comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
qͥnor pciẽte uicesimasseptimas eiusdẽ dodnͣtis
ꝯtinetur ad qͣdratũ dyametri spe sicut corpo¬
ris ipũis piramidis ad corpus .s. basiũ tͥangł¬
arũ atq equilat̾aꝵ quo ab eadẽ spera cͥcum

Expanded text:
rtiente vicesimasseptimas eiusdem dodrantis continetur ad quadratum diametri spere sicut corporis ipsius piramidis ad corpus octo basium triangu|larium atque equilaterarum que ambo eadem spera circum
Abbreviated transcription (Latin):
si u̾o ĩ alt̾am ꝑte alt̾a lougioris. S ꝓportõns eaꝵ qnͣtita¬
tũ deuoĩatõ quib ĩ ꝯtinua ꝓportõne duo media int̾poñ¬
tur. namq ht̃ solidi. qr ꝓuenit ex multiplicatõne denoiã¬
suꝑficies. deinde in ꝓductũ. ex qua multiplicatõne ꝓducit
solidum siue corpus. om̃e etemĩ ꝙ ex muloplicacoe̾ luee

Expanded text:
si vero in alteram parte altera longioris. Sed proportionis earum quantitatum denominatio quibus in continua proportione duo media interponuntur naturam habet solidi, quia provenit ex multiplicatione denominasuperficies, deinde in productum ex qua multiplicatione producitur solidum sive corpus. Omne etenim quod ex multiplicatione line
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯñs ad añcetentem. sic ꝯñs ad añcetentem.
Item q permutatin. sicut añs ad añcedẽ¬
tem: sic etiam ꝯseqũs ad consequente

Expanded text:
ns ad antecedentem, sic consequens ad antecedentem. Itemque permutatim, sicut antecedens ad antecedentem, sic etiam consequens ad consequente
Abbreviated transcription (Latin):
litatis eatem ꝓportõ rasis. bc: ad basmi ef.q̃ est sr̃ficiei
cans reliquo fu̾it eq̃distans eam illa
duo latera ꝓporliter secare. Si u̾o ꝓporłr

Expanded text:
litatis eadem proportio basis b c ad basim e f que est superficiei cans reliquo fuerit equidistans, eam illa duo latera proportionaliter secare. Si vero pr
Abbreviated transcription (Latin):
b. Q uod autem ip̃i suit simles: sic h̾eto. Cum .ii. ex
d. ii .g. sit . e et ex .c. in .f. sit idem. erit ꝑ scd̾am ꝑtẽ.zo.
septimi .d. ad .e. situt.f. ad .g. per diffiitõm igitur. a
et .b. sunt suuiles quod est ꝓpositum. Hatͣ ultium̃
quod est . a. et .b. ẽẽ similes potest etiam hrĩ ꝑ 19. ⁊ is.
septimi. et per has ypoch quod est. acb sut ꝯtinue ꝓ¬

Expanded text:
similes, sic habeto: Cum enim ex d in g fit c et ex e in f fit idem c, erit per secundam partem 20 septimi d ad e sicut f ad g. Per diffinitionem igitur a et b sunt similes. Quod est propositum. Hoc autem ultimum quod est a et b esse similes potest etiam haberi per 18 et 19 septimi et per has ypotheses quod a, c, b sint
Abbreviated transcription (Latin):
c. et .d.iii .q. fiant.e. et .f. et g fiet quoq ꝯpoĩtus ex
compoĩto in euntem quod ex .i7. aͥ et primo demon¬
spto facile conduditur.
Nod fit exductu quotlibet nuorũ
in quotlibet alios equin ẽ eis quod
er compoĩto hoꝵ in compoĩtui ulorumi.
ducto ex apoito ex .a. et .b. et.c. in ꝯpoĩtũ ex.det. c
f. Est .n. ꝑ pͥmissam quoo fitex ꝯpõto exab et̃ia

Expanded text:
c et d in a fiant e et f et g, fiet quoque compositus ex composito in eundem, quod ex 17 septimi et predemonstrato facile concluditur. ⟨3⟩ Quod fit ex ductu quotlibet numerorum in quotlibet alios equum est ei quod fit ex composito horum in compositum illorum. ducto ex composito ex a et b et c in compositum ex d et e et f. Est enim per premissam quod fit ex composito ex a
Abbreviated transcription (Latin):
se est. Sit aliqua sꝑa cꝰ dyamet᷑ .a. cͥcũscͥhens py¬
iamndem̃ cuius latus .b. ⁊ octocedron cuuis latus .c. Dico
itaq quod triangulus equilat̾us s̾ iatꝰ .b. ses quit̾tius
ẽ ad tͥangulũ equilat̾mi cꝰ latꝰ .c. ⁊ qr suꝑficies ꝙͣ ꝯpo¬
nunt.s. tuanguli equilat̾i cuuisq quoꝵ ẽ latꝰ .c. ses¬
qualt̾a est ad suꝑficiem qmͣ ꝯponiuit .e. tanguli equi¬
quadrat᷑.b. ad ꝯuadratũ. a. sic̃.e. ad .G̃. Ex corelꝰ uͦ¬

Expanded text:
se est. Sit aliqua spera cuius diameter a circumscribens piramidem cuius latus b et octocedron cuius latus c. Dico itaque quod triangulus equilaterus cuius latus b sesquitertius est ad triangulum equilaterum cuius latus c, sque quorum est latus c sesquialtera est ad superficiem quam componunt 4 trianguli equiquadratum b ad quadratum a sicut 4 ad 6. Ex corol
Abbreviated transcription (Latin):
b. angulo .e. ⁊ angulꝰ. ci angulo .f. ꝯstituam sr̃ liuean
ef. in eppoĩca parte trianguli. def. angłm. feg eaualẽ
pͥ. angulus .g. equał angło .a. ergo ꝑ p̾missã. ꝓportiõ
guli. quia gͦ triangulus. gef. est ⁊̃ equiangulus triã¬
gulo. abc. ꝯstat ꝓpositum.

Expanded text:
b angulo e et angulus c angulo f. Constituam super lineam e f in opposita parte trianguli d e f angulum f e g equalem primi angulus g equalis angulo a, ergo per premissam proportio guli, quare ergo triangulus g e f est etiam equiangulus triangulo a b c. Constat propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
põitꝰ fu̾it intͣ maiorẽ. sit q ipm̃. d. et ducantur lmee.da.
equał.ad. qd̾ est impossiᷝ ͤ. ¶ Se circuł at̾ se se ꝯtingẽ¬
est per diffuncõnem centri quod ipsi non habent ie
centrum signetur ⁊ ab eo ad circũt¬
enciam linee plurnne ducantur q̃ super
centrum transierit omniũ erit longissi¬
ma. que uero dyametrum perficiet oĩmi
breuissima. q̃ autem centro proxime ce

Expanded text:
positus fuerit intra maiorem. Sitque ipsum d et ducantur linee d a equalis a d. Quod est impossibile. De circulis autem sese contingenest per diffinitionem centri quod ipsi non habent ider centrum signetur et ab eo ad circumferentiam linee plurime ducantur, que super centrum transierit omnium erit longissima, que vero diametrum perficiet omnium brevissima. Que autem centro proxime, ce
Abbreviated transcription (Latin):
SSunt duo niun̾i .a. et .b. aubi. lat̾a q eoꝵ. cet .d. dico
quod si .a. nũat .b. c. quq im̾abit .d. et eꝯͦ. Ducatur. u.¬
c. in se et fiat .c. d. quoq in se et fiat.f. constat igitur
quod ex .c.in.e. fit .a. et ex.d. in .f.b. fiat itaq g. exis
in .d. enunt qr ꝑ. is.⁊ i9. septimi egh contiuue ꝓpoitõiles
in ꝓportõne .c. ad .d. sed .i. ⁊ẜ. ꝓueniant. ex.e. ii .g.tf

Expanded text:
. Dico quod si a numerat b, c quoque numerabit d et econverso. Ducatur c in se et fiat e, d quoque in se et fiat f. Constat igitur quod ex c in e fit a et ex d in f, b. Fiat itaque g ex c in d eruntque per 18 et 19 septimi e, g, f continue proportionales in proportione c ad d. Sed et h et k proveniant ex c in g et f,
Abbreviated transcription (Latin):
quincuplum esse pronuncio. Sic ĩ
cutulo. abc. cunis centr̃ .d. inscriptus unꝰ penthagonus
equilat̾us mius unũ lacus sit. ab. et ꝓtrahatur dyamet̾
cde. diidens luieami. ab. et enis artum ꝑ equalia. Est
igitur artus .ac. medietus quinte partis catum ferentie illiꝰ
circuli. qrͣ artus. ac. ẽ due quinte tocuis cutum ferencie.
P rotrahant᷑ itaq due liuee.ae. ⁊ ac. ent qr .qe. latus
decagoni equilati. et qd̾ eius amus ẽ medietas qute artum

Expanded text:
quincuplum esse pronuncio. Sit in circulo a b c cuius centrum d inscriptus unus pentagonus equilaterus cuius unum latus sit a b et protrahatur diameter c d e dividens lineam a b et eius arcum per equalia. Est igitur arcus a e medietas quinte partis circumferentie illius circuli, quare arcus a c est due quinte totius circumfe- rentie. | Protrahantur itaque due linee a e et a c eritque a e latus decagoni equilate
Abbreviated transcription (Latin):
contunie ꝓportõnales. sint q .a. et .c. ꝯͣ se pͥmi. Dico
quod in eadem ꝓportõne nõ pt̃ eis ad iungi alus. Si
n. pt̃: sit .d. Q ma igitur est .a. ad .b. sic̃ .c. ad .d.
erit pnintatĩ .a. ad .c. sicut .h. ad .d. Sunt at .a. ⁊c.
in sua ꝓportõne m̃imi ꝑ.23. aͥ. Itaq ꝑ .xi. eiustẽ¬

Expanded text:
continue proportionales sintque a et c | contra se primi. Dico quod in eadem proportione non potest eis adiungi alius. Si enim potest, sit d. Quia igitur est a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d. Sunt autem a et c in sua pro
Abbreviated transcription (Latin):
totũ qͦ ex eis coadc̾uatũ imparem esse.
Sit᷑ quil nu̾oꝵ. abc. impar. dico totũ ex eis ꝯpoĩtũ eẽ
nparem. erit .ni. ꝓp̾missam compoĩtꝰ ex .a.⁊u. par. et
quia .c. dempta uintate ẽ par. eͭ ꝑ añp̾missam totꝰ. abc
tẽpta iuntate par ꝑ diffõm imparis. Itaq ꝯstat totũ eẽ q̃mnẽ
a nũo pari nũs par dẽthatur: reliqͦ e ͭ par.
Sit totꝰ .a. par. a quo tẽt̾hat᷑ .b. qui quoꝵ sit par. ⁊
tesiduus sit .c. dico .c. ẽẽ parem. Sit. n .d. medietas .a .e. qͦ
sit medietas .b. cetracto q .e. de .d. sit reliqus .f. eut q per
Sit .ab. nĩs impar a quo deͬthat᷑ .bc. qui etiã sitã¬
par. dico reniqũ qui ẽ.ac. ẽẽ parem. dẽchatur .n. ab utͦq
duoꝵ nu̾oꝵ. ab. ⁊ be. unitas. que sit .bd. entq duoꝵ re
stat. ac. eẽ parem. quod est ꝓpoĩtun 2.

Expanded text:
totum quoque ex eis coacervatum imparem esse. Sit quilibet numerorum a, b, c impar. Dico totum ex eis compositum esse imparem. Erit enim per premissam compositus ex a et b par. Et quia c dempta unitate est par, erit per antepremissam totus a b c dempta unitate par. Per diffinitionem itaque constat tota numero pari numerus par detrahatur, reliquus erit par. Sit totus a par a quo detrahatur b qui quoque sit par et residuus sit c. Dico c esse parem. Sit enim d medietas a, e quoque sit medietas b detractoque e de d, sit reliquus f. Eritque per Sit a b numerus impar a quo detrahatur b c qui etiam sit impar. Dico reliquum qui est a c esse parem. Detrahatur enim ab utroque dustat a c esse parem. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
siduo. qrͣ aitiis .ec. est medietas aitus. ef soq equał artiu . ah.
et duplus ad arcum .ii.k. et quia aitus. eb. est duplus ad art̃
ih. erit ex.i. q ͭ . totus arcus. ceh. duplus ad tot̃ aitũ .l. hb.
Io ex ultĩa sexti angulus.cdb. duplus est ad angulũ. dbt.
Cumq ⁊̃ angulus. edb. duplus sit ad angulũ.bad. exit

Expanded text:
siduo. Quare arcus e c est medietas arcus e f ideoque equalis arcui a h et duplus ad arcum h k. Et quia arcus e b est duplus ad arcum b h, erit ex 13 quinti totus | arcus c e b duplus ad totum arcum b h k ideoque ex ultima sexti angulus c d b est duplus ad angulum b d l. Cumq
Abbreviated transcription (Latin):
a laterib penthagoni. Enis n̾o dỹamet̾ est iinea .np. Ho¬
ꝵ at̃ .2o. trianguloꝵ .0. ꝯsistunt in cutuitu supͣ cirtulum.
i. autem ꝯsurgunt sursum ad ꝑtũi .ni. ꝯcurrentes. At .q. reli¬
qui deor sum ei̾gunt suꝑ ptĩ.p. cccuntes. ħͥ at u̾ coce¬
dron corpus a data spera cutunsꝙptibile eẽ sic ent moĩfest̃.
Cum lia. lui. sit equał lat̾i exagoni. ⁊ nni. lat̾i tecagoni.
cquilatoꝵ quoꝵ cutulus. efg. cirtum saribit totũ.ba. erit
dictas.np. quemadmodꝰ est. qui. medietas . nił. Cũ gͦ qͣ¬
dratũ. qn. sit ex. 3ͣ hꝰ. quincuplũ ad quadratũ. qui. erit

Expanded text:
o diameter est linea n p. Horum autem 20 triangulorum 10 consistunt in circuitu supra circulum, 5 autem consurgunt sursum ad punctum n concurrentes atque 5 reliqui deorsum emergunt super punctum p coeuntes. Hoc autem ycocedron corpus a data spera circumscriptibile esse sic erit manifestum. Cum linea l m sit equalis lateri exagoni et m n lateri decagoni equilaterorum quos circulus e f g circumscribit, tota l n erit dietas n p quemadmodum est q m medietas m l. Cum ergo quadratum q n sit ex 3 huius quincuplum ad quadratum q m, eri
Abbreviated transcription (Latin):
cumferencie catuili. efg. so ⁊ ꝑ singulos angulos colcoi
fabricati in illa citunferencia ꝯsistentes. ⁊ quia eatem
roe singiili cor austi ꝯtinuantes exmitates angulanũ aache¬
toꝵ. sum ex̃mitace tentrales sint medio leto ꝓportõuales
int᷑ .pii. ⁊ nin. eo quod quil eoꝵ est equal. lni. seauitꝰ
ut iteni seniarcisus tnseat etiau ꝑ reliquos angulos¬

Expanded text:
 et per singulos angulos solidi fabricati in illa circumferentia consistentes. Et quia eadem ratione singuli corausti continuantes extremitates angularium cathetorum cum extremitate centralis sunt medio loco proportionales inter p m et m n eo quod quilibet eorum est equalis l m, sequitur ut idem semicirculus transeat etiam per reliquos angulos
Abbreviated transcription (Latin):
¶Hrpus .iz. insium penthagõꝵ cqui¬
lataꝵ atq equiangłaꝵ ab assigͣta spa
circluscriptibile consticue eritqz palam
latus eiustem corpis irrõnale esse id qd̃

Expanded text:
rpus 12 basium pentagonarum equilaterarum atque equiangularium ab assignata spera circumscriptibile constituere. Eritque palam latus eiusdem corporis irrationale esse, id q
Abbreviated transcription (Latin):
thagoni. Itaq ciucta iatera hoꝵ .20. trianguloꝵ. aut st̃
latera penthagoni equilateri ẜauice cutuli inscupti at
illis e qualia. Sunt gͥ equilaten trianguli. Amplus a
suꝑ centr̃ crtuli quod ẽ pãn .l. enge alium cath etum
equal em priorib qui sit.lin. enisq suꝑiorem ex̾unta¬
tem que est punctus .ii. muge cum s̃iñgulis ex̾mitati¬
bus prioꝵ ꝑ .5. coraustos. ent q ex .G. undecum hunus
centra uł cathetus singulis catheto ꝑ angularium equi¬
distaus. soq ex .z..pͥiii .q. corausti erunt semud y ame
ni. Centiali g ͦ catlieto ex utraq ꝑte ad iciatur linea una. e¬
quał lat̾i decagomi supͣ qũ ad itiatur ei .Mn. deors um at̃ sp̾
cmtulo ad iciatur sibi a centro cituli .lp. postea demittaus
a pcõ .ii. i. ypoth eneuse qo .ii. suꝑiores angulos .2o. trianglꝰ¬
oꝵ qui sunt in crturt. a pc̃o .p. alie .i. ad alios .i. in feri¬

Expanded text:
a cuncta latera horum triangulorum aut sunt latera pentagoni equilateri secunda vice circulo inscripti aut illis equalia. Sunt igitur equilateri trianguli. Amplius autem supra centrum circuli quod est punctum l erige alium cathetum equalem prioribus qui sit l m eiusque superiorem extremitatem que est punctus m iunge cum singulis extremitatibus priorum per 5 coraustos. Eritque ex 6 undecimi hic centralis cathetus singulis cathetorum angularium equidistans ideoque ex 33 primi 5 corausti erunt semidiametroni. Centrali ergo catheto ex utraque parte adiciatur linea una equalis lateri decagoni. Supra quidem adiciatur ei m n, deorsum autem sub circulo adiciatur sibi a centro circuli l p, postea dimittantur a puncto n 5 ypothenuse ad 5 superiores angulos 10 triangulorum qui sunt in c
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯͣ . si .ii. catheti erã ad ĩuitem equidistantes. Cũqr ip̃i sin
eqͣies: enĩt ex.zz.pͥ .i. corausti eoꝵ ex̾mitates iũgentes e¬
quales latib penthagoni. Demiite gͥa singłis sũnutati¬
b singłoꝵ cathetor binas ⁊ binas y potheuusas ad duos
artu nstante s angłos inscripti decagoͥ.⁊ haꝵ .i0. pͥpoche¬

Expanded text:
6 undecimi 5 catheti erecti ad invicem equidistantes. Cumque ipsi sint equales, erunt ex 33 primi 5 corausti eorum extremitates iungentes equales lateribus pentagoni. Dimitte igitur a singulis summitatibus singulorum | cathetorum binas et binas ypothenusas ad duos circumstantes angulos inscripti decagoni et harum 10 ypothe
Abbreviated transcription (Latin):
amet᷑. ade. Sico gꝰ quod quadratum h .ab. triplũ ẽ
ad quadratũm semidyametri. ad. Ducantur .n. due h. bd
arcui . ec. ⁊ quia ex.⁊ a. tͥcii. tres artus. ab. bc. ⁊ca. sunt
ad ĩuicem equalesᷤᷤ. eo quod eoꝵ corte q̃ sunt iat̾a tugom
sunt equales. ex ypoth. eut astus .be. sexta pars. citute¬
rençie. Ioq corda be. erit latus exagoni eauilat̾i p̃i Elo¬

Expanded text:
ameter a d e. Dico ergo quod quadratum linee a b triplum est ad quadratum semidiametri a d. Ducantur enim due lineearcui e c. Et quia ex 27 tertii tres arcus a b, b c et c a sunt ad invicem equales eo quod eorum corde, que sunt latera trigoni, sunt equales ex ypothesi, erit arcus b e sexta pars circumferentie. Ideoque corda b e erit latus exagoni equilateri ipsi
Abbreviated transcription (Latin):
maior amͣ .b. ad c. parit̾ acceptaꝵ ad . e ⁊f. ꝑiter accep¬
tas. ⁊ ꝙ ipã ẽ nuor qmͣ .a. ad.d. cũ sit .n. a add. maior
qmiͣ .b. ad .e. erit peruutatun .a. ad .b. maior ꝙͣ .d. ad.e.
Q rͣ ꝯuinctin .ab. ad .b. maior qmͣ. de ad .e. Et it̾ũ ꝑ¬
uuicati . ab. ad de maior qmͣ .b. ad .e. Qrͣ ꝑ pͥmissã
a. ad.d est maior qmͣ ab. ad de. Eotem qua modo ꝓ¬
est. a ad bc qm d. ad ef. Et ꝯmuctim maior abc. ad
be. amͣ def: ad.ef. ⁊ iterum ꝑmutatiu maior. abc.
ad def qmͣ bc ad.ef. Qrͣ per pͥmissam maior ẽ .a. ad
mus angulis alterius equales
fu̾it q angulus .a. equalis angulo.d. et angulus .b. eqͣlis
angulo .e. et ꝓportio. ab. ad. de. sicut. ac. ad .df. ⁊ eb ad

Expanded text:
m b et c pariter acceptarum ad e et f pariter acceptas et quod ipsa est minor quam a ad d. Cum sit enim a ad d maior quam b ad e, erit permutatim a ad b maior quam d ad e et coniunctim a b ad b maior quam d e ad e. Et iterum permutatim a b ad d e maior quam b ad e. Quare per premissam a ad d est maior quam a b ad d e. Eodemque modo pest a ad b c quam d ad e f et coniunctim maior a b c ad b c quam d e f ad e f et iterum permutatim maior a b c ad d e f quam b c ad e f, quare per premissam maior est a ad nius angulis alterius equales que angulus a equalis angulo d et angulus b equalis angulo e
Abbreviated transcription (Latin):
o lateraunius duob latenb altius fu¬
erint equalia si fũ it alter anguloꝵ sub illis
equis laterbꝰ ꝯtentoꝵ alter altero maior ba

Expanded text:
o latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia, si fuerit angulorum sub illis equis lateribus contentorum alter altero maior, ba
Abbreviated transcription (Latin):
qd̾ amlaꝵ ad sm maiores portõnes est una portio. Itaq¬
idem aucq alui actide. ⁊onstat.ii. ex distõne linee f. ph.¬
ab .ii.be. equale ẽ quadrato . ac. Eodem qr mõ ꝙ fĩt ex.de
in. ef. est equale quad:ato.df.soq ꝓportio eus ꝙ fit ex̃. ab
i .bc. ad quadratiun.ac: est sicut euis ꝙ fit ex.de .iii. et̃¬

Expanded text:
 minores portiones est proportio idem quoque alii accidere. Constat enim ex diffinitione linee a b in b c est equale quadrato a c. Eodemque modo quod fit ex d e in e f est equale quadrato d f. Ideoque proportio eius quod fit ex a b in b c ad quadratum a c est sicut eius quod fit ex
Abbreviated transcription (Latin):
est. Qi ꝯuinctim quad rupluui eius q. fit ex. ab .iui. bc.
cũ quadrato. ac. ad quadͣtũ. ac. sicut quat ruplũ euis ꝙ fit
ex. de in. ef. cum quadrato. dt̃. ⁊ diuugatur at̃ ẜur̾¬
titud̾iem ad liam. ab. mia linea equał que sit.bc̃. que
sunt equales. Snuiłr quo quadruplũ eius ꝙ fĩt ex. de
in. ef. equin est quaduplo euis ꝙ fit ex .de. in . ehi. eo ꝙ
et. ⁊ eh. sunt eqͣles. Igitur ex pͥma ꝑtẽ. aͨ. quuiti. ⁊ ex .ii.
enifdem quadratumꝰ.ag. ad auad̾ratum. ac. sicit qua

Expanded text:
e coniunctim quadruplum eius quod fit ex a b in b c cum quadrato a c ad quadratum a c sicut quadruplum eius quod fit ex d e in e f cum quadrato d f ad quadratutitudinem ad lineam a b linea una que sit equalis b c que sunt equales. Similiter quoque quadruplum eius quod fit ex d e in e f equum est quadruplo eius quod fit ex d e in e h eo quod e f et e h sunt equales etiam. Igitur ex prima parte 7 quinti et ex 11 eiusdem quadratum a g ad quadratum a c si
Abbreviated transcription (Latin):
i duo equalia diuidi non potest additq sf̃
cuncti pares enin num̾antes: parib incib
uter npar est queni cuucti impares enz
tibꝰ suis quibꝰ nuinat᷑ est ei equal. Ha
bundaus dicitur: qui oñbꝰ suis partib

Expanded text:
in duo equalia dividi non potest additque 5 scuncti pares eum numerantes paribus vicibusriter impar est, quem cuncti impares eum tibus suis quibus numeratur est equalis. ⟨viii⟩ Habundans dicitur qui omnibus suis partib
Abbreviated transcription (Latin):
ctilmee si fuint eq̃les eas a centro
eq̃ distare. et si a centro eq̃distet̾nit
soles õo neͣce est Sit ut ĩ cło. abcd. cuuꝰ centr̃ sit ..¬
eaͣlia .ĩ.f. et in .bc. et in .g. Q uia gͦ dno lat̾a. ed. et .da. tangłi
eda. sunt eqͣlia dnob lat̾ib. ec et eb. tͥangłi . ecb. et basis. ea
⁊. df. tangłi. ed f. sunt eqͣlia duob lat᷑ib . ec. et .cg. tͥangłi. e
cquał angło .c. erit ꝑ . 4.p. basis. et. eqͣl basi. eg. et qr iste sũt ꝑ¬
sunt. e f. et fd. et qͣdͣtũ.cc. qͣdrata duaꝵ lmeaꝵ q̃ sũt . eg. et
gc. et qr qͣdͣtũ. ed. est eqͣle qͣdrato. ec. et qͣdͣtũ.E d. qͣtrato.go.

Expanded text:
culo si fuerint equales, eas a centro equidistare. Et si a centro equidistiterint, equales esse necesse est. Sit ut in circulo a b c d cuius centrum sit equalia in f et b c in g. Quia ergo duo latera e d et d a trianguli e d a sunt equalia duobus lateribus e c et c b trianguli e c b et basis e a et d f trianguli e d f sunt equalia duobus lateribus e c et c g trianguli e qualis angulo c, erit per 4 primi basis e f equalis basi e g. Et quia iste sunt prum e f et f d et quadratum e c quadrata duarum que sunt e g et g c et quia quadratum e d est equale quadrato e c et quadratum f d quadrato g c,
Abbreviated transcription (Latin):
gło quadratum qd̃ a latere recto angło
oppoĩto in semet ip̃m ducto describitur eqũ
est duob quadratis que ex duobus reli

Expanded text:
o quadratum quod a latere recto angulo opposito in semetipsum ducto describitur equum est duobus quadratis que ex duobus reli
Abbreviated transcription (Latin):
O at̃ stabilire ad robur istius demonstintõnis ꝯpoĩtimu
fit .a. et ex̾ eotem in .e. b. It̃ qr quod ex .d.c. in se: pro¬
ducatur ꝯpõitũ ex .a. et .c. et duꝑlo .b. suppoĩto eo auod
pͥis. et quod ex .e. in se: fit .c. huins .ii. grã ꝓponiuius
hec temonstnͣda.
Nod fit ex ductu uius mun̾i in qͦtli
tantum ẽ qnͣtum ꝙ ex ductu enfdem

Expanded text:
 autem stabilire ad robur istius demonstrationis compositumfit a et ex eodem in e, b. Itemque quod ex d e in se producatur compositum ex a et c et duplo b supposito eo quod prius et quod ex e in se fit c. Huius itaque gratia proponimus hec demonstranda. ⟨1⟩Quod fit ex ductu unius numeri in quotlibet tantum est quantum quod ex ductu eiusdem
Abbreviated transcription (Latin):
d. et .c. d ico tunc ꝯpoitum ex .a.et .b. priniũ eẽ ad .c. et
2̾r.aͥ. sequitur quod .e. et .d. sunt ꝯͣ se pͥmi. Itaq ex pͥma
compoĩtus ex .a. et .b. pͥmus ad .e. Sequit᷑ g ͦ ꝑ .26. eius¬
dem ut etiam ꝯpoĩtus ex .a. et .b. sit priuius ad .c. fit
et .c. p ͫ eẽ ad .a. At uero ꝯpõĩtum ex .a. et .c. pm eẽ
ad .b. s̃t h̾eto. Cum sit .ii. ut̾q duoꝵ .d. et .e. pͥnus
ad totum. de: erit ꝑ.2ii. aͥ. qui ex .d. iii .e. ꝓducit
et ip̃e .b. pͥmus ad. de. Itaq ꝑ. ⁊õ. eniftem qui ex. de.
in se ꝓuenit. et ip̃e est qui compoĩt᷑ ex .a. et .c. et du¬

Expanded text:
d et e. Dico tunc compositum ex a et b primum esse | ad c et 22 septimi quod d et e sunt contra se primi. Itaque ex prima compositus ex a et b primus ad e, sequitur ergo per 26 eiusdem ut etiam compositus ex a et b sit primus ad c. Sit a. At vero compositum ex a et c primum esse ad b sic habeto. Cum sit enim uterque duorum d et e primus ad totum d e, erit per 25 septimi qui ex d in e producitur et ipse est b primus ad d e. Itaque per 26 eiusdem qui ex d e in se provenit, et ipse est qui componitur ex a et c et du
Abbreviated transcription (Latin):
mens a centro duuitat ꝑ equalia. dico qd̾ diuidit eam orcogo it̾
dimdit᷑ eam ꝑ eaualia. ꝓducam lneas .ca. et .cb. ponam pͥmo
adꝰ duutat eam ꝑ eaualia. erunt duo lat̾a .cd. et da. tangli
cda cqͣlia duob lat̾ib. s.d. et db. tangłi. c ob. et basis. ca
busi. cb. gͦ ꝑ .s. pͥmi angłs .d. unius ẽ eqͣlis angło .d. alt̾iꝰ. qr̃ utͥq
rectus. ar̃ .cd. est ꝑpendicł̾aris sũ.ab. ꝙ ẽ ꝓpoĩtũ. ¶ Ponam it̾

Expanded text:
niens a centro dividat per equalia. Didividit eam per equalia. Producam lineas c a et c b et ponam primo quod dividat eam per equalia, erunt duo latera c d et d a trianguli c d a equalia duobus lateribus c d et d b trianguli c d b et basis c a basi c b, ergo per 8 primi angulus d unius est equalis angulo d alterius, ergo uterque rectus, quare c d es
Abbreviated transcription (Latin):
f. erit q ex pdãs .uc. latus tecagoni eiustẽ. Intelligautur
igitur nscriꝑti ẽẽ decagoni equilat̾i t nob ciraslis . abc.⁊
f. quoꝵ onũa lat̾a erunt equalia linee .bc. Et quia om̃is
figura equilat̾a arculo nsqͥta est equiangła ut plutũ ẽ in
iiI. 4 ͭ ͣ libͥ. sequet᷑ utrosq de cagonos ẽẽ equi angulos. cũ
oñs auguli uiiis pariter accepti fint equales onũb angłis
altius pariter acceptis. sicut euitent̾ aꝑpr ex temo nstratis
iñ. 32. pͥ. nccẽ est ex hac ꝯsũ sciã. quoruml equaliũ deci¬
mas aut quotas l ꝑtes eiufdem denoĩatoĩs eẽ equales. ut
nuil hoꝵ decagonoꝵ sit equiangulus alii. soq simł exdif¬
finitõe ssium suꝑficieꝵ. ⁊ quia si due figure simiiles duob
curcuł in scribantur. erit ꝓportõ dnoꝵ resatiuoꝵ lat̾m illa ꝵ
figuruꝵ sicut duaꝵ dỹametroꝵ illoꝵ cutuloꝵ ut apꝑ ex
rum duob cirtulis. abc.⁊ f. suit equalia. sequitur ut dy¬

Expanded text:
antur igitur inscripti esse decagoni equilateri duobus circulis a b c et f quorum omnia latera erunt equalia linee b c. Et quia omnis figura equilatera circulo inscripta est equiangula ut probatum est in quarti libri, sequitur utrosque decagonos esse equiangulos. Cum omnes anguli unius pariter accepti sint equales omnibus angulis alterius pariter acceptis sicut evidenter apparet ex demonstratis in 32 primi, necesse est ex hac communi scientia quorumlibet equalium decimas aut quotaslibet partes eiusdem denominationis esse equales ut unus horum decagonorum sit equiangulus alii. Ideoque similis ex diffinitione similium superficierum. Et quia si due figure similes duobus circulis inscribantur, erit proportio duorum relativorum laterum illarum figurarum sicut duarum diametrorum illorum circulorum ut apparet obus circulis a b c et f sint equalia, sequitur ut di
Abbreviated transcription (Latin):
cuius circuli maior portõ fu̾it latus eͥxagoni eiustem minor
ent latus decagoni. At u̾o cuins minor erit latus decagõi eiꝰ¬
ten uaior erit̾ lacus tetagom. Erit .ii. priori disꝑdẽ manẽ¬
enis portõ sit. eb. Dico quod auuscũq cirtuli liͣ. eb. ẽ dat᷑ͦ
exagoni. ciustem est ha .bc. latus decagoni. ⁊ auusc̃q ar¬
culi liuea .bc. est latus decagoni eiustem ẽ ha. eb. latus ex¬
ex y̾pochꝰ. erit ex .qͣ. 5 ͭ.ce. ad.dc. sicut. dc. ad. eb. Igitur
ex .gͣ.s̃. duo trianguli. edc. ⁊ deb. sũt equi angłi. Augꝰ

Expanded text:
cuius circuli maior portio fuerit latus exagoni, eiusdem minor erit latus decagoni. At vero cuius minor erit latus decagoni, eiusdem maior erit latus exagoni. Sit enim priori dispositione manenscumque circuli linea e b est latus exagoni, eiusdem est linea b c latus decagoni et cuiuscumque circuli linea b c est latus decagoni, eiusdem est linea e b latus exex ypothesi, erit ex 7 quinti c e ad d c sicut d c ad c b. Igitur ex 6 sexti duo trianguli e d c et d c b sunt equianguli, angulus
Abbreviated transcription (Latin):
eq̃ alta cuiꝰ basis sit quadratũ cutło .a. uiscriptũ. ꝙͣ lat̾atã
ꝑpͥraputẽ ꝯstat ẽẽ plus diuudio pyrap̃ois rotunde. Itẽ
te residuo pyiamidis .a. rͦsꝰ ĩtelligauꝰ deͬthi pyranudes
eq̃ alte. statute suꝑ zangłos. cd. et. qui sũt ĩ portõib ba¬
sis. ⁊ ħ socieus fiat ut ex pͥma .io. rełiquat᷑ ex pyrãde
a. ininꝰ corpore.b. et itaq pẏranus lat̾uta ĩscripto poli¬
gonio sr̃stans ꝙͣ ꝯponũt lat̾ate pẏramides ex rotũda ꝑpta¬
unde detracte uiaiꝰ ͣ ꝑte rotunde cołupne. a ⁊ qr ut ꝓ¬
ne lut̾ate̾ se ͨ tenio cx.z. ꝑte .i0. nͭ libri colũpuã iotũ

Expanded text:
us basis sit quadratum circulo a inscriptum quam lateratam piramidem constat plus esse dimidio piramidis rotunde. Item de residuo piramidis a rursus intelligantur detrahi piramides eque alte statute super triangulos c, d, e, f qui sunt in portionibus basis et hoc totiens fiat ut ex prima decimi relinquatur ex piramide a minus corpore b. Eritque piramis laterata inscripto poligonio superstans quam componunt laterate piramides ex rotunda piramide detracte maius tertia parte rotunde columne a. Et quia ut pne laterate,
Abbreviated transcription (Latin):
communicantes aut rational est aut me
Sint due linee. ab ⁊ be. mediales potencia
dialis: tantum ꝯͥcantes. Dico ꝙ suꝑficies. ac. ab eis a¬
contenta aut est rationał aut medĩał. Sicut enm cd. quad̃¬
tum linec. be ⁊ ae. quadratum linee. ab. erunt coutenta¬
ac. medio loco ꝓpoe̾lis int̾ ipã quadrata. Sinat᷑ igitur
linea fg que sit rõnał in longitudine cui adiũga᷑ suꝑfici¬

Expanded text:
t rationalis est aut medialis. Sint due linee a b et b c mediales potentia tantum communicantes. Dico quod superficies a c ab eis contenta aut est rationalis aut medialis. Sint enim c d quadratum linee b c et a e quadratum linee a b, eruntquea c medio loco proportionalis inter ipsa quadrata. Sumatur igitur linea f g que sit rationalis in longitudine cui adiunga
Abbreviated transcription (Latin):
ad unũ ꝯpõitũ pũctum sursum erecte.  oĩ
lat̾ata pyramide cucte suꝑficies ip̃m ambiẽteᷤ
ab ipũis basi ad unũ pctũ eleuant᷑. qui conꝰ pi¬
raundis dr̃. suntq onĩs hee lat̾ales suꝑficies tͥ¬
angłe basis u̾o srequẽt̾ nõ est tͥangła  yramiᷤᷤ¬
rotunda ẽ figura solida ẽq tͣnsitus tangłi rec¬
tͥangłi alt̾utro suoꝵ lat̾um rectũ angłm ꝯtiũ¬
ciũ sixo ⁊ donͤ usq ad locũ unde mouicepit rede¬
at. tangło ipõ cͥuu ducto. Si at̃ latꝰ fixũ lati
circum ducto fu̾it equale erit sig̾a rectangła

Expanded text:
ad unum oppositum punctum sursum erecte. In omni laterata piramide cuncte superficies ipsam ambientes ab ipsius basi ad unum punctum sublevantur qui conus piramidis dicitur suntque omnes laterales superficies triangule, basis s trianguli rectanguli alterutro suorum laterum rectum angulum continentium fixo et donec ad locum, unde moveri cepit, redeat triangulo ipso circumducto. Si autem latus fixum | lateri circumducto fuerit equale, erit figura rectangula.
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmi ⁊ iĩ emsdẽ. angłs. cab. est medietas recti erit angłs. cad.
cda .b. minor mediecate recti. Idõq totus. augls. cad. minor rec¬
to. ⁊ acutꝰ. Qre pyramis acutangła. Eꝑ silatꝰ ab. fu̾it bre¬
uiꝰ lat̾e bc. erit angłs cab. maior medretate recti. ex z2. pͥmi
⁊ iꝯͣ. eiusdẽ. ⁊ totus. cad. qui est duplus ad cab. maior recto ⁊

Expanded text:
primi et 5 eiusdem angulus c a b est medietas recti, erit angulus c a d c a b minor medietate recti. Ideoque totus angulus c a d est minor recto et acutus, quare piramis acutiangula. Quod si latus a b sit brevius latere b c, erit angulus c a b maior medietate recti ex 32 primi et 19 eiusdem et totus c a d qui est duplus ad ipsum c a b maior recto et
Abbreviated transcription (Latin):
Dico qd̾ illud rectangułu qd̾ fit ex .ae. in .ec. eqũ ẽ ei qd̾ fit
ex .be. in .ed. ant .i. ambe lince. ac. ⁊ bd. transibunt ꝑer
centr̃ circłi aut alt̾a tm̃ aut neutra. Q si ambe transeũt
per tentr̃ erit .e. centr̃ circuli om̃s q .4. li ͤ equales. quare
liquet ꝓposicum. Qr si alt̾a illaꝵ tm̃ transeat ꝑ centrinu:
sit illa . bd. centr̃ q cͥculi sit f. aut gͦ. bd. secabit . ae. ꝑ eqͣ¬
lia: aut ꝑ mequalia. Seccet g ͦ primo ꝑ equalia. erit q
ꝑ pͥmani ꝑtem .3. hꝰ. secans eam ortogoͣliter. Ducat᷑ ĩq liẽa
fc. erit q ꝑ .5. ẜi quod fit ex .bc. in ed. cũ quadraco. ef eqͣ¬
le quadrato linee. Ed. qr̃ ⁊ quadrato linee.Fc. gͦ per pe

Expanded text:
Dico quod illud rectangulum quod fit ex a e in e c equum est ei quod fit ex b e in e d. Aut enim ambe linee a c et b d transibunt per centrum circuli138 aut altera tantum aut neutra. Quod si ambe transeant per centrum, erit e centrum circuli omnesque 4 linee equales. Quare liquet propositum. Quod si altera earum tantum transit per centrum, sit illa b d centrumque circuli sit f. Aut ergo b d secabit a c per equalia aut per inequalia. Secet ergo primo per equalia eritque per primam partem 3 huius secans eam orthogonaliter. Ducatur itaque linea f c eritque per 5 secundi quod fit ex b e in e d cum quadrato e f equale
Abbreviated transcription (Latin):
hꝰ quos fit ex. ge in eh. eqñ ẽ ei quot fit ex.se. in ied qd̾
tem ad circłin alia secans alia contin¬
gens due recte linee ducantur qd̾ sub tota

Expanded text:
 quod fit ex a e in e c equum est ei quod fit ex b e in e d. Quod tem ad circulum alia secans, alia contingens due recte linee ducantur, quod sub tota
Abbreviated transcription (Latin):
ut pͥus. Or si fu̾int qnͣtitates płres trib in uaitq ordi
ut poce. 4. atditis p. ⁊ q. ita quod sic .e. ad.p sicut. F
3. qnͣtitates. a e p. ⁊ alie tres. s f q: ut ꝓponit᷑. arͣ. a.
ad . p. sicut.c. ad.q. sic q demͣtur d̾ .4. ꝑ .3. sb̾lato u¬
no medio. Eodem mõ demonstrab̾. d̾ .5. ꝑ .e. subla¬
tis duob medus.⁊ d̾ .G. ꝑ .i. sb̾latis tub ⁊ sic ĩ cet̾is.

Expanded text:
in utroque ordine utpote 4 additis p et q ita quod sit e ad p sicut f tres quantitates a, e, p et alie tres c, f, q ut proponitur, quare a ad p sicut c ad q sicque demonstratur de 4 per tres sublato uno medio. Eodem modo demonstrabis de 5 per 4 sublatis duob
Abbreviated transcription (Latin):
Sĩt qͣntitates. ab. ad.c. ⁊ de. ad.f. eq̃niul¬
eis equalia. tplices. subtͣrant᷑ q.c ex ab. et .f.ex. de
et sint resioua ex ab quidẽ. ag .ex. de .di. ent q gb: eqͣ¬
lis .c. et he: equalis .F. Dico quod duo residua .ag. ⁊ dh. e¬
rũt eqͣlia duab qnͣtitatib. c ⁊ f. aut eis eã multiplicia
Sit eigo p ͦ. ag equalis .c. dico quod dħ ẽ equał .f. siunã
.n. qnͣtitatem. ek: equalem .f. erit q ꝑ p̾missas ypothe¬
ses ut toiens. F sit mñ hk. quociens .c. ĩ ab. arͣ sicut. ab¬

Expanded text:
Sint quantitates a b ad c et d e ad f eque multiplices subtrahanturque c ex a b et f ex d e et sint residua ex a b quidem a g, ex d e, d h. Eritque g b equalis c et h e equalis f. Dico quod duo residua a g et d h erunt equalia duabus quantitatibus c et f aut eis eque multiplicia. Sit ergo primo a g equalis c. Dico quod d h est equalis f. Sumam enim quantitatem e k equalem f eritque per premissas ypotheses ut totiens f sit in h k quotiens c in a b. Quare sicut a
Abbreviated transcription (Latin):
at ib̾ .e.f. ꝓtrahantur due linee.df. et. dg. que sunt eqͣles ut ꝓ¬
głi. Rf g. et.f g h. equales. qrͣ angłs. e f̃g. maior et angło
Eg e .gͦ ꝑ . ig. latꝰ.ag. mauis est lat̾e.ef. qrͣ .bc. maior est. ef.
arguatur per.q.

Expanded text:
at sub e f, protrahantur due linee d f et d g que sunt equales ut pbasi f g anguli k f g et f g h equales, quare angulus e f g maior erit angulo f g e, ergo per 18 latus e g maius est latere e f, quare b c maior est e f. arguatur per 5.
Abbreviated transcription (Latin):
b lat̾ib .d e. et. df. unũqd̾q suo relato. sit q angłs .a. maior an¬
gulo .b. Dico ꝙ basis .bc. maior erit basi .ef. faciam .n. uixͣ doctri¬
nam p̾cecentis. angłm. e d g. equałe angło .a. eq angułꝰ. e ag
ꝑs euis. Et ponam d g. equalem. ac. et pͣtͣlam. eg. q̃ aut tnssibit
angłi. ab c. sũt equalia. ed. et. dg. lat̾ib tͥangłi. edg. et angls
a. angło.d. totali e ͭ ꝑ .4. basis .bc. equałbasi. eg. At xo qr. dg¬

Expanded text:
bus lateribus d e et d f unumquodque suo relativo, sitque angulus a maior angulo d. Dico quod basis b c maior erit basi e f. Faciam enim iuxta doctrinam | precedentis angulum e d g equalem angulo a eritque angulus e d f pars eius et ponam d g equalem a c et protraham e g que aut transibit anguli a b c sunt equalia e d et d g lateribus trianguli e d g et angulus a angulo d totali, erit per 4 basis b c equalis basi e g. At ver
Abbreviated transcription (Latin):
be. ad tecupꝰlũ. fg. ⁊ qr duotetupli illiꝰ penthago ẽ õs sup¬
ficies d uodecedꝰ. Uignicuplũ at̃ n uuis tugo  est onĩs suꝑ¬
ficies ycocedri. ⁊ quia ꝑ .iii. quinti decupli be qo decglũ
fg. sicut .u.c. simple ad. fg. simplaui. eut pnuequiute
Inꝑfities u̾cocedri ꝑit̾ acceptas sicut.be. ad.sg̃. ⁊ ħ est
quod eportuit nos demoustrarẽ:¬

Expanded text:
s superficies duodecedri, vigincuplum autem huius trigoni est omnes superficies ycocedri et quia per quinti decupli b e ad decuplum f g sicut b e simple ad f g simplam, erit per 11 quinti superficies ycocedri pariter acceptas sicut b e ad f g. Et hoc est quod oportuit nos demonstrare
Abbreviated transcription (Latin):
ex suis anguł ꝯtiẽntia suit. ab. ⁊ bc. ⁊ augulo .b. subtẽ¬
datur lia. ac. et ꝓtrahatur dyamet. bde. secausłiaui
ac. ꝑ eqͣlia in itõ. g. Sit q df. medietas. de ⁊ gh. du¬
pla ad. he. ent q. bf. drodrans dyamet̾. est .ni. tres
quaree ipñs ⁊.ah. erit textans. ac. est .n.q. sexte eiꝰ.¬
ẽ ad triangulũ. abd. Ioq quod ꝓuenit ex.bf .ĩ. ag.
triplum est ad eindeu triangulũ ⁊ quod̾ ꝓuenit ex
bf. in .lg. daplum. ⁊ ex. bf. in totani. aħ. quincũpli
Cũ iaq totus penchago luis quincuplus sit ad eund̾ tu¬
angulũ ꝯstat quod istud quod fit ex. bf. inͥ . ah. est e ⁊¬
quale penthagono ⁊ illd̾ erat demonstrandũ. N ĩgit᷑

Expanded text:
lo b subtendatur linea a c et protrahatur diameter b d e secans lineam a c per equalia in puncto g. Sitque d f medietas d e et g h dupla ad h c eritque b f dodrans diametri, est enim tres quarte ipsius, et a h erit dextans a c, est enim 5 sexte eium ad triangulum a b d ideoque quod provenit ex b f in a g triplum erit ad eundem triangulum et quod provenit ex b f in g h duplum et ex b f in totam a h quincuplum. Cum itaque totus pentagonus quincuplus sit ad eundem triangulum, constat quod illud quod fit ex b f in a h est equale pentagono. Et illud erat de
Abbreviated transcription (Latin):
Secet igitur suꝑficies. għk. istud seiratile equidistant᷑
ouab euis eppoĩtis suꝑficiebꝰ. que sunt. abc. def. Dico
auod ꝓportõ serratił.ał. ad serratile .gf. est sicut basis
ał. ad basim . gf. qd̾ sicut te solidis palł ꝓbatur. pyo
eas ex ꝑte pci .e. 4 ͦ seratilib equalib seriatili. gf.
et ex ꝑte pã .b. aliis equalib serratili.ak. It̾uiq quo
Solidus augulus ꝓpoĩtus sit .a. qui toutiueat᷑ trib
lnieis . ab. ac. ad. tres suꝑficiales angulos ip̃m solidũ
ꝑficientes continentib. aui suꝑ pcm .e. linee. ef. ꝓpoĩte
que ad ub ntumi ꝓponentis iacẽat aut sb̾ limen ꝯsurgat
ef. a pc̃o .g. ubitimiq uoluis assigͣto ⁊ ꝓducto lineam. ge.
enuit q ex scd̾a due linee due liͤ. ef ⁊ ge. in suꝑficie una.
In hac itaq suꝑfitie suꝑ pamñ.e. tatum i assignata linea
scd̾m ꝯsilium .z3. pͥmi. ꝯstitue angłm eaualem angło .b
ac. et ip̃e sit. Feg. Dehnnc ex linea. ad. ab scuidere li¬

Expanded text:
aralellogramum. Secet igitur superficies g h k istud serratile equidistanter duabus eius oppositis superficiebus que sunt a b c, d e f. Dico quod proportio serratilis a k ad serratile g f est sicut basis a k ad basim g f. Quod sicut de solidis paralelloeas ex parte puncti e serratilibus equalibus serratili g f et ex parte puncti b aliis equalibus serratili a k utrinque quoSolidus angulus propositus sit a qui contineatur tribus lineis a b, a c, a d tres superficiales angulos ipsum solidum perficientes continentibus cui super punctum e linee e f proposite que ad libitum proponentis iaceat aut in sublimi consurgat ubicumque volueris signato producito lineam g e eruntque ex secunda huius due linee e f et g e in superficie una. In hac itaque superficie super punctum e datum in assignata linea secundum consilium 23 primi constitue angulum equalem angulo b a c et ipse sit f e g. Dehinc ex linea a d abscinde li
Abbreviated transcription (Latin):
ꝗe iui st aseie duon itialuuia corpoi in que supfities ed.
D
diuidit solidum . ab. Dico itaq quod ꝓportõ solrdi. ad ad
solidñ. bc. est sicut basis. gd. ad basimꝰ. hb. protrahantur
.ii. utrimq antum libu̾it .4. unee peuetrantes suꝑficiem
cd. suꝑ eurs angulos et ipẽ sunt. af.⁊ eb. cum duab reli¬
quis sibi equidistantibꝰ. Sumant᷑ q ex eis om̃ibꝰ portõ¬
nes ex ꝑte pcĩ .b. quot libu̾it que ponautur singule e¬
quales liiee .bd. et ex ꝑte punci .e. alie sumiłr quot
ubuit que ponantur equales linee. ed. suꝑ quas utin̾¬

Expanded text:
e sunt bases duorum partialium corporum in que superficies c d dividit solidum a b. Dico itaque quod proportio solidi a d ad solidum c b est sicut basis g d ad basim h b. Protrahantur enim utrinque quantum libuerit 4 linee penetrantes superficiem c d super eius angulos et ipse sunt a f et e b cum duabus reliquis sibi equidistantibus. Sumanturque ex eis omnibus portiones ex parte puncti b quot libuerit que ponantur singule equales linee d b et ex parte puncti e alie similiter quot libuerit que ponantur equales linee e d. Inter quas
Abbreviated transcription (Latin):
e. solita. an. ⁊ ꝑq. eut q ex diffõne corpoꝵ equaliũ
atq suum unũ quodq solidoꝵ .ft̃. ⁊ lin. equale solido . eb.
luimi atq słium. et si rasis est uun̾or basi: solidũ ẽ min
solido. et si maior: manis. ꝙ patet ex diffõne eatẽ rese¬
cata maiori basi ad equalitatem mioris. ⁊ descripto sr̃

Expanded text:
equalium atque similium unumquodque solidorum f k et l m equale solido c b ualium atque similium. Et si basis est minor basi, solidum est minus solido et si maior, maius quod patet ex eadem diffinitione. Resecata maiori basi ad equalitatem minoris et descripto super
Abbreviated transcription (Latin):
Sit. a punctus tatus uel assigͣtꝰ exͣ imeam .bc. a quo ad ip̃ãm o
nos duc̃e ꝑpendicłarem. Protham liam .bc. in utmͣq ꝑtem qͣnͣtũ
libu̾it. ⁊ super pcm̃ .a. describam cutłm .bc. sic ut seccet lmeam da¬
tam in pcõ.bc. et ꝓͣtͣham lineas. ac.et.ab. et diuidam angłui. ac
per eqͣlia ꝑ lineam. ad. seciuid̾ toctuam ꝯͤ. Dico qd̾. ad. est ꝑpendi¬
cłaui suꝑ li ͣ.bc. Intelligo duos tangłos. abd. et. acd. quia duo
lat̾aad. et ab. tͥangłi. abd. sunt equalia duob lat̾ib. ac. et ad
tͥangłi. ac d. et augłs .a. inuꝰ angło .a. alt̾iꝰ erit ꝑ quartaui. basis

Expanded text:
uo ad ipsam oportet nos ducere perpendicularem. Protraham b c in utramque partem quantum libuerit et super punctum a describam circulum b c sic ut secet lineam datam in punctis b, c et protraham lineas a b et a c. Et dividam angulum b a c per equalia per lineam a d secundum doctrinam 9. Dico quod a d est perpendicularis super lineam b c. Intelligo duos triangulos a b d et a c d et quia duo latera a b et a d trianguli a b d sunt equalia duobus lateribus a c et a d trianguli a c d et angulus a unius angulo a alterius, erit per 4 basis
Abbreviated transcription (Latin):
n. a quolibet unitate ꝯstat restouos cẽ pares. et quia il¬
le unitates dempte̾ ꝯpomt paren cum suit uuo pare s ꝯ¬
stat ꝓpoĩtum ꝑ p̾missam.

Expanded text:
enim a quolibet unitate constat residuos esse pares. Et quia ille unitates dempte componunt parem, cum sint numero pares, constat propositum per premissam.
Abbreviated transcription (Latin):
duarum superficierum I¬
similium multiangu be¬
larum inter duos curcłos dis ꝑ¬
descriptarum est ꝓportõ
que ex dyametris cucłor eas circuinscri

Expanded text:
duarum superficierum similium multiangularum inter duos circulos descriptarum est proportio que ex diametris circulorum eas circumscri
Abbreviated transcription (Latin):
ateqͣnͣt᷑ angło.d be. ipĩ cum angło.cbe. erũt equales duob
rectis. qr̃ triangłi qui sunt. dba. ab e. et. eb a. g ͦ duo angłi¬
cba. et abd. sunt eqͣles duob rectis qd̾ ẽ ꝓpoĩtum. Ex quo
patet totũ spaciũ ꝙ in qͣlib suꝑficie ꝑlana punctũ quodlibet
tircuistat .x. rectis angłis eẽ equales.

Expanded text:
adequantur angulo d b e, ipsi cum angulo c b e erunt equales duobus rectis quare tres anguli qui sunt d b a, a b e et c b e sunc b a et a b d sunt equales duobus rectis. Quod est propositum. Ex quo patet totum spatium quod in qualibet superficie punctum quodlibet circumstat 4 rectis angulis esse equale
Abbreviated transcription (Latin):
tarũ inutũe. Dico quod colũpue̾ eiunt equales. Cũ.ud
Si ħ ut poĩtum est ueriim fu̾it de colũpnis erũt ⁊ͥ iͣz
lũpne equales. cũ irẽ triple sunt ad suas pyrauis tes. qrͣ
patet scda pars eius quod ꝓpositum est.

Expanded text:
tarum mutue, dico quod columne erunt equales. Cum enim s lumne equales cum ipse triple sint ad suas piramides. Quare patet secunda pars eius quod propositum est
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑficies unius sũt equi angule sius relatĩs suꝑfitieb
ałterius.ꝙ ex. 34. pumi pat̾e potest. Nam cũ solidꝰ
anꝰ .u. ponatur e̾quał solido angulo .a. ncc̃e ẽ ut umiꝰ
augꝰ uniuscusq suꝑficiei solidi. ad. sit equał uni
angulo sue resatiue suꝑficiei in solido.bc. Itaq p .3x.
pͥ. eoꝵ oppdĩti erunt equales. At quia unniul cuiusq
suꝑficiei quadrilat̾e. om̃s auguli sunt equales. 2.
rectis ex . 32. pͥmi. nct̃e ẽ duos reliquos unius eẽ eq̃¬
les duob reliquis sue relatiue. Cumq ip̃i duo reli¬
qui in qualibet sunt etiam ad inuicem equales. ꝯui
augula sue relatiue in solido. bc. qrͣ ex scd̾a ꝑte.i3.¬

Expanded text:
is relativis superficiebus alterius, quod ex 34 primi patere potest. Nam cum solidus angulus b ponatur equalis solido angulo a, necesse est ut unus angulus uniuscuiusque superficiei solidi a d sit equalis uni angulo sue relative superficiei in solido b c. Itaque per 34 primi eorum oppositi erunt equales. Atque quia uniuscuiusque superficiei quadrilatere omnes anguli sunt equales 4 rectis ex 32 primi, necesse est duos reliquos unius esse equales duobus reliquis sue relative. Cumque ipsi duo reliqui in qualibet sint etiam ad invicem | equales, couiangula sue relative in solido b c. Quare ex secunda parte 13
Abbreviated transcription (French):
a exierutq a pcĩs sectõnũ duc suꝑficies
se uicissim secautes et cubũ ꝯmunẽ eaꝵ
sectonem dyametrũ cubi per eqͣlia seca

Expanded text:
a exierintque a punctis sectionum due superficies sese invicem secantes et cubum, communem earum sectionem diametrum cubi per equalia secar
Abbreviated transcription (Latin):
Cumi.n. ħce unee sint equales. et ip̃e det̾imãnt alti¬
tud iẽm solidoꝵ erunt solida eq̃ alta. At si li ͤ altitu
p̾ nussa n ee ꝑpendiculares ad iuuicem equales. ipẽ.n
erunt sicut erant ⁊ p̾missa demonstracoĩs figura due
lie .pq. ⁊ lu. quas temiuimꝰ oportere dẽ equales. Qui¬
a igitur om̃ solidoꝵ altitudo ex ꝑpendidarib a sũ ii¬
tatib ip̃oꝵ ad suas bases descendentib diffmitur. e

Expanded text:
Cum enim hee linee sint equales et ipse determinent altitudinem solidorum, erunt solida eque alta. At si linee altitupremissa hee perpendiculares ad invicem equales, ipse enim erunt sicut erant in premisse demonstrationis figura due linee p q et l n quas demonstravimus oportere esse equales. Quia igitur omnium solidorum altitudo ex perpendicularibus a summitatibus ipsorum ad suas bases descendentibus diffinitur, er
Abbreviated transcription (Latin):
in quo sistit dĩo: d. In nũo quippe ncc̃e est stari. qr si
usq ad unitarẽ ꝑneĩret dĩo: eẽt .a. de nũis duplis abi¬
nario de quibꝰ nõ est. De .d. u̾o mãifestũ est qd̾ ipẽ nu¬
at .a. p huͣc ꝯnunẽ scĩam. om̃is nũs nu̾ans alium: nu̾at
oqum cum .d. sit impar scq̃retus ꝑ .z0 .a. ẽẽ imparem.
Quia gͥ .b. nũs par nũat .a. scd̾ni .c. qui quoq est par.
est. .ii. bmarius. At uero .e. nim̾ius par nũꝵ enudem

Expanded text:
in quo sistit divisio d. In numero quippe necesse est stari, quia si usque ad unitatem perveniret divisio, esset a de numeris duplis a binario de quibus non est. De d vero manifestum est quod ipse numerat a per hanc communem scientiam: omnis numerus numerans alium numerat oquin cum d sit impar, sequeretur per 30 a esse imparem. Quia igitur b numerus par numerat a secundum c qui quoque est par est enim binarius. At vero e numerus pa
Abbreviated transcription (Latin):
est nccͣm eẽ possibile. ꝓducam basim .bc. in utrãq ꝑtem
ut fiant duo angłi extrinseq. et a centro .g. produtã
lineam .gd. ad circũ ferenciã. et ꝯstituam angłm. dc
ge. ducfa hiͣ .ge. equalem .b. extrinseco. et dgf duc¬
ta lia. gf. equałe .c. extriseco. et apunctis. def.pro¬
t̾tii erunt ꝯtĩgentes curcłm. quas ꝯtĩgentes ꝓtͣlam us¬
terq anguloꝵ qui sunt. ad .d. ⁊ nt̾q eoꝵ qui sũt ad
qui sunt ad partem .h. ioĩes duob rectis. qrͣ ꝑ penłti¬
mam peticõnem ĩ ꝑtẽ illam protracte concurrent liuee¬

Expanded text:
esse possibile. Producam basim b c in utramque partem ut fiant duo anguli et a centro g producam lineam g d ad circumferentiam et constituam angulum d g e ducta linea g e equalem angulo b extrinseco et d g f ducta linea g f144 equalem c extrinseco. Et a punctis d, e, f protertii erunt contingentes circulum quas contingentes uterque angulorum qui sunt ad d et uterque eorum qui sunt ad uo anguli qui sunt ad partem h minores duobus rectis. Quare per penultimam petitionem in partem illam protracte concurrent li
Abbreviated transcription (Latin):
Sit ꝑalellogͣmũ. abco. in quo ꝓtͣlam dyametrũ. bc et ꝓͣchx
e f. eqͣdistantem utq duoꝵ lat̾m. ab. et cd. q̃ sect dyametrũ
ĩ pc̃o .k. a quo ducam .k .g. eq̃d istantẽ utq duoꝵ lat̾um. ac.
⁊ .bd. et ꝓducam eam usq secc utr̃q lacꝰ. ab: et .cd. sit q
tota. głh. erit q totũ palellogͣmũ. abcd. diuisũ in. 4ͦͬ ꝑa¬
lellogramata. quoꝵ dno .s. ec h k. et głi bf. dur̃ ꝯsist̾e cͥca¬

Expanded text:
am diametrum b c et protraham e f equidistantem utrique duorum laterum a b et c d que secet diametrum in puncto k a quo ducam k g equidistantem utrique duorum laterum a c, b d. Item producam eam usquoque secet utrumque latus a b et c d sitque tota g k h eritque totum paralellogramum a b c d divisum in 4 paralellograma quorum duo s
Abbreviated transcription (Latin):
tocedron quemẽs ẽ mstribi. Nõ eĩ sut̃ in pyramide bases
ut angłi. aut latã in quib angłi cubi aut ytocedri a ͭ
⁊̃ duo decedri possut ex̾ma ipũis puumidis contĩge̾. Cuboꝵ
r̾o soliꝰ ꝑramidis ⁊ octocedri at octocedron soliꝰ piranudis
⁊ cubi recepcõni sũt apta. Qualr̃ eniui in eoꝵ alt̾utro
ir angłos itocedri aut zo angłos duodetedͥ. iͣ ut singłi

Expanded text:
tocedron conveniens est inscribi. Non enim sunt in piramide bases aut anguli aut latera in quibus anguli cubi aut ycocedri aut etiam duodecedri possint extrema ipsius piramidis contingere. Cubum quoque solius piramidis et octocedri, at octocedron solius piramidis et cubi receptioni sunt apta. Qualiter enim in eorum alterutro 12 angulos ycocedri aut 20 ang