title: Optimizing constraints for ground state optimization
Creators: name: Fan, Daniel
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In dieser Arbeit wurden die unteren Schranken der Grundzustandsenergie des Vielteilchen Grundzustandsproblems optimiert. Dies wurde für lokale Hamiltonians an einer 1D-Spin-Kette mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins durchgeführt. Basierend auf einer kürzlich vorgeschlagenen Relaxationsmethode wurden die Zwangsbedingungen des Grundzustandsproblems durch Verwendung von ’coarse-graining maps’ komprimiert, die jeweils Spins auf eine niedrigere Dimension χ abbilden. Die unteren Schranken der Grundzustandsenergie wurden folglich ausgehend von zufällig gewählten ’coarse-graining maps’ mittels eines gradientenbasierten Verfahrens optimiert. Es wurde gezeigt, dass für jedes physikalische System unter Verwendung von ’coarse-graining maps’ mit der Dimension χ = 1 die Grundzustandsenergie des n-Körperproblems unter Verwendung der ’coarse-graining maps’ gleich der exakten Grundzustandsenergie des (n−1)-Körperproblems ist, sodass die Zwangsbedingungen, auf die die ’coarse-graining maps’ wirken, keinen Beitrag zur Optimierung leisten. Unter Betrachtung des XXZ-Modells als physikalisches System mit χ ≥ 2 wurde gezeigt, dass mit steigendem Wert von χ die Genauigkeit besser wird, was bedeutet, dass die Differenz zwischen der exakten Grundzustandsenergie und der Grundzustandsenergie des relaxierten Problems nach der Optimierung kleiner wird. Anschließend wurden die optimierten unteren Schranken für zufällige Hamiltonians untersucht, bei denen für bestimmte Systeme die unteren Schranken für jedes χ beschränkt sind und die Genauigkeit für höhere Werte von χ besser wird. Dies bedeutet, dass es nicht möglich ist, ein beliebiges χ zu wählen, um genaue untere Schranken der Grundzustandsenergie zu finden. Schließlich wurde untersucht, wie die ’coarse-graining maps’ nach der Optimierung charakterisiert werden können. Das Spektrum der zugrunde liegenden Hamiltonians wurde mit dem Spektrum des aus den optimierten ’coarse-graining maps’ erhaltenen ’coarse-grained’ Hamiltonians verglichen. Es wurde beobachtet, dass die Grundzustandsenergie der Hamiltonians nahe an der Grundzustandsenergie der ’coarse-grained’ Hamiltonians liegt.
description: In this thesis, the lower bounds on ground state energy of the many-body ground state problem were optimized. This was done for local Hamiltonians on an 1D spin chain with nearest-neighbor interaction. Following from a recently suggested relaxation method, the constraints of the ground state problem were compressed by using coarse-graining maps that map spins to a lower dimension χ. The lower bounds on the ground state energy were consequently optimized starting from randomly chosen coarse-graining maps via a gradient-based method. We showed that for any physical system using coarse-graining maps with dimension χ = 1 the ground state energy of the coarse-grained n-body problem is equal to the exact ground state energy of the (n−1)-body problem, so that the constraints involving coarse-graining maps make no contribution in the optimization. Considering the XXZ model as physical system with χ ≥ 2 we demonstrated that the higher the value of χ, the better the accuracy, meaning the difference of the exact ground state energy and the ground state energy of the relaxed problem after the optimization, becomes. Then, the optimized lower bounds were investigated for random Hamiltonians, where for certain systems the lower bounds are bounded for each χ and the accuracy become better for higher values of χ. This means that it is not possible to choose any χ to find accurate lower bounds on the ground state energy. Lastly, we investigated how the coarse-graining maps after the optimization can be characterized. The spectrum of the underlying Hamiltonians were compared to the spectrum of the coarse-grained Hamiltonian obtained from the optimized coarse-graining maps. We observed that the ground state energy of the Hamiltonians are close to the ground state energy of the coarse-grained Hamiltonians.