comma-project/pen-alignment-pairs huggingface dataset:
Abbreviated transcription (Latin):
iIII ad uiii. et ꝑmutatĩ quẽ ad modũ iurad unũ: sic uiii adbinariũ. Scđm quantitatẽ uõ numer
ut s rii . ii .iiii. Quantũ enĩ .i. a duob uincit̾. tantũ t̃narius aquat̃nario suꝑat᷑. Et quantũ .ii. unũuin¬
nt. tanto ternariũ quat̾narius transit. ꝑmixtĩ etiã quanto .i. iͦi minor ẽ. tantobinarius quat̃naro
uł quantot̾narius unitatẽ suꝑat. tanto binariũ transgredit᷑ quat̃narius:
hae tres medietates sunt. arithmetica. geometrica armonica. Post quas ꝓportionũ habitudines
aliae s̃q̃sine nõe qͥdẽ ferunt᷑: uocant̾ aut̃ quarta. qͥnta uł sexta. q̃ suꝑius dictis medictatib oppositae s. At uõ
steri ꝓpt̃ denarii nũri ꝑ fectionẽ : qđ erat pyehagorȩ cõplacit. medietates alias. iiii addider̃ ut in his
ortionalitatib denariae qͣntitatis corpus efficerent. Scđm quẽ nũrum et pͥores . v. habitudines cõpa.¬

Expanded text:
inarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt 1, 2, 3, 4, quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur. Et quantum duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam, quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat tanto binarium transgreditur quaternarius. hae tres medietates sunt arithmetica, geometrica, harmonica. Post quas proportionum habitudinesictis oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quatuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus, denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines compa
Abbreviated transcription (Latin):
sesqualt̃. Et incct̾is idem uidebis. Sin aut̃ ꝑmiscens et aliqͦs p̃teriens eligas. et inhisaliquã speculation
ponas. idem poterit euenire. Nã si ȩquales t̃minos int̾mittas. et uno sese in pͥiore dispositione p̃t eu
si singulos int̾mittas. solius binarii notabit᷑ differentia. Si uõ .ii. p̃t̃eas. ternanii. si in. quatnaru. si nu¬
qͥ narii et ad eundẽ modũ uno plus quã int̾miseris. erit illa quã quę̧rimꝰ differentia t̃minorũ. Nãꝗs
in trib t̃minis singuli relinquant᷑. bi nariussemꝑ interit. hoc descriptionis modo:

Expanded text:
sesquialter, et in caeteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem sesquialter, et in caeteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales terminos intermittas, et sese in priore dispositione praetereant, si singulos intermittas, solius binarii notabitur differentia, sin vero duo praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, et ad eumdem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquantur, binarius semper intererit. Videsne ut cum
Abbreviated transcription (Latin):
rithmeticã medictatẽ uocamꝰ qͣtiens uł trib ł qͦtlibet t̃minis positis ȩquał atq eadẽ differentia
onĩs dipositos t̾mi nos inuenit᷑. in qua neglecta ꝓportionis ȩqualitate t̃minorũ tantũ
spositione siqͥs c̃tinuatĩ differentias t̃minorũ curet aspicert. scđ̾m arithmeticã medietatẽ ȩquas
norũ int̃ se discrepantia ẽ. acquales enĩ s̃ differentiȩ sed eadẽ ꝓportio atq habitudo ñ ẽ. Sigͥ intribrit¬
consideratiosit: continua ꝓportionalitas dr̃. Sin uõ hic alius dux et alius comes. illic uõ utriq sint aliꝰ
uocabitur disiuncta medietas. Sigͥ intrib tantũ t̃minis scđm continuã medietatẽ respexeris. ł in in
idsi in uno qͥs nouerit. reliqua eũ ratio ñ latebit. sit c̃tinua medietas.i.ii.iii. hic .i. aduob et .ii. a trib sal
tantũ sitigulis distant. Ets̃ eȩdẽ differentiȩ. ꝓportionesuõ aliȩ. Nãq .ii. ad unũ duplus ẽ .iii. aũt adi

Expanded text:
 tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum i dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa terminorum inter se discrepantia est. Aequales enim sunt differenticonsideratio sit, continua proportionalitas dicitur. Sin vero hic alius dux et alius comes, illic vero utrique sint alii, vocabitur disjuncta medietas. Si igitur in tribus tantum terminis secundum continuam medmutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eaede
Abbreviated transcription (Latin):
quis por tionalitatib anteponere. ł mũ qđ hanc nob in pͥncipio ipsa nũrorũ natura. et iusnaturd qͣntitatis
snit Fluiꝰ modierũ proportiones q̃q ad t̾minorũ differentias ꝑtinent. ut paulopꝰ demonstrabit᷑ in natu¬
suis pmũnũ dispositione cognoscimꝰ de inde qđ suꝑiore libro disputantib nob̵ apparuit arith meticã
geometrica atq musica eẽ antiqͥorẽ et qđ illata ñ hassimul inferret. sublata uõ ꝑ imeret. qͣre
dine disputatio progrediet᷑ si ab ea pͥus inchoandũ sit medietate q̃ in nũri differentia ñ in ꝓportioras

Expanded text:
um natura, et vis naturalis quantitatis opponit. Hujusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem, et quod illata, has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio progreditur, si ab ea prius inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis
Abbreviated transcription (Latin):
icet geometricã ꝓportionẽ uñ formȩ solidȩ tria int̃ uali. dicunt᷑ habere. est enĩ unũ int̃ uallũ apmo adscm
slidẽ trib c̃tneri dicunt᷑. Sint enĩ duo tetragoni .iiii. scilicet et uiiii. horũg unꝰ tintũ medius in eadõ
ntione c̃stitui potest. Nãq senarius ad iiii. sesqualt̃ ẽ et uiiii. ad senariũ eodẽmͦ sesqualt̃ . ħ aut idcirco euent¬
sul dara singulorũ tetragonorũ efficiunt senariã medietatẽ. Nã quatnarui tetragoni lat᷑ binariuse. noue¬
ues ter narius. hi gͦ multiplicati senariũ ꝑfecer̃ Bis enĩ iii senarius ẽ e q tienscũq datis duob tetrigonis eo¬

Expanded text:
icet proportionem. Unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad 4 sesquialter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter. Hoc autem idcirco evenlatera, singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Namque quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius; hi ergo multiplicati senarium perfecerunt. Bis enim tres senarius est.
Abbreviated transcription (Latin):
efficit᷑. tot ad c̃iunctionẽ impares apponunt᷑. Hoc aũt diligentius subiecta discriptio docet.
ad musicas speculationes uł ad astromicas subtilitates. uł ad goe metricȩ considerationis uim uł
etiã ad uet̾um lectionũ intelligentiã ꝓ desse possint arithmetica in troductione cõmodissi me
t̃minare. Est gͥ ꝓportionalitas duarũ uł triũ. uł qͦt libet ꝓportionũ assũptio ad unũ atq collecti
Ut aut̃ cõmunit diffiniamꝰ. Proportionalitas c̃ duarũ uł pluriũ proportionũ simił habitudo. et iãsi ñ eisdẽ
quantitaab et differenti is c̃stitutȩ sint. Differentia uõ ẽ int̃nũros qͣntitas. Proportio ẽ duorũ t̃mino
adse inuice qdã habitudo et quasi qͥdã m ẽtinentia. Quarũ cõpositio qđ effic̃ ꝓportionale ẽ Ex iun
enĩ pporaionibi ꝓ potbionalitas fit. Intrib aut̃ t̃minis minima ꝓportionalitas inuenit᷑. Eit euã i

Expanded text:
efficitur, tot conjunctione impares apponuntur. Hoc autem diligentius subjecta descriptio docet: ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometricae considerationis vim, vel etiam ad veterum lectionum intelligentiam prodesse possint, arithmetica introductione commodissime terminare. Est igitur proportionalitas, duarum vel trium vel quotlibet proportionum, assumptio ad unum atque collectio. Ut autem communiter definiamus: Proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est, inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodammodo continentia. Quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex junctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in
Abbreviated transcription (Latin):
serentiã medui aiq postremi. Hãq in hac ꝓportione q̃ẽ .iii .iiii .ui. maior t̃minꝰ idͥ senarius ad pariussimũt¬
id tnariũ duplus ẽ: Et differenna maximi et medii. iđ senarii. et quat̾narii. duo scilieet ad differentiã nedi
Haber ait ꝓpͥetatẽ quẽ admodũ dietũ ẽ c̃trariã arithmneticȩ medietati In illa enĩ inminorib tnuns
mabi erat pportio inenaiorib minor in hacuo. in maiorib qͥdẽ t̃minis. maior ẽ ꝓportio Inmino nbi
ma eninor Naq inhac dispo sitione ii.iii.ui. iiiadii cõparani sesqͥt nã habituine: uiuo ꝗd iu sesqui¬

Expanded text:
erentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, major terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad differentiam medii utem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim, in minoribus terminis major erat proportio, in majoribus minor; in hac vero, in majoribus quidem terminis major est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione
Abbreviated transcription (Latin):
e aedẽ qͦq differentiȩ minbilẽ in modũ a toto ꝑseqntes partes. et ꝑ easdẽ unitates qͥb suꝑius creueriut
grediunt᷑. Nãq int̾ unũ eiduotantũ unitas int̾cedit . q̃ unitati. cui ȩquał ẽ. totũ eybinor
duo denarũ quartae. et ad eundẽ modũ usq in sinẽ descriꝑtionis geminatis huiꝰ modi partib: sic̃
lud aut̃ aꝑtissimũ signũ e om̃s tetragonos im parib eẽ cognatos. qđ in om̃i dispositione ab uo
Disponamꝰ enĩ in ordinẽ nũros. pͥmo qͥdẽ duplos. deinde triplos. hoc modo:¬

Expanded text:
easdem unitates quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitati cui aequalis est totum est, est, duodenarii quarta est, et ad eumdem modum usque in finem descriptionis, geminatis hujusmodi partibus, siclud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos imparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab unoDisponamus enim in ordinem numeros
Abbreviated transcription (Latin):
UI.aiiII. eodẽ binario distant. In seq̃ntib etiã eodẽmͦ sic̃ in pͥmis fuit ratio c̃stat. Nãq eadẽ ꝓpot
ẽ : differentiis ñ cisdẽ . Nã iiii. ad ui. et ui. ad .uiiii. sesqualt̾a ꝓportione iungunt᷑ .ui. aũt quat᷑nan¬
um duob uIIII. uõ senariũ trib p̃t̾eunt. Inseq̃ntib enã eadẽ ratio speculabit᷑: et sẽꝑ alt̾natĩ nunc
qͥdẽ eȩdẽ ꝓportiones. aliȩ differentiȩ: nunc aut̃ ordine ꝑmutato isdẽ differentiis aliȩ ꝓportiones
semꝑq in qͥb differunt scđ̾m naturał nũri ordines tetragoni et parte alta longiores sese suꝑabun
tantũ qđ geminatis sũmulis. natural nũri fit ꝓgressio. qđ mirũ uideri non debet. Nosenĩ ipsas
sũ mas tetragonorũ et parte alta longiorũ geminamꝰ ad pͥmas scđasq ꝓportiones ħ descriptioni no¬

Expanded text:
bus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio bus, et 6 a quatuor, eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est differentiis non eisdem. Nam 4 ad 6 et 6 ad 9, sesquialtium duobus, 9 vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur, et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem, ordine permutato, iisdem differentiis aliae proportiones. Semperque in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet, nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminamus ad primas secundasque proportiones. Eaedem
Abbreviated transcription (Latin):
lud g̾ ꝑspiciendũ ẽ. qđ si idẽ tetragoni et partealtalongiores disponant᷑. ita ut altnatĩ sibi ꝑmixtisint.¬
anta in his ẽ c̃iunctio ut alias sibi in eisdẽ ꝓportionib comunicent. d serepent aũt differentus¬
alias uõ differentiis pares sint. ꝓportionib distent. Disponant᷑ enĩ in ordinẽ idẽ illi suꝑiores teaig
maxi me intuendũ ẽ. Nãq int̾ unũ ꝗͥ ẽ tetragonꝰ. et .ii. dupla ꝓportio ẽ. Int̾ ii.et iiii. dupla: hic erg
tetragonꝰ cũ parte alt̾a longiore. atq hic cũ seq̃nte tetragono eadẽ ꝓportione iungunt᷑: differta
uõ ñ isdẽ: Nãq duorũ atq unius sola unitas differentia ẽ. sed idẽ duo a quat̾nario solobinario
relinquunt᷑. Rursus si ii .adiiii. speculeris. dupla ẽ ꝓportio.si .iiii. ad ui. habitudinẽ sesquib
recognosces. hiergo in ꝓportionib discrepant. Indifferentus pares sunt. Nãq et iiii. ad uob

Expanded text:
spiciendum est, quod si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est conjunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentAlias vero differentiis, pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem iidem illi superiores tetragoni, maxime intuendum est. Namque inter unum, qui est tetragonus, et 2, dupla proportio est, inter 2 et 4 dupla. Hic ergo tetragonus, cum parte altera longiore, atque hic cum sequente tetragono, eadem proportione junguntur, differentiis vero non iisdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed iidem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus, si 2 ad 4 speculeris, dupla est proportio: si quatuor ad sex, habitudinem sesquialteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differentiis pares sunt. Namque et quatuor a duo
Abbreviated transcription (Latin):
noliȩ quantitatis habitudo ꝓducit᷑. Si aut̃ tertiũ tertio. sesqͥtertia ꝓportio ꝓcreat᷑. Si dei quartũ
ma. Si qͦq octauũ octauo. ses qui octaua. Si interea nonũ nono sesqͥ nona. Et hinc suꝑ particulari ũ norm
inquã ius longissimũ spatiũ ꝓgredi ens. in tegrã in offensãq reperies. ita ut in pͥma dupli ꝓportione
unitatis solius sit differentia . ii. nãq ab uno. sola sẽꝑ discrepant unitate. Insesqualtã uõ ii ẽ differentia
sumerorũ qđ ad differentias attinet uno tantũ crescit adiectio numerorũ q̃ adiectiones in ordinẽ dite¬

Expanded text:
undum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur. Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum intum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesquialtera vero duorum est differentia, numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adjecto numerum explicans naturalem. Si
Abbreviated transcription (Latin):
pͥncipii reũsione form ant᷑. Ist enĩ circulusposito qͦdã puneto et alio eminꝰ defixo illius puneti quiem in
fixus : eq̃lit distans: apͥmo pincto circũ ductio et ad eundẽ locũ reũsio un mouercoepera. Spheran
÷ semi circuli manente di pnetro circũ duetio et adeundẽ locũ reu̾sio uñ pͥus coeperat ferri
Unitas qͦq et uirtute et potestate ipsa qͦq circulus ł sphera ẽ. Quotiens enĩ punetũ inse mubt¬
caueris. in se ipsũ un coeperat t̾minat᷑ Sienĩ faciat semd unũ un redit: si hoc semel idenẽ¬
et sib rursus semel idẽ c̃sici᷑. Igit᷑ siuna fuerit multiplicatio solã planitudinẽ  pddit ee fit
circulus. Siscđa moꝵx spher conficit᷑. Et enĩ seđa multi plicatio. effecirix seꝑ̃ ẽ ꝓsunditatis. Exa
gͥ et ui. paucas huiꝰ modi formas subscripsi mꝰ talmͦ
lxxxi

Expanded text:
ncipii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo, illius puncti qui eminus fixus est aequaliter distans a primo puncto circumductio, et ad eumdem locum reversio unde moveri coeperat. Sphaera vero est semicirculi, manente diametro, circumductio et ad eumdem locum reversio unde prius coeperat ferri. Unitas quoque, virtute et potestate, ipsa quoque circulus vel sphaera est, quoties enim punctum in se multiplicaveris, in seipsum unde coeperat terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit, et fit circulus. Si secunda, mox sphaera conficitur. Et enim secunda multiplicatio, effectrix semper est profunditatis. Ex 5 igitur et 6, paucas hujusmodi formas subscripsimus: CAPUT XXXI
Abbreviated transcription (Latin):
anima ł mens ẽ. ł qđcũq ꝓrȩ naturȩ incorporalitatebeatur. aut mutabił uariabilisq naturȩ. qđ corpos
indubitant̃ uidemꝰ accedere un nunc nob monstrandũ ẽ hac gemina numerorũ natuta quadratorũ scilis
et partealta longiorũ eunctas nũri species. cunctasq habitudines. uł aliqͥd relatȩ quantiratis ut mulapli
ł suꝑparticulariũ et cȩtorũ ł adseipsã c̃sideratȩ ut formarũ quasdudũ in suꝑiore disputatione descrio
informari. ut quẽad inodũ mundus eximmutabili muta biliq substantia sic omis numerꝰ exten¬

Expanded text:
nque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis, variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum, cunctas numeri species cunctasque habitudines, vel relatae ad aliquid quanti superparticularium et caeterorum, vel ad seipsam consideratae, ut formarum quas dudum in superiore disputatione descripsimus informari, ut quemadmodum mundus ex immutabili, mutabilique substantia, sic omnis numerus ex te
Abbreviated transcription (Latin):
Et qm̃ omũs cibis ab eqͥlat᷑is quadratis ꝓ fictis. equus ipse om̃ib partib ẽ. Nã et latitud ini longitudo ehs
necesse ẽ : huic oppositũ contrariũq. et̃ cporte Nũ qͥneq longitudinẽ latitudini neq h̃ duo ꝓsundet
gentu ȩqualia. sed cunctis in equalib quaissolidã figura ab equalitate eybi longissime destare uidet᷑.
hȩc aut̃ forma gc̃o nõe ciliuunoe ucatur nos uõ gradatũ possum dicere. qđ ire modo uelia gradb
illã re ẽstringendũ cunets formant neq latiudinis neq longitudinis neq altitudinis habita ratione sedqͣta
comodũ fueria. ⁊antũ ł lattudini minuit᷑ ł crassitudini ꝓfunditatis ugot atq id eo hos plerũq netesse ẽ omĩb
partib in eqͣlib inueniri. Quidã uõ hes Bonicnoc uocant iđ qͥsdã arulas q̃ in riiciua gretiȩ regioneut
an nicomachus hoc mꝰ formatȩ fuer ut neq altati de latitudini. neq ħ longitudini c̃ueniret. Vorat᷑ aut alis

Expanded text:
am omnis cubus ab aequilateris quadratis profectus, aequus ipse omnibus partibus est, nam et latitudini longitudo, et his huic oppositum contrariumque esse oportebit, qui neque longitudinem latitudini, neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida figura sit, ab aequalitate cubi longissime distare videatur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur, nos vero gradatam possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus illam rem constringendam cuneos formant, neque latitudinis, neque longitudinis, neque altitudinis, habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas quae in Ionica Graeciae regione ut ait Nicomachus hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini, neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis
Abbreviated transcription (Latin):
rd: ab numeri specie naturarerũ sũpsisse uideatur. Sin gͥ duo uersus tetragonorũ ab unitate om̃ũ.

Expanded text:
rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a
Abbreviated transcription (Latin):
coniungi᷑. q̃ mani festas ȩqͣlitatis atq in ȩqͥlitatis eiꝰde atq. altĩus. diffinitȩ atq indiffinitȩ ee substanuae
Qd uidelicet ñ si ne causa dictũ ẽ. omã q̃ ex c̃trariis consisterent armonia quadã c̃iungiatq cõponi. Est enĩ
armonia plurimorũ ad unatio. et dissentientiũ c̃sensio Ixxx iii. auopers p̃e ats alterios inuerim¬
Quis auabrati et rar tealtera lonsiores omnes prosornonỹ hadm pines c̃sistant:
isponant᷑ gͦ in ordinẽ eñ iã pares atq impares exqͥb quadrati ł partealta longiores fiunt: sed hi
ipsi qͥ illis coaceruatis in unũq redactis et quadrati  parte altalongiores ꝓdeunt. Ita enĩ ui debimꝰ
istorũ quendã consensũ. et ad cet̾as numeri partes ꝓcreandas amicitiã. ut ñsine causa hoc in omib

Expanded text:
conjungitur. Quae manifesta sunt, aequalitatis atque inaequalitatis, ejusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse substantiae. conjungitur. Quae manifesta sunt, aequalitatis atque inaequalitatis, ejusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia quae ex contrariis consisterent, harmonia quadam conjungi atque componi. Est enim harmonia, plurimorum adunatio, et dissentientium consensio. CAPUT XXXIII. Ex ejusdem atque alterius numerialtera longior, omnes proportionum habitudines constare. Disponantur ergo in ordinem non jam pares atque impares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus
Abbreviated transcription (Latin):
et det̃minae. et eĩdẽ substantiȩ eẽ dicunt᷑. E a uõs uł q̃ ab ȩqualib crescunt nt quadriti. ł qͣs ipsauhensibi
format iđ imnpares. At uõ binarius et euncti partealta longiores qͥ a finita substantia discesserant. ua
eximparib scilicet et parib Nic enĩ stabilitas. illic in stabił uariatio hic immutabił sustantiȩ robu
illic mobił ꝑmutatio. hic desinita soliditas. illic in finita c̃geries multitudinis. Quȩ scilicet cũsin
c̃taria in unã tam̃ qdã mͦ amcitiã cognationẽq miscent᷑ et illius unitatis in formatione atq regim̃to
nominat qͥ eqͥd in mundo ẽ atq aliud in sua natura ꝑ manere pitat in diuiduũ inc̃iuncuuq et rerum
omiũ pͥmu altum diuisibile. et nũquã in ꝓpͥi statu ordinis ꝑmans Philolaus uõ necesse ẽ inquit
scilcet eȩ aut ex infinita ad numeri si dubio si militudinẽ. Hic enĩ ex uno et duob et impari atq pari

