comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
proportione comparatur : Cuisi LxIIIi appositifuerint: eandem ꝓr¬
rursusuimꝓportionis explebunt : Quos LXIII ad nullum sesqui¬
t̃cium rursus aptabis: qm̃ parte tertia nontenentur: atq hoc in
ictis triplicibus inuenitur: ut extremus eiusdemꝓpo
numerus. tanto santese p̃cedentes habeat. quanto p̃rimꝰ eorum
abunitace dis cesserit: Et quitot suꝑse eius demꝓporcionis habue¬
rit numeros. quotus ab unicate primꝰ eorum iacet : eius pars qua
illi comparatus numerus possit eandem facerȩ ꝓportionem in¬
ueniri nequit: Et triplicis quidem haec est descriptio:

Expanded text:
proportione comparatur. Cui si sexaginta quatuor appositi fuerint, eamdem rursus vim proportionis explebunt. Quos sexaginta quatuor ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus ejusdem proportionis numerus, tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit. Et qui tot super se ejusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum jacet, ejus pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio:
Abbreviated transcription (Latin):
ede solidis quidem quepiramidis formã optinent aequa liter eres¬
centibus. &e a propriaue lut radicemulti angula figura progredien¬
tib dictum÷: Est & alia rursus quedam corpoꝵs soͥdop ordinabilis
nitum numquam concurrent: dispositis enĩ inordi nẽ tetragonis
qm̃his solam longiudinem lati¬
tudinẽq soraitis & altitudine carent. si ꝑ latera solamꝰ unã multiplictt¬
nem recipiant: acqualẽ ꝓuehunt profunditatem: Namquetuor te¬
tragonus. duos habet inꝰ latere &natus ÷ exbis duobus: Bisenim duo:
acuor fttiunt: hoserge duos exipsius latere simulcipl
cybi forma nascaeur: Nam sibis binos bis facias octonaria quanti

Expanded text:
de solidis quidem quae pyramidis formam obtinent aequaliter crescentibus, et a propria velut radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis nitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis, quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quanti
Abbreviated transcription (Latin):
aut̃ ratione distabunt aduob: quatuor comparati: Rursus occonaris qͥ medietas : alic sua
par teminorẽ p̃cedit &alia sut parte amaior e p̃ceditur: eadem autepar t̾e minoris
minorem suꝑat. quaparde maioris amcuore suꝑatur. Rur̃ sussi ex tremitates in
unũ redigantur & amedietate oc conario multiplicentur: dupluserit ab uno numero quẽ
xi ad uIII : qm̃ eaq̃sesqualta cõparatiodr̃ ineadiapente consonantie repenitui
dia pasonuꝰ quȩ ea duplici nascitur: exexii ad vi eopositione pductt dut pasonus ces¬

Expanded text:
autem ratione distabunt duobus quatuor comparati. Rursus octonarius, qui medietas est, alia sua parte minorem praecedit, et alia sua parte a majore praeceditur, eadem autem parte minoris minorem superat qua parte majoris a majore superatur. Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multipiam ea quae sesquialtera comparatio dicitur, in ea diapente consonantia reperitur. Diapason vero, quae ex duplici nascitur, ex 12 ad sex compositione producitur. Diapason ve
Abbreviated transcription (Latin):
diꝓporciolitas armonict medietas appellatur.
QUEMADMODŨ CONSTITUTIE
Nenaca e⁊ aRMONICa INT eos mibitiates art̃tu in

Expanded text:
proportionalitas harmonica medietas appellatur. CAPUT L. Quemadmodum constitutis metrica, et harmonica inter eos medietas altern
Abbreviated transcription (Latin):
ta ÷ innouenario non est: Ergohiꝑnaturam utriq scđi & compositisunt:
innouenario. no ne:: inaxO: uicesima quinta :

Expanded text:
t, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, in novenario nona est, in 25 vigesima quinta
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑ particularis uero ÷ : numerus ad alterum comparatus. quociens hab&e
nibus in infinitum ductis in infinitũ quoque suꝑ parcic ularium forma pro¬
sesquiquartus. aliusuͦ subs es quiquintus: atq idẽ : secundũ maiorem nor mã mul¬
titudinem que protenditur Doco autẽmaiores numeros: duces: Minores co¬
 Suꝑ parciculariũ quoq infinita ÷ multitudo : obeamrem c
speries inter minabili progressione funguntur: Namque sesqualt̃: habe¬
bit quidem duces om̃s post̾t̃ narium numerũ naturalit̃ triplices: Comites
gissimi uersus triplicium naturalis numeri atqueduplicium: & sit hoc modo

Expanded text:
Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet nibus in infinitum duciis, in infinitum quoque supersesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites gissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo:
Abbreviated transcription (Latin):
tragonoᷤ positorum. uniu sangulisit prima unitas: Alterius ueroqui contra : ẽ c̃cia
bini ualtrinserus anguli. secundas habeant unitates: & duo angulorum tecrago
i anguli. aequum faciant quod sub ipsis continetur: illiquod
admirabiliaque ꝑ pendi: quȩ interim propt̃ castigatam in troducendi breuitatẽ igno¬
caẽẽ ꝑmittimus. Nuncuero ad sequentit propo situm cona¬

Expanded text:
tragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi quodadmirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus, nunc vero ad sequentia propositum con
Abbreviated transcription (Latin):
siquis nobis eosdemꝓponat oeimper& egnoscere. utrum aliqua mensura
oportebit & qui relictus fuerit simaior ÷: auferre eaeorursus minorem: Sin
u̾ minor fuerit: eum exreliquo maioredetra here: Atquehoc eousque frciendum.

