Μελέτη περιοδικών τροχιών και τροχιών σύγκρουσης στο περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων με την μέθοδο της εξομάλυνσης
Creators: name: Βλάσης, Ιωάννης Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2019
Subjects: Περιοδικές τροχιές
Πρόβλημα τριών σωμάτων
Μέθοδος εξομάλυνσης
Periodic orbits
Three body problem
Regularization method

description: Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της Μηχανικής είναι το Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων, που αποτελεί την πιο απλή εκδοχή του προβλήματος της αμοιβαίας αλληλεπίδρασης των «πολλαπλών σωμάτων». Στην παρούσα εργασία θα χρησιμοποιήσουμε το Περιορισμένο Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων, θα θεωρήσουμε δηλαδή ότι η μάζα του τρίτου σώματος είναι αμελητέα σε σχέση με τις μάζες των μελών του διπλού συστήματος, έτσι ώστε αν και κινείται στο πεδίο τους να μην επηρεάζει την κίνηση τους. Πολλές φορές, λόγω ακρίβειας ή ύπαρξης ανώμαλων σημείων, σταματάει η ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης στις περιστρεφόμενες συντεταγμένες, με αποτέλεσμα να μην μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά την τροχιά του τρίτου σώματος. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να παρουσιάσουμε την μέθοδο εξομάλυνσης που εφαρμόζεται στις περιπτώσεις των συγκρούσεων των σωμάτων που κινούνται σε βαρυτικό πεδίο. Θα χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Levi-Civita, με σκοπό να απαλείψουμε τα ανώμαλα σημεία της τροχιάς σύγκρουσης του τρίτου σώματος με το ελαφρύ του διπλού συστήματος. Θα γίνει κατάλληλη αλλαγή συντεταγμένων, προσθήκη πλασματικού χρόνου και μετασχηματισμός των εξισώσεων κίνησης του περιστρεφόμενου συστήματος στις εξομαλυμένες μεταβλητές. Αποτέλεσμα θα είναι να πετύχουμε την συνέχιση της ολοκλήρωσης και την κατασκευή της τροχιάς για παραπάνω χρόνο σε σχέση με την αρχική ολοκλήρωση. Θα παρουσιάσουμε οικογένειες περιοδικών τροχιών συγκεκριμένου συστήματος χρησιμοποιώντας την μέθοδο εξομάλυνσης και θα μελετήσουμε την πορεία μιας τροχιάς, όσο αυτή κινείται κοντά στο δεύτερο σώμα. Θα μεταβάλλουμε στη συνέχεια τις αρχικές συνθήκες της και θα παρατηρήσουμε την εξάρτησή της από αυτές.
description: One of the most important problems of Mechanics is the 3-Body Problem, which is the simplest non-integrable version of the problem of mutual gravitational interaction between bodies that are assumed as point masses. In this work, we will use the Restricted 3-Body Problem, assuming that the mass of the third body is negligible in relation to the masses of the members of the binary system, so that although moving in their field, it doesn’t affect their movement. In many cases, due to the accuracy or the existence of collision points, the integration of the differential equations of motion in the rotating coordinates stops, so we can’t calculate the trajectory of the third body numerically. The purpose of this work is to present the regularization method applied to gravitational collisions. The Levi-Civita transformation will be used, in order to eliminate the irregularities of the third body collision track with the small body of the binary system. Appropriate coordinates transformation will be applied, along with the addition of fictitious time and the transformation of the equations of motion of the rotating system, to the regularized variables. As a result, we aim to continue the integration and thus build the trajectory for more time than the initial integration. The families of system-specific periodic orbits using the regularization method will be presented, and the trajectory of an orbit as it moves near the second body will be studied. Following, we will change its initial conditions and observe its dependence on them.