comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Ilana uero suꝑficies innumeris inuenit᷑ quoties atrib in¬
choatione facta addita descriptionis latitudine insequen¬
tiũ senaturaliũ numerorũ multitudine angulidilatant᷑
ut sit prim triangulus numerus secundus quadractus:
testius qui sub .v. angulis contine t᷑ quẽ pentagonũ grȩci
nominant quastus &agonus id ẽ qui s& angulis includit᷑¬
& c&eri eodem modo singillatim ꝑ natundẽ numerũ angu¬
los augeant : inplana scilic& descriptione figuraerũ : hiuere
id circo a ternario numero inchoant qđ latitudinis & suꝑfi¬
ciei solus ternarius principiũ ẽ : ingeo m&rica quoq: idem
planius inuenit᷑ : duȩ enim lineȩ rectȩ : spatiũ non continent¬
& omnis triangularis figura uelt& raegoni uel pentagoni
uel &agoni uelcuiur lib& quiplurib: angulis contin&ur
si a medi&ate ꝑsingulos angulos lineȩ ꝓducant᷑ : totenim
cũ diuidunt trianguli quot ipsã figunt̃ angulos habere
modo mensum qu eꝑtriangulos pastiunt᷑ ut est sub¬
iecta descriptio:

Expanded text:
. Plana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine, in sequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant; quartus hexagonus, id est qui sex angulis includiteri eodem modo singillatim per naturalem numerum angulos augeant, in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometrica quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent, et omnis triangularis figura, vel tetragoni, vel pentagoni, vel hexagoni, vel cujuslibet qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subjecta descriptio.
Abbreviated transcription (Latin):
At uero triangula figurae cũ eũ quisitã diuiserit: in
alias figuraes non resoluit᷑ nisi inse ipsã :tria enim
Adeo haec figura princeps ẽ latitudinis ut coere om¬
nes suꝑficier in hanc resoluant᷑ : Ipsa uero qm̃ nullis ẽ
principiis ob noxa neq ab alia latitudine sumpsĩt initiũ
insese ipsa soluat᷑ : Idem autẽ & innumerir fieri sequeris
operis ordo monstrabit.⁊
Vidispositio taagulorumnumnenorumn
Est igitur primꝰ triangulus numerus qui solis tribus

Expanded text:
At vero triangula figura cum eam quis ita diviserit, in alias figuras non resolvitur nisi in seipsam, in tria enim Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut caeterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero quoniam nullis est principiis obnoxia, neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem et in numeris fieri sequens operis ordo monstrabit. CAPUT VII. Dispositio triangulorum numerorum. Est igitur primus triangulus numerus
Abbreviated transcription (Latin):
c&iã innumero unitas quidem cũ ipsalinearis nu¬
Imerus non sit in longitudinẽ tamen distenti numeriprin¬
cipiũ ẽ: & linearis numerus cũ ipse totius latitudinis eepens
sit : in aliud tamen spatiũ latitudinis &tenti numeri sostit᷑¬

Expanded text:
iam in numero unitas quidem cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortit
Abbreviated transcription (Latin):
initiũ : suꝑficies quoq: numerorũ cũm ipsa solidũ cempus
non sit: additi tamen latitudini solidi corporis caput est :
hoc autẽ planius his exemplis liquebit: Linearis numerus e
ad uob: inchoans adiecta semꝑ unitate : in unũ eundemq duc¬
tũ quantitatis &plicata congeries ut ẽ id qd subiecimꝰ :¬

Expanded text:
initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit, addita tamen altitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans, adjecta semper unitate in unum eumdemque ductum quantitatis explicata congeries, ut est id quod subjecim
Abbreviated transcription (Latin):
XXUIIII. DEGENERATIONE LATERCULORUO
Iuor autẽ superius laterculos diximꝰ quȩ sunt& ip¬
sȩ quidem solidȩ figurae hoc modo fiunt: quotiens
equalib spatiis in longitudinẽ latitudinẽq porrectis mi¬
nor his addit᷑ altitudo ut sunt huius modi trȩs terbis qui
sunt xuii. uel quattuor quaterbis ul alio quiomodout his

Expanded text:
XXIX. De generatione laterculorum, Quos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt. Quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis, minor his additur altitudo. Ut sunt hujusmodi 3 ter bis, qui sunt 18, vel 4 quater bis, vel alio
Abbreviated transcription (Latin):
& & primo ordine omner t&ragoni hoc modo: unũ
enim si res peccris : primꝰ potestate᷑ t& nagonꝰ ẽ : sinuero
unũ trib: coaceruaueris quattuor tangonꝰ &orit᷑: huic
si quinariũ iungã nouenarius rursus occurrit: huiesico¬
puler uii : sedecim quadrati forma sesugerit: idemq si in
c&eris fecias omnes conp&enter quadittos uideas ꝓcreari:
at uero & secundo paritatis ordine : idem cunctia parte alte¬
ra longiores fiunt: nãq si duos primo respgero huius mo¬
di mihi numerus occurrit: quifit ebis uno cũ uero duob
sequenter quattuor iuxero paste altera longior rursus
erit : senariur scilic& quifit ebis trib cuisi sequentem
adgregauero nasc&ur mihi duo denaria forma: quȩ fit ex
quater trib quod si continuatim quis faciat c̃unctos huius¬
modi numeros in comp&enti ordine ꝓcreatos uidebit: quã
discriptionẽ scilic& inferior forma demonstra NADiC

Expanded text:
t ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum t ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat: C
Abbreviated transcription (Latin):
effectrix & quodã modo forma quaedam ẽ inparita¬
tis quȩ̃ in tantũ eiusdem nec mutabilis substantiȩ ẽ: ut
cũ uel se ipsã multiplicauerit: uel in planitudine uel
in ꝓfunditate uelsi aliũ quẽ lib& numerũ ꝑse ipsã
multi plic& aprioris quantitatis forma non discrepat
mel: uel quẽ lib& aliũ numerũ multiplic& a quantitate
sua isquẽ multiplicat numerus non recedit: quod circa
aliũ numerũ non potest inueniri paris uero ordinir bi¬
narius numerus princeps ẽ: quȩ dualitas cũ in eodẽ ordi¬
ne paritatissit : tum principiũ totius ẽ alteritatis: nãq
sise ipsa multiplic& uel ꝑ latitudinẽ uel &iã ꝑ ꝓfunditatẽ
uel siquẽ numerũ in suã conglob& quantitatẽ continuo
alter &orit᷑: Nãbis duo uelbis duo bissi faciẽs: uelbis
multi plic& quis quis hinc nascit᷑ alius quã primo fue¬
raet inuenit᷑ : nas cunt᷑ autẽ & superiore discriptione :¬

Expanded text:
effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitaeffectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet.mel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si facias, vel bis multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, e
Abbreviated transcription (Latin):
his adualitate parib discriptis : coaceruatio inpariũ
t& ragonos facit: coaceruatio pariũ superiores efficit
paste alterx longiores: quare. qm̃t& ragonorũ haec
natunt ẽ : ut ab in parib ꝓcreent᷑ qui sunt unitates par¬
ticipes : id ẽ eiusdem inmutabilisq substantiȩ: cunctisq:
pastib: suis ȩquales sint : quod & anguli angulis & late¬
ra laterib: & longitudini conpar . ẽ. latitudo: Dicendũ
est huius modi numeros. eiusdem naturȩ atq: inmutabi¬
lis substantiȩ pasticipes: illos uero numeros quos paste
altera longiores paritas creat: alterius dicimꝰ esse
substantiȩ: Nã quẽ ad modũ unus aduob: uno tantũ alter
est sichorũ latera a setantũ uno sunt altera & una tan¬
tũ differunt unitate: quare disponant᷑ inordinẽ om¬
nes ab uno in pares: & sub his omnes ab unonumero pares :
Est ergo princeps in paris ordinis unitas. quȩ spsa quidẽ

Expanded text:
his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium his a dualitate paribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares. Est ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem
Abbreviated transcription (Latin):
unitate dissimilis : Merito ergodicent᷑ hi numeri paste alte¬
ra longiores. quod eorũ latera unius tantũ sese adiecta nu¬
merositate pracecedunt argumentũ est autẽ alteritatẽ
inbinario numero iuste constitur: quod non dicit᷑ alterũ nisi
ad uob: abhis inter quos bene loquendi rationonneglegit
amplius quod in parnumerus sola unitatẽ ꝑfici monstratꝰ
est: paruero sola dualitate idẽ solobinario numero.¬
ũ Na cuiuscũq medi &as ẽ unur ille inpar ẽ: cuius uero duo :¬
hic paritaterecepta ingemina ȩqua disiungit᷑: quã redi¬
cendũ .ẽ. in parẽ numerũ eiusdẽ atq: insua se natura te¬
nentis inmutabilisq substantiȩ esse pasticipẽ : idcirco qđ
abunitate form&ur: parẽ uero alterius plenũ esse na¬
turȩ idcirco quod adualitate compl&ur:
XXUIII. QUOD EXINPABUS QUADRATI. EXPARIBUS
PARTE ALTERALONGIORES FIANT
AIt uero positis inordinẽ abunitate inparib & sub

Expanded text:
unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte alteunitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. Quod ex imparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant. At vero positis in ordinem ab unitate imparibus, et sub
Abbreviated transcription (Latin):
ta discriptio doc&: inqua & quib: numeris multiplicatinas¬
centur. paste alterx longiores : super adscripti sunt : qui
uero nascuntur subterius subnotati
XXUII DEANTE LONGIORIBUS NUMERIS ET DE
UOCABULO NUMERI PARTEAL TERAL ONGIORIS
Ergo si ab unitate tantũ discrepent. quimulti plicant᷑.
discript superius numeri. ꝓtendunt᷑: ssuero aliquonu
numerus paste altera longior. sed ante longior: al¬
terũ enim apud pothagore uel sapientiȩ eiusheneder
nor ill. alii nisi tantũ binario adscribebat᷑: hunorati¬
ritatis principiũ esse dicebant: eandẽ autẽ naturam
& semꝑ sibi similẽ consentientẽq: nullã aliã nisi pri¬
niȩuã inge neratãq unitatẽ. binarius autẽ nume¬
rus primꝰ: ẽ unitati dissimilis: id circo quod prim̾ab
unitate disiungit᷑: atq: ideo alteritatis: cuiurdã principiũ fuit
quod ab illu prima & semꝑ eadem substantia solatantũ est.

