comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
suã quantitatẽ idẽ ꝑ t̾nariũ. Ternariꝰ enĩ nunerꝰ tercio .uiiii.
metitur. Si aut̃ post nouenariũ duos reliquero qui mͥ post
illos incurrerit. a pͥmo metiendꝰ ẽ. ꝑ secundi imparis quan¬
titatẽ idẽ ꝑ quinariũ. Nam si post nouẽ duos relinquã. idẽ¬
titatẽ idẽ ꝑ quinarii. qm̃ t̾nariꝰ.xu. quinquies metit᷑. Rursꝰ
si a quinario inchoans duos int̾misero. qui posterior posi¬
tus ẽ eiꝰ pͥmꝰ numerꝰ mensura ẽ ꝑ t̾cii imparis pluralitatẽ.
mꝰ unꝰ quẽ ternariꝰ numerꝰ secundũ septenariũ metit᷑ . xxi.
enĩ numeri t̾nariꝰ septima pars ẽ. atq idem hoc iun
finitũ faciens reꝑio pͥmũ numerũ. si binos int̾miserit.
om̃s sequentes posse metiri scđm quantitatẽ positorũ
ordine impariũ numeroꝵ. Sin uͦ quinnariꝰ numerꝰ qui
in sed̃o loco est constitutꝰ uelit quis cuiꝰ pͥma ac de inceps
mensura sit inuenire transinissis .iiii. imparib quintꝰ ei

Expanded text:
suam quantitatem metitur. Ternarius enim numerus tertio 9 metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est, per secundi imparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post 9 duos relinquam, id estitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius 15 quinquies metitur. Rursus si, a quindenario inchoans, duos intermisero, qui posterior positus est, ejus primus numerus, mensura est per tertii imparis pluralitatem. 21, quem ternarius numerus secundum septenarium metitur, 21 enim numeri ternarius septima pars est. Atque hoc in infinitum faciens, reperio primum numerum, si binos intermisero, omnes sequentes post se metiri secundum quantitatem positorum ordine imparium numerorum. Si vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis cujus prima ac deinceps sit mensura invenire, transmissis 4 imparibus, quintus ei,
Abbreviated transcription (Latin):
senariũ. et septinariũ. octonariꝰ m quartꝰ occurrit. Tribus seilicet
int̾missis: qui binarii idẽ secundi numeri. quadruplus ẽ. at uͦ
si post octo tres t̾minos int̾misero idẽ nouẽ. ł decẽ ł undecĩ duo¬
denarius qui sequit᷑ t̾narii mimeri quadruplus ẽ. Atq hoc idẽ

Expanded text:
senarium, et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet senarium, et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc ide
Abbreviated transcription (Latin):
.xx. Hoꝵ gͦ si pͥmũ sumas parẽ. idẽ .ii. pͥmi duplus erit idẽ uni¬
duplus ẽ idẽ t̾narui. Si uͦ quartũ parẽ inspicias idẽ.uiii. qͣrti
numeri idẽ quat̾narii duplus ẽ. Idemq in ceteris in infinitum
sumentibus sine aliquo impedim̃to ꝓcedit. Triplices aut̃ nascim¬
tur si ineadẽ dispositione. naturali duo semꝑ int̾mittant᷑. & qui
post duos sunt ad naturale¬
ile numerũ comparent᷑ excepto tͥna¬
rio qui ut unitatis triplus sit. solũ binariũ p̾t̾mitit. Post u¬
triplus uniꝰ est. Rursus post qua¬
tuor et quinq sunt sex. qui secuudi numeri idẽ duoꝵ triplus ẽ
Rursus post sex. sunt .uii. et octo. et pꝰ hos nouem qui t̾cu nume¬
ri. idẽ t̾narii tͥplus ẽ. Atq hoc idem in infinitũ si quis faciat. sine
ulla offensione procedit. Quadruploꝵ uͦ geratio ineipit siquis tͦs
numeros int̾iittat. post unũ quippe. et duo. & tres sunt quatuor.
qui pͥmi idẽ uniꝰ quadruplus ẽ. Rursus si int̾msero quinarium

Expanded text:
 ergo si primum sumas parem, id est 2, primi duplus erit, id est uniduplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duo sunt ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post utriplus unius est. Rursus post 4 et 5, sunt 6, qui secundi numeri, id est duorum triplus est. Rursus post 6, sunt 7 et 8, et post hos 9, qui tertii numeri, id est ternarii triplus est. Atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et 2 et 3, sunt 4, qui primi, id est unius, quadruplus est. Rursus si intermisero quinarium,
Abbreviated transcription (Latin):
De numero parit̾ pari: eiusq proprietatibus: uiiii.¬
ariter par numerus ẽ. qui potest in duo pa¬
ria diuidi eiusq pars inalia duo paria. par¬
tisq pars in alia duo paria. ut hoc tociens fiat.
usq dũ diuisio partiũ ad indiuisibiłẽ naturalit̾ ꝑueniat¬
⁊ unitatẽ. ut .Lxiiii. numerꝰ habet medietatẽ . xxxii. hic aũ
qui binarii duplus est. s binariꝰ unitatis medietate
diuiditur. que unitas naturalit̾ singularis ñ recipit
sectionẽ. Hiuc numero uidet᷑ accidere ut quecumq
eiꝰ fuerit parstum nomine ipso uocabuloq pariter
par inueniat᷑ tum etiã qͥuantitate. s ideo michi iu¬
detur hic numerus parit̾ par uocat᷑ qd̃ eiꝰ om̃s parteᷤᷤ
& nomine & quantitate pares pariter inueniantur.
Quomodo aut̃ & nomine & quantitate pares habe¬
at partes hic numerꝰ. pꝰ dicemꝰ. Hoꝵ aut̃ generatio ta

Expanded text:
De numero pariter pari ejusque proprietatibus. Pariter par numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut 64 numerus habet medietatem 32, hic autem qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio ta
Abbreviated transcription (Latin):
longitudini geriunt. ꝓpriȩ longitudinis uł eiusdẽ latitudinis ap¬
tissune uocabunt᷑. ut bis duo. ter tres quat᷑ quatuor. ⁊ ceteri. Par¬
te altera uͦ longiores. quod ñ eadẽ longitudine tendant᷑. alterus
quodãmͦ longitudinis & parte altera longiores uocant᷑.¬

Expanded text:
tudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo longitudinis, et parte altera longiores vocant
Abbreviated transcription (Latin):
re dispictatiene descͥpsimus. informari. ut quẽadmodũ mundus ex
ĩmitabili mutabiliq substantia. sic omĩs numerus extetragonis
qui ĩmutabilitate ꝑficiunt᷑. et ex parte altera longiorib qui mu¬
tabilitate participant. ꝓbet᷑ e coniunctus. Et pͥmo quidẽ ã istbui
endũ est qui sint hi quos ꝓ me reic uocant idẽ anteriore parte
longiores. uł qui quos et epore niueic idẽ parte altera longiores. Est
enĩ parte altera longior numerus quicumq unitate tantũ lateri
crescit adiecta. ut sunt sex scilicet bis tres. uł duodecĩ tres quater.
& cõsimiles. Anteriore parte uͦ longior est. qui sub duob mimeris
huiusmodi continet᷑ quoꝵ latera ñ possidet unitatis differentia.
septẽ. Quodãm enĩ longitudine inplixiorem modũ porrecta. me rito
anteriore parte longior dicit᷑. Cur aut̃ altera parte longiores nu¬

Expanded text:
re disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex re disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse conjuuos promecas vocant, id est anteriore parte longiores, vel qui quos heteromikeis, id est parte altera longiores. Est enim parte altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore vero parte longior est qui sub duobus numeris hujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, er 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores nu
Abbreviated transcription (Latin):
alterius nature eeᷤᷤ participes. ideirco qm̃ cũ latera tetiagonoꝵ abe¬
qualitate ꝓgressa inequalitatẽ ꝓpriȩ latitudinis ambitũ tendant.
hi adiecto uno ab equalitate laterũ discesserunt. aAtq ido dissimi¬
lib laterib & quod̾amͦ a se afteris comungunt᷑ Quare nobis notũ ẽ
qͦd ex his ea que sunt in hoc mundo comuncta sunt. lut eñ ꝓpͥe
ĩ mutabilis eiusdẽq substantiȩ ẽ ut ds uł anima uł mens ẽ ut qͣsẽq
ꝓprie nature in corporalitate beat᷑. aut mitabilis uariabilisq nate
qđ corporib indubitant᷑ uidemꝰ accidere. Uñ nc̃ nobis monstran¬
dum ẽ hac gemina numeroꝵ natura quadratoꝵ scilicet & parte
altera longioꝵ. cunctas numeri species cunctasq habitudines. uł
aclaliquid relatȩ quantitatis. ut multipliciũ ieł suꝑ particulariũ
& ceteroꝵ. uł adseip̃am considerate ut formaꝵ quas dudu insuꝑio¬

Expanded text:
alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aealterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno ab aequalitate laterum discesserunt, atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo alteris a se conjunguntur. Quare nobis notum est, quod ex his ea quae sunt in hoc mundo, conjuncta sunt. Aut enim propriae, immutabilis, ejusdemque substapriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superio
Abbreviated transcription (Latin):
natura que uariabilis motus ẽ soetita substantiã. E illã pͥmo
immutabiłe naturam unius eiusdẽq substantiȩ uocant. Hanc
uͦi alterius scilicet qͦd a pͥma illa ĩmuitabili discedens. pͥma sit altera.
Qđ nimirũ adunttatẽ ꝑtinet e addialitatẽ. Qui numerꝰ pͥmus
ab uno discedens alt̾factus ẽ. & qm cuncti scđm unitates speciem
naturamnq impares numeri foemati sunt. quiq ex his cacerua¬
tis tetragoni funit dupplici mͦ euiscłe substantie. participes e᷑ dicũ
tur. qđ uł ab equalitate formant᷑ tetragoni. uł coaceruatis munũ
numeris in parib ꝓcreant᷑. Illi uͦ qui sunt pares qm̃ binarii mi¬
meri formȩ sunt. quiq ex his coaceruati collectiq inunam congeri¬
em parte altera longiores numeri nascuntur. hi sccłm ipsius bina¬
rii uaturã ab eiusdem substantie natura discessisse dicunt᷑ Putant᷑q

