title: Quandles and Hurwitz Orbits
title: Quandles und Hurwitz-Bahnen
Creators: name: Rehman, Naqeeb Ur
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2016
Subjects: subject: Racks
subject: Quandles , Hurwitz-Bahnen
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Mathematik
subject: Quandles , Hurwitz Orbits

description: In dieser Arbeit untersuchen wir
      Quandles und Hurwitz-Bahnen. Quandles sind selbst
      distributive algebraische Strukturen mit drei Axiomen, die
      mit drei Reidemeister- Bewegungen von Knotendiagrammen
      verwandt sind. Racks sind eine Verallgemeinerung von
      Quandles. Die Verknüpfung eines Quandles ist wie die
      Konjugation in einer Gruppe. Die algebraische Struktur von
      Quandles kann als Folgen von Permutationen untersucht werden.
      Die Zykel-Struktur der Permutationen eines unzerlegbaren
      Racks (bzw. Quan- dles) verhält sich gut, weil die
      Permutationen eines unzerlegbaren Racks (bzw. Quan- dles)
      zueinander konjugiert sind und daher die gleiche
      Zykel-Struktur haben. In [18], beobachtet C. Hayashi eine
      weitere interessante Eigenschaft der Zykel-Struktur eines
      unzerlegbaren Quandles und vermutet, dass die Permutation
      eines unzerlegbaren Quan- dles Zykel hat, deren Zykellängen
      die größte unter ihnen teilen. In Kapitel 1 dieser Arbeit
      untersuchen wir die Zykel-Struktur von Quandles mit dem
      Schwerpunkt auf der Vermutung von Hayashi. In Abschnitt 1.4.7
      diskutieren wir die Klassen unzerlegbarer Quandles, für die
      die Vermutung von Hayashi wahr ist. In Abschnitt 1.4.2 geben
      wir Einschränkungen für die Zykel-Struktur bestimmter
      unzerlegbarer Quandles, die zu den wichtigsten Ergebnissen
      dieser Arbeit gehören. Racks und dieWirkung der Zopfgruppe
      auf den Potenzen von Racks sind für die Klas- siVzierung
      bestimmter Hopfalgebren nützlich (siehe [2], [3] [15], [21],
      [22]). Hurwitz- Bahnen sind die Bahnen einer Wirkung der
      Zopfgruppe auf der Potenz eines Racks. Die Hurwitz–Bahnen für
      die Wirkung der Zopfgruppe auf drei Strängen werden in [21]
      und [22] für die KlassiVzierung bestimmter Hopfalgebren
      verwendet. Diese KlassiVzierung basiert auf einer
      kombinatorischen Invarianten der Hurwitz-Bahnen, die Plage
      genannt wird. Die Immunität einer Hurwitz-Bahn ist der
      Quotient aus der Größe der minimalen Plage und der Größe der
      Hurwitz-Bahn. Eine Abschätzung über die Immunität der
      Hurwitz-Bahnen wird in [22] gegeben mit Hilfe von markierten
      Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten und den
      Gewichten der Hurwitz-Bahnen, wobei das Gewicht einer
      Hurwitz-Bahn durch ihre Zykel-Struktur deVniert ist. In
      Kapitel 2 erinnern wir an die Ergebnisse zu Hurwitz-Bahnen
      und das Verfahren zur Abschätzung der Immu- nität der
      Hurwitz-Bahnen aus [15], [21] und [22]. Man beachte, dass in
      [22] nur wenige Schreier-Graphen mit kleinen Zykeln
      betrachtet werden, für die gezeigt wird, dass die Immunität
      der Hurwitz-Bahnen nach oben durch ihre Gewichte beschränkt
      ist. In Kapitel 3 stellen wir eine neue Methode vor, um die
      Plage einer Hurwitz-Bahn zu berechen und die Immunität einer
      Hurwitz-Bahn abzuschätzen. Mit dieser Meth- ode kann man
      unendlich viele Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten
      mit alle Zyklen studieren. UnsereMethode basiert auf den
      posets bestimmter Teilgraphen, genannt robuste Subgraphen,
      von punktierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten.
      Wir schätzen die Immunität der Hurwitz-Bahnen durch eine
      Fall-zu-Fall-Analyse von punktierten Schreier-Graphen der
      Hurwitz-Bahn-Quotienten. Mit dieser Analyse betrachten wir
      die Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten, für die die
      Immunität der Hurwitz-Bahn von oben durch ein Viertel
      beschränkt ist. Alle in Kapitel 1 und Kapi- tel 3 bewiesenen
      Resultate werden vom Autor als originell behauptet.
description: In this thesis we study quandles
      and Hurwitz orbits. A quandle is a self-distributive
      algebraic structure whose binary operation is like the
      conjugation in a group. The algebraic structure of quandles
      can be studied as sequences of permutations. The cycle
      structure of the permutations of an indecomposable quandle is
      well-behaved because the permutations of an indecomposable
      quandle are mutually conjugate and hence have the same cycle
      structure. We study the cycle structure of quandles with the
      main focus on a conjecture in [18] saying that any
      permutation of an indecomposable quandle has cycles whose
      cycle lengths divide the largest among them. Hurwitz orbits
      are the orbits of a braid group action on the powers of a
      quandle. The Hurwitz orbits for the action of the braid group
      on three strands are used in [21] and [22] for the
      classiVcation of certain Hopf algebras. This classiVcation is
      based on a combinatorial invariant called a plague on the
      Hurwitz orbits. The immunity on a Hurwitz orbit is the
      quotient of the size of the minimal plague and the size of
      the Hurwitz orbit. An estimation on the immunity of the
      Hurwitz orbits is provided in [22] by using Schreier graphs
      of the Hurwitz orbit quotients and the weights on the Hurwitz
      orbits, where the weight on an Hurwitz orbit is deVned by the
      cycle structure of that Hurwitz obit. In this study only few
      Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients with small
      cycles are considered. We introduce a new method to calculate
      plagues on the Hurwitz orbits for inVnitely many Schreier
      graphs of the Hurwitz orbit quotients with all cycles. Our
      method is based on the posets of robust subgraphs of pointed
      Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients. By using this
      method we estimate the immunity on the Hurwitz orbits through
      a case-by-case analysis of inVnitely many pointed Schreier
      graphs of the Hurwitz orbit quotients.