title: Γεωμετρία και πιθανότητες
title: Geometry and probabilities
Creators: name: Γρηγοριου Γιαννης
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2024

description: Στην διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η γεωμετρική πιθανότητα, η
γεωμετρία της νόρμας και η θεωρία των Martingales. Είναι τρεις τομείς που
συνδυάζουν την κλασική θεωρία των πιθανοτήτων με μαθηματικές και
γεωμετρικές έννοιες.
Η γεωμετρική πιθανότητα είναι συνεπακόλουθο της ανάγκης για κατανόηση
τυχαίων γεγονότων, με κυριότερο σταθμό το πρόβλημα του Buffon, με το οποίο
ενσωματώθηκαν οι γεωμετρικές παράμετροι στις θεωρίες πιθανοτήτων. Στη
συνέχεια βλέπουμε πως δια μέσου του έργου των Pierre de Fermat και Blaise
Pascal, προέκυψε ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας, ο οποίος συνέβαλε
στην εξέλιξη του πεδίου.
Η γεωμετρία της νόρμας είναι ένα άλλο σημαντικό κομμάτι μελέτης που
εξετάζεται στην εργασία. Με την γεωμετρία της Νόρμας συνδυάζουμε την
καθημερινή εμπειρία της απόστασης με την αφηρημένη μαθηματική σκέψη, ενώ
οι έννοιες των μετρικών χώρων και των αποστάσεων συνόλων αναλύονται
λεπτομερώς μέσω παραδειγμάτων στον Ευκλείδειο χώρο δίνοντας μας
καλύτερη κατανόηση του πεδίου.
Επιπλέον, βλέπουμε τη θεωρία των Martingales να παρουσιάζεται ως ένα
ισχυρό εργαλείο της μαθηματικής ανάλυσης, με προέλευση από στρατηγικές
τυχερών παιχνιδιών. Με την χρήση των Martingales εξετάζουμε αλληλουχίες
τυχαίων μεταβλητών και βρίσκουμε εφαρμογές σε διάφορα πεδία, όπως η
οικονομία και η επιστήμη των υπολογιστών και είναι πολύ μεγάλη η συνεισφορά
τους στη λήψη κρίσιμων αποφάσεων. Εξετάζονται εφαρμογές όπως η
προσομοίωση τιμής μετοχής και η ανίχνευση ανωμαλιών σε χρονοσειρές, οι
οποίες παρουσιάζονται με την χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Python.
Τέλος, στην εργασία επισημαίνονται οι προοπτικές της στοχαστικής ανάλυσης
και της τεχνητής νοημοσύνης για μελλοντική έρευνα.
description: This thesis introduces three main areas: geometric probability, norm geometry,
and Martingales' theory. These areas combine classical probability theory with
mathematical and geometrical concepts.
Geometric probability is the result of the need to understand random events,
with Buffon's problem being a major milestone. This problem integrated
geometric parameters into probability theory. The classical definition of
probability emerged through the work of Pierre de Fermat and Blaise Pascal,
contributing to the development of the field.
Norm geometry is another important area addressed in the paper. It combines
everyday experiences of distance with abstract mathematical thinking. The
concepts of metric spaces and set distances are analyzed in detail, with
examples in Euclidean space to provide a better understanding of the field.
The theory of Martingales is presented as a powerful tool of mathematical
analysis, originating from gambling strategies. Martingales are used to examine
sequences of random variables and find applications in various fields such as
economics and computer science. Applications, such as stock price simulation
and anomaly detection in time series, are presented using the Python
programming language. The paper also highlights the perspectives of
stochastic analysis and artificial intelligence for future research.