Το δυναμικό σύστημα των εξισώσεων Duffing.:
Creators: name: Νικολόπουλος, Σταύρος Ιωάννη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2011
Subjects: υφαρμονική
ομοκλινική
διακλαδώσεις
subharmonic
homoclinic
bifurcations

description: Σκοπός της παρούσης εργασίας είναι η υπολογιστική μελέτη της εξίσωσης Duffing η οποία μπορεί να μελετηθεί ως ένα δυναμικό σύστημα, μη αυτόνομο, δύο εξισώσεων πρώτης τάξης. Η εξίσωση Duffing μπορεί να μελετηθεί θεωρητικά και να εφαρμοστεί σε αυτή η υφαρμονική και η ομοκλινική θεωρία Melnikov οι οποίες προβλέπουν διακλαδώσεις σάγματος-κόμβου περιοδικών τροχιών και εγκάρσιες ομοκλινικές τροχιές που οδηγούν στη δημιουργία χάους. Μπορεί να μελετηθεί και αριθμητικά και συγκεκριμένα να μελετηθούν οι διακλαδώσεις διπλασιασμού περιόδου των βασικών περιοδικών τροχιών που οδηγούν σε ενδιαφέροντα οριακά σύνολα. Στην παρούσα εργασία γίνεται αυτή η θεωρητική και αριθμητική μελέτη και συγκεκριμένα μελετώνται αριθμητικά οι διπλασιασμοί περιόδου της περιοδικής τροχιάς περιόδου ένα και της περιοδικής τροχιάς περιόδου τρία η δημιουργία των οποίων προβλέπονται θεωρητικά από την υφαρμονική θεωρία Melnikov. Η αριθμητική μελέτη αυτών των φαινομένων γίνεται μέσω της απεικόνισης Poincare με μέθοδο Runge-Kutta τέταρτης τάξης. Παρουσιάζονται επίσης και διάφορες ενδιαφέρουσες τροχιές στον διδιάστατο χώρο καταστάσεων. Στα πρώτα κεφάλαια δίνεται η θεωρία των διδιάστατων αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων τα είδη των σημείων ισορροπίας και την ευστάθειά τους. Μελετούνται και οι διακλαδώσεις σάγματος-κόμβου και διπλασιασμού περιόδου που ενδιαφέρουν στις εξισώσεις Duffing.Παρόμοια παρουσίαση γίνεται και για τις περιοδικές τροχιές μη αυτόνομου διδιάστατου συστήματος. Ένας εύκολος τρόπος να μελετηθούν περιοδικές τροχιές μη αυτόνομου διδιάστατου συστήματος και η ευστάθεια τους είναι η απεικόνιση Poincare. Σταθερά σημεία και περιοδικά σημεία της απεικόνισης Poincare είναι αντίστοιχα περιοδικές τροχιές περιόδου ένα και πολλαπλών περιόδων του μη αυτόνομου συστήματος. Επίσης οι τροχιές του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων έχουν ένα προς ένα αντιστοιχία με τις τροχιές της απεικόνισης Poincare. Μπορούμε λοιπόν να μελετήσουμε θεωρητικά και αριθμητικά την απεικόνιση Poincare αντί για τις διαφορικές εξισώσεις. Γίνεται λοιπόν παρουσίαση σταθερών σημείων και διακλαδώσεων σε απεικονίσεις. Παρουσιάζεται η ομοκλινική και υφαρμονική θεωρία Melnikov και συνδέεται με τις εξισώσεις Duffing. Το βασικό μέρος της εργασίας είναι η αριθμητική μελέτη αυτών των εξισώσεων και η σύνδεση τους με τη θεωρία.
description: The purpose of this paper is the computational study of the Duffing equation which can be studied as a dynamical system of two first order equations. The Duffing equations can be studied theoretically by the application of the subharmonic and the homoclinic Melnikov theory involving a bifurcation of saddle-node type and the creation of transverse homoclinic orbits that lead to chaos. This can be studied numerically and particularly to study the bifurcations of period doubling of the main periodic orbits that lead to interesting phenomena. The numerical study of these phenomena is through the Poincare map with the Runge-Kutta method of the fourth order. We also presented the orbits in the two-dimensional state space.
description: In the early chapters we give the theory of two-dimensional autonomous differential equations, the kinds of equilibrium and their stability. We focus on the bifurcations saddle-node and the period doubling. The same applies to the periodic orbits of non-autonomous two-dimensional system. An easy way to study periodic orbits of non-autonomous two-dimensional system and their stability is the Poincare map. Fixed points and periodic points of the Poincare map are respectively periodic orbits of period one and multiple periods of the non-autonomous system. Also the orbits of the system of differential equations have a one to one correspondence with the orbits of the Poincare map. We can therefore study theoretically and numerically the Poincare map instead of the differential equations. We, therefore, present fixed points and bifurcations in maps. The homoclinic and subharmonic Melnikov theory and its relation to the Duffing equations is shown.