title: Zeros of Gaussian random functions
Creators: name: Vujičić, Miloš
Publisher: name: :none
Year: 2025

description: Das Ziel dieser Arbeit ist es, ein besseres Verständnis einiger Konzepte in der Theorie bestimmter Punktprozesse zu bieten, die aus Nullmengen von Gaußschen Zufallsfunktionen stammen. In Kapitel 1 fassen wir die Definitionen und Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie und der reellen Analysis zusammen, die zum Verständnis der Inhalte der folgenden Kapitel erforderlich sind. Wir werden einen Überblick über Zufallsvektoren und Konvergenz von Zufallsvariablen geben, einige der wichtigen Aspekte der mehrdimensionalen Gaußschen Verteilung behandeln und den Abschnitt mit einer kurzen Erinnerung an Faltungen beenden. In Kapitel 2 werden wir zunächst den Begriff des Punktprozesses mit technischen Annahmen einführen, die einen geeigneten Rahmen für die Behandlung von Nullmengen von Zufallsfunktionen als einen bestimmten Typ von Punktprozessen gewährleisten. Wir definieren erste Intensitätsfunktionen, um einen Einblick in die Verteilung eines Punktprozesses zu geben. Anschließend werden wir den Begriff einer Gaußschen analytischen Funktion (GAF) einführen und zeigen, dass diese aus einer Koeffizientenfolge von gaußschen Zufallsvariablen und einer geeigneten Folge deterministischer holomorpher Funktionen konstruiert werden kann. Nachdem wir die Nullmengen von Gaußschen analytischen Funktionen definiert haben, schließen wir Kapitel 2, indem wir zeigen, dass die erste Intensitätsfunktion solcher Nullmengen eine explizite Formel zulässt – die sogenannte Edelman-Kostlan-Formel. Die hier präsentierten Beweise stammen aus [1] (unserer Hauptreferenz für diesen Abschnitt) und wir werden gelegentlich auf einige Argumente näher eingehen. In Kapitel 3 betrachten wir genauer zwei spezielle Typen von Gaußschen analytischen Funktionen, die aufgrund ihrer Isometrie-Invarianz von besonderem Interesse sind. Genauer ausgedrückt werden wir zeigen (wiederum [1] folgend), dass die entsprechenden Nullmengen der beiden Typen invariant in Verteilung unter Isometriegruppen ihrer jeweiligen Domänen sind. Das zentrale Resultat dieses Abschnitts betrifft die Ergodizität der Nullmengen isometrie-invarianter GAFs. Für dieses Resultat folgen wir der Idee des in [1] für planare GAFs vorgestellten Beweises und passen ihn an den hyperbolischen Fall an. In einem Versuch, die Argumente näher zu erläutern, werden wir die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsstruktur einer GAF in Bezug auf seine zugehörigen Koeffizienten untersuchen, was uns zu einem Approximationsresultat führt, das im oben genannten Beweis verwendet wird. Der Übersichtlichkeit halber fügen wir auch einige technische Zwischenschritte mit Verweisen auf das im Kapitel 1 besprochene Hintergrundmaterial hinzu. Schließlich wenden wir uns in Kapitel 4 dem Fall einer bestimmten Klasse nicht-analytischer Gaußscher Zufallsfunktionen zu, die in [12] eingeführt wurden – den Gaußschen Weyl-Heisenberg-Funktionen (GWHF). Nachdem wir die Rahmenbedingungen und die notwendigen Definitionen eingeführt haben, folgen wir dem Aufbau des analytischen Falls und geben einige der Resultate aus [12] an, einschließlich der Invarianz unter den sogenannten ‚twisted shifts‘, sowie der Formel für die erste Intensitätsfunktion ihrer Nullmengen. Anschließend zeigen wir die Ergodizität der Nullmengen von GWHFs. Während die Idee des Beweises dieselbe bleibt wie in Kapitel 3, erfordert die Nicht-Analytizität dieser Funktionen eine andere Vorgehensweise für einige der entscheidenden Argumente. Dieses Kapitel soll erläutern, wie diese Hindernisse umgangen werden können, und die notwendigen Anpassungen aufzeigen, die man im Beweis für eine analytische Gaußsche Funktion vornehmen müsste. Motiviert durch die Karhunen-Loève-Entwicklung für einen stochastischen Prozess, der auf einem kompakten reellen Intervall indiziert ist, betrachten wir in diesem Zusammenhang eine Entwicklung einer GWHF in Bezug auf mit ihrem Kovarianzkernel verbundenen Funktionen und entsprechend definierten Gaußschen Koeffizienten. Wir werden sehen, dass dies möglich ist, indem wir eine entsprechende Mercer-ähnliche Entwicklung für den Kovarianzkernel mithilfe der Faltungstheorie und approximativer Identitäten aufstellen.
description: The aim of this thesis is to offer a better understanding of some of the concepts in the theory of particular point processes stemming from zero sets of Gaussian random functions. In Chapter 1 we revisit the definitions and results from probability theory and real analysis that are necessary in order to understand the contents of subsequent chapters. We will review random vectors and convergence of random variables, cover some of the important aspects of multivariate Gaussian distribution and end the section with a brief reminder on convolutions. In Chapter 2, we will first introduce the notion of point processes with technical assumptions that guarantee an appropriate setting for tackling zeros of random functions as a particular type of point processes. We define first intensity functions to provide some insight into the distribution of a point process. We will then introduce the notion of a Gaussian analytic function (GAF) and show that these can be constructed from a coefficient sequence of Gaussian random variables and a suitable sequence of non-random holomorphic functions. After defining the zero sets of Gaussian analytic functions, we close off Chapter 2 by showing that the first intensity function of such zero sets allows for an explicit formula - the so-called Edelman-Kostlan formula. The proofs we present here are from [1] (our main reference for this section) and we will occasionally elaborate on some of the arguments. In Chapter 3, we look more closely at two distinguished types of Gaussian analytic functions, which are of particular interest due to their isometry-invariance property. More precisely, we will show (again, following [1]) that the corresponding zero sets of the two types are invariant in distribution under isometry groups of their respective domains. The central result of this section is concerned with ergodicity of the zero sets of isometry-invariant GAFs. For this result we follow the idea of the proof presented in [1] for planar GAFs, adjusting it to the hyperbolic case. In an attempt to elaborate on the arguments, we will explore the underlying probabilistic structure of a GAF in terms of its associated coefficients, which leads us to an approximation result used in the aforementioned proof. For the sake of clarity, we also add some intermediate technical steps with references to the background material reviewed in Chapter 1. Lastly, in Chapter 4, we turn to the case of a specific class of non-analytic Gaussian random functions introduced in [12] - the Gaussian Weyl-Heisenberg functions (GWHF). After introducing the setting and necessary definitions, we follow the layout of the analytic case and state some of the results from [12], including the invariance under the so-called twisted shifts, as well as the formula for the first intensity function of their zero sets. We then proceed to show the ergodicity of the zero sets of GWHFs. While the idea of the proof remains the same as in Chapter 3, non-analyticity of these functions requires a different approach to some of the decisive arguments. This chapter should clarify how to sidestep these obstacles and indicate the necessary adjustments one would need to make in the proof for an analytic Gaussian function. In this context, motivated by the Karhunen-Loève expansion for a stochastic processes indexed on a compact real interval, we consider an expansion of a GWHF with respect to functions associated to its covariance kernel and suitably defined Gaussian coefficients. We will see that this is possible upon establishing a corresponding Mercer-like expansion for the covariance kernel, which we will show by making use of convolution theory and approximate identities.