title: Analysis of well log data using time series models and geostatistical methods
title: Ανάλυση δεδομένων από γεωφυσικές διαγραφίες με χρήση μοντέλων χρονοσειρών και μεθόδων γεωστατιστικής
Creators: name: Ξενακη Αναστασια
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2019

description: This thesis focuses on the statistical analysis of well log data from two hydrocarbon reservoirs located in Labrador Island, Western Newfoundland (Canada). The data is obtained from two onshore wells (Finnegan and Seamus).  We focus on the analysis of four logs (spontaneous potential, Gamma radiation and two induction logs) from six different formations. The thesis has three main objectives: (i) to estimate the probability distributions and spatial correlations in data obtained from the same well, (ii) to evaluate cross-correlations between logs across the two different wells, and (iii) to explore methods for the reconstruction of missing well log data.

With respect to the first objective, the exploratory statistical analysis indicates that the majority of the respective properties do not follow the Gaussian distribution. However, after removing an empirically determined trend function, the residuals are closer to the Gaussian distribution.  The spontaneous potential and Gamma radiation indicators can be described by Cauchy and Gumbel distributions, while the induction indicators by means of the Gamma and Weibull distributions. Variogram analysis suggests that spontaneous potential and Gamma Radiation conform to the same type of theoretical variogram model with similar sill and range values.

In reference to the second objective, the statistical analysis indicates weak cross correlations between log data measured at the two different wells. The Gamma radiation logs show both positive and negative cross correlations which are overall higher (in magnitude) than for the respective correlations for the other three logs.

Regarding the third objective, the comparison of the performance of different imputation, interpolation and time series algorithms for gap filling indicates that linear interpolation, linear weighted moving average and less often the Kalman-ARIMA methods are the top-performing algorithms for well log gap filling.
description: Η Γεωστατιστική παρέχει εργαλεία στατιστικής ανάλυσης για την μελέτη χωρικών ή χωροχρονικών φυσικών μεταβλητών. Η προσέγγιση μιας χωροχρονικής γεωστατιστικής ανάλυσης σε δεδομένα υδρογονανθράκων τα όποια χαρακτηρίζονται από ανομοιογένεια αποτελεί αντικείμενο έρευνας. Ωστόσο, μέθοδοι ανάλυσης χρονοσειρών που περιλαμβάνουν την επεξεργασία μονοδιάστατων χρονικών δεδομένων, μπορούν κάλλιστα να εφαρμοστούν σε
προβλήματα που αφορούν μονοδιάστατα χωρικά δεδομένα, όπως για παράδειγμα δεδομένα διαγραφιών από γεωτρήσεις. Τόσο η επιστήμη της Γεωστατιστικής όσο και η ανάλυση χρονοσειρών είναι αντικείμενα με ερευνητικό ενδιαφέρον και εφαρμογές σε πολλά επιστημονικά πεδία, όπως στον τομέα της μεταλλευτικής, της μηχανικής πετρελαίου, σε τομείς περιβαλλοντικών επιστημών, στη τηλεπισκόπηση και την επιστήμη των υλικών.
Σκοπός της εργασίας είναι η εφαρμογή γεωστατιστικών μεθόδων και μοντέλων ανάλυσης χρονοσειρών με στόχο την ανάλυση των χωρικών συσχετίσεων διαγραφιών γεώτρησης, όπως επίσης και την πρόβλεψη (αποκατάσταση) κενών δεδομένων (missing data). Τα κενά δεδομένων προέρχονται είτε από αστοχίες εξοπλισμού, είτε από δυσλειτουργία των αισθητήρων, ή ακόμη από σφάλματα στα συστήματα "αποστολής/ανάκτησης" δεδομένων.
Τα προβλήματα αυτά δυσχεραίνουν την διαδικασία εκτίμησης των γεωλογικών σχηματισμών από τις διαγραφίες. Η παρούσα εργασία γράφτηκε με την προοπτική προσέγγισης των δύο παραπάνω θεμάτων, δηλαδή της ανάλυσης των χωρικών συσχετίσεων και της αποκατάστασης κενών δεδομένων.
Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην ανάλυση διαθέσιμων δεδομένων από διαγραφίες ταμιευτήρων υδρογονανθράκων που βρίσκονται στην νήσο Labrador στο Δυτικό Newfoundland (Καναδάς). Η μελέτη βασίζεται στην ανάλυση των ακόλουθων τεσσάρων επιλεγμένων διαγραφιών: φυσικό δυναμικό, δείκτης ακτινοβολίας γάμμα και ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής από έξι σχηματισμούς που βρίσκονται σε δύο επάκτιες γεωτρήσεις, ονόματι Finnegan και Seamus. Οι δύο γεωτρήσεις βρίσκονται σε απόσταση 14.5 χλμ μεταξύ τους. Αναλυτικότερα, οι υπό μελέτη σχηματισμοί της γεώτρησης Finnegan είναι οι ακόλουθοι: Goose
(American) Tickle με 1422 δεδομένα, Table Point με 725 δεδομένα, Aguathuna με 250 δεδομένα, Catoche με 624 δεδομένα, Boat Harbour με 599 δεδομένα, και Watts Bight με 349 δεδομένα. Αντίστοιχα, οι υπό μελέτη σχηματισμοί της γεώτρησης Seamus είναι οι ακόλουθοι: Goose (American) Tickle με 1700 δεδομένα, Table Point με 871 δεδομένα, Aguathuna με 347 δεδομένα, Catoche με 721 δεδομένα, Boat Harbour με 819 δεδομένα, και Watts Bight με 406 δεδομένα.
Η συγκεκριμένη μελέτη εστιάζει σε τρία κύρια σημεία ενδιαφέροντος: (i) εκτίμηση
χωρικών συσχετίσεων από διαγραφίες που λαμβάνονται από την ίδια γεώτρηση, (ii) εκτίμηση της ετεροσυσχέτισης μεταξύ των μετρήσεων των ίδιων φυσικών ιδιοτήτων από δύο διαφορετικές γεωτρήσεις, (iii) διερεύνηση μεθόδων για την ανακατασκευή κενών δεδομένων.
Για τον πρώτο στόχο, προσδιορίσαμε τους διάφορους γεωλογικούς σχηματισμούς στα σημεία των γεωτρήσεων. Εφαρμόσαμε διερευνητική στατιστική ανάλυση δεδομένων για να προσδιοριστούν οι κατανομές πιθανότητας κάθε διαγραφίας ανά σχηματισμό, όπως επίσης και για να προσδιοριστούν τα βέλτιστα μοντέλα βαριογραμμάτων ανά διαγραφία.
Για τον δεύτερο στόχο χρησιμοποιήσαμε μεθόδους παρεμβολής με σκοπό να δημιουργήσουμε δύο ευθυγραμμισμένα σύνολα δεδομένων με κοινό βήμα δειγματοληψίας. Αυτή η διαδικασία κρίθηκε απαραίτητη διότι διαφορετικοί σχηματισμοί βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη κατά μήκος της κάθε γεώτρησης, ενώ το βήμα δειγματοληψίας διαφέρει μεταξύ των γεωτρήσεων. Εν συνεχεία συγκρίναμε τα αποτελέσματα των τιμών των διάφορων μεθόδων παρεμβολής που εφαρμόστηκαν για τον υπολογισμό της ετεροσυσχέτισης των γεωτρήσεων.
Οι μέθοδοι αυτοί περιλαμβάνουν την γραμμική παρεμβολή, την κυβική παρεμβολή, την παρεμβολή σφηνοειδών συναρτήσεων (splines) όπως επίσης και την τεχνική του κοντινότερου γείτονα.
Ο τρίτος στόχος αποσκοπεί στην διερεύνηση των εφαρμογών της ανάλυσης χρονοσειρών στην εκτίμηση κενών δεδομένων διαγραφιών. Τα μοντέλα αντικατάστασης (imputation) και παρεμβολής χρησιμοποιούνται συνήθως για να πληρώσουν κενά δεδομένων σε διαγραφίες γεωτρήσεων. Για τον υπολογισμό της απόδοσης των διάφορων μεθόδων, οι καταγεγραμμένες διαγραφίες διαχωρίζονται σε δύο διακριτά σύνολα: το σύνολο εκπαίδευσης (οι τιμές των διαγραφιών σε αυτό το σύνολο θεωρούνται γνωστές) και το σύνολο ελέγχου (όπου οι τιμές των διαγραφιών θεωρούνται άγνωστες). Η συμπλήρωση των κενών έγινε με την
χρήση των μεθόδων αντικατάστασης, παρεμβολής και χρονοσειρών. Οι μέθοδοι περιλαμβάνουν την Kalman Arima, την μέθοδο μέσο όρου, την γραμμική παρεμβολή και την παρεμβολή σφηνοειδών συναρτήσεων (Spline) όπως επίσης και τον απλός κινούμενο μέσο όρο, και τον ζυγισμένο κινητό μέσο όρο. Η ακρίβεια της πρόβλεψης βασίστηκε στην απόσταση ανάμεσα στα αυθεντικά δεδομένα και στις εκτιμήσεις μέσω των μεθόδων αντικατάστασης, παρεμβολής ή χρονοσειρών.
Σχετικά με τον πρώτο στόχο της εργασίας, η διερευνητική ανάλυση έδειξε ότι η πλειοψηφία των μετρούμενων ιδιοτήτων δεν ακολουθεί την Γκαουσσιανή κατανομή πιθανότητας.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, κατόπιν αφαίρεσης μιας συνάρτησης τάσης τα στατιστικά υπόλοιπα βρίσκονται πιο κοντά στην Γκαουσιανή κατανομή. Τα αποτελέσματα της μελέτης αποδεικνύουν ότι οι διαγραφίες φυσικού δυναμικού και διάταξης ακτινοβολίας γάμμα περιγράφονται καλύτερα από κατανομές πιθανότητας που ορίζονται σε όλο το πεδίο των πραγματικών τιμών, όπως οι κατανομές Cauchy και Gumbel. Αντίθετα, οι διαγραφίες επαγωγής περιγράφονται καλύτερα από κατανομές που ορίζονται στο σύνολο των θετικών αριθμών όπως οι κατανομές Γάμμα και Weibull. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης των βαριογραμμάτων έδειξαν ότι οι διαγραφίες φυσικού δυναμικού και διάταξης ακτινοβολίας γάμμα, πολύ
συχνά προσαρμόζονται στο ίδιο θεωρητικό μοντέλο βαριογράμματος και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι τιμές της οροφής και της ζώνη επιρροής είναι παρόμοιες. Η ανάλυση βαριογράμματος επιβεβαιώνει την υψηλή χωρική ετερογένεια που χαρακτηρίζει τις καταγραφές διαγραφιών.
Όσον αφορά στο δεύτερο στόχο της εργασίας, τα αριθμητικά αποτελέσματα της στατιστικής ανάλυσης έδειξαν ασθενή ετεροσυσχέτιση μεταξύ των ιδιοτήτων που μετρήθηκαν στις δύο γεωτρήσεις. Η ετεροσυσχέτιση εξετάστηκε μέσω του υπολογισμού μέτρων στατιστικής εξάρτησης όπως η συσχέτιση Pearson και η συσχέτιση Spearman. Όπως αναφέρθηκε ανωτέρω, για τον υπολογισμό των ετεροσυσχετίσεων χρησιμοποιήθηκαν μέθοδοι παρεμβολής με σκοπό την ομογενοποίηση του βήματος δειγματοληψίας. Όλες οι μέθοδοι οδήγησαν σε παρόμοιες εκτιμήσεις των συσχετίσεων. Οι διαγραφίες διάταξης ακτίνων γάμμα απέδωσαν το πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα σε σχέση με τις υπόλοιπες διαγραφίες, παρουσιάζοντας τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές συσχετίσεων. Οι τιμές των θετικών συντελεστών συσχέτισης κυμαίνονται από 0.001 έως 0.483, ενώ οι τιμές των αρνητικών συντελεστών συσχέτισης εκτείνονται από -0.142 έως -0.001.
Αναφορικά με τον τρίτο στόχο της εργασίας, η σύγκριση και η ποσοτικοποίηση της
απόδοσης των αλγορίθμων αντικατάστασης και παρεμβολής έδειξε ότι η γραμμική παρεμβολή, ο ζυγισμένος μέσος όρος, και λιγότερο συχνά η μέθοδος Kalman-Arima, είναι τα πιο αποδοτικά μοντέλα αποκατάστασης κενών δεδομένων.