title: Numerische Berechnung von Eigenschaften des Homogenen Elektronengases vermittels des Adiabatic-Connection-Fluctuation-Dissipation-Theorems
Creators: name: Kalaß, Simon
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024
Subjects: subject: ACFD HEG numerical integration grid design theoretical computer chemistry density functional theory

description: In der vorliegenden Arbeit wurden die zentralen Herausforderungen erläutert, die sich bei der numerischen Berechnung verschiedener physikalischer Größen des Modellsystems des dreidimensionalen homogenen Elektronengases (kurz: des HEG-Modells) mit quantenmechanischen Methoden auf Basis des Adiabatic-Connection-Fluctuation-Dissipation-Theorems (kurz: des ACFD-Theorems) ergeben. Die in dieser Arbeit betrachteten Größen sind die Korrelationsenergie εc pro Elektron und Korrelationskomponenten gc der Paarkorrelationsfunktion der Elektronen. Dabei stellt die Entwicklung von effzienten Integrationsgittern in den skalierten Variablen q′ und η′ des Impulses und der imaginären Frequenz eine kritische Aufgabe dar, für die ein pragmatischer und rigoroser Lösungsalgorithmus vorgestellt wurde. Die Integrationsgitter, die auf Basis des vorgeschlagenen Schemas entwickelt wurden, sind optimiert, erfüllen wohldefnierte (teils extreme) Genauigkeitsansprüche über weite Bereiche des Elektronendichteparameters rS des HEGs und eignen sich - nicht zuletzt aufgrund ihres Anspruches, auch für einzelne Integrationsteilgebiete in {q′, η′} lokal bestimmte Fehlertoleranzen nicht zu überschreiten - zum Einsatz in der Entwicklung neuer ACFD-Methoden zur Berechnung der Korrelationsenergie elektronischer Systeme - speziell in den hierbei notwendigen Parameteroptimierungen diverser Ansätze an das zentrale Integrandenfunktionspartikel k(α,τ) zur Berechnung von εc und gc. Derartige Ansatzoptimierungen sind nun vonnöten, um die mit entsprechenden ACFD-Methoden erhältlichen Ergebnisse so weit an die physikalische Realität anzunähern, dass das Design, bzw. die die Optimierung von Integrationsgittern in {q′, η′} sinnvoll und effzient weitergeführt werden kann. Liegen entsprechend leistungsfähigere ACFD-Ansätze vor, können die durchgeführten Schritte zur Erstellung der vorliegenden Gitterprodukte anhand der ausführlichen Beschreibung der diesbezüglichen Aspekte in dieser Arbeit nachvollzogen, neu evaluiert und wiederholt werden, sodass für überarbeitete ACFD-Ansätze ebenso Integrationsgitter mit wohldefnierter und sichergestellter Genauigkeit erstellt werden können. Zur Ermöglichung und Erleichterung derartiger zukünftiger Gitterdesignprozesse wurde eine Programmstruktur implementiert, die möglichst übersichtlich, modular, wartbar und v.A. erweiterbar konzipiert wurde. Im Anhang an diese Arbeit fnden sich hierzu Programmbeschreibungen, Anweisungen zur Erweiterung der entsprechenden Codes und Anwendungsbeispiele. Letztere Beispiele sind als weitgehend automatisierte Bash-Skripte realisiert, anhand derer nicht nur alle Zusammenhänge zwischen den einzelnen Programmen nachvollzogen werden können, sondern mit deren Hilfe bei Bedarf auch - mit minimalen Änderungen - direkt eine (angepasste) Wiederholung aller Gitterkonvergenz- und Gitterdesignprozesse unternommen werden kann. Die Grenzen, in denen der erarbeitete Algorithmus ökonomisch angewandt werden kann, wurden in dieser Arbeit ebenfalls ausführlich umrissen. Es wurden diesbezüglich Möglichkeiten zur Erhöhung der Effzienz des ursprünglichen Schemas des Gitterdesigns erarbeitet, um besagte Grenzen - d.h. den Bereich an erreichbaren Genauigkeitsansprüchen und handhabbaren Elektronendichtebereichen des HEG-Modellsystems - bei Bedarf zu erweitern. Erste Gitterkonstruktionen mit entsprechend angepassten Designprämissen wurden in dieser Arbeit auf Basis der entwickelten Programmstruktur ebenfalls bereits durchgeführt und liefern vielversprechende Ergebnisse, was die Skalierbarkeit des modifzierten Algorithmus, sowie die zu erwartende Genauigkeit hiermit erhältlicher Integrationsgitter betrifft.