title: Partial Differential Equations
title: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Creators: name: Dassios, George
name: Kyriaki, Kyriaki
name: Vafeas, Panayiotis
Publisher: name: Kallipos, Open Academic Editions
Year: 2023
Subjects: Εξισώσεις Ελλειπτικού Τύπου
Equations of Elliptic Type
Θεωρία Δυναμικού
Potential Theory
Εξισώσεις Παραβολικού Τύπου
Equations of Parabolic Type
Θεωρία Διάχυσης
Diffusion Theory
Εξισώσεις Υπερβολικού Τύπου
Equations of Hyperbolic Type
Κυματική Διάδοση
Wave Propagation
Θεωρία Ταλαντώσεων
Oscillation Theory
Ολοκληρωτικές Αναπαραστάσεις Λύσεων
Integral Representations of Solutions
Ιδιολύσεις και Ιδιοναπτύγματα
Eigensolutions and Eigenexpansions

description: The basic characteristic of the Partial Differential Equations (PDEs) is due to the fact that their solutions can be functions of many variables, which they can be used to describe real life phenomena, where the involved quantities are usually depend-ed on the three special dimensions plus the time. At a first lev-el of investigation, the PDEs are classified in three major cat-egories based on the dependence of their solutions on time. That gives us the Elliptic Equations, with solutions independ-ent of time, the Parabolic Equations, with solutions depending irreversibly on time, and the Hyperbolic Equations, with solu-tions that depend reversibly on time. The basic physical phe-nomena, described by these three types of equations, are the Theories of Potentials (elliptic equations), the Diffusion Pro-cesses (parabolic equations) and the Theories of Vibrations and Wave Propagation (hyperbolic equations). The present book is focused on the methods of solutions of these three types of PDEs in different geometrical domains, such as the geometry described by the Cartesian, the Cylindrical, the Spherical and the Polar coordinate systems. For domains with not so simple geometries the solutions demand more sophisticated techniques such as the Green’s functions and the construction of integral representations, and these techniques are analytically contained in separate chapters. In any case the book is built around the Spectral Theory of Eigensolutions and the related Eigenexpansions. Besides the classical spectral methods, the reader can also find introductory analyses for first order equation via the method of characteristics, for integral transforms, for the Kelvin inversion method as well as for energy topics associated with physical problems. Finally, the book is written in such a way that emphasizes the connection between the mathematical methods of producing solutions and their physical interpretation.
description: Το βασικό χαρακτηριστικό των Μερικών Διαφορικών Εξι-σώσεων (ΜΔΕ) εδράζεται στο γεγονός ότι οι λύσεις τους μπορούν να είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και κατά συνέπεια μπορούν να περιγράφουν φαινόμενα του πραγμα-τικού κόσμου, όπου τα μεγέθη εξαρτώνται συνήθως από τις τρεις χωρικές διαστάσεις συν τον χρόνο. Σε αρχικό επίπεδο οι ΜΔΕ ταξινομούνται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες με βάση την εξάρτηση των λύσεών τους από τον χρόνο. Έτσι έχουμε τις Εξισώσεις Ελλειπτικού τύπου, οι λύσεις των οποίων είναι ανεξάρτητες του χρόνου, τις Εξισώσεις Παραβολικού Τύ-που, με λύσεις εξαρτώμενες μη αντιστρεπτά στον χρόνο, και τις Εξισώσεις Υπερβολικού Τύπου, όπου η χρονική εξάρτη-ση των λύσεων είναι χρονικά αντιστρεπτή. Οι βασικές φυσι-κές διαδικασίες που περιγράφουν αυτοί οι τρεις τύποι εξι-σώσεων είναι κατά σειρά οι Θεωρίες Δυναμικού (ελλειπτι-κός τύπος), οι Διαδικασίες Διάχυσης (παραβολικός τύπος) και τα φαινόμενα Ταλαντώσεων και Κυματικής Διάδοσης (υπερβολικός τύπος). Το παρόν σύγγραμμα εστιάζεται στις μεθόδους επίλυσης των τριών αυτών τύπων ΜΔΕ σε διάφο-ρα γεωμετρικά περιβάλλοντα, όπως είναι η γεωμετρία που επιβάλλει το Καρτεσιανό, το Κυλινδρικό, το Σφαιρικό αλλά και το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων. Σε περίπτωση πιο πολύπλοκης γεωμετρικής δομής περιγράφονται οι μέθοδοι επίλυσης που βασίζονται στις συναρτήσεις Green και στις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις που δημιουργούν. Η κε-ντρική μέθοδος είναι αυτή των ιδιοσυναρτήσεων και των αντιστοίχων ιδιοαναπτυγμάτων. Πέρα από τις κλασικές φα-σματικές μεθόδους, ο αναγνώστης μπορεί επίσης να βρει εισαγωγικές αναλύσεις σε εξισώσεις πρώτης τάξης με την μέθοδο των χαρακτηριστικών, σε ολοκληρωτικούς μετα-σχηματισμούς, στη μέθοδο της αντιστροφής Kelvin καθώς και σε θέματα που αφορούν την ενεργειακή συμπεριφορά των φαινομένων. Τέλος, έχει γίνει προσπάθεια, οι διάφορες μαθηματικές τεχνικές να συνοδεύονται και από την φυσική σημασία των φαινομένων που περιγράφουν οι αντίστοιχες εξισώσεις.