theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 103
ἡ μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς 〈 αὕτη 〉 , κατʼ ἐπισύνθεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριθμῶν . δευ - τέρα δʼ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ πε - ριττόν . ὧν πρῶτος μὲν [ κατὰ τὸ ἄρτιον ] λαμβάνεται ἡ μονάς , ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιτ - τῶν καὶ ἀρτιοπερίττων , ὡς προείρηται , καὶ ἁπλοῦς ὁ ταύτης λόγος · οἱ δʼ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμοὶ κατὰ τὸ ἄρ - τιον καὶ περιττόν . τὴν δὲ σύνθεσιν λαμβάνουσιν , ἐπειδὴ καὶ ὁ πᾶς ἀριθμὸς οὔτε μόνον ἄρτιος οὔτε μόνον πε - ριττός . διὸ δύο λαμβάνονται αἱ κατὰ πολλαπλασιασμὸν τετρακτύες , ἀρτία καὶ περιττή , ἡ μὲν ἀρτία ἐν λόγῳ διπλασίῳ , πρῶτος γὰρ τῶν ἀρτίων ἐ β΄ καὶ αὐτὸς ἐκ μονάδος κατὰ τὸ διπλάσιον ηὐξημένος , ἡ δὲ περιττὴ ἐν λόγῳ ηὐξημένη τριπλασίῳ , ἐπειδὴ πρῶτος τῶν πε - ριττῶν ὁ γ΄ καὶ αὐτὸς ἀπὸ μόναδος κατὰ τὸ τριπλάσιον ηὐξημένος . ὥστε κοινὴ μὲν ἀμφοτέρων ἡ μονάς , καὶ ἀρτία οὖσα καὶ περιττή · δεύτερος δὲ ἀριθμὸς ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις καὶ διπλασίοις ὁ β΄ , ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς καὶ τριπλασίοις ὁ γ΄ · τρίτος δὲ ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις ὁ δ΄ , ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς ὁ θ΄ · τέταρτος ἐν μὲν τοῖς ἀρ - τίοις η΄ , ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς κζ΄ . η΄ δ΄ β΄ α΄ γ΄ θ΄ κζ΄ ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς 〈 οἱ 〉 τελειότεροι τῶν συμφω - νιῶν εὑρίσκονται λόγοι · συμπεριείληπται δὲ αὐτοῖς καὶ ὁ τόνος . δύναται δὲ ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς ἀρχῆς καὶ σημείου καὶ στιγμῆς λόγον · οἱ δὲ δεύτεροι πλευρὰν δύνανται ὅ τε β΄ καὶ ὁ γ΄ , ὄντες ἀσύνθετοι καὶ πρῶτοι καὶ μονάδι μετρούμενοι καὶ φύσει εὐθυμετρικοί · οἱ δὲ τρίτοι ὅροι ὁ δ΄ καὶ ὁ θ΄ δύνανται ἐπίπεδον τετράγω - νον , ἰσάκις ἴσοι ὄντες · οἱ δὲ τέταρτοι ὅροι ὅ τε η΄ καὶ ὁ κζ΄ δύνανται ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις 〈 ὄντες 〉 κύβον . ὥστε ἐκ τούτων τῶν ἀριθμῶν καὶ ταύτης τῆς τετρακτύος ἀπὸ σημείου καὶ στιγμῆς εἰς στερεὸν ἡ αὔξεσις γίνεται · μετὰ γὰρ σημεῖον καὶ στιγμὴν πλευρά , μετὰ πλευρὰν ἐπίπεδον , μετὰ ἐπίπεδον στερεόν . ἐν οἷς ἀριθμοῖς καὶ τὴν ψυχὴν συνίστησιν ὁ Πλάτων ἐν τῷ Τιμιαίῳ . ὁ δὲ ἔσχατος τούτων τῶν ἑπτὰ ἀριθμῶν ἴσος ἐστὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ πᾶσιν · ἓν γὰρ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ η΄ καὶ θ΄ γίνονται κζ΄ .
Lemmas: ὁ μέν οὖν προλέγω τετρακτύς 〈 οὗτος 〉 , κατά ἐπισύνθεσις ὁ πρῶτος ἀποτελέω ἀριθμός . δήω - τέρας δέ εἰμί τετρακτύς ὁ ὁ κατά πολλαπλασιασμός ἐπαυξάνω ἀπό μονάς κατά τε ὁ ἄρτιος καί μετά - ῥίττω . ὅς πρῶτος μέν [ κατά ὁ ἄρτιος ] λαμβάνω ὁ μονή , ἐπειδή οὗτος ἀρχή πᾶς ἄρτιος καί Περίτ - ὁ καί ἀρτιοπέρισσος , ὡς προλέγω , καί ἁπλόος ὁ οὗτος λόγος · ὁ δέ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμός κατά ὁ ἄρα - Τῖον καί περισσός . ὁ δέ σύνθεσις λαμβάνω , ἐπειδή καί ὁ πᾶς ἀριθμός οὔτε μόνος ἄρτιος οὔτε μόνος μετά - ριττός . διό δύο λαμβάνω ὁ κατά πολλαπλασιασμός τετρακτύς , ἄρτιος καί περισσός , ὁ μέν ἄρτιος ἐν λόγος διπλάσιος , πρῶτος γάρ ὁ ἄρτιος πέντε βʹ καί αὐτός ἐκ μονάς κατά ὁ διπλάσιος αὐξάνω , ὁ δέ περισσός ἐν λόγος αὐξάνω τριπλάσιος , ἐπειδή πρῶτος ὁ μετά - Ῥίττων ὁ γʹ καί αὐτός ἀπό μόνας κατά ὁ τριπλάσιος αὐξάνω . ὥστε κοινός μέν ἀμφότερος ὁ μονή , καί ἄρτιος εἰμί καί περισσός · δεύτερος δέ ἀριθμός ἐν μέν ὁ ἄρτιος καί διπλάσιος ὁ βʹ , ἐν δέ ὁ περισσός καί τριπλάσιος ὁ γʹ · τρίτος δέ ἐν μέν ὁ ἄρτιος ὁ δʹ , ἐν δέ ὁ περισσός ὁ θʹ · τέταρτος ἐν μέν ὁ ἀρ - τίω ηʹ , ἐν δέ ὁ περισσός κζʹ . Η΄ Δ΄ Β΄ Α΄ Γ΄ Θ΄ κζ΄ ἐν οὗτος ὁ ἀριθμός 〈 ὁ 〉 τέλειος ὁ Συμφώ - Νίων εὑρίσκω λόγος · συμπεριλαμβάνω δέ αὐτός καί ὁ τόνος . δύναμαι δέ ὁ μέν μονή ὁ ὁ ἀρχή καί σημεῖον καί στιγμή λόγος · ὁ δέ δεύτερος πλευρά δύναμαι ὁ τε βʹ καί ὁ γʹ , εἰμί ἀσύνθετος καί πρῶτος καί μονάς μετρέω καί φύσις εὐθυμετρικός · ὁ δέ τρίτος ὅρος ὁ δʹ καί ὁ θʹ δύναμαι ἐπίπεδος τράγος - νος , ἰσάκις ἴσος εἰμί · ὁ δέ τέταρτος ὅρος ὁ τε ηʹ καί ὁ κζʹ δύναμαι ἰσάκις ἴσος ἰσάκις 〈 εἰμί 〉 κύβος . ὥστε ἐκ οὗτος ὁ ἀριθμός καί οὗτος ὁ τετρακτύς ἀπό σημεῖον καί στιγμή εἰς στερεός ὁ αὔξησις γίγνομαι · μετά γάρ σημεῖον καί στιγμή πλευρόν , μετά πλευρά ἐπίπεδος , μετά ἐπίπεδος στερεός . ἐν ὅς ἀριθμός καί ὁ ψυχή συνίστημι ὁ Πλάτων ἐν ὁ Τιμιαίῳ . ὁ δέ ἔσχατος οὗτος ὁ ἑπτά ἀριθμός ἴσος εἰμί ὁ πρό αὐτός πᾶς · εἷς γάρ καί βʹ καί γʹ καί δʹ καί ηʹ καί θʹ γίγνομαι κζʹ .