title: Energy functionals and symmetry
title: A cohomogeneity one approach to (poly)harmonic maps
titleType: Subtitle
Creators: name: Balado Alves, José Miguel
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2025
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: Diese Dissertation untersucht höhere Energie-Funktionale von Abbildungen zwischen Kohomogenität-1 Mannigfaltigkeiten.

Wir beginnen mit der Analyse äquivarianter harmonischer Abbildungen zwischen komplex-projektiven Räumen und finden kontinuierlich parametrisierte Familien von Lösungen. Wir untersuchen die Stabilität dieser Lösungen und deren Grenzkonfiguration.

Anschließend betrachten wir Untermannigfaltigkeiten, die als kritische Punkte höherer Energie-Funktionale auftreten, und konzentrieren uns auf polyharmonische isoparametrische Hopf-Hyperflächen in komplexen Raumformen. In diesem Zusammenhang konstruieren wir eine große Familie von $r$-harmonischen Hyperflächen im positiv gekrümmten Fall und beweisen ein Nichtexistenzresultat für den negativ gekrümmten Fall.

Abschließend entwickeln wir einen systematischen Ansatz zur Konstruktion polyharmonischer Orbits in Kohomogenität-1 Mannigfaltigkeiten. Wir verwenden diesen Ansatz, um Metriken zu finden, welche biharmonische Orbits mit speziellen geometrische Eigenschaften zulassen.
description: This thesis explores higher-order energy functionals within the setting of cohomogeneity-one manifolds, with a focus on understanding the structure and stability of solutions arising from these functionals.

We begin by examining equivariant harmonic maps between complex projective spaces, finding infinite families with uncountably many solutions. We delve into the stability properties of these solutions and examine their limiting configuration.

Following this, we examine submanifolds that emerge as critical points of higher energy functionals. We characterize polyharmonic isoparametric Hopf hypersurfaces in complex space forms. In this context, we identify a large family of $r$-harmonic hypersurfaces in the positively curved case and establish a non-existence result for the negatively curved case.

In the final section, we present a systematic approach for constructing polyharmonic orbits, which allows us to identify metrics that support biharmonic orbits with distinctive geometric properties.
description: 1 Introduction ..... 3
1.1 Harmonic maps ..... 3
1.2 Higher-order energy functionals ..... 6
1.3 Notation and conventions ..... 8
1.4 Organization ..... 9
2 Harmonic self-maps of complex projective spaces ..... 13
2.1 Preliminaries ..... 13
2.2 G - equivariant self-maps of CPn ..... 16
2.3 Derivation of the tension field ..... 17
2.4 New harmonic self-maps of CPn ..... 21
2.5 Stability of solutions ..... 24
3 Polyharmonic hypersurfaces into complex space forms ..... 27
3.1 Preliminaries ..... 27
3.2 Polyharmonic isoparametric Hopf hypersurfaces ..... 30
3.3 Existence and non-existence of solutions ..... 32
3.4 The biharmonic case ..... 36
3.5 Appendix ..... 38
4 Biharmonic orbits ..... 43
4.1 Preliminaries ..... 43
4.2 Biharmonicity and cohomogenity one manifolds ..... 45
4.3 Biharmonic hypersurfaces with three principal curvatures in S7 ..... 49
4.4 Normal stability for biharmonic orbits ..... 53
4.5 r-harmonic orbits ..... 55
4.6 Polyharmonic foliations ..... 58
4.7 Biharmonic self-maps of cohomogeneity one manifolds ..... 60
References ..... 67