The Albert-Brauer-Hasse-Noether Theorem and Global Dimension of Crossed Products:
Creators: name: Παλαιστή, Μαρίνα Αθηνόδωρου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2014
Subjects: Σταυρωτό Γινόμενο
Θεώρημα Albert-Brauer-Hasse-Noether
Ολική Διάσταση
Crossed Product Algebra
Albert-Brauer-Hasse-Noether Theorem
Global Dimension

description: In chapter 1 we introduce the central simple algebras over an algebraic number field K and their fundamental properties, and also we introduce the Brauer group of a field. Central simple K- algebras are really useful algebraic structures, not only because of their simplicity as algebras, but also due to the fact that their center is precisely the field K. An equivalence relation is defined on central simple algebras, and their classes form a group, the Brauer group. The elements of the last gives a classification of all division algebras over the field K. In chapter 2 we are concerned with the extremely important concept of crossed products algebras and the formalistic theory of group cohomology. Crossed products are a specific kind of central simple algebras, having especially beautiful properties, such as their correspondence to cocycles and their ability to preserve their natural properties. Furthermore, we discuss the basic stuff about cyclic algebras and we prove that a division algebra of degree 3 over an algebraic number field is cyclic. In chapter 3 we provide the needed machinery of the theory of valuations on algebraic number fields and the P-adic completions of them, in order to present and prove the main theorem of this thesis, the Albert-Brauer-Hasse-Noether Theorem. One of the main applications of the Theorem is that every central simple algebra is cyclic. Finally, in chapter 4 we discuss the generalization of our previous concepts. We give a little information about the cohomology modules, from an arbitrary algebra A to an (A,A)-bimodule M, and we compute the first three cohomology modules. Moreover, we introduce the construction of the general crossed products, and we view them from a homological point of view, giving relations between global and cohomological dimension for several crossed products. Finally, we concetrate to the case of zero global dimension, in which we prove that the group in this case is a torsion group, although it is not necessarily finite and we construct a crossed product which is a division ring.
description: Στο κεφάλαιο 1 εισάγουμε την έννοια των απλών κεντρικών αλγεβρών, καθώς και τις θεμελιώδεις του ιδιότητες. Επιπλέον εισάγουμε την ομάδα του Brauer ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών. Στο κεφάλαιο 2, ασχολούµαστε µε την ιδιαίτερα σηµαντική αλγεβρική δοµή που ονοµάζεται άλγεβρα σταυρωτό γινόμενο, καθώς και µε τη ϕορµαλιστική θεωρία συνοµολογίας οµάδων του Galois. Οι άλγεβρες σταυρωτά γινόµενα είναι µία ειδική περίπτωση απλών κεντρικών αλγεβρών, τα οποία έχουν ιδιαίτερα όμορφες ιδιότητες, όπως η αντιστοιχία τους σε συν-κύκλους και η δυνατότητά τους να διατηρούν τα φυσικά τους χαρακτηριστικά. Επιπλέον, συζητούμε τα βασικά θέματα γύρω από τις κυκλικές άλγεβρες και αποδεικνύουμε ότι µία άλγεβρα µε διαίρεση βαθμού 3 υπεράνω ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών είναι κυκλική. Στο κεφάλαιο 3 παρέχουμε τα απαιτούμενα εργαλεία από τη θεωρία των εκτιμήσεων σε αλγεβρικά σώματα αριθμών και τις P-αδικές τους πληρώσεις, και παρουσιάζουµε το κύριο θέμα αυτής της εργασίας, το Θεώρημα των Albert-Brauer-Hasse-Noether. Μία από τις εφαρμογές αυτού του θεωρήματος είναι πως κάθε απλή κεντρική άλγεβρα είναι κυκλική. Τέλος, στο κεφάλαιο 4 συζητούμε τη γενίκευση των προηγούμενων θεμάτων. Δίνουμε μερικές πληροφορίες γύρω από τα modules συνομολογίας από µία τυχαία άλγεβρα A σε ένα (A,A) -bimodule M, και υπολογίζουμε τα πρώτα τρία modules συνοµολογίας. Επίσης, εισάγουµε την κατασκευή των γενικών σταυρωτών γινομένων, εξετάζοντάς τα από την οπτική γωνία της ομολογικής άλγεβρας, δίνοντας σχέσεις ανάμεσα στην ολική και στην συνοµολογική διάσταση διάφορων σταυρωτών γινομένων. Τέλος, εστιάζουμε το ενδιαφέρον µας στην περίπτωση που η ολική διάσταση είναι μηδέν, στην οποία περίπτωση αποδεικνύουμε ότι η ομάδα είναι µία ομάδα µε στρέψη , παρόλο που δεν είναι απαραίτητα πεπερασμένη, και κατασκευάζουμε ένα σταυρωτό γινόμενο, το οποίο είναι δακτύλιος µε διαίρεση .