title: Solutions of the Einstein equations with Kaluza-Klein asymptotics
Creators: name: Hörzinger, Michael
Publisher: name: :none
Year: 2021

description: Die Kaluza-Klein-Theorie stellt eine interessante Erweiterung der allgemeinen Relativitätstheorie auf fünf Raumzeitdimensionen dar, urprünglich hervorgegangen aus einem historischen Versuch, die damals bekannten Fundamentalkräfte der Natur zu vereinheitlichen. Die Eleganz dieser Theorie liegt darin, dass die damit verbundene Dimensionsreduzierung auf natürliche Weise zu Elektromagnetismus gekoppelt mit vierdimensionaler Gravitation führt, ohne dass es notwendig ist, einen entsprechenden Quelltermin den zugehörigen Einsteingleichungen einzuführen. Dieses Konzept kann auf höhere Dimensionen erweitert werden. Obwohl sie keine realistische Beschreibung der Natur darstellt, so ermöglicht die Kaluza-Klein-Theorie interessante Einsichten in fortgeschrittene Theorien, wie der String-Theorie, und stellt eine geometrische Verbindung zwischen höher- und niedrigerdimensionalen Theorien dar. Innerhalb dieser Theorie existierten Raumzeiten, die schwarze Löcher beschreiben. Eine interessante Klasse von schwarzen Löchern, innerhalb der Kaluza-Klein-Theorie, wurde unabhängig von Rasheed und Larsen gefunden, welche eine Familie axisymmetrischer, rotierender, dynonischer schwarzer Löcher beschreiben. Wir analysieren die von Rasheed gefundenen Lösungen in verschiedenen Grenzwerten ihrer Parameterfamilie, beweisen ihre Regularität an ihrem äußeren Killinghorizont, identifizieren und analysieren Singularitäten der Metrik und leiten Bedingungen her, unter denen diese durch den äußeren Killinghorizont abgeschirmt werden, schließen die Existenz von regulären Metriken ohne Killinghorizonte aus und leiten ein Kriterium für stabile Kausalität in der d.o.c. her. Im Rahmen der Kaluza-Klein-Theorie, wie in jeder anderen physikalischen Theorie, nehmen die Begriffe Gesamtenergie, Impuls und andere globalen Ladungen eine Schlüsselrolle ein. In unserer Analyse betrachten wir asymptotisch Anti-de Sitter-, asymptotisch flache- und Kaluza-Klein asymptotisch flache Raumzeiten. Wir beweisen, dass die Komarmasse und die ADM Masse in stationären, asymptotisch flachen Raumzeiten in beliebigen Dimensionen äquivalent sind. Weiters zeigen wir, dass die Hamiltonmasse nicht notwendigerweise äquivalent zur ADM Masse in Kaluza-Klein asymptotisch flachen Raumzeiten ist. Ein Argument nach Witten wird angewandt, umglobale Ungleichungen zwischen dem Hamilton’schen Energie-Impuls und den Kaluza-Klein Ladungen herzuleiten. Wir wenden unsere Formeln auf die fünfdimensionale Rasheed-Metrik an, aus denen wir die entsprechenden globalen Ladungen berechnen. Durch einen Vergleich mit jenen der Larsen-Lösungen zeigen wird, dass die beiden Klassen von Metriken äquivalent sind. Zuletzt betrachten wir vierdimensionale Anfangsdaten mit $\R^2 \times S^2$ Topologie, konstruiert durch Brill und Pfister, in Kaluza-Klein-Theorie, welche speziell wegen ihrer negativen ADM-Masse interessant sind. Diese vierdimensionalen Anfangsdaten enthalten eine sogenannte Bubble, die zu dieser Topologie führt. In einer sorgfältigen Analyse zeigen wir, dass die Metrik der Anfangsdaten nicht differenzierbar auf der Bubble ist, was uns zur Frage führt, wie problematisch diese Singularität ist. Wir zeigen, dass die Metrik der Anfangsdaten dort mindestens zweimal schwach differenzierbar ist.
description: Kaluza-Klein theory constitutes an interesting extension of general relativity to five spacetime dimensions, originally emerged from a historic attempt to unify the known fundamental forces of nature at that time. The elegant feature of this theory lies in the fact, that the involved dimensional reduction leads naturally to electromagnetism coupled to four dimensional gravity without the need of the introduction of a source termin the five dimensional Einstein equations. This concept can also be extended to higher dimensions. Although not being a realistic theory of nature, Kaluza-Klein theory gives interesting insights to advanced theories, such as string theory, and provides a geometric link between higher- and lower dimensional theories. Within this theory, black hole spacetimes exist. An interesting class of black hole solutions in Kaluza-Klein theory has been derived independently by Rasheed and Larsen, describing a family of axisymmetric, rotating, dyonic (magnetically- and electrically charged) black holes. We analyse the Rasheed-Larsen metrics in different limits of their parameter family, prove regularity at the outer Killing horizon, identify and analyse the singularities of the metrics and derive conditions, under which they are shielded by the outer Killing horizon, exclude the existence of regular metrics without horizons and derive a criterion for stable causality in the d.o.c. (domain of outer communications). In Kaluza-Klein theory, as in any other physical theory, the notion of total energy, momentum and other global charges play a key role. Our analysis covers asymptotically anti–de Sitter spacetimes, asymptotically flat spacetimes, as well as Kaluza-Klein asymptotically flat spacetimes. We prove that the Komar mass equals the Arnowitt-Deser-Misner (ADM) mass in stationary asymptotically flat spacetimes in all dimensions, while this is no longer true with Kaluza-Klein asymptotics. Furthermore, we show that the Hamiltonian mass does not necessarily coincide with the ADM mass in Kaluza-Klein asymptotically flat spacetimes. A Witten-type argument is applied to derive global inequalities between the Hamiltonian energy-momentum and the Kaluza-Klein charges. Our formulae are applied to the five-dimensional Rasheed metrics, from which the corresponding global charges are computed. Furthermore, by a comparison of them with those of the Larsen metrics, we show that these classes of metrics are isometric. We finish this thesis by a study of four-dimensional initial data with $\R^2 \times S^2$ topology in Kaluza-Klein theory, constructed by Brill and Pfister. The resulting spacetimes are particularly interesting because they have negative ADM mass. Those four-dimensional initial data contain a so-called bubble, causing this topology. We show that the initial data metric is non differentiable at the bubble, which leads to the question, how problematic the resulting singularity is. We show that the initial four-dimensional metric is at least twice weakly differentiable at this location, leading to a Riemann tensor without distributional components which could be responsible for the negativity of the ADM mass.