comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
e ntili sese cõntingere di cuntur qui tangentes se muicẽ
non seccint. Recte linee maurulo equaliter ditare dnͣr
a centro sum a centro ad ip̃as ducte perpendicuiares
fu̾int equales. Plus uero acentro ditare dicitur in ꝙ
perpendiculciris longior ccidit. Recta linea porcionem¬
cutuli continens corda nommatur. Portio uero cutũ¬
ferentie artus nũcupatur. angulus aut̃ portõis. sure¬
artus dicicur: qui a corda et aitu continetur. Supra
arcum consistere angulus dicit᷑ qui aquolibet pũcto
cutus ad corde terminos duab rectis lineis exeunitibus
continetur. sector curruli est figura que sub duabus

Expanded text:
Circuli sese contingere | dicuntur, qui tangentes sese invicem non secant. ⟨iv⟩ Recte linee in circulo equaliter dicuntur distare a centro, cum a centro ad ipsas ducte perpendiculares unt aequales. Plus vero a centro distare dicitur linea in quam perpendicularis longior cadit. circuli continens corda nominatur. ⟨vii⟩ Portio vero circumferentie arcus nuncupatur. ⟨viii⟩ Angulus autem portiis dicitur, qui a corda et arcu continetur. ⟨ix⟩ Supra arcum consistere angulus dicitur, qui a quolibet puncto arcus ad corde terminos duabus rectis lineis exeuntibus continetur. ⟨x⟩ Sector circuli est figura, que sub duabus
Abbreviated transcription (Latin):
Onnuis erigoni tanto etique acutum respicit angulum¬
in seducca anbob lat̾ibus angulum acutum continen¬
tibus minus potest: quautum est quod bis continetur
subuno eorũ eͥ peipendiculans incra suꝑsinc eaq siu ꝑte
que perpendiculari anguio q acuto inteuacet

Expanded text:
Omnis oxigonii tanto ea que acutum respicit angulum ambobus lateribus angulum acutum continentibus minus potest, quantum est quod bis continetur sub uno eorum cui perpendicularis intra superstat eaque sui parte que perpendiculari anguloque acuto interiacet
Abbreviated transcription (Latin):
um diuisa fuerit linea scd̃m ꝓporcionẽ hatentem
mediũ duoq extrema si maiori porciomi linea i
longum addatur equalis dimidio ip̃ius linee ꝓporcio¬
nalr̃ diuise quadrcitum linee ex eis ducib cõpositeqͣ¬
deati medietatis eiusdem diuise linee quincuplũ ẽẽ ne¬

Expanded text:
um divisa fuerit linea secundum proportionem habentem medium duoque extrema, si maiori portioni linea in longum addatur equalis dimidio ipsius linee proportionaliter divise, quadratum | linee ex eis duabus 5 composite quadrati medietatis eiusdem linee divise quincuplum esse ne
Abbreviated transcription (Latin):
Si cuilibet lnee biꝑtite cuius quadratum quadrati al¬
terutrus suarum porcionum sit quincuplum in longũ
sibi linea addatur donec eidem porciomi reliqua porcio
cum ciddica linea ficit duplex ecidẽ duplex linea scõm
ꝓporcionẽ habentẽ mediũ duoq extrema duusa eut

Expanded text:
Si cuilibet linee bipartite, cuius quadratum quadrati alterutrius suarum portionum sit quincuplum, in longum sibi linea addatur, donec eidem portioni reliqua | portio cum addita linea fiat duplex, eadem duplex linea secundum proportionem habentem medium duoque extrema divisa e
Abbreviated transcription (Latin):
Quo constituto sim minori spera siue inqualibet alia
spera simile corpus intelligibilĩ cõstituatur eric propo¬
cio corporis multax intra maiorem speram consticuti
ad corpus multarum basium intra minorem speram
uł aliam consticutum sicuc diametri maioris spere ad
diametrum minoris uł alterius spere ꝓportio cͥplicata

Expanded text:
Quo constituto si in minori spera sive in qualibet alia spera simile corpus intelligibiliter consti- tuatur, erit proportio corporis multarum basium intra | maiorem speram constituti ad corpus multarum basium intra minorem speram vel aliam constitutum sicut diametri maioris spere ad diametrum minoris vel alterius spere proportio triplicata.
Abbreviated transcription (Latin):
Slextra cutulum puncto assignato ab eo ad cutũ fentiã
lmee pliuime curulũ secando ducaintur. que super centrũ

Expanded text:
extra circulum puncto signato ab eo ad circumferentiam linee plurime circulum secando ducantur, que supra centrum
Abbreviated transcription (Latin):
Ia duob punctis aliqͣm
liueam t̾uũantib due
linee ad punctl̃i unũ ꝯcur¬
rentes exieruit dito ab eis
pũctis alias duas singłas

Expanded text:
a duobus punctis aliquam lineam terminantibus due linee ad punctum unum concurrentes exierint, ab eisdem punctis alias duas lineas
Abbreviated transcription (Latin):
Diramidem quatuor basium triangularũ et equi sa¬
terum ab assignata spera citum scribilem fabrica
re. huius ergo spere diametios ad latus ip̃ius pyra¬
midis sexqualteram ꝓporcionem potencialiter here

Expanded text:
iramidem quatuor basium triangularium et equilaterarum ab assignata spera circumscriptibilem fabricare. ⟨Corollarium⟩ Huius ergo spere diametros ad latus ipsius piramidis sesquialteram proportionem potentialiter habe
Abbreviated transcription (Latin):
Simdiametro cutuli punctus p̾r centrum signecur
et ab eo ad cutũfẽnciam linee pli̾me ducantur: que suꝑ
centrum transiert: ommũ eric longissima. Que uero

Expanded text:
diametro circuli punctus preter centrum signetur et ab eo ad circumferentiam linee plurime ducantur, que super centrum transierit omnium erit longissima, que vero
Abbreviated transcription (Latin):
Ei suꝑticies medialis su ꝑficiei mediali detrahaur suls¬
ꝙr reliqua tot icominensurabilis que mipam reli¬
quam pot. alterutia erit duaiũ uratõnalium .s. aut
residuũ mediale scd̃m aut cum mediali cõponẽs

Expanded text:
i superficies medialis superficiei mediali detrahatur fueritque reliqua toti incommensurabilis, que in ipsam reliquam potest alterutra erit duarum irrationalium videlicet aut residuum mediale secundum aut cum mediali componens
Abbreviated transcription (Latin):
Si fuernt duo anguli plani equales suꝑ equos due
ypothenuse maere statuantur cum lateribus angu¬
lorum sb̃iacentium singulos singulis equos angu¬
los continentes atq in illis ypothemisis duo puncta
signentur a quibus punctis due ꝓpendiculaires ad
supficies angulorũ ꝓpositoꝵ dimictantur. a pũctis
autem suꝑ que ꝑpendidares cecid̾int ad eos dem an

Expanded text:
Si fuerint duo anguli plani equales, super quos due ypothenuse in aere statuantur cum lateribus angulorum subiacentium singulos singulis equos angulos continentes, atque in illis ypothenusis duo puncta signentur, a quibus punctis due perpendiculares ad superficies angulorum propositorum dimittantur, a punctis autem super que perpendiculares ce
Abbreviated transcription (Latin):
Si fuerint duo tiangͣuli suꝑ angulum constituti q̃x
duo latera aͥngulum illu̾m continentia duob alus
eorum laceribus equidisten̾t fueimt ꝙ illã.iiiʳ l aicera
scõm equidisttintiam relata proporcionalia. illos duos
tuangulos suꝑ unam lineam rectan constitutos ẽt¬

