comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
suentia fructus : siquis ñ nesciat qđ bonitas diffinita & subseientiã cadens animoq sẽꝑ
imttubilus & pceptibius pͥma natura : & sue substantie decore ppetua. In finitũ
pͥncipii tanquã aliquo signo opti me figurae impssa coponitur: & exillo erroris fluctu
retinetur. Nã mimã cupiditatẽ iraq ĩ modicã effrenationẽ quasi qͥdã rector animꝰ
pura intelligentia roboratꝰ astringit. Et has quodã modo in aequalitatis formas tẽꝑa
bonitate c̃stituit. Hoc aut̃ erit ꝑspicuũ su ntelligamꝰ om̃s inaequahtatis species
aba equalitatis creuisse primorclus. Vt ipsa quodã modo aequalitatis matris & ra¬
dicis obtinens uimom̃s inaequalitatis species ordinesq ꝓfundat. Sint enĩ nob̵ .ii.
de binc triplos inede quadruplos. Etad enndẽ ordinẽ c̃sequentes. Rursus multiplice
si conuertant᷑. ex his suꝑ particula res orient᷑. Et excluplicib quidẽ sesqualteri extriplis

Expanded text:
entia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas diffinita et sub scientia cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua, infinitum initione principii tanquam aliqua signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus pura intelligentia roboratus asbonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem, sesquialteri, ex triplicibus
Abbreviated transcription (Latin):
a sb suꝑpartieu lares. t̃tia inȩqualitatis species inuenit᷑. Iuȩ a nobsuꝑius suꝑ partiens dicta ÷
haes autẽ ÷ que fit cũ numerus adaliũ cõparatus hab& eũ totũ inta se & eius insuꝑ aliquad partes
oł uł̃ ii. ł un. ł q̃t ipsa tulerit cõparatio. Que habitudo incipit aduab: partib t̃tiis. Nãsiduas medi¬
ates habuerit qͥillũ intfase cotũ cohercet duplus ꝓsuꝑ partiente componit᷑ habeb aut̃ uł duas
suꝑhabuerit. peasdlẽ partes imparib numeris minorẽ maior sumatr anseendit Nũ si cũ habi¬

Expanded text:
et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem velsuperhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum hab
Abbreviated transcription (Latin):
creati s. Nãcũ vI exbinario t̃narioq: nascunt᷑ ii. binariũ numerũ uno suꝑant. Cunctiq: alu
eiꝰdẽ modi s. ut pͥmo & scđo ordine ad alterutrũ multiplicatis t̃minis ꝓcreant᷑. Ita ut qđ nasc
exduob longilateris altrinsecꝰ positis & bis medio tetragono tetragonꝰ sit. Et rursus qđ exii
altrinsetꝰ tetragonis & uno medio longi latero bis facto nascit᷑ Ipse quoq tetragonꝰ sit. Et ut
angulorũ totus discriptionis ad angulares tetragonos positoꝵ unius angulisit pͥma unitas
titraeonor anguli aequũ faciunt. Quod subipsis continet̃ illi qđ fit abuino illoꝵ q: altrinsecus
anenloꝵ. Adulta &iã salia que in hao cli scriptione utilia possint ad mirabiliaq ꝑpendi. Quae
untenim ꝓpt̃ castigatã intro ducendi breuitatẽ ignota. eẽ ꝑmittimu. Nuno uero ad sequentia
sluus pͥrnas habitudines multiplices & suꝑ particularos & eas quȩ ipsiss̃ sub multi plices

Expanded text:
inario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitatetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus, nunc vero ad sequentia submultiplices
Abbreviated transcription (Latin):
cđ uͦ scđm duob: Tertius itiũ trib: & deinceps. Siuͦ quart᷑ ordo t̃tio cõparet᷑. ut ii. adii. & e
c& eros ordine consecteris. ses qͥttia oõparatio colligit᷑ : ut in. adni. ł viii. adui.łxii. aduiui. Vn des¬
ne ut in om̃ib his sesqͥt̃tia cõparatio conseruet᷑ . Pret̃e ałbos qͥ subipsis sunt sudẽ faciens sequentes
uersus alterutris c̃õparaueris. om̃s sine ullo impedim̃to species suꝑ particularis agnosces. hoc aut̃
in hac: dispositione diuinũ. qđ om̃s angulares numeri tetragoni sunt. Tetrago nꝰ aut̃ dr̃ ut bre

Expanded text:
m duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem m duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad 6, vel 12 ad 9, videsne ut in omnibus his sesquitertia conservetur. Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc autem in hac dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, u
Abbreviated transcription (Latin):
det᷑minat uelit suꝑiorib cõparare ꝑx. litterae formã ꝓportione collata quadrupli multitudinẽ
triũ se sẽꝑ padiecta quantitate cransiliant. Et siqͥs subteriores aspiciat angulos idẽ ꝑ om̃s multipl¬
titatis species usq ad decuplũ dispositissima ordinatione ꝑueni&. SSiqͥs uͦ in hac descriptione suꝑ par¬
ticulares requirat. talimͦ repperiet. Si enĩ scđm angulũ notet cuiꝰ ÷ in itiũ quat̾narius. eique suꝑ¬
iac& binarius atq ad huno sequentẽ qͥs a cõmod& ordinẽ ses qualtera ꝓportio declarabit᷑. Nãt̃tius sed
in eadẽ serie numeri sitalis coniugatiomi sceat᷑. Nulla uarietatis dissimulatio surripiet. Eadẽ
tam̃ sũ marũ suꝑ gressio ÷ In hoc quoq: q̃ induplicib fuit. Primꝰ enĩ pͥmũ iđ t̃narius binariũ unosuꝑat

Expanded text:
determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione proveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declaratur. Nam tertius secundi in eadem serie numeri, si talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo surripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius bina
Abbreviated transcription (Latin):
Identia respiciant᷑ & his subteriores ordines poparent᷑. Quiscilicet aiii. angulũ u¬
cipientes inuige nos t̃minũ ponunt: Suplex iđ pͥma species multiplicitatis ostendt̃
binariũ. Tertius t̃tiũ trib. Ut senarius t̾nariũ quartꝰ quartũ quat̾naru numerositatȩ
transcendat. ut xuii. quat̾nariũ. Et ꝑ eandẽ cuncti sequentiã sese minoris pluralitate p̃te
altrinsetꝰ numeris extendit: Et hio cũ pͥma latitudine & longitudine cõparet᷑: Tripl
suꝑabunt scđm paritatis factã natꝰalit̃ conexionẽ. Primꝰ enĩ praes eluob suꝑat .Vtunũ
tres seđs scđm quat̾nario. ut binariũ senarius. Tertꝰi t̃tiũ sexutt̃nariũ nouenarius.¬
tadeundẽ o& eri modũ ꝓgressionis augescunt. Quã rẽ nob scilic& & ipsanat᷑alis obie
Antegritas. Nichil nob̵ extramachinantib Ut in ipso modulo discriptionis appar&. Siqͥs aut̃ quarti
anguli t̾minũ qͥ xui. Numeri qͣntitate notat᷑ ÷ & longitudinẽ lititudinẽq: inqua dra genos

Expanded text:
ntur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetaltrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex superabunt, secundum paralitatis factam naturaliter connexionem; primus enim primum duobus superat, ut unum tres, seet ad eumdem caeteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos
Abbreviated transcription (Latin):
ȩqͣ nu merositas. Igit pͥma unitas uirtute atq potentia ñ etiã actu uł re. et ipsa ꝑfecta ẽ.
ã si pͥmã ipsũ sũpsero deꝓposito ordine numeroꝵ. uideo pͥmã atq: in cõpositam. Quã si ꝑseips am
multiplico. eadẽ mͥ unitas ꝓcreatur. Semelũ .i. solã efficit unitatẽ quȩ partib suis aeqͥlis
÷ potentia solũ c& eris &iã aotuatq oꝑe ꝑfectis. Recte gͥ unitas ꝓpͥa uirtute ꝑfecta ÷ qđ & pͥmi¬
XXI. DERELATA ADALIAUID AXANTITATE
daliqͥd uͦ qͣntitatis duplex ÷ pͥma diuisio. Omẽ enĩ aut̃ aequale ÷ aut in aeqͣle qͥeqͥd a
ł pespedi & hissimilia. haec aut̃ pars relatȩ ad aliqͥd qͣntitatis iđ aequalitas naturaliter
indiuisa ÷ Nullus enĩ potest dicere qđ aeqͣlitatis hoc qͥdẽ tale ÷ illuduͦ huiꝰ modi. Om̃is enĩ

Expanded text:
aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quoXXI. De relata ad aliquid quantitate. Ad aliquid vero quantitatis, duplex est prima divisio. Omne enim, aut aequale est, aut inaequale, quidquid vel pes pedi, et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est, aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim dicere
Abbreviated transcription (Latin):
quartũ decimũ duoqͥuocabulo medietatis opponitur. Ergo cũhi reꝑti sunt si a lios inuenire secten
eadẽ oportet rationquestiges. Ponasenĩ i. licebit & pͦꝰhunc .ii. .iiii. qͥ insepte nariũ cumulant᷑
s dehoo dudũ extitit xxuiii. ꝑfeetꝰ: huno gͥ qͥsqr̃ parit̃ pariiđ .viii. continons iungat᷑ accessio¬
ui priorib suꝑ ueniens xu. restituit. ħ hic pͥmꝰ & in c̃positꝰ ñ ÷ habet enĩ generis alterius partẽ
suꝑ illã que ÷ a soipsa de nominata. qͥntã decimã scilicet unitatẽ: huncigit᷑ qm̃ seđs: & cõpost¬
p̃tito et ad iunges suꝑiorib c̃tinentẽ parit̃ parẽ nũrum iđ xui. qͥ cũ xu. iunctꝰ unũ acxxxx
c̃ficiet. sed hic rurs pͥmꝰ et in cõpositꝰ e. hunc gͥ cũ extremi aggregati sũma multiplica ut fiant
sedeties xxxi. qͥ ccccxcui explicant. haec aut ẽ. intra millenariũ nũrum ꝑfecta et suis par

Expanded text:
quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 pequi prioribus superveniens, 15 restituit. Sed hic primus et incompositus non est. Habet enim generis alterius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam sito, et adjunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est 16. Qui cum 15 junctus, unum ac 30 conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa multiplica, ut fiant sedecies 31, qui 496 explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus
Abbreviated transcription (Latin):
sipͦ xiii. tres t̃minos int̃misero iđ viiii .x.xi. duodenariꝰ qͥ seq̃r t̃narii numeri quadruplust. Atq h
idẽ in infinitũ ꝓgredientib necesse ÷ euenire : sẽꝑq unat̃niimnoꝵ int̾missio ne sicrescat adiectio. or¬
dinatas temultiplicis numeri uices inuenire miraberis. Siñ .iiii. int̾mittas qͥ ncuplus inuenit᷑
si .u. sccuplus. siui. septuplus. sẽꝑq ipsius multiplicationis nomine unominꝰ intt̃missionis uocabulo
pcreant᷑ Nã duplus .n. int̃imitit Triplus .ii. quad ruplus .iii. Qui incuplus iui. & deinceps ad eund
sẽꝑ parterminꝰ imparalius inuenit᷑. Quadupli uͦ rursus semꝑ parẽ custodiunt quantitatẽ
Coñstituunt᷑q: aqͣrto numero uno expͥorib: i pordinẽ posits parib: Int̃misso: pͥmobinariop
Qui siminoris habeat medietatẽ. uocatur ses qualit̃ siuͦ t̃tiã partẽ uocat᷑ ses qͥctius siuͦ quartã¬

Expanded text:
ri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim 4 intermittas, quincuplus invenitur, si quinque sexcuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdesemper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, am. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quarta
Abbreviated transcription (Latin):
locũ suũ duplio& .uI. creabit Bis enĩtres senarium iungunt. Hicgͦ in ordinẽ .ui. relinqua
Quartus quoq si locũ suũ duplicet.UIII. succrescent. Ille quoq uiiͦI. transiliat: Atq: hoc qͥd
in ceteris ꝓspiciendũ: Modũ aut̃ m̃sionis scđm ordinẽ collocatorũ ipsa series dabit
N ã pͥmus pͥmũ quẽ numerat ũ seđm pͥmũ numerat. id÷ seđmse. Et seđm pͥmꝰ quem
ꝑ se. iđ ꝑ scđm. et t̃tiũ ꝑt̃tiũ. Et in cet̾is eadẽ similitudine mensura c̃stabit: Alios ergo si respi
neq ut om̃s quenquã aliũ simul numerent. qͦsdã aut̃ exhis ab alio posse metiri. ita ut ab ui
tantũ numerent̃. Alios a ut etiã a plurib Quosdã aũt̃ ut p̃t̃ unitatẽ eorũ nulla m̃suraso

Expanded text:
locum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. locum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, 8 succrescent: ille quoque 8 transiliat; atque hoc quidem in caeteris perspiciendum. Modum autem mensionis secundum ordinem collocatorum ipsa series dabit. Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se,  per secundum, et tertium per tertium, et in caeteris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicneque ut omnes quemquam alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensur
Abbreviated transcription (Latin):
ĩ parib qͥntꝰ ei quaẽ metiri possit occurrit. Intermittant᷑ enĩ qͦttuor impares id÷ uii.uIIIi.xI.
lodeincepssi quattuor int̾mittat. eũ qͥpost illos locatꝰ ÷ secunđ id ÷ qͥnarius sui qͣntitate meatu¬
sua pluralitate metitur. Quinqͥes qͣuinario multiplicato xxusuc orescunt: Siuꝰ p̾hun
pmi numeri id ÷ t̾naru qͣntitatẽ mentiend÷. Etpꝰ illũ sex aliis int̾positis quẽ posteos numer
modũ sunt naturalit̃ inordin ẽ impares constituti. Metient᷑ aut̃ si ꝑpares numeros abinario
nehoantes positos int̃se impares rata intermissione transiliant: Vt pͥmus duo seđs qttuor
bis unũ . Quicũ duosint. pͥmus duos medios transeat. Rursus seđs id ÷ qͥnarius si locũ suum
duplicet quattuor explicabit. Hic qͦq uti quattuor int̾mittat. Itẽ si septenarius qͥt̃tius:

Expanded text:
imparibus, quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, id est 7 et 9 et imparibus, quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, id est 7 et 9 et deinceps si quatuor intermittat, eum qui post illos locatus est, secundus, id est quinarius sui quantitate metsua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato, 25 succrescunt. Si vero posprimi numeri, id est, ternarii quantitatem metiendus est. Et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numermodum sunt in ordinem naturaliter impares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes, positos inter se impares rata intermissione transiliant, ut primus 2, secundus 4, bis unum. Qui cum duo sint, primus duos medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, 4 explicabit: hic quoque 4 intermittat. Item si septenarius, qui tertius est,
Abbreviated transcription (Latin):
pͥmꝰ nurꝰ. quẽ eorũ. qͥ s̃ in ordine positi pͥmũ metiri possit. sed duob p̃t̾ius illũ qͥ pꝰ eos ẽ. positꝰ
nox metit᷑ et si pꝰ eundẽ ipsũ quẽ m̃sus ÷ alii duotrans misi sunt. illũ qͥ p̃ duos÷ rurs metit᷑. Eteodẽ
mͦ si duos qͥs reliquerit. Post eosqͥ: a pͥmo tumero metiendus : ẽ. ÷ Eodẽq: modo relictis sẽꝑ duob:¬
uantitatẽ: id÷ ꝑqͥnarii. qm̃ t̃narius .xv qͥnqͥes metit᷑ Rursus si aqͥndenario inchoans duos
misero .xuii. & xuiiii. in currit .xxi. quẽ t̾nariꝰ nurus scđm septenariũ mett̃. xuienĩ nũri t̃nari
septima pars. ẽ. atq ideo hoc in insinitũ faciens reperias pͥmũ numerũ si binos int̾miserit om̃s
scq̃ntes posse metiri scđm qͣntitatẽ positorũ prdine impariũ numeroꝵ. Sin uͦ qͥnarius numerꝰ
qͥ in seđo loco ÷ constitut᷑ uelit qͥs cuius pͥma ac deinceps m̃sura sit inuenire . Trans missis quattuor

Expanded text:
possit, sed duobus praeteritis, illum qui post eos est positus, mox metitur. Et si post eumdem ipsum quem mensus est, alii duo transmissi sunt, illum qui post duos est rursus metitur. Et eodem modo si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est. Eodemque modo relictis semper duobquinarii, quoniam ternarius 15 quinquies metitur. Rursus si, a quindenario inchoans, duos rmisero 17 et 19, incurrit 21, quem ternarius numerus secundum septenarium metitur, 21 enim numeri ternarius septima pars est. Atque hoc in infinitum faciens, reperio primum numerum, si binos intermisero, omnes sequentes post se metiri secundum quantitatem positorum ordine imparium numerorum. Si vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis cujus prima ac deinceps sit mensura invenire, transmissis 4
Abbreviated transcription (Latin):
hc qͦd ptringentes id qđ ꝓposumꝰ ꝓ lanissime breuitq doceam̃ Sit em̃ talis assempio
inqua ponat᷑ in ordinẽ usq ad denariũ numerũ contimu numerioredo natur alis &
sedo uspꝰ cluplus ordo texatur: Tertiotriplus. Quarto quadruplus. Et hos user as
alus princepserit species multiplicis. & quȩdã alia simul inspiciemus & ad sub til
temussimae&e ad scientiã utilissima & ad exercitationẽ: iocundissima

Expanded text:
hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque ad nceps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem valde jucundissima
Abbreviated transcription (Latin):
demaiore minorẽ. Hoo ÷ de xxuiiii. Nouenariũ relinquent᷑ .xx. Exhisgͦ xx rursus minou
decrahemꝰ id÷ uiiii. & relinq̃t .xi. Exhisrursus de traho viiii. relictis̃ .ii. qͦssi detraho nouenar
uos alios binario deminutos sola unitas suꝑstes egredit᷑. Rursussi ex duob unũ auferã in uno
tmin detractionis herebit. quẽ duoꝵ illoꝵ numeroꝵ . id÷ xiiii. & xxuiiii. solũ neq aliã ẽfa
m̃surã hos g c̃tra sepͥmos uocabimꝰ sed sint alia numeri nob̵ eadẽ c̃ditione ꝓpositi idia
& uim. Ut qͣles hi sitit inuestigent᷑ cũ sibimet fuerint inuicẽ cõparati Eursus si aust
demaiore minoris numeri qͣntitatẽ id :÷ uiiii. dexxi. reliquunt᷑ xii. Ex his rursus demo xii
suꝑs .ii. auisi ex nouenario detrahant᷑. senarius relinqt᷑. Quib: itẽ siqͥs t̾nariũ demat. in n¬
linquunt᷑ de qͥb .iii. detrahi nequeunt. atq hic: sibi ipsi aeqͣlis. Nã .ii. qͥdetrahebant᷑ usq

Expanded text:
 novenarium, relinquentur 20. Ex his ergo 20 rursus minorem detrahamus, id est 9, et relinquentur 11. Ex his rursus detraho 9, relicti sunt 2. Quos si detraho novenariquos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est 9 et 29, sosuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de 21, relinquentur 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam 3 qui detrahebantur, usque ad
Abbreviated transcription (Latin):
numeri re soluuntur. Ipsi uero neq: exaluis producuntur neq: in alia reducuritur.
D÷ Propterta qđ eadẽ imparis ꝓpͥetate formatus: sed nullã inseretinet substantiã
pͥncipalẽ cõpositꝰq: ex aliis numeris hab&q: partus & aseipso & ab alieno uocabulo deno¬
minatas. Siaseipso denominatã partẽ solã sẽꝑ inhis reperies unitatẽ. Ab a lieno uͦ uocabulo
ł unã ł Et ib& alias quanti fuerinit scilic& numeri qͥb ille c̃positis ꝓcreant᷑. Ut s̃ hi uiii.
ꝓpͥas scilic& unitates ut uiiii. Nonã id÷ .i .xu. qͥntã decimã : eadẽ rursus unitatẽ: Et in e&es
quos supͣ discripsim idem conuenit. habent &iã ab alieno uocabulo partẽ. ut uiniit̃tiã
eadẽ c̃ sequentia÷ Seđs aut̃ uocat᷑ hic numerꝰ. qm̃ ñ sola unitate metitur s & iã alio numero

Expanded text:
numeri resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur, neque in alia reducuntur.numeri resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur, neque in alia reducuntur.pterea quod eadem imparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas, sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem, ab alieno vero vocabuloumeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi, proprias scilicet unitates, ut 9, nonam, id est 1; 15, quintam decimam, eamdem rursus unitatem, et in caeteris quos supra descripsimus idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut 9, tertiam, a est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur, sed etiam alio numero
Abbreviated transcription (Latin):
numerus numerũ quotiens uł semel ł bis uł tertio. uł quotiens libet numerus ad
numerũ ẽparatꝰ. Neq deminuta summaneq aucta ad comparati numeri t̃minũ usq¬
quidã ꝑuenerit ꝑuenit ut .ii. siad .ui. compares. binarius numerꝰ senariũ tertio met
rimos ergo & imc̃positos nullus numerus metietur. p̃ter unitatẽ solam. qm̃ exnullis
aliis mimeris compositi sunt. sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicat
procreantur. Terenĩ unus .iii. & quinques unus .v. & septies unus .uii. fecerunt.
talii quidẽ quos supra descripsimus eodẽ modo nascuntur. hiaut̃ insemetipsos
multiplicati faciunt. alios numeros uelut primi. eosq primã rerum substantiã
iumque sortitos cunctorũ ase ꝓcreatoꝵ uelut quedã elementa reperies. Quia scilice
in cõpositi sunt& simplici generatione formati. Atq in eos om̃s qͥcumq exhis ꝓlati

Expanded text:
numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque diminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos, cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa reperies, quia scilicet, et incompositi sunt, et simplici generatione formati, atque in eos omnes quicunque ex his prolati sunt
Abbreviated transcription (Latin):
pͥm&m cõpositus inuenitur. TA IIII DEERIMΟ ΕT CO EOSITO
rimꝰ qͥdẽ & in compositꝰ÷ qͥ nullã aliam partẽ habet nisi eãquȩ a tota numeri quantitate
de nominatasit utipsa pars ñ sit nisi unitas. ut sunt. iii.x.uiixi. xiii. xuii.xuiiii .xxii
xxuiiii. xxxi. Inhi sergo singulis nulla umquã aliapars inuemetur nisi quae abipsis de¬
nominata ÷ & ipsatantũ unitas ut supra iamdictum. ẽ. Intribus enĩ una pars sola : iđ ÷
t̃tia quȩ atrib scilicet denominata ÷ & ipsa tertia pars unitas eodemq modo qͥnarii solau
quinta pars÷ & haec unitas atq idẽ in singulis consequens reperietur: Dieitur aut̃ pͥmꝰ
coi mõpositus. Quod nulliis eum alter numerus metiatur p̃ter solam quȩ cunctis mater
÷ unitatẽ. Nãq ternariũ .ii. ñ numerant. id circo qmsi soloduos ẽtratres cõpares pauciores
sumo Sin uero binarium bis facias amplior ÷ tribus ẽcrescit inquattuor. enetitur aut̃

Expanded text:
ompositus invenitur. CAPUT XIV. De primo et incomposito. Et primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet, nisi eam quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra jam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. Metitur autem
Abbreviated transcription (Latin):
m̃ surã. Age enł̃ duos nimeros ꝓpositos. habeamꝰ quos iub eam᷑ agnoscere. aneos aliqͣ c̃munis

Expanded text:
mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mensmensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mens
Abbreviated transcription (Latin):
Ua uͦ ratione tales numeros inuenire possimꝰ : siqͥs̃ nob eosdẽ ꝓponat & imꝑet agnoscere
utrũ aliqͣ m̃sura c̃m̃surabiles sint. ancerte sola unitas utrosq metiat᷑ reꝑiendi arstał
Datis enĩ duob numeris in aeqͣlib auferre demaiore minorẽ oportebit. Etqͥrelict᷑ fuerit simar
auferre exeorursus minorẽ. Siuͦ minor fuerit: eũ exreliqͦ maiore detrahere: atq: hor usq o
faciendũ : qͥ adunitas ultima uicẽ tractionis impediat. Aut aliqͥs numerꝰ impar necessariol
utriq numeri ĩpares ꝓponat᷑it. s eũ qͥ relinqͥt᷑ numerũ sibi ipsi uidebis aqͥlẽ Ergo sinimũ
incurtat uicissim ista sub tractio pͥmi c̃trase necessario numeridicent᷑. Et nulla alia m̃sura nisi
sola unitate c̃iuncti. Siu̾ ad aliq̃numerũ ut suꝑius dictũ ÷ finis deminutions incurrerit. era
numerꝰ qͥ metit᷑ utrasq sũmas. atq eundẽ ipsũ qͥ remanserit. dicemꝰ utrorũq cõmunẽ. ẽẽ

Expanded text:
s numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat, et imperet agnoscere utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, reperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo majore detrahere. Atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero ad aliquem numerum ut superius dictum est finis diminutionis incurrerit, erit ejus numerus qui metiatur utrasque summas, atque eumdem ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse
Abbreviated transcription (Latin):
is uero ẽtra se positis id ÷ pͥmo & inc̃posito & scđo & c̃posito & naturali diuersitate disiunctis.
& partis alieni uocabuli capax : Sed . fuerit ad aliũ tidẽ generis numerũ c̃parat᷑ nulla cũ eo
imuni m̃sura coniungit᷑. Nec habebunt partes aeqͥuocas ut sunt .viiii. adxxu. Nulla hos c̃munis
numeroꝵ m̃sura metit᷑. Nisi forte unitasquȩ om̃iũ numeroꝵ m̃sura c̃munis : Ethi qͥdem
ñ habent aeqͥuoeas partes. Nãque inxini. t̃tia ÷ in xxu. ñ ÷ et quȩ inxxu. qͥnta : innouenario
utrosq nulla alia m̃sura metit᷑ nisi unitas quȩ ab utrisq denominata ÷ Nã innouenario

Expanded text:
His vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt 9 ad 25, nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in 9 tertia est, in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas quae ab utrisque denominata est. Nam in novenario
Abbreviated transcription (Latin):
tq hoc ad imitationem cognationẽq numeri parit̃ paris a quo participatione tracta haerei
recognoscitur in generata ꝓpͥctas. Et in alio uero latere longitudinis. eadem ratio discripta¬

