comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ut sicunsum g̃ se quia ex a ms fit e sequitur quoqi ꝑ
rasdem et codem medo ut ẽ nimeret b Esto rigo ꝙ se¬
cundum ħ ec quoniam nursas ex a inse fit s necesse
est iterum ꝑ easdem At nuurera a s pesitum erat non
iumerare g̃ ergo accidit Imxesibile

Expanded text:
fit c, sequitur quoque per easdem et eodem modo ut e numerat b, esto ergo quod secundum h et quoniam rursus ex a in se fit b, necesse est iterum per easdem ut e numerat a. Sed positum erat non numerare, ergo accidit impossibile
Abbreviated transcription (Latin):
ia. eiusdem / aet ẜ sunt suꝑficialed et simĩles quod est
ꝓpositum ꝑruua parrs correlauiĩ pacet ꝑ premissam
suuit uuyi onnes tetragoni suꝑficiales sumles Pecĩda
xatet ex hat cum sit solus tetiagonus suinlis tetiageno
Terçia pars patet ex xrima ixsius correlarii parte a
descruccione consequentis. Quarca uero patet ex eis¬
Di numerus cubus in se ipsum Sucatur qui inde
Producetur erit cubus
Sit a cubus usto ex quo in se ducto fiat s dico esse ẜ cubũ
sit ennũ ⁊ latus cubitum a ex c uero in se fiat s uater
itaq ꝙ exc ĩn d fiet s simnt ita unitas eda continue
porcionales quod ex is. aͥ. et presentibũ ypotesibue

Expanded text:
nt superficiales similes. | Quod est propositum. Prima pars corollarii patet per premissam. Sunt enim omnes tetragoni superficiales similes. Secunda patet ex hac cum sit solus tetragonus similis tetragono. Tertia pars patet ex prima ipsius corollarii parte a destructione consequentis. Quarta vero patet ex eiuss. ∗∗∗ ⟨IX.⟩3 Si numerus cubus in se ipsum ducatur, qui inde producetur erit cubus. Sit a cubus ex quo in se ducto fiat b. Dico b esse cubum. Sit enim c latus cubicum a, ex c vero in se fiat d. Patet itaque quod ex c in d fit a. Sint igitur unitas, c, d, a continue proportionales quod ex 18 septimi et pr
Abbreviated transcription (Latin):
Si numerus cubus in numerum aliũ ducatur
fuerit q ꝑ ductus cubus in quem dugus est
non cubus Sucto q cubo in numerum aliquemi si
fuerit qui inde ꝑ ducitur non cubus in quem ille
Sit euin ex a cubo in ẜ numerum ꝑ ductus c eubus
Sico b esse cubucyi fiãt enin d ex a inse qui d per
⁊ sicut d adç est qr a cubus si et d et ⁊̃ cubi erit x
⁊I. d. u cubus quod est p̃positum/ Prima pors correla¬
rii patet ex hac .7. adescrucaione ꝯsequentis hecũda
x xremissam Similiter a descruccione consequentis
Si ex ductu cuiusdam numeri in se ipsum cubus
ꝑ ducatur eum esse cubum necessario probatur
dit ut ex a in se fiat ẜ sit qr s cubus/ dico a essr
cubum fiat xum xx c ĩna s eutq per dissinicionẽ
Sie a nimerus compositus qui ducarur in s et pue¬
mat ẽ dico e esse numerum solidum Cum eniñ a sit
comxosinio numeratus as aliquo nuurers qui sit Si

Expanded text:
Si numerus cubus in numerum alium ducatur fueritque productus cubus, in quem ductus est non cubus. Ductoque cubo in numerum aliquem si fuerit qui inde producitur non cubus, in quem ille Sit enim ex a cubo in b numerum productus c cubus. Dico b esse cubum. Fiat enim d ex a in se qui per mi a ad b sicut d ad c estque a cubus, sed et d et c cubi, erit per 23 octavi b cubus. Quod est propositum. Prima pars corollarii patet ex hac 5 a destructione consequentis. Secunda per premissam similiter a destructione consequentis. ∗∗∗ ⟨IX.⟩6 Si ex ductu cuiusdam numeri in se ipsum cubus producatur, eum esse cubum necessario comprobatur. | Sit ut ex a in se fiat b cubus. Dico ergo a esse cubum. Fiat enim c ex a in b eritque ex diffinitione Sit a numerus compositus qui ducatur in b et proveniat c. Dico c esse numerum solidum. Cum enim a sit compositus, numeratur ab aliquo numero qui sit d
Abbreviated transcription (Latin):
dr numrerus est qui potest in duo equalia
di non potest addit q supra parẽ unita
cem poritez por est quem cunca pares eum mu¬
merantes paribus uicibus numerant Diter ĩmxar¬
est quem cunci pares enm muerantes in xib
uicibus nunrerant pariter par et mipenter est
quem cuncti pares xum numerantes / quiden
poribus quidam mmxaribus uicibus nuimrerant
⁊mꝑiter impar est quem cuncti impares eum
mimerantes imxoribus uicibus numerooit ꝑ
fectus numeriu appellatur qui onnibus portib
suis quibus inimeratir est equalis/ habumdans
Sicitr qui ii ounbus suis partibus minor est

Expanded text:
r numerus est, qui potest in duo equalia di non potest additque 5 supra parem unitatem. ⟨iii⟩ Pariter par est, quem cuncti pares eum numerantes paribus vicibus numerantest, quem cuncti pares eum numerantes imparibus vicibus numerant. ⟨v⟩ Pariter par et impariter est, quem pares eum | numerantes quidam paribus, quidam imparibus vicibus numerant. ⟨vi⟩ Impariter impar est, quem cuncti impares eum numerantes imparibus vicibus numerant. ⟨vii⟩ Perfectus numerus appellatur, qui omnibus partibus suis quibus numeratur est equalis. ⟨viii⟩ Habundans dicitur qui omnibus suis partibus mi
Abbreviated transcription (Latin):
g fuerint iumeri ab uintate ꝯtume ꝑporcionales
certius as unitate eut quadratus ac deidexo uno
cuons ac denicexs dnobui semper intermissis Itẽ¬
ꝙ  sptiumus as uitate est qua dratud tubris
Ie deuiceps .q. semper intermissis quꝰ diatus cubus
contimio sequitier

Expanded text:
 fuerint numeri ab unitate continue proportionales, tertius ab unitate erit quadratus ac deinceps uno cubus ac deinceps duobus semper intermissis. Itemque septimus ab unitate est quadratus cubicus ac deinceps quinque semper intermissis quadratus cubicus c
Abbreviated transcription (Latin):
cubitum et sumliter i quãdoq nuimerud ynt̾iisset ĩ dẽ¬
quoq in ceteris simplicire aut dico cuius locus as
uinitate addit super senanum uẽ quenlibet nuiltixli¬
essi quartum cubitum quartũ quidem quomam locus
eius impar Cubum autem quoniam suger multiplidem tunain ad¬
Sit uintatem quippe senatii multiplices cunctos trinarii necesse
est esse muloplioei Gue autem ꝑposita sunt fit consteait Ese

Expanded text:
cubicum et similiter n quinque numeris intermissis idemque in ceteris. Simpliciter autem dico cuius locus ab unitate addit super senarium vel quemlibet multipliesse quadratum cubicum: quadratum quidem quoniam eius locus impar, cubum autem quoniam super multiplicem ternarii addit unitatem quippe senarii multiplices cunctos ternarii necesse est esse multiplices. Que autem proposita sunt, sic constant. E
Abbreviated transcription (Latin):
Si ex Ductu alterius pn al rerum cetragonus ꝑ¬
Siccatur duo quilibet numeri sunt suꝑficiales
in tetragonum ducatur qui ex qus ꝑ ducetur te¬
tiagonũ esse si uero ex duccu tetiagom in aliꝰ¬
uem numerum eetragons ꝓducatir illum muidẽ¬
rum aliquem esse tetiagonum ĩtem si ex Dueu

Expanded text:
Si ex ductu alterius in alterum tetragonus producatur, duo quilibet numeri sunt superficialein tetragonum ducatur, qui ex hiis producetur tetragonum esse. Si vero ex ductu tetragoni in numerum aliquem tetragonus producatur, illum numerum ali
Abbreviated transcription (Latin):
Sint Suo numeri a et s in ꝓporcione duorum quartond
qui sunt c et d sic q a uel s quartus Dico ⁊ eliquũ
e Re quartum Cum unint et d sinit quadrati sequit᷑
eos suꝑticiales esse sumiles ideo q ꝓ as. cadet unus mu
sit sicud cubi ad cubum alc̾uter fuerit cubus alterũ
cubum esse
diñt uo nimeri ⁊ et u in ꝓportione Suorum cuborumm
optalterum sicut ꝓportio quarti ad quartum
dint a et e supfitales et similes dico ꝙ unũs ad
alcerũ est porcio sicut quarti as quaritum eut em̃¬
in continua ꝓportione qui sit c sumptis ieaq 3. nunims
in ꝓporcionr dorum acs qui sint def erunt ꝑ corcelanũ¬
sucundes humo s et ẜ quadiati et quia ⁊ equã ꝓ¬
porcionalitatem est a ad s sicut d ad

Expanded text:
m quadratorum qui sunt c et d sitque a vel b quadratus. Dico reliquum esse quadratum. Cum enim c et d sint quadrati, sequitur eos esse superficiales similes ideoque per 16 cadet unus medsit sicut cubi ad cubum alteruter fuerit cubus, alterum cubicum esse. Sint duo numeri a et b in proportione duorum cuborum ad alterum sicut proportio quadrati ad quadratum. Sint a et b superficiales et similes. Diut quadrati ad quadratum. Erit ein continua proportionalitate qui sit c. Sumptis itaque tribus minimis in proportione eorum qui sint d, e, f erunt per corollarium 2 d et f quadrati et quia per equam proportionalitatem est a ad b sicut d a
Abbreviated transcription (Latin):
a et e Suo medii secundum porcionalitatem ꝯtinuam
ꝑ. Sᵈ. 8 . cum igitur ex ypothesus sit a cubus erit ꝑ .ri.
Si cubus in alium cubum Ducatur qui In de ꝑ¬
Sucetur erit cubue
Dint a et b due cubi fiat q e exa ins/ dico ⁊ esse cubũ
fiat xuiii d ex a pise eut q ꝑ premissam d cubus et¬

Expanded text:
portionalitatem per 8 octavi. Cum282 igitur ex ypothesi sit a cubus, erit per 21 . ∗∗∗ ⟨IX.⟩4 Si cubus in alium cubum ducatur, qui inde producetur erit cubus. Sint a et b cubi fiatque c ex a in b. Dico c esse cubum. Fiat eni
Abbreviated transcription (Latin):
ia Bi friorme sno mimreri suꝑficiales sum les qͥ
ex Succu alterius in alcerum pducetur nume¬
rum qua dracum esse necesse est
Sint a et s suꝑficiales et sumles ex quorum multitu
quia intera et s cadit unus nre dius secundum ꝯtinũã

Expanded text:
i fuerint duo numeri superficiales similes, qui ex ductu alterius in alterum producetur numerum quadratum esse necesse est. Sint a et b superficiales similes ex quorum multiplicut a ad b. Et quia inter a et b cadit unus medius secundum continuam
Abbreviated transcription (Latin):
contuue eis interesse erit q ꝓporcio unuis
nimeri ad alterum sibi sumlem uelud unius
lateris sui ad latus alterius se respiciend dixli
erit q ex quersionẽ difuntionis nume rorum siuliũ
c as e sicut d ad ẜ constat cuitem ꝙ exc in d fic
Set ex e in f s fiat itaqr g ex e in d̃ erit itcio
di9. A. a ad g sicud̃ e ad e et perad emsdem
q̃ as ẜ sicud d ad ẜ quocie a ad g sicut g ad se
itaq g continua ꝓporcionalitate medius inter a et
s quos est ꝓpositum Correlatiuud autem patet eut

Expanded text:
m eis interesse, eritque proportio unius numeri ad alterum sibi similem velut unius lateris sui ad latus alterius se respiciens proporEritque ex conversione diffinitionis numerorum similium c ad e sicut d ad f. Constat autem quod ex c in d fiat a et ex e in f, b, fiat itaque g ex e in d eritque per 19 septimi a ad g sicut c ad e et per 18 eiusdem g ad b sicut d ad f, quare a ad g sicut g ad b. Est itaque g continua proportionalitate medius inter a et b. Quod est propositum. Corollarium autem pa
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓportionx Ĩtaq si a numerat bidem a ꝑ. a. huius m¬
merabit q quare et cd Est enin e ad d sicut a ads
constat ergo p̃ma pars Conuersa pacet sicus ꝯt̾sa
prioris nair si e numerat d a queez numerabit q
que stilicet ħ si nurerat necesse est ut numeret s¬
Si numeius quadratus quendam alium qua¬
Sracum non numeret nec latus suum latus
illuis numrerabit si uero latus suum latus illius
non numeret quadratum id quadratum illus nõ
numerare necesse cõuincitur
h̃oc i porns uegationes ꝯuerti que affirmanombus quas

Expanded text:
proportione. Itaque si a numerat b, idem per 7 huius numerabit h, quare et c, d, est enim c ad d sicut a ad h. Constat igitur prima pars. Conversa patet, sicut conversa prioris. Nam si c numerat d, a quoque numerabit h quem si numerat necesse est ut numeret Si numerus quadratus quendam alium quadratum non numeret, nec latus suum latus illius numerabit. Si vero latus suum latus illius non numeret, quadratus is qua|dratum illum non numerare ex necessitate convincitur. Hec 15 proponit negationes converti, que aff
Abbreviated transcription (Latin):
mie pporcionales in pporcione ⁊ ad s Sit ita a nune¬
⁊ et b idem ipse a per. Aᵐ huius iumerabit e quare
c d quod est ꝓpositum primũ Conuersa sit patet s.
c numerat S a numerabit e propter quod ꝓporcio
a ad e sicus c ad d Et si numerat e ipse numerasͤ
labis alterius numerabit Si uero latus suum lãs
alterius mim numeret cubus numerabit cubum
S. Duo mureri ab cubi latera q xorum e et d. Dico
ꝙ se a numerat s e quoq nuerasod ee ecruero
Dicatur enui cin se et fiat e d quoq in se et fiat
f sonstet quoqr ꝙ exc / in e fiat a et ex d inssit
b fiat ĩtaq g ex c iiid erunt q ꝑ io̾ et .i9. seꝑtum¬

