title: Geometry of the Noether-Lefschetz locus
Creators: name: Dan, Ananyo
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin
Year: 2025
Subjects: subject: Noether-Lefschetz Ort
subject: Picardzahl
subject: Hilbert Schemata von Kurven
subject: Hodge loci
subject: Noether-Lefschetz locus
subject: Picard number
subject: Hilbert schemes of curves
subject: Hodge loci
subject: 500 Naturwissenschaften und Mathematik

description: Sei d&gt;3 ein festgewahlten ganzen Zahl. Der Noether-Lefschetz Ort parametrisiert glatte Fläche in P3 mit Picardzahl größer als eins, die Picardzahl einer allgemeinen solchen Fläche. Der Noether-Lefschetz Ort hat unendlich viele irreduzible Komponenten. In den letzten drei Jahrzehnten wurde die Geometrie dieser Komponenten von Ciliberto, Voisin, Green, Griffiths, Harris, Lopez, Maclean, Otwinowska und vielen anderen untersucht. In dieser Arbeit beschaftigen wir uns mit drei Fragen uber die Geometrie dieser Komponenten. Zunächst untersuchen wir nicht reduzierte Komponenten des Noether-Lefschetz Orts. Die Beobachtung führt uns natürlich auf die zweite Frage: Können wir umgekehrt bekannte Beispiele nicht reduzierter Komponenten von Noether-Lefschetz Orts verwenden, um Beispiele nicht reduzierter Komponenten von Hilbert Schemata von Kurven in P3 zu produzieren? Wir haben zwei unterschiedliche Ergebnisse. Eines davon ist eine Verallgemeinerung vom Mumfords berühmtem Beispiel einer generisch nicht reduzierten Komponente des Hilbert Schemas der glatte Kurven in einer Kubik in P3, hin zu Flachen von beliebigem Grad. Das Andere ist, Beispiele nicht reduzierter Komponenten von Hilbert Schemata von Kurven in zu erzeugen, deren allgemeines Element auch nicht reduziert ist. Solche Komponenten wurden bisher nicht intensiv untersucht. Im Gegensatz zu klassischen Ansätzen verwenden wir Techniken aus der Noether-Lefschetz-Theorie. Schließlich untersuchen wir eine Verallgemeinerung der klassischen Noether-Lefschetz Orts, nämlich den Ort der glatten Grad d Flachen in P3 mit Picardzahl mindestens r, wobei 3 &lt; r
description: For a fixed integer d ≥ 4, the Noether-Lefschetz locus parametrizes smooth degree d surfaces in P3 whose Picard number is strictly greater than one, the Picard number of a general such surface. The Noether-Lefschetz locus has infinitely many irreducible components. Over the last three decades, the geometry of these components has been studied by Ciliberto, Voisin, Green, Griffiths, Harris, Lopez, Maclean, Otwinowska and many others. In this thesis, we study in depth three different questions related to the geometry of the Noether-Lefschetz locus. First, we investigate non-reduced components of the Noether-Lefschetz locus. The above observation naturally leads us to the second question: Can we conversely use known examples of non-reduced components of NLd to produce examples of non-reduced components of Hilbert schemes of curves in P3 ? Here, we have two different results. One is the generalization of Mumford’s famous example of a generically non-reduced components of the Hilbert scheme of smooth curves in a cubic surface in P3 , to hypersurface of any degree in P3 . The other is to produce examples of non-reduced components of Hilbert schemes of curves in P3 , whose general element is also non-reduced, a topic not extensively studied in the literature. Different from classical approaches, we use techniques from Noether-Lefschetz theory. Finally, we investigate a generalization of the classical Noether-Lefschetz locus, namely the locus of smooth degree d surfaces in P3 with Picard number at least r for a fixed 3 ≤ r ≤ d − 1.