title: Approximation of Stochastic Partial Differential Equations with Applications to Order Book Modelling
Creators: name: Starovoitovs, Konstantins
Publisher: name: Humboldt-Universität zu Berlin
Year: 2025
Subjects: subject: stochastische partielle Differentialgleichungen
subject: Limit-Order-Bücher
subject: stochastische Poröse-Medien-Gleichung
subject: Marktmikrostruktur
subject: stochastic partial differential equations
subject: limit order books
subject: stochastic porous medium equation
subject: financial markets at a granular level
subject: 510 Mathematik

description: In den heutigen Finanzmärkten werden die meisten Transaktionen über elektronische Limit-Order-Bücher abgewickelt. Die mathematische Modellierung dieser Order-Bücher ist grundlegend für die Analyse der Marktmikrostruktur, die die detaillierten Mechanismen und Verhaltensweisen der Finanzmärkte auf einer granularen Ebene beschreibt. Insbesondere ist das Verständnis der Funktionsweise von Limit-Order-Büchern entscheidend für das Verständnis von Preisbildung, Liquiditätsbereitstellung und Markteffizienz. Diese Arbeit befasst sich mit zwei Fragestellungen: Im ersten Projekt erstellen wir Approximationen erster und zweiter Ordnung für ein unendlich-dimensionales Limit-Order-Buch-Modell in einem "kritischen" Skalierungsregime, bei dem Market- und Limit-Orders in ähnlicher Frequenz in das Order-Buch eingestellt werden. Die Approximation erster Ordnung ist durch ein gekoppeltes ODE-PDE-System gegeben, während die Approximation zweiter Ordnung durch eine nicht-degenerierte unendlich-dimensionale stochastische Evolutiongleichung beschrieben wird, die von einer zylindrischen Brownschen Bewegung getrieben wird. Wir beweisen, dass die Evolutiongleichung eine eindeutige Lösung besitzt, und zeigen, dass die Folge der reskalierten Limit-Order-Buch-Modelle schwach gegen diese Lösung konvergiert. Ein Nachteil des Modells ist, dass ohne zusätzliche Einschränkungen der Koeffizienten nicht garantiert ist, dass das Volumen über die Zeit nicht-negativ bleibt, was jedoch eine wünschenswerte Eigenschaft für Limit-Order-Buch-Modelle ist. Darüber hinaus könnte es in Märkten mit geringer Liquidität sinnvoll sein, größere Lücken zwischen den eingestellten Aufträgen in das Modell zu integrieren. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir deshalb nicht-negative Martingallösungen für eine SPDE, die sogenannte stochastische Poröse-Medien-Gleichung, die bei null ein reflektiertes und "klebriges" Verhalten aufweisen.
description: In today's financial markets, most transactions are processed via electronic limit order books. The mathematical modeling of these order books is fundamental for the analysis of the market microstructure, which describes the detailed mechanisms and behavior of financial markets at a granular level. In particular, a clear understanding of how limit order books function is crucial for the understanding of price formation, liquidity provision, and market efficiency. The objectives of this thesis are twofold. First, we establish a first and second-order approximation for an infinite dimensional limit order book model in a single ("critical") scaling regime, where market orders and limit orders occur on the same time scale. For this scaling, we achieve non-degenerate approximations at both, first and second-order level for the price and the volume dynamics. The first-order approximation results in a coupled ODE-PDE system, while the second-order approximation can be described through a non-degenerate infinite-dimensional stochastic evolution equation driven by a cylindrical Brownian motion. A drawback of the considered model is that without further restrictions on the coefficients it is not guaranteed that the volume will remain non-negative, which is a desirable feature for limit order book models. Moreover, in markets characterized by low liquidity, it may be sensible to integrate significant gaps between standing orders. In the second part of the thesis, we therefore construct non-negative martingale solutions to an SPDE, the so-called stochastic porous medium equation, which exhibit sticky-reflected behavior at zero.