title: Signature of càdlàg rough paths
Creators: name: Primavera, Francesca
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Die Theorie der rauen Pfade wurde von Lyons (1998) eingeführt, um die mangelnde Stetigkeit der Itô-Abbildung, d.h.~die Abhängigkeit der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung (SDE) vom Antriebssignal, zu verstehen und zu überwinden. Lyons stellte fest, dass man Differentialgleichungen, die von kontinuierlichen rauen Signalen wie der Brownschen Bewegung angetrieben werden, durch die Erweiterung des Antriebsprozesses mit einer endlichen Anzahl von Objekten höherer Ordnung eine Bedeutung in einem pfadweisen Sinne geben kann. Diese erweiterten oder ``gelifteten" Pfade werden als raue Pfade bezeichnet. Darüber hinaus wird die Itô-Abbildung stetig, indem der Raum der rauen Pfade mit bestimmten Variationsmetriken ausgestattet wird. Diese bahnbrechenden Ideen fanden viele Anwendungen, insbesondere in der Stochastischen Analysis durch eine pfadweise Perspektive auf SDEs und entsprechende Stabilitätsresultate. Ein wichtiges Objekt dieser Theorie ist die Signatur eines Pfades, deren ursprüngliche Idee auf Chen(1957, 1977) zurückgeht, die aber später im Zusammenhang mit rauen Pfaden aufgegriffen und für allgemeinere rauere Signale eingeführt wurde. Die Signatur kann als Erweiterung eines (rauen) Pfades durch iterierte Integrale betrachtet werden. Ihre Bedeutung liegt insbesondere in ihrer Rolle als gut geeignete Feature-Abbildung, die die wesentlichen Pfadeigenschaften erfasst. Tatsächlich verhalten sich lineare Funktionale der Signatur in vielerlei Hinsicht ähnlich wie Polynome im Pfadraum und können als kanonische Auswahl von Basisfunktionen betrachtet werden. Dies erklärt, warum Signatur-Methoden in den Bereichen, Machine Learning, Ökonometrie und Finanzmathematik immer beliebter werden. Während sich die Theorie der rauen Pfade in ihrer frühen Entwicklung hauptsächlich auf stetige Pfade konzentrierte, haben neuere Fortschritte von Friz and Shekhar (2017) diesen Rahmen erweitert, um auch càdlàg Pfade zu umfassen, und einen Begriff der Signatur eingeführt, der auch für Pfade mit Sprüngen gilt. Aufbauend auf dieser Definition der Signatur ist es ein Hauptziel dieser Arbeit, die Rolle der Signatur als lineare Regressionsbasis für Pfadfunktionale im càdlàg-Setting rigoros zu klären und den Umfang ihrer Anwendbarkeit sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht zu untersuchen. Als ersten Schritt beweisen wir ein universelles Approximationstheorem für (bezüglich der J_1-Skorokhod-Topologie) stetige nicht-antizipative Pfadfunktionale} durch linearer Funktionale der Signatur von rauen càdlàg Pfaden. Dann definieren wir als wichtige Anwendung eine neue Klasse universeller Signaturmodelle basierend auf einem erweiterten Lévy-Prozess, die wir Lévy-artige Signaturmodelle nennen. Der Ansatz, den wir verfolgen, besteht darin, das Modell selbst oder seine Semimartingal-Charakteristiken als lineare Funktionale der Signatur eines erweiterten Lévy-Prozesses zu parametrisieren. Wir zeigen, dass diese Modelle die bisher vorgeschlagenen stetigen Signaturmodelle für Aktienpreise erweitern und dabei die Universalitätseigenschaften sowie gute analytische Handhabbarkeit beibehalten. Unter Ausnutzung der universellen Approximationseigenschaften des Signaturprozesses erweitern wir im zweiten Teil der Arbeit den Anwendungsbereich und führen eine allgemeinere Klasse von Sprungdiffusionen ein, die wir Sig-Sprungdiffusion nennen und deren definierende Eigenschaft darin besteht, dass die Semimartingal-Charakteristiken durch lineare Kombinationen von potenziell unendlich vielen Komponenten ihrer eigenen Signatur parametrisiert werden. Für diese Prozesse, die insbesondere die hier eingeführte Klasse sogenannter holomorpher Prozesse enthält, eine bedeutende Erweiterung von polynomialen Prozessen, zeigen wir, dass die erwartete Signatur sowie der Erwartungswert holomorpher Funktionen der Prozessmarginalen über Dualitätsmethoden berechnet werden können. Insbesondere lassen sich diese Größen analytisch in Form einer Lösung einer (erweiterten Tensor Algebra- bzw. folgenwertigen) unendlichdimensionalen linearen Differentialgleichung darstellen. Im letzten Teil der Arbeit leiten wir eine funktionale Itô-Formel für nicht-antizipative Abbildungen von rauen Pfaden her, die auf den approximierenden Eigenschaften der Signatur aufbaut. Als Nebenprodukt dieses Resultats zeigen wir eine funktionale Taylor-Entwicklung für ausreichend reguläre nicht-antizipative Pfadfunktionale.
description: The theory of rough paths was introduced in Lyons (1998) as a way to understand and overcome the lack of continuity of the Itô-map, which describes the dependence of the solution of a stochastic differential equation (SDE) on the driving signal. Lyons observed that by enhancing the driving process with a finite number of higher-order objects, one can give a meaning in a pathwise sense to differential equations driven by continuous rough signals, such as Brownian motion. These enhanced or lifted paths are called rough paths. Furthermore, by equipping the space of rough paths with certain variation metrics, the Itô-map becomes continuous. These seminal ideas found many applications, in particular in stochastic analysis, providing a pathwise perspective and stability results to the theory of SDEs. One important object in this theory is the signature of a path, whose original idea goes back to Chen (1957, 1977) but later on, it has been taken up in the context of rough paths and introduced for more general rougher signals. The signature can be viewed as an enhancement of a (rough) path through iterated integrals. Its importance is particularly due to its role as a well-suited feature map capturing essential path characteristics. Indeed, in various respects, linear functionals of the signature act similarly to polynomials on path space and can be viewed as a canonical selection of basis functions. This explains why these signature based methods become more and more popular in machine learning, econometrics and mathematical finance. While in its early development, the theory of rough paths primarily focused on continuous paths, advancements by Friz and Shekhar (2017) have extended this framework to include càdlàg paths and introduced a notion of signature that encompasses also paths with jumps. Building on this definition, one main goal of this thesis is to rigorously establish the role of the signature as a linear regression basis for path functionals in the càdlàg setting and to investigate the scope of its applicability from both theoretical and practical perspectives. As a first step we prove a universal approximation theorem for continuous (with respect to the J_1-Skorokhod topology) non-anticipative path functionals in terms of linear functionals of the signature of càdlàg rough paths. Then, as an important application, we define a new class of universal signature models based on an augmented Lévy process, which we call Lévy-type signature models. The approach that we follow consists in parameterizing the model itself or its semimartingale characteristics as linear functionals of the signature of an augmented Lévy process. We show that these models extend the continuous signature models for asset prices as proposed so far, while still preserving universality and tractability properties. Leveraging the universal approximation properties of the signature process, in the second part of the thesis we broaden the scope and introduce a more general class of jump-diffusions, which we call Sig-jump-diffusions, whose defining property is that the process semimartingale characteristics are parameterized by linear combinations of potentially infinitely many components of their own signature. For these processes, which includes the class of so-called holomorphic jump-diffusions introduced in the thesis, a significant extension of polynomial processes, we show that the expected signature, as well as the expected value of holomorphic functions of the process' marginals, can be computed via duality methods for stochastic processes. In particular, these quantities admit an analytic representation in terms of a solution of an (extended tensor algebra or sequence-valued) infinite-dimensional linear differential equation. In the last part of the thesis, we derive a functional Itô-formula for non-anticipative maps of rough paths building on the approximating properties of the signature and as a byproduct of this result we show that sufficiently regular non-anticipative path functionals admit a functional Taylor expansion.