title: Fractional diffusion limits of kinetic transport equations
Creators: name: Aceves, Sanchez Pedro
Publisher: name: :none
Year: 2016

description: Die Arbeit widmet sich dem Studium des makroskopischen Grenzwert verschiedener kinetischer Gleichungen mit langsam abklingenden Gleichgewichtsverteilungen. Im klassischen Fall ist die Gleichgewichtsverteilung eine Maxwell-Verteilung. Für diesen Fall besagt ein bekanntes Resultat aus der Theorie der kinetischen Gleichungen, dass das asymptotische Verhalten einer linearen kinetischen Transportgleichung mit parabolischer Skalierung durch eine Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird. Wird die Maxwell-Verteilung jedoch durch eine langsam abklingende Gleichgewichtsverteilung ersetzt, handelt es sich beim makroskopischen Limes um eine fraktionale Wärmeleitungsgleichung, Die Arbeit besteht aus vier voneinander unabhängigen Teilen, welche für eine Publikation eingereicht bzw. bereits akzeptiert wurden. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine gestörte lineare kinetische Transportgleichung betrachtet, wobei eine ausgezeichnete Richtung im Konvektionsterm eingeführt wird. Eine mögliche Interpretation dieses Modells ist die Modellierung von Bakterien, welche unter Einfluss von Chemotaxis, in Regionen mit einer höheren Wirkstoffkonzentration gelockt werden. Dabei ist die Wirkstoffkonzentration orts- und zeitabhängig. Betrachtet man daher im Rahmen dieses Modells die Gleichgewichtsverteilung des gesamten Streuoperators, so besteht zusätzlich zur Geschwindigkeitsabhängigkeit eine Abhängigkeit von Ort und Zeit. Trotz dieser Schwierigkeiten sind wir in der Lage A-PrioriAbschätzungen herzuleiten, die es erlauben zum Grenzwert überzugehen und eine fraktionale Drift-Diffusions-Gleichung auf rigorose Weise abzuleiten. Im zweiten Teil betrachten wir den Fall einer linearen Vlasov-Boltzmann Gleichung mit langsam abklingender Gleichgewichtsverteilung auf dem Ganzraum sowie einer ortsund zeitabhängigen äußeren Kraft. Es ist bekannt, dass der lineare Boltzmann-Streuoperator eine `spectral gap' besitzt. Jedoch erhalten wir ebenfalls einen koerzitiven Operator, wenn wir eine externe Kraft hinzufügen. Dieses Ergebnis liefert uns geeignete Apriori- Abschätzungen, welche es ermöglichen, den makroskoptischen Limes auf rigorose Weise herzuleiten. Die Gleichung, die den Grenzwert beschreibt, ist eine fraktionale Wärmeleitungsgleichung mit einem advektiven Term. Für ein bestimmtes Abklingverhalten der Gleichgewichtsverteilung betrachten wir auch den Grenzwert im Fall starker Felder welcher als mikroskopischer Grenzwert eine Drift-Gleichung liefert. Der dritte Teil behandelt die Berechnung des makroskopischen Limes einer linearen fraktionalen Vlasov-Fokker-Planck-Gleichung. Dabei ist die externe Kraft nicht mit einer Poisson-Gleichung gekoppelt. Vielmehr handelt es sich um eine gegebene orts- und zeitabhängige Funktion. Es ist eine wohlbekannte Tatsache, dass der Fokker-Planck- Operator koerzitiv ist. Allerdings können wir mit Hilfe der fraktionalem-Poincare- Ungleichung auch die Koerzitivität für den fraktionalen Fokker-Planck-Operator nachweisen. Zusätzlich können wir die Koerzitivität auch für einen Operator zeigen, der sich aus dem fraktionalen Fokker-Planck-Operator und der externen Kraft zusammensetzt. Diese Eigenschaft sowie der Einsatz quadratischer Entropien erlaubt es, A-Priori-Absch ätzungen herzuleiten. Mit diesen sowie einer geeignet gewählten Testfunktion gelingt es uns schließlich, den makroskopischen Limes rigoros zu bestimmen. Im letzten Teil der Arbeit wird eine lineare kinetische Transportgleichung mit langsam abklingender Gleichgewichtsverteilung in einem glatt-berandeten Gebiet mit `zero inflow'-Randbedingungen betrachtet. Zunächst werden A-Priori-Abschätzungen mit Hilfe quadratischer Entropien, welche aus der Koerzitivität des Streuoperators folgen, abgeleitet. Mit Hilfe einer Technik, die auch als Methode der Momente bezeichnet wird, kann schließlich der makroskopische Limes bestimmt werden. Dabei wird diese Methode so angepasst, dass auch die Randbedingungen berücksichtigt werden können. Insbesondere müssen die Testfunktion in der Nähe des Randes quadratisch abfallen. Im Falle eines beschränkten konvexen Gebiets erinnert der makroskopische Grenzwert an eine fraktionale Wärmeleitungsgleichung mit einem eingeschränkten fraktionalen Laplace-Operator. Für nicht-konvexe Gebiete liefert der makroskopische Limes jedoch überraschenderweise einen vollkommen anderen Operator.
description: This thesis is devoted to the study of macroscopic limits of various kinetic equations featuring a heavy tailed equilibrium distribution. In the classical case in which the equilibrium distribution is a Maxwellian it is a well-known result in kinetic theory that the asymptotic behavior of a linear kinetic equation with a parabolic scaling is governed by a heat equation. However, if the Maxwellian is replaced by an equilibrium distribution having a heavy tail then the macroscopic limit is a fractional heat equation. This thesis consists of four independent works which have been submitted or accepted for publication. The first part of this work consist in the study of a perturbed linear kinetic transport equation in which a preferred direction is introduced into the perturbation term. One possible interpretation of this model is the modeling of bacteria which under chemotaxis choose to go to regions of higher chemo-attractant. The chemo-attractant concentration is space and time dependent. Therefore if we consider the equilibrium distribution of the whole scattering operator we shall have a space and time dependent equilibrium distribution in addition to the velocity dependence. However, we can overcome this difficulty and obtain a priori estimates which are used to pass to the limit and obtain a fractional-drift-diffusion equation in a rigorous manner. In the second part we consider the case of a linear Vlasov-Boltzmann equation with a heavy tailed equilibrium distribution in the whole domain and with a given external force depending in space and time. It is a well-known fact that the linear kinetic scattering operator has a spectral gap, however, we also obtain a coercive operator if we add the external force term. This result give us appropriate a priori estimates which enable us to obtain the macroscopic limit in a rigorous manner. The limiting equation is a fractional heat equation with an advective term. In addition, under certain decay behavior of the equilibrium distribution we also consider the high-field limit obtaining as a macroscopic limit a drift equation. The third part is concerned with obtaining the macroscopic limit of a linear Vlasov fractional-Fokker-Planck equation where the external force is not coupled to a Poisson equation but it is given and it is space and time dependent. It is well-known that the Fokker-Planck operator is coercive, however, thanks to a fractional Poincare inequality we also prove that the fractional-Fokker-Planck operator is coercive. In addition, we prove that if we introduce an operator consisting of the fractional-Fokker-Planck operator together with the external force term the coercivity property also holds. This property allow us to obtain a priori estimates using quadratic entropies. Using these a priori estimates and an auxiliary test function method permit us to obtain the macroscopic limit rigorously. Finally, the fourth part consists in the study of a linear kinetic transport equation with heavy tailed equilibrium distribution in a smooth bounded domain with zero inflow boundary conditions. We obtain a priori estimates thanks to quadratic entropies derived from the coercivity property of the scattering operator. The macroscopic limit is established using a technique known as the moments method. This method is adapted in order to take into account the boundary conditions. In particular, the test functions considered have a quadratic decay at the boundary. The macroscopic limit is reminiscent of a fractional heat equation with a restricted fractional Laplace operator in a bounded convex domain. However, in a non-convex domain we unexpectedly obtain a completely different operator.