comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Ad hoc quidem formam triangularem nu
duarum unitatum dupletur ita quod pͥma unius relique
alt̾ius adiungatur tercia infine. eruntq unus. duo unus.
intercio ordine.T hic item dupletur. ita quod pͥma eus
unitas binario alt̾us adaptetur. ⁊ sic ꝑ ordinem donec euis ex¬
dema unttas infine ponatur. halebitq quartus ordo.iiii.¬
.IIi.i.⁊ hoc modo fiant sequentes deprecedentib duplicatis. hoc
facto: disponantur quotlib t̃mini equales. qui sint .ã.b. c̃.
d̃ ꝑ quos hoc modo t̾minos indupla reꝑiemus ꝓportione.
Generaliter gͥ sciendum est quod quaitti cumq fuerit t̾mi¬
niꝯ tinue ꝓportionalium scđm qͣm cumq proportionem dis¬
positi ⁊ quocienscumq continue tamen sumpti. sicut scd̃s
se ht̃ ad primum. ita sehabebunt ad eos omnes:. totidem a
scdo eadem ratione consequenter ordinati. ꝑ .xx. scdđi. ut
quam scłs adpͥmum: eam habebunt ꝓportionem ad pii¬
mum ⁊ scđm bis: scłs ⁊ tercius bis. Patet etiam quod si

Expanded text:
Ad hoc quidem formam triangularem numduarum unitatum dupletur ita quod prima unius relique alterius adiungatur, tertia in fine eruntque unus, duo, unus in tertio ordine. Et hic item dupletur ita quod prima eius unitas binario alterius adaptetur et sic per ordinem donec eius extrema unitas in fine ponatur. Habebitque quartus ordo 1,111,111,1. Et hoc modo fiant sequentes de precedentibus duplicatis. Hoc facto disponantur quotlibet termini equales qui sint a b c d per quos hoc modo terminos in dupla reperiemus proportione. Generaliter igitur sciendum est quod quanticumque fuerint termini continue proportionalium secundum quamcumque proportionem dispositi et quotienscumque continue tamen sumpti sicut secundus se habet ad primum ita se habebunt ad eos omnes totidem a secundo eadem ratione consequenter ordinati per xxam secundi ut quam secundus ad primum eam habebunt proportionem ad primum et secundum bis secundus et tertius bis. Patet etiam quod si
Abbreviated transcription (Latin):
ent similiter cub ꝑ .xi. presentis. Illis autẽ sum¬
pts: omnes sumentur. om̃s itaq cubi. Sicq patet
propositio.
inumerorum abunitate contin¬
ue ꝑꝓpͥnalium sed̾s abunitate fue¬
nt quadratus erunt omnes qua¬
drati. Quod sudem fuerit cubus.

Expanded text:
erit similiter cubus per xiam presentis. Illis autem sumerit similiter cubus per xiam presentis. Illis autem sumptis omnes sumentur. Omnes itaque cubi. Sicque patet propositio.numerorum ab unitate continue proportionalium secundus ab unitate fuerit quadratus, erunt omnes quadrati. Quod si idem fuerit cubus
Abbreviated transcription (Latin):
se ductus eum ꝑducit. Quociens enim in ipso est uni¬
tas tociens ipse int̾cio. Uno aũ int̾misso t̾̃cium semꝑ
ẽẽ quadratum patet ꝑ decimam huius quociensli¬
bet repetitam. Quartum aũ ẽẽ cubum liquet qm̃
scđ̾s int̾cium ductus qui est suꝰ quadratus. eum pro¬
ducit. quia quociens in scdo unitas tociens in quar¬
tot̾cius ⁊ quartũ semꝑ ẽẽ cubum est manifestum. ꝑ
.xi. presentis quociens necẽe est sumptam. Septimũ
aũ ẽẽ quadratum cubicũ ꝯstat qm̃ in ipso cõuenunt
numeri quadratoꝵ ⁊ cuborum. Simili qͦ ratione ⁊
septimus ab illo erit quadratus cubicus. ⁊ sic decet̃is.
& duob intermissis quartum sẽ¬
per ẽẽ cubum Septimũ autẽ qua¬
dratum cubicum. Atq quinq in¬
termissis septimum semꝑ ẽẽ qua¬
dratũ cubicum est necẽe: ppremis
omnes quadrati: posito scdo ẽẽ quadrato: erunt õs
qui int̾ missi sunt quadrati. gͦ omnes. Si uͦ fuerit

Expanded text:
se ductus eum producit. Quotiens enim in ipso est unitas totiens ipse in tertio. Uno autem intermisso tertium semper esse quadratum patet per xam huius quotienslibet repetitam. Quartum autem esse cubum liquet quoniam secundus in tertium ductus, qui est suus quadratus, eum producit quia quotiens in secundo unitas totiens in quarto tertius et quartum semper esse cubum est manifestum per xiam presentis quotiens necesse est sumptam. Septimum autem esse quadratum cubicum constat quoniam in ipso conveniunt numeri quadratorum et cuborum. Simili quoque ratione et septimus ab illo erit quadratus cubicus. Et sic de ceteris. et duobus intermissis quartum semper esse cubum. Septimum autem quadratum cubicum atque quinque intermissis septimum semper esse quadratum cubicum est necesse. Quod omnes quadrati. Posito secundo esse quadrato erunt omnes qui intermissi sunt quadrati, ergo omnes. Si vero fuerit
Abbreviated transcription (Latin):
¶Uerbi gratia. sit.ã. ad .b. sicut.c̃. ad
.d. sitq.ã. maximus. Constat autẽ
maius quam.c̃. ⁊ .b.⁊. hoc est quod sequitur.
ifuerit primus ad scđm sicut tercuiᷤ.xxiiii.
ad quartum. fueritq primus max¬
imus. numerus compositus expri¬
mo ce scđo maior erit numero cõ¬

Expanded text:
erbi gratia: Sit a ad b sicut c ad d sitque a maximus. Constat autem maius quam c et b. Et hoc est quod sequitur.fuerit primus ad secundum sicut tertius ad quartum fueritque primus maximus, numerus compositus ex primo et quarto maior erit numero co
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sit primus.ã. scds .b. tercius. c̃. quartus . d. Siue gͦ sit pͥmꝰ
maior uel minor scd̃o: si quidem minor sit t̾cio. erit uͭ
quote partes uł pars sit. ã. in .c̃. tote sit .b. in .d. per
.xxuii. ⁊.xxuiii. primi cooꝑante prima presentis. ead
g erit pcoportio. Si uero.ã. sit maior.⁊.c̃.minor:
erit eadem ratione quota pars uel partes.ẽ. in.a.to¬
ad.c̃. ea .b. ad.d.⁊ hoc est quod sequitur.
i fuerit primus ad scđm sicutt der
¶ Erit enim ꝑ mutatim sicut pͥ¬
ad quartum. mus adtercium ita scłs ad
ifuerit primus ad scđm sicut terciuᷤᷤ. iiii.

Expanded text:
 Sit primus a, secundus b, tertius c, quartus d. Sive ergo sit primus maior vel minor secundo, siquidem minor sit tertio, erit ut quote partes vel pars sit a inc tote sit b in d per xxviiam et xxviiiam primi cooperante prima presentis. Eadem ergo erit proportio. Si vero a sit maior et c minor, erit eadem ratione quota pars vel partes c in a toad c ea b ad d. Et hoc est quod sequitur. § iv Si fuerit primus ad secundum  Erit enim permutatim sicut primus ad tertium ita secundus ad Si fuerit totus ad totum sicut detractus ad
Abbreviated transcription (Latin):
Hinarius enim numerat in pariter. ⁊̃ qr quemlibr pa¬
Irem numerat binarius: quicumq partotum numerat:
numerabit eum scđm numerum qui ⁊ medietatem to¬
cius numerabit.ꝑ .xxu. scđi. Idem gͦ erit impar ꝑ .xiii.
p̃sentis. Qm̃ gͦ quicumq par eum numerat scđm ĩpa

Expanded text:
Binarius enim numerat impariter. Et quia quemlibet parem numerat binarius quicumque par totum numerat, numerabit eum secundum numerum qui et medietatem totius numerabit per xxvam secundi. Idem ergo erit impar per xiiiam presentis.
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ut si int̾er. a. ⁊ unitatem medii sint .b.⁊.ce.
⁊ icem int̃ .d. ⁊ unitatem. ẽ. ⁊ .f. Quia gͥ qͦti¬
ens unitas in .t̃. tociens. c̃. in .b. erit ut.c̃. in seductus fa¬
ciat. b ⁊.s. in se ꝑducat. ẽ. Atq. ẽ ⁊. f. ducti in .b.⁊. ẽ ꝓ¬
ducunt.ã. ⁊ .d. Ducto gͥ. c̃. in .f. fiat .gͣ. atq. c̃.⁊. f̃. item
ducti in .g̃. faciant .h. ⁊.l. Constat igit᷑ ꝑ .uii. sccłi qd̾
.b. ad .g. sic̃ .g. ad.ẽ. Itemq .ã. ad .h. sicut. ħ.ad .ł.⁊ .l. ad¬

Expanded text:
. Ut si inter a et unitatem medii sint b et  item inter d et unitatem e et f , quia igitur quotiens unitas in c totiens c in b erit ut c in se ductus faciat b et f in se producat e. Atque c et f ducti in b et e producunt a et d. Ducto igitur c in f fiat g atque c et f item ducti in g faciant h et f. Constat igitur per viiam secundi quod b ad g sicut g ad e. Itemque a ad h sicut
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Sint continue ꝓportionalia
quod ex .b. in.ẽ. fit.c̃. ent gͦ .d. ad.c̃. sicut .b. ad.ẽ. S qr .a. in
.ẽ. fac̃.b. gͦ.ã. in .c. faciet.d. quod est ꝑpositum.
Trium continue ꝓportionalium. qd̃ ix
expmo inultimum equum est ei

Expanded text:
 Sint continue proportionalia quod ex b in e fit c. Erit ergo d ad c sicut b ad e. Sed quia a in e facit b, ergo a in c faciet d. Quod est propositum. Trium continue proportionalium quod ex primo in ultimum equum est ei
Abbreviated transcription (Latin):
e bietas est cõnexio extre¬
morum habitudine utri¬
usq admedium. Medi¬
etatum quedam principales. quedã
principalibus collaterales. P rincipa¬
les sunt tres. Prima est quando
maioris & medii & minoris equaleᷤᷤ
sunt differentie. & dicitur hec aris¬
metica medietas. S cda est quan¬
do maximi ad medium eadem est
ꝓportio que medii adminimum. &
hec uocatur geometrica. Tercia ẽ
quando maximi adminimum ead̃
est ꝓportio: que differentie maximi
admedium ad differentiam medii
adminimum. & hec appellatur mu¬
sica. Collateralium prima est q̃n
maximus ad medium sicut differentia
minorum ad differentiam maiorum.
Seda est quando medius adininimũ
sicut differentia minorum ad diffe¬
rentiam maiorum. Tercia est q̃n
maximus ad medium sicut differẽ¬
tla extremorum ad differentiam
maiorum. Quarta est quandome¬
dius adminimum: sicut differentia
extremorum ad differentiam maio¬
rum. Q uinta est quando medius
admininũ sic̃ diffr̃a extmoꝵ ad diffr̃am

Expanded text:
edietas est connexio extremorum habitudine utriusque ad medium. ‹ii› Medietatum quedam principales, quedam principalibus collaterales. ‹iii› Principales sunt tres. Prima est quando maioris et medii et minoris equales sunt differentie. Et dicitur hec arismetica medietas. Secunda est quando maximi ad medium eadem est proportio que medii ad minimum. Et hec vocatur geometrica. Tertia est quando maximi ad minimum eadem est proportio que differentie maximi ad medium ad differentiam medii ad minimum. Et hec appellatur musica. ‹iv› Collateralium prima est quando maximus ad medium sicut differentia minorum ad differentiam maiorum. Secunda est quando medius ad minimum sicut differentia minorum ad differentiam maiorum. Tertia est quando maximus ad medium sicut differentia extremorum ad differentiam maiorum. Quarta est quando medius ad minimum sicut differentia extremorum ad differentiam maiorum. Quinta est quando medius ad minimum sicut differentia extremorum ad differentiam
Abbreviated transcription (Latin):
quentur duo pares. qui ꝑ antep̃missam ꝯficient pa¬
rem. Si gͥ cõposito iungantur ille due unitates quia
parem ꝯstituunt totus quoq ꝑ eandem erit par. ⁊ hoc
Cum enim nume
necẽe est in eo aliquociens posse sumi binarium toci¬
ens quoq binos ⁊ binos illoꝵ copulari. qui semꝑ co¬
aceruati pares numeros redlunt ꝑp̃missam ꝑpri¬
mam itaq p̃sentis ꝯclude.
Si impares numero pares sibi coacer¬
uentur: totus ex eis confectus erit

Expanded text:
quentur duo pares qui per antepremissam conficient parem. Si igitur composito iungantur ille due unitates, quia parem constituunt, totus quoque per eandem erit par. Et hoc Cum enim numerus eorum sit par, necesse est in eo aliquotiens posse sumi binarium totiens quoque binos et binos illorum copulari. Qui semper coacervati pares numeros reddunt per premissam. Per primam itaque presentis conclude. Si impares numero pares sibi coacerventur, totus ex eis confectus erit
Abbreviated transcription (Latin):
Ut enini exp̃missis ht᷑. dupla cum maxima suꝑpar¬
ticularium triplam ꝯstituit.⁊ quia dupla est omni
suꝑpartiente maior: quelior cum sesqualt̾a siue ea
minore suꝑparticulare: componet ꝑpͦnem triplami¬
norem. Uel aliter. Sit suꝑparticularis quelib cuiuspͣs
denominetur ab. ã. ⁊ superparciens cuius partes denominee¬
tur ab .h. ⁊ numerentur. a.c̃. atq.ã. ductu̾ctus in .b. faciat
alteram ꝑuenient unum. ⁊ pars unius. ⁊ partes alt̾ius.
⁊ item partes denominate. a.d.⁊ numerate. a.c̃. que
qnͣt numerentur a numero minore quam .b.⁊ partes nu¬
merate a.b. similes illis sunt equales parti dicte ab.ã.
ꝑ pͥmam huius erunt minores eadem. quare cum illa
erunt minus uno. Cumq reliquum sit minus duob. ent
totum minus trib. ⁊ ꝑpͦdenominata minor tripla ⁊ hoc
est ꝙ intendimus.
mnis Superparticularis cum qua¬
libet superpartiente constituit ꝓpͥ

Expanded text:
Ut enim ex premissis habetur, dupla cum maxima superparticularium triplam constituit. Et quia dupla est omni superpartiente maior, quelibet cum sesquialtera sive ea minore superparticulare componet proportionem tripla minorem. Vel aliter. Sit superparticularis quelibet cuius pars denominetur ab a et superpartiens cuius partes denominantur a b et numerentur a c atque a ductus in b faciat alteram provenient unum et pars unius et partes alterius et item partes denominate ad et numerate a c. Que quoniam numerentur a numero minore quam b et partes numerate a b similes illis sunt equales parti dicte ab a, per primam huius erunt minores eadem quare cum illa erunt minus uno. Cumque reliquum sit minus duobus, erit totum minus tribus et proportio denominata minor tripla. Et hoc est quod intendimus. mnis superparticularis cum qualibet superpartiente constituit p
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sint termini maioris. ã.b. minoris . d̃.ẽ. Posito quodmna¬
ad .b. quare .l. est maior. k. Ducatur it̃.ħ. in se ⁊ in .i.
⁊.k⁊ ꝑueniant. m̃. ñ .p̃. Sitq. c̃. numerus qui ꝑximo lo¬
co inse ductus plus faciat quam sit. ñ. a quo tollat᷑
dimidium differentie .i. ad .R. uel minus ⁊ remaneat

