title: Fundamental Concepts of Mathematics
title: Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών
Creators: name: Varsos, Dimitrios
Publisher: name: Kallipos, Open Academic Editions
Year: 2023
Subjects: Σύνολα
Σχέσεις συνόλων
Σχέσεις διάταξης
Σχέσεις ισοδυναμίας
Απεικονίσεις
Πράξεις σε σύνολα
Προτασιακός λογισμός
Έννοια της απόδειξης
Μαθηματική επαγωγή
Ακέραιοι
Ρητοί αριθμοί
Πραγματικοί αριθμοί
Μιγαδικοί αριθμοί
Αριθμήσιμα-υπεραριθμήσιμα σύνολα
Πληράριθμοι
Πολυώνυμα
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Λογαριθμικέ-εκθετικές συναρτήσεις
Sets
Functions
Binary operations
Relations
Partial orders
Equivalence relations
Natural numbers
Integers
Rational numbers
Real numbers
Complex numbers
Ordinals
Cardinals
Statements
Truth tables
Mathematical induction
Polynomials
Trigonometric functions

description: The 'transition' from High School to University presents difficulties. A systematic approach has been attempted for several years by all Mathematics Departments by introducing a course entitled (or similar) "Foundations of Mathematics". Here elements from the concepts of set, function, propositional calculus, and basic elements from Integers, Real and Complex numbers are taught. Nevertheless, as far as I know, no systematic effort has been made to write books with similar content. Books written solely to support these courses are few and far between. The purpose of the submitted proposal is to contribute in this direction and for the book's subject matter to cover the thematically the above-mentioned Mathematical concepts. The material's structure has been designed to provide the possibility of teaching it to students who come into contact with these concepts for the first time and to introduce them to the way of thinking and rigorous expression. An attempt has been made to strike a balance between as many concepts as are necessary and feasible to teach in one semester. Specifically, the topic of the proposed document will cover the following: Sets, properties of sets, relations between sets. Order and equivalence relations. Illustrations. Act on a whole. Properties of actions. Definitions of the various Algebraic Structures. Propositional calculus, truth tables. The concept of proof. Types of proofs, Mathematical Induction. Integers, rational numbers. Properties. Real and complex numbers. Absolute value, sequences, polynomial, trigonometric, exponential functions. Polynomials with integer, rational, or real number coefficients. Geometric and trigonometric representation of complex numbers. The foundation of natural numbers according to Peano. The concept of plural, countable and super countable sets.
description: Η ‘μετάβαση’ από το Λύκειο στο Πανεπιστήμιο παρουσιάζει δυσκολίες. Μια συστηματική αντιμετώπιση έχει επιχειρηθεί εδώ και αρκετά χρόνια από όλα τα Τμήματα Μαθηματικών εισάγοντας ένα μάθημα με τίτλο (ή παρεμφερή) «Θεμέλια των Μαθηματικών». Εδώ διδάσκονται στοιχεία από τις έννοιες του συνόλου, της συνάρτησης, του προτασιακού λογισμού καθώς και βασικά στοιχεία από τους Ακεραίους, τους Πραγματικούς και Μιγαδικούς αριθμούς. Παρ’ όλα ταύτα, απ’ ότι γνωρίζω, δεν έχει γίνει συστηματική προσπάθεια για συγγραφή βιβλίων με ανάλογο περιεχόμενο. Τα βιβλία που έχουν γραφεί αποκλειστικά για την υποστήριξη αυτών των μαθημάτων είναι ελάχιστα. Η πρόταση που κατατίθεται έχει ως σκοπό να συμβάλει προς αυτή την κατεύθυνση και η θεματολογία του βιβλίου να υπερκαλύπτει τις θεματικά τις ανωτέρω αναφερθείσες Μαθηματικές έννοιες. Η διάρθρωση της ύλης έχει σχεδιασθεί προκειμένου να παρέχει την δυνατότητα της διδασκαλίας του σε φοιτητές, οι οποίοι έρχονται σε επαφή με αυτές τις έννοιες για πρώτη φορά και να τους εισάγει στον τρόπο σκέψης και της αυστηρής έκφρασης. Έχει γίνει προσπάθεια να υπάρχει μια ισορροπία ανάμεσα στις τόσες έννοιες που είναι αναγκαίες και στο εφικτό της διδασκαλίας σε ένα διδακτικό εξάμηνο. Συγκεκριμένα, η θεματολογία του προτεινομένου συγγράμματος θα καλύπτει τα εξής: Σύνολα, ιδιότητες των συνόλων, σχέσεις μεταξύ συνόλων. Σχέσεις διατάξεως και ισοδυναμίας. Απεικονίσεις. Πράξη σε ένα σύνολο. Ιδιότητες των πράξεων. Ορισμοί των διαφόρων Αλγεβρικών Δομών. Προτασιακός λογισμός, πίνακες αληθείας. Η έννοια της απόδειξης. Είδη αποδείξεων, Μαθηματική Επαγωγή. Οι ακέραιοι αριθμοί, οι ρητοί αριθμοί. Ιδιότητες. Οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί. Η απόλυτος τιμή, ακολουθίες, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές συναρτήσεις. Πολυώνυμα με συντελεστές ακεραίους, ρητούς, ή πραγματικούς αριθμούς. Γεωμετρική και τριγωνομετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών. Θεμελίωση των φυσικών αριθμών κατά Peano. Η έννοια του πληθαρίθμου, αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα.