Φράγματα του πυρήνα της θερμότητας στον υπερβολικό χώρο και ομάδες Klein
Creators: name: Αποστολίδου, Γεωργία Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2015
Subjects: Υπερβολικός χώρος
Πυρήνας της θερμότητας
Ομάδες Klein
Hyperbolic space
Heat kernel
Kleinian groups

description: Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη και παρουσίαση του άρθρου “Heat kernel bounds on hyperbolic space and Kleinian groups” των E.B.Davies και Ν. Μαντούβαλου που δημοσιεύτηκε στο Proceedings of the London Mathematical Society το 1988. Η διπλωματική αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την περίληψη της εργασίας, τόσο στην ελληνική όσο και στην αγγλική γλώσσα. Το δεύτερο κεφάλαιο αποτελεί σύνθεση τριών παραγράφων. Στην πρώτη παράγραφο γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή, ενώ στις επόμενες δύο παραγράφους παρουσιάζονται ο (n+1)-διάστατος υπερβολικός χώρος και ο πυρήνας της θερμότητας. Το τρίτο κεφάλαιο έχει στόχο την εύρεση του τύπου που δίνει τον πυρήνα της θερμότητας σε υπερβολικούς χώρους και με βάση αυτόν παράγονται δύο αναδρομικές σχέσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται στο επόμενο κεφάλαιο. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξάγονται τα φράγματα του πυρήνα της θερμότητας στον υπερβολικό χώρο, στην περίπτωση του πραγματικού χρόνου. Εξετάζεται ξεχωριστά η περίπτωση χώρων με περιττή και άρτια διάσταση και στη συνέχεια συνδυάζοντας τα αποτελέσματα αποκτώνται φράγματα για τον πυρήνα της θερμότητας σε υπερβολικό χώρο κάθε διάστασης. Το πέμπτο και σημαντικότερο κεφάλαιο αφορά τα φράγματα του πυρήνα της θερμότητας σε υπερβολικές πολλαπλότητες με σταθερή καμπυλότητα τομής. Τα φράγματα αυτά εξαρτώνται από δύο παραμέτρους: τον εκθέτη σύγκλισης των σειρών Poincaré δ(Γ) και μια συνάρτηση μα(x). Μελετώντας τη συμπεριφορά αυτής της συνάρτησης σε διάφορες περιπτώσεις καταλήγουμε σε ένα θεώρημα όπου παρουσιάζονται τα φράγματα του πυρήνα της θερμότητας πάνω στις υπερβολικές πολλαπλότητες ανάλογα με την τιμή που λαμβάνει ο εκθέτης σύγκλισης.
description: The aim of this MSc dissertation is to study and present the article “Heat kernel bounds on hyperbolic space and Kleinian groups” of E.B. Davies and N. Mandouvalos published in Proceedings of the London Mathematical Society in 1988. It consists of five chapters. The first chapter includes both a Greek and an English summary of the dissertation. The second chapter arises as the composition of three paragraphs. The first paragraph presents a short historic recursion, while in the following two paragraphs both the (n+1)-dimensional hyperbolic space and the heat kernel are introduced and presented. The aim of the third chapter is to find an explicit formula for the heat kernel on hyperbolic spaces and based on this, two recurrence relations are derived in order to be used in the following chapter. In the fourth chapter heat kernel bounds on hyperbolic spaces are presented, in the case of real time. Spaces of odd and even dimension are examined separately and then, the combination of these results leads to heat kernel bounds on hyperbolic spaces of every dimension. The fifth and more important chapter concerns heat kernel bounds on hyperbolic manifolds of constant sectional curvature. These bounds depend on two factors: both the exponent of convergence of the Poincaré series δ(Γ) and a function μα(x). Examining separately the behavior of this function in different cases, we conclude to a theorem where heat kernel bounds on hyperbolic manifolds are presented depending on the value of the exponent of convergence.