title: Noethersche und Dedekindsche Ringe
Creators: name: Lechner, Simone Maria
Publisher: name: :none
Year: 2014

description: Noethersche Ringe kann man als Verallgemeinerung von faktoriellen Ringen ansehen, also von Integritätsringen, in denen sich jedes Element, verschieden von Null und keine Einheit, eindeutig bis auf die Reihenfolge als Produkt irreduzibler Elemente darstellen lässt. Sie erfüllen die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale, wodurch Noethersche Ringe charakterisiert sind. Dedekindsche Ringe stellen einen Spezialfall von Noetherschen Ringen dar. In diesen Ringen gilt zusätzlich, dass jedes Primideal maximal ist und dass sie ganz abgeschlossen in ihrem Quotientenkörper sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der algebraischen Zahlentheorie. In meiner Arbeit untersuche ich zuerst die grundlegenden Sätze der Theorie der Noetherschen Ringe. Es wird der Hilbertsche Basissatz auf zwei Arten bewiesen. Sodann werden unter anderem zwei Darstellungssätze für echte Ideale hergeleitet, nämlich als Produkt beziehungsweise als Durchschnitt von Primäridealen. Danach wird die Frage der Eindeutigkeit solcher Darstellungen behandelt. Von hier ausgehend werden Dedekindsche Ringe eingeführt als Ringe, in denen sich jedes echte Ideal als Produkt von Primidealen schreiben lässt. Es wird gezeigt, dass diese Darstellung automatisch eindeutig ist. Im Weiteren werden fünf äquivalente Charakterisierungen Dedekindscher Ringe bewiesen, unter anderem die oben Genannte. Im letzten Kapitel bringe ich als Beispiele für Dedekindsche Ringe die Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper. Als wichtigsten Satz beweise ich den sogenannten Zerlegungssatz. Er besagt, wie sich ganz allgemein das von einer Primzahl erzeugte Hauptideal in einem Ganzheitsring zerlegt. Ausführlich gehe ich dann auf quadratische Zahlkörper und ihre Ganzheitsringe ein. Insbesondere begründe ich, warum es verschiedene Zerlegungen eines Elementes in ein Produkt von irreduziblen Elementen gibt.
description: Noetherian rings can be seen as a generalization of unique factorization domains, which are domains where essentially every element can be uniquely written up to order as a product of irreducible elements. Such domains satisfy the ascending chain condition for ideals and Noetherian rings are characterized in this way. If one requires additionally that every prime ideal is maximal and the ring is integrally closed in its quotient field, then one gets Dedekind rings. These rings play an important role in algebraic number theory. At the beginning of my thesis I investigate the basic theorems of the theory of Noetherian rings: Hilbert’s Basissatz is proved in two ways. This is followed by two theorems concerning the representation of proper ideals as product or intersection of primary ideals. Also the problem of uniqueness of these representations is dealt with. Specializing I introduce Dedekind rings as domains, in which every proper ideal can be written as a product of prime ideals. Here uniqueness follows immediately. Next I prove five characterizations of Dedekind rings, one of it is already mentioned above. In the last chapter rings of integers of algebraic number fields are treated which are the most important examples of Dedekind rings. The main theorem (Zerlegungssatz) in this part considers generally the factorization of the principal ideal of a prime number in such a ring of integers. Finally I focus on quadratic number fields and their rings of integers. Particularly I explain why certain elements can be factorized into irreducible elements in various ways.