title: A Fourier transform for all generalized functions
Creators: name: Mukhammadiev, Akbarali
Publisher: name: :none
Year: 2021

description: Unter Verwendung der Existenz einer unendlichen Zahl k im nicht-archimedischen Ring von Robinson-Colombeau definieren wir die hyperfinite Fourier-Transformation (HFT), indem wir über \left[-k,k\right]^{n} anstatt \left(-\infty,\infty\right)^{n} integrieren. Um diese Idee zu realisieren, betrachten wir einen bestimmten Raum verallgemeinerter Funktionen, nämlich den der verallgemeinerten glatten Funktionen (GSF); dies ist eine Erweiterung der klassischen Distributionstheorie, die mit gewöhnlichen glatten Funktionen viele nichtlineare Eigenschaften gemeinsam hat, wie z.B. Abschluss unter Komposition, eine zufriedenstellende Integrationstheorie und mehrere klassische Theoreme der Infinitesimalrechnung. Obwohl die Transformation letztendlich von k abhängt, erhalten wir einen neuen Begriff, der auf alle GSF, insbesondere auf alle Schwartz-Distributionen und alle verallgemeinerten Funktionen im Sinne von Colombeau, ohne Wachstumsbeschränkungen angewendet werden kann. Wir beweisen, dass diese FT mehrere klassische Eigenschaften der gewöhnlichen FT verallgemeinert, und überwinden auf diese Weise auch die Schwierigkeiten der FT im Colombeau-Setting. Unterschiede in einigen Formeln, wie zum Beispiel bei der Transformation von Ableitungen, erweisen sich als sinnvoll, weil dadurch auch globale eindeutige nichttemperierte Lösungen von Differentialgleichungen erhalten werden können. Bevor wir uns mit der HFT befassen, benötigen wir einen passenden Begriff des Grenzwertes, der mit dem Integralzeichen vertauscht werden kann. Tatsächlich ist bekannt, dass der Begriff des Grenzwertes in der scharfen Topologie von Folgen von Colombeau-verallgemeinerten Zahlen \Rtil ungeeignet ist zur Verallgemeinerung klassischer Resultate. Z.B. gilt \frac{1}{n}\not\to0, und eine Folge (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} konvergiert dann, und nur dann, wenn x_{n+1}-x_{n}\to0. Dies hat mehrere tiefgreifende Konsequenzen, z.B. bei der Untersuchung von Reihen, von analytischen verallgemeinerten Funktionen, oder von Sigma-Additivität und klassischen Grenzwertsätzen in der Integration verallgemeinerter Funktionen. Das Nichtvorhandensein dieser Resultate hängt auch damit zusammen, dass \widetilde{\mathbb{R}} zwangsläufig keine vollständige geordnete Menge ist, denn z.B. besitzt die Menge aller infinitesimalen Elemente weder ein Supremum noch ein Infimum. Wir präsentieren zunächst eine Lösung für diese Probleme durch die Einführung der Begriffe „hypernatürliche Zahl“, „Hyperfolge“, „enges Supremum bzw. Infimum“. Auf diese Weise können wir alle klassischen Sätze auf den Hypergrenzwert einer Hyperfolge verallgemeinern.
description: Using the existence of an infinite number k in the non-Archimedean ring of Robinson-Colombeau, we define the hyperfinite Fourier transform (HFT) by considering integration extended to [-k,k]^{n} instead of (-\infty,\infty)^{n}. In order to realize this idea, the space of generalized functions we consider is that of generalized smooth functions (GSF), an extension of classical distribution theory sharing many nonlinear properties with ordinary smooth functions, like the closure with respect to composition, a good integration theory, and several classical theorems of calculus. Even though the final transform depends on k, we obtain a new notion that applies to all GSF, in particular to all Schwartz's distributions and to all Colombeau generalized functions, without growth restrictions. We prove that this FT generalizes several classical properties of the ordinary FT, and in this way we also overcome the difficulties of FT in Colombeau's settings. Differences in some formulas, such as in the transform of derivatives, reveal to be meaningful since allow to obtain also global unique non-tempered solutions of differential equations. Before dealing with HFT, we need the correct notion of a limit to interchange with the integral sign. In fact, it is well-known that the notion of limit in the sharp topology of sequences of Colombeau generalized numbers \Rtil does not generalize classical results. E.g. the sequence \frac{1}{n}\not\to0 and a sequence (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} converges if and only if x_{n+1}-x_{n}\to0. This has several deep consequences, e.g. in the study of series, analytic generalized functions, or sigma-additivity and classical limit theorems in integration of generalized functions. The lacking of these results is also connected to the fact that \widetilde{\mathbb{R}} is necessarily not a complete ordered set, e.g. the set of all the infinitesimals has neither supremum nor infimum. We first present a solution of these problems with the introduction of the notions of hypernatural number, hypersequence, close supremum and infimum. In this way, we can generalize all the classical theorems for the hyperlimit of a hypersequence.