ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 1
Ὅτι μὲν οὐχ οἷόν τε συνεῖναι τῶν μαθηματικῶς λεγομένων παρὰ Πλάτωνι μὴ καὶ αὐτὸν ἠσκημένον ἐν τῇ θεωρίᾳ ταύτῃ , πᾶς ἄν που ὁμολογήσειεν · ὡς δὲ οὐδὲ τὰ ἄλλα ἀνωφελὴς οὐδὲ ἀνόνητος ἡ περὶ ταῦτα ἐμπειρία , διὰ πολλῶν αὐτὸς ἐμφανίζειν ἔοικε . τὸ μὲν οὖν συμπάσης γεωμετρίας καὶ συμπάσης μουσικῆς καὶ ἀστρονομίας ἔμπειρον γενόμενον τοῖς Πλάτωνος συγ - γράμμασιν ἐντυγχάνειν μακαριστὸν μὲν εἴ τῳ γένοιτο , οὐ μὴν εὔπορον οὐδὲ ῥᾴδιον ἀλλὰ πάνυ πολλοῦ τοῦ ἐκ παίδων πόνου δεόμενον . ὥστε δὲ τοὺς διημαρτηκό - τας τοῦ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἀσκηθῆναι , ὀρεγομένους δὲ τῆς γνώσεως τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ μὴ παντάπασιν ὧν ποθοῦσι διαμαρτεῖν , κεφαλαιώδη καὶ σύντομον ποιησόμεθα τῶν ἀναγκαίων καὶ ὧν δεῖ μάλιστα τοῖς ἐντευξομένοις Πλάτωνι μαθηματικῶν θεωρημάτων παρά - δοσιν , ἀριθμητικῶν τε καὶ μουσικῶν καὶ γεωμετρικῶν τῶν τε κατὰ στερεομετρίαν καὶ ἀστρονομίαν , ὧν χωρὶς οὐχ οἷόν τε εἶναί φησι τυχεῖν τοῦ ἀρίστου βίου , διὰ πολ - λῶν πάνυ δηλώσας ὡς οὐ χρὴ τῶν μαθημάτων ἀμελεῖν .
Lemmas: ὅτι μέν οὐ οἷος τε σύνειμι ὁ μαθηματικός λέγω παρά Πλάτων μή καί αὐτός ἀσκέω ἐν ὁ θεωρία οὗτος , πᾶς ἄν που ὁμολογέω · ὡς δέ οὐδέ ὁ ἄλλος ἀνωφελής οὐδέ ἀνόνητος ὁ περί οὗτος ἐμπειρία , διά πολύς αὐτός ἐμφανίζω ἔοικα . ὁ μέν οὖν σύμπας γεωμετρία καί σύμπας μουσική καί ἀστρονομία ἔμπειρος γίγνομαι ὁ Πλάτων συγ - γράμμα ἐντυγχάνω μακαριστός μέν εἰ τις γίγνομαι , οὐ μήν εὔπορος οὐδέ ῥᾴδιος ἀλλά πάνυ πολύς ὁ ἐκ παῖς πόνος δέω . ὥστε δέ ὁ διαμαρτάνω - της ὁ ἐν ὁ μάθημα ἀσκέω , ὀρέγω δέ ὁ γνῶσις ὁ σύγγραμμα αὐτός μή παντάπασι ὅς ποθέω διαμαρτάνω , κεφαλαιώδης καί σύντομος ποιέω ὁ ἀναγκαῖος καί ὅς δέω μάλα ὁ ἐντυγχάνω Πλάτων μαθηματικός θεώρημα παρά - δόσις , ἀριθμητικός τε καί μουσικός καί γεωμετρικός ὁ τε κατά στερεομετρία καί ἀστρονομία , ὅς χωρίς οὐ οἷος τε εἰμί φημί τυγχάνω ὁ ἀγαθός βίος , διά πολ - λάω πάνυ δηλόω ὡς οὐ χρή ὁ μάθημα ἀμελέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 2
Ἐρατοσθένης μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ Πλα - τωνικῷ φησιν ὅτι , Δηλίοις τοῦ θεοῦ χρήσαντος ἐπὶ ἀπαλλαγῇ λοιμοῦ βωμὸν τοῦ ὄντος διπλασίονα κατα - σκευάσαι , πολλὴν ἀρχιτέκτοσιν ἐμπεσεῖν ἀπορίαν ζη - τοῦσιν ὅπως χρὴ στερεὸν στερεοῦ γενέσθαι διπλάσιον , ἀφικέσθαι τε πευσομένους περὶ τούτου Πλάτωνος . τὸν δὲ φάναι αὐτοῖς , ὡς ἄρα οὐ διπλασίου βωμοῦ ὁ θεὸς δεόμενος τοῦτο Δηλίοις ἐμαντεύσατο , προφέρων δὲ καὶ ὀνειδίζων τοῖς Ἕλλησιν ἀμελοῦσι μαθημάτων καὶ γεω - μετρίας ὠλιγωρηκόσιν .
Lemmas: Ἐρατοσθένης μέν γάρ ἐν ὁ ἐπιγράφω Πλα - τονικός φημί ὅτι , Δήλιος ὁ θεός χράω ἐπί ἀπαλλαγή λοιμός βωμός ὁ εἰμί διπλάσιος κατά - σκευάζω , πολύς ἀρχιτέκτων ἐμπίπτω ἀπορία ζῶ - Τούσιν ὅπως χρή στερεός στερεός γίγνομαι διπλάσιος , ἀφικνέομαι τε πυνθάνομαι περί οὗτος Πλάτων . ὁ δέ φημί αὐτός , ὡς ἄρα οὐ διπλάσιος βωμός ὁ θεός δέω οὗτος Δήλιος μαντεύομαι , προφέρω δέ καί ὀνειδίζω ὁ Ἕλλην ἀμελέω μάθημα καί γεόω - μέτριος ὀλιγωρέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 3
ἀκολούθως δὲ τῇ τοῦ Πυθίου παραινέσει πολλὰ καὶ αὐτὸς διέξεισιν ὑπὲρ τοῦ ἐν τοῖς μαθήμασι χρησίμου . ἔν τε γὰρ τῇ Ἐπινομίδι προτρέπων ἐπὶ τὰ μαθήματάφησιν · οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ποτέ τις ἐν πόλει εὐδαιμόνων γενήσεται φύσις , · ἀλλʼ οὗτος ὁ τρόπος , αὕτη ἡ τροφή , ταῦτα τὰ μαθήματα , εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια , διὰ ταύ - της ἰτέον · ἀμελῆσαι δὲ οὐ θεμιτόν ἐστι θεῶν . καὶ ἐν τοῖς ἐφεξῆς τὸν τοιοῦτόν φησιν ἐκ πολλῶν ἕνα γεγονότα εὐδαίμονά τε ἔσεσθαι καὶ σοφώτατον ἅμα καὶ μακάριον .
Lemmas: ἀκόλουθος δέ ὁ ὁ Πύθιος παραίνεσις πολύς καί αὐτός διεξέρχομαι ὑπέρ ὁ ἐν ὁ μάθημα χρήσιμος . ἐν τε γάρ ὁ Ἐπινομίς προτρέπω ἐπί ὁ μαθήματάφησιν · οὐ γάρ ἄνευ οὗτος ποτέ τις ἐν πόλις εὐδαίμων γίγνομαι φύσις , · ἀλλά οὗτος ὁ τρόπος , οὗτος ὁ τροφή , οὗτος ὁ μάθημα , εἴτε χαλεπός εἴτε ῥᾴδιος , διά ταῦ - της ἔρχομαι · ἀμελέω δέ οὐ θεμιτός εἰμί θεός . καί ἐν ὁ ἐφεξῆς ὁ τοιοῦτος φημί ἐκ πολύς εἷς γίγνομαι εὐδαίμων τε εἰμί καί σοφός ἅμα καί μακάριος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 4
ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ φησίν · ἐκ τῶν κε΄ ἐτῶν οἱ προ - κριθέντες τιμάς τε τῶν ἄλλων μείζους οἴσονται , τά τε χύδην μαθήματα πᾶσιν ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα τούτοις συνακτέον εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαθημάτων καὶ τῆς το ὄντος φύσεως . παραινεῖ τε πρῶτον μὲν ἔμπειρον γενέσθαι ἀριθμητικῆς , ἔπειτα γεω - μετρικῆς , τρίτον δὲ στερεομετρίας , τέταρτον ἀστρονο - μίας , ἥν φησιν εἶναι θεωρίαν φερομένου στερεοῦ , πέμ - πτον δὲ μουσικῆς . τό τε χρήσιμον παραδεικνὺς τῶν μαθημάτων φησίν · ἡδὺς εἶ , ὅτι ἔοικας δεδιέναι , μὴ ἄχρηστα τὰ μαθήματα προστάττοιμι . τὸ δʼ ἔστιν οὐ πάνυ φαύλοις , ἀλλὰ πᾶσι χαλεπὸν πιστευθῆναι , ὅτι ἐν τούτοις τοῖς μαθήμασιν ἑκάστου οἷον ὀργάνοις τὸ ψυ - χῆς ἐκκαθαίρεται καὶ ἀναζωπυρεῖται ὄμμα τυφλούμενον καὶ ἀποσβεννύμενον ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων , κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων ὀμμάτων · μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήθεια ὁρᾶται .
Lemmas: ἐν δέ ὁ Πολιτεία φημί · ἐκ ὁ κε# ἔτος ὁ προ - κρίνω τιμή τε ὁ ἄλλος μέγας φέρω , ὁ τε χύδην μάθημα πᾶς ἐν ὁ παιδεία γίγνομαι οὗτος συνακτέον εἰς σύνοψις οἰκειότης τε ἀλλήλων ὁ μάθημα καί ὁ το εἰμί φύσις . παραινέω τε πρῶτος μέν ἔμπειρος γίγνομαι ἀριθμητικός , ἔπειτα γεόω - μετρικός , τρίτος δέ στερεομετρία , τέταρτος ἀστρονο - μίας , ὅς φημί εἰμί θεωρία φέρω στερεός , πέμπω - πτον δέ μουσική . ὁ τε χρήσιμος παραδείκνυμι ὁ μάθημα φημί · ἡδύς εἰμί , ὅτι ἔοικα δείδω , μή ἄχρηστος ὁ μάθημα προστάσσω . ὁ δέ εἰμί οὐ πάνυ φαῦλος , ἀλλά πᾶς χαλεπός πιστεύω , ὅτι ἐν οὗτος ὁ μάθημα ἕκαστος οἷος ὄργανον ὁ ψυ - χάω ἐκκαθαίρω καί ἀναζωπυρέω ὄμμα τυφλόω καί ἀποσβέννυμι ὑπό ὁ ἄλλος ἐπιτήδευμα , κρατύς εἰμί σῴζω μυρίος ὄμμα · μόνος γάρ αὐτός ἀλήθεια ὁράω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 7
καὶ ἐν Πολιτείᾳ δὲ περὶ συμφωνίας τῆς κατὰ μου - σικήν φησι · καλλίστη καὶ μεγίστη τῶν περὶ πόλεων συμφωνιῶν ἐστιν ἡ σοφία , ἧς ὁ μὲν κατὰ λόγον ζῶν μέτοχος , ὁ δὲ ἀπολειηχόμενος οἰκοφθόρος καὶ περὶ πόλιν οὐδαμῇ σωτήριος , ἅτε τὰ μέγιστα ἀμαθαίνων .
Lemmas: καί ἐν Πολιτεία δέ περί συμφωνία ὁ κατά ἐγώ - σίκη φημί · καλός καί μέγας ὁ περί πόλις συμφωνία εἰμί ὁ σοφία , ὅς ὁ μέν κατά λόγος ζάω μέτοχος , ὁ δέ ἀπολείχω οἰκοφθόρος καί περί πόλις οὐδαμῇ σωτήριος , ἅτε ὁ μέγας ἀμαθαίνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 9
καὶ οἱ Πυθαγορικοὶ δέ , οἷς πολλαχῇ ἕπεται Πλάτων , τὴν μουσικήν φασιν ἐναντίων συναρμογὴν καὶ τῶν πολλῶν ἕνωσιν καὶ τῶν δίχα φρονούντων συμφρόνησιν · οὐ γὰρ ῥυθμῶν μόνον καὶ μέλους συντακτικήν , ἀλλʼ ἁπλῶς παντὸς συστήματος · τέλος γὰρ αὐτῆς τὸ ἑνοῦν τε καὶ συναρμόζειν . καὶ γὰρ ὁ θεὸς συναρμοστὴς τῶν διαφωνούντων , καὶ τοῦτο μέγιστον ἔργον θεοῦ κατὰ μουσικήν τε καὶ κατὰ ἰατρικὴν τὰ ἐχθρὰ φίλα ποιεῖν . ἐν μουσικῇ , φασίν , ἡ ὁμόνοια τῶν πραγμάτων , ἔτι καὶ ἀριστοκρατία τοῦ παντός · καὶ γὰρ αὕτη ἐν κόσμῳ μὲν ἁρμονία , ἐν πόλει δʼ εὐνομία , ἐν οἴκοις δὲ σωφροσύνη γίνεσθαι πέφυκε · συστατικὴ γάρ ἐστι καὶ ἑνωτικὴ τῶν πολλῶν · ἡ δὲ ἐνέργεια καὶ ἡ χρῆσις , φησί , τῆς ἐπιστή - μης ταύτης ἐπὶ τεσσάρων γίνεται τῶν ἀνθρωπίνων , ψυχῆς , σώματος , οἴκου , πόλεως · προσδεῖται γὰρ ταῦτα τὰ τέσσαρα συναρμογῆς καὶ συντάξεως .
Lemmas: καί ὁ Πυθαγορικός δέ , ὅς πολλαχῆ ἕπομαι Πλάτων , ὁ μουσικός φημί ἐναντίος συναρμογή καί ὁ πολύς ἕνωσις καί ὁ δίχα φρονέω συμφρόνησις · οὐ γάρ ῥυθμός μόνος καί μέλος συντακτικός , ἀλλά ἁπλῶς πᾶς σύστημα · τέλος γάρ αὐτός ὁ ἑνόω τε καί συναρμόζω . καί γάρ ὁ θεός συναρμοστής ὁ διαφωνέω , καί οὗτος μέγας ἔργον θεός κατά μουσική τε καί κατά ἰατρικός ὁ ἐχθρός φίλος ποιέω . ἐν μουσική , φημί , ὁ ὁμόνοια ὁ πρᾶγμα , ἔτι καί ἀριστοκρατία ὁ πᾶς · καί γάρ οὗτος ἐν κόσμος μέν ἁρμονία , ἐν πόλις δέ εὐνομία , ἐν οἶκος δέ σωφροσύνη γίγνομαι φύω · συστατικός γάρ εἰμί καί ἑνωτικός ὁ πολύς · ὁ δέ ἐνέργεια καί ὁ χρῆσις , φημί , ὁ ἐφίστημι - μήν οὗτος ἐπί τέσσαρες γίγνομαι ὁ ἀνθρώπινος , ψυχή , σῶμα , οἶκος , πόλις · προσδέω γάρ οὗτος ὁ τέσσαρες συναρμογή καί σύνταξις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 10
ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ Πλάτων ὑπὲρ τῶν μαθημάτων καὶ τάδε ἔφη · ἀγαθὸς δὲ ἀνὴρ ὅστις διασώζει τὴν ὀρθὴν δόξαν τῶν ἐκ παιδείας αὐτῷ ἐγγενομένων ἔν τε λύπαις καὶ ἡδοναῖς καὶ ἐπιθυμίαις καὶ φόβοις καὶ μὴ ἐκβάλλει . δέ μοι δοκεῖ ὅμοιον εἶναι , θέλω ἀπεικάσαι . οἱ νῦν βαφεῖς , ἐπειδὰν βουληθῶσι βάψαι ἔρια ὥστʼ εἶναι ἁλουργά , πρῶτον μὲν ἐκλέγονται ἐκ τοσούτων χρωμά - των μίαν φύσιν τὴν τῶν λευκῶν , ἔπειτα προκατα - σκευάζουσιν οὐκ ὀλίγῃ παρασκευῇ θεραπεύσαντες , ὅπως δέξηται ὅ τι μάλιστα τὸ ἄνθος , καὶ οὕτως βάπτουσι · καὶ ὃ μὲν ἂν τούτῳ τῷ τρόπῳ βαφῇ , ὁμοῦ τι τὸ βαφὲν καὶ ἡ φύσις , καὶ οὔτε ἄνευ ῥυμμάτων οὔτε μετὰ ῥομμάτων δύναται αὐτῶν τὸ ἄνθος ἀφαιρεῖσθαι · ἃ δʼ ἂν μή , οἶσθα οἷα δὴ γίνεται , ἂν μὴ προθεραπεύσας βάπτῃ , ἔκπλυτα καὶ ἐξίτηλα καὶ οὐ δευσοποιά . τοιοῦτο δὲ κατὰ δύναμιν ἐργάζεσθαι ἡγεῖσθαι χρὴ καὶ ἡμᾶς · παιδεύομεν γὰρ τοὺς παῖδας ἐν μουσικῇ τε καὶ γυμναστικῇ καὶ γράμμασι καὶ γεωμετρίᾳ καὶ ἐν ἀριθμητικῇ , οὐδὲν ἄλλο μηχανώμενοι , ἢ ὅπως ἡμεῖς προεκκαθάραντες καὶ προ - θεραπεύσαντες ὥσπερ τισὶ στυπτικοῖς τοῖς μαθήμασι τούτοις , τοὺς περὶ ἁπάσης ἀρετῆς ἣν ἂν ἐκμανθάνωσιν ὕστερον λόγους ἐνδείξοιντο ὥσπερ βαφήν , ἵνα δευσο - ποιὸς αὐτῶν ἡ δόξα γίνοιτο , διὰ τὸ τὴν φύσιν καὶ τροφὴν ἐπιτηδείαν ἐσχηκέναι , καὶ μὴ ἐκπλύνῃ αὐτῶν τὴν βαφὴν τὰ ῥύμματα ταῦτα , δεινὰ ὄντα ἐκκλύζειν , ἣ τε ἡδονή , παντὸς στρεβλοῦ δεινοτέρα οὖσα καὶ κοινω - νίας , λύπη τε καὶ φόβος καὶ ἐπιθυμία , παντὸς ἄλλου ῥύμματος .
Lemmas: ἐν δέ ὁ Πολιτεία Πλάτων ὑπέρ ὁ μάθημα καί ὅδε φημί · ἀγαθός δέ ἀνήρ ὅστις διασῴζω ὁ ὀρθός δόξα ὁ ἐκ παιδεία αὐτός ἐγγίγνομαι ἐν τε λύπη καί ἡδονή καί ἐπιθυμία καί φόβος καί μή ἐκβάλλω . δέ ἐγώ δοκέω ὅμοιος εἰμί , ἐθέλω ἀπεικάζω . ὁ νῦν βαφεύς , ἐπειδάν βούλομαι βάπτω ἔριον ὥστε εἰμί ἁλουργός , πρῶτος μέν ἐκλέγω ἐκ τοσοῦτος χρῶμα - ὁ εἷς φύσις ὁ ὁ λευκός , ἔπειτα προκατα - σκευάζω οὐ ὀλίγος παρασκευή θεραπεύω , ὅπως δέχομαι ὅς τις μάλα ὁ ἄνθος , καί οὕτως βάπτω · καί ὅς μέν ἄν οὗτος ὁ τρόπος βάπτω , ὁμοῦ τις ὁ βάπτω καί ὁ φύσις , καί οὔτε ἄνευ ῥύμμα οὔτε μετά ῥόμμα δύναμαι αὐτός ὁ ἄνθος ἀφαιρέω · ὅς δέ ἄν μή , οἶδα οἷος δή γίγνομαι , ἐάν μή προθεραπεύω βάπτω , ἔκπλυτος καί ἐξίτηλος καί οὐ δευσοποιός . τοιοῦτος δέ κατά δύναμις ἐργάζομαι ἡγέομαι χρή καί ἐγώ · παιδεύω γάρ ὁ παῖς ἐν μουσικός τε καί γυμναστικός καί γράμμα καί γεωμετρία καί ἐν ἀριθμητικός , οὐδείς ἄλλος μηχανάομαι , ἤ ὅπως ἐγώ προεκκαθαίρω καί προ - θεραπεύω ὥσπερ τις στυπτικός ὁ μάθημα οὗτος , ὁ περί ἅπας ἀρετή ὅς ἄν ἐκμανθάνω ὕστερον λόγος ἐνδείκνυμι ὥσπερ βαφή , ἵνα δεύω - ποιός αὐτός ὁ δόξα γίγνομαι , διά ὁ ὁ φύσις καί τροφή ἐπιτήδειος ἔχω , καί μή ἐκπλύνω αὐτός ὁ βαφή ὁ ῥύμμα οὗτος , δεινός εἰμί ἐκκλύζω , ὁ τε ἡδονή , πᾶς στρεβλός δεινός εἰμί καί κοινός - νία , λύπη τε καί φόβος καί ἐπιθυμία , πᾶς ἄλλος ῥύμμα .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 12
πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα ἔχοι τις ἂν λέγειν παρα - δεικνὺς τὸ τῶν μαθημάτων χρήσιμον καὶ ἀναγκαῖον . τοῦ δὲ μὴ δοκεῖν ἀπειροκάλως διατρίβειν 〈 ἐν 〉 τῷ τῶν μαθημάτων ἐπαίνῳ τρεπτέον ἤδη πρὸς τὴν παράδοσιν τῶν ἀναγκαίων κατὰ τὰ μαθήματα θεωρημάτων , οὐχ ὅσα δύναιτο ἂν τὸν ἐντυγχάνοντα ἢ ἀριθμητικὸν τελέως ἢ γεωμέτρην ἢ μουσικὸν ἢ ἀστρονόμον ἀποφήναι · οὐδὲ γάρ ἐστι τοῦτο προηγούμενον ἢ προκείμενον ἅπασι τοῖς Πλάτωνι ἐντυγχάνουσι · μόνα δὲ ταῦτα παραδώσο - μεν , ὅσα ἐξαρκεῖ πρὸς τὸ δυνηθῆναι συνεῖναι τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ . οὐδὲ γὰρ αὐτὸς ἀξιοῖ εἰς ἔσχατον γῆρας ἀφικέσθαι διαγράμματα γράφοντα καὶ μελῳδίαν , ἀλλὰ παιδικὰ οἴεται ταῦτα τὰ μαθήματα , προπαρα - σκευαστικὰ καὶ καθαρτικὰ ὄντα ψυχῆς εἰς τὸ ἐπιτήδειον αὐτὴν πρὸς φιλοσοφίαν γενέσθαι . μάλιστα μὲν οὖν χρὴ τὸν μέλλοντα οἷς τε ἡμεῖς παραδώσομεν οἷς τε Πλάτων συνέγραψεν ἐντεύξεσθαι διὰ γοῦν τῆς πρώτης γραμμικῆς στοιχειώσεως κεχωρηκέναι · ῥᾷον γὰρ ἂν ξυνέποιτο οἷς παραδώσομεν . ἔσται δʼ ὅμως τοιαῦτα καὶ τὰ παῤ ἡμῶν , ὡς καὶ τῷ παντάπασιν ἀμυήτῳ τῶν μαθημάτων γνώριμα γενέσθαι .
