comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
id ẽ quat̃ narius differentiamstac̃ : hi inãq om̃s quat̾ narit sese numerosi¬
tate transcendunt: Quod idcirco contingit qm̃primi. qui positis. id ÷ coꝵ
fundam̃ta. bi nario se numero p̃cedebant: quos qm̃ ꝑbinariũ multiplicaui¬
is: inqua t̃narium numerũ creuit illa progressĩo ii. enĩꝑl
tiplicati. quat̾ nariã sũmam facient. Igitur inng turalis numeri dis¬
positione parit̾ impares numeri quinto loco asedistant. solis .iiiiͦ. sep̃ ce¬
dunt .iII. inmedio transcuntes ꝑbinariũ numerũ multi plicatis impa¬
ribus procreati: Contrariȩuero essedicuntur hȩspecies numeroꝵ. idẽ parit̃
par. &t parit̃ impar. quod innumer opariter impari sola duusionẽ recipit maior
eatremitas. In illo uͦ solus minort̃minus seetͥone solutus ẽ: aquod informa
rit̃ paris numeri ab extremitatibus incipienti.&usq adm
dienti. quod continetur sub exctremis t̃ minis: ide. ẽ illi quod continetur

Expanded text:
idem quaternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt. Quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, hoc est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio. Duo enim per bis multiplicati quaternarii faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in medio transeuntes, per binarium numerum multiplicatis imparibus, procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par, et pariter impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur
Abbreviated transcription (Latin):
ra. his sublatis simulposteri ora tolluntur: Quod si posteriora pereant. nic hil
destatu prioris subseanciae permutatur Ut animalpͥ usest homine: Nã
sitollasanimab statimquoque hominis natura delettsit: Si hominẽ sustule¬
ris. animal non peribit: Et e contatrio. et semꝑ posteriora sunt. quęsecum
aliud quod lib& inferunt: Eauero priont quȩxum dicta sint niohil secum
deposterioribus trahunt. ut in eodem quoque homine: Namsi hominem
dixeris. simul quoque animal nominabis Idẽ enĩ ÷ homo. quodanimal:
Sianimal dixeris. non specieisimulhominis intulisti Non ÷ enĩ idẽ
animal quod homo hoc. Nidem ingeo maerica. uel in arith maica uidetur
incurrere: Sienĩ numeros tollas unꝰdetriangulũ uel quadratum. uelqio

Expanded text:
ura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur. Quod si posteriora pereant, nihil ura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur. Quod si posteriora pereant, nihil de statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura deleta sit. Si hominem sustuleris, animal non peribit. Et econtrario ea semper posteriora sunt quae secum aliud quolibet inferunt, ea priora quae, cum dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simul quoque animal nominabis. Idem est enim homo quod animal. Si animal dixeris, non speciem simul hominis intulisti. Non est enim idem animal quod homo. Hoc idem in geometrica vel in arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum, vel
Abbreviated transcription (Latin):
igitur. quisquis haet p̃t᷑ miserit. om nẽ philosophiaȩ ꝑdidisse doctri¬
nam Hocigitur illud quadruuiũ est quohis uian dũsit. quibus excellentior
animus a nobiscum procreatis sensib ad intellegentiae cerciora ꝑducitur:: Sunt
enĩquidã gradus certȩ que progressionum demensiones. quibus ascendi pro gredi¬
que possit ut animi illũ occulum quiut ait placo multis oculis corporalib sal¬
uari constituiq sit dignior. quod eo solo lumine uestigari ł inspici ueritatis qi ͤ
huncinquam oculũ demersũ orbatumq corporeissensibus haedisciplinȩ rur¬
sus inluminent: Quȩigitur ex hiscȩ prime dicenda est. nisieaq p̾rincipium
matrisq quodam modo adceteras optin& porcionem: haecautem ÷ arith moei¬
ca Haer enĩ cunctis pͥor ÷ non modo quod hancille huius mundanȩ moliscon¬
ditor deus. primã suȩ habuit ratiocinacionis exemplar & ad hanceuncta con¬
stituit. Quȩxũq stbricante ratione ꝑnumeros adsignatiordinis inuenere

Expanded text:
igitur quisquis haec praetermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadrivium est, quo iis viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus, ad intelligentiae certiora perducitur. Sunt enim quidam gradus certaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi illum oculum, qui ut ait Plato multis oculis corporalibus salvari constituique sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vel inspici veritas queat. Hunc, inquam, oculum demersum, orbatumque corporeis sensibus, hae disciplinae rursum illuminent. Quae igitur ex his prima discenda est, nisi ea quae principium matrisque quodammodo ad caeteras obtinet portionem? Haec autem est arithmetica. Haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille hujus mundanae molis conditor Deus, primam suae habuit ratiocinationis exemplar, et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione, per numeros assignati ordinis invenere
Abbreviated transcription (Latin):
erit numerus qui metiatur utrasq sũmas. atque eundem ipsum qui remanserit
is utrorumq cõmunẽ eẽ mensuram Age enim duos numeros ꝑ
atq hi sint. Uiiii.scilic& & xxxuiiii hocigitur modo faciemus reciꝓcam dimi¬
nucionẽ: Auferamus demaiore minorem. hoc ÷ de.x
linquentur Xeachis ergox: rur sus minorem detrahemus id÷ UIIII.
& relinquentur .Xi Exhis rursusdetra ho VIIII. relicti sunt duo: Quossi de¬
trahonouentrio: reliqui sunt UIl: quod siduorur sus septenario dempse¬
rim: suꝑsunt. O: atq eahis alios duo: Illrursũ exuberant: quos edio bi¬
nario diminutos solc unitissuꝑstes egreditur. Rursussi ex duobus unũ cu

