comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓpinquo sͥ xxxii. cubo collig̃. & unũ
altrinsecꝰ posito octonario. Tres enim
t᷑ bis: xuiii. ꝯcludũt. hoc aũ uniu̾sa¬
lit̾ peculandũ ẽ. si te tͣgonꝰ tetͣgonum
multiplicae. sine dubio tetͣgonꝰ ꝓueñ¬
dinuͦ parte alt̾a longior sitetͣgonum
alt̾a longior. tetͣgonũ multiplicet. uł
tetͣgonꝰ parte alta longior ẽ. nũꝗͣ tet᷑¬
gonus neq parte alt̾a longior crescit.
ursus si cubus cubum multiplicau̾it.
cubi forma conficitur. Siuꝰ parte alt̾a
parẽ. si multiplic& semꝑ parnascit᷑
Et impar imparem.si multiplicet. impar
si par imparẽ multiplico. par semꝑ
exorit᷑. Hoc aũ faciliꝰ ꝯ cognoscit᷑. ex
lectiõẽ platonis in libris de re.p. eo lo¬
co qui nuptiał dr̃. quẽ ex ꝑsona mu¬
sar̃. philosophus introducit.s nunc
ad t̾ciam medietatẽ redeundũ ẽ.¬
rmonica aũ medictas ẽ quȩ neq eiꝰđ

Expanded text:
opinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis 18 concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si tetragonus tetragonum multiplice tetragonum altera longior tetragonum multiplicet, vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, sed semper antelongior crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi forma conficitur. Si vero parte altera parem si multiplicet, semper par nascitur, et impar imparem si multiplicet, impar si par imparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur, quem ex persona Musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum esrmonica med
Abbreviated transcription (Latin):
nimis utile in platonica quadã dipu¬
tatioẽ que intimei cosmopopeia haut fa¬
cili i cuiꝗͣ. ł penetrabili ro̾e u̾sat᷑. Oms
enĩ plane figure quȩ nulla altitudine
crescunt una tantũ medietate geome-¬
trica continuant᷑. Alia quȩ iungat nõ
potẽ inueniri. Iñd tm̃ int̾ualla in hiꝰ¬

Expanded text:
nimis utile in Platonica quadam disputatione, quae in Timaei cosmopeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur, alia quae jungat non potest inveniri; unde duo tantum in hi
Abbreviated transcription (Latin):
q̃ paucis regit᷑. idcͥco q in minoribꝰ eiꝰt᷑¬
minis maior ꝓportio fit. Misicã uͦ me¬
dietatẽ optimatum dict̃ eẽ rẽ pub¬
licã. id̾o q̃ in maioribꝰ t̾minis maior ꝓ¬
portionalitas inuenit᷑. G eometͥtha me-¬
dietas ppłaris quodã mͦ ⁊ exequate qͦdã

Expanded text:
quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus ejus terminis major proportio sit. Musicam vero medietatem optimatum dicunt esse rempublicam, ideo quod in majoribus terminis major proportionalitas invenitur. Geometrica med
Abbreviated transcription (Latin):
ead u̾sabr̾ obseruatio.
alib gͥ uestigiis insistentẽ nullus
ab ead̃ similitudine error abducet.
Namq si duos int̾miitas. t̾narius
ꝓportionis
eadꝰ nonit quãus sĩt equis tͣmini dif¬
ferentiis distributi. Qd si ꝯu̾si ponãt᷑
ut ñ eud̃ diffr̾iis ead̃ equalitas ꝓpor-¬
tionis eueniat geometͥca tał ꝓporcio-¬
nalitas. nõ arithineticha nõatur. Est
t̾minis peculatio sit : ꝯpositis extremi¬
tatibꝰ illa sũma q̃ intͣ extremitate⁊

Expanded text:
eadem versabitur observatio. Talibus igitur vestigiis insistentem, nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius ortionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur. Est terminis speculatio sit, compositis extremitatibus, illa summa quae inter extremitates
Abbreviated transcription (Latin):
ca aũ medietate ccõtͣrio euenire ꝯtĩgit.
nminoribꝰ it. t̾minis. minoreᷤᷤ ꝓportioneᷤᷤ.
nmaiorib maior ꝓportioĩs quantitas
custoditur. E ar̃ uͦ medietatũ .i. arith¬
metice atꝙ armonice geometͥta ꝓpor¬
cionalitas media eẽ notata ẽ. quȩ ł
in maioribꝰ ł in minoribꝰ t̾minis eqͣs
nũoꝵ equalitates in ꝓporcionaliteᷤᷤꝰ¬
todit. Int̾ maiꝰ uͦ ⁊ minꝰ. equalitas
loco ponit᷑ medietatis. Et d aridime
medietate satis dictũ ẽ. Hũc uͦ quȩ hac¬

Expanded text:
contrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in majoribus major proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in majoribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter majus vero et minus, aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica medietate satis dictum est. CAPUT XLIV
Abbreviated transcription (Latin):
duo quatuor fuint. Recte gͥ dictũ
est in hac hmõi diẜositione ꝗ cõtinet᷑
sub extremitatib minꝰ ẽ illo nu̾o qͥ fit
ex medietate tant̃ quant̃ diffr̾e in se
multiplicate
restituunt.
huiꝰ mõi dipositionis notat᷑. ꝗ antiqͥoreᷤ
qͦ. habu̾e notissimũ. ꝗ in hac ꝓporciona¬
litate ł medietate in minorib t̾minis

Expanded text:
. Recte igitur dictum est, in hac hujusmodi dispositione quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. hujusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportional
Abbreviated transcription (Latin):
ł in quotlib& aliis scđm disumctã¬
rũ uidb. tantũ soł ꝓportionibꝰ ꝑmu¬
tatis. Id si in uno quis nou̾it. reliqͣ
eũ rõ nõ latebit. Fit continua medi¬
etas.iii.iii. hic unꝰ a duobꝰ. ⁊ duo a

Expanded text:
olibet aliis secundum disjunctarum videbis, tantum solis proportionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a
Abbreviated transcription (Latin):
tripli tripł. S iue scđ̾m qualib& mul¬
tiplicatiõem. ead indiffr̾iis multiplicis¬
tas erit. quã pͥma cõsid̾atio inuenit
in t̾minis ut sub̾a descriptio monet.
subt̃ t̾minos quoꝵ sũt ipse diffr̾ȩ su-¬
binariꝰ ad unitatẽ ipsa unitate differt.
t qͣt̾nariꝰ a binario ipso binario. Rocto
alii ipsis minoribꝰ ab eisd̃ ipsis differ̃
quos nu̾ositate p̃t̾eunt. Q ħ ꝗđ indu-¬
nario differ̃. In quẽ unitas .i. mi
nor t̾minꝰ duplicatꝰ exundat.⁊ uiiii.
a tͥbꝰ senario differ̃. quẽ t̾nariꝰ dupli¬
catꝰ educ̃.⁊ in aliiscunctis eiꝰ mõi rõ
repꝑtt᷑. Sin uͦ quad ruplices sit̃ tͥpli¬
cato minore t̾mino. maior t̾minꝰ a
minore distab̾. R si quincupla: qͣdru¬
plicato Et si sescupla. qͥncuplato.
Ut una minꝰ multiplicatioẽ quã ẽ ipsa

Expanded text:
tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subjecta descriptio monet. subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, supbinarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octalii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate praetereunt. Et nario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis ejusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, major terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est ip
Abbreviated transcription (Latin):
⁊ UIII. a̾ duodenariũ sesqualt̃ qui ad sena¬
rium num̃um tͥplus ẽ. Ꝙ si positis eisdẽ¬
ser ⁊.x Iuiii. nouenari in medietate po¬
natur. erit ad senariũ sesqualt̾. qͥ ad xuiii.
subduplus ẽ.⁊ ad senariũ. xuiii. tͥplus est.

Expanded text:
 octo, ad duodenarium sesquialter, qui ad senarium numerum triplus est. Et positis eisdem, 6 et 18, novenarius in medietate ponatur, erit ad senarium sesquialter, qui ad 18. Subduplus est, et ad senarium 18 triplus est.
Abbreviated transcription (Latin):
oRu q aũt eoꝵꝙ qui sequunt᷑ exẽpla
integre plane ꝙ posfumus ꝑ notare: si ĩ
pͥorem descriptionẽ quã fecimꝰ cũ de
supparticulari ⁊ multiplici loquere¬
mur. uͥ ab uno usq in dnariam mł¬
tiplicationẽ sũma concreuit. dili¬
gentiꝰ uelimꝰ acum̃ intenđe. Ad pͥ¬
mũ enĩ u̾sum om̃s qui sequuntur
collati. ordinatas conuenientesꝙ
młtiplicis sp̃es reddunt. S in uͦ ad
scđm cunctos qͥ t̾cii sũt ordinis apta¬
u̾is. ordinatas species suꝑparticła¬
ris agnosces. Quod si t̾tio ordini qͥcũq
sũt in quinto u̾su compares. supparcien¬
tis num̾i sp̃es pofitas conuenient᷑ afici¬
es. Multiplea uͦ quid suꝑparticularis
in septimo uł qui sũt in nono. atq ita
si infinita ꝓg̾ssio fiat. sit ista descrip¬
tio. in infinitum huiꝰ ꝓportionis spẽs ꝓ
creabunt᷑. Manifestum aũt hoc etiã
ẽ. quod hors comites semꝑ cum sub
p̃positione dicentur. ut sub duplex sub¬
sesqualt̃ subduplea subsesqͥquitus

Expanded text:
orumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius,
Abbreviated transcription (Latin):
dhunc modũ ininfinitũ ꝓg̾ssio ẽ. O m̃sq
ordine trianguli equilat̾i ꝓcreabunt᷑. &
pͥmum omium ponenti quod ex unitate
nascitur. ut hec ui sua tͥangulus sit. ñ
cunt᷑ nũis inuenit᷑. necẽẽ ẽi ut ipsa na¬
turali quadã potestate cõtineat.⁊ huiꝰ
triangłi latꝰ ẽ unitas. Ternariꝰ uͦ qui
pͥmꝰ ẽ oꝑe ⁊ actu ipsc tͥangulꝰ crescente
⁊ quinti senariꝰ. idẽq usq in infinitũ.

Expanded text:
hunc modum infinita progressio est, omnesque ordine trianguli aequilateri procreabuntur, et primum omnium ponent, id quod ex unitate nascitur, ut haec vi sua triangulus sit, noncuntur numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat, et hujus trianguli latus est unitas. Ternarius vero qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente  quinti senarius. Idemque usque in infinitum.
Abbreviated transcription (Latin):
cõg̾getur. Disponatur enim naturał num̾us
habeo pͥmum triangulum qui est ui ⁊ potes¬
tate. non dum oẽ actu nec ope. Huic si scd̃m
aggregau̾o qui innat᷑ali num̃oꝵ dis¬
positioẽ descriptus ẽ idẽ binarium.

Expanded text:
numerus habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum aggregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium,
Abbreviated transcription (Latin):
scđs scił tͥangulus. Huic uͦ si cõsoquẽ¬
tẽ quat̾nanũ suꝑposuero: denarius
explicat᷑. qͥ ẽ t̾cius actu triangulus.
Quos ꝑ lat̾a diẜonens ad suꝑioris descͥp¬
tionis exemplar cunctos tͥangłos nu̾o
sine ulliꝰ dubitationis eiroribꝰ ꝑ notab.

Expanded text:
scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis
Abbreviated transcription (Latin):
ut senarius t̾narium. Quartus qͣrtũ
ti sequentiam sese minoris pluralita¬
te p̃t̾eant. Si uͦ t̾cuis angulus api¬
ciatur. qui ab nouem in choans lon¬
gitudinẽ latitudinẽꝙ tricenis altͥnse¬
cus num̾is ostendit. Et hic cũ pͥma
latitudine ⁊ longitudine comparetur.
triplex spẽs multiplicitatis occuirit.
onem. Primus enim primum duob¬

Expanded text:
ut senarius ternarium, quartus quartumut senarius ternarium, quartus quartumti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, nem; primus enim primum duob
Abbreviated transcription (Latin):
quẽtiã multiplici̾tatẽ in equalitatis
sp̃em cunctis p̃posuimꝰ : primamq
spẽm eẽ monstrauimꝰ. lic& hoc nb poste¬
rioris ordinis ordine clarescat. Sic qͦ
ꝑstringentes id qđ ꝓposuimꝰ planissi¬
me breuit̾q doceamꝰ Sit enĩ talis des¬
criptio inqua ponat᷑ in ordinẽ usq
ad dnariũ num̾um continui num̾i ordo
ad decuplum. sic enĩ cognoscemꝰ quẽ ad¬
modũ supparticulari ⁊ suꝑparcienti.⁊
cunctis aliis pͥnceps erit spẽs multipli¬
cis. ⁊ quedã alia simł inficiemꝰ. ⁊ ad sub¬
tilitatẽ tenuissima.⁊ ad scientiã utiliᷤᷤ¬
sima.lad exercitationẽ iocundissima.
SixUR si duo pͥma lat᷑a ꝓposite formu¬
lȩ quȩ faciunt angulum ab uno ad & ⁊
gulum incipientes. in uigenos tͣminũ
ponũt. duplex idẽ pͥma spẽs multipli¬
citatis ostenditur. itã ut pͥmus pͥmũ
sola suꝑet unitate. ut duo unum. Se¬
cundꝰ scđm binario suꝑuadat. ut qͣter¬
narius binarium. tcius t̾eium. tribuꝰ

Expanded text:
iplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilisima, et ad exercitationem valde jucundissima. itur duo prima latera praepositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad decegulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus,
Abbreviated transcription (Latin):
fuerit uentum in dipositionibꝰ scilic&
paribus. Si aut̃ fu̾int impares dipositi¬
ones. qđ ab una medietate conficitur.
hoc id̾ sub altrinsecus positis partibus
ꝓcreatur. atq hoc usꝙ dum ad extre¬
mitates ꝓgressio fiat. In ea enim dis-
2
mͦ.xxxxii.fient. Quod si impar sit
tremi qd̃ medietas. H is enĩ uiii. sũt
a quat̾nario in seducto ꝑficit᷑. In numo
uͦ parit̾ impari. si fu̾it unus in medio
atq hoc usq ad extremos om̃ium tͣmi¬
nariꝰ cũ dnario xii. explet. cuiꝰ sena¬
rius medietas inuenit᷑. Si uͦ fu̾int
due medietates iuncte. ipsȩ utreq
equales er̃. suꝑ se t̃minis constitutis.
Quos senariꝰ cũ dnario copulatꝰ efficiat.
atq hoc innumosioribꝰ t̃minis inicio
sumpto a mediis euenit usq dũ adex-¬
trema ueniat᷑.¬

Expanded text:
fuerit ventum, in dispositionibus scilicet fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispo2 modo 32 fient. Quod si impar sit tremi quod medietas. Bis enim 8 sunt a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter impari, si fuerit unus in medio Atque hoc usque ad extremos omnium terminarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsuper se terminis constitutis. quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniat
Abbreviated transcription (Latin):
differentiam facit. Hii namq om̃s
quatͣnaria sese num̾ositate transcen¬
dunt. qđ idcirco contingit qm̃ primi
qui positi sunt idẽ eoꝵ fundam̃ta bi¬
nario se num̾o p̃cedebãt. Quos qm̃ ꝑ
binarium multiplicauimus. in quat᷑¬
narium numum creuit illa ꝓgressio.
iiͦ. enim ꝑ binarium multiplicati. qua¬
ralis num̃i difositione. parit̾ impares
numi quinto loco a se distant. soł .iiii.
se p̃cedunt : iii. in medio transeuntes.
ꝑ binarium num̾um multiplicatis impa¬
ribus ꝓcreati.C ontrariȩ uͦ eẽ dicuntur
heȩ fpecies num̾oꝵ idẽ parit̾ par.⁊ pa¬
rit᷑ impar. quod innum̾o parit̾ impari
sola diuisionẽ recipit maioꝵ ex tremi¬
tas. In illo uͦ solus minor tͣminus. sec¬
tione solutus ẽ. & qđ in forma parit᷑
paris num̃i ab extremitatibꝰ incipien¬
ti. ⁊ usq ad media ꝓgredienti qđ conti¬
nentur sub extremis t̾minis. iđdẽ illi
qđ continetur sub intͣ se positis sũmuliᷤ.
Atq hoc id̃ usq dum ad duas medietateᷤ

Expanded text:
differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt. Quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, hoc est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio. Duo enim per bis multiplicati quaralis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in medio transeuntes, per binarium numerum multiplicatis imparibus, procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par, et pariter impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates
Abbreviated transcription (Latin):
parẽ denominatio sex: cui plurali¬
tas par est. Rursus si conu̾tas serta
pars quȩ par ẽ denominatio tres s̃
s t̾narius impar ẽ: ⁊ nona pars qđ
impar ẽ uocabulum .iͦi.s qui parnu-¬
m̾us ẽ. Atꝙ id in aliis cunctis qui s̃

