Μία εισαγωγή στην ελεύθερη μερικώς μεταθετική Lie άλγεβρα
Creators: name: Αχλάτη, Ευτυχία Χρήστου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2017
Subjects: Ελεύθερη μερικώς μεταθετική Lie άλγεβρα
Ελεύθερη Lie άλγεβρα
Lyndon λέξεις
Free partially commutative Lie algebra
Free Lie algebra
Lyndon words

description: Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μία εισαγωγή στην ελεύθερη μερικώς μεταθετική Lie άλγεβρα. Συγκεκριμένα μας ενδιαφέρει η περίπτωση στην οποία οι Lie άλγεβρες ορίζονται πάνω από τον δακτύλιο των ακεραίων. Το κύριο αποτέλεσμά μας είναι ότι η ελεύθερη μερικώς μεταθετική Lie άλγεβρα πάνω από ένα πεπερασμένο αλφάβητο Α, ως προς μία μερικώς μεταθετική σχέση σε αυτό, αποτελεί ελεύθερη αβελιανή ομάδα. Η εργασία αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Στόχος του πρώτου κεφαλαίου είναι η εξοικείωση του αναγνώστη με την έννοια της Lie άλγεβρας, καθώς και της Lie υποάλγεβρας, του Lie ιδεώδους και του Lie ομομορφισμού, μέσα από λεπτομερή παραδείγματα και παρατηρήσεις. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις λέξεις (δηλαδή, ακολουθίες συμβόλων που καλούνται γράμματα), είναι αυτοτελές και δεν απαιτεί προγενέστερες γνώσεις της Συνδυαστικής των Λέξεων. Στην ενότητα 2.1 ορίζεται το ελεύθερο μονοειδές και αποδεικνύεται η καθολική του ιδιότητα. Στην ενότητα 2.2 ασχολούμαστε με συζυγείς και αρχικές λέξεις, με σκοπό τον υπολογισμό του πλήθους των κλάσεων συζυγίας αρχικών λέξεων μήκους n πάνω από ένα αλφάβητο Α με k γράμματα. Η τελευταία ενότητα παρουσιάζει τις Lyndon λέξεις ως εκείνες τις αρχικές λέξεις που είναι οι μικρότερες στην κλάση συζυγίας τους, ως προς τη λεξικογραφική διάταξη του ελεύθερου μονοειδούς. Υπολογίζεται το πλήθος των Lyndon λέξεων μήκους n και αποδεικνύονται ισοδύναμοι, πιο εύχρηστοι ορισμοί τους. Στο τρίτο κεφάλαιο, ορίζουμε την ελεύθερη Lie άλγεβρα L(A) και το Θεώρημα 3.2.1 μας δίνει έναν τρόπο κατασκευής της από την ελεύθερη προσεταιριστική άλγεβρα πάνω από ένα πεπερασμένο, μη κενό σύνολο Α. Μάλιστα, αποδεικνύουμε ότι η L(A) είναι ελεύθερο module, βρίσκοντας μία βάση της με χρήση των Lyndon λέξεων (Θεώρημα 3.3.1). Επίσης, δείχνουμε πώς ο τύπος του Witt δίνει τη βαθμίδα της n-οστής ομογενούς συνιστώσας της L(A). Στο τέταρτο κεφάλαιο, διατυπώνεται, αρχικά, το Θεώρημα Απαλοιφής του Lazard και εισάγονται οι απαραίτητοι συμβολισμοί ώστε να μπορέσουμε να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε το άκρως σημαντικό Θεώρημα 4.3.1, καθώς και τα Πορίσματα 5 και 6, που θα μας χρειαστούν για την απόδειξη του κύριου θεωρήματος. Πλέον, στην ενότητα 4.4, είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε το κύριο αποτέλεσμα της εργασίας, μέσα από μία κατασκευαστική-επαναληπτική μέθοδο που κάνει χρήση των παραπάνω αποτελεσμάτων. Κλείνοντας την εργασία, παραθέτουμε δύο παραδείγματα εφαρμογής αυτής της μεθόδου
description: This MSc thesis is an introduction to free partially commutative Lie algebras. Specifically, we are interested in the case in which Lie algebras are defined over the ring of integers. Our main result is that the free partially commutative Lie algebra over a finite alphabet A, relative to a partial commutation relation on A, is a free abelian group. This thesis is divided into four chapters. The aim of the first chapter is to make the reader familiar with the concept of Lie algebra, as well as of Lie subalgebra, Lie ideal and Lie homomorphism, through detailed examples and remarks. The second chapter is devoted to words (i.e. sequences of symbols called letters), it is self-contained and does not require any previous knowledge of Combinatorics on Words. In section 2.1, we define the free monoid and its universal property is proved. In section 2.2, we deal with conjugate and primitive words, in order to compute the number of conjugate classes of primitive words of length n over a k-letter alphabet A. The last section introduces Lyndon words as those primitive words that are minimal in their conjugate class, with respect to the lexicographic order of the free monoid. We compute the number of Lyndon words of length n and a number of equivalent, handier definitions of them are proven. In chapter 3, we define the free Lie algebra L(A), and Theorem 3.2.1 gives us a way of constructing it from the free associative algebra over a finite, non empty set A. Indeed, we prove that the module L(A) is free by finding a basis using Lyndon words (Theorem 3.3.1). Also, we show how Witt’s formula calculates the rank of the n-th homogeneous component of L(A). In chapter 4, we initially state Lazard's Elimination Theorem and we introduce the necessary notations, in order to be able to formulate and prove the essential Theorem 4.3.1, as well as Corollaries 5 and 6, which we will need for the proof of our main theorem. Finally, in section 4.4, we are ready to prove the main result of our paper, through a constructive-repetitive method that uses the abovementioned results. In the end of the paper, we cite two examples in which this method is applied