Προσομοίωση ροής δύο στοιβάδων σε φυσικό αποδέκτη με εφαρμογή της μεθόδου των χαρακτηριστικών
Creators: name: Δώδου, Μαριάννα Γ.
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2004
Subjects: Μέθοδος των χαρακτηριστικών
Ροή δύο στοιβάδων
Τέχνασμα διωρυγοποίησης
Ιδεατές δεξαμενές
Method of characteristics
Two-layer flow
Canalisation artifice
Ideal basins

description: Η παρούσα διατριβή υιοθετεί μια προγενέστερη ιδέα αναγωγής της επίλυσης μιας δισδιάστατης ροής δύο στοιβάδων σε επίλυση μονοδιάστατων ροών μέσα σε εναλλάξ οριζόμενες διώρυγες κατά τους άξονες -x και –y την οποία εισήγαγε ο Γ. Μπαλαφούτας [Μπαλαφούτας, 1976]. Στόχος της παρούσας διατριβής είναι να αναπτύξει ένα γενικευμένο αλγόριθμο επίλυσης της δισδιάστατης ροής δύο στοιβάδων μέσα σε έναν οποιονδήποτε αποδέκτη με εφαρμογή του παραπάνω τεχνάσματος της διωρυγοποίησης. 1. Περιγραφή του τεχνάσματος της διωρυγοποίησης Η διευθέτηση του δισδιάστατου πεδίου ροής προκειμένου η επίλυσή του να αναχθεί στην απλούστερη περίπτωση της μονοδιάστατης ροής προϋποθέτει τη διωρυγοποίησή του κατά τη διεύθυνση -x και -y και την εναλλάξ, ανά χρονικό βήμα, επίλυση μιας οικογένειας μονοδιάστατων ροών μέσα στις κατά -x ή κατά -y διώρυγες. Η επίλυση γίνεται πάνω σε διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων. Στην απλούστερη περίπτωση του πεδίου μιας ορθογωνικής δεξαμενής, την οποία μελέτησε ο Γ. Μπαλαφούτας, η διαμόρφωση των διωρύγων και η διακριτοποίηση των αξόνων τους σε σημεία πάνω στα οποία επιλύεται η ροή, γίνεται με τη βοήθεια ενός κανάβου με ορθογωνικά ή τετραγωνικά στοιχεία. Οι παράλληλες προς τον άξονα -x διώρυγες οριοθετούνται από τις οριζόντιες γραμμές του κανάβου, ενώ οι παράλληλες προς τον άξονα -y γραμμές του κανάβου ορίζουν σε καθεμιά από τις κατά -x διώρυγες μια σειρά διατομών κάθετων στον άξονα της διώρυγας. Οι τιμές των παραμέτρων της ροής υπολογίζονται στα σημεία τομής των αξόνων των διωρύγων με τις εγκάρσιες διατομές. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η διωρυγοποίηση κατά –y. Διωρυγοποίηση κατά –x Αποδίδουμε τις αρχικές τιμές των παραμέτρων της δισδιάστατης ροής δύο στοιβάδων ho, h, uo, u, σε όλους τους κόμβους του κανάβου και υπολογίζουμε συναρτήσει αυτών τις τιμές των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων χρησιμοποιώντας τύπους μη γραμμικής παρεμβολής. Δεχόμαστε ότι οι τιμές των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων προσεγγίζουν τις μέσες τιμές των παραμέτρων στις διατομές της διώρυγας. Επιλύουμε το μονοδιάστατο μοντέλο ροής δύο στοιβάδων στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων και βρίσκουμε τις νέες τιμές των παραμέτρων στο πέρας του χρονικού βήματος Δt. Υπολογίζουμε από τις τιμές των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων (μέσες τιμές) οι οποίες προέκυψαν για το πέρας του χρονικού βήματος Δt τις τιμές στους κόμβους του κανάβου, με τύπους μη γραμμικής παρεμβολής Διωρυγοποίηση κατά –y Στο επόμενο χρονικό βήμα θεωρούμε τις κατά -y διώρυγες στις οποίες εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία επίλυσης του μονοδιάστατου μοντέλου κατά μήκος των αξόνων τους, θέτοντας στις παραμέτρους uo, u τις τιμές των κατά -y ταχυτήτων vo, v και θεωρώντας τις κατά -x ταχύτητες uo, u σταθερές στη διάρκεια αυτού του χρονικού βήματος. Προκειμένου να εφαρμόσουμε το μονοδιάστατο μοντέλο χωρίς να αλλάξουμε τις παραμέτρους του, στρέφουμε το σύστημα των αξόνων, έτσι ώστε ο άξονας x να έρθει παράλληλα προς τις κατά -y διώρυγες, γεγονός που έχει ως συνέπεια τη μετονομασία των κόμβων του κανάβου Η διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω διαμορφώνει, με βάση την επίλυση του μονοδιάστατου μοντέλου, ένα αριθμητικό σχήμα ενός χρονικού βήματος ως προς την επίλυση των βαθών ροής και δύο χρονικών βημάτων ως προς την επίλυση των ταχυτήτων, επειδή τα βάθη μεταβάλλονται σε κάθε χρονικό βήμα, ενώ οι ταχύτητες κατά τη μία ή την άλλη διεύθυνση μεταβάλλονται σε κάθε δεύτερο χρονικό βήμα, ενώ στο ενδιάμεσο βήμα παραμένουν σταθερές. 2. Επίλυση της μονοδιάστατης ροής μέσα στις διώρυγες που προκύπτουν από εφαρμογή του τεχνάσματος της διωρυγοποίησης Η επίλυση του μονοδιάστατου μοντέλου ροής δύο στοιβάδων, όπως αυτό διαμορφώθηκε από τους Schijf-Schönfeld, γίνεται με εφαρμογή της μεθόδου των χαρακτηριστικών. Η αναλυτική έκφραση της κλίσης των χαρακτηριστικών δίνεται από τους προσεγγιστικούς τύπους των Schijf-Schönfeld και η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων Riemman γίνεται βάσει ενός αριθμητικού σχήματος διαδοχικών προσεγγίσεων το οποίο βασίζεται στην απλουστευτική παραδοχή ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήματος Δt συμπίπτουν με ευθείες σταθερής κλίσης, οπότε οι ολικές παράγωγοι των τεσσάρων παραμέτρων του συστήματος μπορούν να αντικατασταθούν με διαφορές. Επίλυση ροής στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων Ως πρώτη προσέγγιση των τιμών των παραμέτρων της δισδιάστατης ροής δύο στοιβάδων ho, h, uo, u σε ένα διακεκριμένο σημείο Αj του άξονα μιας διώρυγας τη χρονική στιγμή to, σε ό,τι αφορά τα βάθη ho, h εισάγουμε τις τιμές τους στο σημείο αυτό πριν από Δt, ενώ σε ό,τι αφορά τις ταχύτητες uo, u εισάγουμε τις τιμές τους στο σημείο αυτό πριν 2Δt, δεδομένου ότι αυτές μεταβάλλονται ανά δύο χρονικά βήματα. Προσδιορίζουμε την κλίση των χαρακτηριστικών συναρτήσει των τιμών των παραμέτρων που αποδόθηκαν στο σημείο Αj. Από το σημείο Αj προβάλλουμε προς τα πίσω τις τέσσερις χαρακτηριστικές και υπολογίζουμε στα σημεία τομής τους Β με τον άξονα του προηγούμενου χρονικού βήματος tο-Δt τις τιμές των παραμέτρων ho, h και στα σημεία τομής τους Β΄ με τον άξονα του πιο-προηγούμενου χρονικού βήματος tο-2Δt τις τιμές των παραμέτρων uo, u. Ο υπολογισμός των παραμέτρων στα σημεία τομής γίνεται συναρτήσει των γνωστών, από το προηγούμενο (ή το πιο-προηγούμενο) χρονικό βήμα, τιμών των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία του άξονα χρησιμοποιώντας τύπους μη γραμμικής παρεμβολής. Με βάση τις τιμές των παραμέτρων ho, h και uo, u στα σημεία Β και Β΄ αντίστοιχα προσδιορίζουμε τους συντελεστές του συστήματος των εξισώσεων Riemann των οποίων η λύση δίνει τη 2η προσέγγιση των τιμών των παραμέτρων στα σημεία Αj που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή tο. Η μέθοδος συγκλίνει ταχύτατα και η τρίτη προσέγγιση δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα H επίλυση οριακών σημείων που βρίσκονται πάνω σε αδιαπέρατο όριο γίνεται για δύο χαρακτηριστικές, εφόσον οι ταχύτητες πάνω και κάτω στοιβάδας είναι μηδενικές, ενώ μηδενίζονται και οι αντίστοιχοι όροι των εξισώσεων Riemann. 3. Διαμόρφωση των ιδεατών δεξαμενών, ως διαδοχικές προσεγγίσεις ρεαλιστικού αποδέκτη, και επίλυσή τους με εφαρμογή του τεχνάσματος της διωρυγοποίησης Σε συνέχεια και περαιτέρω συστηματοποίηση της παραπάνω ιδέας επινοήσαμε και διαμορφώσαμε πέντε τύπους ιδεατών δεξαμενών αυξανόμενης πολυπλοκότητας ως σταδιακές προσεγγίσεις φυσικού αποδέκτη, σε καθεμιά από τις οποίες εφαρμόσαμε το τέχνασμα της διωρυγοποίησης λαμβάνοντας υπόψη τον επιπλέον παράγοντα πολυπλοκότητας που εμφάνιζε η κάθε περίπτωση. Ως ενδεικτική περίπτωση φυσικού αποδέκτη επιλέξαμε αυτή του Θερμαϊκού Κόλπου, βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών και των στοιχείων βαθυμετρίας του οποίου διαμορφώθηκαν οι πέντε ιδεατές δεξαμενές. Η ίδια σχηματοποίηση μπορεί φυσικά να εφαρμοστεί για οποιονδήποτε αποδέκτη. Η πρώτη περίπτωση ιδεατής δεξαμενής που διαμορφώσαμε, ως πρώτη προσέγγιση του Θερμαϊκού Κόλπου, είναι αυτή μιας κλειστής ορθογωνικής δεξαμενής με οριζόντιο πυθμένα, η οποία ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο της δεξαμενής τον οποίο επέλυσε ο Γ.