comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
consistere qm̃ igitur demonstratũ :toni dimidiũ. int̃ ses qui sextam decimã
et ses qui septimã decimã proportionẽ locari: ab ac compatatione etiã
haec proportio mencienda est neȩ enim longius progrediamur su¬
tertius decimus hanc si eisdem apposuero fiunt cClUIs apparet igi¬
tur minorem eẽ proportionẽ celui ad cexlini ses qui octaua de¬
cima habitudine quod si dimidius tonus maior quidem est ses qui¬
sexta decima minor ses qui septima decima proportione. ses qui¬
octaua decima uero minor estsqui septima decima habitudine.
ducentorum uero Lui ad cc xl.iii comparatio quae scilicet relin¬
quitur exdiatessaron duobus retractis tonis minor est ses qui¬
octaua decima: non est dubium quin hac duorum numerorum
proportio semitonio longissime diminutior est sit
uod si ut ait aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus to¬

Expanded text:
constare. Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam constare. Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, su13 et semis. Hanc si eisdem apposuero, fiunt 256 et semis. Apparet igitur minorem proportionem esse 256 ad 243 sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus major quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptima decima proportione. Sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero 56 ad ducentos 43 comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima. Non est dubium quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sitQuod si ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus to
Abbreviated transcription (Latin):
septima decima toni dimidiũ. qm̃ quaeduplicata non implent integrũ
non tenent dimidium. semꝑenim dimidiũ duplicatũ ei cuiusẽ dimidiũ quos
amuero sieos numeros disponamus quide ses qui tertia proportione duob
tonis retractis relinquuntur in hisconsiderare possumus utrumea pporcio
quae post duos tonos relinquitur integriloco semitomi censeat᷑. quod suta
repertũsit illud quoque ẽ. c̃probatũ diates saron c̃sonantiã duobus conis
atq in tegrosemitonio copulari. eracigitur superius primus terminus cxci
ad huc ses qui tertiã ꝓportionẽ tenebant cC LUI sed ad primũ terminum cex ii¬
faciunt tonum ad cxui rursuscexlii toniobtinent locum. Estigitur qđ
relinquit᷑ extotadia tessaron proporcione eascilic& habitudo quae in ce¬
xLii &ducentis LUI unitatibus constat Haecigitur si probatur integritoni
essedimidium dubitari non potest diates saron exduobus tonis semitonioq

Expanded text:
septimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum, septimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum, non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei cujus dimidium esvero si eos numeros disponamus qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus utrum ea proportio quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur; quod si ita repertum sit, illud quoque est comprobatum diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius terminus primus 192. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant 256. Sed ad primum terminum 216 faciunt tonum. Ad 216 rursus 243 toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex diatessaron tota proportione, ea scilicet habitudo quae in 243 et 256 unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatessaron ex duobus tonis semitonioque
Abbreviated transcription (Latin):
erit tonidimidium acꝑhoc neculla alia maior sesquisexta decima ꝓpor¬
tione tonipoteriteẽ dimidiũ cumipsa sesquisexta decima integrotoni
dimidiosit maior. Sedqm ses quis exta decimã proportionem continua
sequit᷑ ses qui septima decima uideamus aneatonũ bismultiplicata ñ impleat
UIigitur numeri sesquiseptimã decimã partẽ ten& terminus xUuii ineadẽ
igit᷑ proportione siad xuiii numerumaliũ comparemus erit xviiii. & sep¬
tima decimapars. quodsi ad xuii terminum insesquioctaua ꝓportione positũ¬
numerum comparemus fientxuiiii & parsoctaua. maioruero estpars octaua
parte septima decima. maiorigitur est proportio numerorum XVII ACXUIIII¬
& octaua quãea quae inxun acxvni. & parteseptima decima continetur
quaes scilic& bissesqui septimae decimae ꝓportiones. duaeigitur ses qui¬
septimae decimae unum tonũ ñ uidentur implere. Nonestigit᷑ sesqui¬

Expanded text:
erit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla major sesquisextadecima proporerit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla major sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit major. Sed quoniam, sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, 17 igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus 18. In eadem igitur proportione si ad 18 numerum alium comparemus, erit 19 et septimadecima pars. Quod si ad 17 terminum in sesquioctava proportione positunumerum comparemus, fient 19, et pars octava. Major vero est pars octava parte septima decima. Major igitur est proportio numerorum 17 ac 19 et octava quam ea quae in 17 ac 19 et parte septima decima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non videntur implere. Non est igitur sesqui
Abbreviated transcription (Latin):
pasconi ad ꝓportione maiorẽ qđ ẽ dimidiũtoni estaũ ac ꝓportio sesqusexta decima .cs.
aũ ses qui septima decima : Nonest dubiũ quin inte gra medietas interses quis extain de¬
cima macses quiseptimã decimam cadat. sed hocinintegro numero nullo modo poteritinueniri
m̃uero adxuĩ numerũ xuĩ numerus comparatus suꝑ sesqui sextã decimam
õptinet proportionẽ si eiusdem x&uii numeri sextã decimam requira¬
mus erit unitas atq unitatis pars XVI. hunc sieidẽ XUII numero con¬
iungamus fientxuiii & parssexta decima. Sugitur xuuii & parssexta x
xinumero comparetur. rectetoni mensura uideat᷑ excedere qͥu ũadeũ solus
XUIII numerus sesquioctauã custodi& ꝓportionẽ. undefit utqm̃ suꝑsesqui¬
sexta decima proportio tonum bisaucta trascendit. non sitinte ggrum tom
dimidiũ quicquidenim bis dactũtrascendit aliquid. Idultra dimidium
illius eẽ uidebit᷑ quod trascendit. quocirca super sesquidecima non

Expanded text:
pars toni A D proportione major est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium quin integra medietas inter sesquisextadecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc in integro numero nullo modo poterit inveniri. Quoniam vero ad 16 numerum 17 numerus comparatus, supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si ejusdem 17 numeri sextam decimam requiramus, erit unitas, atque unitatis pars 16, hanc si eidem 17 numero conjungamus, fiunt 18 et pars sexta decima. Si igitur 18 et pars sexta decima 16 numero comparetur, recte toni mensuram videtur excedere, cum ad eum solus 18 numerus sesquioctavam custodiat proportionem. Unde fit ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur quod transcendit. Quocirca super sesquisextadecima, non
Abbreviated transcription (Latin):
Ex quibus facile apparet tonũ duobus semithoniis minorib & commate
constare nam sitotus tonus ex a potome constat ac semitonio semitho¬
ium uero ab apotome differt commate. Nihil est aliud apothome
nisi semithoniũ minus & commas. sigitur duo semithonia minora de tono
quis auferat comma fit telicum¬

Expanded text:
Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate; nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliqu
Abbreviated transcription (Latin):
hu ius igitur dispositionis hat ratioest. Continus enĩ uersus quilimis dicitur
occuplos numeros tenet. a sexto uero octuplo ses qui octauae proportiones
dicuntur. ubi uero octauas partes scripsimus octauaes̃ erum numerorum
iungantur posteriorem efficiunt numerũ qui ẽccxiñi dccc xii
idemq inceteris inuenitur. si igitur qui ultimus numerus qui ẽ dxxxĩ
cccc xLi. duplus eẽt prioris numeri qui ẽ: celxĩi exliuii recte dia¬
pason sex thonis constare uideretur Nunc aũt siminimi numeri idest pri¬
oris duplicẽ c̃ quiramꝰ minor erit eo numero qui ẽ maximus ac suprem̃¬
UΑ CCLX Ĩ CXL IIII numeri duplus est qui ad eum scilic& diapason c̃sonantiã tenec¬
Dxx niiĩ cc lxxxuini hic igitur minor ẽ eo numero qui sextũ retin& thonum eo
scilicet qui ẽ dXXXICCCEXLI minor est igitur diapason consonantia sextonis
atq id qđ sex toni diapason consonantiã suꝑuadunt. uoco coma quod constat

Expanded text:
Hujus igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunt eorum numerorum njungantur posteriorem efficit numerum qui est 294912. Idemque in caeteris invenitur. Si igitur ultimus numerus qui est 531441 duplus esset prioris numeri qui est 262144, recte diapason sex tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero qui est maximus ac supremus. Nam 262144 numeri duplus est qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet 524288; hic igitur minor est eo numero qui sextum retinet tonum, eo scilicet qui est 531441. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod constat
Abbreviated transcription (Latin):
aristoxenus arbitratur quod innumeris coquoque dispositũ euident̃ apparea
sex enĩ thoni in ordinẽ disponantur scilic& inses qui octauis proportionibus
constituti. Sex uero ses qui octaue proportiones a sexto octuplo procreantur
disponantur igitur sex octupli hoc modo¬
Ab hoc igitur ultimo numero sex thoni inses qui occaua proportione consti¬
tuti locentur hoc modo dispositis primũ octuplis terminis ut octaue
terminorũ partes ipsorũ terminorũ laterib ad iungantur sit aut̃ de scriptio
talis

Expanded text:
Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti, sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sexoctupli, hoc modoAb hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti locentur, hoc modo dispositis, primum octupiis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adjungantur; sit autem descriptio talis
Abbreviated transcription (Latin):
id exdiatessaron & tono: d is ponantur eni numeri quossuperior doscriptio con prehendit
retinent proportiones. Sediertuis ad quartum semitonii minoris ut supra monstratumesc.
Sugiturtelui octaua eisdem quorumoctauaest apponatur fiente lxxxuiii cuicentũ x¬
Lxuii comparati sesqualterũ spatium proportionis efficiunt. quocirratres quidẽtoni
sunt si primus ad scđm scđus ad tertiũ quintus c̃feratur ad quartũ semithoniũ
uero minustertiui ad quartũ terminũ comparatio tenet. quod si diatessaron qui¬
dem duorum est ac semithonii minoris diapente uero triũ thonorũ ac semitho¬
nii minoris iunctae uero diatessaron ac diapente unũ diapason uidentur efficere
erunt quinq thoni & duospatia semithoniorũ minora quae unũ thonũ ñ uide¬
antur implere. Non ert igitur diapason consonantia constassex thonis ut

Expanded text:
id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio comprehendit,id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio comprehendit,retinet proportiones. Sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur 256 octava eisdem quorum octava est apponatur, fient 288. Quibus 192 comparati, sesquialterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet; quod si diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, junctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere, erunt quinque toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur implere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut
Abbreviated transcription (Latin):
monstraret Nuncuero qm̃ ei parsoctaua deessemonstrat utriq numeri octiens
fiant. & exccxluii quidem octiẽs multiplicatis fiat numerus o dcccxlius quibus
si ꝓpria conferatur octaua quiscxlui fient ũclxxxuii rursuscelui ꝑoctonariũ
crescant fientigitur ũ milia xlvui atq hic supra scriptorũ t̃minoꝵ in medio c̃locetur¬
ertiusigitur terminus ad primũtoni retin& ꝓporconẽ secunđ uero ad primum
semi tonuminoris a poto mesuero tertius ad secundũ atq in hisdẽ primis apotomes
uidetur constare proportio cum semitonii cclau & ccxluu minimis numeris spaciũ
cclvi qm̃alui &cexł uii occonario multiplicatis̃ Sieni unus numerus duos qͣͦ libe
numeros multi plic& qui exe amulti plicatio nenas cantur ineadẽ erunt ꝓportione
quafuerunt hilnumeri quos priornumerus multiplicabie. tiauiuus puoi
acdia pente consonantus disseramus. diapente enim constat excribus tonis acsemttonio

Expanded text:
monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex 243 quidem octies multiplicatis fit numerus 1944. Quibus si propria conferatur octava qui sunt 243, fient 2187. Rursus 256 per octonarium crescant, fient igitur 2048. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio colloceturertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem. Secundus ad primum semitonii minoris. Apotomes vero tertius ad secundum. Atque in hisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in 256 et 243, minimis numeris spatium s 56, quoniam 256 et 243 octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur, in eadem erunt proportione qua fuerunt hi numeri quos prior numerus multiplicavit. CAPUT XXX. ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio,
Abbreviated transcription (Latin):
conputandã liqu&igitur eam proportionẽ que incelui & ccxlain est constitut a
nonesse intregrũ dimidiũ toni quo circaid quoduero sẽmi toniũ nuncupatur pars
thoni minorest quam dimidia.
Qeliquaigitur parsmaiorest apotome nuncupatur. a grecis: anobuero potestuacaridecisio
idenim natura fert ut quotiens aliquid segatur. t aut non aequis p̃tib diuidatur quan¬
minus integro dimidioioni minusẽ. tanto apotom& honi integra suꝑdimidiũ uinc &
ꝗm̃ docuimus sȩmitoniũ icc ln & cexlui principalt̃ stare nuncea quae a poto medicit᷑
in quibus possit minimis constare numeris ad probemus. Siigiturcexlui parte mre¬
cipere octauã possent cũ ad eũ sesquioctauus numerus comparet᷑ tunc. &ł ui habitudo
& sesquioctauã summam miniminumeri comparatã a potomen necessaria ratione

Expanded text:
computandam. Liquet igitur eam proportionem quae in 256 et 243 est constituta, computandam. Liquet igitur eam proportionem quae in 256 et 243 est constituta, non esse integrum dimidium toni; quocirca id quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia. inimis numeris constet. Reliqua igitur pars, quae major est, apotome nun cupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quarminus integro dimidio toni minus est, tanto apotome toni integrum superat dimidium et vincit. Et quoniam docuimus semitonium in 256 et 243 principaliter stare, nunc ea quae apotome dicitur. In quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur 243 partem recipere octavam possent cum ad eum sesquioctavus numerus comparetur, tunc 256 habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata, apotomen necessaria ratione
Abbreviated transcription (Latin):
nimũ qui est luiiii xl.uiiii. unum integrum non efficae thonum: quod si primi
ad scđm proportio quae est aequa scđi ad t̃tiũ proportioni in tegrieẽ semi¬
thonii probarecur duo dimidia iuncta linũ necessario efficerent thonum
Uunc aũt qu ũ non sit ex tremorũ t̃minorũ ses qui octala pro portio manifestũ
e haec duo spatia propriae tonorũ dimidia non uider il qͣuid enĩ cuiuscũq.
e dimidiũ si duplicetur illud efficit cui dicitur ee dimidiu siuero illud
implere nonpossit. Geminata particula minusest parte dimidia. Siuero suꝑfluat
acsuperuadat plusest parte: dimidia: precerea probabuntur Ixv drxxui non face¬
it sesquioctauã ꝓportionẽ. si lũiIII XLUIII unitatibus comparentur. Si octapars. Luiiu
xluiuii eisdẽ secundũ eas quȩ in arithmeticis dictaes̃ regulas aggeratur quaeqm̃ in in¬
tegris numeris ñc̃sistit id curto eandẽ octauã parem relinquimus lectorũ diligentiae

