title: Warum Betrunkene zurückfinden, Kinder im Klettergerüst hingegen nicht
Creators: name: Azesberger, Dietmar
Publisher: name: :none
Year: 2010

description: Warum Betrunkene zurückfinden, Kinder im Klettergerüst hingegen nicht - Der Titel bezieht sich auf (nicht ganz ernst zu nehmende) praktische Anwendungen des eigentlichen Inhalts dieser Arbeit: Irrfahrten und Markov-Ketten. Da für die Behandlung eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Themas ein Basiswissen zur Stochastik nötig ist, liefert das erste Kapitel diese Grundlagen und spezielle Inhalte, die für die weiteren Kapitel notwendig sind bzw. dort den logischen Aufbau unterbrechen würden. Außerdem dient das erste Kapitel dazu, mit den hier verwendeten Symbolen und Begriffen vertraut zu werden. Das zweite Kapitel beschäftigt sich dann mit Markov-Ketten. Man könnte Markov-Ketten beschreiben als stochastische Prozesse mit extremem Kurzzeitgedächtnis, deren Verhalten im nächsten Schritt nur vom gegenwärtigen Zustand und nicht von der Vergangenheit abhängt. Betrachtet wird vor allem das Langzeitverhalten von Markov-Ketten: Die Wahrscheinlichkeit einer Absorption im Fall existierender absorbierender Zustände, die Wahrscheinlichkeit eines Eintritts in einen Zustand in endlicher Zeit, die Rückkehr zum Startpunkt in endlicher Zeit und stationäre Verteilungen. Den Abschluss bildet ein Satz über die Konvergenz gegen die stationäre Verteilung. Den einfachen Irrfahrten auf Z^d widmet sich das dritte Kapitel. Es handelt sich dabei um Markov-Ketten, die zu jedem Zeitpunkt die Möglichkeiten eines Schritts mit konstanter Länge in eine Richtung haben und dabei unabhängig davon entscheiden, woher sie gekommen sind. Für den nächsten Schritt ist nur der momentane Zustand ausschlaggebend. Nacheinander werden Irrfahrten in einer, zwei und in drei oder mehr Dimensionen behandelt. Insbesondere wird dem Langzeitverhalten Beachtung geschenkt. Man interessiert sich dafür, ob der Betrunkene (eine praktische Situation der ein- und zweidimensionalen Irrfahrt) zurückfindet und ob man Kinder im unendlichen Klettergerüst alleine lassen darf. Das Resultat steckt schon im Titel: Der Betrunkene kehrt mit Wahrscheinlichkeit 1 zurück, das Kind nicht unbedingt. Im letzten Kapitel wird dann eine Möglichkeit beschrieben, die Irrfahrten des dritten Kapitels zu simulieren. Dazu wird das CAS Mathematica verwendet. Neben den Eingabebefehlen und ihren Erklärungen finden sich Plots verschiedener Irrfahrten.
description: Why drunks find back but children in a jungle gym don't - The title refers to real life-applications (not to be taken too seriously) of the thesis' content: Random walks and Markov chains. In order to treat probabilistic problems some stochastic knowledge is necessary. Chapter one contains this basics and, additionally, special issues, which are necessary for following chapters and would probably interrupt the progress later on. Furthermore chapter one explains symbols, terms and definitions. Chapter two deals with Markov chains. Markov chains can be described as stochastic processes, whose short time memory doesn't work very well. They only remember their present state, when they decide what to do in the next step. The past has no relevance. Special focus is laid on the long-term behavior of Markov chains: The probability of absorption in case of an existing absorbing element, the probability of finite first time passages, finite times of first return and stationary distributions. A proposition about the convergence to stationary distributions concludes the chapter. Chapter three is dedicated to random walks, particularly to nearest neighbor random walks on Z^d. Those are special Markov chains which always make just one step of fixed length. The decision where to go doesn't depend on the past. Only the present state causes the next state. First we examine the one-dimensional case, then two dimensions and finally random walks in dimensions higher than two. Again focus is laid on the long-term behavior. We want to find out whether drunks find back or not (a one- or two-dimensional random walk) and if it's wise not to supervise kids in a jungle gym. The result: Drunks find back, kids not necessarily. The fourth chapter describes, how to simulate those random walks by using the CAS Mathmatica. It contains the input commands used to get the output, their explanations and plots of random walks.