theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 37
τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος , ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη - μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον . πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται , ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ περιττοῦ προστιθεμένου . πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί , ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους , γνώμονες καλοῦνται . τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως , ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων . οἷον ἔστω πρῶτον ἡ μονάς , λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν , ὡς προειρήκαμεν , ἀλλὰ κατὰ δύναμιν · ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν , ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι - γωνοειδῆ δύναμιν . προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον , ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων , ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος . τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων , ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες . ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈 ὁ 〉 τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ΄ ἐποιήσαν , ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον ἔσται μὲν τριῶν μονάδων , ἕξει δʼ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν , ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν . εἶτα τὸ γ΄ τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ΄ γνώμονα , ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος , καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρί - γωνον Ϛ΄ · πλευρὰς δʼ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον , ὅσοι γνώμονες συντέθεινται · ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ συνετέθη ὁ ϛ΄ . α α αα αα ααα εἶτα ὁ Ϛ΄ προσλαμβάνει τὸν δ΄ · γίνεται τὸ τοῦ ι΄ τρίγω - νον , ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ΄ μονάδων · ὁ γὰρ προσλη - φθεὶς γνώμων ἦν ὁ δ΄ , καὶ ἐκ δ΄ δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον , τοῦ τε ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ . ἔτι ὁ ι΄ προσ - λαμβάνει τὸν ε΄ , καὶ γίνεται 〈 τὸ τοῦ ιε΄ 〉 τρίγωνον , πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε΄ , καὶ ἐκ τῶν ε΄ γνω - μόνων συνέστη . ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες . . . . . . . . . . . . τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι .
Lemmas: ὁ δέ ἐπίπεδος καί πολύγωνος ἀριθμός πρῶτος ὁ τρίγωνος , ὡς καί ὁ ἐπίπεδος εὐθύγραμμος ἔχω - ματάω πρῶτος εἰμί ὁ τρίγωνος . πῶς δέ γεννάω προλέγω , ὅτι ὁ πρῶτος ἀριθμός ὁ ἑξῆς ἄρτιος καί περισσός προστίθημι . πᾶς δέ ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός , ἀπογεννάω τρίγωνος ἤ τετράγωνος ἤ πολύγωνος , γνώμων καλέω . τοσοῦτος δέ μονάς ἕκαστος τρίγωνον ἔχω πλευρά πάντως , ὅσος καί μόνος εἰμί ὁ προσλαμβάνω γνώμων . οἷος εἰμί πρῶτος ὁ μονή , λέγω τρίγωνον οὐ κατά ἐντελέχεια , ὡς προλέγω , ἀλλά κατά δύναμις · ἐπεί γάρ οὗτος οἷος σπέρμα πᾶς εἰμί ἀριθμός , ἔχω ἐν ἑαυτοῦ καί τρι - γωνοειδής δύναμις . προσλαμβάνω γοῦν ὁ δυάς ἀποτελέω τρίγωνος , ἔχω πλευρά τοσοῦτος μονάς , ὅσος εἰμί ὁ προσλαμβάνω γνώμων ὁ δυάς . ὁ δέ ὅλος τρίγωνον τοσοῦτος εἰμί μονάς , ὅσος καί ὁ συντίθημι γνώμων . ὁ τε γάρ ὁ εἷς καί 〈 ὁ 〉 ὁ δύο γνώμων ὁ γʹ ποιέω , ὥστε καί ὁ τρίγωνος εἰμί μέν τρεῖς μονάς , ἔχω δέ ἕκαστος πλευρά ὁ δύο , ὅσος καί ὁ γνώμων συντίθημι . εἶτα ὁ γʹ τρίγωνον προσλαμβάνω ὁ ὁ γʹ γνώμων , ὅς μονάς ὑπερέχω ὁ δυάς , καί γίγνομαι ὁ μέν ὅλος τρίς - γωνον ϛʹ · πλευρά δέ ἔχω τοσοῦτος μονάς καί οὗτος ὁ τρίγωνος , ὅσος γνώμων συντίθημι · ἐκ γάρ ὁ εἷς καί βʹ καί γʹ συντίθημι ὁ ϛʹ . α α ἀάω ἀάω ααααʹ εἶτα ὁ ϛʹ προσλαμβάνω ὁ δʹ · γίγνομαι ὁ ὁ ιʹ τρίγος - νος , ἕκαστος πλευρά ἔχω δʹ μονάς · ὁ γάρ προσλη - φθίω γνώμων εἰμί ὁ δʹ , καί ἐκ δʹ δέ γνώμων εἰμί ὁ ὅλος , ὁ τε εἷς καί βʹ καί γʹ καί δʹ . ἔτι ὁ ιʹ προς - λαμβάνω ὁ πέντε , καί γίγνομαι 〈 ὁ ὁ ιεʹ 〉 τρίγωνον , πλευρά ἔχω ἕκαστος μονάς πέντε , καί ἐκ ὁ πέντε γιγνώσκω - μόνος συνίστημι . ὅμοιος καί ὁ ἕξ γνώμων . . . . . . . . . . . . ὁ γνωμονικός ἀριθμός ἀποτελέω .