title: Quantum algorithms for solving linear systems of equations and implementation in prototype quantum computers

title: Κβαντικoί αλγόριθμοι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και υλοποίηση  σε πρότυπους κβαντικούς υπολογιστές
Creators: name: Πολιτης Αλεξανδρος-Μυρων
Publisher: name: Technical University of Crete
Year: 2021

description: In this thesis we study quantum algorithms for solving linear systems of equations. The first quantum linear solver that we study is the HHL algorithm [1]. HHL was invented at MIT by Harrow, Hassidim and Lloyd in 2008 and is an exact quantum algorithm that uses the quantum phase estimation as a subroutine for eigenvalue finding. HHL scales exponentially well, with respect to number of variables and size of equations, but is qubit demanding and noise sensitive. The implementation of this algorithm in quantum hardware for large problems where one could expect to outperform classical computers, requires more fully functional qubits from what today’s prototype quantum computers can provide. For this reason, the attention has been recently shifted towards developing variational hybrid-quantum classical algorithms that combine prototype quantum hardware with classical optimizers, and are expected to achieve quantum advantage in the next five years. In the second part of this thesis, we analyze such an algorithms, the variational quantum linear solver (VQLS).  After studying in detail, the mathematical inner workings of both algorithms and deriving the expected quantum speed ups, we experiment with various test equation sets of different gap sizes, condition numbers and sparsity, running both ideal and noisy simulations as well as real quantum hardware on the IBM Q cloud. The result of these experiments is that for small scale problems, VQLS and HHL can produce the same result in regard to fidelity on perfect simulators but VQLS outperformed HHL while working on a realistic noisy setting as it is the case for current day prototype quantum processors.
description: Σε αυτή τη διπλωματική εργασία εξετάζουμε κβαντικούς αλγορίθμους επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος που εξετάζουμε είναι ο HHL, αλγόριθμος που εφευρέθηκε από τους Harrow, Hassidim και Lloyd στο ΜΙΤ 2008.  Ο ΗΗL είναι ένας κβαντικός αλγόριθμος που χρησιμοποιεί τον κβαντικό αλγόριθμο εκτίμησης φάσης ως υπορουτίνα για την εύρεση ιδιοτιμών. Η ταχύτητα επίλυσης εξισώσεων μέσω HHL εκθετικά μεγαλύτερη από τους καλύτερους κλασσικούς αλγόριθμους, σε σχέση με το αριθμό των εξισώσεων και παραμέτρων,  αλλά απαιτεί πολλά και πλήρως λειτουργικά qubits χαμηλού κβαντικό θορύβου. Η υλοποίηση του αλγορίθμου για προβλήματα με αριθμό εξισώσεών και παραμέτρων που οι σημερινοί κλασσικοί υπολογιστές δυσκολεύονται να λύσουν,  απαιτεί περισσότερα λειτουργικά qubits από αυτά που υπάρχουν σε σημερινούς πρότυπους κβαντικούς επεξεργαστές. Για αυτόν το λόγο η προσοχή έχει πρόσφατα στραφεί σε υβριδικούς κβαντικούς-κλασικούς αλγορίθμους που συνδυάζουν πρότυπο κβαντικό hardware  με κλασική βελτιστοποιήση. Στο δεύτερο μέρος της διπλωματικής, θα αναλύσουμε ένα τέτοιο πρόσφατο υβριδικό κβαντικό αλγόριθμο τον VQLS (variational quantum linear solver). Αφού εξετάσουμε λεπτομερώς τις εσωτερικές λειτουργίες και των 2 αλγορίθμων, πειραματιζόμαστε με διάφορα δοκιμαστικά σετ εξισώσεων διαφορετικού μεγέθους, αριθμού συνθήκης και αραιότητας, τρέχοντας τα τόσο σε ιδανικές αλλά και με θόρυβο προσομοιώσεις. Πραγματοποιούμε επίσης και υλοποίηση σε πραγματικό κβαντικό hardware στο νέφος της IBM Q την οποία συγκρίνουμε με τα παραπάνω. Το αποτέλεσμα των εν λόγω πειραμάτων είναι ότι ο VQLS και ο HHL μπορούν να παράγουν το ίδιο αποτέλεσμα όσον αφορά την ακρίβεια σε ιδανικές προσομοιώσεις αλλά ο VQLS αποδίδει καλύτερα από τον HHL σε ρεαλιστικά θορυβώδη περιβάλλοντα όπως είναι οι σύγχρονοι πρότυποι κβαντικοί επεξεργαστές.