title: Extremwertaufgaben zum Nachdenken
Creators: name: Gansch, Gotthard
Publisher: name: :none
Year: 2016

description: Der Analysisunterricht bildet einen wesentlichen Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II. Die Extremwertaufgaben waren dabei lange aus dem Unterricht nicht mehr wegzudenken. Sie geben einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten der Differentialrechnung. Oftmals verkommen Extremwertaufgaben jedoch zu einem Abarbeiten eines zuvor eingeprägten Schemas: Nach dem – meist komplexeren – Suchen der Nebenbedingung(en) wird die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt. In den Köpfen der Schülerinnen und Schüler bleibt nur f'(x)=0 verankert. Was jedoch damit eigentlich bezweckt wird und was damit erreicht wird, ist vielen Schülerinnen und Schülern nicht mehr unmittelbar klar. Darüber hinaus ist es durch das Aufkommen immer besserer und auch erschwinglicher Technologie wie etwa grafikfähigen Taschenrechnern oder Dynamischer Geometrie-Software möglich, in Kürze einerseits Graphen plotten zu lassen wie auch schwierige Ableitungen berechnen zu lassen. Andererseits sind Extremwertaufgaben zwar nach wie vor im Lehrplan verankert, sind aber nicht Teil der schriftlichen standardisierten Reifeprüfung in Mathematik. Dadurch stellt sich nicht nur die grundlegende Frage nach der Berechtigung der Behandlung von Extremwertaufgaben im ohnedies bereits dichten Oberstufen-Lehrplan, sondern – nach positiver Beantwortung – die Frage nach der Konzeption des Kapitels der Extremwertaufgaben. So ist sich die Fachliteratur doch einig, dass Extremwertaufgaben durchaus ihren Raum im schulischen Analysis-unterricht haben, aber in einer anderen angepassten Form. Das ehemals übliche Reproduzieren eines Schemas soll abgelöst werden, das starre Muster der Extremwertaufgaben durchbrochen werden. Im Zuge dieser sich ändernden Bedingungen hat sich auch die Behandlung von Extremwertaufgaben bereits gewandelt, wie ein Blick in Schulbücher zeigt: In der vorliegenden Arbeit wurden die für die gymnasiale Oberstufe approbierten Schulbücher näher untersucht. Elementare Lösungsmethoden werden (in manchen Schulbüchern) ebenso vermehrt verwendet wie der Differentialkalkül. Dabei soll immer die fundamentale Idee des Optimierens im Mittelpunkt stehen. Durch den im Zuge der standardisierten Reifeprüfung obligatorischen Technologieeinsatz werden in Zukunft auch komplexere Funktionen betrachten und abgeleitet werden können (müssen). Die vorliegende Arbeit soll zeigen, dass durch „Extremwertaufgaben zum Nachdenken“ das übliche Schema durchbrochen werden kann und damit einhergehend auch Nachdenkprozesse angeregt werden können. So wird gezeigt, welche Adaptionsmöglichkeiten Extremwertaufgaben bieten, um etwa verschiedene Lösungsfälle konstruieren zu können. So werden im schulklassischen Unterricht meist nur Aufgaben behandelt, deren Lösung(en) (also die Extremstellen) im Inneren des Intervalls der zugrundeliegenden Funktion liegen. Liegen die Extremstellen aber außerhalb des Intervalls, sind die Randstellen zu betrachten und deren Funktionswerte zu vergleichen. Dies wird in der Schule oftmals vernachlässigt. Hierbei bieten sich vor allem Aufgaben an, die auch geometrisch gelöst oder begründet werden können: Das Neben- und Miteinander von Differentialrechnung und elementaren Methoden führt zu einem tieferen Verständnis der Thematik. Mittels Differentialrechnung berechnete Ergebnisse können geometrisch gedeutet werden, aber auch geometrische Sachverhalte zur Begründung von algebraisch gelösten Ergebnissen herangezogen werden. Hierzu werden im Rahmen der vorliegenden Arbeit ein paar „Extremwertaufgaben zum Nachdenken“ vorgestellt.
description: Teaching calculus is an essential component of mathematics classes. Exercises with extreme values have long been of paramount importance as part of mathematics classes as they grant an insight into application possibilities of differential calculus. Yet, exercises with extreme values are often dismissed as nothing more than a schema that was memorized previously: After mostly complex secondary conditions have been found, the first derivative is formed and then the equation is set null. Nonetheless, most pupils will merely memorise this as f'(x)=0. The actual purpose of the calculation is thus not directly clear to the students. Moreover, the emergence of better and more affordable technology such as graphing calculators or dynamic mathematics software allows plotting graphs as well as calculating complex derivatives within a short period of time. Nevertheless, exercises with extreme values remain grounded in the curriculum, but are not part of the written standardized final exams (“Matura”) in mathematics. Because of that, the question whether exercises with extreme values should be implemented in the already tightly-filled curriculum of upper secondary levels has to be raised. If this question is answered with yes, the following question has to be how the chapter of exercises with extreme values should be designed. If it is implemented in a more adjusted form, the technical literature speaks for the inclusion of exercises with extreme values in the teaching of calculus in schools. The goal is to abolish the mere reproduction of schemas that used to be common amongst students previously. In the course of the changing conditions, the way of handling exercises with extreme values has changed as well, as a look into school books quickly shows. In the given paper, school books that are aimed at upper secondary levels were examined and analysed. Elementary solution methods are (in some school books) used besides the differential calculus. The fundamental idea of optimising should always be prioritised here. By the obligatory use of technology that was implemented with regard to the standardised final exam (Matura), also more complex functions will (have to) be analysed and derived. The given thesis aims to show that by using “Extremwertaufgaben zum Nachdenken” (non-literal translation: “exercises with extreme values to think about”), the usual patterns can be broken and further thinking processes are encouraged. Exercises with extreme values are shown to provide many adaptation possibilities in order to construct different solutions. In the classical teaching in schools, the only exercises that are dealt with are those that have a solution (being the extreme values) that lies within a certain interval of the given function. If the extreme values are outside of this interval, the marginal points have to be considered in order to compare their functional values. This is frequently neglected in schools. Exercises that can also be solved geometrically come to mind in this case: as differential equations and elementary methods coexist and interconnect with each other, a deeper understanding of the issue at hand can be reached. Solutions that were calculated by using differential equations can be interpreted geometrically, but geometrical facts can also be used to explain solutions that were calculated by means of algebra. With regard to this, “exercises with extreme values to think about” are presented in the given thesis.