Φασματική θεωρία πολλαπλοτήτων υπερβολικού τύπου
Creators: name: Παπαγεωργίου, Αννα Θωμά
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Φασματική θεωρία
Πολλαπλότητες υπερβολικού τύπου
Τελεστής Laplace
Spectral theory
Manifolds of hyperbolic type
Laplace operator

description: Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των άρθρων των Νικόλαου Μαντούβαλου και Μιχαήλ Μαριά με τίτλους ’’Spectral theory for a class of manifolds of hyperbolic type'' και ’’Spectral theory for manifolds of hyperbolic type''. Στα προαναφερθέντα άρθρα οι συγγραφείς πραγματεύονται πολλαπλότητες M υπερβολικού τύπου (n+1)-διάστασης οι οποίες είναι τοπολογικά της μορφής X*R+*, όπου X είναι μία n-διάστατη Riemann διάστατου άνω ημίχωρου μοντέλου Hn+1 του υπερβολικού χώρου και είναι εν γένει πολλαπλότητες μη φραγμένης γεωμετρίας. Συγκεκριμένα, για μία πολλαπλότητα M υπερβολικού τύπου διάστασης(n+1), αναπτύσσεται μία L2 φασματική θεωρία του τελεστή Laplace -ΔΜ. Η παραπάνω προσέγγιση βασίζεται σε πυρήνες πυρήνες Poisson QS(w,x1),όπου s μιγαδικός , w=(x,y) στοιχείο της M και x στοιχείο της X. Επειδή ο τελεστής -ΔΜ δεν είναι εν γένει φραγμένος και για να μπορούμε να αναπτύξουμε τη φασματική θεωρία πρέπει να επεκτείνουμε το πεδίο ορισμού ώστε ο επεκτεταμένος τελεστής να είναι αυτοσυζυγής. Πράγματι, υπάρχει γνωστή διαδικασία που ονομάζεται επέκταση του Friedrichs η οποία μας δίνει τη δυνατότητα να μεγαλώσουμε το πεδίο ορισμού ενός συμμετρικού και πυκνά ορισμένου ημιφραγμένου τελεστή κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο επεκτεταμένος τελεστής να είναι αυτοσυζυγής. Στην περίπτωσή μας, ισχύει ότι ο –ΔΜ είναι ημιφραγμένος, συμμετρικός και θετικά ορισμένος τελεστής οπότε μπορεί να αναπτυχθεί η φασματική θεωρία για τον τελεστή Laplace -ΔΜ. Ο αρχικός χώρος X είναι μία πολλαπλότητα Riemann διάστασης n με φραγμένη γεωμετρία. Με τον όρο φραγμένη γεωμετρία αναφερόμαστε σε πολλαπλότητες M των οποίων η καμπυλότητα Ricci, Ric(M), είναι άνω φραγμένη και η injectivity radius, inj(M), είναι κάτω φραγμένη από μία αυστηρά θετική σταθερά K&gt;0. Να σημειώσουμε επίσης, ότι η περίπτωση της μη φραγμένης γεωμετρίας, δηλαδή όταν inj(M) τείνει στο 0 για x τείνει στο άπειρο, έχει μελετηθεί στο άρθρο ‘’Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’. Αξίζει να σημειωθεί ότι η περίπτωση όπου ο χώρος X είναι συμπαγής αντιμετωπίζεται στο άρθρο του W.Muller με διαφορετική μέθοδο. Η L2 φασματική θεωρία υπερβολικών πολλαπλοτήτων διερευνάται στα άρθρα όπου αναφέρονται στη βιβλιογραφία. Τα αποτελέσματα από την παρούσα εργασία μας επιτρέπουν την παρουσίαση στο άρθρο ‘’ Lp Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’ της Lp φασματικής θεωρίας για πολλαπλότητες υπερβολικού τύπου. Επίσης, η Lp φασματική θεωρία για Kleinian ομάδες διερευνάται σε άρθρο του Davies, για συμμετρικούς χώρους στο άρθρο του N.Lohue και για πολλαπλότητες φραγμένης γεωμετρίας στο άρθρο του Y.Kordyukov. Ας κάνουμε μία αναλυτικότερη περιγραφή της εργασίας. Πρωτίστως, αναφέρονται βασικοί ορισμοί, προτάσεις και θεωρήματα που θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα κεφάλαια και πρέπει να θεωρούνται γνωστά για την καλύτερη κατανόηση της διπλωματικής εργασίας. Γι αυτά τα αποτελέσματα δε δίνονται αποδείξεις. Επιπλέον, κάποιες θεμελιώδεις έννοιες θεωρούνται γνωστές και δε γίνεται ιδιαίτερη αναφορά σ'' αυτές. Ολοκληρώνοντας το δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μία ιστορική αναδρομή για τη διαφορική γεωμετρία και τη συμβολή της στη μοντέρνα ανάλυση.Το τρίτο κεφάλαιο ξεκινά με τον κύριο στόχο της εργασίας αυτής που είναι η απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος σύμφωνα με το οποίο το φασματικό μέτρο της πολλαπλότητας υπερβολικού τύπου M, dEs(n-s), είναι μέτρο Lebesgue και περιγράφεται με τη βοήθεια των πυρήνων Poisson. Η πολλαπλότητα M είναι τοπολογικά της μορφής X*R*+ και το σύνορό της (το οποίο είναι Riemann πολλαπλότητα) είναι συμπαγές. Επιπλέον, το φάσμα του τελεστή Laplace -ΔΜ είναι απολύτως συνεχές, περιγράφεται από τον πυρήνα Poisson και περιέχεται στο διάστημα [n2/4,+00). Για την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος βασιζόμαστε σε μία σειρά προτάσεων, την απόδειξη των οποίων παρουσιάζουμε με εκτενή τρόπο. Ειδικότερα, ορίζουμε το subordination measure μy,s(t) και τους πυρήνες θερμότητας KX(t,x,x1). Ακολουθούν δύο προτάσεις που προβάλλουν μία σχέση που συνδέει τον πυρήνα Poisson με τους πυρήνες θερμότητας και μας βοηθούν να υπολογίσουμε τον επιλύοντα πυρήνα. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι ο πυθμένας του φάσματος της M,EM, ισούται με n2/4. Η τελευταία πρόταση αποδεικνύει την απόλυτη σύγκλιση του πυρήνα ra(w,w1,t)=e-at(n-t)r0(w,w1,t), όπου r0(w,w1,t) είναι ο επιλύων πυρήνας του τελεστή -ΔΜ-t(n-t)I. Ο συνδυασμός όλων των παραπάνω μας οδηγεί στην απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος για τη συμπαγή περίπτωση. Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζεται συνοπτικά το άρθρο με τίτλο ‘’Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’ το οποίο στοχεύει στην απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος όταν το σύνορο της πολλαπλότητας M είναι μη συμπαγές. Να σημειωθεί ότι παρουσιάζουμε τις προτάσεις και τα λήμματα που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος χωρίς τις αποδείξεις τους.
description: The aim of this MSc dissertation is the study of the articles of N. Mandouvalos and M. Marias with titles: ``Spectral theory for a class of manifolds of hyperbolic type'' and ``Spectral theory for manifolds of hyperbolic type''. In these articles, authors deal with manifolds M of hyperbolic type of (n+1)-dimension which are topologically of the form X*R*+, where X is a n-dimensional Riemannian manifold. Manifolds M are natural generalizations of the upper half-space model Hn+1 of the hyperbolic space and in general they are manifolds of unbounded geometry. Specifically, for a manifold M of hyperbolic type and dimension (n+1), a L2 spectral theory of the Laplace operator -ΔΜ is developed. The above treatment is based on Poisson kernels Qs(w,x1), where s is in C, w=(x,y) is in M and x1 is in X. The initial space X is a Riemannian manifold of dimension n with bounded geometry. The term bounded geometry refers to manifolds M whose Ricci curvature, Ric(M), is bounded from above and whose injectivity radius, inj(M), is bounded from below by a strictly positive constant K&gt;0. Let us also note that the case of unbounded geometry, that is when inj(M) goes to zero as x goes to infinity, is studied in article ‘’Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’. It is worth-mentioning that the case where X is compact is treated in article of Muller using a different method. The L2 spectral theory of hyperbolic manifolds is investigated in articles of bibliography. Results of the present dissertation, allow in article ‘’ Lp Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’ the presentation of the Lp spectral theory for manifolds of hyperbolic type. Moreover, the Lp spectral theory for Kleinian groups is investigated in article of Davies, for symmetric spaces in article of Lohue and for manifolds of bounded geometry in article of Kordyukov. Let us present this dissertation in more detail. Firstly, basic definitions, propositions and theorems are given which will be used in following chapters and should be considered known for the better understanding of the dissertation. For these results no proof is given. Furthermore, some fundamental notions are considered already known and no special reference is given to them. At the end of the second chapter we present a historic recursion about differential geometry and its contribution to modern analysis. The third chapter begins presenting the main goal of this dissertation, which is the proof of the central theorem according to which the spectral measure of manifold M, denoted dEs(n-s), is Lebesgue and it is described in terms of Poisson kernels. Manifold M is topologically of the form X*R*+ and its boundary (which is a Riemannian manifold) is compact. Moreover, the spectrum of the Laplace operator -ΔΜ is absolutely continuous; it is described by the Poisson kernels and it is contained in the interval [n2/4,+oo). The proof of the above theorem is based on a sequence of propositions, whose proof is presented in an extensive way. Specifically, we define the subordination measure μy,s(t) and the heat kernels KX(t,x,x1). The following two propositions present a relation between the Poisson kernel and the heat kernel, which helps us calculate the resolvent kernel. Then, we prove that the bottom of the spectrum of M, EM, is equal to n2/4. The last proposition proves the absolute convergence of the kernel ra(w,w1,t)=e-at(n-t)r0(w,w1,t), where r0(w,w1,t) is the resolvent kernel of the operator -ΔM-t(n-t)I and combining everything we result to the proof of the central theorem for the compact case. At the last chapter, we briefly present article’’Spectral theory for manifolds of hyperbolic type’’ which aims to prove the central theorem for the case where the boundary of manifold M is non-compact. Let us note that propositions and lemmas used in the proof of the above theorem will not be proven, rather we shall only present them.