Gorenstein ομολογικές διαστάσεις
Creators: name: Πιπερίδης, Αθανάσιος Βασιλείου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2022
Subjects: Καλύμματα, Θήκες
Gorenstein ομολογικές διαστάσεις
Gorenstein προβολικό πρότυπο
Gorenstein ενριπτικό πρότυπο
Gorenstein επίπεδο πρότυπο
Gorenstein προβολική διάσταση
Gorenstein ενριπτική διάσταση
Gorenstein επίπεδη διάσταση
Περατοκρατικές διαστάσεις
Covers, Envelopes
Gorenstein homological dimensions
Gorenstein projective module
Gorenstein injective module
Gorenstein flat module
Gorenstein projective dimension
Gorenstein injective dimension
Gorenstein flat dimension
Finitistic dimensions

description: Σκοπός της διατριβής ήταν η μελέτη των Gorenstein ομολογικών διαστάσεων. Αρχικά, κάναμε μία εισαγωγή στην ομολογική άλγεβρα και θεωρία κατηγοριών, και μελετήσαμε τις κλάσεις των προβολικών, ενριπτικών και επίπεδων προτύπων. Στη συνέχεια, γενικεύσαμε τη μελέτη μας για μία τυχαία κλάση προτύπων και ορίσαμε τις έννοιες των καλυμμάτων και θηκών. Ακόμα, ορίσαμε τα cotorsion πρότυπα και τους συμφυής (coherent) δακτυλίους, και είδαμε συνθήκες που πρέπει να ισχύουν έτσι ώστε ένα πρότυπο να έχει ένα κάλυμμα ή θήκη υπεράνω κάποιας κλάσης. Εφοδιασμένοι με τις απαραίτητες γνώσεις, προχωρήσαμε στη μελέτη των Gorenstein προτύπων. Ορίσαμε τα Gorenstein προβολικά πρότυπα και αποδείξαμε ότι η κλάση αυτών των προτύπων είναι προβολικά επιλύσιμη, κλειστή κάτω από τυχαία ευθέα αθροίσματα και, κλειστή κάτω από ευθύς προσθετέους υπεράνω ενός τυχαίου δακτυλίου. Δυικά, εξάγαμε συμπεράσματα για την κλάση των Gorenstein ενριπτικών προτύπων. Έπειτα, είδαμε την έννοια της Gorenstein προβολική (ενριπτικής) διάστασης. Αποδείξαμε ότι κάθε πρότυπο με πεπερασμένη Gorenstein προβολική διάσταση δέχεται ένα επιμορφικό Gorenstein προβολικό προ-κάλυμμα και συσχετίσαμε τη διάσταση αυτή με τους μηδενισμούς συγκεκριμένων παραγόμενων συναρτητών. Ασχοληθήκαμε επιπλέον με την κλάση των Gorenstein επίπεδων προτύπων και είδαμε ότι υπεράνω ενός τυχαίου δακτυλίου είναι κλειστή κάτω από τυχαία ευθέα αθροίσματα. Αποδείξαμε τη σύνδεση μεταξύ των Gorenstein επίπεδων και Gorenstein ενριπτικών προτύπων υπεράνω ενός συμφυούς δακτυλίου, και εξαγάγαμε σημαντικά αποτελέσματα για τη δομή της κλάσης αυτών των προτύπων. Τέλος, όπως κάναμε για τα Gorenstein προβολικά πρότυπα, ορίσαμε την Gorenstein επίπεδη διάσταση και συσχετίσαμε τη διάσταση αυτή με τους μηδενισμούς συγκεκριμένων παραγόμενων συναρτητών.
description: The aim of the present thesis was the study of Gorenstein homological dimensions. Initially, we made an introduction to homological algebra and category theory and studied the classes of projective, injective, and flat modules. Then we generalized our study to an arbitrary class of modules and defined the concepts of covers and envelopes. Also, we defined the cotorsion modules and coherent rings and examined conditions that must apply so that a module has a cover or envelope above a class. Equipped with the necessary knowledge, we proceeded to the study of Gorenstein modules. We defined the Gorenstein projective modules and proved that the class of these modules is projectively resolving, closed under arbitrary direct sums and, closed under direct summands over an arbitrary ring. Dually, we draw conclusions about the class of Gorenstein class of injective modules. Then we examined the meaning of Gorenstein projective dimension. We proved that every module with a finite Gorenstein projective dimension admits a surjective Gorenstein projective pre-cover and correlated this dimension with the zeros of specific derived functors. We also examined the class of Gorenstein flat modules and we saw that over an arbitrary ring, the class is closed under arbitrary direct sums. We proved the association between the Gorenstein flat and the Gorenstein injective modules over an arbitrary ring, and we obtained significant results for the structure of these classes of modules. Finally, as we did for the Gorenstein projective modules, we defined the Gorenstein flat dimension and correlated this dimension with the zeros of specific derived functors.