Υπερβολική Γεωμετρία:
Creators: name: Χατζηκράχτης, Παναγιώτης Αστερίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2012
Subjects: Υπερβολική γεωμετρία
Lobachevsky
Μοντέλα της υπερβολικής γεωμετρίας
Hyperbolic Geometry
Models of hyperbolic geometry

description: Η εργασία αυτή πραγματεύεται τις βασικές έννοιες της υπερβολικής γεωμετρίας, όπως επίσης και το ιστορικό μοτίβο της ανακάλυψής της. Η αδυναμία των μαθηματικών να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη οδήγησε στην ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών, στις οποίες ανήκει και η υπερβολική γεωμετρία. Ο Lobachevsky κυρίως, ήταν αυτός που στην ουσία ανακάλυψε την υπερβολική γεωμετρία και στις διάφορες δημοσιεύσεις που έκανε την ανέπτυξε πλήρως. Έχοντας σαν αφετηρία τις ιδέες του Lobachevsky, άλλοι μαθηματικοί, όπως ο Klein και ο Poincaré, συσχέτισαν αυτή τη νέα γεωμετρία με την ευκλείδεια, κάνοντας έτσι την υπόσταση της υπερβολικής γεωμετρίας υπαρκτή. Στο κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε το σύστημα αξιωμάτων του Hilbert μαζί με τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη, καθώς και την ιστορική αναδρομή της ανακάλυψης της υπερβολικής γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την εποχή του Lobachevsky. Στο κεφάλαιο 2 αναλύουμε τις βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά της υπερβολικής γεωμετρίας, καθώς και τα τρίγωνα του υπερβολικού επιπέδου. Στο κεφάλαιο 3 παραθέτουμε τα τρία βασικά μοντέλα (Klein, Poincaré) της υπερβολικής γεωμετρίας και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του κάθε μοντέλου με τα πέντε αιτήματα της υπερβολικής γεωμετρίας. Επίσης, αναφερόμαστε στην υπερβολική τριγωνομετρία. Στο παράρτημα Α κάνουμε μία μικρή αναφορά στις υπερβολικές μετρικές του άνω ημιεπιπέδου και του δίσκου του Poincaré. Τέλος, στο παράρτημα Β παραθέτουμε μερικές επιφάνειες με αρνητική καμπυλότητα Gauss του τρισδιάστατου υπερβολικού χώρου.
description: This thesis is a study of the main concepts of hyperbolic geometry as well, the historical pattern of its discovery. The weakness of the mathematicians to find a proof of Euclid’s fifth postulate pushed them to find non Euclidean geometries. Part of them is the hyperbolic geometry. A Russian mathematician named Lobachevsky found the answer to the parallel postulate, discovered hyperbolic geometry and developed it through his publications. Thus, beginning with Lobachevsky’s ideas of this “new” geometry, other mathematicians like Klein and Poincaré, years after his first publication, associated hyperbolic geometry with Euclidean geometry making hyperbolic geometry consistent. In the first chapter, there is a presentation of Hilbert’s system of axioms along with the five postulates of Euclid and also the historical background of the discovery of hyperbolic geometry from antiquity since Lobachevsky’s era. The second chapter contains the main concepts and propositions of hyperbolic geometry as well the triangles in hyperbolic plane. The third chapter deals with the three basic models of Klein and Poincaré of hyperbolic geometry. It contains also the comparison of the results of each model with the five postulates of hyperbolic geometry. Furthermore, there is an extensive reference to hyperbolic trigonometry. In appendix Α there are some examples of metrics in hyperbolic surfaces. Finally, appendix Β contains surfaces with negative Gauss curvature in 3-dimensional hyperbolic space.