Πολυμεταβλητή πολυωνυμική παρεμβολή:
Creators: name: Ευριπίδου, Αλέξανδρος Κωνσταντίνου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2009
Subjects: Ευστάθεια παρεμβολής
Ισαπέχονται σημεία
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier
Hermite Langrange παρεμβολές
Hermite Langrange interpolation
Desedness of interpolation
Equidistont points
Discrete Fourier transform

description: Η παρεμβολή, με πολυώνυμα ή άλλες συναρτήσεις είναι μάλλον μια παλιά μέθοδος στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αυτό υποδηλώνεται από το γεγονός ότι η λέξη «παρεμβολή» έχει εισαχθεί από τον J.Wallis κάπου στο 1655. Σε σύγκριση με το γεγονός αυτό, η πολυωνυμική παρεμβολή με πολλές μεταβλητές είναι σχετικά νέο αντικείμενο και πιθανόν να ξεκίνησε το δεύτερο μισό του προηγούμενου αιώνα. Στις μέρες μας η παρεμβολή αποτελεί θέμα προς έρευνα από ένα κομμάτι της μαθηματικής κοινότητας και είναι βασικό ζήτημα στην Aριθμητική Aνάλυση με εφαρμογές σε πολλά μαθηματικά προβλήματα. Φυσικά, έχει επηρεαστεί από την διαθεσιμότητα των υπολογιστικών διευκολύνσεων και αυτός είναι και ο λόγος που έχουν δημοσιευθεί περισσότερα γραπτά γι’ αυτό το θέμα τα τελευταία 25 χρόνια από ότι τα προηγούμενα 75.Το γεγονός ότι η πολυωνυμική παρεμβολή πολλών μεταβλητών είναι κάπως πρόσφατο αντικείμενο έρευνας δεν μας επιτρέπει να αναφερθούμε επ’ ακριβώς σε αποτελέσματα που εμφανίστηκαν κάπου με όχι και τόσο σαφή τρόπο. Ο λόγος αυτός μας οδηγεί ώστε στην παρούσα εργασία να επικεντρωθούμε στην Hermite-Lagrange παρεμβολή δύο μεταβλητών, η οποία είναι η πιο κατανοητή από την σχετική βιβλιογραφία. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στην μονομεταβλητή περίπτωση των παρεμβολών Hermite και Lagrange και την συναφή με αυτές παρεμβολή Newton. Δηλώνουμε τους στοιχειώδεις ορισμούς ενώ παραθέτουμε κάποια θεμελιώδη θεωρήματα για την ύπαρξη και την μοναδικότητα της παρεμβολής . Επίσης λύνουμε κάποια παραδείγματα με βάση τις πιο πάνω μεθόδους.Στο δεύτερο κεφάλαιο, το κύριο μέρος αυτής της εργασίας, γίνεται μια εκτενής αναφορά στο πρόβλημα παρεμβολής Hermite-Lagrange δύο μεταβλητών, αποδεικνύουμε το θεμελιώδες θεώρημα για την ευστάθεια της παρεμβολής όταν αυτή εφαρμόζεται σε ισαπέχοντα σημεία στους κύκλους ενώ δηλώνουμε και κάποιες άλλες σημαντικές αρχές της μεθόδου.Για την καλύτερη κατανόηση εφαρμόζουμε την μέθοδο σε πρόβλημα εύρεσης του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη πολυωνύμων δύο μεταβλητών και στον υπολογισμό της ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα. Τέλος συγκρίνουμε την μέθοδο με έναν γνωστό αλγόριθμο που βασίζεται στον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier.Στο τελευταίο κεφάλαιο προτείνουμε έναν αλγόριθμο υπολογισμού του αντίστροφου πολυωνυμικού πίνακα, που δίνεται με την βοήθεια ενός παραδείγματος, πρόβλημα το οποίο συχνά έχουμε να αντιμετωπίσουμε σε ζητήματα Θεωρίας Ελέγχου και Συστημάτων.
description: Polynomial interpolation is a method used for many years now. John Wallis first mentioned about ‘interpolation’ somewhere in 1655 as it refers in [2]. Instead of this, multivariate interpolation is a new subject in Approximation Theory since first introduced in the second half of previous century. The constant research about this topic led to some interesting results but of course needs more attention. Multivariate polynomial interpolation is today a main point in Numerical Analysis and is applied to many mathematical problems. It’s development is related with the computational facilities. Because of this we have more papers about this subject in the recent 25 years. The fact that the interpolation polynomial in several variables is a rather new subject, is difficult to refer exactly about results that appeared somewhere not with precision. Hence in this work we focus on Hermite-Lagrange interpolation problem in two variables. In the first section we refer in polynomial interpolation in one variable, Hermite and Lagrange and the relative, Newton’s interpolation. We state some definitions and some important theorems for existence and uniqueness of the interpolation. We also give examples for each case.In the second section, the main part of this work, we consider the Hermite-Lagrange interpolation in two variables. We proof the fundamental theorem of poisedness on equidistand points on circles. We apply the method on Greatest Common Divisor problem and for the estimation of determinant of polynomial matrix. We also compare the method with known algorithm based on Discrete Fourier Transform. In the last section we suggest an algorithm for approximation of the inverse of a polynomial matrix in two variables, which is an often problem in Control Theory.