title: Existence Theorems, Stationarity Conditions and Adaptive Numerical Methods for Generalized Nash Equilibrium Problems Constrained by Partial Differential Equations
Creators: name: Stengl, Steven-Marian
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin
Year: 2024
Subjects: subject: Verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme
subject: Optimierung mit PDE Nebenbedingungen
subject: Gleichgewichtsprobleme
subject: Γ-Konvergenz
subject: Vektorwertige Konvexität
subject: Adaptive Finite Elemente
subject: Generalized Nash Equilibrium Problems
subject: Optimization with PDE Constraints
subject: Equilibrium Problems
subject: Γ-Convergence
subject: Vector-Valued Convexity
subject: Adaptive Finite Elements
subject: 510 Mathematik
subject: SK 880

description: Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verallg. Nash-Gleichgewichtsproblemen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen mit (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von der Existenzfrage von Nash-Gleichgewichten werden Bedingungen an Optimalsteuerungsprobleme mit nichtlinearen Lösungsoperatoren hergeleitet, welche die Konvexität des reduzierten Problems garantieren. Dazu nutzen wir die verallg. Konvexität von vektorwertigen Operatoren. Da keine expl. Darstellung des Lösungsoperators bekannt ist, werden hinreichende Bedingungen an die Operatorgleichung formuliert. Zusammen mit Anforderungen an das Zielfunktional wird so die Konvexität des reduzierten Problems garantiert. Das erlaubt auch Stationaritätssysteme im nichtglatten Fall herzuleiten. Eine zusätzliche Bedingung an die Lösung der Operatorgleichung koppelt die Strategien der Spieler. Das markiert den Übergang zu verallgemeinerten Nash-Spielen. Um diese Probleme anzugehen, wenden wir eine Penalty-Technik an. Damit wird die beschriebene Abhängigkeit vermieden und zum Zielfunktional transportiert. Damit wird eine Folge von Ersatzproblemen formuliert, deren Grenze das ursprüngliche Problem ist. Für die mathematische Beschreibung entwickeln wir eine erweiterte Γ-Konvergenz für Gleichgewichtsprobleme. Das Verhalten der Lagrange-Multiplikatoren im Stationaritätssystem wird unter Verwendung einer Pfadverfolgungstechnik analysiert und eine numerisch nutzbare Updatestrategie wird hergeleitet. Für ein praktisch anwendbares Lösungsverfahren ist eine Diskretisierung notwendig. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode. Die Herleitung der A-priori-Konvergenz basierend auf der zuvor verallgemeinerten Γ-Konvergenz wird für Gleichgewichtsprobleme mit gleichzeitiger Regularisierung etabliert. Im Blick auf durch Hindernisbedingungen erzeugte Kontaktmengen wenden wir uns auch adaptiven Finite-Elemente-Methoden zu. Unsere theoretischen Ergebnisse werden durch mehrere akademische Anwendungen illustriert.
description: The present work deals with generalized Nash equilibrium problems related to optimal control problems on (nonlinear) partial differential equations. Starting from the question of the existence of Nash equilibria, conditions for optimal control problems with nonlinear solution operators are derived that guarantee the convexity of the reduced problem. To do so, we discuss generalized convexity of vector-valued operators. As no explicit representation of the solution operator is known, conditions on the operator equation that imply this property are formulated. In combination with requirements for the objective functional, the convexity of the reduced problem can be guaranteed. This approach also allows us to derive stationarity systems even in the nonsmooth case. The presence of a condition on the solution of the operator equation couples the players' strategies. This marks the transition to generalized Nash games. To address these problems, we apply a penalty technique. Hence, the described dependency is avoided and transported to the objective. As the penalty functional is scaled with a parameter, a sequence of surrogate problems, whose limit is the original problem, is formulated. For its mathematical description, we introduce an extended Γ-convergence for equilibrium problems. The behavior of the Lagrangian multipliers in the stationarity system is analyzed using a path-following technique, and a numerically usable update strategy is derived. A discretization is necessary for a practically applicable solution method. For this, we use a finite element method. The derivation of the a priori convergence based on the previously generalized Γ-convergence is established for equilibrium problems with simultaneous regularization. With regard to the presence of contact sets induced by obstacle conditions, we also turn to adaptive finite element methods. Our theoretical results are illustrated by several academic applications.