Πιθανότητες πρώτης εμφάνισης και διάρκειας στην Ημιμαρκοβιανή αλυσίδα
Creators: name: Παλικρούσης, Χαράλαμπος Βασιλείου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2017
Subjects: Πιθανότητες πρώτης εμφάνισης
Πιθανότητες διάρκειας
Κλειστή αναλυτική μορφή
First passage time probabilities
Duration probabilities
Closed analytic form

description: Είναι ευρέως γνωστό και αποδεκτό ότι οι στοχαστικές διαδικασίες παρουσιάζουν ένα τεράστιο πεδίο εφαρμογών στον τομέα των Μαθηματικών αλλά και όχι μόνο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι στοχαστικές διαδικασίες για τις οποίες ισχύει η Μαρκοβιανή ιδιότητα, οι γνωστές Μαρκοβιανές διαδικασίες με πολλές σημαντικές εφαρμογές για παράδειγμα στον τομέα των Οικονομικών, της Βιολογίας και άλλα. Μία γενική περίπτωση αυτής της ομάδας των Μαρκοβιανών διαδικασιών αποτελούν οι Ημιμαρκοβιανές διαδικασίες. Στο πλαίσιο αυτό, η παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζει μια μικρή εισαγωγή στη θεωρία των Ημιμαρκοβιανών αλυσίδων(ΗΜΑ) για τον ορισμό και την περιγραφή των βασικών παραμέτρων τους. Ειδικότερα, στο πρώτο μέρος της εργασίας εισάγουμε τις πιο βασικές έννοιες και τις δομές που ορίζουν τις ΗΜΑ ενώ στην συνέχεια παρουσιάζουμε αναλυτικά δύο αρκετά σημαντικές πιθανότητες οι οποίες παρουσιάζουν αρκετό ερευνητικό ενδιαφέρον. Πρόκειται για τις πιθανότητες πρώτης εμφάνισης(ΠΠΕ) και διάρκειας(ΠΔ) αντίστοιχα καθώς και τις αντίστοιχες αναδρομικές τους σχέσεις. Στο κύριο μέρος της εργασίας ασχολούμαστε με την διαδικασία εύρεσης και απόδειξης της κλειστής αναλυτικής σχέσης των ΠΠΕ και ΠΔ με βασικό εργαλείο την αρχικά ορισμένη αναδρομική εξίσωση. Αυτός είναι και ο στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Επίσης στην εργασία συμπεριλαμβάνεται και μία μικρή εφαρμογή με σκοπό την εικονογράφηση των όσων αναλύθηκαν λεπτομερώς στο θεωρητικό κομμάτι και την εξαγωγή αρκετών αξιοσημείωτων συμπερασμάτων. Για τις ανάγκες της μοντελοποίησης αναπτύχθηκαν αλγόριθμοι σε περιβάλλον Matlab(V.R2015a). Επιπλέον, μέσα από την εργασία αυτή γίνεται για μία ακόμα φορά φανερή η σπουδαιότητα της χρήσης των στοχαστικών διαδικασιών και ειδικότερα των ΗΜΑ ως εργαλείο μοντελοποίησης πραγματικών προβλημάτων αλλά παράλληλα αναδεικνύονται οι δυσκολίες της μελέτης των ΗΜΑ λόγω της πολυπλοκότητας των μοντέλων αυτών.
description: It is well known that the stochastic processes present a wide range of applications not only in Mathematics but also in many other areas. Of particular interest are the stochastic processes for which we apply the Markov property, the well-known Markov processes with various applications in Finance, Biology etc. A general case of this class of stochastic processes is the semi Markov chains. In the first chapter of the paper we provide an introduction of the semi Markov chain (SMC) for the homogeneous and the non homogeneous case in discrete time, in order to describe some of the basic definitions, characteristics and concepts of the model. In particular, we introduce the most basic concepts and structures that define the SMC, and then we present in detail two important probabilities that are of considerable research interest. These are the probabilities of first passage time (FPP) and the duration probabilities (DP) as well as the corresponding recursive equations. In the second chapter, we provide the theorems with which we can find the closed analytic forms of the previous probabilities for the homogeneous case while in the third chapter the analogous form is given for the non homogeneous case. The above is the main aim of the present paper. Finally, in the fourth chapter an application is presented to illustrate the theoretical results of the paper and provide some significant conclusions. Conserning the modelling of the processes, the development of all the programs is realized in the software environment of Matlab (V. R2015a). Finally, through this paper the use of stochasic processes and especially of the semi Markov chains as a tool to model real problems is highlighted, and also the complexity of analysis of such models can be easily recognised.