Το φάσμα μη ομαλών χωρίων σε υπερβολικούς χώρους
Creators: name: Στούρη, Αυγούστα Στέφανου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Φάσμα
Μη ομαλών
Υπερβολικούς
Spectrum
Irregular
Hyperbolic

description: Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εύρεση άνω και κάτω φραγμάτων στον πυθμένα του φάσματος και του essential spectrum, για μια πραγματική περιοχή , η οποία είναι εφοδιασμένη με μια υπερβολικού τύπου σύμμορφη μετρική. Οι μέθοδοι οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν προσφέρουν ποσοτικές πληροφορίες στην περίπτωση όπου το σύνορο L της Ω είναι ένα fractal σύνολο, και βασίζονται στο άρθρο [8]. Το μοντέλο το οποίο συγκεκριμένα μελετήθηκε είναι αυτό μιας Kleinian ομάδας Γ η οποία δρα στον υπερβολικό χώρο. Παρά το γεγονός ότι ορισμένες φασματικές ιδιότητες fractal περιοχών στον Ευκλείδειο χώρο έχουν μελετηθεί [10], τα αποτελέσματα δεν είναι ανάλογα στην προσέγγιση της υπερβολικής γεωμετρίας [8]. Η δομή της εργασίας αυτής έχει ως εξής. Το κεφάλαιο 1 είναι εισαγωγικό. Αρχικά, αναφέρονται κάποια ιστορικά στοιχεία για to φάσμα και τη φασματική θεωρία. Επίσης, δηλώνονται οι απαραίτητες αναλυτικές και γεωμετρικές προϋποθέσεις και επισημαίνονται προαπαιτούμενες εισαγωγικές γνώσεις. Στο κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται άνω φράγματα του πυθμένα Ε του φάσματος και του essential spectrum ενός υπερβολικού τύπου τελεστή Laplace. Επιπλέον, εισάγονται οι διαστάσεις Hausdorff και Minkowski, καθώς η τελευταία είναι στενά συνδεδεμένη με τον κρίσιμο εκθέτη ο οποίος προκύπτει κατά τους υπολογισμούς των φραγμάτων. Στο κεφάλαιο 3, γίνεται προσπάθεια εύρεσης κάτω φραγμάτων του Ε. Αν Ω είναι η περιοχή ασυνεχείας μιας Kleinian ομάδας Γ τότε, έχει αποδειχθεί από τον Brooks [3] ότι σε κάποιες περιπτώσεις, το Ε είναι αυστηρά θετικό. Ωστόσο, οι μέθοδοί του είναι τοπολογικές και δεν επιτρέπουν εύκολα τον υπολογισμό του φράγματος. Έτσι, στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται δύο γενικές μέθοδοι εύρεσης συγκεκριμένων φραγμάτων. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται κάποια βάρη τα οποία ορίζουν σύμμορφες μετρικές στην περιοχή Ω. Στην περίπτωση στην οποία το Ω είναι το σύνηθες σύνολο μιας Kleinian ομάδας, τα παραπάνω βάρη μετασχηματίζουν κατάλληλα υπό την ομάδα. Επίσης, ορίζεται ένα ειδικό βάρος σ0, το οποίο έχει ήδη χρησιμοποιηθεί στην αναφορά [15], για τη μελέτη Kleinian ομάδων. Έπειτα, κατασκευάζονται βάρη τα οποία σχετίζονται με την S-matrix, στην περιοχή ασυνεχείας μιας κυρτής cocompact Kleinian ομάδας Γ. Αυτά τα βάρη συνδέουν, κατά μία έννοια, το σύνορο με το εσωτερικό της αντίστοιχης υπερβολικού τύπου πολλαπλότητας. Εφαρμόζοντας κατάλληλη διαδικασία στην S-matrix, προκύπτουν οι σειρές Poincare. Έτσι, μπορεί να οριστεί σύμμορφη μετρική σε ολόκληρο το Ω(Γ). Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, έχουν βρεθεί φράγματα για τον πυθμένα Ε του φάσματος του αντίστοιχου τελεστή Laplace. Τέλος, στο κεφάλαιο 5, εξετάζεται η γεωμετρία κοντά στο σύνορο. Αυτή η γεωμετρία διαφέρει από τη γεωμετρία στο εσωτερικό του υπερβολικού χώρου, κυρίως λόγω του γεγονότος ότι στο σύνορο δεν υπάρχουν αναλλοίωτα ζευγών σημείων. Συνεπώς, ορίστηκαν συγκεκριμένες μη κανονικές συναρτήσεις στο σύνορο, όπως η συνάρτηση G, η οποία καλείται Γ-αναλλοίωτο ζευγών σημείων. Επιπλέον, εισάγεται μια δεύτερη μετρική η οποία σχετίζεται με τη γεωμετρία στο εσωτερικό της πολλαπλότητας. Επιπροσθέτως, αναφέρεται το θεώρημα 5.3, το οποίο δίνει ένα άλλο κάτω φράγμα για το Ε, υπό την προϋπόθεση ότι η περιοχή ασυνεχείας Ω(Γ) έχει περισσότερες από μία συνιστώσες.
description: The purpose of this paper is to obtain upper and lower bounds on the bottom of the spectrum and essential spectrum for a real region Ω, which is provided with a hyperbolic-type conformal metric. The methods which have been used, offer quantitative information in the case where the boundary L of Ω is a fractal set, and are based on the article [8]. The model which has been studied in particular is this of a Kleinian group Γ acting on the hyperbolic space. Despite the fact that some spectral properties of fractal regions in Euclidean space have been studied [10], there are no analogous results in the approach of hyperbolic geometry [8]. The structure of this paper is as follows. Chapter 1 is an introductory one. At first, we have refered some historical information about the spectrum and spectral theory. Also, we have stated necessary analytical and geometrical prerequisites. In chapter 2, we have obtained upper bounds on the bottom E of the spectrum and essential spectrum of a hyperbolic-type operator. Furthermore, we have introduced the Hausdorff and Minkowski dimensions, since the last is closely related to the critical exponent which occurs during the estimates of bounds. In chapter 3,we have presented lower bounds on E. If Ω is the region of discontinuity of a Kleinian group Γ, then it has been proved by Brooks [3] that E is strictly positive. Nevertheless, his methods are topological and do not easily allow us to compute the bound. Thus, we have describe two methods of obtaining explicit bounds. In chapter 4, we have studied different weights, which define conformal metrics on a region Ω. In the case where Ω is the ordinary set of a Kleinian group, the above weights transform appropriately under the group. Also, a special weight has been presented, denoted σ0, which has been already used in [15] in terms of a study of Kleinian groups. Then, we have constructed certain weights, which are related with the S-matrix, on the region of discontinuity of a convex cocompact Kleinian group Γ . By applying an appropriate procedure to the S-matrix one obtains the Poincare series. Thus, it gives rise to a conformal metric on the whole Ω(Γ). In all the above cases we have obtained bounds for the bottom of the spectrum of the corresponding Laplacian operator. Finally, in chapter 5 we have examined the geometry near the boundary. This geometry is different from the geometry inside the upper half space, mainly because of the fact that there are no point-pair invariants on the boundary. Consequently, we have introduced certain non-canonical functions on the boundary, as the function G which is called Γ-point-pair invariant. Moreover, a second metric has been introduced, which is related to the geometry on the interior of the manifold. In addition, we have presented theorem 5.3, where one can obtain another lower bound on E, under the condition that the ordinary set Ω(Γ) has more than one component.