title: Αριθμητικές μέθοδοι για τη μη-γραμμικές εξισώσεις ρηχών υδάτων
title: Numerical methods for the non-linear shallow water equations
Creators: name: Τσιμα Αλεξανδρα
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2023

description: Στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή μελετάμε τις εξισώσεις ρηχών υδάτων και διάφορες μεθόδους πεπερασμένων όγκων, πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς και κεντρικές μεθόδους, που χρησιμοποιούνται  για την επίλυσή τους. Η παραγωγή των εξισώσεων ρηχών υδάτων μιας διάστασης από τους φυσικούς νόμους διατήρησης, η υπερβολική φύση των εξισώσεων και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά τους αποτελούν το περιεχόμενο των αρχικών κεφαλαίων της εργασίας. Σημαντική είναι και η κατανόηση των πρωταρχικών και των συντηρητικών μεταβλητών καθώς στις αριθμητικές μεθόδους, η κατάλληλη επιλογή των μεταβλητών είναι ζωτικής σημασίας, όσο αφορά το σωστό υπολογισμό των κυμάτων τύπου shock.
Το δεύτερο κομμάτι της εργασίας αποτελεί μια συγκριτική μελέτη διαφόρων αριθμητικών μεθόδων. Επιλύουμε αναλυτικά κατάλληλα επιλεγμένα προβλήματα, καθένα από τα οποία παρουσιάζει κάποια δυσκολία και βλέπουμε κατά πόσο οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε μπορούν να τα λύσουν με επιτυχία. Στις TVD μεθόδους γίνεται χρήση διαφόρων οριοθετών και παρατηρούμε αν προκύπτουν ή όχι διαφορές στα αριθμητικά αποτελέσματα του κάθε προβλήματος και κατά πόσο είναι σημαντική η επιλογή οριοθέτη. Τέλος, ασχολούμαστε με τις εξισώσεις ρηχών υδάτων στις δύο διαστάσεις που αποτελούν μια επέκταση των εξισώσεων μιας διάστασης. Μελετάμε το φαινόμενο της μετάδοσης κυμάτων που σχετίζονται με την ξαφνική κατάρρευση ενός εξιδανικευμένου δισδιάστατου κυκλικού φράγματος και τις ανακλάσεις μετωπικών κυμάτων που προκύπτουν όταν ένα μετωπικό κύμα ανακλάται από ένα στερεό κάθετο τοίχο στην κατεύθυνση μετάδοσης του κύματος υπό συγκεκριμένη γωνία.

description: In the present postgraduate thesis we study the shallow water equations and several finite-volume numerical methods, of first and second order, as well as centred methods that are used to solve these equations. In the first chapters of this thesis we consider the derivation of the shallow water equations in one dimension from the conservation laws, the hyperbolic character of the equations as well as their eigenvalues and eigenvectors. Of main interest is the understanding of primitive and conservative variables as in the numerical methods the right choice of the variables is vital, for the right evaluation of the shock waves. The second part of this thesis is a comparative study of several numerical methods. We solve appropriately chosen problems, each of them has its own difficulty and we study if they can solve the problems sufficiently. In TVD methods we use several limiters and observe if they exist or not differences in the numerical results of each problem and how important is the choice of a limiter. Finally, we consider the shallow water equations in two space dimensions, which are an expansion of the shallow water equations in one-dimension. We study the wave propagation phenomena associated with the sudden collapse of an idealized two dimensional circular dam and the bore reflection patterns that occur when a bore reflects from a solid vertical wall at an angle to the bore propagation direction.