title: Signature methods and polynomial McKean-Vlasov equations for financial modeling
Creators: name: Möller, Janka Oona
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Das Ziel dieser Arbeit ist es, neue Ansätze zu erforschen, die zur Modellierung von und zum Lernen aus den Dynamiken der Finanzmärkte dienen. Dabei liegt der Fokus darauf, Pfadabhängigkeit und Verteilungsabhängigkeit in die Untersuchung von Finanzsystemen einzubeziehen. Die erste Fragestellung, die wir angehen, ist Portfolio-Optimierung unter Verwendung von Zeitreihen im Kontext der Stochastischen Portfoliotheorie (SPT). Wir erweitern die ursprünglich in der SPT eingeführten funktional generierten Portfolios auf lineare Pfad-Funktional-Portfolios. Letztere werden durch bestimmte lineare Kombinationen von nicht-antizipierenden Pfadfunktionalen konstruiert, die als Feature-Maps dienen, wobei die Elemente der Signatur von Pfaden relevanter Faktoren ein Spezialfall davon sind. Wir untersuchen theoretische Aspekte von Signatur-Portfolios, wie universelle Approximation jedes stetigen pfadabhängigen Portfolios, und Portfolioselektion, wie die Maximierung des erwarteten logarithmischen Nutzens und Mean-Variance-Optimierung. Wir zeigen, dass beide eine konvexe quadratische Form annehmen. Diese theoretischen Erkenntnisse illustrieren wir mit verschiedenen numerischen Experimenten. Einerseits zeigen wir in simulierten Märkten, dass die trainierten Signatur-Portfolios tatsächlich bemerkenswert nahe an den Growth-Optimal Portfolios liegen. Andererseits trainieren wir Signatur-Portfolios mit realen Marktdaten von NASDAQ, S&amp;P500 und SMI und stellen fest, dass die gelernten Portfolios das jeweilige Marktportfolio in fast allen Fällen über den betrachteten Out-of-Sample-Zeitraum, selbst unter Berücksichtigung von Transaktionskosten, übertreffen. In einer zweiten Forschungslinie zur Pfadabhängigkeit entwickeln wir ein pfadabhängiges stochastisches Volatilitätsmodell und führen eine gemeinsame Kalibrierung von den impliziten Volatilitätsoberflächen von VIX und SPX durch. Um sowohl gute analytische Handhabbarkeit als auch Universalität zu erreichen, modellieren wir den Volatilitätsprozess über die Signatur eines zugrunde liegenden polynomiellen Prozesses. Dies ermöglicht es uns, geschlossene Formeln für den VIX- und den SPX-Index abzuleiten. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Kalibrierungsaufgabe in eine Offline-Sampling-Phase und eine Online-Lernphase unterteilt werden kann, dass Fourier-Bepreisungstechniken verfügbar sind und schlagen Varianz-Reduktionstechniken im Fall von Monte-Carlo-Simulationen vor. Wir konsolidieren diese Erkenntnisse, indem wir das Modell mit realen Marktdaten kalibrieren, und stellen fest, dass die kalibrierten implizierten Volatilitäten tatsächlich sehr genau sind. Schließlich adressieren wir Verteilungsabhängigkeit in der Beschreibung von Finanzsystemen, indem wir sogenannte polynomielle und affine McKean-Vlasov stochastische Differenzialgleichungen (SDEs) einführen. Dabei untersuchen wir diese unter Verwendung der Theorie zeitinhomogener polynomialer und affiner Prozesse. Im polynomiellen Fall brechen wir die Abhängigkeit der SDE-Koeffizienten von der gesamten Verteilung auf eine Abhängigkeit von den (bedingten) Momenten des Prozesses hinunter, in einer Form, welche die eines klassischen polynomiellen Prozesses nachahmt. Ein Spezialfall solcher McKean-Vlasov SDEs wurde zuvor verwendet, um Kapitalisierungskurven im Kontext von SPT zu modellieren. Im affinen Fall können wir die Koeffizienten allgemeiner von der charakteristischen Funktion abhängig machen. Beide Ansätze ermöglichen es uns, Lösungen der SDEs in einem Markov-Setting zu untersuchen und neue Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse zu etablieren, die unseres Wissens nach, mit Standardtechniken nicht erreichbar sind.
description: The aim of this thesis is to explore novel approaches to modeling and learning from the dynamics of financial markets. In that, the focus lies in incorporating path-dependence and distributional dependencies into the description of financial systems. The first problem we tackle is portfolio optimization using streams of market data in the context of Stochastic Portfolio Theory (SPT). We extend functionally generated portfolios originally introduced in SPT to the notion of linear path-functional portfolios. The latter are constructed via certain linear combinations of non-anticipative path-functionals serving as feature maps, of which a special case are elements of the signature of paths of relevant factors. We study theoretical aspects of signature portfolios such as universal approximation of any continuous path-dependent portfolio and portfolio selection problems such as expected log-utility maximization and mean-variance type optimizations. We show that both take a convex quadratic form. We illustrate these theoretical findings with various numerical experiments. On one hand, we demonstrate in simulated markets that the trained signature portfolios are indeed remarkably close to the growth-optimal portfolios. On the other hand, we train signature portfolios using real market data of the NASDAQ, S&amp;P500 and SMI, and find that the learned portfolios out-perform the respective market portfolio in almost all cases, over the considered out-of-sample period, even under transaction costs. In a second line of research regarding path-dependence, we develop a path-dependent stochastic volatility model and calibrate it to VIX and SPX implied volatility surfaces jointly. To achieve both tractability and universality, we propose to model the volatility process via the signature of an underlying polynomial process. This enables us to derive closed form expressions for the VIX and SPX index, respectively. Moreover, we show that the calibration task can be split into an offline sampling and online learning phase, that Fourier pricing techniques are available and propose variance reduction techniques in the case of Monte-Carlo simulations. We consolidate these findings to calibrate the model to real market data, and find that the calibrated implied volatilities are indeed highly accurate. Finally, we address distributional dependencies in the evolution of financial systems by introducing so-called polynomial and affine McKean-Vlasov stochastic differential equations (SDEs). We study them using the theory of time-inhomogeneous polynomial and affine processes. In the polynomial case, we let the dependence on the law of the SDEs coefficients break down to a dependence on the (conditional) moments of the process, emulating the form of a standard polynomial process. A special case of such McKean-Vlasov SDEs were previously used to model capitalization curves in the context of SPT. In the affine case, we can allow the coefficients to depend on the characteristic function more generally. Both approaches allow us to study solutions of the SDEs in a Markovian setting and to establish new existence and uniqueness results which are, to the best of our knowledge, not obtainable using standard techniques.