comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
in Sio comitancia Suuilat suꝑficiẽs sibi adnincta
equalis xͤ porti quarti brenioris luxe cui adm̃te
supficiei Desit ad comxlendam luream totam
sũꝑficies suꝑficies quarta necesse est ipsam lurecom
congorem linea breuiori tanto amplius posse
ꝙͣtum est quartum alicuius liuree comitantis eiden
Pongiori in longitudine si uero fuerit longnorta
potencior Ganiori augmrento quarti sinee conitãtis
Aibi mn longitidine Miungatur q ei supficies
Equalis quarte parti quarti brenoris luree cui desit
qua drata suꝑficies suꝑficiem sibi adiunctam eandẽ
lieam longiorem in duas ꝓporciones ꝯmensurabiles
dundere necesse est
Sint dus luree ab et e mo¬
cis xͬ pars quarti liner c ita ꝙ desit od complenda
linram ab suꝑficies quorta hoc eñt eum est possibile ꝑ¬
⁊ 7 s. quos facile fiet hos modo/ Siuidatur as in
Suas lineas ad ds ita ꝙ inter eas cadant medietates
⁊ ꝯtinue ꝓporcionalis hoc autem qualiter fiat in fure
quius demonstracionis docebitut Eut q ex al s

Expanded text:
o communicantia dividat superficies sibi adiuncta equalis quarte parti quadrati brevioris linee, cui adiuncte superficiei desit ad complendam totam lineam superficies quadrata, necesse est ipsam lineam longiorem linea breviori tanto amplius posse, quantum est quadratum alicuius linee communicantis eidem longiori in longitudine. Si vero fuerit longior potentior breviori augmento quadrati linee communicantis sibi in longitudine, adiungaturque ei superficies equalis quarte parti quadrati brevioris linee, cui desit quadrata superficies, superficiem sibi adiunctam eandem lineam longiorem in duas portiones commensurabiles dividere necesse est. Sint due linee a b et c, mnee c ita quod desit ad complendam lineam a b superficies quadrata. Hoc enim est possibile per 27 sexti. Quod facile fiet hoc modo: Dividatur a b in duas lineas a d et d b ita quod inter eas cadat medietas linee c continue proportionalis. Hoc autem qualiter fiat, in fine huius demonstrationis docebitur. Eritque ex 16
Abbreviated transcription (Latin):
eam ita lurertur sux semitircillus slg sit q ꝓporcio quor
liure fg ad quartum liuẽr fħi sicus c ad d et ducat᷑
luea għDico ita duas lineas so et gn directe ꝯmĩltas
componere pmum uinonnum Eest eui linra fg que est
longior potentior linẽa gh que est bremor in quarto luree
sq per .io. 3ͥ et xriultimam xmi communicat autem
sinea fl liure sg in longitudine per secundam partem aͤ

Expanded text:
eam igitur lineetur semicirculus f h g sitque proportio quadrati linee f g ad quadratum linee f h sicut c ad d et ducatur linea g h. Dico ergo duas lineas f g et g h directe coniunctas componere binomium primum. Est enim linea f g, que est longior, potentior linea g h, que est brevior, in quadrato linee f h per 30 tertii et penultimam primi. Communicat autem linea f h linee f g in longit
Abbreviated transcription (Latin):
Binonnium p̾mum Ĩn uenire
Sit a linea racionalis posita sumantur qr duo mimeri
quarti ũ et c quorum sit c diuisib̃ilis in quartum qui sie
d et non quartum qui sit e ponatur q ꝓportio quarti li¬
nee a ad quarcum liner fg sicud nuimeri u admimerum
⁊ eũt qz es secunda porte .A. liura sg totalis linee

Expanded text:
Binomium primum invenire. Sit a linea rationalis posita sumanturque duo numeri quadrati b et c quorum c sit divisibilis in quadratum qui sit d et in non quadratum qui sit e ponaturque proportio quadrati linee a ad quadratum linee f g sicut numeri b ad numerum c. Eritque ex secunda parte
Abbreviated transcription (Latin):
tur bimnediale primum Est enin duxlum suꝑsiciei ab
in uc racionale ꝑxpotesim / secundo q quarta ducos
cuearum ab et et ue ꝑiter accepta facut medialẽ
cum utiũq quartum sit mediale ꝑ ypochesim et unũ
eorum cõmunicans alteri duplum ĩca suꝑficiẽ unius
in alteram est cõmumcans duobus quartis ꝑiter accept
totum ergo aggregatum ex duplo suꝑficiti et duob
inꝯmen suratile duplo suꝑficiẽi unius in altercon ꝑ
.9. huius cum itaq duplum suꝑficier sit racionale ent
quocitũ ac irracionale ideo qz et linea ac quod est
ꝓpositum Illud idem aliter sit liuea Se racionalis
in longitudine cui aduingatur suꝑficies de equalis

Expanded text:
iei a b in b c rationale per ypothesim, duoque quadrata duarum linearum a b et b c pariter accepta faciunt mediale cum utrumque quadratum sit mediale per ypothesim et unum eorum communicans alteri. Duplum igitur superficiei unius in alteram est incommunicans duobus quadratis pariter acceptis. Totum ergo aggregatum ex duplo superficiei et duobus incommensurabile duplo superficiei unius in alteram per 9 huius. Cum itaque duplum superficiei sit rationale, erit quadratum a c irrationale ideoque et linea a c. Quod est propositum. Idem aliter: Sit linea d e rationalis in longitudine cui adiungatur superficies d f eq
Abbreviated transcription (Latin):
rint dus cõmiancanees ꝙtitates cuicunq una earum
non cõmunitat nec reliqua Itaq ꝑ i9. erit suꝑficies
eg nre dialis et eius latus tetragonitum et quod est
ĩtitur Dit eñ suꝑficres a me dialis cui ponatur suꝑfi¬
ries b esse cõmunicans/ Dico suꝑficiem s esse media¬
lem eꝑ sit ꝯstabit sit luuea ed racionalis in lengitudin
adiungatur q ei suꝑficies ce que sit xqualis suꝑficiei a
quod hoc modo fiat in uematur loirea et ad quam sit se
habeat unui ex lateribus suꝑficiei a sicud liuxa e
se habecit ad reliquũ hec autem liuxa qualiter reꝑiatur
ie ioͣ G. diccum est eritq ex i4. eiusidem supersices os
e qualis a ĩtemqi codem modo ad liuecmn et adiungãtur
uilis et quiã a et ẜ erant comiuinicantes ex ypothesi reuĩ
qͦr ce et eg eis equales cõmunicantes Icaq ꝑ pͥma .6. et
erunt cõmunicantes in longitu dine est ita liunea g̃ raci