Expanded text:
Si fuerint duo trianguli super unum angulum constituti, quorum duo latera angulum illum continentia duobus aliis eorum lateribus equidistent, fuerintque illa quatuor latera secundum equidistantiam relata proportionalia, illos duos triangulos super unam lineam rectam constitutos e
Abbreviated transcription (Latin):
Si lmea recta in duo equa diundcitur eiq in longum alia
linea cid datur quadeatum quod descubitur a tococum addi¬
tci et quadracum quod ab ea que addita est utraq quadra¬
ta parit᷑ accepta ei quadrato quod a dindia eiq quod ab
eci producicur que er dmndia ai diectaq consiaic utiscz qua

Expanded text:
Si linea in duo equa dividatur eique in longum alia linea addatur, quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est utraque quadrata pariter accepta, ei quadrato quod a dimidia eique, quod ab ea producitur que ex dimidia adiectaque consistit, utrisque qua
Abbreviated transcription (Latin):
Sirecta linea ꝑ duo equalia et duo mequaliai sececur quod
sub mequcilib tocus sectionis rectangulum ꝯtinetur ꝯ
eo quadrato quod abea que est inter utrasq sectiones
descͥbitur. equi est ei quadicico quod a diundio cocius
linee inseducto continetur.

Expanded text:
recta per duo equalia duoque inequalia secetur, quod sub inequalibus totius sectionis rectangulum continetur, cum eo quadrato quod ab ea que inter utrasque sectiones describitur, equum est ei quadrato quod a dimidio totius linee in se ducto describitur.
Abbreviated transcription (Latin):
irecta lmea imn diio equa diuidatur ailia uero eunlon¬
gun iiea ad datur quod exductu tocius iam composite
mẽam que sibi ad iecta est cun eo ꝙ ex ducu dimdie i sẽ¬
ipãm cõficitur equm est ei quadrato quod ab ea que
cõnstat ex adiectai aco dimidia insemet ipãm ducta desc̾¬

Expanded text:
a dividatur, alia vero in longum ei linea addatur, quod ex ductu totius iam composite in eam que adiecta est, cum eo quod ex ductu dimidie in seipsam, equum est ei quadrato, quod ab ea que constat ex adiecta et dimidia in seipsam ducta desc
Abbreviated transcription (Latin):
Omiis trianguli equi lateri quod a latere suo quadra¬
tum describitur triplum est quadrato dimidii dia¬
metri circuli a quo triangulus ip̃e conscbitur

Expanded text:
Omnis trianguli equilateri, quod a latere suo quadratum describitur, triplum est quadrato dimidii diametri circuli, a quo triangulus ipse cir
Abbreviated transcription (Latin):
tamꝙͣ numeri quadeati ad numerum quadrãtum. si uo
fuerit ꝓporcio supficiei quadrate ad suꝑficiem qͥuadeatã
tũꝙͣ ꝓporcio numeri quadrsiti ad numeium qͣdraicum:
erunt latera eorum in longicudine coĩcantia. qd̃ si fueut
ꝓportio suꝑficiei quadeate ad supficiem quadratam nõ
uelud niũ quadrati ad numeꝵ quadratũ latera eaium
erant in longitudine in cõm̃siuabilia.

Expanded text:
i ad numerum quadratum. Si vero fuerit proportio superficiei quadrate ad superficiem quadratam tamquam proportio numeri quadrati ad numerum quadratum, erunt latera earum in longitudine communicantia. Quod si fuerit proportio superficiei quadrate ad superficiem quadratam non velut numeri quadrati ad numerum | quadratum, latera earum erunt in longitudine incommensurabilia.
Abbreviated transcription (Latin):
dicitur rd̃nalis. Suꝑficies uõ ei cõmunicantes. dicũt᷑
iõnabiles. eidem auteni incommensurabiles suꝑficies.
dicuntur irrõnales siue suide latera uero que in illas
quͣadratas possunt dicuntur irrationailia

Expanded text:
tur rationalis. Superficies vero ei communicantes dicuntur rationales. | Eidem autem incommensurabiles superficies dicuntur irrationales sive surde. Latera vero que in illas quadratas possunt dicuntur irrationalia
Abbreviated transcription (Latin):
ĩpotencia sunt: quarum suꝑficies quadratas nõ nucͣt
una cõĩs supficies. Que cum ita sint. manifestum est
quia om̃i linee posite: multe cilie sunt in commensura¬
biles quedam in longitudine tm̃. quedam in longitudĩe
citq potencia. Onmis ciũt lineci cum qua rõcinamur
poĩta: nocetur rõnalis. lineeq ei coĩcantes. eidẽ ud incõ¬

Expanded text:
potentia dicuntur, quarum superficies quadratas non numerat una communis superficies. Que cum ita sint, manifestum est quia omni linee posite multe alie sunt incommensurabiles, quedam in longitudine tantum, quedam in longitudine atque potentia. ⟨iii⟩ Omnis autem linea cum qua ratiocinamur posita vocetur rationalis. Lineeque ei communicantes dic
Abbreviated transcription (Latin):
ciorib longiores: lmee ud ꝑciailes ad c̾tumfentiam extrm¬
secus applicate. ea quidem que diametro indirectũ ad ia¬
cet omnũ mmmnia eiq propinqͥores: remocõub breui

Expanded text:
ioribus longiores. Linee vero partiales ad circumferentiam extrinsecus applicate ea quidem que diametro in directum adiacet omnium est minima, eique propinquiores remotioribus brevi
Abbreviated transcription (Latin):
quo maiores cuncus sibi inuicem equis liueis conci¬
neantur de trib basib angulos illos ab ip̃arm ter

Expanded text:
maiores, cunctis sibi invicem equis lineis contineantur, de tribus basibus angulos illos ab ipsarum lin
Abbreviated transcription (Latin):
Si scdm̃ pporcionem habentẽ mediũ duoq extrema
quelibet fuerit diuisa qd̾ ex tota linea qd̃q ex inmori
porcione ꝓducitur ambo quadrata ꝑiter accepta
triplum sunt eius quos ex maiori porcione quadra

Expanded text:
Si secundum proportionem habentem medium et duo extrema quelibet linea fuerit divisa, quod ex tota linea quodque ex minori portione producitur ambo quadrata pariter accepta triplum sunt eius quod ex maiore portione quadra
Abbreviated transcription (Latin):
I tra datum corpus habens quatuor bases trianglas
et equilciteras corpus octo lasium triangularum eq̃¬
lium laterum distinguere

Expanded text:
Intra datum corpus habens quatuor bases triangulas atque equilateras corpus octo basium triangularium equalium laterum distinguere
Abbreviated transcription (Latin):
proporcio linee potentis suꝑ totam lineam eiusq ma¬
iorem porcionem ad lineam potentem supra totam
eiusdemq minorem porcionem tamꝙͣ ꝓporcio late¬
uis cubi ad latus trianguli corporis iugniti basium u¬
na cum cubo ip̃õ in eadem spera contenti

Expanded text:
proportio linee potentis supra totam lineam eiusque maiorem portionem ad lineam potentem supra totam eiusque minorem portionem tamquam proportio lateris cubi ad latus trianguli corporis viginti basium una cum cubo ipso in eadem spera contenti
Abbreviated transcription (Latin):
uadratum quod est crigituplum tetragomi qui
sub ꝑpendiculari ducta a centio arculi circũscribentis
pentagonum figure duodecim basium ad latus põ¬
tagoni atq sb̃ latere ipĩus pentagoni concinetur
omnium suꝑficieium corporis duodecim basum
pariter acceptarum equale esse ex necessittite coniũ

Expanded text:
uadratum quod est trigincuplum tetragoni, qui sub perpendiculari ducta a centro circuli circumscribentis pentagonum figure duodecim basium ad latus pentagoni atque sub latere ipsius pentagoni continetur, omnibus superficiebus corporis duodecim basium pariter acceptis esse equale ex necessitate c
Abbreviated transcription (Latin):
oppositarum unumqd̃q in duo media exierintq a
punctis sectionum due suꝑficies sese inuicem se¬
cantes et cubum communem earũ seccionẽ dia¬
metrum cubi ꝑ equalia secare et aib ip̃a diametro
uersa uice per equcilia secari necesse est ¶ Descbãt᷑¬

Expanded text:
unumquodque in duo media exierintque a punctis sectionum due superficies sese invicem secantes et cubum, communem earum sectionem diametrum cubi per equalia secare et ab ipsa diametro versa vice per equalia secari necesse est. Stat
Abbreviated transcription (Latin):
E que distantes linee st̃ que in eaden suꝑficie
collocate atq malt̾am partem protracte non
conueniũt ectiam si minfinitũ protrahan᷑

Expanded text:
Equidistantes linee sunt, que in eadem superficie collocate atque in alterutram partem protracte, non convenient etiam si in infinitum protrahan
Abbreviated transcription (Latin):
Sifuernit quodlitet qua nticates alieq scd̃m esuum
nũm quarũ quecuniq due priorum scõm ꝓporcionẽ
ducirum postiemarũ. necte est in proporcionalitate
quidem equalitatis ut si fuerit priorum prima ułtia
maior: et postĩorum primam ułtima ẽẽ incuorem. qd̾
simmor. et minorem. si uero eqͣualis: et equalem

Expanded text:
Si fuerint quotlibet quantitates alieque secundum earum numerum quarum queque due priorum secundum proportionem duarum postremarum, necesse est in proportionalitate quidem equalitatis ut si fuerit prima priorum ultima maior, et posteriorum | primam ultima esse maiorem, quod si minor, et minorem, s
Abbreviated transcription (Latin):
Omnium duorum cutulorum ꝓporcio est ailterius ad
alterum can proporcio quadrati sue diameni ad quadra¬

Expanded text:
Omnium duorum circulorum est proportio alterius ad alterum tamquam proportio quadrati sue diametri ad quadra
Abbreviated transcription (Latin):
Suꝑficies mutuorum lacerum sunt inter quarum la¬
tera incontinua ꝓporcionalitas retransitiue tenetur
Si duarum recti lineairum suꝑficierum equi distanciũ
laterum siue triangularum fuit altitudo una. tã¬
ta erit cilterutra ecuum ad alteram quanta sua

Expanded text:
ficies mutuorum laterum sunt, inter quarum latera incontinua proportionalitas retransitive habeturSi duarum rectilinearum superficierum equidistantium laterum sive triangulorum fuerit altitudo una, tanta erit | alterutra earum ad alteram quanta sua
Abbreviated transcription (Latin):
Si cib aliquo angulorum trianguli linea recta aid
uasim ducta angulum illum per equalia diuidat.
duas paites ipsius brisis reliquis eiusdem trianguli
lateribus proporcionciles ẽẽ. Si uero due ꝑtes basis
quas linea cib angulo ducta distinguit reliquis tri¬
anguli lateribus ꝓporcionales fu̾int lineam illan

Expanded text:
Si ab aliquo angulorum trianguli linea recta ad basim ducta angulum illum per equalia | secet, duas partes ipsius basis reliquis eiusdem trianguli lateribus proportionales esse. Si vero due partes basis quas linea ab angulo ducta distinguit reliquis trianguli lateribus proportionales fuerint, lineam illam
Abbreviated transcription (Latin):
Si fuernit qd libet quantittites alicirũ totidem eque ml¬
tiplices aut singule singulis equales: necce est ꝙ̃ ad¬
modum una earum ad sui comparem: totũ quoq ex

Expanded text:
Si fuerint quotlibet quantitates aliarum totidem eque | multiplices aut singule singulis equales, necesse est quemadmodum una earum ad sui comparem, totum quoque ex
Abbreviated transcription (Latin):
cõuinctis. suic gͦ explicadũ est qd̃ ait austeus in libͦ
niticulato expoito scientie quinq figuiaix nec nõ et a¬
polsonius in dono sccõ inꝓportionalitate figure duodecm
basium ad figuram .xx. basium dicens quia ꝓporcio srliciex
iuginti basium linea et enim ducta a centro circuli pẽ¬
trigoni sigure duodecim basium duod̃ cedri ad curũse¬
rentiam eius est qi linea prodiens a tentro cutuli tri¬

Expanded text:
otatio⟩. Nunc ergo explicandum est quod ait Aristeus in libro intitulato Expositio scientie 5 corporum necnon et Apollonius in dono secundo in proportionalitate figure 12 basium ad figuram 20 basium dicens quod proportio  basium. Linea etenim ducta a centro circuli pentagoni figure 12 basium duodecedri ad circumferentiam eius est quasi linea prodiens a centro circuli tri
Abbreviated transcription (Latin):
midio maiori detrahatur. Itm̃q tereliqͣuͣo maius di¬
mĩdio dematur. demceps q eodem modo necce est ut tan¬
dem minore positarum minor quantitas relmquatur

Expanded text:
midio a maiori detrahatur itemque de reliquo maius dimidio dematur deincepsque eodem modo, necesse est ut tandem minore positarum minor quantitas relinquatur
Abbreviated transcription (Latin):
Si propoitus fuerit numeius mimmus quem nune¬
rant primĩ assignati: nõ numerabit eum alius nu¬
merus primus: preter illos assignatos

Expanded text:
Si propositus fuerit numerus minimus quem numerant primi assignati, non numerabit eum aliquis numerus primus preter illos assignatos
Abbreviated transcription (Latin):
Si linea delmea dematur fuermtuz ambe potencialiter
incommensurabiles suꝑficiemq rõnalem cõtinentes
quadrataq earum ambo pariter accepta mediale:
linea reliqua erit uracioncilis diceturq iuncta cum
rõnali componens totum mediale

Expanded text:
potentialiter incommensurabiles superficiemque rationalem continentes quadrataque earum ambo pariter accepta mediale, linea reliqua erit irrationalis, diceturque iuncta cum rationali componens totum mediale
Abbreviated transcription (Latin):
Si duab lineis equi dictantibus duob puncus sig¬
ncitis ab altero ad alterũ recta linea ducatur inq̃

Expanded text:
 duabus lineis equidistantibus duobus punctis signatis ab altero ad alterum recta linea ducatur, in q
Abbreviated transcription (Latin):
¶ ui propositi fuernit duo cutuli abimo centio cuul¬
ducti supficiem multi angulam equaliũ laterum

Expanded text:
um propositi fuerint duo circuli ab uno centro circumducti, superficiem multiangulam equalium laterum
Abbreviated transcription (Latin):
de signare cuis uterq angulorũ ad basim duplus ess
ad reliqͥũ sciremus epcagonum ut supra pentagonum
arculo inscribere. Quod si ucerq quadruplus ess ad
reliquin. sciremus monogonum. et si quincuplus un¬
tecagonum. Item q in ceteris figuris impariim la¬
terum posito utroq angulorum ad basim multiplici
ad reliqum per eu m̾iũ qui est medictas maxiui pa¬
ris sub iipari numero laterum ipsuis fige ꝯtentI.

