comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
te officia mtercos prȩcipue quisese magni facunt aestimantur
siliqudo constabit. Necabhosalud quodliberalius offerr& iuentũ
necabillo umquam quoducindus beniuolentia complater&ur acceptũ
Matipseconsider ans. attuili nonignaua sopum pondera. q̃uibus ad facinus
nichilinstructius est cumhabendisitis in canduitadmeritum nichiluili¬
us cum ea sibiuictor ammnus calcata subiecit. Sediaq̃ & grecarũ opulen¬
tialitterarum inromaneorationis thesaurũ sumpta. coneimus.
taenim meiquetiue operis mihiratio constabit. Si quȩ & sapientiae
doctrinis elicui sapientis simiiudicio conprobent᷑. Uidesigitur ut
tamm agni laboris effectustuũ tantum & pect& xamen. nec in aures
ꝓdirepublicas nsidoctȩs ententiȩ adstipulatione nitat᷑ : In quonichil
mirum uideri dib& cumidopus quod sapientiae inuentir ꝑ sequit᷑ nor
auctor is. sed alieno incumbit arbitrio: suis quippe instrum̃tis resrati¬
onis &penditur. cumudicuꝑ cogit᷑ subire prudentis. Sed huicmunus¬

Expanded text:
e inter eos qui sese magnifaciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud quod liberalius afferret inventum, nec ab illo unquam, quod jucundius benevolentia complecteretur acceptum. Haec ipse considerans, attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius est, cum habendi sitis incanduit. Ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subjecit, sed ea quae ex Graecarum opulentia litterarum, in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque operis mihi ratio constabit, si quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi judicio comprobentur. Vides igitur ut tam magni laboris effectus, tuum tantum exspectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sententiae astipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio. Suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum judicium cogitur subire prudentis. Sed huic munus
Abbreviated transcription (Latin):
nimus esi &utr aq noncisdẽ uocabilis quem ad nodũ secundum
equalitatem dictum est sed diuersis dis tantibus quesignatasint
dmodim discentis scilic& uel docentis uelcedentis ueluapus¬
lantis uel quecũ q ad aliquidrelatde aliter denominatis contraris
comparant᷑¬

Expanded text:
minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis comparant
Abbreviated transcription (Latin):
tas ꝓpria uirtute ꝑfataest quo & prima est & in composita & ꝑsep¬
sã multiplicata sescipsa conseruat. Sed qm̃ deea quantitate que ꝑse
fit dictum est operis sequentia ad illã quarefertur ad aliquidtransse
ram A.
equaleest. autin equale quiquid aterius comparationem & itus
& equale quidemest quod ad aliquid com paratum neq: minore summa
infraest neq maiore trans gredit᷑ ut denarius. denario. uelter¬
narius ternario. uelcubitũ cubito uel pespedi. & his similia. He
autem pars relatȩ ad aliquidquantitates. id ÷ ȩqualitas naturalit̃
indiuis aest. Nullus enimdicere potest quod equalitatis hocquidem
dion amicasanico amicus est uicinuisq uicino itadicit̾ aequalis equali
arqu alis uero quantitatis geminadiuisioest. Secetur enim quo
inequaleest in maus atqminus q̃ contraria sibim & denominatio¬
ne finguntur Nanquemauis minore maus est. &minus maiore¬

Expanded text:
itas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita, et per seipitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita, et per seipsam multiplicata sese ipsa conservat. Sed quoniam de ea quantitate quae per se sit dictum est, operis sequentiam ad illam quae refertur ad aliquid transferamus. aequale est, aut inaequale, quidquid alterius comparatione metitur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum, neque minore summa infra est, neque majore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitum cubito, vel pes pedi, et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est, aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim dicere potest quod aequalitatis hoc quidemdum amicus amico amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali. Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in majus atque minus, quae contraria sibimet denominatione f
Abbreviated transcription (Latin):
rius partem supillam que est ase ipsad enominata quintam decimam scili&
unitatem. Huncigitur qm̃ secundus est & compositus pr&erito & adiungesi¬
periorib: continent ẽ parit̃ paremnumerũ id÷ xvi quicũ xv iunctus
unum actriginta confici&. Sed hic primus rursus &in compositus est hunc
igitur cum &xtremi ad gregati summamultiplica ut fiant sedecies xxxi
qui ccc. XCUi xplicant. Haccautẽ estint̃ millenar ium numerum
ꝑfecta & suis partibus equanumero sitas. Igitur primatnitas urtute
atq potentia non &iamactu uel opere & ipsa ꝑfectaest. Nam sipri¬
mamipsam sumpsero dep̃ posito ordine numeroꝵ uideo primã atq inc̃¬
positã quamsi ꝑse ipsam multiplico ea demmihiunitas ꝓcreatur. Se¬
melenim .i. solamefficit unitatẽ quaepartibus suis equalis est poten¬
tia . solum c&eris &iam actuatq opere ꝑfectis. Rectegiturumn¬

Expanded text:
rius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet rius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est compositus praeterito, et adjunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est 16. Qui cum 15 junctus, unum ac 30 conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa multiplica, ut fiant sedecies 31, qui 496 explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur un
Abbreviated transcription (Latin):
rio qm̃ coaceruati tresmultiplicati sunt XXVIII. autem eodẽmodo
nascuntur. Sienim suꝑ .I. & .ii. qui sunt .iii. addas sequentem par it̃
parem id ÷ iIIi. septinarium summã facies. Sedultimũ numerum quat̃¬
narium consequent᷑ adiunxeras. ꝑ huncigitur sullam coaceruationem
multiplicaueris ꝑfectus numerus ꝓcreatur. Septies enim quat̃ xxuiiis
quiest suis partib: par habens .i. a sed e nominatũ id est uicesimum secundũ
quiuo cabulo medi&as opponit᷑. Er gocum hureꝑti sint si alios inuenire
seteris eadem oport& ratione utuestiges. ponas enim .i. licebit& post
hunc .ii. & iiii. qui inseptinari umcumulatur. Sed dehocdudũ &titit
xxxiii ꝑfectus numerus. Huhicigit᷑ quisequit᷑ parit̃ pari id ÷ uiii
continens iungatur accessio qui prioribus suꝑueniens x. &quinq res¬
tituit. sed hic primus & in compositus non est. hab& enim generis alte¬

Expanded text:
rium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo rium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo nascuntur. Si enim super unum et duo, qui sunt tres, addas sequentem pariter parem, id est 4, septenariam summam facies; sed ultimum numerum quaternarium consequenter adjunxeras; per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim 4, 28 sunt, qui est suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par, id est 8, continens jungatur accessio, qui prioribus superveniens, 15 restituit. Sed hic primus et incompositus non est. Habet enim generis alte
Abbreviated transcription (Latin):
mus numerus & in compositus &illa co a ceruatione factus sit totam
sum mam in illũ multiplicabis quem posterius ad gregaueras. Si uero
cundus. Hunctrans gredere atq: alium qui consequitur ad gregabis
Siuero necdum fuerit primus & in compositus alium rursus adiunge &ui¬
dequid fiat. Q uodsi primum & in compositũq repperies tuncinulti¬
mamulaitudine sum meco aceruacionem multi plicabis. disponantur
respicis & hacao gregatione quinumerus factussit. sunt .iii. quiscilic&
prime & in compositus est & postunitatẽ ultimum binarium numerum ad¬
gregaueris sigitur ternariũ id est qui & coaceruatione collectus est
ꝑbinarium multiplices qui estul timum ad gregatus perfetus sineulla dubi¬
tacione nasc&ur. bis enimtres .vi. faciunt qui habent unam quidem a sede¬
nominatam parten id est. s&tã. Trer uero medi &atem secundum
dualitatẽ. Atuero duo secundum coaceruationes id ÷ secundumnte rna¬

Expanded text:
mus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam mus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggregaveras. Si vero cundus, hunc transgredere, atque alium qui sequitur aggregabis. Si vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur respicies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, tres vero medietatem secundum dualitatem, at vero duo secundum coacervationem, id est secundum terna
Abbreviated transcription (Latin):
militudo uitii. ꝑ fectos enim numeros tarent̃ inuenies eosq facilenune¬
rabiles. quippequi paucisint &nimis per fecti constantiordine ꝓcreti
a cuero suꝑfluos acdeminutos longe multos infinitosq repperies nec
ullis ordinibus passim in ordinateq: dispositos & anullo certofine gene¬
ratos. Sunt autem perfectinumer i intradenarium numerũ vI. ln¬
tracente narium xxuiii. intramille narium .cc xCVI Intra
decemmilia xiIi cxxxiii. & semꝑ hiinumeri duob: paribus termi¬
nantur UI &Uiii & semꝑ alter natim in hos numeros summarum
fine ꝑuenient. Nam & primums& deindexxuiii posthos .ccce .xcuii¬
iden senarius qui primus. postquam vIII CxxUIII. ltem octenarius
quis ecundus. Generatio autẽ ꝓcreatiuo eorum est fixsa firmaq: ne
quo aliomodo fieripossint. Nec si hoc modo fiant aliud quiddam ullo
modoualeat ꝓcreari. disposito senim abuno om̃s parit̃ pares numeros
in ordinem. Q uousque uolueris primo secundũ ad gregabis. Et sipri¬