Expanded text:
Sint termini maioris a b, minoris d e posito quod maad b. Quare f est maior k. Ducatur item h in se et in l et k et proveniant m n p. Sitque c numerus qui proximo loco in se ductus plus faciat quam sit n a quo tollatur dimidium differentie l ad k vel minus et remaneat
Abbreviated transcription (Latin):
res numeros in hac medietate inueni .uiii.¬
re. quorum ꝓportionis medii addif¬
ferentiam ad ꝑpͦnem extremoꝵ diffe¬
rentia: sit qualibet data ꝓpͦne minor¬
aut maior. noris erit idem duplus uni differentiaꝵ
quare medius triplus. ⁊ ꝑ .uii. huius simaior tͥplus: ent
medius differentie duplus. Quod simaior plus duplomi¬
noris: ent minor minus quam duplum alteritͥus differẽ¬
darum ⁊ ob hoc medius minus tuplo eiusdem. ⁊ ꝯũsa si¬
militer demonstratur.
retremu exfremi duplus erit medi¬
us differentie triplus. & conuertitur.
Quod si alter maius duplo alt̾ius:

Expanded text:
res numeros in hac medietate invenire quorum proportionis medii ad differentiam ad proportionem extremorum differentia sit qualibet data proporaut maior. quare medius triplus. Et per viiam huius si maior triplus, erit medius differentie duplus. Quod si maior plus duplo minoris, erit minor minus quam duplum alterutrius differentiarum. Et ob hoc medius minus triplo eiusdem. Et conversa similiter demonstratur.tremus extremi duplus, erit medius differentie triplus et convertitur. Quod si alter maius duplo alterius
Abbreviated transcription (Latin):
antepremissam ut similit̃ ꝑpͦ medii ad differentiam addat
suꝑ proportionem extremoꝵ. Itẽ ut alt̾a suꝑ alteram minũ
uuplicata continuetur inter.d.e. f. minimum. d̾. duplũ..
cum .ẽ. faciat.g.⁊.ẽ. cum. f. faciat . h. eretq ꝑpꝰ .g. aro .ħ. minor
quam dupli.d. ad. f.⁊ iõ minor quam .b. ad.a. qm̃. f. ato.d.
maior quam.c̃. ad .b. Sit gͥ . l. medium inter g̃. ẽ. ⁊ sit.d. dif¬
ferentia utrobiq.⁊ quia .. ad. d. sicut . ħ. ad. ẽ ꝑ.xx. scdłi: ent:

Expanded text:
antepremissam ut similiter proportio medii ad differentiam addat super proportionem extremorum. Item ut altera super alteram minus ue duplicata continuetur inter d e f, minimum d. Et duplum d cum e faciat g et e cum f faciat h. Eritque proportio g ad h minor quam dupli d ad f. Et ideo minor quam b ad a quoniam f ad d maior quam c ad b. Sit igitur l medium inter g et e et sit d differentia utrobique. Et quia l ad d sicut h ad e per xxam secundi, erit
Abbreviated transcription (Latin):
totidem numeri .ẜ arimechicam medietatem. qui sint. ĩ
.b. c̃. Int̾q illos alii sumantur alii medii scdm eandem. Sin¬
q omnes. a. d.b. ẽ.c̃. Deinde multiplicentur omnes ꝑ. ẽ. ⁊ ꝑ¬
ueniant. f g̃.h. k.l. eruntq idem in arismechica mediecate. S
⁊.b̃. ducatur in.c̃.⁊ ꝑueniat. m̃.⁊ quia .mn. ad .i. sicut .b. ad.ẽ. ꝑ.
UiIi. scđi.⁊ quia .h. ad . k. sicut .b. ad.ẽ. erunt . h. ad .k. sicut .m. ad
.i. Erit gͦ. m̃ inter.h. ⁊.i. in armonicam medietatem. Multi¬
plicentur item omnes hii.ꝑ.d. ⁊ ꝑducantur. ñ .õ .p̃. q̃ . r̃. s̃. ⁊ hii
q.ã. in .ħ.⁊ ꝑueniat. t̃. ⁊ hic eadem ratione medius erit inter¬
ñ .⁊.p̃. in armonicam med. sicq habemus ꝓpositum. Nota
quot medii ponendi sunt: tociens facienda est multiplicõ.¬
umeros quodibet in arismethica
medietate continuare. inter binoꝰ
& binos quorum scđm armonic̃a
medietatem possint assignari me

Expanded text:
totidem numeri secundum arismeticam medietatem qui sint a b c. Interque illos alii sumantur medii secundum eandem sintque omnes ad b e c. Deinde multiplicentur omnes per e et proveniant g h k l. Eruntque idem in arismetica medietate. Sed et b ducatur in c et proveniat m. Et quia m ad f sicut b ad e per viiiam secundi et quiah ad k sicut b ad e, erit h ad k sicut m ad f. Erit ergo m inter h et f in armonicam medietatem. Multiplicentur item omnes hii perd et producanturn o p q r s et hii rque a in h et proveniat t. Et hic eadem ratione medius erit intern et p in armonica medietate. Sicque habemus propositum. Nota quod medii ponendi sunt totiens facienda est multiplicumeros quotlibet in arismetica medietate continuare inter binos et binos quorum secundum armonicam medietatem possint assignari me
Abbreviated transcription (Latin):
Quo gͥ habundat .b. suꝑ.c̃. sit .d. Atq multiplex denõiet
ab.ẽ. ⁊ suꝑparticularis ab. f. Palam gͥ qr .a. in .c̃. scđm . ẽ
mi.d̃.in.ẽ. scđm .g̃. Quare suꝑparticularis dicta. a .g̃.
erit inter .b. ⁊.c. sicq ꝯstat quod dicitur.
Omnis multiplex suꝑparticularis

Expanded text:
Quo igitur habundat b super c sit d. Atque multiplex denominetur ab e et superparticularis ab f. Palam igitur quia a in c secundum mi d in c secundum g. Quare superparticularis dicta a g erit inter b et c. Sicque constat quod dicitur. § lvi Omnis multiplex superpar
Abbreviated transcription (Latin):
i ffuerit proportio primi ad scđm.
maior quam tercii adquartum.
erit scđi adpͥmum minor ꝓpor¬
tio quam quarti ad tercium.
¶Sit ut prius primus.ã. scds .b. tercius. c̃. quartus.d.
Ducatur autẽ⁊ ã. iomnes ⁊ fiant primus. ẽ. scd̃s .f.
tercius .g̃. quartus .ħ. exitq ẽ. ad. f. sicut.ã. ad .b. It̃q
.g̃. ad .ħ. sic̃. c̃. ad.b. ꝑ.uiiͦ. huius. Ducat᷑ autẽ .b. in .ẽ. ⁊ fiat
sentis. R. ẽẽ minorem quam. h. Est aũ ꝑt̾riam p̾sentis
sic̃.ẽ. ad.g̃.ita.f. ad .ħ. S ꝓportio.F. ad .R. est maior pro¬
portione.f. ad.h. ꝑ nonam quare ⁊ ꝓpꝰ. ẽ ad.g̃. maior
quam. f.ad .h. Sicgͥ habemus quod ꝓportio.ã. ad.c̃. ma¬
ior est quam ꝓportio .b. ad.d.⁊ hoc est quod sequitur

Expanded text:
i fuerit proportio primi ad secundum maior quam tertii ad quartum, erit secundi ad primum minor proportio quam quarti ad tertiSit, ut prius, primus a, secundus b, tertius c, quartus d. Ducatur autem a in omnes et fiant primus e, secundus f , tertius g, quartus h. Eritque e ad f sicut a adb. Itemque g ad h sicut c ad d per vii3 "1 huius. Ducatur autem b in c et fiat sentis k esse minorem quam h. Est autem per tertiam presentis sicut e ad g ita f ad k. Sed proportio f ad est maior proportione f ad h per nonam quare et proportio e ad g maior quam f ad h. Sic igitur habemus quod proportio a ad c maior est quam proportio b ad d. Et hoc est quod sequitur
Abbreviated transcription (Latin):
uratoꝵ post unitatem idest .iiii.addatur primus trian¬
gularium idest unitas: fiet primus pentagonus post
unitatem.⁊ sic decet̾is. Et eñi qm̃ quadratus ille in
numero quadratoꝵ accepta communit̃ unitate p̃¬
cedit uno illum triangularem innumero tͥangula¬
rium.erunt latus quadrati mauis uno lat̾e triã¬
gularis. si gͦ ad hibeatur idem ad latus quadrati: cõ¬
positus tͥangulans habebit ext̾iora quidem lat̾a eqͣ¬
lia lat̾ib quadrati. medium uero latus erit eis cõmune. Patet
gͥ ex duob lat̾ib tͥangularis. ⁊ trib quadrati equalib penta¬
gonum equilat̾um ꝯstitutum ẽẽ.
Si sumantur triangulares & tetragoni x¬
fuerintq isti toti triangularium ab
unitate quoti illi tetragonoꝵ post

Expanded text:
dratorum post unitatem idest iiii addatur primus triangularium idest unitas, fiet primus pentagonus post unitatem et sic de ceteris. Etenim quoniam quadratus ille in numero quadratorum accepta communiter unitate precedit uno illum triangularem in numero triangularium, erit latus quadrati maius uno latere triangularis. Si ergo adhibeatur idem ad latus quadrati, compositus triangularis habebit exteriora quidem latera eqlia lateribus quadrati, medium vero latus erit eis commune. Patet igitur ex duobus lateribus triangularis et tribus quadrati equalibus pentagonum equilaterum constiSi sumantur triangulares et tetragoni fuerintque isti toti triangularium ab unitate quoti illi tetragonorum post
Abbreviated transcription (Latin):
icub cubum numeret: ce latus ipsi¬
us latus alt̾ius numerabit. Quod
silatus numerat latꝰ: oe cub nũa

Expanded text:
cubus cubum numeret, et latus ipsius latus alterius numerabit. Quod si latus numerat latus, et cubus nu
Abbreviated transcription (Latin):
mnis quadrati ad quadratũ¬
est tamqͣm latis ipsius ad lat
int duo cubi
est medius qͥ sit .g̃. Manifestũ est autẽ ꝙ. c̃. in.ẽ. fac̃.ã. ⁊.d.
in.f. fac̃ .b. Ducant᷑ itaq. c̃.⁊ .d. in .g̃. ⁊ ꝑueniãt .h. ⁊ .l. Erit¬

Expanded text:
mnis quadrati ad quadratuest tamquam lateris ipsius ad latus int duo cubi est medius qui sit g. Manifestum est autem quod cine facit a et d in f facit b. Ducantur itaque c et d in g e
Abbreviated transcription (Latin):
tus. ad.f. quadratũ. quia gͦ ꝑ corolłum quarte huius me
Si fuerit duorum numerorum ꝓpͦ q̃ .xlii.
est quadrati ad quadratum:

Expanded text:
tus ad f quadratum. Quia ergo per corollarium quarte huius medSi fuerit duorum numerorum proportio que est quadrati ad quadratum
Abbreviated transcription (Latin):
minationis multiplex . cum uno denomi¬
nat suꝑparticularem datam. a.⁊ numerus eã denominãs
sit. b. Quolib gͥ multiplices .b. sũmantur. quoꝵ quilibrĩ
.a. ductꝰ mltiplicẽ uniꝰꝯstituet. Multiplices gͥ ab eis dicte cum
data suꝑparticulan multiplicem ꝯponent.

Expanded text:
e cum uno denominat superparticularem datam a et numerus eam denominans sit b. Quotlibet igitur multiplices b sumantur quorum quilibet inb ductus multiplicem unius constituet. Multiplices igitur ab eis dicte cum data superparticulari multiplicem component.
Abbreviated transcription (Latin):
quadrati ad utrumq illorum equalis differentia. Co¬
aceruatum gͦ exipsis erit tamquam duplum quadra¬
ti ꝑ scd̾am primi. S duplum ipsius cum duplo eiusdẽ
erunt tanquam qua drplum eius. ⁊ quatuor est nume¬
rus quadratus. Itaꝙ ꝑ .xiiii. p̃sentis ꝯclude. ¶ Alridẽ
ꝑbare est possibile. Sint parte alt̾a longiores. a. .b. a me¬
dius int̃ illos quadratus. c̃.⁊ lat̾a .ã. sint .d.⁊.ẽ. lat̾a uͦs̃.¬
ut ex.ẽ. in compositum ex.d ⁊ .f. fit quantum.ã.⁊ .b̃. S
⁊ ꝑprimi scdam . d.⁊ .f. sunt tanquam duplum. ẽd⁊ qr
ex.e. in sefit.c̃. ex̃ duplum. ẽ. tanquam quod fit ex .t̃.
in composttum E  d̾⁊.f⁊ qͣuia dem est dlipłilmad e.
er̃ quadratum ipsius quantum qd̃ ex. ẽ. in eundẽbis. Q¬
dratum gͥ ꝯpositi ex .d.⁊.f. est tanquan. ã. ⁊ .b. ⁊ duplum.c̃.
iproximi quinq parte altera longi¬
ores cum duplo quadrati inter eos
constituti componantur. ꝓueniet qͣ¬
dratus euius radix erunt exminore

Expanded text:
quadrati ad utrumque illorum equalis differentia. Coacervatum ergo ex ipsis erit tanquam duplum quadrati per secundam primi. Sed duplum ipsius cum duplo eiusdem erunt tanquam quadruplum eius et quatuor est numerus quadratus. Itaque per xiiiiam presentis conclude. Aliter idem probare est possibile. Sint parte altera longiores a et b medius inter illos quadratus c et latera a sint dut ex e in compositum ex d et f fit quantum a et b. Sed et per primi secundam d et f sunt tanquam duplum e. Et quia ex e in se fit c, erit duplum c tanquam quod fit ex e in compositum ex d et f. Et quia idem est duplum ad e, erit quadratum ipsius quantum quod ex e in eundem bis. Quadratum igitur compositi ex d et f est tanquam a et b et duplum c.proximi quique parte altera longiores cum duplo quadrati inter eos constituti componantur, proveniet quadratus cuius radix erit ex minore
Abbreviated transcription (Latin):
.b.c. d.ẽ. It̃q unitas. ã .b. c̃. d. ⁊ quadratũ sit.ẽ. sit. ⁊̃. Dico ꝙ¬
.℥. est tamqͣm om̃s numer illoꝵ ordinum coac̃uati. hac
rõe. Signent᷑ om̃s qͣdrati ĩferiores ipso. sintq ita dispositi
⁊̃.t̃.h.x.y. unitas. Eritq. t̃. quadratus .d.⁊ .h. quadratus. c̃.¬
⁊ .x. qͣdratus.b̃. ⁊ .x̃. quadratus. ã.⁊ pꝰea unitas. Erit ⁊ diffã¬
⁊̃. ad.t̃. tãquã. ẽ. ⁊ .d.ꝑ.xxiiii. p̃sentis ⁊ conceptionẽ medi¬
ante parte altera longiore. S ⁊ diffa.t̃. ⁊.h. est .d.⁊.c̃. ea¬
dem rõe. Itq quo habundat .h. suꝑ x. est tam qͣm .c̃.
quantum est.a. ⁊ unitas qm̃ unitas est si ipsius radex.¬
Re linquitur autẽ unitas in uno ordine ꝑ eaque est
inter quadratos. Sicq ꝑ conceptionem ꝯcludes.

