comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
suit hec posita latera uero illos ꝯtinencia cudita
fiant adimutem equalia eisq subtendantur tres bases
⁊ ipse sint de xẜ et fs Erit q ex p̃missa possebile
De tubus liuris hus uasibus equalibus trangulum
constitui Mit Ita e eis ꝯstitutus secundum doctimnã
Dr. Imi triangulus dif cui sieud Docuit quinta quar
cir tunstribatur cirtulus Def supia tentium g et et ꝑtie¬
hantur ad ge gf que cum siñt adunicem̃ equales
ex difunciõne cirtuli lacera qs qz tres ꝓpositos
angulos ombrencia equalia qnuicem ex yxothesi recese
est ot rorum quelibet quolibit Illorũ latrrũ sit minor
e qualem eni aut maiorem esse est Imxossibile s eum
ueretur  propter ea que posita sunt auxilianted
protracta paulisper una cuum liearum existentut
ocentio ad curcurferentiam in ꝯtinuum et ditetio

Expanded text:
sint hec posita. Latera vero illos continentia cuncta fiant ad invicem equalia eisque subtendantur tres bases et ipse sint d e, e f et f d. Eritque ex premissa possibile de tribus lineis hiis basibus equalibus triangulum constitui. Sit igitur ex eis constitutus secundum doctrinam 22 primi triangulus d e f cui sicut docuit quinta quarti circumscribatur circulus d e f supra centrum g et protrahantur g d, g e, g f. Que cum sint ad invicem equales ex diffinitione circuli lateraque tres | propositos angulos ambientia equalia ex ypothesi, necesse est ut earum quelibet quolibet illorum laterum sit minor, equalem enim aut maiorem esse est impossibile. Si enc f, c d sequeretur que posita sunt auxiliante 8protracta paulisper una linearum trium exeuntium a centro ad circumferentiam in continuum et directum,
Abbreviated transcription (Latin):
s ꝑficres cd e que distanter duabus xius oxpositis
suꝑficrebus que sunt ax et Is et sit suꝑficies gs
uasis ipsius solidii ab de qua coustat per premissam
ꝙ ipsa sit equi distantium laterum et sit᷑ cõmumis
seccio duarum suꝑficierum cd et gs aliam qd de

Expanded text:
ficies c d equidistanter duabus eius oppositis superficiebus que sunt a e et f b. Et sit superficies g b basis ipsius solidi a b de qua constat per premissam quod ipsa sit equidistantium laterum. Et sit communis sectio duarum superficierum c d et g b linea h d de
Abbreviated transcription (Latin):
sup̃mre suꝑfities eb et st quarum opposita laterce
secundum reccitudinem ꝑ tracta non erunt liura
unia Cunq latera ipsa ex ꝑ pothesi suit in una
suꝑficie eo ꝙ solida posicã sunt inter suꝑficiẽs
equi distantes necesse est ut duo latera unius
earum ꝓtracta secundilm ⁊ ectitudinem secent
rectitudinem ꝑtrahantur Itaqi duo ogposita lacera

Expanded text:
supreme superficies e b et f c quarum opposita latera secundum rectitudinem protracta non erunt linea una. Cumque ipsa ex ypothesi sint in una superficie eo quod solida proposita sunt inter superficies equidistantes, necesse est ut duo latera unius earum protracta secundum rectitudinem secent rectitudinem. Protrahantur itaque duo opposita latera
Abbreviated transcription (Latin):
eat quam dico suꝑ ppositam suꝑficiem esst ꝓendt¬
culariter erectam Cum eniũ ipsa secet suꝑficiem affig¬
natam erit uarum cõmunuis seccio linea recta ex .3. ħuiꝰ
sitq bd in hac ergo cõmum seccione assignato puncto quot¬
abet qui sit d Eextrahatur as eo in supficie ⁊ que ꝓducta
est a linẽa as diliam quedam ꝓpendicularis ad lineauy
od que sit de Sut q ex secunda parte 2d. p̾mi lira
ed equi distans lmẽe ab ideoq xx .d. huius sinra ed
est eciam ꝑpendicularis ad suꝑficiem ꝓpositam quia er̃go
hoc modo quelibet siea ꝑtracta orthogonaliter Aquoli¬
uet punto lniee bs as iosam liẽam us in ra suꝑ¬
ficie que ꝑducta est a linẽa ab ꝑpendicũloris as ꝓp̃o¬
situm suꝑsiciem ex diffangione suꝑficiei supra suꝑ¬
ficiem orthogonaliter e tecte constat ꝑpesitum uerumꝰ
unam superficiem erecte fueriñt or thogonaliter
cõmunis earum secio od eandem superfitiem

Expanded text:
erit quam dico super propositam superficiem esse perpendierit quam dico super propositam superficiem esse perpendiculariter erectam. Cum enim ipsa secet superficiem assignatam, erit earum communis sectio linea recta ex 3 huius sitque b d. In hac ergo communi sectione signato puncto quolibet qui sit d extrahatur ab eo in superficie que producta est ai linea c d equidistans linee a b. Ideoque ex 8 huius linea c d est etiam perpendicularis ad superficiem propositam. Quia ergo hoc modo quelibet linea protracta orthogonaliter a quolibet puncto linee b d ad ipsam lineam b d in ea superficie que producta est a linea a b est perpendicularis ad propositam superficiem, ex diffinitione superficiei supra superficiem orthogonaliter erecte constat verum esse quod unam superficiem erecte fuerint orthogonaliter, communis earum sectio ad eandem superficiem
Abbreviated transcription (Latin):
as regas lurẽas seccẽt illarum liuearum porciones
ꝓporcionales esse ꝑpe ꝓbantur
Intelligantur emy due linee recte a s peurtiãtes
qualitercunq ꝯtigerit tres sifficies equidostantes
aut eciam plures cribus dic̃õ itaq duas porciones
illocium linearum inter quasq duas suꝑfities intercex¬
tas essi pporcionales quisi q̃i duabus inter duas
Alias ex illis equidistantibus sugiciebus intercextis
Comungooitur eui due extremitates illarum duarum
uneecium ducta interras luxa una dyagoyaliter Erit
h̃ic Syagonalis cum ueraq illarum duorum linearũ xe¬
necratium saꝑficies ꝓpositas in suꝑficie una illas
cõ mures secciones que ꝑ xremisscon eiunt equedis¬
cantes cogitatione potraxeus ex xma parte secunde
onnis suꝑficies a linea illa quorsidlibet ducca ad
eandem assignatam suꝑficiem urit orthogon̾aliter Gecta
dit eni linea ds ercam ꝑpendiculariter sux asignataon
suꝑficiem et aliam as sucatur suꝑficies quorsum libu¬

Expanded text:
ones proportionales esse probantur. Intelligantur enim due recte linee penetrantes qualitercumque contigerit tres superficies equidistantes aut etiam plures tribus. Dico itaque duas portiones illarum linearum inter quasque duas superficies interceptas esse proportionales quibusque duabus inter alias duas ex illis equidistantibus superficiebus interceptis. Coniungantur enim due extremitates duarum illarum linearum ducta inter eas linea una diagonaliter eritque hec diagonalis cum utraque illarum duarum linearum penetrantium superficies propositas in superficie una illas communes sectiones, que per premissam erunt equidistantes, cogitatione protraxeris, ex prima parte secunde omnis superficies a linea illa quorsumlibet ducta ad eandem assignatam superficiem erit orthogonaliter erecta. Sit enim linea a b erecta perpendiculariter super assignatam superficiem et a linea a b producatur superficies quorsum libu
Abbreviated transcription (Latin):
mus circundancium qui inꝙͣ .G. anguli cum tribus
angulis basi reliquos tres solidos angulos pnamidis
ꝯturent sint ex p̾missa ter assumpta maiores trb
angulu basis sequitur ipsos . G. angulos esse marores
Duobus ⁊ ectid ex .9. ĩgitur angulus trium criangu
lorum percomdem cricundãcium hud sex angulis
doxmxotis erunt ex cõmuni stiencia relĩqui tres et
ipse sunt qui ostituunt solidum angulum a minores
quatuor ꝯuartis Si autem angulus a sipmus m
assumxta prraui De xluribus angulis suꝑficiesus
ꝙͣ tubus contineatur quod erit ecunidum nmultitũdiĩe¬
angulorum sul basis Cum onguli oinium trianguloꝵ
pnamidem ipsam circundancium ꝑiter accepti sint
ex 32. primi tot rectis angulis equales queoitus
est niurerus angulorum basis Semptis inde &¬

Expanded text:
mus circumdantium, qui inquam sex anguli cum tribus mus circumdantium, qui inquam sex anguli cum tribus angulis basis et reliquos tres solidos angulos piramidis continent, sint ex premissa ter assumpta maiores tribus angulis basis, sequitur ipsos 6 angulos esse maiores duobus rectis. Ex novem igitur angulis trim circumdantium hiis sex angulis demptis erunt ex communi scientia reliqui tres et ipsi sunt qui constituunt solidum angulum a minores 4 rectis. Si autem angulus a supremus in assumpta piramide pluribus angulis superficialibus quam tribus contineatur, quod erit secundum multitudineangulorum sue basis. Cum omnes anguli omnium triangulorum piramidem ipsam circumdantium pariter accepti sint ex 32 primi tot rectis angulis equales quantus est numerus angulorum basis duplicat
Abbreviated transcription (Latin):
et quiã ex ao. p̾mi duo linee bꝭ et fłi sunt ma¬
ierri linea hli eut ꝑ concexciõnem qꝭ maior eg
ideoq per rħ. pͥmi cum sit linea af equalus agͣ
erit angulus fah maior angulo hag ꝑ concipcio¬
nem ita constat dnos angulos hof fali ꝑiter accep¬
A nguii sulid qditates ex angulorum superficialum ipsĩ
solidum ꝯturncium ꝙ citate deternatur hac ego ut
ꝯͥtinentes ꝑiter acceptos quatuor rectis angulis esse
minores sit enm eiangula pitanis abcd cuius sup̃¬
mus angulus possit esse quilibet suorum angulorum
hit tamen sit a/ De quo dico ꝙ tres suꝑficiãles ix sa
a cõtinentes sunt minores quatuor rectis/ Constat xii
ex qrͣ primi cum aingulos tium tuangulorum hant pr¬
⁊ amdem circundancium et ipsi sunt abed et acs ads
esse equales sex angulis rectis detubus autrm angn¬
lis basis eius quii est triangulus bcd constat quõqi
G. anguli trum cranangulorum predictorum hanc
nostram prircodem de cuiiu supremo aorgulo dispnta¬

Expanded text:
 primi due linee h f et f k sunt maiores linea h k, erit per conceptionem h f maior h g. Ideoque per 25 primi cum sit linea a f equalis linee a g, erit angulus f a h maior angulo h a g. Per conceptionem igitur constat duos angulos h a f, f a k pariter accepAnguli solidi quantitas ex angulorum superficialium ipsum solidum contingentium quantitate determinatur. Hac ergo continentes pariter acceptos 4 rectis angulis esse minores. Sit enim triangula piramis a b c d cuius supremus angulus, cum possit esse quilibet suorum angulorum, hic tamen sit a de quo dico quod tres superficiales anguli ipsum a continentes sunt minores 4 rectis. Constat enim ex 32 primi 9 angulos trium triangulorum hanc piramidem circumdantium et ipsi sunt a b c, a c d, a d b esse equales 6 angulis rectis. De tribus autem angulis basis eius que est triangulus b c d constat quoquesex anguli trium triangulorum predictorum hanc nostram piramidem de cuius supremo angulo disputa
Abbreviated transcription (Latin):
collige Esto euin trium positorum angulorum sapfi¬
çialium angulus cad maior utiolibet reliquorum duord̃¬
ex Ipro eigo abstindant angulum ead equalem angula
uãd protracta linea as et sumam ex hac linea cee line¬
am ag et es lurea as luream aẜ quas pouam esse eqͣces
Et ꝑtraham liuram aꝑucto g qualitercurq ꝯtingat
in suꝑficir Ouorum luearum at et ad quousq secet

Expanded text:
collige: Esto enim trium propositorum angulorum superficollige: Esto enim trium propositorum angulorum superficialium angulus c a d maior utrolibet reliquorum duoruEx ipso abscindam angulum e a d equalem angulo b a d protracta linea a e. Et sumam ex hac linea a e lineam a g et ex linea a b lineam a f quas ponam esse equales. Et protraham lineam a puncto g qualitercumque contingat in superficie duarum linearum a c et a d quousque secet
Abbreviated transcription (Latin):
aeendicularem as lineam ꝑo ses non ad luecio ps
aquitr mordo consinli as dias el et ꝑs esse
ppendiculares ad saꝑficiem assignatam quod nichie¬
minus est ĩmpossibile
Si toes onguli sieperficiales angulum solidum
continrant illorum trium angulorum queqduo
ꝑiter accepti reliquo sunt maiores
suꝑficiem ued ꝯtimentes tres suꝑfitiales angulos ex
quibus ꝑficitur solidus angulus in puncto a/ Dico
quosor Duos ex ipsis suꝑficiolibus angulis solidũ
angulum in puncto a consticuentibus ꝑiter accextos
p esse maiores Si eni h̃ue tres anguli suꝑficiales
fuerint sib Inuicem equales aut si duo equales tiñ¬
tercio existente minore utrolibet Suorum equalium ꝯstat
per cõmunem scienciam uerum esse ques dicitur Mo si coꝵ
duo ponantur equales sine non adhuc constat illum ma¬
iorem cum utroq reliquorum duorum xiter acceptum
3 ͦ esse maiorem sed et illos duos minores ꝑiter accextos
hoc tercis qui maior utrolibet ponitur esse maiores sit