Expanded text:
e proportionales in proportione c ad d. Si igitur a numerat b, idem ipse per 7 huius numerabit e, quare et c, d. Quod est primum. Conversa sic patet: Si c numerat d, a numerabit e propter id quod proportio a ad e sicut c ad d. Et si numerat e, ipse numerabilatus alterius numerabit. Si vero latus suum latus alterius numeret, cubus numerabit cubum. Sint duo numeri a et b cubi lateraque eorum c et d. Dico quod si a numerat b, c quoque numerabit d et econverso. Ducatur c in se et fiat e, d quoque in se et fiat f. Constat igitur quod ex c in e fit a et ex d in f, b. Fiat itaque g ex c in d eruntque per
Abbreviated transcription (Latin):
merent a et d equaliter ꝙ sit secundum u Et ĩterum
e et b equaliter ꝙ sit secundum ꝑ quia ĩta ex ħ in lr
fit e et ex e in u fit a sequitur ꝑ diffinitionem ut a
m en fit g et ex g in ꝑ s sequitur eciam ut g sit solibus
et eius lateia lcop ĩpsos autri esse similes sit constabit
et si as a ⁊̃ difsiuĩtionem maifestum est a et s essi
sinules quod est ppositum

Expanded text:
merent a et d equaliter, quod sit secundum n. Et item c et b equaliter quod sit secundum p. Quia igitur ex h in k fit e et ex e in n fit a, sequitur per diffinitionem ut a l in m fit g et ex g in p, b, sequitur etiam ut b sit solidus et eius latera l, m, p. Ipsos autem esse similes, sic constabit:et k ad m, per diffinitionem manifestum est a et b esse similes. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
S si non est mninimus ponat᷑. ergo ħ quẽ qi mu¬
merant a et b numerabit dixsum ꝑ correlatinũ
premisse e per idem quoq correlatiuũ ẜ name¬
rabit ipsum s et g maior itaq numerat mino¬
rem quod est im possibile, hec et xremissaxo¬

Expanded text:
Sed si non est minimus, ponatur ergo h quem quia nuSed si non est minimus, ponatur ergo h quem quia numerant a et b, numerabit etiam ipsum per corollarium premisse e. Per idem quoque corollarium numerabit ipsum f, sed et g maior itaque numerat minorem. Quod est impossibile. ⟨Campa
Abbreviated transcription (Latin):
et ẜ ing fiat idem numerus qui sit ⁊ quem dico
esse miminũ nmeratum as a et b aliter eñ fit
ẜ quem numerent a et s secundum g et h eritq
ꝑ secundam partem ro s as g sicud a ads et sig
c as d ꝑ id. ergo erit /c ad h sicut e ad f cũ
itaq ꝑᷝriᵈ ⁊ numeret h e immerabit ẜ maior
minorem quia ergo hoc est imposibile astat uerĩ
⁊ant quenlibet ab eis numeratum numerare
Sunt ꝓpositi numeri ab ed uolo ĩnuenre mim
numr nimeratum ab eid. Inuenio taqr pmo nr¬
nimũ imimeratum ab a et s ꝙ si a nuimerat s
non erit alius cͣ u/ Si autem non numerat eum
nec equerso sie ipsi ꝯtra se p̃mi qui ex uno
in alterum pueuit erit minimꝰ ⁊ il 2. et ꝑ¬
premissam sx si suit cõmunicantes sumãtur ini¬
nun In eorud ꝓportione ut docet .zxͣ. et maior¬
ex a et s in minorem eorum stilicet mnimuorid¬
ab ris ꝑ premissam Simili quoq modo Inue¬
matur ininimꝰ nuimeratus ab s et c qui sit f
Qxeum onres ixsum numerent patet ꝑ cõceptionẽ

Expanded text:
et b in c fiat idem numerus qui sit e quem dico esse minimum numeratum ab a et b. Aliter enim sit f quem numerent a et b secundum g et h eritque per secundam partem 20 h ad g sicut a ad b et sicut c ad d et per 18 erit c ad h sicut e ad f. Cum itaque per 21 c numeret h, e numerabit f, maior minorem. Quia ergo hoc est impossibile, constat verant quemlibet ab eis numeratum numerare. Sint propositi numeri a, b, c, d. Volo invenire minimum numerum numeratum ab eis. Invenio itaque primo minimum numeratum ab a et b. Quod si a numerat b, non erit alius quam b. Si autem non numerat eum nec econverso, si ipsi sunt contra se primi qui ex uno in alterum provenit, erit minimus per 23 et premissam. Quod si sunt communicantes, sumantur minimi in eorum proportione, ut docet 34, et ex maiori in minorem eorum multiplicato provab eis per premissam. Simili quoque modo inveniatur minimus numeratus ab e et c qui sit f. enim omnes ipsum numerent, patet per conceptionem.
Abbreviated transcription (Latin):
Suos e et f secundum doctiiam xremisse Iucemõt᷑
cocidem ꝯtiuue ꝓporcionalitates mimiu quod sunt iut¬
nreri ꝑpositi  Drimo quidem tres qui sunt ghlr deinde
ꝑ addicionem unius quousqr fant toc quod sunt numen
nimreris secundum ixsas pporciones cõtinatin ꝓpor¬
cion alibus Inuenrre
Assignare ꝓportiones in miiius terminis inuemantur
ut docet .ixͣ. . Suit ꝙ p̾ma inte a et secinda mter
⁊ et d tertia inter e et ẜ sit quoq de xlursus si fue¬
rint plures uolo has ꝓporciõnes in quatuo miniiuis
mimeris ꝯtinare/ Sumo ergo ꝑ 3s. aͬ g miniuiun
quem nnmxiãt s et c et quociens numerat epsum
g tociend d nimeret s de cocens quoꝙ numeret l¬

Expanded text:
m doctrinam premisse inveniantur totidem continue proportionales et minimi quot sunt numeri propositi. Primo quidem tres qui sunt g, h, k, deinde r additionem unius quousque fiant tot quot sunt numeri numeris secundum ipsas proportiones continuatim proportionalibus invenire. Assignate proportiones in minimis terminis inveniantur ut docet 34 septimi. Sintque prima inter a et b, secunda inter c et d, tertia inter e et f, sit quoque de pluribus si fuerint plures. Volo has proportiones in 4 minimis numeris continuare. Sumo ergo g minimum quem numerant b et c et quotiens b numerat ipsum g totiens a numeret h, d
Abbreviated transcription (Latin):
a et s interxositi quod est ppositum Correlarut aut
patet cum ꝓporcio a ads sit ꝑ diffimcionem sicut
S ad n tuhxlicata que est radem illi qͥue et ⁊̃ ad
numeri interiacent quilibet duo numeri solidi
hec est ꝯitersa premisse ut si inter a et b sunt duo

Expanded text:
ositi. Quod est propositum. Corollarium autem patet cum proportio a ad b sit per diffinitionem sicut a ad n triplicata que est eadem illi que est c ad fnumeri interiacent, quilibet duo numeri solidi Hec est conversa premisse. Ut si inter a
Abbreviated transcription (Latin):
equalis a et ꝑl mamfestum antem ex secnda hmis
p eef iu e fit li et ex eadem ẜ in li ꝑ ꝑ diffun croneos
igitur eius quod est multixlicari ent ꝭ inli s quoq
ix quociens uutas in f ĩtaq unituis flix sunt
concume ꝓporcionales Similiter autem eocon unitas
egl sumxtis i ꝯuur a et b loco c et x sibi equa lũ
⁊runt inter a et unitatem g et e et inters et
uintatem li et ẜ ꝯtinue ꝑporcionales totidem quot sũe
Si inter utrunq gorum et unitatem quotli¬
det nimeri continua ꝓporcionalitate teade¬
rint ambobus muneris totidem xporcionali
cuet uatatem de queqi f inter s et unĩtacem co

