Μαθηματική Θεωρία Gauge
Creators: name: Λυμπέρης, Ζαχαρίας Ιωάννη
Publisher: name: Aristotle University of Thessaloniki
Year: 2024
Subjects: Συμμετρία
Γεωμετρία
Σωματιδιακή Φυσική
Symmetry
Geometry
Particle Physics

description: Η θεωρία gauge είναι ένας συνδυασμός συμμετρίας και γεωμετρίας. Η συμμετρία gauge είναι μία τοπική συμμετρία, δηλαδή εφαρμόζεται ανεξάρτητα ένας μετασχηματισμός σε κάθε σημείο ενός φυσικού συστήματος αφήνοντας το σύστημα αναλλοίωτο ως προς κάποια βασικά χαρακτηριστικά του. Η αναλλοιωσιμότητα του συστήματος εξασφαλίζεται με την εμπλοκή της Γεωμετρίας. Η μαθηματική περιγραφή μιας τέτοιας διαδικασίας βασίζεται στις κύριες και στις συσχετισμένες δέσμες. Η πολλαπλότητα βάσης της κύριας δέσμης συνιστά τον χώρο του συστήματος, όπου πάνω από κάθε σημείο της πολλαπλότητας υπάρχει μία ίνα διφφεομορφική με μια ομάδα Lie, και η ένωση των ινών σχηματίζει τον ολικό χώρο της κύριας δέσμης. Ένας μετασχηματισμός gauge είναι ένας αυτομορφισμός δέσμης ο οποίος διατηρεί τις ίνες. Οπότε ο μετασχηματισμός εφαρμόζεται ανεξάρτητα σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας βάσης αναδιατάσσοντας την ίνα πάνω από αυτό το σημείο. Ο μετασχηματισμός gauge είναι μια τοπική συμμετρία που αφήνει την Λαγκραντζιανή του συστήματος αναλλοίωτη. Η Λαγκραντζιανή ισούται με την κινητική μείον την δυναμική ενέργεια και την ενέργεια αλληλεπίδρασης του συστήματος. Για να υπάρξει όμως συμμετρία, θα πρέπει αυτή η ανεξάρτητη εφαρμογή του μετασχηματισμού gauge πάνω στην πολλαπλότητα βάσης να ισοσταθμιστεί. Η ισοστάθμιση αυτή είναι αποτέλεσμα της Γεωμετρίας. Συγκεκριμένα, μία 1-μορφή συνοχής πάνω στην κύρια δέσμη θα επιτρέψει την παράλληλη μεταφορά της πληροφορίας, για παράδειγμα το χρώμα ενός κουάρκ, από ένα σημείο της πολλαπλότητας βάσης σε ένα άλλο, που με τη σειρά της δίνει την δυνατότητα σύγκρισης των αλλαγών σε διαφορετικά σημεία και συνεπώς της κατασκευής μίας έννοιας παραγώγου, της συναλλοίωτης παραγώγου. Η συναλλοίωτη παράγωγος συνδέεται με τους ισοσταθμισμένους όρους της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Σε αυτήν την περιγραφή, τοπικές εκφράσεις την 1-μορφής συνοχής στην πολλαπλότητας βάσης αποτελούν τα πεδία gauge, τα οποία αναπαριστούν τα πεδία δυνάμεων και τα σωματίδια φορείς τους, όπως τα φωτόνια στον ηλεκτρομαγνητισμό. Το διαφορικό της 1-μορφής συνοχής παράγει την 2-μορφή καμπυλότητας η οποία εκφράζει την ένταση των δυνάμεων των πεδίων. Οι διανυσματικές δέσμες που επάγονται από κύριες δέσμες λέγονται συσχετισμένες διανυσματικές δέσμες. Τα υλικά σωματίδια, όπως τα ηλεκτρόνια και τα κουάρκ, αναπαρίστανται από τομές σε ειδικές συσχετισμένες διανυσματικές δέσμες, που λέγονται δέσμες spinor, οι οποίες επάγονται από spinor δομές, που είναι ειδικές κύριες δέσμες. Η κατασκευή συνεστραμμένων δεσμών από δέσμες spinor και συσχετισμένες δέσμες που συνδέονται με πεδία gauge κύριων δεσμών οδηγεί στην Λαγκραντζιανή Dirac, η οποία συγκεντρώνει όλη την πληροφορία των αλληλεπιδράσεων των υλικών σωματιδίων με τους φορείς των πεδιακών δυνάμεων. Η αναλλοιωσιμότητα της Λαγκραντζιανής μέσω της συμμετρίας gauge δίνει σημαντικά αποτελέσματα στη Φυσική, όπως νόμους διατήρησης κάποιων φυσικών ποσοτήτων. Για παράδειγμα η U(1)-συμμετρία gauge δίνει τον νόμο διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου την κβαντική ηλεκτροδυναμική (QED). Αυτά τα αποτελέσματα είναι που καθιστούν την θεωρία gauge τόσο ισχυρό εργαλείο στην Φυσική και την μαθηματική της ανάπτυξη τόσο αναγκαία.
description: Gauge theory is a combination of symmetry and geometry. Gauge symmetry is a local symmetry, i.e. a transformation is applied independently to each point of a physical system, leaving the system unchanged in some basic characteristics. The invariance of the system is ensured by the involvement of Geometry. The mathematical description of such a process is based on principal and associated vector bundles. The base manifold of the principal bundle constitutes the space of the system, where above each point of the manifold there is a fiber diffeomorphic with a Lie group, and the union of the fibers forms the total space of the principal bundle. A gauge transformation is a bundle automorphism that preserves the fibers. So, the transformation is applied independently to each point of the base manifold by rearranging the fiber above that point. The gauge transformation is a local symmetry that leaves the Lagrangian of the system invariant. Lagrangian equals the kinetic minus the potential and interaction energy of the system. For symmetry to exist, however, this independent application of gauge transformation over the base manifold must be equalized. This equalization is a result of geometry. In particular, a connection 1-form on the principal bundle will allow the parallel transport of information, for example the color of a quark, from one point of the base manifold to another, which in turn enables the comparison of changes at different points and thus the construction of a derivative concept, the covariant derivative. The covariant derivative is connected to the equalized terms of the kinetic energy of the system. In this description, local expressions of the connection 1-form in the base manifold are gauge fields, which represent force fields and their carrier particles, such as photons in electromagnetism. The differential of the connection 1-form produces the curvature 2-form which expresses the strength of the forces of the fields. Vector bundles induced by principal bundles are called associated vector bundles. Material particles, such as electrons and quarks, are represented by sections in special associated vector bundles, called spinor bundles, which are induced by spinor structures, which are special principal bundles. The construction of twisted bundles from spinor bundles and associated bundles connected with gauge fields of some principal bundles leads to Dirac Lagrangian, which gathers all the information of the interactions of material particles with field force carrier particles. The invariance of Lagrangian due to gauge symmetry gives important results in physics, such as conservation laws of some physical quantities. For example, the U(1)-gauge symmetry gives the conservation law of electric charge in quantum electrodynamics (QED). These results are what make gauge theory such a powerful tool in physics and its mathematical development so necessary.