comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Emutabilẽ subam sortiunt᷑ cõphensio u̾itutis.
Esse aut̃ illa dicimus. q̃ nec uitensioẽ c̾sct᷑.
uec retractione minuunt. uec uariationib ꝑ
stodiunt. ħ aut̃ sunt qͣlitates. q̃ntitates. forms. mag¬
uitudines. paruitates. equalitates. habitudines. ałꝰ
dispones. loca. tempora. & quicqͥd adinatum corpo

Expanded text:
mutabilem substantiam sortiuntur comprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt, nec retractione minuuntur, nec variationibus pstodiunt. Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora, et quidquid adunatum quo
Abbreviated transcription (Latin):
nomine cẽntie nominantur. scientiam sapientia
prosicet᷑. Essentie autẽ gemine partes sunt una ꝯ¬
tinua & suis partib nucta. nec ullis fimbus ddi¬
stributa. ut ⁊ arbor. lapis. & omnia inundi huius
corpora. quȩ propͥe magnntudines apellantur. Aua
uͦ disiuucta a se ⁊ det̾imnata partibus &. quasi acer¬
uatĩ in unũ redacta conciliũ. ut grex. populus. chorꝰ
aceruus. & qͥcqͥd est corum qͦꝵ parces propͥis extremita¬
tibus tminant᷑. & ab alt̾ius fine discrece sunt. his
propͥum nom̃ ÷ multicuda.
URs US mustitudinis alia sunt ꝑ se. ut

Expanded text:
nomine essentiae nominantur, scientiam, sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disjuncta a se, et determinata partibus, et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acervus, et quidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut
Abbreviated transcription (Latin):
faciet᷑ .ui. Qui .x. cont̃ senariũ cõparti: suꝑbiparien¬
tem faciunt habitudine̾. Et hos ipsos nirsiis si duppli¬
cau̾is: idẽ ordo ꝓportionis accrescit. Id̾q si in ifinitũ
facias. statũ p̾oris habitudiuis ñ autabit. Si nͦ suꝑt̾¬
parcientes inuenire c̃tendas. suꝑt̾partientes. id̃. uii.
.iiii. tͥplicabis. ⁊ hmodi nascent᷑. Siuuͦ qͥ ex his nati
fuerint t̾nari multiplioone produr̾is. id̾ rursus effici¬
ent. Quod si suꝑqͣdĩ partientes quẽ adinodĩ ĩ infiitũ
ꝓg̾diant᷑ optes adic̾e: pͥmas corũ indices ĩ qͣdniplũ
M
onem: in offensa inmiirũ intione reꝑies. & cer̾e species
una semꝑ plus multiplicone crescentib radicib oriunt᷑.
Radices autẽ ꝓportionum uoco nũos in suꝑiore dispone
desc̃pros. qͣsi quibus onĩis sũma supdide cꝑatiõis innitit̾.¬

Expanded text:
faciet 6: qui 10 contra senarium comparati, superbipartientem faciunt habitudinem, et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis accrescit. Idemque si in infinitum facies, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes 7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quod si superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur optes addiscere, primas eorum radices in quadruplum monem inoffensa nimirum ratione reperies. Et caeterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis i
Abbreviated transcription (Latin):
Quem admodum consticuris altsecus duob t̾mins arisme¬
tica. Exomita. armonica. iit̾ eos medietas altnecꝰ¬
iii quo de eorum geomerationib.
O S aut̃ p̾stare debemus quatenus quẽ admodum
dato calamo extͥmis foraminibus manentibus mu¬
sicis mos ÷. ut mediũ foram̃ ꝑmutantẽ atq alios aꝑi¬
entis. alios digitis c̃cludentes. diu̾sos enuttant sonos. ł cum
duabus altͥnsecus ꝓtensis cordis medii nerui sonũ. musicũ.
ł astͥngendo tenuat. ł remitaendo gͣuat. Ita qͦ datis duob¬
medietatẽ er ꝑiam ĩserere. ut restum ꝓͥ umq mediecatibis
nom̃ sit. ꝙ manentibus extremitatibus huc atq illuc ferri.
ꝑmutariq uideat᷑. Pot̾imus aut̃ hanc ĩ diob altͥnsecꝰ t̃mi¬
metͥram rata se ꝓportionũ iuncttira custodiat. sinaut̃ ar
Et sint ꝗ pͥmo pares posite q̃dam ext̾mitates. ĩt̃ qͣs om̃s me¬
dietas aptet᷑. Int̃ hos gͦ si.xxu. posuero. erit mͥ arisme¬

Expanded text:
Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis, arithmetica, geometrica, et harmonica inter eos medietas alternetur, atque de eorum generationibus. Nos autem praestare debemus, quatenus quemadmodum dato calamo, extremis foraminibus manentibus musicis mos est, ut medium foramen permutantes, atque aliud aperientes, aliud digitis occludentes, diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis chordis, medii nervi sonum musicus vel astringendo tenuat, vel remittendo gravat, ita quoque datis duobmedietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus extremitatibus huc atque illuc ferri permutatique videatur. Poterimus autem hanc in duobus altrinsecus posimetricam, rata se proportionum junctura custodiat. Sin autem hEt sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietas aptetur. Inter hos ergo si 25 posuero, erit mihi arithme
Abbreviated transcription (Latin):
cẽ cõꝑant᷑. ⁊ quib partibus maioris a maiore medius
uincit᷑ : eisdẽ partib minoris pͣtit minorẽ. Suis uͦ eͥisdẽ
t̃minis maior ⁊ ꝓportio. ĩ minorib minor. ⁊ si ͥimĩ ertre¬
mitates redigant᷑. n mnedietatis qͣntitate c̾c̾scant: inde¬
pares ꝓponant᷑. ut sunt .u. ⁊ xlx. aptatus medius .xru.
arismeticã portionẽ medietatẽ q õstituit. Nã si suit

Expanded text:
s vincitur, eisdem partibus minoris praeterit minorem. Suis vero non terminis major est proportio, in minoribus minor. Et si in unum extremitates redigantur, et medietatis quantitate concrescant, dimpares proponantur, ut sunt 5 et 45, aptatus medius 25, arithmeticam proportionem medietatemque constituit. Nam si sint
Abbreviated transcription (Latin):
nu̾s qui fit er multiplicatis ext̾mitatibus. ab eo qͥ fit ex
multiplicata medietate: qͣntũ eorum diffe̾ multiplicate re¬
stituunt. Illud qͦ ꝙ medietas ead̾ sui parte n a maiore uin¬
cit᷑. ⁊ minorem ipsa suꝑuenit. Non ead̾ autẽ parce mi¬
noris minorẽ tͣnsit. ł maioris a maiore relinquit᷑. Que õs¬
suꝑuis dicta memin̾it lector: ita ẽẽ ĩdubitant̃ intelligeo.
metͥra medietas cum suis ꝓͥetatibus cunctis exorit᷑. arismeci¬
ctinet᷑ ab ercremitatib equum ÷ ei ꝙ a multiplici medi
la ÷. s maiorũ t̃minorũ ꝓportio. a minorum t̃minorum
ꝓportione ñ disc̾pat. ISi uͦ armonicã medietatẽ c̃iung̾e

Expanded text:
numerus qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo qui fit ex multiplicata medietate, quantum eorum differentiae multiplicatae restituunt. Illud quoque quod medietas eadem sui parte et a majore vincitur, et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem tsuperius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelliget.metrica medietas cum suis proprietatibus cunctis exoritur, arithmeticontinetur ab extremitatibus, aequum est ei quod a multiplici mediela est, sed majorum terminorum proportio a minorum terminorum proportione non discrepat. Si vero harmonicam medietatem conjungere
Abbreviated transcription (Latin):
apul antiqͥores ĩuente
probate q¬
sunt mediecates. quas
iõ longius
enodatius q tͣctauimus:
quia he maxime
in antiquorũ lectionibu̾ in¬
ueniunt᷑. n ad om̃ẽ pene ui cogntiois eorũ u̾sat᷑ utili¬
tas. Cet̾as aut̃ p̾t̾eundo tͣnscurrinus. iõ qđ ñ multuor¬
nob̾ in lectionib ꝓsunt. s tiu ad implendã deuarii nu̾
qͣntitatẽ. Que ne lateant ne ue sint aliqͥb ignorate.
depinimus. Uident᷑ it he sup̃dictis mediecatibus. ee
contͣrie: ex quib originem t᷑hunt. Ex his.it. ⁊̃ iste st̃¬

Expanded text:
apud antiquiores inventae probataeque medietates, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus inveniuntur, et ad omnem pene vim cognitionis eorum versatur utilitas. Caeteras autem pnobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad implendam denarii numeri quantitatem. Quae, ne lateant neve sint aliquibus ignoratae, depromimus. Videntur enim hae supradictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex his enim et
Abbreviated transcription (Latin):
ru xAU. i geometͥcã medietatẽ t̃mini relabunt᷑. eqͣlib
t̃minorũ ad se ĩuicẽ ꝓportionibus custoditis. Fix. uiᵈ si
uit̾ utiosq t̾minos ponam ut sinit .G. ix.a.lu. fit armoni¬
ea medietas ut qͣ summa marimus nũs paruis simũ p̃cedat
cad maior diffã minorem diffãm uincat. Qua uͦ disciplina
huiusmoĩ medietates reꝑire possimus: er pediendum est. da¬
dis duobus t̾ĩinis s arismeticã medietatẽ c̃stituere oporte¬
bit. utͣq ⁊ extͥmitas c̃iungñda
ligit᷑ diuidñdũ ÷. Isq nu̾s
qͥ er diuisione redactꝰ
si iunto efficiunt . L.
tiunus .ẜ. arisimeticã ꝓpotioNẽ ł si illũ nuim quo
consticuas arismetice medietatis ordo informat᷑. Geo metca
uͦ si rõnẽ uestiges. eius nũi qui sub utͥusq ertͥmitatib c̃a¬

Expanded text:
ni relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. Novem vero si inter utrosque terminos ponam, ut sint 5, 9, 4, 5, fit harmonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem major differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungendaligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactussi junxero efficiunt 50, mque constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, ejus numeri qui sub utrisque extremitatibus c
Abbreviated transcription (Latin):
ertremitite conficit᷑. Sit autẽ quoddã huius disponis
exemplar h mͦ¬
Has gͥ om̃s solidas
quautitates eẽ ñ dubiũ ÷. Sex enim nascunt᷑ ex tina. bis
octonarius fit. semel .i. quat᷑. Nouenarius uͦ semel tres

Expanded text:
Sit autem quoddam hujus dispositionis exemplar higitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis octonarius fit semel duo quater. Novenarius vero semel tres
Abbreviated transcription (Latin):
demonstrare uellet: totiens ei uirgule duc̾ent᷑. Hos auteor
quotienscũq aliquid monstrare uoluimis. in his p̾sercun
sormulis ordinatarum uirgularũ multitudinẽ ũ gͣuamͣ appo¬
uere. Cum enum uolumus quinq demonstrare : facimus .u.
qͣntas sũmas in se retiuet. tot unitatib assignare: ꝗͣ notuliᷤᷤ.
Est gͥ unitas uicẽ obtinens puncti: int̾ualli longitudinis q
pͥncipium. Ipsa uͦ nec int̾ualli nec longitudinis capar est.
quemadinodum punctũ pͥncipiũ quid̃ lineȩ ⁊ atq int̾ualli.
psum uͦ nec int̾uallũ nec linea. Neq enĩ punctũ puncto su¬
ꝑpositum: ullum effic̃ int̾uallum. uelut si nicħ nulli iungaᷤ.
Nicħ enĩ ÷ ꝙ ex nullorum ꝓcͥatione nascitur. Gad̾ qͥppe etiã
cͥca equalitates ꝓportio manet. Hã si qͥlibet fuerit t̾mini
pares. tantum quidem est a pͥmo ad scđm. qͣntum a scdo ad

