comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
uero figuram que siu si dedere tera qud epia
fiouus marori ad motum io uiolencia indiget auao
igessiratur ac in ulementis quid figius ꝯstacusq
repentur terra Si ita xx io. in stuptionem tres
quas piramis non sustinet uinasq a quibus ipsa na¬
arra cubi et occocedri aliena est Rursus q undor
cui repugrat ycocedri figma rereceris erunt ⁊ elique
cantum .i. intrixciones pniamisi quide sola .i. una¬
Subi uero et octoce dion uine ꝓcoredu autem tres dis¬
Decedri utro xͦ. dequibus omnibus ut arditroꝵ sacis
sibi sperain inscuibere
Ex ixazͦ. libro maofestum est ui quidq horuen
corporum esse spere inscriptibile nũc itaq ꝯstabit
uiceuersa speram uit̾q ipsorim esse instriptibilemn
d circunstuibentis enin centio pere ad uases uniuersas
cinslibet eorum ꝓpendiculares exeant quas in centra
circulorum uases illas circunstubencium cadere ne¬
cesse essi est Cunq omnes cireuli ipsad circunsta¬
sentes sint equales erunt quoq hee ꝑpendiculares

Expanded text:
vero figuram quidam dedere terre. Quid enim in figuris maiori ad motum violentia indiget quam thessera, at in elementis quid fixius constantiusque reperitur terra. Si igitur ex 20 inscriptionibus 3 quas piramis non sustinet binasque a quibus natura cubi et octocedri aliena est rursusque unam cui repugnat ycocedri figura reieceris, erunt relique tantum 12 inscriptiones: piramidis quidem sola, cubi vero octocedrique bine, ycocedri autem tres, duodecedri autem quatuor de quibus omnibus ut arbitror sufficsibi speram inscribere. Ex tertiodecimo libro manifestum est unumquodque horum 5 corporum esse spere inscriptibile. Nunc itaque constabit vice versa speram unicuique ipsorum esse inscriptibilem. A circumscribentis enim spere centro ad bases universas cuiuslibet eorum perpendiculares exeant, quas intra centra circulorum bases illas circumscribentium cadere necesse est. Cumque omnes circuli eas circumscribentes sint equales, eruntque hee perpendicula- res
Abbreviated transcription (Latin):
Sit euin triangulus abt equilaterus sitq d centrum
circuli iꝭ ipsum circunsturentis a quo ducantur liure
ad singuĩos angulos quas mainfestum est esse equa¬
les cum sunt acentro circuli ad cireunferenciaon  Sũt
enin cra puneta abe in circunferentia corculi ipsum
erigonum circunstribentis ꝑtrahatur antem ad in ꝯti¬
nnum et Sirectum quousq ouiet laceri ut sugos
puinctum e Constat ita ex .s. primi ꝙ angulus ade

Expanded text:
Sit enim triangulus a b c equilaterus sitque d centrum Sit enim triangulus a b c equilaterus sitque d centrum circuli ipsum circumscribentis a quo ducantur linee ad singulos angulos quas manifestum est esse equales cum sint a centro circuli ad  c in circumferentia circuli ipsum trigonum circumscribentis. Protrahatur autem a d in continuum et directum quousque obviet lateri b c super punctum e. Constat igitur ex 8 primi quod angulus a d b
Abbreviated transcription (Latin):
cularis uemens adentio soere priaundem
L basium triangulacium acq equilaterccrum circur¬
scribentis ad ꝙͣlibet basim ipsuis piramidis
equalis est sexte porti dyamecii spere
Cum enm cuncci trianguli prraundem ambientes suie
similes et equales erunt quoq circuli ip̃sos cricũ¬
stribentes equales ideoq perpendiculares a centro spe¬
re ad cosdem ciiculos in eorum centra cadentes.
erunt eciam equales ꝓpendiculares aut ad criculos
suunt ꝑpendiculares ad bases̃ piramdis itaq ꝓpendicu¬
careo ad lases priamidis sunt adinuicem equales liura
aucem ħẜ est pendicularis ad basim piramidis aed quã
quitur esse ueram quod coerelarie concluditur Dem ali¬
ter de monstrare quent si prius hec antecedens fue¬
ut stabili racione firmatum
In ommi triangulo equilatero luea destendens
ab uno circulorum eius orchogonaliter supra ba¬
sim cripla est ad ꝑpendicularem que arentro cir¬
culi cagonum ip̃sum circunstabentis ad qued¬
libet eme latus ꝑtrahitur

Expanded text:
veniens a centro spere piramidem 4 basium triangularium atque equilaterarum circumscribentis ad quamlibet basim ipsius piramidis equalis est sexte parti diametri spere. Cum enim cuncti trianguli piramidem ambientes sint similes et equales, erunt quoque circuli ipsos circumscribentes equales ideoque perpendiculares a centro spere ad eosdem circulos in eorum centrrculos sunt perpendiculares ad bases piramidis itaque perpendiculares ad bases piramidis sunt ad invicem equales. Linea autem h f est perpendicularis ad basim piramidis a c d quam h quitur esse verum quod per corollarium concluditur. Idem aliter demonstrare contingit si prius hoc antecedens fuerit stabili ratione firmatum. In omni triangulo equilatero linea descendens ab uno angulorum eius orthogonaliter supra basim tripla est ad perpendicularem que a centro circuli trigonum ipsum circumscribentis ad quodlibet eius latus protrahitur.
Abbreviated transcription (Latin):
upi⁊fitierum ea uidelicet que cagetor super. G.
cueas opposica lacera suꝑficierum cubi per equa¬
cia secantes erectos tanꝙͣ eorm corausti Iungut
per equalia dunde ea qr uina et uina adimicem
oposita contiña ꝑ tres linẽas que se inuitem sup
ue dium punctum dyametri cuoi ex .x. iͥaper
equalia secasunt erunt q ut queqr Sus didi¬

Expanded text:
superficierum, ea videlicet que cathetos super sex lineas opposita latera superficierum cubi per equalia secantes erectos tamquam eorum corausti iungunt, per equalia divide. Eaque bina et bina ad invicem composita continua per tres lineas que se invicem super medium punctum diametri cubi ex 40 undecimi per equalia secabunt eruntque ut queque d
Abbreviated transcription (Latin):
est potencia spripendicusarem acentra suis doter¬
slubentis depsum lad quanlibet sugrum dasuir de Ren¬
Ditent Geustat quidem quemadmedum Dicum est pus
pꝯomres sases huius corporis siñt equales et sum¬
tẽs erut circuli ipsas tircũstribentes equales ideoq
pperdiculares acentro spere in ixsoru crculeride¬
tra cadentes erunt ad iuuitem equales cunq ꝑpendicularer
ad circulos basium sint quoq ppendiculares ad uases
se iuitur ut ꝓpendiculares a centio spere ad singulas
sases adimugem sint equales Gi uero quod dicimꝰ
de perprndiculari ad unam suarum uasium probetur
relinquitur uerum esse quod ꝑponitur Sit itaq ut
pruis tuargulus a ẜc una ex basilus octocedii cucĩ¬
scupti a spera cuius centrum d et cetera quoq sintnt
re sit potencialiter dupla ad latus octocedri se¬
quitur ut latus occecedri sit potencialiter duxliun
ad semi dyamecam spere Iberq cum quartum duee
et eut ix. eut quartum linee de que est seundya