Expanded text:
ejus numerus qui metiatur utrasque summas, atque eumdem ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos Atque hi sint 9 scilicet et 29, hoc igitur faciemus modo reciprocam diminutionem. Auferamus de majore minorem, hoc est linquentur 20. Ex his ergo 20 rursus minorem detrahamus, id est 9, et relinquentur 11. Ex his rursus detraho 9, relicti sunt 2. Quos si detraho novenario, et relicti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio bnario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auf
Abbreviated transcription (Latin):
sperulahicur. & semꝑ alt̃ natim nc̃ qͥ dem eisdem proportionibus aliae differen¬
tiaes. nc̃ autem ordine ꝑ mutato eisdem differentiis alie proportiones semꝑq
in quibus differ̃ scđm naturalis numeriordines: tetragoni & parte alt̾a longio¬
res sese suꝑabunt tancumqd geminatissum mulis. naturalis numeris su ꝓgrs

Expanded text:
speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differenspeculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit
Abbreviated transcription (Latin):
ferentiis alias uͦ differentus paressint proportionibus distent: Ddisponantur
enim mordinem idem illi suꝑiores tetragoni: & parte alt̾a longiores ab uno:¬
Ergo in suꝑiore for¬
mula h oc maxime intuendum ẽ.Namq int̾unum qui est tetragonus &duo du¬
pla ꝓportio:. int̃ ii & .iIII. dupla: hicuͦ tetragonꝰ cum parte alt̾a longiore atque
sequente tetragono. eadem proportione uinguntur diffẽ
duo. aqua c̃nario solobinario relinquuntur. Rursus siduo ad.IIII. speculeris
portionibus discrepant. indifferentiis paressunt. Namq. & iIII aduobus &
UI aquattuor eo dem binariodistant Insequentib etiam eodem modo sic̃ in
primis fuit ratio constat. Nam eodem ꝓportio est differentus noneisdem : Hã
iiui ad ui.& .Ui. ad Uiiii sesqualt̃a proportioneiunguntur Aut̃ quat̾no¬
riũ duobus UIIII uͦ senarium trib p̾tereunt. insequenti b etiam. eade mratis

Expanded text:
ferentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur ferentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, et parte altera longiores ab unoErgo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differeduo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris,portionibus discrepant, in differentiis pares sunt. Namque et quatuor a duobus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 autem quaternarium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio
Abbreviated transcription (Latin):
oñstat igitur primo qͥdem loco unitatem ꝓpͥe immutabilisq substantie
eiusdemq nacurae. duclitatem uͦ pͥmam alteritatis mutationisq. eẽ. princi¬
pium: scđo uͦloco. om̃s impares numeros. propt̃ unitatis cognationem. eius dem
atq in mutabilis substantiae eẽ parccipes: Paresuͦ obbinarii numericonsor
lt̾itatibus ẽẽ ꝑ mixtos: tetragonos quoque : ad eundem modu
rari manifestum : : Nam qđ eoꝵ compositio & coniunctio etmparibus fu. im¬
mutabilieos nature ꝓnunciabo coniuncto s quod uͦ parte. alt̾a longiores ex
copulatione parium procreantur: numquã ab alteritatis uarietate sepa
ORIB. QUISIT EOrS CONSENSUS INDIFFERENTIIS & INPROPORTI
lludigitur ꝑspiciendum ÷ qđ sldem tetragoni& parce oniBus¬
alt̾a longiores disponantur itaut alt̃ nacim sibi ꝑ mixti sunt: tanta in his ẽ. con¬
uinctio. utalias sibi in eisdem ꝓportionibus cõmunicent. discrepent autem dif¬

Expanded text:
onstat igitur primo quidem loco, unitatem propriae immutabilisque substantiae ejusdemque naturae, dualitatem vero primam, alteritatis mutationisque esse principium. Secundo vero loco, omnes impares numeros propter unitatis cognationem, ejusdem atque. immutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii numeri consortium, alteritatibus esse permixtos. Tetragonos quoque ad eumdem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum compositio et conjunctio ex imparibus fit, immutabili eos naturae pronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium, procreantur, nunquam ab alteritatis varietate separlongioribus, qui sit eorum consensus, in differentia et in proportione. Illud igitur perspiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem dif
Abbreviated transcription (Latin):
̃cipue quisese magni faciunt aestimant᷑: siliquido constabia
ab hoc aliud qđ liberalius offerr& inuentũ. nec ab illo umquã qđ iocundi