Expanded text:
itates communicantes cuicumque una earum non communicat nec reliqua. Itaque per 19 erit superficies e g medialis et eius latus tetragonicum, quod est b,onvincitur. Sit enim superficies a medialis cui ponatur superficies b esse communicans. Dico superficiem b esse medialem. Quod sic constabit: Sit linea c d rationalis in longitudine adiungaturque ei superficies c e que sit equalis superficiei a. Quod hoc modo fiet: Inveniatur linea c f ad quam sic se habeat unum ex lateribus superficiei a sicut linea c d se habet ad reliquum. Hec autem linea qualiter reperiatur, in 10 sexti dictum est. Eritque ex 15 eiusdem superficies d f equalis a. Itemque eodem modo ad lineam e f adiungatur sommensurabilis. Et quia a et b erant communicantes ex ypothesi, erunt quoque c e et e g eis equales communicantes. Itaque per erunt
Abbreviated transcription (Latin):
possit ꝙͣtum est quartum alicuius liuer ipsi longiori
in ꝯmensurabilis in longitudine fueritqz longior por¬
ciõnum posite liure ⁊ acionali cõmunicand in lon¬
gituddine ipsum nũcuxatur binoiium quartum Si
uero brenior posite. racionali cõmunioet bnonnum¬

Expanded text:
tum est quadratum alicuius linee ipsi longiori incommensurabilis in longitudine, fueritque longior portionum posite linee rationali communicans in longitudine, ipsum nuncupabitur binomium quartum. ⟨v⟩ Si vero brevior posite rationali communicet
Abbreviated transcription (Latin):
lineam df que est equalis de adiungatur suꝑ¬
ficies fl que sit equalis duplo seꝑficiei unius
in alteram .s. ab in ut erit qi ex ꝑpothesi media¬
lis quare ꝑ io. liuxa gh erit racionalis in potencia
tantum ac quia ꝑ ypochesim ambo quarta ꝑiter
accepta sunt inconmensurabilia du plo suꝑficier
uniũs in alceram sequitur ut dẜ sit incõmẽsirabilis

Expanded text:
atur superficies f h que sit equalis duplo superficiei unius in alteram. Eritque etiam ex ypothesi medialis, quare per linea g h erit rationalis in potentia tantum. At quia per ypothesim ambo quadrata pariter accepta sunt incommensurabile duplo superficiei unius in alteram, sequitur ut d f sit inc
Abbreviated transcription (Latin):
duo mequalia diuidatur quadracagis nequaliũ
piter accepta canto sunt amplius qua dracis mi
mxqualium piter acceptis ꝙͣtum est duxlum
quarti illius linex que iuter utrasq est seccio¬
nei et qua druxlum eius quod fit ex eadem
liuea in eam que est inter punccum secciõnis
minus In equalium et pnẽtum quod iuidit
totam lineam ꝑ equalia
bit linea as diuisa ꝑduo in equalia in pncto e
Itenq per alia mimis iuequalia in ꝑmicto d Rursꝰ

Expanded text:
ualium pariter accepta tanto sunt amplius quadratis minus inequalium pariter acceptis quantum est duplum quadrati illius linee que inter utrasque est sectiones et quadruplum eius quod fit ex eadem linea in eam que est inter punctum sectionis minus inequalium et punctum quod dividit totam lineam | per equalia. Sit linea a b divisa per duo inequalia in puncto c itemque pe
Abbreviated transcription (Latin):
aes et Siuide lineam ed per equalia ad xuncum f
et Siui so liuram ab ad dũctum g ita ꝙ liuea eꝭ
cadat medio loco ꝓportionalis inter ag et gb et qualit̾¬
hoc fiat in .iͣ. dictum est Et pono ut suꝑficies bl
equale suꝑficier bh et quia quartum ef est equale quente
parti quarti ed ex quarta .2. secundi et quia suꝑficies
bl deest ad complendam lineam ab suꝑficies quarta
cũ ag sit ⁊qualis gh et quia linea ab potentier est lurea
es quarto linee sibi stilicet ab inꝯmensurabilis in longi¬
in dine ex ꝓpocesi erit ex secunda parte i4ͬ. sines ag

Expanded text:
b. Et divido lineam c d per equalia ad punctum f et divido lineam a b ad punctum g ita quod linea c f cadat medio loco proportionalis inter a g et g b. Quod qualiter fiat, in 13 dictum est. Et pono quod superficies b h equale superficiei b h. Et quia quadratum c f est equale quarte parti quadrati c d ex quarta secundi et quia superficiei b h deest ad complendam lineam a b superficies quadrata cum a g sit equalis g h, et quia linea a b potentior est linea c d quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine ex ypothesi, er
Abbreviated transcription (Latin):
ficies ac nẽq esset ⁊acionalis neq medialis Si em̃
neq in longitudine neq in potencia cõmunitantes essont
duo quarta ce et ed incõmunicantia Itaqr et Sice su¬
ꝑficiales fl et lil eis equales essent quoꝵ incomunitaoites
quare et Due lurxr gh et ms esser̃ incõmensurabiles
ꝑ p̃mam g et secudum partem io. huius et quia utia¬

Expanded text:
ficies a c neque esset rationalis neque medialis. Si enim ficies a c neque esset rationalis neque medialis. Si enim neque in longitudine neque in potentia communicantes, essent duo quadrata a e et c d incommunicantia. Itaque et due superficies f h et k l eis equales essent quoque incommunicantes, quare et due linee g h et m l essent incommensurabiles per primam sexti et secundam partem 10 huius. Et quia utra
Abbreviated transcription (Latin):
cõmunicans lĩnee bai que est equalis linee se erit
ua equalis ac Si autem liura hai sit mracionalis
in longitudine sure cõmensurabilis liner lrar que
sit equalis liuee fg cum ipsa scilicet h̃ri sit ra¬
cionalis saltem in potencia eo ꝙ suui quartianis
dine ꝯmunicantes esset suꝑsicies ac medialis tantũ
esset suꝑficies ac cõmunicans uterq Ouerum quortorũ
ae et c per pͥmam sexti et ꝑ presentem ypochesim
nicans utriq suꝑficiei fħ et lł ergo per primũ s. et
io. huius liur̃a sai erit cõuiunitans utriq duarum luure¬
arum gh et arl quia hee ambe sunt raciõnales in
pocencia tantum non cõmunicantes in logitudinx liure
g esset quoq hai ⁊acionalis in potencia tantum non
cõmunitans in longitudine linbe fe quare ꝑ .i9. esset
suꝑficies h̃lr medialis tantum et ideo eciam ac sibi equa¬
lis/ Pi autem due linee ab et bt essent mediales
urq in longitu diue neq in potencia cõmunicantes suꝑ¬

Expanded text:
ans linee k m que est equalis linee f g, erit sua equalis a c. Si autem linea h m sit irrationalis in longitudine sive incommensurabilis linee k m que est equalis linee f g, cum ipsa sit rationalis saltem in potentia eo | quod suum quadradine communicantes, esset superficies a c medialis tantum. Esset enim superficies a c communicans utrique duorum quadratorum a e et c d per primam sexti et per presentem ypothesim r per primam sexti et 10 huius linea h m esset communicans utrique duarum linearum g h et m l. Et quia hee ambe sunt rationales in potentia tantum, non communicantes in longitudine linee f g, esset quoque h m rationalis in potentia tantum, non communicans in longitudine linee f g, quare per 19 erit superficies h k medialis tantum et ideo etiam a c sibi equalis. Si autem due linee a b et b c essent mediales neque in longitudine neque in potentia communicantes, super
Abbreviated transcription (Latin):
linee ab ad quartum lnrex ac sicud numerus d¬
36. ad numerum e 2. et ducatur liea cb et
Suar lineas cales quales inquerimus Similiter
quoq diuidatur d.56. in g.ib. et h.ro. non quartũ
sit q quartum liner ab ad quartum luner alr sicud

Expanded text:
linee a b ad quadratum linee a c sicut numerus d ad numerum e et ducatur linea c b etduas tales lineas quales inquirimus. Similiter quoque dividatur d in g quadratum et h non quadratum, sitque quadratum linee a b ad q
Abbreviated transcription (Latin):
in cõmensurabiles suꝑficiem q nredialem cõ¬
einentes quarum ambo quadrata ꝑiter accep¬
ta siit racionale tota linea erit urratienalis
dicetrq liea maior
ac ex xis composuam esse lineam irracienalem et
.psa uocatur liuxa maior Cum enin ambo quarta
piter accexta sint rauionalis supficies ugro al terius
Iir alteram quare et xins duxlum me diale ꝑ ypoche¬
sum erit cotum ex duobus quartis ꝑtiter acceptis
inꝯuunicans Duplo suꝑficiei unius in alteram
Itaq cotum aggregatum /ex duobus quartis et duxlo
i ꝑficiei et ipsum est equale quarto ac ꝑ quartã
secum di erit ꝑ .9. huiud inꝯmensurabile dnobus

Expanded text:
incommensurabiles superficiemque medialem continentes quarum ambo quadrata pariter accepta sint rationale, tota linea erit irrationalis, diceturque linea maior. a c ex eis compositam esse lineam irrationalem et ipsa vocatur linea maior. Cum enim ambo quadrata pariter accepta sint rationale, superficies vero alterius in alteram, et quare eius duplum, medialis per ypothesim, erit totum ex duobus quadratis pariter acceptis incommunicans duplo superficiei unius in alteram. Itaque totum aggregatum ex duobus quadratis et duplo superficiei et ipsum est equale quadrato a c per 4 secundi erit per 9 huius incommensurabile duobus
Abbreviated transcription (Latin):
ac medialis ut autem facilior frãt doctrina se¬
quencium predemonstranda arbitranur hoc loco
Suo quore primum est istus
Si aliqua linea ꝑ. dus mequalia diuidatur.
quorta ambarum seccionum piter accepta tanto
sunt amplius duplo suꝑficier unius carum
in alteram ꝙͣtum est quartum eius linẽe qua
maior exgr.Sit minorem
Sit enin liuea ab diuisa
q maior porcio es de qua sumatur ed equalis a
Sico ꝙ quarta duarum lurarum ac et es sun
amplilia duxlo suꝑficie unius ĩn al teram in quar

Expanded text:
a medialis. Ut autem facilior fiat doctrina sequentium premonstranda arbitramur in hoc loco duo quorum primum est: Si aliqua linea per duo inequalia dividatur quadrata ambarum sectionum pariter accepta tanto sunt amplius duplo superficiei unius earum in alteram quantum est quadratum eius linee qua maior excedit minorem. Sit enim linea a b divisa que maior portio c b de qua sumatur c d equalis a c. Dico quod quadrata duarum linearum a c et c b sunt amplius duplo superficiei unius in alteram
Abbreviated transcription (Latin):
est uracionalis et ipsa uocatur liura potens in racio¬
nale et me diale sum sit enin suꝑficies as in ꝑe ra¬
cionalis ꝑ ꝑpocesin ⁊ deoq et Suplum ens ac ambo
quarta ꝑiter accepta suit mediale sequitur ꝑ .x. secũdi
et .9. huius ꝙpadinedum in p̃missa ꝙ quartum totius
ac sit incõmunitans du ꝑlo suꝑficie ab in bt ꝑ difti¬
incionem ita erit ipsum macionale et linea ac macio

Expanded text:
n rationale et mediale. Cum sit enim superficies a b in b c rationalis per ypothesim ideoque et duplum eius ac ambo quadrata pariter accepta sint mediale, sequitur per 4 secundi et 9 huius quemadmodum in premissa quod quadratum totius a c sit incommunicans duplo superficiei a b in b c, per diffinitionem igitur ipsum est irrationale et linea a c
Abbreviated transcription (Latin):
nõnale In longitudine quare ꝑ .3o. luiea dħ est bi¬
nomium et irracionalis et suꝑficies eh ꝑ. G. a de¬
guccione ꝯsequentis macionalis Cum itaq luxa
ac sit cius latus tetragonicum ꝑ ꝙ. secundi sequit᷑
ut ac sit irracienalis ꝑ diffinitionem constatergo
ꝓpositum

Expanded text:
er 30 linea d h est binomium et irrationalis et superficies e h per 16 a destructione consequentis est irrationalis. Cum itaque linea a c sit eius latus tetragonicum per 4 secundi, sequitur ut a c sit irrationalis per diffinitionem. Constat ergo propositum
Abbreviated transcription (Latin):
q medialem contrnentes quarumm quorta ambo
piter accepta sint nrediale duxlo suꝑficie unius
in alreram In comnensirabile in uenne
Huius quoq disposicio a duarum p̾missaꝵ dispesitionr
non sis inquoquã diuersa Suit antem due lure ab
et cs quales 2Gͣ. pponit eruntq prenssa arguiuẽta¬
cione Sue liug ac et es quas in q̃rinus Cum
enin ab sit liuxa medialis erunt quarta ducerum
einearum ar et eb ꝑicer accexta mediale ac cũ
as in cd ꝯtineat suꝑficiem iedialem sequitur ut
ab in ẜ et ideo in eg sibi equalem ꝯtinrat quoq suꝑ¬
ficiem ine gialeni Ounis quoq suꝑficies nredialis
cõmunicans mesialem esse quĩtitur quẽ adine dum in
riͣ. demonstratum est Suꝑficies igitur ae in es est
mesialis cũ ipsa sit equalis suꝑficiei ab in ge
quia uero est liura ab inꝯmensurabilis lurer ẽs
erit eciam in ꝯmensurabilis luee f quare et luẽc

Expanded text:
m quadrata ambo pariter accepta sint mediale duplo superficiei unius in alteram incommensurabile, invenire. Huius quoque dispositio a duarum premissarum dispositione non sit in quoquam diversa. Sint autem due linee a b et c d quales 26 proponit erunt- que premissa argumentatione due linee a e et e b quas inquirimus. | Cum enim a b sit linea medialis, erunt quadrata duarum linearum a e et e b pariter accepta mediale. Atque cum a b in c d contineat superficiem medialem, sequitur ut a b in f c et ideo in e g sibi equalem contineat quoque superficiem medialem. Omnis enim superficies mediali communicans medialis esse convincitur, quemadmodum in 21 demonstratum est. Superficies igitur a e in e b est medialis cum ipsa sit equalis superficiei a b in g e. Quia nota est linea a b incommensurabilis linee c d, erit etiam incommensurabilis linee c f, quare et linee
Abbreviated transcription (Latin):
iG. liura ꝯh eut racionalis in longitudine/ Sue itaqi
Cinee Sg s ec għ sunt potencialiter racionales et
in ea tantum cõmunicantes ergo ꝑ .3o. cota liuxa ex
eis composita que est dh est uinomiũ est uracio¬
nalis quare p .is. adescruccione ꝯsequentis suꝑficies
eh est irracionalis ac quia ꝑ x secundi latus
eis tecragonicum est liuea ac ipsa q erit uracionalis
⁊ diffinicionem quod oportuit demonstrari

