comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
duut dum rotundi ponanns tapla est od suam prrco¬
iuidem de prrami dibus autem constat in directa rõtiuatõ
Tot modo est enin  cõmumi stiencia ꝓporcio rotunde
piramidis a ad asiquod corpus sicud circuli a ad circulum
ꝙͣtitate corporis d cui circulo s instribatur quartum et
De trahatur a rotunda prrdamiee s piramis laterata ciuꝰ
sit basis quartum circulo ẜ instreptum et ex porcionibus
prramidolibis decrahantur piraundes super tugones
porcionũ criculi consistentes fiatq hoc totirins quousq
ex prramide s residuum s mimis corpore d Eutq late¬
rata piramis detractis quam comxonunt parciales xriannd

Expanded text:
unda columna tripla est ad suam piramidem. De piramidibus autem constabit indirecta ratiocinatione hoc modo. Est enim ex communi scientia proportio rotunde piramidis a ad aliquod corpus sicut circuli a ad circulum quantitate corporis d. Igitur circulo b inscribatur quadratum et detrahatur a rotunda piramide b piramis laterata cuius sit basis quadratum circulo b inscriptum et ex portionibus piramidibus detrahantur piramides super trigonos portionum circuli consistentes. Fiat quoque hoc totiens quousque sit ex piramide b residuum minus corpore d. Eritque laterata piramis detracta q
Abbreviated transcription (Latin):
quoei alcbidines determ ate per liuras as et od Sico
chet portio ortuli e od crrculum a est sicud altitudinuis
as ad al̃titudinem ed et equerso / Goc autem si de
cofumxnis ꝓbatum fuerit Se pnamidibus certum erit
quomiam ommis retanda columpna crpla est ad sucan
prramdem Si itaq due alticudines as et ed fuerint¬

Expanded text:
quam columnarum determinate per lineas a b et c d. Dico quod proportio circuli c ad circulum a est sicut altitudinis a b ad altitudinem c d et econverso. Hoc autem si de columnis probatum fuerit, de piramidibus certum erit, quoniam omnis columna rotunda tripla est ad suam piramidem. Si itaque due altitudines a b e
Abbreviated transcription (Latin):
Sic uero poligomi a ad poligomum s est sicud cituli
a ad cirtulum s quos mainfestum est ex sma d cetu
Recunda huius Itaq laterate pranudis a ad lateratan
piramidem s sicus rotunde piramidis  a ad coipus t
quare ꝑmutatim laterate pircomdis a ad rocinidam t¬
ramidem a sicud laterate prcmidis s ad corpus
cunq sit laterata piraundis s maior copore c sequitur
laceratam prraundem & esse mantem Notumda ram
a boc autem imxossibilẽ est em̃ pors enis non erit ita¬

Expanded text:
ero poligonii a ad poligonium b est sicut circuli a ad circulum b. Quod manifestum est ex prima et secunda huius. Itaque laterate piramidis a ad lateratam piramidem b sicut rotunde piramidis a ad corpus c, quare permutatim laterate piramidis a ad rotundam piramidem a sicut laterate piramidis b ad corpus c. Cumque sit laterata piramis b maior corpore c, sequitur lateratam piramidem a esse maiorem rotunda piramide a. Hoc autem impossibile, est enim pars eius. Non erit
Abbreviated transcription (Latin):
sibile sit eui sequitur ꝙ par̃s sit maior toto non uest  ande
pus e minus neq maus robunda piramides si tantum
e quale itaq ex secunda porte . Aᵉ quincti conclude ⁊positẽ
Ut autem facilius in cõcussiusq Semor scretur que sequit
et ad ixsam antecedens utile prenitten ddum quosgu
Di supetficieo quedum rotunda columonam equi¬
distanter basi eius secuert eant dno portiatia
corpora que ad illam secantem suꝑficiem terinant᷑
xortionibus axis columpne ꝓporcionalia

Expanded text:
ic enim sequitur quod pars sit maior suo toto. Non est igitur corpus c minus neque maius | rotunda piramide b, sed tantum equale. Itaque ex secunda parte 7 quinti conclude propositum. Ut autem facilius inconcussiusque demonstretur quod sequitur, est ad ipsam antecedens utile premittendum quod est: ⟨1⟩ Si superficies quedam rotundam columnam equidistanter basi eius secuerit, erunt duo partialia corpora que ad illam secantem superficiem terminantur portionibus axis columne proportionalia.
Abbreviated transcription (Latin):
duorum triangulorum quorum duo laterabiuus̃
equales fuerunt alter alteri latera qz illorum
reliqua sese respiciencia equalia ⁊eliqui uero
anguli om̃ins reliquis alterius equales at
totus triangulus oti triangulo equalis

Expanded text:
duorum triangulorum, quorum duo latera unius equales fuerint alter alteri, latera quoque illorum reliqua sese respicientia equalia. Reliqui vero anguli unius reliquis angulis alterius equales ac totus triangulus toti trian
Abbreviated transcription (Latin):
rerminis continetur/ Cirmlus est figura plana
una quedam linea contenta que circinuserencia
nominatus in cnius medio punctus ẽ a quo
ommes linee ad circunferenciam exenntes ⁊ ut
Iuincem sunt equales / et hic quidem puctus

Expanded text:
s continetur. ⟨xv⟩ Circulus est figura plana una quidem linea contenta que circumferentia nominatur, in cuius medio punctus est a quo omnes linee ad circumferentiam exeuntes sibi invicem sunt equales; ⟨xvi⟩ et hic quidem punctus
Abbreviated transcription (Latin):
Siemini tulus est signya plana dyametio cutuli
et medietate cu minseyencie contenta. Portio
circuli est figura recta linea et parte circunferenae
contenta semitirculo quidem aut maior aut minor
Rectilines Regure sunt que ⁊ eedis contine nbur lineis
Esto data linea recta ab. uolo
super ipsam tuangulũ equilaterum
censertuere super aherain extrem¬
tatem ens stilicenas surer a. po¬
nam pedem ctum mmobilem et

Expanded text:
Semicirculus est figura plana, diametro circuli et medietate circumferentie contenta. Portio circuli est figura plana, recta linea et parte circumferentie contenta, semicirculo autem minor. Rectilinee, figure sunt, que rectis continentur lineisEsto data linea recta a b. Volo super ipsam triangulum equilaterum constituere. Super alteram extremitatem eius scilicet in puncto a ponam pedem circini immobilem et
Abbreviated transcription (Latin):
eguala att atꝙ opposiios angulos equales idem
tamen non rectis angulis nec equis lateribus
continetus. p̃ter has autem oumelz alie quadri¬
latere figure eliuya rifa nomi̾nantur / Qque¬
distantes liuee sueit que in eadem supersicis
coellocat atq in alt̾utram paitem protracte
nõ conuenant eciam si In infiuitum prõthantur¬
in quem libet punctum rtam rectam lineam
ducere atq liueam defuntam in contimim
directum q iptimulibet ꝓtrahere super centrum
quodlib et quattumlibet occupando spacium
circulum designare omnen̾fectes angulos sibi
iuucem equales esse / Si liea recta super duas
rectas ceriderit dno qz anguli ex una parte
duobus angulibrectis minores fueruit illas
duas lintas in eadem parte protractas prouse
superficiem includere

