title: Master-slave elimination scheme for arbitrary nonlinear multi-point constraints: Theory, numerics, implementation and application
Creators: name: Boungard, Jonas
Publisher: name: kassel university press
Year: 2024
Subjects: subject: nonlinear constraints
subject: multi-point constraints
subject: master-slave elimination
subject: redundant constraints
subject: benchmark examples
classificationCode: 624
subject: 624
classificationCode: Benchmark
subject: Benchmark
classificationCode: Finite-Elemente-Methode
subject: Finite-Elemente-Methode
classificationCode: Optimierungsproblem
subject: Optimierungsproblem

description: Zugleich: Dissertation, Universität Kassel, 2024
description: <p>This thesis describes the extension of the master-slave elimination to consider nonlinear multipoint constraints in the finite element method. Nonlinear multi-point constraints are required in the modeling and simulation of various engineering problems, such as (a) linking individual degrees of freedom of multiple nodes to model nonlinear joints, (b) coupling different element types in finite element analysis, (c) enforcing various types of rigidity in parts of the mesh and (d) considering deformation-dependent Dirichlet boundary conditions. One method for considering constraints is the master-slave elimination, which satisfies the constraints exactly and, in contrast to the Lagrange multiplier method and the penalty method, has the advantage of reducing the dimension of the problem. However, the existing master-slave elimination is
limited to linear constraints. In this thesis, an innovative method is presented which extends the master-slave elimination to arbitrary nonlinear multi-point constraints.
The thesis begins with an explanation of the necessary fundamentals and the initial problem. This is followed by a presentation of existing constraint methods and a comprehensive classification of constraints. The basis of the work is the rigorous mathematical derivation of the new method, in which the initial problem, the optimization problem with constraints, is transformed into a modified optimization problem without constraints using the implicit function theorem. This can then be solved using the usual methods for solving nonlinear systems of equations, such as the Newton-Raphson method. Special attention is also paid to the problem of redundant constraints, whereby a distinction is made here between a priori redundant and temporarily redundant constraints. A method for the identification and elimination of redundancy is presented and it is shown that this method can also be used for the automatic identification of slave degrees of freedom in master-slave
elimination. In addition, a method for the numerical treatment of temporarily and momentarily redundant constraints is presented. After the theoretical derivation, the numerical aspects and the implementation in FE software are explained and discussed. The introduced classification is taken up by explaining the effect of the different classes of constraints on implementation and efficiency. Based on this, the
computational complexity of the new method is analyzed in comparison to existing methods. It can be shown that the master-slave elimination exhibits a reduced computational complexity compared to existing methods. Since the new method requires the same mathematical quantities for each type of constraint as the existing methods, each type of constraint can be programmed as elements of a library. Therefore, the new method can be easily embedded in existing software.
The new master-slave elimination for nonlinear constraints as well as the algorithms for the identification, elimination and treatment of redundancy are examined using several numerical examples and compared with existing methods. So far, the literature lacks benchmark tests for methods to incorporate constraints. Therefore, novel examples were developed for which analytical or reference solutions were derived. Therefore, they are suitable as benchmark tests. In addition to these academic examples, the new method is applied to examples from construction practice. The first example is the stability analysis of a thin-walled cantilever beam, which is stiffened using additional plates that are modeled with non-linear constraints. The second is the simulation of the actuation of the pedestrian bridge “The Rolling Bridge”, whose actuators are modeled using nonlinear constraints. Finally, the results of the numerical investigations are
discussed and the advantages and disadvantages of the new method are identified.
The findings demonstrate that the new method is as accurate, robust and flexible as the Lagrange multipliers, and more efficient due to the reduction of the total number of degrees of freedom, which is particularly advantageous when a large number of constraints have to be considered.</p>
description: <p>Die vorliegende Dissertation behandelt die Erweiterung der Master-Slave-Elimination zur Berücksichtigung nichtlinearer Mehrpunktzwangsbedingungen in der Finite-Elemente-Methode. Nichtlineare Mehrpunktzwangsbedingungen sind erforderlich bei der Modellierung und Simulation diverser ingenieurtechnischer Probleme, wie (a) Gelenken unter großen Rotationen, (b) der Kopplung von Elementtypen mit unterschiedlichen Knotenfreiheitsgraden innerhalb eines FE-Netzes,
(c) der gezielten Einschränkung bestimmter Deformationsmodi in Teilen des FE-Netzes und (d) der Berücksichtigung verformungsabhängiger Dirichlet-Randbedingungen. Eine Methode zur Berücksichtigung von Zwangsbedingungen ist die Master-Slave-Elimination, welche die Zwangsbedingungen exakt erfüllt und im Gegensatz zur Methode der Lagrange-Multiplikatoren und der Penalty-Methode den Vorteil hat, die Dimension des Problems zu reduzieren. Allerdings ist die bestehende Master-Slave-Elimination auf lineare Zwangsbedingungen beschränkt. In der vorliegenden
Arbeit wird eine innovative Methode vorgestellt, welche die Master-Slave-Elimination
auf beliebige nichtlineare Mehrpunktzwangsbedingungen erweitert.
Die vorliegende Arbeit beginnt mit der Erläuterung der erforderlichen Grundlagen und des Ausgangsproblems. Darauf folgt eine Darstellung der bestehenden Methoden sowie eine umfassende Klassifizierung von Zwangsbedingungen. Das Fundament der Arbeit ist die strenge mathematische Herleitung der neuen Methode, in der
das Ausgangsproblem, das Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen, mithilfe des Satzes über implizite Funktionen in ein modifiziertes Optimierungsproblem ohne Nebenbedingungen transformiert wird. Anschließend kann dieses mit den üblichen Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wie dem Newton-Raphson-Verfahren gelöst werden. Besonderes Augenmerk wird zusätzlich auf die Problematik redundanter Zwangsbedingungen gelegt, wobei hier zwischen a priori redundanten und temporär redundanten Zwangsbedingungen unterschieden wird. Es wird eine Methode zur Identifikation und Elimination der Redundanz vorgestellt und gezeigt, dass diese sich gleichzeitig auch zur automatischen Identifikation der Slave-Freiheitsgrade in der Master-Slave-Elimination nutzen lässt. Darüber hinaus wird eine Methode zur numerischen Behandlung temporär redundanter Zwangsbedingungen vorgestellt.
Nach der theoretischen Herleitung werden die numerischen Aspekte und die Implementierung in eine FE-Software erläutert und diskutiert. Dabei wird die eingeführte Klassifizierung aufgegriffen, indem die Auswirkung der verschiedenen Klassen der Zwangsbedingungen auf Implementierung und Effizienz dargelegt werden. Darauf aufbauend erfolgt eine Analyse der Berechnungskomplexität
der neuen Methode im Vergleich zu bestehenden Methoden. Dabei kann
gezeigt werden, dass die Master-Slave-Elimination eine geringere Komplexität aufweist als die bisherigen Verfahren. Da im Rahmen der neuen Methode für jeden Typ von Zwangsbedingungen die gleichen mathematischen Größen wie bei den bestehenden Verfahren benötigt werden, kann jeder Typ von Zwangsbedingung als Element einer Bibliothek programmiert werden. Daher kann die neue Methode leicht in ein bestehendes Programm eingebettet werden. Die neue Master-Slave-Elimination für nichtlineare Zwangsbedingungen sowie die Algorithmen zur Identifikation, Elimination und Behandlung der Redundanz werden anhand von mehreren numerischen Beispielen untersucht und mit bestehenden Methoden verglichen. In der Literatur
fehlen bisher Benchmarktests für Methoden zur Einarbeitung von Zwangsbedingungen. Daher wurden eigene Beispiele entwickeln, für die analytische Lösungen hergeleitet wurden oder Referenzlösungen zur Verfügung stehen, und sich somit als Benchmarktests eignen. Neben diesen akademischen Beispielen wird die neue Methode auf Beispiele aus der Baupraxis angewandt. Dabei handelt es zum einen um die Stabilitätsuntersuchung eines dünnwandigen Kragträgers, der mithilfe von Querschotten ausgesteift wird, die mit nichtlinearen Zwangsbedingungen modelliert
werden. Zum anderen wird das Aufrollen der Fußgängerbrücke „The Rolling Bridge“ simuliert, deren Aktoren mithilfe nichtlinearer Zwangsbedingungen modelliert werden. Die Ergebnisse der numerischen Untersuchungen werden abschließend diskutiert und die Vor- und Nachteile der neuen Methode herausgearbeitet. Es wird gezeigt, dass die neue Methode genauso genau, robust und flexibel ist wie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren und durch die Reduktion der Gesamtzahl der Freiheitsgrade
effizienter ist, was insbesondere dann von Vorteil ist, wenn eine große Anzahl von Zwangsbedingungen zu berücksichtigen ist.</p>