comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Sumatur multiplex quet̃q que sit .a. ⁊ numerus eam
dẽnominans .b. Sũmatur itaq suꝑparticulans q̃ sit. ẽ ue¬
nominet᷑q pars ipsius a.õ. Sitq .d. uel pars .b. si habũit.
uel ei equał. Qͥa gͥ .b. ductus in .d. ꝑduc̃ uel unum. uł nu¬
merum ꝑcorolłum .xi. huius manifestũ ꝙ ꝯposita erit mnt̾¬
tiplex. Uno quidem maioris de nominationis si .d. equalis ẽ
.b. Eo uͦ amplius quo minor ipsius fu̾it pars.
ata multiplici: suꝑparticularem ĩ.xxiii.¬
uenire quecum illa multiplicem
ostrcuat. Unde patet quod ex qua¬
libet multiplice cum tota super par

Expanded text:
Sumatur multiplex quecumque que sit a et numerus eam denominansb. Sumatur itaque superparticularis que sit c. Denomineturque pars ipsius a d. Sitque d vel pars b, si habuerit, vel ei equalis. Quia igitur b ductus in d producit vel unum vel numerum per corollarium xie huius, manifestum quod composita erit multiplex uno quidem maioris denominationis, si d equalis est b. Eo vero amplius quo minor ipsius fuerit pars. ata multiplice superparticularem invenire que cum illa multiplicem constituat. Unde patet quod ex qualibet multiplice cum tota superpar
Abbreviated transcription (Latin):
Hãbr siquidem᷑ quilib exagonus tot senarios supͣ
precedentem quotus est ipse aprimo post unitatem
ꝑ p̃missam. S ⁊ quilib tͥangularis tot ħt unitates su¬
pra p̃cedentem quotus ipse abunitate. Itaq quot ht
exagonus quilib senarios suꝑ unitatem. tot ht umi¬
tates totus triangularis. Itaq patet quod si senariꝰ
in illum ducatur ad datum unitas: ꝑueniet totus exa¬
gonus.⁊sic de ceteris.

Expanded text:
Habet siquidem quilibet exagonus tot senarios supra precedentem quotus est ipse a primo post unitatem per premissam. Sed et quilibet triangularis tot habet unitates supra precedentem quotus ipse ab unitate. Itaque quot habet exagonus quilibet senarios super unitatem tot habet unitates totus triangularis. Itaque patet quod si senarius in illum ducatur, addaturque unitas, proveniet totus exagonus et sic de ceteris.
Abbreviated transcription (Latin):
um enim ex diffinttione ꝑ quaitam scd̃i minor extremoꝵ mni¬
lore aisstrenia st m aior. qua maior est oiferentia ma¬
iore maior. sequitur ut uel subunitate diminõ. uel illis minorẽ
sint insua ꝑpͥne. Quod est contra ypothesim.
Inter unitatem &e aliquem numerum .xxxuiii.¬
siue inter numeros in sua proportiõe
minimos scđm armonicã medietatẽ
nonest assignare medium:ꝓrtionis a⁊ b̃.¬
⁊ differẽntia eoꝵ. c̃.⁊ compositus ex eis. d. Ducantur gͥ. a. ⁊ .b. in.d.
ꝑueniant. ẽ. f. Eritq differentia eoꝵ .g̃. quam numerabit.d.
scđm. c̃.⁊ quia. d. est tamquam. a.⁊.b. tc̃. c̃. ductus in .a.⁊ .b.
facit .g. fiat gͦ .h. ex.a. in .c̃. ⁊ dempto eo de.g. remaneat .K. q̃m
ꝑducet .b. in.c̃. Medius gͦ inter. ẽ. ⁊ .f. sumatur qui sit .l. cuius
differentia ad.ẽ. sit .h. Palam gͦ quod differentia eius ad f. ẽ
k.⁊ qr .h. ad .k. tamquam.a. ad.b. ⁊ quia. ẽ. ad. s̃. tamquam. a.

Expanded text:
um enim ex diffinitione per quartam secundi minor extremorum minore differentia sit maior quia maior est differentia maiore maior, sequitur ut vel sub unitate diminutio vel illis minores sint in sua proportione. Quod est contra ypothesim.Inter unitatem et aliquem numerum sive inter numeros in sua proportione minimos secundum armonicam medietatem non est assignare medium. Cum enim ex dift differentia eorum c et compositus ex eis d. Ducantur igitur a et b in d et proveniant e f. Eritque differentia eorum g quam numerabit d secundum c. Et quia d est tanquam a et b, tunc c ductus in a etb facit g. Fiat ergo h ex a in c et dempto eo de g remaneat k quem producet b in c. Medius ergo inter e et f sumatur qui sit f cuius differentia ad e sit h. Palam ergo quod differentia eius ad f est k. Et quia h ad k tanquam a ad b et quia e ad f tanquam a
Abbreviated transcription (Latin):
numerus numerat. Contra se pͥ¬
mi autem dicuntur: qui anullo cõ¬
muntter numerantur excepta so¬
la unitate. Termini ꝓportionis
dicuntur numeri minimi inter

Expanded text:
numerus numerat. ‹iv› Contra se primi autem dicuntur qui a nullo communiter numerantur excepta sola unitate. ‹v› Termini proportionis dicuntur numeri minimi inter
Abbreviated transcription (Latin):
S int partes.a.⁊.b. ⁊ numer denoĩantes eas. c̃.⁊.d. Atq
ex. c̃. in .d. fiat. ẽ. Dico quia pars denoĩata ab . ẽ. est qd̃
ꝑlucit᷑ ex .ã. in .b. sit autemꝰ illuo.f. Est siquidem unũ
ad .c. sic̃ .d. ad. ẽ. sed.ã. ad unum ꝑꝑ hoc. sic̃ .d. ad. ẽ. Itẽq
.f. ad .b. sic̃.d. ad.ẽ. ꝑ pͥmam. quare .f. ad.b. sic̃ .a. ad unũ.

