title: Algebraic theory of affine monoids
title: Algebraische Theorie affiner Monoide
Creators: name: Katthän, Lukas
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2013
Subjects: toric ideals
Mathematik
Kombinatorik, Kohomologie
Halbgruppenring
Affines Monoid
Affine monoid, affine monoid algebra
Symmetrische Gruppe

description: Diese Arbeit behandelt
      verschiedene Aspekte der Theorie der affinen Monoide. Ein
      affines Monoid ist hierbei eine endlich erzeugte
      Unterhalbgruppe der freien abelschen Gruppe Z^N. Diese Arbeit
      ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden die
      Grundlagen der Theorie der affinen Monoide und ihrer Algebren
      zusammengestellt. Der zweite und dritte Teil bilden den Kern
      dieser Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit
      allgemeinen affinen Monoiden. Im ersten Kapitel des zweiten
      Teils wird die Menge der Löcher in einem affinen Monoid Q
      untersucht. Dies ist die Menge der Elemente der
      Normalisierung von Q, die nicht in Q selbst liegen. Wir geben
      eine geometrische Beschreibung dieser Menge und setzen sie
      mit algebraischen Eigenschaften der Monoidalgebra K[Q],
      insbesondere mit ihrer lokalen Kohomologie, in Beziehung. Zum
      Beispiel erlaubt die Kenntnis der Menge der Löcher eine
      Abschätzung der Tiefe von K[Q] und in manchen Fällen sogar
      deren explizite Berechnung. Diese Methode zur Bestimmung der
      Tiefe kann deutlich einfacher sein als die alternative
      Herangehensweise über Gröbner Basen, wie wir an einem
      Beispiel exemplarisch vorführen. Wir wenden die Ergebnisse
      dieses Kapitels anschließend auf zwei spezielle Klassen von
      affinen Monoiden an, nämlich auf simpliziale und auf
      seminormale affine Monoide. Verschiedene bekannte Ergebnisse
      über dieses Klassen von affinen Monoiden können damit von uns
      neu bewiesen und verallgemeinert werden. Weiterhin verwenden
      wir unsere Ergebnisse um die Abhängigkeit der lokalen
      Kohomologie von K[Q] vom Grundkörper K näher zu untersuchen.
      So können wir beispielsweise zeigen, dass Serres Bedingung
      (S3) für K[Q] nur von Q und nicht von K abhängt. Falls K[Q]
      homogen ist kann man aus der oben erwähnten Korrespondenz
      zwischen lokaler Kohomologie und den Löchern Aussagen über
      die Castelnuovo-Mumford Regularität gewinnen. Insbesondere
      können wir auf diese Weise einen Spezialfall der
      Eisenbud-Goto Vermutung beweisen. Im letzten Kapitel des
      zweiten Teils konstruieren wir eine spezielle Familie von
      affinen Monoiden. Viele bekannte Beispiele von nicht-normalen
      Gitterpolytopen haben die Eigenschaft, dass die Löcher in der
      Nähe des Randes liegen. Außerdem ist bekannt, dass ein
      affines Monoid, das eine Familie von Löchern mit Kodimension
      1 besitzt, immer schon eine solche Familie im Gitterabstand ≤
      1 von einer Facette hat. Im Gegensatz dazu konstruieren wir
      eine Familie von nicht-normalen Gittersimplizes, bei denen
      die Löcher beliebig weit im Inneren liegen. Im dritten Teil
      dieser Arbeit betrachten wir zwei spezielle Klassen von
      affinen Monoiden. Zunächst wenden wir uns torischen
      Kantenringen (toric edge rings) zu. Dies sind die
      Monoidalgebren, die von quadratfreien Monomen vom Grad 2
      erzeugt werden. Torische Kantenringe können durch Graphen
      beschrieben werden. Die Theorie torischer Kantenringe ist
      einfacher als für allgemeine affine Monoidalgebren, aber
      viele Phänomene treten bereits in dieser kleineren Klasse
      auf. In dieser Arbeit wird ein Kriterium für Serres Bedingung
      (R1) für torische Kantenringe erarbeitet. Weiterhin zeigen
      wir, dass die torischen Kantenringe einer bestimmten Klasse
      von Graphen seminormal sind. Hieraus lässt sich ein
      Spezialfall einer Vermutung von Hibi et al. über die Tiefe
      torischer Kantenringe folgern. Schließlich betrachten wird
      das affine Monoid, das vom linearen Ordnungspolytop (Linear
      ordering Polytope) erzeugt wird. Dieses Polytop spielt eine
      wichtige Rolle in der kombinatorischen Optimierung.
      Andererseits entspricht die zugehörige torische Varietät dem
      Babington-Smith Modell, einem statistischem Modell aus dem
      Kontext der Analyse von statistischen Ordnungen. Im Kontext
      von torischen Modellen ist es von Interesse, eine
      Markovbasis, das ist ein Erzeugendensystem des zugehörigen
      torischen Ideals, zu bestimmen. In der vorliegenden Arbeit
      bestimmen wir die Elemente von Grad 2 im torischen Ideal des
      linearen Ordnungspolytopes. Dieses Problem ist äquivalent zu
      einer kombinatorischen Fragestellung über Permutationen, die
      wir mit Methoden aus der Graphentheorie beantworten können.
      Im Anhang an die eigentliche Arbeit stellen wir einige
      algebraische Aussagen über graduierte Ringe zusammen, die in
      der Literatur nur schwer zu finden sind. Außerdem wird im
      Anhang ein Beweis eines graphentheoretischen Satzes gegeben,
      den wir bei der Untersuchung des linearen Ordnungspolytopes
      benötigen.
description: This thesis treats several aspects
      of affine monoids. First, we consider the structure of the
      set of holes of an affine monoid Q. This set is the
      difference between Q and its normalization. We find
      connections to algebraic properties of the monoi algebra K[Q]
      and in particular to its local cohomology. In special cases,
      this allows to compute the depth of K[Q]. We then specialize
      to simplicial and seminormal affine monoids and reprove or
      extend several known results using our theory. Moreover, we
      consider the dependency of algebraic properties of K[Q] upon
      the field K. We can show that Serre's (S3) does not depend on
      K. Further, we prove a special case of a conjecture by
      Eisenbud and Goto. In the next chapter, we construct a
      fammily of non-normal lattice simplices, such that the holes
      have an arbitrary lattice distance from the facets. In the
      next chapter, we consider toric edge rings and give a
      criterion for the toric egde ring to satisfy Serre's (R1) and
      for being seminormal. In the last chapter, we consider the
      affine monoid of the linear ordering polytope. Using graph
      theory, we give a combinatorial description of the degree 2
      generators of its toric ideal.