title: Change without time. Relationalism and field quantization
Creators: name: Simon, Johannes
Publisher: name: Universität Regensburg
Year: 2005
Subjects: subject: Zeitlosigkeit , Messprozess / Quantenmechanik , Zeitrichtung , Zeit , Quantisierungsabbildung , Relationalismus , Synchronisation , Groenewold-van Hove-Theorem , Relationalism , Synchronization , Groenewold-van Hove theorem
subject: 530 Physik
subject: 03.65.-w
subject: 03.65.Ta
subject: 03.65.Ca
subject: 03.70.+k
subject: 11.10.-z

description: The nature of time has long been debated in human history and nowadays is considered of central importance for understanding quantum gravity. We focus on and advocate the relational concept of time, which was put forward in the 17th century in opposition to Newton's absolute time, and only in 1990 explored in a quantum mechanical framework by Carlo Rovelli. After a historical introduction the mathematical models of time are carefully analyzed in chapter 1, followed by a discussion of the role of time played in fundamental theories. Using as an example nonrelativistic mechanics, the process of parametrization is explained, leading to a separation of a 'canonical time coordinate' from an arbitrary evolution parameter. The discussion of the role of time in special and general relativity as well as in quantum mechanics shows that more fundamental theories use less structure of time. This is followed by an exposition of the history of the relational concept of time, which negates the existence of an absolute duration and therefore often is called "timeless". Next it is shown how fundamental theories can be formulated and re-interpreted using this concept. We put emphasis on the hitherto neglected connection between relationalism and non-extensibility, while absolute time is shown to be unproblematic in classical mechanics just because of the possibility to extend the system without changing its nature. We conclude chapter 1 with a new axiomatic basis for the construction of time observables based on a simultaneity relation between 'observations', which are treated as a primitive concept and intuitively correspond to measurement events, but without knowing 'when' these events occur. There is no fundamental time observable; any observable qualifies as a time observable, if it allows to separate all instants. Chapter 2 gives a brief account of three main problems connected with time: a) The problem of the arrow of time. This has to be disentangled from the problem of irreversibility: a solution of the latter essentially excludes cyclic motions and is required for a solution of the former, which consists in showing that a fundamental direction between any two non-identical instants is physically meaningful. We give a formal definition of the arrow of time. This classical analysis is followed by a review of the problem of the arrow of time in quantum theory, where the situation becomes more complicated because of indeterminism. The discussion shows that there is no experimental evidence for a fundamental arrow of time, so that no contradiction with the relational concept of time arises. b) The problem of time measurement, which is of particular importance for the relational approach, in which time has no reality except if measured by a clock. In quantum theory useful time operators seem to be possible only within the more general formalism of positive operator valued measures (POVM). Clocks based on an oscillation mechanism do however require phase measurements; quantum phase operators can be defined as certain POVMs. Phase difference operators do also exist in the traditional Hilbert space formalism, if another quantization is used, as is done with relational quantization. c) The problem of quantum gravity is sketched only briefly. Chapter 3 introduces and discusses a model of Rovelli consisting of two oscillators with no external time. In this model one oscillator is considered as a clock and defines a relational time for the other one. In the first section we introduce this model and generalize it to a free massless scalar field in one dimension. We establish the relation between a single field mode and the infrared behaviour of the field through constants of motion. In the second section after a short review of canonical quantization we review Rovelli's quantization and generalize it to the free field. We could not prove the existence of the quantization map, but calculations using computer algebra indicate that the quantization does exist. For an enlarged algebra we are able to prove the nonexistence of a quantization map similar to a proof by Groenewold and van Hove. In chapter 4 we observe that a clock time always requires infinitely many degrees of freedom, and we make the hypothesis that a time observable is given by the infrared behaviour of quantum fields, leading to a classical notion of time when using algebraic quantum mechanics. This does however not solve the main problem of quantum relationalism: Which conditions determine a particular evolution?
description: Die Natur der Zeit ist in der Menschheitsgeschichte bereits seit langem Gegenstand von Diskussionen und wird heute als wesentlich für ein Verständnis der Quantengravitation angesehen. Wir untersuchen und vertreten das relationale Zeitkonzept, das im 17. Jahrhundert gegen Newtons absoluten Zeitbegriff vorgeschlagen wurde und im Rahmen der Quantenmechanik erst 1990 von Carlo Rovelli erforscht wurde. Im ersten Kapitel werden nach einer historischen Einführung die mathematischen Zeitmodelle sorgfältig analysiert, woran sich eine Diskussion der Rolle der Zeit in grundlegenden Theorien anschließt. Am Beispiel der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird das Verfahren der Parametrisierung dargestellt, das zu einer Trennung einer 'kanonischen Zeitkoordinate' von einem beliebigen Entwicklungsparameter führt. Die Diskussion der Rolle der Zeit in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie wie auch in der Quantenmechanik zeigt, dass grundlegendere Theorien weniger Zeitstruktur verwenden. Anschliessend wird die Geschichte des relationalen Zeitkonzepts dargestellt, das die Existenz einer absoluten Zeitdauer verneint und deshalb oft als �zeitlos� bezeichnet wird. Weiter wird gezeigt, wie grundlegende Theorien unter Benutzung dieses Konzepts formuliert und neu interpretiert werden können. Wir richten das Augenmerk auf den bislang unbeachteten Zusammenhang zwischen Relationalismus und Nicht-Erweiterbarkeit, wohingegen sich die absolute Zeit in der klassischen Mechanik als unproblematisch erweist aufgrund der Möglichkeit, das System zu erweitern, ohne es wesentlich zu ändern. Kapitel 1 endet mit einer neuen axiomatischen Basis zur Konstruktion von Zeitobservablen, die auf einer Gleichzeitigkeitsrelation zwischen 'Beobachtungen' beruht, die als primitives Konzept zugrunde gelegt werden und intuitiv Messereignissen entsprechen - ohne jedoch zu wissen, 'wann' diese stattfinden. Es gibt keine fundamentale Zeitobservable; jede Observable eignet sich als Zeitobservable, sofern sich damit alle Zeitpunkte trennen lassen. Kapitel 2 stellt kurz die drei wichtigsten Probleme der Zeit dar: a) Das Problem des Zeitpfeils, das vom Problem der Irreversibilität unterschieden werden muss: eine Lösung des letzteren schliesst im wesentlichen zyklische Bewegungen aus und wird für die Lösung des ersteren benötigt, das darin besteht zu zeigen, dass eine fundamentale Richtung zwischen zwei nicht identischen Zeitpunkten physikalisch bedeutsam ist. Wir geben eine formale Definition des Zeitpfeils an. An diese klassische Betrachtung schliesst sich eine Besprechung des Problems des Zeitpfeils in der Quantentheorie an, wo die Lage wegen des Indeterminismus erschwert ist. Die Diskussion zeigt, dass es keine experimentellen Anhaltspunkte für einen fundamentalen Zeitpfeil gibt, so dass kein Widerspruch zum relationalen Zeitkonzept auftritt. b) Die Zeitmessung, die für den relationalen Zugang, in dem Zeit nur insoweit real ist als sie mit einer Uhr gemessen werden kann, besonders wichtig ist. In der Quantenmechanik scheinen brauchbare Zeitoperatoren nur im verallgemeinerten Formalismus der positiven operatorwertigen Maße (POVM) nützlich zu sein. Andererseits erfordern Uhren, die auf einem Oszillationsmechnismus beruhen, Phasenmessungen; quantenmechanische Phasenoperatoren lassen sich als bestimmte POVM definieren. Phasendifferenz-Operatoren gibt es auch im herkömmlichen Hilbertraumformalismus bei Verwendung einer anderen Quantisierung, wie es auch bei der relationalen Quantisierung der Fall ist. c) Das Problem der Quantengravitation wird nur kurz umrissen. In Kapitel 3 wird ein Modell von Rovelli vorgestellt und diskutiert, das aus zwei Oszillatoren ohne externe Zeit besteht. In diesem Modell wird der eine Oszillator als Uhr verstanden und definiert eine relationale Zeit für den anderen. Im ersten Abschnitt führen wir das Modell ein und verallgemeinern es auf ein freies massloses skalares Feld in einer Dimension. Wir stellen eine Beziehung auf zwischen einer einzelnen Feldmode und dem Infrarotverhalten des Feldes, vermittelt über Konstanten der Bewegung. Nach einem kurzen Überblick über die kanonische Quantisierung besprechen wir im zweiten Abschnitt Rovellis Quantisierung und verallgemeinern sie auf das freie Feld. Wir konnten die Existenz einer Quantisierungsabbildung nicht beweisen, jedoch weisen Rechnungen mittels Computeralgebra darauf hin. Für eine erweiterte Algebra können wir die Nicht-Existenz einer Quantisierungsabbildung ähnlich zum Beweis von Groenewold und van Hove beweisen. In Kapitel 4 bemerken wir, dass eine Uhr-Zeit immer unendlich viele Freiheitsgrade erfordert, und wir stellen die Hypothese auf, dass eine Zeitobservable durch das Infrarotverhalten eines Quantenfeldes gegeben ist, was unter Benutzung der algebraischen Quantenmechanik auf einen klassischen Zeitbegriff führt. Dies löst jedoch nicht das Hauptproblem des Quantenrelationalismus: Welche Bedingungen legen eine bestimmte Zeitentwicklung fest?