title: Besov-Regularität der Lösung von Navier-Stokes-Gleichungen
title: Besov Regularity of Solutions to Navier-Stokes Equations
title: Besov Regularity of Solutions to Navier-Stokes Equations
Creators: name: Eckhardt, Frank
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2016
Subjects: subject: Wavelet
subject: Besov space
subject: Stokes equation, Navier-Stokes equation
subject: nonlinear approximation
subject: Numerische Mathematik
subject: weighted Sobolev estimate
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Mathematik
subject: Regularität
subject: Navier-Stokes, Besov-Regularität
subject: adaptive Wavelet-Verfahren

description: This thesis is concerned with the
      regularity of solutions to Navier-Stokes and Stokes equation
      on domains with point singularities, namely polyhedral
      domains contained in R3 and general bounded Lipschitz domains
      in Rd, d ≥ 3 with connected boundary. The Navier-Stokes
      equations provide a mathematical model of the motion of a
      uid. These Navier-Stokes equations form the basis for the
      whole world of computational uid dynamics, and therefore they
      are considered as maybe the most important PDEs known so far.
      We consider the stationary (Navier-)Stokes equations. The
      study the Besov regularity of the solution in the scale BsƬ
      (LƬ (Ω))d, 1/Ƭ = s/d + 1/2 of Besov spaces. This scale is the
      so-called adaptivity scale. The parameter s determines the
      approximation order of adaptive numerical wavelet schemes and
      other nonlinear approximation methods when the error is
      measured in the L2-norm. In contrast to this the convergence
      order of linear schemes is determined by the classical
      L2-Sobolev regularity. In many papers the Besov regularity of
      the solution to various operator equations/partial
      differential equations was investigated. The proof of Besov
      regularity in the adaptivity scale was in many contributions
      performed by combining weighted Sobolev regularity results
      with characterizations of Besov spaces by wavelet expansions.
      Choosing a suitable wavelet basis the coeffcients of the
      wavelet expansion of the solution can be estimated by
      exploiting the weighted Sobolev regularity of the solution,
      such that a certain Besov regularity can be established. This
      technique was applied for the Stokes system in all papers
      which are part of this thesis. For achieving Besov regularity
      for Navier-Stokes equation we used a fixed point argument. We
      formulate the Navier-Stokes equation as a fixed point
      equation and therefore regularity results for the
      corresponding Stokes equation can be transferred to the
      non-linear case. In the first paper "Besov regularity for the
      Stokes and the Navier-Stokes system in polyhedral domains" we
      considered the stationary Stokes- and the Navier-Stokes
      equations in polyhedral domains. Exploiting weighted Sobolev
      estimates for the solution we proved that the Besov
      regularity of the solutions to these equations exceed their
      Sobolev regularity. In the second paper "Besov Regularity for
      the Stationary Navier-Stokes Equation on Bounded Lipschitz
      Domains" we have investigated the stationary (Navier-)Stokes
      equations on bounded Lipschitz domain. Based on weighted
      Sobolev estimates again we could establish a Besov regularity
      result for the solution to the Stokes system. By applying
      Banach's fixed point theorem we transferred these results to
      the non-linear Navier-Stokes equation. In order to apply the
      fixed point theorem we had to require small data and small
      Reynolds number.
description: In der vorliegenden Arbeit
      beschäftigen wir uns mit der Regularität von Lösungen zu
      Navier-Stokes- und Stokes-Gleichungen auf Gebieten mit
      Randsingularitäten. Mit Hilfe der Navier-Stokes-Gleichungen
      lassen sich die Ausbreitung von Fluiden mathematisch
      modellieren. Sie bilden die Grundlage der gesamten
      Strömungsmechanik und gelten daher als eine der wichtigsten
      partiellen Differentialgleichungen überhaupt. Wir betrachten
      stationäre, d.h. zeitunabhängige (Navier-)Stokes-Gleichungen
      in polyhedralen Gebieten im R3 und in allgemeinen
      beschränkten Lipschitz-Gebieten mit zusammenhängenden Rand im
      Rd, d ≥ 3. Wir bestimmen die Regularität s in der Skala von
      Besov-Räumen BsƬ (LƬ (Ω))d, 1/Ƭ = s/d + 1/2. Diese Skala ist
      die sogenannte Adaptivitäts-Skala. Der Glattheitsparameter s
      bestimmt die Konvergenzordnung von bestimmten adaptiven,
      numerischen Wavelet-Verfahren, sowie von anderen nicht
      linearen Approximationsmethoden. Die Konvergenzordnung von
      linearen Verfahren wird dagegen durch die klassische
      L2-Sobolev-Regularität der Lösung bestimmt. In zahlreichen
      Arbeiten wurde die Besov-Regularität in der
      Adaptivitäts-Skala von Lösungen verschiedener
      Operatorgleichunge/partiellen Differentialgleichungen
      untersucht. Dabei wurden Resultate über gewichtete
      Sobolev-Regularität verwendet, um die Koeffzienten einer
      Wavelet-Entwicklung der Lösung geeignet abzuschätzen. Diese
      Beweisidee beruht auf der Charakterisierung der Besov-Räume
      durch Wavelets. Diese Technik wurde in dieser Arbeit
      verwendet, um Besov-Regularität für die Lösungen der
      (Navier-)Stokes-Gleichungen auf polyhedralen Gebieten, sowie
      der Stokes-Gleichung auf Lipschitz-Gebieten zu beweisen. Um
      Besov-Regularität für die Navier-Stokes-Gleichung auf
      Lipschitz-Gebieten zu etablieren, wurde ein Fixpunktargument
      angewendet: Die Navier-Stokes-Gleichung lässt sich als
      Fixpunktproblem formulieren, so dass sich die nicht lineare
      Gleichung als lineare Gleichung mit modifzierte rechter Seite
      auffassen lässt. Die Regularitätsaussagen folgen dann aus den
      entsprechenden Aussagen für die Stokes-Gleichung. In dem
      ersten Paper "Besov regularity for the Stokes and the
      Navier-Stokes system in polyhedral domains" haben wir die
      Regularität der Lösungen der stationären (Navier-)
      Stokes-Gleichungen in polyhedralen Gebieten untersucht. Unter
      Zuhilfenahme von gewichteten Sobolev-Regularitätsaussagen für
      die Lösung konnten wir Besov-Regularitätsresultate beweisen,
      die zeigen, dass die Besov-Regularität die
      Sobolev-Regularität der Lösung tatsächlich übertrifft. In der
      zweiten Arbeit "Besov Regularity for the Stationary
      Navier-Stokes Equation on Bounded Lipschitz Domains" haben
      wir die Besov-Regularität der Lösung von
      (Navier-)Stokes-Gleichungen in beschränkten Lipschtz-Gebieten
      untersucht. Genau wie bei der Untersuchung in polyhedralen
      Gebieten, wurden hier gewichtete Sobolev-Abschätzungen
      verwendet, um Besov-Regularität der Lösung für die
      Stokes-Gleichung zu zeigen. Um entsprechende Aussagen für die
      Navier-Stokes-Gleichung zu zeigen, haben wir den Banach'schen
      Fixpunktsatz angewandt. Um die Existenz eines Fixpunktes
      garantieren zu können, sind Bedingungen an das Gebiet, die
      Norm der rechten Seite, sowie der Reynolds-Zahl zu
      stellen.