title: Gravitationally induced decoherence: from theoretical models to signatures in neutrino oscillations
title: Gravitativ induzierte Dekohärenz: Von theoretischen Modellen zu Signaturen in Neutrinooszillationen
Creators: name: Fahn, Max Joseph
Publisher: name: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Year: 2024
Subjects: subject: decoherence
subject: open quantum systems
subject: master equation
subject: neutrino oscillations
subject: linearised gravity
subject: gravitational environment
subject: relational observables
subject: DDC Classification::5 Naturwissenschaften::53 Physik::530 Physik
subject: DDC Classification::5 Naturwissenschaften::53 Physik::539 Moderne Physik

description: The search for signatures of quantum gravity effects in candidate theories of quantum gravity often focuses on symmetry reduced models such as cosmology and black holes. The main object of investigation of this thesis follows another approach and considers the effective influence of linearised quantum gravity effects on quantised matter systems formulated as open quantum systems, in particular the resulting decoherence induced in these with a focus on neutrino oscillations. To model these effects, we derive master equations for two different open quantum systems with linearised gravity as environment. The first system consists of a scalar field coupled to linearised gravity formulated in Ashtekar variables and is meant to serve as a first step for the construction of decoherence models inspired by loop quantum gravity, which allows a mathematically rigorous canonical quantisation of full general relativity (GR). Due to the fact that GR is a gauge theory, it is essential to identify the physical degrees of freedom in order to assure a model's predictability. While field theoretical decoherence models that include gravity have so far worked with specific gauge fixings for linearised GR formulated in ADM variables, we follow in this thesis a different approach based on the relational formalism. For this, we show how suitable geometric clocks can be constructed that enable the construction of Dirac observables for the physical degrees of freedom. The advantage of this procedure is two-fold: on the one hand, it permits the formulation of the decoherence model independently of a specific gauge fixing but can be easily linked to different choices of such a gauge fixing, hence providing a method to compare different choices. On the other hand, it delivers a way to assign physical meaning to the time and space coordinates in the model, which originally are purely gauge in GR. The introduction and application of a dual version of the observable map originating from the relational formalism enables us to perform a canonical transformation to decompose the classical phase space into a physical and a gauge sector, where the Poisson algebras of the respective elementary phase space variables commute. Due to this, the reduced physical system, whose elementary phase space variables are the Dirac observables, can be quantised canonically, where in this work a Fock quantisation is used to facilitate the comparison with the literature. The methods derived in this thesis for the treatment of decoherence models involving linearised gravity in Ashtekar variables can also be applied to similar models with different matter fields such as for instance photons where these methods need to be slightly extended to take the U(1) gauge symmetry into account. Starting from a quantised model, there exist several different ways to obtain a master equation that describes the effective dynamics of the matter field under the influence of the gravitational environment. These techniques are usually employed in other areas of physics such as for instance in quantum optics or condensed matter physics. When gravity is considered as the environment, there are still many open questions regarding the applicability and validity of these methods and their interplay with a possible renormalisation. In the present thesis, we try to give some answers to these questions for specific physical systems and show some possible ways how these can be used in other systems. For this, we start from a time-convolutionless master equation for the scalar field which we derived with the projection operator technique assuming that the linearised gravitational environment is weakly coupled to the scalar field and obeys a stationary Gibbs state, which corresponds to thermal gravitational waves. Such a time-convolutionless master equation is in general not completely positive, which can lead to unphysical negative probabilities. To circumvent this, for the description of decoherence models usually further approximations such as the Markov and the rotating wave approximations are applied to cast this equation into a completely positive Lindblad form. As mentioned above, the detailed influence of these approximations is however rather unexplored for gravity as environment and also their validity for this class of models is not yet clear. To investigate these open points and to facilitate the extraction of physical predictions from the field theoretical master equation, we project this equation onto the space of a single scalar particle. We then show how the resulting one-particle master equation can be connected to the underlying effective quantum field theory (QFT), which permits a clear physical interpretation of the involved contributions and scattering processes encoded in the master equation. Such a link has not been worked out before for gravity as environment in this class of decoherence models. Based on this, we can deliver a physical interpretation for different versions of the one-particle projection of the master equation applied in the literature and for the divergent terms in this master equation. It turns out that the latter correspond to vacuum bubbles and to the self-energy of the scalar particle. To remove them, we perform a renormalisation of the underlying effective QFT and obtain a master equation with only finite contributions. The renormalisation of the one-particle master equation for gravitationally induced decoherence at this stage is new in the literature and enables us to discuss the effects of the applications towards a Lindblad form from a physical point of view. In this work, we analyse the two most often invoked approximations for this purpose which are the Markov and rotating wave approximations. Additionally, conditions for the validity of the Markov approximation for the specific application to ultra-relativistic particles, in particular as a toy application for neutrinos, are given, which has not been discussed yet in the works on this class of gravitationally induced decoherence models in the literature. Neutrinos represent potential candidates to exhibit features of gravitationally induced decoherence by modifications of their oscillation behaviour. Therefore, there is increasing interest in both the neutrino physics and gravitational decoherence communities to investigate this effect and its possible signatures in experimental data. Most of these analyses are based on phenomenological models that start from a Lindblad equation for a neutrino where the effective influence of gravity is represented by the Lindblad operators. As these models are not based on a microscopic theory, the Lindblad operators are unknown and therefore parametrised by free decoherence parameters. Bounds for these are then determined from experimental data by testing different possible dependencies of these decoherence parameters on the energy of the neutrino, however thereby not yielding an intuition which energy ranges and hence which detectors are favoured in the search of signatures of this decoherence effect. From a theoretical point of view it is thus of high interest to construct microscopic models that allow to resolve the structure of the dissipator in the phenomenological Lindblad equation and to give a physical interpretation of the unknown decoherence parameters. The construction of a model that provides some answers to these questions is a main part of this thesis. As a first step, we use the Lindblad form of the one-particle projection of the field theoretical master equation for a scalar field and apply it by asserting typical neutrino energies to the scalar particle, which delivers a precise form for the solution of the Lindblad equation for linearised gravity as environment, in which all appearing quantities have a clear physical interpretation due to the underlying field theoretical model. As however a scalar particle might not be able to reproduce all the characteristics of a neutrino and in particular their oscillations appropriately, we consider as second model a quantum mechanical, microscopic toy model which couples a neutrino to a thermal bath of harmonic oscillators. Such quantum mechanical models are usually constructed by hand with the implication that the form and the strength of the coupling of system and environment is a free, unknown parameter. In this thesis, we can provide a possible solution for this by using the results of the field theoretical model above. Another challenge is that when deriving master equations for quantum mechanical models, the environment with only finitely many degrees of freedom would lead to unphysical Poincaré recurrences after finite time intervals which correspond to recoherences. In realistic physical systems, these are usually expected to happen only after extremely long time intervals that lie far beyond the scope of measurable timescales. To cure this, a continuum limit is employed on the modes in the environment. By comparison to the field theoretical master equation discussed above, we can motivate a specific form for this limit which is often used in other contexts as for instance in quantum optics. As a next step, we also prove for the quantum mechanical model that the validity of the Markov approximation is given when applied to the specific case of ultra-relativistic neutrinos. To deduce physical implications from the final Lindblad equation, we again emphasise the relevance of a proper renormalisation, which is not always taken into account in the literature. This Lindblad equation, arising from the microscopic model motivated by the field theoretical one, now enables the comparison of the resulting time evolution to the one obtained from phenomenological models and its general solution is very similar to the one of the field theoretical model applied to a single scalar particle. An advantage of the microscopic model in comparison to the phenomenological ones is that the parametrisation used in the latter can now be resolved which yields a physical interpretation for the decoherence parameters. We end up with two free parameters corresponding to the coupling strength, for which we discuss a possible value coming from the field theoretical model, and a temperature parameter that characterises the thermal environment. It turns out that the usual parametrisation in the phenomenological models for the considered class of models for gravitationally induced decoherence cannot be matched with the microscopic model for neutrino oscillations in matter. The reason for this is that the phenomenological models mostly assume constant Lindblad operators independently of the matter density, whereas the microscopic quantum mechanical model suggests that they are equal to the neutrino Hamiltonian which changes when the matter density does. This point of view would also be featured by GR, where the Lindblad operators would be derived from the energy-momentum tensor of the neutrino that contains the matter contribution as well.
