title: On local and global aspects of the Langlands program
Creators: name: Droschl, Johannes Carl
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In dieser Arbeit behandeln wir drei Themen aus dem Langlands-Programm. Erstens beweisen wir Rationalitätsresultate über kritische Werte von L-Funktionen von Darstellungen im Restspektrum von GL_4. Wir verwenden die Jacquet-Langlands-Korrespondenz, um ihre partiellen L-Funktionen über automorphe Spitzenformen der Gruppe GL_2' über einer Quaternion-Algebra zu beschreiben. Mit Hilfe von Methoden, die von bestehenden Resultaten von Grobner und Raghuram inspiriert sind, können wir dann die kritischen Werte als Shalika-Periode bis auf ein rationales Vielfaches berechnen. Für das zweite Thema untersuchen wir modulare Darstellungen der Gruppe GL_n(K) für ein lokales nicht-archimedisches Feld K unter der Annahme, dass die Restklassenkörpercharakteristik und die Charakteristik des Koeffizientenfeldes nicht übereinstimmen. Wir verallgemeinern die von Lapid und Minguez eingeführten Begriffe der quadratisch-irreduzibel Darstellungen in dieser Situation und berechnen den Godement-Jacquet L-Faktor für jede glatte irreduzible Darstellung. Insbesondere zeigen wir, dass die lokalen Faktoren einer Darstellung mit denen des von Kurinczuk und Matringe definierten C-Parameters übereinstimmen. Außerdem geben wir einen neuen Beweis, dass die Klassifizierung irreduzibler Darstellungen durch Multisegmente nach Vignéras und Minguez-Sécherre tatsächlich erschöpfend ist. Schließlich beweisen wir als letztes Resultat der Arbeit eine Vermutung von Kudla und Rallis. Sei χ ein unitärer Charakter, s eine komplexe Zahl und W ein symplektischer Vektorraum über K mit der Symmetriegruppe G(W). Bezeichne mit I(χ,s) die entartete Hauptreihen-Darstellung von G(W+W). Das Hauptresultat dieses letzten Teils ist dann, dass bestimmte irreduzible Darstellungen von G(W)xG(W) als ein Quotient von I(χ,s), beschränkt auf G(W)xG(W), mit der Vielfachheit eins erscheinen. Wir beweisen auch analoge Aussagen für W orthogonal oder unitär. Dies gibt insbesondere einen neuen Beweis für die Konversationsrelation der lokalen Theta-Korrespondenz für symplektisch-orthogonale und unitäre Dualpaare.
description: In this thesis we treat three topics situated in the Langlands program. Firstly, we prove rationality results for critical values of L-functions attached to representations in the residual spectrum of GL_4. We use the Jacquet-Langlands correspondence to describe their partial L-functions via cuspidal automorphic representations of the group GL_2’ over a quaternion algebra. Using methods inspired by existing results of Grobner and Raghuram we are then able to compute the critical values as a Shalika period up to a rational multiple. For the second topic, we study modular representations of the group GL_n(K), for a local non-archimedean field K under the assumption that the residue characteristic and the characteristic of the coefficient field do not agree. We extend the notions of square-irreducible representations, which were introduced by Lapid and Minguez, to this setting and compute the Godement-Jacquet L-factor for any smooth irreducible representation. In particular, we show that the local factors of a representation agree with the ones of its C-parameter defined by Kurinczuk and Matringe. Moreover, we reprove that the classification of irreducible representations via multisegments due to Vignéras and Minguez-Sécherre is indeed exhaustive. Finally, as the last result of the thesis, we prove a conjecture of Kudla and Rallis. Let χ be a unitary character, s a complex number, and W a symplectic vector space over K with symmetry group G(W). Denote by I(χ,s) the degenerate principal series representation of G(W+W). The main result of this last part is then that certain irreducible representations of G(W)xG(W) appear as a quotient of I(χ,s), restricted to G(W)xG(W), with multiplicity one. We also give analogous statements for W orthogonal or unitary. This gives in particular a new proof of the conservation relation of the local theta correspondence for symplectic-orthogonal and unitary dual pairs.