comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
x his igitur siprimũ triangulũ suma id÷ unut tem: habeo
primũ triangulum qui est ui & potestate nondum ara mac¬
tu nec opere.huic siserundum adgregauero quunnaturalinu¬
merorum dispositione descriptus ÷ id÷ binarium : primꝰ michi
triangulus opere aiccunascitur id÷ ternarius: Siuͦ hiuc
cercium ex naturali numero adierero: scđs michi opere &
c&etriangulus huic uiͦ si consequentem quat̃ narium suꝑ po¬
suero : denarius explicatur quiest tertius actutriangulusi
Quos ꝑlatera disponens ad superioris descriptionis exemplaris
unctos triangulos numeros sine ullius dubitation
ꝑ notabis: Et quantas ultimꝰ numerus in se unita tes haboe
quem suꝑioribus ad gregabis toc ipse quifit triangulus unita¬
tes habebit in latere Nam ter narium qui est p̾rimus dẽ¬
tu triangulus adiecto binario unicati feceramus. at hicdu¬
os habae in lacere & senarium hisadieota t̃ nariiquanti¬
tate ꝓduxi mus cuius latus solites continent: & ideon

Expanded text:
x his igitur si primum numerum sumam, id est unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adjecero, secundus mihi opere et cet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem
Abbreviated transcription (Latin):
&e mncasrursus reso lutione faccareuocatur: Si autem hic id÷ triplus
numerus quiest spaeies secunda multiplicis. secundȩ speciei suꝑ par¬
ticularis apcecur : quadrupli continuo forma contexitur. & in easd
rursus partes nacurali particione soluetur scđm modũ quemslipe¬
rius de monstrauimus
Siuͦ quadruplus
sese acsesquiquartus agglomerent: quinquupl¬

Expanded text:
eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur, et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomeren
Abbreviated transcription (Latin):
actor Namsicunctorum macer ẽ numerorum: quic quid in his
quiabea nascuntur numeris inuenitur: neresseest ut ipsana¬
turasi quadam potestate contineat: Ethuiustriangulilatꝰ:
est unitas: Ternarius uͦ quiprimus: opere &cctu i ꝑfotrian¬
gulus: crescente unitate binarium numerũ lacus he bi

Expanded text:
actu. Nam si cunctorum est mater numerorum, quidquid in iis qui ab ea nascuntur numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus est unitas. Ternarius vero qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus hab
Abbreviated transcription (Latin):
plicicatis faciat: conuenient̃ ordinem suꝑ partic ularitatis inuenia&e: quod si
conuersos suꝑ particulares aliquis scđm haer p̃cepta conuercat: continuo uiduit
suꝑ parcientes ad crescere : Et ex sesqualtero quidem suꝑbi partiens. & ses quic̃cio
tripartiens procreatur: & ceterȩ scđm communes de nomi:
os sine ulla ordinis int̾polatione nascentur. disponant igitur sic:
superiores igitur descriptionisauiuu

Expanded text:
plicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic: Superioris igitur descriptionis,
Abbreviated transcription (Latin):
uoro discriminatus : ille quiuocatur sub multiple&: &e haec quoq. primami¬
noris quantititisspecies: Hicautẽ numerus: huiꝰ modiẽ: qui in alterius com¬
parationem ꝓductus plusquam semed maioris numerat sum mã sua sciliea qua¬
tiate. cumꝰ eo aequalit̃ inchoans aequalit̃q det̃minans: Idẽaut̃ dico nume¬
rat. quod ma&itur: Si igiturbissolum maiorem numerũ minor numerꝰ me¬
ciatur : subduplus uõcabitur: Siuͦter subtriplus: siquat̃ : sub quadruplus
nabis : Ot unus duoꝵ subduplus. crium subtriplus IIIIsubquadruplus ap¬
pelle tur. & consequent̃: cum autem nacuralit̃ multiplicitas & sub multipli¬
itas infinitasit: eorum quoque species ꝑ proprias generatu
c̃sideratione uersantur Sienĩ positis innaturali constitucione numeris¬

Expanded text:
ro discriminatus est ille qui vocatur submultiplex, et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus hujusmodi est, qui in alterius comparatione productus, plus quam semel majoris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, enabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris
Abbreviated transcription (Latin):
is uero contra sepositis id ẽ primo &incõposito. & scđo &composito & nt¬
tarali diuersitate disiunctis: alius in medio consideratur. qui ipsiquidẽ
li capax: Sed cum fuerit addium eiuisdem generis numerũ cõparatus. nul¬
lacumeo cõmuni m̃sura coniungitur. necha bebunt partes aequiuocas: ut sunt
unitas quȩ omniũ numerorũ mensura comunis : oehiquidem nonhabent

Expanded text:
is vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse quidemtis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt unitas quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent
Abbreviated transcription (Latin):
trib coacer uaueris : quatuor tetragonus exoritur huic siquinariũ
uingam nouenarius rur sus orcurrit: huic sic opules septem: sederim
quadrati formase suggerit: Id ẽ quesun ceteris facias: om̃s competent̃
quad ratos uide as proꝰ t̾reari: ac uͦ exsecundo paritatis ordine: idem
cuncti parte altera longiores fuint: Namq siduos primos respexxe¬
rohuius modi mͥ numerus occurrit: qui fit exebisimo: Cum uͦdu ob
sequentes quatuor unxero: parte altera longiorrursus erit Autp¬
Sena rius scilica qui fit exbis tribus: Cui sisequentem aggregauero nas¬
cecur mͥ duo denaria forma q̃fit exquat̃trib: quo d̾si continuatĩ
quis faciat: cunctos huiꝰ modi numeros in com petenti ordine ꝓcreacos
uidebu : quam descriptionem scilica inferior formademonstrat:

Expanded text:
tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat:
Abbreviated transcription (Latin):
st ergo princeps imparis ordinis unitas: q̃ ipsa quidem effec trix &equo¬
dam modoformat q̃ dam.ẽ. imparitatis. quein tantũ eiꝰdem nec mutabi¬
lis substantiae᷑. uccumł seipsam multiplicauerit. ł in planitudine. ł in pro¬
mel semel. ł siduosemel. ł sitres semel. ł siquatuor semel. ł quem libar aliũ
merũ multiplic&: aquantitate sua isquem multiplicat n
non rec edit. quo doirca alium numerũ non potest inueniri Harͥs uͦ or¬
dinis: binarius numerus princeps ẽ: Queduaditas cum in eodem or di¬
ne paritatissit. tum principium totiꝰ ẽ. alteritatis Namq si seipsam mul¬
tiplic&. ł ꝑlatitudinem ł &iamꝑ ꝓfunditatem ł siquẽ numerum in suam
conglob& quanti tatem : continuo alt̃ exoritur: Nambis unum ł bis
quisqis hinc nascitur alius quam primo fuerat inuenitur: Nascuntor
autem exsuꝑiore descriptione & exprimo ordine om̃s tetragonih oc
mͦ Vnus enim si res pedxeris : primo potestate tetragonus ÷: Sinuͦꝰ unũ

Expanded text:
st ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in pronum semel, vel si duo semel, vel si tres semel, vel si quatuor semel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum
Abbreviated transcription (Latin):
entagonus uͦ numerus : qui ipse quidem in latitudinẽ scđm u
nitate̾m descriptis quinq. angulis continetur. cunctis scilicoe
codem quoq modo eorum latera succrescunt. Namprimi potes¬
tate penta goni id ÷ uni: idem unus spatium lateris tenonus. hin
Scđiu qui n̾arii qui est ipso atque opere primus pentagonus. bini
platera fixisunt: Tercius uͦ idest duo decim: tribus in latus auecꝰ ÷
Quartus id ÷ XXII : quattuor numerorum in latere quantitate
distenditur: Atque idem inceteris. scđm unitatis ꝓgressionem in
naturali scilic& numero: scđm superiorum figura

Expanded text:
Pentagonus vero numerus est qui ipse quidem in latitudinem secundum Pentagonus vero numerus est qui ipse quidem in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur, cunctis scilicet Eodem quoque modo eorum latera succrescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet. Secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt. Tertius vero, id est 12, tribus in latus auctus est. Quartus 22, 4 numerorum in latere quantitate distenditur. Atque idem in caeteris secundum unitatis progressionem, in naturali scilicet numero, secundum superiorem figura
Abbreviated transcription (Latin):
respiciam.:primus michi natus : potestate quad ratus:: qđ siuno rdie
u̾ns relicto binario ternarium ad p̾osuero : quat̃ nariusmichi quad¬
inatus exoritur Quod si rursus relicto medio quat̾ nario. qui nariũ
similit aggreauero : quatratus michi tertius iqd÷ nouenarius ꝓ¬
creatur unus enim &tres & quinq: nouẽ colligunt. at uͦ sihis intꝰ mu¬
so senario sepgenarium iungam: tota in sederim sũma concrestit.
appareat : si uincti impares sibimae apponantur collocato scilic& nactu¬
ralinumero. quad ratorũ ordo tex etur: Est etiam in his hecnaturae
subtilitas & inmutabilis ordinatio quodtor unitates uniis quisque
quadratorũ retinebit in latere: quanti fuerint numeri ad con iunc¬
tionem pro priam congregati: Nam in primo quadrato qm̃ exuno
fit: unus .ẽ. in la tere Insecundo id÷ quat̾ nario qm̃ exuno & tribus
proereatur. qui duo terminis: binario latus texitur: & innouena
tribus numeris procreatur. latus ternario contineti
idem in aliis uidere licet¬

Expanded text:
respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno reliuni relicto binario quinarium apposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius procreatur. Unus enim et 3 et 5 novem colligunt. At vero si his, intermisso senario, septenarium jungam, tota in 16 ejus summa concrescit, appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et immobilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere. In secundo, id est quaternario, quoniam ex uno et tribus procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur, et in novenario, quoniam tribus numeris procreatur, latus ternario continetur. Atque idem in aliis videri licet
Abbreviated transcription (Latin):
Icsiquinquuplus cumses qui quinto : moa sescupli
proportio coniungetur¬
atq ita scđm hanc progressionẽ cunctȩu+ nascentũ
multi plicicatis speti essine ulla ordinis ꝑ mucatione nascentur.
ita ut duplus cum ses qualtero triplicem crea. triplus cumses qui¬
tercio quddruplum quad ruplus cumses quiquarto quincuplum
& eodem modo ut nullus hanc continuationem finis impediat:
METRICIS CONSIDERATUR COMMORSRATIO OMNI

Expanded text:
i quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitAtque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur. o ut duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et caeteri eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis impediat. metricis consideratur; communis ratio omni
Abbreviated transcription (Latin):
easq sec̃ dũ ꝓpositum ordinẽ sȩpe continuas uibemur eate
Heaut̃ hoclabore quodam semꝑ quidẽm maximo. frequentius in feraci
fiat: hac nobis ratume. in quoc numeris quanti possint eẽ. suꝑ particula¬
res uestigandum ÷: Omnes enĩ multiplices tantarũ similium sibi in &¬
ortionum principes er̃: quoto ipsa loco abunitate discesse
quod autem dico sibimae similiũ tale est : Ot duplisemꝑ multi plicitas ut
suꝑius dictum ÷ sesqualteros creet. aedux sit tripleo sesquit̃tiorum de
quad ruplus ses qui quarcis: Primꝰ ergo duplea: unum solum habbit

Expanded text:
e secundum propositum ordinem, saepe continuas jubemur extendere. Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse superparticulares, investigandum est. Omnes enim multiplices, tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserunt. Quod autem dico, sibimet similium tale est, ut dupli semper multiplicitas ut superius dictum est sesquialteros creet, et triplex sit dux sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum ha
Abbreviated transcription (Latin):
Semꝑ enim hoc diuina quadam nec humana constitutione spęculatio¬
nib occurrit : ut quociens cumq ultimꝰ numerꝰ inuenitur. qui loco dupli¬
cis ab unitate sitpar: talissit ut nmedietates diuidi seeariq. nom possit:

Expanded text:
Semper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, speculatioSemper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate sit par, talis sit ut in medietates dividi secarique non possit.
Abbreviated transcription (Latin):
sesqual terum: Secundus: duo: tercius cres: quartꝰ quatuor: Ec secundumb
unc ordinem eadem fit in infinitum progressio: Neq uinqua m fieri pocer uł
supera& proportionũ num erum ł abeosi t diminutior aequabilis dounita te
conlocatio : Primus ergoduplex ÷ binarius numerus. qui unũ solum sesqual¬
terum recipitid÷ t̃narium Binarius enĩ contrater narium comparatus:
non est adt̃ numerus adquem in ratione sesqualtera comparetur quacer na¬
rius uero numerus. scđs duplus:: hic ergo duossesqualteras p̃cedit Est enĩ
ad ipsum quidem comparacussenarius numerus. ad senarium uͦ qm̃ med
uero : UIIII. nouenarius a qm̃ medietate car&: ab hac comparatione seclus :
tercius uͦ duplex: : DIII hicergo tressosqualteros antecedit: Compa¬
ratur enim ad ipsum: ducdenarius numerus: ad duo denarium .xuIIi
ad xUnIrursꝰ a&Uiratuero axun: medio carent: Idemq in sequenti¬
bus euenire necesse c̃. quod noscum propria ordinatione sub didimus

Expanded text:
sesquialterum, secundus duos, tertius tres, quartus quatuor, et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio. Neque unquam fieri potest ut vel superet proportionum numerum, vel ab eo sit diminutior aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesquialterum recipit, id est ternarium. Binarius enim contra ternarium comparatus non est alter numerus ad quem in ratione sesquialtera comparetur. Quaternarius vero numerus, secundus duplex est, hic ergo duos sesquialteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quonisex vero 9. Novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est 8, hic ergo 3 sesquialteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium 18, ad 18 rursus 27. At vero 27 medio carent. Idem quoque in sequentivenire necesse est quod nos cum propria ordinatione subdidimus.
Abbreviated transcription (Latin):
inꝑlana soilicae dĩscriptione figurarum: huuͦ ideirdos atertut¬
no numere inchoant. quod lacitudinis oe suꝑ ficiei solus terne

Expanded text:
in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus tern
Abbreviated transcription (Latin):
lisciplinam : q̃adomꝰnẽ naturȩiim rerumq incegritatẽ matxima
rationeꝑtineat Magnus quippe in hac scientia fructus est: siquis
ñ nesciat quodbonitas diffinita. &e subscrentiam cadens animoq semꝑimi¬
tabilis & ꝑceptibilis: primet natura .c̃. & sue subscantiȩ decore ꝑ p&eut :

Expanded text:
isciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore pe
Abbreviated transcription (Latin):
angulum ab uno ad x & do procedentit respiciantur. & is sub teriores
or dines comparentur. quiscilica. Alluangulum incipientes inuicenos
t̃minum ponunt: duplea id÷ primaspecies multiplicitatis ostenditur:
Itaut primus primũ sola suꝑ& unitate: ut duo unum: Secundus sec undũ
binario suꝑ uadat: ut quat̾ narius binarium : Tercius. t̃ cium tribus : ut sena¬
rius q̃narium: Quartus quartum quat̃ narii numerositate transcedat
ut̃ꝰ. Il qua t̃ narium: & ꝑ eandem cuncti sequentiam seseminoris plurali¬
tate p̃tereant Siuͦ t̃ cius angulus aspiciatur quit UIIII inchoans longitu¬
dinem latitudinemq tricenis altrinsecus numeris extendit. & hiccũ p̃ri¬
ma latitudine ae longitudine comparetur : triplea species multi plicitatis

Expanded text:
angulum, ab uno ad 10, et 10 procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum, quaternarii numerositate transcendat, ut 8 quaternarium, et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab 9 inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis
Abbreviated transcription (Latin):
lum:ii: qui parnumerus ẽ : atq idem in aliis cunctis quis parit̃ impares ir¬
uenitur. nequeum quã fieri po. ut cuius lib&e partis eiusdem sit generis
nom̃ &numerus: fic autem horum proereatio numeroꝵs: siabuno disponan
uicumq duobus differ̃. id. ẽ omnib imparibus naturali
atque ordine constitutis Nãque hi isiꝑbinariũ numerũ multi plicent᷑.
om̃s parit̾ impares rite pluralitas demensa sufficia Ponat᷑ enĩprimat u

Expanded text:
es invenitur. Neque unquam fieri potest, ut cujuslibet partis, sit ejusdem generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter impares, rite pluralitas dimensa efficiet. Ponatur enim prima u
Abbreviated transcription (Latin):
esemꝑhinumeriduob paribus
t̃minantur :
Ol & uIII& semꝑalt̃ natim in hos numeros sum marum
senarius quipͥmꝰ: Post quemuiũ exx oni: idẽ octonarius: qui seđs Genera¬
tio aut̃ procreatio que eorum : fixa firmaq:̃ nequo alio modo fieripossint
Necsi hoc modofiant. aliud quiddam ullo modo ualeat ꝑcreari: dispositos
enĩ abuno om̃s parit̃ pares numerosinor dinẽ quousq uolueris. primo
scđm ad gregabis: & si primus numerus & in compositus ex illa coacerut¬
tione ftiotussic. totam sum mã in illũ multi plicabis quem posterius ad gre¬
Siuͦ necdum fuerit p̾rimus &e in compositus. alium rursũ ad inge & iu¬
dequidficit: Quod si primũ in cõpositum quere peries. tunc inulti mo
iceruationis multi plicabis : Disponantur enim
om̃s pariter pares numeri. hocmodo

Expanded text:
er hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros, summarum senarius qui primus, post quem 8128, idem octonarius qui secundus. Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggreSi vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae em multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri, hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
irmonica: postquas ꝓportionum habitudines: tresalies q̃ sine nomine qui¬
hem deferuntur. uocantur autem quarta quinta &sexta. que suꝑiꝰ dictis op¬
pesites: at uͦ posteri ꝓpter denarii numeri ꝑfectionem quo derat᷑ quoderat
ołitagore complacitus: mediaates aliasquattuor ad dider.ut in hispro¬
porciðnalitatibus denarie quantitatis corpꝰ efficerent. scđm quẽ mimerum
le prioros quinq habitu dines comparatio neq descriptes ubiquinq mai¬
oribus proportionibus quets uocaluimꝰ duces. minores aptauimus alios
÷ minos quoscomites diximus Inde &iam in aristolica atq arcithȩ prius
derem p̃ dicam̃torum descriptione: phitagoricum denariũ mani festũ:
inueniri: quando quidem & plato studio sus̃musphitagore scđ̃m eam dis¬
putationem di uidit. & architas phitagoricꝰ ante aristo telem lica quibus¬
damsit ambiguum: decem haerp̃dicamenta conscituit: Inde &iam dece
membrorum partieule Indẽalia ꝑmulta: q̃omnia ꝑsequi nonesc necesse:

Expanded text:
harmonica. Post quas proportionum habitudines, tres aliae sunt quae sine nomine quidem feruntur. Vocantur autem quarta, quinta, vel sexta, quae superius dictis oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quatuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem licet quibusdam sit ambiguum decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam 10 membrorum particulae, inde alia permulta quae omnia persequi non
Abbreviated transcription (Latin):
ris in imparem. quẽ secare non posssi: Accidit autẽ his: quod omnes partes cõ¬
trariae. denominatas habent alit̃ quã sunt quantitates ipsarum parcium

Expanded text:
ris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium
Abbreviated transcription (Latin):
mrrectis minor his additur altitudo. ut sunt huiꝰ modi: tresterb
cudineq aequis minor altitudoducatur: hidefiniuntur hoc modo: Lat̃ culis:
Sed hocmodo. ut exaqualib aequalit̃ ducantur in mauis: Namsi aequa
fuerit lacitudo longitudini & maior sit altitudo: Illefigure a nobis asseres nu
agreris docides nominant᷑: Ot si quis hoc mͦ faciat quatuor quat̃. nõuies
quinde ꝓercantur asseres nominati sunt: Spheniscuꝰ quos cuneo los su¬
pius appellauimꝰ: hi sunt quiex inaequalib inequalit̾ ducti ꝑ in aequa¬
ua creuer Erbuoꝰ : qui exacqualibus aequalit̾ per aequalia ꝓductisunt:
DECIRCULARIBUS UE SPUERICIS NUMERI

Expanded text:
rrectis, minor his additur altitudo. Ut sunt hujusmodi 3 ter bis,udinemque aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaequalia crevere; cubi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt. CAPUT XXX. De circularibus vel sphaericis numeri
Abbreviated transcription (Latin):
Iorum igitur si primũ compares primo: dupli quantitas inuenitur.
habitu do ꝓducitur Sitertium tertio: sesqui tertia propor̾tio procreatur:
Siquarcum quarto: sesqui quarta: Etsiquintum quinto: sesqui quinta:
particularium nor mam. in quamuis longissimũ spatium:
grediens integram in offensãq reperies. itaut in pͥma dupli proportione: u¬
nicatis soliꝰ sit diffirentia: Duonamq: abunosola semꝑ discrepant unita
differentias actinet: unotantum crescit adiectio numerum explicans
natur alem:

Expanded text:
orum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitur, habitudo producitur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem.
Abbreviated transcription (Latin):
quos decm autẽ. ut p̃t̾ unutitem eorum nullamensurasit Quiergo nullat̃
msurã p̃t̃ unititem recipiunt. hosprimos & in cõpositos ui dicabimus:
Qui uoro aliquã mensurã p̃t̃ unitatem. uel alieni genȩ partis uocabulũ sor¬
tiuntur: eos pronunciemus seđos atq compositos: t̃cuim uͦ illudgenus ꝑse
scđi & compositi. Primiuꝰ & incompositi ad alterutrũ comparati: hacinqui¬
sitor ratione reperies: Sienĩquos lib& illosnumeros scđm fut̃ in semceipsos
ltiplices quantuatem : quiꝓcreantur add terutrum copar
rae communione uingunturlii. enĩ &. osimultiplices.ñi: t̾cio Uiui

Expanded text:
quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione reperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semetipsos multiplices quantitatem, qui procreanturmmunione junguntur. Tres enim et 5 si multiplices, tres tertio 9
Abbreviated transcription (Latin):
quadteramꝓportionem : Scđauͦ int̾quatuor sed ocatut in ordinem ꝓportio¬
nalitas : quotiens intrib: t̃minis quem admodũ s̃ extremitates dseinuicem cõpara¬
cȩ sic eorum differentiȩ ad maiorum t̃minorũ differentiam. ut s̃ VI .UII. UIIII.
nouemigitur ad Ui. sesqualt̃ ẽ : eorum differentia t̃niris : qͥ cõparatus contramitio¬
rumdis ferentiam id÷ septentriiae nouerii qͥbinaris ÷ reddit sesqualt̃am ꝓportionĩ
t̃tia uͦ int̾hassequentes quatuor : Nona autem in ordineꝓportior : quando trib t̃mi¬
nispositis quam ꝓportionẽ medis t̃minꝰ ad paruissimucustodit camreana ea
t naeris differentia÷ : quemsi ad suꝑiorem binariũ cõparemus sesquadt̃am ꝓportio¬
ne c̃iungitur. Qutrtauꝰq inordine decima: consi deratur intrib t̃minis cum

Expanded text:
ordine proportionalitas est, quotiens in tribus terminis, quemadmodum sunt extremitates ad se invicem comparatae, sic eorum differentia ad majorum terminorum differentiam, ut sunt 6, 7, 9. Novem igitur ad 6 sesquialter est, et eorum differentia ternarius est, qui comparatus contra majorum differentiam, id est septenarii et novenarii, qui binarius est, reddit sesquialteram proportionem. Tertia vero inter has sequentes quatuor, nona autem in ordine proportio est, quando tribus terminis positis, quam proportionem medius terminus ad parvissimum custodit, eam reternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesquialtera proportione conjungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum
Abbreviated transcription (Latin):
cudinẽ ꝓportionis efficiae eodẽ uͦ mͦ hȩc quoq medietas geometricȩ c̃trariar
quemad iodũ &equinta ꝓpt̃ ꝓporcionẽ differentiarũ aminorib ad maiores
tminos conuersam: DE.IIII. MEDIETATIBUS QUASPOSTE
chȩquidem ssex medietates qͥuarũ tres. usꝙ ad phitagort ad platonc̃ aristorelẽq
monser: Post uͦqui in secuti sunt hastres alias deqͥb: supͣ disseruimus suis cõmtarii s ad¬
dider̃: Sequens autem aecas quẽ ad modũ dixim ad implendã denariã quantiatẽ
alias quatedor medietates apposuit: quasnꝗđ ẽoqͥs inueterum libris inuenia: has
igtur nosqͣm possumus breuissime uisponamus : Primaenĩquȩ ÷ earũ inordinẽ
ũ septima medietas hoc modo c̃iungit᷑ eũ intrib t̃minis que mad modũ : maxirnꝰ
t̃minꝰ adultimũ sic maerimia& paruissimit̃mini differentit adminorẽ differeh¬

Expanded text:
udinem proportionis efficiet. Eodem autem modo haec quoque medietas geometricae contraria est, quemadmodum et quinta propter proportionem differentiarum a minoribus ad majores terminos conEt hae quidem sunt sex medietates, quarum tres a Pythagora usque ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero qui insecuti sunt, has tres alias, de quibus supra disseruimus, suis commentariis addidere. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad implendam denariam quantitatem, alias quatuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo conjungitur, cum in tribus terminis, quemadmodum est maximus terminus ad ultimum, sic maximi et parvissimi
Abbreviated transcription (Latin):
paria diuidi eiꝰq pars inclia duo paria partisq pars. nabieduo paric uthoc
tociens fi at usq diusio partium ad indiuisibilem naturalit̃ ꝑueniat unitatẽ.
hic uͦ: uIII hunc quoq: quat̃ narius in aequa partitur. quibinaru duplus.
Sedbinarius nitatis medietat ediuiditur. quȩunitas naturalit̃ singularis. non
recipit sectionem huic numero uidet᷑ accidere. ut q cumq euisfuerit pas
cũ nomineipsoq uocebulo parit̃ par inueniatur. tũ caeim quantitater
S ed ideo michi uidetur hic numerus pariter paruocatꝰ. quod om̃s eius par ces
& nomine aequantitate pares pariter inueniantur: Quo autẽ modo & nomi
&quantitate ꝓtres habeat partes hicnumerus: post dicemu
pares parit̃ procreantur Pret̃ heneegenerationem ut nascantur aliter im

Expanded text:
paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. hic vero 8, hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemuspares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter, im
Abbreviated transcription (Latin):
creantur: t̃ enĩ unus III. &quinquies unus U & septies unus . Oll fecer̃:
& aliiquidem quossupra descripsimus: eo demmo do nascuntur hiautẽ
insemoripsos multiplicati : faciunt alios numeros uelut primi : Eosq pri¬
ne for mati. atque in eos om̃s quicumq exchisꝑlatis numeriresoluunt᷑¬
ipsi d nequȩ egxdiis producuntur. neq inalios reducuntur

Expanded text:
creantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. creantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque prieratione formati, atque in eos omnes quicunque ex his prolati sunt numeri resolvunt neque ex aliis producuntur, neque in alia reducuntur
Abbreviated transcription (Latin):
sola ẽ. idẽt̃ci. queatrib scilica denominata ẽ : &ipst t̃ ci pars unicas: Eodẽ¬
q modo quinarii solaquinta parsẽ. & haecunitas Atque idẽ insingulis conse¬
s repperietur: Dicit᷑ cutem primus. & incompositus: quod null
numerus metiatur. p̃t̃ solam quȩcunctis mat̾ s̃ unitatem: Namquet̃ narium.
Il non numerant: ideircoqm̃ sisolos duos contratres compares pauciores sunt:
bincrium bisfaccias: amplior ẽ. a tribus cum crescit inquatt
Metitur autem numerꝰ numerum. quotiens uelsemel uelbis. uelter. uel quo¬
tiens lib&. numerus ad numerum comparatus: neque diminute sumd neq:
auciti: ad comparati numeri. t̃ minũ usq ꝑuenit. ue ii siad ui compares.
binarius numerꝰ senarium t̃cio mecietur : Prios ergo & incompositos nul¬
lus numerus maeietur. p̃t̃ unicatem solam Qm̃ eanulli s aliis numeriscom¬
positi sunt : sed etintum exunit tibus in semaeipsis auctis multiplicatisq pro¬

Expanded text:
d est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. Metitur autem numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque diminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque pro
Abbreviated transcription (Latin):
hoc modo ꝓercatur. Sidisponantur abinario numero om̃s in ordinẽ
pares. & adeos aseptenario numero inchoantes. septenario sese su ꝑgre¬
dientes solito ad alterutrum modo comparationis aptentur.
Siautẽ at̃nario numero ingressicunectos.
naturalis numeritriplices disponamꝰae eis
a denarionu mero denario sese super gredi¬
entes ordine comparemus: om̃striplices sesqui t̃ cii in eat̃ minor̃ c̃tinuatione ꝓuen¬
DE EORUMEDẼ PLIS IN SOPERIORIEORAULAMUE¬

Expanded text:
io numero omnes in ordinem pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese supergredientes, solito ad alterutrum modo comparationis aptentur. Si autem a ternario numero ingressi, cunctos naturalis numeri triplices disponamus, et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provDe eorum exemplis in s
Abbreviated transcription (Latin):
tum codemmodo
uerteris: suꝑ quadripartiens statim quantitas proc reabitur ut ẽ.
ea forma quam subꝰ positam uides.
estat quem ad modũ exsuꝑ¬
entes nascantur. ostendere: quorum binas tantũ faciam descriptiones
Namq sirec tum & ñ conuer sum sesqualter ũ ponimus: duplex suꝑ parti¬
cularis excrescit fuenim hoc modo

Expanded text:
tum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides. Restat quemadmodum ex supentes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
aedem quoq differentiae mirabilem inmodũ atoto ꝑsequentes partes
etas eodemq mͦ interduo & IIII tantum duos. quibinarutotum s. quat̾narii
medietas  Int̾ quat̃ nariumu̾ &sencrium. idem duos ad quat̃ nariũ medietas
ad senarium pars tertia: iII uͦ qui sequuntur qui inter ui & uiiii. constituti
medii. sunt quidem senarii dimidiũ. parsu tertia nouenarii. &rursus t̃¬
nariꝰ qui no uenarii parstertia. duodenarii quarta ẽ & adeundem modumusq
infinem descrip tionisgeminatis huiꝰ mͦ partibus sicũ ipsaquoq sũmarum
comparatio gemi nataest: &quas partium ꝓgressionis aspicies¬
TPROBATO QUADRATOS CIUSDeMA ESSE NAT URAE
llud autam a ꝑtissimũ signumĩ om̃s tetragonos imparibus ẽẽ cognatos
quia in om̃i dispositione ab uno ł induplicib ł intriplicib talisnat᷑e ordocon¬
enĩ in ordinem numeros pͥmo quidem duplos. deinde triplos.

Expanded text:
aedem quoque differentiae, mirabilem in modum a toto per sequentes partes, etas. Eodem modo inter 2 et 4 tantum duo sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimidium, pars vero tertia nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicieProbatio, quadratos ejusdem esse naturae. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos imparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab uno, vel in duplicibus, vel in triplicibus talis naturae ordo conur. Disponamus enim in ordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.
Abbreviated transcription (Latin):
quid ingeo maerica uersatur. quȩ ominit numerorũ de nominatiua sunt:
atuͦsiquadratum triaengulumq sustuleris. omnisq geometriat c̃õsũptasit
trescequatuor aliorumq numerorũ ñperibunt uocabula: Rursũ cũ a
Cũ numeros dixero. nondũ ulliam formã geometieã nominaui: Musica
uͦ quam prior sit numerorũ uis hinc madime probari potest: quod nora
modo illa natura prioras queꝑ seconstant. quam illaquȩ ad diquid refert

Expanded text:
quid in geometria versatur? quae omnia numerorum denominativa sunt. At vero, si quadratum triangulumque sustuleris, omnisque geometrica consumpta sit, tres et quatuor, aliorumque numerorum non peribunt vocabula. Rursum cum alnomen implicitum Cum numeros dixero, nondum ullam formam geometricam nominavi. Musica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod nor modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam illa quae ad aliquid refer
Abbreviated transcription (Latin):
riberem. tutantũ dignus eomunere uidebare. eoquemagis inerrato opus esse
intellegebam: Nam asiapudte ficcilis ueniae locus eẽ aliquanto tamen ipsam
formidabat facilitatem suspecia securicas Arbitrabar enĩ nichiltantȩ re¬
uerentiae oblatum inoportere. quod non elaboratũ ingenio ꝑfectũ studio
dignum postremo tanto ocio uideretur: Nonigitur ambigo qrin protua in
me beniuolentia suꝑ. uacu reseces. hiantit suppleas. errata repreher¬
das: Cõmodedicta: animimira alacritate suscipias Queres impulit pigrã
consiliimoram: Nimios enĩmichi fructus placitura restitu
reos cereri culmosamaturos bacho palmites. sicadte noui operis rudimenta
transmisi  Tutantũ pat̾̃ nagrã nrm prouehas munus. lit&r laborismihi pris.¬
micias doctissimo udicio consecrabis & non maiore censebiti¬

Expanded text:
riberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis in errato opus esse intelligebam. Nam etsi apud te facilis venire locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta, mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituereos Cereri culmos, et maturos Baccho palmites, sic ad te rudimenta novi operis transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus, ita et laboris mei primitias doctissimo judicio consecrabis, et non majore censebit
Abbreviated transcription (Latin):
ris cuiꝰ fuerit basis: biscurca uocaibitur: ut si ã tetragono ꝓficiscens usoi
gonidefuerint: totiens eamcurtam ec̃ dicemus: Oc siunicas defucrii pͥniꝰ
quadratus. curcam quã gieti NoAΥ pon. uocant: Siuͦduob tetragonis
defteut id c̃. unitate & eo qui sequitur : uocatur biscurta quod greci N HORΟ¬
ꝓpor. appellant: quo tsitrib tetragoni s. t̃curtadicecur quani greci:
⁊PIΠCOAΟΥ ROΝ nominant: Etqt cumq tetragoni fuerint minꝰ. dociens
UEIPARALLA UPPEDIS NUMERIS

Expanded text:
ris cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque ris cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque goni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicitur quam Graeci tricoluron nominant, et quotcunque tetragoni fuerint minus, totienset parallelipipedis numeris
Abbreviated transcription (Latin):
& potestate piramidem ꝑuenit unitatem Sin uͦꝰ aqua libae basi
ꝑfecta usq ad unitatem altitudo illa ñ uenerit: curtauocabitur
Recteq huius modi pirami stali nuncupatione signatur: siusq ati
extremitatem punctumq ñ uenerit: hec autemẽst ut siquis XUI
etragono adiciat UIIII arq huic quatuor. & abulterioris sese unica¬
tis adiectione suspendat pirami dis equidem figura ÷: sed qm̃ usq
ad cacumen uertieis non ex creuit. curtauo cabitur Ethabebit sũidi¬
ratem non iam punctum qd unitas ÷ sed suꝑficiem qđ ÷ quilibae ni¬
merus scđm basis ipsis angulos porrectꝰ atq ultimꝰ aggregatus:
Nemsi tetragone fueri basis. qua drata diminutione semꝑascendit
& sipenegona hasis similiter aesiexegona illa quoq ultima sũꝑficies
quod fuera basis uͦ illa piramis nsolum adunitatem entrensu ꝑfin
non ꝑuenit sed nec ad primũ quoq opere &actu multi anqulĩ eiusꝗtuę¬

Expanded text:
estate pyramidum pervenit unitatem. Sin vero, a qualibet basi profecta, usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur. Recteque hujusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic 4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficiesquot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus gene
Abbreviated transcription (Latin):
t ad eundem modũ cuncte aceteris multi angulis ꝓfecte forme:
in altioris sũ me spacia ꝓducuntur Omĩs enĩ multorum anguloꝵs
a ex sui generis figura unitati suꝑ posita : ab uno ingro
adpyramidũ constiuendas figuras usq in infinita ꝓgrditur: Et ex
hoc equidem apparere necesse eꝰ. triangulas formas cͥȩterarum figu¬
rarum esse principium: qđ omĩs pyramis aquacumq basi ꝓfecta.
ł aquadrato. ł apencagono ł abexagono ł apepcagono. ł aquat¬
cumq similium: solis triangulis usq ad uertieem continetur¬

Expanded text:
t ad eumdem modum cunctae a caeteris multiangulis profectae formae, in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma, ex sui generis figura unitati superposita, ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab hexagono, vel ab heptagono, vel a quocunque similium, soli
Abbreviated transcription (Latin):
natura substtanci quedis iunctus ẽ: siquidemille ingeninit aequa di¬
Luidipo:: hine secariqueat. unutitis impedit int̾uentꝰ: tres hab& simi¬
lit̾ sub diuisiones: Quarum unceiꝰ pars:: isnumerus quiuocatur primꝰ & in¬
tate coniunctus ÷. & abutrisq cognatione diquid naturadit̃ trahit Qui est
ꝑsequidem seđs & compositus. sed a dalioscomparacꝰ. primus & incompositꝰ inue¬
nitur:¬

Expanded text:
natura substantiaque disjunctus est. Siquidem ille in gemina membra aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis impedit interventus. Tres habet similiter subdivisiones, quarum una ejus pars est is numerus quitate conjunctus est, et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus, primus et incompositus invenitur
Abbreviated transcription (Latin):
exhac adgregatione quinumerus factussit: sunt iii quiscilic& primus &
in cõpositus ÷ &epꝰ unitat̾ẽ ultimũ binariũ numerũ ad gregaueras sugitur
t̃ nariũ id÷ quiex coaceruatione collectus: ꝑ binarium multiplices q:
ultimis ad gregatꝰ: ꝑ fectussine ulla dubitatione nascetur biserumꝑNI:
sedefticiunt: quihabent unam quidem ase denom natam parcẽ: id seaetã

Expanded text:
mus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sextam,
Abbreviated transcription (Latin):
pit Infinitissimas enĩ suicorporissuscipit sectionis: Hancigitur nature
infinitatem indec̃ minatamq potentiã philosophiã repudiat: Nic hil
enĩ quod infinitum ÷ ł scientia potest colligi. ł mente comp̃ hendi:
Sedhinc sumpsit sibi ipsaratio. inquibus possit indagatricem uerita¬
tis exercere sollertiam: Delegit enim deinfinite multitudinis pla¬
ralitate : finitȩ c̃minũ quantutctis : Et int̃ minabilis magnitudinis
sectione reiecca diffinita sibiad cognitionẽ spaciade poscit : Constat

Expanded text:
pit; infinitpit; infinitinfinitatem, indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim quod infinitum est vel scientia potest colligi, vel mente comprehendi. Sed hinc sumpsit sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere solertiam. Delegit enim de infinitae multitudinis pluralitate, finitae terminum quantitatis, et interminabilis magnitudinis sectione rejecta, definita sibi ad cognitionem spatia depoposcit. Constat