comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
primaspecies multiplicationis &oritur . Omis enimduplex & ses¬
qualtero ses quit̃ tioq: conponitur & omĩs sesqualt̃ & sesquitertius
duplicem iungunt. Nam ternarius ses qualt̃ est duorum quatuor uero
ses quitertius ternarii sed iiii duplus duorum
Etsi positis ei sdems& & xi.iii. nouenarius in medi & ate ponatur eritad
senarium ses qualt̃ quiad xuiii. duplus est & ad senarium xuiitri
Secte igitur dictum est & duplicemasesqual tero sesquitertio que
Aconiungr& has duas super particularis species duplicem ꝓcre¬
are id ÷ primam speciem multi plicis quantitatis. Rursus & prima
multi plicisspeciae. id est & duplici & prima su ꝑ particulari idest
ses qualter a continens multi pliciss pecies id ÷ tripla coniungitur
nam que xii senarii numeri duplaest .x. uero & XIII. adduodena¬
rium sesqualter quiad senarium numerũ triplus est
xduplici igitur & sesqualtero tripl& ratio ꝓportionis &oritur.
& in eas partes rursus resolut ione facta reuocatur. Si autem hic

Expanded text:
atis exoritur. Omnis autem duplex ex sesquialtero sesquitertioque componitur, et omnis sesquialter et sesquitertius duplicem jungunt. Nam ternarius, sesquialter est duorum, quatuor vero, sesquitertius ternarii, sed 4 duplus duorumEt positis eisdem, 6 et 18, novenarius in medietate ponatur, erit ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et ad senarium 18 triecte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesquitertioque conjungi, et has duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie, id est ex duplici, et prima superparticulari, id est sesquialtera, continens multiplicis species, id est tripla conjungitur. Namque 12 senarii numeri duplus est, decem vero et octo, ad duodenarium sesquialter, qui ad senarium numerum triplus estigitur et sesquialtero, triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic,
Abbreviated transcription (Latin):
XLi. xLiii. XLU. XLUII. Hisigitur itadispositis considerandum
primus numerus quem eorum qui sunt in ordinepositi primũ m&iri possit
Sed duob: pr&eritis illum qui posteos est positus moxm&itur. & si posteuñdẽ
ipsũ quem mensus est alii duotrans missi sint illum qui postduos est.
Rur susm& itur & eodẽmodo siduos quis reliquerit posteos quiest apri¬
monimero m&iendus esteodemq modo relictis sem ꝑ duobus om̃s itor imo
i infinitũ ꝑgentes m&ient᷑. Sedid nonuulgoneq: confuse. Nam primus nu¬
merus illum qui ẽ postduos iuxta setundũ selo catos ꝑsuam quantitatẽm &t

Expanded text:
 45, 47, 49. His igitur ita dispositis considerandum primus numerus quem eorum qui sunt in ordine positi primum metiri possit, sed duobus praeteritis, illum qui post eos est positus, mox metitur. Et si post eumdem ipsum quem mensus est, alii duo transmissi sunt, illum qui post duos est rursus metitur. Et eodem modo si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est. Eodemque modo relictis semper duobus, a primo in infinitum pergentes metientur. Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum qui est post duos secundum se locatos per suam quantitatem metitur.
Abbreviated transcription (Latin):
substantiã principalem compositusq: ẽ & aliis numeris hab&q
partes &ascipso &abalieno uocabulo denominatas. sed as eipso de nomina¬
tam partim solamsem ꝑ in his reperies unitatẽ. Ab alieno uero uoca¬
bulo uelimnã uel quodlib& alias quantifuerint scilic& numeri quib:
XXX III XXXUIIII. horumer gosinguli habent quidemas edenomi¬
tam. decimam eadẽ rursus unitatẽ. Et inc&er is quos supra descrip¬
simus idem conuenit. Habent &iam ab alienouo cabulo partem ut
sequentia est. Secundus autem uocat᷑ hicnum erus qm̃ non solauni¬
tatem &itur. sed &iam a lien onumero a quo scilic& coniunctus est
neq: hab& in sequicquam principalis intellegentiae. Nam & aliis
dicitur eo quod resolui potest in eosdem ipsos a quib: dicitur esse cõ¬
posits. in eo scilic& qui compositũ numerũ m&iuntur. Nichilaut̃
quod dis solui potest in compositum ÷ sed omnirerũ neces sitatec̃

Expanded text:
substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas, sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem, ab alieno vero vocabulo, vel unam, vel quodlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus 25, 27, 33, 39. Horum ergo singuli habent quidem a se denomiintam decimam, eamdem rursus unitatem, et in caeteris quos supra descripsimus idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut sequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur, sed etiam alio numero a quo scilicet conjunctus est. Neque habet in se quidquam principalis intelligentiae. Nam ex aliis dicitur, eo quod resolvi potest in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem quod disso
Abbreviated transcription (Latin):
dimminuta summa. Nequeaucta ad comparati numeri terminũusq ꝑ¬
uenit. ut .ii. siadui. compares bintrius numerus senar iot̃tiom&i¬
&ur primosergo & in conpositos nullus numerus m&i&ur p̃tunita¬
tem solam. qm̃ &nullis aliis numeris conpositisunt sedtantũ &unita¬
tibus in sem&ipsis actis multiplicatisque ꝓcreantur. Ter enimunus
iII. & quinqui est unus . U. & septies unus uII. fecerunt. Et aliiqͥ¬
dem quod supra discripsimus eosdẽmodonascunt. Hii autem inse¬
m& ipsos multiplicati faciunt aliosnumeros uelud primi eosq: primã
rerum substantiam uimq: sortitos cunctorum ase procreatoꝵ
uelud quaedã elem̃tar eperies quias cilic& & in conpositi sunt & simpli¬
cigenera tioneformati atq in eos oms quicũq & his ꝓlatis numeri
resoluunt᷑¬
resoluunt᷑. Ipsi uerone: & aliis producunt᷑ neq in aliar educunt̃
qđ eadem in parqs ꝓpri&ate formatus est sed nullam in ser&in &

Expanded text:
diminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pdiminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos, cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa reperies, quia scilicet, et incompositi sunt, et simplici generatione formati, atque in eos omnes quicunque ex his prolati sunt numeri resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur, neque in alia reducunturquod eadem imparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet
Abbreviated transcription (Latin):
torimus quidem & in conpositus ÷ quinullã aliam partem hab&
nisieam que a totanumeri quantitate denominata sit ut ipsa
XXIII xxVIIII. xxxi. in his ergo singulis nullaum quam alia parsin¬
ueni&ur nisi qua e ab ipsis dominataest &ipsatantumunitas ut supra
am dictum est in tribusenĩ una pars solaest id÷ tertia quea tribus
scilic& denominataest & ipsatertiapar sunitas. Eodesq modo qͥnari.
sola quinta pars ÷ & hocunitas atq idem in singulis consequens reperi &
Dicitur autem primus & conpositus quodnullus eum alt̃ numerus me¬
tiatur pr&̃ solam quȩ cunctis mater est unitatem. Namq: ternari¬
um duo ñ numerant id circo quõ dsi solus duos contratres conpares pau¬
ciores s̃. Sinuerobinarqũ bis facias amplior est tribus. cum crescit
in .IIII. M&itur autẽ numerus numerum quoties uel semel. uelbis.
uel tertio uel quoties lib& numerus adnumerũ comparatus. Neq

Expanded text:
primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet, primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet, nisi eam quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa 19, 23, 29, 31. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra jam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. Metitur autem numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque
Abbreviated transcription (Latin):
Vbiautem terminiii. duas medi &ates includunt quod fitmultiplicatis
&x tremitatib: hocidem reddit᷑ in alte rutram sum mã medietatib
ductis duo decies enĩ XCUI. multiplicatis .I. cLii. ꝓcreant᷑
Dueuero eorũmedi&ates id est xx iiiii xL uiii. sun sem & ipsas multi
cognos citur ingenerata ꝓpri&as. et in alio uerolatere longitudi¬
nis eos demratio discriptio quenotata est. quare manifestum est
N par quoq numerus est quiaparis numeri naturasus tantiaq:
dis iunctus est. Si quidemille in gemina equadiuidi potest. hicnese¬
Ecari queadunitatis inpedit int̃uentii si ii hab& similit̃ diuisiones
q uarum una eius parsest his numerus quiuocatur primus et in compositus.
Secundauero quiest secudus & compositus. & tertiais. quiquad amhorũ
medi & a te coniunctus ẽ & ab utriusq: cognatione aliquitnatur alit̃tra¬
hit quiest ꝑsequidẽ s cđs & compositus sed ad alios comparatus. primus
& in conpositus inuenitur.

Expanded text:
Ubi autem duo termini duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim 546 multiplicatis in 152 procreantur, duae vero eorum medietates, id est 24 et 48, si in scognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est par quoque numerus est, qui a paris numeri natura substantiaque disjunctus est. Siquidem ille in gemina membra aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis impedit interventus. Tres habet similiter subdivisiones, quarum una ejus pars est is numerus qui vocatur primus et incompositus. Secunda vero, qui est secundus et compositus. Et tertia is qui quadam horum medietate conjunctus est, et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus, primus et incompositus invenitur.
Abbreviated transcription (Latin):
eneratio autem ipsorũ atq: hortus huius modi inuestigatione colligit᷑
Quamscilic& erat osthenes cribrum nominabat quod cunctisin¬
paribus in medio collo catis. ꝑ eam quamtradituri sumus artem qui prim
quiues etundi. quiue tertii gener is uideantur esse distinguitur. Dispo¬
nantur enim aternarionumero cuncti in or dinem in pares inquam lib&

Expanded text:
eneratio autem ipsorum atque ortus hujusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis imparibus in medio collocatis, per eam quam tradituri sumus artem, qui primi, quive secundi, quique tertii generis videantur esse, distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem impares, in quamlibet
Abbreviated transcription (Latin):
is uero contra sepositis id ÷ primo & composito & secundo & composi¬
to & naturali diuersitate disiunctis. Alius inmedio consideratur
qui ipsequidem compositus est & secundus &alterius recipiens mensionẽ
Atq ideo & partis alieniuo cabulo capax. Sedcum fuerit adalium eiusdem
generis numerum comparatus nulla cumeo communim̃ sura coniungit᷑
Nec habebunt partes equiuocas . ut sunt viiii . adxXv. Nulla hos cõmunis
numerorũ mensura in&itur nisi forteunites qua e omnium numerorum
mensura communis est & hi quidem non habent. equi uocas partes. Namq
in vIIII. tertia est inxxv non est &q: uͥnxxv quinta est in nouenarionon ÷
Ergohiꝑnaturã utrimq secundi & conpositisunt. Compartitiuero ad se
inuicem primun compo sitiq: redduntur. quodutrosq: nulla alia mensu¬
ra metitur nisiunitas. que ab utrisq denominataest. Namin nouenario
non a ÷¬

Expanded text:
is vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse quidem compositus sit, et secundus, et alterius recipiens mensionem, atque ideo, et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt 9 ad 25, nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in 9 tertia est, in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas quae ab utrisque denominata est. Nam in novenario nona
Abbreviated transcription (Latin):
ni unã medi&atẽ habent quđ fit & multi plicatis & tremitatib
Hocfit simedius terminus suecapiat pluralitatis augm̃ta. Nam xluiii
faciunt. dlxx UI. Mediusuero eorumter minus id ÷ xxiiii
simulti plic&ur eosdemrursus *LXXVI ꝓcreabit & rursus sixxiii

Expanded text:
ni unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, ni unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiet pluralitatis augmenta. Nam duodecies 48 faciunt 576; medius vero eorum terminus, id est 24, si
Abbreviated transcription (Latin):
uperius igitur diges tedes oriptionis haecratio est. si adlatitu¬
dinemrespicits ubiest luorum terminorũ in a medi&as ipsosq
terminos iungas duploeos medi &ate ꝓpriarepperies ut xxxui.¬
& xx faciunt. LVi. quorum medi & as est xx uiii quimedius est
inter eos terminus constitutus & rursus xx viii & xii. si iungas
faciunt xl. quorum xx. medi&as medius eorum terminus inuenit᷑
A tuer o ubi duas medi& ates habent utrenqͥe &tremitates iuncte
utrisq medi&a tebus equales fiunt . utxii. &xxxvi. cumiunxe¬
ris fiunt xLxiiii. horum sime dia&ates sibim& adplicaueris
id ÷ xx &xxxiii idẽ erit atq in alia partelatitudinis eodeordine
qui fiunt numer i notatisunt nequeulla inreratio utrius quelatitudins
dis crepabit. Idemq: in eodemor dine in c&eris numeris ꝑ notabis et hoc
scdm̃ formam parit̃ in paris numeris fit. in quo hanc ꝓpri&atẽ esse
iamsupra dictum est. Rur sumsi ad longitudinẽ respicias ubi .ii. termi¬

Expanded text:
uperius igitur digestae descriptionis haec ratio est. Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos jungas, duplos eos medietate propria reperies, ut 36 et 20 faciunt 56, quorum medietas est 28, qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rursus 28 et 12, si jungas, faciunt 40, quorum 20 medietas, medius eorum terminus invenitur. At vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates junctae, utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 cum junxeris fiunt 48, horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit, atque in alia parte latitudinis, eodequi fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepavit. Idemque eodem ordine in caeteris numeris pernotabis, et hoc secundum formam pariter imparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra jam dictum est. Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termi
Abbreviated transcription (Latin):
Atq ad hunc modũ si om̃s inferiores duplices a superiorib: multipli¬
centur. uel si superiores eosdem inferiores multiplicent cunctos
quanatifuerint in pariter pares inuenies atq: hoc est admirabilis
huius numeri forma quod cum fueritipsa dispositio diseriptioq
ꝑspectanumerorũ ad latitudinem parit̃ imparium ad longi
duabus medi&atibus ȩ quales due &tremitates uel une medi& ati
dueduplices & tremitates. in longitudinẽ uero par it̃ paris nume¬
rirem ꝓpri&atẽ quede signat. Quod enim subduabus medi& atb
contin& uraequales ei quod sub&tremis conficitur uel quod ab
un amedietate nas citur aequaleest illi quod subutrisq & tre¬
mitatibus contin&ur. Discriptio autem que sub posita ÷
hocmodo facta est. quantoscumq: inor dine parit̃ parium nune¬
sunt uersudispositi. Rursus quieos demmultiplicant e quinario
natis unt secundo loco sunt constituti. Postuero¬
quos septenarius c&eros multiplicando ꝓcreauiteos dẽ. tertio

Expanded text:
Atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices, in superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter imparium, ad longiduabus medietatibus aequales duae extremitates, vel una medietate duae duplices extremitates. In longitudinem vero, pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem quae supposita est, hoc modo facta est. Quantoscunque in ordine pariter parium nume primo sunt versu dispositi. Rursus qui eosdem multiplicante quinario nati quos septenarius caeteros multiplicans procreavit, eosdem tertio
Abbreviated transcription (Latin):
tas locoponitur medi&atis &dear ithm&ica quidem medi&ate satis
dictum est
quaesola uelmaxima ꝓportionalitas appellari potest. propterea
quod in ea eisdem ꝓportionibus terminorũ uel in maioribus uel inmi¬
noribus speculatio ponit᷑ Hic enima equa semꝑ proportio custodit̃
numer i quantitits multitudoq: neglegitur contrarie quam in a¬
uelsi quincupla uel sunquã lib& multiplicitatẽ numerorũ sit cons¬
tituta distantia i his enim quod lib& terminos sũpseris & plebunt
geom&ri cam medi&atem quem admodum enĩ priorad sequentẽ
itasequens adalium. Etrursus si ꝑ mixtefacias idemerit. Sienim
ponantur tres termini II.IIII. & .VIII. que mad modum sunt .VIII.
ad .iiii. ita .iiii. ad . ii. atq: hoc si conuertas quem admodũ s̃ii

Expanded text:
tas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis tas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est.quae sola vel maxime proportionalitas appellari potest, propterea quod in ea eisdem proportionibus terminorum, vel in majoribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque negligitur contrarie quam in avel si quincupla, vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio. In his enim quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmodum ante prior ad sequentem, ita sequens ad alium. Et rursus, si permixte facias, idem erit. Si enim ponantur tres termini 2, 4 et 8, quemadmodum sunt 8 ad 4, ita 4 ad 2. Atque hoc si con
Abbreviated transcription (Latin):
Namquedis positione bac i .ii.iii. minores sunt termini unus&duo.
maiores duo &tres. & duo ad unũ duplus est . iii. uero ad duos sesqualt̃
sednaior est ꝓportio dupli quam ses qualtera in armonica autẽ
medi&ate econtrario eueniri contingit. Inminoribus enim
terminis minores ꝓportiones. In maioribus maior ꝓpositio¬
nis quantitas custodit᷑. Harum uer omedi& atũ id ÷ arith m&ig
atq: armenicȩ. geom & ricarꝓportionalitas media es senotata ÷
quaeuel in maior ibus uđ min oribus terminis aequas pumerorũ
quem & tremitates colligunt quat̃ nar iomaior : quemscilic& diffe¬
rentiae conficiunt. int̃ .iIi. enim & v. &uii. binunt̃ s quossi in se¬
semultiplices iiii. reddunt . bis enim duo quittuor fi unt. Reste
igitur dictũ ÷ in hachuius modidis positione quod contin&᷑ sub &¬
tremitatibus minus essei Llonumero quifit & medi & atetcontũ qđ an¬
tu differentiae in semultiplicarer esti tuunt

Expanded text:
Namque in dispositione hac 1, 2, 3, minores sunt termini 1 et 2, Namque in dispositione hac 1, 2, 3, minores sunt termini 1 et 2, majores 2 et 3, et 2 ad unum duplus est, 3 vero ad 2 sesquialter, sed major est proportio dupli quam sesquialtera. In harmonica autem medietate, econtrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in majoribus major proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in majoribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum quem extremitates colligunt, quaternario major est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos si in sese multiplices 4 reddunt, bis enim duo, quatuor fiunt. Recte igitur dictum est, in hac hujusmodi dispositione quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt.
Abbreviated transcription (Latin):
equalis ÷ & differentiae differentiis sunt aequales. Illito quoq
subtilius quod multihuius disciplineperite nisinichomacus num¬
quam antea ꝑspexer̃. Q uod in omni dispositione uel continua ue
disiuncta quod contin&ur subduab: & tremitatib: minus est
eonumero qui & medi&ate conficit᷑. Tantum quantum possunt
due subsedifferentiae continere que int̃ ipsos sunt t̃minos
constitute. Pon amus enimtres termiminos huius modi.
III .U .UII. Sugitur iii. septies augeantur. in xxi numerũ
cadunt. quod ñ mediumter minũ io ÷ X in scipsum multi plicaue¬
ris. quin quies enim quinq: faciut xXv & hicnumerus ab eo
uarumuero ꝓprium huius modi dis positionis notatur. quod an¬
tiquiores quoq: habuere notissimum. quod in hacꝓ porti¬
onalitate uel medi&ate inminoribus terminis maiores ꝓporti¬
ones inmaioribus minor es comparationes necesse est inueniri.

Expanded text:
aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque subtilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione, vel continua, vel disjuncta, quod continetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres septies augeantur, in 21 numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt 25. Et hic numerus ab eouartum vero proprium hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportionalitate vel medietate, in minoribus terminis majores proportiones, in majoribus minores comparationes necesse est inveniri.
Abbreviated transcription (Latin):
eadem non erit. quam uis sint aequis t̃mini differentus distri¬
buti. Quod siconuer simponant᷑. ut non eisdem differentiis eadem
qualitas ꝓportionis eueniat. geom &rica talis ꝓportionalitas
non arithm &icanominatur. Estaut̃ ꝓpriumhuius medi&as
quod si intribus terminis speculatiosit compositis &tremita¬
tibus. illa sum ma queint̃ &tremitates ẽ non locotantum. uerũ
quatuor reddunt duo uero quim edius int̃ utrosq: ÷ quater¬
nar ii medi& as inuenit᷑. Quod sibis medi& atem ducas aequus
erit & tremitatibus. bisenim duo quatuorcreant. Sinuero
dis iuctas it quod fit &cutrisq: &tremitatib: compositis.
hoc& duab: medi&ibus reddit᷑. Sienim sunt .i. ii. iii.iiii.
quin arium surgunt
Estilli hoc quoq solida ꝓpri& ate coniunctũ quod quem admodum
sunt om̃s termini huius modi dispositionis ad seipsos ita sunt
differentiae ad differentias constitutȩ nãq om̃is t̃minus sibupsi

Expanded text:
eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distrieadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur. Est autem proprium hujus medietatis, quod si in tribus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus, illa summa quae inter extremitates est, non loco tantum, verum  tres quatuor reddunt. Duo vero qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim duo, quatuor creant. Sin vero disjuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medietatibus redditur. Squinarium surgunt. Est illi hoc quoque solida proprietate conjunctum, quod quemadmodum sunt omnis termini hujusmodi dispositionis ad seipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi
Abbreviated transcription (Latin):
S in autem ꝑmis cens & aliquos pr&eriens eligas & in his aliquã speculationẽ
ponas idem poter it euenire. Nam sie qualest̃minos int̃mittas solius bina¬
ru notabitur differentia . Sinũ duos p̃tereas t̃narii. si tresquat᷑ narii¬
siqtuor quin arii &ad eundẽ modũ unoplus quã int̃miseris. Eritillaquẽ
querimus differentiat̃ minorũ Nãq intrib: terminissi s ingulirelin¬
quant᷑ binarius sẽ ꝑ int̃ erit
idesneuttũ su perius innaturalis numeri dispositione set̃ mini
singulis p̃terirent pr&ermissis duob &iiiĩ. unus ad in. & ii ad
quinariũ comparati binariũ solum in dif ferentia r&inuerunt
N e non &iamindis iuncta eademuer sabit᷑ obseruatio
Ecdibus igitur uestigiis insistentem nullus ab eadẽ similitudine er¬
ror ad duc&. Namq siduos int̃mittas ternarius differentiã
continebit. Sitres quat̃ narius. siquatuor quinar ius aeq: in con¬
tinuis ꝓportionibus atq: disiunctis qualitas autem ꝓ. portionis

Expanded text:
Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales terminos intrii notabitur differentia, sin vero duo praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, et ad eumdem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquantur, binarius semper intererit. Videsne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 4, unus ad tres, et 3 ad quinarium comparati, binarium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in disjuncta eadem versabitur observatio. Talibus igitur vestigiis insistentem, nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si quatuor, quinarius, aeque in continuis proportionibus atque disjunctis. Qualitas autem proportionis
Abbreviated transcription (Latin):
qđ omis adminorẽ maior terminus comparatus : Ipsumminorem r& in &
differentiam. Nam quebi narius adimitatẽ ipsa unitate differt &
quat̃ narius binario ipsobinario & octonarius quater nario ipsoquat̃¬
nario & deincepsmaiores aliu psisminolĩbus ab eis demipsis differunt quos
numerositate pr&ereunt & hoc quidẽ : indupliciꝓportionecadit. Sinuͦ

Expanded text:
quod omnis ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet quod omnis ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin
Abbreviated transcription (Latin):
ab& autem huius modi ꝓprium medi&as. qđ in omnidispositione
secundum hanc ꝓportiona litatem terminorũ dif ferentiae
in eadẽ ꝓportione contrasesunt. quafuerint ipsi termini quorũ
ipsȩs unt differentiae si ue enim duplicontras es inttermini. duplȩer̃
&iam differentiae si ue tripli triplȩ siues ecundũ quam lib& multi pli¬
cacionem. eadem in differentiis multiplicitas erit. quam prima c̃si¬
deratio inuenit in t̃minis ut subiecta discriptio do c&¬
itatertius notatur ad primum. hoc uero &iã disiunctelic&. nam
quemadmodũ est primus ad secundum idest .ii. adini. sict̃tius ad quar¬
tum id ÷ .vIIII. ad xxi. & conuersim quemadmodũ secundus ad primũ.
id ÷ iuradu .ita .iiii. ad t̃tium id ÷ xui. ad uiii. idq: in omnibus rata
ferentia e quoq: t̃minorũ duplȩ esseuide antur. ut un ominꝰ t̃ mino
in differentiis omnes penedis positos subterterminos quorums
ipsedifferentiȩ superior ordo reddiderit. est&iã aliud ꝓpriũ

Expanded text:
um hujusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae sive tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subjecta descriptio moita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disjuncte licet. Nam quemadmodum est primus ad secundum, id est 2 ad 4, sic tertius ad quartum, id est 8 ad 16; et conversim, quemadmodum secundus ad primum, id est 4 ad 2, ita quartus ad tertium, id est 16 ad 8, idque in omnibus rata ferentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium,
Abbreviated transcription (Latin):
numeri disputatione. Siquis continuatĩ differentias terminorũ
cur& aspicere. secundum arithm&icã medi & atẽ aequat̃ minorũ
int̃ se discrepantia est. Aequales enĩ sunt differentiae sed eadem
ꝓportio atq habitu donon est. Sugit᷑ intrib: terminis consideratiost
continud ꝓportionalitas dicitur. Sinuero hicalius dux & alius comes i¬
licuero utriq sint. Alii. uocabit᷑ disiunctamedi&as. Sugit᷑ intribustantũ
terminis scđm continuã medi& atẽ respexeris uł inquatuor ułin quodib&
aliis secundũ dis uinctãm edi& atem. easdem semꝑ differentias terminoꝵ
uidebis tantũ solis ꝓportionib: ꝑmutatis id simnuno quis nouerit reliqͥ&ã
rationon latebit. sit continua medi&as .i. ii.III. hicunus aduobus. & duo
atribus solistantũ singulis distant᷑ seedẽ differentiae . Proportiones

Expanded text:
numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa terminorum inter se discrepantia est. Aequales enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio sit, continua proportionalitas dicitur. Sin vero hic alius dux et alius comes, illic vero utrique sint alii, vocabitur disjuncta medietas. Si igitur in tribus tantum terminis secundum continuam medietatem conspexeris, vel in quatuor, vel in quolibet aliis secundum disjunctam, easdem semper differentias terminorum videbis, tantum solis proportionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eaedem differentiae, proportiones
Abbreviated transcription (Latin):
tis aliis ꝓportionalitatib: ante ponere : primum quod banc nobis in
principio ipsanumerorum natura &uis naturalis quantitatis
opponit : Huius modienĩ ꝓportiones queq ad t̃minorũ differen¬
tias perminent ut paulo post demonstrabit᷑. innatur alis primũnu¬
meri dispositio cognoscimus. deinde quod in superiore libro dis¬
putantibus nobis apparuit arithm&icã iumgeom & rica atq
musi caesse Antiquiorẽ. & quod in lata hassimul inferr&. Sub¬
latiuero ꝑhim &. quareor dine disputatio ꝓgredi&ur. si abea
prius inchoandũ st medi& ateq: innumeri differentia non in
ꝓportionis speculationeuersat᷑.¬
Arithm&icam medi &atẽ uocamus. quotiens ueltribus uel
quot lib& t̃minis positis equalis atq: eadem differentia in tom̃ s
dis positos terminos inuenitur inquaneg lecta ꝓportionis equali¬
tate terminorũ tantum differentiarũ ques peculatiocus toditur

Expanded text:
tis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in tis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem, et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versatArithmeticam medietatem vocamus, quoties vel tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum differentiarumque speculatio custoditur,
Abbreviated transcription (Latin):
dosuiptione pritagoricũ denarium manifestũ ÷ inueniri quan¬
doquidem & plato studiosissimus prtagorce secundẽ cindetsou¬
tationem diuidit & architas phrtagor icus. ante aristotelem lic& qui¬
busdam sitambiguum decemhaec predicam̃ta constituit. In de&iã
decem membrorũ particule indealia permulta quaeomã ꝑ sequi ñ÷¬
Etprimum quidem deea medi& ate tractabimus. quaes ecundũ
quantitatis equalitatẽ negleta ꝓportionis parilitat e constitutor ũ
terminorum habitudines seruat. In his autem quantitatibus medi& as
is tauersatur . Inq: his speculanda est. in quibus a seipsitermini dif¬
ferunt qui dauteme& differentiat̃ minorũ superius definitũ est
Hancautemesse arithm & icã medi&atem numerorũ ipsarat io decla¬
rabit. qm̃ eius ꝓportio innumeri quantitate consistit. Queigit᷑
caus a est huius modit̃minorũ habitudinem idestarithm&icam cunc¬

Expanded text:
descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandescriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem licet quibusdam sit ambiguum decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam 10 membrorum particulae, inde alia permulta quae omnia persequi noEt primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, neglecta proportionis parilitate, constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem, numerorum ipsa ratio declarabit, quoniam ejus proportio in numeri quantitate consistit. Quae igitur causa est, hujusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunc
Abbreviated transcription (Latin):
Siceni sunit quemad nodũ duo adunũ si cocto ad quatuor Etconuert
quem ad modim uonusadduo sicquatuor adocto & ꝑmutatin quen uaho¬
dim quatuor adinũ si cocto adbin arum. Secundum quantiracon edro
tantunten narius aquaternario superatur. Et quantu diounatum
cunt tanto termariũ quat᷑ narius transit. ꝑ minxtim &iam quantou
tribus innor est tantobinarius quat̃ nario uel quantoternar ius un¬
tatem superat. tantobin ariũ trans gredit᷑ quaternarius
onfessequidem & apuo antiquior es noteerant queq aphr¬
taeore uel platonis uel aristotelis scientiam ꝑuenerunt Pie
tres nedio&itessunt Aridim&ica gcom&tica armonicepost
ꝓpontionalitatibus denari equantitatis corpus efficerent. Setundĩ
queminumerũ : & priores quinq habitudines comparationesqi dis¬
er ipte sunt ubi quinq maiorib: ꝓportionibus quo suo cauimus du¬
ces minores aptauimus alios terminos quos comites diximus:
ndeciam inaristotelica. atq arhitȩ prius decem p̃dicam̃toꝵ

Expanded text:
sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, si octo ad quatuor, et conversim, quemadmodum unus ad duo, sic quatuor ad octo. Et permutatim, quemadmodum quatuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternariusonfessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post proportionalitatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum
Abbreviated transcription (Latin):
tuor & est ꝓporcionalitas ut dictum est collectio proportionũ inu¬
numq redactio fit &iam & in longioribus . Namsiquatuor illis. octo
uelis adiungere & his xvi. & his xxxii. & deinceps duplos qui secunt᷑
fit inomnibus dupla ꝓportionalitas & ꝓportionibus duplis. Igitur
quotiens unus atq: idemt̃ minus it aduobus circũ s&erminis com¬
municat ut adimũ dux̃ ad alium comes. Haecꝓ porcionalitas
continua uocatur utunus duoquatuor. estenim ȩ qualitas in his ꝓpor¬
tionibus & quemadmodũ sunt iiii. ad duo sic sunt duo ad inũ. &
rursus quem ad modũ sunt unũ ad .ii. sic .ii. ad iii. & secundũ
quantitatem quoq numeri eodem modo est. Quantum enĩ tres su¬
perant bin arium tantiobinarius anitatẽ & quanto uoius a diob
minorest tantum binarius aternario superatur Sinuera alius
uodirũr as cutur terdumuscalius uero ad aliũ neces seesthabitadincm uis

Expanded text:
tuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in utuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum sunt 4 ad 2, sic sunt duo ad unum. Et rursus, quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quatuor. Et secundum quantitatem quoque numeri, eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est
Abbreviated transcription (Latin):
portionalitas duarũ ueltrium uel qualib& proportionum ad sumptio
adimumatq: collatio. ut autem communiter definiamus ꝓportionalitas:
duarumnuel plurium ꝓportionũ similis habitudo &iam sinon eisdem
quantitatibus & differentis constitutesint. Differentia uero est
iternumeros quantitas. proportio ÷ duorũ terminatorũ ad sem
uicem quodam habitudo & quasi quodam modo continentia quorum quo¬
dammodo continentia quorum compositio quodefficit ꝓportio nalcest
&iunttis enim ꝓ portionibus ꝓportionalitas fit. Intribus autẽ term¬
nis. minima ꝓportionalitas est inuenitur. fit&iamin pluribus sedlon¬
gior utbinarius adinũ qm̃ duosunt termini. duplã obtin& ꝓportio¬
nem. sinuero quatuor contraduo compares. & hicquoq dupla ꝓpor¬
tio est quos tresterminos si continuo consideres & duabus ꝓportionib:
fit ꝓporcionalitas estenĩ ꝓportionalitas unum ad duo & duo ad qua¬

Expanded text:
roportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio roportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad qua
Abbreviated transcription (Latin):
equalem participant multipli cationem in mutabili s ubstantiae cius deq
nature suntiotii non aliorum quam in pariũ coaceruatione ꝓducuntꝰ
num quam uero parium namsiom̃s ab unitate impares disponantur
& quinarius. secundinefficiunt crbum quiestoctonarius. Iuncti
autemtres qui secuntur. septenarius noue nariusq: & xi crbunfa¬
ciunt quixxvii . numero contin&ur quiestternarius & sequentes qua¬
tuor quartum & qui secuntur quinq: quintũ & ad eundem modũ quo
tus quisq: crbus efficiuntur . tota coniuntione in pares apponunt᷑
hocautem diligentius subieta descriptio doc&
XLDEPRO PORTIO NALITATIBUS
dehis quidem sufficient̃ dictũ ÷ nuncresaom on& quedam
depportionibus disputantes q̃ nobis uelad musicas speculati¬
ones uel ada stronomicas subtilitates uel ao geom &ricȩ considera¬
tonis uim uel&iam adu&erũ lectionũ intellegentiã ꝓ dessepossint
A rith m&ica introductione commodissime terminare: Estigitur ꝓ¬

Expanded text:
em participant immutabilis substantiae, ejusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam imparium coacervatione produntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate impares disponantur, et quinarius, secundum efficiunt cubum, qui est octonarius. Juncti autem 3 qui sequuntur, septenarius novenariusque et 11 cubum faciunt, qui 27 numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quatuor, quatus quisque cubus efficitur, tot conjunctione impares apponuntur. Hoc autem diligentius subjecta descriptio docet: CAPUT XL. De proportionalitatibus. Et de his quidem sufficienter dictum est. Nunc res admonet, quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur p
Abbreviated transcription (Latin):
dũ est sit& ragonus t& ragonũ multiplic& sine dubiot & ragonus
ꝓuenit Sinuero parte altera longior t& ragonummulti plic& uelte¬
tagonus parte altera longiorẽ. Num quamt& ragonus semꝑ parte
alteralongior crescit Rursus si crbus crbũ muntiplicauarit :
erbi forma conficit᷑. Si uero parte altera longior cybũ uelerbus
parte altera longior emnumquã crbus procreabit᷑. Hoc scilic&

Expanded text:
dum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus dum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, sed semper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, h
Abbreviated transcription (Latin):
tantum inter eos eadem ꝓportione medi& ates constitui quȩ unt .xii.
sesqualtera tantum ꝓportione iungunt᷑ in his quoq: eadẽ laterumra¬
tioest. Nam que aimo crbo qui propinquior est unamedi&as duo
later a colligit & alt̃natim uero posito unuminali qq̃ medi&ate idẽ÷
Ponantur enim duo crbi & in medio eorũ duȩmedi&ates quas superius
diximus .uIII .xII. XUIII.xxiii. Octonariugitur latus est bina¬
rius bis embibinis octonariũ referunt t̃narius uero XXVII.
crbilatus est. Terenimtres ter .xxvii. restituunt. Medi& a sigitur
que iuxtaoctonarium ÷ id ÷ xii. mutuatur duo latera & ꝓpinquo
sibioctonario & aliut unum latus & altrinsecus posito xXVIi. cybo
biseumbinit̃ Xii. pandunt & x. &uiii eadem ratione dulatera aꝓquqn¬
quo sibi xxuii. cybocolligit & inũ ab altr in secus posito octonario
Treseninterb is .XVIiI concludunt. Hoc autem ionuer salit̃ speculan¬

Expanded text:
tantum inter hos eadem proportione medietates constitui queunt, 12 tantum inter hos eadem proportione medietates constitui queunt, 12 sesquialtera tantum proportione junguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque ex uno cubo qui propinquior est, una medietas duo latera colligit; ex alternatim vero posito, unum. In alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cubi, et in medio eorum duae medietates quas superius diximus, 8, 12, 18, 27, octonarii igitur latus est binarius, bis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculan
Abbreviated transcription (Latin):
undeformes olide triaint̃ ualladicunt᷑ habere. Estenimunũ int̃¬
uallũ. a primo ad secundũ. & asecundo adt̃tiũ. &at̾tio ad niͣ.¬
quescilic& est postrema distantia. Recteigit᷑ & planȩ figurȩ duob
interuallis & solide tribus contineridicunt᷑. Sintenm duot&ra¬
goni IIII. scilic& & uiii. Horumigitur unus tantum me¬
dius in eadem ꝑ portione constitui. potest nã que senarius
ad iiii. ses qualt̃ est & nouen adsenarium eodẽmodo sesqualt̃
Hocautemid circo euenit quods ingula s̃ latera singulorumt& ragonoꝵ
s ficiunt senariã medi &atẽ. Nam quãt̃ narit & ragoni latus binarius ÷
nouenarii. ternarius. Huergomulti plicati senarium ꝑfecerunt
bisenimtr es : sen arius est & quoties cumq: datis duobust& ragonis eorũ
medi& atibus uoliomus inuenire. latera eorũ multiplicanda sunt & qui
&x his pcr eabit᷑ medi& as est. Sictutem crbi sunt ut .uiii. &xxvii. duȩ

Expanded text:
Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum inteUnde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum, et a secundo ad tertium, et a tertio ad scilicet postrema distantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabuntur, medietas est. Si autem cubi sint, ut 8 et 27, duae
Abbreviated transcription (Latin):
d queideo arithmn & ica quidem reipublice comparatur que paucisre¬
gitur. iocirco quod inminor ibus eius terminis maior ꝓportiofit
Musi camuer o medi&atẽ obtimatium dicanteẽ rempublicam. Ideo qđ
in maior ibus terminis maior ꝓportionalitas inuenit᷑ geom &rica
medi&as popularis quo dam modo & exea quaciuitatis est. Nãq ł¬
inmaior ibus uł inminor ibus. ȩ qualiommꝰ um ꝓporciona litate cõ¬
osthec igitur temptus est ut & pedia mus nunc quid damnimis utile
in platonica quadam disputatione que inty mei cosmopo eia haud
facilicuiquam uel pen& rabili ratione uersatur. Om̃s enimplane figurȩ
quȩ nulla altitudine crescunt. una tantũ medi&ate geom &rica conti¬
nuantur. Alia que iungat non potestinuenir i. undeduotantũ in his
in t̃ ualla sunt constituta. A primoscilic& admedium. & amedio adt̃ti¬
um si uero fuer int cybi duastantum habebunt medi&ates ubi tertia
inuenir in on poterit. secundum geom &ricã scilic& ꝓportionem

Expanded text:
que ideo arithmetica quidem ei reipublicae comparatur quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus ejus terminis major proportio sit. Musicam vero medietatem optimatum dicunt esse rempublicam, ideo quod in majoribus terminis major proportionalitas invenitur. Geometrica mediin minoribus vel in majoribus aequali omnium proportionalitate comPost haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quadam disputatione, quae in Timaei cosmopeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde duo tantum in his intervalla sunt constituta, a primo scilicet ad medium, et a medio ad tertium. Si vero fuerint cubi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet proportionem.