Εισαγωγή στην έννοια "Majorization"
Creators: name: Τσολακίδου, Βενετία Χαραλάμπους
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Κυριαρχία
Διπλά Στοχαστικοί Πίνακες
Schur-Κυρτές Συναρτήσεις
Majorization
Doubly Stochastic Matrices
Schur-Convex Function

description: Οι περισσότεροι άνθρωποι, όταν σκέφτονται τα μαθηματικά, σκέφτονται πρώτα τους αριθμούς και τις εξισώσεις. Οι ανισότητες όμως χρησιμοποιούνται πιο συχνά στην "πραγματική ζωή". Συνεπώς, χρειαζόμαστε ένα εύκολο στη χρήση εργαλείο, με στόχο την παραγωγή ανισοτήτων. Με αυτό το σκοπό έκανε την εμφάνισή της η έννοια της Κυριαρχίας (Majorization). Η παραγωγή μίας ανισότητας με μεθόδους κυριαρχίας είναι συχνά πολύ χρήσιμη για την επίτευξη μίας βαθύτερης κατανόησης καταστάσεων αλλά και για την υποβολή προτάσεων γενικής ή ειδικής φύσεως, έπειτα. Ο στόχος να γίνει ευρύτερα γνωστή η έννοια της κυριαρχίας, οδήγησε στη γένεση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Προσπαθήσαμε να προσφέρουμε μία ολοκληρωμένη παρουσίαση της χρησιμότητας της θεωρίας της κυριαρχίας καθώς και εφαρμογές της σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και άλλων κλάδων των θετικών κυρίως επιστημών. Το πρώτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στην παρουσίαση του βασικού υπόβαθρου της έννοιας της κυριαρχίας. Παρουσιάζουμε την σκέψη με την οποία οι Lorenz και Dalton εισήγαγαν την έννοια της κυριαρχίας στη ζωή μας. Επισημαίνουμε όλους τους βασικούς ορισμούς της κυριαρχίας καθώς και της ασθενούς υπερκυριαρχίας (υποκυριαρχίας). Τέλος, παραθέτουμε τις διάφορες εκδοχές της, καθώς και τη συμβολή της στα πεδία της φυσικής, της χημείας και των οικονομικών. Το δεύτερο κεφάλαιο το αφιερώνουμε στους Διπλά Στοχαστικούς Πίνακες και τις υποκατηγορίες τους. Περιγράφουμε τον ρόλο που διαδραματίζουν στην κυριαρχία και ορίζουμε μερικές από τις κλάσεις τους: Γινόμενα Τ-μετασχηματισμών, Ορθοστοχαστικοί Πίνακες και Ομοιόμορφα Κωνικοί Πίνακες. Το κεφάλαιο κλείνει με την απόδειξη του Θεώρηματος του Birkhoff και με διάφορα παραδείγματα επί των Πινάκων. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τις Schur-Κυρτές Συναρτήσεις. Δίνοντας τους απαραίτητους ορισμούς καθιστούμε πιο εύκολη την κατανόηση των κλάσεων τους: Συμμετρικά Schur-Κυρτές, Σχεδόν-Κυρτές και Ψευδο-Κυρτές Συναρτήσεις. Τέλος, με παραδείγματα σχετιζόμενα με την εντροπία, την ανισότητα Kantorovich, την αυξάνουσα (φθίνουσα) συχνότητα κινδύνου (Increasing Hazard Rate – Decreasing Hazard Rate) και την συνάρτηση Γάμμα δείχνουμε το μέγεθος της συμβολής τους. Στο τέταρτο κεφάλαιο, προκειμένου να ελέγξουμε την εφαρμογή της κυριαρχίας, αντικαθιστούμε τις συνθήκες που ορίστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια με ισοδύναμες που προτείνονται. Για αυτό το σκοπό, χρησιμοποιούμε γραμμικούς μετασχηματισμούς, μονότονες συναρτήσεις και άλλα εργαλεία από τη Γεωμετρία και τον κλάδο των Οικονομικών που ασχολείται με τις εισοδηματικές ανισότητες.
description: Math is not only about numbers but also equations and inequalities. In particular, inequalities are found more useful than equations in real life experiences. Therefore, it is essential to introduce an easy-to-use tool for deriving inequalities. In literature, majorization methods are applied to produce inequalities. This dissertation aims at investigating majorization methods and highlighting their usefulness in order to derive inequalities. In addition, examples and applications of majorization methods to other aspects of mathematics are described and demonstrated its significance. The first chapter provides a brief introduction and basic background of majorization. Initially, the rationale of Lorenz and Dalton when introducing the majorization is explained. We also provide all the basic definitions of majorization as well as weak submajorization (supermajorization). Finally, its different versions and contributions to various fields, such as physics, chemistry and economics, are presented. The second chapter introduces the concept of Double Stochastic Matrices as well as their different subcategories namely T-Transformations, Orthostochastic Matrices and Uniformly Tapered Matrices. The Theorem of Birkhoff's is proved and various applications of these matrices illustrate their association with majorization. In the third chapter we investigate the Schur-Convex Functions and their classes, namely Symmetric Schur-Convex, Quasi-Convex and Pseudo-Convex Functions. Their definitions are also provided to allow their comprehensive understanding. Finally, their limitations are demonstrated through examples related to the entropy, the Kantorovich inequality, the increasing (decreasing) hazard rate (IHR-DHR) and the Gamma function. Finally, in the fourth chapter, in order to demonstrate the application of the majorization, we replace the conditions set out in the previous chapters with equals that we suggest. To this end, we use linear transformations, monotonic functions, and additional methods used in geometry and economics such as income inequalities.