title: On the isospectral problem of the Camassa-Holm equation
Creators: name: Eckhardt, Jonathan
Publisher: name: :none
Year: 2011

description: Die Camassa-Holm Gleichung ist eine integrable, nichtlineare partielle Differentialgleichung, die Wellen auf seichtem Wasser modelliert. Das dazugehörige Spektralproblem ist ein gewichtetes Sturm-Liouville Problem auf der reellen Achse. Um die interessantesten Phänomene (brechende Wellen und Peakon Lösungen) der dispersionslosen Camassa-Holm Gleichung abzudecken, ist es notwendig, dass das dabei auftretende Gewicht ein endliches signiertes Maß sein kann. Die wesentlichen Schwierigkeiten die sich daraus ergeben sind, dass beide Endpunkte ziemlich singulär sind und dass das Gewicht ein endliches Maß ist, welches auf beliebigen Teilmengen verschwinden und sogar das Vorzeichen ändern kann. In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit direkter und inverser Spektraltheorie von Sturm-Liouville Differentialoperatoren dieser Art. Als erstes behandeln wir allgemeine selbstadjungierte Sturm-Liouville Operatoren deren Koeffizienten Maße sind und entwickeln singuläre Weyl-Titchmarsh Theorie für solche Operatoren. All das wird sowohl im rechts-definiten, als auch im links-definiten Fall gemacht. Betreffend inverser Spektraltheorie zeigen wir zunächst einige Eindeutigkeitssätze für Schrödingeroperatoren mit Potentialen, die an beiden Endpunkten singulär sind. Insbesondere zeigen wir, wann das zugehörige Spektralmaß das Potential eindeutig bestimmt und beweisen ein verallgemeinertes Hochstadt-Lieberman Eindeutigkeitsresultat. Darauf folgend beweisen wir einen ziemlich allgemeinen inversen Eindeutigkeitssatz für Sturm-Liouville Operatoren mit Maß Koeffizienten im links-definiten Fall. Schließlich wenden wir diese Resultate auf das Spektralproblem der Camassa-Holm Gleichung an. Insbesondere zeigen wir, dass das in diesem gewichteten Sturm-Liouville Problem auftretenden Maß eindeutig durch das Spektralmaß, bestimmt ist.
description: The Camassa-Holm equation is an integrable, non-linear partial differential equation which models waves on shallow water. Associated with this equation is a weighted Sturm-Liouville problem on the real line; the isospectral problem. In order to incorporate the main interesting phenomena (wave breaking and peakon solutions) of the dispersionless Camassa-Holm equation, one has to allow this weight to be an arbitrary finite signed Borel measure. The main difficulties arising hereby are that both endpoints are quite singular and that the weight is just a finite measure, allowed to vanish on arbitrary sets and moreover, to change sign. In the present thesis we are concerned with direct and inverse spectral theory of Sturm-Liouville operators of this kind. First, we introduce self-adjoint operators associated with general Sturm-Liouville problems with measure coefficients and develop singular Weyl-Titchmarsh theory for such operators. This is done in both, the right-definite and in the left-definite setting. Regarding inverse spectral theory, first of all we prove some uniqueness results for Schrödinger operators with potentials, which are singular at both endpoints. In particular, we show when the spectral measure uniquely determines the potential and prove a Hochstadt-Lieberman type uniqueness result. Subsequently, we prove a quite general inverse uniqueness theorem for Sturm-Liouville operators with measure coefficients in the left-definite setting. Finally, these results are applied to the isospectral problem of the Camassa-Holm equation. In particular, this shows that the associated spectral measure uniquely determines the finite signed measure appearing in this weighted Sturm-Liouville problem.