Θεμέλια της Δυναμικής στη Μιγαδική Ανάλυση
Creators: name: Αθαναηλίδου, Ευλαμπία Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2016
Subjects: Δυναμικά Συστήματα
Μιγαδική Ανάλυση
Ρητές Απεικονίσεις
Dynamical Systems
Complex Anaysis
Rational Maps

description: Το θέμα αυτής της διπλωματικής εργασίας βρίσκεται στη γενική θεωρία των μιγαδικών δυναμικών συστημάτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε τη δυναμική των μιγαδικών ρητών απεικονίσεων. Η παρουσίαση βασίζεται στο βιβλίο του Beardon με τίτλο «Iteration of Rational Functions». Η δυναμική μίας ρητής απεικόνισης έχει να κάνει με τη συμπεριφορά συγκεκριμένων σημείων κάτω από την απεικόνιση. Αυτή έχει μελετηθεί αρχικά από τους Julia και Fatou στα κλασικά τους άρθρα. Ανεξάρητα, ο Montel έχει επίσης μελετήσει κανονικές οικογένειες ρητών απεικονίσεων. Για να εφαρμόσουμε τη θεωρία των Julia και Fatou, εφοδιάζουμε τη σφαίρα του Riemann με δύο (ισοδύναμες) μετρικές, τη σφαιρική μετρική και τη χορδική μετρική. Θεωρούμε την κλάση όλων των ρητών απεικονίσεων που δρουν σε αυτούς τους δύο χώρους και ορίζουμε την έννοια της συζυγίας. Προκύπτει ότι η συζυγία είναι μία σχέση ισοδυναμίας και ότι συζυγείς ρητές απεικονίσεις έχουν κατά κάποια έννοια τα ίδια δυναμικά χαρακτηριστικά. Ειδικότερα, έχουν τον ίδιο βαθμό. Για μία ρητή απεικόνιση, ή ακόμα και για μία κλάση συζυγίας τέτοιων απεικονίσεων, ορίζουμε το σθένος της όπως επίσης και τα σταθερά και κριτικά σημεία της. Αυτά τα χρησιμοποιούμε για να εξάγουμε πληροφορίες για αυτή την απεικόνιση, κυρίως τοπικά γύρω από σημεία. Το βασικό αποτέλεσμα της δυναμικής των ρητών απεικονίσεων είναι ότι ο χώρος διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα, το σύνολο F του Fatou και το σύνολο J του Julia. Θα ορίσουμε αυτά τα σύνολα χρησιμοποιώντας την έννοια της κανονικότητας μίας οικογένειας ρητών απεικονίσεων (ακολουθώντας τον Montel). Μελετάμε στη συνέχεια πώς αυθαίρετα σημεία συμπεριφέρονται όταν επαναλαμβάνουμε την απεικόνιση. Εκτός από τα σταθερά σημεία υπάρχουν και σημεία τα οποία μετά από έναν πεπερεσμένο αριθμό βημάτων της επανάληψης επανέρχονται ξανά στην αρχική τους θέση. Τέτοια σημεία καλούνται περιοδικά, και ταξινομούνται περαιτέρω σε ελκτικά ή απωστικά. Αυτή η ταξινόμηση δίνει επίσης έναν εναλλακτικό ορισμό του συνόλου J του Julia, επομένως και του συμπληρώματός του F.
description: The theme of this dissertation lies in the general area of complex dynamical systems. In particular, we study the dynamics of complex rational maps. The presentation is based on Beardon’s book "Iteration of Rational Functions". The dynamics of a rational map has to do with the behaviour of certain points under the map. It has been originally studied by Julia and Fatou in their classical papers. Independently, Montel has also studied normal families of rational maps. In order to apply the theory of Julia and Fatou, we equip Riemann’s sphere with two (equivalent) metrics, namely, the spherical metric and the chordal metric. We consider the class of all rational maps acting on these spaces and we define the notion of conjugation. It turns out that conjugation is an equivalence relation and conjugate rational maps have in some sense the same dynamical features. In particular, they have the same degree. For a rational map, or even a conjucacy class of such maps, we define its breadth as well as its fixed and critical points. We use them to extract information about the map, mainly locally around points. The main result of the dynamics of rational maps is that the space is partitioned into two subsets, namely, Fatou’s set F and Julia’s set J. We will define these sets in terms of the notion of normality of a family of rational maps (following Montel). We study then how arbitrary points are behaved when we iterate the map. Apart from the fixed points there are points that after finitely many steps of the iteration they come back again to their initial position. Such points are called periodic, and they are further classified as attractive or repulsive. This classification gives also an alternative definition of Julia’s set J, and hence its complement F.