title: Cohomological invariants for higher degree forms
Creators: name: Rupprecht, Christopher
Publisher: name: Universität Regensburg
Year: 2003
Subjects: subject: Homogenes Polynom , Diskriminante , Witt-Gruppen von Ringen , Forms of degree higher than 2 , Discriminants , Witt Groups of rings
subject: 510 Mathematik
subject: 15A15
subject: 19G99
subject: 19G12
subject: 11E76

description: Let $r&gt;2$ be an integer and let $K$ be a field in which $r!$ is invertible. An $r$-form over $K$ is an equivalence class of regular finite-dimensional $K$-multilinear forms of degree $r$. The operation of direct sums allows the definition of a Witt Grothendieck group of $r$-forms over $K$. It becomes a ring with the multiplication induced by the tensor product of $r$-forms. The properties of the Witt Grothendieck ring of $r$-forms for $r&gt;2$ are quite different from the quadratic case. For example, we have unique sum decomposition, but no diagonalization, and there is an invariant commutative $K$-algebra called the center of an $r$-form, which in unknown to the theory of quadratic forms. We study invariants of $r$-forms. One way to obtain invariants is Galois descent: We obtain a Galois cohomological classification for forms of the Fermat equation, which can also be described as so-called separable forms arising in a natural way from separable extensions of $K$. This description allows the definition of cohomological invariants for separable $r$-forms, one of them being equal to the previously mentioned center invariant. We also obtain two invariants called permanent and determinant, the second being only defined if $r$ is even, both with values in the group $H^1(K,\mu_r)=K^*/K^{*r}$. We find that the determinant can be computed by a formula in the coefficients of the $r$-form, which is a generalization of the Leibniz formula for the quadratic determinant and which has already studied by Cayley and others in the 19th century. This extends the determinant to arbitrary $r$-forms of even degree. Another classical invariant for $r$-forms is the discriminant, a homogenous polynomial in the coefficients of an $r$-forms, which vanishes if and only if the corresponding projective hypersurface is singular. We find that the discriminant of a separable $r$-form is essentially equal to its permanent if $r$ is odd, and to its determinant if $r$ is even. To check if these invariants just depend on the motive of the $r$-form, we analyze a formula computing the zeta function of a separable $r$-form over a finite field and obtain a comparison result relating the zeta function and the discriminant of a separable $r$-form over a finite field. Finally we discuss the consequences of the obtained results with respect to a possible definition of hyperbolic $r$-forms.
description: Sei $r &gt;2$ eine ganze Zahl und sei $K$ ein Körper, in dem $r!$ invertierbar ist. Ein $r$-Form über $K$ ist eine Äquivalenzklasse regulärer endlich-dimensionaler $K$-multilinearer Formen vom Grad $r$ über $K$. Die Verknüpfung durch direkte Summen liefert die Definition einer Witt Grothendieck Gruppe der $r$-Formen über $K$, und mit der Multiplikation durch das Tensorprodukt bildet diese einen Ring. Der Witt Grothendieck Ring der $r$-Formen im Fall $r&gt;2$ unterscheidet sich bedeutend vom quadratischen Fall. Zum Beispiel haben wir eindeutige Summenzerlegung, aber keine Diagonalisierung, und eine $r$-Form besitzt eine invariante kommutative $K$-Algebra, das sogenannte Zentrum, für das es in der Theorie der quadratischen Formen keine Entsprechung gibt. Wir studieren Invarianten der $r$-Formen. Eine Methode, Invarianten zu erhalten, ist der Galoissche Abstieg: Wir erhalten eine Galoiskohomologische Klassifikation für alle Formen der Fermat-Varietät, die sogenannten separablen $r$-Formen. Für diese Formen haben wir eine weitere Beschreibung, die man in natürlicher Weise aus separablen $K$-Algebren erhält. Die Klassifikation liefert verschiedene kohomologische Invarianten für separable $r$-Formen, von denen Eine identisch zur eingangs erwähnten Zentrum-Invariante ist. Zwei weitere Invarianten sind die Permanente und die Determinante, die beide Werte in der Gruppe $H^1(K,\mu_r)=K^*/K{*r}$ annehmen und von denen die Letztere nur für gerades $r$ definiert ist. Wir stellen fest, das die Determinante durch eine Formel in den Koeffizienten berechnet wird, welche eine direkte Verallgemeinerung der Leibniz-Formel für quadratische Determinanten ist und bereits im 19ten Jahrhundert von Cayley und anderen betrachtet wurde. So erhalten wir eine Definition der Determinante für beliebige $r$-Formen von geradem Grad. Eine weitere Invariante der $r$-Formen ist die Diskriminante, ein Polynom in den Koeffizienten der $r$-Form, welches genau dann verschwindet, wenn die zugehörige projektive Hyperfläche singulär ist. Wir stellen fest, dass die Diskriminante einer separablen $r$-Form durch die Permanente berechnet wird, wenn $r$ ungerade ist, und durch die Determinante, wenn $r$ gerade ist. Um zu prüfen, ob diese Invarianten nur vom Motiv einer $r$-Form abhängen, analysieren wir eine Formel für die Zetafunktion einer separablen $r$-Form über einem endlichen Körper und erhalten ein Resultat, das die Zetafunktion und die Diskriminante einer separablen $r$-Form über einem endlichen Körper in Beziehung setzt. Schließlich diskutieren wir die Ergebnisse im Hinblick auf eine mögliche Definition der hyperbolischen $r$-Formen.