title: Smooth functorial field theory and the geometric cobordism hypothesis
Creators: name: Zahrer, Alexander
Publisher: name: :none
Year: 2023

description: Wie gut eine physikalische Theorie wirklich ist, lässt sich am besten feststellen, wenn man die Vorhersagen der Theorie betrachtet und die daraus resultierenden Zahlen mit realen Experimenten vergleicht. Im Hinblick auf diesen Maßstab ist die Quantenfeldtheorie (QFT) wahrscheinlich die beste physikalische Theorie, die es bis heute gibt. Dennoch fehlt eine vollständig allgemeine, mathematisch rigorose Formulierung der (nicht-topologischen) QFT. In dieser Arbeit werden wir den funktoriellen Ansatz zur QFT studieren. Genauer gesagt, werden wir den spezifischen Ansatz in arXiv:2011.01208 und arXiv:2111.01095 untersuchen. Insbesondere liefert arXiv:2111.01095 ein Klassifikationstheorem für glatte Räume von QFT, das als die geometrische Kobordismushypothese bezeichnet wird. Die geometrische Kobordismushypothese ist eine Verallgemeinerung der topologischen Kobordismushypothese, welche auf Baez und Dolan (1995) zurückzuführen ist, und später von Lurie in arXiv:0905.0465 rigoros formuliert wurde. Mit dieser Arbeit sollen zwei Ziele erreicht werden. Das erste Ziel besteht darin, eine in sich geschlossene Einführung in das etwas einschüchternde Gebiet der glatten funktoriellen Feldtheorie zu geben. Aus diesem Grund sind die ersten sechs Kapitel dieser Arbeit dem Studium von Gebieten wie simplizialer Homotopietheorie, angereicherter Kategorientheorie, Modellkategorien, Unendlich-Garben, Unendlich-Kategorien usw. gewidmet. Die einzigen Voraussetzungen, die man haben muss, um dem Material folgen zu können, ist ein gutes Verständnis der (gewöhnlichen) Kategorientheorie (algebraische Topologie ist hilfreich, aber nicht erforderlich). Das zweite Ziel dieser Arbeit ist es, ein besseres Verständnis für die Konstruktion von glatten Bordismus-Unendlich-Kategorien zu schaffen, die mit geometrischen Strukturen ausgestattet sind, wie sie in arXiv:2011.01208 definiert sind. Dies geschieht, indem wir zunächst die rigorose Konstruktion dieser Objekte bereitstellen und dann einige niedrig-dimensionale Beispiele dafür betrachten. Eine glatte Feldtheorie mit einer vordefinierten geometrischen Struktur sollte dann einfach ein Unendlich-Funktor von der gegebenen glatten Bordismus Unendlich-Kategorie zu einer Unendlich-Kategorie von Werten sein. Von dort aus werden wir glatte Räume von Feldtheorien mit gegebener Geometrie betrachten und die geometrische Kobordismus-Hypothese erklären, die, grob gesagt, besagt, dass ein solcher Raum von Feldtheorien äquivalent zu „Morphismen“ von der gegebenen geometrischen Struktur zum maximalen Unendlich-Untergruppoid von vollständig dualisierbaren Objekten der Ziel-Unendlich-Kategorie ist.
description: The best gauge to determine how good a physical theory really is, is by looking at the predictions the theory provides and comparing the resulting numbers with real-world experiments. With regards to this measure, Quantum Field Theory (QFT) is probably the best physical theory there is to this date. Yet, a fully general mathematically rigorous formulation of (non-topological) QFT is missing. In this thesis we will study the functorial approach to QFT. More specifically, we will study the specific approach taken in arXiv:2011.01208 and arXiv:2111.01095 . In particular, arXiv:2111.01095 provides a classification theorem for smooth spaces of QFTs, referred to as the geometric cobordism hypothesis. The geometric cobordism hypothesis is a generalization of the topological cobordism hypothesis, which can be traced back to Baez and Dolan (1995), and was later rigorously formulated by Lurie in arXiv:0905.0465 . This work aims to accomplish two goals. The first of these is to provide a self-contained introduction to the somewhat intimidating realm of smooth functorial field theory. This is why the first six chapters of this thesis are devoted to the study of notions like simplicial homotopy theory, enriched category theory, model categories, infinity-sheaves, infinity-categories etc. The only prerequisites to be had in order to be able to follow the material is a good understanding of (ordinary) category theory (algebraic topology is helpful, but not needed). The second goal of this thesis is to provide a better understanding of the construction of smooth bordism infinity-categories endowed with geometric structures as defined in arXiv:2011.01208. This is done by first providing the rigorous construction of these objects, and by then looking at some low-dimensional examples thereof. With that in hand, a smooth field theory with some prefixed geometric structure should then just be an infinity-functor from the given smooth bordism infinity-category to some infinity-category of values. From there, we will consider smooth spaces of field theories with prefixed geometry and explain the geometric cobordism hypothesis, which, roughly put, states that such a space of field theories is equivalent to “morphisms” from the given geometric structure to the maximal infinity-subgroupoid of fully dualisable objects of the target infinity-category.