Expanded text:
ta descriptio docet. In qua, ex quibus numeris multiplicati nasta descriptio docet. In qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores, supra ascripti sunt. Qui vero nascantur, subterius subnotati. XXVII. De antelongioribus numeris, et de vocabulo numeri parte, altera longioris. Ergo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicantur, descripti superius numeri protendentur. Si vero aliquo numnumerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli alii nisi tantum binario ascribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant. Eamdem autem naturam, et semper sibi similem consentientemque, nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Binarius autem numeprimus est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est
Abbreviated transcription (Latin):
altera longiores: quarũ figunarũ numerus hoc
modo definiendus ẽ: paste altera longior .ẽ nume¬
rus : quẽ si in altitũ dinẽ describas & ipse quidem quat
tuor uenit laterũ : & quattuor angulorũ sed non
cunctis ȩqualib: sed semꝑ minꝰ uno : nãq nec latera
laterib: cunta cunctis aequa sunt: nec longitudini
latitudo: sed ut dictũ .ẽ. cũ hinc altera pars maior
fuerit : uno tantũ minorẽ prȩcedit ac superat.
si enimnumerũ naturalẽ disponas inordinẽ & secun¬
dũ ꝑ primũ multiplices talis nasc&ur numerus uel
si secundũ ꝑ testiũ multiplices uelsi tertiũ ꝑ quartũ
uelsi quartũ ꝑ quintũ: om̃nesq hr̃ unitate tantũ ad¬
dita multiplicent᷑ nascent᷑ paste altert longiores :
VII. & nunc quidem hactenus: siquis igit᷑ faciat unũbis : faci&
duo: & rursus bis tres faci& ui. ter quattuor faci& .xii. qua¬
ita facti sint : ꝓcreabunt᷑ paste altera longiores : ut subiec¬

Expanded text:
altera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc altera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc modo diffiniendus est. Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque bi unitate tantum addita multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Et tunc quidem hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet duo. Et rursus bis tres faciet 6, ter quater faciet 12, quaita facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subjec
Abbreviated transcription (Latin):
dã cuneos formant neq latitudinir neq longitudi¬
nis neq altitudinis. habita ractione quantũ cõmodũ
fuerit: tantũ uel altitudini minuit᷑ uel cracssitudini
ꝓfunditatis aug&ur : atq ideohos plerũq: necesse . ẽ.
omnib: pastib in ȩqualib: inueniri : quidã hos boniscos
uocant : iẽ quasdã arulasquȩ in ionica greciae
regione ut ait nichomachus hoc modo formatȩ fuerunł :
ut neq altitudo latitudini: neq hȩc longitudini conue¬
nir&: uocat᷑ autẽ aliis quib dã nominib quȩ nunc ꝑsequi
sitȩ medi&ates sunt: quȩneq cunctis partib ȩqua¬
lessunt : neq: omnib: inaquales . quos greciparallepi¬
pedos uocant: latininomen hocita uni formiter con¬
pontũ habere non possunt : ut tamen idem plurib
dictũ sit: eanãq hoc nomine uocat᷑. figura quȩ alte¬
natim positis latitudinib: contin&ur:
Icis etpo ReΙC Nos autẽ dicere possum parte

Expanded text:
dam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudidam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc prosequi sita, medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur. aecis heteromikeis, nos dicere possumus parte
Abbreviated transcription (Latin):
t qm̃ omnis crb ab aequilateris qua dractis ꝓfectus :¬
ȩquus ipse omnib pastib ẽ : Nã & latitudini longitudo
& hir duob: conpar . ẽ. altitudo : & secundũ s& pastes id ẽ
sursũ deorsũ dextera sinistra : ante post sibi ȩqualem
essenecesse ẽ : huic oppositũ contrariũq esse oporte¬
bit . quineq longitudinẽ latitudini neq haec duo ꝓfun¬
ditati geract ȩqualia: sed cunctis inȩqualib: quã uis
solida figura sit: ab aequalitate crbi longissime
distare uid&ur: hiautẽ sunt : utsiquis faciat bis tres
quater : uel ter quattuor quinquier & alia huius modi
quȩ ꝑ in ȩquales spatiorũ graedus in aequaliter ꝓue¬
hunt᷑: hȩc autẽ forma greco nomine scale nos uocat᷑:
Nos uero gradatũ possumꝰ dicere : quod aminore mo¬
do uelut gradib crescat admaius: uocant autẽ ean¬
dẽ figurã grȩci quidã sphericon nos autẽ cuneũ pos¬
sumꝰ dicere: & enim quos ad quã lib& illũ rẽ conscriben¬

Expanded text:
m omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quater quinquies, et alia hujusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringen
Abbreviated transcription (Latin):
U. eorũ terminꝰ ueni&: quinquies .xxu. fiunt exxu: & si hos rur¬
sus quinquies ducas inquinariũ numerũ extremitas terminabit᷑
atq hoc usq in infinitũ idem semꝑ ueni&: quod insenario quoq:
conuenit. considenri. hi autẽ numeri id circo cidici uelsperi
iuersione formant᷑: est enim circulus posito quodã puncto
& alio eminꝰ defixo illius puncti qui eminus fixus ẽ ȩqualiter
distans a primo puncto circũ ductio : & ad eundẽ locũ re¬
uiersio unde moueri coeperat: sphera uero. ẽ: semi circuli
manente di am&ro. circũductio: & ad eundẽ locũ reuersio
unde prius ceperat ferri: unitas quoq uistute & potestate

Expanded text:
5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rur5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel sphaeversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate
Abbreviated transcription (Latin):
finiunt᷑ hoc modo : & aqualib: equaliter ductnt᷑ in maius : nãs
equa fuerit latitudo longitudini & maior sit altitudo illȩ fi¬
gurȩ a nobis asseres agrecis docides nominant᷑ : utsiquis hoc
modo faciat: quattuor quater nouies : qui inde ꝓcreant᷑ asse¬
res nominati sunt : spenisci uero quosiel hemiolos cuneolos su¬
perius appellauimꝰ : hi sunt qui& in ȩqualib: inȩqualiter ducti.
ꝑ in ȩqualia creuerunt : crbiuero qui & ȩqualib aequaliter
per aequalia ꝓducti sunt. :
XXX DECIREULARIBUS UEL SPHERICIS UUMERIS
psorũ uero crborũ quanti cũq fuerint itaducti: uta quo
numero crbicae quantitatis latꝰ coeperit in eundẽ altitu¬
dinis &tremitas termin&ur : numerus ille cidicus uel spe¬
ricus appellatur: ut sunt multiplicationes . quȩ aquinario uel
senario ꝓficiscunt᷑ nã quinquies .v. quifit xxV: ab v ꝓgressus
in eosdem desinit .v: & si hos rursũ quinquies educas. in eordẽ

Expanded text:
ae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaequalia crevere; cubi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt. CAPUT XXX. De circularibus vel sphaericis numeris Ipsorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem
Abbreviated transcription (Latin):
goni secundũ eundem modũ multiplicatione facta ꝓue¬
hunt᷑ tot autẽ necesse ẽ. unitates cib habeat in latere
nus trib ꝑlatꝰ unitatib figurabat᷑ solo ternario xxvii
habebat : tõtidẽ Lxiiii. erbus in latere gestabit. quare
tere omnis enim t&ragonꝰ : una quidem suꝑficies ẽ
quatꝰtuor angulorũ totidem laterũ : omnis autẽ er¬
b: qui & taraegonorũ suꝑficie: in ꝓfunditatẽ corporis
creuit: ꝑ t& ragoni scilic& latꝰ multiplicat᷑. habebit qui¬
dem suꝑficies ui. quorũ singula planitudo: t& raegono
illi priori aequalis ẽ: latent uero .xii. quiuũ unũ quotq
singulis his quȩ superioris fuere t&rgoni ȩquũ e
& ut superiur demostirtuimꝰ tot unitatũ ẽ: angulor
uero octo quorũ singulus subtrib huius modi con¬
tin&ur : quales priores fuere t&raegoni. dequi¬
bus ipse productus est : ergo exnaturaliter
profuso numero qui insubiecta forma descrip¬

Expanded text:
goni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provegoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, nus tribus per latus unitatibus figurabatur, solo ternario 27 habebat, totidem 64 cubus in latere gestabit unitatetere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est. Angulos vero 8, quorum singulus sub tribus hujusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni unde cubus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero, qui in subjecta forma descrip
Abbreviated transcription (Latin):
XXU DECIBIS UEL ASSERIBUS UEL LATERCULIS UEL
EUNEIS UEL SPERICIS UELPARAL LELTIPEDI SNUMERIS
Ac desolidis quidem quae prnamidis formã obtinent aequali¬
Ater crescentib & cc ꝓpria uelut radice multi angula figunt
ꝓgredientib dictũ ẽ. est alia rursus quȩdã corporũ solidorũ
ordinabilis conpositio eorũ qui dicunt᷑ erbi uel asseres uella¬
terculi uel cunci uel sperȩ uel panelle lepipeda : quaȩ sunt quo¬
ties suꝑficies contrases & ductȩ in infinitũ nũquã concurren
hisolũ longitudinẽ latitudineq sortiti sunt : & altitudine ca¬
rent : siꝑ latera solã unã multiplicationẽ recipiant : aequalẽ
ꝓuehunt ꝓfunditatẽ : Nã quattuor t& rargonos duos hab& in la¬
tere &natꝰ ẽ e bis duob: bis enimduo .iiii. faciunt hosergo duos
& ipsiur latere simultiplices ae qualiter crbi forma nasc&ur
adiunxeris rursus alius crb aequali laterũ formatione
concrescit : terenim tres. si testio duxeris. xxui erbi figure ꝓ¬

