comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
sc̃ que admodũ sibupse respondeant. Totiꝰ em̃ sũme id ẽ. cxxuiii. oc̾taua parᷤ¬
Rursꝰ suꝑ has paiteᷤ. Ixiiii. scd̃a parᷤ : .ii. uͦsexagesima.iiii. donec extremitates
limitem facient. quas dubium non ÷ eadem re sponsione gandere. E fi aut̃ om̃is
sũma semel. exxuiii. Inus uͦcentesimꝰ uigesimꝰ ocꝰ tauis. Siaut̃ impa¬
res t̾minosponamus. idẽ. sũmas: idẽ enĩ tͥminos qd sũmas nomino. scdm imparis na¬
turã por̃ ima medietas inueniri: atq ipsa una: sibi ÷ responsura. Si enĩ ponatur
bulũq ꝑ mutãt. Nam iiii. sextadecima pars: totiꝰ sũme: xui.uͦ. quarta: Et rursꝰ
suꝑ host̾minos .xxxii. scd̃a pars : totiꝰ sũmȩ .ii. uͦ. trice sima seda. Et semel tota sũ¬

Expanded text:
sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est 128, octava parRursus super has partes 64, secunda pars est, 2 vero sexagesima quarta. Donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, nomino, secundum imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa est responsura. Si enim ponatur bulumque permutant. Nam 4 sexta decima pars est totius summae, 16 vero quarta. Et rursus super hos terminos, 32 secunda pars est totius summae, 2 vero trigesima secunda, et semel tota sum
Abbreviated transcription (Latin):
in hac utͦq extitert̃ inpares. Neq ũꝗͣ fieri pot̾ ut cũ una pars diuisiõis par fu¬
erit: alia ĩpar inueniri q̃at. aut cũ una in parsit: alia par possit intelligi. Pn par
uͦ m̾us ÷ qͥ ad qũalib illam diuisionẽ ꝑ inqualia sẽꝑ diuidit᷑. u utrasq speties num̾i
sẽꝑ ostendat nec ũqũa altera sine alt̾a sit. S una pars paritati. ĩ paritati alt̾a
deputet᷑ .u̾.uii. si diuidas int᷑s. atq qͣttuor: alt̾a portio par÷. alt̾a impar. St̃ hidẽ in
cunctis in parib nu̾is inuenit᷑. Neq uiquã ĩ imparis diuisiõe p̾ter se ẽẽ posst̃ he

Expanded text:
impares exstiterunt. Neque unquam fieri potest, ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Imparus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, imparitati alia deputatur, ut 7 si dividas in 3 et in 4, altera portio par, altera impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, praeter
Abbreviated transcription (Latin):
Lxiiii. sc̃. Et sexdecies .iiii. idẽ complent. Rursus bis xxxii. facti: a lxiiii. non
discedunt. ⁊ trigies bis duo: eosdem cumulant. Et semel. lxiiii. ł unitas sexagi¬
es quat᷑ multiplicata: eundem numerũ sine ulla dubitatione restituent.

Expanded text:
16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ulla varietate restituent.
Abbreviated transcription (Latin):
xui. uł serdeties.uui.simultiplices. exxuii. sũma concrescet. Atq si hi nuraͥi
qui suꝑ eosclem sunt multiplicentur: idẽ faciunt. Namiii. ⁊ xxxii. inse multipli¬
ces: supradictam facient ext̾mitatẽ .iiii. it trigiesbis. uł quat̾ triginta duoduc¬
ticxx Uiii. inmutabili necessitate cõplebunt. atq ħusq ad extremos t̾minos cad.
.i.exxuiii. Semel enim ext̾mꝰ t̾minus. exxuiii. est. ⁊ centiesugies. atq octies
unitate multiplicata: nichil depriore quantitate mutabitur. Si autẽ im¬
pares fuerint dispositiones: unus mediꝰ t̾minꝰ inuenitur. atq ipse sibi propria
multiplicatione respondet. In eodẽ namq ordine num̃oꝵ ubi extremꝰ terminus
lximi. pluralitate concluditur: sola inuenitur una medietas. id÷.uiii. Qua si octi¬
es id÷ insemet ipsam multiplices. Lxiii. explicabit. atq idẽ reddẽt illiqͥ suꝑ hanc
medietatẽ st̃ ut dudum hũ qui suꝑ duas positi faciebant. Nomq quat̾ sexdecim.

Expanded text:
sedecies 8 si multiplices, 128 summa concrescit. Atque hi numeri qui super eosdem sunt, si multiplicentur idem faciunt. Nam 4 et 32 in se si multiplices, supradictam facient extremitatem, 4 enim trigies et bis, vel quater 32 ducti, 128 immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater
Abbreviated transcription (Latin):
S idõ mͥ uidet᷑ hic nu̾s parit̾ par uocatꝰ: qd om̃s eiꝰ partes ⁊ nomĩe ÷ qͣutntate
pares parit inuemiantt᷑. Q aut̃ mͦ ⁊ noĩe ⁊ qͣntitate pares hobeat partes hic
miinsipꝰ dicemꝰ: Hoꝵ autẽ gen̾atio tał. ab uno aut̃ qͦscũq induplici pro¬
portione notau̾is: seꝑ pares parit̾ ꝓcrrãtur. Pret̾ hãc gen̾ationẽ ut nascant᷑ alit:
impossibile ÷. Butꝰ aut̃ reitale uidet᷑ pordinẽ descͥptiõis exempłũ. Sintq cũc¬
si fiat infinita ꝓg̃ssio: tales cunctos inuenies. Factiq sut̃t abuno ĩ duplici pro¬
portiõe. ⁊ om̃s st̃ part pares. Ulld̾ autt̃ non minima considatione dignũ ⁊ qđ el õs
antãq s ũm̃ã qͣntitacs in clndit.: qͥta pars ÷ alt̾ nb̃is parit pors illiꝰ qͥeũ continet
Et pͥinũ sit. li pares fuerint dispositiones: ut due medie paites sibi respondeant.
Post ũ quȩ suꝑipsas ft̃ sibi inuicẽ ꝯu̾tant᷑. Atq ħ idẽ fiat. donec ut̾q t̾rimꝰ ectre¬

