Θεωρία γραμμικών ανισοτήτων πινάκων (LMIs) και εφαρμογές τους
Creators: name: Μουμτσάκη, Ειρήνη Γεωργίου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2019
Subjects: Γραμμικές Ανισότητες Πινάκων
Συμπλήρωμα του Schur
Ανισότητα Lyapunov
Linear Matrix Inequallities
Schur complement
Lyapunov inequality

description: Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας, αποτελεί η βιβλιογραφική μελέτη της θεωρίας που σχετίζεται με τις γραμμικές ανισότητες πινάκων (LMIs), καθώς και η επίλυση προβλημάτων που τις περιέχουν. Οι γραμμικές ανισότητες πινάκων, παρουσιάζουν πολύ μεγάλο ενδιαφέρον λόγω της εφαρμογής τους στην θεωρία συστημάτων και ελέγχου. Στην πραγματικότητα οι γραμμικές ανισότητες πινάκων, μπορούν να διατυπωθούν ως προβλήματα κυρτής βελτιστοποίησης, από την στιγμή που αποτελούν κυρτούς περιορισμούς. Παρόλο που αυτό μπορεί να φαίνεται ως μια απλή παρατήρηση, έχει κάποια σημαντικά επακόλουθα, με κυρίαρχο το εξής: όταν μια κυρτή συνάρτηση ελαχιστοποιείται σε ένα κυρτό σύνολο, κάθε τοπικό ελάχιστο της είναι και ολικό. Το γεγονός αυτό, καθιστά τα LMIs ως ένα πολύτιμο εργαλείο για την επίλυση ποικίλων προβλημάτων βελτιστοποίησης. Επίσης πολλοί περιορισμοί που συναντώνται πολύ συχνά στην θεωρία ελέγχου, όπως για παράδειγμα οι ανισότητες Lyapunov και Riccati, μπορούν να αναπαρασταθούν με την μορφή των γραμμικών ανισοτήτων πινάκων. Γι’ αυτό και η μελέτη τους, κέντρισε το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών πριν από μερικές δεκαετίες. Η εργασία είναι χωρισμένη σε τέσσερα κεφάλαια. Συγκεκριμένα διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται εκτενώς η θεωρία που σχετίζεται με τις γραμμικές ανισότητες πινάκων. Αρχικά, παριστάνεται η μορφή τους και κάποια σημαντικά χαρακτηριστικά τους. Στην συνέχεια γίνεται μια πολύ σύντομη ιστορική αναδρομή, ώστε να φανεί η αφορμή από την οποία ξεκίνησε η μελέτη τους, καθώς επίσης δίνονται και τρία τυπικά προβλήματα βελτιστοποίησης τα οποία μπορούν να γραφούν με την μορφή LMIs. Έπειτα, παρατίθενται κάποιες πολύ βασικές έννοιες οι οποίες συνδέονται με τις γραμμικές ανισότητες πινάκων, όπως αυτές της κυρτότητας και του συμπληρώματος Schur. Κλείνοντας, γίνεται αναφορά στην μέθοδο των εσωτερικών σημείων, στην διαφοροποίηση μεταξύ αυστηρών και μη-αυστηρών ανισοτήτων πινάκων, όπως επίσης δίνονται και κάποια παραδείγματα εφαρμογής των γραμμικών ανισοτήτων πινάκων στην θεωρία συστημάτων και ελέγχου. Στο δεύτερο κεφάλαιο, γίνεται μια λεπτομερής περιγραφή της αναπαράστασης των γραμμικών ανισοτήτων πινάκων στο λογισμικό Matlab. Δίνονται οι απαραίτητες εντολές για την περιγραφή και την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικών ανισοτήτων με την χρήση του Robust Control Toolbox, αλλά και εναλλακτικά με το YALMIP Toolbox. Κατά την διάρκεια αυτής της ανάλυσης, παρατίθενται χαρακτηριστικά παραδείγματα για την κατανόηση της λειτουργίας των εντολών, ενώ τέλος γίνεται και σύγκριση των αποτελεσμάτων με τη χρήση των δυο διαφορετικών Toolbox.Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή των γραμμικών ανισοτήτων πινάκων σε δυο κλασσικά προβλήματα της θεωρίας ελέγχου. Το πρώτο αφορά την επίλυση του προβλήματος ευστάθειας ενός συστήματος με την χρήση της ανισότητας Lyapunov, ενώ το δεύτερο την επίλυση της ανισότητας Riccati. Δίνεται η πλήρης περιγραφή των προβλημάτων με την μορφή LMIs μέσα από τους κώδικες του Matlab, ενώ τέλος παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την επίλυση των προβλημάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται μια ανασκόπηση της εργασίας με τα συμπεράσματα που έχουμε εξάγει από αυτήν και αναφέρονται κάποιες επεκτάσεις που έχουν προκύψει από τις γραμμικές ανισότητες πινάκων.Τέλος, ακολουθεί το παράρτημα στο οποίο παρουσιάζονται κάποιες μαθηματικές έννοες οι οποίες εμφανίζονται στην πορεία της εργασίας και κρίθηκε χρήσιμο να αναφερθούν συμπληρωματικά στο τέλος της.
description: The main task of this master thesis, is the bibliographic study of the theory associated with linear matrix inequalities (LMIs), as well as solving problems containing them. Linear matrix inequalities, are of great interest due to their application in system and control theory. In fact, linear matrix inequalities, can be formulated as convex optimization problems, since they are convex constraints. Although this may seem as a simple observation, it has some significant consequences, the most important of which is the following: when a convex function is minimized over a convex set, every locally optimal solution is global. This makes LMIs a fundamental tool for solving various optimization problems. Furthermore, many constraints which arise in system and control theory, such as Lyapunov and Riccati inequalities, can be formulated as linear matrix inequalities. So, for this reason their study attracted the interest of many researchers a few decades ago. This paper is divided into four chapters. To be more specific, it is formulated as follows: The first chapter presents extensively the theory associated with linear matrix inequalities. Initially, their form and some important features are mentioned. Then, there is a very brief history of LMIs, in order to illustrate how the study began, as well also given three standard optimization problems which can be written in the form of LMIs. Additionally some useful definitions are given, which are related to linear matrix inequalities, such as convexity and Schur complement. In conclusion, the well-known interior-point method is introduced and we present the difference between strict and no-strict linear matrix inequalities, as also given some application of linear matrix inequalities in system and control theory. In the second chapter, there is a detailed description of linear matrix inequalities problems in Matlab. The necessary commands for describing and solving a problem of linear matrix inequalities are analyzed, using the Robust Control Toolbox or alternatively the YALMIP Toolbox. During this analysis, typical examples are given in order to understand these commands and finally the results which provided by the two different Toolboxes are compared. In the third chapter, linear matrix inequalities are applied to two usual problems of system and control theory. The first is to solve the stability problem of a system using the Lyapunov inequality, while the second is to solve the Riccati inequality. A complete description of these problems is given through the codes of Matlab and finally, the results which obtained are presented.In the fourth chapter, there are the conclusions that we have extracted from this paper and some extensions of linear matrix inequalities. Last but not least, an appendix follows in which we present some mathematical notions that appear in this paper, and it was considered useful to be mentioned additional in the end.