title: Harmonic morphisms, eigenfamilies, and symmetry
Creators: name: Riedler, Oskar
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2025
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: Diese Dissertation behandelt harmonische Morphismen, Eigenfamilien und Minimalflächen.
Wir entwickeln neue Reduktionstheoreme für harmonische Morphismen und zeigen, dass
sie genau die horizontal konformen Abbildungen sind, die bestimmte minimale
Untermannigfaltigkeiten zurückziehen. Außerdem analysieren wir globale und infinitesimale
Bedingungen für weitere Kodimensionen. Es folgt eine Strukturtheorie für Eigenfamilien auf
kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Weiter untersuchen wir polynomielle
harmonische Morphismen zwischen euklidischen Räumen. Neue Beispiele und
Klassifikationen in niedrigen Dimensionen werden präsentiert. Abschließend wenden wir
unsere Theoreme an, um neue minimale Kegel zu erzeugen.
description: 1 Introduction ..... 1
1.1 Example ..... 3
1.2 Contents of thesis ..... 5
1.3 Notation ..... 8
2 Harmonic morphisms and minimal submanifolds ..... 9
2.1 Harmonic morphisms ..... 9
2.1.1 Definition and geometric characterisation ..... 9
2.1.2 Examples ..... 11
2.1.3 Basic properties ..... 13
2.2 Minimal submanifolds from harmonic morphisms ..... 14
2.2.1 Classical results ..... 15
2.2.2 Novel reduction theorems ..... 17
3 (¼, μ)-eigenfamilies ..... 21
3.1 (¼, μ)-eigenfamilies ..... 21
3.1.1 Definition ..... 22
3.1.2 Examples ..... 25
3.2 The values (¼, μ) ..... 27
3.2.1 General ¼, μ ..... 27
3.2.2 The case ¼ = μ ..... 30
3.2.3 Cone construction ..... 31
3.3 Basic existence and non-existence results ..... 35
3.3.1 Generic non-existence ..... 35
3.3.2 Existence on Sasaki manifolds ..... 35
3.3.3 Existence for Lie groups and homogeneous spaces ..... 36
3.4 Rigid system in L2 ..... 40
3.4.1 Main Theorem ..... 40
3.4.2 L2-rigidity for families ..... 42
3.4.3 Proof of Lemma 3.4.5 ..... 43
4 Polynomial Harmonic Morphisms ..... 46
4.1 Background ..... 47
4.2 (¼, μ)-eigenfamilies on spheres and other CROSS ..... 48
4.2.1 (¼, μ)-eigenfamilies on spheres ..... 48
4.2.2 Other CROSS ..... 50
4.3 (0, 0)-eigenfamilies on Rm and holomorphy ..... 52
4.3.1 Complex type ..... 52
4.3.2 Examples of (0, 0)-eigenfamilies not of complex type ..... 55
4.3.3 Axis of holomorphy ..... 56
4.4 Classification results ..... 58
4.4.1 Dimension 4 and less ..... 58
4.4.2 Reduction via an axis, dimension 5 and 6 ..... 60
4.4.3 Degree 2 ..... 62
4.5 Polynomial harmonic morphisms Rm → Rn ..... 68
4.5.1 Degree 2 ..... 69
4.5.2 Novel examples ..... 71
4.5.3 (0, 0)-eigenfamilies from polynomial harmonic morphisms ..... 75
5 Minimal cones from harmonic morphisms ..... 77
5.1 Umbilic maps ..... 77
5.2 Minimal cones from harmonic morphisms ..... 80
5.2.1 Degree 2 polynomials ..... 80
5.2.2 Proof of Theorem 5.2.5 ..... 82
5.2.3 Higher degree ..... 86
5.3 Concluding remarks and open questions ..... 87
A Isoparametric functions and an application of reduction ..... 89
A.1 Isoparametric functions ..... 89
A.2 Application of reduction: Self-shrinkers of mean curvature flow ..... 91
Bibliography ..... 95