title: On the edge of active systems: The theory of bead-spring microswimmers
title: An der Grenze aktiver Systeme: Die Theorie der Kugel-Feder-Mikroschwimmer
Creators: name: Ziegler, Sebastian
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024

description: Microswimmers are autonomous active agents, able to self-propel in viscous fluids. As an example of active systems, microswimmers continuously dissipate energy and thus are not subject to the restrictions of thermal equilibrium. While the emerging complex single-swimmer and collective behaviors have been studied for various systems in experiments, numerically or theoretically, the physical principles governing locomotion in the viscous regime are not yet fully understood. In particular, the impact of a swimmer's elasticity and the resulting altering of the swimming stroke on the swimmer dynamics is not explored in detail and requires further investigation. This thesis, which builds on six peer-reviewed publications [P1 - P6], focuses on bead-spring swimmers consisting of spherical beads connected by harmonic springs and driven by bead forces. In contrast to previous microswimmer models with a prescribed swimming stroke, bead-spring swimmers are able to adapt their stroke in dependence on their environment, which is an important ability of also biological microswimmers. Since the associated equations of motion for bead-spring swimmers are non-linear in the positions of the beads, we have developed a versatile perturbative approach to calculate the swimmer behavior [P1]. It compares very well to numerical results and presents a refinement of previous analytical results in the literature. Inspired by experiments with driving forces prescribed in the laboratory reference frame, we study the behavior of the triangular bead-spring swimmer under external driving forces. This swimmer undergoes translations as well as rotations and relaxes towards one of six stable orientations, which are equidistantly interspersed with unstable steady states [P1]. The stable and unstable states are associated with opposite swimming directions and a puller- and pusher-like dipolar time-averaged flow field, respectively. Employing the perturbative approach, it is generalized that the magnitude of the time-averaged flow field is proportional to the swimming velocity. Even more generally, we show that this relation can be proven for any swimmer with only two internal degrees of freedom being excited [P4]. In the publications [P2, P3], the frequency-dependent swimming velocity of the triangular bead-spring swimmer is compared to that of the magnetocapillary triangular swimmer studied in Lattice-Boltzmann simulations. Both the bead-spring swimmer and the magnetocapillary swimmer in Lattice-Boltzmann simulations show an optimum in the propulsion speed with respect to the frequency of the applied forces or the magnetic field, respectively. However, the optima are associated with different time scales in both systems. In the bead-spring system, inertia is generally neglected, and the time scale associated with maximal velocity emerges from the interplay of viscous drag and spring forces. In the case of the magnetocapillary swimmer, however, the time scales associated with the optimal swimming velocity of the magnetocapillary swimmer are shown to depend strongly on the beads' inertia [P2, P3]. The study of bead-spring swimmers is extended to the collective behavior of two linear three-sphere bead-spring swimmers in publication [P4]. As the main result, two such swimmers benefit mutually in a large fraction of the parameter space due to effects resulting from the time-averaged flow field each swimmer produces. This so-called passive interaction is complemented by active interaction effects, which result from the interplay of the swimmer's own activity with the time-dependent flow fields produced by nearby swimmers. We show that active interactions are particularly relevant for swimmers' rotations due to interactions with other swimmers. The rotations are responsible for the complex long-term trajectories of two interacting swimmers, which can be understood from the instantaneous rotations experienced by the swimmers [P4]. The results for two interacting swimmers in our framework, which uses an analytical expression for the hydrodynamics, are compared to simulations of the bead-spring swimmer using a coupled Lattice-Boltzmann and immersed boundary method [P5]. While a good agreement between both methods is observed for a single swimmer, there is a qualitative mismatch on which of two interacting collinear swimmers moves faster. Preliminary results suggest that this mismatch can be resolved by assuming a time delay associated with flow propagation, known to exist in Lattice-Boltzmann simulations. Studies on single swimmers are eventually extended to the behavior of bead-spring swimmers in viscosity gradients as a common environment of motile bacteria and other microorganisms. To this end, a framework to calculate the mobility matrix for spherical particles in asymptotically small viscosity gradients, based on the Lorentz reciprocal theorem and a reflection method, is presented in [P6]. It is demonstrated that a linear viscosity gradient gives rise to interactions between the particles that do not decay with distance as long as the separation between the particles is smaller than the size of the viscosity gradient by orders of magnitude. While previous studies typically considered infinitely large viscosity gradients, we show that the relative positioning of the particles within the finite-size linear gradients substantially affects their interaction behavior. With these results at hand, the behavior of the triangular bead-spring swimmer is studied within asymptotically small linear viscosity gradients. For an equilateral swimmer with equal beads, the swimmer generally aligns either parallel or anti-parallel to the viscosity gradient. Whether the swimmer eventually swims towards higher viscosity, i.e., behaves viscophilic, or lower viscosity, i.e., behaves viscophobic, depends strongly on the swimmer's parameters. However, the swimmer behaves generally viscophilic and viscophobic in the limits of very stiff and very soft springs, respectively. By exploiting the self-developed versatile perturbative framework for bead-spring swimmers, this thesis significantly advances the understanding of microswimming by linking flow field and swimming velocity as well as providing the relation between stroke-based and elastic force-based swimmers. Furthermore, the emergence of the collective behavior from single-swimmer properties is further elucidated, as well as the impact of swimmer rigidity on its behavior in a viscosity gradient. Beyond the fundamental results obtained, the methods presented in this thesis lay the foundations for future studies. Especially by allowing for a swimmer's response to external stimuli, our approach is well-suited to study, e.g., swimming algae cells or artificial magnetocapillary swimmers on a liquid interface, which will be addressed in the future. Furthermore, the swimmer's responsiveness is a vital ingredient in the design of smart microscopic devices for, e.g., medical applications, and our results might be helpful in their development.
description: Mikroschwimmer sind selbstangetriebene aktive Objekte, welche sich in viskosen Flüssigkeiten fortbewegen können. Sie dissipieren, als ein Beispiel für aktive Systeme, kontinuierlich Energie und unterliegen deshalb nicht den Beschränkungen der Gleichgewichtsthermodynamik. Das sich daraus ergebende Verhalten von sowohl einzelnen als auch mehreren wechselwirkenden Schwimmern wurde bereits in verschiedenen Systemen experimentell, numerisch und theoretisch untersucht. Dennoch sind die physikalischen Prinzipien, welche die Fortbewegung in viskosen Flüssigkeiten beschreiben, noch nicht vollständig verstanden. Insbesondere die Auswirkung der Elastizität eines Schwimmers und der sich daraus ergebenden Veränderung in der Schwimmbewegung auf die Dynamik des Schwimmers ist nicht im Detail erforscht und bedarf weiterer Untersuchungen. Der Fokus dieser Arbeit, welche auf sechs vom Fachpublikum begutachteten Artikeln basiert, liegt auf Kugel-Feder-Mikroschwimmern, die aus kugelförmigen Teilchen bestehen. Die Teilchen sind mit harmonischen Federn verbunden und werden von Kräften, welche auf die Teilchen wirken, angetrieben. Im Gegensatz zu früheren Mikroschwimmer-Modellen, bei denen die Schwimmbewegung als Funktion der Zeit vorgeschrieben ist, können Kugel-Feder-Mikroschwimmer ihren Schwimmzug an ihre Umgebung anpassen. Diese wichtige Fähigkeit besitzen ebenfalls biologische Mikroschwimmer. Da die Bewegungsgleichung der Kugel-Feder-Mikroschwimmer nicht-linear von den Positionen der Teilchen abhängt, haben wir in Publikation [P1] einen vielseitigen störungstheoretischen Ansatz zur Berechnung des Verhaltens von Kugel-Feder-Mikroschwimmern entwickelt. Unsere Analysen lieferen Ergebnisse, die gute Übereinstimmung mit numerischen Rechnungen aufweisen, und somit eine Verbesserung von früheren analytischen Resultaten in der Literatur darstellen. Inspiriert von Experimenten mit antreibenden, im Laborsystem definierten, Kräften, untersuchen wir das Verhalten eines dreieckigen Kugel-Feder-Schwimmers unter externen Kräften. Der dreieckige Schwimmer zeigt dabei sowohl Fortbewegung als auch Rotation, und relaxiert in einen von sechs stabilen Orientierungszuständen. Zwischen je zwei benachbarten stabilen Gleichgewichtszuständen befindet sich mit gleichmäßigen Abständen ein instabiler Gleichgewichtszustand [P1]. Stabile und instabile Zustände sind mit entgegengesetzten Schwimmrichtungen sowie, in dieser Reihenfolge, mit einem kontraktilen und extensilen zeitgemittelten Strömungsfeld assoziiert. Unter Verwendung des störungstheoretischen Ansatzes wird, als Verallgemeinerung dieses Ergebnisses, gezeigt, dass die Stärke des zeitgemittelten Strömungsfelds proportional zur Schwimmgeschwindigkeit ist. Noch allgemeiner zeigen wir, dass dieser Zusammenhang für jeden Schwimmer mit nur zwei inneren angeregten Freiheitsgraden bewiesen werden kann [P4]. In den Publikationen [P2, P3] wird die frequenzabhängige Schwimmgeschwindigkeit des dreieckigen Kugel-Feder-Schwimmers mit der des magnetokapillaren dreieckigen Schwimmers in Lattice-Boltzmann-Simulationen verglichen. Sowohl der Kugel-Feder-Schwimmer als auch der magnetokapillare Schwimmer in Lattice-Boltzmann-Simulationen weisen ein Maximum in der Fortbewegungsgeschwindigkeit im Bezug auf die Frequenz der antreibenden Kräfte bzw. des magnetischen Feldes auf. Allerdings sind die Optima in beiden Systemen mit unterschiedlichen Zeitskalen verknüpft. Im Kugel-Feder-System wird Masse im Allgemeinen vernachlässigt, und die mit der maximalen Geschwindigkeit verbundene Zeitskala ergibt sich aus dem Zusammenspiel von viskosem Widerstand und Federkräften. Im Fall des magnetokapillaren Schwimmers wird jedoch gezeigt, dass die Zeitskalen, welche mit maximaler Schwimmgeschwindigkeit assoziiert sind, maßgeblich von der Masse der Kugeln abhängen [P2, P3]. Die Untersuchung von Kugel-Feder-Schwimmern wird in der Veröffentlichung [P4] auf das kollektive Verhalten zweier linearer Kugel-Feder-Schwimmer, bestehend aus jeweils drei kugelförmigen Teilchen, ausgeweitet. Das zentrale Ergebnis ist, dass in einem großen Teil des Parameterraums zwei solche Schwimmer gegenseitig von Wechselwirkungseffekten profitieren, die sich aus dem zeitlich gemittelten Strömungsfeld, welches jeder Schwimmer erzeugt, ergeben. Neben diesen so genannten passiven Interaktionen erfahren Mikroschwimmer ebenfalls aktive Interaktionseffekte, die sich aus dem Zusammenspiel der eigenen Aktivität des Schwimmers mit den zeitabhängigen Strömungsfeldern, erzeugt von anderen Schwimmern in der Umgebung, ergeben. Wir zeigen, dass aktive Wechselwirkungen besonders für die Rotation relevant sind, die Schwimmer als Ergebnis von Interaktionen mit anderen Schwimmern erfahren. Darüber hinaus sind diese Rotationen verantwortlich für die komplexen Langzeit-Trajektorien zweier wechselwirkender Schwimmer. Diese Trajektorien können aus dem momentanen Rotationsverhalten der Schwimmer nachvollzogen werden [P4]. Die Ergebnisse, welche wir in unserem Formalismus unter Verwendung eines analytischen Ausdrucks für die Hydrodynamik erhalten, werden mit Simulationen des Kugel-Feder-Schwimmers in gekoppelten Lattice-Boltzmann- und Immersed-Boundary-Methoden-Simulationen verglichen [P5]. Während für einen einzelnen Schwimmer eine gute Übereinstimmung zwischen den beiden Methoden zu beobachten ist, zeigt sich ein qualitativer Unterschied in der Frage, welcher von zwei wechselwirkenden kollinearen Schwimmern sich schneller fortbewegt. Vorläufige Ergebnisse deuten darauf hin, dass diese Diskrepanz durch die Annahme einer mit der Strömungsausbreitung verbundenen Zeitverzögerung erklärt werden kann, welche bekanntermaßen in Lattice-Boltzmann-Simulationen existiert. Die Untersuchung einzelner Schwimmer wird schließlich auf das Verhalten von Kugel-Feder-Schwimmern in Viskositätsgradienten ausgedehnt, welche häufig in der Umgebung von beweglichen Bakterien und anderen Mikroorganismen vorkommen. Zu diesem Zweck wird in Publikation [P6] eine Methode zur Berechnung der Mobilitätsmatrix für kugelförmige Teilchen in asymptotisch kleinen Viskositätsgradienten vorgestellt, welche auf dem Lorentzschen reziproken Theorem sowie einer Reflexionsmethode beruht. Es wird gezeigt, dass ein linearer Viskositätsgradient Wechselwirkungen zwischen den Teilchen hervorruft, die nicht mit der Entfernung abnehmen, solange der Abstand zwischen den Teilchen in Größenordnungen kleiner ist als die Ausdehnung des Viskositätsgradienten. Während frühere Studien typischerweise unendlich ausgedehnte Viskositätsgradienten annahmen, zeigen wir, dass die relative Positionierung der Teilchen innerhalb eines linearen Gradienten von endlicher Ausdehnung das Wechselwirkungsverhalten wesentlich beeinflusst. Mit diesen Ergebnissen wird das Verhalten des dreieckigen Kugel-Feder-Schwimmers in asymptotisch kleinen linearen Viskositätsgradienten untersucht. Ein gleichseitiger Schwimmer mit gleichen Kugeln richtet sich im Allgemeinen entweder parallel oder antiparallel zum Viskositätsgradienten aus. Ob der Schwimmer schlussendlich in Richtung höherer (viskophiles Verhalten) oder niedrigerer Viskosität (viskophobes Verhalten) schwimmt, hängt stark von den Parametern des Systems ab. Es zeigt sich jedoch, dass sich der Schwimmer in den Grenzfällen sehr steifer bzw. sehr weicher Federn generell viskophil bzw. viskophob verhält. Unter Verwendung des hier entwickelten störungstheoretischen Ansatzes für Kugel-Feder-Schwimmer trägt diese Arbeit maßgeblich zum Verständnis von Mikroschwimmern bei, in dem sie eine Beziehung zwischen Strömungsfeld und Schwimmgeschwindigkeit, sowie zwischen Schwimmern mit vorgeschriebener Deformation und elastischen Schwimmern mit vorgeschriebenen Kräften herstellt. Darüber hinaus wird der Ursprung des kollektiven Verhaltens anhand der Eigenschaften von einzelnen Schwimmern erklärt, sowie die Auswirkungen der Schwimmersteifigkeit auf das Schwimmerverhalten in einem Viskositätsgradienten weiter erforscht. Neben diesen grundlegenden Ergebnissen stellen die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden einen Grundstein für zukünftige Untersuchungen dar. Insbesondere durch die Berücksichtigung der Reaktion eines Schwimmers auf äußere Einflüsse ist unser Ansatz gut geeignet, um z. B. schwimmende Algenzellen oder künstliche magnetokapillare Schwimmer auf einer Flüssigkeitsoberfläche in weiterführenden Studien zu untersuchen. Weiter stellt die Kenntnis über die Reaktionsfähigkeit von Schwimmern einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung von intelligenten mikroskopischen Geräten, z. B. für medizinische Anwendungen, dar, und unsere Ergebnisse könnten sich bei deren Entwicklung als hilfreich erweisen.