Αμφιμονότιμες αναλυτικές συναρτήσεις και η εικασία του Bieberbach
Creators: name: Θεοδοσιάδης, Ελευθέριος Κωνσταντίνου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2019
Subjects: Αμφιμονότιμες αναλυτικές συναρτήσεις
Γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων
Η εικασία του Bieberbach
Univalent functions
Geometric function theory
The Bieberbach conjecture

description: Η εικασία του Ludwig Bieberbach (1886-1982) εμφανίστηκε πρώτη φορά το 1916 και για περίπου 70 χρόνια απασχόλησε πάρα πολλούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, μέχρι την τελική λύση από τον Louis de Branges. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να εξοικειωθούμε των αμφιμονότιμων συναρτήσεων ορισμένων στον μοναδιαίο δίσκο και να μελετήσουμε τα βασικά εργαλεία που χρειάζεται κανείς προκειμένου να καταλήξει στην εικασία του Bieberbach. Στο δεύτερο κεφάλαιο χρησιμοποιούμε στοιχειώδεις μεθόδους, έτσι ώστε ο αναγνώστης με την προαπαιτούμενη γνώση που περιγράφουμε στο κεφάλαιο 1, να μπορεί άνετα να ανταπεξέλθει. Επιπλέον, είναι αρκετά διδακτικό γιατί πέρα από τις μεθόδους, μας εξοικειώνει και με τις γεωμετρικές ιδιότητες των παραπάνω συναρτήσεων. Αλλά και αντίστροφα, μας δείχνει πως με γεωμετρικά επιχειρήματα μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για τις παραπάνω συναρτήσεις. Στο τρίτο κεφάλαιο τα πράγματα γίνονται πιο τεχνικά. Δίνουμε ακριβώς εκείνα τα θεωρήματα που χρειάζονται στην απόδειξη του θεωρήματος του de Branges, ξεκινώντας με τη διαφορική εξίσωση του Loewner (1923) για τις απεικονίσεις με σχισμή. Η απόδειξη του de Branges είναι εκτενής και δύσκολη και χρησιμοποιεί στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης. Ακόμη, κάνει χρήση ενός περίπλοκου αθροίσματος πολυώνυμων Jacobi, την θετικότητα του οποίου εγγυάται το θεώρημα Askey-Gasper. Η απόδειξη που θα μελετήσουμε στην τελευταία παράγραφο οφείλεται στους Pommerenke-FitzGerald, αρκετά συντομότερη και η οποία χρησιμοποιεί καθαρά μιγαδική ανάλυση
description: The conjecture of Ludwig Bieberbach (1886-1982) was first appeared in 1916 and for almost 70 years stood as a challenge for many mathematicians of the twentieth century, until the final solution by Louis de Branges. The purpose of this thesis is to become familiar with the class of the univalent functions defined in the unit disk and to study the basic tools, one needs in order to prove the Bieberbach Conjecture. In the second chapter we use elementary methods, such that the reader with all the necessary preliminaries described in the first chapter will easily cope. In addition, it is an instructive chapter, since we become familiar with the geometric properties of the above functions, such as the Koebe's one-quarter theorem. Conversely, also, it shows us how we can extract analytic results using geometric arguments. In the third chapter, things become more technical. We give exactly those theorems that are necessary for the proof of de Branges theorem, starting with Loewner's differential equation (1923) for slit mappings. The proof of the conjecture by de Branges is extensive and difficult and uses elements from functional analysis. Furthermore, it makes use of a sum of Jacobi polynomials, the positivity of which is given by the Askey-Gasper theorem. In the last paragraph we shall study the proof by Pommerenke-Fitzgerald, which is much shorter and uses purely complex analysis arguments