Το θεώρημα Hille-Yosida-Phillips:
Creators: name: Ξυραφίδου, Θεοδώρα Χαράλαμπου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2009
Subjects: Ημιομάδες
Γεννήτορας
Τελεστής
Semigroups
Generator
Operator

description: Περίληψη: Το θέμα της παρούσας εργασίας είναι «Το θεώρημα του Hille Yosida Phillips. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο-πρώτο κεφάλαιο- παρουσιάζονται οι έννοιες που αποτελούν τα εργαλεία για την ανάπτυξη του θέματος. Το δεύτερο κεφάλαιο ξεκινά με το ερώτημα του Cauchy «να βρεθούν όλες οι απεικονίσεις που ικανοποιούν τη σχέση φ(x+y)=φ(x)φ(y)», η οποία σημειώνεται ως συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy. Παρατηρούμε ότι οι εκθετικές συναρτήσεις είναι μια τετριμμένη λύση. Ακολουθεί μια αναδιατύπωση της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy «να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις Τ, με πεδίο ορισμού τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση Τ(t+s)=T(t)T(s) και Τ(0)=1, για κάθε t,s». Το κεφάλαιο μετά από μια αποδεικτική διαδικασία καταλήγει στο συμπέρασμα ότι μια συνεχής συνάρτηση, με πεδίο ορισμού όπως αναφέρθηκε παραπάνω, που ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy είναι παραγωγίσιμη και υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε η συνάρτηση να γράφεται με εκθετική μορφή. Το τρίτο κεφάλαιο ξεκινά με τον ορισμό της μονοπαραμετρικής ημιομάδας και ομάδας πάνω σε χώρους Banach. Στην παράγραφο 3.1 δίνεται μια σειρά από παραδείγματα ημιομάδων (ημιομάδες μετάθεσης, ομάδες στροφών, ημιομάδες πολλαπλασιαστών και άλλες) πάνω στον ευκλείδειο χώρο, σε χώρο συνεχών και φραγμένων συνεχών συναρτήσεων, σε χώρο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων και σε χώρο αναλυτικών συναρτήσεων. Στην παράγραφο 3.2 δίνεται ο ορισμός των ομοιόμορφα συνεχών ημιομάδων και των ισχυρά συνεχών (Co- ημιομάδων). Εξετάζονται οι ημιομάδες των παραδειγμάτων που επισημάνθηκαν παραπάνω ως προς τη συνέχεια. Για τις ομοιόμορφα συνεχείς ημιομάδες αποδεικνύεται η ύπαρξη φραγμένου γραμμικού τελεστή Α ο οποίος στο επόμενο κεφάλαιο αναπτύσσεται διεξοδικά. Αντίστοιχα σημειώνονται κάποιες ιδιότητες-ισοδυναμίες για την ισχυρή συνέχεια μιας ημιομάδας. Τέλος, το κεφάλαιο αναφέρει επιγραμματικά τον ορισμό του χαρακτήρα μιας ισχυρά συνεχούς ημιομάδας. Το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρεται στον απειροστικό γεννήτορα των Co- ημιομάδων. Στην παράγραφο 4.1 ορίζεται ο απειροστικός γεννήτορας. Με προτάσεις και θεωρήματα τα οποία σημειώνονται στην παράγραφο 4.2, δίνεται η εικόνα και η σημασία του, και αποδεικνύονται τα βασικότερα χαρακτηριστικά του γεννήτορα (γραμμικός, μοναδικός , ορισμένος σε πυκνό σύνολο κ.α.). Από τα παραπάνω οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι από την ημιομάδα προκύπτει ο απειροστικός γεννήτορας. Για την αντίστροφη πορεία, η παράγραφος 4.3, περιέχει μια μικρή αναφορά στα στοιχεία εκείνα της φασματικής θεωρίας, τα οποία είναι απαραίτητα για τον ορισμό του επιλύοντα τελεστή και για το θεώρημα του Hille Yosida Phillips. Ορίζεται το φάσμα του γεννήτορα Α, η φασματική ακτίνα του, το φασματικό φράγμα, ο επιλύων τελεστής και άλλα. Ακόμα σημειώνονται και αποδεικνύονται κάποιες προτάσεις που δίνουν τις ιδιότητες του επιλύοντα τελεστή, και έτσι συνοψίζονται οι σχέσεις μεταξύ των βασικών εννοιών των ημιομάδων (ημιομάδα, γεννήτορας, επιλύων τελεστής). Μια σειρά από προτάσεις και παρατηρήσεις, στο τέλος του τετάρτου κεφαλαίου, οδηγούν στην παρουσίαση και απόδειξη, αρχικά της πρώτης μορφής του θεωρήματος (θεώρημα Hille Yosida 1948) και η εργασία τελειώνει με την απόδειξη του γενικού θεωρήματος των Hille Yosida Phillips 1952.
description: The subject of the present project is the theorem of Hille Yosida Phillips. In the introductory chapter we present the basic meanings of the semigroups as we study them closely and the meanings that they are the tools for the development of the subject. The second chapter starts with the question and the expression of Cauchy “ find functions that satisfy the relation φ(x+y)=φ(x)φ(y)” marked as functional equation of Cauchy. We remark that the exponential functions are just a trivial solution. Besides, we have a new formulation of the functional equation of Cauchy “find all the continuous functions that they satisfy the relation Τ(t+s)=T(t)T(s) and Τ(0)=1, for all t, s “. The chapter after a demonstrative procedure ends to a conclusion that a continuous function is differentiable and there is a unique number a such that T(t)= . Τhe third chapter starts with the definition of semigroups on Banach spaces. In the paragraph 3.1 we have a series of examples of the semigroups (multiplication semigroups, rotation groups, translation semigroups etc.) on space of continuous functions, bounded continuous functions, analytic functions, integrable functions. In paragraph 3.2 we have the definition of the uniformly continuous semigroups and strongly continuous semigroups (Co- semigroups ). The examples of the semigroups, that they are marked out previously, are examined if they are continuous. For the uniformly continuous semigroups it is proved that the existence of bounded operator, presented in chapter four is developing thoroughly. For the strongly continuous semigroups we have some assertions that are equivalent. The fourth and the last chapter of the project refers to tne infinitesimal generator of semigroups. Using propositions and theorems, that marked in paragraph 4.2, we proved the basic characteristics of the generator. Taking into consideration all the above remarks we come into the conclusion that the generator arises from the semigroups. Concerning the reverse director, paragraph 4.3 includes a report on spectral theory and the elements of the specific theory are necessary for the definition of the resolvent operator and the theorem of Hille Yosida Phillips. We define the spectral bound of the generator A, the spectrum of A, the resolvent set of A etc. We note propositions about the resolvent operator . So, we collect all the information on the relations between a semigroup, its generator and its resolvent. Finally we have the first form of the Hille Yosida theorem (1948) and its proof and the last theorem in the project is the theorem Hille Yosida Phillips (1952).