title: Mathematische Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Creators: name: Sedivy, Arthur
Publisher: name: :none
Year: 2017

description: In dieser Diplomarbeit werden die mathematischen Grundlagen zum Verständnis der Einsteingleichungen, die der Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegen, dargestellt. Dazu wird in Teil I der Begriff der glatten Mannigfaltigkeit M als ''Erweiterung'' des Euklidischen Raumbegriffs Rn eingeführt. Ein wichtiges Werkzeug dabei sind Karten, die lokal Mannigfaltigkeiten beschreiben. Weiterhin werden Objekte eingeführt die auf diesen Mannigfaltigkeiten ''leben'': Von den einfachen Funktionen über Vektorfelder und Einsformen bis zu ihren Verallgemeinerungen, den Tensorfeldern. Im Teil II wird nun mittels dieser Objekte auf Manngifaltigkeiten eine Geometrie definiert, die in der sogenannten Metrik g, ein (0,2)-Tensorfeld auf M, kodiert ist. Die Metrik definiert dabei an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein (0,2)-Skalarprodukt. Semi-Riemann Mannigfaltigkeiten (SRMF) werden als Mannigfaltigkeiten definiert, auf denen eine Metrik gegeben ist. Mit Hilfe der Metrik g wird Differentialgeometrie auf SRMF betrieben und zunächst der Ableitungsbegriff in Gestalt des Levi-Civita Zusammenhangs definiert. Daraus ergeben sich sowohl die kovariante Ableitung von Tensorfeldern, sowie der Paralleltransport von Tensorfeldern längs Kurven. Die Wegabhängigkeit dieses Paralleltransports kann als intrinsische Eigenschaft von SRMF angesehen werden. Ist lokal der Paralleltransport wegunabhängig, wird die Mannigfaltigkeit dort flach genannt. Der Riemanntensor R wird definiert als ein Maß dafür, wie stark eine Mannigfaltigkeit lokal von der flachen Geometrie des Rn abweicht. Damit wird der Begriff der Krümmung für Mannigfaltigkeiten definiert. Weiters werden der Ricci Tensor Ric sowie die skalare Krümmung S als abgeleitete Größen des Riemanntensors definiert. Abschließend werden in Teil II auch noch wichtige Differentialoperatoren für SRMF definiert, die den Vektorkalkül des R3 verallgemeinern. Im dritten Teil der Diplomarbeit steht die physikalische Interpretation im Vordergrund. Das Formulieren von physikalischen Gesetzen unter gewissen Invarianzen führt zu den Begriffen der speziellen bzw. allgemeinen Kovarianz, was auf die Formulierung der Speziellen bzw. Allgemeinen Relativitätstheorie führt. In der Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie wird das Raumzeit-Kontinuum als spezielle Form der SRMF, genauer eine zeitorientierte 4-dimensionale Lorentzmannigfaltigkeit, definiert. Teilchen die sich auf dieser Raumzeit bewegen, sowie die Berechnung von Impulsen und Energien werden in Teil III diskutiert. Für eine kontinuierliche ''Teilchenverteilung'' wird der Energie-Impuls Tensor definiert, der bestimmten (empirischen) Regeln genügen muss. Sogenannte Gezeitenkräfte sind physikalische Manifestationen der Gravitation auf frei fallende Teilchen. Der Vergleich der Formulierungen dieser Gezeitenkräfte in klassischer (Newton'scher) Gravitationstheorie, sowie in der Differentialgeometrie von SRMF wird als Motivation für die Form der Einsteingleichungen hergenommen. Dies führt auf die Definition des Einsteintensors und damit zur abschließenden Formulierung der Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie.