title: Contributions to Dunkl theory
title: Dominik Brennecken ; Betreuung durch Prof. Dr. Margit Rösler
titleType: Subtitle
Creators: name: Brennecken, Dominik
Publisher: name: Universität Paderborn
Year: 2024

description: In dieser Arbeit werden neue Beiträge zur Dunkl-Theorie geleistet. Seit Ende der 1980er Jahre entwickelte sich die Dunkl-Theorie als Verallgemeinerung radialer Analysis auf riemannschen symmetrischen Räumen und wird in zwei Zweige unterteilt: die rationale und die trigonometrische Theorie. Die rationale Theorie wurde von C.F. Dunkl eingeführt, während die trigonometrische Theorie durch G. Heckman, E.M. Opdam und I. Cherednik entstand. Mit der Dunkl-Theorie entstand auch eine Theorie von multivariablen speziellen Funktionen, welche unteranderem auf Ideen von I.G. Macdonald zurückgeht. Im Zentrum der Dunkl-Theorie stehen Wurzelsysteme, ihre Spiegelungsgruppen und dazu assoziierte Dunkl- beziehungsweise Cherednik-Operatoren. In dieser Arbeit werden zunächst für beliebige Wurzelsysteme elliptische Dunkl-Operatoren eingeführt und untersucht, sowie eine multitemporale Wellengleichung studiert. Im Großteil der Arbeit sind Wurzelsysteme vom Typ A und B im Mittelpunkt. Zum Wurzelsystem vom Typ A assoziiert man eine wichtige Klasse orthogonaler Polynome: die Jack-Polynome, welche außerdem auch kombinatorisch betrachtet werden können. Die Einschränkung auf Wurzelsysteme vom Typ A und B kommt von den symmetrischen Kegeln. Symmetrische Kegel sind spezielle riemannsche symmetrische Räume mit einer besonderen Geometrie, assoziiertem Wurzelsystem vom Typ A und Verbindungen zu Objekten zum Wurzelsystem vom Typ B. Basierend auf Ideen und Vermutungen von I.G. Macdonald aus den 1980er Jahren werden Konzepte der radialen Analysis symmetrischer Kegel in die Dunkl-Theorie zu Wurzelsystemen vom Typ A und B verallgemeinert. Zuletzt können diese Resultate genutzt werden, um Aussagen in der asymptotischen harmonischen Analysis zu beweisen, welche sich mit der Konvergenz von sphärischen Funktionen beschäftigen, wenn der Rang gegen unendlich geht.
description: This thesis makes new contributions to Dunkl Theory. Since the end of the 1980s, Dunkl theory has developed as a generalization of radial analysis on Riemannian symmetric spaces and is divided into two branches: the rational and the trigonometric theory. The rational theory was developed by C.F. Dunkl, while the trigonometric theory goes back to G. Heckman, E.M.Opdam and I. Cherednik. This includes a theory of multivariate special functions, which was considered before by I.G. Macdonald. In the center of the Dunkl theory are root systems, their reflection groups and associated Dunkl- or Cherednik operators. First in this thesis, elliptic Dunkl operators are introduced and examined for arbitrary root systems, and a multitemporal wave equation is studied. The majority of the work focuses on root systems of type A and B. An important class of orthogonal polynomials is associated with the root system of type A: the Jack polynomials, which can also be viewed combinatorially. The restriction to root systems of type A and B comes from the theory of symmetric cones. Symmetric cones are certain Riemannian symmetric spaces with a special geometry, associated root system of type A and connections to objects associated with a root system of type B. Based on ideas and conjectures by I.G. Macdonald from the 1980s, concepts of radial analysis of symmetric cones are generalized or newly introduced into the Dunkl theory for root systems of type A and B. Finally, these results will be used to obtain new results in asymptotic harmonic analysis, which deals, among other things, with the convergence of spherical functions when the rank of the underlying symmetric space tends to infinity.