comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ACTEN US de imparibus mi
secunda dimsio. Alii enim sunt eorũ suꝑflui: alii
cliuinuti. scdm uirasq habitudines inequalitatis. Dumis
quippe inequalitas. aut in maiorib aut ĩ minoribus c̃sid̾at᷑.
Illi enim inmod̾ata qͦdam mͦ plenitudine pͥi corꝑis modum
partium suarum num̾ositate p̃cedunt. Inos autem uelut pau¬
ꝑrate inopes. opp̃ssosq qͣdam nat᷑e sue mopia minor quam
ipsi sunt pairium sũma cõponit. atq illi qͥd̃ quoꝵ partes ułtͣ
quam satis est sese porrexint suꝑflui nominant᷑. ut sunt xii.¬
ł. xxiiii. hi enin suis cõpamti parcibus: maiorem partiũ sũ¬
mã toto corpore sortiunt᷑. Est enim duodenarii medietas .ui.
Pars t̃cia. iiii. pars quarta . iii. pars serta :.ii. pars.xii.i.¬

Expanded text:
Ac de imparibus numsecunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus consideratur. Illi enim immoderata quodammodo plenitudine, proprii corporis modum, partium suarum numerositate praecedunt. Illos autem veluti paupertate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt, superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur. pars tertia IIII, pars quarta III, pars sexta II, pars duod
Abbreviated transcription (Latin):
Quos si decho notenario: reliqui sunt .uni. Quos si duo
rursus septenario dempserim: suꝑsunt .u. atq ex his alios
duos: iii. rarsus eruberabunt. Quos alios binario dimi¬
nutos sola uintas suꝑstes eg̃dit᷑. Rursus si ex duobus um̃
auferam: ĩ uno t̾̃miiis detinctionis herebit. Quẽ dnoꝵ¬

Expanded text:
Quos si detraho novenario, et relicti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detractionis haerebit, quem d
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ uitii. ꝑfestos enim nu̾os rarent̃ inuenies. eosq
facile num̾abiles qͥppe qͥ pauci ft̃. ⁊ minis c̃stãti
ordine ꝓc̾ati. At uͦ suꝑfluos ac diinutos longe
multos infinitos q reꝑꝑies. nec ullis ordinibus passimꝰ ⁊¬
ordinate q dispositos. ⁊ a nullo fine cͥco gn̾̃atos. St̃
autẽ ꝑfecti nu̾i intͣ denariũ num .Si. Intra centenari¬
um. x.xuiii. Intͣ inillenarium: cccc xeui. Int̾ .x.¬

Expanded text:
es, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium VI, intra centenarium XXVIII, intra millenarium CCCCXCVI. De
Abbreviated transcription (Latin):
Tad eundẽ modũ cuncte a cet̾is multi atigulis pro¬
fecte forme in altious summe spatia pducunt᷑. Omĩs
it iuultorum angulorum forma ex sui gnis fig̾a uni¬
tare suꝑposita ab uno ingͥdientib ad piramidũ ẽstituen¬
das figͥas usq in infinitum ꝓgͥdit᷑. Et ex hoc equidꝰ appa¬
reix neceẽ ⁊ tͥangulas formas cet̾arũ fig̾arũ. eẽ. pͥncipium.
ꝓ om̃is piramis a qͣcunq basi ꝓfecta. ł q̃drato. ł a pen¬
tagono. ł ab eragono. ł ab eptagono. ł a qͦcq sinnlium

Expanded text:
ad eumdem modum cunctae a caeteris multiangulis profectae formae, in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma, ex sui generis figura unitati superposita, ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono
Abbreviated transcription (Latin):
qͥ scł eorum nat᷑am descͥptionemq ꝑficiunt. In tetͣgono
łbus. n ĩ exagono .iiii. ⁊ in eptagono .u. huiusq rei
nullus ÷ modus. ħ autẽ nos subiectarum formarũ
descͥptiones docebunt.
ꝗ̃ pluribus anguł c̃tinent᷑. qͣntitates ascb̾e. S qm̃
nu̾ositas. in sub̾teriore descriptione ponatur.
tmus. Om̃s a terͣgoni qui sub tͥangulis sunt: naͤ¬
fali ordine dispositi ex suꝑiorib tͥangulis ꝓc̾ant᷑. illoꝵ¬
q collectione qͣdinti figͥa cõponit᷑. Quat̾narius it tecͣgo¬
nus fit ex uno ⁊ tͥbus .i. ex duob suꝑioribus tͥangalis.

Expanded text:
 eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono3, et in hexagono 4, et in heptagono 5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formarum descriptiones docebunt. quae pluribus angulis continentur, quantitates ascribere. Sed numerositas in subteriore descriptione ponatur. emus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus
Abbreviated transcription (Latin):
nem ad eund̾ moduni intuentẽ nulla cunctatio c̃trane¬
tutis ĩpediet. At uͦ si eragonos librnta eramiin̾one ꝑ¬
spicias. ex eisdẽ tͥangulis ⁊ suꝑ se positis pentugonis pro¬
creant᷑. Namq xi. eragonus ex qͥnario pentagono &¬
⁊ uno qͥ ⁊ in ordine tͥangulorum dispositus nascit᷑. Heo
alia ÷ origo qͥndenarii eragoni. nͥ er duo denario penta¬
gono. ⁊ t̾nario tͥangulo. Qđ si .xxuiii. rursũ eragonũ
ex qͥb suꝑioribus nascat᷑ addiscas. nullos inuenies nisi

Expanded text:
nem ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas,
Abbreviated transcription (Latin):
si unitatẽ pͥmã ex hac dispositione p̃sunã: erit mͥ potesta¬
te & ui piramis ipsa unitus. ñdũ ñ oꝑe atq actu. aq si
huic tetͣgonũ suꝑponã .i. iiii: nascetur pirtimis .u. u̾oꝵ.¬
q̃ duob tm̃ niu̾s ꝑ lat̾a positis c̃tinet᷑. Sin uͦ his sequenteo:
latͥa tͥb unitatib c̃cludat᷑. Atq huic si seqñtẽ tȩc̾goniiꝰ. aoi.
supponã. tͥgenaria mͥ pirimidis forma pducit᷑. ¶In his qͦ oib¬