Expanded text:
 sed non ad lineam f d, sequitur modo consimili duas lineas e f et f h esse perpendiculares ad superficiem assignatam. Quod nihminus est impossibile. ∗∗∗ Si tres anguli superficiales angulum solidum contineant, illorum trium angulorum quique duo pariter accepti reliquo sunt maiores superficiem b c d continentes tres superficiales angulos ex quibus perficitur solidus angulus in puncto a. Dico quosque duos ex hiis superficialibus angulis solidum angulum in puncto a constituentibus pariter acceptos tertio esse maiores. Si enim hii tres anguli superficiales fuerint sibi invicem equales aut si duo tantum equales tertio existente minore utrolibet duorum equalium, constat per communem scientiam verum esse quod dicitur. Quod si eduo ponantur equales sive non equales, adhuc constat illum maiorem cum utrolibet duorum reliquorum pariter acceptum tertio esse maiorem. Sed et illos duos minores pariter acceptos hoc tertio qui maior utrolibet ponitur esse maiores, sic
Abbreviated transcription (Latin):
quortorum linee quoq que ꝓcedunt hac uia ab a sunt
ese et a u procedant fgh Dico ꝙ malla ex linris dde
ꝯuiunitat in longitudine ue potencia cum aliqua ex liuxis
Egl cun enm sit c et l tetragonita latera a et s et d
ut q tetragonicac ẽt ẜ et x et q tetragonic̃a d et g.¬
non este  possifile ut aliqua est ex de cõmunicet cum
sua compari ex fgs in longitudine uel potencia si
em alterutro modo cõmunicẽt e cum h sequitur ut s
cõyunitet cum g et c cum f quare et d cum u eciam
in longitudine quod est contra ypoothesim̃ uel aliter ueꝵ¬
surabil̃em cuilibet earum/ dato nanq ꝙ d cõmunitẽt
cum s ⁊̃ et in potentia tantum sequitur. ut c quoq ꝯ¬
municet cum g et a cum s quod non est possibile
accendere antem oportet ꝙ cam latus dito catus
lateris nchil aliud intelligo ꝙͣ latus suꝑfitiei deno¬
minate a latere priori unde cetagonicum latus
linee a uoco lineam illam que potest in suꝑficiem

Expanded text:
quadratorum. Linee quoque que procedunt hac via ab a sint quadratorum. Linee quoque que procedunt hac via ab a sint c, d, e et a b procedant f, g, h. Dico quod nulla ex lineis c, d, e communicat in longitudine vel potentia cum aliqua ex lineis f, g, h. Cum enim sint c et f tetragonica latera a et b, at d et g tetragonica latera c et f, et e et h tetragonica d et g,non est possibile ut aliqua ex c, d, e communicet cum sua compari ex f, g, h in longitudine vel potentia. Si enim alterutro modo communicet e cum h, sequitur ut d communicet cum g et c cum f, quare et a cum b etiam in longitudine. Quod est contra ypothesim. Universurabilem cuilibet illarum. Dato namque quod d communicet cum h etiam in potentia tantum, sequitur ut c quoque communicet cum g et a cum f. Quod non est possibile. Attendere autem oportet quod cum dico latus lateris, nihil aliud intelligo quam latus superficiei denominate a latere priori. Unde tetragonicum latus linee a voco lineam illam que potest in superficiem
Abbreviated transcription (Latin):
in commnensurabiles est xiiio E ad ꝑ sicud li ad y eo ꝙ ex
P in lr et y fuint l et x Dunt autem E et x utroqz
modo conmensurabiles m autem necesse s acodit s
ex rõ patet ꝙ est q ad x sicud ꝑ ad y constat autẽ
ꝙ ꝑ et u sunt Ingurensurabiles nan si non erunt u et
⁊ cõmẽsurabites ideo qi e et s ses non sunt mamfestũ
est itaq infuntas lineas irracionales in longitudine et
potentia in ꝯmensirabiles et ideo difinicione et spoecie
Differentes ꝑ duqi ex linea a racionali in potencia
tantum Restat curtem nĩt ostendere ꝙ quecunq hat¬
uia generantur Diuerse sunt as ouinbus tam longitu¬
dine ꝙͣ in potentia que a qualibet alia lnra racionali
in potencia tantum hat uia generantur quarti cuius ad
quartrm prioris non sit sicidi numeri quorti ad iumerũ
quartum hac eadem uia egre diuntur / hoc quoq sit cq̃tat
qz ut illi nuxirii non suit in pportiore aliquerum nireroꝵ

Expanded text:
incommensurabiles. Est enim l ad x sicut k ad u eo quod ex incommensurabiles. Est enim l ad x sicut k ad u eo quod ex f in k et u fiunt l et x. Sunt autem k et u utroque modo incommensurabiles. Sin autem, | accidet h ex eo patet quod est q ad x sicut p ad u. Constat autem quod p et u sunt incommensurabiles. Nam si non, erunt n et t commensurabiles ideoque m et s, sed non sunt. Manifestum est itaque infinitas lineas irrationales in longitudine et potentia incommensurabiles et ideo diffinitione et specie differentes produci ex linea a rationali in potentia tantum. Restat autem nunc ostendere quod quecumqvia generantur, diverse sunt ab omnibus tam in longitudine quam in potentia que a qualibet alia linea rationali in potentia tantum quadrati cuius ad quadratum prioris non sit sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Hac eadem via egrediuntur. Hoc quoque sic constat:que ut illi numeri non sint in proportione aliquorum numerorum
Abbreviated transcription (Latin):
ex ꝑ in u tetragonicum latus ꝙ quod fit x et sit
m infuntum Dico rigo has linrãs alqx quatum a
est tanop ⁊ adicale princixium esse iriotionoles ⁊ quidẽ
in longitudine tantum cetere uero in longitudinxe et po
tencia Et Sito ꝙ nulla earuir cõuenit cum alia in difl¬
incioire uel ordine Cumsex f ing et qui li fut fiant
a et c erit a ad e sicud g ad Er et quiã ut patet ex
eudine et in potencia sequitur sequitur xcia ut a et l
sint in ꝯurensurabiles et in longiudinr et in potentia ead
ratione a et q est emii a ad q̃ sicus g ad ꝑ Et prop
eandem cãm eciam a et ꝑ cum sicud q etxu hac uia
quoq necesse est ut cet ꝙ suñt simpliciter Incõmensu
rabiles tam in longitudine ꝙ in potencia Cionq enin ex
f In li et ꝑ frãt̃ l et q ent l ad q ut li ad ꝑ ac
Set ꝑ net cõmensurabiles sunt in longitudine nẽt
in potencia Si enin sint erunt h et n conurẽsurabiles
se s non sunt dit uero l et ꝑ oportet esse utroq modo

Expanded text:
u tetragonicum latus q quod sit x et sic in infinitum. Dico ergo has lineas a, l, q, x, quarum a est tamquam radicale principium, esse irrationales a quidem in longitudine tantum, cetere vero in longitudine et in potentia et dico quod nulla earum convenit cum alia in diffinitione vel ordine. Cum enim ex f in g et k fiant a et l, erit a ad l sicut g ad k. Et quia tudine et in potentia, sequitur ut etiam a et l sint incommensurabiles et in longitudine et in potentia. Eadem ratione a et q, est enim a ad q sicut g ad p. Et propter eandem causam etiam a et x cum sint sicut g et u. Hac via quoque necessn potentia. Cum enim ex f in k et p fiant l et q, erit l ad q ut k ad p. At k et p nec commensurabiles sunt in longitudine nec in potentia. Si enim sint, erunt h et n commensurabiles, sed non sunt. At vero l et x oportet esse utroque modo
Abbreviated transcription (Latin):
itaq quarta ⁊ et d que sint g et h et suxficies
ei e sit lr et f in d sit l et quia est ut p̾ns
e ad ẜ ec c ad s sicud a ad s sunt autem e
et c mehiales potentia tantum ꝯuiuncantes ex
.u9ͣ. et. Noͣ. se quitur ex rrͣ ut f et d eis stilicet¬

Expanded text:
itaque quadrata c et d que sint g et h et superficies itaque quadrata c et d que sint g et h et superficies e in c sit k et f in d sit l. Et quia est ut prius e ad f et c ad d sicut a ad b, sunt autem e et c mediales potentia tantum communicantes ex 69 et 70, sequitur ex 21 ut f et d eis c
Abbreviated transcription (Latin):
ut si fuerit ei potentior t in quarto liner sis.¬
qniunicans in longitudine uel si forte inꝯ̃mensura
Silus sit similiter ꝑ potencior d de quonidmn ounis
linea cõmunic᷑ans in longitudine liner racionali est
similiter illi ⁊ aciõnalis Siiliter dico ꝙ ambe erũt
⁊ acionales in longitudine uel ambe in potentia
tantum sequitur et ex diffimcionibus resi duorum
ut s sic residuum eiusdem spetie cum a / Si autẽ
s cõmunicat in potentia tantum cum a ipsa quoq
erit residuum non tauren eiusdem speciei necessa¬
rio sed quem admodum dictũ ẽ cuius demonstrato
nicans est sus ipsius termiño et orrdiue ⁊ esi¬
Suuin mediale
Ueium est quod dicitur sine cõmunitet linẽa cum
utroq residuo mediali in longitudine siue in xo¬
cencia Sit enin a utrudlibet residuum mediale
cui u cõmunicet in potencia ul longitudine/ dico
ꝓ u est eciam restduum mediale quale fuerit a
A diũgatur et eui ad lurẽam a liuea c et sit

Expanded text:
ut si fuerit e potentior c in quadrato sibi cut si fuerit e potentior c in quadrato sibi communicantis in longitudinbilis, sit similiter f potentior d. At quoniam omnis linea communicans in longitudine linee rationali est similiter illi rationalis similiter dico quia ambe erunt rationales in longitudine vel ambe in potentia tantum, sequitur ex diffinitionibus residuorum ut b sit residuum eiusdem speciei cum a. Si autem b communicat in potentia tantum cum a, ipsa quoque erit residuum, non tamen eiusdem speciei necessario, sed quemadmodum dictum est cuius demonstratio nicans, est sub ipsius termino et ordine residuum mediale. | Verum est quod dicitur sive communicet linea cum utroque residuo mediali in longitudine sive in potentia. Sit enim a utrumlibet residuum mediale cui b communicet in potentia vel in longitudine. Dico quod b est etiam residuum mediale quale fuerit a. Adiungatur enim ad lineam a linea c et sit
Abbreviated transcription (Latin):
quoqr necesse est re suduum esse sz ron eiusdem soi¬
ciei ymo imxossibile est ut liura cõmumeans it
xocencia cantum ⁊esi duo p̾mo aut secũdo aut . x .
aut. 5ͦ cadat simũl cuir es sus eadem specie s ne¬
cesse est ut ambo cadant sumil sus tribus p̃mis soe¬
ciebus aut ambo sinul sus tribus postreniis Sit
Dune dico ꝙ s erit resi diim eiusidem speciei cum a
adiũgatur eum linea c ad liuxam a et sit ista pard¬
ꝑ cuius abstisionem a fuit residuum et ad s adiũ¬
gat alia que sit d ad ꝙͣ sit se habeat s sacud ⁊ ad
Sit q composita ex a et t sit e Comxosita ueroex
S et d sit ẜ erit q ex pnutata ꝓportionalitate a
ad u sicud c ad d et ꝑ .1z. 5ͥ erit e ad f sucud a
ad s uel sicud c ad d Cum ĩtaqr d cõmunicet cum s
erit ꝑ .i0. c cõmunicans cum d et e quoq cõmunicans
cum s et quia eciam est necessauo ex ꝑnutata ꝑ¬
uorcionalitate e ad c sicud ẜ ad d sequitur ꝑqr.

Expanded text:
quoque necesse est esse residuum, sed non eiusdem spequoque necesse est esse residuum, sed non eiusdem speciei, immo impossibile est ut linea communicans in potentia tantum residuo primo aut secundo aut quarto aut quinto cadat simul cum eo sub eadem specie. Sed necesse est ut ambo cadant simul sub tribus primis speciebus aut ambo simul sub tribus postremis. Sit dine. Dico quod b erit residuum eiusdem speciei cum a. Adiungatur enim linea c ad lineam a et sit illa per cuius abscisionem a fuit residuum. Et ad b adiungatur alia que sit d ad quam sic se habeat b sicut a ad c. Sitque composita ex a et c, e, composita vero ex b et d sit f. Erad b sicut c ad d et per 13 quinti erit e ad f sicut a ad b vel sicut c ad d. Cum itaque a communicet cum b, erit per 10 c communicans cum d et e quoque communicans cum f. Et quia etiam est necessario ex permutata proportionalitate e ad c sicut f ad d, sequitur per 12
Abbreviated transcription (Latin):
Nunt ultins quenit lureamn de esse illam que iuncta
cum medialꝰ ꝯponit totrm mediale cui de aduãta
einea ef que uidelicet sit illa ꝑ cuius abscisionem liueo
De fuerat que gponitur si quales linras df et fe
oportet esst ex Mͣ didisteris porem argumentacionẽ
De quarto gh ad sibi equale in suꝑficis au eut
conferendum
Quo uo. et quatuor eam sequenter de uinomis eisar¬
ei. comitibus ꝓposuerunt idem g̃ic. ꝯd. et quatuor ram
sequentes de residuo suis qr .ii. comit̾ibus uerũ
esse ꝓporiunt quibus qui usqr ad soludum habitum
insriterit has ignorare non poterit quid quid autẽ
in Illis de quiunicancia in longitudinre et potencia
tantum dictum est in hiis q idem exortet intelligi
nam onnis liuea residus cõmunicans in longitudine
sure xotencia tõtum ipsa eciam est resi duum sed
s ꝯmunicat in longitudine ron solum est et ipsa
⁊ esi duũ s eciam eiusdem speciei residuum / ubi
gracia cõmunicand in longieu dine residuo p̃mo est

Expanded text:
t lineam d e esse illam que iuncta cum mediali componit totum mediale cui adiuncta linea e f que videlicet sit illa per cuius abscisionem linea d e fuerit que proponitur si quales lineas d f et f e esse oporteat ex 73 didicerisque primam argumentationem, de quadrato g h, ad sibi equale in superficie a n conferendum et 4 eam sequentes de binomio eiusque 5 comitibus proposuerunt, idem hec 98 et 4 eam sequentes de residuo suisque 5 comitibus verum esse proponunt quibus qui usque ad solitum habitum institerit, has ignorare non poterit. Quicquid autem in illis de communicantia in longitudine et potentia tantum dictum est, in hiis quoque idem oportet intelligi. Nam omnis linea residuo communicans in longitudine sive in potentia tantum ipsa etiam est residuum. Sed si communicat in longitudine, non solum est et ipsa residuum, sed etiam eiusdem speciei residuum. Verbi gratia: Linea communicans in longitudine residuo primo est
Abbreviated transcription (Latin):
minores quatuor rectis eo inꝙͣ minores quo omed
anguli egomorum prraundem circundãcium que
super lãtera basis statute piramidis ꝯsistunt e¬
cedere ounes dongulos basis pite accextot¬
di tres anguli superficiales quorum quiq duo
ꝑiter accepti tercio sit maiores cunctis siri In¬
uicem equis lineis contineantur Detabus
sasibus angulos illos as iꝑsarum linearum eq¬
ualium terminis subtendentibus triangulid
constitui possibile est
dint tres superficiales anguli qui sunt bat edẜ hgli¬

Expanded text:
inores 4 rectis eo inquam minores quo omnes anguli trigonorum piramidem circumdantium, qui super latera basis statute piramidis consistunt, excedunt omnes angulos basis pariter acceptoi tres anguli superficiales, quorum quique duo pariter accepti tertio sint maiores, cunctis sibi invicem equis lineis contineantur, de tribus basibus angulos illos ab ipsarum linearum | equalium terminis subtendentibus triangulum constitui possibile est. Sint tres superficiales anguli qui sunt b a
Abbreviated transcription (Latin):
eatum seccio linea ef hant dico esse ꝑpendicularett as
assignatam suꝑficiem Si looquiñ d̃pucto ẜ qui est cõmunig
crium seccionim Duarum suꝑficierum secancium et tercie
suꝑficier secte producatur linea una que sit fg in su¬
perficie as ꝑpendicularis ad suꝑficiem assignatam Iten¬
qz as rx̃o puncto ducatur linea ꝓpendicularis ad randem
supficiem que sitasit in superficie cd et ipsa sit ph erunt
n due lũee Eg et Rhy orthogonaliter insistentes suxer¬
Punctum unum ad saꝑficiem assignatam hoc autem
non fuit ꝓpendicularis as assignatam superficiem du¬
uitare non quenit Ĩntelligatur quidem liur̃a ẜs comuus
seccio suꝑficiei et suꝑficier assignate et linea ꝑd
sa ꝑficie ed et saperficier assignate si ita luixa es
fuient ꝓpendiculous ad utianq Quarum hiecirum
fs et pd ipsa erit eciam ꝓpendiculoris ad suꝑficiene

Expanded text:
cularem ad assignatam superficiem. Alioquin a puncto f qui est communis trium sectionum duarum superficierum secantium et tertie superficiei secte producatur linea una que sit f g in superficie a b perpendicularis ad superficiem assignatam. Itemque ab eodem puncto ducatur alia linea perpendicularis ad eandem superficiem que sita sit in superficie c d etlinee f g et f h orthogonaliter insistentes superunctum unum ad superficiem assignatam. Hoc autemnon fuerit perpendicularis ad assignatam superficiem, dubitare non contingit. Intelligatur quidem linea f b communis sectio superficiei a b et superficiei assignate et linea f d superficiei c d et superficiei assignate. Si igitur linea e f fuerit perpendicularis ad utramque duarum linearum f b et f d, ipsa etiam erit perpendicularis
Abbreviated transcription (Latin):
Aupersicie ꝓposita pũcto q in ea signato ab ro
punceo suꝑ datam suꝑficiem lineam orthogonali¬
Cer engere
Tum a prncto quolibet in superficie ꝓposita asignato ꝑpendi¬
cularem educere libuerit diquolibet puncto sirsum in are ad
libitum posito ad randem suꝑficiem ꝑpendicularem quẽ admadĩ¬
premissa docuit demitte Weur si in assignatum punctum
ceciderit ipsa est quam queris Sm autem as ipso asig¬
nato puncto ad demissam ꝑpenditulaiem equidiscantem
Sucito eam q per .d. ꝓbabis esse quam queris
Duas lineas super punctum unum ad suꝑficiem
ficie suxer punctum unum ꝑpendiculariter insistant
suprificies in qua ipse ꝑpendiculares site sunt intelligat᷑
ꝑduci quonsq secet suꝑficiem in qua ꝑpendiculariter¬

Expanded text:
uperficie proposita punctoque in ea assignato ab eo uperficie proposita punctoque in ea assignato ab eo puncto super datam superficiem lineam orthogonaliter erigere. Cum a puncto quolibet in superficie proposita assignato perpendicularem educere libuerit, a quolibet puncto sursum in aere ad libitum posito ad eandem superficiem perpendicularem, quemadpremissa docuit, dimitte. Que si in assignatum punctum ceciderit, ipsa est quam queris. Sin autem, ab ipso assignato puncto ad demissam perpendicularem equidistantem ducito eamque per 8 huius probabis esse quam querisDuas lineas super punctum unum ad superficiem superficiei super punctum unum perpendiculariter insistant, superficies, in qua ipse perpendiculares site sunt, intelligatur produci quousque secet superficiem cui dicte
Abbreviated transcription (Latin):
puncto in are assignato as eo ad datam suꝑ¬
ficiem ꝑpendicularem ducere
Sit puntus a in arr a quo uolo ad suꝑficiem subiacent
ꝑpendicularem protiahere ducatur ita in plano illo
linr̃a be ut cunq ꝯting̃erit ad ꝙͣ ab ipso puncto a du¬
catur ꝑpendicularis ad secundum Doctrinaon ar. primi/
uursus qz a pmicto d in plano ad quod ducenda est ꝓpẽ
Dicularis a pncto a extrahatur lirea de que sit ꝑpen¬
Sicularis ad liuram uc ut doce a. p̾mi d hant
quoq lineam demictatur alia ꝑpendiculans apuncto
que sit af Banc dito esse eam quam intendimus
Sit enin linea fg equidiscans lurer bc et quia uterq
Suorum angulorum bda udẜ est rectus eut ꝑ .x. linca¬
adf Ideo q per .d. erit lura gl ppendicularis ad eã¬
Dem suꝑficiem Ita a diffim̃cione erit angulus gsa rectus
cunq etiam angulus dfs sit rectus sequitur ex 4ͣ. li¬
neam af esse ꝑpendicularem ad superficiem in qua
sunt Dure linee dꝭ et fg quod est ꝓpositum

Expanded text:
Puncto in aere assignato ab eo ad datam superficiem perpendicularem ducere. Sit punctus a sursum in aere a quo volumus ad superficiem subiacentem perpendicularem protrahere. Ducatur igitur in plano illo linea b c utcumque contigerit ad quam ab ipso puncto a ducatur perpendicularis a d secundum doctrinam 12 primi. Rursusque a puncto d in plano illo ad quod ducenda est illa perpendicularis a puncto a protrahatur linea d e que sit perpendicularis ad lineam b c ut docet 11 primi. Ad hanc quoque lineam d e dimittatur alia perpendicularis a puncto a que sit a f. Hanc dico esse eam quam intendimus. Sit enim linea f g equidistans linee b c. Et quia uterque duorum angulorum b d a, b d f est rectus, erit ex 4 huirit linea g f perpendicularis ad eandem superficiem. Igitur a diffinitione erit angulus g f a rectus. Cumque etiam angulus d f a sit rectus, sequitur ex 4 huius lineam a f esse perpendicularem ad superficiem in qua sunt due linee d f et f g. Quod est propositum
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯu. bi ad liuram racionalem quarto linee cum
racionali cõstituentis mrediale equa suꝑficies
aDingintu ⁊ latus eius secum dum erit residuũ
quinctum
poux sumliter hic liuxam de esse illam qua ꝯuĩtta cũ

Expanded text:
 Si ad lineam rationalem quadrato linee cum rationali componentis mediale equa superficies adiungatur, latus eius secundum erit residuum quintum. Pone hic similiter lineam d e esse i
Abbreviated transcription (Latin):
eariuin que est as esse ꝓpendicularem ad rãdem ax¬
ficiem Fiat eñt radem prsus disposicio que in ssexta
ficie cum Duabus liuxris bd et be sequitur lieam̃ fs̃
esse ꝑpendicusariter ercam supra suꝑficiem inqua est linres
Sa adiffinitione erit angulus ẜ̾ba rectus et quia eciã
angulus Oba est rectus per ultimam partem.⁊9. p̾mi

Expanded text:
earum, que est a b, esse perpendicularem ad eandem superearum, que est a b, esse perpendicularem ad eandem superficiem. Fiat enim eadem prorsus dispositio que in sexta sint in eadem superficie cum duabus lineis b d et b e, sequitur lineam f b esse perpendiculariter erectam supra superficiem, in qua est linea b a. A diffinitione igitur erit angulus f b a rectus. Et quia etiam angulus d b a est rectus per ultimam par
Abbreviated transcription (Latin):
xũctis ab altero ad alterũ recta linẽa ducat᷑
in qua superficre ille due biñee site sunt eam
qͣ in radẽ sitron esse necesse comprobatur¬
Dint due mrer ab et td equidistantes quibus
constat ꝑ diffinicionem ꝙ ipse sunt in suꝑficie una
in xis autem signentur duo xuncta e et f et
ꝓ ducatur lurea ⁊ ecea ef dico itaq linram uf esse sitã
in suꝑfitie lunegiũ ab et ed Sm autem sit in alia
suꝑfitie ut in sublimi Sependens que suꝑficies si ꝑ¬
crabatur secabit necessario suꝑficiem̃ in qua sunt due luxr
as et co erit q per terciam cõmunis earum secio lurea
tecta uisdem punctis terminata quod est impossisile sit
Si supura idem planum Sue hure eque distãtes
alcera uero ortogonaliter sistant ⁊eliquam quoq
ad idem planuur ꝑpendicularem ese ꝯdenet
Hec est quasi conuersa. ue sinit unii dice sier as et
ed ehuidistantes et sit earum altera ut cd eicam ppen¬
Diculanter super suꝑficiem quanaibet Dico reliqͣnã

Expanded text:
tis ab altero ad alterum recta linea ducatur, in qua superficie ille due linee site sunt, eam quoque in eadem sitam esse necessario comprobaturlinee a b et c d equidistantes de quibus constat per diffinitionem quod ipse sunt in superficie una. In eis autem signentur duo puncta e et f et producatur linea recta e f. Dico itaque lineam e f esse sitam in superficie linearum a b et c d. Sin autem, sit e f in alia superficie ut in sublimi dependens que superficies si protrahatur, secabit necessario superficiem in qua site sunt due linee a b et c d. Eritque per 3 huius communis earum sectio linea rectaSi in idem planum due recte linee equidistanter, altera vero earum orthogonaliter, sistantur, reliquam quoque ad idem planum perpendicula- rem esse conveniet. | Hec est quasi conversa sexte. Sint enim due linee a b et c d equidistantes et sit earum altera ut c d erecta perpendiculariter super superficiem quamlibet. Dico reliquam
Abbreviated transcription (Latin):
Iosam sequentium Et quecunq as aliquo tetragonto
latere cnius ꝙ talis suꝑficiei proficisturtur Sieiste
suns longitudine et potentia as omibus que acħ ali
terragonto la tere talis suxfitrei gemerantur et hoc dico
cum ipsaciã sipxficierum non fuerit ꝑporcis sicut nimeiore
quoatorum hec antem ut possumus firma demonstrationx
ꝑ ducatur quota latera tetragonica duorum ꝑ¬
Ducentium Inuicem duces totam trtragonicum
latus ipsuis ꝑducti p̃duces
ueibi gracia sit ex a in s sit li ad c et d sait latera
cetriagonica a et s fiãt autem e exc in ⁊ suit iter
f et g latria tetragonica c et d et fiat l ex f ing
Sico ꝙ h est latus tetragonitum e et ꝙ rursus E
est lacus tetragonicum E Cum enin ex f inse et
nii g fiant t et h erit c ad ħ sicud ẜ ad g s et l add
sitũd ẜ ad gͥ eo q ex g in fͤ et in se fiunt q et d sunt
sunt ita cq̃s cõtinue ꝑporcionales Ĩtaq ex h̃ in se ꝙ̃tũ

Expanded text:
ipsam sequentium et quecumque ab aliquo tetragonico ipsam sequentium et quecumque ab aliquo tetragonico latere cuiusque talis superficiei proficiscantur, diverse sunt in longitudine et potentia ab omnibus que a quoquam alio tetragonico latere talis superficiei generantur. Et hoc dico cum ipsarum superficierum non fuerit proportio sicut numerorum quadratorum. Hec autem ut possumus firma demonstratione producatur quota latera tetragonica duorum precedentium invicem duces totum tetragonicum latus ipsius producti produces. Verbi gratia: Sit ut ex a in b fit k, at c et d sint latera tetragonica a et b, fiat autem e ex c in d. Sint iterum f et g latera tetragonica c et d et fiat h ex f in g. Dico quod h est latus tetragonicum e et quod rursus e est latus tetragonicum k. Cum enim ex f in se et in g fiant c et h, erit c ad h sicut f ad g, sed et h ad d sicut f ad g eo quod ex g in f et in se fiunt h et d. Sunt igitur c, h, d continue proportionales. Itaque ex h in se quantum
Abbreviated transcription (Latin):
eire conclusionis libri i0ͬ. sit expom ut dicanius au
una quaq liura ⁊acionali in potentia infinitad liurarũ
itiationalium species ꝓduci quarum millam cum aliqua
eacrum que ipsar p̃cesseuint possibile est indiffinitione
et ordure cõnenire /Uerbi gratia sumatur aliqua suꝑficies
⁊ acionasis dicta a mimero non quarto ut .l. eut latus
eius tetragonitum rrationale in longitudine quoma
ipsum est in comerensirabile lateri tetragonics suꝑ¬
ficiei rociõnalis digce anumero quarto ex ultima
porte . 7ͤ Dico ergo ꝙ huiud lateris latus Itenq
secundi lateris latur Et rursus huius terci lateris
latus et sit in infuũtum sunt linee macionales
tam in longitudine ꝙͣ in potentia et ꝙ nilla illaꝵ
quenit diffinitioire uel seecie cum aliqua que
ipsam in ordine precesserit eritq latus tetrago¬
nitum p̃misse suꝑfitie Quecimq dicta fuerit a
nimero non quorto earum omnim sicud radix et
prineipim et quelibet ist ipsarum est pͥncixium om

Expanded text:
us ab unaquaque linea rationali in potentia tantum infinitas linearum irrationalium species produci quarum nullam cum aliqua earum que ipsam precesserint possibile est in diffinitione et ordine convenire. Verbi gratia: Sumatur aliqua superficies rationalis dicta a numero non quadrato ut 5 eritque latus eius tetragonicum irrationale in longitudine quoniam ipsum est incommensurabile lateri tetragonico superficiei rationalis dicte a numero quadrato ex ultima parte 7. Dico ergo quod huius lateris latus itemque secundi lateris latus et rursus huius tertii lateris latus et sic in infinitum, sunt linee irrationales tam in longitudine quam in potentia. Et quod nulla earum convenit diffinitione vel specie cum aliqua que ipsam in ordine precesserit. Estque latus tetragonicum premisse superficiei quecumque dicta fuerit a numero non quadrato earum omnium sicut radix et principium et quelibet ipsarum est principium omnium
Abbreviated transcription (Latin):
di duas suꝑficies equidicentes una suꝑficies
ecet cõmunes earum secciõnes erunt eqͥdicentes
Constat quid̃ ꝙ ex tercia ꝙ una superficie quasq dras
Suas suꝑficies equedicentes secante cõmuues eorũ
secciones sunt due lure ⁊ ecte que cum sit ambe sice
in superficie secante si ip̃se non fuerint equi distantes
curiere erit Icaq ut unus acq idem punctus sit
in utraq illarum duarum seccionum cõmuniũm Cũq
una illarum seccionum ꝯmunium sit in una duarũ
suꝑficietũt secarum reliqua in altera sequitur suꝑsi¬
cres iccas que posite sunt equedicentes ꝯcurtere¬

Expanded text:
i duas superficies equidistantes una superficies secet, communes earum sectiones erunt equidistantes. Constat quidem ex 3 quod una superficie quascumque duas superficies equidistantes secante communes earum sectiones erunt due linee recte que cum sint ambe site in superficie secante, si ipse nononcurrere. Erit itaque ut unus atque idem punctus sit in utraque illarum duarum sectionum communium. Cumque una illarum communium sectionum sit in una duarum superficierum sectarum et reliqua in altera, sequitur superficies illas, que posite sunt esse equidistante
Abbreviated transcription (Latin):
sicud hii .3. 5. A mrmeri p̃mi ad unitatem eumt q
linr̃e Et mediales ex .ri. quoniam ipse cõmiũcane
in potencia cun linea a mediali onnes autem bed erũt
Siuerse ab a et ase inuicem ꝑ ultimami partem aͤ quonĩã
nullius istorum numerorum ad uintatem nec alicuius
eorum ad alterum ꝑ ab. et .d. et correlaerium secũde
di et presentes y pocheses est ꝓportio siut miureri

Expanded text:
sicut hii numeri primi ad unitatem eruntque sicut hii numeri primi ad unitatem eruntque linee b, c, d mediales ex 21 quoniam ipse communicant in potentia cum linea a mediali. Omnes autem erunt diverse ab a et a se invicem per ultimam partem 7 quoniam nullius istorum numerorum ad unitatem nec alicuius eorum ad alterum per 16 et 8 et corollarium secunde octavi et presentis ypothesis est proportio sicut numeri
Abbreviated transcription (Latin):
quins eam sequentib didicisti Cum ĩta linra ⁊ acionalis
in potentia tãtum non q̃at cum aliqua specierum bino¬
miorum cuit cum aliqua residuorum quoniam euue
uino mium ꝑ .3o. et omre residuum x.ud. est linea rera¬
cionalis et in longitudine et In potercia ꝯ et cum mulla
spetirs residuorum ꝯueniat cum aliqua specie binõniioꝵ
ex secunda pocrte penultime huius ioͬ sequitur ut omna
Catera 2 harum n suꝑficierum sint admucem dulsa
Ideo q ꝑ p̾mam uͥ et ipse ꝙz. suꝑficies sunt diu̾se cũ
eorum ounium altitudo sit una quare eciam hex .1.
enire irracionales ꝓposite sunt singult et a sirgulis diuer¬
se / possunt autem barum .m. linearum itracionalium
species in infinitum ꝑduci Infunte enin sunt speties
liuecerum mnedialium infunte quoq uinonnorum et cetera
matur q untas et quotlibet nmen p̃mi ut .℥.. et
a et suit tosdem lurer bed quot sunt sumpti numeri
U̾mi suit q quoata istarum lurẽarum bed ad quartum a

Expanded text:
 Cum igitur linea rationalis in potentia tantum non conveniat cum aliqua specie binomiorum aut cum aliqua residuorum quoniam omne binomium per 30 et omne residuum per 68 est linea irrationalis et in longitudine et in potentia. Et cum nulla species residuorum conveniat cum aliqua specie binomiorum ex secunda latera harum 13 superficierum sunt ad invicem diversa. Ideoque per primam sexti et ipse 13 superficies sunt diverse cum earum omnium altitudo sit una, quare etiam hee 13 linee irrationales proposite sunt singule a singulis diverse. Possunt etiam harum 13 linearum irrationalium species in infinitum produci. Infinite enim sunt species linearum medialium, infinite quoque binomiorum et sic t quotlibet numeri primi ut 3, 5 et 7 et sint totidem linee b, c, d quot sunt numeri sumpti primi. Sintque quadrata istarum linearum b, c, d ad quadratum a
Abbreviated transcription (Latin):
ipsom subsecute ullom aluis termino et ordine
sies esst imposibile est Resi duo quoq binomii
cerminũ uel ordinem quenire non est possibile
Sult per hant ios. ꝙ residuum et alie quinq liure
Irracionales eam sequentes differunt specis et diffinicio¬
ne as Ĩnuitem Et nuilla linea una potest esse sus
Suabus neq sus pluribus spetiebus haruim e linetor

Expanded text:
ipsam subsecute, ullam aliis termino et ordine ipsam subsecute, ullam aliis termino et ordine subesse impossibile est. Residuo quoque binomii terminum vel ordinem convenire non est possibile. Vult per hanc 106 quod residuum et alie quinque linee irrationales eam sequentes differunt specie et diffinitione ab invicem et nulla linea una potest esse sub duabus neque sub pluribus specie
Abbreviated transcription (Latin):
Si suꝑficies me dialis a suꝑficiẽ mediali de trahotur
fuerit q reliqua toti in connensurabilis que in ipsa
reliꝙͣ potest alterutra erit Suarum irrracionalium
urdelicet aut residuum mediale secundum aut
cum mediali comxoirens me diale
Si dduorum pmissarum Demonstratiõne non denias co¬
cludes siue difficultate ꝓpositum Snt enin tota as
et s medioles et sit a reliqua inꝯmensurabilis tot¬
euin aliter esset a medialis ex .ii. et xius latus tera¬
gonicum me diale ex i9ͣ. tunc dico ꝙ linea potens in
a est restduuin mediale p̾mum aut cum me diali
comxonens mediale Nair cum sit eg equalis as erit
p io. linea dg racionalis in potencia cantum ꝑ eandẽ
quoq cum sit fg equalis s erit eciam eg ⁊acionalis m
potenciã cantum Et cum sit a incõmensurabilis toti as
eut fg ideo inconinensurabilis cg I deo q ꝑ p̾mam s¬
sexti et ad. huius grit eciam eg̃ Inꝯmensu rabilis dg
ita adiffintiõne lurea de erit residuum tercium aut

Expanded text:
Si superficies medialis superficiei mediali detrahatur fueritque reliqua toti incommensurabilis, que in ipsam reliquam potest alterutra erit duarum irrationalium videlicet aut residuum mediale secundum aut cum mediali componens mediale. Si a duarum premissarum demonstratione non devias, concludes sine difficultate propositum. Sint enim tota a b et b mediales et sit a reliqua incommensurabilis toti aliter enim esset a medialis ex 21 et eius latus tetragonicum mediale ex 19, tunc dico quod linea potens in a est residuum mediale secundum aut cum mediali componens mediale. Nam cum sit c g equalis a b, erit per 20 linea d g rationalis in potentia tantum, per eandem quoque cum sit f g equalis b, erit etiam e g rationalis in potentia tantum. Et cum sit a incommensurabilis toti a b, erit f g incommensurabilis c g ideoque per primam sexti et 10 huius erit etiam e g incommensurabilis d g, igitur a diffinitione linea d e erit residuum tertium aut
Abbreviated transcription (Latin):
Cum adiuncta fuerit suꝑficies equalis quarto resi¬
dui medialis p̾mi ad luiram racionalem alterum
latus eius erit residuum secur dum
Hic erit liea de residuum mediale p̃mũ et
linea ef erit linea ista x cuius abscistonẽ de suerat
quod nestrit non poteris si demonstrationi xͥmisse qͦusq
eam solido. Ampletaris habitu in sciteris et quale s
linras oportet esse dꝭ et se uigilanter accenderis de
quo si dubitad .69ͣ. requirenda erit

Expanded text:
Cum adiuncta fuerit superficies equalis quadrato residui medialis primi ad lineam rationalem, alterum latus eius erit residuum secundum. Hic erit linea d e residuum mediale primum et linea e f erit illa per cuius abscisionem d e fuerat Quod nescire non poteris si demonstrationem premisse quousque eam solido amplecteris habitu institeris et quales lineas oporteat esse d f et f e, vigilanter attenderis. De quo si dubitas, 69 requirenda erit
Abbreviated transcription (Latin):
tremorum eque discantes seccionibus medie quare
ex .zo. Du ipse eciam sectiones Ouacium eetremocrũ
suꝑficierum erunt equidistantes ad ĩnuitem et quia
rse contingunt se in cõmuni seccionx duocium suꝑfici¬
erum tres positas suꝑficies secancium ex p̃missa uiu¬
Denter ꝓpositum constat

Expanded text:
erum equidistantes sectionibus medie. Quare ex 30 primi ipse etiam sectiones duarum extremarum superficierum erunt equidistantes ad invicem. Et quia ipse contingunt se in communi sectione duarum superficierum tres positas superficies secantium, ex premissa evidenter constat
Abbreviated transcription (Latin):
Ue sisium p̾mũ imestigare
ds inuencione onnium superficrerum residui facili nos
as soluit Iiencio x ordinem onnnõ soetiere bmempͦ
notr i qualibet spetie sinomiorum si minor porcio as¬
sdidatur d moiori tiea zeliqua erit re siduuir sunulis
soeciei ut patet e difficionem tam bioinore q resi¬
Anorum ꝓpris taner Inuentionibus resi dliorur
desitentes sit inqueramus st eat ponum dit lũea ara¬
conalis posita cui cõmensugiabilia in longitudure sunatur lt
siorq   numerus quartus diuisus in non quartiu fue ͭ
qualtum gsit qr xporcio quarti hure Et ad quarum

Expanded text:
esiduum primum investigare. Ab inventione omnium specierum residui facile nos absolvit inventio per ordinem omnium specierum binomii. Nam in qualibet specie binomiorum si minor portio abscindatur de maiori, linea reliqua erit residuum similis speciei ut patet ex diffinitionibus tam binomiorum quam residuorum. Propriis tamen inventionibus residuorum insistentes sic inquirimus primum. Sit linea a rationalis posita cui commensurabilis in longitudine sumatur b c sitque e numerus | quadratus divisus in non quadratum f et in quadratum g. Sitque proportio quadrati linee b c ad quadratum
Abbreviated transcription (Latin):
Sit utraq duarum lure arum ab et ed equi distans T̃nee
ef net siñt omres in suꝑficie ura. Dico ꝙ redem quo¬
qi sunt sibi Imuicem equidistantes de hus quidem
uero De hiis que in una suꝑficie non suns que ut est hie
ef que intelligatur sursam eream in subliim restat hoc
loco q̃bandum Siguetur itaq mẽa pductum g aquo du¬
cantur Due ꝑpendiculares ad duas lntas ab et ad que

Expanded text:
equidistans linee e f nec sint omnes in superficie una. Dico quod eedem quoque sunt sibi invicem equidistantes. De hiis quidevero de hiis que in una superficie non sunt ut est hic e f que intelligatur sursum erecta in sublimi, restat hoc loco probandum. Signetur itaque in ea punctum g a quo educantur due perpendiculares ad duas lineas a b et c d que