes pares esse. Quod si idem fuerit impar, reliquos etiam impares numerum parem per primam et tertiam presentis. Eius igitur medietas si sumatur, erit eadem numerus inter eos medius per conversam secunde primi. Altera pars sic: Si enim inter eos est medius, idem duplicatus est tanquam illi coniuncti per primam partem eiusdem. Duplus autem illius cum sit par, si alter illorum fuerit par, erit et reliquus per viam huius; si autem impar, et reliquus per vii
Abbreviated transcription (Latin):
Sumpar imparem numeret: scđłm¬
imꝑarem eum numerabit.
Pona¬
tur
namq si possibile est ut numeret eum scđm impa¬
rem. Argueturq ob hoc totum imparem ẽẽ ꝑ .xi.
presentis.
Scđm parem eum numerare ꝑ p̃missam argues.
ꝑ cuius paris medietatem multiplicatus: numerati
paris dimidium ꝑducet teste .uiii. scd̃i. idem gͦ dimi¬
dium numerabit. ⁊ hoc est qd ꝑbare intendimus.
uplum si qͥuidem cuiuislibet numeri est num̃uᷤ
par. cum quo si datus impar ꝯmunicet. erunt eoꝵ com¬
munis mensura numerus impar. ꝑ .xiiim. p̃sentis. Qui
cum numeret duplum numerabit ⁊ dimidium ꝑp̃
missam. Scđm illum gͦ erit datus impar cum dimi¬
dio ꝯmensurabilis. ⁊ hoc est positis contrarium.

Expanded text:
mpar parem numeret, secundum parem eum numerare conveniet. Ponatur namque, si possibile est, ut numeret eum secundum imparem. Argueturque ob hoc totum imparem esse per xiam presentis. Secundum parem eum numerare per premissam argues. Per cuius paris medietatem multiplicatus numerati paris dimidium producet teste viiiam primi. Idem ergo dimidium numerabit. Et hoc est quod probare intendimus. uplum siquidem cuiuslibet numeri est numerus par cum quo si datus impar communicet, erit eorum communis mensura numerus impar per xiiiam presentis. Qui cum numeret duplum, numerabit et dimidium per premissam. Secundum illum ergo erit datus impar cum dimidio commensurabilis. Et hoc est positis contrarium.
Abbreviated transcription (Latin):
cubi melioꝵ. Isolent fiẽri in solidis cirra con¬
tinua. Det̾minatio tñ pendet utrobiq nͣatura numeroꝵ
nota erunt ⁊ipsa. Cognitis lat̾ib fiat utrobiq quo¬
cumq mͦ ipsorum multiplicatio. qm̃ semꝑ idem soli¬
di ꝑuenient ꝑ huius.xluiii. habitisq solidis non igno
continuentur. queq exꝯtinuatis sponitur: solidorum ꝑpꝰ¬

Expanded text:
iones solent fieri in solidis circa cona, determinatio tamen pendet utrobique ex natura numerorunota erunt et ipsa. Cognitis lateribus fiat utrobique quocumque modo ipsorum multiplicatio. Quoniam semper idem solidi provenient per huius xlviii3 habitisque solidis non ignotcontinuentur queque ex continuatis componitur solidorum p
Abbreviated transcription (Latin):
sidui tota pars quota totus tocius.
Pit ut prius .ã. detractus ab. aẽ. ⁊. c̃. detractus .a.cf. sint
q. ẽ. ⁊ .f. residua. Quia gͥ.ã. est partes.c̃. quote. aẽ. ct̃. erit
⁊.ẽ. partes. F. quote. aẽ. et. Sit enĩ .b. una partium. ãẽ. ⁊ . d.
una partium. ã. detractoq.d. de .b. relinquatur .g̃. per
p̃missam gͥ erit.g̃. tota pars est quota .b. est. ae. Itemq
.g. tota pars. f. quota .b. est .cf. Cum sit gͥ. aẽ. tot partes.
.cf. quotiens est .b̃. in. aẽ. ⁊ tote quociens .b̃. in.cf. atq .g̃.
tociens in.ẽ. quociens .b. in.ae. S ⁊ .g̃. tociens in .F. quo¬
ciens .b. in.cf. ex̃. ẽ. tot ⁊ tote partes.F. quot ⁊ quote est

