title: Two-scale optimization in additive manufacturing for lattice structures and porous media
title: Zwei-Skalen-Optimierung in der Additiven Fertigung für Gitterstrukturen und poröse Medien
Creators: name: Hübner, Daniel
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024
Subjects: subject: structural optimization
subject: two-scale optimization
subject: lattice structures
subject: porous media
subject: additive manufacturing
subject: Strukturoptimierung
subject: Zwei-Skalen-Optimierung
subject: Gitterstrukturen
subject: Poröse Medien
subject: Additive Fertigung
subject: DDC Classification::5 Naturwissenschaften::50 Naturwissenschaften::500 Naturwissenschaften und Mathematik

description: This thesis focuses on the optimization of two-scale structures. These structures are components where the material distribution on the microscopic scale affects the overall macroscopic structural behavior. We investigate two types of such structures: truss lattices and components with embedded, possibly fluid-filled channels. Both types can be treated with the same mathematical and numerical concepts since they are essentially the inverse of each other. Our objectives are related to mechanical properties of material and fluid, such as stability, mechanical compliance, and permeability. To solve two-scale optimization problems efficiently, computations on both scales can be separated. To achieve this, a (geometric) parameterization of the microscopic structure is chosen, effective material properties are homogenized for selected parameter values and an interpolation scheme is used to construct a map from the continuous parameter space onto homogenized properties. We use this framework to optimize the local and global buckling response of two- and three-dimensional, parameterized, graded lattice structures concurrently. Cross-modes residing on both scales are not considered. We upscale elastic properties and the local buckling behavior of periodic lattices by means of asymptotic homogenization. To reduce computational effort, we construct a worst-case model for the homogenized buckling load factor. The worst case is implemented by reducing the macroscopic local stress to its magnitude and acts as a safeguard against pure local buckling. In the modular two-scale optimization framework, the methods for parameterization, upscaling, and interpolation can be modified individually. We demonstrate this by presenting an alternative way to parameterize the shape of the microscopic structure. Our approach is based on tensor products of B-splines, which allows for relatively large shape changes with a moderate number of control parameters. We illustrate this by concurrently optimizing the stiffness and permeability of porous media. We ensure that the design is not self-penetrating by developing and deploying sufficient conditions that guarantee the injectivity of the control-to-structure map. By default, we use piecewise cubic Hermite interpolation, which results in a continuously differentiable function and enables us to use gradient-based optimization methods. However, such a conventional piecewise interpolation scheme is not practical for parameter spaces with more than three dimensions due to high computational effort and memory consumption. As an alternative, we present an interpolation based on sparse grids, which drastically alleviates the so-called curse of dimensionality and can be applied for up to ten parameters.
description: Diese Abhandlung beschäftigt sich mit der Optimierung von zweiskaligen Strukturen. Bei solchen Bauteilen beeinflusst die Materialverteilung auf der mikroskopischen Skala das makroskopische strukturelle Verhalten. Wir betrachten zwei Arten solcher Strukturen: Stabwerk-Gitter und Bauteile mit eingebetteten Kanälen, die mit Flüssigkeit gefüllt sein können. Beide Arten lassen sich mit denselben mathematischen und numerischen Konzepten behandeln, da sie als Negativ der jeweils anderen angesehen werden können. Unsere Zielvorgaben beziehen sich auf mechanische Eigenschaften des Materials und der Flüssigkeit, wie beispielsweise Stabilität, mechanische Nachgiebigkeit und Durchlässigkeit. Um zweiskalige Optimierungsprobleme effizient zu lösen, können die Berechnungen auf beiden Skalen voneinander getrennt werden. Dafür wird eine (geometrische) Parametrisierung der Mikrostruktur ausgesucht, effektive Materialeigenschaften für gewählte Parameterwerte homogenisiert und ein Interpolationsschema angewandt, um eine Abbildung vom kontinuierlichen Parameterraum auf homogenisierte Eigenschaften aufzustellen. Wir nutzen dieses Framework, um das lokale und globale Knickverhalten von zwei- und dreidimensionalen, parametrisierten, gradierten Gitterstrukturen simultan zu optimieren. Gemischte Moden, die sich über beide Skalen erstrecken, werden nicht berücksichtigt. Elastische Eigenschaften und das lokale Knickverhalten von periodischen Gittern werden mithilfe der asymptotischen Homogenisierung auf die makroskopische Skala skaliert. Um den Rechenaufwand zu reduzieren, konstruieren wir ein Modell für den homogenisierten Lastfaktor, das auf dem Worst-Case-Szenario basiert. Um dies zu erreichen, wird die lokal auftretende makroskopische Spannung auf ihren Betrag reduziert. Dieses 'Worst-Case'-Modell sichert gegen rein lokales Beulen ab. Die Methoden für die Parametrisierung, Hochskalierung und Interpolation können innerhalb des modularen, zweiskaligen Optimierungsverfahrens individuell modifiziert werden. Wir zeigen das, indem wir eine alternative Parametrisierung der Form der Mikrostruktur präsentieren. Unser Ansatz basiert auf Tensorprodukten von B-Splines und ermöglicht relativ große Formveränderungen bei einer moderaten Anzahl von Kontrollparametern. Wir veranschaulichen dies durch die simultane Optimierung der Steifigkeit und Durchlässigkeit von porösen Medien. Um eine Selbstdurchdringung des Designs zu vermeiden, entwickeln wir hinreichende Bedingungen, die die Injektivität der Abbildung von Kontrollvariablen auf die Struktur sicherstellen. Wir verwenden standardmäßig stückweise kubische Hermite-Interpolation, welche eine stetig differenzierbare Funktion erzeugt und uns damit die Anwendung von gradientenbasierten Optimierungsverfahren ermöglicht. Herkömmliche, stückweise Interpolationsschemata sind jedoch für Parameterräume mit mehr als drei Dimensionen aufgrund des hohen Rechenaufwands und Speicherverbrauchs nicht praktikabel. Als Alternative stellen wir eine Interpolationsmethode vor, die auf dünnen Gittern ("sparse grids") basiert. Sie lindert den sogenannten Fluch der Dimensionalität drastisch und kann für bis zu zehn Parameter angewandt werden.