Expanded text:
si unitatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est 4, nascetur pyramis quinqlatera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, t
Abbreviated transcription (Latin):
gatus. Nam si tecͣgona faerit basis quadrata diniiu¬
initione semꝑ ascendit. ⁊ si pentagona basis similit̃. & si
eragona. qͦ illa ultima suꝑsicies erit eragona. Ergo in
curta piramide tot erit angulortim suꝑficies. qͦt fuerit
basis. Si uͦ illa piramis ñ solũ ad unitatẽ excremitatẽ¬
eiusd̃ gn̾is cuius fuecit basis: bis carta uocabit᷑. Ut si ad
xUI. tetͣgono ꝓficiscens usq in nouenariũ t̾minũ ponat.
neq ercrescat ad .iiii. & qͦtc̃q tecͣgoni deficiunt: totiens
eam. eẽ. curcam dicemꝰ. Ut si unitas defuerit pͥmꝰ qͣdratus:
duobus tecͣgonis deficit .i. unitate. ⁊ eo qͥ seqͥt᷑ uocabit᷑
biscurta. ꝗͣ g̾ci dicoloison appellant. Qdđ si tͥb tecͣgonis

Expanded text:
gatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemejus generis cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primus quadratus, duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragon
Abbreviated transcription (Latin):
lineȩ dirigant᷑. erit piramis
tetͣgono in basi posito suꝑ ꝗͣ
pentagono surgant qͥnq li
mis residet: tot ipsa ꝑ lat̾a tͥangłis continetur. ut ex
subiectis descͥptionib palam estꝰ.
des ħ mͦ. pͥmapiramiᷤᷤ de tͥangło. scda piramuᷤꝰ de
tetͣgono. t cia piramiᷤᷤ de pentagono. Quarta pira¬
mis de eragono. Qnta piramiᷤᷤ de eptagono. Id̾q ĩ cetiᷤ
c̃stat nuis. Hã qm̃ lineares nuos. eẽ. diximꝰ.: qui ab uno

Expanded text:
lineae dirigantur, erit pyramis tetragono in basi posito, super pentagono surgant quinque lmis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam est. des hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus qui ab uno
Abbreviated transcription (Latin):
Tuͦ onĩs si ad latitudinẽ fuerint cõꝑati¬
id ÷ tͥanguli tetͣgonis. ł tetͣgoni pentago¬
nis. ł pentagoni eragonis. ⁊ hi rursus
eptagonis. sine aliqͣ dubitͥone tͥangłis sese suꝑabunt.
Namq si tnarium tͥangulũ q̃tnario ł qͣt̾nariũ tetͣgo¬
num qͥnario ł qͥnariũ pentagonũ. senario eragono uł

Expanded text:
 omnes si ad latitudinem fuerint comparatiid est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonu
Abbreviated transcription (Latin):
singło recte linee stĩrce̾ ponãt᷑. hȩ q tres inclinent᷑ ut ad¬
unũ mnedium punctum u̾tices ungant. fit pininiᷤᷤ q̃ cum a
tͥangła basi pfecta sit: tͥb angulis ꝑ lata c̃cludit᷑ ħmͦ. Sit¬

Expanded text:
singulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut adsingulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut adunum medium punctum vertices jungant, fit pyramis. Quae cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur
Abbreviated transcription (Latin):
XIIII. si cõponas t̾cio se tͥangło uincent .i. senario. Atq h
angulis an̾cedent. Quare ꝑfecte ut arbitror demonstratũ
nim qͥd in planis nu̾orum figis uis ipsa qͣntitatiꝰ
naturalit̾ oꝑet᷑: ad solidos nuos ñ erit ulla cuncta¬
tio. Sic̃ enim longitudini numerorum aliud int̾¬
uallum .i. suꝑficiem ut latiaido ostend̾et᷑ adiecimus: tta
nunc latitidini si quis addat eã q̃ alias altitudo. alias
cssitudo. alias ꝓfunditas apellat᷑: solidũ nu̾i corpꝰ explebit.
T DE T U Rautẽ quẽ ad modũ in planis figis
tͥangłus nus priuuᷤ ÷: sic ĩ solidiᷤᷤ qͥ uocat᷑ pinimis
ꝓfunditatis. eẽ. pͥncipiũ. Oĩum qͥppe ratarum ĩ nuuᷤᷤ
figͥarũ necẽẽ ÷ inuenire pͥmordia. Est autẽ piramiᷤᷤ
alias a bͥangula basi in altitudinem se se erigens: alias
a tetͣgona. alias a pentagona: n scd̾m seqñtiũ multitu¬
dines angulorũ: ad unum cacuminis u̾ticem subleua¬
ta. Posito enim tͥangło atq descͥpto: si ꝑtres angulos

Expanded text:
 si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit.figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque disposito, si per tres angulos
Abbreviated transcription (Latin):
est unitates hãt in lat̾e cub. qͦuot hũit pͥmꝰ ille tetͣgonuᷤᷤ
ex qͦ ipse ꝓdustus ÷. Nam qm̃ .iiii. tetͣgonus duos tm̃
xUII. cubi latus urget᷑. Et qm̃ tetgonus .xui.iiii. unitatũ
autẽ cubus qui ex tetͣgonorum suꝑsicie in ꝓfunditatẽ corporiᷤᷤ
excreu̾it. ꝑ tetͣgoni .s. latus multiplicatus: habebit qͥd suꝑ-¬
ficies.Si. Quarũ singła planitudo tetͣgono illi pͥori eqͣlis ÷.
lat̾ͥa uͦ .xii. quorum unumquodq singulis his q̃ suꝑioris
fuere tetͣgoni equum est. ⁊ ut suꝑuis demonstrauius tot
unitatum ÷. Angulos uͦ .uiii. quorũ singłs sub tͥbus suꝑ¬
ficieb eiusmoĩ c̃tinetur. qͣles pͥores fuere tetͣgoni: a quib
cub ipse ꝓductus ÷. Ergo ex nat᷑alit̾ ꝓfuso nu̾o qͥ ĩ sub¬
iecta forma descͥpti st̃: subiecti tetͣgoni nascunt᷑. &. er
his tetͣgonis qui subnotati st̃: cubi ꝓuehuntur.

