DOI: 10.5281/zenodo.18643413
title: The Continuous Gauge Method: A Geometric Framework for the Navier–Stokes Regularity Problem

description: This paper introduces the Continuous Gauge Method, a geometric framework for studying the regularity of solutions to the three-dimensional Navier–Stokes equations. The method is based on deforming arbitrary initial data to axisymmetric initial data without swirl through a one-parameter family of diffeomorphisms, while simultaneously constructing a gauge field that tracks this deformation over time.In fact, this method is a modification of the method for investigating solutions for Ricci flows, developed and applied by Dennis DeTurck (see [1]) and subsequently called ”DeTurck’s trick”.The main results are:1. A geometric incompatibility theorem showing that rank-1 degenerate solutions cannot be obtained from non-trivial axisymmetric flows without swirl via smooth diffeomorphisms (Theorem 3.3).2. A Nash–Moser implicit function theorem argument establishing that a neighborhood of any axisymmetric field consists of gaugeable fields (Theorem 4.2).3. An entropy functional that provides analytical control over both the velocity field and the gauge deformation, together with a complete derivation of itsevolution inequality (Appendix B).4. A compactness theorem for blow-up sequences that preserves the gauge structure in the limit (Theorem 6.2).5. A proof that for any gaugeable initial data, the corresponding Navier–Stokes solution is globally regular (Theorem 6.6).6. A density argument showing that the gaugeable class is dense in the space of all smooth divergence-free fields (Theorem 7.6).7. A closure argument showing that the gaugeable class is closed (Section 8), which together with density implies that every smooth divergence-free field is gaugeable.Combining these results yields a complete proof that all smooth, divergence-free initial data for the three-dimensional Navier–Stokes equations give rise to unique, smooth solutions that exist for all time.
description: В данной работе представлен метод непрерывной калибровки — геометрическая структура для изучения регулярности решений трехмерных уравнений Навье–Стокса. Метод основан на деформации произвольных начальных данных в осесимметричные начальные данные без закрутки с помощью однопараметрического семейства диффеоморфизмов, с одновременным построением калибровочного поля, которое отслеживает эту деформацию с течением времени.Фактически данный метод представляет собой модификацию способа исследо-вания решений для потоков Риччи, разработанного и применённого ДеннисомДетурком (см. [1]) и впоследствии получившим название "трюк Детурка".Основные результаты:1. Теорема о геометрической несовместимости, показывающая, что вырожденные решения ранга 1 не могут быть получены из нетривиальных осесимметричных течений без закрутки посредством гладких диффеомор-физмов (Теорема 3.3).2. Аргумент с использованием теоремы о неявной функции Нэша–Мозера,устанавливающий, что окрестность любого осесимметричного поля состоит из калибруемых полей (Теорема 4.2).3. Энтропийный функционал, обеспечивающий аналитический контроль как над полем скорости, так и над калибровочной деформацией, вместе с полным выводом его эволюционного неравенства (Приложение B).4. Теорема компактности для последовательностей блоу-апа, сохраняющая калибровочную структуру в пределе (Теорема 6.2).5. Доказательство того, что для любых калибруемых начальных данных соответствующее решение системы Навье–Стокса является глобально регулярным (Тео-рема 6.6).6. Аргумент плотности, показывающий, что класс калибруемых полей A плотен в пространстве всех гладких бездивергентных полей (Теорема 7.6).7. Аргумент замкнутости, показывающий, что класс калибруемых полей A замкнут (Раздел 8), что вместе с плотностью означает, что каждое гладкоебездивергентное поле является калибруемым.Объединение этих результатов дает полное доказательство того, что все гладкие бездивергентные начальные данные для трехмерных уравнений Навье–Стокса порождают единственные гладкие решения, существующие для всех времен.