On vector-valued functions and the ε-product
Creators: name: Kruse, Karsten
Publisher: name: TUHH Universitätsbibliothek
Year: 2023
Subjects: subject: vector-valued functions
subject: weighted space
subject: epsilon-product
subject: linearisation
subject: tensor product
subject: extension
classificationCode: 510
subject: Mathematik

description: Im Mittelpunkt dieser Habilitationsschrift steht die Linearisierung vektorwertiger Funktionen, d. h. vektorwertige Funktionen sollen durch stetige lineare Operatoren dargestellt werden. Die erste Frage, der man sich stellen muss, ist, welche vektorwertigen Funktionen durch stetige lineare Operatoren dargestellt werden können. Vektorwertig bedeutet hier, dass die Funktionen Werte in einem lokalkonvexen Hausdorff Raum E annehmen. Wir untersuchen dieses Problem im Rahmen von ε-Produkten und geben hinreichende Bedingungen an, wann ein Raum von E-wertigen Funktionen mit dem ε-Produkt eines entsprechenden Raums skalarwertiger Funktionen und des Wertebereichs E (bis auf Isomorphie) übereinstimmt. Wir nutzen unsere Linearisierungsresultate um bekannte Ergebnisse aus dem skalarwertigen auf den vektorwertigen Fall zu übertragen. Wir übertragen die Lösbarkeit einer linearen partiellen Differentialgleichung in bestimmten Funktionenräumen vom skalarwertigen Fall auf den vektorwertigen, was auch Antworten auf die Frage nach der (stetigen, glatten, holomorphen, distributionellen, etc.) Parameterabhängigkeit der Lösungen im skalarwertigen Fall liefert. Außerdem stellen wir einen einheitlichen Ansatz zur Lösung des Fortsetzungsproblems von vektorwertigen Funktionen, die schwache Fortsetzungen haben, vor, unter der Bedingung, dass die Eigenschaften, wie Holomorphie, der skalarwertigen Fortsetzungen erhalten bleiben. Unsere Resultate decken auch schwach-stark Prinzipien ab. Insbesondere untersuchen wir schwach-stark Prinzipien für endlich oft stetig partiell differenzierbare Funktionen und verbessern die bekannten schwach-stark Prinzipien von Grothendieck und Schwartz. Wir leiten von unseren Ergebnissen den Konvergenzsatz von Blaschke für diverse Räume vektorwertiger Funktionen ab und den Satz von Wolff für Dualräume mehrerer Funktionenräume skalarwertiger Funktionen. Zudem übertragen wir bekannte Reihenentwicklungen und Folgenraumdarstellungen von skalarwertigen auf vektorwertige Funktionen.
description: This habilitation thesis centres on linearisation of vector-valued functions which means that vector-valued functions are represented by continuous linear operators. The first question we face is which vector-valued functions may be represented by continuous linear operators where vector-valued means that the functions have values in a locally convex Hausdorff space E. We study this problem in the framework of ε-products and give sufficient conditions when a space of E-valued functions coincides (up to an isomorphism) with the ε-product of a corresponding space of scalar-valued functions and the codomain E. We apply our linearisation results to lift results that are known for the scalar-valued case to the vector-valued case. We transfer the solvability of a linear partial differential equation in certain function spaces from the scalar-valued case to the vector-valued case, which also gives an affirmative answer to the question of (continuous, smooth, holomorphic, distributional, etc.) parameter dependence of solutions in the scalar-valued case. Further, we give a unified approach to handle the problem of extending vector-valued functions via the existence of weak extensions under the constraint of preserving the properties, like holomorphy, of the scalar-valued extensions. Our approach also covers weak-strong principles. In particular, we study weak-strong principles for continuously partially differentiable functions of finite order and improve the well-known weak-strong principles of Grothendieck and Schwartz. We use our results to derive Blaschke's convergence theorem for several spaces of vector-valued functions and Wolff's theorem for the description of dual spaces of several function spaces of scalar-valued functions. Moreover, we transfer known series expansions and sequence space representations from scalar-valued to vector-valued functions.