theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 99
δῆλον δʼ ἂν γένοιτο τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν . εἰ γὰρ τὸ τοῦ κανόνος μέγεθος ιβ΄ μέτρων ὁποιωνοῦν , ἔσται μὲν μέση δίχα διαιρεθείσης 〈 τῆς ὅλης χορδῆς , καὶ ἀφέξει 〉 Ϛ΄ ἑκατέρωθεν [ διαιρουμένη ] · ἡ δὲ ὑπάτη τῶν μέσων ἀπὸ τῆς ἀρχῆς δ΄ · ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων ἀπὸ τῆς τελευτῆς δ΄ · καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν δ΄ . ἡ δὲ ὑπερυπάτη ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τρία ἀφέξει μεγέθη , ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης ἓν · ἡ δὲ ὑπερβολαία ἀπὸ μὲν τῆς τελευτῆς γ΄ , ἀπὸ δὲ τῆς διεζευγμένης ἓν . μεταξὺ δὲ αὐτῶν ϛ΄ , ὥστε ἀπὸ τῆς μέσης ἑκατέρα γ΄ , καὶ γίνεται ἡ ὅλη διαίρε - σις ἀπὸ μὲν τῆς ἀρχῆς ἐπὶ ὑπερυπάτην γ΄ , ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ ὑπάτην ἕν , ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ μέσην δύο , εἶτʼ ἀπὸ μέσης ἐπὶ τὴν διεζευγμένην β΄ , ἐντεῦθεν δὲ εἰς τὴν ὑπερβολαίαν ἓν , ἀπὸ δὲ ταύτης εἰς τὴν τελευτὴν γ΄ . γίνεται πάντα ιβ΄ . ἔσται οὖν πρὸς μὲν τὴν ὑπερβολαίαν 〈 ὁ λόγος 〉 τῆς μὲν νήτης διεζευγμένων δ΄ πρὸς γ΄ ἐπί - τριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων , τῆς δὲ μέσης ϛ΄ πρὸς γ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν , 〈 τῆς δὲ ὑπάτης η΄ πρὸς γ΄ διπλασιεπιδίτριτος ὁ τοῦ διὰ πασῶν 〉 καὶ διὰ τεσσά - ρων , τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς γ΄ τριπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε , τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβα - νομένου ιβ΄ πρὸς γ΄ τετραπλάσιος ὁ τοῦ δὶς διὰ πασῶν · πρὸς δὲ τὴν νήτην διεζευγμένων ὁ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν μέσης Ϛ΄ πρὸς δ΄ ἡμιόλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε , τῆς δὲ ὑπά - της η΄ πρὸς δ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν , τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς δ΄ 〈 διπλασιεπιτέταρτος 〉 ὁ τοῦ δὶς διὰ πέντε , τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανομένου ιβ΄ πρὸς δ΄ 〈 τριπλάσιος 〉 ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε · πρὸς δὲ τὴν μέσην τῆς μὲν ὑπάτης η΄ πρὸς ϛ΄ ἐπίτριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων , τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς Ϛ΄ ἡμι - όλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε , τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανο - μένου ιβ΄ πρὸς ϛ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ [ δὶς ] διὰ πασῶν · πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐστὶν ἡ μὲν ὑπερυπάτη θ΄ πρὸς η΄ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ τῷ τοῦ τόνου , ἡ δὲ ὅλη τοῦ προσλαμι - βανομένου ιβ΄ πρὸς η΄ ἐν ἡμιολίῳ 〈 τῷ τοῦ διὰ πέντε 〉 · πρὸς 〈 δὲ 〉 τὴν ὑπερυπάτην ἡ ὅλη τοῦ προσλαμβανομέ - νου ιβ΄ πρὸς θ΄ ἐν ἐπιτρίτῳ 〈 τῷ 〉 τοῦ διὰ τεσσάρων .
