Η Μέθοδος της Ομογενοποίησης στο Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Τοπολογίας
Creators: name: Κωνσταντίνος – Ιάσων Υψηλάντης
Publisher: name: Zenodo
Year: 2019

description: Η παρούσα διατριβή μελετά το τρίτο είδος βελτιστοποίησης, τη βελτιστοποίηση τοπολογίας. Η βελτιστοποήση τοπολογίας, όπως παρουσιάστηκε και στη προηγούμενη ενότητα, θεωρεί ως μεταβλητή σχεδιασμού τη πυκνότητα του υλικού. Σκοπός αποτελεί η εύρεση του βέλτιστου τρόπου κατανομής του υλικού προκειμένου η κατασκευή να φέρει με ασφάλεια τα επιβαλλόμενα φορτία. Η έννοια βελτιστοποίηση υποδηλώνει την ύπαρξη μιας συνάρτησης της οποίας αναζητείται το κατάλληλο ζεύγος μεταβλητών που είτε την ελαχιστοποιούν είτε τη μεγιστοποιούν. Η συνάρτηση αυτή είναι μια φυσική ποσότητα, όπως η ελαστική ενέργεια που αποθηκεύει το σώμα και ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Ένα σωστά τοποθετημένο πρόβλημα βελτιστοποίησης υπακούει σε αριθμό περιορισμών, οι οποίοι με τη σειρά τους εκφράζονται συναρτήσει των μεταβλητών σχεδιασμού. Συνεπώς, το βέλτιστο αυτό ζεύγος τιμών που αναζητείται πρέπει να ικανοποιεί παράλληλα και τους περιορισμούς που διέπουν το πρόβλημα. <br> Η παρούσα διατριβή αποτελείται από 4 κεφάλαια. Στο 2ο κεφάλαιο υπενθυμίζονται εν συντομία βασικές έννοιες και καταστατικοί νόμοι της μηχανικής, αναδρομή απαραίτητη για τη κατανόηση λοιπών εννοιών που ορίζονται στη πορεία. Εν συνεχεία, περιγράφεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και υπενθυμίζονται βασικές έννοιες όπως το μητρώο δυσκαμψίας κ.α. Το τέλος του 2ου κεφαλαίου χωρίζεται σε δύο υποενότητες, στη πρώτη περιγράφεται η μέθοδος SIMP και παρουσιάζονται οι μεθοδολογίες επίλυσης του προβλήματος βελτιστοποίησης τοπολογίας (ΜΜΑ , OC), ενώ στη δεύτερη παρουσιάζονται αποτελέσματα για τη περίπτωση μελέτης διαφόρων διδιάστατων προβλημάτων υπό διάφορες συνθήκες φόρτισης και στήριξης. Ο κώδικας που επιλύει τα διάφορα προβλήματα παρουσιάζεται και επεξηγείται αναλυτικά στο Παράρτημα του 2ου κεφαλαίου. Στο 3ο κεφάλαιο μελετάται η μέθοδος της ομογενοποίησης. Σε πρώτο στάδιο υπενθυμίζονται και επεξηγούνται έννοιες όπως είναι η περιοδικότητα ( και πως αυτή αναπαρίσταται σε μητρωική μορφή ) κ.α, απαραίτητες για τη κατανόηση του πεδίου παραδοχών που πραγματοποιεί η μέθοδος της ομογενοποίησης. Σε δεύτερο στάδιο περιγράφεται η θεωρία στην οποία βασίζεται η μέθοδος της ομογενοποίησης. Σε επόμενο στάδιο, περιγράφεται η μεθοδολογία που ακολουθείται για την επίλυση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης με τη μέθοδο της ομογενοποίησης. Τα αποτελέσματα της μεθόδου καθώς και συγκρίση αυτών με τα αντίστοιχα που δίνει η μέθοδος SIMP παρουσιάζονται στο τέλος του Κεφαλαίου 3, μαζί με τον κώδικα που επιλύει τα υπό μελέτη προβλήματα.<br> Εικόνα 1.2 Οι τρείς κατηγορίες της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Α) βελτιστοποίηση μεγέθους (sizing optimization) για τη περίπτωση δικτυώματος, Β) βελτιστοποίηση σχήματος, Γ) βελτιστοποίηση τοπολογίας. Οι κατασκευές παρουσιάζονται στα αριστερά της εικόνας στην αρχική τους μορφή και στα δεξιά, στη τελική τους μορφή αναλόγως του προβλήματος βελτιστοποίησης.<br> <br> Το 4ο Κεφάλαιο μελετάει τη περίπτωση τρισδιάστατων προβλημάτων. Στο τρέχον Κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος SIMP για 3D προβλήματα και παρατίθενται τα αποτελέσματα για το εκάστοτε πρόβλημα που μελετάται. Στη δεύτερη υποενότητα του Κεφαλαίου, παρουσιάζεται η μέθοδος της ομογενοποίησης για τη τρισδιάστατη εντατική κατάσταση. Η θεωρία στην οποία βασίζεται η μέθοδος επεξηγείται αναλυτικά και τα αποτελέσματα που δίνει συγκρίνονται με αυτά της –state of the art- μεθόδου SIMP. Ο κώδικας που επιλύει τα υπό μελέτη 3D προβλήματα παρουσιάζεται και επεξηγείται στο Παράρτημα του 4ου κεφαλαίου, ενώ παράλληλα η μέθοδος της ομογενοποίησης αξιολογείται και για διάφορα είδη unit cell.