Διάταξη με Βάση τη Διαιρετότητα σε Άλγεβρες
Creators: name: Γιαταγαντζίδης, Οδυσσέας Ευσταθίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2019
Subjects: Ιδιότητα πεπερασμένης βάσης
Πολλαπλότητες ομάδων
Πολλαπλότητες Lie αλγεβρών
Finite basis property
Varieties of groups
Varieties of Lie algebras

description: Στόχος αυτής της εργασίας είναι η μελέτη του Θεωρήματος 1.1 από το άρθρο «Ordering by Divisibility in Abstract Algebras» του Graham Higman (Θεώρημα Α) και η ανάλυση των δύο εφαρμογών του που εμφανίζονται στην σχετική βιβλιογραφία, η πρώτη εκ των οποίων αφορά στην Θεωρία Ομάδων (Θεώρημα Β) και η δεύτερη στην Θεωρία Lie Αλγεβρών (Θεώρημα Γ). Πιο συγκεκριμένα, η Ενότητα 2.1 περιέχει την απαραίτητη θεωρία που οδηγεί στο Θεώρημα Α, την απόδειξη του θεωρήματος και ένα πόρισμά του που χρησιμοποιείται στις δύο εφαρμογές. Σε αυτή την ενότητα γίνεται λόγος για διατεταγμένα σύνολα, για την ιδιότητα της πεπερασμένης βάσης, η οποία είναι η κεντρική έννοια ολόκληρης της εργασίας, και για αφηρημένες άλγεβρες. Σε μία αφηρημένη άλγεβρα ορίζεται η έννοια της διάταξης διαιρετότητας και η συμβατότητα αυτής με κάποιες προϋπάρχουσες διατάξεις στα σύνολα των πράξεων της ίδιας τάξης. Οι Ενότητες 2.2 και 2.3 περιέχουν μία λεπτομερή ανάλυση των αποδείξεων των Θεωρημάτων Β και Γ, αντίστοιχα, όπως αυτές δίνονται στα άρθρα «Abelian by Nilpotent Varieties» και «Soluble Varieties of Lie Algebras» των M.R. Vaughan-Lee και R.M. Bryant, M.R. Vaughan-Lee. Πιο συγκεκριμένα, το Θεώρημα Β λέει ότι η σχετικά ελεύθερη ομάδα απειραριθμήσιμης βαθμίδας που αντιστοιχεί στην πολλαπλότητα των ομάδων που είναι μηδενοδύναμες-το-πολύ-κλάσης-c-προς-αβελιανές και αβελιανές-προς-μηδενοδύναμες-το-πολύ-κλάσης-c ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας στις Φ-υποομάδες της για κάθε μη-αρνητικό ακέραιο c, το οποίο συνεπάγεται ότι οι νόμοι κάθε υποπολλαπλότητας της παραπάνω πολλαπλότητας έχουν πεπερασμένη βάση (Θεώρημα Β1). Κάθε Φ-υποομάδα αυτής της πολλαπλότητας είναι μία πλήρως αναλλοίωτη υποομάδα. Όμοια, το Θεώρημα Γ λέει ότι πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικής διάφορης του 2 οι νόμοι κάθε υποπολλαπλότητας της πολλαπλότητας των μηδενοδύναμων-το-πολύ-κλάσης-2-προς-αβελιανών Lie αλγεβρών έχουν πεπερασμένη βάση. Τέλος, στις Ενότητες 1.1 και 1.2 δίνονται οι απαραίτητες προαπαιτούμενες γνώσεις Θεωρίας Ομάδων και Lie Αλγεβρών, αντίστοιχα, προσαρμοσμένες στις ανάγκες της εργασίας
description: In this dissertation we study Graham Higman's Theorem 1.1 of his article “Ordering by Divisibility in Abstract Algebras” (Theorem A) and its two applications that appear in the relevant literature, the first one in Group Theory (Theorem B) and the second one in the Theory of Lie Algebras (Theorem C). In Section 2.1 we give the necessary theory that leads to Theorem A, the proof of the theorem and a consequence of it which is used in the applications. In this section we deal with ordered sets, the finite basis property, which is the central notion of this dissertation, and abstract algebras. We give the definition of a divisibility order in an abstract algebra and the condition of compatibility of this order with respect to some pre-defined orders in the sets of operations of the same order. Sections 2.2 and 2.3 contain a detailed analysis of the Proofs of Theorems B and C, respectively, as they appear in the articles “Abelian by Nilpotent Varieties” and “Soluble Varieties of Lie Algebras” by M.R. Vaughan-Lee and R.M. Bryant, M.R. Vaughan-Lee. Theorem B states that the relatively free group of countably infinite rank that corresponds to the variety of nilpotent-of-class-c-by-abelian and abelian-by-nilpotent-of-class-c groups satisfies the ascending chain condition on its Φ-subgroups for every non-negative integer c, which implies that the laws of every subvariety of the aforementioned variety have a finite basis (Theorem B1). Every Φ-subgroup of this variety is fully invariant. Similarly, Theorem C states that over a field of characteristic not equal to 2 the laws of every subvariety of the variety of nilpotent-of-class-2-by-abelian Lie algebras have a finite basis. Finally, in Sections 1.1 and 1.2 we give the necessary prerequisite facts about groups and Lie algebras in a gradual and adapted to the needs of this dissertation manner