comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ficierum Suiud longitu do ͤ alcitudo sit lñnea ut̃ et ipsa
Appellentur be/ Dico itaqi duo solida ed et ẜc esse equalia
Mamfestum est enm ꝙ cunte superficies unius equiangule
sunt suis relatiuis suꝑficiebus alterius quod ex zeͣ. p̾mi
patere potest nam cum solidus angulus is ponatur equalis
solido angulo a necesse est ut unus angulus unius cuiusq
su ꝑficier solidi ad sit equalis uni angulo sue relatiue suꝑ¬
aiciei in solido ut ĩtaq per .34. primi anguli eorum opposi¬
ci erunt equales acq quia unius cuiusq suꝑficiei quadri¬
la tere omes anguli sant equales quatror rectis ex zrͣ
x̃mi necesse est duos reliquos unius esse equales Suob
⁊eliquis sue relatiux Cunq ipsi duo reliqui In qualibet
sint eciam adiuitem equales ꝯm̃titur necessario ut una¬
queq ex suꝑficiebus solidi ad sit equiaogula sue re la¬
tiur in solido bt quore ex secunda parte .iz. s. bases duoꝵ
solidorum ꝓpositorum erunt equales sunt euiñ equiangule

Expanded text:
ipsum appelletur b c. Dico itaque duo solida a d et b c esse equalia. Manifestum est enim quod cuncte superficies unius equiangule sunt suis relativis superficiebus alterius, quod ex 34 primi patere potest. Nam cum solidus angulus b ponatur equalis solido angulo a, necesse est ut unus angulus uniuscuiusque superficiei solidi a d sit equalis uni angulo sue relative superficiei in solido b c. Itaque per 34 primi eorum oppositi erunt equales. Atque quia uniuscuiusque superficiei quadrilatere omnes anguli sunt equales 4 rectis ex 32 primi, necesse est duos reliquos unius esse equales duobus reliquis sue relative. Cumque ipsi duo reliqui in qualibet sint etiam ad invicem | equales, convincitur necessario ut unaqueque ex superficiebus solidi a d sit equiangula sue relative in solido b c. Quare ex secunda parte 13 sexti bases duorum propositorum solidorum erunt equales. Sunt enim equiangule
Abbreviated transcription (Latin):
ab erit qr ex premissa gorcio occogomi as ad occogonũ
cd sicud quarti Syametii as ad quartum Syametii ed
Ideoꝙ per ir quiniti sicud ꝓportio circuli as es suꝑ¬
ficiem e Itaq ꝑmutatin poligonii as ad ad cita cũcu¬
lum ab sicud poligonii es ad supeificiem e Cunq sit
poligonium es mains suꝑficie e erit poligonium ab
maius criculo as hoc autem Impossibile non est Ĩta
suꝑficies e minor cirtulo ed sed neq maior esto ouin
⁊ possibile sit cum ita ꝑportio sit quarti Syametri ab
as quars quartum dyameti ed ficus circusi as as
superficiem e erit ecõuerso quarti Diames ed Q quartũ
Syametri ab sicud suꝑficiei e ad circulũ ab constat¬
ex cõmum stienciã in principio hiius demorstiacionis
posita ꝙ radem est circuli cd ad aliquam suꝑfitiem que
sit f erit q ex ix aͣ superfities ꝑ minor cuculo as
taq ꝓporcio quarti syameta ediad quartum dy¬

Expanded text:
a b sitque ex premissa proportio octogoni a b ad octogonum a b sitque ex premissa proportio octogoni a b ad octogonum c d sicut quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d, ideoque per 11 quinti sicut proportio circuli a b ad superficiem e. Itaque permutatim poligonii a b ad circulum a b sicut poligonii c d ad superficiem e. Cumque sit poligonium c d maius superficie e, erit poligonium a b maius circulo a b. Hoc autem impossibile. Non est ergo superficies e minor circulo c d. Sed nec maior. Esto enim si possibile sit. Cum igitur sit proportio quadrati diametri a b ad quadratum | diametri c d sicut circuli a b ad superficiem e, erit econverso quadrati diametri c d ad quadratum diametri a b sicut superficiei e ad circulum a ex communi scientia in principio huius demonstrationis posita quod eadem est circuli c d ad aliquam superficiem que sit f eritque ex 14 quinti superficies f minor circulo a b. Itaque proportio quadrati diametri c d ad quadratum d
Abbreviated transcription (Latin):
ꝯtimrentur uer liueas ⁊ eccas Uerbi gracia oricus eg
Siuidatur prr equalia in tr et q ꝑtrahantur liner lic
lg sit p deceteris erit quilibet tuangulorũ destux¬
torum/ super latera quarti maior me dietate xorcions
in quo existit eo ꝙ onnis trangulus ysocheles/ est me¬
Sietas ꝑalellogrami suebasis ꝑ .xi. primi Suit
Itaq porciones existentes super latera occom instrixti
pnter accexte minus superficie ꝑ si en nendi hot
esset non desterem Duudere arcus quorum latera ulti¬
mo destuiote figure sunt corde ꝑo e qualia et insenõt¬
figuiam equilatriam Suple plirium laterum semper sus¬
tratrendo ab ipsis porcionibus circuli maius diini dio
quousqi per p̾mam isͥ. portiones suꝑlatera aliauus
calis figure circulo inscripte existences ꝑĩter accepte essent
minis suꝑfitie ꝑ Sint ergo nñs que dicte sunt erit qr ex
conceptione occhogonũ d manis suꝑficie e circulo e ita
as eadem uia instubatur su le octogonum quod dicat

Expanded text:
eas rectas. Verbi gratia: Arcus c g dividatur per equalia in puncto k et protrahantur linee k c, k g sicque de ceteris. Eritque quilibet triangulorum descriptorum super latera quadrati maior medietate portionis in qua existit eo quod omnis triangulus ysocheles est medietas paralellogrami sue basis per 41 primi. Sint itaque portiones existentes super latera octogoni inscripti pariter accepte minus superficie f. Si enim nondum hoc esset, non cessarem dividere arcus quorum latera ultime descripte figure sunt corde per equalia et insfiguram equilateram duplo plurium laterum prime semper subtrahendo ab ipsis portionibus circuli maius dimidio quousque per 1 decimi portiones super latera alicuius talis figure circulo inscripte existentes pariter accepte erunt minus superficie f. Sint ergo nunc que dicte sunt eritque ex conceptione octogonum c d maius superficie e. In circulo igitur a b eadem via inscribatur simile octogonum quod dicatur
Abbreviated transcription (Latin):
cilia detracta esse ex piramide a quot detrapimꝰ
ex prraunde u erit q ex correlario xmisse sicus
bãsie ⁊ ad basumn s ita serratilia detracca apitanude
C ad secratlia de tracta apiramide s sed sit erat
pñamis a ad̃ corpus e trtaqr serratilia prramds

Expanded text:
tilia detracta esse ex piramide a quot detraxerimus tilia detracta esse ex piramide a quot detraxerimus de piramide b eritque ex corollario premisse sicut basis a ad basim b ita serratilia detracta a piramide a ad serratilia detracta a piramide b. Sed sic erat piramis a ad corpus c it
Abbreviated transcription (Latin):
denod̃ irͣ. uͥ dposuit de solidis ꝑalellogramuis et in fre
Ib. nͥ uerum esse demonstiannus deseratilibus ge
qa Duodecumi ꝑpomĩt dexiramidibus triangulis Iutel¬
agantur xiiii due xir̃aur des eque alte quarum bases
sunt duo trigomi a et s Sico ꝙ ꝓportio uonamdis
a ad piraundem a est sccud sasis a ad sasim s
Quod codem argumentationis genere demonstrad
est quo secundam huius demoustrarumꝯ Bit enin
Ut basis a ad basun s ita piramis a ced corpusc
Dequo ⁊ dico ꝙ i̾psum non erit mimis iec manis p¬
⁊ amide e nan si possibile est ut sit mims esto min
in solido d ut piramis e sit equalis duobus corpo¬
ribus c et E ꝑiter acceptis diusa itaq prramide
S xt pponit .2ͣ detrahantur ab ea duo serratilia que
ex p̾misa sunt maius mediante ipsiũs s pnr̃am dis
Icenq ex utiaq duarum parcialum residuarum xi¬
rami dum Duo earum Adicto mado diiusarũ serra¬
tilia demanxar et fiat hoc tocieno quousq ex xna¬
mildee cagatur aduersariũs ꝑ õmam ioͬ. confiten

Expanded text:
decimi proposuit de solidis paralellogramis et in fine 36 undecimi verum esse demonstravimus de serratilibus, hec 5 duodecimi proponit de piramidibus triangulis. Intelligantur enim due piramides eque alte quarum bases sint duo trigoni a et b. Dico quod proportio piramidis a ad piramidem b est sicut basis a ad basim b, quod eodem argumentationis genere demonstrandum est quo secundam huius demonstravimus. Sit enim ut basis a ad basim b ita piramis a ad corpus c de quo dico quod ipsum non erit minus neque maius piramide b. Nam si possibile est ut sit minus, esto minus in solido d ut piramis b sit equalis duobus corporibus c et d pariter acceptis. Divisa itaque piramide b ut proponit 3 huius detrahantur ab ea duo serratilia que ex premissa sunt maius medietate ipsius piramidis. Item ex utraque duarum partialium residuarum piramidum duo earum predicto modo divisarum serratilia demantur et fiat hoc totiens quousque ex piramide b cogatur adversarius per 1 decimi confiteri
Abbreviated transcription (Latin):
piramides priaundes ꝑiter acceptas necessrͭ est er
tuplum Cunq ex omnbus serratilibus Barite⁊ accextu
colupna et oĩs pirami dibus ꝑiter acceptis piranis eo¬
lumpne ꝑficiantur constat ueram esse hant nostram ꝓpoẽi
les earum bases earundem altoidmbus mate eq
erunt esi uero bases xarum et altitudims nu¬
tue fuerint easdem colup̃nas equales dese ee¬

Expanded text:
esse est esse triplum. Cumque ex omnibus serratilibus pariter acceptis columna et ex omnibus piramidibus pariter acceptis piramis columne perficiantur, constat veram esse hanc nostram proposiles, earum bases earundem altitudinibus mutue erunt. Si vero bases | earum et altitudines mutue fuerint, easdem columnas equales esse
Abbreviated transcription (Latin):
ciõne similiun suꝑficierum cuangulus car erit simłis
criangulo ħ ul manifestum est itaq ex diffumcione
similium corporem ꝙ piramio acde est similis piram¬
di uhll uñn si ter quoq constat prramidem acef esse
similem pirannss bhlm et piramidem acfg piram¬
Si gham quia ita ex hac sͭ ꝓportio piraun dis acde
ad pirauni dem bhlrl est sicud lateris ed ad latus
hlr caplicata et piramidis acef ad piraundem bhilay
sicud ef ad cm̃i tripłicata at eciam piramidis acrg
a piram dem bham ficud eg ad hu caplicata cum¬

Expanded text:
ulus c a e erit similis triangulo h b l. Manifestum est itaque ex diffinitione similium corporum quod piramis a c d e est similis piramidi b h k l. Similiter quoque constat piramidem a c e f esse similem piramidi b h l m et piramidem a c f g piramidi b h m n. Quia ergo ex hac 8 proportio piramidis a c d e ad piramidem b h k l est sicut lateris c d ad latus h k triplicata et piramidis a c e f ad piramidem b h l m sicut e f ad l m triplicata, ac etiam piramidis a c f g ad piramidem b h m n sicut c g ad h
Abbreviated transcription (Latin):
illorum trargulor nurrerum Sistinguatur coluxna
serratilis et prramis colũxne p prramedes satentes oa ro
eriaygulas que uidelicet sunt bases seriatili ton stat
⁊taqr unun quasqr seriable as eail pitamdecon ftar
surir eanden uasim cum ipsa seicatil existit deuplam¬

Expanded text:
illorum triangulorum distinguatur columna in serratilia et piramis columne in piramides habentes bases triangulas que videlicet sunt bases serratilium. Constat itaque unumquodque serratile ad eam piramidem que super eandem basim cum ips
Abbreviated transcription (Latin):
M si fuerint due quelibet piraundes saterate
sumles ent ꝓporcio asteaus ad alteraomn sicud su
laterio ad sibi relatiuũ latus alterlus gporcio txlicata
Sunt Due laterate ꝓporciones quaium com a et ⁊ spom̃¬
es sintar bases penthagonas que siñt sdesg hulam¬

Expanded text:
si fuerint due piramides laterate | similes, erit proportio alterius ad alteram sicut sui lateris ad sibi relativum latus alterius proportio triplicata. Sint due laterate piramides quarum coni a et b similes sintque super bases pentagonas que sunt c
Abbreviated transcription (Latin):
pitouidem a sicud serratilia piramidis s ad coro
C Cunq s̃t̃ serrarilia xnamis s manis corpaore¬
Cernt serratilia piramidis a maiuis prramide
A et quia hoc est nxosibile non erit corpus
minus piramide s si nec maiũs hoc em̃ posito
cum sit ꝓporcio basis a ad basim̃ s sicud xiramis
a as corpus c erit ecõuerso basis s ad basim a
sicud corpus c̃ ad prramidem a Eadem q eut
ex quum stiencia prranndis s̃ ad aliquod corpꝰ
nor corpore/ c erit̃ ita uasio ds ad boisiin a saũs
piramis s̃ as corpus minãs piramide a ex
hot autem Se monstratum est sequi i xosibile
uidelicẽt serratilia decracta ab aliqua prramide
mais esse piram de aqua detrahantur ĩdeoq

Expanded text:
atilia piramidis b ad corpus c. Cumque sint serratilia piramidis b maius corporeerunt serratilia piramidis a maius piramide a. Et quia hoc est impossibile, non erit corpus c minus piramide b. Sic nec maius. Hoc enim posito cum sit proportio basis a ad basim b sicut piramidis a ad corpus c, erit econverso basis b ad basim a sicut corporis c ad piramidem a. Eademque erit ex communi scientia piramidis b ad aliquod corpus nor corpore c. Erit igitur basis b ad basim a sicut piramis b ad corpus minus piramide a. Ex hoc autem demonstratum est sequi impossibile videlicet serratilia detracta ab aliqua piramide maius esse ea piramide a qua detrahuntur. I
Abbreviated transcription (Latin):
xiicta in hiuid suꝑficiebus opposita ductis lineis ox et
qr que secent se in puncto ¶ ĩtenqz lrl et am que
secent se inxmicto s. et ꝑficiantur dux suꝑficies se¬
cantes se ĩmicem et cubum ꝑtractis iterm lineis
oli ꝑl et mq qr sit qr harum duderum suꝑficierũ
quiunis seccio linea bt Dico ita q linea st Siuidit

Expanded text:
ncta in hiis superficiebus opposita ductis lineis o p et ncta in hiis superficiebus opposita ductis lineis o p et q r que secent se in puncto t, itemque k l et m n que secent se in puncto s et perficiantur due | superficies secantes se invicem et cubum protractis item lineis o k, p l et q m, r n. Sitque harum duarum superficierum communis sectio linea s t. Di
Abbreviated transcription (Latin):
uluda autis eed socidis a et o esse similia congs cõbm¬
facile poteris concludere¬
Si inscisa fuerint latera duccium eppositaiũ suꝑficiee
cubi unum quodq in Quo midia exrerint q a
punctis seccionum Que suꝑficres se inuicem se¬
cantes et cubum cãmunem eoꝵ sectionem Sya¬
metrium culi cubi ꝑ equalia secare et ab ip̃sa dy¬
ametro uersa uice per equalia secari necesse estͤ
Scatur cubum qui sit as de quo ꝯstat ꝑ diffuncionẽ
ꝙ ones linee ipsum continentes sunt equales et eis
su ꝑficies rectangule totale enm corpus cubum dicimus
huius Itaq basis sit superfities acd suꝑficies eius sux¬
dyamreter sit ab dundantur itaqz onnna latera dua¬
rum quarulibet oxpositarum suꝑficierũ eius der equa¬
lia et siñt nunt suꝑficies quarum latera diui dñt
sinstia acq destra diuidantur in quantĩ ⁊ quatuor latera
Destre quidem super quatuor puncta que sunt oꝑqr si¬
nistre uers super .e. qͥ sunt lrlain et quingantur duo¬

Expanded text:
da autem c et d solidis a et b esse similia continfacile poteris concludereSi inscisa fuerint latera duarum oppositarum superficierum cubi unumquodque in duo media exierintque a punctis sectionum due superficies sese invicem secantes et cubum, communem earum sectionem diametrum cubi per equalia secare et ab ipsa diametro versa vice per equalia secari necesse est. Statue cubum qui sit a b de quo constat per diffinitionem quod omnes linee ipsum continentes sunt equales et eius superficies rectangule. Tale enim corpus cubum dicimus. Huius igitur basis sit superficies a c d e, superficies eius supdiameter sit a b. Dividantur itaque omnia latera duarum quarumlibet oppositarum superficierum eius per equalia et sint nunc superficies quarum latera dividantur dextra atque sinistra. Dividantur inquam quatuor latera: dextre quidem super 4 puncta que sunt o, p, q, r, sinistre vero super 4 que sunt k, m, l, n et coniungantur pu
Abbreviated transcription (Latin):
Si bases utrarunq fuerint tuangule Semonstratĩ
est uerum esse quos dicimus si altera tantust atã¬
sit a basis qr alteriũs pramidis ⁊cͣs et smatir cet¬
gonus c equalis poligono s fiat q̃ supe:ecorramis
eque alta prramdi que est super ⁊ et siñt asca equ¬
due piramides al et s sunt equales et ex ultme
a ditarum ad sextom hmius due quaꝵ aamdrs
Sec c sunt equales erunt ex cõmum iciencia dede
prramides a et ⁊ equales Ica bases earum sunt nu¬
tue ad altitudures ipsarum es p̃ma parte septine
quius Cunq bases et b et c sunt equales alcicudimẽs
quoq pira Dum G et ⁊ equales erut eo pma

Expanded text:
Si bases utrarumque fuerint triangule, | demonstratum est verum esse quod diximus. Si altera tantum, sit igitur a basisque alterius piramidis sit b et sumatur trigonus c equalis poligonio b fiatque super c piramis eque alta piramidi que est super b et sint a, b, c equdue piramides a et b sunt equales et ex ultima additarum ad 6 huius due quoque piramides b, c sunt equales, erunt ex communi scientia due piramides a et c equales, igitur bases earum sunt mutue ad altitudines ipsarum ex prima parte 7 huius. Cumque bases b et c sint equales, altitudines quoque pi
Abbreviated transcription (Latin):
di fuerme Due quelibet prraundes equealte¬
fuerit qz alterius basis trigona relique tetra¬
gona aut plurilatera piraundes ipsas suis basil
ꝓporcionales esse queniet
Exempli graciã ĩntelligantur due piramides eque
alte super duas beses a et s sitqi basis a tuaagula
s uiro penthagona et Sitancur hee xiramides a et
E dico itaq ꝙ ꝓporcionem pirami dum a et s esse ses
gasium a et b distingatur quidem xenthagonus g̃
in tres triangulos cde erit q tota prramis e distinca
intres pares piramides equealtas quarum bases sunt
erianguli cde que eciam ducantir nominibus suarum
Gasium quiã ita expremissa ꝓporcio piramidis ⁊ as prramidẽ

Expanded text:
i fuerint due quelibet piramides eque altefueritque alterius basis trigona, relique autem tetragona aut plurilatera, piramides suis basibus proportionales esse conveniet. Exempli gratia: Intelligantur due piramides eque alte super duas bases a et b. Sitque basis a triangula, b vero pentagona. Et dicantur hee piramides a et b. Dicobasium a et b. Distinguatur quidem pentagonus b in tres triangulos c, d, e eritque tota piramis b distincta in tres piramides eque altas quarum bases sunt trianguli c, d, e que etiam dicantur nominibus suarum basium. Quia igitur ex premissa inter
Abbreviated transcription (Latin):
piẽadmõdum Demonstramus .3r. ex giͣ. fabritatis eñ
Suobus solidis equi distancium laterum qualitercunq
si lnee altitudinũ suis basibus orthogonaliter insistũt
constat esse quod dicitur ex premissa OSm autem
a .xͦ. angularibus punctis supmarum suꝑficierum
in utroq solido quaterue linee demittantur pper¬
dicularil ad bases uel a punctis angularibus Infi¬
marum superficierum quaterne erigantur inter quas
Duo solida ꝑalellograma ꝑficiantur equialta sobidis
p̾oribus Erunt q ex .rꝯ̃. et. zoͣ. hec duo solida
Duobus prioribus solidis equalia Cumĩta hoꝵ
et eorum sint eedem bases et eedem alcitudines
Si aucem ex premissa de posceriõribus uerum est¬

Expanded text:
quemadmodum demonstravimus 32 et 33. Fabricatis enim quemadmodum demonstravimus 32 et 33. Fabricatis enim duobus solidis equidistantium laterum quibuscumque si linee altitudinum suis basibus orthogonaliter insistunt, constat verum esse quod dicitur ex premissa. Sin autem, a 4 angularibus punctis supremarum superficierum in utroque solido quaterne linee demittantur perpendiculariter ad bases vel a punctis angularibus infimarum superficierum quaterne erigantur, inter quas duo solida paralellograma perficiantur eque alta solidis prioribus. Eruntque ex 29 et 30 hec duo solida duobus solidis prioribus equalia. Cum igitur horum et eorum sint eedem bases et eedem altitudines, sit autem ex premissa de posterioribus verum quo
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ . 7. qͣ sicud dł ad be ita cie ad eẜ sicud dꝭ ad
Se constat ĩtaqi p̃ma pors / Secundam partem cũ
sit conuersa p̾me ⁊ querso modo probabis Sit xniii
cadem disposicione marente ꝓportio coe ad ef sicud dẜ
ad eẜ Dico tunc solida as et cd esse equalia Erit em̃¬
ex sextima quinti df ad fe sicud çie ad ef sed ex
uͥmissa est ad ad cg sicud ae ad cꝭ ĩta est as ad cg
sicus d̃f ad fg Ex p̃ma autem sexti est E ad fa
sicud̃ arf ad fł et ex xremissa cd ad eg sicudaas ad
Si duo soliDa equi distantium terminorũ fuient¬
equalia eotum Sases eorundem altitudinbus
.Erunt mutue Si uero bases sue altitudinibus suis
mutue fuerint quelibet duo corpora eque distanti¬
um suꝑficierum ꝓbantur esse equalia
Quos premissa ꝑposuit de solidis ꝑ alellogramus quoꝵs
linee altitudinum super baser̃ suas orgegonal orthogo¬
raliter exongunt hec ⁊ iͫ ꝓponit Indistincte de on¬
nbus demonstrare au cem quemt hant ex premissa

Expanded text:
 f sicut d f ad b e. Constat itaque pars prima. Secundam partem cum sit conversa prime converso modo probabis. Sit enim eadem dispositione manente proportio a e ad c f sicut d f ad e b. Dico tunc solida a b et c d esse equalia. Erit enim ex 7 quinti d f ad f g sicut a e ad c f. Sed ex premissa est a b ad c g sicut a e ad c f. Igitur est a b ad c g sicut d f ad f g. Ex prima autem sexti est d f ad f g sicut m f ad f l et ex premissa c d ad g c sicut m f ad Si duo solida equidistantium terminorum fueequalia, eorum bases | eorum altitudinibus erunt mutue. Si vero bases sue altitudinibus suis mutue fuerint, quelibet duo corpora equidistantium superficierum probantur esse equaliaalellogramis quorum linee altitudinum super bases suas orthogonaliter exurgunt, hec 35 proponit indistincte de omnibus. Demonstrare autem convenit hanc ex premissa
Abbreviated transcription (Latin):
ica ex .xxo. sit saꝵ equalis angulo edl et linea aꝑ li¬
nee dl erit ex ⁊6. xrimi luea dx equalis as et xl
equalis ex Eodem quoq modo cuin ex ꝑxothesi sit ar¬
gulus ⁊ aꝑ rectus equalis angulo cde erit ex cadem
Cura ar xqualis de et rꝑ equalis el quare es quarta
urumi linea ⁊s erit equalis luree ex et angulus ars eque¬
lis angulo dex et angulus abr angulo doc est enin et
y pottresi angulus a equalas aygulo d a conceptione Ĩta
erit angulus orq equalis angulo xtu et angulus ⁊sq
angulo egu sunt eui residni et rectorum demxtis gquali¬
uus pecese est Itaq ex ⁊b. primi ut linea ⁊q sit equolis

Expanded text:
it angulus s a p equalis angulo x d l et linea a p linee d l, erit ex 26 primi linea d x equalis a s et x l equalis s p. Eodemque modo cum ex ypothesi sit angulus r a p equalis angulo e d l, erit ex eadem linea a r equalis d t et r p equalis t l. Quare per 4 primi linea r s erit equalis linee t x et angulus a r s equalis angulo d t x et angulus a s r angulo d x t. Est enim ex ypothesi angulus a equalis angulo d. A conceptione igitur erit angulus s r q equalis angulo x t n et angulus r s q angulo t x n. Sunt enim residui duorum rectorum demptis equalibus. Necesse est itaque ex 26 primi ut linea r q sit equalis
Abbreviated transcription (Latin):
cinea pn erit q completum solidum ꝑalellogramũ
quod dico esse simile solido cd hoc autem es
Siffincione sumlum suꝑfitierum et Siffinĩcione similiũ
super duas quoflibet oppositas suꝑficies xius
terminales et super egrum duas Syamretios
secet eocndem superficiem corpus illud ꝑ equa¬
lia secare necesse est
Sit corpus as solidum ꝑalellogramum de quo sit
positum ꝙ suꝑficies abed secet ipsum super dya¬
metros duarum superficierum oppositarum ipsum
solidum terminancum que sunt ad et cõ Dico¬
quorum superities quadrilateras binas ad inuicem
relatas secundum ꝙ ipse sunt opposita latera solidi ꝑ¬
positi Mainfescum est ex .⁊x. esse equales cum solidũ
De quo loquimur positum sit esse ꝑalellogramũ Ex
eadem quoq et .xi. constat trilateras suꝑfities
dictorum serratiliu esse equales ita a diffrmciõne
soliorum equalium liquet quoS est ꝓpositum

Expanded text:
ur quoque et linea p n. Eritque completum solidum paralellogramum a p ur quoque et linea p n. Eritque completum solidum paralellogramum a p quod dico esse simile solido c d. Hoc autem ex diffinitione similium superficierum et diffinitione similium super duas quaslibet oppositas superficies eius terminales et super earum duas diametros secet, eandem superficiem corpus illud per equalia secare necesse est. Sit corpus a b solidum paralellogramum de quo sit positum quod superficies a b c d secet ipsum super diametros duarum superficierum oppositarum ipsum solidum terminantium que sint a d et c bquorum superficies quadrilateras binas et binas ad invicem relatas secundum quod ipse sunt opposita latera solidi propositi. Manifestum est ex 24 huius esse equales cum solidum de quo loquimur positum sit esse paralellogramum. Ex eadem quoque et 41 primi constat trilateras superficies dictorum serratilium esse equales. Igitur a diffinitione solidorum equalium liquet quod propositum es
Abbreviated transcription (Latin):
arp equales tdeꝙ ideoq eciam ꝑ uandem ħe et up
equales cum suit hlri et lil equales um et ap añ
guli hls et nap recti p .u. ĩta pins erit angulus
nep equalis angulo hal simili quoq modo ꝓbabis
angulim gen esse equalem angulo cad constat itaq
nos effecisse quod uoluimus / huit tu si studiosus
uuestiteris quottunꝙ lateribus a solidus angulus ꝓpo
perfitere poteris
cium suꝑficierum simile solidum ꝯstituere
Sit asignata linẽa ab de cuiud situ utrum in xlano
raceat uel sursum exurgat nchil curetur sit qz
assignatum solidum ꝑalellogramum corprus cs
cui ed supers liueron ab Iubenuur scimłe solidũ
fabricare Sint ita tres linre continentes suꝑ¬
ficiales angulos ex quibus componitur solidus angulꝰ
c inscripte literis ce eẜ q eg ac secundum precex¬
ta premisse super punctum a liner ab conscituat᷑
angulus solidus equalis c quem ꝯtintant tres liuee
Em equi distans ah Aimplius eciam protrahatur ap

Expanded text:
m p equales ideoque etiam per eandem h l et n p m p equales ideoque etiam per eandem h l et n p equales. Cum sint h k et k l equales n m et m p et anguli h k l et n m p recti, per 8 igitur primi erit angulus n e p equalis angulo h a l. Simili quoque modo probabis angulum g e n esse equalem angulo c a d. Constat itaque nos effecisse quod volumus. Huic tamen si studiosus institeris, quotcumque lateribus a solidus angulus propperficere poteris.tium superficierum simile solidum constituere. Sit assignata linea a b de cuius situ utrum in plano iaceat vel sursum exurgat, nichil curetur. Sitque assignatum solidum paralellogramum corpus c d cui super lineam a b iubemur simile solidum fabricare. Sint igitur tres linee continentes superficiales angulos ex quibus componitur solidus angulus c inscripte litteris c e, c f, c g. At secundum precepta premisse super punctum a linee a b constituatur angulus solidus equalis c quem contineant tres linee k m equidistans a h. Amplius etiam protrahantur m p
Abbreviated transcription (Latin):
eri inquo sunt due linee ab et ac quod qualite
saciendum aͣ et irͣ. Docuit nec sit tibi cura de punto
E nichil eniy refeit utium ppendicularis qt
curat supficiez in qua sunt due binrer ab et ac ĩntra
ipsas lixas aut extra doit in earum altera ducios
tauren luixam ali posito qz pincto l in linxa ab
ubitinq uolueris ꝓtrahe luixas ll et ll et xõne
angulum fem in su perficie linearum eẜ et eg equale
em in qua sunt dñe linẽe ef et eg et pane cam¬
coyn equalem ¶l et ꝑtiale liuras̃ en nꝑ et pa
dico ita tres siueas ef Eg en continere angulum
ulidum in puncto e equalem angulo a pposito
Cum sint enmi ut yxoctesi Duo latera as et liq
trianguli alih equalia duobus lateribus em orp e
anguli eamn et anguli qui sunt ad l et m recti
ex diffiintione lurex ꝑpendiculanter erecte supra
superficiem erunt ꝑ x. xrini due liner aħ et en
equales per uandem quoqz erunt due lũee lil et

Expanded text:
em in qua sunt due linee a b et a c. Quod qualiter em in qua sunt due linee a b et a c. Quod qualiter faciendum sit, 11 huius docuit. Nec sit tibi cura de puncto k. Nihil enim refert utrum perpendicularis h k occurrat superficiei in qua sunt due linee a b et a c, inter ipsas lineas aut extra aut in earum altera ducito tamen lineam a k. Positoque puncto l in linea a b ubicumque volueris, protrahe lineas k l et l h et pone angulum f e m in superficie linearum e f et e g equalem unt due linee e f et e g et pone eam equalem h k et protrahe lineas e n, n p et p m. Dico igitur tres lineas e f, e g, e n continere angulum solidum in puncto e equalem angulo a proposito. Cum sint enim ex ypothesi duo latera a k et k h trianguli a k h equalia duobus lateribus e m et m n trianguli e m n et anguli qui sunt ad k et m recti ex diffinitione linee perpendiculariter erecte supra superficiem, erunt per 4 primi due linee a h et e n equales. Per eandem quoque erunt due linee k l et
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑalellogianus ꝑ ꝓbabitur protiactis euin in utramlibet
portem liuris d ẜ dd be E factis q inter ras
ex parte prunti ⁊ serratilibus equalibus serratili gẜ
et ex porte puncti u alus equalibus secratili al
utrmq quoius numero ex diffinicione iñcontinus ꝑ¬
porcionalitatis Si cuncta uigili mente ꝑlustres non
lo p̃posito xqualem equalem solidum caigułid
constituere
Delidus angulus ꝓpositus sit a qui contineatur ẽs
linxis ab at ad tres superficiales angulos ipsum
solidum ꝑficientes continentibus cum a suxer puctũ
e linee ef pposite que ad libitum pporentis ĩaceat
angulum constituere qualistunq sit situs lunee eẜ d
pucto g ubicũq uolueris signato ꝑducito lineam ge
Inhac itaq suꝑficie super punctum e datum in assig¬
naca bñea secundum consilium ei. p̃mi constitue an¬
gulum equalem angulo uac et ipxe sit feg dehit
ex liuxa ad abstinde luream ab sicud uolueris et
apungo ħ producito ꝑpendicularem hlr ad suꝑsici¬

Expanded text:
ur. Protractis enim in utramque partem lineis a d, e b, c f factisque inter eas ex parte puncti e serratilibus equalibus serratili g f et ex parte puncti b aliis equalibus serratili a k utrinque quovis numero ex diffinitione incontinue proportionalitatis si cuncta vigili mente perlustres nonlo proposito equalem solidum angulum constituere. Solidus angulus propositus sit a qui contineatur tribus lineis a b, a c, a d tres superficiales angulos ipsum solidum perficientes continentibus cui super punctum e linee e f proposite que ad libitum proponentis iaceat aangulum constituere. Qualiscumque sit situs linee e f a puncto g ubicumque volueris signato producito lineam g eIn hac itaque superficie super punctum e datum in assignata linea secundum consilium 23 primi constitue angulum equalem angulo b a c et ipse sit f e g. Dehinc ex linea a d abscinde lineam a h sicut volueris, et a puncto h producito perpendicularem h k ad superfici
Abbreviated transcription (Latin):
pndno yxonencia psolidum palellogͣnũ eu sis. ad
muicemn sunt equalia de uero ex .3 ue .℥r. buius duo
soa alis et eu funt sisi simicem equalia quia erg
seriatilig ꝓposita per cõiuinem stiencĩam constat da d
equalia queciq enia fuerint equalia eorim mredueta¬
tes necesse ist ese equadeo liquet itaqr quod ꝑpositum est¬
Mmum Suarum suꝑficierum semebrue srabto¬
angularium intez suos airculos descapta¬
tum est ꝓportio alteruus ad abteraror tarige
tporcio quortorum que ex drametue cirtulorum eas

Expanded text:
 sibi ad invicem sunt equalia. At vero ex 31 vel ex 32 huius duo solida a k et e n sunt sibi invicem equalia. Quia ergo serratilia proposita, per communem scientiam constat esse ea equalia. Quecumque enim fuerint equalia, eorum medietates necesse est esse equales. Liquet itaque quod propositum estOmnium duarum superficierum similium multiangularum inter duos circulos descriptarum est proportio alterius ad alteram tamquam proportio quadratorum que ex diametris circulorum eas
Abbreviated transcription (Latin):
super eas ãbo mclinata / s a4  angulis sup̃inarum suꝑ¬
ficierum yxsorum ad ba bãses suas ꝑpendiculares duldẽ
que ex .8. euint singule singulis equi distantes et eciam
ex ypothesi singule singulis equales ipsorum unui solidoĩ
ꝑpositorum altitudinem diffimũt᷑ et si inter eas solida e¬
qui distancium laterum ꝑficiantur constabit ex premissa hit
Dno solida ultimo ꝯstituta esse admutem equalia ¶inqr dioe
priorum et duoccum posteriorĩo sint uedem uases ui¬
Delicet eorum saprrficies sux̾me constat ex 2ꝯ. ueu
30. et hac cõmum stienciã quetuq equalibus. sunt xqua¬

Expanded text:
super eas inclinata. Si autem a 4 angulis supremarum supsuper eas inclinata. Si autem a 4 angulis supremarum superficierum ipsorum ad bases suas perpendiculares ducantur que ex 6 erunt singule singulis equidistantes et etiam ex ypothesi singule singulis equales ipse enim solidorum propositorum altitudinem diffiniunt et si inter eas solida equidistantium laterum perficiantur, constabit ex premissa hec duo solida ultimo constituta esse ad invicem equalia. Cumque duorum priorum et duorum posteriorum sint eedem bases videlicet eorum superficies supreme, constat ex 29 vel 30 et hac communi scientia: quecumque equalibus sunt equa
Abbreviated transcription (Latin):
lunee oniũ horum soldoru erectre sux lases xpe diculares
super ipsas et appellẽt᷑ bases et solida saper ipsas constr¬
tuta eisdem nominibus maiifestum est autem ex dissuncione
scadorum equalium acq sumlium ꝙ duo solida us et cd
equalia sunt acq similia de solidis autem sħ et ber
ꝯstat ex. ⁊ꝯ ꝙ ipsa sunt equalia sunt uui eque alta
et conscituta super unam et candem basim et ipsa est
od sol dum bl sicud basis blr ad basim bl cunqi sit uta¬
usq duarum basium ab et blr ad basim bl una ꝓporcu
lido cu sequit᷑ ex cõmuni scientia solidum ab esse equale
Si solida equi distantium laterum suꝑficierum
in equis uasibus constituta eque alta fuerint
lirrer autem angulares supra bases orthegonalitꝰ
non sceterint ipsa esse equalia irecesse est
F abricatis dubus corporibus ut ꝓportionaliter uidelicet
que sunt equi distancium termminorum et eque alta sux¬

Expanded text:
ue omnium horum linee solidorum erecte super bases perpendiculares ue omnium horum linee solidorum erecte super bases perpendiculares ad ipsas et appellentur bases et solida super ipsas constituta eisdem nominibus. Manifestum est ergo ex diffinitione solidorum equalium atque similium quod duo solida b h et c d equalia sunt atque similia. De solidis autem b h et b k constat ex 29 quod ipsa sunt equalia. Sunt enim eque alta et constituta super unam et eandem basim et ipsa est k ad solidum b l sicut basis b k ad basim b l. Cumque sit utriusque duarum basium a b et b k ad basim b l una proportio, lido c d, sequitur ex communi scientia solidum a b esse equale Si solida equidistantium superficierum in equis basibus constituta eque alta fuerint, linee autem angulares supra bases orthogonaliter non steterint, ipsa esse equalia necesse est. Fabricatis duobus corporibus ut proponitur videlicet que sint equidistantium terminorum et eque alta
Abbreviated transcription (Latin):
apm  Secundo solida egred. tentiũ laterũ
que alta constituta Sintq linee erecte super angulas
ꝓpositarum baslum ꝑpendiculariũ ad ipsas bico hic̃ sno
scolida esst edimicem equalia ꝑtrahantur unin dño la¬
tera basis ab et sint ista que ꝯtinent angulõs s usqi
ad ẜ et e et fiar angulus fõg equalis angulo ⁊ basi
det sumantur due linex bf ug equales dnobus la
ueribud basis td que contient angulum t et ꝑficiatur
R. perficies equidistancium laterum pħ bħ̃ que erit equalis
et similis basi ed dehinc ꝓtrahantur he equidistans
Ef et fli equidistans be erit q quadrilatera suꝑficies
uli equidiscanciam laterũ equalis bs ex zl p̾m uli su¬
citur Itaq suꝑficies equidiscancium laterum gl ꝑtracta linea
uf quensq concuriat cum uno ex lateribus conturentibus
angulum a in xũcto l age ergo super tres superficies
equi distantiũ laterum que sunt bh blr bl conste tuantur so¬
lida eque alta solido consticuto suxer basun ab Sunt q¬

Expanded text:
ahym, duo solida equidistantium laterum eque alta constituta sintque erecte linee super angulos propositarum basium perpendiculares ad ipsas. Dico hec duo solida esse ad invicem equalia. Protrahantur enim duo latera basis a b et sint illa que continent angulum b usque ad f et e et fiat angulus f b g equalis angulo c basis c d et sumantd que continent angulum c. Et perficiatur superficies equidistantium laterum b h que erit equalis et similis basi c d. Dehinc protrahatur h e equidistans b f et f k equidistans b e eritque quadrilatera superficies b k equidistantium laterum equalis b h ex primi. Cuatur itaque superficies equidistantium laterum b l protracta linea k f quousque concurrat cum uno ex lateribus continentibus angulum a in puncto l. Age ergo super tres superficies equidistantium laterum que sunt b h, b k, b l, constituantur solida eque alta solido constituto super basim a b sintq
Abbreviated transcription (Latin):
Duorum angulorum abt def est iectus sequitur xxx.
prumi Suos angulos abt def esse equiangulos quare
ꝑ .x. S. portio Dyamretii ac od dyametium s sicud
lateris ab ad latus de cum ĩtaqr ex secunda parte id.
G.. porcio duorum pentagonorum sit sicus lateris as ad¬

Expanded text:
duorum angulorum a b c, d e f est rectus, sequitur ex 32 primi duos triangulos a b c, d e f esse equiangulos. Quare per 4 sexti proportio diametri a c ad diametrum d f est sicut lateris a b ad latus d e. Cum itaque ex secunda parte | 18 sexti proportio duorum pentagonorum sit sicut proportio la
Abbreviated transcription (Latin):
et ĩnter ras complenui solidum ꝑalellogramũ ks e
altum solido ed et prahantur due linee basis es
usqi ad c et ⁊s usit ad ar sit q bl equalis gd et
um equalis hg et inficutur liperficies equidistatium
laterum ml que erit equalis et similis qd suꝑ xam
ita erigatur solidm palesegramum xꝯ sed̾ actitudi¬
nem abstisam ex altiriuditi solid ab erit ꝑꝯ equale
et simiĩle solido cs uuisis q inter luieas ⁊s et
quam quoos erigltur solieium ꝑabellogramũ x x4 equi
actum Smuorum se lidorim nio et ꝑꝙꝗ Rxpłendo a¬
deratrum Suerm enguliium hyatuũ inter ea cum
corpori suulia inte. se sunt similiã xt pacet ex dih¬
mnciore / corporum simlin et no. Si Mamfestum̃ est
exit tor assuxta q inter duo iolida as et ꝑa se¬
cundum continuatio. pporcionalitatem cadurt sois
rluses ꝓositĩ Eexem ortorem ⁊ diligenter actende sci¬
esq eo rlr huno porcionem solid ab ad solidum
ex esse sicid suꝑficie Er ad suꝑficiem ler Ĩdeoꝙ as

Expanded text:
et inter eas compleatur solidum paralellogramum k b eque altum solido c d. Et protrahantur due linee basis e b usque ad l et r b usque ad m sitque b l equalis g d et b m equalis h g et perficiatur | superficies equidistantium laterum m l que erit equalis et similis h d. Super eam igitur erigatur solidum paralellogramum p q secundum altitudinem prescisam ex altitudine solidi a b eritque p q equale et simile solido c d. Rursusque inter lineas r b et quam altum utrique duorum solidorum k b et p q replendo alterutrum duorum angulorum hyatuum inter ea. Cum corpori similia inter se sunt similia ut patet ex diffinitione corporum similium et 20 sexti. Manifestum est ex 25 ter assumpta quod inter duo solida a b et p q secundum continuam proportionalitatem cadunt duo scludes propositum. Excute torporem et diligenter attende sciesque ex 25 huius proportionem solidi a b ad solidum k b esse sicut superficiei a r ad superficiem k r ideoque
Abbreviated transcription (Latin):
Et angulum paq esse equalem angulo ldũ
Doli dum tribus liueis ꝑporcionalibus ꝯtentum e¬
quũ erit solido quod a nredie linee equis lacerib
contiuetur si anguli sui amborum sibi Iniucem suerit
Dun tamer equiangula uerum est ꝙ contentum atribus linris
drg conalus equale est ei qued ame dia earum contineto
quẽ admodum de supeisiciebus ⁊ ectangulis ꝓobatum est pns
sexti et de noñ rectangusis elicitur eiudenter eo secun es ꝑt¬
tio huius chunt itatres liner as se et ed contie ppor¬
cionales fatqi xe xis unus angulus solidus ad sisitĩ et
ꝑficiatur supfities equidistantium lacetiatm cuius lurea
do sit bongitude be uero altitudo et cs latitus  e
rosias elidum dicatur adiumota quoq liñra qualibet
equali st que eciam xẽcetur bc suxei ixsus eextreut¬
tateno que ust s constituatur solisns angululo equatis

Expanded text:
et angulum p a m esse equalem angulo l d n. ∗∗∗ ⟨XI.⟩38 Solidum tribus lineis proportionalibus contentum equum erit solido quod a medie linee equis lateribus continetur, si anguli sui amborum sibi invicem fuerintdum tamen equiangula verum est quod contentum a tribus lineis proportionalibus equale est ei quod a media earum continetur quemadmodum de superficiebus rectangulis probatum est in 16 sexti et de non rectangulis elicitur evidenter ex secunda t igitur tres linee a b, d c et c b continue proportionales fiatque ex eis unus angulus solidus ad libitum et perficiatur solidum equidistantium laterum cuius linea a b sit longitudo, b c vero altitudo, sed c d latitudo et ipsum solidum dicatur a d. Sumpta quoque alia linea qualibet equali b c que etiam vocetur b c super ipsius extremitatem, que est
Abbreviated transcription (Latin):
esse ꝙlirt terciam as aliquam quartam ꝙ ꝓportio quiarti
Syamerii ab ad quartum dyamecii ed est sicud circuli
as adsuperficiem a liquam quesit e cuiusqz figure aut
forma ponatur hoc autem imxossibile est esse mcoorẽ
aut minorem circulo ed esi eum possibile est i psam
Constat ita ex p̾ͥma. ioͬ. ꝙ tociens possit ex criculo es
sius q residius subtiahi mains duni dio quousq ⁊elin¬
iuatur ꝙ̃ticas aliqua minor ꝑ inscribatur g. sibi ut
Socet .G. quarti quartum egdh de quo constat ꝙ ipsum
sit mains mededate circuli quartum enin quod est
Supluny ad ipsum est circusum circunstribens ut patet

Expanded text:
ad aliquam quartam, quod proportio quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d est sicut circuli a b ad superficiem aliquam que sit e cuiuscumque figure aut forme ponatur. Hanc autem impossibile est maiorem esse aut minorem circulo c d. Si enim possibile est ipsam  totiens possit ex circulo c d suisque residuis subtrahi maius dimidio quousque relinquatur quantitas aliqua minor f. Inscribatur ergo sibi ut docet 6 quarti quadratum c g d h de quo constat quod ipsum sit maius medietate circuli. Quadratum enim quod est duplum ad ipsum est circulum circumscribens ut patet
Abbreviated transcription (Latin):
munis seccio est liuea recta Esto eui duo pũcta
e et ꝑ termini cõmunis seccionis que ꝯtimrent᷑
in utraqi duderum suꝑficierum ab et ce cõstat
ꝯpositum soit uero si in nentra uel si non in alta
tum amẜ̾o xicta e et f sint in utraq suꝑficierũ
ab et be in ea suꝑficie in qua ipse non fuerint
ꝑtiahantur recta liura que sit ehf erut Ita due
linee recte es et chf habentes duos termi¬
nos cõmunes ⁊ et ẜ quod est imxossibile sit em̃¬

Expanded text:
munis sectio est linea recta. Esto enim duo puncta munis sectio est linea recta. Esto enim duo puncta e et f termini communis sectionis earum que contin utraque duarum superficierum a b et c d, constat propositum. At vero si in neutra vel si non in altera cum ambo puncta e et f sint in utraque superficierum a b et c d in ea superficie in qua ipsa non fuerit, protrahatur recta linea que sit e h f. Erunt igitur due linee recte e f et e h f habentes | duos terminos communes e et f. Quod est impossibile. Sic e
Abbreviated transcription (Latin):
sit in plano et pars sursum elenata si euin est
possibile sit pars eius que est ac sita in ꝑlans
et eius pars que est cs in subluimi et ꝑtrahatur¬
at directe in plano in quo ipsa sita est usqr ad
Serit ergo ut uin eidemqz lure que est lurea
ac due lurer peiitus dixerse que sunt linee es
et cd ex eadem parte directe a diciantur quod est
secat una suꝑficie site sunt omisqz trian¬
gulus in una suꝑficie totus ꝯsiscit
uile est partem crianguli efg esse in xlanos
xortem in sublim quoniam eciam suarum c̾nialiũ
Cinerrum unius aut plurium pars siuoliter sit
sit hoc impossibile ꝑ pͥmissam erit qͦ i̾m possibile
de triangulo Itaq tõtus tuangulus efg est in su¬
ꝑficie una Ex hat ita secunda parte et premissa
cancium cõmunis secciõ est linra recta
de xlans suꝑficiebus intellige et uerũ erit
quod dicitur ssunit itaqi due planre su ꝑficres
as et cd̃ se imucem secantes. Dico ꝙ rarim̃ con¬

Expanded text:
sit in plano et pars sursum elevata. Si enim est sit in plano et pars sursum elevata. Si enim est possibile, sit pars eius que est a c sita in plano et eius pars que est c b in sublimi posita et protrahatur directe a c in plano in quo ipsa sita est usque ad d. Erit ergo ut uni eidemque linee que est linea a c due linee penitus diverse que sunt linee c b et c d ex eadem parte directe adiciantur. Quod estin una superficie site sunt. Omnisque triangulus in una superficie totus consistiigitur impossibile est partem trianguli e f g esse in plano et partem in sublimi quin etiam suarum terminalium linearum unius aut plurium pars similiter sit sit hoc impossibile per premissam, eritque impossibile de triangulo. Itaque totus triangulus e f g est in superficie una. Cum hac igitur secunda parte et premissa cantium communis sectio est linea recta. De planis superficiebus intellige et verum erit quod dicitur. Sint itaque due plane superficies a b et c d se invicem secantes. Dico quod earum com
Abbreviated transcription (Latin):
ommi ꝑasellogramo ⁊ ectangulo circulum Ideo q co¬
lumxne rotĩde speram esse cirtũ strixa ͭͤ¬
Angulus corporeus suie soludus est quem cõ¬
gurent anguli ꝑlam plures ꝙͣ. duo qui hãc
in una superfitie siti ad unum punctum
angularem cõueniunt
Suo anguli xlan unum angulum solidum ꝑficere
nequiunt sicud nec due recte lurer possunt suꝑficiem
concluder angulos quoq plans solidum an gulum
comxonentes in uadem suꝑficie non quenit esse
sitos s indiuersis quem adimodum duas ⁊ectas
nuras plamum ꝑficientes angulum non ꝯuenit sibi
quarum does Syametas suorũ uastum sunt
ꝑpositid eum Duabus columxnis ⁊otundis aut Duab
prrami dibus rotundis si fuerit ꝓportis axis uinꝰ
earum ad dyametrum sul basis sicud axis al¬
terius ad dyametrũ sueste uasis ille due columpne
aut piramidẽs sum ces ad Inicem esse dicuntur¬
plano partem in sublimi est ixossisile

Expanded text:
omni paralellogramo rectangulo circulum omnique coomni paralellogramo rectangulo circulum omnique columne rotunde speram esse circumscriAngulus corporeus sive solidus est, quem continent anguli plani plures quam duo, qui haut in una superficie siti ad unum punctum angularem conveniunt. Duo anguli plani angulum solidum perficere nequeunt sicut nec due recte linee possunt superficiem claudere. Angulos quoque planos solidum angulum componentes in eadem superficie non convenit esse sitos, sed in diversis quemadmodum duas rectas lineas planum perficientes angulum non convenit sibquarum axes diametris suarum basium sunt positis enim duabus columnis rotundis aut duabus piramidibus rotundis si fuerit proportio axis unius earum ad diametrum sue basis sicut axis alterius ad diametrum sue basis, ille due columne sive piramides similes esse dicunturplano et partem in sublimi est impossibile
Abbreviated transcription (Latin):
erit quoqz dyameter de dyamete columpne W
antem dicitur columxne et soere acqr crrculi idem¬
esse idem esse centrum intelligi de bet cum horm est
una eadem q dyameter uebi gracia dixinus eñt
Ita atq circulum quors dyameter est lurea de
uecesse est sdem centium habrre cum centro pposite
g erit qz g centrum columpne Siuidit enin axem
columpne ꝑ equalia et dyametrum colupne per
equalia quod patet ex ⁊s. xͥmi nam anguli qui
sunt ad g sunt equales .ex ili. prim et anguli
qui sunt ad a et b recti ex ypothesi linea quoqz ad
est equalis liuer be Itaqz dg est equalis ge
et ag equalis gs sunq anguli ⁊ et f sunt recti si
suxer pũctum g secim dum spacium dg ac super
eneam de circulus destribatur transibit ex quersa
p̃ine partis io. ℥.. ꝑ puncta c et ꝑ ĩtaq xunctũ
g est/ centium circuli cunis Syameter est dymeter
cõlumxne edeoq et spere Quare maiifestum est

Expanded text:
erit quoque diameter d e diameter columne. Quod erit quoque diameter d e diameter columne. Quod autem dicitur columne et spere et circuli idem esse centrum, intelligi debet cum horum est una eademque diameter. Verbi gratia: Diximus enim tur atque circulum quorum diameter est linea d e necesse est idem centrum habere cum centro proposite n puncto g eritque g centrum columne. Dividit enim axem columne per equalia et diametrum columne per equalia, quod patet per 26 primi, nam anguli qui sunt ad g sunt equales ex 15 primi et anguli qui sunt ad a et b recti ex ypothesi, linea quoque a d est equalis linee b e, itaque d g est equalis g e et a g equalis g b. Cumque anguli c et f sint recti, si super punctum g secundum spatium d g ac super lineam d e circulus describatur, transibit ex conversa prime partis 30 tertii per puncta c et f, itaque punctum g est centrum circuli cuius diameter est diameter columne, ideoque et spere. Quare manifestum est