title: On the inverse scattering transform for the Korteweg-de Vries equation with steplike initial profile
Creators: name: Lange, Till Luc
Publisher: name: :none
Year: 2015

description: Die Korteweg-de Vries Gleichung ist eine Wellengleichung, die Flachwasser Wellen modelliert und eine der bekanntesten Solitonen Gleichungen ist. Das dazugehörige Cauchy-Problem wurde von Gardner, Green, Kruskal und Miura mit Hilfe der Inversen Streutheorie gelöst. Im klassischen Fall verschwindet der Anfangswert asymptotisch und ist gut ausgearbeitet. Ein weiterer Fall, mit dem Schock und Verdünnung der Wellen modelliert wird, ist wenn die Anfangsbedingungen asymptotisch gegen verschiedene Konstanten konvergieren und wird stufenartige Anfangsbedingung genannt. Im ersten Teil der Arbeit untersuchen wir das zu Grunde liegende direkte und inverse Streuproblem für die eindimensionale Schrödinger Gleichung mit stufenartigem Potential. Wir geben notwendige und hinreichende Bedingungen für die Streudaten an, um zu einem Potential mit vorgegebener Glattheit und räumlichen Zerfall zu gehören. Dieses Problem wurde zuvor betrachtet, allerdings verallgemeinert unser Ergebnis alle vorherigen Ergebnisse. Im zweiten Teil wenden wir die Ergebnisse auf das Cauchy-Problem der KdV Gleichung mit stufenartigen, genauer gesagt Verdünnungswellen produzierenden Anfangsbedingungen, an. Dazu formulieren wir das inverse Problem als ein oszillatorisches Riemann-Hilbert Problem und wenden die Methode des nichtlinearen schnellsten Abstieges an, um das Langzeitverhalten der Lösung zu erhalten. Um das Problem untersuchen zu können, muss eine neue Phasenfunktion, die sogenannte g-Funktion, eingeführt werden, die von einer langsamen Variable xi=x/t abhängt. Danach kann das Problem zu einem explizit lösbaren Modellproblem umgeformt werden. In Abhängigkeit von dem Wert von xi gibt es drei Hauptregionen, wenn t gegen unendlich geht: Für xi&lt;-xi_0 ist die Lösung nahezu die linke Konstante. Für -xi_0
description: The Korteweg-de Vries (KdV) equation is an integrable wave equation modeling shallow water waves and is one of the most prominent soliton equations. The corresponding Cauchy problem was solved by Gardner, Green, Kurskal, and Miura by the inverse scattering transform. In the classical case the initial data will vanish asymptotically and this case is well understood. Another case, modeling shock and rarefaction waves, is when the initial conditions asymptotically tend to different constants, known as steplike initial conditions. In the first part of this thesis we study the underlying direct and inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with steplike potentials. We give necessary and sufficient conditions for the scattering data to correspond to a potential with prescribed smoothness and prescribed spatial decay. This problem has been considered before but our results generalize all previous known results. In the second part these results are then applied to the Cauchy problem of the KdV equation with steplike initial data. More specifically, we look at the case corresponding to rarefaction waves. For this case we formulate the inverse scattering problem as an oscillatory Riemann-Hilbert factorization problem and apply the nonlinear steepest descent method to determine the long-time behaviour of solutions. To analyse the problem one needs to change to a new phase function, the so-called g function, which will depend on a slow variable xi=x/12t. After this change the problem can be deformed to an explicitly solvable model problem. Depending on the value of xi there are three main regions as t goes to infinity: For xi &lt; -xi_0 the solution is close to the left constant. For -xi_0