comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sint contra se primi. ã.⁊.b.⁊.ã. in se¬
primus. ducatur ⁊ fiat .c̃. Ponat᷑q.d. equalĩ
.ã. ⁊ quod fit .ex.ã. in .d̾. equatur.c̃. Atq tã.ã. quam
.d̃. est primus ad .b. ⁊ sic ꝑpremissam aigum̃tare.
Si fuerint duo numeri contra sep

Expanded text:
nt contra se primi a et b et a in se ducatur et fiat c. Ponaturque d equalis a et quod fit ex a in d equatur c atque tam a quam d est primus ad b. Et sic per premissam argumentare. § xii Si fuerint duo numeri contra se
Abbreviated transcription (Latin):
¶De multiplici¬
tio. Alii autem siꝑponantur. restat inquirend an sint
contra se primi uel cõmensurabiles. quia si fuerint
contra se primi: finem h̃t̃ intentio per.xx. huius.
Si cõmunicent. maximus eos numerans repꝑiatur.
per.xuͣi. Atq inter numeros scđm quos eos numerat
Si enim minores fuerint. idem quoq ꝑ .xix. huius da¬
tos numeros numerabunt scđm eundem numerũ.
qr uero ꝑ corollarium .xuͦi. p̾sentis idem maximum
eos nũ antẽ nũabit. quare ꝑ .xxu. scd̃i maiores nũare
minores argues.

Expanded text:
De multiplictio. Alii autem si proponantur, restat inquirendum. An sint contra se primi vel commensurabiles. Quia si fuerint contra se primi, finem habet intentio per xxam huius. Si communicent, maximus eos numerans reperiatur per xviam atque inter numeros secundum quos eos numerat Si enim minores fuerint, idem quoque per xixam huius datos numeros numerabunt secundum eundem numerum. Quia vero per corollarium xvic presentis idem maximum eos numerantem numerabit, quare per xxv3 "1 secundi maiores numerare minores argues.
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ .xxiii. septimi ⁊.hk. equał. dr. erunt ⁊ angłi ad .l. angłi
equilati trianguli tres. Sicq ex alia parte quare tͥangłi
ui. erunt equilatĩ. ⁊ sic exagonus equi angulus.

Expanded text:
per xxiiiam septimi et h k equalis d k, erunt et anguli ad l anguli per xxiiiam septimi et h k equalis d k, erunt et anguli ad l anguli equilateri trianguli tres. Sicque ex alia parte quare trianguli vi erunt equilateri et sic exagonus equiangulus.
Abbreviated transcription (Latin):
plures applicentur. qui sint.d.e. f.g. Ita scilicet ut medie
que sunt. ẽ. F. int̾ualł pͥoꝵ opponant᷑. quod semꝑ decet fieri cũ
plures ⁊ pauciores ad aptantur. Istis ⁊̃ uno plures adiungan¬
tur. qui suit .h. k.l. m.n. Atq ita semꝑ augendo donec tot sĩt
ordines quot unitates sunt in lat̾e. Itemq eodem mͦ fiat deᷤᷤ¬
cendendo. silicet illis .U. applicentur .iiͦiiͦ. idest .õ. p̃. q̃. r̃. Atq
illis .iiͦiͦ. silicet. s.t.ii.⁊ sic donec sint totidem quot erant in
dato lat̾e. habeb̾q ex agonũ equi lat̾um. quod patet. ⁊ eqͥ¬
angulum. qd̃ sic. Numerus namq medii ordinis qui
maximus est. semꝑ impar est.ꝑ.xxiii. septimi. qm̃ ipse
totus est. a numero lat̾is: quotus ipse est abunitate. Sũ¬
matur itaq media ipsius unitas que a duob angulis eq̃¬
distabit. estq.l. ⁊ quia.hl. linea cum. la.⁊. hk. cũ. kd. an¬
gulum equilat̃i tͥangłi ꝯtinet.⁊ qr .hl. est equalis. la. qr. ac.

Expanded text:
plures applicentur que sintd ef g ita scilicet ut medie que sunt e f intervallum priorum opponantur quod semper decet fieri cum plures et pauciores adaptantur. Istis tur que sint h k l m n atque ita semper augendo donec tot sint ordines quot unitates sunt in latere. Itemque eodem modo fiat descendendo scilicet illis v applicentur quatuor idest o p q r atque illis tres scilicet s t u et sic donec sint totidem quot erant in dato latere habebisque exagonum equilaterum, quod patet, et equiangulum quod sic. Numerus namque medii ordinis, qui maximus est, semper impar est per xxiiiam septimi quoniam ipse totus est a numero lateris quotus ipse est ab unitate. Sumatur itaque media ipsius unitas que a duobus angulis equedistabit estque l. Et quia h l linea cum l a et h k cum k d angulum equilateri trianguli continet et quia h l est equalis f a quia a c
Abbreviated transcription (Latin):
mant᷑. sed ipsis ꝑportionib con¬
seq̃nt̾ sumptis. De nominatio tu
drͣ ꝓportionis minoris quid̃ ad
maiorem pars uł partes quote il¬
lius fuerit. maioris uͦ ad minus:
numerus scđm quem eum conti¬
net. & pars uel partes minoris q̃
inmaiore suꝑfluunt. Simi¬
les siue una alii eadem dicunt᷑
pportiones: que eandem recipi¬
unt denoĩationem. Maior uͦ
que maiorẽ.& minorque ma¬
Ni quidem pͥmus minor fuerit: erit idẽ¬
tota pars uel partes scd̃i quota t̃uius
quarti. Itaq per.xxxͣm. primi conclude.Si uero maior.
er̃ idem tociens continens scđm. ⁊ totam eius partẽ
uł partes: quotas tercius quarti. Sicq per .xxii. argue.
que tercii ad quartum: erit econũ

Expanded text:
mantur, sed ipsis proportionibus conmantur, sed ipsis proportionibus consequenter sumptis. ‹viii› Denominatio dicitur proportionis minoris quidem ad maiorem pars vel partes quote illius fuerit, maioris vero ad minus numerus secundum quem eum continet et pars vel partes minoris que in maiore superfluunt. ‹ix› Similes sive una alii eadem dicuntur proportiones que eandem recipiunt denominationem. Maior vero que maiorem et minor que miquidem primus minor fuerit, erit idtota pars vel partes secundi quota tertius quarti. Itaque per xxxam primi conclude. Si vero maior, erit idem totiens continens secundum et totam eius partem vel partes quotas tertius quarti. Sicque per xxxiam argue. sicut tertius ad quartum fueritqu
Abbreviated transcription (Latin):
ROyORIo est duarum
quantitatum eiusdem
generis unius ad aliã
certa relatio inquantitate. u¬
meri ad numerũ dr̃ ꝓporcio: min¬
oris quid ad maiorẽ in eoꝙ est par̾
uł partes. maioris uͦ adminorem
scđm qd̃ eũ continet &e eiuspartẽ
uł partes. Proporcionalitas est
similitudo ꝓporcionũ. Continua a¬
uͦ est quando cõnectuntur extrema
non dissociatis mediis. hec autem
adminus inter tres terminos consis¬
tit. qm̃ saltem unum sumendũ ẽ¬
quima medium. In continua est in qͣ ĩ¬
cidit interruptio mediorum. & ħ
adminus qͣtuor exigit terminos.
ꝓpt̾ alt̾ius medii sumptionẽ. Qu¬
sem ando fuerint tres numeri continu.
e ꝓportionales: dicet᷑ primi ad t̾ciũ
ꝓportio pͥmi ad scđm duplicata.
Ad quartũ uͦ tͥplicata. Cũ autẽ
continuate fuerint uł eedẽ uł di¬
ũse ꝓportiones: dicet᷑ primi ad ul¬
timũ ꝓporcio ex õĩb cõposita. Di¬
co aũ continuatas: ñ quiđ̃ ut nu¬
meri scđm qͣntitatẽ in ordine su¬

Expanded text:
roportio est duarum quantitatum eiusdem generis unius ad aliam certa relatio in quantitate. ‹ii› Numeri ad numerum dicitur proportio minoris quidem ad maiorem in eo quod est pars vel partes. Maioris vero ad minorem secundum quod eum continet et eius partem vel partes. ‹iii› Proportionalitas est similitudo proportionum. ‹iv› Continua vero est quando connectunt ut extrema non dissociatis mediis. Hec autem ad minus inter tres terminos consistit quoniam saltem unum sumendum est medium. ‹v› In continua est in qua incidit interruptio mediorum. Et hec ad minus quatuor exigit terminos propter alterius medii sumptionem. ‹vi› Quando fuerint tres numeri continue proportionales, dicetur primi ad tertium proportio primi ad secundum duplicata. Ad quartum vero triplicata. ‹vii› Cum autem continuate fuerint vel eedem vel diverse proportiones, dicetur primi ad ultimum proportio ex omnibus composita. Dico autem continuatas non quidem ut numeri secundum quantitatem in ordine su
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑaxuii xxuiii. Itemq ꝑ. xxuii. quota pars uel pardesẽ
a.c̃. tote est.e.t.ꝑ quartam itaq siue quintam. qͦta
pars uł partes fuerit .gͣ.h. tote exit.b.d. quare quota
pars ł partes .a. c̃. tote erit.b. d. Igitur quota par uł
est pars. relinqͥt᷑ ut sit partes. Constatgͦ ꝙ ꝓponidor¬
Si tociens dempto pͥmo de scđo qͦ¬
ciens tercio de quarto.tota pars
est pmum totas ẽẽ partes scđi quo¬
tas tercium quarti.

Expanded text:
am et xxviiiam . Itemque per xxviiam quota pars vel partes est a c tote est e f. Per quartam itaque sive quintam quota pars vel partes fuerit g h tote erit b d. Quare quota pars vel partes a c tote erit b d. Igitur quota pars vel est pars, relinquitur ut sit partes. Constat ergo quoSi totiens dempto primo de secundo quotiens tertio de quarto tota pars est primum totas esse partes secundi quotas tertium quarti.
Abbreviated transcription (Latin):
or adlatur. Itemq ex illis ꝯfecto ip¬
sorum minimus adiciatur: erit ut
cũ primoꝵ primus sit par: sint
sequentes impares.t̾cioꝵ primꝰ par.
oe eos seq̃ntes impares. ac sic dein¬
ceps. Buploq qͣdrati pariũ &e qua¬
drato extremi ĩpariũ tetͣgoni tan¬
gulares terminent᷑.¬
umantur quilib duo. quoꝵ unus ⁊minor quadratꝰ.
alter ꝑximus parte altera longior. eruntq quadratus
coaceruatus exaliquot imparib. quorum numerus erit
latus ipsius. Cum aittẽ parte alt̾a longior sit eo maior.
qr ipse exparib ab uinitate ꝑuenit: minusq latus eius
ipsoꝵ numeriis: quod ⁊̃ erit latus quadrati: totidem gͦ
pares quot impares. eritq ultimus parium suꝑans uno
ultimum imparium. quare usq ad illum parẽ. erunt
omnes numeri ab unitate sumpti. Q si quadratus sit
maior. erunt hac rõe impares uno plures quampares.
quare maximꝰ eoꝵ maximũ illoꝵ uno suꝑat. Itaq ⁊
usq ad illum sunt omnes numeri abunitate in ipsis

Expanded text:
or addatur itemque ex illis confecto ipsorum minimus adiciatur, erit ut, cum primorum primus sit par, sint sequentes impares, tertiorum primus par et eos sequentes impares ac sic deinceps duploque quadrati parium et quadrato extremi imparium tetragoni triangulares terminentSumantur quilibet duo quorum unus et minor quadratus, alter proximus parte altera longior. Eritque quadratus coacervatus ex aliquot imparibus quorum numerus erit latus ipsius. Cum autem parte altera longior sit eo maior quia ipse ex paribus ab unitate provenit minusque latus eius ipsorum numerus, quod etiam erit latus quadrati. Totidem ergo pares quot impares eritque ultimus parium superans uno ultimum imparium. Quare usque ad illum parem erunt omnes numeri ab unitate sumpti. Quod si quadratus sit maior, erunt hac ratione impares uno plures quam pares. Quare maximus eorum maximum illorum uno superat. Itaque et usque ad illum sunt omnes numeri ab unitate in ipsis
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ut .ã. ad .b. sicut .d.ad.ẽ. Itemq .b. ad .c̃. sicut. ẽ. ad.f.
Dico quia.ã. ad cõ. sic̃ .d. ad .f. Erit enim ꝑt̾ciam p̾sentis
.ã. ad .d. sic̃.b. ad. ẽ. Atq ꝑ eandem .b. ad.ẽ. sic̃.c̃. ad .f. Cũ
gͥ sit.ã. ad .d. sic̃. c̃. ad.f. erit ꝑ eandem.. ã. ad.c̃. sic̃ .d. ad f.
Si fuerĩt quotdibet numeri. aliiq .xxi.¬
scđm eorum numerum continu¬
e ineadem ꝓportione sumpti: ex

Expanded text:
 Ut a ad b sicut d ad e, itemque b ad c sicut e ad f. Dico quia a ad c sicut d ad f. Erit enim per tertiam presentis a ad d sicut b ad e atque per eandem b ad e sicut c ad f. Cum igitur sit a ad d sicut c ad f , erit per eandem a ad c sicut d ad f. Si fuerint quotlibet numeri aliique secundum eorum numerum continue in eadem proportione sumpti, ex
Abbreviated transcription (Latin):
Habr siquidem̃ quilib exagonus tot senarios supͣ
precedentem quotus est ipse aprimo post unitatem
ꝑ p̃missam. S ⁊ quilib tangularis tot ħt unitates su¬
pra p̃cedentem quotus ipse abunitate. Itaq quot h̃t
exagonus quilib senarios suꝑ unitatem. tot h̃t umi¬
tates totus triangularis. Itaq patet quod si senariꝰ
in illum ducatur addaturq unitas: ꝑueniet totus exa¬
gonus.⁊sic de ceteris.
Sordinentur abunttate triangula.¬
res. & singuli scdm senarium mł¬
tiplicentur. ꝑducti adlita unitate

Expanded text:
Habet siquidem quilibet exagonus tot senarios supra precedentem quotus est ipse a primo post unitatem per premissam. Sed et quilibet triangularis tot habet unitates supra precedentem quotus ipse ab unitate. Itaque quot habet exagonus quilibet senarios super unitatem tot habet unitates totus triangularis. Itaque patet quod si senarius in illum ducatur, addaturque unitas, proveniet totus exagonus et sic de ceteris.ordinentur ab unitate triangulares et singuli secundum senarium multiplicentur, producti addita unitate
Abbreviated transcription (Latin):
cundũ quod est pͥmus inscdo ⁊ tercius inquaroo.
s ⁊ .b. sit numerus scđm quod est primus inqum¬
to. ⁊ tercius in sexto. Quia gͥ pernonam quod fit expꝑ¬
moin cõpositum ex. ã. ⁊ .b. est equale cõposito ex sẽdo
⁊ qͥnto. ⁊ quod ext̾cio in eundem equale cõpostto ex
quarto ⁊ sexto. palam quia primus est pars scdi. qn
tiatercius pars quarti ⁊ sexti ab eodem de noĩata.
dicq constat quod dicitur.

