Μία παραλλαγή του λήμματος Schwarz: Η ανισότητα αυξητικότητας κάτω από συνθήκες για τη διάμετρο:
Creators: name: Κλεάνθους, Γαλάτεια Χριστοδούλου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2011
Subjects: Παραλλαγή λήμματος Schwarz
Συνθήκες για τη διάμετρο και λήμμα Schwarz
Green συνάρτηση-Steiner συμμετρικοποίηση
Variation of Schwarz Lemma
Diameter conditions and Lemma Schwarz
Green function-Steiner symmetrization

description: Το θέμα της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι μία παραλλαγή του γνωστού λήμματος του Schwarz. Η απόδειξη του λήμματος του Schwarz, καθώς και η ονομασία του, δόθηκαν από τον Έλληνα μαθηματικό Κ. Καραθεοδωρή στις αρχές του 20ού αιώνα. Το λήμμα αυτό ασχολείται με την περίπτωση που μία ολόμορφη συνάρτηση απεικονίζει το μοναδιαίο δίσκο εντός του μοναδιαίου δίσκου και συγχρόνως το σημείο 0 στον εαυτό του. Κάτω από αυτές τις συνθήκες αποδεικνύεται ότι το μέτρο ενός σημείου της εικόνας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μέτρο μίας προεικόνας του. Επίσης δίνεται και ένα φράγμα για το μέτρο της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο 0. Από τον καιρό που εμφανίστηκε το λήμμα του Schwarz προέκυψαν πολλές παραλλαγές καθώς και γενικεύσεις του λήμματος. Μία τέτοια επέκταση δόθηκε από το Littlewood. O μαθηματικός αυτός, κάτω από τις ίδιες συνθήκες με το λήμμα του Schwarz, έδωσε ένα γενικότερο φράγμα για το μέτρο των εικόνων όταν για το τυχαίο σημείο της εικόνας λαμβάνουμε υπόψη όλες τις προεικόνες του. Στη συνέχεια οι Landau και Toeplitz μελέτησαν τη γενικότερη περίπτωση που η εικόνα του μοναδιαίου δίσκου μέσω της ολόμορφης συνάρτησης παίρνει τη συγκεκριμένη τιμή 2 κι έδωσαν μία ανισότητα αυξητικότητας για τη διάμετρο της εικόνας δίσκων με κέντρο μηδέν και ακτίνας στο διάστημα (0,1) . Κάτω από τις ίδιες υποθέσεις αργότερα, οι Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini και Ransford, απέδειξαν μία ισχυρότερη ανισότητα από την πιο πάνω κι επιπλέον έδειξαν με ποιο τρόπο τα μέτρα των εικόνων φράσσονται από μία ποσότητα που εξαρτάται από το μέτρο μίας προεικόνας. Το θεώρημα που παρουσιάζουμε σε αυτή την εργασία αποτελεί μία γενίκευση της ανισότητας που αναφέραμε στο τέλος της προηγούμενης παραγράφου, όταν λαμβάνουμε υπόψη όλες τις προεικόνες του τυχαίου σημείου της εικόνας. Το θεώρημα αυτό μελετήθηκε και αποδείχθηκε πρόσφατα από το Δ. Μπετσάκο. Πρόκειται δηλαδή για μία γενίκευση της σχέσης του Littlewood όταν έχουμε τη γενικότερη περίπτωση που η διάμετρος της εικόνας του μοναδιαίου δίσκου μέσω μίας ολόμορφης συνάρτησης είναι ίση με 2. Για όλες τις πιο πάνω ανισότητες που αναφέραμε έχουν μελετηθεί και οι περιπτώσεις ισότητας. Έτσι, και για το θεώρημα αποδεικνύεται η ικανή και αναγκαία μορφή που θα πρέπει να έχει η συνάρτηση, ώστε να ισχύει ισότητα στη σχέση για κάποιο σημείο της εικόνας. Για την απόδειξη του θεωρήματος απαραίτητα εργαλεία είναι η συνάρτηση του Green καθώς και η συμμετρικοποίηση κατά Steiner. Για το σκοπό αυτό μελετάμε τις έννοιες αυτές και δίνουμε τις σημαντικότερες ιδιότητές τους, και τις απαραίτητες για την απόδειξη σχέσεις που τις αφορούν. Τέτοιες για παράδειγμα είναι ο τύπος της συνάρτησης Green στο μοναδιαίο δίσκο, η σχέση της Green συνάρτησης σ’ ένα τόπο και της αντίστοιχης Green συνάρτησης στην εικόνα του τόπου μέσω μίας μερόμορφης ή μέσω μίας σύμμορφης κι επί απεικόνισης, καθώς και η Αρχή του Lindelöf. Επίσης, σημαντικό είναι το γεγονός ότι η Steiner συμμετρικοποίηση μειώνει τη διάμετρο ενός τόπου, και η σχέση της συνάρτησης Green σ’ ένα τόπο και στον αντίστοιχο συμμετρικοποιημένο κατά Steiner. Όλα αυτά μας οδηγούν στην απόδειξη της ανισότητας του θεωρήματος. Για την απόδειξη της ισότητας, χρησιμοποιούμε τις περιπτώσεις ισότητας για όσες ανισότητες έχουμε χρησιμοποιήσει και το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ισότητας στην ανισότητα του Littlewood το οποίο είχε δοθεί από το Lehto.
description: The subject of the present dissertation is a variation of the well known lemma of Schwarz. The proof of Schwrz lemma and the study of this subject was named after by the Greek mathematician C. Caratheodory in the beginning of the 20th century. This theorem deals with the case that a holomorphic function shows the unit disc in unit disc and ultimately the point 0 in its own self. Under these conditions it is proved that the absolute value of an image’s point can not overcome the absolute value of an pre-image of it. It’s also given a bound for the absolute value of the derivative of the function at the point 0. Since the lemma of Schwarz was firstly appeared many variations have followed as well as generalizations. Such an extension was given by Littlewood. This mathematician, under the same hypothesies of the Schwarz lemma, gave a more general bound for the absolute value of a point of the image when for the random point we consider all its pre-images. In the process Landau and Toeplitz studied the general case when the image of the unit disc through the holomorphic function has diameter equal to 2, and gave a growth inequality for the diameter of the image of discs with center 0 and radius in the interval (0,1). Under the same hypothesies, later on, Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini and Ransford, showed a stronger inequality than the above one, and more over they showed how the absolute value of points of image are fractioned by a quantity which completely depends on the absolute value of a pre-image of points. The theory we present in this study includes generalizations of the inequality we have mentioned in the end of the above paragraph, when we consider all the pre-images of a random point of the image. This theory has been recently studied and proved by D. Betsako. It is related to a generalization of Littlewood’s inequality when we have the general case on which the diameter of the image of the unit disc through the holomorphic function is equal to 2. Both issues of equalities and inequalities mentioned above have been studied. Consequently, for this theory, it is proved the necessary form that a function should have so that it could strengthen the equality at a certain point of the image. For the proof of the theory the necessary tools are the function of Green as well as the Steiner symmetrization. For this reason we study these properties and give their most possible capacities and possible relations necessary for their proof. These are for example the type of the Green function in the unit disc, the relation of the Green function to a domain and the equivalent Green function to the image of the domain through a meromorphic function or through a conformal onto map, as well as Lindelöf’ s principle. Moreover, it is important that the symmetrization of Steiner reduces the domaim’s diameter, and the relation of Green’s function of a domain and the equivalent symmetric domain according to Steiner. All these lead us to the proof of the inequality of the theorem. For the proof of the equality we use the cases of equality for all the inequalities we have used and the most important result of equality to the inequality of Littlewood which was given by Lehto.