comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
Et quod illata non has simul inferret. sublata uero perimeret: Quare ordine disputatio
ꝓgredietur: si ab ea prius inchoandum sit medietate.q̃ innumeri differentia. non
in proportionis speculatione uersatur:¬
rithineticam medietatẽ uocamus. quotiens uel trib uel quot libet terminis
positis aequalis atq eadem differentia inter om̃s dispositos terminos inuenitur:
Inqua neglecta proportionis aequalitate. t̃minorũ tantum differentiarũs peculatio
sitione : siquis continuatĩ differentias terminorũ curet aspicere : seđm arith metieã
medietatẽ aequa t̃minorum int̃ se discrepantia. ẽ: Aequales enim s̃ differentiae
sed eadẽ proportio atq habitudo N̾ est. Si igitur intrib t̾minis c̃sideratio sit: cõtinua
Vides ne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se temnisingulis
p̃terirent: preter missis duobus et quatuor : rad ui. et in ad quinariũ ẽ paritobina¬

Expanded text:
et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versaturrithmeticam medietatem vocamus, quoties vel tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum differentiarumque speculatio sitione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa terminorum inter se discrepantia est. Aequales enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio sit, continuaVidesne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 4, unus ad tres, et 3 ad quinarium comparati, bina
Abbreviated transcription (Latin):
meductate trac tabimus q̃uae scdm quantitatis aequalntatẽ neglecta proportionis parilitate
c̃stitutorum t̃minorũ habitudines seruat In his autẽ quantitatib medietas ista uersatur.
Inq his speculanda ẽ : inquib ase ipsis t̃mini differunt Quid aut̃ eẽt differentia tͣminorũ :¬
superius diffinitum. ẽ: hanc autẽ. eẽ arithmeticã medictatẽ numerorum ipsa ratio decda¬
rabit: qm̃ eius proportio innumeri quantitate c̃sistit Quae igitur causa ẽ. huius modi
terminorũ habitudinẽ id ẽ. arithineticã cunctis aliis proportionalitatibus ante ponere
Primũ qđ hanc nobis in principio ipsa numerorũ natura et uis naturalis quantitatis opponit:
Nuius modi enim proportiones quae ad t̾minorũ differentias ꝑtinent. ut paulo pꝰ demonstra¬
bitur in naturrilis pranũ numeri dispositione cognoscimus : Deinde quod superiore libro
disputantib nobis apparuit arithineticã uim. geometrica atq missica. eẽ. antiquiorem

Expanded text:
medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, neglecta proportionis parilitate, constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem, numerorum ipsa ratio declarabit, quoniam ejus proportio in numeri quantitate consistit. Quae igitur causa est, hujusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem,
Abbreviated transcription (Latin):
.III. quor numerositate ptereunt. Et hoc quidẽ in dupliei ꝓportione cadit
i uero sint triplices ꝓportiones : maior t̃minus aminore t̃mino duplicatominore t̃mino disfe
si sint i .iii.uiiii. .iii. ab unobinario differ̃ in quẽ unitas id .ẽ minor t̃minus duplicatꝰ ex uelat.
uiui a trib senario differ̃. quẽ t̃narius duplicatus educit. Et in aliis cunctis eius modi ratiore pe¬
ietur: Sin iꝰ quad ruplices sint : triplicato minore t̃mino maior t̃minus aminore distabit : Et si
qun quuple quadruplicato Et si sex cuplȩ quinquuplicato et unaminus multiplicatione quã ẽ.
ipsaminorũ ad maiores cõparatio t̃minorũ minorẽ numerꝰ maior exuꝑat. ut in sra ostendet sigura¬

Expanded text:
 quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est ipsa minorum ad majores comparatio terminorum, minorem numerus major exsuperat. Haec autem pr
Abbreviated transcription (Latin):
fiunt tetragoni a paribus producunt᷑: Nam qui exti. et ur partealteral ongrornbus
et quat᷑ nariobis multiplicato. &ui. tetragonus factus. e ille aquat nario noncieser
copulantur .ui. enĩ sexies axxa .ii. restituunt: Nec minus in eandẽ aradoruende
post senariũ nascitur. Octo enim octies lxiiii. tetragonũ iungunt  Et in aliis qͦ scđ̃m
eundẽ modũ si idẽ facias : rationis ordo non discrepat:¬

