Mikroprimstellen für p-adische Zahlkörper
Creators: name: Wirl, Ernst Ludwig
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Year: 2011
Subjects: subject: Mikroprimstelle
subject: Galoistheorie lokaler Körper
subject: formale Gruppe
subject: Lubin-Tate-Potenzreihe
subject: Coleman-Potenzreihe
subject: Normenkörper
subject: Normkörper
subject: microprime
subject: Galois theory for local fields
subject: formal group
subject: Lubin-Tate power series
subject: Coleman power series
subject: field of norms
subject: 510 Mathematik
subject: 27 Mathematik
subject: SK 180

description: Mikroprimstellen wurden eingeführt von J. Neukirch im Rahmen der abstrakten Klassenkörpertheorie. Eine Verallgemeinerung der Zerlegungsgruppen von Primstellen globaler Körper motivierte die rein gruppentheoretische Definition der Mikroprimstellen als gewisse Äquivalenzklassen von Frobeniuselementen. Auf den Fall der Galoisgruppen lokaler oder globaler Körper angewendet, ergibt diese Theorie eine Beschreibung spezieller Konjugationsklassen. Die Hauptaufgabe von J. Neukirch ist, die zahlentheoretische Bedeutung der Mikroprimstellen zu verstehen, das heißt, sie in Termen des Grundkörpers anzugeben. J. Mehlig und E.-W. Zink fanden eine Bijektion zwischen Mikroprimstellen und normverträglichen Folgen von Primelementen in Körpertürmen. Diese Türme entstehen durch die Fixkörper der abgeleiteten Untergruppen der Trägheitsgruppe. Auf diese Weise betrachtet man Mikroprimstellen für die entsprechenden Faktorgruppen der absoluten Galoisgruppe, um dann einen projektive Limes zu bilden. Im ersten Schritt ist eine Bijektion zwischen relativen Mikroprimstellen und Konjugationsklassen von Primelementen gezeigt worden. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist eine vollständige Antwort auf die Frage von J. Neukirch im zweiten Schritt. Es wird eine Normabbildung für Lubin-Tate-Potenzreihen verschiedener Höhe angegeben und der projektive Limes bezüglich dieser Normabbildungen gebildet. Dazu werden Ergebnisse der Klassenkörpertheorie auf einen ''''fastabelschen'''' Fall übertragen. Schließlich können die Mikroprimstellen als Galoisorbits von normverträglichen Abfolgen normischer Lubin-Tate-Potenzreihen beschrieben werden. Die Koeffizienten aller dieser Lubin-Tate-Potenzreihen sind in einer endlichen unverzweigten Erweiterung des Grundkörpers. Also kann man zu einer gegebenen normverträglichen Abfolge normischer Lubin-Tate-Potenzreihen den Koeffizientenkörper definieren. Der Grad dieses Körpers bzw. die Länge des Galoisorbits entspricht dem Grad der zugehörigen Mikroprimstelle.
description: Micro primes were introduced by J. Neukirch in the context of abstract class field theory. A generalization of decomposition groups of primes of global fields led him to a purely group theoretical definition of micro primes as certain equivalence classes of Frobenius elements. Applied to the case of Galois groups of local or global fields this theory yields a description of special conjugacy classes. The main problem already posed by J. Neukirch is to understand the number theoretical meaning of micro primes, that is to describe them in terms of the base field. J. Mehlig and E.-W. Zink established a bijection between micro primes and norm compatible sequences of prime elements in field towers. These towers arise as fixed point fields for the sequence of derived subgroups of the inertia group. So one has to study micro primes for the corresponding factor groups of the absolute Galois group and then to form a projective limit. In the first step, a bijection between relative micro primes and conjugacy classes of prime elements has been obtained. The main result of this project is a complete answer to the problem of J. Neukirch for the second step. One has to introduce norm maps between Lubin-Tate power series of different height and the projective limit has to be taken with respect to these norm maps. For this purpose results from class field theory are transferred to an ''''almost abelian'''' case. In the end micro primes can be described as Galois orbits of norm compatible sequences of normic Lubin-Tate power series. The coefficients of all the Lubin-Tate power series are in finite unramified extensions of the base field. Therefore one can define a field of coefficients for a given norm compatible sequence of normic Lubin-Tate power series. The degree of that field respectively the length of the Galois orbit is at the same time the degree of the corresponding micro prime.