comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
tercie  quortam si prima sit maior secunda ent tercia
maro ⁊ quarta si minor minor si equalis equalis / Tercimi
fuit ꝙ si fuerint quatuor quantitates quarum sit apoioo
p̾ma ad secundam sicut tercie as quartam erit prnne
ad quodlibet multixles secunde sccut tercie e quod
ecianr in secunda Demonstratione et in tercia et qũa
in quarum qualibet cum qualibet orguit ex octana uel¬
ox Secima huiue que prebantur ex diffim̃oone in ꝯti¬
mie ꝓportionatis arguit em̃ sit Si ꝓporcio ab adx
est maior ꝙͣ g ad d sit ergo s partis abs ad ẽ sicũt
g ad s ꝑ quod apparet ipsum supponere ꝙ duaꝵ
qͣuantitatum as et s in equalium ⁊ elatarum ade
maior maiorem minor miuorem ad ĩssam oxtinẽt
ꝓporcionem ue ꝙ quantitas que est ade habebit
minorem ꝓporoonem ꝙͣ habeat ab erit minor ad
ꝯuorum prinum monstrat occana huius et seciurdũ
Decma nam cñ uult sumere quantitatem que se

Expanded text:
tertie ad quartam si prima sit maior secunda, erit tertia tertie ad quartam si prima sit maior secunda, erit tertia maior quarta, et si minor, minor et si equalis, equalis. Tertium fuit quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam, erit prime ad quodlibet multiplex secunde sicut tertie ad equeenim in secunda demonstratione et in tertia et in quinta in quarum qualibet arguit ex 8 vel 10 huius que probantur ex diffinitione incontinue proportionalitatis. Arguit enim sic: Si proportio a b ad e est maior quam g ad d, sit ergo u b partis a b ad e sicut g ad d per quod apparet ipsum supponere quod duarum quantitatum a b et u b inequalium relatarum ad e maior maiorem et minor minorem ad ipsam optinet proportionem vel quod quantitas que ad e habebit minorem proportionem quam habeat a b, erit minor a b quorum primum demonstrat 8 huius et secundum 10. Nam cum vultis sumere quantitatem que se
Abbreviated transcription (Latin):
funt alique Demostrate quoruin di mecus filius ioseph
cemptauit eas demostrarx in e plura sua ꝙͣ de
tporcione et ꝓpornonalitate ꝯposuit et accxit 2ͣ pmnod
positiõnis tanꝙͣ presencia que dixit esse pse nota
uosatione non in digere quorum primũ est Osi fueũ¬
quatuor quantitates quarum sit pporcio xrime ad
rcu dam sicut cercie ad quartam erit equerso ꝓporcio
ecunde ad xrimam sicut quarte ad cerciam et est
modus arguendi quem notauit suꝑius euclirdes ꝯ¬
cõuersam ꝓporcionalicatem et errauit quia dicit ꝓpol¬
cionem esse ꝑse notam cuius antecedens et ꝯsequenti
srnt ignota ignotum eñ est quid sit pporcionem esse¬
prime ꝙ̃titatis ad secundam sicut tercie ad quarcan
quare hoc ignocum impossibile est intelligere quid ex
ip̃so sequitur Dumiliter quoq quia ꝯsequend est ignotum
mixossibile est intelligere quidd ad ifu ipsum antece dat
Secn dium eius xrincyoium fiut ꝙ se fuerint quatior
quantitates quarum sit gportio piime as secundam seg

Expanded text:
 Ametus filius Joseph temptavit eas demonstrare in epistola sua quam de proportione et proportionalitate composuit. Et accepit tria per modum positionis tanquam principia que dixit esse per se nota et probatione non indigere. Quorum primum est quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam, erit econverso proportio secunde ad primam sicut quarte ad tertiam. Et hic est modus arguendi quem notavit superius Euclides conversam proportionalitatem. Et erravit quoniam dixit propositionem esse per se notam cuius antecedens et consequens sunt ignota. Ignotum est enim quid sit esse proportionem prime quantitatis ad secundam sicut tertie ad quartam, quare hoc ignoto posito impossibile est intelligere quid ex ipso sequitur. Similiter quoque quia consequens est ignotum, impossibile est intelligere quid ad ipsum anterincipium fuit: quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut
Abbreviated transcription (Latin):
ris ꝓporcio ab adco sicut e ad f sit qr as maxi¬
ma nec oportet pouere ꝙ f sit mimia qui ipsu
se quitur ex hoc ꝙ ab posita est maxima unde
um fuerit ita ꝙ maius erit aggregatum ex ab et
puy ex cͦo et e Cum eum ab sit maior e abstindã
ex ea Øs equãlem e similiter quoq quia ed eut ma¬
ior ꝑ abstindam ex ea hd equalem ẜ er̃t poter ꝑxo¬
chesun as ad ed sicut gs as qs quare ꝑi ag re

Expanded text:
b ad c d sicut e ad f sitque a b maxima neque oportet ponere quod f sit minima quia ipsum ex hoc sequitur quod a b posita est maxima. Unde cum ita fuerit quod maius erit aggregatum ex a b et f quam ex c d et e. Cum enim a b sit maior e, abscindam ex b a, g b equalem e. Similiter quoque quia c d est maior f, abscindam ex c d, h d equalem f eritque propter ypothesim a b ad c d sicut g
Abbreviated transcription (Latin):
princixio Conemrencuis tauren demonstratus ħ ec et
premissa secundum p̾mum modum gouod si plures
cubus fuerunt quantitates in utroq or dine / nepote
quatuor additis ꝑ et q ĩta ꝙ sit a adb sicut d ad
q et u ad e sicut ẽ odd et e ad ꝑsiut ẜ adc erit
iterum a ad ꝑ sicut f ad ꝙ erit euin ꝑ demonstrata
a ad e sicut ⁊ od ꝙ sublatis igitur s et d erunt tres
quancitates Rep et alie tres feq ut pontur quare
a ad ꝑ sicut f ad ꝙ Eciam ergo demonstratur de qua
tuor ꝑ tres sublato uno medio codem modo demenstra

Expanded text:
enientius demonstrantur hec et premissa et secundum primum modum. Quod si plures tribus fuerint quantitates in utroque ordine utpote 4 additis p et q ita quod sit a ad b sicut d ad q et b ad e sicut c ad d et e ad p sicut f ad c. Erit iterum a ad p sicut f ad q, erit enim per predemonstrata a ad e sicut c ad q. Sublatis igitur b et d erunt tres quantitates a, e, p et alie tres f, c, q ut proponitur, quare a ad p sicut f ad q. Sic igitur demonstratur de 4 per tres sublato uno med
Abbreviated transcription (Latin):
nimrero similibus sumptorum ꝑ quod ad naturã
racionalitatis reducimtur ꝓpositam difficionem
dem ꝙ eorum multiplicia nec terminorum habitu¬
inibus ꝙͣ młtiplicium habitudo et quia ꝓporcio
est Suarum quanotatum eiusdem generie certa hãbi¬
cudo considerata eo ꝙ sant equales aut ꝙ altera
maior identitas ꝓportionum eucium inter x̃mam qua¬
tam quantitatum ad secundam et terciam ad quarta
est similis equalibas xrime ad secundã et tertie
ad quartam aut similis ingioritas aut sumlis mi¬
noritas hec antym sumles equalitas ant similis
cum est inter onnies earum equaliter multixlices

Expanded text:
numerositatibus sumptorum per quod ad naturam numerositatibus sumptorum per quod ad naturam irrationalitatis reducuntur propositam diffinitioneidem quam eorum multiplicia nec terminorum habitudinibus quam multiplicium habitudo. Et quia proportio est duarum quantitatum eiusdem generis certa habitudo considerata in eo quod sunt equales aut quod altera maior, ideo idemptitas proportionum entium inter primam 4 quantitatum ad secundam et tertiam ad quartam est similis equalitas prime ad secundam et tertie ad quartam aut similis maioritas aut similis minoritas. Hec autem similis equalitas aut similis tunc est inter
Abbreviated transcription (Latin):
Denominacio scibilis non est quare cum enclides ꝯstderet
inhoc libro ꝓportionalia cõniuint non ꝯtrahendo ad racio¬
nale uel irracionale qm̃ ꝯsiderat ꝓporcionen reꝑtam in
ꝯtimus que coniuinis est ad iscas non potuit difiure
ydemptitatem ꝓporcionum ꝑ y demxtitatem de notacionĩd
sicut arisietitus eo ꝙ multarum ꝓporcionum ut dictũ
est sunt denominaciõnes simpliciter ignote Siffincionẽ
intem oportet fiert ex notis unde maliꝰ eporcionũ
rrracionalium coxgit enclidem tales Siffunciones xonẽ
quia urgo non potuit ut patet ex premissis diffiurie
pporcionalitatem siue y demxtitatem ꝓporcionum per
y demxtitatem habitudinum siue de nominacionum
i psorum terminorum proxter iriacionalitatem habiti dim̃
⁊ in ꝯuemenciam terminorum coactus est refugere ad
terminorum multiplitia ut ex illorum habitudimbus
quam ad excessum et equalitatem ꝯsederatis equis

Expanded text:
denominatio scibilis non est, quare cum Euclides consideret denominatio scibilis non est, quare cum Euclides consideret in hoc libro proportionalia communiter non contrahendo ad rationale vel irrationale quoniam considerat proportionem repertam in continuis que communis est ad istas. Non potuit diffinire idemptitatem proportionum per idemptitatem denominationum sicut arismeticus eo quod multarum proportionum ut dictum est sunt denominationes simpliciter ignote. Diffinitionem autem oportet fieri ex notis, unde malitia proportionum irrationalium coegit Euclidem tales diffinitiones ponere. Quia ergo non potuit ut patet ex premissis diffinire proportionalitatem sive idemptitatem proportionum per idemptitatem habitudinum sive denominationum ipsorum terminorum propter irrationalitatem habitudinum et inconvenientiam terminorum coactus est refugere ad terminorum multiplicia ut ex illorum habitudinibus quantum ad excessum et equalitatem consideratis equis
Abbreviated transcription (Latin):
dolix tore non Dit supir mulciplex quarte exquo
ꝓporionaces et que pinpreporcionales Diffinire
Tropordionales autem sunt quarum unaꝓportio est
quibus ꝯuectuntur extrema non Dissociatis mesus quas
uocauit ꝯtinue proporcionales et dixit hant ꝓporcionali¬
tatem intrbus terminis ad minus exiscere propter quis
unum saltem uis suuren Sum est medium Et eas in
quibus accisit interrrupcio mediorum et sunt mꝯ¬
cinue ꝓpornonales et hec ꝓporciõnalitas ad minis
exigit quatuor cerminos propteraalterius medii sup̃¬
incellectur cognostere que ꝓporcionales esent/ una et
que diuerse que enn haberent uiram de nommaciõnẽ
esẜent una que diuersas diuerse h̃ec autem facilitas
rorum ꝓporcio scita racionalis est unde iordanus in
secundo arismetiee sue difinens que ꝓporciones sunt eed
et que Siueise Sicit uardem esse que eandem denoruna.¬
Recipiunt maiorem uers que maiorem innorem qu im¬
norem Sy infunte sunt ꝓporcionales iriationales quarĩd

Expanded text:
lex tertie non addit super multiplex quarte ex quoproportionales et que inproportionales diffinire. Proportionales autem sunt quarum proportio una en quibus connectuntur extrema non dissociatis mediis quas vocavit continue proportionales et dixit hanc proportionalitatem in tribus terminis ad minus existere propter hoc quod unum saltem bis sumendum est medium, et eas in quibus accidit interruptio mediorum et hec sunt incontinue proportionales et hec proportionalitas ad minus exigit 4 terminos propter alterius medii sumpintellectui cognoscere que proportiones essent una et que diverse. Que enim haberent unam denominationem essent una, que autem diversas diverse.Hec autem facilitas rorum proportio scita et rationalis est. Unde Jordanus in secundo arismetice sue diffiniens que proportiones sunt eedem et que diverse, dicit easdem esse que eandem denominatrecipiunt, maiorem vero que maiorem et minorem, que minorem. Sed infinite sunt proportiones irrationales quarum
Abbreviated transcription (Latin):
canꝙͣ serti ad quartum erit ꝓporcio prim et
quinti pariter acceptoꝵ ad secundũ tanꝙͣ ꝓpor¬
cio sexti et tercii ꝑiter acceptorum ad quartum
Quo d secunda ppoint de multixlicibus gie ꝓponne
unuesaliter de omib pporciombus unde est illa

Expanded text:
am sexti ad quartum, erit proportio primi et quinti pariter acceptorum ad secundum tamquam sexti et tertii pariter acceptorum ad quartum. Quod secunda proposuit de multiplicibus hec proponit universaliter de omnibus proportionibus. Unde est illa
Abbreviated transcription (Latin):
quare maior erit ꝓporcio a ad ꝯ ꝙͣ ad s ꝑ secũ¬
Sam partem octaue erge multo maior a ad g ꝙͣ
e ad ẜ bit itaq l ad g ut e ad f eritła maior
q ex prima ꝑte decime quarere ꝓporciora adc
menior ꝙͣ has c ex prima parte occane det uero
f eo ꝙ est g as c ut dadx et h̃ as g ut e ad ẜigit᷑

Expanded text:
portio a ad g quam ad b per secundam partem 8, igitur multo maior est a ad g quam e ad f. Sit itaque h ad g ut e ad f eritque a maior h ex prima parte 10, quare proportio a ad c maior est quam h ad c ex prima parte 8. At vero f eo quod est g ad c ut d ad e et h
Abbreviated transcription (Latin):
P erit ꝑ ꝯuersionem Diffuntionis in ꝯtimie ꝑ¬
porcionalicatis uis sum ptai si l adat super n
y g addat super l et ħ super m Et si s minuit
ꝓ g miuuat abl et ħ ad m Et si li est equalis y
ꝙ g̃ sit equalis E et ħ equalis m quia igitur g
ad ¶ et h ad m sumliter se habent in addendo
minuendo equando me diantibus a et n eut x
Siffimicionem in ꝯtinue pporcionalitatis d̃ ads sicut
c add quod est ꝓpositum
cii as quartum tercii uero ad quar tian manor
Quã quinti ad sextum erit ꝓportio primi ad
secunsun maior ꝙͣ quinti ad sr¬
Exontem hic demoserat in ꝑporcionibus hoc ꝯ¬
extibile est in ꝙ̃titatibus oidelicet ꝙ si Due ꝙ̃ti
cates fuerint sibi inuicem equales que cunqi fuetit
ena tatum maior eadem maior erit et reliqua
inpporciomious camen demonstratur /ut s ꝑporcio¬
pporcio a as s sicut /e ad de urio ass si maior¬

Expanded text:
onem diffinitionis incontinue proportionalitatis bis sumptam si k addit super n quod g addat super l et h super m et si k minuit ab n quod g minuat ab l et h ab m et si k est equalis n quod g sit equalis l et h equalis m. Quia igitur g ad l et h ad m similiter se habent in addendo, diminuendo et equando mediantibus k et n erit per diffinitionem incontinue proportionalitatis a ad b sicut c ad d. Quod est propositum tii ad quartum, tertii vero ad quartum maior quam quinti ad sextum, erit proportio primi ad secundum maior quam quinti ad sextum. Quod hic demonstrat in proportionibus, conceptibitates fuerint sibi invicem equales quacumque fuerit una earum maior, eadem maior erit et reliqua. In proportionibus tamen hoc demonstratur: ut si sit proportio a ad b sicut c ad d, c vero ad d sit maior
Abbreviated transcription (Latin):
quia᷑ et s quarum sunt e quenultiplices Set e
posite sunt equades orit ut si d dudãtur secadĩ
T̃dicatem de et e seciui dum quantitatem s quoo ꝑtes
utiobiq sũt nuimero et quantitate equales nimere
quidem ꝑ ypothesi proxter equalitatem multipli¬
cacionis utrobiq quantitate auter ꝑ hãt comunẽ
stientiam quociens oꝑtuit repetitam que erdem
sunt ẽqualia sibi imuitem sunt equalia quia igitur
sinna eo parbous ⁊ estequasis prime ex ꝑtibus
⁊ et secunda secumde et cetere deteris sane qr qͣt
tot partes in d quot in e euit ꝑ primam d huius

Expanded text:
quia a et b quarum sunt eque multiplices d et e quia a et b quarum sunt eque multiplices d et e posite sunt equales erit ut si d dividatur secundum quantitatem a et e secundum quantitatem b quod partes utrobique sint numero et quantitate equales, numero quidem per ypothesim propter equalitatem multiplicationis utrobique, quantitate autem per hanc communem scientiam quotiens oportuerit repetitam: Que eidem sunt equalia sibi invicem sunt equalia. Quia igitur prima ex partibus d est equalis prime ex partibus e et secunda secunde et cetere ceteris. Suntque tot partes in d quot sunt in e, erit per primam huius
Abbreviated transcription (Latin):
stienciam hlr equalis es de demxta igitur harũ
quiumꝰ ep̃ttate he eut Sh equalis elt quare equalis
ꝑ quod est ꝓposicum Si. autem ag sit multiplexc.
ponam ut ebi sit iquemultixlex ẜ erit qi ut prius
ut cociens f sis in hlr quocigus c in ab s totiens
erat eciani in De erit igitur ut priuo Se equalis
s si eed q eli quore sicut ag est multiples e ica
c secundum eundem nuimerum ꝯoueat quantitas
as qptitatem ac secund quãistatem quantitas De
urnetc et secudum quem dh atinet ẜ patet ꝙ¬
comxentur eocium ad illam erit una ꝓporcio Ĩtem
ullius ad ambas ꝓportio una
Dnt Due quatitates a et s equales que ꝯparentur
s quanlibet cerciam ut adc dico y eadem est ꝓpor¬
do di as e sicut s adc ĩremq eadenc adarct
ass Brmum sit ꝓbatur cum eñi e sit ꝯsequens ad
⁊ ptimam et as s terciam ipsa erit in racionre se¬
cunde et quarte sumam igir das de primame
ers s terciam equemultiplices ⁊ sumam f quãlib
ex mũltiplicibus c que est secunda et quarta et

Expanded text:
lis d e. Dempta igitur communi earum quantitate h e erit d h equalis e k, quare equalis f. Quod est propositum. Si autem a g sit multiplex c, ponam ut e k sit eque multiplex f eritque ut prius ut totiens f sit in h k quotiens c in a b. Sed totiens erat etiam in d e, erit igitur ut prius d e equalis h k et d h, e k, quare sicut a g est multiplex c ita m secundum eundem numerum contineat quantitas a b quantitatem c secundum quem quantitas d e continet c et secundum quem d h continet f. Patet qcomparentur, earum ad illam erit una proportio, itemque illius ad ambas proportio una. Sint due quantitates a, b equales que comparentur ad quamlibet tertiam ut ad c. Dico quod eadem est proportio a ad c et b ad c. Itemque eadem c ad a et c ad b. Primum sic probatur: Cum enim c sit consequens ad a primam et ad b tertiam, ipsa erit in ratione secunde et quarte. Sumam igitur d ad a primam et e ad b tertiam eque multiplices et sumam f quamlibet ex multiplicibus c que est secunda et quarta. Et
Abbreviated transcription (Latin):
prostres alie que sunt odẜ et sit ꝓporcio d ad b sic
Rãso s ers ad e sicũt s as ẜ sico ꝙ si a est ma¬
ior e c erit maior ꝑ et si minor minor si equalis eq¬
ualis si xnin est maior erit ꝑ primam partem dͤ
maior erit ⁊ ano d.y e ads et quia ꝑ quersam ꝑ

Expanded text:
tres alie que sint c, d, f et sit proportio a ad b sicut c ad d et b ad e sicut d ad f. Dico quod si a est maior e, c erit maior f, et si minor, minor, et si equalis, equalis. Si enim est maior, erit per primam partem 8 maior erit c ad d quam
Abbreviated transcription (Latin):
setum uerum est eego gpositum Estensiue quoq i der
quem ad modum in premissa sumota euin e ad s
ut e ad d ent ex prima decinre e minor a quare
dx prima parte octaua maior erit d ade ꝙ̃ e as
des ex punntata ꝓporcionalitate est ẽ adc̃ ut
G as digicur ee duodecima a ad e est maior ꝙ̃ s
ad S quod est ꝓpositum

Expanded text:
 Ostensive quoque idem quemadmodum in premissa: sumpta enim e ad b ut c ad d erit ex prima parte 10 e minor a quare ex prima parte 8 maior erit a ad c quam e ad c, sed ex permutata proportionalitate est e ad c ut b ad d, igitur ex 12 a ad c est maior quam b ad d. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
uarum mimierum quarum queq dire sinit secured
ꝓporcionem duccium exprioribus in directe ꝓporcio¬
nate in equa ꝓporcionoite ꝓpercion ales erunt
Semonstiat equam ꝓportionalitatem in quantitatibus
Suorum ordinum in Directe sine ꝑuersim ꝓporcionalita¬
cis nec eciam est necesse ꝙ demonstretue in si cum in

Expanded text:
earum numerum quarum queque due secundum proportionem duarum ex prioribus indirecte proportionate, in equa proportionalitate proportionales erunt. Demonstrat equam proportionalitatem in quantitatibus duorum ordinum indirecte sive perversim proportionalitatis. Nec est necesse quod demonstre
Abbreviated transcription (Latin):
sas d sicud e asẜ sis erat baz d sicut q ad e pa¬
Bi. a prim̃a est maĩor e tercia erit ẽ secunda maior
qquarta et si minor miñor si equalis / equalis quos
est positum Isti autem erranerunt in sua Deion¬
tiationt ꝙ̃ si esset intentio enclidio sit demestiare
storo oppetelet i p̃sum p̃mittere hãc ꝯclusionẽ pro ani¬
cec dente as equam ꝓporcionasitatem s enin ua

Expanded text:
ad d sicut e ad f. Sed erat b ad d sicut a ad c, esi a prima est maior e tertia, erit c secunda maior f quarta, et si minor, minor et si equalis, equalis. Quod est propositum. Isti autem erraverunt in sua demonstratione quia si esset intentio Euclidis sic demonstrare, non oporteret ipsum premittere hanc conclusionem pro antecedente
Abbreviated transcription (Latin):
demostrato modo argnendi qui Sicitur ꝓporcionalitas
ꝑmutata Demonstra illum qui dicitur ꝓporcieralitas dis¬
iũcta Sit itaq ꝓporcio ab ad ut sicud de ad ef dico q
erit ac ad acb sicut dꝭ ad fe sumam eñ għ ad dc
et hlr ad es Icem ml ad dꝭ et ari ad fe equemulcipa¬
ces erit qz per primam huius glr ita mltiplex as sicut
gh est multiplex ac et lu ita multiplex de sicut eun est
mul tixlex Sfꝭ et ideo ꝑ premissas ypocheses gl est
multiplex as sicus ln Se et ponain icerum Ep as¬

Expanded text:
Demonstrato modo arguendi qui dicitur proportionalitas permutata demonstrat illum qui dicitur proportionalitas disiuncta. Sit itaque proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Dico quod erit a c ad c b sicut d f ad f e. Sumam enim g h ad a c et h k ad c b itemque l m ad d f et m n ad f e eque multiplices. Eritque per primam huius g k ita multiplex a b sicut g h est multiplex a c et l n ita multiplex d e sicut l m est multiplex d f. Et ideo per premissas ypotheses g k ita multiplex a b sicut est l n, d e. Ponam i
Abbreviated transcription (Latin):
Di fuerint quotlibet quantitates alie q securdũ
eccium mimerum quarũ queq due ex priorib
qibus q Duabus ex posterioribus ꝑuersim comp¬
ate secundum ꝓporcionem eocium fuerint necesse
est quoqi ut si fuerũt in ꝓportione equalitatis
prioo p̃ma uetia maior el posteuor Emaier
peoma ese maiorem sn autem minor minorẽ

Expanded text:
i fuerint quotlibet quantitates alieque secundum numerum earum quarum queque due ex prioribus quibusque duabus ex posterioribus perversim comparate secundum proportionem earum | fuerint, necesse quoque est ut si fuerint in proportionalitate equalitatis priorum prima ultima maior et posteriorum p
Abbreviated transcription (Latin):
equat equat quare ꝑ diffinicionem in ꝯtinue ꝑportiona¬
litatis erit ꝓporcio as ad bt sicut de ad eẜ quod est
as ef sit erg̃o ꝓporcio d od aliquam aliam quanti¬
tatem sicut as adut que aut eut maior ef aut minõr
si xiñ esset ei equalis ꝯstaret ꝑpositum di ĩtaq p̾mo
maior et sit eg erit q ꝑ premissam dic adcs sicut
Sg ad ge quare da ad ge est sicut Of ad ẜe siq̃

Expanded text:
 diffinitionem incontinue proportionalitatis erit proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Quod est ad e f, sit ergo proportio d e ad aliquam aliam quantitatem sicut a b ad b c que aut erit maior e f aut minor. Si enim esset ei equalis, constaret propositum. Sit itaque primo maior et sit e g eritque per premissam a c ad c b sicut d g ad g e, quare d g ad g e sicut d f ad f e.
Abbreviated transcription (Latin):
tplicibus secũde et quarte equalibus flierint
siimiles uel addicione uel diminucione uel
equalitate eodem ordie sumxpte
Posita supius Siffinicione quãtitatũ ꝯtinus ꝓporciona¬
lium hie pouit diffinitionem inꝯonue ꝓporoonalũ
et est ꝙ quarũlibet & quatuor quantitatum quarum
prime et tercie equemulciplicia sumpta fuerint et iterũ
cercie ⁊ quorte equemlciplicia fuerit q multipler
prime sit se habens ad mulciplex secia de ꝙtun ad
adicionem aut Dimniucionem aut equalitatem sig̃
mulciplex cercie ad muloxlex quarte euit ꝓporcio
prime ecrum ad secundam sicut tercie ad quortam

Expanded text:
et quarte equalibus simul fuerint additione vel diminutione vel equalitate eodem ordine sumpte. Posita superius diffinitione quantitatum continue proportionalium hic ponit diffinitionem incontinue proportionalium et est quod quarumlibet quatuor quantitatum quarum prime et tertie eque multiplicia sumpta fuerint et item secunde et quarte | eque multiplicia fueritque multiplex prime sic se habens ad multiplex secunde quantum ad additionem aut diminutionem aut equalitatem sicut multiplex tertie ad multiplex quarte, erit proportio prime ad secundam sicut tertie a
Abbreviated transcription (Latin):
ba as Se est sicut Se ad eẜ quod est ꝓpositum son¬
iersa qs ꝓporcionalitas quam ex Siffiuicione in ꝯtime
ꝓporcionalitatis de mostranimus in exxonendo xrinc¬
Ira hinus quinti pocest h̃ic qͦ demostrari in direcs
ex ꝑmntata ꝓporcionalitate et q̃ huius ut si sit gporos
a ads sioit cads dico ꝙ erit s̃ ad a sicut E ase
ssumant sec S ad e sicus s ad a et quia le ad s sicie

Expanded text:
a ad a e sicut d c ad c f. Quod est propositum. Conversa quoque proportionalitas, quam ex diffinitione incontinue proportionalitatis demonstravimus in exponendo principia huius quinti, potest hec quoque demonstrari indirecte ex permutata proportionalitate et 9 huius: Ut si sit proportio a ad b sicut c ad d, dico quod erit b ad a sicut d ad c. Sin autem, sit d ad e sicut b ad a et quia
Abbreviated transcription (Latin):
nq et si minuit minuit et si equat equãt ergo per
Sip̾untionem in ꝯoime ꝓporcionalitatis ꝓporoo ac as cs̃
Semonstiat modum argnendi qui dicitur ꝓporcionalitas
ꝯiũcta et est modus quersus prioris ad cuius de mõ¬
seracionem ⁊ esumatur disposicio premisse et remaneant
omres eius xpocheses Excepto ꝙ ponatur esse ꝓporcio
Ac ad bt sicus df ad eẜ dico ꝙ erit ꝓpottio as ad sc
sicus de ad eꝭ sequitur em̃ ex hac ypchesi et alus y

Expanded text:
uat et si equat, equat. Ergo per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio a c ad c b Demonstrat modum arguendi qui dicitur proportionalitas coniuncta et est modus conversus prioris. Ad cuius demonstrationem resumatur dispositio premisse et maneant omnes eius ypotheses excepto quod ponatur esse proportio a c ad c b sicut d f ad f e. Dico quod erit proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Sequitu
Abbreviated transcription (Latin):
numero secundũ quem s ꝯgnetur inc Siuyliter qͤ
numerus secundum quem s ꝯtiretur in e est equalis
numero secundum quem d ꝯcinetur inf erit ꝑ cõmu¬
nem scientiam que est si equalisus e qualia addantur
nuinrerus secumndum quem s ꝯtinetur in Eggregato ex
a et e e qualis numero secundim quem Es ꝯciuetur
in aggregato ex e et f quarr Quare sicut aggregatũ
ex a et e est multiplex ads ita aꝯgregatum exc
multiplicia ad primum uero et tercu multioli¬
cex sumantur equales erunt multiplicex prim
ad secũdum ac multiplex tercii ad quartũ eqmmiltixlicia
suit sex quantitatem abc def sut qr a ads et c

Expanded text:
numero secundum quem d continetur in c. Similiter quoque numerus secundum quem b continetur in e est equalis numero secundum quem d continetur in f. Erit per communem scientiam que est: si equalibus equalia addantur etc. numerus secundum quem b continetur in aggregato ex a et e equalis numero secundum quem d continetur in aggregato ex c et f. Quare sicut aggregatum ex a et e est multiplex ad b ita aggregatum ex c multiplicia, ad primum vero et tertium multiplicationes sumantur equales, erunt multiplex primi ad secundum atque multiplex tertii ad quartum eque multiplicia. Sint 6 quantitates a
Abbreviated transcription (Latin):
ad S eque erit ꝑ premisam e ad ẜ sicud g adh quare¬
H et si mitunt minuit et si equat equat ꝑ Siffinicienẽ
igitur inꝯtinie ꝓporcionalitatis erit a adt sicuds ads
quod est ꝓpositum necesse autem est ut in ꝑmutata ꝓporti¬
onalitate sint ounes quatuor quantitates eiusdem geners¬

Expanded text:
que per premissam e ad f sicut g ad h, quareh, et si minuit, minuit et si equat, equat. Per diffinitionem igitur incontinue proportionalitatis erit a ad c sicut b ad d. Quod est propositum. Necesse est autem ut in permutata proportionalitate sint omnes quatuor quantitates eiusdem gener
Abbreviated transcription (Latin):
cuius uteiq Suorum angulorum quos uasis obcuret
reliquo Su plus existat
Intencio est descubere unum triangulum Quorum equaliũ
Taterum et tercii inequalis cuius utorq angulorum qui
super latus quodd est reliquis in equale consistũt as
cercium Suplus existat ad hoc autem facrendum sumatͥ¬
cima secundi in puncto c ita quod id quod fit ex as
In b̃c sit equale quorto ac facto q puncto di centro sꝑoid
psius quantitatem destubatur circulus d de intra quẽ
d pricon huius coaꝑtetur linea bd equalis luurer ac
Et Pucantur due linee Sa et de dito crcculum tu¬

Expanded text:
quos basis optinet reliquo duplus existat. Intentio est describere unum triangulum duorum equalium laterum | et tertii inequalis cuius uterque angulorum, qui super latus quod est reliquis inequale existunt, ad tertium duplus existat. Ad hoc autem faciendum sumat docet 11 secundi in puncto c ita quod illud quod fit ex b a in b c sit equale quadrato a c. Factoque puncto a centro secundum ipsius quantitatem describatur 150 circulus b d e intra quem per primam huius coaptatur linea b d equalis linee a c et p
Abbreviated transcription (Latin):
as quare ꝑ commnunem scienciam es et fg sũe
equales ad iuuicem demxta igitur ab utiaq eos
ꝓtitate Es erit e equalis Sg et quia dg fuit
ita multiplex ea sicut fd es et ideo sicut ab es qu¬
re et sicis cd as xrit e ꝑ ita multiplex ac sicut tora
eStocius as quod est ꝓpositum
Si fuerint due ꝙͣtitates ad alias Suas eqmul¬
aplices Sueq minores a duabus maioribus utra¬
qr asua multiplicitate sstrahantur erũt Duo
reliqua uarum dem ꝑciũm eqͥmultipłicia aut eis
equalia
Sint q̃uantitates as ade et de adꝭ e quemultiplices
equalis ẜ dico ꝙ duo residua ag et Sh erunt eq¬
ualia Duabus quãtitatibus c et f aut clus equi
netiplicia Sit ergo primo dg equalis e dico ꝙ
i q̃ est iqualis ꝑ sumam enin quãtitatemͤ ẽqualẽ¬

Expanded text:
m scientiam c d et f g sunt equales ad invicem. Dempta igitur ab utraque earum quantitate f d erit c f equalis d g et quia d g fuit ita multiplex a e sicut f d, e b et ideo sicut a b, e b, quare et sicut c d, a b, erit c f ita multiplex a e sicut tota c d totius a b. Quod est nostrumSi fuerint due quantitates ad alias duas eque multiplices dueque minores a duabus maioribus utraque a sua multiplice subtrahantur, erunt duo reliqua earundem partium eque multiplicia aut eis equalia. Sint quantitates a b ad c et d e ad f eque multiplices equalis f. Dico quod duo residua a g et d h erunt equalia duabus quantitatibus c et f aut eis eque multiplicia. Sit ergo primo a g equalis c. Dico quod d h est equalis f. Sumam enim quantitatem e k equal
Abbreviated transcription (Latin):
Isetina quarttates inequales ad unam quãtitatẽ
trorcionentur maior quidem inoorem minore
Dero minorem oxturebit ꝓportionem Ĩlius urio
illas as minorem quidem ꝓporcio maior as
suaiorem uero ꝓportio minor erit
Suit Sue quantitatro mequales det beresie¬

Expanded text:
due quantitates inequales ad unam quantitatem proportionentur, maior quidem maiorem, minor vero minorem optinebit proportionem. Illius vero ad illas ad minorem quidem proportio maior, ad maiorem vero minor erit. Sint due quantitates inequales a et b c si
Abbreviated transcription (Latin):
gr ego ipsim in punctis e et d Sico arcum ed manoren
CRe quatem arcui us et arcum ed minorem esse equase
equases petas ensiem quare cotus angulus acd Supluo
est ad augulum sad et ideo equalis uterq angulorum
as s et ass et quia angulus ac d equalis angulo ade ꝑ
qntã p̾mi propter ed quad ax et ad sunt equales acortio
s circunferenciam erunt dũs anguli d et cranguli acd
equales Duobus angulis det u tuanguli Ads Eigo x. 3i.
prim reliquus angulus a unius est equalis ⁊ eliquo
Tercii arcus es maioris criculi est equalis aici ds xt¬
pencagonum  describere
sit datus circulus abe uolo intra ixsum descubere per

Expanded text:
in punctis e, d. Dico arcum e d maioris esse equalem arcui d b et arcum e d minoris esse equalem equales per 27 eiusdem, quare totalis angulus a e d duplus est ad angulum b a d et ideo equalis | utrique angulorum a b d et a d b. Et quia angulus a e d est equalis angulo a d e per 5 primi propter id quod a e et a d sunt equales a centro ad circumferentiam, erunt duo anguli e et d trianguli a e d equales duobus angulis d et b trianguli a b d. Ergo per 32 primi reliquus antertii arcus e d maioris est equalis arcui d pentagonum describere. Sit datus circulus a b c. Volo intra ipsum describere pe
Abbreviated transcription (Latin):
hot ego ꝯ̃tludam ergo de ads sicut e ad s ꝙ iste
mo dus argnendi uocatus Disiunta pportionalitas
s uersa ꝓportion alitas dicitur quorumlibet coitece¬
dencium aᵈ augmenta sui supra ꝯsequencia
ꝑporcionum uult ꝙ si fuerit ds ads sicut ed add et ex
Hoc egonconclidam ergo d̾is ad d sicut cd adc ꝙ istẽ
mosus arguendi dicatur enersa ꝓporcionasitas
Q qua ꝓporcionalitas dicitur quantitatibus plurimis
positis alus q secundum eũdem numerum ĩn una
ꝓporciore appłicatis ire diorum equali nuimero remo¬
eo utiorimq suoꝵ sumlitu do ꝓporcionum
Diffunt equam ꝓporcionalitatem que ad ꝓbandum ꝓpositũ
a liquie extra sumit et uult ꝙ si sumaotur quotlibet
quantitates ut abt Itemq cotidem alie siue sint eiusde
qpenrus cum primis sue alterius ut def fueruit qr¬
⁊ dicatur A ads sicut Sad e/ et bade sicut e adꝭ
sue ordine quorso ut se dicatur a ad s sicut e ad ẜ et
se sicut S ad e Exhoc ꝯcludatur ergo a adt sicut

Expanded text:
ad b sicut c ad d. Quod iste modus arguendi vocetur disiuncta proportionalitas. ⟨xv⟩ Eversa proportionalitas dicitur quorumlibet antecedentium ad augmenta sui supra consequentia portionum. Vult quod si fuerit a b ad b sicut c d ad d et ex hoc ego concludam ergo a b ad a sicut c d ad c. Quod iste modus arguendi dicatur eversa proportionalitasqua proportionalitas dicitur quantitatibus plurimis propositis aliisque secundum eundem numerum in una proportione applicatis mediorum equali numero remoto utrorumque summorum similitudo proportionum. Diffinit equam proportionalitatem que ad probandum propositum aliquid extra sumit et vult quod si sumantur quotlibet quantitates ut a, b, c itemque totidem alie sive sint eiusdem generis cum primis sive alterius ut d, e, f fuerintq et b ad c sicut e ad f sive ordine converso ut si dicatur a ad b sicut e ad f et b ad c sicut d ad e et ex hoc concludatur ergo a ad c sicut
Abbreviated transcription (Latin):
alcerius minuatur q as utraq iparũ ipsa pors¬
erit reliquũ reliquo acq totum coti equenultiolex
uel sit erit reliquũ tota pors quota totũ tociũs
Sit quatitas as tota pars quantitatis ed quota es
psins ab minuatur as ex quanticate ẽ s et sie
resi diuii fe erit fd equalis ab similiter quoq
mimatur be ex quantitate ab sit qr residiim
ea dico ꝙ quota est pars est quantitas as quãtita¬
tis c s cota ist quantitas de quatitatis cẜ Cum¬

Expanded text:
 ipsarum ipsa pars, reliquum erit reliquo atque totum toti eque multiplex. Vel sic: erit reliquum reliqui tota pars quota totum totius. Sit quantitas a b tota pars quantitatis c d quota e b ipsius a b minuaturque a b ex quantitate c d et sit residuum f c eritque f d equalis a b. Similiter quoque minuatur e b ex quantitate a b sitque residuum e a. Dico quod quota pars est quantitas a b quantitatis c d tota quantitas a e est
Abbreviated transcription (Latin):
Ses ꝙ si sigule singułis suit equales patet̾ ꝓposstũ¬
ꝑhant conmiumem strenciam si equalibus equalia ad¬
Santur cota que fient equalia si antem suit onnes suis
comparibus e quemultixlicex Siuisis uis seamdum
ꝙͣtitatem suarum sas multixlicium erit aggregatum ex
porna pbrte a et prima b et prima c equale ag
partibus quantitatum abt equale eut aggregato ex
Sef sit qr deceteris et quia hec poterit tociens fieri
quotiens s ꝯtinetur in d eut ut equale aggregato
Ix Se ẜ cociens ꝯtineatur in aggregatos lbe quotiens
S ꝯtinetur in a quia ergo quociend d nmmerat d
cocirns aggiegatum ex def numeratat mumeratir
et quinte ad secundam totum q tertie et sexte ad
quartam equemul tixlicia esse conueniẽt

Expanded text:
es, patet proposituhanc communem scientiam: si equalibus equalia addantur, tota quoque erunt equalia. Si autem sint omnes suis comparibus eque multiplices, divisis eis secundum quantitatem suarum submultiplicium erit aggregatum ex prima parte a et prima b et prima c equale aggpartibus quantitatum a, b, c equale erit aggregato ex d, e, f sicque de ceteris. Et quia hoc poterit totiens fieri quotiens d continetur in a, erit ut equale aggregato ex d, e, f totiens contineatur in aggregato ex a, b, c quotiens d continetur in a. Quia ergo quotiens d numerat a totiens aggregatum ex d, e, f numerat et quinte ad secundam totumque tertie et sexte ad quartam eque multiplicia esse conveniet.
Abbreviated transcription (Latin):
in eo ꝙ earum altera maior aut minor est reliqua uel sibi
e qualis non emir solum in ꝙͣtitatibus reperilur ꝓporcio ses
in ponderibus potenciis in sous in ponderibus quidem¬
et potenciis uult plato in chunes essẽ ꝓporcionem ubi eleme¬
torum nimerũ oscendit In soms aucem esse ꝓporcionen
l̃qu et in musita nais ut boecius uult in quarto si quilibet

Expanded text:
m et in eo quod earum altera maior aut minor est reliqua vel sibi m et in eo quod earum altera maior aut minor est reliqua vel sibi equalis. Non enim solum in quantitatibus reperitur proportio, sed in ponderibus, potentiis et sonis. In ponderibus et potentiis vult Plato in Timeo esse proportionem ubi elementorum numerum ostendit. In sonis autem esse proportionem liquet ex musica. Nam ut vult Boetius in qu
Abbreviated transcription (Latin):
sup̃ta suum totum precise ascituit sine dimintiõne
ues augmẽte Et Sicitur suum totum mimerale ꝑ illũ
numerum s quẽ suruitur ad ipsuis tocius ꝯscitutionem
Talem autem portem quam pa multiplicatiuam Dicimꝰ
bic dissiut Cunq suitur cõnuaniter et hec est quelibet
quantitas minor que quotienslibet sumxta suo toto
magis maius aut minus ꝯstituit quam aggorgatiuam
doditinus eo ꝙ cum alia quantitate diuersa suum totũ
hltiplex est maior minoris quando causa minor
mecitur¬
Moc̃is ielatiur dicitur ad totum et in duobus istis extre¬
mis consistit uorum adinuicem relatio et ideo diffuto
miuori extremo diffunt hic manis uocat autem ip¬
sum multiplex propter hoc ꝙ minus ipsum aliquo¬
ciens sumptum ꝯstibiat erunt igitur relature dicta
a Sinuicem porrs et multiplex nam omiis pars sub¬
nultiplex ut patet ꝑ uus Diffinitionem
ꝑporcio est habitudo Duarum rerum eiusdem generis ad imnoe

Expanded text:
sumpta suum totum constituit precise sine diminutione sumpta suum totum constituit precise sine diminutione vel augmento. Et dicitur suum totum numerare per illum numerum secundum quem sumitur ad ipsius totius constitutionem, talem autem partem quam multiplicativam dicimus hic diffinit. Quandoque sumitur communiter et hec est quelibet quantitas | minor que quotienscumque sumpta suo toto minus aut maius constituit. Quam aggregativam dicimus eo quod cum alia quantitate diversa totum suum ltiplex est maior minoris, quando eam minor metitur. Pars relative dicitur ad totum et in istis duobus extremis consistit eorum ad invicem relatio et ideo diffinito minori extremo diffinit hic maius. Vocat autem ipsum multiplex propter hoc quod minus ipsum aliquotiens sumptum constituat. Erunt igitur relative dicta ad invicem pars et multiplex. Nam omnis pars submultiplex ut patet per eius diffinitionemhabitudo duarum rerum eiusdem generis ad invice
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ hoc instrbete omrem figuram cuius latrrũ nimerꝰ
Est pariter par Et per xentagenu quoqi stimus
Sipsum enm stientur figure io laterum et so et
ominum ꝯtinue Duxlatorum lecterum cetercrum autẽ
siguraerum de quibus ista non docet ul que per
has non habentur difficilis est sciencia et parum
dotilis ut sunt optagona nonagona undecagona Quod
si sciremus criangulam duum equalium laterum de¬
ignare cuius uterq angulorum ad basum criplus ess
a d reliquuni sciemus eptagonum circulo inscrbere Qruc̃e
i uterq qua druxlus esset ad reliquum stiremus
nonogonum et si quintuplus un decagonum idem¬
quoq in ceteris figirus imꝑium laterum posito utioq
angulorum ad basim multiplici ad reliquum per eum
iumerum qui est medietas maxiim paris sus inpori
Ars est quantitas quantitatis minor maioris
cum minor maiorem numeret
Pois quandoq sumitur ꝓprie et hec est que alicrens

Expanded text:
per hoc inscribere omnem figuram cuius laterum numerus per hoc inscribere omnem figuram cuius laterum numerus est pariter par. Per pentagonum quoque sciemus Per ipsum enim scientur figure 30 et 60 et omnium continue duplorum laterum. Ceterarum autem figurarum de quibus ista non docet vel que per has non habentur, difficilis est scientia et parum utilis ut sunt eptagona, nonagona, undecagona. Quod si scriremus triangulum duum equalium laterum designare cuius uterque angulorum ad basim triplus esset ad reliquum, sciremus eptagonum ut supra pentagonum circulo inscribere. Quod si uterque quadruplus esset ad reliquum, sciremus nonagonum, et si quintuplus, undecagonum. Idemque in ceteris figuris imparium laterum posito utroque angulorum ad basim multiplici ad reliquum per eum numerum qui est medietas maximi paris sub impari ars est quantitas quantitatis minor maioris, cum minor maiorem numerat. Pars quandoque sumitur proprie et hec est que aliquotiens
Abbreviated transcription (Latin):
cile ꝑficies Et nota ꝙ quancunq figuram xquilateran
crrcule stimus instribere duplo plurium laterum circulo¬
strsere et gercunstaibere et ipsi tuculum Siuisis xĩ
arcibus quibus latera xeius que stitur instribi sbte¬
Sundicur per xqualia et apunctis me dus add exti¬
mitates laterum ipsus figure suctis liueis fer¬
mtra ipsum circulum sigura Duplo plurium laterũd
que erit equilateia ꝑ uicesimũ octanum tercii ergo d
equianguoa h̃ic unim demonstiatum est supia itͫ
giius ꝙca sigura equilatera circulo instuxta est
eciam equiangula et quia hanc cnrculo sciuis
instusere sciemus cetera tra per duodecunam et¬
instribire cuangulum equilaterum stiemus eciãm etiam
Pei hoc exagonum et pir exagonum Quodecagonũ
ec ꝑ duodecagonum fignram ꝑ rxͫ laterum et see
infintum Duplando/ Et licet ꝑ triangilum posfit
ut dixinus instribi exagonus posuit hic tñ ꝓp̃am
De mostrationem exqua sequitur porisina ꝑutile
Et sumliter q scimũs inscribere quartum stiemus

Expanded text:
itio⟩. Et nota quod quamcumque figuram equilateram circulo scimus inscribere duplo plurium laterum scibere et circumscribere et ipsi circulum. Divisis enim arcubus quibus latera eius que scitur inscribi subtenduntur per equalia et a punctis mediis ad extremitates laterum ipsius figure ductis lineis fiet intra circulum figura duplo plurium laterum que erit equilatera per 28 tertii, ergo et equiangula. Hoc enim demonstratis figura equilatera circulo inscripta est etiam equiangula. Et quia hanc circulo scimus inscribere, sciemus cetera tria per 12, 13 einscribere triangulum equilaterum, sciemus per hoc etiam et exagonum et per exagonum duodecagonum ac per duodecagonum figuram 24 basium laterum et sic in infinitum duplando. Et licet per triangulum possit ut diximus inscribi exagonus, posuit tamex qua porisma perutile. Et similiter quia scimus inscribere quadratum, sciemus
Abbreviated transcription (Latin):
naturau i hcinua ꝓporcionr habet naturam suroficio
ro ꝙ set exmultixlicacione De nominacioris Duarũ
priarum ise onre autem o ex multyolicatione
Riuee inlineam pros ncitier naturam ht̃ suxfitre si
nise quidm sie quasrati esi uero in alteram parre
Quib in ꝯtina proportiore Suo me dia interxonãtir
naturam habet socsi quia ꝑuxint ex mul tiplitatio¬
ne senominacionis Suorum liuearum xrimarum
xrnno inse exqua mulciplicatione pducitur suꝑficies
Diide in pro ductum ex qua mrultiolicatione ꝑducit᷑
dl dium sine corxus om̃ie eñt ꝙ es mul tiolicatione
Intemallum et gño naticram sbuplicis Dimensiouis sux
sorex incerallum et habens natutam grue Dimensi¬
ois ut socdi ec quia Simensiones ulteriner non
donoceunt ideo non Siffunt ꝓporcionem ꝯtentam pater
Axtiema ꝓporciõnalitatis et quiqi eermimns̃ aoxlonbi

Expanded text:
o quod fit ex multiplicatione denominationis duarum primarum in se. Omne autem quod ex multiplicatione linee in lineam producitur, naturam habet superficiei, si in se quidem quadrati, si vero in alteram parte quibus in continua proportione duo media interponuntur naturam habet solidi, quia provenit ex multiplicatione denominationis duarum primarum primo in se ex qua multiplicatione producitur superficies, deinde in productum ex qua multiplicatione producitur solidum sive corpus. Omne etenim quod ex multiplicatione intervallum et habens naturam duplicis dimensionis ut siplex intervallum et habens naturam trine dimensionis ut solidi. Et quia dimensiones ulterius non procedunt, ideo non diffinivit proportionem contentam inter extremos proportionalitatis in 5 term
Abbreviated transcription (Latin):
ad secundam sicut terciam as quartam quos est¬
in equando aut addendo aut minuendo quarum equa
ue Diuniuendo quod est ecicon multixlices prime
in radem ꝓporcione se habere ad multiplites ͨ in qua
in ultiplices ⁊ se habent ad multixlices xᵈ ꝙ si hoc
eciomi alicubi Sissonat in imatixlicibus dico non esse
ꝯporcionem prime ad secundam sicut tercie ad quartã
exocedere se cundam quã terciam excedere quartam q
aliqua ex multiplicibus priiue ad dit suxer aliquam.
ex multiplicitatibus secunde aliqua ex mul trplicitatib
sumxta secun drm nuimerationem multipligo 2ͤ¬

Expanded text:
ad secundam et tertiam ad quartam sin equando aut addendo aut minuendo quarum omnesaut minuendo, quod est, etiam multiplices prime in eadem proportione se habere ad multiplices secunde in qua multiplices tertie se habent ad multiplices quarte. Quod si hoc alicubi dissonat in multiplicibus, dico non esse proportionem prime ad secundam sicut tertie ad quartam. excedere secundam quam tertia excedit quartam, quarum aliqua ex multiplicibus prime addit super aliquam ex multiplicibus secunde aliqua ex multiplicibus tertie sumpta secundum numerationem multipli
Abbreviated transcription (Latin):
cixliplices esse ꝯtinue ꝑporcionales ꝙ si hic alieubi
In multix licibus Dissonat ras dico nõ esse ꝯtinue
proporcionales Quod autem dicit in serta diffuin¬
cione quantitates que Dicunt esse secund pportionẽ
unam p̃ma ad secundam et cercia ad quartam

Expanded text:
tiplices esse continue proportionales. Quod si hoc alicubi in multiplicibus dissonat, eas dico non esse continue proportionales. Quod autem dicit in sexta diffinitione: Quantitates que dicuntur esse secundum proportionem unam prima ad secundam et tertia a
Abbreviated transcription (Latin):
Sunt autem quasi species quasi quidam modi arge¬
endi diffrut primo ergo quersam porcionalitatem ꝓmu¬
cacan in quibus moirent sequencia ⁊ ancedencia eadem
secun dum sbstanciam quod non est in disiũcta ꝯiũtta
aut euersa ⁊ inquibus nichil extra sumitur ut in equa
docat autem autecedens primũ extremum ꝓporcionis
ꝯsequens uero uocat secundum / uult itaq ꝑ hant
Siffuncionem ꝙy si fuerit ꝓportio d ad s sicut c ad d̾
ex hot ego ꝯcluuddam ergo b ad a sicit S adc uidelicet
ria sure conersa Si autem sit argnam d ad l sicut
Cad d ergo a adc sicut s ad d ui delicet ut ambo.
ex crema prime ꝓportionis fiant antebedentia et ambo
arguendi fit ancecedens secunde ꝓporcionis ꝯsequeus
et ꝯsequens prime as
antecedens cũ cũsequente ad consequens set secundum
antrcedens ꝯsequente ad ꝯsequens
Diffunt ꝯuinctam disiutictam et euersam in quibus rc̃
ipsio secundum substanciam et uillt ꝙ si ita fuerit t¬

Expanded text:
Sunt autem hee species quasi quidam modi arguendi. Diffinit ergo primo conversam proportionalitatem et permutatam, in quibus manent antecedentia et consequentia eadem secundum substantiam, quod non est in disiuncta, coniuncta aut eversa et in quibus nihil extra sumitur ut in equa. Vocat autem antecedens primum extremum proportionis, consequens vero vocat secundum. Vult itaque per hanc diffinitionem quod si fuerit proportio a ad b sicut c ad d et ex hoc ego concludam: ergo b ad a sicut d ad c videlicet rio sive conversa. Si autem sic arguam a ad b sicut c ad d, | ergo a ad c sicut b ad d videlicet ut ambo extrema prime proportionis fiant antecedentia et ambo arguendi fit antecedens secunde proportionis consequens et consequens prime antantecedens cum consequente ad consequens, sic etiam antecedens cum consequente ad consequens. Diffinit coniunctam et disiunctam et eversam in quibus etiam idem secundum substantiam. Et vult
Abbreviated transcription (Latin):
mulcixlex quarte nec unquam ꝯtingit hoc ⁊ exire
quini sit maior ꝓporcio prirre as secundam quõ ter¬
oc ad quartam ut demostrabimus infra suxra de¬
cimũ hiius possunt autem esse quantitates imꝓpor¬
cionales Siuersorum generum situt et qũãtitatis
reut sunt in ꝯtinua ꝓporcionabilitate ut si dicatur
maior est gporçio d as s ꝙͣ sade
N osꝙͣ Siffimint auctor gportionolitatem et quãtitates
ꝓporcionales et impporcionales osten die quis sie mniminus
mnnerus terminorum inter quos ꝓporcionalitus potest asiste
mariitmn autem poinit quia illum nou quenit sumere

Expanded text:
multiplex quarte. Nec usquam contingit | hoc reperire quin sit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam ut demonstrabimus infra supra decimam huius. Possunt autem esse hee quantitates inproportionales diversorum generum sicut et quantitates sicut sunt in continua proportionalitate ut si dicatur maior est proportio a ad b quam proportionem et proportionalitatem et quantitates proportionales et inproportionales, ostendit quid sit minimus numerus terminorum inter quos proportionalitas potest consistere. Maximum autem non ponit quia illum non contingit sumere.
Abbreviated transcription (Latin):
es quate  multixlicata et sit semxer ut termii
sne Snobus plirres multixlicibus siue ut multitu¬
Sines sint equales medus extiemis interpositis¬
E⁊ ⁊ noca eciam ꝙ in ꝓporcionalitate continua extirmorum
gporcio producitur ex ounibus ꝓportiomibus interme¬
Bus Ex pre Digis apparet ꝙ ꝓpoacio xxtxemorum
icrime ꝑporcionalitatis in cubus terminis ꝯstiente

Expanded text:
terminis quater et sic semper ut termini sint duobus plures multiplicationibus sive ut multiplicationes sint equales mediis extremis interpositis. Nota etiam | quod in proportionalitate continua extremorum proportio producitur ex omnibus proportionibus intermediis. Ex predictis apparet quod proportio extremorum continue proportionalitatis