Lemmas: πολύς μέν οὖν καί ἄλλος ἔχω τις ἄν λέγω παρά - δείκνυμι ὁ ὁ μάθημα χρήσιμος καί ἀναγκαῖος . ὁ δέ μή δοκέω ἀπειρόκαλος διατρίβω 〈 ἐν 〉 ὁ ὁ μάθημα ἔπαινος τρεπτέον ἤδη πρός ὁ παράδοσις ὁ ἀναγκαῖος κατά ὁ μάθημα θεώρημα , οὐ ὅσος δύναμαι ἄν ὁ ἐντυγχάνω ἤ ἀριθμητικός τέλειος ἤ γεωμέτρης ἤ μουσικός ἤ ἀστρονόμος ἀποφαίνω · οὐδέ γάρ εἰμί οὗτος προηγέομαι ἤ πρόκειμαι ἅπας ὁ Πλάτων ἐντυγχάνω · μόνος δέ οὗτος παραδίδωμι - μέν , ὅσος ἐξαρκέω πρός ὁ δύναμαι σύνειμι ὁ σύγγραμμα αὐτός . οὐδέ γάρ αὐτός ἀξιόω εἰς ἔσχατος γῆρας ἀφικνέομαι διάγραμμα γράφω καί μελῳδία , ἀλλά παιδικός οἴομαι οὗτος ὁ μάθημα , προπαρα - σκευαστικός καί καθαρτικός εἰμί ψυχή εἰς ὁ ἐπιτήδειος αὐτός πρός φιλοσοφία γίγνομαι . μάλα μέν οὖν χρή ὁ μέλλω ὅς τε ἐγώ παραδίδωμι ὅς τε Πλάτων συγγράφω ἐντυγχάνω διά γοῦν ὁ πρῶτος γραμμικός στοιχείωσις χωρέω · ῥᾴδιος γάρ ἄν συνεφίημι ὅς παραδίδωμι . εἰμί δέ ὅμως τοιοῦτος καί ὁ παρά ἐγώ , ὡς καί ὁ παντάπασι ἀμύητος ὁ μάθημα γνώριμος γίγνομαι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 13
πρῶτον δὲ μνημονεύσομεν τῶν ἀριθμητικῶν θεωρη - μάτων , οἷς συνέζευκται καὶ τὰ τῆς ἐν ἀριθμοῖς μουσικῆς · τῆς μὲν γὰρ ἐνὸργάνοις οὐπαντάπασι προσδεόμεθα , καθα . καὶ αὐτὸς ὁ Πλάτων ἀφηγεῖται λέγων ὡς οὐ χρὴ ὥσπερ ἐκ γειτόνων φωνὴν θηρευομένους πράγματα παρέχειν ταῖς χορδαῖς · ὀρεγόμεθα δὲ τὴν ἐν κόσμῳ ἁρμονίαν καὶ τὴν ἐν τούτῳ μουσικὴν κατανοῆσαι · ταύτην δὲ οὐχ οἷόν τε κατιδεῖν μὴ τῆς ἐν ἀριθμοῖς πρ??τερον θεωρητι - κοὺς γενομιένους . διὸ καὶ πέμπτην ὁ Πλάτων φησὶν εἶναι τὴν μουσικήν , τὴν ἐν κόσμῳ λέγων , ἥτις ἐστὶν ἐν τῇ κινήσει καὶ τάξει καὶ συμφωνίᾳ τῶν ἐν αὐτῷ κινου - μένων ἄστρων . ἡμῖν δʼ ἀναγκαῖον δευτέραν αὐτὴν τάττειν μετὰ ἀριθμητικὴν καὶ κατʼ αὐτὸν τὸν Πλάτωνα , ἐπειδὴ οὐδʼ ἡ ἐν κόσμῳ μουσικὴ ληπτὴ ἄνευ τῆς ἐξαριθ - μουμένης καὶ νοουμένης μουσικῆς . ὥστε εἰ μὲν συνέ - ζευκται τῇ περὶ ψιλοὺς ἀριθμοὺς θεωρίᾳ ἡ ἐν ἀριθμοῖς μουσική , δευτέρα ἂν ταχθείη πρὸς τὴν τῆς ἡμετέρας θεωρίας εὐμάρειαν . πρὸς δὲ τὴν φυσικὴν τάξιν πρώτη μὲν ἂν εἴη ἡ περὶ ἀριθμοὺς θεωρία , καλουμένη ἀριθ - μητική · δευτέρα δὲ ἡ περὶ τὰ ἐπίπεδα , καλουμένη γεω - μετρία · τρίτη δὲ ἡ περὶ τὰ στερεά , ἥτις ἐστὶ στερεομε - τρία · τετάρτη 〈 δὲ 〉 ἡ περὶ τὰ κινούμενα στερεά , ἥτις ἐστὶν ἀστρονομία . ἡ δὲ τῆς τῶν κινήσεων καὶ διαστη - μάτων ποιὰ σχέσις ἐστὶ μουσική , ἥτις οὐχ οἵα τέ ἐστι ληφθῆναι μὴ πρότερον ἡμῶν αὐτὴν ἐν ἀριθμοῖς κατα - νοησάντων · διὸ πρὸς τήν ἡμετέραν θεωρίαν μετʼ ἀριθ - μητικὴν τετάχθω ἡ ἐν ἀριθμοῖς μουσική , ὡς δὲ πρὸς τὴν φύσιν πέμπτη 〈 ἡ 〉 τῆς τοὺ κόσμον ἁρμονίας θεωρη - τικὴ μουσική . κατὰ δὴ τοὺς Πυθαγορικοὺς πρεσβευτέα τὰ τῶν ἀριθμῶν ὡς ἀρχὴ καὶ πηγὴ καὶ ῥίζα τῶν πάντων .
Lemmas: πρῶτος δέ μνημονεύω ὁ ἀριθμητικός θεωρέω - ματάω , ὅς συζεύγνυμι καί ὁ ὁ ἐν ἀριθμός μουσικός · ὁ μέν γάρ οργανικός οὐπαντάπασι προσδέω , καθά . καί αὐτός ὁ Πλάτων ἀφηγέομαι λέγω ὡς οὐ χρή ὥσπερ ἐκ γείτων φωνή θηρεύω πρᾶγμα παρέχω ὁ χορδή · ὀρέγω δέ ὁ ἐν κόσμος ἁρμονία καί ὁ ἐν οὗτος μουσική κατανοέω · οὗτος δέ οὐ οἷος τε κατοράω μή ὁ ἐν ἀριθμός πρ??τερον θεωρέω - κός γενόμενος . διό καί πέμπτος ὁ Πλάτων φημί εἰμί ὁ μουσική , ὁ ἐν κόσμος λέγω , ὅστις εἰμί ἐν ὁ κίνησις καί τάξις καί συμφωνία ὁ ἐν αὐτός κινέω - μένω ἄστρον . ἐγώ δέ ἀναγκαῖος δεύτερος αὐτός τάσσω μετά ἀριθμητικός καί κατά αὐτός ὁ Πλάτων , ἐπειδή οὐδέ ὁ ἐν κόσμος μουσική ληπτός ἄνευ ὁ ἐξαριθ - μουμενω καί νοέω μουσική . ὥστε εἰ μέν συνέρχομαι - ζευκτός ὁ περί ψιλός ἀριθμός θεωρία ὁ ἐν ἀριθμός μουσική , δεύτερος ἄν τάσσω πρός ὁ ὁ ἡμέτερος θεωρία εὐμάρεια . πρός δέ ὁ φυσικός τάξις πρῶτος μέν ἄν εἰμί ὁ περί ἀριθμός θεωρία , καλέω ὁριθς - μητικός · δεύτερος δέ ὁ περί ὁ ἐπίπεδος , καλέω γεόω - μέτριος · τρίτος δέ ὁ περί ὁ στερεός , ὅστις εἰμί στερεόω - τρεῖς · τέταρτος 〈 δέ 〉 ὁ περί ὁ κινέω στερεός , ὅστις εἰμί ἀστρονομία . ὁ δέ ὁ ὁ κίνησις καί διΐστημι - ματάω ποιός σχέσις εἰμί μουσική , ὅστις οὐ οἷος τε εἰμί λαμβάνω μή πρότερος ἐγώ αὐτός ἐν ἀριθμός κατά - νοέω · διό πρός ὁ ἡμέτερος θεωρία μετά ὁριθς - μητικός τάσσω ὁ ἐν ἀριθμός μουσική , ὡς δέ πρός ὁ φύσις πέμπτος 〈 ὁ 〉 ὁ ὁ κόσμος ἁρμονία θεωρέω - τιμή μουσική . κατά δή ὁ Πυθαγορικός πρεσβευτής ὁ ὁ ἀριθμός ὡς ἀρχή καί πηγή καί ῥίζα ὁ πᾶς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 17
σύνθετοι δέ εἰσι πρὸς ἑαυτοὺς οἱ ὑπό τινος ἐλάτ - τονος ἀριθμοῦ μετρούμενοι , ὡς ὁ Ϛʹ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος . πρὸς ἀλλήλους δὲ σύνθετοι οἱ κοινῷ ᾡτινιοῦν μέτρῳ μετρούμενοι · ὡς ὁ ηʹ καὶ ὁ Ϛʹ [ καὶ ὁ θʹ ] · κοινὸν γὰρ ἔχουσι μέτρον δυάδα [ καὶ τριάδα ] · δὶς γὰρ γʹ Ϛʹ καὶ θὲς δʹ ηʹ [ καὶ τρὶς γʹ θʹ ] · 〈 καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ θʹ 〉 κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ τρίας · καὶ γὰρ τρὶς βʹ ϛʹ καὶ τρὶς γʹ θ΄ . οὔτε δὲ ἡ μονὰς ἀριθμὸς , ἀλλὰ ἀρχὴ ἀριθμοῦ , οὔτε ἡ ἀόριστος δυάς , πρώτη οὖσα ἑτερότης μονάδος καὶ μηδὲν αὐτῆς ἐν ἀρτίοις ἀρχικώτερον ἔχουσα . τῶν δὲ συνθέτων τοὺς μὲν ὑπὸ δύο ἀριθμῶν περιεχομένους καλοῦσιν ἐπιπέδους , ὡς κατὰ δύο διαστάσεις θεωρου - μένους καὶ οἷον ὑπὸ μήκους καὶ πλάτους περιεχομένους , τοὺς δὲ ὑπὸ τριῶν στερεούς , ὡς καὶ τὴν τρίτην διάστα - σιν προσειληφότας . περιοχὴν δὲ καλοῦσιν ἀριθμῶν τὸν διʼ ἀλλήλων αὐτῶν πολυπλασιασμόν .
