comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
mutationisq: esse principium. secundo uero loco om̃s in pares numeros
ꝓot̃ unitatis cognationẽ eius dematq: immutabilis substantiae eẽ par¬
ticipes pares uero obbinarunumeri consortium alteritatibus esse ꝑmix¬
tos t& ragonosqͦq ad eundem modũ considerari manifestum est nam qđ
eorum conpositio & coniunctio & in paribus fit. immutabilieos nature
ꝓnuntia boconiunctos. quoduero parte altera longiores & copulatio¬
ne parium ꝓcreantur num quam ab alter i tatis uari& ateseparentur

Expanded text:
o loco, omnes impares numeros propter unitatis cognationem, ejusdem atque. immutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii numeri consortium, alteritatibus esse permixtos. Tetragonos quoque ad eumdem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum compositio et conjunctio ex imparibus fit, immutabili eos naturae pronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium, procreantur, nunquam ab alteritatis
Abbreviated transcription (Latin):
altera longior es quiut melius ꝑ notarent᷑ prius induobus eos uersib:
disposuimus. Postaute meos dem ꝑmiscuimus & qui &̧ indetrianguli
nascerentur descripsimus
XXXU. QUFALADMO DUM QUADRATI EXPARTEALTERA
LONCIORIBUS UE PARTEALTERA LONGIORESEXQDRISFIAÑ
mis uerot& ragonus siei ꝓ prium latus addatur ueleo demrur sus
dematur parte altera longior sit. Nam iuiit& ragono siquis
duoiungat uel duo d& rahat .vi. ad dendo ꝑfici& & duodetrahen do
aduterq figurã contin& parte altera longiorẽ. quȩ scilic& magnaest
alteritatisuis omis enim infinita & indeterminata potentia ab equa¬
litatis natura & asuis sefinib continente substantia discedens. autin
maius &uberat. autinminor edecrescit

Expanded text:
altera longiores, qui ut melius pernotarentur, prius in duobus eos versibus altera longiores, qui ut melius pernotarentur, prius in duobus eos versibus disposuimus, post autem eosdem permiscuimus, et qui exinde trianguli nascerentur ascripsimus. CAPUT XXXV. Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus, vel parte altera longiores ex quadratis fiant. Omnis vero tetragonus si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 4 tetragono si quis duo jungat, vel duo detrahat, 6 addendo perficiet et duo detrahendo, at uterque figuram continet parte altera longiorem, quae, scilicet magna, est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia, ab aequalitatis natura, et a suis se finibus continenti substantia discedens, aut in majus exuberat, aut in minora decrescit
Abbreviated transcription (Latin):
bis in suam summã ducto nouenario . xxxvi fiunt. & continenti pari
senario copulantur. ses enimseies xxxu. i restituunt. Necminus in eandẽ
hicenim &xoctonario continenti postsenariũ nascit᷑. Occies enimocto
lx iuiit& ragonum iungunt & in aliis quoq: secundum eundẽmodũ
sudẽ facies rationis ordo nondis crepat
Inonminor e consideratione notandum ÷ nãq trianguli quicunctas
alias formas sicut superius dociumus colletiꝓducunt his iunctis uelit
& quibus dam helem̃tis oruntur. namq & uno primot& ra gono
& binario pgimo parte altera longiore. Ternarius triango lusco¬
pul&ur & binar iouel quat᷑ nario id ÷ & secundot& ragono senarus
triangolus ꝓcreatur . Ex quat̃ nario quoque & senario denarius
triangulus nascitur . & ad eundẽ ordinẽ cunctatriangulorũ ratio
constabit . disponantur enim alt̃ natim int̃sec& ragoni & parte

Expanded text:
o et duodecim, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari o et duodecim, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari senario copulantur. Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem Hic enim ex octonario continenti post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragonum jungunt. Et in aliis quoque secundum eumdem modum si idem facias, rationis ordo non discrepat.non minore consideratione notandum est. Namque trianguli qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, collecti producunt, his junctis velut ex quibusdam elementis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono, et binario primo parte altera longiore, ternarius triangulus copulatur. Et ex binario vel quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario, denarius triangulus nascitur. Et ad eumdem ordinem, cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni et parte
Abbreviated transcription (Latin):
llito quoq nonoport& minor eadmniratione suscipere quod secundum
gonistant & unus parte alter a longior inmedio ponitur. tetragonus quinas¬
citur illesemꝑ ab impari ꝓcreat᷑ . Nam & superioribus uno .iiii. &bis multi¬
plica tobinario factus est nouenarius tetragonus quiscilic& a tribus ꝓcrat᷑
& ipseein pari quinarionas cit᷑ & contineti postter narium quinquies
enimquinq: xxv. producunt & quinarius postternariũ in par ÷ nume¬
rus insequenti quoq eadem ratioest. nam qui&uiuii. &xvi. & bis ducto
xii quadratus xLuiiii ꝓducitur. Ileas eptenario in parifit & post
quinarium continenti .vii. enim .xii. xlv.iiii. creant atue roubi duo
altrinsecus parte altera longiores. unum mediumt& ragonũ claudunt
om̃s &his quifiuntt& ragoni a paribus ꝓducuntur. Namqui &̧duobus
xui. partealtera longior ibus & quat̃ nari obis multiplicato xvi. t&ra¬
gonus factus est illea quat̃ narionumero idem pari ꝓducitur. quat̃

Expanded text:
llud quoque non oportet minore admiratione suscipere, quod secundum goni stant, et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus qui nascitur, ille semper ab impari procreatur. Nam ex superioribus, uno et 4 et bis multiplicato binario, factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur. et ipse ex impari quinario nascitur continenti post ternarium. Quinquies enim quinque 25 procedunt, et quinarius post ternarium, impar est numerus. Et in sequenti quoquo eadem ratio est. Nam qui ex 9 et 16 et bis ducto 12 quadratus 49 producitur, ille a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, producitur. Quater
Abbreviated transcription (Latin):
Hic quoq: ꝑpiscuumest suꝑ particula rium quem admodumim¬
us ostensumest primus essemultiplices si quidem duplices sesqual¬
teros triplices sesquitertios & multiplices cunticunctos in or¬
dinem suꝑ particulares creant. Est&iam in his hocquoque mra¬
bile namq: ub i prima latitudo fuerit dupl&x & subeiusdemquisunt
uersus continuialt̃ natim positi secundũ seriem latitudinis
dupliceserunt si uero fuerint triplices & inferioresordines
triplase in suis terminis multi plicacione terminabunt in qua¬
drupla quadrupli. Atquehoc in infinita ducum̃ specule¬

Expanded text:
Hinc quoque perspicuum est, superparticularium quemadmodum prius ostensum est primos esse multiplices. Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum specul
Abbreviated transcription (Latin):
unus abino in pares. & subhis om̃s ab unonuniero pares¬
stergo princeps inparis ordinis unitas. quȩ ipsa quidem effectrix
& quodam modo formaquodamest in paritatis q: eius demnaturȩ necmu

Expanded text:
omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero paresomnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero paresst ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum eju
Abbreviated transcription (Latin):
idcirco quod adualitate compl&ur XXUIII. ꝗtrod ex in pa¬
RIBUSQUADRATI EXPARIBUSPARTEALTERA
LONGIORESIEIANT.
Atuer o positis in or dinem abunitatem paribus. & subhis adualitate
paribus disoriptis. coaceruatio in parium t& ragonas facit coacer¬
uatio parium superiores efficit parte altera longiores quare
qm̃ tetritgonorũ hecnatur aest ut ab in paribus ꝓcreentur qui sunt
unitatis parti cipes idesteuis demim mutabilisq substantiae. cunc¬
tisq partibus suisequales sint quod & anguli Angulis. & latera
lateribus & longitu dinicompar ÷ latitudo dicendũ est huius modi
numeroseiusdem naturȩ atq: immutabilis substantiae parti¬
cipes illos uero nioneros quos parte altera longi ores paritas¬
creatalterius dicimus es sesubstantiae . nam quem admodum unus a.H
duobus un otantum alter est. sichorum later a asetantum uno sunt la¬
terae & undtantum differunt unitate . qua redis ponantur in ordinẽ

Expanded text:
idcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. Quod ex impaidcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. Quod ex imparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant. At vero positis in ordinem ab unitate imparibus, et sub his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritascreat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem
Abbreviated transcription (Latin):
tamque unitatem. binarius autemnum erus primus unitatidissim¬
lis est. Idcir coquod primus ab unitatedis iungitur atq id eo alter itatis
cuiusdam princi pium fuit quod ab illa prima & semꝑ eadẽ substantia
solotantum estunitate dissimilis. Mer ito ergo dicentur hinumeripar¬
te altera longiores quodeorum latera unius tantũ sese adiecta nume¬
rositate prȩcedunt. Argumentum autẽ est alter itatem inbinario
numero iuste constitui. quodnondicituralterũ . nisi eduobus ab
his inter quos beneloquendiratio nonnegglegitur. amplius. quod
in parnumerus sola ꝑficiunitate monstratus est. paruero soladu¬
alitate idestsolobinarionumero. namcuius cumq: medi&as est i
illein parest. Cuius uero duo : hicpa ritate recepta ingemina aequa
dis iuingitur. quaredicendũ ÷ in paremnumerũ eius dematq: in sua
senatura tenentis: in mutabilisq: substantiȩ esseparticipem VId circo
quodabunitate form&ur parem uer alterius plenumes senaturȩ

