ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 47
ἔτι τε τῶν ἀριθμῶν οἱ μέν τινες τέλειοι λέγονται , οἱ δʼ ὑπερτέλειοι , οἱ δʼ ἐλλιπεῖς . καὶ τέλειοι μέν εἰσιν οἱ τοῖς αὑτῶν μέρεσιν ἴσοι , ὡς ὁ τῶν Ϛ΄ · μέρη γὰρ αὐτοῦ ἥμισυ γ΄ , τρίτον β΄ , ἕκτον α΄ , ἅτινα συντιθέμενα ποιεῖ τὸν Ϛ΄ . γεννῶνται δὲ οἱ τέλειοι τοῦτον τὸν τρό - κον . ἐὰν ἐκθώμεθα τοὺς ἀπὸ μονάδος διπλασίους καὶ συντιθῶμεν αὐτούς , μέχρις οὗ ἂν γένηται πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός , καὶ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν συντιθεμένων πολλαπλασιάσωμεν , ὁ ἀπο - γεννηθεὶς ἔσται τέλειος . οἷον ἐκκείσθωσαν διπλάσιοι α΄ β΄ δ΄ η΄ ιϛ΄ . συνθῶμεν οὖν α΄ καὶ β΄ · γίνεται γ΄ · καὶ τὸν γ΄ ἐπὶ τὸν ὕστερον τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως πολλα - κλασιάσωμεν , τουτέστιν ἐπὶ τὸν β΄ · γίνεται Ϛ΄ , ὅς ἐστι πρῶτος τέλειος . ἂν πάλιν τρεῖς τοὺς ἐφεξῆς διπλασίους συνθῶμεν , α΄ καὶ β΄ καὶ δ΄ , ἔσται ζ΄ · καὶ τοῦτον ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν τῆς συνθέσεως πολλαπλασιάσωμεν , τὸν ζ΄ ἐπὶ τὸν δ΄ · ἔσται ὁ κη΄ , ὅς ἐστι δεύτερος τέλειος · σύγκει - ται ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ιδ΄ , τετάρτου τοῦ ζ΄ , ἑβδόμου τοῦ δ΄ , τεσσαρακαιδεκάτου τοῦ β΄ , εἰκοστοῦ ὀγδόου τοῦ α΄ . ὑπερτέλειοι δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα μείζονά ἐστι τῶν ὅλων , οἷον ὁ τῶν ιβ΄ · τούτου γὰρ ἥμισύ ἐστιν ϛ΄ , τρίτον δ΄ , τέταρτον γ΄ , ἕκτον β΄ , δωδέκατον α΄ , ἅτινα συντεθέντα γίνεται ιϛ΄ , ὅς ἐστι μείζων τοῦ ἐξ ἀρχῆς , τουτέστι τῶν ιβ΄ .
Lemmas: ἔτι τε ὁ ἀριθμός ὁ μέν τις τέλειος λέγω , ὁ δέ ὑπερτέλειος , ὁ δέ ἐλλιπής . καί τέλειος μέν εἰμί ὁ ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἴσος , ὡς ὁ ὁ ϛʹ · μέρος γάρ αὐτός ἥμισυς γʹ , τρίτος βʹ , ἕκτος αʹ , ὅστις συντίθημι ποιέω ὁ ϛʹ . γεννάω δέ ὁ τέλειος οὗτος ὁ τρέ - Κον . ἐάν ἐκτίθημι ὁ ἀπό μονάς διπλάσιος καί συντίθημι αὐτός , μέχρι ὅς ἄν γίγνομαι πρῶτος καί ἀσύνθετος ἀριθμός , καί ὁ ἐκ ὁ σύνθεσις ἐπί ὁ ἔσχατος ὁ συντίθημι πολλαπλασιάζω , ὁ ἀπος - γεννάω εἰμί τέλειος . οἷος ἔκκειμαι διπλάσιος αʹ βʹ δʹ ηʹ ιϛʹ . συντίθημι οὖν αʹ καί βʹ · γίγνομαι γʹ · καί ὁ γʹ ἐπί ὁ ὕστερον ὁ ἐκ ὁ σύνθεσις πολύς - κλασιαειδω , τουτέστι ἐπί ὁ βʹ · γίγνομαι ϛʹ , ὅς εἰμί πρῶτος τέλειος . ἐάν πάλιν τρεῖς ὁ ἐφεξῆς διπλάσιος συντίθημι , αʹ καί βʹ καί δʹ , εἰμί ζʹ · καί οὗτος ἐπί ὁ ἔσχατος ὁ ὁ σύνθεσις πολλαπλασιάζω , ὁ ζʹ ἐπί ὁ δʹ · εἰμί ὁ κηʹ , ὅς εἰμί δεύτερος τέλειος · συγκει - ται ἐκ ὁ ἥμισυς ὁ ιδʹ , τέταρτος ὁ ζʹ , ἕβδομος ὁ δʹ , τεσσαρακαιδέκατος ὁ βʹ , εἰκοστός ὄγδοος ὁ αʹ . ὑπερτέλειος δέ εἰμί ὅς ὁ μέρος συντίθημι μέγας εἰμί ὁ ὅλος , οἷος ὁ ὁ ιβʹ · οὗτος γάρ ἥμισυς εἰμί ϛʹ , τρίτος δʹ , τέταρτος γʹ , ἕκτος βʹ , δωδέκατος αʹ , ὅστις συντίθημι γίγνομαι ιϛʹ , ὅς εἰμί μέγας ὁ ἐκ ἀρχή , τουτέστι ὁ ιβʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 48
ἐλλιπεῖς δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα ἐλάττονα τὸν ἀριθμὸν ποιεῖ τοῦ ἐξ ἀρχῆς προτεθέντος ἀριθμοῦ , οἷον ὁ τῶν η΄ · τούτου γὰρ ἥμισυ δ΄ , τετάρτον β΄ , ὄγδοον ἕν . τὸ αὐτὸ δὲ καὶ τῷ ι΄ συμβέβηκεν , ὃν καθʼ ἕτερον λόγον τέλειον ἔφασαν οἱ Πυθαγορικοί , περὶ οὗ κατὰ τὴν οἰκείαν χώραν ἀποδώσομεν . λέγεται δὲ καὶ ὁ γ΄ τέλειος , ἐπειδὴ πρῶτος ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ πέρας ἔχει · ὁ δʼ αὐτὸς καὶ γραμμή ἐστι καὶ ἐπίπεδον , τρίγωνον γὰρ ἰσόπλευρον ἑκάστην πλευρὰν δυεῖν μονάδων ἔχον , καὶ πρῶτος δεσμὸς καὶ στερεοῦ δύναμις · ἐν γὰρ τρισὶ δια - στάσεσι τὸ στερεὸν νοεῖσθαι .
Lemmas: ἐλλιπής δέ εἰμί ὅς ὁ μέρος συντίθημι ἐλαχύς ὁ ἀριθμός ποιέω ὁ ἐκ ἀρχή προτίθημι ἀριθμός , οἷος ὁ ὁ ηʹ · οὗτος γάρ ἥμισυς δʹ , τέταρτος βʹ , ὄγδοος εἷς . ὁ αὐτός δέ καί ὁ ιʹ συμβαίνω , ὅς κατά ἕτερος λόγος τέλειος φημί ὁ Πυθαγορικός , περί ὅς κατά ὁ οἰκεῖος χώρα ἀποδίδωμι . λέγω δέ καί ὁ γʹ τέλειος , ἐπειδή πρῶτος ἀρχή καί μέσος καί πέρας ἔχω · ὁ δέ αὐτός καί γραμμή εἰμί καί ἐπίπεδος , τρίγωνος γάρ ἰσόπλευρος ἕκαστος πλευρά δύο μονάς ἔχω , καί πρῶτος δεσμός καί στερεός δύναμις · ἐν γάρ τρεῖς δα - στάσις ὁ στερεός νοέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 49
ἐπεὶ δὲ καὶ συμφώνους τινάς φασιν ἀριθμούς , καὶ ὁ περὶ συμφωνίας λόγος οὐκ ἂν εὑρεθείη ἄνευ ἀρι - θμητικῆς · ἥτις συμφωνία τὴν μεγίστην ἔχει ἰσχύν , ἐν λόγῳ μὲν οὖσα ἀλήθεια , ἐν βίῳ δὲ εὐδαιμονία , ἐν δὲ τῇ φύσει ἁρμονία . καὶ αὐτὴ δὲ ἡ ἁρμονία ἥτις ἐστὶν ἐν κόσμῳ οὐκ ἂν εὑρεθείη μὴ ἐν ἀριθμοῖς πρότερον ἐξευρεθεῖσα · ἥτις ἐστὶ καὶ νοητή , ἡ δὲ νοητὴ ῥᾷον ἀπὸ τῆς αἰσθητῆς κατανοεῖται . νῦν μὲν οὖν περὶ τῶν δυεῖν ἁρμονιῶν λεκτέον , τῆς τʼ αἰσθητῆς ἐν ὀργάνοις καὶ τῆς νοητῆς ἐν ἀριθμοῖς . μετὰ δὲ τὸν περὶ πάντων τῶν μαθηματικῶν λόγον τελευταῖον ἐπάξομεν καὶ τὸν περὶ τῆς ἐν κοσμίῳ ἁρμονίας λόγον , οὐκ ὀκνοῦντες τὰ ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν ἐξευρημένα καὶ αὐτοὶ ἀναγράφειν , ὥσπερ καὶ τὰ πρόσθεν ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν παραδοθέντα ἐπὶ τὸ γνωριμώτερον ἐξενεγκόντες παραδεδώκαμεν , οὐδὲν αὐτοὶ τούτων ἐξευρηκέναι φάσκοντες . παραδει - κνύντες δέ τινα τῶν ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν παραδοθέντων τῷ μέλλοντι συνήσειν τὰ Πλάτωνος ἀναγκαίαν καὶ τούτων συναγωγὴν ἐποιησάμεθα .
Lemmas: ἐπεί δέ καί σύμφωνος τις φημί ἀριθμός , καί ὁ περί συμφωνία λόγος οὐ ἄν εὑρίσκω ἄνευ ἀρι - θμητικεω · ὅστις συμφωνία ὁ μέγας ἔχω ἰσχύς , ἐν λόγος μέν εἰμί ἀλήθεια , ἐν βίος δέ εὐδαιμονία , ἐν δέ ὁ φύσις ἁρμονία . καί αὐτός δέ ὁ ἁρμονία ὅστις εἰμί ἐν κόσμος οὐ ἄν εὑρίσκω μή ἐν ἀριθμός πρότερος ἐξευρίσκω · ὅστις εἰμί καί νοητός , ὁ δέ νοητός ῥᾴδιος ἀπό ὁ αἰσθητός κατανοέω . νῦν μέν οὖν περί ὁ δύο ἁρμονία λεκτέος , ὁ τε αἰσθητός ἐν ὄργανον καί ὁ νοητός ἐν ἀριθμός . μετά δέ ὁ περί πᾶς ὁ μαθηματικός λόγος τελευταῖος ἐπάγω καί ὁ περί ὁ ἐν κόσμιος ἁρμονία λόγος , οὐ ὀκνέω ὁ ὑπό ὁ πρό ἐγώ ἐξευρίσκω καί αὐτός ἀναγράφω , ὥσπερ καί ὁ πρόσθεν ὑπό ὁ Πυθαγορικός παραδίδωμι ἐπί ὁ γνώριμος ἐκφέρω παραδίδωμι , οὐδείς αὐτός οὗτος ἐξευρίσκω φάσκω . παραδέω - κνύω δέ τις ὁ ὑπό ὁ πρό ἐγώ παραδίδωμι ὁ μέλλω συνίημι ὁ Πλάτων ἀναγκαῖος καί οὗτος συναγωγή ποιέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 50
Θράσυλλος τοίνυν περὶ τῆς ἐν ὀργάνῳ αἰσθητῆς λέγων ἁρμονίας φθόγγον φησὶν εἶναι φωνῆς ἐναρμονίου τάσιν . ἐναρμόνιος δὲ λέγεται , ἐπὰν δύνηται καὶ τοῦ ὀξέος ὀξύτερος εὑρεθῆναι καὶ τοῦ βαρέος βαρύτερος · καὶ ὁ αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν . ὡς εἴγε τινὰ τοιαύτην φωνὴν νοήσαιμεν ἥτις ὑπεραίρει πᾶσαν ὀξύτητα , οὐκ ἄν εἴη ἐναρμόνιος · οὐδὲ γὰρ τὸν τῆς ὑπερμεγέθους βροντῆς ψόφον ἐναρμόνιον ἐροῦμεν , ὅς γε καὶ ὀλέθριος διὰ τὴν ὑπερβολὴν πολλάκις γίνεται , ὥς τις ἔφη ·
Lemmas: Θράσυλλος τοίνυν περί ὁ ἐν ὄργανον αἰσθητός λέγω ἁρμονία φθόγγος φημί εἰμί φωνή ἐναρμόνιος τάσις . ἐναρμόνιος δέ λέγω , ἐπάν δύναμαι καί ὁ ὀξύς ὀξύς εὑρίσκω καί ὁ βαρύς βαρύς · καί ὁ αὐτός καί μέσος εἰμί . ὡς εἰ τις τοιοῦτος φωνή νοέω ὅστις ὑπεραίρω πᾶς ὀξύτης , οὐ ἄν εἰμί ἐναρμόνιος · οὐδέ γάρ ὁ ὁ ὑπερμεγέθης βροντή ψόφος ἐναρμόνιος λέγω , ὅς γε καί ὀλέθριος διά ὁ ὑπερβολή πολλάκις γίγνομαι , ὡς τις φημί ·
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 51
πολλοὺς δὲ βροντῆς τραῦμʼ ἄναιμον ὤλεσε . καὶ μὴν εἴ τις οὕτως βαρὺς εἴη φθόγγος , ὡς μὴ ἔχειν αὑτοῦ βαρύτερον , οὐκ ἂν οὐδὲ φθόγγος εἴη τὸ ἐναρ - μόνιον οὐκ ἔχων . διὰ τοῦτʼ οὖν φθόγγος εἶναι λέγεται οὐ πᾶσα φωνὴ οὐδὲ πάσης φωνῆς τάσις , ἀλλʼ ἡ ἐναρ - μόνιος , οἷον μέσης , νεάτης , ὑπάτης . διάστημα δέ φησιν εἶναι φθόγγων τὴν πρὸς ἀλλήλους ποιὰν σχέσιν , οἷον διὰ τεσσάρων , διὰ πέντε , διὰ πασῶν , σύστημα δὲ διαστημάτων ποιὰν περιοχήν , οἷον τετράχορδον , πεντά - χορδον , ὀκτάχορδον . ἁρμονία δέ ἐστι συστημάτων σύνταξις , οἷον Λύδιος , Φρύγιος , Δώριος . καὶ τῶν φθόγγων οἱ μὲν ὀξεῖς , οἱ δὲ βαρεῖς , οἱ δὲ μέσοι · ὀξεῖς μὲν οἱ τῶν νητῶν , βαρεῖς δὲ οἱ τῶν ὑπατῶν , μέσοι δὲ οἱ τῶν μεταξύ . τῶν δὲ διαστημάτων τὰ μὲν σύμφωνα , τὰ δὲ διάφωνα . σύμφωνα μὲν τά τε κατʼ ἀντίφωνον , οἷόν ἐστι τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν , καὶ τὰ 〈 κατὰ 〉 παράφωνον , οἷον τὸ διὰ πέντε , τὸ διὰ τεσσάρων . σύμφωνα δὲ κατὰ συνέχειαν οἷον τόνος , δίεσις . τά τε γὰρ κατʼ ἀντίφωνον σύμφωνά ἐστιν , ἐπειδὰν τὸ ἀντικείμενον τῇ ὀξύτητι βάρος συμ - φωνῇ , τά τε κατὰ παράφωνόν ἐστι σύμφωνα , ἐπειδὰν μήτε ὁμότονον φθέγγηται φθόγγος φθόγγῳ μήτε διά - φωνον , ἀλλὰ παρά τι γνώριμον διάστημα ὅμοιον . διά - φωνοι δʼ εἰσὶ καὶ οὐ σύμφωνοι φθόγγοι , ὧν ἐστι το διάστημα τόνου ἢ διέσεως · ὁ γὰρ τόνος καὶ ἡ δίεσις ἀρχὴ μὲν συμφωνίας , οὔπω δὲ συμφωνία .
Lemmas: πολύς δέ βροντή τραῦμα ἄναιμος ὄλλυμι . καί μήν εἰ τις οὕτως βαρύς εἰμί φθόγγος , ὡς μή ἔχω ἑαυτοῦ βαρύς , οὐ ἄν οὐδέ φθόγγος εἰμί ὁ ἐναρ - μόνιος οὐ ἔχω . διά οὗτος οὖν φθόγγος εἰμί λέγω οὐ πᾶς φωνή οὐδέ πᾶς φωνή τάσις , ἀλλά ὁ ἐναρ - Μόνιος , οἷος μέσος , νεάτη , ὕπατος . διάστημα δέ φημί εἰμί φθόγγος ὁ πρός ἀλλήλων ποιός σχέσις , οἷος διά τέσσαρες , διά πέντε , διά πᾶς , σύστημα δέ διάστημα ποιός περιοχή , οἷος τετράχορδος , πεντάς - χορδή , ὀκτάχορδος . ἁρμονία δέ εἰμί σύστημα σύνταξις , οἷος Λύδιος , Φρύγιος , Δώριος . καί ὁ φθόγγος ὁ μέν ὀξύς , ὁ δέ βαρύς , ὁ δέ μέσος · ὀξύς μέν ὁ ὁ νήτη , βαρύς δέ ὁ ὁ ὑπάτη , μέσος δέ ὁ ὁ μεταξύ . ὁ δέ διάστημα ὁ μέν σύμφωνος , ὁ δέ διάφωνος . σύμφωνος μέν ὁ τε κατά ἀντίφωνος , οἷος εἰμί ὁ διά πᾶς καί ὁ δίς διά πᾶς , καί ὁ 〈 κατά 〉 παράφωνος , οἷος ὁ διά πέντε , ὁ διά τέσσαρες . σύμφωνος δέ κατά συνέχεια οἷος τόνος , δίεσις . ὁ τε γάρ κατά ἀντίφωνος σύμφωνος εἰμί , ἐπειδάν ὁ ἀντίκειμαι ὁ ὀξύτης βάρος σναυ - φωνή , ὁ τε κατά παράφωνος εἰμί σύμφωνος , ἐπειδάν μήτε ὁμότονος φθέγγομαι φθόγγος φθόγγος μήτε διά - φωνέω , ἀλλά παρά τις γνώριμος διάστημα ὅμοιος . διά - φῶνος δέ εἰμί καί οὐ σύμφωνος φθόγγος , ὅς εἰμί ὁ διάστημα τόνος ἤ δίεσις · ὁ γάρ τόνος καί ὁ δίεσις ἀρχή μέν συμφωνία , οὔπω δέ συμφωνία .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 52
ὁ δὲ περιπατητικὸς Ἄδραστος , γνωριμώτερον περί τε ἁρμονίας καὶ συμφωνίας διεξιών , φησί · καθάπερ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ λόγου ὁλοσχερῆ μὲν καὶ πρῶτα μέρη τά τε ῥήματα καὶ ὀνόματα , τούτων δὲ αἱ συλλαβαί , αὗται δʼ ἐκ γραμμάτων , τὰ δὲ ματα φωναὶ πρῶταί εἰσι καὶ στοιχειώδεις καὶ ἀδιαίρετοι καὶ ἐλάχισται — καὶ γὰρ συνίσταται ὁ λόγος ἐκ πρώ - των γραμμάτων καὶ εἰς ἔσχατα ταῦτα ἀναλύεται — , οὕτως καὶ τῆς ἐμμελοῦς καὶ ἡρμοσμένης φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ μέλους ὁλοσχερῆ μὲν μέρη τὰ λεγόμενα συστήματα , τετράχορδα καὶ πεντάχορδα καὶ ὀκτάχορδα · ταύτα δέ ἐστιν ἐκ διαστημάτων , τὰ δὲ διαστήματα ἐκ φθόγγων , οἵτινες πάλιν φωναί εἰσι πρῶται καὶ ἀδι - αίρετοι καὶ στοιχειώδεις , ἐξ ὧν πρώτων συνίσταται τὸ πᾶν μέλος καὶ εἰς ἃ ἔσχατα ἀναλύεται . διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων οἱ φθόγγοι ταῖς τάσεσιν , ἐπεὶ οἱ μὲν αὐτῶν ὀξύτεροι , οἱ δὲ βαρύτεροι · αἱ δὲ τάσεις αὐτῶν κατά τινας λόγους εἰσὶν ἀφωρισμέναι .
Lemmas: ὁ δέ περιπατητικός Ἄδραστος , γνώριμος περί τε ἁρμονία καί συμφωνία διεξέρχομαι , φημί · καθά ὁ ἐγγράμματος φωνή καί πᾶς ὁ λόγος ὁλοσχερής μέν καί πρῶτος μέρος ὁ τε ῥῆμα καί ὄνομα , οὗτος δέ ὁ συλλαβή , οὗτος δέ ἐκ γράμμα , ὁ δέ μάτη φωνή πρῶτος εἰμί καί στοιχειώδης καί ἀδιαίρετος καί ἐλαχύς — καί γάρ συνίστημι ὁ λόγος ἐκ πρός - ὁ γράμμα καί εἰς ἔσχατος οὗτος ἀναλύω — , οὕτως καί ὁ ἐμμελής καί ἁρμόζω φωνή καί πᾶς ὁ μέλος ὁλοσχερής μέν μέρος ὁ λέγω σύστημα , τετράχορδος καί πεντάχορδος καί ὀκτάχορδος · οὗτος δέ εἰμί ἐκ διάστημα , ὁ δέ διάστημα ἐκ φθόγγος , ὅστις πάλιν φωνή εἰμί πρῶτος καί ἀς - αιρετός καί στοιχειώδης , ἐκ ὅς πρῶτος συνίστημι ὁ πᾶς μέλος καί εἰς ὅς ἔσχατος ἀναλύω . διαφέρω δέ ἀλλήλων ὁ φθόγγος ὁ τάσις , ἐπεί ὁ μέν αὐτός ὀξύς , ὁ δέ βαρύς · ὁ δέ τάσις αὐτός κατά τις λόγος εἰμί ἀφορίζω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 53
φησὶ δὲ καὶ τοὺς Πυθαγορικους περὶ αὐτῶν οὕτω τεχνολογεῖν · ἐπεὶ μέλος μὲν πᾶν καὶ πᾶς φθόγγος φωνή τίς ἐστιν , ἅπασα δὲ φωνὴ ψόφος , ψόφος δὲ πλῆξις ἀέρος κεκωλυμένου θρύπτεσθαι , φανερὸν ὡς ἠρεμίας μὲν οὔσης περὶ τὸν ἀέρα οὐκ ἂν γένοιτο οὔτε ψόφος οὔτε φωνή , διὸ οὐδὲ φθόγγος , πλήξεως δὲ καὶ κινήσεως γενομένης περὶ τὸν ἀέρα , ταχείας μὲν ὀξὺς ἀποτελεῖται ὁ φθόγγος , βραδείας δὲ βαρύς , καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος , ἠρέμου δὲ μικρός . τὰ δὲ τάχη τῶν κινήσεων καὶ αἱ σφοδρότητες ἢ ἐν λόγοις τισὶν ἀποτελοῦνται ἢ καὶ ἀλόγως πρὸς ἄλληλα . ὑπὸ μὲν οὖν τῶν ἀλόγων ἄλογοι καὶ ἐκμελεῖς γίνονται ψόφοι , οὓς οὐδὲ φθόγγους χρὴ καλεῖν κυρίως , ἤχους δὲ μόνον , ὑπὸ δὲ τῶν ἐν λόγοις τισὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασίοις ἢ ἐπιμορίοις ἢ ἁπλῶς ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐμμελεῖς καὶ κυρίως καὶ ἰδίως φθόγγοι · ὧν οἱ μὲν ἄλλοι μόνον ἡρμοσμένοι , οἱ δὲ κατὰ τοὺς πρώτους καὶ γνωριμωτάτους καὶ κυριωτάτους λό - γους πολλαπλασίους τε καὶ ἐπιμορίους ἤδη καὶ σύμφωνοι .
Lemmas: φημί δέ καί ὁ Πυθαγορικός περί αὐτός οὕτως τεχνολογέω · ἐπεί μέλος μέν πᾶς καί πᾶς φθόγγος φωνή τις εἰμί , ἅπας δέ φωνή ψόφος , ψόφος δέ πλῆξις ἀήρ κωλύω θρύπτω , φανερός ὡς ἠρεμία μέν εἰμί περί ὁ ἀήρ οὐ ἄν γίγνομαι οὔτε ψόφος οὔτε φωνή , διό οὐδέ φθόγγος , πλῆξις δέ καί κίνησις γίγνομαι περί ὁ ἀήρ , ταχύς μέν ὀξύς ἀποτελέω ὁ φθόγγος , βραδύς δέ βαρύς , καί σφοδρός μέν μέγας ἦχος , ἤρεμος δέ μικρός . ὁ δέ τάχος ὁ κίνησις καί ὁ σφοδρότης ἤ ἐν λόγος τις ἀποτελέω ἤ καί ἄλογος πρός ἀλλήλων . ὑπό μέν οὖν ὁ ἄλογος ἄλογος καί ἐκμελής γίγνομαι ψόφος , ὅς οὐδέ φθόγγος χρή καλέω κύριος , ἦχος δέ μόνος , ὑπό δέ ὁ ἐν λόγος τις πρός ἀλλήλων πολλαπλάσιος ἤ ἐπιμόριος ἤ ἁπλῶς ἀριθμός πρός ἀριθμός ἐμμελής καί κύριος καί ἴδιος φθόγγος · ὅς ὁ μέν ἄλλος μόνος ἁρμόζω , ὁ δέ κατά ὁ πρῶτος καί γνώριμος καί κύριος λό - πέλαγος πολλαπλάσιος τε καί ἐπιμόριος ἤδη καί σύμφωνος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 54
συμφωνοῦσι δὲ φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους , ὧν θατέ - ρου κρουσθέντος ἐπί τινος ὀργάνου τῶν ἐντατῶν καὶ ὁ λοιπὸς κατά τινα οἰκειότητα καὶ συμπάθειαν συνηχεῖ · κατὰ ταὐτὸ δὲ ἀμφοῖν ἅμα κρουσθέντων ἡδεῖα καὶ προσηνὴς ἐκ τῆς κράσεως ἐξακούεται φωνή . τῶν δὲ κατὰ τὸ ἑξῆς ἡρμοσμένων φθόγγων πρῶτοι μὲν οἱ τέταρτοι τάξει συμφωνοῦσι πρὸς ἀλλήλους , συμφωνοῦσι δὲ συμφωνίαν τὴν διʼ αὐτὸ τοῦτο διὰ τεσσάρων λεγο - μένην , ἔπειτα οἱ πέμπτοι τὴν διὰ πέντε , καὶ μετὰ ταῦτα οἱ περιλαμβάνοντες ἀμφοτέρας τὰς συμφωνίας , γινόμενοι δʼ ἀπʼ ἀλλήλων ὄγδοοι , τὴν διὰ πασῶν , οὕτω προσαγορευθεῖσαν ἐπειδὴ τὸ πρῶτον ἀπὸ τῆς ὀκταχόρδου λύρας ὁ πρῶτος καὶ βαρύτατος φθόγγος , καλούμενος ὑπάτη , τῷ τελευταίῳ καὶ ὀξυτάτῳ , τουτέστι τῇ νήτῃ , τὴν αὐτὴν εὑρέθη συνέχων συμφωνίαν κατʼ ἀντίφωνον . ἐπηυξημένης δὲ τῆς μουσικῆς καὶ πολυχόρ - δων καὶ πολυφθόγγων γεγονότων ὀργάνων τῷ προσ - ληφθῆναι καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἐπὶ τὸ ὀξ τοῖς προϋπ - άρχουσιν ὀκτὼ φθόγγοις ἄλλους πλείονας , ὅμως τῶν πρώτων συμφωνιῶν αἱ προσηγορίαι φυλάττονται , διὰ τεσσάρων , διὰ πέντε , διὰ πασῶν .
Lemmas: συμφωνέω δέ φθόγγος πρός ἀλλήλων , ὅς θάω - ρύ κρούω ἐπί τις ὄργανον ὁ ἐντατός καί ὁ λοιπός κατά τις οἰκειότης καί συμπάθεια συνηχέω · κατά αὐτός δέ ἄμφω ἅμα κρούω ἡδύς καί προσηνής ἐκ ὁ κρᾶσις ἐξακούω φωνή . ὁ δέ κατά ὁ ἑξῆς ἁρμόζω φθόγγος πρῶτος μέν ὁ τέταρτος τάξις συμφωνέω πρός ἀλλήλων , συμφωνέω δέ συμφωνία ὁ διά αὐτός οὗτος διά τέσσαρες λεγο - μένω , ἔπειτα ὁ πέμπτος ὁ διά πέντε , καί μετά οὗτος ὁ περιλαμβάνω ἀμφότερος ὁ συμφωνία , γίγνομαι δέ ἀπό ἀλλήλων ὄγδοος , ὁ διά πᾶς , οὕτως προσαγορεύω ἐπειδή ὁ πρῶτος ἀπό ὁ ὀκτάχορδος λύρα ὁ πρῶτος καί βαρύς φθόγγος , καλέω ὑπάτη , ὁ τελευταῖος καί ὀξύς , τουτέστι ὁ νήτη , ὁ αὐτός εὑρίσκω συνέχω συμφωνία κατά ἀντίφωνος . ἐπαυξάνω δέ ὁ μουσική καί πολυχόρ - δήω καί πολύφθογγος γίγνομαι ὄργανον ὁ προς - λαμβάνω καί ἐπί ὁ βαρύς καί ἐπί ὁ ὀξός ὁ προϋπ - ἄρχω ὀκτώ φθόγγος ἄλλος πολύς , ὅμως ὁ πρῶτος συμφωνία ὁ προσηγορία φυλάσσω , διά τέσσαρες , διά πέντε , διά πᾶς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 55
προσανηύρηνται δὲ ταύταις ἕτεραι πλείους . τῇ γὰρ διὰ πασῶν πάσης ἄλλης προστιθεμένης , καὶ ἐλάττονος καὶ μείζονος καὶ ἴσης , ἐξ ἀμφοῖν ἑτέρα γίνεται συμ - φωνία , οἷον ἥ τε διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων , καὶ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε , καὶ δὶς διὰ πασῶν , ἔτι δὲ πάλιν τῇ διὰ πασῶν εἰ προστεθείη τούτων τις , οἷον ἡ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων , καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως μέχρι τοῦ δύνασθαι φθέγγεσθαι ἢ κρίνειν ἀκούοντας . τόπος γάρ τις καλεῖται τῆς φωνῆς ὃν διεξέρχεται ἀπὸ βαρυτάτου τινὸς ἀρξαμένη φθόγγου καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς ἐπὶ τὸ ὀξὺ προϊοῦσα , ἢ ἀνάπαλιν . τούτων δὲ οἱ μὲν ἐπὶ πλεῖον , οἱ δὲ ἐπʼ ἔλαττον διιστᾶσιν . τὸ μέντοι ἑξῆς καὶ ἐμμελῶς ἐν τούτῳ προκόπτειν οὔτε ὡς ἔτυχε γίνεται οὔτε μὴν ἁπλῶς καὶ μοναχῶς , ἀλλὰ κατά τινας τρόπους ἀφωρισμένους , καθʼ οὓς αἱ τῶν λεγομένων γενῶν τῆς μελῳδίας θεωροῦνται διαφοραί . καθάπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ λόγου καὶ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς οὐ πᾶν γράμμα παντὶ συμπλεκόμενον συλλαβὴν ἢ λόγον ἀποτελεῖ , οὕτως οὐδὲ ἐν τῷ μέλει κατὰ τὴν ἡρμοσμένην φωνὴν οὐδʼ ἐν τῷ ταύτης τόπῳ πᾶς φθόγγος μετὰ παντὸς τιθέμενος ἐμμελὲς ποιεῖ διάστημα , ἀλλʼ ὥς φαμεν κατὰ τρόπους τινὰς ἀφωρισμένους .
Lemmas: προσανευρίσκω δέ οὗτος ἕτερος πολύς . ὁ γάρ διά πᾶς πᾶς ἄλλος προστίθημι , καί ἐλαχύς καί μέγας καί ἴσος , ἐκ ἄμφω ἕτερος γίγνομαι σναυ - φωνίον , οἷος ὁ τε διά πᾶς καί διά τέσσαρες , καί διά πᾶς καί διά πέντε , καί δίς διά πᾶς , ἔτι δέ πάλιν ὁ διά πᾶς εἰ προστίθημι οὗτος τις , οἷος ὁ δίς διά πᾶς καί διά τέσσαρες , καί ἐπί ὁ ἄλλος ὅμοιος μέχρι ὁ δύναμαι φθέγγομαι ἤ κρίνω ἀκούω . τόπος γάρ τις καλέω ὁ φωνή ὅς διεξέρχομαι ἀπό βαρύς τις ἄρχω φθόγγος καί κατά ὁ ἑξῆς ἐπί ὁ ὀξύς προέρχομαι , ἤ ἀνάπαλιν . οὗτος δέ ὁ μέν ἐπί πολύς , ὁ δέ ἐπί ἐλαχύς διΐστημι . ὁ μέντοι ἑξῆς καί ἐμμελής ἐν οὗτος προκόπτω οὔτε ὡς τυγχάνω γίγνομαι οὔτε μήν ἁπλῶς καί μοναχῶς , ἀλλά κατά τις τρόπος ἀφορίζω , κατά ὅς ὁ ὁ λέγω γένος ὁ μελῳδία θεωρέω διαφορά . καθά γάρ ἐπί ὁ λόγος καί ὁ ἐγγράμματος φωνή οὐ πᾶς γράμμα πᾶς συμπλέκω συλλαβή ἤ λόγος ἀποτελέω , οὕτως οὐδέ ἐν ὁ μέλος κατά ὁ ἁρμόζω φωνή οὐδέ ἐν ὁ οὗτος τόπος πᾶς φθόγγος μετά πᾶς τίθημι ἐμμελής ποιέω διάστημα , ἀλλά ὡς φημί κατά τρόπος τις ἀφορίζω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 56
τοῦ δὲ λεγομένου τόπου τῆς φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ ἐν τούτῳ διαστήματος γνωριμώτατον μέρος τε καὶ μέτρον ἐστὶ τὸ καλούμενον τονιαῖον διάστημα , καθάπερ ὁ πῆχυς τοῦ κυρίως τοπικοῦ διαστήματος ὃ φερόμενα τὰ σώματα διέξεισιν . ἔστι δὲ γνωριμώτατον τὸ τονιαῖον διάστημα , ἐπειδὴ τῶν πρώτων καὶ γνωριμωτάτων συμφωνιῶν ἐστι διαφορά · τὸ γὰρ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ . τὸ μέντοι ἡμιτόνιον οὐχ ὡς ἥμισυ τόνου λέγεται , ὥσπερ Ἀριστόξενος ἡγεῖται , καθὸ καὶ τὸ ἡμιπήχιον ἥμισυ πήχεως , ἀλλʼ ὡς ἔλαττον τοῦ τόνου μελῳδητὸν διάστημα · καθὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν , ἀλλʼ ὡς μὴ αὐτοτελῆ καθʼ αὑτὸ φωνήν . δείκνυται γὰρ ὁ τόνος μηδʼ ὅλως εἰς δύο ἴσα διαιρεῖσθαι δυνάμενος , ἐν λόγῳ θεωρούμενος ἐπογδόῳ , καθάπερ οὐδʼ ἄλλο τι ἐπιμόριον διάστημα . τὰ γὰρ θ΄ οὐχ οἷόν τε διαιρεθῆναι εἰς ἴσα .
Lemmas: ὁ δέ λέγω τόπος ὁ φωνή καί πᾶς ὁ ἐν οὗτος διάστημα γνώριμος μέρος τε καί μέτρον εἰμί ὁ καλέω τονιαῖος διάστημα , καθά ὁ πῆχυς ὁ κύριος τοπικός διάστημα ὅς φέρω ὁ σῶμα διεξέρχομαι . εἰμί δέ γνώριμος ὁ τονιαῖος διάστημα , ἐπειδή ὁ πρῶτος καί γνώριμος συμφωνία εἰμί διαφορά · ὁ γάρ διά πέντε ὁ διά τέσσαρες ὑπερέχω τόνος . ὁ μέντοι ἡμιτόνιον οὐ ὡς ἥμισυς τόνος λέγω , ὥσπερ Ἀριστόξενος ἡγέομαι , καθό καί ὁ ἡμιπήχιον ἥμισυς πῆχυς , ἀλλά ὡς ἐλαχύς ὁ τόνος μελῳδητός διάστημα · καθά καί ὁ ἡμίφωνος γράμμα οὐ ὡς ἥμισυς φωνή καλέω , ἀλλά ὡς μή αὐτοτελής κατά ἑαυτοῦ φωνή . δείκνυμι γάρ ὁ τόνος μηδέ ὅλος εἰς δύο ἴσος διαιρέω δύναμαι , ἐν λόγος θεωρέω ἐπόγδοος , καθά οὐδέ ἄλλος τις ἐπιμόριος διάστημα . ὁ γάρ θʹ οὐ οἷος τε διαιρέω εἰς ἴσος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 57
ὅταν μὲν οὖν ἡ φωνὴ μελῳδοῦσα ἐν τῷ λεγομένῳ τόπῳ αὐτῆς ἀπό τινος βαρυτέρου φθόγγου ἐπὶ τὸν ἑξῆς ὀξύτερον μεταβῇ τὸ λεγόμενον ἡμιτονιαῖον διάστημα ποιησαμένη κἄπειτʼ ἀπʼ αὐτοῦτόνον διαστήσασα πρῶτον ἐπʼ ἄλλον παραγένηται φθόγγον , βουλομένη κατὰ τὸ ἑξῆς προκόπτειν ἐμμελῶς , οὐδὲν ἕτερον εἶναι δύναται διάστημα ὃὐδὲ προενέγκασθαι φθόγγον ἕτερον ἐμμελῆ καὶ ἡρμοσμένον , ἢ διάστημα μὲν τονιαῖον , φθόγγον δὲ τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦτο ὁρίζοντα καὶ συμφωνοῦντα τῷ ἐξ ἀρχῆς τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν . καλεῖται δὲ τὸ οὕτω μελῳδηθὲν σύστημα τετράχορδον , συνεστηκὸς ἐκ διαστημάτων μὲν τριῶν , ἡμιτονίου καὶ τόνου καὶ τόνου , φθόγγων δὲ τεσσάρων , ὧν οἱ περιέχοντες , τουτέστιν ὅ τε βαρύτατος καὶ ὀξύτατος , συμφωνοῦσιν εὐθὺς ἣν διὰ τεσσάρων ἔφαμεν λέγεσθαι συμφωνίαν δύο τόνων οὖσαν καὶ ἡμιτονίου . καλεῖται δὲ τὸ τοιοῦτον γένος τῆς μελῳδίας διάτονον , ἤτοι ὅτι διὰ τῶν τόνων τὸ πλεῖστον διοδεύει ἢ ὅτι σεμνόν τι καὶ ἐρρωμένον καὶ εὔτονον ἦθος ἐπιφαίνει .
Lemmas: ὅταν μέν οὖν ὁ φωνή μελῳδέω ἐν ὁ λέγω τόπος αὐτός ἀπό τις βαρύς φθόγγος ἐπί ὁ ἑξῆς ὀξύς μεταβαίνω ὁ λέγω ἡμιτονιαῖος διάστημα ποιέω ἔπειτα ἀπό αυτουτονος διίστημι πρῶτος ἐπί ἄλλος παραγίγνομαι φθόγγος , βούλομαι κατά ὁ ἑξῆς προκόπτω ἐμμελής , οὐδείς ἕτερος εἰμί δύναμαι διάστημα οὐδέ προφέρω φθόγγος ἕτερος ἐμμελής καί ἁρμόζω , ἤ διάστημα μέν τονιαῖος , φθόγγος δέ ὁ ἐπί ὁ ὀξύς οὗτος ὁρίζω καί συμφωνέω ὁ ἐκ ἀρχή ὁ διά τέσσαρες συμφωνία . καλέω δέ ὁ οὕτως μελῳδέω σύστημα τετράχορδος , συνίστημι ἐκ διάστημα μέν τρεῖς , ἡμιτόνιον καί τόνος καί τόνος , φθόγγος δέ τέσσαρες , ὅς ὁ περιέχω , τουτέστι ὁ τε βαρύς καί ὀξύς , συμφωνέω εὐθύς ὅς διά τέσσαρες φημί λέγω συμφωνία δύο τόνος εἰμί καί ἡμιτόνιον . καλέω δέ ὁ τοιοῦτος γένος ὁ μελῳδία διάτονος , ἤτοι ὅτι διά ὁ τόνος ὁ πολύς διοδεύω ἤ ὅτι σεμνός τις καί ἐρρωμένος καί εὔτονος ἦθος ἐπιφαίνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 58
ἐὰν μέντοι ἡ φωνὴ , τὸν ἐξ ἀρχῆς πρῶτον ὁρίσασα φθόγγον καὶ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ ὀξὺ μεταβᾶσα , ἐπὶ τὸν αὐτὸν ἔλθῃ δεύτερον φθόγγον , εἶτα πάλιν ἀπὸ τοῦδε ἡμιτόνιον διαστήσασα τρίτον ὁρίσῃ φθόγγον ἄλλον , ἀπὸ τούτου κατὰ συνέχειαν πειρωμένη προκόπτειν ἐμμε - λῶς οὔτε διάστημα δύναται ποιήσασθαι ἄλλο πλὴν τὸ λειπόμενον τοῦ πρώτου γενομένου τετραχόρδου , τὸ τριημιτονιαῖον ἀσύνθετον , οὔτε φθόγγον ἕτερον ὁρίσαι ἢ τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ περιέχοντα τὸ πρῶτον τετράχορδον , συμφωνοῦντα τῷ βαρυτάτῳ κατὰ τὸ διὰ τεσσάρων · ὥστε γίνεσθαι τὴν τοιαύτην μελῳδίαν κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ τριημιτόνιον ἀσύνθετον . καλεῖται δὲ πάλιν τὸ γένος τῆς τοιαύτης μελῳδίας χρωματικὸν διὰ τὸ παρατετράφθαι καὶ ἐξηλλάχθαι τοῦ πρόσθεν γοερώ - τερόν τε καὶ παθητικώτερον ἦθος ἐμφαίνειν .
Lemmas: ἐάν μέντοι ὁ φωνή , ὁ ἐκ ἀρχή πρῶτος ὁρίζω φθόγγος καί ἡμιτόνιον ἐπί ὁ ὀξύς μεταβαίνω , ἐπί ὁ αὐτός ἔρχομαι δεύτερος φθόγγος , εἶτα πάλιν ἀπό ὅδε ἡμιτόνιον διίστημι τρίτος ὁρίζω φθόγγος ἄλλος , ἀπό οὗτος κατά συνέχεια πειράω προκόπτω ἐμέω - λόω οὔτε διάστημα δύναμαι ποιέω ἄλλος πλήν ὁ λείπω ὁ πρῶτος γίγνομαι τετράχορδος , ὁ τριημιτονιαῖος ἀσύνθετος , οὔτε φθόγγος ἕτερος ὁρίζω ἤ ὁ ἐπί ὁ ὀξύς περιέχω ὁ πρῶτος τετράχορδος , συμφωνέω ὁ βαρύς κατά ὁ διά τέσσαρες · ὥστε γίγνομαι ὁ τοιοῦτος μελῳδία κατά ἡμιτόνιον καί ἡμιτόνιον καί τριημιτόνιον ἀσύνθετος . καλέω δέ πάλιν ὁ γένος ὁ τοιοῦτος μελῳδία χρωματικός διά ὁ παρατρέπω καί ἐξαλλάσσω ὁ πρόσθεν γοερός - τέρος τε καί παθητικός ἦθος ἐμφαίνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 59
λέγεται δέ τι καὶ τρίτον γένος μελῳδίας ἐναρμόνιον , ἐπειδὰν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου φθόγγου κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον ἡ φωνὴ προελθοῦσα μελῳδήσῃ τὸ τετράχορδον . δίεσιν δὲ καλοῦσιν ἐλαχίστην οἱ περὶ Ἀριστόξενον τὸ τεταρτημόριον τοῦ τόνου , ἥμισυ δὲ ἡμιτονίου , ὡς ἐλάχιστον μελῳδητὸν διάστημα , τῶν Πυθαγορείων διέσιν καλούντων τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον . καλεῖσθαι δέ φησιν Ἀριστόξενος τοῦτο τὸ προειρημένον γένος ἁρμονίαν διὰ τὸ εἶναι ἄριστον , ἀπενεγκάμενον τοῦ παντὸς ἡρμοσμένου τὴν προσ - ηγορίαν . ἔστι δὲ δυσμελῳδητότατον καί , ὡς ἐκεῖνός φησι , φιλότεχνον καὶ πολλῆς δεόμενον συνηθείας , ὅθεν οὐδʼ εἰς χρῆσιν ῥᾳδίως ἔρχεται , τὸ δὲ διάτονον γένος ἀπλοῦν τι καὶ γενναῖον καὶ μᾶλλον κατὰ φύσιν · διὸ μᾶλλον τοῦτο παραλαμβάνει Πλάτων .
Lemmas: λέγω δέ τις καί τρίτος γένος μελῳδία ἐναρμόνιος , ἐπειδάν ἀπό ὁ βαρύς φθόγγος κατά δίεσις καί δίεσις καί δίτονος ὁ φωνή προέρχομαι μελῳδέω ὁ τετράχορδος . δίεσις δέ καλέω ἐλαχύς ὁ περί Ἀριστόξενος ὁ τεταρτημόριος ὁ τόνος , ἥμισυς δέ ἡμιτόνιον , ὡς ἐλαχύς μελῳδητός διάστημα , ὁ Πυθαγόρειος δίεσις καλέω ὁ νῦν λέγω ἡμιτόνιον . καλέω δέ φημί Ἀριστόξενος οὗτος ὁ προλέγω γένος ἁρμονία διά ὁ εἰμί ἄριστον , ἀποφέρω ὁ πᾶς ἁρμόζω ὁ προς - ἀγορία . εἰμί δέ δυσμελῴδητος καί , ὡς ἐκεῖνος φημί , φιλότεχνος καί πολύς δέω συνήθεια , ὅθεν οὐδέ εἰς χρῆσις ῥᾴδιος ἔρχομαι , ὁ δέ διάτονος γένος ἁπλόος τις καί γενναῖος καί μάλα κατά φύσις · διό μάλα οὗτος παραλαμβάνω Πλάτων .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 60
ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονον ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονον ἡμιτόνιον ἡμιτόνιον τριημιτόνιον χρωματικόν δίεσις δίεσις δίτονον ἁρμονικόν
Lemmas: ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονος ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονος ἡμιτόνιον ἡμιτόνιον τριημιτόνιον χρωματικός δίεσις δίεσις δίτονος ἁρμονικός
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 61
τοὺς δὲ συμφωνοῦντας φθόγγους ἐν λόγοις τοῖς πρὸς ἀλλήλους πρῶτος ἀνευρηκέναι δοκεῖ Πυθαγόρας , τοὺς μὲν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ , τοὺς δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ , τοὺς δὲ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ , καὶ τοὺς μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων ἐν λόγῳ τῶν η΄ πρὸς γ΄ ὅς ἐστι πολλαπλασιεπιμερής , διπλάσιος γὰρ καὶ δισ - επίτριτός ἐστι , τοὺς δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίῳ , τοὺς δὲ δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ , καὶ τῶν ἄλλων ἡρμοσμένων τοὺς μὲν τὸν τόνον περι - έχοντας ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ , τοὺς δὲ τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον , τότε δὲ δίεσιν , ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ πρὸς ἀριθ - μὸν τῷ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄ , ἐξετάσας τοὺς λόγους διά τε τοῦ μήκους καὶ πάχους τῶν χορδῶν , ἔτι δὲ τῆς τάσεως γινομένης κατὰ τὴν στροφὴν τῶν κολλάβων ἢ γνωριμώτερον κατα τὴν ἐξάρτησιν τῶν βαρῶν , ἐπὶ δὲ τῶν ἐμπνευστῶν καὶ διὰ τῆς εὐρύτητος τῶν κοιλιῶν ἢ διὰ τῆς ἐπιτάσεως καὶ ἀνέσεως τοῦ πνεύματος , ἢ δι᾿ ὄγκων καὶ σταθμῶν οἷον δίσκων ἢ ἀγγείων . ὅ τι γὰρ ἂν ληφθῇ τούτων κατά τινα τῶν εἰρημένων λόγων , τῶν ἄλλων 〈 ἴσων 〉 ὄντων , τὴν κατὰ τὸν λόγον ἀπεργάσεται συμφωνίαν .
Lemmas: ὁ δέ συμφωνέω φθόγγος ἐν λόγος ὁ πρός ἀλλήλων πρῶτος ἀνευρίσκω δοκέω Πυθαγόρας , ὁ μέν διά τέσσαρες ἐν ἐπίτριτος , ὁ δέ διά πέντε ἐν ἡμιόλιος , ὁ δέ διά πᾶς ἐν διπλάσιος , καί ὁ μέν διά πᾶς καί διά τέσσαρες ἐν λόγος ὁ ηʹ πρός γʹ ὅς εἰμί πολλαπλασιεπιμερής , διπλάσιος γάρ καί δις - ἐπίτριτος εἰμί , ὁ δέ διά πᾶς καί διά πέντε ἐν λόγος τριπλάσιος , ὁ δέ δίς διά πᾶς ἐν τετραπλάσιος , καί ὁ ἄλλος ἁρμόζω ὁ μέν ὁ τόνος περί - ἔχω ἐν ἐπόγδοος λόγος , ὁ δέ ὁ νῦν λέγω ἡμιτόνιον , τότε δέ δίεσις , ἐν ἀριθμός λόγος πρός ὁριθς - πορθμός ὁ ὁ σνϛʹ πρός σμγʹ , ἐξετάζω ὁ λόγος διά τε ὁ μῆκος καί πάχος ὁ χορδή , ἔτι δέ ὁ τάσις γίγνομαι κατά ὁ στροφή ὁ κόλλαβος ἤ γνώριμος κατά ὁ ἐξάρτησις ὁ βαρύς , ἐπί δέ ὁ ἐμπνευστός καί διά ὁ εὐρύτης ὁ κοιλία ἤ διά ὁ ἐπίτασις καί ἄνεσις ὁ πνεῦμα , ἤ διά ὄγκος καί σταθμός οἷος δίσκος ἤ ἀγγεῖον . ὅς τις γάρ ἄν λαμβάνω οὗτος κατά τις ὁ λέγω λόγος , ὁ ἄλλος 〈 ἴσος 〉 εἰμί , ὁ κατά ὁ λόγος ἀπεργάζομαι συμφωνία .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 62
η΄ δ΄ γ΄ Ϛ΄ γ΄ β΄ διὰ πασῶν διά δ΄ διὰ πασῶν διά ε΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ η΄ δ΄ β΄ διὰ πασῶν διὰ πασῶν δὶρ διὰ πασῶν
Lemmas: Η΄ Δ΄ Γ΄ ΣΤ΄ Γ΄ Β΄ διά πᾶς διά Δ΄ διά πᾶς διά Ε΄ διά πᾶς καί διά Δ΄ διά πᾶς καί διά Ε΄ Η΄ Δ΄ Β΄ διά πᾶς διά πᾶς δίς διά πᾶς
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 63
ἀρκείτω δʼ ἡμῖν ἐν τῷ παρόντι διὰ τοῦ μήκους τῶν χορδῶν δηλῶσαι ἐπὶ τοῦ λεγομένου κανόνος . τῆς γὰρ ἐν τούτῳ μιᾶς χορδῆς καταμετρηθείσης εἰς τέσσαρα ἴσα ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος τῷ μὲν ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν ἐν λόγῳ γενόμενος ἐπιτρίτῳ συμφωνήσει διὰ τεσσάρων , τῷ δὲ ἀπὸ τῶν δύο , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς β΄ γ΄ Ϛ΄ η΄ διὰ ε΄ διὰ πασῶν διὰ δ΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄ δὶς διὰ πασῶν ἡμισείας , ἐν λόγῳ γενόμενος διπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν , τῷ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ συμφωνήσει δὶς διὰ πασῶν . ὁ δὲ ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν φθόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν δύο γενόμενος ἐν ἡμιολίῳ συμφωνήσει διὰ πέντε , πρὸς δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τρι - πλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε . ἐὰν δὲ εἰς ἐννέα διαμετρηθῇ ἡ χορδή , ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος προς τὸν ἀπὸ τῶν ὀκτὼ μερῶν ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ τὸ τονιαῖον περιέξει διάστημα .
Lemmas: ἀρκέω δέ ἐγώ ἐν ὁ πάρειμι διά ὁ μῆκος ὁ χορδή δηλόω ἐπί ὁ λέγω κανών . ὁ γάρ ἐν οὗτος εἷς χορδή καταμετρέω εἰς τέσσαρες ἴσος ὁ ἀπό ὁ ὅλος φθόγγος ὁ μέν ἀπό ὁ τρεῖς μέρος ἐν λόγος γίγνομαι ἐπίτριτος συμφωνέω διά τέσσαρες , ὁ δέ ἀπό ὁ δύο , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ Β΄ Γ΄ ΣΤ΄ Η΄ διά Ε΄ διά πᾶς διά Δ΄ διά πᾶς καί διά Ε΄ διά πᾶς καί διά Δ΄ δίς διά πᾶς ἥμισυς , ἐν λόγος γίγνομαι διπλάσιος συμφωνέω διά πᾶς , ὁ δέ ἀπό ὁ τέταρτος μέρος γίγνομαι ἐν λόγος τετραπλάσιος συμφωνέω δίς διά πᾶς . ὁ δέ ἀπό ὁ τρεῖς μέρος φθόγγος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο γίγνομαι ἐν ἡμιόλιος συμφωνέω διά πέντε , πρός δέ ὁ ἀπό ὁ τέταρτος μέρος γίγνομαι ἐν λόγος τρι - πλασίον συμφωνέω διά πᾶς καί διά πέντε . ἐάν δέ εἰς ἐννέα διαμετρέω ὁ χορδή , ὁ ἀπό ὁ ὅλος φθόγγος πρός ὁ ἀπό ὁ ὀκτώ μέρος ἐν λόγος ἐπόγδοος ὁ τονιαῖος περιέχω διάστημα .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 64
πάσας δὲ τὰς συμφωνίας περιέχει ἡ τετρακτύς . συνέστησε μὲν γὰρ αὐτὴν α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ . ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμ - φωνία καὶ ἡ διὰ πέντε καὶ ἡ διὰ πασῶν , καὶ ὁ ἐπίτρι - τος λόγος καὶ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος .
Lemmas: πᾶς δέ ὁ συμφωνία περιέχω ὁ τετρακτύς . συνίστημι μέν γάρ αὐτός αʹ καί βʹ καί γʹ καί δʹ . ἐν δέ οὗτος ὁ ἀριθμός εἰμί ὁ τε διά τέσσαρες σναυ - φωνίον καί ὁ διά πέντε καί ὁ διά πᾶς , καί ὁ ἐπίτρι - ὅς λόγος καί ἡμιόλιος καί διπλάσιος καί τριπλάσιος καί τετραπλάσιος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 66
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . φθόγγον δὲ εἶναι φωνῆς πτῶσιν ἐπὶ μίαν τάσιν . ὅμοιον γάρ φασιν αὐτὸν αὑτῷ δεῖν εἶναι τὸν φθόγγον καὶ ἐλάχιστον κατὰ διαφοράν , οὐκ ἐκ διαφόρων τάσεων οἷον βαρύτητος καὶ ὀξύτητος . τῶν δὲ φωνῶν αἱ μὲν ὀξεῖαι , αἱ δὲ βαρεῖαι , διὸ καὶ τῶν φθόγγων , 〈 ὧν 〉 ὁ μὲν ὀξὺς ταχύς ἐστιν , ὁ δὲ βαρὺς βραδύς . εἰ γοῦν εἰς δύο ἰσοπαχεῖς καὶ ἰσοκοίλους 〈 αὐλοὺς 〉 τετρημένους εἰς σύριγγος τρόπον , ὧν τοῦ ἑτέρου διπλάσιόν ἐστι τὸ μῆκος τοῦ ἑτέρου , ἐμφυσήσαι τις , ἀνακλᾶται τὸ πνεῦμα τὸ ἐκ τοῦ ἡμίσεος μήκους διπλασίῳ τάχει χρώμενον , καὶ 〈 γίνεται 〉 συμφωνία ἡ διὰ πασῶν βαρέος μὲν φθόγγου τοῦ διὰ τοῦ μείζονος , ὀξέος δὲ τοῦ διὰ τοῦ ἐλάττονος . αἴτιον δὲ τάχος τε καὶ βραδυτὴς τῆς φορᾶς . καὶ κατὰ τὰ ἀποστήματα δὲ τῶν ἐν τοῖς αὐλοῖς τρη - μάτων τὰς συμφωνίας ἀπεδίδοσαν καὶ ἐπὶ ἑνός . διχῆ μὲν γὰρ διῃρημένου καὶ τοῦ αὐλοῦ ὅλου ἐμφυσηθέντος ἐκ τοῦ κατὰ τὸ ἢμισυ τρήματος τὸ διὰ πασῶν σύμφωνον ἀποτελεῖται . τριχὴ δὲ διαιρεθέντος καὶ τῶν μὲν δυεῖν μερῶν ὄντων πρὸς τῇ γλωσσίδι , κάτω δὲ τοῦ ἑνός , καὶ τοῦ ὅλου συμφυσηθέντος τοῖς δυσί , τὴν διὰ πέντε γε - νέσθαι συμφωνίαν . τεσσάρων δὲ διαιρέσεων γενο - μένων , τριῶν μὲν ἄνω , κάτω δὲ μιᾶς , καὶ τῷ ὅλῳ συμ - φυσηθέντων τῶν τριῶν γίνεται ἡ διὰ τεσσάρων . οἱ δὲ περὶ Κὔδοξον καὶ Ἀρχύταν τὸν λόγον τῶν συμφωνιῶν ἐν ἀριθμοῖς ῷοντο εἶναι , ὁμολογοῦντες καὶ αὐτοὶ ἐν κινήσεσιν εἶναι τοὺς λόγους καὶ τὴν μὲν ταχεῖαν κίνη - σιν ὄξεῖαν εἶναι ἅτε πλήττουσαν συνεχὲς καὶ ὠκύτερον κεντοῦσαν τὸν ἀέρα , τὴν δὲ βραδεῖαν βαρεῖαν ἅτε νω - θεστέραν οὖσαν .
Lemmas: . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . φθόγγος δέ εἰμί φωνή πτῶσις ἐπί εἷς τάσις . ὅμοιος γάρ φημί αὐτός ἑαυτοῦ δέω εἰμί ὁ φθόγγος καί ἐλαχύς κατά διαφορά , οὐ ἐκ διάφορος τάσις οἷος βαρύτης καί ὀξύτης . ὁ δέ φωνή ὁ μέν ὀξύς , ὁ δέ βαρύς , διό καί ὁ φθόγγος , 〈 ὅς 〉 ὁ μέν ὀξύς ταχύς εἰμί , ὁ δέ βαρύς βραδύς . εἰ γοῦν εἰς δύο ἰσοπαχής καί ἰσόκοιλος 〈 αὐλός 〉 τετραίνω εἰς σῦριγξ τρόπος , ὅς ὁ ἕτερος διπλάσιος εἰμί ὁ μῆκος ὁ ἕτερος , ἐμφυσάω τις , ἀνακλάω ὁ πνεῦμα ὁ ἐκ ὁ ἥμισυς μῆκος διπλάσιος τάχος χράω , καί 〈 γίγνομαι 〉 συμφωνία ὁ διά πᾶς βαρύς μέν φθόγγος ὁ διά ὁ μέγας , ὀξύς δέ ὁ διά ὁ ἐλαχύς . αἴτιος δέ τάχος τε καί βραδυτής ὁ φορά . καί κατά ὁ ἀπόστημα δέ ὁ ἐν ὁ αὐλός τρέω - ματάω ὁ συμφωνία ἀποδίδωμι καί ἐπί εἷς . διχῆ μέν γάρ διαλέγω καί ὁ αὐλός ὅλος ἐμφυσάω ἐκ ὁ κατά ὁ ἥμισυς τρῆμα ὁ διά πᾶς σύμφωνος ἀποτελέω . τριχῆ δέ διαιρέω καί ὁ μέν δύο μέρος εἰμί πρός ὁ γλωττίς , κάτω δέ ὁ εἷς , καί ὁ ὅλος συμφυσάω ὁ δύο , ὁ διά πέντε γε - νω συμφωνία . τέσσαρες δέ διαίρεσις γενο - μένω , τρεῖς μέν ἄνω , κάτω δέ εἷς , καί ὁ ὅλος σναυ - φυσάω ὁ τρεῖς γίγνομαι ὁ διά τέσσαρες . ὁ δέ περί κυδοκεω καί Ἀρχύτας ὁ λόγος ὁ συμφωνία ἐν ἀριθμός οἴομαι εἰμί , ὁμολογέω καί αὐτός ἐν κίνησις εἰμί ὁ λόγος καί ὁ μέν ταχύς Κίνη - βρόχος ὀξύς εἰμί ἅτε πλήσσω συνεχής καί ὠκύς κεντέω ὁ ἀήρ , ὁ δέ βραδύς βαρύς ἅτε ἐγώ - θεστέραν εἰμί .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 68
ὁ δὲ Πλάτων καὶ γένος διάτονον καὶ συστήματος μέγεθος ἐπὶ τὸ τετράκις διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε καὶ ἡ διὰ δʹ ἡ διά δʹ διὰ πασῶν διά δʹ ἡμιόλιος ἐπίτριτοϚ ἡ διὰ πασῶν διὰ πασῶν καὶ διὰ δʹ διπλάσιος διπλάσιος καὶ δισεπίτριτος διὰ παεῶν διά εʹ διὰ πασῶν διὰ πασῶν διὰ πασῶν καὶ διὰ εʹ θὲς διὰ πασῶν τριπλασιος τετραπλάσιος τόνον προαγήοχεν . εἰ δὲ λέγοι τις , φησὶν ὁ Ἄδραστος , ὡς οὐ δέον ἐπὶ τοσοῦτον ἐκτεῖναι , Ἀριστόξενος μὲν γὰρ ἐπὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων τὸ τοῦ καθʼ αὐτὸν πολυτρόπου διαγράμματος πεποίηται μέγεθος , οἱ δὲ νεώτεροι τὸ πεντεκαιδεκάχορδον τρόπον μέγιστον ἐπὶ τὸ τρὶς διὰ πασῶν καὶ τόνον διεστηκός , ῥητέον , φησίν , ὡς ἐκεῖνοι μὲν πρὸς τὴν ἡμετέραν χρὴσιν ὁρῶν - τες οὕτως ἐποίουν , ἡγούμενοι μὴ πλεῖόν τι τούτων δύνασθαι μήτε τοὺς ἀγωνιζομένους φθέγγεσθαι μήτε τοὺς ἀκούοντας εὐγνώστως κρίνειν , Πλάτων δὲ πρὸς τὴν φύσιν ὁρῶν , ἐπειδὴ τὴν υχὴν ἀνάγκη συνιστα - μένην καθʼ ἁρμονίαν μέχρι τῶν στερεῶν προάγειν ἀριθμῶν καὶ δυσὶ συναρμόζεσθαι μεσότησιν , ὅπως διὰ παντὸς ἐλθοῦσα τοῦ τελείου στερεοῦ κοσμικοῦ σώμα - τος πάντων ἀντιληπτικὴ γενήσεται τῶν ὄντων , καὶ τὴν ἁρμονίαν αὐτῆς μέχρι τούτου προαγήοχε , τρόπον τινὰ καὶ κατὰ τὴν αὐτῆς φύσιν ἐπʼ ἄπειρον δυναμένην προιέναι .
Lemmas: ὁ δέ Πλάτων καί γένος διάτονος καί σύστημα μέγεθος ἐπί ὁ τετράκις διά πᾶς καί διά πέντε καί ὁ διά δ# ὁ διά δ# διά πᾶς διά δ# ἡμιόλιος ἐπίτριτος ὁ διά πᾶς διά πᾶς καί διά δ# διπλάσιος διπλάσιος καί δισεπίτριτος διά παεῶν διά εʹ διά πᾶς διά πᾶς διά πᾶς καί διά εʹ τίθημι διά πᾶς τριπλάσιος τετραπλάσιος τόνος προάγω . εἰ δέ λέγω τις , φημί ὁ Ἄδραστος , ὡς οὐ δέω ἐπί τοσοῦτος ἐκτείνω , Ἀριστόξενος μέν γάρ ἐπί ὁ δίς διά πᾶς καί διά τέσσαρες ὁ ὁ κατά ἑαυτοῦ πολύτροπος διάγραμμα ποιέω μέγεθος , ὁ δέ νέος ὁ πεντεκαιδεκάχορδος τρόπος μέγας ἐπί ὁ τρίς διά πᾶς καί τόνος διίστημι , λέγω , φημί , ὡς ἐκεῖνος μέν πρός ὁ ἡμέτερος χρῆσις ὁράω - αἱρέω οὕτως ποιέω , ἡγέομαι μή πολύς τις οὗτος δύναμαι μήτε ὁ ἀγωνίζομαι φθέγγομαι μήτε ὁ ἀκούω εὔγνωστος κρίνω , Πλάτων δέ πρός ὁ φύσις ὁράω , ἐπειδή ὁ υχὴν ἀνάγκη συνίστημι - μένω κατά ἁρμονία μέχρι ὁ στερεός προάγω ἀριθμός καί δύο συναρμόζω μεσότης , ὅπως διά πᾶς ἔρχομαι ὁ τέλειος στερεός κοσμικός σώμα - ὅς πᾶς ἀντιληπτικός γίγνομαι ὁ εἰμί , καί ὁ ἁρμονία αὐτός μέχρι οὗτος προάγω , τρόπος τις καί κατά ὁ ἑαυτοῦ φύσις ἐπί ἄπειρος δύναμαι προέρχομαι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 69
φησὶ δʼ ὅτι καὶ τοὺς μείζονας ἀριθμοὺς τοῖς ροις φθόγγοις οἰκεῖον ἀποδιδόναι , κeἂν ἐπʼ ἐνίων δόξῃ τάσεων διαφωνεῖν , οἷον ἐπὶ τῆς τάσεως τὴς γινομένης διὰ τῆς ἐξαρτήσεως τῶν βαρῶν . δύο γὰρ ἴσων τό τε μῆκος καὶ πάχος χορδῶν καὶ τἄλλα ὁμοίων τὸ πλεῖον βάρος διὰ τὴν πλείω τάσιν τὸν ὀξύτερον ποιήσει φθόγγον . ἐπεὶ γὰρ τὸ πλεῖον βάρος πλείω τάσιν ποιεῖ , πλείονα τὴν ἔξωθεν προσδίδωσι δύναμιν τῷ κατʼ αὐτὸν ὀξυτέρῳ φθόγγῳ , ἐλάττονα διὰ τοῦτʼ ἔχοντι τὴν ἰδίαν ἰσχὺν τοῦ ἐξαρτήματος . δῆλον ὡς ἀντεστραμμένως ὁ βαρύτερος , τὴν οἰκείαν αὐτοῦ δύναμιν πλείω κεκτημένος τοῦ ἐξαρτήματος , ἐπαρκεῖ πρὸς τὸ σώζειν τὴν οἰκείαν ἁρμονίαν τε καὶ συμφωνίαν . ὥστε τὸν μείζω ἀριθμὸν τῇ πλείονι νεμητέον δυνάμει . ὁμολογεῖ δὲ τούτοις καὶ τὰ ἄλλα . πάλιν γὰρ τὰ μήκη καὶ τὰ πάχη δυσκινησίαν προσάπτοντα ταῖς χορδαῖς ἀσθένειαν παρασκευάζει , ὡς μὴ ῥᾳδίως κινεῖσθαι μηδὲ θᾶττον πλήττειν τε καὶ εἰδο - ποιεῖν πλείονα ὄντα τὸν πέριξ ἀέρα . δῆλον οὖν [ ὅτι ] ὡς οἱ βαρύτεροι φθόγγοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν κατὰτὸν πλείω κέκτηνται ἀριθμόν . ὅμοια δὲ ἔστιν εὑρεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐμπνευστῶν ὀργάνων . καὶ γὰρ τῶν ἐν τούτοις φθόγγων οἱ βαρύτεροι , διὰ τὸ μῆκος καὶ τὴν εὐρύτητα τῶν τρημάτων πλέον εἰδοποιοῦντες τὸν ἀέρα ἢ νὴ Δία τὴν ἄνεσιν τοῦ πνεύματος ὡς ἐπὶ σάλπιγγος ἢ τῆς ἀρτηρίας , ἀτονώτεροι καὶ ἀσθενέστεροι γινόμενοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν ἔχουσι φύσει πλείονα .
Lemmas: φημί δέ ὅτι καί ὁ μέγας ἀριθμός ὁ ῥόος φθόγγος οἰκεῖος ἀποδίδωμι , ὅς ἐπί ἔνιοι δοκέω τάσις διαφωνέω , οἷος ἐπί ὁ τάσις ὁ γίγνομαι διά ὁ ἐξάρτησις ὁ βαρύς . δύο γάρ ἴσος ὁ τε μῆκος καί πάχος χορδή καί ἄλλος ὅμοιος ὁ πολύς βάρος διά ὁ πολύς τάσις ὁ ὀξύς ποιέω φθόγγος . ἐπεί γάρ ὁ πολύς βάρος πολύς τάσις ποιέω , πολύς ὁ ἔξωθεν προσδίδωμι δύναμις ὁ κατά αὐτός ὀξύς φθόγγος , ἐλαχύς διά οὗτος ἔχω ὁ ἴδιος ἰσχύς ὁ ἐξάρτημα . δῆλος ὡς ἀντιστρέφω ὁ βαρύς , ὁ οἰκεῖος ἑαυτοῦ δύναμις πολύς κτάομαι ὁ ἐξάρτημα , ἐπαρκέω πρός ὁ σῴζω ὁ οἰκεῖος ἁρμονία τε καί συμφωνία . ὥστε ὁ μέγας ἀριθμός ὁ πολύς νεμητέον δύναμις . ὁμολογέω δέ οὗτος καί ὁ ἄλλος . πάλιν γάρ ὁ μῆκος καί ὁ πάχος δυσκινησία προσάπτω ὁ χορδή ἀσθένεια παρασκευάζω , ὡς μή ῥᾴδιος κινέω μηδέ ταχύς πλήσσω τε καί οἰδέω - ποιέω πολύς εἰμί ὁ πέριξ ἀήρ . δῆλος οὖν [ ὅτι ] ὡς ὁ βαρύς φθόγγος ὁ ἑαυτοῦ οἰκεῖος δύναμις κατάσσω πολύς κτάομαι ἀριθμός . ὅμοιος δέ εἰμί εὑρίσκω καί ἐπί ὁ ἐμπνευστός ὄργανον . καί γάρ ὁ ἐν οὗτος φθόγγος ὁ βαρύς , διά ὁ μῆκος καί ὁ εὐρύτης ὁ τρῆμα πολύς εἰδοποιέω ὁ ἀήρ ἤ νή Ζεύς ὁ ἄνεσις ὁ πνεῦμα ὡς ἐπί σάλπιγξ ἤ ὁ ἀρτηρία , ἄτονος καί ἀσθενής γίγνομαι ὁ ἑαυτοῦ οἰκεῖος δύναμις ἔχω φύσις πολύς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 70
κυριωτάτη δὲ πασῶν , φησίν , ἡ διὰ τεσσάρων συμ - φωνία · ἐκ γὰρ ταύτης καὶ αἱ λοιπαὶ εὑρίσκονται . ἡ δὲ διὰ πέντε τόνῳ τοῦ διὰ τεσσάρων διενήνοχεν . ἀμέλει τὸν τόνον οὕτως ὁρίζονται · τὸ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα . εὑρίσκεται δὲ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε τὸ διὰ πασῶν · σύγκειται γὰρ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε .
Lemmas: κύριος δέ πᾶς , φημί , ὁ διά τέσσαρες σναυ - φωνίον · ἐκ γάρ οὗτος καί ὁ λοιπός εὑρίσκω . ὁ δέ διά πέντε τόνος ὁ διά τέσσαρες διαφέρω . ἀμέλει ὁ τόνος οὕτως ὁρίζω · ὁ ἀπό ὁ διά πέντε ἐπί ὁ διά τέσσαρες διάστημα . εὑρίσκω δέ ἐκ ὁ διά τέσσαρες καί διά πέντε ὁ διά πᾶς · σύγκειμαι γάρ ἐκ ὁ διά τέσσαρες καί διά πέντε .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 73
περὶ δὲ τῆς ἐν ἀριθμοῖς ἁρμονίας λεκτέον ἑξῆς , ὅτι [ ὁ ] ὅρος ἐστὶν ὁ τὸ καθʼ ἕκιαστον ἀποφαίνων ἰδίωμα τῶν λεγομένων , οἷον ἀριθμός , μέγεθος , δύναμις , ὄγκος , βάρος . λόγος δὲ κατὰ μὲν τοὺς περιπατητικοὺς λέγεται πολλαχῶς , ὅ τε μετὰ φωνῆς προφορικὸς ὑπὸ τῶν νεω - τερῶν λεγόμενος καὶ ὁ ἐνδιάθετος καὶ ὁ ἐν διανοίᾳ κείμιενος ἄνευ φθόγγου καὶ φωνῆς καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας , καθʼ ὅν λέγεται ἔχειν λόγον τόδε πρὸς τόδε , καὶ ἡ τῶν τοῦ λόγου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῶν τιμώντων καὶ τιμωμένων , καθʼ ὅν φαμεν λόγον τινὸς ἔχειν ἢ μὴ ἔχειν , καὶ ὁ τραπεζιτικὸς λόγος καὶ ὁ ἐν τῷ βιβλίῳ Δημοσθενι - κὸς ἢ Αυσιακὸς καὶ ὁ ὅρος ὁ τὸ τί ἦν εἶναι καὶ τὴν οὐσίαν σημαίνων , ὁριστικὸς ὤν , καὶ ὁ συλλογισμὸς δὲ καὶ ἡ ἐπαγωγὴ καὶ ὁ Αιβυκὸς καὶ ὁ μῦθος καὶ ὁ αἶνος λόγος λέγεται καὶ ἡ παροιμία , ἔτι δὲ καὶ ὁ τοῦ εἴδους καὶ ὁ σπερματικὸς καὶ ἄλλοι πλείονες . κατὰ δὲ Πλά - τωνα τετραχῶς λέγεται λόγος , ἥ τε διάνοια ἄνευ φθόγ - γου καὶ τὸ μετὰ φωνῆς ῥεῦμα ἀπὸ διανοίας καὶ ἡ τῶν τοῦ ὅλου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας . νῦν δὲ πρόκειται περὶ τοῦ τῆς ἀναλογίας λόγου ζητεῖν .
Lemmas: περί δέ ὁ ἐν ἀριθμός ἁρμονία λεκτέος ἑξῆς , ὅτι [ ὁ ] ὅρος εἰμί ὁ ὁ κατά ἱκνέομαι ἀποφαίνω ἰδίωμα ὁ λέγω , οἷος ἀριθμός , μέγεθος , δύναμις , ὄγκος , βάρος . λόγος δέ κατά μέν ὁ περιπατητικός λέγω πολλαχῶς , ὁ τε μετά φωνή προφορικός ὑπό ὁ νέος - τέρας λέγω καί ὁ ἐνδιάθετος καί ὁ ἐν διάνοια κεῖμαι ἄνευ φθόγγος καί φωνή καί ὁ ὁ ἀναλογία , κατά ὅς λέγω ἔχω λόγος ὅδε πρός ὅδε , καί ὁ ὁ ὁ λόγος στοιχεῖον ἀπόδοσις καί ὁ ὁ τιμάω καί τιμάω , κατά ὅς φημί λόγος τις ἔχω ἤ μή ἔχω , καί ὁ τραπεζιτικός λόγος καί ὁ ἐν ὁ βιβλίον Δημοσθένης - γυνή ἤ Αυσιακὸς καί ὁ ὅρος ὁ ὁ τίς εἰμί εἰμί καί ὁ οὐσία σημαίνω , ὁριστικός εἰμί , καί ὁ συλλογισμός δέ καί ὁ ἐπαγωγή καί ὁ Αιβυκὸς καί ὁ μῦθος καί ὁ αἶνος λόγος λέγω καί ὁ παροιμία , ἔτι δέ καί ὁ ὁ εἶδος καί ὁ σπερματικός καί ἄλλος πολύς . κατά δέ πλάν - τώνα τετραχῶς λέγω λόγος , ὁ τε διάνοια ἄνευ φθόγ - γου καί ὁ μετά φωνή ῥεῦμα ἀπό διάνοια καί ὁ ὁ ὁ ὅλος στοιχεῖον ἀπόδοσις καί ὁ ὁ ἀναλογία . νῦν δέ πρόκειμαι περί ὁ ὁ ἀναλογία λόγος ζητέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 74
λόγος δέ ἐστιν ὁ κατʼ ἀνάλογον δυοῖν ὅρων ὁμογε - νῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους αὐτῶν ] ποιὰ σχέσις , οἷον διπλά - σιος , τριπλάσιος . τὰ μὲν γὰρ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλά φησιν Ἄδραστος εἰδέναι ἀδύνατον · οἷον πῆχυς πρὸς μνᾶν ἢ χοίνιξ πρὸς κοτύλην ἢ τὸ λευκὸν πρὸς τὸ γλυκὺ ἢ θερμόν ἀσύγκριτα καὶ ἀσύμβλητα · τὰ δὲ ὁμο - γενῆ δυνατόν , οἷον μήκη πρὸς μήκη 〈 καὶ 〉 ἐπίπεδα πρὸς ἐπίπεδα καὶ στερεὰ πρὸς στερεὰ καὶ βάρη πρὸς βάρη καὶ ὑγρὰ πρὸς ὑγρὰ καὶ χυτὰ πρὸς χυτὰ καὶ ξηρὰ πρὸς ξηρὰ καὶ ἀριθμοὺς πρὸς ἀριθμοὺς καὶ χρόνον πρὸς χρόνον καὶ κίνησιν πρὸς κίνησιν καὶ φωνὴν πρὸς φωνὴν καὶ χυμὸν πρὸς χυμὸν καὶ χρῶμα πρὸς χρῶμα καὶ ὅσα τοῦ αὐτοῦ γένους ἢ εἴδους ὄντα πως ἔχει πρὸς ἄλληλα . ὅρους δὲ λέγομεν τὰ ὁμογενῆ ἢ ὁμοειδῆ λαμβανόμενα εἰς σύγκρισιν , οἷον ὅταν σκεπτώμεθα τίνα λόγον ἔχει τάλαντον πρὸς μνᾶν , ὁμογενεῖς ὅρους φαμὲν τὸ τάλαν - τον καὶ τὴν μνᾶν , ὅτι ἀμφοῖν γένος τὸ βαρν . καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἐ αὐτὸς λόγος . ἀναλογία δέ ἐστι λόγων ἡ πρὸς ἀλλήλους ποιὰ σχέσις , οἷον ὡς βʹ πρὸς ἕν , οὕτως ηʹ πρὸς δ .
Lemmas: λόγος δέ εἰμί ὁ κατά ἀνάλογος δύο ὅρος ὁμος - νόος ὁ πρός ἀλλήλων αὐτός ] ποιός σχέσις , οἷος διπλόος - θεός , τριπλάσιος . ὁ μέν γάρ ἀνομογενής πῶς ἔχω πρός ἀλλήλων φημί Ἄδραστος οἶδα ἀδύνατος · οἷον πῆχυς πρός μνᾶ ἤ χοῖνιξ πρός κοτύλη ἤ ὁ λευκός πρός ὁ γλυκύς ἤ θερμός ἀσύγκριτος καί ἀσύμβλητος · ὁ δέ ὁμος - γενή δυνατός , οἷος μῆκος πρός μῆκος 〈 καί 〉 ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος καί στερεός πρός στερεός καί βάρος πρός βάρος καί ὑγρός πρός ὑγρός καί χυτός πρός χυτός καί ξηρός πρός ξηρός καί ἀριθμός πρός ἀριθμός καί χρόνος πρός χρόνος καί κίνησις πρός κίνησις καί φωνή πρός φωνή καί χυμός πρός χυμός καί χρῶμα πρός χρῶμα καί ὅσος ὁ αὐτός γένος ἤ εἶδος εἰμί πως ἔχω πρός ἀλλήλων . ὅρος δέ λέγω ὁ ὁμογενής ἤ ὁμοειδής λαμβάνω εἰς σύγκρισις , οἷος ὅταν σκοπέω τίς λόγος ἔχω τάλαντον πρός μνᾶ , ὁμογενής ὅρος φημί ὁ τάλας - τον καί ὁ μνᾶ , ὅτι ἄμφω γένος ὁ βαρν . καί ἐπί ὁ ἄλλος πέντε αὐτός λόγος . ἀναλογία δέ εἰμί λόγος ὁ πρός ἀλλήλων ποιός σχέσις , οἷος ὡς βʹ πρός εἷς , οὕτως ηʹ πρός δ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 76
πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν παράδοσιν λέγον - ται 〈 λόγοι 〉 τῶν ἀριθμῶν , ὡς καὶ ὁ Ἄδραστος παρα - δίδωσιν , οἴ μὲν πολλαπλάσιοι , σἱ δὲ ἐπιμόριοι , οἱ δʼ ἐπιμερεῖς , οἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι , οἱ δὲ πολλαπλα - σιεπιμερεῖς , οἱ δʼ οὐδέτεροι , τῶν δὲ ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι , οἱ δʼ ὑπεπιμόριοι , καὶ οἱ λοιποὶ ἀντι - στρέφοντες τοῖς μείζοσι .
Lemmas: πάλιν δέ κατά ὁ ἀριθμητικός παράδοσις λέγω - ται 〈 λόγος 〉 ὁ ἀριθμός , ὡς καί ὁ Ἄδραστος παρά - δίδωμι , ὁ μέν πολλαπλάσιος , βρόχος δέ ἐπιμόριος , ὁ δέ ἐπιμερής , ὁ δέ πολλαπλασιεπιμόριος , ὁ δέ πολλαπλός - σιεπιμερεω , ὁ δέ οὐδέτερος , ὁ δέ ἐλαχύς ὁ μέν ὑποπολλαπλάσιος , ὁ δέ ὑπεπιμόριος , καί ὁ λοιπός ἀντι - στρέφω ὁ μέγας .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 77
πολλαπλάσιος μὲν οὖν ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα , τουτέστιν ὅταν ὁ μείζων ὅρος καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἀπαρτι - ζόντως , ὡς μηδὲν ἔτι λείπεσθαι ἀπʼ αὐτοῦ , καὶ κατʼ εἶδος τοσαυταπλασίων ἕκαστος πολλαπλάσιος δʼ ] ὁ μείζων ὅρος λέγεται τοῦ ἐλάττονος , ὁσάκις ἂν καταμε - τρῆται ὑπʼ αὐτοῦ · οἷον ἂν μὲν δίς , διπλάσιος , ἂν δὲ τρίς , τριπλάσιος , ἂν δὲ τετράκις , τετραπλάσιος , καὶ κατὰ τὸ ἐξῆς οὕτως . ἀνάπαλιν δὲ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος μέρος ὁμώύνυμον τῷ λόγῳ , κατὰ μὲν τὸν διπλάσιον ἥμισυ , κατὰ δὲ τὸν τριπλάσιον τριτημόριον , καὶ λόγος ὁ μὲν ἥμισυς , ὁ δὲ τριτημόριος · καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως .
Lemmas: πολλαπλάσιος μέν οὖν εἰμί λόγος , ὅταν ὁ μέγας ὅρος πλεονάκις ἔχω ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὅταν ὁ μέγας ὅρος καταμετρέω ὑπό ὁ ἐλαχύς άπαρτος - ζάω , ὡς μηδείς ἔτι λείπω ἀπό αὐτός , καί κατά εἶδος τοσαυταπλάσιος ἕκαστος πολλαπλάσιος δέ ] ὁ μέγας ὅρος λέγω ὁ ἐλαχύς , ὁσάκις ἄν καταμε - τρέω ὑπό αὐτός · οἷος ἐάν μέν δίς , διπλάσιος , ἐάν δέ τρίς , τριπλάσιος , ἐάν δέ τετράκις , τετραπλάσιος , καί κατά ὁ ἑξῆς οὕτως . ἀνάπαλιν δέ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας μέρος ὁμώνυμος ὁ λόγος , κατά μέν ὁ διπλάσιος ἥμισυς , κατά δέ ὁ τριπλάσιος τριτημόριος , καί λόγος ὁ μέν ἥμισυς , ὁ δέ τριτημόριος · καί ἐπί ὁ ἄλλος ὅμοιος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 78
ἐπιμόριος δέ ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ μόριον ἕν τι τοῦ ἐλάττονος , τουτ - έστιν ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος ταύτην ἔχῃ τὴν ὑπεροχήν , ἥτις τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ μέρος ἐστίν . ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος · ὑπερέχει γὰρ αὐτῆς μονάδι , ἥτις ἐδτὶ τῆς τριάδος τὸ τρίτον · καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος ὑπερέχει δυεῖν , ἅτινα τῶν τεσσάρων ἦμισύ ἐστι . διὸ καὶ ἀπὸ τῆς τῶν μερῶν ὀνομασίας ἕκαστος τῶν ἐπιμο - ρίων ἰδίας ἔτυχε προσηγορίας . ὁ μὲν γὰρ τῷ ἡμίσει τοῦ ἐλάττονος μέρει ὑπερέχων ἡμιόλιος ὠνόμασται , ὡς ἡ τριὰς τῆς δυάδος καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος . αὐτήν τε γὰρ ὅλην ἔχει τὴν ἐλάττονα καὶ τὸ μισυ αὐτῆς · ἐν μὲν γὰρ τῇ τριάδι ἔνεστιν ἡ δυὰς καὶ τὸ μισν αὐτῆς ἡ μονάς , ἐν δὲ τῇ ἑξάδι ἡ τετρὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ δυάς . πάλιν οἱ τῷ τρίτῳ μέρει τοὺ ἐλάττονος ὑπερ - εχοντες ἐπίτριτοι καλοῦνται , ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος , οἱ δὲ τῷ τετάρτῳ ὑπερέχοντες ἐπιτέταρτοι , ὡς ὁ εʹ τῶν δʹ καὶ ὁ ιʹτῶν ηʹ , καὶ ὁμοίως προκόπτοντες ἐπίπεμπτοί τε καὶ ἔφεκτοι καὶ ἐφέβδομοι ἐκλήθησαν πάντες οὐτοι ἔπιμόριοι ὄντες . διὸ καὶ οἱ ἀντικείμενοι τούτοις οἱ ἐλάττονες τῶν μειζόνων ὑπεπιμόριοι ἐκλήθησαν · ὡς γὰρ ἡ τριὰς 〈 τῆς 〉 δυάδος ἐλέγετο ἡμιόλιος , οὕτως καὶ ἡ δυὰς τῆς τριάδος κατὰ τὸ ἀνάλογον ὑφημιόλιος λε - χθήσεται , καὶ ὁμοίως ἡ τριὰς τῆς τετράδος ὑπεπίτριτος .
Lemmas: ἐπιμόριος δέ εἰμί λόγος , ὅταν ὁ μέγας ὅρος ἅπαξ ἔχω ὁ ἐλαχύς καί μόριον εἷς τις ὁ ἐλαχύς , οὗτος - εἰμί ὅταν ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς οὗτος ἔχω ὁ ὑπεροχή , ὅστις ὁ ἐλαχύς ἀριθμός μέρος εἰμί . ὡς ὁ τετράς ὁ τριάς · ὑπερέχω γάρ αὐτός μονάς , ὅστις ἐδτὶ ὁ τριάς ὁ τρίτος · καί ὁ ἑξάς ὁ τετράς ὑπερέχω δύο , ὅστις ὁ τέσσαρες ἥμισυς εἰμί . διό καί ἀπό ὁ ὁ μέρος ὀνομασία ἕκαστος ὁ ἐπιμο - Ῥίον ἴδιος τυγχάνω προσηγορία . ὁ μέν γάρ ὁ ἥμισυς ὁ ἐλαχύς μέρος ὑπερέχω ἡμιόλιος ὀνομάζω , ὡς ὁ τριάς ὁ δυάς καί ὁ ἑξάς ὁ τετράς . αὐτός τε γάρ ὅλος ἔχω ὁ ἐλαχύς καί ὁ μίσυ αὐτός · ἐν μέν γάρ ὁ τριάς ἔνειμι ὁ δυάς καί ὁ μις αὐτός ὁ μονή , ἐν δέ ὁ ἑξάς ὁ τετράς καί ὁ ἥμισυς αὐτός ὁ δυάς . πάλιν ὁ ὁ τρίτος μέρος ὁ ἐλαχύς ὑπερ - ἔχω ἐπίτριτος καλέω , ὡς ὁ τετράς ὁ τριάς , ὁ δέ ὁ τέταρτος ὑπερέχω ἐπιτέταρτος , ὡς ὁ πέντε ὁ δʹ καί ὁ ιʹτῶν ηʹ , καί ὅμοιος προκόπτω ἐπίπεμπτος τε καί ἔφεκτος καί ἐφέβδομος καλέω πᾶς οὗτος ἐπιμόριος εἰμί . διό καί ὁ ἀντίκειμαι οὗτος ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας ὑπεπιμόριος καλέω · ὡς γάρ ὁ τριάς 〈 ὁ 〉 δυάς λέγω ἡμιόλιος , οὕτως καί ὁ δυάς ὁ τριάς κατά ὁ ἀνάλογος ὑφημιόλιος λέα - ἔχθω , καί ὅμοιος ὁ τριάς ὁ τετράς ὑπεπίτριτος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 79
ἔστι δὲ τῶν πολλαπλασίων λόγων πρῶτος καὶ ἐλάχιστος ὁ διπλάσιος , μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τριπλάσιος , εἶτα ὁ τετραπλάσιος , καὶ οὕτως οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον αἰεὶ οἱ μείζονες . τῶν δʼ ἐπιμορίων λόγων πρῶτος καὶ μέ - γιστος ὁ ἡμιόλιος , ὅτι δὴ καὶ τὸ ἥμισυ μέρος πρῶτον καὶ μέγιστον καὶ ἐγγυτάτω τῷ ὅλῳ , μετὰ δὲ τοῦτον ὁ ἐπίτριτος , καὶ ὁ ἐπιτέταρτος , καὶ οὕτω πάλιν ἐπʼ ἄπει - ρον ἡ πρόοδος ἀεὶ ἐπʼ ἐλάττονος .
Lemmas: εἰμί δέ ὁ πολλαπλασίων λόγος πρῶτος καί ἐλαχύς ὁ διπλάσιος , μετά δέ οὗτος ὁ τριπλάσιος , εἶτα ὁ τετραπλάσιος , καί οὕτως ὁ ἑξῆς ἐπί ἄπειρος ἀεί ὁ μέγας . ὁ δέ ἐπιμόριος λόγος πρῶτος καί ἐγώ - γιστος ὁ ἡμιόλιος , ὅτι δή καί ὁ ἥμισυς μέρος πρῶτος καί μέγας καί ἐγγύς ὁ ὅλος , μετά δέ οὗτος ὁ ἐπίτριτος , καί ὁ ἐπιτέταρτος , καί οὕτως πάλιν ἐπί ἄπειμι - ἀντίμοιρος ὁ πρόοδος ἀεί ἐπί ἐλαχύς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 80
ἐπιμερὴς δέ ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι πλείω μέρη αὐτοῦ τοῦ ἐλάτ - τονος ] , εἴπε ταὐτὰ καὶ ὅμοια εἴτε ἕτερα καὶ διάφορα · ταὐτὰ μὲν οἷον δύο τρίτα ἢ δύο πέμπτα καὶ εἴ τινα ἄλλα οὕτως · ὁ μὲν γὰρ τῶν εʹ ἀριθμὸς τοῦ τῶν γʹ δὶς ἐπίτριτος , ὁ δὲ τῶν ζ τοῦ τῶν εʹ δὶς ἐπίπεμπτος , ὁ δὲ τῶν ηʹ τοῦ τῶν εʹ τρὶς ἐπίπεμπτος , καὶ οἱ ἑξῆς ὁμοίως · ἕτερα δὲ καὶ διάφορα οἷον ὅταν ὁ μείζων αὐτόν τε ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι ἢμισυ αὐτοῦ καὶ τρίτον , οἷον ἔχει λόγον ὁ τῶν ιαʹ πρὸς τὸν τῶν Ϛʹ , ἢ πάλιν ἥμισυ καὶ τέταρτον , ὅς ἐστι λόγος τῶν ζ πρὸς δʹ , ἢ νὴ Δία τρί - τον καὶ τέταρτον , ὅν ἔχει λόγον τὰ ιθʹ πρὸς τὰ ιβ΄ . παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ ἐπιμερεῖς δυσὶν ὑπερέχοντες μέρεσιν ἢτρισὶν ἢπλείοσι , καὶ ὁμοίοις ἢ ἀνομοίοις . ὑπεπιμερὴς δέ ἐστιν [ ὁ ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξετα - ζόμενος .
Lemmas: ἐπιμερής δέ εἰμί λόγος , ὅταν ὁ μέγας ὅρος ἅπαξ ἔχω ὁ ἐλαχύς καί ἔτι πολύς μέρος αὐτός ὁ ἐλατός - τόνος ] , λέγω αὐτός καί ὅμοιος εἴτε ἕτερος καί διάφορος · αὐτός μέν οἷος δύο τρίτος ἤ δύο πέμπτος καί εἰ τις ἄλλος οὕτως · ὁ μέν γάρ ὁ πέντε ἀριθμός ὁ ὁ γʹ δίς ἐπίτριτος , ὁ δέ ὁ ζ ὁ ὁ πέντε δίς ἐπίπεμπτος , ὁ δέ ὁ ηʹ ὁ ὁ πέντε τρίς ἐπίπεμπτος , καί ὁ ἑξῆς ὅμοιος · ἕτερος δέ καί διάφορος οἷος ὅταν ὁ μέγας αὐτός τε ἔχω ὁ ἐλαχύς καί ἔτι ἥμισυς αὐτός καί τρίτος , οἷος ἔχω λόγος ὁ ὁ ιαʹ πρός ὁ ὁ ϛʹ , ἤ πάλιν ἥμισυς καί τέταρτος , ὅς εἰμί λόγος ὁ ζ πρός δʹ , ἤ νή Ζεύς τρίς - τον καί τέταρτος , ὅς ἔχω λόγος ὁ ιθʹ πρός ὁ ιβʹ . παραπλήσιος δέ θεωρέω καί ὁ λοιπός ἐπιμερής δύο ὑπερέχω μέρος ἢτρισὶν ἅπλος , καί ὅμοιος ἤ ἀνόμοιος . ὑπεπιμερής δέ εἰμί [ ὁ ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν ὁ προλέγω λόγος ἐλαχύς πρός ὁ μέγας ἐξετάζω - ζέω .