theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 25
οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἐτερομιήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [ τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας ] · οἱ δὲ ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν . οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ , οὖτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους · ἅπαξ τε γὰρ αʹ αʹ καὶ δὶς βʹ δʹ καὶ τρὶς γʹ θʹ καὶ τετράκις δʹ ιϛʹ καὶ πεντάκις εʹ κε · καὶ οὐκ ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ?? ρων · ἣ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν ἐδύασε καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν ἐτρίασεν , ὥστε εἶεν ἂν τε - τράγωνοι οἱ ἑξῆς αʹ δʹ θʹ ιςʹ κε΄ . μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως . τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ τε αʹ καὶ δʹ · τούτων μέσος ἑτερομήκης ὁ β΄ · κείσθωσαν δὴ αʹ βʹ δ΄ · μέσος γίνεται ὁ βʹ , τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχων , ὑφʼ οὐ δὲ ὑπερεχόμενος · τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ βʹ διπλάσια , τῶν δὲ βʹ τὰ δʹ . πάλιν τετράγω - νοι μὲν ὁ δʹ κἰαὶ θʹ · μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ὁ ϛʹ · κείσθωσαν δὴ δʹ ϛʹ θʹ · μέσος ὁ ϛʹ , τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [ γὰρ ] ὑπερέχων , ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχόμε - νος · τῶν μὲν γὰρ δʹ τὰ ϛʹ ἡμιόλια , τῶν δὲ ϛʹ τὰ θ΄ . ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς . οἱ δὲ ἑτερομήκεις , ὑπὸ τῶν τ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαζόμενοι , οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους . οἷον τὰ δὶς γʹ γεννᾷ τὸν ϛʹ καὶ τὰ τρὶς δʼ γεννᾷ τὸν ιβʹ καὶ τὰ τετράκις εʹ γεννᾷ τὸν κ΄ , καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ , ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ , οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα · οἵ τε γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομηκῶν οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώ - νους ἀριθμούς · οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκεις βʹ ϛʹ , μεταξὺ δὲ αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος ὁ δʹ · ἀλλὰ κατʼ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπʼ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι . ἐκκείσθω γὰρ βʹ δʹ ϛʹ · ἡ τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα γενήσεται · τῶν μὲν γὰρ βʹ τὰ δʹ διπλάσια , τῶν δὲ δ΄ τὰ ϛʹ ἡμιόλια . ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον ᾖ , δεῖ αὐτ ?? οὕτως μέσον εἶναι , ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον , τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον . πάλιν τῶν ϛʹ καὶ ιβʹ ἑτερομηκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος ?? θʹ , ἀλλʼ οὐχ εὑρεθήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα · ϛʹ θʹ ιβʹ ·· τῶν μὲν γὰρ ϛʹ τὰ θʹ ἡμιόλια , τῶν δὲ θʹ τὰ ιβʹ ἐπίτριτα . ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος .
Lemmas: ὁ μέν οὖν τετράγωνος πᾶς ὁ τρομίζω περιλαμβάνω κατά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία καί μέσος αὐτός ποιέω [ τουτέστι ὁ μονάς μέγας ὁ ἕτερος πλευρά ὁ ἕτερος ὑπερέχω ] · ὁ δέ ἑτερομήκης οὐ ἔτι ὁ τετράγωνος περιλαμβάνω ὡς μέσος εἰμί κατά ἀναλογία . οἷος αʹ βʹ γʹ δʹ πέντε , οὗτος ὁ μέν ἴδιος πλῆθος πολλαπλασιάζω ποιέω τετράγωνος · ἅπαξ τε γάρ αʹ αʹ καί δίς βʹ δʹ καί τρίς γʹ θʹ καί τετράκις δʹ ιϛʹ καί πεντάκις πέντε ἄν · καί οὐ ἐκβαίνω ὁ ἴδιος ?? ῥόος · ὁ τε γάρ δυάς ἑαυτοῦ δυάω καί ὁ τριάς ἑαυτοῦ τριάζω , ὥστε εἰμί ἄν τε - τράγωνοι ὁ ἑξῆς αʹ δʹ θʹ ιςʹ κε# . μέσος δέ ἔχω ὁ ἑτερομήκης οὕτως . τετράγωνος δύο ἐφεξῆς ὁ τε αʹ καί δʹ · οὗτος μέσος ἑτερομήκης ὁ βʹ · κεῖμαι δή αʹ βʹ δʹ · μέσος γίγνομαι ὁ βʹ , ὁ αὐτός λόγος ὁ ἄκρον ὁ μέν ὑπερέχω , ὑπό ὅς δέ ὑπερέχω · ὁ μέν γάρ εἷς ὁ βʹ διπλάσιος , ὁ δέ βʹ ὁ δʹ . πάλιν τράγος - νόος μέν ὁ δʹ εἰμί θʹ · μέσος δέ αὐτός ἑτερομήκης ὁ ϛʹ · κεῖμαι δή δʹ ϛʹ θʹ · μέσος ὁ ϛʹ , ὁ αὐτός λόγος ὁ ἄκρον ὁ μέν [ γάρ ] ὑπερέχω , ὑπό ὅς δέ ὑπερέχω - ν · ὁ μέν γάρ δʹ ὁ ϛʹ ἡμιόλιος , ὁ δέ ϛʹ ὁ θʹ . ὁ δέ αὐτός λόγος καί ἐπί ὁ ἑξῆς . ὁ δέ ἑτερομήκης , ὑπό ὁ τ μονάς ὑπερέχω πολλαπλασιάζω , οὔτε μένω ἐν ὁ ἴδιος ὅρος οὔτε περιέχω ὁ τετράγωνος . οἷος ὁ δίς γʹ γεννάω ὁ ϛʹ καί ὁ τρίς δʹ γεννάω ὁ ιβʹ καί ὁ τετράκις πέντε γεννάω ὁ ἄν , καί οὐδείς αὐτός μένω ἐν ὁ ἑαυτοῦ ὅρος , ἀλλά μεταπίπτω ἐν ὁ πολλαπλασιασμός , οἷος δυάς ἐπί τριάς καί τριάς ἐπί τετράς καί τετράς ἐπί πεντάς · ὁ τε γεννάω ὑπό ὁ ἑτερομήκης οὐ περιλαμβάνω ὁ τράγος - νους ἀριθμός · οἷος ἐφεξῆς ἑτερομήκης βʹ ϛʹ , μεταξύ δέ αὐτός εἰμί ὁ τάξις τετράγωνος ὁ δʹ · ἀλλά κατά οὐδείς ἀναλογία περιλαμβάνω ὑπό αὐτός ὥστε ἐν ὁ αὐτός λόγος πρός ὁ ἄκρον εἰμί . ἔκκειμαι γάρ βʹ δʹ ϛʹ · ὁ τετράς ἐν διάφορος λόγος πρός ὁ ἄκρον γίγνομαι · ὁ μέν γάρ βʹ ὁ δʹ διπλάσιος , ὁ δέ δʹ ὁ ϛʹ ἡμιόλιος . ἵνα δέ ἀνάλογος μέσος εἰμί , δέω αὐτ ?? οὕτως μέσος εἰμί , ὥστε ὅς ἔχω λόγος ὁ πρῶτος πρός ὁ μέσος , οὗτος ὁ μέσος πρός ὁ τρίτος . πάλιν ὁ ϛʹ καί ιβʹ ἑτερομήκης μέσος ὁ τάξις τετράγωνος ?? θʹ , ἀλλά οὐ εὑρίσκω ἐν ὁ αὐτός λόγος πρός ὁ ἄκρον · ϛʹ θʹ ιβʹ ·· ὁ μέν γάρ ϛʹ ὁ θʹ ἡμιόλιος , ὁ δέ θʹ ὁ ιβʹ ἐπίτριτος . ὁ δέ αὐτός καί ἐπί ὁ ἑξῆς λόγος .