Εισαγωγή στη συνομολογία Lie αλγεβρών
Creators: name: Χατζηχρήστος, Σοφοκλής Ιωάννη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Lie άλγεβρες
Συνομολογία
Lie algebras
Cohomology

description: Η παρούσα διπλωματική εργασία αναφέρεται στη συνομολογία των Lie αλγεβρών. Η συνομολογία de Rahm ορίζεται πάνω στις πολλαπλότητες και είναι κλάδος της Γεωμετρίας. Οι ομάδες Lie είναι πολλαπλότητες με δομή ομάδας και επομένως ορίζεται η συνομολογία de Rham. Το σύνολο των ομαλών συναρτήσεων πάνω στην ομάδα Lie είναι ένα module άπειρης διάστασης στην αντίστοιχη άλγεβρα Lie οπότε μπορεί να γενικευθεί η έννοια της συνομολογίας πάνω σε μία άλγεβρα για κάποιο πεπερασμένης διάστασης Lie module, δηλαδή μίας αναπαράστασης. Αυτό επιτυγχάνεται γενικεύοντας την έννοια της διαφόρισης σε ομομορφισμούς πάνω στα Lie modules. Η ανάπτυξη αυτών των ιδεών και οι εφαρμογές τους είναι το αντικείμενο αυτής της διπλωματικής. Στο κεφάλαιο 1, γίνεται μία ιστορική αναδρομή στους σημαντικότερους μαθηματικούς που έχουν ασχοληθεί με το θέμα. Το κεφάλαιο 2 περιέχει βασικές αλγεβρικές εισαγωγικές γνώσεις, οι οποίες είναι προαπαιτούμενες για την ανάπτυξη του θέματος. Αρχικά, ορίζονται τα τανυστικά γινόμενα και αναφέρονται οι σημαντικότερες ιδιότητές τους. Χρησιμοποιώντας τα τανυστικά γινόμενα, κατασκευάζονται η εξωτερική και η συμμετρική άλγεβρα, καθώς και η καθολική περιβάλλουσα άλγεβρα μίας Lie άλγεβρας. Μάλιστα, δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στις σχέσεις μεταξύ των τριών αυτών αλγεβρών. Επίσης, αναλύονται οι διαδικασίες της επέκτασης των βαθμωτών, της μιγαδικοποίησης και της συμμετρικοποίησης. Οι έννοιες αυτές είναι απαραίτητες για την μελέτη της συνομολογίας στις Lie άλγεβρες. Το κεφάλαιο 3 περιέχει βασικές γεωμετρικές έννοιες στις λείες πολλαπλότητες και στην συνομολογία de Rham. Στο κεφάλαιο 4, εισάγονται οι ομάδες Lie και οι Lie άλγεβρες. Αφού οριστούν οι δύο αυτές έννοιες, αναλύονται ορισμένες ιδιότητες που θα μας χρησιμεύσουν στη συνέχεια, όπως για παράδειγμα στις ημιαπλές Lie άλγεβρες. Έπειτα, δίνονται χρήσιμα στοιχεία για τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία μίας ομάδας Lie. Ακολούθως, γίνεται αναφορά στις διαφορικές μορφές που οδηγούν στον ορισμό της de Rham συνομολογίας των Lie ομάδων. Επιπροσθέτως, γίνεται λόγος για τις κλειστές γραμμικές ομάδες, οι οποίες μελετώνται τόσο γενικώς, όσο και ειδικότερα ως ομάδες Lie. Για τη μελέτη τους, χρησιμοποιούνται οι απεικονίσεις πινάκων exp και log. Τέλος, αποδεικνύεται η ύπαρξη ενός ομομορφισμού, ο οποίος μας επιτρέπει να αντιστοιχίσουμε έναν πίνακα της SO(3) με δύο πίνακες της SU(2). Το κεφάλαιο 5 αναφέρεται αποκλειστικά στο κύριο θέμα αυτής της εργασίας, τη συνομολογία των Lie αλγεβρών. Αρχικά, εξετάζεται μέσω αλγεβρικών επεκτάσεων. Στη συνέχεια, δίνεται ο ακριβής ορισμός της και υπολογίζεται με τη χρήση του θεωρήματος Koszul, ως του βασικότερου για τον υπολογισμό αυτό. Για την απόδειξη του θεωρήματος αυτού αναλύονται οι έννοιες του συμπλόκου και της ανάλυσης και μελετώνται τα απαραίτητα λήμματα που διευκολύνουν το έργο μας. Στο κεφάλαιο 6, τέλος, γίνεται εξειδικευμένη εφαρμογή της παραπάνω θεωρίας σε ημιαπλές Lie άλγεβρες, προς επιβεβαίωση της χρήσης της και στη συγκεκριμένη περίπτωση. Επίσης, αποδεικνύονται καίρια λήμματα, όπως για παράδειγμα τα δύο λήμματα του Whitehead, τα οποία εφαρμόζονται για την απόδειξη του θεωρήματος Weyl. Ως επίλογο, πέρα από τη διπλωματική, αξίζει να αναφέρουμε ότι η έννοια της συνομολογίας επεκτείνεται στη θεωρία των κατηγοριών και αποτελεί ένα μέρος της ομολογιακής άλγεβρας.
description: This thesis is referring to the cohomology of Lie algebras. The de Rham cohomology is set on manifolds and is a discipline of Geometry. The Lie groups are manifolds with the structure of a group, so the de Rham cohomology is defined. The set of smooth maps on the Lie group is an infinite dimension module in the corresponding Lie algebra, so the concept of cohomology can be generalised on an algebra for a finite dimension Lie module, which is a representation. This is achieved by generalising the concept of differentiation on homomorphisms in Lie modules. The expatiation of these ideas and their applications is the subject of this thesis. In chapter 1, a historical retrospect to the most important mathematicians who have been concerned with the subject is given. Chapter 2 contains basic algebraic introductory knowledge, which is prerequisite for the expatiation of the subject. In its beginning, the tensor products are set and their most important properties are reported. Using the tensor products, the outer and the symmetric algebra are produced as well as the universal enveloping algebra of a Lie algebra. Apart from this, emphasis is given on the relationships between these three algebras. Furthermore, the process of extension of scalars, complexification and symmetrization are analyzed. These ideas are essential for the study of Lie algebra cohomology. Chapter 3 contains basic geometric concepts about smooth manifolds and the de Rham cohomology. In chapter 4, Lie groups and Lie algebras are introduced. After defining these two concepts, some useful properties to continue are analyzed, such as in semisimple Lie algebras. Proceeding, useful elements concerning the invariant vector fields of a Lie group are given. Following this, differential forms, which lead to the definition of the de Rham cohomology of Lie groups, are referring. Additionally, the closed linear groups are mentioned, which are studied both in general and especially as Lie groups. For their study, the matrix maps exp and log are used. In the end of this chapter, the existence of a homomorphism which allows us to map a matrix in SO(3) to two matrices in SU(2) is proved. Chapter 5 is referring exclusively to the main subject of this thesis, the Lie algebra cohomology. First of all, it is examined through algebraic extensions. After this, its exact definition is given, and it is estimated with the use of the Koszul theorem, as the most paramount factor for this estimation. For the proof of this theorem, the concepts of complex and resolution are analyzed and necessary lemmas are studied to facilitate our work. Finally, in chapter 6, a special application of the above mentioned theory to semisimple Lie algebras is implemented to confirm its use in this specific case. Also, devastating lemmas are proved, like the two Whitehead lemmas, which are applied for the proof of the Weyl theorem. As a conclusion, beyond this thesis, it is worth to refer that the idea of cohomology expands to the category theory and is a part of the homological algebra.