DOI: 10.5281/zenodo.11260265
title: La diseguaglianza con il numero 8.
title: The Inequality with Number 8.

description: Italian :

Nella seguente dimostrazione :

n è un numero naturale ≥ 3

p, q sono numeri primi entrambi dispari

k0 è un naturale ≥ 3,   p0, q0 primi dispari minori di 2k0

t è un numero naturale ≥ 0, pc indica un naturale che può essere composto oppure anche primo, e il numero indicato con d viene svelato durante la dimostrazione.

English :

In the following demonstration :

n is a natural number ≥ 3

p, q are both odd prime numbers

k0 is a natural ≥ 3,  p0, q0 prime odd less than 2k0

t is a natural number ≥ 0, pc indicates a natural number that can be composite or even prime, and the number indicated by d is revealed during the proof.
description: Asserto : 

Ogni numero pari 2n ≥ 6, si può sempre scrivere come somma di due primi dispari, cioè esiste sempre la forma 2n = p + q.

Dimostrazione per assurdo.

Si supponga che esista almeno un 2k0 non esprimibile come p0 + q0 entrambi primi dispari. Cioè per ogni primo o composto minore di 2k0, la sua differenza da 2k0 è sempre un composto. Allora la conseguenza è che 2k0 > p0 + 8( t + 1 ) per ogni t ≥ 0, rendendo di fatto questo numero maggiore di qualsiasi dispari dato dalla diseguaglianza, pervenendo a un assurdo.

Poiché esiste sempre un p0 tale che 2 < p0 < 2k0, l'ipotesi assurda può essere scritta come :

2k0 = p0 + d, con d dispari composto per ogni p0 minore di 2k0. Ora, poiché il più piccolo dispari composto è d = 9, segue che il possibile minimo valore per 2k0 è p0 + 9. Sostituendo in particolare a p0 il valore minimo 3, si vede che il più piccolo valore in assoluto è 12. Quindi 2k0 > p0 + 8, e la diseguaglianza è verificata per t = 0. Si prosegue per induzione, supponendo vera la diseguaglianza per il generico t, deducendo che è vera anche per t + 1.

Quindi supposto che 2k0 è maggiore di p0 + 8( t + 1 ), poichè deve essere rispettata anche la condizione pc + d = pc + 9, segue che il valore minimo è :

2k0 = p0 + 8( t + 1 ) + 9 = p0 + 8t + 8 + 8 + 1 = p0 + 8( t + 1 + 1 ) + 1. Quindi 2k0 è strettamente maggiore di p0 + 8( t + 1 + 1 ), ove questa volta al posto di t abbiamo t + 1.

c.v.d. 

English :

The Inequality with Number 8 Theorem.

Every even number 2n ≥ 6 can always be written as the sum of two odd primes, i.e. the form 2n = p + q always exists.

Proof by contradiction.

Suppose that there exists at least one 2k0 which cannot be expressed as p0 + q0 both odd primes. That is, for every prime or composite less than 2k0, its difference from 2k0 is always a composite. Then the consequence is that 2k0 > p0 + 8( t + 1 ) for all t ≥ 0, effectively making this number greater than any odd given by the inequality, reaching an absurdity.

Since there always exists a p0 such that 2 < p0 < 2k0, the absurd hypothesis can be written as :

2k0 = p0 + d, with d odd composite for every p0 less than 2k0. Now, since the smallest composite odd is d = 9, it follows that the possible minimum value for 2k0 is p0 + 9. Substituting in particular for p0 the minimum value 3, we see that the smallest absolute value is 12. Therefore 2k0 > p0 + 8, and the inequality is verified for t = 0. We continue by induction, assuming the inequality is true for the generic t, deducing that it is also true for t + 1.

Therefore, assuming that 2k0 is greater than p0 + 8(t + 1), since the condition pc + d = pc + 9 must also be respected, it follows that the minimum value is :

2k0 = p0 + 8( t + 1 ) + 9 = p0 + 8t + 8 + 8 + 1 = p0 + 8( t + 1 + 1 ) + 1. Therefore 2k0 is strictly greater than p0 + 8( t + 1 + 1 ), where this time instead of t we have t + 1.

q.e.d.