Γραφική προσέγγιση πινάκων συνάφειας
Creators: name: Τσαρδάκα, Ζωγραφένια Κωνσταντίνου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2007
Subjects: Γραφικά μοντέλα
Διαμελίσιμα μοντέλα
Πίνακες συνάφειας
Γραφήματα ανεξαρτησίας
Graphical models
Decomposable models
Contingancy tables
Independence graphs

description: Τα γραφικά μοντέλα είναι το αποτέλεσμα της μίξης των λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων και των αρχών της ανεξαρτησίας και της δεσμευμένης ανεξαρτησίας. Από το 1960 και μετά παρατηρείται μια ταχύτατη ανάπτυξη στη βιβλιογραφία όσον αφορά τα λογαριθμο-γραμμικά μοντέλα και τις εφαρμογές τους. Ξεκινώντας με τις επιστημονικές εργασίες του Birch (1963,1964) οι οποίες στη συνέχεια εμπνέουν τις εργασίες των στατιστικών Bishop (1969), Goodman (1969,1970), Haberman (1974), Fienberg και Holland (1975). Τα λογαριθμο-γραμμικά μοντέλα χρησιμοποιήθηκαν σε μεγάλο βαθμό από κοινωνιολόγους για την ανάλυση πινάκων συνάφειας και η ανάπτυξη τους είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία και την προσαρμογή σύνθετων σχέσεων συνάφειας μεταξύ των παραγόντων σύμφωνα με τους οποίους ταξινομείται ένας πολυδιάστατος πίνακας. Παρόλα αυτά η ερμηνεία αυτών των προσαρμοσμένων μοντέλων δεν είναι πάντα προφανής. Ο Wright (1923,1934), ένας γενετιστής ανακαλύπτει πριν τον δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο την ανάλυση μονοπατιού και τα αντίστοιχα διαγράμματα μονοπατιών. Η γραφική αναπαράσταση των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών γίνεται αρκετά δημοφιλής και οδηγεί σε μεγάλο πλήθος εργασιών στην περιοχή των τεστ στην ψυχολογία και στην εικονομετρία. Αυτό που έχει πλέον μεγάλη επιστημονική σημασία είναι η ανάπτυξη τεχνικών που θα καθορίσουν αν μια αλληλεπίδραση που παρατηρούμε μεταξύ δυο μεταβλητών μπορεί να εξηγηθεί δεδομένου ενός τρίτου παράγοντα. Το τελευταίο απαραίτητο συστατικό για την ανάπτυξη των γραφικών μοντέλων ήταν να γίνει σαφής η υπόθεση της δεσμευμένης ανεξαρτησίας. Κάτι που ήδη υπήρχε σε εφαρμογές της παραγοντικής ανάλυσης όπου ήταν δεδομένη μια μεταβλητή που δεν είχε παρατηρηθεί. Αυτό που άργησε ήταν η αναγνώριση ότι η δεσμευμένη ανεξαρτησία είναι εξίσου σημαντική για τις παρατηρούμενες μεταβλητές.Τα γραφικά μοντέλα είναι εκείνα τα μοντέλα πιθανότητας για τυχαίες παρατηρήσεις πολλών μεταβλητών των οποίων η δομή ανεξαρτησίας χαρακτηρίζεται από ένα γράφημα το λεγόμενο γράφημα (δεσμευμένης) ανεξαρτησίας. Η ιδέα των γραφημάτων δεν είναι καινούργια αλλά ούτε και εκείνη της δέσμευσης ή των λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων. Η εργασία των Darroch, Lauritzen και Speed (1980) συνδύασε όλες τις παραπάνω έννοιες δείχνοντας πώς ένα υποσύνολο των λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων, τα γραφικά μοντέλα μπορούν πολύ εύκολα να ερμηνευθούν με την εφαρμογή των Μαρκοβιανών ιδιοτήτων των γραφημάτων ανεξαρτησίας τους. Ακόμη σε αυτή την εργασία εξηγήθηκαν οι Μαρκοβιανές ιδιότητες που έχουν τα λογαριθμο-γραμμικά μοντέλα και οροθετήθηκε ως συμπέρασμα η κλάση των λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων με άμεσους εκτιμητές μέσω του τριγωνικού θεωρήματος σύμφωνα με το οποίο τα μοντέλα που έχουν άμεσους εκτιμητές είναι εκείνα τα γραφικά μοντέλα που έχουν τριγωνικά γραφήματα.Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με της έννοιες της διαμελισιμότητας, της αναγωγής και της συμπτηξιμότητας, με τις επεκτάσεις τους στα αναδρομικά (ή κατευθυνόμενα) και μπλοκ αναδρομικά (ή αλυσωτά) γραφικά μοντέλα, τη διάκριση μεταξύ γραφικών και ιεραρχικών μοντέλων, την ανάπτυξη αλγορίθμων για τη διαχείριση των γραφημάτων, την προσαρμογή γραφικών μοντέλων και με τεχνικές επιλογής μοντέλων.Περίληψη των κεφαλαίων της εργασίαςΚεφάλαιο 1: Ανεξαρτησία και αλληλεπίδρασηΤο κεφάλαιο ξεκινά με την εδραίωση των βασικών χαρακτηριστικών των πινάκων συνάφειας δυο διαστάσεων και στη συνέχεια των πινάκων μεγαλύτερης διάστασης. Γίνεται ανάλυση της ανεξαρτησίας των τυχαίων μεταβλητών σε πολλαπλασιαστικά μοντέλα, κορεσμένα μοντέλα και λογαριθμο-γραμμικά μοντέλα.Κεφάλαιο 2: Θεωρία γραφημάτων Στο κεφάλαιο αυτό δίνουμε αρχικά τους ορισμούς των βασικών εννοιών της θεωρίας γραφημάτων. Στη συνέχεια δείχνουμε πώς τα γραφήματα ανεξαρτησίας κατασκευάζονται από κατά ζεύγη δεσμευμένες ανεξαρτησίες. Αναφέρουμε τις Μαρκοβιανές ιδιότητες ολική και τοπική οι οποίες μας είναι χρήσιμες για την ερμηνεία των γραφημάτων. Τέλος ασχολούμαστε με κατευθυνόμενα μοντέλα, η μελέτη των οποίων μας παρέχει μηχανισμούς χάρη στους οποίους μπορούμε να ερμηνεύσουμε ένα γράφημα ως προς την αιτιότητα.Κεφάλαιο 3: Ανάλυση των πινάκων συνάφειας με γραφικά μοντέλαΠώς σχετίζεται ένα γράφημα με ένα λογαριθμο-γραμμικό μοντέλο. –Τι είναι το γράφημα αλληλεπίδρασης, τι η κλάση γεννήτορας και ποια η χρησιμότητά τους στην ανάλυση των πινάκων συνάφειας. Αναφορά στο δίκτυο των γραφικών μοντέλων τριών διαστάσεων. Επειδή υπάρχει μεγάλο πλήθος λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων από τα οποία πρέπει να επιλέξουμε κάποια ώστε να τα μελετήσουμε, δείχνουμε ότι αρκεί να μελετήσουμε ένα μικρότερο υποσύνολο μοντέλων τα διαμελίσιμα μοντέλα, τα οποία αποτελούν υποσύνολο του συνόλου των γραφικών μοντέλων, που είναι υποσύνολο του συνόλου των ιεραρχικών λογαριθμο-γραμμικών μοντέλων. Συζήτηση για το πρόβλημα εύρεσης του μοντέλου με καλή προσαρμογή στα δεδομένα με τη βοήθεια μεθόδων που βασίζονται είτε στην βήμα προς βήμα, είτε στην προς τα πίσω απαλειφή είτε στην προς τα εμπρός προσθήκη ακμών. Κεφάλαιο 4: Αναλυτικοί εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας – Διαμελισιμότητα.Δίνουμε παραδείγματα πινάκων συνάφειας όπου γεννιούνται ερωτήματα όπως το πότε ένας πίνακας είναι συμπτήξιμος στους περιθώριους του. Αναφέρουμε το παράδοξο του Simpson το οποίο προκύπτει όταν ο πίνακας δεν είναι συμπτήξιμος. Δείχνουμε ότι εκείνα τα γραφικά λογαριθμο-γραμμικά μοντέλα που έχουν αναλυτικούς ή άμεσους εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας είναι διαμελίσιμα και ότι τα γραφήματα ανεξαρτησίας των διαμελίσιμων μοντέλων χαρακτηρίζονται τριγωνικά. Συζήτηση για την ύπαρξη παραγοντοποιήσεων της συνάρτησης πυκνότητας σε γινόμενα περιθώριων συναρτήσεων πυκνότητας.Κεφάλαιο 5: Ανάλυση με το πρόγραμμα ΜΙΜ Ανάλυση παραδειγμάτων. Επειδή δεν υπάρχει λογισμικό που να περιλαμβάνει όλη την υπάρχουσα μεθοδολογία για την προσαρμογή και τον έλεγχο των γραφικών μοντέλων θα παρουσιάσουμε συνοπτικά τη χρήση του προγράμματος MIM στην προσαρμογή και τον έλεγχο ενός γραφικού μοντέλου.
description: Graphical models have emerged from a mix of log-linear and covariance models, with the constructs of path analysis and the concepts of independence and conditional independence. A rapid growth in the literature on log-linear models and their applications was witnessed after 1960. Beginning in the early papers of Birch (1963,1964) much of this has been inspired by the pioneering work of statisticians such as Bishop (1969), Goodman (1969,1970), Haberman (1974), Fienberg and Holland (1975). They have been extensively used by social scientists for the analysis of contingency table data and their development has made it possible to formulate and fit complex patterns of association between the factors cross-classifying a multidimensional table. However it is not obvious how such a fitted model may be interpreted.A different input stems from the work of Wright (1923,1924) in the years before the second world war. Essentially a geneticist, he discovered path analysis, path diagrams. The graphic display of the relationship between variables was extremely popular and led to extensive volumes of work in the areas of econometrics and psychological testing. We should not digress to describe these here, many references can be found in Kiiveri and Speed (1982); we only note that another of Goodman’s many contributions was to formulate a version of path analysis appropriate to log-linear models and contingency tables, Goodman (1973).There is a substantial scientific importance in developing techniques intended to determine if an observed interaction between two variables can be explained by conditioning or controlling for a third factor. The final necessary ingredient for the development of graphical models was to make the assumption of conditional independence explicit. This already existed in applications to factor analysis and latent structure analysis where the conditioning takes place on an unobserved variable; what was slow in arriving was the recognition that conditional independence has a similar importance for observed variables.Graphical models are those probability models for multivariate random observations whose independence structure is characterised by a graph, the (conditional) independence graph. The idea of graphs is not new, nor is the idea of conditioning, and nor are log-linear models; but the seminal paper of Darroch, Lauritzen and Speed (1980) put them together in a most illuminating and exciting way. They showed how a subset of log-linear models, the graphical models, can be easily interpreted by application of the Markov properties of their associated independence graphs. The paper summarised and developed collaborative work by Speed (1979) and Lauritzen (1979,1982). It demonstrated the remarkable Markov properties held by such models, and conclusively demarcated the tractable class of log-linear models with direct estimates through the triangulation theorem: models with direct estimates are those graphical models with triangulated graphs. In this paper we will deal with the notions of decomposability, reduction and collapsibility, with their extensions in recursive (or directed) and block-recursive (or chain) graphical models, the discrimination between graphical and hierarchical models, the growth of algorithms for the management of graphs and the fitting of graphical models but also with techniques of selecting models.Overview of this paperChapter 1: Independence and interaction. This chapter begins with the establishment of the essential characteristics of two-way and multiway contingency tables. Becomes analysis of independence of random variables in multiplicative models, saturated models and log-linear models.Chapter 2: Graph theory. In this chapter we give initially the definitions of basic notions of graph theory. Afterwards we show how independence graphs are constructed from pairwise conditional independences. We report the Markov properties global and local that are useful tools for the interpretation of graphs. Finally we deal with directed models, the study of which provides for us mechanisms thanks to which we can interpret a graph as for causality.Chapter 3: Graphical models on contingency tables. How we relate a graph with a log-linear model. - What is an interaction graph, what a generator class and which is their usefulness in the analysis of contingency tables. We mention the lattice of graphical models of three dimensions. Due to the existence of a big amount of log-linear models from which we should select a few for studying them, we show that it is sufficient to study a smaller subset of models the decomposable models, which constitute a subset of the set of graphical models, that is subset of the set of log-linear models. Discussion on the problem of selecting a model with good fitting in the data with the help of procedures that are based either on the stepwise, or in to backward deletion or in to forward addition of edges.Chapter 4: Direct maximum likelihood estimates - Decomposability. Examples of contingency tables which raise questions on when a table is collapsible onto its marginal tables. We give an example of Simpson’s paradox which arises when the table is not collapsible. We show that those log-linear models which possess analytic, or direct, maximum log-likelihood estimates are decomposable, and that there is a simple characterisation of the independence graph of a decomposable model: it is triangulated. Our discussion is based on the existence of factorisations of the density function into products of marginal density functions.Chapter 5: Computing with the interactive program MIM. Analysis of practical examples. No one software package unifies all the available methodology to fit, test and diagnose all graphical models, and so an introduction to using MIM to fit and test a graphical model is given