Impact of Symmetries in Graph Clustering
Creators: name: Ball, Fabian
Publisher: name: Karlsruhe
Year: 2019
Subjects: graph clustering
graph symmetry
graph automorphisms
graph partitioning
network analysis
graph analysis
entropy

description: Diese Dissertation beschäftigt sich mit der durch die Automorphismusgruppe definierten Symmetrie von Graphen und wie sich diese auf eine Knotenpartition, als Ergebnis von Graphenclustering, auswirkt. Durch eine Analyse von nahezu 1700 Graphen aus verschiedenen Anwendungsbereichen kann gezeigt werden, dass mehr als 70 % dieser Graphen Symmetrien enthalten. Dies bildet einen Gegensatz zum kombinatorischen Beweis, der besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Graphen symmetrisch zu sein bei zunehmender Größe gegen Null geht. Das Ergebnis rechtfertigt damit die Wichtigkeit weiterer Untersuchungen, die auf mögliche Auswirkungen der Symmetrie eingehen. Bei der Analyse werden sowohl sehr kleine Graphen (&lt;100 Knoten/Kanten) als auch sehr große Graphen (&gt;10 000 000 Knoten/&gt;25 000 000 Kanten) berücksichtigt.

Weiterhin wird ein theoretisches Rahmenwerk geschaffen, das zum einen die detaillierte Quantifizierung von Graphensymmetrie erlaubt und zum anderen Stabilität von Knotenpartitionen hinsichtlich dieser Symmetrie formalisiert. Eine Partition der Knotenmenge, die durch die Aufteilung in disjunkte Teilmengen definiert ist, wird dann als stabil angesehen, wenn keine Knoten symmetriebedingt von der einen in die andere Teilmenge abgebildet werden und dadurch die Partition verändert wird. Zudem wird definiert, wie eine mögliche Zerlegbarkeit der Automorphismusgruppe in unabhängige Untergruppen als lokale Symmetrie interpretiert werden kann, die dann nur Auswirkungen auf einen bestimmten Bereich des Graphen hat. Um die Auswirkungen der Symmetrie auf den gesamten Graphen und auf Partitionen zu quantifizieren, wird außerdem eine Entropiedefinition präsentiert, die sich an der Analyse dynamischer Systeme orientiert. Alle Definitionen sind allgemein und können daher für beliebige Graphen angewandt werden. Teilweise ist sogar eine Anwendbarkeit für beliebige Clusteranalysen gegeben, solange deren Ergebnis in einer Partition resultiert und sich eine Symmetrierelation auf den Datenpunkten als Permutationsgruppe angeben lässt.

Um nun die tatsächliche Auswirkung von Symmetrie auf Graphenclustering zu untersuchen wird eine zweite Analyse durchgeführt. Diese kommt zum Ergebnis, dass von 629 untersuchten symmetrischen Graphen 72 eine instabile Partition haben. Für die Analyse werden die Definitionen des theoretischen Rahmenwerks verwendet. Es wird außerdem festgestellt, dass die Lokalität der Symmetrie eines Graphen maßgeblich beeinflusst, ob dessen Partition stabil ist oder nicht. Eine hohe Lokalität resultiert meist in einer stabilen Partition und eine stabile Partition impliziert meist eine hohe Lokalität.

Bevor die obigen Ergebnisse beschrieben und definiert werden, wird eine umfassende Einführung in die verschiedenen benötigten Grundlagen gegeben. Diese umfasst die formalen Definitionen von Graphen und statistischen Graphmodellen, Partitionen, endlichen Permutationsgruppen, Graphenclustering und Algorithmen dafür, sowie von Entropie. Ein separates Kapitel widmet sich ausführlich der Graphensymmetrie, die durch eine endliche Permutationsgruppe, der Automorphismusgruppe, beschrieben wird. Außerdem werden Algorithmen vorgestellt, die die Symmetrie von Graphen ermitteln können und, teilweise, auch das damit eng verwandte Graphisomorphie Problem lösen.

Am Beispiel von Graphenclustering gibt die Dissertation damit Einblicke in mögliche Auswirkungen von Symmetrie in der Datenanalyse, die so in der Literatur bisher wenig bis keine Beachtung fanden.