theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 45
ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν - ταγωνικοὺς καὶ κατὰ τὰ λοιπὰ σχήματα λόγους ἔχουσι δυνάμει οἱ ἀριθμοί , οὕτως καὶ πλευρικοὺς καὶ διαμε - τρικοὺς λόγους εὕροιμεν ἂν κατὰ τοὺς σπερματικοὺς λόγους ἐμφανιζομένους τοῖς ἀριθμοῖς . ἐκ γὰρ τούτων ῥυθμίζεται τὰ σχήματα . ὥσπερ οὖν πάντων τῶν σχημά - των κατὰ τὸν ἀνωτάτω καὶ σπερματικὸν λόγον ἡ μονὰς ἄρχει , οὕτως καὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς λόγος ἐν τῇ μονάδι εὑρίσκεται . οἷον ἐκτίθενται δύο μονάδες , ὧν τὴν μὲν θῶμεν εἶναι διάμετρον , τὴν δὲ πλευράν , ἐπειδὴ τὴν μονάδα , πάντων οὖσαν ἀρχήν , δεῖ δυνάμει καὶ πλευρὰν εἶναι καὶ διάμετρον . καὶ προστίθεται τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρος , τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευραί , ἐπειδὴ ὅσον ἡ πλευρὰ δὶς δύναται , ἡ διάμετρος ἅπαξ . ἐγένετο οὖν μείζων μὲν ἡ διάμετρος , ἐλάττων δὲ ἡ πλευρά . καὶ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πλευρᾶς τε καὶ δια - μέτρου εἴη ἂν τὸ ἀπὸ τῆς μονάδος διαμέτρου τετράγω - νον μονάδι μιᾷ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μονά - δος πλευρὰς τετραγώνου · ἐν ἰσότητι γὰρ αἱ μονάδες · τὸ δʼ ἓν τοῦ ἑνὸς μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον . προσ - θῶμεν δὴ τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον , τουτέστι τῇ μονάδι μονάδα · ἔσται ἡ πλευρὰ ἄρα δύο μονάδων · τῇ δὲ δια - μέτρῳ προσθῶμεν δύο πλευράς , τουτέστι τῇ μονάδι δύο μονάδας · ἔσται ἡ διάμετρος μονάδων τριῶν · καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς δυάδος πλευρᾶς τετράγωνον δ΄ , τὸ δʼ ἀπο τῆς τρίαδος διαμέτρου τετράγωνον θ΄ · τὸ θ΄ ἄρα μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς β΄ πλευρᾶς . πάλιν προσθῶμεν τῇ μὲν β΄ πλευρᾷ διάμετρον τὴν τρίαδα · ἔσται ἡ πλευρὰ ε΄ · τῇ δὲ τρίαδι διαμέτρῳ β΄ πλευράς , τουτέστι δὶς τὰ β΄ · ἔσται ζ΄ · ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς 〈 ε΄ 〉 πλευρᾶς τετράγωνον κε΄ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ζ΄ 〈 διαμέτρου 〉 μθ΄ · μονάδι ἔλασσον ἢ διπλάσιον τοῦ κε΄ ἄρα τὸ μθ΄ . πάλιν ἂν τῇ 〈 ε΄ 〉 πλευρᾷ προσθῇς τὴν ζ΄ διάμετρον , ἔσται ιβ΄ · κἂν τῇ ζ΄ διαμέτρῳ προσθῇς δὶς τὴν ε΄ πλευ - ράν , ἔσται ιζ΄ · καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ιβ΄ τετραγώνου τὸ ἀπὸ τῆς ιζ΄ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον . καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς τῆς προσθήκης ὁμοίως γιγνομένης , ἔσται τὸ ἀνάλογον ἐναλλάξ · ποτὲ μὲν μονάδι ἔλαττον , ποτὲ δὲ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς · καὶ ῥηταὶ αἱ τοιαῦται καὶ πλευραὶ καὶ τδιάμεροι .
