Σειρές Dirichlet, συνάρτηση ζ του Riemann και εφαρμογές τους στη Θεωρία Αριθμών
Creators: name: Σαχπάζης, Στυλιανός Αθανασίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2018
Subjects: Συνάρτηση ζ του Riemann
Σειρές Dirichlet
Αναλυτική Θεωρία Αριθμών
Riemann ζ function
Dirichlet series
Analytic Number Theory

description: Αυτή η εργασία επικεντρώνεται στις εφαρμογές της θεωρίας των σειρών Dirichlet και της συνάρτησης ζ του Riemann στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών. Αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Τα πρώτα τρία κεφάλαια είναι απαραίτητα για την ανάπτυξη του τελευταίου, που έχει αριθμοθεωρητικό χαρακτήρα. Το πρώτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στους χαρακτήρες Dirichlet. Σ' αυτό το κεφάλαιο αποδεικνύονται αποτελέσματα της θεωρίας των χαρακτήρων Dirichlet που θα χρειαστούν παρακάτω. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετούμε τη συνάρτηση ζ του Riemann και τις L-σειρές του Dirichlet. Συγκεκριμένα επικεντρωνόμαστε στα βασικά αναλυτικά χαρακτηριστικά τους, τα οποία είναι απαραίτητα για το υπόλοιπο του κειμένου. Αντικείμενο μελέτης του τρίτου κεφαλαίου είναι οι σειρές Dirichlet, γιατί οι λεγόμενες τυπικές σειρές Dirichlet, μια ειδική κατηγορία σειρών Dirichlet, αποτελούν ένα από τα χρησιμότερα εργαλεία της Αναλυτικής Θεωρίας Αριθμών. Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε τη σύγκλιση και την αναλυτική φύση αυτών των σειρών. Επίσης, μεταξύ άλλων, αποδεικνύουμε δύο σημαντικά θεωρήματα που αφορούν τυπικές σειρές Dirichlet, το θεώρημα πολλαπλασιασμού τυπικών σειρών Dirichlet και το θεώρημα περί γινομένων Euler τυπικών σειρών Dirichlet. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσουμε τεχνικές με τις οποίες μπορούν να αποδειχθούν διάφοροι ασυμπτωτικοί τύποι της Αναλυτικής Θεωρίας Αριθμών. Ένας από αυτούς περιγράφεται στη διατύπωση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών. Στην αρχή παρουσιάζουμε ορισμένες στοιχειώδεις τεχνικές κι έπειτα προχωρούμε στην απόδειξη του θεωρήματος Wiener-Ikehara και διάφορων παραλλαγών του. Αυτό το θεώρημα αποτελεί το κεντρικό αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου. Αυτό άλλωστε φαίνεται και στο τέλος του τέταρτου κεφαλαίου, όπου χρησιμοποιώντας το θεώρημα Wiener-Ikehara αποδεικνύουμε σχετικά σύντομα το θεώρημα των πρώτων αριθμών και το θεώρημα του Dirichlet για πρώτους αριθμούς σε αριθμητικές προόδους, δύο σημαντικά θεωρήματα της Αναλυτικής Θεωρίας Αριθμών
description: This master thesis focuses on the applications of the theory of Dirichlet series and the Riemann zeta function to Analytic Number Theory. It consists of four chapters. The first three are essential for the development of the last one, which has number-theoretic character. The first chapter is devoted to Dirichlet characters. In this chapter we prove some results of the theory of Dirichlet characters, that are needed below. In the second chapter we study the Riemann zeta function and the L-Dirichlet series. Particularly we focus on their basic analytic characteristics, which are necessary for the rest of the text. The subject of the third chapter is the Dirichlet series, because the so-called formal Dirichlet series, a special case of Dirichlet series, are one of the most useful tools in Analytic Number Theory. In this chapter we investigate the convergence and the analytic nature of these series. Moreover, among others, we prove two important theorems concerning formal Dirichlet series, the theorem about the multiplication of formal Dirichlet series and the theorem about the Euler products of formal Dirichlet series. In the fourth chapter we develop methods to obtain several asymptotic formulae of Analytic Number Theory. The prime number theorem claims the truth of such an asymptotic formula. First we present some elementary techniques and then we move on to the proof of the Wiener-Ikehara theorem and its several variations. This theorem is the central result of this chapter. This becomes clear at the end of the fourth chapter, where making use of the Wiener-Ikehara theorem we prove the prime number theorem and the Dirichlet’s theorem, concerning prime numbers in arithmetic progressions, two important theorems of Analytic Number Theory