title: Symplektische exponentielle Runge-Kutta-Methoden zur Lösung großer nichtlinearer Hamiltonscher Systeme
Creators: name: Peters, Till
Publisher: name: Institut für Numerische Mathematik
Year: 2024
Subjects: subject: 518

description: In dieser Masterarbeit sollte untersucht werden, wie sich symplektische exponentielle Runge-Kutta-Verfahren in der Anwendung auf große Hamiltonische Systeme verhalten. Dabei sollten vorrangig zwei Approximationen per Krylovunterraumverfahren getestet werden. Zuerst wurden in Kapitel 2 Grundlagen zu Hamiltonsystemen und symplektischen Abbildungen eingeführt und dann in Kapitel 3 aus klassischen Runge-Kutta-Verfahren die exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren hergeleitet. Weiter konzentrierten wir uns bei den exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren auf eine spezielle Version nach Lawson, die die Konsistenzordnung des zugrundeliegenden klassischen Runge-Kutta-Verfahrens übernimmt. Nachdem wir uns kurz mit den Bedingungen für Symplektizität sowohl für klassische als auch für exponentielle Runge-Kutta-Verfahren beschäftigt hatten, handelte das nächste Kapitel, Kapitel 4, von der Konvergenz allgemeiner exponentieller Runge-Kutta-Verfahren. Dabei konnten wir am Ende Ordnungsbedingungen für die Konvergenzordnung aufstellen und sahen, dass die Konsistenzordnung der IFRK-Verfahren sich auch auf die Konvergenzordnung überträgt. In Kapitel 5 wurden kurz die Arnoldi-Approximation und die symplektische Lanczos-Approximation vorgestellt und in Kapitel 6 die Implementationdetails von klassischen und exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren verglichen. In Kapitel 7 folgten dann die numerischen Experimente an ausgewählten Beispielen. Dabei konnten wir sehen, dass die Fixpunktiteration für die Lösung der internen Stufen im klassischen Runge-Kutta-Verfahren oft für die gewählten Schrittweiten nicht konvergiert, bei den exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren hingegen schon. Dies lässt sich mit den Untersuchungen aus Kapitel 6 begründen, weil wir bei den exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren größere Schrittweiten wählen können. Allerdings lässt sich für große Systemdimensionen auch der hohe Zeitaufwand der exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren feststellen, da dortMatrixexponentiale vonMatrizen großer Dimension berechnet werden müssen. Um diese Verfahren zu beschleunigen, wurden die Arnoldi-Approximation und die symplektische Lanczos-Approximation getestet. Dabei ließ sich beobachten, dass beide Verfahren einen Zeitvorteil bieten, die symplektische Lanczos-Approximation war aber etwas langsamer. Dies lässt sich durch die aufwendige Re-J-Orthogonalisierung begründen. Die Lanczos-Approximation war dabei instabiler (siehe NLKG), bot dabei für die funktionierenden Beispiele zusätzlich den Aspekt der Erhaltung der Hamiltonfunktion, während die Arnoldi-Approximation nur für geringe Zeiten eine Erhaltung gewährleisten konnte. Als Fazit können wir formulieren, dass die symplektische Lanczos-Approximation eine gute Approximation an die exponentiellen Runge-Kutta-Verfahren bietet, wenn man den etwas höheren Zeitaufwand für die Erhaltung der Hamiltonfunktion in Kauf nimmt und die Lanczos-Approximation für das Beispiel nicht abbricht. Wird eher der Fokus auf Geschwindigkeit gelegt, sollte die Arnoldi-Approximation umgesetzt werden, da die beiden Approximationen in Genauigkeit des Lösungsapproximation der ODE in etwa gleichauf liegen.