Πιθανότητες καταστροφής για το μοντέλο Cramer-Lundberg:
Creators: name: Μακρίδης, Ανδρέας Σάββα
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: Ανάλυση κινδύνου
Πιθανότητες καταστροφής
Μοντέλο Cramer-Lundberg
Cramer-Lundberg model
Risk analysis
Ruin probability

description: Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη αναλυτικών και προσεγγιστικών λύσεων για την πιθανότητα καταστροφής, στο κλασικό μοντέλο κινδύνου Cramer-Lundberg, το οποίο απαντάται κύρια στα ασφαλιστικά μαθηματικά.Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην εργασία αυτή. Ορίζουμε το μοντέλο Cramer-Lundberg, μελετάμε βασικές ιδιότητές του και συσχετίζουμε τη διαδικασία αποθήκευσης με κίνδυνο με τη διαδικασία πλεονάσματος απαιτήσεων. Επίσης παρουσιάζουμε τη μορφή που παίρνει το μοντέλο όταν η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson, διαδικασία η οποία θα μας απασχολήσει σε όλη την πορεία της εργασίας αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφονται κάποιες περιπτώσεις στις οποίες δίνουμε την πιθανότητα καταστροφής σε κλειστή αναλυτική μορφή, στην περίπτωση του σύνθετου μοντέλου Poisson. Μελετάμε επίσης τις κατανομές τύπου φάσεων. Αφού παρουσιάσουμε κάποιους στοιχειώδεις ορισμούς και ιδιότητές τους, παραθέτουμε μερικές γνωστές κατανομές οι οποίες μπορούν να αναπαρασταθούν ως κατανομές τύπου φάσεων. Πρωταρχική σημασία έχει η εύρεση της πιθανότητας καταστροφής όταν το ύψος των απαιτήσεων ακολουθεί κατανομή τύπου φάσεων. Το τρίτο κεφάλαιο ασχολείται με διάφορα στοχαστικά μοντέλα τα οποία οδηγούν σε αναλυτική λύση για την πιθανότητα καταστροφής. Πιο συγκεκριμένα διερευνούμε την περίπτωση του απλού τυχαίου περίπατου, την κίνηση Brown και μια γενική διαδικασία διάχυσης. Δίνουμε κάποιους βασικούς ορισμούς και ιδιότητες καθώς και τη μορφή που παίρνει η πιθανότητα καταστροφής στις διάφορες περιπτώσεις που εξετάζουμε. Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφονται αναλυτικά κάποιες προσεγγίσεις για την πιθανότητα καταστροφής. Αρχικά περιγράφουμε την προσέγγιση Beekman – Bower όπου η κεντρική ιδέα είναι η προσαρμογή μιας Γάμμα κατανομής στην κατανομή της τυχαίας μεταβλητής L. Αυτό επιτυγχάνεται εξισώνοντας τις ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης της τυχαίας μεταβλητής L με αυτές της Γάμμα κατανομής. Περιγράφεται η προσέγγιση De Vylder, όπου προσεγγίζουμε την πιθανότητα καταστροφής με την πιθανότητα καταστροφής που θα προκύψει για μια διαφορετική διαδικασία όπου τα ύψη των απαιτήσεων ακολουθούν Εκθετική κατανομή. Στην προσέγγιση heavy traffic η κεντρική ιδέα είναι ότι οι δόσεις υπερβαίνουν ελάχιστα τις αναμενόμενες απαιτήσεις ενώ στην προσέγγιση light traffic οι δόσεις είναι αρκετά μεγαλύτερες από τις αναμενόμενες απαιτήσεις. Μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση για την πιθανότητα καταστροφής προκύπτει συνδυάζοντας την light και heavy traffic. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την ευρέως γνωστή Beekman’s convolution formula. Στο τέλος δίνουμε μια ασυμπτωτική προσέγγιση για την πιθανότητα καταστροφής με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Στο πέμπτο κεφάλαιο αναλύουμε διάφορες μεθόδους με σκοπό και πάλι την εύρεση ακριβούς λύσης για την πιθανότητα καταστροφής. Ειδικότερα, με χρήση της μεθόδου ολοκλήρωσης κατά γινόμενα (product integration), δίνουμε μια προσέγγιση για την πιθανότητα αυτή, καθώς και μια εφαρμογή της μεθόδου. Εν συνέχεια, υπολογίζουμε την πιθανότητα καταστροφής, αυτή τη φορά μέσω των εκθετικών ολοκληρωμάτων.
description: Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο μελετάμε κι εφαρμόζουμε το κλασικό μοντέλο Cramer-Lundberg για την εκτίμηση των πιθανοτήτων γένεσης σεισμών μεγέθους μεγαλυτέρου των 5.2 της κλίμακας Richter στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε την κατανομή των πτώσεων τάσης (οι οποίες αντιστοιχούν στις απαιτήσεις του μοντέλου Cramer-Lundberg) για δύο περιπτώσεις. Αρχικά εργαζόμαστε με την εμπειρική κατανομή και εν συνεχεία θεωρούμε ότι η κατανομή των πτώσεων τάσης είναι Pareto. Η εκτίμηση της πιθανότητας γένεσης σεισμού γίνεται σε άπειρο ορίζοντα με βάση την εκάστοτε αρχική διαφορά του επιπέδου τάσης από την κρίσιμη τιμή.
description: The aim of the present work is to find analytical solution and approximations for the probability of ruin in the classical risk model Cramer-Lundberg, in actuarial mathematics. In the first chapter, basic notions used in this work are presented. We define the model Cramer-Lundberg, study its basic properties and link the risk reserve process to the surplus process. We also present the form that the model takes in the process of Poisson arrivals, which we will deal with during the whole process of this work. In the second chapter certain cases are described, where we give the probability of ruin in a closed analytical form, in the case of the compound Poisson model. We also study phase type distributions. After presenting certain basic definitions and their properties, we refer to certain known distributions that can be represented as phase type distributions. When the claim size distribution is phase type, a fundamental issue is the evaluation of ruin probability. The third chapter deals with various stochastic models which lead to analytical solution for the probability of ruin. Specifically, we investigate the case of Bernoulli random walk, the Brownian motion and a general diffusion process. We give some basic definitions and properties as well as the form that the probability of ruin takes in the cases being investigated. In the fourth chapter, certain approximations for the probability of ruin are analytically described. Initially, we will describe the Beekman–Bower approximation, the central idea of which is the fit of a Gamma distribution to the distribution of random variable L. This is achieved equalizing the first two moments of random variable L to those of Gamma distribution. In the De Vylder approximation, we approximate the ruin probability with the one for a differenet process with exponential claims. In heavy traffic approximation, the central idea is that the premiums exceed only slightly the expected claims, while in light traffic approximation the premiums are much larger than the expected claims. An interesting approximation of the probability of ruin, results through the interpolation of light and heavy traffic. Following that, we present the well known Beekman's convolution formula. Finally, we present an asymptomatic approximation of the probability of ruin, using the Laplace transform. In the fifth chapter, we analyze various methods with the aim of finding a precise solution for the probability of ruin. More specifically we present via product integration an approximation for this probability, as well as an application of the method. Then, we approximate the probability of ruin, via exponential integrals. In the sixth and final chapter, we study and apply the classical Cramer-Lundberg model in order to approximate the probabilities of earthquake occurrences with (earthquake) magnitude M ≥ 5.2. We focus on the N. Aegean area during the period 1964 to 2006. The claims of Cramer-Lundberg model correspond to the stress drops whose distribution is investigated by two methods. Firstly we work by means of the empirical distribution and consider the stress drops to follow Pareto distribution. We approximate the probability of earthquake occurrences with infinite horizon as the probability of not ruin of the classical Cramer-Lundberg with respect to the initial difference of stress from the critical value.