Mathematical and Numerical Investigations of Small Gas Bubbles in Viscous Liquids
Mathematische und numerische Untersuchungen von kleinen Gasblasen in viskosen Flüssigkeiten
Creators: name: Wolf, Alexandre
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2023
Subjects: Bubble dynamics
Non-Newtonian liquids
Second-order fluid
Rayleigh-Plesset equation
Stability analysis
Lyapunov function
Long-time behavior

description: The aim of this thesis is to provide a deeper insight in the dynamics of specific two-phase systems from a mathematical-analytical and an application-oriented perspective. The modeling of such systems consisting of discrete bubbles in a viscous continuous liquid is performed on the microscopic length scale essentially by appropriate application of the Navier-Stokes equations including a specific second-order expansion of the stress tensor. Here, the focus is set on the investigations of basic phenomena that can occur when material properties and surrounding conditions change. All subsequent theoretical analyses are based on mathematical models by which typical situations in the production process for instance in food industries can be represented. For this purpose many different assumptions and restrictions on the convenient conservation laws of mass and momentum have to be involved leading to simplified and mathematically manageable systems of equations. Statements related to the stable bubble behavior are derived to enable a control of the bubble dynamics. Parts of the main results of this thesis (see third section) were already published in [16, 28]. First, on the microscopic level, the physical and rheological behavior of an individual gaseous spherical cavity in a high-viscosity, incompressible liquid phase is mathematically analyzed. The special feature lies in the representation of a non-Newtonian liquid given by an asymptotic second-order approximation for the stress tensor. From the physical conservation laws for mass and momentum a highly nonlinear ordinary differential equation for the bubble radius is obtained. This extended version of the Rayleigh-Plesset equation requires a numerical solver to highlight the most relevant physical phenomena by dimensionless parameter studies. The observed phenomena are connected to the physical meaning of the terms in the equations. Variation of parameters with respect to inertia, dynamic viscosity, surface tension, non-Newtonian material coefficients and far-field pressure excitation furnish stability ranges for each characteristic quantity. In particular, the long-time behavior of a single bubble can be predicted by the transfer of knowledge from the linearized equation to the nonlinear initial value problem. The existence and convergence of stable solutions is mathematically proved by an appropriate reformulation of the governing equation in order to argue in the fashion of the Lyapunov theory. In the course of the proof, an important role is assigned to restrictions with regard to diverse physical and rheological quantities. In particular, beside restrictions to the external pressure excitation, a strong condition for the non-Newtonian contributions of the constitutive law for a second-order liquid is obtained and, for the purpose of validation, compared to different experimental data. Furthermore, the term stability is also understood as weakly oscillating or non-vibrating bubble response to an external pressure excitation, which is of importance for practice-relevant applications in process engineering. Second, an extended Herring-Trilling equation is treated in a similar way to improve the understanding of the physics of individual bubbles in comparison with the first model. Furthermore, since a sudden bubble expansion might lead to instabilities in the surface due to the rearrangements of surface-active components such as proteins, mathematical and experimental results are compared to reveal those quantities by which a stable expansion can be realized. This is especially referred to the adaptation of the adsorption time of the proteins to that period of time that a bubble needs to reach its new state of rest. Moreover, the linearized Keller equation is investigated to find analytical expressions for resonance solutions. On a next level, the model of a bubble cloud is considered. Here, a nonlinear system of partial differential equations, derived from the conservation equations and the Rayleigh-Plesset equation, has to be solved. Spherical symmetries and linearization yield in particular an explicit expression for the bubble radii as solution of a wave equation. Parameter studies, also with practical considerations, are carried out by plotting a normalized radius versus a frequency ratio to figure out the effects of bubble radii, liquid density and viscosity, surface tension and pressure excitation. Finally, the dynamics and interaction of small bubbles in a Hele-Shaw flow is taken under consideration to examine the impact of the bubble positions, the distances between the bubbles, the plate spacing and the viscosity of the continuous phase. Mathematical investigations of two and three bubbles reveal informations about trajectories and mutual correlations.
description: Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, die Dynamik von Zweiphasensystemen bestehend aus kleinen Gasblasen in viskosen Flüssigkeiten von mathematisch-analytischer und praxisorientierter Seite her zu beleuchten. Deren Modellierung geschieht auf der mikroskopischen Längenskala anhand einer geeigneten Form der Navier-Stokes-Gleichungen, in denen speziell für den Spannungstensor das Stoffgesetz einer Flüssigkeit zweiter Ordnung zum Einsatz kommt. Hierbei werden die grundlegend in Erscheinung tretenden Phänomene unter Veränderung der Materialeigenschaften und Umgebungsbedingungen untersucht. Die nachfolgend betrachteten Modelle berücksichtigen dabei auch die Einbindung spezieller Formen von Parametern aus Produktionsabläufen, wie beispielsweise aus der Lebensmittelindustrie. In dieser Hinsicht sind verschiedene Voraussetzungen und Einschränkungen an die Massen- und Impulserhaltungsgleichungen zu knüpfen, woraus ein vereinfachtes und mathematisch handhabbares System nichtlinearer Differenzialgleichungen resultiert. Es werden konkrete Aussagen mit Bezug zum stabilen Langzeitverhalten einzelner Gasblasen bewiesen, die eine Kontrolle der Blasendynamik ermöglichen. Entsprechende Abschnitte aus dem dritten Kapitel wurden bereits als wissenschaftliche Artikel [16, 28] publiziert. Zunächst wird auf der mikroskopischen Skala das physikalische und rheologische Verhalten einzelner, kugelförmiger Gasblasen in hochviskosen inkompressiblen Flüssigphasen analysiert. Diesbezüglich spielt die Berücksichtigung der nicht-Newtonschen Eigenschaften des Dispersionsmediums mittels einer asymptotischen Approximation zweiter Ordnung für den Spannungstensor, der sogenannten Flüssigkeit zweiter Ordnung, eine zentrale Rolle. Aus den physikalischen Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls ergibt sich eine hochgradig nichtlineare Differenzialgleichung für den Blasenradius. Dabei handelt es sich um eine erweiterte Variante der Rayleigh-Plesset-Gleichung, zu dessen Lösung ein numerisches Verfahren erforderlich ist, um die wichtigsten Phänomene des Blasenverhaltens durch dimensionslose Parameterstudien herauszustellen. Die dabei beobachtbaren Erscheinungen spiegeln die physikalische Bedeutung der Terme in der Differenzialgleichung wider. Die Variation der einzelnen Parameter zeigt den Einfluss der Trägheit, der dynamischen Viskosität, der Oberflächenspannung, der nicht-Newtonschen Materialkoeffizienten und der äußeren Druckanregung auf, wodurch Stabilitätsbereiche für jede der charakteristischen Stoffgrößen ermittelt werden können. Insbesondere lässt sich das Langzeitverhalten einer Einzelblase vorausbestimmen, indem theoretische Erkenntnisse der linearisierten Gleichung vollständig auf das nichtlineare Anfangswertproblem übertragen werden. Die Existenz und Konvergenz stabiler Lösungen wird mathematisch anhand einer geeigneten Transformation der zugrundeliegenden nichtlinearen Differenzialgleichung im Sinne der Lyapunov-Theorie bewiesen. Im Verlauf des Beweises enthüllt sich, dass nicht nur Einschränkungen an den externen Anregungsdruck vonnöten sind, sondern insbesondere auch eine strikte Bedingung an die nicht-Newtonschen Materialparameter gestellt werden muss, die der Validierung halber mit diversen experimentellen Daten verglichen wird. Der Begriff Stabilität wird in diesem Zusammenhang durch schwach oszillierende oder vibrationsfreie Reaktionen des Blasenradius auf diverse Außendrücke erkennbar, was relevant für praktische Anwendungen ist. Anschließend rückt eine erweiterte Version der sogenannten Herring-Trilling-Gleichung in den Fokus. Mittels Dimensionsanalyse werden auch hier die Einwirkungen diverser Parameter numerisch näher untersucht und Vergleiche zum vorgenannten Modell gezogen. Da eine unmittelbare Blasenexpansion, hervorgerufen durch einen Umgebungsdrucksprung, zu Instabilitäten in der Phasengrenzfläche aufgrund der Änderung der Belegung durch oberflächenaktive Substanzen wie den Proteinen führen kann, werden mathematische und experimentelle Erkenntnisse miteinander verglichen, um diejenigen Größen zu erhalten, die eine stabile Blasenexpansion herbeiführen. Daher liegt es nahe, anhand des ersten mathematischen Modells eine Anpassung der Adsorptionszeit von Proteinen zu derjenigen Zeit, die die Blase benötigt, um ihren neuen Ruhezustand einzunehmen, vorzunehmen. Überdies wird die linearisierte Keller-Gleichung herangezogen, um einen analytischen Ausdruck für Resonanzlösungen herzuleiten. Auf einer weiteren Ebene wird das Modell einer Blasenwolke in Betracht gezogen, wobei es sich um eine Ansammlung kleiner diskreter Gasblasen in einem flüssigen Dispersionsmedium handelt. Das hierbei entstehende und zu lösende nichtlineare System partieller Differenzialgleichungen leitet sich aus den Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls sowie der Rayleigh-Plesset-Gleichung her. Kugelsymmetrie und Linearisierung liefern explizite Ausdrücke für die Blasenradien als Lösung einer Wellengleichung. Parameterstudien, zum Teil mit praxisrelevanten Bezügen, zeigen den normalisierten Blasenradius in Abhängigkeit eines Frequenzverhältnisses, wobei die Auswirkungen des Anfangsradius, der Flüssigkeitsdichte, der kinematischen Viskosität, der Oberflächenspannung, des Ruhe- und Fernfelddruckes untersucht werden. Abschließend spielen bei der Betrachtung der Dynamik und Wechselwirkung von kleinen Gasblasen in einer Hele-Shaw-Strömung die Position und der Abstand zwischen den einzelnen Blasen, der Plattenabstand und die Viskosität der Flüssigphase eine wesentliche Rolle. Mathematische Untersuchungen von zwei und drei Blasen liefern Informationen über deren Trajektorien und gegenseitige Beeinflussungen.