comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
duas extremitates in unum redactas medi&as multiplicaue¬
rit. Dupla quantitas colligitur. quamsise multiplicent
duae extremitates. Sintenim hi termini iii.iiii. ui.
sugitur ternarium & senarium iungas Nouenarium facies
qui ꝑ quaternarium ductus XXXUi. efficit. quod sise ipse
extremitates multi plicent &fient tres sexies. XUIII con¬
ficiunt quod est prioris summae. dimedium:
& atem uocemus cuius haec ratio est. qm̃ arithm &ica
dispositio a equas tantum ꝑ differentias diuidit quantita¬
tes. geom&ricauero terminos aequa proportione coniungit
Atuero armonica ad aliquid quod ammodo relata conside¬
ratione Nequesolum in terminis speculationẽ ꝓportionis
hab& neque solum in differentiis sed inutrisq communiter
quaerit enim ut quem ad modum sunt adse extremi termini
sic maioris ad medium differentia contra differentiã medi& a¬
tis adultimum ad aliquid autem considerationem armonicae

Expanded text:
duas extremitates in unum redactas, medietas multiplicaveduas extremitates in unum redactas, medietas multiplicaverit, dupla quantitas colligitur, quam si se multiplicent duae extremitates. Sint enim hi termini 3, 4, 6. Si igitur ternarium et senarium jungas, novenarium facies, qui per quaternarium ductus 36 efficit. Quod si se ipsae extremitates multiplicent, et fiant tres sexies, 18 conficiunt, quod est prioris summae dimidium. Cetatem vocemus. Cujus haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione conjungit. At vero harmonica ad aliquid quodammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia, contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniae
Abbreviated transcription (Latin):
rium tertia sui parte uincit. idem ternarius a senarioto¬
ta sui quantitate superatur. idest tribus idem que ipse ter¬
narius medi&ate minoris uincit minorem id est uno. & me¬
di&ate maioris amaiore termino uincitur id est tribus.
senaruenim medi&as ternarius est. Ingeo m&rica uero
medi&ate Neque eisdem suis partibus medius uł uincit
minorem uł amaiore uincitur. Neque eadem parte ut
minoris minorem superat uł maioris amaiore relingtir
sed qua parte sua medius terminus minorem superat eadem
parte sua maior terminus medium uincit. Quodest ut
medi&as atq extremitas aequalibus medi&atem & extre¬
mitatem relinquam suis partibus suꝑuadant. in hacenim dis¬
positione quae est iiii.UI .UIIII. tertia sui parte medius
senarius quater narium superat. id est duobus & tertia sui
parte rursus nouenarius senarium uincit id est tribus.
Hab& autem aliam propri& atem armonica medi& as ut cum

Expanded text:
rium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario torium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota sui quantitate superatur, id est tribus. Idemque ipse ternarius, medietate minoris vincit minorem, id est uno, et medietate majoris a majore termino vincitur, id est tribus. Senarii enim medietas ternarius est. In geometrica vero medietate, neque eisdem suis partibus medius vel vincit minorem, vel a majore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat, vel majoris a majore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua major terminus medium vincit. Quod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant. In hac enim dispositione, quae est 4, 6, 9, te tia sui parte medius senarius quaternarium superat, id est duobus, et tertia sui parte rursus novenarius senarium vincit, id est tribus. Habet autem aliam proprietatem harmonica medietas, ut cum
Abbreviated transcription (Latin):
ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte prae¬
cedit id est uno & a quaternario tertia sua parte praecedi¬
tur. idest uno. Atuero ternarius non eadem parte minoris
minorem uincit uel maioris amaiore superatur. nãq
minorem id estbinarium uno superat. id est ipsius medi&a¬
te binarii a quaternario uero. uno relinquitur quae
pars est quaternarii quarta. Recte igitur dictum est
medium terminum in huius modi medi&ate eadem
sui parte &minorem uincere & amaiore superari. sed non
eisdem partibus uelminoris minorem trans gredire uł maio¬
ris amaiore transcendi contrarie armonica medi&as pro¬
portiones hab&. namque non eadem partesua medius ter¬
minus in hac proportione uł minorem uincit uł amaiore
superatur. sed eadem parteminoris minorem superat.
Qua parte maioris a maiore superatur. In hacenim disposi¬
tione armonica. quae est II III UI terminus medius. Bina¬

Expanded text:
Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praeTernarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris minorem vincit, vel majoris a majore superatur. Namque minorem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medietate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est medium terminum in hujusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a majore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel majoris a majore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua, medius terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a majore superatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte majoris a majore superatur. In hac enim dispositione harmonica, quae est 2, 3, 6, ternarius bina
Abbreviated transcription (Latin):
tres ad iiii. conparati. ses qui tertiam habitudinem. sex uero
ad iiii. ses qualteram reddunt. sed maior est ꝓportio ses¬
qualtera. a ses qui tertia. tantum quantum pars tertia
medi&ate transcenditur. iuste igitur medi&as quae¬
dam geom&rica proprieque esse ꝓportionalitas iudicatur
scilic& inter eam ubi inma ioribus terminis minor est
proportio . & inminoribus maior. & inter eam ubi in ma¬
ioribus maior est. inminoribus minor. Illa estenim uere
proportionalitas quae medi&atis quod ammodo locum
obtinens & in maioribus & inminoribus. aequalibus pro¬
portionum conparationibus contin&ur. Hoc quoque
signum est duarum extremitatum mediam eẽ quodam¬
modo geo maricam ꝓportionem. Namq in arithm&ica
proportione medius terminus eadem sua parte & minorem
praecedit & maiore praeceditur. sed alia parte minoris. alia
uero parte maioris. sitenim arithim&ica dispositio .ii.iii.iiii.

Expanded text:
tres ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero tres ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero ad quatuor sesquialteram reddunt; sed major est proportio sesquialtera a sesquitertia, tantum quantum pars tertia medietate transcenditur. Juste igitur medietas quaedam geometrica proprieque esse proportionalitas judicatur, scilicet inter eam ubi in majoribus terminis minor est proportio, et minoribus major, et inter eam ubi in majoribus major est, in minoribus minor. Illa est enim vere proportionalitas quae, medietatis quodammodo locum obtinens, et in majoribus et in minoribus, aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque signum est, duarum extremitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionem. Namque in arithmetica proportione, medius terminus eadem sua parte, et minorem praecedit et a majore praeceditur, sed alia parte minoris, alia vero parte majoris. Sit enim arithmetica dispositio 2, 3, 4.
Abbreviated transcription (Latin):
id est. unitate transcendit. quare in his neque eadem pro¬
portio terminorum est neq sunt eadem differentia e
Est autem quem ad modum maximus terminus ad paruissimũ
terminum. sic differentia maximi & medii. ad differentiam
medii atque postremi. Namque in hac proportione quae est¬
iii.IIII.UI. maior terminus. idest senarius ad paruissimum
terminum ternarius duplusest. & differentia maximi & me¬
dii. idest senarii & quaternarii duas
scilic&. atque differentia m
medii & ultimi. idest qua¬
ternari. atque ternarii.
quae est unittis. dupla
perspicitur. sed hoc
quoque subiecta
descriptione monstratur.
ab& autem propri&atem quem admodum dictum est contra¬
riam arithm&icae medi&ati. in illa enim inminoribus ter¬
minis maior erit ꝓportio. inmaioribus minor. in hacuero
inmaioribus quidem terminis maior est ꝓportio. inmino¬
ribus uero minor. Namq in hac dispositione iii.iiii.uI.

Expanded text:
id est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proid est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem differentiae. Est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subjecta descriptione monstratur: etatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim, in minoribus terminis major erat proportio, in majoribus minor; in hac vero, in majoribus quidem terminis major est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione 3, 4, 6,
Abbreviated transcription (Latin):
atq in paris. Parenim parem simultiplic& semꝑpar nasci¬
tur. & inpar inparem simulti plic& in par continuo ꝓcreabi¬
tur. siuero in par parem uł sipar in parem multi plic&
par semꝑ exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur exlec¬
tione platonis in libris de re publica. eo loco quinuptialis
dicitur que mex ꝑsona musarum philosophus introducit sed
nunc ad tertiam medi&atem redeundum est. XLUII
aequis proportionibus constituitur. sed illa in qua quemad¬
modum maximus terminus ad paruissimum terminum poni¬
tur. sic differentia maximi & medii contra differentiã medui
atq paruissimi comparatur. utsisint in.iiii.ui. uelsi ii.iiii.
UI. senarius enim quaternarium sua tertia parte superat
idest ad uobus. quater narius uero ternarium sua quarta
parte suꝑuenit. id est .i. & senarius ternarium sua medi &a¬
te id est .iiI. ternarius uero binarium sua parte tertia

Expanded text:
atque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nasciatque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex persona Musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est. CAPUT aequis proportionibus constituitur, sed ila in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia,
Abbreviated transcription (Latin):
enim binibis. Oetinarium ferunt ternarius uero xXvII. crbi
latus est ter enimtres ter xxUIi restituunt. medi& as igitur
quae iuxta octonarium est. idest xii mutuatur duo latera ex
propinquo sibi octonario & aliud unum latus ex altrinsecus
posito XXUII. erbo. bis enim bini ter xii. pandunt & xuiui
eadem ratione duo latera & propinquo sibi xXUII. Erbo colligit.
& uno altrinsecus posito octonario. tresenim terbis xuiii. con¬
cludunt. Hoc autem uniuersaliter speculandumest si t&rago¬
nus t&ragonum multi plic& sine dubio t&ragonus prouenit.
sin uero parte altera longior t&ra gonum multiplic& uelte¬
tragonus parte altera longiorem. Numquam t&ragonus.
semꝑ parte altera longior crescit. Rursus sicrbus erbum
multiplicauerit. Crbi forma conficitur. siuero parte altera
longior cibum uelerbus parte altera longiorem Numquam
crbus ꝓcreabitur. hoc scilic& secundum similitudinem paris

Expanded text:
enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, sed semper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, hoc scilicet secundum similitudinem paris
Abbreviated transcription (Latin):
Namque senarius ad iiii. ses qualter est . & uiiii. ad senariũ
eodem modo ses qualter. hoc autem idcirco euenit quod sin¬
qula latera. singulorum t&ragonorum efficiunt senari am
medi& atem. Nam quaternarii t&ragoni latus binarius est
nouenarii ternarius. Hiergo multi plicati ꝑfecerunt sena¬
rium. bisenim tres senarius est . & quoties cumq datis duo¬
bus t&ragonis eorum medi&atem uolumus inuenire. latera
eorum multiplicanda sunt. & qui ex his procreabitur me¬
di&as est. si autem cybi sunt. ut uiII. &xxuIi. duaetantũ
inter hos eadem proportione medi&ates constitui queunt
ad xuiii. ses qualtera tantum proportione iunguntur in his quoq
eadem laterum ratio est. Namque ex uno crbo qui propinquior
est . una medi&as est duo latera colligit. ex alternatim uero posito
unum in alia quoque medi&ate idemest. ponantur enim duo
crbi &inmedio eorum duae medi&ates quas superius diximus¬

Expanded text:
Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabuntur, medietas est. Si autem cubi sint, ut 8 et 27, duae tantum inter hos eadem proportione medietates constitui queunt, ad 27, sesquialtera tantum proportione junguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque ex uno cubo qui propinquior est, una medietas duo latera colligit; ex alternatim vero posito, unum. In alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cubi, et in medio eorum duae medietates quas superius diximus
Abbreviated transcription (Latin):
NEDIETATIBUS INMEDIO COLLOCATIS
Dost haec igitur tempus est ut expediamus nunc quoddã nimis
utile in platonica quadam disputatione quae intimei cosmo¬
poeia . haut facili cuiquam uel penarabili ratione uersatur.
Omnes enim plenae figurae quaenulla altitudine crescunt
una tantum medi&ate geom&rica continuantur alia quae
iungat non potest inueniri . Vndeduo tantum interualla¬
in his sunt constituta. a primo scilic& admedium. & a medio
adtertium. siuero fuerint erbi duastantum habebunt
medi&ates ubi tertia inueniri non poterit. secundũ geome¬
tricam scilic& proportionem unde formae solide tria in ter¬
ualla dicuntur habere. Estenim unũ interuallũ aprimo ad
secundum & a secundo ad tertium & a tertio aquartum quȩ
scilic& est postrema distantia. Necte igitur & planae figure
duobus interuallis & solidae tribus contineri dicuntur. si
enim duo t&ragoni iiii scilic& & uiiii. Horum igitur unus
tantum medius in eandem proportionẽ constitui potest.

Expanded text:
dietatibus in medio collocantur Post haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quadam disputatione, quae in Timaei cosmopeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde duo tantum in his intervalla sunt constituta, a primo scilicet ad medium, et a medio ad tertium. Si vero fuerint cubi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet proportionem. Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum, et a secundo ad tertium, et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest.
Abbreviated transcription (Latin):
ueadem quoque medi&ate & diapente srmphonia conpo¬
nitur. quam ses qualtera habitudo restituit. Nam inutrisq
dispositionibus his quae sub iectae sunt induplici senarius
ad quaternarium ses qualter est. & intriplici ternarius ad
binarium ex quibus utrisque diapente symphonia coningitur
Posthiune autem diapason cõnsonantia quae fit exduplici ut subies
Ntriplici quoque dispositione simul diapente &dia pason sym¬
phonia conponitur seruans ses qualteram & duplicem ratio¬
nem quod sub iecta discriꝑtio doc&.
Et qm̃ triplus duas contin& consonantias diapente scilic& &dia¬
pason in huius triplicis dispositione in differentuis eundem rur¬
sus triplum repperiemus secundum subter descriptum modũ¬

Expanded text:
eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his quae subjectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesquialter est, in triplici ternarius ad binarium, ex quibus utrisque, diapente symphonia conjungitur. Post hanc autem diapason consonantia, quae fit ex duplici, ut est in n triplici quoque dispositione, simul diapente et diapason symphonia componitur, servans sesquialteram et duplicem rationem, quod subjecta descriptio docet. Et quoniam triplus duas continet consonantias, diapente, scilicet, et diapason, in hujus triplicis positione in differentiis eumdem rursus triplum reperiemus, secundum subter descriptum modu
Abbreviated transcription (Latin):
dupla proportio est. appar& autem haec proportionali¬
tas inbinis proportionibus abunitate alternatim
parte altera longioribus quadratis que
dis positis a prima multiplicatis
habitudine idest aduplici ꝑcunc¬
tas suꝑ particularis habitudines
ꝓportionesq discurrens
quod subiecta discriptione si gnatum est:

Expanded text:
dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalidupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus, ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis, a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticulares habitudines proportionesque discurrens, quod subjecta descriptione signat
Abbreviated transcription (Latin):
cularibus uel super partientibus inuenitur. huius modi propri¬
&ate in omnibus conseruata ut continua proportione quod fit
sub extremitatibus sitres fuerint termini hoc amedi& ate
multiplicata consurgant. si enim sint .ii.iiii.uiii. quod fit ex
bis uiii. ⁊demfit ex quater iiii. uelsi sit in quattuor terminis
disiuncta proportio quod fit exutrisque extremitatibus
id duarum medi&atum multiplicatione concrescat. ut si
sint .ii. iIII. UIII. XUI. quod fit exbis xVI. id ex quater
UIII. reddatur. Exemplar autem nobis maximum cer¬
tissimum que fit illud ubi ex aequalitate diximus omnes
in aequalitatis species fundi. Illicenim in omnibus uel
multiplicibus. uelsu ꝑ partientibus. uel suꝑ particulari¬
bus uel inc&eris cunctis geu m&rica proportionalitas
custoditur. has omnes propri&ates quas supradiximus
continentes. quarta uero est propri&as huiusce medie¬
tatis quoduel in maioribus uel inminoribus terminis
aequales semper proportionessunt. Namque si ponan¬

Expanded text:
vel superpartientibus, invenitur, hujusmodi proprietate in omnibus conservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor terminis disjuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat. Ut si sint 2, 4, 8, 16, quod fit ex bis 16, id ex quater 8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim, in omnibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, vel in caeteris conjunctis, geometrica proportionalitas custoditur, has omnes proprietates quas supradiximus continens. Quarta vero est proprietas hujusce medietatis, quod vel in majoribus vel minoribus terminis aequales semper proportiones sunt. Namque si ponan
Abbreviated transcription (Latin):
t que ideo arithm&ica quidem rei puplicae conparatur. quae
paucis regitur. idcirco quod inminoribus eius terminis ma¬
ior proportio fit. Musicamuero medi&atem optimatium
dicunt esse rempuplicam. Ideo quod inmaioribus terminis
maior proportionalitas inuenitur. Ceo m&rica medi&as
popularis quod ammodo & ex aequatae ciuitatis est. Nãq
uel in maioribus uel inminoribus aequali omnium propor¬
tionalitate componitur. Et est inter omnes paritas quaedã
medi&atis aequumius in proportionibus conseruantis .xu
UEDIEIAII IUNGATUR SOLIDT UIRO NUMERI OUAB

Expanded text:
tque ideo arithmetica quidem ei reipublicae comparatur quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus ejus terminis major proportio sit. Musicam vero medietatem optimatum dicunt esse rempublicam, ideo quod in majoribus terminis major proportionalitas invenitur. Geometrica medietas, popularis quodammodo et ex aequalitate civitatis est. Namque vel in majoribus, vel in minoribus, aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum jus in proportionibus conservantis. CAPmedietate jungantur, solidi vero numeri duab
Abbreviated transcription (Latin):
iunxero parte altera longior rursus erit senarius scili¬
c& quifit exbis tribus. Cui sisequentem ad gregauero
nas c&urmihi duo denaria forma. quaefit exquater
tribus quod si continuatim quis
faciat cunctos huiusmodi
numeros in conp&enti
ordine procreatos ui¬
debit quam discriptionem
scilic& inferior forma demonstrat

Expanded text:
junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilijunxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat
Abbreviated transcription (Latin):
litas cumin eodem ordine paritatis sit. tantum principium
totius est alteritatis. Namq si se ipsa multi plic& uł platitudinem.
uł &iam ꝑ ꝓfunditatẽ uł siquẽ numerũ insuã conglob& quantita¬
tem continuo alter exoritur . Nambis duo uł bis duo bis si facies.
multiplic& quisquis hincnascitur alius quã primo fuerat in ue¬
nitur. Nascuntur aũ exsuperiore discriptione & exprimo ordine
om̃s t&ragoni hoc modo. unũ enim sires pexeris primus potestate
t&ragonus est sinuero unum trib: coaceruaueris quattuor t&ra¬
gonus exoritur. huic siquinarium iungam nouenarius rursus
occurrit. huic sicopules vII. sed ecim quadrati forma sesugerit
idemq: sunc&eris facias omnes conp&enter quadratos
uideas procreari. a tuero exsecundo paritatis ordinem
idem cuncti a parte altera longiores fiunt. Namque si
duos primo respexero huius modimihi numerus occurrit
qui fit exbis uno. Cum uero duobus sequentes quattuor

Expanded text:
litas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium litas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si facias, multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4
Abbreviated transcription (Latin):
tantiae participes. Illos ueronumeros quos parte altera
longiores paritas creat. alterius dicimus eẽ substantia e.
Nam quem ad modum unus aduobus uno tantum alter
est. sichorum latera a se tantum uno sunt altera & una
tantum differunt unitate. quare disponantur in ordinem.
omnes abuno in pares . & sub his om̃s ab unonumero pares.
st ergo princeps inparis ordinis unitas quae ipsa quidem
effectrix. & quod ammodo forma quaedam est in pari¬
tatis quae in tantum eiusdem nec mutabilis substantiae
est utcum uel seipsammultiplicauerit. uel in planitudi¬
ne. uel in profunditate. uel si alium quem lib& num erum
ꝑ seipsammulti plic& a prioris quantitatis forma non
discrepat: si semel unum semel uelsitres. semel uelsi
quattuor. semeluel quem lib& alium numerum multi¬
plic& aquantitate sua is quem multiplicat numerus¬
non recedit . quod circa alium numerum non potest inueniri.
Paris uero ordinis binarius numerus princepsest quae dua¬

Expanded text:
tantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera tantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares. Est ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. quatuor semel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numernon recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dua
Abbreviated transcription (Latin):
medi & as est. unus ille in parest. Cuius uero duo hic paritate
recepta in gemina a equa disiungitur. quaredicendũ est
in paremnumerum eiusdem atq. insua senatura tenentis
in mutabilis que substantia ẽẽ. participem. Idcirco quod
abunitate form &ur. Parem uero alterius plenum esse
naturae idcirco quod a dualitate conpl&ur.
PARIE ALIERA LONGIORIS II¬
t uero positis in ordinem ab unitate in paribus & subhis a
dualitate paribus discriptis coaceruatio in parium t&ra¬
gonos facit. coaceruatio parium superiores efficit parte
altera longiores. quare qm̃t&ra gonorum haec natura
est ut ab in paribus procreentur qui sunt unitatis parti¬
cipes idest eiusdem inmutabilisque substantiae cunctisq
partibus suis aequalessint quod & anguli angulis. & latera
lateribus & longitudini conpar est latitudo. Dicendum est
huius modinumeros eius demnaturae atq inmutabilis subs¬

Expanded text:
medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur parte altera longiores fiAt vero positis in ordinem ab unitate imparibus, et sub his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis subs
Abbreviated transcription (Latin):
enim aput prthagoram . uł sapientiae eius heredes non ulli
alii nisi tantum binario adscribebatur. hunc alteritatis
principium eẽ. dicebant. Eandem autem naturam & semꝑ
sibi similem consentientemq nullam aliam nisi prima euã.
ingeneratam que unitatem. binarius autem sinumerus
primus est. unitati dissimilis est idcirco quod primus ab
unitate disingitur. atq ideo alteritatis cuiusdam princi¬
pium fuit quod ab illa prima & semꝑ eadem substantia
sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur
hi numeri parte altera longiores quod eorum latera unius
tantum sẽsẽ adiecta numero sitate praecedunt. Argumen¬
tum est autem alteritatem inbinario numero iuste consti¬
tui quod nondicitur alterum nisi aduobus ab his inter quos
bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius quod in par
numerus solaunitate ꝑfici monstratus est. paruero sola
dualitate. idest solo binario numero. Namcuius cumq

Expanded text:
enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli alii nisi tantum binario ascribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant. Eamdem autem naturam, et semper sibi similem consentientemque, nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Binarius autem numerus, primus est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque
Abbreviated transcription (Latin):
primum multiplices talis nasc&ur numerus. uł sisecundum
pertertium. uł si tertium perquartum uł siquartum per
quintum. Omnesque hi unitate tantum addita multipli¬
centur nascentur parte altera longiores. Disponatur enim
actenus. siquis igitur faciatunum bis faci& duo. &rursus
bis tres faci& sex. ter quattuor faci& .xii. quater quinq
faci& xx. & hoc ad eundem ordinem. Quicum que igitur
ita facti sint. procreabuntur parte altera longores ut
subiecta discriptio doc&. inqua ex quibus numeris multipli¬
cati nascentur parte altera longiores suꝑ adscriptis unt
qui uero nascuntur subterius subnotati.
SULO NUMERI PARTEALTIRA LONGIORIBUS
Ergo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicantur
dis cripti superius numeri protenduntur. siuero aliquo
eorum latera sola discrepent unitate. Non uocabitur hic
numerus parte altera longior. sed ante longior alterum

Expanded text:
primum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secundum primum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque bi unitate tantum addita multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Disponatur enim hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet duo. Et rursus bis tres faciet 6, ter quater faciet 12, quater 5 faciet 20, et hoc modo ad eumdem ordinem. Quicunque igitur ita facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subjecta descriptio docet. In qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores, supra ascripti sunt. Qui vero nascantur, subterius subnotati.  et de vocabulo numeri parte, altera longioris. Ergo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicantur, descripti superius numeri protendentur. Si vero aliquo eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum
Abbreviated transcription (Latin):
medi&atessunt quaeneque cunctis partibus aequales sunt
Neque omnibus in aequales quos grecipar allele pipedos
uocant. latini nomen hoc ita uniformiter compositum
habere non possunt. ut tamenidem pluribus dictum sit.
Ea namque hoc nomine uocatur figura quae alternatim
positis latitudinibus contin&ur:XUI¬
DEPARTT ALTERA LONGIORIOB. EORU GENERATIONIB
Iuius modiuero formas qualessunt quaeuocantur. agre¬
altera longiores. quarum figurarum numerus hocmodo
difiniendus est. parte altera longior est numerus quem si
in altitudinem describas &ipse quidem. quattuor uenit
laterum & quattuor angulorum. sed non cunctis aequa¬
libus sed semꝑminus uno. Namque uec latera lateribus.
cuncta cunctis aequasunt. Nec longitu dini latitudo. sed
ut dictum est. Cum hinc altera pars maior fuerit. uno
tantum minorem praecedit. acsuperat. sienim nume¬
rum naturalem disponas in ordinem & secundum per

Expanded text:
medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetueris, antelongioribus, eorumque generationibus. Hujusmodi vero formas quales sunt quae vocantur a Graealtera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc modo diffiniendus est. Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per
Abbreviated transcription (Latin):
autem forma. greco nomine scalenos uocatur.
Nos uero gradatum possumus dicere quod aminore
modo uelut gradibus crescat admaius. Uocantaũt
eandem figuram greciquidam. sphericon. Nos aut̃.
cuneum possumus dicere. & enim quos adqua m lib&
illam rem conscriben cuneos formant. Neque
latitudinis Neque longitudinis neque altitudinis
habita ratione quantum commodum fuerit.
tantum uel altitud iniminuitur uł crassitudini ꝓfunditatis
aug&ur atq ideo hosplerumq necesse est omnibus pastibus
in aequalibus inueniri. Quidam hos bonis cos uocant idest
quasdam arulas quae inionica greciae regione. ut ait nico¬
machus hoc modo formatae fuerunt utneque altitudo lati¬
tudini neque haec longitudini conuenir&. Uocatur autem
aliis quibusdam nominibus quaenunc ꝑsequi suꝑuacuum iu¬
dicamus. Igitur crbi. aequalibus sespatus porrigentes et huius
formae quam diximus gradata distributione posite huic

Expanded text:
autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc prosequi supervacuum judicamus. Igitur cubi aequalibus spatiis se porrigentibus et hujus formae, quam diximus, gradata distributione disposita,
Abbreviated transcription (Latin):
unum quotque singulis his quae superioris fuere t&ra¬
goni aequum est. & ut superius de monstrauimus tot
unitatum est. Angulos uero octo quorum singulus¬
subtribus huius modi contin&ur. quales priores
fuere t&ragoni dequibus ipse productus est. Ergo ex
naturaliter ꝓfuso numero. qui in subiecta forma des¬
criptisunt subiecti t&ragoni nascuntur. Et ex his
t&ragonis quisub notatisunt crbi prouehuntur.
Et qũo omnis crbis ab aequilateris quadratis profectus¬
est aequus ipseomnibus partibus est. Nam & latitudini
longitudo & his duobus conpar est. altitudo. & secundũ
sex partes. id est sursum dextera sinistra ante post
latitudini neque haec duo profunditati generat aequa¬
lia sed cunctis in aequalibus quamuis solida figurasit
ab aequalitate crbi longissime distare uid&ur. hi aut
sunt utsiquis faciat bis trer quater uł ter quattuor
quinquies & alia huius modi quae ꝑ in aequales
spatiorum gradus in aequaliter ꝓuehuntur. haec

Expanded text:
unumquodque singulis his quae superioris fuere tetraunumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est. Angulos sub tribus ejusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni unde cubus ipse prodnaturaliter profuso numero, qui in subjecta forma descripti sunt, subjecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui subnotati sunt cubi provehuntur. am omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quater quinquies, et alia hujusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec
Abbreviated transcription (Latin):
laterum formatione crescit. Ter enimtres. sitertio duxeris¬
xxvii. Erbifigura producitur &xui. quiest ex iiii. siqua¬
ter augescat . lxiiii. Erbus pari laterum demensione
crassabitur. & sequentes quidem t&ragoni secundum
eundem modum multiplicatione facta prouehuntur.
totautem necesse est. unitates cybus habeat in latere
quot habuit primus ille t&ragonus ex quo ipse produc¬
tus est. Nam qm̃ .iii. t&ragonus duos tantum numeros
VIIII. t&ragonus tribus ꝑlatus. unitatibus figurabatur.
solo ternario xxvii. Erbi latus urg&ur. Etqm̃ xui.
t&ragonus .iiii. unitatum latus habebat. totidem Lxiiii.
quod est unitas unuserit in latere. Omnis enim t&ra¬
gonus unaquidem suꝑficies est. quattuor angulorũ
totidem laterum. Omnis autem crbus qui ex t&rago¬
norum suꝑficie in profunditatẽ corporis creuit.
pert&ragoni scilic& latus multiplicatus. habebit
quidem suꝑficies .UI. quorum singula planitudo t&ra¬
gono illi priori aequalis est. later a uero xii. quorum

Expanded text:
laterum formatione crescit. Ter enim tres si tertio duxeris, 27 cubi figura producitur. Et 16, qui est ex 4, si quater augescat, sexaginta quatuor cubus pari laterum dimensione crassabitur, et sequentes quidem tetragoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus ex quo ipse productus est. Nam quoniam 4 tetragonus duos tantum numeros oniam novem tetragonus tribus per latus unitatibus figurabatur, solo ternario 27 cubi latus urgetur. Et quoniam 16 tetragonus quatuor unitatum latus habebat, totidem 64 quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum
Abbreviated transcription (Latin):
scilic& triangulus huicuero si consequentem qua ternariũ
suꝑ posuero. denarius explicatur. qui est tertius actu
triangulus quos suꝑ latera disponens ad superioris des¬
criptionis exemplar. cunctos triangulos numeros sine
ullius dubitationis erroribus ꝑ notabis. & quantas ulti¬
mus numerus inseunitates hab& quem superioribus
ad gregabis tot ipse qui fit triangulus unitates habebit᷑ latere¬
Namternarium quiest primus actu triangulus adiecto bina¬
rio unitati feceramus at hic duos hab& in latere. & senarium
his adiecta ternarii quantitate produximus cuius latus
solitres continent. &idem in aliis cunctis quodunitates ha¬
bentem numerum superioribus ad gregabis tot unitatibus
eius latera contenebuntur.
pandit. sed non intribus angulis ut superior forma.
sed quattuor ipse quoque a equali laterum dimensione porri¬
gitur. sunt autem huius modi.¬

Expanded text:
scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latereNam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera continebuntur. pandit, sed non in tribus angulis ut superior forma, sed quatuor. Ipse quoque aequali laterum dimensione porrigitur. Sunt autem hujusmodi
Abbreviated transcription (Latin):
atq actu secundus est. idest senarii crescente natura linume¬
ro in lateribus ternarius inuenitur. Tertiiuero id est dena¬
rii quaternarius latus contin& & quartiuero. id est xu.
quin arius latus ten&. & quinti senarius idemq usq in infini
Nascuntur autem triangiili disposita naturali quantitate Nu¬
merorum. si prioribus semꝑ multitudo sequentium congrege¬
tur. disponaturenim naturalis numerus hoc modo .i. ii.iii.¬
lum sumam id est unitatem. habeo primum triangulum qui
est ui & potestate nondum &iam actu necopere. huic si secun¬
dum adgresauero qui innaturali numerorum dispositione
discriptus est. Id est binarium primus mihi triangulus
opere & actu nascitur. id est ternarius. si uero huic tertiũ
exnaturalinumero adiecero. secundus mihi opere & actu
triangulus procreatur. suꝑ unumenim & duo sitertium
id est ternarium ad gregauero senarius extenditur. sec ds̃

Expanded text:
atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numeatque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur. Tertius vero, id est denarii, quaternarius latus continet, et quanti vero, id est 15, quinarius latus tenet, et quinti senarius. Idemque usque in infim numerorum. Nascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modoum sumam, id est unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adjecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium, aggregavero, senarius extenditur, secundus
Abbreviated transcription (Latin):
tatibus dissipatur. secundum superficiei. positionem trian¬
gula scilic& descriptione & posthunc quicumque aequalitatẽ
laterum intrina laterum spatia segregant. sunt aũt hu¬
III. DELATIRIBUS TRIANGULORUM NUMERORUM
dhunc modum in infinita pro gressio est omnes que ordine
trianguli a equilateri procreabuntur primumomnium
ponenti quod exunitate nascitur uthaec uĩ sua triangulus
sit nontamen &iam opere atq: actu. Namsicunctorum ma¬
ter est numerorum quicquid in his quae abea nascuntur nu¬
meris inuenitur. Necesse est utipsa naturali quadam potes¬
tate contineat. & huius trianguli latus est unitas. Terna¬
rius uero qui primus est opere & actu ipso triangulus
Crescente unitate binarium numerum latus habebit . ui
enim & potestate primi trianguli. id est unitatis latus est
actu uero & opere trianguli primi idest ternarii dualitas
quam greci drada uocant. secundiuero trianguli quio pere

Expanded text:
tatibus dissipatur, secundum superficiei positionem, triantatibus dissipatur, secundum superficiei positionem, triangula scilicet descriptione, et post hunc quicunque aequalitatem laterum, in trina laterum spatia segregant. CAPUT VIII. De lateribus triangulorum numerorum. Ad hunc modum infinita progressio est, omnesque ordine trianguli aequilateri procreabuntur, et primum omnium ponent, id quod ex unitate nascitur, ut haec vi sua triangulus sit, non inde etiam opere atque actu. Nam si cunctorum est mater numerorum, quidquid in iis qui ab ea nascuntur numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus est unitas. Ternarius vero qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi anguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli qui opere
Abbreviated transcription (Latin):
planius inuenitur. Duae enim lineae rectae spatium
non continent. & omnis triangularis figura. uł t&ra¬
goni. uł pentagoni. uł exagoni uł cuius lib& quiplu¬
ribus angulis contin&ur si a medi&ate persingulos angu¬
los lineae producantur. totenim eum diuidunt trianguli.
quod ipsam figuram angulos habere contigerit. Qua dra¬
tumenim ita ductae lineae quattuor. pentagonum in quin
modo mensuraque ꝑtriangulos partiuntur utest subiecta t̃
Atuero triangula figura cum eam quis ita diuiserit in alias
figuras non resoluitur uisunse inseipsam intria enim
triangula dissipatur.
A deo haec figura princeps est latitudinis ut ca&erae omnes
suꝑficies in hanc resoluantur. ipsa uero qm̃nullis est princi¬
pus obnoxia Neque ab alia latitudine sumpsit initium in
sẽsẽ ipsa saluatur idem autem & innumeris fieri sequens
operis ordo monstrabit. Un
Est igitur primus triangulus numerus qui in solis tribus uni¬

Expanded text:
planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent, et omnis triangularis figura, vel tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita ductae lineae in 4, pentagonum in 5, modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subjecta descriptio. At vero triangula figura cum eam quis ita diviserit, in alias figuras non resolvitur nisi in seipsam, in tria enim triangula dissipatur. Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut caeterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero quoniam nullis est principiis obnoxia, neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem et in numeris fieri sequens operis ordo monstrabit. CAProrum. Est igitur primus triangulus numerus qui solis tribus uni