Harmonic maps between hyperbolic spaces
Creators: name: Χριστοδούλου, Γεώργιος Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2019
Subjects: Harmonic maps
Harmonic extensions
Uniqueness theorem
Αρμονικές απεικονίσεις
Αρμονικές επεκτάσεις
Θεώρημα μοναδικότητας

description: Η παρακάτω διπλωματική εργασία έχει τίτλο: Αρμονικές απεικονίσεις στον υπερβολικό χώρο. Αποτελείται από τρία κεφάλαια. Για την διευκόλυνση των αναγνωστών οι έννοιες θα αναφέρονται στα αγγλικά διότι και η εργασία είναι γραμμένη στα αγγλικά. Στο πρώτο εισαγωγικό κεφάλαιο ορίζουμε πολλές σημαντικές έννοιες. Αφού αρχικά ορίσουμε κάποιες βασικές τοπολογικές έννοιες, στην συνέχεια περιγράφουμε τρία σημαντικά μοντέλα του υπερβολικού επιπέδου. Έπειτα ορίζουμε τα Jacobi διανυσματικά πεδία τα οποία χρησιμοποιούνται σε ορισμένες αποδείξεις κατά την διάρκεια της εργασίας. Επιπλέον, ορίζουμε την "energy" (δηλαδή την ενέργεια) καθώς και την "energy density" (δηλαδή την πυκνότητα ενέργειας) μιας απεικόνισης. Ακολούθως ορίζουμε τις αρμονικές απεικονίσεις σε γενικότερη μορφή καθώς και το πως σχετίζονται με τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς της "ενέργειας". Χρήσιμο για την εργασία μας είναι η εύρεση του "tension field" (δηλαδή του ''πεδίου έντασης'') μιας απεικόνισης από το άνω ημιεπίπεδο στο άνω ημιεπίπεδο. Επίσης, αναφέρουμε ορισμένα βασικά παραδείγματα αρμονικών απεικονίσεων, όπως για παράδειγμα τις γεωδαισιακές μιας πολλαπλότητας. Τέλος, μελετάμε τις αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ Riemman επιφανειών. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται σε "quasi-conformal" και σε "quasi-isometric" απεικονίσεις. Αφού πρώτα αναφέρουμε την χρησιμότητά τους στον φυσικό κόσμο, στην συνέχεια τις ορίζουμε και παραθέτουμε ορισμένα παραδείγματα από αυτού του είδους τις απεικονίσεις. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε κάποια θεωρήματα βάση των δύο αυτών απεικονίσεων. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνουμε ένα βασικό ορισμό του "Hopf differential" το οποίο μας χρειάζεται κατά την διάρκεια της εργασίας. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο αποδεικνύουμε τα δύο βασικά θεωρήματα της εργασίας μας. Το πρώτο αναφέρει ότι αν δύο quasi-conformal αρμονικοί διφφεομορφισμοί από το υπερβολικό επίπεδο στο υπερβολικό επίπεδο ταυτίζονται στο σύνορο ως απεικονίσεις, τότε ταυτίζονται γενικά. Έπειτα αναφέρουμε ένα παράδειγμα μιας απεικόνισης στην οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα αυτό. Το δεύτερο βασικό θεώρημα (το οποίο για να αποδειχθεί χρειάζονται ορισμένα λήμματα τα οποία αναφέρουμε) μας αναφέρει ότι αν σε μία C1 απεικόνιση από το Sm-1 στο Sn-1 δεν μηδενίζεται πουθενά το "energy density" της, τότε μπορεί να επεκταθεί σε μία αρμονική απεικόνιση από τον υπερβολικό χώρο στον υπερβολικό χώρο, η οποία είναι C1 στο σύνορο
description: In this Thesis, there is a presentation of the harmonic maps between hyperbolic spaces Hm and Hn . In the first chapter we will give some basic definitions about Riemannian manifolds. In addition, we will introduce the Harmonic maps between Riemannian manifolds in general, between the hyperbolic spaces and between Riemannian surfaces. In the second chapter we will define the quasi-conformal and quasi-isometry mappings, and we will prove some preliminary Lemmas which will be used in our final chapter. Furthermore we will define the Hopf differential. In last chapter, we will prove the uniqueness theorem for quasi-conformal harmonic diffeomorphism in hyperbolic plane. Then, we will prove the existence theorem for C1 boundary data which provides a harmonic extension of maps between Sm-1 and Sn-1