Έννοιες ισοδυναμίας για γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα, πολυμεταβλητά συστήματα
Creators: name: Καφετζής, Ιωάννης Σ.
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: Γραμμικά Συστήματα
Πολυωνυμικοί Πίνακες
Ρητοί Πίνακες
Ισοδύναμοι Μετασχηματισμοί
Μετασχηματισμοί Συστημάτων
Αλγεβρική Δομή
Πόλοι και Μηδενικά
Ιδιάζοντες Πίνακες
Γενικευμένος Αντίστροφος
Moore Penrose αντίστροφος
Συνάρτηση Μεταφοράς
Πίνακας Συνάρτησης Μεταφοράς
Σύστημα Κλειστού Βρόχου
Σταθεροποίηση
Ελεγκτής Σταθεροποίησης
Βαθμός Ευστάθειας
Linear Systems
Polynomial Matrices
Rational Matrices
Equivalence Transformations
System Transformations
Algebraic Structure
Poles and Zeros
Singular Matrices
Generalized Inverse
Moore Penrose Inverse
Transfer Function
Transfer Function Matrix
Closed Loop System
Stabilization
Stabilizing Controller
Degree of Stability

description: Η αλγεβρική δομή πολυωνυμικών και ρητών πινάκων έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη των γραμμικών, χρονικά αμετάβλητων, πολυμεταβλητών συστημάτων. Στοιχεία της αλγεβρικής δομής μιας Περιγραφής μέσω Πολυωνυμικών Πινάκων (Polynomial Matrix Description) ενός συστήματος, όπως η δομή μηδενικών στο C και η δομή μηδενικών και πόλων στο s=∞, είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την ομαλή και κρουστική συμπεριφορά του συστήματος που αυτή περιγράφει. Επιπλέον, ιδιότητες των συστημάτων όπως η ευστάθεια, η ελεγξιμότητα, η παρατηρησιμότητα και τα συστήματα ελάχιστης φάσης είναι συνδεδεμένα με την αλγεβρική δομή του πίνακα του συστήματος, ο οποίος εν γένει είναι πολυωνυμικός, ή του πίνακα συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος, ο οποίος εν γένει είναι ρητός πίνακας. Ακόμη ένα παράδειγμα που η αλγεβρική δομή πολυωνυμικών και ρητών πινάκων είναι μείζονος σημασίας έρχεται από την επίλυση μοντέλων αυτοπαλινδρόμησης, η λύση των οποίων σχετίζεται τόσο με τη δομή μηδενικών και πόλων στο C ∪\{∞\}, όσο και με την ιδιάζουσα δομή των πινάκων που εμφανίζονται στην περιγραφή των συστημάτων αυτών. Με έναυσμα τα παραπάνω, η διατριβή αυτή εστιάζει στον προσδιορισμό σχέσεων ισοδυναμίας για ρητούς πίνακες ενδεχομένως διαφορετικών διαστάσεων οι οποίοι έχουν την ίδια δομή μηδενικών/πόλων είτε στο C είτε στο s = ∞. Επιπλέον, μελετάται η σχέση μεταξύ της δομής μηδενικών και πόλων στο C και στο s = ∞, καθώς και της ιδιάζουσας δομής ενός πολυωνυμικού πίνακα και του Moore Penrose (MP) γενικευμένου αντιστρόφου του. Επιπρόσθετα, προσδιορίζεται μια μέθοδος που χρησιμοποιεί ισοδυναμίες ρητών πινάκων για την κατασκευή ελεγκτών που σταθεροποιούν συστήματα που περιγράφονται από μη τετράγωνους, αυστηρά κανονικούς πίνακες συνάρτησης μεταφοράς. Η δομή της διατριβής είναι η εξής. Το Κεφάλαιο 1 αποτελεί την εισαγωγή και παρουσιάζει το επιστημονικό πλαίσιο, μέσω αναφορών σε σχετικές εργασίες και εστιάζει στο κίνητρο και τις ιδέες πίσω από τα προβλήματα που μελετώνται. Το Κεφάλαιο 2 περιέχει το μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται για την διατριβή αυτή. Τα Κεφάλαια 3 έως 5 περιέχουν τα αποτελέσματα της διατριβής και θα παρουσιαστούν αναλυτικά παρακάτω. Τέλος το Κεφάλαιο 6 συνοψίζει τα αποτελέσματα της διατριβής και προτείνει πιθανές επεκτάσεις που προκύπτουν από αυτά.
description: Algebraic structure of polynomial and rational matrices plays a central role in the study of linear, time invariant, multivariable systems. Components of the algebraic structure of the polynomial matrix description of a system, such as the zero structure in C and the pole/zero structure at s=∞ are connected with the smooth and impulsive behavior of the system it describes. Furthermore, system properties such as stability, controllability, observability and minimum phase systems are determined from the algebraic structure of the system's matrix, which is in general polynomial, or the transfer function matrix, which is general rational. One more example where the algebraic structure of polynomial and rational matrices is of vast significance, comes from the solution of autoregressive representations, which is related to the pole/zero structure in C∪{∞} as well as the singular structure of the matrices that appear in the description of such systems. Having the above as a steppingstone, this dissertation focuses on the determination of equivalence relations connecting rational matrices, potentially of different dimensions, which have the same pole/zero structure either in C or at s=∞. Furthermore, the relation between the pole/zero structure in C and at s=∞ well as the singular structure of a singular polynomial matrix and its Moore Penrose (MP) inverse. Finally, a method that utilizes equivalence relations defined on the set of rational matrices for the computation of stabilizing controllers for non-square, strictly proper transfer function matrices is established. The structure of the dissertation is as follows. Chapter 1 is the Introduction, where the framework is presented and supported by referencing the most relevant works and focuses on the motive and ideas behind the problems in study. Chapter 2 contains the mathematical background required for this dissertation. Chapters 3 to 5 contain the results of this thesis and are extensively discussed next. Finally, Chapter 6 concludes the work by summarizing the results and proposing potential extensions that can arise.