title: On optimizing three party Bell inequalities or how Alice, Bob and Charlie play the perfect game
Creators: name: Neusser, Philipp
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Eine der überraschendsten Entdeckungen in der Physik des 20. Jahrhunderts ist die Verletzung der Lokalität. Diese Verletzung kann in sogenannten Bell-Szenarien gezeigt werden, bei denen Messungen an verschränkten Teilchen in raumartig getrennten Regionen zu Verletzungen bestimmter statistischer Ungleichungen führen, die für jede lokale Theorie gelten müssen. Diese Ungleichungen sind im Allgemeinen nur eine Summe von bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(a,b|x,y)$ der Ausgaben $a,b$ der Messungen bei gegebenen Eingaben $x$,$y$ gewichtet mit Koeffizienten $M_{xy}^{ab}\in \mathbb{R}$, die kleiner sind als eine lokale Grenze $L$ für lokale Theorien, d.h. $\sum_{abxy} \mu(x,y)V(a,b|x,y)P(a,b|x,y) \le L$. Ein Problem besteht darin, dass es unendlich viele verschiedene Ungleichungen gibt, die sich auf dieselbe Physik beziehen, aber unterschiedliche lokale und quantenmechanische Grenzen haben, was insbesondere für den Experimentator schwierig sein kann. Eine Lösung dafür besteht darin, diese Ungleichungen in eine Form zu bringen, in der sie als eine Art Spiel verstanden werden können\cite{CHTW04}, bei dem ein Schiedsrichter Fragen aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung $\μ(x,y)$ an die Spieler sendet, die meistens Alice und Bob genannt werden. Sie müssen dann Antworten $a$,$b$ geben, die vom Schiedsrichter mit einer Wahrscheinlichkeit $V(a,b∣x,y)$ als korrekt annimmt. Die Ungleichungen haben in dieser Form, $\sum_{abxy} \mu(x,y)V(a,b|x,y)P(a,b|x,y) \le L$, mehrere Vorteile: \begin{enumerate} \item Es ist klar und einfach, wie es als Experiment umgesetzt werden kann. \item Die lokale und die quantenmechanische Grenze sind keine willkürlichen Zahlen, sondern liegen zwischen 0 und 1 und repräsentieren die Wahrscheinlichkeit, mit der das Spiel in einer einzelnen Runde gewonnen wird. Daher ist es viel einfacher, statistische Schlussfolgerungen daraus zu ziehen. \item Angesichts der Tatsache, dass die Grenzen die Gewinnchancen der Spiele repräsentieren, können mehrere Spiele verglichen werden, z.B. inwieweit eine Quantenstrategie gegenüber einer lokalen Strategie einen Vorteil bieten kann. \end{enumerate} In einer Arbeit aus dem Jahr 2020\cite{AHQ20} wurde gezeigt, wie eine allgemeine Zweiparteien-Ungleichung in ihre optimale Spielform gebracht werden kann, d.h. durch lineare Programmierung den Abstand zwischen der lokalen und quantenmechanischen Grenze zu maximieren. Diese Arbeit kann als Verallgemeinerung dieser Arbeit auf allgemeine Dreiparteien-Szenarien verstanden werden. Die Arbeit ist in vier Teile unterteilt: Im ersten Teil werde ich eine grundlegende Einführung in die moderne nichtlokale Physik geben und den aktuellen mathematischen Formalismus vorstellen, der in diesem Bereich verwendet wird, da es in der historischen Literatur viele Missverständnisse über verschiedene Definitionen gibt. Im zweiten Teil zeige ich, wie man eine allgemeine Dreiparteien-Ungleichung optimiert und den dazu gehörigen Code erstellt. Dieser Code ist in der Julia-Sprache verfasst und verwendet das JuMP-Paket in Verbindung mit dem Hypatia-Löser für die lineare Optimierung. Im dritten Teil vergleiche ich alle 46 Dreiparteien-Ungleichungen in einem Szenario mit zwei Eingaben und zwei Ausgaben und finde dabei mehrere Ungleichungen, die stärker sind als die CHSH-Ungleichung. Ich führe eine spezielle Analyse der Gleichung Nr. 7 in der Liste durch, da sie die größte Kluft neben der berühmten GHZ-Ungleichung\cite{GHZ08} aufweist. Im vierten Teil analysieren wir Ungleichungen in der Literatur mit mehr als 2 Ausgaben\footnote{Basile Grandjean, Yeong-Cherng Liang, Jean-Daniel Bancal, Nicolas Brunner, Nicolas Gisin,Bell inequalities for three systems and arbitrarily many measurement outcomes arXiv:1204.3829v2} und verbessern bzw. vervollständigen deren die Resultate.
description: One of the most surprising discoveries in 20th century physics is the violation of locality. This violation can be shown in so called Bell scenarios, where measurements on entangled particles in space-like separated regions lead to the violation of certain statistical inequalities, which have to hold for any local theory. These inequalities are in general just a sum of conditional probabilities $P(a,b|x,y)$ for the measurement outputs $a,b$ given inputs $x,y$ weighted by some coefficients $M_{xy}^{ab} \in \mathbb{R}$, which is smaller than some local bound $L$ for all local theories, i.e. $\sum_{abxy} M_{xy}^{ab}P(a,b|x,y) \le L$. One of the problems is that there are infinitely many different inequalities referring to the same physics, but with different local and quantum bounds, which can be difficult to handle especially by the experimenter. \\ \\ A solution to that is to bring these inequalities into a form, by which they can be understood as some sort of game\cite{CHTW04}, in which a referee sends questions $x,y$ from a probability distribution $\mu(x,y)$ to the players, most often called Alice and Bob. They then have to provide answers $a,b$, which are verified by the referee with probability $V(a,b|x,y)$. The inequalities have then the form $\sum_{abxy} \mu (x,y)V(a,b|x,y)P(a,b|x,y) \le L$ with several advantages: \begin{itemize} \item It is clear and straightforward how it can be implemented as an experiment \item The local- and the quantum bound are not arbitrary numbers, but lay between $0$ and $1$ representing the probability by which the game is won in single round, thus it is much easier to draw statistical conclusions from it \item Given that the bounds represent the winning chances of the games, several different games can be compared e.g. by how much advantage a quantum strategy can give over local strategy. \end{itemize} In a paper from 2020\cite{AHQ20}, it was shown how a general two party inequality can be brought into its optimal game form, i.e. maximising the gap between the local and quantum bound, by linear programming. This thesis can be understood as a generalisation of this paper to general three party scenarios. \pagebreak The thesis is divided into four parts: \\ \\In the first part I will give a basic introduction to the modern non-local physics giving the state of the art mathematical formalism, which is used in the field, because there is a lot of confusion in the historical literature about several definitions. \\ \\In the second part I show how to optimise a general three party inequality and code to do so. This code is provided in the Julia language and uses the JuMP package in conjunction with the Hypatia solver for the linear optimisation. \\ \\ In the third part I compare all \cite{Sli03} the 46 three player inequalities in the two input to output scenario, finding several inequalities stronger than CHSH. I do special analysis of equation #7 in the list \footnotemark[2]. As it has the largest gap besides the the famous GHZ\cite{GHZ08} inequality. In the fourth part I will analyse several inequalities with more then 2 outputs found in the literature \footnote{Basile Grandjean, Yeong-Cherng Liang, Jean-Daniel Bancal, Nicolas Brunner, Nicolas Gisin,Bell inequalities for three systems and arbitrarily many measurement outcomes arXiv:1204.3829v2}and improve or complete their results by providing the best numbers.