title: A probabilistic view of Wasserstein gradient flows and the Benamou-Brenier problem
Creators: name: Tschiderer, Bertram Thomas
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diffusionsprozesse, die als Gradientenflüsse bestimmter Energiefunktionale bezüglich quadratischer Wasserstein-Metriken interpretierbar sind, werden in der Fachliteratur vielfach untersucht und finden in zahlreichen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik Anwendung. Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir Gradientenflüsse und verwandte klassische Themen wie Dissipation der Entropie, variationelle Charakterisierungen und Funktionalungleichungen aus einer neuen Perspektive. Für verschiedene Diffusionsmodelle schaffen wir einen probabilistischen Rahmen, um pfadweise Interpretationen dieser Thematiken zu ermöglichen. Unser Ansatz beruht auf Methoden der stochastischen Analysis sowie Zeitumkehr. Das Vorliegen eines Gradientenflusses wird durch eine Störungsanalyse gezeigt, wobei entweder der Drift- oder der Volatilitätskoeffizient der zugrundeliegenden Diffusion als Kontrollvariable verwendet wird. In der klassischen Theorie des optimalen Transports bilden die Arbeiten von Benamou–Brenier und McCann zum optimalen Transportproblem in stetiger Zeit die Grundlage dieses Fachgebiets und ermöglichen eine Vielzahl von Anwendungen in anderen mathematischen Bereichen. Das Konzept der „stretched Brownian motion“ bietet ein Analogon für die Martingal-Version dieses Problems. Der zweite Teil dieser Arbeit beinhaltet eine Charakterisierung von Optimierern dieses Problems in Form von Gradienten konvexer Funktionen, ähnlich der Charakterisierung von Optimierern im klassischen Transportproblem für quadratische Kosten. Der verwendete Ansatz basiert auf Dualität sowie Argumenten der konvexen Analysis und wird durch eine variationelle Perspektive ergänzt.
description: Various diffusion processes can be interpreted as gradient flows of certain energy functionals with respect to quadratic Wasserstein metrics. Such processes are well studied and have applications in many different fields of mathematics. The first goal of this work is to shed new light on Wasserstein gradient flows and related classical topics such as entropy dissipation, variational characterizations, and functional inequalities. For several models of diffusions, we set up a probabilistic framework in order to provide trajectorial interpretations of these topics. Our approach is based on stochastic analysis and time-reversal techniques. The gradient flow property is established via a perturbation analysis, where either the drift or volatility coefficient of the underlying diffusion is used as a control variable. In classical optimal transport, the contributions of Benamou–Brenier and McCann regarding the time-dependent version of the problem are cornerstones of the field and form the basis for a variety of applications in other mathematical areas. Stretched Brownian motion provides an analogue for the martingale version of this problem. The second goal of this work is to provide a characterization of optimizers in terms of gradients of convex functions, similar to the characterization of optimizers in the classical transport problem for quadratic distance cost. This is achieved by means of a convex duality approach, complemented with a purely variational perspective.