Φράκταλ και Χάος στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση:
Creators: name: Βεργίδης, Θεόδωρος Κωνσταντίνου
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2010
Subjects: subject: Μαθηματικά
subject: Χάος
subject: Φράκταλ
subject: Mathematics
subject: FOS: Mathematics
subject: Chaos
subject: Fractal

description: Η Εργασία αυτή ασχολείται με ένα αντικείμενο άγνωστο στους καθηγητές και τους μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης (Δ.Ε.), τα Φράκταλ. Τα παρουσιάζει με τρόπο ώστε να γίνουν κατανοητά αλλά και ενδιαφέροντα, ώστε μελλοντικά να διδαχθούν και σε αυτή τη βαθμίδα της Εκπαίδευσης. Αρχικά παρουσιάζονται και αναλύονται, οι βασικές έννοιες που θα αποτελέσουν τον πυρήνα της διπλωματικής εργασίας, το Χάος και τα Φράκταλ και στη συνέχεια η Παιδαγωγική αξιοποίησή τους στη Δ.Ε. και τα οφέλη που προκύπτουν από τη διδασκαλία τους .Δίνονται μαζί με παραδείγματα και εικόνες, οι βασικές αρχές της θεωρίας των Φράκταλ, οι έννοιες της αυτοομοιότητας και της κλιμάκωσης , η σχέση τους με το Χάος και την Πολυπλοκότητα, οι ιδιότητές τους και η σχέση τους με το φυσικό κόσμο. Επίσης παρουσιάζεται η Γεωμετρία των Φράκταλ και η έννοια της μη ακέραιας διάστασης που θα συνδεθεί με τις έννοιες της αυτοομοιότητας και της κλιμάκωσης με παραδείγματα. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται Φράκταλ σχήματα που προκύπτουν από τη δυναμική επαναληπτικών διαδικασιών, πραγματικών και φανταστικών αριθμών στο Μιγαδικό επίπεδο, αφού προηγουμένως έχουν αναλυθεί οι επιπλέον γνώσεις που θα χρειαστούν για την κατανόηση της θεωρίας των Φράκταλ, από τους καθηγητές και τους μαθητές της Δ.Ε. Είναι στοιχεία από την Μιγαδική Ανάλυση, όπου γίνεται επέκταση των γνωστών από το Λύκειο εννοιών της Συνέχειας και της Παραγώγου. Όπου χρειάζεται γίνεται αναλυτικότερη παρουσίαση και συμπλήρωση των γνώσεων του Λυκείου. Οι επαναληπτικές αυτές διαδικασίες, συνδέονται άμεσα με το πρόβλημα της εύρεσης ριζών πολυωνύμων με τη μέθοδο Newton και έχουν για κάθε ρίζα, λεκάνες έλξης που χωρίζονται από σύνορα με Φράκταλ δομή. Θα παρουσιαστούν έτσι τα σύνολα Julia και θα αναλυθεί η σημασία τους.Τέλος παρουσιάζεται και αναλύεται το Σύνολο Mandelbrot, η Μυστηριώδης αυτή Νήσος με τις πολυσχιδείς παραλίες και την τόσο ενδιαφέρουσα εξερεύνηση. Η εργασία κλείνει αναφέροντας τις σημαντικότερες εφαρμογές των Φράκταλ στον σύγχρονο κόσμο, π.χ. στην Ιατρική, Τέχνη, Αστρονομία, Η/Υ., Γεωλογία, δείχνοντας όχι μόνο την άμεση σχέση των Φράκταλ με την ζωή, αλλά και ότι, το συγκεκριμένο αντικείμενο έχει πολλά χαρακτηριστικά, τόσο παιδαγωγικά όσο και πρακτικά σε σύγχρονες εφαρμογές, που το καθιστούν ελκυστικό, ενδιαφέρον και χρήσιμο, για να διδαχθεί στην Δ.Ε.
description: This thesis presents and discusses Fractals; a subject that until now is unknown to High-school teachers and students. Fractals are presented adopting a simplified approach that shows how attractive they can be and highlights the perspective of them being taught in High-schools. At the beginning of the thesis, the author introduces the basic definitions about Chaos and Fractals that lie in the core of the work presented here. Next, the value of these concepts as teaching material and the benefits that can arise by teaching them are discussed. The basic principles of the Fractals are provided with examples and pictures. Concepts such as self-similarity and escalation are presented along with their properties, their link with the physical world and their relationship with Chaos and Fractals. Also, the Fractal geometry is presented together with the concept of non-integer dimension which is also linked with self-similarity and escalation through relevant examples.The thesis also demonstrates Fractal shapes that are generated based on dynamic repeated procedures, real and imaginary numbers in the Complex level; after presenting the additional knowledge that is required by students and teachers to understand the theory and main Fractal concepts. This knowledge entails elements from Complex Analysis, where known concepts such as Continuity and Derivatives are further explained. Wherever needed there is more in-depth presentation and analysis of the High-school prerequisite knowledge. The repeated procedures are directly linked with the problem of locating polynomial roots using the Newton method and for every root they have pull basins that are separated by boundaries with Fractal structure. Thus, Julia sets are presented and their importance is also discussed.Finally, this thesis presents and explores the Mandlebrot Set, a mysterious ‘island’ with complex ‘beaches’. It also summarises the most important applications of Fractals in areas such as Medicine, Art, Astronomy, Computing and Geology, thus demonstrating that the characteristics of Fractals can be found in everyday life and that the subject itself is interesting, attractive and useful pedagogically and in real-life practice.