Expanded text:
natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo natura quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primo immutabilem naturam, unius ejusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa immobili discedens prima sit altera. Quod nimirum ad unitatem pertinet, et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens, alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem subst vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris imparibus procreantur. Illi vero qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque
Abbreviated transcription (Latin):
tũ inse multiplicaueris. inseip̃m unde ceperat t̾minat᷑. si enĩ faci¬
at semel unũ unuꝰ redit. si hoc idem semiel ẽ. E si hoc rursus se¬
mel id̾e ẽ. Igitur si una fuerit multiplicatio solam planitudinẽ
redait & fit circulus. si scc̃a mox sphera conficit᷑. E enĩ secunda
multiplicatio effectrix semꝑ ẽ ꝓfunditatis. Ex quinq gͥ & sex. pau¬
cas huiꝰmodi formas subscripsimus.¬
alteriꝰ naturȩ. & qui numeri cui naturę coniuncti sint. xxxi.¬
c de solidis quide figuris hec adp̾sens dicta sufficiant.
Qui aut̃ de natura rerum ꝓpinquis inuestigantes ra¬
tionibus. quiq in matheseos disputatione uersati.
quid inquaq re esset ꝓpriũ subtilissime peritissimeq edideruit.
hi rerũ om̃iũ naturas iugemina diuidentes hac speculatione
ꝓprie sueq semꝑ habitudiuis ẽ. nec ullomͦ ꝑmutat᷑. et ea scilicet

Expanded text:
tum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim facitum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et 6, paucas hujusmodi formas subscripsimusalterius nature et qui numeri cui nature coniuncti sunt.Ac de solidis quidem figuris, haec ad praesens dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes, hac speculatione propriae suaeque semper habitudinis est, nec ullo modo permutatur, et ea scilicet
Abbreviated transcription (Latin):
extremitas terminet᷑. numerus ille eyclicꝰ uł sphericꝰ appel¬
latur. ut sunt multiplicationes que a quinario ł a senario
ꝓficiseunt᷑. Nam quinquies quinq qui fit .xxu. ab quinq¬
ꝓ gressus in eoscde desinit quinq. & si hos rursũ quinquies
ducas. in eosde quinq eoꝵ t̾minus ueniet. Quinquies enim¬
quinquies ducas. in quinariũ numerũ extrenutas t̾minabit᷑.
Atq hoc usq in inifinitũ idẽ semꝑ eueniet. Qđ insenario qͦ.
met᷑. Eit enĩ circulus posito quodã puncto. ⁊ alio emmus defixo
illius puncti qui eminus fixus ẽ equaltter distans a pͥmo puncto
cireũductio. E adeunde locũ reuersio unde moueri ceperat.Sphe¬
ra uͦ ẽ semꝑ semt circuli manenente diametro circũductio. s ad
cunddẽ locum reuersio unde pͥus ceperat ferri. Unitas quoq uir¬
tute e potestate ipsa quoq eirculus uł sphera ẽ. Quotiens enĩ pũe¬

Expanded text:
extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appelextremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphaericus appellatur, ut sunt multiplicationes quae a quinario vel senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit 25, ab 5 progressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enimquinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque mantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punc
Abbreviated transcription (Latin):
xxuiiii. De generatione latertuloꝵ. eorumq diffinitione.
uos aut̃ suꝑus laterculos diximus que sunt
et ipse quide solide figure hoc modo fiunt. quo¬
tiens equalib spaciis in longitudinẽ latitudinẽq
ut his ii longitudinẽ latitudinẽq equis innior altitudo du¬
catur. Hi desiniunt᷑ hoc mͦ. lat̾culi sunt. qui fiunt exequalib
equalit᷑ minus. Asseres uͦ & ipse quidem figure sunt solide. sec̃
hoc mͦ ut ex equalib equalit ducant᷑ in mauis. Nam si equa
fuerit latitudo longitudini. et maior sit altitudo. ille figure a
nobis asseres a grecis do cades nominant᷑. ut siquis hoc modo
faciat. quatuor quat̾ nouies. qui inde ꝓereant᷑ asseres nomina¬
ti sunt. Sphenisci uͦ quos uł henuolos ł cuneolos suꝑis appel¬
laiumus. hi sunt qui ex mequasib inequalit̾ ducti ꝑ uequa
psoꝵ uͦ euboꝵ quanticumq fuerint ita ducti. ut aquo mi¬
mero cybice quantitatis latus ceperit in eundde altitudinis

Expanded text:
XXIX. De generatione laterculorum, eorumque diffinitione. Quos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt. Quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque ut his in longitudinem, latitudinemque aequis, minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, et major sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis clocides nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, per inaequalIpsorum vero cuborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cubicae quantitatis latus coeperit, in eumdem altitudinis
Abbreviated transcription (Latin):
comites diximus. Inde etiam in aristotelica atq archite prius.
decem p̾dicam̃toꝵ descͥptione pytagoricũ denariũ manifestũ ẽ
inueniri. Quando quidẽ e plato studiosissimꝰ phytagore sccłm
eancĩe disputationẽ diuidit. & archytas pytagoric̃ ante aristoti¬
lem licet quibusdam sit ambiguũ decẽ hec p̾dicam̃ta. consti¬
tuit. Inde etiam decem m̾broꝵ particulȩ. in q̾e alia ꝑ multa
quȩ omĩa ꝑsequi ñ est necesse. Quod primum de ea quȩ¬

Expanded text:
comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem licet quibusdam sit ambiguum decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam 10 membrorum particulae, inde alia permulta quae omnia persequi non est necesse. CAPUT
Abbreviated transcription (Latin):
nũ uincunt. tanto t̾nariũ quatłuariꝰ transt. Pmixtim etiã quanto
unus tribus minor est. tanto binarius quat᷑nario. uł quanto
posteriores addiderunt. xli¬
onfesse quidem & apud antiqiuiores note queq
ad phytagore uł platonis uł aristotelis scientiã¬
ꝑuenerunt. hȩ tres medietates medietates suit.
arithinetica. geometrica. armonica. Post quas
ꝓportionũ habitudines tres alie sunt. quȩ sine nomine quidẽ
ferunt᷑. Uocantur aut̃ quarta. quinta uł sexta. que suꝑius
dictis opposite sunt. At uͦ posteri ꝓpt̾ denarii numeri ꝑfectio¬
nẽ. qđ erat phytagore complacitus medietates alias quatuor
addiderunt. ut in his ꝓportionalitatib uenariȩ quantitatis cor¬
pus efficerent. scđm quẽ numerũ & pͥores quinq habitudines
cõparationesq descͥpte sunt: ubi quinq maiorib ꝓportionib
quas uocaiumus duces. minores aptauimꝰ alios t̾minos quos

Expanded text:
num vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto num vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto posteri addiderint. Confessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae pervenerunt, hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post quas proportionum habitudines, tres aliae sunt quae sine nomine quidem feruntur. Vocantur autem quarta, quinta, vel sexta, quae superius dictis oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quatuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque majoribus proportionibus, quos vocavimus duces minores aptavimus alios terminos quos
Abbreviated transcription (Latin):
Est enĩ equalitas in his ꝓportionib. ut quẽ adinodũ sunt quatuor.
ad duo. sic sunt duo ad unũ. & rursus quẽ admodũ unus ad duo. sic
duo ad quatuor. E̾ scdm quantitatẽ quoq numeri eodenimodo ẽ.
Quantũ enĩ tres suꝑant binariũ. tantũ binariꝰ unitatẽ. Et quantũ
unꝰ a duob minor ẽ tantũ binariꝰ a t̾nario suꝑatur. Sin uͦ alius
ad unũ refertur tͥminus. alius uͦ adalium. necesse ẽ habitudinem
disiunctã uocari. ut ad equalitatẽ quidem ꝓportionis sunt .i.ii. uii
.uiii. Sic enĩ sunt quẽadmodũ duo ad unũ. sic octo ad quatuor.
& conuersi quẽadmodũ unus ad duo. sic quatuor ad octo. & per¬
mutatĩ quẽadmodũ quatuor adunũ. sic octo ad binariũ. Scd̃m
quantitatẽ uͦ numeri. ut sunt.i.ii.iii.iiii. Quantũ enĩ unus a duo¬
bus uincitur. tantũ ternariꝰ aquat̾nario suꝑat᷑. &̾ quanto duo u¬

Expanded text:
Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum sunt 4 Est enim aequalitas in his proportionis, et quemadmodum sunt 4 ad 2, sic sunt duo ad unum. Et rursus, quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quatuor. Et secundum quantitatem quoque numeri, eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quantum unus a duobus minor est, tantum binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disjunctam vocari. Ut ad aequalitatem quidem proportionis sunt, 1, 2, 4, 8; sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, si octo ad quatuor, et conversim, quemadmodum unus ad duo, sic quatuor ad octo. Et permutatim, quemadmodum quatuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo u
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓportionalitas inuenit᷑. fit ez iam in plurib s longior. ut binarius ad
unũ qm̃ duo sunt t̾mini c̃uplam obtinet ꝓportionẽ. Sinuͦ quatuor
contra duos compares. & hic quoq dupla ꝓportio est. Quos tres
t̾minos si continue consideres ex duabus ꝓportionib fit ꝓportionali¬
tas. & ẽ ꝓportionalitas unũ ad duo. et duo ad quatuor. Est enĩ ꝓpor¬
tionalitas. ut dictũ ẽ collectio ꝓportionũ inuñq redactio. fit etiã
et in longiorib. Nam si quatuor illis octo uelis adiungere. e his se¬
decim. et his tͥnguita duo. & deinceps duplos qui sequunt᷑. fit in oĩb
dupla ꝓportionalitas exꝓportionib duplis. Igit᷑ quotiens unus atq
idem t̾minus ita duob circũse t̾minis cõmunicat. ut ad unũ dux sit
ad aliũ comes. hec pportionalitas continua uocat᷑. ut unus. duo .iiͦii.

Expanded text:
proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior, ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem, sin vero quatuor contra 2 compares, et hic quoque dupla proportio est, quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas. Et est proportionalitas, unum ad duo, et duo ad quatuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quatuor illis octo velis adjungere, et his 16, et his 32, et deinceps duplos qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quoties unus atque idem terminus, ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quatuor.
Abbreviated transcription (Latin):
De proportionalitatibus.
t de his quidẽ sufficient dictum ẽ. Nunc res admo¬
net quedam de ꝓportionib disputantes que nobis
uł ad musieas speculationes. uł astronomicas subti¬
litates. uł ad geometrice consid̾ationis ium. uł etiã
ad ueterũ lectionũ intelligentiã ꝓdesse possint. arithinetica in¬
troductione cõmodissime tminare. Est gͥ ꝓportionalitas duarũ
uł trium uł quotlibet. ꝓportionũ assumptio. ad unũ atq collec¬
tio. Ut aut̃ cõmunit̾ defimamꝰ. ꝓportionalitas ẽ duarũ uł plu¬
riũ ꝓportionũ similis habitudo. etiã si ñ eisde quantitatib & dif¬
rentiis constitute sint. Disferentia uͦ ẽ int̾ numeros quantitas.
Proportio ẽ duoꝵ t̾minoꝵ adse inuicẽ quedam habitudo. & quasi quo¬
damm continentia. quoꝵ cõpositio quod efficit ꝓportionale ẽ. Ex iuc̃¬
tis enĩ ꝓportionib ꝓportionalitas fit. Intribus aut̃ t̾minis minima

Expanded text:
De proportionalitatibus. Et de his quidem sufficienter dictum est. Nunc res admonet, quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima
Abbreviated transcription (Latin):
nore consideratione notandũ ẽ. Namq trianguli qui cuntas alias for¬
mas sicut suꝑiꝰ docuimꝰ collecti ꝓducunt. his uinctis. uelit ex quibus¬
dam elem̃tis oriunt᷑. Namq ex uno pͥmo tetragono & binario pͥmo
parte altera longiore ternarius tͥangulus copulatur. & ex binario
quat̾nario. idẽ ex sccło tetragono senarius triangulus nascit᷑. Ex qua¬
t̾nario quoq e senario denariꝰ tͥangulus ꝓcreatur. e ad eundem
ordinẽ cuncta tͥanguloꝵ ratio constabit. Disponant᷑ enĩ int̾ se alter
natĩ tetragoni e parte altera longiores. Qui ut melius ꝑnotarentur.
pͥus induob eos uersibus disposuimꝰ. post aut̃ eosclẽ ꝑmisciumꝰ. & qͥ
exinde tͥanguli nascerent᷑ descͥpsimꝰ.¬
Parte alte

Expanded text:
nore consideratione notandum est. Namque trianguli qui cunctas alias fornore consideratione notandum est. Namque trianguli qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, collecti producunt, his junctis velut ex quibusdam elementis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono, et binario primo parte altera longiore, ternarius triangulus copulatur. Et ex binario vel quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario, denarius triangulus nascitur. Et ad eumdem ordinem, cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni et parte altera longiores, qui ut melius pernotarentur, prius in duobus eos versibus disposuimus, post autem eosdem permiscuimus, et qui exinde trianguli nascerentur ascripsimuex parte alte
Abbreviated transcription (Latin):
claudunt. om̃s ex his qui fiunt tetragoni aparibus ꝓducunt᷑. Nam
qui ex duobus & sex parte altera longiorib. & quat̾nario bis mł¬
tiplicato sedecĩ tetragonus factus est. ille a quat̾nario numero idẽ
pari ꝓctucit᷑. Quat̾ enĩ quatuor sedecĩ sunt. Et insequenti quoq
ordine ubi ex senario & duodecim et bis insuã sũmam ducto no¬
uenario. xxxui. fiunt. ex continenti pari senario copulantur.
Sex enĩ sexies .xxxxui. restituunt. stec minus in eande rationẽ
tragonus. hic enĩ ex octonario continenti post senariũ nascitur.
Octies enĩ octo sexaginta .iiii. tetragonũ ungunt. E in aliis quoq
scđ̃m eunde modũ. si idem facias rationis ordo ñ discrepat. Q¬
ex qͣdratis & parte alt̾a longiorib. om̃is formaꝵ rõ ꝯsistat .xxxiii.¬
llud uͦ qđ exhis duob tota om̃iũ formarũ uidetur orta ꝓlatio. ñ m¬

Expanded text:
claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, producitur. Quater enim quatuor 16 sunt. Et in sequenti quoque ordine ubi ex senario et duodecim, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari senario copulantur. Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem rationem tragonus. Hic enim ex octonario continenti post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragonum jungunt. Et in aliis quoque secundum eumdem modum si idem facias, rationis ordo non discrepat. te altera longioribus, omnis formarum ratio consistat. Illud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio non mi
Abbreviated transcription (Latin):
llud quoqi ñ opportet minore admiratione suspicere. qđ scdm ꝓpͥas
naturas ubi altrinsecus duo tetragoni stant. e unus parte altera
longior in medio ponitur. tetragonus qui nascit᷑ ille semꝑ ab
impari ꝓcreatur. Nam ex suꝑiorib uno & quatuor et bis mul¬
tiplicato binario factus ẽ nouenariꝰ tetragonus. Qui scilicet atrib
ꝓcreatur. Ter enĩ tres nouenariũ faciunt. Qui t̾nariꝰ impar est
nuimerus. Eͥ sequens qui ex.iiii.i. uiiii.ibis muttiplicato senario
comunctus ẽ uinginti quinq tetragonis. & ipse ex impari qui¬
nario nascitur. E̾ continenti post t̾narium. Quinquies enim
quinq uinginti quinq ꝓducunt. E quinariꝰ post t̾nariũ impar
ẽ numerus. Et insequenti quoq eadẽ ratio ẽ. Nam qui ex no
nouem ꝓducit᷑. ille a septenario impari fit. et post quinariũ
continenti. Septies enĩ septẽ.xl uiiii. creant.
At uͦ ubi duo altͥnsecus parte altera longiores unũ mediũ tetragonũ

Expanded text:
llud quoque non oportet minore admiratione suscipere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant, et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus qui nascitur, ille semper ab impari procreatur. Nam ex superioribus, uno et 4 et bis multiplicato binario, factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur. Ter enim tres 9 faciunt, qui ternarius impar est numerus. Et sequens qui ex quatuor et 9, et bis multiplicato senario conjunctus, est 25 tetragonus, et ipse ex impari quinario nascitur continenti post ternarium. Quinquies enim quinque 25 procedunt, et quinarius post ternarium, impar est numerus. Et in sequenti quoquo eadem ratio est. Nam qui ex 9 roducitur, ille a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum
Abbreviated transcription (Latin):
duob. nouẽ uͦ senariũ tribus p̾tereunt. Insequentib etiã eadem
ratio speculabit᷑. ⁊ semꝑ alt̾natim nunc quide eedem ꝓportiones.
aliȩ differentie sunt. nunc aut̃ ordine ꝑmutato isde differentiis
aliȩ ꝓportiones. Semꝑq inquibus differunt scđm naturales nu¬
meri ordines. tetragoni & parte altera longiores sese suꝑabunt.
tantũ qđ geminatis sũmulis naturalis numeri fit ꝓgressio. quod
mirũ uideri ñ debet. Nos enĩ ipsas sũmas tetragonoꝵ et parte
altera longioꝵ geminauimꝰ ad pͥmas secundasq ꝓportiones.
edem quoq differentie mirabilem in modum

Expanded text:
duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminamus ad primas secundasque proportiones. edem quoque differentiae, mirabilem in modum
Abbreviated transcription (Latin):
rgo insuꝑiore formula hoc maxime intuendum ẽ.
Namq int̾ unũ qui ẽ tetragonus & duo. dupla ꝓpor¬
tio est. int̾ duo e quatuor dupla. hic gͦ tetragonus
cũ parte altera longiore. atq hie consequente tetͣgono
eadem ꝓportione iungunt᷑ differentiis uͦ non eisdem. Namq duoꝵ
atq unius sola unitas differentia est. sed idem duo aquat̾nario solo
binario relinquunt᷑. ¶ Rursus si uo ad quatuor speculeris. dupla
est ꝓportio. si quatuor ad sex. habitudinẽ sex qualterã recognoscis.
hic gͦ in ꝓportionib discrepant. indifferentiis pares sunt. Namq
& quatuor a duob. & sex aquatuor eodem binario distant. Insequen¬
tibus et iam eode modo sicut etiam in pͥmis fuit ratio constat. Nã
eadem ꝓportio ẽ. differentiis non eisdem. Nam quatuor adsex. et
sex ad nouẽ. sex qualtera ꝓportione iunguit᷑. sex aut̃ quat̾nariũ

Expanded text:
riore formula hoc maxime intuendum est. riore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differentiis pares sunt. Namque et quatuor a duobus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtera proportione junguntur, 6 autem quaternarium
Abbreviated transcription (Latin):
eiusdem atq ĩmutabilis substantie eeᷤ participes. Pares uͦ ob binarii
numeri consortiũ alteritatib eeͤ ꝑmixtos. Tetragonos quoq adeun¬
dem modũ considerari manifestũ est. Nam qͦd eoꝵ cõpositio ez con¬
iunctio ex imparib fit. ĩmutabili eos nature ꝓnuntiabo conunctos.
Qđ uͦ parte altera longiores ex copulatione pariũ ꝓcreantur.
numꝗͣ ab alteritatis uarietate separantur. xxxxuii. Alternatim
positis quadratis .iparte altera longioribus. Qui sit eoum con¬
sensus in differentiis et in propositionibus¬
quod si idem tetragoni e parte altera longiores disponant᷑. ita
ut alt̾natim sibi ꝑmixti sint. tanta inhis est coniunctio. ut ali¬
as sibi ineisdem ꝓportionib cõmunicent discrepert aut̃ diffe¬
rentiis alias uͦ differentiis pares suit ꝓportionib cdistent. Dispo¬
nant᷑ enĩ in ordinẽ ide illi suꝑiores tetragoni. & parte altera lon¬

Expanded text:
ejusdem atque. immutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii ejusdem atque. immutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii numeri consortium, alteritatibus esse permixtos. Tetragonos quoque ad eumdem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum compositio et conjunctio ex imparibus fit, immutabili eos naturae pronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium, procreantur, nunquam ab alteritatis varietate separantur. CAPUT XXXVII. Alternatim positis quadratis, et parte altera longioribus, qui sit eorum consensus, in differentia et in proportione. Iquod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentiis. Alias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, et parte altera lon
Abbreviated transcription (Latin):
Quẽ admodũ qͣdrati ex parte alt̾a longiorib. uel parte alt̾a
longiore s ex quadratis FIUNIT XXXU.
mĩs uͦ tetragonus si ei ꝓprium latus addatur. uł eidem
rursus dematur. parte altera longior fit. Namq qua
tuor tetragono siquis duo iungat uł duo detrahat:¬
sex idẽ .ii.iui. addendo ꝑficiet. & duo detrahendo. atq
ut̾q figuram continet parte altera longiorẽ. que scilicet magna ẽ
alteritatis uis. Omĩs enĩ infunta e indet̾min.ta potentia ab equa¬
litatis natura e a suis se fimbus continente substantia descendens:
aut in maius exuberat. aut inr minora decrescit.
do uero loco impares numeri tercio qua urat li
⁊ meri. t̾cio parte altera longiores. xxxui.¬
onstat gͥ pͥmo quidem loco unitatẽ ꝓprie ĩmittabilisq
substantie eiusdemq nature. Dualitatẽ uͦ pͥmã alte¬
ritatis mutatõnisq eeᷤᷤ pͥncipium. Secundo uͦ loco
om̃s impares numeros ꝓpter unitatis cognationem

Expanded text:
Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus, vel parte altera longiores ex quadratis fiant. Omnis vero tetragonus si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 4 tetragono si quis duo jungat, vel duo detrahat, 6 addendo perficiet et duo detrahendo, at uterque figuram continet parte altera longiorem, quae, scilicet magna, est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia, ab aequalitatis natura, et a suis se finibus continenti substantia discedens, aut in majus exuberat, aut in minora decrescit Cdo vero loco impares numeri, tertio quadrati, et meri, tertio parte altera longiores. Constat igitur primo quidem loco, unitatem propriae immutabilisque substantiae ejusdemque naturae, dualitatem vero primam, alteritatis mutationisque esse principium. Secundo vero loco, omnes impares numeros propter unitatis cognationem,
Abbreviated transcription (Latin):
uͦ duo qui sequunt᷑ ternariꝰ scilicet & quinariꝰ scđm efficiunt eu¬
bũ. qui ẽ octonarius. Iuncti aut̃ tres qui sequiuit᷑ septenariꝰ noue¬
continetur qui ẽ t̾cius. & sequentes quatuor quartũ. et qui sequnt᷑¬
quinq quintũ. & adeunde modũ quotus quisq exbus efficitur.
tot comunctione impares apponunt᷑. Hoc aut̃ diligentiꝰ subiecta
descriptio docet.¬

Expanded text:
ciunt cuciunt cubum, qui est octonarius. Juncti autem 3 qui sequuntur, septenarius novecontinetur, qui est tertius. Et sequentes quatuor, quartum, et qui sequuntur 5, quintum, et ad eumdem modum quotus quisque cubus efficitur, tot conjunctione impares apponuntur. Hoc autem diligentius subjecta descriptio docet
Abbreviated transcription (Latin):
igͥ in utrisq uersib pͥmos aspicias singulos quos in¬
uenis. qm̃ tetragoni sunt inimpari loco sunt consti¬
tuti qm̃ pͥmi sunt. Si uͦ tercium locũ respexeris. qͣ
tuor & nouẽ notabis. quoꝵ hic ad duobus ꝓficiscitur.
illum t̾narius creat. qui sunt loco impari constituti. Quintum
deinde si uideas locũ. sedecĩ & octoginta unũ respicies. sed unis
aquat̾nario nascit᷑ alt̾m nouenariꝰ creat. S si nonũ locũ rursus
rior uͦ ab octognnta uno. Idem si minfinitũ facere libeat. indisc̃¬
panter incurrit. Cubos eiusdem participare substantiȩ
quo ab imparibus nascantur
equalem multiplicationẽ participant ĩmitabili substantia eiusdẽ¬
q nature sunt socii. ñ alioꝵ qͣm impariũ coaceruatione ꝓduntur.
nũqͣm uͦ pariũ. Nam si om̃s ab unitate impares disponant᷑. iunc¬
ti figurascybicas explicabunt.
N his gͥ qui pͥmus ẽ potestate e uirtute. pͥmũ cubũ faciet. Iuncti

Expanded text:
tur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in impare loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum repexeris, 4 et 9 notabis, quorum hic a duobus proficiscitur, illum ternarius creat, qui sunt loco impari constituti. Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus rior vero ab 81. Idem, si in infinitum facere libeat, indiscrepanter incurrit. CAPUT XXXIX. Cubos ejusdem participare substantiae quod ab imparibus nascantur. aequalem multiplicationem participant immutabilis substantiae, ejusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam imparium coacervatione produntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate impares disponantur, juncti figuras cubicas explicabunt.  qui primus est potestate et virtute primum cubum f
Abbreviated transcription (Latin):
Int̾ quat̾narium uͦ & senariũ idem duo sunit: ad quat̾nariũ medie¬
tas. ad senariũ pars tercia. Tres uͦ qui sequntur qui int̾ sex e nouẽ
constituti sunt medii. sunt quidem senarii dimidium. pars uero t̃¬
cia nouenarii. E rursus t̾nariꝰ qui nouenarii t̾cia pars ẽ. duode¬
narii quarta ẽ. E ad eundẽ modu usq insinẽ descͥptionis gemina¬
tis huiusinodi partib. sicut ipsa quoq sũmarũ comꝑatio gemina¬
ta ẽ equas partiũ ꝓgressiones aspicies.¬
llud aut̃ aꝑtissimũ signum ẽ
omĩs tetragonos imparib esse cognatos. qđ in omĩ dispositione ab
uno. uł in duplicib uł intriplicib talis nature ordo consertt᷑. ut
numqͣm nͥ scdm imparẽ locũ tetragonus inueniat᷑. Disponamus
enĩ in ordinẽ numeros pͥmo quid̃e duplos deinde triplos.

Expanded text:
Inter quaternarium vero et senarium iidem duo sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia. Tres vero qui sequuntur, qui inter 6 et 9 constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimidium, pars vero tertia nove narii. Et rursus ternarius, qui novenarii tertia pars est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspiciellud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos imparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab uno, vel in duplicibus, vel in triplicibus talis naturae ordo conseritur, ut nunquam nisi secundum imparem locum tetragonus inveniatur. Disponamus enim in ordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.
Abbreviated transcription (Latin):
tas inuenit᷑. Sin uͦ int̾ sc̃m terciumq tetragonũ
scđm parte altera longiorẽ ponas. sexqualtere comparationis ad
utrosq forma cõponit᷑. & si int̾ tercium e quartũ tetragonum
tercium parte altera longiorẽ constituas. sexquitercia species nas¬
citur. & idem si in cunctis feceris cunctas suꝑparticularis speci¬
es inueniri miraberis.

Expanded text:
enitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum, tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberis.
Abbreviated transcription (Latin):
duo & sex. faciunt octo. Tũ si bis ducant᷑ medii quatuoi. faciut̃
rursus octonariũ. quicũ suꝑioribus iuncti sedecĩ tetragonum pandt᷑.¬

Expanded text:
duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt rursus octonarium, qui cum superioribus juncti, sedecim tetragonum pand
Abbreviated transcription (Latin):
tad eundem modũ inceteris conuienit intueri. Rursus
si ponant᷑ duo tetragoni ex suꝑius descriptis. idẽ pͥmus
et scd̾s e inunũ colligant᷑. E̾ medius eoꝵ parte alte¬
ra longior bis multiplicet᷑. tetragonus fit. Namq
ums e quatuor si iungant᷑ quinq faciunt. Coꝵ binariꝰ parte
altera longior sibis ducat᷑ quatuor faciunt. qui iuncti. nouem
sine ulla cdubitatione conficient. qui ẽ numerus quadratus. &
acdeunde moctũ inaliis hoc modo dispositis numeris quos supͣ
descͥpsimus idẽ constat intelligi. Si uͦ conuertas & int̾ duos pͥmum
et sc̃m parte altera longiores. sccdm tetragonũ ponas. qui in ordi¬
ne quidem secundus ẽ sed actu e oꝑe pͥmus. ex duob parte alte¬
ra longiorib cong̾gatis et bis multiplicato medio tetragono. rur¬
sus tetragonus conficit᷑. Namq inter sex & binariũ numerum
qui sunt pͥmus et scd̃s parte altera longiores. si ponatur quat̾¬
narius ordine scds pͥmus actu tetragonus. & comungantur

Expanded text:
ad eumdem modum in caeteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et 4, si jungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quatuor faciunt, qui juncti, 9 sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur. Namque inter 6 et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et conjungantur
Abbreviated transcription (Latin):
ant. sed a binario numero in infinitũ ꝑ eosdem calculos ꝓgredi¬
unt᷑. Eritq secundus pͥmi duplus. tercius secundi sexqualter.
ursus quadrati inuicẽ imparib differunt. parit
altera longiores paribus. Differentiȩ impares.¬
t uͦ si int̾ pͥmũ e scdm detragonũ pͥmũ parte altera

Expanded text:
ant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, ursus quadrati invicem imparibus differunt, parte altera longiores, paribus. At vero si inter primum
Abbreviated transcription (Latin):
si t̾ciũ tercio sexquit̾cia ꝓportio ꝓcreat᷑. si quartũ quarto. sexqͥ¬
quarta si quintũ quinto. sexqui quinta. E hinc suꝑ partieula¬
rium normã inquamus longissimũ spaciũ ꝓ grediens integiã
in offensamq reꝑies. ita ut in pͥma dupli ꝓportione. unitatis so¬
lius sit differentia. duo namq abuno sola semꝑ discrepant uni¬
tate. insex qualtera uͦ duoꝵ ẽ differentia. insex quit̾cia trium.
insexquiquarta quatuor. E deinceps scđm suꝑparticulares for¬
mas numeroꝵ qđ ã differentias attinet tantũ uno crescit ad¬
iectio. numerum explicans naturalem.
in uͦ sedm tetragonũ pͥmo parte altera longiori cõpa¬
res. & tercium scdo. et quartũ tercio. e quintũ quar¬
to. easdem rursus ꝓportiones. effici ꝑnotabis quas
insuꝑiore forma descͥpsiimis. s hic differentie ab unitate ñ incho¬

Expanded text:
Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquSi tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesquialtera vero duorum est differentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. cundum tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non incho
Abbreviated transcription (Latin):
stantiȩ. Qd uidelicet ñ sine causa dictũ ẽ. omĩa que ex contrariis
consisterent armonia quada connuigi atq cõponi. Est enĩ armo¬
& parte altera longior omnes ꝓportionũ habitudines ostare:
isponaut᷑ gͦ in ordinẽ ñ iam
pares atq impares. ex quib quadrati uł parte al¬
tera longiores fiunt. sed hi ipsi qui illis coaceruatis
inunũq redactis & quadrati e parte altera songi¬
ores ꝓ deunt. Ita enĩ uidebimꝰ istoꝵ quencĩam consensũ. E adcet̾as
numeri partes ꝓcreandas amiciciã. ut ñ sine causa hoc in omĩb
rebus ab numeri specie natura rerum sũpsise udeat᷑. Sint igt᷑
duo uersus. tetragonoꝵ abunitate omĩum. E abinario numero
parte altera longiorum.
orum gͥ si pͥmũ cõpares pͥmo dupli quantitas inue¬
nitur. que ẽ pͥma multiplicitatis species. Si uͦ scdm
secundo. hemiolie quantitatis habitudo ꝓducitur.

Expanded text:
stantiae. Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia quae ex contrariis stantiae. Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia quae ex contrariis consisterent, harmonia quadam conjungi atque componi. Est enim harmoet parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare. Disponantur ergo in ordinem non jam pares atque impares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a binario numero parte altera longiorum. orum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitur, quae est prima multiplicitatis species. Si vero secundum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur.