title: Geometrical aspects of qudits concerning Bell inequalities
Creators: name: Spengler, Christoph Ari
Publisher: name: :none
Year: 2008

description: Diese Diplomarbeit setzt sich mit Verschränkung und Nichtlokalität in bipartiten endlich-dimensionalen Systemen (bipartite Qudits) auseinander. Die Verschränkung ist eines der faszinierendsten nichtklassischen Phänomene der Quantentheorie, und neben ihrer Bedeutung für unser Weltbild findet sie Anwendung in der Quantenkryptographie und der Quanteninformatik. Diese Tatsache hat zu wachsendem Interesse und ausgiebiger Forschung auf diesem Gebiet geführt. Verschränkung und Nichtlokalität werden für gewöhnlich als ein und dasselbe angesehen. Jedoch ist dies unter genauer Betrachtung nicht als selbstverständlich hinzunehmen, was daran liegt, dass Verschränkung durch die mathematische Struktur eines Zustands in einem zusammengesetzten Hilbertraum definiert ist. Nichtlokalität hingegen besagt, dass das statistische Verhalten eines Systems nicht durch eine lokal-realistische Theorie beschrieben werden kann. Für letzteres ist wesentlich, dass die Korrelationswahrscheinlichkeiten solcher Theorien sogenannte Bell-Ungleichungen erfüllen, welche jedoch durch bestimmte Quantenzustände verletzt werden. Diese Diplomarbeit dient insbesondere dazu, beide Eigenschaften miteinander zu vergleichen. Für die Untersuchung der Verschränkung werden aktuelle Separabilitätskriterien vorgestellt und diskutiert. Aufgrund der Tatsache, dass die Korrelationswahrscheinlichkeiten im Allgemeinen von der Messsituation abhängen, ist es notwendig diese zu optimieren, um Nichtlokalität nachzuweisen. Dieses Problem wird für eine bestimmte Bell-Ungleichung (CGLMP) durch einen selbstentwickelten numerischen Suchalgorithmus gelöst. Die besprochenen Methoden werden dann auf Dichtematrizen eines Unterraums, aufgespannt durch Projektoren von maximal verschränkten Zwei-Qudit-Zuständen, angewandt. Diese Menge von Zuständen hat nicht nur interessante Eigenschaften im Bezug auf unsere Untersuchungen, sondern dient auch dazu, den Zustandsraum zu visualisieren und geometrisch zu analysieren.
description: The aim of this thesis is to investigate quantum entanglement and quantum nonlocality of bipartite finite-dimensional systems (bipartite qudits). Entanglement is one of the most fascinating non-classical features of quantum theory, and besides its impact on our view of the world, it can be exploited for applications such as quantum cryptography and quantum computing. This circumstance has led to a growing interest and profound investigations in this area. Although entanglement and nonlocality are ordinarily regarded as one and the same, under close consideration this cannot be taken for granted. The reason for this is that entanglement is defined by the mathematical structure of a quantum state in a composite Hilbert space, whereas nonlocality signifies that the statistical behaviour of a system cannot be described by a local realistic theory. For the latter it is essential that the correlation probabilities of such theories obey so-called Bell inequalities, which are violated for certain quantum states. The main focus of this thesis is on the comparison of both properties with the objective of understanding their relation. In terms of the analysis of entanglement, recent methods for the detection are presented and discussed. Because of the fact that the correlation probabilities in general depend on the measurement settings it is necessary to optimise these in order to reveal nonlocality. This problem is solved for a particular Bell inequality (CGMLP) by means of a self-developed numerical search algorithm. These methods are then applied to density matrices of a subspace spanned by the projectors of maximally entangled two-qudit states. This set of states has not only interesting properties with respect to our investigations, but also serves to visualise and analyse the state space geometrically.