title: Boltzmann-Gibbs local-interaction models for spatial regression problems

title: Μοντέλα τοπικών αλληλεπιδράσεων Boltzmann-Gibbs για προβλήματα χωρικής παλινδρόμησης
Creators: name: Τογανιδης Νικολαος
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2024

description: Machine learning and Geostatistics are powerful mathematical frameworks for modeling spatial data. Both approaches, however, suffer from poor scaling of the required computational resources for large data applications. In 2015 the Stohastic Local Interaction (SLI) model was presented, which combined machine learning and geostatistics and with its local representation employment improved computational efficiency. Though the model is very stable and performs well, its performance relies on some assumptions that do not always hold. Specifically, due to it is based on a joint probability density function (Boltzmann-Gibbs pdf) defined by an energy functional and is expressed in terms of explicit, typically sparse, precision (inverse covariance) matrix, the curvature term (used to construct this precision matrix) must be semi-positive definite, and depends on the given dataset. In this thesis, to eliminate those assumptions, the Graph Laplacian (GL) version of the model is introduced. Curvature terms now are calculated with the use of the second order of the Graph Laplacian, constructed using kernel functions and its local bandwidths to keep the local representation employment and at the same time the low complexity, and prediction performance of the original model. This version leads to a spatial analysis model, for any dimension with a good performance and low complexity, and now for any kind of spatial dataset.
description: Η Μηχανική Μάθηση και η Γεωστατιστική είναι ισχυρά μαθηματικά πλαίσια για τη μοντελοποίηση χωρικών δεδομένων. Και οι δύο προσεγγίσεις, ωστόσο, υποφέρουν από κακή κλιμάκωση των απαιτούμενων υπολογιστικών πόρων για μεγάλες εφαρμογές δεδομένων. Το 2015 παρουσιάστηκε το μοντέλο Stohastic Local Interaction (SLI), το οποίο συνδυάζει τεχνικές μηχανικής μάθησης και γεωστατιστικής, ενώ με την εφαρμογή της τοπικής αναπαράστασής του βελτίωσε την υπολογιστική απόδοση. Αν και το μοντέλο είναι πολύ σταθερό, δίνοντας υπσσχόμενα αποτελέσματα, η απόδοσή του βασίζεται σε ορισμένες υποθέσεις που δεν ισχύουν πάντα. Συγκεκριμένα, επειδή στηρίζεται σε μια κοινή Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (BoltzmannGibbs ΣΠΠ) που ορίζεται από μια energy functional και εκφράζεται με όρους ενός, συνήθως αραιού, πίνακα ακριβείας, o όρος κυρτότητας (που χρησιμοποιείται για την κατασκευή αυτού του πίνακα ακριβείας) πρέπει να είναι ημι-θετικά ορισμένος, και εξαρτάται από το σύνολο δεδομένων. Σε αυτή τη διατριβή, προκειμένου να εξαλειφθούν αυτές οι υποθέσεις, εισάγεται η έκδοση του μοντέλου Graph Laplacian (GL). Οι όροι κυρτότητας υπολογίζονται τώρα με τη χρήση της δεύτερης τάξης του Λαπλασιανού γράφου, που κατασκευάστηκε χρησιμοποιώντας συναρτήσεις πυρήνα και τα τοπικά εύρη ζώνης του, για να διατηρηθεί η τοπική αναπαράσταση και ταυτόχρονα η χαμηλή πολυπλοκότητα και η απόδοση πρόβλεψης του αρχικού μοντέλου. Αυτή η έκδοση οδηγεί σε ένα μοντέλο χωρικής ανάλυσης, για κάθε διάσταση με καλή απόδοση και χαμηλή πολυπλοκότητα και, επέκεινα, για κάθε είδος χωρικού συνόλου δεδομένων.