comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
norum differentiam terminorum uocatus igitur illa medietas in qua aeqe
sunt differentiae arith metica illa uero inqua aequae pro portiones geome¬
trica illam aũt quam tertiam descripsimus armonica quarum haec̃ subi¬
ciamus exempla
Non uero ignoramus esse alias quoque pro portionum medietates quas quidem
in arithmeticis diximus sed ad praesentem tractatum eae sunt interim necessa¬
mae sed inter has tres medietates pro portionalitas quidem propriae et maxi¬
me geo metricanum cupatur id circo qm̃ aequis proportioniobus toda contexi¬
tur sed tamen eodem mutemus promisse uocabulum proportionalitates
ed in his alia continua est proportionalitas alia disiuncta continua quidem
ut superius dis posuimus unus idemque numerus medius nunc quidem marotu
sub ponitur nunc uero minori praeponitur quotiens uero duo sunt me do
tune dis iuncta proportionalitas nuncupatur ut ingeometrica horce mno e uo¬

Expanded text:
norum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aeque norum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aeque sunt differentiae, arithmetica. Illa vero in qua aequae proportiones, geometrica. Illa autem quam tertiam descripsimus, harmonica. Quarum haec subjiciamus exempla: Non vero ignoramus alias quoque esse proportionum medietates, quas quidem in arithmetica diximus; sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie, et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo, proportionalitates ed in his alia continua est proportionalitas, alia disjuncta. Continua quidem, ut superius disposuimus. Unus enim idemque numerus medius, nunc quidem majori supponitur, nunc quidem minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt medii, tunc disjuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
dium & medu ad maximum sed non aequa proportio ut in his numeris III III Interi quippe ac
non uero aequalib: coͣnstituta ut in his numeris i nIIIIͦ. Nam duo ad unũ ita sunt
dupli quẽ admodũ quat̃narius adbinarium sed inter quater narium binariũ¬
que binarius interbinarium atque unitatem. unitas differentiam facit. est
uero ternarium medietatis genus quod neque eisdem proportionibus neq
isdem differentiis constat sed quem ad modum se habet maximus terminus
adminimum Ita se se habet maiorum terminorum differentia ad minorũ dif¬
ferentiam terminorum ut in his numeris ii.iIII.uI. Nam ui ad ii duplus eft
inter .vi. uero et .iiii. binarius inter est. inter quaternarium uero acternarium
unitas differentiam sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus emi
ergo ut est maximus terminus ad minimum. ita maiorum differentia ad mi¬

Expanded text:
dium, et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac dium, et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris 1, 2, 4. Nam duo ad unum ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat. Sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet majorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris 3, 4, 6. Nam sex ad 3 duplus est, inter sex vero et 4 binarius interest. Inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est; ergo ut est maximus terminus in numeris ad minimum, ita majorum differentia ad mi
Abbreviated transcription (Latin):
primus scilic& multiplex Sex adiui ses qualter est quiest primus super particularis:
Serad duo triplus quis ecundus est multiplex quo dsitriplum ses quitertio addas qua druplus
efficietur si qua druplũ sesqui quarto: quin quuplus. atq in hunc modum iuctis propor¬
tionibus multi plicium acsuper particularium in infinitum multi plices proereantier.
m̃uero de propor tionibus quae erant interim tractanda prediximus. nunc de medieca¬
tibus est dicendum Proportio enim est duorum ad seterminorum quedam comparatio.
terminosautem uoconume rorum summas. proportionalita sest aequarum proportionũ
cundum terminum eandem retin& proportionem quam secundus ad tertiumdicitur hec
proportionalita s esfe quae inter tresterminos medius quise cundus. Hasigitur proportiones medu
coniungentis termini trip̃a partitio est aut enim aequa est differentia minoristerminia dme¬

Expanded text:
primus scilicet multiplex. At 6 ad 4 sesquialter, qui est primus superparticularis; primus scilicet multiplex. At 6 ad 4 sesquialter, qui est primus superparticularis; 6 ad duos triplus, qui secundus est multiplex: quod si triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur; si quadruplum sesquiquarto, quincuplus. Atque in hunc modum junctis proportionibus multiplicium ac superparticularium, in infinitum multiplices procreantur. CA medietate. Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum ad se terminorum quaedam comparatio, terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum cundum terminum eamdem retinet proportionem quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas. Estque inter tres terminos medius, qui secundus est. Has igitur proportiones medii termini conjungentis, trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad me
Abbreviated transcription (Latin):
llud&iam premittendum uidetur quod paulo post demonstrabitur. simultiplex
interuillum binario fuerit multiplicatum. id&iam quod exilla multiplicatione
nascetur multiplex esse. quod si id quod extrali multiplicationem procreatum sit
non fuerit multiplex tunc illud nonesse multiplex quodbinario fuerit multiplicatũ.
lt̃ sisuper particularis proportio binario multiplicetur. id quod fit. neque super par¬
ticulare esse neque multiplex. quod sud quod extali multiplicatione nascetur neque
multi plex est neque super particulare est: neque multiplex tuncillad quodbinario
multiplicatum est. uel particularis uel alterius generis. non uero multiplicis¬
tionem utsi sequalter & ses quitertius contungantur duplicem creant. sint enim numeri
duplus rursus primus multiplex primo a dditus super particularis secundum mul¬
tiplicemereant. Sintenim numeri .ui .iui vi quateornamque adduo duplex est

Expanded text:
etiam praetermittendum non videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex etiam praetermittendum non videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam quod ex illa multiplicatione nascetur multiplex esse. Quod si id quod ex tali multiplicatione procreatum sit non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit neque superparticulare esse, neque multiplex. Quod si id quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex, neque superparticulare est, tunc illud quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis est, non vero multiplictionem, ut sesquialter et sesquitertius conjungantur duplicem creant. Sint enim numeri duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri 2, 4, 6; 4 namque ad 2 duplex est,
Abbreviated transcription (Latin):
proportiones hoc modo incelleguntur. Dimidia pars maior est quã tertia tertia
pars maior ost quam quarta quarta pars maior est quam quinta acde incepr
eodẽ modꝰ unde fit ut ses qualtera proportio maiorsit ses qui tertia. et ses quiter¬
tia ses qui quartã uincat : atq iedem inceteris hinc euenit. ut in numeris mino
ret innumero naturali disponatur enim numerus naturalis .i ii iuii.v.bina¬
riusigitur ad unitatẽ duplus est. ternarius adbinariũ ses qualter est.
qua ternarius uero adternariũ sesquitertius eit maiores ueros numeri
ternarius & quaternarius. minoresternarius &binarius & unitas. inmaioribus igitur mi¬
nor & inminorib. maior proportio continetur. Hinc apparet quod si aliquib
numeris proportionem continentib suꝑ particularem aequa pluralita sadda
maiorem esse propor cionem ante aequae pluralitatis &lg mentum. quam postaequã
eis pluralitas aequasit addita.

Expanded text:
proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars major est quam tertia. Tertia proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars major est quam tertia. Tertia pars est major quam quarta. Quarta pars major est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio major sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in caeteris. Hinc evenit ut in numeris majoriret in numero naturali: disponatur enim numerus naturalis 1, 2, 3, 4. Binarius igitur ad unitatem duplus est. Ternarius ad binarium sesquialter est. Quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Majores vero sunt numeri tres et 4. Minores vero binarius et unitas, in majoribus igitur minor, et in minoribus major proportio continetur; hinc apparet quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem, aequa pluralitas addatur, majorem esse proportionem ante aeque pluralitatia augmentum, quam posteaquam eis aequa sit addita
Abbreviated transcription (Latin):
Auferatunigitur exutrisq ternarius fiunt l. & lv. qui disponantur hoc modo¬
Viii exiu Ev In hoc igitur manifestum est maioris eẽ proportionis intersel
& lu. quam luii ad luiiiiminorib enim numeris maior sem proportio reperitur
quod paulo posteriur demons trabimus. Siliero illa differentiae ꝑmensio nume¬
rorum multitudinẽ suꝑuadat. eademq utrosq numeri pluralitate praetereat
ingmores erunt proportione numeri superioris mensi cuma dditione eiur summae
me tiebatur Sint enimnumeri xluiii & liii horum quinarius differentia est me¬
tiatur igitur xlviii pumerum quinarius deciens fiuntl suꝑuadit igitur l nume¬
rus xlviii numerum binariuidem lui undecies metiatur fiunt lu qua ehisdem rur¬
sus duob: liii numerum suꝑuadit: Addatur utrisq binarius et disponantur hoc
cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens suꝑuadit. quamxluiii.

Expanded text:
Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modoAuferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modo: In hoc igitur manifestum est majoris esse proportionis inter se 50 et 55 quam 53 et 58. In minoribus enim numeris major semper proportio reperitur, quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat, eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione ejus summae metiebatur. Sint enim numeri 48 et 53, horum quinarius differentia est. Metiatur igitur 48 numerum, quinarius decies fiunt 50. Supervadit igitur 50 numerus 48 numerum binario, idem quinarius 53 undecies metiatur fiunt 55, qui eisdem rursus duobus 53 numerum supervadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens supervadit, quam 48 et
Abbreviated transcription (Latin):
ses qui decima conparatione compositi. In ea dem igitur proportione numeri quos
propria differentia integre ꝑmensa est . inqua sunt hii sccundũ quos cos propria diffe¬
rentia ꝑmensa est. Quodĩqua differentia numerum ita cosnumeros quorum est
differentia metiatur: ut eandem mensurã numerorũ pluralitas excedat idemq
inutrisq sit cessus et sitdiminutior differentiae mensura quã est pluralitas nu¬
merorum maiorem obtinebunt proportionem ad seinuicem numeri sieis illu.
quod relinquitur post mensionem retractum esit quam fuerunt integri cum
eos propria differentia metiebatur. Sint eium numeriduo. liii & luiii. hos
igitur quinarius quiest corũ differentia metiatur. metitur igitur lii.¬
numerus quinarius deciens usq ad l. relinquid uero ternariũ Rursus luiu
numerũ metitur idem unde ciens usq Allu. Atq in eo iterũ ternariũ derelinquid:

