comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ꝙ miscent᷑. et illius unitatis in formatione atq regim̃to unum
numeri corpus efficiunt. Non gͦ mnutiliter neq inꝓuide qui de ħ
mundo deq hac cõmuni rerũ natura ratiocinabant᷑ hanc pͥmũ
tocius mundi substantiȩ diuisionẽ fecerunt. E plato quidẽ inti¬
meo eiusde nature & alteriꝰ nominat quicqͥd in mundo ẽ atq
aliud insua natura ꝑmanere putat indiuiduũ in conunctiunq
& rerũ omĩim pͥmũ. alterũ diuisibile & numnꝙͣ. inꝓprii statu or¬
dinis ꝑmanens. Philolaus uͦ necesse ẽ inquit omĩa que sunt. uel
infinita esse uł finita. demonstrare scilicet uolens oĩa quecumq
ad numeri sine dubio similitudinẽ. Hic enĩ ex uno & duobus. et
impari. atq pari coniungit᷑. quȩ manifesta sunt ȩqͣlitatis atq
inequalitatis eiusde atq alterius. definite atq indefinete ẽeᷤᷤ sub¬

Expanded text:
que miscentur, et illius unitatis informatione atque regimento, unum que miscentur, et illius unitatis informatione atque regimento, unum numeri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque improvide, qui de hoc mundo, deque hac communi rerum natura ratiocinabantur, hanc primam totius modi substantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo ejusdem natutura permanere putat individuum inconjunctumque et rerum omnium primum, alterum divisibile et nunquam in proprii statu ordinis permanens. Phyloaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita vel finita esse. Demonstrare scilicet volens omnia quaecunque d numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus, et impari atque pari conjungitur. Quae manifesta sunt, aequalitatis atque inaequalitatis, ejusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse sub
Abbreviated transcription (Latin):
inꝓpria natura substantiaq ẽ ĩmobile t̾minatũ
diffinitũq ẽ. quippe qͦd nulla uariatione mutet᷑
nũqͣm ẽeᷤᷤ desinat. nũqͣm possit esse qͦd ñ fuit. at
hec unitas sola ẽ. & que ⁊ initate formant᷑. cõp̾hensibilis e det̾mi¬
nate et eiusdẽ substantiȩ ẽeᷤᷤ dicunt᷑. Ea uͦ sunt que uł ab equalib
crescunt. uelut quadrati. uł quos ipsa unitas format idẽ ĩpares.
at uͦ binariꝰ & cuncti parte altera longiores qui a finita substã¬
tia discesserunt. uariabilis infiniteq substantiȩ nominant᷑. Con¬
stat gͦ numerus omĩs exhis quȩ longe disiuncta sunt atq contra¬
traria. ex imparib scilicet et parib. hic enĩ stabilitas. hic instabi¬
lis uariatis. hic ĩmittabilis substantiȩ robur illic mobilis ꝑmittato.
hic definita soliditas. hic in infinita congeries multitudinis. Que
scilicet cũ sint contraria. inunã tam̃ quod̃auͦi amicitiã cognationẽ¬

Expanded text:
propria natura substantiaque est immobile, terminatum definitumque est, quippe quod nulla variatione mutetur, nunquam esse desinat, nunquam possit esse quod non fuit. At haec, unitas sola est, et quae unitate formatur, comprehensibilis et determinatae et ejusdem substantiae esse dicuntur. Ea vero sunt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substantiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his quae longe disjuncta sunt atque contraria, ex imparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio; hic immobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, hic infinita congeries multitudinis. Quae, scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationem
Abbreviated transcription (Latin):
uaueris quatuor tetragonus exorit᷑. Huic si quinariũ iungam. no¬
uenarius rursus occurrit. Huic si copules septẽ sedecĩ quadrati
forma se suggerit. Idemq si inceteris facias. om̃s cõpetent̾ quadra¬
tos uideas ꝓcreari. At uͦ ex sccło paritatis ordine id ẽ cuncti parte
altera longiores frunt. Namq si duos primos respexero. huiꝰmodi
michi mimerus occurrit qui fit exbis uno. Cũ uͦ duob sequenteᷤ
quatuor iunxero. parte altera longior rursus erit. senariꝰ scilicet qui
fit ex bis tribus. Cui si sequente ad gͥgauero: nascet᷑ mͥ duodenaria
forma. que sit ex quater trib. Qd̃ si continuatĩ quis faciat. cunctoᷤ
huiꝰmnodi numeros incõpetenti oedine ꝓcreatos uidebit. quã des¬
criptionẽ scilicet inferior forma demonstrat.¬

Expanded text:
vaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat
Abbreviated transcription (Latin):
Que in tantũ eiusde nec ĩ mitabilis substantiş est.
ditate. uł si aliũ quelibet numerĩ ꝑseip̃am multiplicet. a prioris
quantitatis forma ñ discrepet. Namq si unum semel facias. uł si
numerũ multiplicet. a quantitate sua his quẽ mułtiplicat numerꝰ
ñ recedit. Qcd circa numerũ aliũ ñ potest inueniri. Paris uͦ orcdinis
binariꝰ numerꝰ pͥnceps ẽ. que dualitas cũ in eode ordine paritatis
sit. tum pͥncipiũ ẽ tociꝰ alteritatis. Namq si ipsa multiplicet. uł ꝑ lati¬
tudinẽ uł etiã ꝑ ꝓfunditatẽ uł si quẽ numerũ insuã conglobet quan¬
titatẽ continuo alter exorit᷑. Nam bis duo. uł bis duo bis si facias. uł
quis hinc nascit᷑ alius qͣm pͥmo fuerat inuenit᷑. Nascunt᷑ aut̃ ex su¬
ꝑiore ddescriptione. & ex pͥmo ordine om̃s tetragoni hoc mͦ. unũ enĩ
si respexeris. primus potestate tetragonus ẽ sinuͦ unũ trib coacer¬

Expanded text:
Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, Quae intantum ejusdem nec mutabilis substantiae est, ditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facies, vel sinumerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si sese ipsam multiplicet, vel per latitudinem, vel etiam profunditatem, vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si facias, vel quis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacer
Abbreviated transcription (Latin):
t uͦ positis parib parte alt̾a longiores fiant. xxuiii.
ribus descͥptis. coaceruatio imparium tetragonos facit.
coaceruatiõ pariũ suꝑiores efficit parte altera longiores. Quare
qm̃ tetragonoꝵ hec natura est. ut ab imparib ꝓcereent᷑. qui sunt
unitatis participes. idẽ eiusclem ĩ miitabilisq substantiȩ. cunctisq
partibus siuis equales sint qđ & anguli angulis e latera laterib
& longitudini compar ẽ latitudo. dicendũ ẽ huius modi nume¬
ros eisdem naturȩ atq ĩ mitabilis substantiȩ participes. Ios uͦ
numeros quos parte altera longiores paritas creat. alteriꝰ dicimꝰ
esse subscantiȩ. Nam que madmodũ unus a duob uno tantum
alter est. sic haꝵ latera a se tantũ uno sunt altera. & una tantum
disferunt iutate. Quare disponant᷑ in or dinẽ om̃s ab imo im¬
pares. &: subhis om̃s abinario numero pares.
st gͦ pͥnceps impares oedinis unttas. que ipsa quid ẽ
effectrix et quod ãmodo forma quedam ẽ impariatis

Expanded text:
 paribus parte altera longiores fiant. At vero ribus descriptis, coacervatio imparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera, et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares. Est ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis.
Abbreviated transcription (Latin):
plos. et adeunde ordinẽ consequentes. Rursus multiplices si
conuertantur. ex his suꝑ particulares oriunt᷑. S ex duplicibus
quide sesqualteri. ex triplicibus sex quitercii. Ex quadruplis:
sexquiquarti. et ceteri inhunc modum. Et suꝑpartieularib
uͦ conu̾sis: suꝑ partientes nasci necesse ẽ. Ita ut sex qualtero nas¬
cat᷑ suꝑbi partiens. suꝑcripartientẽ sexquit̾eius gignat. Et ex
sex qui quarto suꝑ quari partiens ẽ. Rectis aut̃ positis neque
conuersis pͥoribus suꝑ parcicularibus. multiplices suꝑ parti¬
culares oriunt᷑. Rectis uͦ suꝑ partientib multiplices suꝑ parti¬
entes efficiuntur. Precepta aut̃ tria hec sunt. ut pͥmũ inime¬
duobus secundis et tercio. Hoc gͥ cũ interininis equalib fece

Expanded text:
plos et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur. Ex duplicibus quidem sesquialteri. Ex triplicibus sesquitertii. Ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numeduobus secundis et tertio. Cum enim eum in terminis aequalibus fece
Abbreviated transcription (Latin):
illa dicimus quȩ nec intentione crescunt. uec retractione¬
ui suȩ se nature subsidis irixa custodiunt. Hec  autͣ fr̃

Expanded text:
illa dicimus, que nec intentione crescunt, nec retractionevi, sueque nature subsidiis, se fixa custodiunt. Hec sunt
Abbreviated transcription (Latin):
&̾ qm̃ triplus duas continet consonantias capente scilicet e diapa¬
son. in huiꝰ triplicis dispositione indifferentiis eunde rursus tͥplum
reperiemus scđm subt̾ descͥptum modum.
ndupla uͦ dispositione maior TRipbos¬
tminus ad medii t̾mini con dya differentie¬
tra se differentiã triplus est.¬
& rursus minor t̾minus ad medii contra minorẽ t̾minũ cõparati.
differentiã triplus est.
differentie¬
Illa aut̃ maxima sẏmphonia que uocat᷑ bis dẏpason uł ut bis du¬
plum. qm̃ dẏapason symphonia ex duplici ꝓpoetione colligit᷑ huc
se iuncture armonice medietatis int̾serit.
Nam in duplici ꝓportione medius t̾minus adminoris siuq difte¬
Intriplicib quoq extremitatib maior clfferentia ad minorẽ differentiã

Expanded text:
quoniam triplus duas continet consonantias, diapente, scilicet, et diapason, in hujus triplicis positione in differentiis eumdem rursus triplum reperiemus, secundum subter descriptum modum. In dupla vero dispositione, major rminus ad medii termini contra se differentitra se differentiam triplus est. Et rursus minor termindifferentiam, triplus est.differentiIlla autem maxima symphonia quae vocatur bis diapason, velut bis duplum, quoniam diapason symphonia ex duplici proportione colligitur, huic se juncturae harmonicae medietatis interserit. Nam in duplici proportione, medius terminus ad minoris suique diffeI
Abbreviated transcription (Latin):
senarius. hunc gͥ si minori t̾mino addas. facient .xui. shic mediꝰ
tes quas idcirco longius enodatiusq tractauimꝰ qͦd he maxi¬
me in antiquoꝵ lectionib inueniunt᷑. ⁊ ad om̃em pene uĩ
conlationis siue cognitionis carum uersatur utilitas. Ceteras autem
p̃tereundo transcurritnꝰ. Idcirco qm ñ multũ nobis inlectioribus
ꝓsunt. s tantũ adimplendam denarii numeri quantitatẽ. Que
ne lateant ne ue sint aliquib ignota depromimus. Uident᷑ enĩ
hȩ supͣdictis medietatib eẽ contrariȩ ex quib origniẽ trahunt.
xlis enĩ etiã iste funt constitute. Est aut̃ quarta medietas q̃
oppostta udet᷑ armonice. in qua trib t̾minis positis quẽadmo¬
dũ ẽ maximꝰ t̾minus ad pariussimũ. sic differentie minoꝵ aq
differentiami maximoꝵ ut ft̃ .iii.u.ui. Sex ad t̾nariũ duplis est.