Expanded text:
16 linea g h erit rationalis in longitudine. Due itaque linee d g et g h sunt potentialiter rationales et in ea tantum communicantes, ergo per 30 tota linea ex eis composita, que est d h, est binomium et est irrationalis. Quare per 16 a destructione consequentis superficies e h est irrationalis. At quia per 4 secundi latus eius tetragonicum est linea a c, ipsa erit irrationalis per diffinitionem. Quod oportuit demonstrari
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯħ que cum sunt iacionalei in potentia erit ꝑ 2ͦ
tora linra dii binonnũ et Itaciõnalus ergo ꝑibi
a destruccione ꝯsequentis erit suꝑficies eh urraciona¬
lis es quia latus xius tetragonitum ꝑ quartam secĩ¬
Si est lurea ac sequitur ꝑ diffuncionem ꝑ linẽa
ac sit irracionalis quod ppositum erat ostendere

Expanded text:
ationales in potentia, erit per 30 tota linea d h binomium et irrationalis. | Ergo per 16 a destructione consequentis erit superficies e h irrationalis. Et quia latus eius tetragonicum per 4 secundi est linea a c, sequitur per diffinitionem quod linea a c sit irrationalis. Quod propositum erat ostendere
Abbreviated transcription (Latin):
Pͦ ꝑ i2. d xotencior e quarto liure sili inꝯmenscrabilis
In longitudine Si ergo due liuee S et e ꝯtinent sax¬
ficiem inxdialem constat eas esse quoles ĩnquerimius
Gas autem continere suꝑficiale suꝑficiem ixdialẽ
sit habetur Eum sit ex ypochesi a ad c sicud d ad e
erit pmutatim a ad d sicud c ad e o⁊ a ad d ist
sicud d ad b ꝑ xporhesim Ĩcaqr d ad s sicud c ad e
ergo ꝑo primam partemi. G. suꝑficies quam contimẽ
S et e est equalis ei quam ꝯturent s et c si s et c
continent suꝑficiem me dialem ꝑ .i9. cum ip̃se sunt ra¬
cionales in potencia cõmunicantes ex ypothesi Ĩcaqs

Expanded text:
r e quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine. Si igitur due linee d et e contineant superficiem medialem, constat eas esse quales inquirimus. Eas autem continere superficiem medialem sic habetur: Cum sit ex ypothesi a ad c sicut d ad e, erit permutatim a ad d sicut c ad e, sed a ad d est sicut d ad b per ypothesim, itaque d ad b sicut c ad e. Igitur per primam partem 15 sexti superficies quam continent d et e est equalis ei quam continent b et c. Sed b et c continent superficiem medialem per 19, cum ipse sint rationales in potentia tantum communicantes ex ypothesi. Ita
Abbreviated transcription (Latin):
secunda uero eẜ ex ꝓpothesi propter quod quocitum utiuis¬
qr eare per primam partem is. si est equalo adit¬
Rcien ag in go que est bħ ipse igitur sunt equales dc
sunt autem ag et ge et ꝯs continuo ꝓporcionales erit
ar ad es ꝯ. ouplicata sicud as ag ad bg quare ꝑ id
G. erit quartum luree ae ad quarcum lire Ees sicut

Expanded text:
r quod quadratum utriusque earum per primam partem 16 sexti est equale superficiei a g in g b que est b h. Ipse igitur sunt equales. At ut a g ad g e, sunt autem a g, g e et g b continue proportionales, erit a e ad e b duplicata sicut a g ad g b, quare per 18 sexti erit quadratum linee a e ad quadratum linee e b sic
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑficies ab in eg que est equalis suꝑficies ax in es
enit inꝯmensurabilis quarto liner as ĩtaq et quartis
Sitarum liuxarsas çix et eb ꝑiter acceptis quod cũ
ita sit sequitur ꝙ ut duplum suꝑficiei de in es sit
Iiꝯmrensurabile pre dictus quartis liuxarum Sudcrũ
ãe et es ꝑiter acceptis et hoc erat demonstran dum
d ne linee quas hez ⁊ꝯͣ. Docet purenire comxonũt
Euiram potentem in Suo nredialia et minori earum

Expanded text:
in e b, erit incommensurabilis quadrato linee a b, itaque et quadratis duarum linearum a e et e b pariter acceptis. Quod cum ita sit, sequitur quoque ut duplum superficiei a e in e b sit incommensurabile predictis quadratis duarum linearum a e et e b pariter acceptis. Et hoc erat monstrandum. Due linee quas hec 29 docet invenire componunt lineam potentem in duo medi
Abbreviated transcription (Latin):
eius quartum mediale ꝑ .i9. et Ĩdeo duo quarta
duaruim luars ae et es sunt mediales per pe¬
miltimam primi et quiã ab in es continẽt suꝑficien
⁊ acionalem sequitur eciam ut ab in cẜ ideo in eg
sibi equalem ꝯtineat suꝑficiem racienalem Iĩtagi et ce
in es pacet ergo quod quenit unde due lines quas
hec . ⁊d. Docet inuenire ꝯponũt liueam xotẽ in racie¬
nale et mediale et minori earum at abstisa de
maiori que reliqua est dicitur liura que mĩeta cũ
⁊ acionali compoint totum me diale

Expanded text:
quadratum mediale per 19 et ideo duo quadrata duarum linearum a e et e b sunt mediale per penultimam primi. Et quia a b in c d continet superficiem rationalem, sequitur etiam ut a b in c f et ideo in e g sibi equalem contineat superficiem rationalem, itaque et a e in b e. Patet ergo quod queritur. Unde due linee quas hec 28 docet invenire componunt lineam potentem in rationale et mediale et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur linea que iuncta cum rationali componit totam
Abbreviated transcription (Latin):
as quartum racionale cum as sit racionalĩs in xotencia
x ypotlesim erunt q quarta duaꝵ ciurarũ ax et
es ꝑiter accexta racionalis Si ergo hee due liure ae¬
et eb ꝯcinent suꝑficiem medialem habitum est ꝓpositã
E rat autem cd racionalis in potencia et in ea tantũ
ꝯmunitand luree ab quare es et Ideo ge ⁊̃ sibi eꝭ¬
equalis erit ꝑiter potencia racionalis et in eadem tã
cum ꝯuunitans cum ab Itaq ꝑ .i9. suꝑficres as in ge
ab in ge equalis constat da duas lnras ax et es
esse quales querimus Et nota iy due liuee quas docet

Expanded text:
m quadratum a b rationale, cum a b sit rationalis in potentia per ypothesim, erunt quoque quadrata duarum linearum a e et e b pariter accepta rationale. Si ergo hee due linee continent superficiem medialem, habitum est propositum. Erat autem c d rationalis in potentia et in ea tantum communicans linee a b, quare c f et ideo etiam g e sibi equalis erit potentia rationalis et in ea tantum communicans cum a b. Itaque per 19 superficies a b in g e a b in g e equalis, constat duas lineas a e et e b esse quales volumus. Et nota quod due linee quas docet
Abbreviated transcription (Latin):
Est enim ꝑ .x. 2. quartum ac equale quartis duaꝵ
Einearum ab et ut et deplo suꝑfsicie unius
in alteram quarta autem ambarum faciunt suꝑficiẽ
ex in ĩtaq quarta ambarum ꝑiter accepta faciunt
suꝑficiem in ꝯmensurabilem duplo suꝑficiei unnus¬

Expanded text:
er 4 secundi quadratum a c equale quadratis duarum linearum a b et b c et duplo superficiei unius earum in alteram. Quadrata autem ambarum faciunt superficieex 19. Itaque quadrata ambarum pariter acceptarum faciunt superficiem incommensurabilem duplo su
Abbreviated transcription (Latin):
patet eum ex iqͣ. ꝙ suꝑficiẽs quam ꝯturent daite
dnes a et s est me dialis et quia ꝑ p̾mam xocitẽ
s. s̾. qͣuartum Cirer c est dicte suꝑfitiẽi equale
eut ꝑ .i9. lñrea c̃ medialis Cum autem sit a
os s sicud c ad d et s cõmunicet cum a in xotẽ¬
cia cantum ex ypothesi quia tam a ꝙ. s est rõnalis
in potencia sequitur ꝑ ao. ꝙ d quoqiͣ ꝯmunitet cum
⁊ iñ potencia cantũ Itaq ꝑ .ri. cum bueae ẜor¬

Expanded text:
ficies quam continent due linee a et b est medialis. Et quia per primam partem 16 sexti quadratum linee c est dicte superficiei equale, erit per 19 linea c medialis. Cum autem sit a ad b sicut c ad d et b communicet cum a in potentia tantum ex ypothesi, quia tam a quam b est rationalis in potentia, sequitur per 10 quod d quoque communicet cum c in potentia tantum. Itaq
Abbreviated transcription (Latin):
utiaq Duarum liuxaꝵ ce et es xorencialiter cantum
racionalis et cd in cõmen surabilis in longitudur ĩcaq
linea xf est mens incõmensurabilis liũee ce in lon¬
gitudine et quia ꝑ primam .6. quartum liuee es ad
suꝑficiem que fit ex xf in ce est sicud ef ad ce sequit᷑
per secundam portem deciie ut quartum luree est
et ĩn commuensutabile suꝑficiei facte ex ef in ce quate
et ipsum quartum est in ꝯmẽsurabile duxło saꝑficie
ex es/ in ce quarto uere ce cum sit racionale est cõ¬
inuntand quarto ep totum ergo aggregatum ex ambo¬
uus compositum erit per .ꝯ. cõmunitans quarto uẜ et idc
incõmensurabile Suplo suꝑficiei ex es in ce et quie ꝑ¬

Expanded text:
um rationalis et linee c d incommensurabilis in longitudine. Itaque linea e f est incommensurabilis linee c e in longitudine. Et quia per primam sexti quadratum linee e f ad superficiem que fit ex e f in c e est sicut e f ad c e, sequitur per secundam partem 10 ut quadratum linee e f sit incommensurabile superficiei facte ex e f in c e. Quare et ipsum quadratum erit incommensurabile duplo superficiei ex e f in c e. Quadratum vero c e cum sit rationale est communicans quadrato e f, totum igitur ex ambobus compositum erit per 9 communicans quadrato e f et ideo incommensurabile duplo superficiei ex e f in c e. Et quia
Abbreviated transcription (Latin):
sũ ꝯm̃tte fuerint due linxe potentialiter quiẽ¬
surabiles suꝑficiem qz raciõnalẽ continentes
quaꝵ ambo quarta ꝑiter accepta suit medi¬
ale tota luea erit iraciõnalis dicet᷑q po¬
cens in racionale et meSiale
duit ut in x̾missis due liner as et bc p̃ꝯtinum

Expanded text:
otentialiter incommensurabiles superficiemque rationalem continentes quarum ambo quadrata pariter accepta sint mediale, tota linea erit irrationalis, diceturque potens in rationale et mediale. Sint ut in premissis due linee a b et b c in continuum
Abbreviated transcription (Latin):
Sia lem continentes quars lom longior sit potencier
Greniori in quarto liuxe secum cõmunicantis in longitudire
s solum sibi inꝯmensurabilis in longitudine illud eum
facile habetur ex isto dint itaq cres luree sumxte se¬
cun dum doctrinam id. abc potencia cantum r acionales
et ĩn xa solum cõmunicantes sit qz a potencior s quarto
liner sibi inꝯmensurabilis in longitu dine et ponatur d
me dio loco ꝓporcionalis inter a et s ut docet noua¬
.G. et sit d ad e ut a ad c dico duas luiras esse a et
e esse equales inquerimus. Sum sit xuin quartum luree
Dequale suꝑficies que ꝯtinetur sus a et s ꝑ pͥmam ꝑgtẽ
I6. sͥ. sit q suꝑficies contenta sus a et s iur dialis es

Expanded text:
ntes quarum longior sit potentior breviori quadrato linee non secum communicantis in longitudine, sed solum sibi incommensurabilis in longitudine. Illud enim facile habetur ex isto. Sint itaque tres linee sumpte secundum doctrinam 18 a, b, c potentia tantum rationales et in ea sin longitudine et ponatur d medio loco proportionalis inter a et b ut docet 9 sexti et sit d ad e sicut a ad c. | Dico duas lineas d et e esse quales inquirimus. Cum sit enim quadratum linee d equale superficiei que continetur sub a et b per primam partem 16 sexti. Sitque superficies contenta sub a et b media
Abbreviated transcription (Latin):
longior sit potencior bremori quarto lurer
eidem longiori in longitudine in ꝯmensura¬
uilis in ueinte
positis duabus linris a et s racionalibus potencia
tantum ꝯmunitantibus quarum longior possit ampli¬
us breniori quarto lirex secum nor comnuncantis
in longitudine que qudem reperiuntur secur dum doctna
id cetens q posicionibus mauenibus sicut in p̾missa
argiendo mode simili patebit duas liuras ⁊ et d¬
esst esse quales querimus Et noca ꝙ due liuer quas
hec et premissa docent In uenire ꝯponũt bimiediale
primũ et minori earum abstisa de maiori que reliqua

Expanded text:
longior sit potentior breviori quadrato linee eidem longiori in longitudine incommensurabilis invenire. Positis duabus lineis a et b rationalibus potentia tantum communicantibus quarum longior possit amplius breviori quadrato linee secum non communicantis in longitudine que quidem reperiuntur secundum doctrinam 18 ceterisque positionibus manentibus sicut in premissa argumentando modo consimili, patebit duas lineas c et d esse quales inquirimus. Et nota quod due linee quas hec et premissa docent invenire componunt bimediale primum et minori earum abscisa de maiori que reliqua
Abbreviated transcription (Latin):
et elr Se quare ꝑ primoon sexa erunt ⁊̃ .℥. linee
għ et hã et mh que sunt uases corum ꝯoiuix pportio¬
nales et cum suꝑficies fħ et kl suit cõmunitantes sicut
suo quarta al et cd eis equalia sequitur ꝑ p̾mam
partem .G. et .io. ħuid ut liuea gb sit cõmunicans
cum ms utraqrͣ earum stilicet għ et ml est racionalis

Expanded text:
et d c. Quare per primam sexti erunt etiam tres linee g h, h m et m l que sunt bases earum continue proportionales. Et cum superficies f h et k l sint communicantes sicut duo quadrata a e et c d eis equalia, sequitur per primam sexti et 10 huius ut linea g h sit communicans cum m l. Utraque autem earum est rationalis
Abbreviated transcription (Latin):
het ixͣ. ex contiatio anteredentis premisse iuise con¬
trarium consequentis et non differt xius dispole¬
cio a dispositient illuis s et modus arguendi utro¬
uiq idem si em̃ ad non cõmunitat crin dẜ nec
Dẜ sibi stilicet ad equalis ꝯmumicabit cum eadem
quare nec af Ideo qr neq ab cõmunicabit cum liiea
fs Ex si hoc fuerit uidelicet ut as nor cõmunitet
cuir fs neq cõmunicabit ꝑs cum af quare neq
cum ad aut cum dẜ neq ita ds cum da / potest
quoq hec .ix. de monstiacu per p̾missam / prima pars
quius et ex ⁊ illius et .2. ex p̃ma adestrucoõne
ꝯsequentis Si qm̃i ad et ds non cõmunicent net
ab et bf cõmunicabunt yan si ab et sf cõmuni¬
carent oporteret ꝑ secundam partem premisse ut
ad cõmunitaret cum db s positum est ꝙ non
Codem modo de secun da parte si enin as et ss
non coĩtãt net ad et ds cõmunicabũt nom si sit
sequetur ꝑ primõan partem premisse ut ab et bꝭ con¬
due linee in longitudine racionales r aciona¬

Expanded text:
Hec 14 ex contrario antecedentis premisse infert contrarium consequentis premisse et non differt eius dispositio a dispositione illius. Sed et modus argumentandi utrobique idem. Si enim a d non communicet cum d b, nec d f sibi equalis communicabit cum eadem quare neque a f, ideo neque a b communicabit cum linea f b. Quod si hoc fuerit videlicet ut a b non communicet cum f b, neque f b communicabit cum a f, quare neque cum a d aut cum d f. Neque igitur a b cum d a. Potest quoque hec 14 demonstrari per premissam. Prima pars huius ex secunda illius et secunda ex prima a destructione consequentis. Si enim a d et d b non communicent, nec a b et f b communicabunt. Nam si a b et b f communicarent, oporteret per secundam partem premisse ut a d communicaret cum d b, sed positum est quod non. Eodem modo de secunda parte: Si enim a b et b f non communicant, nec a d et d b communicabunt. Nam si sic, sequetur per primam partem premisse ut a b et b f comdue linee in longitudine rationales, rationa
Abbreviated transcription (Latin):
surabile aggregato ex Suobus quartis Suarum cineccad
ce eti ef ac cum aggregatum ex xis quortis sit dacio¬
nale se quitur quartum linee eẜ non esse racionale
et ĩdeo linea et non est racionalis in potentia et id¬
circo non erit suꝑficies Sẜ medialis neq as sibi eꝯualis
quos i ꝯueniens cum sit contrarium postruñ relinquit
ereso superficies ẜ esse rrrationalid quod est ꝓpositum

Expanded text:
bile aggregato ex duobus quadratis duarum linearum c e et e f. At cum aggregatum ex hiis quadratis sit rationale, sequitur quadratum linee c f non esse rationale. Et ideo linea c f non est rationalis in potentia et idcirco non erit superficies d f medialis neque a b sibi equalis. Quod est inconveniens cum sit contrarium positis. Relinquitur igitur quod superficies b est irrationalis. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
Sum omres due liner mediales potencia cantum cõ¬
iuinicantes contineant suꝑficiem r acionalem aut me¬
dialem ut patet ex prcm premissa docet inuenire
eas ⁊ que ꝯtient su ꝑficrem ⁊ acioualem et cas que
me dialem unde ꝓpositum est inuenire duas luiras
me diales potencia tantum cõmunicantes quar lon¬
gior possit ampolius bremori in quarto quarto luree

Expanded text:
potentia tantum communicantes contineant superficiem rationalem aut medialem ut patet ex premissa, docet invenire eas duas que contineant superficiem rationalem et eas que medialem. Unde propositum est invenire duas lineas mediales potentia tantum communicantes, quarum longior possi
Abbreviated transcription (Latin):
equalis cum sit ergo E equalis eg erit ergo biuedialie
quod est ꝑpositum/ Et nota ꝙ omres suꝑficies mrdia¬
Ces cõmunnicantes comxonunt suꝑficiem me dialem unde
cota dg est nre dialis quia cum due lner eẜ et sg
sint racionales in potencia tantum et cõnunitantes ed¬
in longitudiur sequitur ut tota eg sit racionalis i potencia
tantum et non cõminicans ed in longitudinre itaq ꝑ
mediali rracionalis esse ꝓbatur

Expanded text:
b medialis. Quod est propositum. Et nota quod omnes superficies mediales communicantes componunt superficiem medialem. Unde tota d g est medialis quia cum due linee c f et f g sint rationales in potentia tantum et non communicantes in longitudine, sequitur ut tota c g sit rationalis in potentia tantum et non communicans c d in longitudine. Itaque per mediali irrationalis esse probatur
Abbreviated transcription (Latin):
aner una ex partibus a quotiens unntas est inc
qui ita ex prima G. ꝓporcio quarti liner a ad sux¬
aaciem que sit ex a in e est sieut a ad e et ides
srcud nuneri ad nimerum c di ponatur d me dio loco
porcionglis inter a et d ut doce .qͣ. .c. quiã tunc

Expanded text:
atur una ex partibus a quotiens unitas est in c. atur una ex partibus a quotiens unitas est in c. Quia igitur ex prima sexti proportio quadrati linee a ad superficiem que fit ex a in e est sicut a ad e et ideo sicut numeri b ad numerum c, si ponatur d medio loco proportionalis inter a et e sicut docet 9 sexti, quod tunc
Abbreviated transcription (Latin):
aposita qualibet liuxa ⁊ ecta duas ei inꝯmensura¬
Sibris asceram in songitudine tantum alçeram in
congitudine et potentia ⁊ ectas liuxas inuenis
sit lura a ꝓposita uolo duas sixas Iuuenr qͣrs¬
alcera cõmunicet cum a in xotencia tantum alcera
uero sit ꝯmensurabilis a et nlongitiedure goprpti
daumam icaqi suos numeros nequaꝙͣ sabentois
In porcione aliquorum numerorum quarto rum suit q hu
s let e quod facile est semere cum quibus quartus mi¬
merus adquerlibet non quartum eam habrat ꝓpor¬
cionem quam nequaꝙiͣ habent aliqui iimeri quort
confirmante hoc oar. d. Duobus calibus numeris sup̃t
iubenis lingam S ad cuius quartum se habrat quorcĩo
emea sicud numerus c ad nuinerũ s hanc autẽ
Emẽam itli ⁊ eꝑio Siuido liuram a in parrtes equales
quot sime unitates in nimero b quod ficile facio ad¬
iuante ii. uc.i2ͣ. s̾. De hinc suꝑ extremitatem lurea
a erigo lineam e ꝑpendiculariter in qua tocrens ꝯtine¬

Expanded text:
oposita qualibet linea recta duas ei incommensurabiles alteram in longitudine tantum, alteram in longitudine et potentia rectas lineas invenire. Sit linea a proposita. Volo duas lineas invenire quarum una communicet cum a in potentia tantum, altera vero sit incommensurabilis ei et in longitudine et potentia. Sumo itaque duos numeros nequaquam se habentes in proportione aliquorum numerorum quadratorum sintque hii b et c quos facile est sumere cum quilibet quadratus numerus ad quemlibet non quadratum eam habeat proportionem quam nequaquam habent aliqui numeri quadrati confirmante hec 22 octavi. Duobus talibus numeris sumptis invenio lineam d ad cuius quadratum se habet quadratum linee a sicut numerus b ad numerum c. Hanc autem lineam ita reperio. Divido lineam a in tot partes equales quot sunt unitates in numero b quod facile facio adiuvante 11 vel 12 sexti. De hinc super extremitatem linee a erigo lineam e perpendiculariter in qua totiens contine
Abbreviated transcription (Latin):
ex pre habita de monstracione patet ad h ꝯuemende
Autecedente sequatur palam ergo quenlibet angulum rect¬
lueum in funtis angulis contingencie esse maiorem
qr a maiori equale myuozi donet minus eo suꝑsie
ac deinde minore ipsius reliqui equale dematur
Sonet minus eo relinquatur denuo q reliquo p̾mo
equale reliqui secun di doirec eo minus suꝑsit
auferatir et in huitis contumua detraccione nullũ
reliquũ quod ante ⁊eliquũ numeret inuemat᷑
eas Duas ꝙͣtitates incõmensurabiles esse necesse est
pocest detragtio non occurriat eciam sufitres fiat aliqua
qͣtitas de traccionem impediens suie ante relictũ nunee¬
rans dico ras in cõmensurabiles esst Su autxm sit
cõmunis eorum mensura e detrahatit na u ex a quo¬

Expanded text:
ex prehabita demonstratione patet ad hoc ut conex prehabita demonstratione patet ad hoc ut consequens ex antecedente sequatur. Palam ergo est quemlibet angulum rectilineum infinitis angulis contingentie esse maiorem.que maiori equale minori, | donec minus eo supersit, ac deinde minori ipsius reliqui equale dematur, donec minus eo relinquatur, denuo reliquo primo equale reliqui secundi, donec eo minus supersit, auferatur, et in huiusmodi continua detractione nullum reliquum quod ante relictum numeret inveniatur, eas duas quantitates incommensurabiles esse necesse est. potest detractio non occurret, etiam si infinities fiat, aliqua quantitas detractionem impediens sive ante relictum numerans, dico eas incommensurabiles esse. Sin autem, sit communis earum mensura c. Detrahatur
Abbreviated transcription (Latin):
ciens a continetur in deꝭ / Sico tunt ꝙ ultinũ resi duũ
ut̃ est hic ht est nimus a muloxlicetur nanq lt quo¬
cens mulsplicata est a in def sit qr xius nulcixles
Elar quia igitur unaqueq c̃titatum Eiłan est equalis
qc sequitur ue lr sit minor Eg suc lSes etl minor għ
ac quea e est equalis Ec ꝑ conceptionem erit li loy
sit moĩor hc quod est ppositum dem sequitur si amaiori
Simdium dematur Itenq de reliquo dimisiũ sitq
cociens qͦusq inaior siuidatur in coc por̃tes quociens
continetur minor in quolibet suo multiplite maiorem posi
hua uidetur .1.i. cercii ꝯtradicere ꝓponxns angulum ꝯti¬
nencie minerem fore quolibet angulo aduabus ⁊ ectis lie
nis duindio necesse uidetur hoc tociens posse sien qͦusq
angulus rectilineus iminor angule ꝯtingencie ⁊eliuquatur
adhuliũ eiusdem sunt generus simpoliciter curium et rectũ
Ac uero nec angulum ꝯtingencie totiend ꝯtingit sumi ut
qualencunq rectilimeiun ex̃cedat ꝙ necessorium est ut

Expanded text:
e f. Dico tunc quod ultimum residuum, ut est hic h c, est minus a. Multiplicetur namque h c quotiens multiplicata est a in d e f sitque eius multiplex k l m. Quia igitur unaqueque quantitatum k l m est equalis h c, sequitur ut k sit minor b g, sed et l minor g h, at quia m est esit maior h c. Quod est propositum. Idem sequitur si a maiori dimidium dematur, itemque de reliquo dimidium sitque totiens quousque maior dividatur in tot partes quotiens continetur minor in quolibet suo multiplice maiorem posihuic videtur 15 tertii contradicere proponens angulum contingentie minorem fore quolibet angulo a duabus rectis lineius dimidio necesse videtur hoc totiens posse fieri quousque angulus rectilineus minor angulo contingentie relinquatur im eiusdem sunt generis simpliciter curvum et rectum. At vero nec angulum contingentie totiens contingit sumi ut qualemcumque rectilineum excedat quod necessarium est ut
Abbreviated transcription (Latin):
qr ut f sequitur q per secundam partem .2o xiusdẽ
ut q mumeret s sie qi ue secundum ħ ut prius ita
A numerabit g uel d et sit ut numeret gherdo
ꝑ secundam xartem ro. inmerabit a esit qa uorsest
⁊qualis a non erit a primus quod est contia ypotesim

Expanded text:
que ut f. Sequiturque per secundam partem 20 eiusdem ut g numeret b sitque ut secundum h. Ut prius igitur a numerabit g vel h et sit ut numeret g. h ergo per secundam partem 20 numerabit a. Si itaque h non est equalis a, non erit a primus. Quod est contra yp
Abbreviated transcription (Latin):
Qiusio porenciatiter cantum ent racionale sa¬
gen q pͥmo inlongitudine incomnensuabile
Rec est quasi ꝯuersa premisse si a linea medialis sitqz
linea ut racionalis in longitu dine cui be adiungatur suꝑfi¬
cies d equalis quarto linee a quos gios mode fiat ⁊
Sus iungatur duabus liueis bt et a liuea cd in ꝯtia
gorcionalitate ut docet . ioͬ. 6ͥ erit ꝙ suꝑ̃fities ex be
proso aquasis quarto luea a per .is. ruisdem dicolatus
ems secundimn quos est de esse racionale in potentia tã¬
cum et q̃nconmensurabile in longitudenr lateri be Eut em̃
in potencia cãtum racionalibus cõmunitantibus que sit
sliꝑfices eg cuius laceia eẜ et fg Gruncqr dus supsi¬
cits os et̃ ug̃ ꝑ primam partem.1i. Gͥ. saterum mutu¬
orum prexter id ꝙ ise suit equales et rectangule por¬
cum bc cõnunncet in potencia cum xẜ eo ꝙ quarta u

Expanded text:
tantum erit rationale laterique primo in longitudine incommensurabile. Hec est quasi conversa premisse. Sit a linea medialis sitque linea b c rationalis in longitudine cui adiungatur superficies b d equalis quadrato linee a. Quod hoc modo fiet: Subiungatur duabus lineis b c et a linea c d in continua proportionalitate ut docet 10 sexti, eritque superficies ex b c in c d equalis quadrato linee a per 16 eiusdem. Dico latus eius secundum, quod est d c, esse rationale in potentia tantum et incommensurabile in longitudine tantum lateri b c. potentia tantum rationalibus communicantibus que sit superficies e g cuius latera e f et f g. Eruntque due superficies b d et e g per primam partem 13 sexti laterum mutuorum propter id quod ipse sunt equales et rectangule. Propcum b c communicet in potentia cum e f eo q
Abbreviated transcription (Latin):
aut est racienalis aut medialis  Si enim es quartũ
lurer bt et ar quortum liner as erunt ex ꝑpothe
hec Sus quarta cõmunitantia et erit ꝑ pmã .g.
Sumatur ĩta liuxa fg que sit racionalis in longitudi¬
ne cui a diungatur superficres sh equalis quarto ae et

Expanded text:
medialis. Sint enim c d quadratum linee b c et a e quadratum linee a b, eruntque ex ypothesi hec duo quadrata communicantia et erit per primam Sumatur igitur linea f g que sit rationalis in longitudine cui adiungatur superficies f h equalis quadrato a e et
Abbreviated transcription (Latin):
es et quia ex prima. s. eg ad eẜ sicus fg ad dẜ
cõmunitat autem eh cum cẜ eo ꝙ quartum s cõmunitat cũ
quarto a per ypochesim quibus quartis dicte suꝑsicies
posite sunt equales sequitur per p̾mam partem .io ..x
linea fg cõmunitet cum liuxa dẜ quare fg est raciona¬
lis in potencia tantum sicud est df et in cõmensura

Expanded text:
g ad d f, communicat autem e g cum c f eo quod quadratum b communicat cum quadrato a per ypothesim, quibus quadratis dicte superficies posite sunt equales, sequitur per primam partem 10 ut linea f g communicet cum linea d f, quare f g est rationalis in potentia tantum sicut est d f et incommensura
Abbreviated transcription (Latin):
sriꝑficie ab eotali hoc autem qualiter fiar in premissa
Suciumus quta ergo dẜ est equalis/ as et Se equalis
A erit ꝑ concepcionem af equalis b Si ĩcaqi suꝑficies b
non sit irracionalis sed racionalis erit et gꝭ sua equalis
racionalis dic cum linea eg sit racionalis in longitudine

Expanded text:
ualiter fiat, in premissa docuimus. Quia ergo d f est equalis a b et d e equalis a, erit per conceptionem g f equalis b. Si itaque superficies b non est irrationalis, sed rationalis, erit et g f sua equalis rationalis. At cum linea e g sit rationalis in longitudine
Abbreviated transcription (Latin):
Cum adiunta fuerit linee in longitudine racio¬
nali suꝑficies racionalis ⁊ ectangula latus xiuis
secundum erit in longitudine racionale lateri¬
qz primo In longitusdine ꝯmensurabile
hec est quasi ꝑ conuersa prioris ut si suꝑsicies ac
aduc̃ta ad linxam ab racionalem in longitudim᷑
fuerit racionalis dico ꝙ latus xius secundum ꝙ ẽ
Et erit eciam rationale in longitudine et cõmanicans
lateri primo Git eni ad quartum ab eritꝗracionale
ex. diffuincione et proxter hot ⁊ ent cõmunitans
cum suꝑficie dit racionali quia ita per primcom partem¬
⁊ sicus sa ad at ⁊ta est xciam ds ad se cõmunicat
autem da cum ac erit ꝑ primam por̃tem . ioᵈ db
c̃municans cum uc quare et ab sua equalis constat̃¬

Expanded text:
Cum adiuncta fuerit linee in longitudine rationali superficies rationalis rectangula, | latus eius secundum erit in longitudine rationale laterique primo in longitudine commensurabile. Hec est quasi conversa prioris. Ut si superficies a c adiuncta ad lineam a b rationalem in longitudine fuerit rationalis, dico quod latus eius secundum, quod est b c, erit etiam rationale in longitudine et communicans lateri primo. Sit enim a d quadratum a b eritque rationale ex diffinitione et propter hoc etiam erit communicans cum superficie a c rationali. Quia igitur per primam sexti sicut d a ad a c ita est etiam d b ad b c, communicat autem d a cum a c, erit per primam partem 10 d b communicans cum b c, quare et a b sua equalis. S
Abbreviated transcription (Latin):
si a non nnmerat Get ⁊ non immerabit d Scomiso
eciam si e non numerat S dy non numerabit b Si em
urimo ut a non iuimeret u si itaq c numerat d per
2 ͣ partem .iz. huius et a numerabit u quod est ꝯtionũ¬
non nuimeret d sit itaq si numeres s. ꝑ p̃mam xten
uositas affirmatiomibus quas itaq de monstrait ꝯuer
sit quoq necesse est eas negaciones que orponunt᷑
illis affirmationibus quad premissa conuerti de monstia¬
unt conũtatur Ande si cubusd noir nuimerat cibum nec
latus enius mimer̾abit lacus illuis ecõuerso q si lat̾
unius nom nmerat latus alterius nec ipse cubus
numerabit alterum cubum de monstratur aucem hec
et ꝑ premissam a de destructione ꝙ cõsequentis sicid

Expanded text:
Si a non numerat b, c quoque non numerabit d. Econverso etiam si c non numerat d, nec a, b. Sit enim primo ut a non numeret b. Si itaque c numeret d, per secundam partem 13 huius et a numerabit b. Quod est connon numeret d, itaque si a numeret b, per primam partem ppositas affirmationibus quas 13 demonstravit converti, sic quoque necesse est eas negationes que opponuntur illis affirmationibus quas premissa converti demonstravit convertantur. Unde si cubus non numerat cubum, nec latus eius numerabit latus illius. Econverso quoque si latus unius non numerat latus alterius, nec ipse cubus numerabit alterum cubum. Demonstratur autem hoc per premissam a destructione consequentis, sicut