title: Computational intelligence methods for solving partial differential equations
title: an experimental study on performance and accuracy
titleType: Subtitle
Creators: name: Schwartze, Nicolai
Publisher: name: FH Vorarlberg
Year: 2020
Subjects: subject: 500 Naturwissenschaften und Mathematik

description: This master thesis investigates a Computational Intelligence-based method for solving PDEs. The proposed strategy formulates the residual of a PDE as a fitness function. The solution is approximated by a finite sum of Gauss kernels. An appropriate optimisation technique, in this case JADE, is deployed that searches for the best fitting parameters for these kernels. This field is fairly young, a comprehensive literature research reveals several past papers that investigate similar techniques. To evaluate the performance of the solver, a comprehensive testbed is defined. It consists of 11 different Poisson equations. The solving time, the memory consumption and the approximation quality are compared to the state of the art open-source Finite Element solver NGSolve. The first experiment tests a serial JADE. The results are not as good as comparable work in the literature. Further, a strange behaviour is observed, where the fitness and the quality do not match. The second experiment implements a parallel JADE, which allows to make use of parallel hardware. This significantly speeds up the solving time. The third experiment implements a parallel JADE with adaptive kernels. It starts with one kernel and introduce more kernels along the solving process. A significant improvement is observed on one PDE, that is purposely built to be solvable. On all other testbed PDEs the quality-difference is not conclusive. The last experiment investigates the discrepancy between the fitness and the quality. Therefore, a new kernel is defined. This kernel inherits all features of the Gauss kernel and extends it with a sine function. As a result, the observed inconsistency between fitness and quality is mitigated. The thesis closes with a proposal for further investigations. The concepts here should be reconsidered by using better performing optimisation algorithms from the literature, like CMA-ES. Beyond that, an adaptive scheme for the collocation points could be tested. Finally, the fitness function should be further examined.
description: Diese Masterarbeit untersucht eine Computational Intelligence Methode zum Lösen von PDEs. Diese Strategie formuliert das Residuum der PDE als Fitnessfunktion. Die Lösung wird durch eine endliche Summe von Gauß-Kernel approximiert. Ein geeigneter Optimierungsalgorithmus, in diesem Fall JADE, sucht die passenden Parameter für diese Kernel. Dieses Forschungsfeld ist relativ neu, eine umfassende Literaturrecherche zeigt mehrere Paper, die ähnliche Algorithmen behandeln. Um die Performance des Solvers zu bewerten, wird ein Testbed definiert. Es besteht aus 11 verschiedenen Poisson-Gleichungen. Die Lösungszeit, der Speicherbedarf und die Approximationsqualität werden mit dem open-source Finite Elemente Solver NGSolve verglichen. Das erste Experiment testet eine serielle JADE. Die Ergebnisse sind nicht so gut wie vergleichbare Arbeiten in der Literatur. Weiterhin wird ein Verhalten beobachtet, bei dem Fitness und Qualität nicht übereinstimmen. Das zweite Experiment implementiert eine parallele JADE. Somit kann parallele Hardware genutzt werden. Dadurch wird die Lösungsdauer erheblich verkürzt. Das dritte Experiment implementiert eine parallele JADE mit adaptiven Kernels. Der Solver beginnt mit einem Kernel und führt weitere Kernels während des Lösungsprozesses ein. Eine signifikante Verbesserung wird bei einer PDE beobachtet, die speziell dafür ausgelegt wurde. Bei allen anderen Testbed-PDEs ist der Qualitätsunterschied nicht aufschlussreich. Das letzte Experiment untersucht die Diskrepanz zwischen Fitness und Qualität. Dazu wird ein neuer Kernel definiert. Dieser Kernel hat alle Eigenschaften des Gauß-Kernels. Zusätzlich wird er mit einer Sinusfunktion erweitert. Dadurch werden die beobachteten Unterschiede zwischen Fitness und Qualität verringert. In weiterführenden Arbeiten sollten die hier eingeführten Konzepte mit anderen Optimierungsalgorithmen, wie zum Beispiel einer CMA-ES, überprüft werden. Darüber hinaus könnte ein adaptiver Prozess für die Collocation Punkte getestet werden. Schließlich sollte die Fitnessfunktion weiter untersucht werden.