Το θεώρημα των Gauss- Bonnet για συμπαγείς προσανατολισμένες πολλαπλότητες άρτιας διάστασης.:
Creators: name: Στεργίου, Δημήτριος Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2013
Subjects: Διανυσματική δέσμη
άθροισμα Whitney
Θεώρημα Chern- Gauss- Bonnet
Vector Bundle
Whitney Sum
Chern- Gauss- Bonnet theorem

description: Ένα από τα πιο όμορφα θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών είναι το γνωστό ως Θεώρημα των Gauss-Bonnet που μας λέει ότι: Εάν Μ είναι μία προσανατολισμένη κλειστή επιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο , Κ η καμπυλότητα του Gauss αυτής και χ(Μ) η χαρακτηριστική του Euler αυτής, τότε . Η δύναμη του θεωρήματος είναι ότι συνδέει την καμπυλότητα του Gauss Κ της Μ, που έχει τοπικό χαρακτήρα, με τη χαρακτηριστική του Euler χ(Μ) της Μ που είναι μία ολική τοπολογική αναλλοίωτη (δηλαδή δεν αλλάζει εάν παραμορφώσουμε την επιφάνεια κατά συνεχή τρόπο) και μας λέει ότι η ολική καμπυλότητα της Μ δεν εξαρτάται από το πώς καμπυλώνεται η Μ μέσα στον αλλά μόνο από την τοπολογία της. Από την άλλη πλευρά, στη Σύγχρονη Διαφορική Γεωμετρία η έννοια της Διαφορίσιμης Πολλαπλότητας αποτελεί γενίκευση των εννοιών της καμπύλης και της επιφάνειας. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι μία διαφορίσιμη (λεία) πολλαπλότητα είναι μία γεωμετρική οντότητα που τοπικά μοιάζει μ’ ένα κομμάτι του Ευκλείδειου χώρου . Έτσι, ένα από τα βασικά ερωτήματα που απασχόλησε τους γεωμέτρες στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα ήταν εάν το Θεώρημα των Gauss-Bonnet μπορούσε να γενικευθεί στις πολλαπλότητες. Η πρώτη γενίκευσή του δόθηκε από τον Hopf [Η] για υπερεπιφάνειες του Ευκλείδειου χώρου . Ακολούθησε η εργασία των Allendoerfer και Weil [AlW] για πολλαπλότητες Riemann εμβυθισμένες σ’ Ευκλείδειους χώρους, ενώ για κλειστές προσανατολισμένες πολλαπλότητες Riemann, χωρίς την υπόθεση ότι έχουν έναν περιβάλλοντα Ευκλείδειο χώρο, το Θεώρημα γενικεύθηκε από τον S.S. Chern [Che]. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση του αποτελέσματος του S.S. Chern. Στο πρώτο Κεφάλαιο, που είναι εισαγωγικό, παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες και τα βασικά αποτελέσματα που χρειαζόμαστε από τη θεωρία των λείων πολλαπλοτήτων. Στο δεύτερο Κεφάλαιο παρουσιάζονται τα στοιχεία που χρειαζόμαστε από τη θεωρία των διανυσματικών δεσμών, όπως το άθροισμα του Whitney κι η επαγόμενη δέσμη, και κυρίως οι έννοιες της σύνδεσης, των μορφών σύνδεσης και καμπυλότητας και της μορφής Euler. Το τρίτο κεφάλαιο αφιερώνεται αποκλειστικά στην απόδειξη του γενικευμένου θεωρήματος Gauss- Bonnet ή όπως αλλιώς καλείται, το Θεώρημα των Chern - Gauss- Bonnet.
description: One of the most beautiful theorems in the theory of surfaces is the Gauss-Bonnet Theorem. This theorem states that if Μ is an oriented, closed surface of the Euclidean space , Κ is the Gauss curvature of M and χ(Μ) is its Euler characteristic, then . The importance of this theorem is that it relates the Gauss curvature K of M, which has local character, with the Euler characteristic χ(Μ) of M, which is a global topological invariant, namely it stays invariant under continuous deformations of M. More specifically the total curvature of M does not depend on the way that M is curved within but it depends only on its topology. On the other hand the notion of a smooth manifold has been introduced in the contemporary differential geometry as a generalization of the notions of curve and surface. Generally speaking, we may say that a smooth manifold is a geometric object that locally resembles a small piece of the Euclidean space . One of the basic questions that concerned geometers in the first half of 20 century was the possibility of generalizing the Gauss-Bonnet Theorem in the framework of smooth manifolds. The first generalization was given by Hopf [Η] for the hypersurfaces of Euclidan space followed by the work of Allendoerfer and Weil [AlW] for Riemannian manifolds embedded in Euclidean space. For the general case of closed, oriented Riemannian manifolds without ambient space, the Theorem was proved by S.S. Chern [Che]. The aim of this master thesis is the presentation of the result of S.S. Chern. In the first introductory chapter we present the basic definitions and results concerning the theory of smooth manifolds that we use in the text. The second chapter deals with the basic notions of the theory of vector bundles, such as the Whitney sum, the induced bundle and mainly the notions of the connection, the connection form, the curvature form and the Euler form. The last chapter is devoted to the proof of the generalized Gauss-Bonnet Theorem, or as it is called the Chern-Gauss-Bonnet Theorem.