title: Semiklassische Analysis von Schrödingeroperatoren auf geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Symmetriereduktion
title: Semiclassical Analysis of Schrödinger Operators on Closed Manifolds and Symmetry Reduction
Creators: name: Küster, Benjamin
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2015
Subjects: subject: singuläre symplektische Reduktion
subject: Geometrische Analysis
subject: Spektraltheorie
subject: Mathematische Analysis
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Mathematik
subject: Schrödinger Operator
subject: Geometric Analysis
subject: spectral theory
subject: singular symplectic reduction
subject: Schrödinger operator

description: Sei M eine geschlossene
      zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Im ersten
      Teil der vorliegenden Arbeit entwickeln wir einen
      Funktionalkalkül für h-abhängige Funktionen im Rahmen der
      semiklassischen Pseudodifferentialoperatoren. Mit Hilfe der
      Ergebnisse lassen sich semiklassische Spurformeln mit
      Restgliedabschätzungen beweisen, die gut dafür geeignet sind,
      Bereiche im Spektrum mit einer Breite der Ordnung h^d zu
      untersuchen, wobei 0 &lt; d &lt; 1/2. Der zweite Teil der
      Arbeit behandelt die Spektraltheorie und Quantenergodizität
      von Schrödinger-Operatoren auf M unter der Voraussetzung,
      dass das zugrunde liegende Hamilton'sche System gewisse
      Symmetrien besitzt. Genauer gesagt beweisen wir eine
      verallgemeinerte äquivariante Version des semiklassischen
      Weyl-Gesetzes mit Restgliedabschätzung unter der Annahme,
      dass auf M eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe G
      isometrisch und effektiv wirkt. Wir verwenden dazu einen Satz
      aus dem ersten Teil dieser Arbeit sowie kürzlich erzielte
      Ergebnisse zu singulären äquivarianten Asymptotiken, und
      leiten daraus ein äquivariantes Quantenergodizitätstheorem
      ab, sofern der Symmetrie-reduzierte Hamilton'sche Fluss auf
      dem Hauptstratum der singulären symplektischen Reduktion von
      M ergodisch ist. Unter anderem erhalten wir eine äquivariante
      Version des Shnirelman-Zelditch-Colin-de-Verdiere-Theorems,
      sowie einen darstellungstheoretischen Gleichverteilungssatz.
      In dem Fall, dass M/G eine Orbifaltigkeit ist, erzielte
      Kordyukov vor Kurzem ähnliche Ergebnisse. Ist G die triviale
      Gruppe, so erhalten wir die bekannten klassischen
      Resultate.
description: Let M be a closed connected
      Riemannian manifold. In the first part of this thesis, we
      develop a functional calculus for h-dependent functions
      within the theory of semiclassical pseudodifferential
      operators. Our results lead to semiclassical trace formulas
      with remainder estimates that are well-suited for studying
      spectral windows of width of order h^d, where 0 &lt; d &lt;
      1/2. In the second part of the thesis, we study the spectral
      and quantum ergodic properties of Schrödinger operators on M
      in case that the underlying Hamiltonian system possesses
      certain symmetries. More precisely, if M carries an isometric
      and effective action of a compact connected Lie group G, we
      prove a generalized equivariant version of the semiclassical
      Weyl law with an estimate for the remainder, using a theorem
      from the first part of this thesis and relying on recent
      results on singular equivariant asymptotics. We then deduce
      an equivariant quantum ergodicity theorem under the
      assumption that the symmetry-reduced Hamiltonian flow on the
      principal stratum of the singular symplectic reduction of M
      is ergodic. In particular, we obtain an equivariant version
      of the Shnirelman-Zelditch-Colin-de-Verdiere theorem, as well
      as a representation theoretic equidistribution theorem. If
      M/G is an orbifold, similar results were recently obtained by
      Kordyukov. When G is trivial, one recovers the classical
      results.