theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 185
ἔστω γὰρ ζῳδιακος μὲν ὁ αβγδ , κέντρον δὲ τοῦ παντὸς τὸ θ , ἡλίου δὲ ἐπίκυκλος ὁ εζηκ , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ μ · καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ , διαστή - ματι δὲ τῷ θμ , κύκλος ὁ μονξ . λέγω ὅτι , τοῦ μ κέν - τρου κινουμένου περὶ τὸν μονξ κύκλον ὁμόκεντρον ὁμαλῶς , ὑπεναντίως τῷ παντί , καὶ συναποφέροντος τὸν ἐπίκυκλον , ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ χρόνῳ διανύων τὸν εκηζ ἐπί - κυκλον ὁμαλῶς , ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ τῷ παντί , γράψει καὶ τὸν ἔκκεντρον ἴσον ὄντα τῷ μονξ ἐγκέντρῳ . διήχθω - σαν γὰρ αἱ ᾱγ βδ διάμετροι τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις , ὥστε τὸ μὲν α σημεῖον περὶ τὴν ε΄ ς΄ μοῖραν τῶν Διδύμων εἶναι , τὸ δὲ γ περὶ τὴν αὐτὴν τοῦ Τοξό - του , καὶ κέντροις τοῖς [ μ ] ο ν ξ γεγράφθωσαν τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ ἴσοι κύκλοι οἱ λπτ υρφ χψς καὶ τῶν λπτ χψς διάμετροι πρὸς ὀρθὰς τῇ βδ αἱ λπ χψ , καὶ ἐπεζεύχθω - σαν αἱ λχ 〈 οξ 〉 . λέγω ὅτι αἱ λχ οξ ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι · ἴση ἄρα ἑκατέρα τῶν λσ σχ ἑκατέρᾳ τῶν οθ θξ αἵ εἰσιν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μονξ κύκλου · καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ θσ τῇ ολ , ἴσαι ἔσονται ἡ θσ καὶ ἑκατέρα τῶν υν με · ἔστι δὲ ἴση καὶ ἡ θν τῇ θμ · ἴση ἄρα καὶ ἡ υσ τῇ σε . ἀλλʼ ἐπεὶ ἴση ἡ θσ τῇ υν , κοινὴ δὲ ἡ θυ , ἴση ἡ συ τῇ θν · ἐκατέρα ἄρα τῶν εσ συ ἴση ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μονξ κύκλου · ἐδείχθη δὲ καὶ ἐκατέρα τῶν λσ σχ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ αὐτοῦ κύκλου · τέσσαρες ἄρα αἱ σε σλ συ σχ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ καὶ πρὸς ὀρθάς . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ σ , διαστήματι δέ τινι μιᾷ αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τῶν ε λ υ χ σημείων , καὶ ἴσος 〈 ἔσται 〉 τῷ μονξ κύκλῳ , καὶ ὑπὸ τῶν ευ λχ διαμέτρων εἰς τέσσαρα ἴσα διαιρεθήσεται . γε - γράφθω οὖν καὶ ἔστω ὁ ελυχ · οὗτος δὲ ἔσται ὁ ἔκκεν - τρος , τὸ μὲν ἀπογειότατον ἔχων ὑπὸ τὸ α , ε΄ ς΄ μοῖραν τῶν Διδύμων , τὸ δὲ προσγειότατον ὑπὸ τὸ γ , ε΄ ς΄ μοῖ - ραν τοῦ Τοξότου . λέγω δʼ ὅτι ἥλιος , φερόμενος , ὡς ὑπετέθη , κατὰ τοῦ εκηζ ἐπικύκλου , κατὰ συμβεβηκὸς γράψει καὶ τὸν ελυχ ἔκκεντρον . ἐνηνέχθω γὰρ τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὴν μο περιφέρειαν τεταρτημο - ριαίαν · καὶ ὁ ἥλιος ἄρα , ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἐνεχθεὶς ὁμοίαν τοῦ ἐπικύκλου τὴν ἐκ , ἔσται ἐπὶ τοῦ λ , καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἐπὶ τὸ λ ἐλεύσεται τεταρτημοριαίαν γράψας περι - φέρειαν τοῦ ἐκκέντρου τὴν ελ . πάλιν τὸ ο κέντρον ἐπὶ τοῦ κύκλου ἐνηνέχθω τεταρτημοριαίαν τὴν ον περιφέ - ρειαν , ὁ δὲ ἥλιος ὁμοίαν τοῦ ἐπικύκλου τὴν λτ · ἔσται ἄρα ἐπὶ τοῦ υ , καὶ κατὰ συμβεβηκὸς γράψει τοῦ ἐκκέν - τρου ὁμοίαν περιφέρειαν τὴν λυ . ὁμοίως δὴ τοῦ ν δια - πορευθέντος τὴν νξ , ὁ ἥλιος τοῦ ἐπικύκλου διελεύσεται ὁμοίαν τὴν υφ · ἔσται δὴ ἐπὶ τοῦ χ , κατὰ συμβεβηκὸς γράψας καὶ τὴν υχ ὁμοίαν περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου . λοιπὸν δὲ τοῦ ξ διελθόντος τὴν ξμ , καὶ ὁ ἥλιος ἐξανύ - σας 〈 τὴν 〉 χς ἀποκατασταθήσεται ἐπὶ τὸ ε · γράψει δὲ ἅμα καὶ τὴν χε περιφέρειαν τοῦ ἐκκέντρου λοιπὴν καὶ ὁμοίαν · ὥστε ὅλον τὸν ἐπίκυκλον ἐξανύσας ὁμαλῶς διὰ τοῦ ὁμοκέντρου γράψει ἔκκεντρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί γάρ ζῳδιακός μέν ὁ αβγδʹ , κέντρον δέ ὁ πᾶς ὁ θ̅ , ἥλιος δέ ἐπίκυκλος ὁ εζηκʹ , κέντρον δέ αὐτός ὁ μ · καί γράφω κέντρον μέν ὁ θ̅ , διΐστημι - μάτι δέ ὁ θμ , κύκλος ὁ μονξ . λέγω ὅτι , ὁ μ ἄν - τρος κινέω περί ὁ μονξ κύκλος ὁμόκεντρος ὁμαλής , ὑπεναντίος ὁ πᾶς , καί συναποφέρω ὁ ἐπίκυκλος , ὁ ἥλιος ἐν ἴσος χρόνος διανύω ὁ εκηζʹ ἐπί - κύκλος ὁμαλής , ἐπί ὁ αὐτός δέ ὁ πᾶς , γράφω καί ὁ ἔκκεντρος ἴσος εἰμί ὁ μονξʹ ἔγκεντρος . διάγω - σάω γάρ ὁ αγ βδʹ διάμετρος ὁ ζῳδιακός πρός ὀρθός ἀλλήλων , ὥστε ὁ μέν α σημεῖον περί ὁ πέντε ς# μοῖρα ὁ Δίδυμος εἰμί , ὁ δέ γ περί ὁ αὐτός ὁ τόξο - τις , καί κέντρον ὁ [ μ ] ο̅ ν ξ γράφω ὁ εζηκʹ ἐπίκυκλος ἴσος κύκλος ὁ λπτʹ υρφʹ χψςʹ καί ὁ λπτʹ χψςʹ διάμετρος πρός ὀρθός ὁ βδʹ ὁ λπʹ χψʹ , καί ἐπιζεύγνυμι - σάω ὁ λχʹ 〈 οξʹ 〉 . λέγω ὅτι ὁ λχ οξʹ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος · ἴσος ἄρα ἑκάτερος ὁ λςʹ σχʹ ἑκάτερος ὁ οθʹ θξʹ ὅς εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ μονξʹ κύκλος · καί ἐπεί ἴσος ὁ θς ὁ ολʹ , ἴσος εἰμί ὁ θς καί ἑκάτερος ὁ υν ἐγώ · εἰμί δέ ἴσος καί ὁ θν ὁ θμ · ἴσος ἄρα καί ὁ υς ὁ σύ . ἀλλά ἐπεί ἴσος ὁ θς ὁ υν , κοινός δέ ὁ θυ , ἴσος ὁ συ ὁ θν · ἑκάτερος ἄρα ὁ εςʹ συʹ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μονξʹ κύκλος · δείκνυμι δέ καί ἑκάτερος ὁ λςʹ σχʹ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ αὐτός κύκλος · τέσσαρες ἄρα ὁ σύ σλʹ συʹ σχʹ ἴσος ἀλλήλων εἰμί καί πρός ὀρθός . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ σ̅ , διάστημα δέ τις εἷς αὐτός γράφω κύκλος ἥκω διά ὁ ε λ υ̅ χ̅ σημεῖον , καί ἴσος 〈 εἰμί 〉 ὁ μονξ κύκλος , καί ὑπό ὁ ε̅υ̅ λχ διάμετρον εἰς τέσσαρες ἴσος διαιρέω . γε - γράφω οὖν καί εἰμί ὁ ελυχ · οὗτος δέ εἰμί ὁ ΕΚΚΕ - τρος , ὁ μέν ἀπόγαιος ἔχω ὑπό ὁ α , πέντε ς# μοῖρα ὁ Δίδυμος , ὁ δέ πρόσγειος ὑπό ὁ γ , πέντε ς# ἐγώ - Ραν ὁ Τοξότης . λέγω δέ ὅτι ἥλιος , φέρω , ὡς ὑποτίθημι , κατά ὁ εκηζʹ ἐπίκυκλος , κατά συμβαίνω γράφω καί ὁ ελυχ ἔκκεντρος . φέρω γάρ ὁ μέν κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ὁ μο περιφέρεια τεταρτημο - ριαια · καί ὁ ἥλιος ἄρα , ἐν ὁ αὐτός χρόνος φέρω ὅμοιος ὁ ἐπίκυκλος ὁ εκ , εἰμί ἐπί ὁ λ , καί ἀπό ὁ ε ἐπί ὁ λ ἔρχομαι τεταρτημοριαῖος γράφω περί - φέρω ὁ ἔκκεντρος ὁ ελ . πάλιν ὁ ο̅ κέντρον ἐπί ὁ κύκλος φέρω τεταρτημοριαῖος ὁ ον περιφέ - Ῥέα , ὁ δέ ἥλιος ὅμοιος ὁ ἐπίκυκλος ὁ λτʹ · εἰμί ἄρα ἐπί ὁ υ̅ , καί κατά συμβαίνω γράφω ὁ ΕΚΚΕ - τρος ὅμοιος περιφέρεια ὁ λ̅υ̅ . ὅμοιος δή ὁ ν δα - πορεύω ὁ νξʹ , ὁ ἥλιος ὁ ἐπίκυκλος διέρχομαι ὅμοιος ὁ υφʹ · εἰμί δή ἐπί ὁ χ̅ , κατά συμβαίνω γράφω καί ὁ υχ ὅμοιος περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος . λοιπός δέ ὁ ξ διέρχομαι ὁ ξμ , καί ὁ ἥλιος ἐξανύω - σός 〈 ὁ 〉 χς ἀποκαθίστημι ἐπί ὁ ε · γράφω δέ ἅμα καί ὁ χεʹ περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος λοιπός καί ὅμοιος · ὥστε ὅλος ὁ ἐπίκυκλος ἐξανύω ὁμαλής διά ὁ ὁμόκεντρος γράφω ἔκκεντρος · ὅς δέω δείκνυμι .