Geometric construction of Yang-Mills fields in maximally symmetric spacetimes
Creators: name: Picanço Costa, Gabriel
Publisher: name: Hannover : Institutionelles Repositorium der Leibniz Universität Hannover
Year: 2024
Subjects: subject: Yang-Mills theory
subject: FLRW universes
subject: Electromagnetic knots
subject: Yang-Mills-Theorie
subject: FLRW-Universen
subject: Elektromagnetische Knoten
subject: Dewey Decimal Classification::500 | Naturwissenschaften::530 | Physik

description: In this thesis, we explore results from geometric construction methods of Yang--Mills fields in maximally symmetric spacetimes, including cosmological applications and abelian reductions in different settings. Such efforts were inspired by the development of a new construction method for electromagnetic knots in Minkowski space from an abelian reduction of an $\SU(2)$ Yang--Mills theory in a Lorentzian cylinder over the three-sphere $S^3 \simeq \SU(2)$, which is then conformally mapped into $\Rds^{1,3}$. My investigations and results will be presented in three parts, each with partially independent motivations, conclusions, and prospects for advancement. The first set of results concerns the previously constructed basis of electromagnetic knots in Minkowski space. We investigated conserved charges associated with the conformal invariance of the solutions, which helped us better understand some of their physical properties and to compare them with other known electromagnetic knots constructed from different established methods. In particular, we found specific parameter choices that allowed us to reproduce generalisations of the Rañada-Hopf knot, such as rotated Hopfions, and torus knots from Bateman's construction. Moreover, as studies on the reproduction of such knotted solutions in the lab advance, we performed a numerical investigation and documented the effects of the electromagnetic knots from our basis on charged particles, which is relevant data for possible experimental applications in the future. Motivated by the aforementioned results from the $\SU(2)$ Yang--Mills field on $\dS4$, we explored what further results can be obtained from Yang--Mills theories constructed with similar use of the geometric structure of other maximally symmetric spacetimes. We first used a piecewise foliation of the Minkowski spacetime by orbits of the Lorentz group to construct an $\SO(1,3)$ gauge theory in the different regions, which, after a regularisation on the lightcone, produced a Yang--Mills field whose energy-momentum tensor is global in $\Rds^{1,3}$ and is given by an improvement term. Then, we explored an $\SU(1,1)$ gauge theory on $\AdS4$ foliated with $\AdS3$ sheets and conformally mapped it into $\Rds^{1,3}$. The abelian reduction of the non-abelian gauge theory generated the hyperbolic equivalent of the Rañada-Hopf knot. We showed that one of its projections into a plane was a known magnetic vortex in $1{+}2$ dimensions. We finalised by discussing the prospects of a method to generate an uncountable basis of hyperbolic equivalents of the previously discussed electromagnetic knots. The last set of results concerns the coupling of the Yang--Mills theory to General Relativity in Friedmann universes. We showed that, in any spacetime dimension, the equivariant Ansatz of any Yang--Mills theory on a cylinder over a symmetric space has its dynamics reduced to that of a Newtonian scalar degree of freedom subjected to a quartic potential. The effect of such gauge fields on the spacetime dynamics is simply reduced to the Wheeler-DeWitt constraint, which relates the initial conditions in the Einstein--Yang--Mills system. Moreover, we showed that, in spacetime dimensions other than four, a dynamical scale factor induces a Hubble friction-like term in conformal time in the reduced equation of motion for the gauge sector. Lastly, we investigated a model where an $\SO(4)$-symmetric $\SU(2)$ Yang--Mills field thermodynamically stabilises the symmetric Higgs vacuum in a closed Friedmann universe in the electroweak epoch. We probed generic fluctuations of the gauge field and showed that it is unstable under any perturbation other than the singlet, which we solved exactly and found is marginally stable.
description: In dieser Arbeit behandeln wir geometrische Konstruktionsmethoden von Yang-Mills-Feldern in maximal symmetrischen Raumzeiten, einschließlich kosmologischer Anwendungen und verschiedene Fälle abelscher Reduktionen. Bemühungen dieser Art wurden inspiriert durch die Entwicklung einer neuen Konstruktionsmethode für elektromagnetische Knoten im Minkowski-Raum, bei welcher die abelsche Reduktion einer $\SU(2)$ Yang—Mills-Theorie auf einem Lorentz-Zylinder über der Dreisphäre $S^3 \simeq \SU(2)$ konform in den $\Rds{1,3}$ überführt wird. Meine Untersuchungen und Ergebnisse werden in drei Teilen präsentiert, von denen jeder seine eigenen teils unabhängigen Motivationen, Schlussfolgerungen und Aussichten auf Fortschritte hat. Der erste Satz von Ergebnissen behandelt die Basis aus elektromagnetischen Knoten im Minkowski-Raum. Wir untersuchten erhaltene Ladungen, die mit der konformen Invarianz der Lösungen verbunden sind, was uns dabei half, einige ihrer physikalischen Eigenschaften besser zu verstehen und sie mit anderen bekannten elektromagnetischen Knoten zu vergleichen, die mit verschiedenen etablierten Methoden konstruiert wurden. Insbesondere fanden wir spezifische Parameterauswahlen, die es uns ermöglichten, Verallgemeinerungen des Rañada-Hopf-Knotens wie rotierte Hopfionen und Torusknoten aus Batemans Konstruktion zu reproduzieren. Darüber hinaus führten wir im Zuge der Weiterentwicklung der Studien zur Reproduktion solcher verknoteten Lösungen im Labor eine numerische Untersuchung durch und dokumentierten die Auswirkungen der elektromagnetischen Knoten aus unserer Basis auf geladene Teilchen, was relevante Daten für mögliche experimentelle Anwendungen in der Zukunft darstellt. Motiviert durch die oben genannten Ergebnisse aus dem $\SU(2)$ Yang-Mills-Feld auf $\dS4$, erforschten wir, welche weiteren Ergebnisse aus Yang-Mills-Theorien erzielt werden können, die sich durch ähnliche Konstruktionen mittels geometrischer Strukturen anderer maximal symmetrischer Raumzeiten ergeben. Zunächst verwendeten wir eine stückweise Blätterung der Minkowski-Raumzeit durch Orbits der Lorentz-Gruppe, um eine $\SO(1,3)$ Eichtheorie in den verschiedenen Regionen zu konstruieren, die nach einer Regularisierung auf dem Lichtkegel ein Yang-Mills-Feld erzeugte, dessen Energie-Impuls-Tensor global in $\Rds^{1,3}$ ist und durch einen Verbesserungsterm gegeben ist. Dann erforschten wir eine $\SU(1,1)$ Eichtheorie auf einer Blätterung des $\AdS4$ mit $\AdS3$ als Blätter und bildeten diese anschließend konform in den $\Rds^{1,3}$ ab. Die abelsche Reduktion einer solch generierten Lösung erzeugte das hyperbolische Äquivalent des Rañada-Hopf-Knotens, der sich in einer Projektion in $1{+}2$-Dimensionen als bekannter magnetischer Vortex herausstellte. Abschließend diskutierten wir die Aussichten einer Methode zur Erzeugung einer überabzählbaren Basis von hyperbolischen Äquivalenten der zuvor diskutierten elektromagnetischen Knoten. Der letzte Satz von Ergebnissen betrifft die Kopplung der Yang-Mills-Theorie an die Allgemeine Relativitätstheorie in Friedmann-Universen. Wir zeigten, dass in jeder Raumzeitdimension der äquivariante Ansatz jeder Yang-Mills-Theorie auf einem Zylinder über einem symmetrischen Raum seine Dynamik auf die eines Newtonschen skalaren Freiheitsgrades reduziert, der einem quartischen Potential unterliegt. Der Effekt solcher Eichfelder auf die Raumzeitdynamik wird hierbei auf die Wheeler-DeWitt-Einschränkung reduziert, die die Anfangsbedingungen im Einstein-Yang-Mills-System verknüpft. Darüber hinaus zeigten wir, dass in Raumzeitdimensionen verschieden von vier ein dynamischer Skalenfaktor, welcher in konformer Zeit parametrisiert ist, einen Hubble-reibungsähnlichen Term in den reduzierten Bewegungsgleichungen des Eichsektors induziert. Schließlich untersuchten wir ein Modell, bei dem ein $\SO(4)$-symmetrisches $\SU(2)$ Yang-Mills-Feld das symmetrische Higgs-Vakuum in einem geschlossenen Friedmann-Universum in der elektroschwachen Epoche thermodynamisch stabilisiert. Wir prüften generische Fluktuationen des Eichfeldes und zeigten, dass es unter jeder Störung außer dem Singulett instabil ist, von dem wir nach exakter Lösung fanden, dass es marginal stabil ist.