La Ricorrenza di Goldbach.
Creators: name: Salvatore Chichi
Publisher: name: Zenodo
Year: 2025

description: In questo nuovo tentativo di dimostrazione, elimino un subdolo errore compiuto nelle precedenti. La frase "ogni coppia di dispari ha almeno un composto" non è equivalente alla frase "per ogni primo o composto minore di 2n, la sua differenza da 2n è sempre un composto". Si considerano ora solo i dispari primi appartenenti a un certo intervallo di numeri naturali. Quindi si considera solo la frase "ogni primo dispari minore di 2n - 2, differisce da 2n di un dispari composto", che è certa. Il risultato è che la disuguaglianza delle precedenti versioni cambia radicalmente in una relazione di ricorrenza, che genera un nuovo insieme infinito di numeri pari. 
description: Asserto : 

Si consideri l'insieme Cₙ delle coppie (a,b) di numeri naturali dispari tali che 3 ≤ a ≤ b ≤ 2n - 3, con n ≥ 3. Allora per ogni n suddetto esiste almeno una coppia (c,e) ∈ Cₙ di numeri primi, tali che c + e = 2n.

Dimostrazione per assurdo.

Supponiamo che esista almeno un 2kₕ per il quale non esiste un (p,q) ∈ Cₕ con p ≤ q, tale che p + q = 2kₕ. Allora per ciascun numero primo dispari ≤ 2kₕ - 3 la sua differenza da 2kₕ è un dispari composto ( perché per ipotesi gli addendi non possono essere entrambi dispari primi ).

Si consideri il numero naturale d che assume uno solo di due possibili valori tra 9 e 3, a seconda che 2k₍ₕ₋₁₎ - 1 sia primo oppure composto. Se è primo si pone d = 9 = 3×3, se invece è composto d = 3, che è il più piccolo dispari primo.

 Si può subito dedurre che il numero 2kₕ ha un valore minimo possibile in 3 + 9 = 12 e quindi se questo valore esiste è ≥ 12.

Ciò significa che 2kₕ > 11, e quindi è 11 + d = 2kₕ. Poiché 11 è primo, possiamo porre d = 9 ( il più piccolo dispari composto ), e dedurre che il valore minimo di 2kₕ è 20. Quindi 2kₕ > 19, cioè 19 + d = 2kₕ. Siccome 19 è primo d = 9, quindi 2kₕ = 28 è il valore minimo per tale numero pari. Quindi essendo > 27 risulta 27 + d = 30 ( in quanto d ora è uguale a 3, poiché 27 è composto ). E così via.

Questo porta a scrivere la ricorrenza ove h è un naturale ≥ 1 :

2k₀ = 4

2kₕ = 2k₍ₕ₋₁₎ - 1 + d

ove 2kₕ assume di volta in volta il nuovo valore minimo dato dalla parte destra dell'uguaglianza. Come si può notare tale valore cresce, tendendo verso infinito.

C.v.d.

 

 
description: In this new demonstration attempt, I eliminate a sneaky mistake made in the previous ones. The sentence "every pair of odd numbers has at least one composite" is not equivalent to the sentence "for every prime or composite less than 2n, its difference from 2n is always a composite". Now we consider only the odd primes belonging to a certain interval of natural numbers. So we only consider the sentence "every odd prime less than 2n - 2, differs from 2n by an odd composite", which is certain. The result is that the inequality of the previous versions changes radically into a recurrence relation, which generates a new infinite set of even numbers.
description: Assertion :

Consider the set Cₙ of pairs (a,b) of odd natural numbers such that 3 ≤ a ≤ b ≤ 2n - 3, with n ≥ 3. Then for each n mentioned above there exists at least one pair (c,e) ∈ Cₙ of prime numbers, such that c + e = 2n.

Proof by contradiction.

Suppose that there exists at least one 2kₕ for which there does not exist a (p,q) ∈ Cₕ with p ≤ q, such that p + q = 2kₕ. Then for each odd prime number ≤ 2kₕ - 3 its difference from 2kₕ is a composite odd (because by hypothesis the addends cannot both be odd primes).

Consider the natural number d that assumes only one of two possible values between 9 and 3, depending on whether 2k₍ₕ₋₁₎ - 1 is prime or composite. If it is prime, we set d = 9 = 3×3, if instead it is composite, d = 3, which is the smallest odd prime.

We can immediately deduce that the number 2kₕ has a minimum possible value in 3 + 9 = 12 and therefore if this value exists it is ≥ 12.

This means that 2kₕ > 11, and therefore it is 11 + d = 2kₕ. Since 11 is prime, we can set d = 9 (the smallest odd composite), and deduce that the minimum value of 2kₕ is 20. Therefore 2kₕ > 19, that is 19 + d = 2kₕ. Since 19 is prime d = 9, then 2kₕ = 28 is the minimum value for this even number. So being > 27 it results in 27 + d = 30 (since d is now equal to 3, since 27 is composite). And so on.

This leads to writing the recurrence where h is a natural ≥ 1 :

2k₀ = 4

2kₕ = 2k₍ₕ₋₁₎ - 1 + d

where 2kₕ assumes from time to time the new minimum value given by the right part of the equality. As you can see this value grows, tending towards infinity.

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