Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση κανονικών διαφορετικών εξισώσεων. Εφαρμογές με προγράμματα Fortran.: Συγκριτική μελέτη των μεθόδων
Creators: name: Ρόιδου, Αγορίτσα Μιχαήλ
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: Αριθμητικές μέθοδοι
Κανονικές διαφορικές εξισώσεις
Runge-Kutta
Numerical analysis
Ordinary differential equations

description: Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα για την μοντελοποίηση πολλών διαφορικών φυσικών φαινομένων και συστημάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο. Η ευρεία χρήση τους ήταν και ο λόγος που μαγνήτισαν την συγγραφέα αυτής της διπλωματικής να ασχοληθεί με αυτές από την σκοπιά της αριθμητικής ανάλυσης. Στην εργασία αυτή έγινε προσπάθεια να παρουσιαστούν αρκετές από τις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με αρχικές τιμές.Ξεκινώντας από το πρώτο κεφάλαιο, ο αναγνώστης θα συναντήσει μια αναφορά σε εισαγωγικές έννοιες της αριθμητικής ανάλυσης όπως και την απλούστερη αλλά και παλαιότερη μέθοδο, την μέθοδο του Euler. Στην συνέχεια στο δεύτερο κεφάλαιο μια πληθώρα από μεθόδους παρουσιάζονται σταδιακά. Οι μέθοδοι του Taylor 2ης και 4ης τάξης που ορίζονται με την βοήθεια των αντίστοιχων πολυωνύμων του Τaylor, αμέσως μετά από τις οποίες ανοίγεται ο πλούτος των μεθόδων των οικογενειών Runge- Kutta.Στην οικογένεια των μεθόδων Runge- Kutta 2ης τάξης όπου ανήκουν οι μέθοδοι Μέσου Σημείου (Midpoint Method), η Τροποποιημένη Μέθοδος του Euler (Modified Euler) και η μέθοδος του Heun. Παρόλο που η τάξη των μεθόδων είναι ακόμη χαμηλή, οι βελτιώσεις των προσεγγίσεων είναι εμφανείς και οι μέθοδοι αυτοί είναι κατάλληλοι για την κατανόηση των μεθόδων μεγαλύτερης τάξης. Μετά την μέθοδο Runge Kutta 3ης τάξης, έχουν σειρά οι μέθοδοι 4ης όπου εξέχουσα θέση καταλαμβάνει η ομώνυμη μέθοδος που παρέχει και τις καλύτερες προσεγγίσεις από όλες τις υπόλοιπες ,ενώ αξιόλογες είναι και οι μέθοδοι Kutta και Gill. Περιορισμένη αναφορά γίνεται στις μεθόδους ανώτερης τάξης όπως και στις μεθόδους μεταβλητού βήματος, που αν και είναι ιδιαίτερα πολύπλοκες αξίζει τον κόπο να καταπιαστούμε μαζί τους κυρίως για την μεγάλη ακρίβεια που παρέχουν.Το τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι πολυβηματικές και οι μέθοδοι πρόβλεψης-διόρθωσης. Η κορυφή των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούν τις ήδη υπολογισμένες προσεγγιστικές τιμές, τις οποίες διορθώνουν ελαττώνοντας το σφάλμα αποκοπής. Κατά την διάρκεια αυτής της διαδρομής θα συναντήσει κανείς ,για κάθε μια μέθοδο, παραδείγματα , σύντομη θεωρία, και αλγορίθμους για την μεταφορά των μεθόδων αυτών σε προγραμματιστικό περιβάλλον , όπως και εφαρμογές τους σε πεδία άλλων επιστημών (π.χ. φυσικής, χημείας, κοινωνιολογίας, κ.α.)Η ελάχιστη συνεισφορά της συγγραφέας έναντι στον πλούτο των γνώσεων που της προσέφερε η επαφή της με το κομμάτι αυτό της αριθμητικής ανάλυσης βρίσκεται στο παράρτημα.Παραθέτονται προγράμματα όλων των προαναφερθέντων μεθόδων σε προγραμματιστικό περιβάλλον Fortran.6. Η γλώσσα αυτή επιλέχτηκε κυρίως για την ακρίβειά της.
description: The Differential equations are widely used for many different natural phenomena and systems, and especially those that evolve over time. The author ‘s magnetization by the widespread use was the reason of this diplomatic deal with them ,from the perspective of numerical analysis. In this paper attempted to present most of the numerical methods for solving differential equations first order with initial values.t the first chapter, the reader encounters a reference to introductory concepts of numerical analysis aw the simplest and oldest method, Euler’s method.In the second chapter a variety of methods are presented gradually. The methods of Taylor 2nd and 4th order defined with the help of the respective polynomials Taylor, immediately after which the presents the wealth of Runge- Kutta methods . The class of Runge-Kutta second order methods contains Midpoint Method, the improved method of Euler (Modified Euler) and the method of Heun. Although the order of methods is still low, these approaches are obvious improved and these methods are suitable for understanding higher-order techniques. After the Runge- Kutta method of third order, fourth order Runge Kutta method occupies a prominent position among the rest methods the same order and that method provides the best the best approaches from all the others, method of Kutta and Gill method are both remarkable. Little mention is made in the methods of higher order as in the methods of variable pitch, which although are very complex worth trouble grips with them mainly to the high accuracy they provide.The third and final chapter presents the multisteps methods and the predictor-corrector methods. These methods are at the top of numerical methods for solving differential equations using. They use the computed approximations , and correct them.During this journey you will meet, for each method, examples, brief theory and algorithms for the transportation of these methods in programming environment, as well as applications in other fields of science (eg physics, chemistry, sociology etc.)The minimum contribution from writer’s side towards the wealth of knowledge offered by the contract with this part of numerical analysis is at annex. We present programs of all the above methods in programming environment Fortran.6. This programming language was chosen primarily for its accuracy.