Phase transitions in random loop models
Creators: name: Quitmann, Alexandra
Publisher: name: Technische Universität Berlin
Year: 2023
Subjects: subject: 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
subject: phase transitions
subject: statistical mechanics
subject: random loop models
subject: spin systems
subject: Bose-Einstein condensation
subject: dimer model
subject: self-avoiding walk

description: This thesis deals with higher dimensional phenomena in \textit{random walk loop soups} which are statistical mechanics systems of closed interacting random walk trajectories on the $d$-dimensional lattice. Showing impressive geometric structures and intriguing interrelations, these systems are fascinating and mathematically interesting objects on their own. Further, they are often reformulations of well-known physically motivated models such as the \textit{interacting Bose gas}, the \textit{Spin $O(N)$ model}, the \textit{double dimer model}, or the \textit{monomer double dimer model} and are powerful tools in the study of these models. Their analysis is particularly challenging due to the presence of spatial interactions between the loops. We study one of their most striking phenomena, so-called phase transitions. These refer to abrupt changes in the length of the loops when an external parameter, e.g. the temperature or the particle density, changes and passes a critical threshold. For a general random walk loop soup in $\Z^d$, we first prove that in any dimension $d &gt; 2$, under a sufficiently strong exponential weight on the total loop length, there exist \textit{macroscopic} loops whose lengths are proportional to the volume of the system. More precisely, we approximate $\Z^d$ by finite boxes and prove that the probability of observing a loop visiting any two vertices, whose distance is proportional to the diameter of the box, is uniformly positive. This result is of independent mathematical interest, and moreover, contains the random loop representation of the Spin $O(N)$ model and a modified version of the interacting Bose gas as special cases. We additionally derive information on the distribution of \textit{microscopic} loops, i.e., of loops having length of order one. We show that in any region of the phase diagram, there exists a strictly positive density of loops of any given length. This implies that in the regime, in which macroscopic loops are present, microscopic and macroscopic loops \textit{coexist}. These results hold under general assumptions on the interaction potential, however, with the restriction that the loops must be allowed to have sufficiently many interactions at the vertices. We further show that the density of microscopic loops is also bounded from above, uniformly in the parameter weighting the total loop length. In addition to the general random walk loop soup, we study the double dimer model, the monomer double dimer model and the Spin $O(N)$ model separately using methods that are specific for these models. We first extend the result about the existence of macroscopic loops to the double dimer model, whose configurations can be viewed as collections of fully-packed self-avoiding and mutually self-avoiding loops. We then study the monomer double dimer model, namely the double dimer model in the presence of a density of monomers. These are vertices which are not allowed to be touched by any loop. We show that under sufficiently small, but even strictly positive weight on the total number of monomers, a self-avoiding walk forced through the system is macroscopic. In our last result, we study the random loop representation of the Spin $O(N)$ model and we show that in two dimensions for any $N \geq 2$, the probability that two vertices are connected by a loop decays at least polynomially fast with their distance.
description: Diese Dissertation befasst sich mit höher dimensionalen Phänomenen in Modellen von interagierenden zufälligen Schleifen auf dem $d$-dimensionalen Gitter, welche der statistischen Mechanik zuzuordnen sind. Die Schleifen sind Trajektorien einer zufälligen geschlossenen Irrfahrt und die Modelle werden auch als \textit{zufällige Schleifensuppen} bezeichnet. Mit ihren beeindruckenden geometrischen Strukturen und spannenden Beziehungen untereinander handelt es sich um faszinierende und mathematisch interessante Objekte an sich. Zudem sind zufällige Schleifensuppen häufig alternative Darstellungen bekannter, physikalisch motivierter Modelle wie zum Beispiel des \textit{interagierenden Bose Gases}, des \textit{Spin $O(N)$ Modells}, des \textit{Doppel-Dimer-Modells} oder des \textit{Monomer-Doppel-Dimer-Modells} und bieten wirkungsvolle Werkzeuge, um diese Modelle zu untersuchen. Die Analyse ihrer Eigenschaften ist besonders herausfordernd aufgrund von räumlichen Wechselwirkungen zwischen den Schleifen. Wir untersuchen eines ihrer eindrucksvollsten Phänomene, sogenannte Phasenübergänge. Hierbei handelt es sich um abrupte Änderungen in der Länge der Schleifen, wenn ein externer Parameter des Systems, zum Beispiel die Temperatur oder die Partikeldichte, geändert wird und einen kritschen Wert überschreitet. Für eine allgemeine zufällige Schleifensuppe in $\Z^d$ beweisen wir zunächst die Existenz \textit{makroskopischer} Schleifen in jeder Dimension $d&gt;2$, unter einer hinreichend starken exponentiellen Gewichtung der Gesamtlänge aller Schleifen. Die Längen der makroskopischen Schleifen sind proportional zu dem Volumen des Systems. Dafür approximieren wir $\Z^d$ durch endliche Boxen und zeigen, dass jedes beliebige Paar von Knoten, deren Abstand proportional zum Durchmesser der Box ist, mit einer uniform positiven Wahrscheinlichkeit von derselben Schleife besucht wird. Dieses Ergebnis ist von eigenständigem mathematischen Interesse und beinhaltet zudem die Schleifendarstellung des Spin $O(N)$ Modells und eine vereinfachte Version des interagierenden Bose Gases als Spezialfall. Darüber hinaus leiten wir Informationen über die Verteilung der \textit{mikroskopischen} Schleifen her, d.h. von Schleifen deren Längen von der Ordnung Eins sind. Wir zeigen, dass es in jedem Bereich des Phasendiagramms eine strikt positive Dichte von Schleifen jeder Länge gibt. Dies implizert, dass in dem Bereich, in dem makroskopische Schleifen vorhanden sind, mikroskopische und makroskopische Schleifen \textit{nebeneinander existieren}. Diese Ergebnisse gelten unter allgemeinen Annahmen an das Interaktionspotenzial, allerdings mit der Einschränkung, dass die Schleifen ausreichend viele Interaktionen haben dürfen. Wir zeigen zudem, dass die Dichte der mikroskopischen Schleifen auch von oben beschränkt ist, uniform in der Gewichtung der Gesamtlänge aller Schleifen. Zusätzlich zu der allgemeinen zufälligen Schleifensuppe untersuchen wir das Doppel-Dimer-Modell, das Monomer-Doppel-Dimer-Modell und das Spin $O(N)$ Modell separat und nutzen Methoden, die spezifisch für die jeweiligen Modelle gelten. Zunächst erweitern wir das Ergebnis über die Existenz makroskopischer Schleifen auf das Doppel-Dimer-Modell, dessen Konfigurationen als ein voll gepacktes System selbst vermeidender und sich gegenseitig vermeidender Schleifen betrachtet werden können. Danach untersuchen wir das Monomer-Doppel-Dimer-Modell, bei dem es sich um das Doppel-Dimer-Modell mit einer Dichte von Monomeren handelt. Monomere sind Knoten, die von keiner Schleife besucht werden dürfen. Wir zeigen, dass unter einer hinreichend kleinen, aber strikt positiven Gewichtung der Gesamtanzahl von Monomeren, ein selbst vermeidender geöffneter Pfad, der das System durchdringt, eine makroskopische Länge hat. In unserem letzten Ergebnis untersuchen wir die Schleifendarstellung des Spin $O(N)$ Modells. Wir zeigen, dass in zwei Dimensionen und für jedes $N \geq 2$ die Wahrscheinlichkeit eine Schleife zu sehen, die zwei gegebene Knoten besucht, mindestens polynomial schnell mit ihrem Abstand abfällt.