title: Reshetnyak’s gluing theorem and its applications to billiards
Creators: name: Rott, Felix
Publisher: name: :none
Year: 2020

description: Alexandrov-Geometrie kann als eine Verallgemeinerung der Riemannschen Geometrie betrachtet werden, in dem Sinne, dass die Differentialstruktur vollständig verworfen wird und der Schwerpunkt ausschließlich auf die Eigenschaften der Distanzmetrik verlagert wird. Die daraus resultierenden Räume werden als Längenräume bezeichnet. Wie sich herausstellt, geht zwar die Zuweisung eines expliziten Krümmungswertes verloren, aber man behält sich die Möglichkeit vor, Krümmungsschranken zu messen. Dies geschieht durch den Vergleich von geodätischen Dreiecken mit entsprechenden Dreiecken in den sogenannten Modellräumen, also der Ebene oder einer entsprechend gekrümmten Kugel oder einem hyperbolischen Raum. Ein Alexandrov-Raum ist ein Längenraum, der eine solche Krümmungsgrenze erfüllt, entweder von oben oder von unten. In dieser Arbeit werden nur Räume untersucht, deren Krümmung von oben begrenzt ist, sogenannte CAT(k)-Räume. Das erste Kapitel geht auf elementare Definitionen und Eigenschaften von Längenräumen ein, wobei der Schwerpunkt auf Verklebungskonstruktionen liegt. Das zweite Kapitel stellt die Modellräume vor, mit denen Längenräume verglichen werden, um eine Krümmungsschranke zuzuweisen. Im dritten Kapitel wird das Verklebungstheorem von Reshetnyak bewiesen, das sicherstellt, dass beim Verkleben von zwei CAT(k)-Räumen auf eine bestimmte Art und Weise der resultierende Raum die gleiche Krümmungsschranke erfüllt. Das letzte Kapitel behandelt das Kollisionstheorem in semi-dispergierenden Billards als Anwendung des Verklebungstheorems. Diese vergleichsweise neue Aussage legt eine obere Schranke für die Anzahl der Kollisionen einer beliebigen Laufbahn fest, die nur von der Anzahl der Wände und dem minimalen Winkel zwischen diesen abhängt.
description: Alexandrov geometry can be regarded as a generalization of Riemannian geometry, in the sense that the differential structure is discarded completely, and the focus is shifted solely on the properties of the distance metric. The resulting spaces are called length spaces. As it turns out, while the assignment of an explicit curvature value is lost, one still retains the possibility of measuring curvature bounds. This is done by comparing geodesic triangles with appropriate triangles in the so called model spaces, i.e. the plane or a suitably curved sphere or hyperbolic space. An Alexandrov space is a length space that satisfies such a curvature bound, either from above or from below. This work only studies spaces with a curvature bound from above, called CAT(k) spaces. The first chapter goes through elementary definitions and properties of length spaces, with a focus on gluing constructions. The second chapter introduces the model spaces, with which length spaces are compared to assign a curvature bound. In the third chapter, Reshetnyak’s gluing theorem is proved, which ensures that when gluing two CAT(k) spaces in a certain way, the resulting space satisfies the same curvature bound. The last chapter covers the collision theorem of semi-dispersing billiards as an application of the gluing theorem. This comparatively recent statement establishes an upper bound on the number of collisions of any trajectory that depends only on the number of walls and the minimal angle between them.