description: Die Suche nach Signaturen von Quantengravitationseffekten in möglichen Kandidaten für Quantengravitationstheorien ist häufig fokussiert auf symmetriereduzierte Modelle wie die Kosmologie oder Schwarze Löcher. In dieser Arbeit wird ein anderer Ansatz verfolgt, in dem der effektive Einfluss von linearisierten Quantengravitationseffekten auf quantisierte Materiesysteme, die als offene Quantensysteme formuliert sind, analysiert wird und insbesondere die daraus resultierende Dekohärenz, die in diesen Systemen induziert wird, mit einem Fokus auf Neutrinooszillationen untersucht wird. Um diese Effekte zu modellieren, werden Mastergleichungen für zwei verschiedene offene Quantensysteme mit linearisierter Gravitation als Umgebung hergeleitet. Das erste System besteht aus einem Skalarfeld, das an linearisierte Gravitation, formuliert in Ashtekar-Variablen, gekoppelt ist, und soll als erster Schritt für die Konstruktion von Dekohärenzmodellen inspiriert durch die Schleifenquantengravitation dienen, die eine mathematisch rigorose kanonische Quantisierung der vollen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ermöglicht. Da es sich bei der ART um eine Eichtheorie handelt, ist es essentiell für die Ableitung physikalischer Vorhersagen aus einem Modell die physikalischen Freiheitsgrade zu identifizieren. Während feldtheoretische Dekohärenzmodelle die die Gravitation mit einbeziehen bisher spezifische Eichfixierungen für die linearisierte ART formuliert in ADM Variablen benutzt haben, wird in dieser Arbeit ein anderer Ansatz verfolgt, der auf dem Relationalen Formalismus basiert. Für diesen wird gezeigt, wie geeignete geometrische Uhren gefunden werden können, die die Konstruktion von Dirac-Observablen für die physikalischen Freiheitsgrade ermöglichen. Dieses Verfahren bietet zwei Vorteile: Zum einen erlaubt es die Formulierung des Dekohärenzmodells unabhängig von einer bestimmten Eichfixierung, kann aber leicht mit verschiedenen Wahlen für eine solche Eichfixierung verknüpft werden und bietet somit eine Methode zum Vergleich verschiedener Fixierungen. Andererseits bietet es eine Möglichkeit, den Zeit- und Raumkoordinaten des Modells eine physikalische Bedeutung zuzuweisen, bei denen es sich in der ART um reine Eichparameter handelt. Die Einführung und Anwendung einer dualen Version der aus dem relationalen Formalismus stammenden Observablen-Abbildung ermöglicht es, eine kanonische Transformation durchzuführen, um den klassischen Phasenraum in einen physikalischen und einen Eichteil aufzuspalten, wobei die Poisson-Algebren der entsprechenden elementaren Phasenraumvariablen kommutieren. Dadurch kann das reduzierte physikalische System, dessen elementare Phasenraumvariablen die physikalischen Dirac-Observablen sind, kanonisch quantisiert werden, wobei in dieser Arbeit eine Fock-Quantisierung verwendet wird, um den Vergleich mit der Literatur zu erleichtern. Die in dieser Arbeit abgeleiteten Methoden zur Behandlung von Dekohärenzmodellen mit linearisierter Gravitation in Ashtekar-Variablen können ebenfalls auf ähnliche Modelle angewendet werden, die aus anderen Materiefeldern bestehen, wie beispielsweise Photonen, wo diese Methoden etwas erweitert werden müssen, um die zusätzliche U(1) Eichsymmetrie zu implementieren. Ausgehend von einem quantisierten Modell gibt es verschiedene Möglichkeiten eine Mastergleichung herzuleiten, die die effektive Dynamik des Materiefeldes unter Einfluss der gravitativen Umgebung beschreibt. Diese Techniken werden in der Regel in anderen Bereichen der Physik angewandt, zum Beispiel in der Quantenoptik oder der Festkörperphysik. Wenn Gravitation als Umgebung betrachtet wird, gibt es jedoch noch viele offene Fragen bezüglich der Anwendbarkeit und Gültigkeit dieser Methoden und ihres Zusammenwirkens mit einer möglicherweise notwendigen Renormierung. In der vorliegenden Arbeit wird versucht, einige Antworten auf diese Fragen für bestimmte physikalische Systeme zu geben und Möglichkeiten aufzuzeigen, wie diese in anderen Systemen verwendet werden können. Dazu wird mit einer zeitfaltungslosen Mastergleichung für das Skalarfeld begonnen, die mithilfe der Projektionsoperatortechnik abgeleitet wurde unter der Annahme, dass die linearisierte Gravitationsumgebung schwach an das Skalarfeld koppelt und einem stationären Gibbs-Zustand folgt, welcher thermischen Gravitationswellen entspricht. Eine solche zeitfaltungslose Mastergleichung ist im Allgemeinen nicht vollständig positiv, was zu unphysikalischen negativen Wahrscheinlichkeiten führen kann. Daher werden zur Beschreibung von Dekohärenzmodellen üblicherweise weitere Näherungen wie die Markov- und die Rotating Wave-Näherung angewendet, um diese Gleichung in eine vollständig positive Lindblad-Form zu bringen. Wie bereits erwähnt, ist der detaillierte Einfluss dieser Näherungen für Gravitation als Umgebung noch nicht weit erforscht und auch ihre Gültigkeit für diese Klasse von Modellen ist noch nicht klar. Um diese offenen Punkte zu untersuchen und um die Extraktion physikalischer Vorhersagen aus der feldtheoretischen Mastergleichung zu erleichtern, wird diese Gleichung auf den Raum eines einzelnen skalaren Teilchens projiziert. Anschließend wird gezeigt, wie die sich daraus ergebende Ein-Teilchen-Mastergleichung mit der zugrundeliegenden effektiven Quantenfeldtheorie (QFT) verbunden werden kann, was eine physikalische Interpretation der in der Mastergleichung vorkommenden Beiträge und Streuprozesse ermöglicht. Eine solche Verbindung wurde bisher noch nicht ausgearbeitet für Gravitation als Umgebung in dieser Klasse von Dekohärenzmodellen. Darauf aufbauend kann eine physikalische Interpretation für verschiedene in der Literatur verwendete Versionen der Ein-Teilchen-Projektion der Mastergleichung und für die divergenten Terme in ihr geliefert werden. Es stellt sich heraus, dass diese Divergenzen Vakuumblasen und der Selbstenergie des skalaren Teilchens entsprechen. Um sie zu entfernen wird eine Renormierung der zugrunde liegenden effektiven QFT durchgeführt, was eine Mastergleichung mit nur endlichen Beiträgen liefert. Die Renormierung der Ein-Teilchen-Mastergleichung für gravitativ induzierte Dekohärenz an dieser Stelle vor der Anwendung weiterer Näherungen ist neu in der Literatur und ermöglicht es, die Auswirkungen der Näherungen, die auf eine Lindblad-Form führen, aus physikalischer Sicht zu diskutieren. In dieser Arbeit werden die beiden dafür am häufigsten verwendeten Näherungen analysiert, die Markov- und die Rotating Wave-Näherung. Zusätzlich werden Bedingungen für die Gültigkeit der Markov-Näherung für die Anwendung auf ultra-relativistische Teilchen, insbesondere als einfaches Modell für Neutrinos, gegeben, was bisher noch nicht in den Arbeiten zu dieser Klasse von gravitativ induzierten Dekohärenzmodellen in der Literatur besprochen wurde. Neutrinos stellen potenzielle Kandidaten dar, die Signaturen von gravitativ induzierten Dekohärenzeffekte zeigen könnten, die zu einer Veränderung ihres Oszillationsverhaltens führen könnten. Daher gibt es sowohl in der Neutrinophysik als auch in der Forschung zu gravitativ induzierter Dekohärenz ein wachsendes Interesse an der Untersuchung dieses Effekts und seiner möglichen Signaturen in experimentellen Daten. Die meisten dieser Analysen basieren auf phänomenologischen Modellen, die von einer Lindblad-Gleichung für ein Neutrino ausgehen, wobei der effektive Einfluss der Gravitation in den Lindblad-Operatoren kodiert wird. Da diese Modelle nicht auf einer mikroskopischen Theorie beruhen, sind die Lindblad-Operatoren unbekannt und werden in unbekannten Dekohärenzparametern ausgedrückt. Grenzen für deren Größe werden dann durch experimentelle Daten bestimmt, indem verschiedene mögliche Modelle ausgewertet werden, die unterschiedliche Abhängigkeiten der Dekohärenzparameter von der Energie des Neutrinos enthalten, ohne dadurch jedoch eine Intuition zu erhalten, welche Energiebereiche und damit welche Detektoren bei der Suche nach Signaturen dieses Dekohärenzeffekts besser geeignet sind. Aus theoretischer Sicht ist es daher von großem Interesse, Modelle zu konstruieren, die es ermöglichen, die Struktur des Dissipators in der phänomenologischen Lindblad-Gleichung aufzulösen und eine physikalische Interpretation der unbekannten Dekohärenzparameter zu geben. Die Konstruktion eines Modells, das einige Antworten auf diese Fragen liefert, ist ein Hauptbestandteil dieser Arbeit. In einem ersten Schritt wird die Lindblad-Form der Ein-Teilchen-Projektion der feldtheoretischen Mastergleichung für ein skalares Feld verwendet und angewendet, indem dem skalaren Teilchen typische Neutrinoenergien zugeschrieben werden, was eine spezifische Lösung der Lindblad-Gleichung liefert, in der alle auftretenden Größen aufgrund des zugrundeliegenden feldtheoretischen Modells eine klare physikalische Interpretation besitzen. Da jedoch ein skalares Teilchen möglicherweise nicht alle Eigenschaften eines Neutrinos, insbesondere seine Oszillationen, angemessen wiedergeben kann, wird als zweites Modell ein quantenmechanisches, mikroskopisches Spielzeugmodell betrachtet, in welchem ein Neutrino an ein thermisches Bad aus harmonischen Oszillatoren gekoppelt wird. Derartige quantenmechanische Modelle werden in der Regel künstlich von Hand konstruiert, was bedeutet, dass die Form und die Stärke der Kopplung zwischen System und Umgebung künstlich eingefügt werden muss. In dieser Arbeit wird hierfür eine mögliche Lösung geliefert durch die Verwendung der Ergebnisse des oben diskutierten feldtheoretischen Modells. Ein weiterer problematischer Punkt liegt darin, dass sich bei der Ableitung von Mastergleichungen für quantenmechanische Modelle mit endlichdimensionaler Umgebung nach bestimmen Zeitintervallen unphysikalische Poincaré-Rekurrenzen ergeben würden, die Rekohärenzen entsprechen. In realistischen physikalischen Systemen sind diese in der Regel erst nach extrem langen Zeitintervallen zu erwarten, die weit fernab der messbaren Zeitskalen liegen. Um das zu beheben, wird ein Kontinuumslimes für die Moden in der Umgebung verwendet. Durch den Vergleich mit der oben diskutierten feldtheoretischen Mastergleichung kann eine spezifische Form für diesen motiviert werden, die in anderen Bereichen, z. B. in der Quantenoptik, häufig verwendet wird. In einem nächsten Schritt wird auch für das quantenmechanische Modell bewiesen, dass die Gültigkeit der Markov-Approximation gegeben ist, wenn sie auf ultra-relativistische Neutrinos angewendet wird. Um aus der finalen Lindblad-Gleichung physikalische Folgerungen ableiten zu können, wird erneut auf die Bedeutung einer korrekten Renormierung, die in der Literatur nicht immer berücksichtigt wird, eingegangen. Die Lindblad-Gleichung, die sich aus dem mikroskopischen Modell ergibt, welches durch das feldtheoretische Modell motiviert ist, ermöglicht nun den Vergleich der sich ergebenden Dynamik mit der aus phänomenologischen Modellen erhaltenen und ihre allgemeine Lösung weist eine sehr ähnliche Struktur auf wie die des feldtheoretischen Modells, das auf ein einzelnes skalares Teilchen angewendet wird. Ein Vorteil des mikroskopischen Modells gegenüber den phänomenologischen Modellen besteht darin, dass nun die in letzteren verwendete Parametrisierung aufgelöst und eine physikalische Interpretation für die Dekohärenzparameter gefunden werden kann. Am Ende ergeben sich zwei freie Parameter: die Kopplungsstärke, für die ein möglicher Wert basierend auf dem feldtheoretischen Modell diskutiert wird, und ein Temperaturparameter, der die thermische Gravitationsumgebung charakterisiert. Es stellt sich heraus, dass die übliche Parametrisierung in den phänomenologischen Modellen für die betrachtete Klasse an Modellen für gravitativ induzierte Dekohärenz nicht vollständig auf das mikroskopische Modell für Neutrino-Oszillationen in Materie angepasst werden kann. Der Grund hierfür ist, dass phänomenologische Modelle meist von konstanten Lindblad-Operatoren unabhängig der Materiedichte ausgehen, während das mikroskopische quantenmechanische Modell ergibt, dass diese Operatoren dem Hamilton-Operator des Neutrinos entsprechen, der sich ändert sobald sich die Materiedichte ändert. Dieses Ergebnis aus dem mikroskopischen Modell wäre in Einklang mit der ART, da die Lindblad-Operatoren aus dem Energie-Impuls-Tensor des Neutrinos hergeleitet werden würden, der auch den Materiebeitrag enthält.