Expanded text:
senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerusenarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerutes, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus inveniuntur, et ad omnem pene vim cognitionis eorum versatur utilitas. Caeteras autem praetereundo transcurrimus, idcirco quod non multum nobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad implendam denarii numeri quantitatem. Quae, ne lateant neve sint aliquibus ignoratae, depromimus. Videntur enim hae supradictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex his enim etiam istae sunt constitutae. Est autem quarta medietas quae opposita videtur harmonicae, in qua tribus terminis positis, quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad differ
Abbreviated transcription (Latin):
ti t̾mini custodiunt diuidas. ⁊ id qͦd relinquit᷑ mediũ t̾minũ ponas.
namq quadraginta. ad denariũ quadruplus ẽ. Igitur quadruplum
si diuidas. duplum facies. qui ẽ scilicet. uginti. Nam uiginti ad de¬
nariũ duplus ẽ. hunc si mediũ constituas. medietatẽ geometͥcã ꝑferii.
rem t̾iinũ multiplica. ⁊ post iunge t̾minos ⁊ iuxta eũ qui inde
confectus ẽ cõmitte illũ numerũ qui ex differentiis ⁊ t̾mino mino¬
re ꝓductus ẽ. Cuiꝰ cum latitudinẽ inueneris. addis eã minori t̾mi-¬
no. ⁊ qͦd in de colligit᷑ mediũ t̾minũ pones .x. enĩ ixl. facrunt.L.¬
differentia autẽ int̾ & ixl.xxx. sunt. Quẽ si multiplicas in de¬
nariũ idẽ in minorẽ. decies .xxx. oportet trecentos efficies. Qͦs
trecentos iuxta eũ cõmitte qui ex iunctis utͥsq confectus ẽ idẽ iuxta
quiquaginta. facient enĩ quinquagies senos. ⁊ inueniet᷑ latitudo

Expanded text:
ti termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. ti termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perfererem terminum multiplica, et post junge terminos, et juxta eum qui inde confectus est, committe illum numerum qui ex differentiis et termino minore productus est. Cujus cum latitudinem inveneris, addas eam minori termino, et quod inde colligitur medium terminum pones, 10 enim et 40, 30 sunts in denarium, id est in minorem, decies 30, oportet 300 efficias. Quos 300 juxta eum committe qui ex junctis utrisque confectus est, id est juxta 50, facient enim quinquagies senos, et invenitur latitudo
Abbreviated transcription (Latin):
.ixl. si iunxero efficient .l. quos si diuidam xxu. reddunt᷑. Hic erit
medius t̾minus scd̃m arichineticã ꝓportionẽ. Uel si illũ numerum
metica medietas informat᷑. Nam .xl. denariũ tͥgͣenario suꝑat. quẽ si
diuidas.xu. fiunt. hunc si minori idẽ denario suꝑposueris .xx.iu. nas¬
cunt᷑. Qũe si mediũ constituas arithinetice medietatis ordo formatur
Geometͥcam uͦ si rationẽ uestiges. eius numeri qui sub utrisq extremita¬
tibus continet᷑ tetragonicũ latus inquire. ⁊ hunc mediũ pone. Nam
sub.xl. ii denario numero. ec cc. continent᷑. Si enĩ denariũ in cxl. mul¬
tiplices hic numerus crescit. hoꝵ gͥ quadringentoꝵ require tetͣgonieũ
latus. hi sunt.xx. Uigies enĩ uiginti quadringentos efficiunt. Reꝑtum
gͦ latus quadratũ mediũ constitues. Ulel si etiã ꝓportionẽ quã int̾ se da¬

Expanded text:
et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit medius terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum metica medietas informatur. Nam 40 denarium tricenario superat; quem si dividas 15 fiunt; hunc si minori, id est denario, superposueris, 20 et 5 nascentur; quem si medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, ejus numeri qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub 40 et denario numero 400 continentur. Si enim denarium in 40 multiplices, hic numerus crescit. Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus, hi sunt 20. Vicies enim 20, 400 efficiuntur. Repertum ergo latus quadratum, medium constitues. Vel si eam proportionem quam inter se da
Abbreviated transcription (Latin):
titate t̾mini transgͥdicent᷑. ⁊ om̃s suꝑius dicta ꝓpͥetas art¬
metice medietatis in his t̃minis eustodit᷑. Sed si .xu. iiumerũ me¬
diũ ponam. ut suit .u.xu.xlu. in geometricã medietatẽ t̾mini
relabunt᷑. equalib t̾minoꝵ adse inuicem ꝓportionib custoditis.
Nouem uͦ si int̾ itrosq tminos ponã ut sint .u.uiiii.xlu. fit ar¬
monica medietas. ut qua sũma maximus numerꝰ paruissimũ
p̃cedit. eadẽ maior differentia. minorẽ differentiã uincat. Qua uͦ
disciplina huiꝰmodi medietates reperire possimus expedtiendũ
ẽ. Datis duob t̾minis. si arithinecicã medietatẽ constituere opor¬
tebit. utraq ẽ extremitas con iungenda. quoq ex ea copulatione
colligitur diuidendũ. hisq numeris qui ex diuisione redactus ẽ.
archineticam inedietatẽ int̾ extremitates locatus efficiet. ut .x.

