title: Einheiten in total definiten Quaternionenalgebren
Creators: name: Geroldinger, Ludwig
Publisher: name: :none
Year: 2009

description: Es sei K ein algebraischer Zahlkörper und OK sein Ganzheitsring. Wir bezeichnen die Menge aller nichtäquivalenten Bewertungen auf K mit Ω(K) und nennen die Elemente von (K) auch die Stellen von K. Für v ∈ Ω(K) bezeichne Kv die Vervollständigung von K bezüglich eines zur Stelle v gehörigen Absolutbetrages. Für eine endliche Stelle v 2 (K) notieren wir den Bewertungsring von Kv mit Rv. Es sei nun r die Anzahl der reellen Stellen von K, s die Anzahl der komplexen Stellen von K und μK die Gruppe der Einheitswurzeln in K. Nach dem Dirichlet’schen Einheitensatz gibt es einen Isomorphismus abelscher Gruppen: O_K _= μK × Zr+s−1, oder äquivalent, eine exakte Sequenz abelscher Gruppen 1 /μK /O_K /Zr+s−1 / 1, womit die Struktur der Einheitengruppe O_K bestimmt ist. Es sei A Quaternionenalgebra (siehe Definition 1.1.1) über einem Zahlkörper K. Eine OKOrdnung O in A ist ein endlich erzeugter OK-Modul, welcher ein Teilring von A ist, und eine K-Basis von A enthält. Eine Quaternionenalgebra A über einem Zahlkörper K erfüllt die Eichlerbedingung, falls es eine archimedische Stelle v 2 (K) gibt, sodass A⊗K Kv keine Divisionsalgebra ist. Die Quaternionenalgebra A heißt total definit, falls sie nicht die Eichlerbedingung erfüllt, also für alle archimedischen Stellen v 2 (K) A⊗K Kv eine Divisionsalgebra ist. Bei der Untersuchung der Einheitengruppe O_ in einer total definiten Quaternionenalgebra A orientieren wir uns an dem adelischen Zugang zum Dirchlet’schen Einheitensatz. Wir werden die Existenz folgender exakter Sequenz topologischer Gruppen beweisen 1 /Tor(O_) /O_ /Zr+s−1 / 1, wobei Tor(O_) die Torsionsgruppe von O_ ist und r wieder die Anzahl der reellen Stellen und s die Anzahl der komplexen Stellen von K bezeichnet. Diese Sequenz ist eine Verallgemeinerung des Dirchlet’schen Einheitensatzes auf Ordnungen in Quaternionenalgebren. Aufgrund der Nichkommutativität der Gruppen spaltet sie jedoch im Allgemeinen nicht. Insbesondere ist O_ nicht notwendigerweise isomorph zum direkten Produkt von Tor(O_) mit einer freien abelschen Gruppe. Etwas allgemeiner als gerade formuliert werden wir die Struktur der S-Einheitengruppe O_S beschreiben, siehe 3.2.3. Im folgenden beschreiben wir den Zusammenhang dieser Arbeit mit der Theorie zentral einfacher Algebren. In der nichtkommutativen Algebra werden zentral einfache (nicht kommutative) Algebren über algebraischen Zahlkörpern untersucht. Analog zur algebraischen Zahlentheorie wird die Arithmetik dieser Algebren studiert. Dabei wird die Rolle des Ganzheitsringes OK durch Ordnungen (das sind vollständige OK-Gitter, welche zugleich Teilringe der Algebra sind) eingenommen. Wie in der klassischen Theorie werden die Ideale und die Einheitengruppe solcher Ordnungen untersucht. Die Idealtheorie ist weitgehend bekannt. Da zentral einfache Algebren nicht notwendigerweise kommutativ sind, muss man zwischen zweiseitigen und einseiten Idealen unterscheiden. Man zeigt wie bei Dedekindringen, dass die Menge der zweiseitigen Ideale eine freie abelsche Gruppe bildet, die von der Menge der von Null verschiedenen Primideale erzeugt wird. Die Theorie der einseitigen Ideale ist komplizierter. Erfüllt die Algebra die Eichlerbedingung, kann man aber folgendes tun: Man führt auf der Menge der einseitigen Ideale (in einer maximalen Ordnung) eine äquivalenzrelation ein, sodass die Menge der Ideale modulo dieser Relation isomorph zu einer Strahlklassengruppe ist (Satz von Swan). Mit diesem Ergebnis ist man auch in der Lage alle konjugierten maximalen Ordungen anzugeben. Diese Theorie findet sich in [11]. Wenn die Eichlerbedingung nicht erfüllt ist, ist die Theorie weniger glatt. Für Algorithmen zur Berechnung gewisser Invarianten siehe [6]. Die Einheitentheorie ist nicht so gut erforscht. Einen guten überblick dieser Theorie findet sich in [7]. Dort wird bewiesen, dass die Einheitengruppe endlich präsentiert ist. Die vorliegende Arbeit behandelt die Einheitengruppe einer Ordnung in einer total definiten zentral einfachen Algebra über einem Zahlkörper (Quaternionenalgebren sind genau die vierdimensionalen zentral einfachen Algebren).