Manifold of mappings and regularity properties of half-Lie groups
Creators: name: Pinaud, Matthieu
Publisher: name: Universität Paderborn
Year: 2025

description: Im ersten Teil definieren wir für p ∈ [1, ∞] eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur auf der Menge ACLp ([a, b], N) der absolut stetigen Funktionen γ : [a, b] N mit Lp-Ableitungen für alle reellen Zahlen a &lt; b und jede glatte Mannigfaltigkeit N, die auf einem folgenvollständigen, lokal konvexen topologischen Vektorraum modelliert ist und eine lokale Addition zulässt. Die Glattheit natürlicher Abbildungen zwischen Räumen absolut stetiger Funktionen wird untersucht, wie etwa Superpositionsoperatoren ACLp ([a, b], N1) ACLp ([a, b], N2), η 7 f ◦ η, für eine glatte Abbildung f : N1 N2. Für 1 ≤ p &lt; ∞ und r ∈ N zeigen wir, dass die rechten Halb-Liegruppen Diff rK(Rn) und Diff r(M) Lp-semiregulär sind. Hierbei ist K eine kompakte Teilmenge von Rn und Meine kompakte glatte Mannigfaltigkeit. Eine Lp-semireguläre rechte Halb-Liegruppe G besitzt eine Evolutionsabbildung Evol : Lp([0, 1], TeG) ACLp ([0, 1], G), wobei e das Neutralelement von G ist. Für die zuvor genannten Beispiele ist die Evolutionsabbildung Evol stetig. Im zweiten Teil definieren wir für eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Ecken M und eine endlichdimensionale glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand N, die eine lokale Addition zulässt, eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur auf gewissen Mengen stetiger Abbildungen F(M, N), sofern Funktionenräume F(U, R) auf offenen Teilmengen U ⊆ [0, ∞)n gegeben sind und einfache Axiome erfüllt werden. Die Konstruktion und Eigenschaften von Räumen von Schnitten sowie die Glattheit natürlicher Abbildungen zwischen den Räumen F(M, N) werden diskutiert, wie etwa Superpositionsoperatoren F(M, f) : F(M, N1) F(M, N2), η 7 f ◦ η für glatte Abbildungen f : N1 N2.
description: In the first part, for p ∈ [1, ∞], we define a smooth manifold structure on the setACLp ([a, b], N) of absolutely continuous functions γ : [a, b] N with Lp-derivatives forall real numbers a &lt; b and each smooth manifold N modeled on a sequentially completelocally convex topological vector space, such that N admits a local addition. Smoothnessof natural mappings between spaces of absolutely continuous functions is discussed, likesuperposition operators ACLp ([a, b], N1) ACLp ([a, b], N2), η 7 f ◦ η, for a smoothmap f : N1 N2. For 1 ≤ p &lt; ∞ and r ∈ N we show that the right half-Lie groupsDiff rK(Rn) and Diff r(M) are Lp-semiregular. Here K is a compact subset of Rn and Mis a compact smooth manifold. An Lp-semiregular half-Lie group G admits an evolutionmap Evol : Lp([0, 1], TeG) ACLp ([0, 1], G), where e is the neutral element of G. Forthe preceding examples, the evolution map Evol is continuous. In the second part, for a compact manifold with corners M and a finite dimensional smooth manifold without boundary N which admits a local addition, we definea smooth manifold structure on a certain set F(M, N) of continuous mappings whenever function spaces F(U, R) on open subsets U ⊆ [0, ∞)n are given, subject to simpleaxioms. The construction and properties of spaces of sections and smoothness of natural mappings between the spaces F(M, N) are discussed, like superposition operatorsF(M, f) : F(M, N1) F(M, N2), η 7 f ◦ η for smooth maps f : N1 N2.