Expanded text:
cundum quod est primus in secundo et tertius in quarto. Sed et b sit numerus secundum quod est primus in quinto et tertius in sexto. Quia ergo per nonam quod fit ex primo in compositum ex a et b est equale composito ex secundo et quinto et quod ex tertio in eundem equale composito ex quarto et sexto, palam quia primus est pars secundi et quinti et tertius pars quarti et sexti ab eodem denominata. Sicque constat quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
Patet ex hoc maximũ duos nu¬
meros cõmuntter numerantem:
scđm minimos illius ꝓportionis eoᷤ
habeto. Sitq idem. ẽ. Sigͦ alterponatur minor. uocetur
.g. quem.a.⁊ .b. numerent scd̃m .ħ. ⁊.l. eritq.i. ad.h. si¬
cut .a. ad .b. ⁊ sic̃. c̃. ad .d. It̾q. c̃. ad .l. sic̃.ẽ. ad .g. Cumq. c̃.
lulibet duo numeriminimos nu .xxiiii.¬
meros sue proportionis maior mi¬
norem & minor maioreo multi¬
plicantes: minimum abipsis nu¬
meratum ꝑducunt. Ex hoc con¬
stat minimũ quem duo numerãt.
quemlibet abeis numeratum nu¬
iunuimi sue ꝑportionis prostituantur.⁊ multiplicatiõe
illorum sumatur minimus ꝓp̃missam. qui sit.ẽ. Cad
ratione ⁊ minimus quem numerant.c̃.⁊.ẽ. inuestiget᷑.
qui sit. f. er̃ꝑ.t̃. minimus numeratus ab.ã. ⁊. ba .c̃. S mi¬
nimus quem numerãt.f. ⁊ .d̃. sit.g. quem cũ numerent
dati nũi. minorem eo ñ numerabunt. Si eñĩ possibile est:

Expanded text:
Patet ex hoc maximum duos numeros communiter numerantem secundum minimos illius proportionis eos habeto. Sitque idem e. Si ergo alter ponatur minor, vocetur g quem a et b numerent secundum h et f. Eritque f adh sicut a ad b et sicut c ad d. Itemque c ad f sicut e ad Quilibet duo numeri minimos numeros sue proportionis maior minorem et minor maiorem multiplicantes minimum ab ipsis numeratum producunt. Ex hoc constat minimum quem duo numerant quemlibet ab eis numeratum numinimi sue proportionis prostituantur et multiplicatione illorum sumatur minimus per premissam qui sit e. Eadem ratione et minimus quem numerant c et e investigetur qui sit f eritque f minimus numeratus ab a et b et c. Sed minimus quem numerant f et d sit g. Quem cum numerent dati numeri, minorem eo non numerabunt. Si enim possibile est,
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sit ut prius .a. denominans multiplicem. sumant̃ qͣdib
numeri eo maiores. sednon ei multiplices ⁊ partes ab eis deno¬
minentur. quarum una sit .b.⁊ nũs eam denominans. ẽ. Dico
gͥ quod si .b. multiplicet᷑ ꝑ.a. non pars sed partes ꝑuenient.
Sit enim quod ꝑuenit .d. Palam autẽ ꝑ corolłum .. huius
ꝙ sicut. c̃. ad.a. ita unum ad.d̃. Cumgͥ.a. non sit pars sed par¬
tes.õ.erit.d. non pars s partes unius. Sic ⁊̃ ⁊siomnes sũpte
parces ꝑ.ã. multiplicentur: ꝑuenient partes. Itaq suꝑpar¬
ticulares ab illis dicte. iu̾cte cum data multiplice. ꝑlucent
sic̃ pponitur.
lares inuenire. quarum quelibet cũ¬
Omnis eñi in dimidium ductus ł¬
ticularis. Alia suꝑparticulari ꝓposita sumat᷑ numeruᷤ
minor uno quam numereus denoĩans partẽ ⁊ qr ille est
partes alterius: patet ut in p̃missa ꝙ multiplex ab eodc̃a
cum illa suꝑparticulari ꝯponit multiplicem suꝑparcien¬
tem.

Expanded text:
. Sit, ut prius, a denominans multiplicem. Sumanturque quotlibet numeri eo maiores, sed non ei multiplices, et partes ab eis denominentur quarum una sit b et numerus eam denominans c. Dico igitur quod si b multiplicetur per a non pars, sed partes provenient. Sit enim quod provenit d. Palam autem per corollarium xie huius quod sicut c ad a ita unum ad d. Cum ergo a non sit pars sed partes c, erit d non pars sed partes unius. Sic etiam et si omnes sumpte partes per a multiplicentur, provenient partes. Itaque superparticulares ab illis dicte iuncte cum data multiplice producent, sicut proponitur. larOmnis enim in dimidium ductus l multiplex superparticularis. Alia superparticulari proposita sumatur numerus minor uno quam numerus denominans partem. Et quia ille est partes alterius patet, ut in premissa, quod multiplex ab eo dicta cum illa superparticulari componit multiplicem superpartientem.
Abbreviated transcription (Latin):
Di enim aliquis primꝰ illum numeraret. ⁊ unum
ensum numeraret.Sicq primus non est qui posi¬
tus est esse primus.
iSumatur minimus numerus .xxuiii.¬
quem numerant numeri primi a¬
signati: alium ab illis numerum
primum eundem numerare est
Pint. ã.b. g̃.d. numeri illas par
merant sint. ẽ. f. ħ .l. qui etiam numerabunt.c̃. conuersa
uice scłm datos numeros. Crunt gͦ partes illius ab illis
dicte. S ⁊ eum minimum ẽẽ huiusmodi partes haben¬
tem. Quia si alter fuerit. sit ut .k. ⁊ partes eius.m̃. ñ. p̃.
q̃. ab illis de nominate eĩt. gͦ conuerso modo. ã.b.g.d.
partes. R. ab istis dicte. Uñ sequitur.c̃. non ẽẽ minimum
q̃m.a.b.g.d. numerent.

Expanded text:
Si enim aliquis primus illum numeraret, et unum eorum numeraret. Sicque primus non est qui positus est esse primui sumatur minimus numerus quem numerant numeri primi assignati, alium ab illis numerum primum eundem numerare est pmerant sint e f h l qui etiam numerabunt c conversa vice secundum datos numeros. Erunt ergo partes illius ab illis dicte. Sed et eum minimum esse huiusmodi partes habentem. Quia si alter fuerit sit ut k et partes eius m n p q ab illis denominate erunt ergo converso modoa b g d partes k ab istis dicte. Unde sequitur c non esse minimum quema b g d numerent.
Abbreviated transcription (Latin):
res eius partes. Alt̾am partem similit̾ argue. Si eñi t̃ciuᷤ
maiore fuerit minor ⁊ minore maior.cum pars sit uł
partes maioris. ⁊ minorem excedat. minor er̃ ipsius
ad maiorem quam ad minorem ꝑportio.Siutroq
fuerit minor: er̃ ipse totidem partes maioris quot mi¬
noris sũptis unitatib. s minores qm̃ maioris denõiati¬
onis unde ad eũ er̃ ipsius ꝓporcio minor. Sin autem
utroq maior uł pluries cõitinebit minorem: uel si
equaliter. plus fr̃addet. ⁊ iõ ad minorem er̃ inniaio¬
i duo numeri adtercium compa¬
rentur. maioris ad ipsum erit ꝑ¬
porcio maior. Ipsius uero adma¬
iorem ꝓportio minor.utt equales¬
ꝓportio. Si uero cuius minor est ꝓportio maior fũtt.
seq̃tur contrarium ꝑ p̃missam. Item de reliquo
siequales fuerint. erit ipsius ad eos ꝓportio una. Si uero
maior fuerit ad q̃m est ipsius proportio maior. ꝑp̃

Expanded text:
res eius partes. Alteram partem similiter argue. Si enim tertius res eius partes. Alteram partem similiter argue. Si enim tertius maiore fuerit minor et minore maior cum pars sit vel partes maioris et minorem excedat, minor erit ipsius ad maiorem quam ad minorem proportio. Si utroque fuerit minor, erit ipse totidem partes maioris quot minoris sumptis unitatibus, sed minores quoniam maioris denominationis. Unde ad eum erit ipsius proportio minor. Si autem utroque maior, vel pluries continebit minorem vel si equaliter, plus superaddet. Et ideo ad minorem erit in maioi duo numeri ad tertium comparentur, maioris ad ipsum erit proportio maior, ipsius vero ad maiorem proportio minor. Primaproportio. Si vero cuius minor est proportio maior fuerit, sequetur contrarium per premissam. Item de reliquo. Si equales fuerint, erit ipsius ad eos proportio una. Si vero maior fuerit ad quem est ipsius proportio maior, per
Abbreviated transcription (Latin):
proueniant.d.⁊. ẽ. Quia gͥ ꝯstat quod .b. est tota pars
.d̃. quota.c̃. est. ẽ. patet qr ꝑportio.d. ad .b. est . q̃. ẽ. ad.c̃.
Erit gͦ ꝑ mutatim per terciam p̃sentis .d. ad.ẽ. sic̃ .b. ad
c̃.⁊ hoc est quod sub ditur
Si unus numerus duos multipli¬
cet: erit productorum & multipli¬
catorum eadem proporcio.¬
¶ Ut si .ã. multiplicetur per .b. ⁊.c̃. ⁊ ꝑueniant.d̾.⁊. ẽ.
plicet .b. ⁊ .c̃. perpremissam facile ent arguere.
i duo numeri unum multiplicẽt.
erit q̃ multiplicantium: eadem¬
productorum proportio. partem¬
sic. Si quidem tercuis maiore fuerit minor ⁊ minore
maior. qm̃ ꝓpͦ minoris ad ipsum aparte uel apartibuᷤ
denõiat᷑. Maioris autem ad ipsum a toto ⁊ parte uel
partibus. siue a multiplice tocius: quare denomina¬
patet qm̃ maior płres partes est ipsius quam minor
sumptis unitatib. Ꝙ siminor: ꝯstat similtt̃ qm̃ sepius
potent detrahi demaiore uel tociens. ⁊ remanebunt plu¬

Expanded text:
proveniant d et e. Quia ergo constat quod b est tota pars d quota c est e, patet quod proportio d ab b est que e ad c. Erit ergo permutatim per tertiam presentis d ad e sicut b ad c. Et hoc est quod subditurSi unus numerus duos multiplicet, erit productorum et multiplicatorum eadem proportio. Ut si a multiplplicet b et c, per premissam facile est arguere. i duo numeri unum multiplicent, erit que multiplicantium eadeproductorum proportio. sic. Siquidem tertius maiore fuerit minor et minore maior quoniam proportio minoris ad ipsum a parte vel partibus denominatur, maioris autem ad ipsum et a toto et parte vel partibus sive a multiplice totius, quare denominapatet quoniam maior plures partes est ipsius quam minor sumptis unitatibus. Quod si minor constat, similiter quoniam sepius poterit detrahi de maiore vel totiens et remanebunt plu
Abbreviated transcription (Latin):
tercius quarti. sitq ꝑꝑ hoc ⁊ .b. semel in .c̃.⁊. ẽ. in .f. suꝑẽc¬
q similes eorumpars uł partes. quare. c̃. ad .b. sic̃. F.
ad. ẽ. Siuͦ.ã. maior .b. er̃.b. tote pars uel partes. ã. quo¬
te.ẽ. fuerit .d. quare.c̃. addet supra.ã. tot ⁊ totas par¬
tes. quot ⁊ quotas addit. f.supra.d. quare.c̃. ad.ã.
sic̃.F. ad.d. ꝑ terciã itaq ⁊ p̃missam ⁊ it terciã argue.

Expanded text:
tertius quarti. Sitque propter hoc et b semel in c et e in f. Superentque similes eorum pars vel partes quare c ad b sicut f ad e. Si veroa maior b, erit b tote pars vel partes a quote e fuerit d. Quare c addet supra a tot et totas partes quot et quotas addit f supra d. Quare c ad a sicut f ad d. Per tertiam itaque et premissam et item tertiam argue.
Abbreviated transcription (Latin):
quelib uel eadem uel diuersa. Quia gͥ.b. est minus duꝑ¬
lo.ã atq.c. minus duplo .b. palam est quia .c̃. minũ
est quadruplo.ã. ⁊ sic patens est quod dicttur.

Expanded text:
quelibet vel eadem vel diversa. Quia igitur b est minus duplo a atque c minus duplo b, palam est quia c minus est quadruplo a. Et sic patens est quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sint minuni termini illius ꝑportionis. ã .b.⁊ differentia eoꝵ
.c̃. ꝓportio .ã. ad .b. sit minor quam.b. ad.c̃. Atq ex.ã.⁊
cetur ut excedat. d̃.⁊ hoc sit scđm .f. erit maior ꝑpor¬
tio.F. ad .b. quam.ã. ad.c̃. ꝑ.xxuii. scdi. Itemq. a .⁊ .h.
componant .k.⁊.k. cum .h. faciat.ł.⁊ ita excontinue
coaceruatis quotlibet fiant. ⁊ quia.ã. ad .b. minor ꝙͣ
b̃ ad.c̃. ent .h. ad.ã maior quam .ã. ad.ũ. ꝑ .xu. scd̃i.
atq .k. ad .h. minor quam .h. ad.ã. s ⁊. i. ad.li. maior qͣm
.k. ad .ħ. Tot gͥ ex coaceruatione fiant t̃mini ut extremuᷤ
sit maior.f. qui sint. m̃. ñ. ita etiam ut.ñ. ad.m̃. sit maior
ꝓportio qͣm .m̃. ad .l. Auferatur aũ .b. de .I.⁊. ñ.⁊ remane¬

Expanded text:
 Sint minimi termini illius proportionis a b et differentia eorum c et proportioa ad b sit minor quam b ad c. Atque ex a et cetur ut excedat d et hoc sit secundum f erit maior proportio f ad b quam h ad c per xxviiam secundi. Itemque a et h componant k et k cum h faciat f. Et ita ex continue coacervatis quotlibet fiant. Et quia a ad b minor quam b ad c, erit h ad a maior quam a ad b per xvam secundi. Atque k ad h minor quamh ad a. Sed et f ad k maior quam k ad h. Tot igitur ex coacervatione fiant termini ut extremus sit maior f qui sint m n ita etiam ut n ad m sit maior proportio quam m ad f. Auferatur autem b de f et n et remane
Abbreviated transcription (Latin):
ad.t̃. ⁊ quia. ñ. ad .b. maior quam.ã. ad.c̃. er̃.ñ. ad.t̃.
minor quam.ã. ad .b. quare ꝑpͦ.x̃. ad .r̃. minor quam
.a. ad .b. ⁊ hoc est quod intendebamus.
umerum ex duobus constantẽ.
inuenire cuius ad maiorem ꝑpor¬
tio adlat super ꝓportionem eorũ

