comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
maior .b. ⁊ dupli eorum. d.⁊.ẽ. Quadratus aũ. d. sit.F. ⁊
ꝑximꝰ subeo quadratꝰ .g̃. quo minor unitate sit .h.⁊ par¬
te alt̾a longior int̾. F. ⁊ .g̃. sit.ĩ. Et qi distantia.f. ad .ĩ. est
.d. ⁊. ĩ. ad .g. minus eo unitate. ⁊ iõ. ĩ. ad .h. differentia est
differentie .b. ad. c̃. ⁊ cum exd. fiat. F.⁊ ex .d. inbinariu
qui est diffã eius ad. ẽ. fiat distantia . F. ad .h. erit .h. ꝙ
ex.d. in.ẽ. Buctogͥ.g̃. in .h. fiat parte alt̾a longior. k. di¬
co itaq quod ipse est quem querimus. Ducatur siqͥtłe
que .g̃. ad .b. u ⁊. ñ. ad .ã. que.g̃. ad .b. quero.k. ad. m̃.
que.ñ. ad.ã. ꝓpͦ. Et quia ex. c̃. in .g̃. fit. ñ.⁊ ex.b. in .h. fit. ñ.

Expanded text:
maior b, et dupli eorum d et e. Quadratus autem d sit f et proximus sub eo quadratus g quo minor unitate sit h et parte altera longior inter f et g sit i. Et quia distantia f ad i est d et i ad g minus eo unitate, et ideo i ad h differentia est differentie b ad c, et cum ex d in se fiatf et ex d in binarium, qui est differentia eius ad e, fiat distantia f ad h, erit h quod ex d in e. Ducto igitur g in h fiat parte altera longior k. Dico itaque quod ipse est quem querimus. Ducatur siquidem que g ad b. Sed etiam n ad a que g ad b quare k ad m que n ad a proportio. Et quia ex c in g fit n et ex b in h fit m,
Abbreviated transcription (Latin):
Alio quin uel minor er̃ uel equalis. Quod si equa¬
lis. ꝑ conceptionem p̃sentis. er̃ scd̾s equalis quarto
sicꝙ ꝓportio eadem Si uero pͥmũ minor fu̾it ̃cio: erit
erit ꝑpremissam ⁊ scd̾s minor quarto. Per conceptionem
ĩtaq primus ⁊ scd̾s minuͤ̾st̃ tettio ⁊ quarto.
um fuerit ꝓportio primi ad scdm̃
maior quam tercii ad quartum.
compositum uero ex eis equale
composito extercio & quarto:p¬
mum tercio maiorem ẽẽ necẽe
quartum. S pͥmi ad quartum ꝑ eandem minor ꝓpor¬
tio quam pͥmi ad scd̃m. Conclude itaq ꝓportionẽ pͥ¬
mi ad scđm maiorem quam t̾cii ad quartum ⁊ hoc
splamus fuerit maior tercio. cõ¬
positusq exprimo & scđ̃o equale
composito extercio & quarto: ma¬
ior ert ꝓportio primi ad secłm ꝙͣ
tercii ad quartum. scđam huius quod¬
ante cedentes suis consequentib uel simul sunt
ninores ł simul maiores. Si minores. qm̃ singli
singuloꝵ eque sunt aut pars aut partes ꝑ quartam ⁊ qͥn¬

Expanded text:
Alioquin vel minor erit vel equalis. Quod si equalis, per conceptionem presentis erit secundus equalis quarto sicque proportio eadem. Si vero primus minor fuerit tertio, erit per premissam et secundus minor quarto. Per conceptionem itaque pum fuerit proportio primi ad secundum maior quam tertii ad quartum, compositum vero ex eis equale composito ex tertio et quarto, primum tertio maiorem esse necesse quartum. Sed primi ad quartum per eandem minor proportio quam primi ad secundum. Conclude itaque proportionem primi ad secundum maiorem quam tertii ad quartum. Et hoc imus fuerit maior tertio compositusque ex primo et secundo equale composito ex tertio et quarto, maior erit proportio primi ad secundum quam tertii ad quartum. Si enim antecedentes suis consequentibus vel simul sunt minores vel simul maiores. Si minores quoniam singuli singulorum eque sunt aut pars aut partes, per quartam et quin
Abbreviated transcription (Latin):
est quam.f. ad.d. quare ꝑ .xii. huius ẽ. ad .f. maior est
imequales numeri equalibus .xui.¬
addantur: erit compositorũ
minor proportio quam ad iun¬
ior quam ipsius ad quartum. Pdecimam itaq p̃¬
sentis constat scđm ẽẽ minorem quarto. ⁊ hoc est ꝙ
ingendunus.

Expanded text:
est quam f add. Quare per xiiam huius e ad f maior est pinequales numeri equalibus addantur, erit compositorum minor proportio quam adiunior quam ipsius ad quartum. Per decimam itaque presentis constat secundum esse minorem quarto. Et hoc est quod intendimus.
Abbreviated transcription (Latin):
h.l. facuit̾ minus quam.f. scdm partem ipsius . a.d. de¬
nominatã. ꝑ .xxxiii. scđi. que est. ẽ. ⁊ qr unitas. ⁊. a .b.c̃. d.
sunt tamqͣm. ẽ. additi qͦ illis faciunt. f. Sigͦ plures par¬
tes ñ habuerit palam eum ꝑ fectum ẽẽ. Quod añ p̾ter il¬
los alius eum numeret. est inpossibile. Si enim numera¬
ret: ponatur. ⁊ sit.m̃. numeretq eum scd̃m. ñ.⁊ quia. ẽ.
qui est pͥmus numerat eundem: numerabit ⁊ alterum
erit de disposias añ ĩpsum ab unitate ꝑ .xxui. quarti. alt̾
etiã unus reliquoꝵ idest uł. ẽ. uł .g. uł .h. uł. k. ⁊ qm̃ nõ
numerat eum aliquis qui non sit unus istoꝵ uł istoꝵ om̃s¬
q isti ⁊ illi ꝯiuncti ꝑficiunt eum: habebit descͥptionẽ ꝑ fec¬
um disposit fuerint abunitate nu¬
meri partter pares. qui diuncti fece

Expanded text:
h k faciunt minus quam f secundum partem ipsius a d deh k faciunt minus quam f secundum partem ipsius a d denominatam per xxiiiam secundi que est e. Et quia unitas et a b c d sunt tanquam e, additi quoque illis faciunt f. Si ergo plures partes non habuerit, palam eum perfectum esse. Quod autem preter illos alius eum numeret, est impossibile. Si enim numeraret, ponatur et sit m numeretque eum secundum n. Et quia e, qui est primus, numerat eundem, numerabit et alterumerit de dispositis ante ipsum ab unitate per xxviam quarti, alter etiam unus reliquorum idest vel e vel g vel h vel k. Et quoniam non numerat eum aliquis qui non sit unus istorum vel istorum omnesque isti et illi coniuncti perficiunt eum, habebit descriptionem perfecum dispositi fuerint ab unitate numeri pariter pares qui coniuncti fece
Abbreviated transcription (Latin):
rantem ductus: ꝑducet numerum
itaq sccłi si .b. numerat.d.⁊.c̃. numerabit. ẽ. cum gͦ sit. c̃.¬
ꝑfectus uł habundans. erit. ẽ. habundans. ꝑ .lx. p̾sentiᷤᷤ.
inumerus in alium ductus ꝑfectũ ł .luiiii.
habundantem ꝑdixerit. inquem¬
libet ab eonumeratum ductus: ha¬
bundantem ꝑducet. tate dupli qui sunt pa
riter pares ꝑ .xxix. huius. unitas. a .b. c̃.d.⁊ coaceruatus ex
eis sit.ẽ. qui ponatur ẽẽ numerus pͥmus. Atq in .ẽ. duca¬
tur .d. qui est extremus alioꝵ. ⁊ ꝑducatur.f. quem dico
ẽẽ numerũ ꝑfectum. Palam siquid̾ est ꝙ pͥus sumpti
omnes numerant eũ. silicet. a .b.c.d. Ponanturq nu¬
meri scđm quos eum numerant. ⁊ sint. ẽ .g. h. e.k. ⁊ qm̃
isti sunt tote partes. f. quote unitas.⁊. a.⁊ .b.⁊. c̃. sunt par¬
tes. d.⁊ qm̃ iste minus unitate semꝑ ꝯponunt quam sit
.d. que est pars ipsius ab ipso denominata: similiter. ẽ.g.

Expanded text:
rantem ductus producet numerumrantem ductus producet numerumitaque secundi, sib numeret d, et c numerabit e. Cum ergo sit c perfectus vel habundans, erit e habundans per lvam presentis. numerus in alium ductus perfectum vel habundantem produxerit, in quemlibet ab eo numeratum ductus habundantem producet. riter pares per xxixam huius, unitasa b c d et coacervatus ex eis sit e qui ponatur esse numerus primus. Atque ine ducatur d, qui est extremus aliorum, et producatur f quem dico esse numerum perfectum. Palam siquidem est quod prius sumpti omnes numerant eum sciliceta b c d ponanturque numeri secundum quos eum numerant et sint e g h k. Et quoniam isti sunt tote partes f quote unitas et a et b et c sunt partes d et quoniam iste minus unitate semper componunt quam sit d que est pars ipsius ab ipso denominata, similiter e g
Abbreviated transcription (Latin):
umerum imparem habundantem in¬
uenire. cuius sumptarum partium
maxima a posito impare denoĩetur.
dat . ẽ. qui sit numerus ꝑfectus. Ducatur item .a. in .d. qui sit
minor.b. nec numeret. ã. ⁊ ꝑueniat. ẽ. quem dico ẽẽ habun¬
uantem. Primum constabit quod nullus in alium ductus ꝑ¬
ducit.c̃. nisi alter numeret.a. uel sit .ã. Sit enim ut ex.f. in
.g̃. fiat. c̃. ⁊ quia ꝑ quartam t̾tii altum numerat .b. ⁊ alter
numerabit.ã.ꝑ xxui. scdi. Sig.a. est pͥmus ñ erunt partes
.c̃. nisi unitas ⁊.ã.⁊ .b. Si ꝯpositus sint partes eius. h.k.l. qui
numerabunt. c̃. sitq ut scd̾m.m .n.õ. Idem qͦ numerabũt¬
babundet.c̃. suꝑ .b. m.nͭ.õ. quantum est.ã. h.k.l. sit ut. ẽ. ad¬
dat supra. d.p̃. q̃ .r. quantum est.t̃. entq. t̃. minus ꝙͣ. ã.h. k.l.
niet maius.ẽ. Quare. ẽ. est numerus habundans.
Si aliquis innumerum pͥmum duc .uuiii.
tus ꝑfectum numerum ꝑduxerit:
idem ineo minorem & se non nume¬

Expanded text:
umerum imparem habundantem invenire cuius sumptarum partium maxima a posito impare denominetur. cat c qui sit numerus perfectus. Ducatur item a in d qui sit minor b nec numeret a et proveniet e quem dico esse habundantem. Primum constabit quod nullus in alium ductus producit c nisi alter numereta vel sit a. Sit enim ut ex f in g fiat c. Et quia per quartam tertii alterum numerat b, et alter numerabit a per xxvam secundi. Si ergo a est primus, non erunt partes c nisi unitas eta et b. Si compositus, sint partes eiush k l qui numerabunt c sitque ut secundumm n o. Idem quoque numerabunthabundet c super b m n o quantum esta h k l, sit ut e addat supra d p q r quantum est t, eritque t minus quama h k l niet maiuse. Quare e est numerus habundans. Si aliquis in numerum primum ductus perfectum numerum produxerit, idem in eo minorem et se non nume
Abbreviated transcription (Latin):
te. plus sunt quam totidem partes dicte ab .g. qm̃ illi
hinc inde equaliter ab eo distant. mauis gͦ sunt dimi¬
dio unius. qm̃ numerus illaꝵ partium est dimidiũ
g̃. hoc est. ẽ. Cadem rõe partes denominate abimparib
sub. ẽ. maius dimidio facunt. qr maus qͣm partes sũ¬
pte scđm. d.⁊ numerate a .b. Om̃s gͦ faciunt maius uno
integro. ¶ntueri libr que in huius habũtis ꝑcreatiõe
occurrant. Positorum enim imparium ordines .ix. semꝑ
se excedunt᷑. ⁊ medium illoꝵ ꝑximus impar añsũptus s

Expanded text:
te plus sunt quam totidem partes dicte ab g quoniam illi te plus sunt quam totidem partes dicte ab g quoniam illi hinc inde equaliter ab eo distant, maius ergo sunt dimidio unius quoniam numerus illarum partium est dimidium g hoc est e. Eadem ratione partes denominate ab imparibus sub e maius dimidio faciunt quia maius quam partes sumpte secundum d et numerate a b. Omnes ergo faciunt maius uno integro. Intueri libet que in huius habundantis procreatione occurrant. Positorum enim imparium ordines ix semper se excedunt et medium illorum proximus impar antesumptus s
Abbreviated transcription (Latin):
Sit.ã. impar que maximam deb¬
minitus. I denominare.⁊ par subeo .b. sumant᷑q
impares. ab.ã. sursum. ẜ.b. sitq extremus. c̃.⁊ pͥmus.ã. ⁊
duplus .b. sit. d̃. palam aũ qr medietas illoꝵ imparium ẽ
sub. d̃.⁊ alt̾a supra. Sit item ꝑximus par supra. c̃. ẽ. atq
scđm ipsum sumant᷑ impares post ipsum. sitq extremuᷤ
.f. ⁊ duplus. ẽ. sit .g̃. patetq ꝙ dimidium illoꝵ impariũ ẽ
supͣ .g̃. ⁊ alt̾a medietas infea. dico gͥ quod partes ab om̃ĩbꝰ
illis denominate plus toto faciunt. Ad hoc aũt sumimꝰ
tres numeros equedistantes. hlm̃. ⁊ numerent num̃um
⁊̃. scdm. ñ .p̃.q̃. dico gͦ quod. ñ.⁊. q̃. sunt maus duplo. p̃.
cum enim sit maior ꝑportio.l. ad.h. quam. m̃. ad .l. qm̃
differentia est eadem. erit maior. ñ. ad .p̃. quam .p̃. ad
.q̃.⁊ cum. ñ. sit maximus. erunt. ñ.⁊.q̃. mauis quam. p̃.
bis. hac rõe partes ab ĩparib supra. ẽ. positis denomina¬

Expanded text:
Sit a impar qui maximam debet denominare et par sub eo b. Sumanturque impares ab a sursum secundum b. Sitque extremus c et primus a et duplus b sit d. Palam autem quia medietas illorum imparium est sub d et altera supra. Sit item proximus par supra c e atque secundum ipsum sumantur impares post ipsum. Sitque extremus f et duplus e sit g. Patetque quod dimidium illorum imparium est supra g et altera medietas infra. Dico igitur quod partes ab omnibus illis denominate plus toto faciunt. Ad hoc autem sumimus tres numeros eque distantes h l m et numerent numerum z secundum n p q. Dico ergo quod n et q sunt maius duplo p. Cum enim maior sit proportio f ad h quam m ad l quoniam differentia est eadem, erit maior n ad p quam p ad q. Et cum n sit maximus, erunt n et q maius quam p bis. Hac ratione partes ab imparibus supra e positis denomina
Abbreviated transcription (Latin):
Sit .a. denominatio multiplicis. Sumaturg quili
ꝑuenient similes scłm .c. Sumpte uͦ scd̾m . d. faciunt
unum. scd̾m .c. faciunt unum ⁊ unam amplius. Itaq
suꝑpartiens que denominat᷑ apartib a .d. dictis. sumptĩ
sid̾m .b. cum data multiplice ꝯstituit ut ꝓponitur.

Expanded text:
Sit a denominatio multiplicis. Sumatur igitur provenient similes secundum c. Sumpte vero secundum d faciunt unum, secundum c faciunt unum et unam amplius. Itaque superpartiens que denominatur a partibus a d dictis et sumptis secundum b cum data multiplice constituit, ut proponitur.
Abbreviated transcription (Latin):
ferentie multiplicatorum sunt equales. ⁊ qm̃ quociens illi
ꝑluctos. tociens differentie numerant illoꝵ differentias. qͣie
⁊illi arsmethice erunt medietatis. Similiter quia quociens
diuidentia numerant diuisa tociens differentie sue diffe¬
rentias illoꝵ: erunt ⁊ eoꝵ differentie similiter ordinata.

Expanded text:
ferentie multiplicatorum sunt equales et quoniam quotiens illi productos totiens differentie numerant illorum differentias. Quare et illi arismetice erunt medietatis. Similiter quia quotiens dividentia numerant divisa totiens differentie sue differentias illorum, erunt et eorum differentie similiter ordinate.
Abbreviated transcription (Latin):
dia. k.⁊ .l. Itaq ꝑt̾ciam ⁊ quintam ⁊ item t̾ciam sccł̃i.ã. ad .g̃.
sic̃. c̃. ad .h. It̃q sic̃.ã. ad .k. ita .c̃. ad .l. Quare ꝑ easdem sic̃
.ã. ad. ẽ. ita. c̃. ad. f. ⁊ hoc est quod sequitur.
.XIX
Si inter numerosꝓportionales medii
scđm hanc medietatem designen¬
tur: erit extremorum ad illos ꝓpor¬

Expanded text:
dia k et f. Itaque per tertiam et quintam et item tertiam secundi a ad g sicut c ad h. Itemque sicut a ad k ita c ad f. Quare per easdem sicut a ad e ita c ad l. Et hoc est quod sequitur. xix Si inter numeros proportionales medii secundum hanc medietatem designentur, erit extremorum ad illos propor
Abbreviated transcription (Latin):
plicentur ueldiuidantur: erunt et
merus qui exomnib abunitate usq ad .b. coaceruatis pro¬
ducitur. ꝑ nonam octaui qui sit. c̃. Itaq. c̃. diuidat. ã. ⁊ exe¬
at. ẽ. Si gͥ. ẽ. multiplicetur ꝑ omnes numeros usq .b. ꝑduc¬
ta erunt in hac medietate ꝑ p̾missam ⁊ ipsa integre con¬
stituent . ã.
acm numerum in quodibet parteᷤᷤ
que arismethica medietate se excedãt

Expanded text:
es merus qui ex omnibus ab unitate usque ad b coacervatus producitur per nonam octavi qui sit c. Itaque c dividat a et exeat e. Si igitur e multiplicetur per omnes numeros usque b, producta erunt in hac medietate per premissam. Et ipsa integre constituent a. m numerum in quotlibet partes que arismetica medietate se excedant
Abbreviated transcription (Latin):
Sint numeri a duob ꝯtinue. a.b. c̃.d.ĩ. Seq̃ntes item pꝰ
.ẽ. componitur ex.a.⁊.b. erit idem equalis .K. ⁊ quia .b.
addit suꝑ.ã. partem ab ipso dictam .i. mediam tunc. ẽ.¬
otinebit.ã. bis ⁊ eius mediam. hm̃s autẽ ꝑ .xix. septimi
⁊̃ quadratũ cuiuslib suꝑ quadratiun ꝑximi addit ꝙ
ex ipsis componitur.⁊ qr. ẽ. siue .K. addit suꝑ quadratũ
.a. unitatẽ. addet similit̾ .l. suꝑ quadratum .b. ⁊.in. suꝑ
quadratum.c̃.⁊ .ñ. suꝑ quadratum .d.⁊.õ. suꝑ quadra¬
tũ .ĩ. unitatem. Quare singuli eoꝵ singulos illoꝵ cõ¬
tinent scđm se. ⁊ partem ab ipsis dictam. Ihoc est quod
sequitur.

Expanded text:
Sint numeri a duobus continue abcd idest sequentes, item post tur e componitur ex a et b, erit idem equalis k. Et quia b addit super a partem ab ipso dictam idest mediam, tunce continebit a bis et eius mediam. Habemus autem per xixam septimi et quadratum cuiuslibet super quadratum proximi addit quod ex ipsis componitur. Et quia e sive k addit super quadratum a unitatem, addet similiter f super quadratum b c t m super quadratum c et n super quadratum d et o super quadratum i unitatem. Quare singuli eorum singulos illorum continent secundum se et partem ab ipsis dictam. Et hoc est quod sequitur.
Abbreviated transcription (Latin):
colligitur. Cum enim quelib due illaꝵ c̃media trian¬
gulum equi lat̾um ꝯstituat: fient .ui. tͥanguli equilat̃
applicantes angulos suos inmedia unitate. quod qm̃
in exagono fieri conuenit: exagonum sic ꝯstitui est poᷤ¬
sibile. Patet etiam illam mediam unitatem inter
quaslib oppositas unitates mediam ẽẽ. Hac autem rõe
udetur quaslib formas posse ꝯstitui. ueliti si .iiͦii.
unitates uni cͥcumponerent᷑ fieret tetͣgonus. Quatuor
gͦ anguli equi lat̾oꝵ tͥanguloꝵ ꝯstituerent quatuor rec¬
tos. Ꝙ qm̃ non faciunt neq pauciores neq plures quã
sex: non est possibile fieri aliquam huiusmodi nisi ex¬
agonum. Sicq ꝯstat quod dr̃.¬
Si sex unitates uni circumponantur
ita ut illarum adinuicem & ad illã
eadem sit distantia: exagonum eq¬

Expanded text:
colligitur. Cum enim quelibet due illarum cum media triangulum equilaterum constituant sicut sex trianguli equilateri applicantes angulos suos in media unitate quod quoniam in exagono fieri convenit, exagonum sic constitui est possibile. Patet etiam illam mediam unitatem inter quaslibet oppositas unitates mediam esse. Hac autem ratione videretur quaslibet formas posse constitui veluti si quatuor unitates uni circumponerentur fieret tetragonus. Quatuor ergo anguli equilaterorum triangulorum constituerent quatuor rectos. Quod quoniam non faciunt neque pauciores neque plures quam sex, non est possibile fieri aliquam huiusmodi nisi exagonum. Sicque constat quod dSi sex unitates uni circumponantur ita ut illarum ad invicem et ad illam eadem sit distantia, exagonum eq
Abbreviated transcription (Latin):
orme numeroꝵ exuntta¬
tũ dispositione perpen¬
dunt᷑. Est autem dis¬
positio prima in longũ tm̃. Altera
in longum &e latũ. Lercia in lon¬
gum &e latum &e altum. Cuiꝰ
unitatũ dispositio in longum tm
est. linearis numerus drͣ. In latũ
diq clusi. quoꝵ unitates directe
tinuate: & ad se. & ad alias eqͣles
habent distancias. Quod fit dupłr

Expanded text:
orme numerorum ex unitatum dispositione perpenduntur. ‹ii› Est autem dispositio prima in longum tantum, altera in longum et latum, tertia in longum et latum et altum. ‹iii› Cuius unitatum dispositio in longum tantum est linearis numerus dicitur. ‹iv› dique conclusi quorum unitates directe continuate et ad se et ad alias equales habent distantias. Quod fit duplic
Abbreviated transcription (Latin):
rys. ¶A t̾nario numeri sint.a.b. c̃ ⁊ a quinano impa¬
res. resd. ẽ. f.⁊ qr d. ardit suꝑ.ã. binarium qͥminor
est eo uno.erunt.d. ad.ã. suꝑpartiens qr denominans. ã.
inumerans unominor. Item cũ sit differentia impari¬
um binanus ⁊ numeroꝵ ab unitate unitas: add.e. suꝑ
buno plusquam .d̃. suꝑ.ã. s ⁊.f. ad .ẽ. ad huc unoma¬
ior. qr gͥ crescunt differentie imparium suꝑ num̾os
ab uno sic̃ ⁊ ipsi numeri. c̃ sit differentia .d. ad.ã. mi¬
nor .a. uno. erunt differentia. ẽ. ad .b. minor .b. uno. ⁊
differentuia. F. ad.c̃. minor. c̃. uno. ⁊ ita decet̾ĩs ⁊ qi nũi
uno distantes sunt ad inuicem primi: erunt ꝓpꝰnes su¬
umpares post t̾narium ꝯtinue sum. xlii.¬
pti ad numerospost binarium
naturali serie ordinatos comparent᷑:
exibunt suppartientes ꝯtinue crescen

Expanded text:
s. A ternario numeri sint a b c et a quinario impares d e f. Et quia d addit supera binarium qui minor est eo uno, erit d ad a superpartiens quia denominans a et numerans uno minor. Item cum sit differentia imparium binarius et numerorum ab unitate unitas, addet e super b uno plus quam d super a, sed et f ad c adhuc uno maior. Quia igitur crescunt differentie imparium super numeros ab uno sicut et ipsi numeri cum sit differentia d ad a minor a uno, erit differentia e ad b minor b uno et differentia f ad c minor c uno et ita de ceteris. Et quia numeri uno distantes sunt ad invicem primi, erunt proportiones suimpares post ternarium continue sumpti ad numeros post binarium naturali serie ordinatos comparentur, exibunt superpartientes continue crescen
Abbreviated transcription (Latin):
¶huius quoq eadem est ꝑbatio que ⁊ p̃cedentis. Quia fila¬
t̃a non cõmunicant: neq cubi.ꝑ.xio.t̾cii. Itemq re¬
liquum. Sienim lat̾a cõmumcau̾int: cõmunicab̃t
⁊ cubi ꝑ .xxiii. pͥmi.⁊ hac rõe arguttur utr̃q.

Expanded text:
Huius quoque eadem est probatio que et precedentis. Quia si latera non communicant, neque cubi per xiiam tertii. Itemque reliquum. Si enim latera communicaverint, communicabunt et cubi per xxiiiam primi et hac ratione arguitur utrumque.
Abbreviated transcription (Latin):
quam.ã. ad.d. erit econuerso. ẽ. ad
ad .ã. ꝑ .xͣi. itaq con clude.
i uero detracti ad detractum fue¬
rit maior proportio quamtoci¬
us ad totum: erit residui adresi¬
duum minor ꝓportio quam doci¬
.ab. ad .b. maior ꝓportio quam.cd. ad .d. Si enim eẽt
equalis. ꝑt̾ciam ⁊ quintam ⁊ itum t̃ciam huius
maius quam.ã. ad .b. Scdã aũ ꝑartem ꝑpartem ꝑ¬

Expanded text:
quam a ad d, erit econverso e ad b mad a. Per xiam itaque conclude. i vero detracti ad detractum fuerit maior proportio quam totius ad totum, erit residui ad residuum minor proportio quam totia ad b maior proportio quam c d ad d. Si enim esset equalis, per tertiam et quintam et iterum tertiam huius maius quam a ad b. Secundam autem partem
Abbreviated transcription (Latin):
Mnis ꝓportio super ali¬
am quamlibet adlere
dicitur ꝓportionem:
que cum illa continuata ipsam
componit. Differentia ꝑportio¬
nis ad aliam uocat᷑ illa ꝓportio
q̃ eadem suꝑ reliꝙͣ habũdare dr̃¬
¶erbi gratia sit.ã. primus.b. scds. ẽ. tercius.⁊ .d. quar¬
tus. Atq ex .d̾. in.ã. fiat. ẽ. ⁊ ex .b. in .c̃. fiat. f. Ducatur
autem .d. in .b.⁊ ꝑueniat. g̃ eritq.f. ad .g̃. sicut .c̃. ad .d.
Itemq. ẽ ad g. sicut.ã. ad b ꝑ.uiii. scdi. Constat autẽ
per nonam sccłi quod. ẽ. est maior. F.⁊ quia ꝓportio. ẽ.
ad .g̃. constat expportione. ẽ. ad.f. ⁊ . f. ad .g̃. manifestũ
ist q d adlit ꝓportio primi ad scđm
super ꝓportionem tercii adquar¬
tum est ꝓportio que est inter ꝑduc¬
tum exprimo inquartum. & pro¬
ductum ex scdo intercium.

Expanded text:
mnis proportio super aliam quamlibet addere dicitur proportionem que cum illa continuata ipsam componit. Differentia proportionis ad aliam vocatur illa proportio qua eadem super reliquam habundare derbi gratia: Sit a primus, b secundus, c tertius, d quartus. Atque ex d in a fiat e et ex b in c fiat f. Ducatur autem d in b et proveniat g. Eritque f ad g sicut c ad d. Itemque e ad g sicut a ad b per viiiam secundi. Constat autem per nonam secundi quod e est maior f. Et quia proportio e ad g constat ex proportione e ad f et f ad g, manifestum i Quod addit proportio primi ad secundum super proportionem tertii ad quartum est proportio que est inter productum ex primo in quartum et productum ex secundo in tertium.
Abbreviated transcription (Latin):
nalib siminor in minorẽ &e maiqr
inmaiorem ducatur: &e ꝑductorũ
differentia perdifferentiam ꝓpo¬
sitoꝵ diuidat᷑: exibit numerus qͥ
exomnib aliis coaceruatuR.

Expanded text:
nalibus si minor in minorem et maior in maiorem ducatur et productorum differentia per differentiam propositorum dividatur, exibit numerus qui ex omnibus aliis coacervatur.
Abbreviated transcription (Latin):
portionalium primus de scđo o
ultimo tollatur:. que ꝓportio est re¬
sidui scdi ad primum: ea est resi¬
diu ultimi ad compositum exõib¬
¶Sĩt ꝓpositi . fg. fh. Numeriq
cionales. ãb.bc. cõ. de. Et quod fit ex. tg.in. ab. sit.lm.
⁊ quod ex. fh. in.de. sit. lñ. Si gͥ.nin. diuidatur scd̾m.
għ. er̃unum diuidens. ãe. hac ratione. fiat. lõ. ex. fg.
in .bc.℥. lt .ex. fg. in .cđ. Ex ipso quoq in dẽ. fiat. lr.

Expanded text:
portionalium primus de secundo et ultimo tollatur, que proportio est residui secundi ad primum ea est residui ultimi ad compositum ex omnibSint propositi f g, f h numerique tionales a b, b c, c d, d e. Et quod fit ex f g in a b sit f m et quod exf h in d e sit l n. Si igitur m n dividatur secundum g h, erit unum dividens a e. Hac ratione fiat l o ex f g in b c et 1 t f g in c d, ex ipso quoque in d e fiat l z.
Abbreviated transcription (Latin):
que suꝑ totam multiplicem ad lat su¬
perparticularem. cum sit numerus
partium &e numerus denominans
multiplicem dati cõmensurabiles.
tet autem qm̃ .b. minor . c̃. nec eum numerat. fat autẽ .d. ex
.ã.ii.c̃. quem constat non numeran.a .u. ꝑ .xxi. t̾cii. addat᷑¬
gͥ.b. suꝑ d ⁊ ꝯstituat᷑ f.⁊ qi. f. ꝯtinet. c̃. scđ̾m.ã.⁊ eius partes
numeratas a.b⁊ qr idem. F addit suꝑ .d. non partem sed
partes: manifestum est quod dicituR.

