comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
imparibus ꝓc̾ent᷑. qͥ st̃ unitatis parcicipes .i. eiusdẽ immuta¬
bilisq sub̃ȩ. cunctisq partibus suis eqͣles sĩt. ꝙ ⁊ anguli
angulis. latem lat̾ib. ⁊ longitudini c̃par ÷ altitudo. dicen¬
dum ÷ huiusmodi num̾os eiusdem nat᷑ȩ atq ĩmutabilis sub¬
stantiȩ & ͤ participes. Illos uͦ nu̾os qͦs parte alt̾a longiores pa¬
alt̾a. ⁊ una tm̃ differunt unitate. Or̃ disponant᷑ ĩ ordineo
om̃s ab uno impares. ⁊ sub his õs a binario nuo pares.
SI gͦ pͥnceps ordinis unitas. q̃ ipsa ꝗͣ effectrir
& quodammͦꝰ forma q̃dam ÷ imparitatis. q̃ in tõ
alium quͣelibet nu̾m ꝑ se ipsam multiplicet: a pͥoris qͣnti¬
tatis forma ñ discrepet. Nã si semł unũ facias. ł si semł
unum semel. ł duo semel. ł si tres semel. ł si .iiii. semel
łsi quemlibet aliũ nu̾m multiplicet. a qͣntitate sua is
quẽ multiplicat nu̾s ñ recedit. qđ cͥca alium nũm ñ
pot̃ imieniri. Paris uͦ nu̾i ordinis binarius nus pͥnceps⁊.

Expanded text:
t unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paaltera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares. s imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facies, vel si semel unum semel, vel si duo semel, vel si tres semel, vel si quatuor semel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est,
Abbreviated transcription (Latin):
paribus. hic i stabilitas : hic instabił uanatio. hͥ ĩmu¬
tabilis sub̃e robur. illic mobił ꝑmittͥo. hic definita solidi
⁊ illiꝰ unitatis informatiõe atq
regim̃to unũ
nu̾i corpꝰ efficiunt. Non gͦ ĩuti¬

Expanded text:
paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio; hic immobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditet illius unitatis informatione atque regimento, unum numeri corpus efficiunt. Non ergo i
Abbreviated transcription (Latin):
qtiat̾nano. ł qͣnto t̾nariꝰ unitatẽ suꝑat.: tanco binariũ t̃nsg̾¬
ditur quat̾narius. Que apud antiquos ꝓportionalitus furt
ORT ES S E quidem & apd̃ antiquiores note.
q̃q ad pitagore ł platonis ł aristotilis scientiam ꝑuenuĩs.
hẽ tres mediedtes sunt. a Ris me ⁊ ica. seome tͥ ca¬
alie sunt. q̃ sine nomine quid̃ ꝓferunt᷑. Uocant᷑ autẽ. uiii.¬

Expanded text:
quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgredituonfessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometricaali
Abbreviated transcription (Latin):
natura qui sunt quadratus ⁊ parce alt̾a longior
om̃s ꝓportionũ habitudines c̃sistunt.
S PONANTUR gͦ in ordinem ñ iam pares
atq impares ex quibus quadrati ł parce alt̾a longi¬
ores fiunt: s ipsi qui illis coac̾uatis ĩ unũq reda¬
ctis qͣdrati ⁊ alt̾a parce longiores ꝓdeunt. Ita it uidebimuᷤ

Expanded text:
natura, qui sunt quadratus et parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare. Disponantur ergo in ordinem non jam pares atque impares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus
Abbreviated transcription (Latin):
tum id̾ semꝑ eueniet. qđ in senario qͦ c̃uenit c̃sid̾ari.
in pͥi semꝑ pͥncipii reu̾sione forment᷑. Est enĩ cͥculus
posito qͦdam puncto. ⁊ alio eminus defiro. illius pundti
qui eminus firus ÷ ẽqualit̃ distans a pͥmo puncto cͥcuor¬
ductio. n ad euudem locum reu̾sio unͣ pͥus mou̾i ceꝑat.¬
Sꝑa uͦ semicͥculi manente diamet᷑ cͥcumductio. ⁊ ad eun¬
dem locũ reu̾sio uñ pͥus ceꝑat ferri. Unitas qͦ uͥtute n
fuerit multiplico solam planitudinẽ reddit. N fit
cͥculus. Si scd̃a: mox sꝑa conficit᷑. Et enum
multiplico effectx semꝑ ÷ ꝓfunditatis. E x¬

Expanded text:
tum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. tum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. ii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio unde moveri cst semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim multiplicatio, effectrix semper
Abbreviated transcription (Latin):
qͦlibet mͦ. ut his in longitudinem latitudinẽq equis mi¬
nor altitudo ducat᷑. n hi diffiniunt᷑ ħ mͦ. Lat̃culi fc̃ qui
fiunt ex eqͣlibi eqͣlit᷑ minus. Asseres uͦ ⁊ ipse quid̃ figͣe
st̃ solide. s hoc mͦ. ut ex eqͣlib eqͣlit᷑ ducant᷑ ĩ mauis. Hã
si equa fuerit latitudo longitudini. ⁊ maior sit altitudo:
ille fig̾e a nobis asseres. a gcis decades nominant᷑. ut si
quis ħ mͦ faciet. qͣtuor qͣt̾ nouies. qͥ iñ pc̾ant᷑ asseres
trabes suꝑuis apellamus: hi ft̃. qͥ ex ineqͣlib ineqͣltter
titatis latus ceꝑit. in eund̃ altitudinis extremitas der¬
minet᷑. Nu̾s ille cidicus ł sꝑicus apellat᷑. ut fc̃ mul¬
tiplicones. q̃ a qͥnario ł a senario ꝓficiscunt᷑. Nã qͥnqͥ¬
es quinq qui fit ex. xxy. ab quinq ꝓgͥssus. in eosdẽ
desunt .u. Et si hos rarsum quinquies ducas. in eos¬
dem .U. eorum t̃minus ueniet. Quinqͥes  axu. fi¬
unt. caxx. Et si hos rursus quinqͥes ducas: in qͥ

