PREDATOR-PREY MODELS: BIFURCATIONS, CROSS-DIFFUSION AND TURING INSTABILITY
Creators: name: SORESINA, CINZIA
Publisher: name: Universit� degli Studi di Milano
Year: 2017

description: Questa tesi riguarda modelli differenziali preda-predatore, trattati inizialmente nel caso spazialmente omogeneo e successivamente considerando la diffusione spaziale. Dal punto di vista matematico pertanto vengono considerati sistemi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico. In particolare, nella prima parte viene studiato un modello preda-predatore spazialmente omogeneo, retto da due equazioni differenziali ordinarie, in cui sono presi in considerazione un effetto Allee forte nella crescita delle prede e una risposta funzionale predatore dipendente. Il punto di forza dello studio risiede nel fatto che le funzioni che descrivono questi processi non hanno un'espressione esplicita, ma sono caratterizzate solo da alcune propriet� comuni a funzioni specifiche utilizzate in letteratura. Tali propriet� sono sufficienti per effettuare l'analisi qualitativa del sistema, con riguardo all'esistenza degli equilibri e alle loro propriet� di stabilit� mediante i criteri di Lyapunov, utilizzando due parametri di biforcazione che caratterizzano il processo di predazione. Il modello presenta dei punti di biforcazione di codimensione 2 quali una biforcazione Bogdanov-Takens e una di tipo cuspide, non legati alla particolare realizzazione scelta per le funzioni del modello. Lo studio � stato proseguito numericamente fissando un'espressione per la funzione di crescita delle prede e per la funzione trofica che soddisfano le propriet� considerate e utilizzando il software di continuazione Matcont per Matlab. Tale studio ha mostrato l'ulteriore presenza di biforcazioni globali che determinano la sparizione dei cicli limite, mediante la formazione di orbite omocline ed eterocline. Inoltre � stato individuato una biforcazione di Hopf generalizzata, un altro punto di biforcazione di codimensione 2. Le biforcazioni di codimensione 2 individuate sono tutte e sole quelle ammesse da un sistema a due equazioni differenziali. La seconda parte della tesi verte invece sullo studio di due sistemi preda-predatore con diffusione in cui vengono dedotte in un opportuno limite due tipi di risposte funzionali classiche come termine reattivo e un termine diffusivo non lineare. In dettaglio, vengono considerati due livelli trofici, le prede e i predatori. Questi ultimi sono suddivisi in due classi, searching predators e handling predators: i primi sono i predatori effettivamente impegnati nella predazione, mentre i secondi non sono attivi in tale processo. Ne deriva un sistema composto da tre equazioni differenziali alle derivate parziali, in cui la diffusione � modellizzata in modo classico, mediante un termine lineare in forma di Laplaciano e l'interazione tra prede e predatori � inizialmente del tipo Lotka-Volterra. Mediante una approssimazione quasi steady-state � possibile ridurre il sistema di partenza, ottenendo un sistema di due PDE, una per le prede e una per la totalit� dei predatori, in cui la risposta funzionale � del tipo Holling-II, in particolare preda-dipendente, e che presenta una non-linearit� nel termine di diffusione. Questa classe di modelli non d� luogo a instabilit� di Turing. Viene quindi considerata nel modello a tre equazioni una competizione tra i predatori che permette di ricavare, mediante un'approssimazione quasi steady-state, un sistema preda-predatore con risposta funzionale del tipo Beddington-DeAngelis nel termine di reazione e ancora una non-linearit� nel termine di diffusione. Vengono quindi ricavate condizioni sui parametri che permettono di avere instabilit� di Turing e confrontati i risultati sia nel caso di diffusione lineare che in quello non-lineare.