Time Operator and Age of Bernoulli Filtrations
Creators: name: Γιαλαμπουκίδης, Ηλίας Φωτίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2011
Subjects: Τελεστής του χρόνου
Ηλικία διαδικασιών
Διαδικασία Bernoulli
Time operator
Bernoulli process
Age of filtrations

description: We construct the Time Operator of a Bernoulli Binary Process. For that reason we provide the necessary background of probability theory, functional analysis and operator theory. As the eigenspaces of the Time Operator are actually the innovation spaces, we discuss some basic notions of information theory so as to define innovation. We define in general the Time Operator of filtrations and martingales. Based on the Time Operator of the Bernoulli Process we construct the Time Operator of the Edge Exposure Martingale and the Vertex Exposure Martingale. From the Time Operator we estimate the age of random variables in selected examples. Moreover, we generalize the Edge Exposure and the Vertex Exposure Martingales for non-equiprobable random graphs. The generalization from equiprobable to arbitrary random graphs is more close to realistic networks as in Biology, social networks and the World Wide Web.
description: Κατασκευάζουμε τον Τελεστή του Χρόνου για μία Δυαδική Διαδικασία Bernoulli. Για το σκοπό αυτό παρέχουμε το απαραίτητο υλικό από την Θεωρία Πιθανοτήτων, τη Συναρτησιακή Ανάλυση και την Θεωρία Τελεστών. Επειδή οι ιδιόχωροι του Τελεστή του Χρόνου είναι ουσιαστικά οι χώροι καινοτομίας αναφέρουμε τις σχετικές έννοιες από την Θεωρία Πληροφορίας δια της οποίας ορίζεται η καινοτομία. Ορίζουμε τον αφηρημένο Τελεστή του Χρόνου μέσω των τελεστών προβολής μιας ανάλυσης (resolution) του χώρου Hilbert ℋ των τυχαίων μεταβλητών του μοντέλου. Ο γενικός ορισμός εφαρμόζεται στις στοχαστικές διαδικασίες όπου οι τελεστές της ανάλυσης είναι οι τελεστές δεσμευμένης μέσης τιμής (conditional expectations) ως προς τις σ-άλγεβρες μιας ήθησης (filtration) ή ενός martingale. Κατασκευάζεται κατ’ αρχήν ο Τελεστής του Χρόνου της Διαδικασίας Bernoulli και υπολογίζεται η ηλικία της. Με βάση αυτή την κατασκευή ορίζεται ο Τελεστής του Χρόνου για το Martingale αποκάλυψης ακμών και το Martingale αποκάλυψης κορυφών για ένα τυχαίο γράφημα. Από τον Τελεστή του Χρόνου εκτιμάται επίσης η ηλικία αυτών των διαδικασιών.Κάθε τυχαία μεταβλητή Χ σε έναν δειγματικό χώρο Ω ορίζει με μοναδικό τρόπο μία διαμέριση ξ του Ω. Είναι εκείνη η διαμέριση που δίνει ίδια αποτελέσματα στα ενδεχόμενα του κάθε κελιού, δηλαδή Χ(α)=Χ(β) για κάθε α, β που ανήκουν στο ίδιο κελί της διαμέρισης ξ. Σε κάθε διαμέριση αντιστοιχεί μία και μόνο μία σ-άλγεβρα γεγονότων του Ω. Είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα κελιά της διαμέρισης ξ και τα συμπληρωματικά τους. Έναν χώρο Hilbert ℋ τυχαίων μεταβλητών με πεπερασμένη διασπορά μπορώ να τον προβάλω στον υπόχωρο των τυχαίων μεταβλητών που είναι μετρήσιμες ως προς μία μικρότερη σ-άλγεβρα. Ο σχετικός τελεστής προβολής στα κελιά της διαμέρισης που παράγει τη συγκεκριμένη σ-άλγεβρα είναι ο τελεστής δεσμευμένης μέσης τιμής (conditional expectation). Με βάση τον ισομορφισμό του Martingale αποκάλυψης ακμών ενός γραφήματος με την διαδικασία Bernoulli, κατασκευάζονται:• Ο Τελεστής του Χρόνου για μη κατευθυνόμενα γραφήματα• Ο Τελεστής του Χρόνου για κατευθυνόμενα γραφήματα• Ο Τελεστής του Χρόνου για απλά γραφήματα.Το Martingale αποκάλυψης κορυφών είναι επίσης ισόμορφο με το Martingale της διαδικασίας Bernoulli επειδή είναι ισόμορφο προς το Martingale αποκάλυψης ακμών. Έτσι, κατασκευάζεται ο Τελεστής του Χρόνου για το Martingale αποκάλυψης κορυφών.Στην εργασία αυτή, έχουν γενικευτεί τα Martingale αποκάλυψης ακμών και κορυφών στην περίπτωση που οι πιθανότητες των ακμών είναι άνισες. Αυτή η γενίκευση δεν βρέθηκε στη σχετική βιβλιογραφία ενώ είναι χαρακτηριστική ιδιότητα των πραγματικών δικτύων της Βιολογίας, των κοινωνικών δικτύων και του Διαδικτύου. Αυτές είναι πιθανές κατασκευές και εφαρμογές Τελεστών του Χρόνου σε μελλοντικές μελέτες.