Το Φάσμα ενός Μεταθετικού Δακτυλίου, μια Εισαγωγή στα Αφφινικά Σχήματα
Creators: name: Χατζημάρκου, Σωτηρία Σταύρου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2023
Subjects: Φάσμα Μεταθετικού Δακτυλίου
Αφφινικά Σχήματα
Τοπολογία Zariski
Spectrum of Commutative Ring
Affine Schemes
Zariski Topology

description: Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής διπλωματικής εργασίας ήταν η μελέτη του φάσματος ενός μεταθετικού δακτυλίου, δηλαδή του συνόλου των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου. Μελετήσαμε το φάσμα ως τοπολογικό χώρο και ορίσαμε μια τοπολογία σε αυτό, που λέγεται τοπολογία Zariski. Αποδείξαμε ότι η τοπολογία Zariski έχει μια βάση, που αποτελείται από ανοικτά σύνολα. Στη συνέχεια μελετήσαμε βασικές ιδιότητες των τοπολογικών χώρων στο φάσμα και παρουσιάσαμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες το φάσμα είναι συνεκτικός, συμπαγής, ανάγωγος και Hausdorff τοπολογικός χώρος. Συνδέσαμε αυτές τις τοπολογικές ιδιότητες του φάσματος με την διάσταση Krull του μεταθετικού δακτυλίου. Επίσης, αποδείξαμε ότι οι ομομορφισμοί δακτυλίων όταν επεκτείνονται στο φάσμα είναι πάντα συνεχείς. Ακόμη δείξαμε πως το φάσμα μαζί με ένα δράγμα, που λέγεται το δράγμα δομής του φάσματος, έχει δομή τοπικά δακτυλιοειδή χώρου. Τέλος, αποδείξαμε ότι το φάσμα αποτελεί έναν ανταλλοίωτο συναρτητή από την κατηγορία των μεταθετικών δακτυλίων στην κατηγορία των τοπικά δακτυλιοειδών χωρών. Στην συνέχεια αποδείξαμε πως ο συναρτητής αυτός είναι πλήρης και πιστός και η εικόνα του στην κατηγορία των τοπικά δακτυλιοειδή χώρων είναι η κατηγορία των αφφινικών σχημάτων. Κλείσαμε την εργασία με το βασικό μας αποτέλεσμα που είναι ότι το φάσμα αποτελεί μια ισοδυναμία κατηγοριών από την αντίστροφη κατηγορία των μεταθετικών δακτυλίων σε μια πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των τοπικά δακτυλιοειδή χώρων, που είναι η κατηγορία των αφφινικών σχημάτων.
description: The purpose of this master thesis was the study of the spectrum of a commutative ring, i.e. the set of all the prime ideals of the ring. We studied spectrum as topological space and we defined a topology of the spectrum, which is called the Zariski topology. We proved that the Zariski topology has a basis, that consists of open sets. Then, we studied basic properties of topological spaces at spectrum and we presented under what conditions spectrum is connected, compact, irreducible and Hausdorff topological space. We connected these topological properties of spectrum with the Krull dimension of the commutative ring. Also, we proved that ring homomorphisms when they are extended at spectrum are always continuous. Also, we proved that spectrum together with a sheaf, that is called the structure sheaf of spectrum, is a locally ringed space. Finally, we proved that spectrum is a contravariant functor from the category of commutative rings to the category of locally ringed spaces. Then, we proved that this functor is fully faithful and it’s image to the category of locally ringed spaces is the category of affine schemes. We finished this thesis with our main result which is that spectrum is an equivalence of categories between the opposite category of the category of commutative rings to a full subcategory of the category of locally ringed spaces, that is the category of affine schemes.