title: Real time dynamics and critical phenomena of quantum impurity systems
title: A hybrid numerical renormalization group approach
titleType: AlternativeTitle
Creators: name: Güttge, Fabian
Publisher: name: Technische Universität Dortmund
Year: 2013
Subjects: subject: DMRG
subject: Interacting resonant level model
subject: Nichtgleichgewicht
subject: Non-equilibrium
subject: NRG
subject: Quantenstörstellensystem
subject: Quantum impurity system
subject: Renormalization group
subject: Renormierungsgruppe
subject: Spin boson model
subject: 530

description: Die Numerische-Renormierungsgruppe (NRG) hat sich zu einem Standardwerkzeug zur Simulation von Quantenstörtstellensystemen bei tiefen Temperaturen entwickelt. Für solche Simulationen sind drei Schritte notwendig: das Bad wird logarithmisch diskretisiert, auf eine Wilson Kette abgebildet und diese wird iterativ diagonalisiert. Für die NRG existieren zahlreiche Erweiterungen, von denen zwei für diese Arbeit relevant sind: zum einen die Behandlung bosonischer Systeme und zum anderen die Untersuchung von zeitabhängingen Prozessen. Wir stellen fest, dass die bosonische NRG falsche kritische Exponenten für den Phasenübergang des Spin-Bose-Modells (SBM) liefert und dass bei Nicht-Gleichgewichtsrechnungen Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen eines kontinuierlichen und eines diskretisierten Bades bestehen. Durch die iterative Diagonalisierung der Wilson-Kette wird auf jeder Iterationsstufe eine Restkette vernachlässigt. Bei bosonischen Systemen führt dies zu einer iterationsabhängigen Renormierung der kritischen Kopplung. Anhand des Spin-Bose-Modells im sub-ohmischen Regime zeigen wir, dass dieser Effekt zu falschen kritischen Exponenten führt. Mit Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) Rechnungen zeigen wir, dass man, unter Berücksichtigung der Restkette, die korrekten kritischen Exponenten bestimmen kann. Dies setzt eine optimierte bosonische Basis voraus, die wir während der DMRG variationell bestimmen. Anhand von Nicht-Gleichgewichtsberechnungen für das Resonant-Level-Model (RLM) zeigen wir, dass die logarithmische Baddiskretisierung zu unphysikalischen Ergebnissen der Störstellenbesetzung führt. Die Ursache hierfür führen wir auf interne Reflektionen einer Ladungswelle in der Wilson-Kette zurück. Um diese zu vermeiden, schlagen wir einen optimierten aus zwei aneinandergehängten Wilson-Ketten Kettenaufbau vor. Da es bei diesen Systemen keine klare Trennung der Energieskalen mehr gibt, ist die NRG nicht für die Berechnung solcher Systeme geeignet. Daher entwickeln wir eine neue Hybrid-Methode, bei der die NRG einen effektiven Niederenergie-Hamiltonoperator erzeugt, der anschließend mit der zeitabhängigen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TD-DMRG) simuliert wird. Durch dieses Schema erreicht man Zeitskalen, die sonst mit der TD-DMRG unerreichbar bleiben. Die neue Methode wird am RLM getestet. Als erste Anwendung der neuen Methode wird diese auf das wechselwirkende Resonant-Level-Modell (IRLM) angewendet. Bei diesem Modell beobachten wir durch die Wechselwirkung hervorgerufene Oszillationen und neue Zeitskalen, die keine thermodynamische Entsprechung haben. Die Ergebnisse der neuen Hybrid-Methode reproduzieren analytische Vorhersagen basierend auf einer 1/U Entwicklung. Die neue Hybrid-Methode liefert nicht nur in den Grenzwerten U gegen 0 und U gegen unendlich korrekte Ergebnisse, sondern ist im vollständigen Parameterregime anwendbar.
description: Since its proposal in 1975 the numerical renormalization group (NRG) has developed to a widely used standard tool to simulate quantum impurity system (QISs) at low temperatures. The three essential steps of this method are to discretize the bath on a logarithmic mesh, map it to a Wilson chain, and then diagonalize this chain iteratively. There are numerous extensions to the NRG two of which are of relevance in this work: the treatment of bosonic reservoirs and the investigation of real-time dynamics. With the bosonic NRG we find wrong critical exponents for a quantum phase transition of the spin-boson model (SBM) and we observe a discrepancy between the real-time dynamics of a system with a continuous and a discretized bath. The iterative diagonalization of the Wilson chain neglects at each iteration the rest-chain. For bosonic systems this leads to an iteration dependent renormalization of the critical coupling. On the basis of the sub-ohmic SBM we show that this effect leads to wrong critical exponents. We show by density-matrix renormalization group (DMRG) calculations that one recovers the correct results by taking the rest-chain properly into account. This requires an optimal bosonic basis which we determine in the course of the DMRG variationally. On the basis of nonequilibrium calculations for the resonant-level model (RLM) we show that the logarithmic discretization leads to unphysical results of the impurity occupation number. We attribute these to internal reflections of a charge wave within the Wilson chain. We propose an optimal chain construction avoiding these reflections. These chains consist of two Wilson chains patched together. Because the separation of energy scales is lost for such systems the NRG is rendered unsuitable. Hence, we develop a new hybrid method: the NRG is used to construct an effective low-energy Hamiltonian which, in turn, is simulated with the time-dependent DMRG (TD-DMRG). This allows to simulate the system on time scales unreachable with the TD-DMRG. The new method is tested on the basis of the RLM. As a first application of the new method it is applied to the interacting RLM. For this model we find interaction-enhanced oscillations and new time scales which are not present in the thermodynamics. The results of the new hybrid method are in excellent agreement with analytic predictions based on an expansion in 1/U. Our new hybrid method yields not only correct results in the limit U to 0 and U to infinity but it is applicable in the whole parameter regime.