Operators on spaces of analytic functions
Creators: name: Δασκαλογιάννης, Βασίλειος Κ.
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: Τελεστές
Ημιομάδες
Τελεστής σύνθεσης
Πίνακας Χίλμπερτ
Operators
Semigroups
Composition operator
Hilbert matrix

description: Η διατριβή αυτή μελετάει μια ποικιλία θεμάτων στις περιοχές της θεωρίας τελεστών και της συναρτησιακής ανάλυσης σε χώρους ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Θα ασχοληθούμε με τελεστές σύνθεσης, ενα αντικείμενο που βρίσκεται στην τομή της αναλυτικής θεωρίας συναρτήσεων και της θεωρίας τελεστών, θα ασχοληθούμε επίσης με ημιομάδες τελεστών σύνθεσης, με τους γενικευμένους τελεστές Volterra, και τέλος με τον διάσημο πίνακα Hilbert, ως τελεστή σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Τα τελευταία χρόνια υπάρχει ένα συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον σχετικά με τις ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων. Η μελέτη αφορά τόσο τα δυναμικά χαρακτηριστικά μιας ημιομάδας, όπως: οι εφαπτόμενες στις τροχιές, ο ρυθμός σύγκλισης στο Denjoy-Wolff σημείο της ημιομάδας, και τα φιξαρισμένα σημεία στο σύνορο για να αναφερουμε μερικά τετοια χαρακτηριστικά, όσο και τη συμπεριφορά της ημιομάδας μέσα σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτή η προσέγγιση άρχισε από τους Berkson και Porta. Σε αυτή τη διατριβή, στα κεφάλαια 2, 3 και 4, θα ασχοληθούμε με ερωτήματα σχετικά με αυτή τη τελευταία προσέγγιση. Συγκεκριμένα, έχοντας ως κίνητρο δύο άρθρα των O. Blasco, M.D. Contreras, S.Diaz-Madrigal, J.Martinez, M. Παπαδημητράκη, και A. Συσκάκη, μελετάμε ημιομάδες τελεστών σύνθεσης που δρούν σε μια οικογένεια χώρων τύπου ΒΜΟΑ. Ο Sarason ήταν ο πρώτος που παρατήρησε οτι μία συνάρτηση φραγμένης μέσης ταλάντωσης είναι μία συνάρτηση του χώρου VMOA, αν και μόνο αν οι περιστροφές της συγκλίνουν ως προς τη νόρμα του χώρου στην ίδια τη συνάρτηση, καθώς η γωνία της περιστροφής τείνει στο μηδέν. Στη γλώσσα της θεωρίας των ημιομάδων η διαπίστωσή του μεταφράζεται ως εξής: έστω μια ημιομάδα φ_t (z)=e^it z,t≥ 0 και έστω μία συνάρτηση f∈ BMOA. Το θεώρημα του Sarason δείχνει ότι η ημιομάδα τελεστών σύνθεσης T_t δεν είναι ισχυρά συνεχής στον BMOA, και ότι η οικογένεια συναρτήσεων f∈ BMOA που περνάνε το τεστ της ισχυρής συνέχειας είναι ακριβώς ο χώρος VMOA. Αυτή η διαπίστώση οδηγεί φυσιολογικά στην εξής ερώτηση: Υπάρχουν άλλες ημιομάδες που να μπορούν να αντικαταστήσουν την ημιομάδα των περιστροφών στο θεώρημα του Sarason; Στα κεφάλαια 2 και 3 θα αποδείξουμε αποτελέσματα στο πλαίσιο των χώρων BMOAp, μία οικογένεια χώρων τύπου BMOA που μελετήθηκαν πρώτη φορά απο τον R. Zhao στην διδακτορική του διατριβή, ως μέλη της γενικότερης οικογένειας συναρτήσεων F(p,q,s). Η μελέτη που παρουσιάζεται στα 2 αυτά κεφάλαια οδήγησε σε μία δημοσίευση σε συνεργασία με τον αν. καθηγητή Πέτρο Γαλανόπουλο. Στο κεφάλαιο 4, επιστρέφουμε στο αρχικό πλαίσιο των χώρων ΒΜΟΑ και Bloch. Καταφέραμε να βρούμε εναν πλήρη χαρακτηρισμό όλων των ημιομάδων για τις οποίες [φ_t, BMOA]=VMOA χωρίς καμία επιπλέον υπόθεση. Τα περιεχόμενα αυτού του κεφαλαίου οδήγησαν σε ένα άρθρο, σε συνεργασία με τον Νίκο Χαλμούκη. Τέλος, στο κεφάλαιο 5, μελετάμε τον πίνακα Hilbert ως τελεστή στους Hardy-Littlewood χώρους, K^p. Αυτοί οι σταθμισμένοι l^p χώροι είναι στενά συνδεδεμένοι με τους χώρους Hardy όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό μέσα από τις γνωστές ανισότητες Hardy–Littlewood. Η μελέτη που παρουσιάζεται σ' αυτό το κεφάλαιο έγινε με την βοήθεια των καθ. Πέτρο Γαλανόπουλο και Μιχάλη Παπαδημητράκη.
description: This thesis studies various topics in the areas of operator theory and functional analysis on spaces of holomorphic functions of the unit disc D. We will deal with composition operators, a subject that lies in the interface of analytic function theory and operator theory, semigroups of composition operators, generalized Volterra operators and the renowned Hilbert matrix, acting as an operator on spaces of analytic functions. There has been an increasing amount of literature on semigroups of analytic functions studying both the dynamical features of semigroups, such as slopes of orbits, rates of convergence to the Denjoy-Wolff point and boundary fixed points to name a few, but also studying holomorphic semigroups in the context of (holomorphic) function spaces. This approach was pioneered by Berkson and Porta. In this thesis, in chapters 2, 3 and 4, we will focus on some questions regarding this latter aspect. In specific, motivated by a series of two papers by O. Blasco, M.D. Contreras, S.Diaz-Madrigal, J.Martinez, M. Papadimitrakis, and A.G. Siskakis, we study semigroups of composition operators acting on a family of BMOA-type spaces. Sarason was the first one who noticed that an analytic function of bounded mean oscillation, is of vanishing mean oscillation if and only if its rotations converge in norm to the original function, as the angle of the rotation tends to zero. In the language of the semigroup theory, his realization translates in the following: let φ_t (z)=e^it z,t≥ 0 be a semigroup of analytic functions and let f∈ BMOA. Sarason's Theorem shows that the composition semigroup T_t induced by this φ_t is not strongly continuous on BMOA, and that the collection of f∈ BMOA which pass the test of strong continuity is exactly VMOA.This naturally leads to the question: Are there any other semigroups that can replace the rotations in Sarason's theorem? In this direction, we consider the maximal subspace of strong continuity, that is the set of all functions in BMOA for which T_t is strongly continuous. In chapters 2 and 3 we prove results in the more general setting of the spaces BMOAp, a family of BMOA-type spaces introduced by R. Zhao as part of the larger family of F(p,q,s) spaces. The study presented in these two chapters is a joint work with assoc. professor Petros Galanopoulos. In chapter 4, we turn back to the original setting of the space BMOA and the Bloch space. We are able to characterize all semigroups for which [φ_t, BMOA]=VMOA under no further assumptions. This is a joint work with N. Chalmoukis. Finally, in chapter 5, we deal with the Hilbert matrix acting as an operator on the so-called Hardy - Littlewood spaces, K^p. These weighted l^pspaces are closely related to the Hardy spaces, as illustrated by the well-known Hardy-Littlewood inequalities. The study presented in this chapter is part of an ongoing project in collaboration with professors Galanopoulos and Papadimitrakis.