Το θεώρημα του Holditch και ορισμένες γενικεύσεις του:
Creators: name: Παπαδοπούλου, Ιωάννα-Ίρις
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2009
Subjects: Θεώρημα του Holditch
Ευθειογενής επιφάνεια
Σφαιρική κινηματική
Holditchs Theorem
Ruled surface
Spherical kinematic

description: Το πρώτο Κεφάλαιο της εργασίας αυτής πραγματεύεται μια σύγχρονη διατύπωση του Θεωρήματος του Holditch αλλά και μια γενίκευσή του, μέσω των οποίων ξεπερνιούνται οι ασάφειες που προκύπτουν από την αρχική διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος, την οποία δημοσίευσε ο ίδιος ο H. Holditch το 1858. Ακόμα υπάρχουν εφαρμογές των θεωρημάτων αυτών αλλά και Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος της περιβάλλουσας επίπεδων καμπυλών και για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από επίπεδες καμπύλες. Επίσης, υπολογίζεται το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από καμπύλες, οι οποίες προκύπτουν ως τροχιές σημείων κατά τη διάρκεια μιας επίπεδης μονοπαραμετρικής κίνησης. Το δεύτερο Κεφάλαιο ασχολείται με μια «μεταφορά» του κλασικού Θεωρήματος του Holditch στην σφαιρική κινηματική και έτσι υπολογίζεται το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας που περικλείεται από μια κλειστή καμπύλη, η οποία διαγράφεται από ένα σημείο , το οποίο ανήκει στο τόξο μεγίστου κύκλου που συνδέει δύο σημεία και κατά τη διάρκεια μιας κλειστής σφαιρικής μονοπαραμετρικής κίνησης. Στο τρίτο Κεφάλαιο αποδεικνύονται Θεωρήματα τύπου Holditch για το γραμμικό άνοιγμα, το γωνιακό άνοιγμα, την ολική στρέψη και την ολική καμπυλότητα κλειστών ευθειογενών επιφανειών αλλά και Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος κλειστών σφαιρικών καμπυλών και για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από κλειστές σφαιρικές καμπύλες. Στο τέλος του Κεφαλαίου αυτού μελετάται ένα Θεώρημα τύπου Holditch για το «εμβαδό» της κλειστής καμπύλης που προκύπτει από την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος δύο κλειστών ευθειογενών επιφανειών. Ως «εμβαδό» της κλειστής αυτής καμπύλης ορίζουμε το προσημασμένο εμβαδό της επιφάνειας που περικλείει η ορθή προβολή της καμπύλης αυτής κατά τη διεύθυνση ενός σταθερού διανύσματος σε ένα επίπεδο Π. Στο τέταρτο Κεφάλαιο αποδεικνύονται Θεωρήματα τύπου Holditch για το γωνιακό και γραμμικό άνοιγμα κλειστών ισοκλινών ευθειογενών επιφανειών. Ενώ στο τρίτo Κεφάλαιο η επιλογή των κλειστών ευθειογενών επιφανειών ήταν τυχαία, στο Κεφάλαιο αυτό οι ευθειογενείς επιφάνειες θα εκφυλίζονται στις κλειστές ευθειογενείς επιφάνειες των εφαπτομένων δυο επίπεδων κλειστών κυρτών καμπυλών, οι οποίες βρίσκονται σε ένα επίπεδο Π.
description: The first chapter of this work deals with a contemporary as well as a generalized version of Holditch’s Theorem, which aim at overcoming the ambiguities that arise from the initial formulation and proof of the Theorem published by H. Holditch himself in 1858. Furthermore, this chapter includes applications of these theorems, and other Holditch type Theorems for the length of the envelope of plane curves and for the area of the surface which is surrounded by plane curves. The chapter also calculates the area of the surface surrounded by curves, which appear as orbits of points during a plane monoparametric motion. The second chapter touches upon an application of Holditch’s classical Theorem in the spherical kinematic, which enables the calculation of the area of the sphere’s surface surrounded by a closed curve, which is drawn by a point “X”. This point belongs to the arc of the great circle, which connects two points “A” and “B” during a closed spherical monoparametric motion. The third chapter focuses in proving Holditch type theorems about the linear aperture, the angular aperture, the total torsion and the total curvature of closed ruled surfaces, as well as Holditch type theorems about the length of closed spherical curves and the area of the surface surrounded by closed spherical curves. The chapter closes with a study of a Holditch type theorem about the “area” of a closed curve which generates from the move of a point along two closed ruled surfaces. As “area” of this closed curve is defined the oriented area of the surface surrounded by the vertical projection of this curve in the direction of a standard vector on a plane “Π”. The fourth chapter aims at proving Holditch type theorems about the angular and linear aperture of closed isocline ruled surfaces. While in the third chapter the selection of closed ruled surfaces is random, ruled surfaces in this chapter are specified as closed ruled surfaces of the tangents of two plane closed curved curves, which lie on a plane Π.