title: On the structure of the pro-p Iwahori-Hecke Ext-algebra
Creators: name: Bodon, Emanuele
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2022
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: In dieser Arbeit untersuchen wir zwei Probleme bezüglich der pro-p Iwahori-Hecke Ext-Algebra. Dieses von Ollivier und Schneider eingeführte Objekt ist eine graduierte Algebra, die im Zusammenhang mit glatten mod p-Darstellungen von p-adischen reduktiven Gruppen eine wichtige Rolle spielt. Das erste Hauptziel dieser Arbeit ist die Untersuchung des Zentrums der Ext-Algebra: Wir bestimmen es vollständig für die Ext-Algebra, die der Gruppe SL_2(Q_p) mit p &gt; 3 zugeordnet ist. Wir beschreiben dann den 0. und den 1. graduierten Anteil des Zentrums für allgemeinere Gruppen. Das zweite Hauptziel dieser Arbeit ist die Untersuchung endlicher Erzeugungseigenschaften für die Ext-Algebra, die der Gruppe SL_2(Q_p) mit p &gt; 3 zugeordnet ist. Unter diesen Annahmen zeigen wir, dass die Ext-Algebra endlich präsentiert ist.
description: In this work, we study two problems concerning the pro-p Iwahori-Hecke Ext-algebra. This object, introduced by Ollivier and Schneider, is a graded algebra which plays an important role in the context of smooth mod p representations of p-adic reductive groups. The first main aim of this thesis is the study of the centre of the Ext-algebra: we determine it completely for the Ext-algebra associated with the group SL_2(Q_p) with p &gt; 3. We then describe the 0th and the 1st graded piece of the centre for more general groups. The second main aim of this thesis is the study of finite generation properties for the Ext-algebra associated with the group SL_2(Q_p) with p &gt; 3. Under these assumptions, we show that the Ext-algebra is finitely presented.
description: Introduction 1 Acknowledgments 11 1 Background 13 1.1 General setting and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Some notions and facts from Bruhat-Tits theory . . . . . . . . . . . 14 1.3 The pro-p Iwahori subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 The pro-p Iwahori-Hecke algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.a Definition and Iwahori-Matsumoto presentation . . . . . . . 21 1.4.b Bernstein presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.c Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 The pro-p Iwahori-Hecke algebra for SL2 . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 The centre of the pro-p Iwahori-Hecke algebra . . . . . . . . . . . . 29 1.7 The centre of the pro-p Iwahori-Hecke algebra for SL2 . . . . . . . . 30 1.8 Some results on the cohomology of pro-p groups . . . . . . . . . . . . 32 1.9 The Ext-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.9.a Definition and description in terms of group cohomology . . . 34 1.9.b Shapiro isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.9.c Cup product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.9.d The product in the Ext-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9.e Anti-involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9.f Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.9.g The top graded piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.9.h Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10 The Ext-algebra for SL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10.a Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10.b The 1st graded piece E1: elements as triples . . . . . . . . . . 45 1.10.c The 1st graded piece E1: explicit formulas . . . . . . . . . . . 46 1.10.d The 1st graded piece E1: the E0-bimodule structure . . . . . 50 1.10.e The 2nd graded piece E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.10.f The top graded piece Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 The centre of the Ext-algebra for SL2(Qp) with p 6= 2; 3 57 2.1 Summary of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 The top graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Structure of top graded piece of the centre as a Z(E0)-module . . . 63 2.3.a Assumptions and preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.b The components eGammaZ(E*)d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.c Final description of the structure of Z(E*)d as a Z(E0)-module 70 2.4 The 0th graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 The 1st graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.6 The 2nd graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.6.a Computation of ZE0(E2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.6.b Rewrite of the basis of ZE0(E2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.c Computation of Z(E*)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.7 Structure of the 2nd graded piece of the centre as a Z(E0)-module . 92 2.8 Multiplicative structure of Z(E*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3 The Ext-algebra for more general groups: low graded pieces of the centre and other remarks 99 3.1 The 0th graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1.a Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1.b Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2 The 1st graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.2.a Summary of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.2.b A first lemma about ZE0(E1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.c The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of Qp: partial description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.d Results about split tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2.e A result about the fundamental group . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.f Results about the commutator subgroup of the group of rational points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.2.g The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of Qp: full description in the general case . . . . . . . . . . . . . 135 3.2.h Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.2.i A remark about a graded-commutative algebra inside E* . . 143 3.2.j The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of Qp: special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.2.k A remark about the ramified case . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.3 "Toric" subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4 The Ext-algebra and the tensor algebra of E1 for SL2(Qp) with p 6= 2; 3 167 4.1 E* is generated by E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2 Counterexample: E* is not generated by E1 in the case G = SL2(Q3) 171 4.3 The tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.4 An "algorithm" for the computation of kernels . . . . . . . . . . . . 175 4.5 The kernel in degree 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.5.a Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.5.b Generators of T2E0E1 as an E0-bimodule . . . . . . . . . . . . 177 4.5.c A section of the multiplication map in degree 2 . . . . . . . . 179 4.5.d Computation of the kernel in degree 2 . . . . . . . . . . . . . 188 4.6 The kernel in degree 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.6.a A section of the multiplication map in degree 3 . . . . . . . . 198 4.6.b Computation of the kernel in degree 3 . . . . . . . . . . . . . 202 4.7 The kernel in degree 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.8 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.9 The ideal ker(M) is not generated by its 2nd graded piece . . . . . . 210 4.10 The Ext-algebra in terms of generators and relations . . . . . . . . . 225 Bibliography 239