Βελτιστοποίηση Γεωμετρίας Κατασκευών με περιορισμούς Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις με χρήση μη προσαρμοσμένων στο πλέγμα Μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων και εφαρμογές
Creators: name: Μάρκου, Παντελεήμων Ηλία
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2024
Subjects: Βελτιστοποίηση Σχήματος
Μέθοδος Αποκομμένων Στοιχείων (CutFEM)
Θεωρία Ελαστικότητας
Shape optimization
Cut Finite Element Method (CutFEM)
Elasticity Theory

description: Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στη μελέτη μη προσαρμοσμένων στο πλέγμα μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων για τη βελτιστοποίηση γεωμετρίας υπό περιορισμούς που προκύπτουν από μερικές διαφορικές εξισώσεις. Στο πλαίσιο αυτό, η ελαστική περιοχή ορίζεται μέσω μιας συνάρτησης επιπέδου (level-set), η οποία προσδιορίζει τη γεωμετρία του χωρίου. Η εξέλιξη του χωρίου περιγράφεται μέσω μιας εξίσωσης μεταφοράς, με το πεδίο ταχύτητας να αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση ταχύτερης μείωσης της παραγώγου σχήματος. Ο υπολογισμός της παραγώγου σχήματος βασίζεται σε μια ογκομετρική διατύπωση, ενώ η χρήση της μεθόδου αποκομμένων στοιχείων (CutFEM) εξαλείφει την ανάγκη για αναδιαμόρφωση του πλέγματος κατά τη διαδικασία ενημέρωσης της γεωμετρίας. Η μέθοδος επιτρέπει επίσης την ενσωμάτωση προσεγγίσεων υψηλότερης τάξης, ενισχύοντας την ακρίβεια. Για την εξασφάλιση ευστάθειας, προστίθενται σταθεροποιητικοί όροι στις περιοχές των αποκομμένων στοιχείων, παρέχοντας έλεγχο στις διακυμάνσεις των λύσεων. Η αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων μεθόδων διερευνάται σε δισδιάστατα προβλήματα, με χρήση τριγωνικών και τετράπλευρων πλεγμάτων καθώς και χώρων πεπερασμένων στοιχείων διαφόρων τάξεων. Παρουσιάζονται αναλυτικά τα πλεονεκτήματα της μεθόδου, οι τεχνικές σταθεροποίησης, οι μαθηματικές αρχές που τη στηρίζουν, η ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων, καθώς και η αριθμητική σύγκλιση της μεθόδου, καθιστώντας την μια ιδιαίτερα αποτελεσματική προσέγγιση για τη βελτιστοποίηση γεωμετρίας.
description: This thesis explores non-adaptive finite element methods for shape optimization under constraints governed by partial differential equations. In this context, the elastic domain is represented by a level-set function that defines the geometry of the region. The evolution of the domain is driven by a transport equation, where the velocity field corresponds to the steepest descent direction of the shape derivative. The computation of the shape derivative relies on a volumetric formulation. By employing the cut finite element method (CutFEM), the need for remeshing during geometry updates is eliminated, enabling greater flexibility and allowing the incorporation of higher-order finite element approximations for enhanced accuracy. Stability is ensured by introducing stabilization terms in the cut element regions, which control the variations of the solution. The proposed methods are evaluated through two-dimensional problems, involving triangular and quadrilateral meshes and finite element spaces of various orders. Detailed analyses include the advantages of the method, stabilization techniques, supporting mathematical frameworks, the existence and uniqueness of solutions, and numerical convergence properties. These aspects highlight the method's robustness and efficiency in addressing shape optimization challenges.