Expanded text:
fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 tetragonus factus est, ille a quaternario numero, copulantur. Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem rationem cadet, post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragonum jungunt. Et in aliis quoque secundum eumdem modum si idem facias, rationis ordo non discrepat
Abbreviated transcription (Latin):
¶llud quoq non oportet miriori ad miratione suscipere. quod seđm ꝓprias matures ulba
Altr insecus duo tetragoni stant. et unus parte altera longior in medio ponit̃ tetragon
qui nascituriille semꝑ ab impari procreat᷑ : Nam ex superiorib uet nu et bismula¬
Dicato binario sactus ẽ. nouenarius tetragonus. qui scilica atrib ꝓereat. Teren¬
II. Viiii. faciunt. qui t̃narius impar. ẽ numerus: Et sequens qui ex ini eauiuna
et bis multiplicato senario c̃iunctus ẽ.xxxu. tetragonus. et ipse ex im pariarano
nascitur. et continenti post t̃ nariũ. Quinquies enĩ u .xxu. ꝓducunt. Et quimarius
post t̃narium impar ẽ. numerus. Et insequenti quoq eadem ratioote naris qri
ert unis et ae .ui. etbis ducto .xii. quadratus x lunii. produrtur ille a septe nario imipar¬
sit et post quinarium etinenti. Septies enim uii xluiui. ereant. At uero ubi duo
al trinsecus partealtera longiores unum medium tetragonũ claudunt :om̃s que erlis

Expanded text:
llud quoque non oportet minore admiratione suscipere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant, et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus qui nascitur, ille semper ab impari procreatur. Nam ex superioribus, uno et 4 et bis multiplicato binario, factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur. Ter enim tres 9 faciunt, qui ternarius impar est numerus. Et sequens qui ex quatuor et 9, et bis multiplicato senario conjunctus, est 25 tetragonus, et ipse ex impari quinario nascitur continenti post ternarium. Quinquies enim quinque 25 procedunt, et quinarius post ternarium, impar est numerus. Et in sequenti quoquo eadem ratio est. Nam qui ex 9 et 16 et bis ducto 12 quadratus 49 producitur, ille a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui
Abbreviated transcription (Latin):
Et ad eundem modũ inceteris c̃uenit in tueri. Rursus siponant᷑ duo tetragoni
ex superius descriptis. idẽ. primus et scđs. et in unũ colligant᷑ et medius
eorum parte altera longior bis multiplicet᷑ : tetragonus fit.Nanq unus et iu
si iungant᷑ .u. faciunt: Eorum bi narius parte altera longiorbis siducat᷑ .iiii.
quad ratus. Et ad eundem modũ in aliis hoc modo dispositis numeris quos supra
discripsimus idem c̃stat intelligi Si uero c̃uertas et int̃duos primũ et scđm
parte altera longiores secundũ terragonũ ponas. qui in ordine quidẽ sođs ẽ:
s actu ⁊ opere pͥmꝰ. ex duob parte alta longiorib c̃gregatis. ⁊ bis multiplicato medio
longiores si ponat᷑ quat᷑ narius ordine seđis̃ pͥmꝰ actu teeragon et c̃ iungant᷑ .ii. et .ui. uiii¬
faciunt Tũ sibis ducant᷑ medii .iiii. faciunt rurs octonarũ. qui cũ suꝑiorib iuncti :¬

Expanded text:
Et ad eumdem modum in caeteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et 4, si jungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quaquadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicatongiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et conjungantur duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt rursus octonarium, qui cum superioribus juncti, s
Abbreviated transcription (Latin):
i ad .uiii. sic erit sec undus ad quartum id ẽ .iiii. ad xui. utraq enim proportio
quadrupla ẽ. Et conũsim quem ad modum quartus ẽ ad scđm: ita tertius notatui
ad primũ. Noc uero etiam disiuncte licet. Nam quẽ ad modũ ẽ. primus ad sec una
secundus ad primum: id .ẽ.iiii. ad i ͦᷤ ita quare ad t̃tiũ id ẽ.xii. acd uiii. Ido in omnib
rata consideratione perspicies hoc modo:¬
Habet aut̃ proprium hinus modi medietas qđ in om̃i dispositione scđm hanc ꝓ portio¬
nalitatẽ t̃minorum differentiae in eadẽ ꝓportione c̃tra se s. quã fuerint ipsi
t̃mini quorũ s̃ ipsae differentiae. Siue enim dupli c̃trase sint t̾mini: duplȩ er
etiã diserentiae siue tripli triplae siue scđm qualibet multiplicntatẽ eadem in

Expanded text:
sic erit secundus ad quartum, id est 4 ad 16. Utraque enim proportio quadrupla est. Et conversim, quemadmodum quartus est ad secundum, ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disjuncte licet. Nam quemadmodum est in omnibus rata consideratione perspicies. tem proprium hujusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae sive tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in
Abbreviated transcription (Latin):
iiforinari: ut que admo dũ mundos ex in tauta bili motabilio sbsareice he
onsi numerus ea cetragonis qͣui immutabilitatecesic rort uinetis. tat imo qã
longioribus. qui mutabilitate partit ipunno painteriore parte lon

Expanded text:
informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse con
Abbreviated transcription (Latin):
mae s̃. qiuiq ea bis coaceruati collectiq in unã congeriẽ. parteabteralo nutisass
numeri nascinttur : In sccłm ipsius binarii numeri naturam abeuidẽ s ubsiuro ie
natura dic essisse dicuntur: putanturq al terius naturas eẽ pardietes prło pres
qm̃ cum latera tetragonorum ab aequaltate ꝓrogres imnae quabrate prce seit¬
utitudinis ambitum tendant: hiadicoto uno abuenualitate latere enscescit
ltq ideo dissimilibus laterib et quodã modo ase ulterius coniunguntur: Qua re
norunt o nobis quod exhis ca quae s in hos mundo coniuneta s. Aut enti ppruae
oropriteb naturas incorporalitate beatur: Qit muraelis uo riabisl ininstran
quiont cor poribus in dubntant᷑ uidemus aecidere. unde nure utodor eauestiom¬
dum ẽ. Dae gemi na numerorum natura quadratorũ sclices et uar qenad relat¬
giorum cumctas numeri spẽcies cunctasq babitu dites uel ad dlatere lredor
quanintatis ut m ulti pliciũ ue suꝑ particulariũ et ssereraione. osol aesimpsam¬

Expanded text:
mae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno ab aequalitate laterum discesserunt, atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo alteris a se conjunguntur. Quare nobis notum est, quod ex his ea quae sunt in hoc munpropriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeter
Abbreviated transcription (Latin):
amabilis infinte q substiutie nominantur: Constit ento om̃is numetus ex his que longȩ disiuncta
suite uetqi contiario ex imparib scilic& &e patib hlc enĩ staibilitas ilic staibit uariatio. hic iminitaba
sabstantis cobur: Illic mobilis ꝑmutatio: hic definta soliditas: alic infinita congeries mulita¬
dinuis Iuȩ scilieet cũ sint contraria inunam camen quodĩ modo amicitiã cognationẽq miscentur
&e ulius unitatis informatione att: regimento unũ uumori corpus efficiunt: Nonengo inu¬
tiliter noq impiudo. Qui de hoc mundo deq hac cummuni rerũ natura ratiocinabetur: hanc
uunã totius mundi substantie diuisionẽ fecerunt: et plato quidẽ in nnco eiluid om nitur
& aexrius nominat quicquid in mundo ẽ. atq aliud̃ insuanatura ꝑmanere putat Induuduũ
inconiunctũ q & rerã omĩum pͥmũ: altet  diuisibile. & nũꝗ in propͥi statu ondinis ꝓmanens

Expanded text:
e disjuncta sunt atque contraria, ex imparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio; hic immobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, hic infinita congeries multitudinis. Quae, scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur, et illius unitatis informatione atque regimento, unum numeri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque improvide, qui de hoc mundo, deque hac communi rerum natura ratiocinabantur, hanc primam totius modi substantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo ejusdem naturae, et alterius nominat, quidquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat individuum inconjunctumque et rerum omnium primum, alterum divisibile et nunquam in prop
Abbreviated transcription (Latin):
ec medii ad differentiam medii atq postremi. Nãq in hac proportione quae ẽ. iii.iiii.ui.
maior terminus id ẽ senarius ad paruissimũ terminũ id ẽ. ternariũ duplus.ẽ. Et differentia
matimi et medu id ẽ. senarii et quat̾narii .ii. scilic&. ad differentiã mechii et ultimi id ẽ.
iuat᷑ narii ternariiq quae .ẽ. unitas dupla pesspicitur. sed hoc qͦq subiecta descriptione
monstratursic:

Expanded text:
et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subjecta descriptione monstratur:
Abbreviated transcription (Latin):
uel si par imparem multiplicet: par semꝑ ex oritur. Noc autẽ facilius cognoscitur
eax lectione platonis in libris de re publica eo loco qui nuptialis dicitur. quem ex ꝑsona
musarum phylosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medictatẽ redeundum. est:
constituitur. Sed quemtadinedent illa in quasmacimus t̃minus ad paruissimũ t̃minum
ponitur: sic disserentia maximi et medii contra differentiam meclii atq. paruissimi
comparatur. Ut si sint in .iiii.ui. uel si .ii. iii .ui. Senarius enim quat̾ narium sua tertia
parte superat id .ẽ. duobus. Quat̾narius uero t̾narium sua quarta parte suꝑuenit id ẽ .iͦ.
Et senarius t̾narium sua medietate id ẽ .iiͦi. Ternarius uerobinarium sua parte t̃tia id. est.
unitate transcendit. Quare in his ñoq eadem proportio t̃minorũ ẽ: ueq caedẽ differentie s¬
Est aut̃ quem ad modum maximus t̃minus ad paruissimũ terminũ: sic differentia maximi

Expanded text:
el si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex persona Musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est. constituitur, sed ila in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt Est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi
Abbreviated transcription (Latin):
ispiomantur ergo uondint̃ non ium pares. atq impares. ex quib quadratit parte altera
longiores fiunt : Sed ipsibi qui ilis coaceruatis in unũq redactise quadrati &e patte altera
longiores prodount: Ita enũ uidebimꝰ istorũ quendã consensũ & adceteras numer⁊ partesprocee¬
andas amiticiã ut non sins causa hoc inomĩb reb ab numeri spetie natura rerã sumpsisse
uideitur. Sint igitur duo ũsus crentagonoꝵ abunitate om̃iũ & ab inarionumoro pute
ptuind iil soxii. lxl horũ egtur spͥmũ compares pͥmo. dupli quantitas inuenitur que :
piuate multiplict se s peies. Siuero secundũ secundo hemioliȩ quantitatis Habitudo ꝓduct¬
S t didun tium seum sol quicerda ꝓpontio procreatur: Sideimquartũ quaito. sesquiquara¬

Expanded text:
era longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a binario numero parte tera longiorum. Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitur, quae est prima multiplicitatis species. Si vero secundum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquar
Abbreviated transcription (Latin):
S̾in ueroseđm tetragomĩprimo parttalitra longiori compares et iiuuies ieuonga
in uiret em et encoret uina ni et uii.uiii. casdẽ rursus proportiones esfici ꝑnotabis
quas in superiore forma descripsimus. S eel hic differentiae ab unitate direho aut
su ab inario numeroinitifiniũ peosdẽ calculos progredunt᷑ eritq scđs primi du¬
plus tiranus secuincli ses qualt. quartus tertui sesquitertius et cetera seđmẽ uenientiã
Rursꝰ quadrati inueẽ imparib sibi differunt parte u̾ata longiores parib ut infra

Expanded text:
Sin vero secundum tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam Rursus quadrati invicem imparibus differunt, parte altera longiores, paribus. At vero
Abbreviated transcription (Latin):
sȩ antecedent: Qua reperfecte ut arbitror demonstratum ẽ. om̃ium formarum pͥncipiũ
elementumq ẽẽ triangulum:
siguris uis ipsa quantitatis naturaliter operetur : ad solidos numeros non erit ulla cunctatio
Sicut enim longitudini numerorũ aliud int̃uallum id ẽ. suꝑficiem ut latitudo ostenderet᷑¬
isai diecimus : ita nunc latitudini siquis addat eam quae alias altitudo. alias crassituedo.
sigurarum necesse ẽ inuenire primordia. Est autẽ pyramis alias atriapgnla basi inlati¬
haeq .iii. inclinentur. ut ad unum punctum medium uertices iungant: sit pyramis
Sit .a sc. triangulum. Si huic igitur triangulo per ii angulos erigantur liniat et ad
unum punctum c̃uertant᷑ quod ẽ .p. ita ut i. punctum non sit in plano sed pendens. illa
scilic& lineat ad ipsum erectae uerticem et quodã modo cac umen .O. faciente: Et erit

Expanded text:
s antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium s antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium elementumque esse triangulum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adjecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altihaeque tres inclinentur ut ad unum medium punctum vertices jungant, Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem, et quodammodo cacumen d facient, et erit
Abbreviated transcription (Latin):
ex .xxuiii. scilicet exagono et senario triangulo. Atq hoc incunctis in offensum reperire lica&
Uide sne igitur ut primus omium triangulus cunctorum sũmas efficiet. et om̃iũ ꝓcreatiob
misceatur:
pentagonis uel pentagoni exagonis. uel hi rursus eptagonis. sine aliqua dubitatione
triangulis sese superabunt. Nanq si ternarium triangulum qnaternario. ł quat̾ narium
tetragonum quinario ł quinarium pentagonum senario exagono ł senarium septenario
ebragono compares : primo setriangulo id ẽ. sola transeunt unitate. At uero si senarius
etra nouenarium ł hic c̃tra xii. uel hic c̃tra xu. uel .xu. contra .xuiiii. pro inueniendis
differentiis comparentur : secundo se triangulo id ẽ. ternario superabunt: x. uero acl xuii.
id ẽ. senario. Atq hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese ꝑspectum: Om̃sq. triangulis¬

Expanded text:
ex 28, scilicet hexagono et senario triangulo, atque hoc in cunctis inoffensum reperire licet. ex 28, scilicet hexagono et senario triangulo, atque hoc in cunctis inoffensum reperire licet. Videsne igitur ut primus omnium triangulus cunctorum summas efficiat, et omnium procreationibus misceatur! pentagonis, vel pentagoni hexagonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra 12, vel hic contra 15, vel 15 contra 18 pro inveniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario, superabunt. Decem vero ad 16, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque se trianguli
Abbreviated transcription (Latin):
ad eundem modũ intuentẽ. nulla cunctatio c̃trarietatis impediet. At uero si exagonos
ubrata examinatione perspicias ex cisdem triangulis et suꝑse positis penta gonisperi¬
antur. Nanq .ui. exagonus ex quinario pentagono et uno qui. ẽ. intriangulorũ orcline
dispositus nascitur Nec alia ẽ origo .xu. exagoni : nisi ex .xiͦ. penta gono et triangulo¬
ternario nascitur: Qđ si xxuiii. rursus exagonum ex quibus superioribus nascat̃ acl discas
nullos inuenies nisi atii pentagonum senariumq triangulum. atq. hoc inceteris. Nec hunc
geniturae ordinẽ proc reatio refutabit. Nanq ex suꝑ se exagonis. et ex eminus positis trian¬
gulis procreantur: Unͥenim ebtagonus nascitur. ex senario exagono. et uno potestate trian¬
gulo: xuiIi. uero ebragonus ex xu. ex agono et ternario triangulo coniugatur: Etaax iiii

Expanded text:
ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate triangulo, 18 vero heptagonus ex 15 hexagono et ternario triangulo conjungatur, et 34
Abbreviated transcription (Latin):
XUIII.Qu. figurati numoriee quibus h turatis numeris fiant: inꝙ eo qu
is igit̃ ita sese habentibus quid in hac resit c̃sequens uestigemus. Omnes enim tecragon
qui subtriangulis sunt naturali ordinatione dispositi: ex superioribus triangulis
procreantur . Illoruitiq collectione quadrati sigura cõponitur .iiii. enim tetragonus
fit ex uno et tribus id .ẽ. ex duob superioribus triangulis: Uiin.uero ex iii. et .ui. sed
utriq sunt trianguli. At .xui. ex.x. .et .ui. Pt XXU. ex .x.etxu Idemq in sequenti ordine
quadratorum cõstans atq immutabile repperitur. Pentagoͬrum uero sũmȩ ẽficum
ex uno suꝑse tetragono et altrinsecus triangulo c̃stituto. Nam u. pentagonus ex .iiii.
super se posito tetragono et ex nno qui intriangulorum orline ponit̾ aggregat᷑
xiI. uero pentagonus ex uuiiͦi ͬ . super se quadrato et trib sec undo triangulo nascitur:
xx ii. uero ex .xu. et iui. quadrato scilicet atq triangulo Et xxxu. ex .xxu. et .x. et in ordi

Expanded text:
XVIII. Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant, atque quodpium sit. His igitur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens investigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis. Novem vero, ex tribus et 6, sed utrique sunt trianguli. At 16 ex 6 et 10, et 25 ex 10 et 15. Idemque in sequenti ordine quadratorum constans atque immutabile reperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto. Namque 5 pentagonus, ex quatuor super se posito tetragono, et ex uno qui in triangulorum ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, et tribus secundo triangulo nascitur. Viginti duo vero ex 16 et 6, quadrato scilicet atque triangulo, et 35 ex 25 et 10, et in ordinem
Abbreviated transcription (Latin):
Exagoni tribus. Ebdagoni relictis iii. nascebantur: Nunc uero ad solidorũ corporũ
procreationẽ ipsae nobis suꝑficies naturalit̃ figuratȩ prouenient. Et ad faciendas qͥdẽ
pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli conponendi sunt. Ad procreandas uero
pyramidas atetragono: tetragoni. Ad eas aut̃ quae sunt apentagono. pentagoni s̃¬
copulandi. Et illae quae s̃ ab exagono ł ebdagono. non nisi ex agonorũ ł ebdagonori
copulatione nascentur. Prmus ergo potestate trianglus.ẽ. unitas. eandemq etiã
ponimus uirtute pyramidam. Scđs uero triangulus.ẽ. ternarius. quẽ si cũ pͥmo
c̃iunxero id ẽ. cum unitate : quat̃ naria mibi prosunditas pyramidis ex crescit. At nͦ
si his tertium senarium iunxero..xx. numerorum pyramis uentet. Atq ita in c̾ctis
aliis cadeniratio copulationis. ẽ. hoc modo:

Expanded text:
hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum procreationem, ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pentagono, pentagoni copulandi sunt, et illae quae sunt ab hexagono vel heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus, unitas est, eamdemque etiam ponemus virtute pyramidem; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo conjunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At veroarium junxero, 20 numerorum pyramis veniet, atque ita in cunctis aliis eadem ratio copulationis est. In hac
Abbreviated transcription (Latin):
tem si a tetragona basi proficiscatur. et ad unũ uerticem eius liniae dirigantur: erit
pyramis iiii. triangulorum perlatera uno tantum tetragono inbasi posito super quã
c̃tinebitur: Et si ab exagona .ui. triangulis nichilominus Si ab eptagona .uii. triangulis¬
describetur: Et quantoscumq angulos habuerit figura suꝑ quã pyramis residet : tot ipsa
per latera triangulis ẽtinetur. ut ex subiectis descriptionibus palam est:
Scdã. pyramis de tetragono. ł ertia pyramis. de pentagono. Quarta pyramis de
exagono. Quinta pyramis de ebdagono. Idemq inceteris c̃stat numeris. Nam qm̃
lineares numeros. eẽ. diximus qui ab uno profecti in infinitũ currerent ut sunt¬
distantia iunctis suꝑficies nascebantur. ut si .i. et .ii. iungeres. primus triangulus
nasceretur. id ẽ .iii. Et cũ his ad iungeremus tertium id .ẽ. t̃narium: senarius trian¬
gulus rursus ocurrer&e: Et post hos tetragoni imo int̾misso. Pentagoni uero duobus:

Expanded text:
tem si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae dirigantur, erit pyramis quatuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam continebitur, et si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam est. secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut suntdistantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nasceretur, id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus,
Abbreviated transcription (Latin):
quos platera disponens ad iuꝑioris descriptionis exemplar cunctos triangulosie
qun peros sine ulius dubrationis errorib pernotabis. Et quantas ultimus numen
niseuntiates s ub quẽ superiorib aggregabis. tot ipse qui fit triangut un itares babeb
in s tere.Han ternarium qui ẽ. primus actu triangulus. adiȩcto binario unitatdu
sedramus. da hic duos habet inlatere: Et senarium his adiecta t̃ narii quantieate ꝓdioc¬
mus. euus latus soli tres eontinent. Et idem in cunctis aliis. quot unitares habentem
mu ierun superioribus aggregaris. tot umnitatibus eius latera continebuntur
nabusan giouis nt superior forma sed iii. spse quoq aequali laterum dimensione
porrigitur. Sunt autem huius modi:
enim isiuo poscesitia quadratus ire: unitas unum habet in latere Sedłs uers quo
ascunt̃ aut tales numeri ex naturalis numeri dis positione: noriquẽ a dnsiẽ

Expanded text:
quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera continebuntur.in tribus angulis ut superior forma, sed quatuor. Ipse quoque aequali laterum dimensione porrigitur. Sunt autem hujusmodi: Cenim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere. Secundus vero,bus. Nascuntur autem tales numeri ex naturalis numeri dispositione, non quemadmodum
Abbreviated transcription (Latin):
id ẽ uicenarii et uiiiͬ septenarius latus c̃tinet. Eodemq. modo usq in infinitum¬
propagetur. VIIII. Negine atione triangulorum numirorum
ascuntur autẽ trianguli disposita naturali quantitate numerorum. si prioribus
semꝑ multitudo sequentium c̃gregetur. Disponatur enim naturalis numerus
unitatẽ. habeo primũ triangulum qui .ẽ. ui et potestate. Nondũ etiam actu nec
opere. Nuic si seđm aggregauero qui in naturali numerorũ dispositione descriptꝰ ÷:
id .ẽ. binarium primus mihi triangulus opere et actu nascitur idẽ ternarius
Si uero huic t̾tium ex naturali numero adiecero scds̃ mihi opere et actu
triangulus procreatur. Suꝑ unum enim et duo si tertium id ẽ ternarium
aggregauero senarius extenhtur secundus scilicet triangulus Huic uero
si ẽsequenẽ quat᷑narium suꝑposuero. denarius explicatur qui ẽ tertius aetu triangulus

Expanded text:
demque usque in infinitumdemque usque in infinitum. CAPUT IX. De generatione triangulorum numerorum. Nascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis numerus unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adjecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium, aggregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero sequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus,
Abbreviated transcription (Latin):
UIII. De lottribus tr angulorum uieroromr
d hunc ergo modum in in finita progressio. ẽ. Om̃sq ordine trianguli aequilateri ꝓcreabunt᷑
primũ om̃ium ponenti id qđ ex unitate nascitur. ut haet ii sua triangulus sit. non tam̃
etiam opere atq actu. Nam si cunctorum mater ẽ. numerorũ quie quid in his qui ab
ea nascuntur numeris inuenitur: necesse ẽ. ut ipsa naturali quadam potestate c̃imneat
t huius trianguli latus. ẽ. unitas. Ternarius uero qui primus ẽ. opere et actu ipso
triangulus. crescente unitate binarium numerum latus habebit ui enĩ et potestate
primi trianguli id .ẽ. unitatis. unitas latus.ẽ. actu uero et opere trianguli primi idẽ
ternarii dualitas quam greciaƿa Aa uocant latus. ẽ. Scdi quoq trianguli qui
opere et actu secundus ẽ id .ẽ. senaru crescente naturali numero in laterib t̃narius
inuenitur. Tertii uero id ẽ denarii quat̃ narius latus c̃tinet. Quarti autem idẽ

Expanded text:
III. De lateribus triangulorum numerorum. d hunc modum infinita progressio est, omnesque ordine trianguli aequilateri procreabuntur, et primum omnium ponent, id quod ex unitate nascitur, ut haec vi sua triangulus sit, non inde etiam opere atque actu. Nam si cunctorum est mater numerorum, quidquid in iis qui ab ea nascuntur numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus est unitas. Ternarius vero qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi anguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur. Tertius vero, id est denarii, quaternarius latus continet, et quanti vero, id
Abbreviated transcription (Latin):
prbduetus ei aram qnt̃i nI tetragonus duos tantũ numeros habiet inlatere. duosꝰ asoq
uoniui eubus inla tere gestabit. Quare etiam ui et potestate eybi qd ẽ unitas unus erit
inuute subus nignum tetragonus una quidem supersicies ẽ iiii. angulorũ totidẽ q laterũ
Omius aute enbusꝰ qui e tetri gonorum supficie in profunditate corporis ereut iberi
nis cumi seibiestuatis multeplicatus habebiet quidem suꝑficiesu. quatũ singul pla¬
nitundo nfragono illi priori similis ie. hatera uero xii. quorũ unumqđq singulas nus quac
superlo s ferne eagona i quun ẽ Et ut superius monstraumuscer mmorat suo. et¬

Expanded text:
productus est. Nam quoniam 4 tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque productus est. Nam quoniam 4 tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque 64 cubus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cubi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est
Abbreviated transcription (Latin):
et ductae in infinitum nunquã c̃current. Dispositis enim in or dinẽ tetragonis.i. iiii.¬
uiiii.xui. xxu. qm̃ hi solam longitudinẽ latitudinẽq sortiti s̃. et alitudine carent: si
per latera solã unam m ulti plicationẽ recipiant: aequalẽ prouehunt prosunditatem.
dam quatuor tetragonus duos habet in latere et natus ẽ exbis duobus Bis enim duo
.iiiI. faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices equaliter cybi forma nascetur
dam sibis binos bis facias. octonaria quantitas crescit : et est primus cobus .uIIi. uero
terragonus quoniã tres habet in latere et factus ẽ ex trib: multiplicatis si ei unam
lateris multi plicationẽ ad iunxeris. rursus alius cybus aequabili laterum formatione
nescomede minetre oni sc d̃ eundem modũ multiplicatione facta ꝓuehuntur t e uut̃
nec esseci unitates eibus babeat in latere: qt̃ habint primus ille tetragonus ex qio ple

Expanded text:
et ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis, qet ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis, quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetragonus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione es quidem tetragoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus ex quo ipse
Abbreviated transcription (Latin):
primus quadratus. curtam quam greci ΚRoΛΟΥOI uocant. Si uero duobus terragonis
defficit id .ẽ. unitate et eo qui sequitur : uocat᷑ bns curta qđ greci RIΟAOΥΡORuocaN: łappella Nł
Qđ tribus tetragonis : ter curta dicetur. quam greciΓΡΙRΟΑOΥpoN nominant. Et qt̃ cumq
tetragoni suerint minus: totiens illam pyramidem curtam eẽ. proponimus Hoc autẽ
non solis a tetragono pyramidis: sed in omĩbus ab omi multiangulo ꝓgredientib:
speculari licet:¬
c de solidis quidem quae pyramidis formã obtinent aequalit̃ crescentib
et a propria uelut radice multiangula figura progredientibus dictum . ẽ: Est alia rurs
quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio eorum qui dicunt᷑ cybi ł asseres
uel lat̾culi. uel cunei. ł spherae. ł pararellipipeclȩ. quae sunt quotiens suꝑficies c̃trases :

Expanded text:
primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicitur quam Graeci tricoluron nominant, et quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solum a tetragono pyramidis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licetc de solidis quidem quae pyramidis formam obtinent aequaliter crescentibus, et a propria velut radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cubi vel asseres, vel laterculi, vel cunei, vel sphaerae, vel parallelipipedi, quae sunt quotiens superficies contra se sunt,
Abbreviated transcription (Latin):
pumet ab ulteriornis siese unitatis adiectione suspendat᷑ ppramis equidẽ figura ẽ.
Sed qm̃ usq ad cacumen uerticis non excreuit: curta uocatur. et habebit sũmitatẽ. non
iam punctũ. qđ unitas ẽ. sed suꝑficiem qđ ẽ. quilibet numerus. scđm basis ipsius angu¬
los porrectus. atq. ultimus aggregatus: Nam si tetragona fuerit basis: quadrata dimi¬
nutione semꝑ ascendit. Et sipentagona basis similit̾. Et si exagona: illa quoq ultima
suꝑficies erit exagona: Ergo incurta pyramide tot erit angulorum suꝑficies. qt̃ fuerit
basis: Si uero illa pẏramis non solum ad unitatẽ extremitatẽq ñ ꝑuenit. sed nec ad pͥmũ
quoq opere et actu multiangulũ eius generis cuius fuerit basis. bis curta uocabitur.
Vt si a xui. tetragono proficiscens usq in uiiii. tminum ponat Neq excrescat ad .iiii Et
quot cumq tetragoni desuerint: totiens eam curtam eẽ dicemus. Ut si unitas defuerit

Expanded text:
4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ultima superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus generis cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit
Abbreviated transcription (Latin):
bda gonorum uero id ẽ .uii. angulorum figura ẽ cũ ade ordinem progressioni
uno plus quam in sex angulorum figura numero int̾misso superiori c̃iunxeris
Nam si uii. interpositis qui sese quinario uincant aggregaueris. epdaGoni continuo
figura nascetur ut hi numeri sint eorum radices. et ut superius dictum ẽ. funda¬
ordinem forma procreatur. ita ut sec undum aequalem ꝓgressionem primiqͦq
eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri quae prima
suꝑficiei figura ẽ uno sese tantum numeri p̃cedunt. Qui scilica eorum
naturam descriptionemq ꝑficiunt. Intetragono uero qui scds. ẽ. duob. sese
uhisiq rei nullus ei modus Noc aut̃ subiectarũ formarũ descriptiones docebumt

Expanded text:
onisque. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis onisque. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundaordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese  5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formarum descriptiones docebunt
Abbreviated transcription (Latin):
xagoni autem qui ui. angulis. Et eptagoni qui uii. rursus lateribus c̃tinentur. sec unelũ
hunc modum eorum laterum augmenta suc crescunt. Nanq in trianguli numerii
naturali procreatione. ipsos numeros iungebamus. qui sese in naturali dispositione
sequerentur. et se tantũ unitare transirent. Quadrati uero numeri id ẽ tetragoni
procreatio fiebat ex numeris qui uno int̾misso copulabant᷑ cũ se binario superar et
entagoni autẽ natura fuit ex duobus int̾positis relictisq qui se tnario uincerent.
pentagono duob int̾̃missis eos iungebamus qui se tͥnario superarent: ita nuno in
exagono tribus intermissis eos iungemus qui se quaternario transeant. Et
erunt quidem eorum radices et fundamenta ex quibus iunctis omnes exagon
nascuntur. ÷ .u.UIIII.xiIi.XVII.XXI. Et adundem ordinem c̃sequentes atq
ad superiorem modum scilic& descriptos in propriis ordinibus pernotabis:¬

Expanded text:
xagoni autem, qui sex angulis, et heptagoni, qui 7 rursus lateribus continentur, secundum xagoni autem, qui sex angulis, et heptagoni, qui 7 rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositione sequerentur, et se tantum unitate transirent; quadra i vero numeri, id est tetragoni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui se ternario vincerent. pentagono, duobus intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexagono, tribus intermissis eos jungemus qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus junctis omnes hexagoni nascuntur. Et ad eumdem ordinem consequentes, atque ad superiorem modum, scilicet descriptos, in propriis ordinibus pernotabis