Expanded text:
nimum qui est 59049, unum integrum non efficit tonum. Quod si primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia juncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quidquid enim cujuscunque est dimidium, id si duplicetur illud efficit, cujus dicitur esse dimidium. Si vero illud implere non possit geminata particula, minus est parte dimidia. Si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur 65536 non facere sesquioctavam proportionem. Si 59049 unitatibus comparentur, si octava pars 59049, eisdem secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eamdem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae
Abbreviated transcription (Latin):
Sed hanc siquęrimus integris numeris differentum conlocare qm̃inea
parte quae est s⁊ parstertia siaddatur plenamefficit unitatem quae
parstertia ciusdem Sdimidiũ est sicotius differentiae dimidiũ eidem
matis ꝓportionem tenebat comaenimest. quosextoni superant diapason
consonantiam quae in primis uũ clui unitatibus continentur. utigitur
differentiae dimidium propriũ adiecimus ut inuũ Cltribus excrescer&
Ita &iam cunctis. ã s̃ c̃ O terminis medietates proprias adiungamus
& eadem erit in omnib: quae supra portiofi& qu eeadẽ intesquinque
tonos acbisdiatessaron differentia quȩ est inter sextonos acdia pason
consonantiã: differentia scilic& ũ CLii unitates. unde colligitur quin¬
que tonos bisdiatessaron & sextonos unum diapason tantũ comate supe¬
rare quod in primis uuI CLiII unitatibus inuenitur. Idautem payte¬
faci& sub iecta descriptio

Expanded text:
Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte quae est besse pars tertia si addatur, plenam efficit unitatem, quae pars tertia ejusdem besse dimidium est, si totius differentiae dimidium eidem mmatis proportionem tenebat. Comma enim est quo sex toni superant diapason consonantiam, quod in primis 7153 unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adjecimus, ut in 7153 excresceret, ita etiam cunctis A B C D terminis medietates proprias adjungamus, et eadem erit in omnibus quae supra proportio, fietque eadem inter quinque tonos ac bis diatessaron differentia quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet 7153 unitates. Unde colligitur quinque tonos bis diatessaron, et sex tonos unum diapason tamen commate superare. Quod in primis 7153 unitatibus invenitur. Id autem patefaciet haec subjecta descriptio
Abbreviated transcription (Latin):
multi plicetur septuagies ter efficient numerum k iđ dxxii clav
qui comparatus Bnumero uincitur eodem. ẽ eisdem ĩi cXUIIII sublato
igitur s̃ denumeris ã atque B. effectisunt p̃ atque k minorem igitus
pro portionem retinebunt.ã at que s quam F atquek sed p̃at que R
maior est igitur proportio ã atq s numerorum comma contmentium
quam lxxiiii ad lxxiii. sed paulo ante monstratum est eandem cõmatis
proportionem minorem esse quamlxxv ad lxxiiii. monstrati sunt igitur
numeri qui cõmã continent maiorem quidem interse habere propostionẽ

Expanded text:
multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, scilicet 2119. Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebit A atque B quam F atque K. Sed F atque KMinor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium quam 74 ad 73. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem majorem esse quam 75 ad 74. Monstrati sunt igitur numeri qui comma continent, majorem quidem inter se habere proportionem
Abbreviated transcription (Latin):
continentes quamlxx iili ad Lxxliii comparatii iduero monstrabicur
hoc modo reminiscendũ prius ẽ quid scđo uolumine dixerimus quum demen¬
sura differentiae loque bamur si enim ex qualibet proportione differentia
corum numerorum qui eam continent auferamus.  hii qui relinquuntur
maiarem obtinebunt proportionẽ his numeris qui erant ante disferencias
diminutionem sint enim VIII.& .VI. abhis propriam aufero differentum
iđ duo fiunt Ui & iiii. sed in superioribus ies qui tertia in hac sesqual¬
tera proportio continetur maior uero est ses qualtera proportio ses¬
qui tertia proportione sint igitur idemã atqs qui sunt superius de¬
scripti quorum que differentia c̃ multiplico differentiã ẽ numeri septu¬
agies quater fit mihi numerus ꝑ̃ scilicet dxxuiiii ccc xxii. quiã nu¬
mero comparatus uincitur numero õ scilicet ũ c. xuiiii. rursus idem. ẽ

