ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 130
ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τʼ ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλα - πλασιεπνμόριοι , πάλιν δʼ ἐκ τῶν ἐπιμερῶν ἕτεροί τε ἀπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς · ὧν τὰ μὲν πλεῖστα παραλειπτέον οὐκ ἀναγκαῖα ὄντα , μικρὰ δὲ θεωρητέον . ἐκ μὲν γὰρ τῆς ἐν ἡμιολίοις ἀνκλογίας τὸν εἰρημένον τρόπον ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἀρχομένων ὅρου συνίστα - ται ἀναλογία ἐν ἐπιμερέσι λόγοις δισεπιτρίτοις · οἷον θ΄ Ϛ΄ δ΄ · ἐκ δὲ τούτων κατὰ τὴν εἰρημένην μέθοδον συνίσταται θ΄ ιε΄ κε . ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρ - χομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία , τουτέστιν ἡ διπλασιημιόλιος . οἷον ἐκκείσθω δ΄ Ϛ΄ θ΄ · ἐκ τούτων κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον δ΄ ι΄ κε . ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι - τρίτοις ἀπὸ μὲν τοὺ μείζονος ἀρχομένων ὅρου ἔσται ἐπιμερὴς ἀναλογία ἡ τρισεπιτέταρτος . οἷον ἐκ τῆς τῶν ιϛ΄ ιβ΄ θ΄ ἔσται ιϛ΄ κη΄ μθ΄ . ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρ - χομένων ὅρου ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία 〈 ἡ 〉 διπλασιεπίτριτος ἐν τοῖς θ΄ κα΄ μθ΄ . ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι - τετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου 〈 ἀρχομένων 〉 ἐπι - μερὴς ἔσται ἀναλογία ἡ τετράκις ἐπίπεμπτος · οἷον [ ὁ ] ἐκ τῆς κε΄ κ΄ ιϚ΄ ἔσται κε΄ με΄ πα΄ . ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρχομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἡ διπλασιεπι - τέταρτος · 〈 οἷον 〉 ἀπὸ τῶν ιϚ΄ κ΄ κε΄ ἔσται ἡ ἐν τοῖς ιϚ΄ λϚ΄ πα΄ . καὶ ἡ τάξις οὕτω πρόεισιν ἐπʼ ἄπειρον . καὶ ἀπὸ τούτων δὲ ἄλλοι πλάσσονται κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον , περὶ ὧν οὐκ ἀναγκαῖον μηκύνειν τὸν λόγον .
Lemmas: ἐκ δέ ὁ ἐπιμόριος ὁ τε ἐπιμερής καί ὁ πολύς - πλασιεπνμόριοι , πάλιν δέ ἐκ ὁ ἐπιμερής ἕτερος τε απιμερεω καί πολλαπλασιεπιμερής · ὅς ὁ μέν πολύς παραλείπω οὐ ἀναγκαῖος εἰμί , μικρός δέ θεωρέω . ἐκ μέν γάρ ὁ ἐν ἡμιόλιος ἀνκλογίας ὁ λέγω τρόπος ἀπό μέν ὁ μέγας ἄρχω ὅρος συνίστημι - ται ἀναλογία ἐν ἐπιμερής λόγος δισεπιτρίτοιςʹ · οἷος θʹ ϛʹ δʹ · ἐκ δέ οὗτος κατά ὁ λέγω μέθοδος συνίστημι θʹ ιεʹ ἄν . ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς ὅρος ἀρ - χόω εἰμί πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία , τουτέστι ὁ διπλασιημιόλιος . οἷος ἔκκειμαι δʹ ϛʹ θʹ · ἐκ οὗτος κατά ὁ αὐτός μέθοδος δʹ ιʹ κε . ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπι - τρίτος ἀπό μέν ὁ μέγας ἄρχω ὅρος εἰμί ἐπιμερής ἀναλογία ὁ τρισεπιτέταρτος . οἷος ἐκ ὁ ὁ ιϛʹ ιβʹ θʹ εἰμί ιϛʹ κηʹ μθʹ . ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς ἀρ - χόω ὅρος εἰμί πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία 〈 ὁ 〉 διπλασιεπίτριτος ἐν ὁ θʹ καʹ μθʹ . ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπι - τέταρτος ἀπό μέν ὁ μέγας ὅρος 〈 ἄρχω 〉 ἐπι - Μέρης εἰμί ἀναλογία ὁ τετράκις ἐπίπεμπτος · οἷος [ ὁ ] ἐκ ὁ κε# ἄν ιϛʹ εἰμί κε# μεʹ παʹ . ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς ἄρχω εἰμί πολλαπλασιεπιμόριος ὁ διπλασιεπι - τέταρτος · 〈 οἷος 〉 ἀπό ὁ ιϛʹ ἄν κε# εἰμί ὁ ἐν ὁ ιϛʹ λϛʹ παʹ . καί ὁ τάξις οὕτως πρόειμι ἐπί ἄπειρος . καί ἀπό οὗτος δέ ἄλλος πλήσσω κατά ὁ αὐτός λόγος , περί ὅς οὐ ἀναγκαῖος μηκύνω ὁ λόγος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 131
πᾶσαι δʼ αἱ τοιαῦται ἀναλογίαι καὶ οἱ ἐν αὐταῖς λόγοι πάντες , καθάπερ συνεστᾶσιν ἐκ πρώτου τοῦ τῆς ἰσότητος λόγου , οὕτως καὶ ἀναλύονται εἰς ἔσχατον τοῦ - τον . ἂν γὰρ ἐξ ὁποιασοῦν ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις ἀνίσοις οὕτως ἀφελόντες ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου τὸν ἐλά - χιστον , ἀπὸ δὲ τοῦ μεγίστου τόν τε ἐλάχιστον καὶ δύο τοιούτους ὁποῖος ἐλείφθη τοῦ μέσου ἀφαιρεθέντος ἀπʼ αὐτοῦ τοῦ ἐλαχίστου τοὺς γενομένους τάξωμεν ἐφεξῆς , πρῶτον μὲν αὐτὸν τὸν ἐλάττονα , ἔπειτα τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου λειφθέντα καὶ τελευταῖον τὸν ἀπολειφθέντα τοῦ ἐσχάτου , ἡ διαλυθεῖσα οὕτως ἀναλογία ἀναλυθήσεται εἰς τὴν πρὸ αὐτῆς ἐξ ἧς συνέστη . τούτου δʼ ἀεὶ γινο - μένου ἐλεύσεται ἡ ἀνάλυσις ἐπʼ ἐσχάτην τὴν τῆς ἰσό - τητος ἀναλογίαν , ἐξ ἧς πρώτης ἅπασαι συνέστησαν · αὐτὴ δὲ οὐκέτι εἰς ἄλλην , ἀλλὰ μόνον εἰς τὸν τῆς ἰσό - τητος λόγον .
Lemmas: πᾶς δέ ὁ τοιοῦτος ἀναλογία καί ὁ ἐν αὐτός λόγος πᾶς , καθά συνίστημι ἐκ πρῶτος ὁ ὁ ἰσότης λόγος , οὕτως καί ἀναλύω εἰς ἔσχατος ὁ - τον . ἐάν γάρ ἐκ ὁποῖος ἀναλογία ἐν τρεῖς ὅρος ἄνισος οὕτως ἀφαιρέω ἀπό μέν ὁ μέσος ὁ ἐλαία - κίστος , ἀπό δέ ὁ μέγας ὁ τε ἐλαχύς καί δύο τοιοῦτος ὁποῖος λείπω ὁ μέσος ἀφαιρέω ἀπό αὐτός ὁ ἐλαχύς ὁ γίγνομαι τάσσω ἐφεξῆς , πρῶτος μέν αὐτός ὁ ἐλαχύς , ἔπειτα ὁ ἀπό ὁ μέσος λείπω καί τελευταῖος ὁ ἀπολείπω ὁ ἔσχατος , ὁ διαλύω οὕτως ἀναλογία ἀναλύω εἰς ὁ πρό αὐτός ἐκ ὅς συνίστημι . οὗτος δέ ἀεί Γίνος - μένω ἔρχομαι ὁ ἀνάλυσις ἐπί ἔσχατος ὁ ὁ ίσος - ἀλλότης ἀναλογία , ἐκ ὅς πρῶτος ἅπας συνίστημι · αὐτός δέ οὐκέτι εἰς ἄλλος , ἀλλά μόνος εἰς ὁ ὁ ίσος - ἀλλότης λόγος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 132
Ἐρατοσθένης δὲ ἀποδείκνυσιν , ὅτι καὶ τὰ σχήματα πάντα ἔκ τινων ἀναλογιῶν συνέστηκεν ἀρχομένων τῆς συστάσεως ἀπὸ ἰσότητος καὶ ἀναλυομένων εἰς ἰσότητα · περὶ ὧν τὰ νῦν λέγειν οὐκ ἀναγκαῖον .
Lemmas: Ἐρατοσθένης δέ ἀποδείκνυμι , ὅτι καί ὁ σχῆμα πᾶς ἐκ τις ἀναλογία συνίστημι ἄρχω ὁ σύστασις ἀπό ἰσότης καί ἀναλύω εἰς ἰσότης · περί ὅς ὁ νῦν λέγω οὐ ἀναγκαῖος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 133
τὰ δὲ αὐτὰ εὑρεθήσεται καὶ ἐπὶ σχημάτων . ὧν πρῶτόν ἐστιν ἡ στιγμή , ὅ ἐστι σημεῖον ἀμέγεθες καὶ ἀδιάστατον , γραμμῆς πέρας , οἷον μονὰς θέσιν ἔχουσα . τοῦ δὲ μεγέθους τὸ μὲν ἐφʼ ἓν διάστατόν τε καὶ διαί - ρετον γραμμή , μῆκος οὖσα ἀπλατές · τὸ δʼ ἐπὶ δύο ἐπίπεδον , μῆκος ἔχον καὶ πλάτος · τὸ δʼ ἐπὶ τρία στερεόν , μῆκός τε καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον . περιέχεται δὲ καὶ περαίνεται τὸ μὲν στερεὸν ὑπὸ ἐπιπέδων , τὸ δʼ ἐπίπεδον ὑπὸ γραμμῶν , ἡ δὲ γραμμὴ ὑπὸ στιγμῶν . τῶν δὲ γραμμῶν εὐθεῖα μέν ἐστιν ὀρθὴ καὶ οἷον τεταμένη , ἥτις δύο δοθέντων σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν καὶ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς ση - μείοις κειμένη · καμπύλη δὲ ἡ μὴ οὕτως ἔχουσα . δια - φέρει δὲ καὶ ἐπίπεδον ἐπιφανείας παραπλησίως . ἐπι - φάνεια μὲν γάρ ἐστι παντὸς στερεοῦ σώματος κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμενον πέρας . ἐπίπεδον δέ ἐστιν ὀρθὴ ἐπιφάνεια · ἧς ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα , ὅλη αὐτῷ ἐφαρμόζεται . παρ - άλληλοι δέ εἰσιν εὐθεῖαι , αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐπʼ ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν , ἀλλὰ τηροῦσιν ἐν παντὶ τὴν διάστασιν .
