Βάσεις Ελεύθερων Lie Αλγεβρών
Creators: name: Μέλλιου, Χρυσούλα Χρίστου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2012
Subjects: Βάσεις
Ελεύθερες Άλγεβρες
Λη
Bases
Free Algebras
Lie

description: Στην παρούσα διπλωματική εργασία, μελετάμε βάσεις για τις Ελεύθερες Lie Άλγεβρες. Οι Lie Άλγεβρες ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν του Νορβηγού Μαθηματικού Marius Sophus Lie (1842-1899), ο οποίος ασχολήθηκε με την θεωρία της συνεχούς συμμετρίας, την οποία εισήγαγε στην μελέτη της γεωμετρίας και των διαφορικών εξισώσεων. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμοί και χρήσιμοι συμβολισμοί για την μελέτη και σύγκριση των διαφορετικών βάσεων που έχουν κατασκευαστεί για τις Ελεύθερες Lie Άλγεβρες. Δίνεται ο ορισμός της Lie άλγεβρας, της Lie υποάλγεβρας και ιδεωδών της, που θα μας απασχολήσουν τόσο στην έκφραση των Lie ομομορφισμών όσο και του τανυστικού γινομένου, το οποίο χρησιμοποιείται στην κατασκευή δύο εκ των τεσσάρων βάσεων που μελετάμε. Έπειτα, ορίζονται το ελεύθερο μονοειδές και η ελεύθερη προσεταιριστική Κ-άλγεβρα με τα αντίστοιχα παραδείγματα. Σε αυτό το σημείο, το Θεώρημα Witt μας δίνει έναν τρόπο κατασκευής της ελεύθερης Lie άλγεβρας από την ελεύθερη προσεταιριστική Κ-άλγεβρα πάνω από πεπερασμένο, μη κενό σύνολο Α. Στη συνέχεια, δίνεται ο ορισμός του ελεύθερου μάγματος και των μη προσεταιριστικών λέξεων. Για να γίνουν κατανοητά τα στοιχεία που απαρτίζουν κάθε βάση, δίνονται, επίσης, οι ορισμοί των Hall λέξεων, Lyndon λέξεων και των αντίστοιχων Lyndon πολυωνύμων. Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού, δίνεται έμφαση στους βασικούς Lie μεταθέτες, που θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα στις βάσεις που παρουσιάζονται στο δεύτερο κεφάλαιο, αλλά και στην σύγκριση τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρατίθεται αρχικά η βάση του Hall. Ο Hall απέδειξε ότι το σύνολο των βασικών Lie μεταθετών είναι γραμμικά ανεξάρτητο και πως κάθε στοιχείο μιας ελεύθερης Lie άλγεβρας γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των βασικών Lie μεταθετών της. Αφού δώσουμε την απόδειξη του Hall, παραθέτουμε εφαρμογή για την ελεύθερη Lie άλγεβρα με δύο ελεύθερους γεννήτορες. Έπειτα, ο Shirshov ορίζει τις κανονικές μη προσεταιριστικές λέξεις και δίνει ταυτόχρονα κατασκευή μιας ελεύθερης Lie άλγεβρας βαθμίδας n, n&gt;1 και μία βάση της, που είναι ίδια με τους βασικούς Lie μεταθέτες του Hall. Στη συνέχεια, παρατίθεται η βάση του Lyndon. Θα διαπιστώσουμε ότι η ειδοποιός διαφορά ανάμεσα στην βάση του Lyndon και των Hall-Shirshov, είναι πως οι Lyndon λέξεις ανήκουν στο ελεύθερο μονοειδές A*, δηλαδή είναι προσεταιριστικές, ενώ στην βάση των Hall-Shirshov οι λέξεις ανήκουν στο μάγμα Μ(Α), δηλαδή είναι μη προσεταιριστικές. Δεν υπάρχει όμως μόνο αυτή η διαφορά. Σημειώνουμε ότι το Lyndon πολυώνυμο μιας Lyndon λέξης, ενώ είναι στοιχείο της βάσης της ελεύθερης Lie άλγεβρας, αυτό δεν συνεπάγεται απαραίτητα ότι είναι βασικός Lie μεταθέτης. Επίσης, είναι αρκετά δύσκολο να γράψουμε στην κανονική του μορφή έναν μεταθέτη μεγάλου μήκους, πόσο μάλλον αν οι γεννήτορες της Lie άλγεβρας δεν είναι μόνο δύο αλλά περισσότεροι, διότι απαιτείται η γνώση όλων των βασικών Lie μεταθετών μικρότερου μήκους και η αντίστοιχη δική τους κανονική μορφή. Ο Lyndon έδωσε, επομένως, μια βάση που είναι αποτελεσματικότερη από τις βάσεις των Hall και Shirshov, γιατί οι Lyndon λέξεις καταλαμβάνουν λιγότερο αποθηκευτικό χώρο σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή. Σε κάθε μία περίπτωση δίνεται η αντίστοιχη εφαρμογή, με τελευταία βάση και εφαρμογή αυτής που προκύπτει από τον Lazard. Ο Lazard χρησιμοποιεί την μέθοδο της διαγραφής (Elimination Theorem). Η βάση του αποτελείται από βασικούς Lie μεταθέτες όπως και η βάση του Hall, αλλά διαφοροποιείται αν αντιμετωπίσουμε τις Lie άλγεβρες σαν διανυσματικούς χώρους.
description: In this MSc thesis, we study bases for free Lie Algebras. The Lie algebras were named after the Norwegian Mathematician Marius Sophus Lie (1842-1899), who was involved in the theory of continuous symmetry, which he applied it to the study of geometry and differential equations. In chapter 1, we give definitions and notations for the study and comparison of the different bases that are constructed for free Lie algebras. We define Lie algebra, Lie subalgebra and ideal, which will concern us in the expression of the Lie homomorphisms as well as the tensor product, which is used in the construction of two of the four bases we study. Furthermore, we define free monoid and free associative K-algebra. Some examples are given. Witt’s theorem gives us a way of constructing a free Lie algebra from the free associative K-algebra. Next, we give the definition of free magma and the non-associative words. In order to understand the elements which form each basis, we also give the definitions of Hall words, Lyndon words and the corresponding Lyndon polynomials. Finally, we emphasize the basic Lie commutators, which will concern us especially in the bases that are presented in the second chapter and their comparison also. In chapter 2, Hall’s basis is firstly cited. Hall proved that the set of the basic Lie commutators is linearly independent and that every element of a free Lie algebra is written as linear combination of basic Lie commutators. We give an application for a free Lie algebra of rank 2. Afterwards, Shirshov defines the regular non associative words and gives simultaneously a construction of a free Lie algebra with degree n, n&gt;1 and a basis, which is the same with the basic Lie commutators of Hall. Next, we give Lyndon’s basis. We will detect that the distinguish difference between Lyndon’s basis and Hall-Shirshov’s basis is that Lyndon words belong in the free monoid A*, making them associative, while the words in Hall-Shirshov’s basis belong to the free magma M(A), which makes them non-associative. Nevertheless, there is not only this difference. We note that a Lyndon polynomial of a Lyndon word, while it is an element of the basis of the free Lie algebra that does not imply necessarily that is a basic Lie commutator. Also, it is really difficult to write a Lie commutator of large length in its canonical form, especially if the rank of a free Lie algebra is at least 3. The knowledge of all basic Lie commutators of smaller length is required as well as their canonical form. Therefore, Lyndon constructed a basis which is more efficient of the bases of Hall and Shirshov, because Lyndon words occupy less storage space in a computer. In any case, the respective application is given, with last but not least the basis and application of Lazard. Lazard uses the method of elimination. His basis consists of basic Lie commutators as in Hall’s basis, but it is diversified if we face Lie algebras as vector spaces.