Expanded text:
abeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus ex quo ipse productus est. Nam quoniam 4 tetragonus duos tant27 cubi latus urgetur. Et quoniam 16 tetragonus quatuor unitatum autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est. Angulos vero 8, quorum singulus sub tribus hujusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni unde cubus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero, qui in subjecta forma descripti sunt, subjecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui subnotati sunt cubi provehuntur.
Abbreviated transcription (Latin):
xx .G. hi qm̃ solam latitudinem longitudinẽ q sorti st̃:
n altitudine carent: si ꝑ lat̾a solam unam multiplic̾o¬
nem recipiant: eq̃lem ꝓuehunt ꝓfunditatẽ. Nã. q̃tna¬
rius tecgonus duos ht̃ in lat̾e. & natꝰ ÷ ex bis duob. Bis
it duo .iiii. faciunt. Hos gͦ duos ex ipsius lat̾e si multi¬
plices: eq̃lit̃ cubi forma nascet᷑. Nã si bis binos bis faci¬
as: octonaria qͣntitas crescit. n ⁊ pͥmus h cubus . ix. uͦ
tetͣigonus. qm̃ ht̃ tres in lat̾e & factus ÷ ex tͥbus in se
multiplicatis: si ei unam lat̾is multipliconem adiun¬
xeris: rursus alius cubus eq̃bili latũ formatioe c̃crescet.
Tor enim tres si t̾cio durͥis. xxuii. cubi fig᷑a. ꝓducit᷑. &

Expanded text:
am hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetragonus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione crescit. Ter enim tres si tertio duxeris, 27 cubi figura producitur. Et
Abbreviated transcription (Latin):
numeri nat᷑a. ꝓcͥatione q ipsoᷤ nuos iungebamꝰ qͥ sese
in nat᷑ali dĩpositione seq̃rent᷑. ꝯ se tm̃ unitate tͣnsirent.
int̾misso copulabant᷑ cum se burario suꝑarent. penta¬
goni uͦ nat᷑a fuit ex duob ĩtpositis. relictisq qͥ se t̾nario
uincerent. Scd̾m qͦ talia augm̃ta. exagonorł octo¬

Expanded text:
ationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositione sequerentur, et se tantum unitate transirent; intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui se ternario vincerent. Secundum quoque talia augmenta hexagonorum, vel octo
Abbreviated transcription (Latin):
Int̾misso suꝑiort c̃uinx̾is. Nam si .iiͦii. int̾̃positis qͥ
se se qͥnario uincant aggregau̾is: eptagoni c̃tinuo
figura nascet᷑. ut hi sint eorũ radices  ut suꝑiꝰ dictũ est
fundam̃ta.
his c̃stant. hi ft̃.
anguloꝵ scđm eundem ordinẽ forma ꝓcreatur. Ita ut

Expanded text:
intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. his constant hi sunt. angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut
Abbreviated transcription (Latin):
autem hi nu̾i qui extensi in latitudinem ł lõgi¬
tudinẽ .U. angulos pandunt. ab ead̾ nat᷑alis nui qͣnti¬
tate in sese coacͥuata: ita ut cluob semꝑ int̾iectis nu̾is
suꝑiori ł suꝑioribus uincens t̃nario eum. cui iungendꝰ
: aggreget᷑. Namq unitati int̾missis duobus ⁊ tbus:
si .iiii. iungas. qͥ tͥb ipsã suꝑant unitatẽ: qͥnariꝰ penta¬
gonus ꝓcreabitur. post .iiii. uͦ si int̾inisso qͥnario ⁊ se¬
nario .uII. aggreges: duodenariũ pentagonũ ꝓc̾abis.
ni fient. scd suꝑiorem descriptioneni.
RAGONI De eragonis eorumq gene

Expanded text:
autem hi numeri qui extensi in latitudinem, quinque angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in sese coacervata, ita ut duobus semper interjectis numeris superiori vel superioribus, vincens ternario eum cui jungendus est aggregetur. Namque unitati, intermissis duobus et tribus, si quatuor jungas, qui tribus ipsam superent unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. Post 4 vero si, intermisso quinario et senario, 7 aggreges, duodenarium pentagonum procreabis. ni fient, secundum superiorem descriptionem. CAPUT XV. De hexagonis eorumque gene
Abbreviated transcription (Latin):
occurrert. & pͦ hos tetͣgoni int̾misso uno. pentagoni
uͦ duob. eragoni tͥb. eptagoni relidis .iiii. nascebant᷑.
Hc̃ uͦ ad solidorũ corporũ ꝓo̾ationẽ ipse nob̃ suꝑficies na¬
turalit̾ figate ꝓuenient. & ad faciendas qͥdeo pirami¬
cdas a tͥangło ipsi nob tͥangłi cõponendi st̃. ad ꝓc̾audaᷤ uͦ¬

Expanded text:
occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi s
Abbreviated transcription (Latin):
Hi cͦ si iuncti sunt: faciunt .x. qͦrum qͥnariꝰ rursũ me
diecas ÷. ħ iacm in omnibus nu̾is euenit. usq dũ ad uni¬
tatis t̾minũ ñ ꝑueniri q̃at. Sola aut̃ unitas cͥcũ se duoᷤ
t᷑minos ñ ht̃. atq iõ eius qͥ ÷ prope se solius mediecaᷤ ÷.
Nam iuxta unum solus ÷ binariꝰ nat᷑alit̃ constitutꝰ. cuiꝰ
unitas media pars ÷. Quare constat pͥmã. eẽ. unitatẽ cun
plixe genitͥcẽ płalitatis agnosci.
RIs autẽ num̾i sp̾es ft̃ tres. Est enĩ una q̃
t̃ parit̾ par. Alia uͦ parit̃ impar. t̾cta: ĩparit̃
par. n contͣria ꝙ: locum q obtinentia sũmitatũ
uident᷑. ẽẽ. parit̃ par: et parit̾ impar. medietaᷤᷤ
autẽ quedam q̃ utrorumq participat: numerus :¬
ꝗͥ nocat᷑ imparit̃ par.
partisq pals ialia duo par¬
fiat: usq dum diuisio partiũ ad indiuisibilem
dietatẽ. xxxii. hic aut̃ mediecatem .xui. hic aũ.uiii.¬

Expanded text:
Hi ergo si juncti sunt faciunt 10, quorum quinarius rursus Hi ergo si juncti sunt faciunt 10, quorum quinarius rursus nitatis terminum perveniri queat. Sola enim unitas circum se duos terminos non habet, atque ideo ejus, qui est prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunprolixae, genitricem pluralitatis agnosci.. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus qui vocatur impariter par.partisque pars in alia duo parfiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem dietatem 32, hic autem medietatem 16, hic
Abbreviated transcription (Latin):
tins sp̾es diffinienda fc̃: dicet᷑ ĩparẽ num ẽẽ qui
unitate differt a pari. ł inc̾mͣto ł diminutione.
Item par nu̾s ÷ qͥ unitate differt ab ĩpari ł ĩcrem̃to ł
dĩminutione. Si enim pari unũ dẽpseris ł unũ adie¬
ceris impar efficit᷑. ł si impariidem fec̾is: par conti¬
nuo procreabitur.
qͥ medio iungunt᷑. si componantur. ⁊ iã ipsoꝵ
supͣdictus num̾us media portio ÷. ⁊ r᷑sus illoꝵ
qui sunt suꝑ scdo loco iunctos. cũ ipsi qͦ sint cõpositi:
Prior is nu̾s medietatis loco est. & ħ erit usq dum occur¬
rens unitas t̃minũ fec̾it. ut si ponat qͥs quinarium num.
altͥnsecus cͥca ipsum sunt suꝑ .iiii. inferuis .ui. higͦ si
uncti sunt: faciunt .M. quoruns .u. nu̾s medietas est.
Qui autẽ cͥca ipsos .i. cͥca .ui. &.iiͦii. sunt .iii. scilicet⁊ .uii.¬
.i. si sint uncti: x. sunc. eorũ qͥnariꝰ nu̾s medietas est. Lur¬
dupli sunt. Nam suꝑ .iii. sunt .ii. sub . Uii. sunt .uiii.

Expanded text:
tras species diffinienda sunt, dicetur imparem numerum esse, qui unitate differt a pari, vel incremento, vel diminutione. Item par numerus est, qui unitate differt ab impari, vel incremento, vel diminutione. Si enim pari unum dempseris vel unum adjeceris, et impar efficitur, vel si impari idem feceris, par continuo procreatur.qui medio junguntur, si componantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est, et rursus illorum qui sunt super secundo loco junctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt, supra 4, inferius 6. Hi ergo si juncti sunt, faciunt 10, quorum 5 numerus medietas est. Qui autem cidem si juncti sunt, eorum quinarius numerus medietas est. Rurdupli sunt. Nam super 3 sunt 2, super 7 sunt 8.
Abbreviated transcription (Latin):
mediecates. utreq extremitates iuncte utsq medieta¬
tibus: equales fiunt ut .xii. xxxui. cũ iunxeris finĩ¬
xluiii. horum si medietates sͥmet applicau̾is: i.xx. &
axUIII. id̾ erit atq ĩ alia parte latitudinis eodẽ or¬
dine qui fiant num̾i notati suit. Heq ulla in re ratio
uiu sit: ĩ quo hanc propͥetatẽ. eẽ. iã sup̃dictũ est.
Us U S si ad longitudinẽ respicias uͥ duo t̃mi¬
ni unam medietatem hñt. qđ fit ex multiplica¬
tis extremitatibus: ħ fit si mediꝰ t̃mitus sue ca¬
piat plumlitatis augm̃ta. Nam duodecies. al¬
medius t̃minus id. xlUiii. si in semetipsum ducat᷑: id⁊¬
qđ fit multiplicatis extremitatibus: ħ id reddit᷑ ĩ altutͣ
suminã medietatibus ductis. Duodecies. it & cui. multi

Expanded text:
ent, utraeque extremitates junctae, utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 cum junxeris fi48, horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit, atque in alia parte latitudinis, eodem ordine qui fiant numeri, notati sunt. Neque ulla in re ratio numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra jam scriptum est. Rursum si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiat pluralitatis augmenta. Nam duodecies medius terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idquod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus d
Abbreviated transcription (Latin):
impar. quod ĩ nuo parit̾ impari solã dionẽ recipit
maior ertremitas. ĩ illa uͦ sol minor t̾minus solutus ⁊
tremitatibus incipienti. ⁊ usq ad media ꝓgͥdieite
qd continet sub extremis t̃minis id̾ est illi qđ ẽcine¬
tdi sub int̾ se posttis simiminlis. atq ħ id usꝗdũ ad
paribus Si aut̃ fuerint impares dispones qd ab uns
medietate conficit᷑ : ħ id̾ sũb altnsecꝰ posits parcibus ꝑ¬

Expanded text:
impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus setremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad s scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus
Abbreviated transcription (Latin):
tas serta pars ꝗ̃ par ÷ denoĩ̾atio: tres sunt. s t̾narius ĩ¬
par est. n nona pars ꝙ impar ÷ uocabulum:.ii. qͥ par nu¬
menis ÷. Atq id̾ ĩ aliis cunctis qui sunt parit̃ ĩ pares ĩue¬
nit᷑. neq unquam sieri pot᷑. ut cuinslibet partis sit eiꝰ¬
dem gen̾is nom̃ ⁊ nu̾s. Fit aut̃ hoꝵ procatio nuorũ si
ab uno disponant᷑: quicunq duobus differunt .i. om̃ibus
imparibus nat᷑ali seq̃ntia atq ordine constitutis. Hãq

Expanded text:
rius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque idem in aliis cunctis qui sunt pariter impares invenitur. Neque unquam fieri potest, ut cujuslibet partis, sit ejusdem generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Na
Abbreviated transcription (Latin):
coacͥuate.: seq̃nti minus uno semꝑ equent᷑. Si eni unum
iungas. his qͥ secunt᷑ duobus fuint. ini .i. qͥ uno miniis q̃t¬
nario cadant. & si suꝑioribus addas quattuor: sunt .uii.
qͥ ab octonario nuo sequente. sola unitate uincuntur. S
si eosd̾.uiii. sup̃dictis uinx̾is: xu. siunt. Qui par .xui.
num̾i exist̾e̾t quantitati. ni minor unitas impedirec. N aũ
q̃ pͥma est: duob subseqntibus sola ÷ unitate contradtior.
Unde nicħ mirum ÷ totum summȩ c̾mentũ pͥo consentire
pͥncipio. ħ̃ autẽ nob̾ consid̾atio maxime piod̾it ĩ his niuᷤ
cognoscend̾ quos suꝑfluos ł imminutos ꝑfectosq mori¬
stmbimus. In illis enim num̾is: coac̾uata quantitas par¬

Expanded text:
. Si enim unum jungas his qui sequuntur duobus, fiunt 3, id est, qui uno minus quaternario cadunt. Et si superioribus addas 4, sunt 7, qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem 8 supradictis adjunxeris, 15 fient, qui par 16 numeri existeret quantitati, nisi minor unitas impediret. Hoc auquae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior. Unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit, in his numeris cognoscendis quos superfluos vel imminutos imperfectosque monstrabimus. Illic enim
Abbreviated transcription (Latin):
autem impar nuu̾ius est. qͥ & ipse quid̃ paritatis
nat᷑am sub̃amq sortitꝰ est. S in cͣcͣria dione: na¬
t̾e nu̾i parit̃ paris opponit᷑. Docebit᷑ namiq quã
longe hic dissimili rone diuidat᷑. Nã qm̃ par est: in
parces equales recip̃ sectionẽ. Partes uͦ eiꝰ max ĩdiuisibi¬
III.XXII.  his simules. mox enim hos nut̾os si ĩ gemina
fueris dione partitꝰ: incurres iͣmpareni quẽ secare ñ poᷤsiᷤ.
Accidit aut̃ his qđ om̃s parces c̃trarie denoitas hñt: ꝗͣ
sunt quantitates ipsarum partrum q̃ denõiant᷑. neq u̾ꝗͣ
fien pot̃. ut q̃libet pars h nu̾i: eiꝰdẽ gn̾is denominonẽ
quantitatẽ q suscipiat. Semꝑ enun si denoĩatio fu̾it

Expanded text:
st qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibi 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit
Abbreviated transcription (Latin):
sub̾am nat᷑am q in ipsa propͥa gu̾atione designet᷑ ex pa¬
nt̃ paribus & pant̾ imparibus proc̾ati. parit̃ enĩ ĩ pares
cuncti dudũ ordinati positis impanbus nascebant᷑. parit̃
uͦ impares. ex dupplici prog̃ssione. Disponant᷑ gͥ om̃s ĩ or¬
dinem natalit̾ in pares a tͥbus. n sub his a quattior ĩcho¬
US gͥ ita dispositis si pͥmus pͥmi multiplicone¬

Expanded text:
 etiam propria generatione designent, ex pariter paribus et pariter imparibus procreati. Pariter enim impares, cunctis dudum ordinatim positis imparibus, nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturaliter impares, et sub his a quatuor inchour ita positis, si p
Abbreviated transcription (Latin):
lunitẽ faciant. quas dubiũ ñ est. eadẽ responsione gau¬
de. Est u oĩs sũma semel .c.xxuiii. unꝰ uͭ centesimus.
uicesimꝰ octauꝰ. Si autẽ ĩpares num̾os ponamus. id̾ sũmaᷤ.
id̾ it t̃minos ꝙ sũmas nomino: scdm imparis uat᷑am pot̾
una mediecas ĩieniti. atq una sͥ ipsa est responsum. Si
sola medietas .i. uiii.qͥ. uiii. summe totiꝰ pars ⁊ octaua.
⁊eͥ ipsi ad denomin̾onem qͣntitatẽq conu̾tit᷑. Eodẽ q
mͦ sicut suꝑuis cͥca ipsum qͥ st̃ t̃mini: donãt sͥ mutua
noĩa scd̃ ꝓͥas qͣntitates. uocabulũ q ꝑmutãt. Hã .iiͦii. sex

Expanded text:
limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, nomino, secundum imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa est responsura. Si sola medietas, id est 8. Qui 8 summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo, sicut superius, circa ipsum qui sunt termini, donant sibi mutua n
Abbreviated transcription (Latin):
tremis conficit᷑. ł qđ una medietate nascit᷑: equale :¬
ei qđ sub extremitatibus utͥsq continet᷑. Descͥptio
autẽ quȩ̨ supposita est ħ mͦ facta est: quautoscunq
in ordine parit̃ impariũ nuorum t̾narius numenis¬
nouluplicauit. quicumq ex eo procixati sunt: pruo
u̾su sunt dispositi. Rursus qui eosdẽ multiplicaute
quinario: nati sunt. sodo loco constituti sunt. Post
uͦ qͦs septenariꝰ cec̾os multiplicandos proc̾auit: eosdẽ
t̃cio conscripsimus loco: atq id̾ reliqua descͥptionis par¬
te ꝑfecimus.

Expanded text:
tremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale tremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale extremitatibus continetur. Descriptio autem quae supposita est, hoc modo facta est. Quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi. Rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco constituti sunt. Post vero quos septenarius caeteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem reliqua descriptionis parte perfecimus.
Abbreviated transcription (Latin):
enibtaplicatio proferat᷑. ł si t̃eiꝰ a pͥmo nichoans: usq in
extirinũ tͣiiseat. atq ita qͣitꝰ. & om̃s ĩ ordinẽ suꝑiores
multiplicent. eos qͥ sub ipsis ĩ dispone st̃.: om̃s ĩpartõ
pares ꝓdabunt᷑. ħ aitẽ rei tale sumamus erẽplii
dres quater multiplices .xii. fiunt. Uł si .u. iiii.
multiplicent. ax. nu̾s excrescet. ł si id̾ .iiii. muta¬
plicent.Uii. xxuiii. succresceo. atq ħ usq ĩ fiuem.
Rursus si .uiii multiplicent .in: nascunt᷑ .xxiiii. Si ãa
Ati ad hunc modum si õs inferiores duplices a suꝑiori¬
bus multiplicent᷑. ł si suꝑiores eosd̃ inferiores multipli¬
cent. ciuictos qͥ nati fueriit imparit̾ pares inuenies.
Atii ħ ÷ ammirabilis huius nu̾i forma. Quod c̃ fuerit
ipsa disp̾o ⁊ descͥptio ꝑfectorum ꝑspecta num̾orum: ad
latitudinem parit̾ imparicim. ad longitudinẽ parit᷑
ris nu̾i rem propͥetatẽ q designat. Quod enim sub du¬
abus medictatibus continet᷑. equale ⁊ ei quod sub ex¬

Expanded text:
tius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multiplices, 12 fient; vel si 5 quatuor multiplicent, 20 numerus excrescet; vel si item 7 multiplicent 4, 28 succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si 8 multiAtque ad hunc modum si omnes inferiores duplices, in superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter imparium, ad longitudinem pariterris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub ex
Abbreviated transcription (Latin):
mecdietates sine aliqͣ dubit̾one soluunt᷑. Sunt ñ qͥdã
alii nui. qͦꝵ parces alias recipiant diuisioes. s ipsa dio
ad untiatem usq ñ ꝑuenit. Igit᷑ ĩ eo ꝙ plusꝗ unã sͦcip̃
selioneui ht̃ sunilitudinem pariter paris. s: parit̾ in¬

Expanded text:
medietates, sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam medietates, sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo quod plus quam unam suscipit sectionem,
Abbreviated transcription (Latin):
en enum dispone q̃ e par .ii. iiiiuiiixuiͦ. id reddunto
R. Utͦq enĩ mͦ. xxxxii. fient. qđ si ĩpar sit ordo enoe
II . IIII. Uii. id̾ faciunt extremi qd medietas. Bis emior
medio t̃minus ccũ se positorũ ̃minorũ. si ĩ unũ redi¬
ganto medietas . ñ idꝰ eorũ qͦ qͥ suꝑ hos st̃ t̃minos
mecliecas ÷. atq ħ fit usq ad excremos omniũ t̾mino
cͥscunt. qͦs senariꝰ c̃ denario copulatꝰ efficiet. atq ħ ĩ
nuiosiorib t̃minis inttio sumpto a mediis euenit: us¬
q dũ ad extrema ueniat᷑.¬
E Rie R par numus est ex ut̃sq ẽfe¬
ctus. ⁊ medietatis loco gemina extremitate c̃dudteͤ.
ut qͣ ab utroq discrepet: eadem ad alt̾utrũ cognatioẽ
iingat᷑. ħ aut̃ talis est qͥ diuidit᷑ ĩ equas partes. cuiꝰq¬
I pars ĩ alias eqͣs diudi pot̃. Et aã aliqñ partes parciũ
Sdiutidunt᷑. s. ñ usq ad unitatẽ ꝓg̃diat᷑ equalis illa dis¬
S medietates diuidi. ⁊ eorũ rursus partes ĩ alias pares¬

Expanded text:
t ducti. Utroque enim modo 32 fient. Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem facient extremi quod medietas. Bis enim um redigantur medietas est. Et idem eorum quoque qui super hos sunt terminos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminocrescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatriter par numerus est ex utrisque confectus, et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut qua ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione jungatur. Hic autem talis est qui dividitur in aequas partes, cujusque pars in alias aequas dividi potest, et etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis illa disn medietates dividi, et eorum rursus partes in alias
Abbreviated transcription (Latin):
ioris sũmam c̾scente pluralitate conficient. Octies eium
cet. atq hi nũi qͥ suꝑ cosdem sunt si multiplicent᷑: id̾ fa¬
ciunt. Ham .iiii.&.xxxii. ĩ se si multiplices: supͣdictã
.x.xxii. ducti: cxxuiii. ĩniutabili necessitate ĩplebt̃. Atq
ħ tisq ad eitremos t̾minos cadit: idẽ semel. cxxuuii. se¬
inel enim excremꝰ t̃minus ÷. exxuiii. Centies iugies atq
octios unitate multiplicata: nicħ de pͥore qͣntitate mita

Expanded text:
Octies enim cit. Atque hi numeri qui super eosdem sunt, si multiplicentur idem faciunt. Nam 4 et 32 in se si multiplices, supradictam er 32 ducti, 128 immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate mult
Abbreviated transcription (Latin):
gͣssio: parit̾ pares cunctos inuenies. factiq sunt ab uno
in duplici ꝓportione. & omnes sunt parit̾ pares. Illud aũ
ñ minima consid̾atione dignum est: quod eius omis pars
ab una parce qͣcũq q̃ intͣ ipsũ nu̾m est denoĩat᷑.. tantã q
sũmã quantitatis indudit. quota pars est alt̾ numerus. pa¬
rit᷑ paris illius q̃ eum continet quantitatis. Itaq fit ut sibi
partes ipse respondeant. ut quota pars una est: tanta tan¬
tam habeat alt̾a quantitatem. & quota pars ipsa est tm̃
in pͥbre sũmina neceẽ sit multitudiuis inueniri. & pͥmũ fit
si pares fuerint dispones ut due medie partes sͥ responde¬
ant. Post uͦ q̃ suꝑ ipsa sunt sͥ inuicem conu̾tant᷑. atq ħ
idem fiat. donec ut̾q t̾minus extremitates incurrat. Po¬
natur enim parit̾ paris ordo ab uno usq ad.cxxuiii. ħ mͦ.¬

Expanded text:
rogressio, tales cunctos invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod ejus omnis pars, ab una parte quacunque quae intra ipsum numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo, ab uno usque
Abbreviated transcription (Latin):
seqñti ordine uͥ ex .ui. u xIͦ. ⁊ bis in suam summã ducto nouena¬
rio .xxui. faciunt. ex ctinenti pari senario copulant᷑ .ui. it se¬
xies. XUi. resticuunt. Hec minus ĩ eandẽ rõnem cadit er
c̃tinenti pꝰ senarium nascit᷑. Octies enim .uiii. Lx iiii. tecͣgo¬
gioribus om̃is formarũ rõ consistat.
LA D qͦ qđ ex his duobus tota omnium formarũ iundr̃
orta pło. ñ minore c̃sid̾atione notandũ ÷. Namq tͥanguli qͥ
cunctas alias formas sicut suꝑius docuimus colledti ꝓducunt.
hif iunctis uelut ex quibusdam elem̃tis oriunt᷑. Namq ex u¬
no pͥmo tec̃gono ⁊ binario pͥmo parte alt̾a longiore t̾natꝰ
tͥangulus copulat᷑. ⁊ex binario ⁊ ex qͣtnario .i. ex scdo tetͣgo¬
no senarius tͥangulꝰ pcat᷑. Ea qͣtnario qͦ ⁊ senario: demariuᷤ
tͥangulus nascit᷑. Et ad eundem ordinem cuncta tͥauguloꝵ
rõ constabit. Disponant᷑ aut̃ alt̾natim uitͣ se tec̃gomi &

Expanded text:
senario et duodecim, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari senario copulantur. Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem rationem cadet, ex tinenti post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragogioribus, omnis formarum ratio consistat. Illud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio non minore consideratione notandum est. Namque trianguli qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, collecti producunt, his junctis velut ex quibusdam elementis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono, et binario primo parte altera longiore, ternarius triangulus copulatur. Et ex binario vel quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario, denarius triangulus nascitur. Et ad eumdem ordinem, cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni et
Abbreviated transcription (Latin):
De proporgonalitaubus
T de his quid̾ sufficient dictum ÷. nunc res ãmon
q̃dã de ꝓportionib disputates q̃ nob̾ ł ad musicas spe¬
cułonos ł ad astronomicas subtilitates. ł ad geome¬
trice c̃sid̾ationis uim. ł ⁊̃ ad uetum lectionũ intelligitã
ꝓdeẽ possint. arisinethica urͦductione c̃modissime tminare.
Est gͥ ꝓportionalitas duanim ł tͥum ł qͦtlibes ꝓportioniun
assumptio. ad unum. atq colło. Ut aut̃ ħ cõmunit̃ diffi¬
niamus ꝓportionalitas ⁊ aduarum ł pluriuni ꝓportionum si¬
milis habitudo. ⁊ si ñ eisd̾ qͣntitatibus ⁊ diffu̾is c̃stitute
norum ad se inuicẽ q̃dã habitudo. ⁊ qͣsi qͦdã mͦ ẽtinentia.
quorum compo qd̾ efficit: ꝓportionale ⁊. Ex uinctis uͦ ꝓ
portionib ꝓportionalitas fit. In tͥbus aut̃ t̃muis inmuna
ꝓportionalitas. inuenit᷑. Fto ̃ in płibus. s longior. ut bi¬
narius ad unum. qm̃ sunt duo t̃mini. dupplam optinet

Expanded text:
bus. Et de his quidem sufficienter dictum est. Nunc res admonet, quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae norum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet
Abbreviated transcription (Latin):
Quemadinodum quadratus ex parte alta longio¬
ribus ł parte alta longiores ex quadratis fiuit.
MMIS uͥ tet̃gons si ei pͥum latus addatur ł
eodem nirsus demat᷑. parce alt̾a longior fit. Hanq¬
.iiii. detͣgono si quis duo uingat ł decrahat. ui. adden¬
do ꝑficiet. n duos dechendo at utͥq figͥam continet parte
continente sub̾a. descendens: aut ĩ mauis erub̾at. aut ĩ mi¬

Expanded text:
Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus, vel parte altera longiores ex quadratis fiant. Omnis vero tetragonus si ei proprium latus addatur, eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 4 tetragono si quis duo jungat, vel duo detrahat, 6 addendo perficiet et duo detrahendo, at uterque figuram continet parte continenti substantia discedens, aut in majus exuberat, aut in mi
Abbreviated transcription (Latin):
xirxii. ⁊ deinceps duplos qͥ sequunt᷑. fit ĩ oib dupla. ꝓpor¬
tionalitas ex proportionibus duplis. Igt᷑ qͦtiens unus atq
idem t̾minus ioa duobus cͥcum se t̾minis cõmuniaat uo ad
unum dur sit. ad alium comes: ħ proportionalitas c̃tuna uo¬
cat᷑. Ut unus . uͦ. iiͦii. E st enim eqͣlitas in his proportionibus
eode modo est. Quantum enim tres binarium suꝑant. tm̃ bi
um. neceẽ ÷ habitudinem disiunctũ uocari. ut ad equalitatem

Expanded text:
32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor. Est enim aequalitas in his proportionis, eeodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantuum, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad aequalitatem
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓcreat᷑. Ter enim tres nouenarium faciunt. qͥ t̾narius ĩpar
÷nus. ⁊ sequens qui ex .iiii.n ix. nbis multiplicato sena¬
rio ciunctus ÷.xxU. tecͣgonuis. ⁊ ipse ex impari qͥnario uaᷤ¬
& quarius pͦ t̾narium iupar ÷ nu̾s. ⁊ in seq̃nti qͦ eadẽ ÷
ille a septenario impari fit. ⁊ pͦ qͥnariũ c̃cinenti. Septies i
septẽ. x lix cͥant. At uͦ uͥ auo altͥnsccus parte alt̾a longiores
unũ mediũ tetgonũ claudt̃: om̃s qui ex his siunt tetͣgoni:
a parib ꝓducunt᷑. Ha qui ex. uͦib.n ui. parce altͥa longi¬
oribus . n iiiͦi. bis multiplicato .xui. tecͣgonus factus ÷. ille a¬

Expanded text:
creatur. Ter enim tres 9 faciunt, qui ternarius impar est numerus. Et sequens qui ex quatuor et 9, et bis multiplicato senario conjunctus, est 25 tetragonus, et ipse ex impari quinario naset quinarius post ternarium, iille a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 te
Abbreviated transcription (Latin):
pus esficent. E quem nũm. n pͥores .u. habitudines. c̃paratio¬
nes q descͥpte ᷤ bunt . uͥ .u. maiorib ꝓportionibus qͦs uocamus
duces. minores aptauimus alios t̃minos qͦs comites dirimus.
In ñ ĩ aristotelica atq archite pͥus. ꝓ p̃dicam̃torum descͥpti¬
q̃nꝗ ⁊ plato studiosissimis pitagore scd eandẽ dispuconẽ
duudtt. ⁊ architas pitagoricis an aristotile licet qb daor¬

Expanded text:
 priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptiidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem licet quibusda
Abbreviated transcription (Latin):
te longiores disponant᷑. ita ut alt̾natĩ s ꝑmirti suit. tanta
ii his ⁊ c̃iunctio. ut alias sͥ in eisdẽ ꝓportionibus cõmunioẽt.
distent. Disponant᷑ A in ordinem idem illi suꝑiores tecͣgomi
Roo in supiore formula ħ marime intuendũ ÷. Nãq
Ios n .iiii. dupla. hic gͦ tetͣgonus c̃ parte alt̾a longiore
id̃ duo a qͣtnario solo birario relinquunt᷑. Rursus si duo ad .iiii.
speculeris: dupla ÷ ꝓportio. Si .iiͦii. ad .ui. habitudinẽ sesqtt̾u
recognosces. Hi gͦ ĩ ꝓportionib discrepant: in dissus pares sunt.

Expanded text:
tera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, ore formula hoc maxime intuendum est. Namque ter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore,st, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differentiis pares sunt.
Abbreviated transcription (Latin):
Quintum deiñ si uideas locum. xui. ⁊ lxxxi. respicies. s
unus a qͣtnario nascit. altam nouenarius c̾at. ⁊ si nonũ
locum rursus aspicias. retͣgonos ꝑnotabis. celui. uidlai.
quorum suꝑior fit a.xui. inferior uͦ a.lxxxi. Id̾ si ĩfinitũ¬
lubitante qđ ab ĩparibus nascant᷑ .xxxix.¬

Expanded text:
Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus aspicias, tetragonos pernotabis 256, 6561, quorum superior fit a 16, inferior vero ab 81. Idem, si isubstantiae quod ab imparibus nascantur. Ip
Abbreviated transcription (Latin):
rit senarius. scł qͥ fuit ex bis tͥb. Cui si seq̃ntem aggrega¬
u̾o: nascet᷑ mͥ duodenaria forma. q̃ fit ex qͣt̾ tͥb. Ot si con¬
tinuatim quis faciat: cunctos huiꝰmoi nu̾os ĩ cõpetenti or¬
dine ꝓc̾atos uidebit. Quã descͥptionẽ scł ĩferior forma de¬
monstrat.¬

Expanded text:
rit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregarit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat
Abbreviated transcription (Latin):
Que dualttas cum in eodem ordine paritatis sit: t̃n pͥn¬
cipium ÷ ala̾itatis totius. Namq si semetipsam multi¬
plicet: ł ꝑ latitudinẽ. ł ũ ꝓfunditatẽ. ł si quẽ num̾ũ¬
quemlibet aliũ multiplicet. qͥsqͥs hinc nascit᷑ alius ꝗͣ pͥ¬
mo fuerat inuenit᷑. ¶ Hascunt᷑ autẽ er suꝑiore descͥptiõe
& ex pͥmo ordine om̃s tetͣgoni ħ mͦ. Unum enim si res¬
pereris pͥmus potestate tetͣgonus ÷. Sin uͦ unũ tͥbus coa¬
ceruau̾is. qͣtuor tetͣgonus eporit᷑. huic si qͥnarium iun¬
gam: nouem rursus occͤrit. huic si coptles .uii. sesdecĩ
quadrati forma se suggerit. Id̾q si in cet̾is facias. om̃s
competent̃ qͣdratos uideas ꝓc̾ari. At uͦ er scdõ paritatis ordi¬
ne. id̾ cuncti parce alt̾a longiores fiunt. Nãq si duos pͥmoᷤᷤ
respexo: huiusmoĩ michi nus occͣrit. qͥ fit ex b uno. Cumuͦ
duobus seqñtes .iiii. iunt̾o: parte alia longior r᷑sus eͣ¬

Expanded text:
quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum prinquae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus e