title: Combinatorial complexity in henselian valued fields
title: pushing Anscombe-Jahnke up the ladder
titleType: Subtitle
Creators: name: Boissonneau, Blaise
Publisher: name: University of Muenster, Institutional Repository MIAMI
Year: 2022
Subjects: subject: 510 Mathematics

description: In dieser Dissertation untersuchen wir den Zusammenhang zwischen kombinatorischer Komplexität von Theorien erster Stufe von Körpern und algebraischen Eigenschaften, mit Fokus auf Henselität. Wir betrachten zunächst Bewertungen und legen mehrere klassische Methoden dar, sie mittels Formeln erster Stufe zu definieren. Wir untersuchen dann Zusammenhänge zwischen Artin-Schreier-Erweiterungen und kombinatorischer Komplexität, mit expliziten Formeln: Dies erlaubt, die Komplexität des Restklassenkörpers zu heben. Wir zeigen, dass NTP2 henselsch bewertete Körper semizahm oder endlich verzweigt in Teilen sind und dass NIPn henselsch bewertete Körpern sich zerlegen in separabel algebraisch maximal Kaplansky und endlich verzweigte Teile. Wir untersuchen schließlich NIPn und NTP2 Transfersätze und erhalten insbesondere eine vollständige Klassifizierung von NIPn henselsch bewerteten Körpern modulo ihres Restklassenkörpern. Wir wenden dann unsere Ergebnisse auf algebraische Erweiterungen von Qp an.
description: In this thesis, we study the links between combinatorial complexity of first-order theories of fields and algebraic properties of fields, and most notably, the role henselianity plays. We first study valuations and expose several classical methods to define them with a first-order formula in specific cases. We then study links between Artin-Schreier extensions and combinatorial complexity via explicit formulas; this allows us to lift complexity from residue fields, and to prove that NTP2 henselian valued fields are semitame or finitely ramified by parts, and that NIPn henselian valued fields are separably algebraically maximal Kaplansky or finitely ramified by parts, exactly as in the NIP case. We finally study transfer theorems in NIPn and NTP2 contexts, obtaining notably a complete classification of NIPn henselian valued fields down to their residue fields. We then apply all these results to algebraic extensions of the p-adics, giving a complete survey of their complexity.
description: Introduction . . . . . 1 0.1 Combinatorial complexity . . . . . 1 0.2 Complexity of fields and Artin-Schreier extensions . . . . . 2 0.3 Valued fields . . . . . 3 0.4 Complexity of henselian valued fields . . . . . 3 0.5 Algebraic extensions of Qp . . . . . 5 1 Algebra and Model Theory of Valued Fields 7 1.1 Valuation theory . . . . . 7 1.1.1 Dictionary of valuations . . . . . 7 1.1.2 Extensions of valuations . . . . . 8 1.1.3 Decomposition of valuations . . . . . 9 1.2 Henselianity . . . . . 10 1.2.1 Hensel’s lemma . . . . . 10 1.2.2 The canonical henselian valuation . . . . . 11 1.3 Model theory of valued fields . . . . . 12 1.3.1 Ordered abelian groups . . . . . 13 1.3.2 Languages of valued fields . . . . . 13 1.3.3 Algebraically closed valued fields . . . . . 14 1.3.4 The AKE principle . . . . . 15 1.4 Definability of valuations . . . . . 16 1.4.1 Robinson’s formula . . . . . 16 1.4.2 Fehm’s method . . . . . 17 1.4.3 Non-explicit definability . . . . . 18 2 Artin-Schreier Extensions &amp; Combinatorial Complexity . . . . . 21 2.1 Stable fields . . . . . 21 2.2 NIP fields . . . . . 23 2.2.1 The independence property . . . . . 23 2.2.2 NIP fields . . . . . 24 2.2.3 Baldwin-Saxl condition for NIP formulas . . . . . 25 2.2.4 Artin-Schreier closure and local NIPity . . . . . 26 2.2.5 Lifting . . . . . 26 2.2.6 Explicit Shelah’s conjecture . . . . . 27 2.2.7 Consequences on other conjectures . . . . . 28 2.2.8 dp-finite fields . . . . . 29 2.3 NIPn fields . . . . . 31 2.3.1 The n-independence property . . . . . 31 2.3.2 NIPn fields . . . . . 32 2.3.3 Baldwin-Saxl-Hempel’s condition for NIPn formulas . . . . . 33 2.3.4 Artin-Schreier closure of NIPn fields . . . . . 33 2.3.5 Lifting . . . . . 34 2.4 Simple fields . . . . . 34 2.5 NTP2 fields . . . . . 36 2.5.1 The tree property of order 2 . . . . . 36 2.5.2 NTP2 fields . . . . . 36 2.5.3 Chernikov-Kaplan-Simon condition for NTP2 formulas . . . . . 37 2.5.4 Artin-Schreier finiteness of NTP2 fields . . . . . 41 2.5.5 Lifting . . . . . 42 2.5.6 Tame &amp; semitame . . . . . 42 2.5.7 Towards a classification . . . . . 44 2.5.8 What about Fp((Q))? . . . . . 45 3 NIPn Henselian Valued Fields 47 3.1 Overview . . . . . 47 3.1.1 Transfer theorems: from world 0-0 to the final boss . . . . . 47 3.2 Left-to-right . . . . . 48 3.3 Transfer theorems . . . . . 50 3.3.1 NIPn &amp; generalized indiscernibles . . . . . 50 3.3.2 Chernikov-Hils’ Im Plus SE conditions . . . . . 51 3.3.3 NIPn CHIPS transfer . . . . . 52 3.4 Right-to-left . . . . . 55 4 Combinatorial Complexity in Algebraic Extensions of Qp . . . . . 61 4.1 Definability of vp in algebraic extensions of Qp . . . . . 61 4.1.1 Explicit definitions . . . . . 61 4.1.2 Canonical ℓ-henselian valuations on extensions of Qp . . . . . 61 4.1.3 There and back again . . . . . 62 4.2 NIPn-ity of algebraic extensions of Qp . . . . . 62 4.2.1 Applying Anscombe-Jahnke’s classification . . . . . 62 4.2.2 Inertia and ramification groups . . . . . 63 4.2.3 Special extensions of Qp . . . . . 65 4.3 State of art for some complexity classes . . . . . 69 4.3.1 Complete classifications . . . . . 69 4.3.2 Partial results for NTP2 . . . . . 70 Appendix . . . . . 71 A Defining the canonical p-henselian valuation . . . . . 71 A.1 The canonical p-henselian valuation . . . . . 71 A.2 p-henselianity is a first order property . . . . . 72 A.3 p-henselianity of a field . . . . . 75 A.4 Ring-defining vpK . . . . . 77 A.5 When p = 2 . . . . . 86 B Shelah’s expansion and the random graph . . . . . 87 B.1 Shelah’s expansion theorem . . . . . 87 B.2 The RSh lore . . . . . 87