Lemmas: δῆλος δέ ἄν γίγνομαι ὁ λέγω ἐπί ὁ ἀριθμός . εἰ γάρ ὁ ὁ κανών μέγεθος ιβʹ μέτρον ὁπόιως , εἰμί μέν μέσος δίχα διαιρέω 〈 ὁ ὅλος χορδή , καί ἀπέχω 〉 ϛʹ ἑκατέρωθεν [ διαιρέω ] · ὁ δέ ὑπάτη ὁ μέσος ἀπό ὁ ἀρχή δʹ · ὁ δέ νήτη διαζεύγνυμαι ἀπό ὁ τελευτή δʹ · καί ὁ μεταξύ αὐτός δʹ . ὁ δέ ὑπερυπάτη ἀπό ὁ ἀρχή τρεῖς ἀπέχω μέγεθος , ἀπό δέ ὁ ὑπάτη εἷς · ὁ δέ ὑπερβολαία ἀπό μέν ὁ τελευτή γʹ , ἀπό δέ ὁ διαζεύγνυμαι εἷς . μεταξύ δέ αὐτός ϛʹ , ὥστε ἀπό ὁ μέσος ἑκάτερος γʹ , καί γίγνομαι ὁ ὅλος διαίρω - τις ἀπό μέν ὁ ἀρχή ἐπί ὑπορρυπάω γʹ , ἐντεῦθεν δέ ἐπί ὑπάτη εἷς , ἐντεῦθεν δέ ἐπί μέσος δύο , εἶτα ἀπό μέσος ἐπί ὁ διαζεύγνυμαι βʹ , ἐντεῦθεν δέ εἰς ὁ ὑπερβολαία εἷς , ἀπό δέ οὗτος εἰς ὁ τελευτή γʹ . γίγνομαι πᾶς ιβʹ . εἰμί οὖν πρός μέν ὁ ὑπερβολαία 〈 ὁ λόγος 〉 ὁ μέν νήτη διαζεύγνυμαι δʹ πρός γʹ ἐπί - τρίτος ὁ ὁ διά τέσσαρες , ὁ δέ μέσος ϛʹ πρός γʹ διπλάσιος ὁ ὁ διά πᾶς , 〈 ὁ δέ ὑπάτη ηʹ πρός γʹ διπλασιεπιδίτριτος ὁ ὁ διά πᾶς 〉 καί διά Τέσσα - ῥόος , ὁ δέ ὑπερυπάτη θʹ πρός γʹ τριπλάσιος ὁ ὁ διά πᾶς καί διά πέντε , ὁ δέ ὅλος ὁ προσλαμβάνω - νέμω ιβʹ πρός γʹ τετραπλάσιος ὁ ὁ δίς διά πᾶς · πρός δέ ὁ νήτη διαζεύγνυμαι ὁ λόγος εἰμί ὁ μέν μέσος ϛʹ πρός δʹ ἡμιόλιος ὁ ὁ διά πέντε , ὁ δέ ὑπό - τις ηʹ πρός δʹ διπλάσιος ὁ ὁ διά πᾶς , ὁ δέ ὑπερυπάτη θʹ πρός δʹ 〈 διπλασιεπιτέταρτος 〉 ὁ ὁ δίς διά πέντε , ὁ δέ ὅλος ὁ προσλαμβάνω ιβʹ πρός δʹ 〈 τριπλάσιος 〉 ὁ ὁ διά πᾶς καί διά πέντε · πρός δέ ὁ μέσος ὁ μέν ὑπάτη ηʹ πρός ϛʹ ἐπίτριτος ὁ ὁ διά τέσσαρες , ὁ δέ ὑπερυπάτη θʹ πρός ϛʹ ἡμι - ὀλίγος ὁ ὁ διά πέντε , ὁ δέ ὅλος ὁ προσλαμβάνω - μένω ιβʹ πρός ϛʹ διπλάσιος ὁ ὁ [ δίς ] διά πᾶς · πρός δέ ὁ ὑπάτη εἰμί ὁ μέν ὑπερυπάτη θʹ πρός ηʹ ἐν ἐπόγδοος λόγος ὁ ὁ τόνος , ὁ δέ ὅλος ὁ προσλαμβάνω - βαίνω ιβʹ πρός ηʹ ἐν ἡμιόλιος 〈 ὁ ὁ διά πέντε 〉 · πρός 〈 δέ 〉 ὁ ὑπορρυπάω ὁ ὅλος ὁ προσλαμβάνω - νους ιβʹ πρός θʹ ἐν ἐπίτριτος 〈 ὁ 〉 ὁ διά τέσσαρες .