Numerische Methoden für die Analyse von Quantenbauelementen auf Grundlage der Liouville-von-Neumann-Gleichung
Creators: name: Schulz, Lukas
Publisher: name: TU Dortmund
Year: 2021
Subjects: subject: Quantentransport
subject: Numerische Modellierung
subject: Liouville-von-Neumann-Gleichung
subject: Wigner-Transportgleichung
subject: Komplex absorbierendes Potenzial
subject: 620
subject: Wigner-Gleichung
subject: Von-Neumann-Gleichung
subject: Numerisches Modell
subject: Quantentechnologie

description: Heutzutage ist die numerische Modellierung des Transportverhaltens innerhalb von Quantenbauelementen für die Analyse und das Design moderner Komponenten der Nanoelektronik, Hochfrequenztechnik und Terahertz-Technik unabdingbar. Neben der Analyse des stationären Regimes erlangt dabei insbesondere die Erfassung transienter Phänomene unter Berücksichtigung von Wechselwirkungsmechanismen eine große Bedeutung. Während sich Ansätze auf Basis von Greenschen-Funktionen mittlerweile zur Analyse des stationären Transportverhaltens als erfolgreich erwiesen haben, ist ihr Einsatz im transienten Regime aufgrund der hohen Anforderungen an Rechenressourcen zur Analyse von ingenieurmäßigen Anwendungen zu aufwendig. Eine numerisch zielgerichtete Analyse des transienten Transportverhaltens auf Basis der statistischen Dichtematrix erscheint vor diesem Hintergrund sinnvoll. Hierzu wird vor allem die Wigner-Transportgleichung herangezogen. Die korrespondierende numerische Approximation auf Basis von Finiten-Differenzen ist jedoch mit einer Vielzahl von Problemen behaftet. Stark oszillierende Integralkerne im Phasenraum innerhalb der Wigner- Transportgleichung bereiten Schwierigkeiten bei der Approximation. Kohärente Effekte und nichtlokale Randbedingungen werden im Grundsatz nicht erfasst. Oberflächenterme infolge eines abgeschlossenen Rechengebiets werden nicht berücksichtigt. Als Konsequenz kommt es zu unphysikalischen Reflexionen an den Rändern. Die Ergebnisse weichen bereits stark im stationären Regime von anerkannten Referenzlösungen auf Grundlage Greenscher-Funktionen ab. In dieser Arbeit werden neu konzipierte Formalismen zur numerischen Approximation der Transportgleichungen vorgestellt, mit denen die genannten Probleme vermieden werden können. Grundlage für dieses Vorhaben ist einerseits eine semi-analytische Lösung auf Basis eines Exponentialoperators und andererseits die Einführung eines komplexen Potenzials hinsichtlich der Einbindung der Oberflächenterme. Unter Verwendung der Liouville-von-Neumann-Gleichung in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten wird ein weiteres Feld zur Analyse des Transportverhaltens eröffnet. Hiermit gelingt nicht nur die Kombination der Vorteile einer Ortsraumdiskretisierung mit denen einer Phasenraumdarstellung, sondern auch die Formulierung eines numerisch effizienten Unterraum-Verfahrens. Die entwickelten Formalismen werden anhand von Intra-, Inter- und Multisubbandtransportmodellen im stationären und transienten Regime untersucht. Im Vergleich zu den ursprünglich eingesetzten Methoden wird eine hervorragende Übereinstimmung mit anerkannten Verfahren im stationären Regime erzielt und somit der Grundstein für die ingenieurmäßige Analyse von zeitabhängigen Phänomenen in Quantenbauelementen gelegt.