Expanded text:
si quis nobis eosdem proponat, et imperet agnoscere utrum aliqua mensura oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo majore detrahere. Atque hoc eo usque faciendum
Abbreviated transcription (Latin):
UIIerbo: bis enimbinit̃: XII pandunt: & XUIIIeademratione duolatar. a
ꝓpinquosibi XXUII ex̾bo colliqu. & unumꝰ edtrinsecus posito octonario: tresenim. ter.bis.

Expanded text:
ubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis
Abbreviated transcription (Latin):
plices asuperioribus multiplicenti.cunctos quinatifuerint. impari¬
ter pares inuenies: Atque haec ẽ admirabilis huiꝰ numeri forma. quod
cum fuerit ipsa dispositio descriptioque ꝑspectit numerorum: ad la¬
extremicates: uel unimediecati: dude duplices eactremicates In lon
hnẽ uͦ: parit̾ paris numeri remproprieca tem quede su
Quod enĩ sub duab medietatibus c̃tinetur. aequele ÷ ei quod sub ex¬
t̾remis c̃ ficitur uel quod abunat medietate nascitur: a equale ÷ illi
sub utrisq extremitatib c̃tinetur Descripto aut̃ que
rum t̾nariũ numerꝰ multiplicauit. quicũq exceo procreatis primo
s̃ uersu dispositi Rursꝰ qui eosdem multiplicante quinario natis :
scđo locos conscituti Post uͦ quosseptenarius coreros mulciplicans pro¬
creauit : eosdem t̃cio c̃ scribimꝰ loco atque idẽ. ĩ reliqua descriptionis

Expanded text:
iores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad laextremitates, vel una medietate duae duplices extremitates. In lonero, pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem qurum ternarius multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi. Rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco constituti sunt. Post vero quos septenarius caeteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem reliqua descriptionis
Abbreviated transcription (Latin):
ta positis inordinem ab unitate imparibus &e subhis adualitate parib
descriptis. coaceruatio imparium tetragonoftacit: Codceruatiopariũ
supiores efficit parte altera longiores: Qure qͦm̃ tetragonoꝵ hecnatura :
ut & abimparibus procreentur qui sunc unitatis participes id÷ eiꝰdomim¬
mucabilisq substantie cunctisq partibussuis aequalessint qđ & anguli an¬
gulis. & latera lateribus & longitudini compar ẽ lacitudo Dicendum:
huiꝰ modi numeros eidẽ natur& atq immutabilis substantie participes:
Illos uͦ mimeros quos parte altera longiores paritascreat: alterius du
eẽ substantie Namquem admodũ unus aduob unotantum alt̾: sichoꝵ
latera. a se tantum uno sunt altera. & una tantum differ̃ unitate: Qure
disponant᷑ in ordinẽ om̃s abuno impares. & sub his om̃s abinario nu¬
mero pares:¬

Expanded text:
 positis in ordinem ab unitate imparibus, et sub his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares
Abbreviated transcription (Latin):
unc uͦ deproportionidicatibus deq melietatibus dicendum ÷: & pͥmũ
quidem deea medi&ate tracitibimus: q̃ scđm quantitatis aequelitatem
tatem: inque hisspeculanda ẽ. inquibus asȩipsis t̃ minidifferunt:
Quid autem esset differentiam̃ t̃minor̃: suꝑiꝰ definitum ÷: hanc autẽ eẽ
arth maicam medi&atem: numerorũ ipsaratio declarabit. ꝗm̃eius
ꝓportio innumeri quantitate consistit. q̃igitur ÷ causa huiꝰ modit̾ minoꝵ
h abicudinem id÷ arithm&icã cunctis aliis ꝓportionalitatibus ante po
imũ quod hanc nobis in principio ipsanumerorum n
uis naturalis quantitatis opponit: huiꝰ modi enm ꝓportiones. qͥ que
adt̃minorum differentias ꝑtinent ut paulo post demonstrabit᷑:
innaturalis pͥmũ numeri dispositione cognoscemus: deinde: quod
in suꝑiore libro disputantibus nobis apparuit arith metica uĩ geome¬
trica atq inusica eẽ antiquiorem. & quod in lata ñ hassimul inferrae.

Expanded text:
unc vero de proportionalitatibus, deque medietatibus dicendum est. Et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, satur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem, numerorum ipsa ratio declarabit, quoniam ejus proportio in numeri quantitate consistit. Quae igitur causa est, hujusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem, et quod illata, has simul inferret,
Abbreviated transcription (Latin):
mũ t̃minũ collocemus: quod demedio relinquitur: secundum: dec̃cia
uͦ propositorum terminorum sũma auferemꝰ unũ primũ &eduossecun¬
dos eos. quide medie cate relicti sunt : Et id quod extercia sũma relinqͥt᷑
t̃tium t̃minũ consticuemus Uidebis igitur hoc facto in minorẽ mo¬
dum sũmas reuerti : & ad princͥpalior ͦm h abitudinem comparationes
ꝓportiones que reduci : Ocsi sit quad ruplt ꝓportio primo adtri

Expanded text:
mum terminum collocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum, et duos secundos eos qui de medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad tri
Abbreviated transcription (Latin):
id ÷ uiuile xxx UIIII solumneq cdiam constat eẽ mensurã: hosgͦ contras eprimos
uocabimus: sed sint aliinumeri nobis eadem conditione propositi id ÷ xxia uiiii.
XeII: Exhisrursus demo
i suꝑsunt iii: quisi eae nouenario detrahantur. seng¬
rius rdinquetur: Quibusitem siquisternarium demat : III relinquentur: dequb
que non poterunt: hosigitur cõm̃surabiles ꝓnunciaebimus: & ẽ eorumquiẽ reli

Expanded text:
id est 9 et 29, solum neque alium constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus que non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus, et est eorum qui est reli
Abbreviated transcription (Latin):
cem: Terciusuͦ: duplicem: Atq in cossit̃ naruꝰ bnnario. ł si senarius quac̃ na¬
rio ł nouenarius senario comparetur. ł om̃s triplices superiores: siduplici¬
.UI. quoq continent intrafilIi & eorũ medie tatem id÷ ii: & onii intrase
senariũ claudunt: & eius mediam partem iqd: III eodẽ modo in caeeris:
dicendũ uͦ ÷ siquis scđam speciem suꝑ particularis numeri considorare de¬
sidera: id÷ sesquic̃ciam : qualiratione reperiat: Ac definitio quidẽ huiu seõ¬
plis constitutis at̃ nario numero triplices comparentur: Erunt q duces quad rupli
comites cripli : Sit enim in hordine h oc modonumerus naturalis: ut subeo quadru¬
pli & triplisunt : Subponatur subprimo quadruplo primus criplus: subsecundo

Expanded text:
cem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplici quoque continent intra se 4, et eorum medietatem, id est 2, et novem intra se senarium claudunt, et ejus mediam partem, id est 3, eodemque modo in caeteris. Dicendum vero si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus comquadruplis constitutis, a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo
Abbreviated transcription (Latin):
nullos inuemes nsi
pentagonum senariumq triangulum:
atque hoc inceteris. nec hunc geniturȩ or dinẽ eptagonorum ꝓcrra

Expanded text:
nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum pr
Abbreviated transcription (Latin):
daliquid uero quanticatis : duplex÷ prima diuisio Omne enĩ. aut ae¬
quale : aut in equale. quicquid alterius comparatione maimur:
Lce aequale quidem ÷ quod ad aliquid comparatũ. nęq minoresũ¬
ma in frdẽ. neq maiore transgreditur : ut denarius denario. uelt̃ na¬
rius t̃nario ł cubitum cubito uel pes pedia hissimilia haecautẽ
pars relate ad aliquid quantiratis id ÷ aequalitas : naituralit̃ indiuisa:
Hullus enĩ pocest dicere : quod aequalitas hocquidem tale ẽ: illud
uͦhuius modi: Omĩs enĩ aequalicas unam seruat in propria mode¬
rationem̃ suram : Illud dicom quodq ei quanticas comparatur. non

Expanded text:
aliquid vero quantitatis, duplex est prima divisio. Omne enim, aut aequale est, aut inaequale, quidquid alterius comparatione metitur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum, neque minore summa infra est, neque majore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitum cubito, vel pes pedi, et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est, aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim dicere potest quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero hujusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. Illud etiam quod quae ei quantitas comparatur, non
Abbreviated transcription (Latin):
titudinem uincunt: Rursus. XUIIIi. numeri medietas: est duoderim Tercia¬
arca uł: sextaiii hoctauaꝰ duodecima: li uicesi maquarca .ł. qr
xxx& uirepedunt: Inquare manifestum ÷ quod suma partium maior est:¬
& supraproprium corpus exundat: Atq hicquidem cuiꝰ compositae parces
totils summam : numeriuincunt : suꝑ fluus appellatur: diminutus uͦ ille¬
cuiꝰ eodem modo cõposicae partes totius termini multitudine superantur.
ut uii uł xiiii: hab& enim octonarius partẽ mediam: idẽ inIi. hab& aequarcã:¬
norem scilic& sũ mẽt totocor pore concludentes : Rursus x ui habent medie
inunũ sicollec tesint : denarii numeri suma succrescit tocoscilica t̃mino
minor: atque hiquidem hoc modosunt : ut prior ille quenisuȩ parcessupe¬
rant talisudeatur. tamquaẽ siquis multis suꝑ naturãmanib natus. utcenti¬
manus gigas. ł triplici conuinctus corpore ut geryotergeminis. uł quic quid
umquam monstruosum naturae impartuim multiplicatione subripuit:

Expanded text:
titudinem vincunt. Rursus 24 numeri medietas est 12, tertia 8, quarta 6, sexta 4, octava 3, duodecima 2, vigesima quarta 1, qui omnes 36 rependunt, in qua re manifestum est quod summa partium major est, et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem cujus compositae partes toticujus eodem modo compositae partes totius termini multitudine sut 8, vel 14, habet enim octonarius partem mediam, id est 4, habet et quartanorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietin unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel triplici conjunctus corpore, ut Geryon tergeminus, vel quidquid quam monstruosum naturae in partium multiplicatione subripuit
Abbreviated transcription (Latin):
actenus deimparibus numeris quantum incroductionis ꝑmittebat
breuitas expeditum ÷: Rursus numerorũ parium : sic fit scđa diuisio
aluienĩ eorums̃ suꝑ flui: aliidiminuti : scđm utrasq habicudines in aequalica¬
tes: Omnis quippe in aequalitis: aut inmaiorib aut inminoribus considera¬
tur: Illienim : mmoderatti quo dam modo plenitudine : propru corporis mo¬
dum. partium surum numerositate p̃cedunt: Illos autem uelud pauꝑcate
in opes opp̃ssosque quadam naturȩ suȩ inopia : muor quam ipsisunt parci¬
um sũma componit: Atq illiquidem quorum parces ultraquam satis ÷ sese
porrexefint: suꝑ flui nominantur ut suncxiiuel xxiuii hienĩ suispartib
comparati. maiorem parciũ sũmam totocorpore sortiuntur : Est enim duo

Expanded text:
Ac de imparibus numeris, quantum introductionis permittebat brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus consideratur. Illi enim immoderata quodammodo plenitudine, proprii corporis modum, partium suarum numerositate praecedunt. Illos autem veluti paupertate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt, superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur.
Abbreviated transcription (Latin):
naturam . a beiꝰ substantie natura discessis sedicuntur Putanturq. alterius nature
ẽẽ participes: id circo qm̃ cum latera tetragonorum abequalitate ꝓgressa inequa¬
em.propriae latitudinis ambitum ten̾dant: hiab ierto uno gb
literum difcesser̃: atq idõ dissimilib c̃scant laterib & quodã modo asealteris con¬
uinguntur Quare notum nobis ÷. quod exhis eaquesunt in hoc mundo con¬
unctas̃: aut enimproprie immutabilisq eiꝰdemq substantie : quodds̃ ł anima
.ẽ. uł qđ̃cumq proprie nature incorporalitate beatum: aut
uariabi lisque naturae. quod corporibus indubitant̃ uidebimus accidere:

Expanded text:
sius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae sius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno abatque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo alteris a se conjunguntur. Quare nobis notum est, quod ex his ea quae sunt in hoc mundo, conuncta sunt. Aut enim propriae, immutabilis, ejusdemque substantiae est, quod Deus, vel animael quodcunque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere
Abbreviated transcription (Latin):
ede solidis quidem figuris haecadp̃sens dicta sus ficiant Qui autem denct¬
tura rerum ꝓpinquis inuestigantes rationib quiq in matheseos disputatione
uersati. quid. inquaq ret̾ eẽt p̃roprium subtilissi me peritissimeq edider̃ : hi
im om̃ium nacuras ingeminas diuidentes. hac speculation
Dicunt enim omnium rerum substantiã constare: exeaq̃ proprie sueq semꝑ
habitudinis : nec ullo modo ꝑmutatur. & rascilic& natura queuariabilis motus :
sortita substantiam: & illam primã inmuitbilem naturam: uniꝰ eiusdemq.
turamq impares numeri formati sunt. quiq exhis coaceruatis tetragoni fiunt.
upliciꝰ modo eiꝰdem subscantie parcicipes eẽ dicͤuntur. quod uel abaequalitate
formldir tetragoni. uł cocceruatis in unũ numeris imparibuspereantur Illi uͦ
quis pares qm̃binariinumeri formes. quiq ex his coaceruati c̾ollectiq inunam
eriem. parte altera longiores numeri nascuntur. hi scđm ipsis

Expanded text:
de solidis quidem figuris, haec ad praesens dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes omnium rerum substantias constare ex ea quae propriae suaeque semper habitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque turamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragonquoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ip
Abbreviated transcription (Latin):
llud quoq subtilius quod multi huiꝰ discipline
periti nisinichomachus. numꝗ antea prospexer̃.
quod inomni dispositione ł continuał disumcta.
quod continetur sub duob extremitatibus: minus :
nu mero qui ex medietate conficitur tantum quantum possung duc
ubde differentiae continere queint̃ ipsoss t̃ minos constitute: Pona¬
nusenimcres t̃minos huiꝰ modi iu.U. VII sugitur tressep¬
ehis numerꝰ ab eo quem extremitates colligunt. quat̾ nario maior:. quẽ
slice differentiae conficiunt: nnit̃ ui enimae u & UIi. bismant᷑ st̃:
Quossnsese multiplices: IIII reddunt: bis enimduo: iuii fuint: recte

Expanded text:
llud quoque subtilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione, vel continua, vel disjuncta, quod continetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres sepEt hic numerus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario major est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos s
Abbreviated transcription (Latin):
acibus minus ẽẽ illo numero quific exmedi&ate. tantum. quantum diffe¬
rtie in semulti plicitate rescituunt
uartum uͦ ꝓprium huius modi
dispositionis nocatur quod antiquiores
uoq h abuere notissimum quod in h ac
pro portionalitatȩ ł medieta te inminorib
irminis maiores proportiones. in maiorib minores neri

Expanded text:
 quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. Quartum vero proprium hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportionalitate vel medietate, in minoribus terminis majores proportiones, in majoribus minores
Abbreviated transcription (Latin):
inhis hocquoque mirabile. Nam que ubi prima lacitudo fuerit du¬
plex : & subeisdem qui sunt uersus continui alt̃ natim positi secun¬
dum seriem latitu dinis dupliceserunt: Siuꝰ fuerint triplices. & infe¬
riores ordines tripla seinsius terminis multiplicatione supertibunt :
at inqua druplat : quadrupli: Atq hoc in infinicaductũ speculatio¬
ne non fallit: Angulares autem om̃ium multiplices eueni reneces
set Erunt enim: duplicium quidem triplices triplicium qua drupli¬
ces quad ruplorumu quincu pͥi. secundum cande mordinis in com¬
mucabilem rationem sibim&e cuncta consentient: quibus eaposi¬
tis. ad sequentem operisseriem. conpetens disputatio conuertatui¬

Expanded text:
in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum speculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cuncta consentient, quibus expositis, ad sequentem operis seriem competens disputatio convertatu
Abbreviated transcription (Latin):
bit  Biemm & potestate primi trianguli idest unitacis
unitas latus : Actuuͦꝰ & opere trianguli primi id÷ cerna¬
rii dua licas quam greci diadauocant Serundiuͦ trian¬
guli quiopere atq actu secundus ÷ id est senrii. crescente
naturali numero in lateribus ter narius inueniti cio
Terciuꝰ id est denarii. quat̃ narius lacus continet quarpuse
id÷ U quinarius lacus ten&: & quinti senarius. Idẽq
disposita nacurali quantitate numerorum sipriorib
semꝑ multitudo sequentium congregetur.: Disponatur enĩ
naturalis numerus hoc modo:

Expanded text:
bit. Vi enim et potestate primi anguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur. Tertius vero, id est denarii, quaternarius latus continet, et quanti vero, id est 15, quinarius latus tenet, et quinti senarius. Idemque disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modo:
Abbreviated transcription (Latin):
Onde nunc nobis monstrandum÷ hacgemina numerorũ natura quadra¬
torum scilic& & parte altera longiorum: cunctasnumeri spaies. cunctasq
rium & ceteroꝵ: ła dseipsam consideratȩ. ut formarum quas budum in

Expanded text:
nde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque rium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in
Abbreviated transcription (Latin):
cuͦ triangula figura. cum eam quisita diuiserit mcilia figuras
non resoluitur. nisi inseipsam intria angula dissipatur

Expanded text:
 triangula figura cum eam quis ita diviserit, in alias figuras non resolvitur nisi in seipsam, in tria enim triangula dissipatur
Abbreviated transcription (Latin):
huergo naturalit̃
uentes imparessunt. quos nullus in medio parnumerus detino
quidẽ. sed eiꝰ partes in diuisibiles: reperiuntur: propt̃ in secabilis unitacis naturã:
Bis iubis ubis Uubis ouiibis .xi. & deinceps E &quibus nascuntur hi i. ii .ui.
COIII.XII. quossidiuidas: ung̃recipiunt sectionem e
pudiantes quod scđa diuisio ab imparis medioeate partis. excluditur: his
autem numeris a seinuicẽ quat̃ narii . sola distantia ẽ: Namq int̾ duo &esex

Expanded text:
ergo naturaliter sequentes impares sunt, quos nullus in medio par numerus distinquidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam. Bis 3, bis 5, bis 7, bis 9, bis 11, et deinceps, ex quibus nascuntur hi, 2, 6, 10, 14, 18, 22. Quos si dividas, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantia est. Namque inter 2 et 6
Abbreviated transcription (Latin):
n tecitegonum primo parte alt̾a longiori compares. a
scđo &e quar tum ter tio. & quintum quarto: easdemrursus proportiones
efficiꝑ notabis quais in suꝑiore forma descripsimus. Sedhic differentie
unitate non inchoant: sed abinario numero in infinitu
quartꝰ: tcusesquit̃ cius. scđm eandem conuenientiam quat in superius
demonstrata est

Expanded text:
 tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitumquartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est
Abbreviated transcription (Latin):
terutrum cognatione uingatur: hicautem ttlis ÷ quidiuitur in aequits par¬
uiduntur. sed non ut usq aduntatẽ progrediatur aequalis illa dis uinctio ats
soluuntur Sunt etiam quidam aliinumeri: quorum partes alias recipi
diuisiones: sedipsa diuisio. adunita tem usque nonꝑuenit: li
quod plusq unam recipit sectionem: hab& similitu dinem parit paris sed a
parit᷑ imparis segregatur: In eo uͦ quod usq adunum sectio illa nonduc itur
unt optinere: & hab& quidem quod utriq non habent. quodcũ inunoso

Expanded text:
terutrum cognatione jungatur. Hic autem talis est qui dividitur in aequas par partes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis illa distinctio, ut solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Iquod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter impari segregatur. In eo vero quod usque ad unum sectio illa non ducitur,unt obtinere. Et habet quidem quod utrique non habent, quod cum in uno so
Abbreviated transcription (Latin):
maneant: Neq enim eanon subsistentibus efficiquicquã potest. & sunt ipsataus¬
similia &epocencia componendi Haecautẽ sunt quibus constat par. qrigdi ui

Expanded text:
maneant. Neque enim ex non existentibus effici quidquam potest, et sunt ipsa dissimilia et potentia componendi. Haec autem sunt quibus numerus constat, par atque i
Abbreviated transcription (Latin):
immutabili necessitate comple¬
bunt: Atq hoc usq ad exxtremos t̃minos cadit: idẽ .i. & caxuuisemel enĩ
excremꝰ t̾ minus : C de a UIII. ÷: Etcenties uicies atq occies unitate mul¬
a nichil depriore quantitate mutabitur. Siautẽ impar
rint disposiciones unus mȩdius t̃minus inuenitur: Atq ipsesibi propria
multiplicatione respondo In eo nãq ordine numerorum ubi extre¬
mꝰ c̃ minus.lxIIIi pluralitate concluditur : sola inuenitur uNa
medietas id ẽ. UIII Quamsi octies idẽ insem & ĩpsãmultiplices. LXIIII. ex plica¬
bit: atq idem red dent illiqui suꝑ hanc merdietatẽs: ut duum hiiqui suꝑ duas
positi sticiebant namquat̃ xuii Heiiii s. & sedecies IIII. idẽ complent Rur sus
bis a xxuifacti. a LUIIIIñ discedunt: Et tricies bisduo. eostemcumulant:
Etsemel LXIIII. uel unitas sexagies qua t̃ multiplicata: eundẽ numerum: si ne

Expanded text:
immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ul
Abbreviated transcription (Latin):
culares uł multiplices suꝑ parcientes oriuntur: Quare conscat: om̃ium in &¬
qualitatum aequalitatem esse principium : Exeadem enim inaequalia cunc¬
ta nascuntur: Acde hisquidem actenus disserendum esse credidimus: neud iri¬
finica sercemur. uł circares. obscurissimas ingredientium animasdetinentes
abutilioribus moraremur:¬

Expanded text:
culares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur
Abbreviated transcription (Latin):
Quem ad modum primus: ad seđm sic est secundus ad t̃cium
Sed int̾ primũ ae scđm nihil inter est : Uienĩ & ui : nulla spati i
int̃ ualla disuinglint: ltaceiam unicas inseipsa multiplicata.

Expanded text:
quemadmodum primus est ad secundum, sic est secundus ad tertium. Sed inter primum et secundum nihil interest, 6 enim et 6 nulla spatii intervalla disjungunt. Ita etiam unitas in seipsa multiplicata
Abbreviated transcription (Latin):
quemliboe numerũ quantas in se rainae tor unitatibus designa¬
re : quam notulis:
Est igitur unitas uicem optinens puno¬
tũ int̃ uelli longitudinisq princi principium : Ipsa uero nec in ter¬
uelli nec longitudinis capax. quem ad modũ punctum. principiũ
quidem line est atq int̾ ulli Ipsumu nec int̾ uallũ neclinea: Neq
enim punctum. puncto suꝑpositum: ipsum efficit int̃ uallum
elut sinihil nulli uingas. nihil enim est. quo dexnul

Expanded text:
quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus designaquemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli, longitudinisque principium, ipsa vero nec intervalli, nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nul
Abbreviated transcription (Latin):
fecimꝰ quod omines disciplinas haec interempta consumer& : quas mini¬
me constituta fir mar&: hoc autẽ cognoscendum ÷ qđ hacc signa nume¬
rorum posica sunt quȩ nune quoq homines insummarum designatio¬
ne describunt: nonnaturali insticutione formata sunt : Vt enĩ qui¬
narii subiectam notulam fingande .u. ł denariiquam descripsimus
id de .x.&dias huiꝰ modi. non nacura posuit. sed usus ad fuaat quinq
enim uno U. uł deremꝰ a ł quolib& alios illis notulis ꝓrompen dio no¬
tare uoluer̃: nequot unicates quis monstrare uelĩ. totiensei uirgulȩ
ntur: Nos aut̃ quotiens cumq aliquid monstrare uol
In hisp̃sertim formulis : or dinacarum uirgularum multitũ dinem
non graua mur apponerẽ: Cu menim quinq uolumus demonstra¬
re: facnnus quinq uirgulas ducimusq eas hoc modouIII &ecum
decem : nichil ominus Qua naturalius÷

Expanded text:
fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minifecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta infirmaret. Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam descripsimus de X, et alias hujusmodi, non natura posuit, sed usus affinxit. Quinque enim vel decem, vel quotlibet alios illis notulis pro compendio notare voluerunt, ne quotiens unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas, ducimusque eas hoc modo, 1 1 1 1 1, cum 10 nihilominus, quia naturalius est
Abbreviated transcription (Latin):
ad dliquid sperulamur: ad p̃sens dicta sufficiant: Nunc autem inh¬
ac sequenti a querlam deea quanticate q̃ꝑseipsam constat. Neque
ad cdiquid refertur: expediam Quae nobis adea prod esse postintma
q posthaee rursus derelaca ad aliquid quantita te tractabimus amar
enim quodam modo macheseos speculatio alt̃na ꝓbationũ ratione
constitui : Nunc aut̃ nobis de̾is numeris sermo futuris : quicirca figu¬
ras geomecricas & earum spatia dimensionesq uersa
line aribus numeris & detriangularibus ł quad ratis. ceterisque quos
sola pandit plana dimensio. Nec nonde in aequali lacerum compo¬
sitione coniunctis: desolidis aeiam. id est. cubis. &sphericis uł pyra¬
midis. lacerculis &iam. ł tignulis. &cuneis q̃ omnia quidem ged maeni¬
cȩ ꝓ prie consid erationis sunt. Sed sicut ipsa geometricȩ seientia abe
rit h maeta uelut quadam radice ac matre productaẽ.:ita &iame
figurarum semine in primis numeris inuenies: Planum siquidẽ

Expanded text:
ad aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia, quaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia dimensionesque versantur, id est de linearibus numeris, et de triangularibus vel quadratis, caeterisque quos sola pandit plana dimensio, nec non de inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam, id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt. Sed sicut ipsa geometricae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figurarum semina in primis numeris invenimus. Planum siquidem
Abbreviated transcription (Latin):
idẽ t̃narium axi uerot̃ ciã idẽqͥl septimaiti & in om̃ib aliis eadem conse¬
cipalis intellegentiae: nam edcaliis numeris proereatur. Glili quidem e de¬
Compositus autem dicitur eoquod resolupo÷ in eosdem ipsos aquib dicitur
eẽ compositꝰ. in eosscilic& qui cõpositum numerũ metuntur Nichilenaĩ
quod dissoluipor in cõpositum ÷ sed om̃irerum necessitate compositũ :¬

Expanded text:
id est, 3; 21 vero tertiam, id est 7, septimam, 3, et in omnibus aliis eadem consedquam principalis intelligentiae. Nam ex aliis numeris procreatur, 9 quidem eCompositus autem dicitur, eo quod resolvi potest in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem quod dissolvi potest incompositum est, sed omni rerum necessitate compositu
Abbreviated transcription (Latin):
seregiar dictum : mediũ terminũ inhuius modi mediette cadem suparte
minorẽ: uuncere &ameiori superari: sed noneis dem partib ał munors sui paretre¬
osgedi ł maioris amaiore transcendi : Contraria̧ ar monicamediets proper¬
nes haliae:. Namq ñ eadem pertesuc mediust̃minꝰ inhac portioneł minorem
uincit uł a mtiore. sed eadem parte minoris mimorem s perat. quuaallte idio¬
ris aidiore superatur. In hac enimdisposicione armoniat qi t̾ minꝰ medibintnũ

Expanded text:
e igitur dictum est medium terminum in hujusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a majore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel majoris a majore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua, medius terminus in hac proportione uperatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte majoris a majore superatur. In hac enim dispositione harmonica, quae est
Abbreviated transcription (Latin):
iui om̃s siad latitudinem NeΜSΡECULATIO
comparati fuerint : id ÷ trianguli tecragonis. ł tetragoni.
agonis ł pentagoni exagonis ł hii rursũs eptagonis: sine
aliquã dubitationẽ triangulis sese suꝑ abunt: Namq sic̃ narium
triangulum quat̾ nario. ł quater narium tetragonũ quinario.
ł qui narium pentagonũ. senario exagono ł senarium septe¬
nario eptagono compares: primo setriangulo id: sola transeunt
unicate ac uꝰ sisencrius contra nouenarium. łhucontra. Xii.

Expanded text:
 omnes si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt At vero si senarius contra novenarium,
Abbreviated transcription (Latin):
contneduos conpares & hic quoq dupla ꝓpostio ẽ : quos tres
terminos si continue consideres : &̧ duab ꝓportionib fit ꝓ¬
que redactio fit&iã & in longiorib: Nã si iiii illis octo ue¬
lis ad iungere & his .xVI. & his .xxxii & de inceps duplos
qui sequunt᷑ fit in omnib dupla ꝓpostionalitas & ꝓposti¬
onib duplis: Igit᷑ quotiens unꝰ atq idem ternunꝰ itaduob
circũse terminis communicat: ut ad unũ dux fit. ad ali¬
ũ comes: haec ꝓpostionalitas continua uocat᷑: ut unꝰ. duo
iii: est enim aqualitas : in his ꝓpostionib: & quẽ ad modũ

Expanded text:
contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit pque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum
Abbreviated transcription (Latin):
dã depportionib disputantes quȩ nob ul ad musicas specu¬
lationes uelad astronomicas subtilitates: uel adꝗcomaricȩ
conndenitionis uim: uel &iã adu&erũ lectionũ intellegentiã
pdene posunt aridimetica in troductione commodissime
terminare est igit᷑ ꝓpostionalitas duarũ uel eriũ uel quoc¬
lib ꝓpostionũ ad sumptio adunũ atq collectio ut autẽ com¬
muniter definiam ꝓpostionalitas ẽ. duarũ uel pluriũ ꝓposti¬
onũ similis habitudo : &iã si non eisdem quantitatib. & differen¬
tus constitutȩ sint: differentia uero ẽ inter numeror
quantitas ꝓportio ẽ duorũ terminorũ adseinuce quȩdã
habitudo & quasi quodã modo continentia quorũ conpositio
quod efficit ꝓpostionale ẽ &iunctis enimꝓpostionib
ꝓpostionalitas fit : intrib autẽ terminis ĩinima ꝓpostionali¬
tas inuenit᷑ fit &iã in pluribi sed longior: ut binirius adunũ
qm̃ duo sunt termini duplã obtin& ꝓpostionẽ : sinuero .iiii

Expanded text:
dam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius atermini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor
Abbreviated transcription (Latin):
sunt iui adduo sic sunt duo ad unũ & rursus quẽ ad modũ
÷ ad .ii. sic ir ad .iiii. & secundũ quantitatẽ quoq numeri
eodem modo ẽ : quantũ enim tres supenent. binariũ tan¬
tũ binarius unitatẽ : & quanto unꝰ ad uob: minor .ẽ. tan¬
tũ binarius a ternario superat᷑: sinuero alius adunũ
refestur. terminꝰ : alius uero ad aliũ. nec esse .ẽ. habitu¬
dinẽ disiunctã uocari: ut ad aequalitatẽ quidẽ ꝓpostio¬

Expanded text:
sunt 4 ad 2, sic sunt duo ad unum. Et rursus, quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quatuor. Et secundum quantitatem quoque numeri, eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad aequalitatem quidem proportio
Abbreviated transcription (Latin):
uiterq: doceam: sit enim talis discriptio : inqua ponatur
in ordinẽ usq adde nariũ numerũ continui numerior¬
donaturalis : & secundo uersũ duplus ordo tixat᷑: testiõ tri¬
plus quarto quadruplus : & hoc usq ad decuplũ : sic enĩ cog¬
noscemꝰ : quẽ ad modũ suꝑ pasticulari & suꝑ pastienti : & cunc¬
tis aliis princeps erit species multiplicis & quȩdã alia si¬
mul inspiciemꝰ : & ad subtilitatẽ tenuissima & ad scientiã
utilissima : & ad &ercitationẽ iucundissimo
SECUNDAUNITAS

Expanded text:
iterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem valde jucund
Abbreviated transcription (Latin):
mutabili eos natunte ꝓnuntiabo coniuncto qđ uero porea
tere longiores & copulatione pariũ ꝓcreant᷑ nũquã ab alteri
RAL ODIORIBVS QUISIT EORVIM CONSONSUS IO
llud igit᷑ perspiciendũ ẽ quodsi idom taragoni & paste altene
longiores disponant᷑ itauts altermafuꝵ sibis mixti sint tan¬
ta in his ẽ coniunctio ut aliar sibi in eis dẽ ꝓpostionib comimu¬
nicent: discrep ent autẽ differentiis alias uero differentus pa¬
res sint̃ ꝓportionib distent: disponant᷑ enim in ordinẽ ide᷑ il¬
li superiores taiegoni & paste altera longiores ab uno: i.ii.

Expanded text:
eos naturae pronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium, procreantur, nunquam ab alteritra longioribus, qui sit eorum consensus, in llud igitur perspiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, et parte altera longiores ab uno. Ergo