Ανάλυση Χρόνου-Συχνότητας και η Εικασία HRT
Creators: name: Παπαδοπούλου, Χριστίνα Γαβριήλ
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: subject: Μαθηματικά
subject: Ανάλυση Χρόνου-Συχνότητας
subject: Η Εικασία HRT
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Time-Frequency Analysis
subject: Τhe HRT Conjecture

description: Ο μετασχηματισμός Fourier είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο στη μαθηματική ανάλυση για πάνω από έναν αιώνα. Παρόλα αυτά δε δίνει ταυτόχρονα πληροφορίες των φάσεων σχετικά με τη συχνότητα και τη διάρκεια ενός σήματος. Το 1946, ο Gabor διατύπωσε μια θεμελιώδη προσέγγιση στην αποσύνθεση σήματος σε όρους θεμελιωδών σημάτων. Εισήγαγε την έννοια των πλαισίων Gabor του οποίου τα στοιχεία παράγονται από μεταφορές χρόνου-συχνότητας μιας συνάρτησης παραθύρου g. Το σύστημα Gabor συμβολίζεται με G(g, Λ), όπου το Λ είναι ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του χώρου φάσεων και αντιστοιχεί στις μεταφορές χρόνου-συχνότητας. ́Ενα από τα ζητούμενα της ανάλυσης χρόνου-συχνότητας είναι η ύπαρξη αναπτύγματος κάθε σήματος f (f τετραγωνικά ολοκληρώσιμη) ως σειρά στοιχείων του G(g, Λ) με μιγαδικούς συντελεστές. ́Ενα τέτοιο ανάπτυγμα υπερτερεί της αντίστοιχης σειράς Fourier, καθώς μάς δίνεται «τοπικά» πληροφορία της f, ταυτόχρονα ως προς το χρόνο και τη συχνότητα (με περιορισμούς που υπάρχουν λόγω των αρχών αβεβαιότητας). ́Ετσι, απαιτείται το G(g, Λ) να έχει κάποιες καλές ιδιότητες, η κυριότερη των οποίων είναι αυτή του πλαισίου, που εισήχθη από τους Duffin και Schaeffer το 1952, η οποία έως σήμερα έχει εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα περιοχών όπως θεωρία δειγματοληψίας, θεωρία τελεστών, θεωρία κυματιδίων (wavelets), ασύρματες επικοινωνίες, επεξεργασία σήματος και κβαντικοί υπολογισμοί. Παρ’όλο που το ερώτημα σχετικά με τη δομή των πλαισίων Gabor είχε απαντηθεί ικανοποιητικά, ένα άλλο πιο βασικό ερώτημα τέθηκε από τους Heil, Ramanathan και Topiwala το 1996, το οποίο και αποτέλεσε τη διατύπωση της περίφημης εικασίας HRT: για κάθε μη μηδενική τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση g και πεπερασμένο Λ στο χώρο φάσεων, είναι το σύστημα Gabor γραμμικά ανεξάρτητο; Σύμφωνα με την εικασία, η απάντηση είναι πάντα ναι. Το κυριότερο αποτέλεσμα πάνω στην εικασία αυτή μέχρι σήμερα, αποτελεί το Θεώρημα του Linnell (1999), το οποίο και επιβεβαιώνει την εικασία HRT στην περίπτωση που το Λ είναι υποσύνολο ενός πλέγματος (ή μιας μεταφοράς αυτού). Κάποιες περιπτώσεις της εικασίας που έχουν αποδειχτεί, θέτουν ισχυρούς περιορισμούς είτε στην κλάση συναρτήσεων που ανήκει η g, π.χ. να έχει Γκαουσιανή ή Εκθετική φθίση, όπως απέδειξαν οι Bownik και Speegle, είτε στο σύνολο μεταφορών χρόνου-συχνότητας Λ, όπως για παράδειγμα στα αποτελέσματα των Demeter και Zaharescu, όπου το Λ έχει 4 στοιχεία. Έχουν αποδειχθεί και αρκετές άλλες περιπτώσεις της εικασίας ορισμένες από τις οποίες θα δούμε στο Κεφάλαιο 4 αλλά παρά την απλότητα της πρότασης, παραμένει άλυτη μέχρι και σήμερα στη γενική μορφή της
description: The Fourier transform has been a very important tool in mathematical analysis for over a century. Nevertheless it does not give at the same time phase information about the frequency and duration of a signal. In 1946, Gabor formulated a fundamental approach to signal decomposition in terms of fundamental signals. He introduced the concept of Gabor frames whose elements are generated by time-frequency translates of a window function g. The Gabor system is denoted by G(g, Λ), where Λ is a countable subset of the phase space and corresponds to time-frequency translates. One of the purposes of time-frequency analysis is the existence of decomposition of every signal f (f square integrable) as a series of elements of G(g, Λ) with complex coefficients. Such a development supersedes in many aspects the corresponding Fourier series, as we are given "locally" information of f, both in time and frequency (with limitations due to uncertainty principles). Thus, the Gabor system G(g, Λ) is required to have some good properties, the most important of which is that of the frame introduced by Duffin and Schaeffer in 1952, which to date has applications in a wide range of areas such as sampling theory, operator theory, wavelet theory, wireless communications, signal processing and quantum computing. Although the question about the structure of the Gabor frames was satisfactorily answered, another more basic question was asked by Heil, Ramanathan and Topiwala in 1996, which was the formulation of the famous conjecture HRT: for every non-zero square integrable function g and finite Λ in the phace space, is the Gabor system linearly independent? According to the conjecture, the answer is always yes. The main result on this conjecture to date is Linnell’s Theorem (1999), which confirms HRT when Λ is a subset of a lattice (or a translation thereof). Some instances of the conjecture that have been proved, set strong constraints on either the class of functions to which g belongs, e.g. those of Gaussian or Exponential decay, as demonstrated by Bownik and Speegle, or on the set of time-frequency translates Λ, as for example in the results of Demeter and Zaharescu, where Λ has 4 elements. Several other cases of conjecture have been proved, some of which we will see in Chapter 4, but despite the simplicity of the statement, it remains unsolved to this day in its general form