Expanded text:
est in potentia ad perpendicularem a centro spere circumscribentis ipsum ad quamlibet suarum basium descendentem. Constat quidem quemadmodum dictum est prius quod cum omnes bases huius corporis sint equales et similes, erunt circuli ipsas circumscribentes equales ideoque perpendiculares a centro spere in ipsorum circulorum centra cadentes erunt ad invicem equales. Cumque perpendiculares ad circulos basium sint quoque perpendiculares ad bases, sequitur ut perpendiculares a centro spere ad singulas bases ad invicem sint equales. Si ergo quod dicimus de perpendiculari ad unam suarum basium probetur, relinquetur verum esse quod proponitur. Sit itaque ut prius triangulus a b c una ex basibus octocedri circscripti a spera cuius centrum d et cetera quoque fiant ut re sit potentialiter dupla ad latus octocedri, sequitur ut latus octocedri sit potentialiter duplum ad semidiametrum spere. Ideoque cum quadratum linee b c erit 12, erit quadratum linee d c qu
Abbreviated transcription (Latin):
cilatiom ycoce dri si sotiffeceris lesitandum nen
erit Sore autem oportet ꝙ cum suit. a. regularis
eorum cuilibet ceterorum ess instrixtibile eo.
eorundem instrptiõnes acciderent quꝓpe cuiliber
earum N. essẽt cetera Eᵃ instuptibilia Ideoq quatrr
quino instreptiones quod est cio. necessaris ꝑuem¬

Expanded text:
tulationi ycocedri fas satisfeceris hesitandum non tulationi ycocedri fas satisfeceris hesitandum non erit. Scire autem oportet quod cum sint 5 regularia que cuilibet ceterorum esset inscriptibile, 20 eorundem inscriptiones acciderent. Quippe cuilibet eorum 5 essent cetera 4 inscriptibilia. Ideoque quater quinque inscriptiones, quod est 20, necessario
Abbreviated transcription (Latin):
dectas liuras ꝯtinuaueris ꝓueniet tibi coppus
.s. uasium triangularum et equilateratum ugeote
uat escendere
uasium cuangularium et equilateratum
ad huc restoit distingurere
Assignato duodedro duodecedro instrbere cubũ ex
s. cubo qr piramidem ex p̾ma cum ita anguli
piramisis suĩt in angulis cubi ut patetꝭ ex ia¬
ciocinacione p̾me et anguli cubi in argulie duce¬
decedri ex raciotinaciene .dͤ grunt q angule uas¬
posito ycocedro in eo tubum figurare
ycocedro instubere Suodecedion ex gͣ. at duede¬
cedes cubum ex .d. constat autem ex demonstratio¬
ne .u. ꝙ onnred anguli duodecedii ca sunt sur
centia uasium ycore dri anguli uers cubi sunt
in angulis duodece dii Icaq anguli cuei sunt
in centris uasium ycocedes hab̃ enus ego ꝓpositũ¬
ycocedron datum piramndem 4ͣ uasium tri¬
angularum et equilaterarum sibi postulat
insrrabi
S. in Sato ycocedio ex premissa cubum instupseris
cubo q ex primã pirauidem int̃tiseris quih̃ pos¬

Expanded text:
enit tibi corpus 8 basium triangularium et equilaterarum ex 4 bat ostendere.basium triangularium et equilaterarum adhuc restat distinguere. Assignato duodecedro inscribe cubum ex 8 huius cuboque piramidem ex prima. Cum igitur anguli piramidis sint in angulis cubi ut patet ex ratiocinatione prime et anguli cubi in angulis duodecedri ex ratiocinatione 8, erunt quoque anguli pira∗∗∗ ⟨XV.⟩11 Proposito ycocedro in eo cubum figurare. Ycocedro inscribe duodecedron ex 6 ac duodecedro cubum ex 8. Constat autem ex demonstratione sexte quod omnes anguli duodecedri cadunt super centra basium ycocedri et anguli cubi sunt in angulis duodecedri. Itaque anguli cubi sunt in centris basium ycocedri. Habemus ergo proposituYcocedron datum piramidem quatuor basium triangularium et equilaterarum sibi postulat inscribi. Si in dato ycocedro ex premissa cubum inscripseris cuboque ex prima piramidem incluseris quin pos
Abbreviated transcription (Latin):
cum singulis angulis ipsorum pentagonorum ꝯ¬
timiato age ergo cos pbo esse equiangulos hoc
mõro Cum enm omnes crrculi ciicunstribentes
tugonos ꝓcocrdii sunt equales erunt oure D¬
Satuiares acentio spere ad ipsos uenertes es ue
earum centra cadentes equales onues erg̃o line
acentro spere as angulos cuiusor pertegeno arem¬
entos super equales nan anguli pentagoro di

Expanded text:
spere cum singulis angulis ipsorum pentagonorum cspere cum singulis angulis ipsorum pentagonorum continuato. Age ergo eos proba esse equiangulos hoc modo. Cum enim omnes circuli circumscribentes trigonos ycocedri sint equales, erunt omnes perpendiculares a centro spere ad ipsos venientes et in eorum centra cadentes equales. Omnes ergo linee a centro spere ad angulos cuiuslibet pentagoni venientes sunt equales. Nam anguli | pen
Abbreviated transcription (Latin):
ectis ꝯtinua Ita ꝙ cuiusqq centrum centris omni¬
um cricumacentium cum quibus ꝯ municant in late¬
re ꝑ reccas liueas Iugas sum bot ergo feceris
uidebis ix illis .io. liueis .ir. pentagonos ostitun
ar. solidis angulis dati ꝑcocedri appositos hos
taq pentagononos quemadinodum in ante premissa
fecisti Debasibus cubi equilateros cubyi este ꝓbabis
urecesse est enin ut quorunlibet duorina trian
gulorum idem latus habencium centra rodem sca¬
tio sistent restat ita ut eos ecicom equianguloio
esse sullogizes mamfestum est autem ex ⁊ ocietina
tione .i. ii. Satum corpus ro. basiur ałi es sp¬
⁊a cuiius Syameter est tanp̃ Syamieter huiꝰ
corpors uidelicet lurea que duos xius angu¬
los oppostos coniunat esse crcunstuxtibile se ua
hec Dpameter ꝑie dium seccetur punctus serci¬
oms gnt cencium spere ipsum tircunferibentis
as eo itaq adsuꝑficies cunctorum penthagonorũ
singulis pentagonis obuiant od singulos eorum
angulos tectas cinras dirigito Deinde centaim

Expanded text:
lineis continua ita quod cuiusque centrum centris omnium circumiacentium cum quibus communicat in latere per rectas lineas iungas. Cum hoc ergo feceris, videbis ex illis 30 lineis duodecim pentagonos constitui 12 solidis angulis dati ycocedri oppositos. Hos itaque pentagonos, quemadmodum in antepremissa fecisti de basibus cubi, equilateros esse probabis. Necesse est enim ut quorumlibet triangulorum duorum idem latus habentium centra eodem spatio distent. Restat ergo ut eos etiam equiangulos esse sillogises. Manifestumtiidecimi datum corpus 20 basium ab ea spera cuius diameter est tamquam diameter huius corporis videlicet linea, que duos eius angulos oppositos continuat, esse circumscriptibile. Si igitur hec diameter per medium secetur, punctus sectionis erit centrum spere ipsum circumscribentis. Ab eo itaque ad superficies cunctorum pentagonorum psingulis pentagonis obviaverint ad singulos eorum angulos rectas lineas dirigito. Deinde centrum
Abbreviated transcription (Latin):
est criemiferencia circuli deut enm centium spere est
in xlana superficie secante aut extiat quodisi fuxt
in xã ponatur ubitunq ꝯtingerit et sit c quia eiot¬
ppotgest toca linr̃a as est in superficie spere et quiã
onnes liñre ducte a centro spere ad ĩpsis superfici¬

Expanded text:
est circumferentia circuli. Aut enim centrum spere est in plana superficie secante aut extra. | Quod si fuerit in ea, ponatur ubicumque contigerit et sit c. Quia ergo tota linea a b est in superficie spere et quia omnes linee ducte a centro spere ad ipsius circumferenti
Abbreviated transcription (Latin):
punca esdeg sunt in suꝑfitie una maifestum
est antem ex . q. prum et .z2ͣ. eiusdem ꝙ quilibet
4ͣ angulorum cedẜ est rectus ita ex diffim̃¬
cone quarti superficies cedꝭ est quarta et quia
quarto dꝑametri Coysumli quoq raciocinatione cd¬
stat utianq Suarum liuecrmaras et gõ ꝯ
qualibet 4ͬ unrarum eg et fg dg et eg contine¬
Sunfum est ita ppositum corpus in priamideupsis
acfde cuuis basis quartum cede quod est Suplĩ
quarto Syametii spere et eius altitudo linea
ag que est seun dyameter spere ⁊ in prramidẽ
uefde cuius basis est predictum quartum et eius
altitudo lirea qs que est seindrameter spere et
hoc lest quod oportebat ostendere
ent ꝓportis tecragoin que sus huea poten¬
cialiter subsexquitercia ad Dodrantem lã¬
ceris ipsius piramidis et sus linea super¬
quinqui partientem uicesmas se ꝑsimas eius¬
Dem Sodrantis contiretur ad quartum.¬
Dyametri spere sicud corporis ip̃sius prrcomidis
ad corpus .d. basium triangularum acq e¬

Expanded text:
puncta c, f, d, e, g sunt in superficie una. Manifestum est autem ex 5 primi et 32 eiusdem quod quilibet 4 angulorum c, e, d, f est rectus, igitur ex diffinitione quadrati superficies c e d f est quadrata. Et quia quadrato diametri spere. Consimili quoque ratiocinatione constat utramque duarum linearum a g et g b cum qualibet 4 linearum c g, f g, d g et e g contineDivisum est igitur propositum corpus in piramidem a c f d e cuius basis quadratum c e d f quod est subduplum quadrato diametri spere et etiam altitudo linea a g que est semidiameter spere et in piramidem b c f d e cuius basis est predictum quadratum et eius altitudo linea g b que est semidiameter spere. Et hoc est quod oportebat ostendere.erit proportio tetragoni qui sub linea potentialiter subsesquitertia ad dodrantem lateris ipsius piramidis et sub linea superquinquepartiente vicesimasseptimas eiusdem dodrantis continetur ad quadratumdiametri spere sicut corporis ipsius piramidis ad corpus octo basium triangu|larium atque e
Abbreviated transcription (Latin):
Intra Datum corpus . ro. basium triangularum
et equalium laterum corpus .ir. basium pey¬
cagonalium equalium lacerum acq equaliũ
angulorum figuraliter com poiere
Corpus ⁊d. basium non Docenus hic fatriccerr qͦ
eindens est eo ita ut ibi doceur composito si corpue
angularum indludere delectat hac uia perdend
ficiales angulos habere et quia ad constitutionẽm
uniue cuiusq anguli solid̃ corporis ycocedii .. su¬

Expanded text:
Intra datum corpus viginti basium triangularium et equalium laterum corpus duodecim basium pentagonalium equalium laterum atque equalium angulorum figuraliter componere. Corpus 20 basium non docemus hic fabricare quonevidens est. Eo igitur ut ibi docetur composito sibique corpus laterarum includere delectat, hac via procedendum ficiales angulos habere. Et quia ad constitutionem uniuscuiusque anguli solidi corporis ycocedri qu
Abbreviated transcription (Latin):
ueniemens in su perficie spere est lurea ꝯs¬
irens circulum cuius centrum est centaim
spere Cum autem suꝑficies secat speram yõ
super centrum eis sector quoqz ꝑueniens in
suꝑfitie spere est linea continens circulum cu¬
ius dentrum est punctus ille inquo incidit
ppendicularis ducta a centro spere ad suꝑ¬
ficiem secantem Amplius autem dico ꝙ si
culares ducte a centro spere ad suꝑficies¬
Illorum circulorum erunt Mnutem equales¬
Gñit in spera cuius centrum a signati duo
cirtuli u et ⁊ equales ad querum suꝑficies
ꝑtrahantur a centro fper spere uidelicet a puncto
a ppendiculares secundum ꝙ docet .u. it. ad
gunt quidem as ad illum uero ac/ Dico ꝙ dux
linre as et ac sunt equales/ ꝓtrahantur exp
apunenis bi et c singule bnee recto ad cireui¬
ferencias illorum circulorum ꝑut libuerit et
qr ex Diffiniciont liueẽ supra suꝑficiem ꝑpen¬
Diculariter stantis utarq Duorum angulo¬
xremissi correlarii mamfestum est ꝙ suo punta

Expanded text:
veniens in superficie spere est linea continens circulum cuius centrum est centrum spere. Cum autem superficies secat speram non super centrum eius, sector quoque proveniens in superficie spere est linea continens circulum cuius centrum est punctus ille in quo incidit perpendicularis ducta a centro spere ad superficiem secantem. ⟨2⟩ Amplius autem dico quod: culares ducte a centro spere ad superficiesillorum circulorum erunt ad invicem equales. Sint in spera, cuius centrum a, signati duo circuli b et c equales ad quorum superficies protrahantur a centro spere videlicet a puncto a perpendiunc quidem a b, ad illum a c. Dico quod due linee a b et a c sunt equales. Protrahantur enim a punctis b et c singule linee recte ad circumferentias illorum circulorum prout libuerit, tque ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter stantis uterque duorum angulopremissi corollarii manifestum est quod duo puncta
Abbreviated transcription (Latin):
Necesse est ergo ut perpendicularis cadens as a¬
liquo angulo alicuius cagoni equilateri saper
cactus oppositum transent suꝑer centam tirculi tu¬
gonum ipsum circunstribentis
Nunc itaq quod ꝓmisiius ab soluamus ad hoc autẽ
ymaginenur piramidem. 4ͦ. Gasium triangiadrum atꝙr
equilaterarum cuius una ex.4 basibus eius sic trigo¬
mis abc crrcunscriptum esse aspera cuius centrumSi
et ptiabatur linea de ppendicularis ad superficied
et ianguli abt quam cõnstat᷑ cadere intentm erlcula
Sictinm cr̃igonum srclinstribentis Dico rigo liurar

Expanded text:
Necesse ergo est ut perpendicularis cadens ab aliquo angulo alicuius trigoni equilateri super latus oppositum transeat per centrum circuli trigonum ipsum circumscribentis. Nunc itaque quod promisimus absolvamus. Ad hoc autem imaginemur piramidem 4 basium triangularium atque equilaterarum, cuius una ex 4 basibus eius sit trigonus a b c, circumscriptam esse a spera cuius centrum d et protrahatur linea d e perpendicularis ad superficiem trianguli a b c quam constat cadere in centrum circuli dictum trigonum circumscribentis. Dico igitur lineam
Abbreviated transcription (Latin):
prramrde.g ͦ. uasium triangularum acq equila¬
terarum in cra speram quaulibet collocata se
a quolibet angulorum eius per centium spere
recta linea ad basim ducatur in certuor e¬
culi uasim cirascribentis eam tade̾ acq eide̾
uasi ꝑpendiculanter insistere pecessario ꝯꝑbat᷑
Sic prramis abcd quatuor basium triangularum
acq equilaterarum intra speram aliquam cuiũs
centrum sit ꝑ collocata et cum quilibet angulorino
istius piramidis possit esse conuis at quilibet Eͣ
triangulorum basis ꝓ magmẽnur nunt eius solidũ
angulum a esse conum et crlangulum ued esse lasun
lum bcd dehinc a puncto a cono xrrau dis duca¬
mus ad uasim bed lineam lectam transeuntem per
putictum ẜ qui et centrum spere circunscribentis
piramidem de qua disputamus et occuriat hec linea

Expanded text:
Piramide quatuor basium triangularium atque equilaterarum intra speram quamlibet collocata si a quolibet angulorum eius per centrum spere recta linea ad basim ducatur, in centrum circuli basim circumscribentis eam cadere atque eidem basi perpendiculariter insistere necessario comprobatur. Sit piramis a b c d 4 basium triangularium atque equilaterarum intra speram aliquam cuius centrum sit f collocata et cum quilibet 4 angulorum istius piramidis possit esse conus eius atque quilibet 4 triangulorum basis, imaginemur nunc eius solidum angulum a esse conum et triangulum b c d imaginemulum b c d. Dehinc a puncto a quem imamus ad basim b c d lineam rectam transeuntem per punctum f qui est centrum spere circumscribentis piramidem de qua disputamus et occurrat hec linea
Abbreviated transcription (Latin):
cedente quartum ce. 4ͦl Itaq cum quartian de
que est semi dyameter spere est .u. quartum ce est
x et quia ex pemiltimã p̾mi quartum dc̃ est equole
quartis Ouarum liurarum / ce et ed sequitur ut
quartum ed sit .⁊. ꝑnt q̃
stat ergo quod dixinus q d¬

Expanded text:
cedente quadratum c e est 4. Itaque cum quadratum d c, que est semidiameter spere, est 6, quadratum c e est 4. Et quia ex penultima primi quadratum d c est equale quadratis duarum linearum c e et e d, sequitur ut quadratum e d sit duo prout stat ergo quod dixi
Abbreviated transcription (Latin):
Gasis as sasi ac yan ꝑcrariis ppositã est equilatera
erit ex .d primi anguilus ast aꝑs equalis angulo
ast ideoq per .iz. primi angulus quoq bfe erit
equalis angulo ese codem mode ꝑrabimus argulũ
Sef esse equalem angulo Iele nẽcesse est eniu ex
.s p̾imi ut angulus ast sit equalis angulo apda
quateper iz primi angulus quoqi cfe erit equalis
angulo dẜe Sunt ĩta tres anguli bre cle eẜe¬

Expanded text:
asis a b basi a c, nam piramis proposita est equilatera, erit ex 8 primi angulus a f b equalis angulo a f c ideoque per 13 primi angulus b f e erit equalis angulo c f e. Eodem modo probabis angulum d f e esse equalem angulo c f e. Necesse est enim ex 8 primi ut angulus a f c sit equalis angulo a f d. Quare per 13 primi angulus quoque c f e erit equalis angulo d f e. Sunt igitur tres anguli b f e
Abbreviated transcription (Latin):
abedeẜ sune in suꝑficre spers quis centiũ s
si ita centrum g Iungatia cum quolibet horum centio
parncorum erunt line ipsum cum eis iungentes
sit Syameter spere potencialiter dupla ad latus
ħuius corporis erit ex .4. ⁊ latus huius corporis
potencialiter duplum ad sem Dyamecrum spere
quartum ergo ef duplum est q ad quartum / eg Id¬
qz equale quartis duobus duarum linearum cꝯ
et gf Ĩtaq per ultinam primi angulus egꝭ ẽ¬

Expanded text:
e, f sunt in superficie spere cuius centrum g. Si igitur centrum g iungatur cum quolibet horum sex punctorum, erunt linee iungentes sit diameter spere potentialiter dupla ad latus huius corporis, erit ex 4 secundi latus huius corporis potentialiter duplum ad semidiametrum spere. Quadratum ergo c f duplum est ad quadratum c g ideoque equale duobus quadratis duarum linearum c g et g
Abbreviated transcription (Latin):
pimapum er suorum principioꝵ in uariasiss patudi
producit ue tam diuersa solida cunr magritudin
cum uasium minrero cum eciam eocriundem figura
rraciõnali quadam simphonia racionabiliter conci¬
liet Ee uippe de monstratum est ꝙ ꝓportio Duode¬
cedri corporis ad icocedron corpus que ambo spera
una coambit est quasi pporcio lmes palda protontis

Expanded text:
pium ex superiorum principiorum invariabili natura procedit ut tam diversa solida tum magnitudine tum basium numero tum etiam earundem figura irrationali quadam symphonia rationabiliter conciliet. Quippe demonstratum est quod proportio duodecedri corporis ad ycocedron corpus, que ambo spera una coambit, est quasi proportio linee potentis
Abbreviated transcription (Latin):
quartum at sicud quarti ꝑ ad quartum bi ee¬
ntcitum En eodem argumentãtionis gemerd sequitur
Demõstrandum Et ne quisꝙͣ dubitationis lecus
ea que demonstianda restant obfustent premigenda
adque gͦ arbitianur quedam quibus sequencia fir¬
mo demonstrationis robore in contussa maneant
Di aliqua plana superficies speram quaulibet secet
comnunis differencia plane superficiei sec aoitis
et curue supersicier spere erit circunferencia
continene circulum
S. aliqua plana superficies seccos speram e sisl
linxa as Smuni seccio superficier secantis et sigfiai¬
ei spere/ Sico ꝙ linra as est cucuferentia circuli
Aut enim̃ centrum spere est in plana sapeficie aut¬

Expanded text:
rmutatim quadrati h ad quadratum p satum l n. Eodem argumentationis genere sequetur demonstrandum. Et ne quisquam dubitationis locus ea que demonstranda restant obfuscet, premittenda adhuc arbitramur quedam, quibus sequentia firmo demonstrationis robore inconcussa permaneant. ⟨1⟩ Si aliqua plana superficies speram quamlibet secet, communis differentia plane superficiei secantis et curve superficiei spere erit circumferentia continens circulum. Sit igitur aliqua plana superficies secans speram et sit linea a b communis sectio superficiei secantis et superficiei spere. Dico quod linea a b est circumferentia circuli. Aut enim centrum spere est in plana superficie
Abbreviated transcription (Latin):
ficiem sunt equales quenadiode constat ex Diffi¬
incione spere sequitur ut omnes linee duce a
puneto e ad huram ab sint equales Est ita
a diffuncione orrculi suꝑficies quem ꝯ tinet liura
ab criculꝰ et eius centium est ⁊ uidelicet idem
quad centrum spere Si autem cenerum spere fu¬
erit extra suꝑsiciem secantem ponatur ergo ubilz
et sit d aquo d secundum doctrinam nͤ uͥ du¬
catutur linea de ppendicularis ad suꝑficie secantẽ
et prota ꝓtrahantur ab eodem centro d due li¬
ab que sinit da et dl et iungatur c cum a
et cum b erunt q due luire da et dl̃ eo ꝙ sũt¬

Expanded text:
ferentiam sunt equales quemadmodum constat ex diffinitione spere, sequitur ut omnes linee ducte a puncto c ad lineam a b sint equales. Est igitur ex diffinitione circuli superficies, quam continet linea a b, circulus et eius centrum est c videlicet idem quod centrum spere. Si autem centrum spere fuerit extra superficiem secantem, ponatur ergo ubilibet quod sit d a quo secundum doctrinam 11 undecimi ducatur linea d c perpendicularis ad superficiem secantem et protrahantur ab eodem centro d due lib que sint d a et d b et iungatur c cum a et cum b eruntque due linee d a et d b equ
Abbreviated transcription (Latin):
cohercet sunt ad inuicem xquales Itaq cuneo
perpendiculares acentro spere ad suꝑficres ouo¬
um circllorim circunstribencium pentagonos huius
duodecedri et tugones illius ytocẽdii in xorũ
centra cadentes sunt dd iuuidem equales siaut
ex premissis maifestum est Nan omnres isti
circuli ceste.qͣ. huius sicud digum est equales sunt
sibi Inuutem Piramides ita quarum sunt bases pencha¬
gou duodecedri Com autem suns centrum spere
acz piraunides quarum uases sunt trigomi ycocedi
et com eorum similiter centiũ spere sunt equealte
cunctarum quidem piramidum altitudinem dererminãt
a conis ad uases ꝑpendiculares cadentes piramides
aut equealtas suis basibus pporcionales esse opportet
Piraundem cuius uosis trigonus ycocedri est siod¬

Expanded text:
quales. Itaque tunc perpendiculares a centro spere ad superficies omnium circulorum circumscribentium pentagonos huius duodecedri et trigonos illius ycocedri in eorum centra cadentes sunt ad invicem equales sicut ex premissis manifestum est. Nam omnes hii circuli teste 5 huius, sicut dictum est, equales sunt sibi invicem. Piramides igitur quarum sunt bases pentagoni duodecedri, coni autem earum sunt centrum spere atque piramides quarum bases sunt trigoni ycocedri et coni earum similiter centrum spere, sunt eque alte. Cunctarum quidem piramidum altitudinem determinant a conis ad bases perpendiculares cadentes. Piramides autem eque altas suis basibus proportionales esse oportet piramid
Abbreviated transcription (Latin):
lacerarum quos sub aliqua spera çrcm¬
seribitur Siui sibile in Suas prramides uor¬
uealtas quarum altitudo est equalis sem
Syamecio spere basis aut utrinsaz qua¬
Sratum quod est sus duplum quarto Sya¬
mxtri spere
Esto corpus.d. basium triangularum acq equi la

Expanded text:
laterarum quod ab aliqua spera circumscribitur divisibile est in duas piramides eque altas quarum altitudo equalis est semidiametro spere, basis autem utriusque quadratum quod est subduplum quadrato diametri spere. Esto corpus 8 basium triangularium
Abbreviated transcription (Latin):
Suodecedii ad omnes hnius ꝑcocedri est sicud s̃
ad ac quod est ꝓpositum hoc ipsum alicer ꝓbacre poteris
st ad ipsum nõc ancecedens necessecrum premiserimꝰ
quod est
Sti circulo cuiuslibet pertagonus equilaterus
in stribatur recangulum quad sub dodrãte
Syametri ipsuis circuli et sub detante linee
argulum ipsuis pentagomi subtendentis cõ¬
enetur eidem pentagono equũ esse ex ne¬
cessitate oportet
Maiores noscri unum quodq integrum in ar. equas
partes incellectu et rocione diuiserunt oumes qz
eas simul hoc est cotum ipsum asse uoluerunt un¬
de cin uero earuin dixerunt debentem Secem
autem dextiotem nouẽ dodratem Octo uero uisse
dit septem septucem sex antem semis quinq uero quĩ¬
cũtem .xͦͣ. caentem cres autem quadrantem duas
uero sertantem Unam autem appellauerum unciam
easq per ordinem talibus De signore signris

Expanded text:
duodecedri ad omnes huius ycocedri est sicut h ad a c. Quod est propositum. Hoc ipsum aliter probare poterimus. Si ad ipsum hoc antecedens necessarium premiserimus quod est. ⟨1⟩ Si circulo cuilibet pentagonus equilaterus inscribatur rectangulum quod sub dodrante diametri ipsius circuli et sub dextante ipsius linee angulum ipsius pentagoni subtendentis continetur eidem pentagono equum esse ex necessitate oportet. Maiores nostri unumquodque integrum in 12 equas partes equales intellectu et ratione diviserunt omnesque eas simul hoc est ipsum totum assem vocaverunt, undecim vero earum dixerunt deuncem, decem autem dextantem, novem dodrantem, octo vero bisse, at septem septuncem, sex autem semis, quinque quincuncem, quatuor trientem, tres autem quadrantem, duas vero sextantem, unam autem appellaverunt unciam easque per ordinem talibus designavere figuris
Abbreviated transcription (Latin):
sicudri sicud ex .d. quius Demonsciatum est Erit
ex uiͣ. qͥ ꝓporcio corporis duodecedri ad corpus yco¬
cedri que ambo spera una circunuoluit canꝙͣ p
portio laceris cubi eidem spere circũs cuptibilis
ad latus trigom ipsius ycocedii Amplius autem
est diuisa quelibet liura secumdum ꝓporcionem
habentem medium et duo extrema est ꝓporcio lue

Expanded text:
 huius demonstratum est, erit ex 11 quinti proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo spera una circumvolvit tamquam proportio lateris cubi eidem spere inscriptibilis ad latus trigoni ipsius ycocedri. Amplius autem quia divisa qualibet linea secundum proportionem habentem medium
Abbreviated transcription (Latin):
ficierini corporis duodetedri piter acceptarum ad
omnes suꝑficies corporis yccedil ꝑitar accertas
hec autem est predictorum philosoforum de ꝓpor¬
cione horum duorum corporum sentencia fixa
solida qr Demonstracione roborata cui quoq adici¬
endum est et hoc nan cum ꝓporcio lateris eubi
S latus cuanguli corporis ycoadri una cum ipso

Expanded text:
ierum corporis duodecedri pariter acceptarum ad omnes superficies corporis ycocedri pariter acceptas. Hoc autem est predictorum philosophorum de proportione horum duorum corporum sententia fixa solidaque demonstratione roborata. Cui quoque adiciendum est hoc. Nam cum proportio lateris cubi ad latus trianguli corporis ycocedri una cum ip
Abbreviated transcription (Latin):
ita utiaq harum cordarum ah h̃s/ latꝰ decagomi
equalis lateri exagomi ee corelario .iis quarti et secũda
est latus decagoni ꝑtrahatur enm a centro d gen¬
Dicularis ad linearali que est latus decagomi que
producatur usar ad cucunferentiam sit qr dl que
secet liecon, al que est latus penthagem iñ s et¬

Expanded text:
igitur utraque duarum cordarum a h et h b latus decagoni igitur utraque duarum cordarum a h et h b latus decagoni equalis lateri exagoni ex corollario 15 quarti et secunda est latus decagoni. Protrahatur enim a centro d perpendicularis ad lineam a h que est latus decagoni que producatur usque ad circumferentiam sitque d k que secet lineam a b que est latus pentagoni in
Abbreviated transcription (Latin):
Duxlus xxistat calis eum est uterq criangulorum
et et dit et simpliciter omnis cuius duo lacera
sunt equalia maiori porcioni alicuius linee Suste ri¬
cundum pporcionem habentem medium et Duo ⁊xcr¬
ma et cercium quos est uasis est equale minor po¬
ciomi lnnee eiusdem ull/ cuius duo latera sunt xqualio
lateri exagoni ⁊ quilateri alicui circulo pnstupti uasi uit ust
equatis lateri decagomi equilateꝵ eisdem circulo instript
o. Dimre lecus penthagom equilateri tenter potencius est
latere xagom ꝙͣtum porest latuis Decagomi equi lateni si
sint in eodem cerculo ambo inscrepti¬
Sit criculus abt cuius centium d et dyameter a dc ifis
inscribatur q ei penchagonus equilaterus qui fit abist
et a centro d ꝓtrabatur ꝑpendicularis ad latus as qi
ꝑ ꝑtrantur Duecorde ah hb que erunt equales adin¬
uicem ex ⁊ͣ. parte .⁊ 3ͥ et dͣ primi ideoq eciam duo
critus ab et hb equales adiuuicem ex r uercii est

Expanded text:
duplus existat. Talis enim est uterque triangulorum duplus existat. Talis enim est uterque triangulorum e d c et d c b et simpliciter omnis cuius duo latera sunt equalia maiori portioni alicuius linee divise secundum proportionem habentem medium duoque extrema et tertium quod est basis est equale minori portioni linee eiusdem vel cuius duo latera sunt equalia lateri exagoni equilateri alicui circulo inscripti, basis vero est equalis lateri decagoni equilateri eidem circulo inscriptquoniam latus penthagoni aequilateri tanto potentius est latera exagoni quantum potentius latus decagoni aequilateri si sint in eidem cSit circulus a b c cuius centrum d et diameter a d c inscribaturque ei pentagonus equilaterus qui sit a b e f g et a centro d protrahatur perpendicularisprotrahantur due corde a h et h b que erunt equales ad invicem ex secunda parte 3 tertii et 4 primi. Ideoque etiam duo arcus a h et h b equales ad invicem ex 27 tertii. Est
Abbreviated transcription (Latin):
onnibus angulis alterius ꝑiter acceptis sicud eiidenter
apparet ex demonstians in grĩ primi necesse est ex
hat ꝯmum strentia querunlibet equalium decimas aut
quotassibet portes emsdem denominatiõnis esst equales
ut umuis horũ decagonorum sit equargutis dicuã id¬
qr sumulis ex difuntiore similium suꝑficierum et quia Ir
Sue fignie similes duoous circulis Inscubantur ent
ꝓportio Duorum ⁊elatinorum lacerum istarum figmarũ
sicud et Syametiorum illorum crrculorum ut patet
ex correlario . id. G. et pmna Duodecim cum latera
ddecagenorum similium Inscuptorum Suobus circuli
abt et f suñt equalia sequitur ut dixoneeri eorum
sint equales idecq et semi diametii ⁊̃ equales. Oũt
autem seundparetii et latus ex agom equalia ex
qued demonstrare uolumus six hac antem ꝯͣ. huis
laterum ꝓporit cugonum Destribendum grius ut̾q
duorum angulorum quos uasis optinẽt ad tercium

Expanded text:
omnibus angulis alterius pariter acceptis sicut evidenter omnibus angulis alterius pariter acceptis sicut evidenter apparet ex demonstratis in 32 primi, necesse est ex hac communi scientia quorumlibet equalium decimas aut quotaslibet partes eiusdem denominationis esse equales ut unus horum decagonorum sit equiangulus alii. Ideoque similis ex diffinitione similium superficierum. Et quia si due figure similes duobus circulis inscribantur, erit proportio duorum relativorum laterum illarum figurarum sicut duarum diametrorum illorum circulorum ut apparet ex corollario 18 sexti libri et 1 duodecimi. Cum latera decagonorum similium inscriptorum duobus circulis a b c et f sint equalia, sequitur ut diametri eorum sint equales. Ideoque et semidiametri etiam equales. Sunt autem semidiametri | et latus exagoni equalia ex quod demonstrare voluimus. Ex hac autem 9 huius laterum proponit trigonum describendum cuius uterque duorum angulorum quos basis obtinet ad tertium
Abbreviated transcription (Latin):
latus exagom eiusdem est linẽa be latus decagomi et
cuiusd circuli lnxa ut est latus decagoni eiusdem est liura
es latus exagon Incelligo autem hõt de exagonis et
de cagonis ẽquilateris ⁊Sĩ xni sit es lacus exagoni¬
orculo abt instripti erit ex correlario. il2ͣ x. eb equalis
Se et quia ꝓportio ex ad es est sicud es ad Et ex xxo.¬
duo triangulsi edc et cds dis sunt equianguli Argulus
Ago e est equalis angulo ut Ip̃os enin latera epor¬
ciõnalia respitiunt duxq sit angulus oss quadiuxlus
catus Decagom cũtuli abt erit es latus exagomi eiusdẽ
Sit enm eb latus exagomi cirtuli f erit ex pr̃dicis si
Catus Decagoni eiusddem ẜ Intelligantur Ita inscripti esse
decagomi equilateri duobus criculus abc et f quorum
omnia latera sunt equalia luee be Et quia omins figura
equi latera circulo inscripto est equiangula ut ꝓbatum est
in .ix. 4. sequitur utrosq decagonos esse equiangulos
Cunqz oires u anguli unius ꝑiter accepti sint equales

Expanded text:
 latus decagoni et cuiuscumque circuli linea b c est latus decagoni, eiusdem est linea e b latus exagoni. Intelligo autem hoc de exagonis et decagonis equilateris. Si enim sit e b latus exagonirculo a b c inscripti, erit ex corollario 15 quarti e b equalis d c. Et quia proportio c e ad e b est sicut e b ad b c ex ypoduo trianguli e d c et d c b sunt equianguli, angulus ergo e est equalis angulo b d c, ipsos enim latera proportionalia respiciunt. Cumque sit angulus a d b quadruplus latus decagoni circuli a b c, erit e b latus exagoni eiusdem. Sit enim e b latus exagoni circuli f eritque ex predictis b c latus decagoni eiusdem. Intelligantur igitur inscripti esse decagoni equilateri duobus circulis a b c et f quorum omnia latera erunt equalia linee b c. Et quia omnis figura equilatera circulo inscripta est equiangula ut probatum est in quarti libri, sequitur utrosque decagonos esse equiangulos. Cum omnes anguli unius pariter accepti sint equales
Abbreviated transcription (Latin):
plum illius priamdis cuius basis est trigonus
ꝑcocedri est sicud onnnium suꝑficierum Duodecede
ad uigintuplum trigoni ycocedii Cum ita uigin¬
triplum bnius piramidis sit tanꝙͣ totum corpuen
yercedii sic uigintu plum ististus trigeni tauꝙͣ oures
suꝑficies ipsus ycocedri ent porcis cso xña acor¬

Expanded text:
lius piramidis cuius basis est trigonus ycocedri est sicut omnium superficierum duodecedri ad vigincuplum trigoni ycocedri. Cum igitur vigincuplum huius piramidis sit tamquam totum corpus ycocedri ad vigincuplum istius trigoni tamquam omnes superficies ipsius ycocedri
Abbreviated transcription (Latin):
friper eam cotam et eius minorem porcionem nan sin¬
gularum talium Duacrum linearum est ꝓportio una
uerbi gracia maneant pores ypoteses ciica sineas as
s et lr Et simatur quꝰ queꝙ alia linea que sit
luni Simisa secundum ꝓporciõnem habentem medium ie

Expanded text:
 totam et eius minorem portionem, nam singularum duarum linearum talium est proportio una. Verbi gratia: Maneant priores ypotheses circa lineas a b, h et k et sumatur quelibet alia linea que sit l m divisa secundum proportionem habentem medium e
Abbreviated transcription (Latin):
ds ad li et pnutatiñ eg ad dꝭ sicud de ad li et
quiã per pͥmam portem.7ͬ qͥ De ad k sicud l
ad l eo ꝙ de et h sunt equales ent per a. .i. eg
ad d sicud b ad l quod est ppositum non solũ
autem est ꝓportio eg late cubi ad Sꝭ latus crian¬
guli peoce dii sicud ħ ad l xnio simpliciter siud̃¬
quarimlibet duacrum uuxarum unius ad alterã

Expanded text:
d k et permutatim e g ad d f sicut d e ad k. Et quia per primam partem 7 quinti d e ad k sicut h ad k eo quod d e et h sunt equales, erit per 11 quinti e g ad d f sicut h ad k. Quod est propositum. Non solum autem est proportio e g lateris cubi ad d f latus trianguli ycocedri sicut h ad k, immo simpliciter siquarumlibet duarum
Abbreviated transcription (Latin):
hus autem .i2. fraccionibus untie posteriores adinxere
calu est doitem carcus igrͣ. pars untia cuius addiciaris¬
causa fuit ut usqi ad miimõ extrenum Eyacessauon
et dyacpente et sun phomaꝵ tonorum semitonorũ¬
qz interuallis Sistinecarum harum fraccionum de¬
nominacio ꝯtemxderet et ipsas omnres ꝑ ordinem
talibus annota de figuris¬

Expanded text:
Hiis autem 12 fractionibus uncie posteriores adiunxere calcum. Est autem calcus causa fuit ut usque ad minimum extremum diatesseron et diapente simphoniarum tonorum semitonorumque intervallis distinctarum harum fractionum denominatio conscenderet et ipsas omnes secundum ordinem talibus annotavere figuris
Abbreviated transcription (Latin):
ex penultima p̃mi et ista cõmuni sciencia que
equ alia quartis Suarum lieorum de et es ꝑit̃
acceptis Sempto itaq utrmq quarto De exit
linras ductati apuntto e ad lineam ab esse equa¬
les ergo ex diffim̃cione circuli superficies quam ꝯti¬

Expanded text:
ex penultima primi et ista communi scientia Queequalia quadratis duarum linearum d c et c b pariter acceptis. Dempto itaque utrinque quadrato d c erit lineas ductas a puncto c ad lineam a b esse equales. Ergo ex diffinitione circuli superficies, quam
Abbreviated transcription (Latin):
quinte tocius circunferencie ꝑtrahãtur itaq due
liree ac et ae eritqr ar latus decagoni equi¬
laceri eo q uius arcus est medietas quinte
partis circunferentie liura uere ac erit que sus¬
tenditur uin ex angulis predicti penchagoni
eo ꝙ artus ac est due qu̾te partes circunferẽtie
oirculi/ Dico itaq ꝙ quarta duarum lineceium¬

Expanded text:
quinte totius circumfe- rentie. | Protrahantur itaque due quinte totius circumfe- rentie. | Protrahantur itaque due linee a e et a c eritque a e latus decagoni equilateri eo quod eius arcus est medietas quinte partis circumferentie. Linea vero a c erit que subtenditur uni ex angulis predicti pentagoni eo quod arcus a c est due quinte partes circumferentie circuli. Dico itaque quod quadrata duarum line
Abbreviated transcription (Latin):
ad diuisa secundum ꝓporciõnem habentem
medium et duo extrema et maior porcis eius
erit linẽa ab Icaqr per premissa as ad sᵈ sicud
fg ad ge quare ꝑ primam uartem ic. gͥ quod
fit ex ab in ge equũ erit ei quod fit ex bd
in fg cunq ab sit equalis es erit eciam quod
fit ex if in ge equũ ei quos fit ex ud in
fg sed quod fit ex if in ge equũ est quarto
fg ex diffuntione luree fecundum ꝓporcionem
et quia fi est equalis es erit quoq cħ equalie
Quadratum lateris pentagoni intra cir culã
Sescapti quartum q liure illiũs illius
penthagom angulo subtenditur anbo hec
quarta ꝑiter accepta quarti medietatis
Syemretri eudem orciui quintu plum esse
pronuncio
Sit in tirculo abt cuius centrum S instriptus
uiuis penchagonis equilaterus ciuus unum
lacus sit ab et ꝑtrahatur dyameter cde diui¬
dens lneam as et enue arcum ꝑ equalia est
ita arcus ax medietas querse partis cereui¬
ferencie illius circuli quare arcus at est due

