Γωνιακές Παράγωγοι και συνθετικές επαναλήψεις ολόμορφων συναρτήσεων
Creators: name: Χριστοδούλου, Αργύριος Αντωνίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Γωνιακή Παράγωγος
Συνθετικές επαναλήψεις
Ολόμορφες συναρτήσεις
Angular Derivatives
Iteration
Holomorphic Functions

description: Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτης της γωνιακής παραγώγου και των συνθετικών επαναλήψεων μιας ολόμορφης συνάρτησης από τον μοναδιαίο δίσκο στον εαυτό του, καθώς και η απόδειξη ενός θεωρήματος του P. Poggi-Corradini, που συνδέει τις δύο αυτές έννοιες. Η ανάλυση ξεκινά με τα Λήμματα Schwarz και Schwarz-Pick, που μας παρέχουν χρήσιμες ανισότητες για τέτοιες συναρτήσεις. Έπειτα ορίζουμε και μελετάμε τις ιδιότητες της υπερβολικής μετρικής του μοναδιαίου δίσκου, και επεκτείνουμε αυτή την έννοια σε απλά συναφείς τόπους. Το πρώτο βασικό θεώρημα, είναι το Θεώρημα Julia, το οποίο εξηγεί την συμπεριφορά μιας ολόμορφης συνάρτησης σε δίσκους, υποσύνολα του μοναδιαίου δίσκου, που είναι εφαπτόμενοι στον μοναδιαίο κύκλο, τους λεγόμενους οροδίσκους. Έπειτα ορίζουμε το γωνιακό όριο συνάρτησης και μέσω αυτού την γωνιακή παράγωγο. Το κύριο θεώρημα για τις γωνιακές παραγώγους είναι το Θεώρημα Julia-Caratheodory, το οποίο μας παρέχει σχέσεις ισοδύναμες με την ύπαρξη της γωνιακής παραγώγου. Το επόμενο ζήτημα που θίγεται είναι η σύγκλιση της ακολουθίας των συνθετικών επαναλήψεων μιας τέτοιας ολόμορφης συνάρτησης. Την απάντηση δίνει το θεώρημα των Denjoy και Wolff. Μέσω της εξίσωσης Schroeder και συγκεκριμένα του Θεωρήματος του Koenigs, ορίζεται η έννοια του γεωμετρικού μοντέλου μιας ολόμορφης συνάρτησης από τον μοναδιαίο δίσκο στον εαυτό του. Τέλος, μεταφέρουμε τις συνθετικές επαναλήψεις της συνάρτησης στο γεωμετρικό της μοντέλο, και αποδεικνύουμε το θεώρημα του Poggi-Corradini, το οποίο μας παρέχει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη της γωνιακής παραγώγου των συνθετικών επαναλήψεων.
description: The purpose of this thesis is to study the notions of the angular derivative and iteration of holomorphic self-maps of the unit disc, as well as to prove a theorem by P. Poggi-Corradini which connects the two. The analysis starts with the proof of the Schwarz and the Schwarz-Pick Lemma, which provide us with useful inequalities for such functions. Next, we define and study the properties of the hyperbolic metric of the unti disc, and extend this metric on simply connected domains. The first main theorem is the Julia Theorem, which studies the behaviour of a holomorphic function on discs, subsets of the unit disc, tangent to the unit circle, the so-called horodiscs. Then, we define the angular limit of a function, and with that the angular derivative. The most important theorem for angular derivatives, is the Julia-Caratheodory theorem, which states relations equiavalent to the existance of the angular derivative. The next topic, is the convergence of the sequence of iterates of a function. The answer to that comes from the Denjoy-Wolff Theorem. Through Schroeder's equation and more specifically Koenigs Theorem, the notion of the geometric model of a funtion is defined. Finally, we transfer the iterates of a function, to its geometric model and prove a theorem of Poggi-Corradini, which states a necessary and sufficient condition for the existance of the angular derivative of the iterates.