Introduction to vertex algebras and their representations
Creators: name: Βεργιόγλου, Βασίλειος Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: Άλγεβρες κορυφών
Σύμμορφη κβαντική θεωρία πεδίου
Αναπαραστάσεις αλγεβρών κορυφών
Vertex algebras
Conformal quantum field theory
Representations of vertex algebras

description: The purpose of this dissertation is to study the theory of vertex algebras and their representations associated to important symmetry algebras used in physical theories, such as conformal quantum field theories. Vertex (operator) algebras are a relatively new class of algebraic structure which plays a fundamental role in the mathematical foundations of conformal field theory, especially in two-dimensions. To this end, we first familiarize ourselves with the calculus of formal distributions which is an elegant formalism used to describe vertex algebras. Next, we introduce the notions of local (quantum) fields and normally ordered products and proceed to prove certain important properties, using the language of formal calculus. Then, the axiomatic foundations and the structure of vertex algebras are studied in detail and the stronger structure of a vertex operator algebra is introduced. The latter turns out to be loosely the mathematical analogue of a chiral part of a two-dimensional conformal quantum field theory. To achieve our final goal, we first review the representation theory of certain Lie algebras which admit a triangular decomposition, a situation often encountered in physics, and study their Verma modules. Finally, we apply all the results gathered so far in order to construct important families of vertex (operator) algebras and modules associated to Virasoro, affine and Heisenberg Lie algebras.
description: Ο στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της αλγεβρικής δομής των vertex algebras και των αναπαράστασεών τους οι οποίες σχετίζονται με σημαντικές άλγεβρες συμμετρίας διαφόρων φυσικών θεωριών, όπως οι διδιάστατες κβαντικές θεωρίες πεδίου αναλλοίωτες κάτω από σύμμορφους μετασχηματισμούς. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στον φορμαλισμό των formal κατανομών. Εκεί μελετάμε την σημαντική κατανομή δ του Dirac , την έννοια της τοπικότητας καθώς και του κανονικού γινομένου δύο κατανομών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αρχικά εισάγουμε περαιτέρω φορμαλισμό ο οποίος χρειάζεται έτσι ώστε να είναι πιο κομψή η περιγραφή μιας vertex algebra . Έπειτα, ορίζεται η άλγεβρα Lie που τα στοιχεία της είναι formal κατανομές, και μελετάται το παράδειγμα μιας "γενικευμένης" άλγεβρας Virasoro όπου τα στοιχεία της είναι πλέον formal κατανομές. Στην συνέχεια, εισάγουμε την έννοια του (κβαντικού) πεδίου και αποδεικνύονται σημαντικές ιδιότητες τέτοιων κατανομών, όπως το λήμμα του Dong και ένα ανάλογο του γνωστού θεωρήματος του Wick . Τέλος, ορίζουμε την γενίκευση της έννοιας του ιδιοδιανύσματος για formal κατανομές και το σύμμορφο βάρος, δύο έννοιες που σχετίζονται άμεσα με σύμμορφα-αναλλοίωτες κβαντικές θεωρίες πεδίου. Στο επόμενο κεφάλαιο, είμαστε πλέον έτοιμοι να ορίσουμε μια vertex algebra και να μελετήσουμε εκτενώς τις συνέπειες των αξιωμάτων της και την αλγεβρική δομή της. Πιο συγκεκριμένα, πρώτα αποδεικνύουμε βασικά θεωρήματα μοναδικότητας και ύπαρξης τέτοιων δομών. Έπειτα, δείχνουμε την "προσεταιριστική" ιδιότητα του γινομένου δύο στοιχείων μιας vertex algebra, γεγονός που συνδέεται αυτόματα με την προσεταιριστικότητα του Operator Product Expansion δύο πεδίων στο πλαίσιο διδιάστατων σύμμορφα-αναλλοίωτων κβαντικών θεωριών πεδίου. Στην συνέχεια μελετάμε περαιτέρω συνέπειες του ορισμού, όπως η ταυτότητα του Borcherds και η αντισυμμετρία του γινομένου της vertex algebra. Τέλος, εισάγουμε επιπλέον δομή ορίζοντας την έννοια μιας vertex operator algebra η οποία είναι χοντρικά το μαθηματικό ανάλογο ενός chiral τομέα μιας δισδιάστατης σύμμορφα-αναλλοίωτης κβαντικής θεωρίας πεδίου. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται μια σύντομη επισκόπηση της θεωρίας αναπαραστάσεων αλγεβρών Lie οι οποίες έχουν τριγωνικό ανάπτυγμα, με κύριο σκοπό την κατασκευή συγκεκριμένων irreducible αναπαραστάσεων υψηλότερου βάρους οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν στο τελευταίο κεφάλαιο. Αρχικά, μελετάμε ένα απλό παράδειγμα το οποίο μας βοηθαέι να ορίσουμε βασικές έννοιες που έχουν να κάνουν με την κατασκευή αναπαραστάσεων αλγεβρών Lie όπως η υποάλγεβρα Cartan και το βάρος μιας αναπαραστασης. Έπειτα ορίζεται η universal enveloping άλγεβρα μιας άλγεβρας Lie, και πλέον είμαστε έτοιμοι να κατασκευάσουμε συγκεκριμένες αναπαραστάσεις υψηλότερου βάρους. Περιγράφουμε δύο τρόπους με τους οποίους γίνεται αυτη η κατασκευή και τέλος κατασκευάζουμε την irredubile αναπαράσταση υψηλότερου βάρους. Το τελευταίο κεφάλαιο πραγματεύεται την κατασκευή οικογενειών vertex operator algebras και αναπαράστασεών τους που σχετίζονται με συγκεκριμένες άλγεβρες Lie οι οποίες συναντώνται συχνά στην φυσική, όπως η άλγεβρα Virasoro , αφινικές άλγεβρες Lie και η άλγεβρα Heisenberg. Η στρατηγική είναι η εξης: πρώτα κατασκευάζουμε συγκεκριμένες αναπαραστάσεις των αλγεβρών που μας ενδιαφέρουν, χρησιμοποιώντας το κεφάλαιο 4, και στην συνέχεια θα τις δώσουμε περαιτέρω δομή μιας vertex (operator) algebra. Τέλος, αφού κατασκευάσουμε την παραπάνω δομή, μελετάμε οικογένειες αναπαραστάσεών της.