Expanded text:
ad t. Et quia n ad b maior quam a ad c, erit n ad t minor quam a ad b. Quare proportio x ad r minor quam a ad b. Et hoc est quod intendebamus.umerum ex duobus constantem invenire cuius ad maiorem proportio addat super proportionem eoru
Abbreviated transcription (Latin):
illorum est primus
Di enim fuerint cõmensurabiles patet quod idem
numerus cõmunit̃ eos numerabit. Ille itaq cum al¬
to teliquoꝵ cõmunicabit. ꝑ quintã p̃sentis. S hoc
est ĩpossibile ꝑ.uii. huius. quare eo destructo: astiui¬

Expanded text:
ndem erit primus. Si enim fuerint commensurabiles, patet quod idem numerus communiter eos numerabit. Ille itaque cum altero reliquorum communicabit per quartam presentis. Sed hoc est impossibile per viiam huius. Quare eo destructo astrui
Abbreviated transcription (Latin):
umatur quilibr numerus qui sit.ã.
.ĩ. Palam gͥ quod. c̃. ad.ã. est multiplex suꝑparticularis.
hec gͦ si inse ducatur: tantum est quantum si .b. in se. atꝙ
inpartem bis. ⁊ pars in se. sed quia inse atq inpartem bis
numerum ꝑducit. ⁊ pars in se partem: erit quod ꝑducitur
numerus ⁊ pars. Itaq ꝑportio composita est multiplex suꝑ¬
particularis. Istud autem uolebamus ostendere.
Multiplicem superparticularem inue̾x¬

Expanded text:
umatur quilibet numerus qui sit a ats c. Palam igitur quod c ad a est multiplex superparticularis. Hec ergo si in se ducatur, tantum est quantum si b in se atque in partem bis et pars in se. Sed quia in se atque in partem bis numerum producit et pars in se partem, erit quod producitur numerus et pars. Itaque proportio composita est multiplex superparticularis. Istud autem volebamus ostendere. § lxvi Multiplicem superparticularem inq
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Inter .ã.⁊.d. sint medii
Erunt quoq inter.d.⁊ .g̃. duo medii. Quod sic constabit.
Inueniantur t̾̃mini ꝓportionis que .b. ⁊. ẽ. qui sint .h. ⁊ .i. Du¬
caturq.h. in omnes illos. ⁊ fiant. k.m̃. ñ .õ. continue ꝓportio¬
nales ꝑ .uii. scdi. ⁊ exalia parte post.k. sint.p̃. q̃.r̃. Eritq õ.
Erit etiam .k. ad .u. sicut .h. ad .ĩ. quare. m̃. ad .p̃. sicut .k. ad
.u. Itaq. m̃. ad.k. sicut .p̃. ad .u. similiter.⁊. ñ.ad.m.sic̃. q̃.
ad .s. P.xii. gͥ presentis qm̃. ñ. ad.q̃. sic̃ . m̃. ad.s̃. Atq .p̃. est in

Expanded text:
 Inter a et d sint medii Erunt quoque inter d et g duo medii. Quod sic constabit. Inveniantur termini proportionis que b et e qui sint h et l. Ducaturque h in omnes illos et fiant k m n o continue proportionales per viiam secundi et ex alia parte post k sint p q r. Eritque m Erit etiam k ad v sicut h ad f. Quare m ad p sicut k ad v. Itaque m ad k sicutp ad v. Similiter et n ad m sicut q ad s. Per xiiam igitur presentis quoniam n ad q sicut m
Abbreviated transcription (Latin):
.t̃. Quia gͥ.q̃. ad.t̃. sic̃ .ħ. ad .ĩ. erunt .x̃.⁊.q̃. medii inter. ñ. ⁊
t̃. scđm ꝓportionem. õ. ad.p̃. ꝑ .xii. gͦ p̃sentis duo etiam uit̃
.o. ⁊.r̃. qui suit. ⁊.y. ꝑeandem itaq ⁊ inter.c̃. ⁊ . f. erit unus ⁊
duo interd̃.⁊.g̃. scđm quod pposuimus.
Si abuno principio duo ordinessumã¬
tur numerorum ꝓpnalium numero
equalium: quoteũq interprimũ &
alterum extremoꝵ. totidem inter ex
Dicõ quia cõmunicabit cum. ẽ. uł cum.f. Sumant᷑ nã¬
q tres eiusdem ꝓporcionis minimi. qui sint .ħ.l.k. Qͥa
gͥ ex. ẽ. in .k. fit.c̃. ꝑ.uͭ. t̾cii. cõmunicabit .g. uelcum. ẽ.
qm̃ ex.f. in sefit. k palam ꝑeandem qm̃ est cõm̃sura¬
bilis cum. f. Sicq patet ꝓpositio.
Si fuerint quotlibet numeri in sua
ꝓportione minimi:quicumq ali¬

Expanded text:
t. Quia igitur q ad t sicut h ad f , erunt x et q medii inter n et t secundum proportionem m ad p. Per xiiam ergo presentis duo et inter o et r qui sint zy. Per eandem itaque et inter c et f erit unus et duo inter d et g secundum quod proposuimus.Si ab uno principio duo ordines sumantur numerorum proportionalium numero equalium, quotcumque inter primum et alterum extremorum totidem inter extDico quia communicabit cume vel cum l. Sumantur namque tres eiusdem proportionis minimi qui sinth l k. Quia igitur ex e in k fit c, per vam tertii communicabit g vel cum e , quoniam ex f in se fit k, palam per eandem quoniam est commensurabilis cum f. Sicque patet propositio. § xix Si fuerint quotlibet numeri in sua proportione minimi, quili
Abbreviated transcription (Latin):
batur.a. de .b. quociens libet. sitq detractum. c̃. ⁊ re¬
siduum.d. dico quod.d. est pͥmus ad.ã. ł est unttaᷤ.
Si enim eẽt cõmensurabił c̃.ã. ponatur cõmunis m̃¬
sura.ẽ. numerabitq. ẽ. etiam.c̃.ꝑ.xxiii. pͥmi. Qlui qi
numerat.d. palam quia nũabit. ⁊ .b.Sicq .ã ⁊ .b. ert̃
communicantes. ꝙ est ccͤ ypothesim.

Expanded text:
atur a de b quotienslibet sitque detractum c et residuum d. Dico quod d est primus ad a vel est unitas. Si enim esset commensurabilis cum a, ponatur communis mensura e numerabitquee etiam c per xxiiiam primi. Qui quia numerat d palam quia numerabit et b. Sicque a et b erunt communicantes. Quod est contra ypothesim.
Abbreviated transcription (Latin):
rans .b. Si gͥ multiplex denominata ab.a. cum illa suꝑ¬
partiente. ꝯponatur. palam est q multiplicẽ ꝯstitũt.
ꝑ .x. Quod si multiplex eiussumat᷑ qui fit .c̃. er̃ ut mubti¬
plex abeo dicta cum data multiplicem ꝯstituat. Eteñi
.c̃. iillas partes ductus numerum facit.

Expanded text:
rans b. Si igitur multiplex denominata ab a cum illa superpartiente componatur, palam est quia multiplicem constituit per xam . Quod si multiplex eius sumatur qui sit c, erit ut multiplex ab eo dicta cum data multiplicem constituat. Etenim c in illas partes ductus numerum facit.
Abbreviated transcription (Latin):
iungatur: ꝯposits ecit pariter ĩ¬
E teñi qm̃ oñi medietates sunt impares.
par.erint partter par uel impanter par.
Si partter impares numero pares : xliii¬
iungantur: ꝯpositus erit pariter
sublato. reliqui coac̃uati ꝑp̃missam facient pariter parẽ
ł ĩparit parẽ. Ad dito itaq ille nirsũ ꝑ añ pͥmissã. elude.