Lemmas: ὁ δέ αὐτός εὑρίσκω καί ἐπί σχῆμα . ὅς πρῶτος εἰμί ὁ στιγμή , ὅς εἰμί σημεῖον ἀμεγέθης καί ἀδιάστατος , γραμμή πέρας , οἷος μονή θέσις ἔχω . ὁ δέ μέγεθος ὁ μέν ἐπί εἷς διίστημι τε καί διά - ῥέω γραμμή , μῆκος εἰμί ἀπλατής · ὁ δέ ἐπί δύο ἐπίπεδος , μῆκος ἔχω καί πλάτος · ὁ δέ ἐπί τρεῖς στερεός , μῆκος τε καί πλάτος καί βάθος ἔχω . περιέχω δέ καί περαίνω ὁ μέν στερεός ὑπό ἐπίπεδος , ὁ δέ ἐπίπεδος ὑπό γραμμή , ὁ δέ γραμμή ὑπό στιγμή . ὁ δέ γραμμή εὐθύς μέν εἰμί ὀρθός καί οἷος τείνω , ὅστις δύο δίδωμι σημεῖον μεταξύ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω καί ἐκ ἴσος ὁ ἑαυτοῦ σός - μειόω κεῖμαι · καμπύλη δέ ὁ μή οὕτως ἔχω . δα - φέρω δέ καί ἐπίπεδος ἐπιφάνεια παραπλήσιος . ἐπι - Φάνεια μέν γάρ εἰμί πᾶς στερεός σῶμα κατά δύο διάστασις μῆκος καί πλάτος ἐπιφαίνω πέρας . ἐπίπεδος δέ εἰμί ὀρθός ἐπιφάνεια · ὅς ἐπειδάν δύο σημεῖον ἅπτω εὐθύς , ὅλος αὐτός ἐφαρμόζω . παρά - ἄλληλος δέ εἰμί εὐθεῖα , ὅστις ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ἐπί ἄπειρος ἐκβάλλω ἐπί μηδέτερος συμπίπτω , ἀλλά τηρέω ἐν πᾶς ὁ διάστασις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 134
τῶν δὲ σχημάτων ἐπίπεδα μέν εἰσι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς · καὶ εὐθύγραμμα μὲν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα , οὐκ εὐθύγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα . τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ εὐθυγράμ - μων σχημάτων τὰ μὲν τρισὶ περιεχόμενα πλευραῖς τρί - πλευρα καλεῖται , τὰ δὲ τέτταρσι τετράπλευρα , τὰ δὲ πλείοσι πολύγωνα . τῶν δὲ τετραπλεύρων τὰ παραλ - λήλους ἔχοντα τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἑκατέρας παραλ - ληλόγραμμα καλεῖται . τούτων δὲ ὀρθογώνια μὲν τὰ τὰς γωνίας ἔχοντα ὀρθάς · ὀρθαὶ δέ εἰσι γωνίαι , ἅστινας εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐφεστῶσα δύο ἴσας παῤ ἑκάτερα ἀποτελεῖ . τῶν δὲ ὀρθογωνίων παραλληλογράμμων ἕκαστον περιέχεσθαι λέγεται ἰδίως ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν . καὶ τῶν τοιούτων τὰ μὲν τὰς τέσσαρας πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἰδίως λέγεται τετράγωνα , τὰ δὲ μὴ τοιαῦτα ἑτερομήκη .
Lemmas: ὁ δέ σχῆμα ἐπίπεδος μέν εἰμί ὁ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος πᾶς ἔχω ὁ γραμμή · καί εὐθύγραμμος μέν ὁ ὑπό εὐθεῖα περιέχω , οὐ εὐθύγραμμος δέ ὁ μή οὕτως ἔχω . ὁ δέ ἐπίπεδος καί εὐθύγραμμα - τλήμων σχῆμα ὁ μέν τρεῖς περιέχω πλευρά τρίς - πλευρά καλέω , ὁ δέ τέσσαρες τετράπλευρος , ὁ δέ πολύς πολύγωνος . ὁ δέ τετράπλευρος ὁ παραλ - λήλος ἔχω ὁ ἀπεναντίον πλευρά ἑκάτερος παραλ - ληλόγραμμα καλέω . οὗτος δέ ὀρθογώνιον μέν ὁ ὁ γωνία ἔχω ὀρθός · ὀρθός δέ εἰμί γωνία , ὅστις εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἐφίστημι δύο ἴσος παρά ἑκάτερος ἀποτελέω . ὁ δέ ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμος ἕκαστος περιέχω λέγω ἴδιος ὑπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω πλευρά . καί ὁ τοιοῦτος ὁ μέν ὁ τέσσαρες πλευρά ἴσος ἔχω ἴδιος λέγω τετράγωνος , ὁ δέ μή τοιοῦτος ἑτερομήκης .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 135
ὁμοίως δὲ καὶ τῶν στερεῶν τὰ μὲν ὑπὸ ἐπιπέδων παραλληλογράμμων πάντων ἓξ ὄντων περιεχόμενα παρ - αλληλεπίπεδα καλεῖται , τὰ δὲ καὶ ὑπὸ ὀρθογωνίων τού - των ὀρθογώνια . τούτων δὲ τὰ μὲν πάντη ἰσόπλευρα , τουτέστιν ἴσον ἔχοντα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος , ὑπὸ τετραγώνων ἴσων πάντων περιεχόμενα , κύβοι · τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον ἔχοντα , τουτέστι τὰς βάσεις τετραγώνους , τὸ δὲ ὕψος ἔλαττον , πλινθίδες · τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον , τὸ δὲ ὕψος μεῖζον , δοκίδες · τὰ δὲ πάντη ἀνισόπλευρα σκαληνά .
Lemmas: ὅμοιος δέ καί ὁ στερεός ὁ μέν ὑπό ἐπίπεδος παραλληλόγραμμος πᾶς ἕξ εἰμί περιέχω παρά - αλληλεπιμετα καλέω , ὁ δέ καί ὑπό ὀρθογώνιον ὁ - ὁ ὀρθογώνιον . οὗτος δέ ὁ μέν πάντῃ ἰσόπλευρος , τουτέστι ἴσος ἔχω ὁ μῆκος καί πλάτος καί βάθος , ὑπό τετράγωνος ἴσος πᾶς περιέχω , κύβος · ὁ δέ ὁ μέν μῆκος καί πλάτος ἴσος ἔχω , τουτέστι ὁ βάσις τετράγωνος , ὁ δέ ὕψος ἐλαχύς , πλινθίς · ὁ δέ ὁ μέν μῆκος καί πλάτος ἴσος , ὁ δέ ὕψος μέγας , δοκίς · ὁ δέ πάντῃ ἀνισόπλευρος σκαληνός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 136
ἀκριβέστερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων λεκτέον , ἐπειδὴ καὶ ἀναγκαιοτάτη εἰς τὰ Πλατωνικὰ ἡ τούτων θεωρία . ἀπλῶς μὲν οὖν μεσότης ἐστίν , ἐπειδὰν δύο ὅρων ὁμογενῶν ἀνίσων μεταξύ τις ὁμογενὴς ἕτερος ὅρος ληφθῇ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ πρώτου καὶ μείζονος ὅρου παρὰ τὸν ληφθέντα πρὸς τὴν ὑπερ - οχὴν το μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα , οὕτως τὸν πρῶτον ὅρον ἤτοι πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρός τινα τῶν ἄλλων ἢ ἀνά - παλιν τὸν ἐλάττονα πρός τινα τῶν ἄλλων .
Lemmas: ἀκριβής δέ περί ὁ μεσότης λεκτέος , ἐπειδή καί ἀναγκαῖος εἰς ὁ Πλατωνικός ὁ οὗτος θεωρία . ἁπλῶς μέν οὖν μεσότης εἰμί , ἐπειδάν δύο ὅρος ὁμογενής ἄνισος μεταξύ τις ὁμογενής ἕτερος ὅρος λαμβάνω , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ὑπεροχή ὁ πρῶτος καί μέγας ὅρος παρά ὁ λαμβάνω πρός ὁ ὑπερ - ὀχή το μέσος παρά ὁ ἐλαχύς , οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος ἤτοι πρός ἑαυτοῦ ἤ πρός τις ὁ ἄλλος ἤ ἀνά - πάλιν ὁ ἐλαχύς πρός τις ὁ ἄλλος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 137
ἐπὶ μέρους δὲ ἀριθμητικὴ μέν ἐστι μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχουσα , ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχομένη · οἷον γ΄ β΄ α΄ ὁ γὰρ τῶν β΄ ἀριθμὸς μονάδι ὑπερέχει τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδι ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ γ΄ . συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ μεσότητι πρὸς τὴν τῶν ἄκρων σύνθεσιν ὑποδιπλασίῳ εἶναι · ἥ τε γὰρ τριὰς καὶ ἡ μονὰς συντεθεῖσαι τὴν τετράδα ἐποίησαν , ἥτις δι - πλασία ἐστὶ τοῦ μέσου ἀριθμοῦ τῆς δυάδος .
Lemmas: ἐπί μέρος δέ ἀριθμητικός μέν εἰμί μεσότης ὁ ὁ αὐτός ἀριθμός ὁ ἄκρον ὁ μέν ὑπερέχω , ὑπό ὅς δέ ὑπερέχω · οἷος γʹ βʹ αʹ ὁ γάρ ὁ βʹ ἀριθμός μονάς ὑπερέχω ὁ εἷς καί μονάς ὑπερέχω ὑπό ὁ γʹ . συμβαίνω δέ οὗτος ὁ μεσότης πρός ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις ὑποδιπλάσιος εἰμί · ὁ τε γάρ τριάς καί ὁ μονή συντίθημι ὁ τετράς ποιέω , ὅστις διά - πλασία εἰμί ὁ μέσος ἀριθμός ὁ δυάς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 138
γεωμετρικὴ δέ ἐστι μεσότης ἡ καὶ ἀναλογία κυρίως λεγομένη ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη , οἷον πολλαπλασίῳ ἢ ἐπιμορίῳ · οἷον αʹ βʹ δ΄ . τά τε γὰρ δʹ τῶν βʹ διπλάσια καὶ τὰ βʹ τοῦ ἑνὸς διπλάσια · καὶ πάλιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν βʹ ἐστὶ τὸ ἕν 〈 καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν δʹ τὰ βʹ 〉 , ταῦτα δὲ ὁμοίως ἐξεταζόμενά ἐστιν ἐν δι - πλασίῳ λόγῳ . συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων συντιθέμενον κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ . οἷον οἱ ἄκροι ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τὸν δʹ · ἅπαξ γὰρ δʹ δʹ · καὶ πάλιν ὁ βʹ ἐφʼ ἑαυτὸν λαμβανόμενος ποιεῖ τὸν δʹ δὶς γὰρ βʹ δ΄ ὥστε 〈 τὸ 〉 ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου · αʹ βʹ δʹ .
Lemmas: γεωμετρικός δέ εἰμί μεσότης ὁ καί ἀναλογία κύριος λέγω ὁ ὁ αὐτός λόγος ὑπερέχω καί ὑπερέχω , οἷος πολλαπλάσιος ἤ ἐπιμόριος · οἷος αʹ βʹ δʹ . ὁ τε γάρ δʹ ὁ βʹ διπλάσιος καί ὁ βʹ ὁ εἷς διπλάσιος · καί πάλιν ὁ ὑπεροχή ὁ βʹ εἰμί ὁ εἷς 〈 καί ὁ ὑπεροχή ὁ δʹ ὁ βʹ 〉 , οὗτος δέ ὅμοιος ἐξετάζω εἰμί ἐν διά - πλασίον λόγος . συμβαίνω δέ οὗτος ὁ ἀναλογία ὁ ὑπό ὁ ἄκρον συντίθημι κατά πολλαπλασιασμός ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος . οἷος ὁ ἄκρος ἐπί ἀλλήλων πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ δʹ · ἅπαξ γάρ δʹ δʹ · καί πάλιν ὁ βʹ ἐπί ἑαυτοῦ λαμβάνω ποιέω ὁ δʹ δίς γάρ βʹ δʹ ὥστε 〈 ὁ 〉 ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ μέσος · αʹ βʹ δʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 139
ἁρμονικὴ δέ ἐστιν ἀναλογία , ἐπειδὰν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὅν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν τρίτον , τὸν αὐτὸν ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευ - τέρον ὑπεροχὴν ἔχῃ · οἷον ϛʹ γʹ βʹ · ἡ γὰρ ἑξὰς πρὸς τὴν δυάδα τριπλασία ἐστί · καὶ ἡ ὑπεροχὴ δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὰ γʹ τριὰς οὖσα τριπλασία ἐστὶ τῆς μονάδος , ἥτις ὑπεροχή ἐστι τῆς τριάδος συγκρινομένης πρὸς τὰ βʹ . συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ , τὸν μέσον ὅρον τῷ αὐτῷ μέρει κατὰ τοὺς ἄκρους ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι · οἷον βʹ γʹ ϛʹ . καὶ γὰρ ὁ τῶν ϛʹ τῷ ἡμίσει αὑτοῦ ὑπερέχει τῆς τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος . καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντε - θέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολλαπλασιασθέντας διπλασίους ἂν εὕροιμεν τοῦ ἐκ τῶν ἄκρων ἀποτελου - μένου πολλαπλασίου . οἷον ςʹ καὶ βʹ ηʹ · ταῦτα δὲ ὑπὸ τῆς τριάδος , ὅς ἐστι μέσος , πολλαπλασιασθέντα γί - νεται κδʹ · καὶ πάλιν δὶς ςʹ ιβʹ · τούτων δὲ τὰ κδʹ διπλάσια .
