comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
et ab eo ad cͥcũfẽnciam płime linee ducant᷑ que
suꝑ centrũ tͣnsierit om̃iũ erit lõgisia que uͦ dyame¬
trũ ꝑficiet om̃iũ breuissia. que u̾o centro proxie
cet̾is lõgiores qnͣto u̾o acentͦ remotõres tanto bͤ
sime collaterales equales esse neccesse est.
¶ Suit ut ĩ dyametro. af.c̾cłi. abc. cuꝰ centrũ sit .h. sit sigͣtus pũ¬
Etus .R. p̃t̾ centrũ a quo ducantur plime lie que sĩnt. R .a. kb. f.c̃.¬

Expanded text:
que super centrum transierit omnium erit longissima, que vero diametrum perficiet omnium brevissima. Que autem centro proxime, ceteris longiores, quanto vero a centro remotiores, tanto breinee brevissime collaterales equales esse necesse est etcetera. Sit ut in diametro a f circuli a b c cuius centrum sit h sit signatus | punctus k preter centrum a quo ducantur plurime linee que sint k a, k b, k c
Abbreviated transcription (Latin):
due uͦ h q̃ b̾uissie ut̾nq eã ꝓpĩqͣnt equales sunt.
¶Sit ut ĩ pũcto .a. assigͣco ꝯtͣ cͥcub̃. bcd. eiꝰ centrũ sit .n. ducãt᷑
płime n ͨ ad c̾cũfenciam secando c̾cłm que sint. ak nb. ahc. ago.
⁊. afei dico ꝙ. ab. tnͣsiens ꝑcentrũ est om̃iũ iongissa ⁊ ꝙ . ac. est
li  ab. erit .ab. maior.ac. eadẽ rõne erit maior om̃ib aliis. ꝙ ẽ pͥmũ.

Expanded text:
. Sit ut in puncto a signato extra circulum b c d cuius centrum sit n ducantur plurime linee ad circumferentiam secando circulum que sunt a k n b, a h c, a g d et a f e. Dico quod a b transiens per centrum est omnium longissima et quod a c est linee a b, erit a b maior a c. Eadem ratione erit maior omnibus aliis. Quod est primum.
Abbreviated transcription (Latin):
Nhiis tͥangłis que obtusum hũt angłm. tanto ea que .p.¬
bis sb̾ uno eoꝵ. atq ea que tͥ dirͤta iũcta ad obtusũ angu

Expanded text:
hiis triangulis qui obtusum habent angulum tanto ea que bis sub uno eorum atque ea que sibi directe iuncta ad obtusum angu
Abbreviated transcription (Latin):
bicis. unde iudendum est quid sit mĩs cubi¬
cns ⁊ que sit eius radit. et quid sit radicem cu¬
bicam extraħe. ¶ Est aut̃ nũi cubicus sicut
p ex p̃dc̃is qui peoueĩt ex ductu nũbis ĩ se. uł¬
ꝑ ꝙ nsis cubicus ⁊ quadratus eandem hñt ra¬
cubicus tũc radicem cubitam ex trab̾e est ma¬
ximi cubici sb̾ nĩo ꝓposito ꝯtũti radicẽ ĩuẽire.¬

Expanded text:
bicis: videndum est quid sit numerus cubicus et quae sit radix ejus, et quid sit radicem cubicam extrahere. Est igitur numerus cubicus, sicut patet ex predictis, qui pervenit ex ductu alicujus umerus cubicus et quadratus eandem habuit racubicus, tunc radicem cubicam extrahere est maximi cubici sub numero proposito contenti radicem cubi
Abbreviated transcription (Latin):
ti. que radix ilducatur in se ⁊ postea ĩ produ¬
posito ꝯtentus ⁊ sulli cubico addatur residu.¬
um reseruatum ĩ tabła erunt exdem figure
que prius. si aut̃ aliqͥs digitus post añriora¬
cifra sb̾ afra sb̾ qrͣta fignra u̾sus dextram et

Expanded text:
ducatur in se et postea in produposito contentus, et si illo cubico addatur residuum in tabula, erunt eaedem figurae quae prius fuerunt. Si autem aliquis digitus post anterioracifra sub quarta figura versus dextram
Abbreviated transcription (Latin):
remanebunt ĩequalia sicut pͥus. ¶ Si fu̾imt due res qͥb
sit una. ⁊ eadẽ eqͣł. et utraq eaꝵ erit eqͣlis alt̾i. ¶ Si fuẽ¬

Expanded text:
 Si fuerint due res quibus sit una et eadem equalis, utraque earum erit equalis alteri. ⟨6⟩ Si fue
Abbreviated transcription (Latin):
Runctus est cuiꝰ pars nõ est. ¶ linca est longitudo sine ia 2̃.¬
ĩtudĩe cuiꝰ extremitates auidẽ duo puncta¶inea i ͨ ͣ.¬
ta est ab uno puncto ad aliũ extensio. ĩ extremitates su
plana est ab una linea ad aliam extẽsio ĩ extremitates
suas eas recipiens. ¶ Angulus planus est duaz liueaꝵ al.Gͣ.
t̾nus ꝯtactꝰ. quaꝵ expansio sup̃ suꝑficiem applicatõq non
lineus angłs noĩat᷑. ¶ Qñ recta linea suꝑ rectã liucam.gͣ
angłs uͦ qui rͨto maior est obtusus dr̃ ¶ Angulus u̾o mi¬

Expanded text:
s. Linea est longitudo sine latitudine, cuius extremitates quidem duo puncta sunt. Linea recta est ab uno puncto ad alium extensio, in extremitates suaerficies plana est ab una linea ad aliam extensio, in extremitates suas eas recipiens. ernus contactus, quarum expansio supra superficiem applicatioque non lineus angulus nominantur. Quando recta linea supra rectam lineam angulus vero qui recto maior est, obtusus dicitur; angulus autem
Abbreviated transcription (Latin):
et equũ hiis que ex ductu pͥoris linee ĩ eam que adducta
est quat̾ et ei ꝙ tit ex ductu alt̾iꝰ. dĩdentis ĩ seip̃am:¬
¶ Sit. ab. diuisa ĩpũcto .c. qualit̾cũq cõtĩgat cui addat ᷑ .ẜ d. sał. cb.
dico qd̾ quadratum tociꝰ. ab. ꝙ fit. ad ef. est eq̃le ei ꝙ Rit ex. ab. in
.ł. d. quãt᷑ cũ q̃drato. ac. ħ aut ꝑateb̾ ducto dyamet᷑ͦ. dei ⁊ lineis .cg. ⁊.

Expanded text:
 erit hiis que ex ductu prioris linee in eam que adiecta est quater et ei quod ex ductu alterius dividentis in se ipsam. Sit a b divisa in puncto c qualitercumque contingat cui addatur b d equalis c b. Dico quod quadratum totius a d quod fit a d e f est equale ei quod fit ex a b in b d quater cum quadrato a c. Hoc autem patebit ducta diametro d e et line
Abbreviated transcription (Latin):
lĩquit᷑ nouenariꝰ qui ualet. ꝯc. uñ reman
tm̃ denarius ⁊ eadem erit ro si qut᷑to loco uł
qͥnto uł deuiceps mutuet᷑ unita¶¶ Hoc aut̃ fc̃o
sb̾trahe scd̾am ĩferioris ordĩs a sua suꝑiori et
negociandũ est ut pͥus. ¶ Sciendũ tñ ꝙ tã

Expanded text:
linquitur nonenarius qlinquitur nonenarius qum denarius, et eadem erit ratio si a quarto loco vel a quinto vel deinceps mutuetur unitas. Hoc facto, subtrahe secundam inferioris ordinis a sua superiori, et negociandum est ut prius.
Abbreviated transcription (Latin):
lis ub̾rrahe gͥ pͥmam ĩf̾i̾oris ordĩs a figura
sibi supͣpõita s⁊ illa aut erit par figure sibi¬
aip̃põitel aut maior aut minor ¶si par. ea de
ualett. resrectũ p̾cedentis figure ¶ ab il¬
lo gͦ denario ⁊ a figura aqua debint fie¬
n ib̾tractio simł iũctis ib tͣbatur figura ĩ¬
ferio ⁊ residuũ ponatur locofigure deie¬
te. Si u̾o figura a qua mutuanda est u¬
nitas sit initas. ea deleta loco eĩ sc̾ͥbat᷑ cif:¬
ne figure sequentes minus significent. ⁊ de¬
inde oꝑare ut pͥus. ẜi aut̃ figura a qua mu¬
tuanda est unitas sit cifra reiciatur ult̾iꝰ ad
figuram significatiuam et ĩmutuare uni¬
tatem. ⁊ ĩ redeundo loco cui̾ cifre. ꝑtnͣssite
ponatur figura nouenarii. Cum aut̃ ꝑuẽt̃
fũit ad illam figurã de qua ĩtenditur rema¬
net tñ denariꝰ. ab illo gͥ donario ⁊ c̃ ¶ Ro aut̃
tas illa resptu fig̾e aqua debuit fuit sẜ̃tra¬
ctio ualet centum. sioco citre ꝑtnͣssitẽ re¬

Expanded text:
am inferioris ordinis a figura sibi supraposita, et illa aut erit par, aut major, aut minor. Si par, ea delvalet decem respectu precedentis figurae; ab illo ergo denario et a figura a qua debuit fieri subtractio simul junctis subtrahatur figura inferior et residuum ponatur in loco figurae deletae. Si vero figura a qua mutuanda est unitas sit unitas, ea deleta loco ejus scribatur cifne figurae sequentes minus significent deinde operare ut prius. Si vero figura a qua mutuanda est unitas sit cifra, accedet ad proximam figuram significativam et ibi mutuat unitate et in redeundo in loco cujuslibet cifrae pertransitae ponatur figura nonenarii; cum igitur perventum fuerit ad illam figuram de qua intenditur, remanebit tibi denarius ab illo ergo denario, et a figura tas illa respectu illius a qua debuit fieri subtractio, valuit centum; sed loco cifrae pertransitae, re
Abbreviated transcription (Latin):
ubtractõ est ꝓpõitis duobꝰ se᷑ de sb̾tra¬
nũis maioris ad minote̾ eccen᷑c tr̃s
iientio. uł subtractio est nuimeri anume¬
maior est qui ꝑses ħc figuras dũ modo ulti¬
ultimas ⁊ sic deinceps ¶ In sb̾tractõne duo

Expanded text:
ubtractio est, propositis duobus numeris, majoris ad minorem excessus inventio: vel sic, subtractio est numeri a numemajor est qui plures habet figuras, dummodo ultiultimas, et sic deinceps. In subtractione vero
Abbreviated transcription (Latin):
quidem nũs a decem usq ad centũ ut centena
a quo denomĩatur ille articulus. si sit nũs ꝯpo¬
situs p̾scribatur digitus qui est ꝑs nlꝰ mũ ꝯ¬
positi et sinstietur ut prius arriculus Oĩs
nũs qui est acentum usq ad uille ut millena¬
riꝰ b̾c sasbe exeludatur. pertres figuras ht̃ scͥ
gura pͥmo loco posita significat il um digi¬

Expanded text:
umerus a decem usque ad centum, ut centenara quo denominatur ille articulus; si sit numerus compositus, scribatur digitus qui est pars illius positi et sinistretur articulus. Item omnis numerus a centum usque ad mille, ut millenarius excludatur, per tres figuras habet scgura primo loco posita significat suum digi
Abbreviated transcription (Latin):
S circłoꝵ similes portõnes supͣ lineas equas fu̾int. ⁊3¬
ip̃as portõnes equas esse netresse est. est est.

Expanded text:
Si circulorum similes portiones supra lineas equas fuerint, ipsas portiones equas esse necesse est. Sint
Abbreviated transcription (Latin):
les qͣr ꝑ.4. p̃. erit . ac. eqͣł. eg. ꝙẽ ꝓpõitũ. quecũq aut̃ ꝓ bate ip passões
Datum arcum per equalia secare. ¶Sit datꝰ artꝰ. abc. cui
rendatur corda. ac. que dĩdatur ꝑ equalia ĩ pũcto .d. a quoducatur ꝑpẽ¬
dicłaris ad ip̃am que sit . db. getaus c̾cũft̾ncã dati arcus ẜ pũcto .b. ꝙͣ dico
dindore arcũ ꝑ eqͣlia dicãtur li ͤ.ba. ⁊.ba que erũt eqͣles ꝑ.4.p̃. qr ꝑ p̃mã

Expanded text:
 passiones Datum arcum per equalia secare. Sit datus arcus a b c cui subtendatur corda a c que dividatur per equalia in puncto d a quo ducatur perpendicularis ad ipsam que sit d b secans circumferentiam dati arcus in puncto b quem dico dividere arcum per equalia. Ducantur enim
Abbreviated transcription (Latin):
.d.lł.ab. cui ñ sit detiatꝰ finis ex ꝑte .b. secans ex ip̃o portõnẽ seĩccło mĩo¬
rem erita ipiꝰ portõnis angłs ꝑ ultĩa ꝑtem huiꝰ. mĩor rͤto ħꝰ t̾cłi sit dya¬
met̾. adc. ⁊ ymagines ũa.ab. moneri ad ꝑtẽ.c. suꝑ pũctũ.a. q̃ ꝙͣ diu fue¬
rit ccͣ .c. uł ĩ ip̃o .c. cooꝑions dyametrũ. adc. faciet cũ artu augsm mĩorẽ
r̾to ĩ om̃i aut̃ pũcto ult᷑ .c. ut ĩ .e. faciet ꝑ ultĩam hꝰ maiorẽ rͨto tnsit¬

Expanded text:
d linea a b cui non sit determinatus finis ex parte b secans ex ipso portionem semicirculo minorem. Eritque ipsius portionis angulus per ultimam partem huius minor recto, meter a d c. Et ymaginetur linea a b moveri ad partem c super punctum a que quamdiu fuerit citra c vel in ipso c cooperiens diametrum a d c faciet cum arcu angulum minorem recto. In omni autem puncto ultra c ut in e faciet per penultimam part
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Pĩt duo c̾tsi eauales. abc. cuiꝰ cent᷑ .d. ⁊. efg. cuiꝰ centͣ.h. sit q cor¬
da.ac. eqͣlis corde. eg. dico duos arcus. abc. efg. qͦs p̾oc̃e corde
ox p̾dc̃is cͥcsis reserant ẽẽ eqͣles ꝙ si corda. eg. põat᷑ maior corda. ac.
dico arcũ. e f g. eẽ niaiorẽ artu.abc. p̾mũ quidẽ sic ꝓbat᷑. ducan¬
tura centris li ͦ ad exͥtates cordaꝵ que st̃.da. dc. he. hg̃. ⁊ qr cͥcłi po

Expanded text:
 Sint duo circuli equales a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h. Sitque corda a c equalis corde e g. Dico duos arcus a b c, e f g quos predicte corde ex predictis circulis resecant esse equales. Quod si corda e g ponatur maior corda a c, dico arcum e f g esse maiorem arcu a b c. Primum quidem sic probatur. Ducantur a centris linee ad extremitates cord
Abbreviated transcription (Latin):
nem cõstituunt. Inimis terminis. pͥma in¬
⁊ .h. quas eodem ordine inminimis t̾minis continua¬
re iubemur. Reꝑiatur gͥ minimus numerus quem
numerant.b. c̃. sitq .l. ⁊ quociens .b. in .I. tociens. ã. in
numerarent .b. c̃. non ẽẽt .l. minioꝰ ab eis num̃atus.
Quod si.ẽ. numerat. m̃. numeret. F. tociens. ñ. sicq
t̾cia erit cum aliis continuata. Sin autem sumatur
minimus quẽ numerant. ẽ. ⁊. m̃. qui sit. õ. ⁊ quocieñ
m̃. in .õ. tociens sit .l. in .p̃.⁊ . k. in. q̃. Item quociens.ẽ. in
.õ. tociens sit. f̃. in.r̃. Dico itaq tres illas ꝓportiones int̃
illos continuatas num̃os. ꝑ .uii. scdi. ⁊ minimos. Qm̃
rant .t̃. numerabit eundem .l.ꝑ.xxu. t̾cii. similit̾ ⁊ .m̃.
numerabit. d. Sed ⁊.ẽ. numerabit. ũ. ñ ẽ gͥ minimꝰ.õ.

Expanded text:
inimis terminis prima int h quas eodem ordine in minimis terminis continuare iubemur. Reperiatur igitur minimus numerus quem numerantb c sitque f. Et quotiens b in f totiens a in  medium eorum numerarent b c, non esset f minimus ab eis numeratus. Quod si e numerat m numeret f totiens n sicque tertia erit cum aliis continuata. Sin autem sumatur minimus quem numerante et m qui sit o. Et quotiens m in o totiens sit f in p et k in q. Item quotiense in o totiens sit f in r. Dico itaque tres illas proportiones inter illos continuatas numeros per viiam secundi et minimos. Quoniam rant t, numerabit eundem l per xxvam tertii. Similiter et m numerabit u. Sed et e numerabit u, non est igitur minimus o
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ierbi gratia. Ac siuibeam̃¬
ꝑ .iiͦii. partes. quarum pͥma contineat scdam. bis. Scd̃a t̾ciã
totam.⁊ eius medietatem. t̾cia quartam ter. Has gͥ ꝓportio¬
nes continuemus scđ̾m p̾missam utt̾minis minimis. qui
sint. a.b.g. d. qui coaceruati faciant. ẽ. Sitq numerus diui¬
tendus.c̃. qui diuidatur per equalia scđm. ẽ. sitq unum
h.k.l.m̃. eritq . h. ad.k. sic̃ ã. ad .b̃. ⁊ sic decet̾is ꝑ .uiii. sccdi. ⁊ qr
mi. er̃ ut .h. k.l. m̃. parit̾ accepti cõponant. c̃. hm̃s gͦ.c̃. di¬
uisum in partes scdm̃ datas ꝓporciones ꝓpꝰnales.¬

Expanded text:
 Verbi gratia: Ac si iubeamper quatuor partes quarum prima contineat secundam bis, secunda tertiam totam et eius medietatem, tertia quartam ter. Has igitur proportiones continuemus secundum premissam in terminis minimis qui sint a b g d qui coacervati faciant e. Sitque numerus dividendus c qui dividatur per equalia secundum e sitque unum h k l m. Eritque h ad k sicut a ad b. Et sic de ceteris per viiiam secundi. Et quia  primi, erit ut h k l m pariter accepti componant c. Habemus ergo c divisum in partes secundum datas proportiones p
Abbreviated transcription (Latin):
tres numeri in eadem medietate: ertt me¬
dii eorum adlifferentiam:. que utterer¬
tremos p̃assignatoꝵ ꝓportio.: numen a¬
.b. c̃. ⁊ ã. maximus. differentia sĩt. d. que erit.⁊. ã. ad .b. ⁊ .b. a
¶onatirq si possibile est ut sit. a. ad. c̃. ficut .b. ad.d. e
g a adonplui ⁊ sic̃ ħ ad. c̃⁊ iõ a ad.ħ sic̃ duplu̾. d ad c ⁊ t̃ qr a ad ã
Si fuerint tres numeri in hac medieta¬
te dispositi: excremorum. & medii
ad differentiam eandem ẽẽ propor¬
tionem impossibile. Maioremuero

Expanded text:
tres numeri in eadem medietate, erit metres numeri in eadem medietate, erit medii eorum ad differentiam que inter extremos preassignatorum proportio. Sint tra b c et a maximus, differentia sit d que erit et a ad b et b ad c. Ponaturque, si possibile est, ut sit a ad c sicut b ad d. Erit ergo a ad duplumd sicut b ad c et ideo a ad b sicut duplum d ad c. Et item Si fuerint tres numeri in hac medietate dispositi, extremorum et medii ad differentiam eandem esse proportionem impossibile. Maiorem vero
Abbreviated transcription (Latin):
tnetur cum quadrato differentie eqͣle¬
in aliud bis .b. quadrata quoq medii bis sumpti. c̃. ꝑ scdam
u eẽ in hac medietatem inter.ã.⁊ .b. Ppremissam g
temonstrationem cõsumabis.
mi coniungantur. quia compostti medietas medius est per
secundam presentis sumpta illius medietate habebis me¬
dium questcum.mn
nium numerorum in hac medietate di¬
positorum duobus extremis datis:
tła.a. ad. ẽ. sit .d̾. cuius medium quod est differentia .a. ad
b̃ ⁊ .b̃. ad .c̃. sit. ẽ. Sumantur item tres quoꝵ extremorum
sit ꝓportio tainquam .b. ad .ẽ. qui sinit f̃. g̃.h. ⁊ differentia f.
qui est maximus. ad .ħ̃. sit. ħ̃ cunis medium. sdifferentra. F a
¶ e ad ħ sit . ł. Itemq compositus ex. f h. stt m̃. Quia gp
b. ad.e. tamqͣm. f. ad .ħ. erit.ꝑ.ui. sccl̃i sic̃. m̃. ad .h.ita.ã. adi
S ẽ ad .ẽ. sicit.ħ.ad. ħ ꝑ quintam secłi. Itaq m̃. ad. k.sicut
ad .l.
i scdđm ꝑportionem medii datorum nu¬
merorum ad differentiam sumantur

Expanded text:
et quadrato differentie. Sin aliud bis b, quadrata quoque medii bis sumpti c. Per secundum esse in hac medietate inter a et b. Per premissam igitur demonstrationem consumabis.mi coniungantur. Quia compositi medietas medius est, per secundam presentis sumpta illius medietate habebis medium quesitum. § ium numerorum in hac medietate dispositorum duobus extremis datis a ad c sit d cuius medium quod est differentia a ad b et b ad c sit e. Sumantur item tres quorum extremorum sit proportio tanquam b ad e qui sint f g h. Et differentia f, qui est maximus, adh sit k cuius medium scilicet differentia f ad g et g ad h sit l. Itemque compositus ex f et h sit mb ad e tanquam f ad h, erit per viam secundi sicut m ad h ita a ad e. Sed e ad c sicut h ad k per quintam secundi. Itaque m ad k sicut ad l.i secundum proportionem medii datorum numerorum ad differentiam sumantur
Abbreviated transcription (Latin):
quartus quoq iniñ ꝑductum. ⁊ sic deinceps fietq ut
omnes numerent ultimum ꝑductum. Sigͦ ei adda¬
tur unitas. constat quod cõpositus uel er̃ primus.:¬
uł aprimo numerabit᷑. Si est primus uera est ꝓpositio
Sinumerat᷑ aprimo: qm̃ nullus illoꝵ eum numerat
er̃ ille ab eis diuersus. Sic etiam liquet ꝓpositio.

Expanded text:
quartus quoque in inde productum et sic deinceps. Fietque ut omnes numerent ultimum productum. Si ergo ei addatur unitas, constat quod compositus vel erit primus vel a primo numerabitur. Si est primus, vera est propositio. Si numeratur a primo, quoniam nullus eorum eum numerat, erit ille ab eis diversus. Sic etiam liquet propositio.
Abbreviated transcription (Latin):
allam ẽẽ maiorem. minor numerus tanto
laris maior. numeriq mninfinitum non possunt decres¬
cere: non qualib suꝑparticulari maior erit nec quali¬
bet multiplice minor. Item qr numeri in infinitum
crescunt. erit econũso qualb multiplice maior.⁊ qualib
suꝑparticulari minor. Patet etiam qualibr suꝑpartiẽ¬
te aliam ẽẽ maiorem ꝑpremissam. Minorem uero fisu¬
mam aliam denominatam atotidem partib. anume¬
ro maiore dictis quem tamen numerus earum non nume¬
ret. Duarum uͦ reliquaꝵ qualib maiorem ẽẽ argues ꝑꝑ
siue suꝑpartientem minorem. ⁊ hoc est quod sequitur.

Expanded text:
niam enim quanto minor numerus, tanto laris maior; numerique in infinitum non possunt decrescere, non qualibet superparticulari maior erit nec qualibet multiplice minor. Item quia numeri in infinitum crescunt, erit econverso qualibet multiplice maior et qualibet superparticulari minor. Patet etiam qualibet superpartiente aliam esse maiorem per premissam, minorem vero si sumam aliam denominatam a totidem partibus a numero maiore dictis quem tamen numerus earum non numeret. Duarum vero reliquarum qualibet maiorem esse argues propter icularem sive superpartientem minorem. Et hoc est quod sequitur.
Abbreviated transcription (Latin):
rit enim ille
tetragonoꝵ post unitatem: quotus ille est parte altera lõ¬
gioꝵ. Cuit autem ut si iste diuidatur ꝑduo equalia. exib̃t
duo tͥangulares toti qͦ abunitate quotus est ille tetragonꝰ
post unitatem. Alt̾ uero ã illi ꝯiunctus facit totum pen¬
tagonum ꝑ .xii.p̃sentis. S ⁊ reliquus eidem pentagono ad¬
ditus. totum quoq exagonum ꝯstituit ꝑp̃missan. Itaq
idem parte alt̾a uł cũ eodem tetragono eundem ꝯponit.
Omnis tetragonus cum precedente par¬
de altera logiore. exagonum tecra

Expanded text:
rit enim ille tetragonus totus tetragonorum post unitatem quotus ille est parte altera longiorum. Erit autem ut, si iste dividatur per duo equalia, exibunt duo triangulares toti quoque ab unitate quotus est ille tetragonus post unitatem. Alter autem illi coniunctus facit totum pentagonum per xiiam presentis. Sed et reliquus eidem pentagono additus totum quoque exagonum constituit per premissam. Itaque idem parte altera vel cum eodem tetragono eundem componit. Omnis tetragonus cum precedente parte altera longiore exagonum tetra
Abbreviated transcription (Latin):
NSi eñi numerus diuidi pos set scđm habentem medium
⁊ duo extrema: series numerorum ininfinitum posset de¬
crescere hac ratione. Ponatur numerus diuisus. ab. Por¬
cioq maior. db. minor. dã. detrahaturq de. bd. equał. dã. A
est maior.cb. de trahi pͭ. ab eo ei equalis. qui sit. cẽ. er̃ q
dc̃. ad. cẽ. sic̃. cẽ. ad.ed. ꝑeandem.⁊ quia it. ed.ab. ec̃ pote¬
st detrahi: non er̃ finis huius detractionis ꝙ ẽ inposs.
Numerum ita diuidere ut que toci .xi.¬
us ad maiorẽ portionẽ. ea maioriᷤᷤ admi

Expanded text:
Si enim numerus dividi posset secundum habentem medium  duo extrema, series numerorum in infinitum posset decrescere. Hac ratione ponatur numerus divisus a b portioque maior d b, minor d a. Detrahaturque de b d equalisd a est maior c b, detrahi potest ab eo ei equalis qui sit c e. Eritque d c ad c e sicut c e ad e d per eandem. Et quia item e d ab e c potest detrahi, non erit finis huius detractionis quod est impossibile. § xi Numerum ita dividere ut que totius ad maiorem portionem ea maioris ad mi
Abbreviated transcription (Latin):
sit latus eius. a. ⁊ ipse .b̃. Ducaturq. ã in .b. ⁊ fiat .c̃. qui er̃
cub. quare ꝑ corollariũ. xuii. er̃ ⁊ .ã. cubus. In eo autem
ꝙ cub est sit latus eius.ẽ. ⁊ quadratum lat̾is . f. Erit¬
q ã. ꝓpͦnalis inter.ẽ. ⁊ .f. quare cum. f. sit quadratus.
erit ⁊. ẽ. quadratus ꝑ .x. presentis. Sicq ꝑbatum est.
utrumq.¬

Expanded text:
sit latus eius a et ipse b. Ducaturque a in b et fiat c qui erit cubus. Quare per corollarium xviie erit et a cubus. In eo autem quod cubus est, sit latus eius e et quadratum lateris f. Eritque a proportionalis inter e et f quare cum f sit quadratus, erit et e quadratus per xam presentis. Sicque probatum est utrumq
Abbreviated transcription (Latin):
meri continue ꝓportionales.a .b. c̃ ⁊ .ã.c̃. sint cc se pͥ¬
mi. Dico gͦ quod illi tres sunt minimi in illa ꝓportio¬
ne que est.a. ad.b. sin autem ponantur minores qui
siutt .d.eifĩ: quia ꝑ.xxi. scđi.ã. ad.c̃. sicut .d. ad. f. per.xx.
⁊ .xix. teitii: maiores numerabunt minores.

Expanded text:
meri continue proportionales ab c et a c sint contra se primi. Dico ergo quod illi tres sunt minimi in illa proportione que est a ad b. Sin autem ponantur minores que sint d e f. Et quia per xxiam secundi a ad c sicut d ad f, per xxam et xixam tertii maiores numerabunt minores.
Abbreviated transcription (Latin):
Qet enim minor numerat maiorẽ aut ñ num̃at.
Si uero num̃at. pars eius est. Si non numerat. ⁊ futt
aliquis cõmuniter eos numerans. erit idem pars ꝑd¬
utriusq. qui quotiens fu̾it inminore. tot partes
maioris erit minor. Sin aitte. cũ sit oĩs numeri par
unitas. erit hoc idem ꝑunitates monstrandum.

Expanded text:
orem aut non numerat. Si vero numerat, pars eius est. Si non numerat et fuerit aliquis communiter eos numerans, erit idem pars utriusque qui quotiens fuerit in minore tot partes maioris erit minor. Sin autem cum sit omnis numeri pars unitas, erit hoc idem per unitates monstrandum.
Abbreviated transcription (Latin):
primis. multiplicem cuiuslibet eo¬
rum inuestigare. cuius ad multipli¬
cem alterius differentia. sit dato
palam er̃ dereliquis. Si gͦ. ã. numerat .b. ꝯstat quod dicitur.
Item eos inpossibile est ẽẽ minimos sue ꝓportionis. Alio qͥn
per.xiͣx. tercii. primus scđ̾m numeraret. Sumpti gͦ minimi
numerabunt eos equalit̃ ꝑeandem. Quia gͣ scđm eundem
numerum. ⁊ scłm eundemes̃t. ã. ⁊ .b. cõmunicantes. Lib. ii

Expanded text:
imum multiplicem cuiuslibet eorum investigare cuius ad multiplicem alterius differentia sit datopalam erit de reliquis. Si ergo a numerat b, constat quod dicitur. Item eos impossibile est esse minimos sue proportionis. Alioquin per xixam tertii primus secundum numeraret. Sumpti ergo minimi numerabunt eos equaliter per eandem. Quia ergo secundum eundem numerum, et secundum eundem erunt a et b communicantes. § ii
Abbreviated transcription (Latin):
erit ⁊ ꝑpͦ .b. ad.c̃. maior. quare . b. ad.ẽ. minor. Item qr simi¬
liter .a. ad .b. maior: erit .d. ad .b. maior. Sic gͦ .b. ad.d. mino
Quanto etiã.ã. ad.c̃. minor tanto .b. ad.ẽ. uel .d. maior.
Trium numeroꝵ huius medietatis. quo
maximi ad minimum est ꝓportio ma¬
ior: eo medii adquamlibet differen¬
tiarum ꝓportio minor. hax. noni agtur¬
data ꝑportio dimidatuh in ꝓpͦnes quaꝵ quotlib sint equa¬
les. Sint autem tot quot inueniendi sunt t̾mini ingeo m̃
medietate. Scd̾m datum gͥ numerum t̾minis multipli¬
catis.: totidem ꝑuenient continue ꝓ pͦnales. ⁊ ob hoc geo¬
metͥce med̃. Patet etiam ꝙ singuloꝵ differentia non est¬
uato numero minor. ⁊ extremoꝵ ꝑpꝰ non est data ꝓpͦne¬

Expanded text:
erit et proportio b ad c maior. Quare b ad e minor. Item quia similiter a ad b maior, erit d ad b maior. S ic ergo b ad d minor. Quanto etiam a ad c minor, tanto b ad e vel d maior. Trium numerorum huius medietatis quo maximi ad minimum est proportio maior, eo medii ad quamlibet differentiarum proportio minor. Sint, utdata proportio dividatur in proportiones quarum quotlibet sint equales. Sint autem tot quot inveniendi sunt termini in geometrica medietate. Secundum datum igitur numerum terminis multiplicatis totidem provenient continue proportionales et ob hoc geometrice medietates. Patet etiam quod singulorum differentia non estato numero minor et extremo
Abbreviated transcription (Latin):
¶Quociens enim unitas in altero: totiens reliquus inꝑ
ducto. ex descriptione. Perpremissam gͥ quotiens in eodẽ
reliquo est unctas. tociẽns primus erit in producto. Ex
conuersione gͦ descriptionis argue.
i alterna fiat duorum numerorum.
multiplicatio. idem numerus utrobi

Expanded text:
Quotiens enim unitas in altero totiens reliquus in producto ex descriptione. Per premissam ergo quotiens in eodem reliquo est unitas totiens primus erit in producto. Ex conversione ergo descriptionis argue. i alterna fiat duorum numerorum multiplicatio, idem numerus utrobi
Abbreviated transcription (Latin):
fit exductu ipsius in illa duo ꝑ añpremissam. Ꝙ au¬
tem fit exductu tocius in illa. equum est ei ꝙ fit exduc¬
tu utriusq in se & utriusq in aliud ꝑp̃missam bis. S
quod fit exutroq in aliu equat᷑ ei quod fit exductu¬

Expanded text:
fit ex ductu ipsius in illa duo per antepremissam. Quod autem fit ex ductu totius in illa equum est ei quod fit ex ductu utriusque in se et utriusque in aliud per premissam bis. Sed quod fit ex utroque in aliud bis equatur ei quod fit ex ductu
Abbreviated transcription (Latin):
Sinumerus in duo diuidatur: quod
fit extoto in se equum est ei quod fit
ex ductu unius diuidentis in aliud
quater:cum eo quod exdifferentia
quod hoc quod fit ex.ã. in .d̃. tantum est quantum fit
ex .b. in .d.⁊.c̃. in.d̃. Sit autem ut illudsit.ẽ. Quod aittẽ
fit ex.b. in.d. tantum est quantum quod fit ex .d. inse ⁊
in. ẽ ꝑ .xͣiiii. Quod sid quod fit ex.c̃. inse quod sit. ⁊̃. ad¬
datur utr imq: fiet. ẽ. cum.⁊̃. tamquam. ⁊̃ ⁊ quod fit
ex.d. in se.⁊ bis in. c̃. que qm̃ coniuncta equantur ei qd̃
sit ex.b inse ꝑ.xiii. facile constat propositio.

Expanded text:
Si numerus in duo dividatur, quod fit ex toto in se equum est ei quod fit ex ductu unius dividentis in aliud quater cum eo quod ex differentia quod hoc quod fit ex a in d tantum est quantum fit ex b in d et c in d. Sit autem ut illud sit e. Quod autem fit ex b in d tantum est quantum quod fit ex d in se et in c per xiiiiam . Quod si id quod fit ex c in se quod sit z addatur utrique, fiet e cum z tanquam z et quod fit ex d in se et bis in c que quoniam coniuncta equantur ei quod fit ex b in se per xvam . Facile constat propositio.
Abbreviated transcription (Latin):
niamus duos quadratos cubicos int̾ quos ⁊ .iiii.⁊ .ui. me¬
sit .xxxu. Atq ꝑp̃missam inueniamus duos qua¬
dratos cubicos inter quos .xxxu. continuent᷑ ꝓporciones.
lquociens .u. fuerint in .xxu. tot semꝑ coniungantur
ex illis ꝓpͦnib. eruntq ꝯposite .u.⁊ medios t̾̃minos ha¬
bebimus.iiii. It̾q quociens .uii. fuerint in .xxxu. tot ex
illis ꝯiungant᷑.⁊ ꝯposite erunt .uii. qui sic̃ ⁊ alii inter

Expanded text:
niamus duos quadratos cubicos inter quos et iiii et sit xxxv. Atque per premissam inveniamus duos quadratos cubicos inter quos xxxv continentur proportiones et quotiens v fuerint in xxxv tot semper coniungantur ex illis proportionibus eruntque composite v et medios terminos habebimus iiii. Itemque quotiens septem fuerint in xxxv tot ex illis coniungantur et composite erunt vii qui sicut et alii inter
Abbreviated transcription (Latin):
int t̾mini date ꝓpͦnis. a. ⁊ .b. ⁊ eorum differentia. c̃. ⁊. d.
sit numerus scđm quem numerari debent.⁊. ẽ. numeni
quo non minores erunt differentie. Itaq scđm numesũ
minorem d uno multiplicentur.a. ⁊.b. ⁊ ꝑueniant.f. g
quorum disferentiam.c̃. tociens numerare conueniet. Sum¬
ptis gͦ inter eos mediis scdm differentias equales . ẽ. fiet ut õs
sint sub numero.d. Multiplicetur item . ẽ. donec ꝑueniat
maior e. ⁊ hoc fiat scđm .h. Ducatur gͦ.ħ.in. f⁊ .g. ⁊ omnes
medios ⁊ ꝑueniant . R. ⁊ .l. ⁊ medi int̃ illos. quorum ad in¬
uicem differentie maiores sunt. ẽ. ⁊ ꝑpͦ extremoꝵ tamquã
.a.ad .b.
uotlibet numeros scđm arismeticam.x
medietatem sumere. quorum differẽ¬
de dato numero non sint minores.
extremorum uero ꝑportio sit date ꝑ¬
pordoni equalis.  sunt si eum canales¬

Expanded text:
Sint termini date proportionis a et b et eorum differentia c. Et d sit numerus secundum quem numerari debent et e numerus quo non minores erunt differentie. Itaque secundum numerum minorem d uno multiplicentur a et b et proveniant f et g quorum differentiam c totiens numerare conveniet. Sumptis ergo inter eos mediis secundum differentias equales c fiet ut omnes sint sub numero d. Multiplicetur item c donec proveniat maior e et hoc fiat secundum h. Ducatur ergo h in f et g et omnes medios et proveniant k et l et medii inter illos quorum adinvicem differentie maiores sunt e et proportio extremorum tanquam a ad b.uotlibet numeros secundum arismeticam medietatem sumere quorum differentie dato numero non sint minores, extremorum vero proportio sit date proportioni equalis. Sint termin
Abbreviated transcription (Latin):
Si sumptis quotlibet numeris in hac .xii¬
medietate. alii totidem eandem ha¬
bentes differentiam maiores mino¬
rib coniungantur: numeros equa¬
les prouenire necesse est. Nrumeit¬
par: i coac̃uatum ex duob extremis ducatur eius medie¬
lde. quod ex iugit ent quod queris ꝑ p̃mislam. Iuodsi
idem fuerit impar: qm̃ unus est inter eos medius. erit eius
ad extremos eadem differentia. cum gͦ sit ipse medietas
extremoꝵ ꝑscdam pͥmi: numerus omnium ductus in il¬
lum: ꝑducet quod queris.
additisent compositoꝵ que positoꝵ differentia. Aliis uͦ addi¬
tis qm̃ quoꝵ libet duoꝵ ad alios duos coniunctos est differẽ¬
tia ex singulorum ad singulos differentiis composita. Lit
gͥ ex diffinttione argue.
Si quotlibet numeri huius medietatiꝰ
aliis totidem siue equalib suie inea¬
dem medietate sumptis minores mi¬
norib addantur: compositi quoq
scđm eandem medietatem disponert̃

Expanded text:
Si sumptis quotlibet numeris in hac medietate alii totidem eandem habentes differentiam maiores minoribus coniungantur, numeros equales provenire necesse est. Quonipar, in coacervatum ex duobus extremis ducatur eius medietas. Et quod exurgit, erit quod queris per premissam. Quod si idem fuerit impar, quoniam unus est inter eos medius, erit eius ad extremos eadem differentia. Cum ergo sit ipse medietas extremorum per secundam primi, numerus omnium ductus in illum producet quod queris. additis erit compositorum que positorum differentia. Aliis vero additis quoniam quorumlibet duorum ad alios duos coniunctos est differentia ex singulorum ad singulos differentiis composita, erunIgitur ex diffinitione argue.Si quotlibet numeri huius medietatis aliis totidem sive equalibus sive in eadem medietate sumptis minores minoribus addantur, compositi quoque secundum eandem medietatem disponentur.
Abbreviated transcription (Latin):
.ẽ. facit. ã.⁊. ⁊̃. in .g. facit. t̃. quare ꝑ .xuiii.⁊ .xii. terxii.
erunt.a.⁊.d. ccͣ seprimi. qd̾ est falsum. cum g. ⁊ a
numerant . li. ⁊ .l. equaliter. sit ut scđm.m̃. qui eft
corolłum .xU. t̾cii maior numeraret minorem. S et ĩd
est maximus qui numerat.ã ⁊.d. Sit eniniut.t̃.⁊. ⁊. in
se ducti ꝓducaut. ñ.⁊ .p̃. Itemq t̃. in.ñ ⁊. ⁊̃. in .p̃. faciant q̃.
sisunt cõntra se primi. ꝑ.xii. t̃cii. erit m̃. maximꝰ qui
cosnumerat alioquin sequeretur inpossibile percoros¬
lum .xxiii. c̃cii. hoc est quod uolumus ostendere.

Expanded text:
e facit a et z in g facit d. Quare per xviiiam et xiiam tertii erunt a et d contra se primi. Quod est falsum. Cum igitur t et z numerantk et l equaliter, sit ut secundum m qui est corollarium xvie tertii maior numeraret minorem. Sed et idem est maximus qui numerat a et d. Sit enim utf et zin se ducti producant n si sunt contra se primi per xiiam tertii, erit m maximus qui eos numerat. Alioquin sequeretur impossibile per corollarium xxiiie tertii. Et hoc est quod volumus ostendere.
Abbreviated transcription (Latin):
Sit quilib numerus impar.ã. ⁊ proximus par.b̃. ⁊ euiꝰ
medietas.c̃. Sit gͥ multiplex suꝑparticularis euius multipli¬
cis numerus sit. c̃. ⁊ ab .a. dicatur pars. Si gͥ hec inse duca¬
tur. proueniet quadratus. c̃. ⁊ partes similes sumpte scõ
b⁊ pars a quadrato. ã. dicta. Ille autem partes unum fa¬
cunt.⁊ una suꝑfluit cumista. ⁊ quia ille due partes unã
non constituunt ꝑ .xiii. huiuserit ꝑductũ numerus ⁊ parteᷤ.
Quare ꝑportio composita multiplex suꝑpartiens

Expanded text:
Sit quilibet numerus impar a et proximus par b et eius medietas c. Sit igitur multiplex superparticularis cuius multiplicis numeras sit c et ab a dicatur pars. Si igitur hec in se ducatur, proveniet quadratus c et partes similes sumpte secundum b et pars a quadrato a dicta. Ille autem partes unum faciunt et una superfluit cum ista. Et quia ille due partes unam non constituunt per xiiim huius, erit productum numeras et partes. Quare proportio composita multiplex superpartiens
Abbreviated transcription (Latin):
ex paribupmis par¬
tibus constat. Po¬
testq omnis di¬
uidiperduo equalla.m¬
par est inquo aliqua prima pa
ter impar est quem quicumq nu¬
merant scđm imparem nume¬
rant. Impariter par est quem
quidam par impariter. quidã
positus equaliter abutroq distat.

Expanded text:
ex paribus primis partibus constat potestque omnis dividi per duo equalia. ‹ii› Impar est in quo aliqua prima parter impar est quem quicumque numerat secundum imparem numerum. ‹vi› Impariter par est quem quidam par impariter, quidam positus equaliter ab utroque distat.
Abbreviated transcription (Latin):
qui sit.d. maior uno multiplice.a. qui sit .e. Sumat᷑ꝙ
multiplex denominata a numero scđm quem .b. nume¬
tat .d. qui sit.f.⁊ qr ex .f. in partes illas fient similes par¬
tes numeeate ab. d. ⁊ qm̃ ille numerum siue unumfa¬
ciunt. adduntq unam partem. ꝯstat quod eadem multiplgx
indatam ꝑportionem ducta: multiplicem suꝑparticularẽ
ultiplices aliquot sumere que in
datam suꝑpartientem ducte. pro

Expanded text:
qui sit d maior uno multiplice b qui sit e. Sumaturque multiplex denominata a numero secundum quem a numerat d qui sit f. Et quia ex f in partes illas fient similes partes numerate ab d et quoniam ille numerum sive unum faciunt adduntque unam partem, constat quod eadem multiplex in datam proportionem ducta multiplicem superparticularem ultiplices aliquot sumere que in datam superpartientem ducte pro
Abbreviated transcription (Latin):
onstat ꝑpre¬
missam quod multiplices suꝑpartientes insuꝑpartientes. atq
suꝑpartientes ⁊ multiplices suꝑparticulares adsuꝑparticusares.
in alias resoluentur donec uentum sit ad equalitatem. Ita gͦ
omnes ad equalitatem uenient aliis mediantib. Nota tñ qd̾
inmultiplicib ⁊ supra non mutatur ordot̾minoꝵ. quia sẽ¬
per.a. minor est. In aliis autem siue ipse inse it suppartien¬
tes. siue ialias: ꝯuertitur otdo ut. ã. fiat maximus.

Expanded text:
onstat pemissam quod multiplices superpartientes in superpartientes atque superpartientes et multiplices superparticulares ad superparticularein alias resolventur donec ventum sit ad equalitatem. Ita ergo omnes ad equalitatem venient aliis mediantibus. Nota tamen quod in multiplicibus et supra non mutatur ordo terminorum quia semper a minor est, in aliis autem sive ipse in se ut superpartientes sive in alias convertitur ordo ut a fiat maximus.
Abbreviated transcription (Latin):
efficietur piramis cuius basis tetra¬
gonus maiori triangularium eqͥ¬
Qm̃ enim equales sunt anguli oĩum
um equalia: erit ut suꝑposita directe lat̾a que sursũ
extremitatib eoꝵ fuent sint equalia ⁊ equidistantia.
Patet gͥ fieri serratilem.

