theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 187
δεικτέον δὲ καὶ τὸ ἀναστρέφον . ἔστω γὰρ πάλιν ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ᾱγ , καὶ κέντρον τὸ θ , ἡλίου δὲ κύκλος ἔκκεντρος ελυξ · καὶ ἔστω ἀπογειότατον μὲν αὐτοῦ τὸ ε ὑπὸ ε΄ ς΄ μοῖραν τῶν Διδύμων , κέντρον δὲ ἐπὶ τῇ αθ τὸ η · καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ , διαστήματι δὲ τῷ ηε , κύκλος ὁ μονξ . πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ μ , διαστήματι δὲ τῷ με , κύκλος γεγράφθω ὁ εζηκ · δῆλον οὖν ὡς οὗτος ἔσται ὁ αὐτὸς τῷ ἐπικύκλῳ . λέγω δὴ ὅτι ὁ ἥλιος κινούμενος ὁμαλῶς κατὰ τοῦ ελυξ ἐκκέντρον γράψει κατὰ συμβεβη - κὸς καὶ τὸν εζηκ ἐπίκυκλον φερόμενον ὁμαλῶς κατὰ τοῦ μονξ καὶ ἰσοχρονίως τῷ ἡλίῳ . ἐνηνέχθω γὰρ ὁ ἥλιος τυχοῦσάν τινα περιφέρειαν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν επ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πη , καὶ 〈 ἡ 〉 ρθ παράλληλος , ἴση δὲ τῇ θη ἡ ορ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πο . ἐπεὶ οὖν αἱ ηθ πο ἴσαι ἔσονται καὶ παράλληλοι , ἔστι δὲ ἡ θη ἴση τῇ με , τουτ - έστι τῇ ορ τῇ οπ , ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ ο , διαστήματι δὲ τῷ ορ γραφόμενος κύκλος ὕξει καὶ διὰ τοῦ π , καὶ ὁ αὐτὸς ἔσται τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ . γεγράφθω οὖν ὁ πρχ · ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους αἱ τ φ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις , ἐν δὲ τοῖς κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐφʼ ὁμοίων περιφερειῶν βεβήκασιν , ἐν δὲ τοῖς ἴσοις καὶ ἐπὶ ἴσων , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις , αἱ ρπ επ μεο περιφέρειαι [ δὲ ] ὅμοιαι ἔσονται ἀλλήλαις , αἱ δὲ επ μο καὶ ἴσαι . ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν επ περιφέρειαν ἐκινήθη τοῦ ἐκκέντρου , ἐν τούτῳ καὶ τὸ μ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου , τὴν μο περι - φέρειαν ἐνεχθέν , τὸν εζη ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν πρχ μετή - νεγκε , καὶ ὁ ἥλιος τὴν επ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου διανύσας , ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ε , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ρ , καὶ τὴν ρπ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν ὁμοίαν ἔγραψε . τὸ δʼ αὐτὸ δειχθήσεται καὶ κατὰ πᾶσαν κίνησιν ποιούμενος · ὥστε καὶ ὅλον διανύσας τὸν ἔκκεντρον ὁ ἥλιος ὅλον γράψει τὸν ἐπίκυκλον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δείκνυμι δέ καί ὁ ἀναστρέφω . εἰμί γάρ πάλιν ζῳδιακός μέν ὁ αβγδʹ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ αγ , καί κέντρον ὁ θ̅ , ἥλιος δέ κύκλος ἔκκεντρος ελυξʹ · καί εἰμί ἀπόγαιος μέν αὐτός ὁ ε ὑπό πέντε ς΄ μοῖρα ὁ Δίδυμος , κέντρον δέ ἐπί ὁ αθʹ ὁ η̅ · καί γράφω κέντρον μέν ὁ θ̅ , διάστημα δέ ὁ ηεʹ , κύκλος ὁ μονξ . πάλιν κέντρον μέν ὁ μ , διάστημα δέ ὁ ἐγώ , κύκλος γράφω ὁ εζηκʹ · δῆλος οὖν ὡς οὗτος εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐπίκυκλος . λέγω δή ὅτι ὁ ἥλιος κινέω ὁμαλής κατά ὁ ελυξʹ ἔκκεντρος γράφω κατά συμβαίνω - γυνή καί ὁ εζηκʹ ἐπίκυκλος φέρω ὁμαλής κατά ὁ μονξʹ καί ἰσοχρόνιος ὁ ἥλιος . φέρω γάρ ὁ ἥλιος τυγχάνω τις περιφέρεια ἐπί ὁ ἔκκεντρος ὁ επ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ πη , καί 〈 ὁ 〉 ρθʹ παράλληλος , ἴσος δέ ὁ θη ὁ ορ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ πο . ἐπεί οὖν ὁ ηθʹ πο ἴσος εἰμί καί παράλληλος , εἰμί δέ ὁ θη ἴσος ὁ ἐγώ , οὗτος - εἰμί ὁ ορ ὁ οπʹ , ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ ο̅ , διάστημα δέ ὁ ορ γράφω κύκλος ὕξει καί διά ὁ π , καί ὁ αὐτός εἰμί ὁ εζηκʹ ἐπίκυκλος . γράφω οὖν ὁ πρχ · ἐπεί οὖν διά ὁ παράλληλος ὁ τ φ̅ γωνία ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ἐν δέ ὁ κύκλος ὁ ἴσος γωνία ἐπί ὅμοιος περιφέρεια βαίνω , ἐν δέ ὁ ἴσος καί ἐπί ἴσος , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον εἰμί ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια , ὁ ρπʹ επʹ Μέο περιφέρεια [ δέ ] ὅμοιος εἰμί ἀλλήλων , ὁ δέ επʹ μοʹ καί ἴσος . ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ ἥλιος ὁ επ περιφέρεια κινέω ὁ ἔκκεντρος , ἐν οὗτος καί ὁ μ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , ὁ μο περί - φέρω φέρω , ὁ εζη ἐπίκυκλος ἐπί ὁ πρχ μέτειμι - νεγκε , καί ὁ ἥλιος ὁ επ ἐπί ὁ ἔκκεντρος διανύω , ἄρχω ἀπό ὁ ε , τουτέστι ἀπό ὁ ρ̅ , καί ὁ ρ̅π̅ ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια ὅμοιος γράφω . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί κατά πᾶς κίνησις ποιέω · ὥστε καί ὅλος διανύω ὁ ἔκκεντρος ὁ ἥλιος ὅλος γράφω ὁ ἐπίκυκλος · ὅς δέω δείκνυμι .