title: Graph decomposition techniques for quantum spin systems with multi-spin interactions
title: Graphzerlegungstechniken für Quantenspinsysteme mit Multi-Spin Wechselwirkungen
Creators: name: Mühlhauser, Matthias
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024

description: This thesis, titled “Graph decomposition techniques for quantum spin systems with multi-spin interactions”, introduces an approach to formulate perturbative linked-cluster expansions via full hypergraph decompositions for quantum spin systems at zero temperature where the unperturbed part of the problem is local and the elementary perturbations couple more than two sites. The approach is then employed to investigate ground-state and excitation energies of several physical models, most of them featuring some kind of topological order. With the presented approach the established method of linked-cluster expansions via a full graph decomposition is extended to problems with perturbations which couple multiple sites. The first step is to find all subclusters of the system which are relevant for the calculation of the desired quantity. In the next step the subclusters are sorted into equivalence classes, such that two subclusters in the same equivalence class, have the same reduced contribution to the desired quantity. It is actually this step where the presented method differs from conventional graph decompositions. For problems with a local unperturbed part and a perturbation consisting of two-spin couplings a graph representation of the subclusters appears natural: The vertices represent the sites and the edges represent the couplings between the sites. Finally, the equivalence of subclusters relates to isomorphism of the representing graphs. For perturbations with multi-spin couplings, such a graph representation is not as obvious, whereas a representation in terms of hypergraphs appears natural. In the end, we use a graph representation of these hypergraphs, the König representation, to distinguish equivalence classes of subclusters. As for conventional graph decompositions, this allows to calculate the reduced contribution to the desired quantity once for each class, instead of once for each subcluster. Considering highly symmetric lattice models, this typically reduces the calculational effort significantly. It is the main focus of this thesis to explain hypergraph decompositions in a rather general way considering also minor complications like non-symmetric interactions or the presence of several different types of couplings. We encounter these aspects in the treatment of the various physical problems within this thesis. Importantly, we also use hypergraph decompositions to calculate series expansions in the topological phase of the toric code in a magnetic field. While we only slightly extend the previously known series, we explain how to systematically include the non-local effects of the anyonic statistics into a full hypergraph decomposition. Further considered models include the X-Cube model in a parallel magnetic field and a model which puts the X-Cube model and the 3D toric code into competition.
description: Diese Arbeit, mit dem Titel „Graphzerlegungstechniken für Quantenspinsysteme mit Multi-Spin Wechselwirkungen“, beschreibt ein Verfahren perturbative Linked-Cluster Entwicklungen für Quantenspinsysteme am Temperaturnullpunkt mithilfe vollständiger Hypergraphzerlegungen zu formulieren, wobei der ungestörte Teil des Problems lokal ist und die elementare Störung mehr als zwei Plätze koppelt. Der Ansatz wird schließlich verwendet um Grundzustands- und Anregungsenergien verschiedener physikalischer Modelle zu berechnen, von denen die meisten eine Art topologischer Ordnung aufweisen. Mithilfe des vorgestellten Verfahrens wird die etablierte Methode von Linked-Cluster Entwicklungen mittels vollständiger Graphzerlegung auf Probleme erweitert, bei denen Störterme mehrere Plätze koppeln. Der erste Schritt ist es alle Untercluster des Systems zu finden, die für die Berechnung der zu bestimmenden Größe relevant sind. Im nächsten Schritt werden die Untercluster in Äquivalenzklassen eingeteilt, so dass zwei Untercluster aus der selben Äquivalenzklasse den gleichen reduzierten Beitrag zu der zu bestimmenden Größe liefern. Tatsächlich, ist es dieser Schritt, wo sich die Methode von konventionellen Graphzerlegungen unterscheidet. Für Probleme mit einem lokalen ungestörten Teil und einer Störung die aus Zwei-Spin-Kopplungen besteht, ist eine Graphdarstellung der Untercluster offensichtlich: Die Vertices stellen die Plätze und die Kanten die Kopplungen zwischen den Plätzen dar. Die Äquivalenz von Unterclustern steht in enger Beziehung zur Isomorphie der entsprechenden Graphen. Für Störungen mit Multi-Spin-Kopplungen ist eine solche Graphdarstellung nicht mehr so offensichtlich, wohingegen eine Darstellung mithilfe von Hypergraphen naheliegend erscheint. Letztlich, nutzen wir eine Graphdarstellung dieser Hypergraphen, die Königdarstellung, um Äquivalenzklassen von Unterclustern zu unterscheiden. Wie bei herkömmlichen Graphzerlegungen, erlaubt dies den reduzierten Beitrag zur zu berechnenden Größe nur einmal für jede Äquivalenzklasse zu berechnen, anstatt einmal für jeden Untercluster. Im Bereich hochsymmetrischer Gittermodelle reduziert dies den Rechenaufwand typischerweise erheblich. Es ist der Hauptfokus dieser Arbeit Hypergraphzerlegungen in einer relativ allgemeinen Weise zu erklären, und dabei auch kleinere Schwierigkeiten, wie nicht symmetrische Wechselwirkungen oder die Existenz mehrerer verschiedener Kopplungstypen miteinzubeziehen. Wir stoßen bei der Behandlung der verschiedenen physikalischen Modelle innerhalb dieser Arbeit auf diese Aspekte. Ein wichtiger Punkt ist die Verwendung von Hypergraphzerlegungen, um Reihenenwicklungen für den Toric Code im Magnetfeld innerhalb der topologischen Phase zu berechnen. Insbesondere erklären wir, wie man die nicht-lokalen Effekte der anyonischen Statistik in eine volle Hypergraphzerlegung einbezieht. Weitere Modelle, die in dieser Arbeit behandelt werden, beinhalten das X-Cube Modell in einem parallelen magnetischen Feld, sowie ein Modell, welches das X-Cube Modell und den 3D Toric Code in einem Hamiltonoperator kombiniert.