title: Ergodicity of the geodesic flow on quotient surfaces of the hyperbolic plane
Creators: name: Gomes Gerber, Isabel
Publisher: name: :none
Year: 2020

description: Das Ziel meiner Masterarbeit ist die Ergodizität des geodätischen Flusses auf Quotientenräumen der hyperbolischen Ebene Γ \ H zu zeigen, wobei Γ ein Gitter ist. Diese Aussage wird im letzten Abschnitt von Kapitel 3 bewiesen. Um alle benötigten Konzepte verstehen zu können, führen wir zunächst die hyperbolische Ebene H im ersten Kapitel ein und zeigen auf, wie sich ihre Geometrie von der euklidischen Geometrie unterscheidet. Insbesondere zeigen wir, wie die hyperbolische Distanz definiert ist und welche Konsequenzen dies hat. Zum Beispiel werden wir sehen, dass Geodäten in der hyperbolischen Ebene aus vertikalen Linien und Halbkreisen bestehen, deren Mittelpunkt auf R liegt. Wir werden auch Möbius-Transformationen untersuchen. Diese verändern keine hyperbolischen Abstände, Winkel oder hyperbolischen Flächen. Außerdem werden einige grundlegende Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie aufgezeigt, wie zum Beispiel der Satz von Gauß-Bonnet. Wir beginnen das zweite Kapitel indem wir verschiedene Merkmale der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL2(R) zeigen, wie zum Beispiel die Identifikation zwischen PSL2(R) und T^1H, dem Einheits-Tangentialbündel von H, oder die Tatsache, dass PSL2(R) eine geschlossene lineare Gruppe ist. Dies ist nützlich, weil der geodätische Fluss auf der hyperbolischen Ebene eine Funktion auf T^1H ist. Daher können wir in Kapitel 3 den geodätischen Fluss auch als Funktion auf PSL2(R) betrachten. Wir werden auch eine Metrik auf PSL2(R) herleiten. Dazu definieren wir allgemeiner eine Metrik auf geschlossenen linearen Gruppen G. Anschließend betrachten wir Eigenschaften von Fuchsschen Gruppen und führen den Begriff der Fundamentalregion ein. Dies wird wichtig sein, da Γ eine Fuchssche Gruppe sein soll, deren Fundamentalregionen endliches Maß haben. Wie bereits erwähnt, beginnen wir das dritte Kapitel mit der Definition des geodätischen Flusses auf T^1H sowie auf PSL2(R). Dasselbe kann für den horozyklischen Fluss gemacht werden. Um den geodätischen Fluss auf dem Quotientenraum Γ\PSL2(R) zu definieren, werden zunächst die Identifikationen T^1(Γ\H) = Γ\(T^1H) = Γ\PSL2(R) gezeigt, um danach den geodätischen Fluss auf T^1(Γ\H) zu definieren. Bevor wir die Ergodizität des geodätischen Flusses auf Γ \ PSL2(R) untersuchen, definieren wir noch ein Maß und eine Metrik auf Γ \ G. Ich bin hauptsächlich dem Buch, Ergodic Theory with a view towards Number Theory, von Einsiedler und Ward und der wissenschaftlichen Arbeit, Fuchsian groups, geodesic flows on surfaces of constant negative curvature and symbolic coding of geodesics, von Katok gefolgt. Die anderen Quellen wurden für zusätzliche Informationen zu den jeweiligen Themen verwendet.
description: The goal of my thesis is to show the ergodicity of the geodesic flow on quotient spaces of the hyperbolic plane Γ \ H, where Γ is a lattice. This statement is presented and proven in the last section of chapter 3. To be able to understand all the concepts needed, we start by introducing the hyperbolic plane H in chapter 1 and point out how its geometry differs from Euclidean geometry. In particular, we demonstrate how hyperbolic distance is defined and show its consequences. For instance, we will see that geodesics in the hyperbolic plane consist of vertical lines and semicircles with centre on R. We will also be interested in studying Möbius transformations, which do not alter hyperbolic distances, angles or hyperbolic areas. Furthermore some fundamental properties of hyperbolic geometry will be shown, such as the Gauss-Bonnet Theorem. Chapter 2 starts by showing various characteristics of the projective special linear group, PSL2(R), such as the identification between PSL2(R) and T^1H, the unit tangent bundle of H, or the fact that PSL2(R) is a closed linear group. The reason why this is useful is that since the geodesic flow on the hyperbolic plane is a function on T^1H we can also define the geodesic flow as a function on PSL2(R), which will be done in chapter 3. We will also derive a metric on PSL2(R). This will be done in a more general way by defining a metric on closed linear groups G. Afterwards we consider properties of Fuchsian groups and introduce the notion of fundamental regions. This will be important since we want Γ to be a Fuchsian group whose fundamental domains have finite measure. As mentioned before we start chapter 3 by defining the geodesic flow on T^1H as well as on PSL2(R). The same can be done for the horocycle flow. In order to define the geodesic flow on the quotient space Γ \ PSL2(R) we first demonstrate the identifications T^1(Γ \ H) = Γ \ (T^1H) = Γ \ PSL2(R) and use the definition of the geodesic flow on T^1(Γ \ H). Our last step before examining the ergodicity of the geodesic flow on Γ \ PSL2(R) will be the definition of a measure and a metric on Γ \ G. I mainly followed the book Ergodic Theory with a view towards Number Theory by Einsiedler and Ward and the paper Fuchsian groups, geodesic flows on surfaces of constant negative curvature and symbolic coding of geodesics by Katok. The others sources were used for additional information on the topics.