title: Zugänge zur Nichtstandard-Analysis
Creators: name: Burian, Nicole
Publisher: name: :none
Year: 2008

description: Die Berechtigung der klassischen Infinitesimalrechung, wie sie heute verwendet wird, steht außer Frage. Trotzdem hat sich eine weitere Richtung im Umgang mit der Analysis entwickelt - die Nichtstandard-Analysis. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Zugängen zur Nichtstandard-Analysis. Es gibt bis heute viele verschiedene Wege, wie man sich der Nichtstandard-Analysis nähern kann. Den wesentlichstenUnterschied, macht es, ob man die den konstruktiven Weg von Abraham Robinson oderden axiomatische Weg von Edward Nelson wählt. In der vorliegenden Arbeit werden zwei Zugänge zur Nichtstandard-Analysis, die auf Robinsons Ansätzen aufbauen, genauer betrachtet und verglichen. Der erste Zugang, der beschrieben wird, ist der, den Dieter Landers und Lothar Rogge in ihrem „Buch Nichtstandard Analysis“ [Landers, Dieter und Rogge, Lothar: Nichtstandard Analysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1994] wählten. Dieses Buch ist vor allem im deutschsprachigen Raum eine der meistverwendeten Unterlagen zur Einführung in die Nichtstandard-Analysis. Die beiden deutschen Professoren haben mit sehr großer Ausführlichkeit ihren Zugang beschrieben, den man als einen axiomatischen Zugang innerhalb der Robinsonschen Nichtstandard-Analysis bezeichnen kann. Axiomatisch insofern, als sie Eigenschaften, die die hyperreellen Zahlen erfüllen sollen, axiomatisch vorgeben. Der von ihnen beschriebene Zugang verläuft über die Einführung von Superstrukturen. Diese sind im Grunde genommen Mengen, die so mächtig sind, dass sie für beliebige mathematische Theorien die nötigen Objekte als Elemente enthalten. Zusammen mit einer geeigneten Sprache, der Prädikatenlogik, werden dann die hyperreellen Zahlen eingeführt. Es wird axiomatisch vorgegeben, dass die reellen Zahlen eine echte Teilmenge der hyperreellen Zahen sind. Dies geschieht durch die Definitionen von satztreuen Einbettungenen und Nichtstandard-Einbettungen. Der zweite Zugang, auf den in der vorliegenden Arbeit eingegangen wird, ist der, den Tom Lindstrøm in seinem Artikel „An Invitation to Nonstandard Analysis“ [Lindstrøm , Tom: An Invitation to Nonstandard Analysis. In: Nonstandard Aalysis and its Applications, edited by Cutland, Nigel, Cambridge University Press 1988 (Seiten 1-105)] beschreibt. Dieser Artikel ist als Einführung zu dem von Nigel Cutland herausgegebenen Buch „Nonstandard-Analysis and its Applications“ erschienen. Dieses Buch wurde im Anschluss an eine Konferenz zu eben diesem Thema herausgegeben, wobei Lindstrøms Vortrag als relativ schneller Einstieg in die Nichtstandard-Analysis gedacht ist. Dementsprechend knapp und vor allem anwendungsorientiert ist dieser Artikel. Lindstrøms Zugang kann gegenüber dem axiomatischen Zugang von Landers und Rogge als ein konstruktiver Weg bezeichnet werden. Er konstruiert im Rahmen der Mengenlehre einen neuen Körper, in dem auch unendlich kleine und unendlich große Elemente enthalten sind. Seine Konstruktion verläuft mittels Äquvalenzklassen, die durch ein endliches additves Maß definiert werden und die man dann nach dem leichen Schema erhällt, wie man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen mittels Cauchy-Folgen erhällt. Nach einer Einführung in die jeweiligen Zugänge zur Nichtstandard-Analysis wird an Hand von Beispielen kurz gezeigt, wie sich die Nichtstandard-Analysis anwenden lässt. So wird etwa mit Nichtstandard-Methoden die Kettenregel für differenzierbare Funktionen bewiesen. An dieser Stelle ist es nicht mehr wesentlich welchen der beiden Zugänge zur Nichtstandard-Analysis man wählte, sie führen zur selben Theorie und unterscheiden sich ab dem Zeitpunkt nicht mehr. Es werden in der vorliegenden Arbeit die Unterschiede und Gemeinsamkeiten herausgearbeitet, sowie Vor- und Nachteile der jeweiligen Zugänge zur Nichtstandard-Analysis dargelegt. Wesentliche Unterschiede findet man natürlich vorallem beim konkreten Aufbau der Zugänge. Lindstrøm führt Beweise über die ¨ Aquvialezklassen und ihre komponentenweise Struktur, indem er damit Aussagen in den reellen Zahlen auf Aussagen in hyperreellen Zahlen überträgt. Mit der von ihm gewählten Konstruktion der hyperreellen Zahlen muss Lindstrøm immer wieder dieses Schema verwenden um Beweise zu führen. An dessen Stelle benützen Landers und Rogge das in der satztreuen Einbettung enthaltene und damit axiomatisch vorgegebene Transfer-Prinzip mit dessen Hilfe sich gültige Aussagen der reellen Zahlen in die hyperreellen Zahlen übertragen lassen. Damit ist auch schon eine Gemeinsamkeit angedeutet, denn es wird in dieser Arbeit gezeigt, dass das Transfer-Prinzip genau jenes Prinzip ist, dass hinter der Vorgehensweise von Lindstrøm steckt. Weitere Gemeinsamkeiten werden in der vorliegenden Arbeit bei den Themen interne Mengen und Standard-Mengen, sowie bei hyperendlichen Mengen und Saturationen gezeigt. Es wird dargelegt, wie man mit der Verwendung des Zugangs zur Nichtstandard-Analysis von Lindstrøm gemeinsam mit dem von Landers und Rogge Beweise noch eleganter führen kann. Außerdem wird auf die Tatsache eingegangen, dass beide Zugänge bei exakter Formulierung nicht ohne Ultrafilter auskommen, auch wenn diese in den Arbeiten nur im jeweiligen Anhang erwähnt werden. Es wird in der vorliegenden Arbeit gezeigt, dass sich Lindstrøms Zugang eher für weiterreichende Anwendungen der Nichtstandard-Analysis von Vorteil ist, währed Landers und Rogges Zugang sich auch zum Studium der Theorie selbst sehr gut eignet.