theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 15
τῶν δὲ ἀριθμῶν ποιοῦνται τὴν πρώτην τομὴν εἰς δύο · τοὺς μὲν γὰρ αὐτῶν ἀρτίους , τοὺς δὲ περιττούς φασι . καὶ ἄρτιοι μέν εἰσιν οἱ ἐπιδεχόμενοι τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν , ὡς ἡ δυάς , ἡ τετράς · περισσοὶ δὲ οἱ εἰς ἄνισα διαιρούμενοι , οἷον ὁ εʹ , ὁ ζ΄ . πρώτην δὲ τῶν περισσῶν ἔνιοι ἔφασαν τὴν μονάδα . τὸ γὰρ ἄρτιον τῷ περισσῷ ἐναντίον · ἡ δὲ μονὰς ἤτοι περιττόν ἐστιν ἢ ἄρτιον · καὶ ἄρτιον μὲν οὐκ ἂν εἴη · οὐ γὰρ ὅπως εἰς ἴσα , ἀλλʼ οὐδὲ ὅλως διαιρεῖται · περιττὴ ἄρα ἡ μονὰς . κἂν ἀρτίφ δὲ ἄρτπον προσθῇς , τὸ πᾶν γίνεται ἄρτιον · μονὰς δὲ ἀρτίῳ προστιθεμένη τὸ πᾶν περιττὸν ποιεῖ · οὐκ ἄρα ἄρτιον ἡ μονὰς ἀλλὰ περιττόν . Ἀριστοτέλης δὲ ἐν τῷ Πυθα - γορικῷ τὸ ἕν φησιν ἀμφοτέρων μετέχειν τῆς φύσεως · ἀρτίῳ μὲν γὰρ προστεθὲν περιττὸν ποιεῖ , περιττῷ δὲ ἄρτιον , ὃ οὐκ ἂν ἡδύνατο , εἰ μὴ ἀμφοῖν τοῖν φυσέοιν μετεῖχε · διὸ καὶ ἀρτιοπέριττον καλεῖσθαι τὸ ἕν . συμ - φέρεται δὲ τούτοις καὶ Ἀρχίας . περιττοῦ μὲν οὖν πρώτη ἰδέα ἐστὶν ἡ μονάς , καθάπερ καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ὡρισμένῳ καὶ τεταγμένῳ τὸ περιττὸν προσαρμόζουσιν · ἀρτίου δὲ πρώτη ἰδέα ἡ ἀόριστος δυάς , καθὰ καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ἀορίστῳ καὶ ἀγνώύστῳ καὶ ἀτάκτῳ τὸ ἄρτιον προσαρμόττουσι . διὸ καὶ ἀόριστος καλεῖται ἡ δυάς , ἐπειδὴ οὐκ ἔστιν ὥσπερ ἡ μονὰς ὡρισμένη . οἱ δʼ ἐξῆς ἑπόμενοι τούτοις ὅροι ἀπὸ μονάδος ἐκτιθέμενοι τὰ αὐτὰ αὔξονται μὲν τῇ ἴσῃ ὑπεροχῇ · μονάδι γὰρ ἕκαστος αὐ - τῶν τοῦ προτέρου πλεονάζει · αὐξόμενοι δὲ τοὺς λόγους τῆς πρὸς ἀλλήλους σχέσεως αὐτῶν μειοῦσιν . οἷον ἐκτε - θέντων ἀριθμῶν αʹβʹ γʹ δ εʹ Ϛʹ ὁ μὲν τῆς δυάδος λόγος πρὸς τὴν μονάδα ἐστὶ διπτλάσιος , ὁ δὲ τῆς τριάδος πρὸς τὴν δυάδα ἡμιόλιος , ὁ δὲ τῆς τετράδος πρὸς τὴν τριάδα ἐπίτριτος , ὁ δὲ τῆς πεντάδος πρὸς τὴν τετράδα ἐπιτέ . ταρτος , ὁ δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὴν πεντάδα ἐπίπεμπτος . ἔστι δʼ ἐλάττων λόγος ὁ μὲν ἐπίπεμπτος τοῦ ἐπιτετάρτου , ὁ δὲ ἐπιτέταρτος τοὺ ἐπιτρίτου , ὁ δὲ ἐπίτριτος 〈 τοῦ 〉 ἡμιολίου , ὁ δὲ ἡμιόλιος τοῦ διπλασίου · καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ ἀριθμῶν ὁ αὐτὸς λόγος . ἐναλλὰξ δʼ εἰσὶν ἀλλήλοις οἵ τε ἄρτιοι καὶ οἱ περιττοὶ παρʼ ἕνα θεω - ρούμενοι .
