Symplectic Integrators for Klein-Gordon chains - Recurring formation of localized, breather-like oscillations
Creators: name: Ευστρατιάδης, Ευστράτιος-Γεώργιος Ανδρέα
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2020
Subjects: Συμπλεκτικοί ολοκληρωτές
Εντοπισμένες ταλαντώσεις
Συζευγμένοι ταλαντωτές
Symplectic integrators
Localized oscillations
Coupled oscillators

description: Two families of symplectic integrators to obtain the time evolution of the Klein-Gordon chain were created (in C++): integrators that split the Hamiltonian into "position" and "velocity" integrable parts (T-V decomposition) and integrators that split the Hamiltonian into "unperturbed" and "perturbation" integrable parts (mixed variable decomposition - MVD). Their speed and accuracy was compared with that of a Taylor series integrator implemented by G. Voyatzis. As initial conditions we had the central oscillator at a non-zero momentum and zero displacement, and every other oscillator at rest. Even though the symplectic integrators can preserve energy better than the series integrator for long-term integrations, they require small time steps, which makes the integration slower than that using the Taylor series. For very long integrations, using a symplectic integrator is favourable, because the error in energy remains bounded. During the integrator evaluation process, a strange phenomenon was observed for some initial conditions: energy spreads quickly across the oscillator chain and, after enough time, a breather-like structure is formed at the center of the chain, containing most of the initial energy. After some time, the structure breaks, but some time in the future it is formed again, and so forth. The study was then aimed at figuring out which initial conditions lead to this phenomenon. A 4th order T-V symplectic integrator was used to obtain long-term time-evolutions of Klein-Gordon chains of various lengths, with various initial conditions. It was found that, for sufficiently large chains, the phenomenon occurs in a narrow range of initial momentum of the central oscillator, which is approximately $0.81-0.84$. With lower initial momentum, no breather-like structure was found to form, and with higher initial momentum, most of the energy was found to never propagate away from the center of the chain. For smaller chains, the range of initial momentum in which the phenomenon occurs becomes wider. To visualize the motion of the system, an interactive web application was created. It can import and export data in the same format as our C++ integrators, or directly integrate the system using a T-V symplectic integrator.
description: Στην παρούσα εργασία υλοποιήθηκαν (σε C++) δύο οικογένειες συμπλεκτικών ολοκληρωτών για χρήση σε συστήματα συζευγμένων μη γραμμικών ταλαντωτών τύπου Κλάιν-Γκόρντον. Τα συστήματα αυτά, όπως και κάθε Χαμιλτονιανό σύστημα, καθώς εξελίσσονται στον χρόνο, σχηματίζουν τροχιές οι οποίες διατηρούν τα εμβαδά στον χώρο των φάσεων, ή, πιο πρακτικά, την τιμή της συνάρτησης τού Χάμιλτον, πού, στην προκειμένη περίπτωση, ταυτίζεται με την ενέργεια τού συστήματος. Οι συμπλεκτικοί ολοκληρωτές υπολογίζουν την χρονική εξέλιξη ενός δυναμικού συστήματος, χωρίζοντας την συνάρτηση του Χάμιλτον σε δύο ολοκληρώσιμα τμήματα. Σε κάθε χρονικό βήμα της ολοκλήρωσης τού συστήματος, γίνεται εναλλάξ ένα πλήθος υπό-βημάτων ολοκλήρωσης των ολοκληρώσιμων τμημάτων. Το μέγεθος των υπό-βημάτων είναι τόσο όσο χρειάζεται ώστε το συνολικό αποτέλεσμα να είναι η μεταφορά τού συστήματος κατά ένα χρονικό βήμα μπροστά στο χρόνο, με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται τα εμβαδά στον χώρο των φάσεων, καθώς και η τιμή μίας 'διαταραγμένης' συνάρτησης Χάμιλτον (κατά όρους που εμπεριέχουν δυνάμεις τού μεγέθους τού συνολικού βήματος). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το ενεργειακό σφάλμα στην παραγόμενη λύση να είναι φραγμένο. Γι' αυτόν τον λόγο, οι συμπλεκτικοί ολοκληρωτές αποτελούν καλή επιλογή για ολοκληρώσεις μεγάλης διάρκειας. Στις μεθόδους πού υλοποιήσαμε, ο χωρισμός τής συνάρτησης Χάμιλτον γίνεται είτε σε τμήματα που περιέχουν το ένα μόνο όρους θέσεων και το άλλο μόνο όρους ορμών (που είναι σαφώς ολοκληρώσιμα), είτε σε ολοκληρώσιμα τμήματα που το ένα αποτελεί την ‘αδιατάραχτη’ συνάρτηση Χάμιλτον και το άλλο τη ‘διαταραχή’ της. Ο δεύτερος διαχωρισμός βρίσκει εφαρμογή σε συστήματα συζευγμένων ταλαντωτών, γιατί η σύζευξη μεταξύ τους, αν είναι σχετικά ασθενής, μπορεί να θεωρηθεί διαταραχή πάνω σε ένα αντίστοιχο σύστημα μη συζευγμένων ταλαντωτών. Η ταχύτητα και η ακρίβεια (ως επιτυχής διατήρηση της ενέργειας) των ολοκληρωτών αυτών συγκρίθηκε με αυτές της μεθόδου των σειρών Τέιλορ, που έχει υλοποιήσει ο Γ. Βουγιατζής. Ως αρχικές συνθήκες επελέγησαν ο μεσαίος ταλαντωτής να βρίσκεται στη θέση ισορροπίας με μη μηδενική ορμή, και όλοι οι άλλοι ταλαντωτές να βρίσκονται σε ηρεμία. Παρόλο που οι συμπλεκτικοί ολοκληρωτές διατηρούν καλύτερα την ενέργεια σε σχέση με τον ολοκληρωτή τής μεθόδου των σειρών για ολοκληρώσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα, χρειάζονται μικρό βήμα ολοκλήρωσης, με αποτέλεσμα να είναι πιο αργοί. Για ολοκληρώσεις για πολύ μεγάλα χρονικά διαστήματα, η χρήση ενός συμπλεκτικού ολοκληρωτή είναι προτιμητέα, γιατί τα παραγόμενα σφάλματα στην ενέργεια είναι φραγμένα. Κατά τη διαδικασία της σύγκρισης των επιδόσεων των ολοκληρωτών, παρατηρήθηκε ένα παράξενο φαινόμενο για μερικές αρχικές συνθήκες. Η ενέργεια διαδίδεται γρήγορα σε όλη την έκταση της αλυσίδας, και έπειτα από αρκετό χρόνο δημιουργείται μια δομή παρόμοια με Διακριτή Πνοή (δηλαδή με ευσταθή ημιπεριοδική ταλάντωση μικρής χωρικής έκτασης), στην οποία περιέχεται το μεγαλύτερο μέρος της συνολικής ενέργειας. Μετά από κάποιο χρόνο, η δομή αυτή διαλύεται, αλλά σε κάποια μελλοντική στιγμή ξαναδημιουργείται, και ούτω καθεξής. Από εκεί η έρευνα επικεντρώθηκε στην εύρεση των αρχικών συνθηκών οι οποίες οδηγούν στην εμφάνιση αυτού του φαινομένου. Χρησιμοποιήθηκε ο συμπλεκτικός ολοκληρωτής 4ης τάξης διαχωρισμού θέσεων-ορμών για να παραχθούν οι χρονικές εξελίξεις αλυσίδων διαφόρων μηκών, με διάφορες αρχικές συνθήκες. Βρέθηκε ότι για αρκετά μεγάλες αλυσίδες, το φαινόμενο εμφανίζεται για ένα στενό εύρος αρχικών ορμών για τον κεντρικό ταλαντωτή, που είναι περίπου από 0.81 έως 0.84. Για χαμηλότερη αρχική ορμή, δεν σχηματίζεται η εν λόγω δομή, ενώ με υψηλότερη αρχική ορμή, το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας δεν διαδίδεται ποτέ μακριά από τη μέση της αλυσίδας. Για μικρότερες αλυσίδες, το εύρος των αρχικών ορμών για τις οποίες εμφανίζεται το φαινόμενο είναι ευρύτερο. Δημιουργήθηκε επίσης μια διαδραστική διαδικτυακή εφαρμογή, με στόχο την αμεσότερη οπτικοποίηση της κίνησης του συστήματος. Έχει τη δυνατότητα εισαγωγής και εξαγωγής δεδομένων στην ίδια μορφή με αυτήν των ολοκληρωτών της C++, αλλά και άμεσης ολοκλήρωσης του συστήματος με συμπλεκτικό ολοκληρωτή θέσεων - ορμών.