Lemmas: σύνθετος δέ εἰμί πρός ἑαυτοῦ ὁ ὑπό τις ἐλατός - τόνος ἀριθμός μετρέω , ὡς ὁ ϛʹ ὑπό δυάς καί τριάς . πρός ἀλλήλων δέ σύνθετος ὁ κοινός ὅστις μέτρον μετρέω · ὡς ὁ ηʹ καί ὁ ϛʹ [ καί ὁ θʹ ] · κοινός γάρ ἔχω μέτρον δυάς [ καί τριάς ] · δίς γάρ γʹ ϛʹ καί τίθημι δʹ ηʹ [ καί τρίς γʹ θʹ ] · 〈 καί ὁ ϛʹ καί ὁ θʹ 〉 κοινός γάρ αὐτός μέτρον ὁ τρία · καί γάρ τρίς βʹ ϛʹ καί τρίς γʹ θʹ . οὔτε δέ ὁ μονή ἀριθμός , ἀλλά ἀρχή ἀριθμός , οὔτε ὁ ἀόριστος δυάς , πρῶτος εἰμί ἑτερότης μονάς καί μηδείς αὐτός ἐν ἄρτιος ἀρχικός ἔχω . ὁ δέ σύνθετος ὁ μέν ὑπό δύο ἀριθμός περιέχω καλέω ἐπίπεδος , ὡς κατά δύο διάστασις θεωρέω - μένος καί οἷος ὑπό μῆκος καί πλάτος περιέχω , ὁ δέ ὑπό τρεῖς στερεός , ὡς καί ὁ τρίτος διαστη - βρόχος προσλαμβάνω . περιοχή δέ καλέω ἀριθμός ὁ διά ἀλλήλων αὐτός πολυπλασιασμός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 18
τῶν δὲ ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ἀρτιάκις ἄρτιοι , οἱ δὲ κεριττάκις ἄρτιοι , οἱ δὲ ἀρτιοπέριττοι . ἀρτιάκις μὲν ἄρ - τιοι [ τὸ σημεῖον τοῦτό ἐστιν ] οἷς τρία συμβέβηκεν , ἓν τὸ ὑπὸ δύο ἀρτίων ἐπʼ ἀλλήλους πολυπλασιασθέντων γεγενῆσθαι , δεύτερον τὸ πάντα ἄρτια ἔχειν τὰ μέρη μέχρι τῆς εἰς μονάδα καταλήξεως , τρίτον τὸ μηδὲν αὐ - τῶν μέρος ὁμώνυμον εἶναι περιττῷ · ὁποῖοί εἰσιν ὁ λβ΄ ξδʹ ρκηʹ καὶ οἱ ἀπὸ τούτων ἑξῆς κατὰ τὸ διπλάσιον λαμβανόμενοι . τὰ γὰρ λβʹ γέγονε μὲν ἔκ τε δʹ καὶ ηʹ , ἅ ἐστιν ἄρτια · μέρη δὲ αὐτῶν πάντα ἄρτια , ἥμισυ ιϛʹ , τέταρτον ὁ ηʹ , ὄγδοον ὁ δʹ · αὐτά τε τὰ μόρια ὁμώνυμα ἀρτίοις , τό τε ἥμισυ ὡς ἐν δυάδι θεωρούμενον καὶ τέταρτον καὶ ὄγδοον . ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως ἀριθμῶν .
Lemmas: ὁ δέ ἄρτιος ὁ μέν εἰμί ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ δέ κεριττάκις ἄρτιος , ὁ δέ ἀρτιοπέρισσος . ἀρτιάκις μέν ἄρα - τίω [ ὁ σημεῖον οὗτος εἰμί ] ὅς τρεῖς συμβαίνω , εἷς ὁ ὑπό δύο ἄρτιος ἐπί ἀλλήλων πολυπλασιάζω γίγνομαι , δεύτερος ὁ πᾶς ἄρτιος ἔχω ὁ μέρος μέχρι ὁ εἰς μονάς κατάληξις , τρίτος ὁ μηδείς ἀ - ὁ μέρος ὁμώνυμος εἰμί περισσός · ὁποῖος εἰμί ὁ λβʹ ξδʹ ρκηʹ καί ὁ ἀπό οὗτος ἑξῆς κατά ὁ διπλάσιος λαμβάνω . ὁ γάρ λβʹ γίγνομαι μέν ἐκ τε δʹ καί ηʹ , ὅς εἰμί ἄρτιος · μέρος δέ αὐτός πᾶς ἄρτιος , ἥμισυς ιϛʹ , τέταρτος ὁ ηʹ , ὄγδοος ὁ δʹ · αὐτός τε ὁ μόριον ὁμώνυμος ἄρτιος , ὁ τε ἥμισυς ὡς ἐν δυάς θεωρέω καί τέταρτος καί ὄγδοος . ὁ δέ αὐτός λόγος καί ἐπί ὁ λοιπός ὅμοιος ἀριθμός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 19
ἀρτιοπέριττοι δέ εἰσιν οἱ ὑπὸ δυάδος καὶ περιττοῦ οὑτινοσοῦν μετρούμενοι , οἵτινες ἐκ παντὸς περιττὰ μέρη ἔχουσι τὰ ἡμίσεα κατὰ τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν · ὡς τὰ δὶς ζ΄ ιδ΄ . ἀρτιάκις μὲν γὰρ οὗτοι καλοῦνται περιττοί , ἐπεὶ ὑπὸ τῆς δυάδος ἀρτίας οὔσης μετροῦνται καὶ περισσοῦ τινος , ὁ μὲν δύο τοῦ ἑνός , ὁ δὲ ϛʹ τοῦ γʹ , ὁ δὲ ιʹ τοῦ ε΄ , ὁ δὲ ιδʹ τοῦ ζ΄ . διαιροῦνται δὲ οὗτοι τὴν πρώτην διαίρεσιν εἰς περιττόν , μετὰ δὲ τὴν πρώτην εἰς ἴσα διαίρεσιν οὐκ ἔτι διαιροῦνται . τῶν γὰρ ϛ΄ τὰ μὲν γ΄ ἥμισυ , τὰ δὲ γ΄ οὐκ ἔτι εἰς ἴσα διαιρεῖται · μονὰς γὰρ ἀδιαίρετος .
Lemmas: ἀρτιοπέρισσος δέ εἰμί ὁ ὑπό δυάς καί περισσός ὅστις μετρέω , ὅστις ἐκ πᾶς περισσός μέρος ἔχω ὁ ἥμισυς κατά ὁ εἰς ἴσος διαίρεσις · ὡς ὁ δίς ζʹ ιδʹ . ἀρτιάκις μέν γάρ οὗτος καλέω περισσός , ἐπεί ὑπό ὁ δυάς ἄρτιος εἰμί μετρέω καί περισσός τις , ὁ μέν δύο ὁ εἷς , ὁ δέ ϛʹ ὁ γʹ , ὁ δέ ιʹ ὁ πέντε , ὁ δέ ιδʹ ὁ ζʹ . διαιρέω δέ οὗτος ὁ πρῶτος διαίρεσις εἰς περισσός , μετά δέ ὁ πρῶτος εἰς ἴσος διαίρεσις οὐ ἔτι διαιρέω . ὁ γάρ ϛʹ ὁ μέν γʹ ἥμισυς , ὁ δέ γʹ οὐ ἔτι εἰς ἴσος διαιρέω · μονή γάρ ἀδιαίρετος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 20
περισσάκις δὲ ἄρτιοί εἰσιν ὧν ὁ πολλαπλασιασμὸς ἐκ δυεῖν ὡντινωνοῦν περισσοῦ καὶ ἀρτίου γίνεται , καὶ πολλαπλασιασθέντες εἰς ἴσα μὲν ἄρτια μέρη δίχα διαι - ροῦνται , κατὰ δὲ τὰς πλείους διαιρέσεις ἃ μὲν ἄρτια μέρη , ἃ δὲ περισσὰ ἔχουσιν · ὡς ὁ ιβ΄ καὶ κ΄ · τρὶς γὰρ δ΄ ιβ΄ , καὶ πεντάκις δ΄ κ΄ · καὶ τὰ μὲν ιβ΄ διχῆ διαιρεῖ - ται 〈 εἰς 〉 ϛ΄ καὶ ϛ΄ , τριχῇ δὲ εἰς δ΄ καὶ δ΄ καὶ δ΄ , τετραχῆ δὲ εἰς τετράκις γ΄ · τὰ δὲ κ΄ διχῆ μὲν εἰς ι΄ , τετραχῆ δὲ εἰς ε΄ , πενταχῆ δὲ εἰς δ΄ .
Lemmas: περισσάκις δέ ἄρτιος εἰμί ὅς ὁ πολλαπλασιασμός ἐκ δύο ὅστις περισσός καί ἄρτιος γίγνομαι , καί πολλαπλασιάζω εἰς ἴσος μέν ἄρτιος μέρος δίχα διά - ῥέω , κατά δέ ὁ πολύς διαίρεσις ὅς μέν ἄρτιος μέρος , ὅς δέ περισσός ἔχω · ὡς ὁ ιβʹ καί ἄν · τρίς γάρ δʹ ιβʹ , καί πεντάκις δʹ ἄν · καί ὁ μέν ιβʹ διχῆ διαιρέω - ται 〈 εἰς 〉 ϛʹ καί ϛʹ , τριχῇ δέ εἰς δʹ καί δʹ καί δʹ , τετραχῇ δέ εἰς τετράκις γʹ · ὁ δέ ἄν διχῆ μέν εἰς ιʹ , τετραχῇ δέ εἰς πέντε , πενταχῆ δέ εἰς δʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 21
ἔτι τῶν συνθέτων ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπίπεδοι , ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασθεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριθμόν , [ ὁ γεννηθεὶς ἰσάκις τε ἴσος καὶ τετράγωνός ἐστιν ] ὡς ὁ δ΄ , ἔστι γὰρ δὶς β΄ , καὶ ὁ θ΄ , ἔστι γὰρ τρὶς γ΄ · οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνι - σοι , ἐπειδὰν ἄνισοι ἀριθμιοὶ ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλα - σιασθῶσιν , ὡς ὁ ϛ΄ · ἔστι γὰρ δὶς γ΄ ϛ΄ .
Lemmas: ἔτι ὁ σύνθετος ἀριθμός ὁ μέν ἰσάκις ἴσος εἰμί καί τετράγωνος καί ἐπίπεδος , ἐπειδάν ἴσος ἐπί ἴσος πολλαπλασιάζω γεννάω τις ἀριθμός , [ ὁ γεννάω ἰσάκις τε ἴσος καί τετράγωνος εἰμί ] ὡς ὁ δʹ , εἰμί γάρ δίς βʹ , καί ὁ θʹ , εἰμί γάρ τρίς γʹ · ὁ δέ ἀνισάκις ἄνιος - σύ , ἐπειδάν ἄνισος ἀρίθμιος ἐπί ἀλλήλων πολλαπλός - σιάζω , ὡς ὁ ϛʹ · εἰμί γάρ δίς γʹ ϛʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 22
τούτων δὲ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείζονα ἔχοντες . ἔστι δὲ ὁ τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ μονάδι πλεονάζων καὶ ἄρτιος · διὸ μόνον ἄρτιοι οἱ ἑτερομήκεις . ἡ γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν , τουτέστιν ἡ μονάς , περισσὴ οὖσα τὴν ἑτερό - τητα ζητοῦσα τὴν δυάδα ἑτερομήκη τῷ αὐτῆς διπλα - σιασμῷ ἐποίησε , καὶ διὰ τοῦτο ἡ δυὰς τῆς μονάδος ἑτερομήκης οὖσα καὶ μονάδι ὑπερέχουσα τοὺς ἀρτίους ἀριθμοὺς τῶν περισσῶν ἑτερομήκεις ποιεῖ μονάδι ὑπερ - ἐχοντας . γεννῶνται δὲ διχῶς , ἔκ τε πολλαπλασιασμοῦ καὶ ἐπισυνθέσεως . ἐκ μὲν ἐπισυνθέσεως οἱ ἄρτιοι τοῖς ἐφεξῆς ἐπισυντιθέμενοι τοὺς ἀπογεννωμένους ποιοῦσιν ἑτερομήκεις . οἷον ἐκκείσθωσαν ἄρτιοι κατὰ τὸ ἑξῆς βʹ δʹ ςʹ ηʹ ι ιβʹ ιδʹ ιςʹ ιηʹ · γίνονται δὲ κατʼ ἐπισύνθεσιν βʹ καὶ δ΄ ϛʹ , ϛʹ καὶ ϛʹ ιβ , ιβʹ καὶ ηʹκ΄ , κʹ καὶ ι΄λ΄ · ὥστε εἶεν ἂν οἱ γεγεννημένοι ἑτερομήκεις ϛʹ ιβʹ κʹ λ΄ . ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς . κατὰ δὲ πολλαπλασια - σμὸν οἱ αὐτοὶ ἑτερομήκεις γεννῶνται τῶν ἐφεξῆς ἀρτίων τε καὶ περιττῶν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν ἑξῆς πολλαπλασια - ζομένου · οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζ ηʹ θʹ ιʹ ἅπαξ μὲν γὰρ βʹ β΄ , θὶς δὲ γʹ ϛ΄ , τρὶς 〈 δὲ 〉 δʹ ιβ΄ , τετράκις δὲ εʹ κ΄ , πεντάκις δὲ ϛʹ λ΄ · καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὁ αὐτὸς λόγος . ἑτε - ρομήκεις δὲ οἱ τοιοῦτοι κέκληνται , ἐπειδὴ πρώτην ἑτε - ρότητα τῶν πλευρῶν ἡ προσθήκη τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τῆς μονάδος ποιεῖ .
Lemmas: οὗτος δέ ἑτερομήκης μέν εἰμί ὁ ὁ ἕτερος πλευρά ὁ ἕτερος μονάς μέγας ἔχω . εἰμί δέ ὁ ὁ περισσός ἀριθμός μονάς πλεονάζω καί ἄρτιος · διό μόνος ἄρτιος ὁ ἑτερομήκης . ὁ γάρ ἀρχή ὁ ἀριθμός , τουτέστι ὁ μονή , περισσός εἰμί ὁ έτερος - της ζητέω ὁ δυάς ἑτερομήκης ὁ ἑαυτοῦ δίπλα - σιασμος ποιέω , καί διά οὗτος ὁ δυάς ὁ μονάς ἑτερομήκης εἰμί καί μονάς ὑπερέχω ὁ ἄρτιος ἀριθμός ὁ περισσός ἑτερομήκης ποιέω μονάς ὑπερ - ἔχω . γεννάω δέ διχῶς , ἐκ τε πολλαπλασιασμός καί ἐπισύνθεσις . ἐκ μέν ἐπισύνθεσις ὁ ἄρτιος ὁ ἐφεξῆς ἐπισυντίθημι ὁ ἀπογεννάω ποιέω ἑτερομήκης . οἷος ἔκκειμαι ἄρτιος κατά ὁ ἑξῆς βʹ δʹ ςʹ ηʹ ι ιβʹ ιδʹ ιςʹ ιηʹ · γίγνομαι δέ κατά ἐπισύνθεσις βʹ καί δʹ ϛʹ , ϛʹ καί ϛʹ Ἶβ , ιβʹ καί ηʹκ΄ , ἄν καί ὅς · ὥστε εἰμί ἄν ὁ γεννάω ἑτερομήκης ϛʹ ιβʹ ἄν λʹ . ὁ δέ αὐτός λόγος καί ἐπί ὁ ἑξῆς . κατά δέ πολλαπλάσιο - σμός ὁ αὐτός ἑτερομήκης γεννάω ὁ ἐφεξῆς ἄρτιος τε καί περισσός ὁ πρῶτος ἐπί ὁ ἑξῆς πολλαπλάσιο - ζέω · οἷος αʹ βʹ γʹ δʹ πέντε ϛʹ ζ ηʹ θʹ ιʹ ἅπαξ μέν γάρ βʹ βʹ , θίς δέ γʹ ϛʹ , τρίς 〈 δέ 〉 δʹ ιβʹ , τετράκις δέ πέντε ἄν , πεντάκις δέ ϛʹ λʹ · καί ἐπί ὁ ἑξῆς ὁ αὐτός λόγος . ἵημι - ρομήκεις δέ ὁ τοιοῦτος καλέω , ἐπειδή πρῶτος ἵημι - ρότης ὁ πλευρά ὁ προσθήκη ὁ ἕτερος πλευρά ὁ μονάς ποιέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 23
παραλληλόγραμμοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ δυάδι ἢ καὶ μείζονι ἀριθμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχουσαν ἔχοντες , ὡς ὁ δὶς δʹ καὶ ὁ τετράκις ϛʹ καὶ ὁ ἑξάκις ηʹ καὶ ὁ ὀκτάκις ι΄ , οἵτινές εἰσιν ὁ ηʹ κδʹ μηʹ π΄ .
Lemmas: παραλληλόγραμμος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ δυάς ἤ καί μέγας ἀριθμός ὁ ἕτερος πλευρά ὁ ἕτερος ὑπερέχω ἔχω , ὡς ὁ δίς δʹ καί ὁ τετράκις ϛʹ καί ὁ ἑξάκις ηʹ καί ὁ ὀκτάκις ιʹ , ὅστις εἰμί ὁ ηʹ κδʹ μηʹ πʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 24
τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιθεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι . οἷον ἐκκείσθω - σαν ἐφεξῆς περισσοὶ αʹ γʹ εʹ ζ θʹ ια ἓν καὶ γʹ δʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος , ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος , τουτέστι δὶς βʹ δʹ δʹ καὶ εʹ θʹ , ὸς καὶ αὐτὸς τετράγωνος · ἔστι γὰρ τρὶς γʹ θʹ · θʹκαὶ ζ ιϛ΄ , ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι · τετράκις γὰρ δ ιςʹ ιςʹ καὶ θʹ κε΄ , ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ ἰσάκις ἴσος · ἔστι γὰρ πεντάκις εʹ κε΄ · καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος . κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνθεσιν οὕτως γεννῶν - ται οἱ τετράγωνοι , τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιθεμένων · κατὰ πολλαπλα - σιασμιὸν δέ , ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριθμὸς ἐφʼ ἑαυτὸνπολλα - πλασιασθῇ , οἷον δὶς βʹ δʹ , τρὶς γʹ θʹ , τετράκις δʹ ιϛ΄ .
Lemmas: τετράγωνος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κατά ὁ ἑξῆς περισσός ἐπισυντίθημι ἀλλήλων γεννάω . οἷος ἔκκειμαι - σάω ἐφεξῆς περισσός αʹ γʹ πέντε ζ θʹ ἰά εἷς καί γʹ δʹ , ὅς εἰμί τετράγωνος , ἰσάκις γάρ εἰμί ἴσος , τουτέστι δίς βʹ δʹ δʹ καί πέντε θʹ , ὅς καί αὐτός τετράγωνος · εἰμί γάρ τρίς γʹ θʹ · θʹκαὶ ζ ιϛʹ , ὅς καί αὐτός τετράγωνος εἰμί · τετράκις γάρ δεσποινίδα ιςʹ ιςʹ καί θʹ κε# , ὅς καί αὐτός τετράγωνος εἰμί καί ἰσάκις ἴσος · εἰμί γάρ πεντάκις πέντε κε# · καί μέχρι ἄπειρος ὁ αὐτός λόγος . κατά μέν οὖν ἐπισύνθεσις οὕτως γεννάω - ται ὁ τετράγωνος , ὁ ἐφεξῆς περισσός ὁ γεννάω ἀπό μονάς τετράγωνος προστίθημι · κατά πολλαπλός - σιασμιὸν δέ , ἐπειδάν ὅστις ἀριθμός ἐπί ἑαυτὸνπολλα - πλάσσω , οἷος δίς βʹ δʹ , τρίς γʹ θʹ , τετράκις δʹ ιϛʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 26
προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν , ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος , ὡς ὁ κδʹ , ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ , καὶ οἱ τοιοῦτοι . ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων . καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή - κης , καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει . ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης , οὗτος καὶ προμήκης · οὐ μὴν ἀνάπαλιν · ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ - ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν , οὐ μὴν ἑτερομήκης · ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν , ὡς ὁ ϛʹ · ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ . ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν 〈 ἔχων 〉 , ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι · ὡς ὁ ιβ΄ · ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ , ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης , κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ΄ προμήκης . ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν · ὡς ὁ μʹ · καὶ γὰρ τετράκις ιʹ καὶ πεντάκις η΄ καὶ δὶς κʹ · ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ - μήκης . ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα · ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα · διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν ἑτερότητος ἑτερομήκεις . οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ - ραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ - βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται .
Lemmas: προμήκης δέ εἰμί ἀριθμός ὁ ὑπό δύο ἄνισος ἀριθμός ἀποτελέω ὅστις , ἤ μονάς ἤ δυάς ἤ καί πολύς ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος ὑπερέχω , ὡς ὁ κδʹ , εἰμί γάρ ἑξάκις δʹ , καί ὁ τοιοῦτος . εἰμί δέ τρεῖς μέρος ὁ προμήκης . καί γάρ πᾶς ἑτερομήκης προμή - κα , καθό μέγας ὁ ἕτερος πλευρά ὁ ἕτερος ἔχω . ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης , οὗτος καί προμήκης · οὐ μήν ἀνάπαλιν · ὁ γάρ μέγας πολύς ἤ μονάς ὁ ἑτός - Ραν ἔχω πλευρά προμήκης μέν , οὐ μήν ἑτερομήκης · εἰμί γάρ ἑτερομήκης ὁ μονάς μέγας ὁ ἕτερος ἔχω πλευρά , ὡς ὁ ϛʹ · εἰμί γάρ δίς γʹ ϛʹ . ἔτι προμήκης καί ὁ κατά διαφορά πολλαπλασιασμός ποτέ μέν μονάς μέγας ὁ ἕτερος πλευρά 〈 ἔχω 〉 , ποτέ δέ πολύς ἤ μονάς · ὡς ὁ ιβʹ · εἰμί γάρ καί τρίς δʹ καί δίς ϛʹ , ὥστε κατά μέν ὁ τρίς δʹ εἰμί ἄν ἑτερομήκης , κατά δέ ὁ δίς ϛʹ προμήκης . ἔτι προμήκης εἰμί ὁ κατά πᾶς ὁ σχέσις ὁ πολλαπλασιασμός πολύς ἤ μονάς μέγας ὁ ἕτερος ἔχω πλευρά · ὡς ὁ μʹ · καί γάρ τετράκις ιʹ καί πεντάκις ηʹ καί δίς ἄν · ὅστις καί μόνος ἄν εἰμί προ - μηκή . ἑτερομήκης γάρ εἰμί ὁ ἐκ ὁ ἴσος ἀριθμός ὁ πρῶτος λαμβάνω ἑτερότης · ὁ δέ ὁ μονάς ὁ ἕτερος ἀριθμός προσθήκη πρῶτος ποιέω ἑτερότης · διό ὁ ἐκ οὗτος κύριος ἀπό ὁ πρῶτος ὁ πλευρά ἑτερότης ἑτερομήκης . ὁ δέ πολύς ἤ μονάς ὁ ἑτός - Ραν πλευρά μέγας ἔχω διά ὁ ἐπί πολύς προ - βιβασμός ὁ μῆκος προμήκης καλέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 27
εἰσὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι , ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζονται , οἷον μήκους καὶ πλά - τους , τούτων δὲ οἱ μὲν τρίγωνοι , οἱ δὲ τετράγωνοι , οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι .
Lemmas: εἰμί δέ ὁ ἀριθμός ὁ μέν ἐπίπεδος , ὅσος ὑπό δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω , οἷος μῆκος καί πλάν - ὁ , οὗτος δέ ὁ μέν τρίγωνος , ὁ δέ τετράγωνος , ὁ δέ πεντάγωνος καί κατά ὁ ἑξῆς πολύγωνος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 28
γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον . ὥσπερ ] οἱ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριθμοὺς ποιοῦσιν . οἷον ὁ βʹ πρῶτος ἄρτιος · καὶ ἔστιν ἑτερομήκης · ἔστι γὰρ ἅπαξ β΄ . εἶτα τοῖς βʹ ἂν προσθῇς δʹ , γίνεται ϛʹ , ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης · ἔστι γὰρ δὶς γ΄ . καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος . ἐναργέστερον δέ , ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον , δείκνυται καὶ τῇδε . πρώτη δυὰς ἔστω ἄλφα ἐκκείμενα δύο τάδε · α α τὸ σχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμκες · κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο , κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφʼ ἕν . μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος ὁ δʹ ἃ ἐὰν προσθῶμεν τοῖς πρώτοις δύο ἄλφα [ α΄ α΄ ] καὶ περιθῶμεν τὰ δ΄ τοῖς β΄ , γίνεται ἑτερόμηκες τὸ τῶν Ϛ΄ σχῆμα · κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκος γίνεται ἐπὶ τρία , κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐπὶ β΄ . ἑξῆς ἐστιν ἄρτιος μετὰ δ΄ ὁ Ϛ΄ · ἂν προσθῇς ταῦτα τοῖς πρώτοις Ϛ΄ , γίνεται ὁ ιβ΄ , κἂν περιθῇς αὐτὰ τοῖς πρώτοις , ἔσται σχῆμα ἑτερόμηκες · ὡς ἔχειν ταῦτα κατὰ τὸ μῆκος μὲν δ΄ , κατὰ πλάτος δὲ γ΄ . καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων ἐπισύνθεσιν .
Lemmas: γεννάω δέ ὁ τρίγωνος ὁ τρόπος οὗτος . ὥσπερ ] ὁ ἐφεξῆς ἄρτιος ἀλλήλων ἐπισυντίθημι κατά ὁ ἑξῆς ἑτερομήκης ἀριθμός ποιέω . οἷος ὁ βʹ πρῶτος ἄρτιος · καί εἰμί ἑτερομήκης · εἰμί γάρ ἅπαξ βʹ . εἶτα ὁ βʹ ἐάν προστίθημι δʹ , γίγνομαι ϛʹ , ὅς καί αὐτός ἑτερομήκης · εἰμί γάρ δίς γʹ . καί μέχρι ἄπειρος ὁ αὐτός λόγος . ἐναργής δέ , ὥστε πᾶς εὐσύνοπτος εἰμί ὁ λέγω , δείκνυμι καί τῇδε . πρῶτος δυάς εἰμί ἄλφα ἔκκειμαι δύο ὅδε · α α ὁ σχῆμα αὐτός εἰμί ἑτερόμκες · κατά μέν γάρ ὁ μῆκος εἰμί ἐπί δύο , κατά δέ ὁ πλάτος ἐπί εἷς . μετά ὁ δύο εἰμί ἄρτιος ὁ δʹ ὅς ἄν προστίθημι ὁ πρῶτος δύο ἄλφα [ αʹ αʹ ] καί περιτίθημι ὁ δʹ ὁ βʹ , γίγνομαι ἑτερομήκης ὁ ὁ ϛʹ σχῆμα · κατά μέν γάρ ὁ μῆκος γίγνομαι ἐπί τρεῖς , κατά δέ ὁ πλάτος ἐπί βʹ . ἑξῆς εἰμί ἄρτιος μετά δʹ ὁ ϛʹ · ἐάν προστίθημι οὗτος ὁ πρῶτος ϛʹ , γίγνομαι ὁ ιβʹ , ἐάν περιτίθημι αὐτός ὁ πρῶτος , εἰμί σχῆμα ἑτερομήκης · ὡς ἔχω οὗτος κατά ὁ μῆκος μέν δʹ , κατά πλάτος δέ γʹ . καί μέχρι ἄπειρος ὁ αὐτός λόγος κατά ὁ ὁ ἄρτιος ἐπισύνθεσις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 29
ααα αααα ααα αααα αααα
Lemmas: ααααʹ αααααʹ ααααʹ αααααʹ αααααʹ
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 30
πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριθμούς . εἰσὶ δὲ οἱ ἐφεξῆς περισσοὶ α΄ γ΄ ε΄ ζ θ΄ ια΄ . ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιθεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριθμούς . οἷον τὸ ἓν πρῶτον τετράγωνον · ἔστι γὰρ ἅπαξ ἓν ἕν . εἶτα περισσὸς ὁ γ΄ · τοῦτον ἂν προσθῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί , ποιήσεις τετράγωνον ἰσάκις ἴσον · ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β΄ καὶ κατὰ πλάτος β΄ . ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ε΄ · τοῦτον ἂν περι - θῇς τὸν γνώμονα τῷ δ΄ τετραγώνῳ , γενήσεται πάλιν τετράγωνος ὁ θ΄ , καὶ κατὰ μῆκος ἔχων γ΄ καὶ κατὰ πλάτος γ΄ . ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ζ΄ · τοῦτον ἂν προσθῇς τῷ θ΄ , ποιεῖς τὸν ιϛ΄ , καὶ κατὰ μῆκος δ΄ καὶ κατὰ πλά - τος δ΄ . ὁ δὲ αὐτὸς λογος μέχρις ἀπείρου .
Lemmas: πάλιν δέ ὁ ἑξῆς περισσός ἀλλήλων ἐπισυντίθημι τετράγωνος ποιέω ἀριθμός . εἰμί δέ ὁ ἐφεξῆς περισσός αʹ γʹ πέντε ζ θʹ ιαʹ . οὗτος δέ ἐφεξῆς συντίθημι ποιέω τετράγωνος ἀριθμός . οἷος ὁ εἷς πρῶτος τετράγωνος · εἰμί γάρ ἅπαξ εἷς εἷς . εἶτα περισσός ὁ γʹ · οὗτος ἐάν προστίθημι ὁ γνώμων ὁ εἷς , ποιέω τετράγωνος ἰσάκις ἴσος · εἰμί γάρ κατά μῆκος βʹ καί κατά πλάτος βʹ . ἐφεξῆς περισσός ὁ πέντε · οὗτος ἐάν περί - τίθημι ὁ γνώμων ὁ δʹ τετράγωνος , γίγνομαι πάλιν τετράγωνος ὁ θʹ , καί κατά μῆκος ἔχω γʹ καί κατά πλάτος γʹ . ἐφεξῆς περισσός ὁ ζʹ · οὗτος ἐάν προστίθημι ὁ θʹ , ποιέω ὁ ιϛʹ , καί κατά μῆκος δʹ καί κατά πλάν - ὅς δʹ . ὁ δέ αὐτός λόγος μέχρι ἄπειρος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 31
αα ααα αααα αα ααα αααα ααα αααα
Lemmas: ἀάω ααααʹ αααααʹ ἀάω ααααʹ αααααʹ ααααʹ αααααʹ
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 32
κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους μηδὲ μόνον τοὺς ἐφεξῆς περισσούς , ἀλλὰ καὶ ἀρτίους καὶ περισσοὺς ἀλλήλοις ἐπισυντιθῶμεν , τρίγωνοι ἡμῖν ἀριθμοὶ γενήσονται . ἐκκείσθωσαν γὰρ ἐφεξῆς περισσοὶ καὶ ἄρτιοι , α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ Ϛ΄ ζ΄ η΄ θ΄ ι΄ . γίνονται κατὰ τὴν τούτων σύνθεσιν οἱ τρίγωνοι . πρώτη μὲν ἡ μονάς · αὕτη γάρ , εἰ καὶ μὴ ἐντελεχείᾳ , δυνάμει πάντα ἐστίν , ἀρχὴ πάντων ἀριθμῶν οὖσα . τῆς δὲ ἑξῆς αὐτῇ δυάδος προστεθείσης γίνεται τρίγωνος ὁ γ΄ · εἶτα πρόσθες γ΄ , γίνεται Ϛ΄ · εἶτα πρόσθες δ΄ , γίνονται ι΄ · εἶτα πρόσθες ε΄ , γίνονται ιε΄ · εἶτα πρόσθες ϛ΄ , γίνονται κα΄ · εἶτα πρόσθες ζ΄ , γίνονται κη΄ · εἶτα πρόσθες η΄ , γίνονται λϚ΄ · εἶτα πρόσθες θ΄ , γίνονται με΄ · εἶτα πρόσθες ι΄ , γίνον - ται νε΄ · καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος . δῆλον δὲ ὅτι τρίγωνοι οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὸν σχηματισμόν , τοῖς πρώτοις ἀριθμοῖς τοῦ ἐφεξῆς γνώμονος προστιθε - μένου · καὶ εἶεν ἂν οἱ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως ἀπογεννώ - μενοι τρίγωνοι οἵδε · γ΄ Ϛ΄ ι΄ ιε΄ κα΄ κη΄ λς΄ με΄ νε΄ . καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἑξῆς τῶν με΄ καὶ νε΄ .
