title: Popescu's nested approximation theorem
Creators: name: Böhm, Gregor Pascal
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diese Arbeit behandelt Popescus Satz über genestete Approximation. Dieser besagt, dass wenn ein System von algebraischen Potenzreihen in zwei Mengen von Variablen x,y eine formale Lösung y^(x), die in den x-Variablen genestet ist, es auch eine algebraische Lösung gibt, die mit der formalen Lösung bis zu einem beliebig hohen Grad übereinstimmt und ebenfalls genestet ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Artinschen Approximationssatzes, der keine genesteten Lösungen erfordert. Das erste Kapitel wird eine Wiederholung der grundlegenden Begriffe von formalen, konvergenten und algebraischen Potenzreihen sein. Darüber hinaus werden der Weierstraß'sche Vorbereitungssatz und der Weierstraß'sche Divisionssatz dieser Ringe eingeführt, die in späteren Beweisen eine zentrale Rolle spielen werden. Am Ende des Kapitels wird eine Wiederholung der Henselschen Ringe und der Kodierung von algebraischen Potenzreihen erfolgen. Da die genestete Approximation ein Verallgemeinerung der Artinschen Approximation ist, wird in Kapitel 3 der Beweis des zweiteren Satzes sowohl im algebraischen als auch im konvergenten Fall präsentiert. Dazu gibt es einige Vorbereitungen in Kapitel 2. Kapitel 3 beginnt mit einem einfachen Fall der Artinschen Approximation, um ein Verständnis dafür zu entwickeln, wie der Beweis funktioniert, gefolgt von dem allgemeinen Beweis. Eines der Hauptprobleme bei der genesteten Approximation ist, dass sie im Allgemeinen nur für den algebraischen Fall gilt. Ein Gegenbeispiel für den konvergenten Fall wird in Kapitel 5 präsentiert. Es gibt jedoch einen Spezialfall, der auf Denef und Lipshitz zurückgeht: Wenn es nur zwei Nester gibt und das erste Nest nur aus einer einzigen Variablen besteht, gilt dieser Beweis auch im konvergenten Fall. Der Beweis findet sich in Kapitel 4. Er hat den Vorteil, dem in Kapitel 3 gegebenen Beweis sehr ähnlich zu sein. Der allgemeine Beweis von Popescus Satz über genestete Approximation ist weitaus schwieriger. In Kapitel 6 wir eine Rückführung des Problems auf Popescus Satz über das Glätten von Ringhomomorphismen gezeigt, dessen Beweis in dieser Arbeit nicht gegeben wird. Kapitel 7 führt den Begriff der starken Artinschen Approximation ein und gibt einen Beweis zu einer schwächeren aber allgemeiner gültigen Version der starken Artinschen Approximation. Abschließend werden in Kapitel 8 zwei Anwendungen von Popescus Satz über genestete Approximation vorgestellt.
description: This thesis is about Popescu's nested approximation theorem. It states that if a system of algebraic power series in two sets of variables x,y has a formal solution y^(x) that is nested in the x variables, it also has an algebraic solution that agrees with the formal solution up to an arbitrarily high degree and which is also nested. It is a generalization of the Artin approximation theorem, which does not require nestedness. The first chapter will be a revision of the basic notions of formal, convergent and algebraic power series. Further, the Weierstrass preparation theorem and the Weierstrass division theorem of these rings will be introduced, as they will play central roles in some of the proofs given in the later chapters. At the end of the chapter, there will be a revision of Henselian rings and encoding of algebraic power series. As nested approximation is a generalization of Artin approximation, chapter 3 will present the proof of Artin approximation in both the algebraic and convergent case. To this end, there will be some preparation in chapter 2. Chapter 3 will start with an easy case of Artin approximation to get an idea how the proof works, followed by the general proof. One of the key problems with nested approximation is that it in general only holds in the algebraic setting. A counterexample for the convergent setting is presented in chapter 5. However, there is a special case going back to Denef and Lipshitz: If there are only two nests and the first nest only consists of a single variable, the nested approximation also holds in the convergent case. The proof will be presented in chapter 4. It has the advantage of being very similar to the proof given in chapter 3. The general proof of Popescu's nested approximation theorem is highly non-trivial. Chapter 6 will present the proof idea as a consequence of Popescu's theorem on smoothing ring homomorphisms, which will not be proven in this paper. Chapter 7 will introduce the notion of strong Artin approximation and give a proof to a weaker but more general version of Artin's strong approximation theorem. Finally, chapter 8 will give two applications of Popescu's nested approximation theorem.