Lemmas: ὥσπερ δέ τριγωνικός καί τετραγωνικός καί Πεν - ταγωνικα καί κατά ὁ λοιπός σχῆμα λόγος ἔχω δύναμις ὁ ἀριθμός , οὕτως καί πλευρικός καί διαμένω - τρικα λόγος εὑρίσκω ἄν κατά ὁ σπερματικός λόγος ἐμφανίζω ὁ ἀριθμός . ἐκ γάρ οὗτος ῥυθμίζω ὁ σχῆμα . ὥσπερ οὖν πᾶς ὁ σχῆμα - ὁ κατά ὁ ἄνω καί σπερματικός λόγος ὁ μονή ἄρχω , οὕτως καί ὁ διάμετρος καί ὁ πλευρά λόγος ἐν ὁ μονάς εὑρίσκω . οἷος ἐκτίθημι δύο μονάς , ὅς ὁ μέν τίθημι εἰμί διάμετρος , ὁ δέ πλευρά , ἐπειδή ὁ μονάς , πᾶς εἰμί ἀρχή , δέω δύναμις καί πλευρά εἰμί καί διάμετρος . καί προστίθημι ὁ μέν πλευρά διάμετρος , ὁ δέ διάμετρος δύο πλευρά , ἐπειδή ὅσος ὁ πλευρόν δίς δύναμαι , ὁ διάμετρος ἅπαξ . γίγνομαι οὖν μέγας μέν ὁ διάμετρος , ἐλαχύς δέ ὁ πλευρόν . καί ἐπί μέν ὁ πρῶτος πλευρά τε καί δα - μέτρον εἰμί ἄν ὁ ἀπό ὁ μονάς διάμετρος τράγος - νος μονάς εἷς ἐλαχύς ἤ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ μονή - δ πλευρά τετράγωνος · ἐν ἰσότης γάρ ὁ μονάς · ὁ δέ εἷς ὁ εἷς μονάς ἐλαχύς ἤ διπλάσιος . προς - τίθημι δή ὁ μέν πλευρά διάμετρος , τουτέστι ὁ μονάς μονάς · εἰμί ὁ πλευρόν ἄρα δύο μονάς · ὁ δέ δα - μέτρον προστίθημι δύο πλευρά , τουτέστι ὁ μονάς δύο μονάς · εἰμί ὁ διάμετρος μονάς τρεῖς · καί ὁ μέν ἀπό ὁ δυάς πλευρά τετράγωνος δʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ τριάς διάμετρος τετράγωνος θʹ · ὁ θʹ ἄρα μονάς μέγας ἤ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ βʹ πλευρά . πάλιν προστίθημι ὁ μέν βʹ πλευρά διάμετρος ὁ τριάς · εἰμί ὁ πλευρόν πέντε · ὁ δέ τριάς διάμετρον βʹ πλευρά , τουτέστι δίς ὁ βʹ · εἰμί ζʹ · εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ 〈 πέντε 〉 πλευρά τετράγωνος κε# , ὁ δέ ἀπό ὁ ζʹ 〈 διάμετρος 〉 μθʹ · μονάς ἐλαχύς ἤ διπλάσιος ὁ κε# ἄρα ὁ μθʹ . πάλιν ἐάν ὁ 〈 πέντε 〉 πλευρά προστίθημι ὁ ζʹ διάμετρος , εἰμί ιβʹ · ἐάν ὁ ζʹ διάμετρον προστίθημι δίς ὁ πέντε πλεύς - Ραν , εἰμί ιζʹ · καί ὁ ἀπό ὁ ιβʹ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ιζʹ μονάς πολύς ἤ διπλάσιος . καί κατά ὁ ἑξῆς ὁ προσθήκη ὅμοιος γίγνομαι , εἰμί ὁ ἀνάλογος ἐναλλάξ · ποτέ μέν μονάς ἐλαχύς , ποτέ δέ μονάς πολύς ἤ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ πλευρά · καί ῥητός ὁ τοιοῦτος καί πλευρά καί τδιάμεροι .