Expanded text:
is a et p, b. Manifestum autem ex secunda huius quod ex f in se fit k et ex eodem in k, p, per diffinitionem igitur eius quod est multiplicari erit f in k, k quoque in p quotiens unitas in f. Itaque unitas, f, k, p sunt continue proportionales. Similiter autem unitas, e, g, l. Sumptis ergo a et b loco l et p sibi equalium erunt inter a et unitatem g et e et inter b et unitatem k et f continue proportionales totidem quot sunt um. ∗∗∗ ⟨VIII.⟩10 Si inter utrumque eorum et unitatem quotlibet numeri continua proportionalitate ceciderint, ambobus numeris totidem continua proa et unitatem, e quoque et f inter b et unitatem co
Abbreviated transcription (Latin):
Sitaq ꝑ aliam cõmunem scienciam imerabũt
P in ꝯueniens ergo sequitur ꝙ stilicet e non fuit
minimus qued nmmerant a et b idem cõmr̃tes
et eodem modo de quotlibet imerato a quat libi
numeratus eundem immeret ultima triũ ꝯlusionĩ est
ꝓositis crbus iiineris minimũ numerorum ab
eis numeratorum in uenire¬
g res numeri ꝓpositi siñt abe minimus quẽ nuime¬
rant a et s sic d q sumetur ut xͥma triũ ꝯclusionũ
docet s⁊ ita e mimerat d scito d esse ꝙ̃ querind
possibile si autem d non numerat e sumatur
minerem quord esse non potest dem inqueniens
et edem medo quotlibet ꝓpositis numerũ cõclude¬
Si numerus aliquie alium numerũ mimeret
eut in numerato pars a nominãte denominata
at qr de ceteris sut si s numeret a eut in a pars
de nominata a s numeret eniũ s ipsum a quotrens
uintas in t erit q ꝑ. i6ͣ ut c quoq tociens

Expanded text:
itaque per aliam communem scientiam numerabunt f. Inconveniens ergo sequitur scilicet quod c non fuit minimus quem numerant a et b. Idem convinces et eodem modo de quolibet numerato a quotlibet uribus numeratus eundem numeret. Ultima trium conclusionum est: Propositis tribus numeris minimum numerorum ab eis numeratorum invenire. Tres numeri propositi sint a, b, c minimusque quem numerant a et b sit d qui sumetur ut prima trium conclusionum docet. Si igitur c numerat d, scito d esse quem querimpossibile. Si autem d non numerat c, sumatur e minorem. Quod esse non potest. Idem invenies et eodem modo quotlibet propositis. QuodSi numerus aliquis alium numerum numeret, erit in numerato pars a numerante denominata.sicque de ceteris. Ut si b numeret a, erit in a pars denominata a b. Numeret enim ipsum quotiens unitas in c eritque per 16 ut c quoque totiens
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ .℥. huiꝰ et f et ħ contra se p̃mi et quia ꝑ equã ꝓpor¬
cionalitatem e ad e ut f as q cum f non numerẽt q̃
nec t numerabit e eodem modo nec aliquis aliorum qua¬
Sunt qui prius ꝯtume gporcionales. Sico ꝙ se a mi¬
meret e ipse numerabit s dlioquin ex premissa nou
numeret ⁊ quod est ꝯtiariũm et imxossibile non solĩ
autem mimerabit s si etiam om̃res et quisii eorum qũe¬
liset ipsum sequentem
dint inter duos mumeros nimeri quolliset in
ꝯtinua ꝓporcionalitate cegiderint cotidem inter omures
secunda in eadem ꝓportiõne celatos cadere ne¬
cesse est
suit a et s inter quos cadunt ⁊ et d inꝯtinua ꝓporoorre
habendes se in ꝓportions ad ẜ dico ꝙ cotidem cãdunt
sunt ¶ ad s et qui inter xos cadunt sumxti quem¬
ad madum docet secunda hmus ꝯtinue gercionalis
in eadem ꝓporoone erunt q ꝑ terciam g et c contia

Expanded text:
et h contra se primi. Et quia per equam proportionem c ad e ut f ad h cum f numeret non h nec c numerabit e. Eodem modo nec aliquis aliorum, quaSint qui prius continue proportionales. Dico si a numeret e, ipse numerabit b. Alioquin ex premissa non numeraret e. Quod est contrarium et impossibile. Non solum autem numerabit b, sed et omnes et quisque eorum quemlibet ipsum sequentemi inter duos numeros numeri quotlibet in continua proportionalitate ceciderint, totidem inter omnes duos in eadem proportione relatos cadere necesse est. Sint a et b inter quos cadunt c et d in continua proportione habentes se in proportione e ad f. Dico quod totidem cadunt isunt a et b et qui inter eos cadunt sumpti quemadmodum docet secunda huius continue proportionales in eadem proportione. Eruntque per 3 g et
Abbreviated transcription (Latin):
ses e contra se esse primos ⁊̃ temore etyuyi
ꝯtia se primos Est enm ꝑ .⁊o. ⁊ pmus as e¬
ergo per randem ent d xriius ad a et ad c̃
sit qr constat primum quos est tͣ etͣ d esse contra
se primos Reliquũ sit est xum utrũ q Duorum n

Expanded text:
esse contra se primos itemque e et f contra se primos. Est enim per 26 c primus ad b, per eandem igitur erit d primus ad a et ad c. Sicque constat primum quod est c et d esse contra se primos. Reliquum sic: Est enim uterque duor
Abbreviated transcription (Latin):
Di autem non numeret a ipsum b patet ꝙ d ien ninre¬
⁊ abit ⁊ nrec summiliter aliquis eorum ꝑximo equente
quia sunt posici ꝯtume ꝓporcionales s ꝙ nullus
alius ut ⁊ muneret ipsum scilicet e sit constat uiã¬
tur secundum doctunam sequentem secum de huies totidẽ

Expanded text:
utem non numerat ipsum, patet quod d non numerabit e nec simpliciter aliquis eorum proximo sequentem quia sunt positi continue proportionales. Sed quod nullus alius ut c numeret ipsum e sic constat: Sumantur secundum doctrinam secunde huius totide
Abbreviated transcription (Latin):
in se ipsum. ducatur qui inde ꝓducetur sus
contina p̃porcionailitate esse e si iterum in¬
in ipsos ꝑ ductos sua presencia ducantur
in de quod ꝑ ductos continue ꝓportionalitat
esse necesse est Idem quoq monnib hoc
modo produccis

Expanded text:
 qui inde producentur sub continua proportionalitate esse. Quod si item in ipsos productos principia sua ducantur, inde quoque productos continue proportionalitatis esse necesse est, idem quoque in omnibus hoc modo productis
Abbreviated transcription (Latin):
Suxlicata Si uero ambo fuerint cubi erit
ꝓportio alterius ad alterum tanꝙͣ sui lateris
Sint duo quarti a et b et duo cubi c et d latera
tam quartorum ꝙͣ cuborum sint e quedam d et .c f
urro b et d dico q ꝓportio ad s erit sicud e ad s dmxolicata
⁊ uero ad d sicud cadem tuxlicata / maanfestum enm ꝙ er¬

Expanded text:
rit proportio alterius ad alterum tamquam sui lateris Sint duo quadrati a et b et duo cubi c et d, latera tam quadratorum quam cuborum sint e quidem a et c, f vero b et d. Dico quod proportio a ad b erit sicut e ad f duplicata, c vero ad d sicut eadem triplicata. Manifestum enim
Abbreviated transcription (Latin):
di numerꝰ aliquis partem quotantũ q ha¬
uecit numerabit ipsam numerus ab illa
parte dictus
Tret est comu̾sa x̾misse cuius est intentio ꝙ onns me¬
merus habens 3 ͣ numeratur a trinario et habẽs
quintã a quinario sit qr de ceteris. Ut si u sit pars
a denominata a ⁊ sequẽtur ut e nuimeret ai¬
quia eui s est pars a denominata ac sed uintas
est pars ⁊ denominata as. ipso e ꝑ concepcionẽ
⁊ quitur ut quociens unitas numerat ⁊ tociens

Expanded text:
Si numerus aliquis partem quotamcumque habeat, numerabit ipsum numerus ad illam partem dictus. Hec est conversa premisse cuius est intentio quod omnis numerus habens tertiam numeratur a ternario et habens quintam a quinario sicque de ceteris. Ut si b sit pars a denominata a c, sequitur ut c numeret aQuia enim b est pars a denominata a c, sed et unitas est pars c denominata ab ipso c per conceptionem, sequitur ut quotiens unitas numerat c toti
Abbreviated transcription (Latin):
ppositarum Denominationum portes / imyliter quod oagnes
enplum ⁊ esse tritium ꝓbats Duxlo esse secundo Alioqũ
quiã essit tuplo minor et dupeo maior sequeretir e
numerare aliquem inter ipstus duxlum et erplum quod
ut prius pates esse ineo bile / pbato autem tres 3oᵈ
cercim ad huus sormãtudinem ꝓbalis quio ediuxluum ese

Expanded text:
partes. Similiter quoque argues triplum e esse tertium probato duplo e esse secundum. Alioquin quia esset triplo minor et duplo maior, sequeretur e numerare aliquem inter ipsius duplum et triplum quod ut prius patet impossibile esse. Probato autem triplo esse tertium ad huius similitudinem probabis quadruplum esse
Abbreviated transcription (Latin):
Tumn uas continencium inuenire
Ue si parces ꝓpostre sunt abs sintqi ias deneminantees
Def et sumatur miiiuus quem immerãt deẜ qui sit
A hunc dico essi quem querimus erunt eum in uo scilicoet¬
numus ꝯtirens sit eigo q quẽ scilicet ꝙ numerabunt def

Expanded text:
rum | eas continentium invenire. Ut si partes proposite sint a, b, c sintque eas denominantes d, e, f et sumatur minimus quem numerant d, e, f qui sit g. Hunc dico esse quem querimus. Erunt enim in eo proinimus eas continens, sit ergo h q
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓͥpositũ unde manfestum est ꝙ aliquis mimerus
nuimerat ꝓduccum ex duobus uel si eidem fuerit
iuren surabilis cõmensirabilis quoq eut alteri
⁊ Rumeros seciddum ꝓporcionem numerorum
assignatorum minimos reperire unde mam¬
festũ maxiuuũ nuuierũ duos cõmuniter im¬
ierantem secundum niuimos illius ꝓpor¬
cionis numerare
Dint a et s numeri ꝓpositi secundĩ quorũ ꝓpor¬
tionem uolumus inuenire mininos se ergo sunit
ꝯtra se pͥmi sunt quales inquirimus ꝑr Si
autẽ compositi sumatur ut docet e. maximus
cõiter eos numerans qui sit c numeret qr eos
secundum d et e erunt q in eadem pporoone ꝑ
id quos dico esse quales querinus sui antem
sint ꝑ et g qui ꝑ .i. munerabunt a et s equaliter

Expanded text:
 Unde manifestum est quod si aliquis numerus numeret productum ex duobus vel si eidem fuerit commensurabilis, commensurabilis quoque erit alteri s secundum proportionem numerorum assignatorum minimos invenire. est maximum numerum duos communiter numerantem secundum minimos illius proportionis eos numerare. Sint a et b numeri propositi secundum quorum proportionem volumus invenire minimos. Si ergo fuerint contra se primi, sunt quales inquirimus per 23. Si autem compositi, sumatur ut docet secunda maximus communiter eos numerans qui sit c numeretque eos secundum d et e eruntque in eadem proportione per 18 quos dico esse quales querimus. Sin autem, sint f et g qui per 21 numerabu
Abbreviated transcription (Latin):
ut ꝯtinenns ꝓportiones laterum uidelicet earis qnee st ᵘ
Sad ⁊ et xam que est e ad f in miminis numeris rex¬
tis secundum Doctiam p̃cedentis ut docent quidem hic̃
euin est posicum preter necessariunt dirgnunt enur po¬
sico ꝙ illi minrm suit glrl ita ꝙ sit ħ ad li sicut S
ad e et l ad c sicut c ad f ꝓporcionem̃ q̃ adc essẽ

Expanded text:
ut continuemus proportiones laterum videlicet eam que est c ad e et eam que est d ad f  in minimis numeris repertis secundum doctrinam precedentis ut docent quidam. Hoc enim est proposito preter necessarium. Arguunt enim posito quod illi minimi sint h, k, l ita quod sit h ad k sicut c ad e et k ad l sicut
Abbreviated transcription (Latin):
Dictam a d ducatur itaqr d in c et puemẽat ẽ et
e in ẜ et puemaesert squoqr oucatur I a et puema
g quem g dico esse quem querimus Cum enm ipst g
Sic qr f ꝑuenit per eandem ex s. in e erit e pais
ꝑ dicta a b si et propte lioc erit d pars e ac et
quia unitus est pari d dicto as ixso s patet g ha¬
Sere ppositum partes ut est ppositum Si ergo non fu¬
furit iniuius sit b sit qr li pars eius dicta ab a et
E pare lsi dicta a s Et in pors sicta a c a quoq

Expanded text:
aque d in c et proveniat e et e in b et proveniat f, f quoque ducatur in a et proveniat g quem dico esse quem querimus. Cum enim ipse At quia f provenit per eandem ex b in e, erit e pars f dicta a b, sed et propter hoc erit d pars e dicta a c. Et quia unitas est pars d dicta ab ipso d, patet g habere partes ut proponitur. Si ergo non fuerit minimus, sit h sitque k pars eius dicta ab a et l pars k dicta a b et m pars l dicta a c, n quoque
Abbreviated transcription (Latin):
mo si cura est habere secundum aut quantũqrłit/ di secũdũ
in alue Cum enin omniis multixles ⁊ mireret ab abcd¬
ꝑ hant cõmurrem scienigiam omis mutnerud numerans alũd
nuimerat oune memreratum ab illo necesse est p. 3. ut
omne multiplex e habrat prates de rominatas as abtd
¶Si itaqr duxlus y non fuerit secundus habens xontes
ꝓpositarum de rominacionam eut elus quem fitut sequitur
esse maiorem e sit minorem Suxlo et quia illum mi¬

Expanded text:
mo si cura est habere secundum aut quotumcumquelibet; si secundum, in aliis. Cum enim omnis multiplex e numeretur abscientiam: Omnis numerus numerans alium numerat omnem numeratum ab illo, necesse est per 37 ut omnis multiplex e habeat partes denominatas ab a, b, c, d. Si itaque duplus e non fuerit secundus habens partes propositarum denominationum, erit alius quem sicut sequitur esse maiorem e, sit minorem duplo et quia illum
Abbreviated transcription (Latin):
F ad e et quia a et b sunt sue ꝓporcionus mimun ꝑ
⁊i imerabit a ẜ ꝑiri. et quia ꝑ id est e ad ẽ
sicut a ad ꝑ nam ex s̃ in a et f fiunt c et d sequit
mimerare d sed s erat minor ⁊ quare impossibile
Si autem a et s̃ sũt cõmunitantes negotiare ꝓpositũ

Expanded text:
b sunt sue proportionis minimi per 23, numerabit a, f per 21. Et quia per 18 est c ad d sicut a ad f, nam ex b in a et f fiunt c et d, sequitur c numerare d, sed erat d minor c. Quare impossibile. Si autem a et b sint communicantes, negociare propositum
Abbreviated transcription (Latin):
Si uiuis numerus in duos Sucatur tantus ert
Sucriũ fnde ꝑductorũ altti ad alteũ ꝙtꝰ dnorĩ.
multrplicatorum alter ad alterum
Multiplicet a utrimq Suorũ nueiorũ u et etc et
ꝑuemant d et e dico ꝙ euit ꝓporcio d ad e sicut
Sadc sequitur euin ꝑ quersionem diffincionis eius
ꝙ ex multi ͬ ͥ ut s in de in e sit quociens unitas In
Sads sicut e adc equaliter enin xas continent q
quocirs a uintatem ergo ꝑ mutatin d ad e sicut b
plicantiurm
Ex quersune antecedentis p̾mise cõcluditur ꝙ hec
eadem passio que in p̃iuissa ut si uterq dnorid̃ nn¬
merorum s et c multiplicet a et ꝑdutatur det e
erit d ad e sicut s ad e Seut euini ꝑ antexremissam
ut ex a in u et c fiant s et ⁊ quare ꝑ premissam
Sad e sicut s ad ⁊ quod est ꝓpositum potes autem
quod ꝓponit ꝑ hanc et premisam de duobud numeris
ad quodliber numeros aepplitare Euod si unus multiplic
quoel eri̾ exit ꝓ ductorũ et mul tixlitatorũ una

Expanded text:
Si unus numerus in duos ducatur, tantus erit duorum inde productorum alter ad alterum, quantus duorum multiplicatorum alter ad alterum. Multiplicet a utrumque duorum numerorum b et c et proveniant d et e. Dico quod erit proportio d ad e sicut b ad c. Sequitur enim per conversionem diffinitionis eius quod est multiplicari ut b in d et c in e sit quotiens unitas in est sicut e ad c. Equaliter enim eos continent quia quotiens a unitatem, ergo permutatim plicantium. Ex conversione antecedentis premisse concluditur hic eadem passio que in premissa. Ut si uterque duorum numerorum b et c multiplicet a et proveniant d et e, erit d ad e sicut b ad c. Erit enim per antepremissam ut ex a in b et c fiant d et e. Quare per premissam d ad e sicut b ad c. Quod est propositum. ⟨Camquod proponit per hanc et premissam de duobus numeris ad quotlibet numeros ampliare: Quod si unus multiplicet quotlibet, erit productorum et multiplicatorum una
Abbreviated transcription (Latin):
p.i. as ẽ et ad ⁊ ĩcenqs ꝑ randem fad a etc
sit q sit infucies ducentur utrunq ꝑdrutorum
in sium principium essent onnies producti contri
se prum ⁊ non solis i s et quilibet e ductus
as ꝙ ad quenlibet eductum ab
ex ambobus coalternactur ad utrunqr uors
eut primus Si uero ex ambobus coat̾natus
as utrũq eor fuent primus duo qͦ nu
ineri adiuuicem erunt primi
hm̃t a et s ꝯtia se primi Sico ꝙ ex eu cõxo¬
sins as as utrunq eorum est primꝰ et ecõuso
nã si s numerat totum ad et alterd eorum mime¬
ras it ꝑ cõmunem stientiam et ⁊ eesiquin quare nõ

Expanded text:
per 25 ad b et ad d itemque per eandem f ad a et c sicque si infinities duceretur utrumque productorum in suum principium, essent omnes producti contra se primi et non solum sed quilibet eductus ab a ad quemlibet eductum a bex ambobus coacervatur ad utrumque eorum erit primus. Si vero ex ambobus coacervatus ad utrumque eorum fuerit primus, duo quoque numeri ad invicem erunt primi. Sint a et b contra se primi. Dico quod ex eis compositus a b ad utrumque eorum est primus et econverso. Nam si d numerat totum a b et alterum eorum, numerabit per communem scientiam et reliq
Abbreviated transcription (Latin):
z ꝑ ⁊ numerus ex duobus ꝓdugus as aliquo
primo nuimerẽtur necesse est xundem sniũ
alcerum illorum duorum numezorum nine¬
Sit c̃ producons ex a inb et sit d immerus xͥmus
qui ponatur numerare c Sico ꝙ d numerat a uol
E Autueret enin t secundũ e Si ergo nuimerat
a eut pmus ad ipm ꝑ premissam ideo erunt a

Expanded text:
us ab aliquo | primo numeretur, necesse est eundem primum alterum illorum duorum numerareSit c productus ex a in b et sit d numerus primus qui ponatur numerare c. Dico quod d numerat a vel b. Numeret enim c secundum e. Si ergo non numerat a, erit primus ad ipsum
Abbreviated transcription (Latin):
Smus numerus compositus ab aliquo Amo
mumeratier
dit a quilis et nmerus compositus dico ꝙ aliquis p̃¬
mus nuimerat ipsum Quia enin esto compositu iui¬
merabitur as aliquo nimero qui sit l qui s si fue¬
ut pͥmus uerũ erit qued dicitur Si autem sic¬
coͣmpositus sit c/ qui mimerat eum qui stilidet c¬
ꝑ commmuinem stienciam imerabit a si ergo ul ipsei¬
E fuerit primus constat quod dicitur dc si composi¬
tus nedessorio numeiabit scilicet c dilus qui fits
qui eciam ꝑ conuiuiiem stientiam iimerabit a deqͦ¬
⁊ aciocinare ut prius quia enam quotiens occurit
compositus necesse est inmorem assumere qui ꝯpositi
ogurrentem nimeret sequitutur ut tandem de uem¬
atur od aliquem numerum delio quin accidit mxossi¬
Gile et ꝯtrarium petitioni numxrum in infinitum decreste
Sit a quil numerus dico ipsum esse p̾mũ uel
numerari apmo quoniam si non est pmuus eut con¬
pesitius quilibet autem talis as aliquo primo nume¬

Expanded text:
s numerus compositus ab aliquo primo numeratur. Sit a quilibet numerus compositus. Dico quod aliquis primus numerat ipsum. Quia enim est compositus, numerabitur ab aliquo numero qui sit b. Qui si fuerit primus, verum erit quod dicitur. Si autem compositus, sit c qui numeret eum qui etiam per communem scientiam numerabit a. Si ergo vel ipse fuerit primus, constat quod dicitur. At si compositus, necessario numerabit eum alius qui sit d qui etiam per communem scientiam numerabit a. De quo ratiocinare ut prius. Quia ergo, quotiens occurrit compositus, necesse est minorem assumere qui compositum occurrentem numeret, sequitur ut tandem deveniatur ad aliquem primum. Alioquin accidet impossibile et contrarium petitioni numerum in infinitum decrescerSit a quilibet numerus. Dico ipsum esse primum vel numerari a primo. Quia si non est primus, erit compositus, quilibet autem talis ab aliquo primo nume
Abbreviated transcription (Latin):
abe equaliter sit ut secundum m ꝑ 2 ͣ partẽ
⁊o. dad ço ut q ad e uel le as ꝑ uel e adg
minor est ita d ꝙͣ m quare cum in nimer et
abt non fuit d maximus eo numerans quare
sue ꝓporcionis maior minorem et minor mino¬
rem multiplices mimimũ as ixsis numeratũ¬

Expanded text:
 partem 20 d ad m ut h ad e vel k ad f vel l ad g. Minor erit igitur d quam m quare cum m numeret a, b, c, non fuit d maximus eos numerans. Quare sue proportionis maior minorem et minor maiorem multiplicantes minimum ab ipsis numeratu
Abbreviated transcription (Latin):
cuimus m mitoi inuenire siue fuerint in eadem
ꝓporcione siue in dirersis. Si enin nullus u¬
nerius umerat eos onnies epsi sunt quos querimꝰ
ꝑ .⁊3. hoc emin in demonstraboue est si autem
unus munerus nimeret onnes sumatur ut
Socet cercia maximus cõmuniter eos nimerans
qui sit d iumeret q eos secundũ efg qui erũt

Expanded text:
enire sive fuerint in eadem proportione sive in diversis. Si nullus numerus numeret eos omnes, ipsi sunt quos querimus per 23. Hoc enim ibi demonstratum est. Si autem unus numeret omnes, sumatur, ut docet 3, maximus eos communiter numerans qui sit d. Numer
Abbreviated transcription (Latin):
serare si unus numeri es duos numeros sit una ꝓpor¬
cio ꝙ ipsi sunt equales aut si ipsi sunt equales
qi unius ad ipsos sit una ꝓportio Si eniu est una
pporcio g ade et ad ẜ aut ipse erit tota pors uel
partes ⁊ quota uel quote idem est s et tunt ꝑ ꝯtex¬
cionem paret e et f esse equales diut totens ꝯtire¬
Sit ge quociens ẜ et suꝑflur̃t in eo tota pors uel
uortes ⁊ quota uel quote in eodem suꝑfluunt f et
quote f et tunc ꝑ diffuncionẽ crit ixsius s̃ ad
utrunq eorum e et ẜ p̃porcio una aut equaliter
continebit utumq cum suꝑfluitate similium et toc
inixro ꝑcium et tunc ꝑ diffincionem erit ipsus¬

Expanded text:
are: Si unius numeri ad duos sit una proportio quod ipsi sunt equales, aut si ipsi sint equales, quod unius ad ipsos sit una proportio. Si enim est una proportio g ad e et ad f aut ipse erit tota pars aut partes e quota vel quote idem est f et tunc per conceptionem patet e et f esse equales. Aut totiens g continebit e quotiens f et superfluent in eo tota pars vel partes e quota vel quote in eodem superfluent f equote f et tunc per diffinitionem erit ipsius g ad utrumque eorum proportio una. Aut equaliter continebit utrumque cum superfluitate similium et tot numero partium et tunc etiam per diffinitionem erit
Abbreviated transcription (Latin):
utͤ qͥuota pors est totus a tocuis s tota sit e deciatꝰ
a s resi dui /ẜ quõta est totus a totins s/ et hec¬
est quasi ꝯuersa quinte Sunt euin ꝑ peticionem
e pmam E tota porrs g quotai⁊ est s/ ert qr ꝑ
M atota pars compositi ex /q et d quota est ed
qͥuare et quota est / as ergo ꝑ secunda cõceptio¬
qn cõpositus ex g et d est equalis /s/ demxto
naq as utroq iminero d erit g equalis f¬

Expanded text:
ut quota pars est totus a totius b tota sit c detractus ut quota pars est totus a totius b tota sit c detractus a, f residui b quo Sit enim per petitionem e tota pars g quota c est d eritque per 5 tota pars a compositi ex g et d quota est c, d quare et quota est a, b, ergo per secundam conceptionem compositus ex g et d est equalis b. Dempto itaque ab utroque numero d erit g equalis
Abbreviated transcription (Latin):
eotes autem iy ꝑ hant premisam ꝓpouit de quatuor¬
mimens ad quotlibet nuimeros dpplicare Wxsi quotli
mumreri minores ad totidem maiores comxorentur
fuerint q singuli singilorum tota pars aut ptus
quoto ue quote primus secundi erunt qͦ onuies
picer accepti toea pars ue partes omnum ꝑiter
acceptorum quota ut̃ quote xͥmus ⁊ͥ Quod facile
pbatur ꝑ hanc et premissam quoçiens oportueui
repetitam Et si crederenius esse intencionem eucadis
assume ex prius domonstiatis aliqua ad demonstra¬
dionem eorum que hit ꝓponit ex i nͥ facile de¬
mnonstaessemus hant s ut anten quia uidetur
oppositum dliter enin suꝑuacire ꝓposuisset mlta de
numeris que Semonstiata suprr iniuto D
ytitatibus in genere necessel habebrnus ꝓprars de
uonstiatiourbus uti tanqs ex prioribus nichie su¬
menteis souis qͣuius . A. contenti princixiis poxb
quos et peticiones et cõmunes comuyi ꝯcextioues
pars de trahatur que ambobus ipsa pars erit
reliquus tota pars reliqui quota cotius toto

Expanded text:
autem quod per hanc et premissam proponit de 4 numeris ad quotlibet numeros ampliare. Quod si quotlibet numeri minores ad totidem maiores comparentur fuerintque singuli singulorum tota pars aut partes quota vel quote primus secundi, erunt quoque omnes pariter accepti tota pars aut partes omnium pariter acceptorum quota vel quote primus secundi. Quod facile probatur per hanc et premissam quotiens oportuerit repetitas. Et si crederemus esse intentionem Euclidis assumere ex prius demonstratis aliqua ad demonstrationem eorum que hic proponit, ex 13 quinti facile demonstrassemus hanc sextam. Nunc autem quia videtur oppositum aliter enim supervacue proposuisset multa de numeris que demonstrata sunt in quinto de quantitatibus in gdemonstrationibus tamquam ex prioribus nihil sumentes, solis huius septimi contenti principiis, propter quod et petitiones et communes animi conceptiones pars detrahaturque ab ambobus ipsa pars, erit reliquus tota pars reliqui quota totus totius.
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯcludi ꝓponitur nan ista demonstrata est de .4 ime¬
ris pporcionalibus uintas uero non est numerus ꝑ
presentem ꝓpoothesim toc portes a quot ⁊ et quia una¬
queq ꝑecium a est uitas et una queq xtiũ e est eq¬
ualis Erit xt quociens unitas est in u tociens una¬
queq partium a in sua cõpomi ex ꝑtibus ⁊ ẜmo dĩ
⁊taiq De monstiacionis ⁊. se quitur tociens esse a in
q̃ in de ꝑducentier erunt equales
Sicuensi es a uib purmat ⁊ et exu in a ꝑueniat
Arenuit e etd equales Cum eui ẜ multlice
sir d a pducar c erit ꝑ ꝯueisionem ifuncionis
ne quociena md ꝑ contextionem Igitur c et s fe¬

Expanded text:
c proponitur. Nam illa demonstrata est de 4 numeris proportionalibus, unitas vero non est numerus per presentem ypothesim tot partes a quot c. Et quia unaqueque partium a est unitas et unaqueque partium c est equalis b, erit ut quotiens unitas in b totiens unaqueque partium a in sua compari ex partibus c. Per modum itaque demonstrationis 5 sequitur totiens esse a in qui inde producentur erunt equales. Sicut si ex a in b proveniat c et ex b in a proveniat d, erunt c et d equales. Cum enim b multiplicatus per a producat c, erit per conversionem diffinitionis in c quotiens in d per conceptionem, igitur c et d
Abbreviated transcription (Latin):
Si fuerint duo numeri contrase pui qui
ex uno eorumi in se ipsum ꝑ ducitur asre¬
Sint contra se primi a et l et  a in se fias
dico ꝙ c primus est ad s Sit euin s equalis o
eritz d̃ primus ad s et ex a in d fiet c ꝑ p̃miisso
uterq ad utrũlsi fuerit p̾mus qui ex duob
prioribus ad eui qui ex duob posterio¬
ribus ꝑducetur erit primꝰ
dunt g et s poresc et d posteriores sit qi utqͣr
Suorum a et ẜ primus ad utumq duorum c et
cludes cum enin fiat e ex a in G quorũ stilitet al¬
ipsam e primus ad e Itrm ꝑ ipscom pͥmus add
quia iterum s fit ex c in d quorum utecq p̾mus
est ade erit ⁊ursus ꝑ ipsam ẜ primus ade quod
contra se primi Item si in utrunq pdugorũ
suum Sucat᷑ princixium erunt q ꝑdueai cõ

Expanded text:
Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex uno eorum in se ipsum producitur ad reSint contra se primi a et b et ex a in se fiat c. Dico quod c primus est ad b. Sit enim d equalis a eritque d primus ad b et ex a in d fiet c, per premisuterque ad utrumque fuerit primus, qui ex duobus prioribus ad eum qui ex duobus posterioribus producetur erit primus. Sint a et b priores, c et d posteriores sitque uterque duorum a et b primus ad utrumque duorum c et cludit. Cum enim fiat e ex a in b quorum uteripsam e primus ad c et item per ipsam primus ad d. Quia item f fit ex c in d quorum uterque primus est ad e, erit rursus per ipsam f primus ad e. Quocontra se primi. Itemque si in utrumque productorum suum ducatur principium, erunt quoque
Abbreviated transcription (Latin):
gant eñin partem cõmunem uidelice unitatem de
di fuerint quatuor mameii quorũ p̾mus tota ꝑs
seclẽdi quota tercius quart eiunt p̾mus et
cercius poriter accepti tota pors secundi et quaer¬
ti piter acceptorum quota pmus secund
Uolema enaides phos sibros De mmeus aliquo
pcndencium non iudigere si ꝑse p̃psos stare parrem
enns quod ꝑ̃ponit per primam quinti de pͣtitatibus
in genere ꝑpoint ꝑ hant quintam huius aͥ de nũs
a quota de dico ꝙ u. et d ꝑites accepti sunt
cota parr det ac ꝑiter acceptorum quota u est / a
Siuisis eniu a etc secundum ꝙ ditatem s. et d
portes a quot ⁊ ꝑ posicionẽ et ut aggregatũ es
prima ꝑte a ex prima c sit equale aggregato ex
s et d Himiliter quoq et aggregatum ex secũda
ꝑte a. et 2ͦͣ c/ et quia hic aꝯgregatie ceciens potest
fieri quociens ꝯouebitur umnꝙ sequitur ut numerusꝰ
e qualis aggregato ex s et o tociens atineatur In ag¬
gregato er a et t quotiens s ꝯtietur in a conscat¬

Expanded text:
idem per unitates. Si fuerint 4 numeri quorum primus tota pars secundi quota tertius quarti, erunt primus et tertius pariter accepti tota pars secundi et quarti pariter acceptorum quota primus secundi. Volens Euclides hos libros de numeris aliquo precedentium non indigere, sed per se ipsos stare, partem eius quod proposuit per primam quinti de quantitatibus in genere, proponit per hanc quintam huius septimi de a quota d, c. Dico quod b et d pariter accepti sunt tota pars a et c pariter acceptorum quota b est a. Divisis enipartes a quot c per positionem et ut aggregatum ex prima parte a et prima c sit equale aggregato ex b et d similiter quoque et aggregatum ex secunda parte a et secunda c et quia hec aggregatio totiens potest fieri quotiens continetur b in a, sequitur ut numerus equalis aggregato ex b et d totiens contineatur in aggregato ex a et c quotiens b continetur in a
Abbreviated transcription (Latin):
Qnomaan autem enclides cetrias. x sprcies ꝓportionalita¬
tis. que sunt ꝯuersa ꝯm̃cta Sisiuncta eneisa nor s¬
pouit Demonstrandas in mameris quenens ccrbitrau ᷑
ecis quas actor canꝙͣ facile demonstrabiles x̃termisit
demonstiare / p̾mũ itao demonstrabimus ꝯuersã
s adoa sicut dade di eum fuent a minor s̃ curit
quoqi erit t minoi d et erit tota paia aut pantrs i
G quota uel quote cs quare ꝑ secundam xortem  ecs
enit u ad a sicus d adt Si autem fuerit a maior Gerit
quois ⁊ maior d ꝑ primam portem uͬ s tota pars aut
uartes a quota ul quete St ꝑ diffuñcionem ⁊gitur bad
Di siuctam ꝓporcion alitatem ostendere

Expanded text:
lides ceteras 4 species proportionalitatis que sunt conversa, coniuncta, disiuncta, eversa non proponit demonstrandas in numeris, conveniens arbitramur eas quas auctor tamquam facile demonstrabiles pretermisit demonstrare. Primum itaque demonstrabimus conversam b ad a a pars aut partes a, b quota vel quote c, d. Quare per secundam partem 11 erit b ad a sicut d ad c. Si autem fuerit a maior b, erit quoque et c maior d et per primam partem 11 b tota pars aut partes a quota vel quote d, c. Per diffinitionem igitur b ad Disiunctam proportionalitatem ostendere.
Abbreviated transcription (Latin):
Quilibet nuureri qͣ se p̾mi sũt secũdũ suam ꝑ¬
porcionem minimi
hec est quersa premisse ut si sunit dux numen a
et e contia se p̾mi ipsi erunt secun dum ꝓporcio¬
nem suam minimi sui autem suit minimi in eadem
ꝓportione s et d si est possibile constat itam p .2i.¬

Expanded text:
Quilibet numeri contra se primi sunt secundum suam proportionem minimi. Hec est conversa premisse ut si sint duo numeri a et b contra se primi, ipsi erunt secundum suam proportionem minimi. Sin autem, sint minimi in eadem proportione si possibile