title: Adaptive Wavelet Methoden für eine Klasse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen
title: Adaptive wavelet methods for a class of stochastic partial differential equations
Creators: name: Kinzel, Stefan
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2016
Subjects: subject: Besov-Regularity
subject: Evolutionsgleichung
subject: Adaptive Methoden , Wavelets
subject: Besov-Regularität
subject: Adaptive Methods , Wavelets
subject: Stochastik , Numerische Mathematik
subject: Mathematik
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics

description: An abstract interpretation of
      Rothe’s method for the discretization of evolution equations
      is derived. The error propagation is analyzed and condition
      on the tolerances are proven, which ensure convergence in the
      case of inexact operator evaluations. Substantiating the
      abstract analysis, the linearly implicit Euler scheme on a
      uniform time discretization is applied to a class of
      semi-linear parabolic stochastic partial differential
      equations. Using the existence of asymptotically optimal
      adaptive solver for the elliptic subproblems, sufficient
      conditions for convergence with corresponding convergence
      orders also in the case of inexact operator evaluations are
      shown. Upper complexity bounds are proven in the
      deterministic case. The stochastic Poisson equation with
      random right hand sides is used as model equation for the
      elliptic subproblems. The random right hand sides are
      introduced based on wavelet decompositions and a stochastic
      model that, as is shown, provides an explicit regularity
      control of their realizations and induces sparsity of the
      wavelet coefficients. For this class of equations, upper
      error bounds for best N-term wavelet approximation on
      different bounded domains are proven. They show that the use
      of nonlinear (adaptive) methods over uniform linear methods
      is justified whenever sparsity is present, which in
      particularly holds true on Lipschitz domains of two or three
      dimensions. By providing sparse variants of general Gaussian
      random functions, the class of random functions derived from
      the stochastic model is interesting on its own. The
      regularity of the random functions is analyzed in certain
      smoothness spaces, as well as linear and nonlinear
      approximation results are proven, which clarify their
      applicability for numerical experiments.
description: Eine abstrakte Interpretation der
      Rothe Methode zur Diskretisierung von Evolutionsgleichungen
      wird hergeleitet. Die Fehlerfortpflanzung wird untersucht und
      Bedingungen an die Toleranzen werden bewiesen, welche die
      Konvergenz im Falle von approximativen Operatorauswertungen
      sicher stellen. Zur Untermauerung der abstrakten Analysis
      wird das linear implizite Eulerschema mit uniformer
      Zeitdiskretisierung auf eine Klasse von semi-linearen
      parabolischen stochastischen partiellen
      Differentialgleichungen angewendet. Unter Verwendung der
      Existenz von optimalen adaptiven Methoden f¨ur die
      elliptischen Teilprobleme werden hinreichende Bedingungen
      gezeigt, welche die Konvergenz mit zugeh¨origen
      Konvergenzordnungen auch im Fall von approximativen
      Operatorauswertungen sichern. Obere Komplexit¨atsschranken
      werden im deterministischen Fall bewiesen. Die stochastische
      Poissongleichung mit zuf¨alligen rechten Seiten dient als
      Modellgleichung f¨ur die elliptischen Teilprobleme. Die
      zuf¨alligen rechten Seiten werden, basierend auf
      Waveletentwicklungen, eingef¨uhrt anhand eines stochastischen
      Modells, welches, wie gezeigt wird, eine explizite
      Regularit¨atskontrolle deren Realisierungen bietet und d¨unn
      besetzte Entwicklungen induzieren kann. F¨ur diese Klasse von
      Gleichungen werden obere Fehlerschranken der besten N-term
      Waveletapproximation auf verschiedenen beschr¨ankten Gebieten
      bewiesen. Sie zeigen, dass die Verwendung von nichtlinearen
      (adaptiven) Methoden gegen¨uber uniformen linearen Methoden
      gerechtfertigt ist, insbesondere bei d¨unn besetzten
      Entwicklungen auf zwei oder drei dimensionalen
      Lipschitzgebieten. Die Klasse von zuf¨alligen Funktionen,
      welche aus dem stochastischen Modell abgeleitet werden kann,
      ist an sich interessant, da sie d¨unn besetzte Varianten von
      allgemeinen Gauß’schen zuf¨alligen Funktionen liefert. In
      verschiedenen Glattheitsr¨aumen wird die Regularit¨at der
      zuf¨alligen Funktionen analysiert, ebenso werden lineare und
      nichtlineare Approximationsergebnisse bewiesen, welche deren
      Anwendbarkeit in numerischen Experimenten
      verdeutlicht.