comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
tatẽ primã & hac dispositione pntesumũ erit mihi potestate
& ui prraemis. ipsa unitas nondũ &iã opere atq actu atñ
huic tetiegonũ suꝑponã id ẽ .iiii. nasc&ur prramis quiq
numerorũ quȩ duob tantũ numeris ꝑlatent positis conti¬
n&ur : sinuero his sequentes .uiii. adiecero fi& mihi quattuor¬
decim numerorũ forma prnamidis quȩ ꝑlatera tribi uni¬
tatib concludat᷑: atq: huic sisequentẽ tarargonũ .xiisi p¬
ponã tricenaria mihi prrmidis forma ꝓducit᷑ in his quoq
omnib prramidis toterunt unitates ꝑlatena : quantȩ in
senumerorũ ad gregatȩ fuerint quantitates : nãunitas
qua prima puramis ẽ. unũ solũ id c̃ sei psã gerit inlatere
quinq uero quȩ constant & uno & quattuor: duob᷑: platent

Expanded text:
tatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est 4, nascetur pyramis quinque numerorum, quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes 9 adjecero, fiet mihi 14 numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus pyramidibus tt numerorum aggregatae quantitates. Nam unitas, quae prima pyramis est, unum solum, id est seipsam, gerit in latere. Quinque vero, quae constant ex 1 et 4, duobus per latera
Abbreviated transcription (Latin):
multorũ angulorũ forma & siugeneris figuoni auaru
supponta abu no ingredientibi adprremidũ cerost auenda
figunes usq in infinita ꝓgredit᷑ : & ghoc equidema pparer
necene ẽtriangulas foemas caenaerũ figurerutat
ꝓroncipiũ quod omnis prremis aquacũq basi ꝓfecta ue
aquadncto uela pentagono uel abdaagons trianguli
uel ab epragono uel aquocũq similiũ solis triangulis
usque ad uesticem contineur

Expanded text:
multorum angulorum forma, ex sui generis figura unitati superposita, ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur. Et ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta, vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab hexagono, vel ab heptagono, vel a quocunque similium, solis triangulis usque ad verticem continetur
Abbreviated transcription (Latin):
sitestio ordini quicũq sunt inquinto uersu compares suꝑpar¬
tientis numeri specier positas conuenienter aspicies multi¬
ple&x uero suꝑ pasticularis ostendit᷑ cũ ad secundũ uersũ
omnes quisunt quinti uersus serie conparaent᷑ uelquis unt dio
septimo uel qui sunt in nono atq siin infinitũ sit ista discrip¬
cent᷑ ut ẽ sub duplex ses qualter subduplex sesquitestius. suc¬
duplo ses quiquastus & c&eriquidem ad hunc modũ. XXXI
Dem tutiplici superpartiente

Expanded text:
si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superparsi tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descripicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum. CAPUT XXXI. De multiplici superpart
Abbreviated transcription (Latin):
pares & ad eos a septenario numero inchoantes septen ario sese:
suꝑ gredientes solito ad alter utrũ modo conparationis aptent᷑
Si autẽ aternario numero ingressi cunctos naturdis nu¬
meri triplices disponamꝰ & eis adenario numero denario sese
suꝑ gredientes ordine conparem : omnes triplices ses quiter¬
tui: in ea terminorũ continuatione prouenient :
XX DECORŨ EXEMPLIS INSUPERIOREFORMULAINUENI
orũ autẽ: eorũq: qui sequunt᷑ & emplã integre planeq
possum ꝑ notare : sinpriorẽ discriptionẽ quã fecimꝰ cũ
desuꝑ pasticulari & multiplici loquerem᷑ : ubi ab unousq
inden ariã multiplicationẽ sũma concreuit : diligens
uelimꝰ acumen intendere : ad primũ eñĩ uersũ om̃nes qui
sequunt᷑ conlati ordinatas conuenientesq multiplices speci¬
es reddent siuero ad secundũ cunctos quitertiu sunt oeidituis
aptaueris ordinatas species suꝑ particularis anosces quiod

Expanded text:
pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese supergredientes, solito ad alterutrum modo comparationis aptentur. Si autem a ternario numero ingressi, cunctos naturalis numeri triplices disponamus, et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provenient. CAPUT XXX. De eorum exemplis in superiore formula inveniendis. Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod
Abbreviated transcription (Latin):
Siuero aduob: parib omnib dispositis terminis illiqua a
quinario numero inchoantes quinario numero pursus sese
tntensiliunt conparent᷑ omnes duplices ses qualteros cre¬
ant: ut est subiecta dis criptio:
Si uero a trib: inchoent dispositiones: & trib sese transi¬
liant & ad eos aptent᷑ quia septe nario inchoantes septe¬
nario sese numero trans grediunt᷑: omnes duplices ses¬
qui testii habita diligenter conparatione nascuntur :
ut subiecta descriptio mon&.
Six uero omnes in ordinẽ quadruplidis ponant᷑ hiquina¬
turaelis numeri quadrupli sunt : ut unitatis quadru¬
plus &duorũ triũq: a quattuor atq quinarii & c& erorũ
sese sequentiũ & ad eos aptent᷑ anouen ario numero inchoan¬
tes: semꝑsese nouenario pracecedentes: tunc duplicis ses qui quar¬
te ꝓpostionis forma teetur¬
Ea uero species huius numeri quȩ ẽ tripla sesqualterahoc
modo pcreat᷑: si disponant᷑ abinario numero omnes in ordinẽ

