title: Decorated discrete conformal equivalence, canonical tessellations, and polyhedral realization
Creators: name: Lutz, Carl O. R.
Publisher: name: Technische Universität Berlin
Year: 2024
Subjects: subject: 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::516 Geometrie
subject: circle patterns
subject: hyperbolic polyhedra
subject: discrete uniformization
subject: variational principles
subject: decorated Teichmüller theory
subject: combinatorics of surfaces
subject: Kreismuster
subject: hyperbolische Polyeder
subject: diskrete Uniformisierung
subject: Variationsprinzipien
subject: dekorierte Teichmüller-Theorie
subject: Kombinatorik von Flächen

description: This cumulative dissertation introduces and develops the new theory of decorated discrete conformal equivalence. A decoration of a piecewise hyperbolic, Euclidean, or spherical surface is a choice of circle about each of its conical singularities. Our decorated surfaces are intimately related to inversive distance circle packings, canonical tessellations of hyperbolic surfaces, and convex hyperbolic polyhedra. We prove the discrete uniformization theorems for decorated surfaces. In the special case that all vertex circles degenerate to points, this recovers the known uniformization theorems for discrete conformal maps. Furthermore, we show that one can deform continuously between decorated piecewise hyperbolic, Euclidean, and spherical surfaces sharing the same fundamental discrete conformal invariant. Therefore, there is but one master theory of discrete conformal equivalence in different background geometries. Our approach is based on concave variational principles, which provide a way to compute the discrete uniformization and geometric transitions. They are given by the Legendre transformations of the volumes of convex hyperbolic polyhedra. Therefore, our discussion also provides an explicit variational method to compute the realization of hyperbolic surfaces with ends as the boundary of convex parabolic or Fuchsian polyhedra. A key aspect of the theory is to understand the combinatorial change that can accrue while continuously deforming a decorated discrete metric. We show that the combinatorics of decorated piecewise hyperbolic, Euclidean, and spherical surfaces correspond to the canonical tessellations of decorated hyperbolic surfaces with ends. Their decorated Teichmüller spaces are the configuration spaces of our variational principles. We analyze the decompositions of these spaces, which are induced by canonical tessellations. In particular, we generalize the Epstein–Penner convex hull construction, Weeks’ flip algorithm, and Akiyoshi’s compactification theorem to the case of hyperbolic surfaces with ends of infinite area.
description: Diese kumulative Dissertation entwickelt die neue Theorie der dekorierten diskreten konformen Äquivalenz. Eine Dekorierung einer stückweise hyperbolischen, euklidischen oder sphärischen Fläche ist die Wahl eines Kreises um jeden ihrer konischen Singularitäten. Die Theorie von dekorierten Flächen hängt eng mit der von „inversive distance“ Kreispackungen, kanonischen Zerlegungen hyperbolischer Flächen und konvexen hyperbolischen Polyedern zusammen. Wir beweisen die diskreten Uniformisierungssätze für dekorierte Flächen. Im Spezialfall, dass alle Kreise zu Punkten degenerieren, reproduziert dies die bekannten Uniformisierungssätze für diskret konforme Abbildungen. Darüber hinaus zeigen wir, dass man dekorierte stückweise hyperbolische, euklidische und sphärische Flächen, die dieselbe diskrete konforme Fundamentalinvariante haben, kontinuierlich ineinander verformen kann. Daher gibt es nur eine Mastertheorie der diskreten konformen Äquivalenz in verschiedenen Hintergrundgeometrien. Unser Ansatz basiert auf konkaven Variationsprinzipien, die eine Möglichkeit zur Berechnung der diskreten Uniformisierung und geometrischen Übergänge bieten. Sie sind durch die Legendre-Transformationen der Volumina konvexer hyperbolischer Polyeder gegeben. Somit bietet unser Ansatz auch eine explizite Variationsmethode zur Berechnung der Realisierung von hyperbolischen Flächen mit Enden als Rand konvexer parabolischer oder fuchsischer Polyeder. Ein Schlüsselaspekt der Theorie besteht darin, die kombinatorischen Veränderungen zu verstehen, die bei der kontinuierlichen Verformung einer dekorierten diskreten Metrik auftreten können. Wir zeigen, dass die Kombinatorik dekorierter stückweise hyperbolischer, euklidischer und sphärischer Flächen den kanonischen Zerlegungen dekorierter hyperbolischer Flächen mit Enden entspricht. Ihre dekorierten Teichmüller-Räume sind die Konfigurationsräume unserer Variationsprinzipien. Wir analysieren die Zerlegungen dieser Räume, die durch kanonische Zerlegungen induziert werden. Insbesondere verallgemeinern wir die Konvexehüllenkonstruktion von Epstein und Penner, den Flip-Algorithmus von Weeks und den Kompaktheitssatzes von Akiyoshi auf den Fall von hyperbolischen Flächen mit Enden unendlicher Fläche.