comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
in duas et fiait suꝑficres de ex ud in da et
deeut ad comxlendam lineam ab suꝑficies quarta erit¬
qr ⁊ ortauam secundi quartum as equale quadruxlo
supficiei De et quarto fb ita quadruxlum suꝑficrei
de est equale quorto ⁊ quare suꝑficies de est equalis
eciam cõmunicane cum af ꝑ.ꝯ ͫ. quare et cum ad s
eciam cum Sf itaq et ds est cõmunicand cum d quod
est secundum uanc autem demonstrondum est
qualiter linea ab cum ipsa posita fuerit mnaior luee
I Iossit sit Sudi ꝙ inter ꝑtes eius cadat medietas
linee ⁊ ꝯtun ꝓportionalis Cum emũ sit fueris eduisua
superficies que fiet ex una in alceram equalis euo quar¬
to mesnetano luree e etipsa erit supficirs equallo
quante periti quorti sinee  a diunctam ad lureams¬

Expanded text:
 d in d a et deerit ad complendam lineam a b superficies quadrata eritque per 8 secundi quadratum a b equale quadruplo superficiei d e cum quadrato f b. Igitur quadruplum superficiei d e est equale quadrato c, quare superficies d e est equalis cum a f per 9, quare et cum a d. Sed et cum d f, itaque et d b est communicans cum a d. Quod est secundum. Nunc autem demonstrandum est qualiter linea a b cum ipsa posita fuerit maior linea c possit sic dividi quod inter partes eius cadat medietas linee c continue proportionalis. Cum enim sic fuerit divisa, superficies que fiet ex una in alteram erit equalis quadrato medietatis linee c et ipsa erit superficies equalis quarte parti quadrati
Abbreviated transcription (Latin):
autem librat plures Suabus potencia tantum cõ¬
munitantes ⁊ acionales quarum una potencior sit qua¬
libet aliarum in quarto alicuius luree secum cõmuni¬
cantie in longitudine reꝑire ssit ut prius linea ab
raciõnalis in longitudine super quam describatur
semicrculus acb sumaturqz numerus d quartus
quartos quorum non quartorum minime sit gportio sicud
aliquorum numerorum quartorum tales autem numeri
ultio se offerunt ut . is. qui est diuisibilis in .⁊i. et

Expanded text:
autem libeat plures duabus potentia tantum rationales communicantes quarum una potentior sit qualibet aliarum in quadrato alicuius linee secum communicantis in longitudine reperire, sit, ut prius, linea a b rationalis in longitudine super quam describatur semicirculus a c b. Sumaturque numerus d quadratuquadratos quorum non quadratorum minime sit proportio sicut aliquorum numerorum quadratorum. Tales autem numeri ultro se offerunt ut 36 qui est divisibilis in 25 et
Abbreviated transcription (Latin):
sit racionale pet ypothesim erit quoq quartum ed ra¬
cionale ꝑ diffuncionem ac quia suꝑficies bi est urac¬
onolu sicud sua equalis eg per premisscon sequitur ut
quartum liner ed non cõmunicet cum suꝑficie Gd et quia
quartum liuee cs ad suꝑficiem ud est ꝑ p̾mãm. 6.¬

Expanded text:
sit rationale per ypothesim, erit quoque quadratum c d rationale per diffinitionem. At quia superficies b d est irrationalis sicut sua equalis e g, per premissam sequitur ut quadratum linee c d non communicet cum superficie b d. Et quia quadratum linee c d ad su
Abbreviated transcription (Latin):
Sicitur qz linxa medialis
Smñt dus lurer as et bt conturentes suꝑficiem dic ra¬
ciõnales porencia cantum cõmunicantes que qualiter reꝑ¬
iantur ex premissa et ante premissa maisescum est / dico
qtacionale ex ypothesi es ꝙ sinea be est racienali m
potencia tantum et quia ee prina pposicio tum udᵒ quĩa

Expanded text:
nea medialis. Sint due linee a b et b c continentes superficiem a c rationales potentia tantum communicantes que qualiter reperiantur ex premissa et antepremissa manifestum est. Dico sque rationale per ypothesim eo quod linea b c est rationalis in potentia. Et quia
Abbreviated transcription (Latin):
u numero pori Es si e sit por et ẜ impar erit ꝓportio
f ad Sum dium e ꝙ sit l sicud ac ad diuĩdium ab qͦs
od et ideo eut ꝓporcio quarti ac od quortum ad sicut ꝓpor¬
cio imeri h qui est mixor ꝑ .io. ꝯͦ. ad quartum iime¬
⁊i l qui sit en cui co ponatur ⁊ esse duxlus Eritq li
o diffrincienem por ac quia quartum ac Suxlũ est
ad quartum ad ꝑ pemultimã p̾mi erit s̃ duxlus ad
M cũq li sit ⁊̃ dũplus ad m erit ꝓ . 9. aͬ nmerus¬
sas quoq inuitem cõmensurabiles effe necese est
Si utiagi Sucrum ꝙͣtitatum a et s est cõmunitars ꝙt̃ita¬
ei c dico ds et u esse ꝯmensurabiles Est eum ꝑ.i.
a adt sicud numerus ad nuimeium sumliter quoq ꝑ
eandem c ad b sicidd nmerus ad munerum Sit itaq
nimerus dad numerum e situd a ad c numeruidi p
ad mumerum g sicido c ad b ac pporciones que seint
S ad e et f ad g conbirentur in tribus terimins qui¬

Expanded text:
portio f ad dimidium e quod sit l sicut a c ad dimidium a b quod sit a d et ideo erit proportio quadrati a c ad quadratum a d sicut proportio numeri h qui est impar per 30 noni ad quadratum numeri l qui sit m cui k ponatur esse duplus. Eritque k per diffinitionem par. At quia quadratum a c duplum est ad quadratum a d per penultimam primi, erit h duplus ad m cumque k sit etiam duplus ad m, erit per 9 quinti h numerussas quoque invicem commensurabiles esse necesse est. Sit utraque duarum quantitatum a et b communicans ti c. Dico a et b | esse commensurabiles. Est enim per 5 a ad c sicut numerus ad numerum. Similiter quoque per eandem c ad b sicut numerus ad numerum. Sit itaque numerus d ad numerum e sicut a ad c numerusque f ad numerum g sicut c ad b. At proportiones que sunt d ad e et f ad g continuentur in tribus termini
Abbreviated transcription (Latin):
cõmunicantes quoaum longior potencior breniori quorte
cmee secĩ cõmunitantis in longitudiue/ s umo itaq ali¬
quam lineam iacionalem que sit ab suꝑ quam destabo
semuicirtulum acs et sumxto aliquo nuimero ut Se Si¬
us ipsum m duos nuineros dꝭ et fe ita ꝙ sit ꝓporti¬
u ds os de ad dꝭ sicud mimeri quarti ad niure

Expanded text:
potentior breviori quadrato linee secum communicantis in longitudine. Sumo itaque lineam aliquam rationalem que sit a b super quam describo semicirculum a c b et sumpto aliquo numero ut d e divido ipsum in duos numeros d f et f e ita quod sit proportio d e ad d f sicut numeri qu
Abbreviated transcription (Latin):
supficies quarta ert congior potentior bremore
luguento quarti lure inꝯmensurabilis ipose lon¬
giouin longitudine si uero longior fuerit po¬
tencior breucore quoerto linee incõmensurabilis
sisi longiori in longitudine a diungatur q suꝑ¬
fitres equalis quoerte parti quarti breuoris de

