comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
mis sodenario : Atq hocidem inc&eris . quinquu pliuero ꝓpositio secundin
triplicis similitudinem alt̾natim paribus atq: in par ibus positis ordinatur
uper particularis uero estnumerus ad alterum comparatus quoties
medi & atemuocat᷑ sesqualt̃. Siuero t̃tiam partem uocatur sesquitertus
Siuero quartã uocatur sesqui quartus & siquintã uocatur sesquiquht
Atq his nominibus in in finitum ductis in infinitũ quoq suꝑ particularũ
forma ꝓgreditur & maiores quidemnumeri hocmodo uocantur. Mi¬
nores uero quihabenturtoti. & eorum aliqua pars unus subsesqualt̃.
Alt̃ subses quitertius. alius subses quiquartus. Alius uero subsesquiquntꝰ
maior es numeros duces minores comites suꝑ particulari uquoq
infinita est multitudo obeare quod eiusdems pecies int̃mirabilꝓ grs¬
sione funguntur. Namq sesqualt̃ habebit quidẽ duces om̃s postãa¬

Expanded text:
misso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum misso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum triplicis similitudinem, alternatim paribus atque imparibus positis, ordinaturuperparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotienmedietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, vocatur Atque his nominibus in infinitum duciis, in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et majores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesquialter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintumajores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post terna
Abbreviated transcription (Latin):
occurrit Tribus scilic& int̾missis quibinarii id ÷ secundinumeri qua¬
druplus est. A tuero si post viIi tresterminos int̃ misero id ÷ xiiii.
uł x. uł .xi. duo denarius quisequit᷑ ternarionumeri quadruplus est
atq hocidemin in finit um ꝓgressis neces scest euenire sem ꝑq unaterminoꝵ
intermissione sicres catadiectio ordinastaste multiplicis numeri uicesinue¬
nis uocabulo ꝓcreantur . Nam duplus unum intermittit triplus duo
quad ruplus .iii. quinquuplus .iIIi. &dem ceps ad eundemordinẽ sequentiaẽ
& omnes quidem dupli secundum ꝓpri assequentias parium numer orum pa¬
res sunt. Tripli uero unius semꝑpar terminus inpar alius inuenit᷑. Qui¬
drupliuerorur sus semꝑ parem custo diunt quantitatẽ Constituunturq
a quar tonumero uno & prioribus ꝑordinem positis. paribus in t̾misso prino
paribinario. posthunc .viii. inter misso senario. posthunc .xii. tras¬

Expanded text:
occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quaoccurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 trans
Abbreviated transcription (Latin):
paremid ÷ .ii. primi duplus erit id ÷ unitatis. si uero sequentem parem
id ÷ .IIII. secundiduplus id ÷ duorũ. siuero tertium parem sum mas.to÷ui
terti numeri in natura constitutione duplus est id ÷ ternarii. Siuero quar¬
tum paremins picits id ÷ viii quartinumeri id ÷ quat̃ narii duplus est
temq: inc&eris in infinitum summentibus sinealiquo inpedimento ꝓcedit
Triplices autẽ nascuntur simeodem dispositione naturali duosem ꝑ int̾mit¬
tantur. Et qui posiduos sunt ad natur alemnumerum comparentur. Excep¬
toternario quiutunitatis triplus sit solumbin arium p̃termitdt. postunũ
enim & duos sunt .iii. quitriplus unius est Rursus postvi s̃ VII & uiii¬
in infinitum. siquis faciat sineulla offensionȩ ꝓcedit. Quadruplorũ uero¬
generatio incipit siquistres numeros intermitat. postunum quippe¬
& duo & iii.s̃ .iiii. qui primid÷ unius quadruplus est. Rursusifint̃¬
misero quinarium senarium & septinarium octinarius mibi quartus

Expanded text:
parem, id est 2, primi duplus erit, id est unitatis. Si vero sequentem parem, id est 4, secundi duplus est, id est duorum. Si vero tertium parem sumas, id est 6, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duo sunt ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum et duo, 3 sunt, qui triplus unius est. Rursus post 4 et 5, suin infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vergeneratio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et 2 et 3, sunt 4, qui primi, id est unius, quadruplus est. Rursus si intermisero quinarium, senarium, et septenarium, octonarius mihi quartus
Abbreviated transcription (Latin):
tiplicitas & submultiplicitas infinitasit eorum quoq species ꝓ prias gene¬
rationes in infinita consideratione uersantur. Sienim positis in n atu¬
rali constitutionenumeris singulos ꝑsuas sequentias pares eligas. Om¬
nium ab uno pariũ atq: in parium sese sequentium duplices er̃. EGhuus
spetulationis terminus deficit. ponaturenim natur alis numerus hocnodo

Expanded text:
tiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias genetiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, et hujus speculationis terminus non deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
dientes om̃st&untur multiplices quantitates. Quod autem dictum est plis
quam semel idabina rionumero principium capit & in infinitum ꝑtema¬
rium quat̃ nariumq: &c&erorum ordinẽ sequentiamq: ꝓgreditur. Con¬
trahuncuero discriminatus estille qui uocatur submultipl& & haequo
prima minoris quantitatis species est. Hicautẽ numerus eius modi ÷ quimn
alterius comparatione ꝓductus plus quam semel maior is numerat : Sumnã
sua scilic& quantitate cum eo equalit̃ inchouins aequalit̃q d& minans
demautem diconumerat quod m&itur. Siigitur bis solũ maiorem numetuĩ
minor numerus m&iatur sub duplus uocabit᷑. Si ueroter sub triplus
si quat̃ sub quadruplus. Et fitꝑhec in infinitum ꝓgressio ad ditaq eossem
subp̃ positione nominabis ut inus duorum subduplus. Trium subtriplis¬
iiIi. subqua druplus apellatur & consequent̃. Cum autemnatur alit̃ mul¬

Expanded text:
dientes, omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus dientes, omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus quam semel, id a binario numero principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille qui vocatur submultiplex, et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus hujusmodi est, qui in alterius comparatione productus, plus quam semel majoris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter mul
Abbreviated transcription (Latin):
tiens Q uartamultipl& suꝑ particularis. qunta multiple suꝑpar¬
aliex partes minoris quem ad modũ ipsũ maius minori semꝑoppo¬
nitur. queminor is species itasin gillatĩ speciebus .v. maior is. his
quesu pradicte sunt opponunt uteisdem nominibus nuncupentur sola
tantum praepositione distantes. Diciturenm submultipl&̧ sub suꝑ¬
particularis sub suꝑ partiens multiplex subsuꝑ particularis & multi¬
pl& suꝑ partiens
ur sus multipl& :
prima pars maior is inequalitatis cunti sali¬
is antiquior naturaq prestantior ut paulo postdemonstrabit᷑ hicauten
numerus huius modiest ut tomparatus cum altero illum contra quemcor¬
paratus est habeat plusquam semel quod primum innaturalis numeri dis¬
positione conueni&. Nam quea dunum cunctiqui secuntur omnium ordine
multiplicum sequentias uari&atesq custodiunt. Ad primumenimid:
unitatem .ii. duplus .iii. triplus .iiii. quadruplus atq ita mordinẽ ꝓgre¬

Expanded text:
tiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpar sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum majus minori semper opponitur, quae minoris species, ita singillatim specibus quinque majoris his quae supradictae sunt opponuntur, ut eisdem nominisub praepositione distinctae. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis, multiplex subsuperpartiensursus multiplex est prima pars majoris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus hujusmodi est, ut comparatus cum altero, illum contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, 2 duplus, 3 triplus, 4 quadruplus, atque ita in ordinem progre
Abbreviated transcription (Latin):
metes tripli. sitenim inor dine hocmodonunus naturalis ut sub
eo quadrupli & subeotri plisint. Subponant᷑ sub primo quadruplo
primus triplus sub secundo secundus subt̃tio t̃tius & eodẽmꝰ cunca
eius demprimiuersus tripliinordinem dirigantur

Expanded text:
mites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub mites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigantur
Abbreviated transcription (Latin):
primus igitur uersus contin& numerum naturalem. S ecundus eius
triplicem. Tertius uero duplicem atqiineo sit̾narius binario. uelsi se¬
narius quater nario uel nouenarius senario compar&ur uel om̃s
triplices. Superior es siduplicibus numer is consequentibus opponant᷑
Emiholia idest sesqualt̃ aꝓportionas c&ur.iII. enim habent intrase
II. & eorum mediam partem id ÷ .i. s& quoq: continent intrase .iiii.¬
& eorum medi& atẽ id ÷ .II. & .vIIIi. intrase senarium claudunt
& eius mediam partem id ÷ .III. Eodẽq modo inc&eris. Dicendũ
uero siquis secundam speciem suꝑ particularis nume ri considera¬
ridesider& id ÷ ses qui tertiam qualiratione reperi&. Ac diffiniti¬
o quidem buius comparationistalis est. Sesquitertius est quiminor
conparatus hab& eum semel &eius tertiam partem. sed hi inueniunt᷑
si omnibus a quat᷑ narionumero continuatim quad ruplis constitutis
a ternarionumero triplices comparent᷑ er̃q duces quad rupli co¬

Expanded text:
Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus ejus triplicem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia, id est sesquialtera proportio nascetur, tres enim habent intra se duo, et eorum mediam partem, id est 1, sex quoque continent intra se 4, et eorum medietatem, id est 2, et novem intra se senarium claudunt, et ejus mediam partem, id est 3, eodemque modo in caeteris. Dicendum vero si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus, habet eum semel et ejus tertiam partem; sed hi inveniuntur si, omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis, a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, co
Abbreviated transcription (Latin):
cterescit. Hicquoq constringentes id quodꝑposumus planis sime
breut̃a docemus. Sitenimntalis discriptio inqua ponatur inordi¬
nem usqad denariumnumerũ continuinumeri ordonaturalis &st
supparticulari & suꝑpartienti & cunctis alis princepserit
sperues multiplicis & quedam alia simul inspiciemus & ad supti¬
lo anͥs tanis sina & ads cuentiã utilis sina &adeerctitior̃¬

Expanded text:
clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis, et superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitatio
Abbreviated transcription (Latin):
Hocautem actnirabile ꝓfundissimumq inistorum ordinib inuent᷑
Quod primus dux primusq comes adsemuicem nulla riumeri
intermissione copulantur. Nam primisineull o inmedio positota¬
seunt. secundi int̃ poNunt unum. t̃tuduos. quarti tra
& deinceps un a semper minore quam ipsisunt inter missione
suc cres cunt. Atq hocuel inses qualteris ł in sesqͥtertus
uel maliis suꝑ particularis partibus neces seest inueniri. Nã que
ut quater narius contraternarium compar&ur. Nullum int̃misimꝰ
Post .iii. enĩ mox sunt .iiii. Atuero Ui. contra uiii. insecundo
scilic& sesquitertio una factaest intermissio. Int̃ vi. enim &uiii
solus est septenarius quitrans mis susest numerus. Rursus
Rursus
ut UIIII contra xii conparaemus qui sunt in dispositione tertii
in termitt it
Iõ autem naturalit̃ & setundim ꝓpria mordinis consequentiã
multiplicem inequalitatis specuem cunctis p̃posumus primãq
specienesse monstraumus. lic& hoc nobis posterioris operis ordne

Expanded text:
Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt 1, tertii duos, quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus, post 3 enim mox 4 sunt. At vero 6 contra 8, in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numerus. Rursus ut 9 contra 12 comparemus, qui sunt in dispositione tertii, intermittitquentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine
Abbreviated transcription (Latin):
gitur primum primo si conpares sesquit̃tiaratione coN tin ebitur
N amsi quatuor tribus compares habuntinsequatuor totumnternarũ.
& eius tertiam partem id est .i. & si secundum secundo idestoco¬
nario senarium compares idem inuenies habebitenim octonarius se¬
narium totum & eius tertia mpartem idestii. & ꝑ eandem sequentiũ
usq in infinitum progrediendum est. Notandum quoqueest.
quod .III. comites suntduces .iiii. Tursus ui comites
duces VIII. & in eodem or dine ceri similimodo uocantur

Expanded text:
gitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebunt in se 4, totum ternarium et ejus tertiam partem, id est 1, et si secundum secundo, id est octonarium senario compares, idem invenies: habebit enim octonarius senarium totum, et ejus tertiam partem, id est 2, et per eamdem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est quod 3 comites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur
Abbreviated transcription (Latin):
auttr iplum autquadru plum autquotiens lib& et eius quãlib& aliquã
partem uel mediam uel tertiam. uel quartam uł quȩcumq: alia pars¬
partium &uberatione contigerit. hicergo & multi plici & suꝑpar¬
ticulari consistit. Quo denim comparatum numerũ plusquam semel

Expanded text:
aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet aliquam aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet aliquam partem, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel
Abbreviated transcription (Latin):
quartis &uberat & suꝑ quadri partienti subauditur suꝑquadrati¬
partiens quintas & ad eindem modum in c&eris uno semꝑ adiecto suꝑ
habitas partes sub auditio facienda est ut eorumgermana conue¬
nientia quehis nomina haec sint ut quidicitur suꝑbi partiens
idẽ dicatur suꝑbitertius quidr̃ suꝑtri partiens issit suꝑtri¬
quartus. Et quidicitur suꝑ quadri paties idemdicatur suꝑ quadri¬
quintus eademq similitudine usq in infinitum nomina ꝓducantur
Giturrelate ad aliquid quantitates simplices & primes pecies hesint
dueuero alie & hisuelut &aliquidus principiis componunt᷑ ut multipli¬
ces suꝑ particulares & multiplices suꝑ partientes horumq comites
sub multiplices suꝑparticulares & submulti plices suꝑ partientes. Nã¬
que in his ut in predictis ꝓportiones minores numeri om̃s addita sup
pla suꝑ particularis est quoties numerus adnumerũ comparatus ha¬
b& eum plus quam semel & eiusunam partem hocest hab& eum autduplũ

Expanded text:
quartis exuberat. Et superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producanturelatae ad aliquid quantitatis, simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae, ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares, et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares, et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, minores numeri, et eorum quoqueplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus, habet eum plus quam semel et ejus unam partem, hoc est, habet eum aut duplum,
Abbreviated transcription (Latin):
faci& xx. & hocmodo ad eundẽ ordinem. quicum queigit᷑ ita factis int ꝓ¬
creabuntur parte altera longiores ut sub iecta des criptiodoc&. In qua
& quibus numeris multiplicatinascunt᷑ parte altera longiores. super¬
ad scripti sunt qui ueronascuntur : subterius ꝑ notatis.

Expanded text:
faciet 20, et hoc modo ad eumdem ordinem. Quicunque igitur ita facti sunt, pfaciet 20, et hoc modo ad eumdem ordinem. Quicunque igitur ita facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subjecta descriptio docet. In qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores, supra ascripti sunt. Qui vero nascantur, subterius subnotati.
Abbreviated transcription (Latin):
uius modi uero formas quales sunt quȩ uocantur agrecis
ET PΟOMCRE IC nos autempos sumus dicere parte altera
longiores quarum figu rarum numerus hoc modo diffiniendis:
parte altera longior estnumerus. quem sim altitudinẽ descri¬
bas. & ips equidẽ quatuor uenitlaterũ & quatuor angulorũ
Sed noncunctis aequalib: sed sẽ perminus unqnamq neclatera
laterib: cuncta cunctis aequas: nec longitudinilatitudo. sedit
dictum est cum hin caltera pars maior fuerit unotantũ mino¬
rem praecedit acsuperat. Si enim numerum naturalem
dis ponas in or dinẽ & secundũ ꝑ primũ multi plices talis
nas c&ur numerus. uelsi secundũ ꝑtertiũ ł sit̾tiũ ꝑ quartũ
uelsi quartum ꝑ quintum. om̃s q hiunitat etantum addita multiplicent᷑.
N ascentur parte altera longiores disponantur enimnumerus naturalis .i¬
II.III .IIII. UXI. uII. & nim quidẽ actenus siquis igitur faciat unũ
bis faciatduo. Etrursus bistres. faci& sex fesquatuor faci& xirquater .v.

Expanded text:
Hujusmodi vero formas quales sunt quae vocantur a Graecis heteromikeis, nos dicere possumus parte altera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc modo diffiniendus est. Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque bi unitate tantum addita multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Disponatur enim numerus naturalis. Et tunc quidem hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet duo. Et rursus bis tres faciet 6, ter quater faciet 12, quater 5
Abbreviated transcription (Latin):
XXUII. deante lon GioRtBUSInumRs ecde
UOCABULONΩMERIPARTEΛTTERΑ TOΝΕTΟRIs
RGOSI A b imitate tantũ discrepent quimulti płitantur. dis¬
cripti superius numeri ꝓtenduntur . Siuero aliquonuneto
utter vn uelter quinque uelaliquomodo alio & non eortũ

Expanded text:
XXVII. De antelongioribus numeris, et de vocabulo numeri parte, altera longioris. Ergo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicantur, descripti superius numeri protendentur. Si vero aliquo numero, ut ter septem, vel ter quinque, vel aliquo modo alio, et non eoru
Abbreviated transcription (Latin):
idest uno duobus unis & uni quod s̃ .iiii. ut est discriptio.
ides neut duplici ꝓportione sequens ordo sequatur. facturus idem de
duplicibus utsit primus primo equalis id ÷ uni secundus primo
o secundo id÷ uni& duob: qui sunt .iii. tertius primo idestuni & du

Expanded text:
id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio: id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio: idesne ut duplici proportione sequens ordo texatur. Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni; secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt 3; tertius primo, id est uni
Abbreviated transcription (Latin):
cine cesseest it aut ses qualteronas catur suꝑbi partiens. Suꝑtri¬
partientem sesquitertius gignat & & sesquiquarto suꝑ quadri¬
partiens. Rectis autem positis neq: conuersisprioribus suꝑpar¬
ticularibus multiplices suꝑ particulares oriunt᷑. Rectis uero super¬
partientibus multi plices suꝑ partientes efficiuntur. Precepta autem
tria haec sunt. ut primumnumerum primo facius parem. secundũ
uero primo & secundo tertium primo secundis duobus & tertio
Hocigitur cum inter minis equalibus feceris. & his quinas centur du¬
pliceserunt. de quibus duplicibus siidem feceris triplices ꝓcreantur
& dehis quadru plices atq: in infinitum oms formas numer imultiplices
&plicabit iaceant igitur tres termini equales
ponatur itaq: primo primus equalis idestunus. secundus uero primo
& secundo id est .ii. teruero primo duobus secundis. & tertio parsit.

