title: Operator quantization and deformation on the Heisenberg modules
Creators: name: Lamando, Arvin
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In dieser Dissertation untersuchen wir die Verbindung zwischen Heisenbergmodulen über nicht-kommutativen Tori–einem wohl-studierten Objekt der Nicht-kommutativen Geometrie–und den Theorien der Operator-Quantisierung sowie Banach-Bündeln, die mit der Deformation von C*-algebren in Verbindung stehen. Diese Untersuchung wird durch tiefgreifende Ergebnisse in der Gabor-Analyse motiviert. Der wohlbekannte Fakt, daßman Heisenbergmodule über mehr-dimensionalen nicht-kommutativen Tori auch als Gabor Frames interpretieren kann, erlaubt es uns die Deformierungen von Heisenbergmodulen über deformierten nicht-kommutativen Tori zu etablieren. Weiters zeigen wir, daßder konstruierte Banachraum dieses Bündels von Heisenbergmodulen implementiert die Morita-Äquivalenz zwischen der erzeugten C*-Algebra des Bündels von verschränkten Gruppenalgebren assoziert zu den Gittern in der Zeit-Frequency Ebene. Überdies zeigen wir, daßdieses Bündel von Heisenbergmodulen die Stabilitätsresultate für Gabor Frames von Feichtinger und Kaiblinger für die Feichtinger Algebra zu den Heisenbergmodulen verallgemeinert. Bekannterweise gehört zu jedem Gittern in der Zeit-Frequenz Ebene ein Heisenbergmodul. Wir geben eine detailierte Beschreibung der adjungierten Abbildungen dieser Heisenbergmodule. Basierend auf der Einsicht, dass diese adjungierten Abbildungen genau diese sind, die mit allen Zeit-Frequenz Verschiebungen des Gitters vertauschen, d.h. sie sind im Sinne der Quantenharmonischen Analyse invariant unter Operatortranslaten vom Gitter sind. Mit der Hilfe von Methoden der Theorie der C*-Algebren und von Neumann Algebren beweisen wir, dass jede mit Operatortransaten-vertauschende Abbildung eine Operator-Periodisierung von endlichen Rang-Operatoren von Generatoren des Heisenbergmoduls ist. Wir führen weiters den Begriff der operator-modulation-invarianten Operatoren eines Gitters ein und karaktererisen sie als die Fourier-Wigner Periodisierung von endlichen Rang Operatoren der Generatoren des Heisenbergmoduls.
description: This dissertation explores the connection between Heisenberg modules over noncommutative tori–a well-studied object in noncommutative geometry–and the theories of operator-quantization along with Banach bundles associated to the deformation of C*-algebras. This investigation is motivated by deep results in Gabor analysis. The well-known fact that Heisenberg modules over higher dimensional noncommutative tori may be viewed terms Gabor frames allows us to establish the deformation of Banach bundles of Heisenberg modules over noncommutative tori. Furthermore, we show that the generated Banach space of this bundle of Heisenberg modules implements the Morita equivalence between the generated C*-algebras of bundles of twisted group C*-algebras coming from lattices in the time-frequency plane. Furthermore, building on the deformation results of Feichtinger and Kaiblinger on Gabor frames, we show that the constructed bundle of Heisenberg modules generalizes the Gabor frame stability results of Feichtinger’s algebra to Heisenberg modules. Recall that to each lattice in the time-frequency plane there is associated a Heisenberg module. We provide a detailed description of the adjointable maps of these Heisenberg module. Building on the observation that these adjointable maps are those that commute with all time-frequency shifts of the given lattice, i.e. operator-translation invariant in the language of quantum harmonic analysis. Using techniques from C*-algebras and von Neumann algebras associated to Heisenberg modules, we show that every lattice operator-translation invariant map may be characterized as operator-periodization of finite rank operators with generators coming from the Heisenberg modules. We also introduce the related notion of operator-modulation invariant operators of a lattice, and show that these operators can also be characterized as Fourier-Wigner operator-periodizations of finite-rank operators by generators of the Heisenberg module.