title: Post-Lie algebra structures and decompositions of Lie algebras
Creators: name: Monadjem, Mina
Publisher: name: :none
Year: 2024

description: In dieser Arbeit untersuchen wir Zerlegungen von Lie Algebren, die Existenz von Post-Lie Algebra Strukturen und deren Zusammenhang. Post-Lie Algebra Strukturen (PA- Strukturen) treten in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, wie etwa bei kristallographischen Gruppen und affinen Strukturen auf Lie Gruppen. Wir untersuchen die Existenz von Post-Lie Algebra Strukturen in Abhängigkeit von den algebraischen Eigenschaften der Lie Algebren. Dies wird anhand von Zerlegungsfragen beleuchtet. Mit einer Zerlegung einer Lie Algebra meinen wir eine Lie Algebra g die wir als Vektorraumsumme von zwei Unteralgebren schreiben können, d.h. g = a + b wobei a und b Unteralgebren von g sind. Dabei wollen wir Eigenschaften von g in Abhängigkeit von den algebraischen Eigenschaften von a und b bestimmen. Wir zeigen, dass eine Lie Algebra, die die direkte Vektorraumsumme zweier halbeinfacher Unteralgebren ist, halbeinfach ist. Dieses Resultat verwenden wir um Aussagen über Post-Lie Algebra Strukturen auf halbeinfachen Lie Algebren zu treffen. Insbesondere, zeigen wir, dass für Post-Lie Algebra Strukturen auf Paaren (g, n) wo g halbeinfach ist, gilt, dass g und n isomorph sind, also hat man Starrheit in diesem Fall. Weiters wollen wir Resultate über Post-Lie Algebra Strukturen auf halbeinfachen Lie Algebren für perfekte Lie Algebren verallgemeinern. Wir zeigen anhand niedrig dimensionaler Beispiele von perfekten Lie Algebren, welche Paare Post-Lie Algebra Strukturen zulassen. Wir sehen, dass es Paare (g, n), wo g perfekt und n reduktiv nicht-halbeinfach ist, gibt, die eine PA-Struktur zulassen. Weiters geben wir eine Existenztabelle an, die aufweist, für welche Paare (g, n) Post-Lie Algebra Strukturen existieren. Außerdem behandeln wir kommutative PA-Strukturen und verallgemeinern einige schon existierende Resultate auf eine neue Klasse an PA-Strukturen, nämlich λ-SPA-Strukturen.
description: In this thesis we study decompositions of Lie algebras, the existence of post-Lie algebra structures and their connection. Post-Lie algebra structures (PA-structures) appear in various areas of mathematics, such as crystallographic groups and affine structures on Lie groups. We consider the existence of post-Lie algebra structures depending on the algebraic properties of the Lie algebras. This will be done by examining decomposition questions. By a decomposition we mean a Lie algebra g that can be written as a vector space sum of two of its subalgebras, i.e. g = a + b where a and b are subalgebras of g. We want to determine properties of g depending on the algebraic properties of a and b. We show that a Lie algebra that is a direct vector space sum of two semisimple subalgebras is semisimple. We will use this result to make statements about post-Lie algebra structures on semisimple Lie algebras. In particular, we show that for a post-Lie algebra structure on (g,n) where g is semisimple, we have that g and n are isomorphic, so we have rigidity in this case. Moreover we want to generalize results about post- Lie algebra structures on semisimple Lie algebras to perfect Lie algebras. We show based on lower dimensional perfect Lie algebras, which pairs admit a post-Lie algebra structure. We see that there exist pairs of Lie algebras (g,n) where g is perfect and n is reductive non-semisimple that admit a post-Lie algebra structure. In addition, we give an existence table, which shows for which pairs (g,n) there exists a post-Lie algebra structure. Furthermore, we investigate commutative PA-structures and generalize some existing results to new classes of PA-structures, namely λ-SPA-structures.