Analytisch-numerische Magnetfeldberechnung im Luftspalt elektrischer Käfigläufer-Asynchronmaschinen
Creators: name: Stiller, Matthias
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2023
Subjects: Elektrische Maschinen
Käfigläufer-Asynchronmaschinen
analytische Feldtheorie
Luftspaltmessung

description: Elektrische Käfigläufer-Asynchronmaschinen zählen zu den robustesten Maschinenarten und bilden einen Großteil der Traktionsantriebe. Ihre Funktionsweise basiert auf dynamisch induzierten Rotorströmen und geht mit dem charakteristischen Schlupf einher. Asynchronmaschinen unterliegen deshalb einer Vielzahl verschiedenfrequenter Wellen, die Betriebs- und insbesondere Verlustverhalten prägen. Moderne Effizienzanforderungen setzen eine Berücksichtigung dieser Effekte bereits im Designprozess voraus. Die Berechnung und Auslegung elektrischer Maschinen stützt sich heutzutage meist auf die Verwendung der Finite-Elemente-Methode. Als numerische Berechnungsmethode basiert sie auf der Unterteilung eines elektromagnetischen Problems in viele diskrete, korrelierende Gebiete. Genauigkeit, aber auch Rechenzeitbedarf skalieren mit der Anzahl an Gebieten. Zwar können so auch im Hinblick auf das Schwingungsverhalten elektrischer und magnetischer Größen hochgenaue Lösungen ermittelt werden, allerdings ist eine Schlussfolgerung über Ursache und Kreuzwirkung verschiedener Wellen nicht möglich. Zudem stellen sich meist inakzeptabel hohe Rechenzeiten ein. Als vielversprechende Alternative bietet sich die Verwendung der Feldtheorie (auch Oberwellentheorie, Spulenmodell) an. Als analytische Methode unterliegt sie jedoch diversen Vereinfachungen und Einschränkungen im Hinblick auf geometrische Komplexität und nichtlineares Materialverhalten. Das übergeordnete Ziel der vorliegenden Arbeit ist die akkurate und schnelle Berechnung von magnetischen Feldverläufen innerhalb der Maschine. Im ersten Schritt wird die Grundform der Feldtheorie ausführlich mathematisch hergeleitet. Es ergibt sich ein Formelsatz zur Berechnung von Selbst- und Koppelinduktivitäten von Stator und Rotor. Diese können unter Zunahme von ohmschen Elementen und den parasitären Effekten von Streuung und Stromverdrängung in einem Gleichungssystem zusammengeführt werden. Das Gleichungssystem besteht aus je einer Gleichung für jede vorhandene Schwingung in Stator und Rotor und ermöglicht eine ganzheitliche Berechnung des elektrischen Verhaltens der Maschine. Ausgehend von den ermittelten Stromflüssen in beiden Maschinenteilen, können Rückschlüsse auf das magnetische Feld im Luftspalt der Maschine gezogen werden. Zur Verifikation der Simulation wird mittels flexiblen Leiterplatten eine Magnetfeldmessung im Luftspalt der Maschine konzipiert. Ein Vergleich zeigt, dass insbesondere zwei Grundvoraussetzungen der Feldtheorie für Abweichungen zwischen Simulation und Messung verantwortlich sind. Zum einen geht die Feldtheorie von einem glatten Luftspalt aus und vernachlässigt dabei den verzerrenden Einfluss von Nuten auf den Feldverlauf. Zum anderen nimmt die Feldtheorie vereinfachend an, dass Eisengebiete perfekte magnetische Leiter darstellen. Dabei vernachlässigt die Feldtheorie das nichtlineare Sättigungsverhalten von ferromagnetischen Stoffen. Als erste Erweiterung wird die Feldtheorie so verändert, dass anstelle eines glatten Luftspalts mit konstanter Länge eine ortsaufgelöste Funktion in Form einer Fourierreihe zur Nachbildung der Nutung angesetzt werden kann. Der Luftspalt erfährt eine lokale Aufweitung. Zur Abbildung der effektiven Luftspaltlänge werden verschiedene Funktionsverläufe gegenübergestellt. Ein erneuter Vergleich zwischen Simulation und Messung führt für Betriebspunkte abseits von Sättigung auf eine gravierende Verbesserung der Übereinstimmung. Als zweite Erweiterung wird das nichtlineare Verhalten ferromagnetischer Materialien in die Feldtheorie eingebracht. Da eine Sättigung als Verringerung magnetischer Leitwerte gedeutet werden kann, wird diese als fiktive Aufweitung auf den Luftspalt abgebildet. Auch hier wird eine ortsaufgelöste Funktion in Form einer Fourierreihe angesetzt, um einen variierenden Sättigungszustand entlang des Umfangs der Maschine vorsehen zu können. Die Berechnungsvorschriften der Induktivitäten verändern sich aufgrund der neu eingebrachten Luftspaltabhängigkeit maßgeblich. Die analytische Herleitung erlaubt zudem die Identifikation sättigungsbedingter Schwingungen, die zuvor in den Messungen beobachtet werden konnten. Die Komplexität der Funktion wird durch die maximale Ordnung der Fourierreihe beschränkt. Die Wahl der Ordnung beeinflusst aufgrund der hinzukommenden Schwingungen zudem die Größe des Spannungsgleichungssystems und damit den Rechenzeitaufwand. Für die Parametrierung der Sättigungsfunktion wird ein iterativer Algorithmus anhand der Magnetisierungskennlinie des Materials eingeführt. Es erfolgt ein Vergleich zweier Funktionsverläufe verschiedener Ordnung. Die Simulation erfolgt für einen Betriebspunkt in Abhängigkeit der gewählten Komplexität binnen weniger Sekunden. Ein abschließender Vergleich zwischen Simulation und Messung zeigt, dass durch den Einsatz einer solchen Funktion auch von Sättigung betroffene Betriebspunkte akkurat abgebildet werden können. Für Betriebspunkte mit höchstem Sättigungsgrad bringt eine komplexere Funktion mit höherer Ordnung eine zusätzliche Verbesserung.
description: Electrical squirrel cage induction machines count towards the most robust machine types and form a majority of traction drives. Their operating principle is based on dynamically induced rotor currents and comes along with the characteristic slip. Therefore, induction machines are subject to a multitude of waves that shape operating and especially loss behavior. Modern requirements concerning efficiency premise a consideration of mentioned effects already during the design process. The calculation of electrical machines nowadays is mainly based on the usage of the finite element method. As a numerical calculation method it relies on the segmentation of an electromagnetic problem into multiple discrete and correlating domains. Both accuracy and demand on computation time scale with the number of domains. The oscillation behavior can indeed be calculated with high precision, although the finite element method lacks the possibility to comprehend cause and relation of occurring waves. Beyond that, the computation time usually comes out unacceptably high. A promising alternative is the field theory (also called winding function approach, multiple coupled circuit model). However, as analytical method it is subject to certain simplifications and constraints with regard to geometrical complexity and nonlinear material behavior. The superordinate goal of this work is an accurate and quick calculation of magnetic fields inside the electrical machine. The first step deals with the extensive mathematical derivation of the fundamental model of the field theory. It yields a set of equations for the calculation of self and mutual inductances of stator and rotor. Together with the consideration of ohmic elements and the parasitic effects of leakage and current displacement an equation system can be set up. It consists of one equation for each occurring oscillation in stator and rotor and allows for a holistic calculation of the machines electrical behavior. Proceeding from the calculated currents in both machine parts, the magnetic field inside the machine air gap can be determined. A verification of the simulation is conducted using flexible printed circuit boards for measuring the magnetic field inside the machine air gap. A comparison shows, that particularly two of the field theory's prerequisites are responsible for the deviation between simulation and measurement. On the one hand, the field theory assumes a smooth air gap and neglects the distorting influence of slotting on the magnetic field. On the other hand, the field theory oversimplifies the iron domains as perfect magnetic conductors. In doing so, it disregards the nonlinear behavior of ferromagnetic materials. As first extension, the field theory is altered in a way, that allows for the use of a spatially resolved Fourier series function considering slotting instead of a constant air gap length. The air gap is locally widened. Different functions imitating the effective air gap length are compared. Another comparison between simulation and measurement yields a significant improvement of the match for unsaturated operating points. A second extension introduces the nonlinear material behavior to the field theory. As the saturation can be interpreted as a reduction of the magnetic conductance, it is projected onto the air gap as a fictional widening. Again, a spatially resolved Fourier series function is applied, to allow for a varying saturation state along the machines circumference. The equations for the calculation of the inductances change severely because of the new air gap dependence. Moreover, the analytical derivation enables the identification of saturation waves that could be observed throughout the measurement before. The complexity of the function is limited with the maximum order of the Fourier series. In addition to that, the choice of the order affects the size of the equation system and therefore also the necessary computation time. For its parameterization, an iterative algorithm is introduced using the magnetization characteristic of the material. Two functions of different maximum order are compared. The simulation provides a solution for the calculation of a single operating point within a few seconds depending on the chosen complexity. A final comparison between simulation and measurement shows, that by the usage of such saturation functions also saturated operating points can be calculated with high accuracy. For operating points that are subject to strong saturation, the usage of a more complex function with higher order can bring additional improvements.