Μετασχηματισμός Schwarz – Christoffel και σύμμορφες απεικονίσεις μέσω ελλειπτικών συναρτήσεων:
Creators: name: Καρέτσου, Αικατερίνη Στέργιου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: Μετασχηματισμός Schwarz-Christoffel
Σύμμορφες απεικονίσεις
Ελλειπτικές συναρτήσεις
Schwarz-Christoffel transformation
Conformal mapping
Elliptic functions

description: Το θέμα της παρούσας εργασία είναι ο μετασχηματισμός Schwarz – Christoffel και οι σύμμορφες απεικονίσεις με τη βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων. Σύμφωνα με το Θεώρημα Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann, γνωρίζουμε ότι υπάρχει σύμμορφη απεικόνιση από ένα απλά συναφή τόπο D του μιγαδικού επιπέδου στο μοναδιαίο δίσκο. Η εύρεση του τύπου της σύμμορφης αυτής απεικόνισης αποτελεί πολύ δύσκολο πρόβλημα. Στην ειδική περίπτωση που ο απλά συναφής τόπος είναι πολυγωνικός, οι μαθηματικοί Schwarz και Christoffel, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, βρήκαν ένα τύπο που ικανοποιεί η σύμμορφη απεικόνιση η οποία απεικονίζει το άνω μιγαδικό ημιεπίπεδο στο εσωτερικό πολυγώνου. Ο τύπος αυτός περιλαμβάνει κάποιες πραγματικές σταθερές οι οποίες είναι αρκετά δύσκολο να βρεθούν για τυχαία πολύγωνα. Σε ειδικές περιπτώσεις πολυγώνων, όπως τα κανονικά πολύγωνα, τα τρίγωνα, τα ορθογώνια και άλλα, μπορούν να βρεθούν οι πραγματικές αυτές σταθερές και να προκύψει τελικά ο τύπος που ικανοποιεί η σύμμορφη απεικόνιση. Συνεχίζοντας τη μελέτη μας, αναζητούμε τη μορφή του μετασχηματισμού Schwarz – Christoffel και στις περιπτώσεις απεικόνισης του άνω μιγαδικού ημιεπιπέδου στο εξωτερικό πολυγώνου, του μοναδιαίου δίσκου στο εσωτερικό πολυγώνου, του άνω μιγαδικού ημιεπιπέδου στο εσωτερικό ή εξωτερικό πολυγώνου με κορυφές στο άπειρο και του μοναδιαίου δίσκου στο εσωτερικό ή εξωτερικό πολυγώνου με κορυφές στο άπειρο. Έπειτα παραθέτουμε μερικά παραδείγματα για καλύτερη κατανόηση του μετασχηματισμού Schwarz – Christoffel. Ένα πολύ ενδιαφέρον παράδειγμα αποτελεί η περίπτωση απεικόνισης του άνω μιγαδικού ημιεπιπέδου στο εσωτερικό ορθογωνίου. Ο τύπος της σύμμορφης αυτής απεικόνισης θα βρεθεί με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Schwarz – Christoffel. Η αντίστροφη συνάρτηση του μετασχηματισμού Schwarz – Christoffel την ονομάζουμε ελλειπτικό ημίτονο και τη συμβολίζουμε με sn(z,k). Οι συναρτήσεις sn(z,k), cn(z,k) και dn(z,k) ονομάζονται ελλειπτικές συναρτήσεις του Jacobi. Ονομάστηκαν ελλειπτικές συναρτήσεις διότι ο τύπος της sn(z,k) συναντήθηκε πρώτη φορά κατά τον υπολογισμό του μήκους τόξου έλλειψης. Με τη βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων μπορούμε να βρούμε σύμμορφη απεικόνιση, η οποία να απεικονίζει ένα δακτύλιο στο εσωτερικό ενός κύκλου εκτός ενός ευθυγράμμου τμήματος. Δηλαδή με τη βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων μπορούμε να βρούμε σύμμορφη απεικόνιση από ένα διπλά συναφή τόπο σε ένα διπλά συναφή τόπο.
description: The subject of this master thesis is the Schwarz – Christoffel transformation and conformal mapping with elliptic functions. According to the Riemann’s mapping theorem, we know that exist a conformal marring from a simply connected domain D in complex plane to the unit disk. But if we want to find the type of the conformal mapping we encounter many difficulties. In the special case that the simply connected domain is a polygon the mathematicians Schwarz and Christoffel found a type who contents the conformal mapping and maps the upper half complex plane to the interior of the polygon. This type includes some real constants that are very difficult to define. In the special case of polygons (for example triangles, rectangles and hexagons) we can define these real constants and finally find the type of the conformal mapping. Then we cite some examples who help us understanding better the action of the Schwarz – Christoffel transformation. A very interesting example is to find a conformal mapping from upper half complex plane to the interior of a rectangle. The type of this conformal mapping will found by Schwarz – Christoffel transformation. The inverse function of this Schwarz – Christoffel transformation is defined as Jacobian elliptic sine function, sn(z,k). Also we define the functions sn(z,k), cn(z,k) and dn(z,k) as Jacobian elliptic functions. Finally, we conclude our research on Schwarz – Christoffel transformation and conformal mapping with elliptic functions by finding a conformal mapping of an annulus onto a disk minus a slit from the center. This means that we find a conformal mapping from a doubly connected domain to a doubly connected domain. This will be happened with the help of Jacobian elliptic sine function.