title: Fraktale Welten - mathematische Behandlung von Fraktalen Strukturen
Creators: name: Wölfl, Farah Katharina
Publisher: name: :none
Year: 2018

description: Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Behandlung von Fraktalen Strukturen. Zu Beginn werden grundlegende Konzepte von Fraktalen behandelt und dargestellt. Es wird auch auf Konstruktionen verschiedenster Koch-Kurven eingegangen und mathematisch analysiert. Des Weiteren wird das Sierpinski-Dreieck vorgestellt und dessen Konzept auf den dreidimensionalen Menger-Schwamm übertragen. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Berechnung und Darstellung Fraktaler Bäume in der Programmiersprache Python Des Weiteren wird das Programm vorgestellt und die Ergebnisse präsentiert. Das vierte Kapitel handelt von der Einführung des Begriffs der Fraktalen Dimension. Es werden Konzepte der Fraktalen Dimension behandelt, welche die Selbstähnlichkeitsdimension, die Boxdimension, die Hausdorff-Dimension und die topologische Dimension miteinschließt. Im fünften Kapitel dieser Arbeit geht es um Fraktale in der Architektur. Hier wird insbesondere auf das architektonische Werk von Lloyd Wright eingegangen. Mit Hilfe der Box-Methode wird die Fraktale Dimension des Robie-Hauses und die Fraktale Dimension der Flügelfenster des Gebäudes bestimmt. Das letzte und größte Kapitel beschäftigt sich mit Iterationen. Diese werden vor allem aus mathematischer Sicht behandelt. Anfangs werden Iterationen an reelen Geraden und euklidischen Ebenen vorgestellt und auf das Verhalten verschiedener Orbits eingegangen. Des Weiteren wird das Chaos-Spiel erklärt und schließlich verallgemeinert. Anschließend wird auf ihre Eigenschaften näher eingegangen. Im Anschluss wird die komplexe Zahlenebene eingeführt um Iterationen auf C durchführen zu können. Die dabei entstandenen wunderschönen Dynamiken werden mit dem Newton-Verfahren für z^3 -1 möglich und mit Hilfe des Computerprogramms Xaos dargestellt. Zuletzt werden Eigenschaften der Mandelbrotmenge genannt und diese Menge wird in Xaos betrachtet.
description: This diploma thesis deals with the mathematical approach to fractal structures. At the beginning fundamental concepts of fractals are examined and presented. The thesis will deal with constructions of various Koch-curves and those will be mathematically analysed. Furthermore the Sierpinski triangle will be introduced and its concept will be transposed to the three-dimensional Menger sponge. The third chapter focuses on the calculation and graphic representation of fractal trees in the programming language Python. Additionally the program itself and its results are presented. The fourth chapter introduces the terminology of the fractal dimension. Concepts of the fractal dimension will be discussed, which include the self-similarity dimension, the box-Dimension, the Hausdorff dimension and the topological dimension. In the fifth chapter of this diploma thesis fractals in architecture are described. His buildings like the Robie-House are excellently suited for the calculation of the fractal dimension of its shapes and its window casements. The last and longest chapter deals with iterations from a mathematical perspective. First of all, iteration on real straights and Euclidean planes and the behavior of different orbits are discussed. Furthermore the chaos-game is explained and finally generalized. Then their properties are clarified. In addition the complex plane is introduced in order to carry out iterations on C. Beautiful graphics for z^3- 1 are created with Newton's method and are plotted with the computer program Xaos. Finally properties of the Mandelbrot set are named and plotted the set in Xaos.