Expanded text:
unt, quae vel ab aequalibus crescunt velut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est, impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, varex imparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio; hic immobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, hic infinita congeries multitudinis. Quae, scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur, et illius unitatis informatione atque regimento, nominat, quidquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat individuum inconjunctumque et rerum omnium primum, alterum divisibile et nunquam in proprii statu ordinis permanens. Phyloaus vero: Necesse est, inquit, sistere, aut ex infinita, scilicet esse, aut ex finita, ad numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus, et impari atque pari
Abbreviated transcription (Latin):
e ex pͥmo ordine om̃s tetragoni hocmͦ. unũ enĩsi respexeris. pͥmꝰ potestate tetragonꝰ ẽ. Sin nõ unũ trii us
ccacerua ueris .iiii. tetragonus ex orit᷑. huic si qͥ nariũ iungã. nouenarius rursus occurrit. Nuic sicopi les
exscb pariatis ordine idem cuncti parte alt̾a longiores fiunt. Nãq si duos pͥmo respexero. huiꝰ modi michi
nũtus occurrnt qͥfit exbis uno. Cũ uõ duob seq̃ntes .iiIi. iunxero. parte alt̃a longior rursus erit nũrus ser
scilicet qͥ fit ex bis trib cui si seq̃ntẽ aggregaueit. nascet᷑ mihi duodenaria forma . q̃fit exquat̃ trib: qđ sic̃tinuaã¬

Expanded text:
et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo: Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, 4 tetragonus exoritur. Huic si quinarium jungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules ero ex secundo paritatis ordine, iidem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primos respexero, hujusmodi mihi numerus occurrit qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes 4 junxero, parte altera longior rursus erit senarius, scilicet qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem aggregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continua
Abbreviated transcription (Latin):
ne mutabił substantiȩ ẽ ut cũ uł se ipsa multi plicauerit. ł in planitudine ł in ꝓfunditate: ł si alũ qũ libe
nũrum ꝑ se ipsa multiplicet. a pͥoris qͣntitatis forma ñ discrepat̃. Nãq si unũ semel facias. ł si ii.sa d łsi i
semel. ł si .iiii. semel. ł quẽlibet aliũ nũrũ multiplicet a qͣntitate sua is quẽ multiplicai nũrus ũ recede.
qđ circa aliũ numerũ ñ porest inueniri. Paris uõ ordinis binariũs numerꝰ pͥnceps ẽ. q̃ dualitas cũ in eidẽ orbe
numerũ insuã c̃globet qͣntitatẽ. c̃tinuo alt̃ exoritur. Nãbis duo ł duobis sifacias ł bis tres ł bis .iiii. łbis .
ł quelibet aliũ multiplicet. qͥsqͥs hinc nascit᷑ alius quã pͥmo fuerat inuenit᷑. Nascutit᷑ aũt ex suꝑiore descripu

Expanded text:
nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet nec mutabilis substantiae est, ut cum vel seipsam multiplicaverit, vel in planitudine, vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per seipsam multiplicet, a prioris quantitatis forma non dsemel, vel si quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is quem multiplicat numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis, binarius numerus princeps est, quae dualitas cum in eodem ordine numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis duo, vel bis duo bis, si facias, vel bis 3, vel bis 4, vel bis 5, vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione,
Abbreviated transcription (Latin):
Quare dicendũ ẽ imparẽ numerũ eidẽ atq in sua se natura tenentis in niutabilisq substantię eẽ
participem. Idcirco qđ ab unitate formetur. Parẽ uõ alt̾ius plenũ eẽ nnrȩ. Idcirto qđ a dualitate
facit. coaceruatio uõ pariũ. suꝑiores effic̃ parte altalongiores. Quare qm itragonorũ hratura ẽ . ut ab imparib
ꝓereent̃ qͥs unitatis participes iđ eĩdẽ immutabiłq substantie cunctisq patib suis ȩquales s̃ qđ et anguli angul
e lat̾a latib: et longitudini cõpar ẽ latitudo dicendũ ẽ huiꝰ modi numens eidẽ naturȩ. atq immutabr
substantiȩ participes: illos uõ numeros. quos parta alta longiores paritas ereat: alt̾ius dicemꝰ ẽẽ sibstanue
Q uare disponant᷑ in ordinẽ om̃s ab uno impares. et sub his om̃s abi naro numero pares. ut ẽ hoc¬
Est ergo pͥnceps imparis ordinis unitas q̃ ipsa qͥdẽ effeciria. et qͦdãmꝰ sorma q̃dã ẽ imparitatis. q̃ in taritũ eia

Expanded text:
Quare dicendum est imparem numerum, ejusdem atque in sua se natura tenentis, immutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero, alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare, quoniam tetragonorum haec natura est, ut et ab imparibnt unitatis participes, id est ejusdem immutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis, et latera lateribus, et longitudini compar est latitudo, dicendum est hujusmodi numeros ejusdem naturae atque immutabilis substantiae participes. Illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantQuare disponantur in ordinem omnes ab uno impares, et sub his omnes a binario numero pares. Est ergo princeps imparis ordinis, unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis. Quae intantum ejusdem
Abbreviated transcription (Latin):
numerum multiplices efficies hoc modo bis unũ ideduo qui diuidit quidẽ sed ei part
indiuisibiles reperiuntur. ꝓpter in secabilis unitatis naturam Bis iii. bis.u. Bis .uii.
uos si diuidas unam recipiunt sectionẽ. ceteram repudiantes. quod scđa diuisio ab imparis
medietate partis exoluditur. His aut̃ numeris ad se inuicẽ quat̾nari sola distant.
narius differentiam facit. Hinamq om̃s quaternaria sese numerositate trascenddant
ꝑbis multiplicati quaternariã sũmã facient. Igitur innaturalis nimeri dispositione
ariter im̃pares tiumeri quinto loco a sedistant solis iiii. seprecelunt .iii. in medio

Expanded text:
numerum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes numerum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam. Bis 3, bis 5, bis 7, Quos si dividas, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantet 18, idem quaternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt. enim per bis multiplicati quaternarii faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in medio
Abbreviated transcription (Latin):
impar ÷ denominatio .VI. cuipar pluralitas ÷ Rursus si conuertas. sexta parsquȩ parc
denominatio tressunt sed ternarius impar ÷ Et non pars quod impar ÷ uocabulum .ii. . qui
par numerꝰ ÷ atq idem in aliis cunctis qͥ s̃ parit̾ impares inuenit᷑. Neq unquã fieri potest i
cuiꝰ libet partis eiusdẽ sit generis nomen & numerus. Eit aut̃ horũ ꝓcreatio numeroꝵ si ab
uno disponantur quicumq: duob: differunt. id÷ om̃ib: imparib: naturali sequentia atq
ordine constitutis. Namq hisi ꝑbinariũ numerũ multiplicentur. om̃s parit̃ impares
rite pluralitas demensa efficiet: Ponatur enĩ prima unitas: & posthunc qui abhoc
duobus differt id ÷ tres & post hunc qͥrursus a suꝑiore duob: ide .u. & hoc in infinitũ
sesequentes impares sunt. Quos nullus in medio parnumerus distinet : Hossi ꝑbinarium

Expanded text:
impar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est impar est denominatio sex, cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres sunt, sed ternarius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque idem in aliis cunctis qui sunt pariter impares invenitur. Neque unquam fieri potest, ut cujuslibet partis, sit ejusdem generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter impares, rite pluralitas dimensa efficiet. Ponatur enim prima unitas, id est 1, et post hanc qui ab hac duobus differt, id est 3, et post hunc qui rursus a superiore duobus, id est 5, et hoc in infinitum. sequentes impares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit: hos si per binarium
Abbreviated transcription (Latin):
numerus . ẽ. qui & ipse qͥdẽ paritatis : naturã substantiamq soratus sed in contrarite
diuisione nature numeri pariterparis opponitur. Docebitur namq: quã longe hic dissimili
atione diuidatur. Nã qm̃ par iõ. innar es dequas recioit sectione Partes uero eius monimisi¬
diuisibiles atq insecabiles ꝑmanebunt. ut sunt xi .x. xiiii. xuiii. xxii. & hissimiles
Mox enĩ sihos numeros ingemina fueris diuisione paratus. incurris. imparẽ quem sȩcare
non possis. Accidit autẽ his qđ om̃s pares contrariae de nominatas habent. quã sunt
quantitates ipsarũ partium quȩ denominat᷑. Neq: unquã fieri potest utquelib& pars huiꝰ
numeri eiusdẽ generis de nominationẽ quantitatẽq: suscipiat. Semꝑ enĩ si de nominati
scđa eius parsẽ. id÷ media. qđ paritatis nom̃ ÷ uiiii. quȩ impar : quantitas. Tertia ueroquo

Expanded text:
numerus est qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria numerus est qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt 6, 10, 14, 18, 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatiSecunda ejus pars est, id est media, quod paritatis nomen est 9, quae impar est quantitas. Tertia vero quae
Abbreviated transcription (Latin):
Atq hoc usq extremos t̃minos cadit id ÷ .i. & cxxuiii. Semel enĩ extremus t̃minꝰ. cxxui
enties uicies atq octies unitate multiplicata. nihil depriore quantitate mutabitur. Siaut̃
impares fuerint dispositiones. unꝰ medius t̃minꝰ inuenit᷑. Atq ipse sibi ꝓpria multiplication
respondet. In eo nãq: ordine numerorũ ubi extremus t̃minus. Lx iiii. pluralitate c̃cludi᷑.
sola inuenitur una medietas. Id ÷ uiii. Quã siocties idem in semetipsã multiplices. lx iii ex¬
plicabit. atq idem reddent illi qui suꝑ hanc medictatẽ sunt. ut dudũ hi quisue duas positi
faciebant. Nam quater Sedecim .lxiiii. sunt . & sedecies iiii. idem complent. Rursus bisxxxii.
facti alx iiii. non discedunt. & trigies bis duo eosdẽ cumulant. & semel lx iiii. uł unitas
sexagies quat̃ multipbicata eundẽ numerũ sine ulla dubitatione restituent.¬

Expanded text:
Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ulla varietate restituent.
Abbreviated transcription (Latin):
numero respondentib: sibi inuicẽ partib: multiplicatis. maior extremitas eiusdẽ nume
sũmaq conficitur. Et primũ si pares fueruit dispositiones medu multiplicantur. atq ind
qͥ supipsos sunt & usq ad supra dictas extremitates. Si enĩ fuerint pares dispositiones scđi
naturã paris duos in medios t̃minos continebunt. Utͤinea dispositione numerorũ inqua
extremꝰ terminus cxxxiii. finitur. In hoc enĩ numero medietates s̃ viii. scilic& etxui.
ue in se multiplicatȩ maioris sũmã crescente pluralitatt conficient. Octies enĩxui uł sede¬
VIII. si multiplices cxxuiii. sũma concrescet. Atq: hi numeri qͥ suꝑ eosdẽ sunt si multiplicent᷑
idem faciunt. Nã .iiii. &xxxii. in se si multiplices. supra dictã facient extremitatẽ. Iuatu
enĩ trigies &  scđo uł quater xxxii ducti. cxxuiii. immutabili necessitate complebunt.

Expanded text:
numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis, major extremitas ejusdem numeri numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis, major extremitas ejusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones, medii multiplicantur, atque inde qui super ipsos sunt, usque ad supradictos extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones, secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum in qua extremus terminus 128 finitur. In hoc enim numero medietates sunt 8, scilicet, et 16 quae in se multiplicatae majoris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim 16, vel sedecies 8 si multiplices, 128 summa concrescit. Atque hi numeri qui super eosdem sunt, si multiplicentur idem faciunt. Nam 4 et 32 in se si multiplices, supradictam facient extremitatem, 4 enim trigies et bis, vel quater 32 ducti, 128 immutabili necessitate complebunt.
Abbreviated transcription (Latin):
numero & suꝑ seipsas coaceruatae. sequenti minus uno semꝑ aequentur. Sienĩ unũ uing
hisqui sequuntur duob: fiunt .iii. id ÷ qͥ unominus quat̃nario cadunt. & si suꝑiorib: addas
.iiii. sunt vii. Qui a boetonario sequente sola unitate uincuntur. Sedsi co sdẽ .uiii. supradictis
adiunxeris. xufient. qͥpar xxi numeri existeret quantitati. nisiminor unitas impedir&
oc aut̃ prima &iã numeri ꝓgenies seruat atq custodit. Nãq unitas quȩ prima c̃ duob
ub sequentib sola ÷ unitate contractior. Unde nihilmirũ : totũ sũmae cremetitũ ꝓprio consont
principio Haec aut̃ nob̵ consideratio maxime ꝓderit in his numeris cognoscendis quos suꝑ¬
fluos ł inminutos ꝑfectosq monstrabimꝰ. Illic em coaceruata quantitas partum. numers
cotius t̃minocõ parat᷑. Illud quoq nulla possumus oblunone trans mitere. quod inbos

Expanded text:
numero et super seipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum jungas numero et super seipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum jungas his qui sequuntur duobus, fiunt 3, id est, qui uno minus quaternario cadunt. Et si superioribus addas 4, sunt 7, qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem 8 supradictis adjunxeris, 15 fient, qui par 16 numeri existeret quantitati, nisi minor unitas impediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior. Unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit, in his numeris cognoscendis quos superfluos vel imminutos imperfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur. Illud quoque nulla possumus oblivione transmittere, quod in hoc
Abbreviated transcription (Latin):
uicesimus octauus. Si aut̃ impares t̃minos ponamus idẽ sũmas Idem enĩ terminos qđ sũ mas
nomino secundũ imparis naturã potest una medictas inueniri. Atq ipsa una sibi ẽ. responsura
tonus summae ÷ pars octaua Et sibi ipsi ad de nominationẽ quantitatẽq c̃uertit᷑. Eodẽq:
modo sicut superius circa ipsũ qͥ sunt terminidonant sibi mutua noã. scđm ꝓprias quantitato
uocabulumq: ꝑmutant. Nã .inii. serta decima pars : totius sum mae : XUI. uero quarta. Et
rursus suꝑ hos terminos .xxxii. secunda pars ÷ tocius summȩ: ii. uero trigesima secunda.
Et semel tota sũma lxiiii. sunt. Sexagesima quarta uero unitas inuenit᷑. Hoc igitur ÷ qđ dictũ ÷
om̃s eiꝰ partes & nomine & quantitate pariter pares inueniri: Hoc quoq: multa consideratione
multaq: constantia diuinitatis ꝑfectũ est: ut ordinatim dispositae.minores sum mae in hoc

Expanded text:
vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas idem enim terminos, quod summas, nomino, secundum imparis naturam, potest una medietas inveniri, atque una sibi ipsa est responsura. totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo, sicut superius, circa ipsum qui sunt termini, donant sibi mutua nomina, secundum proprias quantitates, vocabulumque permutant. Nam 4 sexta decima pars est totius summae, 16 vero quarta. Et rursus super hos terminos, 32 secunda pars est totius summae, 2 vero trigesima secunda, et semel tota summa 64 sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est quod dictum est, omnes ejus partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri. Hoc quoque multa consideratione, multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc
Abbreviated transcription (Latin):
una. tantã habeat altera quantitatẽ: Et quota parsista .ẽ. tantũ in priore sũma necesse sĩt
multitudinis inueniri. Et primũ fit si pares fuerint dispositiones. ut duȩ mediae parte
sibi respondeant. Post uero quȩ suꝑ ipsas sunt sibi inuieẽ conuertantur: Atq hocidem fiat.
donec uterq t̾minus extremitates incurrat. Ponatur enĩ parit̃ paris ordo ab uno usq cxx
qm̃ pares dis positiones sunt. una medictas non potest inueruri. Sunt igitrduae id÷ uiii. & xui.
uas considerandã est que mad modũ sibi ipsae respondeant. Totius enĩ sũmae id ÷ cxxuiii. octaua
pars ÷ xui. sextadecima uiii: Rursus suꝑ has partes quȩ sunt. sibi inuicemipsae respondebunt¬
lxiiii. secunda pars : .II. uero sexagesima quarta. donec extremitates limitẽ faciant. Iuas dubui
non÷ eadem responsione gaudere. Est enĩ omĩs summa semei cxxviii. Unus uero centesimi

Expanded text:
una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo, ab uno usque 128, quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est 8 et 16, quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est 128, octava pars est 16, sexta decima 8. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebun64, secunda pars est, 2 vero sexagesima quarta. Donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus
Abbreviated transcription (Latin):
ipso uocabuloq pariter par inueniatur. tum &iã quantitate. Sed ideo mihi uidetur hic numꝙ
Quo aut̃ modo & nõe & quantitate pares habeat partes hio numerus. postdicemus. Horũ autẽ
generatio talis. ẽ. Abimo enĩ quoscũq induplici ꝓportione. notaueris semꝑ pares pariter
ꝓcreantur. Prȩter hanc generationẽ ut naseantur aliter in possibile .ẽ.: Nuiꝰ aut̃ reitale
detur ꝑ ordinẽ discriptionis exemplũ: Sintq cuncti inordinẽ duplices ab uo .i. ii. iiii.uii
inuenies. factiq sunt ab uno induplici proportione. & om̃s sunt pariter pares. Illud aut̃
ñ minima consideratione dignum ẽ. Iđ eiꝰ omĩs pars ab una parte quacũq q̃ intra ipsũ numerũ ÷
de nominatur : Tantamq: summã quantitatis includit: quota pars ÷ alter numerus pariter
parͥs. illius qui eũ continet quantitatis. ltaq fit ut sibi partes ipse respondeant ut quota pars

Expanded text:
ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numeripso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numeriantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est. Ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter, impossibile est. Hujus autem rei tale videtur per ordinem descriptionis exemplum. Sint itaque cuncti duplices ab uno 1, 2, 4, invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod ejus omnis pars, ab una parte quacunque quae intra ipsum numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars
Abbreviated transcription (Latin):
primã . et̃ unitatẽ cunctorũ. qui sunt innaturali dispositione numerorũ. Et eã
rite totius quamuis proltce genitricẽ pluralitatis agnosci¬
Paris autẽ numerispecioscressunt. Est enimuna quȩ dicitur pariter par. alia uero parit̃
Cimpar. Tertia impariter par. Et contraria quidẽ locũq obtinentia summitantum uidentur
ẽẽ. pͥariter pari & pariter imꝑar. M edicta sautẽ quȩdam quȩ utrorũꝙ participat. est numerus
pars in alia duo paria. ut hogtotiens fiat usq dumdiuisio partiũ ad indiuisibilẽ natura lit̃
xxxii. hic aut̃ medietatẽ xUI. hncuero u̾iii hunc quoq quaternarius in equa paeit᷑ qui binan
duplus . ẽ. Sed binarius unitatis medietate duiditur. Quȩ unitas naturalit̾̃ singularis
non recipit sectionẽ. Huic numero uidetur aceqͥdere. ut quecũq eius fuerit pars cum nõe

Expanded text:
primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam rite totius quamvis prolixae, genitricem pluralitatis agnoscParis autem numeri species sunt 3. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter ic autem medietatem 16, hic vero 8, hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars, cum nomine
Abbreviated transcription (Latin):
medietatis loco ẽ. Et hoc erit usq dum occurrens unitas terminũ fecerit. Ut si pon
quis quinariũ nurtierũ altrinsecus circa ipsum sunt. super quattuor inferius .uI.
iergo si uuneti sint facient deoem. Quoꝵ quinarius numerus medietas ẽ : Qui aut̃¬
cirea ipsos id .ẽ. circa ui. & iiii. sunt tres scilicet & uii. Idem iuncti si sint. eorum
quinarius numerus medietas erit: Rursus istorum qui altrinsecus positi sunt si
iungantur. & iã hi quinarii numerc duplicess̃. Nam suꝑ ii. sunt .ii. suꝑteruii sunt un
iergo siiunctis int. facient .x. Quoꝵ quinarius rursus medictas .ẽ. Hoc idẽ in om̃ib:
numeris euenit . usq: dum adunitatis terminũ ꝑuenirequent. Sola qut̃ unitas cnu
duos terminos ñ habet. Atq: ideo eius qui .c̃. prope se solius ÷ medietas. Nã urcta
unũ solus ÷ binarius naturalit̃ constitutus. cuius unitas media parse. Quare consta

Expanded text:
medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt, supra 4, inferius 6. Hi ergo si juncti sunt, faciunt 10, quorum 5 numerus medietas eirca 6 et 4 sunt, 3 scilicet et 7; idem si juncti sunt, eorum quinarius numerus medietas est. Rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt. Nam super 3 sunt 2, super 7 sunt 8. Hi ergo si juncti sunt faciunt 10, quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri queat, sola enim unitas circum se duos terminos non habet; atque ideo eius qui unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat