Αναλυτικές συναρτήσεις θετικού πραγματικού μέρους:
Creators: name: Τρύφωνος, Χριστιάνα Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: Συνάρτηση θετικού πραγματικού μέρους
Θεώρημα Herglotz
Ολοκληρώματα μέσων όρων
Function with positive real part
Herglotz Theorem
Integral means

description: Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη μιας συγκεκριμένης κλάσης ολόμορφων συναρτήσεων που ορίζεται στο μοναδιαίο δίσκο. Πιο συγκεκριμένα, η κλάση αυτή, την οποία συμβολίζουμε με P, περιλαμβάνει τις ολόμορφες συναρτήσεις με θετικό πραγματικό μέρος στο μοναδιαίο δίσκο που είναι κανονικοποιημένες από τη σχέση f(0)=1. Το κεντρικό θεώρημα που παραθέτουμε στην εργασία αυτή είναι το Θεώρημα Αναπαράστασης του Herglotz, το οποίο αποδείχθηκε από το Γερμανό μαθηματικό Gustav Herglotz το 1911. Το θεώρημα αυτό λέει ότι αν f είναι ολόμορφη στο μοναδιαίο δίσκο, τότε η f έχει θετικό πραγματικό μέρος αν και μόνο αν υπάρχει μια μη φθίνουσα συνάρτηση στο [0,2π] έτσι ώστε f(z)=ib0 + ∫(eit +z)/(eit –z)dμ(t) στο [0,2π], όπου b0=Im f(0). Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην εργασία αυτή. Αν H(D) είναι το σύνολο των ολόμορφων συναρτήσεων στο μοναδιαίο δίσκο , τότε ο χώρος H(D) είναι τοπολογικός χώρος με την τοπολογία της τοπικά ομοιόμορφης σύγκλισης. Επιπλέον, μελετάμε βασικές ιδιότητες της κλάσης P και συσχετίζουμε τις ολόμορφες συναρτήσεις με θετικό πραγματικό μέρος στο μοναδιαίο δίσκο με τις θετικές αρμονικές συναρτήσεις που ορίζονται στο δίσκο αυτό. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αφού παρουσιάσουμε το Θεώρημα Αναπαράστασης του Herglotz και δώσουμε μια λεπτομερής απόδειξη, θα δούμε πως ειδικεύεται το Θεώρημα αυτό για τη συγκεκριμένη κλάση. Στη συνέχεια, βλέπουμε μια παραλλαγή του Θεωρήματος Herglotz που αφορά τις ολόμορφες συναρτήσεις με θετικό πραγματικό μέρος στο μοναδιαίο δίσκο οι οποίες παίρνουν πραγματικές τιμές για πραγματικές τιμές του z. Μια ποικιλία παραδειγμάτων από συναρτήσεις της κλάσης P που προκύπτουν από το Θεώρημα Αναπαράστασης του Herglotz, δίνεται για τον αναγνώστη. Στο τρίτο κεφάλαιο, εκτιμούμε τους συντελεστές στο ανάπτυγμα του Taylor της κλάσης P, δίνουμε άνω και κάτω φράγμα για την |f(z)| καθώς και άνω φράγμα για τις παραγώγους |f(k) (z)|, για κάθε k φυσικό αριθμό. Εν συνεχεία, μέσω της Αρχής του Lindelof δίνουμε μια ισχυρή ανισοτική σχέση για τις συναρτήσεις της κλάσης P και αποδεικνύουμε ότι η κλάση αυτή είναι συμπαγής κανονική οικογένεια του χώρου H(D). Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού, βρίσκουμε ακρότατα σημεία για την κλάση P. Στο τέταρτο κεφάλαιο, μελετάμε τη σχέση της κλάσης P στη γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων και δείχνουμε την 1-1 αντιστοιχία της κλάσης αυτής με δύο γνωστές κλάσεις των 1-1 συναρτήσεων, τις starlike και κυρτές συναρτήσεις. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, έχοντας πλέον μια πιο ολοκληρωμένη ιδέα για την κλάση αυτή, εκτιμούμε τους Lp – μέσους όρους των συναρτήσεων της κλάσης P καθώς και τη μέγιστη τιμή που λαμβάνει η |f(z)| στον κύκλο |z|=r. Πιο συγκεκριμένα, αφού υπολογίσουμε τους Lp – μέσους όρους για τη συνάρτηση (1+z)/(1-z) η οποία ανήκει στην κλάση P, θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε δύο θεωρήματα του Hayman, που μας δείχνουν τη συμπεριφορά του μεγίστου και των Lp - μέσων όρων για τις συναρτήσεις της κλάσης αυτής.
description: The aim of the dissertation presented is the detailed study of a specific class of analytic functions which is defined in the unit disk. In particular, this class which is denoted by P, includes the set of all analytic functions with positive real part in the unit disk which are normalized by the condition f(0)=1. The central theorem in this work is the Herglotz Representation Theorem, which is proved by the German mathematician Gustav Herglotz in 1911. This theorem says that if f is analytic in the unit disk, then f has a positive real part if and only if there exists a non-decreasing function μ in [0,2π] such that f(z)=ib0 + ∫(eit +z)/(eit –z)dμ(t) in [0,2π], where b0=Im f(0). We begin the first chapter with the study of basic notions which are used in this work. If H(D) is the set of analytic functions in the unit disk, then H(D) becomes a topological space with the topology of local uniform convergence. In this chapter, we shall discuss elementary properties of class P and give the correspondence between the functions with positive real part in the unit disk and the positive harmonic functions in the same disk. In the second chapter, we present Herglotz Representation Theorem and give a detailed proof of it. This fundamental result leads to integral representation for class P. Furthermore, using the Herglotz Theorem, we give a general expression for f(z) that is analytic with positive real part in the unit disk and real for real values of z. A variety of examples-applications about Herglotz Theorem are given for the readers. In the third chapter, we estimate the coefficients of class P in Taylor’s expansion and find growth and distortion theorems for f in the class P. In addition, using the Lindelof Principle, we will give an inequality for this class. It is proved that the class P is a compact normal family of H(D). At last, we identify the extreme points of P. In the fourth chapter, we explore the relation of class P in geometric function theory and show the one-to-one correspondence between the class P and two of the most important subclasses of univalent functions, namely the starlike and convex functions. In the fifth and last chapter, we investigate the behavior of the maximum and means of the modulus of functions having positive real part. In particular, after estimating the Lp-means of the specific function (1+z)/(1-z) in P, we give two theorems of W. K. Hayman which describe the behavior of maximum and Lp- means of the functions that belong in P.