theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 75
τῶν δὲ λόγων οἱ μέν εἰσι μείζονες , οἱ δὲ ἐλάττονες , οἱ δʼ ἔσσι . ὁ μὲν οὖν ἴσος εἶς καὶ ὁ αὐτὸς λόγος καὶ προηγεῖται πάντων τῶν λόγων καὶ ἔστι στοιχειώδης . ἴσοι δέ εἰσιν οἱ κατὰ τὴν αὐτὴν ποσότητα ἐξεαζόμενοι πρὸς ἀλλήλους , οἷον ἕν πρὸς ἕν καὶ βʹ πρὸς βʹ καὶ ιʹ πρὸς ιʹ καὶ ρʹ πρὸς ρ . τῶν δὲ μειζόνων οἱ μὲν πολλα - πλάσιοι , οἱ δὲ ἐπιμόριοι , οἱ δὲ οὐδέτεροι . ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι , οἱ δὲ ὑπε - πιμόριοι , οἱ δʼ οὐδέτεροι . τούτων δὲ οἱ μὲν ἐν συμ - φωνίᾳ εἰσίν , οἱ δʼ οὔ . αἰ μὲν οὑν συμφωνίαι τῶν πολλαπλασίων ὅ τε διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος καὶ ὁ τετραπλάσιος , ἐν δὲ ἐπιμορίοις ἡμιόλιος ἐπίτριτος , ἐν οὐδετέρῳ δὲ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ΄ , καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑπο - τριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ ὁ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ὑπεπόγδοος καὶ ὁ τῶν σμγʹ πρὸς σνς . καὶ ὁ μὲν διπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν εὑρίσκεται συμφωνίᾳ , ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται , ὁ δὲ τρίπλασιος ἐν τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε , ὁ δὲ τετραπλάσιος ἐν τῇ δὶς διὰ πασῶν , ὁ δʼ ἡμιόλιος ἐν τῇ διὰ πέντε , ὁ δʼ ἐπίτριτος ἐν τῇ διὰτεσσάρων , ὁ δʼ ἐπόγδοος τόνος ἐστίν , ὁ δὲ τῶν σνςʹ πρὸς σμγʹ ἐν λείμματι . ὁμοίως δὲ καὶ οἱ τούτων ὑπεναντίοι . ἐν οὐδετέρῳ δέ εἰσι λόγῳ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ , ὅτι οὕτε ἐν συμι - φωνίαις εἰσὶν οὕτε ἔξω συμφωνίας · ὁ γὰρ τόνος καὶ τὸ λεῖμμα ἀρχαὶ μέν εἰσι συμφωνίας καὶ συμπληρωτικαὶ συμφωνίας , οὔπω δὲ συμφωνίαι . λέγονται δέ τινες ἐν ἀριθμητικῇ λόγοι ἀριθμῶν οὐ μόνον πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι , ἀλλὰ καὶ ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἔτι πλείους , περὶ ὧν ἐφεξῆς σαφέστερον παραδώσο - μεν . συνέστηκε δὲ τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος , τὸ δὲ διὰ πέντε ἐκ τριῶν τόνων καὶ λείμματος , τὸ δὲ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων . ἐκ δὲ τούτων εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν .
Lemmas: ὁ δέ λόγος ὁ μέν εἰμί μέγας , ὁ δέ ἐλαχύς , ὁ δέ εἰμί . ὁ μέν οὖν ἴσος εἷς καί ὁ αὐτός λόγος καί προηγέομαι πᾶς ὁ λόγος καί εἰμί στοιχειώδης . ἴσος δέ εἰμί ὁ κατά ὁ αὐτός ποσότης εξεαζομενω πρός ἀλλήλων , οἷος εἷς πρός εἷς καί βʹ πρός βʹ καί ιʹ πρός ιʹ καί ρʹ πρός ρ . ὁ δέ μέγας ὁ μέν πολύς - πλάσις , ὁ δέ ἐπιμόριος , ὁ δέ οὐδέτερος . ὅμοιος δέ καί ὁ ἐλαχύς ὁ μέν ὑποπολλαπλάσιος , ὁ δέ ΥΠΕ - πιμοριος , ὁ δέ οὐδέτερος . οὗτος δέ ὁ μέν ἐν συμ - φωνίον εἰμί , ὁ δέ οὐ . ὁ μέν οὖν συμφωνία ὁ πολλαπλασίων ὁ τε διπλάσιος καί ὁ τριπλάσιος καί ὁ τετραπλάσιος , ἐν δέ ἐπιμόριος ἡμιόλιος ἐπίτριτος , ἐν οὐδέτερος δέ ὁ τε ἐπόγδοος καί ὁ ὁ σνςʹ πρός σμγʹ , καί ὁ οὗτος ὑπεναντίος ὁ τε ὑποδιπλάσιος καί ὁ ὑπο - τριπλάσιος καί ὁ ὑποτετραπλάσιος καί ὁ ὑφημιόλιος καί ὁ ὑπεπίτριτος καί ὁ ὑπεπόγδους καί ὁ ὁ σμγʹ πρός σνς . καί ὁ μέν διπλάσιος ἐν ὁ διά πᾶς εὑρίσκω συμφωνία , ὡς ἐπάνω ἀποδείκνυμι , ὁ δέ τριπλάσιος ἐν ὁ διά πᾶς καί διά πέντε , ὁ δέ τετραπλάσιος ἐν ὁ δίς διά πᾶς , ὁ δέ ἡμιόλιος ἐν ὁ διά πέντε , ὁ δέ ἐπίτριτος ἐν ὁ διὰτεσσάρων , ὁ δέ ἐπόγδοος τόνος εἰμί , ὁ δέ ὁ σνςʹ πρός σμγʹ ἐν λεῖμμα . ὅμοιος δέ καί ὁ οὗτος ὑπεναντίος . ἐν οὐδέτερος δέ εἰμί λόγος ὁ τε ἐπόγδοος καί ὁ ὁ σνςʹ πρός σμγ , ὅτι ἵημι ἐν συμ - φωνιος εἰμί ἵημι ἔξω συμφωνία · ὁ γάρ τόνος καί ὁ λεῖμμα ἀρχή μέν εἰμί συμφωνία καί συμπληρωτικός συμφωνία , οὔπω δέ συμφωνία . λέγω δέ τις ἐν ἀριθμητικός λόγος ἀριθμός οὐ μόνος πολλαπλάσιος καί ἐπιμόριος , ἀλλά καί ἐπιμερής καί πολλαπλασιεπιμερής καί ἔτι πολύς , περί ὅς ἐφεξῆς σαφής παραδίδωμι - μέν . συνίστημι δέ ὁ μέν διά τέσσαρες ἐκ δύο τόνος καί λεῖμμα , ὁ δέ διά πέντε ἐκ τρεῖς τόνος καί λεῖμμα , ὁ δέ διά πᾶς ἐκ ὁ διά πέντε καί διά τέσσαρες . ἐκ δέ οὗτος εἰμί ὁ προηγέομαι ὁ ἀναλογία .