Zur Topologie bewerteter Koordinatenstrukturen projektiver Ebenen
Creators: name: Scheel, Sebastian
Publisher: name: TU Dortmund
Year: 2024
Subjects: subject: Projektive Ebenen
subject: Ternärkörper
subject: Uniforme Bewertungen
subject: 510
subject: Ternärkörper
subject: Bewertungstheorie
subject: Fastkörper

description: In der vorliegenden Arbeit werden primär die topologischen Ternärkörper untersucht, deren Topologie von einer uniformen Bewertung des Ternärkörpers induziert wird. Das Ziel hierbei ist die Charakterisierung ebendieser Topologien uniformer Bewertungen auf Ternärkörpern. Hierzu werden zunächst Nilpotenzmengen sowie ein Beschränktheitsbegriff für allgemeine topologische Ternärkörper eingeführt und untersucht. Auf diesen aufbauend werden anschließend (analytisch) nilpotente und neutrale Elemente eines topologischen Ternärkörpers definiert; diesen wird in dem Beweis der angestrebten Charakterisierung eine entscheidende Rolle zukommen. Schließlich wird die Eigenschaft topologischer Ternärkörper hervorgehoben, welche sich als maßgebend für die Existenz einer uniformen Bewertung, welche die Topologie induziert, herausstellt: der Eigenschaft des topologischen Ternärkörpers vom Bewertungstyp bzw. kurz vom Typ V zu sein. Mit diesen Mitteln können die Topologien uniformer Bewertungen nun charakterisiert werden: Es sind genau die Topologien, mit denen der Ternärkörper einen topologischen Ternärkörper vom Typ V bildet, bzgl. der das Radikal des Ternärkörpers beschränkt ist, deren Menge der nilpotenten und neutralen Elemente additiv abgeschlossen ist und für die eine gewisse normale, beschränkte Nullumgebung existiert. Auf dem ersten Teil der Arbeit aufbauend werden anschließend topologische Ternärkörper vom Typ V mit beschränktem, erweiterten Radikal betrachtet, deren Menge der nilpotenten und neutralen Elemente additiv nicht abgeschlossen ist: In Analogie zum Fall bewerteter kommutativer Körper werden hierfür uniforme Absolutwerte auf Ternärkörpern eingeführt und die obigen Topologien gerade als die Topologien archimedischer, uniformer Absolutwerte klassifiziert. Da neben den vier klassischen reellen Algebren mit einem Absolutwert allerdings keine Beispiele solcher vollständiger Ternärkörper mit einem archimedischen, uniformen Absolutwert bekannt sind, werden im Anschluss Kriterien über die Nicht-Existenz solcher Ternärkörper mit einem archimedischen, uniformen Absolutwert, welche nicht bereits Alternativkörper sind, betrachtet. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird eine Dickson-Konstruktion für uniform bewertete Quasikörper betrachtet: Hierzu wird der Begriff einer v-Ableitung uniform bewerteter Quasikörper eingeführt und nachgewiesen, dass mittels dieser eine weitere Quasikörper-Multiplikation definiert wird, mit der dieser wieder einen uniform bewerteten Quasikörper bildet. Ebenso wird gezeigt, dass jede solche Multiplikation auf diese Weise entsteht. In diesem Zusammenhang werden weiter die Auswirkungen sphärischer Vollständigkeit untersucht. Zum Abschluss wird speziell die Konstruktion vollständiger, diskret uniform bewerteter Quasikörper betrachtet, deren uniforme Bewertung eine triviale Einschränkung auf den Primkörper besitzt: Hierbei wird gezeigt, dass sich diese stets als die v-Ableitung eines kommutativen Laurentreihenkörpers schreiben lassen. Insbesondere ist die uniforme Bewertung somit als die Grad-Bewertung des kommutativen Laurentreihenkörpers auffassbar. Schließlich wird mit dieser Methode eine Familie von Beispielen vollständiger, diskret uniform bewerteter Quasikörper, deren uniforme Bewertung eine triviale Einschränkung auf den Primkörper besitzt, konstruiert.