Zur Existenz und konformen Invarianz der Robinschen Funktion
Creators: name: Stiemer, Marcus
Publisher: name: Universität Dortmund
Year: 2002
Subjects: subject: Robinsche Funktion
subject: Konforme Invarianten
subject: Randwertaufgabe
subject: Potentialtheorie
subject: 510

description: Die Robinsche Funktion eines Gebietes auf der Riemannschen Zahlenkugel, das den Punkt Unendlich enthält, ist die Fundamentallösung einer gemischten potentialtheoretischen Randwertaufgabe mit Singularität in Unendlich. Dabei werden auf einem Teil des Randes Dirichlet- und auf dem verbleibenden Teil Neumann-Bedingungen gefordert. Analog zur logarithmischen Kapazität eines Kompaktums wird die Robinsche Kapazität des Dirichlet-Randes mit Hilfe der Robinschen Funktion erklärt. Wie P. Duren und M. Schiffer nachwiesen, beschreibt die Robinsche Kapazität des Dirichlet-Randes die minimale Verzerrung seiner logarithmischen Kapazität bei Abbildung des gegebenen Gebietes mit geeignet normierten konformen Abbildungen. In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Beweis für die Existenz der Robinschen Funktion unter recht allgemeinen Voraussetzungen erbracht. Die verwendete Beweismethode ist konstruktiv und ermöglicht Darstellung sowie numerische Berechnung der Robinschen Funktion in vielen Fällen. Anschließend wird die Konstruktion der konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden Gebietes, auf dessen Rand eine abgeschlossene Teilmenge ausgezeichnet ist, auf ein gewisses Normalgebiet mit Hilfe der Robinschen Funktion realisiert. Der letzte Teil der Arbeit dient der Untersuchung des Zusammenhanges von Robinscher Kapazität und anderen, bekannten Größen der geometrischen Funktionentheorie, wie z.B. dem harmonischen Maß, der extremalen Distanz und dem konformen Modul. Insbesondere werden in zwei Fällen Formeln angegeben, die die Bestimmung der Robinschen Kapazität aus diesen Größen ermöglichen.
description: The Robin function in a domain on the Riemann Sphere that contains infinity is the fundamental solution of a mixed boundary value problem for the Laplace operator with a logarithmic singularity at infinity. Dirichlet conditions are given on one part of the boundary and Neumann conditions on the other part. With the help of the Robin function, the Robin capacity of the Dirichlet-boundary is defined similar to the logarithmic capacity of a compact set. Recent research of P. Duren and M. Schiffer has revealed, that the Robin capacity of the Dirichlet boundary is exactly the minimum of the logarithmic capacity over all normalized conformal mappings of the given domain. In this thesis, a new existence proof for the Robin function is presented. It works under rather weak assumptions on the given domain. Moreover the constructive nature of this proof provides a representation formula of the Robin function and thus its numeric determination. After that, the Robin function is used for the construction of the conformal mapping of a given, simply connected domain with a marked closed subset on its boundary on a domain of a certain shape. In the last part of this thesis, the connection between the Robin capacity and other well known quantities from geometric function theory is studied. These quantities are, for instance, harmonic measure, extremal distance and conformal module. In two situations formulas for the determination of the Robin capacity are derived.