title: Generalised Quantum Double Models from Hopf Monoids
title: Verallgemeinerte Quanten-Doppel-Modelle basierend auf Hopf Monoiden
Creators: name: Hirmer, Anna-Katharina
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024

description: The present dissertation constructs generalisations of quantum double models based on involutive Hopf monoids in symmetric monoidal categories. The main focus of the thesis is on a generalisation of the protected space of quantum double models or Kitaev lattice models. To achieve this, starting from a ribbon graph and an involutive Hopf monoid, a module and comodule structure is assigned to each vertex and face of the graph. By applying (co)equalisers, the (co)invariants of these (co)module structures can be determined. Using a categorical image, invariants and coinvariants are linked, thereby defining a generalised protected space. It is shown that the generalised protected space defines a topological invariant: it depends only on the genus of the oriented surface encoded by the ribbon graph, not on the specific choice of the graph. Based on this result, the generalised protected spaces for Hopf monoids in the categories Set, Top, SSet, as well as for group algebras in the category k-Mod for a commutative ring k are described. A special focus is placed on determining the protected space in the category Cat of small categories. All obtained protected spaces in the mentioned categories yield generalisations of the moduli space of flat connections. The generalised protected spaces are also equipped with mapping class group actions, which are described concretely for Hopf monoids in Set, SSet and Cat. The last part of the thesis relates the mapping class group actions in the models to Kuperberg invariants of 3-manifolds. Specifically, it is shown that generalised Kuperberg invariants based on involutive Hopf monoids can be described by a sequence of edge slides and Dehn twists.
description: Die vorliegende Dissertation konstruiert Verallgemeinerungen der Kitaevschen Quanten-Doppel-Modelle auf der Grundlage von involutiven Hopf Monoiden in symmetrisch monoidalen Kategorien. Im Vordergrund der Arbeit steht eine Verallgemeinerung des Grundzustandes der Kitaevschen Quanten-Doppel-Modelle. Dazu wird ausgehend von einem Schleifengraphen und einem involutiven Hopf Monoid jedem Vertex und jeder Fläche des Graphen eine Modul- und Komodulstruktur zugeordnet. Durch Anwendung von (Ko)egalisatoren können die (Ko)invarianten dieser (Ko)modulstrukturen bestimmt werden. Mittels eines kategoriellen Bildes werden Invarianten und Koinvarianten verknüpft, wodurch ein verallgemeinerter Grundzustand definiert wird. Es wird gezeigt, dass der verallgemeinerte Grundzustand eine topologische Invariante definiert: Er hängt nur vom Geschlecht der orientierten Fläche ab, die der Schleifengraph kodiert, nicht von der konkreten Wahl des Graphen. Ausgehend von diesem Resultat werden die verallgemeinerten Grundzustände für Hopf Monoide in den Kategorien Set, Top, SSet sowie für Gruppenalgebren in der Kategorie k-Mod für einen kommutativen Ring k beschrieben. Ein besonderer Fokus liegt auf der Bestimmung des Grundzustandes in der Kategorie Cat der kleinen Kategorien. Alle erhaltenen Grundzustände in den erwähnten Kategorien stellen Verallgemeinerungen des Modulraums flacher Zusammenhänge dar. Die verallgemeinerten Grundzustände sind zudem mit Abbildungsklassengruppenwirkungen versehen, die in der Arbeit insbesondere für Hopf Monoide in Set, SSet und Cat konkret beschrieben werden. Im letzten Teil der Arbeit wird ein Zusammenhang zwischen den Abbildungsklassengruppenwirkungen in den Modellen und Kuperberg Invarianten von 3-Mannigfaltigkeiten hergestellt. Im Speziellen wird gezeigt, dass verallgemeinerte Kuperberg Invarianten basierend auf involutiven Hopf Monoiden durch eine Folge von Kantenverschiebungen und Dehn Twists beschrieben werden können.