comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
rioris opͣeris ordine clarescat. hic quoq ꝑ¬
strĩgentes. id qͦd ꝓposuimꝰ. planissime breuit̾q doceamꝰ. sit enĩ
talis discͥptio in qua ponat᷑ in ordinẽ usq ad denariũ numerum
continu numeri ordo naturalis. et secundo uersu duplus ordo
texat᷑. Tercio triplus. quarto quadruplus. et hoc usq ad decu¬
plum. sic enĩ cognoscemꝰ. quemad modi suꝑ particulari & suꝑ¬
partienti. et cunctis aliis pͥnceps erit species multiplicis. et qͣdã
alia simul inspiciemꝰ⁊ ad subtilitatẽ tenussima et ad scientiam
xxUII. Ratio atq expositio digeste formule.
i gͥ duo prima latera proposite formule que¬
faciunt angulum ab uno. ad .x.i.x. ꝓcedentia
respiciant᷑ & his subteriores ordines cõparentur.¬

Expanded text:
rioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiamundissima. CAPUT XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae. Si igitur duo prima latera propositae formulaefaciunt angulum, ab uno ad 10, et 10 procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur
Abbreviated transcription (Latin):
qui scilicet.a .iiii. angulũ incipientes in inge¬
nios t̾minũ ponunt. duplex idẽ pͥma species multiplicitatis os¬
tendit᷑. ita ut pͥmus pͥmũ sola suꝑet unitate ut duo unũ secuuã

Expanded text:
qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secu
Abbreviated transcription (Latin):
Q ut paulopost demonstrabit᷑. hic aut̃ iuunierꝰ
huiꝰmodi ẽ ut cõparatꝰ eũ altero. illũ contra q̃.
cõparatꝰ est. habeat plusꝙͣ semel. Qđ pͥmũ in naturalis numeri
dispositione conueniret. Namq ad unũ euncti qui secuntur
omĩum ordine multipliciũ. sequentias uarietatesq eustodiunt.
Ad pͥmũ enĩ idẽ unitatẽ .ii. duplus. tres. triplus .iiii. quadruplꝰ
atq ita in ordinẽ ꝓgredientes om̃s texunt᷑ multiplices quanti¬
tates. qͦd aut̃ dictũ ẽ plusqͣ semel id abinario numero pͥncipi¬
um capit. E in infinitũ ꝑ t̾nariũ quat̾nariũq et oeteroꝵ or¬
dinẽ sequentiamq ꝓgredit᷑. Contra hiinc uͦ discͥminatꝰ est ille¬

Expanded text:
or, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus or, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus hujusmodi est, ut comparatus cum altero, illum contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, 2 duplus, 3 triplus, 4 quadruplus, atque ita in ordinem progredientes, omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus quam semel, id a binario numero principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamq
Abbreviated transcription (Latin):
iore minus ẽ et utraq ñ eisde uocabulis quẽad modũ scđm eqͣ¬
litatẽ dietũ ẽ. S diuersis distantib qr signata sunt. admodũ
discentis scilicet uł docentis. uł cedentis. uł uapulantis uł que¬
.xxii. De specieb maioris quantitate ⁊ minoris.
aioris uͦ inequalitatis quinq partes sunt. Est
una enĩ que uocat᷑ multiplex. alia suꝑ parti
ris partib opposite sunt aliȩ quinq partes minoris. que mad¬
modum ip̃m maius minori semꝑ opponit᷑. Que minors speci¬
es. ita singillatim specieb .u. maiorib his quȩ supradictȩ st̃.
opponunt᷑. ut eisdem nominib ñcupent᷑. sola tantũ sub p̃positi¬
one distantes. dicit᷑ enĩ sub multiplex. sub suꝑ particularis. sub¬
suꝑ partiens multiplex sub suꝑ partieularis. et multiplex subsu¬
per partiens. xuiii. De multiplici eiusq speciebi earũq generatiõib
ursus multiplex ẽ pͥma pars maioris inequa
litatis. eiuctis aliis antiquior. natureq p̾stanti¬

Expanded text:
ore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaeXXII. De speciebus majoris inaequalitatis et minoris. Majoris vero inaequalitatis quinque partes sunt. Est enim una quae vocatur multiplex, alia superparticris partibus, oppositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum majus minori semper opponitur, quae minoris species, ita singillatim specibus quinque majoris his quae supradictae sunt opponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis, et multiplex subsuperpartiens. CAPUT XXIII. De multiplici ejusque speciebus, earumque generationibus. Rursus multiior naturaque praestanti
Abbreviated transcription (Latin):
tione ꝓductus. plusꝙͣ semel maioris uumerat sũmã. sua seilicet
quauttate cũ eo eqͣlit̾ inchoans eqͣlit̾q det̾minais. Idẽ aut̃ dico
numerat qd̵ metit᷑. si igit᷑bis solũ maiorẽ numerũ minor nu¬
merus metiat᷑ sub duplꝰ uocabit᷑. si uͦ ter. sub triplus. si quat̾
sub quadruplus. et sit ꝑ hecĩinfinitũ. ꝓgͥssio additaq eos
semꝑ. sub p̃posioͥne nominabis. ut unus duoꝵ sub duplus.
trium sub triplus. quatuor. sub quadruplus. appelletur & conse¬
quent̃. Cũ aut̃ naturalit᷑ multiplicitas. et sub mnultiplieitas infi¬
nita sit. eoꝵ quoq species ꝑ ꝓpͥas generationes in infinita conside

Expanded text:
oris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita conside
Abbreviated transcription (Latin):
que duobus tantũ numeris ꝑ latera positis continet᷑. Sni uͦ his sequen¬
tes nouem adiecero fiet mnͥ quatuordecĩ numeroꝵ forma pyrami¬
dis. que ꝑ latera tribus unitatib concludat᷑. atq hiuic si sequentẽ
tetragonũ sedecĩ supponam tricenaria mͥ pẏramidis forma ꝓduertur.
iuhis quoq omĩbus pyramidis tot erunt unitates ꝑ latera. quaute
pyranis ẽ unũ solum idẽ seip̃am gerit in latere. Quinaria uͦ quę
que ex trib numeris compositis fit ternario numero in latere po¬
sito constituit᷑. Hanc aut̃ pyramidũ generationẽ monstrat subiecta descͥpto.¬

Expanded text:
quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequenquae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes 9 adjecero, fiet mihi 14 numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus pyramidibus tot erunt unitates per latera quantapyramis est, unum solum, id est seipsam, gerit in latere. Quinque vero, quae quae ex tribus numeris compositis fit, ternario numero in latere posito constituitur. Hanc autem pyramidum generationem monstrat subjecta descript
Abbreviated transcription (Latin):
N hac gͥ coniunctione necesse ẽ. ut semꝑ qui ultimꝰ sit coniugatoꝵ
numeroꝵ is quasi quod̾am basis sit. cunctis enĩ latior inuenitur.
&÷ qui aute ip̃m numeri conuigant᷑. minores ẽeᷤᷤ necesse ẽ. usque
dũ ad unitatẽ detractio rata ꝑueniat. quȩ puncti quodammodo
& uerticis obtineat locum. Namq in .xͦ. pẏramide suꝑ .ui. ad¬
diti sunt .iii. atq .i. qui senarnis suꝑat t̾nariam quantitatẽ. Ip̃i
uͦ tres unũ pluralitate transcendunt. qui unus extremũ t̾minũ
ꝓgressionis offendit. Similis quoq ratio in ceteris ꝑspici potest.
si eoꝵ ꝓcreationes diligentius uolueris ꝑscrutari. Ille uͦ que sunt
atetragono pyramides eadem tetragonoꝵ suꝑ se compositione nas¬
cunt᷑. Descͥptis enĩ ciuictis tetragonis idest.¬
si unttatẽ pͥmam exhac dispositione p̾sumam. erit mnͥ potestate
& uii pyrams ipsa iuunitas. nondum etiam oꝑe atq actu. At si hiue
tetragonũ supponã idẽ quatuor. nascet᷑ pyramis quniq mimeraꝵ

Expanded text:
n hac igitur conjunctione necesse est ut semper qui ultimus sit conjugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur; et qui ante ipsum numeri conjunguntur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat, quae puncti quodammodo et verticis obtineat locum. Namque in 10 pyramide super sex additi sunt 3 atque unus, qui senarius superat ternariam quantitatem, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in caeteris prospici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae vero quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, idsi unitatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est 4, nascetur pyramis quinque numerorum,
Abbreviated transcription (Latin):
eptagono ñ nisi exagonoꝵ uł eptagonoꝵ copulatione uascent᷑ Pͥmꝰ
gͦ potestate triangulus unitas ẽ eandemq etiam ponimꝰ uirtute
pyramidam. Secundus uͦ tͥangulus t̾narius. quẽ si cũ pͥmo conum¬
xero idẽ cũ unitate quat̾naria michi ꝓfunditas pyramidis exereᷤ¬
cit. At uͦ si hus terciũ senariũ iunxero. denaria pyramidis ꝓcrea¬
bitur altitudo. His si denarium iunxero. uinguti numeroꝵ pyra¬
mis ueniet. atq ẽande ratio t̾ta in cunctis aliis copulationis ẽ.¬

Expanded text:
heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione nascentur. Primus heptagono, non nisi hexagonorum vel heptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus, unitas est, eamdemque etiam ponemus virtute pyramidem; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo conjunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si iis tertium senarium junxero, denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium junxero, 20 numerorum pyramis veniet, atque ita in cunctis aliis ea
Abbreviated transcription (Latin):
et erit basis.a.d.e. unũ tͥangulum. ꝑlatera uͭ tria tͥangula ꝗdest
xxii. De his piramidis que a quadratis uel a ceteris
multi angulis figuris .B.c. proficiscuntur.
tem si atetragona basi ꝓficiscat᷑ & ad unũ uerticem enis linee di¬
rigant᷑ erit pyramis quatuor tͥanguloꝵ ꝑ latera. uno tantũ tetra¬
gono in basi posito suꝑ quam figura ipsa fundata ẽ. & si apenta¬
gono surgant quinq lineȩ quinq rursus pyramis tangulis con¬
tinebit᷑ & si ab exagono sex triangulis nichilominus. & quantos¬
cumq angulos habuerit figura suꝑ quã prrainis residet. tot ip̃a
ꝑ latera triangulis continet᷑. ut insubiectis descͥptionib palam ẽ.¬
nobis suꝑficies naturalit̾ figurate ꝓuenient. & ad faciendas quidẽ
pyramides a triangulo. ipsi nobis tͥanguli cõponendi sunt. Ad ꝓcre¬
andas uͦ piramidas a tetragono tetragoni. Ad eas uͦ que sunt a pen¬
tagono pentagoni copulandi sunt. & ille que sunt ab exagono uł

Expanded text:
 latera vero, tria triangula, id est XXII. De his pyramidis quae a quadratis vel a caeteris multiangulis figuris proficiscuntur. Item si a tetragona basi proficiscatur, et ad unum verticem ejus lineae dirigantur, erit pyramis quatuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam figura ipsa fundata est, et si a pentagono surgant quinque lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebitur, et si ab hexagono, sex triangulis nihilominus, et quantoscunque angulos habuerit figura super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut in subjectis descriptionibus palam enobis superficies naturaliter figuratae provenient, et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt. Ad procreandas vero pyramidas a tetragono, tetragoni, ad eas vero quae sunt a pentagono, pentagoni copulandi sunt, et illae quae sunt ab hexagono vel
Abbreviated transcription (Latin):
gonis. uł hi ruesus eptagonis sine aliqua dubitatio¬
ne triangulis sese suꝑabunt. Namq si t̾nariũ tͥangu¬
lum qͣuat̾nario. uł quat̾nariũ tetragonũ quinario. uł quinarium
pentago nũ senario exagono uł senariũ septenario eptagono cõpa¬
res pͥmo se tͥangulo idẽ sola transeunt unitate. At uͦ si senariꝰ contͣ
contra decem & octo ꝓ inueniendis differentiis cõparent᷑. s ed̃o se¬

Expanded text:
gonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatiogonis, vel hi rursus heptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis, sese superabunt. Namque si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra contra
Abbreviated transcription (Latin):
sex exagonus ex quinario pentagono et uno qui est intͥanguloꝵ ordi¬
ne dispositꝰ nascit᷑. Nec alia ẽ origo quindecĩ ȩxagoni nisi ex duodena¬
rio pentagono et ternario tͥangulo. Qđ si uinginti octo rursũ exago¬
num ex quib suꝑiorib nascat᷑. ad discas nullos inuenies nͥ uinginti
duo pentagonũ senariumq triangulũ. atq hoc inceteris. Nec hunc
geniture ordinem eptagonoꝵ ꝓcreatio refictabit. Namq ex suꝑ se
exagonis et exeminus positis triangulis ꝓcreant᷑. Septẽ enĩ epta¬
gonus nascitur ex senario exagono & uno potestate triangulo.xuiii.¬
uͦ eptagonus ex quindecĩ exagono et t̾nario tͥangulo coniungitur.¬
angulo atq hoc incuntis in offensũ repperire licet. Uides ne igitur
descriptionem Speculatio¬
i uͦ om̃s si adlatitudinẽ fuerint cõparati id ẽ tͥangłi
retragonis. uł tetragoni pentagonis. uł pentagoni exa¬

Expanded text:
sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordisex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate triangulo, 18 vero heptagonus ex 15 hexagono et ternario triangulo conjungatur,iangulo, atque hoc in cunctis inoffensum reperire licet. Videsne igitur descriptionem speculatiovero omnes si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis, vel tetragoni pentagonis, vel pentagoni hexa
Abbreviated transcription (Latin):
is gͥ ita sese habentib quid inhac re sit consequens
uestigemus. Om̃s enĩ tetragoni qui sub tͥangulis sunt
naturali ordinatione dispositi ex suꝑiorib tͥangulis
ꝓͥcreant᷑. illoꝵ q collectione quadrati figura componit᷑.
Quatuor enĩ tetragonus sit ex uno & tribus. idẽ ex duob suꝑiorib
tangulis nouẽ uͦ ex trib et sex. sed utriq sunt t̾anguli. At sedecim¬
insequenti ordine quadratoꝵ constans atq immutabile reperitur.
Pentagonoꝵ uͦ sũme conficiunt᷑ ex uno suꝑ se tetragono es altͥnsecꝰ
triangulo constitito. Namq quinq pentagonus ex quatuor suꝑ
E posito tetragono. es ex uno qui intͥanguloꝵ orcine ponit᷑ ad gͥgat᷑
Duodecim uͦ pentagonuis ex nouenario suꝑse quadrato. et tribus se
cem. Rinoedinẽ ad eunde modũ intuentẽ nulla cunctatio contrari¬
etatis impediet. at uͦ si exagonos liberata examinatione ꝑspicias.
ex eisdem triangulis et suꝑ se positis pentagonis ꝓcreant᷑. Namq

Expanded text:
itur ita sese habentibus, quid in hac re sit consequens nvestigemus. Omnes enim tetragoni qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur, illorumque collectione quadrati figura componitur. Quatuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis. Novem in sequenti ordine quadratorum constans atque immutabile reperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono, et altrinsecus triangulo constituto. Namque 5 pentagonus, ex quatuor super se posito tetragono, et ex uno qui in triangulorum ordine ponitur, aggregatur. Duodecim vero pentagonus, ex novenario super se quadrato, et tribus seordinem ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque
Abbreviated transcription (Latin):
a duobus abhis int̾quos bene loquendi ratio ñ negligit᷑. Ampliꝰ
qđ impar numerꝰ sola unitate ꝑfici monstratꝰ est. par uͦ so la
dualitate. idẽ solo binario numero. Nam cuiuscumq medietas
est unus. ille impar est. cuiꝰ uͦ duo hic paritate recepta ingemina
equa disiungit᷑. Quare dicencłum ẽ. in parẽ numerũ eiusdem
atq in sua se uatura tenentis ĩmutabilisq substantie ẽẽ partici¬
pem. idcirco qͦd abunitate formet᷑. parẽ uͦ alterius plenũ esse
nature idcirco qđ a dualitate completur. asterꝰ plenũ esse natu

Expanded text:
e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur CAPUT XXVIII. Qu
Abbreviated transcription (Latin):
rgo si ab unttate tantum cliscrepent qui alta longiors.¬
multiplicant᷑. de scripti suꝑius nunieri ꝓtendunt᷑.
uł aliquo mͦ alio. et ñ eoꝵ latera sola discrepent uinntate. ñ uoca¬
bit᷑ incnumerus parte altem longior. sed ante longior. alterũ enuĩ
apud pytagoram uł sapientiȩ eius herecles nulli alii nisi tantũ
binario acseribebat᷑. hune alteritatis pͥncipiũ esse dicebant. Candẽ
aut᷑ naturam et semꝑ sibi simiłe consentientẽq nullam aliam nͥ
primeuam ingeneratãq unitatẽ. Binarius aut̃ numerus pͥmus
est unitati dissimilis. idcirco qͦd pͥmus ab unitate disiungitur.
atq icło alteritatis cuiuslam pͥncipium fuit. qđ ab illa prima
et senꝑ eade substantia sola tantũ ẽ unitate dissimilis. Merito
gͦ dicentur hi numeri parte altera longiores. qđ eoꝵ latera innꝰ
tantũ sese abiecta numerositate p̾cedunt. Argum̃tũ ẽ aut̃ alteri¬
tatẽ inbinario numero iuste constitui. qđ ñ dicit᷑ alterum nͥ

Expanded text:
rgo si ab unitate tantum discrepent qui multiplicantur, descripti superius numeri protendentur. vel aliquo modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli alii nisi tantum binario ascribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant. Eamdem autem naturam, et semper sibi similem consentientemque, nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Binarius autem numerus, primus est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi
Abbreviated transcription (Latin):
tera longiores. Quarũ figurarum numerus hoc modo
diffiniendus ẽ. Parte altera longior ẽ numerus. quẽ si inlatitudi¬
nẽ descbas et ipse quidem quatuor uenit laterũ. et quatuo
anguloꝵ. sed ñ cunctis equalibus. sed semꝑ mimis uno. Namq
nec latera lateribus cuncta cunctis equa sunt nec longitudim
latitudo. sed ut dictũ est. cũ hinc altera pars maior fuerit. uno
tantũ minorem p̾cedit ac suꝑat. Si enĩ numerũ naturalem di¬
ponas in ordinẽ et sc̾m ꝑ pͥmum itiltiplices. talis nascet᷑ nime¬
rus. uł si sc̃m ꝑ tercium. uł si t̾cium ꝑ quartũ. uł si quartũ per
quintũ. omĩq in unitate acdita muttiplicet᷑ nascentur parte

Expanded text:
tera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc modo tera longiores, quarum figurarum numerus quoque hoc modo diffiniendus est. Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas, et ipse quidem 4 provenit laterum et 4 angulorum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices, talis nascetur numerus; vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque bi unit
Abbreviated transcription (Latin):
uł erassitudini ꝓlincitatis auget᷑ Atq id̃o hos plerumq necesse ẽ.
omĩb partib in equalib inueniri. Quidam uͦ hos bouiscos uocant
idẽ quasdam arulas. que monica grecͥe regione ut ait nichomachꝰ
hoc modo formate fuerunt. ut neq altitudo latitudim neq hec lon¬
gitudini conueniret. Uocatur aut̃ aliis quibusclam nominib que nẽ
ꝑsequi suꝑuacuum uidicamꝰ. Igitur cubi equalib se spaeiis porrigen¬
tis. et huius forme quã liximꝰ gradata distributtione posite. medie¬
tates sunt que neq cunctis partib equales sunt. neq omĩb ineqͣ¬
les. quos greci parelle lipipedos uocant. latini nom̃ hoc ita unfor¬
intter compositum habere ñ possunt. ut tam̃ idem plurib dictum
sit. Ea namq hoc nomine uocatur sigura que alternatim positis
latitudinibus contietur. xx.ui. De parte altera lon giorib nuimis

Expanded text:
vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc prosequi supervacuum judicamus. Igitur cubi aequalibus spatiis se porrigentibus et hujus formae, quam diximus, gradata distributione disposita, medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt. Ut tamen idem pluribus dictum sit, ea namque hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur. CAPUT XXVI. De parte altera longioribus numeris
Abbreviated transcription (Latin):
bi equalem e̾eᷤ necesse est. huic oppositum contrariumq esse oporte¬
bit. qui neq longitudinẽ latitudimi neq hȩc duo ꝓfunditati gerat.
equalia. sed cunctis inequalib. quamuis solida figura sit. ab equa¬
litate eubi longissime dlistare uidetur. Hi aut̃ sunt ut siqius fa¬
ciat bis tres quater uł ter quatuor quinquies. et alia huiꝰmodi
quȩ ꝑ inequales spacioꝵ gradus inequaliter. ꝓuehunt᷑. Hec autẽ
forma greco nomine scalenos uocat᷑. nos uͦ gradatũ possumꝰ dicere.
qͦa aminore modo uelut gradib crescat ad marus. uocant autem
eande figuram greci quid̃a sphenisconnos aut̃ cuneũ possumus
ddicere. & enĩ quos ad quãlibet illam rem constͥngendam cuneos
formant. neq latitudims neq longitudinis neq altitudinis. habi¬
ta ratione qͣntũ cõmodũ fuerit. tantũ uł latitudini minuitur.

Expanded text:
bi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quater quinquies, et alia hujusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad majus. Vocant autem eamdem figuram Graeci quidam sperniscon, nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur,
Abbreviated transcription (Latin):
Omĩs aut̃ erbus qui extetragonoꝵ suꝑficie inꝓfunditatẽ corporis
creuit. ꝑ tetragom selicet latus mutiplieatus. habebit quidse suꝑ¬
ficies sex quoꝵ singula. planitudo tetragono illi priori equalis ẽ. Latera
uͦ duodecim. quoꝵ unum qͦdq singulis his ꝙ suꝑioris fuere tetragoni e¬
quum ẽ. & ut suꝑius demonstrauimis. tot unitatũ ẽ Angulos uero
octo quoꝵ singulꝰ sub tribus hunsmodi continet᷑ quales pͥoris fuere
tetragoni de quib ipse ꝓductus ẽ. Ergo ex naturaliter ꝓfuso nume¬
ro qui insubiecta forma descripti sunt. subiecti tetragom nascunt᷑.
et ex his tetragonis qui sub notati sunt cybi prouehuntuꝵ.
Q qm̃ omĩs eubus ab equi lateris quadratis ꝓfectus equus ipse oĩb
partib ẽ. nam et latitudini longitudo & his duob compar ẽ altitudo.
et scd̃m sex partes. idẽ sursũ. deorsum. dextera. si nistra. ante post. si¬

Expanded text:
Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis Omnis autem cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies 6, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est. Latera vero 12, quorum unumquodque singulis his quae superioris fuere tetragoni aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est. Angulos vero 8, quorum singulus sub tribus hujusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni unde cubus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero, qui in subjecta forma descripti sunt, subjecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui subnotati sunt cubi provehuntur. Et quoniam omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his duobus compar est altitudo, et secundum sex partes, id est sursum, deorsum, dextera, sinistra, ante, post, si
Abbreviated transcription (Latin):
nus qm̃ tres habet in latere. & factus ẽ ex tribus muisttiplicatis. si
ei unam lateris multiplicationẽ adiunxeris. rursus aliis eybus
equali laterũ formatione crescit. Ter enĩ tres si t̾cio duxeris. iuingin¬
gescat. seraginta quatuor cybus pari laterũ dimensione crassabit᷑.
& sequentes quidem tetragoni scđ̃m eundem modũ multiplicatiõe
facta ꝓuehunt᷑. Tot aut̃ necesse ẽ unitates cybus habeat in latere.
latere. duos quoq habet octonariꝰ cybus. S̾ qm̃ nouẽ tetragonꝰ
trib ꝑ latus unttatib figurabat᷑. solo t̾nario uingiti septẽ eybi la¬
tus urguet᷑. & qm̃ sedecim tetragonus quatuor unitatũ latus habe¬
bat. totidem seraginta quatuor cybus in latere gestabit. Quare etiam
ui e potestate cybi qͦd ẽ unttas unus erit inlatere. Omĩs enĩ tetra¬
gonus una quidem suꝑficies est quatuor anguloꝵ totidemq laterũ.

Expanded text:
nus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si nus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione crescit. Ter enim tres si tertio duxeris, gescat, sexaginta quatuor cubus pari laterum dimensione crassabitur, et sequentes quidem tetragoni, secundum eumdem modum, multiplicatione facta, provehuntur. Tot autem necesse est unitates cubus habeat in latere, latere, duos quoque habet octonarius cubus, et quoniam novem tetragonus tribus per latus unitatibus figurabatur, solo ternario 27 cubi latus urgetur. Et quoniam 16 tetragonus quatuor unitatum latus habebat, totidem 64 cubus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cubi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quatuor angulorum, totidemque laterum.
Abbreviated transcription (Latin):
dis. s in om̃ib ab omĩ multi angulo. ꝓg̾dientib speculari licet.
radice multi angula figura ꝓgredientib dictum ẽ. Est alia rursus que¬
dam corpor solidoꝵ ordinabilis compositio eoꝵ qui dicunt᷑ cubi uel
asseres. uł laterculi. uł cunei. uł spͥere. uł parelle lipipeda quȩ st̃ quo¬
tiens suꝑficies contra se sunt. & ductȩ in infinitũ numqͣm ocurrent.
Dispositis enĩ in orlinẽ tetragonis. Luu uiu xui lxxx¬
Qm̃ hi soli longitudinẽ latitudinẽq soctiti sunt & altitudine carent
suꝑ latera solam unã multiplicationẽ recipiant equalẽ ꝓuehunt ꝓ¬
funditatem. Nam quatuor tetragonus dduos habet inlatere. & natꝰ
ẽ exbis duob. bis enĩ duo. quatuoer faciunt. Hos gͦ duos ex ipsius late
si multiplices. equalit̾ cubi forna nascet᷑. Nam si bis biuos bis facias
octonarii. quantitas erescit. & ẽ primus hic cybus. Nouem uͦ tetrago¬

Expanded text:
dis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.dis, sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.radice multianguli figura progredientibus, dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cubi vel asseres, vel laterculi, vel cunei, vel sphaerae, vel parallelipipedi, quae sunt quotiens superficies contra se sunt, et ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis, quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt, et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quatuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit, et est primus hic cubus. Novem vero tetrago
Abbreviated transcription (Latin):
ma suꝑficies erit exagona. Ergo in curta pyramide tot erit anguloꝵ
suꝑficies quot fuerit basis. Si uͦ illa pẏramis ñ solum ad unitatẽ
extremitatẽq ñ ꝑuenit. sed nec adprimũ quoq oꝑe & actu multi¬
angulũ eiꝰ generis cuiꝰ fuerit basis. bis curta uocabit᷑. ut si ad sede
cim tetragono. ꝓficiscens usq in nouem t̾minũ ponat neq excrescat
ad quatuor. E qͦdcumq tetragoni defuerint tociens eam curtam
esse dicimꝰ. ut si unitas defuerit pͥmus quadratꝰ curtam quã greci.
Roaoypon. uocant. Si uͦ duob tetragonis deficit idẽ unitate & eo
qui sequit᷑ uocat᷑ bis curta quam greci. di kodoypot. appellant. qͦd
si tribus tetragonis ter curta dicet᷑. quã greci. tpiro loypon. nomi¬
nant. et quotcumq tetragoni fueriit minus tociens illam pyrami¬
dem curtam eeᷤᷤ ꝓponimus. Hoc aut̃ ñ solum atetragono pyrami¬

Expanded text:
ma superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum ma superficies erit hexagona. Ergo in curta pyramide, tot erit angulorum superficies quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum ejus generis cujus fuerit basis, bis curta vocabitur, ut si, a 16 tetragono proficiscens, usque in 9 terminum ponat, neque excrescat ad 4, et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus. Ut si unitas defuerit primus quadratus, curtam, quam Graeci koluron vocant. Si vero duobus tetragonis, deficit, id est unitate et eo qui sequitur, vocatur bis curta, quam Graeci dikoluron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicitur quam Graeci tricoluron nominant, et quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solum a tetragono pyrami
Abbreviated transcription (Latin):
bis curte. uł ter curtȩ uł quater. & deinceps sccm
mimeroꝵ adiectionẽ. ꝑsecta enĩ pyramis ẽ que a
qualibet basi ꝓfecta usq ad pͥmam ui & potestate pyranudeͥm ꝑue¬
nit unitatẽ. Sinuͦ a qualibet basi ꝓfecta usq ad unttatẽ altitudo il¬
la non uenerit curta uocabit᷑. recteq huiusmodi pyramis tali nun¬
cupatione signat᷑. si usq adextremitatẽ punctũq ñ uenerit. Hec aut̃
est ut siquis sedecim tetragono adiciat nouem atq hiuic quatuor. S ab
ulterioris sese unitatis adiectione suspendat. Pẏramidis equidem
figura ẽ. s qm usq ad cacum̃ uerticis ñ excreuit curta uocabitur.
& habebit sũmitatẽ ñ iam punctũ qđ unitas est sed suꝑficiem q̃ ẽ
qͥ libet numerus scdm basis illius angulos porrectus ad que ultimꝰ
ad gͥgatus. Nam si tetragoga fuerit basis. quadrata diminutione sẽꝑ
ascendit. & si pentagona basis sumiliter. & si exagona illa quoq ulti¬

Expanded text:
eps secundum numerorum adjectionem. Perfecta enim pyramis est quae, a qualibet basi profecta, usque ad primam vi et potestate pyramidum pervenit unitatem. Sin vero, a qualibet basi profecta, usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur. Recteque hujusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis 16 tetragono adjiciat 9, atque huic 4, et ab ulterioris sese adjectione unitatis suspendat, pyramis quidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur, et habebit summitatem non jam punctum quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis illius angulos porrectus, atque ultimus aggregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata diminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter et si hexagona, illa quoque ulti
Abbreviated transcription (Latin):
imiliter aut̃ licebit et aliarum formarum que plurib
angulis continent᷑. quantitates ascribere. sed qm faciliꝰ
oculis subiecta retinent᷑. supͣdictarũ formarũ numerosi¬
tas in subteriore descriptione ponatur.

Expanded text:
imiliter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus imiliter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur, quantitates ascribere. Sed quoniam facilius oculis subjecta retinentur, supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatur.
Abbreviated transcription (Latin):
niende gen̾ationis regła descriptionisq figurarũ. xui.¬
eptem uͦ anguloꝵ figura ẽ cũ ad eundem ordinẽ pro¬
gressionis uno plusꝗ. insex anguloꝵ figura numero
int̾misso suꝑiori coniunxeris. Nam si .iiii. int̾po¬
sitis qui sese quinario uincant ad gͥgaueris epta¬
gom continuo figura nascetur. ut hi nneri sint eoꝵ radices. E
ut suꝑius dictũ ẽ fundam̃ta.uixixuiaeri¬
Nouem uͦ anguloꝵ scđm eunde ordinẽ forma ꝓcreat᷑. ita ut
scd̃m equalem ꝓgͥssionẽ pͥmi quoq eor numeri distent. Nam
intriangulo qui sunt numeri que pͥma suꝑficiei sigura est.
uno sese tantũ numeri p̾cedunt. qui scilicet eoꝵ naturã dis¬
criptionemq ꝑficiut. Intetragono uͦ qui secundus ẽ duob
sese iuncti numeri uincunt. & inpentagono trib e in exago¬
no .iiii. e ineptagono .u. huiusq rei nullus ẽ modus. Hoc aut̃
nos sub iectarũ formarũ discͥptiones docebunt.¬
Descriptio figura¬
toꝵ numerorũ
in ordine. xuii.¬

Expanded text:
ionis regula, descriptionisque. Septem vero angulorum figura est, cum ad eumdem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices, et ut superius dictum est fundamenta. Qui verrum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet eorum naturam descriptionemque perficiunt. In tetragono vero qui secundus est, duobus sese juncti numeri vincunt, et in pentagono 3, et in hexagono 4, et in heptagono 5, hujusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subjectarum formarum descriptiones docebunt.Descriptio figuratorum numerorum in ordine. S
Abbreviated transcription (Latin):
angulo atq disposito si ꝑ tres angulos singulȩ rectȩ luee stantes po¬
nant᷑ he que tres inclinent᷑ ut ad unũ medium punctũ uertices
iungant. sic pyramis. Quȩ cũ a tͥangula basi ꝓfecta sit. trib tͥangłlis
ꝑ latera concludit᷑ hoc modo ͭ ã sc̃ tͥangulũ. Si huic gͥ tͥangulo
ꝑ tres angulos erigant᷑ lineȩ et adimũ punctũ conuertantur qđ
ẽ. d. ita ut . d. punctum ñ sit in plano. sed pendens ille scilicet

Expanded text:
angulo atque disposito, si per tres angulos singulae rectae lineae stantes poangulo atque disposito, si per tres angulos singulae rectae lineae stantes ponantur, haeque tres inclinentur ut ad unum medium punctum vertices jungant, fit pyramis. Quae cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit a, b, c, triangulum, si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae, et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano sed pendens, illae scilicet
Abbreviated transcription (Latin):
si componas. tercio se triangulo iuncent idẽ senario. atq hoc rite no¬
tabitur maliis cunctis sequentibus sese ꝑspectũ. om̃sq se triangulis
ante cedent. Quare ꝑfecte ut arbitror demonstratũ ẽ omĩum formaꝵ
pͥncipium elementũq esse triangulũ. x De numeris solid̃.
inc uͦ adfiguras solidlas facilior uia est. Pre cognitis
enĩ qͥd in plams mimerorr figuris ius ipsa quantita¬
tis naturalit̾ operet᷑. ad solidos nuimeros u̾erit ulla
titucdini siquis addat eã qͣ alias altitudo. alias cinssitudo. alias
ꝓfunditas appellatur. solidum numeri corpus explebit.xxi. De pi¬
ramide q̃d ea sit. Golidariũ figurarũ pͥncipiũ sic̃ t̾angulꝰ planarũ.¬
numerus primus ẽ sic insolidis qui uocat᷑ pyramiˢ
ꝓfuncditatis esse pͥncipiũ. Omĩum quippe ratarum
alias atetragona. alias a pentagona et sc̃m sequentiũ multitudi¬
nes anguloꝵ ad unũ cacuminis uerticem subleuata. Posito enĩ tri¬

Expanded text:
si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est omnium formarum principium elementumque esse triangulum CAPUT XX. De numeris solidis. Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ullatitudini si quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit. CAPUT XXI. De pyramide, quod ea sit solidarum figurarum principium, sicut triangulus planarumnumerus primus est, sic in solidis qui vocatur pyramis profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim tri
Abbreviated transcription (Latin):
figura uł decẽ uł qͦdibet alioꝵ cõpetenti ꝓgressione conficitur. Ut
enĩ inpentagono duobus int̾missis eos tungemuf. qui se quat̾nario
transeant. & erunt quidem eoꝵ radices et fundam̃ta. ex quib iunc¬
& ad eundem ordinẽ consequentes atq abhis sex anguloꝵ.¬
scilicet descͥptos inppriis orcinib ꝑnotabis De eptagonis eoꝵꝙ

Expanded text:
figura, vel 10, vel quotlibet aliorum, competenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono, duobus intermissis eos jungebamus qui se ternartranseant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus juncd eumdem ordinem consequentes, atque ab his sexangulorscilicet descriptos, in propriis ordinibus pernotabis.
Abbreviated transcription (Latin):
DU Solidorum generat io
numerorum. xxiii.¬
iecunt᷑ aut̃ huiusmocli pyramides hoc mͦ. Prima
pyramis de tͥangulo. Sccła pyramis de tetragono.
Tercia pyramis de pentagono. Quarta pyramis
de exagono. Quinta pyramis de eptagono. Idemq
in ceteris constat numeris. Nam qm̃ lineares numeros ẽẽ diximꝰ.
His aut̃ ordinatim compositis & inse inuicẽ cũ disfantia iunctis
suꝑficies nascebant᷑. ut si unũ et duo iungeres pͥmus tangulus
nasceretur idẽ tres e cũ his adiungeremus t̾cium idẽ t̾nariũ
senarius tͥangulus rursus occurreret. E post hos tetragoni u¬
no int̾misso. pentagoni uͦ luob. exagoni trib. eptagoni relictis
quatuor nascebant᷑ Nunc uͭ ad solidoꝵ coper ꝓeretionem ipse¬

Expanded text:
 Solidorum generatio numerorum. Dicuntur autem hujusmodi pyramides hoc modo: Prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de hexagono, quinta pyramis de heptagono. Idem in caeteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus His autem ordinatim compositis, et in se invicem cum distantia junctis, superficies nascebantur, ut si unum et duo jungeres, primus triangulus nasceretur, id est 3, et cum his adjungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos, tetragoni, uno intermisso, pentagoni vero duobus, hexagoni tribus, heptagoni, relictis quatuor. nascebantur. Nunc vero ad solidorum corporum p
Abbreviated transcription (Latin):
gonos positoꝵ unius anguli sit pͥma unitas. alteriꝰ uͦ qui contra ẽ t̾cia
Dini uͦ altͥnsecus anguli secundas habeant unitates. et duo angu¬
larium tetragonoꝵ anguli equũ faciant. quod subipĩs contiuetur
illi quod fit ab uno illoꝵ qui ẽ altͥnsecus anguloꝵ. Multa etiam st̃
alia. quȩ in hac descͥptione utilia possunt ad mirabiliaq ꝑpendi.
que uit̾im ꝓpt̾ castigatam introducendi breuitatẽ ignota ẽẽ ꝑunit¬
timus. nunc uͦ ad sequentia ꝓpositum conuertamus. xxuiii. De ter
gitur post duas pͥmas habitudines. generationiba.¬
multiplices. et suꝑ particulares. et eas quȩ subip̃is sunt submul¬
tiplices. et sub suꝑparticulares: tercia in equalitatis. species in ueni¬
t᷑. que a nobis suꝑius suꝑpartiens dicta ẽ. Hec aut̃ est quȩ fit cũ nu¬
merus ad alium comparatꝰ habet eum totũ infra se. & eiꝰ insuꝑ
aliquas partes. uł duas uł tres. uł quatuor. ł qͦt ip̃a tulerit. com

Expanded text:
gonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus. CAPUT XXVIII. De teIgitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares, et eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit com
Abbreviated transcription (Latin):
si duas mediates habuerit qui illu intra se totũ coeroei: du¬
septimas. ł duas nonas. et ita ꝓgredientib si duas solas partes mi¬
noris numeri suꝑhabuerit. ꝑ easde partes imparib numeris

Expanded text:
si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duseptimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris
Abbreviated transcription (Latin):
nariꝰ qui t̾cius ẽ. locũ suũ duplicet. sex creabit. Bis eiũ tres.
senariũ iungunt. hic gͦ in ordinẽ .ui. relinquat. Quartꝰ qͦ
si locũ suũ duplicet .uiii. succrescent. Iue quoq octo transi¬
liat. atq hoc quidẽ in cęteris ꝑspiciendũ. Modũ aut̃ man¬
sĩonis. sedm ordiuẽ collocatoꝵ ipsa series dabit. Nam pͥmus
primũ quẽ uumerat sed̾m pͥmũ numerat. idẽ seđm se. et
ne mensura constabit. Alios gͦ si respicias. uł qui alios mensi
sunt. uł qua ipsi ab aliis metuuit᷑ inuenies omũim simul
cõmunẽ inensurã ẽeᷤᷤ ñ posse. neq ut om̃s quẽqͣm aliũ simł
num̾ent. Quosda aut̃ ex his abalio posse metiri it̾a ut ab u¬
no tantũ numerent᷑. Alios uͦ ut etiã aplurib. Quosdã autẽ
ut p̾ter unitatẽ eoꝵ nulla m̃sura sit. Qui gͦ nulła m̃suram
p̾ter unitatẽ recipiunt. hos pͥmos e in cõpositos iudicamus.

Expanded text:
narius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 narius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, 8 succrescent: ille quoque 8 transiliat; atque hoc quidem in caeteris perspiciendum. Modum autem mensionis secundum ordinem collocatorum ipsa series dabit. Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se, et ne mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus,
Abbreviated transcription (Latin):
uͦ alios rursus sex in medio quis relinquat. ille qui seqr̃
ꝑ septenariũ numerũ ab eodẽ septerio metiendꝰ ẽ. idẽ ꝑ
t̾eii quantitate atq hic usq in extremũ ratꝰ ordo ꝓgredit᷑.
suscipient ergo metiendi uicissitudinẽ quẽad modũ suit
in ordinẽ. natubalit̾ impares constitiuti. Metient᷑ aut̃ si
ꝑ pares numeros abinario inchoantes. positos inter se
impares rata int̾missione transiliant. ut p̾mus .ii. secundꝰ¬
.iiii. tercius .ui. quartus. octo. quintꝰ .x. ł si locos suos eẽ du¬
plicent. & scđm duplicationẽ t̾minos int̾mittant. ut t̾nariꝰ.
q pͥmus ẽ numerꝰ & unꝰ. Omĩs enĩ pͥmus unꝰ ẽ. bis locũ suũ
multiplicet. fatiatq bis unũ qui cũ duo sint. pͥmus duos me¬
dios transeat. Rursus secundꝰ idẽ quinariꝰ. si locũ suũ dupli¬
cet .iiii. explicabit. Hic quoq uti .iiii. int̾mittat. Iteni si septe¬

Expanded text:
ra percurret. Si vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille qui sequitur, ra percurret. Si vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est, id est per tertii quantitatem. Atque hic usque in extremum ratus ordo progreditur. Suscipient ergo metiendi vicissitudinem, quemadmodum sunt in ordinem naturaliter impares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes, positos inter se impares rata intermissione transiliant, ut primus 2, secundus 4, tertius 6, quartus 8, quintus 10. Vel si locos suos conduplicent, et secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus omnis enim primus, unus est, bis locum suum multiplicet, faciatque bis unum. Qui cum duo sint, primus duos medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, 4 explicabit: hic quoque 4 intermittat. Item si septe
Abbreviated transcription (Latin):
quẽ metiri possit occurrit. Int̾mittant᷑ enĩ .iiii. impares.
riꝰ metit᷑ scđm pͥmi scilicet quantitatẽ id ẽ t̾narii. Quinariꝰ
enĩ .xu. tercio metit᷑. Ac deinceps si quatuor int̾mittat. eũ
qui post illos locatꝰ est secundꝰ idẽ quinariꝰ sui quantita¬
pꝰ eos.xxu. reperio quos quinariꝰ scilicet numerꝰ sua plu¬
ralitate metit᷑. Quinquies enĩ quinario multiplicato .xxu.
suecrescunt. Si uͦ pꝰ hunc quilibet .iiii. int̾mitat eadem
ordinis seruata constantia qui eos sequit᷑ scdm t̾cii idẽ sep¬
tenarii numeri sũmã a quinario met̾it᷑. atq hec ẽ infini¬
ta ꝓcessio. ¶Si uͦ terciꝰ numerꝰ quẽ metiri possit exquirit᷑.
sex in medio relinquent᷑. e quẽ septimũ ordo monstrau̾it.
hic ꝑ pͥmi numeri idẽ t̾narii quantitatẽ mentiendꝰ est.
& post illũ sex aliis int̾positis. quẽ post eos numeri series

Expanded text:
quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, rius metitur, secundum primi scilicet quantitatem, id est ternarii, quinque enim 15, tertio metiuntur. Ac deinceps si quatuor intermittat, eum qui post illos locatus est, secundus, id est quinarius sui quantita eos 25 reperio, quos quinarius scilicet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato, 25 succrescunt. Si vero post hunc quilibet 4 intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, idest septenarii numeri summam, a quinario metietur. Atque haec est infinita processio. Si vero tertius numerus quem metiri possit exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est, ternarii quantitatem metiendus est. Et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numeri series