On the estimation of smooth autoregressive parameter fields with applications in ophthalmology
Creators: name: Krahnke, Tillmann
Publisher: name: Universität Dortmund
Year: 2002
Subjects: subject: multifocal
subject: ERG
subject: Spatiotemporal
subject: AMD
subject: autoregressive parameter fields
subject: 310

description: The focus of this doctoral thesis is on the analysis of data obtained from the multifocal ERG. An exploratory analysis of the data available is presented in Chapter 2. It is demonstrated that the data carry both spatial as well as temporal information. Therefore, a combination of techniques both from spatial statistics and time series analysis should be used to more adequately describe multifocal ERG data within a statistical framework.Ordinary least squares estimates for parameters from autoregressive time series models are the starting point. They are introduced in Chapter 3. It is seen there that a purely temporal analysis only partly describes the dynamics in the multifocal ERG data sets at hand, and that the spatial layout of the data should be accounted for explicitly.Chapter 4 therefore provides a spatial analysis of the data. Spatial smoothing is performed to remove noise inherent in the resulting estimators. The techniques of Kriging and SplineSmoothing are two candidates under study. They are introduced in Chapters 4 and 5, respectively. Applications to multifocal ERG data are added at the end of each of thesechapters, and arguments are given why modifications are desirable.A modified smoothing approach referred to as smoothing of AR-parameter fields is described in Chapter 6. It makes use of a fitting criterion that accounts both for spatial smoothness of the autoregressive parameter estimates as well as a satisfactory temporal fit to the observed data. It will be seen that the smoothed parameter estimates are well interpretable, while giving rise to only a small increase in the overall sum of squares for fit. Chapter 7 summarizes these results and gives some suggestions for future research. Empirical results obtained for the available data sets are combined in the appendix and complement the examples already described in the foregoing text.
description: Die vorgelegte Arbeit befasst sich mit der statistischen Analyse zeitlich-räumlicher Daten aus dem Bereich der Augenheilkunde. Zur näheren Untersuchung der sog. altersabhängigen Makula-Degeneration (AMD), einer Gruppe von Erkrankungen der Netzhaut, wurden mit Hilfe des sogenannten multifokalen Elektroretinogramms an der Augenklinik der Universität Essen Daten gesammelt, die die elektrophysiologische Reaktion der auf der Retina befindlichen Rezeptoren auf optische Reize widerspiegeln. Die dabei gewonnen Daten können als zeitlich-räumliche Datensätze betrachtet werden, die auf einem auf die Retina projezierten Gitter von 103 Teilflächen erhoben werden. Jeder Teilfläche ist dabei eine Zeitreihe der Länge 122 msec zuordnenbar. Vier derartiger Datensätze standen für eine Analyse zur Verfügung. Eigentliches Ziel der Essener Studie ist die nähere Charakterisierung der elektrophysiologischen Response bei verschiedenen Ausprägungen der AMD. Dies soll zu einer verbesserten Diagnose führen. Die vorliegenden Datensätze bieten einen ersten Einstieg zu dem Versuch, die zu beobachtenden Dynamiken statistisch näher zu beschreiben. Eine erste explorative Analyse bestätigte die Erfahrung aus der Medizin, dass sich sowohl räumliche als auch zeitliche Strukturen in den Daten erkennen lassen. Diese werden in der aktuellen medizinischen Literatur jedoch vorwiegend deskriptiv analysiert. Dabei werden in aller Regel nicht die gesamten zur Verfügung stehenden Daten verwendet, sondern lediglich abgeleitete Statistiken, wie etwa Amplituden, betrachtet. Dies führt zu einem Verlust an Informationen, der vermieden werden sollte.In dem Bestreben, die in der Praxis verwendeten Analysetechniken aus statistischer Sicht zu verbessern, wurden zunächst bekannte Verfahren der Zeitreihenanalyse und der räumlichen Statistik betrachtet. Speziell wurden autoregressive (AR) Modelle sowie Kriging-Verfahren verwendet. Während erstere eine kompakte Parametrisierung der zeitlichen Dynamiken durch wenige Parameter erlauben, führen Kriging-Verfahren zu optimalen räumlichen Prognosen. Jedoch sind dabei die Modellierung der räumlichen Kovarianzstruktur sowie Kenntnisse über die Grundstruktur des zugrundeliegenden räumlichen Trends erforderlich. Da letztere in der Regel nicht im vorhinein vorhanden sind, wurden Thin Plate Spline-Verfahren als Alternative betrachtet. Diese Verfahren entsprechen unter gewissen Modellannahmen dem Kriging, eignen sich aber besser zur Schätzung glatter lokaler Trendstrukturen. Die Spline-Schätzer lassen sich dabei über einen Kleinste-Quadrate-Ansatz mit integriertem Strafterm ableiten, in welchem die Glätte der geschätzten Trendfläche über Bedingungen an deren Ableitungen beeinflusst wird.Der in dieser Arbeit vorgestellte neue Ansatz besteht nun in einer direkten Verknüpfung von Techniken der Zeitreihenanalyse mit denen der Schätzung räumlicher Trends durch Splines. Um eine kompakte und zugleich gut interpretierbare Charakterisierung der in einem Datensatz zu beobachtenden Dynamiken zu erreichen, erfolgt eine Glättung nicht im Beobachtungsraum selbst. Stattdessen werden die abgeleiteten AR-Parameter, welche räumlich zu Parameterfeldern anordnenbar sind, selbst geglättet. Um dabei die eigentlichen Beobachtungen nicht außer acht zu lassen, wird als Kriterium zur optimalen Schätzung eine zeitlich-räumliche Quadratsumme mit entsprechendem Strafterm für die Glattheit der AR-Parameter eingeführt. Ausgangspunkt sind dabei die lokal (d.h. für jede einzelne Zeitreihe) geschätzten Kleinste-Quadrate-Schätzer der AR-Parameter, da diese per constructionem die optimale Anpassung an die Daten liefern. Im Ergebnis erhält man Schätzer mit optimaler Anpassung an die Daten, bei gleichzeitig vorgegebener Glattheit der geschätzten Parameterfelder. Eine geschlossen Darstellung der so geglätteten Schätzer kann angegeben werden. Ausdrücke für die Differenz des neuen Schätzers zum ursprünglichen Kleinste-Quadrate-Schätzer, sowie zu dem aus einer einfachen Glättung der AR-Parameter (ohne Berücksichtigung der zeitlichen Anpassung) abgeleiteten Schätzer werden angegeben. Ebenso lässt sich die Veränderung in der Summe der quadrierten Residuen geschlossen darstellen.Bei der Glättung mit Splines ist die Auswahl von besonderen Glättungsparametern notwendig. Neben der expliziten Auswahl durch den Datenanalysten lässt sich dieser Parameter auch automatisch mit Hilfe der Verallgemeinerten Kreuzvalidierung bestimmen. Dieser Ansatz wurde auf den neu eingeführten Schätzer übertragen und auf die vier Datensätze angewandt. Es zeigte sich dabei, dass die resultierende kreuzvalidierte Schätzung der AR-Parameter numerisch sehr aufwendig zu berechnen und zugleich bisweilen unbefriedigend ist, da u.U. sehr stark geglättet wird. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die AR-Parameter aus der zugrundeliegenden Kleinste-Quadrate-Schätzung kaum räumlich variieren und stattdessen eine starke Variabilität im Verhältnis zu eventuellen Trendstrukturen zeigen. Eine direkte Auswahl der Glättungs-parameter erscheint in solchen Fällen möglicherweise eher angezeigt. Gute Ergebnisse ließen sich jedoch dann erzielen, wenn grobe Strukturen bereits in den räumlich angeordneten Kleinste-Quadrate-Schätzeren zu erkennen waren. Diese traten nach der Glättung durch Kreuzvalidierung umso deutlicher hervor.