The Hirzebruch-Riemann-Roch theorem
Creators: name: Καραλής, Χαράλαμπος Δημητρίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2022
Subjects: Μιγαδικές Πολλαπλότητες
Χαρακτιριστικές Κλάσεις
Θεώρημα Hirzebruch-Riemann-Roch
Complex Manifolds
Characteristic Classes
Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem

description: The goal of the thesis is to give a complete description of the various components encountered on the statement of the Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem (HRR theorem). The thesis investigates two main themes. First, the study of complex manifolds and second, the construction of characteristic classes for smooth complex vector bundles. The first four chapters are introductory, they contain essential notions from linear algebra, complex multivariable analysis, manifolds and vector bundles. Next it is presented the theory of complex manifolds. Among the included topics are the induced bigrading on the space of complex forms, the Dolbeault cohomology, and the relation between the complex manifolds and the almost complex ones. The next chapter is dedicated to the theory of connections. There is also a presentation of Chern connections and an application of them to short exact sequences of holomorphic vector bundles. A construction of the characteristic classes is given next. I construct the characteristic classes in terms of the invariant polynomials and the curvature form of a connection. Finally there is the statement of HRR theorem and some remarks on it. Also at the last chapter, the Euler-Pioncaré characteristic on projective submanifolds is calculated as an application of HRR theorem. Although the presentation of the material followed an approach to complex manifolds through the tools of differential geometry, a brief presentation of sheaves and their cohomology is included in an appendix.
description: Σκοπός της διατριβής είναι η πλήρης παρουσίαση των προαπαιτούμενων για την κατανόηση της διατύπωσης του θεωρήματος Hirzebruch-Riemann-Roch (θεώρημα HRR). Η διατριβή ασχολείται με δύο κυρίως θέματα: τις μιγαδικές πολλαπλότητες και την κατασκευή των χαρακτηριστικών κλάσεων μιας διανυσματικής δέσμης υπεράνω μιας μιγαδικής πολλαπλότητας. Τα πωτα τέσσερα κεφάλαια είναι εισαγωγικά και περιλαμβάνουν στοιχεία από την θεωρία της γραμμικής άλγεβρας, της πολυδιάστατης μιγαδικής ανάλυσης, των λειων πολλαπλοτήτων και των διανυσματικών δεσμών. Το επόμενο κεφάλαιο ασχολείται με τις μιγαδικές πολλαπλότητες. Επιμέρους παρουσιάζονται η επαγώμενη διπλή βαθμονόμιση στον χώρο των μιγαδικών διαφορικών μορφών, η συνομολογία του Dolbeault και η σχέση μεταξύ των μιγάδικών πολλαπλοτήτων και των σχεδόν μιγαδικών πολλαπλοτήτων. Ακολούθως, παρουσιάζεται η θεωρία των συνδέσεων υπεράνω μιάς μιγαδικής πολλαπλότητας. Ως εφαρμογή, παρουσιάζονται οι συνδέσεις του Chern και η επίλυση του ερωτήματος: πότε μία ακριβής ακολουθία ολόμορφων διανυσματικών δεσμών είναι ορθογώνια διαχωρίσιμη; Η κατασκευή των χαρακτηριστικών κλάσεων δίνεται στο επόμενο κεφάλαιο. Οι χαρακτηριστικές κλάσεις κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας αναλλοίωτα πολυνομία και την μορφη καμπυλότητας μίας σύνδεσης. Τέλος, δίνεται η διατύπωση του θεωρήματος HRR μαζί με κάποιες παρατηρήσεις πάνω στις συνέπειες και τις εφαρμογές του. Η εργασία κλίνει με τον υπολογισμό της χαρακτηριστικής Euler-Pioncaré των προβολικών μιγαδικών υποπολλαπλοτήτων. Παρόλο που η παρουσίαση της εργασίας ακολουθεί κυρίαρχα τις μεθόδους της διαφορικής γεωμετρίας, σε ένα σύντομο παράρτημα δίνουμε συνοπτικά την θεωρία των δραγμάτων και της συνομολογίας τους.