Expanded text:
que super totam multiplicem addat suque super totam multiplicem addat superparticularem cum sint numerus partium et numerus denominans multiplicem dati commensurabiles. tet autem quoniam b minor c nec eum numerat. Fiat autem d ex a in c quem constat non numerari a b per xxiam tertii. Addatb super d et constituatur l. Et quia l continet c secundum a et eius partes numeratas a b et quia idem l addit super d non partem, sed partes, manifestum est quod dicitur.
Abbreviated transcription (Latin):
Sit nume¬
cis .a. ⁊ numerus partium sit.b. Sigͥ ã. ⁊ .b. fuerint equales ꝑ
premissam ubiq ꝯstat. Quod si .b. pars. ã. similiter ꝯstabit
ubiq ꝑ.xxiii. pͥmi. Si aũ .ã. pars .b. dicta ab. ẽ.Sumatur
quilib numerus maior.a. quem tñ non numeret. sitq. c̃.
quiducat᷑ in.ẽ. ⁊ fiat. d. ertq. d. maior .b. nec abeo numera¬
tur. Itaq. a. ducatur ind̾. ⁊ ꝑueniat. f. cui adiuncto .b. fiat.
tas. ⁊ a .b. numeratas. qr .b. pars. f. patet qr .g̃. addit supra
f. partem ipsius. Quod si neuter numerat alt̾m sumat᷑
maximus qui eos numerat. sitq. h. numeretq ħ .b. scd̾m
R. numerus gͥ quilib maior .h. quem tñ non numeret du¬
catur in. R⁊ ꝑueniet .l. qui erit maior .b. nec ab eo numera¬
bitur. Dico gͥ quod multiplex suꝑpartiens denominata ab
a.⁊ partib dictis ab .l.⁊ numeratis a .b. addit suꝑ multipli¬
cem ab.a. dictam suꝑparticularẽ ⁊ hoc fuit demonstrandũ.
Dultiplicem suppartientem inuenire .luii.¬

Expanded text:
Sit numecis a et numerus partium sit b. Si igitur a et b fuerint equales, per premissam ubique constat. Quod si b pars a, similiter constabit ubique per xxiiiam primi. Si autem a pars b dicta ab e, sumatur quilibet numerus maior a quem tamen non numeret sitque c qui ducatur in e et fiat d. Eritqued maior b nec ab eo numeratur. Itaque a ducatur in d et proveniat f cui adiuncto b fiat gtas et a b numeratas. Et quia b pars f , patet quia g addit supra f partem ipsius. Quod si neuter numerat alterum, sumatur maximus qui eos numerat sitqueh numeretque h b secundum k, numerus igitur quilibet maior h, quem tamen non numeret, ducatur in k et proveniet l qui erit maior b nec ab eo numerabitur. Dico igitur quod multiplex superpartiens denominata ab a et partibus dictis ab l et numeratis a b addit super multiplicem ab a dictam superparticularem. Et hoc fuit demonstrandum. ultiplicem superpartientem invenire
Abbreviated transcription (Latin):
extoto inse cantum est quantum ꝙ fit exductu utriuꝰ¬
q inse. ⁊ uniusb in aliud. Q gͦ fit ext̾oto inse cum eoꝙ
exaltero inse tantum ẽ quantum ꝙ Exeodem inse ⁊
in aliud insebis ⁊ altero in se. sed quod fit exeodem in sebiᷤ
⁊ in alterumbis. quantum tocius in ipsum bisꝑante p̃¬
missam.⁊ sic conclude.
inumerus induo diuidatur quod fit

Expanded text:
antum est quantum quod fit ex ductu utriusque in se et unius bis in aliud. Quod ergo fit ex toto in se cum eo quod ex altero in se tantum est quantum quod ex eodem in se bis et in aliud bis et altero in se. Sed quod fit ex eodem in se bis et in alterum bis quantum totius in ipsum bis per antepremissam. Et sic conclude. § xvii Si numerus in duo dividatur, quod fit
Abbreviated transcription (Latin):
uatis totidem alii in eadem quidem
medietate sed non scd̃m eamdem ꝑpͦ¬
nem sumpti minores minorib adlã¬
tur: inter compositorum maiores ma¬
ẽet.ã. ad .b.sic̃. c̃. ad.ẽ. ⁊ quia .b. ad.d̃. sic̃ . c̃. ad. ẽ. ẽet.ã. ad.
b̃ sic̃ .b. ad.d̃. Ꝙ est in possibile ꝑ.xi. quinti. Item si eẽt .ã.

Expanded text:
atis totidem alii in eadem quidem medietate, sed non secundum eandem proportionem sumpti minores minoribus addantur, inter compositorum maiores maesset a ad b sicut c ad e. Et quia b ad d sicut c ad e, esset a ad b sicutb ad d. Quod est impossibile per xiam quinti. Item si esset a
Abbreviated transcription (Latin):
mi: qui exaltero inse ducto pro¬
ducitur: ad reliquum erit pͥmu̾¬
Isefiat.d̾. Itemq.ã. in .c̃. ⁊ .b. in .d̾. ducatur ⁊ꝑueniant
e .s. Dico gͦ quod c̃ ⁊ .d. sunt cͣe se primi. Constat
enim ꝑ p̃missam quod.c̃. est pͥmus ad .b. ꝑ eandem ᷤ
er̃ .c̃. primus ad.d̾. Quia gͦ tã. c̃. quam.ã. est primus⁊
ad. ħ ⁊ ad.d. er̃ ꝑ ante p̾missam. ẽ. pͥmus ad eosdem. Ser
eandem gͥ ⁊.f. erit primus ad. ẽ.⁊ quantum cũq fiãt
progressio: eadem erit ratio ꝑbationis.

Expanded text:
mi, qui ex altero in se ducto producitur ad reliquum erit priin se fiat d. Itemque a in c et b in d ducatur et proveniant e et f. Dico ergo quod c et d sunt contra se primi. Constat enim per premissam quod c est primus ad b, per eandem igitur erit c primus ad d. Quia ergo tam c quam a est primus et ad b et ad d, erit per antepremissam e primus ad eosdem. Per eandem igitur et f erit primus ad e. Et quantumcumque fiat progressio, eadem erit ratio probationis.
Abbreviated transcription (Latin):
atera numerorum dicuntur
quorum multiplicatione
numeriꝑducuntur. Suꝑficialis
appellatur numerus quiduob lat̃i¬
bus continetur. Solidus uero qͥ¬
subtribus ex quatuoꝵ silicet continu¬
a multiplicatione habet procreari.
uadratus est numerus suꝑficialis
equalib lat̾ibus contentus.
Parte altera longior uero cuius lat̃a
sunt in equalia. sed sola unitate
distantia. Cubus est numerus
solidus in equalib consistens lat̾ib.
Similes dicuntur numeri suꝑficia¬
les siue solidi. quorum latera sur¬
ꝓportionalia.
dius ꝑpͦnalit̾ inter .ã. ⁊ unitatem. qui sti .d̃. ⁊ unus int̃. c̃.¬
⁊ unitatem qui sit. ẽ. ⁊ quia. d. est in .ã. quociens unitaᷤᷤ
in.d. constat quod.d. in se ꝑducit. a. erit gͦ .ã. quadra¬
tus ex descriptione. Erit siłr ⁊.c̃. quadratus. ⁊ hoc est
fuerint in sua ꝑpͦne minimi

Expanded text:
atera numerorum dicuntur quorum multiplicatione numeri producuntur. ⟨ii⟩ Superficialis appellatur | numerus qui duobus lateribus continetur. ⟨iii⟩ Solidus vero qsub tribus ex quorum scilicet continua multiplicatione habet procreari. ‹iv› Quadratus est numerus superficialis equalibus lateribus contentus. ‹v› Parte altera longior vero cuius latera sunt inequalia, sed sola unitate distantia. ‹vi› Cubus est numerus solidus in equalibus consistens lateribus. ‹vii› Similes dicuntur numeri superficiales sive solidi quorum latera suoportionalia.dius proportionaliter inter a et unitatem qui sit d et unus inter c et unitatem qui site. Et quia d est in a quotiens unitas in d, constat quod d in se producit a. Erit ergo a quadratus ex descriptione. Erit similiter et c quadratus. Et hoc est numeri in sua proportione minim
Abbreviated transcription (Latin):
iꝓpositis abunitate quadratis nũi
uno illis minores sumantur: super¬
particulares ab illis dicte ꝓpͦnum
abunitate erunt differentie. nimer¬
liter se excedunt ꝑ sccłam pͥmi. ⁊ nonam decimam eiꝰdẽ
argumentare. Sint autem suꝑparticulares.d e. f. maxi¬
ma .d.⁊ differentie eoꝵ .g̃.h. eitt .g̃. maior .h. ꝑ p̃mis¬
sam. ⁊ pͥmam huius. Quia gͥ.d. ⁊.f. sunt tãquam. f. ẽg̃.¬
ti: erunt.d.⁊.f. maius quam. ẽ. duplicata. Quod sidue
fuerint medie: eadem ratione arguetur
Si ordinentur ꝯtinue multiplices & .xli.
suꝑparticulares. erit ut multipliciũ
media duplicata. ueldue medie cõ

Expanded text:
positis ab unitate quadratis numeri uno illis minores sumantur superparticulares ab illis dicte proportionum ab unitate erunt differentie. Sitet equaliter se excedunt, per secundam primi et nonam decimam eiusdem argumentare. Sint autem superparticulares d ef, maxima d et differentie eorum g h eritqueg maior h per premissam et primam huius. Quia igitur d ti erunt d et f maius quam e duplicata. Quod si due fuerint medie, eadem ratione argueturSi ordinentur continue multiplices et superparticulares, erit ut multiplicium media duplicata vel due medie co
Abbreviated transcription (Latin):
posiris ab unitate parte altera longiorib ⁊ quadra¬
tis si duo ⁊ duo ꝯiungant᷑. fient omnes tͥangulares.
Cumq pͥmus pꝰ unitatẽ fiat expͥmo parte alt̾a ⁊ uni¬
tate necẽe est. ut c̃ t̾cius ab unitate apͥmo tetragono
pꝰ unitatem ⁊ eodem parte alt̾ał fiat. eũ exagonũ ẽẽ
ꝑp̾missam. S ⁊ qr uno uit̾imisso t̃cius semꝑ ã quadra¬
to ⁊ inferiore parte alt̾a longiore nascitur: tercios semꝑ exa

Expanded text:
positis ab unitate parte altera longioribus et quadratis, si duo et duo coniungantur, fient omnes triangulares. Cumque primus post unitatem fiat ex primo parte altera et unitate, necesse est ut cum tertius ab unitate a primo tetragono post unitatem et eodem parte altera vel fiat eum exagonum esse per premissam. Sed et quia uno intermisso tertius semper a quadrato et inferio
Abbreviated transcription (Latin):
dieiassupͣ .b. sumpta est: erit ⁊ reliqua sub eo sumpta⁊
quia urter ꝑrimos istoꝵ ⁊ illoꝵ medius est .b.erit ⁊ inter
duos ⁊ duos. sicq inter extremos medius. ꝑ scd̾am gͥ pͥmi
cepti suit tamquam .b. scđm eoꝵ nunerum multipli¬
catus sed hic erat radix ipsius. qui gͦ ꝑueniet ent cub.

Expanded text:
dietas supra b sumpta est, erit et reliqua sub eo sumpta. Et dietas supra b sumpta est, erit et reliqua sub eo sumpta. Et quia inter proximos istorum et illorum medius est b, erit et inter duos et duos. Sicque inter extremos medius. Per secundam igitcepti sint tanquam b secundum eorum numerum multiplicatus. Sed hic erat radix ipsius. Qui ergo proveniet, erit cubus.
Abbreviated transcription (Latin):
g idem pͥmo par. Posita gͥ unitate loco imp̃aris ut
semꝑ ⁊ coaptata ĩpsa cum pͥmo pari. ⁊ semꝑ impau
cũ sequenti pari: quot fuerint sub eo impares: totus ipse erit
parium abunitate. Igitur tot sunt ĩparessub eo quot st̃
unitates in eius dimidio. Disponantur gͥ duo ordines ab
unitate quoꝵ unus t̾minetur in .a. ⁊ aliter in .c. sitq .c̃.
minor .a. uno. Pex .xxxiii. itaq sexti.c̃. cum inferiorib su¬
is ⁊ medietate .ã. est tamqͣm medietas .b. ꝑritq ut quot
unitares sunt in .c̃.⁊ in reliquis ⁊ indimidio.ã. tot sunt in¬
pares usq .b. Quot itaq unitates in reliqua medierate.ã.
tot sumantur in pares ultra .b. quoꝵ ultimus sit .d̃. Ent gͦ
d. totus ĩpariũ ab unttate: quot unitates sunt in .ã. ⁊ inĩ¬
feriorib. S ⁊ sumptorum in parium ultimum totum ẽẽ
manifestum est. Eiit gͥ idem .d. ⁊ qm̃ illoꝵ ĩparium me¬

Expanded text:
igitur idem primo par. Posita igitur unitate loco imparis ut igitur idem primo par. Posita igitur unitate loco imparis ut semper et coaptata ipsa cum primo pari et semper impari cum sequenti pari, quot fuerint sub eo impares totus ipse erit parium ab unitate. Igitur tot sunt impares sub eo quot sunt unitates in eius dimidio. Disponantur igitur duo ordines ab unitate quorum unus terminetur in a et alter in c. Sitque c minor a uno. Per xxxiiiam itaque sexti c cum inferioribus suis et medietate a est tanquam medietasb. Eritque ut quot unitates sunt in c et in reliquis et in dimidio a tot sunt impares usque b. Quot itaque unitates in reliqua medietate a tot sumantur impares ultra b quorum ultimus sit d. Erit ergo d totus imparium ab unitate quot unitates sunt in a et in inferioribus. Sed et sumptorum imparium ultimum totum esse manifestum est. Erit igitur idem d. Et quoniam illorum imparium me
Abbreviated transcription (Latin):
apͥmo: idem apͥmo numerabitur.
sicq de inceps. Omnesq imedio¬
relicti erunt pͥmi.merate ꝯuent.¬
qm̃ uices in paris gerit. Reliqui gͥ impares sidiuidant᷑.
dinentur.⁊ maiores cum p̃dicta unitate ꝯtinuentur.⁊
qm̃ minoris ĩparis minor portio est unitas: er̃ ut duo
ordines sumpti sic̃ sed̾m quod .xxxiii. sexti ꝑponit. qm̃
ultimi ordinũ illoꝵ erunt in equales portiõnes ultimi
Si ab unitate impares coaceruentur:
qui proueniet erit quadratus.
medietates hinc ⁊ alie illic̃ ordinent᷑. Qr eñi pa¬
res sunt dupli numeroꝵ ab unitate ꝑ.xuiiii. huius.
ipares abunitate sibi coaceruentur:
coaceruatus exomnibus erit parte¬
altera longior. scđm quem sumen
tur impares ad cubum ꝯstituendum. a. ⁊ eius qua¬
uratus . b. ⁊ quia ipse est totus abunitate quota p̃s
eus est unitas: er̃ ut tot sint ipse ⁊ unitas ⁊ omnes
inf eum nũi: quot sunt imitates in ipso. Ponat᷑

Expanded text:
a primo, idem a primo numerabitur a primo, idem a primo numerabitur sicque deinceps. Omnesque irelicti erunt primi. Primuam vices imparis gerit. Reliqui igitur impares si dividanturdinentur et maiores cum predicta unitate continuentur, et quoniam minoris imparis minor portio est unitas, erit ut duo ordines sumpti sicut secundum quod xxxiii1 sexti proponit. Quoniam ultimi ordinum illorum erunt inequales portiones ultimi Si ab unitate impares coacerventur, qui proveniet erit quadratus. medietates hinc et alie illinc ordinentur. Quia enim pares sunt dupli numerorum ab unitate per xviiiam huius, i pares ab unitate sibi coacerventur, coacervatus ex omnibus erit partealtera longior. tur impares ad cubum constituendum a et eius quadratus b. Et quia ipse est totus ab unitate quota pars eius est unitas, erit ut tot sint ipse et unitas et omnes infra eum numeri quot sunt unitates in ipso. Ponatur
Abbreviated transcription (Latin):
exempli est t̾nariũ
Si gͦ post ipsum tres in pares sumantur: extremum nũa¬
bit ipse. Et enim qm̃ tres sunt. ⁊ ipse quartus: erunt in¬
ter ipsum ⁊ quartũ duo medii. ⁊ tres differentie equales. to¬
diffã eius ad extremum: est ut ipsam numeret scd̾m
unam illoꝵ. quare ⁊ ext̾mum numerabit. Si item totuᷤᷤ
ab illo suimatur quotus ipse apͥmo: eundem qͦ pͥmus
numerabit eadem rõe. ⁊ de reliquis simiłr fiet. Ultimũ
autem ꝙ om̃s ñ sũpti sint pͥmi: patet. Si eñ aliquis eoꝵ
ẽet ꝯ positꝰ. numeraret eum aliquis pͥoꝵ ĩparium. qui
sit numerus pͥmus. Sumpto gͥ ꝑximo ĩpari q̃m ille im
exparticularib differentiis ꝯpacta que sunt binarii. er̃
ut idem nũm illaꝵ numeret. qͥ qm̃ est ipso minor: se¬
quitur ĩpossibile.
unpares omnes abunitate dispo .xxu.¬
nanantur. & totidem post quem¬
libet sũmantur quotus ipse ab uni¬
tate extremũ ab illo numerari ꝯue¬
niet. & si ttem totus ab illo qͦtus ip̃e

Expanded text:
exempli est ternarius. Si ergo post ipsum tres impares sumantur, extremum numerabit ipse. Etenim quoniam tres sunt et ipse quartus, erunt inter ipsum et quartum duo medii et tres differentie equales toitur differentia eius ad extremum, est ut ipsam numeret secundum unam illarum quare et extremum numerabit. Si autem totus ab illo sumatur quotus ipse a primo, eundem quoque primus numerabit eadem ratione et de reliquis similiter fiet. Ultimum autem quod omnes non sumpti sint primi patet. Si enim aliquis eorum esset compositus, numeraret eum aliquis priorum imparium, qui sit numerus primus. Sumpto igitur proximo impari quem ille impex particularibus differentiis compacta que sunt binarii, erit ut idem numerum illarum numeret qui quoniam est ipso minor sequitur impossibile. pares omnes ab unitate disponantur et totidem post quemlibet sumantur quotus ipse ab unitate, extremum ab illo numerari conveniet. Et si item totus ab illo quotus ipse
Abbreviated transcription (Latin):
cundus abunitate.i. binaruis est primus. ꝯstat om̃s
ẽẽ parit̾ pares.ꝑ .xxui. quarti. Et illos tm̃. Sin aũ
ponatur alius. qui diuidatur ꝑmedium. ⁊ medietaᷤ
ꝑmedium donec occurrat qui non possit diuidi. qui
si fu̾it impar qm̃ numerat extremum: falsum est
quod dicitur. Si uͦ unitas: er̃ ⁊ id de nũis ab unitate
duplis.

Expanded text:
cundus ab unitate idest binarius est primus, constat omnes cundus ab unitate idest binarius est primus, constat omnes esse pariter pares per xxviam quarti. Et illos tantum. Sin autem, ponatur alius qui dividatur per medium et medietas per medium donec occurrat qui non possit dividi. Qui si fuerit impar quoniam numerat extremum, falsum est quod dicitur. Si vero unitas, erit et idem de numeris ab unitate duplis.
Abbreviated transcription (Latin):
les partes ⁊ unitate distantes quaꝵ maior sit x⁊minor
y. ꝑaxriii. sexti quociens unitas ince.c.⁊ suis infenorib.
⁊in .x. tociens unitas in.z. Sumptis gͥ tot ĩparibus supͣ
b. quot unitates m .ỹ. sit ultimus .b. Erit g.ħ. totus in¬
panum abunitate. quot sunt unitates in.ã.⁊ inõib in
fuiorib sui ordinis. d ⁊ sumptoꝵ inparium ultimũ¬
totus fuerat ĩparium abunitate. quare .h. erte illoꝵ ultimꝰ.
Totidem gͥ illoꝵ erunt sub .b. quot supra. Medus gͦ illoꝵ
.b. Omnes illoꝵ itaq cũ ipso ꝯnum̃ati. tantum erunt
quantum ipse ꝑ nũm oĩum idest.a. multiplicatus.⁊ qm̃
.a. inipsum ductus ꝑduc̃ cubũ. manifestũ est ꝙ seqͥtur.
Si dispositis imparibus abunitate pͥ¬
mi duo post unttatem coniungan¬
tur. ac post illos tres. Post ipsos uͦ
quatuor: & deinceps scđm natura¬
le numeroꝵ argumentum: qui ꝑ¬
ducentur erunt cubi. Latusq cuiꝰ¬
libet ꝯiunctoꝵ impariũ numerus.

Expanded text:
ales partes et unitate distantes quarum maior sit x et minor y per xxxiiiam sexti quotiens unitas in c et suis inferioribus et in totiens unitas in z. Sumptis igitur tot imparibus supra b quot unitates in y, sit ultimus h. Erit igitur h totus imparium ab unitateferioribus sui ordinis. Sed et sumptorum imparium ultimutotus fuerat imparium ab unitate quare h erit illorum ultimus. Totidem igitur illorum erunt sub b quot supra. Medius ergo illorum b. Omnes itaque cum ipso connumerati tantum erunt quantum ipse per numerum omnium idesta multiplicatus. Et quoniam a in ipsum ductus producit cubum, manifestum est quod sequitur. Si dispositis imparibus ab unitate primi duo post unitatem coniungantur ac post illos tres, post ipsos vero quatuor et deinceps secundum naturale numerorum augmentum, qui producentur erunt cubi latusque cuiuslibet coniunctorum imparium numerus.
Abbreviated transcription (Latin):
eata rum inaliquem equum est ei quod
fit ex composito illorum ineundem.
Lorum inprimum aliorum: equale est ei quod fit ex
ductu compositi eorumdem in eundem. Similiter in
scđm ⁊ t̾cium ⁊ ita usq ad ultimum. ꝑ añpremissã
aũ quod fit ex eodem composito in omnes illos: eqͣle
est ei ꝙ fit ex eodem incõpositum eoꝵ. ⁊ sic patet ꝓpositio.
uod fit exductu quorumlibet nume¬
rorum in quotlibet numeros: eqͣle
est ei quod fit excomposito. ipsoꝵ

Expanded text:
erorum in aliquem equum est ei quod fit ex composito illorum in eundem. lorum in primum aliorum equale est ei quod fit ex ductu compositi eorundem in eundem, similiter in secundum et tertium et ita usque ad ultimum. Per antepremissam autem quod fit ex eodem composito in omnes illos equale est ei quod fit ex eodem in compositum eorum. Et sic patet propositio. uod fit ex ductu quorumlibet numerorum in quotlibet numeros equale est ei quod fit ex composito ipso
Abbreviated transcription (Latin):
Dispositis numens. a.b.g̃. d. scđm quod ꝓponit ꝓposi¬
tio. Ponatur alium ab illis numerare.d. qui sit. ẽ. nu¬
meretq eum scd̃m. f. ꝑ quartam gͥ t̾cis. numẽrabit. a
alterum ipsorum. sitq ut numeret .ẽ. Numerabit itaq. fg̃.¬
ꝑ .xxu. scdi. numeretq eum scđm.h. Eadem ratione uł. f̃. ł¬
.h. numerabit .b. sitq ut .ħ. numeretq eum scđm .k. Itaq
ꝑeandem cãm aut .h. aut . k. numerabit .ã. esto ut .k. qui
si alius est ab. ã. non erit. ã. numerus pͥmus. quod est cc̃
ypotbesim. Siuͦ equalis erit ut ꝑpremissam qͦcienslib re¬
petitam .⁊.ħ.i. f.⁊.ẽ. sit de assignato ordine numeroꝵ ꝓpor¬
cionalium. Nichil gͦ accidet cͥc nostram ꝓpositionem.
inumeroꝵ ab unitate continue ꝓpor¬

Expanded text:
Dispositis numeris a b g d secundum quod proponit proposiDispositis numeris a b g d secundum quod proponit propositio. Ponatur alium ab illis numerare d qui sit e numeretque eum secundum f. Per quartam igitur tertii numerabit a alterum ipsorum sitque ut numeret e. Numerabit itaque f g per xxvam secundi. Numeretque eum secundum h. Eadem ratione vel f velh numerabit b. Sitque ut h numeretque eum secundum k. Itaque per eandem causam aut h aut k numerabit a. Esto ut k qui si alius est ab a, non erit a numerus primus. Quod est contra ypothesim. Si vero equalis, erit ut per premissam quotienslibet repetitam et h et f et e sint de assignato ordine numerorum proportionalium. Nichil ergo accidet contra nostram propositionem. § xxvii Numeris ab unitate propor
Abbreviated transcription (Latin):
Uunt.a.b. c̃. continue ꝓportionales insũa ꝓporcione mi¬
nimi. Numerẽtq.d.e.f. scd̾m .g̃. quem neutra radicũ
numeret. sintq radices. ħ.i. Dico quod non erit quartꝰ
cum.d .ẽ. f. continue ꝓportionał. Si enim est ponatur
l post .f. Numerabunt aũ. ã.b. ẽ. tres ultimos illoꝵ
inumeri quodibet in sua ꝓportione
miniminumerent totidem aliosse¬
cundum numerum aneutro termi¬
norum illius ꝓportionis numeratũ:
non erit aliuscum illis continue ꝑ¬
porcionalis.  unitate. a .b. c.d.ẽ.f. Palam itaq
est qm̃. ẽ. numerat. f̃. scd̾m .ã. patet etiam quod.d̃. nu¬
merat. f. scđm .b. ꝑ .xxi. scdi.⁊ econuerso .b. eundem nu¬
merat scđm . d. Simili mͦ manifestum quod. c̃. num̃at
.f. scd̾ni se ipsum ꝑ eandem mediantib hinc inde du¬
obus mediis. sicq patet ꝓpositio.
i sumantur numeri abunitate cõ¬
tinue ꝓporcionales. nullus eorum
numerabit ultimum nisi scd̃m
Aliquem in illo orclinem dispositoꝵ¬

Expanded text:
nta b c continue proportionales in sua proportione minimi. Numerentque d e f secundum g quem neutra radicum numeret. Sintque radices h l. Dico quod non erit quartus cum d e f continue proportionalis. Si enim est, ponatur k post f. Numerabunt autem a b c tres ultimos illorum i numeri quotlibet in sua proportione minimi numerent totidem alioscundum numerum a neutro terminorum illius proportionis numeratum, non erit alius cum illis continue portionales ab unitatea b c d e f. Palam itaque est quoniam e numerat f secundum a. Patet etiam quod d numerat f secundum b per xxiam secundi et econverso b eundem numerat secundum d. Simili modo manifestum quod c numerat f secundum se ipsum per eandem mediantibus hinc inde duobus mediis. Sicque patet propositio. i sumantur numeri ab unitate continue proportionales, nullus eorum numerabit ultimum nisi secundum aliquem in illo ordine disposito
Abbreviated transcription (Latin):
¶ Ut si . ã.⁊.b. sint
contra se pͥmi
⁊.c̃. numeret. ã. Idem erit pͥmus ad .b. Sin autem ali¬
quis cõmunit̾ eos numeraret qui sit .d̾. ⁊ quia ꝑ .xxiii.
primi .d. numerat.ã. sequitur contrarium positioni.

Expanded text:
 Ut si a et b sint contra se primi et c numeret a, idem erit primus ad b. Sin autem aliquis communiter eos numeraret qui sit d et quia per xxiiiam primi d numerat a, sequitur contrarium sue positioni.
Abbreviated transcription (Latin):
sic. Si quidem tercuis maiore fuerit minor ⁊ minore
maior. qm̃ ꝑpͦ minoris ad ipsum a parte uel apartibuᷤ
denõiat᷑. Maioris autem ad ipsum atoto ⁊ parte uel
partibus. siue a multiplice tocius: quare denomina
patet qm̃ maior płies partes est ipsius quam minor
sumptis unitatib. Ꝙ siminor: ꝯstat similtc̃ qm̃ sepius
potent detrahi demaiore uel tociens. ⁊ remanebunt plu¬
res eius partes. Alt̾am partem similit̃ argue. Si eñi t̃cus
maiore fuerit minor ⁊ minore maior. cum pars sit uł
partes maioris. ⁊ minorem excedat. minor er̃ ipsius
ad maiorem quam ad minorem ꝑportio. Siutroq
fuerit minor: er̃ ipse totidem partes maioris quot mi¬
noris sũptis unitatib s minores qm̃ maioris denõiati¬
onis unde ad eũ er̃ ipsius ꝓporcio minor. Sin autem
utroq maior uł pluries cõircinebit minorem: uel si
equaliter. plus fr̃addet.⁊ iõ ad minorem er̃ mmaio¬
i duo numeri adtercium compa¬
rentur: maioris ad ipsum erit ꝑ

Expanded text:
sic. Siquidem tertius maiore fuerit minor et minore maior quoniam proportio minoris ad ipsum a parte vel partibus denominatur, maioris autem ad ipsum et a toto et parte vel partibus sive a multiplice totius, quare denominatpatet quoniam maior plures partes est ipsius quam minor sumptis unitatibus. Quod si minor constat, similiter quoniam sepius poterit detrahi de maiore vel totiens et remanebunt plures eius partes. Alteram partem similiter argue. Si enim tertius maiore fuerit minor et minore maior cum pars sit vel partes maioris et minorem excedat, minor erit ipsius ad maiorem quam ad minorem proportio. Si utroque fuerit minor, erit ipse totidem partes maioris quot minoris sumptis unitatibus, sed minores quoniam maioris denominationis. Unde ad eum erit ipsius proportio minor. Si autem utroque maior, vel pluries continebit minorem vel si equaliter, plus superaddet. Et ideo ad minorem erit in maioi duo numeri ad tertium comparentur, maioris ad ipsum erit
Abbreviated transcription (Latin):
pars. d. ent gͦ paites.⁊ quia partes a .g̃. numerate ⁊. a.d. dicte sc̃
tamquam predicte partes multiplicationis. ⁊ quia ipse unũ
fatiunt ⁊ partes unius: ad dito uno fiet ꝑductum quod est de¬
nominatio ꝯposite ꝑportionis duo ⁊ partes unius. erit itaq
ipsa multiplex suꝑpartiens quod uoluimus ostendere.

Expanded text:
pars d. Erit ergo partes. Et quia partes a g numerate et a d dicte sunt pars d. Erit ergo partes. Et quia partes a g numerate et a d dicte sunt tanquam predicte partes multiplicationis et quia ipse unum faciunt et partes unius addito uno fiet productum quod est denominatio composite proportionis duo et partes unius. Erit itaque ipsa multiplex superpartiens. Quod voluimus ostendere.