Expanded text:
Sint partes a et b et numeri denominantes eas c et d. Atque ex c in d fiat e. Dico quia pars denominata ab e est quod producitur ex a in b. Sit autem illud f. Est siquidem unum ad c sicut d ad e. Sed a ad unum propter hoc sicut d ad e. Itemque f ad b sicut d ad e per primam. Quare f ad b sicut a ad unum.
Abbreviated transcription (Latin):
ħt eũ plusꝗͣ semel. ⁊ eiꝰ unã part̾e. hoc ÷. ħt eũ. aut dupłu
aut tͥpłu. aut qͣdruplum. aut qͦciens libet. ⁊ eiꝰ qͣlibet
partiũ exub̾atione contigit. hic gͦ ex multiplici ⁊ suꝑ¬
exqͥb ipse nũs origiñe trahit. Nã pͥma pars hꝰ uocabuli.
qr mulciplicis nõie possessa ÷ multiplicis nũi specier̃ uocabło
nominanda ÷ Q̃ uero suꝑparticłaris ẽ: eodẽ uocabulo ñcu¬
pabit᷑. quo suꝑ particłaris nĩi spẽs uocabant᷑. Dicet᷑ eñ
qui duplice habuerit aliũ nũm. ⁊ eiꝰ mediã partẽ: duplex
sesqualt̾. Q uͦ t̾ciam duplex sesquit̾ciꝰ. Q qrͣtã. duplexsesqͥ¬
qrtꝰ. ⁊ deinceps Si uͦ ter eũ totũ contineat. ⁊ eiꝰ mediã
partem. uł tciã. uł qͣrta. dicet᷑ t̃plex. sesqualt̾. Triplex

Expanded text:
t eum plus quam semel et ejus unam partem, hoc est, habet eum aut duplum, aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et supex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine pest, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et ejus mediam par
Abbreviated transcription (Latin):
ert̾moꝵ agg̾gatione. ⁊ młtiplicatione medietatis. duple
⁊ eo q subutraq ext̾mitate conficit᷑. Sit aũ qͣdã hs aispõnis
exemplar hmͦ. ui. uiii. ix.xii. hasgͥom̃s solidas qmͣtitates
t̾. hoꝵ aũ medietates. octonariꝰ. fit semel duo qͣt̾. Nlouena¬
dim̃sionib notati st̃. I nhisgͥ geomet̾oa ꝓportionalitas inue¬

Expanded text:
extremorum aggregatione et multiplicatione medietatis, duplex est eo quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus disposolidas quantitates ter. Horum autem medietates, octonarius fit semel duo quater. Novenadimensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas inve
Abbreviated transcription (Latin):
tes medietati duplȩ sunt. Si enĩ iunx̾i̾s senariũ ⁊ xii. faci¬
es xuiii. qͣ÷ nouenano mectio t̾mino. duplus Inbisgͦ ge¬
omet̾cã. arichineticãꝙ medietatẽ ꝑspeximus. ¶hicq armo¬
nica medietas inuenit᷑ sixii. adym. ⁊ rursus. ii. ad sena¬
riũ cõꝑaremꝰ E enĩ parte senarii octonariꝰ senariũ suꝑat. id:
parte t̾cia. eacł̃ duodenarii parte. octonariꝰ suꝑat᷑. Qt̾uor
enĩ qͥb octonanꝰ aduodenario uincit᷑. auodenarii t̾ciapar

Expanded text:
tes medietate duplae sunt. Si enim junxeris senarium et duodecim facies 18, qui est novenario medio termino duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque medietatem perspeximus. Hic quoque harmonica medietas invenitur, si 12 ad 8 et rursus 8 ad 6 comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte, octonarius superatur. Quatuor enim quibus octonarius a duodenario vincitur, duodenarii tertia par
Abbreviated transcription (Latin):
ent᷑. ⁊ õis suꝑiꝰ dicta ꝓp̾etas arithineticȩ medietatis. ihis t̾¬
minis custodit᷑. S si xx. nũm mediũ ponã. ut si sint ..
Xu.xl. ingeomet̾tam medietatẽ. t̾mini relabunt᷑. eqͣlib
t̾minoꝵ adse inuicẽ ꝓportionib custoditis. Nou̾ẽ uͦ sunt̾
dietas. ut qua sũma. max̃iꝰ nũs paruissimũ p̃cedit. ead̃ ma¬
ior diffr̃a. minorẽ diffrãm uincat. Qͣ uͦ disciplina. bꝰ mͦi
medietates repꝑire. possumꝰ. exꝑiendum ÷. Datis duob t̾mi¬
nis si arithineticã medietatẽ ⁊ stituere oportebit. utraq:
ext̾initas ꝯiungenda. Qđ q exea copulatione colligit᷑. diui¬
dendũ. isq nũs qui exea diuisione redactꝰ ÷ arithmneticã
medietatẽ. int̾ ext̾mitates locatꝰ efficiet. ut .x. ⁊ xl. siuin¬
xero: efficient .i. ds sidiuidam xxu. redt. hic erit me
slã .xl. denariũ. tcenario suꝑat. q̃ si diuidas .x. fiunt
mediũ ꝯsticuas. arithineticȩ medietatis ordo format᷑. Geome¬

Expanded text:
is terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. Novem vero si indietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem major differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10 et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit medNam 40 denarium tricenario superat; quem si dividas 15 fiunt; medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geome
Abbreviated transcription (Latin):
t heç ꝗͣ sex st̃ medietates. qͣ
tres. apitagora usq ad platonẽ.
aristotilemq manser̃t. Post uͦ: qͥ ĩsecuti sunt. has tͦs alias
alias iiͦii. medictates apposuit. qͣs ñ adeo. qͥs inuetum lib̾s
inueniet. has gͣ nos ꝗͣ possumus b̃uissime. disponamus.
¶ Pma enĩ q̃ ÷ ear̃ inordine uͦ septima medictas. hm ꝯuingr̃¬

Expanded text:
 sex medietates, quarum tres a Pythagora usque ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero qui insecuti sunt, has tres alias,alias quatuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim quae est earum, in ordine vero septima medietas, h
Abbreviated transcription (Latin):
s tm̃ adĩplendam denarii nũi qnͣtitat̃ẽ. Q nec lateant. ne¬
ue sint aliqͥb ignorata. depromimꝰ. Nident᷑ heş enĩ supra¬
dictis medietatib eẽ contͣriȩ. ex quib originẽ tͣhunt.
sita uidet᷑ armonicȩ. Inqua tͥbus t̾minis positis. q̃ adm̃ ẽ
maximꝰ t̾minꝰ ad paruissimnũ. sic̃ diffrã in inoꝵ̾. ad diffrãm