Expanded text:
t vitii. Perfectos enim numeros raro invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri, intra denarium numerum 6, intra centenarium 28, intra millenarium numerum 496, intra decem millia 8128. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros, summarum fines perveniunt. Nam et primum sex, deinde 28. Post hos 496, idem senarius qui primus, post quem 8128, idem octonarius qui secundus. Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si pri
Abbreviated transcription (Latin):
& item ꝑ inequales utidemoctonarius inquinque & iii. milla
quidem diuisione ut requepartes pares facte sunt. in hacutre¬
q in pares &titerunt. Nequeum quã fieri potert utcumuna
pars diuisionis parfuerit alia in par inueniriqueat aut
cumuna in parsit alia parpossit intelligi. in parueronu¬
merus est quiad quamlib& illam diuis ionem ꝑ in equalia sẽꝑdiuidũ
utinrasque species numeri semꝑostendut necumquã altera
sinealterasit sedimapars paritati in paritatialia deputetur
ut uii sidiuidas in iii. & iiii. altera portio paraltera in par
est. Ethocquidem incunctis in paribus numerus inuenit᷑. Neq
umquamit in paris diuisione p̃ters eesse non pos sunt. Hegemi

Expanded text:
 item per inaequales, ut idem octonarius in 5 et in 3, in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, et in hac utraeque impares exstiterunt. Neque unquam fieri potest, ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, imparitati alia deputatur, ut 7 si dividas in 3 et in 4, altera portio par, altera impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, praeter se esse possunt hae gemi
Abbreviated transcription (Latin):
minatio fuerit. par quantitas partis erit in par. Si denomina
idestmedia quod paritatis nom̃ est uiiii. quein par est quantitas
Tertia uero quaemm par est denomi natios & s̃ cuipar pluralitas est
Rursus si conuertas s&tapars quȩ par est denominatiot ressunt
sed ternarius in parest & nona pars quod inpar est uocabulũ¬
.ii. quipar numerus est atq: idem in aliis cunctis qui s unt parit̃ in pa¬
res inuenit᷑. Neq umquã fieri potest utcuius lib& partissit
eius dẽ generis nom̃ & numerus. ł it autem horum ꝓcreationume¬
rorũ. siabuno dis ponant᷑ quicumq: duobus differunt id est

Expanded text:
minatio fuerit par, quantitas partis erit impar, et si fuerit minatio fuerit par, quantitas partis erit impar, et si fuerit id est media, quod paritatis nomen est 9, quae impar est quantitas. Tertia vero quae impar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres sunt, sed ternarius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque idem in aliis cunctis qui sunt pariter impares invenitur. Neque unquam fieri potest, ut cujuslibet partis, sit ejusdem generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est
Abbreviated transcription (Latin):
bis xxxii. facti a lx iiii. non discedunt & triries bisduo
eos dem comulant & semielx iiii. uel unitass&agies quat̃
multiplicata eundemnumerum s ineullauari&ate restituent
arit̃ autem in parnumerus est qui& ipse quidem paritatis
naturam sustantiamq sortitus est sed in contraria diuisio¬
ne naturenumeri parit̃ paris ꝙponitur doc ebitur namq
quam longehic dissimilis lttionediuidat᷑. Namqm̃ parest in partes
equas recipit sectiones. partes uero eius moxinuis ibiles atq: inseca¬
biles ꝑmanebunt ut sunt ui .x. xiiii .xuiii.xxii. et hissimiles
moxenim hos numeros sungemina fueris diui sione partitus
intiaris in in parẽ quem sec ar enom possis. Acciditautem his
quod om̃s partes contrarie denominatas habent. quam sunt
quantitates ipsarum partium quȩ denominantur. Nequeum¬
quam fieri potest utquȩlib& pars huius numerieius demgene¬
ris denominationem quantitatẽq suscipiat . sem ꝑ enim sideno¬

Expanded text:
bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ulla varietate restituentariter autem impar numerus est qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt 6, 10, 14, 18, 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si deno
Abbreviated transcription (Latin):
plices cxxuiii. summa concresc&. atq: hinumeri qui suꝑ eos¬
dem simultiplicentur idem faciunt. Nam aiii. & xxx ii. inse
simultiplices supͣ dictam facient & tremitatem. iiiIi. enimtri¬
sitate complebunt. atq hocusq ad &tremos terminos cadit.
id ÷ I. &c .xxuiii. semelenim &tremus terminus cxxuiui
est centies uities atq oties unitatemultipli cati nichilde pri¬
orequantita temutabit᷑. Siautem in pares fuerint dispositiones
und medius terminus inuenit᷑ atq ipsesibi ꝓpriamultipli cai¬
oneres pondit̃. in eonamq: ordine numerorum ubi e&x tremus
terminus LXIIIi. pluralitate condudit᷑ solainuenit᷑ un a medi¬
&as idestocto quãsi oties idem insem& ipsa multiplices. lxiiii
& plicabit atq idem reddent illi qui suꝑ hanc medi& atem s̃
utdudũ hi quisuꝑduas positifaciebant. Namquat̃ xui.¬
LX IIII. sunt & sedecies quatuor idem complent. Rursus