Expanded text:
atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei cognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descripti
Abbreviated transcription (Latin):
xx & xxuiii. idem erit. atq: in alia parte latitudinis eodem ordne qͥfiant numeri notati sunt.
Qeq ulla inreratio utriusq latitudinis discrepabit. Idẽq in eodẽ ordine inceteris numeris
Rursus si ad longitudinẽ respicias ubiduot̾mini unã medictatẽ habent. Quod fit ex multiplica¬
aa tremitatibus. hoc idem fit si medius t̾minꝰ suȩ capiat pluralitatis augmenta. Nãduo dedie scelan
faciunt . dlxxui medius corũ terminꝰ id÷ xxiiii. simultiplicetur eosdemrursus. dlxxui.¬
ꝓereabit. Et rursussix xiiii. &xcviimultiplicentur faciunt ĩ cce .iiii. Quoꝵ medius t̃minus idi xl
si insemetipsũ ducatur idem Ii cociin ꝓcreantur. Vbi aut̃ duo termini duas medietates
includunt. Iđ fit multiplicatis extremitatib hoc idẽ redditur in alterutrã summam
medictatibus ductus. Duo decies enĩ xcui. multiplicatis. ĩ clii. ꝓcreantur Dua uero eorũ
medi etates id÷ xxiiii. & xLuiii. sinse m& ipsas multiplicent᷑ eosdẽ. ĩ clurestituent

Expanded text:
 28, idem erit. Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepavit. Idemque eodem ordine in caeteris numeris Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit faciunt 576. Medius vero eorum terminus, id est 24, si multiplicetur, eosdem rursus 576 procreabit. Et rursus si 24 in 96 multiplicentur, faciunt 2304. Quorum medius terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idem 2304 procreatur. Ubi autem termini duo duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim 96 multiplicatis 1152 procreantur, duae vero eorum medietates, id est 24 et 48, si in semetipsas multiplicentur, eosdem in 152 restituent,
Abbreviated transcription (Latin):
partiũ exuberatione c̃tigerit. Hic ergo ex multipbei & suꝑ particulari c̃sistit. Quod eu
cõparatũ numerũ plus quã semelhabet multiplicis ÷ hoc uͦ qđ minorẽ in habenda paro
transcendit suꝑ particularts: Itaq exutroq nominefictãuo cabuld̃÷ speciesq etꝰ a dillarũ so
fiunt imaginẽ ꝓportionũ exqͥb ipse numerꝰ originẽ trahit. Nã pͥma pars huiꝰ uocabuli quꝰ
multiplicis nomine possessa ÷ multiplicis numeris pecierũ uocabulo nominanda iQuȩd¬
Dicet᷑ enĩ qui duplicẽ habueritaliũ numerũ. & eiꝰ mediã partẽ duplex sos qualter: Qui
tertiã duplex sesqͥt̃tius Qiiquartã duplex ses qͥ quartus &e deinceps eeCelurtusi etirede medoideer

Expanded text:
partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est, speciesque illius fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda eutem, qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus; et deinceps. Si ter habuer
Abbreviated transcription (Latin):
sequentias par es eligas. om̃iũ ab uno pariũ atq impariũ sese sequentiũ duplices eruitt
dẽq: inc&eris in infinitũ sum̃tib sine aliqͦ impedim̃to ꝓcedit. Triplices aut̃ nascunt᷑ suneadẽ dispo¬
sitione nat᷑ali duo seꝑ int̃mitant᷑. Et qͥ pꝰ duosr̃ ad nat᷑alẽ numerũ c̃parant᷑ excepto t̃nario qͥut unita
triplus sit. solũ binariũ p̃termittit. Post .i enĩ & ii. siii quitriplus unius : Rursus p̾iui &vs.vI. Qui¬

Expanded text:
consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, rii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duo sunt ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum et duo, 3 sunt, qui triplus unius est. Rursus post 4 et 5, su
Abbreviated transcription (Latin):
pͥncipiũ capit. Et in infinitũ ꝑt̃nariũ quã t̃ nariũq: & c& eroꝵ ordinẽ sequentiãq ꝓ gredit᷑.
Contra hunc uͦ discriminat᷑ : ille qͥuocat᷑ sub multiplex. Et haec qͦq pͥmaminoris qͣntitatis
species ÷ hic aut̃ mimr̃ huiꝰ modi ÷ qͥ ina lt̃ius cõparatione ꝓductꝰ plusꝗ semel maioris numenr
sũmã suascilic& qͣntitate . cũ eo aeqͣlit̃ inchoans. a qͣlit̃q: det̃minans. Idẽ aut̃ dico numerat qđ
metit᷑. Sigͥbissolũ maiorẽ numerũ minor numerus metiat᷑. subduplus uocabit᷑. si uͦ tersu¬
triplus. si qͣt sub qͣdruplus. & fit ꝑhȩc in infitũ ꝓgressio additaq: eos sẽꝑ sub p̃positi one
nominabis. Vt unꝰ duoꝵ subduplus. Triũ subtriplus .iiii. sub qͣdruplus appelletur & conse
in infinita c̃sidatione ũsant᷑. Si enĩ positis innaturali constitutione numeri singulos ꝑ sua

