Μέθοδοι μειωμένης βάσης μερικών διαφορικών εξισώσεων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφαλμάτων
Creators: name: Αγγελίδης, Πασχάλης Μιχαήλ
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2024
Subjects: Ισογεωμετρική Ανάλυση
Μέθοδοι Μειωμένης Βάσης
Εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφαλμάτων
Isogeometric Analysis
Reduced Basis Methods
A posteriori error estimates

description: Ξεκίνησε το 2005 από μία δημοσίευση των T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell και Y. Bazilevs και ως σήμερα, η ισογεωμετρική ανάλυση αποτελεί εργαλείο προσέγγισης της λύσης μερικών διαφορικών εξισώσεων. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία μελετάμε τη μαθηματική θεμελίωση της ισογεωμετρικής ανάλυσης όπου σε συνδυασμό με αριθμητικές μεθόδους μειωμένης βάσης δύναται να μειωθεί η υπολογιστική πολυ- πλοκότητα του προβλήματος προς μελέτη, ενώ διατηρούμε υψηλή τάξη σύγκλισης στην προσέγγιση της λύσης. Ξεκινάμε τη διπλωματική, αναφέροντας τις θεμελιώδεις έννοιες των B-splines και NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) γεωμετριών, οι οποίες αποτελούν τη βάση τόσο για τη διακριτοποίηση του χώρου όσο και για την προσέγ- γιση της λύσης. ́Έπειτα, αναφέρουμε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη λύσης των προβλημάτων που μελετάει η ισογεωμετρική ανάλυση, αντλώντας βασικά θεωρήματα από τη μαθηματική ανάλυση. Στη συνέχεια, προτείνουμε μεθό- δους μειωμένης βάσης, προβλημάτων που ικανοποιούν την αφφινικά παραμετρική εξάρτηση αλλά και αυτών που δεν την ικανοποιούν. Τέτοια προβλήματα αφορούν μη προσαρμοσμένες γεωμετρίες (unfitted geometries) και περικομμένα χωρία (trimmed domains) τα οποία ενσωματώνονται σε ένα χωρίο υποβάθρου (background domain). Μελετάμε επιπλέον, τρόπους εύρεσης εκ των υστέρων σφαλμάτων, τα οποία είναι υπ- ολογίσιμα σφάλματα, καθώς εκφράζονται μέσω μίας νόρμας συναρτήσει της προσεγ- γιστικής λύσης. Τα εκ των υστέρων σφάλματα αποτελούν ένα άνω φράγμα του σφάλ- ματος μεταξύ της διακριτής και της αναλυτικής λύσης του προβλήματος. ∆ίνουμε τρεις περιπτώσεις εκ των υστέρων σφαλμάτων, οι οποίες διακρίνονται: στην κλασική περίπτωση που είναι γνωστή από τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, εκ των υστέρων σφάλματα μειωμένης βάσης, και εκ των υστέρων σφάλματα σε περικομμένες γεωμετρίες. Τελειώνουμε αυτή τη διπλωματική εφαρμόζοντας τη θεωρία σε τρία προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων και απεικονίζουμε τα αποτελέσματα. Οι προσεγγίσεις των παραδειγμάτων πραγματοποιήθηκαν μέσω αλγορίθμων και λο- γισμικού σε ηλεκτρονικό υπολογιστή.
description: Originated in 2005 from a publication by T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, and Y. Bazilevs, isogeometric analysis has since become a tool for approaching solutions to partial differential equations. In this thesis, we study the mathematical foun- dation of isogeometric analysis, where, in combination with reduced basis numer- ical methods, it can reduce the computational complexity of the problem posed while maintaining a high order of convergence in the solution approximation. We begin the thesis by addressing the fundamental concepts of B-splines and Non- Uniform Rational B-Splines (NURBS) geometries, which form the basis for both space discretization and solution approximation. Then, we discuss the necessary and sufficient conditions for the existence of solutions to problems studied in isogeometric analysis, drawing fundamental theorems from mathematical analy- sis. Next, we propose reduced basis methods for problems that satisfy the affine parametric dependence as well as those that do not. The latter involve unfitted geometries and trimmed domains that are embedded into a background domain. Additionally, we study methods for deriving a posteriori error estimates, which are computable errors expressed through the norm of the approximate solution. A posteriori errors serve as an upper bound of the error between the discrete and analytical solutions of the problem. We present three cases of a posteriori errors: the classical case known from the finite element method, reduced basis a pos- teriori errors, and a posteriori errors in trimmed geometries. We conclude this thesis by applying the theory to three partial differential equation problems and displaying the results. The solutions of these examples were produced through algorithms and software on a computer system.