title: From Bäcklund transforms to finite sets of non-linear integral equations
title: study and application of new techniques in thermodynamic Bethe Ansatz
titleType: Subtitle
Creators: name: Stouten, Eyzo
Publisher: name: Bergische Universität Wuppertal
Year: 2024

description: In dieser Arbeit werden die Resultate von Krichever et al. (Comm.Math.Phys.188 267-304, 1997) auf die Quanten-Transfer-Matrix (QTM) ausgedehnt. Die QTM findet ihre Anwendung durch die von Klümper (Ann.Physik 1 540-553, 1992) eingeführten endlichen Nichtlinearen Integralgleichungen (NLIE), mit denen thermodynamische Größen von (Yang-Baxter) integrablen Quantensystemen bei endlicher Temperatur und in Magnetfeldern berechnet werden können. Diese Arbeit zeigt, wie die in den Bäcklund-Transformationen auftretenden linearen Hilfsprobleme (ALP) direkt zu den NLIE für U_q[SU(2)]-symmetrische Systeme führen, wenn sie auf die QTM angewendet werden.Krichever et al. zeigten, dass die Lösung der Probleme zu höherem Rang mittels Nested Algebraic Bethe Ansatz durch eine Reihe von Bäcklund-Transformationen ersetzt werden kann. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie diese Methode erweitert werden muss, um mehrere Verschachtelungspfade zu berücksichtigen und die bekannten NLIE für U_q[SU(n)]-symmetrische Systeme mit n=3,4 zu reproduzieren. Diese Erweiterung beinhaltet die Formulierung benachbarter Bäcklund-Flüsse, die dieselbe QTM beschreiben, aber zu unterschiedlichen ALP-Sätzen führen. Anders als bei den U_q[SU(2)]-Fällen, bei denen das ALP direkt zur NLIE führt, sind für höheren Rang einige zusätzliche algebraische Operationen erforderlich, um die ALP aus benachbarten Flüssen zu kombinieren und dann zu den NLIE zu führen.Das auf diese Weise abgeleitete ALP kann auf jedes integrable Quantensystem angewendet werden, bei dem die QTM in nicht-fundamentalen Darstellungen von U_q[SU(n)] wirkt (beschränkt auf rechteckige Young-Tableaux-Darstellungen, bei denen die bilineare Fusionsrelation für Transfermatrizen gilt).Schließlich werden die NLIE für SU(3)-invariante Probleme mit nicht-fundamentalen symmetrischen Darstellungen numerisch gelöst und die Erweiterung dieser Methode auf U_q[SU(n)]-symmetrische Systeme für n&gt;4 diskutiert.
description: In this work, the discoveries of Krichever et al. (Comm.Math.Phys.188 267-304,1997) and subsequent works are extended to the Quantum Transfer Matrix(QTM). The QTM finds its application through the finite Non-Linear IntegralEquation (NLIE) approach introduced by Klümper (Ann.Physik 1 540-553, 1992),which can be used to calculate thermodynamic quantities of (Yang-Baxter)integrable quantum systems at finite temperature and magnetic fields. Thiswork shows how the Auxiliary Linear Problems (ALP) appearing in the Bäcklundtransformations result directly in the NLIE for $U_q[SU(2)]$ symmetricsystems when extended to the QTM.Krichever et al. showed that the solution of higher rank problems throughNested Algebraic Bethe Ansatz (NABA) can be replaced by a series of Bäcklundtransforms. In the present work, it is shown how this method needs to beextended to account for multiple nesting paths to reproduce the known NLIE for$U_q[SU(n)]$ symmetric systems with $n=3,4$. This extension involves theformulation of adjacent Bäcklund flows which describe the same QTM but giverise to different sets of ALP. Unlike the $U_q[SU(2)]$ case, where the ALPresult directly in the NLIE, some additional algebraic operations are neededin the higher rank case to combine the ALP from adjacent flows intoexpressions resulting in the NLIE.The ALP derived in this manner can be applied to any integrable quantum systemwhere the QTM is acting in non-fundamental representations of $U_q[SU(n)]$(restricted to rectangular Young tableaux representations where the bilinearfusion relation for transfer matrices holds).Finally, the NLIE for an $SU(3)$ invariant problem with non-fundamentalsymmetric representations are solved numerically and the extension of thismethod to $U_q[SU(n)]$ invariant systems for $n&gt;4$ is discussed.