Expanded text:
plus esset ad reliquum, sciremus eptagonum ut supra pentagonum circulo inscribere. Quod si uterque quadruplus esset ad reliquum, sciremus nonagonum, et si quintuplus, undecagonum. Idemque in ceteris figuris imparium laterum posito utroque angulorum ad basim multiplici ad reliquum per eum numerum qui est medietas maximi paris sub impari numero laterum ipsius figure contenti.
Abbreviated transcription (Latin):
omnẽ figuram cuius lat̾um nu̾us ẽ paricer par. Per pen¬
tagonũ qua: sciemus decagonum et figurami. ⁊o lat̾¬
umꝰ. sic q continue duꝑlando. It̃ quoq intellige de quin¬
decagono. per ipm̃i .n. scentur figure .30. ⁊ Go. laterum
⁊ ona ꝯti ͤ duplatoꝵ laterum. Ceterarũ o utẽ figurarũ
de quib isti nõ docet. n el q̃ ꝑ has nõ hũtur: diffiał ẽ sciã¬

Expanded text:
omnem figuram cuius laterum numerus est pariter par. Per penomnem figuram cuius laterum numerus est pariter par. Per pentagonum quoque sciemus decagonum et figuram 20 laterum sicque continue duplando. Idem quoque intellige de quindecagono. Per ipsum enim scientur figure 30 et 60 et omnium continue duplorum laterum. Ceterarum autem figurarum de quibus ista non docet
Abbreviated transcription (Latin):
dat intelligere indelicet quintegagonũ arculo arcũ scri¬
plo pluriũ lacerum artulo stimus inscribere ⁊ circũscribere.
et ipsi arculũ. Diuisis .n. arcub per equalia quib lat̾a
ens q̃ satur inscribi subcendiutur ꝑ equalia. et a pinctis
medus ad ex̾mitates lat̾um ipĩꝰ figure ductis liueis. fiet
intua arculũ figura duplo pluriũ laceꝵ qui erit equilata
ꝑ. 28. t̾cii. gͦ ⁊ equi angula .ħ .n. demonstratũ ẽ supra .iii.¬
hꝰ. quod om̃is figura equi lat̾a arculo inscripta: ẽ ⁊̃ equ¬
angula. Et quia hanc cuculo scimꝰ inscribere: sciemus ce¬
teratria .ꝑ. 12.i3. ⁊ ie hꝰ. Quia igitur scimꝰ inscribere trian¬
gulũ eauilaceꝵ: sciemus per hanc ⁊ exagonũ. ⁊ per exago¬
num: duodecagonũ. At per duodecagonũ : figuram ⁊ e.
possit ut diximus inscribi exagonus posuit tñ hꝰ ꝓam de
monstratõm ex qua sequitur porisma ꝑucile. Et smilr
quia scimꝰ inscribere quadratũ: scienus ꝑ ħ inscribere

Expanded text:
dat intelligere videlicet quindecagonum circulo ciplo plurium laterum scimus circulo inscribere et circumscribere et ipsi circulum. Divisis enim arcubus quibus latera eius que scitur inscribi subtenduntur per equalia et a punctis mediis ad extremitates laterum ipsius figure ductis lineis fiet intra circulum figura duplo plurium laterum que erit equilatera per 28 tertii, ergo et equiangula. Hoc enim demonstratum est supra 15 huius quod omnis figura equilatera circulo inscripta est etiam equiangula. Et quia hanc circulo scimus inscribere, sciemus cetera tria per 12, 13 et 14 huius. Quia igitur scimus inscribere triangulum equilaterum, sciemus per hoc etiam et exagonum et per exagonum duodecagonum ac per duodecagonum figuram 24 basipossit ut diximus inscribi exagonus, posuit tamemonstrationem ex qua porisma perutile. Et similiter quia scimus inscribere quadratum, sciemus per hoc inscribere
Abbreviated transcription (Latin):
antitates quib fuerit
una quantitas cõmunis eas ⁊̃¬
numerans dicentͤ cõmiuncan¬
es. quib uõ non fui̾t una cõmunis quan¬
titas eas mensurans dicentur incõmensu¬
tabiles U nee in potentia cõmunicates
dicuntur: quarum suꝑficies quadratas inia
ꝑficies. que cumita est sint: manifestum est
quia omĩm linee poĩte mũte alie sunt incõ¬
mensiabiles quedam in longitudine tiñ que¬
dam in longitudine et potencia

Expanded text:
antitates quibus fuerit una quantitas communis eas numerans, dicentur communicantes. Quibus vero non fuerit una communis quantitas 5 eas numerans, dicentur incommensurabiles. ⟨ii⟩ Linee in potentia communicantes dicuntur, quarum superficies quadratas una rficies. Que cum ita sint, manifestum est quia omni linee posite multe alie sunt incommensurabiles, quedam in longitudine tantum, quedam in longitudine atque potentia
Abbreviated transcription (Latin):
contiuue dupli qui contumie uiuai
faciant nũũ pͥmũ exmis eoꝵ in ag̾gatum
ex eis ductus ꝓducit nuũ perfectũ. Sint
ab uuitate ꝯtinuĩe dupli. abcd. ex eis at̃ ⁊ uintate caid¬
c̾natus sit .e. qui ponatur eẽ mĩs pͥmus in ꝙ̃ .c. inłtipli¬
tur.hkl. ꝯt̾ie dupli ad .c. ut tot sint. eh Rł. quot sũt
quia . a. ẽ binarius est f̾g. duplus ad .l. Sũt gͥ eh Rl. ⁊ fg.¬

Expanded text:
continue dupli, qui coniuncti faciant numerum primum, extremus eorum in aggregatum ex eis ductus producit numerum perfectum. Sint ab unitate continue dupli a, b, c, d, ex eis autem et unitate coacervatus sit e qui ponatur esse numerus primus in quem e multipliue dupli ad e ut tot sint e, h, k, l quot sint quia a est binarius, est f g duplus ad l. Sunt igitur
Abbreviated transcription (Latin):
ficierũ quarũ una sit ze pedum. ⁊ alia. ⁊ neutͥus eĩ enu¬
m̾atur latus sunt qr in longitudine inꝯm̃ surabilia ex ul
tiũ rõuales ꝯͥcantes quarũ una sit potencior qual aliarũ
in auadrato linee secum non ꝯͥcantis in longitudĩe siua ͦ
talis nuͣs qui possit pluries sic diuidi ꝙ ip̃ius ad nullam

Expanded text:
ierum quarum una sit 24 pedum et alia 23. Neutrius enim latus numeratur suntque in longitudine incommensurabilia ex ultuna potentior qualibet aliarum in quadrato linee secum non communicantis in longitudine, sumatur talis numerus qui possit pluries sic dividi quod ipsius ad nullam
Abbreviated transcription (Latin):
li est medialis. Sit linea .a. mediaut
ed. rõnał in longitudĩe cui adiũgatur suꝑficies st. equa¬
lis quadrato linee .a. Et itm̃ suꝑficies eg equał quadra¬
to liee .D. Hoc autem quałi fiat in p̃mssa demonst᷑¬
none dictum est eritq ꝑ p̾missam linea. df. in po iatio
nar tiũ et intõiũ surabił liuee .to. et quia ex pͥma. Gͥ eg
tis dicte suꝑficies poi̾te sint equales sequit᷑ ꝑ pinaui ꝑ¬