Expanded text:
sidui tote partes quote totus totius. Sit, ut prius, a detractus ab a e et c detractus a cf. Sint itaque e et f residua. Quia ergo a est partes c quote a e cf, erit et e partes f quotea e c f. Sit enim b una partium a e et d una partium a detractoque d de b relinquaturg, per premissam ergo erit g tota pars e quota b est a e. Itemque g tota pars f quota b est cf. Cum sit ergo a e tot partes c f quotiens est b in a e et tote quotiens b in c f atque g totiens in e quotiens b in a e, sed et g totiens in f quotiens b in c f erit e tot et tote partes f quot et quote est
Abbreviated transcription (Latin):
cubici. ã. ⁊ .b. Patet gͦ ex corollario quarte buius quod
⁊ unus. ⁊ duo ẽrunt inter eos ꝯtinue ꝓpͦnales. Unus sit. c̃.¬
⁊ dio.d.ẽ. Ducatur ttaq ã. in .b. ⁊ fiat. f. quem ꝯstat ẽẽ
cubum per.xui.p̾sentis. S ⁊ idem erit quadratus . c̃. per
xxui. sccłi. ꝑp̃missamgͥ erit. c̃. cub. Quod autẽ.d. ⁊. ẽ.
sint quadrati: ꝯstabit. ꝑ .x. huius bis sũptã eo qd .ã.⁊ .b.

Expanded text:
cubici a et b. Patet ergo ex corollario quarte huius quod et unus et duo erunt inter eos continue proportionales. Unus sit c et duo de. Ducatur itaque a in b et fiat f quem constat esse cubum per xviam presentis. Sed et idem erit quadratus c per xxviam secundi. Per premissam ergo erit c cubus. Quod autem d et e sint quadrati, constabit per xam hui
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Proponantur duo numer ccͣ sepͥmi.ã.⁊ .b. Maiorã.
Compositusq exeis sit.c̃. atq.b. ducatur in se ⁊ fiat .d. ⁊
in.ã. ⁊ fiat. ẽ. sed ⁊ .ã. ducatur in .ẽ ⁊ ꝑueniat.F Porro
.c̃. ducatur in se.⁊ fiat.g̃. Hm̃sq . uͦii.d. ẽ. f.g̃. diũsarum
ꝓportionum. qr ꝓportioẽ. ad.d. tamquam.ã. ad .b.⁊.f.
ad.ẽ. tamquam .c̃. ad .b.ꝑ .uii. scdi. Quare maior ꝓpꝰ.f.
ad.ẽ. quam ẽ. ad.d̃. ꝑ .ix. sccłi. Atq .g. ad.f. tam quam
.c̃. ad.a.⁊ est diuersa abaliis qm̃ omnes sunt contra se
primi. Minimusgͥ quẽ numerant. d. ⁊. ẽ. fit .h. ⁊ minimꝰ
.i. sunt continue ꝓportionales. Quia ꝑ .xxiiii. t̃cii .b. in .ẽ.
facit .ħ. s ⁊ .b. in .t. ꝑducit .k. siłi cã. Est gͥ .k. ad .h. sic̃. f.
ad. ẽ. Qrͣ sic̃.c̃. ad .b. Quia item. c̃. ducitur in .f. ad ꝑducẽ¬
dum. ĩ. ꝑꝑ eandemrationem. er̃t ⁊ .i. ad .k. sic̃ .c̃. ad .b. ꝑ

Expanded text:
 Proponantur duo numeri contra se primi a et b, maior a. Compositusque ex eis sit c atque b ducatur in se et fiat d et in a et fiat e. Sed et a ducatur in c et proveniat f. Porro c ducatur in se et fiat g. Habemusque quatuor d e f g diversarum proportionum quia proportio e ad d tanquam a ad b et f ad e tanquam c ad b per viiam secundi. Quare maior proportio f ad e quam e ad d per ixam secundi atque g ad f tanquam c ad a et est diversa ab aliis quoniam omnes sunt contra se primi. Minimus igitur quem numerant de te sit h et minimus l sunt continue proportionales. Quia per xxiiiiam tertii bine facit h, sed et b in f producit k. Simili causa est igiturk ad h sicut f ad e, quare sicut c ad b. Quia item c ducatur in f ad producendum l, propter eandem rationem erunt e t l ad k sicut c ad b per
Abbreviated transcription (Latin):
Dut continue ꝑportionales. a .b. c̃.d̾.⁊ minimus quẽ¬
quem numerant. a.⁊.b. sit. ẽ. ⁊ minimꝰ quem numerãt
b.⁊. d. sit.f. Minimus quoq quem numerant. c̃. ⁊ .d. sit.g̃.
Dico gͦ quod. ẽ. f.g̃. sunt continue ꝓportionales. Sumã¬
tur minimi ꝑportionis que ẽ. ã. ad .b. sintq. t̃ .s. Mani¬
festum gͥ ꝑ.xxiiii. c̃cii. quod.ã.b. c̃. numerant. ẽ. f.g. scdo¬
s. ium .b.c̃.d. numerent eosdem scđm.t̃. Per.uͦii. gͦ scd̾i
arguitur quod ꝓpositum est.

Expanded text:
rtionales a b c d et minimus quem numerant a et b sit e et minimus quem numerant b et c sit f, minimus quoque quem numerant c et d sit g. Dico ergo quod e f g sunt continue proportionales. Sumantur minimi proportionis que est a ad b sintque t s. Manifestum s cum b c d numerent eosdem secundum t. Per viiam ergo secundi arguitur quod propositum est.
Abbreviated transcription (Latin):
¶ M axima quidem est que cõstat ex sesqͣl
tuunt sesqualt̾a ⁊ sesquit̾tia. Maior uͦ qualib suꝑpar¬
acular. Ꝙ autem maxima sic. qm̃ sesqͣatt̾a cum maiore
non facit. cum minore uͦ minorẽ. Similit̃ sesqͥquarta cũ
qualib minorem. Sesquit̾cia duplicata minorem ꝑ xl.
buus. Iõq ⁊ cum alia qualib minorem.S ⁊ quaslibet
alias minorem compoñe constat.
Maximam suꝑpartientem inuenire: que

Expanded text:
 Maxima quidem est que constat ex sesquiatuunt sesquialtera et sesquitertia, maior vero qualibet superparticulari. Quod autem maxima, sic: quoniam sesquialtera cum maiore non facit, cum minore vero minorem similiter sesquiquarta cum qualibet minore sesquitertia duplicata minorem per xlam huius. Ideoque et cum alia qualibet minorem, sed et quaslibet alias minorem componere constat. § li Superpartientem invenire que
Abbreviated transcription (Latin):
Partes aduob numeris dicte sic se .xiiii.¬
habent ad partem anumero exeiᷤ
ꝯposito denoĩatam: sic̃ quadratũ
cõpositi ad numerũ qui exductu
iquidem qm̃

Expanded text:
Partes a duobus numeris dicte sic se habent ad partem a numero ex eis composito denominatam sicut quadratum compositi ad numerum qui ex ductu i
Abbreviated transcription (Latin):
Si duo numeri componantur. fuerit¬
q compositi ad alterum multiplex
ꝓpͦ. erunt reliquus eidem equalis

Expanded text:
Si duo numeri componantur fueritque compositi ad alterum multiplex proportio, erit reliquus eidem equalis
Abbreviated transcription (Latin):
maior .b. ⁊ minor. c̃. differentia cõmunis . d.⁊ cõpositus
ex .b.⁊. c̃: sit. ẽ cuius differentia ad.ã. sit .t̃. Cum sit
gͥ differentia. ẽ. ad.bic̃ ꝑultimam cõceptionem. t. con¬
stabit ex.d.⁊.c̃. sed ⁊ qr .ã. constat exeisdem: erit.t. eqͦ¬
lis.ã. quare. ẽ. duplus. ã. Quod siponatur: erit obħ
.t̃. equał . ã. Sed cum.t̃. constat ex.c̃. ⁊. d̃.z.ã. consta¬
bit exeisdem. quare differentia .ã. ad. c̃. erit .d. erũt
itaq .b. ⁊. c̃. eque distantes. ab. ã. ⁊ hoc est qd̾ enun¬
tiatur.
mͣnis numerus circum se positoꝵ
& equaliter ab eo distantiũ est
medietas. Quod si eorumdem
fuerit medietas. illos ab eo eque¬
distare conueniet. Sinista que⁊ inpmis

Expanded text:
maior b et minor c, differentia communis d. Et compositus ex b et c sit e cuius differentia ad a sit t. Cum sit ergo differentia e ad b, c, per ultimam conceptionem t constabit ex d et c. Sed et quia a constat ex eisdem, erit t equalis a quare e est duplus a. Quod si ponatur, erit ob hoc t equalis a. Sed cum t constat ex c et d, et a constabit ex eisdem. Quare differentia a ad c erit d. Erunt itaque b et c equedistantes ab a. Et hoc est quod enunciatur. mnis numerus circum se positorum et equaliter ab eo distantium est medietas. Quod si eorundem fuerit medietas, illos ab eo equedistare conveniet. Sit idem numerus
Abbreviated transcription (Latin):
Si quadrati ad aliquem fuerit ꝑptãꝙͣ.xxi.
aliquem quadratum eẽ cõueniet.
Ut si .ã numeri ad.b̃. cubum fuerit ꝓpꝰ tamqͣm ẽ. cu¬
birad.d cubum.er̃ zidem.ã. cubus. Cum eñi. c
sint cubi: cadent inter eos duomedii ꝑcorollanum
cadere necẽẽ est. cumꝙ sit .b. cubis.ã. quoq cub erit ꝑ .xi. huiꝰ¬

Expanded text:
Si quadrati ad aliquem fuerit proportio tanaliquem quadratum esse conveniet. Ut si a numeri ad b cubum fuerit proportio tanquam c cubi ad d cubum, erit et idem a cubus. Cum enim c et d sint cubi, cadent inter eos duo medii per corollacadere necesse est. Cumque sit b cubus, a quoque cubus erit per xiam hui
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ut si .ã. in .b. producat. ẽ. sitq ut .d.
eundem numeret. Aut gͦ. d. erit pri¬
mus aut compositus. Si pͥmus numerabit alterum
illorum ꝑp̃missam. er̃ gͥ eidem cõmensurabił. Si cõ¬
positus: aliquis primus eundem numerabit. ꝑ scdam
p̃sentis. qui sit. ẽ. S ꝑ .xxiii. primi.ẽ. numerabit . c̃. q̃re
ꝑp̃missam numerabit. ⁊.ã. uł .b. Cum gͦ cõmuniter
numeret.ẽ. alt̾um erunt scđm illum.d.⁊ idem cõm̃¬
surabiles.⁊ hoc est quod uoluimus ostendere.

Expanded text:
 Ut si a in b producat c. Sitque ut d eundem numeret. Aut ergo d erit primus aut compositus. Si primus, numerabit alterum illorum per premissam. Erit igitur eidem commensurabilis. Si compositus, aliquis primus eundem numerabit per secundam presentis qui sit e. Sed per xxiiiam primi e numerabit c quare per premissam numerabit et a vel b. Cum ergo communiter numeret e alterum, erunt secundum illum d et idem commensurabiles. Et hoc est quod volumus ostendere.
Abbreviated transcription (Latin):
bis. c̃. qui sit .p̃. ⁊ relinquat᷑.p̃. qui er̃ octogonus. per p̃missam
⁊ xxix. huius. Si aũ.ã. sit impar sint circa pares minorb.
maior.c̃. medietasq.b̃. sit.d. ⁊ medietas. c̃. sit. ẽ. Palam aũꝙ
gonus. ⁊ pentagonus ⁊ exagonus tetragonicꝰ. Utpͥus. addatur
it̃.g̃. tamquã duplum .d. idest .b. sitq totus .h. Atq .h. bis du¬
plum eiusdem. ⁊ fiat . k. in quos ducatur.a.⁊ ꝑductis subtra¬
lus. alter octogonus. Ut ꝑpositum est.

Expanded text:
bis c et relinquatur p qui erit octogonus per premissam bis c et relinquatur p qui erit octogonus per premissam et xxiiiam huius. Si autem a sit impar, sint circa pares minor b et maior c medietasque b sit d et medietas c sit e. Palam autem agonus et pentagonus et exagonus tetragonicus ut prius. Addatur item g tanquam duplum d idest b sicque totus h atque h bis duplum eiusdem et fiat k in quos ducatur a et productis subtralus, alter octogonus ut propositum est.
Abbreviated transcription (Latin):
it latus da
tur pͥmo eẽ par. huius medietas sit .b. ⁊ minor.ã. uno sit
c̃.⁊ maior uno. d. additoq.c̃. suꝑ.d. fiat. ẽ. ⁊ item. c̃. addito. ẽ.
fiat.f. cui similiter applicet᷑. ẽ. ⁊ ꝑueniat.g̃. Sigͦ .b. ducat᷑ ĩ
.d. ⁊omnes sequentes: primus erit tangularis ꝑcorollũ .xii.
huius.⁊ alter quadratus. ꝑ .xxuii. scdi. qr .ẽ. est duplus
ã. ⁊ t̾cius pentagonus. qr quod ex .b. in.f. tantum quantũ
ꝙex .b. in.ẽ. ⁊ in.c̃.ꝑ. nonam pͥmi. sed ex.b. in.c̃. fit trian¬
gulans cuius latus. c̃. ⁊ sic ꝑ .xuiii. huius ꝯclude. S ⁊
quartus er̃ exagonus tetragonicus ꝑ.xxi. p̃sentis. Sint
aũ ꝑducti.h.k. l. m. Addat᷑ item. g. tamquam duplũ .c̃.¬
⁊ fiat.⁊. ducaturq .b. in.⁊̃.⁊ ꝑducto detrabatur.c. resi¬
duusq fit .ñ. qui er̃ exagonus equi angulus suꝑ latus a.
bis duplum. c̃. ⁊ totus sit. t̃. in quem ducat᷑.b. ꝑductoq detrahat᷑

Expanded text:
it latus datum a qui ponatur primo esse par. Huius medietas sit b et minor a uno sit c et maior uno d additoque c super d fiat e et item c addito e fiat f cui similiter applicetur c et proveniat g. Si ergo b ducatur in d et omnes sequentes, primus erit triangularis per ivam huius. Et alter quadratus per xxviam secundi quia e est duplus a. Et tertius pentagonus quia quod ex b in f tantum quantum quod exb in e et in c per nonam primi. Sed ex b in c fit triangularis cuius latus c et sic per xiiam huius conclude. Sed et quartus erit exagonus tetragonicus per xivam presentis. Sint autem productihklm. Addatur itemg tanquam duplumc et fiat z ducaturque b in z et producto detrahatur c residuusque fit n qui erit exagonus equiangulus super latus a bis duplumc et totus sit t in quem ducatur b productoque detrahatur
Abbreviated transcription (Latin):
quod ex medio inse ducto ꝑducitur.
Sit .a. ad.b. sic̃.c̃. ad .d. ⁊ ex.b. in .ẽ. fiat.ẽ. Atq ab. f. deuo¬
minetur ꝓpͦꝰ.ã. ad .b. Itaq . c̃. in .f. facit .d. Crt gͦ ẽ. ad.d. sic̃
.b. ad f. S f in .a. fac̃ .b. fiet.gͥ. ẽ. exductu . a .iii .d. ⁊ hoc est
qd fuit ostendend̃.

Expanded text:
quod ex secundo in tertium producitur. Sit a ad b sicut c ad d. Et ex b in c fiat e atque ab f denominetur proportio a ad b. Itaque c in f facit d. Erit ergo e ad d sicut b adf. Sed f in a facit b. Fiet igitur e ex ductu a in d. Et hoc est quod fuit ostendendum.
Abbreviated transcription (Latin):
numeri.a.⁊ .b. Sumant᷑q scõm.ã. partes denominate
a .ħ. ⁊ quia in uno tot sunt huiusmodi quot unitates
in .b. ertt ut sicut .ã. ad .b. ita ille partes ad unum qua
re ꝑ .x.⁊.uiii. presentis conclude.
Si scm alterum duoꝵ numerorũx
sumant᷑ partes areliquo dicte:
erit abeo quod ex eis ꝯponitur ꝓpͦ
eiusdem ad reliquum de nomĩa¬
ta. Unde manifestum est quod
omnes ille se hñt adunum: sic̃
reliquus ad denominantem.
pte .c̃. ⁊ .d. Sitqut una sit ex eisꝯposita. sitq ẽ. numerusq
eam denominans. f. ⁊ qr .f. in.ẽ. quantũ.ã. in .c̃. s ⁊.f. in .ẽ.

Expanded text:
numeri a et b. Sumanturque secundum a partes denominate a b. Et quia in uno tot sunt huiusmodi quot unitates in b, erit ut sicut a ad b ita ille partes ad unum. Quare per xam et viiam presentis conclude. m alterum duorum numerorum sumantur partes a reliquo dicte, erit ab eo quod ex eis componitur proportio eiusdem ad reliquum denominata. Unde manifestum est quod omnes ille se habent ad unum sicut reliquus ad denominantem. pte c et d. Sitque ut una sit ex eis composita sitque e numerusque eam denominans f. Est quia f in e quantum a in c. Sed et f in e
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯstituant. silicet a .d. ⁊. ẽ. que sint. f.g̃. ⁊ ꝯponant .h. ⁊ quia
.d. numerat. ẽ. ⁊ hoc est scłm .ã. numerabit. ⁊ g.f. scłm . a. qͣ¬
re ⁊ .g. numerabit .h. scđ̾m numerum uno maiorẽ quama.
qui sit . k. Sit aũ .l. denominans .ħ. Itaq ꝑpͥmam .k. in .l.
facit.e. Quare .k. numerabit. ẽ. quod est ĩposs̃ ꝑscłam t̾tis

Expanded text:
componant h. Et quia d numerat e et hoc est secundum a, numerabit etg f secundum a. Quare et g numerabit h secundum numerum uno maiorem quam a qui sit k. Sit autem l denominans h. Itaque per primam k in l facit e. Quare k numerabit e. Quod est impossibile per s
Abbreviated transcription (Latin):
Sint parter pares.a .b. c̃. d maxꝰ. d. cuiꝰ duplus sit. ẽ.
P.xxii. itaq p̃sentis: omnes illi ꝯiunctiminus sunt. ẽ. ẽq
pꝰ.d. ꝑxmus sit parit̃ par. ẽ. ñ erit ex eis ꝯfectus pauter par.
ꝑrit gͥ impanter par. ꝑ .xliii. huius qm̃ medietas eius par.
que ex alioꝵ medietatib ꝯficitur.
Si diuersi pariter pares quotlibet su xh¬
pra binarium sibi aggregentur.

Expanded text:
Sint pariter pares a b c d, maximus d cuius duplus sit e. Per xxxiiam itaque presentis omnes illi coniuncti minus sunt e. Cumque post d proximus sit pariter par e, non erit ex eis confectus pariter par. Erit igitur impariter par per xxxvii,m : huius quoniam medietas eius par que ex aliorum medietatibus conficitur.Si diversi pariterpares quotlibet supra binarium sibi aggregentur
Abbreviated transcription (Latin):
item minimi quem numerant. f.h.i.⁊ quem .h. k. ñ.
Dico gͥ qd̃ .i. est minimꝰ quem numerant. ã.b.g̃. Si eñi
ẽẽt minor.f.⁊ .ħ. numerarent eundem ꝑ coroltum .xxxiii.
xx. t̾cii. Sicq ꝑidem maior numerabit minorem. Cad̾
cãn. est minimus quem numerant.b. g.d. Simili mͦ
ostendetur. quod minimus quem numerant.l. ñ. est mini¬
mus numeratus ab. ã.b.g. d̃. Idem gͦ erit cum.c̃. Sint aũ
t̃.s. minimi ꝑportionis.ã. ad .b. Palam gͥ ꝑ.xxiiii. t̾eii. ꝙ¬
ñ.⁊ ñ .c̃. scđm.t̃. boc babito. palam est quod assert ꝑp̃õ.

Expanded text:
item minimi quem numerant f h l quem h k n. Dico igitur quod l est minimus quem numerant a b g. Si enim esset minor, f et h numerarent eundem per corollarium xxiiiic tertii. Sicque per idem maior numerabit minorem. Eadem causa n est minimus quem numerant b g d. Simili modo ostendetur quod minimus quem numerant f n est minimus numeratus ab a b g d. Idem ergo erit cum c. Sint autem t s minimi proportionis a ad b. Palam igitur per xxiiiiam tern
Abbreviated transcription (Latin):
par: est partter impar. SS¬
umat᷑
medie¬
tas ꝑducti qui sit .d. ⁊ ipse ꝑductus sit .a. s ⁊ pariter
impar sit.c̃. ⁊ impar ineum ductus sit .b. ⁊ qr bina¬
rius in .d. ꝑducit. a. s.⁊. c̃. in .b. facit eundem. erit
ꝑ .xxu. scđi ut sic̃ binarius in .ẽ. ita .b. in.d. ⁊ quia bi¬
narius numerat.c̃. scđm imparẽ. numerabit: .b.c̃.
impariter. eruntq.d. impar ꝑ .xi. huius. quare.⁊ ã.
partter impar per premissam.
Sumpar in pariter imparem ducat᷑.
quiꝑueniet erit pariter impar.
li ordine dispositi. ꝑ .xuiii. huius quoꝵ unus impar
alius par alt̾natim positi. Primi itaq parium .i. bi¬
narii qm̃ medietas est unttas que est potentia impar.
erunt ⁊ epse potentia pariter impar. Actu uͦ ⁊ diffini¬
tione pariter par. Scd̾s ab eo non erit pariter ĩpar.
qm̃ medietas eius est numerus par. Tercius uͦ ⁊ quin¬
tus ⁊ sic omnes uno intermisso: parit̾ impares ꝑ ante p̃¬
missam. alii ñ qñ medietates hñt pares.

Expanded text:
rit pariter impar. Sumatur medietas producti que sit d et ipse productus sit a. Sed et pariter impar sit c et impar in eum ductus sit b. Et quia binarius in d producit a, sed et c in b facit eundem, erit per xxvam secundi ut sicut binarius in c ita b in d. Et quia binarius numerat c secundum imparem, numerabit et b d impariter eritqued impar per xiam huius quare et a pariter impar per premissam. mpar in pariter imparem ducatur, qui proveniet erit pariter impar. li ordine dispositi per xviiiam huius quorum unus impar, alius par alternatim positi. Primi itaque parium idest binarii quoniam medietas est unitas que est potentia impar, erit et ipse potentia pariter impar, actu vero et diffinitione pariter par. Secundus ab eo non erit pariter impar quoniam medietas eius est numerus par. Tertius vero et quintus et sic omnes uno intermisso pariter impares per antepremissam, alii non quoniam medietates habent pares.
Abbreviated transcription (Latin):
scd̾m arismethicam medietatem. er̃. c̃. inter eosdem mediu̾
scđm armonicam medietatem. hac ratione. Sumantur
enim ꝑ .xl. huius duo numeri scđm ꝓpͦnem.ã. ad .d. qui sit̃
.ẽ.f. iuter quos sit medius scđm musicam medietatem qͥ
sit .g. S ⁊ inter eosdem medius scđm arismethicam sit .ħ.
Quia gͥ. ẽ. ad.h. sicut.g̃. ad. f. ⁊ qr per .xix. huius. ẽ. ad. ħ sic̃ .ã.
ad .b. erunt .ĩ. ad. d. sicut .g. ad .f. ꝑ premissam gͥ argue. Al¬
teram ꝑartem sic. Sumatur siquidem inter.ã. ⁊ .d. mediuᷤᷤ
scđm arismethicam medietatem. Atq ꝑ xliiii. huius ar¬
gue eum equalem .b. Quod si noninter eos: inter duplos
iinter duos mimeros alii duo medii.xliii¬
ꝓportionaltter sumantur: sumat᷑q
maior scđm arismeticam medieta¬
tem: sumetur minor scđm armo¬
nicam. Quod si minor scdm ar¬
monicam: maior scđm arismechi¬

Expanded text:
ndum arismeticam medietatem, erit c inter eosdem medius secundum armonicam medietatem hac ratione. Sumantur enim per xliam huius duo numeri secundum proportionema ad d qui sint e f inter quos sit medius secundum musicam medietatem qui sitg, sed et inter eosdem medius secundum arismeticam sit h. Quia igitur e ad h sicut ! g ad f et quia per xixam huius e ad h sicut a ad b, erit c ad d sicut g ad f. Per premissam igitur argue. Alteram partem sic: Sumatur siquidem inter a et d medius secundum arismeticam medietatem. Atque per xliam huius argue eum equalem b. Quod si non inter eos, inter duplos inter duos numeros alii duo medii proportionaliter sumantur sumaturque maior secundum arismeticam medietatem, sumetur minor secundum armonicam; quod si minor secundum armonicam, maior secundum arismeti
Abbreviated transcription (Latin):
ato parte altera longiore: aluim ab xxuii.¬
eo parte altera longiorem inuenire.
cuius ad illum sit ꝑpͦ que quadrati

Expanded text:
ato parte altera longiore alium ab eo parte altera longiorem invenire cuius ad illum sit proportio que quadrati