Contributions to the theory of almost perfect nonlinear functions
Creators: name: Arshad, Razi
Publisher: name: Universitäts- und Landesbibliothek Sachsen-Anhalt
Year: 2018
Subjects: subject: Zahlentheorie
subject: 512.7

description: In dieser Dissertation untersuchen wir fast perfekt nichtlineare ( “almost perfect nonlinear”, APN) Funktionen. In der Kryptographie, insbesondere bei Blockchiffren, sind vektorielle Boolesche Funktionen von grundlegender Bedeutung. Es gibt zwei Hauptangriffe auf Blockchiffren: differentielle Angriffe [1] und lineare Angriffe [2]. Funktionen, die den Besten Schutz vor differentiellen Angriffen bieten, werden als APN Funktionen bezeichnet. Die Funktionen, die einen optimalen Schutz sowohl vor linearen als auch differentiellen Angriffen bieten, werden als “almost bent” (AB) Funktionen bezeichnet. Alle bekannten Konstruktionen von APN Funktionen verwenden endliche Koeper, während in dieser Arbeit die Konstruktion von APN Funktionen unter Verwendung von im wesentlichen nur Vektorräumen studiert. Zuerst schlagen wir einen neuen Ansatz zur Konstruktion von APN Funktionen unter Verwendung von Koordinatenfunktionen vor. Wir zeigen, dass “bent” Funktionen die besten Kandidaten für Koordinatenfunktionen von APN Funktionen sind. Wir untersuchen eine Variation der Maiorana-McFarland und der “partial spread” Klasse von Booleschen Funktionen. Wir zeigen, dass diese auch gute Kandidaten für Koordinatenfunktionen sind, insbesondere sind sie bessere Kandidaten als sogenannt plateaued Funktionen, die kürzlich vorgeschlagen wurden. Dann studieren wir die Klassen von vektoriellen “bent” Funktionen, die in den bekannten quadratischen APN Funktionen aus F2 6 enthalten sind. Die vektoriellen booleschen Funktionen von Fn2 nach Fn2 können als ein Würfel der Dimension n x n x n beschrieben werden. Wir zeigen, dass dieses Konzept auf vektorielle Boolesche Funktionen von Fn2 nach Fm2 erweitert werden kann. Wir berechnen explizit verschiedene Invarianten der quadratischen APN Funktionen, die von Yu, Wang und Li [3] in F 2 7 und F 2 8 gefunden wurden. Wir präsentieren einige Ergebnisse zu Funktionen der Form F(x) = x 3 + Trn1 (x)L(x), wobei L(x) ein linearisiertes Polynom ist. Wir zeigen, dass F(x) = x 3 + Tr n 1 (x)x niemals eine APN Funktion ist, indem wir Kloosterman-Summen verwenden. Ferner schlagen wir auch einen neuen Ansatz für die Konstruktion von APN Funktionen vor, indem wir die Zerlegung von F n 2 in affine Unterräume verwenden. Wir haben mehrere Beispiele für APN Funktionen gefunden, indem wir diesen Ansatz in F 2 6 und F 2 8 verwenden. Schließlich zeigen wir die Ä quivalenz der Gölo˘glu und der Gold APN Funktionen. Wir diskutieren einen Fehler in MAGMA [4] bezüglich der Code Ä quivalenz.
description: In this dissertation, we investigate almost perfect nonlinear (APN) functions. In cryptography, particularly in block ciphers, vectorial Boolean functions are of fundamental importance. There are two main attacks on block ciphers, differential attacks [1] and linear attacks [2]. The functions which provide the best resistance against differential attacks are called APN functions. The functions which provide optimal resistance against both linear and differential attacks are called almost bent (AB) functions. All the known constructions of APN functions use finite fields. In this work, we study the construction of APN functions using vector space structure. First, we propose a new approach for the construction of APN functions by using coordinate functions. We show that bent functions are the best candidates for coordinate functions of APN functions. We study a variation of the Maiorana- McFarland and the partial spread class of Boolean functions. We show that these are also good candidates for coordinate functions, in particular, they are better candidates than plateaued functions which have been proposed recently. Then we study classes of vectorial bent functions contained in the known quadratic APN functions on F26 . Vectorial Boolean functions from Fn 2 to Fn 2 can be described in terms of a cube of dimension n n n. We show that this concept can be extended to vectorial Boolean functions from Fn 2 to Fm 2 . We explicitly compute several invariants for quadratic APN functions found by Yu, Wang and Li [3] on F27 and F28 . We present some results on functions of the form F(x) = x3 + Trn 1 (x)L(x), where L(x) is a linearized polynomial. We show that F(x) = x3 + Trn 1 (x)x is never an APN function by using Kloosterman sums. We also propose a new approach for the construction of APN functions by using the decomposition of Fn 2 in affine subspaces. Using this construction on F 2 6 and F28 , we found several examples of APN functions. Finally, we show the equivalence of the Gölo˘glu and the Gold APN functions. We discuss a MAGMA [4] error about code equivalence. iii