comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
tiuangulo bad est unin angulus d minoris equalis
angulo a maioris et angulus s est cõmunis utuq¬
Eigo per .4sͥ. pporcio as ad od est sicud us ad es
quare ꝑ primam partemas. S. quod ꝓieĩt ex as¬

Expanded text:
triangulo b a d. Est enim angulus d minoris equalis triangulo b a d. Est enim angulus d minoris equalis angulo a maioris et angulus b est communis utriergo per 4 sexti proportio a b ad b d est sicut b d ad l b, quare
Abbreviated transcription (Latin):
cularis liram ad linram cordam ah simul diui dit ꝑ
equalia et cordam et aicum ideoqi arcus ali est equalis
arcui lil quare ex ultuya . sͥ angulus qdl erit
equalis angula ħ et ideo ex .4. p̾mi basis al uasi
M Ĩta ex .ii. primi angulus hab equalis angule se
se quitur ut angulus lha sit equalis angulo hba
ita ex .3rͣ primi duo trianguli bah et alil sunt
partr ib. .sͥ. quod porenit ex ba in al est equale
quarto lure ah que est latus decagoni Cum sit autẽ
semicirculus aet equalis semitirculo oft et arcus
qe arcui af erit arcus et residiuis equalis arcui
se resi duo quare arcus et est medietas arcus
ef ideoq equalis artui aħ et duplus ad arcum ble
13. u totus arcus ces duxlus ad totum arcum bber
ideoq eo ultuna .s. angulus edb duplus ad angulũ
dal cumq eciam angulꝰ eds duplus sit ad angulũ
bas ex Rri et q. et p̾mi sunt euin Suo latera da
ds equalia erit angulus usl equalis angulo bad
Itaq ex .℥rͣ. p̾mi eut tuangulus sde equiangulus

Expanded text:
cularis ad cordam a h, simul dividit per equalia cordam et arcum ideoque arcus a k est equalis arcui k h, quare ex ultima sexti angulus a d l erit equalis angulo l d h. Ideoque ex 4 primi basis a l basi l h, igitur ex 5 primi a, sequitur ut angulus l h a sit equalis angulo h b a, ergo ex 32 primi duo trianguli b a h et a h l sunt parte 16 sexti quod provenit ex b a in a l est equale quadrato linee a h que est latus decagoni. Cum sit autem semicirculus a e c equalis semicirculo a f c et arcus a e arcui a f, erit arcus e c residuus equalis arcui f c residuo. Quare arcus e c est medietas arcus e f ideoque equalis arcui a h et duplus ad arcum h k. it ex 13 quinti totus | arcus c e b duplus ad totum arcum b h k ideoque ex ultima sexti angulus c d b est duplus ad angulum b d l. Cumque etiam angulus c d b duplus sit ad angulum b a d ex 32 et 5 primi, sunt enim duo latera d a et d b equalia, erit angulus b d l equalis angulo b a d. Itaque per 32 primi erit triangulus b d l equiangulus
Abbreviated transcription (Latin):
ayamfestam est singula latera huius cubi Suabus
psius oppositis suꝑficiebus orchogonaliter insistere
ut autem cubum hũc ab assignata spera circiẽ scup¬
tibilem Demonstrenus in una succium suꝑficiere
ꝑtrabatur Dyagonalis uerbi giatia in basi enis
sit q ⁊ eg et ab huius dyagonalis alcera extre¬
mitate ꝓtrahatur dꝑameter cubi em eritq ex pe¬
nulcima primi quartum eg duplum ad quartũ
fg ideoq et ad quorrtum gar eo ꝙ gm est equalis
fg sunt enin ommia latera cubi adinuidem equalia
Ert quia rursus ex penultima p̾mi quartum ear
est equale quartis duarum linearum eg et gm
propter hoc quod ꝙ angulus egai est regus ex

Expanded text:
anifestum est singula latera huius cubi duabus ipsius oppositis superficiebus orthogonaliter insistere. Ut autem cubum hunc ab assignata spera circumscriptibilem esse demonstremus, in una suarum superficierum protrahatur diagonalis, verbi gratia: in basi eius sitque e g et ab huius diagonalis altera extremitate protrahatur diameter cubi e m eritque ex penultima primi quadratum e g duplum ad quadratum f g ideoque et ad quadratum g m eo quod g m est equalis f g. Sunt enim omnia latera cubi ad invicem equalia. Et quia rursus ex penultima primi quadratum e m est equale quadratis duarum linearum e g et g m propter hoc quod angulus e g m est rectus ex
Abbreviated transcription (Latin):
cieculi fol et demietantur a puncto l ypothemisse
lf kg kh et erit completum piramis ⁊ .4ͦ. sastũ
d̾angulecaitum et equilaterarum quam dico esse as assignata
spera cercuiscrixptibilem Et dice ꝙ quartum dyametri
ꝓposite spere sexquialterum est ad quartum lateris
fabricate piramidis sonstat eniñ ex p̾r p̃ma parte
correlarii S sͥ. ꝙ liura cd est medio loco ꝓporcionalis
inter ac et cs quare ex correlario ilb eiusdem quar¬
cum liuxe at ad quartum biure ed sicud ac adcs¬

Expanded text:
r a puncto k ypothenuse k f, k g, k h. Eritque completa piramis 4 basium triangularium et equilaterarum quam dico esse ab assignata spera circumscriptibilem et dico quadratum diametri proposite spere sesquialterum esse ad quadratum lateris fabricate piramidis. Constat enim ex prima parte corollarii 8 sexti quod linea c d est medio loco proportionalis inter a c et c b. Quare ex corollario 17 eiusdem quadratum linee a c ad quadratum li
Abbreviated transcription (Latin):
equalis spere assignate sant enin spere equales
quarum sunt equales Dyamẽtii quemadinadum de
circulis in principio tercii Dictum est Sxmitirculũ
uere hñc necesse est transire per tria puc̃ca fah
qui sunt anguli soliidi piraundis fabricate Simpli¬
citer autem dico ꝙ semitirculus hit qui super liuxã
ul fuerit descrixtus si crcunducatur quousq ad
locum suum re deat unde moueri cepit ꝯtinget
circulum fgħ super oia puncia circunferentre ĩpsuis¬
fgh ques ex bac uetusta ueritate ꝓbatur si luira
recta super liueam rectai seecerit ꝑpendiculariter

Expanded text:
equalis spere assignate. Sunt enim spere equales quarum sunt equales diametri quemadmodum de circulis in principio tertii dictum est. Semicirculum hunc vero necesse est transire per tria puncta f, g, h que sunt anguli solidi piramidis fabricate. Similiter autem dico quod semicirculus hic qui super lineam l k fuerit descriptus si circumducatur quousque ad locum redeat unde moveri ceperat, continget circulum f g h super omnia puncta circumferentie ipsius. Quod ex hac vetusta veritate probatur: Si linea recta su
Abbreviated transcription (Latin):
cianseat ita et ꝑducatur cꝰo usqr ad cirtunfferentiã
sitq tota ce et ꝑtrahatur linee es et sa sequit᷑¬
qr ut prius linecon cd esse maiorem ꝙͣ sit luea
ce quod est eciam impossibile constat ergo ꝓpositũ
Suiliter autem dicimus ꝙ si fuerit aliques an¬
gulus rectus cui uasis subtendetur super quam
se mitirculus luiretur ipsius circunferanciam per
angulum ⁊ eccum transire necesse est Conuersam
huius uero ꝑpenit p̾ma pors .zo. 2z. gnod
antem Dicimus sit constat sic en angulus

