title: Singular Equivariant Spectral Asymptotics of Schrödinger Operators in R^n and Resonances of Schottky Surfaces
title: Singuläre äquivariante Spektralasymptotiken von Schrödinger Operatoren im R^n und Resonanzen auf Schottky Flächen
Creators: name: Weich, Tobias
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2014
Subjects: Analysis
asymptotic analysis
Mathematik

description: Diese Arbeit besteht aus vier
      eigenständigen Teilen. Im ersten Teil beweisen wir
      äquivariante spektrale Asymptotiken für
      h-Pseudodifferentialoperatoren und für kompakte, orthogonale
      Gruppenwirkungen. Diese Ergebnisse verallgemeinern bisher
      bekannte Resultate von El-Houakmi und Helffer (1991) sowie
      Cassanas (2006). Indem wir neue Ergebnisse für oszillierende
      Integrale mit singulärer kritischer Menge (Ramacher 2010)
      nutzen, können wir eine schwache Form des Weyl-Gesetzes
      beweisen. Außerdem erhalten wir vollständige asymptotische
      Entwicklungen für die Gutzwiller-Spurformeln ohne eine
      zusätzliche Bedingung an die Gruppenwirkung zu stellen, indem
      wir die Annahmen an die Dynamik des Hammilton Flusses
      geeignet verallgemeinern. Im zweiten und dritten Teil
      untersuchen wir Resonanzketten, die in vielen
      unterschiedlichen physikalischen und mathematischen
      Streuproblemen beobachte wurden. Im zweiten Teil präsentieren
      wir eine mathematisch rigorose Untersuchung der
      Resonanzketten auf Schottky-Flächen mit drei hyperbolischen
      Trichtern. Wir zeigen die analytische Fortsetzbarkeit der
      verallgemeinerten Zetafunktionen, die das zentrale Werkzeug
      zum Verständnis der Resonanzketten liefern. Außerdem beweisen
      wir, dass die Resonanzen nach geeigneter Reskalierung, für
      ein festes, rationales Verhältnis zwischen den Trichterweiten
      und im Grenzwert großer Weiten äquidistant auf Geraden
      angeordnet sind. Die Position dieser Geraden ist vollständig
      durch ein explizites Polynom gegeben, das nur vom Verhältnis
      der Trichterweiten abhängt. Im dritten Teil präsentieren wir
      einen vereinheitlichenden Ansatz zu den Resonanzketten durch
      eine Verallgemeinerung der dynamischen Zetafunktionen.
      Mittels einer detaillierten numerischen Untersuchung
      illustrieren wir, dass die verallgemeinerten Zetafunktionen
      den Mechanismus erklären, der diese Ketten erzeugt und der
      sich sowohl auf klassische Ruelle-Resonanzen und
      Quantenresonanzen in 3-Disk Systemen anwenden lässt, als auch
      auf geometrische Resonanzen auf Schottkyflächen. Desweiteren
      präsentieren wir eine System-inhärente Definition der
      kontinuierlichen Linien, auf denen die Resonanzen aufgereiht
      sind, indem wir sie als Projektionen analytischer Varietäten
      schreiben. Außerdem zeigt dieser Ansatz, dass die Ausbildung
      von Resonanzketten direkt mit einer Clusterbildung im
      klassischen Längenspektrum um Vielfache einer Basislänge
      verknüpft ist. Schließlich nutzen wir diese Erkenntnis um
      neue Beispiele konstruieren, in denen sogar mehrere
      Kettenstrukturen koexistieren. Der vierte Teil behandelt die
      Symmetriereduzierung dynamischer Zetafunktionen für
      holomorphe iterierte Funktionensysteme. Wir führen den
      Begriff einer endlichen Symmetriegruppe für ein solches
      iteriertes Funktionensystem ein und zeigen, dass die
      dynamische Zeta-Funktion in ganze symmetriereduzierte
      Zetafunktionen faktorisiert, welche durch die irreduziblen
      Charaktäre der Symmetriegruppe parametrisiert werden. Unter
      einer Annahme an die Gruppenwirkung auf den Symbolen der
      symbolischen Dynamik gelingt es uns, die Formeln für die
      symmetriereduzierten Zetafunktionen noch weiter zu
      vereinfachen. Als Anwendungsbeispiel wenden wir die
      Faktorisierung auf Selberg-Zetafunktionen von symmetrischen
      Schottkyflächen mit n Trichtern an und wir zeigen, dass durch
      die Faktorsierung die numerische Suche der Nullstellen enorm
      vereinfacht wird.
description: This work consists of four
      self-containedly presented parts. In the first part we prove
      equivariant spectral asymptotics for h-pseudo- differential
      operators for compact orthogonal group actions generalizing
      re- sults of El-Houakmi and Helffer (1991) and Cassanas
      (2006). Using recent results for certain oscillatory
      integrals with singular critical sets (Ramacher 2010) we can
      deduce a weak equivariant Weyl law. Furthermore, we can prove
      a complete asymptotic expansion for the Gutzwiller trace
      formula without any additional condition on the group action
      by a suitable generalization of the dynamical assumptions on
      the Hamilton flow. In the second and third part we study
      resonance chains which have been observed in many different
      physical and mathematical scattering problems. In the second
      part we present a mathematical rigorous study of the reso-
      nance chains on three funneled Schottky surfaces. We prove
      the analyticity of the generalized zeta function which
      provide the central mathematical tool for understanding the
      resonance chains. Furthermore we prove for a fixed ratio
      between the funnel lengths and in the limit of large lengths
      that after a suitable rescaling the resonances in a bounded
      domain align equidistantly along certain lines. The position
      of these lines is given by the zeros of an explicit
      polynomial which only depends on the ratio of the funnel
      lengths. In the third part we provide a unifying approach to
      these resonance chains by generalizing dynamical zeta
      functions. By means of a detailed numerical study we show
      that these generalized zeta functions explain the mechanism
      that creates the chains of quantum resonance and classical
      Ruelle resonances for 3-disk systems as well as geometric
      resonances on Schottky surfaces. We also present a direct
      system-intrinsic definition of the continuous lines on which
      the resonances are strung together as a projection of an
      analytic vari- ety. Additionally, this approach shows that
      the existence of resonance chains is directly related to a
      clustering of the classical length spectrum on multiples of a
      base length. Finally, this link is used to construct new
      examples where several different structures of resonance
      chains coexist. The fourth part deals with a symmetry
      factorization of dynamical zeta functions for holomorphic
      iterated function schemes. We introduce the no- tion of a
      finite symmetry group for these iterated function schemes and
      prove that the dynamical zeta function factorizes into entire
      symmetry reduced zeta functions that are parametrized by the
      irreducible characters of the symme- try group. Under an
      assumption on the group action on the symbols of the symbolic
      dynamics, we are able to simplify the formulas for the
      symmetry reduced zeta functions considerably. As an
      application we apply the symme- try factorization to Selberg
      zeta functions of symmetric n-funneled Schottky surfaces and
      show that the symmetry reduction simplifies the numerical
      cal- culation of the resonances strongly.