comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
tura in secabile quod greciat tomonuocant. Id est itadiminutũ atqpar¬
uissimum ut eius pars inueniri non possit. Est igitur punctum int̃¬
ualli principium non tam̃ int̃uallũ. & lineȩ caput sed nondum linea
icut linea quoq suꝑ ficiei principiũ est sed ipsa suꝑficies non est
Et secundunter uallicaput secundũ tam̃ int̃uallũ ipsa nonr&in&
dem quoq: & insu perficiei rationecadit. quȩ & ipsa solidicor poris
&triplicis int̃ualli naturale sortitur in itium . Ipsauer onectrinamt̃¬
ualli dimensione distenditur. neculla crassitudinesoli datur
in longitudinẽ tamen distentinumeri principium est. Et linea¬
ris numerus cumips etotius latitudinis & pressit. in aliud tamenspa¬
tium latitudinis &tentinumeri sortitur initium. Suꝑficies quoq
numerorũ cum ipsa solidũ corpus nonsit. additatamen latitudini

Expanded text:
tura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque partura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque parvissimum, ut ejus pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea. Sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli dimensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatur.in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit, addita tamen altitudini
Abbreviated transcription (Latin):
triacir caomne corpus inseparabili coniuntione uersantur & in na¬
turacorporum constituta sunt. quare quidquidu ro int̾ uallocar&
solidum non est. Nam quod duo sola interuallar &in&. illud suꝑficiesap¬
rur sus inteluallo lin eamuincit. Quȩ longitudinis naturam r&inens
latitudinis & pres sts est. Quaelinea quodunius est int̃ualli sortitana¬
turã. a suꝑficiȩ uno int̃ uallo a soliditate duobus spaci is uincitur. Punc¬
tum igitur aliorur sus int̃ uallo alin eauincitur. ips a scilic& quȩ reli¬
quaest longitudine. Quaresi punctũ unoquidem int̃ uallo aline¬
asuꝑ gredit᷑ idẽq a suꝑ fici euincitur duobus. Tribus uero int̃ uallidim̃¬
sionibus a soliditater elinquit᷑. Constat punctũ ipsum sineulla corporis
magnitudine uelinter uallidim̃ sione cum & longitudinis & latitud¬
nis & ꝓfunditatis & pressit omnium int̃ uallorũ essepr incipium d na¬

Expanded text:
tria circa omne corpus inseparabili conjunctione versantur, et in natria circa omne corpus inseparabili conjunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quidquid uno intervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalla retinet, illud superficies aprursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens, latitudinis expers est. Quae linea eo quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli dimensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et na
Abbreviated transcription (Latin):
longitudo latitudo altitudo idest linea su ꝑficies atq soliditas. Pr&
haecautem alia interualla inueniri non possunt. Autenimunum int̃¬
uallũ erit quod longi tudo est. Autaliquid duobus interuallis & positum ÷
utsi quares longitudinẽ habeat & latitudinẽ. Veltrina in terualli dim̃¬
sionepor rigitur. Si longitudine latitudine. altitud ineq: censexur. Supͣ¬
quȩ adeo nihi linueniri potest ut ipsorum sex motuum formȩ ad int̃ual¬
lorumnaturas &numerum componantur. unumenim interuallum. duos
in secontin& motos utintribus inter uallis s& sesemotium summaconfi¬
ci& hocmodo estenim in longitudine. ante &r&ro. Inlatitudine sinxx¬
tra&d&tra. in altitudine sursum acdeor sũ. Necesseestautẽ ut quicqud
fuerit solidũ corpus hochabeat. Longitudinẽ. latitudinẽ & altiudrẽ
& quid quidhaectria inser&in&. illud suonomine s olidũ uoc&ur. Haeceñ

Expanded text:
longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit quod longitudo est, aut aliquid quod duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudinem habeat et latitudinem, vel trina intervalli dimensione porrigitur, si longitudine, altitudine, latitudineque censetur, supraque adeo nihil inveniri potest, ut ipsorum sex motuum formae ad intervallorum naturas et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo. Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextra, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem ut quidquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudinem, latitudinemque et altitudinem, et quidquid haec tria in se continet, illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim
Abbreviated transcription (Latin):
ad secundum. sicest secundus adc̃tiũ. sed inter primum & secundũ. nichilin¬
terest s&enim &vi nullas pacii inter ualla disiungunt. It a &iam unitas
inseipsa multiplicata nilꝓcreat. Semelenim unum nilaliud & segignit
quam ipsaest. Nam quod inter uallo car&. &iamuimgignendi interual¬
la non recipit quod in aliis numeris non uid& euenire . Om̃is enimnume¬
rus inseipsum multiplicatus. alium quendã efficit maiorem quam ipseest.
dcircoqm̃ inter ualla multiplicata. maioresese spatu ꝓlixitate disten¬
dunt. Iduero quod sine inter uallo est plus quam ipsam est pariendiñ
hab& potestatem. Ex hocigitur principio id est &unitate . prima omniũ
longitudo succrescit quȩ ab in ar unumer i principio incunctosses enu¬
meros &plicat qm̃ primum int̃ uallũ linea est. duo uero int̃ ualla sunt
longitudo & latitudo idest linea & suꝑ ficies. Triauero inter uallas

Expanded text:
ad secundum, sic est secundus ad tertium. Sed inter primum et secundum nihil inad secundum, sic est secundus ad tertium. Sed inter primum et secundum nihil interest, 6 enim et 6 nulla spatii intervalla disjungunt. Ita etiam unitas in seipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quemdam efficit majorem quam ipse est, idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero quod sine intervallo est, plus quam ipsa est, pariendi non habet potestatem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate prima omnium longitudo succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est, duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria ergo intervalla sunt,
Abbreviated transcription (Latin):
uolumus demonstrare facimus quinq: uirgulas ducimus que eas
hoc modo
& cum septem totidem & cum decem nichil¬
ominus. Quianaturalius est quem lib& numerum quantas insera&s¬
n& totuntatibus designare quam notulis. Estigitur unitas uicen
obtinens puncti interualli longitudinisq principium ipsa ueronec interual¬
l nec longitudinis capax. quem admodum punctum principium quidem lineeest
atqueinterualli Ipsum uero nec interuallũ neclinea: nequeenim punctum
puncto suꝑ posito ullo efficit int̃ uellũ. Velut sinichil nulluungas. Nichilenĩ
est quod & nullorum ꝓcreatione nascatur. Eadem quippe &iam circa aequa¬
litates ꝓportioman&. Nam quot lib& fuerint terminipares tantum qui¬
denest a primo asecundũ quantum a secundo ad tertium. Sedinter primum & se¬
cundum. uel secundum & tertium. nulla est inter ualli longitudo uelspatiũ.
Sienimtressenarios ponas hocmodo .vI.UI.UI. quemad modũ primus ÷

Expanded text:
volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas hoc modo cum 7 totidem, et cum 10 nihilominus, quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli, longitudinisque principium, ipsa vero nec intervalli, nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum quidem est a primo ad secundum, quantum a secundo ad tertium. Sed inter primum et secundum, vel secundum et tertium, nulla est intervalli longitudo vel spatium. Si enim tres senarios ponas hoc modo 6, 6, 6, quemadmodum primus est
Abbreviated transcription (Latin):
Sedsicut ipsa geom & ricȩscientia ab arithm&ica uelutquadam radice
acmatre ꝓducta est. ita&iam eius figurarũ semina in primis numeris
inuenimus. Planum siquidem fecimus quod om̃s discipli nas haecintẽp̃ta
consum mer& quas minime constituta firmar&. Hocautem cognoscan¬
dumest. quod hec signanumerorũ posita sunt quenuncquoq: homines in
sum marum designatione describitunt non naturali institutione for¬
matas unt. utenim quinarii subiectã notulam fingant. .U. uelde¬
narii quam scripsimus id ẽ .x. & alias huius modo nonnatura posuit
sedusus ad finxit. quinq: enim unos uel .x. uel quod lib& alios illis
notulis ꝓcompendionotare uoluerunt. Ne quotiita tes quis monstra¬
reuell& toties eiuirgule ducerentur. Nos autem quoties cumq ali¬
quid monstrareuolus in his presertim formulis ordinatarum uirgu¬
larum multitudinẽ non grauamur adponere. Cumen inquinq:

Expanded text:
Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figurarum semina in primis numeris invenimus. Planum siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta infirmaret. Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam descripsimus de X, et alias hujusmodi, non natura posuit, sed usus affinxit. Quinque enim vel decem, vel quotlibet alios illis notulis pro compendio notare voluerunt, ne quotiens unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque
Abbreviated transcription (Latin):
duplus cum ses qualtero triplicem cre&. Ettriplus cumses quit̃tio
do utnullus hanc continuationẽ finis inpediat
a ec quidẽ dequantitate quam secundum aliquids peculamur ad pre¬
sens dicta sufficient. nuncautem in hac sequentia quaedam deeaquanti¬
titate que p seipsam constat neq ad aliquid refertur & pediã : Que
nobis adea ꝓdesse possint. quae post hecrursus derelata ad aliquid
quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos
speculatio alterna ꝓbationũ ratione constitui. Nun cautem nob̵
dehis numeris sermo futu rus est quicir cafiguras geom&ricis
& earum spacia demensionesq: uersantur. id est deli nearibus nume¬
ris &d etriangula ribus. uel quadratis. c&erisq: quossola pandit pla¬
nadimensio. nec non dein e quali laterũ conpositione coniunctis desol¬
dis&iam id÷ crbis & sphericis uel phyramidis. laterculis &iam uel
tigneis & cunulis. quȩ omã quidem geom &ricȩ ꝓpriae considerationis

Expanded text:
duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, do, ut nullus hanc continuationem finis impediataec quidem de quantitate quam secundum ad aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia, quaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesque versantur, id est de linearibus numeris, et de triangularibus vel quadratis, caeterisque quos sola pandit plana dimensio, nec non de inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam, id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt.
Abbreviated transcription (Latin):
ris ꝓcreatur. latus ternario contin&ur atq: idem in aliis uideri
lic&¬
entagonus uero Numerus est quiipsequidẽ in latitudine
secundum unitatem discriptis quidem quinq angulis contin&.
cunctis scilic& lateribus equalidim̃ sione dispositis: Suntautem
eorum latera succrescunt. nam primi potestate pentagoni id ÷
unius idemunus spacium lateris ten&. Secundus uero quinarii
quiest actuipso atq opereprimus pentagonus biniper latera fys
Tertius uero idest xii. tribus in latus auctus est. Quartus xxii.

Expanded text:
ris procreatur, latus ternario continetur. Atque idem in aliis videri ris procreatur, latus ternario continetur. Atque idem in aliis videri licentagonus vero numerus est qui ipse quidem in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur, cunctis scilicet lateribus aequali dimensione dispositis. Sunt autem eorum latera succrescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet. Secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt. Tertius vero, id est 12, tribus in latus auctus est. Quartus 22,
Abbreviated transcription (Latin):
quod siuno relicto priori tertiũ iunxero secundus mihi quadrat᷑
efficitur. Namsi uni relicto binario ternarium ad posuero quat̃¬
narius mihi quadra tus efficitur. Quod sirursus relictomedio
quaternario quinarium similiter adgre gauero. quadratus
mihitertius id ÷ nouenarius ꝓcreatur. Unus enĩ & III &U.
colligunt viiii. Atuero sihis int̃ misso senario. septe narium iun¬
gam. tota in sedecim summacrescit id÷ quarti quadrati numero¬
sitas: & utbreuit̃ eius forma ꝓcreationis appareat. sicuncti in pares
sibim& apponant᷑. collocatosci lic& naturalinumero. quadratoꝵ
ordot&etur. Est&iam in his haecnaturȩ subtilitas & in mutabilis
ordinatio. quod tot unitates unus quisq: quadratorũ r&inebit in la¬
tere quantifuerint numeri ad coniunctionẽ ꝓpriam congre¬
gati. Namin primo quadrato qm̃ &unofit unus ẽ in latere
termini. binario latus t&itur. & in nouenario qm̃tribus nume¬

Expanded text:
Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadratus Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni relicto binario quinarium apposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius procreatur. Unus enim et 3 et 5 novem colligunt. At vero si his, intermisso senario, septenarium jungam, tota in 16 ejus summa concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter hujus forma procreationis appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et immobilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere. termini, binario latus texitur, et in novenario, quoniam tribus nume
Abbreviated transcription (Latin):
adiecta ternar ii quantitate ꝓduximus. cuis latus solitres con¬
tinent & euis in aliis cunctis quod unitates habentẽ numerion sune¬
rioribus ad gregabis. Totunitatibus eius laterd contine bunt᷑
uadratusuer onumerus est. qui&iam ipsequidẽ latitudi¬
nem pandit. sed non intrib: angulis ut superior forma
Osuccrescunt. primus enim vi & potentia quadratus idestuni¬
tas unum hab& in latere. secundus uero quiactu primus ÷ idẽ
quatuor duobus ꝑ latera posit is contin&ur. Tertius uero id ÷
uiiii. qui secundus est opere tribus in latere positis ad gregat᷑
& adean dem sequentiam cuncti ꝓgre diunt.
nonquem ad modũ superiore s trianguli utor dinatis ad semn¬
uicem numeris ad gregent᷑. Sedimosem ꝑ int̾ misso quisequitur
sicum superiore uel superioribus collocatur. ordinatos & sequa¬
dratos effici& disponatur enimnumerus naturalis hoc modo¬
siunumres piciam primus mihinatus est potestate quadratus

Expanded text:
adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres conadjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatiuadratus vero numerus est qui etiam ipse quidem latitudinem pandit, sed non in tribus angulis ut superior forma, succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere. Secundus vero, qui actu primus, id est 4, duobus per latera positis continetur. Tertius vero, id est novem, qui secundus est opere, tribus in latere positis aggregatur. Et ad eamdem sequentiam cuncti procedunt. non quemadmodum superiores trianguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiori vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficiet. Disponatur enim naturalis numersi unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus.
Abbreviated transcription (Latin):
g&᷑. disponatur enimnaturalis numerus hoc modo. i .ii.iII.
idestunitatẽ. habeo primum triangulũ quiest in & potestate nondũ
&iam actunecopere. uhic sisecundum ad grega uero quiinnatu¬
ralinu merorum dispositione descriptus est idest binarium. pri¬
mus mihitriangulus opere &actunas c&ur idestternarius. Siue¬
rohuhic tertium & naturalinumero adiecere. secundus mihio pere
& actu triangulus ꝓcreatur. Suꝑ unum &enim & duo sitertium
id ÷ ter narium adgregauero. senarius &tendit᷑. secundus sci¬
lic& triangulus H uhicuero sicut sequentẽ quater narium suꝑpo¬
suero denarius &plicatur qui ÷ tertius actutriangulus. Quosꝑ
later a disponens adsuperioris discriptionis &emplar cunctostpi¬
angulos numeros sineullius dubitationis erroribus ꝑ notabis. Et
quantas ultimus numerus inseunitates hab& quem superioribus
unit atifeceramus. Athicduos hab& in latere & senarium his

Expanded text:
getur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modo: Ex his getur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modo: Ex his est unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adjecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium, aggregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his
Abbreviated transcription (Latin):
cipis obnoxia nequeabalia latitudine sũpsitinitium inseseipsasol¬
uatur. Idem autem & innumeris fierisequens operis ordomonstra
dissi patur secundum suꝑfici ei positionem triangulascilic& dis¬
criptione & posthunc quicumq: equalitatem laterũ intrinalaterũ
N amsicunctorũ mat̾ ẽnume rorũ quic quid inhis queabeanas cuntur nine¬
risinuenitur. necesseest uteanaturali quadam pote state contineat
& huius trianguli latus ÷ unitas. Ternarius uero qui pri mus esto pere
&actuipse triangulus. crescenteunitate binariumnumerũ latus habebit
Ui enim& potestate pr imitrianguli id ÷ unitatis unitas latus est. Accuũ
&opere trianguli primi id estter nar ii dualitas quam greci diadauocant
Secundiuerotri anguli quio pereatq: actusecundus ÷ id ÷ senarii cres cen¬
te naturalinumero in later ibus ternarius inuenitur. tertuuero id ÷
denarii quaternarius latus contin&. quartiuero id ÷ .xv. quin arius
merorum si prior ibus semper multitudo sequentium congre¬

Expanded text:
cipiis est obnoxia, neque ab alia latitudine nisi a se sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem et in numeris fieri sequens operis ordo monstradissipatur, secundum superficiei positionem, triangula scilicet descriptione, et post hunc quicunque aequalitatem laterum, in trina laterNam si cunctorum est mater numerorum, quidquid in iis qui ab ea nascuntur numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi anguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur. Tertius vero, id est denarii, quaternarius latus continet, et quanti vero, id est 15, quinarius merorum, si prioribus semper multitudo sequentium congre
Abbreviated transcription (Latin):
rabunt. Namq siter narium triangulum quat̃ nario uel quat᷑¬
nariunt& ragonũ quin ario uel quin arium pentagonũ senario
&agono łxagonũ fenario septenario eptagono conpares. pri

Expanded text:
rabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaterabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, pri
Abbreviated transcription (Latin):
Iecaliaestorigo xv &agoni nisi & duo denario pentagono & t̃¬
nariotriangulo. Quodsi xxviiirursus &agonũ & quibus
superioribus nascatur ad discas. inuenies nullos nisixxV
pentagoncm senariumq: triangulũ. Atq hoc in c&eris
nec hunc geniturȩ ordinẽ eptagonorũ ꝓcreatio refutabit
Namq &x suꝑse &agonis & & minĩs positistriangulis ꝓcreantur
Deptemenim eptagonus nascitur & senario. & agono & uno potesta¬
tetriangulo xuiii uero eptagonus &xv &agono & ternariotri¬
angulo coniungatur &xxxiiii xxxuiii. Scilic& pentagono
& senar iotriangulo. atq: hocincunctis in offensũ reperirelie&¬
U ides neigitur ut primus omniũ triangulus cunctorũ sũ masefficuat
& omnium ꝓcreationib: misceatur
iueroom̃s si ad latitudi ñefuerint comparati id ÷ trianguli
t&ragonis uelt& ragoni pentagonis uł pentagoni &agonis
uelhirursus eptagonis. sinealiqua dubitatione triangulis sese supe¬

Expanded text:
Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et teNec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate triangulo, 18 vero heptagonus ex 15 hexagono et ternario triangulo conjungatur, et 34 ex 28, scilicet hexagono et senario triangulo, atque hoc in cunctis inoffensum reperire licet. Videsne igitur ut primus omnium triangulus cunctorum summas efficiat, et omnium procreationibus misceaturvero omnes si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese supe
Abbreviated transcription (Latin):
isigitur ita sese habentibus qui dinhacre sit consequens uestigemꝰ
om̃s enunt& ragoni qui subtriangulis sunt naturalior dinatio¬
nedis positi & superiorib: triangulis ꝓcre antur . Illorumq collec¬
tione quadratifigura conponit᷑. Quatuor enĩ t&ragonus fit
xuno & tribus id est& duob: superioribus triangulis ꝓcreant᷑
Nouemuero & tribus &s& sedutriq: s̃ trianguli. Atxvi &x &s&
immutabile repperitur. pentagonorũ uero summȩ conficiunt᷑
& uno suꝑ sec& ragono & altrinsecus triangulo constituto . Nam¬
quinq: pentagonis. & quatuor suꝑseposito t&ragono. & & ino
quiintri angulorum ordine ponitur ad gregatur .xii. ueropenta¬
gonus & nouenario suꝑsequadrato & tribus secundo triangulo
entẽ nullacuntatio contrari&as inpediat. Atuero si& a gonos
librata & aminatione ꝑspicuas &eisdemtriangulis & suꝑsepo¬
sitis pentagonis ꝓcreant᷑. Namq s&. agonus. & quinario penta¬
gono & uno qui ÷ intri angulorũ ordinedis positus nascitur

Expanded text:
is igitur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens investigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique sunt trianguli. At 16 ex 6 etimmutabile reperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto. Namque 5 pentagonus, ex quatuor super se posito tetragono, et ex uno qui in triangulorum ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, et tribus secundo triangulo entem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur.
Abbreviated transcription (Latin):
ascuntur autẽ numerihi qui&tensi in latitudine uel longitu¬
dinem quinq: angulos spandunt. ab eandẽ naturalis numeri
quantitate insese coaceruata it aut duobus semper int̃ iectisnume¬
ris. superi oriuel superiorib: uincens ternario eum cui conum¬
gendus ÷ ad greg&ur. Namq: unitatiint̃ missis duobus & tribus
siquatuor iungas quitribus ipsam superant unitatẽ. quinarius
pentagonus ꝓcreabitur. post .iiii. uͦ sunt̃ misso quinario & se¬
nario septẽ ad greges duo denarium pentagonũ ꝓcreabis. Nãq¬
oribus cunctis adumxeris eodem quo superi usmodo. penta gonifieit
subcrescunt. Namq: intrianguli numeri natura ꝓ creatione¬
que ipsos numeros iungebamus quise seinnatur alidispositione
t&ragoni ꝓcreatiofiebat & numeris qui uno int̾misso copulabantur
cumsebin ario superarent. pentagoniuero natura fuit. & duobus int̃ posi¬
tis relictisq quis& nariouincerent. Secndum talia quoq auementa
int̃missis eosiungebamus quise ternario superarent. Nunc in &xago¬

Expanded text:
ascuntur autem hi numeri qui extensi in latitudinem, quinque angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in sese coacervata, ita ut duobus semper interjectis numeris superiori vel superioribus, vincens ternario eum cui jungendus est aggregetur. Namque unitati, intermissis duobus et tribus, si quatuor jungas, qui tribus ipsam superent unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. Post 4 vero si, intermisso quinario et senario, 7 aggreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namqoribus cunctis adjunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient,ta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositione tetragoni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui se ternario vincerent. Secundum quoque talia augmenta intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexago
Abbreviated transcription (Latin):
Nouem uero angulorum secu¬
dum eundẽ ordinẽ forma ꝓcreatur. It autsecundũ equalem ꝓgres¬
sionem primiȩ quo queeorũ numeri distent. Namintriangulo
quis untnumeri que prima suꝑficiei figuraest. uno sesetantum nu¬
meri p̃cedunt. quiscilic& eorumnaturam discriptionẽq: ꝑficiuit.
Int & ragonouero qui s ecundus est. duobus sese iunctinumeri un¬
cunt &impentagono tribus & in & agono quatuor & in eptagono
quinque huiusq reinullus est modus. hocautem nossub iettarum
formarum dis criptiones docebunt
Olis continent quantitates adscribere. sed qm̃ facilius oculis
subieta r&inent᷑ supradictorũ formarũ numerositas in sub¬
teriore discriptione ponatur.

Expanded text:
Novem vero angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese juncti numeri vincunt, et in pentagono 3, et in hexagono 4, et in heptagono 5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formarum descriptiones docebunt.lis continentur, quantitates ascribere. Sed quoniam facilius oculis subjecta retinentur, supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatur.
Abbreviated transcription (Latin):
sionis unoplus quamins & angulorũ figura numero intermis so
superiori coniungeris. Namsiquinq: int̃positis quisesequina¬
riuincant aggregaueris epta goni continuo figuranas c&ur
u thisint eorum radices & ut superius dictumest funda menta
quiuͦ & hisconstãt. hii sunt

Expanded text:
sionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. Qui vero ex his constant hi sunt
Abbreviated transcription (Latin):
lanauero superficies innumeris inuenitur. quotiens atribus
inchoatione facta. additadis criptionis latitudine insequentiũ
Lsenatur aliumnumerorum multitudine angulidilatantur. ut sit
primus triangulus numerus. Secundus quadratus. Tertius qui subquin¬
que angulis contin&ur. quem penta gonum grecinominant. quartus
&agonus id ÷ quis & angulis induditur. & c& erieodem modo singillatĩ¬
ꝑnaturalemnumerũ angulos augeant inplanascilic& descriptio¬
nefigurarum Hiuero idcirco aternarionumero inchoant. quod
latitudinis & suꝑ ficiei. soluster narius principium est. Ingiome¬
tria quoq: idemt̃ narius inuenitur. Duȩ enim lineȩ retespacium non
continent. Etomis triangu larisfigura uelt&ragoni uel penta¬
goni uel &xagoni uel cuius lib& qui pluribus angulis contin& ur.

Expanded text:
lana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine, in sequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant; quartus hexagonus, id est qui sex angulis includitur; quiper naturalem numerum angulos augeant, in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometrica quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent, et omnis triangularis figura, vel tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis
Abbreviated transcription (Latin):
ti eabitudinis ef fici& formã. posthos nascunt᷑ comites qui subsuꝑ¬
partientes uocantur. hii autem sunt quihabent᷑ ab alionumero
& eorum ueldue uel tres uelquatuor uel quod lib & aliepartes
Siergonumerus alium intrasenumerũ habens eius duas partes habu¬
erit suꝑ partiens nominatur. Sinuerotres suꝑtripartiens.
Q uodũ .iiii. suꝑ quadri partiens. Atq: ita ꝓgredientibus in infinitũ
fingere nomina lic&. Ordo autem eorũ naturalis est. quotiensdis¬
ponuntur. attribus om̃s pares adq: inpares numeri naturaliter
constituti. & subhis aptant᷑ aliiqui sunt aquinar ionumero incipien¬
tes om̃s in pares. his igitur itadispositis si primus primo. secđs
secundo tertius tertio &c&ero c& eris conparent᷑ suꝑ parti

Expanded text:
rtiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuprtiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae, vel 3, vel 4, vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quoties disponuntur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipientes omnes impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, secundus secundo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur, superparti
Abbreviated transcription (Latin):
inequalitatis species inuenitur quea nobis superius suꝑ partiens dicta est
Hecautem dictaẽ que fit cumnumerus ad alium comparatus ab& eũ
totum intrese. & eius insuꝑaliquas partes. uelduas uelnii. uel ani.
uel quot ipsatulerit comparatio quae abitudo incipit aduabus par¬
tibus tertiis. Namsiduas medi&ates habuerit quu illum in frase
totum coherceat : duplus prosuꝑ partiente conponitur. hab& autẽ
uel duas quintas uelduas septimas uelduas non as. & ita ꝓgredien¬
tibus s iduas solas partes minoris numeri suꝑhabuerit ꝑ easdem
partes in paribus numeris minorem maior transcendit
Namsicum habeat totam & duas eius quartas suꝑparticular is neces¬
sarior epperit᷑ Nam due quarte medi&as est & fitses qualtera
comparatio. Sinuero .ii. sectas. rursus est suꝑ particularis due
enims&te parstertiaest quod si in comparatione ponatur. sesquit᷑¬

Expanded text:
inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem vel duas tertias, vel duas quintas, vel duas septimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et fit sesquialtera comparatio. Si vero duas sextas, rursus est superparticularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesquite
Abbreviated transcription (Latin):
uno separant cuntiq alii eiusdem modis ut primo & secundo ordine ad
alterutrum multiplicatis terminis ꝓcreentur. Itaut quodnascitur & duo¬
bus longilateris altrinsetus positis &bis mediotetragono t&ragonus
sit & rursus quod & duobus altrinsecus t& ragonis & un omedio longelate¬
ro bis facton ascitur ipsequoq t& ragonussit etutangulorũ totiusdis¬
criptionis ad angulares t& ragonos positorũ unius angulisit prima
unitas. Alterius uero qui contraest tertia biniuero altrinsecus anguli
secundas habeant unitates & duo angulariũ t& ragonorũ anguliequum
faciunt quod sub ipsis cont in&᷑ illi quodfit ab uno illorum quiest altrinse¬
cus angulorũ. Multa &iam suntalia quem hacdiscriptione utilia possint
ad nirabiliaq ꝑ pendi queinterim ꝓpt̃ castigatã introducen dibreuita¬
& eas que subipsis sunt submultiplicis & subsuꝑ particulares. Tertia

Expanded text:
uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitaet eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia
Abbreviated transcription (Latin):
conseru&ur. Pr&ercaas qui subipsis sunt siidem faciens sequentes
uersus alter utris comparaueris om̃s sineullom pedimento species
suꝑ particularis agnosces. Hoc autem in hacest dispositione diuinũ
quod om̃s angular es numeri. t&ragoni sunt. T& ragonus autem dr
ut breuis sime dicam quod post latius & plicabitur. Que ñ duo equales
numeri multiplicant ut in hacquoq: discr iptioneest. unus enim semel
imus est. & est potestate t&ragonus. ltem bis duo . iiII. sunt. tertres
UIIII quos insem &ipsos multiplica ciones primiordines ꝑfecerunt. Cir¬
cum ipsos uero qui sunt. id estcir cum angulares longelater inumeris
Circum .iIII. enim. duo sunt. & vi. sed duo nas cuntur & uno & duob
cum unum bis multi plicaueris sed unitas abinario unitate ꝓcedit᷑
S&uero & duobus & tribus bis enimtres senarium reddunt. Nouena¬
Namcum .v .I. &binario ternarioq nas cunt᷑. Tres binarium numerun

Expanded text:
conservetur? Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes conservetur? Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces. Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multipunus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primordiis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt. NovenaNam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum
Abbreviated transcription (Latin):
usq ad decuplum dispositissima ordinatione ꝓueneni&. Si quis uer o inhac
discriptione suꝑ particularis species requirat talimodor epperi&. Sieñ
secundum angulũ not& cuius estinitium quat̃ narius eiq: suꝑ iac& bina¬
rius atq: adhunc sequentẽ quis a comod& ordinem sesqualtera ꝓportio
declarabitur. Namtertius secundi uersus sesqualt̃ ÷ ut .iii. ad ii. uelxi¬
ad iiii. uel viiii. adui. uel xii. aduiii. Itemq: inc& eris qui sunt in eadẽ
serienumeri sitalis coniugatiomisceatur nullauari&atis dissimilitudo
subr ipi& eadem tamensũ marũ suꝑ gres sio est in hocquoq: que indupli¬
cibus fuit. primus enim primũ idestter narilis binariũ un osuperat
Secundus uero secundũ duobus tertius tertium tribus & deinceps. Diuero
quartus ordo tertius compar&ur. ut .iiii. ad .iii. & eodem c&eros ordine
consecter is sesquit̃tia compara tio colligit᷑ ut . iiii adii. uel uiiiadi

Expanded text:
usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione, superparticularis species requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus, sesquialter est, ut tres ad duo, velad 4, vel novem ad sex, vel 12 ad 8, item et in caeteris qui sunt in eadem serie numeris talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad
Abbreviated transcription (Latin):
Primus enim primum duobus superat utunum .iii. Secundus secundũ
quat̃ nario. ut binarium senarius. Tertius tertiũ sexutter nariũ
nouenarius . & ad eundem c&eri. modum ꝓgres sionis augescunt. quam
rem nobis scilic& & ipsa naturalis obiecit integritas nichil nobis & trama¬
chinantibus ut in ipsomodulo discriptionis apparat. Siquis autem quarti
anguli terminum qui exuideciminumeri quantitate natus est & longitu¬
dinem latitudinemq: inquadragenas d&erminat. uelit superior ibus com¬
parare ꝑx littere formam ꝓportione conlata quadru plimultitudinem
puuutabit his queest ordinabilis suꝑse ꝓgressio ut primus primũ trib:¬
super& ut iiii. unitatem secundus secundũ senariouincat. ut yiii bi¬
narium tertius tertium nouenar iotranseat. ut duo denarius ternariũ.
& sequentes sũ numulȩ trium sesem ꝑadiecta quantitate transiliat᷑
Etsiquis subteriores aspiciat angulos. idem ꝑom̃s multiplicatas species

Expanded text:
primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis accrescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quiditate notatus est, et longitudinem quae in quadragenos terminat, velit superioribus comparare, per 10 litterae formam proportione collata, quadruplici multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis supesuperet, ut 4 unitatem. Secundus secundum senario vincat, ut octo binarium. Tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species,
Abbreviated transcription (Latin):
uigitur dio prima lntera preposite formule quefaciunt angulum
abino adx &x ꝓcedentia respiciantur & his subte rior es ordines con¬
parentur quiscilic& a iiii. angulũ incipientes inuicenos ter minum ponunt
dupl& idest primas pecies multipli citis ostenditur. It aut primus primum
sola super& unitate utduounũ. secundus secundũ binario suꝑuadit ut qua¬
ternarius binarium. Tertius tertium tribus ut senarius ternarium
Q uartus quartũ quater narionumerositate transcendit utoctonarius
quater narium & ꝑ eandem cunti sequentia seseminor is numeri pluralita¬
te pretereant. Si uerotertius angulus aspiciatur qui abnouẽ inchoans
longitudinẽ latitudinẽq tricenis altrin secus numeris &tendit. & hic
cum primalatitudine & longitudine compar&ur. Tripl& species multi¬
plicitatis occurrit itautista conparatio ꝑx. littera fiat. Hiques mne¬
meri superabunt secundum paritatis factam naturalit̾ con&tionem

Expanded text:
igitur duo prima latera praepositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad decem, et decem procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per decimam litteram fiat, hique se numeri superabunt, secundum paralitatis factam naturaliter connexionem;
Abbreviated transcription (Latin):
VII & iui triplicabis & huius modi nascentur. Siuero qui & his nati
fuerint terna riimultiplicacione ꝓduxeris idem rursus efficient
quods̃ suꝑ quadri partientes quen admodum in infinitũ ꝓgrediant᷑
optes ad discere primas eorum radices in quadruplũ multiplices lic&
id est xiiii & v. &eos quiilla multiplicacione ꝓferentur. Rursus
in quad ruplum & eandemfieri ꝓportionẽ in offensanimirũ ratione
repperies &c&erespecies una semꝑ plus multiplicatione crescentib
radicibus oriuntur. Radicesautem autem ꝓportionum uoconumeros
in superiore dispositione descriptos. quasi quibus omis summa pra¬
dictos comparationes innititur. in hocquo que uidendum est. qm̃cum duȩ

Expanded text:
7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati 7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quod si superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur optes addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est 9 et 5, et eos qui illa multiplicatione proferentur, rursum in quadruplum, et eamdem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione reperies. Et caeterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. In hoc quoque videndum est qu
Abbreviated transcription (Latin):
sugitur quin arii numeri adt̃narium comparatio consider&
eritsuper partiens ille quiuocatur suꝑb partiens hab& enimqui¬
narius totus in setres &eorum duas partes. id estduo. Si uero ad
secun dum ordinẽ speculatio referatur. suꝑtripartiens ꝓporti¬
o cognos c&ur. Atq: ita in sequentibus ꝑ om̃s dispositos numeros
in infinitũ species huius numeri conuenientes ordinatos que
respicies atueroquemad modum singulipro creant᷑ sun in finitum
quis cur& agnoscere. hicmodus est habitudoenim suꝑbi partientis
suitris que terminis duplic&ur semꝑ superbi partiens proportio pro¬
creabitur. Sienimquis duplic& quinq: faci& .x. sitres faci& vi haben
quix contrasenarium comparati suꝑbi partientẽ faciunt habitudinẽ
& hos ipsos rursus si duplicauerit idemordo ꝓportionis ad crescit. idẽq:
sii infinitum facias statũ prioris habitudinis non mutabit. Si uero
suꝑtri partientes inuenire contendas primos suꝑtri partientes id est

Expanded text:
gitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille qui vocatur superbipartiens. Habet enim quinarius totos in se tres, et eorum duas partes, id est 2. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur, si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si tres, faciqui 10 contra senarium comparati, superbipartientem faciunt habitudinem, et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis accrescit. Idemque si in infinitum facies, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est
Abbreviated transcription (Latin):
rium numerũ naturalit̃ triplices. Comites uero om̃s postbinarium¬
nionerum naturalit̃ pares hoc modo ut primus primo secundus set in
tertius tertio compar&ur et deinceps. Discribantur enim longissimi
uersus ł triplicium natura lis numeri atq: duplicium & sit hoc modo.¬

Expanded text:
rium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarrium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarium naturaliter pares, hoc modo, ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur, et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo