Κανονικές μορφές των γραμμικών συμπλεγμάτων και των γραμμικών σμηνών στον τρισδιάστατο προβολικό χώρο
Creators: name: Τσακιρίδη, Θεοδώρα Ευστάθιου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2023
Subjects: Ευθειακή γεωμετρία
Συντεταγμένες του Plucker
Σμήνη ευθειών
Line geometry
Plucker coordinates
Line congruences.

description: Κάνοντας μία μικρή εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία, παραθέτουμε τα εργαλεία για να ασχοληθούμε με το κύριο μέρος της εργασίας, την Ευθειακή Γεωμετρία. Μέσω της Ευθειακής Γεωμετρίας μελετάμε το σύνολο των ευθειών του τρισδιάστατου προβολικού χώρου. Θα ασχοληθούμε με τις συντεταγμένες του Plucker, που εισήγαγε ο Julius Plucker (1801−1868) τον 19ο αιώνα. Με την βοήθεια αυτών των συντεταγμένων θα ορίσουμε την απεικόνιση του Plucker, μια αμφιμονότιμη απεικόνιση μεταξύ του χώρου των ευθειών του τρισδιάστατου προβολικού χώρου και μιας υπερεπιφάνειας β΄ τάξης του πενταδιάστατου προβολικού χώρου , που θα ονομάσουμε υπερεπιφάνεια του Plucker. Έχοντας αυτά τα εργαλεία, μελετάμε τις κανονικές μορφές των γραμμικών συμπλεγμάτων ευθειών και των γραμμικών σμηνών ευθειών στον τρισδιάστατο προβολικό χώρο . Πιο συγκεκριμένα, στο κομμάτι της Προβολικής Γεωμετρίας, εισάγουμε τον αναγνώστη σε βασικές έννοιες, όπως αυτές των προβολικών συντεταγμένων, των προβολικών απεικονίσεων και του διπλού λόγου. Οι τελευταίες ενότητες του πρώτου μέρους είναι αφιερωμένες στον ορισμό των υπερεπιφανειών β΄ τάξης καθώς και στην ταξινόμησή τους. Κύριο κομμάτι αυτής της εργασίας είναι η Ευθειακή Γεωμετρία. Με τη βοήθεια της απεικόνισης του Plucker μιλάμε για ευθείες και επίπεδα πάνω στην υπερεπιφάνεια του Plucker, καθώς και για προβολικούς μετασχηματισμούς της υπερεπιφάνειας του Plucker. Στη συνέχεια, μελετάμε συμπλέγματα ευθειών του τρισδιάστατου προβολικού χώρου για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν μόνο δύο είδη γραμμικών συμπλεγμάτων, τα ομαλά και τα μη ομαλά γραμμικά συμπλέγματα. Τέλος, μελετάμε τα γραμμικά σμήνη ευθειών καταλήγοντας ότι υπάρχουν ακριβώς ένα παραβολικό, ακριβώς ένα ελλειπτικό, ακριβώς ένα υπερβολικό και ακριβώς ένα εκφυλισμένο γραμμικό σμήνος.
description: This thesis consists of two parts, the part of Projective Geometry and the part of Line Geometry. The main part is that of Line Geometry, which studies the set of lines on the 3D projective space. First of all, we introduce Plucker coordinates. Using these coordinates we define the Plucker map, a bijective map between the space of lines on the 3D projective space and a hypersurface of second degree on the 5D projective space, named the Plucker hypersurface. After getting familiar with these notions, we study the normal forms of line complexes and line congruences on P^3. More specifically, in the first part reader comes across with basic notions of Projective Geometry such as projective coordinates, projective maps and double ratio. The last chapter of the first part is devoted to the definition of hypesurfaces of second degree as well as their classification. As we already mentioned, the second part of this thesis is Line Geometry. We talk about lines, planes and projective transformations on the Plucker hypersurface. Then, we study line complexes on P^3, and prove that there are only two different kinds of them, the degenerate and non-degenerate line complexes. In the end, we study line congruences and come to the conclusion that there is exactly one parabolic, exactly one hyperbolic, exactly one elliptic and exactly one degenerate line congruence.