title: Aspects of volatility modeling
Creators: name: Bauer, Benedict Lukas
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diese Dissertation untersucht zwei unterschiedliche Forschungsansätze, die durch die Volatilitätsmodellierung motiviert sind. Der erste Teil präsentiert ein Charakterisierungsergebnis für endlich-dimensionale selbstähnliche gaußsche Markov-Prozesse, unterstützt durch unsere Entwicklung einer Theorie über reelle Matrixhalbgruppen. Der zweite Teil untersucht die Existenz von Martingalmaßen mit eingeschränktem Träger. Die daraus entwickelten Resultate werden dann verwendet, um Bedingungen für Arbitragefreiheit in der Volatilitätsmodellierung zu formulieren. Selbstähnliche gaußsche Markov-Prozesse Wir charakterisieren alle mehrdimensionalen, reellwertigen selbstähnlichen gaußschen Markov-Prozesse. Es treten drei Arten von Kovarianzmatrixfunktionen auf: Weißes-Rauschen-Typ-Funktionen, Kovarianzen, die durch stetige Matrixhalbgruppen ausgedrückt werden können, und Kovarianzen, die auf unstetigen Lösungen der Cauchy-Funktional- gleichung basieren. Zur Charakterisierung der letzteren ist es notwendig, einige Resultate zur Darstellungstheorie unstetiger Matrixhalbgruppen zu entwickeln, die eine milde Beschränktheitsannahme erfüllen. Neben den stetigen Lösungen der Halbgruppengleichung beschreiben wir auch Lösungen, die auf nicht-messbaren Lösungen der Cauchy-Funktionalgleichung basieren. Im eindimensionalen Fall reduzieren sich die selbstähnlichen gaußschen Markov-Prozesse, abgesehen vom weißen Rauschen, auf eine zweiparametrige Familie von zeitveränderten Brownschen Bewegungen. Diese Beobachtung vereinfacht mehrere in der Literatur gefundene Beweise für das Fehlen der Markoveigenschaft. Martingale mit eingeschränktem Träger In zeitdiskreten Finanzmärkten ist eine hinreichende Bedingung für Arbitragefreiheit die Existenz eines Martingalmaßes, welches vom Markt vorgegebene Randbedingungen erfüllt. Aus einer modellfreien Perspektive führt dies zur Untersuchung der Existenz von Martingalkopplungen mit eingeschränktem Träger. Konventionelle Anforderungen an die konvexe Ordnung von Randverteilungen reichen jedoch nicht aus, um die Existenz solcher Martingalbrücken zu garantieren. Um dies zu lösen, formulieren wir Strassens Theorem neu, mit einem Ansatz, der sich an der Geometrie des vorgeschriebenen Trägers orientiert. Diese Formulierung führt zu Dualitätresultaten, die auf robuste Bepreisung mit festen Randverteilungen anwendbar sind. Insbesondere wenden wir diese Ergebnisse an, um die Existenz von Martingalmaßen zu untersuchen, die mit Kaufoptionen und VIX-Futures kompatibel sind.
description: This thesis examines two distinct lines of research motivated by volatility modeling. The first part presents a characterization result for finite-dimensional self-similar Gaussian Markov processes, supported by our development of a theory on real matrix semigroups. The second part focuses on the existence of martingale measures with restricted support. The theory developed therein is then applied to formulate no-arbitrage conditions in volatility modeling. Self-similar Gaussian Markov processes We characterize all multi-dimensional real self-similar Gaussian Markov processes. Three types of covariance matrix functions occur: white-noise type functions, covariances that can be expressed by continuous matrix semigroups, and covariances based on discontinuous solutions of Cauchy’s functional equation. Characterizing the latter requires us to develop some results on the representation theory of non-continuous matrix semigroups, satisfying a mild boundedness assumption, without assuming continuity. In addition to the continuous solutions of the semigroup functional equation, we give a description of solutions arising from non-measurable solutions of Cauchy’s functional equation. In dimension one, besides white noise, the self-similar Gaussian Markov processes reduce to a two-parameter family of time-changed Brownian motions. This observation simplifies several proofs of non-Markovianity found in the literature. Martingales with restricted support In discrete time financial markets, a sufficient condition for the absence of arbitrage is the existence of a martingale pricing measure that satisfies market-imposed constraints. From a model-free perspective, this leads to investigating the existence of martingale couplings with restricted domains. However, conventional convex ordering requirements on marginal distributions are insufficient to guarantee their existence. To address this, we reformulate Strassen’s theorem, moving away from the convex envelope approach to one that aligns with the geometry of the prescribed domain. This new formulation gives rise to duality results applicable to robust pricing with fixed marginal constraints. In particular we apply these results to investigate the existence of martingale measures compatible with call options and VIX futures.