Lemmas: ὁ δέ ἀριθμός ποιέω ὁ πρῶτος τομή εἰς δύο · ὁ μέν γάρ αὐτός ἄρτιος , ὁ δέ περισσός φημί . καί ἄρτιος μέν εἰμί ὁ ἐπιδέχομαι ὁ εἰς ἴσος διαίρεσις , ὡς ὁ δυάς , ὁ τετράς · περισσός δέ ὁ εἰς ἄνισος διαιρέω , οἷος ὁ πέντε , ὁ ζʹ . πρῶτος δέ ὁ περισσός ἔνιοι φημί ὁ μονάς . ὁ γάρ ἄρτιος ὁ περισσός ἐναντίος · ὁ δέ μονή ἤτοι περισσός εἰμί ἤ ἄρτιος · καί ἄρτιος μέν οὐ ἄν εἰμί · οὐ γάρ ὅπως εἰς ἴσος , ἀλλά οὐδέ ὅλος διαιρέω · περισσός ἄρα ὁ μονή . ἐάν ἀρτίφ δέ ἄρτπον προστίθημι , ὁ πᾶς γίγνομαι ἄρτιος · μονή δέ ἄρτιος προστίθημι ὁ πᾶς περισσός ποιέω · οὐ ἄρα ἄρτιος ὁ μονή ἀλλά περισσός . Ἀριστοτέλης δέ ἐν ὁ Πύθα - γορικῷ ὁ εἷς φημί ἀμφότερος μετέχω ὁ φύσις · ἄρτιος μέν γάρ προστίθημι περισσός ποιέω , περισσός δέ ἄρτιος , ὅς οὐ ἄν δύναμαι , εἰ μή ἄμφω ὁ φύσις μετέχω · διό καί ἀρτιοπέρισσος καλέω ὁ εἷς . σναυ - φέρω δέ οὗτος καί Ἀρχίας . περισσός μέν οὖν πρῶτος ἰδέα εἰμί ὁ μονή , καθά καί ἐν κόσμος ὁ ὁρίζω καί τάσσω ὁ περισσός προσαρμόζω · ἄρτιος δέ πρῶτος ἰδέα ὁ ἀόριστος δυάς , καθά καί ἐν κόσμος ὁ ἀόριστος καί ἄγνωστος καί ἄτακτος ὁ ἄρτιος προσαρμόζω . διό καί ἀόριστος καλέω ὁ δυάς , ἐπειδή οὐ εἰμί ὥσπερ ὁ μονή ὁρίζω . ὁ δέ ἑξῆς ἕπομαι οὗτος ὅρος ἀπό μονάς ἐκτίθημι ὁ αὐτός αὐξάνω μέν ὁ ἴσος ὑπεροχή · μονάς γάρ ἕκαστος αὐ - ὁ ὁ πρότερος πλεονάζω · αὐξάνω δέ ὁ λόγος ὁ πρός ἀλλήλων σχέσις αὐτός μειόω . οἷος ἕκτος - τίθημι ἀριθμός αʹβʹ γʹ δ πέντε ϛʹ ὁ μέν ὁ δυάς λόγος πρός ὁ μονάς εἰμί διπτλάσιος , ὁ δέ ὁ τριάς πρός ὁ δυάς ἡμιόλιος , ὁ δέ ὁ τετράς πρός ὁ τριάς ἐπίτριτος , ὁ δέ ὁ πεντάς πρός ὁ τετράς ἔπειμι . ταρτος , ὁ δέ ὁ ἑξάς πρός ὁ πεντάς ἐπίπεμπτος . εἰμί δέ ἐλαχύς λόγος ὁ μέν ἐπίπεμπτος ὁ ἐπιτέταρτος , ὁ δέ ἐπιτέταρτος ὁ ἐπίτριτος , ὁ δέ ἐπίτριτος 〈 ὁ 〉 ἡμιόλιος , ὁ δέ ἡμιόλιος ὁ διπλάσιος · καί ἐπί ὁ λοιπός δέ ἀριθμός ὁ αὐτός λόγος . ἐναλλάξ δέ εἰμί ἀλλήλων ὁ τε ἄρτιος καί ὁ περισσός παρά εἷς θέω - ῥέω .