Expanded text:
Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis, illi qui a quinario numero inchoantes, quinario numero rursus sese transiliunt comparentur, omnes duplices sesquialteros creant, ut est subjecta descriptio. Si vero a tribus inchoent dispositiones, et tribus sese transiliant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes, septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii, habita diligenter comparatione, nascuntur, ut subjecta descriptio monet. Si vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum, triumque et quatuor, atque quinarii, et caeterorum sese sequentium, ut ad eos aptentur a novenario numero inchoantes, semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texeturEa vero species hujus numeri, quae est triplex sesquialtera, hoc modo procreatur; si disponantur a binario numero omnes in ordinem
Abbreviated transcription (Latin):
testiȩ babitudines effici& formam posthos nascunt᷑
comites qui sub suꝑ pastientes uocant : hi autẽ sunt
qui habent᷑ ab alio numero : & eorũ uelduȩ ueltres
uel quattũor: uel quot lib& aliȩ pastes: siergo nume¬
rus aliũ intra senumerũ habens eius duas pastes
habuerit suꝑbi pastiens nominat᷑: siuero tres. suꝑ¬
tripastiens qđ si .iiii. suꝑ quadripastiens : atq ita ꝓ¬

Expanded text:
tertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur tertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae, vel 3, vel 4, vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si
Abbreviated transcription (Latin):
gitur postduas primas habitudines multiplices &suꝑ¬
pasticulares & eas quae sub ipsis sunt submultiplices
&̃ sub suꝑ pasticulares testia inȩqualitatis species inue
nit᷑ quȩ a nobis superius suꝑ pastiẽs dicta ẽ. Hoec aut̃e¬
ẽ. quȩ fit cũ numerus ad aliũ conparaet᷑: hab& eũ totũ
infrese & eius insuꝑaliquas paster uelduas uelltrur¬
uel iiii. uelquot ipsa tulerit conpasctio: quȩ habi¬
tudo incipit aduab partib: tertiis: Nã siduas medi¬
uelduas sẽp̃timas uel duas nonas & ita ꝓgrediẽti¬
tib: siduar solas partes minoris numeri suꝑ habuer it̃
ꝑ easdem partes in parib numeris minore muor
summa transcendit Nã si cũ habet totũ & duas
eius quastas suꝑ pasticularis necessario repperit̃.
Nã duȩ quaste medidas t̃ & fit sesqualtera conpant¬
tio : si uero i s&tas rursus ẽ suꝑ paracularis duģeni
s&tẽ pars testia ẽ qđ si in conparictione ponat sesqui¬

Expanded text:
mque generationibus. Igitur post duas primas habitudines multiplices et supmque generationibus. Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares, et eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia innitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medvel duas septimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et fit sesquialtera comparatio. Si vero duas sextas, rursus est superparticularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in comparatione ponatur, sesqui
Abbreviated transcription (Latin):
numerũ uno supenaent : cunctiq aliiꝰ eiusdem modisintt
iuprimo asccundo ordine ad alterutrũ multiplicatis ter. R¬
minm ꝓcreent᷑ itut qđ nascdur &eduobus lonuilatenis
altrin secus positis & bis mediote tragonouts ragonies
sit & rursus qđ &e duob altrinsecus t& regonis &unomedi¬
olongilater obis facto nascit᷑ ipse quoq t& raegonussito
& ut anguloũ totius discriptionis ad angulares tdntgo¬
nos positorũ unius anguli sit prima unitas alteriui ue¬
ro qui contnt ẽ testiã biniuero altrinsecus angunlonor¬
cundas habent unitates & duo angulariũ t&pegonoũ
anguilis aequũ faciant qđ subipsis contin&un. illiuo di
fitabuno illorũ qu ẽ altrinsecus anguloro multadmã
sunt aliu: quȩ in bac discriptione utilia possint udino¬
srbiliaq ꝑpendi: quaȩ interim propter castigatã antuo¬
ducendibreuitatẽ : ignota esse ꝑmittimꝰ: nunc uero ad¬
sequentia propositum conuestam.

