羅馬帝國衰落之後，杜林先後由東哥特人、倫巴底人占領，並在後者統治期間，被劃分為公爵領地。773年，查理大帝將此占領。在之後的幾個世紀，杜林一直作為神聖羅馬帝國的伯爵領地，先後經過了多位統治者。940年，成立杜林邊境區，由阿爾杜伊尼卡家族統治。統治了四代之後，阿得雷德得到統治權。1045年，她與翁貝托一世的兒子奧多內結婚。從此，薩沃亞家族開始統治杜林。當杜林伯爵的身份由主教兼任時，它的統治者也成為采邑主教。奧多內去世之後，兒子彼得羅一世和阿梅代奧二世相繼統治，但實權仍掌握在他們的母親手中，直至她去世。阿得雷德的去世，也引起了皮埃蒙特地區的內戰，即當地的權貴家族和被認為是「外人」的薩沃亞家族之間的戰爭。在此之後，薩沃亞家族為以原領地莫列訥河谷作為基礎，捲入無間斷的戰爭中，混亂的局勢維持了一個多世紀。
杜林邊境區在940年由哪一個家族統治?