title: Derivation and analysis of a phase field model for alloy solidification
Creators: name: Stinner, Björn
Publisher: name: Universität Regensburg
Year: 2006
Subjects: subject: Phasenfeldmodell , Asymptotische Entwicklung , Parabolisches Differentialgleichungssystem , , phase field model , matched asymptotic expansions , nonlinear parabolic system of differential equations
subject: 510 Mathematik
subject: 35K55
subject: 34E05
subject: 82C35
subject: 82C26
subject: 35D05

description: Mechanical properties of castings and the quality of workpieces can be traced back to the structure on an intermediate length scale of some micrometers between the atomic scale of the crystal lattice (typically of some nanometers) and the typical size of the workpiece. This so-called microstructure consists of grains which can differ in the orientation of the crystal lattice, in the crystalline structure, or even in the composition of the alloy components, and its presence results from the process of solidification. In order to get a better understanding of the solidification process a general model framework based on the phase field approach has been developed. Phase field variables are introduced describing the presence of the corresponding phases. In contrast to classical sharp interface models where the moving phase boundaries are modelled with hypersurfaces those phase field variables change smoothly but rapidly in a transition layer whose thickness is determined by a new small length scale (smaller than the scale of the microstructures). The evolution of the phase boundaries is given as an appropriate gradient flow of an entropy functional leading to a system of parabolic differential equations for the phase field variables. In addition, balance equations for the conserved quantities, namely internal energy and concentrations of the components, are stated. Altogether, the evolution is governed by system of nonlinear parabolic partial differential equations which are coupled in such a way that the entropy production is nonnegative. In the limit as the small interface thickness tends to zero a classical model with moving phase boundaries is obtained. To establish this relation the method of matched asymptotic expansions is used. Thanks to this relation it is possible to let thermodynamic quantities as latent heats and surface tensions enter the phase field model. This procedure is called calibrations of the model. In certain cases it is even possible to improve the quality of the approximation of the sharp interface model by the related phase field model in terms of the small interface thickness. Existence of weak solutions to the system of parabolic differential equations is shown. Special difficulties arise from certain growth properties of the nonlinearities entering the differential equations which are due to thermodynamic principles. The idea is to use a perturbation technique. The perturbed problem is solved making a Galerkin ansatz. The main task is then to derive suitable estimates and, based on the estimates, to develop and apply appropriate compactness arguments in order to go to the limit as the perturbation vanishes.
description: Mechanische Eigenschaften und die Qualität von Werkstücken kann auf die Strukturen auf einer Größenordnung von einigen Mikrometern zurückgeführt werden, die zwischen der atomaren Größenskala des Kristallgitters (typischerweise von einigen Nanometern) und der typischen Größe des Werkstücks liegt. Diese sogenannte Mikrostruktur besteht aus Körnern, die sich voneinander in der Orientierung des Kristallgitters, in der kristallinen Struktur oder auch in der Zusammensetzung unterscheiden können, und resultiert aus dem Prozess der Erstarrung. Um den Erstarrungsprozess besser zu verstehen ist ein allemeiner Modellrahmen auf der Basis der Phasenfeldmethode entwickelt worden. Phasenfeldvariablen werden eingeführt, die die Präsenz von zugeordneten Phasen beschreiben. Im Gegensatz zu klassischen Modellen mit scharfen Grenzen, bei denen die beweglichen Phasengrenzen durch Hyperflächen modelliert werden, ändern diese Phasenfeldvariablen glatt, aber rasch ihren Wert innerhalb einer Übergangsschicht, deren Dicke durch eine neue kleine Längenskala (kleiner als die Größenordnung der Mikrostrukturen) bestimmt ist. Die Bewegung der Phasengrenzen ist definiert durch einen geeigneten Gradientenfluß eines Entropyfunktionals und führt zu einem System von parabolischen Differentialgleichungen für die Phasenfeldvariablen. Zusätzlich werden Bilanzgleichungen für die Erhaltunsvariablen, innere Energie und Konzentrationen der Komponenten, aufgestellt. Schließlich ist die Evolution bestimmt durch ein System von nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen, die so miteinander gekoppelt sind, dass die Entropyproduktion nichtnegativ ist. Konvergiert die Dicke der dünnen Grenzschicht gegen null, dann erhält man ein klassisches Modell mit beweglichen Phasengrenzen. Um diese Beziehung zu erhalten werden asymptotische Entwicklungen angepasst. Dank dieser Beziehung ist es möglich, dass thermodynamische Größen wie latente Wärmen und Oberflächenspannungen in das Phasenfeldmodell eingehen. Dieses Vorgehen wird Kalibrierung genannt. In bestimmten Fällen ist es sogar möglich, die Qualität der Approximation des Modells mit scharfen Grenzen durch das zugehörige Phasenfeldmodell in Abhängigkeit von der kleinen Grenzschichtdicke zu verbessern. Existenz von schwachen Lösungen von dem System von nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen wird bewiesen. Besondere Schwierigkeiten machen bestimmte Wachstumseigenschaften der Nichtlinearitäten in den Differentialgleichungen in Folge von thermodynamischen Prinzipien. Die Idee ist, eine Perturbationstechnik zu benutzen. Das gestörte Problem wird mit einem Galerkin-Ansatz gelöst. Die Hauptaufgabe ist dann, geeignete Abschätzungen herzuleiten und, basierend auf den Abschätzungen, hinreichende Kompaktheitsargumente zu entwickeln und anzuwenden, um die Perturbation verschwinden lassen zu können.