Expanded text:
XV. De cubis, vel asseribus, vel laterculis, vel cuneis, vel sphaericis, et parallelipipedis numeris. Ac de solidis quidem quae pyramidis formam obtinent aequaliter crescentibus, et a propria velut radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cubi vel asseres, vel laterculi, vel cunei, vel sphaerae, vel parallelipipedi, quae sunt quotiens superficies contra se sunt, et ductae in infinitum nunquam concurrent. hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur.adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione crescit. Ter enim tres si tertio duxeris, 27 cubi figura p
Abbreviated transcription (Latin):
uocabit᷑ utsia .XvI. t& racgono ꝓficiscens usq in .uiiii. termi¬
nũ ponat. neq & crescat adquattuor. & quotcũq t& ragoni
defuerint. toties eã custã esse dicim: ut siunitas defuerit pri
bis custa quã greci ΔΙΚΟΛΟΥΡΟΝ appellant quod sitrib te¬
traegonis tercusta dic&ur. quã greci TΡΙΚΟΛΟΥΡΟΝ nomi¬
nant : & quod cũq t& ragonifuerint minus toties illã prrami

Expanded text:
ocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primbis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicitur quam Graeci tricoluron nominant, et quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyrami
Abbreviated transcription (Latin):
tamonium punctũ quod unitas ẽ sed suꝑficiẽ qđ ẽ quilib&
numerus secundũ basir illiur angulos porrtetos atq ulti¬
mos ad gregatus Nã si taragona fuerit bans qua direra
deminutione sempꝰ ascendit & sipentagona bali omalerer
& sigagona illa quoq ultima suꝑficies erit gagonaerg
incustapi remide tot erit angulorũ suꝑficies quot fu¬
erit basis: siuero illa prramis non solũ ad unitatẽ eetre¬
mitatẽq: non ꝑuenit : sed nec ad primũ quoq opere &
actu multiangulũ eius generir cuius fuerit. basis biscurta

Expanded text:
am punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus generis cujus fuerit basis, bis curta
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpostio ẽ appar& autẽ hȩc ꝓpostionalit᷑as inbinis ꝓportio¬
nib: ab unitate alternatim paste altera longiorib: quadne¬
tisq dispositis a prima multiplicatis habitudine : id .ẽ adu¬
plici ꝑcunctas suꝑpasticularis habitudiner ꝓpostionesq dis¬
currens: quod subiecta discriptione signatũ est .⁊

Expanded text:
proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportioproportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus, ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis, a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticulares habitudines proportionesque discurrens, quod subjecta descr
Abbreviated transcription (Latin):
Nac autẽ ꝓpostionalitas & in aliis omnib uel suꝑ pasti¬
cularib: uel suꝑ pastientib inuenit᷑ : Huius modi ꝓpri&a¬
te inomnib: conseruata ut in continua ꝓpostione quod fit
sub&tremitatib: sitres fuerint termini hoc a medi&ate
multiplicata consurgat: sienim sint ii.iiii.uiii. quod fit &
bis uiii idem fit. & quater .iiii. uelsisit inquattuor termi¬
nis disiuncta ꝓpostio : qđ fit & utrisq & tremitatib iddu¬
arũ medi&atũ multiplicatione concrescat: ut sisint .ii.iii.
plar autẽ nobis maximũ cesussimũq sit illuđ ubi & ȩqua¬
litate diximꝰ omnes in aequalitatis species fundi illic eñi in om¬
nib: uel multiplicib uel suꝑ pastientib: uel suꝑ pasticularib
uel inc&eris coniunctis gcomarica ꝓportionalitas custodit̃:¬
has omnes ꝓpridates quas supna diximꝰ continens: quasta ue¬
ro ẽ ꝓpria&as huiusce medi&atis qđ uel in maiorib uel in¬
m inorib: terminis: ȩquales semp ꝓportiones sunt : Nãq si

Expanded text:
s omnibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus, invenitur, hujusmodi proprietate in omnibus conservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor terminis disjuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat. Ut si sint 2, 4, plar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim, in omnibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, vel in caeteris conjunctis, gcontinens. Quarta vero est proprietas hujusce medietatis, quod vel in majoribus vel minoribus terminis aequales semper proportiones sunt. Namque si
Abbreviated transcription (Latin):
repperi&ur : sinuero quadruplices sint triplica tominore ter¬
mino maior terminꝰ aminore distabit: & si quinquupla qua¬
druplicato & sisesquupla quinquuplicato: & una minꝰ multipli¬
catione quã est ip̃saminorũ ad maiorer conparatio termino

Expanded text:
reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore terreperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam es
Abbreviated transcription (Latin):
ulliigit᷑ dubiũ essepotest qđ cũ omnes termini duplisint:
Vita differentiȩ quoq eorũ terrinorũ duples pene
deant᷑ ut unominꝰ termino indifferentus : omnes pene
dispositos subter terminos quorũ sunt ipre diffedeninu
supcrior ordo red diderit : Est &iã aliud ꝓpriũqđ puinas
addminorẽ maior terminꝰ conparatꝰ: ipsũ minorẽ raine
differentiã: Nãqbinarius ad unttatẽ ipsaunuadr iulis¬
fest : & quaternarius bmario ipsobinarod: & ucroerauiu t
quaternario ipsoquater nario & deinceps onaiomes alii ip¬
sisminorib abcisdem ipsis differunt : quos numerositate
pm&ercunt & hoc quidem induplici ꝓpostione cadit sinue¬
rosint triplicer ꝓportiones maior terminꝰ aminotei ui uiii¬
no duplicato minore termino diffest: ut sisint .i. ii.uiiii.
tres ab unõbinaro differunt : inquẽ unitas idẽ minor tenꝰ¬
minꝰ duplicatꝰ gundat & uuatrib: senario differunt: quã
ternarius duplicat᷑ educit: & in aliis curctis ciusmodinctio

Expanded text:
ulli igitur dubium esse potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps majores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate raetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio
Abbreviated transcription (Latin):
crbis intut .uiii. & xxuii. duȩ tantũ inter hos eadẽ ꝓportione
iungunt᷑ in his quoq: eadẽ laterũ ractio ẽ: Nãq & uno erbo
qui ꝓpinquior ẽ una mȩdi&as. duo latera collegit: & alter

Expanded text:
cubi sint, ut 8 et 27, duae tantum inter hos eadem proportione cubi sint, ut 8 et 27, duae tantum inter hos eadem proportione junguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque ex uno cubo qui propinquior est, una m
Abbreviated transcription (Latin):
tionẽ unde formȩ solidȩ : tria interualla dicunt᷑ habe¬
re : Est enimunũ interuallũ a primo ad secundũ &
a secundo ad tertiũ: & a testio adquastũ quȩ scilic& est
postrema distantia: recte igit᷑ & planȩ figurce duob
interuallis & solidȩ trib: contineri dicunt᷑ sint enĩ duote¬
tragoni .iiii. scilic& & .viiii: horũ igit᷑ unꝰ tantũ mediur
in ea dẽ ꝓpostione constitui potest : Nãq senarius ad iiii:
ses qualter ẽ: & uiiit ad senariũ eodẽ modosesqualter :
hoc autẽ id circo euenit qđ singula latera singulorũ
t& nrgonorũ efficiunt senariã medi&atẽ : Nãqua ternaruite¬
tragonilatꝰ binarius. ẽ: nouenarii ternarius: hiergo multipli¬
catiperfecerunt sen ariũ. bis enĩ tres senarius ẽ : & quotiescũq
datis duob t&ragonis eorũ medicatẽ uolumꝰ inuenire. latera
eorũ multiplicanda sunt : & quĩ e his ꝓcreabit᷑ medi&as ẽ : si autẽ

Expanded text:
tionem. Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habetionem. Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum, et a secundo ad tertium, et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque, datis duobus tetragonis, eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabuntur, medietas est. Si autem
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpostiosit : musicã uero medi&atẽ optimatiũ dicunt
esse rẽpuplicã adeo qđ in maiorib terminis. maior ꝓportio¬
nalitas inuenit᷑ geo m&rica medidas popularis quodã¬
modo & & ȩquatȩ ciuitatis ẽ : Nãq uel in maiorib: uel in mi¬
norib: ȩqualiomniũ ꝓpostionalitate conponit᷑ & ẽ inter
pRoRtioNalITATIBUS NEDIETATE IUNGANTUrSΟ¬
LIDIUERONUNERIDUAB: MEDETATIB INMEDIOCOR¬
Post hȩcigit᷑ tempus ẽ ut & pediamꝰ nunc quid¬
Idã nimis utile in platonica quadã disputatione : quȩ
intimeicos mopoeiahaud facili cuiquã uel penetrabil
rctione uersat᷑ : Omnes enim planȩ figurȩ: quȩ nulla
altitudine crescunt: una tantũ medi&ate geo m&ri¬
ca continuant᷑: alia quȩ iungat non potest inueniri :
unde duo tantũ interualla inbissunt constituta:
A primo scilic& ad mediũ & amedio ad testiũ: siuero fu¬
erint cybi duas tantũ habebunt medi&ates : ubi tertia
inueniri non poterit: secundũ geom&ricã sciliç& ꝓpor¬