Expanded text:
monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque um quantas in se retinet, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli, longitudinisque principium, ipsa vero nec intervalli, nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum quidem est a primo ad secundum, quantum a secundo ad
Abbreviated transcription (Latin):
dam de ea qͣntitate q̃ ꝑ se ipsã constat. neq ad aliud re¬
fertur: expediam. Quȩ nob̾ ad ea ꝓdeẽ possunt. qͦ pꝰ h
rursus de relata ad aliquid qͣntitate tractabimus. Amat enĩ
ineqͣli latum compone coniunctis. de solidis. ñ .i. cubis. ⁊ a¬
scientia ab arismetica uelut quadã radice ac matre ꝓducta :
ita ⁊̃ eus fig᷑arũ semina in pͥmis nuis inueniemus. planũ
siquid̃ fecimus ꝙ om̃s disciplinas ħ int̾empta c̃̾sumet. qͣs
minime constituta firmaret. Hoc aũ cognoscendũ ÷ qđ ħ
signa nu̾orum q̃ posita st̃. ꝗ̃ nc̃ homines qͦ ii sũmarum de¬
signationȩ descͥbunt naturali institͥone formata ñ st̃. ut ꝑt
quinarii subiestam notulam singant. de ł denarii quam
descͥpsimus d .x. n alias huiusmodi ñ nat᷑a posuit s usus
affinr. Quinq enim unoͣͥ. ł.x. uno .x. ł qͣlibet alios illis
notulis ꝓ cõpendio notaure uoluerunt. ne qͦt unitates quis

Expanded text:
aedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid reaedam de ea quantitate quae per seipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possunt, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam, id scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam ejus figurarum semina in primis numeris invenimus. Planum siquidem fecimus quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta infirmaret. Hoc autem cognoscendum est quod haec signa numerorum posita quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt; ut enim quinarii subjectam notulam signant de V, vel denarii, quam descripsimus de X, et alias hujusmodi, non natura posuit, sed usus affinxit. Quinque enim vel decem, vel quotlibet alios illis notulis pro compendio notare voluerunt, ne quotiens unitates quis
Abbreviated transcription (Latin):
Ltnsecus t positis senanio ⁊ tnario .i. duplia &̃ nie¬
dietate. si quat̾narius in medio collocet᷑. ad t̾nariũ nu¬
m̾um sesqͥttiã c̃tinet proportionẽ : ad senariũ uͦ seqͣstã.¬
E¶TE gͥ dictũ est
y duplicẽ a sesqualto ses¬
duas suꝑ particularis spe¬
numerum triplus eedt.¬
Tsi positis eis cdemi
nu̾s in medio disponat᷑¬
erit ad senarium sesqualt̃. qui ad .xuiii. subduplus est. &
Ex duplici gͥꝰ sesqualt̾o tͥplex rõ ꝓportionis exorit᷑. & in eas
quadrupli continuo forma conterit᷑. n in easdẽ rursus partes
naturali ꝓporcione soluet᷑ scđ̾m modum quem suꝑius mon¬
strauimus PSi uͦ quadiuplus sese ac sesquatus aglomerent:
quincuplus continuo fiet. ¶Et si quincuplus cũ sesquiqͥnto.
sesqt̾cio quadruplũ. quadruplus cum sesquiqͣrto quincuplũ.
⁊ eod̾ mͦ ut nullus hanc continuationẽ finis impediat.
E C de quantitate quȩ scđm adaliquid speculat᷑ ad
p̃sens dicta sufficrant. Nunc autem in hac sequentia qͣ¬

Expanded text:
nsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesRecte igitur dictum est, et duplicem a sesquialtero sesduas superparticularis spenumerum triplus est.t positis eisdem, ius in medietate ponatuerit ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et et sesquialtero, triplex ratio proportionis exoritur, et in eas quadrupli continuo forma contexitur, et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur, secundum modum quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquar us agglomerent, quincuplus continuo fiet: Et si quincuplus cum sesquiquinto,sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et caeteri eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis impediat.em de quantitate quam secundum ad aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia, qu
Abbreviated transcription (Latin):
autẽ suꝑficies uno tm̃ int̾uallo solidi corꝑis dimi̾sione suꝑa¬
t᷑. Quȩ uno uirsus int̾uallo lineã uincit: quȩ longitudinis
nat᷑am retinens. latitudinis exꝑs÷. Quȩ linea qđ unius est
it̾ualli sortita nat᷑am: a suꝑficie uno int̾uallo. a soliditate
cduob spatiis uincit᷑. Punctum gͥ: alio rursus intuallo a li¬
nea uincit᷑. ipsa scł quȩ reliqua ÷ longitudine. Quare si
punctum ꝗ uno int̾uallo a linea suꝑg̾dit᷑. idẽ a suꝑficie uin¬
cit᷑ duobus. tͥb uͦ int̾ualli dim̃sionib. a soliditate relingͥtur.¬
Constat punctum ipsum sine ulla corꝑis magnitudine. ł
int̾ualli dim̃sione. cum ⁊ longitudinis ⁊ latitudinis ⁊ pro¬
funditatis erꝑs sit: omnium int̾uallorum. eẽ. principium.
& nat᷑a insecabile qđ g̾ci athonion uocant .i. ita diminu¬
tum atq paruissimum ut eius pars inueniri ñ possit. Est

Expanded text:
autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis dimensione superaautem superficies uno tantum intervallo solidi corporis dimensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens, latitudinis expers est. Quae linea eo quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquitura corporis magnitudine vel intervalli dimensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque parvissimum, ut ejus pars inveniri non possit. Est
Abbreviated transcription (Latin):
forme ad int̾uallorum nat᷑as ⁊ nũm cõponant᷑. Unũ euĩ
int̾ualluĩ duos in sese c̃tinet motꝰ. ut ui tͥbus int̾uallis .ui.
sese motuum summa conficiat ħ mͦ. Est enĩ in longitudine
ante ⁊ recro. In latitudine. siistra & dextͣ. In abatudine:
sursum ac deoisum. Necẽẽ ⁊ autẽ ut quicqͥa fuerit solidum
corpus. ħ habeat latitudinem. longitudinem. alatidineo.
⁊ quicqͥd ħ tͥa ĩ se c̃anet. ill suo noie solidum uocet᷑. ħ
enim tͥa cͥca omne corpus in separabili c̃iunctione u̾santur
⁊ in nat᷑a corporum c̃stituta sunt. Quare: quicqͥd uuo ĩt̃¬
uallo caret.: illud corpꝰ solidũ ñ ÷. Nam qđ duo sola ĩ ter-¬
ualla recmet: illud suꝑficies appellat᷑. Om̃is it suꝑficies
sola longitudine n latitudine concinet᷑. ⁊ hic eadẽ illa
c̃u̾sio remanet. Om̃e enrim qđ suꝑficies ÷: longiudineor
& latitudinẽ retiuet. ⁊ qđ ħ reciuet: illud ÷ suꝑficies. Hec

Expanded text:
as et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo. Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextra, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem ut quidquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudinem, latitudinemque et altitudinem, et quidquid haec tria in se continet, illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabili conjunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quidquid uno intervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalla retinet, illud superficies appellatur. Omnis enim superficies sola longitudine et latitudine continetur, et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec
Abbreviated transcription (Latin):
disiungunt. Ita n unitas in se ipsa multiplicata. nicħ ꝓcreat.
Semel onim unum nicħ aliud ex se gignit: qua ipsum ÷. Nã ꝙ
int̾uallo caret. ⁊̃ uim gignendi int̾ualla ñ recipit. ꝙ in aliis nu¬
m̾is ñ uidet᷑ euenire. Omnis enim nu̾s in se ipsũ multiplicatus
alium quendam efficit maiorem quam ipse est. Iecͥco quoniam
intualla multiplicata maiore sese spacii ꝓliritate distendunt.
do successit. ꝙ̃ a binarii nui pͥncipio in cunctos sese nuos erpli¬
cat. qm̃ pͥmum int̾uallum linea est. Duo uͦ int̾ualla ft̃ longitu¬
do & latitudo .i. linea & suꝑficies. Tria uͦ int̾ualla st̃ longitu¬
do. latitudo. ⁊ altitudo .i. linea. ⁊ suꝑficies. atq soliditas. p̃t̃
ħ autẽ alia int̾ualla inueniri ñ possunt. Aut enim uni int̾uallũ
erit qđ longitudo est. aut aliquid duob int̾uallis expositũ ÷.
ut si qua res longitudinẽ hat & latitudinẽ. ł tͥna int̾ualli di¬
mensione porrigit᷑. Si longitudine. altitudine. latitudine q

Expanded text:
disjungunt. Ita etiam unitas in seipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quemdam efficit majorem quam ipse est, idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. do succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est, duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria ergo intervalla sunt, longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit quod longitudo est, aut aliquid quod duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudinem habeat et latitudinem, vel trina intervalli dimensione porrigitur, si longitudine, altitudine, lati
Abbreviated transcription (Latin):
cludit᷑. ⁊ cet̾i eod̃ mͦ singillatĩ ꝑ nat᷑alẽ nu̾m angulos au¬
geant: in plana scł descͥptione fig̾arum. hi uͦ icͥco a
t̃nario nu̾o inchoant: qđ latitudiuis ⁊ suꝑficiei solus
t̃narius pͥncipium ÷. In geometͥa qͦ id̾ planius ĩuenitur.
Que enuim linee recte spacium ñ continent. n oĩs aͣngu
laris figͥa. ł tecͣgoni. ł pentagoni. ł exagoni. ł cinꝰlibet
qͥ plurib anguł c̃anet᷑. si a mediecate ꝑ singłos angu¬
los linee ꝓducant᷑: tot eum diuictõ tͥanguli. quot ipsam
figam angulos hab̾e contig̾it. Quadratum enim ita li¬
gulos parciunt᷑. ut ÷ subiecta descͥptio
Tuͦ triangula fig᷑a cum eã
quis ita diuiserit: in alias fi

Expanded text:
caeteri eodem modo singillatim per naturalem numerum angulos augeant, in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometrica quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non conti tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita dugulos partiuntur, ut est subjecta descriptio. At vero triangula figura cum eam quis ita diviserit, in alias fi
Abbreviated transcription (Latin):
ipsa ñ recinet. Id̾ qͦ u in suꝑficiei rõne cadit. Que ⁊ ip̾a
solidi corporis ⁊ tͥplicis int̾ualli nat᷑ale sortit᷑ initiũ. ipsa
uͦ uec tͥna int̾ualli dim̃sione distendit᷑. nec ulla c̃ssitudi
Cetiam in nu̾o unitas quid̃ cum ipsa linearis
num̾us ñ sit: in longitudine tñ distenti num̾̃i
principium ÷. & linearis nu̾s cum ipse totius lattaidiniꝰ
exꝑs sit: in aliud tñ spaciũ latitudinis extenti nu̾i. sorti¬
tur mitium. Suꝑficies qͦ nu̾orũ c̃ ipsa solidũ corpus nĩ
sit: additꝰ tũ altitudini: solidi corporis ⁊ caput. hoc aut̃
plamus his exemplis liquebit. Liuearis nus ÷ ex duobus
inchoans adiecta semꝑ unitate in unum eund̾q semꝑ dn¬
ctũ qͣnticatis explicata c̃geries ut ÷ id ꝙ subieciuus.
IANAuͦ suꝑficies in nu̾s iuenit᷑. qͦtiens a
tͥb inchoatione facta: addita descͥptionis laticu¬
dine inseqntiũ se nat᷑aliũ nu̾orũ multcudine an¬

