Πινακοεκθετικές κατανομές και κατανομές τύπου φάσεων στη θεωρία ανανέωσης και τη θεωρία κινδύνου:
Creators: name: Βαταμίδου, Ελένη Αναγνώστη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: Κατανομές τύπου φάσεων
Πυκνότητα ανανέσωης
Διαδικασία κινδύνου σε μαρκοβιανό περιβάλλον
Phase type distributions
Renewal density
Risk process in a markovian environment

description: Οι κατανομές τύπου φάσεων αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο στην περιγραφή πραγματικών συστημάτων με στοχαστικά μοντέλα. Το ενδιαφέρον για αυτές είναι τριπλό: είναι πυκνές, με την έννοια ότι οποιαδήποτε κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μια κατανομή τύπου φάσεων, επιτρέπουν την περιγραφή πολλών συστημάτων με χρήση μαρκοβιανών αλυσίδων σε συνεχή χρόνο (CTMC), και έχουν πολύ χρήσιμες κλειστές ιδιότητες. Η παρούσα εργασία έχει την ακόλουθη δομή. Στο Κεφάλαιο 1, καταγράφουμε κάποιες βασικές ιδιότητες των κατανομών τύπου φάσεων, καθώς επίσης της ευρύτερης κλάσης αυτών, των πινακοεκθετικών κατανομών, και παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο EM για την προσαρμογή μίας κατανομής τύπου φάσεων σε ένα σύνολο δεδομένων. Στο Κεφάλαιο 2, υπολογίζουμε την αναλυτική μορφή της πυκνότητας ανανέωσης και της συνάρτησης ανανέωσης, έννοιες συνυφασμένες με τη θεωρία ανανέωσης, όταν τα μεσοδιαστήματα ακολουθούν κατανομή τύπου φάσεων ή πινακοεκθετική. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, μελετάμε μια διαδικασία κινδύνου, υπολογίζουμε την πιθανότητα καταστροφής για το σύνθετο μοντέλο Poisson όταν οι απαιτήσεις είναι τύπου φάσεων ή πινακοεκθετικές και μελετάμε τη διαδικασία κινδύνου σε μαρκοβιανό περιβάλλον. Στο Κεφάλαιο 4, κάνουμε μια σύντομη παρουσίαση του μοντέλου ανανέωσης, της μαρκοβιανής διαδικασίας αφίξεων, του μοντέλου σε περιοδικό περιβάλλον και υπολογίζουμε την πιθανότητα καταστροφής μέσω της θεωρίας ουρών. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5, παραθέτουμε μία εφαρμογή προσαρμόζοντας με τον EM-αλγόριθμο μια κατανομή τύπου φάσεων σε πραγματικά δεδομένα σεισμών και υπολογίζοντας την πιθανότητα πραγματοποίησης σεισμού.
description: Phase-type distributions are a powerful tool in stochastic modeling of real systems. The interest in phase-type distributions is threefold: they are dense, that is, any distribution can be approximated ‘arbitrarily close’ by a phase-type distribution, they allow to model many systems using Continuous Time Markov Chains (CTMC), and they have useful closure properties. This paper has the following structure. In section 1, we present some basic properties of phase-type and matrix-exponential distributions. The latter is a more general class, which includes phase-type distributions. We also present the EM-algorithm for fitting a phase-type distribution to a given set of data. In section 2, we find a close analytic form of the renewal density and the renewal function, significant quantities in renewal theory, when the interarrival times are of phase-type or matrix-exponential. Afterwards, in section 3, we consider a risk process, we calculate the ruin probability for the compound Poisson model when the claim size distribution is phase-type or matrix-exponential and we consider a risk process in a markovian environment. Next, in section 4, we present briefly the renewal model, the markovian arrival process, a periodic model and we calculate the ruin probability using a dual queuing system. Finally, in section 5, we provide an application by fitting a phase-type distribution to a real set of data, from an area with intense seismic activity, and we calculate the probability of an earthquake to happen.