Expanded text:
numerum uno superant, cunctique alii ejusdem modi sunt, numerum uno superant, cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus positisaltrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero adsequentia propositum convertamus
Abbreviated transcription (Latin):
pedimento species suꝑ pasticularis. agnosces: Hoc au¬
tẽ in hac. ẽ dispositione diuinũ: quod omnes angulares
numeri t& ragoni sunt: T& ragonus autẽ dicit᷑ utbre¬
uissime dicã quod post latius xplicabit᷑: quẽ duo ȩquales
numeri multiplicant : ut in hac quoq discriptione ẽ unus
enim semełiinus e & est potestate t& megonus ⁊tehibin duo
inisunt ter tres uiii: quos in sem& ipsos multiplicationes
primiordinis ꝑfecerunt : Circũ ipsos uero qui surro idẽ
cirtũ angulares longi later inumeri sunt longilateros artẽ
uoco quos unose suꝑ giedientes numeri multiplicart uircũ
uiuseni duo sunt & uiͦ seduo nascunt᷑ & uno & duobi eũunt̃
bis multiplicaueris sed unitas ab in ario unitate pnreceditouse
sc uero &duob & tribbis enimtres senariũ reddunt poue¬
ter enim iniꝰ fiunt .xii: quiomnes uno maiodib Later. bi penuati¬
sunt quã cũ tu exbinario ternarioq nascantetres binanũ

Expanded text:
pedimento species superparticularis agnosces. Hoc aupedimento species superparticularis agnosces. Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multipenim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primordiis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt. NoveTer enim 4 fiunt 12, sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, 3 binarium
Abbreviated transcription (Latin):
niat siquis uero in hac discriptione suꝑ pasticularis spe¬
cies nequirat : tali modorepperi&: sienim secundũ angu¬
lũ not& cuius ẽ in itiũ quaternarius : eiq suꝑiac& binari¬
us atq: ad hunc sequentẽ quis accomod& ordinẽ sesqual¬
tera ꝓpostio declarabit᷑: Nã tertius secundi uersus. ses¬
ad uiii. itemq inc&eris quisunt. in eadem seriȩ̃ numeri¬
sitalis coniugatio misceat᷑ nulla uari&atis disimilitudo
subripiet: eadem tamen sũmarũ suꝑ gressio ẽ in hoc
quoq: quȩ induplicib fuit : primꝰ enim primũ: id ẽ. ter¬
narius binariũ uno superet: secundus uero secundũ
duobus: tertius .ii. trib: & deinceps: si uero quastus or¬
do testio conparetur ut .iiii. ad .iii. & eodem c&eros or¬
omnib: his ses qui testia conparatio conseru&ur : prae¬
terea eos qui sub ipsis sunt. siidem faciens sequentes
uersus. alterutris conparaueris omnessine ullo in¬

Expanded text:
niet. Si quis vero in hac descriptione superparticularniet. Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declaratur. Nam tertius secundi versus sesad 8, item et in caeteris quisi talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo surripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros oromnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo im
Abbreviated transcription (Latin):
testiũ s& ut ternariũ nouenarius : & ad eundẽ e&ler
modũ ꝑgressionis augescunt : quã rẽ nobis selicoa
ipsa natunclis obiecit integritas nihil nobis &traenia¬
chinantibus ut in ipso modlo discriptionis appara er
quis autem quasti anguli terminũ qui sedecidineq ier
quantitate notatꝰ ẽ. & longitudinẽ latitudineq In
qua draegenos d&erminat uelit superiorib conparerti
ꝑ xlitence formã ꝓportione conlãta quad ruplimulti¬
tudinẽ ꝑ notabithsque ẽ ordinabilis suꝑ seꝓ gressio:
ut prim primũ tribus super& ut .iiii. unitatẽ secundus
secundũ senario uincat ut .viii. binariũ testius testiũ noue¬
nario transeat: ut duodenarius ternariũ : & sequentes sũ¬
mulȩ: triũ semꝑ adiecta quantitate transiliant: & siquis
subteriores aspiciat angulos idem ꝑ omnes multiplicatas
species : usq ad decuplũ dispositissima ordinatione ꝑue¬

Expanded text:
tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem pernotabit. Hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus superet, ut 4 unitatem. Secundus secundum senario vincat, ut octo binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione prove
Abbreviated transcription (Latin):
XXUIIRATIOATU EXpOSIIΟ DICΕSTE OpueRC
tersores ordines conparent᷑: qui scilic& auus angodir
incipientes in uicenos terminũ ponunt dupl& id ẽ prima
species multiplicatis ostendit᷑: itaut primꝰ primue sola
super& unitate ut duo unũ secundus secundũ binarilo s
ꝑuadatut quaternarius binariũ tertius testrũ tribirt
sȩnarius ternariũ quastus quastũ quater narumune¬
rositatȩ troenscendat: ut octo quatennariu &pr ae¬
dẽ cunc̃ti se quentiã seseminoris plurlitate prodie¬
reant siuero tertius angulus aspiciat᷑ qui alinois
inchoans longitudinẽ latitudineq tricenisulerinso¬
cus nameris & tendit & hiccũ prima latitudine tis bon¬
gitudine compar&&ur : tripl& species multiplicitatis oc¬
currit itaut ista conparactiõ ꝑ x lit terã fiat: hĩq senuie¬
ri superaebunt : secundũ paritatis factã natura liter co
nexionẽ : primꝰ enim primũ duob superaet : utunũ ui secun¬
dus secundũ quaternario ut binariũ senarius. Testius

