title: Covariates Hiding in the Tails
Creators: name: Bachem, Milian 
name: Ergun, Lerby Murat
name: de Vries, Casper G. 
Publisher: name: Bank of Canada
Year: 2021

description: "A popular measure to assess the likelihood of extreme and rare events—such as economic crises—is the tail index. Because of the small sample of extreme events, measuring the tail index precisely is difficult. Measuring changes to this likelihood over time is even more difficult. 
Under certain assumptions, using the variation across the population—a cross-section—at a given time offers a way to alleviate the problem posed by a small sample. For instance, to measure the tail index for a stock market, you could use the returns of the individual firms to imply the likelihood of a tail event for the market at a given time. Repeating this exercise for each time period produces a measure of the tail index over time. 
We show that these measurements contain a bias that fluctuates over time. Our theoretical results reveal that the bias:
•	results from trivial fluctuations that are common among the cross-section observations
•	moves the tail index estimates in the opposite direction for events that are extremely negative or extremely positive 
•	is increasing in the number of extreme observations used in the measurement because the added observations are less extreme
We provide two simple remedies. First, we devise a new estimator that averages the estimate for the extreme negative and positive events. Averaging the two estimates should cancel the bias present in both tails. Second, we subtract the cross-sectional average from each observation and repeat this at each point in time.
To test for the presence, direction and size of the bias, we use monthly US stock returns and annual US Census county population data. We find that the bias plays an important role for stock returns, especially during crisis periods. However, the bias plays a small role for county population data due to the lack of common fluctuations in the population across counties."

description: "Pour évaluer la probabilité de survenance d’un événement extrême et rare, comme une crise économique, on utilise couramment l’indice de queue. Mais compte tenu de la petite taille de l’échantillon d’événements extrêmes, il est difficile de mesurer cet indice avec précision, et encore plus difficile de mesurer comment la probabilité qu’ils se produisent varie dans le temps.

En posant certaines hypothèses, et en utilisant la variation à l’intérieur d’une population à un instant donné – une coupe transversale –, on arrive à atténuer le problème posé par la petitesse de l’échantillon. Par exemple, si on veut mesurer l’indice de queue pour un marché boursier, on peut partir du rendement des sociétés prises individuellement pour déduire la probabilité qu’un événement extrême se produise dans le marché à un instant donné. En répétant l’exercice pour chaque période, on obtient une mesure de l’indice de queue au fil du temps.

Nous montrons que ces mesures comportent un biais qui varie dans le temps. Nos résultats théoriques révèlent que ce biais :

résulte de fluctuations négligeables qui sont communes dans les observations en coupe transversale;
déplace les estimations de l’indice de queue dans le sens opposé pour les événements extrêmement négatifs ou positifs;
est amplifié dans le nombre d’observations extrêmes utilisées pour la mesure, parce que les observations ajoutées sont moins extrêmes.

Nous proposons deux solutions simples. Premièrement, nous créons un nouvel estimateur pour établir la moyenne des estimations pour les événements extrêmes négatifs et positifs, ce qui devrait neutraliser le biais présent dans les deux queues de la distribution. Deuxièmement, nous soustrayons la moyenne transversale de chaque observation et nous répétons cette étape pour chaque point de l’intervalle de temps.

Pour déterminer la présence, le sens et l’ampleur du biais, nous utilisons les rendements mensuels du marché boursier américain et les données annuelles de population par comtés du recensement des États-Unis. Nous constatons que le biais joue un rôle important pour les rendements boursiers, surtout durant les périodes de crise. Toutefois, le biais n’a qu’un effet modeste pour les données de population, vu l’absence de fluctuations communes dans la population d’un comté à l’autre."