Ein Mikro-Makro-Übergang für die nichtlineare atomare Kette mit Temperatur
Creators: name: Herrmann, Michael
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Year: 2005
Subjects: subject: atomare Kette
subject: thermodynamischer Limes
subject: Traveling Waves
subject: Modulationsgleichungen
subject: atomic chain
subject: thermodynamic limit
subject: traveling waves
subject: modulation equations
subject: 510 Mathematik
subject: 27 Mathematik

description: Diese Arbeit betrachtet einen Mikro-Makro-Übergang für die atomare Kette mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn, deren Dynamik durch ein nichtlineares aber konvexes Wechselwirkungspotential und durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen bestimmt ist. Um einen Mikro-Makro-Übergang zu etablieren, wählen wir eine geeignete Skalierung und lassen die Zahl der Teilchen gegen Unendlich laufen. Dabei steht der Fall mit Temperatur im Vordergrund, so dass auf der makroskopischen Skala mikroskopische Oszillationen beschrieben werden müssen. Nach einer Einführung werden im zweiten Kapitel die Grundlagen der atomaren Kette zusammengefasst, und die wesentlichen Probleme beim Mikro-Makro-Übergang mit Temperatur diskutiert. Dabei wird besonders auf die Skalierung, die mikroskopischen Anfangsdaten und die Beschreibung der mikroskopischen Oszillationen eingegangen. Im dritten Kapitel werden so genannte Traveling-Waves betrachtet: Das sind exakte, hochgradig symmetrische Lösungen der atomaren Kette, die generisch von vier Parametern abhängen, und die als Lösungen von Differenzen-Differentialgleichungen bestimmt werden. Im Einzelnen werden die Existenz von Traveling-Waves, ihre thermodynamischen Eigenschaften und ihre Approximierbarkeit untersucht. Im vierten Kapitel werden modulierte Traveling-Waves betrachtet, mit deren Hilfe dann makroskopische Modulationsgleichungen abgeleitet werden. Diese lassen sich als die Erhaltungssätze für Masse, Impuls, Wellenzahl und Entropie interpretieren. Anschließend wird das Rechtfertigungsproblem diskutiert und für einen Spezialfall auch gelöst. Im fünften Kapitel werden numerische Simulationen von Anfangswertproblemen, unter anderem Riemann--Probleme, ausführlich untersucht, wobei die Strukturuntersuchung der auftretenden mikroskopischen Oszillationen im Vordergrund steht. Es zeigt sich, dass die mikroskopischen Oszillationen in vielen Fällen durch modulierte Traveling-Waves beschrieben werden können.
description: The subject matter of this thesis is a micro-macro transition for the atomic chain with nearest neighbor interaction. The interaction potential is assumed to be nonlinear but convex, and the dynamics of the chain is governed by Newton''s law of motion. To establish the micro-macro transition we choose an appropriate scaling, and let the number of particles tend to infinity. We mainly concentrate on the case with temperature, and therefore we have to describe microscopic oscillations on the macroscopic scale. We start with an introduction in the first chapter. Afterwards in the second chapter we summarize the basics of the atomic chain, and discuss the most important problems concerning a micro-macro transition with temperature. In particular we emphasize the scaling, the microscopic initial data, and the description of the microscopic oscillations. In the third chapter we consider traveling waves: These are highly symmetric solutions of the atomic chain depending on four parameters, and they result as solutions of difference-differential equations. We study the existence of traveling waves, their thermodynamic properties, and we derive schemes for their approximation. The fourth chapter is devoted to modulated traveling waves, because they allow to derive macroscopic modulation equations. These modulation equations can be interpreted as the macroscopic conservations laws for mass, momentum, wave number and entropy. Afterwards we discuss the justification problem, which is moreover solved for a special example. Within the fifth chapter we investigate several numerical simulations of initial value problems for the atomic chain including some Riemann problems. We mainly focus on the structure of the resulting microscopic oscillations, and we will identify many situations in which the microscopic oscillations can be described in terms of modulated traveling waves.