title: Investigation of micro-macro models for reactive transport in elastically deformable perforated media
title: Untersuchung von mikro-makro Modellen für reaktivenTransport in elastisch deformierbaren perforierten Medien
Creators: name: Knoch, Jonas
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024
Subjects: subject: Perforated elastic medium
subject: Reactive transport
subject: Two-scale expansion
subject: Global existence and uniqueness
subject: Finite element method
subject: Deformable tissue
subject: Energy metabolism
subject: DDC Classification::5 Naturwissenschaften::51 Mathematik::515 Analysis
subject: DDC Classification::5 Naturwissenschaften::51 Mathematik::518 Numerische Analysis

description: In this work we deal with mathematical models for transport processes in elastically deformable perforated media, which are motivated, for example, by biomedical applications concerning the transport of nutrients or drugs through deformable biological tissues, like pulmonary or cardiac tissue. The models are needed to provide practically relevant insights into the underlying mechanisms through numerical simulations. In this context, the heterogeneity of the tissue, caused by its cellular structure, as well as a strong coupling of all processes pose challenges for the analytical and numerical treatment. Starting from a microscopic description, where the transport equation is formulated on the deformed domain, we first derive a novel effective micro-macro model in the _Lagrangian_ framework. For this purpose, we transform the transport problem to the reference domain and use asymptotic expansions to formally arrive at the effective model. The information about the heterogeneity and deformation of the underlying medium is now contained in so-called effective coefficients and the derived model is much easier to handle numerically, since the perforations no longer have to be resolved explicitly. We then analytically investigate a unidirectionally coupled version of the effective micro-macro model in which the elastic properties of the medium do not depend on the concentration. Assuming a smallness condition on the data of the elasticity problem, as well as sufficient regularity of all data and the domains, we can prove global existence in time and uniqueness of solutions. To simulate the derived effective micro-macro model, we develop and investigate a numerical scheme that we implement based on the finite element software library _deal.II_. After validating our scheme through grid convergence studies and visualizing numerically computed solutions, we use it to numerically verify the convergence of the microscopic solutions to the effective solutions as the scale parameter $\varepsilon$ approaches zero. Furthermore, we compare the effective micro-macro model with alternative, simpler effective descriptions of transport in elastic perforated media. A numerical sensitivity analysis emphasizes the effects of deformation and microstructure on the transport of diffusing substances through the medium. In addition, we compare different alternative strategies to the efficient and accurate calculation of the effective coefficients based on cell solutions. Here, the approximation of the effective coefficients using a feedforward neural network is superior in terms of time saving and accuracy. Finally, we formulate a mathematical description of key components of energy metabolism in deformable tissues within the framework of the derived effective micro-macro model and reproduce in the simulations key features of the energy metabolism, in particular the metabolic reprogramming under hypoxic conditions that plays a role in various diseases such as sepsis, cancer or Covid-19.
description: In dieser Arbeit befassen wir uns mit mathematischen Modellen für Transportprozesse in elastisch deformierbaren perforierten Medien, die beispielsweise durch biomedizinische Fragestellungen zum Transport von Nährstoffen oder Medikamenten durch deformierbare biologische Gewebe, wie zum Beispiel Lungen- oder Herzgewebe, motiviert werden. Die Modelle sollen genutzt werden, um durch numerische Simulationen praxisrelevante Einblicke in die zugrundeliegenden Mechanismen zu gewinnen. In diesem Zusammenhang stellen vor allem die Heterogenität des Gewebes, bedingt durch seine zelluläre Struktur, sowie eine starke Kopplung aller Prozesse Herausforderungen für die analytische und numerische Behandlung dar. Ausgehend von einer mikroskopischen Beschreibung, bei der die Transportgleichung auf dem deformierten Gebiet formuliert ist, leiten wir in der vorliegenden Arbeit zunächst ein neues effektives mikro-makro Modell in _Lagrange_'scher Formulierung her. Dazu transformieren wir das Transportproblem auf das Referenzgebiet und nutzen asymptotische Entwicklungen, um formal zum effektiven Modell zu gelangen. Die Information über die Heterogenität und Deformation des Mediums ist danach in sogenannten effektiven Koeffizienten enthalten und das hergeleitete Modell ist numerisch deutlich einfacher zu handhaben, da die Perforationen nicht mehr explizit aufgelöst werden müssen. Danach wird eine einseitig gekoppelte Version des effektiven mikro-makro Modells, bei der die elastischen Eigenschaften des Mediums nicht von der Konzentration abhängen, analytisch untersucht. Unter der Annahme einer Kleinheitsbedingung an die Daten des Elastizitätsproblems sowie hinreichender Regularität aller Daten und der Gebiete können wir globale Existenz in der Zeit und Eindeutigkeit von Lösungen nachweisen. Zur Simulation des hergeleiteten effektiven mikro-makro Modells entwickeln und untersuchen wir ein numerisches Schema, das wir basierend auf der finite Elemente Softwarebibliothek _deal.II_ implementieren. Nach der Validierung unseres Schemas durch Gitterkonvergenzstudien und der Visualisierung von numerisch berechneten Lösungen nutzen wir es, um die Konvergenz der mikroskopischen Lösungen zu den effektiven Lösungen numerisch nachzuweisen, wenn der Skalenparameter $\varepsilon$ gegen Null geht. Außerdem vergleichen wir das effektive mikro-makro Modell mit alternativen, einfacheren effektiven Beschreibungen von Transport in elastischen perforierten Medien. Danach wird eine numerische Sensitivitätsanalyse durchgeführt, die die Auswirkungen der Deformation und Mikrostruktur auf den Transport von diffundierenden Substanzen durch das Medium beschreibt. Darüber hinaus untersuchen wir verschiedene alternative Strategien zur effizienten und genauen Berechnung der effektiven Koeffizienten auf Basis der Zelllösungen, wobei die Approximation der effektiven Koeffizienten mithilfe eines neuronalen feedforward Netzes die besten Ergebnisse im Hinblick auf Zeitersparnis und Genauigkeit liefert. Zum Abschluss formulieren wir im Rahmen unseres effektiven mikro-makro Modells eine mathematische Beschreibung von zentralen Bestandteilen des Energiemetabolismus in deformierbaren Geweben und reproduzieren in den Simulationen mithilfe unseres numerischen Schemas grundlegende Eigenschaften des Energiemetabolismus, wie die metabolische Umprogrammierung unter hypoxischen Bedingungen, die bei verschiedenen Krankheiten wie Sepsis, Krebs oder Covid-19 eine Rolle spielt.