Οικογένειες τροχιών και ολοκληρωσιμότητα δυναμικών συστημάτων
Creators: name: Βογιατζή, Δέσποινα Δ.
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2006
Subjects: Δυναμική
Μηχανική
Οικογένειες τροχιών
Dynamics
Mechanics
Families of orbits

description: Η διατριβή αυτή διαχωρίζεται ουσιαστικά σε δύο κύρια μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετάμε το αντίστροφο πρόβλημα της Δυναμικής σε συνδυασμό με ιδιότητες δυναμικών όπως είναι η πολυδιαχωρισιμότητα και η ολοκληρωσιμότητα. Όταν μιλάμε για το αντίστροφο πρόβλημα στη Δυναμική, αναφερόμαστε στη μέθοδο εύρεσης του δυναμικού έχοντας εν γνώσει μας εκ των προτέρων ορισμένες τροχιές που διαγράφει ένα υλικό σημείο, υπό την επίδραση του παραπάνω δυναμικού. Το δεύτερο μέρος της εργασίας αναφέρεται στα αδιαβατικά Χαμιλτονιανά συστήματα και περιέχει την απόδειξη ενός κριτηρίου μη ολοκληρωσιμότητας γι\' αυτά τα συστήματα. Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής, δίνονται τα κίνητρα που μας οδήγησαν στην παρουσίαση αυτής της διατριβής, περιέχεται και μια σύντομη εισαγωγή. Επίσης, υπενθυμίζονται κάποιες βασικές έννοιες της θεωρίας των Χαμιλτονιανών συστημάτων και του αντιστρόφου προβλήματος, που είναι απαραίτητες για τη συγκεκριμένη μελέτη, χωρίς να δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στις αποδείξεις των αποτελεσμάτων αυτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο συνδυάζουμε τα αποτελέσματα του αντίστροφου προβλήματος της δυναμικής με την θεωρία της πολυδιαχωρισιμότητας επίπεδων δυναμικών και βρίσκουμε διπαραμετρικές οικογένειες τροχιών, των οποίων η ύπαρξη εξασφαλίζει την πολυδιαχωρισιμότητα του δυναμικού. Επίσης διερευνούμε τις περιοχές, όπου αυτές οι τροχιές επιτρέπονται και γίνεται η σχεδίασή τους στο επίπεδο. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε το πρόβλημα της κίνησης μιας μοναδιαίας μάζας επάνω στην μοναδιαία διδιάστατη σφαίρα και εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ της ολοκληρωσιμότητας και κάποιων μονοπαραμετρικών οικογενειών τροχιών. Συγκεκριμένα δείχνουμε ότι αν το δυναμικό είναι συμβατό με μια οικογένεια μεσημβρινών, τότε αυτό είναι ολοκληρώσιμο με ολοκλήρωμα γραμμικό ως προς τις ταχύτητες, ενώ μια οικογένεια παραλλήλων εξασφαλίζει την ολοκληρωσιμότητά του με ολοκλήρωμα δευτέρου βαθμού ως προς τις ταχύτητες. Στην αρχή του τετάρτου κεφαλαίου, κάνουμε μια εισαγωγή στα αδιαβατικά συστήματα και αναφέρουμε ποια φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν από αυτά. Στη συνέχεια, εξετάζουμε την μη ολοκληρωσιμότητα αδιαβατικών Χαμιλτονιανών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας, εξαρτημένων από τον χρόνο με την επιπλέον υπόθεση ότι το αδιατάρακτο σύστημα έχει ένα ασταθές σημείο ισορροπίας με δύο ασύμμετρους ομοκλινικούς βρόχους. Αποδεικνύουμε ένα κριτήριο μη ύπαρξης ολοκληρώματος για τέτοια συστήματα, και επομένως δείχνουμε την μη ύπαρξη μιας ποσότητας, η οποία θα μπορούσε να διατηρείται σε μια αυθαιρέτως υψηλή τάξη του ε. Δίνεται μια συγκεκριμένη εφαρμογή στoν ασύμμετρο ταλαντωτή τετάρτου βαθμού με εξάρτηση από τον αδιαβατικό χρόνο. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παραθέτονται συγκεντρωτικά τα συμπεράσματα από τις εργασίες που περιγράφηκαν παραπάνω.
description: The present Τhesis comprises of two major parts. In the first part, we focus on the study of the inverse problem in Dynamics, in combination with the properties of certain potentials such as multiseparability and integrability. The inverse problem in dynamics refers to the determination of the potential of a unit mass if we know the existence of certain trajectories. The second part deals with adiabatic Hamiltonian systems and includes the proof of a non-integrability criterion for such systems. In the first chapter the motivation behind this work is discussed while a brief intoduction is also included with a short review on the foundations of the theory of Hamiltonian systems. Furthermore, a brief outline of known results of the inverse problem is also included without supplying the proofs of these results. In the second chapter, the combined results of the inverse problem of dynamics and the theory of multiseparability of planar potentials are presented and discussed. More specifically, it is found that the existence of certain two-parametric families of orbits ascertain the multiseparability of the potential. Moreover, the allowed regions of motion are also studied and the orbits are plotted on the plane. In the next chapter, the problem of the motion of a unit mass on the unit sphere is investigated and the correlation between the integrability and certain monoparametric families of orbits is studied in detail. More specifically, it is proven that, if a potential is compatible with a family of meridians, the potential is integrable and its integral is linear in the velocities. Moreover, a family of parallels guarantees integrability with a second order integral in the velocities. In the last chapter, we deal with the problem of non-integrability of adiabatic Hamiltonian systems with one degree of freedom. In particular, we make the assumption that the unperturbed system has an unstable fixed point with two asymmetric homoclinic loops. A criterion for the non-existence of an integral in such systems is proven, i.e. the non-existence of a quantity which is conserved in an arbitrarily high order of ε. An application to the asymmetric oscillator of the fourth order, which depends on the adiabatic time is also presented. Finally, in the last part of the thesis are summarize our conclusions.
description: Η κ. Δ. Βογιατζή γεννήθηκε στην Ξάνθη το 1974. Αποφοίτησε από το τμήμα Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης στις 14/11/1997 με το βαθμό 7.19 (Λίαν Καλώς). Παρακολούθησε μαθήματα μεταπτυχιακού επιπέδου στο ίδιο τμήμα, στο γνωστικό αντικείμενο της βασικής Φυσικής, χρονικής διάρκειας ενός έτους. Το Νοέμβριο του 2001 ξεκίνησε την εκπόνηση της διδακτορικής της διατριβής, την οποία αποπεράτωσε τον Μάρτιο του 2006. To ερευνητικό της ενδιαφέρον περιλαμβάνει θέματα όπως τα Χαμιλτονιανά δυναμικά συστήματα, κάποιες ιδιότητες αυτών, όπως η πολυδιαχωρισιμότητα, η ολοκληρωσιμότητα και πιο συγκεκριμένα η υπερολοκληρωσιμότητα. Επίσης θέματα, όπως το αντίστροφο πρόβλημα στη δυναμική και τα αδιαβατικά συστήματα. Η εργασία της Δ. Βογιατζή κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διδακτορικής της διατριβής οδήγησε στη συγγραφή των παρακάτω εργασιών Eργασίες δημοσιευμένες σε διεθνή περιοδικά: