Αριθμητικές Μέθοδοι Υψηλής Τάξης για την Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων και Συστημάτων – Εκτίμηση Σφαλμάτων – Εφαρμογές με Προγράμματα σε Matlab:
Creators: name: Λάμπρου, Χαρίλαος Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2011
Subjects: Μέθοδοι Runge-Kutta
Ενσωματωμένοι Τύποι
Σφάλμα Αποκοπής
Runge-Kutta Methods
Embedding Forms
Truncation Error

description: Οι διαφορικές εξισώσεις είναι απαραίτητες για την μοντελοποίηση πολλών φυσικών, βιολογικών, μαθηματικών και άλλων προβλημάτων. Μελετώνται εδώ μερικές μαθηματικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισμένες αριθμητικές μέθοδοι Runge-Kutta από δεύτερης έως όγδοης τάξης, οι οποίες προσεγγίζουν βήμα-βήμα την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης συνοδευόμενη από μία αρχική συνθήκη (πρόβλημα αρχικών τιμών). Στην συνέχεια αναφέρεται ένας γενικός τρόπος για την επέκταση αυτών των διαδικασιών σε συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Ακόμη εξετάζονται συστήματα διαφορικών εξισώσεων με τάξη υψηλότερη του ένα, η λύση των οποίων επιτυγχάνεται με τη μετατροπή του αρχικού συστήματος σε ένα ευρύτερο σύστημα πρώτης τάξεως διαφορικών εξισώσεων. Είναι πολύ σημαντική η εκτίμηση της ακρίβειας που επιτυγχάνεται σε κάθε βήμα κατά την αριθμητική επίλυση ενός προβλήματος αρχικών τιμών. Για να επιτευχθεί αυτό, παρουσιάζεται μια διαδικασία όπου κάποιες από τις μεθόδους που έχουν ήδη παρουσιασθεί ενσωματώνονται μέσα σε υψηλότερης τάξης τύπους ή ενσωματώνουν τύπους μικρότερης τάξης. Κατόπιν μέσα από την σύγκριση αυτών των μεθόδων ή απευθείας μέσω τύπων παίρνουμε επιπλέον εκτός της προσέγγισης και μια πολύ ικανοποιητική εκτίμηση του σφάλματος σε κάθε βήμα. Για κάθε μέθοδο που αναφέρεται σε αυτή την εργασία έχει κατασκευασθεί και ένα πρόγραμμα σε μορφή συνάρτησης στο Matlab. Όλοι οι κώδικες αυτών καθώς και οδηγίες για την χρήση τους μαζί με παραδείγματα αναφέρονται στο παράρτημα της εργασίας. Τέλος παρουσιάζονται εκτεταμένα εφαρμογές και αποτελέσματα των υπορουτίνων αυτών τα οποία βοηθούν στον έλεγχο και την μεταξύ τους σύγκριση, καθώς και συμπεράσματα τα οποία απορρέουν από την συμπεριφορά των διαφορικών εξισώσεων που μελετήσαμε και από στοιχεία που βρήκαμε από δημοσιευμένες έρευνες που αναφέρονται στην βιβλιογραφία.
description: Differential equations are necessary for modeling many physical, biological, mathematical and other problems. Here we study some mathematical techniques for solving differential equations. In this paper we present some numerical methods Runge-Kutta from second to eighth order, which approach step by step the solution of a first order differential equation, accompanied by an initial condition (initial value problem). Then we mention a general method to extend these procedures to systems of first order differential equations. Furthermore, we examine some systems of higher than one order differential equations, whose solution achieved by converting the initial system to a wider system of first order differential equations. It’s very important to estimate the accuracy which achieved at each step during the numerical solution of an initial value problem. In order to achieve this, we present a procedure where some of these methods, that we have mentioned, are embedded into higher order formulas or embed lower order formulas. Then, by comparing these methods or directly through formulas, we get except the approach and a very satisfactory estimate of error in each step. For each method, which we refer here, we have created a program in the form of function in Matlab. All the codes of these and their instructions with examples are mentioned in the annex. Finally, we present extensively the applications and results of these subroutines which help the control and the comparison between them, as well as the conclusions which arising from the behavior of differential equations we studied and from what we found from published research which we refer in the literature.