theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 72
εὑρέθη δὲ ὁ τόνος οὕτως . ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ ἐφάνη ὄν , τὸ δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιο - λίῳ , ἐλήφθη ἀριθμὸς ὁ πρῶτος ἔχων ἢμισυ καὶ τρίτον · ἔστι δὲ οὐτος ὁ ς . τούτου ἐπίτριτος μέν ἐστιν ὁ η΄ , ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄ . Ϛʹ ηʹ θ΄ . τὸ δὴ διάστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμιολίου ἐπὶ τὸ ἐπίτριτον εὑρέθη ἐν λόγῳ μὲν ἐπογδόῳ · τὰ γὰρ θʹ τῶν ηʹ ἐπόγδοα · ἡ δὲ τάσις ἐλέχθη τόνος . ὅτι δὲ ὁ τόνος δίχα οὐ διαιρεῖται δῆλον οὕτω . πρῶτον μὲν ὁ ἐπόγδοος πυθμὴν τὸ διάστημα ἔχει μονάδα , ἥτις ἀδιαίρετος . εἶτα ἐν μὲν ἀριθμῷ οὐκ ἀεὶ εἰς ἴσα τέμνε - ται τὸ ἐπόγδοον διάστημα . καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν σιϚʹ πρὸς σμγʹ ἡ ὑπεροχὴ κζʹ οὐ τέμνεται εἰς ἴσα , ἀλλὰ εἰς ιγʹ καὶ εἰς ιδ · μονὰς γὰρ οὐ διαιρεῖται . ἐπεὶ δὲ ὁ τόνος ὁ μέν τις νοήσει λαμβάνεται , ὁ δὲ ἐν ἀριθμοῖς , ὁ δὲ ἐν διαστήμασιν , ὁ δὲ διʼ ἀκοῆς ἐν φωναῖς , οὕτε 〈 ὁ 〉 ἐν ἀριθμοῖς εἰς ἴσα ἀεὶ τέμνεται , ὡς δέδεικται , οὕτε ὁ ἐν αἰσθητοῖς καὶ ὁρατοῖς διαστήμασιν . ἐπὶ γὰρ τοῦ κανόνος αἰσθητὸς ὢν ὁ ὑποβολεὺς πάντως ἔξει τι πλάτος καὶ οὐκ ἔσται οὕτως ἀπλατής , ὡς μὴ πάντως τι ἐπιλαβεῖν ἐν τῇ διαιρέσει τοῦ τόνου καὶ τοῦ πέρατος τοῦ πρώήτου μέρους καὶ τῆς πρώτης ἀρχῆς τοῦ δευτέρου , καὶ διὰ τοῦτο ἀπαναλωθήσεταί τι τοῦ τόνου . ἔτι ἐν ταῖς διαιρέσεσι τρία ἐστί , δύο μὲν τὰ διαιρούμενα , τρίτον δὲ τὸ ἐξαιρούμενον . τῶν δὲ διαι - ρουμένων ἀπʼ αὐτῆς τῆς διαιρέσεως ὡς ἐπὶ πρίονος ἐν τῇ τομιῇ ἀναλοῦταί τι τὸ ἐξαιρούμενον ὑπʼ αὐτῆς τῆς τομῆς . ὡς οὖν ἐπʼ ἐνίων αἰσθητῶν ἐξαιρεῖταί τι , οὕτω καὶ ἐπὶ πάντων κἂν ἐκφεύγῃ τὴν αἴσθησιν πάν - τως ἀναλωθήσεταί τι ἐν τῇ τομῇ . δόρυ γοῦν ἢ κάλαμον ἢ ἄλλο ὁτιοῦν αἰσθητὸν μὴκος ἂν πρὶν ἢ διελεῖν μετρήσῃς , ἔπειτα διέλῃς εἰς πολλὰ μέρη , εὑρήσεις τὸ τῶν διαιρουμένων πάντων κοινὸν μέτρον ἔλαττον ὄν τοῦ ὅλου πρὶν ἢ διῃρῆσθαι . ἔτι χορδὴν ἂν διέλῃς , εἶτα διακόψῃς , ἡ ἔκτασις μετὰ τὴν διακοπὴν ἀνέδραμε , κἄν πάλιν τὰ διακοπέντα τείνῃς , ἀνάγκη ἀφῃρῆσθαί τι τοῦ μεγέθους εἰς τὰς ἐξάψεις τῶν ἑκατέρωθεν ἁφῶν τοῦ τεινομένου . καὶ διὰ τοὔτο οὐκί ἔσται τέλεια δύο ἡμι - τόνια . οὐ μὴν οὐδʼ ἐπὶ τῶν φωνῶν εὑρίσκεται εἰς ἴσα ἡ τομὴ τοῦ τόνου . μελῳδήσας γὰρ τόνον καὶ τόνον μελῳδῶ πάλιν τοῦ ἑνὸς τόνου τὰ δύο ἡμιτόνια ἐν τρισὶ φθόγγοις , δυσὶ δὲ διαστήμασιν ἀναβαίνων τ τάσει . ὁ δὴ τρίτος φθόγγος τοῦ δευτέρου ὀξύτερος ἔσται , καὶ διέστηκεν ἀπὸ μὲν τοῦ πρῶίου τόνον , ἀπὸ δὲ τοῦ δευ - τέρου δοκεῖ μὲν ἡμιτόνιον , οὐ μὴν ὅμοιον ἡμιτόνιον οὐδὲ οἷον ὁ δεύτερος ἀπὸ τοῦ πρώτου · οὐ γὰρ δύναται ὅμοιον εἶναι τὸ βαρύτερον τῷ ὀξυτέρῳ . οὐδὲ γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ φθόγγου ἂν δὶς μελῳδῆσαι θέλωμεν ιακό - ψαντες τὴν φωνήν , τὸν αὐτὸν ἦχον ἀποδώσομεν , ἀλλʼ ἀνάγκη γενέσθαι τινὰ διαφοράν , ἥτις λήσει τὴν ἀκοήν . οὐδὲ γὰρ κεντῆσαι ταὐτὸν καὶ ὅμοιον δὶς οἷόν τε , οὐδὲ πλῆξαι τὴν αὐτὴν χορδὴν δὶς ὁμοίως , ἀλλὰ ἢ λαγαρώ - τερον ἢ σφοδρότερον , οὐδὲ βάψαι δὶς εἰς τὸ αὐτὸ ὑγρὸν ὁμοίως , οὐδὲ βάψαντα τὸ αὐτὸ ἀνενεγκεῖν διὰ δακτύ - λου ἢ μέλανος ἢ μέλιτος ἢ πίττης . ὁ δὲ νοήσει ληπτὸς τόνος δύναται νοεῖσθαι καὶ εἰς ἴσα διαιρούμενος .
Lemmas: εὑρίσκω δέ ὁ τόνος οὕτως . ἐπειδή ὁ διά τέσσαρες ἐν ἐπίτριτος λόγος φαίνω εἰμί , ὁ δέ διά πέντε ἐν μου - λίος , λαμβάνω ἀριθμός ὁ πρῶτος ἔχω ἥμισυς καί τρίτος · εἰμί δέ οὗτος ὁ ϛ . οὗτος ἐπίτριτος μέν εἰμί ὁ ηʹ , ἡμιόλιος δέ ὁ θʹ . ϛʹ ηʹ θʹ . ὁ δή διάστημα ὁ ἀπό ὁ ἡμιόλιος ἐπί ὁ ἐπίτριτος εὑρίσκω ἐν λόγος μέν ἐπόγδοος · ὁ γάρ θʹ ὁ ηʹ ἐπόγδοος · ὁ δέ τάσις λέγω τόνος . ὅτι δέ ὁ τόνος δίχα οὐ διαιρέω δῆλος οὕτως . πρῶτος μέν ὁ ἐπόγδοος πυθμήν ὁ διάστημα ἔχω μονάς , ὅστις ἀδιαίρετος . εἶτα ἐν μέν ἀριθμός οὐ ἀεί εἰς ἴσος τέμνω - ται ὁ ἐπόγδοος διάστημα . καί γάρ ἐπί ὁ σιϛʹ πρός σμγʹ ὁ ὑπεροχή κζʹ οὐ τέμνω εἰς ἴσος , ἀλλά εἰς ιγʹ καί εἰς ὁράω · μονή γάρ οὐ διαιρέω . ἐπεί δέ ὁ τόνος ὁ μέν τις νόησις λαμβάνω , ὁ δέ ἐν ἀριθμός , ὁ δέ ἐν διάστημα , ὁ δέ διά ἀκοή ἐν φωνή , ἵημι 〈 ὁ 〉 ἐν ἀριθμός εἰς ἴσος ἀεί τέμνω , ὡς δείκνυμι , ἵημι ὁ ἐν αἰσθητός καί ὁρατός διάστημα . ἐπί γάρ ὁ κανών αἰσθητός εἰμί ὁ ὑποβολεύς πάντως ἔχω τις πλάτος καί οὐ εἰμί οὕτως ἀπλατής , ὡς μή πάντως τις ἐπιλαμβάνω ἐν ὁ διαίρεσις ὁ τόνος καί ὁ πέρας ὁ πρώτης μέρος καί ὁ πρῶτος ἀρχή ὁ δεύτερος , καί διά οὗτος ἀπαναλίσκω τις ὁ τόνος . ἔτι ἐν ὁ διαίρεσις τρεῖς εἰμί , δύο μέν ὁ διαιρέω , τρίτος δέ ὁ ἐξαιρέω . ὁ δέ διά - ῥέω ἀπό αὐτός ὁ διαίρεσις ὡς ἐπί πρίων ἐν ὁ τομιῇ ἀναλόω τις ὁ ἐξαιρέω ὑπό αὐτός ὁ τομή . ὡς οὖν ἐπί ἔνιοι αἰσθητός ἐξαιρέω τις , οὕτως καί ἐπί πᾶς ἐάν ἐκφεύγω ὁ αἴσθησις πᾶς - πως ἀναλίσκω τις ἐν ὁ τομή . δόρυ γοῦν ἤ κάλαμος ἤ ἄλλος ὁστισοῦν αἰσθητός μῆκος ἐάν πρίν ἤ διαιρέω μετρέω , ἔπειτα διαιρέω εἰς πολύς μέρος , εὑρίσκω ὁ ὁ διαιρέω πᾶς κοινός μέτρον ἐλαχύς εἰμί ὁ ὅλος πρίν ἤ διαιρέω . ἔτι χορδή ἐάν διαιρέω , εἶτα διακόπτω , ὁ ἔκτασις μετά ὁ διακοπή ἀνατρέχω , ἐάν πάλιν ὁ διακόπτω τείνω , ἀνάγκη ἀφαιρέω τις ὁ μέγεθος εἰς ὁ ἔξαψις ὁ ἑκατέρωθεν ἁφή ὁ τείνω . καί διά οὗτος οὐ εἰμί τέλειος δύο ἡμι - Τόνια . οὐ μήν οὐδέ ἐπί ὁ φωνή εὑρίσκω εἰς ἴσος ὁ τομή ὁ τόνος . μελῳδέω γάρ τόνος καί τόνος μελῳδέω πάλιν ὁ εἷς τόνος ὁ δύο ἡμιτόνιον ἐν τρεῖς φθόγγος , δύο δέ διάστημα ἀναβαίνω τ τάσις . ὁ δή τρίτος φθόγγος ὁ δεύτερος ὀξύς εἰμί , καί διΐστημι ἀπό μέν ὁ Πρωίου τόνος , ἀπό δέ ὁ δήω - τέρας δοκέω μέν ἡμιτόνιον , οὐ μήν ὅμοιος ἡμιτόνιον οὐδέ οἷος ὁ δεύτερος ἀπό ὁ πρῶτος · οὐ γάρ δύναμαι ὅμοιος εἰμί ὁ βαρύς ὁ ὀξύς . οὐδέ γάρ ἐπί ὁ αὐτός φθόγγος ἐάν δίς μελῳδέω ἐθέλω ἰακός - ψαντες ὁ φωνή , ὁ αὐτός ἦχος ἀποδίδωμι , ἀλλά ἀνάγκη γίγνομαι τις διαφορά , ὅστις λανθάνω ὁ ἀκοή . οὐδέ γάρ κεντάω αὐτός καί ὅμοιος δίς οἷος τε , οὐδέ πλήσσω ὁ αὐτός χορδή δίς ὅμοιος , ἀλλά ἤ λαγαρός - τέρος ἤ σφοδρός , οὐδέ βάπτω δίς εἰς ὁ αὐτός ὑγρός ὅμοιος , οὐδέ βάπτω ὁ αὐτός ἀναφέρω διά δακτύ - Λοῦ ἤ μέλας ἤ μέλι ἤ πίσσα . ὁ δέ νόησις ληπτός τόνος δύναμαι νοέω καί εἰς ἴσος διαιρέω .