comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
e quasis quorto liner dg Cum itaq linr̃a dg sit
⁊acionalis in potencia erit ꝑ is. linrea cd ⁊acionalis
Dicitur sit rocionalu ꝓ i6sᵒͫᵐ¬
post eam sunt nequid esse sus termino uinomin aut
ais termins et ordine ullius ceterar lm̃earum
Irracionalium que binonium subsequũtur Cum autẽ
possisile sit lixarum itracionalium seriem in ĩnsi¬
intum produci non est possibile ullam eorum cũ
ea que p̾cesserit in termino et ordine conuenize
uult ꝑ hãc ultimam libr decimi ꝙ iz. irracionales linee
De quibus in hoc aoͦ. determinatum est et ipse sime lurea
medialis bionui et enis .i. comites. rese duum et eis
.li. comites sunt abimicem singule a singulis specie dise¬
⁊ entes et ꝙ una lurea una potest esse siml sus dnabus
aut plirribus speccebus earum et ꝙ pecies liurarum ĩrra¬
cionalium possunt in infintur produci quarum milla cũ

Expanded text:
to linee d g. Cum itaque linea d g sit rationalis in potentia, erit per 16 linea c d rationalis dicitur sit irrationalispost eam sunt, nequit esse sub termino binomii aut sub termino et ordine ullius ceterarum linearum irrationalium, que binomium subsequuntur. Cum autem possibile sit linearum irrationalium seriem in infinitum produci, non est possibile | ullam earum cum ea, que precesserit, in termino et ordine convenire. Vult per hanc ultimam libri decimi quod 13 irrationales linee de quibus in hoc decimo demonstratum est et ipse sunt linea medialis, binomium et eius 5 comites residuumque et eius quinque comites sunt ad invicem singule a singulis specie differentes. Et quod nulla linea una potest esse simul sub duabus aut pluribus speciebus earum. Et quod species linearum irrationalium possunt in infinitum produci quarum nulla cum
Abbreviated transcription (Latin):
liure siñt urracionales demonstratum suꝑins esse me¬
mento de mediali quidem ex ig. de uinonnio autem
et xius . 5. comitibus ex . ioͣ. et ꝙ eam sequentibus
itacionaliut posse ꝯuenire in specie cum aliqua aliaꝵ
equales quartis predictarum .i3. linxarũ Inacionaliũ
secundum qr ordinẽ se inuitem sequũtur erit qr ex. toͫ aᵘ¬
cundum latus prime istarum a suꝑficicierum rõcionale
ĩn potentia tantum / ⁊ secunda autem latera secunde istar
1z. su ꝑficrerum et a. econ sequencium erunt onnes soccies
binonnorũ ꝑ ordurem sailicet binonum pmum uinornium

Expanded text:
ites sunt irrationales, demonstratum superius esse memento: de mediali quidem ex 19, de binomio autem et eius quinque comitibus ex 30 et quinque eam sequentibus. irrationalium posse convenire in specie cum aliqua aliaruequales quadratis predictarum linearum 13 irrationalium secundum quod ordine se invicem sequuntur, eritque ex 20 secundum latus prime istarum 13 superficierum rationale in potentia tantum. Secunda autem latera secunde istarum 13 superficierum et quinque eam sequentium erunt omnes species binomiorum per ordinem videlicet binomium p
Abbreviated transcription (Latin):
et dt in potentia tantum bd quoq eut potencior de
in quorrto linxx secum stilicet sd ĩn longitudine cõmu¬
nitantis / Dimidatur itah Sc ꝑ equalla in e et tota
Gᵈ diui datur eadem condicione in f ꝙ inter sf
earum cõmunitat cum tota linea es quare x diffrm¬
ciene in ambe sunt ⁊ acionales in longitudir Sucant̾
utiaq duacrum suxerficierum af et gd racionalis Sit
quoq quartum lo equale suꝑficiei af erit q racionale
et eius latus racionale in potentia infra istus em istus¬
quartum ꝑ tracta dyagonali lox destubatur queatũ
En equale suꝑficier gd erit qz ixsum racionale et
enũ latus racionale inpotencia ꝑtrahantur autem due
liner tuꝑ qur equedistanter das lateribus totalis quart
Dico ergo quantum pr esse e quale suꝑficiez ac et
eins latus quod est nꝑ est residuum Cum enin linea
De sit ex ꝓpothesi medio loco ꝓportionalis inter duas
Sio loco ꝑporticualis inter duas suꝑsities af et gd

Expanded text:
r d c in quadrato linee secum communicantis in longitudine. Dividatur igitur d c per equalia in e et tota b d dividatur ea conditione in f quod inter b f earum communicat cum tota linea b d, quare per diffinitionem ambe sunt rationales in longitudine. Ducantur utraque duarum superficierum a f et g d rationalis. Sit ergo quadratum l m equale superficiei a f eritque rationale et eius latus rationale in potentia. Intra illud quadratum protracta diagonali ll n equale superficiei g d eritque etiam ipsum rationale et eius latus rationale in potentia. Protrahantur autem due linee t n p, q n r equidistanter lateribus totalis quadrati. Dico ergo quod quadratum p r est equale superficiei a c et eius latus, quod est n p, est residuum. Cum enim linea d e sit ex ypothesi medio loco proportionalis inter b dio loco proportionali
Abbreviated transcription (Latin):
Si due uuree se angulariter contingentes duobz¬
alus se contingentibus oppositis equidistantes
fuerint non autem in una superficie que as
eis fuerit duo anguli equi sis ĩnuicẽ esse ꝓbant᷑
Sint due liure ab et ed angulariter se ꝯtingentes
ꝯtiñgentibus in d nec suñt cum eis in suꝑficie una
Dico angulum a equalem angulo d Est eiiu linra de
equalis lnier as ou rp̃sa posita est equidistare et dꝭ equa¬
es ft eritq ex q pͥmi uis assumxta utraq duarum lure¬
arum be et cl equalis et equi distans ad xer concex

Expanded text:
Si due linee se angulariter contingentes duabaliis se contingentibus oppositis equidistantes fuerint, non autem in una superficie, qui ab eis fiunt duo anguli equi sibi invicem esse probantur. Sint due linee a b et a c se angularcontingentibus in puncto d nec sint cum eis in superficie una. Dico angulum a esse equalem angulo d. Esto enim linea d e equalis linee a b cui ipsa posita est equidistare et d f equae b, f c eritque ex 33 primi bis assumpta utraque duarum linearum b e, c
Abbreviated transcription (Latin):
as xiunctũ e sit q maior porcio ce que erit racionalis
in longitudine ꝑdiffinicionem In ꝙ̃tum antent est resi¬
Dnum p̾mũ adet adiungatur ei dg ꝑ cuiue absci¬
sionem fuerat resi duum p̾mum Etit eciam ex diffi¬
ncione eg racionalu in longitudine Cum itaq sit
utraq duarum linrarum tg et ce rationalis in lõ¬
gitudine erit etiam ꝑ.ꝯ. liuxa eg racionalis in
longitudine dit quia lmra de est racionalis in
potencia tanitum cum ipsa sit ꝑ ypothesim minor por¬
ciõ hionni xrimi erit ꝑ ud. liuea dg residuum
et quia ipsa erit racionalis in potentia cum ꝑ xius¬