Μπαλαφούτας εφαρμόζοντας για πρώτη φορά την ιδέα της διωρυγοποίησης, απλώς την προσαρμόσαμε στις διαστάσεις (7408x7408m) και τη βαθυμετρία του Θερμαϊκού Κόλπου (60m) και εφαρμόσαμε σ’ αυτή κάναβο διαστάσεων Δx = Δy = 1852 m. Η δεύτερη περίπτωση ιδεατής δεξαμενής που διαμορφώσαμε, ως δεύτερη προσέγγιση του Θερμαϊκού Κόλπου, είναι αυτή μιας κλειστής δεξαμενής με οριζόντιο πυθμένα και πολύπλοκη μορφολογία ορίων, σύμφωνη με αυτή του Θερμαϊκού Κόλπου. Για το σκοπό αυτό αποδόθηκαν μηδενικές τιμές στους κόμβους του κανάβου που αντιστοιχούν στα τμήματα της ξηράς. Η ιδιαιτερότητα της περίπτωση αυτής κατά την εφαρμογή της διωρυγοποίησης συνίσταται στο ότι εμφανίζονται διώρυγες διαφορετικού μήκους, καθώς επίσης και σειρές που συμπεριλαμβάνουν διώρυγες με δύο τμήματα μεταξύ των οποίων μεσολαβεί ξηρά. Για το λόγο αυτό προστέθηκε στον κώδικα επίλυσης ένα αρχείο με τα όρια των διωρύγων, ώστε κάθε διώρυγα να επιλύεται για διαφορετικό αριθμό διακεκριμένων σημείων, καθώς επίσης και ένα αρχείο με τις σειρές όπου εμφανίζονται δύο διώρυγες ώστε, αφού επιλυθεί η πρώτη διώρυγα, να επαναλαμβάνεται η επίλυση για την ίδια σειρά λαμβάνοντας τα όρια της δεύτερης διώρυγας από το αρχείο των ορίων.Επίσης διαφοροποιείται σημαντικά η διαδικασία υπολογισμού των μέσων τιμών των παραμέτρων της ροής στους άξονες των διωρύγων από τις τοπικές τιμές των παραμέτρων στους κόμβους του κανάβου, καθώς και η αντίστροφη διαδικασία υπολογισμού των τοπικών τιμών από τις μέσες, καθότι επιβάλεται η διαφοροποίηση των διακεκριμένων σημείων πάνω στους άξονες των διωρύγων σε ,σημεία πάνω σε όριο ξηράς (αριστερό ή δεξί), σημεία πάνω από όριο ξηράς, σημεία κάτω από όριο ξηράς, σημεία με ανοιχτό από πάνω και από κάτω τους όριο, προκειμένου να εφαρμοστούν οι αντίστοιχοι τύποι μη γραμμικής παρεμβολής. Επίσης ιδιαίτεροι έλεγχοι προβλέπονται κατά την απόδοση των τοπικών τιμών των παραμέτρων στους κόμβους του κανάβου που αντιστοιχούν στα 4 οριακά σημεία κάθε διώρυγας. Η τρίτη περίπτωση ιδεατής δεξαμενής που διαμορφώσαμε, ως τρίτη προσέγγιση του Θερμαϊκού Κόλπου, είναι αυτή μιας κλειστής ιδεατής δεξαμενής με τυχαία μορφολογία ορίων και βαθυμετρία πυθμένα σύμφωνη με αυτή του Θερμαϊκού Κόλπου. Η ιδιαιτερότητα της περίπτωση αυτής κατά την εφαρμογή της διωρυγοποίησης συνίσταται στο ότι αναγόμαστε σε επίλυση μονοδιάστατης ροής δύο στοιβάδων μέσα σε διώρυγες με τυχαία μορφολογία πυθμένα. Για την επίλυση διωρύγων αυτής της μορφής δεχόμαστε μια απλουστευτική προσέγγιση της μορφολογίας του πυθμένα μετατρέποντας τη διαφορά κλίσης μεταξύ δύο διαδοχικών διατομών σε ένα κατακόρυφο “γόνατο” στο μέσο της απόστασης μεταξύ των διατομών. Από τη διαφοροποίηση αυτή επηρεάζεται καταρχήν η διαδικασία υπολογισμού των τιμών των παραμέτρων στα σημεία τομής των χαρακτηριστικών με τον άξονα του προηγούμενου χρονικού βήματος συναρτήσει των τιμών των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία του άξονα, κατά την οποία χρησιμοποιούμε τύπους γραμμικής παρεμβολής στους οποίους υπεισέρχονται τα “άλματα” των τιμών των βαθών ροής της κάτω στοιβάδα στο μέσο των αποστάσεων μεταξύ διαδοχικών διατομών. Επίσης επηρεάζεται ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων των όρων πίεσης στην πάνω και κάτω στοιβάδα, λόγω της μη συμμετοχής του τμήματος της υδάτινης στήλης που αντιστοιχεί στο κατακόρυφο «γόνατο» του πυθμένα. Σε ό,τι αφορά την επίλυση της ιδεατής δεξαμενής, διαφοροποιείται επίσης ο υπολογισμός των μέσων τιμών των παραμέτρων στα διακεκριμένα σημεία των αξόνων των διωρύγων από τις αντίστοιχες τοπικές τιμές στους κόμβους του κανάβου και αντίστροφα, υιοθετώντας και κατά την εγκάρσια διεύθυνση την απλουστευτική προσέγγιση της μορφολογίας του πυθμένα και εφαρμόζοντας αντίστοιχους τύπους γραμμικής παρεμβολής.. Επειδή ωστόσο η παραπάνω διαδικασία υπολογισμού μέσων και τοπικών τιμών εμφανίζει στα αποτελέσματα ορισμένες τοπικές αστάθειες, το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί ορίζοντας τις διώρυγες έτσι ώστε οι άξονές τους να συμπίπτουν με τις γραμμές του κανάβου, ώστε να μη μεσολαβεί υπολογισμός μέσων τιμών. Το μειονέκτημα είναι ότι με την παραδοχή αυτή προσθαφαιρούνται τμήματα του αποδέκτη περιμετρικά των ορίων καθώς και ότι δε συμπίπτουν απόλυτα οι διώρυγες που ορίζουμε κατά x και κατά y, ωστόσο το εύρος των διευθετήσεων αυτών είναι μικρό για να θεωρηθεί ότι επηρεάζονται σημαντικά τα αποτελέσματα, αντίθετα ο παράγοντας αριθμητικής αστάθειας που εισάγουν οι μέσες τιμές εξαφανίζεται. Η τέταρτη περίπτωση ιδεατής δεξαμενής που διαμορφώσαμε είναι αυτή μιας δεξαμενής με τυχαία μορφολογία ορίων και πυθμένα και ανοιχτό νότιο όριο, όπως συμβαίνει και στον πραγματικό αποδέκτη. Η ιδιαιτερότητα της περίπτωση αυτής κατά την εφαρμογή της διωρυγοποίησης συνίσταται στην εμφάνιση διωρύγων με ανοιχτό αριστερό ή δεξί όριο. Για τη διερεύνηση της ύπαρξης οριακών σημείων που αντιστοιχούν σε ανοιχτό όριο ορίζουμε αντίστοιχα μητρώα στα οποία καταχωρούμε σε ποια από τα οριακά σημεία θα εφαρμοστεί συνθήκη ανοιχτού ορίου. Σε ό,τι αφορά εν γένει το χειρισμό οριακών σημείων για τα οποία ισχύει συνθήκη ανοιχτού ορίου θεωρούμε ότι υφίστανται επίσης δύο χαρακτηριστικές, όπως συμβαίνει με τα οριακά σημεία πάνω σε αδιαπέρατο όριο, υπολογίζουμε όμως τέσσερις συντελεστές των εξισώσεων Riemmann, αντικαθιστούμε στις εξισώσεις Riemmann τις ταχύτητες συναρτήσει των βαθών ροής, όπως αυτές προκύπτουν από τη συνθήκη ελεύθερης διάβασης των διαταραχών του εσωτερικού πεδίου προς τον έξω χώρο (συνθήκη Sommerfield), επιλύουμε ως προς τα βάθη ροής και υπολογίζουμε συναρτήσει αυτών τις ταχύτητες. 4. Διαμόρφωση αλγορίθμων επίλυσης των ιδεατών δεξαμενών Με βάση το θεωρητικό υπόβαθρο που αναλύσαμε παραπάνω διαμορφώσαμε 5 αντίστοιχους αλγορίθμους επίλυσης των πέντε ιδεατών δεξαμενών στη γλώσσα προγραμματισμού Matlab συμπεριλαμβανομένου και του τύπου της κλειστής ορθογωνικής δεξαμενής με οριζόντιο πυθμένα για τον οποίο υπήρχε σχετικός αλγόριθμος επίλυσης από τον Γ. Μπαλαφούτα στη γλώσσα προγραμματισμού PL/I, μεταγράφηκε ωστόσο κι αυτός στη γλώσσα Matlab, προκειμένου να ενσωματωθούν όλες οι επιλύσεις σε ένα γενικευμένο αλγόριθμο επίλυσης οποιουδήποτε τύπου ιδεατής δεξαμενής ο οποίος απαιτεί μόνο την εισαγωγή ορισμένων στοιχείων που περιγράφουν τη γεωμετρία της ιδεατής δεξαμενής καθώς και μιας αρχικής συνθήκης. 5. Εφαρμογή των αλγορίθμων επίλυσης των ιδεατών δεξαμενών Για την επαλήθευση της αποτελεσματικότητας και λειτουργικότητας των αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια αυτής της διατριβής, εφαρμόστηκαν όλοι οι αλγόριθμοι για τις αντίστοιχες ιδεατές δεξαμενές που προσεγγίζουν σταδιακά τη γεωμετρία του Θερμαϊκού Κόλπου εισάγοντας ως αρχικές συνθήκες διάφορες κλίσης της διεπιφάνειας και μελετώντας την περαιτέρω εξέλιξη του συστήματος των δύο στοιβάδων για μηδενική επίδραση εξωτερικών παραγόντων έως την αποκατάσταση της ισορροπίας. Τα αποτελέσματα των επιλύσεων των αλγορίθμων παρουσιάζονται είτε υπό μορφή δισδιάστατων και τρισδιάστατων απεικονίσεων της ροής, ανάλογα με το εξεταζόμενο φαινόμενο, είτε υπό μορφή οριζόντιων διαγραμμάτων ταχυτήτων με ταυτόχρονη χρωματική απόδοση της βαθυμετρίας των δύο στοιβάδων, είτε σε βίντεο εξέλιξης του φαινομένου
description: The thesis adopts a former idea of converting the computation of a two-dimensional two-layer flow into the computation of one-dimensional flows in canals defined in turn along the x- and y- axes, as introduced by G. Balafoutas [Balafoutas, 1976]. The aim of the thesis is to develop a generalised algorithm able to calculate the two-dimensional two-layer flow in every disposal basin by applying the canalisation artifice. 1. Description of the canalisation artifice In order to convert the computation of the two-dimensional flow field into the simplest case of a one-dimensional flow, we define a number of canals along the x- and y axes and calculate, for each time step, a family of one-dimensional flows along the x- or y- axis canals in turn. The computation is realised on discretised points of the canal axes. In the simplest case of the field of a rectangular basin, investigated by G. Balafoutas, the configuration of the canals and the discretisation of their axis at points on which we calculate the flow, is realised by using a grid with rectangular or quadrate elements.The parallel to the x-axis canals are determined by the horizontal lines of the grid, while the parallel to the y-axis lines of the grid determine for each of the x-axis canals a number of cross-sections perpendicular to the axis of the canal. The values of the flow parameters are calculated at the intersection points of the canals axes with the cross-sections. With similar way occurs the canalisation along the y-axis. Canalisation along –x We define all the initial values of the two-dimensional two-layer flow parameters ho, h, uo, u, for all the nodes of the grid and we calculate the in correlation values of the parameters at the discretised points of the canal axes by using non-linear interpolation formulas. We assume that the values of the parameters at the discretised points of the canal axes approximate the mean values of the parameters at the cross-sections of the canal. We calculate the one-dimensional model of the two-layer flow at the discretised points of the canal axes and find the new values of the parameters at the end of the time step Δt. From the values of the parameters at the discretised points of the canal axes (mean values) that have been derived for the end of the time step Δt, we calculate the values at the nodes of the grid by using non-linear interpolation formulas. Canalisation along –y At the next time step, we assume the canals along the y-axis and we use the same calculation process of the one-dimensional model along their axes, by applying the values of the y-axis velocities vo, v to the parameters uo, u and by assuming that the x-axis velocities uo, u are constant during the specific time step. In order to use the one-dimensional model without changing its parameters, we turn the system of the axes so that the x-axis will be parallel to the y-canals. Consequently, the names of the nodes of the grid are changing. Based on the computation of the one-dimensional model, the described process forms a numerical scheme of one time step for the calculation of the flow depths and of two time steps for the calculation of the velocities, since the depths change in each time step, while the velocities along the one or the other direction change in every second time step and are constant in the interim. 2. Computation of the one-dimensional flow inside the canals derived by applying the canalisation artifice The calculation of the one-dimensional two-layer flow model, as determined by Schijf-Schönfeld, is realized by applying the method of characteristics. The analytical expression of the slope of the characteristics is given by the approximating formulas given by Schijf-Schönfeld and the calculation of the system of the equations Riemman is realized via a numerical scheme of successive approximations based on the simplified assumption that the characteristic curves during a time step Δt coincide with lines of constant slope, and thus, the total derivatives of the four parameters of the system can be replaced with differences. Calculation of the flow at the discretised points of the canal axes As a first approximation of the two-dimensional two-layer parameter values ho, h, at a discretised point Aj of the axis of one canal at time to, we introduce their values at this point before time Δt. As a first approximation of the two-dimensional two-layer parameter values uo, u, at a discretised point Aj of the axis of one canal at time to, we introduce their values at this point before time 2Δt, given that the uo, u change every two time steps.We define the slope of the characteristics as a function of the parameters values at the point Aj. From the point Aj we project backward the four characteristics and we calculate the values of the parameters ho, h at the cross-section points B of the characteristics with the axis of the previous time step to-Δt, and the values of the parameters uo, u at the cross-section points B΄ of the characteristics with the axis of the before-previous time step to-2Δt. The calculation of the parameters at the cross-section points is realized as a function of the known from the previous (or the before-previous) time step values of the parameters at the discretised points of the axis by using non-linear interpolation formulas. Based on the values of the parameters ho, h and uo, u at the points B and B΄ respectively, we define the coefficients of the system of equations Riemann. The solution of the system gives the 2nd approximation of the values of the parameters at the points Aj which correspond to the time step to. The method converges rapidly and the 3rd approximation gives satisfactory results. The calculation of the points at the boundaries which are on an impermeable boundary surface is realized for two characteristics, if the velocities of the upper and lower layer are zero, while the relative terms of the Riemann equations are eliminated as well. 3. Configuration of the ideal basins, as successive approximations of a realistic disposal basin, and their calculation by applying the canalisation artifice By evolving further the systemisation of the described idea, we invented and formed five types of ideal basins with increasing complexity, as gradual approximations of a natural disposal basin and we applied the canalisation artifice for each of them, by taking into account the additional factor of complexity related to each case. As an indicative case of natural disposal basin we selected the Golf of Thermaikos. The five ideal basins were formed based on the morphological characteristics and the bathymetric data of this basin. However, the same configuration can be applied for any disposal basin.The fist case of ideal basin, formed as a first approximation of the Golf of Thermaikos, is a close rectangular basin with horizontal bed. In principle, this approximation coincides with the type of basin investigated by G. Balafoutas who applied for the first time the idea of the canalisation. We just adjusted the basin to the dimensions (7408x7408m) and the bathymetry of the Golf of Thermaikos (60m) and applied a grid with dimensions Δx = Δy = 1852 m. The second case of ideal basin, formed as a second approximation of the Golf of Thermaikos, is a close basin with horizontal bed and complex morphology, as this of the Golf of Thermaikos. For this reason, we gave zero values at the nodes of the grid which correspond to the pieces of land. The particularity of this case during the canalisation process consists in the presence of canals with variable lengths and the presence of lines which include canals with two parts separating by a piece of land. For this reason, a file with the boundaries of the canals is added to the computational code, so that each canal is calculated for different number of discretised points. Furthermore, a file with the lines consisted of two canals is added, so that, as soon as the first canals are calculated, the calculation is repeated for the same line by taking the boundaries of the second canals from the file with the boundaries. Moreover, the calculation process of the mean values of the flow parameters at the canal axes by the local values of the parameters at the nodes of the grid and the reverse calculation process of the local values by the mean values are changing significantly. This happens because the differentiation of the discretised points on the canal axes is imposed on,points on the land boundary (left or right),points above the land boundary,points beneath the land boundary, points with open upper and lower boundary, in order to apply the relevant formulas of non-linear interpolation. Additionally, special controls are provided for the determination of the local values of the parameters at the nodes of the grid which correspond to the 4 boundary points of each canal., The third case of ideal basin, formed as a third approximation of the Golf of Thermaikos, is a close ideal basin with random boundary morphology and bed depths as this of the Golf of Thermaikos. The particularity of this case during the canalisation process consists in the fact that we are led to the calculation of one-dimensional two-layer flow in canals with random bed morphology. For the computation of canals of such form, we assume a simplify approximation of the bed morphology, by converting the difference in slope between two successive cross-sections into a vertical “knee” in the middle of the distance between the cross-section. First, this modification influences the calculation process of the parameters values at the cross-section points of the characteristics with the axis of the former time step in correlation with the parameter values at the discretised points of the axis. This happens because the “jumps” of the flow depth values for the lower layer in the middle of the distances between successive cross-sections are introduced in the used formulas of linear interpolation. Furthermore, the calculation of the integrals of the pressure terms at the upper and lower layer is influenced, since the part of the water column which corresponds to the vertical bed “knee” remains uninvolved. As about the computation of the ideal basin, the calculation of the mean values of the parameters at the