Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και εφαρμογή σε προβλήματα μηχανικής με την ανάπτυξη λογισμικού
Creators: name: Χαραλάμπους, Πασχάλης Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2020
Subjects: Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων
Διαφορικές εξισώσεις
Μηχανική
Finite element method
Differential equations
Engineering

description: Στα πλαίσια της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας παρουσιάστηκε η δυνατότητα χρήσης αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόστηκε η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής φύσεως. Τα τελευταία χρόνια η ανάγκη για υπολογιστικές λύσεις σε πρακτικά προβλήματα είναι πιο επιτακτική από ποτέ. Στόχος της μεθόδου είναι η επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους τις οποίες τις συναντάμε σε φυσικά προβλήματα. Αρχικά, παρουσιάστηκε το θεωρητικό κομμάτι από μερικά από τα πιο σημαντικά προβλήματα μηχανικής (ελαστικότητα και μετάδοση θερμότητας) στα οποία βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή οι τεχνικές αριθμητικής ανάλυσης. Στη συνέχεια αναλύθηκε το μαθηματικό υπόβαθρο και η μεθοδολογία για την κατάστρωση του συστήματος των εξισώσεων πεπερασμένων στοιχείων σε μονοδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα. Θα πρέπει να τονιστεί ότι στη περίπτωση των τριών διαστάσεων, εξετάστηκαν βαθμωτά προβλήματα καθώς και προβλήματα στα οποία το άγνωστο πεδίο είναι διανυσματικό. Τα βασικά βήματα για την επίλυση προβλημάτων με τη χρήση της μεθόδου αποτελούν αρχικά η διακριτοποίηση του προς μελέτη πεδίου ενδιαφέροντος και η επιλογή κατάλληλων τύπων στοιχείων. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα τοπικά μητρώα στιβαρότητας και φορτίου για το εκάστοτε πεπερασμένο στοιχείο, τα οποία συνεκτιμώνται για την κατάστρωση του ολικού μητρώου στιβαρότητας και φορτίου. Έπειτα, εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες και ακολουθεί ο υπολογισμός του άγνωστου πεδίου. Στη συνέχεια της εργασίας παρουσιάστηκαν οι βασικές δομές δεδομένων και οι συναρτήσεις που αναπτύχθηκαν για την υλοποίηση του λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων. Η απόδοση και η λειτουργικότητα του προγράμματος εξετάστηκε με την επίλυση προβλημάτων μηχανικής όπως μετάδοσης θερμότητας και ελαστικότητας σε δύο και τρεις διαστάσεις. Επιπλέον, τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με αυτά από εμπορικά λογισμικά πεπερασμένων στοιχείων και οι διαφορές τους είναι μικρές.
description: In the present master thesis, the possibility of employing numerical methods to solve partial differential equations was presented. In particular, the finite element method was used to solve mechanical problems. In recent years, the need for computational solutions to practical problems has been more pressing than ever. The aim of the method is to solve differential equations with partial derivatives that we encounter in physical problems. Initially, the theoretical part of some of the most important engineering problems (elasticity and heat transfer) in which numerical analysis techniques are widely applied was presented. Subsequently, the mathematical background and the methodology for constructing the system of finite element equations into one-dimensional and three-dimensional problems were presented. It should be noted that in the case of the three dimensions problems, scalar as well as vector fields of the unknown parameter were considered. The key steps to solve problems utilizing the FEM is first to discretize the field of interest into finite elements and select the appropriate types of these elements. The local stiffness and force matrices are calculated for each finite element and are taken into account when developing the overall stiffness and force matrices. Then, the boundary conditions are applied, followed by the computation of the unknown field. In the next section of the thesis, the basic data structures and the developed functions implementing the finite element software were presented. Finally, the performance and the functionality of the developed software were examined by solving mechanical problems such as heat transfer and elasticity in two and three dimensions. In addition, the results were compared with those of a commercial finite element software and their differences were negligible.