Expanded text:
equalia atque oppositos angulos habet equales. Idem tamen nec rectis angulis, nec equis lateribus continetur. Preter has autem omnes quadrilatere figure climinaria nominantur. Equidistantes linee sunt, que in eadem superficie collocate atque in alterutram partem protracte, non convenient ein quemlibet punctum rectam lineam ducere atque lineam definitam in continuum rectumque quantumlibet protrahere. ⟨2⟩ Super centrum quodlibet quantumlibet occupando spatium circulum designare. ⟨3⟩ Omnes rectos angulos sibi invicem esse equales. ⟨4⟩ Si linea recta | super duas lineas rectas ceciderit duoque anguli ex una parte duobus angulis rectis minores fuerint, illas duas lineas in eandem partem protractas procul superficiem non includere
Abbreviated transcription (Latin):
Silurea in Duo xqualia diuidatur ei qi in longum
alia linea a Ddatur quadratum quid describitur a
coͣ cum addica et quadratum as ea que ad dita est
utraq quadra pocuter accepta en quadrato quos a
Dum dia eiq qued ab ea ꝓducitur que ex dnmi dia
a diecta q consistit utusq quadiatis pariter acceptis
Supla esse necessarium est

Expanded text:
 in longum alia linea addatur, quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est utraque quadrata pariter accepta, ei quadrato quod a dimidia eique, quod ab ea producitur que ex dimidia adiectaque consistit, utrisque quadratis pariter acceptis dupla esse necesse est
Abbreviated transcription (Latin):
a Diũgatur quod ex Ductu tocius. iam ꝯposite in se
psom fiet equã ex hiis que ex dictu prioris huee
in ram que sibi adiecta est quater et ei quod ex ducu
alterius Diuidentis in se ipsam
que fuint ex ductu in equalium in se ipsa ꝑiter accepta
Duxlum sunt utriusq ꝑiter acceptis que quidẽ ex

Expanded text:
adiungatur, quod ex ductu totius iam composite in se ipsam fiet, equum erit hiis que ex ductu prioris linee in eam que adiecta est quater et ei quod ex ductu alterius dividentis in se ipsamque fiunt ex ductu inequalium in se ipsa pariter accepta duplum sunt utrisque pariter acceptis que quidem ex
Abbreviated transcription (Latin):
a lequam lieaiterminantibus due luree ad puctu
primm concurrentes exiermi ab eisdem punctis
alias lmeas duas singtilas suis berminalibus
equales que ad alinue puuctun concurrunt in
eandeu ꝑtem educti est impossi uile.

Expanded text:
aliquam lineam terminantibus due linee ad punctum unum concurrentes exierint, ab eisdem punctis alias duas lineas singulas suis conterminalibus equales, que ad alium punctum concurrant, in eandem partem educi est impossibile.
Abbreviated transcription (Latin):
Si due linee a pmuto unius luee indiuersas
partes exierut duosq angules circa se angu¬
los rectos aut duob ⁊ectis equales fum̃t iste
due linee sibi directe quĩte sunt quingte et una
unea dicutur/ Ommium duarum liuecerum
se imiicem se cancium ommel anguli contra se
uositi sunt equales bnde mainsestum est quo¬
ciensi dus lines ⁊ecte se Iuincem secant quatuoi
qui fuint angulos ⁊ rectis esse equales

Expanded text:
Si due linee a puncto unius linee in diversas partes exierint duosque circa se angulos rectos aut duobus rectis equales fecerint, ille due linee sibi directe coniuncte sunt et linea una∗∗∗ ⟨I.⟩15 Omnium duarum linearum se invicem secantium omnes anguli contra se positi sunt equales. Unde manifestum est quotiens due linee recte se invicem secant qui fiunt angulos 4 rectis esse equales
Abbreviated transcription (Latin):
cione rectangulum ꝯtrretur equũ fit ei quod fit
ex reliqua seccione quadratum qu iu
uo que obtusum sustendit angulum ambobus reliquis
Rateribus que octusum ꝯtrnent angulum amplius Pt
quãtum est quos conturetur uis sus uno eorũ ator
ga u siõi dirẽte iuncta ad obtisum angulũ aꝑpẽ¬
Soalean  extia de prehenditur

Expanded text:
ione rectangulum continetur equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum. Sit ea que obtusum subtendit angulum ambobus reliquis lateribus que obtusum continent angulum amplius potest, quantum est quod continetur bis sub uno eorum atque ea que sibi directe iuncta ad obtusum angulum a perpendiculari extra deprehenditur
Abbreviated transcription (Latin):
Si mera crrculum plurmre recte lure ceoiderint Sy ixͣ. iẽ¬
amecrum eius omnum longissimam eiq ꝓpinquiotes
remocioribus longiores esset opportet¬
Si ab altero cerminorum Dyameter cuiuslibet ccuhortogonalit̃  ͦͣ.¬
lurea Oucatur extra circulum xam cadere necesse es
acq inter illam et circulum aliam luream caxi imxs¬
uile est angulum antem ab illa et circferencia ꝯtentiõ
omnum acutorum angulorum esse acutissimum angulum
uero intrinsecum a Oxametro et circunserentia ꝯten¬
tum omnum acutorum angulorum amplissimum necesse
mino cuiuslibet Dyametii et crrculi ortogonaliter Suctã
circulum ipsum ꝯtingere

Expanded text:
Si intra circulum plurime recte linee ceciderint, diametrum eius omnium longissimam eique propinquiores remotioribus longiores esse neSi ab altero terminorum diametri cuiuslibet circuli orthogonaliter linea ducatur, extra circulum eam cadere necesse est. Atque inter illam et circulum aliam lineam capi impossibile est. Angulum autem ab illa et circumferentia contentum omnium acutorum angulorum esse angustissimum. Angulum vero intrinsecum a diametro et circumferentia contentum omnium acutorum angulorum esse amplissimum necesse mino diametri cuiuslibet circuli orthogonaliter ductam circulum ipsum contingere
Abbreviated transcription (Latin):
librt puncto ccicus ad corde terminos duabus ⁊ectis
lureis exruntibus ꝯturetior /Bector circuli est figura que
arculorum porciones Dicuntur in quibus que suxra crcũ
consistunt Anguli sibi inuoem sutit equales. ditus quoq i¬
imibes sunt qui/ equos angulos predicto modo sustixiũt
ciom terminatis nentra eccrum alterã x. equalia or¬
togonaliter secat insi ipsam super centrum transreut¬

Expanded text:
libet puncto arcus ad corde terminos duabus rectis lineis exeuntibus continetur. ⟨x⟩ Sector circuli est figura, que Similes circulorum portiones dicuntur, in quibus qui super arcum consistunt anguli sibi invicem sunt equales. ⟨xiii⟩ Arcus quoque similes sunt, qui equos angulos predicto modo suscipiunt tiam terminatis neutra illarum alteram per equalia orthogonaliter secat, nisi ipsa super centrum transierit
Abbreviated transcription (Latin):
Centio autem ꝓpinquior est ceteris remotioribus longiot̃es
luree uero poaciales ad circunferenciam extrmsecus ap¬
plicare ea quidem que Syametro in Sirectum adiacet
omnium est minima eiqz ppiquiores remocioribus bre¬
mores Due uero que lines breuissime

Expanded text:
centro autem propinquiores ceteris remotioribus longiores. Linee vero partiales ad circumferentiam extrinsecus applicate ea quidem que diametro in directum adiacet omnium est minima, eique propinquiores remotioribus breviores. Due vero que linee brevissime
Abbreviated transcription (Latin):
signetur et ab eo ad cricunerenciam linee plirime
Sucantur qui supra centrum trãsierit omnum erit
longissima Que uero dꝑametrum ꝑficit om̃ breissia
Que autem centio ꝓpinquior est ceteus Congiorest quãto
autem a centro remocior est tanto bremores esse quemet¬

Expanded text:
ignetur et ab eo ad circumferentiam linee plurime ducantur, que super centrum transierit omnium erit longissima, que vero diametrum perficiet omnium brevissima. Que autem centro proxime, ceteris longiores, quanto vero a centro remotiores, tanto breviores esse conve
Abbreviated transcription (Latin):
que ⁊emarent equalia st errit cuangulus ats
equiangulus trangulo ꝑhlr nam ipsi posit sunt
pentagom equianguli et laterum ꝓporcionalium
et quia trianguli in quod Sunduntur sunt ad
inuicem equiangili ut ꝓbatum est erut xciam et¬
suimles ꝑ. 4. huius et diffinicionem sui lum suꝑ¬
ficierum quare tamen ipsi sunt numero equales
est sicut am ad fi et am ad fu sicut md ad nl̃
quare per y .ii. 7. bn ad gu sicut ard ad ul¬

Expanded text:
angulus a c d equiangulus triangulo f h k. Nam ipsi pentagoni positi sunt equianguli et laterum proportionalium. Et quia trianguli in quos dividuntur sunt ad invicem equianguli, ut probatum est, erunt etiam similes per 4 huius et diffinitionem similium superficierum. Quare cum ipsi sint numero equales, est sicut a m ad f n et a m ad f n sicut m d ad n k, quare per 11 quinti b m ad g n sicut m d ad
Abbreviated transcription (Latin):
as acd est sicut ꝑ gh ad fhlr quare ꝑmutatin abt
as fg l est sicut acd̃ ad shli eadem ratione ꝓba¬
sis ꝙp et sicũt a ed ad flli ergo patet ꝑ .ii. li.
tocius pentagom ad totum penta gonur sicut abe
as fgs ꝑ premissam er go est ꝓporcio pentagom
acs ad prncagonum fh̃le sicut ꝓporcio ab ad fg
Suxlicata quod est ꝓpositum Qrx quo rursus ioatet
m̃corteteñiñ precedentis dliter potest Demostiari
Ncm Sum cum en trianguli in quod xentagom
S durtur sunt adiuncem similes euit ꝑ precedẽ¬

Expanded text:
a c d sicut f g h ad f h k, quare permutatim a b c ad f g h sicut a c d ad f h k. Eadem ratione probabis quod et sicut a e d ad f l k, ergo per 13 quinti totius pentagoni ad totum pentagonum sicut a b c ad f g h. Per premissam iga c d ad pentagonum f h k sicut proportio a b ad f g duplicata. Quod est propositum. Ex quo rursus patet corollarium precedentis. Aliter potest demonstrari secundum. Cum enim trianguli in quos pentagoni dividuntur sint ad invicem similes, erit per precede
Abbreviated transcription (Latin):
ac ad ce esse sicut de ad es et si fuerit ꝓporcio dic
ad ce sicut dt ad es et predicti anguli fuerint ad¬
hut equales Sico illos duos crangulos esse eguales
Comũgam em̃ eos angulariter ita ꝙ lattra dit et do
piant linea una e. runt qr similiter bt et cd siesd ua
aisiter sequeretur partrmn esse equalem toti pi iel pur¬

Expanded text:
t d c ad c b. Et si fuerit proportio a c ad c e sicut d c ad c b et predicti anguli fuerint adhuc equales, dico illos duos triangulos esse equales. Coniungam enim eos angulariter ita quod latera a c et c e fiant linea una eruntque similiter b c et c d linea una. Aliter sequeretur part
Abbreviated transcription (Latin):
uuinersalit Se onnibus sinilibus suꝑficiebus quare
se correlatiuo quod uinuersaliter pontur Se omib
l ꝑficrebus similibus nondũ patet insi de triangulis
ꝓꝵ demonstrata siquente patens ent de omrib
posut cutem ipsio hic et non i sequente qr
de correlarinuõ gians non anteni sequentis ex modo
et demonstracionis huius sua ueritas mauifesta¬
est nou ex modo illis
equales et est gportio alterius earum ad altã
sicut cuiuslibet sui lateris ad suum relatiuũ
latus alteriue ꝓporcio Suxlicata

Expanded text:
nibus superficiebus similibus. Quare per corollarium quod universaliter proponitur de omnibus superficiebus similibus nondum patet nisi de triangulis, sed demonstrata sequente patens erit de omnibus. Posuit autem ipsum hic et non in sequente quia est corollarium huius, non autem sequentis. Ex modo enim demonstrationis huius sua veritas manifesta, non ex modo illiusequales, eritque proportio alterius earum ad alteram sicut cuiuslibet sui lateris ad suum relativum | latus alterius proportio duplicata.
Abbreviated transcription (Latin):
mramfestum eciam ex hit ꝙ onnium trium lureo
ꝯtinue ꝓporcionalium quanta est prima ad 3am
in lineacione ⁊ creacione
Uint Suo tuanguli dsc Deẜ sumles erunt q ꝑ
Siffim̃cio nem equianguli et laterum ꝓporcionalium
pit ergo angulus a equalis angulo d et anguluss
xqualis angulo e et angulus e angulo f Etrit¬
qr pporcio ab ad de et ac ad dꝭ sicut se ad eẜ dico
ꝙ ꝓporcio tuanguli abc ad triangillum deẜ est sicut
ꝓporcio et as ef duxlicata hubungitii eiu secundã
Doctrinam io huius Duabus lineis abc et eẜ .℥.
in ꝯtinua ꝓporcionalitate que sit eg ꝑtracta aut re¬
sucata es si eg fuerit aut maior aut minor et ꝑducat᷑

Expanded text:
Manifestum etiam ex hoc, quod omnium trium linearum continue proportionalium quanta est prima ad tertiam, in lineatione et creatione. Sint duo trianguli a b c, d e f similes eruntque per diffinitionem equianguli et laterum proportionalium. Sit ergo angulus a equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f eritque proportio a b ad d e et ali a b c ad triangulum d e f est sicut proportio b c ad e f duplicata. Subiungatur enim secundum doctrinam 10 huius duabus lineis b c et e f tertia in continua proportionalitate que sit g c protracta aut resecata c b si c g fuerit ea maior aut minor. Et producatur
Abbreviated transcription (Latin):
Sit cagonus abt ortogomius eius q angulus a recus aqͦ
Sucocier ad ꝓpendicularis ad sasim dico q uterq duoꝵx
triangulerum ꝑcialium qui sunt abs adc sumlis est totali
triangulo abc et unius eorum acteri est xñi uterq ix¬
orcogoninssin uiio angulo comminicat cum totali quaie
⁊sibi iuuidem sunt equianguli Ita ꝙ angulus s est qia¬
as angulo Sat et angulus Gas angulo e et Suo
angul qui sunt add sibi Inuicem et ang̃nlo a cotali
equalis quare ꝑ quartam huius latera equos eorm
angulos respicrentia sunt ꝓporcionalia ergo x diffm¬
cionem sunt similes quod est ꝓpositum utrunq tor
unam liueam in ꝯtinua ꝓporcionalitate collotare aũgã
unam uarum alteri sit qi tota ex rid comxosita ad ita
ꝙ bd sit equalis c et suꝑ totam destribo sem cooculum de
ed et ꝑduco be usq ad cricunferenciam xpenddicularẽ
ad liream ad dici liueam be esse qũa querinus ꝓdo

Expanded text:
sque angulus a rectus a quo ducatur a d perpendicularis ad basim. Dico quod uterque duorum triangulorum partialium qui sunt a b d, a d c similis est totali triangulo a b c et unus eorum alteri. Est enim uterque ip est orthogonius et in uno angulo communicat cum totali, quare et sibi invicem sunt equianguli ita quod angulus b est equalis angulo d a c et angulus b a d angulo c et duo anguli qui sunt ad d sibi invicem et angulo a totali equales, quare per 4 huius latera equos eorum angulos respicientia sunt proportionalia, ergo per diffinitionem sunt similes. Quod est propositum. Utrumque counam lineam in continua proportionalitate collocare. Adiungo unam earum alteri sitque tota ex eis composita a d ita quod b d sit equalis c et super totam describo semicirculum a e d et produco b e usque ad circumferentiam perpendicularem ad lineam
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ius equalis dico ꝯporcioneni se ad eg esse sicut
ec ad cs Et si ꝓporcio bt as ug̃ eg fuerit sicq ec
ad cd et predicti anguli fuerũt adc equales dico
scos Duas suꝑficies equedistantium lacerum esse equalee
Conũgam Cnin xas angulants uide licet angulo
unius cun algulo c alteruis Ĩta q duo latera uorũ
quiis sequereretur ꝑ presentem ꝑpochesin que est¬
que est angulum e unius esse equalem anguloc alte¬
⁊ius et ꝑ q̃ primi partem esse equalem tot Cam¬
pleso Itaq suꝑficiem eqͥdistancium laterum ꝑductis
lureis ad et fg quousq concurrant inħ Erit q ꝑ
primam partem a a utriusq suꝑficiei ac et ef as
suꝑficiem cħ gporcis una et quia ꝑ p̾mam huius
ꝓporcio suxficies ac ad suꝑficiem ch sicut linee ut ad
luream eg et suꝑficiri es ad randem suꝑfitiem ch
sicut ec adcd maifesta est prima pars ꝯclusionis
Guius est pporcio be ad eg sicut ac add ca/ et et ad
cs sicus es ad camdem ch et quia positum est ꝙ

Expanded text:
rius. Dico proportionem b c ad c g esse sicut e c ad c d. Et si proportio b c ad c g fuerit sicut e c ad c d et predicti anguli fuerint adhuc equales, dico illas duas superficies equidistantium laterum esse equales. Coniungaunius cum angulo c alterius ita quod duo latera earum quin sequeretur per presentem ypothesim, que est, angulum c unius esse equalem angulo c alterius et per 15 primi partem esse equalem toti. Complebo itaque superficiem equidistantium laterum productis lineis a d et f g quousque concurrant in h. Eritque per primam partem 7 quinti utriusque superficiei a c et c f ad superficiem c h proportio una et quia per primam huius proportio superficiei a c ad superficiem c h sicut linee b c ad lineam c g et superficiei c f ad eandem superficiem c h sicut e c ad c d, manifesta est prima pars proposite huius est proportio b c ad c g sicut a c ad c h et e c ad c d sicut c f ad eandem c h. Et quia positum est quod
Abbreviated transcription (Latin):
aS angulariter adiun gantur et a cõmiun termino s xõ¬
me as et secunde se Oucontur brass as extie¬
nitatem tercir ad ac as altero ⁊ termino secunde be
Distans ab stm det que queritur ꝙͣ admodum in hat
sigura fuert prima ab secundabe/ tercia ad erit quarta
dit as linea assignata ab ea uolo aliquã ꝑtem utxote
cerciam abstindere ꝯiũgo ei angulariter ut ꝯtingit liurã
in de funte quantitatis que sit oc aqua reseco cres eqs
ꝓporciones que sunt od u et et et ꝑduco lueas es
dint due luree quas sangulariter ut ꝯangit quingam
as ec ac sit qi as Siuisa incres qualestimnq porciones
assignatis in ea punctis S et e uolo secundum easdem
Sporciones Siuidere liueam ac sum igitur ixsas angu¬
lariter ꝯunxero ꝑtraham lineam se et eque distantes
et df et eg dico istas c̾ distantes dindere liuxam
at in porites ꝓporcionales partibus as ꝓtraham eñ
sicut lr l a liẜ quare sicut be ad ed ꝑ ie primi et
secũdã ꝑtẽ ⁊ͣ qui est quint quod est ꝓpositum oppitet

Expanded text:
et a communi termino prime et secunde ducatur linea ad extremitatem tertie et ab altero termino secunde ducdistans abscindet que queritur quemadmodum si in hac figura fuerit prima a b, secunda b e, tertia a d, erit quartaSit a b linea assignata, ab ea volo aliquotam partem utpote tertiam abscindere. Coniungo ei angulariter, ut contingit, lineam indefinite quantitatis que sit a c a qua reseco tres equas portiones que sint a d, d e et e c, produco lineas c b Sint due linee quas angulariter, ut contingit, coniungam a b et a c sitque a b divisa in tres vel qualescumque portiones signatis in ea punctis d et e. Volo secundum easdem proportiones dividere lineam a c. Cum igitur ipsas angulariter coniunxero, protraham lineam b c et equidistantes ei d f et e g. Dico istas equidistantes dividere lineam a c in partes proportionales partibus a b. Protraham enim sicut h k ad k f, quare et sicut b e ad e d per 34 primi et secundam partem 7 quinti. Quod est propositum. O
Abbreviated transcription (Latin):
Sad d frat emm suꝑficies ꝯtenta sus s etc di rrgo
est ꝓporcio a adẜ sicut cds s latera illarum saꝑficieꝵ
elunt mutebrefia sed et anguli as eid ꝯtent equales
Iuia uterque dst rectorum angulorũ quare ꝑ 2¬
i ptem h̃uius ipse sãt equales quod est pmum
decundum paret ꝑ primã parcem eiusdem si em̃
ipse sunt iquales̃ quia omres anguli eocium sinit rec
latera earun erunt mutebrefia quare ꝓporcio a ad¬
et .℥. rectangulum continetur equũ erit ei ꝙ a
⁊ͥ quadratum describitur si uero quod sus xͥma

Expanded text:
sub a et d et superficies contenta sub b et c. Si ergo proportio est a ad b sicut c ad d, latera illarum superficierum erunt mutekefia, sed et anguli ab eis contenti equales, quia utraque est rectorum angulorum, quare  huius ipse sunt equales. Quod est primum. Secundum patet per primam partem eiusdem. Si enim ipse sunt equales, quia omnes anguli earum sunt recti, latera earum erunt mutekefia, quare proportio a adet tertia rectangulum continetur, equum erit ei quod a secunda quadrato descri
Abbreviated transcription (Latin):
nnium triangulorum duorum quorum anguli unius
angulis alcerius sunt equales latera equos angu¬
tos respiciencia sunt ꝓporcionalia
dcem Duo cuanguli abt Bef equianguli sit qr angulus
a equalis angulo d et angulus õ equalis angulord
et anguluo eͦ equasis angulo ꝑ dico q ꝓporcio de adas¬

Expanded text:
duorum triangulorum quorum anguli unius angulis alterius sunt equales, latera equos angulos respicientia sunt proportionalia. Sint duo trianguli a b c, d e f equianguli sitque angulus a equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f. Dico q
Abbreviated transcription (Latin):
ad eẜ duxlicata quod est ppesitum/ Si autem ge
comxonitur ex equali duplicata ul trixlicata uel
quocienslibet sumꝑta ĩstam eandem passionxm
possimus eodem modo et ꝑ eadem membra Demo¬
stiore se suꝑficrebus eq dicentibus laterum sinlib¬

Expanded text:
um. Si autem g ccomponitur ex equali duplicata vel triplicata vel quotienscumque sumpta. Istam eandem passionem possemus eodem modo et per eadem media demonstrare de superficiebus equidistantium laterum si
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ eco erit argullis agc iaror recto ꝑ iz pruu quocre et
angulus e sibi equãlis est eciam mb̃ior ⁊ ecto quod est ꝯtio
xpothesim quare destunto epposito ⁊emanẽt ꝓpositum¬
o pportet autem utrmq reliquorum corgullo aut nentrũ
effr minorem ⁊ ecto possibile euin est in xodem triangu
dl intuangulo abs linea gc esse equalem be et ent
At ad utranq eocrum una ꝓportio ꝑ septimam quinti
irec tñ erunt tuanguli agc et abt eqmianguli ꝙuis unus
angulus unius sit ⁊qualis uin angulo alterius ymo
I dein ut angulus a ꝓportio linee de piout est latus magi

Expanded text:
maior recto per 13 primi, quare et angulus e sibi equalis est etiam recto maior. Quod est contra ypothesim. Quare destructo opposito remanet propositum. Oportet autem utrumque reliquorum angulorum aut neutrum esse minorem recto, possibile enim est in eodem triangulo ut in triangulo a b c lineam g c esse equalem b c et erit a c ad utramque earum una proportio per 7 quinti. Nec tamen erunt trianguli a g c et a b c equianguli quamvis unus angulus unius sit equalis uni angulo alterius, immo idem ut angulus a et proportio linee a c prout est latus magni
Abbreviated transcription (Latin):
equaliter sup̃ta multixlitib tercie secunde et quorte equa¬
titer sumptis Similiter se habuerunt in addicione di
unnucione et equalitatei esse ꝓportionem prime ad secũ¬
Sam sicut tercie ad quartam uerum si subtiliter intuet᷑
Aquido ꝯscabit nen pose uniri intellectum ꝙ pporcio
duarum quantitatum equalium ad terciam sit una ue
ꝑo quis est esse pporcionem unam Osi enin quis ig¬
norat quid est esse ꝓporcionem unam randem ꝓporcior̃x
alteni quomodo cognoscẽt Suarum quantitatum equalus
esse candem ꝓporcionem ad cerciam Indiget ĩgitur pcul¬
esubio intellectus ante quam illam que intebatur ꝯcex¬
eadem diffinicio Suabus quantitatibus equalibus
⁊ Siffinicio Iuuenta fuerirt illis quantitatibus quenire
ꝯcedetur ꝓpositum du autem oppositum Nonest igitur
inxdiata pposicio quam suꝑficialus aprehensio inme¬
ꝓ̃titatum in equalium maior est gorcio maioris earunt ae

Expanded text:
equaliter sumpta multiplicibus secunde et quarte equaequaliter sumpta multiplicibus secunde et quarte equaliter sumptis similiter se habuerint in additione et diminutione et equalitate esse proportionem prime ad secundam sicut tertie ad quartam. Verum si subtiliter intuemur, liquido constabit non posse uniri intellectui quod proportio duarum quantitatum equalium ad tertiam sit una nisi per quid est esse proportionem unam. Si enim quis ignoret quid est esse proportionem unam eandem proportionem alteri, non cognoscet duarum quantitatum equalium esse eandem proportionem ad tertiam. Indiget igitur proculdubio intellectus antequam illam que videbatur concepea diffinitio duabus quantitatibus equalibus si diffinitio inventa fuerit illis quantitatibus convenire, concludetur propositum. Sin autem oppositum, non est igitur immediata propositio quam superficialis apprehensio immeuarum quantitatum inequalium maior est proportio maioris earum ad
Abbreviated transcription (Latin):
in ad dicione ee Simiiiucione secĩde qualitate intelligo
cunt s primum d secundum et d tercium et e quartũ
multiplicio pͥmi et secundi que sunt g et e similitersit
se habent multiplicibus tercii et quarti que sunt ħ̃ et  in
Aicione dimimitione et xqualitate eris ꝑ predictõ
Siffincionem ꝓporcio s xrimi ad d secundi sicut d
tertii adt quarti quod est ꝓpositum Coustat itaq modus
arguendi qui Dicitur ꝯuersa ꝑporcionalitas / quius autem
quinti libri presenciã plurimis Difficilima esse uidentur
et quibusDam ꝯclusionibus quas ex ipsis de mostrat iug
ab intellectus Discancia Nichil em̃ uidetur in uellegtui od¬
as ⁊ ꝙ̃libet sit ꝓporcio una quod tamen huius quinti
septima Semonstrat ex diffinicione in ꝯtinue ꝑporciono¬
litatio que ab intellecu uidetur xrimo ꝙͣ plurimũ esse
remota quis enin non facilius duarum quantitatũ equa¬
lium ad aliquam terciam eandem esse ꝓporcionem ꝯcedat
quam quatuor quantitatum si multiplicia prime et tercie

