title: Βασική Θεωρία Galois
title: Βασική Θεωρία Galois
Creators: name: Marmaridis, Nikolaos
Publisher: name: Kallipos, Open Academic Editions
Year: 2024
Subjects: Διαιρετότητα
Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης
Λήμμα Gauss
Επεκτάσεις Σωμάτων
Αλγεβρικές Επεκτάσεις
Διαχωρίσιμες και Ορθόθετες Επεκτάσεις
Επεκτάσεις Galois
Συμμετρικά Πολυώνυμα
Θεμελιώδες Θεώρημα Galois
Πεπερασμένα Σώματα
Γεωμετρικές Κατασκευές
Ομάδες Galois Πολυωνύμων
Επιλυσιμότητα με Ριζικά
Σχετικές Επιλύουσες
Επιλύουσα Weber
Divisibility
Unique Factorization Domains
Gauss Lemma
Field Extensions
Algebraic Extensions
Separable and Normal Extensions
Galois Extensions
Symmetric Polynomials
Fundamental Theorem of Galois Theory
Finite Fields
Geometric Constructions
Galois Groups of Polynomials
Solvability by Radicals
Relative Resolvents
Resolvent Weber

description: Στο βιβλίο παρουσιάζεται αναλυτικά και με ευρύτητα η Θεωρία Galois. Μετά από μια επανάληψη εννοιών Θεωρίας Δακτυλίων, αποδεικνύεται το Λήμμα Gauss σε περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης και το γενικευμένο κριτήριο τού Eisenstein σε ακέραιες περιοχές. Μελετώνται οι αλγεβρικές, οι διαχωρίσιμες και οι ορθόθετες (κανονικές) επεκτάσεις σωμάτων. Αποδεικνύεται η ύπαρξη αλγεβρικώς κλειστών σωμάτων και αλγεβρικής θήκης σώματος. Χαρακτηρίζονται οι επεκτάσεις Galois, μέσω τής Θεωρίας Δράσης Ομάδας επί Συνόλου. Μελετώνται οι πεπερασμένες επεκτάσεις Galois, αποδεικνύεται η Πρόταση Artin και παρουσιάζεται μία διαδικασία εύρεσης σταθερών υποσωμάτων απλών πεπερασμένων επεκτάσεων. Εξετάζεται η επέκταση τού σώματος των ρητών συναρτήσεων n μεταβλητών υπεράνω τού υποσώματος των συμμετρικών συναρτήσεων. Με τη θεωρία συμμετρικών πολυωνύμων εξάγονται οι τύποι που δίνουν τις θέσεις μηδενισμού κυβικών και τετραγωνικών πολυωνύμων. Αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα Θεωρίας Galois, το Θεμελιώδες Θεώρημα τής Άλγεβρας και μελετώνται ενδελεχώς τα πεπερασμένα σώματα. Αποδεικνύεται ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ένας μιγαδικός αριθμός να είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη και ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα κανονικό n-γωνο να είναι κατασκευάσιμο. Εξετάζονται τα σώματα διάσπασης των κυκλοτομικών πολυωνύμων καθώς και των πολυωνύμων x^n-a. Αποδεικνύεται το Θεώρημα Galois επιλυσιμότητας με ριζικά. Προσδιορίζονται οι ομάδες Galois οποιουδήποτε τριτοβάθμιου ή τεταρτοβάθμιου πολυώνυμου. Εξετάζεται γενικά ο προσδιορισμός τής ομάδας Galois ενός πολυωνύμου με σχετικές επιλύουσες. Το βιβλίο ολοκληρώνεται παρουσιάζοντας, μέσω τής επιλύουσας Weber, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη, για την επίλυση με ριζικά ενός μονοστού, ανάγωγου, διαχωρίσιμου πεμπτοβάθμιου πολυώνυμου, υπεράνω τού σώματος των ρητών. Υπάρχει πληθώρα μη τετριμμένων παραδειγμάτων, τα οποία είτε προδιαγράφουν τη θεωρία που ακολουθεί είτε τη συμπληρώνουν. Περιέχονται επίσης &gt;365 άλυτες ασκήσεις
description: Στο βιβλίο παρουσιάζεται αναλυτικά και με ευρύτητα η Θεωρία Galois. Μετά από μια επανάληψη εννοιών Θεωρίας Δακτυλίων, αποδεικνύεται το Λήμμα Gauss σε περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης και το γενικευμένο κριτήριο τού Eisenstein σε ακέραιες περιοχές. Μελετώνται οι αλγεβρικές, οι διαχωρίσιμες και οι ορθόθετες (κανονικές) επεκτάσεις σωμάτων. Αποδεικνύεται η ύπαρξη αλγεβρικώς κλειστών σωμάτων και αλγεβρικής θήκης σώματος. Χαρακτηρίζονται οι επεκτάσεις Galois, μέσω τής Θεωρίας Δράσης Ομάδας επί Συνόλου. Μελετώνται οι πεπερασμένες επεκτάσεις Galois, αποδεικνύεται η Πρόταση Artin και παρουσιάζεται μία διαδικασία εύρεσης σταθερών υποσωμάτων απλών πεπερασμένων επεκτάσεων. Εξετάζεται η επέκταση τού σώματος των ρητών συναρτήσεων n μεταβλητών υπεράνω τού υποσώματος των συμμετρικών συναρτήσεων. Με τη θεωρία συμμετρικών πολυωνύμων εξάγονται οι τύποι που δίνουν τις θέσεις μηδενισμού κυβικών και τετραγωνικών πολυωνύμων. Αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα Θεωρίας Galois, το Θεμελιώδες Θεώρημα τής Άλγεβρας και μελετώνται ενδελεχώς τα πεπερασμένα σώματα. Αποδεικνύεται ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ένας μιγαδικός αριθμός να είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη και ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα κανονικό n-γωνο να είναι κατασκευάσιμο. Εξετάζονται τα σώματα διάσπασης των κυκλοτομικών πολυωνύμων καθώς και των πολυωνύμων x^n-a. Αποδεικνύεται το Θεώρημα Galois επιλυσιμότητας με ριζικά. Προσδιορίζονται οι ομάδες Galois οποιουδήποτε τριτοβάθμιου ή τεταρτοβάθμιου πολυώνυμου. Εξετάζεται γενικά ο προσδιορισμός τής ομάδας Galois ενός πολυωνύμου με σχετικές επιλύουσες. Το βιβλίο ολοκληρώνεται παρουσιάζοντας, μέσω τής επιλύουσας Weber, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη, για την επίλυση με ριζικά ενός μονοστού, ανάγωγου, διαχωρίσιμου πεμπτοβάθμιου πολυώνυμου, υπεράνω τού σώματος των ρητών. Υπάρχει πληθώρα μη τετριμμένων παραδειγμάτων, τα οποία είτε προδιαγράφουν τη θεωρία που ακολουθεί είτε τη συμπληρώνουν. Περιέχονται επίσης &gt;365 άλυτες ασκήσεις.