Μελέτη φαινομένων ανώμαλης διάχυσης με μεθόδους Monte-Carlo
Creators: name: Αργυρόπουλος, Γεώργιος-Θωμάς Αντωνίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2007
Subjects: Διάχυση
Νανοκαταλύτες
Αλγόριθμοι
Θεωρία διήθησης
Monte Carlo
Diffusion
Nanoporous materials
Algorithm
Percolation problem

description: Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάται το πρόβλημα της διήθησης τύπου σημείου (site percolation). Συνήθως τα δεδομένα που αφορούν το πλέγμα στο συγκεκριμένο πρόβλημα συλλέγονται από τα γειτονικά σημεία – ή τα αμέσως επόμενα γειτονικά. Ωστόσο, αλληλεπιδράσεις μεγάλου βεληνεκούς (long range interractions) μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο, ειδικά όταν μελετώνται κβαντικά φαινόμενα ή φαινόμενα σήραγγας. Τα εν λόγω φαινόμενα παίζουν σημαντικό ρόλο σε triplet εξιτόνια σε άτακτους μοριακούς κρυστάλλους (disordered molecular crystals) όπου φαινόμενα σήραγγας συνδέονται με το παρατηρούμενο χαμηλό κατώφλι συγκέντρωσης στο πρόβλημα της διήθησης. Παρόμοια η ηλεκτρική αγωγιμότητα σε υψηλού βαθμού νόθευσης ημιαγωγούς έχει προσεγγιστεί ως μια διεργασία διήθησης μεγάλου βεληνεκούς (long-range percolation process). Εισάγουμε κάποιους βασικούς ορισμούς για 2- και 3 – διάστατα συστήματα κυρίως επικεντρωνόμαστε σε 2-διάστατη τοπολογία: κρίσιμη συγκέντρωση ,πιθανότητες διήθησης κρίσιμοι εκθέτες. Αν και η συμπεριφορά που παρουσιάζει η κρίσιμη συγκέντρωση φαίνεται να εναρμονίζεται με την κλασσική συμπεριφορά όσο η εμβέλεια της αλληλεπίδρασης αυξάνει, το ίδιο δεν μπορούμε να πούμε ότι ισχύει και για τους κρίσιμους εκθέτες (β,γ). Οι τελευταίοι δείχνουν αμετάβλητοι από αυτούς που βρέθηκαν για την τοπολογία με την μικρότερη ακτίνα αλληλεπίδρασης. Κρίσιμα φαινόμενα διήθησης είναι χαρακτηριστικά για 2 –και 3 – διάστατα πλέγματα. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα σε αυτό το κεφάλαιο αφορά την μελέτη της διήθησης σε λεπτά υμένια. Στην πραγματικότητα τα λεπτά υμένια αποτελούν μια ενδιάμεση περίπτωση ανάμεσα σε 2 –και 3 – διάστατα πλέγματα. Η γνώση της συμπεριφοράς του συστήματος κατά τη μεταπήδηση του από 2 σε 3 διαστάσεις είναι εξαιρετικά σημαντική στο χώρο της Νανοτεχνολογίας (χαρακτηριστικό παράδειγμα της αναφέρονται οι επικαλύψεις που σχηματίζονται με τις τεχνικές εναπόθεσης ατμών στα λεπτά υμένια).Στο δεύτερο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στις έννοιες τυχαίος περίπατος (RW-Random Walk) ,αριθμός των πλεγματικών σημείων που επισκέφθηκε ο δρομέας Sn , πιθανότητα επιστροφής του δρομέα στο σημείο εκκίνησης P(0,t) μετά από χρόνο t . Τέλος εξετάζονται εναλλακτικές μορφές ανώμαλης διάχυσης όπως είναι τα Levy walks και Levy flights, και τα RWs σε scale- free και random networks.Στο τρίτο κεφάλαιο εξάγουμε μια ασφαλή φόρμουλα για την διάσταση πληροφορίας DI σε RWs σε σχέση με την συνάρτηση V(r,n) , την συνάρτηση που δίνει τον αριθμό των σημείων του πλέγματος τα οποία έχουν ακριβώς r επισκέψεις κατά την διάρκεια ενός RW n βημάτων .Η φόρμουλα αυτή είναι γενική και ισχύει τόσο για απλά πλέγματα όσο και για μορφοκλασματικές (fractal) δομές. Η κύρια παράμετρος είναι ο Sn , ο αριθμός των σημείων του πλέγματος τα οποία έχουν επισκεφτεί τουλάχιστον μια φορά κατά την διάρκεια ενός RW n βημάτων. Πραγματοποιούμε προσομοιώσεις σε απλά πλέγματα και σε μορφοκλασματικές (fractal) δομές: στο Sierpinski gasket στο Sierpinski carpet σε 2 –και 3 – διάστατα συσσωματώματα διήθησης ακριβώς στο κατώφλι συγκέντρωσης. Βρέθηκε ότι η DI έχει την ίδια τιμή όσο η φασματική διάσταση όσο το n τείνει στο άπειρο.Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετούμε τον εκθέτη dw που συνδέεται με το μέσο τετράγωνο της απόστασης και τον εκθέτη dn που συνδέεται με το μέσο όρο των σημείων που επισκέπτεται ο RWer για την οικογένεια των προτύπων τύπου Sierpinski carpet.Εισάγουμε ένα νέο αλγόριθμο για τον τυχαίο περίπατο σε πρακτικά άπειρα ντετερμινιστικά μορφοκλασματικά πλέγματα. Ο αλγόριθμος εφαρμόστηκε σε διάφορα Sierpinski carpet patterns με την ίδια Hausdorff διάσταση. Αποδεικνύεται ότι τα συστήματα δίνουν διαφορετικές τιμές για τα dw.Στο πέμπτο κεφάλαιο εξετάζεταί η συμπεριφορά του μη γραμμικού προτύπου επιφανειακών αντιδράσεων Lotka – Volterra μέσω προσομοίωσης Monte Carlo σε διδιάστατα υποστρώματα. Κατά την εξέλιξη του συστήματος σε πλέγμα εμφανίζονται φαινόμενα αυθόρμητης συσσωμάτωσης ομοειδών σωματιδίων (clustering) και μορφώματα τα οποία διαθέτουν μορφοκλασματική (fractal) δομή και εμφανίζουν ταλαντώσεις με τον χρόνο. Η δομή αυτή διερευνάται με χρήση της χωρικής fractal διάστασης (box counting fractral dimension) . Μελετάται επίσης η τροποποίηση που επιφέρει στην συμπεριφορά του δυναμικού συστήματος η εισαγωγή μορφοκλασματικών υποστρωμάτων. Φαίνεται ότι με την ρύθμιση της fractal διάστασης του ενεργού υποστρώματος είναι δυνατόν να προκαθορίσουμε την πορεία που θα ακολουθήσει το δυναμικό σύστημα, οδηγώντας ακόμη και σε δηλητηρίαση του υποστρώματος με το ένα από τα ενεργά συστατικά. Τέλος εξετάζεται το αντίστροφο μοντέλο καθώς και η επίδραση της ανάμιξης στη δομή του συστήματος. Στο έκτο κεφάλαιο μελετάμε το «κέλυφος» των περιοχών που τα επισκέυτηκαν Ν τυχαίοι δρομείς μετά από t χρονικά βήματα. Για το λόγο αυτό μελετάμε (α) τετραγωνικά πλέγματα και (β) percolation clusters στο κρίσιμο σημείο. Ανακαλύπτουμε ότι αυτό το κέλυφος εμφανίζει ιδιότητες αυτό-ομοιότητας και περιγράφεται από την διάσταση dH η οποία προσεγγίζει την τιμή dH = 4/3.
description: In this first chapter we focus our attention on some results involving the site percolation problem. Typically, data on the lattice percolation problem are given for the nearest neighbour or the next nearest neighbour sites. However, long range interactions may play a significant role, when quantum effects such as tunnelling are encountered. Tunnelling of triplet excitons can account for the low percolation concentration threshold detected in substitutionally disordered molecular crystals. Similarly, electrical conductivity of highly doped semiconductors has been viewed as long-range percolation process.In this second chapter we discuss about Random walking &amp; anomalous diffusion on regular lattices, such as Levy walks and Levy flights and we introduce diffusion on scale- free and random networks.In the third chapter we derive an exact formula for information dimension DI for random – walk processes in terms of the V(r,n) function ,the function that gives the number of sites that have exactly r visits during a random walk on a lattice after n steps. This form is general ,and it pertains both to regular lattices and fractal structures .The controlling parameter is Sn ,the number of sites visited at least once in an n – step walk. We perform computer simulations on regular lattices and on fractal structures : the Sierpinski gasket the Sierpinski carpet, two dimensional and three dimensional percolation clusters exacly at criticality, It is found that DI has the same numerical value as the spectral dimension as n → ∞ , but it takes unusually long times to reach such behaviour.In the fourth chapter the scaling exponent for the mean square distance covered in a random walk (dw) and the average number of distinct sites visited (dn) are determined for a family of Sierpinski carpet patterns. We suggest a new random walk algorithm to generate walks on an effectively infinite deterministic fractal lattice. The algorithm is applied to several Sierpinski carpet patterns with the same Hausdorff dimension. We show that the systems have a quite different scaling exponent dw and, further, that the generally accepted result dn = ds does not hold for all of these, where ds is the spectral dimension.In the fifth chapter we study the behavior of non linear pattern of two dimensional reactions Lattice Lotka – Voltera through Monte Carlo simulation in two dimensional substrates. During the evolution of the system on the lattice, phenomena of spontaneous cluster formation emerge which appear to have fractal structure and theirs concentration perform oscillations by time. This structure is studied with the use of df (box-counting technique) .The modification in the behaviour of the dynamic system with the introduction of fractal substrates is also studied .It seems that the regulation of the fractal dimension can predefine the course of the reaction leading even to the poisoning of the substrate with one of the two reactants. Finally the reverse model is being studied as well as the effect of mixing in the structure of the system.Finally, we study the hull of the territory visited by N random walkers after t time steps. The walkers move on two-dimensional substrates, starting all from the same position. For the substrate, we consider (a) a square lattice and (b) a percolation cluster at criticality. We perform numerical simulations for the those processes and find that the structure of the hull is self-similar and described by a fractal dimension dH that slowly approaches, with an increasing number of time steps, the value dH = 4/3.