title: Optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte und optimale Output Regulation für quadratische, über- und unteraktuierte Systeme
Creators: name: Bernhard, Sebastian
Publisher: name: UNSPECIFIED
Year: 2020

description: Aus Sicherheitsaspekten haben viele technische Anwendungen mehr Aktoren, als zum Erreichen eines Regelzieles, wie etwa das Folgen einer Solltrajektorie durch den Systemausgang, nötig sind. Solche überaktuierten Systeme sollten dann die überzähligen Aktoren möglichst effizient einsetzen, um Stellenergie zu sparen. Weist ein System hingegen keine Redundanz auf, dann wird es das genannte Regelziel nach einem Aktorausfall und aufgrund der daraus entstandenen Unteraktuierung meist verfehlen. Eine effiziente Regelung solcher unteraktuierten Systeme sollte dann die geringstmögliche Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie erzielen. Bisher existieren für diese beiden Systemklassen jedoch keine unkomplizierten Ansätze für den Entwurf sowie die Implementierung von effizienten Folgeregelungen. Beide Problemstellungen können als ein linear-quadratisches optimales Folgeregelungsproblem über einen unendlichen Horizont formuliert werden. Das zugeordnete Kostenfunktional erlaubt eine freie Gewichtung der Stellenergie und der Energie der Abweichungen von der Solltrajektorie. Eine Minimierung dieses Kostenfunktionals ist jedoch unmöglich, da es im Allgemeinen für jede Regelung mit zunehmender Zeit gegen unendlich strebt. Stattdessen wird eine Regelung gesucht, die jede andere mit zunehmender Zeit im Sinne niedrigerer akkumulierter Kosten überholt. Diese Eigenschaft wird als überholende Optimalität bezeichnet. Aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen hierzu werden systematisch algebraische Entwurfsgleichungen in neuer Form abgeleitet, die auf eine zeitinvariante Regelung in Zwei-Freiheitsgrade-Struktur führen. Die bisherige Theorie erweiternd wird anschließend deren überholende Optimalität mithilfe der Variationsrechnung unter der Annahme beschränkter Soll- und Störgrößen bewiesen. Trifft diese Annahme nicht zu, so wird hergeleitet, dass diese Regelung ein Agreeable Plan ist. Dies bedeutet, dass sie über jeden hinreichend langen endlichen Horizont die zugehörige optimale Folgeregelung approximiert. Unter einer sinnvollen Anforderung an die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises wird daraus abgeleitet, dass ihre Implementierung auch im Falle unbeschränkter Soll- und Störgrößen empfehlenswert ist. Auf Basis der hergeleiteten Eigenschaften, des unkomplizierten Entwurfs und der simplen, zeitinvarianten Reglerstruktur wird die optimale Folgeregelung über unendliche Horizonte als der einheitliche Ansatz herausgearbeitet, der gleichermaßen die Zielstellungen für über- und unteraktuierte Systeme erreicht. Davon ausgehend wird die Output Regulation Theorie, die zum Entwurf exakter Folgeregelungen dient, für beschränkte Soll- und Störgrößen auf über- und unteraktuierte Systeme erweitert. Zur optimalen Output Regulation werden neue Regulatorgleichungen hergeleitet und es wird belegt, dass diese unter üblichen Annahmen lösbar sind. Für überaktuierte Systeme lässt sich mit diesen eine exakte Folgeregelung mit minimalem Mittelwert der Stellenergie entwerfen, wohingegen für unteraktuierte Systeme die Folgeregelung mit minimaler mittlerer Energie des Folgefehlers bestimmt wird. Für die gefundenen Folgeregelungen wird durch Grenzwertbetrachtungen der Gewichte des Kostenfunktionals nachgewiesen, dass diese Sonderfälle von überholend optimalen Folgeregelungen über unendliche Horizonte sind. Auf gleiche Weise wird für quadratische Systeme, die genauso viele Aktoren besitzen, wie zur Erreichung des Regelzieles notwendig sind, die Erkenntnis gewonnen, dass eine exakte Folgeregelung als Grenzwert aus einer überholend optimalen Folgeregelung hervorgeht. Damit wird die erweiterte Output Regulation Theorie in die Theorie optimaler Folgeregelungen eingebettet. Ein wesentlicher Beitrag dieser Arbeit besteht darin, dass der Entwurf und die Implementierung von optimalen Folgeregelungen für über- und unteraktuierte Systeme mithilfe der entwickelten Verfahren nicht komplexer sind als für quadratische Systeme. Darüber hinaus sind sie unter üblichen Bedingungen immer möglich. Durch die umfassenden Analysen der Annahmen, Lösbarkeit, Optimalität und weiteren Eigenschaften sowie der Zusammenhänge von exakten und optimalen Folgeregelungen trägt diese Arbeit zu einer Vereinheitlichung der Theorie von Folgeregelungen für lineare Systeme bei.