theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 16
τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν πρῶτοι καλοῦνται ἁπλῶς καὶ ἀσύνθετοι , οἱ δὲ πρὸς ἀλλήλους πρῶτοι καὶ οὐχ ἁπλῶς , οἱ δὲ σύνθετοι ἀπλῶς , οἱ δὲ πρὸς αὑτοὺς σύν - θετοι . πρῶτοι μὲν ἀπλῶς καὶ ἀσύνθετοι οἱ ὑπὸ μηδε - νὸς μὲν ἀριθμοῦ , ὑπὸ μόνης δὲ μονάδος μετρούμενοι , ὡς ὁ γʹ εʹ ζʹ ιαʹ ιγʹ ιζʹ καὶ οἱ τούτοις ὅμοιοι . λέγονται δὲ οἱ αὐτοὶ οὗτοι γραμμικόὶ καὶ εὐθυμετρικοὶ διὰ τὸ καὶ τὰ μήκη καὶ τὰς γραμμὰς κατὰ μίαν διάστασιν θεω - ρεῖσθει · καλοῦνται δὲ καὶ περισσάκις περισσοί · ὥστε ὀνο - μάζεσθαι αὐτοὺς πενταχῶς , πρώτους , ἀσυνθέτους , γραμ - μικούς , εὐθυμετρικούς , περισσάκις περισσούς . μόνον δὲ οὕτως καταμετροῦνται . τὰ γὰρ τρία οὐκ ἂν ὑπʼ ἄλλου καταμετρηθείη ἀριθμοῦ ὥστε γεννηθῆναι ἐκ τοῦ πολλα - πλασιασμοῦ αὐτῶν , ἢ ὑπὸ μόνης μονάδος · ἅπαξ γὰρ τρία τρία . ὁμοίως δὲ καὶ ἅπαξ εʹ εʹ , καὶ ἅπαξ ζʹ ζʹ , καὶ ἅπαξ ιαʹ ιά . διὸ καὶ περισσάκις περισσοὶ κέκληνται · οἵ τε γὰρ καταμετρούμιενοι περισσοὶ ἣ τε καταμετροῦσα αὐτοὺς μονὰς περισσή . διὸ καὶ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι μόνοι οἱ περισσοί . οἱ γὰρ ἄρτιοι οὔτε πρῶτοι οὔτε ἀσύν - θετοι οὔτε ὑπὸ μόνης μονάδος μετρούμενοι , ἀλλὰ καὶ ὑπʼ ἄλλων ἀριθμῶν · οἷον τετρὰς μὲν ὑπὸ δυάδος · δὶς γὰρ βʹ δʹ ἑξὰς δὲ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος · δὶς γὰρ γʹ Ϛʹ καὶ τρὶς βʹ Ϛʹ · καὶ οἱ λοιποὶ ἄρτιοι κατὰ τὰ αὐτὰ ὑπό τινων μει - ζόνων τῆς μονάδος ἀριθμῶν καταμετροῦνται , πλὴν τῆς δυάδος . ταύτῃ γὰρ μόνῃ συμβέβηκεν , ὅπερ καὶ ἐνίοις τῶν περισσῶν , τὸ ὑπὸ μονάδος μετρεῖσθαι μόνον · ἅπαξ γὰρ βʹ βʹ · διὸ καὶ περισσοειδὴς εἴρηται ταὐτὸ τοῖς περι - σσοῖς πεπονθυῖα . πρὸς ἀλλήλους δὲ λέγονται πρῶτοι ἀριθ - μοὶ καὶ οὐ καθʼ αὐτοὺς οἱ κοινῷ μέτρῳ μετρούμενοι τῇ μονάδι , κἂν ὑπʼ ἄλλων τινῶν ἀριθμῶν ὡς πρὸς ἑαυ - τοὺς καταμετρῶνται . οἷον ?? ηʹ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ τῶν βʹ καὶ δʹ , καὶ ὁ θʹ ὑπὸ τῶν γʹ , καὶ ὁ ι ὑπὸ τῶν β΄ καὶ έ · ἔχουσι δὲ καὶ κοινὸν μέτρον καὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ πρὸς τοὺς καθ’ ἑαυτοὺς πρώτους τὴν μονάδα · καὶ γὰρ ἅπαξ γʹ γʹ καὶ ἅπαξ η΄ ηʹ καὶ ἅπαξ θ θ΄ καὶ ἅπαξ ί ί .
Lemmas: ὁ δέ ἀριθμός ὁ μέν πρῶτος καλέω ἁπλῶς καί ἀσύνθετος , ὁ δέ πρός ἀλλήλων πρῶτος καί οὐ ἁπλῶς , ὁ δέ σύνθετος ἁπλῶς , ὁ δέ πρός ἑαυτοῦ σῦς - θετός . πρῶτος μέν ἁπλῶς καί ἀσύνθετος ὁ ὑπό μηδέ - ν μέν ἀριθμός , ὑπό μόνος δέ μονάς μετρέω , ὡς ὁ γʹ πέντε ζʹ ιαʹ ιγʹ ιζʹ καί ὁ οὗτος ὅμοιος . λέγω δέ ὁ αὐτός οὗτος γραμμικός καί εὐθυμετρικός διά ὁ καί ὁ μῆκος καί ὁ γραμμή κατά εἷς διάστασις θέω - ῥέω · καλέω δέ καί περισσάκις περισσός · ὥστε ὀνο - μάζεσθαι αὐτός πενταχῶς , πρῶτος , ἀσύνθετος , γραμ - Μίκους , εὐθυμετρικός , περισσάκις περισσός . μόνος δέ οὕτως καταμετρέω . ὁ γάρ τρεῖς οὐ ἄν ὑπό ἄλλος καταμετρέω ἀριθμός ὥστε γεννάω ἐκ ὁ πολύς - πλασιασμος αὐτός , ἤ ὑπό μόνος μονάς · ἅπαξ γάρ τρεῖς τρεῖς . ὅμοιος δέ καί ἅπαξ πέντε πέντε , καί ἅπαξ ζʹ ζʹ , καί ἅπαξ ιαʹ ἰά . διό καί περισσάκις περισσός καλέω · ὁ τε γάρ καταμετρέω περισσός ὁ τε καταμετρέω αὐτός μονή περισσός . διό καί πρῶτος καί ἀσύνθετος μόνος ὁ περισσός . ὁ γάρ ἄρτιος οὔτε πρῶτος οὔτε ἀσύν - θετός οὔτε ὑπό μόνος μονάς μετρέω , ἀλλά καί ὑπό ἄλλος ἀριθμός · οἷον τετράς μέν ὑπό δυάς · δίς γάρ βʹ δʹ ἑξάς δέ ὑπό δυάς καί τριάς · δίς γάρ γʹ ϛʹ καί τρίς βʹ ϛʹ · καί ὁ λοιπός ἄρτιος κατά ὁ αὐτός ὑπό τις Μέι - ζόνων ὁ μονάς ἀριθμός καταμετρέω , πλήν ὁ δυάς . οὗτος γάρ μόνος συμβαίνω , ὅς καί ἔνιοι ὁ περισσός , ὁ ὑπό μονάς μετρέω μόνος · ἅπαξ γάρ βʹ βʹ · διό καί περισσοειδής λέγω αὐτός ὁ περί - σός πάσχω . πρός ἀλλήλων δέ λέγω πρῶτος ὁριθς - ἐγώ καί οὐ κατά ἑαυτοῦ ὁ κοινός μέτρον μετρέω ὁ μονάς , ἐάν ὑπό ἄλλος τις ἀριθμός ὡς πρός ἑ - ὁ καταμετρέω . οἷος ?? ηʹ μετρέω μέν καί ὑπό ὁ βʹ καί δʹ , καί ὁ θʹ ὑπό ὁ γʹ , καί ὁ ι ὑπό ὁ βʹ καί ἔ · ἔχω δέ καί κοινός μέτρον καί πρός ἀλλήλων καί πρός ὁ κατά ἑαυτοῦ πρῶτος ὁ μονάς · καί γάρ ἅπαξ γʹ γʹ καί ἅπαξ ηʹ ηʹ καί ἅπαξ θ θʹ καί ἅπαξ ἵ ἵ .