Expanded text:
tiam sitque tota c e et protrahantur linee e b et e a sequeturque ut prius lineam c d esse maiorem quam sit linea c e quod est etiam impossibile. Constat ergo propositum. Similiter autem dicimus quod si fuerit aliquis angulus rectus cui basis subtendatur super quam semicirculus lineetur, ipsius circumferentiam per angulum rectum transire necesse est. Conversam vero huius proponit prima pars 30 tertii. Quod autem dicimus, sic constat: Sit enim angulus
Abbreviated transcription (Latin):
Sit penthagonius equilaterus abede instrixtus circulo ens¬
dera luteris signato cuius gentium ꝑ et due dyant¬
raberasis ab sit qi utraq harum dyametrorum linea
r aciõnatis in songitudine Dico tunc ꝙ latus instrixti
penthagomi eit sinra racionalis illa uidelicet que dicit᷑
minor / ꝑtrahatur unuim liuxa ac que secet Syametiũ¬
at diuisa a dyamenro bs orchogonaliter/ et per equalia
in lr quiã cum semitirculus uag sit equalis semicireu¬
lo ocg et arcus ba arcui be sicud constat ex .2a. ℥
erit arcus ag resi duuis equalis arcui eg residuo Ideo¬
s xo ex ultima. G. angulus abg equalis est angulo
cog cum itaiq duo latera ab et bl tuianguli ablr suit¬

Expanded text:
us circulo eisdem litteris ascripto cuius centrum f et due diametri b g et a h sitque utraque harum diametrorum linea rationalis in longitudine. Dico tunc quod latus pentagoni inscripti erit linea irrationalis illa videlicet que dicitur minor. Protrahatur enim linea a c que secet diametrua c divisa a diametro b g orthogonaliter et per equalia in puncto k quia cum semicirculus b a g sit equalis semicirculo b c g et arcus b a arcui b c, sicut constat ex 27 tertii, erit arcus a g residuus equalis arcui c g residuo. Ideoque ex ultima sexti angulus a b g equalis etiam angulo c b g. Cum itaque duo latera a b et b k trianguli a
Abbreviated transcription (Latin):
se et ing est equale ei quod sic ex błr iñ gs
erit lurrã be latus tetragonicum superficiez ꝯrente
poters in suꝑficiem bnea racionali resi duo qz 4 ͦ
ꝯtentam est liuea minor ut canstat ex d9ⁱ ioͬ. ne
quos erat ex pñcixio demonstrandum hoc ergo mo¬
do sequitar ꝙ latus penthagoni equilateri cireulo
instapti sie liuxa minor si dyameter corcul cui
uiscubitur fuerit rationalis racionalis in longitudite
dt ueio si dyameter criculi fuerit rationalis n
potentia tontum od huc necesse est ut latus penthago¬
in equilateri sibi inscripti sit linea minor Esto euiii¬
A linea racionalis in potencia cantum supra quam
Destribatur circulus eiq destrixto instubatur pẽ¬
chagonus e quilaterus ciius unum latus sit

Expanded text:
se et in k g est equale ei quod fit ex b k in g b, erit linea b c latus tetragonicum superficiei contente potens in superficiem linea rationali residuoque quarto contentam est linea minor ut constat ex 89 decimi liQuod erat ex principio demonstrandum. Hoc ergo modo sequitur quod latus pentagoni equilateri circulo inscripti sit linea minor, si diameter circuli cui inscribitur fuerit rationalis in longitudine. At vero si diameter circuli fuerit rationalis in potentia tantum, adhuc necesse est ut latus pentagoni equilateri sibi inscripti sit linea minor. Esto enim linea a rationalis in potentia tantum supra quam describatur circulus eique descripto inscribatur pentagonus equilaterus cuius unum latus sit
Abbreviated transcription (Latin):
E maioris equalis angulo E minoris eo ꝙ uterq rectꝰ
et angulus a cõmunis utuq quare es quarta e.¬
ꝓportio lt ad ca est sicud lꝭ ad sa sumatur ita ex dy¬
amxtro bg linea fi equalis 4ͤ parti sem diametri
eritq per equam ꝑporcionalitat᷑em ꝓportio el ad quar¬
cam partem lnre ac que sit cꝗ sicud kf ad quartã
portem lurre fa que est faz et quia ꝑ ilt. qͥ ꝓpor

Expanded text:
qualis angulo k minoris eo quod uterque est rectus et angulus a est communis utrique. Quare ex 4 sexti proportio l c ad c a est sicut k f ad f a. Sumatur igitur ex diametro b g linea f m equalis quarte parti semidiametri eritque per equam proportionalitatem proportio c l ad quartam partem linee a c que sit c q sicut k f ad quartam partem linee f a que est f m. Et quia per 15 quinti
Abbreviated transcription (Latin):
et ad equales erunt duo residui semicercilorian qui
sunt ch et dh equales quibus si subtendantur due
ipse quoq ix .roͣ. ĩ erunt equales et quia arcus
ac est equalis arcui ad erit ex ultima .sͥ. angulus
Rl ⁊qualis angulo dhl ideoq per .6ͫ xrimi basia el
Sequalis uasi de et ounes anguli qui sunt ad e
tecti ex prm̃a parte .ii. i. Ĩtaqrͣ Duo tuanguli acl

Expanded text:
 d, erunt duo residui semicirculorum, qui sunt c h et d h, equales quibus si subtendantur due ii erunt equales. Et quia arcus a c est equalis arcui a d, erit ex ultima sexti angulus c h l equalis angulo d h l. Ideoque per 4 primi basis c l est equalis basi d l et omnes anguli qui sunt ad l recti ex prima parte 3
Abbreviated transcription (Latin):
ipsĩs penthagoni . equalis erit
Sit laterus penchagonus equilaterus abtd in scriptus
circulo eisdem literis signato et ducuns eius ꝓpinquis
angulis qui sunt a et s Subcendantur due ⁊ ecte linee
ac et be secantes se inuicem in ẜ dico itaq utranq
eocrum esse diuisam in pucto ẜ secundum ꝓporcionem
uab entem ne dium duoq exciema et ꝙ maior portio
utriusq est equalis lateri pentagem mam festum est
chagonũ crrcun scubentes quorum latera ĩpsius pen¬
chagoni sunt corde sunt adnuicem equales ĩ deoq

Expanded text:
pentagoni equalis erit. Sit pentagonus equilaterus a b c d e inscriptus circulo eisdem litteris signato et duobus eius propinquis angulis, qui sunt a et b, subtendantur due recte linee a c et b e secantes se invicem in puncto f. Dico itaqe harum est divisa in puncto f secundum proportionem habentem medium duoque extrema et quod maior portio utriusque est equalis lateri pentagoni. Manifestum est opositum circumscribentis, quorum latera ipsius pentagoni sunt corde, sunt ad invicem equales. Ideoque
Abbreviated transcription (Latin):
Ommis racionalis liure secuudũ ꝓporcionem ha¬
bentem medium duoq extrema Diuise utrãq
porcioirem resi duum esse necesse est
Sit linea as secundum solitam ꝓporciorem
residuum Sit eni mar̃or portio ac cui adiciatir ad

Expanded text:
Omnis rationalis linee secundum proportionem habentem medium et duo extrema divise utramque portionem residuum esse necesse est. Sit linea a b secundum solitam proportioneresiduum. Sit maior eius portio a c cui directe ad
Abbreviated transcription (Latin):
Tineetur super econ serntirtulus ads et ꝑ ducat᷑
linra ed orthogenaliter super linedan al et ꝑ¬
Sucantur liuree d̃s et sa pos ua fiãt circulus
fgh super centrum e cuius semidyaureter sit equa¬
lis lunee ed cui ex 2ͣ. quarti instribat᷑ tuangusꝰ¬
et equilaterus qui sit fgh ad cuius angulos ꝑ¬
trahantur l centio linre / et eg eh demde suꝑ
centium e  eugatur secundum ꝙ docet nr̃. ũ enta¬

Expanded text:
rculus a d b et producatur linea c d orthogonaliter super lineam a b et producantur linee d b et d a. Postea fiat circulus f g h super centrum e cuius semidiameter sit equalis linee c d cui ex 2 quarti libri inscribatur triangulus equilaterus qui sit f g h ad cuius angulos protrahantur a centro linee e f, e g, e h. Deinde super centrum e erigatur secundum quod docet 12 u
Abbreviated transcription (Latin):
monstrare cõuenit ꝙ facile fiet uia ⁊ eciogiada eam xm̃
assumit ꝑtolomens capitulo ꝯͤ p̃me Sictionis alina ͭ ͥ
ad demonstrandum quãtitem cordarum arcuum criculi
Dico icq
Di linea quelibet secundum siam ꝓporcienem ha¬
bentem medium Suoq extrema Diuidatur gcuiꝰ¬
ꝯq circuli maior porcio fuerit latus exagoni e¬
iusddem minor eat latus decagomi At uero cuius
minor ent latus decagoni eiusdem maior erit
latus exagomi
Si euin prĩori dipositione marrenteut liuxa et diuisa
in puncto u secundum predictam ꝓporcionem et maior¬

Expanded text:
facile fiet via retrograda. Eam enim assumit Ptolemeus capitulo 9 prime dictionis Almagesti ad demonstrandum quantitatem cordarum arcuum circuli. Dico itaque quod si linea quelibet secundum proportionem habentem medium et duo extrema dividatur, cuius circuli maior portio fuerit latus exagoni, eiusdem minor erit latus decagoni. At vero cuius minor erit latus decagoni, eiusdem maior erit latus exagoni. Sit enim priori dispositione manente linea e c divisa in puncto b secundum predictam
Abbreviated transcription (Latin):
toti ac ex .x. p̃mi et porciones porciomibus ex gͣ
grimi et amuni sciencia porciones xnin os et bꝭ
sunt equales ex s primi ĩdeoq ft et fe residue
erunt a diuucem equalis ex ꝯcepcionee uel potest¬
sis si libet de linea ac demonstiare ꝓpositum
negotiando circa ipsam ut pus crrca lruram cs¬

Expanded text:
ibus ex 6 primi et communi scientia. Portiones enim a f et b f sunt equales ex 6 primi ideoque f e et f c residue erunt ad invicem equales ex conceptione. Vel potes si libet de linea a c demonstrare propositum negotiando circa ipsam ut prius circa lineam
Abbreviated transcription (Latin):
equale quarto linte as est autem liura ad larus
penthagomi equilateri ꝓposito ciris circulo instript luea
rio .lͬ quarti equali laceri exagom equilateri ꝓposito
circulo instriptoria in concussa de monstracione astruit᷑
quod Sicitur

Expanded text:
o linee a b, est autem linea a b latus pentagoni equilateri proposito circulo inscripti, linea d est ex corollario quarti equalis lateri exagoni equilateri proposito circulo inscriptorum. Inconcussa demonstratione astruitur hoc quod dicitur
Abbreviated transcription (Latin):
cadent super Syametios circulori quos corausti
ꝯtinuant quod ex denonstiatis in .i2ͣ. n ͦ fucis depae¬
hendes Uersigiatia sũt a duobus terminis coransti qs
Demiisse due ꝑpendiculares qy et s cadentes in
dyametros os et hai et ꝑtrahantur huer qg et
yz erunt qz ex. 4ͣ. sͥ duo triangusi ꝙd ẽt sħ
sumles quare ꝓporcio duarum ꝑpendicularium qy et b
erit sicud duarum cordarum qd et eħ cunq sr̃it coroe
equales erunt eciam et ꝑpendiculares equales  at ip
sunt equedistantes ex .6.. ii. eigo ex srͣ pimi coraustus
ro est xqualis et equidistans liner uz et quia ex secunddo

Expanded text:
cadent super diametros circulorum quos corausti cadent super diametros circulorum quos corausti continuant quod ex demonstratis in 13 undecimi facile deprehendes. Verbi gratia: Sint a duobus terminis corausti q, s demisse due perpendiculares q y et s z cadentes in diametris d b et h m et protrahantur linee q g et y z. Eruntque ex 4 sexti duo trianguli q y d et s z h similes, quare proportio duarum perpendicularium q y et s z erit sicut duarum cordarum q d et s h. Cumque sint corde equales, erunt etiam et perpendiculares equales. At ipse sunt equidistantes ex 6 undecimi, ergo ex 33 primi coraustus q s est equalis et equidistans linee y z. Et quia ex secunda
Abbreviated transcription (Latin):
quoꝙ urgo xͦ q̃uadrantum circulorum erectorum coaptẽt᷑
ppothemi sales corde quarũ quelibet sit equalis cordid
Dioil᷑ cntuli prostracti qui sunt latera/ paligonii sibi
instripti et est una earum corda dħ sit q in primo
Sꝯ ꝙ et i in secundo uero hs et et tu in tercio
autem bu ux et xic et in quarto sint co oꝑ et pu
et ꝑtrahantũr corhastr corhausti contirgentes capita ypo¬
chemissalium cordarum que sint ꝙs su uo et it te
sprre que quidem quarta pars est deu inscriptum esst
corpus .q. uasium quarum tres cohrunt in puneto u
sunt eu coigule cerere autem sunt quadrangule sunt
q harum quosrangularum suꝑficierum ꝓpethemissilio
datera equaliter sed non equidistancia Corausti autem
inter Suos quosq cuangulos inscaxti sunt equi distã¬
red adiuuitem et corde crrculi ꝑstram ses non sut
Siaucem equales / hoc antem sties si ꝓpendicu¬
lates a coraustorum extremitatibus ad supłirem
cirtuli Iacentes de misers de quibus constat᷑ q ipse

Expanded text:
quoque ergo 4 quadrantium | circulorum erectorum coaptentur ypothenusales corde quarum quelibet sit equalis corde circuli prostrati que sunt latera poligonii sibi inscripti et est una earum coret r n, in secundo vero h s, s t et t n, in tertio autem k u, u x et x n, et in quarto sint c o, o p et p n. Et protrahantur corausti coniungentes capita ypothenusalium cordarum que sint q s, s u et u o etspere que quidem quarta pars est d n c inscriptum esse corpus 9 basium quarum tres que coeunt in puncto n sunt triangule, cetere autem sunt quadrangule. Sunt autem harum quadrangularum superficierum ypothenusalia latera equalia, sed non equidistantia. Corausti autem inter quosque duos circulos intercepti sunt equidistantes ad invicem et corde circuli prostrati, sed non sunt ad invicem equales. Hoc autem scies: si perpendiculares a coraustorum extremitatibus ad superficiem circuli iacentis dimiseris de quibus constat quod ipse
Abbreviated transcription (Latin):
eui due linre Sb et Se et crtui be sultendatur dr¬
datur corda be eritq es.d. p̾mii angulus bad equalis
cogulo cad quare per ulcimam .Gͥ arcus be est equalis
arcui ⁊ et quia ex ia cercii tres certus as bt et ca sũt
adimitem equales eo ꝙ eorum colde que sunt latera
crigomi sunt equales sunt equales ex ypotbesi erit oaitꝰ
ue gͣ. pars crramferencie ideo qi corda ue eut latus
exagomi equilateri ipsi circulo inscripto quotre ꝑ correla
abe est ⁊ eccus Deoq quartum liuee ar est equale quar¬
tis Suarum lirarum ab et be piter acceptis ex pe¬
nultima p̾mi dec uero quocitum ae quadruplum es as

Expanded text:
e linee b d et d c et arcui b e subtendatur corda b e. Eritque ex 8 primi angulus b a d equalis angulo c a d, quare per ultimam sexti arcus b e est equalis arcui e c. Et quia ex 27 tertii tres arcus a b, b c et c a sunt ad invicem equales eo quod eorum corde, que sunt latera trigoni, sunt equales ex ypothesi, erit arcus b e sexta pars circumferentie. Ideoque corda b e erit latus exagoni equilateri ipsi circulo inscripti. Quare per corolla b e est rectus. Ideoque quadratum linee a e est equale quadratis duarum linearum a b et b e pariter acceptis ex penultima primi. At vero quadratum a e quadruplum est ad
Abbreviated transcription (Latin):
si tota linesi sit racionalis ꝓcedit ex sufficientib
siue cota linẽa Aacionalis in lorgitudone sue
in potencia cãtum / Secunda uero pars qua demon¬
stiatur bec de minori porcionx quod ĩpsa quoq sit
residuum si tota est racionalis non ꝑcedit ex suffi¬
cientib insi tota sit racionalis in longitudine ⁊̾ Cercia
autem pars qua ꝓbatur ꝙ minor porcio est ⁊ esi¬
cencia tantum ad concluden dum ita de maiori ꝓ¬
porcione liũre predicto modo diuise ꝙ ipsa sit
resuduum sufficit ponere cotam lineam duuisa
esse racionalem in potentia cantum ad ꝯcluand¬

Expanded text:
cedit ex sufficientibus sive tota linea ponatur rationalis in longitudine sive in potentia tantum. Secunda vero pars qua demonstratur hoc de minori portione quod ipsa quoque sit residuum si tota est rationalis, non procedit ex sufficientibus nisi tota sit rationalis in longitudine. Tertia autem pars, qua probatur quod minor portio est resitentia tantum. Ad concludendum igitur de maiori portione linee predicto modo divise quod ipsa sit residuum, sufficit ponere totam lineam divisam esse rationalem in potentia tantum. Ad con
Abbreviated transcription (Latin):
matur aliqua ⁊ acionalis in longiendine que sit de
que eciam Siui datur in ẜ secumdum prediccam ꝓpor¬
sine ãmĩtlo alicus eorum que secuntur in ꝯcussa
Demonstracione ⁊ oboratur ꝙ pporcio ab ad de est sicũ
ac ad Sꝭ et situd cs ad be fe cum ergo ab quunieet
et quia utraq porcio birex de est residuum ut
pricet ex pre dictis sequitur ex. Id. ioͬ. ut utraq
porcio liure ab sit secundum residuum sed non ent¬
eiusde spetiei uc ibidem demonstratũ est quoere ꝯstat
ꝙ omnis biree racionalis in longiendine uel in xo¬
centia tantum secumdũ ꝓportionem sepe dictam di¬

Expanded text:
matur aliqua rationalis in longitudine que sit d e que dividatur in f secundum predictam proporsine adminiculo alicuius eorum que sequuntur inconcussa demonstratione roboratur quod proportio a b ad d e est sicut a c ad d f et sicut c b ad f e. Cum ergo a b communicet Et quia utraque portio linee d e est residuum ut patet ex predictis, sequitur ex 98 decimi ut utraque portio linee a b sit etiam residuum, sed non eiusdem speciei ut ibidem demonstratum est. Quare constat quod omnis linee rationalis in longitudine vel in potentia tantum secundum
Abbreviated transcription (Latin):
dem egrales et sinc p̾mo inꝯtinue suputi sitq angui
acd illi .⁊. qui ponũtir adiuucem equales ⁊ edico totũ
penchagomum esse equilaterum / Hñs angulis subtẽ¬
dantur corde be es et gec ut totus penthagonns
didatur in tagonum qua drilaterum cius due dy¬
agonales sint corde duorum ꝓximorum equalium ĩ¬
angulorum secantes se intra qua drilatera Ipsum in
pineco f eritq per .4. p̾mi uasis be equalis uasi
os et angulus acti equalis angulo cds cunq per ai
primi angulus Eed sit equalis angulo ede eo ꝙ duo
latera be etlis sunt equalia erit ex connuni stientia
cotalis angulus e equalis totali angulo s Smiliter
probabit cocalem̃ angulam s esse equalem totali argulo
T est enin ꝑ. 4 primi yasis be equalis basi eset
angulus abe dngulo dee per q. autem eiusdem

Expanded text:
anguli a, c, d illi tres qui ponuntur ad invicem equales. Dico totum pentagonum esse equiangulum. His angulis subtendantur corde b e, b d et e c ut totus pentagonus dividatur in trigonum et quadrilaterum cuius due diagonales sint corde duorum proximorum equalium angulorum secantes se intra quadrilaterum ipsum in puncto f eritque per 4 primi basis b e equalis basi b d et angulus a e b equalis angulo c d b. Cumque per 5 primi angulus b e d sit equalis angulo b d e eo quod duo latera b e et b d sunt equalia, erit ex communi scientia totalis angulus e equalis totali angulo d. Similiter probabis totalem angulum b esse equalem totali angulo c. Est enim per 4 primi basis b e equalis basi e c et angulus a b e angulo d c e, per 5 autem eiusdem
Abbreviated transcription (Latin):
Drmis trianguli equilateri quid a latere sico qua¬
dratur estubitur caplum est quarto simibi
Sycomerii onrculi aquo triangulus ipse circun stubit᷑
Sit tuangulus abt equlaterus cui crrcin eratatue enol¬
abe supra centiumi S quem addmodum Socet lͣ 4ͥ.¬

Expanded text:
is trianguli equilateri, quod a latere suo quadratum describitur, triplum est quadrato dimidii diametri circuli, a quo triangulus ipse circumscribitur. Sit triangulus a b c equilaterus cui circumscribatur circa b c supra centrum d quemadmodum docet 5 qua
Abbreviated transcription (Latin):
angulo ⁊ sunit Icaqz cres anguli ued ꝯtiuue sumꝑti
equales et sit quoq penchagonus equiangulus erit
eni ex quenrta p̾mi basia od equalis basi ce et angu¬
lus cod angulo Sec et angulus bde equalis angulo
sine equales ita ex ꝯmum stiencia erit linẽa ẜs equalis
enrer fe erat eni tota ld equalis toti çe ideoqi prr
mi erit angulus for equalis angulo fes per candem
autem est anguludi abe equalis angulo aes ĩtaq per
cõmunem screnciam angulus u cocalis est equalis angu¬
lo e totali cres eum parciales anguli comporentes unũ
equales sunt crbus darcialibus comxonentibus alium
unus quisq suo relatiuo manifestum est ita ꝙcas¬

Expanded text:
467 Sint itaque tres anguli b, c, d continue sumpti equales et sic quoque erit pentagonus equiangulus. Erit enim ex 4 primi basis b d equalis basi c e et angulus c b d angulo d e c et angulus b d c angulo igitur ex hac communi scientia erit linea f b equalis linee f e. Erat enim tota b d equalis toti c e ideoque per 5 primi erit angulus f b e equalis angulo f e b. Per eandem autem est angulus a b e equalis angulo a e b. Itaque per communem scientiam angulus b totalis est equalis angulo e totali, tres enim partiales anguli componentes unum equales sunt tribus partialibus componentibus alium unusquisque suo relativo. Manifestum est i
Abbreviated transcription (Latin):
liurarum Eẜ et fe Ei ꝑicer acceptis dempto ita u
encla quartum pd residium equale quarto fe te¬
s⁊ duo quecre et linea ꝑs liuee Re et has cõmuniso¬
entia quarum quarta sunt equalia eas lineas esse equales
Eex hoc iia Itaqr mamfestum est ꝙ ppendicularis Suca ascẽ¬
ciõ circub ad latus trigomi equilateris sibi instrixti equalis

Expanded text:
er acceptis. Dempto igitur entia quadratum f d residuum equale quadrato f e residuo, quare et linea f d linee f e ex hac communi scientia quarum quadrata sunt equalia, eas lineas esse equales. Ex hoc itaque manifestum est quod perpendicularis ducta a centro circuli ad latus trigoni equ
Abbreviated transcription (Latin):
siꝑficies que sunt lar cop pli et ex constat ee s.
cornu et prim̃a .s. esse adimutẽm equales nan due
postreme pħ et se sunt equales ad inuitem ex p̾ma¬
g quoniam ita ex presenti y pochesi et diffinitione
tmee secundum ꝙ ponitur diuise ex prima parte
.i6ᵈͤ gͥ. quartum el est equale superfitiez ag ideoq
et guomoni ⁊ẜo propter id quod suꝑficies ar est equalie
a quartum ⁊s quod est canꝙ̃ quartum luee ed se¬
quitur ex cõmum scientia ques quartum ob sit quintuplã
quarti ⁊s constat enin ex gnomone quadruplo et ⁊o
sim̃ plo hoc autem est p̃p̃ositum Aliter idem cum sit
ac erit ex. 6. 2 qued fit yo as in ac cum quarto ss

Expanded text:
ficies, que sunt a r, m p, p h et s e, constat ex 43 primi et prima sexti esse ad invicem equales. Nam due postreme p h et s e sunt equales ad invicem ex 1 sexti. Quoniam igitur ex presenti ypothesi et diffinitione linee secundum quod proponitur divise et prima parte 16 sexti quadratum c l est equale superficiei a g ideoque et gnomoni r f s propter id quod superficies a r est equalisad quadratum r s quod est tamquam quadratum linee c d, sequitur ex communi scientia quod quadratum m h sit quincuplum quadrati r s. Constat enim ex gnomone quadruplo et r s simplo. Hoc autem est propositum. Aliter idem. Cum sita c, erit ex 6 secundi quod fit ex a b in a c cum quadrato c d
Abbreviated transcription (Latin):
cit ponere maiorem porcionem similiter recianalem in po¬
centia cantum s ad concudendum hoc de minori portione¬
ediance me dicoite cota necesse est ponere ceram lureã
Si quis penthagomis tres equors angulos habens
suerit equilaterud equicaigulud quoq idem pencha¬
gonue esse ꝓbatier

Expanded text:
cit ponere portionem maiorem similiter rationalem in potentia tantum. Sed ad concludendum hoc de minori portione mediante tota necesse est ponere totam lineam um est. ∗∗∗ ⟨XIII.⟩7 Si quis pentagonus tres equos angulos habens fuerit equilaterus, equiangulus idem pentagonus e
Abbreviated transcription (Latin):
est ex. ꝯrͣ .ioͬ. ut̃ linxa eo sit resi duum p̾mamquare
consta ꝑꝓpositum / Auplius autei si liree sit diuise
ut pponitur maior porcio fuerit r acionalis uit minor
residnumn U erbi gracia set ut pus ab diuisa inc
secundum predictaon ꝑporcienxm et maior porcio eiꝰ
que est at sit rationalis que diuidatur ꝑ equalia
in Sd erit qr .xx .iͣ. quartum db quintuplum ad
quartum de ac quia dt est racionalis cum ĩpsa sit
dum diuin ac sequitur ut due linee ds et dt sint
taçionales porentialiter tantun quiuncaontes quare ut¬
prius inrea ch est residuum dic uero /⁊ lnrra racionalis
in potencia tantum secundum ꝓportionem sepe dictã

Expanded text:
ut linea c b sit residuum primum. Quare constat propositum. ⟨1⟩ Amplius autem si linee sic divise ut proponitur maior portio fuerit rationalis, erit minor residuum. Verbi gratia: Sit ut prius a b divisa in c secundum dictam proportionem et maior portio eius, que est a c, sit rationalis que dividatur per equalia in d. Eritque ex 3 huius quadratum d b quincuplum ad quadratum d c. At quia d c est rationalis cum ipsa sit dimidium a c, sequitur ut due linee d b et d c sint rationales potentialiter tantum communicantes. Quare utprius linea c b est residuum. ⟨2⟩ At vero si linea rationalis in potentia tantum secundum proportio
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑficit una potest aliquo suo puneto ꝯtingere imnorẽ
peram eo ꝙ omuo linẽa ⁊ ecca bucta ꝓprs ꝙciert
punctũ cuiusq uocrum equidistanter corausto mĩnor est
cordarum quartarum inaiorisñ pere tom supioris
emispi ꝙͣ inferioris ad huius simlitudinẽ/ quaTulateus
crilaterisq suꝑficiebus subtexantur ent maiordlate
corpus aliacium basium suꝑfitiem minoris harre  pn¬
iue cangencium queadinodum gpositu fuerat instieptũ
eut ꝓporcie unius ad alterum sicud dyamretu Roim̃s
utriusq corporis bases totidem lageratarum uiram dĩ
quarum onnium uertices erunt in centris ipsarum spãs
has autem pirconides ꝑficies si asinrgulis ayrgulis inscuꝵ¬
eorum corꝑorim quesurt extremitates cordecrum corans¬
donius ad suãm ⁊ elaciuuam alterius sicid̃ po C se
im diconetiorum speracium ĩpsarum crixlicata sunt enĩ
ac quia sem dyam etiorum et Syametrorui est et
ad alteram tanꝙͣ sue dyametri od Syametium al¬
terius ꝓporcio taplicata

Expanded text:
puncto contingere minorem speram eo quod omnis linea recta ducta per quemlibet punctum cuiusque earum equidistanter corausto minor est tes aliarum quartarum maioris spere tam superioris emisperii quam inferioris ad huius similitudinem quadrilateris trilaterisque superficiebus subtexantur, erit maiori spere corpus 72 basium superficiem minoris spere minime tangentium, quemadmodum proposiproportio unius ad alterum sicut diametri unius utriusque corporis bases totidem lateratarum piramidum quarum omnium vertices erunt in centris ipsarum sperarum. Has autem piramides perficies, si a singulis angulis inscriptorum corporum qui sunt extremitates cordarum et corausunius ad suam relativam alterius sicut proportio semidiametrorum sperarum ipsarum triplicata. Sunt enim At quia semidiametrorum et diametrorum est ex ad alteram tamquam sue diametri ad diametrum alterius proportio triplicata.
Abbreviated transcription (Latin):
cundum ꝓporcionem habentem medium et duo
extrema et maior percio uũs est linra ab quodest
ppesitum / Bodem q medo si ex maiori porcione
ipsa maior porcio secundum eandem ꝓporcionem Siuisa
eiusq maior pornio sit lura de cracca. uerbi gratia sit
as liura sicud ꝓponitur in xuncco e diuisa sit q
maior portio ac aqua Detrahatur cd equalis es Dice
ad cd Erit ex iiͬ. xiusidem ba ad ac sicudt ac ad

Expanded text:
onem habentem medium et duo extrema et maior portio eius est linea a b. Quod est propositum. Eodem quoque modo si ex maiori portione ipsa maior portio secundum eandem proportionem divisa eritque maior portio eius linea detracta. Verbi gratia: Sit linea a b sicut proponitur in puncto c divisa sitque maior portio a c a qua detrahatur c d equalis c b. Dic b sicut ad c d, erit ex 11 eiusdem b a ad a c sicut a c ad
Abbreviated transcription (Latin):
ħuius ꝙ quortum furee dt quintuplum est ad quartũ
luire sa Ita linea de est quiuncand liuxe da in po¬
cencia ex diffrintione sed non in longitudine ex ultima
cum due linee co et da fuit ambe rationales ꝑo¬
tencialiter cantum ꝯmunitantes Et quia Iterũ si ad liurã
⁊ acionalem as adiungatur superficies equalis quarto

Expanded text:
c quincuplum est ad quadratum linee d a, igitur linea d c est communicans linee d a in potentia ex diffinitione, sed non in longitudine ex ultima cum due linee c d et d a sint ambe rationales potentialiter tantum communicantes. Et quia iterum si ad lineam rationalem a b adiungatur supe
Abbreviated transcription (Latin):
Si secundum ꝓporcionem habentem medium
Suo q extrema quelibet bnea fuerit Diuisa
ei q in longum dizecte tayꝙͣ maior seccio as
dita erit totam lineam inde ꝯpositam secundid
ꝓportiorem habentem me dium duo q extre¬
ma Siuisam esse et erit eius portio linea p̾na
Sit huea aẜ diuisa qua supponitur ꝓporcione in
puncto e et sit xius maior porcio es toti qr ab adic¬
atur Sirecte lurẽa bd que sit equalis cs dico ꝙ cota

Expanded text:
edium et duo extrema quelibet linea fuerit divisa eique in longum directe tamquam maior sectio addita erit, erit totam lineam inde compositam secundum proportionem habentem medium et duo extrema divisam esse et erit eius maior portio linea prima. Sit linea a b divisa qua supponitur proportione in puncto c et sit eius maior portio c b totique a b adiciatur directe linea b d que
Abbreviated transcription (Latin):
Di secundum ꝓporcionem habentem mesium
Suoq extrema quilibet linẽa fuerit diuĩ sa
quod ex tota linea quodq ex minori porcione
ꝑ ducitur ambo quarta ꝑiter accepta criplum
sunt eiũs quod ex maioni porcione quadratian
Describitur
Sit linca ab Siuisa secundum sepe dictam ꝓporcionẽ
in puc̃to e sit q mar̃or portio uius dnea es / dico ꝙ quar¬

Expanded text:
i secundum proportionem habentem medium et duo extrema quelibet linea fuerit divisa, quod ex tota linea quodque ex minori portione producitur ambo quadrata pariter accepta triplum sunt eius quod ex maiore portione quadratum describitur. Sit linea a b divisa per sepe dictam proportionem in puncto
Abbreviated transcription (Latin):
illud quod fit ex as in al cum quarto cd sit quintuxlũ
odidem quartum ed ideo q eo destuxto eut resi diuo
uidelicet quod fit ex ab in ac quaddruplum ad ypsum et
quia etiam ex quarta quint ⁊ quartum linee et est
quodruxlum ad idem irecesse est ut quad fit es
as in ac sit equale quarto es quare icerum. ex

Expanded text:
 cum quadrato c d sit quincuplum ad idem quadratum c d ideoque eo dempto erit residuum videlicet quod fit ex a b in a c quadruplum ad ipsum. Et quia etiam ex 4 secundi quadratum linee c b est quadruplum ad idem, necesse est ut quod fit ex a b in a c sit equale quadrato c b. Quare iterum ex
Abbreviated transcription (Latin):
habrutem medium et Suo extrema sit qr enis maior
porcio linea ed es que es Siuisatur pequalia in d
Dico ꝙ quartum lnree ad est quintuplum ad quartũ
linire co describatur enim quartum ab quod sit cie
in quo ꝑtrahantur Syametri uf et linea eg et dh
Icenq eil et on equi distanter la teribus oppositis

Expanded text:
t duo extrema sitque eius maior portio linea c b que dividatur per equalia in d. Dico quod quadratum | linee a d est quincuplum ad quadratum linee c d. Describatur enim quadratum a b quod sit a e in quo protrahantur diameter b f et linee g c et d h itemque k l et m n equidist
Abbreviated transcription (Latin):
iuaidon as quintuplum ad quartum ⁊e eritqr guono
Nto equale quarto El utiunq enin est qua diuzoluem
sͦ quartumn ts Rc quia suꝑficies ag est equalus gronno¬
M predito necesse est ut eadem suꝑfitres sit xqualis
quarto p̾dicto quare et setunda porte.i..s. et Siffin¬
tionto lñrea ab est Diuisa in xunctos secundũ

Expanded text:
atum r s eritque gnomo r f s equale quadrato c l. Utrumque enim est quadruplum ad quadratum r s. At quia superficies a g est equalis gnomoni predicto, necesse est ut eadem superficies sit equalis quadrato predicto. Quare ex secunda parte 16 sexti et diffinitione linea a b est di
Abbreviated transcription (Latin):
uile erit ꝑ conuersam ꝓporcionalitatem gporcio corxons
C ad rotundam preamidem a sicud circulg a ortiaũ
a sit quoqi eadem rotunde prraundis s ad aliquos cor¬
pus quod sit s cum ita corpus c sit manis rotunda pi¬
maior corpore d Itaq ꝓporcio criculi s ãd cutulum a eait¬

Expanded text:
sam proportionalitatem proportio corporis c ad rotundam piramidem a sicut circuli b ad circulum a, sit quoque eadem rotunde piramidis b ad aliquod corpus quod sit d.Cum igitur corpus c sit maius rotunda pimaior corpore d. Itaque pr
Abbreviated transcription (Latin):
et tirtumxonam buit quarto gomonem secundum c̃ttat̃
tus gnõmo / egd eritꝙͣ ex .rĩ. G. supfities inde com¬
xosita que sit hli canꝙͣ quartum linr᷑ ts Dico igitur¬
ꝙ quortum h̃l quintuptum est ad quartum de sit ema
el quartum crecumpositi guemoris sibi qr crcurona¬

Expanded text:
et circumponam huic quadrato gnomonem secundum quantitatem tus gnomo e g d eritque ex 22 sexti superficies inde composita que sit h k tamquam quadratum linee c d. Dico igitur quadratum h k quincuplum esse ad quadratum d e. Sit enim c l qua
Abbreviated transcription (Latin):
h̃lr cum ipsum constet ex sucpro et quadiuxlo ent
ex cõmum screntia quintuxlum e idem quod est ꝓcositũ
Idem alicer ex quarta secundi constat ꝙ quartum lane
as est quadiuxlum ad quartum liner es at per
secundam eiusdem quod fit ex as ĩn it et in ac est
equale quarto as quod autem ex as in ut equũ est ei qͦs
x bc sis in bõ ex p̃ma ⁊ dic utio ex as in ac qt
ex pagna parte abᵈ sext equale quarto bt̃ itaq par
ꝯmunem stienciam quad fit eo bd bis in sc et ix
bc in se / est equale quarto as et ideo est quã druxũ
a quartum sd quare super addito qualto a e
toturi aggegatum quintupsum uidesiaet illio quos

Expanded text:
plo et quadruplo, erit ex communi scientia quincuplum ad idem. Quod est propositum. Idem aliter. Ex 4 secundi constat quod quadratum linee a b est quadruplum ad quadratum linee b d. At per secundam eiusdem quod fit ex a b in b c et in a c est equale quadrato a b. Quod autem ex a b in b c equum est ei quod ex b d bis in ex prima parte 16 sexti equale quadrato b c. Itaque per communem scientiam quod fit ex b d bis in b c et quod ex b c in se est equale quadrato a b et ideo est quadruplum ad quadratum b d. Quare superaddito quadrato b d erit totum aggregatum quincuplum videlicet illud quod
Abbreviated transcription (Latin):
nas equealtas suis basibus ꝓporcionales esse
necesse est
Super dnos criculos a et b statuantur ut prius due
rotund piramides equealte que dicantur sumliter a
et b et due rocunde columpne equealte eisdem a et¬

Expanded text:
nas eque altas suis basibus proportionales esse necesse est. Supra duos circulos a et b statuantur, ut prius, due rotunde piramides eque alte que dicuntur similiter a et b et due columne rotunde eque alte eisdem lit
Abbreviated transcription (Latin):
pequalia in e secundum Doctrinã ⁊ꝯ̃. teieii Deqint
⁊uisus arcum al ꝑ equalia ad xunctum e cuñq hoc
luries fecerid necessariõ tandem deuenes ad aic
qui minor eut dcrci aħ sitq ħic am hot autem idoito
ireesseuum est quiã cum fuierint Sue ꝙc̾itates inequates
⁊a maiori ecrum Dematur Sidium ens Itẽs q a
res duo Simiddium possebile est hoc tocieus fleri quousq
tandm minor minore uarum relinquatur / quẽ adines
in xtna io. demonstratũ est Cum ita sit Sudẽdo
ad aicum ꝙtulucmq minorem arcu ad fuert seuen¬
tum cuiustuo di est hic arcus aꝯ am Ducantur qr due¬

Expanded text:
equalia in puncto l secundum doctrinam 29 tertii. Dehinc rursus arcum a l per equalia ad punctum m. Cumque hoc pluries feceris, necessario tandem devenies ad arcum qui minor erit arcu a h sitque hic a m. Hoc autem idcirco necessario est quia, cum fuerint due quantitates inequales si a maiori earum dematur eius dimidium, itemque a residuo dimidium, possibile est hoc totiens fieri quousque tandem minor minore earum relinquatur quemadmodum in 1 decimi demonstratum est. Cum igitur sic dividendo ad arcum quantulumcumque minorem arcu a h fuerit deventum cuius est hic arcus a m, sumatur arc
Abbreviated transcription (Latin):
ap strmet auersanus eam esse minorem ymaginabor
eam includi aspera cd et crcduqi ab rodem centio
et instribam spere ed iuxta precexta premisse
unum corpus multaeium basiẽm non gangencium suꝑ¬
sicium spere minoris dicatur q istũd corpus no¬
mine spere cui instabitur ed irpostea simile corpus
mulcarum basium instribam sperte ab quod eciam
nomine sue ipere dicatur as  Constat itaq ex se¬

Expanded text:
affirmet eam adversarius esse minorem, imaginabor eam includi a spera c d et circumduci ab eodem centro et inscribam spere c d iuxta precepta premisse unum corpus multarum basium non tangentium superficiem spere e f minoris. Dicaturque istud corpus nomine spere cui inscribitur c d. Postea simile corpus multarum basium inscribam spere a b quod etiam nomine sue spere dicatur a b. Constat itaque ex se
Abbreviated transcription (Latin):
as quad est. 4ͣ. .2 necesse est esse quadeuxlum ag
quartum Se eo q liura õs est mesiecas cmee de
cunq sit ex prima pecte . i6.. sext suꝑficies an ideo q
ꝑ .43. primi suꝑficies mli equalis quaito ce pneme
enm̃ au ideoq et ari ex sa in ac et cl puruit ex
cs inse et cum ex p̾ma .s. su al suxlã as es
IDeoq equalio ls et ce pangei accep̃tis ex .xi. qm

Expanded text:
a b quod ex 4 secundi necesse est esse quadruplum ad quadratum d e eo quod linea b d est medietas linee a b. Cumque sit ex prima parte 16 sexti superficies a n ideoque per 43 primi superficies m l equalis quadrato c l provenit enim a n ideoque et m l ex b a in a c et c l provenit ex c b in se et cum ex prima sexti sit a l dupla ad l d ideoque equalis l d et c e pariter acceptis
Abbreviated transcription (Latin):
fortius megi anea ac petest ipsum tangere quoniami ita
constat ticulum abes Suisibile esse ꝑ arcus equales
artui am ideoq p᷑ rs tercui sinue constat intra ipsum
triculum posse tor dulas equales cordule am ꝯtinue
cooxtan criculum ipsum poligonie cordantes momfestum
est intra cricułum maiorem pele unum poligonium equilterũ
Cuius unum latus est linea a instrbi Et quia alia o non
contingit critulum minorem patet/ ex prima parte .ii. tercii
arculum minorem quod est ꝓpositum dic quid dubitas
Dueis luneas am et lil esse qui distantes cum suit
Duo certus sul et dob equales hoc enin in concussam
uiritatem sortitum est ꝙ due liner circulum unum non
autem se inuicem secanes si ex cuoinferenoa equales
ne et ai subtende Suas cordas que ecioo Dicantir
lurea ins equalis liner par cum ĩta uterq duorum
angulorum qui sunt ad x sie rectus ex diffintione

Expanded text:
fortius neque linea a m potest ipsum tangere. Quoniam igitur constat circulum a b c d divisibilem esse | per arcus equales arcui a m ideoque per 28 tertii simul constat intra ipsum circulum posse cordulas equales cordule a m continue coaptari circulum ipsum poligonie cordantes, manifestum est intra circulum maiorem posse unum poligonium equilaterum, cuius unum latus est linea a m, inscribi. Et quia linea a m non contingit circulum minorem, patet ex prima parte 13 tertii etcirculum minorem. Quod est propositum. At quid dubitas duas lineas n m et k h esse equidistantes cum sint duo arcus n k et m h equales? Hoc enim inconcussam veritatem sortitum est quod due linee circulum unum non autem se invicem secantes, si ex circumferentia equales n k et m h subtende duas cordas que etiam dicantur linea n p equalis linee p m. Cum igitur uterque duorum angulorum qui
Abbreviated transcription (Latin):
psuperficie circusi ab cd sunt ⁊ ecti cͤꝭ diffunciom
liner ꝑprndicularis ad suꝑficiem Recci uero corgu¬
a m dentio quarte ciramferencie subtenduntur quad
er ustuna serq euidenter apporet ex diffinicione acitẽ
criculorum equalium mamfestum est ꝙ unusquisq hoꝵ¬

Expanded text:
circuli a b c d sunt recti ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem, recti vero anguli in centro quarte circumferentie subtenduntur quod ex ultima sexti evidenter apparet. Ex diffinitione autem circulorum equalium manifestum est quod unusquisq
Abbreviated transcription (Latin):
sunt eque distandea ĩpse quoq sunt eque distontes ddin¬
uicem ut ex hne que dicta sunt in .iu. irͥ libii Sidiosti
ugre mamfestum est ꝙ onnnes columxne rotunde qͣre¬
Auit uases equales suis alteudinidus sunt pporciona¬
eus dem quoq Delateratis  idem eciam de pirami¬
mni Sibus rotundis s ⁊ de lateratis quod de piramidib
ꝯstabit r prius de columxnns probetier est eum
onmo columpna cuplex ad suam piraundem rotũ¬
Si due rotunde puamides sure colũpnre fuerint
equales sue uases et alacudines erunt mutue
⁊ uero sue bases et altitudines mutue fuerint
ipsas prramdei sure columxpnas equales ne¬
cesse estiesse

Expanded text:
es ad invicem ut ex hiis que dicta sunt ex 16 undecimi libri didicisti. Quare manifestum est quod omnes columne rotunde qsunt bases equales, suis altitudinibus sunt proportionales. Idem quoque de lateratis. Idem quoque de piramidibus rotundis sed etiam de lateratis quod de piramidibus constabit si prius de columnis probatur. Est enim omnis columna tripla ad suam piramidem, rotuncetera. ∗∗∗ ⟨XII.⟩12 Si due rotunde piramides sive columne fuerint equales, sue bases et altitudines erunt mutue. Si vero sue bases et altitudines mutue fuerint, ipsas piramides sive columnas equales esse necesse
Abbreviated transcription (Latin):
Duabus spetiis unum centrum habentibus ꝓposicis
rutia monorem eocrum solidum multarum baslum suꝑ
bilite. constidiatur erit ꝑpotio cortoris mustarum boser
intia maiorem speram ustituti ad corpil mus frastũ
basium intra minorem speram uel atra cõslittam
sicud dyametii maioris sprre d̃ Saneeiutt
minoris uel alterius spere ꝓportio caxłiata
Siñt ꝓposite due spere abcd et e uium atur t̃dem
centium quod sit g habentes autem e uecumis ite

Expanded text:
Duabus speris unum centrum habentibus propositis intra maiorem earum solidum multarum basium supebiliter consti- tuatur, erit proportio corporis multarum basium intra | maiorem speram constituti ad corpus multarum basium intra minorem speram vel aliam constitutum sicut diametri maioris spere ad diametrum minoris vel alterius spere proportio triplicata. Sint proposite due spere a b c d et e f unum atque idem centrum, quod sit g, habentes et sit
Abbreviated transcription (Latin):
partem tercie dercii linra gꝗ erit ppendicularid ad
Em̃eom lis ita ex prima porte ⁊s. primi due lner
nai et liħ sunt equidistantes et hoc s De quo te dubita¬
re ꝯquestus est hoc idem aliter Semenstiare possibile
est Sucatur enin lurea ub erit I ex ultima s̾ con¬
gulus spicꝯ equalis angulo ulr eo q ecicus ho est equalie

Expanded text:
a g q erit perpendicularis ad lineam k h. Igitur ex prima parte 28 primi due linee n m et k h sunt equidistantes. Et hoc est quod dubitare conquestus es. Hoc idem aliter demonstrare possibile est. Ducatur enim linea n h eritque ex ultima sexti angulus h n m equalis an
Abbreviated transcription (Latin):
sibut est unum poligonium equilaterum estuti mmoil
ciiculum qui est eẜ ullo suorum laterum cangenos ceua¬
crentur enin hul duo ortusi Suabus Sietas saꝵ
drntium ipsorum se inuicem secantibus que sunt at et̃ ẽs
igitur a puncto e ducatur ut̾usq usq ad cricunferentiã
rieitris linra orchogonaliter supei Syametum eẜ que
eccirerat circuferencie moooris in ħ̃ et in ł Gutq ex

Expanded text:
ssibile est unum poligonium equilaterum describi minorem circulum, qui est e f, nullo suorum laterum tangens. Quadrentur enim hii duo circuli duabus diametris super centrum ipsorumIgitur a puncto e ducatur utrinque usque ad circumferentiam maioris linea orthogonaliter super diametrum e f que occurrat c