title: On 3-(α,δ)-Sasaki Manifolds and their Canonical Submersions
Creators: name: Stecker, Leander
Publisher: name: Philipps-Universität Marburg
Year: 2021
Subjects: subject: connection with skew-torsion
subject: quaternionisch Kähler Mannigfaltigkeit
subject: Riemannian submersion
subject: Riemannsche Submersion
subject: Zusammenhänge mit schief-symmetrischer Torsion
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Mathematik
subject: strongly positiv curv
subject: curvature operators
subject: Krü
subject: 3-(α,δ)-Sasaki manifold
subject: 3-(α,δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten
subject: quaternionic Kähler manifold

description: Wir untersuchen 3-(α,δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten anhand ihrer kanonischen Zusammenhänge. Diese sind eine Klasse von metrischen fast 3-Kontaktmannigfaltigkeiten, welche dη_i = 2αΦ_i + 2(α − δ)η_j ∧ η_k erfüllen, und daher eine Verallgemeinerung von 3-Sasaki Mannigfaltigkeiten darstellen. Sie besitzen einen Zusammenhang ∇ mit paralleler, schief-symmetrischer Torsion, der eindeutig durch ∇_Xφ_i = β(η_k(X)φ_j − η_j(X)φ_k), β ∈ R (1) gegeben ist. Dies führt zu einer Reduktion der Holonomie hol(∇) ⊂ (sp(n) ⊕ sp(1)) ⊕ so(3) und induziert dadurch eine lokal definierte Riemannsche Submersion π entlang der Reeb Orbits. Die so gegebene kanonische Submersion verbindet die Geometrie der Basis N mit dem Totalraum durch die zentrale Beziehung ∇^{gN}_X Y = π_∗(∇_X Y). (2) Kombinieren wir (1) und (2), so erhalten wir für die Projektionen φˇ_i von φ_i ∇^{gN}_X φˇ_i = 2δ(ηˇ_k(X)φˇ_j − ηˇ_j(X)φˇ_k) und definieren dadurch eine quaternionisch Kähler Struktur auf der Basis N. Wir zeigen, dass die Skalarkrümmung von N durch scal_gN = 16n(n+2)αδ gegeben ist, was zu wesentlich unterschiedlichem Verhalten in den Fällen αδ = 0, αδ &gt; 0 und αδ &lt; 0 führt. Wir bezeichnen diese als den degenerierten, positiven oder negativen Fall. Nicht-degenerierte homogene 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten sind besonders gut zu untersuchen, da die ihnen zugrunde liegenden homogenen quaternionisch Kähler Räume von nicht verschwindender Skalarkrümmung klassifiziert sind. Die erste Option sind symmetrische Räume von kompaktem (scal_gN &gt; 0) und nicht kompaktem (scal_gN &lt; 0) Typ. Wir geben eine vereinheitlichte Beschreibung dieses Falles und zeigen dabei, wie Paare von positiven und negativen 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten als Quotienten einfacher Lie-Gruppen entstehen. Die andere Option sind Alekseevsky Räume, also homogene Räume mit transitiver Wirkung einer auflösbaren Gruppe. Obwohl diese schwieriger zu handhaben sind als solche mit transitiver Wirkung einer einfachen Gruppe, erhalten wir durch behutsame Konstruktion weitere Beispiele negativer homogener 3-(α, δ)-Sasaki Mannigfaltigkeiten. Im dritten Teil nutzen wir nochmals (2), um die Krümmung zu untersuchen. Dies führt zu einer Zerlegung des kanonischen Krümmungsoperators R = αβR_⊥ + R_par, wobei R_⊥ durch die 3-(α,δ)-Sasaki Struktur bestimmt ist und R_par die Riemannsche Krümmung der quaternionisch Kähler Basis widerspiegelt. Falls R_gN ≥ 0 oder R_gN ≤ 0 und entsprechende Parameter α, δ gegeben sind, erhalten wir aus der Zerlegung die jeweilige Eigenschaft auch für R. Via R_g = R + 1/4T + 1/4S_T haben wir auch Kontrolle über die Positivität von R_g. Diese Ergebnisse sind maßgeschneidert für den ersten Typ von homogenen Beispielen, da ihre symmetrische Basis automatisch entweder R_gN ≥ 0 oder R_gN ≤ 0 erfüllt, je nachdem, ob sie kompakt ist oder nicht. Wir erhalten semi-definite Krümmungsoperatoren auf all diesen und in manchen Fällen sogar stark positive Krümmung.
description: We investigate 3-(α,δ)-Sasaki manifolds through their canonical connection. These manifolds are almost 3-contact metric manifolds satisfying the condition dη_i = 2αΦ_i + 2(α − δ)η_j ∧ η_k, thus generalizing 3-Sasaki manifolds. They admit a canonical metric connection ∇ with parallel skew torsion uniquely characterized by ∇_Xφ_i = β(η_k(X)φ_j − η_j(X)φ_k), β ∈ R. (1) This condition restricts the holonomy hol(∇) ⊂ (sp(n)⊕sp(1))⊕so(3) and thereby induces a locally defined Riemannian submersion π along the Reeb orbits. This canonical submersion connects the geometries on the base N and total space by the key equation ∇^{g_N}_X Y = π_∗(∇_XY ). (2) Combining (1) and (2), we obtain that for the projections φˇ_i of φ_i ∇^{g_N}_X φˇi = 2δ(ηˇ_k(X)φˇ_j − ηˇ_j(X)φˇ_k), defining a quaternionic Kähler structure on the base N. We show that the scalar curvature of N is given by scal_gN =16n(n+2)αδ, leading to vastly different behavior if αδ = 0, αδ &gt; 0 or αδ &lt; 0. These cases are called degenerate, positive and negative respectively. Non-degenerate homogeneous 3-(α, δ)-Sasaki manifolds are a particularly well-behaved class to investigate, since the underlying homogeneous quaternionic Kähler manifolds of nonvanishing scalar curvature are classified. The first option are symmetric spaces of compact (scal_gN &gt; 0) and non-compact (scal_gN &lt; 0) type. We treat this case in a unified manner showing that pairs of positive and negative homogeneous 3-(α, δ)-Sasaki manifolds appear as quotients of simple Lie groups. The other option are Alekseevsky spaces which admit a transitive solvable group action. These are harder to deal with than those admitting a transitive simple group action, but a careful construction gives rise to additional negative homogeneous 3-(α, δ)-Sasaki manifolds. In a third part we exploit identity (2) once more applying it to investigate the curvature. This yields a decomposition of the canonical curvature operator R = αβR_⊥ + R_par where R_⊥ is controlled by the 3-(α, δ)-Sasaki structure and Rpar encodes the Riemannian curvature of the quaternionic Kähler base. If R_gN ≥ 0 or R_gN ≤ 0 and α, δ are suitable parameters, the decomposition allows us to derive the same properties for R. By the formula R_g = R + 1/4T + 1/4S_T we can also control positivity of R_g. These results are tailor-made for the first class of homogeneous examples as their symmetric base automatically satisfies R_gN ≥ 0 or R_gN ≤ 0 depending on whether they are compact or not. We thus obtain semi-definite curvature operators on all of them and strongly positive curvature in some instances.