Expanded text:
par est denominatio sex, cui par pluralipar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres sunt, sed ternarius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque idem in ali
Abbreviated transcription (Latin):
aRIxeR aũt impar numus est. qui et
ipse quid̃ paritatis est naturam substan¬
ciamꝙ sortitus. s in contraria diuisio¬
ne naturȩ num̾i parit̾ paris opponitur.
docebitur namq quam longe hic diffi¬
mili ratione diuidat᷑. Nam qm̃ par ẽ
in partes equas recipit sectionẽ. Par.¬
tes uͦ eius mar indiuisibiles atq in¬
secabiles ꝑmanebunt. ut suntꝰ .xiiii.
xuiii. xxii.⁊ his similes. Mox enim si¬
hos num̾os in geminã fueris diuisioẽ
partitus. in cuires imparẽ quem sec¬
care nori possis. Accidit aũt his qđ
om̃s partes contrarie dnominatas. h¬
abent quam sunt quantitates ipsar̃
parcium quȩ denominantur. Neq
umꝗͣ fieri potest. ut quȩ lib& pars
huiꝰ num̾i. eiusd generiᷤᷤ denomina¬
tionẽ quantitatẽq suscipiat. S ẽꝑ
enim si d̾nominatio fu̾it par: quan¬
titas partis erit impar. si fuerit d̾no¬
minatio impar. quantitas erit par.
quod paritatis nomen est nouem. quȩ
impar ẽ quantitas. t ercia uͦ que im¬

Expanded text:
ariter autem impar numerus est qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt 6, 4, 18, 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis erit impar, et si fuerit denominatio impar, quantitas erit par, quod paritatis nomen est 9, quae impar est quantitas. Tertia vero quae im
Abbreviated transcription (Latin):
gen̾is nom̃ ⁊ num̾us. Frc aut̃ hoꝵ
ꝓcreatio num̾or. si ab uno diponã¬
tur quicumq duobꝰ differunt. idẽ
om̃ibꝰ impriribꝰ. naturali sequentia
atq ordine constitutis. Nam hii si
ꝑ binacium num̾um multiplicent᷑.
om̃s parit᷑ impares rite pluralita
impares sunt. Quos nullus in medio
par num̾us distinguit. Hos si ꝑ binari¬
um numum multiplices: efficies hoc
mͦ. Bis unum idẽ duo. qui diuidunt᷑
quid̃ s eius partes in diuisibiles repꝑiũ¬
tur. ꝓpt̾ insecabilem unitatis naturã.

Expanded text:
generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter impares, rite pluralitas impares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit: hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam.
Abbreviated transcription (Latin):
UIII.Xcii. Quos si diuidas unam recipi¬
unt sectionẽ: cet̾am repudiantes. q đ
scđa diuisio ab imparis medietate re
cluditur partis. H is aũt num̾is a se
inuicẽ quat̾narii sola distantia ẽst.

Expanded text:
18, 22. Quos si dividas, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantia est.
Abbreviated transcription (Latin):
t̃ primum quid sit num̾us: diffinien¬
dum ẽ. Num̾us ẽ unitatum collectio.
uł quantitatis aceruus ex unitatibus
ꝓfusus. Huius gͥ prima diuisio ẽ: inĩ¬
parem atꝙ parem.⁊ par quidem ẽ qui
potest mequalia duo diuidi. uno me¬
dio nõ intenacente. Impar uͦ quẽ nul¬
lias in equalia diuidit. quin in medio
p̃dictus unus int̃tidat. Chec quidem
huiꝰmodi definicio uulgaris ẽ ⁊ nota.

Expanded text:
t primum quid sit numerus diffiniendum est. Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Hujus igitur prima divisio est in imparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercidente. Impar vero quem nullus in aequalia dividit, quin in medio praedictus unus intercidat. Et haec quidem hujusmodi diffinitio vulgaris est et nota.
Abbreviated transcription (Latin):
tres sunt E st enim una quȩ dicit᷑
parit̾ par. alia uͦ parit̾ impar. t̾ciaim¬
parit᷑ par.⁊ contͣria quid locumq obti¬
nentia summitatum. uidentur ẽẽ pa¬
rit̾ par. ⁊ parit̾ impar. M edietas aũ
quedam quȩ utroꝵꝙ participat.
numius qui uocatur imparit᷑ par.
a Ri te rđ num̾o parit᷑ pa

Expanded text:
enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus qui vocatur impariter par. IX. De numero pariter pa
Abbreviated transcription (Latin):
latitudinẽ longitudini ger̃ ꝓpͥe lon-¬
gitudinis ł eiꝰd latitudinis aptissime
uocabunt᷑. ut bis duo. tͣ tres. quat᷑¬
IIII. ⁊ cet̾is. P arte alt̾a uͦ longiores.
qui ñ ead longitudine tenduntur.

Expanded text:
latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem lon
Abbreviated transcription (Latin):
poralitate beat᷑. aut mutabił uari¬
abilisq nat᷑e. qd corꝑibꝰ indubitant᷑
uidemus accid̾e. U nđ nc̃ nb mõstnͣ¬
admodũ mundꝰ ex mutabili cõstat¬
ĩmutabiliq suba. Sic om̃is nu̾s ex
tetͣgonis ex ĩmutabilitate ꝑficiunt᷑.
⁊ ex parte alt̾a longioribꝰ qui muta¬

