theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 67
ταυτὶ μὲν περὶ τῆς εὑρέσεως τῶν συμφωνιῶν · ἐπαν - ἐλθωμεν δὲ ἐπὶ τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου παραδεδομένα . φησὶ γὰρ ὅτι τούτοις τοῖς εἰς τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμ - φωνιῶν ὀργάνοις κατὰ μὲν τοὺς λόγους προπαρασκευα - σθεῖσιν ἡ αἴσθησις ἐπιμαρτυρεῖ , τῇ δὲ αἰσθήσει προσ - ληφθείσῃ ὁ λόγος ἐφαρμόζει . πῶς δὲ καὶ οἱ τὸ λεγό - μενον ἡμιτόνιον περιέχοντες φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἐν λόγῳ τῷ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ , μικρὸν ὕστερον ἔσται φανερόν . δῆλον δὲ ὅτι καὶ αἱ συνθέσεις καὶ αἱ διαιρέσεις τῶν συμφωνιῶν ὁμόλογοι καὶ συνῳδοὶ θεω - ροῦνται ταῖς τῶν κατὰ ταύτας λόγων συνθέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν ἃς πρόσθεν ἐμηνύσαμεν . οἷον ἐπεὶ τὸ διὰ πασῶν ἔκι τε τοῦ δᾶ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων συν - τίθεται καὶ εἰς ταῦτα διαιρεῖται , λόγος δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιος , τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος , τοῦ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος , φαίνεται [ ὅτι ] καὶ ὁ διπλάσιος λόγος συντίθεσθαί τε ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου καὶ εἰς τούτους διαιρεῖσθαι · τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τὰ ηʹ ἐπί - τριτα , τῶν δὲ ηʹ τὰ ιβʹ ἡμιόλια · καὶ γίνεται τὰ ιβʹ τῶν ϛʹ διπλάσια · ϛʹ ηʹ ιβʹ . πάλιν δὲ ὁ τῶν ιβʹ πρὸς τὸν ϛʹ λόγος διπλάσιος διαιρεῖται εἰς τε τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν ιβʹ πρὸς τὰ θʹ καὶ εἰς τὸν ἡμιόλιον τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ . ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ , τὸ μὲν γὰρ διὰ πέντε τριῶν τόνων ἐστὶ καὶ ἡμιτονίου , ὁ δὲ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ , φαίνεται καὶ τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου ὑπερέχειν [ ἐν ] ἐπογδόῳ · ἀπὸ γὰρ ἡμιολίου λόγου οἷον τοῦ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ ἀφαιρεθέντος τοῦ 〈 ἐπιτρίτου 〉 λόγου τῶν ηʹ πρὸς τὰ Ϛʹ λείπεται λόγος ἐπόγδοος ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ · καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν ιβʹ προς τὰ θʹ συμπληροῦται λόγος ἡμιόλιος τῶν ιβʹ πρὸς τὰ ή . καὶ μὴν ἐπεὶ τὸ μὲν διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ λόγῳ , τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ , τὸ ἐξ ἀμφοῖν ἐν λόγῳ τῶν ηʹ πρὸς τὰ γʹ · τῶν μὲν γὰρ γʹ ἐπίτριτα τὰ δʹ , τούτων δὲ διπλάσια τὰ ή . τὸ δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίονι · ὁ γὰρ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος συντιθέμενοι τοῦτον ποιοῦσιν · ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ , διπλάσιος δὲ ὁ τῶν ιηʹ πρὸς τὰ θʹ · καὶ γίνεται τριπλάσιος ὁ λόγος τῶν ιηʹ πρὸς τὰ ϛ΄ . ὁμοίως δὲ τὸ δὶς διὰ πασῶν ἐν λόγῳ τετραπλασίῴ · οὗτος γὰρ σύγκειται ἐκ δύο διπλασίων · τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ διπλάσια τὰ ιβʹ , τούτων δὲ τὰ κδʹ , ταῦτα δὲ [ τὰ ] τετραπλάσια τῶν Ϛ΄ . ἢμᾶλλον , ὡς κατʼ ἀρχὰς ἐδείξαμεν , ἐπισυντεθεὶς ὁ τριπλάσιος ἐπιτρίτῳ ποιεῖ τετραπλάσιον · ἔστι δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος ὁ λόγος , τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος · ἐξ ἀμφοῖν δὲ τούτοιν τὸ δίς ἐστι διὰ πασῶν · εἰκότως οὖν τοῦτο ἐν λόγῳ φαίνεται τετραπλασίῳ · τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τριπλάσια τὰ ιηʹ , τούτων δὲ ἐπίτριτα τὰ κδʹ , ἅτινά ἐστι τετρα - πλάσια τῶν ϛ΄ . καὶ πάλιν τῶν μὲν Ϛʹ ἐπίτριτα τὰ ή , τούτων δὲ τριπλάσια τὰ κδʹ , ἅ ἐστι τετραπλάσια τῶν Ϛ΄ . καὶ τὰ ἐκ τούτωον δὲ συντιθέμενα ἐν τούτοις εὑρε - θήσεται οῖς λόγοις , ἐφʼ ὅσον ἂν προαγάγωμεν τὰ συστήματα .
Lemmas: οὗτος μέν περί ὁ εὕρεσις ὁ συμφωνία · ἐπήν - ἔρχομαι δέ ἐπί ὁ ὑπό ὁ Ἄδραστος παραδίδωμι . φημί γάρ ὅτι οὗτος ὁ εἰς ὁ ἀνεύρεσις ὁ συμ - φωνίον ὄργανον κατά μέν ὁ λόγος προπαρασκευή - ἵημι ὁ αἴσθησις ἐπιμαρτυρέω , ὁ δέ αἴσθησις προς - λαμβάνω ὁ λόγος ἐφαρμόζω . πῶς δέ καί ὁ ὁ λεγό - μένω ἡμιτόνιον περιέχω φθόγγος πρός ἀλλήλων εἰμί ἐν λόγος ὁ ὁ σνςʹ πρός σμγ , μικρός ὕστερον εἰμί φανερός . δῆλος δέ ὅτι καί ὁ σύνθεσις καί ὁ διαίρεσις ὁ συμφωνία ὁμόλογος καί συνῳδός θέω - ῥέω ὁ ὁ κατά οὗτος λόγος σύνθεσις τε καί διαίρεσις ὅς πρόσθεν μηνύω . οἷον ἐπεί ὁ διά πᾶς ἐπίτεξ τε ὁ δᾶ πέντε καί διά τέσσαρες σῦς - τίθημι καί εἰς οὗτος διαιρέω , λόγος δέ ὁ μέν διά πᾶς διπλάσιος , ὁ δέ διά τέσσαρες ἐπίτριτος , ὁ δέ διά πέντε ἡμιόλιος , φαίνω [ ὅτι ] καί ὁ διπλάσιος λόγος συντίθημι τε ἐκ ὁ ἐπίτριτος τε καί ἡμιόλιος καί εἰς οὗτος διαιρέω · ὁ μέν γάρ ϛʹ ὁ ηʹ ἐπί - τρίτος , ὁ δέ ηʹ ὁ ιβʹ ἡμιόλιος · καί γίγνομαι ὁ ιβʹ ὁ ϛʹ διπλάσιος · ϛʹ ηʹ ιβʹ . πάλιν δέ ὁ ὁ ιβʹ πρός ὁ ϛʹ λόγος διπλάσιος διαιρέω εἰς τε ὁ ἐπίτριτος λόγος ὁ ιβʹ πρός ὁ θʹ καί εἰς ὁ ἡμιόλιος ὁ θʹ πρός ὁ ϛʹ . ἐπεί δέ καί ὁ διά πέντε ὁ διά τέσσαρες ὑπερέχω τόνος , ὁ μέν γάρ διά πέντε τρεῖς τόνος εἰμί καί ἡμιτόνιον , ὁ δέ τόνος ἐν ἐπόγδοος λόγος , φαίνω καί ὁ ἡμιόλιος ὁ ἐπίτριτος ὑπερέχω [ ἐν ] ἐπόγδοος · ἀπό γάρ ἡμιόλιος λόγος οἷος ὁ ὁ θʹ πρός ὁ ϛʹ ἀφαιρέω ὁ 〈 ἐπίτριτος 〉 λόγος ὁ ηʹ πρός ὁ ϛʹ λείπω λόγος ἐπόγδοος ὁ ὁ θʹ πρός ὁ ηʹ · καί πάλιν οὗτος ὁ λόγος προστίθημι ἐπίτριτος λόγος ὁ ὁ ιβʹ πρός ὁ θʹ συμπληρόω λόγος ἡμιόλιος ὁ ιβʹ πρός ὁ ή . καί μήν ἐπεί ὁ μέν διά πᾶς ἐν διπλάσιος λόγος , ὁ δέ διά τέσσαρες ἐν ἐπίτριτος , ὁ ἐκ ἄμφω ἐν λόγος ὁ ηʹ πρός ὁ γʹ · ὁ μέν γάρ γʹ ἐπίτριτος ὁ δʹ , οὗτος δέ διπλάσιος ὁ ή . ὁ δέ διά πᾶς καί διά πέντε ἐν λόγος τριπλασίων · ὁ γάρ ἡμιόλιος καί διπλάσιος συντίθημι οὗτος ποιέω · ἡμιόλιος μέν γάρ ὁ ὁ θʹ πρός ὁ ϛʹ , διπλάσιος δέ ὁ ὁ ιηʹ πρός ὁ θʹ · καί γίγνομαι τριπλάσιος ὁ λόγος ὁ ιηʹ πρός ὁ ϛʹ . ὅμοιος δέ ὁ δίς διά πᾶς ἐν λόγος τετραπλάσιος · οὗτος γάρ σύγκειμαι ἐκ δύο διπλασίων · ὁ μέν γάρ ϛʹ διπλάσιος ὁ ιβʹ , οὗτος δέ ὁ κδʹ , οὗτος δέ [ ὁ ] τετραπλάσιος ὁ ϛʹ . ἅμαλλος , ὡς κατά ἀρχή δείκνυμι , ἐπισυντίθημι ὁ τριπλάσιος ἐπίτριτος ποιέω τετραπλάσιος · εἰμί δέ ὁ μέν διά πᾶς καί διά πέντε τριπλάσιος ὁ λόγος , ὁ δέ διά τέσσαρες ἐπίτριτος · ἐκ ἄμφω δέ οὗτος ὁ δίς εἰμί διά πᾶς · ἔοικα οὖν οὗτος ἐν λόγος φαίνω τετραπλάσιος · ὁ μέν γάρ ϛʹ τριπλάσιος ὁ ιηʹ , οὗτος δέ ἐπίτριτος ὁ κδʹ , ὅστις εἰμί τετρᾶς - πλάσια ὁ ϛʹ . καί πάλιν ὁ μέν ϛʹ ἐπίτριτος ὁ ή , οὗτος δέ τριπλάσιος ὁ κδʹ , ὅς εἰμί τετραπλάσιος ὁ ϛʹ . καί ὁ ἐκ έτωος δέ συντίθημι ἐν οὗτος εὑρίσκω - τίθημι Βρυσωνοθρασυμαχειοληψικέρματος λόγος , ἐπί ὅσος ἄν προάγω ὁ σύστημα .