Expanded text:
 qui sese magnifaciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud quod liberalius afferret inventum, nec ab illo unquam, quod jucundi
Abbreviated transcription (Latin):
oriuntur Rectis uͦ suꝑ partientibus: multi plices suꝑ parcientes efficiun¬
tur: Prexepat autem tria. haec sunt : ut primũ numerum primofacia spa¬
Sequib duplicibus sudem feceris triplices ꝓcreantur: & de his quadrupli¬
ces: acque in infinitum omnos for mas mimeri multiplices explicabit
onatur iaq primo primusa equedis id÷ unus :t
ꝓͥmo &duobus secundis & tercio parsit. id ÷ unia duobus unis. & uni qui sunt
Illlut est descriptio subietta. Uides neue duplici ꝓportione sequens ordo
texatur
Iacrursus idem dedu plicib &
⁊fic primus primo aequalis id ÷uni
secundus primo & secundo id : uni
&duobus: qui sunt tres tercius primo. idẽ uni. &duobus secundis id ÷ iiu

Expanded text:
oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias paDe quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multtur itaque primo primus aequalis, id est unus. rimo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio: Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur. Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni; secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt 3; tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est 4,
Abbreviated transcription (Latin):
oduobus secundis & tercio equalis. id est
It ince teris quidem ad hano
for mulã tribus hisp̃ceptis ute¬
Imur: Si uͦ quiex equalibus nati
sunt multiplices eos disponamus.
& scđm haec p̃cepta uer camꝰ. it aut conuerso sint ordine: sesqualt̃ exdupli
ciꝑcreabitur Sesquit̃cius extriplici. sesqui quartus exquadruplo sint
enꝰ imtres duplices t̃ mini qui ea equalibus creatisint. & qui ultimus ÷ pri¬
mus ponatur hoc modo¬
It constituat᷑ primo in hoc or dine pͥmꝰpar. dt ini siui IILi
ser undus uͦ primo & scđo par. id ÷ Vl tertius uero primo duobus secun
dis et t̃tio id÷.
ccetibi illa sesqualtera quantitas. ¶uiinouũ¬
extermino duplicitatis exoritur. Hui Iuiuini¬
uideamꝰ nunc ad eundem modũ extripliciquinas cantur disponantur
enim triplices superiores TRIPIOS Tuu liuL

Expanded text:
duobus secundis et tertio aequalis, id est in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus, et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hujusmoEt constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est 6, tertius vero primo, duobus sdis et tertio, id est 9. Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim t
Abbreviated transcription (Latin):
bis enim ii. faciuNui quiom̃s unomaiorib lateribus procreatisunt: Namcũ
sea etbinario t̃narioq nascantur. tres binarium numerũ unosuꝑant:
Cunctiq alii eiusdẽmodis. ut primo &scđo ordine add terutrum multipli¬
catis t̃minis procreencur ita. utquod nascitur exduobus longilateris altrinse¬
cus positis. & bis mediote cragono. tetragonussit: Et rursus quod exduobus al¬
trinsecus positis tetragonis & unomedio longi laterobis faccto nascitur: ipse
etragonussit: & ut angulorum tocius descriptionis ad ang

Expanded text:
bis enim 3 faciunt 6. Qui omnes, uno majoribus lateribus procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad ang
Abbreviated transcription (Latin):
qui in scđo loco÷ constitutus uelit quiscuius prima acde inceps mensura¬
sit inuenire.: transmissis quattuor imparib quimtus eiquẽm&iri possit

Expanded text:
qui in secundo loco est constitutus, velit quis cujus prima ac deinceps sit mensura invenire, transmissis 4 imparibus, quintus ei, quem metiri possit
Abbreviated transcription (Latin):
constructa sunt numerorũ uidentur ẽẽ rationeformata: Hoc enĩ fuit
principale inanima conditoris exemplar. Hinc enimqua ttuor elementorum
multi cudo mutatt est Hinc tp̃m uices: Hinc motus astrorum caeliq ronuer¬
sio Quecũ itasint. cũq om̃ium status numerorũ collectione fugatur. eũqo¬
q numerũ necesses̃ in propria sese habentem &qualit̾ substancia ꝑ manere
eumq compositum non exdiuersis. Quid enĩ numeri substantiam coniugeret.
cum ipsisꝰ eaemplum cuncta iunxiss&: sedex seipso uidetur ẽẽ compositus
lo̾rro autem nichil ecunilibus cõponiuidetur. neq exhis quȩnu llarationis
proportione iunguntur. &ase om̃i subscancia naturaq discreca sunt.
Constat ergo quoniam coniunctus g̃ numerꝰ. neque exsimilibus eẽ conune
ieque exhis queadse inuicẽ nullaratione proportionis hȩi
gonumeros prima queiungant ad substantia quidem quȩxonscent sẽꝑq ꝑ

Expanded text:
constructa sunt, numerorum videntur ratione formata, hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quatuor elementorum multitudo mutata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum coelique conversio. Quae cum ita sint, cumque omnium status numerorum colligatione fingantur, eum quoque numerum necesse est, in propria semper sese habentem aequaliter substantia, permanere, eumque compositum non ex diversis. Quid enim numeri substantiam conjungeret, cum ipsius exemplum cuncta junxisset? sed ex seipso videtur esse compositus. Porro autem nihil ex similibus componi videtur, nec ex his quae nulla rationis proportione junguntur, et a se omni substantia naturaque discreta sunt. Constat ergo quoniam conjunctus est numerus, neque ex similibus esse conjunctum, neque ex his quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent. Erunt ergo, numeros, prima quae conjungant, ad substantiam quidem quae constent, se
Abbreviated transcription (Latin):
alteris plenum eẽ nature Idcirco: quod adualitate completur
xxUIII. QUODEXPARIBUS AUADRATI. EXPARIBUSPARTE
ALTERA LONGIO RESFIANT.

Expanded text:
alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. Quod ex imparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant.
Abbreviated transcription (Latin):
demsia tetragona basi ꝓficiscatur. &
adunum
uertcem eius linee dirigantur: erit piramis quatuor trian¬
qulorum ꝑ latera Unotanꝰ dum tecragono inbasi posito: suꝑ quã¬
Et si bexagono sextriangulis nilominus: & quantoscũq
angulos habuerit figura suꝑquam piramis resida : tot ipsa
platera criangulis continetur ut in sub iectis descriptionib

Expanded text:
em si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae dirigantur, erit pyramis quatuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quaet si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus
Abbreviated transcription (Latin):
Ipsorũ quoq sonorum aduersusse proportio solis neque aliis numeris inue¬
nitur: Suienum sonus in dyptison srmphonia ÷ idẽduplicis numeripro¬
portionẽ colligitur: Quȩdiatessaron ÷ modulacio epytrnt collatione com¬
ponitur: Quamdiapente simphoniã uocant᷑ hemi olia medictate coniun

Expanded text:
Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio, solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur. Quae diatessaron est modulatio, epitrita collatione componitur. Quam diapente symphoniam vocant, hemiolia medietate conjun
Abbreviated transcription (Latin):
orum autem eorumq: qui sequuncur exempla in tegre planeque
possumꝰ ꝑ notare : si inprior descriptione quã fecimus cum de su¬
ꝑ particulari amultiplici loqueremur ubi ab uno usqo indenariũ multi¬
plicationum sum ma concreuit: diligentius uelimus acum̃ in tendere:
Ad primũ enĩ uersum omẽs quisequuntur conlatt: ordinatas conueni entes
cumq. s̃ inquinto uersu compares: suꝑ parcientis numeri spaeies posicas
conuenient̃ aspicies: Multi plexuͦsuꝑ parcicularis ostenditur: cum
scđm uersum om̃s qui suntir quinci uersus serie con¬
qui sunt inseptimo łquis in noii no. acque itca in infinitumsisit isca
descripcio: in in finituma dũ quoq huiꝰ pro porcionis spaeies pro¬
autẽ hoc &eiam ẽ. quod horum comi¬
tes sem ꝑ cum sub p̃¬
positione dicentur ut est sub duplex¬
sesqualt̃. sub duplea sesquit̃ cius. & subduplex sesqui quarcꝰ & ceteriquidemad
xxihunc modum¬

Expanded text:
orum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque cunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie coqui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus proportionis species proam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplexsesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum
Abbreviated transcription (Latin):
nius principium ÷: Ingeo maeria quoq idẽ planius inuenitur
Duȩ enĩ linearertȩ spatium non continent: Et omis angularisfi¬
gurat tetragoni ł penta goni ł exagoni ł cuius lib&: quiplurib
angulis continetur siamediaeate ꝑsingulos angulos lineȩ produ¬
cantur : tot eum diuidunt trianguli. quot ipsam figuram. ano¬
los habere contigerit: Quadratum enim ita ducte lineȩ in quatuo
Pencagonum in quinq exagonum in sex. & ceteros in suorum angu¬
lorum modo mensuraq ꝑtriangulos partiuntur. ut est sub iecta des

Expanded text:
ius principium est. In geometrica quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent, et omnis triangularis figura, vel tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita ductae lineae in 4, pentagonum in 5, hexagonum in 6, heptagonum in 7, et caeteros in suorum angulorum modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subjecta des
Abbreviated transcription (Latin):
ri parcienti sub ttuditur. suꝑ quadri p̾arciens quincas: & ad eundem modum
in c&eris uno semꝑ adiecto suꝑ habicas partes sub audicio facienda : Ut torũ
germana conuenienciaq his nomina haec sint. quidicitur suꝑbi parciens.
idemdicatur suꝑbic̃cius: Quidicitur suꝑtriparciens. issit suꝑtriquare: & quidi¬
citur suꝑquadri parciens: idemdicatur suꝑ quadriquintus  Eademq similicu di¬
ne usque ininfinitum nomina ꝓducuntur

Expanded text:
ripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur
Abbreviated transcription (Latin):
quartũ decimũ duo. quiuocabulo medietatis opponitur: Ergocum hireꝑti
lios inuenire secteres: eadem oportet ratione ut uestiges: P

Expanded text:
quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. P
Abbreviated transcription (Latin):
.ilicebit.: &e pꝰ hunc duo. & IIIIqui inseptenariũ cumulantur: Sedde hoedu
dum extitit axxuiuiꝑfectus: Huic igitur. qui sequitur parit̃ par. id ÷ uuii

