DOI: 10.5281/zenodo.18730442
title: The Berezin Operator as the Bridge Between Spectral Data and Gauge Fields: A Natural Emergence in Noncommutative Spectral Geometry
title: Оператор Березина как мост между спектральными данными и калибровочными полями: Естественное возникновение в некоммутативной спектральной геометрии

description: We demonstrate that the bilinear functional T (I)µν (a, b), previously introduced as a device to extract Yang-Mills field strengths from spectral data, is precisely the **covariant Berezin symbol** of the operator PI[D, Xµ] acting on the Hilbert space of the spectral triple. Using the toric topology of fermionic zero modes in the axial-vortex background, we construct an explicit overcomplete family of coherent states parametrized by the noncommutative torus T 2θ . The Berezin operator associated with a classical symbol f (the field strength F (I) µν ) is shown to act in the space of Hilbert-Schmidt operators on H, with the bilinear functional T (I) µν (a, b) providing its kernel. This identification reveals that the spectral action, the generalized geodesic equation, and the geometric origin of Planck’s constant ℏ are all manifestations ofthe Berezin quantization scheme applied to the noncommutative geometry of the Standard Model.

We further extend the framework to incorporate **Majorana neutrinos** through an extended coherent state system on the noncommutative torus. The seesaw mechanism emerges naturally with the right-handed neutrino mass scale set by ΛNC ∼ 10^16 GeV. The S3 flavor symmetry of the finite algebra, combined with the geometry of an anisotropic torus characterized by modular parameters τi, generatesdeviations from tri-bimaximal mixing, yielding precise predictions: sin^2 θ13 ≈ 0.022,sin^2 θ23 ≈ 0.57 (normal ordering) or 0.43 (inverted ordering), and sin^2 θ12 ≈ 0.32, in excellent agreement with experimental data.The same θ-field phase transition that produces the stochastic gravitational wave background also drives **leptogenesis**, with a detailed Boltzmann calcu-lation yielding the observed baryon asymmetry η ≈ 6.2 × 10^−10. Furthermore, the noncommutative geometry modifies neutrino oscillation probabilities, introducing a term ∝ L2 that enables determination of the absolute neutrino mass scale from longbaseline experiments, predicting m1 > 0.008 eV from current data and m1 > 0.02 eV for DUNE.The results establish a rigorous mathematical bridge between the spectral triple formalism and the operator-algebraic approach to quantization, while providing a comprehensive and experimentally testable theory of neutrino physics emerging fromthe noncommutative geometry of spacetime.
description: Мы демонстрируем, что билинейный функционал T (I)µν (a, b), ранее введенный как инструмент для извлечения напряженностей полей Янга-Миллса изспектральных данных, является в точности **ковариантным символом Березина** оператора PI[D, Xµ], действующего в гильбертовом пространстве спектрального триплета. Используя тороидальную топологию фермионных нулевых мод в фоне аксиального вихря, мы конструируем явное переполненное семейство когерентных состояний, параметризованных некоммутативным тором T 2 θ . Показано, что оператор Березина, ассоциированный с классическим символом f (напряженностью поля F (I) µν ), действует в пространстве операторов Гильберта-Шмидта на H, причем билинейный функционал T (I) µν (a, b) задает его ядро. Это отождествление естественным образом показывает, что спектральноедействие, обобщенные уравнения геодезических и геометрическое происхож-дение постоянной Планка ℏ являются проявлениями схемы квантования Березина, примененной к некоммутативной геометрии Стандартной модели.

Мы далее расширяем этот формализм, чтобы включить **майорановскиенейтрино** через расширенную систему когерентных состояний на некоммутативном торе. Механизм качелей возникает естественным образом, причем шкала масс правых нейтрино задается величиной ΛNC ∼ 10^16 ГэВ. Симметрия аромата S3 конечной алгебры в сочетании с геометрией анизотропного тора, характеризуемой модулярными параметрами τi, порождает отклонения от три-бимаксимального смешивания, давая точные предсказания: sin^2 θ13 ≈ 0.022,sin^2 θ23 ≈ 0.57 (нормальная иерархия) или 0.43 (инвертированная иерархия) иsin^2 θ12 ≈ 0.32, что отлично согласуется с экспериментальными данными.Тот самый фазовый переход θ-поля, который порождает стохастическийгравитационно-волновой фон, также управляет **лептогенезисом**, причем детальный расчет с использованием уравнений Больцмана дает наблюдаемую барионную асимметрию η ≈ 6.2 × 10^−10. Более того, некоммутативная геометриямодифицирует вероятности нейтринных осцилляций, вводя член ∝ L2, что поз-воляет определить абсолютную шкалу масс нейтрино в длиннобазовых экспериментах, предсказывая m1 > 0.008 эВ из текущих данных и m1 > 0.02 эВ дляDUNE.

Результаты устанавливают строгий математический мост между формализмом спектральных троек и операторно-алгебраическим подходом к квантованию, одновременно предоставляя всеобъемлющую и экспериментально проверяемую теорию нейтринной физики, возникающую из некоммутативной геометрии пространства-времени.