title: Функционал дополнительной энергии для анализа устойчивости пространственных стержневых систем
title: The functional of additional energy for stability analysis of spatial rod systems
Creators: name: Тюкалов, Юрий Яковлевич
Publisher: name: Unknown
Year: 2017
Subjects: устойчивость
метод конечных элементов в напряжениях
кусочно-постоянные напряжения
функционал дополнительной энергии
нижняя граница решения
критические силы
запас устойчивости
stability
finite element method in stresses
piecewise constant stress
an additional energy functional
the lower limit of solutions
critical force
reserve of stability

description: Рассматривается решение задач устойчивости пространственных стержневых систем методом конечных элементов в напряжениях. Предлагаемая методика основывается на сочетании функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений, используемого для построения уравнений равновесия узлов конечно-элементной сетки. После дискретизации предметной области, решение задачи сводится к поиску минимума функционала дополнительной энергии деформации при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений равновесия узлов. Уравнения равновесия включаются в функционал при помощи множителей Лагранжа, которыми являются перемещения узлов. Получены разрешающие уравнения для статического расчета пространственных стержневых систем на основе аппроксимации усилий (напряжений). Для решения задач устойчивости в функционале учитывается дополнительная энергия от продольных деформаций, возникающих за счет изгиба стержней. Форма потери устойчивости по области конечного элемента аппроксимируется линейной функцией. Рассматриваются два варианта аппроксимации внутренних усилий по области конечного элемента: линейная и кусочно-постоянная. По предложенной методике были выполнены расчеты критических сил (нагрузок) для прямых стержней при различных вариантах закрепления концов и пространственных рам. Выполнено сравнение результатов с аналитическим решениями и решениями, полученными по методу конечных элементов в перемещениях. Анализ полученных результатов показывает, что использование кусочно-постоянных аппроксимаций внутренних усилий приводит к сходимости к точному значению критических сил (нагрузок) строго снизу и позволяет получить решение в запас устойчивости.
description: The problem solutions of stability of spatial rod systems by finite elements method in stresses were considered. The proposed method is based on a combination of functional additional energy and the principle of virtual displacements, used for the construction of the equilibrium equations. After discrediting of the subject field, solution of the problem reduces to finding the minimum of additional strain energy functional with constraints in the form of the system of linear algebraic equilibrium equations of the nodes. The equilibrium equations are included in the functional with the help of Lagrange multipliers, which are displacements of the nodes. Equations are derived for the static analysis based on approximations of internal forces (stresses) for the spatial rod systems. To solve the stability problems, in the functional of additional energy there are added additional energy the longitudinal deformations, arising due to the bending of rods. Form of the rod buckling is approximated by a linear function on finite element field. Two variants of the internal forces approximations on the finite element field: linear and piecewise constant were considered. Calculations of critical forces (loads) have been performed by the proposed method for the straight rods with different variants of the ends support and the spatial frameworks. Were compared the calculation results with the analytical solutions and the solutions obtained by the method of finite elements in displacements.  Analysis of the results shows that the use of piecewise constant approximations of internal forces leads to convergence to the exact values of the critical forces (loads) is strictly from below and provides solution with the reserve of stability.