Συζεύξεις (Copulas). Εκτίμηση της κοινής κατανομής στηθιαίας διαμέτρου και ύψους υβριδογενούς ελάτης του Δάσους Περτουλίου
Creators: name: Γκιούλoς, Λάμπρος Νικολάου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2007
Subjects: Συζεύξεις
Θεώρημα του Selar
Συμμετρία
Αρχιμηδικές συζεύξεις
Μέτρα εξάρτησης
Μοντελοποίηση της δισδιάστατης συνάρτησης κατανομής με αρχιμηδικές συζεύξεις
Copelos
Selar's theorem
Symmetry
Archimedean copulas
Dependence measures
Modeling the joint distribution function with an achimedean copula

description: Μεγάλο ενδιαφέρον παρατηρείται τα τελευταία χρόνια στη διαχείριση δασικών οικοσυστημάτων για τη μελέτη διδιάστατων κατανομών με σκοπό την περιγραφή της κοινής συνάρτησης κατανομής της διαμέτρου του κορμού και του ύψους των δένδρων. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να προσδιοριστούν διδιάστατες κατανομές που να μπορούν με επιτυχία να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή της κοινής κατανομής της διαμέτρου και του ύψους. Ο προσδιορισμός μιας τέτοιας κατανομής χρησιμεύει στη μελέτη της σχέσης μεταξύ διαμέτρου και ύψους και κατ’ επέκταση στην εύρεση καλύτερων εκτιμητών της διαμέτρου και του ύψους. Τέλος η γνώση της κοινής συνάρτησης κατανομής μπορεί να συντελέσει στην κατανόηση διαφόρων πρακτικών και των επιδράσεών τους ( π.χ. αραίωση διαχείρισης του δάσους). Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται σύντομη αναφορά της χρησιμότητας των συζεύξεων στη στατιστική και τα χρηματοοικονομικά καθώς και μια ιστορική αναδρομή, με αφετηρία το έτος 1959 και τον A. Sklar, ο οποίος εισήγαγε την έννοια των συζεύξεων ύστερα από ερώτηση του M. Frechet για τη σχέση μεταξύ της πολυδιάστατης συνάρτησης πιθανότητας και των μικρότερης διάστασης περιθώριων κατανομών (βλ. Molina et. al (2003)).Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται ένας περιγραφικός ορισμός των συζεύξεων καθώς και η μαθηματική διατύπωση του ορισμού, ακολουθώντας τον Dorey (2006), ενώ αναφέρονται και συγκρίνονται ορισμένες από τις πιο γνωστές συζεύξεις. Επίσης αναφερόμαστε στη δυνατότητα που μας παρέχουν οι συζεύξεις να διαχωρίζουμε τη δομή της εξάρτησης από τις περιθώριες κατανομές, κάτι το οποίο δεν είναι δυνατό με την παραδοσιακή αναπαράσταση μιας πολυδιάστατης συνάρτησης πυκνότητας. Τέλος τονίζεται ότι η συσχέτιση αποτελεί το σωστό μέτρο εξάρτησης στην περίπτωση που οι τυχαίες μεταβλητές είναι ελλειπτικά κατανεμημένες (βλ. Dowd (2004)).Στο κεφάλαιο που ακολουθεί αναφέρουμε, με βάση τον Nelsen (2005), μερικές από τις πιο γνωστές οικογένειες συζεύξεων, με ιδιαίτερη έμφαση στην οικογένεια των Αρχιμήδειων συζεύξεων, οι οποίες και χρησιμοποιούνται στην πορεία για την μοντελοποίηση της διδιάστατης συνάρτησης κατανομής διαμέτρου και ύψους δέντρων.Ένα από τα πιο ευρέως αναπτυγμένα θέματα στη θεωρία των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής είναι η εξάρτηση τυχαίων μεταβλητών. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στην εξάρτηση καθώς και στα μέτρα που συνήθως χρησιμοποιούμε για να βρούμε τη σχέση μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών και . Σύμφωνα με τους Molina, Lallena και Flores αυτά είναι το του Kendall, το του Spearman, το των Schweizer και Wollf καθώς επίσης και η συνάρτηση (βλ. Molina (2003)).Στο πέμπτο κεφάλαιο συναντάμε ορισμένα συμπληρωματικά θέματα με βασικότερο αυτό της εύρεσης της κοινής συνάρτησης πυκνότητας για δυο τυχαίες μεταβλητές και (βλ. παράγραφο 5.1).Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο περιγράφεται η διαδικασία εύρεσης της κοινής κατανομής των διαμέτρων και υψών για 48 σύνολα δεδομένων από το Πανεπιστημιακό δάσος Περτουλίου, το οποίο βρίσκεται στην κεντρική Πίνδο, και αξιολογείται η προσαρμογή της προτεινόμενης κατανομής, έχοντας αφενός ως μέσο ελέγχου τα αποτελέσματα που προκύπτουν από το δείγμα και την προτεινόμενη συνάρτηση κατανομής και αφετέρου τον έλεγχο καλής προσαρμογής. Η διαδικασία προσαρμογής έγινε με τη βοήθεια του λογισμικού S-Plus 6.1 και περιγράφεται στο παράρτημα.
description: The study of copulas and their applications in statistics is a rather modern phenomenon, presenting a growing interest among the circles of forest researchers in the management of forests ecosystems. The purpose of this study is to introduce and evaluate two bivariate distributions that could be successful in describing the joint distribution function of tree diameters and heights. Knowing the bivariate distribution would directly lead us to the natural correlation between tree diameters and heights, correlation which would finally help us to understand the various forest management applications such as selective deforestation or thining. To be more precise the first chapter of this assignment consists of a short report on the general use of copulas in the statistics and finance. The remainder of this chapter will be devoted to a brief history of the development and study of copulas from the year 1959 when A. Sklar introduced the concept of copulas when answering a question raised by M. Frechet about the relationship between a multi-dimensional distribution function and its lower dimensional margins. But what essentially are the “copulas”? Chapter 2 will be devoted to presenting a complete answer to this question. Along with the copulas definition there exists a clear distinction between copulas and the traditional representation of a multivariate density function when it comes to their ability to separate out the dependence structure from the marginal behavior.In the next chapter we discuss some of the most important classes of copulas such as the class of Archimedean copulas, which will be applied in modeling the joint distribution function in forest management. In the fourth chapter we explore in which ways copulas can be used in the study of dependence or association between random variables, making a reference to some of the dependence measures, like Kendall’s τ, Spearman’s ρ, Schweizer’s and Wollf ‘s σ and the distribution q. Towards the end of this paper, we encounter some complementary issues on copulas such as the problem of finding the common density function between two random variables and especially in the forest application. We conclude to the evaluation of this joint distribution function used for the 48 data sets of trees which are actually located at the Pertouli’s University forest. The model fitting and performance were evaluated through a goodness of fit test.