Expanded text:
licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par, id
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑbi parciens exortussit: atuero
si suꝑtripartientẽ ponam: duplex sinedi¬
ubio tripartiens inuenitur. ut in subiec¬
ta descriptione perspicuum est
icergo de suꝑ particularibus ł desuꝑ¬

Expanded text:
bipartiens exortus sit. At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens invenitur, ut in subjecta descriptione perspicuum est: Sic ergo de superparticularibus vel de su
Abbreviated transcription (Latin):
explicant: Haeo
autem: intramillenriũ numerũ ꝑfecta. & suispartib aequa numerosi¬
c̾cat: Namsi primt̃ ipsam sumpsero depposito ordine ni
uideo primũ atq in cõpositum: Quam siꝑseipsam multiplico: eadẽ michi
uitaspereatur: Semel enim unũ. solã efficit unicatẽ qua parcibus suis e
s: potencia solum. coeeris &iam actuatq opereꝑfectis Rec

Expanded text:
explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus aequa numerosipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Rec
Abbreviated transcription (Latin):
& X: & in or dinem ad cundem modũ itituentem:
nulla cunctatio contrarietatis impedi&e at uͦ siexagonos librata exa¬
minatione ꝑspicias: exisdem triangulis & suꝑse positis pentagonisꝓ
creantur: Namq. Ui exagonus ex quinario pentagono &unoquiẽ
intrianqulorum ordine dispositus nascitur Hec aliai origo .xu
exagoniꝰ: nisi exduo denario pentagono &ter nario triangulo: qo¬

Expanded text:
 et in ordinem ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Q
Abbreviated transcription (Latin):
Aufer
ugitur exmediominorẽ id ÷ extriginta duobus occonarium: relin¬
quuntur
quuntur aexiiii: &eprimũ octonarium t̃minũ pone. scđm uero qđ relic¬
tum fuerit ex medio id ÷
iuiut sint hiduo t̃ mini uiu& exuu de
ẽcio uͦid÷ exxonii. auferunũ primũ id ÷ VIII. &duos scđos qui sunt re¬
rupla ꝓpinquior aequicati proportio triplat redacta ÷: sunt enim hit̃¬
minioꝰ iu. xxiiui Lexii. exhis autem ipsisidem si feceris ad duplum
rursus cõparatiore meabit: Pone enim primũ minori equum id: uni.
& ex secundo auferprimũ . & ui relinquentur : Sed eat̃cio id÷ ex Lxxii.
auferprimũ id÷ oui aeduo ussecundos id÷ bisdeoi & erit heliquet
unenmpars triginca duo: quibus positis ad duplas proportiones habitudore¬
digitur:¬

Expanded text:
Aufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus, octonarium, relinquuntur 24, et primum octonarium terminum pones, secundum vero, quod reliquum fuerit ex medio, id est 24, ut sint hi duo termini, 8 et 24. De ero, id est 128, aufer unum primum, id est 8, et duos secundos qui sunt reruplis propinquior aequitati proportio, tripla redacta est. Sunt enim termini: Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplum rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et ex secundo aufer primum, 16 relinquentur. Sed ex tertio, id est ex 72, aufer primum, id est 8, et duos secundos, id est bis 16, et erit reliqua pars 32. Quibus positis, ad duplas proportiones habitudo redigitur
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓsiuͦ erbi qͥ quan quamtrib parib int̃uallis sublatisint. tamenꝓpt̃ aequalẽ
multi plicationem participant inmutabilis substantie. eiusdemq nat᷑ es socu:
nonalioꝵ quã imparium coaceruatione ꝓdutur. nuꝗuͦ parium: Namsi
om̃s ab umnitate impares disponantur cunctifiguras erbicas explicabunt:¬
Nhisigitur qͥ pͥmꝰ: potestate & uirtute pͥmũ cubum faci& : umnctiuꝰ duoq
sequuntũr t̃ nariꝰ scilic& & quinariꝰ: scđm efficiunt cubum. qͥẽ. octonarius
lunctiautem tres qͥ sequuntur septenariꝰ nouenariꝰq &xi cybũ faciunt
qͥ xx Ui numero continet᷑. qͥ ẽ t̾tius & sequentes quattuor quartum.
equi seruntur quinq quintum: & adeundem modum quotus quisq cyb
efficit᷑ tota c̃unctione impares ad ponuntur: hocautem diligentius subiecca
descriptio doc&:¬

Expanded text:
equalem multiplicationem participant immutabilis substantiae, ejusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam imparium coacervatione produntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate impares disponantur, juncti figuras cubicas explicabuntest potestate et virtute primum cubum faciet. Juncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et quinarius, secundum efficiunt cubum, qui est octonarius. Juncti autem 3 qui sequuntur, septenarius novenariusque et 11 cubum faciunt, qui 27 numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quatuor, quartum, et qui sequuntur 5, quintum, et ad eumdem modum quotus quisque cubus efficitur, tot conjunctione impares apponuntur. Hoc autem diligentius subjecta descriptio doc
Abbreviated transcription (Latin):
sicenims quẽ ad modum duo adunum : suc Uui ad iuii: & conuersim.
quem admo tum unꝰ adduo: siequattuor ad uiii : & ꝑ mutatim. quẽ¬
ad modum .iiii. ad i: sic uiiadbinarium: Scđm quntitatem uͦ
quantum enĩ unus ad uob uincit᷑
tantum t̃ nariꝰ aquat̃ nario suꝑatur: & quantum duo unum uin¬
cunt : tantot̃ narid̾m quat̾ nariꝰ transit ꝑmixtim oeiam quanto
unus tribus minor ẽ. tanto binaris quat̾ nario ł quanco t̃ nariꝰ unita¬
tem suꝑat. tantobinarium transgreditur quat̃ narius: QUAe ΛΡUO
ANTIQUOS PROPORTIONAUTAS EUERIT : QUAS POSTERIO¬

Expanded text:
sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, si octo ad quatuor, et conversim, sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, si octo ad quatuor, et conversim, quemadmodum unus ad duo, sic quatuor ad octo. Et permutatim, quemadquantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. CAPUT XLI. Quae apud antiquos proportionalitas fuerit et quas posteri
Abbreviated transcription (Latin):
fit proportio nalitas. & est proportionalitas. unũ adduo & duo ad .iiii. ẽ
enim proportionalitas ut dictum ÷ collectio ꝓportionum inunumq. re¬
dactio fit &iam& in longioribus. Namsiquat tuor illis. occo uelis ad iun¬
gere : &his xui ae his xxxiiaderaceps duplos qui sequunt᷑: fit in om̃ib
dupla ꝓportionalitas exꝓportionibus duplis lgitur quotiens unus atque
idemt̃ minus itaduobus circum sec̃ minis cõmu̾nicat. ut ad unum dux
sit. ad alium comes: haec ꝓportionalitas continua uocatur. ut unus d
quat tuor. Est enim aequalitas in his proportionibus. & quemadmodũ s.¬
tres supant binarium. tantum binaris unitatem . & quanto unus duob
minor ẽ tantum binariꝰ at̾nario suꝑatur: sinuͦ alius adunum refer¬
tur t̃ minum alius uͦ adalium. necesse. ẽ habitudinem disuinctam
uocari ut alquelitatem qͥdem proportionis sunt ÷ .ii.iiii. uiii.

Expanded text:
fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum sutres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad aequalitatem quidem proportionis sunt, 1, 2, 4, 8;
Abbreviated transcription (Latin):
dictum÷ nẽres admonet q̃dam deꝓportionibus disputantes. que nobis ut
admusicas s̃peculatioes. ł ad astro nomicas subtilitates ł ad geomaeri a
siderationis uim. ł &iam adueterum lectionũ intellegen
tionalitas. duarum ł trium ł quod libe ꝓportionum assumptio. ad unum
atq collectio. Vt autem cõmunit definiamus ꝓportionalitas ẽ. duarum ł plu¬
rium ꝓporcionum similis habitudo. &iam sin eisdem quanticatib &
tus conscitute sint: Differentia uͦ est. int̾numeros quantitas. Proportio: duoꝵ
t̃ minorũ ad sem uicem qͥdam habitudo. & quasi quodãmͦ continentia quoꝵ
compositio qđ efficit: Proportionale ẽ exiunctis enim ꝓportionibus pro¬
portionalitas fu Intrib autem t̃minis. minima ꝓportionditas inuenit᷑
plam optinae ꝓportionem sinuͦ .iIII. contraii compares . & hic quoq dupla
ꝓportio ẽ. quostrest̃ eminos sicontinue consideres eaducib ꝓportioni sb

Expanded text:
c res admonet, quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligenttionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et qio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. plam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus
Abbreviated transcription (Latin):
rali constitutione duplus ÷. id ternarii Siuero quar tum parem inspicias
id ÷ VIII. quarti numeri id quat̃ narii duplus: Itemq inceteris in infini¬
tum sumentib sine aliquo inpedimento procedit: Triplices aut̃ nescuntur:
plussit solumbinarium p̃t̃mitat Post unum enim &duo uli sunt: quitri¬
plus unius ÷: Rursus post iui&u: Uisunt. qui scđi numeri iđ: duorũ tri¬
os uIIII.quit̃ cu numeri id÷ t̃narii
triplus ÷: Atq hocidẽ in infinitum siquis faciat. sineulla dubitacione pro¬
ce die Quad ruploꝵ uͦ generatio incipit.siquistres numeros int̾̃ mittat :
Post unumquippe & ioeiii. sun uIi qui primiid÷ unius quad ruplus ÷: Rur¬
sus sunt̃ misero quinarium &senarium & septenarium: octo narius michi gert᷑¬

Expanded text:
rali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si plus sit, solum binarium praetermittit. Post unum et duo, 3 sunt, qui triplus unius est. Rursus post 4 et 5, sunt 6, qui secundi numeri, id est duorum trios 9, qui tertii numeri, id est ternarii triplus est. Atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et 2 et 3, sunt 4, qui primi, id est unius, quadruplus est. Rursus si intermisero quinarium, senarium, et septenarium, octonarius mihi quart
Abbreviated transcription (Latin):
occurr&. tribusscilic& int̃ missis quibinariid÷ scđinumeri quadruplus : : Ac
uerosipꝰ UIII trest̃ minos int̃ misero id ÷ uiuiiud xul xi: Duodenarius qui seqͥt᷑
mꝑq una t̃minorũ in t̾missione sicrescat adiectio: ordinata
plicis numeriuics inuenire miraberis : Sienim iIIIInt̃ mittas: quincu. plis
inuenitur: si Nsexcu plus: si.ui: septuplus: Semꝑq ipsius multiplicationis
nomine : uno minus inter missionis uoca bulo percantur : Nam duplus : unum
riumnum erorũ paress : Tripliuꝰ : unus semꝑ parc̃minus impar alius inuenit᷑
Quadrupliuꝰ : rursus semꝑ parem custodiunt quantitatẽ. constituuntur que a
numero uno exprioribus ꝑ ordinem positis paribus int̃mi
i paribi nario: PosthunVIIII. In t̃misso senario : Post huncII. transmisso dena

Expanded text:
i numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitusemperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim 4 intermittas, quincuplus invenitur, si quinque sexcuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum rium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 transmisso dena
Abbreviated transcription (Latin):
scđm continuam medietatem respexeris ł inquaituor ł inquot liba aliisseõ¬
in disiuncta: easdem semꝑ differentias t̃minorum uidebis tantum propor¬
tionibus ꝑmutatis: Idsi in uno qs nouerit: reliqua eumratio non latebis oret
I.hicunus aduob aduoatribus: solisemtum
singulis distant. & s̃ &aedem differentia s porciones uͦ alie : Namq duo ad
unum duplus ÷ iii. ad duoses qualt̃: & inceteris idem uidebis si naut̃ pm¬
cens &aliquos p̃teriens eligas &in his aliquam speculationem ponas. idem
poterit euenire Namsi aequales t̃minos int̾mittas: & unosese in priore
ispositione p̾tercant si singulos int̾mitcas: solius binaru i
& ad eimndem modum unoplus quam inc̃miseris: erit illa quamqueri¬
mus differentia t̃ minorum. Namq si intribus c̃minis singuli relinquan

Expanded text:
inis secundum continuam medietatem conspexeris, vel in quatuor, vel in quolibet aliis secundum disjunctam, easdem semper differentias terminorum videbis, tantum solis proportionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eaedem differentiae, proportiones vero aliae. Namque duo ad unum duplus est, tres ad duo, sesquialter, et in caeteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales terminos intermittas, et sese in priore dispositione praetereant, si singulos intermittas, solius binarii nad eumdem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquan
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓportionẽ medietatẽq c̃stituit. Nãsi sint
quantitate t̃ minitransgrediuntur oeom̃is suꝑ iꝰ dictaꝓpͥetas arithmeticȩ medietatis. in his
miniscustoditur Sed iꝰ. XU numerũ mediũ ponã ut sint .U. XU
ingeometricã merdietatẽ t̃ mini relabuntur. &qualib t̃minorũ ad seinuicẽ ꝓportio¬
differentia minorẽ differentiam uincat: Quauͦ disciplitia huius modi medietates
reperire possimꝰ: expe diendũ ÷ : datis duob c̃minissi arithineticã medietatẽ cõstitue¬
re oportebit: utraq ẽ extremita s c̃iungenda : qđq exea copulatione colligitur di¬
uidendũ : isq numerꝰ qui ex diuisione redactꝰ õ. arithinetieã medietatẽ intex¬

Expanded text:
constituam, statim geometrica quantitate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportiodifferentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inte
Abbreviated transcription (Latin):
praereare id est primã spaeiem multiplicis quanticatis
Nursus eaprima multiplicis sperie io ex duplici aeprima suꝑpar¬
ticulan id÷ sesqudtera: continens multi plicisspecies id : tripla coniun¬
gicur: Namq X II. senari inumeri dupla est: Decemuͦ & uiii. adduo¬
denarium sesqualt̃ ẽ quiad sena rium numerum triplus est:
Enarius in mediceate ponatur: erit ad senarium
sesqualẽ: quiad x onii duplus:: eadsenarium & uiii triplus est:¬

Expanded text:
antitatis. Rursus ex prima multiplicis specie, id est ex duplici, et prima superparticulari, id est sesquialtera, continens multiplicis species, id est tripla conjungitur. Namque 12 senarii numeri duplus est, decem vero et octo, ad duodenarium sesquialter, qui ad senarium numerum triplus est. enarius in medietate ponatur, erit ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et ad senarium 18 triplus est
Abbreviated transcription (Latin):
itapositis siprimus primi multitudine c̃crescat. id. ẽ siqu
paris. & eadem usq adeatremũ multiplicatio proferatur. ł sit̃cius aprimo
in choans usq ineatremũ transeat atq utt quartꝰ &om̃s inor dinem suꝑiores.
multiplicent eosqui sub ipsis indispositiones: om̃s imparit̾ pares proerea¬
buntur: huiꝰ tut̃ reisumamꝰ tale exemplum. siii. quat̃ multiplices xii

Expanded text:
ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat, id est si qutertii, et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multip
Abbreviated transcription (Latin):
Oterea quod eadem imparis propriecatefor matus ẽ. sed nullam inserainae
subsetnciam principalem: Compositus : enim eaxaliisnumeris. habeq partes
aea seipso &cd alieno uocabulo denomincitas: Sed asemae ipsodenomind tampar¬
tem . sol ã semꝑ in his reperiesunitatem: Abedienouͦ uoeabulo uelunc̃ uel quot li¬
b& alias. quantifuerint scilica&e numeri quibusille compositis procreatur. ut sunthi:¬

Expanded text:
terea quod eadem imparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas, sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem, ab alieno vero vocabulo, vel unam, vel quodlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi
Abbreviated transcription (Latin):
talis inueniri q̃ alteram extremitatẽ sesqualtera sit ad alteram sesqui¬
terciam: Altrinsecus enĩ positis senario & t̃nario id est duplici & me¬
diecate: si qua t̃narius in medio collocoeur. adt̃narium numerũ sesqui¬
t̃ciam continae rationem. ad senarium uͦ sesqualteram:
Decte igitur dictum: duplicem a ses¬
Aqualtero sesquit̃cioq conuingi: &dud¬
ashassuꝑ particularis spoies duplicem

Expanded text:
talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesquialtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesquialteram. Recte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesquitertioque conjungi, et has duas superparticularis species duplicem
Abbreviated transcription (Latin):
XUIII concludunt: hocautem uniuer seliter speculandum: sittetragonus tetra¬
gonum multiplicae: sinedubio tetragonus ꝓuenit: Sinuͦ parte alta longior tetragonũ
multiplic&. łtetragonus parte alt̾a longiorem: numꝗ tetragonus semꝑ se̾ante longior
crescit: Rursussi crb: erbum multiplicauerit cỹbi forma conficitur : Siuͦ parte alteram
Imilitudinem paris atq inparis: Parenim parem si multiplicae semꝑparnascitur. & impar
imparem simultiplie & impar continuo ꝓercabitur. Suꝰ impar parem łsipar in parẽmulti¬

Expanded text:
 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, sed semper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte alterasimilitudinem paris atque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem mult
Abbreviated transcription (Latin):
lateri numeri sunt: Longila teros aut̃ uoco quos uno sesuꝑ gredientes numeri multi
numbis multiplicaueris Sed unicas abinario unicate p̃ceditur. Uluero ei&iui.

Expanded text:
lateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multipduobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex du
Abbreviated transcription (Latin):
modoe ordinem : sesqualtera proportio declarabitur : Namt̃ti uꝰ scđi uers
in coeeris quis in eadẽ serie numeri. sitalis coniugatio misceatur: nullt
uanecatis dissimilitudo subripie: Cadem tam̃ sum marũ suꝑgressio ẽ in hocquoq :
quȩ induplicibus fuit: Primus enĩ primũ id ÷ t̃narius binarium. uno suꝑat scđsuera
adINae ineo demcaeros ordine consecteris: sesqui t̃ciat comparatio colligitur: ut iuii
om̃ssine inpedimento speciessuper particularis agnosces: hoc autem in hac ÷ speculit¬
cione diuinũ : quod om̃s angulares numeri tetragonisunt : Tetragonꝰtutem dici¬
tur ut breuissime dicam quod post lacius explicabitur. quem duo aequeles numeri
tragonus : Itembis duo iiiis̃. & t̃.iII. Qiiii quos insem& ipsos multiplicationes pͥ¬
mior dinis ꝑfecerunt: Circum ipsos uero qui sunt. id÷ circum angulares: longi¬

Expanded text:
modet ordinem, sesquialtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versmodet ordinem, sesquialtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versin caeteris qui sunt in eadem serie numeris talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secunduad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 omparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc autem in hac dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod etiam latius explicabitur, quem duo aequales numeri tragonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longi
Abbreviated transcription (Latin):
caeerimodũ ꝑgressionis augescunt: Quãrẽ nobis scilic& &eipsa naturalis
obicit integritas: nichil nobis exetramachinantib ut in ipso modu lo
de scriptionis apparae: Siquis autẽ quarti anguli t̾minũ. qui sedecim nu¬
meriquantitate nocatus : & longitudinẽ latitudinẽq: in quadragenos
det̃minat uelit superiorib: comparare : ꝑ .xx. liccerȩ formẽ ꝓporcione con¬
lata. quad rupli multitudmẽ ꝑ nottibit: hisq ÷ ordinabilis suꝑse ꝓgres¬
sio : ut primus primũ tribus super&: ut quattuor unitatem : Secuntus
secun dum senario uincat: ut octonarius binariũ: t̾ciusc̃cium nouenat¬
rio transeat. ut duo denarius ternarium: Et sequentes sum mulȩ triumse
adiecta quantitate transiliant: & siquis subteriores aspici
tioneꝑueniae: Siquis uerom hac descriptione suꝑ particulares speciesre¬
quirat: talimo doreperirae: Si enĩ sođm angulum nota& cuius ÷ initium
quat̃ narius. eique suꝑiacabi narius atque adhunc sequentem quis ac cõ

Expanded text:
caeteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinatlata, quadruplici multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, et ut primus primum tribus superet, ut quatuor unitatem, secundus secundum senario vincat, ut octo binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciatione proveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque ad hunc seq
Abbreviated transcription (Latin):
quȩd enominantur Neq umquã fleripotest. ut quȩlib& pars huius numeri:
eiꝰ demgeneris denominationem quantitatemq suscipiat: semp. enĩ sideno

Expanded text:
quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si deno