theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 71
οἱ δὲ παλαιοὶ πρῶτον διάστημα τῆς φωνῆς ἔλαβον τὸν τόνον , ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο . ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατα - σκευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρ - τήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων · τὰ γὰρ ηʹ πρὸς τὰ θʼ ἐποίει τονιαίου ἀκούειν διαστήματος . διὰ τοῦτο δὲ πρῶτον διάστημα ὁ τόνος , ὅτι μέχρι τούτου καταβαί - νουσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανῆ τὴν ἀκοὴν φυ - λάσσει . τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀκρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα . ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήμιατος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται , τῶν μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων , τῶν δὲ λεῖμμα . συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων , ὅ ἐστιν ἐπίτριτον , τῷ τόνῳ , τουτέστι τῷ ἐπογδόῳ διαστήματι , οὕτω . συμι - φωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι τὸ διὰ τεσσάρων μεῖζον μὲν εἶναι διτόνου , ἔλαττον δὲ τριτόνου . ἀλλʼ Ἀριστόξενος μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσθαι τελείων , Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος . τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι , ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ . τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι , καὶ ἡ ὑπεροχὴ ιγ΄ . εὑρεθήσεται δὲ οὕτως . τὰ μὲν Ϛʹ οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος , ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον , ἵνα ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος . οὐδὲ μὴν ἱ ηʹ · καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγ - δοον τὸν θʹ , πάλιν ὁ θʹ οὐκ ἔχει ἐπόγδοον . δεῖ δὲ ἐπογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν , ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον μεῖζόν ἐστι διτόνου . λαμβάνομεν οὖν τὸν πυθμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν ηʹ καὶ θʹ , καὶ τὰ ηʹ ἐφʼ ἑαυτά , εὑρίσκομεν ξδʹ , εἶτα τὰ ηʹ ἐπὶ τὰ θʹ , καὶ γίνεται οβʹ , εἴτα τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτά , καὶ γίνεται πα · ηʹ θʹ ἔδʹ οβʹ παʹ · εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφθήτω τρίς , καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδʹ τρὶς ρ??βʹ , τὰ δὲ οβʹ τρὶς σιςʹ , τὰ δὲ παʹ τρὶς σμγʹ · ηʹ θʹ ξδʹ οβʼ παʹ ρ??βʹ σιςʹ σμγ · εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγʹ ἀπὸ τῶν ρ??βʹ ἐπίτριτον τὸν σνςʹ · ὥστε εἶναι τὴν ἔκθεσιν τοιαύτην · ἐπίγδοος πυθ - μὴν θʹ ηʹ , δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδʹ οβʹ παʹ , τρίτοι ἐπόγ - δοοι ἀλλήλων δύο ρ??βʹ σιςʹ σμγʹ , κείσθω καὶ ὁ τοῦ ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ , ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμ - πεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου λείμ - ματος . ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι τὸν τπδ΄ . ?? βʹ σιςʹ σμγʹ σνϚ΄ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπογδόους , τὸν πρῶτον ὅρον τὸν Ϛʹ ὀκταπλασιάσαντες ποιοὺσι μή , καὶ ταῦτα πάλιν ὀκτάκις τπδ΄ , οὗ ἐπίτριτος ὁ φιβ΄ , μεταξύ δὲ τούτων δύο ἐπόγδοα , τοῦ μὲν τπδ΄ υλβ΄ , τούτου δὲ υπϚ΄ , ἀφʼ ὧν ἐπὶ τὰ φιβ΄ ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος . τινὲς δέ τπδ΄ υλβ΄ υπϚ΄ φιβ΄ τόνος τόνος ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ΄ φασι μὴ ὀρθῶς εἰλὴφθαι τούτους τοὺς ἀριθμούς · τὴν γαρ ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου ὅρου πρὸς τὸν τρίτον μὴ γίνεσθαι ιγ΄ , ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα . οὐδὲν δὲ κωλύεικαὶ ἐφʼ ἑτέρων ἀριθμῶν τὸν αὐτὸν εὑρί - σκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνϚ΄ πρὸς τὰ σμγ΄ . οὐ γὰρ ἀριθ - μὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων , ἀλλὰ λόγον ἀριθμοῦ . ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνϚ΄ πρὸς σμγ΄ , τοῦτον καὶ τὰ φιβ΄ πρὸς τὰ υπϚ΄ · τὰ γὰρ φιβ΄ τῶν σνϚ΄ διπλάσια καὶ τὰ υπϚ΄ τῶν σμγ΄ . ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄ , τουτέστι τὰ ιγ΄ , ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου , δῆλον . τοῦ γὰρ τόνου ἐπογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται , τουτέστιν ἐφεκκαιδέκατον . τὰ δὲ ιγ΄ τῶν σμγ΄ ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου , ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαιδεκάτου . οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι , εἰ καὶ οἱ μὴ λόγῳ ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες νομίζουσιν . ἀμέλει τοῦ ἐπογδόου πυθμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ ἡ μονὰς οὐ τέμνεται . τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἰ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα , δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ διὰ τεσσάρων · τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσθαι δύο ἢμισυ τόνων τελείων .
Lemmas: ὁ δέ παλαιός πρῶτος διάστημα ὁ φωνή λαμβάνω ὁ τόνος , ἡμιτόνιον δέ καί δίεσις οὐ ἡγέομαι . ὁ δέ τόνος εὑρίσκω ἐν ἐπόγδοος λόγος ἐν τε δίσκος κατά - σκευή καί ἀγγεῖον καί χορδή καί αὐλός καί ἐξαρ - Θησεύς καί ἄλλος πολύς · ὁ γάρ ηʹ πρός ὁ θʹ ποιέω τονιαῖος ἀκούω διάστημα . διά οὗτος δέ πρῶτος διάστημα ὁ τόνος , ὅτι μέχρι οὗτος καταβαίνω - νέω ὁ φωνή ὁ διάστημα ἀπλανής ὁ ἀκοή φύω - λανθάνω . ὁ δέ μετά οὗτος οὐκέτι οἷος τε ὁ ἀκοή πρός ἀκρίβεια λαμβάνω ὁ διάστημα . ἀμέλει περί ὁ ἐφεξῆς διάστημα καλέω ἡμιτόνιον διαφέρω , ὁ μέν τέλειος ἡμιτόνιον αὐτός λέγω , ὁ δέ λεῖμμα . συμπληρόω δέ ὁ διά τέσσαρες , ὅς εἰμί ἐπίτριτος , ὁ τόνος , τουτέστι ὁ ἐπόγδοος διάστημα , οὕτως . συμ - φωνέω γάρ παρά πᾶς ὁ διά τέσσαρες μέγας μέν εἰμί δίτονος , ἐλαχύς δέ τρίτονος . ἀλλά Ἀριστόξενος μέν φημί ἐκ δύο ἥμισυς τόνος αὐτός σύγκειμαι τέλειος , Πλάτων δέ ἐκ δύο τόνος καί ὁ καλέω λεῖμμα . ὁ δέ λεῖμμα οὗτος φημί ἀκατονόμαστος εἰμί , ἐν λόγος δέ εἰμί ἀριθμός πρός ἀριθμός ὅς ἔχω ὁ σνςʹ πρός σμγ . ὁ δέ διάστημα οὗτος εἰμί , καί ὁ ὑπεροχή ιγʹ . εὑρίσκω δέ οὕτως . ὁ μέν ϛʹ οὐ ἄν εἰμί πρῶτος ὅρος , ἐπειδή οὐ ἔχω ὄγδοος , ἵνα ὑπό αὐτός γίγνομαι ἐπόγδοος . οὐδέ μήν Ι ηʹ · καί γάρ εἰ ἔχω ἔπειμι - δος ὁ θʹ , πάλιν ὁ θʹ οὐ ἔχω ἐπόγδοος . δέω δέ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λαμβάνω , ἐπειδή ὁ διά τέσσαρες ἐπίτριτος μέγας εἰμί δίτονος . λαμβάνω οὖν ὁ πυθμήν ὁ ἐπόγδοος ὁ ηʹ καί θʹ , καί ὁ ηʹ ἐπί ἑαυτοῦ , εὑρίσκω ξδʹ , εἶτα ὁ ηʹ ἐπί ὁ θʹ , καί γίγνομαι οβʹ , εἶτα ὁ θʹ ἐπί ἑαυτοῦ , καί γίγνομαι πῃ · ηʹ θʹ ἐσθίω οβʹ παʹ · εἶτα πάλιν οὗτος ἕκαστος λαμβάνω τρίς , καί εἰμί ὁ μέν ξδʹ τρίς ρ??βʹ , ὁ δέ οβʹ τρίς σιςʹ , ὁ δέ παʹ τρίς σμγʹ · ηʹ θʹ ξδʹ οβʹ παʹ ρ??βʹ σιςʹ σμγ · εἶτα προστίθημι ὁ σμγʹ ἀπό ὁ ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ · ὥστε εἰμί ὁ ἔκθεσις τοιοῦτος · ἐπίγδοος πυθ - μήν θʹ ηʹ , δεύτερος ἐπόγδοος ξδʹ οβʹ παʹ , τρίτος ἔπειμι - δος ἀλλήλων δύο ρ??βʹ σιςʹ σμγʹ , κεῖμαι καί ὁ ὁ ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ , εἰμί οὗτος ὁ ἐπίτριτος σναυ - πληρόω ὑπό δύο τόνος καί ὁ λέγω λείμ - μα . ἔνιοι δέ πρῶτος ὅρος λαμβάνω ὁ τπδʹ . ?? β# σιςʹ σμγʹ σνϚ΄ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διά δ ἵνα γάρ δύο λαμβάνω ἐπόγδοος , ὁ πρῶτος ὅρος ὁ ϛʹ ὀκταπλασιάζω ποιέω μή , καί οὗτος πάλιν ὀκτάκις τπδʹ , ὅς ἐπίτριτος ὁ φιβʹ , μεταξύ δέ οὗτος δύο ἐπόγδοος , ὁ μέν τπδʹ υλβʹ , οὗτος δέ υπϛʹ , ἀπό ὅς ἐπί ὁ φιβʹ ὁ λειμματιαῖος γίγνομαι λόγος . τις δέ τπδ΄ υλβ΄ ὅς ὅς τόνος τόνος ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διά Δ΄ φημί μή ὀρθός λαμβάνω οὗτος ὁ ἀριθμός · ὁ γάρ ὑπεροχή ὁ τέταρτος ὅρος πρός ὁ τρίτος μή γίγνομαι ιγʹ , ὅσος Πλάτων λέγω δέω ἔχω ὁ λεῖμμα . οὐδείς δέ κωλύω ἐπί ἕτερος ἀριθμός ὁ αὐτός σύμμαρτυς - σκῶ λόγος ὡς ἔχω ὁ σνϛʹ πρός ὁ σμγʹ . οὐ γάρ ὁριθς - πορθμός ὁρίζω λαμβάνω ὁ Πλάτων , ἀλλά λόγος ἀριθμός . ὅς δέ ἔχω λόγος ὁ σνϛʹ πρός σμγʹ , οὗτος καί ὁ φιβʹ πρός ὁ υπϛʹ · ὁ γάρ φιβʹ ὁ σνϛʹ διπλάσιος καί ὁ υπϛʹ ὁ σμγʹ . ὅτι δέ οὗτος ὁ διάστημα ὁ ὁ σνϛʹ πρός σμγʹ , τουτέστι ὁ ιγʹ , ἐλαχύς εἰμί ἡμιτόνιον , δῆλος . ὁ γάρ τόνος ἐπόγδοος εἰμί ὁ ἡμιτόνιον δίς ἐπόγδοος εἰμί , τουτέστι ἐφεκκαιδέκατος . ὁ δέ ιγʹ ὁ σμγʹ εἰμί ἐν λόγος πολύς ὀκτωκαιδέκατος , ὅς εἰμί μέρος ἐλαχύς ἑκκαιδέκατος . οὐδέ γάρ οἷος τε ὁ ἐπόγδοος διαίρεσις ἐπιδείκνυμι , εἰ καί ὁ μή λόγος ἀλλά ὁ ἀκοή οὗτος κρίνω νομίζω . ἀμέλει ὁ ἐπόγδοος πυθμήν ὁ διάστημα τουτέστι ὁ θʹ πρός ὁ ηʹ ὁ μονή οὐ τέμνω . ὁ δέ λέγω λεῖμμα εἰ τις ἐρωτάω τίς εἰμί λεῖμμα , δέω οἶδα ὅτι εἰμί ὁ διά τέσσαρες · ὁ γάρ διά τέσσαρες λείπω πρός ὁ γίγνομαι δύο ἥμισυς τόνος τέλειος .