title: Existence results and dimension reduction problems in large-strain magnetoelasticity
Creators: name: Bresciani, Marco
Publisher: name: :none
Year: 2022

description: Die Dissertation befasst sich mit der Analyse des Variationsmodells von Brown für die Magnetoelastizität bei großer Dehnung. Ein charakteristisches Merkmal dieses Modells besteht in seiner gemischten Euler-Lagrange-Formulierung: während Deformationen in der Referenzkonfiguration definiert sind (Lagrange-Bild), werden Magnetisierungen in der deformierten Konfiguration im realen Raum beschrieben (Euler-Bild). Die Doktorarbeit ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil untersuchen wir die Existenz von Lösungen, sowohl im statischen als auch im quasistatischen Setting. Im statischen Fall entsprechen die Lösungen den Minimierern der magnetoelastischen Energie. Im quasistatischen Umfeld werden Lösungen im energetischen Sinne mit der Theorie von Ratenunabhängigen Prozessen definiert. Wir zeigen ein Kompaktheitsresultat, welches insbesondere die Konvergenz der Zusammensetzungen von Magnetisierungen mit Deformationen garantiert. Dies ermöglicht uns, die Existenz von Minimierern mittels klassischer Methoden der Unterhalbstetigkeit zu beweisen. Das Kompaktheitsresultat erlaubt es auch, den quasistatischen Fall zu analysieren, wobei wir Ratenunabhängige Prozesse betrachten, die durch aufgebrachte Lasten und Randbedingungen angetrieben werden. Wir beweisen die Existenz energetischer Lösungen, wobei wir uns zunächst auf kontinuierliche Verformungen beschränken. Danach betrachten wir zulässige Verformungen in der von Barchiesi, Henao und Mora-Corral (2017) eingeführten Klasse der möglicherweise unstetigen Deformationen, bei denen Kavitation, also die Bildung von Hohlräumen im Material, ausgeschlossen ist. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir das Problem der Dimensionsreduktion für magnetoeelastische Platten. Ziel ist es, ein reduziertes zweidimensionales Modell zu identifizieren, welches das asymptotische Verhalten von Minimierern der magnetoleastischen Energie beschreibt, wenn die Dicke der Platte gegen Null strebt. Wir konzentrieren uns auf Niedrigenergiekonfigurationen durch Umskalierung der elastischen Energie gemäß dem linearisierten von Kármán-Regime. Zuerst identifizieren wir ein reduziertes Modell, indem wir den Γ-Limes der magnetoelastischen Energie bei verschwindender Plattendicke berechnen. Dann führen wir aufgebrachte Lasten ein, die durch mechanische Kräfte und externe Magnetfelder gegeben sind, und zeigen, dass unter geklemmten Randbedingungen Folgen von “Fast-Minimierern” der Gesamtenergie zu Minimierern der entsprechenden Energie im reduzierten Modell konvergieren. Schließlich betrachten wir zeitabhängige aufgebrachte Lasten und Dissipationsfunktionale wie im ersten Teil der Arbeit, und beweisen, dass energetische Lösungen des dreidimensionalen Modells unter Dimensionsreduktion zu energetischen Lösungen des reduzierten zweidimensionalen Modells konvergieren. Somit ist unser reduziertes zweidimensionales Modell auch im Rahmen der evolutionären Γ-Konvergenz bestätigt.
description: The thesis concerns the analysis of the variational model of Brown for magnetoelasticity at large-strains. A characteristic feature of this model consists in its mixed Eulerian-Lagrangian fomulation: while deformations are defined on the reference configuration (Lagrangian), magnetizations are defined on the deformed configuration in the actual space (Eulerian). The thesis is subdivided into two parts. In the first part, we investigate the existence of solutions, both in the static and in the quasistatic setting. In the static setting, solutions correspond to minimizers of the magnetoelastic energy while, in the quasistatic setting, these are understood in the energetic sense according to the theory of rate-independent processes. We establish a compactness result which, in particular, yields the convergence of the compositions of magnetizations with deformations. This enables us to prove the existence of minimizers by means of classical lower semicontinuity methods. Our compactness result also allows us to address the analysis in the quasistatic setting, where we examine rate-independent evolutions driven by applied loads and boundary conditions. In this case, we prove the existence of energetic solutions. At first, we restrict ourselves to the case of continuous deformations; subsequently, we assume that admissible deformations belong to the class of possibly discontinuous deformations for which cavitation, i.e., the formation of voids inside the material, is excluded introduced by Barchiesi, Henao and Mora-Corral (2017). In the second part of the thesis, we investigate the problem of dimension reduction for magnetoelastic plates. The aim is to identify a reduced two-dimensional model, as the thickness of the plate goes to zero, describing the asymptotic behaviour of minimizers of the magnetoleastic energy. We focus on low-energy configurations by rescaling the elastic energy according to the linearized von Kármán regime. First, we identify a reduced model by computing the Γ-limit of the magnetoleastic energy, as the thickness of the plate goes to zero. Then, we introduce applied loads given by mechanical forces and external magnetic fields, and we show that, under clamped boundary conditions, sequences of almost minimizers of the total energy converge to minimizers of the corresponding energy in the reduced model. Finally, we consider time-dependent applied loads and dissipation functionals as in the first part of the thesis, and we prove that energetic solutions of the three-dimensional model converge, in the sense of dimension reduction, to energetic solutions of the reduced two-dimensional model. This last result provides a further justification of the latter in the framework of evolutionary Γ-convergence.