Expanded text:
Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est. Ab uno enim quoscunque in duplici proportimpossibile est. Hujus autem rei tale videtur per ordinem descriptionis exemplum. Sint itaque cunce hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod titatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extre
Abbreviated transcription (Latin):
nus ÷ qͥ ĩnꝰ eqͥlia ⁊ ĩ.ii. eqͣlia pertitione recip̃ s ut inneut᷑ diuisiõe. ułi paritati
paritas. ł paritatiin paritas misceat᷑. pt̾ solum paritatis princip em
binarium numerum qui mequalem nõ recipsectĩe ppea s eis uobiuintaaibꝰ¬
constat. ⁊ ex pͥma duoꝵ qͥdã modo paritate. Qd aut̃ dico tale÷. Si enĩ ponat᷑ par
num̃us. pot̃ induo equalia diuidi. ut denariꝰ diuidr inquinos ⁊ qͥnos. Porro aut̃
⁊ ꝑinequalia. ut idẽ aenariꝰ intͤs. ⁊ .uii. s: ħ modo ut cũ una pars fuerit dinisiõĩs par:
alia qͦꝙ par inueniat᷑. Et suuma inpar: reliqͣ ab eiꝰ iparitate nondiscrepet. S in eodẽ
nũo qui÷ denariꝰ. Sũ autẽ diuis int̾s. ⁊ uii. utͦt inutͣq portiõe partes inpares exti¬

Expanded text:
qualia, et in duo inaequalia partitionem recipit, sed ut in neutra divisione, vel imparitati paritas, vel paritati imparitas misceatur, praeter solum paritatis principem binarium numerum, qui inaequalem non recipit sectionconstat, et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos. Porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in 3 et in 7. Sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una impar, reliqua ab ejus imparitate non discrepet, ut in eodem numero qui
Abbreviated transcription (Latin):
excremitatẽ sesqlt̾a sit ad alt̾a sesquit̾cia. Altͥnsecus .i. positis senario ⁊ t̾nario .i. duplici
⁊ medietate. si quat̾nariꝰ inmedio collocetur ad t̾nariũ num̾ũ sesqͥt̾ciã ꝯtinet rationem

Expanded text:
mitatem sesquialtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio collocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem,
Abbreviated transcription (Latin):
exxxi. ⁊ decẽ. Et mordinẽ ad eundẽ modũ intuentẽ: milla cunc tatio contrarie¬
tatis inpediet. ¶t uͦ si exagonos librata ex aminotione ꝑspicias:
ex hisdẽ tͥangłis.⁊ suꝑ se positis pentagonis procreantur. Namq sex exagonus ex
quinario pentagono ⁊ uno qui ÷ int̾angłor ordine dispositꝰ nascitur. Nec alia ÷ o
go.xx. exagoni. nͥ ex duo denario pentagono ⁊ t̾nario tͥangło. Qd̃ si ex xxuiii.¬
rursus ex agonꝰ. ex quib suꝑiorib nascatur ad discas: nullos inueres nͥ xxii. pen¬
tagonũ. senariũq tͥangłm. Atq ħ intꝰ coc̾is. Nec hũc geniture ordinẽ eptagonoꝵ
ꝑ cieatio refutabit. Nam ex suꝑ se exagonis ⁊ ex eminus positis tangłis ꝓ creantur.
Septẽ .ti. eptagoni̾s nascitur esenario ex agono uno pocestate tͥangło .xuiii. uero
gono ⁊ senario tangło. Atq in cunctis moffensum reꝑire licet. Ui des negͥ ut pͥmꝰ

Expanded text:
et 10, et in ordinem ad eumdem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis impediet. At vero si hexagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque sex hexagonus ex quinario pentagono et uno qui est in triangulorum ordine dispositus nascitur. Nec alia est origo 15 hexagoni, nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si 28 rursum hexagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 22 pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in caeteris. Nec hunc geniturae ordinem heptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se hexagonis, et ex eminus positis triangulis procreantur. Septem enim heptagonus nascitur ex senario hexagono, et uno potestate triangulo, 18 vero gono et senario triangulo,
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑ fici monstratus ẽ. par uͦ sola o ualitate.i. solo binario nuo: nã cuiꝰcũq medietas unꝰ ÷ ille
impar ÷ cuius uͦ duo hic paritate recepta ingemina equa disiungit᷑: qr̃ dicendũ ÷ imparẽ
nitate formetur. parem uͦ att̾iꝰ plenũ eẽ. nature iccirro qͥ ad ualitate completur.
te tragonos facit. Coacͥuatio pariũ: suꝑiores effic̃ alta parte longiores. Qr̃ qm̃ tegono¬

Expanded text:
perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille perfici monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cujuscunque medietas est unus, ille impar est, cujus vero 2, hic paritate recepta, in gemina aequa disjungitur. Quare dicendum est imparem rco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate completur tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quon
Abbreviated transcription (Latin):
Si uͦ aliquo nu̾o ut ł ⁊ uii: łt̾ .u. ł alio aliquo mͦ ⁊ ñ eoꝵ lat̾a sola dicrepẽt unitate:
nonuocabr hic nũs perte alta longior. s antelongior. Alt̾um n. ap̃ pit̾agorã. ł ap̃ sapiente
eius heredes. nulli alii nͥtantũ binario acbebatur. ħc i. alt̾itatis pͥncipiũ eẽ. dicebat.
eandem ħ naturã ⁊ sẽꝑ sͥ similẽ. consentientẽq nullã flliã nͥ pͥmcuã. ingeneritãq uni¬
tatẽ. Binariꝰ autẽ nus pͥmꝰ ÷ unitati dissimił. id curto qd pͥmꝰ ab unitate disiungitur. ⁊ idõ
alt̾itatis cuiꝰdam pͥncipiũ fuit. q ab illa pͥma ⁊ sẽꝑ eadẽ sub̃a sola tantũ ÷ unitate dissimił
Merito gͦ dicentur hinu̾i parte alta longiores qd eoꝵ lat̾a uniꝰ tantũ se se ad iecta nũostate
p̾cedunt. argumentũ ħ ÷ alt̾itatẽ inbinarionu̾o recte constitui. q non oicatur alt̾ũ. isi
ed uob. abhis int̾ quos beneloquendi ib̾ non negligitur. Anipliꝰ. Qd impar nũs solaunitate

Expanded text:
 modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae ejus haeredes, nulli alii nisi tantum binario ascribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant. Eamdem autem naturam, et s ab unitate disjungitur, atque ideo alteritatis cujusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia, sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adjecta numerositate praecedunt. Argumentum est autem alteritatem in binario numero juste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his in quos bene loquendi ratio non negligitur. Amplius quod impar numerus, sola unitate
Abbreviated transcription (Latin):
insex.⁊ cetos in suoꝵ angl̃oꝵ modo mensuraq ꝑtͥangłos partuntur: ut ⁊̃ sub¬
iecta sscͥptio.
Et uͦ tͥangula figura cũ eam quisita QAPͦpor¬
diuiserit: in alias figuras non saluitur.¬
nisiinse ipsã. Intan. tͥangła dissipatur. ad eo
pͥncipĩis ÷ ob nxa neq ab alia laticudine sũpsit initium insescipsã soluat᷑. Idẽ autẽ⁊ in¬

Expanded text:
eteros in suorum angulorum modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subjecta descriptio. At vero triangula figura cum eam quis itdiviserit, in alias figuras non resolviturnisi in seipsam, in tria enim triangula dissipatur. Adeo nullis est principiis obnoxia, neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsa resolvatur. Idem autem
Abbreviated transcription (Latin):
fecerunt :⁊ plato qͣ intimeo eiusdem nature. ⁊ alt̾ꝰ nomurit qͥe qͥs inmundo: Etaq
duob consistere. aut ex infunta .s. suba. aut ex finita. ad nin̾ sine oubio similitu¬
omẽ. Hic it. ex uno ⁊ duob ex inpari atq pari coniungitur. q̃ manifesta sunt
Qdͣ indelicet nonsine causa dictũ ÷ omĩa quetx dritiarns conlustent ormonia
qdam coniunqi atq componi. Est enĩ armonia ad unatio pdurimoꝵ ⁊ dissen

Expanded text:
Timaeo ejusdem naturae, et alterius nominat, quidquid in mundo est, atque duobus consistere, aut ex infinita, scilicet esse, aut ex finita, ad numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus, et impari atque pari conjungitur. Quae manifescet non sine causa dictum est, omnia quae ex contrariis consisterent, harmonia quadam conjungi atque componi. Est enim harmonia, plurimorum adun
Abbreviated transcription (Latin):
dubitatiõe tͥangłis se se suꝑabt̃. Namq sit̾nariũ tͥangim quat̾nario ł qͣtnariũ
tetͣgonũ quinario. ł quinaritm pentagonũ. senario exagono. ł senariũ septenario
eptagono cõpares. pͥmo se tͥangło. id: sola tͣnseunt unitate. At uͦ si senariꝰ ꝯtͣ noue¬
nxxiiii: adexeun. si cõponas: Etio se tͥangło uincent .i. señario. Acq ħ rite ꝑ nocabi
inalus cunctis. sequentib se se ꝑspectũ. om̃sq se tangłis ante cedent. Qr̃ ꝑfec̾te ut arbitror
Hinc gͦ ad figuras solidas facilior uia ÷. ꝑ cognito .n. quid in planis nũoꝵ figuris uis ipsa
quantitatis naturalit᷑. oꝑetur. ad solidos nu̾os non erit ulla cunc tatio. Sicut .i. longitudini &¬
qͥs addat eã. q̃ alicis ałtitudo. alias crassitudo. alias ꝓfunditas appellatur. solidũ nũi co pꝰ explebit.
cesse: inuenire pͥmordia. E st ħ piramis alias atangła basi in altitudĩe se se erigens. alias a

Expanded text:
ario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario hexagono, vel senarium septenario heptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra nove28 ad 34 si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus esse perspectum, omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, ris solidis. Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini quis addat eam quae alias altitudo, alias crassitudo, alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebiest invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a
Abbreviated transcription (Latin):
ineosd.x. eoꝵt̾minus uemiet. qͥnquies.xXu. fiunt.cxxi. ⁊ sihos rursũ qͥnqͥes ducas. in qui¬
nariũ numũ extͣmitas t̾minabitur. atq ħ usq in infinitũ id̾ sẽꝑ eueniet. Qd̾ inse¬
nario ꝗꝗ conuenit. consid̾ari. Hi aut̃ nu̾i id ciroo cilici. P spherici uocantur. qͥsphera ł¬
cĩłi. inproprũ sẽꝑ pͥncipĩi reu̾siõe formantur. Est .n. cͥcłs posito quodã puncto ⁊
alio eminus de fixo illiꝰ puncti qͥ eminus fixꝰ ẽ. equalit̾ distart᷑ apͥmo puncto circum
unde ceꝑtit ⁊ͥminatur. Si ii. facies semel unũ umis red̾. ⁊ siħrursus semaed: id̾t. Iꝯit᷑
suia fuerit multiplicatio solam planitudinẽ redd̃s. fit cͥculus. Si sod̃a mox sphera

Expanded text:
in eosdem 5 eorum terminus veniet. Quinquies enim 25 fiunt 125, et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper evenit. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel sphaerici vocantur, quod culus, in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumdt terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera
Abbreviated transcription (Latin):
suꝑ particulariũ normã in quãuis longissimum spaciũ progrediens integram in offensamq
reꝑies. ita ut in prima dupli ꝓportione unitatis soliꝰ sit deferentia. Duonamq ab un a solo
semꝑ imitate discrepant. In sesqualtera uͦ duoꝵ ẽ. aifferentia insesquit̾tia tͥũ. insesqͥ qͣrta.
IIͦI. ⁊ deinceps scd̾m suꝑ particulares formas nũoꝵ qd̾ ad differentias atemet imo tantũ rosete
ad iec NO. nĩchũ ex plicans naturalẽ.
Quarto. casdẽ rursus proportiones effici ꝑ notab quas insuꝑiori firma descͥpsimiis. S
hic differentiȩ ab unitatȩ ñ inchoant. s abmario nu̾o iñ infinitũ ꝑ eosoema ealculos pro¬
grediuntur: eritq seds. pͥmi duplus. Ẽcius: sedi sosqualt᷑. Quartus x̾cii. sesqͥt cius. scđm enn¬
dem conuemientiam que suꝑiꝰ d̾monstrata ÷:

Expanded text:
superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesquialtera vero duorum est differentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur. Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientia
Abbreviated transcription (Latin):
alt̾ factus ÷ e qm̃ cuncti scdm tinitatis speciẽ. naturãq impares nũi formati sunt: qͥ
exliis coacuatis tetragoni siunt: duplici mꝯdo eiusdẽ suħe participesẽe. dicuntur:
qd̃ uł ab equalitate formantur tetͣgoni. ł coac̾uatis in unũ nu̾is imparib procreantur.
congeriem parte altera longiores nu̾i nascuntur: hũ scđm ipsius hiuari nu̾i nat̾ã
ab eꝰ dem sube natura discessisse dicuntur. Putanturq alteriꝰ noture. eẽ. participeᷤ
ieceo qm̃ cum latera tetragonoꝵ ab equalitate pro g̾ssa mequalitatẽ ꝓͥc latitudmis ãbitũ
tendunt. hii ad iecto uno abequalitate lat̾um dicesserunt: ato ideo dissimilib lat̾ib

Expanded text:
ncti secundum unitatis speciem naturamque impares numeri formati sunt, quoque ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo ejusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris imparibus procreantur. ongeriem, parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam, ab ejusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes, idcirco quoniam cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa, in aequalitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adjecto uno ab aequalitate laterum discesserunt
Abbreviated transcription (Latin):
ꝓ funditatẽ. Namquatͥnarius tetragomus duos ht̃ in latere.⁊ natus ÷ exbis duob.
bis .ii. duo: faciunt quattuor. Hosgͦd uos ex ipsius latere simultiplices: equaltter
cubi forma hascetur. Nam sibis binos bis facias. octonaria qͣrititas crescit:: pͥmꝰ¬
hic cub. ix uͦ tetͣgonus qm̃ tres ht in latere ⁊ sactus ÷ extͥb in se multiplicatis. siei
unã lateris inultiplicationẽ adiunxeris. rursus aliꝰ cub equali laterũ formatiõe

Expanded text:
atuor tetragonus, duos habet in latere, et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quatuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cubi forma nascetur. Nam si bis binos bis facies, octonaria quantitas crescit,  Novem vero tetragonus, quoniam 3 habet in latere, et factus est ex tribus in se multiplicatis, si enim unam lateris multiplicationem adjunxeris, rursus alius cubus aequali laterum formatione
Abbreviated transcription (Latin):
exħ equidem apparere nece̾e.: tͥangłas formas cet̾arũ figirar̃ ẽẽ. pͥncipiũ. qd̾ om̃s pira¬
inis aqͥc̃q basi ꝓfecta ł aqͥdrato. ł apentagono. ł ab exagono. Pobeptagono.ł. qͦcũq

Expanded text:
ex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyraex hoc equidem apparere necesse est triangulas formas caeterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profect
Abbreviated transcription (Latin):
incet̾is ꝓspici pͣ. sicoꝵ ꝓereationes diligenter uolueris ꝑscrutari. Ile qͦ qͣsunt a te¬
tragono putdes: ead tecͣgonoꝵ suꝑ se cõpositione nascuntur. descriptis .ii. cunctis tetͣgo¬
erit mͥ potestate : ui prramis ipsaunitas. ñ dũ ÷ oꝑe atq actu. Atq sihuc tetͣgonũ suꝑ po
latera trib imitatib concluditur. at huic si seq̃ntem tecͣgonũ .xxi. suꝑ ponã tͥcenoria
mͥ pnamiois forma ꝓducitur. In hisꝗꝗ omĩb piramidis tot erunt imitates ꝑ latera: ꝗte
in se numermꝵ agoͥgate fu̾nt qͣntitates. Nã unitas q̃ pͥma piramis ÷ unũ solũ.i. se ipsã
geritꝰ unitatẽ. Quinq uͦ q̃ constãt ex uno ⁊ quattuor: duob ꝑ latera designant᷑ ⁊ iui
producuntur. Om̃is .it. mułtoꝵ angłoꝵ forma ex suign̾is figura unitate suꝑ posita
ab uno ingredientib. ad pirannidũ constituendas figunis usq ininfinitũ ꝓgreditur. Et

Expanded text:
t, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae vero quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragoelatera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum 16 superponam, tricenaria mihi pyramidis forma pyramis est, unum solum, id est seipsam, gerit in latere. Quinque vero, quae constant ex 1 et 4, duobus per latera designatur, et 14producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma, ex sui generis figura unitati superposita, ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur. Et
Abbreviated transcription (Latin):
cribas. ⁊ ipse quidem quattuor ueñ latͥũ ⁊ quattuor angłoꝵ s non cunc̃tis eqͣlib s sẽꝑ
minꝰ ullo nãq nec latͥa lat̾ib cunc tis cuncta eqͣ st̃. nec longitudini latitudo. s ut dictũ
⁊ cũ huic alt̾a parsmaior fuit. uno tantũ minorep̾cedit acsuꝑat. Si t. num naturalẽ
disponas ꝑ ordinẽ. ⁊ si fcd̃m ꝑ pͥmũ mułtiplices. tał nascctur nu̾s. ł si scd̃m ꝑt̾cium
ł t ciũ ꝑ qͣrtũ ł si qrtũ. ꝑ qͥntum om̃isqͥ Inunitate tantũ addita multiplicentur:
nas centur parte alt̾a longiores. Disponatur ħ nũs naturał  lusi smiulri uiiiꝰ nẽ
quidẽ ac̾tenus. Si quis gͥ faciat unũ bis: faciet .ii. ⁊ rursus bis tres faciat .xi. ter

Expanded text:
orum, sed non cunctis aequalibus, sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus, cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed ut dictum est cum hinc altera pars major fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices,  si quartum per quintum, omnesque bi unitate tantum addita multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Disponatur enim numerus naturalis. Et tunc quidem hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet duo. Et rursus bis tres faciet 6, ter
Abbreviated transcription (Latin):
multiplicet. quisquis hinc nascitur. aliꝰ quã pͥmo fuerat inuenit᷑. Nascuntur ħ ex suꝑi¬
ore descͥptione.⁊ ex pͥmo ordĩe om̃s tetragoni ħ mͦ. unũ .ii. sirespex̾is. pͥmꝰ potestate tetͣ¬
gonus ÷. Si uͦ unũ tͥb coacͥuat̾iis. uͦiͬ tetragonus exoritur. hussiquinariũ iungã. noue¬
narius rursus occurrit. huic sicopłes uii.xui. qͥdrati fo ma se suggit. Id̃q
suncet̾is facias. om̃s cõpetenter quadratos uideas ꝓcreari. At uͦ ex scdõ paritatisor¬
dine: id cuncti parte alt̾a longiores fiũt. Nãq si uͦᷤᷤ. pͥmo respexero. huiꝰmõi mͥ nus
occurrit. qui fit exb̃ uno. Cũ uͦ duob seq̃ntes.iiii. iunxero: parte alt̾a longior rursus
ex qͣtͣ tͥb. Qd̃ siquis continuatim faciat: cunctos huiꝰ mõi nuos inconpetenti ordine
ꝓcreatos uidebit. ꝗͣ descͥptionẽ scilicet inferior forma demonstrat.¬

Expanded text:
uemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione, et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules 7, 16 quadrati forma se suggerit. Idemque si in caeteris facias, omnes competenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos hujusmodi numeros in competenti ordine procreatos videbit. Quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat
Abbreviated transcription (Latin):
pͥncipiũ ⁊̃. Et lincaris nu̾s cũ ips& totus lacitudinis exp̾sit: maliud t̾n spatiũ
latitudinis extenti nũi sortitur initium. Suꝑficies ꝗꝗ ntioꝵ cũ ipsa solidũ corpꝰñsit.

Expanded text:
principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium principium est. Et linearis numerus cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum cum ipsa solidum corpus non sit,
Abbreviated transcription (Latin):
ꝑuit̾ uallo aliea suꝑ gͣditur: idẽq asuꝑficie uincitur duob. tͥb uero int̾ ualli dim̃¬
si onib a soliditate relinquitur: constat punctũ ipsũ sineulla corporis magnitudĩe uł urt¬
tialli dim̃siõe. cũ ⁊ longitudinis. ⁊ latitudinis. ⁊ ꝓfunditatis exꝑ̾sit: om̃iũ int̾ ualloꝵ ẽẽ. pͥn¬
cipiũ. ⁊ natum in secabile. qd̾ greci athomon uocant Id÷. ita diminutũ atq paruissi mũ
ut eius pars inueniri non possit. E st gͥ punctũ pͥmi int̾ ualli pͥncipiũ. ñt̾l inter¬
s cdi int̾ ualli cupt̃ ⁊ scd̃m tm̾ int̾ uallum ipsanonretinet. Idẽ quoq⁊ insuꝑficiei
ratiõe cadit. que: ipsa solidi corpous ⁊ tͥplicis int̾nalli naturale sortit᷑ initiũ. ipsa uͦnec
trina nec intͥualli d im̃sione distenditur. nec ulla trassitudine solidatur. De LINEARIs: NUIS.

Expanded text:
quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimequidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli dimensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli dimensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium, et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita diminutum atque parvissimum, ut ejus pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, ndi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli dimensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatur. CAPUT V. De numero
Abbreviated transcription (Latin):
porrigitur. si longitudinẽ. ⁊ altitudine latitudineq censetur. Supͣ qd̃ ado nichil in¬
ueniri pot̃. ut ipsoꝵ .ui. motuũ forme. ad int̾ ualloꝵ natuias ⁊ numũ cõponantur. Unũ
enĩ int̾ uallũ duos in se continet motꝰ. ut intͥb. int̾ uallis.Ui.se se motuũ. sũma ꝯfi¬
ciat. ħ modo. Est enim in longitudine an ⁊ retꝰ inlatitudine sinistra.⁊ dextͣ. in ałtitu¬
dĩe. sursũ ⁊ deoisum. ¶Necee :÷ autẽ ut quic qͥd fuerit solidũ corpꝰ. ħ longitudinẽ hat.
illud suꝑficies apellatur. Om̃is .n. suꝑficies¬
⁊ latitudine continetur. Et hic eadem illa conuersio remanet. Om̃en. quod suꝑfici
es ÷ longitudiñẽ.⁊ latitudinem retinet .⁊ qͣ ħ retinet. illud ÷ suꝑficies. Hee aut̃ẽ suꝑ¬
ficies uno tantũ int̾uallo solidi corporis dimensione suꝑatur. q̃ uno rarsus int̾ uallo lineã
alio rursus uit̾ uallo. alinea uincitur. ipsa scił q̃ reliqua ÷ longitudine. Qr̃ sipunc tũ uno

Expanded text:
 supraque adeo nihil inveniri potest, ut ipsorum sex motuum formae ad intervallorum naturas et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo. Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextra, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem ut quidquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudillud superficies appellatur. Omnis enet latitudine continetur, et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis dimensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet quae reliqua est longitudine. Quare si punctum uno
Abbreviated transcription (Latin):
altera longior m̃is qui cũq unitate tantum lateri creseit ad iecta ut sunt .Ui. scił bis
tres. ulxii. tres quat̾.⁊ consimiles. Ant̾iore uͦ parte longior ÷ nũs qͥ sub duob nu̾is hꝰ mõĩ
ꝯtinetur. quoꝵ latera non possidet unitatis differentia: alioꝵ quoꝵ cũq nu̾oꝵ ut t̾¬
quinq ł t̾ sex.ł quat̾ .uii. Q uodã modo .i. longitudine inprolixiorẽ modum porrec ta
ł eiusdem latitudinis aptissime uocabuntur. Ut bis .ii. tͥ tres. qͣt.iiii. ⁊ cet̾i. Parte
altera uͦ longiores qd̾ non eadem longicudine tendantur ałtiꝰ quodammͦ lonoitu¬

