title: Distance of probability measures and respective continuity properties of acceptability functionals
Creators: name: Pichler, Alois
Publisher: name: :none
Year: 2010

description: Bewertung von Risiko Funktionale, die Risiko bewerten, haben in der Dekade seit ihrer Einführung große Aufmerksamkeit erreicht. Ihre axiomatischen Haupteigenschaften sind sehr natürlich, aus denen sich dann weitere, sehr schöne und überzeugende mathematische Eigenschaften ableiten lassen. Anwendungen Risikofunktionale haben ihr weitestes Anwendungsgebiet in der Finanzbranche, weil sie sehr leicht zur Beurteilung von finanziellen Risiken eingesetzt werden können. Allerdings nicht nur zum Fondsmanagement, denn kürzlich haben die amerikanische sowie die kanadische Versicherungsaufsicht begonnen, gleichfalls Risikofunktionale zur Bewertung von Versicherungsportefeuilles einzusetzen, und spätestens damit wurden Risikofunktionale ein wichtiges Element auch der aktuariellen Zunft. Eigenschaften Eine der wichtigsten Eigenschaft eines Risikofunktionals ist natürlich die Konvexität, mit der zugehörigen Dualitätstheorie lassen sich viele weitere Eigenschaften gut beschreiben. Eine zusätzliche Eigenschaft ist aber ihr aleatorischer Charakter, denn ein Risikofunktional quantifiziert eben das Risiko, das es einem Wahrscheinlichkeitsmaß zumisst. Damit drängt sich die Frage auf, wie denn die Resultate eines Risikofunktionals variieren, wenn sich das zu Grunde liegende Maß ändert? Ergebnisse Diese Frage ist zentral in der vorliegenden Arbeit. Es wird gezeigt, dass die Ergebnisse tatsächlich stetig vom Maß abhängen, wenn die Distanz richtig und passend gewählt wird. Ja es gilt sogar Lipschitz-Stetigkeit, und die entsprechende Konstante wird für gängige Risikofunktionale auch konkret angegeben. In einer umgekehrten Untersuchung wird jenes Wahrscheinlichkeitsmaß eruiert, das, ein gewisses Risiko tolerierend, vom ursprünglichen Maß möglichst weit entfernt liegt. Die Ergebnisse haben eine frappierende Ähnlichkeit zu anderen Ergebnissen in der Transporttheorie. Diese Fragen sind deshalb interessant, weil das zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsmaß in aller Regel nicht bekannt ist, weil es beispielsweise nur als Näherung, oder als empirisches Maß aus konkreten Beobachtungen zur Verfügung steht.Ein weiteres Ergebnis befasst sich mit einer Frage der robusten Optimierung, wie nämlich eine Investmententscheidung aussieht, wenn man weitere Maß zulässt. Das Ergebnis bestätigt die Intuition, dass in diesem Fall eine gleichmäßige Aufteilung der Mittel auf alle bestehenden Investitionstitel optimal ist.
description: Acceptability Functionals Acceptability Functionals – or likewise Risk Functionals – have gained and attracted interest since they have been introduced a decade ago approximately. Their key properties, which are set in an axiomatic way, are intuitively straightforward and very natural; therefore it does not come as a big surprise that various compelling properties can be derived to hold in such an environment. Applications Acceptability functionals have found their way in many industry applications, particularly in the financial sector. They may be used – for example – to base an investment decision. And recently US and Canadian insurance supervisory authorities are employing risk functionals as well to measure the risk within a given company, so they have become an element of the actuarial profession as well. Properties Various key properties relay on the fact that these functionals are convex (concave). So the entire and well developed theory of convex functions and convex optimization can be applied here to derive general results, and this has been exploited in the past to a high extent. The convexity property, however, often does not touch the fact that acceptability functionals are typically defined in some probabilistic environment, so they obey stochastic properties as well. So the question arises, if those acceptability functionals are continuous with respect to these underlying probability measures? Results To answer this question is a key driver of the present work. Continuity is proven for adequate and fitting distances of probability measures, and even Lipschitzcontinuity is established: so acceptability functionals obey quite strong continuity properties. This is good news: As the probability distribution often is available just from observations as an empirical measure, we may thus trust that evaluating the risk functionals, based on some observations, is a good proxy for the same risk functional, but evaluated in its original distribution. An additional result is rather curious: it states that it is optimal to equally distribute ones funds in all available assets, if the objective is to maximize the return, given that the risk has to be accepted by an enlarging class of distributions.