Expanded text:
XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae. teriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secundus secundum binario svadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per decimam litteram fiat, hique se numeri superabunt, secundum nnexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum 3, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius
Abbreviated transcription (Latin):
merũ conparatus ha& in sealiũ numerũ totũ plus quã
sem & eius uel duas ueltres uel quot lib& olures pasticor¬
las secundũ numeri suꝑ partientis figunt̃ : In hoc quoq: ꝓp¬
ter causã superius dictã : non erunt duȩ medi&ates neci
due quaste neq due sextȩ sed due tertiȩ ueldue quandeuel
duȩ septimȩ ad priorũ similẽ consequentiã : noniẽ autepn

Expanded text:
us habet in se alium numerum totum plus quam semel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad pri
Abbreviated transcription (Latin):
tione: crescentib raedicib oriunt᷑ : Radices autẽ ꝓpostionũ uo¬
conumeros insuperiore dispositione discriptos quasi quib
omnis summa supra dictȩ conpartionis innitit᷑: In hocquo¬
q: uidendũ ẽ qm̃ cũduȩ pastes gminore plus inmaiorib: sun
testii semꝑ uocabulũ sub audit᷑ : ut suꝑ bipartiens quidicitur
qm̃ duas minoris numeri tertias partes hab& dicat᷑ suꝑbi par¬
tiens testias : & cũ dico suꝑ tripastiens sub audiri necessesit :¬
suꝑ tripastiens quastas qm̃ trib suꝑ quastis &uberaet: & suꝑ¬
quadripastienti sub audit᷑ suꝑ quadripastiens quintas : & ad
cundem modũ : inc&eris uno semꝑ adiecto suꝑ habitas pastes
sub auditio facienda ẽ : ut eorũ germana conuenientia quȩ his
nominabaec sint: ut quidicit suꝑ bipastiens: idem dicat᷑ sup¬
bi tertius : quidicit᷑ suꝑ tripastiens issit suꝑ triquartus : & qui

Expanded text:
tione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum votione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. In hoc quoque videndum est quoniam, cum duae partes minore plus in majoribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur. Ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens tertias. Et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus superquartis exuberat. Et superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui
Abbreviated transcription (Latin):
pastiens ꝓ postio ꝓcreat᷑: sienĩ quis duplica .v. faci& a.si
in. faci& .Vi. qui x. contra senariũ conparati suꝑbi pasti en¬
tẽ faciunt habitudinẽ : & hos ipsos rursus siduplicaue¬
ris idemordo ꝓportionis adcrescit: Idemq si in infinitũ
facias statũ prioris habitudinis nonmutabit: siuero suꝑ¬
tripastientes inuenire contendas: primos suꝑtripar¬
tientes id ẽ .uii. & .iiii. triplicabis & huius modi nascent᷑ :
siuero qui & his nati fuerint ternarii multiplicatio¬
ne ꝓduxeris idemrursus efficient: qđ si suꝑ quadri¬
partientes quẽ ad modũ in infinitũ ꝓ̃grediant̃ optes
ad discere primas eorũ radices in quadruplũ multiplices li¬
c& id ẽ .vIIii. & .v. & eos qui illa multiplicatione ꝓferent᷑ : rursũ
in quadruplũ & eandem fieriꝓpostionẽ in offensanimirũ re¬
tione repperies & c&erae species : una semꝑ plus multiplica¬

Expanded text:
partiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si partiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si tres, faciet 6: qui 10 contra senarium comparati, superbipartientem faciunt habitudinem, et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis accrescit. Idemque si in infinitum facies, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est 7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quod si superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur optes addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est 9 et 5, et eos qui illa multiplicatione proferentur, rursum in quadruplum, et eamdem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione reperies. Et caeterae species una semper plus multiplica
Abbreviated transcription (Latin):
autẽ eorũ natundis ẽ quotiens disponunt᷑ atrib: omnes pa¬
res atq in pares numerinaturaliter constituti : & sub his ap¬
tantur alii qui sunt aquinario numero incipientes omnes in¬
pares his igitur ita dispositis si prim primo secundus secun¬
do tertius teruo & c&eric&eris conparent᷑ : suꝑ pastiens habi¬
tudo ꝓcreatur: sit enim dispositio hoc modo ⁊
Siigit᷑ quinarii numeri ad ternariũ conpartio considere¬
t᷑ erit suꝑ pastiens ille qui uocat᷑ suꝑbi partiens. hab& enim
quinarius totos insetres & eorũ duas partes id .ẽ duo : siuero
ad secundũ ordinẽ speculatio refferat᷑ suꝑ tripastiens ꝓ por¬
tio cognosc&ur atq in sequentib: ꝑ omnes dispositos nume¬
ros in in finitũ species huius numeri conuenientes ordina¬
tosq respicies: atuero quẽ ad modũ singuli ꝓcreant᷑ siin
infinitũ quis cur& agnoscere hic modus ẽ habitudo enĩ
suꝑ bipartientis si utrisq terminis duplic&ur: semꝑ suꝑ bi¬

Expanded text:
is est, quoties disponuntur a tribus omnes es atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipientes omnes impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, secundus secundo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo: Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille qui vocatur superbipartiens. Habet enim quinarius totos in se tres, et eorum duas partes, id est 2. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur, si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbi
Abbreviated transcription (Latin):
rati faciunt duplicẽ suꝑbi pastientẽ : &. AUIIaduuii e
omnes quicũq ab .uii. incipienter octonario sesenumero
trans grediunt᷑ conparati ad eos qui a trib: inchoantes ter¬
naria sese quantitate pra&ereunt: nec erit difficile alias
eius pastes secundũ praedictũ modũ diligentib repperi¬
re: hic quoq illud meminisse debebim: quod minores &
comites : nonsine subpracepositione nominant᷑ : ut sit subdu¬
pl&x suꝑbipastiens subduplex super tripastiens ⁊
XXXII. DE MONSTRATIO QUEMADModUM. OcM¬
NIS INAEQUALITASAB AEQUAL IIATEPROCESSERIT

Expanded text:
rati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus reperire. Hic quoque illud meminisse debemus quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartiens. CAPUT XXXII. Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit
Abbreviated transcription (Latin):
dauserit : secundũ suꝑ pasticularẽ conpasictionẽ habi¬
uidinẽq uocabit᷑. hocũ autẽ eempla huiur modisint
duploc ses qualter .ẽ. ut i. ad u habent enĩ quinꝙ bauate

Expanded text:
clauserit, secundum superparticularem comparationem habiclauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla hujusmodi sunt: d
Abbreviated transcription (Latin):
rũ sclic& fiunt imaginẽ ꝓpostionũ aquib: ipse nume¬
rus originẽ trachit: Nã prima pars huius uocabuliquia
multiplicis nomine possessa ẽ : multiplicis numerispe¬
cierũ uocabulo nominanda ẽ: quȩ uero suꝑ particularis
est. eodem uocabulo nuncupabit᷑: quo suꝑ pasticularis
numerispecies uocabant᷑ : dic&ur enim qui duplicẽ habi¬
erir aliũ numerũ & eius mediã pastẽ dupl& sesqualter:
quiuero testiã dupl& ses qui testius: qui quastã dupl&
sesquiquastus : & deinceps siuero ter eũ totũ contineat:
& eius mediã pastẽ uel testiũ uel quastã dicet᷑ tripl& ses¬
qualter : tripl& sesquitertius tripl&̧ sesqui quastus & codẽ
modo inc&eris: dicdurq: quadruplus ses qualter : quadru¬
plui ses quitestius : quadruplus sesquiquastus : &i quotiens
tetũ numerũ in sem& ipso continuerit ꝑ multiplicis nume¬
rispecies appellat᷑ quã uero pastẽ comparetinno babi

Expanded text:
rum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est. Quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitetum contineat et ejus mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplex sesquialter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et eodem modo in caeteris. Diceturque quadruplus sesquialter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numerum in semetipso continuerit, per multiplicis numeri species appellatur, quam vero partem comparati numeri
Abbreviated transcription (Latin):
Icies hȩsunt : duȩ uero aliȩ & his uelut & aliquib principus
conponunt᷑: ut multiplices suꝑ pasticulares: & multiplices
suꝑ pastientes: horũq comites: sub multiplices suꝑpasticu¬
lares : & sub multiplices suꝑ pastientes: Nãq in his: ut in prace¬
dictis ꝓpostionib minores numeri & eorũ quoq species:
omnes addita subpracepositione dicunt᷑ : quorũ difini¬
tio talis reddipotest: multipl&̧ suꝑ pasticularis ẽ quo¬
ties mimerus ad numerũ conpanitus. hab& cum plus quã
auit qua druplũ aut quotiens lib& : & eius quã lib& aliquã
pistem uel mediã uel testiã: uel quastã uelquȩcũq alia
pastiũ ecuberatione contigerit: hic ergo & multiplici&
suꝑ pasticulari consistit: qđ enim comnparatũ numerũ
plus quã semel hab& multiplicis ẽ: hoc uero qđ minorẽ
inhabenda paste transcendit: suꝑ pasticularis : itaq &
ueroq nomine fic̾to uocabulo ẽ: speciesq eius ad illa¬

Expanded text:
his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares, et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares, et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, minores numeri, et eorum quoque species omnes, addita sub praepositione, dicuntur. Quorum definitio talis reddi potest: multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus, habet eum plus quam amlibet aliquam partem, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est, speciesque illius ad illa
Abbreviated transcription (Latin):
rius quater nariũ dupl& sesquiquastus : siuero aiad o dupla
sesqui quint᷑ & hi semꝑ nascent᷑ dispositis in ordinẽ ab inario
numero omnib naturaliter parib: inparibq. terminis si
contrc eos om̃s aquinario numero inpares cõparent᷑ uit
primũ primo secundũ secundo testiũ testio caute & diligen¬
ter ad ponas: ut sit dispositiotalis:¬

Expanded text:
squiquartus. Si vero 11 ad 5, duplex sesquiquintus. Et hi semper nascentur, dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter a
Abbreviated transcription (Latin):
neadem quoq medi& ate & diapente srmphonia conponit᷑ :
quã ses qualter habitudo restituit: Nã in utrisq: dispositio¬
nib: hisquȩ subiectȩ sunt induplici senarius ad quaternariũ
sesqualter ẽ & intriplici ternarius adbinariũ & quib: utrisq: t
diapente srphonia coniungit᷑:¬

Expanded text:
eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his quae subjectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesquialter est, in triplici ternarius ad binarium, ex quibus utrisque, diapente symphonia conjungit
Abbreviated transcription (Latin):
sub & tremitatib idem .ẽ .ei. quod fit & medis: Nãq quod
fit &duodecier s& ȩquũ ẽ. ei quod fit̃. & octies . uiiii. geome¬
trica ergo ꝓpostio .ẽ. huius modi arithm&ica autẽ .ẽ. siduo¬
denarius ad nouenariũ & nouenarius ad senariũ conparet᷑:
inutrisq: enim ternarius differentia ẽ. & iunctȩ & tremita¬

Expanded text:
 ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex duodecies 6, aequum est ei quod fit ex octies 9: geometrica ergo proportio hujusmodi est; arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium, et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est, et junctae
Abbreviated transcription (Latin):
rũ ad gregatione multiplicatione medi&atis dupl& ẽ coquod
suibiitreq & tremitate conficit᷑: sit autẽ quoddũ huius dispo¬
sitionis eemplar hocmodo .vi.uiii.vIIIi.Xii. Has igit᷑ omner
solidur quantitates esse non dubiũ ẽ .VI. enim nascunt᷑ & uno
bis ter xii. autẽ &bis .ii. ter : horũ autẽ medi&ater octona¬
rius fit. semel .ii. quater nouenarius uero semel trester:
Omnes igit᷑ termini cognatisibi & trib: interuallorũ di¬
mensionib: notati sunt: In hir igit᷑ geo marica ꝓpostionalitas
inuenit᷑. si .xii. ad .uiii. uel .viiii. ad senariũ conparemꝰ : utraq

Expanded text:
edietatis, duplex est eo quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus dispositionis exemplar hoc modo, 6, 8, 9, 12. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, 12 autem ex bis duo ter. Horum autem medietates, octonarius fit semel duo quater. Novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur termini cognati sibi, et tribus intervallorum dimensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas inven
Abbreviated transcription (Latin):
XVI ðECΡΤACOUIS EORuMΕ GENERATIONINUS ΕT
communis ocnrum picurarum INueNðae
GENERATIONIS REGULA DISCRIPNOGESE NOVRMAUM¬
eptẽ uero angulorũ figurte ẽ : cũ ad cundemordinẽ
ꝓgresnonis unoplus quã ins& angulorũ figurte numere
intermisso superiori coniunxeris : nãsi ꝓ interpositis qui
sese qui nario uincant ad gregaueris : eptagoni continuo
figurae nasc&ur ut hinumeri sint eorũ radices & ue
sũperius dictũ est fundamenta .I UI XI XUIXXI. qui uero
angulorũ : secundũ eundẽ ordinẽ forma ꝓcreat᷑: Itaut
secundũ aequalẽ ꝓgressionẽ : primi quoq eorũ numeri
distent : Nã intriangulo qui sunt numeri quȩ prima
superficiei figurax ẽ: uno sese tantũ numeri prȩcedunt : qui
scilic& eorũ naturaẽ . descriptionẽq ꝑficiunt : int& negono ue¬
ro qui secundus .ẽ: duob: sese iuncti numeri uincunt: & in
pentagono trib: & in xagono .iiii : & in eptagono .v. huiusq
rei nullus ẽ modus: hoc autẽ nos subiectarũ formarũ¬

Expanded text:
 heptagonis eorumque generationibus, et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula, descriptionisque. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. Qui vero angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese juncti numeri vincunt, et in pentagono 3, et in hexagono 4, et in heptagono 5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formaru
Abbreviated transcription (Latin):
boc modo sit a o .c. triangulisi hiuc igit᷑ trianguloe
tres angulos erigant᷑ lineȩ̃ & ad unũ punctũ conuestant̃
quod e dꝰ itaut d punctũ non sit inplano sed penele
ille scilic& lineȩ ad ipsũ erectȩ uesticẽ & quodã modo cacii¬
men d facient & erit basis A .B.C. unũ triangulũ : platenr
uerõtiia trangula : id ẽ unũ triangulũ : a d cͦ aliuduero

Expanded text:
hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem, et quodammodo cacmen d facient, et erit basis a, b, c, unum triangulum, per latera vero, tria triangula, id est unum triangulum a, d, b, aliud vero
Abbreviated transcription (Latin):
tatis natiinliter operet᷑ ad solidos numeros noneritu
ulla cunctatio sicut enim longitudini numerorũ aliud
interuallũ idẽ suꝑficiẽ ut latitudo ostender&ur adice¬
mita nunc latitudini siquis addat etĩq alias altitudo alias
id&ur enim quẽ ad modũ inplanis figuris triariguluru¬
merus primꝰ ẽ sic insolidirꝰ qui uocat᷑ pinrmis ꝓfunditatis
esse principiũ : omniũ quippenetarũ innumeris fiduratr¬
necepree inuenire primordia : est autẽ pinemis alias atri¬
angulaban in altitudinẽ sese crigens alias atarargona
alias a pentagona & secundũ sequentiũ multitudines an¬
ulorũ adunũ cacuminis uesticẽ subleuata: posito enim
triangulo atq disponto siptres angulor singule nec¬
te lineȩ stantes ponant᷑ hȩq tres inclinent᷑: ut aduru
mediũ punctũ uestices iungant fit penemis quȩ leuattian¬
gulaban ꝑfecta sit trib triangulis plater conaldio ꝑ

Expanded text:
tatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit tatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias idetur autem quemadmodum in planis figuris triangulumerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarnecesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque disposito, si per tres angulos singulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut ad unum medium punctum vertices jungant, fit pyramis. Quae cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur
Abbreviated transcription (Latin):
&agonis uel hi rursus eptagonis sine aliqua dubitationi
triangulis sese supenebunt : Nãq si ternariũ triangulũ
qua ternario : uel qua ternariũ t&ragonũ quinario uel
quinariũ pentagonũ senario & agono uel senariũ septi¬
nario eptagono conpares : primo setriangulo id c̃sola
traenseunt unitate : atuero sisenarius contra nouenariũ
uel hic contra xii. uehic contraxu: uel .xu. contrxxuiii
ꝓinueniendis differentiis conparent᷑: sec undo setri¬
angulo id ẽ ternario superaebunt : Xuero ad xui. & xui.
testio setriangulo uincent. idsenario: atq hocrite no¬
tabit᷑ in aliis cunctis sequentib sese pipectũ omuesuiso
triangulis antecedent quare ꝑfecte ut arbitrordemons¬
tratut omniũ formarũ principiũ : dementũq esse triangulũ
EX DENUMERIS SOLIDISO
incuero ad figurrs solidas facilior uia c̃ praccognitis
uero que dinplanis numerorũ figuris uis ipsa quanti¬

Expanded text:
hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra 12, vel hic contra 15, vel 15 contra 18 pro inveniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario, superabunt. Decem vero ad 16, et 16 tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium elementumque esse triangulum CAPUT XX. De numeris solidis. Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quanti
Abbreviated transcription (Latin):
hapiis ꝓcreant᷑ pãq se &agonus : & quinario pentagono a¬
uno qui ẽ intriangulorũ ordine dispositus nascit᷑: nec alia est
origo .xv xagoninis & duo denario pentagono & ternario
triangulo: quod si .xxuiii. rursuseagonũ & quib: superiorib:
nascat᷑ ad discas nullos inuenies nisi xxii. pentagonũ senariũ¬
que triangulũ : atq hoc inc&eris nec hunc geniturȩ ordinẽ :¬
eptagonorũ ꝓcreatio refutabit : Nãq & suꝑse & agonis &
& eminus positis triangulis ꝓcreant᷑: sẽptẽ enim eptagonꝰ :
nascit᷑ & senario & agono & uno potestate triangulo: xuiii
gulo atq hoc: incunctis in offensũ repperire lic& uides ne
igit᷑ ut primꝰ omniũ triangulus cunctorũ summas efficid :
& omniũ procreationis misceat᷑:
XUIIII. PENTINENS AD PISURATORUM NUMERORUM
DECRIPTIONEM SPECULATIO
Ii uero omñs si ad altitudinẽ fuerint conparatĩ id ẽ tri¬
angulita negonis uel t& ragonipentagonis. uel pentagoni

Expanded text:
reantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate triangulo, 18 gulo, atque hoc in cunctis inoffensum reperire licet. Videsne igitur ut primus omnium triangulus cunctorum summas efficiat, et omnium procreationibus misceatur! CAPUT XIX. Pertinens ad figuratorum numerorum descriptionem speculatio. Hi vero omnes si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni
Abbreviated transcription (Latin):
XUII DESCRIPTIO FGURNRUMEORUNVORDNE
imiliter autẽ licebit & aliarũ formarũ quȩ plurib: angu¬
Alis continent᷑ quantitates adscribere: sed qm̃ faciliur
oculis subiecta retinent᷑ supredictarũ formarũ nume¬
rositas in subteriore discriptione ponat᷑ :
XUIII. QUINGURATI NUMERI EX QUIBUS POURATIS
NUNERIS FIANT IN QUE SUOD TNANGULUS NU¬
NERUS OMNIUM RELIQUORUM PRINCIPIUM SRI
is igitur ita sese habentib: quid in hac resit consequens
uestigemꝰ : omnes enim taragoni qui sub triangulis na
turodi ordinatione dispontĩ & superiorib triangulis ꝓcre¬
ant᷑ illoo ũq collectione : quadnati figura conponit᷑ : quattuoe
enimt& regonꝰ fit & uno & trib: idẽ & duob superiorib triangu¬
cnstans atq inmutabile repperit᷑: pentagonorũ uero sum¬
me conficiunt᷑ x uno super set&ragono & altrinsecus tri¬

Expanded text:
n ordine. Similiter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur, quantitates ascribere. Sed quoniam facilius oculis subjecta retinentur, supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatur. CAPUT XVIII. Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant, atque quod triangulus numerus omnium reliquorum principium sit. His igitur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens investigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus trianguconstans atque immutabile reperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus tri
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicaueris inse ipsũ unde coeperat terminat᷑: si enim
rur sus semeł idem ẽ Igit᷑ si una fuerit multiplicatio solã
planitudinẽ reddit : & fit circulus si secundo mox sphere
conficitur : & enim secunda multiplicatio effectrix semꝑ ẽ
ꝓ funditatiex u igit᷑ & s& paucas huius modi formas subseripsimꝰ
ant : qui autẽ denaturxrerũ ꝓpinquis inuestigantes ux¬
tionib: quiq in matheseor disputatione uersati:̃ quid inquaq
re ess& ꝓpriũ : subtilissime peritissimeq ediderunt hirerũ
omniũ natune singemina diuidentes hac speculatione distri¬
buunt: dicunt enim omnes omniũ rerũ substantias cons¬
tane & eãquȩ ꝓpriȩ suȩ que semp habitudinis .ẽ. nec ullo
modo ꝓmutat᷑ & ea scilic& nature: quȩ uariabilis motus ẽ
sortita substantiã: & illã primã in mutabilẽ naturã uni¬
us cius dẽqs ubstantiȩ uocant: hanc uero alterius scilica
quod a prima illa inmutabili discedens prima sit altera

Expanded text:
multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim t. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et 6, paucas hujusmodi formas subscripsimusant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes omnium rerum substantias constare ex ea quae propriae suaeque semper habitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili discedens prima sit altera.
Abbreviated transcription (Latin):
sedrari latinarũ artiũ auctores admis¬
ser̃ in optatiuo declinationẽ p̃ti ꝑfecti
utinã uicerim in ħ eñimͦ latinitẽpora
grecorũ more ⁊ iungunt inꝑfectũ cũ p̃sen¬
ti plus quã ꝑfectũ cũ ꝑfecto iħ assignañ
duob antecedentib qđ in c̃iunctiuo p̃t̃ti
imꝑfecti fuit utinã legerem. ħ duob
sequetib qđ inc̃iunctiuo plusquã ꝑ fec¬
ti fuit utinã legissem ⁊ hdant futuro
utinã legerim quorũ sententia grecara¬
tio quã supdiximꝰ. opitulatur. Ingreco
optatiuo q̃ in aũ ex eunt actiua tantũ s̃
q̃ inmꝑip passiuatantũ ł passiuirsimi¬
NN exeunt p̃cidente uocali modo acti¬
uamodo passiua sunt ⁊ ñ nisi exillis ũbis
ΗN passiua a utẽ & dehisdem ũbis fiunt
tiuaergo q̃ in Ñi exeunt mutant Ñ ip
interserunt iinpassiũutranseunt TI GΕΙΗN

Expanded text:
sed rari Latinarum artium auctores admised rari Latinarum artium auctores admiserunt in optatiuo declinationem praeteriti perfecti, utinam uicerim. in hoc enim modo Latini tempora Graecorum more coniungunt, imperfectum cum praesenti, plusquamperfectum cum perfecto, et hoc assignant duobus antecedentibus, quod in coniunctiuo praeteriti imperfecti fuit, utinam legerem, hoc duobus sequentibus, quod in coniunctiuo plusquamperfecti fuit, utinam legissem, et hoc dant futuro, utinam legerim, quorum sententia<e> Graeca ratio, quam supra diximus, opitulatur. in Graeco optatiuo quae in μι exeunt actiua tantum sunt, quae in μην passiua tantum uel passiuis simiην exeunt praecedente uocali modo actiua, modo passiua sunt; et <actiua> nonnisi ex illis uerbis ην, passiua autem et de iisdem uerbis fiunt, tiua ergo quae in μι exeunt mutant μι in interserunt et in passiuu