Expanded text:
sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est, in qua sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, majorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo 53, 58; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur 53 quinarius decies usque ad 50, relinquit vero ternarium. Rursus 58 numerum metitur idem undecies usque ad 55, atque in eo iterum ternarium derelinquit.
Abbreviated transcription (Latin):
rursus senariũbinario fiunt xir io. rursus nouenario ternariũ fiunt xxuii dis¬
erit inceteris. utsises qui tertias proportiones uelis extendere ponas ses qui ter¬
tiorum radices quae sunt quater narius atq ternarius adse inuicẽ comparati
atq: adhunc modum multiplices. quod si ses quiquartas ses qui quartorum
disponas radices. eandemq multiplicationem ses quiquar tos quolibet exten¬
das. Quantũ aut̃ nobis eȩ considerationes prosint sequens ordo monstrabit
Siduor numeros eorum differentia integra fuerit ꝑmensa in eandem sunt ꝓ¬
portione numeri quossua differentia mensa est: inqua erunt proportione
&iã hiinumerisecundum quos eos suamen sa est differentia sint enim numeri
LlU. hugitur ad seinuicem ses qui decima habitudine comparantur. & ẽ.
corum differentia quinarius quiscilicet est pars decima numeri l hicigitur

Expanded text:
Rursus senarium binario, fiunt 12. Rursus novenarium binario, fiunt 18. Rursus senarium binario, fiunt 12. Rursus novenarium binario, fiunt 18. erit in caeteris, ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices, quod si sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit. Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri 50, 55; hi ergo ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri 50. Hic igitur
Abbreviated transcription (Latin):
parationib minimae proportiones. disponatur enim numerus naturalis uni¬
tatem ultatus . II. III IIII UUIUII minimȩ igitur proportiones sunt ses qualtera
iii. adiises qui tertia iiuaduii. ses quiquarta vaduii. et de inceps in infinitũ & qua¬
cumq se proportiones unitate praecesserint. Propositũ igitursit . duas ses qual¬
teras proportiones continua comparatione producere sumora dicem ses qual¬
teram eamq dispono .ir .ctiii. multipli corgitur binarium ꝑbinarium fiunt .iiii.
Itemternarius ꝑ robinarium crescat erunt vi. rursusternarium inse meupsũ
inue niemus igitur duas propositas. IITINIXIIII sesqualteras proportiones uI adini¬
& nouem adui. Sit nunc prepositum tres inuenire. Dispono eosdem nume¬
ros quos supra in equirendis duab. ses qualteris habitudinib propos uerã
ipsasq sesqual teras proportiones multiplicobinario quater nariũ fiunt uin

Expanded text:
parationibus minimae proportionis. Disponatur enim numerus naturalis, uniparationibus minimae proportionis. Disponatur enim numerus naturalis, unitate multiplicatus. Minimae igitur proportiones sunt, ut in sesquialtera 3 ad 2, in sesquitertia 4 ad 3, in sesquiquarta 5 ad 4, et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit duas sesquialteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesquialteram, eamque dispono, 2 et 3. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt 4. Item ternarius per binarium crescat, erunt 6. Rursus ternarium in semetipsum nvenimus igitur duas propositas sesquialteras proportiones 6 ad 4, et 9 ad 6. Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros quos supra in exquirendis duabus sesquialteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesquialteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt octo.
Abbreviated transcription (Latin):
tauos ul quod quodlibet alias proportiones quis inuestigare uoluerit nullo er¬
rore labatur utque non ei numero primotales proportiones quaerat abtare quiquan¬
tisunt praepositi tot praecedere & post sehabere non possit. sed disponat potius multi¬
plices uideatq quantos suꝑ particulares requirit & eumq multiplicem respiciat quieo
loci ab unitate recesserit ut insuperioribus descriptionib sitres ses qualteras for¬
tas sequaesierit. ut non a qua ternaria ingrediatur inuestigatione. hic enim qm̃se¬
cundur est duplus. duor tantum praecedit tertiumq ei abtare non porerit. sed ut
ab octonario medie tates temptet apponere. hicenim qm̃ tertius ẽtres quas quae¬
ret ses qualteras proportiones efficiet &ance teris eodẽ modo. Est etiã alia au¬
gendi proportionis uia hoc modo radices proportionũ dicuntur in eis dem com¬