Expanded text:
erit longior potentior breviore augmento | quadrati linee incommensurabilis ipsi longiori in longitudine. Si vero longior fuerit potentior breviore quadrato linee incommensurabilis sibi longiori in longitudine adiungaturque ei superficies equalis quarte parti quadrati
Abbreviated transcription (Latin):
quã ꝓpositum est Inquirere Alteram sit ⁊ eperio inter¬
pono ut docet q s. liuxam ẜ medio loco ꝓporcio¬
fita liuea f est inꝯmensicrabilis lurer a inxotẽ¬
cia qͣ quare et in longitudiune Sst ĩcaqi ẜ seciũda
Anrea quam ꝓpositum erat rexeiire
cuius liner ꝯmunicantis sibi in longitudine necesse
est terciam quoq tanto posse ãplius .x. ꝙͣtum

Expanded text:
quam propositum erat inquirere. Alteram sic reperio: Interpone ut docet 9 sexti lineam f medio loco proportiof, igitur linea f est incommensurabilis linee a in potentia, quare et in longitudine. Est itaque f secunda linea quam propositum erat reperire.cuius linee communicantis sibi in longitudine, necesse est tertiam quoque tanto a
Abbreviated transcription (French):
Di Si anumero pori nimerus par detrahatur re¬
aiquus erit par
Sit totus a par a quo detrahatur s qui u sit par et
residiuis sit c dico ⁊ esse parem Sit enin dine¬
dietas ⁊ e quoq̃r mediecas s decracto qr e des

Expanded text:
 Si a numero pari numerus par detrahatur, reliquus erit par. Sit totus a par a quo detrahatur b qui quoque sit par et residuus sit c. Dico c esse parem. Sit enim d medietas a, e quoque
Abbreviated transcription (Latin):
ex dmoꝰ a destruccione ꝯ sequentis si cerra est igꝰ¬
mensirabilis s oportet ⁊/ ese mꝯmensirabilem E
nam sr̃ essec et cõmunitabilis cum sitaot dradd sic
unt actor Quod antem adiũ xinius sit xacet tur
Quin a non quiunicet cum l in longitidine nec c qͦ

Expanded text:
sequentis. Si enim a est incommensurabilis b, oportet c esse incommensurabilem d. Nam si esset ei commensurabilis cum sit ut c ad d sicut ponit auctor. Quod autem adiunximus videlicet quod si a communicet cum
Abbreviated transcription (Latin):
sequitur ut q nimeret d quarẽ cum a qui sequitur uin¬
totem sit pͥmũs est unim uinarus erit q. ꝑ. 2iͫ quius
aut a aut s aut ⁊ quicunqi autem horum fuerit erit x
Uantitates quibus fuit una ꝙ̃titas cõmunis
eas pumerans dicentur cõmunitãtes quib
Uero non fuerit una hĩs quantitas eas nuimerans
Sicentur in ꝯmensicabiles lure in potencia ꝯmu¬
incantes dicuntur quarum suꝑficies quadratas
una ꝯuunis fiꝑficies nuimerat lier in ꝯme¬
si cabiles in potencia Sicuntur quarum suꝑficies
quadratas non maerat una ꝯmunis suꝑficies
edue cum ita sint maifestum est ꝙ onni lũiee
uosice multe aliesutit in ꝯmensurabiles que dam
in lon gitudiue tantum quedcon in lougitudine acq
uotencia Sumnis autem linea cũ qͣ racionannr po¬
sita uocetur racionalis linrerq ei cõmunitates

Expanded text:
sequitur ut q numeret d, quare cum a qui sequitur unitatem sit primus est enim binarius, erit q per 13 huius aut a aut b aut c quicumque autem horum fuerit, erit p nes⟩ ⟨i⟩ Quantitates quibus fuerit una quantitas communis eas numerans, dicentur communicantes. Quibus vero non fuerit una communis quantitas 5 eas numerans, dicentur incommensurabiles. ⟨ii⟩ Linee in potentia communicantes dicuntur, quarum superficies quadratas una communis superficies numerat. Linee incommensurabiles in potentia dicuntur, quarum superficies quadratas non numerat una communis superficies. Que cum ita sint, manifestum est quia omni linee posite multe alie sunt incommensurabiles, quedam in longitudine tantum, quedam in longitudine atque potentia. ⟨iii⟩ Omnis autem linea cum qua ratiocinamur posita vocetur rationalis. Lineeque ei communicantes
Abbreviated transcription (Latin):
Si fueri due ꝙͣtitates ꝯmunicantes totum q ex
qñs confectum uterq uorum erit comininicans
uero fuerit totũ utriq ꝯmensurabile erunt ams
ꝯmensura biles
Sint dur ꝙt̾itates a et s ꝯmensurabiles Dico totum ex
eis comxositum quod fit e ueriq eorum esse ꝯmensura¬
bile et econuerso adhuc quoq si cõtum ex eis comxositũ
uni xarumi ꝯuunitat dico ꝙ csnunitabit alteri et ipse
Eciam interse Idem quoq in contrario di xum a ets
sunt in ꝯmunitantes dico ꝙ c eut ueriq eacrum in ꝯu¬
mnt̃ans et econuerso Ac si c alteri earum in ꝯmuintas
sint itaqi primũ a et s cõmunicantes sit ꝙr cõmuns¬

Expanded text:
Si fuerint due quantitates communicantes, totum quoque ex hiis confectum utrique earum erit communicans. Si vero fuerit totum utrique commensurabile, erunt ambe commensurabiles. Sint due quantitates a et b commensurabiles. Dico totum ex eis compositum, quod sit c, utrique earum esse commensurabile et econverso. Adhuc quoque si totum ex eis compositum uni earum communicet, dico quod communicabit alteri et ipse nter se. Idem quoque in contrario. Si enim a et b sint incommunicantes, dico quod c utrique earum erit incommunicans et econverso. Ac si c alteri earum incommunicanSint itaque primum a et b communicantes sitque earum commun
Abbreviated transcription (Latin):
enni due ꝙ̃titates a etb cõmunitantes xonatur quiliber
quantitas que sit e cum qua cõmunicet a dico ꝙs cõ
inumcabit cum xadem quod ex hac occana xatet cum utio
earum ꝯmunitet cums ex ypothesi Sxo si iteiũ a et
S sinit cõmunicantes ut prĩns xonatur q e queliset
quantitas cum qua non qu ꝯuunicet a dico p neq s
cõitabit cum eadem Si unm c cõmuncaret cum a qi

Expanded text:
communicantes ponaturque quelibet quantitas que sit c cum qua communicet a. Dico quod b communicabit cum eadem. Quod ex hac octava patet: Cum utraque earum communicet cum a ex ypothesi. Quod si iterum a et b sint communicantes, ut prius, ponaturque c quelibet quantitas cum qua non communicet a, dico quod neque b communicabit cum eadem. Si enim c communicaret cum b, cum
Abbreviated transcription (Latin):
hec est quersa prionis ut si sit a ads sicud mumerus
ad munerum S erunt dire q̃titates a et b cõmunitantes
Sit euin e tociens mensurans e quociens est unitas
in S et tociens mensurans f quociens unntas In c cum
sit ita f ad e ut c ad uintatem ac e ad 6 ut untas
ad d erit ꝑ equã ꝓporcionalitatem f ad s utc ad d
quare eciam ut a as s ita ꝑ primoon partem ꝯ. q. f
est equalis a Cui itaqr e mensuraret ẜ ꝑ conceptienem
prensutabit a quare a et s cõmunitantes mensuradit e¬

Expanded text:
 numerus c ad numerum d, erunt due quantitates a et b communicantes. Sit enim e totiens mensurans b quotiens est unitas in d et totiens mensurans f quotiens unitas in c. Cum sit igitur f ad e ut c ad unitatem ac e ad b ut unitas ad d, erit per equam proportionalitatem f ad b ut c ad d, quare etiam ut a ad b. Igitur per primam partem 9 quinti f est equalis a. Cum itaque e mensuret f, per conceptionem mensurabit a, quare a et b communicantes. Mensurabat
Abbreviated transcription (Latin):
Suit Due quantitates a et s cõmunitantes dico ꝙ rarũ
ꝓporcio est sicut alitunis nuimeri ad liũ imnerũ Sie
enim e maxima quantitas ꝯmuniter mensurans a et s
reꝑta ut docet ut docet. 2ͦ quet mensurat a secundĩ
numerum d et u secundum iumerũ e Erit q a odt
ut d ad unitatem eo ꝙ sicud a est mulcixlex ⁊ ita
Sest multixlex unitatis dt c as s ut unitas as e
quoniam sicud e est submutiplex b ica uiucas ẽst subun¬

Expanded text:
tes a et b communicantes. Dico quod earum proportio est sicut alicuius numeri ad alium numerum. Sit enim c maxima quantitas communiter mensurans a et b reperta ut docet secunda huius que mensurat a secundum numerum d et b secundum numerum e. Eritque a ad c ut d ad unitatem eo quod sicut a est multiplex c ita d est multiplex unitatis ac c ad b ut unitas ad e quoniam sicut c est submultiplex b, ita unitas est submul
Abbreviated transcription (Latin):
ex. u quociens porest et sic resisuum ⁊ fiat q̃uodsi conens
ista decragio quonsqi exalterutia duacum ꝙ̃titatum a.
et b remaneat mumis ⁊ hoc enin necesse est esse pos¬
sisile ꝑ precedentem Sit q hie x minus c Cum ig ita
aẜ et eciam s mensurabit e resi duuin get erãt x mi¬
mus e meior ergo ꝙ̃titas mensurat minorem quod im̃pos¬
sibile est
inugnire Ex g. itaq mainfestum est onnem
p̃citatem que duas mecitur ꝙͣtitates maximã
quoq ꝯmuniter ambas mecrentem metrai
igrore ꝑcessus eni utrobiq idem

Expanded text:
quotiens potest et sit residuum e. Fiatque totiens ista detractio quousque ex alterutra duarum quantitatum a et b remaneat minus c. Hoc enim necesse est esse possibile per precedentem. Sitque hic e minus c. Cum igitura b et etiam ipsum b, mensurabit e residuum, sed erat e minus c, maior ergo quantitas mensurat minorem. Quod est impossibile. ∗∗∗ ium⟩ Ex hoc itaque manifestum est ⟨omnem quantitatem⟩, que duas metitur quantitates, maximam quoque communiter ambas metientem metiri ignorare, processus enim utrobique idem.
Abbreviated transcription (Latin):
numrero ꝑ duo equalia duoqi in xqualia diuiso
quod fit ex maiori irequalium in minorem cũ
quorto inter medii equin est quadrato medi¬
etatis totius
in duos numeros equales qui sunt ac et cs ĩcẽq iñ

Expanded text:
Numero per duo equalia duoque inequalia diviso quod fit ex maiori inequalium in minorem cum quadrato intermedii equum est quadrato medietatis totius. in duos numeros equales qui sint a c et c
Abbreviated transcription (Latin):
Suxla uero ꝓportio non sit sicũt nimerorum quartorã¬
se quitir sequitor demetrum esse Incõmensurabilem coste
e congtdine delioquin gur quaternarius sit quodia
incõnemens ꝙ si syameter ponatur dourensurabilis coste
ꝓr amxon mmerus esset equalio xan quas sit patet
Sit eniu Syameter ab ꝯmensurabilis lateri ac ent¬
ꝑ i quintam ab adc sicud aliquis nuimeru ad aliũ
Ant ergo hiii nuimeri e et f qui sint miniimi in sua ppor¬
cione erit q e hoc alteruter eorum imxar Si xnm utq
por non erunt minimi quarti quoq uorum sint g et h si

Expanded text:
um quadratorum, sequitur diametrum esse incommensurabilem coste in longitudine. Alioquin cum quaternarius sit numerusinconveniens: Si diameter ponatur commensurabilis coste, quod impar numerus erit equalis pari. Quod sic patet: Sit enim diameter a b commensurabilis lateri a c eritque per 5 a b ad a c sicut aliquis numerus ad alium. Sint ergo hii numeri e et f qui sint minimi in sua proportione eritque ob hoc alter eorum impar. Si enim uterque par, non erunt minimi. Quadrati quoque horum sint g et h. Si
Abbreviated transcription (Latin):
n. d erit a ad s duxłicatũ sicut e ad f Suplicata qr
eciam simxla a ad s sicud dupla e ad ẜ srigo ꝑ s
sũt a ad s cõmunicantes quod est secui dum/ Tercium
uero patet ex p̾mo a destructione consequentis᷑ oeuartũ
uero adestiucciene consequentis. ex secundo Ex tercia

Expanded text:
 sicut e ad f duplicata, quare etiam simpla a ad b sicut simpla e ad f. Per 6 igitur sunt a et b communicantes. Quod est secundum. Tertium vero patet ex primo a destructione consequentis. Quartum quoque a destructione consequentis ex secundo. ⟨Ca
Abbreviated transcription (Latin):
Sutasialias duas ot tondem octurci mu¬
⁊us mixediens diuĩsionem q proxter ho ꝙ
Sunsiorem non recipit urit mixar dicii ille
in quo sistit Siuises S in nimero quippe necesse
est stare quia si usqr ãd unitatem pueuiret dinisio
esset a de numerũ duxlis a uinarie de quibus non
est de d̃ uero mamfestum est ꝙ ixse murerate
S hanc conmiunem scientiam O mnuid inimerud nime
Lans alium inrmerat cõmunirẽ imeratum as iblo nu¬
nitret ergo uũn a secundum ⁊ erit qr par dilieqũd
cum d sit iuxar sequeretur ꝑ .3o. a esse imparem
quia ergo s muimerus xar miurerat a secundumc
qui quoq est poer ust eum uineerius dc .. ero x iiii¬
uigrus uoꝵ nuimerat eum a secum dum d qui est¬
auet qumlite impor constat ex diffim̃cion
imimerum a esse ꝑiter xorrem et imxariter quod
pͣtum est ueliquit secundi ad primut tantĩ
esse ⁊ eliquan ultimi ad coacerratum es¬
cunctis precedentibus mecessario comxbatur.
Sint contine ꝓporcionales abce esdo disũgatus

Expanded text:
em occurrat numerus impediens divisionem qui propter hoc quod divisionem non recipit erit impar. Sitque is in quo sistit divisio d. In numero quippe necesse est stari, quia si usque ad unitatem perveniret divisio, esset a de numeris duplis a binario de quibus non est. De d vero manifestum est quod ipse numerat a per hanc communem srat omnem numeratum ab illo. Numeret ergo eum secundum e eritque e par. Alioquin cum d sit impar, sequeretur per 30 a esse imparem. Quia igitur b numerus par numerat a secundum c qui quoque est par est enim binarius. At vero e numerus par numerat eundem secundum d qui est impar. Constat ex diffinitione numerum a esse pariter parem et impariter. Quodquantum est reliquum secundi ad primum tantum esse reliquum ultimi ad coacervatum ecunctis precedentibus necessario comprobatur. Sint continue proportionales a b, c d, e f, g h
Abbreviated transcription (Latin):
PSem ꝓpoit secunda secundi de lineis ut si a diudãt
In Get ⁊ et d Sico ꝙ tantum fit ex a inse quantu
in omres illos stilicet ued / posito enm e equali a constat
ex xrima harum incrdencium tantum fieri ex e m a
g̃ i oies partes a s per contexcionem es e in
a fit cp̃tũ ex a inse et xe eixartee ⁊ quantm ces
a su easdem mamfestum ust ergo uerum esse quod dicit
nuinero in Duo Oiuiso quod ex toto in alterum
Siuidenciũ tantum est ꝙͣ̃tum ex eodem inse et
in alterum
⁊dom ꝓpout tercia secundi de lureis sit eniii a diu¬
sus in b et in c Dico tantum fieri ex a inc ꝙ̃tum
se est ꝙͣtum quod ex ductu utriusq diuiden¬
cium in se et alterius eorum bis in alteriun
I dein p̃roint quarta secundi de liueis ut si a diui¬
Satur in u et c dico tantum freri ex a in se ꝙ̃tum
harum quod est ex a in se quantum quad est ex eo
in u et int Ex eo autem in s x premissam, est q̃tun

Expanded text:
Idem proponit secunda secundi de lineis. Ut si a dividatur Idem proponit secunda secundi de lineis. Ut si a dividatur in b et c et d. Dico quod tantum fit ex a in se quantum in omnes illos b, c, d. Posito enim e equali a constat ex prima harum incidentium tantum fieri ex e in a quantum in omnes partes a. Sed per conceptionem ex e in a fit quantum ex a in se et ex e in partes a quantum ex a in easdem. Manifestum ergo est verum esse quod dicitur. ⟨5⟩ Numero in duo diviso quod fit ex toto in alterum dividentium tantum est quantum quod ex eodem in se et in alterum. Idem proponit tertia secundi de lineis. Sit enim a divisus in b et c. Dico tantum fieri ex a in c quantse est tantum quantum quod ex ductu utriusque dividentium in se et alterius eorum bis in alterum. Idem proponit quarta secundi de lineis. Ut si a dividatur in b et c, dico tantum fieri ex a in se quantum er quartam harum quod ex a in se quantum quod ex eo in b et in c. Ex eo autem in b per premissam est quantum
Abbreviated transcription (Latin):
Quos fit xx ductu quotlibet iumerorin
unum equũ est ui quod fit ex comxosito
eorum in xundem
hot est conuersum enus quod modo⁊ demenstratĩ ẽ
ut ⁊ xxu et ⁊ et din a fuent ⁊ et ẜ et g fiet quo
compositus ex composito in eunedem quod ex .i7. a.
et pre demonstiata facile concluditur.
Quod fit ex ductu quotlibet nunerorum in
sito horum in comxositum illorum
Ut si abt multixlicent def quilibet quenlĩbet ĩgar
q ꝑduca Sico aggregatum ex productis esse e¬
quale preducto ex comxosito ex a et s et s in comxo¬
situm ex d et e et f Est enm per premissam quod
fit ex composito ex abt in d quantum quos ex sin¬
gulis in illum scilioet d sit et in e et in p ex com¬
uosito autem horum scilioet abt in quenlibet istorum scilicet¬
def per ante pmnssao sit c̃tum ex comxosito in com¬
positum Itaq constat ⁊positum
Numrero in quotlibet ꝑtes diuiso tantum est quod
fit ex toto eo inse qucoitum ꝙ es es in ones suas
partes

Expanded text:
fit ex ductu quotlibet numerorum in unum, equum est ei quod fit ex composito eorum in eundem. Hoc est conversum eius quod modo demonstratum est. Ut si ex b et c et d in a fiant e et f et g, fiet quoque compositus ex composito in eundem, quod ex 17 septimi et predemonstrato facile concluditur. ⟨3⟩ Quod fit ex ductu quotlibet numerorum in sito horum in compositum illorum. Ut si a, b, c multiplicent d, e, f quilibet quemlibet iunganturque pro- ducta, dico aggregatum | ex productis esse equale producto ex composito ex a et b et c in compositum ex d et e et f. Est enim per premissam quod fit ex composito ex a, b, c in d quantum quod ex singulis in illum d sic et in e et in f. Ex composito autem horum a, b, c in quemlibet illorum d, e, f per antepremissam fit quantum quod ex composito in compositum. Itaque constat propositum. ⟨4⟩ Numero in quotlibet partes diviso tantum est quod fit ex toto eo in se quantum quod ex eo in omnes suas partes.
Abbreviated transcription (Latin):
cionalis Suꝑficies uero ei coĩtantes Sicunt᷑¬
⁊ acionales eidem uero in ꝯmensurabiles su¬
ꝑsies uero Dicuntur irracienales sure surde
latera uero q̃ ne illas qua dracas possunt di
maius diu dio mayori degrahatur Itemq de
reliquo maius dnm dio denumerat demaxs qr
eodem modo ne cesse est ut tandem minore po¬
sitarum minor quantitas relinquatur
Suto scod quantitates ixquales a et bt be mnaoor
Dico ey tociens potest maius duidio detrahi a st
Uel enis resiono ꝙ necesse erit relin qui ꝙptitatin
minorem a multiplitetur enin a. quociens excdat bc
sic q xius a multyxleꝵ deẜ manis sc deciahatur ĩta
As ue maius dum dio ꝙ sit sit ug Item ex residuo ꝙ

Expanded text:
icantes dicuntur rationales. | Eidem autem incommensurabiles superficies dicuntur irrationales sive surde. Latera vero que in illas quadratas possunt dicmaius dimidio a maiori detrahatur itemque de reliquo maius dimidio dematur deincepsque eodem modo, necesse est ut tandem minore positarum minor quantitas relinquatur. Sint due quantitates inequales a et b c, b c maior. Dico quod totiens potest maius dimidio detrahi a b c vel eius residuo quod necesse erit relinqui quantitatem minorem a. Multiplicetur enim a quotiens excedat b c sitque eius multiplex d e f maius b c. Detrahatur itaque a b c maius
Abbreviated transcription (French):
Simis numerus a duob non duxlus cuius
urediecas est por est ꝑiter par et imparite
Sit nuunerus a nom duxlus a duobus cunus me¬
Sietas que sit s ponatur xor Dico ixstm a ese
diter xarem ⁊ im̃pariter sit eniii ẽ uinarius
De qͥuo ⁊ mam̃fescum est ꝙ ipse ciiuouerat a
secumsum s quia utro ⁊ non est duxlus adueor
scesste est sis eno me dietas que est se i aliasi

Expanded text:
is numerus a duobus non duplus, cuius medietas est par, est pariter par et impariter. Sit numerus a non duplus a duobus cuius medietas, que sit b, ponatur par. Dico ipsum esse pariter parem et impariter. Sit enim c binarius de quo manifestum est quod ipse numerat a secundum b. Quia vero a non est duplus a duobus, necesse est si
Abbreviated transcription (Latin):
es pars cum itaq sit ds uintas erit es imxar
Si de minrero pari imxarem tollas qui ⁊ elin¬
quitur imxar. erit
Dis as par a quo tollatur ac qui sit impar dico cs
residuuin esse nxarem subtrahatur enin as at
unitas que sit es grit qi ad por ĩtaqi ꝑ .⁊li. de

Expanded text:
par. Cum itaque sit d b unitas, erit c b impar. Si de numero pari imparem tollas, qui relinquitur impar est. Sit a b par a quo tollatur a c qui sit impar. Dico c b residuum esse imparem. Subtrahatur enim ab a c unitas que sit c d eritque a d par. Itaque per 25
Abbreviated transcription (Latin):
porcionalibus ꝓpositis esi eni dno extremi sint
tontra se primi siñe habet intencio ꝑ.id̾. Si autẽ
compositi duco secundo in ultinum si ꝑ duccum
numeret prius ille secun dum quem xum iinerat
est quem que ⁊mnius ꝑo fecundam partem roᵉ . 7ᵒ.
Si autem primus predutum non ninrerot nuillus exit
quodlibet enii sixosito ꝑ p̾mam ꝑtem eiusdem
Acundum ipsum positum numerabit xus pouctum
quem posieum erat non imurerare

Expanded text:
ositis. Si enim duo extremi sint contra se primi, finem habet intentio per 18. Si autem compositi, ducto secundo in ultimum si productum numeret primus, is secundum quem eum numerat est quem queris per secundam partem 20 septimi. Si autem primus productum non numerat, nullus erit. Quolibet enim posito per primam partem eiusdem secundum ipsum positum numerabit primus productum. Quod positum erat non numerare
Abbreviated transcription (Latin):
pir es q̃a qui ese smarius untatem seguens est
priut Ed antem nullus aluis ab hus sie piter por
Nt constãt posito euin diliquo diuidatur in duas
ine dietates eiusq inxdrecas in suad et hoc to¬
ciens fiat quousq numerus aut uineas diui sione
phibrat Si ergo manerus hanc ꝑhibet ipse erit
iixar qui cum numeret ꝑiter parem positum nõ
erit pariter par qui posiois est ꝑiter par quia si

Expanded text:
quod a, qui est binarius, unitatem sequens est primus. Quod autem nullus alius ab hiis sit pariter par sic constat: posito enim aliquo dividatur in duas medietates eiusque medietas in duas et hoc totiens fiat quousque numerus aut unitas divisionem. Si ergo numerus hanc prohibeat, ipse erit impar qui cum numeret pariter parem positum, non erit pariter par qui positus est pariter par. Si
Abbreviated transcription (Latin):
di minieri mixacies inumero iuxceres coat̾rent᷑
dotum quoq ex uis coaternatum mxparem esse
S. quiliset numerorum asc inxar dico totum exris
comxositum imxorem esse erit enin x x̾missam com¬
posirus ex a et s par et quia ⁊ demxta unitate

Expanded text:
i numeri impares numero impares coacerventur, totum quoque ex eis coacervatum imparem esse. Sit quilibet numerorum a, b, c impar. Dico totum ex eis compositum esse imparem. Erit enim per premissam compositus ex a et b par. Et quia c dempta unitate
Abbreviated transcription (Latin):
Satis cribus nuimeris ꝯtinre ꝓporcionalibus amn
sit aliquis quartus xis ꝯtiiue ꝓportionalis inqͥrere
Sint ꝯgiiure ꝓporcionales abe uolo inquirere an aluis
ei sas continua ꝓportionalitate possit adiungi quia
⁊ a et t sint contra se pru imxossibile est ꝑ .id. Si
autem compositi suit sit s quod proueiit er̃s Inc

Expanded text:
atis tribus numeris continue proportionalibus an sit aliquis quartus eis continue proportionalis inquirere. Sint continue proportionales a, b, c. Volo inquirere an alius eis sub continua proportionalitate possit adiungi. Igitur si a et c sint contra se primi, impossibile est per 18. Si autem compositi, sit d
Abbreviated transcription (Latin):
Sint usqq ad d continue ꝓporcionales as uintate sit qr
e nuimerus p̾mus de quo xonatur ipsum nuerare d
Sico ꝙ idem e iimerabit a/ Nan si non gut e od ixsum a¬
p̃uius per .ir. Aͬ. et quia ex a in se fit ẜ sequitur es .⁊u.x¬
iusdem ut ipse e quoq sit primus os s s⁊ et ad d et ad
s sequitur ipsum e esse piimũ p .2i. eiusdem eo q et

Expanded text:
Sint usque ad d continue proportionales ab unitate sitque Sint usque ad d continue proportionales ab unitate sitque e numerus primus de quo ponatur ipsum numerare d. Dico quod idem numerabit a. Nam si non, erit ad ipsum primus per 32 septimi et quia ex a in se fit b, sequitur ex 26 eiusdem ut ipse quoque sit primus ad b, sed et ad c et ad d sequitur ipsum esse primum per 25 eiusdem eo quod ex
Abbreviated transcription (Latin):
S. uero secundus ab uintate non fuerit cubus millꝰ
deterorum erit cubus exceptis ab unntate cubo quar¬
to et deieexs hus qui duorum semx intermissione
formantur cubitis
het ex opposito subiecti premisse insunt porcem oppositi passi¬
onis/ Sico autem partem quomam es s constat onres
imxocres esse quortos omres q quectos quorum locus sux
cimorud uel suxer queulibet ixsuis muloplieem addit
unntatem esse cubod sint itaq que prius ab uniitate cõ¬
unue ꝓporcionales non sit dutem a quaertud s nec cubus
Dico nullum ex onnibus ese quartum aut cribum nisi quos
supra ꝓponit Si enin quis alius xonatur quortus sequitur
p. riͣ. sͥ a esse quoctum sed si cubus sequitur ꝑ 23ͣ
euisdem a ysse cubum quorum utumq ꝯerariũ eꝑ ypoth¬
si constat eigo p̃positum
S. nuimerie quotlibet ab unitate ꝯ tinua ꝓporcio¬
nalitate dispositis aliquis ninrerus p̾mus ultimũ
nimeret cum quoq qui unitatem sequitur nume¬
rocre necesse est

Expanded text:
Si vero secundus ab unitate non fuerit cubus, nullus ceterorum erit cubus exceptis ab unitate quarto et deinceps hiis, qui duorum semper intermissione formantur cubicis. Hec ex opposito subiecti premisse infert partem oppositi passionis. Dico autem partem quam ex 8 constat omnes impares esse quadratos omnesque quorum locus super ternarium vel quemlibet eius multiplicem addit unitatem esse cubos. Sint itaque qui prius ab unitate continue proportionales, non sit autem a quadratus, sed nec cubus. Dico nullum ex omnibus esse quadratum aut cubicum nisi quos 8 proponit. Si enim quis alius ponatur quadratus, sequitur per 22 octavi a esse quadratum. Quod si cubus, sequitur per 23 eiusdem a esse cubum quorum utrumque contrarium est ypothesi. Constat ergo propositumSi numeris quotlibet ab unitate continua proportionalitate | dispositis aliquis numerus primus ultimum numeret, eum quoque qui unitatem sequitur numerare necesse est.
Abbreviated transcription (Latin):
sit imar dico ⁊ eliquũ qui est ot esse parem dde¬
trahatur xnin as utioq duorum imerorum as et
oo  unitas que sit bd er̃it qr uterq duorum resi¬
Suomm qui sunit ad et de por xer xremissam
qui relinquitur mixor erit
Sit as nuxar aquo detrahaturat qui sit xordico
os esse residuum isse impareuy sit enim̃ ud uintus

Expanded text:
impar. Dico reliquum qui est a c esse parem. Detrahatur enim ab utroque duorum numerorum a b et b c unitas que sit b d eritque uterque duorum residuorum qui sunt a d et d c par, per premissam qui relinquitur | impar est. Sit a b impar a quo detrahatur a c qui sit par. Dico c b residuum esse imparem. S
Abbreviated transcription (Latin):
Suplum est ad quortum ed cum quarto eb cum igi
set guartum es equale quarto ac constat gpositum
muurerum eiliquem ita Diuidere ut quor sus
toto et una enis pocione contiretur equũ sit
quarco alcerius est mxossioile
Quodo ondenma setuns ponit facrendum est In luneis

Expanded text:
duplum est ad quadratum c d cum quadrato c b. Cum igitur sit quadratum c b equale quadrato a c, constat propositum. ⟨13⟩ Numerum aliquem ita dividere ut quod sub toto et una eius portione continetur equum sit quadrato alterius est impossibile. Quod 11 secundi proponit facien
Abbreviated transcription (Latin):
Cum fuenit mmrerus in duo equalia diuisus
aliusq a diũctus quartum tocius compositi cum
quarto adiuẽti duplum sunt ad quartum me die¬
tatis ipsuis cum quarto cõpositi ex medietate et
nmerus ed Dico quartum ad cũm quarto sᵈ duxlũ
esse ad quartum ac cum quaito es sum sit uniĩ numer᷑

Expanded text:
Cum fuerit numerus in duo equa divisus aliusque adiunctus, quadratum totius compositi cum quadrato adiuncti sunt duplum ad quadratum medietatis | ipsius cum quadrato compositi ex medietate et numerus b d. Dico quadratum a d cum quadrato b d duplum esse ad quadratum a c cum qua
Abbreviated transcription (Latin):
Bint abe ꝯtunue porcionales sint q s et ⁊ contia.
se primi dico ꝙ in xadem pporcione non potest eis
aDiungi alius si eum potest / sit d quia ita est aad
S sicut c ad s eut ꝑmutatiñ a ad e sicut b ad s
sunt autem a et c in sua ꝓporcionẽ mimim u.23. 7. Ĩcaq¬

Expanded text:
b et c continue proportionales sintque a et c | contra se primi. Dico quod in eadem proportione non potest eis adiungi alius. Si enim potest, sit d. Quia igitur est a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d. Sunt autem a et c in sua proportione minimi per 23 se
Abbreviated transcription (Latin):
sͣ et senarius quarta non plures g̃deo qr ppouentem
uates et denominationes ixstrum in toto non est quere¬
te quis minimus contineat has partes sus istis deno¬
minationibus s quis unud atiuet ꝓponentem aut partes
ꝯongit tontũ querere quis mimimnus ras coneuiet
et a quibus in eo denontnant᷑ solas quoq ꝓponentẽ
de nominationes ꝯtingit querere que portes as alus
Sicte et inquo minima ⁊ exeruit᷑ ꝯ uementius autem

Expanded text:
arius octava et senarius quarta, non plures. Ideoque proponentem arius octava et senarius quarta, non plures. Ideoque proponentem partes et denominationes ipsarum in toto non est querere quis minimus continet has partes sub istis denominationibus, sed quis minimus continet proponentem autem partes tantum. Contingit querere quis minimus eas continet et a quibus in eo denominantur. Solas quoque proponentem denominationes contingit querere que partes ab illis dicte et in quo m
Abbreviated transcription (Latin):
quas quantitates minimum quoq ꝯscat esse minimĩ
numreratum ab illis secundum quos uero immerant
sunt qui ꝙͣtitates de teruinant utrobiq autem idcirco
Inquirit᷑ minimus quiã infiniti sunt huic quidem qui
has partes continent Inde uers in quibus hee de¬
nominaciores ⁊ eperiuntur contingit euisus pouere
quorlibet partes et totidem de nominaciones ul quol
quotlibet denominatione totidem ꝑtes non autem qua¬
libet cum quibudlibet sed certas cum certas Si eum
ponam partes cres .x. a. et denominaciones earũ
G. 7. otto et in quiram quis inurerus conturet has
partes sus illid denominarionbus sumilis eio in quisiciom
uano querenti inq imxossibile Certas iea oportet xonere
uarces cum denominacionibus certis et non ut ꝯtingit
inquirere quis numerus posltas uartes sus posicis denõ¬
minanombus ꝯturet non autem quis inminus unitus eñ
nacio siue plitres non erit sumere plures nimeros

Expanded text:
quas quantitates. Minimum quoque constat esse minimum quas quantitates. Minimum quoque constat esse minimum numeratum ab illis, secundum quos vero numerant, sunt qui quantitates determinant. Utrobique autem idcirco inquiritur minimus, quia infiniti sunt hinc quidem qui has partes continent. Inde vero in quibus hee denominationes reperiuntur. Contingit rursus ponere quotlibet partes et totidem denominationes vel quotlibet denominationes et totidem partes. Non autem quaslibet cum quibuslibet, sed certas cum certis. Si enim ponam partes 3, 4, 5 et denominationes earum 6, 7, 8 et inquiram quis numerus continet has partes sub istis denominationibus, similis ero inquisitori vano querenti impossibile. Certas igitur contingit ponere partes cum denominationibus certis et non ut contingit et inquirere quis numerus positas partes sub positis denominationibus continet, non autem quises, non erit sumere plures numeros
Abbreviated transcription (Latin):
dem nimreri partes pꝰ quid tercia secundus uero
quarta et tercius quinta nec tamem iniuinus quem
numerant denominacioires eacrum qui est . uo. partes
istas continet Istandum igitur est si partes sus certa
quanticate ponantur. p̃ure cõmire quius de monstia¬
cionis non uni sequitur ut arguit ꝑ .37. si timarius
hune ninerote eigo git miimerus positus est xius ͥ.¬
pars/ Si ergo habet.s qua ꝑpter udem est quos
pponit᷑. se cumddum utrũq modum sed secundum mo¬
Sum ꝯuenieiciius uideretur quod intenditur gon
accendere aut oportet ꝙͣtum onnio pars ħas et quã¬
quotlibet in quaslibet partes secundum quantta tem et
in quirere quis mureruis eas ꝯturet et sus quibus
Senominacionibus minimũ autem uas continentem ꝯstat
esse minimum muinreratum os eis secundi quos as rid mi¬
rant sunt qui illos in illas denominant contigit iter xous
quoclaet et quaslibet de nominaciones et inqui rere quo
mimino hec denominaciones ⁊ eperuntur et secndĩ

Expanded text:
dem numeri partes, primus quidem tertia, secundus vero quarta et tertius quinta nec tamen minimus, quem numerant denominatores eorum, qui est 60, partes istas continet. Instandum igitur est si partes sub certa quantitate ponantur prime consequentie huius demonstrationis. Non enim sequitur ut arguit per 37 si ternarius hunc numerat, ergo hic numerus positus est eius tertia, sed ergo habet tertiam quapropter idem est quod proponitur secundum utrumque modum. Sed secundum primum convenientius videtur quod intenditur proponi. Attendere autem oportet quod, cum omnis pars haquotlibet et quaslibet partes secundum quantitatem et inquirere quis minimus eas continet et sub quibus denominationibus. Minimum autem eas continentem constat esse minimum numeratum ab eis secundum quos vero numerant sunt qui illas in illo denominant. Contingit iterum ponere quotlibet et quaslibet denominationes et inquirere in quo minimo hee denominationes reperiuntur et secundum
Abbreviated transcription (Latin):
autem idem aliter de tubus ꝯtime portionalibus ea
minins sine adiuiculo premisse probatenũ uãe¬
ioustusq Suobus comxositum p̾mium esse ad reliquũ
unt itcq tres ꝯtinue ꝓportionales et miuirr abt
quorum terimmd et e Dico tune composicum ex a et
E punmn esse asa et compesitum ex s. et c ada ĩtẽqr
exia et c ad s manfestumn est enin ex .2. d ꝙ ex

Expanded text:
autem idem aliter de tribus continue proportionalibus et minimis sine adminiculo premisse, probant enim ex quibusque duobus compositum primum esse ad reliquum. Sint itaque tres continue proportionales et minimi a, b, c quorum termini d et e. Dico tunc compositum ex a et b primum esse | ad c et compositum ex b et c ad a. Itemque ex a et c ad b. Manifest
Abbreviated transcription (Latin):
est q̃uantun ex s uis in se et bis ins cum quaito
e Sr ee s sie ise et sis nis fit quartan ar d
sis in e ꝑ̃ primõon borum ergo quod fitire d bis
n ai cum quarto s est quantum quartum a tũ
cuis comxositi equm est quadruxlo ems qr
fitegpuori i doditum cum qua Mato astenus
as diuisus in ac et cħ cur addatur bd equalus eh¬

Expanded text:
is in se et bis in b cum quadrato b. Sed ex d bis in se et bis in b fit quantum ex d bis in a per primam harum, ergo quod fit ex d bis in a cum quadrato b est quantum quadratum a cum tius compositi | equum est quadruplo eius quod fit ex priori in additum cum quadrato alterius. a b divisus in a c et c b cui addatur b d qui
Abbreviated transcription (Latin):
parte ⁊ꝯ. esdem eut totus de x̾mus ad utiũd
Tdrum scilicet d et c quia ita uterqi duortimm nuime¬
rorum S et de primus est ad e eut ꝑ .ri. emsde̾
qui ex d in de producitur ⁊ ipse est cõxositus ex a
et ⁊ pͥmus ad/ e sequitur ergo x rs. eisdem us et
composetus ex a et s sit x̃mus asc fit eni cexx

Expanded text:
sdem erit totus d e primus ad utrumque eorum d et e. Quia igitur uterque duorum numerorum d et d e primus est ad e, erit per 25 eiusdem qui ex d in d e producitur et ipse est compositus ex a et b primus ad e, sequitur ergo per 26 eiusdem ut etiam compositu
Abbreviated transcription (Latin):
ex s et e x̾mũ esse ad a sit uero comxositun us
d et c secunpͥinũ ab sit habeto cum sit unin utersi
por . 26. eiusdem qui ex de inse puent et ixse est qui
comxoratur ex a et ⁊ et duxles x̃mus erit ad sseq̃t̃
eori Rex q̃uibus compontar set x̾mus ad reliquid de¬
mons asimsisi quius De monstrations tomposit̃s des

Expanded text:
se ad a. At vero compositum ex a et c primum esse ad b sic habeto. Cum sit enim uterque e. Itaque per 26 eiusdem qui ex d e in se provenit, et ipse est qui componitur ex a et c et duplo b, primus erit ad b. Sequitur eorum ex quibus componitur sit primus ad reliquum. Dem
Abbreviated transcription (Latin):
xt̃ pocest argnere de sequentibius outem idem eodem
modo ꝓbabis quare patet pͥmum. Decundum acem sie
Sum u fiat ux de inse si fuerit a cubus erit p 2 ixe¬
S quoq cubus c uero constat esse cubum x xremissam
est enin e ad b sicus e sad d Idem quoqr arguere potese

Expanded text:
20 potes arguere. De sequentibus autem idem eodemque 20 potes arguere. De sequentibus autem idem eodemque modo probabis. Quare patet primum. Secundum autem sic: Cum b fiat ex a in se si fuerit a cubus, erit per 3 ipse quoque cubus, c vero constat esse cubum per premissaest enim a ad b sicut c ad d. Idem quoque arguere potes
Abbreviated transcription (Latin):
ex diffuincione quartud quiã ica s d sunt contue ꝓporciona¬
les cum s sit quartus xatet ex ia. et .2o. S. s esse
quarcum E adem racione et ẜ quia def sunt ꝯtinue ꝓp¬
tionales et d est quartus Idem in ceteris uno int̾mi Is
constat itaq primũ secundum sit cum s in c quociens
a in s ex ypothesi sequitur a diffiitione ut ex a inu suũ
quartum fias e ei igitur ex difficibne cubi c est cub
quorum latus super quenlibet multixlisem senarii addit uin¬
catem t̾mant᷑ quadratorum et cuborum comxpaciones in
Suolũ cbmisiore sequitũr ipsos esse quartos ex huius
xrua xorte et cubitos ex secunda quare quarti cubiti cõ¬
stat ergo totum quod dicitur
ceteri quoq onnes erunt quorti Si ueio qui uintatẽ
se quitur fuerit cubus ceceri quoq onnes eiũt cusi
Suit qui priud ꝯ tuie ꝓporcionales ab unitate Dic qr
a quartus dico onnes esse quartos aut sit idem a cub
quitur e esse quartum Ĩdem quoq ex ia. uel uicesiia

Expanded text:
t continue proportionales cum b sit quadratus, patet ex 17 vel 20 octavi d esse quadratum. Eadem ratione et f quia d, e, f sunt continue proportionales et d est quadratus. Idem in ceteris uno intermisso, constat itaque primum. Secundum sic: Cum b sit in c quotiens a in b ex ypothesi, sequitur a diffinitione ut ex a in b suum quadratum fiat c, igitur ex diffinitione cubi c est cubus. quorum locus semper quemlibet multiplicem senarii addit unitatem, terminantur quadratorum et cuborum computationes. In duorum obmissione sequitur ipsos esse quadratos ex huius prima parte et cubicos ex secunda, quare quadrati cubici. Constat ergo totum quod dicitur.ceteri quoque omnes erunt quadrati. Si vero qui unitatem sequitur fuerit cubus, ceteri quoque omnes erunt cubi. Sint ut prius continue proportionales ab unitate sitque a quadratus. Dico omnes esse quadratos. Aut sit idem cubus, equitur c esse quadratum. Idem quoque ex eiusdem 17 vel
Abbreviated transcription (Latin):
et ᷝs ꝑ premissam itas erit e cõicans alceri termminoꝵ
illis ꝓporcionis qui sunt ẜ et g eut qͣ numerus¬
minrerus aliquis numerans ⁊ et alterum duorum f
g qui sit h qui ergo q nuimerate mimerabit d et
composicum ex abt et quia numera f uel e quorum
uterq numerat utrmq nrediorum et sunxliciter omes

Expanded text:
eri terminorum illius proportionis qui sint f et g. Erit itaque numerus aliquis numerans e et alterum duorum f, g qui sit h. Quia ergo h numerat e, numerabit d et compositum ex a, b, c. Et quia numerat f vel g quorum uterque numerat utrumque mediorum et simpliciter omnes
Abbreviated transcription (Latin):
ud est equale quarto ab erit quartum ad equelle
quarto ab et quarto cs et ei quod fit ix ab in ud bi¬
Et ꝑ premissam autem est quartum ab cum quarto
S quantum quartum at cum eo quod fit ex as in ue
dis ĩcaqr quartum ad tantum est cp̃tum ex as ibo¬

Expanded text:
atum a d equale quadrato a b et quadrato c b et ei quod fit ex a b in b d bis. Per premissam autem est quadratum a b cum quadrato c b quantum quadratum a c cum eo quod fit ex a b in b c bis. Itaque quadratum a d tantum est quantum quo
Abbreviated transcription (Latin):
i Si ꝓpositus fuerit numerus minimus quẽ i¬
inerant primi assignati non mimerabit euin
asiquis munerus primus pret̾ illos assignatos
qui sunt bes/ dico ꝙ alius primus scilicet pretereos¬
scd non numerabit a su autem sit e pmus muneo¬
raus eum a secundum ꝑ quia ergo quilibet nuumeore

Expanded text:
i propositus fuerit numerus minimus quem numerant primi assignati, non numerabit eum aliquis numerus primus preter illos assignatos. qui sint b, c, d. Dico quod alius primus preter eos non numerabit a. Sin autem, sit e primus numerans eum secundum f. Quia ergo quilibet numerorum
Abbreviated transcription (Latin):
est in ꝯueniens ꝑ secundam octani Similiter quoq ꝯsto¬
dit compositum ex a ss xrimũ esse ads siruin use
uriuo e nuimreret ambos sequitur ꝑ premissam ut alq
numerus qui ⁊̃ sit h nimeret e et alterũ duorum
fe ⁊taq s numerat e et totum abd sed et s cum
utiaq ⁊ adicum numẽrat ones medios Eigo et
comxositum ex a et d et quia necessario nmerat alteꝵ¬

Expanded text:
 octavi. Similiter quoque constabit compositum ex a, b, d primum esse ad c. Si enim ut prius e numerat ambos, sequetur per premissam ut aliquis numerus qui etiam sit h, numerat e et alterum duorum f, g. Itaque h numerat c et totum a, b, d, sed et b cum utraque radicum numeret omnes medios, igitur et compositum ex a et d. Et quia necessario numerat alte
Abbreviated transcription (French):
Eiat nẽc ita g siuliter Cum u nunreret e secãdum
et g ostensum est autem qi non nec ita e uadem riaciore
ues et cũm renin ippe s nuineret s secundum h si ixe d
esfer a quinderecur ꝑ premissam li quoqr isse srac
nou eiat nrc ita l eut a nuinerat li autem ipsum a

Expanded text:
erat nec igitur g. Similiter cum h numeret c secundum premissam g, ostensum est autem quod non, nec igitur h. Eadem ratione nec k cum enim ipse numeret b secundum h si ipse esset a, convinceretur per premissam h quoque esse a. At non erat, nec igitur k erit a, numerat aute
Abbreviated transcription (Latin):
assĩtaa aes ẜ s ueio secundum d est enuin sicut uintas
as s ita õ as ꝑ uerum ita est quod ꝓporitur qupoe
quotus quisq qui ꝓponitur ultimũ numerarein fueri
sus ulcnus secundum tocum supra uintatem iumeiais
ipsum quĩtitir ꝑ equam pporcienalitatem et diffnncio
onalitatem dispositis nullus numerabits as¬
sunt dot xrmẽ usqs as iy tontinue p̃portiarases as
Uintate sit qr a nuimerus pͥnnis/ dico ꝙ nullus numera¬
uit ultinn nec simpliciter aliquem eorum insi aliquis
eorum qui aaitecedit ultiniũ ũl eum qui pointur iime¬
rori Sit enin si possibile est e diuersus/ ab xis scilicet¬
abcd qui memeret d qui e si fuerit pͥmus ꝑ .ii. niui¬
merabit a nen ito est a p̾ꝰ quod est contra ꝑpotheso

Expanded text:
ad e ita a ad f, b vero secundum d. Est enim ut unitas ad d ita b ad f. Verum igitur est quod proponitur. Quippe quotus quisque, qui proponitur ultimum numerare, fuerit sub ultimo secundum totum supra unitatem numerare ipsum convincitur per equam proportionalitatem et diffinitioonalitate dispositis nullus numerabit. Sint ut prius usque ad d continue proportionales ab unitate sitque a numerus primus. Dico quod nullus numerabit ultimum nec simpliciter aliquem eorum nisi aliquis eorum qui antecedunt ultimum vel eum qui ponitur numerari. Sit enim si possibile est e diversus ab eis qui numeret d qui si fuerit primus, per 11 numerabit a. Non igitur es
Abbreviated transcription (Latin):
Si quis quadratus mumerus alium quadratid
numeret latus quoq saum latus illus iuimerare
probatur Si uere latus siuin latus illis ninre¬
⁊ et quadratus numerat quadiatum
Sunt Duo numeri ab quadrati latrra q uorum c et d

Expanded text:
Si quis quadratus numerus alium quadratum numeret, latus quoque suum latus illius numerare probatur. Si vero latus suum latus illius numeret, quadratus numerat quadratum. Sint duo numeri a et b quad
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ fat enin dexa ine quare cum a numere edg et
g numeiabit c sit q ut secundum E sequitur q ut a
iimeret g sicud sequebatut ut numeieret e dloquin¬
uanon numerat g set g quidem est primus cum nume¬
comxositus x calidem seguitur mimeud x̃mum mimerantẽ

Expanded text:
 a in c, quare cum a numeret e, et g numerabit c sitque ut secundum h. Sequiturque ut a numeret g sicut sequebatur ut numeraret e. Alioquin si g quidem est primus cum numecompositus, per eandem sequitur numerum primum