title: Der quantenmechanische harmonische Oszillator
Creators: name: Karadar, Philipp
Publisher: name: :none
Year: 2018

description: In jedem Buch über Quantenphysik stößt der Leser bzw. die Leserin früher oder später auf die Beschreibung, Lösung und Interpretation des quantenmechanischen Oszillators. Dabei werden meistens nur die grundlegendsten mathematischen Voraussetzungen eingeführt, welche zum Verst¨andnis beitragen. Dahinter verbergen sich aber viele wichtige mathematische Aussagen und deren Folgerungen. Ich möchte dem Leser meiner Diplomarbeit genau diese mathematischen Hintergrundinformationen übermitteln, welche zur Beschreibung und Lösung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators nötig sind. Meine Arbeit ist dazu in zwei große Teile gegliedert. Im ersten Teil werden wir die mathematischen Grundlagen erarbeiten und im zweiten Teil lösen wir den harmonischen Oszillator. In den Kapiteln 1 und 2 werden wir die wichtigsten Grundlagen aus Funktionalanalysis und Funktionentheorie (komplexe Analysis) ausgearbeitet. Im 3. Kapitel werden wir einen geeigneten Hilbertraum, den Fockraum konstruieren und dessen Eigenschaften untersuchen. Dieser eignet sich für eine adäquate Darstellung der quantenmechanischen Zustände. Im 4. Kapitel werfen wir einen kurzen Blick in die Welt der Quanten. Wir lernen dabei die mathematische Beschreibung von physikalischen Zuständen und Observablen sowie die allbekannte Schrödinger Gleichung und den Hamilton Operator kennen. Im letzten Kapitel wenden wir uns der Darstellung der Zustände des harmonischen Oszillators und deren Lösung des Energiespektrums zu. Das harmonische Oszillatorpotential ist wahrscheinlich das am weitesten verbreitete Potential in der Physik, da es in der Lage ist, physikalische Potentiale in der Nähe eines stabilen Gleichgewichts darzustellen. Dabei werden wir zwei neue Operatoren konstruieren: den Vernichtuns- und Erzeugungsoperator. Diese spielen die zentrale Rolle bei der Lösung der Schrödinger Gleichung des harmonischen Oszillators. Außerdem werden wir zwei verschiedene äquivalente Darstellungen der Zustände vergleichen. Zuerst präsentieren wir die Zustände und das Spektrum im Folgenraum l2 und anschließend im Fockraum A2(C,e−|z|2).
description: In each book on quantum physics, the reader sooner or later encounters the description, solution and interpretation of the quantum oscillator. Most of the time, only the most basic mathematical prerequisites are introduced. But behind hide many important mathematical statements and their consequences. The main aim of the present diploma thesis is to provide this mathematical background information which is necessary for the description and solution of the quantum oscillator. My work is divided into two major parts. In the ﬁrst part, we will work out the mathematical basics and in the second part we solve the harmonic oscillator. In chapters 1 and 2, we will summarize the most important basics of functional analysis and functional theory (complex analysis). In Chapter 3, we will construct a suitable Hilbert space, the Fock space, and examine its properties. This construction is relevant as an adequate representation of the quantum mechanical states. In chapter 4, we take a quick look at the world of quanta. We explore the mathematical description of physical states and observables as well as the well-known Schrödinger equation and Hamilton operator. In the last chapter, we turn to the representation of the states of the harmonic oscillator and their solution of the energy spectrum. The harmonic oscillator potential is probably the most widely used potential in physics as it is able to represent physical potentials in the vicinity of a stable equilibrium. We will construct two new operators: the annihilation- and creation operator. These play the central role in the solution of the Schr¨odinger equation of the harmonic oscillator. In addition, we will compare two diﬀerent equivalent representations of the states. First, we present the states and the spectrum in the sequence space l2 and then in the Fock space A2(C,e−|z|2).