title: Analysis on the Oshima compactification of a Riemannian symmetric space of non-compact type
title: Analysis auf der Oshima-Kompaktifizierung eines nicht kompakten Riemannschen symmetrischen Raumes
Creators: name: Aprameyan Parthasarathy
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2013
Subjects: Mathematik
Regularized trace
Scattering theory
Regularisierte Spur
Starke-Elliptische Oparatoren
Strongly elliptic operators
Streutheorie
Oshima compactification
Symmetric spaces
Oshima-Kompaktifizierung
Symmetrische Räume

description: Sei X = G/K ein Riemannscher
      symmetrischer Raum vom nicht-kompakten Typ, wobei G eine
      zusammenhängende, reelle, halb-einfache Lie-Gruppe und K eine
      maximal kompakte Untergruppe von G ist. Es bezeichne
      desweiteren X' die Oshima- Kompaktifizierung von X und
      (π,C(X')) die reguläre Darstellung von G auf X'. In dieser
      Arbeit untersuchen wir Konvolutionsoperatoren der Form π(f)
      für schnell- fallende Funktionen f auf G und charakterisieren
      diese Operatoren innerhalb der Theorie der
      total-charakteristischen Pseudodifferential-Operatoren.
      Dadurch sind wir in der Lage, die Singularitäten ihrer
      Schwartz-Kerne zu beschreiben. Insbesondere erhalten wir
      Asymptotiken für die Wärme- und Resolventenkerne von stark
      elliptischen Operatoren auf X'. Ausgehend von der
      Beschreibung der Schwartz-Kerne definieren wir desweiteren
      eine regularisierte Spur für die Operatoren π(f) und er-
      halten eine Distribution auf G. Wir zeigen dann ein
      Regularitätsergebnis für diese Distribution und beweisen eine
      Fixpunkt-Formel für dieselbe, welche analog zur
      Atiyah-Bott-Fixpunktformel für parabolisch induzierte
      Darstellungen ist. Schliesslich führen wir einige erste
      Ergebnisse an, welche die Möglichkeit der Entwicklung einer
      Streutheorie auf symmetrischen Räumen suggerieren und weisen
      im Lichte der in dieser Arbeit erzielten Ergebnisse mögliche
      Forschungsrichtungen auf, längs derer dies erzielt werden
      könnte.
description: Consider a Riemannian symmetric
      space space X = G/K of non-compact type, where G is a
      connected, real, semi-simple Lie group, and K a maximal
      compact subgroup of G. Let X' be its Oshima compactification,
      and (π,C(X')) the regular representation of G on X'. In this
      thesis, we examine the convolution operators π(f), for
      rapidly decaying functions f on G, and characterize them
      within the framework of totally characteristic
      pseudo-differential operators, describing the singular nature
      of their Schwartz kernels. In particular, we obtain
      asymptotics for the heat and resolvent kernels associated to
      strongly elliptic operators on X'. Based on the de- scription
      of the Schwartz kernels we define a regularized trace for the
      operators π(f), yielding a distribution on G. We then show a
      regularity result for this distribution, and in fact prove a
      fixed-point formula for it, analogous to the Atiyah-Bott
      fixed-point formula for parabolically induced
      representations. Finally, we make some preliminary
      computations that suggest a possible development of
      scattering theory on symmetric spaces, and in the light of
      results earlier in the thesis, indicate some lines along
      which this could be done.