title: State Space and ARMA Models: An Overview of the Equivalence
Creators: name: Gilbert, Paul
Publisher: name: Bank of Canada
publisherIdentifier: https://ror.org/05cc98565
publisherIdentifierScheme: ROR
Year: 1993

description: In this paper known results about the equivalence of state space and autoregressive moving-average models with exogenous inputs (ARMAX) (including vector auto-regressive or VAR models) are reviewed. While most of these results are not new, no single reference appears to bring together several important related points. In addition, the original references have used a variety of different conventions for time-shift and parameter signs, have usually not included exogenous inputs (or have not distinguished them from noise), and have frequently not distinguished algebraic equivalence transformations from the statistical estimation. Furthermore, an overview of the subject area reveals some important gaps in the theory.

While the paper does not consider statistical estimation, it does suggest a subtle but important shift in methodology from the approach usually taken in econometrics. The traditional approach in econometrics has been to specify a representation based on economic theory, convert to a reduced form if necessary, impose identifiability constraints, and then estimate model parameters. If, on the one hand, forecasting is the final objective, this approach can work very well, though it is clear from the equivalence that it is not necessary to proceed in this order. On the other hand, if the eventual purpose is to use statistical hypothesis testing techniques to arrive at conclusions about the structure of the economy, then the equivalence can nullify many conclusions. In particular, it is often difficult or impossible to disentangle the statistical evidence from the implications imposed by the original economic theory used to specify the representation.

The alternative methodology suggested by the equivalence examined in this paper is first to estimate the model using whatever representation is convenient for estimation, then to impose economic constraints on the representation. This approach will disentangle structural conclusions that are supported by statistical evidence from those which are implied by economic theory. Statistical tests are applicable only to results that are invariant across all equivalent representations. Economic theory must be used to reach conclusions that do not correspond to invariants of the equivalence class. This latter observation has some implications for continuing debates in the econometrics literature.

Algorithms for model conversion and comparison are presented in an appendix.
description: La présente étude contient une synthèse des résultats ayant trait à l’équivalence qui existe entre les modèles d’espace d’état et les modèles autorégressifs à moyennes mobiles dotés de variables exogènes ou modèles ARMAX (vecteur autorégressif compris). Même si la plupart de ces résultats ne sont pas nouveaux, aucun document ne semblait réunir jusqu’ici toute l’information à leur sujet. L’auteur de l’étude utilise dans différents modèles des conventions uniformes et il fait intervenir une variable exogène, contrairement à la plupart des auteurs des travaux publiés sur la question. Il s’efforce aussi de souligner la différence entre les équivalences algébriques et les estimations statistiques. Enfin, la théorie exposée dans ces travaux contient des lacunes importantes, que cette synthèse aidera sans doute à élucider.

Même si l’étude ne traite pas de l’estimation statistique des modèles, l’auteur y exploite une approche qui renferme de légères différences par rapport à l’approche économétrique habituelle. L’approche habituelle consiste à spécifier au départ une représentation du modèle, à en réduire au besoin la forme, à imposer des contraintes d’identification et enfin à en estimer les paramètres. Lorsque l’objectif final est de faire des prévisions, cette méthode se révèle efficace, bien que l’ordre de ces étapes puisse de toute évidence être modifié, étant donné l’équivalence entre les modèles. Cependant, s’il s’agit de tester des hypothèses sur la structure de l’économie, il se peut que l’on ne puisse conclure grand-chose des tests effectués à cause de cette relation d’équivalence. Par exemple, il est souvent difficile, voire impossible, de faire la distinction entre les résultats statistiques et les implications des hypothèses de base relatives à la représentation du modèle.

L’auteur propose plutôt d’estimer le modèle dont la représentation se prête le mieux à une estimation avant d’imposer les contraintes découlant de la théorie économique. Cette façon de procéder permet d’établir une distinction claire entre les conclusions qui s’appuient sur des données statistiques et celles qui découlent de la théorie économique. Comme les tests statistiques ne s’appliquent qu’aux invariants d’une même classe d’équivalences, il faut faire appel à la théorie économique pour tirer des conclusions qui ne se rapportent pas aux invariants. Cette constatation devrait avoir des conséquences d’ordre pratique pour l’analyse ultérieure de ces questions.

Les algorithmes utilisés pour la manipulation et la comparaison des modèles sont donnés en annexe.