discretised points of the canal axes by using the respective local values at the nodes of the grid and vice versa is modified, by assuming that the simplified approximation of the bed morphology is valid for the transversal direction as well, and by applying the relevant formulas of linear interpolation. However, since the described calculation process for the mean and local values leads to certain local instabilities at the results, the problem can be solved by defining the canals such that their axes coincide with the lines of the grid. In this way, the calculation of the mean values is skipped. The disadvantage is that this assumption leads to addition and subtraction of pieces of the basin in the periphery of the boundaries. Additionally, the defined canals along x and y do not coincide completely. However, the amplitude of such declinations is small enough to assume that it cannot influence significantly the results and the factor of numerical instability that they introduce vanishes. The fourth case of ideal basin that we formed is a basin with random boundary and bed morphology and open south boundary, as applied for the real disposal basin. The particularity of this case during the canalisation process consists in the appearance of canals with open left or right boundary. For the investigation of the existence of boundary points which correspond to open boundary surface, we determine the respective matrices in which we record at which of the boundary points the open boundary condition will be applied. As about the boundary points for which the open boundary condition is valid, we assume that there are again two characteristics, as happens with the boundary points on impermeable boundary, but we calculate four coefficients of the equations Riemann. Then we substitute the velocities as a function of the flow depths, as they derive from the condition of free radiation of waves outward (Sommerfield condition), we solve as for the flow depths and we calculate the velocities as a function of the flow depths. 4. Development of the algorithms for the computation of the ideal basins According to the theoretical background described above, we developed 5 equivalent algorithms for the computation of the five ideal basins in the computational language Matlab, including the type of the close rectangular basin with horizontal bed for which there was a relevant algorithm written by G. Balafoutas in the computational language PL/1. The algorithm was transcribed in Matlab, so that all the computations will be incorporated in one generalised algorithm able to calculate every type of ideal basin by demanding only the input of certain data describing the geometry of the ideal basin and one initial condition as well. 5. Application of the algorithms for the computation of ideal basins For the verification of the efficiency and functionality of the algorithms developed within the framework of the thesis, all the algorithms for the respective ideal basins which approximate gradually the geometry of the Golf of Thermaikos are tested by applying several slopes of the interface as initial conditions and investigating the further evolution of the two-layer system with absence of influence of external factors till system equilibrium. The results of the computations are presented either as two-dimensional and three-dimensional visualisation of the flow, according to the investigated phenomenon, or as horizontal diagrams of velocities with simultaneous chromatic rendering, or as videos of the evolution of the phenomenon