title: Sampling in spaces of variable bandwidth
Creators: name: Andreolli, Beatrice
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diese Doktorarbeit befasst sich mit der Zeit-Frequenz-Analyse und der Abtasttheorie und konzentriert sich auf die Entwicklung neuer Funktionenräume, die durch eine variable Bandbreite charakterisiert sind. Die Idee der variablen Bandbreite entsteht aus der Erkenntnis, dass es in der Natur sinnvoll ist, verschiedenen Segmenten eines Signals unterschiedliche lokale Bandbreiten zuzuweisen. Die Herausforderung bei der Definition eines solchen Konzepts besteht jedoch darin, dass die Bandbreite eine globale Eigenschaft eines Signals ist und somit mit dem Unschärfeprinzip in Konflikt gerät, wenn versucht wird, lokale Bandbreiten festzulegen. Es werden drei Konstruktionen von Räumen mit variabler Bandbreite vorgestellt, die Zeit-Frequenz-Werkzeuge verwenden. Der erste Raum mit variabler Bandbreite wird mit einem Gaborsystem konstruiert. Die zweite Formulierung wird durch die Physik der Gravitationswellen motiviert, und der Raum mit variabler Bandbreite wird mit Wilson-Basen aufgebaut. Die dritte Variante des Raums mit variabler Bandbreite ist durch die Signalverarbeitung motiviert und wird mit einer lokalen Fourier-Basis konstruiert. All diese Funktionenräume werden unter Verwendung einer diskreten Version eines variablen Bandbreiteraums konstruiert, der von Aceska und Feichtinger eingeführt wurde. Sie nutzen ein zeitabhängiges Abschneiden der Frequenz der Kurzzeit-Fourier-Transformation und erhalten eine äquivalente Norm für den standardmäßigen Sobolev-Raum. Den resultierenden Räumen fehlen die Hauptmerkmale eines variablen Bandbreitenraums, nämlich Abtasttheoreme und notwendige Dichtebedingungen für die Rekonstruktion. In unseren Definitionen wird die Kurzzeit-Fourier-Transformation durch ein Abschneiden der Frequenz eines Gaborsystems, einer Wilson-Orthonormalbasis oder einer lokalen Fourier-Basis ersetzt. Ein zentraler Beitrag der Arbeit ist die Formulierung hinreichender Bedingungen für das Abtasten in diesen Räumen variabler Bandbreite. Abtastungleichungen werden nach der Methode der adaptiven Gewichte aufgestellt und bieten Einblicke in die Rekonstruktion von Funktionen aus diskreten Abtastwerten. Die Untersuchung von nicht-uniformen Abtastszenarien bietet eine quantitative Analyse der lokalen Abtastdichte. Die Ergebnisse der hinreichenden Bedingungen für Abtasttheoreme werden in numerischen Simulationen getestet.
description: This doctoral thesis delves into the domain of time-frequency analysis and sampling theory, focusing on the development of novel function spaces characterized by a variable bandwidth. The notion of variable bandwidth arises from the recognition that in nature it is meaningful to allocate distinct local bandwidths to various segments of a signal. However, giving a mathematical definition of variable bandwidth is challenging, since the bandwidth is a global property of a signal and a rigorous definition conflicts with the uncertainty principle when attempting to define a space of variable bandwidth. Three constructions of spaces of variable bandwidth that use time-frequency tools are presented. The first space of variable bandwidth is constructed with a Gabor system. The second formulation is motivated by the physics of gravitational waves, and the space of variable bandwidth is built with Wilson bases. The third variation of the space of variable bandwidth is motivated by signal processing, with a space constructed with a local Fourier basis. All these function spaces are built by using a discrete version of a variable bandwidth space introduced by Aceska and Feichtinger. They use a time-varying frequency truncation of the short-time Fourier transform and obtain an equivalent norm for the standard Sobolev space. The resulting spaces lack the main features of a variable bandwidth space, namely sampling theorems and necessary density conditions for reconstruction. In our definitions, the short-time Fourier transform is replaced by a frequency truncation of a Gabor system, a Wilson orthonormal basis, or a local Fourier basis. A key contribution of the thesis is the formulation of sufficient conditions for sampling for these spaces of variable bandwidth. Sampling inequalities are established following the adaptive weights method, and they provide insights into the reconstruction of functions from discrete samples. The exploration of nonuniform sampling scenarios offers a quantitative analysis of local sampling density requirements. The results of the sufficient condition for sampling theorems are tested in numerical simulations.