title: A preperfectoid approach to Robba rings
Creators: name: Edenfeld, Anna Verena
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2022
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: Wir konstruieren sogenannte praeperfektoide Raeume ausgehend von der Charaktervarietaet und definieren eine "praeperfektoide Version" des Robba-Rings sowie assoziierte Ringe beschraenkter Funktionen basierenden auf diesen Raeumen. Wir untersuchen phi-Moduln über diesen Ringen und zeigen, dass Basiswechsel von bestimmten phi-Moduln über einem der Ringe beschraenkter Funktionen zu bestimmten phi-Moduln über der praeperfektoiden Version des Robba-Rings eine Kategorienaequivalenz ist. Wir diskutieren außerdem die Konstruktion der praeperfektoiden offenen Einheitskreisscheibe und des assoziierten Robba-Rings.
description: 1 Adic spaces 5 1.1 Huber rings and Huber pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Completion of a Huber pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Localization of a Huber pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Adic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 The valuation spectrum of a Huber pair . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 The functor rK from rigid-analytic spaces to adic spaces . . . 21 1.2.3 Fibre products of adic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Inductive limits of uniform Tate-Huber pairs . . . . . . . . . 23 1.3 Preperfectoid and perfectoid spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1 Perfectoid fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Perfectoid Tate rings and perfectoid spaces . . . . . . . . . . 28 1.3.3 Preperfectoid algebras and spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 The character variety 33 2.1 The character variety X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 The isomorphism X/Cp about the same B/Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Brief overwiev of Lubin-Tate theory . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 The LT-isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 The action of oL \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 The Robba rings RK(B) and RK(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 The twisted Galois action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 The monoid action on RK(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 The Robba ring over Bperf 45 3.1 The perfectoid unit disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 The preperfectoid closed unit disk . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.2 The preperfectoid open unit disk . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 The Robba ring RK(Bperf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.1 The Robba ring defined geometrically for BperfK . . . . . . . . 63 3.2.2 The Robba ring as certain completions of Witt vectors . . . . 71 3.2.3 The weak topology on ˜AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.4 Connection between the two constructions . . . . . . . . . . . 75 3.3 The monoid action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 Rings of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 Construction of RK(Xperf ) 93 4.1 Construction of Xperf (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 The monoid action on XperfK (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2 A preperfectoid version of RK(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Rings of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.1 The weak topology on E†,less equal1K (Xperf ) . . . . . . . . . 107 4.4 The monoid action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.1 The monoid action on RK(Xperf ) . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.2 The monoid action on E†K(Xperf ) and E†K(Xperf )less equal 1 . . .. . 113 4.5 Towards a preperfectoid character variety . . . . . . . . . . . . . . . 114 5 (phi, Gamma)-Modules 121 5.1 Generalities about phi-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 phi-modules over the Robba rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3 (phi, Gamma)-Modules over Bperf and Xperf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6 Appendix 141 6.1 Seminormed groups, rings and modules . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Locally convex vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Bibliography 147