Expanded text:
ci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertrici necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, et ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis, neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficientur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, duobus secundis et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabit. Jaceant igitur 3 termini aequales. Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus. Secundus vero, primo et secundo, id est 2; tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit,
Abbreviated transcription (Latin):
tia roboratus adstringit & has quodam modo suntellegamus oms
in equalitat is species ab equalitatis creuisse primordiis ut ipsa quod ã mo¬
do aequitas matris & radicis obtinens uim ipsaomĩs in equalitatis spe¬
cies ordinesq ꝓfundat. Sintenim nobis tres equales termini id ÷
tres unitates uel tres bini uel .iii. terni uel .iii. quaterni uelquan¬
tos ultralib& ponere. Quodenim in unis scribimus terminis
euenit idem contingit inc&eris. Ex hisigitur secundum pre¬
ceptino stri ordinem uideas primum nascimulti plices & in his dupli¬
ces prius. deh inctriplos deindequadruplos &adeundem ordinẽ
consequentes Rursus multiplices si conuertantur Exhis suꝑpas¬
ticulares orientur &&duplicibus quidẽ sesqualter i &tripli¬
cibus ses quitertii. & quadruplisses qui quarti &c&er e in hunc
modũ & suꝑ particular ibus uero conuersis suꝑ par cientes nas¬

Expanded text:
tia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatistia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatisinaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur, secundum praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem, sesquialteri, ex triplicibus sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis, superpartientes nas
Abbreviated transcription (Latin):
ficile alias eius partes secundum predictũ modũ diligentibus
repperire. Hic quoqueillud meminis sed ebeamus quo dminores
& comites ñ sinep̃ positione nominantur ut sit subdupl& suꝑbi partiens
subduplax supertri partiens
estatautem nobis ꝓfundis simã quandam traderedisciplinam
que ad omnemnaturȩ uimrerũ que in tegritatem maxima
ratione ꝑtineat. Magnus quippe in acsci entitfruitus est si quis
non nesciat quod bonitas diffinita est & subscientiam cadens animoque
semper inmutabilis & perce ptibilis. primanaturaest & sue substan¬
tiae decoreper p&ua in infinitum uero malitiaededecus est nul¬
lis ꝓpriis principiis nixum sednatura sempeẽrrans ab oni definitione
principii tamquam aliquo signo obtimefigurȩ in pressa conponit᷑.
& gillo erroris fluctur & in&ur. Namnimiam cupiditatẽ irȩquae
immoditam effrenationẽ quasiquidam rectoranimus puramtellegen¬

Expanded text:
ficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus ficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus reperire. Hic quoque illud meminisse debemus quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartestat autem nobis profundissimam quamdam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua. Infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii, tanquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligen
Abbreviated transcription (Latin):
mel & eius uelduas ueltres uel quot lib& plu res particulas scđm
numeri suꝑ partientis figurã in hocquoq: ꝓpt̃ causã. superius dic¬
tam nonerunt duemedi &ates neq duequarte neq: dues &te. Sed
duetertie & duequinte ueldues eptime ad priorum similitudinẽ
consequentiam. Non estautem difficile secundũ prior e&em plaposi¬
torum. hos quoq: & pr&̃ nra &em planumeros inuenire. Vocabunt᷑q:
hisecundum ꝓprias partes dupla& superbi partiens ueldupl& suꝑ¬
tri partiens uel dupl& suꝑ quadri partiens & rursustriple
suꝑbi partiens & tripl& supertri partiens & tripl& suꝑ quadripar¬
tiens & c& erisimilit̃ utoto adiii. comparatifacient duplicem suꝑbi¬
partientem & xvi. adui. & om̃s quicumq ad octo incipientes oc¬
tonario sesenumero trans grediunt᷑ comparatiadeos quia tribus
inchoantes ternaria sese quantitate pr& ereunt Nec er it dif¬

Expanded text:
mel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum mel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi, secundum proprias partes, duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens. Et rursus triplex superbipartiens, et triplex supertripartiens, et triplex superquadripartiens, et similiter. Ut 8 ad 3 comparati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit dif
Abbreviated transcription (Latin):
concreuit diligentius acum̃ uelimus intendere. ad primamenim
uersum om̃s qui secunt᷑ conlati ordinatas conuenientesq multipli¬
ces species reddent. Sinuero ad secundũ cunctos quit̃ tii sunt ordi¬
nis aptaueris ordinatas pecies super particularis agnosces
Quod sitertio ordinͥ quicumq s̃ in quintouersu compares suppas¬
tientis numerisspecies positas conuenient̃ aspicias. Multipl&xuero
super particular is ostenditur cum as ecundumuersum om̃s qui suntquin¬
tiuersus serie comparantur uelqui sunt inseptimo uelqui sunt in nõno
atqueta simin finitum fiat ista discriptio in infinitum huius ꝓportio¬
nis species ꝓcreabunt᷑ Manifestum autem hoc&iam est quodhorũ
comites semper cum sub prepositione dicentur utest subdupl& sesqualt̃
subdupl& ses quit̃tius subdupl&x sesqui quartus & c&eriquidem ad
hunc modum xxx.i.
comparatus hab& inseali umnumerũ totum. plus quam se¬

Expanded text:
concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum. CAPUT comparatus habet in se alium numerum totum plus quam se
Abbreviated transcription (Latin):
S inueroom̃s mordinẽ quadru plidisponantur hiquinatur alisnu¬
meri quadrupli sunt utunitatis quadruplus &duorumtrium que
& quattuor atq: quinarii &c&erorum sesesequentiũ &adeos aptent᷑
a nouenarionumero inchoantes semꝑseno uenario p̃cedentes tunc
duplicisses qui quarte ꝓportiones formate et᷑¬
Cauerospecies huius numeri queest triplex sesqualtera hoc modo
ꝓcreatur sidisponantur ab in ar ionumero om̃s in or dinem pares
& adeola septenario numero in choantes septen ario sese suꝑgredien¬
tes silito ad alterutrum modo conparationis aptentur.¬
Siautem ater nar ionumero in gressi cunctos naturalis numeri
triplices disponamus &eisadenarionumero denariosese suꝑgre¬
dientes ordinecom paremus om̃s triplices ses quitertii in eatermi
qui secuntur &em pla integreplaneq possumus ꝑnotare simpr
orem discriptionẽ quam fecimus cumdesuꝑ particulari & multiolea
loqueremur ubi abunousq: indenariam multiplicacionem summa

Expanded text:
s in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum, triumque et quatuor, atque quinarii, et caeterorum sese sequentium, ut ad eos aptentur a novenario numero inchoantes, semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma tvero species hujus numeri, quae est triplex sesquialtera, hoc modo procreatur; si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese supergredientes, solito ad alterutrum modo comparationis aptenturSi autem a ternario numero ingressi, cunctos naturalis numeri triplices disponamus, et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminqui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa
Abbreviated transcription (Latin):
siuero aduobus paribus omnibus dispositis terminis illiquia quina¬
rionumero incoantes quinariorursus sesetransiliunt Compa¬
rentur om̃s duplices ses qualteros creant ut estsubietades criptio.
Siuero atribus incoent dispositiones tribus sesetransilient & ad eosap¬
tentur quia septenario inchoantes septenario sesenumero transgrediunt᷑
om̃s duplices sesqͥt̃ tii habita diligent̃ c̃paratione nascunt᷑ ut subietadescriptiomon&¬

Expanded text:
Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis, illi qui a quinario numero inchoantes, quinario numero rursus sese transiliunt comparentur, omnes duplices sesquialteros creant, ut est subjecta descriptio. vero a tribus inchoent dispositiones, et tribus sese transiliant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes, septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii, habita diligenter comparatione, nascuntur, ut subjecta descriptio mon
Abbreviated transcription (Latin):
Conuerso scilic& ordine sicut dupl&x hicest quoq: ordodispositus pona¬
natur ergo primus primo equus id est viiii. secundus primo & secundo
idest xii tertius primo duobus secundis &tertio aquus idest XUI.¬
Rur sus secunda species suꝑ particularis rumeri idestses quitertius
ꝓcreatus est quod siidem dequadruplo quis facer euelit : sesqui quartus
continuonasc&ur ut monstrabit subiecta descriptio¬
Acsiquis dẽ decunctis in in finitum partibus multiplicatis faciatton¬
uenter or dinẽ super particularitatis inueni& quod si conuersos
super particulares aliquis secundum. haec precepta conuertatcon¬
tinuo uideat suꝑ partiens tes ad crescere & ses qualtero quidẽ suꝑ¬
bi partiens & sesquit̃tio suꝑtripartiens ꝓcreatur & c& eris setundũ
commimes denominationiss pecies sineulla ordinis int̃polatione nas¬
nascentur disponantur igitur sic¬

Expanded text:
converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Poconverso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Ponatur ergo primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 12; tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est 16.Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subjecta descriptiosi quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, conienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic
Abbreviated transcription (Latin):
& uenit haec forma.¬
Kursus sitriplicibus idemfeceris continuus quad ruplus ꝓcreabt
sitenim primus primo equus id ÷ unus sitsecundus primo & secund
equalis id est .iiii. sittertius primoduobus secundis & tertio equ¬
Et in c&eris quidem adhanc formã tribus his preceptis utemir
si uero qui & equalibus natisunt multiplices eosdisponamus & sium¬
dum haec precepta uertamus ita ut conuersosint in ordine ses¬
qualt̃ & dupliciꝓcreabit᷑ sesquit̃tius &xtriplici. ses qui quartus &
druplo. sintenimtres duplices termini qui & equalibus ꝓcreatius
& quiultimus est primus ponatur hocmodo
Ettonstituatur primo in hocor dine primuspar id est iiii
secundus uero primo & secundo par idest Ui tertus
uero primoduobus secundis & tertio id÷ uini
Eccetibi illa ses qualtera quantitas &termino duplicitatis &xorit᷑
uideamus nunc ad eundem modum &triplici quinascatur. disponant᷑
enim triplices superiores¬

Expanded text:
et venit haec formaRursus, si de triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus; sit secundus primo et secundo aequalis, id est 4; sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequEt in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus, et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hujusmodi: Et constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est 6, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 9. Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superiores
Abbreviated transcription (Latin):
secundus primo & secundo id est xxxiii. tertius primo duobus secundis
& tertio id est XUIIIi omis ergosum madis posita suꝑtripartientes
effici&¬
Rursus si ses qui quartum eodem modo uerteris su perquadri¬
partiens statim quantitas ꝓcreabitur ut est ea forma quam sub positã
uides

Expanded text:
secundus primo et secundo, id est 28; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiRursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑ particularem conparationẽ habitudinemq: uocabitur. horum
autem exempla huiusmodis. Dupl& sesqualt̃ est . ut .v. ad .ii. ha¬
bentenim. v. binarium numerum bis &eius mediam id ÷ .i. dupl&
uero sesquit̃ tius est septenarius adternarium comparatus. Atu
nouenarius ad quater nariũ duplex sesquiquartus. Si uero xi ad
du pl& ses quiquintus & hisem per nascentur dispositis in or dinẽ
ab inarionumero omnibus naturalit̃ paribus in paribus quȩ cer mi¬
nis si contraeos om̃s aquinar ionumero inpares conparant᷑. ut pri¬
mum primo. secundum secundo tertium tertio caute &diligent̃ ap¬
ponamus utsitdis positiotalis

Expanded text:
superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla hujusmodi sunt: duplex sesquialter est, ut quinque ad duo, habent enim 5, binarium numerum bis et ejus mediam, id est 1. Duplex vero sesquitertius est, septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium, duplex sesquiquartus. Si vero 11 ad 5, duplex sesquiquintus. Et hi semper nascentur, dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter apponas, ut sit dispositio talis
Abbreviated transcription (Latin):
hab& multiplicis estuero quodminorem in habendo parte transcen¬
dit suꝑ particularis. Itaq: &utroq: nomineficto uocabulo est specesq
eius adillarum scilic& fiunt imaginem ꝓportionũ & quibus ipsenu¬
merus originemtrahit. Nam prima pars huius uocabuli quimula¬
nuncupabit᷑ quo suꝑ particularis numeri species uocabantur
Dic&ur enim qui duplicem habuerit alium numerum & eius mediam
partem dupl& sesqualt̃ quiuero t̃tiã dupl&x sesquitertius. qui quar¬
tam dupl& sesquiquartus & deinceps. Si ueroter. eum totum conti¬
neat & eius mediam partẽ uł tertiam uel quartam. dic&urtri¬
pl& sesqualt̃. Tripl& sesquit̃tius. Tripl& ses qui quartus
& eodẽ modo in c& eris dic&urq quadruplus sesqualter. qua¬
druplus ses quitertius quadruplus ses qui quartus & quoties totũ
numerum in sem &ipso contin&ur ꝑmultiplicis nͥumeri. species apel¬
labitur. quamuero partem conparatinumeri clauserit secundum

Expanded text:
habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est, speciesque illius ad illarum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multinuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et ejus mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplex sesquialter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et eodem modo in caeteris. Diceturque quadruplus sesquialter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numerum in semetipso continuerit, per multiplicis numeri species appellatur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum
Abbreviated transcription (Latin):
si retum & non conuersum sesqualterum ponimus. dupl& suꝑ parti¬
cularis &crescit fitenim hoc modo
Nonatur secundum superiorem modum primo. primus equalis id ÷
III secundus primos & secundo idest .x. tertius primo duobus
setundis & tertio aequalis idest XXU¬
Atq hecquidem dupl& ses qualtera summa pro ductaest siuero sesquit̃¬
tium non conuersum ponamus duplus sesquitertius inuenitur utsub¬
iecta discriptio
Atuero si ad suꝑ partientes animum conuertamus. eos queor dinatim se¬
secundum su periora precepta disponamus. multiplices superparti¬
entes ordinatim ꝓgenitos reperiemus disponatur enim suꝑ partien¬
tis haecformula¬
Ad scribatur ergo primus primo aequus idest uiiii secundus primo
& setundo idest xxiiii. tertius primo duobus secundis & tertio
Videsne ut & superbi partiente duplus suꝑbi partiens &or sussit: ade¬
rosi s upertri partientem ponã dupl& sine dubio tripartiens inuent᷑
ut in subiectadiscriptione ꝑspicuum est.

Expanded text:
si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatur secundum superiorem modum primo, primus aequalis, id est 4; secundus primo et secundo, id est 10; tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est Atque haec quidem duplex sesquialtera summa producta est. Si vero sesquitertium non conversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subjecta descriptio At vero si ad superpartientes animum convertamus, eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formulaAscribatur ergo primus, primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 24; tertius primo, duobus secundis et tertio, desne ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit. At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens invenitur, ut in subjecta descriptione perspicuum est:
Abbreviated transcription (Latin):
que ꝑspicit᷑. Et quod contin&ur sub&tremorũ ad gregatione multi¬
plicacione medi&itis. duplus est eo quod sub &tre mitate utra que con¬
ficitur. Si tautem quoddã huius dispositionis &emplar hocmodo¬
UI .XIII. XIIII.XII. Has igitur om̃s solidas quantitates esse nondu¬
bium est .Vi. enimnascuntur & uno. bis.ter .xii. autem &bis duoter
Horum utem medi&ates. octanarius fitsemelduo quater. nouenarius uero
sembltr ester Om̃s igit᷑ termini cognita sibi & tribus interuallorum dim̃¬
sionibus notati sunt : In hi sigit᷑ giom &rica ꝓportionalitas inuenitur
sixii. ao xiii. uel xiuii ad senarium comparemus. utraq: enim compara¬
tio sesqualtera ꝓportio est & quod contin&ur sub&xtremitatibus idemn ÷
ei quod fit & mediis namq: quod fit & duodeciess & ae quumestei quod fit
& oties uiiii. geom&ricaergo ꝓportio huius modiest. Aritdme¬
tica autemest. siduo denarius ao nouencriũ & noue narius adsena¬
riũ compar&ur Inutris queenunternarius differentia ẽ &umc¬

Expanded text:
remorum aggregatione et multiplicatione medietatis, duplex est eo quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus dispositionis exemplar hoc modo, 6, 8, 9, 12. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, 12 autem ex bis duo ter. Horum autem medietates, octonarius fit semel duo quater. Novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur termini cognati sibi, et tribus intervallorum dimensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas invenitur, si 12 ad 8 vel 9 ad 6 comparemus. Utraque enim comparatio sesquialtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus idem est ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex duodecies 6, aequum est ei quod fit ex octies 9: geometrica ergo proportio hujusmodi est; arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium, et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est, et junc
Abbreviated transcription (Latin):
.II. huius modit̃ mini medii fuerunt constituti. & ipsitribus int̾uallis
notati quiuel ab equalibus ꝑ aequales equalit̃ sintꝓducti. uelab in equa
atq: itacum arminicã ꝓportionẽ custodiant alio tam̃ modo comparati
faciant arith m&icã medi&atẽ hisq: giom &ricamedi& as quȩ int̃
utrasq: uersatur deessenom possit. In quatuor enimt̃minis si fue¬
r it quem ao modũ primus aot̃tium sic secundus ad quartum ꝓportio¬
num rationes cilic& tus todita. geom &rica medi&as &plicatur
& quod contin& subetẽmitatibus equumeritei quod subutraq medie¬
tate ad seinuicem multiplicata conficitur. Rursus simaximustermi¬
norum numerus ad eum qui sibi ꝓpinquus erit talem habeat differen¬
tiam qualemidem ipsem aximo propinquus ad paruis simum huius¬
modi ꝓportio. in arith m&ica consideratione proponit᷑. & ꝗtre¬
morum coniunctio duple erit ꝓpria medi&ate. siuero int̃ .iiii. qui ÷
t̃tius terminus aequa parti quarte quartum t̃minũ superat &ae

Expanded text:
 hujusmodi termini medii fuerint constituti, et ipsi tribus intervallis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sint producti, vel ab inaequalatque ita cum harmonicam proportionem custodiant, alio tamen modo comparati, faciunt arithmeticam medietatem, hisque geometrica medietas, quae inter utrasque versatur, deesse non possit. In quatuor enim terminis si fuerit, quemadmodum primus ad secundum, sic tertius ad quartum, proportionum ratione scilicet custodita, geometrica medietas explicatur. Et quod continetur sub extremitatibus aequum erit ei quod sub utraque medietate ad se invicem multiplicata conficitur. Rursus, si maximus quatuor terminorum numerus ad eum qui sibi propinquus est talem habeat differentiam, qualem idem esse maximo propinquus ad parvissimum, hujusmodi proportio in arithmetica consideratione proponitur. Et extremorum conjunctio duplex erit propria medietate. Si vero inter quatuor qui est tertius terminus, a qua parte quarti, quartum terminum s