Expanded text:
poralitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstraadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui m
Abbreviated transcription (Latin):
longitudinẽ. latitudinẽꝙ eꝗs minor
solide. s hoc mͦ ut ex eqͣlibꝰ equalit̾ ducã.¬
tur in maiꝰ. Nã si equa fu̾it latitudolõ¬
gitudini. ⁊ maior sit altitudo: ille fige¬
a nb̃ asseres. agͥcis decades nominãtur.
ut si qͥs ħ mͦ faciat iii. quat᷑ nouies qͥ
iñ ꝓcreant᷑. asseres nõati sunt.
Genici ꝙͦ quos cuneolos suꝑiꝰ appellauimꝰ.
hii s̃ qui ex in equalibꝰ in equalit̾ ducti.
xX

Expanded text:
longitudinem, latitudinemque aequis, minor solidae, sed hoc modo ut ex aequalibus aequaliter ducantur in majus. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini, nominantur, ut si quis hoc modo faciat 4 quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt qui, ex inaequalibus inaequaliter ducti, ex
Abbreviated transcription (Latin):
g̾ssis : in eosđ desinit .u. ⁊ hos rursum
quinqͥes educas in eosdẽ.u. eto t̾minꝰ
tsi hos rursus quinqͥes educas in eũđ¬
quinariũ nũm extremitas tͣminabi¬
tur.Atq hoc usq infinit᷑ idẽ semꝑ e
ueniet. qͥ in senario qͦ ꝯuenit cõsida¬
qui ꝑa ł circulꝰ in ꝓprii sẽꝑ pͥncipii re¬
u̾sioẽ formant᷑. Est enĩ circulꝰ posito
qͦdã pũcto ⁊ alio eminꝰ defixo. illiꝰ pũc¬
ti qͥ eminꝰ fiaꝰ ẽ. equalit᷑ distãs a pͥmo
pũncto circũ ducti.⁊ ad eund̃ loc̃ reu̾sio
eund locũ reu̾sio. uñ pͥus ceꝑat feiri.
minatur. Si enĩ faciat semel unum
dinẽ reddit.⁊ fit cͥculus. Si scda: moa
ẜa cõficitur. Fit enĩ scđa multiplica¬
simus.

Expanded text:
rogressus, in eosdem 5 desinit. Et si hos rursum quinquies ducas, in eosdem 5 eorum terminus si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerarculus, in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. minatur. Si enim faciat semel unum,dinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicasimus:
Abbreviated transcription (Latin):
quidem num̾i hoc mͦ uocant᷑. Minores
uͦ qui habentiur toti. ⁊ eoꝵs aliqua par
unus subsea qualt᷑ Alt̾ subsesquit᷑rius.
alius subsesquiquartus. Alius subses qui¬
quintus.Atq idẽ scđm maiorẽ nor¬
mam multitudinemq ꝓtendit᷑. Lo¬
co aũt maiores num̾os duces. mino.¬
res comites. Suꝑparticulariũ quoꝙ
infinita ẽ multitudo ob eam rem q̾
eusđ species in t̾minabili ꝓgressioẽ
fungunt. Namq sesqualt̾ habebit
quid̃ duces om̃s post tͣnariũ num̾¬
um. natalit᷑ triplices. Comites uͦ
scribantur enĩ longissimi u̾sus tͥplici¬
um naturalis nium atq duplicium
gi sit hoc modo.¬

Expanded text:
oc modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesquialter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, scribantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo
Abbreviated transcription (Latin):
cundꝰ scđm binario suꝑuadat. ut qͣter¬
narius binarium. tcius t̾eium. tribuꝰ
ut senarius t̾narium. Quartus qͣrtũ
ti sequentiam sese minoris pluralita¬
te p̃t̾eant. Si uͦ t̾cuis angulus api¬
ciatur. qui ab nouem in choans lon¬
gitudinẽ latitudinẽꝙ tricenis altͥnse¬
cus num̾is ostendit. Et hic cũ pͥma
latitudine ⁊ longitudine comparetur.
triplex spẽs multiplicitatis occuirit.
onem. Primus enim primum duob¬

Expanded text:
cundus secundum binario supervadat, ut quatercundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartumti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, nem; primus enim primum duob
Abbreviated transcription (Latin):
quẽtiã multiplici̾tatẽ in equalitatis
sp̃em cunctis p̃posuimꝰ : primamq
spẽm eẽ monstrauimꝰ. lic& hoc nb poste¬
rioris ordinis ordine clarescat. Sic qͦ
ꝑstringentes id qđ ꝓposuimꝰ planissi¬
me breuit̾q doceamꝰ Sit enĩ talis des¬
criptio inqua ponat᷑ in ordinẽ usq
ad dnariũ num̾um continui num̾i ordo
naturalis. ⁊ scđo u̾su duplex ordo terat᷑.
t̃cio tͥplus. quarto qͣdruplus. ⁊ ita usꝙ
ad decuplum. sic enĩ cognoscemꝰ quẽ ad¬
modũ supparticulari ⁊ suꝑparcienti.⁊
cunctis aliis pͥnceps erit spẽs multipli¬
cis. ⁊ quedã alia simł inficiemꝰ. ⁊ ad sub¬
tilitatẽ tenuissima.⁊ ad scientiã utiliᷤᷤ¬
sima.lad exercitationẽ iocundissima.
SixUR si duo pͥma lat᷑a ꝓposite formu¬
lȩ quȩ faciunt angulum ab uno ad & ⁊
gulum incipientes. in uigenos tͣminũ
ponũt. duplex idẽ pͥma spẽs multipli¬
citatis ostenditur. itã ut pͥmus pͥmũ
sola suꝑet unitate. ut duo unum. Se¬

Expanded text:
iplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilisima, et ad exercitationem valde jucundissima. itur duo prima latera praepositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad decegulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, se
Abbreviated transcription (Latin):
U ides ne ut duplici ꝓportione sequens ordo
teratur. fao rursus idẽ de duplicibꝰ ut sit
pͥmus pͥmo.
URSus si de triplicibus idẽ
feceris continuus quadratũs
ꝓcreabitur. sit enĩ pͥmus pͥmo
t in cet̾is quidẽ ad hanc formam tͥbꝰ
his p̃cepus utemur. Si uͦ qͥ exeqͥlibus.
uerso ordine sint. sesqualt ex du¬
plici ꝓcreatur. Sesquitͣciꝰ ex tplici.
Ses qui quartꝰ ex quadruplo. S unt
enĩ.iii.duplices t̾mini qui e&x equa¬
libus creati sũt.⁊ qui ultimus est
primus ponatur hoc modo.¬
Et constituatur primo in hoc ordine
ses qualta quantitas ex t̃mino du¬
plicitatis exoritur. uideamus nunc
ad eundem modũ ex tͥplici qui nas¬
catur. Diponantur enĩ triplices
supiores¬
ouerso
scilic& ordine
sicut dupleahic
ẽ quoq ordo dis

Expanded text:
ptio: Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur. Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aec forma: Rursus, si de triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo Et in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus verso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hujusmodiEt constituatur primo in hoc ordine, sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superioresnverso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo di
Abbreviated transcription (Latin):
quantos ultͣ libet pon̾e. quod enim in
unis tͣminis euenit: idem contingit in
his duplices prius. de hinc triplos. demñ
quadruplos. ⁊ ad eundẽ ordinem conse¬
quentes. Rursus multiplices si cõuer¬
tantur. ex his supparticulare orient᷑.¬
Et ex duplicibꝰ quidẽ sesqualt̾i: ex triplis
sesquit᷑cii. ex quad ruplis sesquiquarti.
icet̾is in hunc modum. Ex suꝑparti¬
cularibꝰ uͦ conu̾sis suꝑparcientes nasci
necesse ẽ ita utt ex sesqualt̾o nascatur
suꝑ biparciens. Suꝑ triparcientem
sesquit̾eius gignat. Si ex sesquiquarto
suꝑ quadriparciens ꝓcreetur. Recꝰtis aũ
positis neq cõu̾sis pͥoribꝰ suꝑparticłan-¬
bus multiplices suꝑ particłares ertu̾t
Rectis uͦ suꝑparcientibꝰ multiplices suꝑ¬
parcientes efficientur. P recepta aut
tria hȩc sũt. Et pͥmum num̾um pͥmo

Expanded text:
quantos ultra libet ponere. Quod enim in his tribus terminis evenit, idem contingit in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur. Ex duplicibus quidem sesquialteri. Ex triplicibus sesquitertii. Ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficientur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo
Abbreviated transcription (Latin):
xx uiii. t̾tius pͥmo̾ duobꝰ scđis ⁊ tͣcio.
idẽ la uiiii. om̃is gͦ summa diẜosita
suꝑ tͥparcienfes efficiat
IURSUS si sesquiqͣrtũ
eodem mͦ u̾teris super¬
quadriparciens. statim i¬
quantitas ꝓcreabit᷑. ut
est ea forma quã suꝑ¬
positam uides.
Esta ⁊ quemadmodum exsuꝑpar¬
ticularibꝰ ⁊ suꝑparcientibꝰ multiplice
st̃ particłãres ł mltiplices
suꝑꝑarcientes. nascantur ostendere.
quorum binarias tantum faciam descͥp¬
tiones. N amꝙ si rectum ⁊ non conu̾¬
sum sesqualt̾um ponimus. duplex su-¬
ꝑparticularis excrescit. Fit enim ħ
modo.
ONA TURU
scđm suꝑiorẽ modum pͥmo primuᷤᷤ.¬

Expanded text:
tius primo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet. Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides. estat quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatur secundum superiorem modum primo, primus a
Abbreviated transcription (Latin):
URSUS scda spẽs suꝑparticłaris⁊
num̾i idẽ sesquit̾cius ꝓcreatus ẽ. Ꝙ.
si idẽ de quadruplo quis fac̾e uelit.
sesquiquartꝰ continuo nascetur. ut
monstrabitur subita descriptio.
es i quis idem
de cunctis in infi¬
nitum partibus
multiplicitatis
faciat. conuenient᷑ ordinẽ supparti-¬
cularitatis inueniet. Quod si conu̾¬
sos suꝑparticulares aliquis scđm
hec p̾cepta cõuertat. continuo uiđ¬
at suꝑparcientes adcresc̾e. At ex
sesqualto quidẽ suꝑ biparciens: &
⁊ eerioris gͥ descriptiõi¬
primo primus equus numus ascribat᷑

Expanded text:
Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subjecta descriptio: Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, exSuperioris igitur descriptioniprimo primu
Abbreviated transcription (Latin):
cũ in tͣminis equalibꝰ feceris. ex qui
nascent᷑ duplices erũt. de quibꝰ duplicib
si idem fec̾is triplices ꝓcreant᷑. ⁊ de hs qua¬
druplices atq ĩ minfinitum om̃s for¬
mas num̃i multiplicis explicabis. Ia¬

Expanded text:
um in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabis. I
Abbreviated transcription (Latin):
narium. relinquuntur xxiiii.⁊ pͥ¬
idẽ xx .iiii. ut sint hii duo tͣmini¬
⁊ duos sedõs quĩ sũt reliqui.idẽ bi xxiiii.¬
t relinquuntur laca ii. His diẜositis
tͣminis. ex quad rupla ꝓpinquior equa¬
litati. ꝓportio tripla redacta ẽ. sunt
x his aũt ipsis

