title: Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor
title: Nonperiodic tilings with integer inflation factor
titleType: AlternativeTitle
Creators: name: Frettlöh, Dirk
Publisher: name: Universität Dortmund
Year: 2002
Subjects: subject: Aperiodic tilings
subject: Finite local complexity
subject: Inflationspflasterungen
subject: Inflation tilings
subject: Lokal endliche Komplexität
subject: Model Set
subject: Model set
subject: Nichtperiodische Pflasterungen
subject: Pflasterung
subject: Pflasterungen in n Dimensionen (Diskrete Geometrie)
subject: Tiling
subject: Tilings in n dimensions (discrete geometry)
subject: 510

description: Families ('species') of - mainly nonperiodic - inflation tilings in euclidean spaces of arbitrary dimension are examined. We are mainly interested in two properties: (1) finite local complexity, and (2) representation as model sets (i.e., by a 'cut-and-project-scheme'), in the case of species with integer inflation factor.For (1) four sufficient conditions are shown, which all can be read off the prototiles of the tilings resp. the first inflation of the prototiles. In this context the comparision of tile-types by their translation classes proves essential. In the plane case we give an especially simple condition: If the lengths of all pairwise parallel edges in the protoset are commensurable, then ALL primitive inflation tilings using this protoset are of finite local complexity. For (2) the relation to Delone multi sets and lattice substitution systems are established. This done, one can use a theorem of J.-Y. Lee and R.V. Moody, which answers the question essentially in general. But in the case where the considered point set can NOT be obtained as a model set, their algorithm will not terminate. We give two sufficient conditions which gives an answer in finite time in the latter case.Moreover we give a collection of many terms and facts, which are important in the context of nonperiodic tilings, an examination of nonprimitive inflation tilings and a detailled description of the construction of the half hex tiling as a model set with 2-adic, twodimensional internal space.
description: Untersuchungsgegenstand der Arbeit sind Familien ('Spezies') von - hauptsächlich nichtperiodischen - Inflationspflasterungen in euklidischen Vektorräumen beliebiger Dimension. Es werden vor allem zwei Eigenschaften untersucht: (1) Lokal endliche Komplexität und (2) Darstellbarkeit als Model Sets (also durch ein'Cut-and-Project-Schema'), jeweils im Falle von Familien von Inflationsspezies mit ganzzahligem Inflationsfaktor. Zu (1) werden vier hinreichende Bedingungen formuliert, die sich direkt an den Mustersteinen ('Prototiles') der Pflasterungen oder den ersten Inflationen derselben ablesen lassen. Dabei erweist sich die Unterscheidung der Steintypen bezüglich ihrer Translationsklassen als wesentlich. Für den ebenen Fall ergibt sich ein besonders einfaches Kriterium: Sind die Längen aller jeweils parallelen Steinseiten der Mustersteine zueinander kommensurabel, so folgt lokal endliche Komplexität für JEDE primitiveInflationsspezies mit diesen Mustersteinen. Zu (2) wird der Zusammenhang hergestellt mit Delone--Multimengen und Gittersubstitutionssystemen. Dadurch kann man einen Satz von J.-Y. Lee und R.V. Moody anwenden, der die Frage im Prinzip beantwortet. Der von ihnen gelieferte Algorithmus terminiert allerdings nicht, falls diebetrachtete Menge KEINE Darstellung durch Model Sets besitzt. Die Arbeit liefert zwei hinreichende Kriterien, die in letztgenanntem Fall in endlicher Zeit eine Antwort liefern. Daneben finden sich in der Arbeit eine Zusammenstellung der vielen im Zusammenhang mit nichtperiodischen Pflasterungen wichtigen Begriffe und Aussagen, eine Untersuchung nichtprimitiver Inflationspflasterungen und die ausführlich beschriebene Konstruktion eines Cut--and--Project--Schemas mit 2-adischem, zweidimensionalem inneren Raum für das Halfhextiling.