title: On singularly-perturbed variational problems for pattern formation in helimagnets and martensites
Creators: name: Koser, Melanie
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin
Year: 2024
Subjects: subject: Variationsrechnung
subject: Mikrostruktur
subject: Gamma-Konvergenz
subject: Skalierungsgesetz
subject: Martensitische Phasentransformation
subject: Frustrierte Spin Systeme
subject: Asymptotische Selbstähnlichkeit
subject: Calculus of variations
subject: Microstructure
subject: Gamma-convergence
subject: Scaling law
subject: Martensitic phase transition
subject: Frustrated spin systems
subject: Asymptotic self-similarity
subject: 510 Mathematik

description: In dieser Arbeit werden variationelle Modelle für Mikrostrukturen in speziellen Materialien untersucht, um die Strukturformation zu verstehen und Eigenschaften von Grundzuständen zu bestimmen. Die Arbeit basiert auf gemeinsamen Publikationen (Conti et al. 2021, Ginster et al. 2024, Bethke and Koser 2024). Im ersten Teil untersuchen wir die energiegetriebene Musterbildung in Formgedächtnislegierungen. Mikrostrukturen in der Nähe der Phasengrenzen eines martensitischen Kerns können variationell modelliert werden. Hierzu betrachten wir ein Modell von Kohn und Müller (1992 &amp; '94) und beweisen asymptotische Selbstähnlichkeit und lokale Energieschranken von Minimierern. Dies verallgemeinert die Ergebnisse von Conti (2000) auf verschiedene physikalisch relevante Randbedingungen, allgemeinere Definitionsgebiete und beliebige Volumenanteile. Der Beweis beruht auf punktweisen Schätzungen und lokalen Energieskalierungsgesetzen eines Minimierers. Zusätzlich untersuchen wir das Grenzproblem für verschwindende Volumenanteile. Im zweiten Teil interessieren wir uns für die Musterbildung in magnetischen Verbindungen. Wir betrachten Materialien deren Atome in einer regelmäßigen kristallinen Struktur geordnet sind und jedem Atom seinen sogenannten Spin, einen Einheitsvektor, zuordnet. Komplexe geometrische Strukturen im Spinfeld können das Ergebnis der Konkurrenz zwischen anti- und ferromagnetischen Wechselwirkungen sein. Die Konkurrenz zwischen diesen beiden Wechselwirkungen führt zu Frustrationsmechanismen im System. Wir betrachten die Gitterenergie von bestimmten Materialien, in denen antiferromagnetische und ferromagnetische Wechselwirkungen koexistieren und durch das J1-J3 Modell modelliert werden. Wir präsentieren ein Gamma-Konvergenzergebnis, das in einem bestimmten Parameterbereich das diskrete Modell mit einem kontinuierlichen verbindet. Des Weiteren, präsentieren wir ein partielles Skalierungsgesetz und zusätzlich numerischen Experimenten.
description: This thesis investigates variational models of microstructure in special materials, focusing on pattern formation and the properties of ground states, drawing on collaborative works (Conti et al. 2021, Ginster et al. 2024, Bethke and Koser 2024). In the first part, we study energy-driven pattern formation in shape memory alloys. Microstructure close to the phase boundaries of a martensitic nucleus can be modeled variationally. We consider a model by Kohn and Müller (1992 &amp; ’94), and prove asymptotic self-similarity and local energy bounds of minimizers. This generalizes results by Conti (2000) to various physically relevant boundary conditions, more general domains, and arbitrary volume fractions, including low-hysteresis shape memory alloys. The proof relies on pointwise estimates and local energy scaling laws of a minimizer. Additionally, we study the limit problem for vanishing volume fractions. In the second part, we are interested in pattern formation in magnetic compounds. We consider materials whose atoms are ordered in a regular crystalline structure and associate to each atom its so-called spin, a unit vector. Complex geometric structures in the spin field may result from the competition between anti- and ferromagnetic interactions. The competition between these two interactions leads to frustration mechanisms in the system. We consider the lattice energy of certain materials, in which antiferromagnetic and ferromagnetic interactions coexist and are modeled by the J1 -J3 model on a square lattice. We present a Gamma-convergence result that relates the discrete model with a suitable continuous counterpart in a certain parameter regime. Furthermore, we present a partial scaling law. Additionally, our work includes numerical experiments.