Discretization of Singular Systems and Error Estimation:
Creators: name: Καραμιχάλης, Ράλλης Ιωάννη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2012
Subjects: Διακριτοποίηση
Ιδιόμορφα Συστήματα
Άνω Φράγμα Σφάλματος
Discretization
Singular Systems
Upper Bound of Error

description: Στον ψηφιακό έλεγχο όπως και σε πολλούς άλλους κλάδους της Μηχανικής, προβάλλει ως επιτακτική η ανάγκη να μετατρέψουμε συστήματα συνεχούς χρόνου σε διακριτά state space συστήματα. Η διαδικασία της διακριτοποίησης ωστόσο εισάγει ένα σφάλμα μεταξύ της συνεχούς και της διακριτοποιημένης λύσης. Πιο συγκεκριμένα, μελετάμε Γραμμικά Χρονικά Αναλλοίωτα διαφορικά συστήματα της μορφής . Από τη βιβλιογραφία των μεθόδων διακριτοποίησης, μπορούμε να διακρίνουμε δύο κύριες κατηγορίες, Η πρώτη από αυτές (βλέπε [3] και [4]) βασίζεται στο ανάπτυγμα Laurent ενώ η δεύτερη χρησιμοποιεί την Weierstrass κανονική μορφή. Και οι δύο μέθοδοι είναι κατά κάποιο τρόπο ισοδύναμοι καθώς χρησιμοποιούν συγκράτηση μηδενικής ταξης (zero order hold) για την συνάρτηση εισόδου. Η εργασία αυτή επομένως αποτελεί μια επέκταση στη δεύτερη αυτή κατηγορία καθώς χρησιμοποιεί συγκράτηση πρώτης τάξης (first order hold). Συνεπώς, σε αυτή την εργασία έχουμε δύο ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Αρχικά, ένα πιο κλειστό και γενικότερης μορφής άνω φράγμα για τη νόρμα της διαφοράς μεταξύ της συνεχούς και της διακριτής λύσης δίνεται στο 4ο κεφάλαιο. Το αποτέλεσμα αυτό είναι καινούργιο και επεκτείνει τα ήδη γνωστά αποτελέσματα απο το [3], όπου και χρησιμοποιείται συγκράτηση μηδενικής τάξης. Επιπλέον, το νέο αυτό άνω φράγμα που παρουσιάζεται, μας επιτρέπει να επιλέξουμε κατάλληλα την περίοδο δειγματοληψίας Τ. Με αυτό τον τρόπο υποθέτοντας οτι επιθυμούμε η διαφορά μεταξύ της συνεχούς και της διακριτής λύσης να μην υπερβαίνει μία δοθείσα τιμή, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο δειγματοληψίας Τ η οποία ικανοποιεί τις απαιτήσεις μας. Στο τέλος της εργασίας επίσης, περιλαμβάνεται κώδικας στο Mathematica για τον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος καθώς και για το σχεδιασμό κατάλληλων γραφικών παραστάσεων μεταξύ της συνεχούς και της διακριτής λύσης.
description: In digital control like also in other areas of engineering, we need to convert continuous time systems into discrete state space systems. This process of disretization thought, introduce an error between continuous and discrete solution. More specifically, we study Linear Time Invariant differential systems of the form . From the vast literature of disretization techniques we can group these methods in two main groups. The first one (see [3] and [4]) is based on the Laurent expansion, while the second one is based on the Weierstrass Canonical Form. Both methods are somehow equivalent because they use zero order hold approximation for the input function. This thesis is an extension to the second category as it uses first order hold disretization. Therefore, in this paper we conclude with two interesting results. Firstly, a sharper and more general form of upper bound for the norm of the difference between continuous and discrete solution is presented in chapter four. This result is new and extends the already known results from [3]. Secondly, this new upper bound penalizes our choice of the sampling period T in an interval. According to these, supposing we want the norm of the difference to not exceed a given value, we can estimate a period T satisfying our demands. Finally, in the end of this paper, is included code in Mathematica which calculates the values of the parameters of a system and also plots several graphics between continuous and discrete solution.