title: Physics informed machine learning in the field of micromagnetism
Creators: name: Schaffer, Sebastian Alexander
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: Diese Dissertation untersucht fortgeschrittene neuronale Netzwerkmethoden, insbesondere Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Extreme Learning Machines (ELMs) sowie hart beschränkte PINNs und die Anwendung im computergestützten Mikromagnetismums. Diese Methoden wurden entwickelt, um komplexe physikalische Probleme wie das Streufeldproblem zu lösen, indem physikalische Gesetze direkt in den Trainingsprozess des neuronalen Netzwerks eingebettet werden, wodurch effiziente und genaue Lösungen ohne umfangreiche überwachte Daten erreicht werden. Die Entwicklung hochskalierbarer maschineller Lernmodelle könnte groß angelegte mikromagnetische Simulationen und deren Anwendung in nachhaltigen Technologien, wie Windturbinen und Elektromotoren, ermöglichen. Die ersten Kapitel bieten eine umfassende Einführung in neuronale Netzwerke und erläutern, wie PINNs und ELMs für zeitunabhängige partielle Differentialgleichungen (PDEs) wie die Poisson-Gleichung angepasst werden können. Der Schwerpunkt liegt auf hart beschränkten PINNs, die die Optimierung durch den Wegfall von Randbedingungen verbessern und so Genauigkeiten erzielen, die mit herkömmlichen numerischen Verfahren wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) und der Finite-Differenzen-Methode (FDM) vergleichbar sind. Dieser Ansatz bietet eine netzfreie Optimierung ohne die Notwendigkeit komplexer Diskretisierungsschemata und ermöglicht flexible, reduzierte Ordnungsmodelle, die das Fluch der Dimensionalität mildern. Die nachfolgenden Kapitel führen die Konstruktive Festkörpergeometrie (CSG) mit Hilfe von R-Funktionen ein, um harte Beschränkungen innerhalb des PINN-Rahmens durchzusetzen. Diese robuste Modellierungstechnik gewährleistet die exakte Einhaltung essentieller Randbedingungen bei komplexen Geometrien, die im Rahmen der Streufeldberechnung auftreten. Ein wesentlicher Teil der Dissertation befasst sich mit den Herausforderungen der Magnetostatik, insbesondere der Berechnung der magnetostatischen Selbstenergie. Durch die Anwendung des von Garcia-Cervera und Roma vorgeschlagenen Splitting-Ansatzes werden Energiebeschränkungen auf endlichen Domänen abgeleitet und ein alternierendes Schema für die effiziente Berechnung des Skalar- oder Vektorpotentials entwickelt. Dieses Schema erleichtert die Minimierung der magnetostatischen Selbstenergie, die für präzise mikromagnetische Simulationen unerlässlich ist. Der Höhepunkt dieser Arbeit ist die Anwendung von hart beschränkten PINNs auf die vollständige 3D-Minimierung der Gibbs'schen freien Energie. Durch die Einbindung der Cayley-Transformation werden die Ausgaben des neuronalen Netzwerks auf die Lie-Gruppe der Rotationsmatrizen SO(3) beschränkt, wodurch die physikalische Integrität der Magnetisierungskonfiguration sichergestellt wird. Dieser innovative Ansatz modelliert kontinuierliche Magnetisierungsverteilungen genau und minimiert die gesamte Gibbs'sche freie Energie, einschließlich Austauschenergie, Anisotropieenergie und magnetostatischer Selbstenergie. Die Dissertation zeigt die Wirksamkeit dieser Methode durch die Lösung des NIST μMAG-Standardproblems #3 und die Simulation von Entmagnetisierungsprozessen in hartmagnetischen Materialien. Insgesamt leistet diese Arbeit einen Beitrag zum computergestützten Mikromagnetismums, indem sie hart beschränkte physikinformierte neuronale Netzwerktechniken in Energie-Minimierungsmethoden integriert. Die entwickelten Methoden haben jedoch eine weitergehende Anwendbarkeit über die Magnetostatik hinaus in anderen Bereichen der Physik und Technik.
description: This thesis investigates advanced neural network methodologies, with a primary focus on Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Extreme Learning Machines (ELMs), and hard constrained PINNs and the application to computational micromagnetism. These methods are developed to solve complex physical problems, such as the stray field problem, by embedding physical laws directly into the neural network training process, thereby achieving efficient and accurate solutions without extensive supervised data. The development of highly scalable models could pave the way for large scale micromagnetic simulations and its applications to sustainable technologies such as wind turbines and electric motors. The initial chapters provide a comprehensive exploration of neural networks, detailing how PINNs and ELMs can be tailored for time-independent partial differential equations (PDEs) such as the Poisson equation. Emphasis is placed on hard constrained PINNs, which enhance optimization by removing constraints, thus achieving higher accuracies comparable to traditional numerical solvers like the Finite Element Method (FEM) and Finite Difference Method (FDM). This approach offers mesh-free optimization without the need for complex discretization schemes, allowing for flexible, reduced-order modeling that mitigates the curse of dimensionality. Subsequent chapters introduce Constructive Solid Geometry (CSG) using R-functions to enforce hard constraints within the PINN framework. This robust modeling technique ensures the exact satisfaction of essential boundary conditions on intricate geometries, arising in the course of the stray field computation. Further, the challenges of magnetostatics are addressed. Particularly the computation of magnetostatic self-energy. By employing the splitting ansatz proposed by Garcia-Cervera and Roma, the research derives energy bounds on finite domains and develops an alternating scheme for the efficient computation of scalar or vector potentials. This scheme facilitates the minimization of magnetostatic self-energy, essential for precise micromagnetic simulations. The culmination of this work is the application of hard constrained PINNs to the full 3D minimization of Gibbs free energy. By incorporating the Cayley transform, the neural network outputs are constrained to the Lie group of rotation matrices SO(3), ensuring the physical integrity of the magnetization configuration. This innovative approach accurately models continuous magnetization distributions while minimizing total Gibbs free energy, including exchange energy, anisotropy energy, and magnetostatic self-energy. The thesis demonstrates the efficacy of this method through the solution of the NIST μMAG Standard Problem #3 and the simulation of demagnetization processes in hard magnetic materials. Overall, this thesis makes its contribution to computational micromagnetism by integrating hard constraint physics informed neural network techniques into energy minimization frameworks. However, the developed methods have further applicability beyond magnetostatics to other areas of physics and engineering.