Expanded text:
gantur, compositus erit pariter quoniam omnes medietates sunt impares, par, erit pariter par vel impariter par. § xliv Si pariter impares numero impares coniungantur, componetur pariter sublato reliqui coacervati per premissam facient pariter parem vel impariter parem. Addito itaque illo rursum per antepremissam conclude.
Abbreviated transcription (Latin):
pare in pariter imparem. Unde
patet quod omnem impartter
parem numerat pariter par mi
¶Quod omnes sint impartter
pares ꝑba ꝑ aute p̃missam.
Ꝙ etiam in longitudinem dĩspositi sint omnes ꝯtinue
Hinc etiam quod boecius dicit in synagogis arismetice
ꝯstat. scilicet ꝙ hoc quod fit ex ductu unius medioꝵ
inse uel in alium tantũ qͣntũ est qd ex ductu circapo¬
sitoꝵ ⁊equaliter ab eis distantium unius in alterum.
Quod autem scdm latitudinem sint continuatim eqͣ¬
les differentie ꝓbabis ꝑ.xxxui. huius.⁊ nonam pͥmi
quocienslib sumptam. hinc ⁊̃ patet ꝙ id pħs assert.¬
ꝙ quilib medioꝵ duplicatꝰ siue duo medii ꝯiuncti. tm̃
sunt quãtũ ccũpositi ⁊ equalit̃ distantes ab eis parit̃
i disponant᷑ in longum pariterxl
pares. & in latum pariter ĩpares:
qui scđm angulares ꝯuentus ꝑ¬
ducunt᷑ st̃ imparit pares tm̃.I
ipsoꝵ in longitudĩe qͥd̃ est simi¬
litudo ꝓpͦnũ. In latitudine uͦ¬

Expanded text:
pare in pariter imparem. Unde patet quod omnem impariter parem numerat pariter par iQuod omnes sunt impariter pares proba per antepremissam. Quod etiam in longitudinem dispositi sint omnes continum huius. Hinc etiam quod Boecius dicit in ysagogis arismetice constat scilicet quod hoc quod fit ex ductu unius mediorum in se vel in alium tantum quantum est quod ex ductu circapositorum et equaliter ab eis distantium unius in alterum. Quod autem secundum latitudinem sint continuatim equales differentie, probabis per xxxviam huius et nonam primi quotienslibet sumptam. Hinc etiam patetquod quilibet mediorum duplicatus sive duo medii coniuncti tantum sunt quantum circumpositi et equaliter distantes ab eis pariteri disponantur in longum pariter pares et in latum pariter impares, qui secundum angulares conventus producuntur sunt impariter pares tantum. Et ipsorum in longitudine quidem est similitudo proportionum; in la
Abbreviated transcription (Latin):
Ut si sint. ã .b. c̃. in musica medietate dispositi quorum
differentie. d. ⁊.ẽ. ⁊ quia.d. ad. ẽ. sicut.ã. ad.c̃. ⁊.ã. ad .b. minor
est ꝓpͦ quam.ã. ad .c̃. ꝑ nonam scd̃i erit.⁊ã. ad .b. minor ꝙͣ
.d. ad .e. sicq ꝑ .xiiii. scdi conclude.
Ordinatis tribus terminis inarmo¬
nica medietate erit maximi ad me¬
dium maior quam medii admini
¶Palam si quidem est ex¬
mum ꝑportio. diffinitione quod maioꝵ est
differentia maior ꝑscdam scd̃i. Sumpto gͦ numero qui ad¬
dat suꝑ medium quantum ipse suꝑ minimum. ꝑscdã

Expanded text:
Ut si sint ab c in musica medietate dispositi quorum differentie d et e. Et quia d ad e sicut a ad c et a ad b minor est proportio quam a ad c per nonam secundi, erit et a ad b minor quam d ad e. Sicque per xiiiiam secundi cOrdinatis tribus terminis in armonica medietate erit maximi ad medium maior quam medii ad miniPalam siquidem est ex diffinitione quod maiorum est differentia maior per secundam secundi. Sumpto ergo numero qui addat super medium quantum ipse super minimum, per secundam
Abbreviated transcription (Latin):
autem lat̾um . ã. quod est. c̃ ducatur inminus lat̾um
ꝓportio. ã. ad .b. est composita ex ꝓportione.ã. ad .g̃. ⁊ ꝑpor¬
tione .g̃. ad .b. erit ⁊ composita ex ꝑportionib que sunt
.c̃.ar ẽ.⁊.d̃. ad.f. ⁊ hoc est quod probare intendimꝰ.¬
Omnium duorum compositorum
ꝓportio que est unius ad alterũ:
est exlaterum suorum ad latera

Expanded text:
autem laterum a quod est c ducatur in minus laterum proportio a ad b est composita ex proportione a ad g et proportione g ad b, erit et composita ex proportionibus que sunt c ad e et d ad f. Et hoc est quod probare intendimOmnium duorum compositorum proportio que est unius ad alterum est ex laterum suorum ad latera
Abbreviated transcription (Latin):
.a. sintq. f .g. h. ⁊ lat̾a .b. que suit.℥.t.ũ. fiatq.k. ex
f. in .g. ⁊ ex .xx. ex.⁊. int.⁊ qr ex .ħ. in .k. fit.ã. ⁊ ex.y. in
.x. fit .b. Itq. ã.⁊ .b. numerant .d.⁊. ẽ. scđ̾m .c̃. numera¬
bunt.l.⁊.x. eosdem scđm ꝑductos ex.c̃.iii. hã. y. ꝑ¬
xxiii. pͥmi qui sint. m̃.⁊. ñ. ⁊ quia.m̃. ad. ñ. sic̃ .h. ad .y. per
uiii secłi. eaut ⁊ sic̃. F ad. ⁊̃. ⁊ .g. ad. t̃. patet .d. ⁊. ẽ. ẽẽ so¬
lidossimiles lat̾a siquid .d̃. st̃. E .g. m̃ ⁊ lat̾a . ẽ. st̃.⁊ .t.ñ.
liter numerent. illos quoq solidoᷤ

Expanded text:
a sintque f g h et latera b que sint z t y. Fiatquek ex f in g et x ex z in t. Et quia ex h in k fit a et ex y in x fit b itemque a et b numerant d et e secundum c, numerabuntk et xeosdem secundum productos ex c in h et y xxiiiam primi qui sint m et n. Et quia m ad n sicut h ad y per viiiam secundi, erit et sicut f ad z et g ad t. Patet d et e esse solidos similes. Latera siquidemd sunt f g m et latera e sunt z t n. liter numerent, illos quoque solidos
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sienim omnes pares
missis: erunt eoꝵ differentie ex differentiis ipsoꝵ ad me¬
dios ꝯposite ꝑ ꝯceptionem. quare ipsoꝵ ꝯtinue eadem er̃

Expanded text:
i enim omnes pares missis erunt eorum differentie ex differentiis ipsorum ad medios composite per conceptionem quare ipsorum continue eadem erit
Abbreviated transcription (Latin):
Siuero a.d. fiat eadem multiplicatio: ꝑeandem suꝑꝓartien¬
tesꝑuenire constat. Cadem ratione ꝑ .xix. huius ꝑsuꝑparti¬
entes incepta multiplicatione aminori: inuenies mułtiplicẽ
suꝑpartientes. amaiori: alios suppartientes.
Datissupparticularibus uel multiplicib.lxxi.¬

Expanded text:
t eadem multiplicatio, per eandem superpartientes provenire constat. Eadem ratione per xixam huius per superpartientes incepta multiplicatione a minori invenies multiplices superpartientes, a maiori alios superpartientes. Datas superparticulares in multiplic
Abbreviated transcription (Latin):
nis ex illis totidem in ordine duploᷤ
atq exillis triplos procreare. Ac
sic exprius inuenientis totidem in ꝑxi¬
ma multiplicitate cõtinue ꝓportio¬
nales producere. Atq ex illis simi¬
les elicere superparticulares.

Expanded text:
nis ex illis totidem in ordine duplos atque ex illis triplos procreare. Ac sic ex prius inventis totidem in proxima multiplicitate continue proportionales producere. Atque ex illis similes elicere superparticulares.
Abbreviated transcription (Latin):
iusdem lat̾is triangularis reperiat¬
BaTUR. Atq in ipsum latus ducatur. ⁊ habebimꝰ
serratilem eque altum piramidi. Eui si duo tuangulareˢ
adiciantur. erit duob altior. sicq erit piramidi triplu
ꝑ premissam. ẽercia gͥ ipsius sisumatur: habebimꝰ pira¬
midis sũmam. ⁊ hoc est quod dicitur. ac si diceret latere ꝓ¬
posito tͥangłaris quod ex ipso cum omnib inferiorib tri¬
angularib coaceruat᷑ inuenire.
Latere dato basis triangule: pira¬
midis super eam constitute sum.

Expanded text:
iusdem lateris triangularis reperiatur. Atque in ipsum latus ducatur et habebimus serratilem eque altum piramidi. Cui si duo triangulares adiciantur, erit duobus altior sicque erit piramidi triplus per premissam. Tertia igitur ipsius si sumatur, habebimus piramidis summam. Et hoc est quod dicitur. Ac si diceret: latere proposito triangularis quod ex ipso cum omnibus inferioribus triangularibus coacervatur invenire. Latere dato basis triangule piramidis super eam constitute sum
Abbreviated transcription (Latin):
sumi equales. Quolibet numero
aliquem quantũlib ẽẽ maiorem.
Seriem numeroꝵ in infinitũ posse
extendi.
Cõmunes animi conceptiones
sunt octo. que sunt huiusmi.
Omnis pars est minor suo toto. Om¬
nis pars minor est que maiorẽ h̃t
de nominationẽ. Quicũq eiusd̃:
idem numerus eque multiplex fũ¬
it. siue quoꝵ multiplices equales
fuerint: ipsi etiam sunt equales.
Omnis numeri pars est unitas abip
ẽ so denominata. Quilib nume¬
rus totus est abunitate: quota par¬
s ipsius est unitas. S iunitas in ali¬
quẽ numerum. siue idem inuni¬
tatẽ ducat᷑: se ipsum ꝓducet. Ex¬

Expanded text:
sumi equales. ‹ii› Quolibet numero aliquem quantumlibet esse maiorem. ‹iii› Seriem numerorum in infinitum posse extendi. Communes animi conceptiones sunt octo, que sunt huiusmodi. ‹i› Omnis pars est minor suo toto. ‹ii› Omnis pars minor est que maiorem habet denominationem. ‹iii› Quicumque eiusdem idem numerus eque multiplex fuerit sive quorum multiplices equales fuerint, ipsi etiam sunt equales. ‹v› Omnis numeri pars est unitas ab ipso denominata. ‹vi› Quilibet numerus totus est ab unitate quota pars ipsius est unitas. ‹vii› Si unitas in aliquem numerum sive idem in unitatem ducatur, se ipsum producet.
Abbreviated transcription (Latin):
i fuerint duo numeri contra se pri¬
mi:tercium eis incontinua ꝓpor¬
cionalitate ad iungi non est pos¬
cum gͦ constet quod.ã. ad .b. sicut. c̃. ad.d. non erunt
.d.ad aliquem uel aliquis ad. c̃. sic̃. c̃. ad .d. Si enim
eẽt: ponatur.f. sitq. f. ad.d̃. sic̃.d̃. ad. c̃. Itaq quocien
.ã. numerat. d. tociens .b.f. ꝑ.xx. ⁊ .xix. tercii. sit gͦ ut se¬
igitur tercii .ã. numerabit. ẽ. quod est contra ypothe¬
iduo numeri contra se primi nume .xxii.¬
rent alios duos scđm numerum a
neutro eorum mimeratum: illis qͦ
incontinua ꝓportionalitate non ad

Expanded text:
i fuerint duo numeri contra se primi, tertium eis in continua proportionalitate adiungi non est posCum ergo constet quod a ad b sicut c ad d, non erit d ad aliquem vel aliquis ad c sicut c ad d. Si enim esset, ponatur f sitque f ad d sicut d ad c. Itaque quotiens a numerat d totiens b f per xxam et xixam tertii. Sit ergo ut seam igitur tertii a numerabit e. Quod est contra ypotheduo numeri contra se primi numerent alios duos secundum numerum a neutro eorum numeratum, illis quoque in continua proportionalitate non ad
Abbreviated transcription (Latin):
Nter quem libet inparem & unl .xxiii¬
tatem unus est medius idemq
est maior ipsiꝰ ꝓportio. Quod si
inter unitatẽ &e ipsum medius ex¬
tit̃it: q̃m libet numerũ ĩparem ẽẽ¬
rit enim adunctatem eiꝰ diffã¬
Inumerꝰ inpar. qui ꝑ .xix. huius
diuidi potest in duos numeros unitate distantes. minor
quoꝵ sic diffã alicuiꝰ numeri adunitatẽ. exiiq reliquuᷤ
diffã eiusdem addatũ parem ꝑ ꝯceptionẽ. Numeri gͥ eũ
sequens er̃ ad eundem eadem diffã que ipsius ad unũ.
Patet gͥ duos ẽẽ medios. Int̾ ꝑximũ siquid parẽ ⁊ uni¬
tatem nullus est medius. Ed si duo sunt medii. dif¬
ferentia maioris adunitatem minor est uno. qͣm dif¬
ferentia ipsus ad numerũ ꝑposit̾. ⁊iuncte gͥ facient nu¬
merum in parem quare illũ ẽẽ parem ꝯstat.

Expanded text:
nter quemlibet imparem et unitatem unus est medius idemque est maior ipsius portio. Quod si inter unitatem et ipsum medius extiterit, quemlibet numerum imparem erit enim ad unitatem eius differentia numerus impar qui per ixam huius dividi potest in duos numeros unitate distantes minor quorum sit differentia alicuius numeri ad unitatem. Eritque reliquus differentia eiusdem ad datum parem per conceptionem. Numeri igitur eum sequentis erit ad eundem eadem differentia que ipsius ad unum. Patet igitur duos esse medios. Inter proximum siquidem parem et unitatem nullus est medius. Quod si duo sint medii, differentia minoris ad unitatem minor est uno quam differentia ipsius ad numerum propositum. Coniuncte igitur facient numerum imparem. Quare illum esse parem constat.
Abbreviated transcription (Latin):
par. Cuius medietas si assumatur diffã alicuius
numeri ad unitatẽ: erit reliqua medietas differentia
dati ĩparis ad eundem ꝑ ꝯceptionem. quare idem int̃
eos erit mediꝰ. sicq patec pars pͥma. Alt̾a sic. Si enim unꝰ
fuerit medius: qm̃ equales sunt diffẽ. er̃ ut ꝑ ꝯcept̾ diffã¬

Expanded text:
par. Cuius medietas si assumatur, differentia alicuius numeri ad unitatem erit, reliqua medietas differentia dati imparis ad eundem per conceptionem. Quare idem inter eos erit medius. Sicque patet pars prima. Altera sic: Si enim unus fuerit medius, quoniam equales sunt differenti
Abbreviated transcription (Latin):
nter quoslibet duos superficialessi¬
ꝑpͦnales.a.b. c̃. eruntq duo ⁊ duo ꝑximi cõmensurabi¬
les ꝑꝓrimã quarti. Sit aũ.d. maximus ꝯmuniter nu¬
merans. a.⁊ .b.i. ẽ. similit̾ maximus qui simul nũet.c. ⁊.b.
ꝑritq.d̾. ad.ẽ. sic̃. ã. ad.b. ꝑ corollariũ scde quarti. Nume¬

Expanded text:
unt superficiales sionales a b c eruntque duo et duo proximi commensurabiles per primam quarti. Sit autem d maximus communiter numerans a et b, et e similiter maximus qui simul numeret c et b. Eritque d ad e sicut a ad b per corollarium secunde quarti. Nume
Abbreviated transcription (Latin):
Solam enim partem ht̃ unitatem. quam ipsũ
non perficere dubium non est.
positis in illo ordine ꝑ .xxui. quarti. Illi autem om̃s
coac̃uati minus illo ꝑficiunt. ꝑ .xxxii. p̃sentis. Patet
gͦ quod dictt᷑.¬

Expanded text:
Solam enim partem habet unitatem quam ipsum non perficere dubium non est. ositis in illo ordine per xxviam quarti. Illi autem omnes coacervati minus illo perficiunt per xxxiiam presentis. Patet ergo quod dicit
Abbreviated transcription (Latin):
niter numerantes. sunt continue ꝑ¬
porcionales
ant. ã .b. c̃. qui erunt continue ꝓpͦnales. Ducatur gͦ.d.
in.ã. posito quod.d̃.⁊.ã. sint minores.⁊ ꝑducat᷑. F. ⁊.d. ĩ
.b. ⁊ fiat .g̃. Ciitq .g̃. ad.f. sicut .b. ad.ã. atq .b. ducatur
in .c̃. ꝑueniat.h. eritq. h. ad.g̃. sic̃ c̃. ad.d. Constat gͥ qd̾
.ã. est maximus qui numerat. f. ⁊ .g̃. ipse ⁊ enim nũlat
mi ꝑ .xi. tercii erit .b. minimus qui numerat .g̃. ⁊.h. Su¬
matur gͦ quilibet numerus qui sit maior .b. ⁊ ad eum
pͥmus qui sit .k. Ducat᷑ gͦ .k. in.c̃. ꝑueniat .l. quem
⁊ .h. maximus cõtter numerans er̃ . c̃. hm̃s gͦ .I. ħ .g. f.
scđm quod intendimus.

Expanded text:
iter numerantes sint continue proportionales. ant a b c qui erunt continue proportionales. Ducatur ergo d in a posito quod d eta sint minores et producatur f et d in b et fiat g. Eritque g ad f sicut b ad a atque b ducatur in c proveniat h. Eritque h ad g sicut c ad d. Constat igitur quod a est maximus qui numerat f et g. Ipse etenim numeratimi per xiam tertii, erit b maximus qui numerat g et h. Sumatur ergo quilibet numerus qui sit maior b et ad eum primus qui sit k. Ducatur ergo k in c proveniat f quem et h maximus communiter numerans erit c. Habemus ergo l h g f secundum quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
equales ⁊ qr .f. addit suꝑ .b. quantum est.ã. qui est ei eqͣ¬
lis: erit. f. duplus ẽ. quam obcausam omnes .iiii. conti¬
nue dupli. Codem quoq mͦ muttiplicentur. ẽ. f.gh.⁊ pio¬
ueniant. k.l.m .ñ. continue ꝓportionales ⁊ qr .i. ad dit su¬
per.f.e. cum sit. f. multiplex. ẽ. ent .ĩ. ad.ẽ. sequens multi¬
plex ⁊ quia .k. ⁊. ẽ. sunt equales. similitir ent ⁊ad.aii
Crunt gͦ .ͥ .i. ñ. ñ. ⁊tinue tupli. Cadem ratione exmul¬
nplicib similes suꝑparticulares eliues si amaiori t̃mino eadẽ
fiat multiplicatio. Herbi gratia si sumatur. ħ. semel⁊ sit .õ.
atꝙ.h. semel ⁊ .g̃. semel ⁊ fiat.p̃ ⁊ sic scd̾m ordines date forme.
sintq omnes.o.p. q̃.r̃ eruntq continue ꝓportionales. ⁊ quia
ꝑ xuii. huius .p̃. est sesqualter ad .h. erit similiter ad .s. quã¬
obrem erunt omnes continue sesqualteri. hoc gͦ modo exda¬

Expanded text:
equales et quia f addit super b quantum est a qui est ei equaequales et quia f addit super b quantum est a qui est ei equalis, erit f duplus e. Quam ob causam omnes quatuor continue dupli. Eodem quoque modo multiplicentur e f g h et proveniantk l m n continue proportionales. Et quia f addit superfe cum sit f multiplex e, erit f ad e sequens multiplex. Et quiak et e sunt equales, similiter erit f adk. Erunt ergok l m n continue tripli. Eadem ratione ex multiplicibus similes superparticulares elicies si a maiori termino eadem fiat multiplicatio. Verbi gratia: Si sumatur h semel et fit o atque h semel et g semel et fiat p et sic secundum ordines date forme sintque omnes o p q r eruntque continue proportionales. Et quia per xviiam huius p est sesquialter ad h, erit similiter ad o quamobrem erunt omnes continue sesquialteri. Hoc ergo modo ex da
Abbreviated transcription (Latin):
numerus eoꝵ sumptionis fuerit in aliquo ordine tnangu¬
laus forme. cum idem sit numerus consequentium ⁊ ante¬
cedentium: ⁊ iuncti facient sequentem eiusdem forme.
cum pͥmus ante cedentium t̾minus cum scđo consequen¬
tium ad aptetur. cet̾i cet̾is ꝑordinem. donec extremi illoꝵ
duos fines occupent. ⁊ hoc adimitationẽ disposttionis fige
Sequitur g ut cum dati t̃mini sint continue ꝓportionales ⁊
scłm ordines singulos date figure multiplicentur. singuliꝑ
uenientes erunt continue ꝓportionales ꝑ sextam scdi. Itaq
sumatur.ã semel ⁊ fiat. ẽ. qui sit pͥmus. Itq a semelz .b. ⁊ ꝯiuncti
faciãt s. t̃ a semel.b bis.c. semel⁊ fiat g qͥ sit t̾ciꝰ atꝙ.ã. semel ⁊ .b.
ter ⁊.c̃. ter ⁊ .d. semel. ⁊ compositus sit .h. qui sit quartus.
Qm̃gͥ ħ .g̃. f. ẽ. sunt continue ꝓportionales.⁊ quia. ẽ .⁊ ã st

Expanded text:
numerus eorum sumptionis fuerit in aliquo ordine triangunumerus eorum sumptionis fuerit in aliquo ordine triangularis forme, cum idem sit numerus consequentium et antecedentium, coniuncti facient sequentem eiusdem forme cum primus antecedentium terminus cum secundo consequentium adaptetur, ceteri ceteris per ordinem donec extremi illorum duos fines occupent et hoc ad imitationem dispositionis figure. Sequitur ergo ut cum dati termini sint continue proportionales et secundum ordines singulos date figure multiplicentur, singuli provenientes erunt continue proportionales per sextam secundi. Itaque sumatur a semel et fiat e qui sit primus. Itemque a semel et b et coniuncti faciant f. Item a semel et b bis etc semel et fiat g qui sit tertius. Atque a semel et b ter et c ter et d semel et compositus fit h qui sit quartus. Quoniam igitur h g f e sunt continue proportionales et quia e et a sunt