title: Variational models and methods in material science and evolution equations
Creators: name: Voso, Riccardo
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Variationsprinzipien sind wichtige Instrumente zur Beschreibung und Analyse physikalischer Phänomene. Eine Methode, die Existenz von Lösungen für partielle Differentialgleichungen zu beweisen, besteht darin, ein Funktional zu minimieren, dessen Euler-Lagrange-Gleichung der gegebenen partiellen Differentialgleichung entspricht. Da es in manchen Fällen einfacher ist, stationäre Punkte für das entsprechende Funktional zu finden, als die Existenz von Lösungen auf der Ebene der Gleichungen zu beweisen, liefert diese Methode eine Möglichkeit des direkten Nachweises der Existenz einer Lösung. Die Herausforderung bei dem Ansatz ist es ein geeignetes Funktional zu finden. Das sogenannte WED-Variationsprinzip (Weighted Energy-Dissipation) stellt einen alternativen Ansatz im Vergleich zu den klassischen Variationsprinzipien dar und bietet interessante mathematische Perspektiven zur Behandlung von partiellen Differentialgleichungen. Diese Methode besteht darin, ein Funktional zu finden, dessen Euler-Lagrange-Gleichung eine regularisierte Version der betrachteten partiellen Differentialgleichung ist. Diese Regularisierung führt zu einer höheren Flexibilität in Anwendungen und ermöglicht es, sowohl konservative als auch dissipative Systeme auf variationelle Weise zu beschreiben. Der Nachteil dieser Herangehensweise ist jedoch der Nachweis des sogenannten kausalen Limits (causal limit), also die abschließende Aufhebung der Regularisierung. In dieser Dissertation behandeln wir drei Probleme mit Hilfe des WED-Ansatzes. Zunächst stellen wir einen neuartigen Ansatz zur Untersuchung semilinearer Gradientenflüsse mit zustandsabhängiger Dissipation vor. Dies führt dazu, dass die Euler-Lagrange-Gleichung spezifische zustandsabhängige dissipative Terme aufweist, welche minimale Integrierbarkeit in der Zeit zeigen, was das Problem auf technischer Ebene erheblich erschwert. Des weiteren untersuchen wir ein allgemeines Problem der optimalen Steuerung im Rahmen von Gradientenflüssen. Wir schlagen zwei Approximationen des Problems vor, die beide auf der Variationsformulierung der Gradientenflussdynamik über den WED-Ansatz beruhen. Schlussendlich stellen wir einen Variationsansatz für die Dynamik hyperelastischer Materialien mit Hilfe der WED-Variantionstheorie vor, welcher global in der Zeit ist.
description: Variational principles are an important tool to analyze and describe natural phenomena. The {\it Weighted Energy-Dissipation} (WED) variational principle offers interesting mathematical perspectives, particularly when dealing with partial differential equations (PDEs). A possible approach to proving the existence of solutions for PDEs involves minimizing a functional whose Euler-Lagrange equation corresponds to the given PDE. If such a functional can be found, the problem of existence for the PDE is translated into seeking stationary points for the identified functional. In some cases, finding stationary points of the functional is often simpler than directly demonstrating the existence of solutions for the PDE. Despite its effectiveness, defining an appropriate functional is not always straightforward or trivial. The WED variational principle presents an alternative approach compared to classical variational principles. In this method, the goal is to find a functional whose Euler-Lagrange equation is a regularized version of the considered PDE. This regularization introduces greater flexibility in applications, allowing both conservative and dissipative systems to be described in a variational fashion. Nevertheless, this advantage of applicability comes at the expense of proving the so-called {\it causal limit}, namely the removal of the regularization. In this thesis, we tackle three problems by means of the WED approach. We first introduce a novel approach to studying semilinear gradient flows with state-dependent dissipation. This extension has deep impact on the technical level. Most notably, the structure of the Euler-Lagrange equation features specific state-dependent dissipative terms showing minimal integrability in time. Then, we move to a general optimal control problem in the setting of gradient flows. We propose two approximations of the problem, both relying on the variational formulation of the gradient-flow dynamics via the WED approach. Eventually, we present a global-in-time variational approach to the dynamics of hyperelastic materials via the WED variational theory.