Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών και Μη Γραμμικών Συστημάτων Κανονικών Διαφορικών Εξισώσεων με Μεθόδους Butcher Ανώτερης Τάξης-Εφαρμογές με C++ των Μεθόδων και Εφαρμογές σε Προβλήματα του Πραγματικού Κόσμου
Creators: name: Μαυροκεφαλίδου, Σοφία Θεόδωρου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2018
Subjects: Διαφορική εξίσωση
Αριθμητική Λύση
Μέθοδος Runge-Kutta
Differential Equation
2. Numerical Solution
3. Runge - Kutta Methods

description: Οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό κομμάτι της μαθηματικής ανάλυσης και όχι μόνο, καθώς εφαρμογές τους συναντώνται σε διαφόρους κλάδους των θετικών επιστημών όπως τη Φυσική, τη Χημεία και τη Βιολογία. Πολλοί από τους νόμους που διέπουν τη συμπεριφορά του φυσικού κόσμου αποτελούν σχέσεις οι οποίες εκφράζονται μαθηματικά μέσω των διαφορικών εξισώσεων. Η επίλυση των προβλημάτων όμως δεν είναι πάντα εφικτή ή απαιτεί αρκετό υπολογιστικό έργο. Τη λύση στις περιπτώσεις αυτές δίνουν οι υπολογιστικές μέθοδοι, μέσω των οποίων υπολογίζεται μία προσεγγιστική τιμή της λύσης με τη βοήθεια της χρήσης των υπολογιστών. Στην παρούσα εργασία μελετάμε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και συστήματα αυτών καθώς και προβλήματα του φυσικού κόσμου τα οποία ανάγονται σε διαφορικές εξισώσεις και επιλύονται με τη βοήθεια των υπολογιστικών μεθόδων. Η εργασία είναι χωρισμένη σε πέντε κεφάλαιο. Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τη στοιχειώδη θεωρία που αφορά τις διαφορικές εξισώσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μοντελοποίηση προβλημάτων του φυσικού κόσμου τα οποία ανάγονται σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται μελέτη και επίλυση διαφόρων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, το πέμπτο κεφάλαιο περιλαμβάνει διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης και προβλήματα που ανάγονται σε διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Η εφαρμογή των αριθμητικών μεθόδων έγινε με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού C++. Επίσης, οι γραφικές παραστάσεις καθώς και οι αναλυτικές λύσεις των διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιήθηκαν, υλοποιήθηκαν μέσω του προγράμματος Mathematica
description: Differential equations comprise not only a significant part of mathematical analysis, but their application is also used widely in several fields of science such as, Physics, Chemistry and Biology. Many of the laws governing the behavior of the natural world are relations that are mathematically expressed through differential equations. Although, the solution of problems is not always achievable and requires a lot of computational work. In this case, the solution is given by the computational methods by which an approximate value of the solution is calculated with the help of computers. In the present thesis, ordinary differential equations and systems comprised by them are examined. Moreover, problems of the natural world which are based on differential equations and are solved by using computational methods are thorough researched. This study is divided into five chapters. The first chapter includes the elementary theory on differential equations. The second one presents examples of first-order differential equations. In the third chapter, the modeling of the natural world problems takes place, and it is based on first order differential equations. In the fourth chapter, the examination and solution of different systems of differential equations are carried out. Finally, the latter chapter contains differential equations of higher order and problems that are related to second order differential equations. The implementation of numerical methods was conducted by using the C++ programming language. Furthermore, graphs and analytical solutions of the differential equations used, were implemented and captured through the Mathematica software