title: Stochastic analysis of Brownian motion on Riemannian manifolds
Creators: name: Amine, Aymane
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In dieser Masterarbeit handelt es sich um ein Thema an der Schnittstelle von stochastischem Analysis und Riemannscher Geometrie, nämlich diese Arbeit untersucht Konstruktionen des Brownschen Bewegung auf nicht-flachen Geometrien. Zu diesem Zweck untersuchen wir Erweiterungen von Ergebnissen und Techniken aus dem Stochastischen Analysis im euklidischen setting in ihre Analoga auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und verwenden diese, um Brownsche Bewegung auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren und zu untersuchen. Die Arbeit ist wie folgt strukturiert: Im ersten Kapitel führen wir die wesentlichen Konzepte und Ergebnisse im Zusammenhang mit kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten ein. Kapitel 2 führt einige grundlegende Konzepte aus dem stochastischen Analysis in $\mathbb{R}^d$ ein. Das dritte Kapitel ist das Hauptkapitel und beginnt mit einer Einführung in Rahmenbündel, horizontale Lifts, Anti-abwicklungen und ihre Verwendung im Kontext stochastischer Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. Anschließend untersuchen wir eine grundlegende Konstruktion der Brownschen Bewegung auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die als Eells-Elworthy-Konstruktion bezeichnet wird. Darüber hinaus vergleichen wir die Beschreibung der Brownschen Bewegung mit der oben genannten Methode mit einfacheren Beschreibungen im Fall, dass die Mannigfaltigkeit die Sphäre oder der Torus ist. Wir schließen das Kapitel ab, indem wir eine äquivalente Charakterisierung der Brownschen Bewegung auf einer Mannigfaltigkeit unter Verwendung des Laplace-Beltrami-Operators geben. Wir zeigen, dass unsere vorherigen Konstruktionen der Brownschen Bewegung auf der Sphäre und dem Torus dies erfüllen. Schließlich vervollständigen wir unsere Untersuchung, indem wir das Konzept der Gamma-Martingale auf einer Mannigfaltigkeit untersuchen und ein Beispiel für ein $\Gamma$-Martingal auf dem Torus schildern.
description: This thesis explores a topic at the intersection of stochastic calculus and Riemannian geometry, namely, it investigates constructions of Brownian motion on non-flat geometries. To this end, we study extensions of results and techniques from stochastic calculus in the Euclidean space setting into their analogues on Riemannian manifolds and use these to define and study Brownian motion on compact Riemannian manifolds. The thesis is organized as follows: In the first chapter, we introduce some basic concepts and results related to compact Riemannian manifolds. Chapter 2 introduces the necessary concepts from stochastic calculus in $\mathbb{R}^d$. The third chapter is the main chapter and starts with an introduction to frame bundles, horizontal lifts, anti-developments, and their use in the context of stochastic differential equations on manifolds. We then study a fundamental construction of Brownian motion on a Riemannian manifold termed the Eells-Elworthy construction. Furthermore, we compare the description of Brownian motion by the method mentioned above with simpler descriptions in the case where the manifold is the sphere. We conclude the chapter by giving an equivalent characterization of Brownian motion on a manifold using the Laplace-Beltrami operator. We show that our previous constructions of Brownian motion on the sphere and torus fulfill it. Finally, we complete our study by examining the concept of Gamma martingales on a manifold and give an example of a $\Gamma$-martingale on the torus.