title: Beweisen verstehen. Bildung durch Lehrkunst im Mathematikunterricht. Komposition, Inszenierung und Interpretation dreier Lehrstücke frei nach Wagenscheins Euklid-Exempeln: Entdeckung der Axiomatik am Sechsstern, Satz des Pythagoras, Nichtabbrechen der Primzahlfolge. Ein Beitrag zur Allgemeinen Didaktik aus fachdidaktischer Perspektive.
title: Understanding the Proof Process. Education by means of the “Art of Teaching” (Lehrkunst) in Mathematics Lessons. Composition, Staging and Interpretation of three “Staging Lessons” (Lehrstücke) based on Wagenschein’s Euclid Examples: Discovery of the Axiomatic Method in the Hexagram, Pythagoras’ Theorem, Non-Cessation of the Prime Number Progression. A Contribution to the General Didactics from a Subject Didactics’ Perspective.
Creators: name: Gerwig, Mario
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2014
Subjects: Euclides
Martin
“Lehrkunst” didactics
Bildung
Leitidee
Wolfgang
to prove and to argument
Beweis
education
Wagenschein
Klafki
Erziehung, Schul- und Bildungswesen
Mathematikunterricht
Lehrkunstdidaktik
Leitideen des Mathematikunterrichts
Allgemeine Didaktik
Lehrstück
didactics of mathematics
guiding principles of mathematics lessons
Kategoriale Bildung
Euklid
Mathematikdidaktik
Beweisen und Argumentieren

description: Die Möglichkeit, Aussagen ein für
      allemal beweisen zu können, ist ein Alleinstellungsmerkmal,
      das der Mathematik vorbehalten ist. Die Sätze, die Euklid von
      Alexandria (um 300 v. Chr.) vor über 2000 Jahren in seinen
      „Elementen“ bewies, gelten noch heute – und sie werden auch
      in 2000 Jahren noch gelten. Das Entdecken und Hervorbringen
      unumstößlicher Wahrheiten ist das Charakteristikum der
      Mathematik, und „Beweisen“ ist einer ihrer Zentralbegriffe.
      Doch dessen angemessene unterrichtliche Umsetzung stellt
      eines der mathematikdidaktischen Zentralprobleme dar, weil
      meist eine Vielzahl formal-deduktiver Beweise die Entdeckung
      des Beweisprozesses von Beginn an und systematisch
      verhindert, weil in den fertigen Beweisprodukten die dem
      Beweisprozess zugrundeliegenden, fundamentalen Leitideen
      nicht mehr erkennbar sind. So entsteht eine paradoxe
      Situation: Das Charakteristikum der Wissenschaft Mathematik
      führt im Unterricht ein Schattendasein, und ein Ausweg
      scheint nicht in Sicht. Die vorliegende Arbeit möchte mit den
      Mitteln der Lehrkunstdidaktik (nach Berg/Schulze/Wildhirt
      u.a.) Entscheidendes zur Lösung dieses Zentralproblems
      beitragen. Die Lehrkunstdidaktik unternimmt es, ästhetisch
      faszinierende und philosophisch tiefgründige
      Unterrichtsexempel zu Errungenschaften, Durchbrüchen und
      Leitlinien der europäischen Kulturen ernsthaft, tiefgehend
      und mit Muße in den Unterricht sämtlicher Fächer zu bringen –
      Lehrstücke heißen die resultierenden Unterrichtseinheiten. Es
      ist die bildungspolitische und didaktische Aktualität der
      Lehrkunstdidaktik, welche sie hier zu einem
      vielversprechenden Partner bei der Lösung des Problems werden
      lässt: Schon seit einigen Jahren setzt die Lehrkunstdidaktik
      durch die Entwicklung von Lehrstücken genau das erfolgreich
      um, was vor allem in jüngster Zeit durch den von PISA 2003
      eingeleiteten Umschwung zur Output-Orientierung zunehmend
      notwendig zu werden scheint: ein Neuansatz der
      Input-Orientierung. Denn statt dem zumeist herrschenden
      Entweder-oder sollte doch eher ein Sowohl-als-auch
      dominieren. Input und Output – beides! Im ersten Teil der
      Arbeit wird der Frage nachgegangen, wie sich das Beweisen
      ausgehend von Euklid von Alexandria bis in die Gegenwart
      entwickelt hat und inwieweit diese Entwicklung in der
      Mathematikdidaktik berücksichtigt wird. Darüber hinaus wird,
      ausgehend von Martin Wagenscheins
      genetisch-sokratisch-exemplarischem Lehren („Verstehen
      lehren“, 1968) und Wolfgang Klafkis „Theorie der Kategorialen
      Bildung“ (1959) – inzwischen sind beide als Klassiker der
      Pädagogik anerkannt – das Konzept der Lehrkunstdidaktik
      historisch entwickelt und ausführlich dargestellt. Im zweiten
      Teil werden drei Exempel Martin Wagenscheins – Entdeckung der
      Axiomatik am Sechsstern, Satz des Pythagoras, Nichtabbrechen
      der Primzahlfolge – zu Lehrstücken weiterentwickelt, mehrfach
      unterrichtet, reflektiert, ausgewertet und interpretiert.
      Dabei wird die Entwicklung didaktischer Werke in einem
      kumulativen Optimierungsprozess besonders deutlich. Eine
      komprimierte Fassung der drei Lehrstücke findet sich im
      MU-Schwerpunktheft „Lehrkunstdidaktik“ (MU – der
      Mathematikunterricht, Friedrich-Verlag, Heft 6/2013). Im
      dritten Teil werden die Ergebnisse zusammengefasst und
      ausgewertet. Dabei stellt sich heraus, dass die drei
      Lehrstücke zum Beweisen jeweils den individualgenetischen
      Mitvollzug einer kulturgenetischen Leistung ermöglichen, was
      das Wesen des Bildungsprozesses im Sinne Klafkis und Heymanns
      („Allgemeinbildung und Mathematik“, 1996/2013) darstellt.
      Darüber hinaus zeigt sich, dass formal-deduktives Beweisen
      immer nur Ziel des schulischen Mathematikunterrichts sein und
      über die Vorstufen eines alltagsnahen bzw. mathematischen
      Argumentierens erreicht werden kann (vgl. Brunner 2013). Und
      nicht zuletzt belegen die rund ein Dutzend Mal unterrichteten
      Lehrstücke, dass Beweisen (Prozess) und Beweise (Produkt)
      nicht von einander zu trennen sind und dass insgesamt eine
      tiefgründige, spiralförmige Behandlung der Thematik im
      Unterricht möglich ist. Beweisen kann und sollte eine
      Leitidee des Mathematikunterrichts im Sinne Heymanns sein,
      weshalb die Bildungsstandards Mathematik (2003 und 2012)
      diesbzgl. unbedingt zu ergänzen sind.
description: The possibility to prove
      statements once and for all is a unique feature reserved to
      mathematics. The theorems which Euclid of Alexandria (about
      300 BC) proved more than 2000 years ago in his "Elements",
      are still valid today – and they will be so in 2000 years.
      Discovering and producing irrefutable truth is the
      characteristic feature of mathematics, and "proofs" are one
      of its central concepts. However, how to teach those
      mathematical concepts in the classroom is one of the crucial
      points of didactics. From the start, the abundance of
      formally deductive proofs prevents the pupils from
      discovering the proof process systematically since the
      ready-made proof results hide the fundamental ideas on which
      the proof process is based. Thus a paradoxical situation
      occurs: The characteristic feature of mathematics as a
      science hardly appears in school, and a way out does not seem
      to exist. The present work aspires to contribute decisively
      to the solution of this central problem by means of the “Art
      of Teaching” (Lehrkunst) according to Berg/Schulze/Wildhirt
      etc. The “Lehrkunst” didactics wages to introduce to the
      classroom aesthetically fascinating and philosophically
      profound cultural examples of achievements, breakthroughs and
      guidelines of European culture in a serious, revealing and
      downshifting way – whatever be the subject: staging lessons
      (Lehrstücke) is the name of the resulting teaching units. It
      is the educational and didactic topicality of the “Lehrkunst”
      didactics which makes it a promising partner for the solution
      of the problem: Already for some years, “Lehrkunst” has been
      implementing by the development of staging lessons what seems
      to become necessary by the change initiated by PISA in 2003
      to output orientation: a new beginning of the input
      orientation. For, nevertheless, instead of the ruling
      alternative “either-or”, there should rather be the formula
      “both as well” – both input and output! In its first part,
      the thesis treats the question how proofs have developed
      starting with Euclid of Alexandria to the present day and to
      what extent this development is considered in the didactics
      of mathematics. In addition, starting with Martin
      Wagenschein's methodical trias of the genetic, the Socratic
      and the exemplary principles („Teaching to Understand“, 1968)
      and Wolfgang Klafki’s „Theory of the Categorial Education“
      (1959) – in the meantime, both are recognized as classics of
      the educational theory – the concept of “Lehrkunst” didactics
      is developed historically and elaborated in detail. In the
      second part, three examples of Martin Wagenschein – the
      discovery of the axiomatic method in the hexagram,
      Pythagoras’ theorem, the non-cessation of the prime number
      progression – are developed into staging lessons, which were
      taught several times and are reflected, evaluated and
      interpreted. In the course of this process, the development
      of didactic works becomes especially clear as a process of
      cumulative optimization. An abbreviated version of the three
      staging lessons is found in the special issue
      "Lehrkunstdidaktik" of the journal MU (MU – der
      Mathematikunterricht, Friedrich-Verlag, issue 6/2013). In the
      third part, the results are recapitulated and evaluated. The
      results show that the three staging lessons allow the pupils
      to individually reenact genetic achievements of our culture –
      which is the essence of the educational process according to
      Klafki and Heymann („Allgemeinbildung und Mathematik“,
      1996/2013). Moreover, it appears that formal-deductive proofs
      can always be only one aim of mathematics lessons at school,
      but we can reach them via preliminary stages of mathematical
      arguing using everyday language (cf. Brunner, 2013). Last but
      not least, the staging lessons, all of them taught about a
      dozen of times, make evident that proving as a process and
      proofs as its products cannot be separated from each other
      and that a profound, spiral treatment of the topic is
      possible in the lessons altogether. Proofs and deductive
      reasoning should be a guiding principle of mathematics
      lessons according to Heymann, which is why the educational
      standards of mathematics (of 2003 and 2012) have to be
      complemented in this regard.