Expanded text:
plices, 128 summa concrescit. Atque hi numeri qui super eosplices, 128 summa concrescit. Atque hi numeri qui super eosdem sunt, si multiplicentur idem faciunt. Nam 4 et 32 in se si multiplices, supradictam facient extremitatem, 4 enim trisitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus
Abbreviated transcription (Latin):
o consentir e principio. haecautem nobis consideratiomaxime ꝓde¬
rit in his numeris cognos camus quod suꝑ fluis uł inminutos
ꝑ fectos que monstrabimus illicenim coaceruata quantitas par¬
tiumnumeri totius termino conparatur. Illud quoque nulla
possumus obliuione trans mittere. quod in hoonumero respon¬
dentibus sibi inuicem partibus multiplicatis maior &tremitas
eius demnumeri summaq: conficit᷑. Et piimũ sipares fuerint
disputationes medii multi plicant᷑. Atq: inde qui suꝑ ipsos s̃&us
q ad su pradictas &tremitates. Si enim fuerint pares disposi¬
tiones secundumnaturam paris duobus in medio terminos con¬
tinebunt ut in eadis positionen umierorũ in qua &tremus terminꝰ¬
cxxuiii. finitur . in hoc enimnumeromedi &ates s̃ . uiii.
scilic& & XUI. que in semulti plicate maioris summam crescente
pluralitate conficient. Ocies enĩ xvi. uel sedecies vII. simulti¬

Expanded text:
o consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime prodeo consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit, in his numeris cognoscendis quos superfluos vel imminutos imperfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur. Illud quoque nulla possumus oblivione transmittere, quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis, major extremitas ejusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones, medii multiplicantur, atque inde qui super ipsos sunt, usque ad supradictos extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones, secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum in qua extremus terminus 128 finitur. In hoc enim numero medietates sunt 8, scilicet, et 16 quae in se multiplicatae majoris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim 16, vel sedecies 8 si multi
Abbreviated transcription (Latin):
Secunda pars est totius summe .ii. uero tricesima secunda. & se¬
mel tota summa. lx .iiii. sunt. S& sagesima quarta uero
unitas inuenitur. Hocigit᷑ est quod dictũ est om̃s eius partes
& nomine & quantitate pariterpares inueniri. Hocquoque
multa consideracione multa que constantia diuinitatis ꝑfectum ⁊ utor¬
dinatim dispositeminores summem hocnumero et suꝑseipsas coacer¬
uate sequentiminus unosemꝑ equentur. Sienim unumiungas is quise¬
quantur .ii. fiunt .iii. idest quiunominus quat̃ nario cadant. Etsi.
superioribus addas .iiii. sunt .VIi. quiaboctonario sequente solaimitate
uincuntur. Sed si eosdem .uIII. supradictis ad iunxeris xu. fient
quipar .xi.i. numeri exister& quantitati nisiminor unitas inpedi¬
r&. Hocautem prima&iam numeri ꝓgenies seruatatq custodit
Nam que unitas que pri maest duobus subsequentib solaestunitate
contrarior unde nichilmirum est totum summe crem̃tũ . propri¬

Expanded text:
secunda pars est totius summae, 2 vero trigesima secunda, et sesecunda pars est totius summae, 2 vero trigesima secunda, et semel tota summa 64 sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est quod dictum est, omnes ejus partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri. Hoc quoque multa consideratione, multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super seipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum jungas his qui sequuntur duobus, fiunt 3, id est, qui uno minus quaternario cadunt. Et si superioribus addas 4, sunt 7, qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem 8 supradictis adjunxeris, 15 fient, qui par 16 numeri existeret quantitati, nisi minor unitas impediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior. Unde nihil mirum est, totum summae crementum propri
Abbreviated transcription (Latin):
sus has partes que sunt ipsesibiinuicem respondebunt. id est .xxxii.¬
& iiii. Namxex ii quartaparsesttotius summe quatuor uero tri¬
cesima secunda. Rursus suꝑhas partes Ex iiii secda pars est .ir. uͦ
s&agesima quarta donec&tremitates limicem faciant. Quas dubiũ
non est eadẽres ponsionegaudere. Estenimomĩs summa semelcxxuiii
Vnus uero centesim& uicesimus octauus. S iautemimpares terminos
ponamus idestsum mas idem eniniterminos quos summas nomino
secundum in paris naturapotest un amedi &as inueniri atq una
sibi ipsa est responsura. Sienim ponatur hicordo. i .ii. iiii. uiii
Sum metotius par estoctaua & sibupsi ad denominationẽ quantita¬
temq conuertitur. Eodemq modo sicut superius circaipsum
qui sunt termini donatsibi mutata nomina. Secundum ꝓ priasquan¬
titates uocabulũq ꝑmutant . Nam quatuors etadecima pars :
totius summe .xxi. uero quarta & rursus suꝑt̃minos hosxexis

Expanded text:
super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est 3super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est 32 et 4. Nam 32 quarta pars est totius summae, 4 vero trigesima secunda. Rursus super has partes 64, secunda pars est, 2 vero sexagesima quarta. Donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, nomino, secundum imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa est responsura. Si enim ponatur hic ordo 1, 2, 4, 8, summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo, sicut superius, circa ipsum qui sunt termini, donant sibi mutua nomina, secundum proprias quantitates, vocabulumque permutant. Nam 4 sexta decima pars est totius summae, 16 vero quarta. Et rursus su
Abbreviated transcription (Latin):
riter pares. illud autem non minima consideracione dignumest quodeũ
omis pars ab una parte queintraipsumnumerumest denominatur
Tantamque summã quantitatis includit. quota parsest alt̃numerus
pariter paris illius qui eum contin& quantitatis. Itaq fit ut sibi par¬
tes ipseres pondeant ut quota parsimaest tantem habeat altera quan¬
titatem. & quota pars itaest tantamn priore summa. Neces sesit mul¬
titudinis inueniri. & primum fit sipares fue rint. dispositiones utduemedi¬
e partes sibi respondeant. post ueroquȩ suꝑ ipsassunt sibiinuicem con¬
uer tantur. atque hocidem fiat donecuterq: terminus &tremitatis
incurrit. ponatur enim pariter paris ordo ab uno usq .cxx uiii
d&as non potest inuenir .i. Sunt igiturdue. id estocto & xui. que con¬
siderandesint quemadmodum ipsesibi respondeant. Totius enim sũ¬
me id estcxxviii octaua pars est xii. secta decima .uiii. Rur

Expanded text:
riter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod ejus riter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod ejus omnis pars, ab una parte quacunque quae intra ipsum numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo, ab uno usque 128, hocdietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est 8 et 16, quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est 128, octava pars est 16, sexta decima 8. Rursus
Abbreviated transcription (Latin):
dum diuisio partium adindiuisibilẽ. Naturalit̃ ꝑueniat unitatem¬
tem xvi. hicuero uiii. Huncquoq quaternarius. hnaequa partit᷑
quibinaru duplus est. S edbinarius unitatis med i& atediuiditur
queunitas naturalit̃ singularis non recipit sectionem. Hu ienumer oui¬
d&ur accider eut quecumq: eĩ: fuerit pars cum nomine ipso que uocabulo
parit᷑ par inueniatur tum & iam quantitate. Sedideomi biui d& hienumer̃
parit̃ paruocatus quod om̃s eius partes & nomine & quantitate pares
pariter inueniant᷑. quomodo autem & nomine et quantitate pares
habeat partes. hicnumerus postdicemus. Horum autem generatio talis ÷
ab unoenim quos cumq indupliciꝓporcione notaueris semꝑ pares parit̃ ꝓ¬
creantur. Pra&̃ hancautem generationẽ utnas cantur alit̃ in posũ¬
bileest Nuius autem rei tale d&ur ꝑordinẽ descriptionis &emplum
tos inueniat. E actique sunt abuno indupliciꝓporcione & om̃s sunt pa¬

Expanded text:
dum divisio partium ad indivisibilem naturalitdum divisio partium ad indivisibilem naturalittem 16, hic vero 8, hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est. Ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter, impossibile est. Hujus autem rei tale videtur per ordinem descriptionis exemplum. tos invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pa
Abbreviated transcription (Latin):
torum qui altrinsecus positis unt. siuingant᷑ &iam hiquinar unu¬
meri duplisunt. Nam suꝑ .iii. sunt .ii. suꝑ uii. sunt viii. Hiergo
siunctis int. faciunt .x. quorum quinarius rursus medi &as est. Hoc
idemin omnib: numer is euenit usq: dum adunitatis t̃minum perueniri
quaeat. Sola enimunitas circumseduos terminos nor hab& atq¬
ideoeius quiest ꝓpesẽ solius est medi&as. Namiuxta unum solus
est binarius naturalit̃ constitutus cuius hunitas media parsest. quase
constat primãesse unitatem cunctorum quis innaturali dispositione
par. Aliauero parit̃ inpar. Tertia in parit̃ par. & contraria quidẽ
loca que obtinentia sumitatum uident᷑ esseparit̾ par & parit̃ in par
Medi&as autem quȩdã est queutrorumq participat estnumerus quiuocat᷑
in pariter par
arit̃ parnumerus est qui potest induo paria diuidi. eiusq pars
in alia duo paria partisq pars in alia duo paria. uthoctoties fiat usq

Expanded text:
torum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam hi quinartorum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam hi quinarmeri duplices erunt. Nam subter tres sunt duo, super VII sunt VIII, hi igitur si iuncti sunt faciunt X, quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri quideo ejus, qui est prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus qui vocatur impariter parar numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque
Abbreviated transcription (Latin):
uodsi hõ&iam ꝑ alterutrasimtspecies diffinienda s unt dic&ur
in paremnumerum esse quiunitate diffr& a pari uelcre¬
mento. uel diminutione. Item parnumerus est. qui unitate dif¬
fert ab impari uel crem̃to uel diminuti one
Si enim pariunũ
dem seris uelunum adieceris in par efficitur
Velsumpari
dis positi oneiunctorũ medi&as est. Etqui suꝑduos illos sunt
quimedio iungunt᷑ si componantur &iã ipsorum supͣ dictus
numerus media portio est. Etrursus illorũ qui sunt suꝑsecundo loco
iunctos cumipsiquoq: sint compositi prior his nume rus medi¬
&atis loco est. & hocerit usq: dumoccurrens unitas terminũ
ponat. utsi ponat quis quinarium numerum altrins ȩcus
cir caipsumsunt suꝑ quatuor inferius ui. hiergo suunctis
facient .x. quorum quinarius nunerus medietas est
qui aut̃ circa ipsos idesturcas & & quatuor sunt in .iii. Scilic& & rii
idem iunctisi sint eorum quinarius numerus medi&as est. Russusis¬

Expanded text:
uod si haec etiam per alterutras species diffinienda sunt, dicetur imparem numerum esse, qui unitate differt a pari, vel incremento, vel diminutione. Item par numerus est, qui unitate differt ab impari, vel incremento, vel diminutione. Si enim pari unum dempseris vel unum adjeceris, et impar efficitur, vel si impari dispositione junctorum medietas est. Et qui super duos illos sunt, qui medio junguntur, si componantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est, et rursus illorum qui sunt super secundo loco junctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt, supra 4, inferius 6. Hi ergo si juncti sunt, faciunt 10, quorum 5 numerus medietas est. Qui autem circa ipsos, id est circa 6 et 4 sunt, 3 scilicet et 7; idem si juncti sunt, eorum quinarius numerus medietas est. Rursus is
Abbreviated transcription (Latin):
terminus in hacꝓportione uelminor em uincit uel a maior e superat᷑
Sedeadem parte minor is minorem superat. quapar temaior is a ma¬
ior es uperatur Inhancenim disputatione armonica quae ÷ .ii. iii .ui.
ternarius medius binariũ tertia sui parte uincit. Idestternarius a se¬
nario tota suiquantitate superatur. Iẽ c̃rirdius idemq: ipse ternariuꝰ
medi &a teminor is uincit minor ẽ id ÷ .i. & medi& atemaioris amaio¬
r& erminouincit᷑ id ÷ tribus. Sen aruienmmedi& as ternarius est.
In geom&ricauero medi&ate neq: eisdemsuis partibus medius uel
uincitminorẽ uel amaior euincit᷑. Neq: eadem parte uel minoris
minorem superat eadem partesua maior t̃minus mediumuincit
quod ÷ ut medi& asatq & tremitas aequalibus medi&atẽ & & tremita¬
tem reliquã suis partibus suꝑuadant. In hacenimdis positione quest
quarta UI. .VIIII. tertia suiparte mediussenarius quat̃ nariũ

Expanded text:
terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a majore superatur, terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a majore superatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte majoris a majore superatur. In hac enim dispositione harmonica, quae est 2, 3, 6, ternarius binarium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota sui quantitate superatur, id est tribus. Idemque ipse ternarius, medietate minoris vincit minorem, id est uno, et medietate majoris a majore termino vincitur, id est tribus. Senarii enim medietas ternarius est. In geometrica vero medietate, neque eisdem suis partibus medius vel vincit minorem, vel a majore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorQuod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant. In hac enim dispositione, quae est 4, 6, 9, te tia sui parte medius senarius quaternariu
Abbreviated transcription (Latin):
tricã ꝓportionẽ Namq: in arith m&ica ꝓportione mediuster¬
minus eademsua parte &minorem praecedit &amaior ep̃cedit᷑. sed
alia parteminor is minoremuincit alia partemaior is. Sitenim arih¬
m&ica dispositio .ii. .iii.iiii. Ternarius igit᷑ numerus binarium
tertiasua parte precedit id est uno. & aquater nario tertia sua parte
preceditur io ÷ uno. atuero t̃narius non eadẽ parteminor is mino¬
remuincit uel maioris aminore superat᷑ . Namq: minorem io ÷ bina¬
rium unosuperat id ÷ ipsius medi&atebinarii. Aquat̃ uero unore¬
linquit᷑ quȩ pars ÷ quat̃ narii quarta. Recteigit᷑ dictum est mediũ
terminũ in huius modimedi&ate eademsui parte & minoremuincere
& amaior esuperari. Sed non eisdem partibus uelminor is minorem
trans gredi. uelmaior is amaiore transcendi contrarias armonica
medi&as ꝓportiones hab&. Namq: non eadẽ parte sua medius

Expanded text:
tricam proportionem. Namque in arithmetica proportione, medius tertricam proportionem. Namque in arithmetica proportione, medius terminus eadem sua parte, et minorem praecedit et a majore praeceditur, sed alia parte minoris, alia vero parte majoris. Sit enim arithmetica dispositio 2, 3, 4. Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris minorem vincit, vel majoris a majore superatur. Namque minorem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medietate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est medium terminum in hujusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a majore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel majoris a majore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua, medius
Abbreviated transcription (Latin):
ad differentiam medui &ultimi io ÷ quat̃ narii atq terna¬
rii quȩ est unitas duplaperspicitur. sed hocquoque
subiecta des criptionemonstratur:
ab& autem propri&atẽ quemad modũ dictum est contrariam arith¬
m&icȩ medi&ati. in illamenim inminoribus terminis maiorerat
ꝓportio inmaioribus minor. in hacuero in maior ibus quidem t̃minis maior
est ꝓportio inminor ibus uerominor nam que in hacdis positione .III.
iiII.uI. tresad .iiii. comparati ses quit̃tiã habitudinem. Sesuero
nalitas iudicatur. Scilic& int̃ eã ubiinmaior ibus terminis minor ÷
proportia & in manor ibus maior. & int̃ eam ub un maioribus ma
ior inminoribus minor. Illa estenĩ uere ꝓ porcionalitas. quȩ medi¬
&atis quodam modo locõ obtinens & in maior ibus & inminoribus
aequalibus ꝓportionũ cum parationibus contin& ur Hoc quoque
signum est duarũ &tremitatum mediames se quodã modo geome¬

Expanded text:
ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternaad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subjecta descriptione monstratur: Habet autem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim, in minoribus terminis major erat proportio, in majoribus minor; in hac vero, in majoribus quidem terminis major est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione 3, 4, 6, tres ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero nalitas judicatur, scilicet inter eam ubi in majoribus terminis minor est proportio, et minoribus major, et inter eam ubi in majoribus major est, in minoribus minor. Illa est enim vere proportionalitas quae, medietatis quodammodo locum obtinens, et in majoribus et in minoribus, aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque signum est, duarum extremitatum mediam esse quodammodo geome
Abbreviated transcription (Latin):
PROPRIE TATIBUS
rmonica autẽ medi&as ÷ queneq eisdẽ differentus Nec equis
proportionibus constituitur. Sed illai qua quemadmo¬
dum maximus terminus ad paruis simu terminũ ponitur.
sic differentiamaximi & medii contra differentiam medii atqꝵ
UI. senarius enim quater narium sua tertia parte superat ro ÷
duobus. Quater nariusuero ternariũ sua quarta parte
suꝑuenit id ÷ uno. Et senarius ternariũ. sua medi & aterd ÷
tribus. Ternarius uerobinarium sua parte tertia id ÷ unita¬
tetranscendit. Quarein his neq: eadem ꝓportio terminorũ ÷
neque s unteadem differentiae. Estautem quemad modũ maximus
terminus a paruissimum terminũ sic differentia maximi & me¬
dii ad differentiam medii atq postremi. Namq in haeꝓpor¬
tione que est .iii .iiii. Ui maior terminus io estsenarius
ad paruissimũ terminNum io ÷ sȩnariũ duplus est & diffe¬
rentia maximi & medii id ÷ sen aru& quat̃ nario duo scilic&

Expanded text:
proprietatibus. Harmonica autem medietas est quae neque eisdem differentiis, nec aequis proportionibus constituitur, sed ila in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem differentiae. Est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum senarii et quaternarii, duo scilicet
Abbreviated transcription (Latin):
scbnt&ragonũ ponas qͥ mnordinequidem secundus est sed actu& opereprimus & du¬
obus parte altera longioribus. Congregatis & bis multiplicatom ediot& ra¬
gonor᷑ sust& ragonꝰ c̃ficit᷑ . nãq: int̃senariũ &bin ariũ numerũ qͥs̃ primꝰ & secuđs
part ealtera longiores si ponat᷑quat̃ nariuordine scđs prim actut & ragonus¬

Expanded text:
secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex dusecundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur. Namque inter 6 et binarium numerum, qui sunt primus et secundus part
Abbreviated transcription (Latin):
secundum tertium que t&ragonum secundũ parte altera longior ẽ ponas.
sesqualter ȩcomparationis adutrosq: forma componitur & sunt̃ tertiũ & quar¬
tumt& ragonun: tertium parte altera longiorem constituas. sesquit̃tia spe¬
cies nascit᷑ &idẽ suncunctis fecer iscunctas suꝑ particulares speciesinuenir i miraberis
Etadeundẽ modũ inc&eris conuenitintueri. Rur sussi ponant᷑ duot& rago¬
ni & superioribus descriptis id est primus & secundus & in unũ colligantur. & medius
eorum parte altera longior bis multiplic&un t& ragonus fit. Nãq: un & quatuor
siungant᷑ .v. faciunt eorũ binarius parte altera longiorsibisducant᷑ uuͭ faciut̃ qui
iuncti .uiiii. sineulla dubitatione conficient quiestnumerus quadrat᷑ & ad eundẽ
modũ in aliis hocmodo dispositis numeris quos supͣ discripsimus id ẽ constatintelli¬
gi siuero conuertas & interduos primũ & secundũ parte altera longiores

Expanded text:
secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum, tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberis. Et ad eumdem modum in caeteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et 4, si jungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quatuor faciunt, qui juncti, 9 sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores
Abbreviated transcription (Latin):
c̃ tus es quitertius. Secudum eandem conuenientiã quȩ superius de¬
monstrataẽ¬
prima multiplicitatis species. Siuero secundũ secundo. hemiolie
quantitatis habitudo ꝓducitur. si ter tertium tertio. sesquit̃tia ꝓ
creatur si quartum quarto sesqui quarta  quintum quinto sesqui¬
quinta & hincsuꝑ particulari umnormam. in quamuis longissi¬
mũ spatiũ ꝓgrediens integram in offensamq repperies. itautin
tia trium inses qui quarta. quatuor. & deinceps secundũ suꝑ par¬
ticulares formas numerorũ o quodad differentias attin&
imnotantum crescit adiectionumerorũ. &xplicans naturalẽ¬
ursus quadratiinuicẽ in paribus differ̃parte altera longores parib:
Atuero sint̃ primũ & secundumt& ragonũ primum parte alte¬
ra longiorem ponimus. adutrosq: eos una ꝓpottione coniungit᷑
In utrisq: enimꝓportionibus duplimultipli citas inuenitur. Sinuero int̃

Expanded text:
tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius detertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrataultiplicitatis species. Si vero secundum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in tia trium, in sesquiquarta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalerati invicem imparibus differunt, parte altera longiores, paribus. At vero si inter primum et secundum tetragonum, primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione conjungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter
Abbreviated transcription (Latin):
BITUDINES EROPORTIONUMCONSTARE
Disponantur eniminor dinẽ noniam paresadq: inpares. & quibus
quadrati uel parte altera longi ores fiunt. Sed hiipsiqui illis coater¬
uatis in imnumq: redactis. & quadrati& parte altera longiores pro¬
deunt ita enimui debimus istorum quendam consensũ & ad c&eras
numeri partes ꝓcreandas amicitiam. ut non sine causa hocinom¬
nibus rebus ab numeri speciem naturarerum sũpsisse uideatur
Sintigitur duo uersus t& ragonorum ab unitateomniũ ab inario
Horumigitur si primum compares primodupliquantitas inuenst᷑q¬
inuerosecundũ t&ragonũ primo parte altera longiori com¬
pares & tertium secundo & quartumtertio & quitum quarto. Eas¬
demrursus ꝓportiones efficiꝑ notabis. Quas in superiore forma
discripsimus sedhic differentiae ab unitate abin itate noninchoant
Sedabinarionumero in infinitũ ꝑ eosdem calculos ꝓgrediunt᷑. Crit¬
q: secundus primi dupl&. Tertius secundus ses qualt̃. quartus

Expanded text:
re. Disponantur ergo in ordinem non jam pares atque impares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a binario Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitin vero secundum tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus
Abbreviated transcription (Latin):
reneces seest. Erunt autem duplicium qui dẽ triplices tripli¬
cium quadruplices quadruplorum uero quinquupli & secundũ
eandemordinis in commut abilem rationẽ sibim & cuncta consen¬
tient quibus & positis ad sequentẽ operisseriem cõp&ens dispita¬
tio conuertitur
Dicigitur ses qualter & ses quitertius. unum duplicem conponunt
a tuer o si fuerint medi&as & duplus. inter duplicem & medium
potest un a medi&as talis inueniri. quaead altera & tremitatem
ses qualtera sit. ad alterum ses quitertia. altrinsecus enimpositis sena¬
rio & ternario. id estduplici & medi& ate. siquater narius in medio collo¬
c&ur. alter narium nu me¬

Expanded text:
re necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cuncta consentient, quibus expositis, ad sequentem operis seriem competens disputatio convertaturic igitur sesquialter et sesquitertius unum duplicem componunt. At vero si fuerint medietas et duplus, inter duplicem et medium potest una medietas talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesquialtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium nume
Abbreviated transcription (Latin):
idest triplus numerus quiest species secundamulti plicis. secundȩ speciei suꝑ¬
particular is apt&. qua druplicontinuo forma conteitur. & in easdemrur¬
sus partes natur ali partitione solu&ur. Secundum modũ quem superius
demonstrauimus si uero quaruplus sese acsesqui quartus agglomerent.
qunquplus continuo fi& & siquinquplus cumses quiquinto. moxsesquu¬
pli proportio coniugabitur. atqueita secundum hancꝓ gressionem cunc¬
temulti plicatis species sineulla ordinis permutationenas centur. itaut

Expanded text:
id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei supid est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur, et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomerent, quincuplus continuo fiet: Et si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitur. Atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species s