Expanded text:
minutione et equalitate. Intelligo tunc b primum, a secundum, d tertium, c quartum. multiplicia primi et secundi que sunt g et e similiter se habent multiplicibus tertii et quarti que sunt h et f in additione, diminutione et equalitate, erit per predictam diffinitionem proportio b primi ad a secundum sicut d tertii ad c quartum. Quod est propositum. Constat itaque modus arguendi qui dicitur conversa proportionalitas. Huius autem quinti libri principia plurimis difficilima esse videntur et quibusdam conclusionibus quas ex ipsis demonstrat magis ab intellectu distantia. Nihil enim videtur intellectui am quamlibet una proportio. Quod tamen huius quinti 7 demonstrat ex diffinitione incontinue proportionalitatis que ab intellectu primo videtur quam plurimum esse remota. Quis enim non facilius duarum quantitatum equalium ad aliquam tertiam eandem esse proportionem concedat quam 4 quantitatum si multiplicia prime et tertie
Abbreviated transcription (Latin):
Ouniũ duoꝵ trianguloꝵ quorum cunctorũ later
sese ⁊ espiciencium est pporcio una anguli lace¬
ribus ꝓporcionalib ꝯtenti equi sibi Inuicem esse.¬
probantur
hec est quersa prions nec fecit ex ea et premissa unam
ꝯclusionem sicut fecit in secunda et tercia huius quia nec
eadem figuracione nec eisrdem me dus demonstratur quib
prece dens dint itaq duo tuanguli abt def sit q ꝑ¬
portio ab ad de et ac ad /dẜ sicut be ad eẜ dico ꝙ
angulus A est equãlis angulo S et angulus s angulo
⁊ et angulus e angulo ꝑ ꝯstituam super linram et moppo¬
sica parte trianguli Sẜ angulum feg equalem anguls
s et angulum etg equalem angulo c erit q ꝑ ⁊⁊ pun
angulus e equales angulo a quod est ꝓposttam E ⁊go xo¬

Expanded text:
Omnium duorum triangulorum quorum cunctorum laterum sese respicientium est proportio | una, anguli lateribus proportionalibus contenti equi sibi invicem probantur esse. Hec est conversa prioris nec fecit ex ea et premissa unam conclusionem sicut fecit in secunda et tertia huius, quia nec eadem figuratione nec eisdem mediis demonstratur quibus precedens. Sint itaque duo trianguli a b c, d e f sitque proportio a b ad d angulus a est equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f. Constituam super lineam e f in opposita parte trianguli d e f angulum f e g equalem angulo b et angulum e f g equalem angulo c. Eritque per 32 primi angulus g equalis angulo a, ergo
Abbreviated transcription (Latin):
Et ds ad ac est sicut es ad bt ponam enm ambes tri¬
angulos suꝑ lineam unam que sit et Ita ꝙ duo an¬
guli unuis qui erunt super hant linxcon sant equales
Suobus alterius qui erunt sux eandem non quidam
mnedius medio aut extrems extremo sed medius
unius estremo alterius Ert xonam Suos xorid me¬
Sios angulos in uodem puncto coire sit qz afc ipse
dem criangulus abt et quia angulus fa est equa¬
enra eque distans de et dꝭ eque distans ac Coxle¬
uo. gitur suꝑficiem eque distancium laterum que sit
g ẜ erit ꝙr ꝑ pꝵ prim ga equalis Of et g d equalis
ds quia erg̃o p secundam hnius ga ad ac sicut ef ad
pe Et per uandem et ad fe sicut ed ad do eũt ꝑ¬
⁊ ptimam quint Sꝭ ad ac et ꝑ uandem ed ad ẜa sicut

Expanded text:
sicut e f ad b c. Ponam enim ambos triangulos super lineam unam que sit e c ita quod duo anguli unius qui erunt super hanc lineam sint equales duobus alterius qui erunt super eandem, non quidem medius medio aut extremo extremus, sed medius unius extremo alterius. Et ponam duos eorum medios angulos in eodem puncto coire. Sitque a f c ipse idem triangulus a b c et quia angulus a f c est equaf equidistans d e et d f equidistans a c. Complebo igitur superficiem equidistantium laterum que sit g f eritque per 34 primi g a equalis d f et g d equalis a f. Quia ergo per secundam huius g a ad a c sicut e f ad f c et per eandem e f ad f c sicut e d ad d g, erit per 7 quinti d f ad a c et per eandem e d ad f a sic
Abbreviated transcription (Latin):
stat rt pxinio prece denti multipliq et luuxlo
ut tuxlum ex duplo et simplo excexto uio
multipliti quo constat ex uis simplo quia ergo
Nest equacis uip̃ non eut eꝭ minor l̃ itaq ef et
S nor efficient minus quã e et d quare non effi¬
crent iuiius ꝙͣ. m et quia fgt ist maior d eut
Eg maior quam in Intelligo igitur ꝙtitatem de.
idem in racione Suorum quod est m et addit
Eg multiplex prĩme super ay multiplex secunde
non addic autem h multiplex 3ͤ super m multiplex
Qᵈ erit ꝑ diffuitionem maioris imꝓporcionalitars
maior ꝓporcio ut prime ad d secuidam ꝙͣ a 3¬
es s pᵐ quod est primũ secundum ꝑbabis
ꝑ eandem diffuntionem ꝯuerso ordine ut d sit
ti plicem quarte quare maior est puorcio d ad
a ꝙ̃ s adec / quod est secundum Ex qnius
autem demonstiacionis modo xatet sufficiencia

Expanded text:
stat ex proximo precedenti multiplici et simplo, ut triplum ex duplo et simplo excepto primo multiplici quod constat ex bis simplo. Quia ergo h est equalis k f, non erit k f minor l, itaque k f et d non efficient minus quam l et d, quare non efficient minus quam m et quia f g est maior d, erit k g maior quam m. Intelligo igitur quantitatem bidem in ratione duorum quod est m, et addit k g multiplex prime super m multiplex secunde, non addit autem h multiplex tertie super m multiplex quarte, erit per diffinitionem maioris improportionalitatis maior proportio b c prime ad d secundam quauartam. Quod est primum. Secundum probabis per eandem diffinitionem converso ordine, ut d sit ltiplicem quarte, quare maior est proportio d ad a quam d ad b c. Quod est secundum. Ex huius autem demonstrationis modo patet suf
Abbreviated transcription (Latin):
se ꝑtimam primi cuangulus eds equalis tuangule
Sec propter ꝙ ixsi sunt ambo sux lineam Se
inter lineas equedicentes Icaqz x seomdam
ꝑtem septime quint ꝓporcio tuanguli a de as
utrunq illorum erit una sed eius ꝑ premissã¬
ad tuangulum es d est sicut linre as ad linea
Ec Ss et ddo tuangulum del sicut liree ce ad liurã
ec nam ipse cum utroq illoium est equalis altitudinis
quare ꝓporcio ad as ds est sicut co ad et quid est p̾mũ
uit sullit fuent aut ꝑ premissam ipsius ad utrũq¬

Expanded text:
ue per 37 primi triangulus e d b equalis triangulo d e c propter id quod ipsi sunt ambo super lineam d e inter lineas equidistantes. Itaque per secundam partem 7 quinti proportio trianguli a d e ad utrumque illorum erit una. Sed prad triangulum e d b est sicut linee a d ad lineam d b et ad triangulum d e c sicut linee a e ad lineam e c. Nam ipse cum utroque illorum est equalis altitudinis, quare proportio a d ad d b sicut a e ad e c. Quod est primum. Et si hoc fuerit, erit per premissam ipsius a
Abbreviated transcription (Latin):
sumam ge multiplicem secũdum queq numerum
uoluero ad ut et ⁊ duuidam eam in ꝑtes equales
Ec in punctis ħ et s aquibus in puucto g. Sucam eqͥ¬
Sicentes linee ab que sint gli et hl Et complebo
suꝑfitres e que dicencium lacerum ld et lo erit q
una queq earum ꝑ uicesimã sextam primi equalis
ac quore sicut linea gc est mulciplex linre be
Ita suꝑficies lic suꝑficie ac Sumiliter quoq ad
sineam ef sumam ex liuea giii lueam fii multi¬
plicem secundum quenq inimerũ uoluero et ꝯpłle

Expanded text:
sumam g c multiplicem secundum quemcumque numerum sumam g c multiplicem secundum quemcumque numerum voluero ad b c et dividam eam in partes equales b c in punctis h et b a quibus et puncto g ducam equidistantes linee a b que sint g k et h l et complebo superficies equidistantium laterum k h et l b. Eritque unaqueque earum per 36 primi equalis a c, quare sicut linea g c est multiplex linee b c ita superficies k c superficiei a c. Similiter quoque ad lineam e f sumam ex linea g m lineam f m multiplicem secundum quemcumque numerum voluero ad e
Abbreviated transcription (Latin):
gous Sef fuerit q angulus A equalis angulod
et angulus s equalis angulo e et ꝓporcio as ad
Se sicut ac ad dẜ et bc ad es ipsi erunt similes
Suꝑficies mutuorum lacerum sunt inter quoꝵ
latera in ꝯtinua ꝓporcionalitas Intrasitiur habet᷑
ut si duorum qua drilaterum abc de ẜ ꝓporcio
as lateris prini ad de latus secundum secundi
fuerint sicut ꝓportio ef laceris secundi ad ue la
ceris primi illa duo quadrilatera duum mutuoꝵ
laterum sius muteliefra liuxa Dicitur diudi se¬
cun dum ꝓportieiem habentem medium et duo
extrema quande eadem est ꝓportie cocius ad ma¬
orem sui seccionem que est maioris Ad minorem
Si duarum rectilinearum saꝑfiçierum equi dis¬
tancium laterũ sue trianguloriũ fuerit altitu¬
So una tanta erit alterutra erum ad alterã
ꝙͣta sua basis ad basim alterius
nam ista duo ꝑalellograma suꝑ lineam quẽ Nit
gni erũt q ꝑpter hoc ꝙ sunt equalis altitu dinis
inter lmeas eque dicentes quarũ sit altera lin

Expanded text:
lus a equalis angulo d et angulus b equalis angulo e et proportio a b ad d e sicut a c ad d f et b c ad e f, ipsi erunt similes. ⟨ii⟩ Superficies mutuorum laterum sunt, inter quarum latera incontinua proportionalitas retransitive habetur. At si duorum quadrilaterum a b c, d e f proportio a b lateris primi ad d e latus secundi fuerit sicut proportio e f lateris secundi ad b c latus primi, illa duo quadrilatera dicuntur mutuorum laterum sive mutekefia. ⟨iii⟩ Linea dicitur dividi secundum proportionem habentem medium et duo extrema quando eadem est proportio totius ad maiorem sui sectionem que est maioris ad minorem. ∗∗∗ ⟨VI.⟩1 Si duarum rectilinearum superficierum equidistantium laterum sive triangulorum fuerit altitudo una, tanta erit | alterutra earum ad alteram quanta sua basis ad basim alterius.nam illa duo paralellograma super lineam unam que sit g m eruntque propter hoc quod sunt equalis altitudinis inter lineas equidistantes quarum sit altera k n,
Abbreviated transcription (Latin):
Si cib aliquor crianguli lunea ⁊ ecta ad basim ducta
angulum illum per equalia secet duas ꝓteb
apsis basis ⁊eliquis eiusdem tuanguli lateribus
pporcionales esse si uero due portex basis quas
Ara a b angulo Sucta ꝯdiscinguit reliquis tu¬
argul̃ lateridus ꝓporcionales fuerint liecore¬
dcam angulum ꝑ equalia secare necesstcrio cõxbatur¬

Expanded text:
um trianguli linea recta ad basim ducta angulum illum per equalia | secet, duas partes ipsius basis reliquis eiusdem trianguli lateribus proportionales esse. Si vero due partes basis quas linea ab angulo ducta distinguit reliquis trianguli lateribus proportionales fuerint, lineam illam angulum per equalia dividere necessario co
Abbreviated transcription (Latin):
uent gnñ eadeu Sisposicione si fuerit ꝓporcio basa da
uensicurs as de quare ꝑ prmnissa ea ad ac est sicue
qs as drc erit eadem ꝓporcio ea adac que est esũ
s ac̃ ergo ꝑ prm̃am partem none quinti ea et ab sũt
equales quare ꝑ quintam prim duo anguli e et eba
⁊iu equaris eigo ꝑ primam partem et secindoors¬

Expanded text:
uerit proportio b a ad a c sicut b d ad d c, quare per premissam e a ad a c sicut b d ad d c erit eadem proportio e a ad a c que est b a ad a c, ergo per primam partem 9 quinti e a et a b sunt equales, quare per 5 primi duo anguli e et e b a sunt equales, ergo per primam et secund
Abbreviated transcription (Latin):
Si quotlibet quantitates ad alias totidẽ i
⁊ elatiuam maior ꝑportio ꝙͣ alicuius sus seꝙͣtis ad
suam erit omnum hociun pariter acceptarum ad
onnres illas ꝑiter acceptas m aior ꝓporcio ꝙͣ ali¬
cuius sus sequentis ad suam comxarem aut eciã
ꝙ omnum ꝑiter acceptarum ad onnes ꝑater
acceptas minor autem ꝙ prime ad p̃mam
Sint tres quontitates abt relate ad totidem alias
que sunt def sit q maior ꝓporcio a as d ꝙͣ sad
Acceptarum ad e et f pariter accextas et ꝙ ipsa ẽ
minor ꝙ̃ a ad d cum sit eñ d ad d maior ꝙ̃ s ad
e euit ꝑ mũtatim a ad s̃ maior ꝙͣ s ad e et ꝯũttim
a̧is ads maior ꝙͣ de ade Et iterum pnutatun ab
as de maior ꝙͣ s/ ade quare ꝑ premissum d as
S est maior ꝙ̃ ab ad de Eodem modo ꝓbabitur
qͣ be ad ẽs quare ꝑ premissam maior est a as s

Expanded text:
Si quotlibet quantitates ad totidem alias corelativam maior proportio quam alicuius subsequentis ad suam, erit omnium harum pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas maior proportio quam alicuius subsequentium ad suam comparem aut etiam quam omnium pariter acceptarum ad omnes pariter acceptas, minor autem quam prime ad primam. Sint tres quantitates a, b, c relate ad totidem | alias que sint d, e, f sitque maior proportio a ad d quam b ad acceptarum ad e et f pariter acceptas et quod ipsa est minor quam a ad d. Cum sit enim a ad d maior quam b ad e, erit permutatim a ad b maior quam d ad e et coniunctim a b ad b maior quam d e ad e. Et iterum permutatim a b ad d e maior quam b ad e. Quare per premissam a ad d est maior quam a b ad d e. Eodemque modo probatur f quam b c ad e f, quare per premissam maior est a ad d
Abbreviated transcription (Latin):
Onnes duotranguli quorum unus angulus unus
uin angulo altericis equalis latera q illos duos
aygules equos ꝯtimencia ꝓporcionalia sunt inter
se iuicem equianguli
cum enin sit ꝑ quartum huius propter ypocheses ꝯclusi
rcut ad eg quare ꝑ secundam portem none quuite
de est equalis eg ergo ꝑ et latera de et es tagoni des
ruit equaliaSnobis luceribus es et eẜ cugere ges

Expanded text:
Omnes duo trianguli quorum unus angulus unius uni angulo alterius equalis lateraque illos duos equos angulos continentia proportionalia, sunt inter se invicem equianguli.Cum enim sit per 4 huius propter ypotheses premissb ad d e sicut ad e g, quare per secundam partem 9 quinti d e est equalis e g. Quia ergo duo latera d e et e f trigoni d e f sunt equali
Abbreviated transcription (Latin):
St fuerme quoclibe ꝙͣtitatum odtosdem aliarĩ¬
qporcio una erit quoq que est ꝓporcio unnius adunam
eadem ꝓporcis harum omnnẽ ꝑiter accextaꝵ ad onuesi
alias ꝑite acceptas
e prũma pposũt Se muil tixlicibus hic pomit de omubus
plicicas est ꝓporcio non autem eꝯuerso Sit igitur a ad uetc
ad d et e ad f ꝓporcio una Sico ꝙ que est ꝓporcio
a ad s eadem est compositi ex ace ad comxositum ex
udf Sumam Igitur g ad q̃ de et h adt et l ade
e que multiplicia Item qr l asb et in ad s et i ad¬
f e quenultiplicia erit q ꝑ primam huius ꝯpositum ex
g q l ita multiplex compositi exace sicut g est multixlex
A dnuiliter ꝑ eandem comxositum ex lar n erit ista me¬
ciplex ꝯpositi exb df sicut l est multiplex s ꝑ quer
nuit et si equat equat ergo per comnunem screnciam

Expanded text:
Si fuerit quotlibet quantitatum ad totidem | alias proportio una, erit quoque que proportio unius ad unam, eadem proportio omnium pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas. Quod prima proposuit de multipliciplicitas est proportio, non autem econverso. Sit igitur a ad b et c ad d et e ad f proportio una. Dico quod que est proportio a ad b eadem est compositi ex a c e ad compositum ex b d f. Sumam ergo g ad a et h ad c et k ad e eque multiplicia. Itemf eque multiplicia. Eritque per primam huius compositum ex g, h, k ita multiplex compositi ex a, c, e sicut g est multiplex a. Similiter per eandem compositum ex l, m, n erit ita multiplex compositi ex b, d, f sicut l est multiplex b. Per conuit et si equat, equat. Ergo per communem scientiam
Abbreviated transcription (Latin):
positum/ Se tuangulis equalis altitidims uerõ
dsa Eitremitatibus earum quas ad bases sumes
nuetiplices ad uertices angulorum
li quo lateri fuerit eque discans eam illa duo
latera ꝓporcionaliter secare si uero ꝓportionalit
secet reliquo lateri eque distare necesse est
Sit triangulus abs cuius duo latera ab et ac
secet liuea de equedistanter cercio laceri quod
est bc dico ꝙ̃ erit ꝓporcio ad ad db sicut ar ad ec
oet equerso si fuerit ꝓportio ad ad ds sicut ae ad

Expanded text:
angulis equalis altitudinis idem ab extremitatibus earum quas ad bases sumes multiplices ad vertices triangulorliquo fuerit equidistans, eam illa duo latera proportionaliter secare. Si vero proportionaliter secet, eam reliquo lateri equidistare necesse est. Sit triangulus a b c cuius duo latera a b et a c secet linea d e equidistanter tertio lateri quod est b c. Dico quod erit proportio a d ad d b sicut a e ad e c et e
Abbreviated transcription (Latin):
ad s erit q ex prima parte decime es minor ꝙ̃
as quare ex cõmum stiencia e est min̾or ꝙͣ a minor
gitur est ex prima ꝑte d gporcio e ad s ꝙͣ sit a
adb ⁊ pporcio e adb est sicut t ad dex disiucta
maior est ꝙͣ sit c ad d quod est gpositum

Expanded text:
ad d. Eritque ex prima parte 10 e b minor quam a b, quare ex communi scientia e est minor quam a, minor igitur est ex prima parte 8 proportio e ad b quam sit a ad b, sed proportio e ad b est sicut c ad d ex disiuncta maior quam sit c ad d. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
labrar ad e in ꝓporcione g ad d dabo sibi maiorẽ
cuit minorem aut equalem ds aut in differenter
sicut uoluere quare non demonstrat aut cicci dit
sior crrculus et princioia esse ignociora ꝯmunioris
eSuxponenda igitur sunt cum euclide pñtixia tan¬
ꝙ nota et non ipsa ex oclusionibus s ꝯclusiones
Ex ipsis demonstrande sunt
equemultixlices eait singule singulis equales
nocesse est quena dinoddũ una eorum ad sui
comxarem totum q ex ħiis aggatum ad omres iscat
diter acceptas sumliter se habere
Dut quodliset quantitates que sunt abt aliarũ¬

Expanded text:
habeat ad e in proportione g ad d, dabo tibi maiorem habeat ad e in proportione g ad d, dabo tibi maiorem aut minorem aut equalem a b indifferenter sicut voluero, quare aut non demonstrat aut accidit sibi circulus et principia esse ignotiora conclusionibus. Supponenda sunt igitur cum Euclide principia tanquam nota et non ipsa ex conclusionibus, sed conclusiones ex ipsis demonstrande sunt eque | multiplices aut singule singulis equales, necesse est quemadmodum una earum ad sui comparem, totum quoque ex hiis aggregatum ad omnes illas pariter acceptas similiter se habere. Sint quotlibet quantitates a,