title: Topics on alternating sign matrices and Aztec rectangles
Creators: name: Saikia, Manjil Pratim
Publisher: name: :none
Year: 2019

description: Mathematiker, im besonderen Kombinatoriker, sind immer auf der Suche nach schönen Strukturen und Formeln. Die Abz\"ahlformeln f\"ur alternierende Vorzeichenmatrizen (ASMs) einer gewissen Gr\"o\ss e sowie f\"ur Parkettierungen eines Azteken-Diamants mittels Dominosteinen sind zwei sch\"one Beispiele daf\"ur. Beide sind durch einfache Ausdr\"ucke gegeben: im ersten Fall durch Quotienten von Fakult\"aten, im Zweiten durch eine Potenz von 2. Die Existenz von solch einfachen und besonders sch\"onen Formeln hat Mathematiker ermutigt, Verfeinerungen der urspr\"unglichen Objekte zu betrachten und diese abzuz\"ahlen. Diese Dissertation behandelt zwei Problembereiche, welche durch die Suche nach Formeln von besonderer Einfachheit und Sch\"onheit inspiriert wurden. Im ersten Teil dieser Dissertation betrachten wir verfeinerte Abz\"ahlungen von ASMs bez\"uglich Statistiken auf deren R\"andern. Eine alternierende Vorzeichenmatrizen der Ordnung $n$ ist eine $n \times n$ Matrix mit Eintr\"agen aus der Menge $\{0,\pm 1\}$, sodass alle Spalten- und Zeilensummen gleich $1$ sind und die Eintr\"age ungleich $0$ in ihrem Vorzeichen alternieren. Diese Matrizen wurden durch Robbins und Ramsey eingef\"uhrt, die gemeinsam mit Mills eine einfache Produktformel f\"ur die Anzahl der ASM vermuteten. Bereits in den 1980ern, kurz nach der Definition dieser Matrizen, bemerkte Robbins, dass auch die Abz\"ahlung der meisten Symmetrieklassen von ASMs ausgesprochen einfache Produktformeln haben. In weiterer Folge stellte Robbins Vermutungen f\"ur explizite Produktformeln der meisten Symmetrieklassen auf, deren Beweis erst in 2017 komplettiert wurde. Durch kurze \"Uberlegungen lassen sich einige einfache Eigenschaften von ASMs erkennen. Eine solche Eingenschaft ist, dass eine ASM genau einen Eintrag gleich 1 in ihrer ersten Reihe hat; das Gleiche gilt f\"ur die letzte Reihe bzw. f\"ur die erste oder letzte Spalte. Dies motivierte eine verfeinerte Abz\"ahlung von ASMs, bei welcher die Position der 1 in der obersten Reihe fixiert ist. Die dazugeh\"origen Abz\"ahlformeln wurden von Zeilberger unter der Verwendung von Techniken aus der statistischen Physik bewiesen. In dem ersten Teil dieser Arbeit beweisen wir Abz\"ahlformeln f\"ur solche Verfeinerungen einiger Symmetrieklassen von ASMs (vertikal symmetrisch, vertikal und horizontal symmetrisch, Vierteldrehung symmetrisch, antidiagonal und abseits-antidiagonal symmetrisch, vertikal und antidiagonal symmetrisch) sowie f\"ur eng verwandte Klassen von Matrizen (vertikal und horizontal symmetrische perverse ASMs, quasi Vierteldrehung symmetrische ASMs). Unsere Resultate beweisen Vermutungen von Robbins, Fischer und Duchon. Im zweiten Teil dieser Dissertation betrachten wir Parkettierungen von Azteken-Rechtecken durch Dominosteine. Ein Azteken-Diamant der Gr\"o\ss e $n$ ist die Vereinigung von allen Quadraten innerhalb der Kontur $|x|+|y|=n+1$. Man kann beweisen, dass die Anzahl der vollst\"andigen Parkettierungen ohne \"Uberlappungen und L\"ocher eines Azteken-Diamanten mit Dominosteinen, dies sind Vereinigung von zwei benachbarten Quadraten, gleich $2^{\binom{n+1}{2}}$ ist. Eine einfache Verallgemeinerung dieser Diamanten sind Azteken-Rechtecke, welche durch Erweitern auf der S\"udost und Nordwest Seite erhalten werden. Die resultierende Figur ist nicht mehr mittels Dominosteinen parkettierbar, jedoch wird sie es durch das Entfernen von einigen Quadraten an den erweiterten R\"andern. Diese Objekte wurden bereits durch Mills, Robbins und Rumsey abgez\"ahlt. Wir besch\"aftigen uns in dieser Arbeit mit einem allgemeineren Problem indem wir erlauben, dass die Quadrate nicht nur von einer Seite sondern von allen R\"andern des Azteken-Rechtecks entfernt werden d\"urfen. F\"ur diese Abz\"ahlung konnten wir eine Pfaffsche Formel beweisen. Als Konsequenz davon erhalten wir eine solche Formel f\"ur die Anzahl der Azteken-Diamanten, wobei von allen Seiten Quadrate entfernt werden d\"urfen. Die Eintr\"age der Pfaffschen Form zugeh\"origen Matrix sind in beiden F\"allen durch die Anzahl von Parkettierungen von Azteken-Rechtecken bzw. Azteken-Diamanten mit spezielle Randbedingungen, die Quadrate d\"urfen entweder auf zwei benachbarten oder gegen\"uberliegenden Seiten entfernt werden, gegeben. Um dieses Resulatat zu beweisen ben\"utzen wir Kuo-Kondensation. Weiters pr\"asentieren wir eine Verallgemeinerung von Kuos Resultat, welches auch eine Verallgemeinerung von einem Resultat von Ciucu darstellt.
