Ισοδυναμίες πολυωνυμικών πινάκων και εφαρμογές στη Θεωρία Ελέγχου
Creators: name: Μπίσμπα, Αικατερίνη Αντωνίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2022
Subjects: Ισοδυναμίες Συστημάτων
Πρωτοβάθμιοι πολυωνυμικοί πίνακες
Δομή πολυωνυμικών πινάκων
Systems Equivalence
Pencil matrices
Structure of polynomial matrices

description: Η παρούσα εργασία μελετάει τη δομή των πολυωνυμικών πινάκων, τις λύσεις ομογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων και την ισοδυναμία αυτών. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στους πολυωνυμικούς και ρητούς πίνακες και αναλύεται η αλγεβρική δομή τους στο ℂ και στο s=∞. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στη μελέτη των ιδιόμορφων πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων. Το δεύτερο κεφάλαιο εξετάζει τα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά και τη δομή των πολυωνυμικών πινάκων σε σχέση με τις λύσεις των γραμμικών ιδιόμορφων ομογενών διαφορικών εξισώσεων. Ειδικότερα, μελετώνται οι λύσεις της μηδενικής δομής των πολυωνυμικών πινάκων στο ℂ, στο s=∞ και στο {ℂ U ∞} καθώς και η δεξιά και αριστερή μηδενική δομή των πολυωνυμικών πινάκων. Ακόμη, παρουσιάζονται οι λύσεις των συστημάτων μη τετράγωνων ιδιόμορφων πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων. Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύεται τις σχέσεις ισοδυναμίας πολυωνυμικών πινάκων καθώς και ισοδυναμίες συστημάτων. Αναλυτικότερα, γίνεται μια σύντομη περιγραφή των συστημάτων πολυωνυμικών πινάκων και ορίζονται οι έννοιες των ισοδυναμιών μεταξύ αυτών. Αυτές αφορούν την ομοιότητα, την αντιστρέψιμη, την αυστηρή, την πλήρη και την τέλεια ισοδυναμία τόσο για πολυωνυμικούς πίνακες όσο και για συστήματα. Λόγω της σημασίας της ισοδυναμίας συστημάτων στη θεωρία συστημάτων, εξετάζονται οι προϋποθέσεις ώστε οι ισοδυναμίες υπό τη μορφή απεικονίσεων να είναι ισομορφισμοί. Τέλος, παρουσιάζεται μια γενίκευση της ισοδυναμίας του Wolovich
description: This work studies the structure of polynomial matrices, the solutions of homogeneous systems of differential equations and their equivalence. More specifically, in the first chapter, we introduce polynomial and rational matrices and analyze their algebraic structure in ℂ and s=∞. We focus on studying singular polynomial matrices of degree 1 (Matrix Pencils). The second chapter discusses the invariant characteristics and the structure of polynomial matrices concerning the solutions of linear, singular, homogeneous differential equations. More specifically, we look into the zero structure solutions of polynomial matrices in ℂ, in s=∞ and {ℂ U ∞} as well as the right and left zero structure of polynomial matrices. Additionally, we present the solutions of systems of rectangular singular pencil matrices. The third chapter discusses the equivalence relationships of polynomial matrices and systems equivalence. More specifically, we provide a brief description of polynomial matrices systems and we define the concepts of equivalence among them. The equivalence relations are about similarity, unimodular, strict, full and complete equivalence for both polynomial matrices and systems. Due to the significance of equivalence in system theory, we study the requirements for the mappings of the equivalences to be isomorphisms. Finally, we present a generalization of Wolovich equivalence