Αριθμητική μελέτη με μεθόδους Χαρακτηριστικών Καμπύλων και Πεπερασμένων Στοιχείων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισωσεων με τη χρήση Matlab
Creators: name: Παπανίκος, Γεώργιος Στέργιου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2015
Subjects: Μερική Διαφορική εξίσωση
Μέθοδος των Χαρακτηριστικών Καμπύλων
Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων
Partial differential equation
Method of characteristic curves
Finite element method

description: Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις αποτελούν διευρυμένη μορφή των συνήθων διαφορικών εξισώσεων διότι περιέχουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους αυτών. Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως σε τομείς όπως της φυσικής της μηχανικής και άλλων. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται δύο αριθμητικές μέθοδοι, οι μέθοδοι των χαρακτηριστικών καμπύλων και των πεπερασμένων στοιχείων, για την επίλυση υπερβολικών και ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης αντίστοιχα . Στην μέθοδο των χαρακτηριστικών καμπύλων παραθέτουμε αρχικά τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος λειτουργεί και στην συνέχεια δίνουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου σε μορφή ψευδοκώδικα. Ο παραπάνω αλγόριθμος υλοποιήθηκε με την βοήθεια του προγράμματος Matlab 2013a . Στην συνέχεια επιλέχθηκαν ενδεικτικά παραδείγματα υπερβολικών εξισώσεων και με βάση αυτά διεξάχθηκε μια υπολογιστική μελέτη με στόχο την εξαγωγή χρήσιμών συμπερασμάτων για την ευστάθεια και την ακρίβεια της μεθόδου. Στο δεύτερο σκέλος της εργασίας αναφέραμε αναλυτικά την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και κάναμε μια εκτενή αναφορά στις βασικές μαθηματικές έννοιες που είναι χρήσιμες για την κατανόηση της μεθόδου καθώς και για τον έλεγχο της ακρίβειας και ευστάθειας της . Επιπλέον έγινε εκτενής περιγραφή των αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης Gauss και δι-γραμμικής παρεμβολής που είναι απαραίτητες για την λειτουργία της. Στη συνέχεια παραθέσαμε τα στάδια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων παρουσιάζοντας έναν ενδεικτικό αλγόριθμο σε μορφή ψευδοκώδικα . Ο αλγόριθμος των πεπερασμένων στοιχείων όπως και των χαρακτηριστικών καμπύλων υλοποιήθηκε με την βοήθεια του προγράμματος Matlab 2013a. Με βάση την υλοποίηση που έγινε επιλέξαμε ενδεικτικά παραδείγματα ελλειπτικών εξισώσεων και διεξάγαμε μια υπολογιστική μελέτη , για την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Τέλος όλα τα προγράμματα που αναπτύχθηκαν καθώς και οι οδηγίες για την χρήση τους αναφέρονται στο παράρτημα της εργασίας.
description: The partial differential equations are extended form of ordinary differential equations because they contain multivariate functions and their partial derivatives. The partial differential equations are widely used in fields such as physics, engineering and others. For the purpose of this thesis we present two numerical methods, the methods of characteristics curves and finite element for solving hyperbolic and elliptic second order partial differential equations respectively. In the method of characteristics curves initially we cite the manner in which the method is operated and then we present the algorithm of the method inpseudocode form. The above algorithm implemented with the help of the program Matlab 2013a. Then selected examples of hyperbolic equationsare chosen and based on themwe conduct a computational study with the aim of drawing useful conclusions for the stability and accuracy of the method. In the second part ,we describe the finite element method and we did an extensive reference to the basic mathematical notions that are useful for understanding the operation of the methodin order to examine the accuracy and stability of it. Furthermore we made extensive description of Gauss numerical quadrature and bilinear interpolation which are necessary in order the finite element method can be performed. Alsowe cite an indicative algorithm of the method in pseudocode form. The algorithm of finite element method like the characteristic curves implemented with the help of the program Matlab 2013a. Based on this implementation we select representative examples of elliptic equations and we performed a computational studyfor the finite element method. Finally all the programs which developed and instructions for their usage are referred in the appendix