Lemmas: κατά αὐτός δέ ἐάν μή μόνος ὁ ἐφεξῆς ἄρτιος μηδέ μόνος ὁ ἐφεξῆς περισσός , ἀλλά καί ἄρτιος καί περισσός ἀλλήλων ἐπισυντίθημι , τρίγωνος ἐγώ ἀριθμός γίγνομαι . ἔκκειμαι γάρ ἐφεξῆς περισσός καί ἄρτιος , αʹ βʹ γʹ δʹ πέντε ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ . γίγνομαι κατά ὁ οὗτος σύνθεσις ὁ τρίγωνος . πρῶτος μέν ὁ μονή · οὗτος γάρ , εἰ καί μή ἐντελέχεια , δύναμις πᾶς εἰμί , ἀρχή πᾶς ἀριθμός εἰμί . ὁ δέ ἑξῆς αὐτός δυάς προστίθημι γίγνομαι τρίγωνος ὁ γʹ · εἶτα προστίθημι γʹ , γίγνομαι ϛʹ · εἶτα προστίθημι δʹ , γίγνομαι ιʹ · εἶτα προστίθημι πέντε , γίγνομαι ιεʹ · εἶτα προστίθημι ϛʹ , γίγνομαι καʹ · εἶτα προστίθημι ζʹ , γίγνομαι κηʹ · εἶτα προστίθημι ηʹ , γίγνομαι λϛʹ · εἶτα προστίθημι θʹ , γίγνομαι μεʹ · εἶτα προστίθημι ιʹ , γίνομαι - ται νεʹ · καί μέχρι ἄπειρος ὁ αὐτός λόγος . δῆλος δέ ὅτι τρίγωνος οὗτος ὁ ἀριθμός κατά ὁ σχηματισμός , ὁ πρῶτος ἀριθμός ὁ ἐφεξῆς γνώμων προστίθω - μένω · καί εἰμί ἄν ὁ ἐκ ὁ ἐπισύνθεσις ἀπογεννάω - μένω τρίγωνος ὅδε · γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ κηʹ λς΄ μεʹ νεʹ . καί οὕτως ἐπί ὁ ἑξῆς ὁ μεʹ καί νεʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 33
οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν , ὡς προείρηται , ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι - θεμένων · συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς , ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός · οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄ . τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε , τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν - θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν , ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται · ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈 οἱ 〉 περιττοί . ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον - τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε - λοῦσιν , ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι , αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν .
Lemmas: ὁ δέ τετράγωνος γεννάω μέν , ὡς προλέγω , ἐκ ὁ ἐφεξῆς ἀπό μονάς περισσός ἀλλήλων ἐπισυντι - τίθημι · συμβαίνω δέ αὐτός ὥστε ἐναλλάξ παρά εἷς ἄρτιος εἰμί καί περισσός , ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμός παρά εἷς ἄρτιος εἰμί ἤ περισσός · οἷος αʹ δʹ θʹ ΙΣΤ΄ κε# λϛʹ μθʹ ξδʹ παʹ ρʹ . ὁ δέ ἀπό μονάς κατά ὁ ἑξῆς ἔκθεσις ὁ ἄρτιος τε καί περισσός ἀριθμός συμβαίνω , ὁ γνώμων ὁ δυάς ἀλλήλων ὑπερέχω ἐν ὁ σῦς - θέσις τετράγωνος ἀποτελέω , ὡς ἐπάνω ἀποδείκνυμι · ὑπερέχω γάρ δυάς ἀλλήλων ἀπό μονάς ἄρχω 〈 ὁ 〉 περισσός . ὅμοιος δέ ὁ τριάς ἀλλήλων ὑπερέχω - αἱρέω ἐν ὁ σύνθεσις ἀπό μονάς πεντάγωνος ἀποτίνω - λόω , ἑξάγωνος δέ ὁ τετράς , ἀεί τε ὁ ὑπεροχή ὁ γνώμων ἐκ ὅς ἀποτελέω ὁ πολύγωνος δυάς λείπω ὁ πλῆθος ὁ ἀποτελέω γωνία .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 35
ἔτι τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἰσιν , οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις , καὶ ἁπλῶς οἱ διχῶς πολλαπλασιαζόμενοι ἐπίπεδοι , οἱ δὲ τριχῶς στερεοί . λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἆλλα οὐ κυ - ρίως ἀλλὰ καθʼ ὁμοιότητα τῶν χωρίων ἃ καταμετροῦ - σιν · ὁ γὰρ δ΄ , ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ , ἀπʼ αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος , καὶ ὁ Ϛ΄ διὰ τὰ αὐτὰ ἑτερο - μήκης .
Lemmas: ἔτι ὁ ἀριθμός ὁ μέν ἰσάκις ἴσος τετράγωνος εἰμί , ὁ δέ ἀνισάκις ἄνισος ἑτερομήκης καί προμήκης , καί ἁπλῶς ὁ διχῶς πολλαπλασιάζω ἐπίπεδος , ὁ δέ τριχῶς στερεός . λέγω δέ ἐπίπεδος ἀριθμός καί τρίγωνος καί τετράγωνος καί στερεός καί ἄλλος οὐ ΚΥ - ῥίος ἀλλά κατά ὁμοιότης ὁ χωρίον ὅς καταμετρέω - βρόχος · ὁ γάρ δʹ , ἐπεί τετράγωνος χωρίον καταμετρέω , ἀπό αὐτός καλέω τετράγωνος , καί ὁ ϛʹ διά ὁ αὐτός έτερος - μηκή .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 36
ὅμοιοι δʼ εἰσὶν ἀριθμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγω - νοι οἱ πάντες πᾶσιν , ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἱ πλευραί , τουτέστιν οἱ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριθμοί , ἀνάλογόν εἰσιν . οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ϛ΄ · πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆ - κος γ΄ , πλάτος β΄ · ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ κδ΄ · πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν ϛ΄ , πλάτος δὲ δ΄ . καὶ ἔστιν ὡς τι μὴκος πρὸς τὸ μῆκος , οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος · ὡς γὰρ Ϛ΄ πρὸς γ΄ , οὕτως δ΄ πρὸς β΄ . ὅμοιοι οὖν ἀριθ - μοὶ ἐπίπεδοι ὅ τε Ϛ΄ καὶ ὁ κδ΄ . σχηματίζονται δὲ οἱ αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι , ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους , ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριθμῶν γεννηθῶσιν , ὁτὲ δὲ εἰς στερεούς , ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ τριῶν λη - φθῶσιν ἀριθμῶν . ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς πάλιν οἱ μὲν κύ - βοι πάντες πᾶσίν εἰσιν ὅμοιοι , τῶν δὲ ἄλλων οἱ τὰς πλευρὰς ἔχοντες ἀνάλογον · ὡς ἡ τοῦ μήκους πρὸς τὴν τοῦ μήκους , οὕτως ἡ τοῦ πλάτους πρὸς τὴν τοῦ πλά - τους καὶ 〈 ἡ 〉 τοῦ ὕψους πρὸς τὴν τοῦ ὕψους .
Lemmas: ὅμοιος δέ εἰμί ἀριθμός ἐν μέν ἐπίπεδος τράγος - νόος ὁ πᾶς πᾶς , ἑτερομήκης δέ ὅσος ὁ πλευρά , τουτέστι ὁ περιέχω αὐτός ἀριθμός , ἀνάλογος εἰμί . οἷος ἑτερομήκης εἰμί ὁ ϛʹ · πλευρά δέ αὐτός μής - κος γʹ , πλάτος βʹ · ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ κδʹ · πλευρά δέ αὐτός μῆκος μέν ϛʹ , πλάτος δέ δʹ . καί εἰμί ὡς τίς μῆκος πρός ὁ μῆκος , οὕτως ὁ πλάτος πρός ὁ πλάτος · ὡς γάρ ϛʹ πρός γʹ , οὕτως δʹ πρός βʹ . ὅμοιος οὖν ὁριθς - ἐγώ ἐπίπεδος ὁ τε ϛʹ καί ὁ κδʹ . σχηματίζω δέ ὁ αὐτός ἀριθμός ὅτε μέν εἰς πλευρά ὡς μῆκος καί πρός ἕτερος σύστασις λαμβάνω , ὅτε δέ εἰς ἐπίπεδος , ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμός δύο ἀριθμός γεννάω , ὅτε δέ εἰς στερεός , ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμός τρεῖς λα - φθάνω ἀριθμός . ἐν δέ ὁ στερεός πάλιν ὁ μέν κύ - βοῦς πᾶς πᾶς εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ἄλλος ὁ ὁ πλευρά ἔχω ἀνάλογος · ὡς ὁ ὁ μῆκος πρός ὁ ὁ μῆκος , οὕτως ὁ ὁ πλάτος πρός ὁ ὁ πλάν - ὁ καί 〈 ὁ 〉 ὁ ὕψος πρός ὁ ὁ ὕψος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 38
λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί · οὗτοι δʼ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς , τουτ - έστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς , ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι . τοιοῦ - τον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος · ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου , ἐπὶ τοῦτο ἀποκαθίσταται · ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περι - εχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλή - γει . τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ ἡ σφαῖρα · κύκλου γὰρ κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει . καὶ ἀριθμοὶ δὴ οἱ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφʼ ἑαυτοὺς καταλήγοντες κυκλικοί τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς · ὧν εἰσιν ὅ τε ε΄ καὶ ὁ Ϛ΄ · πεντάκις γὰρ ε΄ κε΄ , πεντάκις κε΄ ρκε΄ , ἑξά - κις Ϛ΄ λϚ΄ , καὶ ἑξάκις λϛ΄ σιϚ΄ .
Lemmas: λέγω δέ τις καί κυκλοειδής καί σφαιροειδής καί ἀποκαταστατικός ἀριθμός · οὗτος δέ εἰμί ὅστις ἐν ὁ πολλαπλασιάζω ἤ ἐπίπεδος ἤ στερεός , οὗτος - εἰμί κατά δύο διάστασις ἤ κατά τρεῖς , ἀπό ὅς ἄν ἄρχω ἀριθμός ἐπί οὗτος ἀποκαθίστημι . τοσιῦ - τον δέ εἰμί καί ὁ κύκλος · ἀπό ὅς ἄν ἄρχω σημεῖον , ἐπί οὗτος ἀποκαθίστημι · ὑπό γάρ εἷς γραμμή περί - ἔχω ἀπό ὁ αὐτός ἄρχω καί εἰς αὐτός καταλέω - γει . τοιοῦτος δέ καί ἐν στερεός ὁ σφαῖρα · κύκλος γάρ κατά πλευρά περιάγω ὁ ἀπό ὁ αὐτός ἐπί ὁ αὐτός ἀποκατάστασις σφαῖρα γράφω . καί ἀριθμός δή ὁ ἐν ὁ πολλαπλασιασμός ἐπί ἑαυτοῦ καταλήγω κυκλικός τε καλέω καί σφαιροειδής · ὅς εἰμί ὁ τε πέντε καί ὁ ϛʹ · πεντάκις γάρ πέντε κε# , πεντάκις κε# ρκεʹ , Εξάς - κίς ϛʹ λϛʹ , καί ἑξάκις λϛʹ σιϛʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 39
τῶν δὲ τετραγώνων ἡ μὲν γένεσις , ὡς εἶπον , ἐκ τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων , τουτέστι τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων · ἓν γὰρ καὶ γ΄ δ΄ , καὶ δ΄ καὶ ε΄ θ΄ , καὶ θ΄ καὶ ζ΄ ιϛ΄ , καὶ ιϛ΄ καὶ θ΄ κε΄ .