Lemmas: ἁρμονικός δέ εἰμί ἀναλογία , ἐπειδάν τρεῖς ὅρος προτίθημι ὅς ἔχω λόγος ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , ὁ αὐτός ὁ ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δήω - τέρος ὑπεροχή ἔχω · οἷος ϛʹ γʹ βʹ · ὁ γάρ ἑξάς πρός ὁ δυάς τριπλάσιος εἰμί · καί ὁ ὑπεροχή δέ ὁ ἑξάς πρός ὁ γʹ τριάς εἰμί τριπλάσιος εἰμί ὁ μονάς , ὅστις ὑπεροχή εἰμί ὁ τριάς συγκρίνω πρός ὁ βʹ . συμβαίνω δέ οὗτος ὁ ἀναλογία , ὁ μέσος ὅρος ὁ αὐτός μέρος κατά ὁ ἄκρος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω · οἷος βʹ γʹ ϛʹ . καί γάρ ὁ ὁ ϛʹ ὁ ἥμισυς ἑαυτοῦ ὑπερέχω ὁ τριάς καί ὁ δυάς ὁ ἑαυτοῦ ἥμισυς ὑπερέχω ὑπό ὁ τριάς . καί ὁ ἄκρος δέ συντείνω - τίθημι ἀλλήλων καί ὑπό ὁ μέσος πολλαπλασιάζω διπλάσιος ἄν εὑρίσκω ὁ ἐκ ὁ ἄκρον ἀποτελέω - μένω πολλαπλάσιος . οἷος ςʹ καί βʹ ηʹ · οὗτος δέ ὑπό ὁ τριάς , ὅς εἰμί μέσος , πολλαπλασιάζω γία - νεται κδʹ · καί πάλιν δίς ςʹ ιβʹ · οὗτος δέ ὁ κδʹ διπλάσιος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 140
ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ καλεῖται μεσότης , ὅταν ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον , οὕτως ἡ τοῦ πρώ - του ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου · οἷον ςʹ εʹ γʹ · τὰ μὲν οὖν ςʹ τῶν εʹ μονάδι ὑπερέχει , τὰ δὲ εʹ τῶν γʹ δυσί · τὰ δὲ γʹ τῶν ςʹ ὑποδιπλάσιά ἐστιν · ἀλλὰ καὶ ἡ μονὰς ὑπεροχὴ οὖσα τοῦ [ τε ] πρώτου ἀριθμοῦ ὑποδιπλασία ἐστὶ τῆς δυάδος ὑπεροχῆς οὔσης τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ .
Lemmas: ὑπεναντίος δέ ὁ ἁρμονικός καλέω μεσότης , ὅταν ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρός ὁ πρῶτος , οὕτως ὁ ὁ πρός - τις ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δεύτερος · οἷος ςʹ πέντε γʹ · ὁ μέν οὖν ςʹ ὁ πέντε μονάς ὑπερέχω , ὁ δέ πέντε ὁ γʹ δύο · ὁ δέ γʹ ὁ ςʹ ὑποδιπλάσιος εἰμί · ἀλλά καί ὁ μονή ὑπεροχή εἰμί ὁ [ τε ] πρῶτος ἀριθμός ὑποδιπλασία εἰμί ὁ δυάς ὑπεροχή εἰμί ὁ δεύτερος ἀριθμός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 141
ἡ δὲ πέμπτη μεσότης ἐστίν , ὅταν τριῶν ὅρων ὄντων ὅν ἂν ἔχῃ λόγον ὁ τρίτος πρὸς τὸν δεύτερον , τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου ὑπεροχήν · οἷον εʹ δʹ βʹ τὰ μὲν εʹ τῶν δʹ μονάδι ὑπερέχει , ἀλλὰ καὶ τὰ δʹ τῶν βʹ δυάδι · ὑπο - διπλάσια δὲ τὰ βʹ τῶν δʹ · καὶ τὸ ἕν δὲ τῶν βʹ ὑπο - διπλάσιον , ἅπερ ὑπεροχαί εἰσι τοῦ τε πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ .
Lemmas: ὁ δέ πέμπτος μεσότης εἰμί , ὅταν τρεῖς ὅρος εἰμί ὅς ἄν ἔχω λόγος ὁ τρίτος πρός ὁ δεύτερος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δεύτερος ὑπεροχή · οἷος πέντε δʹ βʹ ὁ μέν πέντε ὁ δʹ μονάς ὑπερέχω , ἀλλά καί ὁ δʹ ὁ βʹ δυάς · ὑπο - διπλάσιος δέ ὁ βʹ ὁ δʹ · καί ὁ εἷς δέ ὁ βʹ ὑπο - διπλάσιος , ὅς ὑπεροχή εἰμί ὁ τε πρῶτος καί ὁ δεύτερος ἀριθμός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 142
ἕκτη λέγεται μεσότης , ὅταν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὡς ὁ δεύτερος πρὸς τὸν πρῶτον ἔχει , οὕτως ἡ τοῦ πρώ - του ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου · οἷον ςʹ δʹ αʹ τὰ μὲν γὰρ ϛʹ τῶν δʹ δυσὶν ὑπερέχει , τὰ δὲ δʹ τοῦ αʹ τρισίν · ἔστι δὲ δʹ τῶν ςʹ ὑφημιόλια · καὶ ἡ δυὰς ὑπεροχὴ οὖσα τῶν ςʹ ὑφημιολία ἐστὶ τῆς τριάδος ἥτις ἐστὶν ὑπεροχὴ τῆς τετράδος .
Lemmas: ἕκτος λέγω μεσότης , ὅταν τρεῖς ὅρος προτίθημι ὡς ὁ δεύτερος πρός ὁ πρῶτος ἔχω , οὕτως ὁ ὁ πρός - τις ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δεύτερος · οἷος ςʹ δʹ αʹ ὁ μέν γάρ ϛʹ ὁ δʹ δύο ὑπερέχω , ὁ δέ δʹ ὁ αʹ τρεῖς · εἰμί δέ δʹ ὁ ςʹ ὑφημιόλιος · καί ὁ δυάς ὑπεροχή εἰμί ὁ ςʹ ὑφημιολία εἰμί ὁ τριάς ὅστις εἰμί ὑπεροχή ὁ τετράς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 143
περὶ μὲν τούτων καὶ τῶν ταύταις ὑπεναντίων ἓξ μεσοτήτων ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν καὶ ἐπὶ πλέον εἴρηται · ἡμῖν δʼ ἐξαρκεῖ κατὰ τὸν Πυθαγορικὸν λόγον συνόψεως ἕνεκα τῶν μαθηματικῶν τυπωδῶς αὐτὰ ἠθροικέναι καὶ ἐπιτομικῶς .
Lemmas: περί μέν οὗτος καί ὁ οὗτος ὑπεναντίος ἕξ μεσότης ὑπό ὁ Πυθαγορικός καί ἐπί πολύς λέγω · ἐγώ δέ ἐξαρκέω κατά ὁ Πυθαγορικός λόγος σύνοψις ἕνεκα ὁ μαθηματικός τυπώδης αὐτός ἀθροίζω καί ἐπιτομικός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 144
εὑρίσκονται δὲ αἱ μεσότητες κατὰ μὲν τὴν ἀριθμη - τικὴν 〈 ἀναλογίαν 〉 οὕτως . τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα τὸ ἥμισυ προστιθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν μέσον , ἢ ἑκατέρου τῶν δοθέντων ἀριθμῶν τὰ ἡμίσεα συνθέντες τὸν συντεθέντα μέσον εὑρήκαμεν , ἢ τοῦ συνθέτου ἐξ ἀμφοῖν λαμβάνοντες τὸ ἥμισυ [ ὥστε καὶ εἰς τὰ Πλατωνικὰ τὸ χρήσιμον ἀνευρεῖν ] . προστε - τάχθω δύο ἀριθμῶν τῶν ιβʹ καὶ Ϛʹ μέσον ὅρον λαβεῖν κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα . λαμβάνομεν τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ςʹ · ὧν ἥμισυ γʹ . ταῦτα προσθῶμεν τῷ ἐλάττονι · γίνεται θʹ , ὅς ἐστι μέσος τῶν ιβʹ καὶ ϛʹ , ἀριθμητικῶς τρισὶν ὑπερέχων καὶ ὑπερεχόμενος · ιβʹ θʹ Ϛʹ . πάλιν συνθῶμεν τοὺς ἐξ ἀρχῆς ἄκρους τὰ ιβʹ καὶ τὰ ϛʹ · γίνεται ιηʹ . ὧν ἥμισυ θʹ , ὅς ἐστι μέσος .
Lemmas: εὑρίσκω δέ ὁ μεσότης κατά μέν ὁ ἀριθμέω - τική 〈 ἀναλογία 〉 οὕτως . ὁ ὑπεροχή ὁ μέγας παρά ὁ ἐλαχύς ὁ ἥμισυς προστίθημι ὁ ἐλαχύς ἔχω ὁ μέσος , ἤ ἑκάτερος ὁ δίδωμι ἀριθμός ὁ ἥμισυς συντίθημι ὁ συντίθημι μέσος εὑρίσκω , ἤ ὁ σύνθετος ἐκ ἄμφω λαμβάνω ὁ ἥμισυς [ ὥστε καί εἰς ὁ Πλατωνικός ὁ χρήσιμος ἀνευρίσκω ] . πρόσθεν - τάσσω δύο ἀριθμός ὁ ιβʹ καί ϛʹ μέσος ὅρος λαμβάνω κατά ὁ ἀριθμητικός μεσότης . λαμβάνω ὁ ὑπεροχή ὁ μέγας παρά ὁ ἐλαχύς ςʹ · ὅς ἥμισυς γʹ . οὗτος προστίθημι ὁ ἐλαχύς · γίγνομαι θʹ , ὅς εἰμί μέσος ὁ ιβʹ καί ϛʹ , ἀριθμητικός τρεῖς ὑπερέχω καί ὑπερέχω · ιβʹ θʹ ϛʹ . πάλιν συντίθημι ὁ ἐκ ἀρχή ἄκρος ὁ ιβʹ καί ὁ ϛʹ · γίγνομαι ιηʹ . ὅς ἥμισυς θʹ , ὅς εἰμί μέσος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 145
κατὰ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν ἐπὶ μὲν ἀριθ - μῶν τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχομένου πλευρὰν τετρά - γωνον λαβόντες ταύτῃ ἕξομεν τὸν μέσον ὅρον . οἷον δεδόσθωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε κδʹ καὶ ὁ Ϛʹ . προστε - τάχθω τούτων κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν τὸν μέσον ὅρον ἀνευρεῖν . πεπολλαπλασιάσθωσαν οἱ τε - θέντες ἐπʼ ἀλλήλους · γίνεται ρμδʹ · τούτων εἰλήφθω πλευρὰ τετράγωνος · ἔσται ὁ ιβʹ , ὅς γίνεται μέσος · ἔστι γὰρ ὡς ὁ κδʹ πρὸς ιβʹ , οὕτως τλιβʹ πρὸς ϛʹ ἐν διπλασίῳ λόγῳ . ἀλλʼ ἂν μὲν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενος ᾖ τετράγωνος , ὁ ληφθεὶς οὕτως μέσος ὅρος ῥητὸς γίνεται καὶ μήκει σύμμετρος τοῖς ἄκροις ἐξ ὅλων μονάδων εὑρισκόμενος . ἐὰν δὲ μὴ τετράγωνος ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῶν ἄκρων , ὁ μέσος ὅρος δυνάμει μόνον ἔσται σύμμετρος τοῖς ἄκροις .
Lemmas: κατά δέ ὁ γεωμετρικός ἀναλογία ἐπί μέν ὁριθς - μῶν ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω πλευρά τετρᾶς - γωνον λαμβάνω οὗτος ἔχω ὁ μέσος ὅρος . οἷος δίδωμι δύο ἀριθμός ὁ τε κδʹ καί ὁ ϛʹ . πρόσθεν - τάσσω οὗτος κατά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία ὁ μέσος ὅρος ἀνευρίσκω . πολλαπλασιάζω ὁ τε - τίθημι ἐπί ἀλλήλων · γίγνομαι ρμδʹ · οὗτος λαμβάνω πλευρόν τετράγωνος · εἰμί ὁ ιβʹ , ὅς γίγνομαι μέσος · εἰμί γάρ ὡς ὁ κδʹ πρός ιβʹ , οὕτως τλιβʹ πρός ϛʹ ἐν διπλάσιος λόγος . ἀλλά ἐάν μέν ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω εἰμί τετράγωνος , ὁ λαμβάνω οὕτως μέσος ὅρος ῥητός γίγνομαι καί μῆκος σύμμετρος ὁ ἄκρον ἐκ ὅλος μονάς εὑρίσκω . ἐάν δέ μή τετράγωνος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἄκρον , ὁ μέσος ὅρος δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος ὁ ἄκρον .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 146
λαμβάνεται δὲ κοινότερον ἔν τε ἀριθμοῖς [ καὶ ] ῥητοῖς καὶ ἐν λόγοις καὶ μεγέθεσι [ καὶ ] συμμέτροις γεω - μετρικῶς οὕτως . ἔστωσαν δύο ὅροι ὧν δεῖ μέσον ἀνά - λογον λαβεῖν γεωμετρικῶς · οἷον αβ βγ καὶ ἐκκείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας · καὶ περὶ ὅλην τὴν αγ γεγράφθω ἡμικύκλιον · καὶ ἀπὸ τοῦ β ἀνήχθω τῇ αγ πρὸς ὀρθὰς μέχρι τῆς περιφερείας ἡ βδ · αὕτη δὴ γίνεται μέση τῶν αβ βγ κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν . ἐπιζευχθεισῶν γὰρ τῶν αδ δγ ὀρθὴ γίνεται ἡ δ γωνία , ἐπεί ἐστιν ἐν ἡμι - κυκλίῳ · καὶ 〈 ἐν 〉 ὀρθογωνίῳ τῷ αδγ κάθετος ἡ δβ · καὶ τὰ περὶ ταύτην τρίγωνα τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ἐστιν · ὥστε αἱ περὶ τὰς ἴσας αὐτῶν γωνίας πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ὡς ἄρα ἡ αβ πρὸς τὴν βδ , ἡ δβ πρὸς βγ · τῶν ἄρα αβ βγ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ βδ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: λαμβάνω δέ κοινός ἐν τε ἀριθμός [ καί ] ῥητός καί ἐν λόγος καί μέγεθος [ καί ] σύμμετρος γεόω - μετρικός οὕτως . εἰμί δύο ὅρος ὅς δέω μέσος ἀνά - λόγος λαμβάνω γεωμετρικός · οἷος αβ βγʹ καί ἔκκειμαι ἐπί εὐθεῖα · καί περί ὅλος ὁ αγ γράφω ἡμικύκλιον · καί ἀπό ὁ β ἀνάγω ὁ αγ πρός ὀρθός μέχρι ὁ περιφέρεια ὁ βδʹ · οὗτος δή γίγνομαι μέσος ὁ αβ βγʹ κατά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ αδʹ δγʹ ὀρθός γίγνομαι ὁ δ γωνία , ἐπεί εἰμί ἐν ἡμι - κύκλιος · καί 〈 ἐν 〉 ὀρθογώνιον ὁ αδγʹ κάθετος ὁ δβʹ · καί ὁ περί οὗτος τρίγωνος ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων ὅμοιος εἰμί · ὥστε ὁ περί ὁ ἴσος αὐτός γωνία πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ὡς ἄρα ὁ αβ πρός ὁ βδʹ , ὁ δβʹ πρός βγʹ · ὁ ἄρα αβ βγʹ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ βδʹ · ὅς δέω δείκνυμι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 148
ταῦτα μὲν τὰ ἀναγκαιότατα χρησιμωτάτων ἐν τοῖς προειρημένοις μαθήμασιν ὡς ἐν κεφαλαιώδει παραδόσει πρὸς τὴν τῶν Πλατωνικῶν ἀνάγνωσιν . λεί - πεται δὲ μνημονεῦσαι στοιχειωδῶς καὶ τῶν κατʼ ἀστρο - νομίαν .
Lemmas: οὗτος μέν ὁ ἀναγκαῖος χρήσιμος ἐν ὁ προλέγω μάθημα ὡς ἐν κεφαλαιώδης παράδοσις πρός ὁ ὁ Πλατωνικός ἀνάγνωσις . λείν - πω δέ μνημονεύω στοιχειώδης καί ὁ κατά άστρο - νομία .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 149
ὅτι πᾶς ὁ κόσμος σφαιρικός , μέση δʼ αὐτοῦ ἡ γῆ , σφαιροειδὴς οὖσα καὶ αὐτή , κέντρου μὲν κατὰ τὴν θέσιν , σημείου δὲ κατὰ τὸ μέγεθος λόγον ἔχουσα πρὸς τὸ πᾶν , ἀνάγκη προκαταστήσασθαι πρὸ τῶν ἄλλων . ἡ μὲν γὰρ ἀκριβεστέρα τούτων ἀφήγησις μακροτέρας σκέ - ψεως δεῖται , ὡς λόγων πλειόνων · ἐξαρκέσει δὲ πρὸς τὴν τῶν μελλόντων παραδοθήσεσθαι σύνοψιν μόνον μνημονεῦσαι τῶν ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου κεφαλαιωδῶς παραδοθέντων .
Lemmas: ὅτι πᾶς ὁ κόσμος σφαιρικός , μέσος δέ αὐτός ὁ γῆ , σφαιροειδής εἰμί καί αὐτός , κέντρον μέν κατά ὁ θέσις , σημεῖον δέ κατά ὁ μέγεθος λόγος ἔχω πρός ὁ πᾶς , ἀνάγκη προκαθίστημι πρό ὁ ἄλλος . ὁ μέν γάρ ἀκριβής οὗτος ἀφήγησις μακρός σκῶ - ψεως δέω , ὡς λόγος πολύς · ἐξαρκέω δέ πρός ὁ ὁ μέλλω παραδίδωμι σύνοψις μόνος μνημονεύω ὁ ὑπό ὁ Ἄδραστος κεφαλαιώδης παραδίδωμι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 152
σφαιρικὴ δέ ἐστιν ἡ γῆ καὶ μέση κεῖται τοῦ κόσμου . παρεγκλιθεῖσα γὰρ κατὰ τὴν θέσιν οὐκ ἀπὸ παντὸς μέρους αὑτῆς τὸ μὲν ἥμισυ τοῦ οὐρανοῦ ὑπεράνω , τὸ δὲ ἥμισυ ὑφʼ αὑτὴν ἔξει , οὐδὲ τὰς ἀπὸ παντὸς σημείου πρὸς τὸν ἔσχατον οὐρανὸν ἡκούσας εὐθείας ἴσας . καὶ μὴν ὅτι τοὺ μεγέθους οὐδένα λόγον αἰσθητὸν ἔχει πρὸς τὸ πᾶν ἡ γῆ , σημείου δὲ τάξιν ἐπέχει , δηλοῖ καὶ τὰ τῶν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τῆς οἰκουμένης ὡς κέντρα τῆς ἡλιακῆς ὑποτιθέμενα σφαίρας καὶ μηδʼ ἡντινοῦν αἰσθητὴν διὰ τοῦτο ποιού - μενα τὴν παραλλαγήν . εἰ γὰρ ἓν μέν ἐστι κέντρον ἀναγκαίως πρὸς τὰς ὅλας σφαίρας , πάντα δὲ τὰ ἐπὶ τῆς γῆς σημεῖα ὡς τοῦτο ὑπάρχοντα φαίνεται , δῆλον ὡς ἡ ὅλη γῆ 〈 σημείου τάξιν ἐπέχει 〉 πρὸς τὴν ὅλην τοῦ ἡλίου σφαῖραν καὶ πολλῷ τινι μᾶλλον πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν · ὥστε καὶ διὰ τοῦτο ἀεὶ τὸ ἥμισυ τοῦ κόσμου θεωρεῖσθαι ὑπὲρ αὐτήν [ βραχεῖ τινι μοίρας ] .
Lemmas: σφαιρικός δέ εἰμί ὁ γῆ καί μέσος κεῖμαι ὁ κόσμος . παρεγκλίνω γάρ κατά ὁ θέσις οὐ ἀπό πᾶς μέρος ἑαυτοῦ ὁ μέν ἥμισυς ὁ οὐρανός ὑπεράνω , ὁ δέ ἥμισυς ὑπό ἑαυτοῦ ἔχω , οὐδέ ὁ ἀπό πᾶς σημεῖον πρός ὁ ἔσχατος οὐρανός ἥκω εὐθεῖα ἴσος . καί μήν ὅτι ὁ μέγεθος οὐδείς λόγος αἰσθητός ἔχω πρός ὁ πᾶς ὁ γῆ , σημεῖον δέ τάξις ἐπέχω , δηλόω καί ὁ ὁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ὁ οἰκουμένη ὡς κέντρον ὁ ἡλιακός ὑποτίθημι σφαῖρα καί μηδέ ὅστις αἰσθητός διά οὗτος ποιέω - Μένα ὁ παραλλαγή . εἰ γάρ εἷς μέν εἰμί κέντρον ἀναγκαῖος πρός ὁ ὅλος σφαῖρα , πᾶς δέ ὁ ἐπί ὁ γῆ σημεῖον ὡς οὗτος ὑπάρχω φαίνω , δῆλος ὡς ὁ ὅλος γῆ 〈 σημεῖον τάξις ἐπέχω 〉 πρός ὁ ὅλος ὁ ἥλιος σφαῖρα καί πολύς τις μάλα πρός ὁ ὁ ἀπλανής · ὥστε καί διά οὗτος ἀεί ὁ ἥμισυς ὁ κόσμος θεωρέω ὑπέρ αὐτός [ βραχύς τις μοῖρα ] .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 153
καὶ περὶ μὲν σχήματος τοῦ τε παντὸς καὶ τῆς γῆς , ἔτι δὲ τῆς ταύτης μέσης θέσεως καὶ τοῦ πρὸς τὸ πᾶν αὐτῆς ἀδήλου μεγέθους , εἰ καὶ πολλὰ ἔτι οἷόν τε λέγειν , ἐξαρκέσει πρὸς τὴν τοῦ ἐφεξῆς παράδοσιν τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου τὸν εἰρημένον ὑποδεδειγμένα τρόπον .