Expanded text:
e itemque unitas a b c d et quadratum e sit z. Dico quod z est tanquam omnes numeri illorum ordinum coacervati. Hac ratione signentur omnes quadrati inferiores ipso sintque ita dispositi z t h xy unitas. Eritque t quadratus d et h quadratusc et xquadratus b et y quadratus a et postea unitas. Erit et differentia z ad t tanquam e et d per xxiiiiam presentis et conceptionem mediante parte altera longiore. Sed et differentia t et h est d et c eadem ratione. Itemque quo habundat h super est tanquam c quantum est a et unitas quoniam unitas est sui ipsius radix.Relinquitur autem unitas in uno ordine post ea que est inter quadratos. Sicque per conceptionem concludes.
Abbreviated transcription (Latin):
s ⁊. c̃. cum .b. tanquam quod fit ex.t̃. in eundem idest .ỹ.
S quod ex. ⁊̃. ⁊ .t̃. in .ỹ. tanquam quod ex.y. in se ꝑ nonã
primi. Ent gͥ quadratum .ỹ. quantũ.a. ⁊.c̃.⁊.c̃.⁊.b. gͦ
Si duo quilibet quadrati cum du¬
plo medii inter eos parte altera lõ¬
gioris coniungantur: compositus
erit quadratus. Latusq ipsius ex
lat̾ibus illorum comiositum

Expanded text:
Sed et c cum b tanquam quod fit ex t in eundem idest y. Sed quod ex z et t in y tanquam quod ex y in se per nonam primi. Erit igitur quadratum y quantum a etc et cet b, ergo Si duo quilibet proximi quadrati cum duplo medii inter eos parte altera longioris coniungantur, compositus erit quadratus latusque ipsius ex lateribus illorum compositum
Abbreviated transcription (Latin):
¶Sint continue ꝓportionales. ã .b.c. Sint ⁊ alii ⁊ in alia
ꝓportione.d.e.f. Sed ⁊ d. ducatur in .ã.⁊. ẽ. in .b. ⁊. f. in.c̃.
⁊ ꝑueniant .g.h. l. Dico gͦ qd̾ ⁊ ipsi sunt continue ꝓpor¬
cionales. Cum enim lat̾a.g̃. sint.ã.⁊ .d. ⁊ lat̾a .h. sint .b.
⁊. ẽ. er̃ ꝓportio.g. ad.h. composita exꝓportionib .ã. ad
.b.⁊. d̾. ad.ẽ. ꝑp̃missam. Similiter ⁊ ꝑportio .h. ad .i. com¬
posita exꝑportionib .b. ad. c̃. ⁊. ẽ. ad .f. cumq iste sint
illis equales: cõposite quoq equales erunt. quare.g̃.
ad .h. sic̃.ħ. ad .l.⁊ hoc est qd̃ erat ꝑbanduo.

Expanded text:
Sint continue proportionales a b c. Sint et alii in alia proportione d ef. Sed et d ducatur in a et e in b et f in c et proveniant g h l. Dico ergo quod et ipsi sunt continue proportionales. Cum enim latera g sint a et d et latera h sint b et e, erit proportio g ad h composita ex proportionibus a ad b et d ad e per premissam. Similiter et proportio h ad f composita ex proportionibus b ad c et e ad f. Cumque iste sint illis equales, composite quoque equales erunt. Quare g ad h sicut h ad f. Et hoc est quod erat probandum.
Abbreviated transcription (Latin):
numerat non fuerit pariter par. numerabit eum ali¬
quis impar. qui qm̃ ꝯuincitur numerare ⁊ alium ꝑ
xxiii. pͥmi. fit de ductio ad in ꝯueniens.
tium tamquam qui p̃cedit eum duplicatus. ꝑ .xxix.
presentis. Scd̾s aũ abunitate suꝑat eam uno. Itaq idẽ
cum p̃missa unitate minus sunt uno quam ipse du¬
plicatus. Minus gͦ quam tercius tantumdẽ. Similiter ⁊
t̃cius cum scdo ⁊ unitate: minus uno quam idem t̾cius
duplicatus. minus gͥ quam quartus. S ⁊ quartus cũ
t̾cio ⁊ scdo ⁊ unitate minus se duplicato.⁊ sic de ceteris.

Expanded text:
numerat non fuerit pariter par, numerabit eum aliquis impar. Qui quoniam convincitur numerare et alium, per xxiiiam primi fit deductio ad inconveniens. tium tanquam qui precedit eum duplicatus per xxixam presentis. Secundus autem ab unitate superat eam uno. Itaque idem cum premissa unitate minus sunt uno quam ipse duplicatus. Minus ergo quam tertius tantumdem. Similiter et tertius cum secundo et unitate minus uno quam idem tertius duplicatus. Minus igitur quam quartus. Sed et quartus cum tertio et secundo et unitate minus se duplicato et sic de ceteris.
Abbreviated transcription (Latin):
libet que est a dupla ad triplam. sitq inter.ã. ⁊.c̃ꝯposita
bit minor dupla.⁊ quia etiam maior quam sesqualt̾a. er̃
suppartiens. Si .b. equale uł maior. c̃. dempta sesqualt̾a
remanebit minor dupla.⁊ maior sesquattera quia ma¬
ior sesquit̾cia duplicata.⁊ iõ suꝑpartiens.

Expanded text:
libet que est a dupla ad triplam. Sitque inter c etd composita libet que est a dupla ad triplam. Sitque inter c etd composita bit minor dupla. Et quia etiam maior quam sesquialtera, erit superpartiens. Si a ad b equale vel maior c ad d, dempta sesquialtera remanebit minor duplo et maior sesquialtera, quia maior sesquitertia duplicata, et ideo superpartiens.
Abbreviated transcription (Latin):
hoc modo. Ponatur eadem uiter minimos t̾minos qui
sint.ã .⁊ . b. minor.ã. Compositus exeis sit. c̃. cui addat᷑
.a ⁊ ꝑueniat. d̃. quo maior sit. ẽ. unitate. Ducantur itaq
.g. suꝑ .ħ. quantum est.c̃. ꝑ .xx. primi. ꝑnonam autẽ
⁊ .x. tercii. erit. c̃ pͥmus ad .g̃. quare nẽq numerabit
.g̃. neq .ħ. Cuit itaq .g̃ ad .ħ suꝑpartiens. cũq .h. ad f. sit
suꝑparticularis. atq .g. ad .f. sicut .b. ad.a. factum est ꝑ¬
positum. Sit item suꝑꝑartiens inter. ã.⁊ .b. qui cũ sunit m¬
nimi: erunt cͥcͣ se pͥmi. ducatur itaq .b. in se ⁊ in.a.⁊ ꝑ¬
ueniant.c̃ .⁊.d̃. atq.c̃. addatur. ã ⁊ fiat. ẽ. numerabitis
suꝑparticularis. sicq constat interitio. Sit autẽ inter.a. ⁊ .b.
dupla ꝓpꝰ. aqua sidetra hatur minor sẽquit̾cia: relinquet᷑
miaior quam sit sesqualt̾a. qm̃ ille ꝯponunt duplam. eitc
gͦ resi dua suꝑpartiens ut ꝓponitur. Sit it̃ int̾.a ⁊ .b. que¬

