Επισκόπηση των κυριότερων διαδικασιών διακλάδωσης
Creators: name: Παπούδης, Χρήστος Θεοδοσίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2021
Subjects: Διαδικασίες διακλάδωσης
Διαδικασία διακλάδωσης πεπερασμένου αριθμού τύπων
Διαδικασίες διακλάδωσης σε στοχαστικό περιβάλλον
Βranching processes
Βranching process with a finite number of types
Branching processes in random environments

description: Στην παρούσα βιβλιογραφική εργασία παρουσιάζουμε την θεωρία των διαδικασιών διακλάδωσης η οποία αποτελεί ένα εργαλείο μοντελοποίησης της ποσοτικής εξέλιξης κάποιων πληθυσμών από την φυσική, την βιολογία την γενεαλογία και άλλων. Κάποια από τα αποτελέσματα της θεωρίας που παρατίθενται παρακάτω είναι ο προσδιορισμός των πιθανογεννητριών του μεγέθους των πληθυσμών ανά γενιά, οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης αυτών καθώς επίσης και η πιθανότητα εξάλειψης των πληθυσμών στο μέλλον. Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε την κλασσική θεωρία διακλάδωσης των Galton-Watson. Στο δεύτερο κεφάλαιο, την διαδικασία διακλάδωσης που συμβαίνει σε στοχαστικό περιβάλλον το οποίο επηρεάζει την διαδικασία αναπαραγωγής. Στο τρίτο κεφάλαιο, την περίπτωση της αλυσίδας διακλάδωσης συνεχούς χρόνου όπου ο χρόνος ζωής των ατόμων ακολουθεί εκθετική κατανομή και στο τέλος της ζωής του, κάθε άτομο αντικαθίσταται από τυχαίο αριθμό ατόμων, τους απογόνους του. Tέλος, παρουσιάζουμε ειδικές περιπτώσεις, την διαδικασία pure death, την διαδικασία Yule και την διαδικασία Birth-Death. Στο τέταρτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε την περίπτωση όπου τα άτομα ενός πληθυσμού ανήκουν σε διαφορετικούς τύπους. Στην περίπτωση αυτή οι καταστάσεις της διαδικασίας είναι διανύσματα. Tέλος, δίνουμε ένα παράδειγμα από την βιολογία. Στο πέμπτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε το γενικό μοντέλο κατά το οποίο ένα άτομο χαρακτηρίζεται από μία παράμετρο x που μπορεί να περιγράφει την θέση, την ταχύτητα, την ενέργεια, την ηλικία του κλπ. Ορίζουμε μια γενικευμένη διαδικασία Markov της οποίας οι καταστάσεις είναι σημειακές κατανομές και η οποία αποτελεί μια διαδικασία διακλάδωσης. Tέλος, παρουσιάζουμε μια περίπτωση πολλαπλασιασμού νετρονίων σε μια πυρηνική σχάση
description: In the present bibliographic work, we present the theory of branching processes which is a tool for modeling the quantitative evolution of some populations from physics, biology, genealogy and others. Some of the results of the theory presented below are the determination of the probabilistic generators of the size of the populations per generation, their first and second order moments as well as the possibility of extinction of the populations in the future. In the first chapter, we present the classical Galton-Watson branching theory. In the second chapter, the branching process that occurs in a stochastic environment that affects the reproduction process. In the third chapter, the case of the continuous time branching chain where the life time of individuals follows an exponential distribution and at the end of their life, each individual is replaced by a random number of individuals, his descendants. Finally, we present special cases, the pure death process, the Yule process and the Birth-Death process. In the fourth chapter, we present the case where the individuals of a population belong to different types. In this case the states of the process are vectors. Finally, we present an example from biology. In the fifth chapter, we present the general model in which a person is characterized by a parameter x that can describe his position, speed, energy, age, etc. We define a generalized Markov process whose states are point distributions and which is a branching process. Finally, we present a case of neutron amplification in a nuclear fission