Expanded text:
tavos, vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo ertavos, vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur, utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui quanti sint propositi, tot praecedere, et post se habere non possit. Sed disponat potius multiplices, videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit, ut est in superioribus descriptionibus, si tres sesquialteros fortasse quaesierit, non a quaternario ingrediatur investigationem. Hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit, sed ut ab octonario medietates tentet apponere. Hic enim quoniam tertius est, tres quas quaerit sesquialteras proportiones efficiet, et in caeteris eodem modo. Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo: Radices proportionum dicuntur in eisdem com
Abbreviated transcription (Latin):
tate caret atq id circo nullus ei inhabitudine ses qualtera comparatur & ince¬
teris idemest tripliuero eodẽ modo ses quitertiosc reant. sit enimsimilis intri¬
plo descriptio¬
gitur insuperiore descriptione ses quitertias proportiones itanatũs uidemus
ut primus triplex unumses qui tertiũ antecedat. secundus duo. tres tertius semꝑq
pars tertia inultimonu mero naturali quodã fine claudatur. quodsiquadruplũ
statueris. eodẽ modo ses qui quartos inuemes. quincuplus ses quiquintor. ac de¬
inceps singuli de nominatione multiplices tot suꝑ particularer precedunt quot
loco ipsi abunitate decesseriNT unã uero tantũ quad rupli dispositionẽ ponemus
ut in ea sicut inceteris lector diligens a cumen mentis eerceat.
Haccigitur speculatio ad hanc utilitatem uidetur inuenta. ut quotiens cumq¬
quat tuor ul quinq uł quotiens libit ses qualteros ul ses quiter tos ulses quios¬

Expanded text:
tate caret. Atque idcirco nullus ei habitudine sesquialtera comparatur, et in caetate caret. Atque idcirco nullus ei habitudine sesquialtera comparatur, et in caeteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios creant; sit enim similis in triplo descriptio. In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris eodem modo, sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos. Ac deinceps singuli denominationis multiplicis tot superparticulares praecedunt, quote loco ipsi a se unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea sicut in caeteris lector diligens acumen mentis exerceat. Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut quotienscunque 4 vel 5, vel quotlibet sesquialteros, vel sesquitertios, vel sesquioc
Abbreviated transcription (Latin):
Saepeaut̃ accidit . ut tres uł quattuor uł quod libet aequas super particulariũ propor¬
tione Demusica dis putator inquirat. sedne id casu atq: inscitia facienter error
ullus difficultatis impediat. Acregula quod libet aequas proportiones & mul¬
ti plicitate ducemur. Vnus quisq multiplex ab unitate scilicet computatur¬
tot tos suꝑ particula res habitudines precedit suae scilicet in contrariã partem
de nominationis quotus ipse abunitate decesserit hocmodo. ut duplex ses¬
qualterasantecedat. triplex ses qui tertias quadruplex ses quiquartas acde¬
inceps inhuc modum. Sit igitur duplorum terminorũ subiecta descriptio
nsuperiore igitur dispositione binarius primus multiplex unum ad se ternariũ
habet quipossit facere ses qual terã proportionẽ ternarius uero non habet qui
eipossit eẽ sesqualter qm̃ medi etate deficitur. rursus quater narius secundus
est duplex. hic duos ses qualterossane tecedit. senariũ & nouenariũ qui medie¬

Expanded text:
Saepe autem accidit ut tres, vel quatuor, vel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes, error ullus difficultatis impediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus, tot superparticulares habitudines praecedit, suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit. Hoc modo ut duplex sesquialteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum subjecta descriptio. In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex, unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesquialteram proportionem. Ternarius vero non habet alium qui ejus possit esse sesquialter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex, hic duos sesquialteros antecedit senarium et novenarium, qui medie
Abbreviated transcription (Latin):
momulti puci ił incuplici scilic& utsidocus quediatessaron c̃sonantia
possitabtari. sed diatessaron ĩsonantia multiplitis generis ñẽ quo circa
necdiapente maiore habitudine multiplicis quã ẽ dupla qua e miima ẽ.
ubta ripotest. stagit di apente in minima scilic& dupla diatessaron
uero qua eminotest in multi plici quidẽ aptari non potest. ñ eenim quicqũ
minus aduplichitigit᷑ ses qualtera thonusuero sesquittia in continua ꝓporti¬
one locabit᷑ sedduo ses quitti ampliores sunt unoses qualtero duo igitthoni
unã diatessaron c̃sonantiã uĩc& qđ nulla ratione c̃tingent ex hisigitur apꝓbat̾
di apente acdiatessaron in mult iplici genere c̃locari ñ posse. quo cirea in supͥpar

Expanded text:
ultiplici, id est duplici, scilicet ut sit locus quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente, in majore habitudine multiplicis quam est dupla quae minima est, aptari potest. Si igitur diapente in minima, scilicet dupla, diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim quidquam minus a se duplici. Sit igitur sesquialtera, tonus vero sesquitertia, in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesquialtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente
Abbreviated transcription (Latin):
particularitate suꝑ partientes species procreari mirabitur. ex non conuersis aut̃ suppar¬
ticularib sed ita ut ex multiplici procreati sunt manentib nec esse est multiplices super¬
particulares creari exmanentib suꝑ partientib it aut ex suꝑ particularib prodierunt
non alii nisi multiplices suꝑ partientes procreabuntur. Acdehis quidem actenus dili¬
gentius enim in arithmeticis libris deac comparatione est disputatum. UIII RICI

Expanded text:
erparticularitate superpartientis species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparerparticularitate superpartientis species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita ut ex multiplici procreati sunt, manentibus, necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus, ita ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus, diligentius enim in Arithmeticae libris de hac comparatione est disputatum. CAPUT VII
Abbreviated transcription (Latin):
id est iiii. secundus primo scilicet & secundo id est .vi. tertius primo duob: secundis & tertio
id est uiiii. quib dispositis ser qualtera notatus eẽ proportio atq idsi detri¬
plisfiat ses qui tertia sidequadruplis serqui quarta consimilib:q. in alterutra parte uo¬
cabulis proportionalitas exmultiplicitate nascetur. ex suꝑ particularitate uero conuer¬
saducitur suꝑ partiens habitudo disponatur enim conuersim sesqualtera comparatio¬
VIIIi.vi .iii. ponatur igitur primus primo xequus id est uiiii. secundus primo acsecundo. id
est xv. tertiur primo duob secundis & tertio id est xXv. acdisponantur inordine hoc modo
Suꝑbi partiens igitur ex conuersis sesqualteris habitudo produc¬
ta est quod siquis adhanc speculationẽ diligens scrutator accedat & ses quitertus con¬
uersis suꝑ tripartientem producit. ceterisq. similib uocabulis adaequatis cunctas ex suꝑ¬

Expanded text:
id est 4; secundus primo scilicet et secundo, id est 6; tertius primo, duobus secundis, et tertio, id est 4; secundus primo scilicet et secundo, id est 6; tertius primo, duobus secundis, et tertio, id est 9; quibus dispositis sesquialtera notatur esse proportio. Atque id si de triplis fiat, sesquitertia; si de quadruplis sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur, ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesquialtera comparatio, 9, 6, 4. Ponatur enim primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 15; tertius primo duobus secundis ac tertio, id est 25; ac disponantur in ordinem hoc modo: Superbipartiens igitur ex conversis sesquialteris habitudo producta est; quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit, caeterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex sup
Abbreviated transcription (Latin):
quus in sequenti scilicet ordine conrtitutus. secundus uero primo acsecundo. terti¬
us primo duob secundi ractertio. Ita enim numero progresso fit duple multiplici¬
tatis prima proportio ut descriptiomonet NNamunitas in recundo ordi¬
ne constituta aequaest primae unitati insuperiorilocõ dispositae. It̃ binarius aequus
est primȩ unitati ac secundae unitati. Item quater narius aequus est unitati primae
acduab: unitatib secundis adq unitati tertiae & est iii .iiii. duplaꝓportio. quod sidehis
dem feceris tripla comparatio procreabitur. ac de triplo quadrupla. Dequa drupla
quincupla acde inceps ta lircurrit. habitudinum procreatio. Rursus idem tribus
preceptis supparticularirfient ut unum probamus exemplo. conuertamus nunc & pri¬
orem maiorem numerum disponamus .iiII.Ii.i. ponatur igitur primus primo aequus

Expanded text:
quus in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus vero primo ac secundo, tertiquus in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio, ita enim numero progresso, fit duplex multiplicitatis prima proportio, ut haec subjecta descriptio monet. Nam unitas in secundo ordine constituta, aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est unitati primae ac secundae. Item quaternarius aequus est unitati primae, ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est 1, 2, 4, dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla, de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus hisdem tribus praeceptis superparticulares fiunt, ut uno probamus exemplo. Convertamus nunc, et priorem majorem numerum disponamus 4, 2, 1; ponatur igitur primus primo aequus,
Abbreviated transcription (Latin):
auferam int̃missis duob. quadratis reliqui xxis. Eorũ uero latera sunt
Atq haec est regula ut sitres inter missi sint pars quasta sit id quod ex
utrorumq laterib efficiuntur eius quod substracto minore amaiore
relinquitur sinquat tuor transmit tantur quinta xtq uno plus uoca¬
bulo numeri pastesuenient quiã fit intermissio numerorum
st autem quem ad modum unitas pluralitatis Numeriq principium ita ae¬
qualitas proportionum Trib enim preceptis ut in arithmetica dic tum est
multiplices proportiones & aequalitate producimur ex conuersis uero mul¬
tipliqb super particulares habitudines proereamus . It̃ ex conuersis suppar¬
ticularib suꝑ partientes comparationes efficimus. ponantur enimtres uni¬
tates uł tres binarii ultres ternarii uł quolibet aequi termini. & si primus primo ae¬

Expanded text:
auferam, intermissis duobus quadratis, reliqui 21 sunt. Eorum vero latera sunt auferam, intermissis duobus quadratis, reliqui 21 sunt. Eorum vero latera sunt Atque haec regula est, ut si tres intermissi sint, pars quarta sit, id quod ex utrorumque lateribus efficitur ejus quod subtracto minore a majore relinquitur. Sin quatuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam sit intermissio numerorum.ejusque demonstratio. Est autem quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis ut in arithmetica dictum est multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus, superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates, vel tres binarii, vel tres ternarii, vel quotlibet aequi termini, et sit primus primo ae
Abbreviated transcription (Latin):
drato maiore si subs tulero quod relinquitur tantumerit quantumest quod ab utroqͣ
quadratorum laterib iungitur. ut siquat tuor auferam nouenarioquinq sunt reli¬
qui quiex duob & trib: qui sunt utrorumq quadratorum latera coniunguntur Item
nouenarium aufero ab eo quise decim numeris adscriptus est septenarioq coniunctus¬
continui quadrati. sedunus intereos transmissussit ficeius quod relinquitur medie¬
tas id quod exutriusq laterib efficitur. ut siquater nariũ desedecim quadrato aufe¬
ram duodecim reliquntur quorũ duo decim medietas est isnumerus quie xutrorũq:
laterib conuenit. Sunt autẽ utrorumq latera .ii . & ini. Quaesanariũ iuncta ꝑfi¬
ciunt atq inceteris idem modus est sinuero duo in t̃mit tantur. t̃tia pars erit
eius qđ relinquitur id qđ ut rorũq latera c̃iungunt ut siquattuor dexxv

Expanded text:
drato majore sustulero, quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque drato majore sustulero, quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque quadratorum lateribus jungitur; ut si quatuor auferam a novenario, quinque sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, conjunguntur. Item si novenarium aufero de eo qui sedecim numeris ascriptus est, 7 sunt reliqucontinui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit ejus quod relinquitur medietas, id quod ex utriusque lateribus efficitur, ut si quaternarium de 16 quadrato auferamus, 12 relinquuntur, quorum 12 medietas est is numerus qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera, duo et quatuor, quae senarium juncta perficiunt. Atque in caeteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit ejus quod relinquitur, id quod utrorumque latera conjungunt, ut si quatuor de 25
Abbreviated transcription (Latin):
paracur sed intermissis. nec semꝑ aequali intermissione. sed nunc quidem una nunc
uero duab. nunc trib. nuncquattuor. Atq ita in infinita suc crescit. Amplius multipli¬
citas abunitate incipit. Suꝑ particularitas ab inario suꝑpartiens proportio aternario
initium capit. Sed dehis hactenus. nunc quedam quaequasi axiomata greciuocant premit¬
tere oportebit. quae tunc demum quospectare uideantur incellegimus cum unius cu¬
iusq rei demons tratione tractabimus. Ui
QUID SINT QUAORAII NU¬
MERI DE QUEB. HIS SPECULATIO
Qua dratus numerus est qui gemina dimensione inaequa concreuerit utbis duo ter iii.
uperius igitur dispositus numerus naturalis. latus est quadratorum inferius descrip¬
torum continui enim naturalitersunt quadrati quisese in subiecto ordine consecunt᷑
ut iiii .uiii .xui. et ceteri. Igitur continuum quadratum minorem. a continuo qua¬

Expanded text:
paratur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione. Sed nunc quidem una, nunc paratur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione. Sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc tribus, nunc quatuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus; nunc quaedam quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tum demum quo spectare videantur intelligemus, cum de uniuscujusque rei demonstratione tractabimus. CAPUT VI. Qui sint quadrati numeri deque his speculatio. Quadratus numerus est qui gemina dimensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, uperius igitur dispositus numerus naturalis, latus est quadratorum inferius descriptorum. Continuum enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subjecto ordine consequuntur, ut 4, 9, 16, et caeteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo qua
Abbreviated transcription (Latin):
Suꝑ partientes autẽ tali modo reperias. Disponas naturalem numerum a ter¬
nario scilicet in ehoante si unumigitur intermiseris suꝑbi partientem effici
etis pndenuis inteoi duo suꝑ trĩpartientem quod sitros suꝑ qua dripar uen¬
tem. Idemq inceteris
Audl bune uero ordinem expectans & compositas ex multiplici & suꝑ particulari uel
mulenplien & suꝑ partienti proportiones lector diligens speculabitur sed dehis
tamen omnib in arithmeticis expeditius dictũ est
Sedinbis illud est considerandũ quod multiplex in aequalitatis genus longe
duob peliquis uidetur antiquius Naturalis enim numeridis pofatio in mul¬
tiplicib unitati quae prima est comparatur. Suꝑ particularis uero non
untaetis comparatione ꝑficitur sedipsorũ qui postuntatem sunt dispositi
numerorum. ut ternarii adbinarium. quaternarii ad cernarium & inceteris ad hune
modum. Guꝑ partientium uero longe retro formatioest quae nec continuis numeris com¬

Expanded text:
Superpartientes autem tali modo reperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in caeteris. Ad hunc ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari, et ex multiplici et superpartienti proportiones, lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.Sed in his illud est considerandum quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio, in multiplicibus unitati quae prima est, comparatur. Superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium, et in caeteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris com
Abbreviated transcription (Latin):
relateuero ad aliquid quantitatis simplicia quidaem genera tria sunt Vnum quidem
multiplex aliut uero supparticulare tertium suꝑ patiens. cumuero multipl& suꝑpar¬
ticulari suꝑpartientiq miscetur fiunt aliae exhis duae. Id est multiple superparticu¬
laris & multiplex super partiens horum igitur omnium talis est regula : Si unitate
cunctis innaturali numero uolueris comparare ratus multiplicis ordo texetur:
duoenim adunum duplus est tres ad eundem triplus. quattuor quadruplur et inceti¬
ris eodem modo ut sublecta des criptio docet FF Siuerosupparticu¬
remproportionem quaeras. naturalem sibi compara numerum de tracta scilicet uni¬
tatem ut ii duob ses qualter est & enim quattuor trib: quises quitertius est qui na¬
rium quater nario quises quiquartus est & inceteris codem modo quod monstrat subieci¬

Expanded text:
Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera tria sunt: unum quidem Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera tria sunt: unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt duae aliae ex his, id est multiplex superparticularis, e multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula, si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eumdem triplus, quatuor quadruplus, et in caeteris eodem modo, ut subjecta descriptio docet. Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum, detracta scilicet unitate, ut tres duobus sesquialter est, quatuor tribus, qui sesquitertius est, quinarius quaternario sesquiquartus est, et in caeteris eodem modo, quod monstrat subjec
Abbreviated transcription (Latin):
rus quantũ adminorẽ modum finitus est. infinitus aut̃ incipit ẽẽ cum crescit cũ
igitur haec ita sint infinita. tamen quasi dereb fininis filo sophia ꝑtractat. inque
reb infinitis repperit aliquid terminatum dequo iure posset acumen ꝓprie
speculationis ad hibere Namq magnitudinis alia sunt inmobilia ut quadra
rata celeritate conuertitur. Dis cretȩ uero quantitatis alia sunt ꝑse uttres
ułquattuor ułce terinumeri aliauero ad aliquid. ut dplum triplum aliaq
quae ex comparatione nascuntur. Sed in mobilis magnitudinis geometria spe¬
culationem tenet: mobilis uero scientiã astrononna ꝑsequitur: Perse uero
discrete quantitatis a rithmetica auctor est Ad aliquiduero relate musica
probatur obtinere peritiam IIII
DERELATIUE QUANTITATIS DIEEERINTUS
Aedeta quidem quantitate disereta qua e ꝑsecst in arith meticis sufficienter diximus

Expanded text:
rus, quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum rus, quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis reperit aliquid terminatum, de quo possit jure acumen propriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt immobilia, ut terra,rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel caeteri numeri; alia vero ad aliud, ut duplum, triplum, aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis geometria speculationem tenet. Mobilis vero scientiam astronomia persequitur. Per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est. Ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam. CAPUT IV. De relatae quantitatis differentiis. de ea quidem quantitate discreta quae per se est in arithmetica sufficienter diximus.
Abbreviated transcription (Latin):
continuaẽ magnitudo appellatur. quae discretaẽ multitudo quorum haec
est diuersa & contraria paene proprietas. Multitudo enim afinita inchoans
quantitate crescens in infitita progreditur ut nullur crescendifinis occurrat.
Estq ad minimum terminata. interminabilis ad maius. eiusq principiũ uni¬
tas est quaminus nihilest. Crescit uero ꝑnumeros atq ad infinita protenditur
nec ullus numerus quominus crescat terminum facit. sed magnitudo finitã
rursus suae mensurae recipit quantitatem. sed in infinita decrescit. Namsisic
pedalis linea ułcuius libet alterius modi potest induo aequadiuidi eiusq medie¬
tas inmedietatẽ secari. eiusq rursus medie tas in aliã medie tatẽ utnum quam
ullus secandi magnitudinẽ terminus fiat. Ita magnitudo quantũ admaiorem
modũ terminataẽ. fit uero cum de crescere coeperit infinita. At contra nume¬

Expanded text:
continua est magnitudo appellatur, quae discreta est multitudo. Quorum haec continua est magnitudo appellatur, quae discreta est multitudo. Quorum haec est diversa et contraria pene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate, crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat. Estque ad minimum terminata, interminabilis ad majus, ejusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur, nec ullus numerus, quo minus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea, vel cujuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, ejusque medietas in medietatem secari, ejusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo quantum ad majorem modum terminata est, fit vero cum decrescere coeperit infinita. At contra nume
Abbreviated transcription (Latin):
uperius uolumen cuncta digessit. quae nunc diligentius de mon¬
strandaesse proposuit. Itaq: prius quam ad ea ueniam quae propris
rationib ꝑdocenda sunt pauca praemittam quib elucubratior animus au¬
ditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda ꝑueniat.
QUIDPUTAGORAS ESSE PHILOSOPHIAM CONSTITERIT
Primus omnium prthagoras sapientiae scudium filosofiam nuncupa uit
quam scilicet eius reinotitiam acdisciplinã ponebat. quae proprie uereq
eedicerentur. Esseaut̃ illaputabat. quae nec intentione crescerent. nec dimi¬
nutione decrescerent nec ullis accidentib mutarentur. haec aut̃ eẽ formas
magnitudines qualitates habitudinis ceteraq quae ꝑse speculata in muta¬
bilia sunt. lunc tauero corporib ꝑmutantur. et multi modis uariationibus
mutabilis rei cognatione uertuntur. III. DEDIEFERENTTIS QUAN¬
TITATIS ITQUAE CUI DISCIPLINAEST DEPUTATA
Omnis uero quantitas secundũ pythagorã uł continua ułdiscretaẽ sed quae

Expanded text:
uperius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius explicanda esse proposui; itaque priusquam ad ea veniam quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat. CAPUT II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit. Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet ejus rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat quae nec intentione crescerent, nec diminutione decrescerent, nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas, magnitudines, qualitates, habitudines, caeteraque quae per se speculata immutabilia sunt, juncta vero corporibus permutantur, et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur. CAPUT III. De differentiis quantitatis, et quae cui disciplinae sit deputata. Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua, vel discreta est. Sed quae
Abbreviated transcription (Latin):
plusest india pason consonantiam constitutus quodsise. extremitates multipli¬
cent itemq medius sui multiplicitate succrescat comparationu merit honihahi¬
tudinem concordiamq seruabunt. terenim sex efficiunt decem& octo. quaterqua¬
terni fiunt xvi sed xuiii numerus xui numerum. octaua minoris parte trascendit
Rursusminimus terminus siseipse multiplic& effici& nouem. Quod si maior termi¬
nus sui multiplicatione concrescat efficiet xXXUI. qui sibimet comparati qua dru¬
plam id est bis diapason continentiam seruant. quod si haec diligentius inspiciam̃
haec erit om̃is uel differentiarum uel terminorum inse inuicem multiplicatio.
minimus enim terminus medio multi plicetur fiunt igitur xii. i tẽ minimus
terminus maximo multiplicetur fiunt XUIII. medius uero terminus maximi
numerositate augeatur fient xxiii. Rursus minimus terminus se ipso concres¬

Expanded text:
plus est in diapason consonantia constitutus; quod si se extremitates multipliplus est in diapason consonantia constitutus; quod si se extremitates multiplicent, itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim sex efficiunt 18, quater fient 16. Sed 18 numerus, 16 numerum minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus si se ipse multiplicet, efficiet 9. Quod si major terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet 36, qui sibimet comparati, quadruplam, id est bis diapason, concinentiam servant. Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis rei differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus, si medio multiplicetur, fient 12. Item minimus terminus, si maximo multiplicetur, fient 18. Medius vero terminus, si maximi numerositate augeatur, fiant 24. Rursus terminus minimus, si seipso concres
Abbreviated transcription (Latin):
secundus uero duobus primis et duobus secundis id est .iiIIi. tertius uero primo
duobus secundis et tribus tertiis. id est .uI. et si inbinariis aequalitas constituatur
uel internaruis academ ratio medietatis apparet duplo ase terminis differentiisq
distantibus ut sub iecte descriptiones monent
Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio tribus aequis termi¬
nis constitutis primus quidem faciendus est. ex primo ac secundo. secundus
uero ex primo ac duobus secundis. tertius uero ex primo duobus secundis
ac tribus tertus ut est subiecta describtio¬
Ced ingressi armonicam disputationem quae de aea diligentius diciposs̃
tacite pretereunda esse non arbritor. conlocetur igitur armonica propo¬
tionalitas inque ea descriptione superiore ordine terminorum interse
differentiae disponantur.
rentiae rursuseandem statuant consonantiam binarius enim adunitatem du¬

Expanded text:
Secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est quaternarius. Tertius vero primo Secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est quaternarius. Tertius vero primo ac duobus secundis et tribus tertiis, id est sex. Et si in binariis aequalitas construatur, vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subjectae descriptiones monent. Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subjecta descriptioed ingressi harmonicam disputationem quae de ea diligentius dici possunt tacite praetereunda esse non arbitror. Collocetur igitur harmonica proportionalitas, inque ea descriptione superiore ordine termino rum inter differentiae disponantur. rentiae rursus eamdem statuant consonantiam. Binarius enim ad unitatem du
Abbreviated transcription (Latin):
narius collocatur. Quod siternarius aequalitatis principium sit. fiet ter¬
nario quinarioq ꝑspicit᷑ & quenos propter brebitatem tacemus hisdem regulis
ex sem& ipso diligenlector inueni&. Geo merica uero proportionalitas. tunc que mad¬
modum inueniri ab aequalitate possit ostendimus. quandoque mad modum ab equitata
tribus aequis terminis ponatur primus primoaequus. secundus primo ac secundo tercuis
primoduobus secundis & tertio idemq fiat continua atqita exaequalitate geo metrio
proportionalitas principium sum&. Sed deharum proportionum propriecatibus
proquam diligentissime in arithin&icis diximus. qđ si ad haec illis instructus
lector acced&. nullo dubitationis erro recur babitur. Armonica uero medu¬
etas dequa nunc paulo latius tractandum est. hacratione procreatur. Constitu¬
aturenim siquidem duplices curamus effigere tribus aequis terminis positis:
primus primo ac duobus secundis aequalis. secundus duob: primis & duobus se¬

Expanded text:
narius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternario, quinarioque perspicitur, et quae nos propter brevitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet. Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate tribus aequis terminis, ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertio primo duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad haec illis instructus lector accedat, nullo dubitationis errore turbabitur. Harmonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus aequis terminis positis, primus primo ac duobus secundis aequalis. Secundus duobus primis et duobus se