Υπολογισμός της Smith-McMillan μορφής στο άπειρο ενός πίνακα πραγματικών ρητών συναρτήσεων. Εφαρμογή στο Matlab:
Creators: name: Παπαζήσης, Νικόλαος Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2014

description: Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας, είναι η ανάλυση της Smith-McMillan μορφής στο άπειρο και πιο συγκεκριμένα η ακριβής εύρεσή της, ενός πίνακα πραγματικών ρητών συναρτήσεων. Με τη χρήση κάποιων αναλλοίωτων ρητών συναρτήσεων, δηλώνεται ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό της Smith-McMillan μορφής ενός πίνακα πραγματικών ρητών συναρτήσεων στο άπειρο. Η υλοποίηση αυτού του αλγορίθμου έγινε στο ευρέως γνωστό μαθηματικό εργαλείο προγραμματισμού Matlab. Αρχικά, γίνεται μια εισαγωγή σε βασικές μαθηματικές έννοιες όπως ορισμός και χαρακτηριστικά ενός πίνακα, σχέσεις ισοδυναμίας, αναλλοίωτες και πλήρεις αναλλοίωτες μορφές αυτών. Επίσης γίνεται αναφορά σε κανονικές απεικονίσεις, κανονικές μορφές και μια εισαγωγή στους δακτυλίους. Έπειτα, παραθέτονται ο ορισμός ενός πολυωνυμικού πίνακα καθώς και τα χαρακτηριστικά του, όπως βαθμός, βαθμίδα ενός πολυωνυμικού πίνακα, unimodular πίνακας και ρητός πολυωνυμικός πίνακας. Επιπρόσθετα, ορίζεται η γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ρητών πολυωνυμικών πινάκων αλλά και η πολυπλοκότητα γραμμών ή στηλών ενός πολυωνυμικού πίνακα. Στη συνέχεια, γίνεται αναφορά στις έννοιες των proper και non-proper rational functions, των strictly proper rational functions και των biproper rational functions. Επιπλέον, ορίζεται μια απεικόνιση και κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητές της. Παράλληλα, γίνεται μια σύντομη αναφορά στην ισοδυναμία πινάκων καθώς και στην κλάση αυτών. Επιπρόσθετα, παρουσιάζεται το βασικό Θεώρημα και η απόδειξή του, μέσα στο οποίο ορίζονται κάποιες ρητές συναρτήσεις, οι οποίες στοιχειώνουν έναν αλγόριθμο υπολογισμού της Smith-McMillan μορφής στο άπειρο. Τέλος, παρουσιάζονται και επεξηγούνται τα βήματα του αλγορίθμου για να είναι πιο κατανοητό στον αναγνώστη με λεπτομερή τρόπο μέσω παραδειγμάτων, οι εντολές και οι συναρτήσεις που χρειάστηκαν στην αποκρυστάλλωση του κώδικα.
description: The purpose of this thesis is the analysis of the Smith-McMillan form at infinity and more specifically its exact calculation, of an array of real rational functions. By using some invariant rational functions, an algorithm is declared for the calculation of the Smith-McMillan form of an array of real rational functions at infinity. The implementation of this algorithm is done using the widely known mathematical programming tool Matlab. Firstly, there is an introduction to the basic mathematical concepts such as, the definition and characteristics of a matrix, equivalence relations, invariants and complete invariant forms. Also, there is a reference to normal representations, canonical forms and an introduction to rings. Then, the definition of a polynomial matrix and its characteristics is given, such as the degree, rank of a polynomial matrix, unimodular matrix and polynomial rational matrix. Additionally, the linear dependence and independence of polynomial matrices and the complexity of rows or columns of a polynomial matrix are defined as well. Moreover, a reference to the concepts of proper and non-proper rational functions, the strictly proper rational functions and the biproper rational functions is denoted. We also, define a map and some of its remarkable properties. Also, there is a brief reference to the equivalence matrices as well as to their class. Also, we declare and establish the main theorem, in which some rational functions, are defined and constitute an algorithm for calculating the Smith-McMillan form at infinity. Finally, the steps of the algorithm are being presented and explained in order to be made understood to the reader in a detailed way by examples, the commands and the functions that were utilized to crystallize the code into the final form.
description: Για περαιτέρω ενημέρωση είναι διαθέσιμος στη βιβλιοθήκη ο κώδικας σε γλώσσα Matlab και ο οδηγός χρήσης του