title: Explizite Definierbarkeit, Non-Kreativität und Eliminierbarkeit
Creators: name: Walkner, Kevin
Publisher: name: :none
Year: 2020

description: Mit dem Aufkommen formaler Methoden in der Philosophie wurde die traditionelle Definitionslehre grosso modo durch eine moderne, mathematische Definitionstheorie ersetzt. (vgl. Suppes, 1957 und Morscher, 2017) In diesem Zusammenhang wurden die Bedingungen untersucht, unter denen die Erweiterung einer formalen Theorie und ihrer Signatur durch eine Formel eine definitorische Theorieerweiterung darstellt. Zu diesem Zweck wurden Explikationsvorschläge für zwei Definitionskriterien formuliert – d.h. zwei Kriterien, welche eine Formel, die eine Definition im Versuchssinn ist, erfüllen muss, um eine Definition im Erfolgssinn zu sein. Bei diesen beiden Kriterien handelt es sich um Eliminierbarkeit und Non-Kreativität. Darüberhinaus wurde eine Defintion für den Ausdruck ’Explizitdefinition’ vorgeschlagen. Sie liefert im Wesentlichen syntaktische Bedingungen, denen eine bestimmte Teilklasse von jenen theorieerweiternden Formeln genügt. Tatsächlich konnte durch Joseph Shoenfield (vgl. Shoenfield, 1967) gezeigt werden, dass jede Formel, die als Explizitdefinition eine neue deskriptive Konstante in eine Theorie einführt, diese Theorie um jene Konstante non-kreativ erweitert und jene Konstante in der neu gewonnen Theorie eliminierbar macht – salopp: Es wurde gezeigt, dass explizite Definierbarkeit Non-Kreativität und Eliminierbarkeit impliziert. Reinhard Kleinknecht (vgl. Kleinknecht 1979 &amp; 1981) konnte einige Jahre später beweisen, dass jede Konstante, die in einer Theorie eliminierbar ist, in dieser Theorie auch explizit definierbar ist – salopp: Er konnte zeigen, dass Eliminierbarkeit explizite Definierbarkeit impliziert. Verbunden mit dem Resultat von Shoenfield ergibt sich damit, dass, grob gesprochen, Eliminierbarkeit auch Non-Kreativität impliziert. Dieses Resultat scheint in die einschlägige Literatur Eingang gefunden zu haben. So schreibt etwa Edgar Morscher in (Morscher, 2017, p. 270): “Reinhard Kleinknecht hat nachgewiesen, dass die Eliminierbarkeit die Non-Kreativität impliziert. [...] Wir könnten also aus theoretischen Gründen auf das Kriterium der Non-Kreativität ganz verzichten.” Die vorliegende Arbeit geht der Frage nach, ob jede Definition im Wesentlichen eine Explizitdefinition ist. Um sie systematisch behandeln zu können, überführen wir sie in eine formale: Ist die Erweiterung einer Ausgangstheorie um eine Definition identisch mit ihrer Erweiterung um eine entsprechende Explizitdefinition? Das Ergebnis der Arbeit hat zwei Hauptteile. Mit dem ersten wird eine Kritik an Kleinknechts Resultat vorgebracht. Wir werden dafür argumentieren, dass sein Beweis nur erbracht werden konnte, weil die Bedeutung des Ausdrucks ’non-kreativ’ unter der Hand geändert wurde; und zwar in einer Art und Weise, die den abgeänderten Begriff inadäquat macht. Genauer: Der ursprüngliche Begriff der non-Kreativität wird durch ein fünfstelliges Prädikat ausgedrückt, der neue hingegen nur durch ein dreistelliges. Mit dem neuen Begriff der Non-Kreativität kann aber nicht länger die relative Konsistenz von Theorien gefolgert werden, was jedoch für die definitionstheoretische Adäquatheit von jenem erforderlich ist. Daher bleibt auch nach Kleinknechts Resultat die zentrale Frage unserer Arbeit offen. Mit dem zweiten Hauptteil wird jedoch ein Beweis dafür erbracht, dass jede geschlossene Formel, die eine Theorie um eine Konstante non-kreativ erweitert und diese Konstante eliminierbar setzt, äquivalent ist zu einer Explizitdefinition dieser Konstante – modulo Geschlossenheit und Äquivalenz also die Konverse zu Shoenfields Theorem.