Expanded text:
quolibet modo, ut his in longitudinem, latitudinemque aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres rius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter titatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in qui
Abbreviated transcription (Latin):
portio pc̾at᷑. Si quarcũ qͣrto. sesqͥquarta. Si qͥntũ qͥnto.
sesquiquinta. n hinc suꝑparciculariũ normã ĩ ꝗͣuis lon¬
gissimum spatium ꝓg̾diens: integ̃m in offensamq reꝑꝑies.
Ita ut in duplici .i. ꝓportione unitatis soluis sit diffã. Duo
nãq ab uno

Expanded text:
roportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno
Abbreviated transcription (Latin):
longiorem ponimus: ad utrosq eos una ꝓportione c̾iun¬
git᷑. In utsq it ꝓportionib dupli mulciplicitas ĩuenit᷑.
Sin uero ĩt̃ scđm t̾ercium q tetͣgonũ scđm parte altera
longiorem ponas sesqualt̾e ꝓportionis ad utrosq sorma
te alia longiorem c̃stituas. sesquit̾cia sp̾es nascit᷑. & id
si in cunctis fec̾is. cundtas suꝑparacularis sp̃es uiuenire
miraberis.

Expanded text:
longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione conjungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma te altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberis.
Abbreviated transcription (Latin):
& scd̾s i in unum colligant᷑. n mediꝰ eorii paite al¬
tera longior bis mulciplicet᷑. tetragonus sit. Nãq unus
i.iiͦiI. si iungant᷑ u. faciunt. Eorum binarus parre al¬
tͥa longior. si bis ducant᷑: iii. faciunt. Qui iuncti: no¬
uem sine ulla dubit̾one cficiunt. qͥ ÷ nus q̃dratꝰ. ⁊ ad eun¬
dem modum ĩ aliis ħ mͦ dispositis nu̾is quos supͣ descͥp¬
simus: id̾ constat intelligi. Si uͦ c̃utas: ⁊ int̃ duos pͥmũ
n scdm parte alt̾a longiores: scđm tetͣgonum ponas. qui
in ordine quidem sods̃ ÷. s actu ⁊ oꝑe pͥmus. ex duobus
parce alt̾a longioribus cͣg̃gatis. & bis multiplicato me¬
dio tetͣgono: nirsꝰ tecͣgoniis c̃ficit᷑. Namq int̾ .ui.n

Expanded text:
 et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et 4, si jungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quatuor faciunt, qui juncti, 9 sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur. Namque inter 6 et
Abbreviated transcription (Latin):
ad p̃sens di¬
cta fufficiant. Qui aũ¬
de nat᷑a rerũ ꝓpinquiᷤ
inuestigantes rombus. qͥq in matheseos disput̾one u̾¬
edidunt: hi rerum omnium uat᷑as in gemina diuidũ¬
tes: hac specułone distriburuit. Dicunt enim omniũ
bituidinis ÷ : nec ullo mͦ ꝑmutatur. ⁊ ea scł natura q̃
uariabilis motus ÷ sortita substantiã. ⁊ illã pͥmam

Expanded text:
ad praesens dicta sufficiant. Qui aude natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione vereritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes obitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura quae variabilis motus
Abbreviated transcription (Latin):
nu̾i forme st̃: quiq er his coac̾uati collectiq ĩ unã
congeriem parte alt̾a longiores ni nascunt᷑ : hi scd̾
ipsius binarii nat᷑am nui ab eiusdem sub̾ȩ nat᷑a dis¬
cessisse dicunt᷑. Putant᷑q alt̾uis nat᷑e ẽẽ participes.
iocͥco qm̃ cum lat̾a tecͣgonorum ab eqͣlitate ꝓgͥssa ĩ¬

Expanded text:
numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa
Abbreviated transcription (Latin):
formas nu̾orum ꝙ ad dissa̾s attinet: uno tm̃ crescit adiecto.
num̾um explicans naturalem.
I N uͦ scd̃m tecͣgonum pͥmo partce alt̾a longiori c̃pa
tiones effici ꝑnotabis. qͣs in forma suꝑiore descͥpsimus.
S hic diffe̾ ab unitate ñ inchoant: s binario nu̾o ĩ ĩfinitũ
ꝑ eosdẽ calculos ꝓg̾diunt᷑. Eritq scd̾s pͥmi duplus. t̃cius scd̃i

Expanded text:
orum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. Sin vero secundum tetragonum, primo parte altera longiori compationes effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi
Abbreviated transcription (Latin):
nat᷑e ĩ corporalitate beatur. aut mutabilis
riabilis q nat᷑e. qđ corporibus indubitãt̃
uidem accid̾e. Unde uc̃ nob̃ inonstrandũ ÷ hac
gemina nuorũ nat᷑a. qͣdratorũ scł ⁊ parte alt̾a longi¬
particulariũ ⁊ cet̾o um. ł ad se ipsam c̃sid̾ate ut
formaram qͣs dudũ in suꝑiore descriptionȩsimus dis¬
pitone ĩformari. Ut quẽa dinodũ mundus ex ĩmu¬
tabili mutabili q substantia: sic om̃is nu̾s aut ex te¬
t̃gonis qͥ ĩ mutabilitate ꝑficiunt᷑. aut ex parce alt̾a lon¬
giorib qͥ mutabilitate participant. probet᷑. eẽ. c̃iunctus.

Expanded text:
ae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabi
Abbreviated transcription (Latin):
Parre alt̾a longior nu̾s ÷ quem si in latitudinẽ descͥbas. ⁊ ipse
quid̃ .iiii. uenit lat̾um .n iiii. angulorum. s ñ cunctis eqͣ¬
lib. s semꝑ minus uno. Namq nec lat̾a lat̾ib cuncta cun¬
ctis equa sunt. nec longitudini latitudo. s ut dictum ÷ cũ
huic alt̾a pars maior fuerit: tantũ uno minorẽ p̾cedit ac su¬

Expanded text:
inem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac su
Abbreviated transcription (Latin):
ut bis.tiiit t̃ .un. ł t̃ .u. ł aliquo mͦ alio n ñ eoruos
latera sola discrepent unitate: ñ uocabit᷑ hic nus parte al¬
t̾a longior: s antelongior. Alterum enim ap̃ pitagorã ł¬
apud sapientiȩ eius heredes nulli alii nͥ tm̃ binario ascͥ.¬
bebat᷑. hc̃ altitatis eẽ pͥncipium dicebant. Gand̾ aũ nat᷑ã
⁊unitate dissimilis. Mito gͦ dicent᷑ hi nu̾i parte alt̾a
longiores. qđ eorũ lat̾a unius tm̃ sese adiecta nu̾ositate
p̃cedunt. Argum̃tũ ÷ aũ alt̾itatẽ in binario nu̾o iuste
qñdi rõ ñ negligit᷑. ¶ Amplius ꝗ impar nu̾s sola ꝑfi¬
nario nu̾o. Nam cuiuscunq medietas unꝰ ÷: ille ĩpar
:. Cuius uͦ duo : hic paritate recepta in gemina eqͣ
disiungit᷑. Qr̃ dicendũ ÷ ĩparẽ nu̾m eiꝰdẽ atq ĩ sua
ab unitate formet᷑. Parẽ uͦ alt̾ius plenũ ẽẽ nat᷑ȩ. iccͥco qđ a
sub his a aualitate paribus descͥptis: coac̾uatio ĩ pariũ
tetingonos fac̃. coac̾uatio pariũ suꝑiores effic parte

Expanded text:
alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli alii nisi tantum binario ascribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant. Eamdem autem naturam, . Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero justquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola nario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a sub his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio pari
Abbreviated transcription (Latin):
iõ hos plerumq neceẽ ÷ oĩb parcib in eqͣlibus inueniri. Qui¬
dam uͦ hos boni scos uocant .i. qͣsdam arulas. q̃ ĩ ionica g̾cie
regione ut ait nichomacus ħ mͦ formate fuerint. ut neq abci¬
tudo latitudini. neq ħ longitudini cuenirent. Uocantur

Expanded text:
ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quiideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Voca
Abbreviated transcription (Latin):
T qm oĩs cubus ab equilatis qͣdiatis ꝓfectus ÷:e¬
quus ipse oĩb partib ÷. Nã ⁊ latitudini longitudo
sursum. deorsum. dertra. sinistra. ante. post. sͥ eqͣlẽ. eẽ.
necẽẽ ÷. huic cubo oppositum cͣtͣriũ q eẽ. oportebit. qui
neq longittidinem lattudim. neq ħ duo ꝓfunditati
gerat equalia. s cunctis inequalibus quamuis solida sit
fig᷑a ab eq̃litate cubi longissime distare uideat᷑. Hi autẽ
series. & alia huiusmoĩ q̃ inequales spaciorũ ꝑ gͣdus ineqͣlit̃
possumus dic̾e. ꝙ minore qͦdam mͦ uelut gͣdibus c̾scat ad maiꝰ.
Uocant autẽ eand̾ figam gͥci quidamspheniscõ. nos uͦ cuneũ
possumus dic̾e. Et enim quos ad quãlibet ullã rem c̃stͥngen¬
dam cuneos formant. neq latitudinis neq longitudinis
neq alaitudinis. habita rõne : quantũ cõmodum fuerit: tõ
Flatitudini minuit᷑. ł cͣssitudimi ꝓfunditatis auget᷑. Aq

Expanded text:
 omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem nquies, et alia hujusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inpossumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque
Abbreviated transcription (Latin):
nã q sp̾em eẽ monstiuim: licet ħ nobis postious oꝑis ardi¬
ue claresttt. Hic qͦ ꝑsͥngentes id qđ̃ pro posiuiñ : planissine
buit᷑ q doceamus. Sit enim talis descͥptio i q̃ ponat ⁊ ordi¬
nem usq ad denariũ nu̾m continu nu̾ ordo nat᷑alis. Et
clum suꝑparticular ⁊ suꝑpartienta ⁊ eunctis alus pͥnceps
erit: sp̾es multiplicis. & q̃dam alia simul iuspiciemus.

Expanded text:
imamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis, et dum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus,
Abbreviated transcription (Latin):
aditum: mediocͥ adiectione reseraui. ut aliquando ad e¬
uidentiã rerum nr̃is ÷ formulis ac descͥptionibus utereoͦ.
Qł nobis quantis uigiliis ac sudore constit̾it: facile sobͥꝰ
lector agnoscet. Cum gͥ .iiiͦi. matheseos discipliu̾arum de.
uidebare. eo q magis merrato opus. eẽ. intelligebã. Nam
& si ap̃ te facilis ueniȩ locus eẽt: aliqͣn tam̃ ipsam formi¬
dabat facilitatem. suspecta securitas. Arbitrabar enum
nichil tante reu̾entiȩ oblatum ĩri oportere. quod ñ elabo¬
ratum ingenio. ꝑfectum studio. dignum supp̾mo tanto
ocio uid̾etur. Hon gͥ ambigo quin pro tua in me beniuo¬
lentia suꝑuacua reseces. hiantia suppleas. errata rop̾hen¬
das. cõmode dicta mira animi alaltate suscipias. Quȩ res
ilnpulit pigram consilii moram. nimios enim fructus¬
mnͥ plact᷑a restituent. Houi qͥppe qͣnto studiosius nostra
quam cet̾orum bona diliganꝰ. Recte gͦ quasi au¬

Expanded text:
aditum, mediocri adjectione reseravi, ut aliquando ad eaditum, mediocri adjectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum, nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. Cum igitur quatuor matheseos disciplinarum, de videbare, eoque magis in errato opus esse intelligebam. Nam etsi apud te facilis venire locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta, mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe quanto studiosius nostra quam caeterorum bona diligamus. Recte ergo quasi au
Abbreviated transcription (Latin):
currit euentum. Tu enim solus manum suꝓp̃mo operi
impones. in qͦ nicħ decernentis animi necee est laborare
consensu. Quamlibet enim ħ iudicium multis artibus
probet᷑ excultum: uno tñ cumulat᷑ examnine. Exꝑiare
gͥ licet quantum nobis in hoc studio longis tractus
ociis labor adiect: an rerum subtilium fugas exercita¬
tȩ m̃tis uelocitas comp̾hendat: utrũ ieuinę macies or̾o¬
nis ad ea q̃ sunt caligantibus impedita sentenciis ex¬
pedienda sufficiat. Qua in re mͥ alieni qͦ udicii lucͣ
ant: sola tm̃ pronũntiatione p̾scribere. At: ñ ałc̾iuss
obnorius institutis. artissima memet ipse translationis
lege constringo: s paululum liberius euagat᷑ alieno iti¬
neri: ñ uestigiis insisto. Nam & ea q̃ de num̾is a nicho¬
maco diffusius disputata siuit: mod̾ata buitate collegi. &
ꝙ̃ transcursa uelocius angustiorem intelligentiȩ p̾stab: Ñ

Expanded text:
currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi impones, in quo nihil de decernentium necesse est laborare consensu. Quamlibet enim hoc judicium multis artibus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine. Experiare igitur licet quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adjecerit. An rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas comprehendat? Utrum jejunae macies orationis, ad ea quae sunt caligantibus impedita sententiis, expedienda sufficiat? Qua in re mihi alieni quoque judicii lucra ant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non alterius obnoxius institutis, arctissima memetipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus, alieno itineri, non vestigiis insisto. Nam et ea quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi. Et quae transcursa velocius angustiorem intelligentiae praestabant
Abbreviated transcription (Latin):
dicium cõgit᷑ subire prudentis. S huic munusculo ñ
eadẽ q̃ cec̾is imminent artibus munim̃ta c̃stituo. He¬
q enim fe̾re ulla sic cunctis absoluta partib. nulliꝰ
indiga. suis tm̃ est scientia nixa p̾sidiuis. ut ñ cet̾arũ
qͦ artium adium̃ta desid̾et. Nam in effigiandis
marmore statis: alius excide molis labor est. alia
formandȩ imaginis rõ. nec eiusdem artificis manus
politi oꝑis nitor expectat. At picturȩ. manibus ta¬
bula cõmissa est fabroꝵ. cerȩ rustica obseruatione
decerce. tolorum fuci m̾catorum sollercia ꝑqͥsiti: lui¬
thea oꝑosis elaborata textͥnis. multiplicẽ matiã pre¬
stant. Honne id̾ in bellorũ qͦ uidet᷑ instrum̃tis ħ
spicula sagitis exacuit. illi ualidus thorar nigra
gemit iclideͤ. Ast alius crudi uinbonis teginina pͥi
laboris orbi ĩnfigenda m̾cat᷑: tam multis artibus ars u.¬
na ꝑficit᷑. at nri laboris absolutio longe ad facilioreo

Expanded text:
dicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo, non dicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo, non eadem quae caeteris imminent artibus munimenta constituo. Neque enim fere ulla, sic cunctis absoluta partibus, nullius indiga, suis tantum est scientia nixa praesidiis, ut non caeterarum quoque artium adjumenta desideret. Nam in effigiandis marmore statuis, alius excidendae molis labor est, alia formandae imaginis ratio. Nec ejusdem artificis manus, politi operis nitor exspectat. Ac depingendae manibus tabulae commissae fabrorum, caerae rustica observatione decerptae, colorum fuci mercatorum solertia perquisiti, lintea operosis elaborata textrinis, multiplicem materiam praestant. Nonne idem quoque in bellorum visitur instrumentis? Hic spicula sagittis exacuit, illi validus thorax nigra gemit incude. Ast alius crudi umbonis tegmina, proprii laboris orbi infigenda mercatur, tam multis artibus ars una perficitur. Ast nostri laboris absolutio longe ad faciliorem
Abbreviated transcription (Latin):
N DA I D ISꝰ accipiendisq mui̾nbus ita re¬
mant᷑. si liqͥdo c̃stabit. nec ad hoc aliud qđ libera¬
lus offerret inuentum: nec ab illo unquã qđ iocun¬
dius beniuolentia complecteret᷑ acceptum. Hec ipse
c̃sid̾ans : attuli ñ ignaua opum pond̾a. quib ad fa¬
cinus nicħ instructius ẽ cum habendi sitis incandu¬
it. ad m̾itum nꝰ nich uiliꝰ. cum ea sͥ uictor animꝰ calca¬
ta subiecit. s ẽa q̃ ex gcarum opulentia litt̾arum ĩ
romane orationis thesaurum sumpta conueximus.
Ita. enu mei quoq oꝑis mͥ rõ constabit. si q̃ ex sa¬
pientie doctrinis elidu: sapientis simi iudicio cõ¬
probent᷑. U ides gͥ ut tam magni laboris ef¬
fectus tuum tantũ expectet examen. nec in
qures ꝓdire publicas : nͥ docte sentententie
a stipulatione nitat᷑. In qͦ nicħ mirum ui¬
deri debet. cum id opꝰ qđ sapientie inuenta
ꝑsequit᷑ : ñ auctoris s alieno incumbit arbitͥo.
Suis quippe instrumͣtis rõnis res expendit᷑. cum ui¬

Expanded text:
n dandis accipiendisque muneribus, ita remantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud quod liberalius afferret inventum, nec ab illo unquam, quod jucundius benevolentia complecteretur acceptum. Haec ipse considerans, attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius est, cum habendi sitis incanduit. Ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subjecit, sed ea quae ex Graecarum opulentia litterarum, in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque operis mihi ratio constabit, si quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi judicio comprobentur. Vides igitur ut tam magni laboris effectus, tuum tantum exspectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sententiae astipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio. Suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum ju
Abbreviated transcription (Latin):
gitur primũ primo sicompares. sesquit̃ cit ratio continebitur Nam siquat
tuor tribus compares: habebunt in se uIIltotum t̾nariũ &eiꝰt̾ciam partẽ
id ÷ i & si scđm secundo id÷ octo nario senariũ compares. id eminuenies habebit
sequentiam usq in infinitum ꝓgrediendum ÷: Nocandum quoque quodtr escomi¬
tes : ducesiIII: Rursusdi comites: duces unII:&ineodem ordine caerisimili
modo uocantur. ducessesquit̾ci. comites subsesquit̃cu & incun
a d
cognitionem suꝑ particularibus accidente

Expanded text:
gitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebunt in se 4, totum ternarium et ejus tertiam partem, id est 1, et si secundum secundo, id est octonarium senario compares, idem invenies: habebit  2, et per eamdem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est quod 3 comites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesquitertii, comites subsesquitertii, et in ad cognitionem superparticularibus accidente
Abbreviated transcription (Latin):
Nam nimiam cupidicatem irȩatq immodicam effrenationem : quesiqui¬
dam rertor animuspura intellegentia roboratus astringit &r has quodã¬
modo inaequalicatis formas temperaca bonitate constituit. hoc aucem erio

Expanded text:
Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem eri
Abbreviated transcription (Latin):
pismior ꝓportionis quantitas custoditur. harum  medietatue od ã
uri h inaetida atq ar monicȩ: geomarica ꝓportionalitas media eẽ notata :
queł in maioribus ł inminoribus t̃minis aequas numeroꝵ qualitates in pro¬
portio nalitate custodit: Inc̃ maius uͦ & minus. & qualitas loco ponitur meidie¬
ucis & dearith metica quidem medictare satis dictum est
portio custodicur. numeri quantitas multitudoq neglegitur. contra rde

Expanded text:
proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in majoribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter majus vero et minus, aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est.aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque negligitur contrarie
Abbreviated transcription (Latin):
una facta ẽ int̃ missi int̃ sexenðIII solus : septenarius : qui trans missus: nume¬
ITI RUIOREMESSEMOLZIPUCITAtẼ

Expanded text:
una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numeantiquiorem esse multiplice
Abbreviated transcription (Latin):
nĩ tros. senariũ iungunt: hicergoꝰ in ordinem searelinquat: quartꝰ quoq¬
silo camsuum duplica& : uIIi succreseunt: Ille quoq UIII transiliat : Atq hoo
quidem in cacris ꝓspiciendum: Modũ autẽ mensionis. seđm ordinem collocatos
ipst series dabit Namprimus primũ quenumerat. scđm primũ numerat. id: sec̃
similitu dine mensura constabit: Alio sergosi respicicis łquialiosmensis. uel qui
ipsi abedus meciuntur: inuenies omniũ simul cõmunẽ mensurã eẽ nom posse
Nleq ut om̃s quemquã aliũ simul numerent: quosdem autem eahis abaliis

Expanded text:
nim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoqnim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoqsi locum suum duplicet, 8 succrescent: ille quoque 8 transiliat; atque hoc quidem in caeteris perspiciendum. Modum autem mensionis secundum ordinem collocatorum ipsa series dabit. Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent, quosdam autem
Abbreviated transcription (Latin):
merus sua pluralitate metitur Quinques crĩ quinrio multiplictto
ado succreseunt: Siuͦpꝰ hunc quilib& quattuor int̾mi̾tat : eadem ordi¬
quẽ m etiri possit exquiritur. sex in mediordinquentur: &quẽ septimũ or¬
do monstrauerit. hic ꝑprimi numeri. idẽ t̃narii quantitatẽ metiendus ÷
&post illũ sexcaliis int̾positis. quem posteos numeriseries dabit : ꝑ quinari
quat: illequi sequitur ꝑ septenarium numerũ abeodem septenario metiendu
nem impares constituti: metientur autẽ : siꝑ pares numeros abinario incho¬
es. positos int̾se impares rata int̾missione transiliant : Ot
&e scđm duplicationẽ t̃ minos int̾ muttant: ut t̃ narius quit primusẽ numer
anus Omnis enĩ primꝰ unus ÷ : bis locũ suũ multiplic& stciatq bisunum:
Quicũ duosint : primus duos medios transeat : Rursus seđsid ÷ qui narius:
mutat: Itensi septenarius quic̃cuis : locum suũ duplic& sex creabit: bis e¬

Expanded text:
merus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato, 25 succrescunt. Si vero post hunc quilibet 4 intermittat, eadem ordiquem metiri possit exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est, ternarii quantitatem metiendus est. Et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numeri series dabit, per quinariuquat, ille qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendusiter impares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes, positos inter se impares rata intermissione transiliant, ut pet secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus omnis enim primus, unus est, bis locum suum multiplicet, faciatque bis unum. Qui cum duo sint, primus duos medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, mittat. Item si septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit: bis e
Abbreviated transcription (Latin):
ocaut̃ admirabi᷑ lẽ profundissimũq inistorum ordinibus inuenitur
quod primus duxIIII primꝰq comes iiiadse inuicem nulla numeri
inter missione copulantur: Nam primi senullo in medio posito transeunt:
Secundi int̃ponunt unum: Tercii: duos quarti: tres Et deinceps una semꝑ
minore quam ipsisint int̾ missione succrescunt: Atq hocuel insesqualteris.
uel inses quic̃ ciis. uel inaliis suꝑparticularis partibus necesse .ẽ. inueniri.
Namq ue quat᷑ narius contrat̃narium cõparȩtur. nullũ int̾misi mus. Post

Expanded text:
oc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt 1, tertii duos, quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus, post
Abbreviated transcription (Latin):
uno sese tantum numero p̃cedunt. quiscilic& eorũ naturã destriptio¬
nem q ꝑficiunt: Inte tragono uͦ qui scđs.ẽ. duob sese iunca numeri uin
quinq: huiusq reiꝰ. nullus ÷ modus: Hocautẽ : nossubiectaram formarũ¬
descriptiones docebunt:

Expanded text:
uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptiouno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese juncti numeri vincunt, gono 5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formarudescriptiones docebunt.
Abbreviated transcription (Latin):
int̾ missis eos ingebamus qui seter nario superarent: Nunc in exa¬
go notribus in ter missis eos iungemus quise quat̾ nario transeant
de er̃ quidem eorum radices &e fundamenta exquib uinctis.
& ad eundem ordinem consequentes atq abhis sex angulorũ¬
Quos ad supcriorem modũ scilic& descriptos. in propriis ordinibus per nocab.
epcemu̾ angulorum figuraẽ: cum ad eundem ordinem progressionis
uno plusquam insex angulorum figura numero inter misso suꝑiora
coiunxcris: Nansi quat̾tuor int̾posit̾is quĩnario quĩsese uincane ag¬
gregtueris : eptagoni continuo figura nascetur. ut hu nu meri sint cor
sadices. &ut suꝑius dictumr fundamenta .i.uUI .XI. XUI.XXI.
octo a ł nouem angulorum secundũ eundẽ ordinẽ forma ꝓcreatur.
ita ut scđm equarlem progressionem primi quoq eorum numeri dis¬
unt: Nam intriangulo qui sunt numeri. qui prima suꝑficiei figura

Expanded text:
intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexaintermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexagono, tribus intermissis eos jungemus qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus junctis ad eumdem ordinem consequentes, atque ab his sexangulorusuperiorem modum, scilicet descriptos, in propriis ordinibus pernotabis. eptem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. Qui ovem vero angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est,
Abbreviated transcription (Latin):
ascuntur aut̃ hinumeri qui extensi in longitudinẽ. inlatitu
sequitur superiori ł superioribus. uincenster nario eũ eui iungendus : ag¬
gregetur : Ham unitati inter missis duobus & tribussiquattuor iunga s
quicribus ipsam suꝑant unitatem : quinarius pentagonus ꝓcreabitur:
uinxeris. eodem quo superius modo: pentagoni fient scđm suꝑiorem
descriptionem:¬
HE FXAGONIS COrB& RINERATIONIBU¬
igoni aut̃ quisex angulos. & eptagoni qui septem rursus laterib
continentur: scđm huno modum eoꝵ laterũ augm̃ta succ reseunt
Namq intrianguli numeri natura ꝓcreationeq ipsos numeros uinge¬
bamus qui sese innaturali dispositione sequerentur. & setantum unita¬
te transirent: Quadrati ui numeri id ÷ tetragoni ꝓereatio: fiebat ex
mimeris qui uno inter misso copula bantur.: cum sebinario sup era¬
rent: Pentagoniuꝰ natura fuit ex duobus int̾ positis relictisq qui se
rum copaenti ꝓgressione conficitur Utenim inpentagono duob

Expanded text:
ascuntur autem hi numeri qui extensi in latitudinem, quinque ans superiori vel superioribus, vincens ternario eum cui jungendus est aggregetur. Namque unitati, intermissis duobus et tribus, si quatuor jungas, qui tribus ipsam superent unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. junxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, secundum superiorem descriptionemhexagonis eorumque generationibutem, qui sex angulis, et heptagoni, qui 7 rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositione sequerentur, et se tantum unitate transirent; quadra i vero numeri, id est tetragoni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui serum, competenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono, duobus
Abbreviated transcription (Latin):
passiones. Hoc autem ÷ exemplar. ut siquilib& datug parnumerus di¬
ui datur: inaior quidem quantum ad diuisionisspacit noninuenictur quã

Expanded text:
io. Hoc est autem exemplar. Ut si quilibet fatus par numerus dividatur, major quidem quantum ad divisionis spatia pertinet
Abbreviated transcription (Latin):
lib& plures parciculas scđm numeri suꝑ partaentis figuram: In hoc guoq
propt̃ causam superius dictam nonerunt duȩ meditates. neq duȩ quarcȩ
neque duȩ seate: sed duȩ t̾ciȩ. ł duȩ quinte. ł duȩ septimȩ. ad priorem similẽ
consequentiam: Nonẽ enim difficile scđm priorum exempla positorũ:
hosquoque & p̃t̃ nr̃a exempla numeros inuenire. Docabunturq. hiseẽ¬
dum proprias partes duplex suꝑbi partiens uł duplea suꝑcriparciens adr

Expanded text:
libet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi, secundum proprias partes, duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel
Abbreviated transcription (Latin):
quoa dunitas ultimauicẽ retractionis impediat. aut aliquis numerus imparnecessa¬
rio. sitriq numeri impares proponantur: Sedeum qui relinquitur numerum
psiuidebis aequalem Ergo sununũ incurrat uicissim ista subtr
mi contrase neces sario numeriꝰ dicentur. & nulla aliamensura nisi sola unita te
conuincti Siuͦ edaliꝗ numerũ ut superius dictũ : finis diminutionis incur rerit

Expanded text:
quoad unitas ultima vicem retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero ad aliquem numerum ut superius dictum est finis diminutionis incurrerit
Abbreviated transcription (Latin):
QUẼ AD MODŨ QUADRATI EXPARTE ALTERA LONGIORIB: UTPARTE
ALTERA LONRIORES EXQUAORATIS FIANT
altera longior fũ. Namq iuuitetragonosiquis duo uingat uł duo detra hat
UI addendoꝑfici&. aeduo detrahen doͦ. atut̃q figuram contina&e parte alt̃a son¬
giorem. q̃ scilic& magna÷ a teritatissius Om̃is enim infinita aindec̃mina ta
dens: aut in maius exuberat aut inminora decrescit:
UERO LOCO IMPARESNUMERI TERTIO QUADRATI. ET QD PRINCIP AUT̃
DUAUTAS ALTERIUS SIT SUBSTANTIAE SECVNDOU
RES NUMERI. TERTIO PARTE ALTERA LONSIO RES

Expanded text:
Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus, vel parte altera longiores ex quadratis fiant.altera longior fit. Namque 4 tetragono si quis duo jungat, vel duo detrahat, 6 addendo perficiet et duo detrahendo, at uterque figuram continet parte altera longiorem, quae, scilicet magna, est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata dens, aut in majus exuberat, aut in minora decrescit Cntiae unitas, secundo vero loco impares numeri, tertio quadrati, et quod principaliter dualitas alterius sit substantiae, secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores
Abbreviated transcription (Latin):
psors uͦ cyborum quanticumq fuerint ita ducti. ut a quo numero eybicae
quantitatis latus coeperit ineundem lacitudinis extremitas t̃ minecur.
numerus ille cyclicus. ł spericus appellatur. ut s̃ multiplicationesquea quina¬
rio ł asenario ꝓficis cuntur: Namquinquies quinq quifit x¬

Expanded text:
psorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit
Abbreviated transcription (Latin):
c d siunt̃ p̃ mũ & sedm tetragonorum primũ partealtra longiorem
ponimus: adutrosque eosunaꝓportionem conuingitur: Inutrisq enim
tionibus dupli multiplicitis inuenitur: sinuꝰ interscđn
detragonum seđm parte alt̾ a longiorem ponas. sesqualterae comparatio¬
nis adutrosque forma componitur & si iñtcium &quartum tetragonũ
t̃ tium parte altera longiorem constituas. sesquit̾tia species nascitur.
& idemsincunctis feceris. cunctas suꝑ particularissperies inueni remi¬
raberis:

Expanded text:
 inter primum et secundum tetragonum, primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione conjungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum, tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberis.
Abbreviated transcription (Latin):
circi ÷ : Luod si in comparatione ponatur.: sesquic̃ ciae habitudinis efficiar for
Poit hos nascuntur comites. qui sub suꝑ parcientes uocantur:
alis partes: Siergt numerus alium in trase numerum habens eiꝰ quas parces
habuerit: suꝑbi parciens nominatur Siu̾ cres. suꝑtriparciens: quod si uIIIsa¬
⁊ parciens: Atqueita progredientib in infinitum fingere n
Ordo autem eorum naturalis ÷. quotiens disponuntur a tribus om̃s pares
atqr pares numeri naturalic̃ constituti. & subhis aptantur aliiquis aqui¬
narionumero inciputes om̃s in pares: hisigitur ia dispositis. sipͥmꝰ primo.
serundus secundo tuius t̾cio & caeri e&eris cõparentur : suꝑ parciens habitu¬
doprocreatur: Sit enim dispositio hoc mo do

Expanded text:
est. Quod si in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quoties disponuntur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipientes omnes impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, secundus secundo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:
Abbreviated transcription (Latin):
cies inuenitur. quȩ a nobis superius suꝑ parciens dicca ÷: haetautẽ ÷ quęfic cum
numerus adaliũ comparacus. hab& eum totũ infrase. & eiꝰ insuꝑ aliquas pai¬
tes uelduas. uel tres. ulquattuor. uelquot ipsa tulerit comparatio: Quȩ habi¬
tudo incipit aducibus partib c̃cu s Namsiduas medietates haduerit: quullum
as quincas. uelducis septimas. uel duas nonas:. Uica ꝓgredientibus siduassolas
parces minoris numeri suꝑ habuerit: ꝑ easdem partes imparibus numeris mino¬
rem maior suma transcendit: Namsi eum habeat cocum &duascius quarcas
suꝑ parcicularis necessario reperitur. Namduȩ quartȩ mediecas:: & fit sesqualtera
comparatio: Sinuͦducis sexcas rursus : suꝑ parcicularis : duȩ enim seatȩ pars

Expanded text:
cies invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum as quintas, vel duas septimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et fit sesquialtera comparatio. Si vero duas sextas, rursus est superparticularis.
Abbreviated transcription (Latin):
UIII. Hincigitur siquis ad elias inaequalitatis speties animũ tendate
eandem conuenientiam intitubanter inueniae: quare pronuntiandũ :
nec ulla trepidatione dubitandum qđ quem admodum ꝑse constantis
quantiatis unitas principium &elementũ est: ita &ead aliquid relatȩ
quantitatis aequa litas mater est demonstrauimus enim quodhino ce
eiusꝓereatio pͥ maforet: & in eamrursus postrema solutio est:
RE. EORUMQUE DeSCRIPNO DeSCRIRTONISOO

Expanded text:
. Hinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eamdem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim quod hinc et ejus procreatio prima foret, et in eam rursus postrema solutio est. re, eorumque descriptio, descriptionis
Abbreviated transcription (Latin):
Quodsi imparsit ordo ut. ẽ¬
do ut ẽ.II.IIII. UIII. idẽ facient extremi quod medietas:
mero uͦ parit̾ imparisi fuerit unus in medio t̾minus circum sepositoꝵ ⁊̃ mi¬
nos medietas est: acq hoc. usq ad extremos omĩumt̃ mninorum: Ot ineo or di¬
ne quiẽ parit̃ imparium numerorum .II. UI.Xiunctꝰ binarius cũ denariodei.
explet: cuiꝰ senarius medietasinuenitur Sui fuerint duȩ mediecates. uinc¬
tȩ ipsȩ utreq aequales er̃ suꝑset̾ minis constitutis Ot. ẽ in hoc ordine .iI.ui.
x.XIIIIuinctienĩi ioIII. insedecĩ crescunt. quossenarius cũ denario eopu¬
latias effici&e atq hoc innumerosi oribus t̃minis initio sumpto amediis:
euenit usq dum ad extremaueniatur DENUMERO IMPARTE

Expanded text:
Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem facient extremi quod medietas. vero pariter impari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut est in hoc ordine, 2, 6, 10, 14. Juncti enim 2 et 14, in 16 crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatur. CAPUT XI. De
Abbreviated transcription (Latin):
sub intra sep osuis sum mulis : Atq hocidem : usq: dum adduas medietates
fuerit uentum indispositionibus scilicae paribus Siautẽ fuerint impares
dispositiones: quod abuna medictate conficitur. hocidem subextrinsecus
positis partib procreatur: Atq hoc usqdum ad extremitates processio fiat
Inea enĩ dispositione quae ẽ par. ut

Expanded text:
sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione quae est