Expanded text:
tamque unitatem. Binarius autem numerus, primus est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae,
Abbreviated transcription (Latin):
tabilis substanti aeest. uttum uel ipsa multiplicauerit. uel in planitudine.
uel in ꝓfunditate. uelsialium quem lib& numerũ ꝑ seips ãmultiplic&.
numerus non recedit. quod cir caalium numerum non potest inueniri.
Paris uer onumerus ordinis binarius numerus princeps est. quȩ
Idualitas cumeͥ neademor dine paritatissit tum principium totius :
alter itatis. Nam siseipsa multi plic&. uel ꝑ latitudinẽ. uel &iam ꝑ¬
ꝓfunditatẽ. uelsi quem numerũ in suam conglob& quantitatem.
continuo alt̃ &oritur. Nambis duo si facias uelbistres. uelbis inIͦ

Expanded text:
tabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si
Abbreviated transcription (Latin):
admodum secundum aequalitatem dictum est. sed diuersis dis¬
tantibus que signata sunt ad modum discentis scilic& uel docen¬
tis. uel caedentis. uelua pulantis. uel quaecum que ad aliquid
relata aliter denominatis contrariis conparantur.

Expanded text:
admodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis disadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis comparantur.
Abbreviated transcription (Latin):
m&itur. Et aequalequidem est quod alaliquid con paratum
Nequeminore summa in fraest. uequemaiore trans greditur.
utdenarius denario. uel ternarius ternario. uel cubitum cubito. uel pes
pedi. & hissimilia. haec autem prrs relate ad aliquid quantitatis.
idest aequalitas naturaliter indiuis a est . Nullus enim dicere potest.
qđ a equalitatis. hoc quidem taleest. illuduero huius modi. Om̃is
enim aequalitas unamseruat in propria moderatione mensurã.
Illud&iam quod que ei. quantitas comparatur. non alio uocabulo
atq ipsa cui comparatur edicitur . Namquem ad modum amicus
amic amicus est uicinusq uicino. itadicitur aequalis aequali
Inaequalis uero quantitatis gemina diuisio est: secaturenim qđ
in aequale eest inmaius. atqueminus. quae contraria sibim &.
de nominatione finguntur Namque maius minore maius est.
& minus maiore minus est . & utraque non eisdem uocabulis quẽ¬

Expanded text:
metitur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum, metitur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum, neque minore summa infra est, neque majore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitum cubito, vel pes pedi, et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est, aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim dicere potest quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero hujusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. Illud etiam quod quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa cui comparatur edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali. Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in majus atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque majus minore majus est, et minus majore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quem
Abbreviated transcription (Latin):
rursus & in conpositus est. Huncigitur cum extremi ad gregati sũma
multiplica ut fiant sex decies .xxxi. qui ccccxcui. explicant. Haec
autem est intramillenarium numerum ꝑfecta. & suis partibus
a equanumerositas. Igitur prima unitas uirtute atque potentia
uon&iam actu uelre. &ipsa perfecta est. Namsi prima m ipsam
sumpsero. Deproposito ordine numerorum. uideo primam atque
in compositam quansi ꝑse i psammultiplico. eadem mihi unitas
procreatur. semelenim .i. solam efficit unitatem quae partibus
suis aequalis est potentia solum. c&eris &iam actuatq: opere
ꝑfectis. recteigitur unitas propriauir tute ꝑfecta est. quod & pri¬
ma est & in composita & ꝑseipsam multiplicata sese ipsa conser¬
uat: sed qm̃ de ea quantitate quae ꝑse fit dietum est operis se¬
quentiam adillam quaeresertur. ad aliquid trans feramus.
Laequaleest. aut in aequale quicquid alterius conparatione

Expanded text:
rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa multiplica, ut fiant sedecies 31, qui 496 explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita, et per seipsam multiplicata sese ipsa conservat. Sed quoniam de ea quantitate quae per se sit dictum est, operis sequentiam ad illam quae refertur ad aliquid transferamus. Caequale est, aut inaequale, quidquid alterius comparatione
Abbreviated transcription (Latin):
uero secundum binarium .xiiii. secundum quaternarium .uii. sep¬
timum uero secundum septinarium .iiii. secundum omnium collec¬
tionem. quartum decimum duo quiuocabulo medi&atis opponi¬
tur. Ergo cumhi repꝑtisint . sialios inuenire secteris eademoport&
ratione ut uestiges. Pones enim .i. licebit & posthunc .ii .iiii. qui insep¬
tinarium comulatur. sed de hoc dudum extitit .xxuiii. ꝑtus numerus.
huicigitur quisequitur pariter par. Idest .uiii. continens iungatur
accessio qui prioribus suꝑueniens .x. & quinque restituit. sed hicꝰ pri¬
mus & in compositus non est . hab& enim generis alterius partem
suꝑ illam quae est a sẽipsa denominata quintam decimam scilic &
unitatem. Huncigitur qm̃ secundus est & compositus. pra&erito &
adiunge superioribus continentem pariter parem numerum idest.
.xii. quicum xuͦ. iunctus unum actriginta confici&. sed hic primus

Expanded text:
vero secundum binarium 14, secundum quaternarium 7, sepvero secundum binarium 14, secundum quaternarium 7, septimam vero secundum septenarium 4, secundum omnium collectionem, quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par, id est 8, continens jungatur accessio, qui prioribus superveniens, 15 restituit. Sed hic primus et incompositus non est. Habet enim generis alterius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est compositus praeterito, et adjunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est 16. Qui cum 15 junctus, unum ac 30 conficiet. Sed hic primus
Abbreviated transcription (Latin):
scilic& primus & in conpositus est. & postunitatem ultimum bina¬
rium numerum ad gregaueras. sugitur ternarium. id est qui
excoaceruatione collectus est ꝑbinarium multiplices qui est
ultimus ad gregatus ꝑfectus sineulla dubitatione nasc&ur.
Bis enimtres .ui. faciunt quihabent imam quidem ased enominatã
partem. id est sextam. Tres uero medi&atem. secundum dualita¬
tem. Atuero duo secundum coaceruationem Idest secundũ ter¬
narium qm co aceruatĩ. tres multiplicati sunt. xxiiii. atem eodem
modo nascuntur. sienim suꝑ .i. & ii. qui sunt tres addas sequentẽ.
pariter parem. idest .iiii. septinarium summam facies sed ultimũ
num erum quaternarium consequenter adiunxeras. Perhunc
igitur sullam coaceruationẽ multi plicaueris ꝑfectus numerus
pereatur. septies enim .iiii.xxuii. sunt. qui est suis partib par.
habens ÷ a sedeminatum id est uicesimum octauum. medi& atẽ

Expanded text:
scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binascilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, tres vero medietatem secundum dualitatem, at vero duo secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo nascuntur. Si enim super unum et duo, qui sunt tres, addas sequentem pariter parem, id est 4, septenariam summam facies; sed ultimum numerum quaternarium consequenter adjunxeras; per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim 4, 28 sunt, qui est suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; medietatem
Abbreviated transcription (Latin):
postquem VIIC XXIIII. Idem octinarius qui secundus. generatio
autem procreatioque eorum est fixa firmaque. uecquo aliomodo
fieri possint. Nec ut sihoc modo fiant. aliud quiddam ullomodo
ualeat procteari. dispesitos enim ab uno om̃s pariter pares nu¬
meros in ordinem. quousque uolueris primo secundum ad gre¬
gabis & si primus numerus & in compositos exilla coaceruatione
factus sit. totam sũmã in illum multiplicabis. quem posterius ad¬
gregaueras. si uero coaceruatione facta primus inuentus non
fuerit. sed compositus & secundus. Hunc trans gredere atq alium
quiadsequitur ad gregabis. si uero necdum fuerit primus & in¬
compositus alium rursus adiunge. & uide quid fiat. quod si pri¬
mum in conpositumq. repperies: Tunc multimae multitudinẽ
summae coaceruationem multiplicabis. disponantur enim
picis ex hac ad gregatione quinumerus factussit. sunt .ii. qui

Expanded text:
post quem 8128, idem octonarius qui secundus. Generatio post quem 8128, idem octonarius qui secundus. Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggregaveras. Si vero coacervatione facta, primus et incompositus non inventus fuerit, sed compositus et secundus, hunc transgredere, atque alium qui sequitur aggregabis. Si vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim picies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui
Abbreviated transcription (Latin):
suis partibus inuenitur .xxuiii. uero hab& medi&atem .xiiii. & uiimã
iiII. ueccar& quarta. Id est .uii possid& quartam decimam .ii. & rep¬
perier in eam uicesimam octauam .i. quae inunum redacta totũ
pastibus corpus aequabunt . xxiiiii. enim iuncte pastes efficient
XX DEGENERMIONE NUMERI PERTECTI
st autem in his quoque magna similitudo uistutis & uitu perfec¬
tos enimnumeros rarenter inuenies. eosq facilenumerabiles quippe
qui paucisint & nimis constanti ordine procreati. atuero suꝑfluos ac
diminutos longemultos infinitosq. repperies. Nec ullis ordinibus pas¬
sim in ordinateq dispositos. & anullo certo fine generatos. sunt autẽ
perfecti numeri. Intradenarium numerum .ui. Intracentenarium
& semꝑhinumeri duobus paribus terminantur vi. & uiii. & semper
alternatim. in hos numeros sũmarum fine ꝑuenient. Nam & pri¬
mum sex inde xxiiii. posthos ccccxeui. idem senarius qui primus.

Expanded text:
suis partibus invenitur. 28 vero habet medietatem 14, et septimam suis partibus invenitur. 28 vero habet medietatem 14, et septimam 4, nec caret quarta, id est 7, possidet quartam decimam 2, et reperies in eo vicesimam octavam 1, quae in unum redactae, totum partibus corpus aequabunt, 28 enim junctae partes efficient. CAPUT XX. De generatione numeri perfecti. Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros raro invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri, intra denarium numerum 6, intra centenarium Et semper hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros, summarum fines perveniunt. Nam et primum sex, deinde 28. Post hos 496, idem senarius qui primus,
Abbreviated transcription (Latin):
naturam manibus natus utcentimanus gigans uł triplici con¬
iunctus corpore ut gerio terminus uł quicquid umquam¬
monstruo sumnaturae in partium multiplicatione subripuit
illeuero ut sinaturaliter quadam necessaria paste d& racta
aut minus oculo nascer&ur uterclope aefrontis dedecus fuit. uł
quo alio curtatus membro naturale. totius suae plenitudinis dispen¬
dium sostir&ur. interhos autem uelut inter in aequales intemperan¬
tias medii tempera mentum limitis sortitus est. Illenumerus qui
ꝑfectus dicitur uirtuos scilic& aemulator. quinec suꝑuacua pro¬
gressione porrigitur nec contracta rursus diminutione remitti¬
tur sed media atis obtinens terminum suis aequus partib. nec gras¬
satur habundantia Neceg& inopia ut .ui. uel xxuiii. Namq sena¬
rius hab& pastem mediam id est .iii. & tertiam id est duo. & sextam
id est .i. que minunã sũmã siredactẽ sint ꝑtotum num eri corpus

Expanded text:
naturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel triplici connaturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel triplici coniunctus corpore, ut Gerio tergeminus, vel quicquid monstruosum nature in partium multiplicatione surripuit. Ille vero, ut si naturaaut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro, naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur. Inter hos autem, velut inter aequales intemperantias, medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus diminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum, suis aequus partibus, nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut sex vel 28. Namque senarius habet partem mediam, id est 3, et tertiam, id est 2, et sextam, id est 1, quae in unam summam si redactae sint, par totum numeri corpus
Abbreviated transcription (Latin):
Duodecima .ii. uicesima .iiii.i quiom̃s .xxx. & .ui. rependunt in¬
quare manifestum est. qđ suma partiummaior est . & supra pro¬
prium corpus exundat. atq. hic quidem cuius conpositae partes
totius summam numeriuincunt. suꝑfluus appellatur. Deminu¬
tus uero ille cuius eodem modo compositae partes totius termi¬
ni multitudine superantur. ut .uiii. uel xiiii. hab& enim octona¬
rius partem mediam. idest .iiii. hab& & quartam. id est .ii. hab&
& octauam id est .i. quae cunctae inunum redacte.uni. colligunt mi¬
norem . scilic& summam toto corpore concludentes. rursus xiiii.
habent medi&atem. id est septenarium. habent septimam idest.
duo. habent quar tam decimam. id est .i. quae inunum sicollecta
sunt denariinumeri summa succrescit. toto scilic& termino
minor. atque hi quidem hoc modo sunt. ut priorille quemsuae
partes superant talis uideatur. tam quam siquis multis super

Expanded text:
duodecima duodecima qua re manifestum est quod summa partium major est, et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem quoniam compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appellatur. Diminutus vero ille, cujus eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut 8 vel 9: habet enim octonarius partem mediam, id est 4; habet et quartam, id est duo; habet et octavam, id est unum, quae cunctae in unum redactae 7 colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent quartam decimam, id est 1, quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis mu
Abbreviated transcription (Latin):
breuitas expeditum est. Rursus numerorum parium sic
fit secunda diuisio. alii enim sunt eorum suꝑflui. ali diminuti
secundum utrasque habitudmes in aequalitatis. Omnis quippe
in aequalitas. autinma ioribus. autinminoribus consideratur.
illienim in moderata quodammodo plenitudine ꝓprii corporis
modum pastium suarum numerositate praecedunt . Illos autẽ
uelut pauptate in opes opressosq quad amnaturaesuae in opia
minor quamipsi sunt partium summa componit. Atq illiquidem
quorum partes altra quamsatis est sese porrexerint superflui
nominantur. ut sunt xii. uel xxiiii. hienim suis partibus con¬
parati maiorem partium sũmã toto corpore sortiuntur.
Est enim duo denarii medi&as .ui. pars tertia .iiii. pars quarta .ii.parsseta
ii. pars duo decima .i. Omnis que hiccumulus redundat insedecim¬
& totius carporis sui multitudinem uincunt. Rursus xxiiii. nume¬
ri medi&as est xii. tertia .uiii. quarta .ui. sexta .ii. octaua .iii.

Expanded text:
brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus consideratur. Illi enim immoderata quodammodo plenitudine, proprii corporis modum, partium suarum numerositate praecedunt. Illos autem veluti paupertate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt, superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas 6, pars tertia 4, pars quarta 3, pars sexta 2, pars duodecima 1 est. Omnisque hic cumulus redundat in 16, et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus 24 numeri medietas est 12, tertia 8, quarta 6, sexta 4, octava 3,
Abbreviated transcription (Latin):
neque aliam constat essemensuram. Hosergo contrasẽ primos
uocabimus sed sint aliinumeri nobis eadem conditione pro¬
positi. idest . xxi. & uiiii. ut quales hisint inuestigentur cum
sibim & fuerint inuicem conparati. rursus auftro demaiore
minoris numeri quantitatem. id est vIIII. Dexxi. relin quuntur
xii. ex his rursus demo .uiiii. suꝑsunt .iii. quisi exnouenario d&ra¬
hantur senarius relinqu&ur. Quibus itemsiquis ternarium
demat .iII. relinquentur dequibus.iii. detrahinequeant atq hic
est sibi ipsi aequalis . Nam .iii. quid &rahebantur. usque ad terna¬
riumnum erum ꝑuenerunt. a quo qmaequalessune d&rahi
minuique non poterunt. Hosigitur commensur abiles pro¬
nuntiabimus. & esteorum qui reliquus est ternarius mensura
communis . XUIIII ALIA PARTITIO PARIS SECUNDUMPER¬
FECTOS IN PEREECTOS ETULTRA QUAMPEREECTOS
ctenus demparibus numeris quantum introductionis ꝑmittebat

Expanded text:
neque alium constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos neque alium constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de 21, relinquentur 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam 3 qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo, quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus, et est eorum qui est reliquus ternarius mensura communis. CAPUT XIX. Alia partitio paris secundum perfectos, imperfectos et ultra quam perfectos. de imparibus numeris, quantum introductionis permittebat
Abbreviated transcription (Latin):
ad aliquem numerum. ut superius dictum est finis deminutionis in¬
currerit erit numerus quim &iatur utrasq sumas atq cundem
ipsum qui remans erit dicemus utrumq communem ẽẽ. men¬
suram a geenim duos numeros ꝓpositos habeamus. Quos iu¬
beamur agnoscere. An eos aliqua mensura communis m&ia¬
tur atꝗhi sint uii scilic& &xxuiiii. Hocigitur modo faciemus
recipeam deminutionem auferamus demaiore minorem. hoc
est dexxviiii. uouenarium. relinquentur XX. Ex his ergo xx
rursus minorem d&rahemus. id est .aiiii. & relinquentur xi.¬
Exhis rursus d&raho .vIII. relicti sunt .ii. quos sid& raho nouena¬
rio. reliquisunt .uii. quossiduo rursus septinario demserim
suꝑsunt .u. atq: ex his alioduo .iii. rursum exuberant, quos alios
binario diminutos solaunitas suꝑstes egredi &ur. Rursus si
ex duobus unum auferam inuno terminus d& ractionis hȩrebit
quem duorum illorum numerorum. idest VIIIi. &xxuini. solum

Expanded text:
ad aliquem numerum ut superius dictum est finis diminutionis inad aliquem numerum ut superius dictum est finis diminutionis incurrerit, erit ejus numerus qui metiatur utrasque summas, atque eumdem ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mensura communis metiatur. Atque hi sint 9 scilicet et 29, hoc igitur faciemus modo reciprocam diminutionem. Auferamus de majore minorem, hoc est de 29 novenarium, relinquentur 20. Ex his ergo 20 rursus minorem detrahamus, id est Ex his rursus detraho 9, relicti sunt 2. Quos si detraho novenario, et relicti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est 9 et 29, solum
Abbreviated transcription (Latin):
procreatrix. & mater unitas. XUIIIDEINUINTIENE EORU
NUMERORUM QUIABSE SECUNDIET COMPOSITI. ADALIOS
UIRORELATI PRIMI IT INCOMPOSITI SUNI¬
ua uero ratione tales numeros inuenire possimus. siquis
Enobis eosdem proponat &inper& agnoscere . utrum
aliqua mensura cominensurabiles sint. ancerte solaunitas utrosq
m& iatur. Repperiendi ars talis est. datisenim dubus numeris in ae¬
qualibus auferre demaiore minorem oportebit. & quirelictus fuerit.
simaior est auferre exeorursusminorem. si uerominor fuerit eũ
exreliquo maiore da rahere. atq. hoc eo usque faciendum quo adusq
unitas ultima uicem. raeractionis inpediat. aut aliquis numerus
inpar necessario. siutriq numeri inpares proponantur. sed cum
quirelinquitur numerum sibi ipsi uidebis aequalem. Ergo sununũ
incurrat uicissim ista subtractio primicontra se necessario numeri
dicentur & nulla alia mensura nisi solaunitate coniuncti. si uero

Expanded text:
procreatrix et mater unitas. CAPUT XVIII. De inventione eorum procreatrix et mater unitas. CAPUT XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati, primi et incompositi. Qua vero ratione tales numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat, et imperet agnoscere utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, reperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo majore detrahere. Atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero
Abbreviated transcription (Latin):
tur alios uero ut &iam a pluribus. quosdam autem ut pra &er
unitatem eorum nulla mensura sit. quiergo nullam mensu¬
ram praxer unitatem recipiunt. hos primus & in compositos iudi¬
camus. Quiuero aliquammens uram pra&er utatem uł alienigenȩ
partis uocabulum sostiuntur eos ꝓnuntiemus secundos atq. con¬
positos. Tertiumuero illud genus ꝑse secundi & cmmpositi. Primi
uero & incompositi. ad alterutrum conparati. hanc inquisitor
rationem repperi&. si enim quos lib& illos numeros secundum
suam in sem& ipsos multiplices quantitatem qui ꝓcreantur
ad alterutrum conparati. Nulla mensurae communione
iunguntur. Tresenim . & u. simultiplices .iii. tertio.uiiii
faciunt & quinquies .u. reddent .xxu. hisigitur nulla
quos procreant. si conpares. hi quoque in commensurabiles erunt.
Quinquies enim .V. utdictum est .xxi. septies .uiiͦ. faciunt xluiiii.
quorum mensura Nulla communis est. Nisi forte omnium horũ

Expanded text:
tur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter tur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione reperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semetipsos multiplices quantitatem, qui procreantur ad alterutrum comparati, nulla mensura communione junguntur. Tres enim et 5 si multiplices, tres tertio 9 faciunt, et quinquies 5 reddent 25. His igitur nulla quos procreant si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quinquies enim quinque ut dictum est 25, septies 7 faciunt 49. Quorum mensura nulla communis est, nisi forte omnium horum
Abbreviated transcription (Latin):
est locum suum duplic& sex creabit. bisenim iii. senarium
ungunt. Hicer go mordinem .ui. relinquat. quartus quo que
silo cum suum duplic& .viiii. succrescent. ille quoque octo transi¬
leat atq. hoc quidem in c&eris perspiciendum modum autem
mensionis secundumordinem collocatorum ipsa series dabit.
Namprimus primum quemnumerat secundum primum
numerat. Id est secundum se & secundum primus. quermume¬
rat psecundum numerat & tertium ꝑtertium. & quartum itẽ
ꝑ .iiii. Cum autem secundur mensionem susciperit. primum
queninumerat secundum primum m&itur. secundum uero
quemnumerat ꝑse idest ꝑsecundum. & tertium ꝑtertium. & in
caeris eadem similitudine mensura constabit. Alio rergo sires¬
picias uł quialios mensisunt. uł qui ipsi ab aliis m&iuntur in¬
uenies omnium simul communem mensuram esse non posse.
Neque u tomnes quem quamalium simulnumerent. Quosdam
autem exhis ab alio posse m&iri. Ita ut ab uno tantum numeren¬

Expanded text:
cum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, 8 succrescent: ille quoque 8 transiliat; atque hoc quidem in caeteris perspiciendum. Modum autem mensionis secundum ordinem collocatorum ipsa series dabit. Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se, et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per tertium, et quartum item per quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit, primum, quem numerat, secundum primum metitur, secundum vero quem numerat, per se, id est per secundum, et tertium per tertium, et in teris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numeren
Abbreviated transcription (Latin):
sed cum fuerit ad alium eiusdem generis numerũ comparatus¬
nulla cum eo communimensura coniungitur. Nechabebunt par¬
tes aequi uocas ut sunt .uiiii. ad xxu. Nulla hos conimunis Nu¬
merorum mensura m&itur nisi forte unitas qua eominium
Numerorum mensura communis est. & hi quidem non habent
aequiuocas partes. Namquȩ in uiiii. tertia est in .xxii. non est
& quae in xxii quinta est innouenarionon est. ergohiꝑnatur a
utrique secundi & compositisunt. Conparati uero ad seinuicem
primi in conpositiq redduntur quos utrosque nulla alia
mensura m&itur nisi unitas quae ab utrisq de nominata est.
naminnouenario non aest inxxu. uicesima quintaẽ. XUII
tione colligitur quamscilic& erat osthenes. crebrum no¬
minabat quod cunctis in paribus in medio collocatis ꝑeã quam
tradituri sumus astem qui primi quiue secundi quiue tertu
generis uideantur essedistinguitur. Disponantur enim. a

Expanded text:
sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatussed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatusnulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt 9 ad 25, nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in 9 tertia est, in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas quae ab utrisque denominata est. Nam in novenario nona est, in 25 vigesima quinta. CAPUT Xtione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis imparibus in medio collocatis, per eam quam tradituri sumus artem, qui primi, quive secundi, quique tertii generis videantur esse, distinguitur. Disponantur enim a
Abbreviated transcription (Latin):
tem .ut .uiiii. tertiam id est ternarium &xu. tertiam. id est .u. quin¬
tam. idest tres. xxi. uero tertiam .vIi. septimam .iii. & in omnibus
aliis eadem consequentia est. secundus autem uocatur hic nume¬
rus qm̃ non sola unitate m&itur. sed &iam alienonumero a quo
scilic& coniunctus est neque hab& inse quicquam principalis in¬
tellegentiae. Nam exaliis numeris ꝓcreatur .uiiii. quidem ex̃tri¬
modo. Conpositus autem dicitur eo quod resolui potest in eosdem
ipsos a quibur dicitur esse compositus. In eos scilic& qui conpositũ
numerum in & iuntur. Nihilautem quod dissolui potest in conpo¬
situm est sed omni rerum necessitate compositum. XUI
DEEO QUIPERSE SECUNDUS ET COMPOSITUSEST AD
ALIUMUEROPRIMUS ET IN COMPOSITUS
is uero contrase positis idest primo & in composito & secundo
& composito & naturali diuersitate dis iunctis alius in medio con¬
sideratur quuipsequidem compositussit & secundus & alterius
recipiens mensionem atq ideo & partis alieniuo cabulica pax

Expanded text:
tem, ut 9, tertiam, id est ternarium, et 15, tertiam, id est 5, et quintam, id est, 3; 21 vero tertiam, id est 7, septimam, 3, et in omnibus aliis eadem consequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur, sed etiam alio numero a quo scilicet conjunctus est. Neque habet in se quidquam principalis intelligentiae. Nam ex aliis numeris procreatur, 9 quidem exmodo. Compositus autem dicitur, eo quod resolvi potest in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem quod dissolvi potest incompositum est, sed omni rerum necessitate compositum. CAPUT XVI. De eo qui per se secundus et compositus, ad alium primus et incompositus est. His vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse quidem compositus sit, et secundus, et alterius recipiens mensionem, atque ideo, et partis alieni vocabuli capax,
Abbreviated transcription (Latin):
Hisigitur ita dispositis considerandum primus numerus quem
eorum qui sunt in ordine positi primum m&iri possit. sed duobus
praeteritis illum qui posteos est positus mox m&itur. et sipost
eundem ipsum quemmensus est aliiduo transmissi sintillum
qui postduos est rursus m&itur et eodemmodo. siduos quis re¬
liquerit. Posteos quiest aprimonumero maiendus est eodẽq
modo relictis semꝑ duobus omnes a primo in infinitum pergentes
m&ientur. sed id non uulgo Neque confuse. Nam primus nume

Expanded text:
His igitur ita dispositis considerandum primus numerus quem eorum qui sunt in ordine positi primum metiri possit, sed duobus praeteritis, illum qui post eos est positus, mox metitur. Et si post eumdem ipsum quem mensus est, alii duo transmissi sunt, illum qui post duos est rursus metitur. Et eodem modo si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est. Eodemque modo relictis semper duobus, a primo in infinitum pergentes metientur. Sed id non vulgo nequ
Abbreviated transcription (Latin):
Praecepta autem tria. haec sunt . ut primum numerum pri¬
mo facias parem. secundum uero primo & secundo tertium
primo secundis duobus & tertio. Hocigitur cum in terminis
aequalibus feceris. ex his quinascentur duplices erunt
de quibus duplicibus. sudem feceris triplices procreantur
& dehis quadruplices atque in infinitum om̃s formas numeri
multiplices explicabit iaceant igitur tres termini aequales.¬
Ponatur itaque primo primus aequalis. idest. unus. secundus
uero primo & secundo id est .ii. tertius uero primo duobus se¬
cundis & tertio parsit. id est uni duobus. & uni quod sunt .iiii.
ut est descriptio.
idesne ut duplici proportione sequens ordo tex¬
sus idem deduplicibus. ut sit primus primo aequalis idest
uni secundus primo & secundo id est uni & duobus qui sun .iii.
tertius primo id est. uniduobus secundis. idest .v. & tertio.
id est .iiii. quisimul uiuii fiunt & uenit haec forma.¬

Expanded text:
Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum priPraecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, duobus secundis et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabit. Jaceant igitur 3 termini aequales.Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus. Secundus vero, primo et secundo, id est 2; tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio: Videsne ut duplici proportione sequens ordo texsus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni; secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt 3; tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est 4, et tertio, id est quatuor, qui simul 9 fiunt, et venit haec forma
Abbreviated transcription (Latin):
terni. uel .iii. quaterni. uel quantos ultra lib& ponere. quod enim
minut᷑is. iiibus. terminis euenit idem contingit inc&eris. Ex his
igitur secundum praecepti nr̃. ordinem uideas primum nasci
multi plices & in his duplices prius. de hinc triplos de inde quadru¬
plos & ad eundem ordinem consequentes. rursus multiplices si
conuertantur. Ex his superparticulares orientur. & exduplicib
quidem ses qualteri. extriplicibus ses quitertii. ex quadruplis
ses qui quarti. & c&eri in huncmodum. ex suꝑ particularibus
uero conuersis suꝑ partientes nasci necesseest. ita utex ses¬
qualtero nascatur suꝑbi partiens. suꝑtripartientem ses qui¬
tertius gignat & ex ses qui quarto suꝑ quadri partiens ꝓcreet᷑
Rectis autem positis neque conuersis prioribus suꝑparticu¬
laribus multiplices suꝑ particulares oriuntur. Rectis uero
suꝑ partientibus multiplices superpartientes efficiunt

Expanded text:
terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur, secundum praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem, sesquialteri, ex triplicibus sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis, superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, et ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis, neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficientur.