comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
fructus est siquis nonnesciat quod bonitas definita est. & subsci¬
entiam cadens animoque semꝑ imitabilis & ꝑceptibilis prima
natura est. & suae substantiae decore ꝑp&ua. infinitum uero
malitiae dedecus est. uullis propriis principiis nixum. sed
natura semꝑ errans aboni definitione principii. tamquamT
aliquo signo optimae figurae in praessa componitur. & exillo erꝑ
Namnimiam cupiditatem ira eque in modicam effrenationem
quasi quidam rector animus pura in tellegentia roboratus ad¬
stringit & has quodammodo in aequalitatis formas tempera¬
ta bonitate constituit. hoc autem erit perspicuum suntellega¬
mus om̃s in aequalitatis species ab aequalitatis creuisse primor¬
diis . ut ipsa quodammodo aequitas matris & radicis obtinens uim
Ipsa om̃s in aequalitatis species ordinesque profundat. sint enim
nobis tres aequales termini. id est .iii.unitates. uel .ii.bini. uel .iii.

Expanded text:
fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scifructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua. Infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii, tanquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres
Abbreviated transcription (Latin):
plex suꝑ quadripartiens. & rursus triplex suꝑpartiens. & tri¬
plex suꝑ tripartiens. & triplex super quadri partiens. & simili¬
ter ut octo ad .iii. comparatifaciunt. duplicem superbi partientẽ¬
& xui. ad ui . & om̃s quicum que ab .uiii. incipientes octonario sese
numero trans grediuntur comparati. ad eos quia tribus incho¬
antes ternaria sese quantitate pra&ereunt. Nec erit diffici¬
le alias eius partes secundum praedictum modum diligentibus
repperire: hic quoque illud meminisse debebimus quod mino¬
res & comites nonsine subpraepositione nominantur. utsit
subduplex. suꝑbi partiens subduplex super tripartiens
XXXII DEMONS IRALIO QUEMADMOD UMOMNIS
INAEQUALITAS ABAEQUALITAIE PROCESSERII
estat autem nobis pro fundissimam quandam tradere disci¬
plinam quae adomnemnaturae uimrerum que integrita¬
tem maxima ratione ꝑtineat. Magnus quippe in hacscientia

Expanded text:
plex superquadripartiens. Et rursus triplex superbiplex superquadripartiens. Et rursus triplex superbiplex supertripartiens, et triplex superquadripartiens, et similiter. Ut 8 ad 3 comparati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus reperire. Hic quoque illud meminisse debemus quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartiens. CAPUT XXXII. Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit. Restat autem nobis profundissimam quamdam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia
Abbreviated transcription (Latin):
huius proportionis species procreabuntur. Manifestum autẽ
hoc&iam est. quod horum comites semꝑ cum sub praepositione
dicentur. ut est subduplex ses qualter. subduplex ses qui tertius.
subduplex ses qui quartus. & c&eri quidem ad hunc modum
XXXI DEMULTIPLICI SUPER PARTIEN TI
ultiplexuero super partiens est. quoties numerus adumerũ
conparatus. hab& inse aliumnumerum totum plusquam se¬
mel & eius uł duas ułtres uł quod lib& plures particulas. secun¬
dumnumeri suꝑ partientis figuram in hoc quoque ꝓpt causam
superius dictam Nonerunt duae medi&ates ne queduae quartae
Neque duae sextae. sedduae tertiae. uł duae quintae. uelduae septi¬
mae ad priorum similem consequentiam. Nouestautem difficile
secundum priorum exempositorum. hos quoque & pra&er nr̃a exem
pla numeros inuenire. uoc abuntur que hi secundum proprias
partes duplex suꝑbi partiens. ułduplex suꝑ tripatiens. uel du¬

Expanded text:
hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum. CAPUT XXXI. De multiplici superpartiente. Multiplex vero superpartiens est, quoties numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla numeros invenire. Vocabunturque hi, secundum proprias partes, duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel du
Abbreviated transcription (Latin):
gredientes orcine comparemus omnes triplices ses qui tertu
in ea terminorum continuatione prouenient
orumautem eorumque qui secuntur exempla integre planeque
possumus ꝑ notare. simnpriorem descriptionem quam fecimus cum
desuꝑ particulari . & multipliciloqueremur. ubi ab uno usque inde¬
nariam multiplicationem. summa concreuit. Diligens uelimus
acumen intendere. ad primum enim uersum. omnes quise qui in¬
tur conlati ordinatas conuenientesque multiplices species
reddent. siuero ad secundum cunctos quiterti s unt ordinis apta¬
ueris ordinatas species suꝑparticularis agnosces. Quod si tertio
ordini. quicumque sunt inquinto uersu conpares suꝑpartientis
numeri. species positas. conuenienter aspicies. multi plex uero
suꝑparticularis ostenditur cumadsecundum uersum omnes qui
sunt quinti uersus serie conparantur. uł qui sunt inseptimo. uł
qui sunt innono. atq. sin infinitum sit ista discriptio in infinitum

Expanded text:
gredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii gredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provenient.Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum
Abbreviated transcription (Latin):
ant & ad eos aptentur. quia septenario inchoantes. septenario
sesenumero trans grediuntur. Omnes duplices ses qui tertu
habita diligenter comparatione nascuntur ucsubiecta des¬
criptio mon&¬
Sinuero omnes in ordinem quadruplidisponantur : hiquinatura¬
lis numeri quadruplisunt. ut unitatis quadru plus. & duorum
triumque & quattuor. atque quinarii. & c&erorum sese. se¬
quentium & ad eos aptentur a nouenario numero inchoantes
semꝑ sese nouenario praecedentes tunc duplicis ses qui quartae
proportionis forma texetur
auero species huius numeri quae est triplex ses qualtera hoc modo
procreatur. si disponantur ab inario numero omnes in ordinem
pares. & ad eos a septenario numero inchoantes. septenario sese
suꝑ gredientes solito adalterutrum modo comparationis aptentur.
Si autem aternarionumero ingressi. cunctos naturalis numeri
triplices disponamus & eis adenarionumero. denario sese super¬

Expanded text:
iant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes, septenario iant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes, septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii, habita diligenter comparatione, nascuntur, ut subjecta descriptio monSi vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum, triumque et quatuor, atque quinarii, et caeterorum sese sequentium, ut ad eos aptentur a novenario numero inchoantes, semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur. Ea vero species hujus numeri, quae est triplex sesquialtera, hoc modo procreatur; si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese supergredientes, solito ad alterutrum modo comparationis aptentur. Si autem a ternario numero ingressi, cunctos naturalis numeri triplices disponamus, et eis a denario numero denario sese super
Abbreviated transcription (Latin):
qualter quadruplus ses quitertius. quadruplus ses quiquar¬
tus & quotiens totumnumerum in sem& ipso continuerit
ꝑmulti plicis numeri species appellatur. quamuero partem cõ¬
paratinumeri clauserit. secundum suꝑparticularem compara¬
tionem habitudinem que uocabitur. Horum autem exempla hu¬
ius modi sunt. Duplex ses qualterest. ut v. ad .ii. habentenim .u.
binarium numerum bis & eius mediam. idest .i. Duplex uero ses¬
qui tertius est. septenarius ad ternarium comparatus. at uero
nouenarius adquaternarium. duplex. ses quiquartus. siuero.
xi. adu. duplex ses qui quintus. & hi semꝑ nascentur dispositis
in ordinem ab inarionumero omnibus naturaliter paribus
in paribus que terminis. si contraeos om̃s aquinarionumero
impares comparentur. ut primum primo. secundũ. scundo.
tertium tertio. Caute & diligenter ad ponas. ut sit dis po¬
sitiotalis.¬
Si uero a tribus inchoent dispositiones. & tribus sesetransil¬

Expanded text:
quialter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquarquialter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numerum in semetipso continuerit, per multiplicis numeri species appellatur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla hujusmodi sunt: duplex sesquialter est, ut quinque ad duo, habent enim 5, binarium numerum bis et ejus mediam, id est 1. Duplex vero sesquitertius est, septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium, duplex sesquiquartus. Si vero 11 ad 5, duplex sesquiquintus. Et hi semper nascentur, dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter apponas, ut sit dispositio talisSi
Abbreviated transcription (Latin):
plus quam semel hab& multiplicis est. Hoc uero quodminorẽ
in habenda parte transcendit. suꝑ particularis. Itaque exu¬
troque nomine ficto uocabulo est. species que eius adillarum
scilic& fiunt imaginẽ proportionum.
ex quibus
ipsenumerus originem trahit. Nam
prima pars
huius uocabuli qui a multiplicis nomine
possessa est
multiplicis numeri specierum uocabulo nominanda est: quae
uero suꝑpasticularis est. Eodemuocabulo nuncupabitur.
quo suꝑ pasticularis numerispecies uocabantur.
Dic&ur enim qui duplicem habuerit
alium numerũ
& eius mediam partem. duplex ses¬
qualter. Quiue¬
ro tertiam duplex ses qui tertius. Qui quartam duplex ses¬
qui quartus. &d einceps. siuero ter eum totum contineat.
& eius mediam partem. uł tertiam. uł quartam: dicitur
triplex ses qualter. Triplex. ses quitertius. triplex. ses qui¬
quartus & eodem modo inc&eris. Dic&urque quadruplus ses¬

Expanded text:
plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est, speciesque illius ad illarum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est. Quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et ejus mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplex sesquialter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et eodem modo in caeteris. Diceturque quadruplus ses
Abbreviated transcription (Latin):
na producantur. XXUIIII
DIMULTI PLCI SUPER PARTICULARI¬
gitur relatae. ad aliquid quantatis simplices & primae species.
Hac sunt duae uero aliae ex his uelut exaliquibus principis
conponuntur ut multi plices suꝑparticulares & multi plices
suꝑ partientes horumque comites submultiplices suꝑparti¬
culares & supͥmultiplices suppartientes. Namque in his
ut in praedictis proportionibus minores numeri . & eorum quoq
species om̃s addita subpraepositione dicuntur. Quorũ defini¬
tio talis reddi pocest. multi plex suꝑ particularis est. quotiens
numerus adnumerum conparatus. hab& enim plus quã semel
& eius unam partem. hoc est hab& eum. aut duplum. aut triplũ.
aut qua druplum. aut quotiens lib&. & eius quam lib& aliquã
partem uł mediam. uł tertiam. uł quartam. uł quaecumque
alia pastium exuberatione contigerit. Hicergo exmultiplici &
suꝑ particulari consistit. Quod enim comparatum numerum

Expanded text:
na producantur. CAPUT XXIX. na producantur. CAPUT XXIX. De multiplici superparticulari. Igitur relatae ad aliquid quantitatis, simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae, ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares, et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares, et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, minores numeri, et eorum quoque species omnes, addita sub praepositione, dicuntur. Quorum definitio talis reddi potest: multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus, habet eum plus quam semel et ejus unam partem, hoc est, habet eum aut duplum, aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet aliquam partem, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum
Abbreviated transcription (Latin):
proportionum uoco numeros in superiore dispositione descrip¬
tos quasi quibus omnis summa supradictae comparationis in¬
nititur. In hoc quoque uidendum est. qm̃ cumduae pastes exmi¬
nore plus inmaioribus sunt tertii semꝑ uocabulum. subauditur.
ut suꝑbi partiens quidicitur. qm̃duas minoris numeri testias
pastes hab& dicatur superbi partiens tertias. & cumdico super¬
tripastiens sub audiri necessesit suꝑtripartiens quartas. ut¬
qm tribus suꝑ quartis exuberat . & suꝑ quadri partienti sub auditir
suꝑ quadri partiens quintas. & ad eundem modum inc&eris
uno suꝑ adiecto suꝑhabitas partes sub audito facienda est ut
eorum germana conuenientiaque his nomina haec siNt.
ut quidicitur suꝑbi partiens. idemdicatur suꝑbi tertius
quidicitur suꝑ partiens issit. suꝑtriquartus. & quidici¬
tur suꝑ quadri partiens. idemdicatur suꝑ quadri quin¬
tus eademque similitudine usque in infinitum nomi¬

Expanded text:
proportionum voco, numeros in superiore dispositione descripproportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. In hoc quoque videndum est quoniam, cum duae partes minore plus in majoribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur. Ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens tertias. Et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus superquartis exuberat. Et superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomi
Abbreviated transcription (Latin):
postio procreatur. si enim quis duplic& .V. faci& .x. si.iii. faci&
ui. quix. contrasenarium conparati suꝑbi pastientem faciunt
habitudinem. & hos ipsos rursus. siduplicaueris idem ordo pro¬
postionis ad crescit. Idemque sunm finitum facias statum pri¬
oris habitudinis nonmutabit. siuero suꝑtripartientes inue¬
nire contendas. primos suꝑtripastientes id est .vii. & iiii. tripli¬
cabis. & huius modi nascentur. siuero qui exhis natifuerint ter¬
narii multiplicatione ꝓduxeris. Idemrursus efficient. Quod si
suꝑ quadri pastientes quemad modum in infinitum ꝓgredianir
optes ad discere primas eorum radices inquadruplum multipli¬
ces. lic& id est .uiiii. & .u. & eos quiilla multiplicatione ꝓferentur.
Rursum inquadruplum & eandem fieri. propostionem in offensa
nimirum ratione repperies. & c& eres pecies una semꝑ plus multi¬
plicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem

Expanded text:
portio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si tres, faciet portio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si tres, faciet 6: qui 10 contra senarium comparati, superbipartientem faciunt habitudinem, et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis accrescit. Idemque si in infinitum facies, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est 7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quod si superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur optes addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est 9 et 5, et eos qui illa multiplicatione proferentur, rursum in quadruplum, et eamdem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione reperies. Et caeterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem
Abbreviated transcription (Latin):
tur a tribus omnes pares atq in pares numeri Naturaliter cons¬
tituti. & sub his aptantur alii quisunt aquinario numero inci¬
pientes omnes inpares. his igitur ita dispositis. si primus primo.
secundus secundo. tertius tertio. & c& eri c&eris conparentur.
suꝑpastiens habitudo ꝓcreatur. sit enim dispositio hoc modo.¬
Siigitur quinarii numeri ad ternarium conparatio consider&ur
Erit suꝑ pastiens. ille quiuocatur suꝑbi partiens. Hab& enim qui¬
narius totos inse tres &eorum duas pastes. id est duo. si uero ad se¬
cundum or dinem speculatio refferatur. suꝑtripartiens pro¬
postio cognosc&ur. atq insequentibus ꝑom̃s dispositos numeros om̃s
in infinitum species huius numeri conuenientes ordinatas que
respicies. Atuero quem ad modum singuli ꝓcreantur. suninfini¬
tum quis cur& agoscere hic modus est. habitudo enim superbi par¬
tientis. siutris que terminis duplic&ur. semꝑ suꝑbi pastiens pro¬

Expanded text:
tur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipientes omnes impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, secundus secundo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modoigitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille qui vocatur superbipartiens. Habet enim quinarius totos in se tres, et eorum duas partes, id est 2. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur, si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens pro
Abbreviated transcription (Latin):
habituo incipit aduabus partibus tertiis. Namsiduas
medi&ates habuerit. quuillum in frase totum coerc& duplus
uel duas septimas. uel duãs non as. & ita ꝓgredientibus.
siduas solas partes minoris numeri suꝑhabuerit ꝑeasdem
partes in paribus nimeris minorem maior summa trans¬
cendit Namsi eum habeat totum. & duas eius quartas suꝑ¬
particularis necessario repperitur. Namduae quartae
medi&as est & fit ses qualtera conparatio. siuero .ii. sextas
rursus est. suꝑ particularis. Dua eenim sextae pars tertia est:
quod siinconparatione ponatur: ses qui tertiae habitudinis
effici& formam. Posthos nascuntur comites qui sub super¬
partientes uocantur. hiautem sunt qui habentur ab alio
aliae pastes. siergonumerus alium intrasenimerũ habens
eius duas partes habuerit suꝑbi partiens nominatur. sin
uero tres supertripartiens. quod si .iiii. super quadripar¬
tiens. atqueita progredientibus in infinitum fingere¬
nomina lic&. Ordo autem eorum Naturalis est. quotiens disponun¬

Expanded text:
habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus vel duas septimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et fit sesquialtera comparatio. Si vero duas sextas, rursus est superparticularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingnomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quoties disponun
Abbreviated transcription (Latin):
QUEMADMODUM ADAEQUALITATEM
OMUIS IUAE QUALITAS REDUCATUR
uperioris libri. disputatione digestum est. quem admodum to¬
ta in aequalitatis substantia principesui generis aequalitate
processerit. sed quaererum elementa sunt. ex hisdem principa¬
liter omnia conponuntur . & in eadem rursus resolutione
facta soluntur . utqm articularis uocis elimenta sunt lit terae
ab eis est syllabarum progressa coniunctio. & in easdem rursus
terminatur extremas . Eandemque uimobtin& sonus inmus icis
lamuero mundum corpora .iIII. Nonignoramus efficere. Namq
utait ex imbri terra anima. gignuntur &igni. sed in haec rur¬
sus eius .iiii. elementa fit postrema resolutio. lta igitur qñm
ex aequalitatis margine cunctas in aequalitatis species proficisci

Expanded text:
Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur. Superioris libri disputatione digestum est quemadmodum tota inaequalitatis substantia a principe sui generis aequalitate processerit. Sed quae rerum elementa sunt, ex eisdem principaliter omnia componuntur, et in eadem rursus resolutione facta resolvuntur. Ut quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllabarum progressa conjunctio, et in easdem rursus terminatur extremas, eamdemque vim obtinet sonus in musicis. Jam vero mundum 4 corpora non ignoramus efficere. Namque ut ait ex imbri terraque omnia gignuntur et igni; sed in haec rursus ejus 4 elementa fit postrema resolutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine cunctas inaequalitatis species proficisci
Abbreviated transcription (Latin):
idesne ut ex suꝑbi partiente duplus supbi partiens exortussit.
atuero sisuꝑtripartientem ponam duplex sine dubio tripartiens
Quare constat omnium in aequalitatum aequalitatemesse
principium exeadem enim in aequalia cuncta nascuntur.
ac dehis quidem actenus disserendum esse credidimus neut
infinita sectemur uł circares obscurissimas ingredientius
animos d& inentes abutilioribus moraremur.¬
Quema dmodum ad aequalitatem omnis in aequalitas recatur
Deinueniendo in uno quoque numero quos numeros eiusdem ꝓpostionis
possit praecedere eorumq discriptio discriptionisq. expositio
Quod multiplex interuallũ & quibus super particularibus medi& ate posita
II Deperse constante quantitate quacinfiguris geo mericis consideratur¬
in quo communis ratio omnium magnitudinum

Expanded text:
idesne ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit. At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens Quare constat omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur.Quemadmodum ad aequaDe inveniendo in unoquoque numero quot numeros ejusdem proportionis possit praecedere, eorumque descriptio, descriptionisque expositioquod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus, medietate posita, IV. De per se constante quantitate, quae in figuris geometricis consideratur; communis ratio omnium magnitudinum
Abbreviated transcription (Latin):
secundis & tertio aequus id est XUI.
Hursus secunda species suꝑ particularis numeri idest ses quiter
csi quidem decunctis in infinitum partibus multiplicatis faci¬
Lat conuenienter ordinem suꝑ particularitatis inueni&
quod si conuersos superparticulares aliquis secundum haec
praecepta conuertat continuo uideat suꝑ partientes adcres¬
cerestexses qualtero quidem su perbi partiens exses qui¬
tertio suꝑtripartiens procreatur. &c&eris secundum com¬
munes de nominationes species sineulla ordinis interpolatio¬
ne nascentur. disponantur igitur sic
ursus sises qui quartum eodem modo uerteris suꝑqua driparti¬
ens statim quantitas procreabitur. utest ea forma quam
subpositam uides.
Namque sirectum & non conuersum sesqualterum ponimus du¬
plex super particularis excrescit: fitenim hoc modo.
Atim secundum superiora praecepta disponamus multi plices
suꝑpartientes ordinatim progenitos repperiemus. disponatur
enim super partientis haec formula.

Expanded text:
secundis et tertio aequus, id est 16. secundis et tertio aequus, id est 16. Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquiters idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sicRursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vidnamque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatur secundum susuperpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula:
Abbreviated transcription (Latin):
ursus si triplicibus idem feceris continuus quadruplus
procreabitur. sit enim primus primo aequus. idest
unus sit secundus primo & sendo aequalis
idest .iiii. sit tertius primo
duobus secundis & tertio aequał idẽ .xui.
& secundum haec praecepta uertamus. ita ut conuerso sint ordi¬
ne ses qualter exduplici procreabitur. sesqui tertius extriplici.
ses qui quartus ex quadruplo sint enim .iii. Duplices termini. qui
ex aequalibus creatisunt . & quiultimus est primus ponatur hoc ł
Et constituatur primo in hoc ordine primus par id est .iiii. secun¬
dus uero primo & secundo par. id est .ui. tertius uero primo
duobus secundis & tertio. idest uni.
Ecce tibulla ses qualtera quantitas extermino duplicitatis exo¬
ritur. uid eamus nunc ad eundem modum extriplici quinas¬
catur. disponantur enim triplices superiores.
Conuerso scilic& ordine sicut duplex. hic est quoque ordo dis¬
positus. ponatur ergo primus primo aequus. idest uiiii.
secundus primo & secundo. id est .xii. tertius primo duobus

Expanded text:
ursus, si de triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus; sit secundus primo et secundo aequalis, id est 4; sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hujusmodi: Et constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est 6, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 9. Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superiores, converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Ponatur ergo primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 12; tertius primo, duobus
Abbreviated transcription (Latin):
Destat quemad modum exsuꝑ particularibus & suꝑ partientibus
multiplices suꝑ particulares uel multi plices sũpartientes
nascantur ostendere quorumbinas tantum faciam dsscriptiones.
t que haec quidem duplex ses qualtera summa producta est siuero
Ases qui tertium non conuersum ponamus. duplus suꝑses quiter¬
tius inuenitur ut subiecta descriptio doc&.

Expanded text:
Restat quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, tque haec quidem duplex sesquialtera summa producta est. Si vero sesquitertium non conversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subject
Abbreviated transcription (Latin):
constituunt sint enĩ diapason quidẽ in. & ui. diatessaron vi & viii. thonos uiii¬
& uiiii diapente .ui. & uiiii. diapason ac diapente inac uiiii. erit igitur sic
tripla proportio iii uI UIII UIIII sed quã quã de his multa nichomachus
nostamen qua potuimus brebitate partimea ipsaq̃ prchagoriciad firman
prom̃tes partim ex hisdẽ quedã c̃sequentia argum̃tantes ꝓbabimꝰ sidiates¬
sa ron c̃sonantiae dia pason addat c̃sonantiã ex his coniungi non posse. quid
uero dehis sentiat ptolomeus posterius apponã. sed dehis actenus . Nunc de

Expanded text:
constituunt. Sit enim diapason quidem 3 et 6; diatessaron 6 et 8; tonus constituunt. Sit enim diapason quidem 3 et 6; diatessaron 6 et 8; tonus 8 et 9; diapente 6 et 9; diapason ac diapente 3 ac 9: erit igitur sic tripla proportio 3, 6, 8, 9. Sed quanquam de his multa Nicomachus, nos tamen qua potuimus brevitate partim ea ipsa quae Pythagorici affirmant promentes, partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes, probavimus, si diatessaron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his conjungi non posse. Quid vero sentiat de his Ptolemaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus; nunc de
Abbreviated transcription (Latin):
hab& etiã eius aliquas partes neq eas simplices duabus eni eũ suꝑuenit uni¬
tatibus quae sunt duae tertiae partes t̃narii quẽ primũ t̃minum minimumq
locabimus sint igitur t̃mini hii II UI UIII illud quoq: quod int̃ duas sibi conso
nantias cadit et enim neque duplum ẽ inte grum ut diapason consonantiã pro¬
dat neq triplũ ut dia pason ac diapente efficiat symphoniam. cuisi thonus ad¬
datur mox triplum modũ ꝓportionis effici&. qm̃ enĩ diapa son ac diapente sibi m&¬
iunctae efficiunt triplum diates saron uero & thonus diapente consonantiã iun¬
gunt sidia pason consonantiae addatur. diatessaron in consonum sit qm̃ int̃
duplicẽ ac triplicẽ nulla potest naturalit̃ proportio multiplicitatis intelligi
quod siei adicio thonũ fi& diapason diatessaron & thonus quod sinihil
distabit utrum diapason ac diapentesitdiatessaron enĩ & thonus diapente

Expanded text:
habet etiam ejus aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unihabet etiam ejus aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locamus. Sint igitur termini hi, 3, 6, 8. Illud quoque quae inter duas sibi continuas consonantias cadit, etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibi junctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam jungunt, si diapason consonantia addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quod si ei adjicio tonum, fit diapason, diatessaron, et tonus, quod nihil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente
Abbreviated transcription (Latin):
diapason ut dictũ ẽ creant. huic uero id ẽ diapason rursus sidiapente sym¬
phonia iungat᷑ fit c̃sonantia quae ex utrisq uocabulis nuncupatur diapa¬
sonscilic& ac diapente cui si diatessaron addat᷑ fit bis diapason quae qua¬
druplam proportionẽ ten& quid igitur sidiatessaron ac diapason conso¬
nantias c̃iugamus ullã ne scđm pithagoricos efficient c̃sonantam minime:
mox enĩ in suꝑ patiens in aequalitatis genus cadit nec seruat uł multiplici¬
tatis ordinem uł suꝑ particularis simplicitatẽ age enĩ statuant᷑ numeri
quib id facilius approbemus. sit enĩ t̃narius cuiur sit senarius duplur scilic&
indiaparon ꝑportione constistens huic abtet᷑ ser quit̃tia quã diatersaron
cẽ p̃diximus ut octonarius. is enim ad senariũ diatessaron ꝓportionẽ tenet
qui octonarius ad t̃nariũ comparatus habet eum bis sed nesit multiplex

Expanded text:
diapason ut dictum est creant; huic vero, id est diapason, rursus si diapente symdiapason ut dictum est creant; huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia jungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias jungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem, vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim statuantur numeri quibus id facilius approbemus: sit enim ternarius, cujus sit senarius, duplus scilicet, in diapason proportione consistens. Huic aptetur sesquitertia quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet, qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex,
Abbreviated transcription (Latin):
nor qm̃ quae in consonantiis diapente maior dutessaron minor. appar& maiorẽ
qualtera dia tessaron uero in proportione ses qui tertia conlocanda: quod si diatessa¬
ronꝰ diapente consonantia subtrahamus reliquitur spatium quod dicitur thonus
ses quitertium uero si pro portionis ses qualterȩ minuamus relinquitur ser qui¬
octaua proportio quo fit ut tonus inses qui octaua debeat comparatione c̃stitui¬
tas uero duplã ac ses qualterã triplicẽ ꝓ portionẽ creare ex his etiã illud appa¬
ret diapente ac diapason intriplici proportione c̃stitui sed siquis triplici ꝓ¬
portioni ses qui t̃tiã habitudinẽ iungat quadruplam facit. igitur sidiapente
ac dia pason c̃sonantis diatessaron symphonia iungatur fitꝰ qua druplum
spatiũ uocũ quod bis diapason supra eẽ monstrabimus
ed in his illud diligens lector agnoscat quod consonantiae consonantiis suꝑ posi¬
tae alias quasdã c̃sonantias effecer̃. Nã diapente ac diatessaron iunctae

Expanded text:
nor, quoniamque in consonantiis diapente major, diatessaron minor, apparet majoremquialtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantiam subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesquialterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit ut tonus in sesquioctava debeat ratione constituitas vero duplam ac sesquialteram triplicem proportionem procreare, ex his etiam apparet diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem jungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia jungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimused in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis suppositae alias quasdam consonantes efficere. Nam diapente ac diatessaron junctae,
Abbreviated transcription (Latin):
Nuncigit᷑ ixiiii unitatũ sesquit̃tium conquiramꝰ. Sedqm Ixiui prolunt
partemtertiam non habere. siomnes hinumeri t nario multiplicentur
moxeis pars tertu contingit &om̃s in eadem ꝓportione durabunt. quia fuerun
ante quam his t̃narius multiplicator accederet Fiant igit̾ter LXIIII. Id ÷

Expanded text:
Nunc igitur 64 unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam 64 probantur Nunc igitur 64 unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam 64 probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit, et omnes in eadem proportione durabunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter 64, id est
Abbreviated transcription (Latin):
exsequi tertia ꝓportione qu& dia tessa ron & duas ses qui octauas habitudi¬
nes quae conis auferunt᷑ relinquit᷑ spatiũ qđ semitoniũ nuncupat᷑. queram
igit᷑ duostonos c̃tinua dispositione descriptos. Sed qm̃ hu ut dictũ ẽ insesqui¬
octaua ꝓportione c̃sistunt duasq ses quioctauas ꝓportiones c̃tinuas ad hibero
ñ possumus nisi multiplex ille a quohee deriuari pͥossint reperiatus. Sit unitas
prima eius que octonarius octuplus primus ab hocigit᷑ unũ sesquioctauum
potero diriuare Sed quia duosquerimus fiant octienes octo atq execi
lxiiii explicentur. eritigitur hinc secundus octuplus a quopossumus duas
ses quioccauas ꝓ portiones educere. Namq uiii que ẽ occaua pars lxiuiuni¬
tatũ eisdẽ ad dito tam sũmã lxxii ꝑficiunt his uerosi sua getaua similiũ
apponatur quiẽ nouenarius lxxxireddunt eruntq duohutoni c̃tinui
principali dispositione conscripti lxuii lari dadan

Expanded text:
octavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed, quoniam hi ut dictum est in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, reperiatur, sit unitas prima eique octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fient octies octo, atque ex eo 64 explicentur. Erit igitur secundus octuplus a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo quae est octava pars 64 unitatum eisdem additi totam summam 72 perficiunt; his vero si sua octava similiter opponatur, quae est novenarius, 81 reddunt. Eruntque hi duo toni continui principali dispositione conscripti 64, 72, 81.
Abbreviated transcription (Latin):
duobus senumeris c̃tinentes rato ordine clocemus fiuntigit᷑ ter Lxxii id est cCXUI
tituit consonantiã. idemuero primus ad secundũ & secundus adĩtium geminos
continuant thonos constat igit᷑ spatiũ qđ relinquitur &ccxliii adcclvi inquib
d probo igitur cc xl iii. adcc l .ui. distantiam non eẽ integrã thoni me dii dem̃sionẽ.
& enĩ ducentorũ xliii et ducentorũ lu differentia tredecĩ tantũ unitatibus¬
decimã obtin& partẽ si enĩ octiens decies tredecĩ ducas efficies cc xxxiiii

Expanded text:
tinentes rato ordine collocemus; fiant igitur ter 72, id est 216. tituit consonantiam. Idem vero primus ad secundum, et secundus ad tertium geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium quod relinquitur ex 243 ad 256, in quibus  ad 256 toni medietatem. Approbo igitur 243 ad 256 distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim ducentorum decimam obtinent partem. Si enim octies decies tredecim ducas, efficies 234,
Abbreviated transcription (Latin):
idest tres & cumhis adiungeremus tertium. idest ter¬
narium senarius triangulus rursus occurrer&. & post hos
t& ragoni uno intermisso. penta goni uero duobus. exago¬
m tribus. Eptagoni relictis quattuor nascebantur
Nunc uero ad solidorum corporum procreationem ipse
nob suꝑficies naturaliter figuratę ꝑuenient. & ad facien¬
das quidem pyramidas atriangulo ipsȩ nob̾ trianguli con¬
ponendi sunt. Ad procreandas uero prramidas at&ra¬
gono t&ragoni. Ad eas uero quaesunt apentagono pen¬
tagoni copulandi sunt. Et illȩ quaesunt. ab exagono uł
eptagono non nisi. exagonorum uł eptagonorum copu¬
latione nascentur. Primus ergo potestate triangulus
unitas est eandem que &iam ponimus uirtute prramida.
secundus uero triangulus ternarius quem si cum primo
coniunxero. Idest cumunitate quaternaria mihi pro¬
funditas prramidis excrescit. Atuero sihis tertium
senarium iunxero denaria prramidis ꝓcreabitur altitudo

Expanded text:
id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est terid est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pentagono, pentagoni copulandi sunt, et illae quae sunt ab hexagono vel heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus, unitas est, eamdemque etiam ponemus virtute pyramidem; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo conjunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si iis tertium senarium junxero, denaria pyramidis procreabitur altitudo.
Abbreviated transcription (Latin):
demsi at&ragona basi ꝓficis catur & adunũ uerticem eiuslineae
dirigantur erit prramis quattuor triangulorum ꝑlatera
unotantum t&ragono inbasi posito. suꝑquam figura. ipsa
mis triangulis continebitur. &si ab ex agono sextriangulis
Nihil ominus & quantos cumq angulos habuerit figura
suꝑ quam prramis resid& totipsa ꝑlatera triangulis conti¬
n&ur ut in sub iȩctis discriptionibus palam est
MII SOLIDORUA GENERAIIO NUMERORUM
Sicuntur autem hiuus modi prramides hocmodo. prima prra¬
mis d&riangulo. secunda prramis deragono. tertia prra¬
mis depentagono quarta prramis de exagono. quinta
prramis deeptagono idemq in ca&eris constat numeris.
Nam qñm line ares numeros eẽ diximus qui abuno pro¬
UIII.UIIII.X. His autem ordinatim conpositis & inseinui¬
cem cum distantia iunctis suꝑficies nascebantur. ut si
unum & duo iungeres primus triangulus nascer&ur.

Expanded text:
Item si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae Item si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae dirigantur, erit pyramis quatuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam figura ipsa mis triangulis continebitur, et si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam est. XXIII. Solidorum generatio numerorum. Dicuntur autem hujusmodi pyramides hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus qui ab uno proHis autem ordinatim compositis, et in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nasceretur,
Abbreviated transcription (Latin):
alias at&ragona alias apentagona. & secundum sequen¬
tium multitudines angulorum adunum cacuminis uerti¬
cem sub leuata. Posito enim triangulo atq dirposito siꝑ
tres angulos singulae rectae lineae stantes ponantur.
Haeque tres inclinentur ut adunum medium punctum
uertices iungant. fit prramis quaecumtri angula basi
profecta sit tribus triangulis ꝑ latera concluditur hoc
modo fit ã Bc̃ triangulum. si huic igitur triangulo
pertres angulos erigantur lineae & adunum punctum
conuertantur quod est d ita ut d. punetum nonsit
inplano sed pendens illȩ scilic & lineae adipsum erecte uerticem
& quodammodo cacumen .D. facient. & erit basis. a Bc̃ unum
triangulum. Perlatera uero tria triangula id est unum tri¬
angulum. a d̃ p̃. aliuduero Bd̃ẽ. tertiumuero c̃d̃ã
II DIUIS TRAMIMS QUMAQUADRATIS UEE
ACETIRIS MULTI ANGULIS FIGURIS PROLICISCUN

Expanded text:
alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequenalias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque disposito, si per tres angulos singulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut ad unum medium punctum vertices jungant, fit pyramis. Quae cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem, et quodammodo cacumen d facient, et erit basis a, b, c, unum triangulum, per latera vero, tria triangula, id est unum triangulum a, d, b, aliud vero b, d, c, tertium vero c, I. De his pyramidis quae a quadratis vel a caeteris multiangulis figuris proficiscuntur.
Abbreviated transcription (Latin):
triangulo. idest ternario superabunt. xuero. ad xui. & xui.
tertio setriangulo uicent idsenario. Atq hoc rite nota¬
bitur. in aliis cunctis sequentibus sẽsẽ pers pectum om̃sq
mentum que esse triangulum.
quod in planis numerorum figuris uis ipsa quantitatis natu¬
raliter oper&ur. ad solidos numeros nonerit ulla cunctatio.
sicut enim longitudini numerorum. aliud interuallum id
est suꝑficiem ut latitudo ostender&ur adiecimus itanunc
latitudini siquis addat eam quae alias altitudo alias cras¬
situdo alias profunditas appellatur solidum numeri cor¬
pus expleuit .XXI DE PIRAMIBE QUOB EASIISO
id&ur enim quemad modum in planis figuris triangulus
numerus primus est sic in solidis quiuocatur. prramis pro¬
funditatis. ẽẽ. principium omnium quipperatarum innume¬
ris figurarum nec esse est inuenire primordia. Estautem
prramis alias atriangula basi in altitudinem sese erigens.

Expanded text:
triangulo, id est ternario, superabunt. Decem vero ad 16, et 16 triangulo, id est ternario, superabunt. Decem vero ad 16, et 16 tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque mentumque esse triangulum quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit. CAPUT XXI. De pyramide, quod ea sit soidetur autem quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens,