Subsets of finite general linear groups
Creators: name: Ernst, Alena
Publisher: name: Universität Paderborn
Year: 2024

description: Die Hauptresultate dieser Arbeit tragen zur extremalen und algebraischen Kombinatorik bei. Im Kontext der extremalen Kombinatorik ist eines der berühmtesten Ergebnisse das Erdős-Ko-Rado (EKR) Theorem, das die Frage beantwortet, wie groß eine Familie von sich paarweise schneidenden Mengen sein kann. Seitdem Erdős, Ko und Rado ihr Ergebnis in den 1960er Jahren veröffentlicht haben, wurden EKR Probleme untersucht, die sich aus vielen verschiedenen Objekten und Definitionen von schneidend ergeben. In dieser Arbeit untersuchen wir EKR-Probleme in der endlichen allgemeinen linearen Gruppe GL(n, q), welche aus allen invertierbaren n × n Matrizen mit Einträgen im endlichen Körper F_q besteht. Wir liefern obere Schranken für die Größe verschiedener sich schneidender Mengen in GL(n, q) und geben eine Charakterisierung der sich schneidenden Mengen maximaler Größe. Im Kontext der algebraischen Kombinatorik beschäftigen wir uns mit transitiven Teilmengen einer Permutationsgruppe, welche den Begriff der transitiven Untergruppe verallgemeinern. Wir liefern strukturelle Ergebnisse über Teilmengen von GL(n, q), die transitiv auf fahnenartigen Strukturen wirken. Mithilfe der Theorie der Assoziationsschemata zeigen wir, dass diese transitiven Mengen Delsarte T-Designs im Assoziationsschema von GL(n, q) sind. Dies verallgemeinert ein gruppentheoretisches Resultat von Perin über Untergruppen von GL(n, q), die transitiv auf Unterräumen über endlichen Körpern wirken. Unser Ansatz sich schneidende und transitive Mengen zu untersuchen, verwendet die Theorie der Assoziationsschemata und die Darstellungstheorie von GL(n, q). Viele der erzielten Ergebnisse können als q-Analoga der für die symmetrische Gruppe bekannten Resultate interpretiert werden.
description: The main results of this thesis contribute to extremal and algebraic combinatorics. In the context of extremal combinatorics, one of the most famous results is the Erdős-Ko-Rado (EKR) theorem, which answers the question of how large a family of pairwise intersecting sets can be. Ever since Erdős, Ko, and Rado published their result in the1960s, EKR problems arising from many different objects and notions of intersection have been investigated. In this thesis, we study EKR problems in the finite general linear group GL(n, q), the group consisting of all invertible n×n matrices with entries in the finite field with q elements. We provide upper bounds for the size of different intersecting sets in GL(n, q) and give a characterisation of the intersecting sets of maximal size. In the context of algebraic combinatorics, we deal with transitive subsets of a permutation group, which generalise the notion of a transitive subgroup. We provide structural results on subsets of GL(n, q) acting transitively on flag-like structures. Using the theory of association schemes, we show that these transitive sets are Delsarte T-designs in the association scheme of GL(n, q). This generalises a group-theoretical result of Perin on subgroups of GL(n, q) acting transitively on subspaces over finite fields. Our approach for studying both intersecting and transitive sets of GL(n, q) uses the theory of association schemes and the representation theory of GL(n, q). Many of the results obtained can be interpreted as q-analogs of those known for the symmetric group.