comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
quiotaleest quod nisi relatumsit. ad aliud ipsum essenon possit.
Magnitudinis uero. alia suntmanentia motuq carentia.
alia uero quae mobili sempratione uertuntur.: Necullis tem¬
poribus ad quiescunt. Horum ergo illam multitudinem quae ꝑse
est ar&h m&ica speculatur integritas. Illamuero quae ad ali¬
quid musicimodulaminis temperamenta ꝑ noscunt. in mobilis
uero magnitudinis geom&ria Notitiam pollic&ur mobilis scien¬
tiam astronomicae disciplinae peritia iundicauit. quib. quattuor
partibus si careat inquisitor. uerum inuenire non possit. acsine
hacquidem speculatione ueritatis Nulli recte sapiendum est
Est enim sapientia earumrerum quaeueres unt cognitio & in te¬
gra comprehensio. quod haec quis ꝑnit. Idest hassemitas sapien¬
tiae ei denuntio non recte philosophandum. si quidem philosophia
est amor sapientiae quan in his sꝑnendis ante contempserit.

Expanded text:
quid tale est, quod nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. quid tale est, quod nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero, alia sunt manentia, motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur, nec ullis temporibus acquiescunt. Horum ergo, illam multitudinem quae per se est, arithmetica speculatur integritas. Illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt. Immobilis vero magnitudinis, geometrica notitiam pollicetur. Mobilis scientiam, astronomicae disciplinae peritia vindicavit. Quibus quatuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit, id est, has semitas sapientiae, ei denuntio non recte philosophandum. Siquidem philosophia est amor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit.
Abbreviated transcription (Latin):
inmutabilem substantiam uimque sortita sunt uere pro¬
prieq ee dicuntur. Horum iginuro dest quae sunt propriae
qnaeque suo nomine essentiae nommantur scientiam sapi¬
entia profic&ur. Essentiae autem geminae partes sunt una
continua &sins partibus uixeta. Necullis finib. distribina
ut estarbor lapis & amnia mundihunus corpora quae pro¬
prie magnitudines appellantur. Aliauero disuincta a se
& dxerminata partibus & quasi a ceruatim inunum re¬
dacta concilium. ut grex populus. chorus aceruus & quie quid
quorum partes propruis extremitatibus terminantur. & ab altee¬
rius fine discr&esunt. His proprium nomen est multitudo.
Rursus multitudinis alia sunt ꝑsẽ. uttres uel quattuor. uelt&ra¬
gonus uel quilib& numerus quiutsit nullo indig&. Alia uero
perse ipsa non constan. sed ad quiddam aliud referuntur ut du¬
plum ut dimidium ut ses qualterum. uelses qui tertium. & quic¬

Expanded text:
immutabilem substantiamque sortita sunt, uere proimmutabilem substantiamque sortita sunt, uere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est quae proprie quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam, sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disjuncta a se, et determinata partibus, et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acervus, et quidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel tetragonus, vel quilibet numerus, qui, ut sit, nullo indiget. Alia vero per seipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesquialterum, vel sesquitertium, et quid
Abbreviated transcription (Latin):
Vter omnes priscae auctoritatis uiros qui pithagora
duce puriore mentis ratione iuguerunt. constare manifes¬
tum est haudquemquano inphilo sophiae olisoplinis ad
cumulum ꝓfecnonis erudere Nisac uitalis prudemnae nobilitas
quodam quasi quadiuio uestigaeur quo drecee sollerii imato¬
entis non latebit. Est onisapientia rerum quaesunt suiq ue
mutabilem s ubsiantiam sortiumur conprehensioni uerit itis
esseautem ill a dicimus quaenec intentione crescunt. Uacre¬
tractione minuuntur. Nec uariationibus ꝓmutantur. sed in
propria sempuisuae senaturae subsidus Nixa custodiunt
Haec autem sunt qualitates. quantitates formae magnitudines
paruitates aequalitates. Habitud ines actus dispositiones loca
tempora. & quic quid adunatum quod ammodo corporib inue¬
nitur. quae ipsa quidemnatura incorporea sunt & inmutabi
lis substantiae ratione uigentia participatione uero corpo¬
ris ꝑmutantur & tactu uariabilis rei inuertibilem in cons¬
tantiam transeunt. Haecigitur qmut dictum est natur

Expanded text:
Inter omnes priscae auctoritatis viros qui, Pythagora duce, puriore mentis ratione viguerunt, constare manifestum est haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadrivio vestigatur, quod recte solertiam intuentis non latebit. Est enim sapientia rerum quae sunt suique immutabilem substantiam sortiuntur comprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt, nec retractione minuuntur, nec variationibus permutantur, sed in propria semper vi, suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora, et quidquid adunatum quodammodo corporibus invenitur. lis substantiae ratione uigentia, participatione uero corporis permutantur et tactu uariabilis rei in uertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur quoniam, ut dictum est, naturam
Abbreviated transcription (Latin):
non fallit. Angulares autem omnium multi plices euenire ne¬
cesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices triplicium quactru¬
plices. Qua druplorumuero quinquupli & secundum eandem ordinis

Expanded text:
non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire nenon fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis
Abbreviated transcription (Latin):
eius pars qua illi conparatus numerus possit eandem
facere propartionem inueniri nequeat & triplicis
quidem hae est descriptio¬
At qua drupli secundum hano formam discriptio est athuam sci¬
lic& qui aprioribus instructus accesserit uullaratione
trepidabit. & d ec &eris quidem multi plicibus eandem conue¬
nientiam pernotabis¬
Iinc quoque pspicuum est suꝑ particularium quem admodum pri¬
us ostensumest primos eẽ. multiplices. siquidem duplices ses¬
qualteros triplices ses quitertios & multiplices cuncti cunctos
in ordinem suꝑparticulares creant. Est &iam in his hoc quoq
mirabile namque ubi prima latitudo fuerit duplex & sub eisdem
qui sunt uersus continui alternatim positi secundum seriem lati¬
tudinis duplices erunt. siuero fuerint triplices. & inferiores or¬
dines tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt.
Ał inquadrupla quadrupli. atqhoc in infinita ductũ speculatione¬

Expanded text:
ejus pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem ejus pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptioAt quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit, et de caeteris quidem multiplicibus, eamdem convenientiam pernotabiHinc quoque perspicuum est, superparticularium quemadmodum prius ostensum est primos esse multiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum speculatione
Abbreviated transcription (Latin):
dem contingit &iam in triplicibus exillis enim ses quitertu pro¬
creantur. Nam qm̃ primus triplex est. ternarius numerus hab&
unum ses qui tertium id est .iiii. Cuius quaternarii tertia pars
non potest inueniri. atq ideo hic epitrito car&. secundus uero
qui est .uiiii. hab& adseduo denarium numerum ses qui tertium
duo denarius autem qm̃ hab& tertiam partem inses quitertia
proportione conparatur ad eumnumerus xui. qui tertiae
partis sectione solutus est xxuii. autem qm̃ tertius est tri¬
eandemrursus uim proportionis explebunt. quos lxiiii ad
nullum ses qui tertium rursus aptabis qm̃parte tertia
non tenentur. atque hoc incunctis triplicibus inuenitur
ut extremus eius proportionis numerus tantos antese
praecedentes habeat quanto primus eorum abunitate
discesserit. & quitot superse eiusdem proportionis ha¬
buerit numeros quotus ab unitate primus eorum iac&

Expanded text:
Idem contingit etiam in triplicibus, ex illis enim sesquitertii proIdem contingit etiam in triplicibus, ex illis enim sesquitertii procreantur. Nam quoniam primus triplex est ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est 4. Cujus quaternarii tertia pars non potest inveniri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est novem, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium. Duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus sedecim, qui tertiae partis sectione solutus est. Viginti septem autem, quoniam tertius est trieamdem rursus vim proportionis explebunt. Quos sexaginta quatuor ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus ejusdem proportionis numerus, tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit. Et qui tot super se ejusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum jacet,
Abbreviated transcription (Latin):
medi&atem non recipit non est alter numerus adquem in ra¬
tione sesqualtera conpar&ur. Quaternarius ueronumerus
secundus duplus est. Hicergo duos sesqualteros praecedit
Est enim adipsum quidem conparatus senarius numerus.
Adsenarium uero qm̃ medi&atem hab& nouenarius. Et sunt
duo ses qualteri ad .iiii. scilic& .vii. Ad ui. uero nouem. Noue¬
narius uero quoniam medi&ate car& abhac conparatione
seclusus est. Tertius uero duplexest.viii. Hic ergo tres
ses qualteros antecedit. conparatur enim adipsum duo¬
denarius numerus. Adduo denarium xuiiii. Ad xuiii. rur¬
sus xxiii. Aduero xxuiii. medio carent. idem quo que
insequentibus euenire necesseest quod nos cum propria
ordinatione subdidimus semperenim hoc diuina quadam
nechumana constitutione s peculationibus occurrit.
ut quotiens cum que ultimus nume: us inuenitur. qui lo co
duplicis abunitatesit par. Talissit ut in medi&ates diuicdi
secarique non possit

Expanded text:
medietatem non recipit, non est alter numerus ad quem in ramedietatem non recipit, non est alter numerus ad quem in ratione sesquialtera comparetur. Quaternarius vero numerus, secundus duplex est, hic ergo duos sesquialteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medietatem habet novenarius, et sunt duo sesquialteri, ad 4 scilicet 6, ad sex vero 9. Novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est 8, hic ergo 3 sesquialteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium 18, ad 18 rursus 27. At vero 27 medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesse est quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate sit par, talis sit ut in medietates dividi secarique non possit.
Abbreviated transcription (Latin):
fiat hac nobis ratione in quotnumeris quanti possint . eẽ. super¬
particulares uestigandumest. Omnes enim multiplices tan¬
tarum similium. sibim& proportionum principes erunt quoto
ipsi loco abunitate discesserint. quod autemꝰ sibim& similium
caleest ut dupli sempmulti plicitas ut superius distinetumest ses qualte¬
ros ereet & duxsit. Triplex ses quitertiorum. Quadruplus sesqui¬
quartis. primus ergo duplex unum solum habebit sesqualterum.
secundus duo tertius tres. quartus quattuor & secundum hune
ordinem eademsit in infinitum progressio neque umquam fieripo¬
test ut uel super& proportionum numerum uel abeosit deminu¬
tior aequabilis abunitate locatio. primusergo duplexest
binarius numerus qui unum solum ses qualterum recepit id est
ternarium. binarius enim contra ternarium conparatus ses¬
qualteram efficit proportionem. Ternarius uero quoniam

Expanded text:
fiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse superfiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse superparticulares, investigandum est. Omnes enim multiplices, tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserunt. Quod autem dico, sibimet similium tale est, ut dupli semper multiplicitas ut superius dictum est sesquialteros creet, et triplex sit dux sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum habebit sesquialterum, secundus duos, tertius tres, quartus quatuor, et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio. Neque unquam fieri potest ut vel superet proportionum numerum, vel ab eo sit diminutior aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesquialterum recipit, id est ternarium. Binarius enim contra ternarium comparatus sesquialteram efficit proportionem. Ternarius vero, quoniam
Abbreviated transcription (Latin):
quibus dispositis prima nobis aequalitas cadit . ut subiectae summu¬
Hincigitur siquis ad alias in aequalitatis species animumtendat.
Eandem conuenientiam intitubanter inueni&. quare pronunti¬
andumest neculla trepidatione dubitandum. Quod quem admo¬
dum perse constantis quantitatis unitas principium &elimentũ
est ita & ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est.
Demonstrauimus enim quod hinc & eius procreatio prima for&
& in eam rursus postrema solutio est.
Est autem quaedam in hac re profunda & miranda speculatio.
ad platonicam in timȩo animae generationem . & ad interualla
armonicae disciplinae ibi enim iubemur producere atq. extende¬
re tres uł iui sesqualteros. uel quo dib& ses quitertias propor¬
tiones & ses qui quartas conparationes easque secundum propo¬
situm ordinem saepe continuas iubemur. extendere. Neautem
hoc labore quodam semꝑ quidem maximo frequentius inferaci

Expanded text:
Quibus dispositis, prima nobis aequalitas cadit, ut subjectae summaQuibus dispositis, prima nobis aequalitas cadit, ut subjectae summaHinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim quod hinc et ejus procreatio prima foret, et in eam rursus postrema solutio est. Est autem quaedam in hac re profunda et miranda speculatio, ad Platonicam in Timaeo animae generationem, et ad intervalla harmonicae disciplinae. Ibi enim jubemur perducere atque extendere tres vel quatuor sesquialteros, vel quotlibet sesquitertias proportiones, et sesquiquartas comparationes, eas quae secundum propositum ordinem, saepe continuas jubemur extendere. Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci
Abbreviated transcription (Latin):
id est .viii. & duos secundos quis unt reliqui id estbis xxiiii. & re¬
linquuntur lxxii. his dispositis terminis exqua drupla pro¬
pinquior a equitati proportio tripla redacta est. sunt enim
hitermini .viii xxiiii. lxxii. Ex his autem ipsis idem si feceris
ad duplum rursus conparatio remeabit. Pone enim primum
minori aequum id est .viii. & ex secundo aufer primum xiii.
relinquentur. sed extertio. id est . exlxxii. Aufer primum
idest .viii. & duos secundos. id est bis sed ecim. &erit reliqua
pars .xxxii. quibus positis ad duplas proportiones habitu¬
do redigitur .uiii. xui. xxxii. ldem uero ex his sifiat rem
omnem ad aequalitatis summas eliquabimus. pone enim
primum minori aequum id est .viii. &tuifer ex xui. octonarium.
remanent .uiii. quibus positis extertio idest triginta duobus sũptis
primo id est .uiii. & duobus secundis. id est octonariis. suꝑsunt uiii.

Expanded text:
id est 8, et duos secundos qui sunt reliqui, id est bis 24, et reid est 8, et duos secundos qui sunt reliqui, id est bis 24, et relinquuntur 72. His dispositis terminis, ex quadruplis propinquior aequitati proportio, tripla redacta est. Sunt enim termini: Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplum rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et ex secundo aufer primum, 16 relinquentur. Sed ex tertio, id est ex 72, aufer primum, id est 8, et duos secundos, id est bis 16, et erit reliqua pars 32. Quibus positis, ad duplas proportiones habitudo redigitur. Idem vero ex his si fiat, rem omnem ad aequalitatis summas eliquabimus. Pone enim primum minori aequum, id est 8, et aufer ex 16 octonarium, remanent 8, quibus dispositis, ex tertio, id est 32, sumptis primo, id est 8, et duobus secundis, id est duobus octonariis, supersunt 8.
Abbreviated transcription (Latin):
relicti sunt & id quod &̧tertia summa relinquitur. Tertiũ termi¬
num constituemus. Videbis igitur hoc facto inminorem modum
summas reuerti & ad principaliorem habitudinem conparatio¬
nes proportiones que reduci. ut sisit qua drupla proportio
primo adtriplam. inde adduplam. inde ad aequalitatẽ usque
remeare. & si sit suꝑ particularis ses quiquartus primo ad
ses qui tertium. inde adses qualterum. postremo ad tres ae¬
quales terminos redire: hoc autemnos exempligratia in
multiplici. tantum proportione docebimus. solerte muero in
aliis quoque in aequalitatis speciebus id experientem eadem
ratio praeceptorum uiuabit. Constituantur enimtres asẽ ter¬
mini quadrupli .viii. xxxii. cxxuiii. Auferigitur exmediomi¬
norem. idest extriginta duobus octonarium relinquntur
xxiiii. Et primum octinarium terminum pone. secundũ uero
quod relictum fuerit exmedio. id est xxiiii. ut sint hiduo ter

Expanded text:
relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium termirelicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare. Et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesquialterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus. Solertem vero, in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experientem, eadem ratio praeceptorum juvabit. Constituantur enim tres ad se termini quadrupli. Aufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus, octonarium, relinquuntur 24, et primum octonarium terminum pones, secundum vero, quod reliquum fuerit ex medio, id est 24, ut sint hi duo ter
Abbreviated transcription (Latin):
uidemus. Omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem uelut ad
quoddam elimentum proprii generis resoluatur. hocautem
trinarur sus imperatione colligitur. Eaque resoluendi ars
datis quibus lib& tribus terminis in aequalibus quidem sed pro¬
portionaliter constitutis. idest ute andem medius ad primum
uim proportionis obuneat quamqui est extremus ad medium
inqualib& in aequalitatis ratione. uel in multi plicibus. uel
insuper particularibus uel in super partientibus. uel in his
quae ex his procreantur multiplicibus superparticularibus.
uel multiplicibus super partientibus eadem atque una ratio¬
ne indubitata constabit. Propositis enimtribus ut dictũ est
terminis aequis proportionibus ordinatis utultimum sẽ ꝑ
medio d&rahamus. & ipsum quidem ultimum primum ter¬
minum collocemus quod demedio relinquitur secundum.
de tertia uero propositorum terminorum summa ause¬
remus unum primum & duos secundos eos quid emedi&ate

Expanded text:
idemus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitem rursus, velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars. Datis quibuslibet tribus terminis, inaequalibus quidem, sed proportionaliter constitutis, id est, ut eamdem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus ad medium in qualibet inaequalitatis ratione, vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in iis quae ex his procreantur, hoc est multiplicibus superparticularibus, vel multiplicibus superpartientibus, eadem atque una ratione indubitata constabit. Propositis enim tribus ut dictum est terminis, aequis proportionibus ordinatis, ultimum semper medio detrahamus, et ipsum quidem ultimum, primum terminum collocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum, et duos secundos eos qui de medietate
Abbreviated transcription (Latin):
quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio eorũ
qui dicuntur erbi uł asseres uł laterculi uł cunei uł spe¬
rae uł par allelȩ pipeda quae sunt quoties suꝑficies contra
sẽ sunt &ductae in infinitum num quam concurrent.
Dispositis enim in ordinem teragonis .i.iiii.UIIII. XUI.XXU.¬
Qm̃hi solam longitudinem latitudinemque sostiti suNt. & alti¬
tudine carent. si ꝑlatera solam unam multiplicationem reci¬
piant aequalem ꝓue ꝓfunditatem. Nam quattuor
t& ragonus duos hab& in latere & natus est exbis duobus
bisenimduo .iiIi. faciunt. Hosergo duo exipsius latere simul¬
tiplices aequaliter crbi forma nasc&ur. Nam sibis binos.
bis facias octinarii quantitas crescit. & est primus hic
erbus nouem uero t&ragonos qm̃tres hab& in latere
& factus est extribus multi plicatis si eiunam lateris mul¬
tiplicationem adiunxeris. rursus alius crbus aequali

Expanded text:
quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cubi vel asseres, vel laterculi, vel cunei, vel sphaerae, vel parallelipipedi, quae sunt quotiens superficies contra se sunt, et ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis, quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetragonus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑuenit: sed nec ad primum quoque opere & actu multi¬
Angulum. eius generis cuits fuerit basis bis curta uo¬
cabitur. ut si a XVI. t&ragono ꝓficiscens usque in nouem
terminum ponat. neque excrescat adquattuor & qđ¬
cumque t&ragoni defuerint tot eius eam curtam esse
dicimus & siunitas defuerit primus quadratus curtam
quamgreci. R̃ΟΛΟΥΡΟΝ uocant. siuero duobus tera¬
gonis deficitur idest unitate & eo quisequitur uocatur biscur¬
ta quamgreci MΙΚΟΛΟΥΠΟΝ. appellant. quod sitri¬
bus t&ragonis ter curta dic&ur. quam greci TΡΙΚΟΛΟΥ¬
PON Nominant. & quod cumque t&ragoni fuerint minus.
toties illam prramidem custam eẽ. ꝓponimus. Hoc autem
non solum at&eragono prramidis sed in omnibus ab omni
multi angulo progredientibus speculari lic&.
acdesolidis quidem quae prramidis formam obtinent ae¬
qualiter crescentibus . & a propria uelut radice multi¬
angula figura ꝓgredientibus dictum est. est aliarursus

Expanded text:
pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multipervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus generis cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicitur quam Graeci tricoluron nominant, et quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solum a tetragono pyramidis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.Ac de solidis quidem quae pyramidis formam obtinent aequaliter crescentibus, et a propria velut radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus
Abbreviated transcription (Latin):
a qualib& basi. profecta usque ad primam ui & potestate
prramidam peruenit unitatem. sinuero aqualib& basi
perfecta usqueadunitatem altitudo illa non uenerit
curta uocabitur. Recteque huius modi prramis tali
nuncupatione signatur. siusque ad extremitatem punc¬
tumque nonuenerit. Haec autem est utsiquis xUI. t&ra¬
gono adiciat .uiiii. atque huic .iiii. & ab ulterioris sese unita¬
tis adiectione suspendat. Prramidis equidem figura est.
sed qm̃ usque ad cacumen uerticis non excreuit curta uoca¬
bitur . & habebit summitatem noniam punctum quodunitas e
sed suꝑficiem quod est qui lib& numerus secundum basis illius
angulos porrectos atq ultimus ad gregatus. Namsi t&rago¬
nĩ fuerit basis quadrata deminutione semꝑ ascendit. & si
pentagona basis similiter. &si exagona. illa quoque ulti¬
ma suꝑficies erit exagona. Ergo in curta prramide tot
erit angulorum suꝑficies. quod fuerit basis. siuero illa
prramis non solum adunitatem extremitatem que pon

Expanded text:
a qualibet basi profecta, usque ad primam vi et potestate pyramidum pervenit unitatem. Sin vero, a qualibet basi profecta, usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur. Recteque hujusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic 4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non
Abbreviated transcription (Latin):
nus comparatus ipsumminorem r& in & differentiam. Namq binarius
adunitatẽ ipsa unitate differt . & qua ternarius binario ipsobinario ͣ¬
& octonarius quaternario ipso quaternario & deinceps maiores
alii ipsis minoribus ab eisdẽ ipsis differunt. quos numerositate
praetereunt & hoc quidẽ induplici ꝓportione cadit. sint uero
sint triplices proportiones maior terminus aminore termino
multiplicato minore termino differt. utsi sint i.iii. uiiii. tres
ab uno binario differunt. in quemunitas idest minor terminus
duplicatus exundat . & viiii. a tribus senario differunt. quemter¬
narius duplicatus educit . & in aliis cunctis eius modiratio repperie¬
tur. sin uero quadruplices sint triplicato minore termino maior S¬
terminus aminore distabit. &si quinquupla quahruplicato. & sises¬
quupla quinquuplicato & unaminus multiplicatione quã est ipsa mĩ

Expanded text:
nus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius nus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est
Abbreviated transcription (Latin):
duo Ita quartus ad tertium. id est XVI. ad uiii. idque inomnibus
rata consideratione perspicies.
ab& autem huius modi proprium medi&as quod in omni dis¬
positione secundum hanc proportionalitatẽ terminorũ diffe¬
rentiae in eadem proportione contrase sunt quafuerunt
ipsi termini quorum ipsesunt differentiae siue enim dupli
contra sesint termini duplae erunt &iam differentiae siue
tripli triplae: siue secundum quam lib& multiplicationem
eadem in differentiis multiplicatas erit quam prima consi¬
deratio inuenit interminis. Ut sub iecta discriptio mon&.¬
ulli igitur dubium ẽẽ potest quod cu momnes termini duplisiN
ita differentiae quoque eorum terminorum duplae eẽ uidean¬
tur. ut uno minus termino indifferentus omnes dispositos¬
subter terminos quorum sunt ipse differentiae superior ordo red¬
diderit. Est &iam aliud ꝓprium qđ omnis adminorem maior termi¬

Expanded text:
2, ita quartus ad tertium, id est 16 ad 8, idque in omnibus 2, ita quartus ad tertium, id est 16 ad 8, idque in omnibus rata consideratione perspicies. roprium hujusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae sive tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subjecta descriptio monlli igitur dubium esse potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositossubter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem major termi
Abbreviated transcription (Latin):
uel in maioribus uel inminoribus speculatio ponitur. Hic enim
aequa semꝑ proportio custoditur numeri. Quantitas multitu¬
doq neglegitur contrariae quam in aridm&ica medi& ate:
quinquupla. uel si inquam lib& multiplicitatem numerorum
sit constituta distantia in his enim quod lib& terminos sump¬
si ꝑmixte facias idemerit. sienim ponantur tres termini¬
adduo atq hoc si conuertas quemad modum sunt .ii. ad iiii.
ita erunt iiii. ad uiii. uel si inquattuor terminis ut sunt .ii.
uem ad modum est primus adtertium id est .ii. aduiii. sicerit
secundumꝰ ad quartum id est iiii. ad xui. utraq enim
proportio quadruplaest & conuersim quemadmodum quar¬
tus est ad secundum it a tertius notatur ad primum. hoc uero
&iam disiunctae lic&. Nam quem ad modum est primus
ad secundum. idest n ad ini. sictertius ad uũ. id est uii ad xi.
& conuersim quem ad modum secundus ad primum. id est ii. ad

Expanded text:
vel in majoribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim vel in majoribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque negligitur contrarie quam in arithmetica medietate, quincupla, vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio. In his enim quotlibet terminos sumpsi permixte facias, idem erit. Si enim ponantur tres terminiad 2. Atque hoc si convertas, quemadmodum sunt 2 ad 4, ita erunt 4 ad 8. Vel si in quatuor terminis, ut sunt 2 quemadmodum est primus ad tertium, id est 2 ad 8 sic erit secundus ad quartum, id est 4 ad 16. Utraque enim proportio quadrupla est. Et conversim, quemadmodum quartus est ad secundum, ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disjuncte licet. Nam quemadmodum est primus ad secundum, id est 2 ad 4, sic tertius ad quartum, id est 8 ad 16; et conversim, quemadmodum secundus ad primum, id est 4 ad
Abbreviated transcription (Latin):
in hac proportionalitate uel medi&ate inminoribus termi¬
nis maiores proportiones in maioribus minores conpara¬
tiones necesseest inueniri. Namque indispositione hac .i.
adunum duplus est. tresuero ad ii. sesqualter. sed maior est
proportio dupli quam ses qualtera. In armonica autem me¬
di&ate econtrario euenire contingit. inminoribus enim
terminis. minores proportiones. Inmaioribus maior pro¬
portionis quantitas custoditur. Harum uero medi & atum
idest arithim&icae atq armonicae geo m&rica propor¬
tionalitas media eẽ notata est. quaeuel in maioribus uel in
minoribus terminis aequas Numerorum qualitates in pro¬
portionalitate custodit. Intermaius uero &minus aequa¬
litas loco ponitur medi&atis & de arith m&ica quidem
medi & ate satis dictum est
expediatur quaesola uel maximae proportionalitas appellari
potest. Propterea quod ineis dem proportionibus terminorum

Expanded text:
in hac proportionalitate vel medietate, in minoribus termiin hac proportionalitate vel medietate, in minoribus terminis majores proportiones, in majoribus minores comparationes necesse est inveniri. Namque in dispositione hac 1, unum duplus est, 3 vero ad 2 sesquialter, sed major est proportio dupli quam sesquialtera. In harmonica autem medietate, econtrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in majoribus major proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in majoribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter majus vero et minus, aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est.expediatur, quae sola vel maxime proportionalitas appellari potest, propterea quod in ea eisdem proportionibus terminorum,
Abbreviated transcription (Latin):
tin&ur subduabus extremitatibus minus est eo numero qui
exmedi&ate conficitur tantum quantum possunt duae
subse differentiae continere qua einter ipsossunt termi¬
nos constitutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi
III.U. UII. sugitur tres septies augeantur in xxi. nume¬
rum cadunt. quod simedium terminum id est .v. insem&ip¬
sum multiplicaueris. quinquies enim .v. faciunt xXU. &
hicnumerus ab eo quemextremitates colli gunt. quater¬
nario maior est quem scilic& differentiae conficiunt in ter
tres enim & quinque & uii.bini intersunt. quos si insese
multiplices .iiII. reddunt. bis enimduo iiii. fiunt. Recte igi¬
tur dictum est in hachuiuis modi dispositione qđ contin&ur
sub extremitatibus minus ee illonumero quifit ex medi&ate
tantum quantum differentiae in se multi plicatȩ restituus:
Quartum uero proprium huius modi dispositionis notatur.
quod anti quiores quoque habuere notissimum quod

Expanded text:
tinetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui tinetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres septies augeantur, in 21 numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt 25. Et hic numerus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario major est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos si in sese multiplices 4 reddunt, bis enim duo, quatuor fiunt. Recte igitur dictum est, in hac hujusmodi dispositione quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. Quartum vero proprium hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod
Abbreviated transcription (Latin):
sit quantitate medi&as utsi ponatur .i.ii. III. unus & iii.
.iIII. reddunt. Duo uero quimedius interu trosq: est. quater¬
naru medi&as inuenitur. quod sibis medi&atem ducas
aequiserit extremitatibus. bisenim duo .iiii. creant. sinuero
disiunctasit quod fit exutrisq extremitatibus conpositis. hoc
exduobus medi& atibus redditur. sienim sint .i.ii.iii. iiii.
unus & iiii. quinarium creant .ii. & iii. medii in eundẽ
rursus quinarium surgunt.
stilli quoque hoc solida propri&ate coniunetum quod quem ad¬
modum sunt omnes termini huius modi dispositionis ad seipsos.
Ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Nam que om¬
nis terminus sibiipsi aequalis est & differentiae differentus
sunt aequales. illud quoque subtilius quod multi huius discipli¬
nae periti NIsi Nichomachus numquam antea perspexer it
quod i nomni dispositione uel continua uel disiuncta quod con¬

Expanded text:
fit quantitate medietas. Ut si ponantur 1, 2, 3, unus et tres fit quantitate medietas. Ut si ponantur 1, 2, 3, unus et tres quatuor reddunt. Duo vero qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim duo, quatuor creant. Sin vero disjuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medietatibus redditur. Si enim sunt 1, 2, 3, 4, unus et quatuor quinarium creant, duo et tres medii in eumdem rursus quinarium surgunt. Est illi hoc quoque solida proprietate conjunctum, quod quemadmodum sunt omnis termini hujusmodi dispositionis ad seipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque subtilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione, vel continua, vel disjuncta, quod con
Abbreviated transcription (Latin):
ides ne ut cum superius innaturalis numeri dispositione se
termini singulis pra&erirent pragermissis duobus & iiii.
unus ad iii. & tres adquinarium conparati. binarium solum
in differentia r& inuerint Nec non &iam in dis iuncta
eadem uersabitur obseruatio.
alibus igitur uestigis insistentem nullus ab eadem similitudi¬
ne error abduc&. Namque siduos intermittas ternarius dif¬
ferentiam continebit. sitres quaternarius. si. iIi quinarius
aeque in continuis proportionibus atq disiunctis. qualitas
autem proportionis eadem nonerit quamuis sint aequis ter¬
mini differentiis distributi. quod si conuersim ponantur ut
non eisdem differentus eadem qualitas proportionis eueniat
geomaricatalis proportionalitas uon arithi&ica nomi¬
natur. Estautem proprium huius medi&atis quod suntrib.
terminis speculatiosit conpositis extremitatibus illa sum ma
quae inter extremitates est non locotantum uerum &iam

Expanded text:
Videsne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se Videsne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 4, unus ad tres, et 3 ad quinarium comparati, binarium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in disjuncta eadem versabitur observatio. alibus igitur vestigiis insistentem, nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si quatuor, quinarius, aeque in continuis proportionibus atque disjunctis. Qualitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur. Est autem proprium hujus medietatis, quod si in tribus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus, illa summa quae inter extremitates est, non loco tantum, verum etiam
Abbreviated transcription (Latin):
in quod lib& aliis secundum dis iunctam medi& atem easdem semꝑ
differentias terminorum uidebis tantum solis proportionibus
permutatis. Idsiinuno quis nouerit reliqua eamratio pon late¬
bit. sit continua medi& as .i. ii.iIi. hic unus aduobus. & ii. a tribus
solis tantum singulis distant . & sunt eadem differentiae propor¬
tiones uero aliae. Namque duo ad unum duplus est .iii. ad .ii.
ses qualter & in ca& eris idemuidebis. sinautem ꝑmiscens & ali¬
quos pra&eriens eligas. & in his aliquam speculationem ponas.
idem poterit euenire. Nam siaequales terminos intermittas.¬
& uno sese in priore dispositione pra&erient. si singulos inter¬
mittas. solius binarii notabitur differentia. sinuero ii . prae¬
dem modum unoplus quaminter miseris eritilla quam quȩ¬
rimus differentia terminorum . Namque in tribus terminis¬
si singuli relin quantur. semꝑ binarius inter erit.

Expanded text:
in quolibet aliis secundum disjunctam, easdem semper in quolibet aliis secundum disjunctam, easdem semper differentias terminorum videbis, tantum solis proportionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eaedem differentiae, proportiones vero aliae. Namque duo ad unum duplus est, tres ad duo, sesquialter, et in caeteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales terminos intermittas, et sese in priore dispositione praetereant, si singulos intermittas, solius binarii notabitur differentia, sin vero duo praedem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquantur, binarius semper intererit.
Abbreviated transcription (Latin):
quare ordine disputatio progredi&ur. si abea primo in¬
choandum sit medi&ate qua e innumeri differentia Non in
proportionis speculatione uersatur.
Arithm&icam medi&atem uocamus quoties ueltribus uel qđ¬
lib& terminis positis aequalis atq eadem differentia inter
omnes dispositos terminos inuenitur inqua neglecta propor¬
tionis aequalitate terminorum tantum differentiarum que
VIIII.X. In hacergo naturalis numeri dispositione. siquis
continuatim differentias terminorum cur& aspicere secun¬
dum arithm&icam medi&atem aequa terminorum inter se
discrepantia est aequales enim sunt differentiae sed eadem
proportio atq habitudo non est. siigitur intribus terminis con¬
sideratiosit. continua proportionalitas dicitur. sinuero hic
alius dux & alius comes illicuero utriq sint alii uocabitur
disiuncta medi&as. siigitur in tribus terminis tantum secun¬
dum continuam medi&atem respexeris uel in quattuor uel

Expanded text:
Quare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inQuare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versatur. arithmetica medietate otlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum differentiarumque 9, 10. In hac enim naturalis numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa terminorum inter se discrepantia est. Aequales enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio sit, continua proportionalitas dicitur. Sin vero hic alius dux et alius comes, illic vero utrique sint alii, vocabitur disjuncta medietas. Si igitur in tribus tantum terminis secundum continuam medietatem conspexeris, vel in quatuor, vel
Abbreviated transcription (Latin):
unc dẽproportionalitatibus deque medi&atibus dicendũ
est & primum quidem deea medi&ate tractabimus quae
secundum quantitatis aequalitatem neglecta ꝓportionis
parilitate constitutorum terminorum habitu dines seruat
Inhis autem quantitatibus medi&as ista uersatur inque his
speculanda est. in quibus a se ipsis termini differunt. quid
autem ess& differentia terminorum superius definitũ est:
Hancautem ee arithin&icam medi&atem numerorum
i praratio declarabit qm̃ eius proportio innumeri quan
litatibus anteponere. Primum quod hanc nobis in principio
ipsa numerorum natura &uis naturalis quantitatis oppo¬
nit. huius modi enim proportiones quaeque ad terminorũ
differentias ꝑtinent . ut paulo post demonstrabitur innatu¬
ralis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde
quod insuperiore libro disputantibus nobis apparuit arith¬
m&icam uim geo m&rica atq musica eẽ antiquiorem &
quodinlata has simul infer&. sublata uero perimer&.

Expanded text:
 de proportionalitatibus, deque medietatibus dicendum est. Et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, neglecta proportionis parilitate, constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem, numerorum ipsa ratio declarabit, quoniam ejus proportio in numeri quanlitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem, et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret.
Abbreviated transcription (Latin):
proprie esse in primi libri rerumomnium diuisione monstra¬
uimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas
symphonias nominant proportiones in hac pene sola medi&a¬
te frequenter inuenias. Namq symphonia diatesaron. quae
princeps est quod ammodouim obtinens elementi constitiu¬
tur scilic& in epitrita ꝓportioe ut est quaternarius ad ter¬
narium in eius modi armonicis medi&atibus inuenitur.
sint enim huius modi armonicae medi&atis termini quorũ
extremi duplisunt. & rursus alia huius modi dispositio quo¬
rum extremi tripli sunt.
enarius igitur ad ternarium duplus est idem autem
in alia dispositione senarius adbinarium triplus
Horumigitur sidifferentias colligamus. & ad seinuicem
conparemus. epitrita proportio colligitur
Undiatessaron. symphonia resonabit
& interbinarium & senarium
quaternarius qui sibi m&
conparati. ses qui tertiam
effient proportionem.

Expanded text:
proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstraproprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium, in ejusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum extimi dupli sint, et rursus alia hujusmodi dispositio quorum extimi tripli. enarius igitur ad ternarium duplus est. Idem autem in alia dispositione, senarius ad binarium triplus. Horum igitur si differentias colligamus et ad se invicem comparemus, epitrita proportio colligitur, unde diatessaron symphonia resonabit.  inter binarium et senarium quaternarius, qui, sibimet comparati, sesquitertiam efficient proportionem.