title: Mutual information in interacting spin systems
Creators: name: Wilms, Johannes
Publisher: name: :none
Year: 2012

description: Diese Dissertation kombiniert Ideen aus den Bereichen Quanteninformation und Festkörperphysik. Diese Verbindung hat sich bereits als außerordentlich erfolgreich erwiesen: Es hat sich gezeigt, dass anstelle des gesamten, exponentiell großen, Hilbertraums nur ein kleiner Teil der Zustände tatsächlich physikalisch relevant ist. Durch Einsichten in die Verschränkungseigenschaften von Zuständen hat Quanteninformation hier wesentlich zu unserem Verständnis beigetragen. In Anlehnung an solche Ideen wird in dieser Arbeit die Verwendung von mutual information (auch: Transinformation, gegenseitige Information, oder Synentropie) zur Beschreibung von Korrelationen in Festkörpersystemen motiviert und beschrieben. Dazu werden ferromagnetisch wechselwirkende Spinsysteme betrachtet. Im Bereich der Quanteninformation werden häufig die Grundzustände solcher Systeme diskutiert; in dieser Arbeit werden dagegen thermische Zustände bei endlicher Temperatur erörtert werden. Mittels mutual information, die dabei als Verallgemeinerung von entanglement entropy (Verschränkungsentropie) für den Fall gemischter Zustände gesehen werden kann, können wir dann die verschiedenen Phasen dieser Modelle untersuchen, und insbesondere die Phasenüber-gänge zwischen ihnen. Wir werden im Wesentlichen zwei Klassen von Modellen betrachten: zum einen klassische Spins auf zweidimensionalen Gittern [Wilms11], und zum anderen vollständig verbundene Modelle quantenmechanischer Spin-1/2-Teilchen [wilms2012finite]. In beiden Fällen zeigt die mutual information charakteristisches Verhalten am Phasenübergang und innerhalb der geordneten beziehungsweise ungeordneten Phasen. Insbesondere finden wir für klassische Spins auf einem Gitter mittels numerischer Me-thoden eine Divergenz der ersten Ableitung der mutual information am kritischen Punkt, verbunden mit einem Maximum innerhalb der paramagnetischen Phase. Wir motivieren die Existenz dieses Maximums durch Betrachtungen von Fortuin-Kasteleyn-Clustern von parallel ausgerichteten Spins. Für die vollständig verbundenen Modelle zeigt sich ein anderes Verhalten: Die mutual information divergiert logarithmisch am Phasenübergang, sofern dieser ein Übergang zweiter Ordnung ist; für einen Übergang erster Ordnung gibt es keine Divergenz. Analytische Rechnungen im klassischen Grenzfall unterstützen hierbei die numerischen Ergebnisse. Das gefundene Verhalten ist konsistent mit bestehenden Resultaten, die bereits in anderen Arbeiten für die entanglement entropy des Grundzustandes gefunden wurden.
description: This thesis combines ideas from the fields of quantum information and condensed matter. This combination has already proven extraordinarily successful: While one would naively assume that in condensed matter theory one would always have to work with an exponentially large Hilbert space, we are now beginning to understand that only a small part of these states is physically relevant. This understanding is primarily driven by insights about entanglement properties of the states actually occurring in nature; those insights have been delivered exactly by the application of quantum information theory. In the spirit of these ideas, this thesis applies a quantity that is defined and justified by information theory -- mutual information -- to models of condensed matter systems. More precisely, we will study models which are made up out of ferromagnetically interacting spins. Quantum information theory often focuses on the ground state of such systems; we will however be interested in what happens at finite temperature. Using mutual information, which can be seen as a generalization of entanglement entropy to the finite-temperature case, we can study the different phases occurring in these models, and in particular the phase transitions between those. We examine broadly two different classes of models: classical spins on two-dimensional lattices [Wilms11], and fully-connected models of quantum-mechanical spin-1/2 particles [wilms2012finite]. We find that in both cases the mutual information is able to characterize the different phases, ordered and unordered, and shows clear features at the phase transition between those. In particular, in the case of classical spins on a lattice, we numerically find a divergence of the first derivative of the mutual information at the critical point, accompanied by a maximum within the high-temperature phase. We justify the location of the maximum by studying the behaviour of Fortuin-Kasteleyn clusters of aligned spins. For fully-connected spins, we find a rather different behaviour: a mutual information that logarithmically diverges at the phase transition, as long as it is of second order; for a first-order phase transition there is no divergence at all. Analytical calculations in the classical limit support the numerical evidence. The behaviour is consistent with what one would have predicted from existing studies of entanglement entropy at the zero-temperature phase transition in these models.