Expanded text:
portio sit. Musicam vero medietatem optimatum dicunt esse rempublicam, ideo quod in majoribus terminis major proportionalitas invenitur. Geometrica medietas, popularis quodammodo et ex aequalitate civitatis est. Namque vel in majoribus, vel in minoribus, aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter portionalitatibus medietate jungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio coPost haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quadam disputatione, quae in Timaei cosmopeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde duo tantum in his intervalla sunt constituta, a primo scilicet ad medium, et a medio ad tertium. Si vero fuerint cubi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet propor
Abbreviated transcription (Latin):
enĩ duo crbi & in medio eorũ duȩ medidates quas superius diximꝰ:¬
bis octinariũ ferunt: ternarius uero xXUII. crbilatꝰ ẽ: ter
enimtres. ter XXUII restituunt: medi&as igit᷑ quȩ iuxta
octinariũ ẽ id .ẽ .xii. mutuat᷑ duo latera &ꝓpinquosibiocto¬
nario & aliud unũ latꝰ & altrinsecus posito XXUII. crbo:bis
enĩbini ter .xii. pandunt: & xuiii. eadẽ ratione duo laterx a ꝓ¬
pinquo sibi .XVII. erbo colligit : & uno altrinsecur posito oc¬
tonario: tres enim terbis . xviii. concludunt: hoc autẽ uniuer¬
saliter speculandũ ẽ: si te tragonꝰ t&ragonũ multiplic& sine
dubio t&nrgonꝰ ꝓuenit: sinuero paste alterr longiort& rtrgonũ
multiplicet uel tarrgonꝰ paste altera longiorẽ nũquã tanego¬
cn semꝑ paste alter longior crescit: pursus ficrb ẽrbũ mul¬
tiplicauerit erbi forma conficit᷑ si uero paste altent longior
crbũ uel erbpaste alter longiorẽ nũquã erb ꝓcreabit᷑: hoc

Expanded text:
in medio eorum duae medietates quas superius diximbis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, sed semper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, hoc
Abbreviated transcription (Latin):
rentiã uincat: quauero disciplina huius modi medi&ates
repperire possimꝰ : expediendũ ẽ : datis duob: terminis: si a¬
rithin&icã medi&atẽ constituere oportebit : utrirq ẽ &¬
tremitas coniungenda: quodq: ex ea copulatione colligitur.
diuendũ isq numerus qui ex diuisione redactꝰ ẽ arithni&i¬
cã medi&atẽ. inter &tremitates locat effici& ut .x. & xl
siiunxero efficient . l quos sidiuidã .xxv. reddunt᷑ hic ern
medius terminꝰ : sec undũ arith m&icã ꝓpostionẽ uelsi illu¬
s numerũ quo maior minorẽ superat diuidas. eũq minori
suꝑ ponar quodq inde concrescit mediũ ponas. arithim &ica
me dicas informat᷑ : Nã .xl. denariũ tricenario superat: quẽ si
diuidas xv. fiunt: hunc siminori id ẽ denario suꝑposueris .xx
& u. nascent᷑ quẽ si mediũ constituas : arithin&icȩ medi&atir
ordo format᷑: geo maricã uero sirationẽ uestiges eius nume¬
ri qui subutrisq etremitatib: contin&ur t& raegonicũ latꝰ

Expanded text:
 vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10 et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit medius terminm numerum quo major minorem superat dividas, eumque minori superponas, quodque inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas informatur. Nam 40 denarium tricenario superat; quem si dividas 15 fiunt; hunc si minori, id est denario, superposueris, 20 et 5 nascentur; quem si medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, ejus numeri qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus
Abbreviated transcription (Latin):
id qđ relinquit᷑ mediũ terminũ ponas: Nãq xl ad dena¬
riũ quadruplus ẽ : igit᷑ quad ruplũ si diuidas: duplum
facies : qui ẽ scilic& .xx. Nã xx. addenariũ : duplus ẽ: hunc
si mediũ constituas medi&atẽ geom&ricã ꝓferet. armoni¬
cã uero medi&atẽ tali modo repperies: differentiũ termincai
inminorẽ terminũ multiplica & post iunge terrunos & iuxta

Expanded text:
 relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medietatem, tali modo reperies: differentiam terminorum in minorem terminum multiplica, et post junge terminos, et juxta
Abbreviated transcription (Latin):
cundũ quantitatẽ uero numeri ut sunt .i .ii.iii.iiii: quantũ
enim unus ad uob: uincit᷑ tantũ ternarius aquaternario su¬
perct᷑: & quanto .iiI. unũ uincunt : tanto ternariũ quater¬
narius transit ꝑmixtĩ &iã quanto unꝰ trib: minor ẽ : tan¬
tobinarius quaternario: ul quanto ternarius unitatẽ
superat : tanto binariũ trans gredit᷑ quaternarius
XLI. QUAE APUD ANTIOUOS PROPORTIONALITA
FUERIT QUAS POSTERIORES ADDIDERIUT MAA UE¬
onfusȩ quidẽ & apud antiquiores nõtȩ quȩq. ad
atb phrthagorȩ uel platonis uel aristotilis scientiã ꝑue¬
nerunt̃ ha̧ tres medi&ates sunt: arithmn&ica : geo mari¬
ca. armonica: postquas ꝓpostionũ habitudines tres alie
sunt quȩsime nomine quidẽ ferunt᷑⁊ uocant᷑ autẽ quasta

Expanded text:
cundum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. CAPUT XLI. Quae apud antiquos proportionalitas fuerit et quas posteri addiderint. Confessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post quas proportionum habitudines, tres aliae sunt quae sine nomine quidem feruntur. Vocantur autem quarta
Abbreviated transcription (Latin):
uigatorũ numerorũ is quasi quodã modo basinstt: sungur
enimlatior inuenit᷑ & quiante ipsũ numeri coniungantur
minores esse necesse ẽ: usqdũ adunitates d& nectio raega
ꝑueniat : quȩ puncti quodã modo & uerticis obtinȩat locũ
Nãq in X prromide suꝑ .ui. additi sunt .iii. atqunurqui¬
sẽnarius supenaet ternariã quantitatẽ : ipsi uero tresunũ plu¬
poelitate ticenscendunt: qui unus & tremũ terminũ ꝓgressi¬
onis offendit: similis quoqi rctio incaeris ꝑspici potest sic
orũ ꝓcreationes diligentius uolueris ꝑscrutari: illȩ uero
qua sunt at&raegono prnemides : eadem ta nagonorũ suꝑse
compositione nascunt᷑: descriptis enim cunctis t&ragonir¬

Expanded text:
jugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis jugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur; et qui ante ipsum numeri conjunguntur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat, quae puncti quodammodo et verticis obtineat locum. Namque in 10 pyramide super sex additi sunt 3 atque usenarius superat ternariam quantitatem, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in caeteris prospici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae vero quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragoni
Abbreviated transcription (Latin):
nascebant᷑ nunc uero ad solidorũ corporũ ꝓereationẽ
ipsenobis suꝑficies naturaliter figuratȩ puenient &r
ad faciendas quidem prramides atriangulo ipsi nobis tri¬
anguli conponendi sunt : ad ꝓcreandas uero prramides
a tarcegono tetragoni adeas uero quae sunt apentagono
pentagoni copulandi sunt : & illȩ quȩ sunt abexagono uel
eptagono non nisi &agonorũ uel eptagonorũ copulatione
nascent̃ primꝰ ergo potestate triangidus unitasngandẽ q
ria ponimꝰ iurtute prraemidã : secundus uero tiangulus es
ternarius que sicũ primo coniunxero idẽ cũ unitate qua¬
ternaria mihi ꝓfunditas priamidis e crescit: atuerosihis
testiũ senariũ iunxerõ denaria prramidis ꝓcreabit᷑ altitudo
his sidenariũ iunxero xxͦ numerorũ prromis ueni& atqrita
incunctis aliis eadẽ ratio copulations est. ⁊¬
In hac igit᷑ coniunctione necesse ẽ ut semꝑ qui ultimꝰ sit cun¬

Expanded text:
nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pentagono, pentagoni copulandi sunt, et illae quae sunt ab hexagono vel heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione naiam ponemus virtute pyramidem; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo conjunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si iis tertium senarium junxero, denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium junxero, 20 numerorum pyramis veniet, atque ita in cunctis aliis eadem ratio copulationis est. In hac igitur conjunctione necesse est ut semper qui ultimus sit con
Abbreviated transcription (Latin):
continebit᷑: & si ab xagono se triangulis nibulominꝰ & quan¬
tos cũq angulos habuerit᷑ figura suꝑquã prnrmis rend& :
tor ipsa platent triangulis contin&ur : ut in subiectis discrip¬
tionibus palam est.
XXI. SOL IDORUM GENERATIONUM EORUM
eunt᷑ autẽ huius modi prramides hoc modo: primapr¬
nauus deir iangulo secunda prramis detaregono
cesua opimin depentagono quasta prnemin degagono
nonta pi nomis deeptagono: idemq inc&eri constet ni¬
menis uã qm̃ lincares numenos esse diximꝰ qui ab uno p̃¬
frut in infinitũ currerent : ut sunt ÷i . iII.iII.XXUIUII
ViIi .uiii.x. his autẽ ordinatim conpositis & in seinuicẽ
cũdistantia iunctis suꝑficies nascebant᷑: ut si unũ eduoiun¬
geres primꝰ triangulus nascer&ur idẽtres & cũ his adiun¬
erem testiũ idẽ ternariũ senarius triangulius rersur
occurrer&: & post hos t&ragoni uno intermisso: pentago¬
niuero duob &agonĩ trib eptagoni relictis quat tuona

Expanded text:
continebitur, et si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam est. CAPUT XXIII. Solidorum generatio numerorum. Dicuntur autem hujusmodi pyramides hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus qui ab uno profecti in infinitum c sunt: His autem ordinatim compositis, et in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nasceretur, id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor.