comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
simultiplic& secundum similitudinẽ semꝑ parnascitur. & in par
in parem simultiplic& in par continuo procreabitur. siuero in par
parem. uelsipar in parem multiplic& parsemper&orit᷑. Hoc
autem facilius cognoscitur &lectioneplatonis in libris derepublica
eolo coquinupti alis dicitur quem & per sonamus arũ philosophus in¬
troducit sed nuncadt̃ tiam medi &atẽ redeundũ est

Expanded text:
itur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex persona Musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est
Abbreviated transcription (Latin):
nibus uel multi plicibus uel super partientibus uel suꝑ particular ibus
uel in c&eris coniunctis geom &rica ꝓporcionalitas custoditur. has
om̃s huiusce ꝓpri&ates quas supra diximus continens. Quar tauero est
ppri&as huius cemedi& atis. qđ ue lin maioribus uel inminor ib: terminus e qua¬
int̃ hosoñs duplaꝓportio est : Appar& &iã hecꝓportionalitas inbinis ꝓportionib ab
unitate alt̃natĩ parte altera longiorib: qua dratisq: dispositi saprima multi plitatis
abitudineid÷ aduplici ꝑcuctas suꝑ particulares habitudines ꝓportionesq discrensq dsubie¬

Expanded text:
nibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, nibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, vel in caeteris conjunctis, geometrica proportionalitas custoditur, has omnes proprietates quas supradiximus continens. Quarta vero est proprietas hujusce medietatis, quod vel in majoribus vel minoribus terminis aequainter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus, ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis, a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticulares habitudines proportionesque discurrens, qu
Abbreviated transcription (Latin):
sinttriplices ꝓportiones maiort᷑m inꝰ aminor et̃mino duplicatom in or & mino
modi ratior epperi&ur. Sinuero qua druplices singtriplicatomino¬
r&ermino maior terminus aminor edistabit. Et si quinqupla quadru¬
plicato. & si sesquu pla quinquuplicato & unaminus multiplicatione
quam ÷ ipsaminorũ admaiores compa ratio terminor emminore
numerus maior &superat.
Naecautem ꝓportionalitas & in ali somnibus uel superpar ticularibus
uel super partientibus inuenitur huius modi ꝓpri&ate in omnibus conser¬
uata ut in continua ꝓportione quod fit sub & tremita tibus sitresfuerint
t̃mini. Hoca medi & a temultiplicata consurgat. Si enĩ sintduo .iiII .XIII.¬
qđ fit &bis .viii. idemfit & .iIII .IIII. uelsi sitinquatuort̃ minis disiuncta ꝓpor¬
tio quod fit& utrisq & tremitatibus idduarũmedi& atũ multi plicatione
uii. reddatur. Exem plarautem nobis maximum certissimumq: sitillud
ubi&e qualitate diximus om̃is in equalitatis species fundi illicenim i nom¬

Expanded text:
sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino modi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est ipsa minorum ad majores comparatio terminorum, minorem numerus major exsuperat. Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus, invenitur, hujusmodi proprietate in omnibus conservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor terminis disjuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione  8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim, in om
Abbreviated transcription (Latin):
scilic& &cum sint pares summe. suntin pares denomina tiones. Nas¬
cuntur autemtales numeri. itaut sustantiam naturamq: suam
in ipsa&iam ꝓpria generatione designent. Expar it̃ paribus & pa¬
riter in paribus ꝓcreari : pariter enim in pares cunctidudumordinatꝰ
positis in paribus nascebant᷑ parit̃ uero pares & dupliciꝓgressi

Expanded text:
scilicsciliccuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent, ex pariter paribus et pariter imparibus procreati. Pariter enim impares, cunctis dudum ordinatim positis imparibus, nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressi
Abbreviated transcription (Latin):
alias recipi ant diuisiones. sed ipsa diuisio usq ad unitatem non ꝑ uenit
gitur in eo quod plus umnam susc ipit sec tionem hab&. Similitudinẽ
pariter paris sed a parit̃ in pari segregatur. In eo uͦ quodusq
adunum s ectio illa nonducit᷑. parit̃ in parem non refutat sed
a pariter pari disiungit᷑. Contigiti huhic numero &utraq:
habere que s uperiores non habent. Seo utraq: queilli recipiunt
obtinere & hab& quidem quodutriq noħ habent. quod cuminino
minus diuisionem recipit. Nequeminor solus terminus a. diuisio¬
nes eiungit᷑: nam & partes soluuntur &usq: adunitatem sectio illa
non ꝑuenit sed anteunitatẽ ꝑ uenitur terminus quem secar eñpossis
Obtin& autem queilli quoque recipiunt quod quaedam partes eius respon¬
dent. Denominantur quae secundum genus suum ado priam queont itat ẽ
adsimilitudinẽ scilic& pariter paris numeri. Alia euero partes contra¬
riam denominationems umunt ꝓpria equantitatis ad pariter in paris

Expanded text:
alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo quod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter impari segregatur. In eo vero quod usque ad unum sectio illa non ducitur, pariter imparem non refutat, sed a pariter pari disjungitur. Contingit autem huic numero et utraque habere quae superiores non habent, et utraque quae illi recipiunt obtinere. Et habet quidem quod utrique non habent, quod cum in unrminus divisionem recipit, neque minor solus terminus a divisione sejungitur. Nam et partes solvuntur, et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet autem quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes ejus respondent, denominanturque secundum genus suum ad propriam quantitatem, ad similitudinem, scilicet pariter paris numeri. Aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter imparis
Abbreviated transcription (Latin):
LIIII. DE MAXIMA PEREECTAQUESYM PHONIA QUAETRIB:
DISTENDITUR IN TERUAL LIS
Pestatergo demaxima perfectaque armoniadis serere. quȩ tribus int̃¬
Quallis constituta magnamuim obtin& in musici modulamin istempe¬
ramentis & inspeculationen atur alium questionum & enim ꝑfectus huius¬
modi medi&ate nichil poterit inueniri qu& ribus int̃ uallis ꝓducta. ꝑfec¬
tis simicor poris naturam sustantiamq: sortita est.: hoc enim modo crbũ
quoque trina dimensione crassatũ plenã armoniam essedemonst raui¬
mus. Haecautem huius modi inueni&ur siduobus t̾minis constitutis qui
ipsi tribus creuerint interuallis. longitudine altitudine & ꝓfunditate

Expanded text:
LIV. De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis. Restat ergo de maxima perfectaque harmonia disserere, quae tribus intervallis constituta, magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis et in speculatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius hujusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus intervallis producta, perfectissimi corporis naturam substantiamque sortita est. Hoc enim modo, cubum quoque trina dimensione crassatum, plenam harmoniam esse monstravimus. Haec autem hujusmodi invenietur, si duobus terminis constitutis, qui ipsi tribus creverint intervallis, longitudine, latitudine et profunditate
Abbreviated transcription (Latin):
bienim iubemur ꝓducere atq: & tendere. tresuel .iiii. sesqualteros
uel quot lib& sesquitertias ꝓportiones & ses qui quartas comparati¬
ones easq: secundum ꝓpositum ordinẽ. sepecontinuas iubemur &tendere
eautẽ hoclabore quodam semper quidem maximo frequentius in fe¬
racifiat. hac nobis ratione in quotrbbis quantipos sintesse super

Expanded text:
rducere atque extendere tres vel quatuor sesquialteros, vel quotlibet sesquitertias proportiones, et sesquiquartas comparationes, eas quae secundum propositum ordinem, saepe continuas jubemur extendere. Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse super
Abbreviated transcription (Latin):
mũminori ȩquum id est .viii. & aufer &xvi. octonarium. rema¬
nent octo. quibus positis &tertio id est .xxxii. sũptis primo id ÷ viii.
& duobus secundis idest octonariis. suꝑ sunt uIII. Quibus dispo¬
sit is prima nobis aequalitas cadit ut subiectȩ sumule docent .uiii.¬
& uIII. &uiii. Hincigitur siquis ad alias in equalitatis species
animumten dat. eandem conuenientiam intitubant̃ inueniet
Quare ꝓnuntiandũ est neculla trepidatione dubitandum
Quod quem admodum per seconstantis quantitatis unitas principium
&elementum est. It a & ad aliquid relatȩ quantitatis ȩqualitas mat̾est
Demonstrauimus enim. quod hinc&eius ꝓcreatio prima for&. &ineam
rur sus postre masolutio est.

Expanded text:
mum minori aequum, id est 8, et aufer ex 16 octonarium, remanent 8, quibus dispositis, ex tertio, id est 32, sumptis primo, id est 8, et duobus secundis, id est duobus octonariis, supersunt 8. Quibus dispositis, prima nobis aequalitas cadit, ut subjectae summalae docent. Hinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim quod hinc et ejus procreatio prima foret, et in eam rursus postrema solutio est.
Abbreviated transcription (Latin):
habitarati one. quantum commodum fuerit tantum uelaltitu¬
dineminuitur ueleras situdine ꝓfunditatis aug&t. Att sdeo
hos plerumq neces seest omnib: partibus in aequalibus inue¬
niri. Quidam uero hos bonis cosuocant id est quasdamaru¬
las que inionica greciae regione. Utait nichoma chus hoc
modo for matȩ fuerunt utneq altitudo. latitudini neq haec
longitudini conuenir&. Uocaturautẽ aliis quibusdã nomi¬
nibus quaenumnc ꝑsequi suꝑ uacuum iudicamus. Igitur crbi
aequalibus sẽs paciis porrigentis. & huius forme quamdixi¬
mus gradata dis tributione disposite medi&ates sunt quae
neq cunctis partib aequales sunt neq: omnib: in equales.
quas greci paralleli pipedes uocant. latininom̃ hocita uni¬
formiter compositum habere non possunt ut tamenidem
pluribus dictũ sit. Eanãq: hoc nomin euocat᷑ figura que alt̾natim
positis latitudinib: contin&᷑¬

Expanded text:
habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altituhabita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc prosequi supervacuum judicamus. Igitur cubi aequalibus spatiis se porrigentibus et hujus formae, quam diximus, gradata distributione disposita, medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus contin
Abbreviated transcription (Latin):
tm̃ omis cybus ab equilateris quad ratis ꝓfectus aequus ipse
omnibus partibus est. Nam & latitudini longitudo ethis duob:
comparest altitudo & secundũ s& partes id ÷ sursum deor sum
detra sinixtra ante post sibi equalemesse neces seest. Huhi cop¬
positum contrariumq esseo portebit. quineq: longitudinẽ lati¬
tudineͥ neq: hȩc duo ꝓfunditati generat aequalia. sed anctis ine¬
qualibus quamuis solida sit figura ab equalitate crbi longissime
distareuid &ur. Hi autem sunt ut siquis faciat. bis iii quater.
ł ter iiii quinquies: & alia huius modi que ꝑ inequales spaciorum
gradus in equalit̃ ꝓuehunt᷑. Hae cautẽ forma greconomine
scalenos uocatur. Nosuero gradatũ possumus dicere quodamino¬
remodo uelud gradibus crescat ad mauis. uocantautẽ eandẽ
figurã greci quidem speniscon. nos autem cuneum possimus
dicere & enĩ quos ad quam lib& illamrem conscribendam cune¬
os formant. neq latitudinis neq: longitudinis neq: altitudimis

Expanded text:
m omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quater quinquies, et alia hujusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis,
Abbreviated transcription (Latin):
plicacionefacta ꝓuehunt᷑. Totenim neces seest unitate scrbus
habeat in altere quodhabuit primus illet& ragonus & quo ipse
ꝓductus est nam qm̃ quatuor t& ragonus duo stantum numeros
hab& in latere . duos q̃q̃ hab& octonarius crbus. Et qm̃ nouem
t& ragonus tribus ꝑlatus unitatibus signabat᷑. solo ternario xxui
gonus. una quidem suꝑficies est quatuor angulorũ totidẽ laterũ
Om̃is autem crbus qui&t& ragonorum suꝑficie in ꝓfunditatemcor¬
poris creuit. ꝑt&ragonis cilic& latus multiplicatus. habebit quidẽ
suꝑ ficies s& quarum singula planitudo t&ragono illi priori
equalis est later aueroxii quorum unũ quotq singulis his quȩ
superioris fuere t& ragoni aequumest. & ut superius demons¬
trauimus totunitatum est. Angulo sũ .vIII. quorum singulus sub
tribus huius modi contin&ur. quales prior es fueret& ragoni.
dequibus ipse ꝓ ductus est. Ergo & natura lit̃ ꝓfusonumero qui
insubiecta formadescriptisunt. subiectit& ragonin as cuntur.

Expanded text:
 autem necesse est unitates cubus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus ex quo ipse productus est. Nam quoniam 4 tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cubus, et quoniam novem tetragonus tribus per latus unitatibus figurabatur, solo ternario 27 gonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est. Angulos vero 8, quorum singulus sub tribus hujusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni unde cubus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero, qui in subjecta forma descripti sunt, subjecti tetragoni nascuntur,
Abbreviated transcription (Latin):
one: disponantur. Igitur om̃s in ordinem naturalit̃ ĩpares & sub
his a quatuor incho antes om̃s duplices & sint hocmodo¬
His igitur ita positis si primus primi multi plicatione concrescat
id est siquater naruites narius uel siidem primus secundi idestoctona¬
multiplicatio ꝓferatur. uel sitertius a primo inchoans usquea d&
tremũ transeat atq: itaquartus & om̃s in ordinem superiores
multiplicent eos qui s ub ipsis indis indispositione sunt om̃s in parit̃
pares ꝓcreabuntur. huius autem reitales sum mamus &emplũ
itres quat er multiplices. duo decim fient. V elsiv quatuor multi

Expanded text:
ponantur igitur omnes in ordinem naturaliter impares, et sub his a quatuor inchoantes omnes duplices, et sint hoc modoHis igitur ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonamultiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multiplices, 12 fient; vel si 5 quatuor multi
Abbreviated transcription (Latin):
multitudines partes mediam id÷ iIIi. hab& & quartam idest ii.
hab& & octauam id ÷ .i. quȩ cuncte in unum redacte. xII. colligunt
minorem scilic& summ amtoto corpor ecolligentes. Rursus .xiiii
habentmedi & atem idest septenariũ. habent septinã idẽ duo habent
nusuceres cit totoscilic& ter mino minor atq biquidem hocmodos
utpriorille quam suepartes superant talis uideatur. Tamquansi
qus multis supernaturã manibus natus uttentimanus gigas uel
utsinaturaliter quadamneces saria parte d& racta autminus ocu¬
lonas cer&ur uttidopee frontis. dedecus fuit uł quo ali curtatus
mem bronaturale totius sueplenitudinis dispendium sortir&. Inter
hosautem uelutint̃ in equales in temperantias medii temperamentũ
limitis sortitus est illenumerus qui ꝑfatus dicitur uirtutis scilic&
emulator quine suꝑ uacua ꝓgressione porrigitur. nec contracta
rursus dimminuito remittitur. sed nedi&as obtin& terminum

Expanded text:
tonarius partem mediam, id est 4; habet et quartam, id est duo; habet et octavam, id est unum, quae cunctae in unum redactae 7 colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent ii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta, aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro, naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur. Inter hos autem, velut inter aequales intemperantias, medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus diminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum,
Abbreviated transcription (Latin):
huius modi contin&ur. Quorum latera non possid& unitas tis diffe¬
rentia sed aliorumn quorũ cumq numerorũ ut terquinq: uelters&
uel quat̃ septẽ quodammodoenim longitudine in ꝓlixiorẽ modũ
por ret amerito anteriore parte longior dicitur. Curautem
parte altera longior es numeri dicantur supra iamdictum est
Quadratiuero qm̃ equã latitu dinẽ longitu diniger̃ ꝓprie longi¬
tudinis . ł eiusdem latitudinis aptissime uocabuntur ut bisduoter
tres quat̃ quatuor. &c&eri parte altera uero longiores quod non
eandem longitudinẽtendantur. alterius quo dammodo longitudi¬
nis parte altera longiores uocantur
DẼ NATURAETALTERIUS CONSISTANT. IDQUEINNU MERIS
PRIMŨSUIDERI

Expanded text:
hujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis diffehujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter 5, vel ter 6, vel quater 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores numeri dicantur, supra jam dictum est. Quadrati vero, quoniam aequam latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo longitudinis, et parte altera longiores vocantur dem natura et alterius natura consistunt, idque in numeris primum videri
Abbreviated transcription (Latin):
nanionerorum natura quad ratorumscilic& & parte alte ralongiore
cant tas numneris pecies cunctasq habitudines. uelad aliquid relatȩ quan¬
titatis ut multiplicium uelsuꝑ particularium & c&erorum uelad scip¬
sam consideratȩ ut formarum quas dudum in superioredis putati¬
one diser ipsimus in formari ut quemadmodũ mundus &inmutabili
mutabiliq: substantia si com̃is numerus &t& ragonis quiin mutabilitate
ꝑficuntur. &&partealtera longioribus qui inmutabilitatem ptipi¬
pant ꝓb&ur esseconuictus & primo quidẽ distribuendũ ÷ quids inthi
quos
PRO MECIIS
uocant idestanteri ore parte longiores
uelqui quos
sRe POMHReic idest parte alteralongiores. Est
enim parte altera longior numerus. qui cumq unitate tantum lateri
crescit adiecta ut sunt s& scilic& bistres. uel xii tresquat̃ & consi¬
miles anterior euero parte longior est qui s ubduobus numeris

Expanded text:
na numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, na numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse conjunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sunt hi quos promecas vocant, id est anteriore parte longiores, vel qui quos heteromikeis, id est parte altera longiores. Est enim parte altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore vero parte longior est qui sub duobus numeris
Abbreviated transcription (Latin):
ua timunum numeris in paribus ꝓcreantur. illiuero quis unt pares qm̃bi
nar inumeri formȩ sunt quiq & hisco aceruati colletique inunam con¬
geriemn partealtealtera longiores numeri nascunt᷑. Hisecundimip¬
sumbinarium numer inaturã ab eiusdem sustantiae natur adiscessisse
dicuntur: putantur que alterius naturȩ esseparticipes. locir coqm̃cũ
latera t&ragonorum ab equalitate ꝓ grersa inequalitatẽ ꝓprielati¬
tudinis ambitumtendunt. Hiadieto uno ab equalitate laterum dis¬
ces serunt atq ideo dissimi libus lateribus & quodam modo asealteris
conumgantur. Quare notumn uobis est quod & his eaquae sunt in hoc
mundo coniuncta sunt. Aut enim ꝓprie in mutabilis eius dẽq substantiȩ :¬
uds̃ uelanima uelmens est uel quodcũq ꝓpriȩnaturȩ in corporalita¬
te beatur. Autmutabilis uariabilisq: naturȩ quod cor poribus indu¬
bitant᷑ ue demus accidere. un denunc nobis monstrandũ est. hacgemi¬

Expanded text:
aribus procreantur. Illi vero qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno ab aequalitate laterum discesserunt, atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo alteris a se conjunguntur. Quare nobis notum est, quod ex his ea quae sunt in hoc mundo, conjuncta sunt. Aut enim propriae, immutabilis, ejusdemque substantiae us, vel anima, vel mens est, vel quodcunque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemi
Abbreviated transcription (Latin):
uelbis quinque. uelquem lib& alium multiplic&. quis quishinc
nas citur alius quam primo fuerat inuenitur. Nas cuntur autẽ
& superiore discriptione && primo ordini om̃st& ragoni hoc
modo. unum enimsires p&eris primus potestate t& ragon ÷
Sinuero unum tribus coacer uaueris quatuor e& ragonus &ort
Huhicsi quin arium iungã . nouetiarius rursus occurrit. Nubicsi copules
septemi xui. quadrati forma sesugerit. idẽq: sunc& eris facias om̃s com¬
p&enter quadratosuideas ꝓcreari. atuero & secundo paritatis ordine
idem cuncti parte altera longiores fiunt . nam siduos primosresp&ceo
huius modimibi numerus occurrit qui fuit &bis uno cum uero duob:
sequentes .iiii. iunxero parte altera longior rursuserit. Senarius sci¬
lic& qui fuit & bistribus cuisi sequentem ad gregaueronas c&urmihi dio¬
denaria forma quaefit & quat̃ tribus quodsi continuatĩ quis faciat
cunctos huius modinumeros inconp&entior ordine ꝓcreato suidebit

Expanded text:
el bis 5, vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit.
Abbreviated transcription (Latin):
& adeundem locum reuersio. undemoueri coeptus est. sperauero est
semicirculimanente diam & rocircumductio & ad eundem locum re¬
uersio unde prius cȩperat ferri. Vnitas quoq: uir tute & potestate
ipsa quoq: circulus uel spheraest. Quoties enim punctum multipli¬
caueris. inseips & undeceperat terminatur. sienim faciatseml
gitur suma fuerit multiplicatio. salam planitudinem reddit. & fitcir¬
culus. Si secundomex sphera conficitur Etenim secunda multi plicatio
effecar ix semperest ꝓfunditas &i igitur. &ui paucas huius mod fornas
subscripsimus¬
CXXX

Expanded text:
et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel i una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et 6, paucas hujusmodi formas subscripsimusXXX
Abbreviated transcription (Latin):
psorumuero crborum quanticumq fuerint itaducti uta quonumero
erbicaequantitatis latus caeperit. in eundem altitudinis & tremitas
termin&ur inumerus illecidius uels phericus appellatur. Utsunt
multiplicationes quea quinario uel senario ꝓficis cuntur. nam quinquies
quinque quifit xxv. ab quinq: ꝓgressus in eos demdes init .v. Et sibos
rursus quinquies ducas. in eosdemquinq: in eorumter minus ueni&.
quinquies enim.xxv. fiunt .cxxv : Etsihos rursus quinquies ducas
inquinarium numerũ &tremitasterminabitur atq: hoc usq in in¬
finitũ idem semꝑ ueni& quod insenar io quoq conuenit considerari
Hu autem numeri id circo cycli uelsphericiuocantur. quod sphera
uelcirculus in ꝓpriisemper principur euersione formantur
estemm circulus posito quodã puncto & alioeminus defixo illius puncti
quieminus fixus est equaliter distans a primo puncto circum ductio

Expanded text:
Ipsorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero Ipsorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel sphaerici vocantur, quod sicut sphaera vel circulus, in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio,
Abbreviated transcription (Latin):
xXUIIII deGene Ratione Tater culorifeori ma.
dit̃ FIni dione
uos autem superius laterculos duximus quȩ sunt & ipsequidẽ so¬
dilide figure hoc modo fiunt quoties equalibus spatiis in lon¬
gitudinem latitudinemq: porrectis minor his additur altitudo uts̃
huius moditres terbis qui sunt xviii. uelquatuor quat̃bis. uelalio
quo cum que modo uthis in laogitudine longitudinẽq: equis minor
altitudo ducatur. hidefiniuntur hoc modo later culisunt quifunt
xequalibus equaliter minus as seres uero &ipse quidẽ figur ȩsunt solidȩ
Sed hoc modo ut & equalibus equalit̃ ducantur in maius. Nam siequali fue¬
rint latitudo longitudini. et maior sitaltitudo. ille figurȩ a nobis asse¬
res agrecis decades nominantur utsiquis hocmodo faciat qua tuor¬
quater noui es. quiindeꝓcreantur asseres nominatis sphenisci . uͦ. quoscu¬
neolos superius apellauimus. his̃ qui x in equalibus in equalit̃ducti ꝑ ine

Expanded text:
XXIX. De generatione laterculorum, eorumque diffinitione. Quos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt. Quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis, minor his additur altitudo. Ut sunt hujusmodi 3 ter bis, qui sunt 18, vel 4 quater bis, vel alio quolibet modo, ut his in longitudinem, latitudinemque aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaeq
Abbreviated transcription (Latin):
turamq: impares numeri formati sunt
uiq: & his coaceruatis t& ragonisunt duplicimodo eiusdẽq: subs¬
tantiae participes essedicuntur. quoduel ab equalita teformatur
t& ragoni uel coaceruatis in unũ numeris in paribus ꝓcreantur

Expanded text:
turamque impares numeri formati sunt, turamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris imparibus procreantu
Abbreviated transcription (Latin):
XXXI DEEA NATU RARE RUM QUEDICITURTIUS¬
DEMDATURE ET DEEA QUEDICITUR ALTERIUS NATENE
FAUINUAERICUINATURECONIUNCTES INT
Adesolidis quidem figuris haecad p̃sens dicta facient. qui autem dena¬
turarerum ꝓpinquis inuestigantes rationibus. quiq in matheseos
dis putationeuer sati quid inqua quer ȩ&&̃ ꝓprium subtilissime peritissi¬
meque ediderunt hirerumomniũ naturas in gemina diuidentes hac
speculatione distribuunt. dicuntenimomniũ rerum substantias constare
& eaquȩꝓpriȩ suȩq semꝑ habitudinis est. necullomodo ꝑmutatur. Et ca
scilic& natura quȩ uariabilis motus est sortita substantiã & illampri¬
mo in mutabilem naturã unius eius dẽq: substantiae uocant. Hancuero
alterius scilic& quoda prima illa inmotabilidiscedens primasi taltera
quo dnimirũ adinitatem ꝑtin& & addualitatem . quinum erus primus
abimo discedens alt̃ factus est. & qm̃ cunctisecundũ unitatis speciem na¬

Expanded text:
XXXI. De natura rerum quae dicitur ejusdem naturae, et de ea quae dicitur alterius naturae, et qui numeri cui naturae conjuncti sunt. Ac de solidis quidem figuris, haec ad praesens dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes omnium rerum substantias constare ex ea quae propriae suaeque semper habitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili discedens prima sit altera. Quod nimirum ad unitatem pertinet, et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens, alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem na
Abbreviated transcription (Latin):
tes partium diuiduntur. Sed nonusq adunitatem ꝓgreditur ae quals
uadis iunctio. ut sunt xxiiii & xxuiii. Hienimpos sunt. in medis ȩta¬
tes diuidi &eorum rursus partes in alias medi&ates sinealiquane
dubitu soluuntur. Sunt &iam quidam aliinumeri quorum partes

Expanded text:
tes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis tes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis illa distinctio, ut sunt 24 et 28. Hi enim possunt in medietates dividi, et eorum rursus partes in alias medietates, sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes
Abbreviated transcription (Latin):
faci ent&xtremi quod medi& as. Bis enim uiii. sunt . xui¬
iiii. quaternis . xui Quinumerus a quat̃nario inseducto
ꝑficitur. binumero uero parit̃ in pari si fueritunus in medio
terminus circumse positorũ terminorũ sun unum redigan¬
ut in eo ordine quiestparit̃ in parium numerorũ .ii.UI.x. iun¬
tus binarius cum denario xii. &pl& cuius senarius me¬
di&as inuenit᷑. sienim fuerint due medi& ates iuncte ipse
utreq ȩquales erunt suꝑ seterminis constitutis. Vtẽ in hoc
quossenari uscumdenario copulatus effici& atq hoc innu merosi¬
oribus terminis in itio sumpto a mediis euenit usq dũ ad&tremaueniat᷑¬
N pariter parnumerus est. & utrisq: confectus & medi&atis locogemi¬
na &tremitate conduditur ut que ab utroq discrep& eadem ad alteru¬
trum cognatione iungatur. hicautem talis est quidiuiditur in equas
partes cuiusq pars in alias aequas diuidipotest. &iam aliquando par¬

Expanded text:
facient extremi quod medietas. Bis enim 8 sunt 16, qufacient extremi quod medietas. Bis enim 8 sunt 16, quatuor quater sunt 16, qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter impari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum si in unum rediganut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut est in hoc quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatpariter par numerus est ex utrisque confectus, et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut qua ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione jungatur. Hic autem talis est qui dividitur in aequas partes, cujusque pars in alias aequas dividi potest, et etiam aliquando par
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicati. quat̾nariam faciant sũmã
gitur naturalis numeridis positione parit̃ in pares numeri
quinto loco ase distant. solisquatuor seprecedunt. tres in
idest pariter par & parit̃ in par. quo dinnumero pariter
inparisoladi uis ionem recipit maior &tremitas. in illo uero solus
minorter minus sectione solutus est. Etquod informa parit̃
paris numeri ab &tremitatibus incipienti &usq adnedia pro¬
gredienti quod contin&ur sub&tremis terminis idẽ ẽilli quod
contin&ur subintra sepositis simmulis at que hocidem us quedũ
adduas medi&a tes fuerituentum indis positionibus scilic& parib
Siautem fuer int in pares dispositiones quod abuna medi& atec̃¬
ficitur hocidem sub altrinsecus positis partib ꝓcrea t᷑. Atque
hoc usquedum ad ꝯxtremitates: ꝓcessio fiat. in eaenim dispositione
plicati. quod quatuor. ꝑ oc tonar iumnumerum ducti utroq
enĩ mͦ xxxii. fient. quod simparsit or doutest .ii.iiii .uiii.dẽ

Expanded text:
multiplicati quaternarii faciunt summam. multiplicati quaternarii faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in id est pariter par, et pariter impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione plicati, quod 4 per octonarium numerum ducti. Utroque enim modo 32 fient. Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem
Abbreviated transcription (Latin):
omnibus in pasib erali sequentia atq: ordine constitutis
Nam que hisi ꝑbinariũ numerũ multiplicentur om̃ĩs̃ parit̃ in paris
rite pluralitas dimensa suf fici&. ponat᷑ enim primaunitas
a superiore duobus id ÷ V. & hoc in in finitum. & sithuius modi
Hiergonaturalit̃ sesequentes in pares sunt quos nullus in medio
par numerus distinguit. Hos si ꝑbinaruonnumerũmulti plices
efficies hoc modo bisunum id est .ii. quidiuiditur quidẽ sed eius
partes in diuisibiles reperiuntur ꝓpt̃ inseca bilis ldnitatis naturã
dasu namrecipiunt sectionem c&eramr epudiantes. quod scđa
diuisio ab imparis medi&ate part is &cluditur his autẽmumne¬
meris a seinuicem quaternarii sola distantia est. Namqueit̃
facit. hinamq om̃s quat̾nariase senemorositate trans¬
cendunt. quodidcirco contingit qm̃ primiquipositi sunt id ÷
eorum fundam̃ta binarios enumero p̃cedebant. quosqm̃ ꝑbi
nariũ multiplicamus in quat̃ narium numerũ creuit. illo ꝓgris¬

Expanded text:
omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter impares, rite pluralitas dimensa efficiet. Ponatur enim prima unitasa superiore duobus, id est 5, et hoc in infinitum. Et sit hujusmodi Hi ergo naturaliter sequentes impares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit: hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam. das, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantia est. Namque intm facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt. Quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, hoc est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa pr
Abbreviated transcription (Latin):
inutrisq: uersibus primos aspicias. singulos quos inuenis qm̃t&ra¬
ꝓficiscitur illũ tertium ternarius creat qui sunt locoin paricons¬
tituti. Quintũ deindesiuideas locũ xUI. & lxxxi respicies
sed unus a quat̃ narionas citur alterum nouenar ius creat. Etsi
nonũ locum rursus aspicias t&ra gonos ꝑ notabis clvi. vĩdlxi¬

Expanded text:
in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetraproficiscitur, illum ternarius creat, qui sunt loco impari constituti. Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus aspicias, tetragonos pernotabis 256,
Abbreviated transcription (Latin):
tertia nouenarii. Etrursus ternarius qui nouenar u tertia pars:
duo denarii quarta est. & adeundem modum usq: infinẽ discriptio¬
nis. Geminatus huius modi partib sicutipsa quoq sum marũ com¬
paratio geminataest. aequas paruũ ꝓgres siones as picias.XXXUIii
PROBATIO QUA DRATOS EIUSDEM NATUREESSE¬
lud autem apertissimum signumest om̃s t&ragonos imparibus
esse cognatos in omnidis positione ab uno uel induplicib uel intri¬
plicibus natalis naturȩ ordo conseritur. ut nũ quam nisi sȩcundũ
in parem locumt& ronus inueniatur disponamus enim in or dinem
numerosquidem duplos. deind&riplos. i. II.IIII. XIII .xUI.xxxii.¬

Expanded text:
tertia nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, tertia nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicie CAPUT XXXVIII. Probatio, quadratos ejusdem esse naturae. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos imparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab uno, vel in duplicibus, vel in triplicibus talis naturae ordo conseritur, ut nunquam nisi secundum imparem locum tetragonus inveniatur. Disponamus enim in ordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos. Si igitur in utri
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑmutatiohisdẽ differentus aliȩ ꝓportiones semꝑq: in quibus differ
secundumnaturalis numeri ordines t&ragoni & parte alteralon¬
giores sesesuperabunt tantũ quod geminatis sum mulis naturalis
numeri fitꝓgressio. quod mirũ uideri non deb&. Nos enimipsas
summas t&ragonorũ & parte altera longiorũ nomina uimus ad pri¬
mas secundasq ꝓportiones.
edem quoq differentiae mirabi leminmodum a toto ꝑsequenstes
partes & ꝑeasdemunitates quibus superius creuerunt. I¬
diuntur namq: interunũ &duotantum unitas intercedit quȩimitatis
cuequalis est totum est binariiuero medi&as eodemq: modo int̃duos
& quatuor tantumduo sunt quibinarutotũ sunt quat̃ narumedi&as
int̃quaternarium uero & senariũ. idem duo sunt ad quat̃ nariũmedi¬
&as. Adsenarium parstertia. Tresuero qui secuntur. quunt᷑ se¬
& UIIII. constituti sunt mediis quidem senarii dimidium. parsũ

Expanded text:
permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminamus ad primas secundasque proportiones. Eaedem quoque differentiae, mirabilem in modum a toto per sequentes et per easdem unitates quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitati cui aequalis est totum est, binarii vero, medietas. Eodem modo inter 2 et 4 tantum duo sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimidium, pars vero
Abbreviated transcription (Latin):
Ergo in superiore formula hoc maxime intuendumest
Nan que interunum quiestt& ragonus & duo dupla proportio est
int̃ .ii. & .iiii. dupla. Hicer got& ragonus cum parte altera longiore
atq hiccum sequentet&ra gono eadem ꝓportione uiguntur differor¬
tus ueronon eisdẽ nam queduorum at queunius solaunitas differentu :
Sedidemduo aquaternario solo binario relinquunt᷑. Rur sussidi
o ad quatuor. speculeris duplaest ꝓportio. Si .iiii. adui. habitũ¬
dinem sesqualterã recognosces. Huergo in ꝓportionib: discrepan
binariodistant. bn sequentibus &iam eoden modo sicut &iã in primis
fuit. Ratio constat. Nãq eadem ꝓportio est differentiis con eis dẽ
Nam iiii ad sex &ui aduiiii. ses qualtera ꝓportione coniungunt᷑
vI. autem quaternarium duobus .vIIIi. uerosenariũ iii. pr&e¬
reunt Insequentibus &iam eademratiospecula bit᷑ & semꝑ alt̃natĩ
nunc quide me aedẽꝓportiones aliedifferentiaer̃ . Nunc autẽor dine

Expanded text:
Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, uor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 autem quaternarium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine
Abbreviated transcription (Latin):
uud igitur ꝑspiciendum est quod sudemt& ragoni & parte altera
longiores disponantur. It aut alternatim sibi permixtisint. Tanta
in his est coniuctio. utalias sibi in eisdem ꝓportionibus communi¬
cent discrepentautem differentus alias uero differentuis pa¬
res sint ꝓ portionibus distent. disponant᷑ enĩ in ordinem idẽ ÷¬
illis uperiores t&ragoni & parte altera longiore s ab uno

Expanded text:
ud igitur perspiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, et parte altera longiores ab uno
Abbreviated transcription (Latin):
quorumsu perior fit axvi inferior uero ab lxexi idem sininfim¬
tum facerelibeat indiscrepant̃ incurrit. xxxuiiii. Obos
EISDEM PARTICIPARE SUBSTANTIAQUODABIOIA¬
RIBUS
NAS CANTUR

Expanded text:
quorum superior fit a 16, inferior vero ab 81. Idem, si in infinitum facere libeat, indiscrepanter incurrit. CAPUT XXXIX. Cubos ejusdem participare substantiae quod ab imparibus nascantur