comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
figura corporea rotunda cuius bases sunt
Suo circuli plair extremitatib et crassier¬
Sine equales est transitus ꝑ allellogrami
retanguli ⁊ ectanguli laters ⁊ ectum angulũ
continente fixa ipsa q suꝑficie donec ad locũ
siuim redeat orcunducta dicitier q hec
figura columxna rotunda columxne itaq¬
⁊ ocĩde acq spetie cirtuli q unum acq
idem est centaun
Sit pasellogrannũ rectangulum abcd figurat q
latus as et uo fixo totum ꝑalellogramum quousq ad
socum stumi redeat circurducatur Corporra ergo
figura huius ꝑalellogran motu destuxta rotunda
coliuuxna rominat᷑ cuius uases sunt duo cirtuli et
est uinis eorum circulorum quom destribit motu
sigat da cuius centrum a aixis antem huius
co lumpne dicitur linea ab que maiet in motu
palellograun fixa Et si ymagnnati fuerimui ꝑalel¬
logramum abcd cum ꝑuenerit rotatu suo ad sicum
abef quingi situi aquo moueri cepit secimndũ cõtinu¬
itatem suꝑficie plane ut totum sit unum ꝑalellogia¬

Expanded text:
gura rotunda corporea, cuius bases sunt duo circuli plani extremitatibus et crassitudine equales, est transitus paralellogrami rectanguli latere rectum angulum continente fixo ipsaque superficie, donec ad locum | suum redeat, circumducta. Diciturque hec figura circumducta columna rotunda. Columne itaque rotunde atque spere circulique unum atque idem est centrum. Sit paralellogramum rectangulum a b c d figaturque latus a b et eo fixo totum paralellogramum quousque ad locum suum redeat circumducatur. Corporea ergo figura huius paralellogrami motu descripta rotunda columna nominatur cuius bases sunt duo circuli et est unus eorum circulus quem describit motu st punctus a. Axis autem huius columne dicitur linea a b que manet fixa in motu paralellogrami. Quod si imaginati fuerimus paralellogramum a b c d cum pervenerit rotatu suo ad situm a b e f coniungi situi a quo moveri cepit secundum continuitatem superficiei plane, ut totum sit unum paralellogra
Abbreviated transcription (Latin):
eciuddum ut si altitu dur̃es et lases sunt puti
onantur autem altitudines equales erunt quoq bases
equaoles ĩdeo q ꝑ .3. et selida equalia et sit cõ¬
stabit secuda poocra dic uero s lirree es et fd nõ
fueriñt equales sit es maior et ex ea resecetur
fg̃ ad equalitatem es cerbusm ceteris liners hux siit
accitudm̃s solid cd̃ ad cardem mrensuram in xuctis
qͥet resecatis ꝑficiatur solidum ꝑalellogranũd eg

Expanded text:
secunda. Ut si altitudines et bases sint mutue, secunda. Ut si altitudines et bases sint mutue, ponantur autem altitudines equales, erunt quoque bases equales ideoque per 31 et solida equalia. Et sic constat secunda pars. At vero si linee e b et f d non fuerint equales, sit f d maior et ex ea resecetur f g ad equalitatem e b tribusque ceteris lineis que sunt altitudinis solidi c d ad eandem mensuram in punctis h, k, l resecatis perficiatur solidum pa
Abbreviated transcription (Latin):
Debus mutue ipsa solida sibi inuicem equa esse
necesse est
Quecune sint solida equi distancium suꝑficrerum equalia
exnius bases et altitudinẽs necese est esse uute¬
trefias et eꝯuerso quenadmosu De superficiebus
e qui distancium laterum equiangulis ꝙ Gxͣ. gᵗ ꝯposũt¬
pponitur de illis solidis palellogramis in quibus
linee altitudinum suis uasibus erthogonaliter In¬
sistunt ea uero que sequitur ꝓpenitur idem eciam
De ceteris Siñt ergo nũt duo solida ꝑalellograma
as et ed equalia quorum sunt ae et c linee q
altitudinum ipsorum suñt super h̃as bases orthogoralr̃
erecte et sic altitudo solidi ab linea eb et solidi
ed linea ꝑd esi ita firerint due liure es et po
determinantes ipsorum solidum altitudines ad̾mucẽ
equales cum ipsa quoq solida sint ypota xqualia
etunt ex ꝯuersa .zi. bases eoruin que sunt ae it ef
equales ⁊ deeqi bases et ascitudines etmt mutue

Expanded text:
equalia esse equalia esse necesse est. Quecumque sint duo solida equidistantium superficierum equalia, eorum bases et altitudines necesse est esse mutekefias et econverso, quemadmodum de superficiebus equidistantium laterum equiangulis 13 sexti proposuitproponitur de illis solidis paralellogramis in quibus linee altitudinum suis basibus orthogonaliter insistunt. Ea vero, que sequitur, proponit idem etiam de ceteris. Sint ergo nunc duo solida paralellograma a b et c d equalia quorum bases sint a e et c f lineeque altitudinum ipsorum sint super has bases orthogonaliter erecte et sit altitudo solidi a b linea e b et solidi c d linea f d. Si igitur fuerint due linee e b et f d terminantes ipsorum solidorum altitudines ad invicem equales cum ipsa quoque solida sint ex ypothesi equalia, erunt ex conversa 31 bIdeoque bases et altitudines erunt mutue.
Abbreviated transcription (Latin):
ses quidem ee prethesi dolida antem doeꝯalia ba
grͣ sequitur ex a. .li. uis assumxta senres ꝑ sasi
et senrel prosolidis ꝙ solidor as et es doasuso¬
q ab et ed sit ꝓporcio una quod demonstrale uo¬
Cumus / huius qͦq conuersam eadem ixsa mediante
De monstrare quẽ ad modum cõuersas precedencium
non est difficile Pones gun duo solida ꝑalellogra¬
ma esse suis basibus ꝓporcionalia et cõmentes ea esse
eque alta absciso enmꝰ ex eo quod alcius mencietur
Suersarius uno solido ꝑallellogramo eque alto de¬
missrõꝵ : erunt abstisum et demissius suis basibus ꝓpor¬
ciõnalia ex hac prͣ cunqi eciam essent eotale alcius aq ͦ
ꝑciale absti disti et ipsum demissuis eisdem basibus ꝑ
uorcionalia ẜ ex y pothesi sequitur ex p̃ma parte qe¬
Ar ͣ totale quod aduersarius dicit alcius et parciole quod
as eo abstidisti esse equalia
crint equalia eorum bases eorum altitudinibus mu¬
tucis esse Si uero fuerint sux bases suis altitu

Expanded text:
ses quidem ex ypothesi, solida autem ex 31 vel 32, sequitur ex 7 quinti bis assumpta semel pro basibus et semel pro solidis quod solidorum a b et c d basiumque a b et c d sit proportio una. Quod demonstrare volumus. Huius quoque conversam eadem ipsa mediante demonstrare quemadmodum conversas precedentium non est difficile. Pones enim duo solida paralellograma esse suis basibus proportionalia et convinces ea esse eque alta. Absciso enim ex eo quod altius mentietur adversarius uno solido paralellogramo eque alto demissiori erunt abscisum et demissius suis basibus proportionalia ex hac 33. Cumque etiam essent totale altius a quo partiale abscidisti et ipsum demissius eisdem basibus | proportionalia ex ypothesi, sequitur ex prima parte 9 quinti totale quod adversarius dicit altius et partiale quod ab eo abscidisti esse equalia.erint equalia, eorum bases eorundem altitudinibus mutuas esse. Si vero fuerint due bases suis altitu
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯstita sunt ꝓportionales  Sit eiũ ex io s sicud lura
a ad liñram b Ica linea c ad lmeam li et fiat setõ¬
Dum 2a. huius suxer cineam l solidum exprese sum¬
le solido S qued eciam dicatur lr eut qi ex diffuncio¬
ne similium corxorum et similium superficierum et ro. gͥ

Expanded text:
constituta sunt proportionales. Sit enim ex 10 sexti sicut linea a ad lineam b ita linea c ad lineam k. Et fiat secundum 27 huius super lineam k solidum expresse simile solido d quod etiam dicatur k. Eritque ex diffinitionibus similium corporum et similium superf
Abbreviated transcription (Latin):
canieit ambo posita sint equalia et super cand
gasiy constituta unum solidum ꝑalellogramum
equealtum demissiori abstinderis hoc eui abst¬
sum esse demissiori ꝯuientes ex hac et premissa
sibus equis constituta si fuerint eque alta
liñreq angulares supra bases orthogonaliter
sceterint erunt equillia
Et hoc quoq uerum est ꝙ omna solida ꝑalel¬
lograma in equis basibus acq inter eque distã¬
ces suꝑficies sur̃e eque alta constituta sant ad
inuirem equalia sicud de suꝑficiebus equi distãtiũ
laterum super equaled uases et inter linead equi¬
discantes ꝯstitutis in 36. pmi ꝓbatum est ac
calium solidorum alta sunt quorum angulares
lunẽe suꝑ suas bases or chogonaliter erigunter
de quibius hec zi. demonstrandum esse grouit
ea esse iqualiã dlia uero sunt quorum angie¬
larei lñre super suris bases non sunt ortogo¬
naliter erecce de quibud sequens demon strco. did

Expanded text:
tamen ambo posita sint equalia et super eandem tamen ambo posita sint equalia et super eandem basim constituta unum solidum paralellogramum eque altum demissiori abscideris. Hoc enim abscisum esse equale demissiori convinces ex hac et premissa, sibus equis constituta si fuerint eque alta lineeque angulares supra bases orthogonaliter steterint, erunt equalia. Et hoc quoque verum est quod omnia solida paralellograma in equis basibus atque inter equidistantes superficies sive eque alta constituta sunt ad invicem equalia sicut de superficiebus equidistantium laterum super equales bases et inter lineas equidistantes constitutis in 36 primi probatum est. At talium solidorum alia sunt quorum angulares linee super suas bases orthogonaliter eriguntur de quibus hec 31 demonstrandum esse proponit ea esse equalia. Alia vero sunt quorum angulares linee super suas bases non sunt orthogonaliter erecte de quibus sequens demonstrandum
Abbreviated transcription (Latin):
e qui Sistancium laterum equalus unituiq trium
suꝑfic̃ierum quarum una est basis ꝓpositis solidis
ꝯmums et ipsa est ad et die relique sunt
supreme suꝑficies eorundem solidorum et ipse
auit es et ft Suctis itaq liueis a 4 .ͫ punctus
aynpq̃ as quatuor angulos sasio ad sibi secm¬
Sum directam habitudinem relatos que siñt na
mx ꝑs p perfectum erit solidum ꝑalelloghnũ
aꝗ in radem basi cum utroqi Duorum priorum
et eque altĩ et super liuram unam cum atioꝵ
ipsorum aꝑ p̃missam ĩta utunq Suarum solidoꝵ
ꝑpositorum que sunt as et at est equel e hsolido
aq ꝑ conceptionem ita est solidum ab eqisle
Simpossibile / pones enĩm duo quelis et solida
palellograma esse equalia et constituta suxer eds
basim et demonstiabie esse eque alta Ecunt q
qec et p̃missa cue demonstrationis medium Im¬
possibile autem ad quod Quoes erit partem suo
toti esse xqualem quod euidenter patebit si de illo
poludo ꝙ altius esse iñtitur aduersariũs cum

Expanded text:
q equidistantium laterum equalis unicuique trium superficierum quarum una est basis propositis solidis communis et ipsa est a d et due relique sunt supreme superficies eorundem solidorum et ipse sunt e b et f c. Ductis itaque lineis a 4 punctis m, n, p, q ad 4 angulos basis a d sibi secundum directam habitudinem relatos que sunt n a, m r, p s, q d perfectum erit solidum paralellogramum a q in eadem basi cum utroque duorum priorum et eque altum et super lineam unam cum utroque ipsorum. Per premissam igitur utrumque duorum solidorum propositorum que sunt a b, a c est equale solido a q. Per conceptionem ergo est solidum a b equale ad impossibile. Pones enim duo quelibet solida paralellograma esse equalia et constituta super eandem basim et demonstrabis ea esse eque alta. Eruntque hec et premissa tue demonstrationis medium. Impossibile autem, ad quod duces, erit partem suo toti esse equalem. Quod evidenter patebit si de illo solido quod altius mentitur esse adversarius cum
Abbreviated transcription (Latin):
ga et gli que ex io. p̾mi longiores sunt linea h̃lr ciũp
ex radem Due liunxe es et ut siñt longiores linea
et sequitur ut sprinus uc et eẜ ꝑiter acceptas esse lor¬
giores ll ac uero si duo predicti angule sint ma¬
iores Suobus rectis erunt ex.riͣ primi due linee
al stac ideo q et due as et sgli bremores du¬
abus que sunt dotet bc quai̾e ut urius st et es
ꝑiter piter accexte sunt longiores cmr̃a g̃s et
quis duo ꝑite accepte tercio suit incrores
ouires autem tres simul quatuor ⁊ ectis am¬
gulis miiores ex tribus illis equalibus qua¬
Testunqi suit solidum angulum constituere
Diñt ꝑposici tres anguli suꝑficialeg qui sunt abie de

Expanded text:
g h et g k, que ex 20 primi longiores sunt linea h k. Cumque g h et g k, que ex 20 primi longiores sunt linea h k. Cumque ex eadem due linee l b et b c sint longiores linea l c, sequitur ut prius b c et e f pariter acceptas esse longiores h k. At vero si duo predicti anguli sint maiores duobus rectis, erunt ex 21 primi due linee a l et a c ideoque et due g h et g k  breviores duabus que sunt l b et b c. Quare ut prius b c et e f pariter accepte sunt longiores linea h k etcquique duo pariter accepti tertio sint maiores, omnes autem tres simul quatuor rectis angulis minores, ex tribus illis equalibus qualescumque sint solidum angulum constituere. Sint tres propositi anguli superficiales q
Abbreviated transcription (Latin):
sunt ab at ac de dꝑ gh gli ut subtendantur eis
tres uases que sint ut ef q̃l ex hũs ergo tribus basib
triangulum aio posse ꝯscitui Esto euin angulus bal
e qualis angulo d et linea al linee de et ꝑtrahantur
e le erit qz ex quarta primi lira Es equalis linee
ef ex ypothesi uero constat totalem angulum a esse
maiorem angule s erant enin quique duo extribus
angulis bat et s et g tu tercio maiores Ita xx .⁊x.
primi linea le maior est liea Ilr sunqz sint ex
io. primi due liunee es et be maiores liura le
se quitir duas lines ls et bt esse multo forcius
maiores lurea qli quiã ita ls est equalis ef erunt
Sue liner ut et eẜ maiores lurea hlr constat Itaq
hoc modo quasq Duas ex tribus luiris bt ef glr
esse longiores .3. ita ex .ti. primi constat uerum
esse quod dicitur hoc Sum taxat addito ꝙ se duo
anguli dec et ꝑiter accepti sunit equabes duel¬
rectis erunt due linee la et ac xx.ix. xiiii luuea
una que cum sit equalis ex ypothesis Suabas lureis

Expanded text:
eis tres bases que sint b c, e f, h k. Ex hiis ergo tribus basibus triangulum aio posse constitui. Esto enim angulus b a l equalis angulo d et linea a l linee d e et protrahantur l b, l c. Eritque ex 4 primi linea l b equalis linee e f. Ex ypothesi vero constat totalem angulum a esse maiorem angulo g. Erant enim quique duo ex tribus angulis b a c, d et g tertio maiores. Igitur ex 24 primi linea l c maior est linea h k. Cumque sint ex 20 primi due linee l b et b c maiores linea l c, sequitur duas lineas l b et b c esse multo fortius maiores linea h k. Quia igitur l b est equalis e f, erunt due linee b c et e f maiores linea h k. Constat itaque hoc modo quasque duas lineas ex tribus lineis b c, e f, h k esse longiores tertia. Igitur ex 22 primi constat verum esse quod dicitur hoc dumtaxat addito quod si duo anguli b a c et d pariter accepti sint equales durectis, erunt due linee l a et a c ex 14 primi linea una, que cum sit equalis ex ypothesi duabus lineis
Abbreviated transcription (Latin):
refertur ꝓportio caplicata quenadiodum Sucerum se¬
iilium superficierum ꝓporcio est sicud suorum ⁊ elatinorũ
Caterum ꝓporcio duplicata ut in S. S. demonstratum
est nam si solida ab et es fuerint xqualia cum ipsa
uenantur sumlia erunt ex difꝭutionibud similium cor¬
uorum et similium suꝑficierum cuneta lacera unius¬
Suarum ꝙ̃titatum xqualium ꝓporcio cuxlicata aut qͦ¬
cienslibet sumpta non est efficiat insi equalitatis ꝓpor¬
cionem constat in hoc casu uerum esse quod ꝓponitur
Si autem irrequalier sit ab mains anius longieudo sie
Se altitudo et altitudo fa uasls et suprema suꝑfitres
an solidi uero cid sit longitudo dg latitudo gh alti¬
tudo he constat ĩcaq ex diẜiincione stiulium corpore
.Et ex. Diffinictue simlium suꝑfitrerum et pñcti y¬

Expanded text:
quemadmodum duarum similium superficierum proportio est sicut suorum relativorum laterum proportio duplicata ut in 18 sexti demonstratum est. Nam si solida a b et c d fuerint equalia, cum ipsa ponantur similia, erunt ex diffinitionibus similium corporum et similium superficierum cuncta latera uniusduarum quantitatum equalium proportio triplicata aut quotienslibet sumpta non efficiat nisi equalitatis proportionem, constat in hoc casu verum esse quod proponitur. Si autem inequalia, sit a b maius cuius longitudo sit b e, latitudo e f, altitudo f a, basis e r et suprema superficies a n, solidi vero c d sit longitudo d g, latitudo g h, altitudo h c. Constat itaque ex diffinitione similium corporum et ex diffinitione similium superficierum et p
Abbreviated transcription (Latin):
penultime cõmunis scientie in primo libro posite necesse
est quastibet duas suꝑficres in solido as oppositas
eque distanter duabus ipsus solidi: suꝑfi¬
ciebus oppositis uo partialia corpora qui.
ad illam secantem suꝑficiem uelud ad ꝯ¬
munem terminum copulantur suis basibus

Expanded text:
penultime communis scientie in primo libro posite necesse penultime communis scientie in primo libro posite necesse est quasque superficies duas in solido a b oppositas equidistanter duabus ipsius solidi superficiebus oppositis, duo partialia corpora, que ad illam secantem superficiem velut ad communem termi
Abbreviated transcription (Latin):
Dicatur palellogianum cuius omres suꝑficies ipsum d̃¬
Sientes pallellograure sunt et illud .G. suꝑficrebus dum¬
⁊ tatat necesse est ambrii Detali itaq ꝙ sex suꝑficiebus¬
a ambitur Sico Debere intelligi quod hec ⁊4ͣ. ꝓponit
Sit ita tale corpus solidum ab cuius omes .G. suꝑ¬
ficies fac ut solide habita mente cõmxrehendts Pateit¬
q tibi unamqĩi uatũ xⁱ / reliquis secare uñius 4.x.¬
latera cum suit cõnunes secciones ipslus secantes et R.
sectarum sint autem ille quatuor secte bine et bine et¬
uine secundum ꝙ ad inuicem opponuntur equidistantes
qui distancia constat secundum ac uero xx .⁊ẜ. xmi
n aifestum est omna latera opposita istarum sex suꝑ¬
ficierum esse equalia erut ita bina latera angulã
planum continencia unius cuiusq earum equalia
uinis laceribus angulum in suꝑficie sibi opposita cõ¬
guentibus anguli quoq ab illis uinis et bnus
lateribus ꝯtenti equales ꝑ .io. Itaq xx conuerisa

Expanded text:
cuius omnes superficies ipsum ambientes paralellograme sunt et istud sex superficiebus dumtaxat necesse est ambiri. De tali itaque quod sex superficiebus ambitur dico debere intelligi quod hec 24 proponit. Sic igitur tale solidum corpus a b cuius omnes sex superficies fiat ut solido habitu mente comprehendas patebitque tibi unamquamque earum 4 ex reliquis secare cuius latera cum sint communes sectiones ipsius secantis et quatuor sectarum. Sint autem ille quatuor secte bine et bine secundum quod ad invicem opponuntur equidistantes quidistantia. Constat itaque secundum. At vero ex 34 primi manifestum est omnia latera opposita istarum sex superficierum esse equalia, erunt igitur bina latera angulum planum continentia cuiusque earum equalia binis lateribus angulum planum in superficie sibi opposita continentibus. Anguli quoque ab illis binis et binis lateribus contenti equales per 10 huius. Itaque ex conversa
Abbreviated transcription (Latin):
Et si basis est but mior solidum est mine solido et
si maior inaoꝰ quod pacet ex eadem diffiniciõne re¬
secata maiori basi ad equalitatem minoris et descrixto
suꝑ ceon solido palellogramo ita ꝙ ex diffuncione in ꝯ¬

Expanded text:
Et si basis est minor basi, solidum est minus solido et Et si basis est minor basi, solidum est minus solido et si maior, maius quod patet ex eadem diffinitione. Resecata maiori basi ad equalitatem minoris et descripto super eam solido paralellogramo itaque ex diffinitione in
Abbreviated transcription (Latin):
Iormetrantes su ꝑficiem es super eius angulos
et ipse sunt af et eu cum duabus ⁊eliquis sibi
eque distantibus sumandir ex xis omibus porciones
ex porte puncti s quotlibuerit que pouantus singu¬
Ce equales tnnee bd et et parte puncti ⁊ dilie
suinliter quot libuent que pouantur equales liuer
Inter quas utrinqi conscituantur solida ꝑallã secundũ
suaruim longitudinum exigenciam sint qz exporte pũei
U sobida fli et boy et exporte puci ⁊ olida an et ꝑꝯ
erit q ex diffinitione corporum equalurn ac similium
unum quodq solidorum fli la equale solido ch et
unum quodq dn et ꝑa/ equale ad fiat ita argumetũ
quemadmodũ in pma .6. est eui solidum cm ita
multiplex solidi cs̃ sicud sasis hm̃ uasi hs et solidũ
ꝗc ita multiplex solidit ad sicud sasis qd uasi gd et
⁊ uasis hn est equalis bosi qs Solidum cm est equale
solido ꝗt ex diffinicione corporum similium acq equaliũ

Expanded text:
penetrantes superficiem c d super eius angulos et ipse sunt a f et e b cum duabus reliquis sibi equidistantibus. Sumanturque ex eis omnibus portiones ex parte puncti b quot libuerit que ponantur singule equales linee d b et ex parte puncti e alie similiter quot libuerit que ponantur equales linee e d. Inter quas lateraque constituantur solida paralellograma secundum suarum longitudinum exigentiam. Sintque ex parte puncti b solida f k et l m, et ex parte puncti e solida a n et p q. Eritque ex diffinitione corporum equalium atque similium unumquodque solidorum f k et l m equale solido c b et unumquodque a n et p q est equale a d. Fiat igitur argumentum quemadmodum in prima sexti. Est enim solidum c m ita multiplex solidi c b sicut basis h m basis h b et solidum q c ita multiplex solidi a d sicut basis q h basis g d. Et si basis h m equalis est basi q h, solidum c m est equale solido q c ex diffinitione corporum equalium atque similium.
Abbreviated transcription (Latin):
equalis angulo ps̃d cum uterq sit rectus Itaq ꝑ
x. primi lunea be est equalis huee dẜ Ĩtemq
cum Suo latera es et bl tranguli xbf sunt equa¬
lia uobur lateribus fs et de trianguli ꝑde basis
eꝭ cõmunis erit ꝑ .dͦ. p̾mi angulus ebf equalus
angulo fde quia ita angulus ẜde est regus a
Siffunnciõne erit eciam angulus ebẜ rectus Ĩtaq
linea fs ꝑpendiculariter est ercam super cõmunẽ
cerminum trium linearum ba bd be se ꝯtingen¬
cium angularit̾ in puncto ẜ quare ꝑ premissam¬
ab bd be ipse sunt in una suꝑficie cum Ita ex
secunda parte secunde biiud linẽa ed sit in
eadem suꝑficie cum utiaq liuxarum ab et sd
sequitur cib et cd esse in suꝑficie una coustãt
ergo ꝓpositum

Expanded text:
equalis angulo f b d cum uterque sit rectus, itaque per equalis angulo f b d cum uterque sit rectus, itaque per 4 primi linea b e est equalis linee d f. Itemque cum duo latera e b et b f trianguli e b f sint equalia duobus lateribus f d et d e trianguli f d e et basis e f communis, erit per 8 primi angulus e b f equalis angulo f d e. Quia igitur angulus f d e est rectus a diffinitione, erit etiam angulus e b f rectus. Itaque linea f b perpendiculariter est erecta super communem terminum trium linearum b a, b d, b e se contingentium angulariter in puncto b. Quare per premissam ipse sunt in una superficie. Cum igitur ex secunda parte secunde huius linea c d sit in eadem superficie cum utraque linearum e b et b d, sequitur a b et c d esse in superficie una. Constat ergo propositum
Abbreviated transcription (Latin):
queam uf quare angulus abf est regus cunq ytid̃
angulus abd si rectus ex ypochesi se quitur nuxo li¬
Gile uidelicet partem suo toti esse equalem
Si fuerint due lurer saper unain suꝑficrem
ꝓpe diculares ras equidistantes esse necesse est
a łDue linge ab et cõ ꝑpendiculares ad unam su¬
ꝑficiem dico eas esse equidiscantes ꝓtrahatur euin
lmẽa ud i plano erut q ex diffim̃tibne Quo angu
l as et cdb recti Si ita due liuee as et ed sunt in¬
superficie una ixse sunt equidistantes ꝑ secundam
uartem.id. p̾mi s ipsas esse in suꝑficie una sit col¬
lige d puncto s super lieam bs in plano cui ꝑpẽ¬
diculariter insistunt ab et co p̃trahe In suꝑficie plu¬
⁊ a ortogonaliter liũeam bꝑ et ex linr̃a cd sumre de
equalem bꝭ et ptiahe lieas es et xf erunt ita
Suo lacera ed et db tuanguli eds equalia duob
lateribud ꝑo et ud tuanguli fbd et angulus eds

Expanded text:
lineam b f, quare angulus a b f est rectus. Cumque etiam lineam b f, quare angulus a b f est rectus. Cumque etiam angulus a b d sit rectus ex ypothesi, sequitur impossibile videlicet partem suo toti esse equalemSi fuerint due linee super unam | superficiem rpendiculares, eas equidistantes esse necesse est. Sint due linee a b et c d perpendiculares ad unam superficiem. Dico eas esse equidistantes. Protrahatur enim linea b d eruntque ex diffinitione duo anguli a b d et c d b recti. Si ites per secundam partem 28 primi. Ipsas autem esse in superficie una sic collige: A puncto b super lineam b d in plano cui perpendiculariter insistunt a b et c d protrahe orthogonaliter lineam b f et ex linea c d sume d e equalem b f. Et protrahe lineas e b et e f. Erunt igitur duo latera e d et d b trianguli e d b equalia duobus lateribus f b et b d trianguli f b d et angulus e d b
Abbreviated transcription (Latin):
as esse ꝓpendicularem ad suꝑficiem inqua fite sũt
Sue linee cd et ef se inudem secantes quod est
mino crecta linea que dam ortognaliter insistat
erdem tres linee in una su perficie site sunt
Sit linea ab ortogonaliter suꝑ cõmunem terminũ
tuum linrarum st bd se angulariter se contingen¬
cium in pũcto s quarum nuilla alii dicecte applicet᷑
Se sunt in unsi su ꝑficie site Constat autem d
quibusq duabus earum ꝙ ipse sunt in una suꝑ
in suꝑsicie duarum lirxarum bt et be s ille
Due in plano hic autem in sublum erit ut suꝑ
ficies inqua site sunt due hures ab et ud si ꝑtra¬
hatur secces illain in qua site sunt be et be erit¬
qr ꝑ tertiam conunis rarum seccio liuea recta¬
et ipsa sit bꝭ ꝯuia ita ex p̾miisa lurea as est
ꝓperdicularis ad suꝑficiem duarum linearum uc et be
sequitur ex diffiuicione ut eade as sit ꝑpendicularis ad

Expanded text:
a b esse perpendicularem ad superficiem in qua site sunt a b esse perpendicularem ad superficiem in qua site sunt due linee c d et e f se invicem secantes. Quod estmino erecta linea quedam orthogonaliter insistat, eedem tres linee in una superficie site erunt. Sit linea a b orthogonaliter erecta super communem terminum trium linearum b c, b d, b e angulariter se contingentium in puncto b quarum nulla alii directe applicetur b e sunt in una superficie site. Constat autem de quibusque duabus earum quod ipse suin una superficie duarum linearum b c et b e, sed ille due in plano, hec autem in sublimi, erit ut hec superficies in qua site sunt due linee a b et b d si protrahatur secet illam in qua site sunt b c et b e eritque per 3 huius communis earum sectio linea rectaet ipsa sit f b. Quia igitur ex premissa linea a b est perpendicularis ad superficiem duarum linearum b c et b e, sequitur ex diffinitione ut eadem sit perpendicularis ad
Abbreviated transcription (Latin):
tiam ꝓpsti a raĩundem suꝑficiim ꝑpendicu¬
laris erit̃¬
uit linea ab ortogonaliter ercã super iustisionẽ
duarum lune arum ed et et secantium se in xuneto
S de quibus consta ꝑ ante premissam ꝙ ipse sunt
site in una suꝑficie/ Dico ꝙ linea as ꝓpendicularis
est ad ipsarum suꝑficiem duit enin es et es
equales dit uero ꝑs et be equales et ꝓtrahãt᷑
enrer ed et ef que erunt equales ex quarta¬
xmi et eque distantes per .⁊a. eiusdem Signato
itaq pñcto aliquo in linea es que sit g ducat᷑
equalis af et ꝑid. eiusdem erit angulas aes
equalis angulo aft ergo ꝑ quartron ipsins erit
ag equalis ah ideo ꝑ .d. ex eiusddem angulus abg
equalis angulo abli quare a diffuñtione uterq est
rectus et linea ds ꝑpendicularis ad linxam ga/ Si¬
iili quoq mado ꝓbabis randem esse ꝑpendicularẽ
ad omnes lineas ꝑtiactas a puncto s in su ꝑficie duoꝵ
linẽarum ed et eẜ ita ex diffuncione constat linẽã

Expanded text:
cularis eriSit linea a b orthogonaliter erecta super incisionem duarum linearum c d et e f secantium se in puncto b de quibus constat per antepremissam quod ipse sunt site in una superficie. Dico quod linea a b perpendicularis est ad ipsarum superficiem. Sint enim c b et b d equales, at vero f b et b e equales et protrahantur linee e d et c f que erunt equales ex 4 primi et equidistantes per 27 eiusdem. Signato itaque puncto aliquo in linea e d qui sit g, ducatur equalis a f. Et per 8 eiusdem erit angulus a e d equalis angulo a f c, ergo per 4 ipsius erit a g equalis a h ideoque per 8 eiusdem angulus a b g erit equalis angulo a b h. Quare a diffinitione uterque est rectus et linea a b perpendicularis ad lineam g h. Simili quoque modo probabis eandead omnes lineas protractas a puncto b in superficie duarum linearum c d et e f, igitur ex diffinitione constat lineam
Abbreviated transcription (Latin):
tibus tuanguilum Deẜ uno qͦ Illi cum quo ꝯmunitat
In basi ita ꝙ bases supir xonantur basibus eguales
uidelicet equalibus et anguli abt ca dant ad partem
puncti g sequeretur ex a primi tres angulos abc
esse maiores tubus qui sunt dge egf fgd essent itaqi
maiores quatuor reccis quod est est am płuis ꝯtrarium
posig Relinquitur itaq unum quodq en ses lateribus
cres ppositos angulos ambrentisz mams esse linea e¬
grediente acentro g ad circũferenciam def ideo q po
cundum  i2ͣ orthogonaliter ercam supra suꝑficiem carculi
def dimictantur qz tres ypocheses misse hᵈ he hꝭ
quas dico ꝯtinrere eres angulos superficiales equa¬
les tabus ꝓpositis constituentes Angulum solidum
in puncto h cum xum quartum lurer ad sit equale
quartis duarum linrearum  de et gh ex ypochesi
dc quartum liner dh sit xquale eisdem ex priul¬
uina primi nrecesse est lueam ad esse equalem luree
ds Eodemq modo et luixam ae liner ch q̃ta ex

Expanded text:
tibus triangulum d e f unoquoque illi cum quo communicat in basi ita quod bases superponantur basibus equales videlicet equalibus et anguli a, b, c cadant ad partem puncti g, sequeretur ex 21 primi tres angulos a, b, c esse maiores tribus qui sunt d g e, e g f, f g d essentque maiores 4 rectis. Quod est amplius contrarium positis. Relinquitur itaque unumquodque ex 6 lateribus tres propositos angulos ambientibus maius esse linea egrediente a centro g ad circumferentiam d e f ideoque ecundum 12 huius orthogonaliter erecta super superficiem circuli d e f demittanturque tres ypothenuse h d, h e, h f quas dico continere tres angulos superficiales equales tribus propositis constituentes angulum solidum in puncto h. Cum enim quadratum linee a d sit equale duobus quadratis duarum linearum d g et g h ex ypothesi, at quadratum linee d h sit equale eisdem ex penultima primi, necesse est lineam a d esse equalem linee d h. Eodemque modo et lineam a e linee e h. Igitur ex
Abbreviated transcription (Latin):
dicuntur ꝯscitui super lineayn Coon et sunt ista
quarum suexremarum suxficierurooSuo apposita la¬
cera sunt secudum ⁊ eccitudineros Ser acta sinea
et de calibus hec mꝯͣ. de monite ui dum ꝓpont
ipsa onnia esse equalia Sunt uo ⁊ mon alia que nõ
dicuntur ꝯstitui super lineam Uucem et suit
illa quarum supremarum su ꝑsĩcierermyi duo literaa
epposita queꝯq sumantur secundurn ⁊ e cor tu dinem ip¬
ꝑtracca non sunt linea yna et de teiliuus sequenss
demonstran dum ꝓponet ipsa quogi ourria esse adinui¬
cem equalia sint itaq Suo soli d pa lel
eque alta sue Inter suꝑficies egui distrentes ab et ac
coustituta sux unam basun que sc  quorui se
licet ab supreme superficies siut us et le sut¬
q harum supremorum suꝑficieriumiro Catera oposũa

Expanded text:
dicuntur constitui super lineam unam et sunt illa quorum supremarum superficierum duo opposita latera sunt secundum rectitudinem protracta linea una. Et de talibus hec 29 demonstrandum proponit ipsa omnia esse equalia. Sunt eorum alia que non dicuntur constituta super lineam unam et sunt illa quorum supremarum superficierum duo latera opposita quecumque sumantur secundum rectitudinem protracta non sunt linea una et de talibus sequens demonstrandum proponet ipsa quoque omnia esse ad invicem equalia. Sint itaque duo solida paralellograma eque alta sive inter superficies equidistantes a b et a c constituta super unam basim que sit a d quorum supreme superficies sunt e b et f c. Sintque haru
Abbreviated transcription (Latin):
fixo tircundatur erigonus quonsq ad locum suum unde
moni cepit redeat Corporea ergo figura que huius
tugomi motu destabitur rotũda piramie appellatur
cuius sunt tres differencie Alia uin est rectangula
alia acutiangula .3. obtusiandagula / Ioma quidem ẽ
quando latus as lateri bt fuerit equale Esto enin
ut liirea bt cum rotatu trigomi ꝑuenerit ad sicum
moneri cepi se curdum reccitudurem eritq h linea
trie quasi cos et quia ex .zrͣ. p̃mi et quinta eiusd̃
angulus cas est medietas recti erit angulus cad
rectus Ideoq piramis hic dicitur rectangula di autẽ
latus au sit songnis latere bt eut acutiangula erit
enin tunt es .℥l. primi et iqͣ eiusdem angulius cab
minor ie diante ⁊ deoq totus angulus cad miuor
recto et acutus quare priamis acutiangula Ex si latꝰ
as sit breuius latere ue ent angulus cas maior
me diante ⁊ ecti ex .zr. p̃mi et mhͣ eiusdem et totꝰ

Expanded text:
fixo circumducatur trigonus quousque ad locum unde fixo circumducatur trigonus quousque ad locum unde moveri ceperit redeat. Corporea ergo figura que huius trigoni motu describitur rotunda piramis appellatur. Cuius tres sunt differentie. Alia enim est rectangula, alia acutiangula, tertia est obtusiangula. Et prima quidem est quando latus a b lateri b c fuerit equale. Esto enim ut linea b c cum rotatu trigoni pervenerit ad situm itudinem. Eritque linea hec quasi c b d. Et quia ex 32 primi et 5 eiusdem angulus c a b est medietas recti, erit angulus c a d rectus. Ideoque piramis hec dicitur rectangula. Si autem latus a b sit longius latere b c, erit acutiangula. Erit enim tunc ex 32 primi et 19 eiusdem angulus c a b minor medietate recti. Ideoque totus angulus c a d est minor recto et acutus, quare piramis acutiangula. Quod si latus a b sit brevius latere b c, erit angulus c a b maior medietate recti ex 32 primi et 19 eiusdem et totus
Abbreviated transcription (Latin):
constat esse centrum semitirculi circun ducti
piramis laterata est figura corꝑea quã ꝯti¬
nent suꝑficies ab una ͭ ͣ quax reliqua sunt
ad unum oppositum pñctam sursum erecte
In ouni latrrata pyramidde cuncte suꝑsicies ipsam
ambientes as ipsuis uasi ad unum puctum subleuãt᷑
qui tonus piramidis dicitur sunt qz omres hee la¬
cerales suꝑsicres triangule uasis uero frequenter
guli alterutro suorum laterum rectum coigulũ
continencium fixo et donet ad locum unde
moueri cepit redeat triangulo circun ducto
Si autem latus fixum lateri circunducto fu¬
erit equale erit figura rectangula si uero
longuis acutiangula si uero brenius obtusi¬
angula axis autem ipsiũs figetur est latus
fixum basisq sua circulus dicitur q figura
hec piramis rotũde columpne
Sit trigoniue abt rectum angulũ habens qui sit sẜ
siguratur q alterum duorum laterum ambrentiũ rec¬
tum angulum s sit q a latus quod figatur ab quo

Expanded text:
constat esse centrum semicirculi circumducti. constat esse centrum semicirculi circumducti. ⟨ix⟩ Piramis laterata est figura corporea, quam continent superficies ab una quarum relique sunt ad unum oppositum punctum sursum erecte. In omni laterata piramide cuncte superficies ipsam ambientes ab ipsius basi ad unum punctum sublevantur qui conus piramidis dicitur suntque omnes laterales superficies triangule, basis vero frequenter guli alterutro suorum laterum rectum angulum continentium fixo et donec ad locum, unde moveri cepit, redeat triangulo ipso circumducto. Si autem latus fixum | lateri circumducto fuerit equale, erit figura rectangula. Si vero longius, acutiangula. Si vero brevius, erit obtusiangula. Axis autem ipsius figure est latus fixum, basisque sua circulus. Diciturque figura hec piramis columne rotunde. Sit triangulus a b c rectum angulum habens qui sit b figaturque alterum duorum laterum ambientium rectum angulum b sitque latus quod figitur a b quo
Abbreviated transcription (Latin):
sarmin esse eque distantes uel in utranq xortem ꝑ¬
cractas cõcurrere quippe qui Iueadem suꝑficie pon sunt
ueq xquidistant as inuicem neq ꝙͣtulibet ꝑtracte ꝯ¬
E qua corpora sunt acq similia quorum c̾minales
suꝑficies mrer numero ac ꝙͣtitate equales
unius creaciõnis sunt acq siiles similia
corꝑa sunt que sumilibus suꝑficiebus mimero
e qualibus contiroitur
si has duas diffiincioned de corporib equalib et
esz quarum cres ꝑalellogranre sunt due uero
triangule continentur
Domui & parretes equidistantes habẽti tectum unnce
fastigio suꝑremis duorum pariẽtum balaterib equali
d pera est transitus arcus circũfezencie dumdii
circuli quotiens supremo cireuli linea qz dyanre¬
ter fixa donet ad locum siuum redeat arcus
Ipse circunducitier
illa fixa semicirculus tota ⁊ euolucione circundatur cor¬
pus quod destubis species nominatur cuius centium

Expanded text:
sarium vel esse equidistantes vel in utramque partem psarium vel esse equidistantes vel in utramque partem protractas concurrere, quippe que in eadem superficie non sunt nec equidistantes ad invicem nec quantumlibet protracte c⟨v⟩ Equa corpora sunt atque similia, quorum terminales superficies numero ac quantitate equales unius creationis sunt atque similes. ⟨vi⟩ Similia corpora sunt, | que similibus superficiebus numero equalibus continentur. Si has duas diffinitiones de corporibus equalibus et ebus quarum tres paralellograme sunt, due vero triangule continetur. Domui quatuor parietes equidistantes habenti tectum unico fastigio supremis duorum parietum lateribus equali Spera est transitus arcus circumferentie dimidii circuli, quotiens suppremo semicirculo lineaque diametri fixa, donec ad locum suum redeat, arcus ipse circumducitur. illa fixa semicirculus tota revolutione circumducatur, corpus quod describitur spera nominatur. Cuius centrum
Abbreviated transcription (Latin):
sa Dicitur esse ꝑpendicularis ad illam superficiem
in qua ꝓtracte sunt hee linee uidelicet ed in sc et
aliu cum quibus ip̃a ponitur ꝯtinere angulum rec¬
Duperficies autem erecta supra superficiem est qua¬
nis terimiiis illorum suꝑficierum due ꝑpendicula¬
des ꝯtinuales suꝑ sc̃at que rectum angulum ꝯti¬
nentes in eiseem saꝑficrebus site sunt¬
U Erui gratia ymaguetur saꝑfitrem abes exurgere
suꝑficiem uero cdeꝑ incere et intelliganus lineam
es esse cõmunem tecininũ ambarum in ea itaq
signetur punctus g aquo ad liueam cd ex trahantur
angulus quem ꝯ̃turent hee due prendiculares est¬
partem ꝑtracte non concurrens eciam si in ĩnfini¬
cum producantur
Incellectum est id quod dicitur Stire tamen debes
ꝙ ounes plane su perficies aut sunt equedistantes
adiuuicem aut in onnea partem protracte et super rectã
bueam se socabant liuras autem ⁊ ectas non est neces¬

Expanded text:
sa dicetur esse perpendicularis ad illam superficiem sa dicetur esse perpendicularis ad illam superficiem in qua protracte sunt hee linee, videlicet b c et b d, et alie cum quibus ipsa ponitur continere angulum recSuperficies autem erecta supra superficiem est, quonis terminus illarum superficierum due perpendiculares conterminales superstant, que rectum angulum continentes in eisdem superficiebus site sunt. Verbi gratia: Imaginemur superficiem a b c d exurgere, superficiem vero c d e f iacere et intelligamus lineam c d esse communem terminum amba- rum. In ea itaque signetur punctus g a quo ad lineam c d extrahantur dangulus quem continent hee due perpendicularespartem protracte non concurrent, etsi in infinitum producantur. Intellectum est quod dicitur. Scire tamen debes quod omnes plane superficies aut sunt equidistantes ad invicem aut in omnem partem protracte lineam se secabunt. Lineas autem rectas non est neces
Abbreviated transcription (Latin):
est minima omniũ liearum racionalium mutatertum
as integrus medio soco ꝓporcionãl inter eas ẜt c
Est ita ꝑ .io. sibi  cetragonitum latus Ĩdem eim̃
fit ex a inu q̃s ex e ĩse st uero ux a inb fit
sriꝑficies dicta as ã quid quid enin a quolibet in uind
Sucto ꝑducitur ab eo quod unum multiplicat deno¬
minatur Et nita ꝙ cum c fuerit labis ⁊ tetragonitĩ
siee a indiferenter ꝯtingit linxam c esse minorem linea
Orpus est quod longitudinem et latitudimẽ
et altitudinem habet cuius termini su ꝑfici¬
es sunt hũra recta supra superficiem est que
cum singulid sibi ꝯtinuaalibus luurxis in ea suꝑficie
ex pansis angulos rectos facit. linxa autem her
supra eam suꝑficiem ꝑpendicularis esse et ad
eandem ortogonaliter insistere dicitur
ĩnceligatur xuii lũrea a̧is exsurger sux planum ĩta ꝙ puctꝰ
a ymagnietur in ar̾ ore et s in plano at apuneto
s̃ ducantur in eedem plano plues linee ut sc/ et bs
pũcto s in plano illo angulum regum continxat ip¬

Expanded text:
um ab integris, medio loco proportionalis inter eas sit c. Est igitur per 16 sexti c tetragonicum latus a. Idem enim fit ex a in b quod ex c in se. At vero ex a in b fit superficies dicta ab a. Quicquid enim a quolibet in unum producto producitur, ab eo quod unum multiplicat denominatur. Et nota quod cum c fuerit latus tetragonicum linee a, indifferenter contingit lineam c esse maioremCorpus est, quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet. Cuius termini superficies sunt. ⟨ii⟩ Linea erecta supra superficiem est, que cum singulis sibi contermina- libus | lineis in ea superficie expansis angulos rectos facit. Linea autem hec supra eam superficiem perpendicularis esse, et ad eandem orthogonaliter insistere dicitur. Intelligatur enim linea a b exurgere super planum ita quod punctus a imaginetur in aere et b in plano et a puncto b ducantur in eodem plano plures linee ut b c et b d puncto b in plano illo angulum rectum contineat, ip
Abbreviated transcription (Latin):
Si superficiebus equidistantibus solidis cõtine¬
atur eius opposite suꝑficies sibi ĩnuicem equa¬
les sunt et equi distatium laterum
Quid quit dicant alii solidum equidistantibus laterib
ꝯtentum suꝑficiebus ꝑibus necesse est contineri que sicus
esse non possunt panciors .u. Ita possunt esse in oumi nu¬
mero pocii senariam excedente constat enin colux̾ncon ex¬
agonam post se octo suꝑficiebus que binre et bine op¬
posite sibi ĩuiucent equidistent contineri dit qr octogonã

Expanded text:
Si superficiebus equidistantibus solidum contineatur, eius opposite superficies sibi invicem equales sunt et equidistantium laterum. Quicquid dicant alii: solidum equidistantibus superficiebus contentum superficiebus paribus necesse est contineri que sicut esse non possunt pauciores sex, ita possunt esse in omni numero pari senarium excedente. Constat enim columnam exagonam posse 8 superficiebus que bine et bine opposite sibi invicem equidistant contineri, sic quoque octogonam,
Abbreviated transcription (Latin):
ium saterum. Suo ĩta latera opposita et equidistan¬
ficies equidiscantium laterum que sit s egalto
Dehinc supra suxficiem fe comoleatur solidum pats¬
logianuum xque altum ri quod constitutum est supri
casen ab sc qr aniborum cdmuno termis ta Rx¬

Expanded text:
ium laterum. Duo igitur latera opposita et equidistanficies equidistantium laterum que sit f e equalis c d. Dehinc supra superficiem f e compleatur solidum paralellogramum eque altum ei quod constitutum est super basim a b sitque amborum communis terminus
Abbreviated transcription (Latin):
culariter suꝑstat Sit uniñ suꝑficies una secano possisi¬
eitas suꝑficies equidicentes super liñram penetrantẽ
eas eritq cõmuine seccio hnius suꝑficie secantis
et alterius sectaꝵ illius uidelicet cui linea pene trans
ꝑ onitur ꝑpendiculariter Insistere continentes angulũ
rectum cum ip̃a linea penetrante ex diffinnitiene linee
perxẽ dicularis ad suxerficiem Si Ita alia cõmunus seccio
ipsius superficiei secantis et relique duarum sectarum
cum eadem linea penetrante non contiuet angulls rectum
ait ex ultima pecitione p̾mi ue ille due cõmunes
Reccionrid in alcerutram peatem ꝑtracte necessario cõturrant
quare et suꝑficies que posite sunt equidicentes reces¬
ris cõturrent et quia hoc est impossibile eat ille an¬
gulu rectus Eodem q modo erit qualibet alia suꝑficie
Casdem eque distantes suꝑficies super eandem lmec̃
I cante ita ex .R. hulus et ex i4. constat epositum

Expanded text:
culariter superstat. Sit enim superficies una secans posculariter superstat. Sit enim superficies una secans positas superficies equidistantes super lineam penetrantem eas eritque communis sectio huius superficiei secantis et alterius sectarum videlicet illius cui linea penetrans ponitur perpendiculariter insistere continens angulum rectum cum ipsa linea penetrante ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem. Si igitur alia communis sectio ipsius superficiei secantis et relique duarum sectarum cum eadem linea penetrante non contineat angulum rectum, erit ex ultima petitione primi ut ille due communes sectiones in alterutram partem protracte necessario concurrant, quare et superficies que posite sunt esse equidistantes necessario concurrant. Et quia hoc est impossibile, erit ille angulus rectus. Eodemque modo erit de qualibet alia superficie easdem equidistantes superficies super eandem lineam secante. Igitur ex 4 huius et ex ist
Abbreviated transcription (Latin):
Duocrum ppendicularium est ꝑpenditularis etiam ad
saꝑficiem sectam ergo ab uno puncto ꝑtracto sunt due
ꝑpendiculares ad xandem suꝑficiem quod est est im̃ pos¬
abile ⁊ elin quitur ergo ꝓpositum
di linea una suꝑer duãs superficies assignatas
ortogonaliter instat ille due suꝑficies si etiam
Due liure in illid Duabus saꝑficrebus ad lunream illam
que illis ꝑpendiculariter suꝑstat ꝑtrahantur eritq ꝯsti¬
cutus tuangulius ex hus duabus lirers et ꝓpendiculars
quius Itaq trianguli uterq duorum aygulorũ qui
sipra ppendicularem consistunt est rectus ut patet ex
diffuntione lniee supra superfitiem ꝑpendiculccter secãt
goc autem impossibile est ꝑ .3r. prumi Ecũuerso q¬
⁊ ecca ceciderit que ad alteram illarum ꝓpondicularis
⁊ecta ainhas penetians que alceri earum ꝑpendiculant̾
suꝑstet / Dico ꝙ eadem linea reliqua suꝑficiei ppeidi¬

Expanded text:
duarum perpendicularium est perpendicularis etiam ad duarum perpendicularium est perpendicularis etiam ad superficiem sectam. Ergo ab uno puncto protracte sunt due perpendiculares ad eandem superficiem. Quod est impossibile. Relinqi linea una super duas superficies assignatas orthogonaliter insistat, ille due superficies, si etiam due linee in illis duabus superficiebus ad lineam illam que ipsis perpendiculariter superstat protrahantur eritque constitutus triangulus ex hiis duabus lineis et perpendiculari. Huius itaque trianguli uterque duorum angulorum qui supra perpendicularem consistunt est rectus ut patet ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter stantis. Hoc autem impossibile est per 32 primi. Econversorecta ceciderit que ad alteram earum perpendicularis recta ambas penetrans que alteri earum perpendiculariter secet. Dico quod eadem linea relique superficiei perpendi
Abbreviated transcription (Latin):
angulus rectus sit pors anguli recti quod est im̃xos¬
sibile / euemadinedum autem Demonstratum est impossibile
esse duas lineas super puncaun unium ad eander
suꝑficiem esse ppendiculares Ĩta etiam demonstrabimꝰ
pn possisile esse Suas as uno lodem pũto extia suꝑsi¬
ciem signato as eandem suꝑficiem ꝑtiattas ad ippã
esse ꝑpendicularres si enim hĩs fueut eiunt ipse erunt
equidistantes xx .6ͬ. quod est imxossibile ex diffiincione
ie arum equidicẽtium Constat ita ex hac q sialiqua
suxficies plana aliam planam suꝑficiem ortogaliter
Rcet et as aliquo pñgo secantis suꝑficiei ad suꝑfitiem
Actam ꝑpendicularis Ducatur in cõmumi eacrum sectiore
eam cadere uecesse est a lioquin ab xodem puncto secã¬
tis suꝑficiei comunem eocrum seccionem ppedicularis
ptrahatur ut Docet arͣ. p̃mi et a puncto in quo intidu
cum cõmuni seccione alia ꝑpendicularis ad eandem
comunem seccionem in suꝑfitre secta educatur ut docet

Expanded text:
angulus rectus sit pars anguli recti. Quod est impossibile. Quemadmodum autem demonstratum est impossibile esse duas lineas super punctum unum ad eandem superficiem esse perpendiculares, ita etiam demonstrabimus impossibile esse duas lineas ab uno eodemque puncto extra superficiem signato ad eandem superficiem protractas ad ipsam esse perpendiculares. Si enim hoc fuerit, ipse erunt equidistantes ex 6 huius. Quod est impossibile ex diffinitione linearum equidistantium. Constat igitur ex hac quod si aliqua superficies plana aliam planam superficiem orthogonaliter secet et ab aliquo puncto secantis superficiei ad superficiem sectam perpendicularis | ducatur, in communi earum sectione eam cadere necesse est. Alioquin ab eodem puncto secantis superficiei ad communem earum sectionem perpendicularis protrahatur ut docet 12 primi et a puncto in quo incidit cum communi sectione alia perpendicularis ad eandem communem sectionem in superficie secta educatur ut docet
Abbreviated transcription (Latin):
solida as et ac sunt equalia  hoe aucem s figirã
eius secundum ꝙ oportet accu ue eogita cione fabri¬
cauerus et quãadmod in .3c̃. Prmꝰ ꝑcesseris idem
faciens hic de seratilibus quos ibi De trianguls
facile cõcludere poteris eccurrent q csi gic eidẽ
dũer sicates iñ solidis que ibi ñ supficiebus et¬
currisse nouisti

Expanded text:
em si figuram eius secundum quod oportet actu vel cogitatione fabricaveris et quemadmodum in 35 primi processeris idem faciens hic de serratilibus quod ibi de triangulis facile concludere poteris occurrentque tibi hic eedem ates in solidis que ibi in superficiebus occurrisse novisti