Expanded text:
io c e que erat rationalis in longitudine per diffinitionem. In quantum autem est residuum primum, adiungatur ei d g per cuius abscisionem fuerat residuum primum. Eritque etiam ex diffinitione c g rationalis in longitudine. Cum itaque sit utraque duarum linearum c g et c e rationalis in longitudine, erit etiam per 9 linea e g rationalis in longitudine. At quia linea d e est rationalis in potentia tantum cum ipsa sit per ypothesim minor portio binomii primi, erit per 68 linea d g residuum. Et quia ipsa erat rationalis in potentia tantu
Abbreviated transcription (Latin):
cionalis quare dñ ꝑ 69ͣ s eciam est residiud me¬
Diale xͥnũ si autem li est medialis quod est in
residuo mediali secundo ent ꝑ ⁊o. eciam l medialio
ideq s ꝑ noᵐ resi duum mediale secundũ quare cõ¬
sia ꝓpositũ ĩdem aliter si linea s cõmuincet a trra
a que est uerinqi resi duum mediale in longitudire
uel in potentia Sit suꝑfities ce admutta as lmeam ia¬
cionalem cd equalis quarto a et fg enualis qucto
G E iut̃q ob hoc ce et fg cõmunicantes quẽ admodio
et quarta linxarũ a et s eis equalia Ideo q x x̾mam
sexti et .io. huius et eg sunt cõmumcantes in longitu¬
diue Et quia a est rẽsidur̃ mediale pͥmum linga¬

Expanded text:
are per 69 b etiam est residuum mediale primum. Si autem k sit medialis quod est in residuo mediali secundo, erit per 21 etiam l medialis ideoque b per 70 residuum mediale secundum. Quare constat propositum. Idem aliter. Si linea b communicat cum linea a que est utrumlibet residuum mediale in longitudine vel in potentia, sit superficies c e adiuncta ad lineam rationalem c d equalis quadrato a et f g equalis quadrato b. Eruntque ob hoc c e et f g communicantes quemadmodum et quadrata linearum a et b eis equalia. Ideoque per primam sexti et 10 huius d e et e g sunt communicantes in longitudine. Et quia si a est residu
Abbreviated transcription (Latin):
Di de superficie mediali superficres racionalis detra
lureaium maciõnalium aut resedtum mediase p̾mũ
aut cum racionali compouens mrdiale
Lrec quoq sicud p̃missa ꝓbatur erit enin tota ab me¬
Sialis et ẜ racionalis et tunt dico ꝙ in a ⁊ esidũã
potest ant est residuum mediale p̃mum aut cum ra¬
ciõnali compones mediale Cum eum sit eg equalis
ab erit ꝑ .⁊o. linea dg racionalis in potentia tantũ
et cum sit fg equalis s erit ꝑ. ib. linea eg ⁊ acionalis
in longitudine ita a diffiitione terit linea de residuũ

Expanded text:
i de superficie mediali superficies rationalis detrahlinearum irrationalium, aut residuum mediale primum aut cum rationali componens mediale. Hec quoque sicut premissa probatur. Erit enim tota a b medialis et b rationalis et tunc dico quod in a residuam potens aut est residuum mediale primum aut cum rationali componens mediale. Cum enim sit c g equalis a b, erit per 20 linea d g rationalis in potentia tantum. Et cum sit f g equalis b, erit per 16 linea e g rationalis in longitudine, ergo a diffinitione erit linea d e residu
Abbreviated transcription (Latin):
medialium ẜ uero et onnes sibi cõmunitantes in lon¬
et omnres eidem cõmensurabiles sus .3ͬ. d quoq et
omixo sibi cõmunicantes in longitudine sũs quarta et
quia numeri p̾mi sunt infiniti sicud in xi᷑ ꝯ. didicist
trecesse est species linearum medialium esse infit̃as
quod auten Dictum est de lira mediali intellige de
uinomio suis ꝙ comitibus .4. et de resi duo suisq a. co¬
mitibus Nam sicud oniis liuxa cõmunicans mediale e
me Dialis siue cõmunitet ei in lengitudine suue in po¬
tentia ut probatum est in .2i. Ita eciam onns liura
cõmunitãs uinomiio aut alitui succium connitum .l. uel
eciam residuo aut alitui suorum quinq comitum in longi¬
cudine uc potentia est secum sus eodem specie ut ꝑ¬
batum est in uoͬ et s. eam sirmuentibus Sunt ita secies¬

Expanded text:
o et omnes sibi communicantes in lonet omnes eidem commensurabiles sub tertia, d quoque et omnes sibi communicantes in longitudine sub quarta. Et quia numeri primi sunt infiniti sicut ex 21 noni didicisti, necesse est species linearum medialium esse infinitas. Quod autem dictum est de linea mediali intellige de binomio suisque quinque comitibus et de residuo suisque quinque comitibus. Nam sicut omnis linea communicans mediali est medialis sive communicet ei in longitudine sive in potentia ut probatum est | in 21, ita etiam omnis linea communicans binomio aut alicui suarum quinque comitum vel etiam residuo aut alicui suarum quinque comitum in longitudine vel in potentia est secum sub eadem specie ut probatum est in 60 et 4 eam sequentibus et 98 e
Abbreviated transcription (Latin):
Di de suꝑficie r acionali suꝑficies ure dialis absondatur
linra in reliqua suꝑficiem̃ potens dberutra erit duce
iracionalium aut residuum aut linea minor
Sit cuin cota suꝑficies constans ex a et s racionalis aqua
Detrahatur b que sit medialis/ Dico ꝙ linea potens m aͣde¬
si duũ aut est residuum aut linr̃a minor sesto nonq linea
d racionalis suꝑficiẽs qr ce sibi adiuncta sit tanꝙr a et

Expanded text:
s abscindatur, linea in reliquam superficiem potens alterutra erit duarum irrationalium aut residuum aut linea minor. Sit enim tota superficies constans ex a et b rationalis a qua detrahatur b que sit medialis. Dico quod linea potens in a residuam aut est residuum aut linea minor. Esto namque linea c d ratio
Abbreviated transcription (Latin):
pars sit constat quoniam suꝑficies equales quortis rest¬
dui et suacrum comitum .ꝙ. comitum cui adũguntur
ad lineam r acionalem habent duo latera ne cessa¬
rio diuersa ad inuicem ex ꝯr. et a eam sequentibus
Sunt autem secunda latera resi dnuim p̾mum et secundũ
et deinceps usq ad.sͫ Secumda pars constat hoc mõ
si cadem lurẽa potest esse sunul restduim et umoniiũ
sit a cuius quartum adiungatur ad linẽam ⁊acionalẽ

