title: Experiments with curves inspired by the morphometric approach to solvation
Creators: name: Coles, Rhoslyn
Publisher: name: Technische Universität Berlin
Year: 2024
Subjects: subject: 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::516 Geometrie
subject: tube-packings
subject: curvature measures
subject: physical knot theory
subject: simulated annealing

description: In this thesis I investigate a curve shape optimisation problem based on the morphometric approach to modelling the thermodynamics of biomolecules in solution. By way of this approach, the free energy of solvation is given as a linear sum of four geometric measures of the body bounded by an offset surface of the molecule. The four measures derive from Hadwiger’s characterisation theorem, together known as the curvature measures, are simply the volume, area and two further measures of curvature. My problem seeks the thermodynamically favourable configurations of a homogeneous embedded tube, known as a thickened curve, were it immersed in a fluid in physiological conditions. The curve energy and optimisation problem are inferred directly from the process of solvation and the morphometric approach; the energy is the linear sum of the curvature measures of the body bounded by an offset surface of the thickened curve. This body is a tubular neighbourhood of the curve of a certain radius, referred to as the energy tube. The thickened curve represents the amount of bulk substance in the fluid, and so the curve trajectory is constrained such the thickened curve is of constant size. In this way the optimisation problem could be thought of as an optimal tube packing problem, with the curve shape optimised on the basis of how the thickened curve occupies the space around it. More broadly my work has much in common with investigations of physical knot energies, where curve thickness plays an important role. My approach to this problem is computational; I have developed an algorithm capable of producing approximate solutions to the optimisation problem. The algorithm is based on the method of simulated annealing, incorporating the software based on the Alpha– Shape theory to approximate the curve energy and taking much inspiration from previous algorithms used to investigate the ropelength problem of knots and links. The main inspiration of this work is the interplay between shape and changes in the fluid environment, thought to be a crucial mechanism controlling the functioning of soluble biomolecules. With this regard we use our algorithm to perform series of computer experiments investigating a two parameter family of curve energies. Such energies approximate physically realistic systems such that variation of the energy parameters corresponds to changing the conditions of the fluid. The results of these experiments suggest, in accordance with previous work, that different thickened curve configurations are favoured in different fluid environments. In particular, experiments with a fairly loose simple loop demonstrate quite a dramatic shape–transition between a compact, ball–like shape and a tightly wound double helical–like geometry. The optimisation problem is given within the framework of the theory of curvature of singular sets. By way of this theory for so called noncritical radii the geometry of the energy tube is understood via a generalised normal bundle; constructed by associating to each point of the tube boundary the convex cone generated by the vector directions joining the point with each of it’s nearest points in the curve. Using these ideas I compute an explicit lower bound of the reach of the closed complement of the energy tube, a value central to the definition of the curvature measures and the problem in general.
description: In dieser Arbeit untersuche ich ein Problem der Optimierung der Kurvenform, das auf dem morphometrischen Ansatz zur Modellierung der Thermodynamik von Biomolekülen in Flüssigkeiten beruht. Bei diesem Ansatz wird die freie Gibbs Energie als lineare Summe von vier geometrischen Maßen des Körpers angegeben, der durch eine versetzte Oberfläche des Moleküls begrenzt wird. Die vier Maße leiten sich aus dem Hadwiger-Charakterisierungstheorem ab und werden als Krümmungsmaße bezeichnet. Sie sind einfach das Volumen, die Fläche und zwei weitere Krümmungsmaße. In dieser Arbeit suche ich nach den thermodynamisch günstigen Konfigurationen eines homogenen eingebetteten Rohres, einer sogenannten verdickten Kurve, wenn es unter physiologischen Bedingungen in eine Flüssigkeit eingetaucht ist. Die Kurvenenergie und das Optimierungsproblem werden direkt aus dem Lösungsprozess und dem morphometrischen Ansatz abgeleitet; die Energie ist die lineare Summe der Krümmungsmaße des Körpers, der durch eine versetzte Oberfläche der verdickten Kurve begrenzt wird. Dieser Körper ist eine tubulare Umgebung der Kurve mit einem bestimmten Radius, die als Energieröhre bezeichnet wird. Die verdickte Kurve repräsentiert die Menge des Schüttguts in der Flüssigkeit, so dass die Kurvenbahn so eingeschränkt ist, dass die verdickte Kurve eine konstante Größe hat. Auf diese Weise könnte man das Optimierungsproblem als ein optimales Rohrpackungsproblem betrachten, bei dem die Kurvenform auf der Grundlage der Raumausnutzung der verdickten Kurve optimiert wird. Meine Arbeit trägt zur Untersuchung physikalischer Knotenenergien bei, da die Knotendicke in diese Szenarien eine wichtige Rolle spielt. Ich habe einen Algorithmus entwickelt, der in der Lage ist, approximativer Lösungen für das Optimierungsproblem zu liefern. Der Algorithmus basiert auf der Methode des simuliertes Tempern (simulated annealing), wobei die Software Alphashape zur Approximation der Kurvenenergie eingesetzt wird und Ideen aus Algorithmen zur Untersuchung des Seillängenproblems von Knoten und Verschlingung verwendet wurden. Die Hauptinspiration dieser Arbeit ist das Zusammenspiel zwischen Form und Veränderungen in der flüssigen Umgebung, das als entscheidender Mechanismus für die Funktionsweise von löslichen Biomolekülen gilt. In diesem Zusammenhang verwende ich den Algorithmus, um eine Reihe von Computerexperimenten durchzuführen, die eine Familie von Kurvenenergien mit zwei Parametern untersuchen. Diese Energien nähern realistische Systeme auf eine physikalische Weise an, bei der die Variation der Energieparameter eine Änderung der Eigenschaften der umgebenden Flüssigkeit wiederspiegelt. Die Ergebnisse dieser Experimente deuten, in Übereinstimmung mit früheren Arbeiten darauf hin, dass verschiedene verdickte Kurvenkonfigurationen in unterschiedlichen Fluidumgebungen bevorzugt werden. Insbesondere zeigen Experimente mit einer lockeren, einfachen Schleife einen dramatischen Formübergang zwischen einer kompakten, kugelähnlichen Form und einer eng gewundenen, doppelspiralförmigen Geometrie. Das Optimierungsproblem wird im Rahmen der Krümmungstheorie für singuläre Mengen behandelt. Mit Hilfe dieser Theorie für so genannte unkritische Radien wird die Geometrie der Energieröhre über ein verallgemeinertes Normalenbündel verstanden, das konstruiert wird, indem jedem Punkt der Röhrengrenze der konvexe Kegel zugeordnet wird, der durch die Menge der dem am nächsten liegenden Punkte der Kurve erzeugt wird. Unter Verwendung dieser Ideen berechne ich eine explizite untere Schranke für die Reichweite (reach) des geschlossenen Komplements der Energieröhre. Dies ist ein Wert, der für die Definition der Krümmungsmaße und das Problem im Allgemeinen von zentraler Bedeutung ist.