title: Wie man den Ausgang der österreichischen Fußballbundesliga berechnen kann
Creators: name: Posch, Lisa
Publisher: name: :none
Year: 2011

description: In der vorliegenden Arbeit geht es um die Zusammenhänge zwischen dem Sportspiel Fußball und der Stochastik. Es wird gezeigt, warum sich das Fußballspiel sehr gut für wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen eignet. Aufgrund der wenigen Tore, die in einem Match fallen, spielt der Zufall, abgesehen vom Können, eine beachtliche Rolle. Er trägt dazu bei, dass Fußballergebnisse nur schwer prognostizierbar sind. Auch wenn es widersprüchlich klingt, macht aber genaue diese Zufallskomponente das Spiel mathematisch analysierbar. Sie ist zusätzlich mit ein Grund für die Beliebtheit dieser Sportart, da oftmals das vermeintlich schlechtere Team gewinnt. Es kann bewiesen werden, dass die Anzahl der Tore, die ein Team in einem Spiel erzielt, in dem n Tore gefallen sind, (n,p)-binomialverteilt ist. Dabei ist p die Wahrscheinlichkeit, dass wenn ein Tor gefallen ist, es von diesem Team erzielt wurde. Außerdem wird gezeigt, die Tore, die in einem Fußballspiel fallen, sind annähernd poissonverteilt und somit können mögliche Spielausgänge simuliert werden. So kann zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, ob bei einem Wiener Derby SK Rapid Wien oder FK Austria Wien gewinnt oder wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einem Spiel mehr als ein Tor fällt. Grundlage für die Simulationen ist, die durchschnittliche Toranzahl pro Spiel (also in 90 Minuten) bzw. von jedem Team zu kennen. Diese kann direkt aus Tabellen entnommen werden oder für etwas bessere Simulationen über die Tordifferenz berechnet werden. Das Miteinbeziehen der Tordifferenz berücksichtigt auch das Abwehrverhalten bei den Berechnungen. Es wird in der Arbeit ausgehend von einem sehr einfachen Modell zum Errechnen möglicher Spielausgänge ein verfeinertes vorgestellt, das auch die erhaltenen Tore und den Heimvorteil miteinbezieht. Weiters wird die Toranzahl im Laufe der Zeit betrachtet, da es bei einem Fußballspiel immer interessant ist wann das erste Tor erzielt wird. Es wird gezeigt, wie die Besselsche Funktion mit der Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden zusammenhängt. Außerdem wird untersucht, wie stark sich der Zufall letztendlich auf die Punktetabellen der österreichischen Bundesliga auswirkt. Alle Berechnungen werden beispielhaft für die Bundesligasaisonen 2008/09 und 2009/10 durchgeführt. Im Zusammenhang mit der Zufallskomponente wird auch auf das Thema Fußballwetten eingegangen, vor allem auf die Sportwette Toto. Eine abschließende Aufgabensammlung soll die Bedeutung dieser Thematik für den Unterricht verdeutlichen. Es lassen sich praxisnahe Aufgaben erstellen, die das Interesse der Schüler/innen wecken sollen.
description: In this paper I deal with the coherence of football (soccer) and stochastics. It will be shown that soccer can be described very well using probabilistic considerations. In a soccer match only a few goals are scored. Therefore random effects are important apart from the athletic performance of the players. It's not possible to predict the final score of a match. Although it sounds contradictorily the game is mathematical analysable because of the randomness. That's also the reason for the popularity of soccer, because often the underdog team wins. It will be shown that the number of goals scored by a team in a match with totally n goals is binomial distributed ((n,p) - distributed). Here p is the probability that a goal is scored by this team if a goal is scored. It will also be proved that the numbers of goals in a soccer match is Poisson distributed. Hence it's possible to simulate the final score of a match. For example, one can calculate the probability that SK Rapid Vienna or FK Austria Vienna wins the Vienna derby. Also the probability to score more than one goal in a match can be calculated. To this end it's necessary to know the average number of goals which are scored in 90 minutes or to know the average number of goals for each team. One can find the average goal numbers in football tables or one can calculate them using the average goal difference. Using the average goal difference also the defensive performance of the teams is considered. Starting with a simple model to calculate eventually final scores in this paper better ones are developed which also take account of the defensive performance and the home advantage. Furthermore the number of goals in relation to the playing time will be considered. In particular the first goal in a match plays an important role. The connection of the probability for a draw with the bessel function will be discussed. Also the influence of the random effects on the final ranking of the Austrian soccer league is investigated. All calculations will be done for the season 2008/09 and season 2009/10 of the Austrian soccer league. The issue soccer betting will be mentioned because it's also influenced by the randomness. In the last chapter a collection of problems usable in school education is presented. One can find problems close to reality in order to motivate the students.