title: Επαναληπτικός αλγόριθμος συμπίεσης κβαντικού εναγκαλισμού
title: Iterative compression algorithm of quantum entanglement
Creators: name: Βαρδακης Κωνσταντινος
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2019

description: This thesis addresses a central question in the field of Quantum Information Science and Technology. The object of concern is the quantum entanglement (i.e. quantum correlations) between two parts of a bipartite quantum system, each of which is mathematically described by a set of state vectors, all lying in a real vector space. The question then is formulated as follows: "Is it possible to reduce the number of vectors describing each subsystem of the bipartite quantum system and still have the same amount of total quantum entanglement ?" Hence the  question, abbreviated to the name entanglement compression, is that of dimensional reduction of local sub-spaces composing the bipartite system, under the constraint of preserving the initial entanglement. In descriptive terms, the problem may be cast in the form: "can I have the same with less?" Given that quantum entanglement is treated par excellence as the new type of resources required by quantum technology, and the fact that the sub-systems, aimed to be dimensionally reduced, are composed by multiple qubits, the question then amounts to one of optimal handling of resources. Building upon previous works and recent developments, the thesis then proceeds to exploit a heuristic idea. Given that the coupling of sub-systems under study is mathematically determined by a coefficient-matrix, specifying the multi-tensor state vector of the bi-partite, a choice is made: use for coefficient-matrix any matrix describing a grayscale digital image. Digital images of e.g. Schroedinger, Lena are employed to build state vectors of multi-qubit bi-partite quantum systems. This situation motivates the exploitation of low rank matrix approximation techniques from image compression within the context of entanglement compression. Employing as quantitative measure of entanglement the quantum Rényi entropy of the marginal (reduced) density matrix of the bipartite system, the aim becomes to achieve dimensional reduction of the total bipartite state vector, while preserving (or optimizing on) the Rényi entropy of a quantum subsystem. The thesis shows that the first task of dimensional reduction is achieved via low rank approximation in the Singular Value Decomposition (SVD) of the image-state-vector matrix. A quantum algorithmic implementation of the classical technique to the quantum context is provided. The second task of the compression, that of entanglement preservation, is achieved via an algorithm, akin to Bell state generation quantum circuit, generalized to the context of multi-qubit systems. This part of the entanglement compression procedure utilizes tools from matrix analysis, such as pair-wise Hadamard product of matrices and related inequalities, to show that there is a trading between the two tasks, namely dimensional reduction and entanglement (entropy) preservation. This leads to building an iterative procedure, which involves unitary gates combined with higher dimensional oracle-driven projections acting on multi-qubit vectors. A thorough numerical investigation, based on exemplary cases of image-states, confirms the feasibility and the efficiency of quantum entanglement compression iterative procedure.