Expanded text:
narii numeri quantitatem. Quae, ne lateant neve sint aliquibus ignoratae, depromimus. Videntur enim hae supradictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. sita videtur harmonicae, in qua tribus terminis positis, quemadmodum est maximus terminus ad parviss
Abbreviated transcription (Latin):
t̾mini custediunt. diuidas.⁊ id qͣ relinqr: mediũ t̾miñ
ponas. Namq rl. ad denariũ qͣdruplus ÷. gͣ quadruplu
si diuidas. duplumfacies. qui ÷ scił .xx. Nam .xx. ad de¬
nariũ: duplus ÷ ħc si mediũ constituas medietatẽ geo¬
metͥcã prefe̾t. Sarmonicã uͦ medietatem talimͦ reppies
Diffrãm t̾minoꝵs ĩ minorẽ t̾minũ multiplica. ⁊ pꝰ uinge

Expanded text:
dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medietatem, tali modo reperies: differentiam terminorum in minorem
Abbreviated transcription (Latin):
tͥnscenadt̃. Om̃sq pecates qs supͣdirimus ĩmedietate arith¬
metica⁊ uenire. Ab hac huiꝰ mͦi dispõne. ñ reppies alienas.
t̾minus mediũ tnͣsit. tanto mediꝰ uincit minorem. Mex¬
tremitatũ aggregatio. duplex est medietate.⁊ minor
qͣ medietas eadem sui parte ⁊ a maiore iuncit᷑. ⁊ minorẽ
metice medietatis st̃. Qđ sislipiꝰ st̃ dicta. memini̾t lector.
ita os̃ indubitant᷑ intelliget.s Rursus sint᷑ easđa. ⁊ ul.¬

Expanded text:
nesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire ab hac hujusmodi dispositione non reperies alienas. terminus medium transit, tanto medius vincit minorem. Et extremitatum aggregatio duplex est medietate, et minorlud quoque quod medietas eadem sui parte et a majore vincitur, et minorem meticae medietatis sunt. Quod si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelliget. Rursus si inter eosdem
Abbreviated transcription (Latin):
ad paruissimũ. comꝑat᷑ ita diffr̃a maioris medii. ad me¬
p̃cedit. ⁊ alia sua parte a maiore p̃cedit᷑. Ead aũ parte
minoris minoeẽ suꝑat. qua parte maioris. a maiore stiꝑat᷑.
Rursus si ext̾mitates munũ redigant᷑. ⁊ ã medietate oõto¬
nario multiplicent᷑. duplus erit. abeo nũo. ꝙ̃ sole ext̾mi¬
tates multplicate ꝑfacuit:. Om̃s aũ inhic dispone sp̃ho
q̃m ea q̃ ꝓportio ÷ sesquitercia. Ac diapente .xii. ad uiii.¬
qm̃ ea quȩ sesq̃lta comparatio qr. inea diapente ⁊sonantia
repꝑit᷑. Hapason uͦ quȩ ex duplici nascr. ex xii. ad ui. cõ¬
positione ꝓducit᷑. Diapason ui ⁊ diapente. q̃ tͥplicẽ obtiñ
octonarii ⁊ senarii. id÷ ii. & senartꝰ adbinariũ tͥplus:
⁊cdiapason simul ⁊ diapente. ꝯsonantiã sonant. Ia uͦ maior
osonantia: q̃ ÷ hisdiapason. q̃ ex quactruplo fit ĩmedii. tͥmi¬

Expanded text:
m, ita differentia majoris et mepraecedit, et alia sua parte a majore praeceditur, eadem autem parte minoris minorem superat qua parte majoris a majore superatur. Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multiplicentur, duplus erit ab eo numero quem solae extremitates multiplicatae perfecerint. Omnes autem in hac dispoiam proportio sesquitertia est. At diapente, 12 ad 8, quoniam ea quae sesquialtera comparatio dicitur, in ea diapente consonantia reperitur. Diapason vero, quae ex duplici nascitur, ex 12 ad sex compositione producitur. Diapason vero et diapente, quae triplicis obtinet octonarii et senarii, id est 2. Qui senarius ad binarium triplus est, et diapason simul et diapente consonantia sonant. Illa vero major consonantia quae est bis diapason, quae ex quadruplo fit in medii termi
Abbreviated transcription (Latin):
id ÷ ix.⁊x. uł xi. duodenariꝰ qui sequit᷑ ternarii nũi qͣdruptꝰ
est. atq hoc idem in infinitũ progressis. necesse ÷ uenire. Sẽꝑ
multiplicis nũi uices inuenire mirabi̾s.Si enĩ .iiii. int̾mit¬
tas. qncuplus inuenit᷑. Si .u. sescuplus. Si ui. septuplus. Semꝑ¬
ꝙ p̃iꝰ multiplicationis noĩe. uno minꝰ int̾missionis uocabulo
procreat᷑. Nam duplus. unũ int̾mittit. T plus .u. & aripluᷤ
uͦ: unus semper par t̾minꝰ. Impar alius inuenit᷑. Quadru¬
pliui. rursus semꝑ parem custodiunt qnͣtitatẽ. Constituunt᷑¬
q a qͣrto nũo uno exp̾orib ꝑ ordiñe positisparib int̾misso.
pͥmo paribinario. Post ħc .iii. int̾misso senario. Post hc̃ xii.¬
int̾miso denario. Atq hoc idem incȩt̾is. Qncũpli uͦ ꝓpositio.
scãm t̾plicis similitudinẽ alt̾nat̃i parib atꝙ imparib po

Expanded text:
 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semmultiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim 4 intermittas, quincuplus invenitur, si quinque sexcuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 transmisso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum triplicis similitudinem, alternatim paribus atque imp
Abbreviated transcription (Latin):
st aũ in hisqͦ magna
similitudo uͥtutis ⁊ uitii. ꝑfectos enĩ nũos rarent᷑ inue¬
nies. eosq facile numerabiles. qrpe q̃ pauci sint. ⁊ nimis ꝯstanti
cedine proc̾ati. At uͦ suꝑfluos ⁊ diminũtos. longe multos
ĩ finitosq repꝑies. nec ułł ordinib passim in ordinateq dis¬
positos ⁊ a nullo certofine gn̾atos. S St̃ autẽ ꝑfectinũi intͣ
denariũ nũm. Ui. int̾ centenariũ. xx.uiii. Intͣ millenariũ

