Conformal Field Theory in two dimensions with application on the Ising model
Creators: name: Τσαλουκίδης, Λάζαρος Ευσταθίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: Σύμμορφη θεωρία πεδίου
Δύο διαστάσεις
Μοντέλο Ising
Conformal field theory
Two dimensions
Ising model

description: The current master thesis aims to introduce some of the most important elements of two dimensional Conformal Field Theory. This specific quantum field theory plays a crucial role in many branches of physics, with many of its theorems, results and mathematical formalism having applications to them. The analysis in two space-time dimensions was chosen due to its beautiful property of infinite dimensional algebra of conformal transformations, providing examples of interacting, yet exactly solvable, quantum field theories. We begin firstly by introducing some of the most well-known aspects of a quantum field theory, including the associated transformations, field and the stress-energy tensor to provide the form of Operator Product Expansion that will be extensively used. We continue with the representation of the Virasoro algebra and the formalism of the Verma module and the Kac determinant, leading up to the extraction of the fusion rules used for minimal models. We focus later on, on the four-point functions and the structure constants of the theory and how the use of Conformal Bootstrap can help us find these along with providing solutions for the theory's ordinary differential equations. In the next chapter we present the mathematical formalism of bosons and fermions in conformal field theory and give insight regarding the connection between the representation of those two with the help of the bosonization. Finally, we conclude our work by briefing through the critical phenomena and apply the theory on one of the most well-known and exactly solvable model in statistical physics, the Ising model by making use of the identification with a specific minimal model of our theory.
description: Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μία εισαγωγή στην σύμμορφη θεωρία πεδίου στις δύο διαστάσεις. Η συγκεκριμένη αυτή κβαντική θεωρία παίζει ένα σημαντικό ρόλο σε πολλούς κλάδους της φυσικής με πολλά από τα θεωρήματα, αποτελέσματα και μαθηματικό φορμαλισμό της να έχουν εφαρμογές σε αυτούς. Η ανάλυση στις δύο χωροχρονικές διαστάσεις επιλέχθηκε εξαιτίας της όμορφης ιδιότητας των άπειρων διαστάσεων άλγεβρας που εμφανίζεται σε αυτή την περίπτωση, δίνοντας μας αποτελέσματα σε ακριβώς επιλύσιμες κβαντικές θεωρίες πεδίου. Ξεκινάμε αρχικά παρουσιάζοντας κάποιες έννοιες συνδεόμενες με την κβαντική θεωρία πεδίου, όπως οι αντίστοιχοι σύμμορφοι μετασχηματισμοί, τα πεδία και τον τανυστή ενέργειας-ορμής ώστε να μπορέσουμε να εισάγουμε την έννοια του Operator Product Expansion το οποίο χρησιμοποιείται εκτενώς σε όλη την εργασία. Συνεχίζουμε με την αναπαράσταση της άλγεβρας Virasoro και των φορμαλισμό των descendant fields, conformal families, Verma modules και της ορίζουσας Kac. Τα παραπάνω οδηγούν στην εξαγωγή των fusion rules, τα οποία χρησιμοποιούνται για να την ανάλυση των minimal models. Στην συνέχεια εστιάζουμε στα four-point functions και στα structure constants ενώ ταυτόχρονα, εξηγούμε πως η χρήση της τεχνικής του Conformal Bootstrap, μπορεί να βοηθήσει να βρεθούν αυτά και να δώσει λύσεις για τις διαφορικές εξισώσεις της θεωρίας μας. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τον μαθηματικό φορμαλισμό των μποζονίων και των φερμιονίων της σύμμορφης θεωρίας πεδίου και δίνουμε πληροφορία για την σχέση ανάμεσα στις δύο αναπαραστάσεις χρησιμοποιώντας τη θεωρία του bosonization. Τέλος, ολοκληρώνουμε με το τελευταίο κεφαλαίο παρουσιάζοντας συνοπτικά κάποια στοιχεία της θεωρίας των κρίσιμων φαινομένων και εφαρμόζουμε την σύμμορφη θεωρία πεδίου σε ένα από τα πιο γνωστά και ακριβώς επιλύσιμα μοντέλα της στατιστικής φυσικής, το μοντέλο Ising, έχοντας πραγματοποιήσει ταυτοποίηση με ένα συγκεκριμένο minimal model της θεωρίας.