Algoritmi di minimi quadrati con incertezza stocastica
Creators: name: Baldi, Mauro Maria
Publisher: name: Zenodo
Year: 2006
Subjects: Data fitting
Least squares
Uncertainty
Optimization

description: Il metodo dei minimi quadrati è un importante strumento matematico che trova applicazione nei piú diversi campi delle scienze applicate. Si tratta infatti di una tecnica usata da ingegneri, matematici, fisici, uomini d'affari e di finanza, ufficiali di governo, studiosi di mercato, ecc. Ma che cos'è un problema ai minimi quadrati? È una tecnica molto popolare usata nel data fitting e per stimare dei parametri. È uno dei piú vecchi metodi usati nella statistica moderna e fu inizialmente pubblicato nel 1805 dal matematico francese Legendre. Ma questa tecnica è ancora piú vecchia perché, dopo la pubblicazione di Legendre, nel 1809 Gauss pubblicò un nuovo trattato nel quale menzionava di aver precedentemente scoperto e usato i minimi quadrati sin dal 1795. Ne seguí una discussione d'anteriorità che comunque non diminuí la popolarità dei minimi quadrati. Viceversa tale tecnica fu in seguito usata da illustri<br> matematici, fisici e uomini di scienza, fra i quali Pearson e Fischer. Oggigiorno il metodo dei minimi quadrati è diffusamente usato per effettuare delle stime di valori numerici o parametri, per approssimare una funzione della quale si conoscono solo alcunti punti oppure per caratterizzare le proprietà statistiche di una stima. Esistono tante versioni di minimi quadrati, ognuna delle quali va utilizzata nel contesto piú opportuno. I minimi quadrati classici sono caratterizzati dall'acronimo OLS, che sta per Ordinary Least Squares, o semplicemente da LS. Nel capitolo uno verranno presentati i minimi quadrati classici (OLS), accompagnati da esempi riguardanti l'interpolazione ed il data fitting. Successivamente si sposterà l'attenzione su quegli algoritmi di minimi quadrati nei quali i dati non sono noti con esattezza ma sono affetti da incertezza. Verranno presentati due algoritmi risolutivi che si basano però su due approcci diversi: da una parte l'incertezza stocastica e dall'altra l'incertezza robusta. Nel capitolo due si illustra come modellizzare l'incertezza nei modelli matematici, nel capitolo tre vengono esposti gli algoritmi di minimi quadrati robusti mentre nel quattro quelli di minimi quadrati stocastici. In questi due capitoli (tre e quattro) si riprenderanno anche gli esempi di data fitting del capitolo uno. Il capitolo cinque caratterizza il manipolatore IMI; viene esposto il modello dinamico e da questo si effettuano tutti gli studi tipici dei controlli automatici: la modellizzazione in variabili di stato, la determinazione dei punti di equilibrio, la linearizzazione, la stabilità e la controllabilità (o raggiungibilità). Molti di questi concetti sono ripresi nel capitolo sei, dedicato alla simulazione in SIMULINK, ambiente di MATLAB. Dal modello del manipolatore è stato costruito il relativo modello in SIMULINK grazie al quale ha avuto luogo la simulazione. I risultati della simulazione sono stati raccolti in un file .mat di matlab. Estraendo tali risultati dal file sono poi stati applicati gli algoritmi di minimi quadrati per effettuare la stima dei parametri inerziali del manipolatore IMI.