Topologia

Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki wyższej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych, czyli najogólniejszych przestrzeni, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez homeomorfizmy – np. orientowalność powierzchni, genus („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) brzegu i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane niezmiennikami topologicznymi.
Nieformalnie mawia się, że własności topologiczne nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, np. figur geometrycznych jak bryły i ich odpowiedniki o innej liczbie wymiarów. Przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie – jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów. Proces deformacji można wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy. Pod tym kątem można analizować między innymi obiekty geometryczne jak przestrzenie euklidesowe, inne rozmaitości i ich podzbiory, a topologia wyrosła właśnie z geometrii i bywała określana jako teoria umiejscowienia (łac. analysis situs). Mimo to w ogólności nie posługuje się ona pojęciami ilościowymi jak odległość czy miara kąta; nie uwzględnia nawet niektórych jakościowych relacji geometrycznych jak równoległość prostych. Taki minimalizm umożliwił uściślenie pojęć o geometrycznym rodowodzie jak krzywa czy abstrakcyjny wymiar zbioru, bez odwoływania się do algebry liniowej czy teorii miary. Topologia wkroczyła też w różne dziedziny matematyki odległe od jej korzeni. Przykładem jest analiza funkcjonalna – intuicyjne pojęcie spójności można uogólnić m.in. na przestrzenie funkcyjne jak te Hilberta, Banacha czy jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne, które stały się definiującym tematem tego działu matematyki. Metody topologiczne zastosowano nawet w teorii liczb.
Geneza topologii, zwłaszcza rozumianej potocznie, bywa wiązana z XVIII-wiecznymi początkami teorii grafów w pracach Leonharda Eulera. Mimo to topologia sensu stricto wyrosła w II połowie XIX wieku, na pograniczu geometrii, analizy i teorii mnogości. Została nazwana przez Johanna Listinga w 1847 roku, a ogólny obszar badań tej dziedziny – czyli przestrzeń topologiczną – zdefniowano na początku XX wieku, w pracach Feliksa Hausdorffa i Kazimierza Kuratowskiego. Od tego czasu wykształciły się całe zróżnicowane gałęzie tej nauki – oprócz topologii ogólnej i mnogościowej powstały między innymi topologia algebraiczna, różniczkowa i geometryczna. Badają one różne szczególne klasy przestrzeni topologicznych, niezmienniki specjalnych typów homeomorfizmów – jak np. dyfeomorfizmy – i czerpią przy tym z różnych działów matematyki, zwłaszcza teorii grup. Osobną, owocną dyscypliną stała się też teoria węzłów, bliska korzeniom topologii w jakościowej stereometrii (trójwymiarowej geometrii euklidesowej). Topologia była jednym z głównych obszarów badań warszawskiej szkoły matematycznej, a osiągnięcia Polaków w tej dziedzinie upamiętniono m.in. nazwą przestrzeni polskiej. Prace Samuela Eilenberga w topologii algebraicznej przyczyniły się do powstania teorii kategorii; wiązanej głównie z algebrą i odgrywającej dużą rolę w różnych obszarach matematyki oraz poza nią.
Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową, biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rok. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni.

context: Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte). Typowe tematy rozważań w topologii ogólnej to np. aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne. Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina, PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC.
qas: question: Jakie przykładowe zagadnienia są poruszane w ramach typologii ogólnej?
answers: text: aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne
generative_answer: aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne

question: Jakie przestrzenie są badane w ramach topologii ogólnej?
answers: text: przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte)
generative_answer: przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte)

question: Jak prezentuje się metodologia topologii ogólnej?
answers: text: Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina, PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC
generative_answer: Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina, PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC