On fractional probabilistic mean value theorems, fractional counting processes and related results
Creators: name: Meoli, Alessandra
Publisher: name: Universita degli studi di Salerno
Year: 2017
Subjects: subject: MAT/06 PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
subject: Probability theory
subject: Fractional calculus
subject: Statististical models

description: 2015 - 2016
description: The thesis collects the outcomes of the author’s research carried out in the research group Probability Theory and Mathematical Statistics at the Department of Mathematics, University of Salerno, during the doctoral programme “Mathematics, Physics and Applications”. The results are at the interface between Fractional Calculus and Probability Theory. While research in probability and applied ﬁelds is now well established and enthusiastically supported, the subject of fractional calculus, i.e. the study of an extension of derivatives and integrals to any arbitrary real or complex order, has achieved widespread popularity only during the past four decades or so, because of its applications in several ﬁelds of science, engineering and ﬁnance. Moreover, the application of the fractional paradigm to probability theory has been carefully but partially explored over the years, especially from the point of view of stochastic processes. The aim of the thesis is to prove some new theorems at the interface between Mathematical Analysis and Probability Theory, and to study rigorously certain new stochastic processes and statistical models constructed on top of some well-known classical results and then generalized by means of fractional calculus. The dissertation is organized as follows. In Chapter 1 we give an overview about the main ideas that inspire fractional calculus and about the mathematical techniques for dealing with fractional operators and the related special functions and probability distributions. In order to develop certain fractional probabilistic analogues of Taylor’s theorem 1 and mean value theorem, in Chapter 2 we introduce the nth-order fractional equilibrium distribution in terms of the Weyl fractional integral and investigate its main properties. Speciﬁcally, we show a characterization result by which the nth-order fractional equilibrium distribution is identical to the starting distribution if and only if it is exponential. The nth-order fractional equilibrium density is then used to prove a fractional probabilistic Taylor’s theorem based on derivatives of Riemann-Liouville type. A fractional analogue of the probabilistic mean value theorem is thus developed for pairs of nonnegative random variables ordered according to the survival bounded stochastic order. We also provide some related results, both involving the normalized moments and a fractional extension of the variance, and a formula of interest to actuarial science. In conclusion, we discuss the probabilistic Taylor’s theorem based on fractional Caputo derivatives. In Chapter 3 we consider a fractional counting process with jumps of integer amplitude 1,2,...,k, whose probabilities satisfy a suitable system of fractional diﬀerencediﬀerential equations. We obtain the moment generating function and the probability law of the resulting process in terms of generalized Mittag-Leﬄer functions. We also discuss two equivalent representations both in terms of a compound fractional Poisson process and of a subordinator governed by a suitable fractional Cauchy problem. The ﬁrst occurrence time of a jump of ﬁxed amplitude is proved to have the same distribution as the waiting time of the ﬁrst event of a classical fractional Poisson process, this extending a well-known property of the Poisson process. When k = 2 we also express the distribution of the ﬁrst-passage time of the fractional counting process in an integral form. We then show that the ratios given by the powers of the fractional Poisson process and of the counting process over their means tend to 1 in probability. In Chapter 4 we propose a generalization of the alternating Poisson process from the point of view of fractional calculus. We consider the system of diﬀerential equations governing the state probabilities of the alternating Poisson process and replace the ordinary derivative with a fractional one (in the Caputo sense). This produces a fractional 2-state point process, whose probability mass is expressed in terms of the (two-parameter) Mittag-Leﬄer function. We then show that it can be recovered also by means of renewal theory arguments. We study the limit state probability, and certain proportions involving the fractional moments of the sub-renewal periods of the process. In order to derive new Mittag-Leﬄer-like distributions related to the considered process, we then exploit a transformation acting on pairs of stochastically ordered random variables, which is an extension of the equilibrium operator and deserves interest in the analysis of alternating stochastic processes. In Chapter 5 we analyse a jump-telegraph process by replacing the classical exponential distribution of the interarrival times which separate consecutive velocity changes (and jumps) with a generalized Mittag-Leﬄer distribution. Such interarrival times constitute the random times of a fractional alternating Poisson process. By means of renewal theory-based arguments, we obtain the forward and backward transition 2 densities of the motion in series form, and prove their uniform convergence. Speciﬁc attention is then given to the case of jumps with constant size, for which we also obtain the mean of the process. We conclude the chapter by investigating the ﬁrst-passage time of the process through a constant positive boundary, providing its formal distribution and suitable lower bounds. Chapter 6 is dedicated to a stochastic model for competing risks involving the MittagLeﬄer distribution, inspired by fractional random growth phenomena. We prove the independence between the time to failure and the cause of failure, and investigate some properties of the related hazard rates and ageing notions. We also face the general problem of identifying the underlying distribution of latent failure times when their joint distribution is expressed in terms of copulas and the time transformed exponential model. The special case concerning the Mittag-Leﬄer distribution is approached by means of numerical treatment. We ﬁnally adapt the proposed model to the case of a random number of independent competing risks. This leads to certain mixtures of Mittag-Leﬄer distributions, whose parameters are estimated through the method of moments for fractional moments. [edited by Author]
description: La tesi raccoglie i risultati dell’attività di ricerca condotta dall’autore nel gruppo di ricerca Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica, presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Salerno, nell’ambito del Corso di Dottorato in “Matematica, Fisica e Applicazioni”, XXIX ciclo. I risultati si collocano all’interfaccia tra Calcolo delle Probabilità e Calcolo Frazionario. Mentre la ricerca in probabilità è oggi ben consolidata e supportata, il calcolo frazionario, cioè lo studio della possibilità di generalizzare il calcolo integrale e il calcolo diﬀerenziale classici ad un ordine arbitrario, reale o complesso, ha acquisito notevole popolarità e importanza nel corso degli ultimi quattro decenni, soprattutto in virtù delle sue applicazioni in numerosi campi delle scienze e dell’ingegneria. Inoltre, le intersezioni tra calcolo delle probabilità e calcolo frazionario sono state esplorate con attenzione, ma parzialmente, nel corso degli anni, soprattutto dal punto di vista dei processi stocastici. Lo scopo della tesi è quello di dimostrare alcuni nuovi teoremi che si collocano all’interfaccia tra l’Analisi Matematica e il Calcolo delle Probabilità, e di studiare con rigore certi nuovi processi stocastici e modelli statistici costruiti a partire da risultati classici ben noti e poi modiﬁcati mediante le tecniche del calcolo frazionario. La tesi è strutturata come segue. Nel primo capitolo si richiamano alcune nozioni di base e le proprietà dei principali operatori e delle funzioni del calcolo frazionario, l’integrale di Riemann-Liouville, le derivate di Riemann-Liouville e di Caputo, la funzione di Mittag-Leﬄer. 1 Nel capitolo 2, al ﬁne di ricavare alcuni analoghi probabilistici di tipo frazionario dei teoremi di Taylor e di Lagrange, è stata introdotta la distribuzione di equilibrio frazionaria di ordine n deﬁnita in termini dell’integrale di Weyl e ne sono state indagate le proprietà principali. In particolare, si dimostra che la distribuzione di equilibrio frazionaria di ordine n costruita a partire da un’assegnata distribuzione di probabilità, coincide con questa se e solo se essa è esponenziale. La distribuzione introdotta viene utilizzata per dimostrare una versione frazionaria dei teoremi di Taylor e del valore medio probabilistici, quest’ultimo applicabile a coppie di variabili aleatorie opportunamente ordinate. Inoltre, si forniscono sia risultati che coinvolgono i momenti normalizzati e un’estensione frazionaria della varianza, sia una formula di interesse nelle scienze attuariali. In conclusione, si discute il teorema di Taylor probabilistico basato sulla derivata frazionaria nel senso di Caputo. Nel terzo capitolo è stata considerata una generalizzazione frazionaria del processo di Poisson con salti di ampiezza arbitraria, esprimendo la legge di probabilità mediante funzioni di tipo Mittag- Leﬄer. L’evoluzione del processo è guidata da equazioni differenziali e alle diﬀerenze ﬁnite frazionarie. Dopo aver studiato due rappresentazioni equivalenti del processo considerato, particolare attenzione è stata posta al problema del tempo di primo passaggio, alla determinazione dei tempi di attesa ed a problemi di tipo asintotico. Tra le altre cose, si è mostrato che il tempo di prima occorrenza di un salto di ampiezza i, i ∈{1,2,...,k}, k ∈N, è distribuito come il tempo di prima occorrenza di un evento di un processo di Poisson frazionario di parametro λi &gt; 0, generalizzando, quindi, una importante proprietà valida nel caso classico. Nel quarto capitolo si propone una generalizzazione del processo di Poisson alternante dal punto di vista del calcolo frazionario, ottenuta sostituendo nel sistema di equazioni diﬀerenziali che governa la funzione di probabilità del processo di Poisson alternante la derivata ordinaria con la derivata frazionaria (nel senso di Caputo) o, equivalentemente, mediante argomenti di teoria del rinnovo. La massa di probabilità del nuovo processo è espressa in termini della funzione di Mittag-Leﬄer con due parametri. Abbiamo studiato il comportamento asintotico delle probabilità di stato e alcune proporzioni che coinvolgono i momenti frazionari dei periodi di rinnovo del processo. Inﬁne, sono state ricavate nuove distribuzioni di tipo Mittag-Leﬄer relative al processo considerato sfruttando una trasformazione agente su coppie di variabili casuali ordinate stocasticamente, che estende l’operatore equilibrio, di interesse per l’analisi di processi stocastici alternanti. Nel Capitolo 5 si studia un processo stocastico unidimensionale che descrive un moto aleatorio caratterizzato dall’alternarsi di due diverse velocità in direzioni opposte. Il processo che regola i cambi di velocità (e di direzione) è il processo di Poisson alternante di tipo frazionario studiato nel capitolo 4. In particolare, nell’istante in cui si veriﬁca un evento di tale processo si compie un salto di ampiezza non aleatoria e quindi il cambiamento di direzione. Pertanto, il processo in esame è una generalizzazione del processo del telegrafo integrato con salti. Le densità di transizione in avanti e all’indietro del moto sono espresse come serie uniformemente convergenti di funzioni di Mittag-Leﬄer. Particolare attenzione è stata dedicata al caso di salti di ampiezza costante e uguale distribuzione dei tempi di rinnovo. La distribuzione del tempo di primo passaggio attraverso una barriera costante è espressa in modo implicito. Tuttavia, in alcuni casi è data la forma esplicita. L’analisi viene eseguita anche mediante un approccio computazionale. Partendo da fenomeni di crescita di tipo frazionario, nel capitolo 6 abbiamo costruito un modello statistico a rischi competitivi che coinvolge la distribuzione di MittagLeﬄer. Abbiamo dimostrato l’indipendenza tra il tempo e la causa del fallimento, ed abbiamo indagato alcune proprietà dei tassi di rischio e delle nozioni di invecchiamento relativi. Abbiamo trattato il problema dell’individuazione della distribuzione sottostante dei tempi di guasto latenti quando la loro distribuzione congiunta è espressa in termini di copule e mediante il modello TTE (Time Transformed Exponential). Il caso particolare riguardante la distribuzione Mittag-Leﬄer è stato trattato numericamente. Il modello proposto è stato adattato al caso di un numero casuale di rischi in competizione indipendenti. Questo porta ad alcune misture di distribuzioni di tipo Mittag-Leﬄer, i cui parametri sono stati stimati mediante il metodo dei momenti per momenti frazionari. [a cura dell'Autore]