ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 81
πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος αὐτοῦ , ὡς ὁ μὲν τῶν ζʹ δὶς ἔχει τὸν γʹ καὶ ἔτι τρίτον αὐτοῦ , καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασιεπίτριτος , ὁ δὲ τῶν θʹ δὶς ἔχει 〈 τὸν 〉 τῶν δʹ καὶ ἔτι τὸ τέταρτον · αὐτοῦ , λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος , ὁ δὲ τῶν ιʹ τρὶς ἔχει τὸν τῶν γʹκαὶτὸτρίτον αὐτοῦ , καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος . παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ πολλα - πλασιεπιμόριοι . τοῦτο δὲ συμβαίνει , ὅταν δυεῖν προ - τεθέντων ἀριθμῶν ὁ ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι , ἀλλʼ ἀπολείπῃ μέρος τοῦ μείζονος , ὅ ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος · οἷον ὁ τῶν κϚʹ τοῦ τῶνηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται , ἐπειδή - περ 〈 ὁ 〉 ηʹτρὶς καταμετρήσας τὸν κςʹ οὐχ ὅλον ἀπήρτι - σεν , ἀλλὰ μέχρι τῶν κδʹ ἐλῦών δύο ἐκ τῶν κςʹ ἀπέλι - πεν , ὅ ἐστι τῶν ηʹ τέταρτον .
Lemmas: πολλαπλασιεπιμόριος δέ εἰμί λόγος , ὅταν ὁ μέγας ὅρος δίς ἤ πλεονάκις ἔχω ὁ ἐλαχύς καί ἔτι μέρος αὐτός , ὡς ὁ μέν ὁ ζʹ δίς ἔχω ὁ γʹ καί ἔτι τρίτος αὐτός , καί λέγω αὐτός διπλασιεπίτριτος , ὁ δέ ὁ θʹ δίς ἔχω 〈 ὁ 〉 ὁ δʹ καί ἔτι ὁ τέταρτος · αὐτός , λέγω δέ διπλασιεπιτέταρτος , ὁ δέ ὁ ιʹ τρίς ἔχω ὁ ὁ γʹκαιτοτριτος αὐτός , καί λέγω τριπλασιεπίτριτος . παραπλήσιος δέ θεωρέω καί ὁ λοιπός πολύς - πλασιεπιμοριος . οὗτος δέ συμβαίνω , ὅταν δύο προ - τίθημι ἀριθμός ὁ ἐλαχύς καταμετρέω ὁ μέγας μή ἰσχύω ὅλος καταμετρέω , ἀλλά ἀπολείπω μέρος ὁ μέγας , ὅς εἰμί αὐτός ὁ ἐλαχύς μέρος · οἷος ὁ ὁ κϛʹ ὁ τώνης πολλαπλασιεπιμόριος λέγω , ἐπειδή - περ 〈 ὁ 〉 ηʹτρὶς καταμετρέω ὁ κςʹ οὐ ὅλος ἀπήρτι - Σεν , ἀλλά μέχρι ὁ κδʹ ἐλύω δύο ἐκ ὁ κςʹ ἀπέλι - Πεν , ὅς εἰμί ὁ ηʹ τέταρτος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 82
πολλαπλασιεπιμερὴς 〈 δέ 〉 ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἤ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα · οἷον ὁ μὲν τῶν ηʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν γʹ καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ , λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος , ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν γʹτριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος , ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν δʹ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλά - σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος . καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα - πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί - ζεσθαι ῥᾴιον . τοῦτο δὲ γίνεται , ὅταν ὁ ἐλάττων ἀρ θμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί - σαι , ἀλλʼ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα , ἅ ἐστι μέρη αὐτοῦ , ὡς ὁ τῶν ιδʹ τοῦ τῶν γʹ · ἡ γὰρ τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδʹ οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι , ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ιβʹ τὴν λοιπτὴν ἀπὸ τῶν ιδʹ ἀπέλιπε δυάδα , ἥτις ἐστὶ τῶν γʹ δίμοιρον , ἂ δὴ λέγεται δύο τρίτα . ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὁ ὑπο - πολλαπλασιεπιμερής .
