Μέθοδοι Μειωμένης Βάσης για Μ.Δ.Ε. και Ψηφιακά Δίδυμα
Creators: name: Σαπρανίδης, Ιωάννης Σωκράτης
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2025
Subjects: Ψηφιακά Δίδυμα
Μέθοδοι Μειωμένης Βάσης
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Digital Twins
Reduced Basis Methods
Partial Differential Equations

description: This thesis presents a study on numerical ways for the efficient visualization of fluid problems through the prism of Partial Differential Equations. This study focuses mainly on the review and comparison between the Finite Element Methods, Reduced Basis Methods, and also on the construction and function of Digital Twins such as Physics Informed Neural Networks (PINNs), Deep Learning Operator Networks (DeepONet), etc. as recent and very useful applications of technology. The thesis starts with an introduction to the generalized category of Fluid problems. In the first part we investigate the Finite Elements Method as a classic method for the approximation to the solutions of the partial differential equations. We look into the creation of the mesh, the discretization of the function spaces, as well as the algorithm that is implemented in order to approximate the solutions. In the second part we introduce the Reduced Basis Methods which provide us with a more efficient way for the reduction of the computational complexity by constructing models of a lower dimension. The study here investigates the construction and implementation of these models, which is presented within the second chapter. In the third part we explore the structure, the function, and the construction of Digital Twins. The latter are known to the world of science as a newfound technology that is mainly used in solving complex problems and optimizing procedures. The thesis analyzes the methods used by the Digital Twins as well as the procedures followed to accomplish the desired result in the best time possible. Lastly, we state the importance of Digital Twins in modern daily life, and a conversation is held around the targets that can be actualized through them in the following years.
description: Η παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζει μία μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την αποτελεσματική προσομοίωση του προβλήματος “Το Πρόβλημα το Μεγάλων Ρευστών”. Η μελέτη επικεντρώνεται στη σύγκριση και ανάλυση των μεθόδων: Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Elements Method), Μέθοδοι Μειωμένης Τάξης (Reduced Basis Methods) καθώς και στη λειτουργία των Ψηφιακών Διδύμων (Digital Twins) ως μια πρόσφατη και πολύ χρήσιμη τεχνολογία. Η εργασία ξεκινά με μια εισαγωγή στη γενικότερη κατηγορία των Navier-Stokes προβλημάτων. Στο πρώτο μέρος εξετάζεται η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων ως μία κλασική προσέγγιση για τις προσομοιώσεις των λύσεων των Navier-Stokes προβλημάτων. Θα εξεταστούν η δημιουργία πλέγματος, η διακριτοποίηση του χώρου καθώς και αλγόριθμοι προσέγγισης του προβλήματος. Στο δεύτερο μέρος της μελέτης εξετάζονται οι Μέθοδοι Μειωμένης Τάξης (RBM). Οι RBM προσφέρουν μία αποδοτική προσέγγιση για τη μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας των προβλημάτων Navier-Stokes, κατασκευάζοντας μοντέλα χαμηλότερης διάστασης. Η εργασία εξετάζει τη κατασκευή και υλοποίηση των RBM επί των FEM για το “Πρόβλημα των Μεγάλων Ρευστών” η οποία και παρουσιάζεται στο τέλος του δεύτερου μέρους. Στο τρίτο μέρος εξερευνούμε τη δομή, τη λειτουργία και την κατασκευή των DT. Τα DT είναι γνωστά ως μία νέα τεχνολογία που χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων και βελτιστοποίηση διαδικασιών. Η εργασία εξετάζει τις μεθόδους που χρησιμοποιούν τα DT καθώς και τις διαδικασίες που ακολουθούνται ώστε να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα σε βέλτιστο χρόνο. Τέλος διευκρινίζεται η σημασία των RBM στην κατασκευή των DT και γίνεται αναφορά στις χρήσεις και τα οφέλη των DT στην σύγχρονη καθημερινότητα καθώς και μια συζήτηση γύρω από τους στόχους που μπορούν να υλοποιηθούν μέσω αυτών στα επόμενα χρόνια.