Επίλυση εξισώσεων Lyapunov με εφαρμογές στην θεωρία ελέγχου
Creators: name: Μπαμπαλώνα, Ελένη Θωμά
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2007
Subjects: Ευστάθεια κατά Lyapunov
Συνάρτηση Lyapunov
Εξίσωση Lyapunov
Real Schur μορφή
Γενικευμένη εξίσωση Lyapunov
Lyapunov stability
Lyapunov function
Lyapunov equation
Real shur form
Generalized Lyapunov equation

description: Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη της εξίσωσης Lyapunov και η εφαρμογή αυτής στη Θεωρία Ελέγχου. Η εξίσωση αυτή παρουσιάζει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον λόγω των εφαρμογών που έχει στην Θεωρία Ελέγχου. Λύνοντας την, μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια του πίνακα Α, χωρίς να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του. Όμως ο πιό σημαντικός ρόλος που παίζει η εξίσωση Lyapunov, οφείλεται στο γεγονός ότι μας παρέχει μία διαδικασία εύρεσης μιάς συνάρτησης Lyapunov, για ένα οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα x=Ax, με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας Α είναι ευσταθής. Η δεύτερη (ή άμεση) μέθοδος Lyapunov, η οποία έχει γίνει σημαντικό θέμα έρευνας στην Θεωρία Ελέγχου, αποτελεί μία ποιοτική προσέγγιση στην ανάλυση της ευστάθειας γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων. Η μέθοδος αυτή ζητά την εύρεση μιάς συνάρτησης Lyapunov, η οποία έχει πολύ ειδικές ιδιότητες. Γιαυτό και η διαδικασία εύρεσης τέτοιας συνάρτησης εξακολουθεί να είναι ένα έργο τέχνης.Η εργασία είναι χωρισμένη σε τρία κεφάλαια. Συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε κάποιες βασικές εισαγωγικές έννοιες, που θα χρησιμοποιήσουμε στα επόμενα κεφάλαια και θεωρούνται πολύ βασικές για τον αναγνώστη, ώστε να κατανοήσει καλύτερα την εργασία.Το δεύτερο κεφάλαιο είναι χωρισμένο σε τέσσερις ενότητες. Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζουμε την πρώτη (ή έμμεση) μέθοδο Lyapunov, που μελετά την ευστάθεια ενός μη γραμμικού συστήματος, γραμμικοποιώντας το και ερευνώντας την ευστάθειά του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος. Ορίζουμε την συνάρτηση Lyapunov και εξηγούμε τη χρήση της στο θεώρημα Lyapunov, το οποίο μας παρέχει πληροφορίες για την ανάλυση της ευστάθειας γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων (δεύτερη μέθοδος Lyapunov). Κατασκευάζουμε την εξίσωση Lyapunov και αναλύουμε τον τρόπο με τον οποίο η λύση της μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπεράσματα για την ασυμπτωτική ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε μεθόδους για την επίλυση της εξίσωσης Lyapunov όπως η αριθμητική μέθοδος με χρήση της Real Schur μορφής (RSF) και ο αλγόριθμος Jameson. Στην δεύτερη ενότητα μελετάμε τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιώντας την εξίσωση Lyapunov, αποδεικνύουμε αν ένα σύστημα είναι ελέγξιμο ή παρατηρήσιμο. Στην τρίτη ενότητα αναφερόμαστε στην χρήση της εξίσωσης Lyapunov στον εύρωστο έλεγχο. Στην τέταρτη ενότητα γίνεται λόγος για την επίλυση της γενικευμένης εξίσωσης Lyapunov TTAXEEXAY+=−, με τον αλγόριθμο Bartels-Stewart.Στο τρίτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε την εξίσωση Lyapunov στον γραμμικό ταλαντωτή και στο εκκρεμές.Τέλος ακολουθεί το παράρτημα στο οποίο παρουσιάζουμε κάποια προγράμματα, M-files, που έγιναν από την συγγραφέα αυτής της διπλωματικής εργασίας, στο Matlab, βάσει των αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται σε όλη την εργασία.
description: The aim of this M.Sc. Thesis is to study the Lyapunov equation and apply it to the Control Theory. The Lyapunov equation is of great interest because of its application to the "Control Theory". By solving it, we can draw conclusions about the stability of matrix "A", without calculating the eigenvalues of A. The main interest of the Lyapunov equation though, lies in the fact that it provides a procedure for finding a Lyapunov function for any linear system x=Ax under the condition that A is stable. The second (or direct) Lyapunov's method, which has developed to an important research subject in the Control Theory, constitutes an approach in issues of quality, in the analysis of the stability of linear and non linear systems. This method requires the development of a Lyapunov function with special characteristics. This explains why the procedure of finding such a Lyapunov function is still considered to be a work of art.This paper is divided in three chapters. To be more specific, in the first chapter we introduce some basic key concepts that will be used in the next chapters and they are considered as fundamental knowledge for the reader in order to better understand this paper.The second chapter is divided into four parts. In the first part we present the first (or indirect) Lyapunov's method, which studies the stability of a non linear system, by linearizing and investigating the stability of the corresponding linear system. We define the Lyapunov function and explain the use of it in Lyapunov theorem which provides us with information to help us analyze the stability of linear and non linear systems (second Lyapunov's method). We also construct the Lyapunov equation and analyze how we draw conclusions about the asymptotical stability of linear systems, just by solving the equation. Next we introduce methods of solving the Lyapunov equation like the “arithmetic method”, with the use of the Real Schur Form (RSF) and Jameson's algorithm. In the second part we study the way we reach conclusions about the controllability and observability of a system, using the Lyapunov equation. In the third part we deal with the use of Lyapunov equation concerning the Robust theory. In the fourth part we discuss the solution of the generalized Lyapunov equation A(T)XE+E(T)XA=-Y, with the Bartels-Stewart algorithm.In the third chapter we apply the Lyapunov equation in the linear oscillator and the pendulum.Last but not least, an Appendix follows in which we present some programs and M-files, created by the author of this paper, in Matlab, based on the algorithms used in the whole of this paper.