theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 147
λείπεται δεῖξαι , πῶς κατὰ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν εὕροιμεν ἂν τὲν μέσον ὅρον . ἐὰν μὲν οὖν ἐν διπλασίῳ λόγῳ πρὸς ἀλλήλους δοθῶσιν οἱ ἄκροι , οἷον ὁ ιβʹ καὶ ὁ Ϛʹ , τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα οἷον τὰ Ϛʹ ποιήσαντες ἐπὶ τὸν Ϛʹ καὶ τὸν γενόμενον λϚʹ παραβαλόντες παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων οἷον παρὰ τὰ ιηʹ καὶ τὸ πλάτος τῶν λϚʹ οἷον τὰ βʹ προσ - θέντες τῷ ἐλάττονι , τουτέστι τῷ τῶν Ϛʹ , ἕξομεν τὸ ζη - τούμενον . ἔσται γὰρ ὁ τῶν ηʹ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχων καὶ ὑπερεχόμενος , τουτέστι τῷ τῶν ἄκρων τρίτῳ · ιβʹ ηʹ Ϛʹ . ἐὰν δʼ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ πρὸς ἀλλή - λους δοθῶσιν οἱ ἄκροι , οἷον ὁ ιηʹ καὶ ὁ Ϛʹ , τὴν ὑπερ - οχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ποιήσομεν ἐφʼ ἑαυτήν · γίνεται ιβʹ ἐπὶ ιβʹ , ἅ ἐστιν ρμδʹ · ὧν ἥμισυ ὁ οβʹ , 〈 ὃν 〉 παραβαλόντες παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων οἷον τὰ κδʹ τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς οἷον τὰ γʹ προσθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν ζητούμενον ὅρον μέσον τῶν ἐξ ἀρχῆς τὸν θʹ , ὃς ὑπερέχων ἔσται καὶ ὑπερεχόμενος ἡμίσει τῶν ἄκρων · ιηʹ θʹ Ϛʹ . κοινότερον δʼ ἐπὶ πάντων τῶν δοθέντων ἀνίσων δύο ὅρων τὸν μέσον ἁρμονικῶς ληπτέον οὕτω . τὴν ὑπεροχὴν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων · ἔπειτα τὸ πλάτος τῆς παρα - βολῆς προσθετέον τῷ ἐλάττονι . οἷον εἰλήφθωσαν δύο ὅροι ὁ ιβʹ καὶ ὁ δʹ · καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ιβʹ , τουτέστιν ηʹ , ληφθήτω ἐπὶ τὸν ἐλάττονα , τουτέστι τὸν δʹ · γίνεται λβʹ · καὶ τὰ λβʹ παραβλητέον παρὰ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων τὸν ιςʹ · 〈 καὶ προσθετέον τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς , 〉 τουτέστι τὰ βʹ , τῷ ἐλάττονι , τουτέστι τῷ δʹ · καὶ ἔσται Ϛʹ μεσότης ἁρμονικὴ τῶν ιβʹ καὶ δʹ , τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη , τουτέστι τῷ ἡμίσει τῶν ἄκρων · ιβʹ Ϛʹ δʹ .
Lemmas: λείπω δείκνυμι , πῶς κατά ὁ ἁρμονικός ἀναλογία εὑρίσκω ἄν τέ μέσος ὅρος . ἐάν μέν οὖν ἐν διπλάσιος λόγος πρός ἀλλήλων δίδωμι ὁ ἄκρος , οἷος ὁ ιβʹ καί ὁ ϛʹ , ὁ ὑπεροχή ὁ μέγας παρά ὁ ἐλαχύς οἷος ὁ ϛʹ ποιέω ἐπί ὁ ϛʹ καί ὁ γίγνομαι λϛʹ παραβάλλω παρά ὁ σύνθετος ἐκ ὁ ἄκρον οἷος παρά ὁ ιηʹ καί ὁ πλάτος ὁ λϛʹ οἷος ὁ βʹ προς - τίθημι ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ ὁ ϛʹ , ἔχω ὁ ζῶ - τέῳ . εἰμί γάρ ὁ ὁ ηʹ ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω , τουτέστι ὁ ὁ ἄκρον τρίτος · ιβʹ ηʹ ϛʹ . ἐάν δέ ἐν τριπλάσιος λόγος πρός ἄλλος - Λοῦς δίδωμι ὁ ἄκρος , οἷος ὁ ιηʹ καί ὁ ϛʹ , ὁ ὑπερ - ὀχή ὁ μέγας παρά ὁ ἐλαχύς ποιέω ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ιβʹ ἐπί ιβʹ , ὅς εἰμί ρμδʹ · ὅς ἥμισυς ὁ οβʹ , 〈 ὅς 〉 παραβάλλω παρά ὁ σύνθετος ἐκ ὁ ἄκρον οἷος ὁ κδʹ ὁ πλάτος ὁ παραβολή οἷος ὁ γʹ προστίθημι ὁ ἐλαχύς ἔχω ὁ ζητέω ὅρος μέσος ὁ ἐκ ἀρχή ὁ θʹ , ὅς ὑπερέχω εἰμί καί ὑπερέχω ἥμισυς ὁ ἄκρον · ιηʹ θʹ ϛʹ . κοινός δέ ἐπί πᾶς ὁ δίδωμι ἄνισος δύο ὅρος ὁ μέσος ἁρμονικός λαμβάνω οὕτως . ὁ ὑπεροχή ποιέω ἐπί ὁ ἐλαχύς καί ὁ γίγνομαι παραβλητέος παρά ὁ σύνθετος ἐκ ὁ ἄκρον · ἔπειτα ὁ πλάτος ὁ παρά - βολή προστίθημι ὁ ἐλαχύς . οἷος λαμβάνω δύο ὅρος ὁ ιβʹ καί ὁ δʹ · καί ὁ ὑπεροχή ὁ ιβʹ , τουτέστι ηʹ , λαμβάνω ἐπί ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ δʹ · γίγνομαι λβʹ · καί ὁ λβʹ παραβλητέος παρά ὁ σύνθετος ἐκ ὁ ἄκρον ὁ ιςʹ · 〈 καί προστίθημι ὁ πλάτος ὁ παραβολή , 〉 τουτέστι ὁ βʹ , ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ δʹ · καί εἰμί ϛʹ μεσότης ἁρμονικός ὁ ιβʹ καί δʹ , ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω , τουτέστι ὁ ἥμισυς ὁ ἄκρον · ιβʹ ϛʹ δʹ .