Συζυγίες και μονωνυμικά ιδεώδη
Creators: name: Μανούσου-Σωτηροπούλου, Κωνστάντια Ευσταθίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2018
Subjects: Συζυγίες
Μονωνυμικά Ιδεώδη
Αντιμεταθετική Άλγεβρα
Syzygies
Monomial Ideals
Commutative Algebra

description: Κύριο θέμα της παρούσης εργασίας είναι οι επιλύσεις μονωνυμικών ιδεωδών στον πολυωνυμικό δακτύλιο S = k[x_1,..., x_n]. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά βασικές έννοιες της Αντιμεταθετικής Άλγεβρας και της Τοπολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε το σύμπλοκο του Koszul, εξετάζουμε πότε αυτό αποτελεί ελεύθερη επίλυση κάποιου βαθμωτού module και αποδεικνύουμε ότι είναι η ελάχιστη ελεύθερη επίλυση του σώματος k πάνω από το S. Έπειτα αποδεικνύουμε το πολύ σημαντικό Θεώρημα Συζυγιών του Hilbert καθώς και τον τύπο των Auslander-Buchsbaum. Στη συνέχεια περιγράφουμε την κατασκευή του κώνου απεικόνισης. Xρησιμοποιούμε τους κώνους απεικόνισης για την κατασκευή νέων ελεύθερων επιλύσεων από προηγούμενες γνωστές ελεύθερες επιλύσεις. Στην Eνότητα 2.2 παρουσιάζουμε την τεχνική της πόλωσης η οποία επιτρέπει ένα ερώτημα που αφορά μονωνυμικά ιδεώδη να αναχθεί σε ένα ερώτημα που αφορά ελεύθερα τετραγώνων μονωνυμικά ιδεώδη. Στο τρίτο κεφάλαιο προχωρούμε στην μελέτη των μονωνυμικών επιλύσεων. Κάθε μονωνυμικό ιδεώδες μπορεί να επιλυθεί από την επίλυση της Taylor, η οποία όμως σπάνια είναι ελάχιστη. Στη συνέχεια αναζητούμε κατηγορίες μονωνυμικών ιδεωδών των οποίων η ελάχιστη επίλυση περιγράφεται "εύκολα". Μια εξ αυτών είναι τα Borel ιδεώδη, τα οποία αποδεικνύουμε ότι διαθέτουν ως ελάχιστη ελεύθερη επίλυση την επίλυση των Eliahou-Kervaire. Στη συνέχεια εισάγουμε τις πλεγματικές επιλύσεις οι, οποίες στηρίζονται σε πλεγματικά σύμπλοκα. Παραδείγματα τέτοιων επιλύσεων είναι η επίλυση της Taylor, η επίλυση Lyubeznik καθώς και το σύμπλοκο του Scarf (στις περιπτώσεις που είναι επίλυση). Η θεωρία των Stanley-Reisner η οποία παρουσιάζεται στην ενότητα 3.8 παρέχει έναν κεντρικό σύνδεσμο ανάμεσα στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα και τη Συνδυαστική. Πρωτοεμφανίστηκε τη δεκαετία του '70 και οι εμπνευστές της ήταν ο Hochster και ο Reisner. Η κεντρική ιδέα της, δηλαδή η αντιστοιχία ανάμεσα σε πλεγματικά σύμπλοκα και ελεύθερα τετραγώνων μονωνυμικά ιδεώδη, οδήγησε σε ουσιώδη πρόοδο και στους δυο τομείς. Εδώ αποδεικνύουμε δύο από τα πιο σημαντικά αποτελέσματά της: το κριτήριο του Reisner για το πότε ένα πλεγματικό σύμπλοκο είναι Cohen-Macaulay και τον τύπο του Hochster για τον υπολογισμό των πολυβαθμωτών αριθμών Betti ελεύθερων τετραγώνων μονωνυμικών ιδεωδών μέσω της πλεγματικής ομολογίας. βασική πηγή για ότι παρουσιάζουμε είναι το βιβλίο "Graded Syzygies" της Irena Peeva.
description: The main subject of this master's thesis are the resolutions of monomial ideals in the polynomial ring S = k[x_1, ..., x_n]. In the first chapter we briefly present basic concepts of Commutative Algebra and of Topology. In the second chapter we introduce the Koszul complex, we examine in which cases it constitutes a free resolution of a graded module and we prove that it is the minimal free resolution of the field k over S. We prove Hilbert's Syzygy Theorem and Auslander-Buchsbaum formula. We describe the construction of the mapping cone. We use the mapping cone construction to construct novel resolutions from known ones. In Section 2.2 we present the technique of polarization. This way problems concerning monomial ideals can be reduced to problems of squarefree monomial ideals. In the third chapter we proceed to monomial resolutions. Every monomial ideal can be resolved by Taylor's resolution, which is, however, rarely minimal. We seek classes of monomial ideals whose minimal resolution is “easily” described. Borel ideals constitute such a class. These ideals can be minimally resolved by the Eliahou-Kervaire resolution. Next we introduce simplicial resolutions, supported on simplicial complexes. Taylor's resolution is simplicial, as is Lyubeznik's and Scarf's complex (when it is a resolution). Stanley-Reisner's theory, which is presented in Section 3.8, provides a central link between Commutative Algebra and Combinatorics. It was pioneered in the 70s by Hochster and Reisner. Its central idea, the correspondence between simplicial complexes and squarefree monomial ideals, led to substantial progress in both fields. Here we prove two of its most significant results: Reisner's criterion of when a simplicial complex is Cohen-Macaulay and Hochster's formula for the calculation of multigraded Betti numbers of squarefree monomial ideals by simplicial homology. The main source for the thesis is the monograph "Graded Syzygies", of I. Peeva.