Expanded text:
hoc modo. Ponatur eadem inter minimos terminos qui sint a et b, minor a. Compositus ex eis sit c cui addatur a et proveniat d quo maior sit e unitate. Ducantur itaque g super h quantum est c per xxam primi. Per nonam autem et xam tertii erit c primus ad g. Quare neque numerabit g neque h. Erit itaque g ad h superpartiens. Cumque h ad f sit superparticularis atque g ad f sicut b ada, factum est propositum. Sit item superpartiens inter a et b qui, cum sint minimi, erunt contra se primi. Ducatur itaque b in se et in a et proveniant c et d. Atque d addatur a et fiate numerabitque  superparticularis sicque constat intentio. Sit autem inter a et b dupla proportio a qua si detrahatur minor sesquitertia, relinquetur maior quam sit sesquialtera. Quoniam ille componunt duplam, erit ergo residua superpartiens ut proponitur. Sit item inter a et b que
Abbreviated transcription (Latin):
.xxii. scd̾i. Detrib constat ꝑduas ut sint tres ꝑͦpnes. ã.b.c̃. dem̃.
transmutentur ut sint .b. ã. c̃. uñ quia.a.⁊ .b. eãdem cõpo¬
nunt quam .b. ante .ã. composita exillis utrobiq facit ⁊
eam que est int̾.ã.⁊.c̃. primo. ⁊ illam que est inter .b.⁊. c̃.
postremo. Si quatuor sunt ꝑbanturper tres t̾cio ordine
mediante. in quo que pͥmo est inpͥmo ordine sit pͥma in
tercio. relique se sequãtur ut inscđo ⁊ qr post primã
primi ⁊ scd̃i ordinis tres uttͦbiq eãd componunt: suni¬
liter pͥma addita omnes .iiiͦiͦ. unam facient. Similit̃
pͥma t̾cii cum omnib p̃cedentib in scdo illam fac̃
qͣm cum eisdem int̾cio. ⁊ residue utͦbiq eandem. pa¬
ntt̃ gͦ omnes unam constituent. Sic etiam ꝑ .iiii. cõ¬
stabit inquinq.⁊ ita de quoteumq.

Expanded text:
xxiiam secundi. De tribus constat per duas ut sint tres proportiones a b c. Deinde transmutentur ut sint b a c. Unde quia a et b eandem componunt quam b ante a composita ex illis utrobique facit et eam que est inter a et c primo et illam que est inter b et c postremo. Si quatuor sunt, probantur per tres tertio ordine mediante in quo que primo est in primo ordine sit prima in tertio, relique se sequantur ut in secundo. Et quia post primam primi et secundi ordinis tres utrobique eandem componunt. Similiter prima addita omnes quatuor unam faciunt. Similiter prima tertii cum omnibus precedentibus in secundo illam facit quam cum eisdem in tertio et residue utrobique eandem pariter ergo omnes unam constituent. Sic etiam per quatuor costabit in quinque et ita de quotcumque.
Abbreviated transcription (Latin):
Itemq. f. numeret .g̃. quociens. d̃. ẽ. Patet gͦ qm̃ .g̃. nu¬
merabit. c̃. quociens. ẽ.b. habemus gͦ. f. ⁊ .g. ꝓportiona¬
les int̾ unitatẽ ⁊. c̃ ꝙ ẽ ꝓpositũ.

Expanded text:
Itemque f numeret g quotiens d e. Patet ergo quoniam g nuItemque f numeret g quotiens d e. Patet ergo quoniam g numerabit c quotiense b. Habemus ergo f et g proportionales inter unitatem et c. Quod est propositum.
Abbreviated transcription (Latin):
Sint ã. d.. ẽ. continue ꝓporcionales. sitq ut .ã. non
numeret .d. Dico qr nullus eorum numerabit .c̃. hoc
quoq palam est. de.b. Qd autem . d. non numeret
eum sic habeto. In ueniantur tres minimi t̾mini ꝓpͦ¬
nis que est.ã. ad .b. qui sint. ẽ. f.g̃. ⁊ quia.ã. non nu¬
merat.d. non numerabit. ẽ. f. non est gͥ. ẽ. unitas. St̃
itaq. ẽ.⁊ .g̃.cc. se pͥmi. Non numerat gͦ. ẽ.g̃. neq d.c̃.
Sic etiam qd̾ .ã. non nũmeret. c̃.ꝑ .iiiͦiͦ. minimos sũptos
habebis. Ultimum indirecte ꝑprimum.
umerorum continue ꝓporcionali .xi.¬
um si primus non numeret scđm.
non numerabit aliquis eorum ul¬
timum. Quod si primus numeret
ultimum. numerabit & scđm.¬
¶Ponatur quociens. ã. in .b. tociens unttas inc̃. s inter
I.a.⁊ .b. medii sint.d.⁊. ẽ. eritq ut duo sint medii inter
unitatem.⁊.c̃. ¶m̃ enim.a. numerat .b. numerabit ⁊ã.
.d. ꝑ premissam. Numeret aũ unttas .f. quociens. ã.d.

Expanded text:
Sint adbc continue proportionales sitque ut a non numeret d. Dico quia nullus eorum numerabit c. Hoc quoque palam est de b. Quod autem d non numeret eum, sic habeto. Inveniantur tres minimi termini proportionis que est a ad d qui sint e f g. Et quia a non numerat d, non numerabit e f Non est igitur e unitas. Sunt itaque e et g contra se primi. Non numerat ergo e g neque d c. Sic etiam quod a non numeret c, per quatuor minimos sumptos habebis. Ultimum indirecte per primam.umerorum continue proportionalium si primus non numeret secundum, non numerabit aliquis eorum ultimum. Quod si primus numeret ultimum, numerabit et sPonatur quotiens a in b totiens unitas in c. Sed inter a et b sint medii d ete. Eritque ut duo sint medii inter unitatem et c. Quoniam enim a numeratb, numerabit et a d per premissam. Numeret autem unitas f quotiens a d.
Abbreviated transcription (Latin):
sibi equidistanter supra ponantur. ⁊ qr lat̾a eoꝵ sunt nu¬
meri abunitate sũpti: erit ut ipsa sibi ex una parte di¬
recte suꝑposita: triangularem ꝯficiant. cuius extremã
unitas: erit piramidis sumitas. aqua directa intelligatur
linea adt̾cium angulum basis. in qua terminar ꝯuenit.
reliquos ordines tͥangularium. A terminis siquidem lat̾m
illoꝵ iam directe dispositoꝵ ꝑducant᷑ hĩc iñ linee equidistanteᷤ
duob lat̾ib basis usq ad illã lineam. atq ꝑꝑ equalem pro¬
pottionẽ erunt ille ꝯt̾minalib lat̾ib tangulariũ equales.
In illis etiã eĩt reliqui ordines triangulariũ qm̃ ⁊ ipsi sunt
eisdem latĩb basis equidistantes. sunt eñi positi in equidis¬
tantib suꝑficientib. Atq cũ lat̾ib suꝑuis equidistanter
collocatis: equales angulos ꝯtinent. Cumq ita sit. extre¬
mitates eoꝵ in prius dimissa linea cad̾e necẽe est ⁊ sic exilł
Sitriangulares abunitate inaltum si .xxuii.

Expanded text:
sibi equidistanter superponantur. Et quia latera eorum sunt numeri ab unitate sumpti, erit ut ipsa sibi ex una parte directe superposita triangularem conficiant cuius extrema unitas erit piramidis summitas a qua directa intelligatur linea ad tertium angulum basis in qua terminari reliquos ordines triangularium. A terminis siquidem laterum illorum iam directe dispositorum producantur hinc inde linee equidistantes duobus lateribus basis usque ad illam lineam atque propter equalem proportionem, erunt ille conterminalibus lateribus triangularium equales. In illis etiam erunt reliqui ordines triangularium quoniam et ipsi sunt eisdem lateribus basis equidistantes. Sunt enim positi in equidistantibus superficiebus. Atque cum lateribus superius equidistanter collocatis equales angulos continent. Cumque ita sit, extremitates eorum in prius dimissa linea cadere necesse est. Et sic ex illis Si triangulares ab unitate in altum sibi
Abbreviated transcription (Latin):
lam est quod reliquetur par. qui si cum alio iunga¬
tur ꝯstat ꝑp̾missam compositum eẽ parem. cui suini¬
ras que ablata erat restituatur: erit totus impar.⁊
ille est qui expari ⁊ inpari ꝯstat.

Expanded text:
lam est quod relinquetur par. Qui si cum alio iungatur, constat per premissam compositum esse parem cui si unitas que ablata erat restituatur, erit totus impar et ille est qui ex pari et impari constat.
Abbreviated transcription (Latin):
proueniant.d̃.⁊. ẽ. Quia gͥ ꝯstat quod .b. est tota pars
.d̃. quota.c̃. est. ẽ. patet qr ꝑportio. d. ad .b. est .q̃. ẽ. ad.c̃.
Erit gͦ ꝑmutatim per tertiam p̃sentis .d. ad .ẽ. sic̃ .b. ad
c̃.⁊ hoc est quod subditur
Siunus numerus duos multipli¬
cet: erit productorum & multipli¬
catorum eadem proporcio.
¶Ut si .ã. multiplicetur per .b.⁊. ẽ. ⁊ ꝑueniant . d. ⁊.ẽ.
plicet .b. ⁊ .c̃. perpremissam facile ent arguere.

Expanded text:
proveniant d et e. Quia ergo constat quod b est tota pars d quota c est e, patet quod proportio d ab b est que e ad c. Erit ergo permutatim per tertiam presentis d ad e sicut b ad c. Et hoc est quod subditurSi unus numerus duos multiplicet, erit productorum et multiplicatorum eadem proportio. Ut si a multiplplicet b et c, per premissam facile est arguere. § ix
Abbreviated transcription (Latin):
duplum quadrati. ẽ. S ⁊ quadratum .h. uno. ẽẽ minꝰ
quam duplum quadrati.g. Sicꝙ ex eis trrangulares
tetragonos procreari. ⁊ sic inreliquis.
isumantur primi post unitatem par
& impar. & composito exipsis min

Expanded text:
duplum quadrati e, sed et quadratum h uno esse minus duplum quadrati e, sed et quadratum h uno esse minus quam duplum quadrati g. Sicque ex eis triangulares tetragonos procreari. Et sic in reliquis.sumantur primi post unitatem par et impar et composito ex ipsis min
Abbreviated transcription (Latin):
plum quadrati. ã. Idemq tetragonus ꝑ .xiiii. sextidu¬
matur item quadratũ.c̃. quod sit. k ⁊ quadratum.d.
quod sit .i. Dico aittem . k. duplicatum excede .ĩ. uno.
Quadratum ⁊ enim.c̃. dupplicatũ ẽ tãquam duplum
quadrati .b. ⁊ duplum quadrati.ã.⁊ qd fit ex .b. in.ã. qͣn¬
tum ꝑ .xiiii. pͥmi. Atq . i. est tamquam quadratum .b̃.¬
⁊ quadruplum quadrati. a. ⁊ quadruplum ꝑducti ex
a. in .b.ꝑ.xuii.⁊ xiii. pͥmi. Demptis gͦ ꝯmunib remane¬
bunt de quadrato.d. duplum quadrati .ã. ⁊ deduplo
quadrati.c̃. quadratum .b. S ⁊ qr duplum quadrati
.a. minus est uno quam quadratum .b. patet quadra¬
tum .d. minus ẽẽ uno quamduplum quadrati . c̃. Cõ¬
stat gͦ quod.l. in.R. ꝑducit tͥangularem. S ⁊ tetrago¬
num ꝑ.xiiii. sexti. simili quoq ratione ⁊ ꝑ ea que hu fir¬
mata sunt arguet᷑ quadratum. f. uno eẽ maius quã

Expanded text:
plum quadrati a. Idemque tetragonus per xiiiiam sexti. Suplum quadrati a. Idemque tetragonus per xiiiiam sexti. Sumatur item quadratum c quod sit k et quadratum d quod sit l. Dico autem k duplicatum excedere l uno. Quadratum etenim c duplicatum est tanquam duplum quadrati b et duplum quadrati a et quod fit ex b in a quater per xvam primi. Atque l est tanquam quadratum b et quadruplum quadrati a et quadruplum producti ex a in b per xviiam et xiiiam primi. Demptis ergo communibus remanebunt de quadratod duplum quadrati a et de duplo quadrati c quadratum b. Sed et quia duplum quadrati a minus est uno quam quadratum b, patet quadratum d minus esse uno quam duplum quadrati c. Constat ergo quod l in k producit triangularem. Sed et tetragonum per xiiii1 "1 sexti. Simili quoque ratione et per ea que hic firmata sunt, arguetur quadratum f uno esse maius quam
Abbreviated transcription (Latin):
par. ⁊ impar:ã. ⁊ .b. Iunctiuͦ faciant. c̃. eui addito .a
ꝑueniat. d. Itemq. c̃.⁊.d. ꝯponant .e. cui addatur.c̃.⁊ fiat
F. Atq. ẽ. ⁊. f. ꝯficiant .g. s ⁊ .g. addatur. ẽ. ⁊ fiat .ħ. Dico
itaq.a. ẽẽ parem.⁊b. impareni quod patet. S ⁊. c̃. ⁊ .d. eẽ
impares ꝑ scdam .uii.bis. Item. ẽ. parem.⁊ .f.imparem. ꝑ
quartam ⁊ t̾ciam quinti. Atq .g. ⁊ .h. impares.⁊ eodem
ordine in reliquis. Ꝙ it̃ quadratus.ã. duplicatus t̾minat
tetragonum. hinc constat. Qm̃ enim duplicata untras
ꝯstituit ã. ipse quoq bis sumptus suum ꝑficit quadratũ.
Duab gͥ unitatib a suo distans quadrato. unum solum
suscipit medium id est.b. Itaq ꝑsecundam pͥmi. ⁊ ultimã
ꝯceptionem. erit quadratum.b. qͣdratũ quantũ suu̾m
dupplicatum c̃ ad iectione unius. quadratum ttaq ã.
inquadratũ .b. ꝑducit trangularem. cuius latus dup¬

Expanded text:
par et impar a et b. Iuncti vero faciant c cui addito a par et impar a et b. Iuncti vero faciant c cui addito a proveniat d. Itemque c et d componant e cui addatur c et fiat f. Atque e et f conficiant g. Sed et g addatur e et fiat h. Dico itaque a esse parem et b imparem, quod patet, sed et c et d esse impares per secundam septimi bis. Item e parem et f imparem per quartam et secundam septimi atque g eth impares et eodem ordine in reliquis. Quod item quadratus a duplicatus terminat tetragonum hinc constat. Quoniam enim duplicata unitas constituit a, ipse quoque bis sumptus suum perficit quadratum, duabus igitur unitatibus a suo distans quadrato unum solum suscipit medium idest b. Itaque per secundam primi et ultimam conceptionem erit quadratum b quantum quadratum suum duplicatum cum adiectione unius. Quadratum itaque a in quadratum b producit triangularem cuius latus du
Abbreviated transcription (Latin):
fuerit impar: ip̃se numerabit.ã. scđm medietatem. ẽ. sed ⁊
.f.b. scd̾m eandem. quare ꝑ .uiii. scdi . b. ad .ã. sic̃. F. ad.d̃.
S ⁊ si .d. sit par. tc̃. ẽ. numerabit.ã. scdm eius dimidium. s
⁊. ẽ. numerabit .b. scđdm dimidiũ. f. Itaq sic̃ .b. ad.ã. ita.f.
ad.d. Similiter qͦ sic̃ .g̃. ad.ẽ. ita . c̃. ad .b̃. S ⁊ qr .b. suꝑat. a
quantum est. ẽ. si sumat᷑ .h. minor.b. uno ipse excedet. ã.
quantum est .d. Atqͦ habundat. c̃. suꝑ .b. est . f. ⁊ quia .b.
ad.a. sic̃.f. ad.d. erit ut sic̃ .b. ad.ã. ita. c̃. ad .h. Quod gͦ ex
.ã. in.c̃. equum est ei quod fit ex .h. in .b. Manifestũ gͦ est
ip̃m ẽẽ parte altera longiorem scdm ꝙ ꝓponitur.¬
Si teres ꝯtinui triangulares statuant᷑.
qui subextremis ꝯtinetur erit parte
altera longior. Quius laterum
maximum erit illoꝵ trium medi.¬
Sĩt numeri primi qui sunt binarius ⁊ t̾narius.

Expanded text:
fuerit impar, ipse numerabit a secundum medietatem e. Sed et fuerit impar, ipse numerabit a secundum medietatem e. Sed et f b secundum eandem quare per viiiam secundi b ad a sicut f ad d. Sed et si d sit par, tunce numerabit a secundum eius dimidium. Sed et e numerabit b secundum dimidium f. Itaque sicut b ad a ita f ad d. Similiter quoque sicut g ad e ita c ad b. Sed et quia b superat a quantum est e, si sumatur h minor b uno, ipse excedet a quantum est 110 d. Ac quo habundat c super b est f. Et quia b ad a sicut f ad d, erit ut sicut b ad a ita c ad h. Quod ergo ex a in c equum est ei quod fit ex h in b. Manifestum ergo est ipsum esse parte altera longiorem secunduSi tres continui triangulares statuantur, qui sub extremis continetur erit parte altera longior cuius laterum maximum erit illorum trium mediSint numeri primi, qui sunt binarius et ternarius,
Abbreviated transcription (Latin):
pares s.⁊.d. ⁊.ẽ. impares. ⁊. f. par. Dico gͥ quod .b. ad.ã. sic̃
binarius adunitatem.⁊ .d. ad .c. sic ternarius ad binari¬
um. It̃q.f. ad.ẽ. sic̃ .iiii. adtria. Sumantur si quidem
quatuor pares abunitate. qui sint. h.i.k.l. Et medii int̃
eos impares suit .o.p. q̃.⁊ qr .h. qui est biuarius est latus. ã.
qui est t̾narius. erit ⁊ .õ. latus .b. ⁊ .ĩ. latus. c̃. ⁊ .p̃. latus .ã.
⁊.R. latus. ẽ.⁊.q̃ latus. f. Itaq . ħ. in .o. facit duplum . a.
2õ. in .ĩ. facit duplum .b. s sic̃ duplum ad duplũ.: ita
dimidiũ ad dimidium: eritgͣ ꝑ uii. sedi .ĩ. ad .ħ. sicut
.b. ad.ã. Fadem ⁊̃ rõe.d.ad. c̃. sic̃. k. ad .ĩ. ⁊. f. ad.ẽ. sic̃ .i.
Si abunitate sumantur numeri tangu¬
lares. interduos &e duos disiunctim:
eruntq̃ inter numeros abunitate na¬
turali serie sumpte ꝓportiones . tangi
lares tres. a. b. c̃. ⁊ latera eoꝵ. d. e. f. sitq .g̃. maior. f. uno. Sigͥ.d.

Expanded text:
pares, sed et d et e impares et f par. Dico igitur quod b ad a sicut binarius ad unitatem et d ad c sicut ternarius ad binarium, itemque f ad e sicut iiii ad iii. Sumantur siquidem quatuor pares ab unitate qui sint h i k l e t medii inter eos impares sint o p q. Et quia h, qui est binarius, est latus a, qui est ternarius, erit et o latus b et i latus c et p latus d et k latus e et q latus f. Itaque h in o facit duplum a et o in i facit duplum b, sed sicut duplum ad duplum ita dimidium ad dimidium. Erit ergo per viiam secundi i ad h sicut b ad a. Eadem etiam ratione d ad c sicut k ad i et f ad e Si ab unitate sumantur numeri triangulares, inter duos et duos disiunctim erunt que inter numeros ab unitate naturali serie sumpte proportiones. Silares tres a b c et latera eorum d e f sitque g maior f uno. Si igitur d 105
Abbreviated transcription (Latin):
les abunitate. ã.b.g. d̃. sitq. ẽ. numerus primus nume¬
rans .d. qui est ultimus. Dico gͦ qr numerabit ⁊.ã. qui est
primus post unitatem. Si enim non numeret eum: ertt
ad eum primus ꝑ pͥmam t̾cii. Eritq ẽ. primus ad .b. per
.xi.t̃cii. Similit̾ quoq.⁊. ad .g.⁊. ad.d. ꝑ .x. t̾cii. non ergo nu¬
merat .d. quod est contra positionem.

Expanded text:
les ab unitate a b g d. Sitque e numerus primus numrans d qui est ultimus. Dico ergo quia numerabit et a qui est primus post unitatem. Si enim non numeret eum, erit ad eum primus per primam tertii. Eritque e primus ad b per xiam tertii. Similiter quoque et ad g et ad d per xam tertii. Non ergo numerat d. Quod est contra positionem.
Abbreviated transcription (Latin):
Si quidẽ unitate distit̾int: nul¬
inpares. lus eit int̾ eos medius. Quod si ampliꝰ
duo. hac de cã. Coniuncti eteñi fatiunt num̾um im¬
parem ꝑ sccłam p̾sentis. P .xix. gͥ etiam hꝰ pot̾it idem
diuidi induos unitate distantes. Illi gͦ erunt ĩ terilloᷤ
medii. Pt̃ciam pͥmi. Alt̾am sic. Si enim fu̾int inter eo
duo medii. qm̃ idem unitate distabunt: erit ut alt̃
parsit ⁊ alt̾ impar.⁊ ꝯiuncti facient numerum ĩpa¬
rem ꝑscda huius. Quia uͦ ⁊ alii eundẽ ꝯ ponunt ꝑt̾ciã
primi. si alt̾ fuerit par ert reliquus impar ⁊ ecõũso
ꝑ .uiii. ⁊ nonam presentis. sicq arguitur ꝓp̃o.¬

Expanded text:
Si quidem unitate distiterint, nullus erit inter eos medius. Quod si amplius, duo hac de causa. Coniuncti etenim faciunt numerum imparem per secundam presentis. Per ixam igitur etiam huius poterit idem dividi in duos unitate distantes. Hii ergo erunt inter illos medii per tertiam primi. Alteram sic: Si enim fuerint inter eos duo medii, quoniam idem unitate distabunt, erit ut alter par sit et alter impar. Et coniuncti facient numerum imparem per secundam huius. Quia vero et alii eundem componunt per tertiam primi, si alter fuerit par, erit reliquus impar et econverso per viiiam et nonam presentis. Sicque arguitur pro
Abbreviated transcription (Latin):
gior ẽẽt quadratus: exitriusq descͥptione ⁊ scda parte
xxui. scdi seq̃retur incõueniens. scił int̾ duos numeros
ẽẽ cub. cuius duo latera .b. ⁊.c̃.⁊ eoꝵ quadrata .d.⁊. ẽ.
⁊ latus . ã. in eo quod cub est sit. f. cuius quabratus
sit .⁊. er̃ gͦ excorolło quarte p̾sentis inter. ⁊. ⁊d. mne¬
ad.g. ⁊ g̃. ad .z. sicut .b. ad .f. It̾q inter.⁊.⁊.ẽ. medius
ita .c̃. ad .f. ⁊ it̾ sic̃ .⁊̃. ad.c̃. ita .b. ad .f. Er̃t gͥ inter .d.⁊ . c̃.

Expanded text:
t quadratus, ex utriusque descriptione et secunda parte xxvie secundi sequeretur inconveniens, scilicet, inter duos numeros esse cubus cuius duo latera b et c, et eorum quadrata d et e. Et latus a in eo quod cubus est sit f cuius quadratus sit z. Erit ergo ex corollario quarte presentis inter z etd med ad g et g ad z sicut b ad f. Itemque inter z et e medius ita c ad f et item sicut z ad c ita b ad f. Erunt igitur inter d et c