title: Area and volume comparison in Lorentzian geometry
Creators: name: Gieger, Sebastian
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In den letzten Jahrzehnten wurden diverse Möglichkeiten untersucht Theoreme, in denen Volumina von Mengen in Mannigfaltigkeiten verglichen werden, aus der Riemann Geometrie, in der solche Sätze bereits über das zwanzigste Jahrhundert hinweg erforscht wurden, auf die Lorentzgeometrie zu übertragen. Diese Arbeit beschäftigt sich mit zwei derartigen Zugängen sowie deren Anwendungen. Insbesondere ebnen diese Resultate den Weg zu alternativen Beweisen für das Singularitäten Theorem von Hawking, sowie zu einer alternativen Definition von Raumzeit Singularitäten. In einem einleitenden Kapitel werden zunächst grundlegende Resultate aus der semi-Riemannschen Geometrie bewiesen. Insbesondere zeigen wir eine Formel, mit welcher wir die Veränderung von Maßen von Untermannigfaltigkeiten mittels deren Krümmung ausdrücken können, sowie ein Vergleichs Resultat für Lösungen von Riccati Gleichungen. Diese Sätze erlauben es uns aus Ungleichungen von Krümmungsgrößen, Ungleichungen für Volumina zu gewinnen. In der ersten Anwendung dieses Wissens, betrachten wir bestimmte raumartige Hyperflächen, welche entlang zeitartiger Geodäten transportiert werden. Durch Schranken für zeitartige Ricci Krümmung und die mittlere Krümmung einer Hyperfläche, erlangen wir Schranken für die Oberflächen der transportierten Hyperfläche. Mittels Integration über all diese Hyperflächen bekommen wir darüber hinaus auch Schranken für Volumina von Teilmengen der Raumzeit. Mit ähnlichen Methoden können wir ebenfalls Schranken für die Oberflächen von raumartigen Schnitten des Lichtkegels gewinnen. Zu guter Letzt werden die Schranken für Volumina als Motivation für eine neuartige Beschreibung von Raumzeit Singularitäten verwendet, in welcher eine Mannigfaltigkeit unvollständig genannt wird, falls sie Punkte besitzt, deren Zukunft ein endliches Volumen haben.
description: In recent decades, various approaches have been explored to transfer theorems which compare volumes of sets in manifolds, from Riemannian geometry, where such theorems have been studied throughout the twentieth century, to Lorentzian geometry. This work deals with two such approaches and their applications. In particular, these results pave the way for alternative proofs of the Hawking singularity theorem and for an alternative definition of spacetime singularities. In an introductory chapter, we present fundamental concepts and results from semi-Riemannian geometry. In particular, we show a formula that allows us to express the change in measure of submanifolds by using their curvature, as well as a comparison result for solutions of Riccati equations. These theorems enable us to derive inequalities for volumes from inequalities of curvature quantities. In the first application of these results, we consider certain spacelike hypersurfaces transported along timelike geodesics. By assuming bounds on the timelike Ricci curvature and the mean curvature of a hypersurface, we obtain bounds on the area of the transported hypersurface. By integrating over all these hypersurfaces, we also obtain bounds on volumes of subsets of the spacetime. Using similar methods, we can also derive bounds on the areas of spacelike slices of the light cone. Finally, the volume bounds are used as motivation for a new way to describe spacetime singularities, where a manifold is called incomplete if it possesses points whose future is of finite volume.