title: Überall ist Chaos!
Creators: name: Angrosch, Renate
Publisher: name: :none
Year: 2009

description: Der Begriff "Chaos" wird in vielen Bereichen der Wissenschaft und des Alltags verwendet. In der Mathematik zeigt sich, dass bereits in scheinbar einfachen dynamischen Systemen "Chaos" auftreten kann. Um dies zu veranschaulichen werden Beispiele aus der Biologie und der Mathematik angeführt. Ziel der Arbeit ist es, "Chaos" durch Eigenschaften zu beschreiben und ein passendes Maß zur Beschreibung wie "chaotisch" ein dynamisches System ist, zu finden. Dazu werden in Kapitel zwei ein dynamisches System definiert und verschiedene Arten beschrieben. Zur Veranschaulichung diskreter und kontinuierlicher dynamischer Systeme werden Beispiele aus der Biologie beschrieben. Eine Analyse der Stabilität dynamischer Systeme erfolgt in Kapitel drei. Dazu werden die bekannten Beispiele des Lotka-Volterra-Modells und des SIR-Modells vorgestellt. Dass es in dynamischen Systemen häufig zum Auftreten von Bifurkationen kommt, wird in Kapitel vier behandelt. Ein Beispiel dieses Kapitels ist die Periodenverdoppelung-Bifurkation der logistischen Funktion, die zu "Chaos" führt. In Kapitel fünf wird mit dem Newtonverfahren für z³-1 ein weiteres einfaches Beispiel gegeben, bei dem "Chaos" auftritt. Ein Maß dafür, wie "chaotisch" ein dynamisches System ist, ist die topologische Entropie. Neben der Definition von Dinaburg und Bowen wird die Definition nach Adler, Konheim und McAndrew gegeben. Weiters wird die maßtheoretische Entropie definiert sowie der Zusammenhang zwischen der topologischen und der maßtheoretischen Entropie im Variationsprinzip beschrieben. Eine Verallgemeinerung der topologischen Entropie ist der topologische Druck, der ebenfalls behandelt wird. Abschließend werden stückweise monotone Abbildungen auf dem Intervall sowie die Stabilität der topologischen Entropie und des topologischen Drucks auf Intervallabbildungen untersucht.
description: The concept "chaos" is used in many areas of science and everyday life. In this study "chaos", in terms of mathematics, will be analysed. The logistic map is taken as an example to demonstrate that "chaos" occurs in elementary dynamical systems. The goal of this study is to characterize "chaos" and to find out how to measure "chaos" in dynamical systems. Therefore, a dynamical system will be defined in chapter two. To illustrate a discrete and a continuous dynamical system the growth of a population will be explained. Chapter three deals with the stability of dynamical systems. In this context the Lotka-Volterra-Model and the SIR-Model will be defined. Bifurcation might appear in dynamical systems such as the period-doubling bifurcation of the logistic map, which results in "chaos". This is topic of chapter four. Newton's method used for z³-1 is another road to "chaos". In chapter five the topological entropy, which is a measurement of how "chaotic" a dynamical system is, will be defined. In addition to this the definition of the measure-theoretic entropy will be given. The variational principle describes the correlation between these two definitions. Also the topological pressure is considered, which is a generalization of the topological entropy. The next part deals with interval maps. At the end of this paper the stability of the topological entropy on interval maps will be analyzed.