Expanded text:
titate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arittitate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. Novem vero si inter utrosque terminos ponam, ut sint 5, 9, 4, 5, fit harmonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem major differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina hujusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10
Abbreviated transcription (Latin):
licet in huiusmodi dispositione om̃s armonicas ꝓpͥetates cognos¬
cere. Qua enĩ maximus ad parussimũ t̾minus ꝓportione con¬
iungit᷑. eadẽ ꝓportione differentiȩ ad se inuicẽ cõꝑant᷑. E̾ quib
partib maioris a maiore medius iuncit᷑. eiscłe partib minoris
p̾terit minorẽ. siuis uͦ ñ eisdem uł amaiore iuncit᷑ uł tͣnsit mino¬
rem. Et in maiorib t̾minis maiorẽ ꝓportio. in minorib minor.
& si in unũ extremitates redigant᷑. ⁊ medietatis quantitate ꝯcreᷤ¬
cant. duplus inde conficit᷑ nimerus ab eo qui ex solis multipli¬
catis extremitatib ꝓcreat᷑. Atq hoc quicde int̾minis parib con¬
stitutũ est. At uͦ si impares ꝓponant᷑. ut st̃ .u. ⁊xlu. aptat mediꝰ.
aer.u. artthmeticam ꝓportionẽ medietatẽq constituit.
Nam si sint.u. xxu.xlu. cadem sese numeroꝵ quan¬

Expanded text:
licet in hujusmodi dispositione omnes harmonicas proprietates agnoslicet in hujusmodi dispositione omnes harmonicas proprietates agnoscere, qua enim maximus ad parvissimum terminus proportione jungitur, eadem proportione differentiae ad se invicem comparantur. Et quibus partibus majoris a majore medius vincitur, eisdem partibus minoris praeterit minorem. Suis vero non eisdem vel a majore vincitur, vel transit minorem. Et in majoribus terminis major est proportio, in minoribus minor. Et si in unum extremitates redigantur, et medietatis quantitate concrescant, duplus inde conficitur numerus ab eo qui ex solis multiplicatis extremitatibus procreatur. Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est. At vero si impares proponantur, ut sunt 5 et 45, aptatus medius 25, arithmeticam proportionem medietatemque constituit. Nam si sint 5, 25, 45, eadem sese numerorum quan
Abbreviated transcription (Latin):
ẽ ꝓpͥum quod medietas eadẽ sui parte ⁊ amaiore uincit᷑ ⁊ minorẽ
ipsa suꝑuenit. ñ eadẽ aut̾ aut̾ parte minoris minorẽ transit. uel
maioris amaiore relinquit᷑. Quȩ om̃s scilicet ꝓprietates ñ alterius
nisi arithinetice medietatis sunt. Qł si suꝑius dicta memunerit
lector. ita e̾e ᷤᷤ indubitanter intelliget. Rursus si int̾ eosde .x. ixl.
exorit᷑. arithinetica medietate pereunte. In hac enĩ dispositione .x.
xx.xl. que madmodũ ẽ ad mediũ sic medius ad extremũ. ⁊ quod
continet᷑ ab extremitatib equũ ẽ ei qd̃ a multiplici medietate cõ¬
pletur. Differentie quoq eoꝵ in eadem st̃. ꝓportione qͣ t̾mini. Crem̃¬
ꝓportio a minoꝵ t̾minoꝵ ꝓportione ñ discrepat. Si uͦ armoni¬
cam medietatẽ coniungere uelim. sedecĩ mͥ numerus int̾ extre¬
mitates utrasq ponendus ẽ. ut sit hoc mͦ.x.xui.xl. Nunc gͥ

Expanded text:
ue quod medietas eadem sui parte et a majore vincitur, et minorem ue quod medietas eadem sui parte et a majore vincitur, et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit, vel majoris a majore relinquitur, quae omnes scilicet proprietates non alterius nisi arithmeticae medietatis sunt. Quod si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelliget. Rursus si inter eosdem 10 et 4exoritur, arithmetica medietate pereunte. In hac enim dispositione 10, 20, 40, quemadmodum est major ad medium, sic medius ad extremum. Et quod continetur ab extremitatibus, aequum est ei quod a multiplici medietate completur. Differentiae quoque eorum in eadem sunt proportione qua termini. Crememinorum proportio a minorum terminorum proportione non discrepat. Si vero harmonicam medietatem conjungere velim, 16 mihi numerus inter extremitates utrasque ponendus
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpcrtio differentiarũ quantitate ĩ mittabilit̾ eusto dita. In husmodi
scilicet dispositione.x.xxu.l. Uides enĩ ut quindena sese sũmule
quantitate transcendant. Om̃idi ꝓpͥetates quas supra diximꝰ in me¬
dietate artchmetica conuenire. ab hac huiusmodi dispositione
ñ reperies alienas. Namq quemadmodũ unusqiusq eoꝵ t̾minꝰ
ad seip̃m ẽ qm̃ sibi equalis ẽ. ita sunt ad se iniuicẽ differentie.
qm̃ sibi st̃ equales. E: quanto maior t̾minus mediũ transit tan¬
to medius uineit minorẽ. et extremitatũ agg̃gatio duplus ẽ me¬
cdietate. ⁊ minoꝵ t̾minoꝵ ꝓportio ẽ maior illa cõꝑatione que int̾
maiores t̾minos continet᷑. S tanto minor ẽ numerus qui fit ex
multiplicatis extremitatib ab eo qui fit ex multiplicata medie¬
tate. quantũ differentie eoꝵ multiplicatȩ restituunt. Iuud quoq¬

Expanded text:
proportio differentiarum quantitate immutabiliter custodita, in hujusmodi, proportio differentiarum quantitate immutabiliter custodita, in hujusmodi, scilicet dispositione 10, 25, 40. Vides enim ut quindenae sese summulae quantitate transcendant. Omnesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire ab hac hujusmodi dispositione non reperies alienas. Namque quemadmodum unusquisque eorum terminus ad seipsum est, quoniam sibi aequalis est, ita sunt ad se invicem differentiae quoniam sibi sunt aequales, et quanto major terminus medium transit, tanto medius vincit minorem. Et extremitatum aggregatio duplex est medietate, et minorum terminorum proportio major est illa comparatione, quae inter majores terminos continetur. Et tanto minor est numerus qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo qui fit ex multiplicata medietate, quantum eorum differentiae multiplicatae restituunt. Illud quoq
Abbreviated transcription (Latin):
protensis cordis medii nerui sonũ musicus uł astringendo tenu¬
at uł remittendo grauat. Ita quoq datis duob numeris nunc
quidẽ arithmeticã nunc uͦ geometͥcã mune aut̃ armonicã medie¬
tatẽ exꝑiamur inserere. ut rectũ ꝓpͥumq medietatis nomen sit
qͦd manentib extremitatib huc atq illuc ferri ꝑnutariq uide¬
uł imparib ꝑmutare ita ut cũ arithineticã ponimꝰ medietatem.
differentiarũ tantũ ratio equalitasq seruet᷑. Cũ uͦ geomeitã. rata
se. ꝓportionĩ iunctura eustodiat. sin aut̃ armonica fiat differentiar
cõꝑatio a t̾minoꝵ ꝓportione ñ diserepet. & sint quide pͥmo pares
posite quedam extremitates. int̾ quas has om̃s medietates opor-¬
teat int̾nectere .x.i.xl. Prius gͥ arithinetica medietas aptetur.
Inter hos gͦ si uinginti quinq posuero. erit michi arithinetiea

Expanded text:
protensis chordis, medii nervi sonum musicus vel astringendo tenuprotensis chordis, medii nervi sonum musicus vel astringendo tenuat, vel remittendo gravat, ita quoque datis duobus numeris, nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc autem harmonicam medietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus extremitatibus huc atque illuc ferri permutatique vide vel paribus vel imparibus permutare, ita ut cum arithmeticam ponimus medietatem differentiarum tantum ratio aequalitasque servetur. Cum vero geometricam, rata se proportionum junctura custodiat. Sin autem harmoni a fiat differentiarum comparatio, ab terminorum proportione non discrepet. Et sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietates oporteat internectere, 10 et 40. Prius igitur arithmetica medietas aptetur. Inter hos ergo si 25 posuero, erit mihi arithmetica
Abbreviated transcription (Latin):
triplicis obtinet racionẽ. fit ab extremitatũ cdifferentia ad differentiã¬
minorem. Namq duodenarii .⁊ senarii sex differentia ẽ. Minor uͦ
ẽ differentia oc tonarii ⁊ senarii idẽ duo. qui senarius ad̃ binarium
triplus ẽ. idiapason simul ⁊ diapente consonantiã sonant. Iula uero
maior consonantia que ẽ bis diapason. que ex quadruplo fit. in medii
t̾mini idẽ octonarii ⁊ eiꝰ differentie cõꝑatione ꝑspicit᷑. que uit̾ octo¬
narium senariũq reperit᷑. Quare ꝓpͥe atq conuenient᷑ huiꝰmodi
ꝓportionalitas armonica medietas appellatur.
Quem admodũ constitutis altrinsecus duob terminis. arith¬
metica & armonica & geometrica int̾ eos medietas alterne¬
tur. in quo de eorũ generationibus..
os aut̃ p̾stare debemꝰ quatinuis quẽadmodũ dato ca¬
digitis oceludentes diuersos emititant sonos. uł cũ duab altͥnsecꝰ

Expanded text:
triplicis obtinet rationetriplicis obtinet rationeminorem. Namque duodenarii et senarii sex differentia est; minor vero est differentia octonarii et senarii, id est 2. Qui senarius ad binarium triplus est, et diapason simul et diapente consonantia sonant. Illa vero major consonantia quae est bis diapason, quae ex quadruplo fit in medii termini, id est octonarii, et ejus differentiae comparatione perspicitur, quae inter octonarium senariumque reperitur. Quare proprie atque convenienter hujusmodi proportionalitas harmonica medietas appellatur. CAPUT L. Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis, arithmetica, geometrica, et harmonica inter eos medietas alternetur, atque de eorum generationibus. Nos autem praestare debemus, quatenus quemadmodum dato cadigitis occludentes, diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus
Abbreviated transcription (Latin):
modum ẽ maior t̾mĩnus ad pariussimũ ita differentia maioris
duodecĩ ad sex dupli sunt. Differentia uͦ .xii. ⁊ octonarii quat̾nariꝰ est.
Octonarii uͦ ⁊ senarii duo. Dupla aut̃ ratione distabunt. duobus
quatuor comparati. Rursus ⁊ octonariꝰ qui medietas ẽ alia sua par¬
te minorẽ p̃cedit. ⁊ alia sua parte a maiore p̾cedit᷑. Eadẽ aut̃ par¬
te minous minorẽ suꝑat. qua parte maioris amaiore suꝑatur.
Rursus si extremitates in unũ redigarit᷑. i ameilietate octonario mł¬
tiplicent᷑. duplus erit ab eo numero quẽ sole extremitates multi¬
plicate ꝑfecerint. Om̃s enĩthac dupositi ne symphomas musieas
inuenimꝰ Diatesaron quidẽ ẽ octo ad sex q̃m ꝓportio sexquit̃eia est
Ad diapente .xii. ad .uiii. qm̃ ea que sexquatera cõꝑatio dicit᷑. in
ea diapente consonantia reperit᷑. Diapason uͦ que ex duplici nascit᷑.
ex duodecim ad ser cõpositione ꝓclucit᷑. Diapason uͦ ⁊ diapente que

Expanded text:
inus ad parvissimum, ita differentia majoris ue 12 ad sex dupli sunt, differentia vera 12 et octonarii quaternarius est, octonarii vero et senarii duo, dupla autem ratione distabunt duobus quatuor comparati. Rursus octonarius, qui medietas est, alia sua parte minorem praecedit, et alia sua parte a majore praeceditur, eadem autem parte minoris minorem superat qua parte majoris a majore superatur. Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multiplicentur, duplus erit ab eo numero quem solae extremitates multiplicatae perfecerint. Omnes autem in hac dispositione symphonias musicas inveniAt diapente, 12 ad 8, quoniam ea quae sesquialtera comparatio dicitur, in ea diapente consonantia reperitur. Diapason vero, quae ex duplici nascitur, ex 12 ad sex compositione producitur. Diapason vero et diapente, quae
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓportio. inmaiorib minor. In hac uͦ in maiorib quidem
tͥminis maior ẽ ꝓportio. inininorib uͦ minor. Namq in hac dispo¬
sitione .ii. iii .ui. tres ad quatuor cõparati. sex qutt̾ciã habitudinẽ.
sex nͥ ad quatuor. sexqualterã habituclinẽ reddunt. s maior ẽ ꝓportio
sex quatera. a sexquitereia tantũ. quantũ pars t̾eia medietate trans

Expanded text:
ibus quidem terminis major est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione 3, 4, 6, tres ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero ad quatuor sesquialteram reddunt; sed major est proportio sesquialtera a sesquitertia, tantum quantum
Abbreviated transcription (Latin):
armonieã huĩmodi medietatẽ id̃cireo. quod semꝑ hec
ꝓpoctionalitas geo metrice armonie cognata ẽ Ar moniã
aut̃ geometͥcam eybũ dicunt. Ita enĩ ex longitudine in latitudinem
distentus ẽ. e in altitudinis cumulũ creuit. ut exequalib ꝓficiscers.
ad equalia ꝑueniens. equalit᷑ totus sibi conueniens creuerit. Hec aũ
medietas in omĩb cybis que ẽ geometrica armonia ꝓspicit᷑. Omis
enĩ eỹbus habet latera .xii angulos. uiii suꝑficies .ui. hic aut̃ ordo

Expanded text:
circo quod semper haec proportionalita, geometricae harmoniae cognata est, harmoniam autem geometricam, cubum dicunt. Ita enim ex longitudine in latitudinem distentus est, et in altitudinis cumulum crevit, ut ex aequalibus proficiscens, ad aequalia perveniens, aequaliter totus sibi conveniens creverit. Haec autem medietas, in omnibus cubis quae est geometrica harmonia perspicitur. Omnis enim cubus habet latera 12, angulos 8, su
Abbreviated transcription (Latin):
solum indifferentiis s inutrisq cõmunit᷑. Querit enĩ ut quẽ admo¬
dum sunt adse extremini t̾mini. sic maioris ad mediũ differentia
contra ddifferentiam mecdietatis ad ultimũ. Ad aliquid enĩ consid̃a¬
tionẽ armonie ꝓpͥe ẽeͤ in pͥmi libri rerũ omĩum diuisione monstra¬
iumus. Ipsarũ quoq musicarũ consonantiarũ quas symphonias
nominant. ꝓportiones. in hac pene sola medietate frequent᷑ inueni¬
es. Namq symphonia diatesaron. que pͥnceps est. & quodãmodo
uim obtinens elem̃ti. constituit᷑ scilicet in epitrita ꝓportione ut ẽ
quat̾nariꝰ ad t̾nariũ. in eiusmodi armonicis medietatib inuenitur.
Sint eiuĩ hunꝰnodi armonicȩ medietatis t̾mini. quoꝵ extremi chi¬
pli sint. E rursus alia huiꝰ modi dispositio. quoꝵ extremi tripli.
enariꝰ gͥ ad t̾nariũ duplus ẽ idem aut̃ inalia dispositio

Expanded text:
solum in differentiis; sed in utrisque communiter. Quaerit enim, ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniae proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium, in ejusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum extimi dupli sint, et rursus alia hujusmodi dispositio quorum extimi tripli. Senarius igitur ad ternarium duplus est. Idem autem in alia dispositio
Abbreviated transcription (Latin):
ne senarius adbinariũ triplus. hoꝵ gͥ si differentias col¬
ligamus. et adse inuicẽ cõpareimis epitrita ꝓportio col¬
ligit᷑. Unde diatesaron symphonia resonabit. Int̾ tres eñ ⁊ sex t̾na¬
rius ẽ. ⁊ int̾ binariũ ⁊ senariũ quat̾nariꝰ. qui sibimet cõparati ses¬
quit̾ciam efficient ꝓportioneoi.
N eadem quoq medietate ⁊ dyapente symphonia cõponit᷑. quam
sexquattera habitudo constituit. Nam inutrisq dispositionibus
his que subiectȩ st̃. induplici senariꝰ ad quat̾nariũ sexqualter est.¬
d intriplici tnariꝰ ad binariũ ex quib utrisq dẏapente sympho

Expanded text:
ne, senarius ad binarium triplus. Horum igitur si differentias colligamus et ad se invicem comparemus, epitrita proportio colligitur, unde diatessaron symphonia resonabit. Inter 3 enim et 6 ternarius est, et inter binarium et senarium quaternarius, qui, sibimet comparati, sesqu eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his quae subjectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesquialter est, in triplici ternarius ad binarium, ex quibus utrisque, diapente sympho
Abbreviated transcription (Latin):
onsid̾andũ forsitan uideat᷑. cur hanc armonicã medietatem
uocemus. Cuiꝰ hec ratio ẽ qm̃ arithmetica dispositio equas
tantũ ꝑ differentias diuidit quantitates. geometca uͦ t̃minos
eqqua ꝓportione coniungit. At uͦ armonica. ad aliquid quodãmͦ relati
consid̾atione neq solũ int̾minis speculationẽ ꝓportionis habet. neq¬

Expanded text:
rsitan videatur cur hanc harmonicam medietatem vocemus. Cujus haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione conjungit. At vero harmonica ad aliquid quodammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neq
Abbreviated transcription (Latin):
ulli gͥ dubiũ eeͤ potest qd cũ om̃s t̾nim cdupli sint.
ita differentiȩ quoq eoꝵ t̾minoꝵ duple ẽe uideant᷑.
ut uno minus t̾mino indifferentiis. om̃s pene dispo¬
sitos subt̾ tͥminos quoꝵ sunt ipse differentię suꝑior ordo redliderit
st etiã aliud ꝓpͥum qͦd omĩs ad minorẽ maior t̾minus cõparatus.
ip̃m minorẽ retinet retinet differentiã. Namiq binariꝰ ad uiutatẽ
ip̃a unitate differt. & quat̾nariꝰ binario ipso binario. & octonariꝰ
ferunt. quos numerositate preterunt. Et hoc quid̾ẽ indupplici
ꝓportione cadit. Sinuͦ suit tͥplices ꝓportiones.: maior t̾minus ami¬
nore t̾mino duplicato minore t̾mino differt. ut si sint .i.iii.uiiii.
tres ab uno binario differunt. inquẽ unitas id ẽ minor t̾minus
duplicatꝰ ex undat. E nouẽ a trib senario differunt. quẽ t̾nariꝰ
duplicatꝰ educit. Et inaliis cunctis eiusmodi ratio reperiet᷑. Si
uͦ quadruplices sint. triplicato minore t̾mino maior t̾minꝰ ami¬

Expanded text:
e potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem major terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonariuferunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, major terminus a minore termino, duplicato minore termino differt. Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a mi
Abbreviated transcription (Latin):
continetur. Hoc quoq signum ẽ cuarũ extremitatũ mediã ẽẽ quo¬
dam geometricam ꝓportionẽ. Namq marithinetica ꝓportione me¬
dius t̾minus cadem sua parte e minorẽ p̾cedit. e amaiore p̾ceditur.
s alia parte minoris alia uͦ parte maioris. Sit enĩ arithinetica
dispositio. Ii .iii.iiii. Ternariꝰ gͥ numerus binariũ t̾cia sua parte p̾ce¬
dit idẽ uno. & aquat̾nario tͥcia sua parte p̾cedit᷑ iddẽ uno. at uͦ t̾nariꝰ

Expanded text:
emitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionem. Namque in arithmetica proportione, medius terminus eadem sua parte, et minorem praecedit et a majore praeceditur, sed alia parte minoris, alia vero parte majoris. Sit enim arithmetica dispositio 2, 3, 4. Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternari
Abbreviated transcription (Latin):
parte ⁊ minorẽ uincere ⁊ a maiore suꝑari.s ñ eisdẽ partibus
⁊ minoris minorẽ transgredi. ł maioris a maiore transcendi. Contͣ¬
riç armonica medietas ꝓportiones habet. Namq ñ eadẽ parte sua
mediꝰ t̾minus uihac ꝓportione uł minorẽ uincit. ł a maiore suꝑat᷑.
s ead̾e parte minoris minorẽ suꝑat. qua parte maioris a maiore

Expanded text:
 vincere et a majore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel majoris a majore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua, medius terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a majore superatur, sed eade
Abbreviated transcription (Latin):
eybi forma conficit᷑. si uͦ parte altera longioe cybũ. uł cybus parte
alttera longiorẽ nũ ꝙͣ eyb ꝓcreabit᷑. ħ scilicet scd̾m similitudinem
paris atq imparis. Par enĩ parẽ si multiplicet. semꝑ par nascitur. & ĩ¬
par imparẽ si multiplicet. impar continuo ꝓcreabit᷑. Si uͦ impar
parẽ. uł si par imparẽ multiplicet par semꝑ exorit᷑ hoc aut̃ faciliꝰ
cognosest᷑ ex lectione platonis in libris de re publica eo loco qui mp¬
tialis dicit᷑ quẽ exꝑsona misarũ philosophus introdueit. Sed
uẽ ad terciã medietatẽ redeundũ est. He armonica medie tate¬
rmonica aut̃ medietas ẽ. eiꝰ ꝙ proprietatib xluii.

Expanded text:
cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte cubi forma conficitur. Si vero parte altera longior cubum, vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus procreabitur, hoc scilicet secundum similitudinem paris atque imparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar continuo procreatur. Si vero impar parem, vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex persona Musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est. CAPUT XLVII. De harmonica medietate
Abbreviated transcription (Latin):
medietate idem ẽ. Ponant᷑ enĩ duo cybi. & in medio eoꝵ due medie¬
Bis enĩ binu bis octonariũ fecerunt. Ternariꝰ uͦ. uinginti septẽ eybi latꝰ
est. Ter enĩ tres ter. uinginti septẽ restituunt. Medietas gͥ que iuxta
octonarium ẽ. idẽ duodecĩ. mutuat᷑ duo latera ex ꝓpinquo sibi octona¬
rio. e aliud unũ latus ex altrinsecus posito uginti septẽ eybo. Bis enĩ
bini ter. duodecĩ pandunt. E decẽ ⁊ octo eadẽ ratione duo latera ap¬
ꝓpinquo sibi.xxuii. cybo colligit. ⁊ unũ altrinsecus posito octonario.
Tres enĩ ter bis .xuiii. concludiit. hoc aut̃ uniu̾salit̾ speculandum ẽ.
si tetragonus tetragonũ multiplicet. sine dubio tetragonꝰ ꝓuenit. Sin
uͦ p arte alrera longior tetragonũ multiplicet. uel tetragonus parte
altera longiorẽ. nũꝙͣ tetragoniis neq parte altera longior ad erit. Sin
parte altera longior crescit. Rursus si cibus cẏbũ multiplicauerit.

Expanded text:
duae mediebis enim bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero 27 cubi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas igitur quae juxta octonarium est, id est 12, mutatur duo latera ex propinquo sibi octonario, et aliud unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim bini ter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte alsemper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit,
Abbreviated transcription (Latin):
ne creseunt uua tauũ medietate gecometrica continuant᷑. Alia que
unigai ñ potest inueniri. Unde duo tantũ int̾ualla in his sunt
enistitita. a pͥmo sciliet ad mediũ & ad medio ad teium. Siu̾ͥ ue
runt epbi duas tantũ habebunt medietates ubi tercia inueniri
ñ peterit scđdm geometͥtam sclicet ꝓpoctionẽ. Unde forme solidȩ t̾a
taruat: Recte gͥ ⁊ planȩ figure cluob intiualis. ⁊ solide trib cont ineri¬

Expanded text:
ne crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde duo tantum in his intervalla sunt constituta, a primo scilicet ad medium, et a medio ad tertium. Si vetes, ubi tertia inveniri non poterit, secundum geometricam scilicet proportionem. Unde formae solidae tria tantia. Rectae igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae trib
Abbreviated transcription (Latin):
trica medietas popularis quodãmo do ⁊ exequate ciuitatis ẽ. Namq
uł inmaiorib uł inminorib equali omium ꝓpoctionalitate cõponit᷑.
Sc̃ int̾ om̃s paritas quedam medietatis eqniũ uis inꝓportionibur
tatibus medietate iungantur. solidi uero nume ri
auabus medietatib in medio collocant ui.
ost hec gͥ tempꝰ est ut expediamꝰ xl ui¬
ue qͦddam nimis utile in platonica quadam disputati

Expanded text:
civitatis est. Namque vel in majoribus, vel in minoribus, aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum jus in proportionibtatibus medietate jungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio collocantur Post haec igitur tempus est ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quadam disputati
Abbreviated transcription (Latin):
si .ii.iii. sex. Senariꝰ enĩ quat̾nariũ sua t̾cia parte suꝑat id est
duob. uiiuiUIquat̾nariꝰ uͦ t̾nariũ sua quarta parte
suꝑuenit idẽ ab uno.e senariꝰ t̾nariũ sua medi¬
etate idẽ trib. ternariꝰ uͦ binariũ sua parte tercia idẽ unitate tͣus¬
num. sic differentia maximi & medii ad differentiã medii atq
p ostremi. Namq in hac ꝓportione. que ẽ .iii.iiii .ui. maior t̾minꝰ
idẽ senarius ad paruissimũ t̾minũ t̾nariũ duplus ẽ. e differentia
maximi ⁊ medii idẽ senarii. e quat̾narii duo scilicet ad differen¬
tiã medii ⁊ ultimi idẽ quat̾narii atq t̾narii. que ẽ unitas. dupla
ꝑspicit᷑. s ħ quͦꝙ subiecta descͥptione monstrat᷑.¬

Expanded text:
 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transnum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subjecta descriptione monstrat
Abbreviated transcription (Latin):
tilius qͦd multi huiꝰ discipline periti. nisi nichomachus numꝗͣ.
antea ꝑspexerunt. quod in omĩ dispositione uł continua uel
disiuncta. qͦd continet᷑ sub duab extremitatib. minus est
eo numero qui ex medietate conficit᷑ tantũ. quantũ possuit
duȩ sub se differentiȩ continere que int̾ ipsos sunt. t̾minos
constitute. Ponamus enĩ tres tminos huiꝰmodi . iii .u.uii. Si¬
gͥ tres septies augeantur. in iunginti unũ numerũ cadunt.
Qđ si mediũ t̾minũ idẽ quinq insemet ip̃m multiplicaueris.
rus ab eo quẽ extremitates colligiuit. quat̾nario maior ẽ. quẽ
scilicet differentie consitiunt. Int̾ tres enĩ & quinq et septẽ bunii
int̾sunt quos si insese multiplices quatuor reddunt. Bis enĩ duo
quatuor siunt. Recte gͥ dictũ ẽ in hac huiusmodi dispositione

Expanded text:
tilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam tilius, quod multi hujus disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione, vel continua, vel disjuncta, quod continetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos hujusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres septies augeantur, in 21 numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, rus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario major est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos si in sese multiplices 4 reddunt, bis enim duo, quatuor fiunt. Recte igitur dictum est, in hac hujusmodi dispositione
Abbreviated transcription (Latin):
huius medietatis qđ si in tribus t̾minis speculatio sit. compositis
extremitatib illa sũma que uit̾ extremitates ẽ non loco tm
uerũ etiam fit quantitate medietas. ut si ponant᷑ .i.ii.iii. unꝰ
e tres quattuor reddunt. duo uͦ qui medius inter utrosq
ẽ quat̾narii medietas inuenit᷑. Quod si bis medietatẽ ducas.
equũ erit extremitatib. bis enĩ duo quatuor creant. Sinuero
disiuncta sit. quod fit ex utrisq extremitatib compositis. hoc
ex duab medietatib reddit᷑. Si enĩ sint . i .ii.iii.iiii. unus et
quatuor quinariũ creant. duo & tres medii meundem rur¬
sus quinarium surgunt.
st illi quoq hoc solida ꝓprietate conunctum.
quod quemnadmodũ sunt om̃s t̾mini huiꝰ modi
dispositionis ad seipsos. ita sunt differentie ad dif¬
rentias constitute. Namq omĩs t̾minus sibi ipsi
equalis ẽ. & differentie differentiis sunt equales. Illud quoq sub¬

Expanded text:
hujus medietatis, quod si in tribus terminis speculatio sit, compositis hujus medietatis, quod si in tribus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus, illa summa quae inter extremitates est, non loco tantum, verum etiam fit quantitate medietas. Ut si ponantur 1, 2, 3, unus et tres quatuor reddunt. Duo vero qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim duo, quatuor creant. Sin vero disjuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medietatibus redditur. Si enim sunt 1, 2, 3, 4, unus et quatuor quinarium creant, duo et tres medii in eumdem rursus quinarium surgunt. Est illi hoc quoque solida proprietate conjunctum, quod quemadmodum sunt omnis termini hujusmodi dispositionis ad seipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque sub