title: Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation
title: Optimal control problems with total variation
Creators: name: Marko, Jonas
Publisher: name: BTU  Cottbus - Senftenberg
Year: 2022
Subjects: subject: 5 Naturwissenschaften und Mathematik

description: Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Gebäuden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften für die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß dafür darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas über deren Änderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu Lösungen führen, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsmöglichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann für viele Probleme die Existenz einer Optimallösung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer Lösung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen Lösungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften für vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur für ein Problem konnten zufriedenstellende Lösungen berechnet werden. Allerdings ist es möglich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu übertragen.
description: Optimal control problems have an abundance of applications, for example in shape optimization, in energy management of buildings or in network transport problems. The goal is to control a system in a way that a certain value is minimized or maximized, as for instance its energy consumption. Often, it is also desirable to obtain certain qualitative properties for the control function itself. In this sense, we investigate the total variation, which measures how much a function varies, roughly speaking it indicates a functions change behaviour. Penalizing large variations in the control should lead to solutions that are easier to implement in practice. However, such a procedure also has other advantages and possible applications in mathematical modelling; the existence of an optimal solution for example can be guaranteed for many problems if the total variation is used as a regularization term. The master thesis investigates a general problem class of such optimization problems. In addition to proving the existence of a solution, the objective function was examined for differentiability and the findings were used to construct a solution algorithm based on the proximal gradient method and Bellman's optimality principle. After proving some convergence properties for sequences constructed by the algorithm, it was tested on two problem instances. Satisfactory solutions could only be calculated for one problem. However, it is possible to transfer the ideas of the method to other promising algorithms.