Involutionen als Erzeugende in unitären Gruppen
Creators: name: Bünger, Florian
Publisher: name: TUHH Universitätsbibliothek
Year: 1997
Subjects: classificationCode: 004
subject: Informatik
classificationCode: 510
subject: Mathematik

description: F¨ur die Strukturanalyse der sogenannten ’Klassischen Gruppen’ [mit diesen sind hier allgemeine lineare Gruppen und orthogonale, symplektische oder unitäre Gruppen bezüglich regul¨arer symplektischer, symmetrischer oder hermitescher Formen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum über einem kommutativen Körper gemeint] hat es sich bewährt, Erzeugendensysteme mit besonderen Eigenschaften zu studieren. Dies findet in exemplarischer Weise in dem bekannten Werk ’La géométrie des groupes classiques’ von J. Dieudonn´e [22] seine Bestätigung. Was aber sind ausgezeichnete Erzeugendensysteme? Sicherlich bilden die einfachen Elemente einer klassischen Gruppe ein solches. Dies sind Abbildungen, die eine Hyperebene festlassen, oder anders formuliert: Abbildungen, die auf dem projektiven Raum eine Axial-Kollineation induzieren. Dabei unterscheidet man zwischen Transvektionen - das Zentrum der induzierten Abbildung liegt auf der Achse - und Dilatationen. Falls die betrachtete klassische Gruppe sowohl Transvektionen als auch Dilatationen enthält, werden diese beiden Erzeugendensysteme gew¨ohnlich getrennt untersucht. Klassische Resultate lauten: (1) Alle einfachen Elemente einer symplektischen Gruppe sind Transvektionen, und diese erzeugen die ganze Gruppe. (2) Alle einfachen Elemente orthogonaler Gruppen sind Symmetrien [involutorische einfache Abbildungen]. Hat der Grundkörper eine Charakteristik 6= 2, so sind die Symmetrien Dilatationen und andernfalls Transvektionen. Jede orthogonale Gruppe mit der einzigen Ausnahme O+(4, 2) wird von ihren einfachen Elementen erzeugt. (3) Dilatationen in unitären Gruppen werden Quasi-Symmetrien genannt. Bis auf U(2, 2) wird jede unitäre Gruppe von Quasi-Symmetrien erzeugt. Weiterhin ist man an Erzeugendensystemen interessiert, deren Elemente keiner Einschränkung hinsichtlich der Dimension ihres Fix-Raumes unterliegen. Weil diese Produkte der unter (1) bis (3) aufgeführten einfachen Elemente sind [mit den angegebenen Ausnahmen], liegt es nahe, möglichst ’elementare’ Produkte zu betrachten. Es bieten sich diejenigen an, die aus paarweise kommutierenden Faktoren bestehen. In orthogonalen Gruppen über Körpern mit Charakteristik 6= 2 erhält man auf diese Weise alle Involutionen. In unitären Gruppen werden diese Abbildungen E.W. Ellers [28] folgend Quasi-Involutionen genannt. Wie üblich, geht die Analyse stets mit der Kennzeichnung einher, so daß der Wunsch besteht eine klassische Gruppe über die Eigenschaften eines Erzeugendensystems axiomatisch zu charaktrisieren. In dem Buch von F. Bachmann [2] über den ’Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff’ heißt es hierzu: Eine Lösung des Charakterisierungsproblems wird erleichert, wenn zuvor das Längenproblem und das Relationenproblem gelöst werden. Das Längenproblem ist die Frage nach der Minimalzahl von Erzeugenden, die zur Darstellung eines bestimmten Gruppenelements notwendig sind. Das Relationenproblem ist die Frage nach einer Menge möglichst kurzer Relationen zwischen Erzeugenden mit der Eigenschaft, daß jede Relation zwischen Erzeugenden Folgerelation von Relationen dieser Menge ist. Es sind die grundlegenden Arbeiten von E. Cartan [15], P. Scherk [65], J. Dieudonn´e [21] und D. Callan [13], in denen die Längenprobleme bezüglich der unter (1) bis (3) angegebenen Erzeugendensysteme gel¨ost werden. Das Involutionen-Längenproblem in orthogonalen Gruppen und symplektischen Gruppen über Körpern der Charakteristik 2 wird in den Arbeiten von M.J. Wonenburger [79], D.ˇZ. Djokovi´c [23], R. Gow [38] und E.W. Ellers und W. Nolte [29] gelöst. Diese Arbeit ordnet sich in den Kreis der Längenprobleme ein, und gehört daher im Sinne von Bachmann dem Bereich der Kennzeichnung klassischer Gruppen an. Gegenstand sind uniäre Gruppen, und als Erzeugendensysteme in diesen werden einerseits unitäre Symmetrien und andererseits die Menge aller unitären Involutionen betrachtet. Es werden die Längenprobleme bezüglich beider Erzeugendensysteme eingehend studiert. Für das Involutionen-Längenproblem ist es naheliegend, ersteinmal zu fragen, wann ein unitäres Element ein Produkt von zwei unitären Involutionen ist. Diesem Problem ist das Kapitel 2 gewidmet. Der dort eingeschlagene Weg erfordert eine genaue Kenntnis der auf J. Williamson und G.E. Wall zurückgehenden Beschreibung der Konjugiertenklassen klassischer Gruppen. Eine konzentrierte Einführung in dieses Gebiet gibt das erste Kapitel. Kapitel 3 behandelt dann das Symmetrien- Längenproblem - dabei bereiten die kleinen Körper F4 und F9 besondere Schwierigkeiten - und Kapitel 4 das Involutionen- Längenproblem. Dieses hängt eng mit den Vermutungen von O. Ore und J.G. Thompson zusammen. Den Kapiteln 2,3 und 4 sind ausführliche Einleitungen vorangestellt, auf welche ich hier für eine genaue Beschreibung der hergeleiteten Kernresultate verweisen möchte.