Expanded text:
principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamque progreditur. principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discrimris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consas generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas
Abbreviated transcription (Latin):
maius & minꝰ maiore minus ÷ & utraq ñ eisdẽ uocabulis quẽ ad modũ scđm aequal¬
comparantur.IXXII. DESPECIEDUS MAIORIS QUANTITATIS ETMINORIS
Mlertia suꝑ partiens Quarta multiplex suꝑ particularis. Quinta multi plex suꝑ partiens.
ut ei sdẽ nominib: nuncupent᷑ sola tantũ subp̃positione distantes. Dicitur enĩ submulti plos
sub suꝑ particularis. sub suꝑ partiens. multiplex sub suꝑ particularis. & multiplex subsuꝑ
ursus multiplex ÷ pͥma pars maioris in aequalitatis. cunctis aliis antiqͥor. naturaq
contraquẽ cõparatꝰ ÷ habeat plusq semel qđ pͥmũ innaturalis numeri dispositione conueni
Nãq ad unũ cuncti qͥ sequunt᷑ omiũ ordine multipliciũ sequentias uarietatesq custodium
Id pͥmũ enĩ iđ unitatẽ ii. duplus m. triplus .iiii. quadruplus .v. qͥnquplus atq: ita in ordin
ꝓgredientes om̃s texunt᷑ multiplices qͣntitates. Qđ aut̃ dictũ : plusꝗ semel id abinario numo

Expanded text:
 minus majore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalcomparantur. CAPUT XXII. De speciebus majoris inaequalitatis et minoristertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, suRursus multiplex est prima pars majoris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti qui sequuntur, omnium ordd primum enim, id est unitatem, 2 duplus, 3 triplus, 4 quadruplus, atque ita in ordinem progredientes, omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus quam semel, id a binario numero
Abbreviated transcription (Latin):
Inis uõ tetragon̾ siei ꝓpͥũ latꝰ ad dat᷑. uł eodẽ rursus demat᷑ parte alt̃alongior fit naq nis fiant
sutua et asuis se finib c̃tinente substantia descendens. aut in maius exuberat. aut in minora
desetescr.Ixxa .uI. QUoDprinciraliter eisdẽQuidẽsit eusstantiae unitas. Scđo ueroloco
aparis iomeꝵ. tertio euadrati. et prunciealit̃ dualitas alterius Sit soss tantiae. Secui
tdd aims mutationisq eẽ pͥncipiũ. Scđo uõ loco om̃s impares numeros ꝓpt̃ unitatis cognitionẽ eiꝰ dem
iqut abili eos naturȩ ꝓnuntiabo c̃iunctos. Qđ uõ partealt̃ alongiores ex copulatione pariũ ꝓcranit᷑
uquã abalt̾itaris uarietate separant᷑. Ixxxxuii. De alt̃uatim rositis &uabutis et rantealtalb¬

Expanded text:
o tetragonus si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 4 tetranatura, et a suis se finibus continenti substantia discedens, aut in majus exuberat, aut in minora decrescit CAPUT XXXVI. Quod principaliter ejusdem quidem sit substantiae unitas, secundo vero loco impares numeri, tertio quadrati, et quod principaliter dualitas alterius sit substantiae, secunderitatis mutationisque esse principium. Secundo vero loco, omnes impares numeros propter unitatis cognationem, ejusdem immutabili eos naturae pronuntiabo conjunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium, procreantur, nunquam ab alteritatis varietate separantur. CAPUT XXXVII. Alternatim positis quadratis
Abbreviated transcription (Latin):
Quntũ deide si uideas locũ .x ui.et lxxxi. respicies sed unꝰ aquatnario nascit᷑ alt̾um noue narius co
Et sinonũ loc̃ rursus aspicias. tetragonos ꝑ notabis . cclui. uidlxi. Quorũ suꝑior fit a xui. infenios
ab lxxxi. Idẽ si in infinitũ facere libeat. In discrepant̃ incurrit.
ꝓsi uõ cybi qͥ quãquã trib int̾uallis sublatisint. tam̃ ꝓpt̃ aequalẽ multiplicationẽ participant
im mutabili substantiȩ. eiꝰdẽq naturȩ s̃socii. ñ aliorũ quã impariũ coacematione ꝓducusũ
nũquã uõ pariũ. Nãsi om̃s ab unitate impares disponant᷑ iuncti figuras cybicas explicabunt Iu¬

Expanded text:
Quintum deinde si videas locum, 16 et 81 respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus aspicias, tetragonos pernotabis 256, 6561, quorum superior fit a 16, inferior vero ab 81. Idem, si in infinitum fasi vero cubi, qui quanquam tribus intervallis sublati sunt, tamen propter aequalem multiplicationem participant immutabilis substantiae, ejusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam imparium coacervatione produntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate impares disponantur, juncti figuras cubicas explicabunt. I
Abbreviated transcription (Latin):
incĩmodi armonicis medietatib in uenit᷑. Sint enĩ eiꝰ modi armonicȩ medietatis t̃mini. quorum
ettremi duplisint. et rursus alia huĩ modi dispositio. quorũ extimi tripli. hoc modo

Expanded text:
in ejusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum in ejusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Sint enim ejusmodi harmonicae medietatis termini quorum extimi dupli sint, et rursus alia hujusmodi dispositio quorum extimi tripli. Senarius
Abbreviated transcription (Latin):
onsiderandũ forsitan uideat᷑ cur hanc armonicã medietatẽ uocemꝰ. Cuiꝰ hȩc ratio ẽ. qm̃ arithimetica
Idispositio ȩ qͣs tantũ ꝑ differentias diuidit quantiates. Geometrica uõ t̾minos equ a ꝓportione
c̃iungit. Atuõ armonica ad aliquid qͣdã mͦ relata c̃sideratione neq solũ in t̾minis speculationẽ ꝓportionis ht̃.
neq solũ in differentus sed utrisq cõmunit̃. Querit enĩ ut quẽadmodũ s̃ad se extremit̃mini. sic maioris ad
mediũ differentia contra differentiã medietanis ad ultimũ. ad aliqͥd aũt c̃siderationẽ armonicȩ¬
eeẽ in pͥmi libii rerũ omiũ diuisione monstiauimꝰ. Ipsirũ qͦq musicarũ c̃sonantiarũ quassrmpho¬
nas nominant ꝓportiones. in hac pene sola medietate frequent̃ inuenias. Nãq symphonia diatessaron
q̃ pͥnceps .e. et qͦ dã mͦ uĩ obti nens elem̃ti. c̃stituit᷑ scilicet in epurita ꝓportione. ut ẽ quat̾narius ad t̃nariũ

Expanded text:
medietatem vocemus. Cujus haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione conjungit. At vero harmonica ad aliquid quodammodo relata consideratione, neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic majoris ad medium differentia, contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem, considerationem harmoniaererum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum quas symphonicas nominant proportiones, in hac pene sola medietate frequenter invenias. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, constituta scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium,
Abbreviated transcription (Latin):
In eadẽ qͦq medictate et diapente symphonia cõponit̾. quã sesqualtã habitudo restituit. Nã in utrisq
diapente symphonia c̃iungit᷑ talifigira
Cost hunc aut̃ diapason c̃sonantia q̃ fit ex duplici
ut ẽ subiecta fomula.
Intripliciqͦq dispositione simul diapente et dia pason srmphonia cõponit᷑. seruans sesqualta¬

Expanded text:
In eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesquialtera habitudo restituit. Nam in utrisqudiapente symphonia conjungitur. Post hanc autem diapason consonantia, quae fit ex duplici, ut est in subjecta formula. In triplici quoque dispositione, simul diapente et diapason symphonia componitur, servans sesquialte
Abbreviated transcription (Latin):
eue neq eisdẽ suis partib medius ł uinc̃ minorẽ ł amaiore uincit᷑. neq eade parte ł minorismino¬
rem suꝑat. ł maioris a maiore relinqͥt᷑. sed qua parte sua mediꝰ ĩminꝰ minorẽ suꝑat. eadẽ parte sua
maior t̃minꝰ mediũ uinc̃. qđ ẽ ut medietas atq extremitas equalib medietatẽ et extremitatẽ
reliquã suispartib suꝑuadant. In hac enĩ dispositione q̃e .iiii.uI.uIII. tertia sui parte medisenari
ur monica medietas. ut cũ duas extremitates in unũ redactas medietas multiplicauerit. dupla
quantitas colligit᷑. quã si se multiplicent exiremitates. Sint enĩ hi t̃mini . in .iiii .ui. Sigͥ t̾nat¬

Expanded text:
 minorem, vel a majore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat, vel majoris a majore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua major terminus medium vincit. Quod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant. In hac enim dispositione, quae est 4, 6, 9, te tia sui parte medius senaam proprietatem harmonica medietas, ut cum duas extremitates in unum redactas, medietas multiplicaverit, dupla quantitas colligitur, quam si se multiplicent duae extremitates. Sint enim hi termini 3, 4, 6. Si igitur t
Abbreviated transcription (Latin):
fferena tm norũ suꝑius diffinitũ ẽ. hanc aut̃ arithmeticã medictatẽ numerorũ ipsa ratio dedarabit¬

Expanded text:
differentia terminorum superius diffinitum est. Hanc autdifferentia terminorum superius diffinitum est. Hanc aut
Abbreviated transcription (Latin):
sationesq descriptȩ s̃. ubi u. maiorib ꝓportion ib quas duces uocauim. minores aptauimꝰ aliost̃minos qͦs¬
nites diximꝰ. Inde etiã in aristorelica atq architȩ pͥus .x. p̃dicam̃torũ discriptione prthagoricũ denar
manifestũ ẽ inueniri. Quando qͥdẽ et plato studiosissimꝰ prthagorȩ scđm eandẽ disputationẽ diuidit. Et
particulȩ. Inde alia ꝑmulta q̃ om̃a ꝑseqͥ ñ ẽ necesse.
uncuõ de ꝓportionalitatib deq medietatib dicendũ ẽ . Et pͥmũ qͥdẽ de ea medictate tractabimꝰ quȩ
isodm qͦntitatis ȩ qualitatẽ neglecta ꝓportionis parilitate estitutorũ tminorũ habitudines seruatꝰ.
is ant qntitatib medietas ista u̾sat̃ inq his speculanda ẽ in qͥb a se ipsistmini differ̃. Quid aut eẽt

Expanded text:
rationesque descriptae sunt, ubi quirationesque descriptae sunt, ubi quiAristotelica atque Archytae prius 10, praedicamentorum descriptione, Pythagoricum denarium manifestum est inveniri. Quandoquidem et Plato studiosissimus Pythagorae secundum eam disputationem dividit, et particulae, inde alia permulta quae omnia persequi non est necesse. endum est. Et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem, neglecta proportionis parilitate, constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a seipsis termini differunt. Quid autem esset