Expanded text:
st autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros raro invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri, intra denarium numerum 6, intra centenarium 28, intra millenarium
Abbreviated transcription (Latin):
latis altrinsecꝰ positis. ⁊bis medio tetragono. tetͣgonꝰ sit.
longuato uis facto. nascit᷑: ip̃e qͦ tetragonus sit. ⁊ ut
angłoꝵ tociꝰ descͥptionis ad angłares tetragonos posi¬
tetͣgonoꝵ & anguli. ȩquũ facient. qͥ subip̃is continet᷑. illi ꝙ sit
abuno illoꝵ. qui ÷ alt̾nsecus angulorum. ¶Multa etiam
sunt alia. quȩ in hac descͥptione nulla possunt admirabilia¬
q ꝑpendi: q̃ inti̾m pp̃ castigatam introducendi breuitatẽ
ignota ẽẽ ꝑmittimꝰ. Nunc uͦ adseqñtia ꝓpositũ conu̾tamꝰ¬

Expanded text:
lateris altrinsecus, et bis medio tetragono tetragonus sit.longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit, et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus, nunc vero ad sequentia propositum convertam
Abbreviated transcription (Latin):
Siquis aũ qrͣti anguli t̾minũ. qͥ sedecim nũ qnͣtitate notat᷑
÷.⁊ longitudinẽ iatitudinẽq inqͣdragenos det̾minat:
uelit suꝑiarib comparare: ꝑ .x. litt̾ȩ foem̃a ꝓportione colla¬
ta: qͣdrupli multitudinẽ ꝑ notabit. hisq ẽ ordinabilis
suꝑ se ꝓgssio ut pͥmus pͥmũ tͥbus suꝑet: ut uͦuͬ mnunitatẽ.
Scds scłm senario uincat: ut .uiii. binariũ. łciꝰ t̾ciũ no

Expanded text:
Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem pernotabit. Hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus superet, ut 4 unitatem. Secundus secundum senario vincat, ut octo bin
Abbreviated transcription (Latin):
ores ordines comꝑarent᷑: qui scił aiii. angulũ incipienteᷤ:
inuigenos t̾minũ pont̃: duplex. id ÷ pͥma sp̃es multiplica¬
tis ostendit᷑. Ita ut pmus. pͥmũ. sola suꝑet unitate. ũ duo
unũ. Scd̃s. scd̾m binario suꝑuadat. uͥ qͣt̾nariꝰ binarium.
ł̃ciꝰ t̾ciũ. trib usenariꝰ t̾nariũ. Qͣrtꝰ quartũ. q̃ternarii
nũositate transcendat. t uiii. quat̾narium. Et ꝑ eancl
cuncti sequentiam sese minoris pluralitate p̃t̾eant. Siuͦ
t̾cius angłs respiciat᷑. qui ab .ix. inchoans: longitudinem
iatitudinẽq tͥgenis altͥnsecꝰ niũis extendit. Et hic c̃pͥma
latitudine ⁊ longitudine comparet᷑. tͥplex sp̃es multiplici¬
tatis occurrit. ita uͥ ista comꝑatio ꝑx. litta̾m fiat. Hiq nũi¬
se superabunt: scđm paritatis factam nat᷑alit̾ cõnexione.
rem scilicet nob̃ ⁊ ip̃a nat᷑alis obiecit integritas: nicħ nob̃
extͣ machinantib ut in ip̃o modulo descͥptionis apparet.

Expanded text:
ores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii nucuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab 9 inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per X litteram fiat. Hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet.
Abbreviated transcription (Latin):
SSiquis uͦ in hac dispõne suꝑ particłaris spẽs reqͥrat: tali
eiq suꝑiacet binariꝰ. atq adhunc seq̃ntẽ quis acõmodet
ordinẽ: sesqualta̾ ꝓportio declarabit᷑. Nam t̾ciꝰ sccdi u̾sus
xii. ad octo: Itemq incȩt̾is qͥ st̃ in eadẽ serie nũi. si talis
coniugatio misceat᷑. nulla uarietutis dissi militudo sub-¬
ripiet. Eadem tam̃ sũmar̃ suꝑglłio ÷. in hoc qͦ quȩ indupli¬
cib fuit. Primus enũ pͥmũ id ÷ t̾nariꝰ binariũ. uno suꝑat.¬
do t̾tio comparet᷑: ut .iiii. adui. ⁊ eotłẽ cȩtõs ordine ꝯsecte¬
ris. sesquit̾cia comꝑatio colligr̃ ut .iiii. adtres. uł uiii. ad
conseruet᷑: Oł ret̾e̾a eos. qui sub ipsis sunt. sudem faciens
subsequentes u̾sus alt̾utris comꝑauis: om̃s sine ullo ĩpelim̃¬
to: sp̃es suꝑ particłaris agnosces. s hoc aũ in hac ÷ specła¬

Expanded text:
rticulares requirat, tali eique superjacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declaratur. Nam tertius secundi versus  ad 8, item et in caeteris qui sunt in eadem serie numeris talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno sudo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad conservetur. Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento spe
Abbreviated transcription (Latin):
tiplicẽ ineqͣlitatis spẽm cunctis p̃p̃osiumꝰ. pͥma q spẽm
ẽẽ monstrauimꝰ: licet ħ nob̃ pꝰt̾ioris oꝑis ordine clarescat.
hic qͦ ꝑstͥngentes id qͣ ꝓposumus. planissime b̾uct̾q docea¬
mus. Sit eñĩ talis descͥptio. inqͣ ponat᷑ inordinẽ usq ad de-
plum. Sic enim cognoscemus quemadmodũ suꝑ particłari
⁊ suꝑ partienti ⁊ cunctis aliis pͥnceps erit spẽs multipliciᷤ.
⁊ quedã alia simul inspiciemꝰ ⁊ ad subtilitatẽ tenuissimã

Expanded text:
cem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denaplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima,
Abbreviated transcription (Latin):
uꝑ particłãris uero ÷ nũs: ad alt̾m comparatꝰ.
noris habeat medietate. uocat᷑ sesquiterciãs. Si uero qrt̃a.¬
ininfinitum ductis: inĩsinitũ qͦ suꝑarticłariũ foxma pro
Aliꝰ sub sesquigrtꝰ. Alius uero subsesquiqͥnt᷑. Atq idem scł̃m
maioꝵ normã multitudinẽq protenalit̾. Uoco aũt maio¬
res nũos. duces. Oinores. comites. Suꝑ particłariũ qͦ infi¬
nita:÷ multitudo. obeam rem. ¶ͣ eiusđ spẽs int̾minabili pro¬
gressione sungunt᷑. Namq sesqualt̾ habebit ꝗͣ duces om̃s
post t̾narium nũm natãlit̾ tͥplices. Comites uͦ om̃s pꝰ bi¬
u̾sus tͥpliciũ nat᷑ał nũi atq dupliciũ hoc modo.

Expanded text:
particularis vero est numerus ad alterum comparatus, noris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tin infinitum duciis, in infinitum quoque superparticularium forma progalius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post biversus triplicium naturalis numeri atque duplicium,
Abbreviated transcription (Latin):
rius. qͥ scđs. S Gn̾atio aũi proc̾atioq eoꝵ ÷ fixa firmaq Nlequo
alio modo fieri possint: nec ut si hoc modo fiant. aliud qͥddã
ullo modo ualeat proc̾ari. Dispositos enim abuno om̃s pa¬
rit̾ pares nũos inordinẽ qͦusq uolu̾is pͥmo scđm agg̾gabis.
⁊ si pͥmus nũs ⁊ inconpositꝰ exilla coaceruatione factus sit.
tota sũmã in illum multiplicabis. ꝗ̃ pꝰt̾iꝰ agg̾gau̾as. Siuͦ
coaceruatione facta. pͥmus ⁊ in conpositꝰ inuentꝰ ñ fu̾i̾t:

Expanded text:
rius qui secundus. Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggregaveras. Si vero coacervatione facta, primus et incompositus non inventus fuerit,
Abbreviated transcription (Latin):
cumeo parit inchoans ȩqualit̾ꝙ: det̾minans Idem aũ diconuĩt
ꝗ metit᷑. Si gͥ uis solum maiorẽ nĩm. minor nũs metiat. sib¬
lupsus uocabit᷑ sSisi ter: sub tͥplus. Si qͣt: sub quadruplus. Ist
e bec in infinttũ prog̾ssio. Additaq eos semper sib p̃postione.
notab ut unꝰ: duoꝵ sub duplus. tͥũ sub tplus. iii subq̃drups
appellat᷑ & consequent᷑.s Cũ aũ nat᷑alit̾ multiplicatas ⁊sib¬
muttiplitas infinitasit. eoꝵe qͦ spẽs ꝑ pͥas gn̾ationes ininfim
ta consicatione ũsant̃. Si eñi posttis innat᷑ali constitutione
niũs. singlos ꝑsuas seq̃ntias pares eligas. om̃iũ ab uno pariũ
atq imparũ sese sequentiũ. duplices er̃t. huiꝰ speclãtionis

Expanded text:
cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, et hujus speculationis
Abbreviated transcription (Latin):
lenariũ nũm ꝑfecta ⁊ suis partib eqͣ nũositas. UIgit̃ pͥma uni¬
tas uirtute atq potentia non ⁊̃ ac tu uł oꝑe. ⁊ ip̃a ꝑfecta ÷
Nam si pͥmã ipãm sumpsero de ꝓposito oedine nũoꝵ: uideã pͥmã
atq iconpositã. Qũe si ꝑ se ip̃m multiplico: eadẽ mͥ unitas
procdit᷑. Semel enĩ .i. unã solam efficit unitatẽ. q̃ partib sius
equał ⁊÷ potentia solum. sȩt̾is ⁊ actu atq opere ꝑfectis. Rec

Expanded text:
itas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Rec
Abbreviated transcription (Latin):
totoscił t̾mino minor Atq hi ꝙͣ hmͦ st̃. u pͥor ille q̃ suȩ parteᷤᷤ
suꝑant. talis uideat᷑. tanꝗͣ siquis multis suꝑ natam manib natꝰ.
Ut centimanꝰ gygas. Nt tͥplice coniuinctꝰ corpore. ut gerion ter
tiplicatione se subripuit. Ille uͦ. ut si nat᷑alit̾ qͣdam necessarra
parte detͤcta. aut minꝰ ocło nasceret᷑. ut ciclopee frontis de¬
decus fuit. uł qͦ alio curtatꝰ menbro. nat᷑ale tociꝰ suȩ pleni-¬
tudinis dispendũ sortiret᷑. Qnt̾ hos aũt uelut int̾ ineqles
rigit᷑. nec contͣcta rursus diminutione remittit᷑. s me¬
dietatis obtiñ̾s t̾minũ. suis ȩqꝰ partib. nec crassatur habun¬
dantia. nec eget inopia. Ut. Ui. ł xxuiii.Nãq senariꝰ ht

Expanded text:
ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel triplici conjunctus corpore, ut Geryon tergtiplicatione surripuit. Ille vero ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta, aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro, naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur. Inter hos autem, velut inter aequales rigitur, nec contracta rursus diminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum, suis aequus partibus, nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut sex vel 28. Namque senarius habet
Abbreviated transcription (Latin):
rio dempsero. suꝑ st̃ u. Atq exhis alios duos .iii. rursus ex¬
uba̾nt. Qs aliobinario diminutos. sola unitas suꝑstes eg̾dr.
Ut quales hi sint inuestigent᷑. cũ sibimet fui̾nt comparati.
Rursus aufero de maiore. minoris nũi qnͣtitatẽ. id ÷ .ix. de .xx.¬
Qͥ si ex nouenario retͣhunt᷑. senariꝰ relinquet᷑. Qͥb i. it̾e siqͥs
t̃nariũ demat.iii. reli. sq̃nt̃. De quib ii. det̾hi nequeunt

Expanded text:
rio dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exrio dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium d
Abbreviated transcription (Latin):
hi qͦ incõmensurabiles er̃t. Qnͥqͥes eñi qnq ut dictum ÷ xxx.¬
⁊ septies ii. faciunt xluirii. Q mensura nulla cõmunis
÷ nisi foete om̃iũ hord procatͥx. ⁊ mat̾ unitas.
⁊ imperet agnoscere itr̃ aliqͣ mensura cõmensuirbiles sint.
An certe sola unitas uttͦsq menat᷑. reppiendi ars talis ÷ Datis em̃i
duob nũis in eqͣlib auferre de maiore minorẽ oportebit.
Et qͥ relictꝰ fu̾it. simaior ÷ auferre exeo rursus minorem. Si
si minor ftũt. eũ exreliqͦ maiore dethere. att ħ eousq facien¬
cdu qͦadunitas ultima uiã retͣctionis impediat. aut aliqͥs
nũs impar necessario. si utͥq nũi impares ꝓponant᷑. s eum
qͥ relinqr nũm sibi ip̃i uidebis ȩquałe c̃ simmunũ incurrat uicis¬
utrasq sũmas. atq eundẽ ip̃m qͥ remansit̾. dicemꝰ utroꝵ q
cõmunẽ eẽ m̃surã. age aũt duos nũos ꝓpositos habeamꝰ qͦs
iubeam̃ agnoscere. an eos aliqͣ m̃sura cõmunis metiatur.

Expanded text:
hi quoque incommensurabiles erunt. Quinquies enim quinque ut dictum est 25, septies 7 faciunt 49. Quorum mensura nulla communis est, nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas.  imperet agnoscere utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, reperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo majore detrahere. Atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissummas, atque eumdem ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mensura communis metiatur.
Abbreviated transcription (Latin):
actenus de imparib nũis qnͣtũ introductionis ꝑmittebat
b̃uitas. expeditum ÷. Rursus nũoꝵ pariũ sic fit scdã
diuisio. Alii ẽoꝵ enĩ st̃ suꝑflui. Alii diminuti scłm utͣsq
habitudines in ȩqͣlitatis. om̃is qͥppe inȩqͣlitas aut inmaiorib
aut ĩminorib ꝯsidãt᷑. Iui enĩ ĩmoderata qͦdã mͦ plenitudi¬
ne ꝓͥi corꝑis modũpartium suar̃ nũositate preceđt. Illo ᷤᷤ
aũ uelut pauꝑtate mopes oppressosq qͣdam nat̾e siue in¬
opia. minor ꝗͣ ip̃i sunt partiũ sũma ꝯponit. Atq illiq
quoꝵͤ partes ultͣ ꝗͣ satis ẽ se se porrex er̃t. suꝑflui noĩantur.
Ut sunt xii. ⁊ .xxiiii. hienĩ sius partib comparati: maiorẽ
partiũ sũm̃a toto corpore sortiunt᷑. Est enĩ duodenarii medi-¬
etas .Ui. Pars t̾cia .iui. Pars u.iii.Pars .tͣ .ii. Pars duode
multitudin̾e uincunt. Rursus xxiiii. nũi medietas ÷ xii.

Expanded text:
is permittebat brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus consideratur. Illi enim immoderata quodammodo plenitudine, proprii corporis modum, partium suarum numerositate praecedunt. Illos autem veluti paupertate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt, superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas 6, pars tertia 4, pars quarta 3, pars sexta 2, pars duodecmultitudinem vincunt. Rursus 24 numeri medietas est 12,
Abbreviated transcription (Latin):
nariũ metit᷑.xxi. enim nũi: t̾nariꝰ septima pars ẽ. Atq h
ĩinfinitum faciens: repꝑio pͥmũ nũm sibinos int̾misero: om̃s seq̃n¬
tes posse metiri scdm qnͣtitat̾ẽ positoꝵ inordine impariũ nũoꝵ.¬
m̃sura sit inuenire: tnsmissis .iiii. ĩparib: qͣntꝰ ei q̃ metiri possit
occurrit. Int̾mittant᷑ eni.iiii. impares id ÷ uii. ⁊ uiii. ⁊ xi.

Expanded text:
narium metitur, 21 enim numeri ternarius septima pars est. Atque hoc in infinitum faciens, reperio primum numerum, si binos intermisero, omnes sequentes post se metiri secundum quantitatem positorum ordine imparium nusit mensura invenire, transmissis 4 imparibus, quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, id est 7 et 9 et 11
Abbreviated transcription (Latin):
hic ꝑpͥmi mũ idẽ t̾narii qnͣtitate metiendꝰ ẽ. Et p illũ sex aliis int̾¬
seq̃r ꝑseptenariũ nũm ab eodem septenario metiendꝰ : id ÷ ꝑt̾cis
gͦ metiendi uicissitudine. q̃ adm̃ st̃ inordinẽ natałr impareᷤᷤ
stituti. Metient᷑ eñi si ꝑ pares nũos abinario inchoantes po-¬
sitos int̾ se impares rata int̾missione tnͣsiliant: Ut pͥmꝰ duo. Scdꝰ
et scãm dupplicationẽ t̾minos int̾mutant. Ut t̾ariꝰ qͥ pͥmꝰ :¬
bis unũ. Q cũ duo sint. pͥmus duos medios triseat. Rursus scds
id ÷. qͣnariꝰ. silocum dupplicet iui. explicabit. Nic qͦ uti qͣtuor
int̾nittat .Item a septenartꝰ qui tsꝰ⁊. locũ suũ aupplicet sexabit.

Expanded text:
i, id est, ternarii quantitatem metiendus est. Et post illum sex aliis intesequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est, id est pergo metiendi vicissitudinem, quemadmodum sunt in ordinem naturaliter impares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes, positos inter se impares rata intermissione transiliant, ut primus 2, secunet secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui bis unum. Qui cum duo sint, primus duos medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, 4 explicabit: hic quoque 4 intermittat. Item si septe
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ scdm. ⁊ t̾ciũ. ꝑ i̾cium. Et incet̾is eadẽ similitudine. m̃sura
ꝯstabit. Alios gͦ si respicias uł qui alios mensisunt. uł qͥ ip̃i ab ali¬
is metiunt᷑. inuenies om̃iũ simul cõmunẽ m̃surã ẽẽ nonposse.
Neq ut om̃s q̃ꝗͣ aliumsimul numerent. Csclam aũ exhis ab alio
posse metiri. ita ut ab uno tm̃ numẽnt᷑. alios uͦ ut ⁊̾ aplurib
Qͦsdam aũ ut pret̾ unitatẽ eoꝵ nulla mensura sit. Qͥ gͦ nulłã
mensurã p̃t̾ unitatẽ recipiunt: hospͥmos ⁊ in compositos iudi
camꝰ. Qͥ uͦ aliꝗͣ m̃surã pret̾ unitatẽ. uł alienigene partis
uocabulũ sortiunt᷑. eos pñtiamus scdos atq compositos. Tci¬
um uͦ illud genus ꝑ se scdĩ ⁊ compositi pͥmi uͦ ⁊ incõpositi ad
altu̾trũ comparati. hac inqͥsitor rõne reppies Si enim
qͦslib⁊ illos nũos scđdm suã insemet ip̃os multiplices qnͣtita¬
tẽ. qui ꝓc̾ant᷑ ad altu̾trũ comparati. nulla m̃sure cõmuni¬

Expanded text:
 per tertium, et in caeteris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judi aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione reperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semetipsos multiplices quantitate
Abbreviated transcription (Latin):
iunctȩ ip̃e utrȩq equales erunt. suꝑ se t̾minis ꝯstitutis: Ut
Qͦs senariꝰ c̃ denario copulatꝰ efficiet. Atq ħ innũosiorib t̾mmnis
initio sumpto amediis. eueñ usqcdu adext̾ma ueniat᷑.¬
mparit̾ par nũs
est. ex utͥsq confectꝰ. ⁊ medietatis loco. gemina extͥmitate ꝯclu¬
dit̾. Ut quo abutͦq discrepet: eadẽ ad altu̾tr̃ dognatione um¬
gat᷑. hic aũ talis ẽ. qui diuiđr meqͣs partes. cꝰq pars. inalias¬
ad unitatẽ progredit᷑ equalis iuia disiunctio. Ut st̃ .xxiiii.
⁊ xxxxiii. hi enĩ posst᷑ immedietates diuidi. ⁊ eore rursus

Expanded text:
inis constitutis. Ut quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatmpariter par numerus est ex utrisque confectus, et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut qua ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione jungatur. Hic autem talis est qui dividitur in aequas partes, cad unitatem progreditur. Aequalis illa divisio est.4 et 28. Hi enim possunt in medietates dividi, et eorum rursus
Abbreviated transcription (Latin):
cõꝑati diffrãm: t̃plus : Illa aũ max¬
una sphoma q̃ uorat᷑ bis diapason:
uelut duplum his. qm̃ diapason symphonia. ex duplici ꝓpor¬
tione colligr᷑. huic se iunctẽ: armonicȩ medietatis int̾se¬
rit. Nam induplici ꝓportione. mediꝰ t̾minꝰ adminoris siu

Expanded text:
comparati differentiam, triplus est. Illa autem maxima symphonia quae vocatur bis diapason, velut bis duplum, quoniam diapason symphonia ex duplici proportione colligitur, huic se juncturae harmonicae medietatis interserit. Nam in duplici proportione, medius terminus ad minoris su
Abbreviated transcription (Latin):
xuiii. xxuii. Octonarii gͥ iatꝰ. ÷ binartꝰ. ẜis enĩbini.biᷤ.
octonariũ fecert̃. Ternariꝰ uͦ xxuii. cubi latꝰ ÷. ter enĩ
iIi.t̾.xxixii. restituunt. Medietas gͣ q̃ uixta octonariũ
unũ lat̾. ex alt̾nsecꝰ posito .xxuii. cubo. bis enĩ binit .xii.
cubo collig̃. ⁊ unũ ab altnsecꝰ posito octonario. ł resas.¬

Expanded text:
 bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres
Abbreviated transcription (Latin):
parte. uł minoris minorem suꝑat. ł maioris amaris. re¬
liuqͥt᷑. S quaparte sia mediꝰ t̾minꝰ minorẽ suꝑat. eaqd parte
suamaior t̾minꝰ. mediũ t̾miniũ uincit. Qđ ÷. uͥ medietas
atq ext̾mitas. eqͣlib medietatẽ atq ext̾mitatẽ reliꝗͣ suis
imunũ redactas medietas multiplicau̾i̾t. dupla qntitas
colligat᷑ ꝗͣ si se multiplicent duȩ ext̾mitates Sint eñi bii
nariũ facies. & ꝑ quat̾nariũ ductus. xxxx. efficit. Q̃

Expanded text:
noris minorem superat, vel majoris a majore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua major terminus medium vincit. Quod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis in unum redactas, medietas multiplicaverit, dupla quantitas colligitur, quam si se multiplicent duae extremitates. Sint enim hi narium facies, qui per quaternarium duc
Abbreviated transcription (Latin):
mediꝰ. in eadẽ ꝓportione ꝯ stitui p̃. Namq senariꝰ adiui. ses¬
qualt̾ ÷ ⁊ ix. ad senarium. eodem mͦ sesqualt᷑. ħ aũ idcͥco
euenit. đ singła lat̾a. singłoꝵ tetragonoꝵ efficiunt sena
senarius ÷. W quocienscumq datis duobꝰ tetragonis.
eoꝵ medietat̾ẽ uolumus ĩuenire. latã eoꝵ multipli¬

Expanded text:
medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senarsenarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multipli
Abbreviated transcription (Latin):
uͦ medietatẽ. optimatiũ dñt eẽ rem publicã. iõ ꝙ ĩma¬
iorib t̾minis. maior ꝓportionalitas inuenit᷑. Geomet̾ca
medietas. ppsaris quod̾a modo ⁊ exequate ciuitatis ÷
Namq uł inmaiorib uł ĩminorib equali om̃iũ ꝓportiona¬
litate componit᷑. Et ẽ int̾ om̃s paritas quȩda medietatis¬
ĩpportionalib medietate iungant̃. Solidi uͦ nũi duabꝰ
medietatib ĩ meclio collocant᷑.
ost hȩc gͥ tempꝰ ÷. ut expediamus ño ꝗͥdam nimis utile
implatonica qͣda disputatiõe: q̃ intimei comoẜopera.
haut facili cuiꝗͣ uł penetrabili rõne u̾sat᷑. Om̃s eñ plane
figẽ. q̃ nulla altitudine c̾scunt. una tm̃ medietate
geomet̾ta ⁊tinuant᷑. Aira quȩ iungat. ñ p̃ inueniri. uñ

Expanded text:
e rempublicam. eo quod in majoribus terminis major proportionalitas invenitur. Geometrica medietas popularis quodammodo exaequatae civitatis est: namque vel in minoribus vel in majoribus aequali omnium proportionalitate componuntur. Est enim inter omin proportionalitatibus medietate jungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio collocantur Post haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quadam disputatione, quae in Timaei cosmopeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde
Abbreviated transcription (Latin):
lxiiii. Int̾ hos om̃s dupla ꝓportio ẽ. Apparet etiã ꝓportiona¬
litas s. inbinis ꝓportionib abunitate alt̾nat̾i parte alt̾a
longiorib. quadratisq dispositis. aprima multiplicita¬
tis habitudine. id ÷ a duplici ꝑ cunctas suꝑparticłaris
habitudines. ꝓportionesq discurrens. qͣ subiecta descͥpti¬
one signatum ÷
Parte alta longior
Tetraconus
letragonus
Parte altu longior
Terragonus¬
Parte altu̾ longior

Expanded text:
 inter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus, ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis, a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticulares habitudines proportionesque discurrens, quod subjecta descriptioparte altera longior tetragonum tetragonus parte altera longiorem tetragonusper antelongior
Abbreviated transcription (Latin):
qͦ eoꝵ t̾minoꝵ duple ẽẽ uideant᷑. Ita uno minꝰ t̾mino ĩ diffr̃s.
om̃s pene dispositos subtͥ t̾minos quoꝵ st̃ ip̃e diffr̃ẽ. supior
nitat̾ẽ: ip̃a unitate differt. ⁊ quaternariꝰ binario. ip̃o
binario ⁊ octonariꝰ quat̾nario. ipso qͣternario: ⁊ deinceps
maiores alii ip̃is minorib abeisdem ipsis differt̃. qͦs nũosi
t̾plices ꝓpoxtiones. maior t̾minus. ã minore t̾mino. duplicato
minore t̾mino. differt: ut si sint .i. iii.ix.tres abuno. bina
tͥplicato minore t̾mino. maior t̾minꝰ aminore distabit.
Tsi qͥncupla. qͣdruplicata. ⁊ si sescupla. qͥncuplicato ⁊ una

Expanded text:
que eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior nitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numeroiplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binatriplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una
Abbreviated transcription (Latin):
nifun̾t minꝰ. dociens ilła pyramidem. curt̃a ẽẽ ꝓpo¬
nimꝰ. hoc aũ ñ solum atetragono pyramidis s in
õĩb ab om̃i multangulo ꝓg̾dientib specłari licet.

Expanded text:
rint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proporint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solum a tetragono pyramidis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.
Abbreviated transcription (Latin):
curta uocabit᷑. ⁊ habebit sũmitatẽ. ñ iã punctũ qͣu
angulos porrectus. atq ultimus aggregatꝰ. Namsi
tetragona fuit basis quadrata diminutione. sẽꝑ
ascendit. Tsi pentagona basis. similit̾. Et si exagona
illa qͦ ultima suꝑficies. erit exagona. Ergo incurta
pyramide. tot erit anguloꝵ suꝑficies. qt fu̾it basis.
Si uͦ illa piramis. ñ solũ adunitatẽ ext̾mitatẽq ñꝑuenit.
s nec ad pͥmũ qͦ oꝑe ⁊ actu multiangłm eiꝰ gn̾is. cꝰ fuit
basis: bis curta uocabit᷑. Ut si a xui. tetͣgono ꝓficiscñs
tisq in nouẽ t̾minũ ponat. neq excrescat ad iu. Et
qͦtc̃q tetragoni defuint. tociens eã curc̃a ẽẽ dicimus.
Ut si unitas defuit. pͥmꝰ quadratꝰ: curtã ꝗͣ g̾ci hox¬
oypoi. uocant. Si uero duob tetragonis deficit.
id unitate. ⁊ eo qui sequit᷑. uocat᷑ bis curta ꝗͣ g̾ci
ai tooror poni. appellant. Qđ si tͥb tetragonis. tͥ curta

Expanded text:
curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quodangulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed necbasis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta
Abbreviated transcription (Latin):
neq b.ii. ꝓfunditati gerat ȩqualia. s cunctis in eqͣlibus.
qnͣuis solita sit figa: ab ȩgualitate t̃n cubi longissime dista¬
re uidef᷑. hii aũt st̃. ut si quis faciat bis tres quat̾. ł tͥ uuͣ.
prouehunt᷑. ħ aũforma g̾conomine. scalenos uocat᷑. nos uero
gͣdatũ possumus dre. qͥ aminoxe m. uelut gͣdib crescat ad maiꝰ
Uocant aũ eancdẽ figam g̾ci quida spheniscon: q nos cuneum
possumꝰ dre. Et enĩ quos adꝗͣlibet ilam rem ⁊stngendam.
cuneos formãt. neq latitudinis. neq longitudinis. neq altitu¬
dinis. habita rõne: qͣnͣtũ cõmocłu fui̾t: tm̃ uł altitudini

Expanded text:
funditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter qprovehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, t
Abbreviated transcription (Latin):
ip̃i u̾ tres. unum pluralitate tñsent: qui unus ext̾mũ
Iue uͦ q̃ st̃ atetragono. pyramides. eadem tetragonorum
suꝑ se compõne: nascunt᷑. Descͥptis enĩ cunctis tetragonis¬
siunitatẽ pͥmã exhac dispõne p̃sum̃a. erit michi potestate
pyramis ip̃a unitas: ñdu ⁊̃ oꝑe atq atq actu. Atq hu¬
ic si tecͣgonũ suꝑponã. id÷ iiii. nascet᷑ yyranis qͥnq nũoꝵ
ix adieco. fiet michi xiiii. nũoꝵꝰ forma pyramidis. q̃ ꝑ
latera. tͥb unitatib cludat᷑. Att huic si sequentem te¬
tragonũ xui. suꝑponã: cͥgenaria mͥ prramidis forma.
ꝓcducit᷑. In his qͦ om̃ib pyramidis tot erunt unitates

Expanded text:
ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum i. Illae vero quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonisunitatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic te9 adjecero, fiet mihi 14 numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus pyramidibus tot erunt unitates