Lemmas: ὁ δέ τετράγωνος ὁ μέν γένεσις , ὡς λέγω , ἐκ ὁ περισσός ἀλλήλων ἐπισυντίθημι , τουτέστι ὁ ἀπό μονάς δυάς ἀλλήλων ὑπερέχω · εἷς γάρ καί γʹ δʹ , καί δʹ καί πέντε θʹ , καί θʹ καί ζʹ ιϛʹ , καί ιϛʹ καί θʹ κε# .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 40
πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν ἀπὸ μονά - δος κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι 〈 ἀλλήλων 〉 ὑπερεχόντων συν - τιθέμενοι . ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες α΄ δ΄ ζ΄ ι΄ ιγ΄ ιϚ΄ ιθ΄ · αὐτοὶ δὲ οἱ πεντάγωνοι α΄ ε΄ ιβ΄ κβ΄ λε΄ να΄ καὶ ἑξῆς ὁμοίως . σχηματίζονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως · ἑξάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς ἀπὸ μονάδος τετράδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμε - νοι · ὧν οἱ γνώμονές εἰσιν α΄ ε΄ θ΄ ιγ΄ ιζ΄ κα΄ κε΄ · οἱ δὲ ἐκ τούτων ἑξάγωνοι οἵδε · α΄ ς΄ ιε΄ κη΄με΄ ξς΄ ?? α΄ . σχη - ματίζονται δὲ οὕτως · α΄ ϛ΄ ιϚ΄ κη΄ με΄ ξϚ΄
Lemmas: πεντάγωνος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ ἐκ ὁ ἀπό μονή - δ κατά ὁ ἑξῆς τριάς 〈 ἀλλήλων 〉 ὑπερέχω σῦς - τίθημι . ὅς εἰμί ὁ μέν γνώμων αʹ δʹ ζʹ ιʹ ιγʹ ιϛʹ ιθʹ · αὐτός δέ ὁ πεντάγωνος αʹ πέντε ιβʹ κβʹ λεʹ ναʹ καί ἑξῆς ὅμοιος . σχηματίζω δέ πενταγωνικός οὕτως · ἑξάγωνος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ ἐκ ὁ κατά ὁ ἑξῆς ἀπό μονάς τετράς ἀλλήλων ὑπερέχω συντίθημι - νόος · ὅς ὁ γνώμων εἰμί αʹ πέντε θʹ ιγʹ ιζʹ καʹ κε# · ὁ δέ ἐκ οὗτος ἑξάγωνος ὅδε · αʹ ς΄ ιεʹ ἵημι ξς΄ ?? Α΄ . ἔχω - ματίζω δέ οὕτως · Α΄ ΣΤ΄ ΙΣΤ΄ κη΄ ὅς ξϚ΄
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 41
ἑπτάγωνοι δέ εἰσιν οἱ ἀπὸ μονάδος πεντάδι ἀλλή - λων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι · ὧν γνώμονες μὲν α΄ Ϛ΄ ια΄ ις΄ κα΄ κς΄ · οἱ δὲ ἐκ τούτων συντιθέμενοι α΄ ζ΄ ιη΄ λδ΄ νε΄ πα΄ . ὁμοίως δὲ καὶ ὀκτάγωνοι 〈 οἱ 〉 ἀπὸ μονάδος ἑξάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι , ἐν - νεάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ἑβδομάδι ἀλλήλων ὑπερ - εχόντων συνιστάμενοι , δεκάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ὀγδοάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι . ἐπὶ πάν - των δὲ τῶν πολυγώνων καθόλου ὁσάγωνος ἂν λέγηται ἀριθμός , δυεῖν δεούσαιν μονάδων τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀριθμῶν λαμβάνεται , ἐξ ὧν οἱ πολύγωνοι συντίθεγται .
Lemmas: ἑπτάγωνος δέ εἰμί ὁ ἀπό μονάς πεντάς ἄλλος - λάω ὑπερέχω συνίστημι · ὅς γνώμων μέν αʹ ϛʹ ιαʹ ΙΣΤ΄ καʹ κς΄ · ὁ δέ ἐκ οὗτος συντίθημι αʹ ζʹ ιηʹ λδʹ νεʹ παʹ . ὅμοιος δέ καί ὀκτάγωνος 〈 ὁ 〉 ἀπό μονάς ἑξάς ἀλλήλων ὑπερέχω συντίθημι , ἐν - νεάγωνοι δέ ὁ ἀπό μονάς ἑβδομάς ἀλλήλων ὑπερ - ἔχω συνίστημι , δεκάγωνος δέ ὁ ἀπό μονάς ὀγδοάς ἀλλήλων ὑπερέχω συντίθημι . ἐπί πᾶς - ὁ δέ ὁ πολύγωνον καθόλου ὁσάγωνος ἄν λέγω ἀριθμός , δύο δέω μονάς ὁ πλῆθος ὁ γωνία ὁ ὑπεροχή ὁ ἀριθμός λαμβάνω , ἐκ ὅς ὁ πολύγωνος συντίθημι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 42
ἐκ δύο τριγώνων ἀποτελεῖται τετράγωνον · α΄ καὶ γ΄ δ΄ , γ΄ καὶ ϛ΄ θ΄ , ϛ΄ καὶ ι΄ ιϛ΄ , ι΄ καὶ ιε΄ κε΄ , ιε΄καὶ κα΄ λϚ΄ , κα΄ καὶ κη΄ μθ΄ , κη΄ καὶ λϚ΄ ξδ΄ , λϛ΄ καὶ με΄ πα΄ , καὶ οἱ ἐξῆς ὁμοίως συνδυαζόμενοι τρίγωνοι τετραγώνους ἀποτελοῦ - σιν , ὡς καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν τριγώνων σύνθεσις τε - τράγωνον σχῆμα ποιεῖ .
Lemmas: ἐκ δύο τρίγων ἀποτελέω τετράγωνος · αʹ καί γʹ δʹ , γʹ καί ϛʹ θʹ , ϛʹ καί ιʹ ιϛʹ , ιʹ καί ιεʹ κε# , ἵημι καʹ λϛʹ , καʹ καί κηʹ μθʹ , κηʹ καί λϛʹ ξδʹ , λϛʹ καί μεʹ παʹ , καί ὁ ἑξῆς ὅμοιος συνδυάζω τρίγωνος τετράγωνος ἀποτελέω - βρόχος , ὡς καί ἐπί ὁ γραμμικός τρίγωνος σύνθεσις τε - τράγων σχῆμα ποιέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 43
ἔτι τῶν στερεῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἴσας πλευρὰς ἔχουσιν , [ ὡς ἀριθμοὺς τρεῖς ἴσους ἐπὶ ἴσους πολλαπλα - σιάζεσθαι , ] οἱ δὲ ἀνίσους . τούτων δʼ οἱ μὲν πάσας ἀν - ίσους ἔχουσιν , οἱ δὲ τὰς δύο ἴσας καὶ τὴν μίαν ἥττονα . πάλιν τε τῶν τὰς δύο ἴσας ἐχόντων οἱ μὲν μείζονα τὴν τρίτην ἔχουσιν , οἱ δὲ ἐλάττονα . οἱ μὲν οὖν ἴσας ἔχον - τες πλευράς , ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες , κύβοι καλοῦνται · οἱ δὲ πάσας ἀνίσους τὰς πλευράς , ἀνισάκις ἄνισοι ἀν - ισάκις , βωμίσκοι καλοῦνται · οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας , τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα , ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις , πλινθίδες ἐκλήθησαν · οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας , τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν μείζονα , ἰσάκις ἴσοι μειζονάκις , δοκίδες καλοῦνται .
Lemmas: ἔτι ὁ στερεός ἀριθμός ὁ μέν ἴσος πλευρά ἔχω , [ ὡς ἀριθμός τρεῖς ἴσος ἐπί ἴσος πολλαπλός - σιάζω , ] ὁ δέ ἄνισος . οὗτος δέ ὁ μέν πᾶς ἐν - ἴσος ἔχω , ὁ δέ ὁ δύο ἴσος καί ὁ εἷς ἥσσων . πάλιν τε ὁ ὁ δύο ἴσος ἔχω ὁ μέν μέγας ὁ τρίτος ἔχω , ὁ δέ ἐλαχύς . ὁ μέν οὖν ἴσος ἔχω - αἱρέω πλευρά , ἰσάκις ἴσος ἰσάκις εἰμί , κύβος καλέω · ὁ δέ πᾶς ἄνισος ὁ πλευρά , ἀνισάκις ἄνισος ἐν - ισάκις , βωμίσκος καλέω · ὁ δέ δύο μέν ἴσος , ὁ δέ τρίτος ἑκάτερος ὁ δύο ἐλαχύς , ἰσάκις ἴσος ἐλαττονάκις , πλινθίς καλέω · ὁ δέ δύο μέν ἴσος , ὁ δέ τρίτος ἑκάτερος ὁ δύο μέγας , ἰσάκις ἴσος μειζονάκις , δοκίς καλέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 44
εἰσὶ δὲ καὶ πυραμοειδεῖς ἀριθμοὶ πυραμίδας κατα - μετροῦντες καὶ κολουροπυραμίδας . κόλουρος δὲ πυρα - μίς ἐστιν ἡ τὴν κορυφὴν ἀποτετμημένη . τινὲς δὲ [ κόλουρον ] τὸ τοιοῦτον τραπέζιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεζίων · τραπέζιον γὰρ λέγεται , ὅταν τριγώνου ἡ κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου τῇ βάσει εὐθείας ἀποτμηθῇ .
Lemmas: εἰμί δέ καί πυραμοειδής ἀριθμός πυραμίς κατά - μετρέω καί κολουροπυραμίς . κόλουρος δέ πυρά - Μῖς εἰμί ὁ ὁ κορυφή ἀποτέμνω . τις δέ [ κόλουρος ] ὁ τοιοῦτος τραπέζιον προσαγορεύω ἀπό ὁ ἐπίπεδος τραπέζιον · τραπέζιον γάρ λέγω , ὅταν τρίγωνον ὁ κορυφή ὑπό παράλληλος ὁ βάσις εὐθεῖα ἀποτέμνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 46
δ π β γ δ θ κε μθ αἱ δὲ διάμετροι τῶν πλευρῶν ἐναλλὰξ παρὰ μίαν ποτὲ μὲν μονάδι μείζους ἢ διπλάσιαι δυνάμει , ποτὲ δὲ μονάδι ἐλάττους ἢ διπλάσιαι ὁμαλῶς · πᾶσαι οὖν αἱ διάμετροι πασῶν τῶν πλευρῶν γενήσονται δυνάμει διπλάσιαι , τοῦ ἐναλλὰξ πλείονος καὶ ἐλάττονος τῇ αὐτῇ μονάδι ἐν πάσαις ὁμαλῶς τιθεμένῃ ἰσότητα ποιοῦντος εἰς τὸ μήτε ἐλλείπειν μήτε ὑπερβάλλειν ἐν ἁπάσαις τὸ διπλάσιον · τὸ γὰρ τῇ προτέρᾳ διαμέτρῳ λεῖπον δυνάμει τῇ ἐφεξῆς ὑπερβάλλει .
Lemmas: δεσποινίδα π Β γ δεσποινίδα θ ἄν μθ ὁ δέ διάμετρος ὁ πλευρά ἐναλλάξ παρά εἷς ποτέ μέν μονάς μέγας ἤ διπλάσιος δύναμις , ποτέ δέ μονάς ἐλαχύς ἤ διπλάσιος ὁμαλής · πᾶς οὖν ὁ διάμετρος πᾶς ὁ πλευρά γίγνομαι δύναμις διπλάσιος , ὁ ἐναλλάξ πολύς καί ἐλαχύς ὁ αὐτός μονάς ἐν πᾶς ὁμαλής τίθημι ἰσότης ποιέω εἰς ὁ μήτε ἐλλείπω μήτε ὑπερβάλλω ἐν ἅπας ὁ διπλάσιος · ὁ γάρ ὁ πρότερος διάμετρον λείπω δύναμις ὁ ἐφεξῆς ὑπερβάλλω .