Expanded text:
continentes, quam 74 ad 73 comparati. Id vero monstrabitur continentes, quam 74 ad 73 comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur majorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim 8 et 6. Ab his propriam aufero differentiam, id est 2, fiunt 6 et 4. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Major vero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B. Qui sunt superius descripti, quorum est differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus F, scilicet 529322. Qui A numero comparatus vincitur numero G, scilicet 2119. Rursus idem C
Abbreviated transcription (Latin):
agies quinquies auctus esc. ꝑ c̃ scilic& multiplicatũ. ẜ autem septuagies
quater mult iplicato c̃ creuit obtinet igitur inter se pro portionem datq p
quam habent Lxxu ad lxxiiii sed õ atq F sunt a atque d uno ei s addito ẽ
maiorem igitur necesse ͤ proportionem contineri int ã atq s̃ quam int̃d
atq F. Namq ã atque b̃ numeris uno E addito effecti sunt datq f̃ minor
igitur proportio est intð at que p̃ qua interã atque s sedinter datq p̃
cadem proportio est quae int̃ LXXU. & lxxiiii. Intã igitur atque s. muor
proportio. est quam int̃ lxxu. & lxxiiii. adã atque s comma contin&
maior igitus proportio est commatis quam lxx ad lxxiiii.
m igitur ostendimus comatis proportionẽ maiorem esse quã eam quam
lxxi continent ad laxxinii compꝗrati. Nunc ostendendum est: quem ad¬
modum minorem inter proportibnẽ contineant numeri spatium commatis

Expanded text:
agies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies agies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicato C crevit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent 75 ad 74. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, majorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter 75 et 74. Inter A igitur atque B major proportio est quam inter 75 et 74. Ac A atque B comma continent. Major igitur proportio est commatis quam 75 atque 74. m igitur ostendimus commatis proportionem majorem esse quam eam quam 75 continent ad 74 comparati; nunc ostendendum est quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis
Abbreviated transcription (Latin):
tia. sedintes vi &xiii ses qualcera. int̾.uiii & sex sesquit̃ta proportio con¬
tinetur minor ueroest ꝓportio sesquit̃tia sesqualtera ꝓportione hocigit
ita p̃dicto disponantur superiores numeri quiꝓportionẽ cõmatisc̃cinebant.
tusit c̃uĨ CLii. c̃ igitur numerus maiorẽnumerũ quiẽ.a septuagies
quinquies metiat᷑. siergo c̃ numerũ septuagies quinquies multiplicẽ fienemihi¬
o numerus quiẽ  XXXUI CCCLXU. igit̾ d̃ numerus eum quiest. Anumeri
eoquiest ẽ. antecedit iđ u XXXIII. rursus c̃numerus eũ quiẽ B m&iatur
septuagies quater multi plicetur. qui fi&igitur numerus F. Dxxuiui¬
cccxxiiii. qui ẜ̃ eoqui est B. minorẽ. eodẽ. ẽ. numero qui est. UXXXIIII
ergo .d. numerus eũ quiest.ã trascendit. ẽ numero. F aũ numerus aheo qd ẽ
b uincitur eodem ẽ numero. Siigit e numerũ ã numero appona musfi& ð
Siuero s̃ numero eundem ẽ apponamus fi&. F. seddnumerus septu¬

Expanded text:
t 6, sed inter 6 et 4 sesquialtera, inter 8 et 6 sesquitertia proportio continetur, minor vero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita praedicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, tia sit C 7153: C igitur numerus majorem numerum eo qui est A septuagies quinquies metiatur. Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D qui est 536475. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est 5034. Rursus C numerus cum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F 529322. Qui F eo qui est B major est eodem E numero qui est 5034. Ergo D numerus eum qui est A transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet D. Si vero B numero eumdem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septu
Abbreviated transcription (Latin):
ut dep̃hendatur sifrequentissime talis particula ꝑ eosdem crescanterrores.
Namquod inminimos auds anecernitur compositũ coniunctũq quũ iãmagnũ
ẽeceperit. uidetur: a quaigitur proportione estordiendũ. Hanc conpendium
dabimus questioni si abeode quoquaeritur ordiamur. iduero est tonus induo
positae qua partiri nec ne Nũc igitur deconoest ꝑtractandũ & quẽ ad¬
modum nom possit induo aequadiuidi de monstrandũẽ. Quã de monserationẽ
siquid adreliquas super particulares cõparationes trans ferat similit̃ de monstrabit᷑.
Suꝑparticulare in aequanoto atq integronumero separari nom posse: primugitur
tonum continentes numerisunt .uIII acq.uiiii. Sedqm̃ se histiit naturaliter consequuntur
ut medius intereos numerus non sit eosdembinario quoscilic& minimo possũ multiplico.
fiuntigiturxVI aCXUIII. inter hosuero naturalis numerus cadit quiest .xuii. igitur xuiur

Expanded text:
ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum conjunctumque cum jam magnum esse coeperit pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum an compendium dabimus quaestioni, si ab eo de quo quaeritur ordiamur. Id vero est tonus, in duo aequa possit partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt 8 atque 9. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur 16 ac 18, inter hos vero naturaliter numerus cadit qui est 17; igitur 18
Abbreviated transcription (Latin):
medie tatem. aut quã libet aliam quarũ in arch meticis fecimus mentionẽ
quod si id demonstrabitur ne illud quidẽ c̃stare poterit ses qui octauam
pro portionẽ quae tonos ẽ indimidia posse discerni: quando quidẽ qui¬
octaua om̃is insuꝑ particulari in aequalitatis genere consistit iduero meli¬
us inductione monstrabitur nãsi ꝑ singulas proportiones consideratione
deducta scilicet suꝑ particulares nulla prorsus occurrit quac int̃ posito
medio t̃mino aequis proportionibus diuidatur non ẽ duorũ quod suꝑ parti¬
cularis comparatio non possit in aequa partiri quod. quosiuidetur. auribus cõ¬
sonum aliquid canere cumcuilib& uoci duocani ac semiconium integrum
distans uocula conparetur iddñoee c̃sonũ naiura mostratur. Sed qm̃ sen¬
sus omnis queminimas cp̃hendere nequeat. Id circohanc disferenuami
quaeultra con sonũ ꝓcedit sensum aurium non possediscinsuere. foreaũ

Expanded text:
medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est in dimidia posse discerni, quando quidem sesquioctava omnis insuperparticulari inaequalitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit quae, interposito medio termino, aequis proportionibus dividatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quod si videtur consonum auribus aliquid canere, cum cuilibet voci duobus tonis ac semitonio integro distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem
Abbreviated transcription (Latin):
tonio dimidiũ tonũ integrũ nõ posse ꝑficere si singillatim considerata trac¬
tentur. atq: ideo diapason atque ad sex tonos nullomodo ꝑ uenire sed qm̃
aristoxenus musicus iudicio aurium cuncta ꝑ mittens sex semitonio non
arbi trantur esse scđm prthagoricos contractiota dimidio sed sicut semi¬
thonia dicuntur Itase medietates tonorum de hisdem rursus paulisꝑ est
disputadum: de monstrandumq: prius nullam suꝑ particularem habitu¬
dinẽ nocto numero possedi uidi integra medietate. Int̾duos enim nu¬
meros suꝑ particularem pro portionem continentes siue illi sint princi¬
pales quorum est unitas differentia siue posteriores nullus ita poterit me¬
dius numerus conlocari ut quã minimus proportionẽ tenet admediũ eã
medius teneat extremũ scilicet ingeo metrica proportione. sed aut diffe¬
rentias aequas potest facere ut sit aequalitas scđm arith metricã medie¬
tatẽ. aut armonicam int̃ eosdẽ t̃minus medius numerus c̃locatus faci&

Expanded text:
tonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, judicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet
Abbreviated transcription (Latin):
est altrinsecus angulorum. multa &iam sunt alia quae in hac
descriptione utilia possint. ad mirabilia que ꝑpendi. qua e
interim propter castigatam introducendi. breuitatem igno¬
ta es se ꝑmittimus. nunc uero ad sequentia propositum conuer
gitur post duas primas habitudines multiplices & superpar¬
ticulares & eas quae subipsis sunt submultiplices . & subsuper¬
particulares tertia in aequalitatis species inuenitur.
quae a nobis superius super partiens dictaest: Haec autẽ
est. quae fit cumnumerus ad alium conparatus hab& eum
totum infrase. & eius insuper aliquas partes. uelduas.
uel tres. uel .iiii. uel quod ipsa tulerit comparatio. quae

Expanded text:
est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum converterationibus. Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares, et eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae
Abbreviated transcription (Latin):
senarium reddunt. Nouenarium uero ui .& xii. claudunt
qui xii. extribus nascuntur . & iiii. ter enim .iiii. fiunt .xii. qui¬
om̃s uno maioribus lateribus ꝓcreati sunt. Namcum ui. exbina¬
rio ternario que nascuntur. Tresbin ariumnumerum uno
superant. Cunctique aluieius demmodisunt ut primo & se¬
cundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis pro¬
creantur. Ita ut quod nasc&ur exduobus longilateris.
altrinsecus positis. & bis medio t&ragono. t&ragonussit. &rur¬
sus qđ ex duobus altrinsecus t&ragonis. & uno medio longi¬
latero bis facto nascitur. Ipse quoq t&ra gonissit. & ut angu¬
lorum totius descriptionis ad angulares t&ragonos posito¬
rum unius anguli sitprimaunitas. Alterius uero qui contra
est: tertia: biniuero altrinsecus anguli secundas habent uni¬
tates: & duo angularium t&ragonorum anguli. aequum faci¬
ant quod subipsis contin&ur. illic quod fit abuno. illorum qui

Expanded text:
senarium reddunt. Novenarium vero sex et duodecim claudunt, senarium reddunt. Novenarium vero sex et duodecim claudunt, qui duodecim ex tribus nascuntur et 4. Ter enim 4 fiunt 12, omnes, uno majoribus lateribus procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui
Abbreviated transcription (Latin):
ses quitertia comparatio conseru&ur. Pra&erea eos quisub
ipsis sunt. sidem faciens sequentes uersus alter utris conpa¬
raueris omnes sineullo inpedimento species suꝑparticularis
agnosces. Hoc autem in hac est dispositione diuinum. quod
om̃s angulares numeri. t&ra gonisunt. T& ragonus autem
dicitur ut breuissime dicam. quod postlatius explicabitur
quem duo aequales numeri multiplicant. utinhac quoque
des criptioneest unus enim semel unusest. & est potestate tara
gonus. Itembis duo .iiii. sun. terr terni uini. quos insem& ipsos
multiplicationes primi ordinis ꝑfecerunt. Circũ ipsos uero qui
sunt id est circum angulares longilateri numeri sunt. longi¬
lateros autem uoco quos uno se suꝑ gradientes numeri multi¬
plicant. Circum .iiii. enim duosunt. & ui. &duo nascuntur &uno
& duobus cum unũ bis multiplicaueris. sed unitas ab inario uni¬
tate praeceditur. sexuero ex duobus. & tribus. bis enim tres

Expanded text:
sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos qui sub sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces. Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descgonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primordiis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres
Abbreviated transcription (Latin):
decuplum dispositissima ordinatione ꝑueni&. si quis uero in
hac descriptione suꝑ particularis species requirat. talimodo
repperi&. sienim secundum angulum not&. Cuius est iniciũ
quaternarius eique suꝑiac& bin arius atq adhunc sequentẽ
quis accomod& ordinem sesqualtera ꝓportio declarabitur
Namtertius secundi uersus ses qualter est. ut .iii. ad .ii. uel sex
ad in. uel .viiii. ad sex. uel xii. ad .uiii. Itemque in c&eris. qui suNt
in eadem serie numeri. sitalis coniugatio misceatur. Nulla ua¬
ri&atis dissimilitudo subripi&. Eadem tamen summarum suꝑ¬
gressio est. in hoc quoque qua e induplicibus fuit. primus enim
primum id est ternarius binarium unum superat. secundus
uero secundum duobus tertius .iiiͣ. tribus. & deinceps. siuero
quartus ordo tertio conpar&ur. ut .iiii. ad .iii. & eodem c&eros
ordine consecteris. ses qui tertia conparatio colli getur. ut .iiii.

Expanded text:
decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione, superparticularis species requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus, sesquialter est, ut tres ad duo, vel sex ad quatuor, vel 9 ad 6, vel 12 ad 8. Itemque in caeteris qui sunt in eadem serie numeri, si talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo surripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum, duobus tertius, tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4
Abbreviated transcription (Latin):
enim primum. duobus superat. ut unum .iii. secundus secun¬
dum quaternario. ut binarium senarius. Tertius tertium.
sex ut ternarium nouenarius. & ad eundem . c&eri mocum
progressionis augescunt Quamrem nobis scilic& & ipsa
naturalis obiecit integritas. uihil nobis extramachinanti¬
bus ut in ipsomodolo discriptionis appar&. siquis autem
quarti anguli terminum qui sed ecim numeri quantita te
notatus est & longitudinem latitudinemque in quadrage¬
nos d&erminat. uelit superioribus comparare. ꝑx. litterae
formam. proportione conlata quadrupli multitudine per¬
noctabit his quae est ordinabilis suꝑsẽ progressio. ut primus᷑
tribus super&. ut .iiii. unitatem. secundus secundum senario
uincat. ut .viii. binarium. tertius tertium nouenario transeat
uiduo denarius ternarium. Et sequentes summulae trium
semꝑ adiecta quantitate transiliant. & siquis subteriores as¬
piciat angulos. idest ꝑomnes multiplicatas species usque ad

Expanded text:
enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secunenim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis accrescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quiditate notatus est, et longitudinem quae in quadragenos terminat, velit superioribus comparare, per 10 litterae formam proportione collata, quadruplici multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, et ut primus primum tribus superet, ut quatuor unitatem, secundus secundum senario vincat, ut octo binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque a
Abbreviated transcription (Latin):
NLRATIO ATO TXPOSITIO DIGESIA TOAVVLA¬
iigitur duo prima latera propositae formulae quae saciunt᷑
angulum ab uno adx .&x. procedentia. respiciantur. & his
subteriores ordines comparentur. quiscilic& . a iiii. angulum
incipientes inuicenos terminum ponunt duplex idest prima
species multiplicitatis ostenditur . ita ut primus primum
sola super& unitate . & duo unum secundus secundum binario
suꝑuad at ut quaternarius binarium. tertius tertium tribus
ut senarius ternarium. quartus quartum quaternarii nu¬
merositate transcendat. utocto quaternarium. & ꝑ eandem
cuncti sequentiam seseminoris pluralitate pra&ereant.
si uero tertius angulus aspiciatur. qui ab nouem inchoans
longitudinem latitudinem que tricenis altrinsecus numeris
extendit. & hiccum prima latitudine & longitudine conpa¬
r&ur. Triplexs pecios multi plicitatis occurrit. Ita utista con¬
paratio ꝑx. litteram fiat. hi que senu meri superabunt se¬
cundum paritatis factam naturaliter conexionem primus

Expanded text:
Ratio atque expositio digestae formulaSi igitur duo prima latera propositae formulae quae faciunt angulum, ab uno ad 10, et 10 procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostendsola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per decimam litteram fiat, hique se numeri superabunt, secundum paralitatis factam naturaliter connexionem; primus
Abbreviated transcription (Latin):
inqua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui
numeri ordo naturalis. & secundo uersu duplus ordo texatur
tertio triplus quarto quadruplus. & hocusque ad decuplum.
sicenim cognoscemus que madmodum. suꝑ particulari. & suꝑ particu¬
lari & suꝑ partienti & cunctis aliis princepserit. species multi¬
plicis & quaedam alia simul inspiciemus. & ad subtilitatem te¬
nuissima & ad scientiam ut ilissima & ad exercitationem iucundis¬

Expanded text:
in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis, et secundo versu duplus ordo texatur, tertio vero triplus, quarto autem quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem vald
Abbreviated transcription (Latin):
xii. sunt x. &xi. secundum hunc modum quarta dis positio. tres.
quinta quattuor intermittit.
MI DISCRIPIIO PIR QUAM DOCETUACETIRIS INAEQUA¬
Etiam multiplicem in aequalitatis speciem cunctis prae
suimus planissime breuiterq doceamus. sit enim talis descriptio

Expanded text:
t 12 sunt 10 et 11; secundum hunc modum quarta dispositio 3, t 12 sunt 10 et 11; secundum hunc modum quarta dispositio 3, quinta 4 intermittit. Descriptio per quam docetur caeteris inaequatiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praepsuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio
Abbreviated transcription (Latin):
DIGUODAM UTILIAD COGNATIONEM SUPER PARICULA¬
RIBUS ACCEBENTI
oc autem ad mirabile pro fundissimum que inistorum ordi¬
nibus inuenitur. quod primus dux primus que comes ad
seinuicem nulla num eri intermissione copulantur. Nam pri¬
mi sineullo inmedio posito transeunt. secundi interponunt
unum tertii duos. quartitres: & deinceps una semꝑ minore
quam ipsi sunt intermissione succrescunt. atq. hoc uelin
ses qualteris. uel inses quitertus. uel in alus suꝑparticularis
partibus necesse est inueniri. Nam que ut qua ternarius
contra ternarium conpar&ur. Nullum intermisimus. post
tres enim mox .iiii. sunt. atuero .iii. contra .viiii. insecund osci¬
lic&. ses qui tertio una facta est intermissio. inter ui. enim &¬
Viii. solus est. uiinarius. qui trans missus estnumerus. Rursus ut
uiii. contra .xii. conparemus qui sunt indis poritione tertii.
Duorum mediorum est facta transmissio. Inter uIIII. enim. &¬

Expanded text:
De quodam utili ad cognitionem superparticulaDe quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente. Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt 1, tertii duos, quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus, post 3 enim mox 4 sunt. At vero 6 contra 8, in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numerus. Rursus ut 9 contra 12 comparemus, qui sunt in dispositione tertii, duorum mediorum est facta transmissio. Inter 9 enim e
Abbreviated transcription (Latin):
Eruntque duces quadrupli comites tripli . sitenim in ordine hoc
modo numerus naturalis. ut subeo quadrupli. & subeo triplisint
subponatur sub primo quadruplo primus triplus. subsecundo
secundus. sub tertio tertius. eodemmodo cuncti eiusdem pri¬
miuersus tripli ordinem dirigantur.
gitur primum primo sicc̃ pares. ses quitertia ratio continebitur
Namsiquattuor tribus compares habebunt inse.iiii. totũ ter¬
narium. & eius tertiam partem id est .i & sisecundum secundo
id est octonario senarium compares. ideminuenies habebit
enim octimarius senarium totum. & eius tertiam partem idest ii
& ad ꝑeandem sequentiam . usque in in finitum ꝓgrediendumest
Notandum quoq est quod .iii. comites sunt duces iui rursus .aii.
comites duces .uii: & in eodem ordine c&eri. similimo douocasiur
duces ses quiterti comites subses quiterti. & incunctis secundũ
hunc modum posita conuenit seruare uocabula. XXU

Expanded text:
eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigantur. Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebunt in se 4, totum ternarium et ejus tertiam partem, id est 1, et si secundum secundo, id est octonarium senario compares, idem invenies: habebit enim octonarius senarium totum, et ejus tertiam partem, id est 2, et per eamdem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est quod 3 comites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesquitertii, comites subsesquitertii, et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula. CAPUT XXV.