Expanded text:
ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli dimensione distenditc etiam in numero unitas quidem cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit, addita tamen altitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans, adjecta semper unitate in unum eumdemque ductum quantitatis explicata congeries, ut est id quod subjecimuuperficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine, in sequentium se naturalium numerorum multitudine an
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ duo. si t̾cium .i. t̾narium aggregau̾o : senarius extenditur.
ro: denarius explicat᷑. qͥ ÷ t̾cius actu tͥangulus. Quos ꝑ lat̾a
disponens ad suꝑioris descͥptionis exemplar: cunctos tͥangło
nu̾os sñ ulliꝰ dubitͥonis errorib ꝑnotab̾. Et qͣntas ultimus
nu̾s in se unitates ht̃. quem suꝑiorib aggregab̾. tot ipse
qui sit tͥangulus unitates habebit in lat̾e. Nam t̾nan¬
um qui ÷ pͥmus actu tͥangulus adiesto binario unitati fe¬
ceramus. At ħ duos ht̃ in lat̾e. ⁊ senarium his adiecta
t̃narii qͣntitate ꝓdurimus. Cuius latus soli tres c̃tinent.
⁊ id̾ in aliis cunctis qͦt unitates hntẽ nu̾m suꝑioribus ag¬
gregau̾is. tot unitatibus eius latͥa continebuntur.
lantudinem pandit. s ñ tͥbus angulis ut suꝑior for¬
ma s quatuor. Ipse qͦ equali lat̾um dim̃sione porni¬
gnair. St̃ autem huius modi fc̃.¬

Expanded text:
 duo si tertium, id est ternarium, aggregavero, senarius extenditur, ro, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera continebuntur. latitudinem pandit, sed non in tribus angulis ut superior forma, sed quatuor. Ipse quoque aequali laterum dimensione porrigitur. Sunt autem hujusmodi: C
Abbreviated transcription (Latin):
his urt̃nisso senario septenariũ iungã: tota in sedecim
summa concrescit .i. quarci qͣdrati nu̾ositas: ⁊ ut b̾uit᷑ hꝰ
forna ꝓc̾ationis appareat: si cuncti impares sͥmet appo-¬
tes unusquisq qͣdratoꝵ retinebit in lat̾e: quanti fuerint nu̾i
ad c̃iunctionem ꝓpͥam c̃gͥgati. Nam in pͥmo qͣdrato qm̃ ex
uno fit: unus ÷ in lat̾e. In scd̾o.i. in qͣt̾nario. qm̃ ex uno &¬

Expanded text:
 tota in 16 ejus summa concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter hujus forma procreationis appareat, si cuncti impares sibimet appotes unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere. In secundo, id est quaternario, quo
Abbreviated transcription (Latin):
ex ordine tͥanguli equilatͥi ꝓcieabunt᷑. ꝓͥmum
inuenit᷑. neceẽ ÷ ut ipsa qͣdã naturali potestate contine¬
at. Ꝙ huius tͥanguli latus ÷ unitas. Tͣnarius uͦ qui
pͥmus ÷: oꝑe ⁊ atu ipse tͥangulus c̾scente untrate bura¬
rium nu̾m latus habebit. Ui enim ⁊ porestate pͥmui tn¬
anguli .i. unitatis: unitas latus ÷. Aatu uͦ ⁊ oꝑe tͥan¬
guli pͥmi .i. t̃narii: dualitas ꝗͣ gͣci di ada uocant. Se
tenet. ⁊ qͥnti senarius. Id̾q usq in infinitũ.
ASCU NT UR autem tͥanguliꝰs disposi¬
ta nacurli qͣntcate nu̾orũ: si pͥorib semper
multitudo seqͣntiũ c̃gͥget᷑. Disponat᷑ enim nrat᷑alis nu̾s ħ mͦ.¬

Expanded text:
ordine trianguli aequilateri procreabuntur, et primum invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus est unangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi anguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii dualitas, quam Graeci dyada vocant. Sectenet, et quinti senarius. Idemque usque in infinitum.ascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis num
Abbreviated transcription (Latin):
Ex his gͥ si unum respiciã pͥmus mͥ natus ÷ potestate qua¬
dratus. Qđ si uno relicto pͥori t̾cium uinxero: scds mͥ qͣdra¬
tus efficitur. Nam si uno relicto binario. t̾narium apposue¬
ro: qͣt̾narius mͥ qͣdrat᷑ exorit᷑. Quod si relicto rarsus medi¬
o qͣt̾nario qͥnarium similit̾ agg̃gau̾o: qͣdratus mͥ t̃cius .i. no¬

Expanded text:
Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni relicto binario quinarium apposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregavero, quadratus mihi tertius, id
Abbreviated transcription (Latin):
guius ñ resoluit᷑: nͥ in se ipsaui. irtria enuim triangula
dissipat᷑.
DEOħ siga pͥnceps ÷ latitudiuis: ut ced̾e
oñs suꝑficies in hanc resoluant᷑. Ipsa uͦ quoniã
nullis ⁊ pͥncipiis obuoria: neq ab alia latitudiue
sumpsit initiũ. in sese ipsã soluat᷑. Id̾ autẽ ⁊ ĩ nu̾is fieri:
sequens oꝑis ordo monsirbit.

Expanded text:
guras non resolvitur nisi in seipsam, in tria enim triangula dissipatur. Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut caeterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero quoniam nullis est principiis obnoxia, neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem et in numeris fieri sequens operis ordo monstrabit.
Abbreviated transcription (Latin):
proc̾atꝰ est. Qđ si idem de quadruplo quis fac̾e uelit:
sesquiquartus continuo nascet᷑. ut
monstrat subiecta descriptio. xui axaxu
¶si quis idem de cunctis in infinitum partib multi¬
plicitatis faciat. conuenient̃ ordinẽ pͣarticularita¬
tis inueniet. Qđ si conu̾sos sparticulares : aliquis
suꝑtͥpartiens. procreat᷑. Et ceteri secundũ cõmunes deno¬
minꝰonis sp̃es sine ulla ordinis int̾polatione nascent᷑. dis¬
ponantur gͦ sic
T pe RIORIS

Expanded text:
procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subjecta descriptio: Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis sesupertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic: Superioris
Abbreviated transcription (Latin):
plex suꝑtͥparciens. & ͥplex suꝑqͣdripartiens. & similit᷑.
ut .uiii. ad .iii. cõparati: faciunt duplicem suꝑbipar¬
tientẽ.⁊ xui. ad .uii. Et om̃s qͥcunq ab .uiii. incipien¬
tes. octonario se nu̾o transgͥdiunt᷑. cõparati ad eos qͥ atͥb
inchoantes t̾̃naria se se qͣnatate p̃t̾eunt. Hec erit diffici¬
le alias euis partes scđm p̾dictum modũ diligentibus
reꝑire. Hic illud qͦ meminisse debemus. ꝙ minores :¬

Expanded text:
iplex supertripartiens, et triplex superquadripartiens, et similiter. Ut 8 ad 3 comparati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus reperire. Hic quoque illud meminisse debemus quod minores
Abbreviated transcription (Latin):
Ex his gͥ scd̾m p̃cepti nr̃i ordinẽ uideas pͥmun nasci
multiplices. n in his dupplices prius. deiñ tͥplos. Inde qͣ¬
dniplos. & ad eundẽ ordinẽ c̃sequentes. Rursus multi¬
plices si conu̾tunt᷑: ex his suꝑparaiculares oriunt᷑. Ex¬
duplicib quid̃. sesqualt̾i. Ex tͥplis: sesqͥt̾cii. Ex qua¬
druplis : sesqͥqͣrti. & cet̾i ĩ hc̃ modũ. Et ex suꝑparaicu¬
laribus uͦ conu̾sis : suꝑpartientes uasci ueceẽ ÷. Ita
ut ex sesqualt̾o nascatur suꝑbiparciens. Suꝑtͥpari¬
entem sesquitcis gignat. & ex sesquiqͣrto: suꝑ qͣdripartien ꝓcreet᷑
entibus: multiplices suꝑpartientes efficiuntur. p̃cepta
autẽ tͥa hec sunt. ut pͥmum nu̾m. pͥmo facias parem. Se
O. Hoc gͥ cũ in t̾minis eqͣlibus fec̾is. ex his qui nascent᷑ du¬
plices erunt. De qͥb duplicib si id̾ fec̾is: tͥplices ꝓcͥant᷑. Et
de his quadruplices. Atq in infinitum. om̃s formas nt̾u

Expanded text:
 secundum praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientduplicibus quidem sesquialteri. Ex triplicibus sesquitertii. Ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto superquadripartiens. entibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, seo. Cum enim eum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ ercius uͦ primo: duobus secundis & tercio .i. uiiii.
C ¶ E tͥ illa sesqͣst̾a qͣntitas
ex t̃mino duplicitatis eroritur.
Uideamus nunc ad eundẽ t̾minũ ex tͥplici qͥ nascõtur:
disponant᷑ enim tͥplices suꝑiores⁊IX inL¬
ON UERS O scilicet ordine sic̃ dupplex. hic est
quoq ordo dispositꝰ. ponat᷑ gͦ pͥmus pͥmo equiis .i.

Expanded text:
ertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 9. Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superiores, converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Ponatur ergo primus primo aequus, id
Abbreviated transcription (Latin):
trad̾e disciplinã. ꝙ̃ ad omuẽ nat᷑e uimi. rerũq
untegͥtateni maxima rõne ꝑtiueat. Magnꝰ
quippe in hac scientia fructus est: si qͥs ñ nesci¬
ꝑpetua. Infinitũ uͦ maliaȩ dedecus ÷ nullis ꝓͥis pͥncipi¬
is nixum. s nat᷑a semꝑ errans: a bon diffinitione pͥn¬
cipii. tamquã aliqͦ signo optimȩ fig̾e imp̃ssa cõponit᷑.
Et ex illo erroris flustu retinet᷑. Nam nimmia cupidita¬
tẽ. ire q ĩmodicã effrenationeni. quasi qͥdã rector animꝰ
pura intelligentia roboratus astͥngit. ⁊ has quodãmͦ ine
qualitatis formas temꝑata bouitate constituit. ħ aũ erit
ꝑspicuũ. si intelligamꝰ om̃s ĩeqͣlitatis sp̃es ab eqͣlitatis cre

Expanded text:
tradere disciplinam, quae ad omnium naturae tum rerum integritatem maxime ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nescitiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans ab omni definitione principii tanquam aliqua signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus puqualitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitati
Abbreviated transcription (Latin):
si in infinitũ hunis ꝓportiõĩs sp̾es ꝓc̾abunt᷑. Manifestũ
autem hoc ñ ÷ quod horum comites semꝑ cum sub pͣposi¬
tione dicent᷑. ut ÷ sub dupler ͥ sesqͣlt̃. subdupler ͥ s esqͥt̾tius
subdupler sesqͥqͣrtus. & cet̾i quid̃ ad hunc modum.
UL TIPLEXuͦ suꝑpartiens est qͦtiens nuᷤ
particulas scdm nu̾i suꝑpartientis fig̾am. In ħ
quoq propt̃ causam suꝑius dictã: ñ eit̃ due mediecateᷤ
neq due quarte
neq due serte. s due t̾cie. ł due qͥnte. ł due septime
ad pͥoris similem c̃seqnͣtiã. Non ÷ autẽ difficile scđ̾m
pͥorum exempla positorũ. hos qͦq ⁊ p̃t̾ nr̃a exempla

Expanded text:
 in infinitum hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum.ultiplex vero superpartiens est, quoties numerus particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra exempla
Abbreviated transcription (Latin):
¶ T in cec̾is quidem ad hanc fori¬
mam tͥbus his p̃ceptis utem᷑. Si
uͦ qͥ ex eq̃libus nati sunt multi¬
ita ut c̾u̾so sint ordine: sesqͣtt̃ ex duplici ꝓcreabit᷑. Sesgͥcͣcius
ex tͥplici. Sesqͥqͣrtus ex qͣditiplo. Sint enim duplices tres t¬

Expanded text:
16. Et in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices t
Abbreviated transcription (Latin):
pla. ł si in qualibet multiplicitate numorum ste c̃stituta
distñsio. In his it qͦtlibet nu̾os si sũpseris. explebunt geome¬
tͥcam medietatem. Quemadinodum it pͥor ad sequentem ::
ita sequens ad alium. n rursus si ꝑmirte facias: id̾ erit. Si
ad .iii. id÷ .iiii.ad xui. Utraq enim proportio q̃drupla

Expanded text:
pla, vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio. In his enim quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmodum ante prior ad sequentem, ita sequens ad alium. Et rursus, si permixte facias, idem erit. Si ad quartum, id est 4 ad 16. Utraque enim proportio quadrupla
Abbreviated transcription (Latin):
parte a maiore p̾cedit᷑. E ad̾ autem parte minoris minorẽ su¬
ꝑat q̃ parte ma ioris a maiore suꝑatur. Rursꝰ si extͥmitates
in unum redigant᷑. ⁊ a medietate .i. octonario multiplicent᷑:
duplus erit ab eo ndo quẽ sole ertremitates multiplicate ꝑfe¬
cunt. Oñs autẽ ĩ hac dispone sinphonias musicas ĩuenimus
dicitur: in ea diapente reꝑit᷑ consonantia. Diapason uͦ¬

Expanded text:
parte a majore praeceditur, eadem autem parte minoris minorem superat qua parte majoris a majore superatur. Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multiplicentur, duplus erit ab eo numero quem solae extremitates multiplicatae perfecerint. Omnes autem in hac dispositione symphonias musicas invenimus.dicitur, in ea diapente consonantia reperitu
Abbreviated transcription (Latin):
N dupla uͦ dispõe maior t̃¬
minus ad medii t̃mim c̃tra
se disfã criplus e⁊.¬
T tursus nimor t̃minus
ad medii cͣtͣ minorẽ t̾mi¬
uum cõꝑati differentiam
ERIploS eS

Expanded text:
In dupla vero dispositione, major terminus ad medii termini contra se differentiam, triplus e rursus minor terminus ad medii contra minorem terminum comparati differentiam, triplus es
Abbreviated transcription (Latin):
te sinphonia cõponit᷑. quam
sesqualt̾a habitudo c̃stituit.
Namq ĩ utͥsq disponibus hiꝰ
qͣ sub̾e sunt: ĩ duplici senariꝰ
diapente simphonia c̃iungit᷑.
son consonantia q̃ fit er
duplici ut ⁊ sub̾a formula.

Expanded text:
ia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his quae subjectae sunt, in duplici senariusdiapente symphonia conjungitur. son consonantia, quae fit ex duplici, u
Abbreviated transcription (Latin):
tum propͥi gen̾is resoluat᷑. Hoc autem rursus trina imꝑa¬
tione colligit᷑. Eaq resoluendi ars. datis quibus libet
tͥbus t̾̃minis in equalibus quid. s propottionalit̃ consti¬
tutis : i. ut eandem medius ad pͥmum uim ꝓportionis ob¬
tineat. quani qui ÷ extremus ad medium. in qualibet ine¬
qualitatis rone. Uel in mulciplicibus. ł in suꝑparcicala¬
ribus. ł in suppartientib ł in his q̃ ex his ꝓcreant᷑ multi¬

Expanded text:
tum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars. Datis quibuslibet tribus terminis, inaequalibus quidem, sed proportionaliter constitutis, id est, ut eamdem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus ad medium in qualibet inaequalitatis ratione, vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus,
Abbreviated transcription (Latin):
qͣ omnuum inequa litettũ eqͣlitatẽ eẽ pͥncipiũ. E ꝙ eadẽ
enim cunsta inequalia nascunt᷑. Ac de his quid̃ hactenꝰ.
aisserendum ee edimus. ne ł infinita sectem᷑. ł cͥca res
obscurisimas ingdientiuim animos decinentes ab urili¬
oribus moraremur. Explic lib pͥmus.

Expanded text:
 omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur. LIBER SECUNDUS.
Abbreviated transcription (Latin):
ñ eu̾sum ponamus. duplus sesqͥttiꝰ inuenit᷑. ut
subiesta descͥptio docet.
T uͦ si ad suꝑparti¬
entes animũ conu̾tamus. eosq ordinatim scđm
suꝑiora pcepta disponamus. multi plices suꝑpar si¬
entes orđiacim ꝓgenitos ieꝑiemus. disponãt enim suꝑ¬

Expanded text:
nversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subjecta descriptio docet.  si ad superpartientes animum convertamus, eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim sup
Abbreviated transcription (Latin):
duobus scđ̃is. ⁊ t̾cio .i. xluiii. Om̃is gͦ summa disposita.
suꝑtripartientes efficiet.
creabitur. ut est forma quã suꝑpositã uides.
queadmoduor¬
ex suꝑparcicularib & suꝑparcientibus multiplices suꝑ¬
particulares ł inultiplices suꝑparcientes nascant᷑ osten-¬
d̾e. qͦꝵ binas tm̃ faciam descͥptiones. Hamq si rectaris
ñ cuersum sesqualtm ponimus. duppler suꝑ particularis
excrescit. Sit enim hoc modo
suꝑiorem modum pͥmo pͥmus equalis .i. ui. Seds

Expanded text:
duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet. creabitur, ut est ea forma quam suppositam vides. quemadmoduex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: superiorem modum primo, primus aequalis, id es
Abbreviated transcription (Latin):
Rõ atq expo dioeste formule.
Sigͥ duo pͥma latera pͥmȩ proposite formule
quȩ faciunt angulum ab uno ad decem. & decẽ
proced entia respiciant᷑. & his subt̾iores ordines
comparentur. qui scl̃ a quatuor angulum incipientes. ĩ
uicenos t̃minũ ponunt. duplex id̃ pͥma sp̾es multiplicita¬
tis ostendit᷑: Ita ut pͥmuᷤᷤ pͥmũ sola suꝑet unitate. ut
duo.i. Scds scđmi: binario suꝑuadat. ut qͣtnariꝰ binari¬
um. Tcius t̾cium tͥb. ut senarius t̾narium. qͣrtus qͣr¬
tum quat̾narii nuositate transcendat: ut .uiii. qͣt̾nari¬
um. & ꝑ eandem cuncti seqñtiã: sese minoris pluralita¬
te pͣteant. Si uͦ t̃cius angulus aspiciatur qͥ ab .ix. in¬
choans longitudinẽ latitũdinẽq tͥcenis altnsecꝰ mu̾s
excendit᷑. n hic cum pͥma latitudine n longitudine cõ¬

Expanded text:
o atque expositio digestae formulae. Si igitur duo prima latera propositae formulae quae faciunt angulum, ab uno ad 10, et 10 procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, ut dus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine co
Abbreviated transcription (Latin):
sesqͥqͥntus. ⁊ hi semꝑ nascent᷑ dispositis ĩ ordinẽ a binano nuo
omnib iraturalit̃ parib impanb q t̾minis. si contͣ eos õs
a qͥnario nuo ĩpares comparent᷑. Uo pͥmũ pͥmo. scdm sedo.
t̃cii t̾rio. gaute ⁊ diligent̃ apponas. ut sit dispo talis
unt cõparent᷑ : om̃s dupplices sesqlt̾os creant ut est
subiecta descͥptio.

Expanded text:
ntus. Et hi semper nascentur, dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter apponas, ut sit dispositio unt comparentur, omnes duplices sesquialteros creant, ut est subjecta descriptio.
Abbreviated transcription (Latin):
rum ad imaginem scł fiunt ꝓportionũ: ex qͥb ipse nũs
originẽ t̾het. EIam. pͥmi pars̃ hu̾ice uocabuli ꝗͣ a multipli
cularis ⁊: eꝯdẽ uocabulo nuncupabit᷑. quo suꝑparcicularis
nui spes uocabant᷑. Dicet̾ enĩ qui duplicẽ habuerit aliuo
num. & eiꝰ mediam partem duppłex sesqualter. Qui uͦ t̃ci¬
am auiplex sesqͥtiuis. Qui qͣrtã: duppler sesqͥqͣrꝰ. &
deinceps.

Expanded text:
em proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multipliccularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps.
Abbreviated transcription (Latin):
le qͥ uocat᷑ suꝑbipartiens. ht̃ u qͥnariꝰ totoᷤ
ii se ties. ⁊ eoui duas partes. i .nͦ. Si nͦ ad secunddũ
ordinẽ speculatio refenit: suꝑtͥpartieus ꝓportio cognos¬
cet᷑. Atq ita in seqñtibus ꝑ oñs dispositos nu̾os onĩs
iifinitũ sp̃es huius nuii c̃ucientes ordinatas q
respicias. At uͦ que madmodũ singłi proce̾nt᷑ si iuinfi

Expanded text:
bipartiens. Habet enim quinarius totos in se tres, et eorum duas partes, id est 2. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli p
Abbreviated transcription (Latin):
incip̃ a duabus partibus t̾ciis. Nam si .ii. medietateᷤ ha¬
buerit qui illum infra se totũ cohercet : duplus ꝓ suꝑparti¬
tes minoris nu̾i suꝑhabuerit: ꝑ easdẽ partes ĩparibus
nu̾is minorẽ maior sũma tͣnscendit. Nam si eũ hãt totũ
& duas eius qͣrtas: suꝑparticularis necc̾o reꝑit᷑. Nã due
qͣrce medietas ÷. ⁊ fit sesqualta cõꝑatio. Sin uͦ duas.
.UI. rursus est suꝑparcicularis Due enim .ui. pars t̃cia :.
Quod si in cõparatione ponat᷑: sesqͥtcie habitudiuis es¬
ficieo formam. Post hos nascunt᷑ comites. qui subsuꝑpar¬

Expanded text:
incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartites minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et cularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpar
Abbreviated transcription (Latin):
conseruet᷑ : p̃t̾ea eos qͥ sub ipsis st̃ si id̾ faciensꝰ seqñteᷤ
u̾sus altutͥs comparau̾is: om̃s sñ ullo impedim̃to sp̾es
suꝑparticularis agnosces. ħ aut̃ in hac ÷ dispone di .i. m¬
umũ. qđ om̃s angulares nu̾i tec̃goni st̃. Tetͣgonꝰ aũ¬
dr̃ ut b̾uissime dicã qđ pꝰ latiꝰ explicabit᷑. quẽ duo eqͣleᷤ
nu̾i multiplicat. ut in hac qͦ descͥptione ÷. Unꝰ enĩ se¬
mel unꝰ ÷ .n÷ potestate tetͣgonꝰ. Itẽ bis duo .iiiͦi. suii.
Ter tres: ix. Quos ĩ semet ipsos multiplicones pͥmi or¬
longi latimũ st̃. Longilat̾os nũos aũ uoco. qͦs uno
se suꝑgͥdientes nu̾i multiplicant. Cirtum .iiii. enĩ duo
st̃ ꝙ .ui. S duo nascunt᷑ ex uno ⁊ duobus cũ unũ bis
multiplicqu̾is. S unitas a binario unitate p̃cedit᷑ .ui.¬
uͦ ex duobus ⁊ tͥbus. Bis enim tres senarium reddunt.

Expanded text:
ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc autem in hac dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus auicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est: unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primorlongilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt.