title: Μιγαδική Ανάλυση
title: Μιγαδική Ανάλυση
Creators: name: Giannoulis, Ioannis
Publisher: name: Kallipos, Open Academic Editions
Year: 2023
Subjects: μιγαδικοί αριθμοί
μιγαδικό επίπεδο
μιγαδικές συναρτήσεις
ολόμορφες συναρτήσεις
σύμμορφη απεικόνιση
αρμονικές συναρτήσεις
αναλυτικές συναρτήσεις
μεμονωμένες ανωμαλίες
σειρές Taylor και Laurent
ολοκληρωτικά υπόλοιπα
complex numbers
complex plane
complex functions
holomorphic functions
conformal mapping
harmonic functions
analytic functions
isolated singularities
Taylor and Laurent series
residues

description: Το προτεινόμενο σύγγραμμα περιέχει την κλασική ύλη που περιλαμβάνει ένα εισαγωγικό μάθημα Μιγαδικής Ανάλυσης, όπως διδάσκεται ως υποχρεωτικό στα Προγράμματα Προπτυχιακών Σπουδών των Τμημάτων Μαθηματικών των Ελληνικών Πανεπιστημίων. Πιο συγκεκριμένα, στο προτεινόμενο σύγγραμμα, εισάγονται καταρχάς οι έννοιες του σώματος των μιγαδικών αριθμών και του μιγαδικού επιπέδου και αναλύεται η αλγεβρική και τοπολογική δομή τους. Εν συνεχεία, εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης και της συνέχειάς της. Το κύριο μέρος του συγγράμματος ξεκινά με τη μελέτη των εννοιών της παραγώγου ως ορίου πηλίκου διαφορών, της μιγαδικής διαφορισιμότητας και της ολομορφίας μιγαδικής συνάρτησης, των εξισώσεων Cauchy-Riemann, καθώς και με τη μελέτη των άμεσα σχετιζομένων εννοιών της σύμμορφης απεικόνισης και της αρμονικής συνάρτησης. Ακολουθεί η εισαγωγή της έννοιας των δυναμοσειρών και των αναλυτικών συναρτήσεων, η μελέτη των ιδιοτήτων τους, η απόδειξη της ολομορφίας τους και ο ορισμός των βασικότερων μιγαδικών συναρτήσεων, δηλαδή της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου και συνημιτόνου, ως δυναμοσειρών. Έπεται η εισαγωγή στην έννοια του επικαμπυλίου ολοκληρώματος μιγαδικής συνάρτησης, η μελέτη των ιδιοτήτων του, ο ορισμός του δείκτη στροφής καμπύλης στο μιγαδικό επίπεδο και η απόδειξη του τύπου του Cauchy. Στη βάση των εννοιών αυτών, αποδεικνύεται η αναλυτικότητα των ολόμορφων συναρτήσεων και παρουσιάζονται οι κεντρικές συνέπειες της ιδιότητας αυτής. Το σύγγραμμα ολοκληρώνεται με την εισαγωγή της έννοιας της μεμονωμένης ανωμαλίας (ιδιομορφίας) και των σχετιζομένων εννοιών της σειράς Laurent και των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Το σύγγραμμα είναι εμπλουτισμένο με σειρά λυμένων και άλυτων ασκήσεων για την όσο το δυνατό καλύτερη εξοικείωση των φοιτητών με τις εισαγόμενες έννοιες και την εφαρμογή των αποτελεσμάτων της Μιγαδικής Ανάλυσης, καθώς και με παραπομπές σε βαθύτερα θέματα που αυτή πραγματεύεται.
description: Το προτεινόμενο σύγγραμμα περιέχει την κλασική ύλη που περιλαμβάνει ένα εισαγωγικό μάθημα Μιγαδικής Ανάλυσης, όπως διδάσκεται ως υποχρεωτικό στα Προγράμματα Προπτυχιακών Σπουδών των Τμημάτων Μαθηματικών των Ελληνικών Πανεπιστημίων. Πιο συγκεκριμένα, στο προτεινόμενο σύγγραμμα, εισάγονται καταρχάς οι έννοιες του σώματος των μιγαδικών αριθμών και του μιγαδικού επιπέδου και αναλύεται η αλγεβρική και τοπολογική δομή τους. Εν συνεχεία, εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης και της συνέχειάς της. Το κύριο μέρος του συγγράμματος ξεκινά με τη μελέτη των εννοιών της παραγώγου ως ορίου πηλίκου διαφορών, της μιγαδικής διαφορισιμότητας και της ολομορφίας μιγαδικής συνάρτησης, των εξισώσεων Cauchy-Riemann, καθώς και με τη μελέτη των άμεσα σχετιζομένων εννοιών της σύμμορφης απεικόνισης και της αρμονικής συνάρτησης. Ακολουθεί η εισαγωγή της έννοιας των δυναμοσειρών και των αναλυτικών συναρτήσεων, η μελέτη των ιδιοτήτων τους, η απόδειξη της ολομορφίας τους και ο ορισμός των βασικότερων μιγαδικών συναρτήσεων, δηλαδή της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου και συνημιτόνου, ως δυναμοσειρών. Έπεται η εισαγωγή στην έννοια του επικαμπυλίου ολοκληρώματος μιγαδικής συνάρτησης, η μελέτη των ιδιοτήτων του, ο ορισμός του δείκτη στροφής καμπύλης στο μιγαδικό επίπεδο και η απόδειξη του τύπου του Cauchy. Στη βάση των εννοιών αυτών, αποδεικνύεται η αναλυτικότητα των ολόμορφων συναρτήσεων και παρουσιάζονται οι κεντρικές συνέπειες της ιδιότητας αυτής. Το σύγγραμμα ολοκληρώνεται με την εισαγωγή της έννοιας της μεμονωμένης ανωμαλίας (ιδιομορφίας) και των σχετιζομένων εννοιών της σειράς Laurent και των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Το σύγγραμμα είναι εμπλουτισμένο με σειρά λυμένων και άλυτων ασκήσεων για την όσο το δυνατό καλύτερη εξοικείωση των φοιτητών με τις εισαγόμενες έννοιες και την εφαρμογή των αποτελεσμάτων της Μιγαδικής Ανάλυσης, καθώς και με παραπομπές σε βαθύτερα θέματα που αυτή πραγματεύεται.