Βασικές Ιδιότητες και Αποτελέσματα των Copulas
Creators: name: Δημητριάδου, Δήμητρα Ελευθερίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2023
Subjects: subject: Στατιστική
subject: Σύνδεσμοι
subject: Εφαρμογές
subject: Statistics
subject: FOS: Mathematics
subject: Copulas
subject: Applications

description: Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την έννοια των Copulas (συνδέσμων). Πιο συγκεκριμένα γίνεται αναφορά στην ιστορική αναδρομή των συνδέσμων, οι ιδιότητες και οι εφαρμογές των οποίων αποτελούν ένα ενδιαφέρον αντικείμενο της επιστήμης της στατιστικής και των πιθανοτήτων τα τελευταία χρόνια. Έπειτα, δίνονται οι συμβολισμοί, οι βασικές έννοιες και οι απαραίτητοι ορισμοί που απαιτούνται για τον προσδιορισμό και την καλύτερη κατανόηση των συνδέσμων, τόσο στις 2 διαστάσεις, όσο και σε περισσότερες. Ακολουθεί μια αναφορά στις συνήθεις οικογένειες συνδέσμων, όπως στην οικογένεια των Ελλειπτικών και των Αρχιμήδειων συνδέσμων και σε κάποιες χρήσιμες εφαρμογές τους στον τομέα των χρηματοοικονομικών και αλλού. Στην συνέχεια, γίνεται λόγος για τις μεθόδους εκτίμησης των συνδέσμων και για τους τρόπους επιλογής του κατάλληλου συνδέσμου ανάλογα με τα δεδομένα. Επιπλέον, δίνονται τα βασικά θεωρήματα πάνω στην θεωρία των συνδέσμων (όπως, θεώρημα Sklar, φράγματα Fréchet-Hoefffding, κλπ), μελετάται ο ρόλος των συνδέσμων στη συσχέτιση μεταξύ τυχαίων μεταβλητών και αναλύονται δύο σημαντικοί συντελεστές συσχέτισης, του Kendall και του Spearman. Ακόμη, παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι προσομοίωσης από τις συνήθεις οικογένειες συνδέσμων και γίνεται μία προσομοίωση πάνω στους Αρχιμήδειους συνδέσμους. Έπειτα, δίνονται οι βασικές έννοιες για τα μεικτά μοντέλα και παρουσιάζεται ο αλγόριθμος Μεγιστοποίησης Προσδοκιών (Expectation Maximization algorithm) που συμβάλει στην μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας για την εκτίμηση παραμέτρων για την προσαρμογή του μοντέλου. Τέλος, αναλύεται η περίπτωση που τα δεδομένα είναι συνεχή και ακολουθεί μία βασική εφαρμογή ομαδοποίησης και επιλογής του καλύτερου μοντέλου πάνω σε τεχνητά δεδομένα
description: This thesis deals with the concept of Copulas (links). More specifically, reference is made to the historical review of copulas, the properties and applications of which have been an interesting subject of the Science of Statistics and Probability in recent years. Then, the notations, the basic concepts and the necessary definitions required for the identification and better understanding of copulas, are given both in two dimensions and in more. There follows a reference to common families of copulas, such as the Elliptic and Archimedean copulas, and some useful applications of these in Finance and elsewhere. Then, the copula estimation methods and the ways to choose the appropriate copula depending on the data are presented. In addition, the basic theorems on the Theory of Copulas are given (such as Sklar's theorem, Fréchet-Hoefffding Bounds, etc.), the role of copulas in the correlation between random variables is studied and two important correlation coefficients, Kendall's and Spearman's, are analyzed. Furthermore, the simulation algorithms from the usual families of copulas are described and a simulation is made on the Archimedean copulas. After that, the basic concepts for mixed models are delineated and the Expectation Maximization algorithm, which contributes to the maximization of the likelihood for parameter estimation to fit the model, is presented. Finally, the case where the data are continuous is analyzed and a basic application of clustering and selecting the best model on artificial data is described