Expanded text:
st medialis. Sit linea a medialis c d rationalis in longitudine cui adiungatur superficies c f equalis quadrato linee a et item superficies e g equalis quadrato linee b. Hoc autem qualiter fiat, in premisse demonstratione dictum estantum et incommensurabilis linee c d. Et quia per primam sexti e g bus quadratis dicte superficies posite sunt equales, sequitur per primam pa
Abbreviated transcription (Latin):
tͥmim quidem sie. Sĩficies plana ẽ ab u¬
na sia ad aliam exñsio in eximtaces suas
eas recipiens. angłs planus e duaꝵ siaꝑ

Expanded text:
t linee. Superficies plana est ab una linea ad aliam extensio, in extremitates suas eas recipiens. Angulus planus est dua
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑficieb ycocedri pit̾ acceptis.cꝰ trigonus. s. ẽ uua
ex .ro. insib sine illud duodecedron ⁊ istud ycotedro
cantẽ ꝑa cͥcũsclat siue diu̾se. Itaq ꝓporͦ trigĩcupli
ad. in.bc. ad oñis suꝑficies illius duotecedri pit̾ acep¬
tis ẽ sic̃ t̾ͥgincupli. eh .i. fg. ad om̃s suꝑficies hꝰ y coce¬
dri pit̾ acceptas. utbiq .n. ẽ ꝓportõ ȩqualitatis. Qr¬
sic̃ om̃s sr̃ficies isliꝰ duodeced̾ ad õs suꝑficies hꝰ ỹcoce¬
dri. ⁊ ꝑ .iii. quinti trignicupli. ad trignicuplũ: ẽ sicit
simpli ad simplũ. Coustat ĩ ꝑ .ii. quinti quod. ꝓpor

Expanded text:
superficiebus ycocedri pariter acceptis cuius trigonus e est una ex 20 basibus sive illud duodecedron et istud ycocedron eadem spera circumscribat sive diverse. Itaque proportio trigincupli a d in b c ad omnes superficies illius duodecedri pariter acceptas est sicut trigincupli e h in f g ad omnes superficies ycocedri pariter acceptas. Utrobique enim est proportio equalitatis. Qsicut omnes superficies illius duodecedri ad omnes superficies huius ycocedri et per 15 quinti trigincupli ad trigincuplum est sicut simpli ad simplum. Constat per 11 quinti quod pr
Abbreviated transcription (Latin):
angulis equalib ac rectis utinq sb̾mran.
tangłu equilat̾ui. abd. et ꝓtͣham liam.c.d. pe qͣ dico quod ipa est
ꝓpendicłaris suꝑ łiam .ab. Intelligo duos tangłos. a .cd. et .bc.d.
et quia duo lat̾u. ac. et. ed. tͥangłi. ac.d. sunt egͣlia duob lat̾ib
cb. et.c.d. tͥangłs . cbd. et basis. ad. basi .bd. e ͭ ꝑ .sͣ. angłs. ac d

Expanded text:
angulis equalibus ac rectis utrimque subnixam. triangulum equilaterum a b d et protraham lineam c d de qua dico ipsa est perpendicularis super lineam a b. Intelligo duos triangulos a c d et b c d et quia duo latera a c et c d trianguli a c d sunt equalia duobus lateribus c b et c d trianguli c b d et ba
Abbreviated transcription (Latin):
oꝵ renqͣuoꝵ pit̾ acceptũ 3ͦ eẽ maiorẽ.S ed et i los toues
angulũ ead. equalem angulo. bad. protrasta mea
ande. ⁊ suniam ex pat umnea.ae. lineaui. ag ⁊ ex inea
ab. luieam. af. ag.af.quas ponam ẽẽ equales. et ꝓthani ħam
a ptõ .g. quałrcumq ꝯtingat in suꝑficie duaꝵ uneaꝵ . ac.⁊.
⁊ ꝓducam ⁊ cͣ ꝓdutam lineas .fh. fł̃ Cum sit igitur. af.
acteptos eẽ maiores angulo. hał. quod erat temoustnͣdũ¬

Expanded text:
orum pariter acceptum tertio esse maiorem. Sed et illos duos angulum e a d equalem angulo b a d protracta linea a e. Et sumam ex hac linea a e lineam a g et ex linea b lineam a f quas ponam esse equales. Et protraham lineam a puncto g qualitercumque contingat in superficie duarum linearum a c et g k. Et producam lineas f h et f k. Cum sit igitur a f acceptos esse maiores angulo h a k. Quod erat demonstrandu
Abbreviated transcription (Latin):
torẽ qrͣte si addatur. Sic q te cet̾is si addãt᷑ us ad ulti¬
mam a pͥma. uł usq ad pͥmã ab ultĩa. ⁊ qui ꝓuenit. et
qui ĩ quiritur. ut ĩ ꝓpoĩto . Go. uł.s4. ħ at ita eẽ demͣtẽ
sic ħĩto. Sit̃ nu̾i partes ꝓpoĩtas demonstnͣtes. abcd. uo¬
lumus ĩuenire unniuũ nuũ qui heãt ꝑtem denoĩatam
a .ba. ita quod ala pars reat ꝑtem denoĩatam .a .b. ⁊ illa:
aliam tenoĩatã. a .s. sed ⁊ ħ aliam dcãm a .d. Ducatur
ducat᷑ in .a. ⁊ ꝓueniat .g. quẽ dico eẽ ꝙ̃ in quirimꝰ. Cũ
a. sit auia. ẜ ꝓ uenit ꝑ euntẽ ex .b .in.e: ent .e. pars.f.
et .f. ad. e: ut R. ad .l. et̃ .e. ad .d: ut .ł. ad .m. s ⁊ di
ad unĩtatẽ: ut .m. ad .n. gͦ ꝑ .iii. et in ꝓportõne equa¬
litatis .g. ad unitatẽ: ut. h. ad .n. Ergo ꝑnuitatĩ erit
g. ad.h: ut unitas ad .n. qrͣ cũ .h. sit nnõr .g: e ͭ .ni.

Expanded text:
torem quarte si addatur sicque de ceteris si addantur usque ad ultimam a prima vel usque ad primam ab ultima et qui provenerit, erit qui inquiritur ut in proposito 60 vel 84. . Sint numeri partes propositas denominantes a, b, c, d. Volumus invenire numerum minimum qui habeat partem denominatam ab a ita quod illa pars habeat partem denominatam a b et illa aliam denominatam a c, sed et hec aliam dictam a d. Ducatur ducatur in a et proveniat g quem dico esse quem querimus. Cum a. At quia f provenit per eandem ex b in e, erit e pars f et f ad e ut k ad l et e ad d ut l ad m, sed et d ad unitatem ut m ad n. Ergo per 15 erit in proportione equalitatis g ad unitatem ut h ad n, ergo permutatim erit g ad h ut unitas ad n, quare cum h sit minor g, erit
Abbreviated transcription (Latin):
Amiero i duo diuiso quod ex ductu
cocius in se est tantum qnͣtum quod ex
ductu utriusq diuitenciũ in se et alt̾ius eo¬
c. est .n. ꝑ qitaui haꝵr quod ex .a. in se: ꝙͣ cum quod ex
eo m .b. et inr .c. ex eo autem̾ in .b. ꝑ pͥmissam ẽ ꝙͣtũ
ex .b. in se. et m .c. At ex .a. in se ꝑ eaudem ẽ qnͣtũ ex.
s. in se. et in .b. et quia ex .c. ii .b. tantum est qnͣtũ¬

Expanded text:
umero in duo diviso quod ex ductu totius in se est tantum quantum quod ex ductu utriusque dividentium in se et alterius eoc. Est enim per quartam harum quod ex a in se quantum quod ex eo in b et in c. Ex eo autem in b per premissam est quantum ex b in se et in c, at ex a in c per eandem est quantum ex c in se et in b. Et quia ex c in b tantum est qu
Abbreviated transcription (Latin):
qr spem curum scͥbit erit ma ex ba¬
sib tetͣcedri sesqͥt̾tia ad unam ex lusi¬
b octocedri. om̃s autẽ bases octoced̾ ꝑi¬
ter acceptas ad om̃s bases tetͣtedͥ pit̾ ac¬
ceptus sesq uialtam ꝓportõni hr̃e neces

Expanded text:
 spera circumscribat, erit una ex basibus tetracedri sesquitertia ad unam ex basibus octocedri. Omnes autem bases octocedri pariter acceptas ad omnes bases tetracedri pariter acceptas sesquialteram proportionem habere neces
Abbreviated transcription (Latin):
nium duarum suꝑficierum quad̃¬
tarum quarum latera in longitudine
cõmunicant est proportio muiꝰ ad alteram
tanquam niñ quadrati ad numerum quadea¬
tum. Si u̾o fuit pportio suꝑficiei quadrate ad

Expanded text:
nium duarum superficierum quadratarum quarum latera in longitudine communicant est proportio unius ad alteram tamquam numeri quadrati ad numerum quadratum. Si vero fuerit proportio superficiei
Abbreviated transcription (Latin):
3R
unitas in .d: teciens ẽ .d. in .c. et toaens .c. in .a. ꝯstat ꝙ ex .d.
in se: fit .c. et ex eotem in .c. a. Sinułr quo ex .f. in se. ⁊ ĩ e:
fient .e. ⁊b. Ducatur itaq .d. ii.f. ⁊ ꝓductꝰ sit .g. It̃ q idẽ
ducatur in .g. ⁊ .e. ⁊ sint ꝓducti .i. ⁊ R. Constat gͥ ex. iq.
sepͥ. quod.s. ad. g ut .d. ad .f. et ex i9. quidͥ. gͦ. ad.e ut

Expanded text:
ur unitas in d totiens est d in c et totiens c in a, constat quod ex d in se fit c et ex eodem d in c, a. Similiter quoque ex f in se et in e fient e et b. | Ducatur itaque d in f et productus sit g itemque idem d ducatur in g et e et sint producti h et k. Constat igitur ex 18 septimi quod c ad g ut d ad f et ex 19 quod g ad e ut d
Abbreviated transcription (Latin):
nẽa . eb ⁊ solidi .cd: luica. fd. Siigitur fu̾nt due lince
inuicem. cum ip̃a quoq solita sinc ex ypoth cqnalia erunt
ses ⁊ altitudies erunt mutue. sic q constabit ꝓpoĩti
fg. ad equalitatem. eb. trib rectis liueis q̃ sun̾t altitu ͦᷤ
solidi .cd. ad eantem mensuran. in ptĩs .i.p.l. resecatis
pͥmissa. ab. ad .c: sic̃. ae. ad.ct. Cum itaq ed. sit eq̃¬
pitet. si una ex lat̾alib suꝑficięb solidi .cd. ⁊ ira sit. tar
uente ꝓportõ. ac. ad .cf. sicut. df. ad. eb. Dico tũt solida
ab. ⁊ .d. eẽ equalia. erit. n . ex.7.i. df. ad fg. sicut. ac.
d .cf. sed ex pͥmissa est. ab. ad. cg: sicut.ac. ad .cf. laiͦ
ad fg: sicut .ms. ad. fp. et ex p̃missa.cd. ad. es sicut

Expanded text:
nea e b et solidi c d linea f d. Si igitur fuerint due linee equales cum ipsa quoque solida sint ex ypothesi equalia, erunt ses et altitudines erunt mutue. Sicque constabit propositf g ad equalitatem e b tribusque ceteris lineis que sunt altitudinis solidi c d ad eandem mensuram in punctis h, k, l resecatis premissa a b ad c g sicut a e ad c f. Cum itaque c d sit equpatet si una ex lateralibus superficiebus solidi c d et ipsa sit f m nente proportio a e ad c f sicut d f ad e b. Dico tunc solida a b et c d esse equalia. Erit enim ex 7 quinti d f ad f g sicut a e ad c f. Sed ex premissa est a b ad c g sicut a e ad c f. Igitur ad f g sic
Abbreviated transcription (Latin):
tiplicitate ꝓpor. Sut gͥ due ꝙͣ titates .ab. ⁊ cd. a quib ab¬
scintan᷑ due q̃ sit̃. be ⁊.df.Sit q ꝓportõ tociꝰ.ab. ad totã
cd. sic̃. be.abscise: ad.df. abscisam. Dico ꝙ ead̾ e ͭ. ae resi¬
dui ad .cf. residuũ. q̃ ẽ tociꝰ. ab: ad totam. cd. Cũ .n. sit
df. ⁊ disuuctr ac. ad eb. sic̃. cf: ad fd. Et icũ ꝑinutatĩ

Expanded text:
tes a b et c d a quibus abscindantur due que sint b e et d f. Sitque proportio totius a b ad totam c d sicut b e abscise ad d f abscisam. Dico quod eadem erit a e residui ad c f residuum que est totius a b ad totam c d. Cum enim sit d f et disiunctim a e ad e b sicut c f ad f d. E
Abbreviated transcription (Latin):
Im equis cͥcłis seu supra cenarcul¬
trum seu supͣ circumferenciam eqͣles
angłi ꝯsistant super equos arcus eos ca
a ds et ehg. qui ponant᷑ equales. Dico arcꝰ.abc. et. efg ẽẽ eqͣles.
P thantur due lic. ac. et eg. et fiaut duo angłi ĩ cͥcũferencia coꝵ
ꝯsistentes supͣ p̾dictos arcis. qui sunt angulusi abc. et anguiꝰ

Expanded text:
in equis circulis seu supra centr seu supra circumferentias equales anguli consistant, super equos arcus eos cadc et e h g qui ponantur equales. Dico duos arcus a b c et e f g esse equales. Protrahantur due linee a c et e g et fiant duo anguli in circumferentiis eorum consistentes supra predictos arcus qui sint angulus a b c et an
Abbreviated transcription (Latin):
eqͣles ipẽ erunt equales ꝑ. 2.3. hꝰ. qr̃ arcꝰ.abc. et. efg. sunt
equales. Q si angłi .b. et .f. qui sunt in cͥcũferencia ponantur
eaͣles erunt ꝑ diffom portõnes similes. et angłi. diet .i. eqͣles ꝑ
iꝯ.hꝰ. et quia cͥcłi poĩti sunt equales: erunt ꝑ .4. ꝑ. due li ͤ. ac
et. eg. eauales. Qrͣut priꝰ portõnes eqͣles ꝑ.2 .3. hꝰ. c̃ sint słes

Expanded text:
equales, ipse erunt equales per 23 huius. Quare arcus a b c et e f g sunt equales. Quod si anguli b et f qui sunt in circumferentia ponantur equales, erunt per diffinitionem portiones similes et anguli d et h equales per 19 huius. Et quia circuli positi sunt equales, erunt per 4 primi due linee a c et e
Abbreviated transcription (Latin):
tincat᷑ eius oppoĩte superficies sibi inuitẽ
eqͣles sunt et equidistantium lat̾um. Qinc¬
quit dicant alii solidum et equid istantib suꝑficieb ꝯtẽtũ.
suꝑficieb pibꝰ ncce est contini. que sicut ẽẽ non possũt pait¬
cõres. ita possunt ẽẽ in muo pari senariũ excedente. cõstat
n. colupuaui exagonam posse .s. suꝑficieb que uine ⁊ bł¬
ne ⁊ eppoĩte sibi inuicem equidistat concuser. sit quaq ało¬
gonam .io. ⁊ tecagonam .i2. ⁊ ad ista ꝵ slitud ĩem ũ iłitam.¬
Sco hex õm̃i solitoꝵ equidistantib suꝑficieb contentoꝵ

Expanded text:
tineatur, eius opposite superficies sibi invicem equales sunt et equidistantium laterum. Quicquid dicant alii: solidum equidistantibus superficiebus contentum superficiebus paribus necesse est contineri que sicut esse non possunt pauciores sex, ita possunt esse in omni numero pari senarium excedente. Constat enim columnam exagonam posse 8 superficiebus que bine et bine opposite sibi invicem equidistant contineri, sic quoque octogonamSed horum omnium solidorum equidistantibus superficiebus contentorum
Abbreviated transcription (Latin):
se. ⁊ cũ ex pͥ sexti sit .al. dupla ad Id. so qr equał. Id. ⁊ ce.
ꝑit̾ acceptis. ex.43. pͥmi. enit ex hac ꝯm̃ scĩa si eaͣlib eqͣlia
addas tota fient equalia. quadratũ.aq. equale gno mõĩ. egd.
ħ gͦ gnomo quadruplꝰ ẽ ad quatͣtum .de. qũĩadmot̾ erat qͣ¬
dratũ .aq. Itaq totũ quadͣtũ. hẜ. cum ipm̃ ꝯstet ex simplo
quadruplum ad quadratum lie . bd. At ꝑ ẜam eiustẽ ꝙ fit

Expanded text:
se et cum ex prima sexti sit a l dupla ad l d ideoque equalis l d et c e pariter acceptis ex 43 primi, erit ex hac communi scientia si equalibus equalia addas, tota fient equalia quadratum a q equale gnomoni e g d. Hic ergo gnomo quadruplus est ad quadratum d e quemadmodum erat quadratum a q. Itaque totum quadratum h k, cum ipsum constet ex simplo quadruplum ad quadratum linee b d. At per secundam eiusdem quod
Abbreviated transcription (Latin):
nec ex eis duab compoĩte qͣdrati mẽdiotati eiꝰ¬
dem linee diuise quincuplum ẽe nccͣe est.
portõ eius linea.bs. tui directe aduingatur linca.bd. q̃ sit eqͣ¬
lis medietati tetus. ab. Dico quod quadratũ h ͨ .cd. e ͨ ꝯnͥcu¬
tus gnomo. egd. erit q ex. 22.cͥ. suꝑficies inde ꝯpoĩta q̃ sit
h R. tanqm quadratũ hc.cd. Dico gͥ quadratum .h.k. quĩ¬
cuplũ eẽ at quadͣtum. de. Sit gͥ.cl. quad̾tum circum põĩti
gnomonis. sibi qr cirtumponat᷑ alius gnomo ad qnͣtitatẽ. ac̃.

Expanded text:
nee ex eis duabus 5 composite quadrati medietatis eiusdem linee divise quincuplum esse necesse es maior portio eius linea b c cui directe adiungatur linea b d que sit equalis medietati totius a b. Dico quod quadratum linee c d erit quincutus gnomo e g d eritque ex 22 sexti superficies inde composita que sit h k tamquam quadratum linee c d. Dico igitur quadratum h k quincuplum esse ad quadratum d e. Sit enim c l quadratum circumpositi gnomonis sibique circumponatur alius gnomo ad quantitatem linee
Abbreviated transcription (Latin):
Corausti ãt int̾ quosq duos cirtulos int̾cepti: sũt equid istan¬
tes ad in incem. ⁊ corde cutuli ꝓstrati. sed nõ sũt ad ĩuicẽ
equales. ħ at̃ scies si ppendiculares a coranstroꝵ ey̾mitatib
ad suꝑficiem catuli iacentis deniẜis De quib ꝯstat ꝙ ip̃e ca¬
tent suꝑ dyametros tird̾oꝵ quos corausti contuuuant ꝙ ex te¬

Expanded text:
Corausti autem inter quosque duos circulos intercepti sunt equidistantes ad invicem et corde circuli prostrati, sed non sunt ad invicem equales. Hoc autem scies: si perpendiculares a coraustorum extremitatibus ad superficiem circuli iacentis dimiseris de quibus constat quod ipse cadent super diametros circulorum quos corausti continuant quod ex de
Abbreviated transcription (Latin):
qui ẽ.cd. sint tͥa lat̾a hꝰ teiotecagoni q̃ sunt corte.dii. hł
⁊ Rc. que tum sint equales. erunt quoq ex pͥma pte .⁊7.
ttu: anꝰ eoꝵ equales. De hinc a duob ptĩs .h. ⁊ .b. q̃ sũt
exmitates medie corde ꝓducemꝰ duas dyametros q̃ sũt
ad suꝑficiem airculi. abcd. ꝙͣ ꝓducenius quo uiq obinet

Expanded text:
ecagoni que sint corde d h, h k et k c que cum sint equales, erunt quoque ex prima parte 27 tertii arcus earum equales. Dehinc a duobus punctis h et k que sunt extremitates medie corde producemus duas diametros que sunt ad superfic
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ suꝑficieꝵ sꝑaꝵ ꝓpoi̾taꝵ n ͤ ꝯcĩeutes circłos. Sunt itaq duo
cutłi. abcd. ⁊ ef. quoꝵ tentr̃ est centr̃ spe. de quo põitũ est
ꝙ ipm̃ sit .g. Quadrabinuus igitur hos duos cutulos duob
dyametris se supͣ ꝯũe centr̃ earum orthogonałr secantibus
q̃ sint . ac. ⁊ ob postea maiori cirtło ẜui p̾cepta p̾misse in¬
saibemꝰ niũ poligoniũ equilat̾ũ uuĩorẽ cutłoꝵ nlło suoꝵ
lat̾um taugens. Et sufficiat exempli cã insaipsisse duo¬

Expanded text:
entes circulos. Sint itaque duo circuli a b c d et e f quorum centrum est centrum spere de quo positum est quod ipsum sit g. Quadrabimus igitur hos duos circulos duabus diametris se supra commune centrum eorum orthogonaliter secantibus que sint a c et b d. Postea maiori circulo secundum precepta premisse inscribemus unum poligonium equilaterum minorem circulum nullo suorum laterum ta
Abbreviated transcription (Latin):
constitue. Quo ꝯstituto si in miorispera sen
ĩ qͣlib aua sꝑa sinule corpus intelligib iliter
constituatur. ent ꝓportio corporis multarũ
basiũ mntͣ maiorẽ sꝑam constituti ad corpus
multaꝵ basium intra nimorẽ speram uel
aliam constitutum sicut dyauietii maio¬
ris spere ad dẏametr̃ nũoris uel altius spe
ꝓportio tripplicata. Qint ꝓpõtedue strabed.¬

Expanded text:
ium⟩ Quo constituto si in minori spera sive in qualibet alia spera simile corpus intelligibiliter consti- tuatur, erit proportio corporis multarum basium intra | maiorem speram constituti ad corpus multarum basium intra minorem speram vel aliam constitutum sicut diametri maioris spere ad diametrum minoris vel alterius spere proportio triplicata. Sint proposite due s
Abbreviated transcription (Latin):
Sint tres nimu ꝯtinue ꝓportõiles . abc. sit q .a. quadͣt᷑.
Dito quod .e. est etiam quadratus. Sunt .n.p .ia .a. x
c. suꝑficiales et similes. Cum igitur.a. sit quao ratꝰ
stut enim ꝑ.i9. auod .a. ad .d. sunt solioi siules. et
quia.a. eit cubus per ỹrothes im. est eciam .d. cubius. uñ¬

Expanded text:
Sint tres numeri continue proportionales a, b, c sitque a quadratus. Dico quod c est etiam quadratus. Sunt enim per 17 a et c superficiales et similes. Cum igitur a sit quadratus pstat enim per 19 quod a et d sunt solidi similes et quia a est cubus per ypothesim, erit etiam d cubus.
Abbreviated transcription (Latin):
cd. ⁊ eꝯͦ. Hat̃ si de colũpnis ꝓbatum fu̾it de pyraĩdi¬
b c̾tum eut. qm̃ om̃is colũpna rotunda tripla ẽ ad su¬
am pyramitẽ. S utaq due altitudiẽs.ab. ⁊ cd. fu̾int
equales : ex p̾missa constat ꝓpoĩtum. Si ãt̃ mequales.
ab. sit maior. sumaturq. ae. equał. ed. ⁊ secetur co¬
m̃pna ab suꝑficie. e equidistant̾ basi eius .a. et ꝙ exp̃¬
nusso añcedente colũpna. ab. ad colũpnam.ae. sicut
altitudo .ab: ad alticuoiẽm . ae. soq ex pͥmaꝑte .a. 4 ͭ ͥ

Expanded text:
um fuerit, de piramidibus certum erit, quoniam omnis columna rotunda tripla est ad suam piramidem. Si itaque due altitudines a b et c d fuerint equales, ex premissa constat propositum. Si autem inequales, sit a b maior sumaturque a e equalis c d | et secetur columna a b a superficie e equidistanter basi eius a eritque ex premisso antecedente columna a b ad columnam a e sicut altitudo a b ad altitudinem a
Abbreviated transcription (Latin):
Qnñim niuũ eñ quoq qui uuitatẽ sequi
d. dico quod item mi̾abit .a. Nam si nõ: erit .e. ad ip̃m
a. pͥmꝰ ꝑ . 32 .7ͥ. et quia ex .a. in ic fit .b: sequitur ex
2G. enstem ut ip̃e .e. quoq sit pͥmus ad .u. sed et ad
c. et ad .d. sequitur ip̃m .e. esse pͥmum p.⁊.i. eniftem
eo quod ex .a. iii.b. fit .c. et ex eotem in .c. d. Non gͣ
uu̾at .d. cum sit pͥmus ad ipm̃i. qrͣ accĩt ꝯͣrium y poth.I
dem ałr cum sit .c. pͥmis. si nõ uu̾at .a. pͥmus erit ad ip̃s

Expanded text:
unitatem sequitd. Dico quod idem numerabit a. Nam si non, erit ad ipsum primus per 32 septimi et quia ex a in se fit b, sequitur ex 26 eiusdem ut ipse quoque sit primus ad b, sed et ad c et ad d sequitur ipsum esse primum per 25 eiusdem eo quod ex a in b fit c et ex eodem in c, d, non ergo numerat d cum sit primus ad ipsum. Quare accidit contrarium ypothesi. Idem aliter. Cum sit e primus si non numerat a, primus er
Abbreviated transcription (Latin):
Qins triangliduoquelibet simuliũc¬
equał angło.d. Qͣre bed. maior ẽ angło .d. qrͣ ꝑ.is. latus . bd. est ma¬
ra .bc. quod est propositum.
teris tanguli. due lince exeuntes iitra
eedẽm duabꝰ reliquis quidem triangłi lineis

Expanded text:
is trianguli duo quelibet latera simul iuncequalis angulo d. Quare b c d est maior angulo d, ergo per 18 latus b d est mara b c. Quod est propositum. teris trianguli due linee exeuntes intra eedem duabus reliquis quidem trianguli lineis
Abbreviated transcription (Latin):
in quo singłis pentagonis obinau̾it ad singłos eoꝵ angl¬
os rectas lineas dirigito. Deinde centr̾ spe cũ singłis angł¬
is ipõꝵ pentagonoꝵ. ꝯtinuato. Age gͦ. eos ꝓba eẽ eqͥ angĩ¬
os doc modo. Cuu enim om̃s cirtł cutũstribẽtes tͥgonos
ycocedri sut̃ equales erut̃ onĩs ppẽ dicd̾ares acẽtro sꝑe ad ip¬
sos uenientes. liã centra cadẽtes equales. Om̃s dlie ace

Expanded text:
in quo singulis pentagonis obviaverint ad singulos eorum angulos rectas lineas dirigito. Deinde centrum spere cum singulis angulis ipsorum pentagonorum continuato. Age ergo eos proba esse equiangulos hoc modo. Cum enim omnes circuli circumscribentes trigonos ycocedri sint equales, erunt omnes perpendiculares a centro spere ad ipsos venientes et in eorum centra cadentes equ
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓlãt. quidistãtes duab. que sut̃. de ⁊df. se quo angła¬
rit̾ ꝯtĩgẽtib in poõ .d. nec sut̃ c̃ eis ĩ suꝑsicie una dico ãgni¬
lum. a ẽẽ equalem. angło .d. ẽ enim liã de. eq̃ł linee ab.
nitur. ⁊ ducantur liẽ da. eb. ft. erit q ex .zz. pͥmi bis assũp¬
gͥ ⁊ p̾missam eedem sut̃ ẽqͣles ⁊ equedistances s̾ͥ inuicẽ. euit
ita ꝑ 3. primi denuo repeticõ .2. liẽ .bc. ⁊ ef. sunt ⁊̃ eqͣles ⁊
equidistantes . s̾ͥ ꝑ .s. pͥmi ꝯstat ꝓpoĩt.¬

Expanded text:
aliis duabus que sunt d e et d f se quoque angulariter contingentibus in puncto d nec sint cum eis in superficie una. Dico angulum a esse equalem angulo d. Esto enim linea d e equalis linee a b sita. Et ducantur linee d a, e b, f c eritque ex 33 primi bis assump premissam eedem sunt equales et equidistantes ad invicem. Et itaque per 33 primi denuo repetitam due linee b c et e f sunt etiam equales et equidistantes. Igitur ex 8 primi constat p
Abbreviated transcription (Latin):
liuee ad circumfenciã ducant᷑ alt̾a
secans alt̾a cͥcunfencie applicata fu̾it qd̃
er ductu tocius secantis in partẽ si extn¬
secam eqũ ei qd̃ ex ductu applicate ĩ seipã
fit erit linea applicata ex necessitate cur¬
culum contingens. ee arauu. bed.us¬
ipiũ. et linea. ac. applicata cutunferentie. et esto ut qd̾ fit ex.da
i.ab. sint equale quadrato. ac. Dico lineani. ac. esse ꝯtingẽ¬
tem. et ħ est ꝯu̾sa puoris. Si .ii. non est ꝯtingens: sit ꝯti

Expanded text:
linee ad circumferentiam ducantur, altera secans, altera circumferentie applicata, fueritque quod ex ductu totius secantis in partem sui extrinsecam equum ei quod ex ductu applicate in se ipsam fit, erit linea applicata ex necessitate circulum contingens. Sit a punctusipsum et linea a c applicata circumferentie. Et esto ut quod fit ex d a in a b sit equale quadrato a c. Dico lineam a c esse contingentem et hec est conversa prioris. Si enim non est contingens, sit ergo