title: Integration of Koopman operator and dynamical mode decomposition in molecular dynamics simulations
Creators: name: Müller, Mathias
Publisher: name: :none
Year: 2025

description: Die Vorhersage von Materialeigenschaften erfordert leistungsfähige rechnergestützte Meth-
oden, wobei Molekulardynamik (MD)-Simulationen zu den wichtigsten Werkzeugen
gehören. Sie sind sehr exakt und ermöglichen eine detaillierte Nachverfolgung der Sys-
temdynamik. Allerdings sind sie aufgrund der expliziten Verfolgung jedes einzelnen
Teilchens rechnerisch äußerst aufwendig und in ihrer Fähigkeit begrenzt, lange Zeiträume
zu berechnen.
Dies gilt insbesondere für Ab-initio-Molekulardynamik (AIMD)-Simulationen, bei denen
zusätzlich zur Molekulardynamik in jedem Zeitschritt eine Berechnung der elektronischen
Struktur durchgeführt werden muss. Solche Methoden sind besonders wertvoll für die Analyse ausgedehnter Trajektorien und tragen zur Verbesserung unseres Verständnisses und unserer Vorhersage atomarer Quantenphänomene bei. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Anwendung des Koopman-Formalismus zu untersuchen und Dynamic Mode Decomposition (DMD) zur Verbesserung der Genauigkeit, Effizienz und Geschwindigkeit dieser Simulationen zu versuchen. Dabei wurden die klassische DMD, extended Dynamic Mode Decomposition (eDMD) sowie die Autoencoder-basierte Erweiterung (AEDMD) untersucht. In letzterem Ansatz wird ein Autoencoder genutzt, um die komplexen, hochdimensionalen Daten auf eine Menge von Koopman-Eigenfunktionen abzubilden und die Dynamik des Systems zu vereinfachen. Nach dieser Transformation wird DMD zur Vorhersage der zeitlichen Entwicklung des Systems verwendet. Dieser Ansatz ermöglicht eine effektivere Erfassung nichtlinearer Effekte und reduziert den Rechenaufwand für Simulationen erheblich. Durch diese mathematischen Methoden lassen sich komplexe, hochdimensionale nichtlineare Systeme in lineare Modelle überführen, die einfacher zu analysieren und zu simulieren sind. Trotz gewisser Einschränkungen bei der Extrapolation in die Zukunft zeigen die Ergebnisse dieser Arbeit vielversprechende Ansätze.
description: When predicting the properties of materials, one of the main computational tools used
are Molecular Dynamics ( MD ) simulations. They are very accurate and able to closely
follow the dynamics of the system. However, because they track each individual particle
in the system, they are computationally very costly and limited in their ability to extend
over long periods Especially for Ab Initio Molecular Dynamics (AIMD ) simulations, where, in addition to molecular dynamics, an electronic structure calculation must be conducted at each step, these methods can be particularly helpful in analyzing extended trajectories and enhancing our understanding and prediction of atomic-scale quantum phenomena. The main aim of this thesis is to explore the application of the Koopman formalism and use the Dynamic Mode Decomposition (DMD ) algorithm to improve the accuracy, efficiency, and speed of these MD and AIMD simulations. We tried the classical DMD , Extended Dynamic Mode Decomposition (eDMD), where we used dictionaries, and the Autoencoder Dynamic Mode Decomposition (AEDMD ) approach, where we used an autoencoder architecture. Here, the autoencoder maps the complex, high-dimensional data to a set of Koopman eigenfunctions, simplifying the system’s dynamics. After these mappings are made, DMD is used to predict how the system evolves over time. This approach captures nonlinear behavior more effectively and reduces the need for costly simulations. These mathematical tools address complex, high-dimensional nonlinear systems by transforming them into linear models, which are much easier to analyze and simulate. While there are some limitations in extrapolating to future times, the results of this thesis are encouraging.