comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
to. ac. gͦ ꝑ ultimani pͥ. augilus .c. est rectus. gͦ ꝑ correla¬
rium. iii. iꝰ. liea ac. est ꝯtingens circulum qͥuod est ꝓpõĩ¬
tum. Si autem adb. non transit per centr̃: ducatur
a pcõ .a. linea tnͣsiens ꝑ centr̃. et quia qtd̾ fit ex hcͣ tota¬
ni euis partem extrmsecam ẽ equale ei quod fit ex id
in.ab. ꝑ pͥmissam. ipm̃ etiam erit equale quadratõ liͤ
ac. qrͣ ut prius. ac. erit ꝯtingens artuliur.
E
ra intra circulum
dicitur scribi quando ea que
inscribitur eius in qua scribitur lat̾a
figure ꝑhibetur quociens ea quitem fi¬
gura eius cuiscribitur suis oñb la¬
datum date linee recte que dyametro
minime maior eristat equam recłas

Expanded text:
ato a e, ergo per ultimam primi angulus c est rectus, ergo per corollarium 15 huius linea a c est contingens circulum. Quod est propositum. Si autem a b d non transit per centrum, ducatur a puncto a linea transiens per centrin eius partem extrinsecam est equale ei quod ex d a in a b per premissam, ipsum etiam erit equale quadrato linee a c, quare ut prius a c erit contingens circulum. Era intra figuram dicitur inscribi, quando ea que inscribitur eius in qua scribitur laterafigure perhibetur, quotiens ea quidem figura eius cui circumscribitur suis omnibus laum date linee recte que diametro minime maior existat equam | rectam
Abbreviated transcription (Latin):
dͣci maior medietate portõins in qͣ existit. eoꝙ. om̃is tͥ¬
angulus̃ ỹ socheles ẽ medietas palli sue basis ꝑ .ex. pͥmi.
Sint itaq poitõnes exñtes suꝑ lat̾a orthogo nscripti p¬
iter accepte nimus suꝑficie .f. Si .n. non dumi ħ eẽt.
nõ cessarem diuide artus quoꝵ lat̾a ultĩc descͥpte fige
sut̃ corde ꝑ equalia. et in scrib̾e figurã equilat̾ani duplo

Expanded text:
adrati maior medietate portionis in qua existit eo quod omnis triangulus ysocheles est medietas paralellogrami sue basis per 41 primi. Sint itaque portiones existentes super latera octogoni inscripti pariter accepte minus superficie f. Si enim nondum hoc esset, non cessarem dividere arcus quorum latera ultime descripte figure sunt corde per equalia et inscribere figuram equilateram duplo
Abbreviated transcription (Latin):
alt̾ius ad alt̾m tanqmͣ ꝓportõ quadͣti
suc dy ametri ad quadͣtum dyamet᷑ alt̾iꝰ
Suit duo cutuli . ab. ⁊ ed quoꝵ dyametri quoq ditan¬
tur . ab. ⁊ cd. dico itaq quod ꝓportio curuli .ab. ad cir¬
cłui .cd: est sicut quadratri dẏametri. ab. ad quaoͣtũ
dyametri .cd. Maĩfestum ẽ .n. ex hac ꝯm̃ scĩa qnͣta est q̃li

Expanded text:
alterius ad alterum tamquam proportio quadrati sue diametri ad quadratum diametri alterius. Sint duo circuli a b et c d quorum diametri quoque dicantur a b et c d. Dico itaque quod proportio circuli a b ad circulum c d est sicut quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d. Manifestum enim est ex hac
Abbreviated transcription (Latin):
a. sicut nu̾s b. ad num̃ ñ.c hanc aut̾. liuneã ita reꝑio. di¬
uido lineã.a. in tot ꝑtes equale s qd sunt uintatẽs in nu¬
niero h. qd̾ facile facio adiuuante .ii. uł .i.6ͭ ͥ De hinc
suꝑ ex̾mitatem linee .a. erigo lineã .e. ꝓpen dicularit᷑ in
qua totiens contineatur una in ꝑtib .a. quociens unitas
est in .c. Quia gͥ ex prima gͥ ꝓportio quadrati lines
a. ad suꝑficiem que est fit ex. iͥ. in e. est sic̾ a. ad .e.

Expanded text:
tem lineam ita reperio. Divido lineam a in tot partes equales quot sunt unitates in numero b quod facile facio adiuvante 11 vel 12 sexti. De hinc super extremitatem linee a erigo lineam e perpendiculariter in qua totiens contineatur una ex partibus a quotiens unitas est in c. Quia igitur ex prima sexti proportio quadrati linee a ad superficiem que fit ex a in e est sicut a ad
Abbreviated transcription (Latin):
io. quadtũ .a. est in ꝯm̃surabile q̃drato f. Igitur linea. f.
est mꝯĩsurabił liee .a. in potencia qrͣ et in songitudĩe
Quiũ quatuor linearum ꝓportionaliũ¬
si prima tanto amplius possit secunda
qnͣtum est qͣdratũ a licuiꝰ linee cõnumicantis
sibi in longitudine ncte est t̾ciam quoq tan¬
to amplius posse quarta qnͣtum est qͣdtum
alicuiꝰ linee cõnumicantis sibi in longitudi¬
ne. Qsi fuit prima potentior secunda q̃¬
drato alicuiꝰ linee incõmensutabilis sibi in
longitudine eut quoq tcia potencior qrͣta¬
b. ⁊ .c. maior .d̾. sit q.a. potentior .d. quadrato luce .e. ⁊ .c.
tudine .c. quoq ꝯͥcabit .ẜ. in longitudine. Ꝙ ⁊ si .a. ꝯͥcat .e.¬
uõ ꝓponit auctor ꝙ facile p ex p̾oreũ demonstratõe. Cũ
sit .n. ꝓpor ͦ.a. ad .b. sicut .c. ad .d. erit quadti a. ad quad¬
tuni .b. sicut quadrati .c. ad quadtũ.d. et quia. qͣdratũ ..
est equale quadratis duarũ linearũ .b. ⁊ .e. Sinułr. qͣdra¬

Expanded text:
10 quadratum a est incommensurabile quadrato f, igitur linea f est incommensurabilis linee a in potentia, quare et in longitudine. 2 Omnium quatuor linearum proportionalisi prima tanto amplius possit secunda, quantum est quadratum alicuius linee communicantis sibi in longitudine, necesse est tertiam quoque tanto amplius posse quarta, quantum est quadratum alicuius linee communicantis sibi in longitudine. Quod si prima fuerit potentior secunda quadrato alicuius linee incommensurabilis sibi in longitudine, erit quoque tertia potentior quac maior d, sitque a potentior b quadrato linee e et c tudine, c quoque communicabit f in longitudine. Et si a non non proponit auctor quia facile patet ex priorum demonstratione. Cum sit enim proportio a ad b sicut c ad d, erit quadrati a ad quadratum b sicut quadrati c ad quadratum d. Et quia quadratum a est equale quadratis duarum linearum b et e, similiter quadra
Abbreviated transcription (Latin):
quałr. qd̾ sit scd̾m .ii. et iten .c. et .b. equalit̾ quod
sit scd̾m .p. Quia igitur ex .i.in .r. fit .c. et ex .e. ĩ .ii.
fit .a. sequitur ꝑ diffõm ut .a. sit solidus. eiusq lat̾a
ẽẽ similes: sic constabit. cum ex .g. inĩ.ii. fiat᷑.d. et
ex eodem in .p. b. ent q ꝑ.i8. septimi .ii. ad. p. sicut
manifestum est .a. et .b. esse similes quod ẽ ꝓpoĩtun.

Expanded text:
. Et item c et b equaliter quod sit secundum p. Quia igitur ex h in k fit e et ex e in n fit a, sequitur per diffinitionem ut a sit solidus eiusque lateraesse similes, sic constabit: Cum ex g in n fiat d et ex eodem in p, b, erit per 18 septimi n ad p sicut  manifestum est a et b esse similes. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
a. et.b. solidi similes. Dico quod int̾ ipõs catent duo
c̃. in .d.R. et ex .f. in .g. i. erunt q ex diffõne .R. et
i supficiales et smmuiles. arͣ ꝑ .G̃. hunis. imus nũs cad
ãt ꝙ ex .e. in .k. fit .a. et ex.n . in .l. u. Sugitur ex &e.
iustem p. ad .b. sicut .c. ad .hi. et ito sicut.c: ad.f.
fatu que est eatem ini que est .c. ad .f. et ni est¬
eis sccdłim continuã ꝓpor̃litutẽ duo nii¬
int̾iacent quilibet duo uiui̾u solidi sunt atq¬

Expanded text:
 et b solidi similes. Dico quod inter ipsos cadent duo c in d, k et ex f in g, l eruntque ex diffinitione k et l superficiales et simitum autem est quod ex e in k fit a et ex h in l, b. Si igitur ex e iusdem p ad b sicut e ad h et ideo sicut c ad f, cata que est eadem illi que est c ad f. ∗∗∗ eis secundum continuam proportionalitatem duo numinteriacent, quilibet duo numeri solidi sunt atq
Abbreviated transcription (Latin):
lince . ab. et .i.m. equidistau̾s unee.aẜ. It̾m .bl. equidistãs
linee . ah. ⁊ bn. equidistans liͤ. ał. rursus quaq .Ru. ea¬
equid istans .hl. ⁊ pł equidistans .h.m. protra ha ͨ qucq ⁊
unea .pn. erit qr ꝯpletum solidum palłm .ap. quod dico

Expanded text:
l equidistans linee a h et b n equidistans linee a k. Rursus quoque k n eqequidistans h l et p l equidistans h m, protrahatur quoque et linea p n. Eritque completum solidum paralellogramum a p quod dico
Abbreviated transcription (Latin):
nemiat .c. dico .c. ẽẽ quadratum. fiat enun .d. ex .a.in
a. et .b. radit uus miedius scd̾m ꝯtinuam ꝓportõm. ⁊¬
equalitutem ꝑ. iõ .sͥ. sequitur ꝑ .s. eiustem ut uinis
Iex ductu alt̾ius in alt̾m tetͣgonus ꝓdu

Expanded text:
roveniat c. Dico c esse quadratum. Fiat enim d ex a in a et b cadit unus medius secundum continuam proportionalitatem per 16 octavi, sequitur per 8 eiusdem ut unus i ex ductu alterius in alterum tetragonus
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓportõni hñtem mediũ duo q ex̾ma. ⁊ maior ꝓportõ euis. ẽ liꝰ
eb. Constut at̃ ex eͣ ẜi quod quadratũ .aq. quadruplũ ẽ ad
quadratum.de. Itaq gnomo. gde. equał est quadrato. aq. qꝰ¬
ctͣ duo suplementa. It. ⁊ ce.ꝑit̾ accepta sunt qnͣtũ giiomo
cin l. Atqr eadem suplementa ꝑit̾ accepta sũt ex pͣs. qͣtũ¬
dinise poĩta in p̾nꝰ sexti libri ꝯclute ꝓpoĩtũ. Idẽ ałr. cum qͣdrat̃
cd. sit ex ypothꝰ quncuplũ ad quadratũ. bd. qͣdratũ uͦ .ab. sit
ex.xͣ. ẜi quadruplũ ad idem. At quadratũ .cd. fit ex eatem
eqͣle quadto.cb. ⁊ quad̾to .ld. et ei quod fit ex .ba. bis ĩ eb.
se᷑ ut illud quod fit ex .bd. bis in .cb. cũ quadrato .cb. fit
equale quadrato. ab. sed ex.bd. bis in .ch. tantũ ẽ qnͣtũ ꝙ ex
cũ quadrato .bc. est equale auad̈to .ab. et quia ex ẜa .ẜi. qdͤ
fit ex . ab. inĩ .bi. ⁊ in. ac: est eꝗͣie quadrato. ab. sequitur ex ꝯñ

Expanded text:
ntem medium et duo extrema et maior portio eius est linea c b. Constat autem ex 4 secundi quod quadratum a q quadruplum est ad quadratum d e. Itaque gnomo d g e equalis est quadrato a q. Quocirca duo supplementa l d et c e pariter accepta sunt quantum gnomo c m l atque eadem supplementa divise positam in principio sexti libri conclude propositum. Item aliter. Cum quadratum c d sit ex ypothesi quincuplum ad quadratum b d, quadratum vero a b sit ex 4 secundi quadruplum ad idem, at quadratum c d sit ex eadem equale quadrato c b et quadrato b d et ei quod fit ex b d bis in c b, sequitur ut illud quod fit ex b d bis in c b cum quadrato c b sit equale quadrato a b. Sed ex b d bis in c b tantum est quantum quod ex cum quadrato b c est equale quadrato a b. Et quia ex 2 secundi quod fit ex a b in b c et in a c est equale quadrato a b, sequitur ex communi
Abbreviated transcription (Latin):
et .c.d. eq̃distantes in quas fiat. ac. fe. sr̃ficiũ eq̃distanciũ lat̾um
sr̃ basim .ce. et suꝑ eantem basim et int̾ eastem lineas fiat alia
suꝑficies. gc he. et simiłr equedistanciũ lat̾ũ. dico p̾dictas du¬
as sr̃ficies eẽ equales qd̾ sic ꝓbacur. aut linea eg. setabit lie¬
am .ab. in aliquo puncto linee. af. aut in puncto .F. aut ĩ a ͨ
pcõ linee. ẜb. sect gͦ pͥmo in aliquo linee. af.ut ĩ pͥma fig̾atõe
p̾cedentẽ una eaꝵ Et equał alt̾i. dempta g ͦ liuea . gf. coĩ rema

Expanded text:
et c d equidistantes inter quas a c f e superficies equidistantium laterum super basim c e et super eandem basim et inter easdem lineas fiat alia superficies g c h e similiter equidistantium laterum. Dico duas predictas superficies esse equales. Quod sic probatur. Aut enim linea c g secabit lineam a b in aliquo puncto linee a f aut in puncto f aut in aliquo puncto linee f b. Secet ergo primo in aliquo puncto linee a f ut in prima figuratione precedentem, u
Abbreviated transcription (Latin):
fgh. equidi stanciũ lat̾ũ. Constitue int̾̃ duas liieas eq̃distantes
q̃ sinit . ꝯf.ch. sint eqͣles bases q̃ sunt .cd. et gh. dico eas ẽc̃ eqͣles
equał. gh. Quia g ͦ ꝑ p̾missam assũptam utq duaꝵ suꝑficieꝵ
as eq̃ distantes fuint ꝯstituti. abiuo tangul
lineam .bc. int̾ lineas. ac et bf. eq̃distantes. Dico eas eẽ equales
Ptͣhani .n. eg. eq̃d istantem. ab. et ch. eq̃distantem. bd. eruit¬
q due suꝑficies. ab cg. dbch. et ꝑ .25. equales. et qr dã tangłi st̃¬

Expanded text:
aterum constitute inter duas lineas equidistantes que sunt a f, c h super equales bases que sunt c d, g h. Dico eas esse equales. equalis g h. Quia ergo per premissam utraque duarum superficierum as equidistantes fuerint constituti. | Sint duo triangulim b c inter lineas a e et b f equidistantes. Dico eos esse equales. Protraham enim c g equidistantem a b et c h equidistantem b d. Eruntque due superficies a b c g et d b c h per 35 equales et quia dicti t
Abbreviated transcription (Latin):
centr̃ sit. f. tollitata. ⁊ cum quili .e. anguloꝵ istiꝰ py¬
itmid is possit eẽ conus eiꝰ. atq quil .G. tͥaugłoꝵ basis¬
y magmemur nc̃ eius solidum angulũ .a. eẽ conuia
in telligamus cͥcumsc̃ptum eẽ tutulũ. bod. Dehinc a¬
pc̃o .q. quẽ ymagĩati sumꝰ conũ pyranudis ducamꝰ
tr̃ spere cutum saibentis pyrauudẽ de qua disputamiꝰ
⁊ occurrat ħ liꝯ suꝑficier. bod. qmͣ y magmati simius
lnsim pyrnudis suꝑ pcm .e. Dico igitur ꝙ ptm̃ .e. ẽ
dentr̃ ciituli . bod. Et auia liaͣ. afe. est ꝓpendicularis
ad suꝑficiem. bed. ꝓducam .ii. lineas. fb . ft. fd̃. Et¬
quia .4. It̃ã. a .b. c.d. sũt in suꝑficie sꝑe cuiꝰ centrũ
py lamidem. erunt om̃s .4. lic. fa. Fb. ft. fd. ad ũu¬
cem equales. sunt .n. ducte acentro sꝑe ad euis sr̃¬
ꝑ̾ .ii. pii. angulus quoq .cfe. erit equał angulo.
dfe. Sunt igitur .3. anguli. ufe . cfe. dfe. ad n iicẽ

Expanded text:
centrum sit f collocata et cum quilibet 4 angulorum istius piramidis possit esse conus eius atque quilibet 4 triangulorum basis, imaginemur nunc eius solidum angulum a esse conum intelligamus circumscm trum spere circumscribentis piramidem de qua disputamus et occurrat hec linea superficiei b c d quam imaginati sumus basim piramidis super punctum e. Dico igitur quod punctum e est centrum circuli b c d et quod linea a f e est perpendicularis ad superficiem b c db, c, d sunt in superficie spere cuius centrum piramidem, erunt omnes 4 linee f a, f b, f c, f d ad invicem equales. Sunt enim ducte a centro spere ad eius superper 13 primi angulus quoque c f e erit equalis angulo d f e. Sunt igitur tres anguli b f e, c f e, d f e ad invicem
Abbreviated transcription (Latin):
tiis. qͣr᷑ duo angłi. adh. et d fħ. sunt equales. poĩto gͦ ꝯiũ
angilo. hdf. erit angulus. adf. equał angło duob angłis
qui sunt. dfh. et hdf. sed hii duo cũ angulo .h. sunt eqͣles
duob rectis ꝑ. 32. pͥmi. gͦ angulus adf. cũ angło .h.equi¬
ualet᷑ duob rectis. sed angulus adf. cum angulo bdt. equi¬
ual duob rectis ꝑ .i. pͥmi. gͦ angulus. bdf. est equałan
gulo .h. ergo ⁊ angulus .c.ꝑ. 20. huuis. ⁊ ħ ẽ primũ. Et qr
duo angusi .c. et .e. sunt equales duob rectis ꝑ .ii.hꝰ. erit
angulus .e. equar angulo. adf. qd̾ ẽ scd̃m. uł illud ẜinsic

Expanded text:
s. Quare duo anguli a d h et d f h sunt equales. Posito ergo communi angulo h d f erit angulus a d f equalis duobus angulis qui sunt d f h et h d f. Sed hii duo cum angulo h sunt equales duobus rectis per 32 primi, ergo angulus a d f cum angulo h equivalet duobus rectis. Sed angulus a d f cum angulo b d f equivalet duobus rectis per 13 primi, ergo angulus b d f est equalis angulo h, ergo et angulo c per 20 huius. Et hoc est primum. Et quia duo anguli c et e sunt equales duobus rectis per 21 huius, erit angulus e equalis angulo a d f. Quod est secundum. Vel istud sec
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmi est equalis triangulo. abc. Itaq om̃s .i2. pentha
duotecedri cum om̃s sint eꝗͣles ⁊ Nes pentha ͦ .a. disi¬
biles sunt in . Go. tͥangulos auoꝵ quis ꝑ .s. pͥ. ẽ eqͣł
triangulo. abc.  at᷑ fit ex . ab. in. be. duplũ. ⁊ ꝑ
ei. pͥmi ad t̾angłui. abc. ergo trigicplũ euis quod fit
ex .ad. in .bc. est sexagincuplũ ad tangulũ. abc. Nani
sit simplũ ad simplũ: sic duplũ ad duplum. Cũ itaz
oñs suꝑficies duodeced. ꝑtter accepte sunt sex agĩcuplũ
ad tangłui. abc. sequitur ut trigĩcplũ eiꝰ ꝙ fit ex. ad. ĩ

Expanded text:
primi triangulo a b c. Itaque omnes 12 pentagoni duodecedri cum omnes sint equales et similes pentagono a divisibiles sunt in 60 triangulos quorum quisque per 8 autem fit ex a d in b c duplum est per 41 primi ad triangulum a b c. Ergo trigincuplum eius quod fit ex a d in b c est sexagincuplum ad triangulum a b c. Nam ut simplum ad simplum sic duplum ad duplum. Cum itaque omnes superficies duodecedri pariter accepte sint etiam sexagincuplum ad triangulum a b c, sequitur ut tr
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ luica .q. sit potens saꝑ totam. lii. ⁊ eius mĩorẽ portom̃
nin. Dico gͦ quod ꝓpoitio .p. ad .q. est sic .h. ad.R. Con¬
stat .n. ex ẜa hunis quod .ba. ad. ac. sicut .uil. ad in.
Ergo ꝑ pͥmiam ꝑtẽ .2i. sexti quadrati .ba. ad quadrat̃
as. situt quãdrati. mł. ad quadratũ .ln. Nrͣ qiĩctĩ qua¬
drati .h. ad qͣoratũ. ac. sicut quadrati.p. ad quad rat̃

Expanded text:
t linea q sit potens super totam l m et minorem eius portionem m n. Dico ergo quod proportio p ad q est sicut h ad k. Constat enim ex secunda huius quod b a ad a c sicut m l ad l n, ergo per primam partem 21 sexti quadrati b a ad quadratum a c sicut quadrati m l ad quadratum l n. Quare coniunctim quadrati h ad quadratum a c si
Abbreviated transcription (Latin):
hũi ꝯ quod ipa catiumsartens duo decedron ⁊ penthos
latus est .de. cutunis cubit sunul ꝓcocedron cuus tri¬
e nãtur g linea .h. potens suꝑ totã liaur ab. ⁊ euis
inaiorẽ portom .bc. Dico itaq quod ꝓpoctio eg ad df¬
hest satens cubi ad latus manguli u cocedri mia cũ
ip̃o cũło ab ipã sꝑa ꝯtenti est sicut. hiad . Coda¬
⁊ cuis maiorem portõm. ac. qrͣ .de. est equał.h. Nam qua
quoq tripla est potencialit᷑ ad. as. gͦ ex ẜa ꝑte .2i. sexti¬

Expanded text:
quod spera circumscribens duodecedron, cuius pentagoni latus est d e, circumscribit simul ycocedron cuius triSumatur ergo linea h potens super totam a b | et eius maiorem porthoc est lateris cubi ad latus trianguli ycocedri una cum ipso cubo ab ipsa spera contenti, est sicut h ad k. Coet eius maiorem portionem a c. Quare d e est equalis h. Nam quadquoque tripla est potentialiter ad a c. Ergo ex se
Abbreviated transcription (Latin):
bf. ad .ł. et ꝑmutqñ. eg. ad.df. sicut. de . ad. R. ⁊ quia
de. ⁊ .i. sunt equales ent ꝑ .ii. quiuti. eg. ad.df. situt
.i. ad .R. quod est ꝓpontum. Non solũ at̾ est ꝓpor ͦ. eg. la¬
t̾is cubiad.df. lat̾us triauguli y cocedri sit̃ .ħ. ad.R. ĩ¬
⁊ sup eiis maiorem potõni. Alt̾a u̾o sr̃ totam ⁊ euis uri¬
ab .h. ⁊ k. ⁊ sumatur quel alia liuea que sit. Ini. di

Expanded text:
d f ad k et permutatim e g ad d f sicut d e ad k. Et quia d e et h sunt equales, erit per 11 quinti e g ad d f sicut h ad k. Quod est propositum. Non solum autem est proportio e g lateris cubi ad d f latus trianguli ycocedri sicut h ad k, im super eius maiorem portionem, altera vero super totam et eius mia b, h et k et sumatur quelibet alia linea que sit l m di
Abbreviated transcription (Latin):
tiuentes sint equales et euis suꝑficies rectangule. tale
n. corpus tubum diciunis hunis gͥ bisis sit suꝑficies .ac.
de suꝑficies gͥ sup̾ma . bf. gh. dextͣ uero eius suꝑficies
sit. ae gh. snustra uero suꝑficies sit błdc. Cit̾ior quaꝵ
sit. de bli. sed ult̾ior. acgf. enisq dẏamet̾ sit .ab. d̾idan
itaq omĩa lat̾a duaꝵ quarũl oppoĩtaꝵ suꝑficieꝵ eiꝰ ꝑ¬

Expanded text:
tinentes sunt equales et eius superficies rectangule. Tale enim corpus cubum dicimus. Huius igitur basis sit superficies a c d e, superficies eius suprema b f g h, dextra vero eius superficies sit a e g h, sinistra autem superficies sit b f c d, citerior quoque sit d e b h, sed ulterior a c g f eiusque diameter sit a b. Dividantur itaque omnia lat
Abbreviated transcription (Latin):
I fiunt niui̾u ab imutate continue ꝓporͣ¬
les trius ab unitate ent quad̃tus a c de¬
inceps numuio semper int̾iuisso. quartus ue¬
ro ab untate cubicus ẽ. Deuceps duobꝰ semp
incnussis. Iteuiq septinius ab uiutate est
quadratus cubicꝰ. ac deinceps quinq semp
nit̾inissis quad atus cubiais contuio seqͦ

Expanded text:
 ab unitate continue proportonales, tertius ab unitate erit quadratus ac deinceps uno semper intermisso. Quartus vero ab unitate cubus ac deinceps duobus semper intermissis. Itemque septimus ab unitate est quadratus cubicus ac deinceps quinque semper intermissis quadratus cubicus continuo sequitur.
Abbreviated transcription (Latin):
Iimius compõitus in nuũ quemilz
ducat᷑. qui inde producet᷑ erit solidus.
Dit .a. nũs ꝯroĩtus qui ducatur in .b. et ꝓuemat .c. di¬
co.s. ẽẽ nuũ solidum .Cum .i.a. sit ꝯpoitus. uuatur
ab aliquo nũo qui sit .d. nuñet eui scdi .e. Quiag¬

Expanded text:
us compositus in numerum quemlibet ducatur, qui inde producetur erit solidus. Sit a numerus compositus qui ducatur in b et proveniat c. Dico c esse numerum solidum. Cum enim a sit compositus, numeratur ab aliquo numero qui sit d numeretque eum secundum e. Quia
Abbreviated transcription (Latin):
a. sit cubus tunc quoq dico om̃s eẽ cubos .b .n. ꝯstat eẽ quo¬
dratum ꝑ p̾missam. g ͦ quia. a ad .b. sicut .b. ad .c. ex
n.sͥ. seqͥuitur .c. eẽ quadratum. Idem quoq ex eiusdem
i7. uił.20. potes argu̾e. de seqñtib at̃ idem eodemq mõ
ꝯstat eẽ cubum ꝑ p̾missam. Itaq p.2.3. gͥ.d. om̃is q¬

Expanded text:
em cubus, tunc quoque dico omnes esse cubos. b enim constat esse quadratum per premissam. Ergo quia a ad b sicut b ad c, ex 22 octavi sequitur c esse quadratum. Idem quoque ex eiusdem 17 vel 20 potes arguere. De sequentibus autem idem eodemque modconstat esse cubum per premissam, itaque p
Abbreviated transcription (Latin):
Sĩt .a. t̃ b. pͥores .c. ⁊ .d postiores. Sit q ut̾q duoꝵ .a. ⁊
b. pͥmꝰ qd utĩq duoꝵ .c. ⁊.d. et ex .a. in .b. sit .e. et
ex .c in .d.f. Dico qd̾ .e. pͥmꝰ ẽ ad .f. ħ atͣ.24. t̾ assũpta
ẽ ad .c. et ad .d. ert ꝑ ip̃m .e. pͥmꝰ ad .c. et idem ꝑ ipa
pͥmꝰ ad .d. quia scẽ .F. fit ex .c. in .d. quoꝵ ut̾q p̾ mus
ẽ. ad .e. eͭ r᷑sꝰ ꝑ ipãm .f. pͥm̾us ad .c. quod ẽ ꝓpoĩtuu.

Expanded text:
Sint a et b priores, c et d posteriores sitque uterque duorum a et b primus ad utrumque duorum c et d et ex a in b fit e et ex c in d, f. Dico quod e primus est ad f. Hoc autem 25 ter assumpta rimus est ad c et ad d, erit per ipsam e primus ad c et item per ipsam primus ad d. Quia item f fit ex c in d quorum uterque primus est ad e, erit rursus per ipsam f primus ad e. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
drato .b. Constat quitem ex gͣ naꝵ quod quadratũ
a. tantũ est qnͣtum quadratũ.d. et quadͣtũ .b. et ꝙ
fit ex .d. in .b. bis. Item q quadratum .a. cumi qua¬
drato .d. tantum ẽ qnͣtum fit ex .d. bis in se. ⁊ bis
in .h. cum quadͣto .b. sed ex d.bis in se et bis nid
fit qnͣtum ex .d. bis in .a. per pͥmam haꝵ ergo ⁊d
fit ex .d. iii .a. bis cum quadrato .b. est qnͣtũ quat¬
tum .a. cũ quatto .d. arͣ patet ꝓpoĩtum.¬

Expanded text:
drato b. Constat quidem ex sexta harum quod quadratum a tantum est quantum quadratum d et quadratum b et quod fit ex d in b bis. Itaque quadratum a cum quadrato d tantum est quantum quod fit ex d bis in se et bis in b cum quadrato b. Sed ex d bis in se et bis in b fit quantum ex d bis in a per primam harum, ergo quod fit ex d bis in a cum quadrato b est quantum quadratum a cum quadrato d. Quare patet propositum
Abbreviated transcription (Latin):
quod ẽ ꝯͣ poĩta. Q si eẽt maior suppoĩtis trib angulis
głmi.d ef. ino quoq illi cũ quo ꝯͥcat iu basi. ita quod bases
supponantur basib equales udel equalib. ⁊ anguli. abc.
catant ad ꝑtem pc̃i .g. ecq̃retur ex .zi. pͥmi .℥. augłos. abs.
ẽẽ maiores trib qui siuit. dge. egf. Egd. eeñt itaq ma¬
iores .4. itis ꝙ ẽ amplius ꝯͣrium poĩtis. Reluquit᷑ itaq u

Expanded text:
s gulum d e f unoquoque illi cum quo communicat in basi ita quod bases superponantur basibus equales videlicet equalibus et anguli a, b, c cadant ad partem puncti g, sequeretur ex 21 primi tres angulos a, b, c esse maiores tribus qui sunt d g e, e g f, f g d essentque maiores 4 rectis. Quod est amplius contrarium positis. Relinquit
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑficiales equales tribꝰ ꝓpõĩtis ꝯstituentes angłm soli¬
dum in pc̃o .h. Cum .ii. quadratũ linee. ad. sit equale
duob quadͣtis duaꝵ imeaꝵ.dg. ⁊ gh exypoth. At qua¬
dratum lie̾ .dh. sit equale eistem ex pemlt̾ pͥmi. ncc̃e ẽ
liam .ad. eẽ equalem linee dhi. Eodeuiq mõ ⁊ lineam
ac. lie.ch. Igitur ex .8. pͥmi cũ uises ⁊̃ suit equales ent
augulus .a. equał angulo.d he. Słi auoq modo erit an¬

Expanded text:
gulos superficiales equales tribus propositis constituentes angulum solidum in puncto h. Cum enim quadratum linee a d sit equale duobus quadratis duarum linearum d g et g h ex ypothesi, at quadratum linee d h sit equale eisdem ex penultima primi, necesse est lineam a d esse equalem linee d h. Eodemque modo et lineam a e linee e h. Igitur ex 8 primi cum bases etiam sint equales, erit angulus a equalis angulo d h e. Simili quoque modo erit an
Abbreviated transcription (Latin):
fiat q ħ teciens quousq sit ex pyrãite .b. resid uũ iniiꝰ
core .d. cut qr lac̾ata pyramis detracta ꝙͣ ꝯponũt ꝑcialg
pyiãtes detracte maior core̾ .c. Iuschat᷑ gͦ curło .a. poligõi¬
um słe illi poligonio qd̾ ẽ basis lat̾ate pyranudis .b. ⁊ ꝑfi¬
tiatur suꝑ ip̃m pyrauus Iatata. ductis liueis a u̾tice pbra¬
udis laterate .a. ad augłos poligori inscripli. Erũt q due̾
euis ad basim illuis. iudel sĩt poligonii .a. ad poligomũ
b. h .ni. temͣtũ est in gͣ hꝰ. At uo poligouu .a. ad poligo

Expanded text:
piramide b residuum minus corpore d. Eritque laterata piramis detracta quam componunt partiales piramides detracte maior corpore c. Inscribatur ergo circulo a poligonium simile illi poligonio quod est basis laterate piramidis b et perficiatur super ipsum piramis laterata ductis lineis a vertice piramidis laterate a ad angulos poligonii inscripti. Eruntque due sicut eius basis ad basim illius videlicet sicut poligonii a ad poligonium b. Hoc enim demonstratum est in 6 huius. At vero poligonii a ad
Abbreviated transcription (Latin):
ti sinules erunt anguli quos axes ⁊ duc
nunes sectõnes basium ⁊ earum suꝑficieꝵ
que sup bases non ponuntͤ orthogonalit̾
erecte continent ad inuicem equales.¬
SS int due ronuite pyramites. ab. ⁊ cd. quaꝵ lases
t basnũ. eg. ⁊ hl. centͣ basiũ duo ꝑtã .b. xd. coni pyraĩ¬

Expanded text:
ti similes, erunt anguli quos axes et due communes sectiones basium et earum superficierum que super bases non ponuntur orthogonaliter erecte continent ad invicem equales. Sint due rotunde piramides a b et c d, quarum bases tri basium e g et h l, centra basium duo puncta b et d, coni pirami
Abbreviated transcription (Latin):
que egreditur ab axe .d. erit erecta sup tasim pyiauudis
cd. orthogonałr. Suit itaq duo artus. fg. ⁊ Ri. suuilee
⁊ intelligant᷑ supfia es due similes. abf. cdt. egredi ab
axib. ⁊ secare pyrauuces. Dico s duos angulos. abt̃.adꝑ.
ee̾ ad inuicẽ equales. ꝓͣchantũr .ii. duc linee. fu. ⁊ rii. Qui¬
aigitur due prramites. ab. ⁊ cd. sunt sinules. ⁊ due suꝑti¬
cies. abiii.cdn. stantes orthogonałr sup bases eg̃diuntur
ab eaꝵ axib. erit ex diffiuitt̾e slũ pyramidũ angꝰ. abii.
cquał angulo.cdn. et quia ex diffiuit̃e h ͤ sc̃ suꝑficiẽ ppẽ

Expanded text:
que egreditur ab axe c d, erit erecta super basim piramidis c d orthogonaliter. Sint itaque duo arcus f g et k l similes et intelligantur due superficies a b f, c d k egredi ab axibus et secare piramides. Dico igitur duos angulos a b f, c d k esse ad invicem equales. Protrahantur enim due linee f m et k n. Quia igitur due piramides a b et c d sunt similes et due superficies a b m, c d n stantes orthogonaliter super bases egrediuntur ab earum axibus, erit ex diffinitione similium piramidum angulus a b m equalis angulo c d n. Quia ex diffinitione
Abbreviated transcription (Latin):
uel sic erit reliqũ reliqͥ tota ꝑs qͦta tota tociꝰ.
Sic qͣnͣtitas. ab cota. pars qnͣtitatis: cd. quota. eb ip̃iꝰ. ab
miuuat᷑ q. ab ex qntitace cd ⁊ sit reliqũ fc. eritq. fd eqͣl
ab. Siuił quoq miuat᷑. eb: ex qnͣtitate. ab. sit q resi¬
duũ. ea. Dico quod quota ꝑs est qnͣtitas. ab. qnͣtitatis ic d.

Expanded text:
el sic: erit reliquum reliqui tota pars quota totum totius. Sit quantitas a b tota pars quantitatis c d quota e b ipsius a b minuaturque a b ex quantitate c d et sit residuum f c eritque f d equalis a b. Similiter quoque minuatur e b ex quantitate a b sitque residuum e a. Dico quod quota pars est quantitas a b quantitatis c d
Abbreviated transcription (Latin):
fiumnt due qnͣtitates ad alidui.¬
as duas eq̃ multiplices dueq miores a dua¬
b maiorib utͣq a sua młtiplice subt̾hanͦ

Expanded text:
int due quantitates ad alias duas eque multiplices dueque minores a duabus maioribus utraque a sua multiplice subtrahan
Abbreviated transcription (Latin):
portõ cͥcłi. acb. Dico qd̾ sr̃ eantẽ lineau ex eatẽ ꝑte nõ fiet
alia portõ q̃ sit stis huic. sed ea maior aut mmor ꝙ si fu̾it
po ssi ᷝ ͤ fiat gͦ portõ. adb. maior ea q̃ tñ sit słis ei. fiat gͦ an¬
gulus. acb. ĩ portõne mmor. et angłs. adb. ĩ maiou. erit
gͦ ut li ͤ. ad. et.db. ĩcludant lineas. ac. et .cb. ut ĩ pͥma¬
figͤatõẽ apꝑ. aut ut alt̾a pͣꝵ fiat eatẽ cũ alt̾a postremaꝵ.¬

Expanded text:
portio circuli a c b. Dico quod super eandem lineam ex eadem parte non fiet alia portio que sit similis huic et ea maior aut minor. Quod si fuerit hoc possibile, fiat ergo portio a d b maior ea que tamen sit similis ei. Fiat ergo angulus a c b in portione minori et angulus a d b in maiori. Erit ergo ut linee a d et d b includant lineas a c et c b ut in figuratione prima. Aut ut altera primarum fiat eadem cum altera postrema
Abbreviated transcription (Latin):
est qmͣ. pb. Quare patet lat̾a hoꝵ .i. corꝑoꝵ p̾missoꝵ fere
eo ordme quo corpora se ĩnicem seaintur. se inuicem er cs¬
teix. In cubo .ni. dunitaxat ⁊ octocedro hi ẜ instaucias.
slam lacus octocedri ex cedit latus cubr ꝙͣuis cub añcedat
octocedrũ. Cũbum atͣ p̾uttunt. Idcuto octocedro quideni
cadem diuisione dr̃amet̾ assignate sꝑe iatus pr̃raundis
e. Inses tͥangulas hñcis ⁊ latus cubi inuenit᷑. Est ign᷑ .ac. latus
pymnudis mauis lat̾ib cet̾oꝵ corpoꝵ. post ip̃m at̃ est . fb. lat̾
octocedri mauis seꝗũciũ corpoꝵ iat̾ib. ẽeitio ordine sequi¬
tut iu x̃magiatẽs. eb. lacus cubi. Quarto uero lad. est
nb latus y cocedron. Minimũ est autẽ om̃i . pb. latus du¬
ꝯtecedr.

Expanded text:
est quam p b. Quare patet latera horum 5 corporum premissorum fere eo ordine quo corpora se invicem sequuntur se invicem excedere. In cubo enim dumtaxat et octocedro habet hic instantias. Nam latus octocedri excedit latus cubi quamvis cubus antecedat octocedrum. Cubum autem premittunt idcirco octocedro, quod eadem divisione diametri assignate spere latus piramidis 4 bases triangulas habentis et latus cubi invenitur. Est igitur a e latus piramidis maius lateribus ceterorum corporum, post ipsum autem est f b latus octocedri maius sequentium corporum lateribus. Tertio ordine sequitur in magnitudine e b latus cubi. Quarto vero loco est n b latus ycocedron. Minimum autem omnium est p b latus duodecedri.
Abbreviated transcription (Latin):
tota. ab. sit dupla ad totaui. ld. ꝙͣ ad modũ. ac. tecrac¬
ta ex pͥma .ab. est dupla ad .cb. detiactum ex scd̾a.b.d.
Erit q ex. sꝯͣ quinti .bc. residua pͥmi dupla ad .cd̃. resi¬
duũ Ei. Io qr tota. bd. est tripla ad.dc. Igitur quadr atũ
bd. est uc̃ cuplum ad quadratum . de. et quia ipm̃ erat
quincuplum ad quadratũ tm̃. Rd. erit ex scd̾a ꝑte .io .ii.¬

Expanded text:
tota a b sit dupla ad totam b d quemadmodum a c detracta ex prima a b est dupla ad c b detractam ex secunda b d, erit quoque ex 19 quinti b c residua prime dupla ad c d residuam secunde ideoque tota b d est tripla ad d c. Igitur quadratum b d est nonecuplum ad quadratum d c. Et quia ipsum erat quincuplum tantum ad quadratum k d
Abbreviated transcription (Latin):
est eauał. ił uani .ħł ent equał ei. atq. ab. dupla
quincuplũ ad qͣdratum . dk. erit ex.iii. quinti quad:atũ. ab. quin¬
cuplũ suiłt ad quadratum. Rui. Est .ii. quadratum dupli ad ꝗͣ¬
dratum duꝑ li: sicut qͣdratum simpli ad quadratuni sipli.
Ex temo ustracc̃e at̃. soͣ. manfestun ẽ ꝙ. dyauiet̾ spere ꝯstat ex

Expanded text:
t equalis ei. At quia a b dupla quincuplum ad quadratum d k, erit ex 15 quinti quadratum a b quincuplum similiter ad quadratum k m. Est enim quadratum dupli ad quadratum dupli sicut quadratum simpli ad quadratum simpli. Ex demonstratione autem 16 manifestu
Abbreviated transcription (Latin):
constirutũ est. illud iudelicet auod duodecodron d̾r in quo
angisli penth agono ⁊ criui ⁊ triui solidos angulos ꝑficiunt.
Eatem quoq est iõ in quadrilatis figuris equlatis ⁊ equan¬
giss que in penth agonis. Oñis .7. auadrilat̾a figura ĩteꝗͥ¬
satera aut eauiangula fuerit: ip̃a ent auadrata adisfoẽ.
Nani om̃is enis angili enunt recti ꝑ. 3.pͥ. Extib sͥ an¬

Expanded text:
duodecedron dicitur in quo anguli pentagonorum terni et terni solidos angulos perficiunt. Eadem quoque est ratio in quadrilateris figuris equilateris et equiangulis que in pentagonis, omnis enim quadrilatera figura si equilatera equiangulaque fuerit, ipsa erit quadrata a diffinitione. Nam omnes eius anguli erunt recti per 32 primi. Ex tribus
Abbreviated transcription (Latin):
płin uͥo hus equilat̾a q̃ suit ⁊ eꝯmangina eẽ ẽ ĩpossibile.
zto constitucõm cuuisl anguli solidi. ncc̃e est ad minꝰ . sie¬
titiaies angłos ꝯcurrere. Ex duob .i. solũ suꝑficialib uequit
solidus angulus ꝯpleri. Quia gͥ.℥. angłi cuiusi exagõĩ eqͥ¬
lat̾i ⁊ equi auguli sũt equales .4̾. anguł itĩs. At u̾o eptagoĩ¬

Expanded text:
quinque equilatera que sunt et equiangula esse est impossibile. Ad constitutionem cuiuslibet anguli solidi necesse est ad minus tres superficiales angulos concurrere. Ex duobus enim solum superficialibus nequit solidus angulus compleri. Quia ergo tres anguli cuiuslibet exagoni equilateri et equianguli sunt equales 4 angulis rectis, at vero eptago
Abbreviated transcription (Latin):
3. anguli trigoni equilati efficuuit augulã solidumi. pfici¬
tur ex trangulis equi lat̾is corpus .e. basuim trangnlanũ
atq equsl ateraꝵ. Cum uero .e. consingunt corpus eto
tasiu quod octoçedron dix mius. At uero si .i. trangulo¬
⁊ equilat᷑oꝵ anguli solidũ angulum ꝯtineant fiat corps
y cocedron.⁊0. lasinui mangulaꝵ ⁊ equilataꝵ. Quart
e cot ⁊ calia sunt solita regilaria et quare plura hus non
sunt distum est.
Atem quinq corporum premissar̃¬
ab eatem spera circum scͥtibiliũ cuius
spere sola dyametros nobis ꝓposita fu̾it
pipãm ꝓpoĩtam dỹametrum inuenire.
Sit. ab. d̾yamet̾ alituuis spere nob̾ ꝓpdĩte ex qua inbem᷑
iata .i. p̾missoꝵ corpoꝵ elicere. Dinitamis igitur nanc

Expanded text:
tres anguli trigoni equilateri efficiunt solidum angulum, perficitur ex triangulis equilateris corpus 4 basium triangularium atque equilaterarum. Cum vero 4 consurgunt corpus 8 basium quod octocedron diximus. At vero si 5 triangulorum equilaterorum anguli solidum angulum contineant, fiat corpus ycocedron 20 basium triangularium et equilaterarum. Quare ergo tot et talia sint solida regularia et quare plura hiis non sint dictum est.atera 5 corporum premissoruab eadem spera circumscriptibilium, cuius spere sola diametros nobis proposita fuerit, per ipsam propositam diametrum invenire. Sit a b diameter alicuius spere nobis proposita ex qua iubemus latera 5 premissorum corporum elicere. Dividamus
Abbreviated transcription (Latin):
cum cote liuee diuise sint equales. uidel quelib ea rũ
med ietati lateris cubi. Seinde a duob punetis .I. et
tum est igitur ex .4. ħuius qd̾ due iinee.Re. ⁊ el. poten¬
ciałr sunt triplum ad lineam.Rl. soq etiam ad imeã
lii. cum .. ⁊ lu. sunt equales. at uero . Re. est equas
ea. Igiturdue linee .ac. ⁊ ei. sunt potenaiasr triplum
ad łiam. in. Qrͣ ex penult̾ pͥmi .al. est poͣ triplũ ad. in. Io q
ꝑ eautem. an. est potencia quadruplumi ad .in. C̃ umq onũis
sa sit poͣ quadrupla ad medietatem sui. sequitꝰ ex cõi sciã
ꝓ.an. sit dupla in łogitudine ad . in. ⁊ quia. lm. duplaẽ
.ii. eaꝵ dinidia eaualia. Et quia ex. zͣz. pͥmi. lui. est eqͣ

Expanded text:
cum tote linee divise sint equales videlicet quelibet earum medietati lateris cubi. Deinde a duobus punctis l et mtum est igitur ex 5 huius quod due linee k e et e l potentialiter sunt triplum ad lineam k l ideoque etiam ad lineam l n cum k l et l n sint equales. At vero k e est equalis e a, igitur due linee a e et e l sunt potentia triplum ad lineam l n. Quare ex penultima primi a l est potentia tripla ad l n ideoque per eandem a n est potentia quadrupla ad l n. Cumque omnis linea sit potentia quadrupla ad medietatem sui, sequitur ex communi scientia quod a n sit dupla in longitudine ad l n. Et quia l m dupla est enim earum dimidia equalia. Et quia
Abbreviated transcription (Latin):
teraꝵ. ꝓdeat itaq a puncto .a. lunca. ag. ꝓpenditularis ad
ab t eauał citem ab. ⁊ uingatur .g. cuni .d. sitq .h. pt̃s
in quo .gd. secat tirauferentiani semiattuli. ⁊ ducat᷑
hł ꝓpend itularis ad. ab. et quia .ga. est dupła ad. ad
ent ex.x. G. hf. dupla. ad.kd. Sunt .n. tͥanguli. gad.
⁊ ił .d. cauianguli ex .℥2. pͥmi. eo quod angulus .a. ma¬
ioris est equał angulo.R. iumoris. naui ut̾q rectus. ⁊ an¬
gulus .d. est ꝯũis. Igitur ex .e.ẜi.hR. est potencia qͣdrui¬

Expanded text:
a puncto a linea a g perpendicularis ad a b et equalis eidem a b et iungatur g cum d sitque h punctus in quo g d secat circumferentiam semicirculi et ducatur h k perpendicularis ad a b. Et quia g a est dupla ad a d, erit ex 4 sexti h k dupla ad k d. Sunt enim trianguli g a d et h k d equianguli ex 32 primi eo quod angulus a maioris est equalis angulo k minoris, nam uterque rectus, et angulus d est communis, igitur ex 4
Abbreviated transcription (Latin):
in.d. qr ex̾ma. ⁊ maior portõ eius erit mea. oł. q̃ ẽ eqͣlꝰ
ꝯstat quod semidyamet̾ sꝑe tupla ẽ in poͣ ad modietutẽ
lat̾is cub ꝙ̃ cirtũ stͥbit eatem spera. Itaq op. est qnͣta seĩ¬
dyamec iꝑe cunũscͥbentis cubũ ꝓpoĩtũ. Eatem rt̃e tuntte
lic ducte a ptõ .o. ad angulos singislos penthagonoꝵ ouũ
suꝑ dat̾a cubi descriptoꝵ. Ad singulos angulos inqmͣ qui
anguli .n.p .m. De ill autem lineis q̃ ueniũt a pco .o. ad
angulos singulos penthagonoꝵ qui sunt ꝯẽs penthago¬
nis ⁊ suꝑficieb cubi quales sunt in penth agono p̾sen¬
ti duo auguli .a. ⁊ d. ꝯstat quod ip̃e sunt equales dya¬
metro sꝑe circun scribentis cubũ. ipẽ .ii. siuit dyametri¬

Expanded text:
portio eius erit linea o k que est equalis uius constat quod semidiameter spere tripla est in potentia ad medietatem lateris cubi quem circumscribit eadem spera. Itaque o p est quanta semidiameter spere circumscribentis cubum propositum. Eadem ratione cuncte linee ducte a puncto o ad angulos pentagonorum omnium super latera cubi descriptorum ad angulos inquam qui anguli n, p, r. De illis autem lineis que veniunt a puncto o ad angulos pentagonorum qui sunt | communes pentagonis et superficiebus cubi quales sunt in pentagono presenti duo anguli a et d constat quod ipse sunt equales semidiametro spere circu
Abbreviated transcription (Latin):
gulus ꝯstitui. ut pacet ꝑ .2o. Cum gͦ ex trb equalib uolo ꝯsti¬
cuere tangłm sumo .&. lmcam iectam. q̃ sit de. cui nõ ponam fĩ¬
nem deciãcum a ꝑte .e. de qͣ sumo per.3. df. equalem .a. et .gf. equałe
hł. qui cͥcłi int̾secabunt se inuicem in duob ꝑunctis. quoꝵ inuis
sit .R. alioqͥn. sequeretur unã datam liieaꝵ: equalem eẽ aliis du¬

Expanded text:
stitui per 20. Cum ergo ex tribus equalibus voles constituere triangulum, sumo lineam rectam que sit d e cui non pono firminatum a parte e de qua sumo per tertiam d f equalem a et f g equalem h k qui circuli intersecabunt se in duobus punctis quorum unum sit k, alioquin sequeretur unam duarum linearum esse equalem aliis du
Abbreviated transcription (Latin):
qr exeunt a centro ad cͥcũferentiam. qr gh. ẽ eq̃t
.c. et quia
Ata recta linea super terminum eius cu

Expanded text:
quia a centro ad circumferentiam, quare g k est equalis c et quia itum. ∗∗∗ ⟨I.⟩23 Data recta linea super terminum eius cu
Abbreviated transcription (Latin):
tetͣgonus in tefgonum ducat᷑: qui ex eis ꝓdu¬
cetur te tͣgonum ẽẽ. Si u̾o ex ductu retͣgoni
in num̾ũ aliquẽ tefgonus ꝓducatur: illũ
nuũ aliquem ẽẽ cetͣgonum. Itemq si ex dͤ¬
ni tetͣgoni in nuu̾ũ aliquẽ non tetͣgonus

Expanded text:
tetragonus in tetragonum ducatur, qui ex hiis producetur tetragonum esse. Si vero ex ductu tetragoni in numerum aliquem tetragonus producatur, illum numerum aliquem esse tetragonum. Itemque si ex ductu tetragoni in numerum aliquem tetragonus
Abbreviated transcription (Latin):
tripplicata aut quaienscũq sũpta nõ efficiat ins equa¬
litatis ꝓportõmi constat in ħ casu uũ eẽ quod ꝓponit᷑. Si
at̃ inequa lia : sit. ab. mauis tuiꝰ łcgidꝰ sit .be. latitu¬
do. ef. altitudo.Fa. bases .er. sup̾ma. suꝑficies. an. so lidi
maifestum ẽ eẽ maiorem .ch. Imea fr. equal. hc. Cetert¬
u̾o .z. det̾mĩantes altitudĩem solidi . ab. resecentur ad e¬
qualitatẽ eiꝰ ⁊ int̾ eas copulat᷑ solidum pallui .Rb. eq̃ al

Expanded text:
 sumpta non efficiat nisi equalitatis proportionem, constat in hoc casu verum esse quod proponitur. Si autem inequalia, sit a b maius cuius longitudo sit b e, latitudo e f, altitudo f a, basis e r et suprema superficies a n, solidi manifestum est esse maiorem c h, linea f k equalis h c cetereque tres determinantes altitudinem solidi a b resecentur ad equalitatem eius et inter eas compleatur solidum paral
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓficiei .xl. ad suꝑficiem. Iiꝰ. soq sicut liuee rb. ad liam
bm. ex ypotħ uero liq̃t quod ꝓportõ liiee .fr. ad liaui
rt. et imiee .rb. ad lieam .bñi. est sicut lie. Af. ad bani

Expanded text:
perficiei r l ad superficiem l m ideoque sicut linee r b ad lineam perficiei r l ad superficiem l m ideoque sicut linee r b ad lineam b m. Ex ypothesi vero liquet quod proportio linee f r ad lineam r t et linee r b ad lineam b m est sicut linee a
Abbreviated transcription (Latin):
ig. ⁊ ꝑficiatur suꝑficies aquidistantiũ lat̾ui . in .l. q̃ erit
ab. erit q .pq. equale et suuile solid̾o. cd. sursus int̾
liueas .rb. ⁊bl. ꝑfitiatur suꝑficies equidistantiũ lat̾ũ
duoꝵ solidoꝵ. Rb. ⁊ pq. replendo alt̾utrum duoꝵ augło¬
ꝵ hyancium it̾ ea. Cumi at̃ duo solida . ab .pq. sint si¬
iuilia. eo quod ambo poĩta sunt suia solido.c d. corpora u¬
uni ⁊ eitem cor ss̾ia int̾ se sunt slł̾ia. ut patet ex diffõue słm̃
uit duo solita. ab. et pq. scd̃m continuã ꝓpo̾r litatẽ cadũt
q̃ memorie firme ꝯmentaus ex pͥma. Gͥ facile concludes
ꝓpõitũ. Excute torpdrem. ⁊ diligent̾ actende scies qr ex.⁊q.
ar̾. ad suꝑficiem .er. Io qr ex prima sexti sicut imea. af
ad łiam .ẜf. et ꝓportõm solidi. Eb ad solidum .xl. sicut
suꝑficies . xr. ad suꝑficiem .xt. Ioq situt linea. fi. ad
łiam .rt. et ꝓportõm solidi .xl. ad solidum .pq. sicut su¬

Expanded text:
 perficiatur | superficies equidistantium laterum m l que erit a b eritque p q equale et simile solido c d. Rursusque inter lineas r b et b l perficiatur superficies equidistantium laterum duorum solidorum k b et p q replendo alterutrum duorum angulorum hyatuum inter ea. Cum autem duo solida a b et p q sint similia eo quod ambo posita sunt similia solido c d, corpora vuni et eidem corpori similia inter se sunt similia ut patet ex diffinitione inter duo solida a b et p q secundum continuam proportionalitatem cadunt hesibusque memorie firme commendatis ex prima sexti facile concludes propositum. Excute torporem et diligenter attende sciesque ex 25 ha r ad superficiem k r ideoque ex prima sexti sicut linee a f ad lineam k f et proportionem solidi k b ad solidum x l sicut superficiei k r ad superficiem x t ideoque sicut linee f r ad lineam r t et proportionem solidi x l ad solidum p q sicut su
Abbreviated transcription (Latin):
Ifiint duo angli plami equales superqͦs
due ypothenuise in aere statuant᷑ cum
lat̾ibꝰ angłoꝵ subiacencium sinigulos singłis
equos angulos contientes acq in ill̾ ypoth¬
musis duo pca signent᷑ a quibꝰ pt̃ĩs duc ppẽ¬
diłares ad supficiem augłoꝵ ꝓpoĩtoꝵ denut¬

Expanded text:
int duo anguli plani equales, super quos due ypothenuse in aere statuantur cum lateribus angulorum subiacentium singulos singulis equos angulos continentes, atque in illis ypothenusis duo puncta signentur, a quibus punctis due perpendiculares ad sup
Abbreviated transcription (Latin):
solito. aq. ꝑ ꝯcertõi eigo est solidum . ab. eq̃le solido.ac.
qrͣ constat ꝓpoĩtum. Potes quoꝵ ꝯn̾sas huiꝰ et p̾uisse ꝓlaie
monstrab̾ ea ẽẽ eq̃alta. eruntq ħ ⁊ p̾missa tue demͣtois
mediũ. Impossibile at̃ ad quod duces: ent ꝑtem suo tot
eẽ equalem quod enident̾ patebit. s̃i de illo solito quod
alciꝰ eẽ metitur ad u̾sarius tum tñ anibo poĩta suit e¬
qualia ⁊ suꝑ eandem basim constituta unũ solidꝰ palłm
eq̃ altum demissiori ab sad̾is. ħ at̃ ab scisum ẽe equale de¬
missiori ꝯuinces ex hac ⁊ p̾missa. Io q ⁊ toti illi aquo

Expanded text:
solido a q. Per conceptionem ergo est solidum a b equale solido a c. are constat propositum. Potes quoque conversas huius et premisse probare monstrabis ea esse eque alta. Eruntque hec et premissa tue demonstrationis medium. Impossibile autem, ad quod duces, erit partem suo toti esse equalem. Quod evidenter patebit si de illo solido quod altius mentitur esse adversarius cum tamen ambo posita sint equalia et super eandem basim constie altum demissiori abscideris. Hoc enim abscisum esse equale demissiori convinces ex hac et premissa, ideoque et toti illi a quo
Abbreviated transcription (Latin):
sine̾ nit suꝑficies equidistantes. sint qr suꝑ unam ⁊ eã¬
demi basim sed non suꝑ lineam miam constituta. dico
it̾in ea eẽ equalia. esto .n. duo solidai palła alra luac.
nam tasim que sit. ad. sed non suꝑ liueam unã. Suit
supticies equto istantes. nct̃e est ut duo lat̾a sed̾m retitiu¬
dm entiacta non enunt linea una. Eumꝙ ira exĩit

Expanded text:
inter superficies equidistantes sintque super unam et eandem basim, sed non super lineam unam constituta. Dico iterum ea esse equalia. Esto enim duo solida paralellograma a b lineam unam. Sintqsuperficies equidistantes, necesse est ut duo latera unius earum protracta
Abbreviated transcription (Latin):
gum alia linea addatur qͣoͣtum qd̾
tẽscribitur a tota ẽ addita et qͣdͣtum qd̾ ab
ea q̃ addita est utͣq qͣd̾ta ꝑiter accepta ei
q̃dͣco qd̾ dinudia eiq qd̾ ab ea ꝓducitur
q̃ ex dumdia adiectaq ꝯsistit utrisq qͣ¬
dratis parit̾ acceptis et dupla esse ueces¬

Expanded text:
gum alia linea addatur, quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est utraque quadrata pariter accepta, ei quadrato quod a dimidia eique, quod ab ea producitur que ex dimidia adiectaque consistit, utrisque quadratis pariter acceptis dupla esse neces
Abbreviated transcription (Latin):
L hus tangłis qui obtusum hũt angłin
tanto ea q̃ obtusum subtendit angłm am¬
bob reliquis lat̾ib q̃ obtisum ꝯtinẽt an¬
głi ampluis potest qnͣtum est qd̾ ꝯcinetꝰ
bis sub uno eoꝵ atq ea q̃ sibi directe uine

Expanded text:
 hiis triangulis qui obtusum habent angulum tanto ea que obtusum subtendit angulum ambobus reliquis lateribus que obtusum continent angulum amplius potest, quantum est quod continetur bis sub
Abbreviated transcription (Latin):
Atam lineam sic secare ut qd̾ sub tota
et una portõne rectangulum ꝯtinet᷑
equm sit ei qd̾ fit ex reliqua sectione ⁊¬
adiatũ qd̾ ex late. ab. resecet portõni equalem .bł. qd̾ sit
bh. et qͣdratũ tescretũ sit bf hg. Dico ꝙ. ab sic ẽ i ꝑcõhi¬

Expanded text:
atam lineam sic secare, ut quod sub tota et una portione rectangulum continetur equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum quod ex latere a b resecat portionem equalem b f que sit b h et q
Abbreviated transcription (Latin):
mitautur ad suꝑficies auguloꝵ .a. ⁊ d. due ꝓpendiculares
q̃ sint. Em. ⁊ ln. et ꝓtrahantur duc liuee. ai. et .di. di¬
cquał . dł: bñ quitẽ. Sinat̃. ex linea. ag: suniat᷑. ap.
equał. di. ac aptõ.p. demittan̾tur ꝑpendicularis ad suꝑfi¬
ose nituenti. De ymic a ptõ.q. ducantur ppenditłares. 2.¬
nua ad ħiam .ab. que sit.qr. ⁊ alia ad liueamt. as. q̃ bit. qsa
S mulr qucqr a ptõ .ii. ducantur alie due ipendicualares tna¬

Expanded text:
ficies angulorum a et d due perpendiculares que sunt k m et l n et protrahantur due linee a m et d n. Diequalis d l, bene quidem. Sin autem, ex linea a g sumatur a p equalis d l et a puncto p dimittatur perpendicularis ad superfiose intuenti. Dehinc a puncto q ducantur due perpendiculares na ad lineam a b que sit q r et alia ad lineam a c que sit q s. Similiter quoque a puncto n ducantur alie due perpendiculares
Abbreviated transcription (Latin):
fh. ad l̾iam .iih. utrobiq enim ẽ dupla ꝓportõ. e ͭ tͥangꝰ. bcd.
ad tͥangłin. Ruid. sicut triangulus. fgii. ad triangłm.uꝗh.
et puuitatim triangłs . bed. ad triangłui. fgh. si tut cangłe
tił ad illud est sic̃ amboꝵ serratiliũ pẏramidis .a. pit̾
acceptoꝵ ad ambo serratilia pẏrauitdis .e. ꝑit̾ accepta
equealta ẽẽ serratilib pẏramidis alt̾ius. cũ .n. suit ꝓy¬
ramites eq̃ alte. sit quoq utraq eaꝵ diuisa in duas py¬
inundes equales sibi toti q smules in duo serratilia eqͣ¬
lia. ⁊ sunt due ꝑciales pyramides eq̃ alte eo quod similes
⁊ oquales quod facile patebit diissis a u̾titib ꝑciali¬
uni pyranudum ppendicularib ad bases ipaꝵ. de quib¬

Expanded text:
h ad lineam n h utrobique enim est dupla proportio erit triangulus b c d ad triangulum k m d sicut triangulus f g h ad triangulum n q h. Et permutatim triangulus b c d ad triangulum f g h sicut triangulus tilis ad illud est sicut amborum serratilium piramidis a pariter acceptorum ad ambo serratilia piramidis e pariter accepta eque alta esse serratilibus piramidis alterius. Cum sint piramides eque alte, sit quoque utraque harum divisa in duas piramides equales sibi totique similes et in duo serratilia equalia et sint due partiales piramides eque alte eo quod similes et equales quod facile patebit demissis a verticibus partialium piramidum perpendicularibus ad bases ipsarum, de quib