title: Holomorphic mappings of hyperquadrics from C^2 to C^3
Creators: name: Reiter, Michael
Publisher: name: :none
Year: 2014

description: Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil wird ein ein neuer Beweis von Faran's und Lebl's Resultat mittels eines neuen CR-geometrischen Zugangs gegeben. Wir klassifizieren alle holomorphen Abbildungen von der Sphäre in $\C^2$ und Levi-nichtdegenerierten Hyperquadriken in $\C^3$. Dazu werden Resultate von Lamel verwendet, die es uns erlauben unsere Untersuchungen auf eine spezielle Klasse von holomorphen Abbildungen einzuschränken. Diese Familie von sogenannten nichtdegenerierten und transversalen Abbildungen werden wir mit $\mathcal F$ bezeichnen. Für $\mathcal F$ geben wir eine Unterklasse $\mathcal N$ von Abbildungen an, die, bezüglich der Gruppe $\mathcal G$ von Automorphismen welche einen gegebenen Punkt fixieren, normalisiert sind. Vermöge der Techniken von Baouendi--Ebenfelt--Rothschild und Lamel erhalten wir eine Klassifikation von $\mathcal N$, welche von doppelter Bedeutung ist. Einerseits erhalten wir eine vollständige Klassifizierung von $\mathcal F$ und reproduzieren die Resultate von Faran und Lebl, wenn wir den transitiven Teil der Automorphismen der Hyperquadriken verwenden. Andererseits erlaubt es unsere Klassifikation von $\mathcal N$ neue topologische Resultate für $\mathcal F$ im zweiten Teil der Arbeit zu beweisen. Wir zeigen, dass es von einem topologischen Standpunkt aus gesehen einen bedeutenden Unterschied zwischen der Klasse der Abbildungen der Sphären und der Abbildungen zwischen der Sphäre in $\C^2$ und der Hyperquadrik mit Signatur $(2,1)$ gibt. Weiters studieren wir Eigenschaften wie Freiheit und Eigentlichkeit der Aktion von $\mathcal G$ auf $\mathcal F$. Schließlich erhalten wir ein strukturelles Resultat für eine interessante Teilmenge von $\mathcal F$, bei dem wir eine reell-analytische Version des lokalen Slice-Theorems für freie und eigentliche Aktionen verwenden.
description: The present work consists of two parts. In the first part we give a new proof of Faran's and Lebl's results by means of a new CR-geometric approach and classify all holomorphic mappings from the sphere in $\C^2$ to Levi-nondegenerate hyperquadrics in $\C^3$. We use the tools developed by Lamel, which allow us to isolate and study the most interesting class of holomorphic mappings. This family of so-called nondegenerate and transversal maps we denote by $\mathcal F$. For $\mathcal F$ we introduce a subclass $\mathcal N$ of maps which are normalized with respect to the group $\mathcal G$ of automorphisms fixing a given point. With the techniques introduced by Baouendi--Ebenfelt--Rothschild and Lamel we deduce a classification of $\mathcal N$. This intermediate result is of twofold importance: On the one hand, if we consider the transitive part of the automorphism group of the hyperquadrics, we obtain a complete classification of $\mathcal F$ to show Faran's and Lebl's results. On the other hand our classification of $\mathcal N$ allows us to prove new topological results for $\mathcal F$, which yield the second part of our work. We demonstrate that from a topological point of view there is a major difference between the class of mappings of the spheres and mappings of the sphere in $\C^2$ to the hyperquadric with signature $(2,1)$ in $\C^3$. Furthermore we study some basic properties such as freeness and properness of the action of $\mathcal G$ on $\mathcal F$. Finally we obtain a structural result for a particularly interesting subset of $\mathcal F$ using the real-analytic version of the local slice theorem for free and proper actions.