Η εξίσωση Riccati στην θεωρία συστημάτων και ελέγχου-Επίλυση μέσω της αριθμητικής μεθόδου Newton
Creators: name: Γαϊτάνης, Κίμων Αθανασίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2017
Subjects: Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου
Εξίσωση Πινάκων Riccati
Αριθμητική μέθοδος Newton
Control Theory
Matrix Riccati equation
Newton’s numerical method

description: Το αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η ανάλυση καθώς και η επίλυση της συνεχούς χρόνου εξίσωσης πινάκων Riccati. Η εξίσωση Riccati παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλά πεδία της επιστήμης των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και των Μαθηματικών, όπως στην θεωρία εκτίμησης, στον βέλτιστο έλεγχο, στις τηλεπικοινωνίες, στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων, στην θεωρία παιγνίων και αλλού. Η επίλυση της εξίσωσης Riccati αποτελεί ένα απαραίτητο προαπαιτούμενο για την επίλυση σημαντικών προβλημάτων σε διάφορες επιστημονικές περιοχές όπως στην επεξεργασία σημάτων, στον αυτοματισμό, στην τεχνητή νοημοσύνη, στην αναγνώριση προτύπων, στην ρομποτική και των εφαρμογών τους σε τομείς της τεχνολογίας ηλεκτρονικών υπολογιστών όπως ο βιομηχανικός αυτοματισμός, η αναγνώριση φωνής και εικόνας με χρήση Η/Υ, ο αμυντικός αυτοματισμός και άλλα. Αρχικά παρουσιάζεται το κλασικό γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (Γ.Τ.Π.Ρ.), η επίλυση του οποίου ανάγεται στην εύρεση της λύσης της διαφορικής εξίσωσης πινάκων Riccati. Στην συνέχεια παρουσιάζεται μία εκτενής αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης πινάκων Riccati. Έπειτα αναλύεται το θεωρητικό υπόβαθρο της εξίσωσης, παραθέτοντας χρήσιμα αποτελέσματα από την Γραμμική Άλγεβρα και την Θεωρία Πινάκων. Στο κεφάλαιο 5 της εργασίας εισάγεται η αριθμητική μέθοδος Newton για την επίλυση της εξίσωσης, καθώς και μια βελτιωμένη έκδοση της μεθόδου. Παραθέτονται επίσης χαρακτηριστικά παραδείγματα και γίνονται συγκρίσεις των μεθόδων αυτών. Τέλος, στο κεφάλαιο 6, η αριθμητική μέθοδος Newton για την λύση της αλγεβρικής εξίσωσης πινάκων Riccati ανάγεται στα συστήματα μεγάλης κλίμακας, όπου παραδίδει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα.
description: The main task of this master thesis is analysis and solution of the continuous time matrix Riccati equation. This equation plays an important role in many fields of Mathematics and Computer Science such as estimation theory, optimal control, telecommunications, game theory, Kalman filtering etc. The numerical solution of matrix Riccati equation is a necessary preliminary for the solution of important problems in several science fields such as signal processing, automatics, artificial intelligence, pattern identification, robotics and their implementation in computer science. Firstly, the well known Linear Quadratic Regulator (LQR) problem, which solution is reduced to the solution of Matrix Riccati equation, is discussed. Then an extensive analytical solution of Matrix Differential Riccati Equation (MRDE) is derived. Subsequently, theoretical background of the equation is being analyzed, by reference to some useful results from Linear Algebra and Matrix Theory. In chapter 5, the well known Newton’s method is introduced to provide a numerical solution of the equation. Also, a modified version of the method is introduced in order to compare the results derived from the usage of each method in some examples. Finally, Newton’s method for the solution of Matrix Riccati equation expands on large scale systems where it derives pretty accurate results.