description: Mathematicians, specially combinatorialists are always on the lookout for beautiful structures and formulas. Two such beautiful formulas are respectively the number of alternating sign matrices (ASMs) of a given order and the number of domino tilings of Aztec diamonds. Each is given by a simple expression, in the first case it is a quotients of factorials, while in the second case it is a power of $2$. The existence of formulas of such compelling simplicity and beauty have encouraged mathematicians to look for further refinements in these objects and enumerate them. This thesis deals with two such problems which are inspired by the lookout for formulas of some degree of simplicity and beauty. In the first part of this thesis, we study refined enumeration of ASMs with respect to boundary statistics. An ASM of order $n$ is an $n\times n$ matrix with entries in the set $\{0, \pm1\}$ with all row and column sums equal to $1$ and where non-zero entries alternate in sign. These matrices were introduced by Robbins and Rumsey, who together with Mills conjectured a simple product formula for the number of ASMs. It was noticed already in the 1980s (by Robbins) soon after these type of matrices were defined that the symmetry classes of ASMs also have very simple product formula for their numbers. This led Robbins to conjecture several formulas for these numbers, and the program of proving these formulas was recently completed in 2017. A moment's thought yields several simple properties of any ASM. One of these is that the first row (or any boundary row or column) can contain only one $1$, otherwise the alternating condition is violated. This motivated refined enumeration of ASMs; that is, the enumeration of a fixed order ASM with the position of the $1$ in the first row (or any other boundary row or column) fixed. This was done by Zeilberger using techniques that arose from statistical physics models. In the first part of the thesis we prove such refined enumeration formulas for several symmetry classes of ASMs (vertically symmetric, vertically and horizontally symmetric, quarter-turn symmetric, off-diagonally and off-antidiagonally symmetric and vertically and off-diagonally symmetric), as well as for some closely related classes of matrices (vertically and horizontally perverse ASMs and quasi quarter-turn symmetric ASMs). Our results prove conjectures of Robbins, Fischer and Duchon. In the second part of this thesis, we study domino tilings of Aztec rectangles, which is a natural extension of an Aztec diamond. The union of all unit squares inside the contour $\abs{x}+\abs{y}=n+1$ is called an Aztec diamond of order $n$. If we tile such an Aztec diamond using dominoes (which are union of two adjacent unit squares), then we will get $2^{\binom{n+1}{2}}$ many such tilings which completely cover the Aztec diamond with no overlapping dominoes or empty spaces in the contour. An easy generalization of these diamonds is the Aztec rectangle where we extend the south-east and north-west sides. The resulting figure is not tilable by dominoes. However, if we remove some squares from one of these extended boundaries then we can tile the resulting region using dominoes. The number of such tilings was already counted by Mills, Robbins and Rumsey. We look at the more general problem of removing arbitrary many squares from not one side of such an Aztec rectangle, but from all of the boundary sides. We are able to prove a Pfaffian formula for the number of such tilings. As corollaries, we also get such a formula for the number of tilings of Aztec diamonds with arbitrary boundary squares missing from all sides. The entries of the Pfaffian in both these cases are given by number of domino tilings of either Aztec rectangles or Aztec diamonds with specific boundary squares missing (either on two adjacent sides or two opposite sides). The technique that is used for proving these results is called Kuo condensation. We also present a generalization of Kuo's result, which in itself is a generalization of a result of Ciucu.