title: Beweisende Begründungen - begründetes Beweisen
Creators: name: Gassner, Michaela
Publisher: name: :none
Year: 2013

description: Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schülerinnen und Schüler können durch das unreflektierte Anwenden von Standardalgorithmen punktuell gute Erfolge erzielen. Doch spätestens, wenn auf obige Frage die Antwort "36" gegeben wird, sollten Vertreterinnen und Vertreter der Bildungseinrichtungen hellhörig werden. Ziel des Mathematikunterrichts ist nicht, die Lernenden mit bedeutungslosen "Rezepten" auszustatten, die schnell wieder in Vergessenheit geraten, sondern stattdessen den Aufbau langfristiger Kompetenzen zu forcieren. Die vorliegende Diplomarbeit widmet sich der Fähigkeit zum Beweisen und stellt die Frage, wie sie mithilfe von geometrischen Aufgabenstellungen geschult werden kann. Anhand von Beispielen wird gezeigt, welchen Nutzen das Begründen gleichsam für die Mathematik und den einzelnen Schüler bzw. die einzelne Schülerin haben kann. Beweise können nicht nur zeigen, dass eine Behauptung wahr ist - sie liefern auch eine Erklärung, kommunizieren mathematisches Wissen, tragen zum Entdecken und Erschaffen neuen Wissens bei und ordnen Behauptungen systematisch in ein Netz aus Axiomen, Sätzen und Definitionen ein. Um sicherzugehen, dass alle Schülerinnen und Schüler von diesen Vorteilen profitieren, sollte an drei Orten angesetzt werden. Zuallererst ist es notwendig, dass die Lernenden die positiven Aspekte von Begründungen wahrnehmen und überhaupt eine Bereitschaft entwickeln, sich mit Beweisaufgaben auseinanderzusetzen. Dafür eignet sich im Besonderen der Weg über die Erklärungsfunktion von Argumentationsketten. Als zweites muss die Problemlösefähigkeit der Lernenden verbessert werden. Dies passiert über die Erziehung zur Selbstständigkeit gleichsam wie über das Lernen typischer Strategien im Beweisprozess, den Heurismen. Den größten Handlungsspielraum haben Lehrpersonen aber bei der Auswahl und Konzeption der Aufgaben. Mithilfe verschiedener methodischer Tricks kann der Komplexitätsgrad von mathematischen Problemen, die eine Begründung einfordern, gesenkt werden. Diese Möglichkeit eröffnet das Justieren von Begründungen entsprechend dem Niveau der Schülerinnen und Schüler und ebnet so den Weg für den schrittweisen Aufbau einer Begründungshaltung.
description: There are 26 sheep and 10 goats on a ship. How old is the captain? By applying mathematical algorithms without reflecting, learners might be successful in some cases. At least when the above question is answered with "36", representatives of education institutes should start worrying. The intention of teaching mathematics is not to provide learners with formulas, which are buried in oblivion very quickly, but to force the set-up of long-term skills. This diploma thesis examines the ability of proving in a classroom setting and how it can be trained by geometric tasks. Based on examples, the value of proofs towards mathematics in general and the individual learner in specific is shown. Proofs are not only useful to establish the validity of a conjecture - they also give an explanation, transmit mathematical knowledge, help with the discovery or invention of (for the pupils) new results and organize these results into a deductive system of axioms, theorems and definitions. In order to make sure that all students benefit from the advantages mentioned above, three things should be considered. First of all, it is necessary that learners notice the positive impact of proofs and show willingness to deal with them. For this purpose the explanatory function of proofs should be used. Second, pupils' ability to solve problems has to be improved. Thereto it is essential to stress autonomous work and to teach "Heurismen" as typical proof strategies. Teachers have their biggest radius of operation in choosing and drafting tasks. Thanks to a wide range of methodological techniques they can reduce the difficulty level of proofs. Therefore, it is possible to construct proofs of different levels and to pave the way for the incremental installation of an approach to reasoning.