Υποομάδες Διάστασης Πεπερασμένα Παραγόμενων Ελεύθερη Στρέψης Μηδενοδύναμων Ομάδων
Creators: name: Μαλτζάρης, Αριστείδης Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2015
Subjects: Μηδενοδύναμη ομάδα
Υποομάδα διάστασης
Ελεύθερη μεταβελιανή και μηδενοδυναμη ομάδα
Nilpotent group
Dimensional subgroup
Free metabelian and nilpotent group

description: Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μία ανάλυση του άρθρου του S.A. Jennings με τίτλο The group ring of a class of infinite nilpotent groups (Part I : The Group Ring)το οποίο δημοσιεύτηκε το 1955 στο περιοδικό Canadian Journal of Mathematics. Επίσης παρουσιάζεται ένα παράδειγμα κατανόησης συγκεκριμένης ομάδας, στην οποία γίνεται εφαρμογή όλων των βασικών σημείων του άρθρου. Στόχος της εργασίας είναι ο ορισμός και η μελέτη των υποομάδων διάστασης για πεπερασμένα παραγόμενες, ελεύθερη στρέψης, μηδενοδύναμες ομάδες (T-ομάδες). Πρέπει να τονίσουμε ιδιαίτερα ότι όλα τα κύρια αποτελέσματα αναφέρονται σε T-ομάδες και αυτό φανερώνει τον κεντρικό ρόλο αυτών. Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Η πρώτη παράγραφος του πρώτου κεφαλαίου έχει εισαγωγικό χαρακτήρα. Δίνουμε βασικούς ορισμούς και αποτελέσματα τα οποία θα χρησιμοποιηθούν άμεσα στη συνέχεια και πρέπει να θεωρούνται γνωστά. Για τα αποτελέσματα αυτά δίνονται αποδείξεις. Ωστόσο κάποιες θεμελιώδεις έννοιες θεωρούνται γνωστές και δε γίνεται καμία ιδιαίτερη αναφορά σε αυτές. Π.χ δεν δίνουμε ορισμούς για τις έννοιες δακτύλιος, σώμα, πρώτο σώμα, διανυσματικός χώρος και άλλες τόσο βασικές έννοιες, ούτε αναφέρουμε τα θεωρήματα ισομορφισμών ομάδων, δακτυλίων. Στη δεύτερη παράγραφο παραθέτουμε βασικά αποτελέσματα και παραδείγματα για μηδενοδύναμες ομάδες, οι οποίες αποτελούν προθάλαμο των T-ομάδων. Στην τελευταία παράγραφο παρουσιάζουμε την κλάση των T-ομάδων και εξετάζουμε τις ιδιότητες αυτών, μέσω θεωρήματων και προτάσεων τα οποία παρατίθενται με πλήρη απόδειξη. Η ύπαρξη Mal'cev βάσης για κάθε T-ομάδα καθώς και ο ορισμός μίας ολικής γνήσιας σχέσης διάταξης σε μία T-ομάδα αποτελούν, σχετικά με ότι ακολουθεί, τα σημαντικότερα αποτελέσματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζουμε την ομάδα άλγεβρα K[G] μιας T-ομάδας G πάνω από ένα σώμα K και το επαυξημένο ιδεώδες της ΔG. Κατόπιν, με την βοήθεια Mal'cev βάσης T-ομάδων, μελετάμε περαιτέρω την δομή των ομάδων αλγεβρών K [G] αποδεικνύοντας μία σειρά βασικών προτάσεων η οποία οδηγεί στο κεντρικό θεώρημα. Βάσει του κεντρικού θεωρήματος ορίζουμε μία μετρική d στην K[G]. Εν συνεχεία ορίζουμε μία πλήρωση του μετρικού χώρου (K [G], d) και μία σημαντική σχέση ισομορφίας αλγεβρών πηλίκο, σχέση κλειδί στον ορισμό των υποομάδων διάστασης. Στο τρίτο κεφάλαιο ο συνδυασμός των παραπάνω αποτελεσμάτων οδηγεί στην εκπλήρωση του στόχου της διπλωματικής, δηλαδή στον ορισμό των υποομάδων διάστασης μίας T-ομάδας G, με παράλληλη διαπίστωση ότι στον εν λόγω ορισμό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το επαυξημένο ιδεώδες είτε το ιδεώδες της πλήρωσης χωρίς να υπάρξει καμία αλλοίωση. Κλείνοντας αποδεικνύουμε ότι η σειρά υποομάδων διάστασης κάθε T-ομάδας G είναι ισχυρή κεντρική. Το τέταρτο κεφάλαιο αρχικά, πρώτη παράγραφος, αναφέρεται στις ελεύθερες ομάδες και εν συνεχεία στις σχετικά ελεύθερες ομάδες. Συγκεκριμένα στην ελεύθερη αβελιανή βαθμίδας n, την ελεύθερη μεταβελιανή βαθμίδας n και την ελεύθερη μεταβελιανή και μηδενοδύναμη ομάδα βαθμίδας n και κλάσεως c. Στην δεύτερη και σημαντικότερη παράγραφο του τελευταίου κεφαλαίου παραθέτουμε ως παράδειγμα κατανόησης την ελεύθερη μεταβελιανή και μηδενοδύναμη ομάδα βαθμίδας 2 και κλάσεως c, εφαρμόζοντας για την ομάδα αυτή όλα τα βασικά αποτελέσματα των κεφαλαίων 1, 2 και 3.
description: This MSc dissertation is an analysis of the article The group ring of a class of infinite nilpotent groups (Part I : The Group Ring)of S.A. Jennings published at the Canadian journal of Mathematics in 1955. Also, we present a comprehensive example of a special type of group in which we implement all the major results of the article. The aim of this MSc dissertation is to study and present the dimensional subgroups of finitely generated, torsion free and nilpotent groups which are called T-groups. We must point out that the main results refer to T-groups and thus demonstrate the importance of these groups. This MSc dissertation consists of four chapters. The first paragraph of the first chapter is an introductory one. We present basic definitions and results which will be directly used afterwards and will be considered known. Proofs will be given for all these results. Nevertheless, some fundamental notions are considered to be known and no special reference is made for them. For example we do not give the definitions of a rings, fields, prime fields, vector spaces and other basic notions, nor do we refer to the isomorphism theorems. In the second paragraph, we quote the main results and examples for nilpotent groups which constitute an anteroom of T-groups. In the last paragraph, we present the class of T-groups. We study and examine the properties of T-groups, through theorems and propositions which are listed in full proof. The most important results of this section are the existence of a Mal'cev basis for every T-group and the fact that every T-group is totally proper ordered. In the second chapter we define the group algebra K[G] of a T-group G over a field K and the augmentation ideal ΔG of K[G]. Moreover, we further study the structure of K[G] using Mal'cev basis of G and proving a number of key propositions, which leads to central theorem. Based on this we define a metric d over K[G] and then a completion of the metric space ( K[G], d)$. Finally, we establish a very important isomorphism relation for algebra quotients. In the third chapter, the combination of the results mentioned above leads to the definition of dimensional subgroups of T-group G. We ascertain that on the above definition we can use either the augmentation ideal ΔG or the ideal of completion with no changes. Finally, we prove that the sequence of dimensional subgroups of a T-group $G$ is strong central. In the beginning of the last chapter’s first paragraph, there is a reference to the free groups and then in the relatively free groups. Particularly we refer the free abelian of rank n, the free metabelian of rank n and the free metabelian and nilpotent of rank n and class c. In the second and most important paragraph of the last chapter we present as acomprehensive example, a special type of T-group, the free metabelian and nilpotent group of rank 2 and class c applying for it all the main results from the chapters 1, 2 and 3.