Expanded text:
altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis altera longior numerus quicunque unitate tantum lateri crescit adjecta, ut sunt 6 scilicet bis 3, vel 12 tres quater, et consimiles. Anteriore vero parte longior est qui sub duobus numeris hujusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quoru 6, vel quater 7. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta, vel ejusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis 2, ter 3, quater 4, et caeteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo longitu
Abbreviated transcription (Latin):
ł mens. ł ꝗd cũq prop̾e nãture. in corporalitate beatur: aut mutabił uariabilisq na¬
turo qd̾ corporib indubitant᷑ ui demus aacidere. Uñ nc̃ nob̾ monstrindũ ÷ hac gemina
nuiou netura quadratoꝵ scił parte alt̾a longioꝵ cunc tas niui sp̃es cunctasq har¬
tudines. ł ada liquid relate quantitatis ut multipliciũ. ł suꝑ particularium ⁊ ce¬
teroꝵ ł ad se ipsã consida̾te ut formarũ: quas dud ũ insuꝑioie disputatione des¬
cͥpsimus in formari. It quẽ ad modũ mundus eximmitabili mutabiliq sub̾a ꝯstat :
sic om̃is nu̾s ex tetragonis quiinimutabilitate ꝑsiciuntur. aut ex parte altera lon¬
giorib quiͥmutabilitatẽ ꝑficiuntur participant. probetur. ẽẽ. coniunc tꝰ. &
pruno quidem distribuendũ ÷ qui sint liii quos pramesis uocatur .i. ant̾iore par¬
te lonoiores. ł qui quos. e te poren Ruic .i. parte altera longiores. Est uparte

Expanded text:
 vel quodcunque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas tae ad aliquid quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui immutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participant, probetur esse conjunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sunt hi quos promecas vocant, id est anteriore parte longiores, vel qui quos heteromikeis, id est parte altera longiores. Est enim
Abbreviated transcription (Latin):
scda multiplicͥes scdẽ spei suꝑparticularis aptet᷑. quadrupli continuo forma contexitur.⁊ in
quincuplus cõtinuo fietht iiu
quincuplus cũ sesquinto. mox sescupli ꝓportio ꝯiugetur¬
U atq ita scd̃mn hãc ꝓgressionẽ. cuncte multiplicitatis spẽs sine ułła riti
ordinis ꝑmutatione nascentur ¶ta uͦ ut duplꝰ c̃ sesqͥtt̾o tͥplic̃ẽ creent: Eplꝰ aut̃ c̃ sesqͥt̾cio
quadruplum. Quadrupłꝰ c̃ sesqͥquarto qͥncuplũ ⁊ eodẽ mͦ incef̾is agend ÷ ut nullus hanc
continuationẽ finis inpediat. Hi Ncipit De ̃eometͥ caⁿ
qͦs sola pandit plana dimensio. Nec non de ĩneqͣualiũ cõpositiõe comunctis. De solidis
etiã id÷ cubis sphericis. ł pnamiois. ł lat̾culis. ł etiã tignulis. ⁊ cimeis. que omĩa quidẽ
geomet̾ce ꝓͥe consida̾tionis fc̃. S si cut ipsa geometͥte. scientia. ab arithinetica. uelit

Expanded text:
undae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur, et in quincuplus continuo fiet: Et si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupla proportio conjugabitur. Atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati inis permutatione nascentur. Ita vero ut duplus cum sesquialtero triplicem creet, et triplus cum sesquitertio, quadruplum, quadruplus cum sesquiquarto, quincuplum, et caeteri eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis impediat. CAPUT IV. De per se ratis, caeterisque quos sola pandit plana dimensio, nec non de inaequali laterum compositione conjunctis. De solidis etiam, id est cubis et sphaericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geomet
Abbreviated transcription (Latin):
iungunt.Ita s̃ unitas insemet ipsã in ultiplicata nichil ꝓcreat. Semeli. u̾nũ
nichil aliud ex se gignit. qͣ ipsum ÷. Nã q̃ ine̾ uallo caret. ⁊ iũ gignendi int̾ualla ñ
recipit. Qd maliis nu̾is non uidetur euenire. Om̃is enĩ nu̾sinsemet ipsũ multi¬
plicatus aliũ qñdã efficit maiorẽ quã ipse:. Iccirco qm̃ int̾ ualla multiplicata
maiorẽ se se spacii ꝓlixitatẽ distendt̃. Id uͦ qd sine int̾uallo:: płquã ipsũ ÷ pariendi
abinari nui pͥncipio ingunctos sese nu̾os explicat qm̃ pͥmũ int̾ uallũ linea ÷.
Duo uͦ intt̾ ualla fẽ longitudo ⁊ latitudo: id: linea ⁊ suꝑficies. Eria uͦ int̾ ualla st̃

Expanded text:
nihil procreat. Semel enim in unum nihil aliud ex se gignit quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quemdam efficit majorem quam ipse est, idcirco quoniam intervalla multiplicata majore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero quod sine intervallo est, plus quam ia binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est, duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria ergo intervalla sunt,
Abbreviated transcription (Latin):
Qui uͦ ex his constant: h sunt. ¶un xgui sxerrinsi ⁊  Oeta u angloꝵ scdm
elirnẽ eediñe. forma ꝓcreat ir. ita ut sełm eqͥlem progessionẽ pͥmi quoq eoꝵ nũi disfent.¬

Expanded text:
Qui vero ex his constant hi sunt. Novem vero angulorum secundum Qui vero ex his constant hi sunt. Novem vero angulorum secundum eumdem ordinem forma procreatur, ita ut se
Abbreviated transcription (Latin):
rursus lat̾ib continentur sc̃m. hũc modũ. coꝵ latũ augrãta suee rescunt. Namq
in eai ngũ pũi natuia ꝓ creationeq ipsos nũos iungebataꝰ qui sese in nafali dispoiti¬
creatio. fiebat ex nũ̾is qui uno intͥmisso copulabantur. cũ sebinario suꝑarent. Peri¬
tagoni uͦ natura fuit ex duob t̾minis int̾ positis relictisq qui se t̾nario uincerert.
T decem ł quotlib alioꝵ competenti ꝓgͥssione conficitur. Ut enĩ inpentagono di iob
int̾ missis eos iungebamꝰ. qui se tͥnario suꝑarent. Ita nunc in exagono trib int̾missis
eo s uungemus. qui se quat̾nario tͥnseant. St ẽoꝵ quidẽ radices. ⁊ fundam̃ta. ex qͥb
ad eundem or dinẽ conseq̃ntes atq abhis sex angłoꝵ forme noscuntur.
głoꝵ figura nuo int̾ misso suꝑiori coniunxeris. Namsi qͣttuor int̾positis. qͥ
Tẽ se quinario uincant aqͥgͥgauis: nũi eptagoni continuo fig̾a nascitur. ut hi numi

Expanded text:
rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros jungebamus, qui sese in naturali dispositioni procreatio, fiebat ex numeris qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent; pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque qui se ternario vincerent.vel 10, vel quotlibet aliorum, competenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono, duobus intermissis eos jungebamus qui se ternario superarent, ita nunc in hexagono, tribus intermissis eos jungemus qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus mdem ordinem consequentes, atque ab his sexangulorum formae nascuntur. gulorum figura numero intermisso superiori conjunxeris. Nam si quatuor interpositis, qui sese quinario vincant, aggregaveris, heptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri
Abbreviated transcription (Latin):
ad iecero. scds moꝑe ⁊ actu tͥangłs ꝓcreatur. Suꝑ unum .N.⁊ duo sit̾ciũ id ÷ t̾nariũ aggͥ¬
denariꝰ explicatur. qui ÷ t̾ciꝰ actu tͥangłs. Quos ꝑ latera disponens ad suꝑioris descͥo¬
tio uis exemplar: cunctos tͥangłos nuos sine ullius dubitatiõis errorib ꝑ notab̾. Et qͣn¬
tas ultimus nu̾s in se unitates ħt. quẽ suꝑiorib agg̾gab̾ dot ipse quifit tͥangłs unitates
habebit inla ere. Nam t̾nariũ qͥ ÷ pͥmus ac tu tͥangłs ad iecto brnario unitati fecenimus
At hic duos ħt inlatere ⁊ senariũ. his adiecta t̾narĩi qͣntitate ꝓduximꝰ. Q uiꝰ latꝰ soli
tres continent. Et idẽ malus cunctis qͦt unitates habentẽ num suꝑiorb aggͥgabis
tot untatib eius latera continebuntur.¶ Qradratus uͦ nũs ÷ qͥ :̃¬

Expanded text:
 opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium, aggrdenarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens, ad superioris descriptionis exemplar, cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis, et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus aggregabis, tot ipse qui fit triangulus unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adjecto binario unitati feceramus; at hic duos habet in latere, et senarium his adjecta ternarii quantitate produximus, cujus latus soli tres continent, et idem in aliis cunctis quot unitates habentem numerum superioribus aggregabis, tot unitatibus ejus latera continebuntur. CAPUT X. De q
Abbreviated transcription (Latin):
quisq quadiutoꝵ retinebit in lacere. qͣnti fuu̾it nui ad coniuuctionẽ ꝓͥam congregati. Nã
des cͥptis quinq angłis continetur cunctis scł laterib equali do̾m̾siõe dispositis sunt
Nam pͥmi potestate pentagoni. id÷ uniꝰ adt unꝰ spaciũ lat̾is tenet. Scdĩ uͦ quinnarũ qͥ ÷
actu ipso atq oꝑe pͥmus pentagonus. bini ꝑ latera firist̃. Tercius uͦ id÷ duodecĩ trib in
latus auctus : Quartꝰ id÷ xxii. qͣrtuor nuoꝵ inlatere quantitate distenditur. Atq idẽ in

Expanded text:
usquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam usquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad conjunctionem propriam congregati. Nam descriptis quinque angulis continetur, cunctis scilicet lateribus aequali dimensione dispositis. Sunt Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet. Secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt. Tertius vero, id est 12, tribus in latus auctus est. Quartus 22, 4 numerorum in latere quantitate distenditur. Atque idem in
Abbreviated transcription (Latin):
tangłi ut ordinatii adse inuicemnu̾is congregenur. s uno semꝑint̾ misso. quisequitur.
sic ũ suꝑiou ł suꝑiorib colligatur ordinatas ex seqͣdiatos efficient. disponatur .n. nł nus h¬
testa e quadratus. Quod siuno relicto priorit̾cium unxero: seds mͥ quadratꝰ efficitur.
Nan si unirelicto binario tͥnariũ apposuero: quat̾nariꝰ mͥ quadratis ex oritur. Qd̃ sirursꝰ
relicto medio quat̾nario: quinariñ similit aggga uero: quadratꝰ mͥt̾ciꝰ id ÷ nouenariꝰ ꝓ cͤat᷑.¬
U nusii. ⁊ tresezu nouẽ colligũt. At uͦ sihis int misso senario. septenariũ iungã: dotai
sesdecim sũma concrescit. id÷ quarti qͥdratinn̾ositus. Et ut breuit᷑ huius sũma ꝓpottio¬
nis appareat: si cuncti impares sihimet apponantur collocato scił naturali nuo qͣdratoꝵ
ordo exetur. Sst s̃ in his ħ nature subtilitas.⁊ inmitabilis ordinatio. q tot itratesimꝰ¬

Expanded text:
anguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiori vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficiet. Disponatur enim naturatestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium junxero, secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni relicto binario quinarium apposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus, relicto medio quaternario, quinarium similiter aggregaveroUnus enim et 3 et 5 novem colligunt. At vero si his, intermisso senario, septenarium jungam, tota in 16 ejus summa concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter hujus forma procreationis appareat, si cuncti impares sibimet apponantur, collocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et immobilis ordinatio, quod tot unitates un
Abbreviated transcription (Latin):
ext̾mitates iungas .ui. scił ⁊ xii easq ꝑ octonariũ
medium mułtiplices. gẜliui. s̃. Qd si se extͥmita¬
tes multiplicent. sex scił ⁊ xii: facient lxxii. Quo
musicas consonantias. Namq octo. adyi. ⁊ ix
ad.xii. cõꝑati. sesqͥtciã propoitiõe reddunt.:⁊ si¬
mnul diatessaron consonantiã.ui uͦ ad riiii. uł

