title: Besov regularity of stochastic partial differential equations on bounded Lipschitz domains
title: Besov-Regularität stochastischer partieller Differentialgleichungen auf beschränkten Lipschitz-Gebieten
Creators: name: Cioica, Petru A.
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2014
Subjects: adaptive Wavelet-Methode
Gewichteter Sobolev-Raum
stochastic heat equation
regularity theory
stochastische Wärmeleitungsgleichung
Regularitätstheorie
quasi-Banach space
adaptive wavelet method
Stochastische partielle Differentialgleichung
Mathematik
Quasi-Banachraum
Besov-Raum
Wavelet
Nichtlineare Approximation

description: In der vorliegenden Arbeit wird
      die Regularität von Lösungen (semi)linearer parabolischer
      stochastischer partieller Differentialgleichungen zweiter
      Ordnung (in der Arbeit stets mit SPDEs abgekürzt) auf
      beschränkten Lipschitz-Gebieten untersucht. Dabei wird die
      räumliche Regularität in der sogenannten Adaptivitätsskala
      von Besov-Räumen gemessen. Diese gibt Aufschluss über die
      Konvergenzrate der besten m-Term-Wavelet-Approximation und
      damit über die Konvergenzrate der bestmöglichen adaptiven
      numerischen Lösungsmethode, welche auf Wavelet-Basen oder
      -Frames begründet ist. Die zeitliche Regularität wird in der
      klassischen Hölder-Norm gemessen. Die Analyse findet im
      Rahmen des von Nicolai V. Krylov begründetet analytischen
      Ansatzes für SPDEs statt. Die in diesem Rahmen kürzlich
      erzielten Resultate von Kyeong-Hun Kim bezüglich der
      räumlichen gewichteten Sobolev-Regularität linearer SPDEs auf
      nicht-glatten Gebieten (DOI:10.1007/s10959-012-0459-7) bildet
      den Startpunkt der Untersuchungen. Es werden allgemeine
      Einbettungen gewichteter Sobolev-Räume in klassischen
      Sobolev-Räumen und in den Besov-Räumen der Adaptivitätsskala
      bewiesen. Zusammen mit einer Erweiterung von Kims Ergebnissen
      auf eine Klasse semi-linearer Gleichungen führen diese
      Einbettungen zum gewünschten Ergebnis hinsichtlich der
      räumlichen Besov-Regularität der Lösung. Insbesondere zeigen
      die erzielten Resultate, dass in typischen Situationen, die
      räumliche Besov-Regularität der Lösung in der
      Adaptivitätsskala generisch höher ist als deren klassische
      Sobolev-Regularität. Wie aus der Approximationstheorie
      bekannt, ist das ein klarer Hinweis dafür, dass in
      zahlreichen Fällen adaptive Wavelet-Verfahren für die Lösung
      von SPDEs uniformen Alternativen vorzuziehen sind. Die oben
      erwähnten Einbettungen werden unabhängig vom SPDE-Setting
      bewiesen und sind an und für sich auch in anderen
      mathematischen Bereichen relevant. Durch eine Kombination von
      Techniken aus dem analytischen Ansatz mit Resultaten aus dem
      Halbgruppenansatz von Da Prato/Zabczyk (ISBN:9780521059800)
      werden Resultate hinsichtlich der raum-zeitlichen Regularität
      der Lösung bewiesen. Mit Hilfe dieser Vorgehensweise wird
      zunächst eine Lq(Lp)-Theorie für die stochastische
      Wärmeleitungsgleichung mit additivem Rausche auf allgemeinen
      Lipschitz-Gebieten etabliert. Der Integrationsparameter q
      bezüglich der Zeit-Variablen darf dabei größer sein als der
      räumliche Integrationsparameter p. Darauf aufbauend können
      Aussagen über die Hölder-Besov-Regularität der Lösung
      hergeleitet werden.
description: This thesis is concerned with the
      regularity of (semi-)linear second order parabolic stochastic
      partial differential equations (SPDEs, for short) of Itô type
      on bounded Lipschitz domains. The so-called adaptivity scale
      of Besov spaces is used to measure the regularity of the
      solution with respect to the space variable. It determines
      the convergence rate of the so-called best m-term wavelet
      approximation, which is the benchmark for modern adaptive
      numerical methods based on wavelet bases or frames. The
      regularity with respect to the time variable is measured in
      the classical Hölder-norm. The analysis is put into the
      framework of the analytic approach for SPDEs initiated by
      Nicolai V. Krylov. Recent results by Kyeong-Hun Kim regarding
      the spatial weighted Sobolev regularity of the solutions to
      SPDEs on non-smooth domains (DOI:10.1007/s10959-012-0459-7)
      are the starting point of the investigations. General
      embeddings of weighted Sobolev spaces into the classical
      Sobolev spaces and into the Besov spaces from the adaptivity
      scale are proven. These embeddings together with a
      generalization of Kim's results to a class of semi-linear
      SPDEs yield the desired spatial Besov regularity results. In
      particular, it is shown that in specific situations the
      spatial Besov regularity of the solution in the adaptivity
      scale is generically higher than its classical Sobolev
      regularity. As it is well-known from approximation theory,
      this indicates that in many cases adaptive wavelet methods
      for solving SPDEs should be used instead of uniform
      alternatives. It is worth noting that the aforementioned
      embeddings are proven independently of the SPDE context and
      are relevant also in other mathematical fields. In order to
      prove space time regularity of the solution, techniques from
      the analytic approach are combined with results obtained from
      the semigroup approach of Da Prato/Zabczyk
      (ISBN:9780521059800). This procedure yields an Lq(Lp)-theory
      for the heat equation with additive noise on general bounded
      Lipschitz domains. The integrability parameter q with respect
      to the time variable can be chosen to be strictly greater
      than the spatial integrability parameter p. As a consequence,
      Hölder-Besov regularity of the solution can be
      established.