title: Homogeneous Ricci flows and the Dynamical Alekseevskii Conjecture
Creators: name: Araujo, Roberto
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2025
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: Diese Dissertation befasst sich mit der Ricci-Fluss-Gleichung in der riemannischen
Geometrie. Das Hauptziel ist es, unser Verständnis des langfristigen Verhaltens von
Ricci-Fluss-Lösungen mit homogenen Anfangsmetriken zu vertiefen. Konkret wird die
Dynamische Alekseevskii-Vermutung behandelt, die besagt, dass der universelle Überzug
einer unsterblichen homogenen Ricci-Fluss-Lösung zusammenziehbar ist. Zunächst stellen
wir ein allgemeines strukturelles Ergebnis für die Isometriengruppe einer homogenen
Mannigfaltigkeit auf, die eine unsterbliche Ricci-Fluss-Lösung zulässt, nämlich dass diese
keine einfache normale kompakte Untergruppe enthält. Danach zeigen wir, dass die
Vermutung für zwei spezielle Mengen homogener Anfangsmetriken gilt: die
awesome-Metriken und die awesome-Polarmetriken. Das Testen der Vermutung in diesen
Fällen ist von Interesse, weil sie Metriken mit negativer Ricci-Krümmung enthalten und
daher komplexere Argumente erfordern, um die anfänglichen Krümmungsschätzungen zu
verbessern, was wiederum unser Verständnis des allgemeinen Falls erweitern könnte. Im
Fall der awesome-Metriken führen die gewonnenen geometrischen Schätzungen zu einer
genaueren Beschreibung der asymptotischen Geometrien der Lösungen, sowohl im
unsterblichen als auch im nicht unsterblichen Fall.
description: This dissertation deals with the Ricci flow equation in Riemannian geometry. The main goal
is to deepen our understanding of the long-time behavior of Ricci flow solutions with
homogeneous initial metrics. Specifically, it addresses the Dynamical Alekseevskii
Conjecture, which states that the universal covering of an immortal homogeneous Ricci flow
solution is contractible. First, we establish a general structural result for the isometry group
of a homogeneous manifold admitting an immortal Ricci flow solution, namely that it does
not contain a simple normal compact subgroup. We then show that the conjecture holds for
two special sets of homogeneous initial metrics: the awesome metrics and the awesome
polar metrics. Testing the conjecture in these cases is of interest because they include
metrics with negative Ricci curvature and therefore require more involved arguments to
improve the initial curvature estimates, which in turn could expand our understanding of the
general case. In the case of awesome metrics, the obtained geometric estimates lead to a
more accurate description of the asymptotic geometries of the solutions, both in the
immortal and non-immortal cases.
description: 1. Introduction ..... 7
2. Preliminaries ..... 13
2.1. Homogeneous Riemannian manifolds ..... 13
2.1.1. Some curvature formulas ..... 14
2.1.2. Topology of non-compact homogeneous manifolds ..... 22
2.2. Homogeneous Ricci flows ..... 23
2.2.1. Existence and uniqueness of the Ricci flow ..... 23
2.2.2. Special solutions and Ricci solitons ..... 24
2.2.3. Parabolic rescalings and Hamilton's compactness ..... 28
2.2.4. Scalar curvature behavior along Ricci flow ..... 31
2.2.5. Positive scalar curvature homogeneous manifolds ..... 33
3. On the isometry group of immortal homogeneous Ricci flows ..... 37
3.1. The Dynamical Alekseevskii Conjecture in low dimensions ..... 40
4. Long-time behavior of awesome homogeneous Ricci flows ..... 43
4.1. Algebraic bounds for the Ricci curvature ..... 45
4.2. The Dynamical Alekseevskii Conjecture for awesome metrics ..... 51
4.3. Convergence results for awesome metrics ..... 57
4.3.1. The Non-Contractible Case ..... 57
4.3.2. The Contractible Case ..... 61
5. Long-time behavior of awesome polar homogeneous Ricci flows ..... 65
5.1. The bracket flow ..... 66
5.2. The unimodular bracket and Ricci flows ..... 75
5.3. The unimodular Ricci flow along awesome polar metrics ..... 78
5.3.1. Algebraic bounds for the unimodular Ricci curvature ..... 82
5.3.2. The Dynamical Alekseevskii Conjecture on awesome polar metrics ..... 87
A. On the regularity of the eigenvalues of homogeneous Ricci flows ..... 95
A.1. Real analyticity of the Ricci flow solution and its eigenvalues ..... 95
A.2. Some technical lemmas in real analysis ..... 96
Bibliography ..... 101