Expanded text:
ars sic constat: Quoniam superficies equales quadratis residui et suarum quinque comitum cum adiungantur ad lineam rationalem habent secunda latera necessario diversa ab invicem ex 92 et quinque eam sequentibus. Sunt enim secunda latera residuum primum et secundum et deinceps usque ad sextum. Secunda pars constat hoc modo: Si eadem linea potest esse simul residuum et binomium, sit a cuius quadratum adiungatur ad lineam
Abbreviated transcription (Latin):
Omis linea cõmunicans linẽe cum ⁊acionali cõ¬
ponenti mediale est cũ racionali cõpouens nrediale
Hãt quoqr duplici p̃dicto modo non est difficile demid̃¬
serate suix de cõmanicancia in longitudine suis de ꝯnu¬
nicancia in potentia tantum intelligatur s ꝙͣtum ad

Expanded text:
Omnis linea communicans linee cum rationali componenti mediale est cum rationali componens mediale. Hanc quoque duplici premisso modo non est difficile probare sive de communicantia in longitudine sive de communicantia in potentia tantum
Abbreviated transcription (Latin):
in l tecragontum sucus ͦ quos sit C Sit itrrid an tetra¬
gonicũ latus secund lateris suxficie d s et n sit
tetragonitum a a et ꝑ detiagointum n eut ꝑ diaum
antecedens ut ex c in c fat di et ex bin ꝑ cet
ex fi in ꝑ tetragonicum latus l quod fit q dimpllus
aute sit ⁊ tetiagontun latus ecundi lateris su p̾fitĩe¬
ai e sit qr s tetragonitum ⁊ et es / sed etu tetia

Expanded text:
it tetragonicum latus a, quod sit l. Sit iterum m tetragonicum latus secundi lateris superficiei d, sed et n sit tetragonicum latus m et p tetragonicum n eritque per dictum antecedens ut ex c in m fiat a et ex b in n, l et ex f in p tetragonicum latus l quod sit q. Amplius autem sit r tetragonicum latus secundi lateris superficiei e, sit quoque s tetragonicu
Abbreviated transcription (Latin):
et due liure bai et no ideoq fuit in tabus xremissis
linea un potencior linea ne in quarto liee secũ
cõmunitaoitis in longitudine ex xͥma parte .m3. In hac
autei et duabus se quentibus sunt due linee dꝭ
et fe incõmensurabiles inxotentia ut. A ex arͣ et e
et pn in ꝯmensurabilis ꝓpter quod et duc linee baz
et ar̃ incomensinabiles Ideoq ꝑ x̃mam xartem .ix.
tan in hac ꝙͣ in q dualus sequentibus necesse est liurã

Expanded text:
ssis linea b n potentior linea n c in quadrato linee secum communicantis in longitudine ex prima parte 13. In hac autem et duabus sequentibus sunt due linee d f et f e incommensurabiles in potentia ut apparet ex 71 etet p n incommensurabiles quapropter etiam due linee b m et m n incommensurabiles. Ideoque per primam partem 14 ta
Abbreviated transcription (Latin):
.G. liura bai est racionalis in longitudine esuꝑficres
uero xn sit equalis quarto eg qui eciam ꝓpter hoc
erit ranonalis et ꝑ. is. liura mn racionalis in lõ¬
gitudine Itaq tota linea bn est racioralis ꝑ .9. di¬
indatur autem cu pre per equalia iñ ꝯ et ducatur
qr eque distans as eritq ex põma G. cr equalis nr
cramfestum uero est ꝙ cum tota suꝑficies aut sit equa

Expanded text:
16 linea m n est rationalis in longitudine. Superficies vero p n sit equalis quadrato e g que etiam propter hoc erit rationalis et per 16 linea m n rationalis in longitudine. Itaque tota linea b n est rationalis per 9. Dividatur autem c n per equalia in q et ducatur q r equidistans a b eritque ex prima sexti c r equalis r n. Manifestum vero est quod cum tota superficies a n sit equ
Abbreviated transcription (Latin):
Sit liura bt abstisa ex as sint qr ambe ⁊acionales
potenciã tantum cõmunitantes quales dount Inuenire
Mͣ et. idͬ. et hee sunt que componunt binomium dico
ꝙ ac reliqua est srracionalus et ipsa uocatur r esiduũ
Tonstat ex l secundi quarta duar linearum ab et bt¬

Expanded text:
Sit linea b c abscisa ex a b sintque ambe rationales Sit linea b c abscisa ex a b sintque ambe rationales in potentia tantum communicantes quales docuit invenire 17 et 18 et hee sunt que componunt binomium. Dico quod a c reliqua est irrationalis et ipsa vocatur residuum. Constat enim ex 7 secundi quod quadrata duarum line
Abbreviated transcription (Latin):
nomium .s.ͫ Et quiã impossibile ed esse suul esse sus
Siuersis spetrebus binomioꝵ adifsinitiõne eciam iixo¬
ssibile a esse sõ diuersis speciebꝰ G. phibitarum luuxaꝵ
inacionalium Se linea autem me diali constat quoq
ꝙ ipõ / non sit aliqua sex sequencium uidelicet neq
ginonium neq aliqua ex ipsuis conitibus Cum eĩu
su ꝑficies equalis quarto lurer medialis adiungatur ad
emram racionailem latus eius secundum est ⁊ aciõnale
m potencia ex toͣ. cum uero suꝑficies equalis quarto
uinomii aut alccuiud suacium comitum latus secundũ
est uimomium aut p̾mum aut secundum et sit deceters
pr lis et quinq eam sequentes quare ipsum este
iacionale et in longitudine et in potencia ꝑ qo. cũ
ita sit Inxossibile xandem lineam ese racionalem in
potentia et mracionatem togr longitudine ꝙͣ in xotencia
unmrum Imxosibile est luream nredialem esse un
cencialiter tantum ⁊ acionales ce cõmunitantes
reliqua linea erit rrrationalis diceturq residuũ

Expanded text:
nomium sextum. Et quia impossibile est c d esse simul sub diversis speciebus | binomiorum a diffinitione, est etiam impossibile a esse simul sub diversis speciebus 6 prehabitarum linearum irrationalium. De linea autem mediali constat quod ipsa quoque non sit aliqua sex sequentium videlicet neque binomium neque aliqua ex ipsius comitibus. Cum enim superficies equalis quadrato linee medialis adiungitur ad lineam rationalem, latus eius secundum est rationale in potentia ex 20. Cum autem superficies equalis quadrato binomii aut alicuius suarum comitum, latus eius secundum est binomium aut primum aut secundum et sic de ceteris per 54 et 5 eam sequentes. Quare ipsum est irrationale et in longitudine et in potentia per 30. Cum igitur sit impossibile eandem lineam esse rationalem in potentia et irrationalem tam in longitudine quam in potentia, nimirum impossibile est lineam medialem esse bintentialiter tantum rationales communicantes, reliqua linea erit irrationalis, diceturque residuum.
Abbreviated transcription (Latin):
Si liuxa racionali reseduo q tertio suꝑficres
contineatur erit bura saper eam potens resi¬
diuim mediale secun Sum ssod
I riori demonstiaciomi insiste et facile conclides
Eppositum ex diffumtione residui cercii secunda porte
Si fuerint suꝑficies linea racionali residuo qi¬
quarto contenta lurxa super eam potens erit liura
ert tibi ꝓpositum cõctudere si premissa non desoitis eo
Diffrinciõne residui .4. et secunda ꝓte .ix . et .ꝯͣ etarͣ
Si fuerint suꝑficies liuea racionali resi duo q i ͦ
contenta latus eius tetragonicum erit cum racio¬
nasi componens mre diale
Nitere premissa argumentaciom¬
dui quinti es securada patte .1x. et.ꝯ. et .ir. et ar
quod ꝓposaun est cortludere
Si lorea racionali residuoq. 6cͦ suꝑsicies contie

Expanded text:
Si linea rationali residuoque tertio superficies contineatur, erit linea super eam | potens residuum mediale secundum. Priori demonstrationi insiste et facile concludes propositum ex diffinitione residui tertii et secunda parte Si fuerit superficies linea rationali residuoqquarto contenta, linea super eam potens erit linea erit tibi propositum concludere, si premissam non despicis. Ex diffinitione residui quarti et secunda parte 14 et 9 et 15 Si fuerit superficies linea rationali residuoque quinto contenta, latus eius tetragonicum erit cum rationali componens mediale. Nitere premissa argumentadui quinti et secunda parte 14 et 9 et 15 et 72, quod propositum est, concludere. ∗∗∗ Si linea rationali re
Abbreviated transcription (Latin):
uieas ꝓcortet est dẜ et fe ex aoͣ collige
Cum adiucta fuerit liyes ⁊acionali suꝑficies equa¬
lis quarto linee maioris latus eius secundum
erit residuum quartum
ui fuerit de linra minor asserit hec ꝯlͣ ꝙ bt erit
resi dum quartum Est auten sumendum ex aiͣ. quales
cineas esse necesse sit dẜ et Re cum de fuerit linra
minor et est aseruendum peositum isto modo Excepto
ꝓ in hac et in sequentibus duabus necesse est sinẽa
su Siuidi ad punctum eo in duo incõurensurabilia
que in tribus premissis diui debatur necesario ĩn duo
ꝯmensurabilia Nam in tribus p̾missis fuerant due line
df et fe cõmunicantes in xotenciã cantum et ideo
eorum quarta cõmunitancia ꝓpter quod et suꝑficies am et

Expanded text:
 et f e, ex 70 collige. Cum adiuncta fuerit linee rationali superficies equalis quadrato linee minoris, latus eius secundum erit residuum quartum. Si fuerit d e linea minor, asserit hec 95 quod b c erit residuum quartum. Est autem sumendum ex 71 quales lineas esse necesse sit d f et f e cum d e fuerit linea minor. Et est astruendum propositum premisso modo excepto quod in hac et duabus sequentibus necesse est lineam b n dividi ad punctum m in duo incommensurabilia que in tribus premissis dividebatur necessario in duo commensurabilia. Nam in tribus premissis fuerant due linee d f et f e communicantes in potentia tantum et ideo earum quadrata communicantia propter quod et superficies a m et
Abbreviated transcription (Latin):
ac sit inꝯmrensurabile duxlo suꝑficie uius in ae¬
teram quart tan ixsum quattum / ꝙͣ eius atus at et
irracionale ꝑ diffintionem constat ergo ꝓpositum Quõd
in figura a liter Dem sit Sut lurea de ⁊ aciõnalis in lõ¬
Sitidine cui adiungat᷑ suꝑficiẽs df equalis Suxlo sux¬

Expanded text:
in alteram, quare tam ipsum quadratum quam eius latus a c est irrationale per diffinitionem. Constat ergo propositum. Quod in figura. Aliter idem sic: Sit linea d e rationalis in longitudine cui adiungatur superficie
Abbreviated transcription (Latin):
pr me dio loco ꝓportionalis inter duas liueas bu
et mru cũq sit lunea qu diui diuin luree en et lurea
un diuisa ad puntum m in duo cõmunicantia int̾
que cadit q medio loco pporcionalis sequitur ex
x̃ma ꝑte .iz. ꝙ linea un sit potentior linea ut in
quarto linee sgum cõmunitantis in longitudine qr uere
suꝑficies dg est me dialis ex 9ͣ. et ypotesis erit enit¬
eciam suꝑficies e⁊ sibi equalis me dialis et lirea cꝙ
iacionalus in potencia tantum x .2o. Ideoq eciam du¬
plum eius quod est liura cu est racionalis in potẽ

Expanded text:
ionalis inter lineas b m et m n. Cumque sit linea q n dimidium linee c n et linea b n divisa ad punctum m in duo communicantia inter que cadit q n medio loco proportionalis, sequitur ex prima parte 13 quod linea b n sit potentior linea n c in quadrato linee secum communicantis in longitudine. Quia vero superficies d g est medialis ex 19, ex ypothesi erit etiam superficies c r sibi equalis medialis et linea c q rationalis in potentia tantum per 20. Ideoque etiam duplum eius, quod est linea c n, est ration
Abbreviated transcription (Latin):
xrimo contenta latus eius terragonicum irecesse
est esse resi duum
Tit suꝑficies ac contenta contenta liunra racionalis ab
et residuo primo dito ꝙ latus trtiagonitun suꝑficii
ac est residuum adiungatur eium ad luream bc Erta
cd sit q illa liura cuius de traccione st fuent rosis.¬
um xmum xrit q ex diffincione sd racionalis in logitĩdũ¬

Expanded text:
eius | tetragonicum necesse est esse residuum. Sit superficies a c contenta linea rationali a b et residuo primo b c. Dico latus tetragonicum superficiei a c esse residuum. Adiungatur enim ad lineam b c linea c d sitque illa cuius detractione b c fuit residuum primum. Eritque ex diffinitione b d rationalis in longitu
Abbreviated transcription (Latin):
fuerit utraq racionali posite in longitu sine in¬
cõmensurauilis uocabitur ⁊ es duum tercium Item
si fuerit cota linea potencior a diecta augniento quar¬
ci luree ipsi toti in cõmensurabilis eadem q tota
posite rationali ꝯmuniter in longitudine nuncuxat᷑¬
⁊ e se duum quartum / Si uero lure adicta posite ⁊ a¬
Suum sextum

Expanded text:
fuerit utraque rationali posite in longitudine incommensurabilis, vocabitur residuum tertium. ⟨iv⟩ Item si fuerit tota linea potentior adiuncta augmento quadrati, linee ipsi toti incommensurabilis eademque tota linea posite rationali communicet in longitudine, nuncupabitur residuum quartum. ⟨v⟩ Si vero linea adiuncta posite raduum sextum
Abbreviated transcription (Latin):
luree que nucta cum nre dias facis eotum nrediale
nisi una cantum eniea cõungi nequit ut fus
rarum tiino fiant que erant᷑ auti sepacione᷑
Mius liee que ꝯiunta cum mediali comporit tot̃id
mediale magistra est azͣ de qua qued aꝯͣ enimieiat sit
concludere cogeris sicud de reseduo mediali secundo
uero residuo adiecca q ipsi residno aliqua alia
secunduin eius cerminũ si fuerit in deconxositũ¬

Expanded text:
Linee que iuncta cum mediali facit totum mediale nisi una tantum linea iungi nequit, ut sub earum termino fiant que erant ante separationem. Huius linee que coniuncta cum mediali componit totum mediale, magistra est 73. De qua quod hec 79 enunciat sic concludere cogeris sicut de residuo mediali secundo, vero residuo adiunctaque ipsi residuo aliqua linea secundum eius terminum, si fuerit totu
Abbreviated transcription (Latin):
andem concexcionem composita est ex ea que est s adc
et ea que est c ad d Et quia ex xpothesi est differencia
a ad s sicude ad s Ea uero que est sadc est cõmu¬
nis sequitur ꝑ cõmunem strenciãam ut sunt a ad b sicud
Sad g quod est ꝓpositũ¬

Expanded text:
eandem conceptionem componitur ex ea que est b ad c eandem conceptionem componitur ex ea que est b ad c et ea que est c ad d. Et quia est per ypothesim differentia a ad b sicut c ad d, ea vero que est b ad c est communis, sequitur per communem scientiam ut sit a ad c sicut b ad d. Quod est propositu
Abbreviated transcription (Latin):
continentes quarta q ambo ꝑiter accexta mediale
Duplo suꝑficiez alterius in alteraon Inconurẽsu
rabile reliqua linea erit iacionalis dieetur¬
q iuncta cum mediali faciens totum mediale
Sint eciam hic ab et be quales ꝓponitur que ꝑ.⁊9.
zeꝑiuntur et ipse sunt que compouunt luream potentẽ
in duo me dialia erit ꝙ at reliqua iracionalis Sicta
que eõIunta cum mediali comxouit totum mediale Quõd
ut fricile predicta duxlici crrgumnentatione concludes
ꝑ cessum ao. moireo diligenter accendas Est autem hic
poremittendum ante
ad secumddam sicud tercie ad quartam erit x¬
mutatim differencia prime ad secundam sicud
secunde ad quartam
Intelligendum est hic in quantitatibus eodem oddine relar
ut cum p̾ma fuerit meuor secunda sit quoq tertia maior
quarta Cum uero minor et minor Gͥ gͣ dit differẽtia¬
tremoruni est composita ex differentia ixsorũ ad midiã
differentia a ad t composita composita ex a que est a
ads et en ea que est sadc ac ea que est s addꝑ

Expanded text:
taque earum ambo pariter accepta mediale duplo superficiei alterius in alteram incommensu- rabile, reliqua linea erit irrationalis, diceturque iuncta cum mediali | faciens totum mediale. Sint etiam hic a b et b c quales proponitur que per 29 reperiuntur et ipse sunt que componunt lineam potentem in duo medialiiale. Quod ut facile premissa duplici argumentatione concludas, processum 70 moneo. Diligenter attendas. Est autem hic premittendum antecad secundam sit sicut tertie ad quartam, erit permutatim differentia prime ad tertiam sicut secunde ad quartam. Intelligendum est hoc de quantitatibus eodem ordine relatis, ut cum prima fuerit maior secunda, sic quoque tertia maior quarta, cum vero minor, et minor. Exempli gratitremorum composita est ex differentiis ipsorum ad media differentia a ad c composita ex ea que est a ad b et ea que est b ad c. At ea que est b ad d per
Abbreviated transcription (Latin):
surabilis alii destuibatir ita quertum linie se quod sit
eg et quarto de que xosita est esse residuum ꝙ sit
eh et adiciantur suꝑplenrenta dlz fl eritqz quartum
għ cantpͣ quartum luree dẜ et quartum es erit sicus
suꝑficies ac erit eciam utiunq quartorum gh et eg

Expanded text:
surabilis alii. Describam ergo quadratum linee f e, quod sit surabilis alii. Describam ergo quadratum linee f e, quod sit e g, et quadratum d e que posita est esse residuum, quod sit e h, et adiciantur supplementa d k et f l eritque quadratum g h tamquam quadratum linee d f et quadratum e h erit sicut superficies a
Abbreviated transcription (Latin):
sdotage concludere ex diffim̃cione residm sexti et recũ¬
inbuũ ꝑcessum cuum nchil offendere poterit si p̃ncã
earum ꝑfecte didisteris et memoriter/ tenueris et qͥs
ques sũpponat soliciter accenderis Eo si forsicani de ãqua
in quarto lan ce dubitare ꝯtingerit as suum equale
y. suꝑficie ad tibi decurrendum eut sian esa
Si as linram racionalem superficies equalis quar¬
to resi dui apolicetur alteram latus residurm p̃¬
mui esse necesse est
Hec sex sequentes sunt querse sex precedencium x
or dinem huius antem x̾me hic est intencio ꝙ si sit᷑
suꝑficies ac adininta ad lineam racionalem ab eq¬
nõlu quarto residu qued sit de eius lacus secũ¬
Dum quod est bc necessario resi duum p̃mum d̃¬
Diciatur enin lurer de que ponitur esse rese diũd
lnea ꝑ cuius ascisionẽm ipsa fuerit residua sic qr
e adiuũcta et erit q ex . uo. utraq duccrum lineario¬
Df et fe racienalu in xotẽtia et una uorum Incõmẽ¬

Expanded text:
ione residui sexti et secunibus processum tuum nihil offendere poterit si primam earum et perfecte didiceris et memoriter tenueris et quicquid queque supponat, sollerter attenderis. Quod si forsan de aliquo in quadrato l m te dubitare contigerit, ad suum equale in superficie a d tibi recurrendum erit. ∗∗∗ ⟨X.⟩92 Si ad lineam rationalem superficies equalis quadrato residui applicetur, alterum latus residuum primum esse necesse est. Hee sex sequentes sunt converse sex precedentium per ordinem. Huius autem prime hec est intentio quod si sit superficies a c adiuncta ad lineam rationalem a b, equalis quadrato residui quod sit d e, erit eius latus secundum, quod est b c, necessario residuum primum. Adiciatur enim linee d e que proponitur esse residuum linea per cuius abscisionem | ipsa d e fuerit residuum. Sitque ei adiud f et f e rationalis in potentia et una earum incommen
Abbreviated transcription (Latin):
Resi suum quartum in uenire
Hit sicud in Inuentione cesidus x̾mi sit linea be cõnu¬
nicans emee a rationali posite nuanerus autem
quartus sit diuisus in ẜ et g quorum sit uterq
⁊esednum quartum si eorum q iuuẽtione uinouin
es cõmunitans in longitudine a rationali posite sicud
erat in Inquisicione. 2. et erit quartus minrerus e
Sunsus in ꝑ et g quorum nenterq quarts sicud in p̃¬
misso Et erit quartum luree ed ad quartum linee ul
sicud f ad e ex quibus a diffimĩciore concludere licet ha¬
uest duum sextum rexeriatur sit Erit ut p̃us lurea
a racionalas posita et e numerum quortus Siuisus

Expanded text:
Residuum quartum invenire. Hic sicut in inventione residui primi sit linea b c communicans linee a rationali posite. Numerus autem e quadratus sit divisus in f et g quorum sit uterqueresiduum quartum. Si eorum, que in inventione binomii c d communicans in longitudine linee a rationali posite sicut erat in inquisitione secundi. Et erit quadratus numerus e divisus in f et g quorum neuter quadratus sicut in premissa. Et erit quadratum linee c d ad quadratum b c sicut f ad e ex quibus a diffinitione concludere licet haResiduum sextum sic reperitur: Erit ut prius linea a rationalis posita et e nume
Abbreviated transcription (Latin):
ca m et hi piter accexta ex pdicta ⁊ sune Incõnẽ¬
suabile Duxlo suꝑficier s eigo sequitur l x io. et nos¬
tras posiciones ut duo quoq n et l pariter accexta
sunt Incõmensiccabile duxło supficiei lr Cum zeag sent
e et f inconmensiciabiles in potentia quẽadmadum c
et d eut ex ⁊ q̃ sinea s potens in duo medialia ꝙ̃
nonium. G.ͫ quare p l. lacus cetes tetragonicum su¬
pficiei fe quod est s erit poteus in duo medialia qͦ
Si Sue suꝑficies quarum altera racionalis altera
nrdialis comugantur liuxa potend in totam suꝑficiem
in de comxpositam aliqua erit quatuor mnacionalium lurea
uidelicet aut binonnium aut uituediabe p̃mũ aut
linea maior aut potens in racionale et mediale
St si sit a suꝑficies racionalis et s medialis Erit linea
xotens in totion as aliqua xmissarum quatuor sit eni
einxa cd racionalis cui adiungatur ce racionalis equãl
et ex 0. linra eg racionalis in potencia cantum et
ex 3o. linea Dg uinonium cuius cum altera uinoͭᵘ̃ por¬

Expanded text:
a m et h pariter accepta ex predicta 35 sunt incommensurabile duplo superficiei g, sequitur per 10 et nostras positiones ut duo quoque n et l pariter accepta sint incommensurabile duplo superficiei k. Cum itaque sint e et f incommensurabiles in potentia quemadmodum c et d, erit ex 35 linea b potens in duo medialia. Quantum nomium sextum, quare per 53 latus tetragonicum superficiei f g, quod est b, erit potens in duo medialSi due superficies, quarum altera rationalis, altera medialis, coniungantur, linea potens in totam superficiem inde compositam aliqua erit quatuor irrationalium linearum videlicet aut binomium aut bimediale primum aut linea maior aut potens in rationale et mediale. Ut si a sit superficies rationalis et b medialis, erit linea potens in totam a b aliqua premissarum quatuor. Sit enim linea c d rationalis cui adiungatur c e equalis a et f g et ex 20 linea e g rationalis in potentia tantum et ex 30 linea d g binomium cuius cum altera binomialium por
Abbreviated transcription (Latin):
linee es sit q linea es rocionalis in songitus peras
ꝙ ꝯungatut suꝑficies eħ equalis quartis lineaium ab
et bt ꝑiter acceptis et el equalis quartis Duacrum liueaꝵ
ad et dc piter accyxtis a qua abstindatur eg equalis
parcium x̃me seccionis sunt mediale et Suplũ ⁊̃ sux¬
ficies mediale Inconnensutabile Snobus quartis piter
accextis que nestire diligens geomet᷑ nor poterit
qui positiones Siligenter seruauenit ent suxficies c
me dialis cum ipsa sit iquasis snosus quartis xite ⁊ a

Expanded text:
e f rationalis in longitudine ad quam adiungatur superficies e h equalis quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis et e k equalis quadratis linearum a d et d c pariter acceptis a qua abscindatur e g equalis partium prime sectionis sunt mediale et duplum etiam superficiei mediale incommensurabile duobus quadratis pariter acceptis que nescire diligens geometra non poterit qui positiones diligenter servaverit, erit superficies e h medialis cum ipsa sit equalis duobus qua- dratis pariter a
Abbreviated transcription (Latin):
dero uinus in alteram racionale et quia ut prius
oadem est differentia quartorum uius seccionis ad
Iuartum alterius que estꝰ duxli suꝑficie unius as
Dnxolum suꝑficien ulterius erit unã et eadem suꝑficu
Differentia Duccrum medialium et Duccium raciona¬
eium quo d impossiale est¬

Expanded text:
ei unius in alteram rationale. Et quia ut prius eadem est differentia quadratorum unius sectionis ad quadrata alterius que est dupli superficiei unius ad duplum superficiei alterius, erit una et eadem superficies differentia duarum medialium et duarum rationalium. Quod est impossibile
Abbreviated transcription (Latin):
piter accexta zacionale ꝑ ypochestin Suxlum uero
Rrficie unius in olteram xorcionũ utiusq seccionis
sundiale x ꝓpothesum et agi eut una et eadem differẽ¬
no duorum suꝑficierum racionalium et duarum mredi¬
dlum hcc autem est impossibile racionales eum suꝑficies
don differut̃ unisi Io suꝑficie racionale ut per difsim

Expanded text:
 duplum vero superficiei unius in alteram portionum utriusque sectionis mediale per ypothesim et 19, erit una et eadem differentia duarum superficierum rationalium et duarum medialium. Hoc autem est impossibile. | Rationales enim superficies non differunt nisi in superficie rati
Abbreviated transcription (Latin):
di linee racionali equa suꝑficies quadrato bi¬
ie dialis primi adiungatur latus eius reliquũ
uinomium secundum esse oporcet
Sit liuea ab uire Diale xmũ diuisa ad xunctũ
Csecundum suum termiiũ cetera suit ut prius

Expanded text:
i linee rationali equa superficies quadrato bimedialis primi adiungatur, latus eius reliquum binomium secundum esse oportet. Sit linea a b bimediale primum divisa ad punctum c secundum suum terminum. Cetera sint ut prius
Abbreviated transcription (Latin):
nolis in longitudine non est itaq possibile ut a et Gca¬
Sant sinul sus aliqua ex illis speciebus bionnorũ in quib
ascera porcienum ⁊ R binonini est racionalis in longitiddi¬
ne shee autem speties sunt prima et secunda .x. et

Expanded text:
nalis in longitudine. Non est itaque possibile ut a et b canalis in longitudine. Non est itaque possibile ut a et b cadant simul sub aliqua ex illis speciebus binomiorum in quibus altera duarum portionum binomii est rationalis in longitudine. Hee autem spe
Abbreviated transcription (Latin):
municantes erunt eciam per primain partem. iodc et e
Itenq d et et ẜ guaricantes dis Ĩta fuerit ⁊ racionalis
in potentia tantum erit et e si autem In longitudine et
e Eodem q modo si d est raciõnalis in xotencia tooitĩ
uel eciam si In longitudine erit q ẜ simũliter Et quia¬
ex .n2ͣ. si est c potencior d quarto linee sibi ꝯuensurabeas
inlongitudine uel si fuerit Incõmensirabilis erit eciam
e potencior ꝑ in quarto lnnee sibi qui ꝯmensurabilis uel ex
indmensurabilis necesse est ex diffim̃tionibus sex spetieꝵ¬
Smoninniorum ut eiusdem spetiei uinonui sint a et s
si autem linya s cõmunicet uinoniio a in potencia tãtũ
erit eciam linra s binoͬ eiusedem autem sprtie non
est necessarium ymo impossibile ut ambe a et s simme
ant ambo eciam intubus postremis unum unin eotran
esse in relĩqua ex p̾ͥmis s tribus spetrebus et aliud in
ali qua ex cubus postremis est impossibile/ Cũ euiii a
comumoet cum s tantum in potencia e quoq cum x et s

Expanded text:
primam partem 10 c et e itemque d et f communicantes. Si igitur fuerit c rationalis in potentia tantum, erit et e. Si autem in longitudine, et e. Eodemque modo si d est rationalis in potentia tantum vel etiam si in longitudine, erit quoque f similiter. Et ex 12 si c est potentior d quadrato linee sibi commensurabilis e incommensurabilis, erit etiam e potentior f quadrato linee sibi commensurabilis vel etiam incommensurabilis. Necesse est ex diffinitionibus sex specierum binomiorum ut eiusdem speciei binomii sint a et b. Si autem linea b communicet binomio a in potentia tantum, erit etiamest necessarium, immo impossibile est ut ambe simul aut ambe in tribus postremis. Unum enim eorum esse in aliqua ex tribus primis speciebus et aliud in aliqua ex tribus postremis est impossibile. Cum enim a communicet cum b tantum in potentia, | c quoque cum e et d
Abbreviated transcription (Latin):
euicia cantum et quoniam̃ as et be sunt inconinen¬
surabiles in longitudine ideo ꝙ quartum utriusq eocrum sux¬
fitier unius in alteram et propter hoc ambo quarta ꝑiter
accexta cum ip̃sa ex ypothesi cemuncent sunt quoq in¬
ꝯmensurabile duxlo supersitrei unius in alceram se¬
quitur ut eg sit incõmensurabilis es qua proxter ds¬

Expanded text:
et b c sunt incommensurabiles in longitudine ideoque quadratum utriusque earum superficiei unius in alteram et propter hoc etiam ambo quadrata pariter accepta cum ipsa ex ypothesi communicent sunt quoque incommensurabilia duplo superficiei unius in alteram, sequitur ut e g sit incommensurabilis e h quapropter
Abbreviated transcription (Latin):
du qua linea luree potenti in racionase et mediale
comuincat ipsa in racionale et mediale potene icle
potenti in racionale et mediale suix in longitudine fre
Ex sicud p̃us Duxliti modo ꝓbatur necesse enm̃ est qp̃tit
ad pmũ modũ ut si due buree c et d suit xotentia in¬
cõmensirrabiles Ita siñt eciam e el et ẜ ꝑ .io. et quẽad¬
modum g est suꝑfities racionalis nom tolem cõtinem xor¬
cionesi liner potentes in rats racionale et mediale Ica
⁊̃ ꝑ diffuncionem sit l rationalu et quem admodum
dno quarta ar et l ꝑiter accepta sunt mediale set
mediale ita ex .3y. s̃ potens in racionale et mediale
Quantum autem ad secundum modum necesse est ut¬
ex lid ut linra de sit binomium q quare ꝑ qr¬

Expanded text:
 qua linea linee potenti in rationale et mediale communicet, ipsa in rationale et mediale potens esse potenti in rationale et mediale sive in longitudine sivequod sicut prius duplici modo probatur. Necesse est quantum ad primum modum ut sicut due linee c et d sunt in potentia incommensurabiles, ita sint etiam e et f per 10. Et quemadmodum g est superficies rationalis nam talem continent portiones linee potentis in rationale et mediale ita etiam per diffinitionem sit k rationalis et quemadmodum duo | quadrata m et h pariter accepta sunt medialelinea b potens in rationale et mediale. Quantum autem ad secundum modum: necesse est ex 58 ut linea d e sit binomium quintum, id
Abbreviated transcription (Latin):
et ipsa est que dicetur linea minor Ey que preuissas
firmiter cenueriũt posiciones que Siligenter actendit᷑
Suxlici modo ut que antecedunt facile ꝓbabit
diale linxa reliqua erit Irrationalis dicetur q
mycta cum racionali componens totum mediale
Et hoc antem quoq nestire  ͦ potest qui pora nouerit insi
a memeria excederint quiir positis lueis ab et ue

Expanded text:
et ipsa est que dicitur linea minor. Quod qui premissa firmiter tenuerit positionesque diligenter attenderit, duplici modo ut que antecedunt facile probabidiale, linea reliqua erit irrationalis, diceturque iuncta cum rationali componens totum mediale. Et hoc quoque nescire non potest qui priora noverit nisi a memoria exciderint quoniam positis lineis a b e
Abbreviated transcription (Latin):
Oinis linea cõmunicans buiree moiori est maro linea
Et hec quoq uiritatem habet utrolibet modo cõniitans
fuerit liuea aliqua liure maiori esto enin a linra maior
s uero sibi quouis modo cõmunicans erit q s liuea mobor
Siuisa um̃ a in eas porciones ex quibus constat ꝓ
Di que sunt e et d et s sramdum earom consiore
in e et f posito q ꝙ g sit superficies contenta sus c̃
et d et li sus e et f et cn et l sunt quarta c etd
dc n et l/ e et f erit ay ad q̃ situd n ad e ꝑ secudto
partem . id. .s. et ꝯiũctin e et ħ ad ħ sicud̾ et s̃ ad
E et ꝑmutatun e et h̃ as pͣ l sicud l ad ẽ quia ergo

Expanded text:
Omnis linea communicans linee maiori est linea maior. Et hec quoque veritatem habet, si utrolibet modo communicans fuerit linea aliqua linee maiori. Esto enim a linea maior, b vero sibi quovis modo communicans, eritque b linea maior. Divisa namque a in eas portiones ex quibus constat per 33 que sint c et d, et b secundum earum proportionem in e et f. Positoque quod g sit superficies contenta sub c et d et k sub e et f, et m et h sint quadrata c et d, at n et l, e et f, erit m ad h sicut n ad l per secundam partem 18 sexti. Et coniunctim m et h ad h sicut n et l ad l et
Abbreviated transcription (Latin):
Quccrum fħ et hg̃ racionalis in xotencia tantum quia
Dria est inꝯmensurabis alu ee ꝙ suꝑficies eh est in¬
mensurabilis suꝑficie h̃l sicud dũo quarta duxlo
suxsiae ert ex .6b. linra fg resi duum quare lure
eg que est resi Sium comxonitur lnee gh ue sunt¬
ude simue sus termmino eorum que erant aute sx se¬
daracionem imiliter quoq ꝓbabis randem fg comxo¬
m tum linea gl eadem addicione me diantibus sup¬
ficiebus el et lil quarm prima est equals quartis
duarum lineaium ad et dt ꝑiter acceptis et secunda
Dnxlo suꝑficiei unius in alteram quos est in posebia
Dax et hit modus demonstracionis potest esse cõmud
nucta einra minori ꝯiũgibilis est ut sas suo t̾imo
fant insi canticm que sibi ante abstisionẽ sũgebat᷑
Inteblige quid sit liura minor quod se oblitus est cõsitle
Atͣ÷ et sine obice concludes ꝓpositum sulicet quẽ admod

Expanded text:
rum f h et h g rationalis in potentia tantum. Et quia una est incommensurabilis alii eo quod superficies e h est incommensurabilis superficiei h l sicut duo quadrata duplo superficiei, erit ex 68 linea f g residuum. Quare linea f g que est residuum componitur linee g h ut sint ambe sub termino earum que erant ante separationem. Similiter quoque probabis eandem f g componi cum linea g k eadem conditione mediantibus superficiebus e k et k l quarum prima est equalis quadratis duarum linearum a d et d c pariter acceptis et secunda duplo superficiei unius in alteram. Quod est impossibile per 74. Et hic modus demonstrationis potest esse communis Nulla linea minori coniungibilis est, ut sub suo termino fiant, nisi tantum que sibi ante abscisionem iungebatur. Intellige quid sit linea minor, quod si oblitus es, consule 71 et sine obiectione concludes propositum, si quemadmod
Abbreviated transcription (Latin):
ac que cum sit differencia suꝑficiẽi medialis eg ad
suꝑficiem medialem dẜ ip̃sa est rrrationalis ꝑ .22. et rius
latus cetragonitum at mracionale Idem aliter sit linea de
pracionalis eui adiungatur suꝑficiri dẜ equalis duxlo
supficiri uiius in alteram et eg equatis ambobus quart

Expanded text:
a c que cum sit differentia superficiei medialis e g ad superficiem medialem d f ipsa est irrationalis per 22 et eius latus tetragonicum a c irrationale. Idem aliter. Sit linea d e rationalis cui adiungatur superficies d f equalis duplo superficiei unius in alteram et e g equalis ambobus quadratis
Abbreviated transcription (Latin):
et prima .G. sit g ad h̃ sicud E ad s et ꝑnutatim
g ad ad li sicud a ad e quia ita h est cõmumitãs
T eo ꝙ duo eorum latera que sunt d et f cõmuni¬
cant in len lonctudine uel in potencia secumdũ ꝙ
a et s in alteruero eorim cõmunicant sequit᷑ ex .iõ.
ut g ãd li quoq sibi ĩnutent cõmunõent erit ĩta
Et raciõnalis auc medialis ꝑnt fuerit g ex difsi¬
uicione sicꝑficie racionalis aut̾ riͣ Ip hoc̃ unin tm̃
eeffert smediase ptimu a uinrediasi secundo ꝙ porcionas

Expanded text:
e ad f, erit g ad h sicut k ad l et permutatim g ad k sicut h ad l. Quia igitur h est communicans l eo quod duo eorum latera que sunt d et f communicant in longitudine vel in potentia secundum quod a et b in alterutro eorum communicant, sequitur ex 10 ut g et k quoque sibi invicem communicent, erit igitur k rationalis aut medialis prout fuerit g, ex diffinitione superficiei rationalis aut 21. In hoc enim tantum differt bimediale primum a bimediale se
Abbreviated transcription (Latin):
maior aut potens in racionale et mediale quo est
ꝓpositum Rimnediale uero secundum aut potens in duo
medialia non erit qm̃ si esset suyediale primũ esset
ex lis. liuea dg bionium tertium quod si esset potẽs
in dno medialia esset ex li liꝯ. linea dg smonium
Sin sed nentrum e rat

Expanded text:
aior aut potens in rationale et mediale. Quod est propositum. Bimediale vero secundum aut potens in duo medialia non erit quoniam si esset bimediale secundum, esset ex 56 linea d g binomium tertium. Quod si esset potens in duo medialia, esset ex 59 linea d g binomium sextum, sed neutrum erat
Abbreviated transcription (Latin):
eniñ ex. 3r. et nostus positionibus utiaq suꝑficierũ
fay et ag medialis quare ꝑ .2o. utraqi ducerum
Emearium fn et ng erit ratiẽnalis in potencia
tantum ac quia porites biuirdialis secundi sunt
cõmunicantes in potencia tantum erit suꝑficres el
cõmunc̃ans suꝑficiei lmi et ideo liuea fu Il lurer ly
est potenciõr ergo x p̃rimãm partem ii ͬ fr ꝙͣ sit ng
in quarto lñre sibi cõmunicantis in longitudiũr Cũq
sit suꝑficies as et quartum hs incõmensur abilia
eo ꝙ linee ac et cs incomnensurabiles edeq Ideoq
et ambo quarta ꝑiter accepta am bobus suppole meng
piter acceptis eo ꝙ quarta sis inuicen cõmunicãt
ex ꝑpothesi supplementa q sis Inuicem cum sinit
equalia sequitur ut suꝑficies en sit cõmẽsura¬
uilis suꝑficier ag et ideo linẽa fi luer ngi

Expanded text:
32 et nostris positionibus utraque superficierum e n et m g medialis, quare per 20 utraque duarum linearum f n et n g erit rationalis in potentia tantum. At quia partes bimedialis secundi sunt communicantes in potentia tantum, erit superficies e l communicans superficiei l m et ideo linea f l linee l n, potentior ergo est per primam pin quadrato linee sibi communicantis in longitudine. Cumque sint superficies a h et quadratum h b incommensurabilia eo quod linee a c et c b incommensurabiles ideoque et ambo quadrata pariter accepta ambobus supplementis pariter acceptis eo quod quadrata sibi invicem communicant ex ypothesi, supplementa quoque sibi invicem cum sint equalia, sequitur ut superficies e n sit incommensurabilis superficiei m g et ideo linea f n linee n
Abbreviated transcription (Latin):
erit qr ex iꝯ nredialis et gut ex .a. secundi suꝑficies
Et equalis eciam quarto linee at sunqi seꝑficies eg sit
Inconmren furabilis saꝑficiei dẜ eadem erit ex .ꝯ. Incon
diales potentialiter tantum cõminicanted suxficiẽ
⁊acionalem conturentes reliqua liura erit racio

Expanded text:
Eritque ex 19 medialis et erit ex 7 secundi superficies f g equalis quadrato linee a c. Cumque superficies e g sit incommensurabilis superficiei d f, eadem erit ex 9 incommendiales potentialiter tantum communicantes superficiemque rationalem continentes, rel