theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 100
ἀντιπεπόνθασι δʼ αἱ λοιπαὶ τῶν κινήσεων κατὰ πυκνοῦ τοῦ ἐπογδόου τόνου καὶ ἐπιτρίτου διὰ τεσσά - ρων καὶ ἡμιολίου διὰ πέντε τοῦ κανόνος . ἐπεὶ τὸ ἡμιό - λιον μὲν διὰ πέντε τοῦ ἐπιτρίτου διὰ τεσσάρων ἐπογ - δόῳ τόνῳ ὑπερέχει — οἷον ληφθέντος ἀριθμοῦ ὃς ἔχει καὶ ἣμισυ καὶ τρίτον τοῦ Ϛ΄ , τούτου ἐπίτριτος μὲν ὁ η΄ , ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄ τὰ δὲ θ΄ τῶν η΄ ἐπόγδοα · Ϛ΄η΄ θ΄ · γίνεται ἡ ὑπεροχὴ τοῦ [ η΄ ] ἡμιολίου πρὸς τὸ ἐπίτριτον ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ — , τὸ δʼ ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν ἐπογδόων καὶ τοῦ διεσιαίου λείμματος · καταπυ - κνωτέον αὐτὰ τοῖς ἐπογδόοις τόνοις καὶ τοῖς διεσιαίοις λείμμασι . καταπυκνωθείη δʼ ἂν ἀρχομένων ἡμῶν 〈 ἀπὸ τῆς 〉 νήτης ὑπερβολαίων . τὸ γὰρ ὄγδοον τοῦ μέχρι τῆς τελευτῆς διαστήματος ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν διάτο - νον τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ βαρυτέραν αὐτῆς . τοῦ δὲ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαν - τες ἕζομεν τὴν τρίτην τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ τῆς δια - τόνου βαρυτέραν . καὶ τὸ λοιπὸν εἰς τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἔσται τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλή - ρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων . πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς νήτης διεζευγμένων ἕως τῆς τε - λευτῆς διαστήματος τὸ μὲν ἔνατον λαβόντες καὶ ὑπο - βιβάσαντες ἕξομεν τόνῳ ὀξυτέραν τῆς νήτης διεζευγμέ - νων τὴν χρωματικὴν ὑπερβολαίων . τὸ δὲ ὄγδοον ὑπερ - βιβάσαντες ἕξομεν τὴν παρανήτην διεζευγμένων · ἡ αὐτὴ δὲ καὶ διάτονος καὶ νήτη συνημμένων , τόνῳ βαρυτέρα τῆς νήτης διεζευγμένων . τοῦ δʼ ἀπὸ τῆς νήτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον λαβόντες καὶ ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην τῶν διεζευγμένων τόνῳ βαρυτέραν · ἡ δὲ αὐτὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐστίν . ὁμοίως δὲ τοῦ ἀπὸ ταύτης ἔως τῆς τελευτῆς διαστήματος τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην συνημμένων τόνῳ βαρυτέραν . τὸ δὲ λοιπὸν εἰς τὴν μέσην ἔσται τὸ διε - σιαῖον λεῖμμα εἰς τὴν τοῦ διὰ πασῶν συντέλειαν . ἀπὸ . δὲ τῆς μέσης τὸν αὐτὸν τρόπον 〈 τὸ ἔνατον 〉 ὑποβιβά - σαντες ἕξομεν τὴν παραμέσην ἢ τὴν χρωματικὴν συνημ - μένων , τόνῳ ὀξυτέραν τῆς μέσης . ταύτης δὲ τὸ ἔνατον ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τὴν χρωματικὴν διεζευγμένων . τὸ ὄγδοον δὲ τῆς μέσης ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τῶν μέσων διάτονον τόνῳ βαρυτέραν τῆς μέσης , εἶτα τὸ ἀπὸ ταύτης ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες τὴν παρυπάτην 〈 τῶν μέσων 〉 ταύτης τόνῳ βαρυτέραν . καὶ ἔστι τὸ λοι - πὸν εἰς τὴν ὑπάτην τῶν μέσων τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν μέσην . ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης τὸ μὲν ἔνατον ὑποβιβάσασιν—ἡ χρω - ματικὴ τῶν μέσων ἔσται τόνῳ ὀξυτέρα . τὸ ὄγδοον δὲ ὑπερβιβάσασιν ἔχειν τὴν ὑπερυπάτην συμβήσεται . ταύ - της δὲ τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσασι παρυπάτη ὑπατῶν γενή - σεται . ἐξ ἀναστροφῆς δὲ ἀπὸ τοῦ προσλαμβανομένου τέμνουσι τὸ ὅλον διάστημα εἰς θ΄ καὶ ἓν ὑπολείπουσι κατὰ τὸ ἐναντίον 〈 τῶν 〉 νητῶν , ὑπατῶν ὑπάτη γενήσε - ται τόνῳ τῆς ὅλης ὀξυτέρα , συγκλείουσα τὸ τῶν ὑπα - τῶν τετράχορδον τῷ πρὸς τὴν παρυαπάτην λείμματι . καὶ οὕτως συμπληρωθήσεται τὸ πᾶν ἀμετάβολον σύ - στημα κατὰ τὸ διάτονον καὶ χρωματικὸν γένος . τὸ δὲ ἐναρμόνιον ἐζαιρουμένων τῶν διατόνων καθʼ ἕκαστον τετράχορδον διπλῳδουμένων γίνεται . εὕροιμεν δʼ ἂν ταῦτα καὶ ἐν ἀριθμοῖς ἀπὸ τῆς νήτης τῶν ὑπερβολαίων ὡρχόμενοι , ὑποτεθείσης αὐτῆς μυρίων τξη΄ · οἱ ἐφεξῆς ἐπόγδοοί τε καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τοὺς προειρημένους λό - γους λαμβάνονται , οὓς περίεργον ἐκτιθέναι · ῥᾴδιον δὲ τῷ παρηκολουθηκότι τοῖς προειρημένοις .
Lemmas: ἀντιπάσχω δέ ὁ λοιπός ὁ κίνησις κατά πυκνός ὁ ἐπόγδοος τόνος καί ἐπίτριτος διά Τέσσα - ῥόος καί ἡμιόλιος διά πέντε ὁ κανών . ἐπεί ὁ μου - Λιόν μέν διά πέντε ὁ ἐπίτριτος διά τέσσαρες ἐπογ - δόῳ τόνος ὑπερέχω — οἷος λαμβάνω ἀριθμός ὅς ἔχω καί ἥμισυς καί τρίτος ὁ ϛʹ , οὗτος ἐπίτριτος μέν ὁ ηʹ , ἡμιόλιος δέ ὁ θʹ ὁ δέ θʹ ὁ ηʹ ἐπόγδοος · ὅς θʹ · γίγνομαι ὁ ὑπεροχή ὁ [ ηʹ ] ἡμιόλιος πρός ὁ ἐπίτριτος ἐν λόγος ἐπόγδοος — , ὁ δέ ἐπίτριτος διά τέσσαρες ἐκ δύο ἐπόγδοος καί ὁ διεσιαῖος λεῖμμα · καταπυ - κνωτέον αὐτός ὁ ἐπόγδοος τόνος καί ὁ διεσιαῖος λεῖμμα . καταπυκνόω δέ ἄν ἄρχω ἐγώ 〈 ἀπό ὁ 〉 νήτη ὑπερβολαῖος . ὁ γάρ ὄγδοος ὁ μέχρι ὁ τελευτή διάστημα ὑπερβιβάζω ἔχω ὁ διάτο - νος ὁ ὑπερβολαῖος τόνος βαρύς αὐτός . ὁ δέ ἀπό οὗτος ἕως ὁ τελευτή ὁ ὄγδοος ὑπερβιβάζω - αἱρέω ἕζομαι ὁ τρίτος ὁ ὑπερβολαῖος τόνος ὁ δα - τόνος βαρύς . καί ὁ λοιπός εἰς ὁ νήτη ὁ διαζεύγνυμαι εἰμί ὁ διεσιαῖος λεῖμμα πρός Συμπλή - ῥῶσις ὁ διά τέσσαρες πρός ὁ νήτη ὑπερβολαῖος . πάλιν δέ ὁ ἀπό ὁ νήτη διαζεύγνυμαι ἕως ὁ τε - λευος διάστημα ὁ μέν ἔνατος λαμβάνω καί ὑπο - βιβάζω ἔχω τόνος ὀξύς ὁ νήτη διαζευγμός - σαίνω ὁ χρωματικός ὑπερβολαῖος . ὁ δέ ὄγδοος ὑπερ - βιβάζω ἔχω ὁ παρανήτη διαζεύγνυμαι · ὁ αὐτός δέ καί διάτονος καί νήτη συνάπτω , τόνος βαρύς ὁ νήτη διαζεύγνυμαι . ὁ δέ ἀπό ὁ νήτη ἕως ὁ τελευτή ὁ ὄγδοος λαμβάνω καί ὑπερβιβάζω ἔχω ὁ τρίτος ὁ διαζεύγνυμαι τόνος βαρύς · ὁ δέ αὐτός καί διάτονος συνάπτω εἰμί . ὅμοιος δέ ὁ ἀπό οὗτος ἕως ὁ τελευτή διάστημα ὁ ὄγδοος ὑπερβιβάζω ἔχω ὁ τρίτος συνάπτω τόνος βαρύς . ὁ δέ λοιπός εἰς ὁ μέσος εἰμί ὁ δῖος - σιαιω λεῖμμα εἰς ὁ ὁ διά πᾶς συντέλεια . ἀπό . δέ ὁ μέσος ὁ αὐτός τρόπος 〈 ὁ ἔνατος 〉 υποβιβαζω - ἀτιμόω ἔχω ὁ παραμέση ἤ ὁ χρωματικός συνημ - μένω , τόνος ὀξύς ὁ μέσος . οὗτος δέ ὁ ἔνατος ὑποβιβάζω ἔχω ὁ χρωματικός διαζεύγνυμαι . ὁ ὄγδοος δέ ὁ μέσος ὑπερβιβάζω ἔχω ὁ ὁ μέσος διάτονος τόνος βαρύς ὁ μέσος , εἶτα ὁ ἀπό οὗτος ὄγδοος ὑπερβιβάζω ὁ παρυπάτη 〈 ὁ μέσος 〉 οὗτος τόνος βαρύς . καί εἰμί ὁ Λόι - πος εἰς ὁ ὑπάτη ὁ μέσος ὁ διεσιαῖος λεῖμμα πρός συμπλήρωσις ὁ διά τέσσαρες πρός ὁ μέσος . ἀπό δέ ὁ ὑπάτη ὁ μέν ἔνατος ὑποβιβάζω χράω - ματικὴ ὁ μέσος εἰμί τόνος ὀξύς . ὁ ὄγδοος δέ ὑπερβιβάζω ἔχω ὁ ὑπορρυπάω συμβαίνω . ταῦ - ὁ δέ ὁ ὄγδοος ὑπερβιβάζω παρυπάτη ὑπάτη γενή - σέτα . ἐκ ἀναστροφή δέ ἀπό ὁ προσλαμβάνω τέμνω ὁ ὅλος διάστημα εἰς θʹ καί εἷς ὑπολείπω κατά ὁ ἐναντίος 〈 ὁ 〉 νήτη , ὑπάτη ὑπάτη γίγνομαι - ται τόνος ὁ ὅλος ὀξύς , συγκλείω ὁ ὁ ὑπα - ὁ τετράχορδος ὁ πρός ὁ παρυαπατη λεῖμμα . καί οὕτως συμπληρόω ὁ πᾶς ἀμετάβολος σῦς - στῆμα κατά ὁ διάτονος καί χρωματικός γένος . ὁ δέ ἐναρμόνιος εζαιρουμην ὁ διάτονος κατά ἕκαστος τετράχορδος διπλῳδέομαι γίγνομαι . εὑρίσκω δέ ἄν οὗτος καί ἐν ἀριθμός ἀπό ὁ νήτη ὁ ὑπερβολαῖος Ὀρχομενός , ὑποτίθημι αὐτός μυρίος τξηʹ · ὁ ἐφεξῆς ἐπόγδοος τε καί ὁ λοιπός κατά ὁ προλέγω λό - πέλαγος λαμβάνω , ὅς περίεργος ἐκτίθημι · ῥᾴδιος δέ ὁ παρακολουθέω ὁ προλέγω .