title: Lokalisierte Fixpunkte beim Turbulenzübergang in der ebenen Poiseuille-Strömung und dem asymptotischen Ansaugprofil über einer geheizten Platte
title: Localized states in the transition to turbulence in plane Poiseuille flow and thermal boundary layers
title: Localized states in the transition to turbulence in plane Poiseuille flow and thermal boundary layers
Creators: name: Zammert, Stefan
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2016
Subjects: Instabilität
Strukturbildung
Grenzschicht
subcritical transition
Musterbildung
channel flow
chaos
Physics
Physik
localized states
Turbulenz , Kanalströmung
Tubulence transition
Strömungsmechanik , Chaos

description: Die vorliegende Arbeit befasst
      sich mit der numerischen Untersuchung des Turbulenzübergangs
      und auftretender lokalisierter Strukturen in der ebenen
      Poiseuille-Strömung und dem asymptotischen Ansaugprofil über
      einer geheizten Platte. Die laminaren Profile beider
      Strömungen zeigen eine lineare Instabilität und im
      sogenannten subkritischen Bereich, wo das laminare Profil
      stabil ist, kann man jeweils überdauernde, aber dennoch
      transiente Turbulenz beobachten. In beiden Strömungen können
      eine Vielzahl von exakten Lösungen der
      Navier-Stokes-Gleichungen mit speziellen numerischen
      Verfahren aufgespürt werden. Eine genauere Analyse zeigt,
      dass in beiden Systemen der Ursprung der subkritischen
      Turbulenz auf eine Bifurkationskaskade zurückgeführt werden
      kann, welche ihren Ausgangspunkt in einer solchen exakten
      Lösung hat. Die Bifurkationskaskade erzeugt einen chaotischen
      Attraktor, der durch eine äußere Krisenbifurkation (Boundary
      crisis bifuration) in einen chaotischen Sattel mit
      exponentiell verteilten Lebenszeiten umgewandelt wird. Eine
      zweite Art von Krisenbifurkationen, sogenannte innere
      Krisenbifurkationen (Interior crisis bifurcation), tragen zur
      Vergrößerung des Attraktors bei und werden für die ebene
      Poiseuille-Strömung genauer untersucht. Während der
      Ausgangszustand für die Bifukationskaskade im Falle des
      asymptotischen Ansaugprofils über einer geheizten Platte mit
      der Instabilität des laminaren Profils verbunden ist, haben
      die relevanten Zustände in der ebenen Poiseuille-Strömung
      keine Verbindung zum laminaren Zustand. Dies führt zu zwei
      koexistierenden Übergangsmechanismen zur Turbulenz. Die
      beiden Mechanismen sind der Bypass-Übergang und der
      Tollmien-Schlichting-Übergang. Die Phasenraumstruktur, die
      der Koexistenz dieser beiden Übergangsmechanismen zugrunde
      liegt, wird in dieser Arbeit untersucht. Zweidimensionale
      Projektionen, die exakte Lösungen nutzen, zeigen, dass es
      unterhalb der kritischen Reynoldszahl drei verschiedene
      Bereiche im Zustandsraum gibt. In einem dieser Bereiche liegt
      Bypass-Übergang vor, im zweiten beobachtet man ein rasches
      Zulaufen auf den laminaren Zustand und im dritten Bereich,
      welcher sehr klein ist und mit steigender Reynoldszahl
      wächst, kommt es zu einem Tollmien-Schlichting-Übergang. Die
      drei Bereiche liegen im Phasenraum teilweise sehr dicht
      beieinander und unterscheiden sich deutlich in der Zeit, die
      eine darin befindliche Anfangsbedingung benötigt um einen
      turbulenten Zustand zu erreichen. Oberhalb der kritischen
      Reynoldszahl gibt es nur noch die Bereiche mit Bypass- und
      Tollmien-Schlichting-Übergang, welche durch die stabile
      Mannigfaltigkeit einer besonderen exakten Lösung des Systems,
      des Bypass-Edgestates, getrennt werden. In beiden Strömungen
      existieren verschiedene räumlich lokalisierte exakte
      Lösungen. In der ebenen Poiseuille Strömung können durch
      Analyse der Instabilitäten räumlich ausgedehnter
      Tollmien-Schlichting-Wellen, periodische Bahnen gefunden
      werden, welche aus in Strömungsrichtung lokalisierten Paketen
      von Tollmien-Schlichting-Wellen bestehen. Des Weiteren kann
      eine in Strömungsrichtung lokalisierte, dreidimensionale,
      relativ periodische Bahn mittels der sogenannten
      Edge-Tracking Technik, die es erlaubt Trajektorien auf der
      Grenze zwischen laminarem und turbulentem Attraktionsgebiet
      zu verfolgen, gefunden werden. Die räumliche Länge dieser
      periodischen Bahn wächst annähernd linear mit der
      Reynoldszahl. Die Ergebnisse zeigen, dass die lokalisierte
      periodische Bahn bei hohen Reynoldszahlen in einer
      subkritischen, langwelligen Bifurkation einer räumlich
      ausgedehnten laufenden Welle erzeugt wird. Durch eine
      Verfolgung dieser Bahn in der Breite der simulierten
      numerischen Domäne kann eine relativ periodische Bahn
      identifiziert werden, die in beide Richtungen parallel zu den
      Platten lokalisiert ist. Die in Strömungsrichtung
      lokalisierten Zustände zeigen einen Abfall der
      Geschwindigkeitskomponenten, der über eine größere Distanz
      gut mit einem exponentiellen Abfall übereinstimmt. Die
      Erkenntnisse durch die doppelt-lokalisierte periodische Bahn
      und die Simulationen turbulenter Flecken, zeigen jedoch, dass
      in der ebenen Poiseuille-Strömung im großen Abstand um eine
      lokalisierte Struktur der Abfall der
      Geschwindigkeitskomponenten einem Potenzgesetz folgt. Für das
      asymptotische Ansaugprofil über einer geheizten Platte können
      verschiedene einfach- und auch doppelt-lokalisierte Fixpunkte
      gefunden werden. Einer der doppelt-lokalisierten Zustände
      wird, ähnlich wie in der ebenen Poiseuille Strömung, durch
      zwei parallel stattfindende, langwellige Bifurkationen einer
      räumlich ausgedehnten Lösung erzeugt. Studiert man die
      Instabilitäten der lokalisierten Lösungen, so stellt man
      fest, dass entlang deren instabiler Richtungen Plume-artige
      Dynamik auftritt. Plumes im studierten System können also als
      eine Bewegung entlang der instabilen Mannigfaltigkeit einer
      exakten Lösung interpretiert werden. Ausgehend von den
      exakten Lösungen ist es möglich, diese Dynamik systematisch
      zu studieren. Die Resultate zeigen, dass sich die Plumes über
      einen längeren Zeitraum mit einer konstanten Geschwindigkeit
      ausbreiten, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der
      Rayleighzahl zunimmt. Um das asymptotische Ansaugprofil über
      einer geheizten Platte und dessen exakte Lösungen zu
      studieren, wurde der Channelflow-Code (www.channelflow.org)
      erweitert. Der entwickelte Code ermöglicht außerdem die
      Simulation von Rayleigh-Bénard-, Poiseuille-Rayleigh-Bénard-
      und Couette-Rayleigh-Bénard-Strömung.
description: This dissertation numerically
      investigates the transition to turbulence and occurring
      localized structures in plane Poiseuille flow and the
      asymptotic suction boundary layer over a heated plate.
      Calculations show that the laminar profiles of both flows are
      linearly unstable. Nevertheless, in both cases long-living,
      but transient turbulence can be observed in the subcritical
      range. In the two systems a multitude of exact solutions of
      the Navier-Stokes equations is identified using specially
      tailored numerical methods. A detailed analysis shows that
      for both systems the origin of subcritical turbulence can be
      traced back to a bifurcation cascade that starts at one of
      those exact solutions. The bifurcation cascade creates a
      chaotic attractor which is transformed into a chaotic saddle
      by a so-called boundary crisis bifurcation. This chaotic
      saddle shows exponentially distributed lifetimes. A second
      type of crisis bifurcations, so-called interior crisis
      bifurcations, which are studied in detail for plane
      Poiseuille flow, contributes to an increase of the attractor
      and its temporal complexity. For the asymptotic suction
      boundary layer over a heated plate, the exact solution that
      is the starting point for the bifurcation cascade is directly
      connected to the instability of the laminar state. For plane
      Poiseuille flow there is no such connection causing the
      coexistence of two transition mechanisms to turbulence. These
      are the bypass transition and the Tollmien-Schlichting
      transition. The state space structure underlying the
      coexistence of the two transition scenarios is explored by
      two-dimensional projections of the state space that use exact
      solutions. The slices show that below the critical Reynolds
      number the state space consists of three parts. In one of
      these parts, bypass transition is located and in a second one
      a immediate return to the laminar states can be observed. In
      the third part, which is quite small and grows with
      increasing Reynolds number, initial conditions undergo
      Tollmien-Schichting transition to turbulence. In the state
      space, all three regions lie close to each other and can be
      distinguished by the time needed to reach the turbulent
      state. Above the critical Reynolds number, only the regions
      containing bypass and Tollmine-Schlichting transition can be
      found. There, both regions are separated by the stable
      manifold of a special exact solution of the system, the
      bypass edge state. In both studied systems, various spatially
      localized exact solutions exist. For plane Poiseuille flow,
      the instabilities of the spatially extended
      Tollmien-Schlichting wave are analyzed. This allows to
      identify periodic orbits that consist of streamwise localized
      packages of Tollmien-Schlichting waves. Furthermore, by using
      the technique of edge-tracking, which allows to follow
      trajectories on the boundary between the laminar and the
      transient turbulent part of the state space, a streamwise
      localized three-dimensional periodic orbit can be found. The
      streamwise length of this periodic orbit grows approximately
      linear with the Reynolds number. The result show further that
      the orbit is created at high Reynolds number in an
      subcritical long-wavelength instability of a streamwise
      extended traveling wave. By tacking the orbit to wider
      computational domains, a relative periodic orbit that is
      localized in both direction parallel to the plates can be
      found. The streamwise localized state shows a decay of the
      velocity components that over a wider range is in a good
      agreement with an exponential decay. However, the results
      from the doubly-localized states, as well as simulations of
      turbulent spots, show that for large distances the decay of
      the velocity components follows a power law. For the
      asymptotic suction boundary layer over a heated plate, it is
      also possible to identify different exact solutions that are
      localized in one or two directions parallel to the plate. For
      one of the doubly-localized states it is shown that it is
      created in two simultaneous long-wavelength instabilities of
      a spatially extended equilibrium solution. By studying the
      instabilities of these localized exact solutions one
      recognizes that plume-like dynamics appear along their
      unstable directions. Thus, plume motion in this flow can be
      interpreted as moving along the unstable direction of an
      exact solution. A systematic analysis of the plume shows that
      for a long time its tip moves with a constant speed that
      increases with the Rayleigh number. To study the asymptotic
      suction boundary layer over a heated plate numerically, the
      Channelflow-code (www.channelflow.org) was enhanced. In
      addition to the parallel thermal boundary layer, the
      developed code allows to simulate Rayleigh-Bénard-,
      Poiseuille-Rayleigh-Bénard- and Couette-Rayleigh-Bénard
      flow.