description: Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με ένα κεντρικό ερώτημα στο πεδίο της επιστήμης της Κβαντικής Πληροφορίας και Τεχνολογίας. Το αντικείμενο ενδιαφέροντος αποτελεί ο κβαντικός εναγκαλισμός (με άλλα λόγια κβαντικές συσχετίσεις) μεταξύ δύο τμημάτων ενός διμερούς κβαντικού συστήματος, καθένα από τα οποία περιγράφεται μαθηματικά από ένα σύνολο καταστατικών διανυσμάτων, το όποιο εμπεριέχεται σε ένα πραγματικό διανυσματικό χώρο.  Έπειτα, το ερώτημα διατυπώνεται ως εξής: «Είναι δυνατόν να μειωθεί ο αριθμός των διανυσμάτων που περιγράφουν κάθε υποσύστημα του διμερούς κβαντικού συστήματος ενώ θα διατηρηθεί το ποσό του συνολικού κβαντικού εναγκαλισμού;» Για το λόγο αυτό, το ζητούμενο, εν συντομία συμπίεση εναγκαλισμού, περιλαμβάνει τη διαστατική ελάττωση των τοπικών υποδιαστημάτων, που απαρτίζουν το διμερές σύστημα, υπό τον περιορισμό της διατήρησης του αρχικού εναγκαλισμού. Με περιγραφικούς όρους το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί με την εξής μορφή: «μπορώ να έχω το ίδιο με λιγότερα;» Δεδομένου ότι ο κβαντικός εναγκαλισμός θεωρείται ο περιζήτητος νέος τύπος πόρων που απαιτείται στη κβαντική τεχνολογία, και το γεγονός ότι τα υποσυστήματα, που υπόκεινται τη διαστατική ελάττωση, αποτελούνται από πολλαπλά qubits, το ερώτημα συνεπώς ανάγεται στο βέλτιστο χειρισμό των πόρων. Βασισμένη σε προηγούμενες εργασίες και πρόσφατη έρευνα, η διπλωματική εργασία προχωρεί εκκινώντας με μία ευρετική ιδέα. Με την προϋπόθεση ότι η σύζευξη των υπό μελέτη υποσυστημάτων είναι μαθηματικά προσδιορισμένη από ένα πίνακα συντελεστών που καθορίζει το συνολικό καταστατικό διάνυσμα του διμερούς, γίνεται η εξής επιλογή: ως πίνακας συντελεστών επιλέγεται ένας οποιοσδήποτε πίνακας που περιγράφει μια grayscale ψηφιακή εικόνα. Ψηφιακές εικόνες όπως π.χ. Schroedinger, Lena χρησιμοποιούνται για την κατασκευή καταστατικών διανυσμάτων διμερών κβαντικών συστημάτων πολλαπλών qubits. Αυτή η κατάσταση ευνοεί την εκμετάλλευση τεχνικών προσέγγισης πίνακα χαμηλής τάξης από το πεδίο της  συμπίεση εικόνας στο πεδίο της εφαρμογής της συμπίεσης εναγκαλισμού. Επιλέγοντας ως μέτρο ποσοτικοποίησης του εναγκαλισμού  την κβαντική εντροπία Rényi του περιθώριου  (ελαττωμένου) πίνακα πυκνότητας του διμερούς κβαντικού συστήματος, ο στόχος επαναδιατυπώνεται ως η επίτευξη της διαστατικής ελάττωσης του συνολικού διμερούς καταστατικού διανύσματος ενώ διατηρείται (ή βελτιστοποιείται) η Rényi εντροπία ενός κβαντικού υποσυστήματος. Η διπλωματική εργασία δείχνει ότι το πρώτο ζητούμενο, αυτό της διαστατικής ελάττωσης, επιλύεται μέσω της προσέγγισης χαμηλής τάξης της Διάσπασης Ιδιαζουσών Τιμών (SVD) του πίνακα καταστατικού διανύσματος εικόνας. Προς τούτο παρουσιάζεται μια κβαντική αλγοριθμική υλοποίηση της κλασσικής τεχνικής συμπίεσης  στο κβαντικό πεδίο. Το δεύτερο ζητούμενο της συμπίεσης, αυτό της διατήρησης εναγκαλισμού, επιλύεται μέσω ενός αλγορίθμου με κβαντικό κύκλωμα παρόμοιο εκείνου της παραγωγής καταστάσεων Bell, γενικευμένο για την περίπτωση συστημάτων πολλαπλών qubits. Αυτό το τμήμα της διαδικασίας συμπίεσης εναγκαλισμού κάνει χρήση εργαλείων από την ανάλυση πινάκων, όπως το σημειακό γινόμενο στοιχείων  πινάκων και σχετικών ανισοτήτων, προκειμένου να καταδείξει ότι υπάρχει μια ενάντια αναλογία μεταξύ των δύο ζητουμένων, συγκεκριμένα της διαστατικής ελάττωσης και της διατήρησης του εναγκαλισμού (εντροπίας). Αυτό οδηγεί στην ανάπτυξη μιας επαναληπτικής διαδικασίας, που περιλαμβάνει γιουνίταρι  πύλες σε συνδυασμό με μαντειο-οδηγούμενες προβολές υψηλότερων διαστάσεων πάνω σε διανύσματα πολλαπλών qubit. Τέλος αναπτύσσεται μια λεπτομεριακή αριθμητική διερεύνηση, βασισμένη σε παραδειγματικές περιπτώσεις εικονο-καταστάσεων, η οποία επιβεβαιώνει την υλοποιησιμότητα και την αποδοτικότητα της επαναληπτικής διαδικασίας συμπίεσης κβαντικού εναγκαλισμού.​​​​​​​