Local rigid cohomology of weighted homogeneous hypersurface singularities
Creators: name: Ouwehand, David
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Year: 2017
Subjects: subject: rigide Kohomologie
subject: algebraische Geometrie in positiver Charakteristik
subject: Singularitätentheorie
subject: Griffiths-Dwork reduzierte Form
subject: rigid cohomology
subject: algebraic geometry in positive characteristic
subject: singularity theory
subject: Griffiths-Dwork reduction
subject: 510 Mathematik
subject: 27 Mathematik
subject: SK 240

description: Das Ziel dieser Dissertation ist die Erforschung einer gewissen Invariante von Singularitäten über einem Grundkörper k von positiver Charakteristik. Sei x \in X ein singulärer Punkt auf einem k-Schema. Dann ist die lokale rigide Kohomologie im Grad i definiert als H^i_{rig, {x}}(X), also als die rigide Kohomologie von X mit Träger in der Teilmenge {x}. In Kapitel 2 zeigen wir, dass die lokale rigide Kohomologie tatsächlich eine Invariante ist. Das heißt: Sind x'' \in X'' und x \in X kontaktäquivalente singuläre Punkte auf k-Schemata, dann sind die Vektorräume H_{rig, {x}}(X) und H_{rig, {x''}}(X'') zueinander isomorph. Dieser Isomorphismus ist kompatibel mit der Wirkung des Frobenius auf der rigiden Kohomologie. In den Kapiteln 3 und 4 beschäftigen wir uns mit gewichtet homogenen Singularitäten von Hyperflächen. Der Hauptsatz des dritten Kapitels besagt, dass die lokale rigide Kohomologie einer solchen Singularität isomorph ist zu dem G-invarianten Teil von H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Hier bezeichnet \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k eine gewisse glatte projektive Hyperfläche und G ist eine endliche Gruppe, die auf der rigiden Kohomologie des Komplements wirkt. Dank einem Algorithmus von Abbott, Kedlaya und Roe ist es möglich, den Frobenius-Automorphismus auf H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}) annähernd zu berechnen. In Kapitel 4 formulieren wir eine Anpassung dieses Algorithmus, mithilfe derer Berechnungen auf dem G-invarianten Teil gemacht werden können. Der angepasste Algorithmus kann vollständig mithilfe gewichtet homogener Polynome formuliert werden, was für unsere Anwendungen sehr natürlich scheint. In Kapitel 5 formulieren wir einige Vermutungen und offene Probleme, die mit den Ergebnissen der früheren Kapitel zusammenhängen.
description: The goal of this thesis is to study a certain invariant of isolated singularities over a base field k of positive characteristic. This invariant is called the local rigid cohomology. For a singular point x \in X on a k-scheme, the i-th local rigid cohomology is defined as H^i_{rig, {x}}(X), the i-th rigid cohomology of X with supports in the subset {x}. In chapter 2 we show that the local rigid cohomology is indeed an invariant. That is: if x'' \in X'' and x \in X are contact-equivalent singularities on k-schemes, then the local rigid cohomology spaces H_{rig, {x}}(X) and H_{rig, {x''}}(X'') are isomorphic. The isomorphism that we construct is moreover compatible with the Frobenius action on rigid cohomology. In chapters 3 and 4 we focus our attention on weighted homogeneous hypersurface singularities. Our goal in chapter 3 is to show that for such a singularity, the local rigid cohomology may be identified with the G-invariants of a certain rigid cohomology space $H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Here \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k is a smooth projective hypersurface, and G is a certain finite group acting on the rigid cohomology of its complement. It is known that the rigid cohomology of a smooth projective hypersurface is amenable to direct computation. Indeed, an algorithm by Abbott, Kedlaya and Roe allows one to approximate the Frobenius on such a rigid cohomology space. In chapter 4 we will modify this algorithm to deal with the G-invariant part of cohomology. The modified algorithm can be formulated entirely in terms of weighted homogeneous polynomials, which seems natural for our applications. Chapter 5 is a collection of conjectures and open problems that are related to the earlier chapters.