Ολοκληρώματα δρόμου στην Κβαντική Μηχανική και στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου:
Creators: name: Βιτάλης, Κυριάκος Μιχαήλ
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2012
Subjects: Ολοκλήρωμα δρόμου
Μέθοδος Metropolis-Monte Carlo
Συνάρτηση συσχέτισης
Path integral
Metropolis-Monte Carlo method
Correlator

description: Οι συνήθεις διατυπώσεις της Κβαντικής Μηχανικής που αναπτύχθηκαν σχεδόν ταυτόχρονα από τους Erwin Schrӧdinger (εξίσωση Schrӧdinger), Werner Heisenberg (Μηχανική των Πινάκων) και άλλους κατά τη δεκαετία του 1920, φαίνεται να είναι ισοδύναμες με μια άλλη πιο πρόσφατη. Το 1933, ο Paul Dirac παρατήρησε ότι η Δράση διαδραματίζει έναν κεντρικό όλο στην Κλασική Μηχανική (θεώρησε ότι η διατύπωση της Κλασικής Μηχανικής με μία Λαγκρανζιανή είναι πιο θεμελιώδης από την αντίστοιχη με μία Χαμιλτονιανή), ενώ φάνηκε να μην παίζει κανένα σημαντικό ρόλο στην Κβαντομηχανική, όπως ήταν μέχρι τότε γνωστή. Σκέφτηκε για το πώς αυτή η κατάσταση θα μπορούσε να διορθωθεί και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι (σε μια μοντέρνα έκφραση) ο διαδότης στην Κβαντική Μηχανική «αντιστοιχεί» σε μια φάση, η οποία εξαρτάται από την Κλασική Δράση που υπολογίζεται κατά μήκος της κλασικής τροχιάς. Το 1948, ο Richard Feynman ανέπτυξε την πρόταση του Dirac και κατόρθωσε να παράξει μία τρίτη διατύπωση της Κβαντομηχανικής, με βάση το γεγονός ότι ο διαδότης μπορεί να γραφεί σαν ένα άθροισμα ως προς όλους τους δυνατούς δρόμους (όχι μόνο του κλασικού) μεταξύ των αρχικών και των τελικών καταστάσεων. Κάθε δρόμος (path) συνεισφέρει στο διαδότη και μία φάση που εξαρτάται από τη Δράση του. Έτσι, ενώ ο Dirac θεώρησε μόνον τον κλασικό δρόμο, ο Feynman έδειξε ότι όλοι οι δρόμοι συνεισφέρουν: κατά μία έννοια, το κβαντικό σωματίδιο λαμβάνει όλους τους δρόμους μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης και τα αντίστοιχα πλάτη για κάθε δρόμο προστίθενται σύμφωνα με τον κανόνα του συνδυασμού πλατών της συνήθους Κβαντομηχανικής. Ο νέος αυτός ισοδύναμος φορμαλισμός ονομάζεται φορμαλισμός των Ολοκληρωμάτων Δρόμου (Path Integrals), ο οποίος παρουσιάζεται και μελετάται στην παρούσα εργασία. Παρουσιάζονται, επίσης, δύο μέθοδοι επίλυσης ολοκληρωμάτων δρόμου (Συναρτησιακή και Ευκλείδεια), καθώς γίνεται αναφορά στη θεωρία διαταραχών και σε προκύπτουσες εκφράσεις συναρτήσεων Green στην Κβαντομηχανική (αρμονικός και αναρμονικός ταλαντωτής) και στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου (ελεύθερο και αλληλεπιδρών βαθμωτό πεδίο). Για τον υπολογισμό κάθε ενδιαφέρουσας φυσικής ποσότητας (συνάρτηση συσχέτισης/Green ή επιμεριστική συνάρτηση) , το πρώτο βήμα εναπόκειται στον υπολογισμό ενός Γκαουσιανού ολοκληρώματος και το δεύτερο αποτελεί, βασικά, ένα πρόβλημα συνδυαστικής, η λύση του οποίου έχει μια βολική διαγραμματική αναπαράσταση: τα διαγράμματα Feynman. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων δρόμου με τη μέθοδο Metropolis-Monte Carlo. Συγκεκριμένα υπολογίζεται αριθμητικά-στοχαστικά η πυκνότητα πιθανότητας της βασικής κατάστασης, όπως αυτή προκύπτει στο φορμαλισμό των ολοκληρωμάτων δρόμου και η αναλυτική έκφραση της οποίας είναι γνωστή από τη συνήθη θεωρία του Schrӧdinger, για τα δυναμικά (στην απλούστερη περίπτωση της μίας διάστασης): (1) αρμονικός ταλαντωτής και (2) πηγάδι (φρέαρ) απείρου βάθους.
description: The standard formulations of Quantum Mechanics, developed more or less concurrently by Erwin Schrӧdinger (Schrӧdinger equation), Werner Heisenberg (Matrix formulation) and others in the 1920s, shown to be equivalent to one another soon thereafter. In 1933, Paul Dirac made the observation that the Action plays a central role in Classical Mechanics (he considered the Lagrangian formulation of Classical Mechanics to be more fundamental than the Hamiltonian one), but that it seemed to have no important role in Quantum Mechanics as it was known at the time. He speculated on how this situation might be rectified and he arrived at the conclusion that (in more modern language) the propagator in Quantum Mechanics "corresponds to" a phasor depends on the Classical Action evaluated along the classical path. In 1948, Richard Feynman developed Dirac's suggestion and succeeded in deriving a third formulation of Quantum Mechanics, based on the fact that the propagator can be written as a sum over all possible paths (not just the classical one) between the initial and final points. Each path contributes a phasor depends on its Action to the propagator. So while Dirac considered only the classical path, Feynman showed that all paths contribute: in a sense, the quantum particle takes all paths and the amplitudes for each path add according to the usual quantum mechanical rule for combining amplitudes. This new and equivalent formalism, which is arguably more intuitive than the usual approaches, is called Path Integral formalism and is introduced and investigated in this master thesis. They are, also, introduced two methods: (i) the Functional method, which allows a representation of perturbation theory in terms of Feynman diagrams, (ii) the Euclidean method, which is useful for, e.g., Statistical Mechanics. Reference is made in the perturbation theory and the resulting expressions of Green's functions in Quantum Mechanics (Harmonic and Anharmonic Oscillators) and in Quantum Field Theory (Free and Interacting scalar fields). To compute any interesting quantity (correlator or partition function) the first step accounts to a Gaussian integral, while the second is basically a combinatorics' problem, whose solution has a convenient diagrammatic representation: the Feynman diagrams. The purpose of current thesis is the path integral numerical computation using Metropolis-Monte Carlo method. More specific, the ground-state probability density, as results in path integral formalism and its analytic expression is known from the usual Schrӧdinger theory, is computed numerically-stochastically for the potentials (in the simplest case of one dimension): (1) Harmonic Oscillator, (2) Infinite Square Well.