Εξέλιξη των τροχιών του Εγκέλαδου και της Διώνης υπό την απώλεια ενέργειας
Creators: name: Μπικούδης, Νικόλαος Ιωακείμ
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2022
Subjects: Εγκέλαδος, Διώνη
Απώλεια ενέργειας
Δυναμική εξέλιξη τροχιών
Enceladus, Dione
Dissipation of energy
Orbital evolution

description: In this thesis the evolution of the orbits of Enceladus and Dione, two of Saturn’s natural satellites, is investigated. The general framework is that of the three body problem in which dissipation of energy is added directly at the equations of motion. The Hamiltonian of the system is derived considering not only the interactions between Saturn with each satellite but also the interaction between the two satellites. Also, Saturn is considered as an oblate object. As a result the potential he exerts is not that of a spherical body but there are other significant terms. At this stage the Hamiltonian goes through a process of simplifications. The part that gives the interaction between the two satellites which is called “disturbing function” can be written as a sum of cosines. This expansion can be found in the bibliography. Firstly, any term multiplied with the inclinations of the two satellites is discarded because the two inclinations are too small and are considered equal to zero. Secondly, from that sum the significant terms are taken into account. Those are the secular terms and the terms that correspond to the 2:1 mean motion resonance that the two satellites are under. Then, the Hamiltonian is expressed at the Delauny variables, expanded in Taylor series up to second order and finally expressed at the Poincare variables. At this point the dissipation terms are calculated having in mind the total energy of the system and the angular momentum. Combining those two expressions and their time derivatives we end up with an expression of the time derivative of energy from where the dissipation terms are derived. Then using a Theorem that tells us how those terms transform under a change of variables and using it a few times we end up with the dissipation terms expressed at the Poincare variables. Adding them to Hamilton’s equation we get our equations of motion. These equations are solved numerically using a fourth order Runge Kutta method for a multitude of initial conditions in order to determine in what states our system could end up. In our study all the orbits tested end up to an equilibrium point of the equations. This means that the satellites orbit around the planet with a fixed major axes and eccentricity
description: Σε αυτή την εργασία η εξέλιξη των τροχιών του Εγκέλαδου και της Διώνης, δύο εκ των φυσικών δορυφόρων του Κρόνου, θα ερευνηθεί. Το γενικότερο μαθηματικό πλαίσιο μέσα στο οποίο θα γίνει η μελέτη είναι αυτό του προβλήματος των τριών σωμάτων στο οποίο θα προστεθεί απευθείας στις εξισώσεις κίνησης το γεγονός ότι το σύστημα χάνει ενέργεια. Στη Χαμιλτονιανή του συστήματος δεν λαμβάνονται υπόψη μόνο οι αλληλεπιδράσεις των δύο δορυφόρων με τον πλανήτη αλλά και η μεταξύ τους αλληλεπίδραση. Επίσης, ο Κρόνος θεωρείται ως ένα πεπλατυσμένο σώμα. Το αποτέλεσμα είναι το δυναμικό που ασκεί να μην είναι αυτό ενός σφαιρικού σώματος αλλά πρέπει να προστεθούν κι άλλοι όροι. Σε αυτό το σημείο γίνονται κάποιες απλοποιήσεις στη Χαμιλτονιανή. Το κομμάτι που δίνει την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο δορυφόρων ονομάζεται “disturbing function” και μπορεί να γραφεί ως άθροισμα συνημιτόνων. Αυτό το ανάπτυγμα δίνεται από τη βιβλιογραφία. Πρώτα, από αυτούς του όρους απορίπτουμε όλους όσους πολλαπλασιάζονται με τις κλίσεις των επιπέδων των τροχιών των δορυφόρων ως προς το ισημερινό επίπεδο του πλανήτη γιατί είναι πολύ μικρές και μπορούμε να τις θεωρήσουμε ίσες με μηδέν. Δεύτερον, από τους όρους που μένουνε κρατάμε μόνο αυτούς που επιδρούν μακροχρόνια (secular terms) και αυτούς που σχετίζονται με το συντονισμό 2:1 των μέσων κινήσεων των δύο δορυφόρων (resonant terms). Σε επόμενο βήμα εκφράζουμε τη Χαμιλτονιανή στις μεταβλητές Delauny, την αναπτύσουμε σε σειρά Taylor μέχρι όρους δεύτερης τάξης και κάνουμε άλλη μια αλλαγή μεταβλητών για να πάμε στις μεταβλητές Poincare. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τους όρους απωλειών με βάση τις σχέσεις που δίνουν την ολική ενέργεια του συστήματος και την στροφορμή. Συνδυάζοντας αυτές τις σχέσεις μαζί με τις σχέσεις που προκύπτουν αν τις παραγωγίσουμε ως προς το χρόνο καταλήγουμε σε μία σχέση που δίνει τη μεταβολή της ενέργειας ως προς το χρόνο από όπου εξάγουμε τους όρους απωλειών. Αυτούς τους όρους με τη βοήθεια ενός θεωρήματος τους βρίσκουμε εκφρασμένους στις μεταβλητές Poincare. Έτσι, μπορούμε να τους προσθέσουμε στις εξισώσεις του Hamilton και να καταλήξουμε στις εξισώσεις κίνησης. Αυτές τις εξισώσεις τις λύνουμε αριθμητικά χρησιμοποιώντας μία Runge Kutta τέταρτης τάξης για ένα μεγάλο πλήθος αρχικών συνθηκών ώστε να σε τι τελική κατάσταση μπορεί να φτάσει το σύστημα. Στη μελέτη που έγινε όλες οι τροχιές κατέληξαν σε ένα από τα σημεία ισορροπίας των εξισώσεων κίνησης. Αυτό σημαίνει ότι οι δορυφόροι διαγράφουν μία τροχιά γύρω από τον πλανήτη με ένα μεγάλο ημιάξονα και μία εκκεντρότητα που δεν μεταβάλλεται