Ο πίνακας Hilbert σε χώρους Hardy και Bergman
Creators: name: Δασκαλογιάννης, Βασίλειος Κωνσταντίνου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2015
Subjects: Φραγμένος τελεστής
Χώροι αναλυτικών συναρτήσεων
Tελεστές σύνθεσης
Hilbert - Hankel matrix
Bounded composition operator
Hardy &amp; Bergman spaces

description: Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να περιγράψουμε τη δράση του πίνακα Hilbert, ως τελεστή, σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων και συγκεκριμένα στούς χώρους Hardy και Bergman του μοναδιαίου δίσκου. Θα αναπτύξουμε τις διάφορες μεθόδους που έχουν χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί η νόρμα του τελεστή, στους χώρους εκείνους που ο τελεστής είναι φραγμένος ή για να γίνει μία εκτίμηση αυτής. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 3 μελετάμε τον πίνακα Hilbert ως τελεστή στους χώρους Hardy Η^p. Προκύπτει οτι ο τελεστής εκφράζεται μέσω σταθμισμένων τελεστών σύνθεσης. Μέσω αυτής της αναπαράστασης αποδεικνύεται οτι ο τελεστής Hilbert είναι φραγμένος σε κάθε Η^p, p&gt;1, και λαμβάνεται μία άνω εκτίμηση της σχετικής νόρμας, η οποία είναι βέλτιστη για , p&gt;2. Μία βέλτιστη άνω εκτίμηση για όλα τα , p&gt;1 λαμβάνεται αξιοποιώντας την ιδιότητα οτι ο πίνακας Hilbert είναι ένας πίνακας Hankel. Τέλος, χρησιμοποιώντας κατάλληλες συναρτήσεις δοκιμής για χώρους Hardy, προσδιορίζεται βέλτιστη κάτω εκτίμηση της νόρμας και προκύπτει ως πόρισμα η ακριβής τιμή της νόρμας στον χώρο Η^p, για , p&gt;1. Στο κεφάλαιο 4 μελετάμε τον τελεστή Hilbert σε χώρους Bergman A^p. Με χρήση της αναπαράστασης μέσω σταθμισμένων τελεστών σύνθεσης προκύπτει οτι ο τελεστής ειναι φραγμένος στον A^p για p&gt;2 και λαμβάνεται βέλτιστη άνω εκτίμηση της νόρμας για p&gt;4. Με χρήση κατάλληλων συναρτήσεων δοκιμής, αποδεικνύεται ένα κάτω φράγμα για την νόρμα, για p&gt;2 και προκύπτει η ακριβής τιμή όταν p&gt;4. Το πρόβλημα του υπολογισμού της ακριβούς τιμής της νόρμας παραμένει ανοιχτό στους χώρους Bergman A^p, για 2
description: The aim of the present Master Thesis is to describe how the Hilbert matrix acts as an operator in spaces of analytic functions, and more precisely on Hardy and Bergman spaces of the unit disc. We develop the efforts and the methods used, to estimate the norm of the operator in the spaces of analytic functions in which the operator is bounded. More precisely, on chapter 3 we study the Hilbert matrix as an operator on Hardy spaces Hp. It is shown that the operator can be represented via weighted composition operators. Through this representation, it is proved that the Hilbert operator is bounded in each Hp, p&gt;1 and we obtain an upper bound for its norm. This estimate is optimal in the case p&gt;2. An optimal estimation for each p&gt;1, is given by studying the operator as a more general Hankel operator. Finally, using appropriate test functions for Hardy spaces, an optimal lower bound is obtained and therefore the exact value of the norm comes as a corollary, for each Hp, p&gt;1. On chapter 4, we study the Hilbert matrix as an operator on Bergman spaces Ap. Using the representation via weighted composition operators, it is proved that the operator is bounded on Ap, p&gt;2 and an optimal estimate is obtained, for the case p&gt;4. Using appropriate test functions for Bergman spaces, we obtain a lower bound for the norm for p&gt;2 and the exact value of the norm, for the case p&gt;4, follows as a corollary. The problem of the estimation of the exact value of the norm, on Bergman space Ap, 2