Ανασκόπηση της παραμετρικής προσέγγισης στον εύρωστο έλεγχο:
Creators: name: Τσαμπούκα, Πετρούλα Πέτρου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2012
Subjects: Εύρωστος έλεγχος
Θεώρημα Kharitonov
Θεώρημα των Ακμών
Robust control
Kharitonov’s Theorem
Edge Theorem

description: Η παρούσα εργασία αφορά τον έλεγχο ενός συστήματος παρουσία αβεβαιότητας στην περιγραφή του. Η αβεβαιότητα διακρίνεται σε δύο κατηγορίες, τη μη δομημένη και τη δομημένη. Η μη δομημένη αβεβαιότητα έχει τη μορφή διαταραχών φραγμένου μέτρου στα πλαίσια κάποιας νόρμας που δρουν αθροιστικά ή πολλαπλασιαστικά στη συνάρτηση μεταφοράς. Η δομημένη αβεβαιότητα που θα αποτελέσει αντικείμενο της μελέτης μας προσεγγίζεται παραμετρικά μέσα από τη δυνατότητα που δίνεται στους συντελεστές των πολυωνύμων της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος να μεταβάλλονται σε μια περιοχή τιμών. Καθώς οι παράμετροι μεταβάλλονται παράγεται μία οικογένεια πολυωνύμων. Ένα βασικό ερώτημα αποτελεί κατά πόσον όλα τα μέλη της οικογένειας αυτής είναι ευσταθή κάτω από τη σταθεροποιητική δράση ενός ελεγκτή με δεδομένα χαρακτηριστικά. Σε αυτήν την περίπτωση η οικογένεια χαρακτηρίζεται από εύρωστη ευστάθεια. Όταν οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου μεταβάλλονται ανεξάρτητα τότε παράγεται ένα πολυώνυμο διαστήματος. Ειδικά η ευστάθεια των πολυωνύμων διαστήματος αντιμετωπίζεται μέσα από το Θεώρημα Kharitonov το οποίο περιορίζει τον απαιτούμενο για ευστάθεια αριθμό ελέγχων σε 4 πολυώνυμα. Το αξιοσημείωτο σε αυτήν την περίπτωση είναι ότι ο αριθμός αυτός είναι ανεξάρτητος από τη διάσταση του χώρου των συντελεστών. Το παραπάνω αποτέλεσμα γενικεύεται και στην περίπτωση που υπάρχουν εξαρτήσεις μεταξύ των συντελεστών. Αυτό συμβαίνει όταν η αβεβαιότητα εισάγεται μέσω ανεξάρτητων παραμέτρων που υπεισέρχονται γραμμικά στους συντελεστές. Η μεταβολή των παραμέτρων σε διαστήματα τιμών οδηγεί στη δημιουργία οικογενειών πολυωνύμων γραμμικού διαστήματος που αποτελούν στην ουσία πολυτοπικές οικογένειες στο χώρο των συντελεστών. Το Γενικευμένο Θεώρημα Kharitonov περιορίζει τον έλεγχο για εύρωστη ευστάθεια αυτών των οικογενειών στον έλεγχο ευθυγράμμων τμημάτων που το πλήθος τους δεν εξαρτάται από τη διάσταση του παραμετρικού χώρου. Το Γενικευμένο Θεώρημα Kharitonov βρίσκει εφαρμογή μόνο στην περίπτωση που η περιοχή ευστάθειας είναι το ανοιχτό αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Για αυθαίρετη περιοχή ευστάθειας καταφεύγουμε στο Θεώρημα των Ακμών το οποίο όμως εμπεριέχει περισσότερους ελέγχους σε σχέση με το Γενικευμένο Θεώρημα Kharitonov καθώς εμπλέκει τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα πολύωνυμα που προκύπτουν αν οι παράμετροι τεθούν στις ακραίες τιμές τους. Επιπλέον εξετάζουμε οικογένειες πολυωνύμων που οι συντελεστές τους εμφανίζουν πολυγραμμική εξάρτηση από τις παραμέτρους αβεβαιότητας. Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος της Απεικόνισης αντιμετωπίζουμε την ευστάθεια αυτών των οικογενειών μέσα από την ευστάθεια πολυτοπικών οικογενειών για την οποία διαθέτουμε ένα εύρος τεχνικών. Στην κατηγορία προβλημάτων όπου εμφανίζεται πολυγραμμική εξάρτηση ανήκουν και κατηγορίες συστημάτων που περιγράφονται από πίνακες. Σημαντικό βάρος δίνεται στην παρουσίαση μεθόδων για τον προσδιορισμό της απόστασης ενός συστήματος από την περιοχή αστάθειας. Προς την κατεύθυνση αυτή υπολογίζουμε την ακτίνα της μέγιστης σφαίρας ευστάθειας στο χώρο των συντελεστών είτε υπολογιστικά είτε γραφικά μέσω του γεωμετρικού τόπου Tsypkin-Polyak. Τα αποτελέσματα επεκτείνονται στην περίπτωση πολυτοπικών οικογενειών όπου οδηγούμαστε στον προσδιορισμό του παραμετρικού περιθωρίου ευστάθειας. Η μελέτη της συμπεριφοράς των συστημάτων γραμμικού διαστήματος στο πεδίο της συχνότητας μας οδηγεί στην κατασκευή των φακέλων των διαγραμμάτων Bode, Nyquist και Nichols που περιλαμβάνουν επαρκή πληροφορία για τον καθορισμό των περιθωρίων κέρδους και φάσης της οικογένειας. Οι φάκελοι των παραπάνω διαγραμμάτων παράγονται και στην περίπτωση πολυγραμμικών συστημάτων διαστήματος για να εξαχθεί πληροφορία για τα περιθώρια ευστάθειας στη χειρότερη περίπτωση.
description: This thesis deals with the problem of system stabilization when uncertainties enter the plant’s description. We categorize uncertainties as structured and unstructured ones. Unstructured uncertainty appears in the form of perturbations of bounded norm that act either additively or multiplicatively on the transfer function. Structured uncertainty will be the subject of our study and the parametric approach will be taken by allowing the polynomial coefficients of the transfer function to take values in a range. As the parameters vary a family of polynomials is produced. A fundamental question is whether the family members are stable under the stabilizing effect of a controller with constant characteristics in which case the family enjoys robust stability. When the coefficients of the characteristic polynomial vary independently an interval polynomial is produced. To determine the stability of interval polynomials we resort to Kharitonov's Theorem which reduces the number of checks to 4 polynomials. The remarkable thing in this case is that the number of checks is independent of the dimension of the coefficient space. The above result can be generalized to the case that dependencies exist among the coefficients of the characteristic polynomial. This is due to the fact that uncertainty is introduced through independent parameters that enter the coefficients linearly. The perturbation of the parameters leads to polynomial families which are linear combinations of interval polynomials and are in fact polytopic families in the coefficient space. The Generalized Kharitonov's Theorem reduces the number of checks needed to establish robust stability of such families to that of segments the number of which is independent of the dimension of the parameter space. The Generalized Kharitonov's Theorem is applicable only in the case in which the stability region is the open left complex half-plane. For arbitrary stability regions we resort to the Edge Theorem which requires more checks than the Generalized Kharitonov's Theorem since it involves the testing of the linear segments joining the polynomials that are produced if the parameters are set to their extremal values. Furthermore, we study families of polynomial the coefficients of which exhibit multilinear dependencies on the uncertainty parameters. By employing the Mapping Theorem we handle the stability of such families through the stability of polytopic families for which there exist several techniques. Multilinear dependencies appear in some categories of systems that are described by matrices. Particular importance is given to the presentation of methods for calculating the distance that separates a system from the instability region. In this direction we determine the radius of the largest stability sphere in the coefficient space either computationally or graphically through the Tsypkin-Polyak locus. The results can be extended to polytopic families in which case we are led to the determination of the parametric stability margin. The study of the behavior of linear interval systems in the frequency domain results in the construction of the envelopes of the Bode, Nyquist and Nichols diagrams. The envelopes of the aforementioned diagrams are also produced in the case of multilinear interval systems.