Lemmas: καί περί μέν σχῆμα ὁ τε πᾶς καί ὁ γῆ , ἔτι δέ ὁ οὗτος μέσος θέσις καί ὁ πρός ὁ πᾶς αὐτός ἄδηλος μέγεθος , εἰ καί πολύς ἔτι οἷος τε λέγω , ἐξαρκέω πρός ὁ ὁ ἐφεξῆς παράδοσις ὁ ὑπό ὁ Ἄδραστος ὁ λέγω ὑποδείκνυμι τρόπος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 155
ἀρκτικός τροπικὸς χειμερινός ισημ ζῳδιακός ερινός τροπικὸς θερινός ἀνταρκτικός
Lemmas: ἀρκτικός τροπικός χειμερινός ισημ ζῳδιακός ἐρινεός τροπικός θερινός ἀνταρκτικός
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 156
λέγεται δέ τις κύκλος ὁρίζων , ὁ διὰ τῆς ἡμετέρας ὄψεως ἐκβαλλόμενος καὶ κατʼ ἐπιπρόσθησιν τῆς γῆς ἴσα διαιρῶν ὡς πρὸς αἴσθησιν τὸν ὅλον οὐρανόν , τουτ - έστι τό τε φανερὸν ὑπὲρ γῆς ἡμισφαίριον καὶ τὸ ἀφα - νὲς ὑπὸ γῆς , μέγιστος ὁμοίως καὶ τοὺς μεγίστους διχοτομῶν τόν τε ἰσημερινὸν καὶ τὸν ζῳδιακόν · ὅθεν καὶ τῶν κατὰ διάμετρον ἄστρων κατὰ συζυγίαν ἀεὶ θάτερον μὲν ἐπʼ ἀνατολῆς ὁρᾶται , θάτερον δὲ ἐπὶ δύσεως . διαιρεῖ δὲ οὗτος δίχα καὶ τὸν μεσημβρινόν . ἔστι γάρ τις καὶ μεσημβρινὸς καλούμενος μέγιστος κύ - κλος , γραφόμενος μὲν διὰ τῶν πόλων τοῦ παντὸς ἀμφο - τέρων , ὀρθὸς δὲ νοούμενος πρὸς τὸν ὁρίζοντα . καλεῖται 〈 δὲ 〉 μεσημβρινὸς οἷον ἐπειδὴ κατὰ μέσην ἡμέραν ἐπὶ τούτῳ γίνεται μετέωρος ὁ ἥλιος . καλοῦσι δὲ ἔνιοι τοῦ - τον καὶ κόλουρον , ἐπειδὴ 〈 τὸ 〉 πρὸς τὸν ἀφανῆ πόλον μέρος αὐτοῦ ἐφʼ ἡμῖν ἐστιν ἀφανές .
Lemmas: λέγω δέ τις κύκλος ὁρίζω , ὁ διά ὁ ἡμέτερος ὄψις ἐκβάλλω καί κατά ἐπιπρόσθησις ὁ γῆ ἴσος διαιρέω ὡς πρός αἴσθησις ὁ ὅλος οὐρανός , οὗτος - εἰμί ὁ τε φανερός ὑπέρ γῆ ἡμισφαίριον καί ὁ ἁφή - νεσκαφέ ὑπό γῆ , μέγας ὅμοιος καί ὁ μέγας διχοτομέω ὁ τε ἰσημερινός καί ὁ ζῳδιακός · ὅθεν καί ὁ κατά διάμετρος ἄστρον κατά συζυγία ἀεί ἕτερος μέν ἐπί ἀνατολή ὁράω , ἕτερος δέ ἐπί δύσις . διαιρέω δέ οὗτος δίχα καί ὁ μεσημβρινός . εἰμί γάρ τις καί μεσημβρινός καλέω μέγας κύ - Κλος , γράφω μέν διά ὁ πόλος ὁ πᾶς ἀμφο - τέρος , ὀρθός δέ νοέω πρός ὁ ὁρίζων . καλέω 〈 δέ 〉 μεσημβρινός οἷος ἐπειδή κατά μέσος ἡμέρα ἐπί οὗτος γίγνομαι μετέωρος ὁ ἥλιος . καλέω δέ ἔνιοι ὁ - τον καί κόλουρος , ἐπειδή 〈 ὁ 〉 πρός ὁ ἀφανής πόλος μέρος αὐτός ἐπί ἐγώ εἰμί ἀφανής .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 158
ἔτι τῶν μὲν ἄλλων κύκλων ἕκαστος ὄντως ἐστὶ κύ - κλος ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενος . ὁ δὲ λεγόμενος ζῳδιακὸς ἐν πλάτει τινὶ φαίνεται καθάπερ τυμπάνου κύκλος , ἐφʼ οὗ καὶ εἰδωλοποιεῖται τὰ ζῴδια . τούτου δὲ ὁ μὲν διὰ μέσου λέγεται τῶν ζῳδίων , ὅστις ἐστὶ καὶ μέγιστος καὶ τῶν τροπικῶν ἐφαπτόμενος καθʼ ἓν ἑκα - τέρου σημεῖον καὶ τὸν ἰσημερινὸν διχοτομῶν · οἱ δὲ ἑκατέρωθεν τὸ πλάτος ἀφορίζοντες τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσου ἐλάττονες .
Lemmas: ἔτι ὁ μέν ἄλλος κύκλος ἕκαστος ὄντως εἰμί κύ - Κλος ὑπό εἷς γραμμή περιέχω . ὁ δέ λέγω ζῳδιακός ἐν πλάτος τις φαίνω καθά τύμπανον κύκλος , ἐπί ὅς καί εἰδωλοποιέω ὁ ζῴδιον . οὗτος δέ ὁ μέν διά μέσος λέγω ὁ ζῴδιον , ὅστις εἰμί καί μέγας καί ὁ τροπικός ἐφάπτω κατά εἷς ἐπίτεξ - τέρας σημεῖον καί ὁ ἰσημερινός διχοτομέω · ὁ δέ ἑκατέρωθεν ὁ πλάτος ἀφορίζω ὁ ζῳδιακός καί ὁ διά μέσος ἐλαχύς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 159
οἱ μὲν οὖν πολλοὶ καὶ ἀπλανεῖς ἀστέρες τῇ πρώτῃ καὶ μεγίστῃ καὶ τὸ πᾶν ἔξωθεν περιεχούσῃ σφαίρᾳ συμ - περιφέρονται μίαν καὶ ἁπλῆν ἐγκύκλιον κίνησιν , ὡς ἐνεστηριγμένοι ταύτῃ καὶ ὑπʼ αὐτῆς φερόμενοι , θέσιν τε 〈 μίαν 〉 καὶ ἀεὶ τὴν αὐτὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ διαφυλάτ - τοντες καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλους τάξιν ςὁμοίαν , μηδʼ ἡντιν - οῦν ἑτέραν μεταβολὴν ποιούμενοι μήτε σχήματος ἢ μεταναστάσεως μήτε μεγέθους ἢ χρώματος . ἥλιος δὲ καὶ σελήνη καὶ οἱ λοιποὶ πάντες ἀστέρες καλούμενοι πλάνητες συναποφέρονται μὲν ὑπὸ τοῦ παντὸς τὴν ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσιν φορὰν καθʼ ἑκάστην ἡμέραν , καθὰ καὶ οἱ ἀπλανεῖς , φαίνονται δὲ καθʼ ἑκάστην ἡμέραν πολλὰς καὶ ποικίλας ἄλλας ποιούμενοι κινήσεις . εἰς τε γὰρ τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων μετίασι καὶ οὐκ εἰς τὰ προηγούμενα κατὰ τὴν ἰδίαν πορείαν , ἀντιφερόμενοι 〈 τῷ 〉 παντὶ τὴν κατὰ μῆκος αὐτῶν λεγομένην φοράν , καὶ ἀπὸ τῶν βορείων ἐπὶ τὰ νότια καὶ ἀνάπαλιν τρέ - πονται , τὴν κατὰ πλάτος ποιούμενοι μετάβασιν , ἁπλῶς δὲ ἀπὸ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ πρὸς τὸν χειμερινὸν καὶ ἀνάπαλιν φερόμενοι διὰ τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ λόξωσιν τού - τοις ὑφʼ ὧν ἀεὶ θεωροῦνται , καὶ ἐν αὐτῷ τῷ πλάτει τοῦ ζῳδιακοῦ ποτὲ μὲν βορειότεροι τοῦ διὰ μέσου φαινό - μενοι καὶ ὑψοῦσθαι λεγόμενοι , ποτὲ δὲ νοτιώτεροι καὶ ταπεινούμενοι , καὶ τοῦτο οἱ μὲν πλεῖον , οἱ δὲ ἔλαττον , ἔτι δὲ καὶ τοῖς μεγέθεσι διαλλάττοντες , διὰ τὸ ποτὲ μὲν ἀπογειότεροι , ποτὲ δὲ σύνεγγυς ἡμῖν ἐν τῷ βάθει φέ - ρεσθαι . διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ τάχος τῆς κινήσεως διὰ τῶν ζῳδίων ἀνώμαλον φαίνονται ποιούμενοι , τὰ ἴσα διαστήματα μὴ ἐν ἴσοις χρόνοις παραλλάττοντες , ἀλλὰ θᾶττον μὲν ὅτε καὶ μέγιστοι δοκοῦσι διὰ τὸ προσγειό - τεροι καθίστασθαι , βραδύτερον δὲ ὅτε καὶ μικρότεροι διὰ τὸ γίνεσθαι ἀπόγειοι .
Lemmas: ὁ μέν οὖν πολύς καί ἀπλανής ἀστήρ ὁ πρῶτος καί μέγας καί ὁ πᾶς ἔξωθεν περιέχω σφαῖρα σναυ - περιφέρω εἷς καί ἁπλόος ἐγκύκλιος κίνησις , ὡς ἐνστηρίζω οὗτος καί ὑπό αὐτός φέρω , θέσις τε 〈 εἷς 〉 καί ἀεί ὁ αὐτός ἐν ὁ σφαῖρα διαφυλάσσω - τοντες καί ὁ πρός ἀλλήλων τάξις ὁμοῖος , μηδέ ἡντιν - ἐν ἕτερος μεταβολή ποιέω μήτε σχῆμα ἤ μετανάστασις μήτε μέγεθος ἤ χρῶμα . ἥλιος δέ καί σελήνη καί ὁ λοιπός πᾶς ἀστήρ καλέω πλάνης συναποφέρω μέν ὑπό ὁ πᾶς ὁ ἀπό ἀνατολή ἐπί δύσις φορά κατά ἕκαστος ἡμέρα , καθά καί ὁ ἀπλανής , φαίνω δέ κατά ἕκαστος ἡμέρα πολύς καί ποικίλος ἄλλος ποιέω κίνησις . εἰς τε γάρ ὁ ἕπομαι ὁ ζῴδιον μετέρχομαι καί οὐ εἰς ὁ προηγέομαι κατά ὁ ἴδιος πορεία , ἀντιφέρω 〈 ὁ 〉 πᾶς ὁ κατά μῆκος αὐτός λέγω φορά , καί ἀπό ὁ βόρειος ἐπί ὁ νότιος καί ἀνάπαλιν τρέ - πόντης , ὁ κατά πλάτος ποιέω μετάβασις , ἁπλῶς δέ ἀπό ὁ θερινός τροπικός πρός ὁ χειμερινός καί ἀνάπαλιν φέρω διά ὁ ὁ ζῳδιακός λόξωσις ὁ - ὁ ὑπό ὅς ἀεί θεωρέω , καί ἐν αὐτός ὁ πλάτος ὁ ζῳδιακός ποτέ μέν βόρειος ὁ διά μέσος φαινό - μένω καί ὑψόω λέγω , ποτέ δέ νότιος καί ταπεινόω , καί οὗτος ὁ μέν πολύς , ὁ δέ ἐλαχύς , ἔτι δέ καί ὁ μέγεθος διαλλάσσω , διά ὁ ποτέ μέν ἀπόγαιος , ποτέ δέ σύνεγγυς ἐγώ ἐν ὁ βάθος φές - ρω . διά δέ οὗτος καί ὁ τάχος ὁ κίνησις διά ὁ ζῴδιον ἀνώμαλος φαίνω ποιέω , ὁ ἴσος διάστημα μή ἐν ἴσος χρόνος παραλλάσσω , ἀλλά ταχύς μέν ὅτε καί μέγας δοκέω διά ὁ πρόσγειος - τερέω καθίστημι , βραδύς δέ ὅτε καί μικρός διά ὁ γίγνομαι ἀπόγειος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 160
τὸ δʼ ἐν αὐτῷ τῷ ζῳδιακῷ πλάτος τῆς μεταβάσεως ὁ μὲν ἥλιος βραχύ τι παντάπασιν ὁρᾶται , τὸ πᾶν περὶ μίαν μοῖραν τῶν τξ΄ · ἡ δὲ σελήνη , καθὰ οἱ ἀρχαῖοί φασι , καὶ ὁ φωσφόρος πλεῖστον , περὶ γὰρ μοίρας ιβ΄ · στίλβων δὲ περὶ μοίρας η΄ · πυρόεις δὲ καὶ φαέθων περὶ μοίρας ε΄ · φαίνων δὲ περὶ μοίρας γ΄ . ἀλλὰ σελήνη μὲν καὶ ἥλιος ἴσον ἐφ᾿ ἑκάτερον τοῦ διὰ μέσου ἐν παντὶ ζῳδίῳ κατὰ πλάτος φαίνονται χωρεῖν , τῶν δὲ ἄλλων ἕκαστος οὐκ ἴσον , ἀλλʼ ἔν τινι μὲν βορειότατος , ἔν τινι δὲ νοτιώτατος γίνεται . τὸν δὲ τῶν ζῳδίων κύκλον κατὰ τὸ μῆκος ἀπὸ σημείου ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον , εἰς τὰ ἑπό - μενα καὶ οὐκ εἰς τὰ προηγούμενα , σελήνη μὲν ἐν ἡμέ - ραις κζ΄ καὶ τρίτῳ μάλιστα ἡμέρας καὶ νυκτὸς διέρχε - ται · ὁ ἥλιος δʼ ἐνιαυτῷ , ὅς ἐστιν ἡμερῶν ἐγγὺς τξε δ΄΄ · φωσφόρος δὲ καὶ στίλβων καθʼ ἕκαστα μὲν ἀνωμάλως , ὀλίγον παραλλάττοντες τοῖς χρόνοις , ὡς δὲ τὸ ὅλον εἰπεῖν ἰσόδρομοι ἡλίῳ εἰσίν , ἀεὶ περὶ τοῦτον ὁρώμενοι · διὸ καταλαμβάνουσί τε αὐτὸν καὶ καταλαμβάνονται · πυρόεις δὲ ὀλίγου δεῖν διετίᾳ , καὶ φαέθων μὲν σύν - εγγυς ἔτεσι δώδεκα , φαίνων δὲ παῤ ὀλίγον ἔτεσι λ΄ .
Lemmas: ὁ δέ ἐν αὐτός ὁ ζῳδιακός πλάτος ὁ μετάβασις ὁ μέν ἥλιος βραχύς τις παντάπασι ὁράω , ὁ πᾶς περί εἷς μοῖρα ὁ τξʹ · ὁ δέ σελήνη , καθά ὁ ἀρχαῖος φημί , καί ὁ φωσφόρος πολύς , περί γάρ μοῖρα ιβʹ · στίλβω δέ περί μοῖρα ηʹ · πυρόεις δέ καί φαέθω περί μοῖρα πέντε · φαίνω δέ περί μοῖρα γʹ . ἀλλά σελήνη μέν καί ἥλιος ἴσος ἐπί ἑκάτερος ὁ διά μέσος ἐν πᾶς ζῴδιον κατά πλάτος φαίνω χωρέω , ὁ δέ ἄλλος ἕκαστος οὐ ἴσος , ἀλλά ἐν τις μέν βόρειος , ἐν τις δέ νότιος γίγνομαι . ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος κατά ὁ μῆκος ἀπό σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός σημεῖον , εἰς ὁ ἑπὸ - Μένα καί οὐ εἰς ὁ προηγέομαι , σελήνη μέν ἐν ἡμός - Ραΐς κζʹ καί τρίτος μάλα ἡμέρα καί νύξ διέρχομαι - ται · ὁ ἥλιος δέ ἐνιαυτός , ὅς εἰμί ἡμέρα ἐγγύς τξε δʹʹ · φωσφόρος δέ καί στίλβω κατά ἕκαστος μέν ἀνώμαλος , ὀλίγος παραλλάσσω ὁ χρόνος , ὡς δέ ὁ ὅλος λέγω ἰσόδρομος ἥλιος εἰμί , ἀεί περί οὗτος ὁράω · διό καταλαμβάνω τε αὐτός καί καταλαμβάνω · πυρόεις δέ ὀλίγος δέω διετία , καί φαέθω μέν σῦς - ἐγγύς ἔτος δώδεκα , φαίνω δέ παρά ὀλίγος ἔτος λʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 161
διὸ καὶ τὰς πρὸς τὸν ἥλιον συνόδους καὶ φάσεις καὶ κρύψεις , ἃς καὶ αὐτὰς ἀνατολὰς καλοῦσι καὶ δύσεις , οὐχ ὁμοίως πάντες ποιοῦνται . σελήνη μὲν γὰρ μετὰ τὴν πρὸς τὸν ἥλιον σύνοδον , ἐπειδὴ θᾶττον αὐτοῦ τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα ποιεῖται κίνησιν , ἀεὶ ἑσπερία πρώ - τως φαινομένη καὶ ἀνατέλλουσα , ἑῴα κρύπτεται καὶ δύνει . φαίνων δὲ καὶ φαέθων καὶ πυρόεις ἀνάπαλιν ἐπειδὴ βράδιον ἡλίου τὸν τῶν ζῳδίων ἀνύουσιν εἰς τὰ ἑπόμενα κύκλον , οἷον αὐτοὶ καταλαμβανόμενοι ὑπʼ αὐ - τοῦ καὶ παριέμενοι , ἀεὶ ἑσπέριοι δύνοντες [ δὲ ] ἑῷοι ἀνατέλλουσιν . ὁ φωσφόρος δὲ καὶ στίλβων ἰσόδρομοι ὄντες ἡλίῳ καὶ περὶ αὐτὸν ἀεὶ βλεπόμενοι , καταλαμβά - νοντες αὐτὸν καὶ καταλαμβανόμενοι ὑπʼ αὐτοῦ , ἑκατέ - ρως ἑσπέριοι μὲν ἀνατείλαντες ἑσπέριοι πάλιν κρύπτον - ται , ἑῷοι δὲ φανέντες ἑῷοι δύνουσι καὶ ἀφανίζονται . τῶν γὰρ ἄλλων πλανωμένων ἀπὸ τοῦ ἡλίου πᾶν ἀπό - στημα ἀφισταμένων καὶ κατὰ διάμετρον αὐτῷ ποτε γινο - μένων , οἱ δύο οὗτοι ἀεὶ περὶ τὸν ἥλιον ὁρῶνται , στίλ - βων μὲν κ΄ που μοίρας , τουτέστιν ἔγγιστα δύο μέρη ζῳδίου , τὸ πλεῖστον ἀνατολικώτερος ἢ δυσμικώτερος αὐτοῦ γινόμενος , ὁ δὲ τῆς Ἀφροδίτης περὶ ν΄ μοίρας πρὸς ἀνατολὰς ἢ δύσεις ἀφιστάμενος .
Lemmas: διό καί ὁ πρός ὁ ἥλιος σύνοδος καί φάσις καί κρύψις , ὅς καί αὐτός ἀνατολή καλέω καί δύσις , οὐ ὅμοιος πᾶς ποιέω . σελήνη μέν γάρ μετά ὁ πρός ὁ ἥλιος σύνοδος , ἐπειδή ταχύς αὐτός ὁ εἰς ὁ ἕπομαι ποιέω κίνησις , ἀεί ἑσπέριος πρώ - πως φαίνω καί ἀνατέλλω , ἑῷος κρύπτω καί δύω . φαίνω δέ καί φαέθω καί πυρόεις ἀνάπαλιν ἐπειδή βραδύς ἥλιος ὁ ὁ ζῴδιον ἀνύω εἰς ὁ ἕπομαι κύκλος , οἷος αὐτός καταλαμβάνω ὑπό οὐ - ὁ καί παρίημι , ἀεί ἑσπέριος δύω [ δέ ] ἑῷος ἀνατέλλω . ὁ φωσφόρος δέ καί στίλβω ἰσόδρομος εἰμί ἥλιος καί περί αὐτός ἀεί βλέπω , καταλαμβάνω - νοντες αὐτός καί καταλαμβάνω ὑπό αὐτός , ἕκατος - Ῥῶς ἑσπέριος μέν ἀνατέλλω ἑσπέριος πάλιν κρύπτω - ται , ἑῷος δέ φαίνω ἑῷος δύω καί ἀφανίζω . ὁ γάρ ἄλλος πλανάω ἀπό ὁ ἥλιος πᾶς ἀπό - στῆμα ἀφίστημι καί κατά διάμετρος αὐτός ποτέ Γίνος - μένω , ὁ δύο οὗτος ἀεί περί ὁ ἥλιος ὁράω , στιλ - βοῦς μέν ἄν που μοῖρα , τουτέστι ἐγγύς δύο μέρος ζῴδιον , ὁ πολύς ἀνατολικός ἤ δυσμικός αὐτός γίγνομαι , ὁ δέ ὁ Ἀφροδίτη περί νʹ μοῖρα πρός ἀνατολή ἤ δύσις ἀφίστημι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 162
ἀνατολὴ δὲ λέγεται πλεοναχῶς · κυρίως μὲν καὶ κοι - νῶς ἐπί τε ἡλίου καὶ τῶν ἄλλων ἄστρων ἡ πρώτη ἀνα - φορὰ ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα · ἕτερον δὲ τρόπον ἐπὶ τῶν ἄλλων ἡ πρώτη φαῦσις ἐκ τῶν τοῦ ἡλίου αὐγῶν , ἥτις καὶ κυ - ρίως 〈 φαῦσις 〉 ὀνομάζεται · λοιπὴ δὲ ἡ καλουμένη ἀκρόνυ - χος , ἐπειδὰν ἡλίου δύνοντος τὸ κατὰ διάμετρον ἄστρον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς βλέπηται · καλεῖται δὲ ἀκρόνυχος , ἐπειδὴ ἡ τοιαύτη ἀνατολὴ γίνεται ἄκρας νυκτός , τουτ - έστιν ἀρχομένης . παραπλησίως δὲ καὶ δύσις κοινῶς μὲν ἡ πρώτη κάθοδος ἡ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα · τρόπον δὲ ἄλλον ὁ πρῶτος ἀφανισμὸς ἄστρου τινὸς ὑπὸ τῶν τοῦ ἡλίου αὐγῶν , ἥτις καὶ κυρίως κρύψις πάλιν προσαγο - ρεύεται · λοιπὴ δὲ καὶ ἀκρόνυχος , ἐπειδὰν ἡλίου ἀνα - τέλλοντος τὸ κατὰ διάμετρον ἄστρον ἀντικαταδύνῃ . τῶν δὲ διὰ τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς λεγομένων ἀνατολῶν καὶ δύσεων , τουτέστι φαύσεων καὶ κρύψεων , αἱ μέν εἰσιν ἑῷαι , αἱ δὲ ἑσπέριαι . ἑῴα μὲν οὖν ἐστιν ἀνατολὴ ἄστρου , ἐπειδὰν ἐκφεῦγον τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς προανατέλλον αὐτοῦ πρώτως ὁραθῇ , καθάπερ καὶ ἡ τοῦ κυνὸς ἐπιτολὴ λέγεται · ἑσπερία δέ , ἐπειδὰν μετὰ τὴν δύσιν τοῦ ἡλίου πρώτως φανῇ , καθάπερ τὴν σελήνην ταῖς νεομηνίαις φαμὲν ἀνατέλλειν . παραπλησίως δὲ καὶ δύσεις ἑῷαι μέν , ἐπειδὰν ταῖς ἔμπροσθεν ἡμέραις τι προανατέλλον ἡλίου συνεγγίσαντος αὐτῷ πρώτως ἀφανισθῇ , καθάπερ ἡ σελήνη · ἑσπερία δέ , ἐπειδὰν ἐπικαταδυομένῳ τινὶ συνεγγίσας ὁ ἥλιος πρώτως διὰ τὰς αὐγὰς ἀφανὲς αὐτὸ καταστήσῃ .
Lemmas: ἀνατολή δέ λέγω πλεοναχός · κύριος μέν καί κέω - πρόφρων ἐπί τε ἥλιος καί ὁ ἄλλος ἄστρον ὁ πρῶτος ἀνα - φορά ὑπέρ ὁ ὁρίζων · ἕτερος δέ τρόπος ἐπί ὁ ἄλλος ὁ πρῶτος φαῦσις ἐκ ὁ ὁ ἥλιος αὐγή , ὅστις καί ΚΥ - ῥίος 〈 φαῦσις 〉 ὀνομάζω · λοιπός δέ ὁ καλέω ἄκρον - χος , ἐπειδάν ἥλιος δύω ὁ κατά διάμετρος ἄστρον ἐπί ὁ ἀνατολή βλέπω · καλέω δέ ἀκρόνυχος , ἐπειδή ὁ τοιοῦτος ἀνατολή γίγνομαι ἄκρος νύξ , οὗτος - εἰμί ἄρχω . παραπλήσιος δέ καί δύσις κοινός μέν ὁ πρῶτος κάθοδος ὁ ὑπό ὁ ὁρίζων · τρόπος δέ ἄλλος ὁ πρῶτος ἀφανισμός ἄστρον τις ὑπό ὁ ὁ ἥλιος αὐγή , ὅστις καί κύριος κρύψις πάλιν προσάγω - ρεύομαι · λοιπός δέ καί ἀκρόνυχος , ἐπειδάν ἥλιος ἀνα - τέλλω ὁ κατά διάμετρος ἄστρον ἀντικαταδύνω . ὁ δέ διά ὁ ὁ ἥλιος αὐγή λέγω ἀνατολή καί δύσις , τουτέστι φαῦσις καί κρύψις , ὁ μέν εἰμί ἑῷος , ὁ δέ ἑσπέριος . ἑῷος μέν οὖν εἰμί ἀνατολή ἄστρον , ἐπειδάν ἐκφεύγω ὁ ὁ ἥλιος αὐγή προανατέλλω αὐτός πρῶτος ὁράω , καθά καί ὁ ὁ κύων ἐπιτολή λέγω · ἑσπέριος δέ , ἐπειδάν μετά ὁ δύσις ὁ ἥλιος πρῶτος φαίνω , καθά ὁ σελήνη ὁ νεομηνία φημί ἀνατέλλω . παραπλήσιος δέ καί δύσις ἑῷος μέν , ἐπειδάν ὁ ἔμπροσθεν ἡμέρα τις προανατέλλω ἥλιος συνεγγίζω αὐτός πρῶτος ἀφανίζω , καθά ὁ σελήνη · ἑσπέριος δέ , ἐπειδάν ἐπικαταδύω τις συνεγγίζω ὁ ἥλιος πρῶτος διά ὁ αὐγή ἀφανής αὐτός καθίστημι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 164
ἐν δὲ τούτοις τὴν μὲν τάξιν τῶν σφαιρῶν ἣν βεβού - ληται μεμήνυκε , τὴν δὲ διάστασιν αὐτῶν καὶ τὰ ἄλλα σχεδὸν πάντα φαίνεται εἰκῇ πεποιῆσθαι . τὴν γὰρ λύ - ραν ἑπτάχορδον λέγων εἰκόνα κόσμου συστήσασθαι τὸν Ἑρμῆν καὶ ἐν τῇ διὰ πασῶν ἡρμοσμένην συμφωνίᾳ τὸ πᾶν ἐννεάχορδον συνίστησιν , ἓξ μέντοι τόνους περιέχον . καὶ τὸν μὲν τῆς ὑπάτης φθόγγον ἀποδίδωσι τῇ γῇ , διότι βαρυτάτη τῶν ἄλλων ἐστὶν αὕτη · καίτοι ἣ ἐπὶ τοῦ μέσου ἐστὶν ἀκίνητος , οὐδʼ ὅλως ποιεῖ φθόγγον · τὸν δὲ τῆς συνημμένης νήτης τῇ τῶν ἀπλανῶν ἀποδίδωσι σφαίρᾳ , καὶ τοῦτο ζ΄ . . . . · μεταξὺ δὲ τίθησι φθόγγους τοὺς τῶν πλανωμένων . πάλιν τὸν τῆς μέσης ἀποδίδωσι τῷ ἡλίῳ , τῆς ὑπάτης οὔτε πρὸς τὴν μέσην διὰ πέντε συμφωνούσης , ἀλλὰ διὰ τεσσάρων , οὔτε πρὸς τὴν συνημ - μένην νήτην διὰ πασῶν , ἀλλὰ πρὸς τὴν διεζευγμένην . τό τε πᾶν σύστημα οὔτε κατὰ διάτονον γένος ἁρμόζεται · οὔτε γὰρ τριημιτονιαῖον ἀσύνθετον οὔτε πλείω ἑνὸς ἡμιτόνια κατὰ τὸ ἑξῆς ἐν τούτῳ μελῳδεῖται τῷ γένει · οὔτε μην κατὰ χρῶμα · πάλιν γὰρ ἐν χρώματι τόνος ἀσύνθετος οὐ μελῳδεῖται . εἰ δὲ μικτὸν ἐξ ἀμφοῖν λέγει τις τοῖν γενοῖν εἶναι τὸ σύστημα , . . . . . . . . . . . . . . τό τε πλείω δυοῖν κατὰ τὸ ἐξῆς ἡμιτόνια τάττεσθαι οὐδʼ ὅλως ἐστὶν ἐμμελές . ἀλλὰ ταῦτα μὲν τοῖς ἀμυήτοις μουσικῆς ἐστιν ἄδηλα .
Lemmas: ἐν δέ οὗτος ὁ μέν τάξις ὁ σφαῖρα ὅς βοῦς - λῄτη μηνύω , ὁ δέ διάστασις αὐτός καί ὁ ἄλλος σχεδόν πᾶς φαίνω εἰκῇ ποιέω . ὁ γάρ λύ - Ραν ἑπτάχορδος λέγω εἰκών κόσμος συνίστημι ὁ Ἑρμῆς καί ἐν ὁ διά πᾶς ἁρμόζω συμφωνία ὁ πᾶς ἐννεάχορδος συνίστημι , ἕξ μέντοι τόνος περιέχω . καί ὁ μέν ὁ ὕπατος φθόγγος ἀποδίδωμι ὁ γῆ , διότι βαρύς ὁ ἄλλος εἰμί οὗτος · καίτοι ὅς ἐπί ὁ μέσος εἰμί ἀκίνητος , οὐδέ ὅλος ποιέω φθόγγος · ὁ δέ ὁ συνάπτω νήτη ὁ ὁ ἀπλανής ἀποδίδωμι σφαῖρα , καί οὗτος ζʹ . . . . · μεταξύ δέ τίθημι φθόγγος ὁ ὁ πλανάω . πάλιν ὁ ὁ μέσος ἀποδίδωμι ὁ ἥλιος , ὁ ὑπάτη οὔτε πρός ὁ μέσος διά πέντε συμφωνέω , ἀλλά διά τέσσαρες , οὔτε πρός ὁ συνημ - μένω νήτη διά πᾶς , ἀλλά πρός ὁ διαζεύγνυμαι . ὁ τε πᾶς σύστημα οὔτε κατά διάτονος γένος ἁρμόζω · οὔτε γάρ τριημιτονιαῖος ἀσύνθετος οὔτε πολύς εἷς ἡμιτόνιον κατά ὁ ἑξῆς ἐν οὗτος μελῳδέω ὁ γένος · οὔτε μήν κατά χρῶμα · πάλιν γάρ ἐν χρῶμα τόνος ἀσύνθετος οὐ μελῳδέω . εἰ δέ μικτός ἐκ ἄμφω λέγω τις ὁ γένος εἰμί ὁ σύστημα , . . . . . . . . . . . . . . ὁ τε πολύς δύο κατά ὁ ἑξῆς ἡμιτόνιον τάσσω οὐδέ ὅλος εἰμί ἐμμελής . ἀλλά οὗτος μέν ὁ ἀμύητος μουσική εἰμί ἄδηλος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 165
Ἐρατοσθένης δὲ τὴν μὲν διὰ τῆς φορᾶς τῶν ἄστρων γινομένην ἁρμονίαν παραπλησίως ἐνδείκνυται , τὴν μέν - τοι τάξιν τῶν πλανωμένων οὐ τὴν αὐτήν , ἀλλὰ μετὰ σελήνην ὑπὲρ γῆς δεύτερόν φησι φέρεσθαι τὸν ἥλιον . φησὶ γὰρ ὡς Ἑρμῆς ἔτι νέος , ἐργασάμενος τὴν λύραν , ἔπειτα πρώτως εἰς τὸν οὐρανὸν ἀνιὼν καὶ παραμείβων τὰ πλανᾶσθαι λεγόμενα , θαυμάσας τὴν διὰ τὴν ῥύμην τῆς φορᾶς αὐτῶν γινομένην ἁρμονίαν τῇ ὑπʼ αὐτοῦ κατεσκευασμένῃ λύρᾳ 〈 ὁμοίαν 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . ἐν δὲ τοῖς ἔπεσι φαίνεται ὁ ἀνὴρ οὗτος τὴν μὲν γῆν ἐᾶν ἀκίνητον , ἐν η΄ δὲ φθόγγοις ποιεῖ ὑπὸ τὴν τῶν ἀπλανῶν σφαῖραν τὰς τῶν πλανωμένων ἑπτά , [ καὶ ] πάσας κινῶν περὶ τὴν γῆν καὶ τὴν λύραν ποιούμενος ὀκτάχορδον ἐν τῇ διὰ πασῶν συμφωνίᾳ [ ὁ μουσικώτα - τος Ἀλέξανδρος ] . οἱ μέντοι μαθηματικοὶ τὴν τάξιν τῶν πλανωμένων οὔτε ταύτην 〈 οὔτε τὴν 〉 αὐτὴν πάντες τι - θέασιν , ἀλλὰ μετὰ μὲν τὴν σελήνην τάττουσι τὸν ἥλιον , ὑπὲρ δὲ τοῦτον ἔνιοι μὲν τὸν στίλβοντα , εἶτα τὸν φωσ - φόρον , 〈 ἄλλοι δὲ τὸν φωσφόρον , 〉 ἔπειτα τὸν στίλ - βοντα , τοὺς δὲ ἄλλους ὡς εἴρηται .
Lemmas: Ἐρατοσθένης δέ ὁ μέν διά ὁ φορά ὁ ἄστρον γίγνομαι ἁρμονία παραπλήσιος ἐνδείκνυμι , ὁ μέν - τοι τάξις ὁ πλανάω οὐ ὁ αὐτός , ἀλλά μετά σελήνη ὑπέρ γῆ δεύτερος φημί φέρω ὁ ἥλιος . φημί γάρ ὡς Ἑρμῆς ἔτι νέος , ἐργάζομαι ὁ λύρα , ἔπειτα πρῶτος εἰς ὁ οὐρανός ἀνέρχομαι καί παραμείβω ὁ πλανάω λέγω , θαυμάζω ὁ διά ὁ ῥύμη ὁ φορά αὐτός γίγνομαι ἁρμονία ὁ ὑπό αὐτός κατασκευάζω λύρα 〈 ὅμοιος 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . ἐν δέ ὁ ἔπος φαίνω ὁ ἀνήρ οὗτος ὁ μέν γῆ ἐάω ἀκίνητος , ἐν ηʹ δέ φθόγγος ποιέω ὑπό ὁ ὁ ἀπλανής σφαῖρα ὁ ὁ πλανάω ἑπτά , [ καί ] πᾶς κινέω περί ὁ γῆ καί ὁ λύρα ποιέω ὀκτάχορδος ἐν ὁ διά πᾶς συμφωνία [ ὁ μουσικός - ὅς Ἀλέξανδρος ] . ὁ μέντοι μαθηματικός ὁ τάξις ὁ πλανάω οὔτε οὗτος 〈 οὔτε ὁ 〉 αὐτός πᾶς τίς - θέασις , ἀλλά μετά μέν ὁ σελήνη τάσσω ὁ ἥλιος , ὑπέρ δέ οὗτος ἔνιοι μέν ὁ στίλβω , εἶτα ὁ φάος - φόρος , 〈 ἄλλος δέ ὁ φωσφόρος , 〉 ἔπειτα ὁ στιλ - Βόντα , ὁ δέ ἄλλος ὡς λέγω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 166
Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τῆς Πολιτείας , προτρέπων ἐπὶ δικαιοσύνην καὶ ἀρετήν , μῦθόν τινα διέξεισι [ καὶ ] περὶ τῆς τῶν οὐρανίων διακοσμήσεως , λέγων ἄξονα μέν τινα διὰ τοῦ πόλου διήκοντα οἷον κίονα , ἑτέραν δὲ ἠλακάτην καὶ ἄτρακτον , τοὺς δέ τινας περὶ τοῦτον κοίλους ἐν ἀλλήλοις ἡρμοσμένους σφονδύλους τὰς τῶν ἄστρων σφαίρας , ζ΄ μὲν τῶν πλανωμένων , ἐκτὸς δὲ μίαν τῶν ἀπλανῶν ἐντὸς αὐτῆς περιέχουσαν τὰς ἄλλας · δηλοῖ δὲ τὴν τάξιν τῶν σφαιρῶν διά τε τοῦ μεγέθους τῶν ἄστρων ἑκάστου καὶ διὰ τοῦ χρώματος ἑκάστου καὶ ἔτι διὰ τοῦ τάχους τῆς ἐπὶ τὰ ἐναντία τῷ παντὶ φορὰς , λέγων οὕτως ·
Lemmas: Πλάτων δέ ἐπί τέλος ὁ Πολιτεία , προτρέπω ἐπί δικαιοσύνη καί ἀρετή , μῦθος τις διεξέρχομαι [ καί ] περί ὁ ὁ οὐράνιος διακόσμησις , λέγω ἄξων μέν τις διά ὁ πόλος διήκω οἷος κίων , ἕτερος δέ ἠλακάτη καί ἄτρακτος , ὁ δέ τις περί οὗτος κοῖλος ἐν ἀλλήλων ἁρμόζω σφόνδυλος ὁ ὁ ἄστρον σφαῖρα , ζʹ μέν ὁ πλανάω , ἐκτός δέ εἷς ὁ ἀπλανής ἐντός ἑαυτοῦ περιέχω ὁ ἄλλος · δηλόω δέ ὁ τάξις ὁ σφαῖρα διά τε ὁ μέγεθος ὁ ἄστρον ἕκαστος καί διά ὁ χρῶμα ἕκαστος καί ἔτι διά ὁ τάχος ὁ ἐπί ὁ ἐναντίος ὁ πᾶς φορά , λέγω οὕτως ·
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 168
ταῦτα μὲν οὖν καὶ ὁ Πλάτων · ὧν τὴν ἐξήγησιν ἐν τοῖς τῆς Πολιτείας ποιούμεθα ὑπομνήμασιν . κατεσκεύα - σται δʼ ἡμῖν καὶ σφαιροποιία κατὰ τὰ εἰρημένα · καὶ γὰρ αὐτός φησιν ὁ Πλάτων ὅτι τὸ ἄνευ τῶν διʼ ὄφεως μιμημάτων [ τῶν ] τὰ τοιαῦτα ἐθέλειν ἐκδιδάσκειν μά - ταιος πόνος . ἐπὶ δὲ τῶν κύκλων 〈 ἅς 〉 φησιν ἐφεστάναι Σειρὴνας οἱ μὲν αὐτούς 〈 φασι 〉 λέγεσθαι τοὺς πλάνη - τας , ἀπὸ τοῦ σειριάζειν · κοινῶς τε γάρ , φησὶν ὁ Ἄδραστος , πάντας τοὺς ἀστέρας οἱ ποιηταὶ σειρίους καλοῦσιν , ὡς Ἴβυκος φλεγέθων , ᾇπερ διὰ νύκτα μακρὰν σείρια παμφα - νόωντα , καὶ κατὰ διαφορὰν ἔνιοι τοὺς λαμπροὺς καὶ ἐπιφανεῖς , ὡς Ἄρατος τὸν τοῦ κυνὸς ὀξέα σειριᾶν φησι , καὶ ὁ τρα - γικὸς ἐπί τινος τῶν πλανήτων · τί ποτʼ ἄρα ὁ ἀστὴρ ὅδε πορθμεύει σείριος ; ἔνιοι δὲ Σειρῆνας οὐ τοὺς ἀστέρας λέγεσθαί φασιν , ἀλλὰ κατὰ τὸ Πυθαγορικὸν τοὺς ὑπὸ τῆς τούτων φορᾶς γινομένους ἤχους καὶ φθόγγους ἡρμοσμένους καὶ συμ - φώνους , ἐξ ὧν μίαν ἡρμοσμένην ἀποτελεῖσθαι φωνήν .
Lemmas: οὗτος μέν οὖν καί ὁ Πλάτων · ὅς ὁ ἐξήγησις ἐν ὁ ὁ Πολιτεία ποιέω ὑπόμνημα . κατασκευάζω - εἰμί δέ ἐγώ καί σφαιροποιία κατά ὁ λέγω · καί γάρ αὐτός φημί ὁ Πλάτων ὅτι ὁ ἄνευ ὁ διά ὄφις μίμημα [ ὁ ] ὁ τοιοῦτος ἐθέλω ἐκδιδάσκω μή - ταιος πόνος . ἐπί δέ ὁ κύκλος 〈 ὅς 〉 φημί ἐφίστημι Σειρήν ὁ μέν αὐτός 〈 φημί 〉 λέγω ὁ πλάνη - της , ἀπό ὁ σειρῖάζω · κοινός τε γάρ , φημί ὁ Ἄδραστος , πᾶς ὁ ἀστήρ ὁ ποιητής σείριος καλέω , ὡς Ἴβυκος φλεγέθω , ὅς διά νύξ μακρός σείριον παμφα - νοέω , καί κατά διαφορά ἔνιοι ὁ λαμπρός καί ἐπιφανής , ὡς Ἄρατος ὁ ὁ κύων ὀξύς σειρῖάζω φημί , καί ὁ τρα - γικὸς ἐπί τις ὁ πλάνης · τίς ποτέ ἄρα ὁ ἀστήρ ὅδε πορθμεύω σείριος ; ἔνιοι δέ Σειρήν οὐ ὁ ἀστήρ λέγω φημί , ἀλλά κατά ὁ Πυθαγορικός ὁ ὑπό ὁ οὗτος φορά γίγνομαι ἦχος καί φθόγγος ἁρμόζω καί σναυ - φῶνος , ἐκ ὅς εἷς ἁρμόζω ἀποτελέω φωνή .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 169
τῶν δὲ πλανωμένων , φησὶν ὁ Ἄδραστος , τὰ μέν ἐστιν ἀεὶ ὑπολειπτικά , ὡς ἥλιος καὶ σελήνη · ταῦτα γὰρ οὐδέποτε εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων μεταβαίνει , ἀλλὰ πάντοτε ὁρᾶται μεταβαίνοντα εἰς τὰ ἑπόμενα · διόπερ οὐδὲ στηριγμοὺς οὐδὲ ἀναποδισμοὺς ποιεῖται . τὰ δὲ καὶ προηγεῖται καὶ ὑπολείπεται , καθάπερ τὰ ἄλλα · διόπερ ἀναγκαίως καὶ στηρίζοντά ποτε φαίνεται καὶ ἀναποδίζοντα . ἔστι γὰρ ὑπόλειψις μὲν φαντασία πλάνη - τος ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων καὶ πρὸς ἀνατολὰς ἀπιόντος , ὥς φησιν ὁ Ἄδραστος , ὡς δὲ ὁ Πλάτων φη - σίν , οὐ φαντασία , ἀλλὰ τῷ ὄντι μετάβασις πλάνητος εἰς τὰ ἑπόμενα ζῴδια ἐπʼ ἀνατολὰς ἀπιόντος κατὰ τὴν ἰδίαν κίνησιν , οἷον ἀπὸ Καρκίνου εἰς Λέοντα . προήγησις δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὡς ἐπὶ τὰ προηγούμενα καὶ ἐπὶ δυσμὰς μεταβαίνοντος , οἷον ἀπὸ Καρκίνου εἰς Διδύ - μους . στηριγμὸς δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὡς ἐπὶ πλέον ἑστῶτος καὶ μένοντος παρά τινι τῶν ἀπλανῶν . ἀναποδισμὸς δέ ἐστι φαντασία πλάνητος ὑποστροφῆς ἀπὸ στηριγμοῦ ὡς ἐπὶ τὰ ἐναντία τῇ πρόσθεν κινήσει . πάντα δὲ ταύτα ἡμῖν φαίνεται γίνεσθαι , οὐ μὴν οὕτως ἐπιτελεῖται · τούτου δʼ αἴτιον τὸ κατὰ ἰδίου τινὸς κύκλου ἢ ἐν ἰδίᾳ σφαίρᾳ φερόμενον ἕκαστον τῶν πλανωμένων κατωτέρω τῶν ἀπλανῶν ἡμῖν διὰ τὴν ἐπιπρόσθησιν δοκεῖν κατὰ τὸν ζῳδιακὸν φέρεσθαι κύκλον ἐπάνω κεί - μενον , ὡς καὶ περὶ τούτων διορίζει ὁ Ἄδραστος εἰς τὸ τὴν διαφορὰν τῶν περὶ τοὺς πλάνητας ὑποθέσεων φανε - ρὰν γίνεσθαι αἷς ἕπεται τὰ φαινόμενα .
Lemmas: ὁ δέ πλανάω , φημί ὁ Ἄδραστος , ὁ μέν εἰμί ἀεί ὑπολειπτικός , ὡς ἥλιος καί σελήνη · οὗτος γάρ οὐδέποτε εἰς ὁ προηγέομαι ὁ ζῴδιον μεταβαίνω , ἀλλά πάντοτε ὁράω μεταβαίνω εἰς ὁ ἕπομαι · διόπερ οὐδέ στηριγμός οὐδέ ἀναποδισμός ποιέω . ὁ δέ καί προηγέομαι καί ὑπολείπω , καθά ὁ ἄλλος · διόπερ ἀναγκαῖος καί στηρίζω ποτέ φαίνω καί ἀναποδίζω . εἰμί γάρ ὑπόλειψις μέν φαντασία πλάνη - ὅς ὡς εἰς ὁ ἕπομαι ὁ ζῴδιον καί πρός ἀνατολή ἀπέρχομαι , ὡς φημί ὁ Ἄδραστος , ὡς δέ ὁ Πλάτων φή - βρόχος , οὐ φαντασία , ἀλλά ὁ εἰμί μετάβασις πλάνης εἰς ὁ ἕπομαι ζῴδιον ἐπί ἀνατολή ἀπέρχομαι κατά ὁ ἴδιος κίνησις , οἷος ἀπό Καρκίνος εἰς Λέων . προήγησις δέ εἰμί φαντασία πλάνης ὡς ἐπί ὁ προηγέομαι καί ἐπί δυσμή μεταβαίνω , οἷος ἀπό Καρκίνος εἰς Διδῦς - ξενότιμος . στηριγμός δέ εἰμί φαντασία πλάνης ὡς ἐπί πολύς ἵστημι καί μένω παρά τις ὁ ἀπλανής . ἀναποδισμός δέ εἰμί φαντασία πλάνης ὑποστροφή ἀπό στηριγμός ὡς ἐπί ὁ ἐναντίος ὁ πρόσθεν κίνησις . πᾶς δέ οὗτος ἐγώ φαίνω γίγνομαι , οὐ μήν οὕτως ἐπιτελέω · οὗτος δέ αἴτιος ὁ κατά ἴδιος τις κύκλος ἤ ἐν ἴδιος σφαῖρα φέρω ἕκαστος ὁ πλανάω κάτω ὁ ἀπλανής ἐγώ διά ὁ ἐπιπρόσθησις δοκέω κατά ὁ ζῳδιακός φέρω κύκλος ἐπάνω κύ - μένω , ὡς καί περί οὗτος διορίζω ὁ Ἄδραστος εἰς ὁ ὁ διαφορά ὁ περί ὁ πλάνης ὑπόθεσις φανός - ρά γίγνομαι ὅς ἕπομαι ὁ φαίνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 171
περὶ δὲ τῆς θέσεως τῶν σφαιρῶν [ κύκλων ] τ . . . . . ἥτις σώσει τὰ φαινόμενα διέξεισι ταῦτα ·
Lemmas: περί δέ ὁ θέσις ὁ σφαῖρα [ κύκλος ] τ . . . . . ὅστις σῴζω ὁ φαίνω διεξέρχομαι οὗτος ·