Expanded text:
narium, relinquuntur 24, et prinarium, relinquuntur 24, et priid est 24, ut sint hi duo terminit duos secundos qui sunt reliqui, id est bis 24, et relinquuntur 72. His dispositis terminis, ex quadruplis propinquior aequitati proportio, tripla redacta est. Sunt Ex his autem ipsis
Abbreviated transcription (Latin):
positis enĩ tͥbꝰ ut dictum ẽ tͣminis. eqͥs
ꝓportionibꝰ ordinatis : ultimum semꝑ
medio detrahamꝰ. ⁊ ipsum quid̃ ultim̃
pͥmum tͣminum collocemirs . Iqđ de me¬
dio relinquitur faciamꝰ scđm. De tͣcia
de medietate relicti sunt. ⁊ id quod ex
tͣcia sũma relinquit᷑ t̾cium tͣminum
collocemus. U idebis gͥ hoc facto. in
minorem modum sũmas reu̾ti.⁊ ad
pͥncipaliorem habitudinẽ comꝑatio¬
nes ꝓportionesq reduci. ut si sit
quadrupla ꝓporcio pͥmo ad triplam
ind̾ ad duplam. inde ad equalitatem
usq remeare. Et si sit suꝑparticula¬
ris. sesquiquartus. pͥmo ad sesquit̾tiũ
inđ ad sesqualt̾um. postremo ad iii.
equales t̾minos redire. Hoc aũ nos
exempli gr̃a in multiplici tantũ pro¬
portione docebimus. Sollert̃ uͦ ĩ
aliis quoq inequalitatis spẽbus id ex¬
ꝑientem eadẽ ratio p̃ceptoꝵ iuiua¬
bit. constituant᷑ i. tres a se t̃mini
quadrupli.

Expanded text:
positis enim tribus ut dictum est terminis, aequis positis enim tribus ut dictum est terminis, aequis proportionibus ordinatis, ultimum semper medio detrahamus, et ipsum quidem ultimum, primum terminum collocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto, in minorem modum summas reverti, et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare. Et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesquialterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus. Solertem vero, in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experientem, eadem ratio praeceptorum juvabit. Constituantur enim tres ad se termini quadrupli.
Abbreviated transcription (Latin):
quȩ rerum elem̃ta sũt exc isdẽ pͥn¬
cipalit᷑ om̃a componunt᷑.⁊ in eadem
rursus resolutione facta soluuntur.
ut qr articłaris uocis elem̃ta s̃ litt̾ȩ.
ab eis ẽ sillabarũ ꝓgressa conunctio.
⁊ in easdẽ rursus t̾̃minatur extremaᷤ.
eandẽq uim obtin& sonus in musiciᷤ.
ignoramus effic̾e.Namꝙ ut ait lu¬
nunt᷑ ⁊ igni. S in hȩc rursus eius
quatuor elem̃ta. fit postrema reso
rursus imꝑatione colligitur. eaꝙ est
resoluendi ars. datis quibus libet tͥbꝰ
t᷑minis in equalibꝰ quid̃. s ꝓporcionalit᷑
constitutis. idẽ ut eand m̃diꝰ ad pͥmũ
uim ꝓportionis obtineat. quã qui ẽ
extremus ad medium. in qualib& ine¬
qualitatis ratione Siumultiplicibuᷤᷤ
uł insuꝑparticularibꝰ uł insupparciẽ¬
tibus. uł in his quȩ ex his ꝓcreantur
id ÷ multiplicibꝰ suꝑparticłaribꝰ uł multi¬
plicibꝰ suꝑparcientibus eadem atq u
na ratione indubitata constabit. Pro¬

Expanded text:
quae rerum elementa sunt, ex eisdem prinquae rerum elementa sunt, ex eisdem principaliter omnia componuntur, et in eadem rursus resolutione facta resolvuntur. Ut quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllabarum progressa conjunctio, et in easdem rursus terminatur extremas, eamdemque vim obtinet sonus in musicis. ignoramus efficere. Namque ut nuntur et igni; sed in haec rursus ejus 4 elementa fit postrema resolrursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars. Datis quibuslibet tribus terminis, inaequalibus quidem, sed proportionaliter constitutis, id est, ut eamdem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus ad medium in qualibet inaequalitatis ratione, vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in iis quae ex his procreantur, hoc est multiplicibus superparticularibus, vel multiplicibus superpartientibus, eadem atque una ratione indubitata constabit. Pro
Abbreviated transcription (Latin):
tcium nõ conu̾sum ponamus duplex
sesquit̃cius inuenitur. ut subtta deᷤ¬
criptio docet
parcientes animum conu̾tamꝰ. eoqͦ
ordinatim scđm suꝑiora p̾cepta dis¬
ponamus. multiplices suꝑparcienteᷤᷤ
ordinatim ꝓgenitos repꝑiemus: dis.¬
ponatur enĩ suꝑparcientis h formula.
CRIBATUR
ides ne gͣ ut ex suꝑbiparciente du¬
plus suꝑbi parciens exortus sit. at uͦ
si suꝑtriparcientẽ ponã. duplea sine
dubio triparciens inuenitur. ut in
subtta descriptione ꝑspicuum ẽ.
ic gͦ desuꝑparticularibus uł desuꝑ¬
parcientibꝰ multiplices supparticła¬
res uł multiplices supparciente ori¬
untur. Quare constat om̃ium ine¬
qualium equalitatẽ esse pͥncipium.
Exc eadẽ enim inequalia cuncta nas¬
cuntur.⁊ de his quidẽ actenus disse¬
rendum eẽ credimus. ne uel infini¬
ta sectemur: uł circa res obscurisi¬
simas ingredientium animos deti¬
nentes. ab utilioribus moremur.
sui gen̾is eq̃ualitate ꝓcesserit. S ed

Expanded text:
sum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subjecta descriptio docet. partientes animum convertamus, eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula: Ascribatur Videsne ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit. At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens invenitur, ut in subjecta descriptione perspicuum est: Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur. sui generis aequalitate processerit. Sed
Abbreviated transcription (Latin):
UXER particularis uͦ ẽ num̾us ad altũ
comparatus. quociens hab& in se to
si minoris hab̾at medietatẽ. uocat᷑
sesquat᷑ Si uͦ t̾ciam partem uocatur
sesquit̾tius. si uͦ quartã ses qui quartꝰ.

Expanded text:
uperparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, voca
Abbreviated transcription (Latin):
Res t az aũt nb ꝓfundissimã quãdam̃
Atrade disciplinam. quȩ ad omem nat᷑e
itin rerumq integritatẽ maxima ra¬
tione ꝑtineat. Magnus quippe in hac sen¬
tentia fructus ẽ : si quis non nesciat qͥ
bonitas definita ẽ.⁊ sub scientiã cadẽ
animoq semꝑ ĩmitabilis ⁊ ꝑceptibilis
pͥma natura ẽ.⁊ suę substantie decore
ꝑpetua. Infinit̾ uͦ maliciȩ dedecus est¬
⁊ nullis ꝓpriis pͥncipiisnirum. s nat᷑ae
semꝑ eirans ab om̃i diffinitione pͥnci¬
pii tamꝗͣ aliquo signo optimȩ figure
imp̃ssa componit᷑. & ea illo eiroris fluc¬
tu continetur. Nam numiã cupidita¬
tem ireq in modicã effrenationẽ qͣsi qͥ¬
dam rector animus pura intelligẽtia
roboratus astringit. ⁊ has quodã modo
inequalitatis. formas temꝑata bonita¬
te constituit. Hoc aut̃ erit ꝑpicuũ
si intelligamus om̃s in equalitatis sp̃ẽ :
ab eq̃lianis crelusse pͥmordus ũ ixsa qͦdã m eqlitas. natł ⁊ igicis obtin¬

Expanded text:
tat autem nobis profundissimam quamdam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua. Infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii, tanquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab
Abbreviated transcription (Latin):
sid̾are desid̾at.: idẽ sesquit̾ciã quali
ratione repꝑiat. Ec definicio quidẽ
huiꝰ cõꝑationis talis ẽ. S es qͥtͣcius ẽ qͥ
minori comꝑatus habet eum semel
⁊ eiꝰ t̾riam partem. s hii inueniunt᷑
si om̃ibꝰ a quat̾nario num̾o cõtinuatĩ
quadruplis cõstitutis a t̾nario numo
triplices comparent᷑. Erũt ꝙ duce
quadrupli. comites tripli. Sit enu
in ordine hoc mͦ num̾us nat᷑alis. ut
sub eo quadrupli. ⁊ sub eo tripli sub
ponant᷑. sub pͥmo quadruplo: P rimꝰ
triplus. Subscdo scd̾s. sub t̾cio tͣcius.
Reodẽ mͦ cũcti eiꝰd pͥmi u̾sus tripli inor¬
Sit᷑ primum
primo. si cõꝑes
sesquit̃cii ratio
continebitur
Nam si .iiii. tribꝰ compares: habbũt
es. Habebit enĩ octonariꝰ senarium

Expanded text:
i ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus, habet eum semel et ejus tertiam partem; sed hi inveniuntur si, omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis, a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in orr primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebuntes: habebit enim octonarius senarium
Abbreviated transcription (Latin):
mites sũt. duces .iiii. rursus ui. co¬
mites.uiii. duces.⁊ in eodẽ ordine ce¬
t̾i simili mͦ uocant᷑. Duces sesquit᷑¬
cii. comites subsesquit̃tii.⁊ in eũc¬
tis scđm hunc modum posita cõue
ad cognationẽ suꝑ particularib accidente.
oc aũt admirabile
ꝓfundissimumꝙ in istoꝵ ordinibus
inuenitur. qđ pͥmus dux pͥmusq co-¬
mes ad se inuicem nulla num̾i int̾¬
missione copulantur. Nam pͥmi se nul¬
lo in medio posito. transeũt. scđi int᷑po¬
inceps una semꝑ minore quã ipsi sit̃t
int̾missione succrescũt. atꝙ hoc uł
insesqualt̾is. uł insesquitciis. uł in
aliis suꝑparticularibꝰ partibꝰ necesse

Expanded text:
ites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesquitertii, comites subsesquitertii, et in cunctis secundum hunc modum posita convenad cognitionem superparticularibus accidente. Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intmissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interpoinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse
Abbreviated transcription (Latin):
strare uellet tociens ei uirgule ducent᷑.
Nos aũt quocienscũq aliqͥd monstrare uolu¬
naus. in his p̃sertim formulis ordinatarũ
uirgulaꝵ multitudinẽ nõ grauam̃ appon̾e.
Dũ enĩ quinq uolunius dmonstrare. facim
q naturaliꝰ ẽ quelib& nũm qͣntas in se
retin& tot unitatibꝰ designare ꝗͣ notuł.
Est gͥ unitas uicẽ obtinens puncłi ĩter¬
ualli. longitudinisq pͥncipium. Ipsa uͦ
nec int̾ualli nec lõgitudinis capax ẽ quẽ¬
ad mod̃ punctũ pͥncipiũ quid linee ẽ attp
int̾ualli ipsum uͦ nec int̾uallũ nec linea ẽ.¬
neꝙ enĩ punctũ puncto fr̃positũ ullũ effic̃
int̾uallum. ulut funicħ. nulli iungas. Nicħ
enĩ ẽ qđ ex nulloꝵ ꝓcreatione nascatur.
Eadẽ qͥpe &̃ cirra equalitates ꝓportio man&.
Nam si quo liboe fu̾int t̾mini pares. tantũ

Expanded text:
rare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quia naturalius est quemlibet numerum quantas in se retinet, tot unitatibus designare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli, longitudinisque principium, ipsa vero nec intervalli, nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intpuncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli jungas. Nihil enim est quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum