Επιφάνειες στον χώρο Minkowski
Creators: name: Ελευθεριάδου, Αλεξάνδρα Ιωάννη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2013
Subjects: Μινκόφσκι
Καμπύλες
Επιφάνειες
Minkowski
curves
surfaces

description: Σκοπός της εργασίας ήταν η μελέτη ορισμένων κλάσεων επιφανειών του τριδιάστατου χώρου Minkowski, οι οποίες ικανοποιούν κάποιες συνθήκες. Aρχικά αναφέρονται βασικές έννοιες και ορισμοί του χώρου αυτού. Kατηγοριοποιούνται τα στοιχεία-διανύσματά του σε τρία είδη (χωροειδή , χρονοειδή, ισότροπα), όπως επίσης και οι καμπύλες στον χώρο αυτό. Ακόμα, δίνονται οι εξισώσεις Frenet, από όπου θα οριστούν η καμπυλότητα και η στρέψη μιας καμπύλης. Στη συνέχεια, αναπτύσσεται συνοπτικά η θεωρία των επιφανειών του χώρου Minkowski, με κατηγοριοποίηση αυτών σε διαφορετικά είδη (χωροειδείς, χρονοειδείς, ισότροπες) με βάση την πρώτη θεμελιώδη μορφή, την οποία και ορίζουμε. Ακολουθούν οι ορισμοί δύο θεμελιωδών εννοιών της θεωρίας επιφανειών: της απεικόνισης Gauss και της απεικόνισης Weingarten, οι οποίες είναι ανάλογες γνωστών εννοιών της θεωρίας επιφανειών του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου. Ορίζεται η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα. Έπειτα, μελετούνται οι επιφάνειες εκ περιστροφής, οι οποίες διακρίνονται σε τέσσερις τύπους, και προσδιορίζονται αυτές που έχουν σταθερή καμπυλότητα Gauss. Μελετάται η κλάση των ελικοειδών επιφανειών του χώρου Minkowski, οι οποίες αποτελούν γενίκευση των επιφανειών εκ περιστροφής. Αποδεικνύεται, ότι υπάρχουν ελικοειδείς επιφάνειες, όταν δίνεται η καμπυλότητα Gauss ή η μέση καμπυλότητα αυτών. Προσδιορίζονται όλες οι επιφάνειες εκ περιστροφής, οι οποίες ικανοποιούν μια συνθήκη η οποία σχετίζεται με τον τελεστή Laplace αφενός ως προς την δεύτερη θεμελιώδη μορφή και αφετέρου, σε επόμενο κεφάλαιο, ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Τέλος, μελετάται η κλάση των ευθειογενών επιφανειών, οι οποίες διακρίνονται σε κυλινδρικές και μη κυλινδρικές.
description: The aim of this work was the study of certain classes of surfaces of three dimensional Minkowski space, which satisfy certain conditions. Originally, we list basic concepts and definitions of the space. We classify its elements-vectors in three species (space-like, time-like, isotropic), as well as the curves in this area. Still, given the equations Frenet, we will define the curvature and torsion of a curve. Then we develop briefly the theory of surfaces in Minkowski space, by categorizing them in different species (space-like, time-like, isotropic) based on the first fundamental form, which we define. Here are two definitions of fundamental concepts of the theory of surfaces: the depiction of Gauss and the depiction of Weingarten, which are similar known concepts of the theory of surfaces of three-dimensional Euclidean space. We define the second fundamental form of a surface, the Gauss curvature and mean curvature. Then we study the surfaces of revolution, which are divided into four types, and we identify those that have constant Gauss curvature. We study the class of helicoid surfaces in the Minkowski space, which are a generalization of surfaces of revolution. It is proven that there are helicoid surfaces, when the Gauss curvature or mean curvature is given. We determine all surfaces of revolution, which satisfy a condition which is associated with the Laplace operator, both in terms of the second fundamental form and the other in the next chapter, on the first fundamental form. Finally, we study the class of ruled surfaces, which are divided into cylindrical and non-cylindrical.