title: Auch der Zufall spielt mit System
Creators: name: Steininger, Jürgen
Publisher: name: :none
Year: 2013

description: Die vorliegende Diplomarbeit setzt sich mit Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie auseinander. Es wird gezeigt, dass selbst der sprichwörtlich unberechenbare Zufall gewissen Gesetzen der Mathematik gehorcht. Die Resultate haben nicht nur für die theoretische Mathematik fundamentale Bedeutung, sondern spielen auch in zahlreichen Anwendungsgebieten eine große Rolle. Um den logischen Aufbau der späteren Inhalte nicht zu unterbrechen, werden in den ersten beiden Kapiteln grundlegende Begriffe der Stochastik behandelt, die für die Auseinandersetzung mit einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Thema Voraussetzung sind. Neben dem üblichen Basiswissen werden auch charakteristische Funktionen eingeführt, die ein mächtiges Hilfsmittel der Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Das dritte und vierte Kapitel beschäftigen sich mit Folgen von unabhängig und meist identisch verteilten Zufallsvariablen. Dabei werden die Schwachen und Starken Gesetze der Großen Zahlen sowie Zentrale Grenzwertsätze behandelt, die unter verschieden starken Voraussetzungen formuliert und bewiesen werden. Während die Gesetze der Großen Zahlen einen Zusammenhang zwischen arithmetischen Mitteln und Erwartungswerten (im Spezialfall zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten) herstellen, wird bei den Zentralen Grenzwertsätzen die Universalität der Normalverteilung gezeigt. Der fünfte Abschnitt befasst sich mit Markov-Ketten. Die Folge der Zufallsvariablen ist dabei nicht mehr unabhängig, sondern durch eine überschaubare Form der Abhängigkeit gegeben. Man könnte Markov-Ketten als stochastische Prozesse mit einem extremen Kurzzeitgedächtnis beschreiben, bei denen der nächste Schritt immer nur vom vorherigen, nicht jedoch von der restlichen Vergangenheit, abhängt. Das Hauptaugenmerk wird nach der Einführung der grundlegenden Begriffe wieder auf das Langzeitverhalten gelegt. Der letzte Abschnitt stellt eine interessante Anwendung der Markov-Ketten dar. Einfache Irrfahrten auf Z^d sind sehr spezielle stochastische Prozesse, die zu jedem Zeitpunkt genau einen Schritt mit konstanter Länge in eine bestimmte Richtung machen können. Das Langzeitverhalten solcher Irrfahrten wird in den verschiedenen Dimensionen studiert. Man interessiert sich dafür, ob die Irrfahrt zu ihrem Ausgangspunkt mit Sicherheit wieder zurückkehrt oder nicht. Abschließend wird der eindimensionalen Irrfahrt genauere Beachtung geschenkt. Das Arkus-Sinus-Gesetz und der Übergang zur Brownschen Bewegung werden dabei behandelt.
description: This thesis deals with limit theorems of the probability theory. It is shown that even the "unpredictable randomness" follows certain laws of mathematics. These results have fundamental importance, not only in theoretical mathematics, but also in a large variety of applications. In order to not interrupt the following sections, the first two chapters contains basic knowledge about probability theory. Additionally to the usual basics also characteristic functions are introduced, which are a powerful appliance of probability theory. The third and fourth chapter deal with sequences of independent and mostly identically distributed random variables. The weak and strong laws of the large numbers are discussed and will be stated and proved under different conditions. While the laws of large numbers make a connection between arithmetic means and expected values (in special cases between relative frequencies and probabilities) the central limit theorems show the universality of the normal distribution. The fifth section deals with markov chains. Therefore the sequences of random variables are not independent anymore but given by a clear form of dependence. One could describe Markov chains as stochastic processes with an extremely short time memory. Every step depends only on the former one but not on the rest of the past. After an introduction of the basic concepts the main attention is placed on the long term behaviour of such processes. The last section provides an interesting application of markov chains. Simple random walks on Z^d are very special stochastic processes. At each time they make exactly one step with a constant length in a certain direction. The long term behaviour of such random walks is studied in different dimensions. We are interested in whether the random walk returns to his starting point with certainty or not. Finally, the one-dimensional random walk is given a more detailed analysis. The Arcus-Sinus-Law and the transition to the Brownian Motion are examined there as well.