Expanded text:
efficietur piramis cuius basis tetragonus maiori triangularium equm enim equales sunt anguli omniumum equalia, erit ut superposita directe latera que sursum extremitatibus eorum fiunt sint equalia et equidistantia. Patet igitur fieri serratilem.
Abbreviated transcription (Latin):
adlit super similem multiplicem
supparticularem. anumero qui fit
exductu numeri multiplicis in nu¬
merum partis denominatã. a. ⁊ .b. mil
tiplex suꝑ partiens. atq inter. ã. ⁊.c̃. similis multiplex¬
denominata a.d. addatq .b. suꝑ. c̃. quantum est.f. enti
est pars. c̃. quota est unã ex. f.ã. ⁊ hoc est ꝙ sequitur.
merat: adlit super eandem multi¬
plicem: suꝑparticularem ab una

Expanded text:
addit super similem multiplicem superparticularem a numero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerum partis denominatam. Sit inter a tiplex sudenominata a d. Addatque b super c quantum est f. Eritque d f est pars c quota est una ex a. Et hoc est quod sequitur. merat, addit super eandem multiplicem superparticularem ab una
Abbreviated transcription (Latin):
tribus aliis continue ꝑporcionali¬
bus comparentur.: extremorum
adextremos ꝓporciones continua¬
te erunt tanquam mediorum ꝓpͦ

Expanded text:
tribus aliis continue proportionalibus comparentur, extremorum ad extremos proportiones continuate erunt tanquam mediorum p
Abbreviated transcription (Latin):
UMerus primus dicit᷑
qui non habet par¬
tem preter unitatẽ.
ompositus uero: qui habet num̃¬
um alium se numerantem. Cõ
mensurabiles siue cõmunican¬
tes uocantur: quos cõmuntter aliqͥs

Expanded text:
umerus primus dicitur qui non habet partem preter unitatem. ‹ii› Compositus vero qui habet numerum alium se numerantem. ‹iii› Commensurabiles sive communicantes vocantur quos communiter aliq
Abbreviated transcription (Latin):
totius in alterum idẽ ẽ ei quod fit exeodem intotum.
ꝑoctauam. Sumpto gͥ illo bis: per nonam arg̃m eli¬
cies.
umero in duo diuiso quod fit exduc¬
tutocius numeri in alterum illorũ. ẽ.
quantum quod fit exluctu eiusdẽ

Expanded text:
totius in alterum idem est ei quod fit ex eodem in totum per octavam. Sumpto ergo illo bis, per nonam argumentum elicies. umero in duo diviso quod fit ex ductu totius numeri in alterum illorum est quantum quod fit ex ductu eiusde
Abbreviated transcription (Latin):
gͥ. dẽ. in.c̃. tantum est quantũ .d. in .c̃.⁊. ẽ. in .c̃. ꝑ no¬
nam.erit ut.ã. cum eo quod fit ex. ẽ. in .c̃. faciat. ab.
ꝑconceptionem itaq.b. erit quantum quod fit ex. ẽ.
in.c̃. cumgͦ.c̃. unum numeret. ⁊ reliquum.
numerus bis ⁊ semel diuisus. ⁊ semel indiuisus. Sedꝙ
ex uno in alium: tamquam ꝙ exdiuiso in omnes
partes diuisi ꝑ nonã. ⁊ sit arguitur ꝓpositio.
antum est quod fit exductu num̃i
inse: quantum quod fit exductu eiꝰ¬
dem in omnes suas partes. fit exductũ¬

Expanded text:
Quia ergo d e in c tantum est quantum d in c et e in c per nonam, erit ut a cum eo quod fit ex e in c faciat a b. Per conceptionem itaque b erit quantum quod fit ex e in c. Cum ergo c unum numeret, et reliquum. numerus bis, et semel divisus et semel indivisus. Sed quod ex uno in alium tanquam quod ex diviso in omnes partes divisi per nonam. Et sic arguitur propositio.antum est quod fit ex ductu numeri in se quantum quod fit ex ductu eiusdem in omnes suas partes. Ponatu
Abbreviated transcription (Latin):
rorimus si quidem illi des
lat̃a uuo tractiora ⁊ quia unitatum ordines scam umi¬
tatem semꝑ decrescunt patet resiuduum ẽẽ tͥangia¬
rem ꝓximumq pͥori. qm̃ latus ipsius minus est late
alt̾ius unitate.⁊ hoc est quod intendimus.

Expanded text:
roximus siquidem illi desclatera uno contractiora. Et quia unitatum ordines secundum unitatem semper decrescunt, patet residuum esse triangularem proximumque priori quoniam latus ipsius minus est latere alterius unitate. Et hoc est quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
ineticã. d. Differentia uͦ. c̃. ad. ã. sit. ẽ.⁊ eiusdem ad .b. differẽ¬
tia fit. F. ⁊ hee iuncte faciant .g. que est differentia.ã. ad
.b. cuius medietas que est differentia. d. ad.ã. siue .b. sit .h. q̃
tanto suꝑat. F. quanto. d. uincit. c̃. ⁊ hoc sit.R. euius duplũ
sit .l. que erit differentia. ẽ. ad. f. Quia gͥ.ã. ad .b. sicut. ẽ a
.f. er̃ sic̃ .g̃. ad .b. ita .l. ad. f. Itaq sic̃ .h. ad .b̾. ita. łrad f. gͦ si

Expanded text:
ismeticam d. Differentia vero c ad a sit e et eiusdem ad b differentia sit f et hee coniuncte faciant g que est differentia a ad b cuius medietas que est differentia d ad a sive b sit h que tanto superat f quanto d vincit c. Et hoc sitk cuius duplum sit f que erit differentia e ad f. Quia igitur a ad b sicut e ad f, erit sicut g ad b ita f ad f. Itaque sicut h ad b i
Abbreviated transcription (Latin):
sit. c̃. ⁊ compositus ex illis sit.d. Ducatur gͦ.ã. in.c̃ ⁊ ꝑueniat
.ẽ. qui diuidat᷑ ꝑ .d. ⁊ diuidens sit.⁊̃. eritq sic̃.d. ad.ã. ita. c̃. ad
⁊. Demptoq. ⁊̃. d̾e .c̃. remaneat. t̃. Eritq. ⁊̃. ad.t̃. sicut. ã. ad¬
.b. Sumatur gͥ inter. ã.⁊. b. medius cuius differentia ad.a. sit
⁊̃.⁊ qr eiꝰ ad.b. erit differentia. t̃. patet factum esse propo¬
SItUM

Expanded text:
sit c et compositus ex illis sitd. Ducatur ergo a in c et proveniat e qui dividatur per d et dividens sit z. Eritque sicut d ad a ita c ad z demptoque z de c remaneat t. Eritque z ad t sicut a adb. Sumatur igitur inter a et b medius cuius differentia ad a sit z. Et quia eius adb erit differentia t, patet factum esse propositum
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Totõ sũmant᷑ ab unitate num eros
partiens: nue ꝑpͥnales qui suit. a .b.c̃. Sit item
.d̃. numerus qui sit primus ad.ã. qui cuilibr eoꝵ con¬
iungatur. ⁊ ꝯponantur.ẽ.f.g̃. eritq quilib eoꝵ ad ꝙ̃¬
libet alioꝵ siue alios illius ordinis primus. Sin autẽ
⁊ ẽẽt aliquis cõit̃ eos num̃ans.ꝑ.xuii. quarti ⁊ scdã
ꝓpͦnalis .h. Deinde minimus qm̃ numerant. d.e. f.g̃.
sit .k. qui erit pͥmus ad .h.ꝑ.xxuii. t̾cii. Sit aũ ꝑ ultim¬
am eiusd̃ .i. multiplex h ⁊ .m̃.a multiplex .K. addat¬
q. i. suꝑ.ĩ. quantum est .d. Addantur it̃ ad .i. singil¬
latim. a.b. c̃. ⁊ ꝯpositi suic ñ .p̃.q̃. quoꝵ quilib erit
suꝑparticularis ad .ĩ. Erunt etiam diffirentie eoꝵdem
ad.m̃. ẽ. f .g. ⁊ ob hoc ꝑpͦnes suꝑparticulares. ⁊ qr similit̾¬

Expanded text:
. Totidem sumantur ab unitate numeri continue proportionales qui sint a b c. Sit item d numerus qui si t primus ad a qui cuilibet eorum coniungatur et componantur e f g. Eritque quilibet eorum ad quemlibet aliorum sive alios illius ordinis primus. Sin autem et esset aliquis communiter eos numerans, per xxviiam quarti et secundam ntinue proportionalis h. Deinde minimus quem numerant d e f g sit k qui erit primus ad h per xxviiam tertii. Sit autem per ultimam eiusdem l multiplex h et m multiplex k addatque f super m quantum est d. Addantur item ad l singillatim a b c et compositi sint n p q quorum quilibet erit superparticularis ad l. Erunt etiam differentie eorundem ad m e f g et ob hoc proportiones superparticulares et quia similite
Abbreviated transcription (Latin):
tur i ordine unitates datinumeri. ⁊ sicut in xuiii. fac
tum est quot unitates in pͥmo. tot suꝑ ponantur uno sẽꝑ
se excedentes. Deinde suꝑ ultimum qui est maximus eq̃¬
les ordines ad aptentur. donec totidem faciant quot sunt
uutares inlat̾e. unitatib sibi directe adaptatis. Deiide
suꝑ suꝑius latus totidem ⁊ similes eodemq mponant᷑
odines unitatum quot sunt sub inferiori. uno semꝑ
decrescentes ⁊ habebis octogonum equilatum.
ni.ã. Maximusq ordinum ipsius sit .b. addatq supra
ã numerum.e. ⁊ qͥm̃.b. minus est uno quam duplĩ a
unitates illis opponuntur.⁊ in suꝑ.ui. ad ꝯplendos angu¬
los: patet quod semꝑ posteriorẽs habundant suꝑ prio¬
res.ui.Manifestum est gͦ quod dicttur.

Expanded text:
tur in ordine unitates dati numeri et sicut in xviiiam tum est quot unitates in primo tot superponantur uno semper se excedentes. Deinde super ultimum qui est maximus equales ordines adaptentur donec totidem faciant quot sunt unitates in latere unitatibus sibi directe adaptatis. Deinde super superius latus totidem et similes eodemque modo ponantur ordines unitatum quot sunt sub inferiori uno semper decrescentes et habebis octogonum equilaterum.ni a maximusque ordinum ipsius sit b addatque supra a numerum c. Et quoniam b minus est uno quam duplum aunitates illis opponuntur et insuper vi ad complendos angulos, patet quod semper posteriores habundant super priores sex. Manifestum est ergo quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
tus abunctate exagonus tetragonicus.a. silicet t̃ciuꝰ
pꝰ unttatem.⁊ tetragonus tercius ab unitate .b. Sit
autem quartus tetragonus. c̃.⁊ medius parte altera
longior.d. s ⁊ ꝑ .xu. huius .c̃. ⁊.d. ꝯponunt .ã. Sunt
autẽ.b.⁊.̃. mauis quam.d. duplicatus uno. ꝑscd̾am pͥmi
⁊ .xxiiii uͦi. Sit etiam.ẽ. totus triangularium abunitate qͦt̾
.b. quadratoꝵ. exitq .d. duplus illius. quare .b. ⁊d̃ ⁊.c̃. sunt
maius uno quam.ẽ. sexies sũmptus facit exagonum equi¬
augulum t̾uum ab unitate ⁊ hoc unitate addita ꝑp̃mis¬
sam sitꝙ idem.f. Constat gͦ qm̃ idem. f. ꝯponit᷑ ex. a. ⁊ .b. ut
intendimus.
mnis exagonus equiangulus tan .xxi.¬
to habundat suꝑ exagonum tetra¬
gonicum simili post unitatem loco
sumptum: quantus est tetragonus

Expanded text:
tus ab unitate exagonus tetragonicus a scilicet tertius post unitatem et tetragonus tertius ab unitate b. Sit autem quartus tetragonus c et medius parte altera longior d. Sed et per xvam huius c et d componunt a. Sunt autem b et c maius quam d duplicatus uno per secundam primi et xxiiiiam sexti. Sit etiame totus triangularium ab unitate quotus b quadratorum. Eritque d duplus illius quare b et d et c sunt maius uno quam e sexies sumptus. Sed sexies sumptus facit exagonum equiangulum tertium ab unitate et hoc unitate addita per premissam sitque idem f. Constat ergo quod idem f componitur ex a et b ut intendimus. mnis exagonus equiangulus tanto habundat super exagonum tetragonicum simili post unitatem loco sumptum, quantus est tetragonus
Abbreviated transcription (Latin):
ponantur siquidem tres t̾̃mini in eadem medietate. De inde
maximo illoꝵ minor differentia addatur. Natet gͥ quod in¬
ter compositum ⁊ eundem maximum ⁊ medium prius sũ¬
ptorum: erit proposita medietas.

Expanded text:
ponantur siquidem tres termini in eadem medietate. Deinde maximo illorum minor differentia addatur. Patet igitur quod inter compositum et eundem maximum et medium prius sumptorum erit composita medietas.
Abbreviated transcription (Latin):
rus .a. ꝑductus ex .b. in .c̃. numeretq eum .d. numerꝰ
primus. scd̃m. ẽ. Sitq ut .d. non numeret. b. si eñi nu¬
merat. uera est ꝑportio. Est autem sicut .d. ad.b̃. ita .c̃. ad
.ẽ. ꝑ.xxu. scłi. Si ergo .b. fuerit maior.d̃. qm̃ ⁊. ẽ. erit maior
.ĩ. quociens est possibile detractis .d.⁊. c̃. de .b.i.ẽ. relinqͣn¬
tur.f. ⁊ .g̃. Critq per. xxͣo. piimi. f. tota pars uel partes.
.d. quote .g̃. fuerit. ẽ. Quod si est pars unitas est. si partes:
unitates. Sit gͦ quota pars unitas est in .d. tota sit .g̃. in
bit .c̃. Quod si .d. maior est .b. erit ut quote partes .b. in
.d. tote sit. ẽ. in.c̃. Distinguantur gͥ .b.⁊.ẽ. in illas parteᷤ
er̃q una partium .b. unitas. ⁊ una partium.ẽ. sit .i. quo¬
ciens gͦ unitas est in .d. tociens est . l.m.c̃. ꝑ.uiiͣm. itaq¬

Expanded text:
rus a productus ex b in c numeretque eum d numerus primus secundum e. Sitque ut d non numeret b. Si enim numerat, vera est propositio. Est autem sicut d ad b ita c ad e per xxvam secundi. Si ergo b fuerit maior d, quoniam et e erit maior c, quotiens est possibile detractis d et c de b et e, relinquantur f etg. Eritque per xxxam primi f tota pars vel partes d quote g fuerit c. Quod si est pars, unitas est; si partes, unitates. Sit ergo quota pars unitas est in d tota sit g in bit c. Quod sid maior est b, erit ut quote partes b in d tote sit e in c. Distinguantur igitur b ete in illas partes eritque una partium b unitas et una partium e sit f. Quotiens ergo unitas est in d totiens est f in c. Per viiam itaq
Abbreviated transcription (Latin):
minus ipso confitiunt. tione et en
eoꝵ medietates ꝯiuncte dimidium ꝯstituent coaẽ¬
uati ex ipsis. ꝑ.ui. primi. Ille gͥ cum medictatẽ habeat par

Expanded text:
minus ipso conficiunt. § i Si quotleorum medietates coniuncte dimidium constituent coacervati ex ipsis per viam primi. Ille igitur cum medietatem habeat, par