title: Zentralitätsbegriffe in sozialen Netzwerken = Centrality in social networks
Creators: name: Spiegelhofer, Johanna
Publisher: name: :none
Year: 2018

description: Ein soziales Netzwerk besteht aus Akteuren, die durch eine gemeinsame Beziehung verbunden sind. Um Individuen in einem sozialen Netzwerk bewerten zu können, betrachten wir derartige Netzwerke aus einem graphentheoretischen Blickpunkt. Mögliche Darstellungsformen sind einerseits das Soziogramm, bei dem Individuen als Knoten und Beziehungen als Verbindungen dargestellt werden, sowie andererseits die Darstellung als Nachbarschaftsmatrix, bei der Zeilen und Spalten Individuen bezeichnen und Einträge in der Matrix die Qualität der Verbindung beschreiben. Wird als Beziehung etwa das Bestehen einer Freundschaft gewählt, so kann dies beispielsweise durch die Einträge „1“ oder „0“ in der Matrix realisiert werden. Auch gewichtete Verbindungen sind möglich. Vier mathematische Methoden, die den intuitiven Begriff der Zentralität in einem Netzwerk formal beschreiben, werden genau erläutert. Die betrachteten Zentralitätsbegriffe lauten Degree-, Betweenness-, Closeness-, und Eigenvector Centrality. Die ersten drei dieser Maße können durch explizite Formeln berechnet werden, wodurch die individuelle Bewertung eines einzelnen Knotens leicht möglich ist. Degree Centrality beschäftigt sich mit der Anzahl eingehender Verbindungen, Betweenness Centrality bestimmt die Anzahl an kürzesten Pfaden, auf denen ein Knoten liegt, der verwandt Begriff der Closeness Centrality bestimmt den mittleren Abstand eines Knotens zu allen anderen. Eigenvektorzentralität kann nicht für individuelle Knoten berechnet werden, hier ist die (mitunter näherungsweise) Lösung eines Gleichungssystems nötig für das sich Matrizenrechnung anbietet. Die vorgestellten Maße haben große ökonomische Bedeutung, da sie auf verschiedenste Netzwerksituationen angewandt werden können. Große Bekanntheit hat der Google PageRank Algorithmus, nach dem die Ergebnisse der Suchmaschine Google geordnet wurden. Die erhaltene Reihung bestimmt die für Unternehmen wirtschaftlich bedeutsame Sichtbarkeit und basiert auf einer Variante der Eigenvector Centrality. Andere Anwendungsmöglichkeiten sind beispielsweise das für Werbezwecke bedeutsame Bewerten der Beliebtheit eines Twitter-Users durch Zählen seiner Follower (Degree Centrality). Die Identifizierung einflussreicher Individuen, die etwa Vermittlerrollen übernehmen können, kann durch Betweenness- oder Closeness Centrality erfolgen. Um einen Bezug zwischen Zentralitätsmaßen und aktueller Forschung herzustellen, werden vier wissenschaftliche Artikel im Detail analysiert. Zwei mathematische Beweise und eine selbsterstellte Simulation eines Algorithmus der PageRank-Art, runden die Arbeit ab.
description: A social network is a network of individuals (actors) who are connected through a common relationship. To evaluate actors in social networks, we consider such networks from a graphtheoretical perspective. There are two possibilities to visualize such a network. One is the sociogram, where actors are depicted as nodes and relationships as ties between them. The other is by means of an adjacency matrix, where both rows and columns indicate actors and entries represent the corresponding relationship. If we consider a social network, the entry „1“ may indicate friendship and „0“ the absence thereof. Also, weighted connections are possible. In this text we will describe in detail four mathematical methods that allow the formal implementation of the intuitive notion of „centrality“. The considered measures of centrality are degree-, betweenness-, closeness-, and eigenvector centrality. There are explicit formulas to calculate the valuation of individual actors for the first three of these measures. Degree centrality counts the number of incoming edges, betweenness centrality is concerned with the number of shortest paths an actor lies on, and the related notion of closeness centrality measures an actor’s mean distance to all other actors. Finally, eigenvector centrality does not allow the calculation of individual values alone but needs to be calculated (possibly approximately) by means of a system of equations. This can be done through matrix calculus. Because of their versatility, the introduced measures of centrality are of great economic interest. Famously, Google’s PageRank-algorithm is a variant of eigenvector centrality. Here, an item’s ranking determines its further exposure. This visibility is of economic relevance for businesses, since users usually will not look past the first few entries. Other potential applications are the estimation of a Twitter users’ popularity by counting his followers (degree centrality), which can be of interest when placing advertisements. The detection of influential actors through either betweenness- or closeness centrality, which can be used to identify brokers, is another field of application. Four scientific articles are further analyzed in depth, providing links from each considered measure of centrality to contemporary topics. This work is rounded off with two mathematical proofs and a self-devised simulation of an algorithm of the PageRank type.