Spectra of higher rank locally symmetric spaces
Creators: name: Wolf, Lasse Lennart
Publisher: name: Universität Paderborn
Year: 2023

description: Das Ziel dieser Arbeit ist die Erweiterung der Spektralgeometrie von lokal symmetrischen Räumen. Die Theorie für Räume vom Rang eins ist gut entwickelt, aber im Fall höheren Rangs ist deutlich weniger bekannt. Daher gilt das Hauptinteresse dem Fall höheren Rangs. Es gibt zwei verschiedene Gruppen von Operatoren, die wir hier betrachten: Erstens, die Algebra der invarianten Differentialoperatoren auf dem lokal symmetrischen Raum. Dies ist der geeignete Ersatz für den Laplace-Operator im höheren Rang und kodiert die Quantenmechanik der Mannigfaltigkeit. Zweitens wird die klassische Dynamik im Rang eins durch den geodätischen Fluss beschrieben.In höherem Rang wird dieser durch den Weyl-Kammer-Fluss ersetzt. Wir beweisen eine Quanten-Klassische-Korrespondenz zwischen den Spektren dieser beiden Gruppen von Operatoren für kompakte lokal symmetrische Räume. Dies wird verwendet, um die Lage der klassischen Ruelle-Taylor-Resonanzen zu bestimmen und ein Weyl-Gesetz sowie eine spektrale Lücke zu beweisen. Im nicht-kompakten Fall konzentrieren wir uns auf das Quantenspektrum. Wir beweisen, dass es unter bestimmten dynamischen Bedingungen keine temperierten L 2-Eigenwerte gibt,d.h. es gibt keine temperierten sphärischen Darstellungen, die diskret in L 2(Gamma \ G) auftreten. Was den nicht temperierten Teil des Spektrums betrifft, setzen wir seine Ausdehnung mit der Wachstumsrate der Fundamentalgruppe in Beziehung. Diesen Zusammenhang erhalten wir in dem Fall, dass die universelle Überlagerung ein Produkt von symmetrischen Räumen vom Rang eins ist. Insbesondere erhalten wir, dass der Raum temperiert ist, wenn die Wachstumsrate niedrig genug ist.
description: The aim of this thesis is to contribute to the spectral geometry of higher rank locally symmetric spaces.The theory for rank one spaces is well developed but in the higher rank case much less is known. Therefore, the main interest is the higher rank case.There are two different sets of operators that we are considering: First, the algebra of invariant differential operators on the locally symmetric space. This is the proper replacement for the Laplace operator in the higher rank setting and encodes the quantum mechanics of the manifold. Secondly, the classical dynamics are described by the geodesic flow in the rank one case.In higher rank this is replaced by the Weyl chamber flow. We prove a quantum-classical correspondence between the spectra of these two sets of operators for compact locally symmetric space.This is used to determine the location of the classical Ruelle-Taylor resonances and to prove a Weyl law as well as a spectral gap.In the non-compact setting we concentrate on the quantum spectrum.We prove that there are no principal L 2-eigenvalues under some dynamical condition,i.e. that there are no tempered spherical representations occurring discretely in L 2(Gamma \ G). Concerning the non-tempered part of the spectrum, we relate its extent to the growth rate of the fundamental group in the case where the universal cover is a product of rank one symmetric spaces. In particular, we obtain that the space is tempered if the growth rate is small enough.