Expanded text:
cet et 12, easque per octonarium medium multiplices, 144 sunt. Quod si se extremitates multiplicent, sex scilicet et 12, facient 72, quo musicas consonantias. Namque 8 ad 6 et 9 ad 12 comparati sesquitertiam proportionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam. Sex vero ad 9
Abbreviated transcription (Latin):
uaũ disciplina huius mõi medietates teꝑire polsimꝰ ex pediendũ÷. Dati d uob tͥmini
si arithineticã in edictatẽ constiuere oportehit utͥq ext̾mitas coniunsa ÷. Quodq exea copulatione
colligitur: diuidendũ. Isq iuim̃s qui exdiuisione redactꝰ: arithineticã medietatẽ int̾ ext̾mitates lo¬
catꝰ efficiet. Ut .x.⁊.xl. si iunxero: efficient. L. Q uos sidiuidã .xxx.reddũt. hic erit med iꝰ t̾minis sedm
arithineticã ꝓpottionẽ. Usi illũ num qͦ maici minorẽ suꝑat. diuidas: eũq ininori suꝑ ponas.

Expanded text:
duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas conjungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10 et 40 si junxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur. Hic erit medius terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum quo major minorem superat dividas, eumque mi
Abbreviated transcription (Latin):
geometͥca ꝓportionalitas inuenitur. si xii. ad xiii.ł ix. adui conparemꝰ Ut̃q N. cõꝑatio
sesqͣlta propottio ÷. & qd̵ continctur sub ex tremitatib id ẽ. ei. qͥ fit ex medũs. Namqͥ fit ex
duodeties sex equũ ẽ. ei qͣ fit exoc̾tiel.uiiii. Geometͥca
Sͦ ꝓ portio huiusmõi ÷ ¶Arithmetica aut̃ ẽ. siduo de¬
nariꝰ ad nouenariũ ac nouenarius ad senarium ꝯparet᷑
Inutͥsq .n. t̾nariꝰ differentia ÷ ⁊ uinc̾te ext̾mitates me¬
dietate duple sunt. Si enim iunxeris senariũ ⁊ xxii.
facies. xuiii. qͥ ÷ nouenario medio t̾mino duplꝰ. In his
q̃ꝗ armonica medietas inuenitur. si xii. ad uiii. ⁊ rur

Expanded text:
atio sesquialtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus idem est ei quod fit ex mediis. Namque quod fit ex duodecies 6, aequum est ei quod fit ex octies 9: geometrica ergo proportio hujusmodi est; arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium, et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est, et junctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim junxeris senarium et duodecim facies 18, qui est novenario medio termino duplus. In his quoque harmonica medieta
Abbreviated transcription (Latin):
fectissimi corpous naturã. sub̾amq sortita÷ hoc .n. modo ꝙybum quoq tͥna dimensiõe grassatũ
plenã armoniã eẽ. demonstrauimꝰ. ħ aut̃ huius modi in uenietur. sid uob c̃minis cõnstitutis
dii fuerint constituti. ⁊ ipsi trib int̾uallis notati. qui ł ab equalib ꝑ equales equalit ꝓduc̾ti¬
Atq ita cũ armonicã ꝓ portionẽ custodiant alio mͦ t̾n comperati faciant arithmeticã medie
medietas ex plicatur. Et qd̃ contitietur sub ext̾mitatib equũ erit ei qd sub utͣq medietate ad
se multiplicata conficitur. ITursꝰ simarimꝰ .iiii. t̾minoꝵ numerꝰ. ad eũ quis̃ propinotus :
talem habeat diffr̾entiã qualẽ idẽ maximo ꝓpinquus ad paruissimũ. huiꝰ mõĩ ꝓ portio inarithins̃¬
portio medietasq ꝑspicitur. Et qd continetur subextremoꝵ agore gatione ⁊ multiplicatione
medietatis: duplex ÷ ei qd sub utraq ext̾mitate conficitur. Sit aut̃ qͥ dã huius dispositionis exẽ

Expanded text:
odo, cubum quoque trina dimensione crassatum, plenam harmoniam esse monstravimus. Haec autem hujusmodi invenietur, si duobus terminis constitutis, dii fuerint constituti, et ipsi tribus intervallis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sicam medietmedietas explicatur. Et quod continetur sub extremitatibus aequum erit ei quod sub utraque medietate ad se invicem multiplicata conficitur. Rursus, si maximus quatuor terminorum numerus ad eum qui sibi propinquus est talem habeat differentiam, qualem idem esse maximo propinquus ad parvissimum, hujusmodi proportio in arithmeportio medietasque perspicitur: et quod continetur sub extremorum aggregatione et multiplicatione medietatis, duplex est eo quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam hujus dispositionis exe
Abbreviated transcription (Latin):
Ĩthe quidẽ sũt sex medietates quarũ .iii.usq apitagora ad platonẽ. aristotilẽq mãs crum
post uͦ qui secuti sunt hasuͦ. alias. dequib supͣsseruimꝰ. suis com̃tariis addiderũt. Sequẽs
utẽ etas queadmodũ diximꝰ. ad implendã denarũ qͣntitatẽ alias .iiii. medietates apposuit quas
non ad eo aliquis inuet̾ũ libris inueniet. hasgͥ nos quã possumꝰ breuissime disponamꝰ.
R una ni q̃ est earũ inordine uͦ septima medietas. ħ mͦ coniungit᷑. cũ intrib tͥminis quẽad

Expanded text:
Et hae quidem sunt sex medietates, quarum tres a Pythagora usque ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero qui insecuti sunt, has tres alias, de quibus supra disseruimus, suis commentariis addidere. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad implendam denariam quantitatem, alias quatuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo conjungitur, cum in tribus terminis, quemad