title: Topics in time-frequency analysis
Creators: name: Shafkulovska, Irina
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diese Arbeit umfasst sechs Artikel in dem Bereich der Zeit-Frequenz-Analyse und Abtasttheorie. Der rote Faden ist die Kurzzeit-Fourier-Transformation (englisch: Short-time Fourier transform, kurz STFT), eine Integraltransformation, die eng mit der Schrödinger-Darstellung der Heisenberggruppe verbunden ist. Wir beschäftigen uns mit vier Hauptthemen, nämlich: (i) Abtasten und die Existenz neuer Gabor-Frames, (ii) Optimierung von Punktkonfigurationen, (iii) Phase-Retrieval der Kurzzeit-Fourier-Transformation und (iv) Unschärferelationen für gleichzeitige Zeit-Frequenz-Darstellungen. Wir konstruieren neue Gabor-Frames für zwei Arten von Fensterfunktionen: Hermite-Funktionen und periodische exponentielle B-Splines. Für die Hermite-Funktionen verwenden wir den Janssen-Test, um neue Gabor-Frames für Hermite-Funktionen zu erzeugen. Für die periodischen exponentiellen B-Splines erzielen wir fast optimale Ergebnisse bei der Auswahl von Abtastmengen mit Multiplizitäten in translationsinvarianten Räumen, die von solchen Fensterfunktionen generiert werden. Als Folgerung erhalten wir neue Gabor-Frames für periodische exponentielle B-Splines und Mengen mit Dichte beliebig nahe an der kritischen Dichte. We analysieren auch das Verhalten der Frame-Schranken von Gabor-Frames auf Rechtecksgittern. Insbesondere zeigen wir für den Sekans Hyperbolicus, eine Eigenfunktion der Fouriertransformation, dass unter allen Rechtecksgittern fester ganzzahliger Dichte das quadratische Gitter die besten Frame-Schranken aufweist. Daher besitzt das quadratische Gitter die minimale Konditionszahl. Wir wenden ähnliche Methoden an, um das Verständnis des offenen Problems der universellen Optimalität in zwei Dimensionen zu erweitern und schließen aus, dass die Honeycomb-Struktur universell optimal ist, obwohl sie eine natürliche Konkurrenz des hexagonalen Gitters darstellt. Des Weiteren untersuchen wir das Phase-Retrieval-Problem für die Kurzzeit-Fourier-Transformation. Dies ist ein nicht-lineares, instabiles Problem, das sich mit der Kurzzeit-Fourier-Transformation befasst. Wir konzentrieren uns auf die Bestimmung kompakt getragener Funktionen von phasenlosen Abtastungen deren Kurzzeit-Fourier-Transformation bezüglich bestimmter holomorpher Fensterfunktionen, die nicht unbedigt die Gaussfunktion sind. Zum Abschluss diskutieren wir Unschärferelationen für Zeit-Frequenz-Darstellungen im Sinne des Satzes von Benedicks. Obwohl solche Unschärferelationen für eine Unterklasse der metaplektischen Zeit-Frequenz-Darstellungen, einschließlich der klassischen, bereits vorhanden sind, fehlte bisher eine umfassende Beschreibung der zugrundeliegenden Gruppenstruktur, die alle existierenden Resultate in einem einheitlichten Rahmen zusammenführt. Wir charakterisieren die Struktur der metaplektischen Operatoren, deren Zeit-Frequenz-Darstellung einer Unschärferelation analog zu der Benedicks Unschärferelation unterliegt, sowohl in der sesquilinearen als auch in der quadratischen Version.
description: This thesis consists of six papers in the field of time-frequency analysis and sampling theory. The common thread is the so-called short-time Fourier transform (STFT), an integral transform that arises as the representation coefficient of the Schrödinger representation of the Heisenberg group. We study four types of problems, namely, (i) sampling and the existence of new Gabor frames, (ii) optimization of point configurations, (iii) phase retrieval of the short-time Fourier transform, and (iv) uncertainty principles for joint time-frequency representations. We construct new Gabor frames for two types of windows: Hermite functions and periodic exponential B-splines. For the Hermite functions, we rely on the Janssen representation of the Gabor frame operator, specifically, the Janssen test, to establish new Gabor frames for Hermite functions. For the periodic exponential B-splines, we derive a near-optimal result on sampling with derivatives in shift-invariant spaces generated by such windows. As a direct consequence, we also obtain new Gabor frames for periodic exponential B-splines and separated sets with density arbitrarily close to the critical density. We also investigate the frame bound behaviour of Gabor frames on rectangular lattices. In particular, we show that if the window is the hyperbolic secant, an eigenfunction of the Fourier transform, then among all rectangular lattices of integer density, the square lattice is the unique optimizer of both bounds, and thus has the best condition number. We employ similar techniques to provide new insight into the open problem of universal optimality in two dimensions. In particular, we exclude that the honeycomb structure, the natural non-lattice contender of the conjectured optimal hexagonal lattice, is universally optimal. We continue with the phase retrieval problem for the short-time Fourier transform: a nonlinear, non-stable problem that deals with the uniqueness of phaseless samples of the short-time Fourier transform. We focus solely on the recovery of compactly supported functions from phaseless samples of their short-time Fourier transform with respect to particularly chosen holomorphic windows, not necessarily the Gaussian window. We conclude with uncertainty principles for metaplectic time-frequency representations of square-integrable functions in the spirit of Benedicks's theorem. While such an uncertainty principle already exists for a subclass of metaplectic time-frequency representations, including the classical time-frequency representations, there was a lack of an understanding of the underlying group structure which would include all existing results as special cases in a unified framework for metaplectic time-frequency representations. We characterize the structure of metaplectic operators whose associated time-frequency representation allows for a Benedicks-type of an uncertainty principle, both in the sesquilinear and the quadratic version.