Expanded text:
abentem medium duoque extrema et maior portio eius erit linea a b. Itaque per premissam a b ad b d sicut f g ad g e. Quare per primam partem 15 sexti quod fit ex a b in g e equum est ei quod fit ex b d in f g. Cum a b sit equalis e f, erit etiam quod fit ex e f in g e equum ei quod fit ex b d in f g. Sed quod fit ex e f in g e equum est quadrato f g ex diffinitione linee divise secundum proportionem Et quia f g est equalis c b, erit quoque c b equalis b ∗∗∗ ⟨XIV.⟩4 Quadratum lateris pentagoni intra circulum descripti quadratumque linee que illius pentagoni angulo subtenditur ambo hec quadrata pariter accepta quadrati medietatis diametri eiusdem circuli quincuplum esse pronunci cuius centrum d inscriptus unus pentagonus equilaterus cuius unum latus sit a b et protrahatur diameter c d e dividens lineam a b et eius arcum per equalia. Est igitur arcus a e medietas quinte partis circumferentie illius circuli, quare arcus a c est due
Abbreviated transcription (Latin):
pporcio eg ad dꝭ hoc est lateris cũb ad latus cuan¬
guli ycõcedri una cum ipso cubo ab eadem spera ꝯ¬
tenti est sicud ħ ad li / constat quidem ex corrrlario
est super cotam as et em̃o maiorem porciomn
et quare de est equalis q̃ non quartin utrus¬
ta tduatrum lineaium ab et et at ꝑiter accepta pare

Expanded text:
bi ad latus trianguli ycocedri una cum ipso cubo ab ipsa spera contenti, est sicut h ad k. Constat quidem ex corollario est super totam a b et eius maiorem portionem a c. Quare d e est equalis h. Nam quadratum utriusata duarum li
Abbreviated transcription (Latin):
porcio onnnium superficierum duodecedri ad emrecꝰ
y coce dii quorum pentagonuis et tugonus ꝓposito
curculo sunt instupti est sicud linee be que est
latus cusi ab eadem spera conclusi ad lineam fg
lure ali Ideoqr am erit Dodians dyameta ali

Expanded text:
proportio omnium superficierum duodecedri ad omnes ycocedri, quorum pentagonus et trigonus proposito circulo sunt inscripti, est sicut linee b e que est latus cubi ab eadem spera conclusi ad lineam f glinee a h ideoque a m erit dodrans diametri a
Abbreviated transcription (Latin):
est sicud de ad gd quore per p̾main partem re
nt᷑ s. quod pouenit ex l in qd equũ ust ei qued
sit ex as in De ex correlario autem premisse mamfestũ
est ꝙ ꝓportio omnum superficierum duo decedri cuius
latꝰ as pire acceptorum ad oumes suꝑficrres pondu
Sunis laris ac ꝑiter acceptatĩ sicud eius quod fit ex

Expanded text:
uare per primam partem 15 sexti quod provenit ex h in g d equum est ei quod fit ex a b in d e. Ex corollario autem premisse manifestum est quod proportio omnium superficierum duodecedri, cuius latus a b, pariter acceptarum ad omnes superficies ycocedri, cuius latus a c, pariter acceptas sicut eius quod
Abbreviated transcription (Latin):
eiq instribatur ex. ir. qiͥ. pentagonus equilaterum cuiꝰ
unum latubi sit de et ex .2ͣ eisdem criangulus
equilaterus cuius unũs latus sit df et uni excor¬
gulis pentagom qui sit d subtendatur birea eg
Consta ita ex lͣ huius ꝙ spera circunseribens duo¬
de cedron cuius pentagoni latus tatus est de sim̃t
circunstribit ycocedron cuius trianguli latusẽdꝭ et
Sumatur qr lnnea q. potens suxer totam ab et eius
maiorem pocionem at et sumatur l potent ab et

Expanded text:
pentagonus equilaterus cuius unum latus sit d e et ex secunda eiusdem triangulus equilaterus cuius unum latus sit d f et uni ex angulis pentagoni, qui sit d, subtendatur linea e g. Constat igitur ex 5 huius quod spera circumscribens duodecedron, cuius pentagoni latus est d e, circumscribit simul ycocedron cuius trianguli latus est d fSumatur ergo linea h potens super totam a b | et eius maiorem portionem a c et s
Abbreviated transcription (Latin):
fuierit diuisa et et mxdietate eius tanꝙͣ dimidium
srie maioris porcionis deciahatur iosa quoqa me¬
Sietas secundum pporcione habentem urediuat
totam de et singule portes as ad singulas paites de
Siuisa in ẜ quenadmodum ꝓponitur Nunc igitur de¬
monstiaciomi eius quod ꝓpositum est insistanis ad cuius
exemplum sit circulus abt cuius centium d circunstri¬
uers pentagonum duodecedii et tugonum ycocedri
que ambo poriter eadem spera coueludit Nam ex .i.
quius mamfescum est ꝙ idem circulus huius xento¬
gom et illius trigonum circunstribit edit augem linea
as latus pentagom et ac latus trigomi sitq huea
S conꝙͣ catus cubi as eadem spera circunstripo dico
itaqi ꝙ ꝓporcio omnum superficierum duodecedĩi ꝑiter

Expanded text:
fuerit divisa et ex medietate eius tamquam dimidium sue maioris portionis detrahatur, ipsa quoque medietas secundum proportionem habentem medium et a a b sit dupla ad totam d e et singule partes a b ad singulas partes d divisa in f quemadmodum proponitur. Nunc igitur demonstrationi eius quod propositum est insistamus. Ad cuius exemplum sit a b c circulus cuius centrum d circumscribens pentagonum duodecedri et trigonum ycocedri que ambo pariter eadem spera concludit. Nam ex 5 huius manifestum est quod idem circulus huius pentagonum et illius trigonum circumscribit. Sit autem linea a b latus pentagoni et linea a c latus trigoni sitque linea h tamquam latus cubi ab eadem spera circumscripti. Dico itaque quod proportio omnium superfici
Abbreviated transcription (Latin):
Sint itaq circło cuiis dentium b instripo pentagonus
figure ar basium et tugonus fignre .⁊o. bascum quas
eãdem spera cricunstubit constat eum ex q hrit
q̾mus ꝙ huius Sxametu pentagenus et illius yco¬
cedri crgonus as uodem circulo orcunducentur sit q
pentagonus abc̾de et crigonus ofg et angulo a penta¬
goni subtendatur linea d̃e que ex demenstracione .ix.

Expanded text:
um h, inscripti pentagonus figure 12 basium et trigonus | figure 20 basium quas eadem spera circumscribit. Constat enim ex 5 huius quod huius duodecedri pentagonus et illius ycocedri trigonus ab eodem circulo circumducentur sitque pentagonus a b c d e et trigonus a f g. Et angulo a pentagoni subtendatur linea b e que ex demonstratione 17