Lemmas: πολλαπλασιεπιμερής 〈 δέ 〉 εἰμί λόγος , ὅταν ὁ μέγας ὅρος δίς ἤ πλεονάκις ἔχω ὁ ἐλαχύς καί δύο ἤ πολύς τις μέρος αὐτός εἴτε ὅμοιος εἴτε διάφορος · οἷος ὁ μέν ὁ ηʹ δίς ἔχω ὁ ὁ γʹ καί δύο τρίτος αὐτός , λέγω δέ διπλάσιος καί δίς ἐπίτριτος , ὁ δέ ὁ ιαʹ ὁ ὁ γʹτριπλάσιος καί δίς ἐπίτριτος , ὁ δέ ὁ ιαʹ ὁ ὁ δʹ διπλάσιος τε καί ἡμιόλιος καί ἐπιτέταρτος ἤ διπλόος - θεός τε καί τρίς ἐπιτέταρτος . καί ὁ ἄλλος δέ πολύς - πλασιεπιμερεω πολύς καί ποικίλος εἰμί προχειρία - ζω ῥάϊος . οὗτος δέ γίγνομαι , ὅταν ὁ ἐλαχύς ἀρ θυμός καταμετρέω ὁ μέγας μή ἰσχύω ἀπαρτί - φέρω , ἀλλά ἀπολείπω ἀριθμός τις , ὅς εἰμί μέρος αὐτός , ὡς ὁ ὁ ιδʹ ὁ ὁ γʹ · ὁ γάρ τριάς καταμετρέω ὁ ὁ ιδʹ οὐ ἰσχύω ἀπαρτίζω , ἀλλά προκόπτω τετράκις μέχρι ὁ ιβʹ ὁ λοιπτὴν ἀπό ὁ ιδʹ ἀπολείπω δυάς , ὅστις εἰμί ὁ γʹ δίμοιρος , ὅς δή λέγω δύο τρίτος . ἀντίκειμαι δέ καί ὁ πολλαπλασιεπιμερής ὁ ὑπο - πολλαπλασιεπιμερής .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 83
ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν , ὅταν ὁ μεί - ζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ τῶν προειρημένων λόγων , κάθὰ δειχθήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων [ φθόγγος ] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ σνςʹ πρὸς σμγ . φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπʼ ἐκείνων προσαγορευόμενοι , καθὰ ἐδείχθη .
Lemmas: ἀριθμός δέ πρός ἀριθμός λόγος εἰμί , ὅταν ὁ μές - ζῶ πρός ὁ ἐλαχύς ἐν μηδείς ὁ προλέγω λόγος , καθά δείκνυμι καί ὁ ὁ λεῖμμα περιέχω [ φθόγγος ] λόγος ἀριθμός πρός ἀριθμός ἔχω ὁ ὅρος ἐν ἐλαχύς ὡς ὁ σνςʹ πρός σμγ . φανερός δέ καί ὁ ὁ ἐλαχύς ὅρος πρός ὁ μέγας λόγος ἀντιστρέφω ὑπό ἐκεῖνος προσαγορεύω , καθά δείκνυμι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 84
πάντων δὲ τῶν κατʼ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθʼ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν . οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν βʹ πρὸς ἔν · μετὰ γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ τῶν ϛʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ὁμοίως ἐπʼ ἄπειρον . τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ - τος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὸ ἕν · οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μεί - ζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπʼ ἄπειρον προάγουσιν . ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων . ὁμοίως δὲ καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις . ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὰ β , ἐπιτρίτων δὲ ὁ τῶν δʼ πρὸς γ΄ , καὶ ἐπιτετάρτων ὁ τῶν εʹ πρὸς δʹ · οἱ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνθέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆθος . τὸ δʼ αὐτὸ θεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων .
Lemmas: πᾶς δέ ὁ κατά εἶδος λέγω λόγος ὁ ἐν ἐλαχύς καί πρῶτος πρός ἀλλήλων ἀριθμός εἰμί κατά ἕκαστος πρῶτος λέγω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω καί πυθμήν ὁ ὁμοειδής . οἷος διπλασίων μέν λόγος πρῶτος καί πυθμήν ὁ ὁ βʹ πρός εἷς · μετά γάρ οὗτος ἐν μέγας καί σύνθετος ἀριθμός λόγος εἰμί διπλάσιος ὁ ὁ δʹ πρός ὁ βʹ καί ὁ ϛʹ πρός ὁ γʹ καί ὅμοιος ἐπί ἄπειρος . τριπλασίων δέ λόγος πρός - ὅς καί πυθμήν ὁ ὁ γʹ πρός ὁ εἷς · ὁ δέ ἀεί ἐν μείς - ζω καί σύνθετος ἀριθμός ἐπί ἄπειρος προάγω . ὡσαύτως δέ ἐπί ὁ ἄλλος πολλαπλασίων . ὅμοιος δέ καί ἐν ὁ ἐπιμόριος . ἡμιόλιος μέν λόγος πρῶτος καί πυθμήν ὁ ὁ γʹ πρός ὁ Β , ἐπίτριτος δέ ὁ ὁ δʹ πρός γʹ , καί ἐπιτέταρτος ὁ ὁ πέντε πρός δʹ · ὁ δέ ἐν μέγας ὅρος καί σύνθετος πάλιν ἄπειρος ὁ πλῆθος . ὁ δέ αὐτός θεωρέω καί ἐπί ὁ ἄλλος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 85
διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος , ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων , λόγος δὲ ἀπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις . διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ , λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ ὁ αὐτὸς ὁ τῆς ἰσότητος · τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφʼ ἑκατέρου 〈 πρὸς 〉 ἑκάτερον , λόγος δὲ Κίερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον · οἷον ἀπὸ τῶν βʹ πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό , λόγος δὲ ἕτερος , τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν διπλάσιος , τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ ἥμισυς .
Lemmas: διαφέρω δέ διάστημα καί λόγος , ἐπειδή διάστημα μέν εἰμί ὁ μεταξύ ὁ ὁμογενής τε καί ἄνισος ὅρος , λόγος δέ ἁπλῶς ὁ ὁ ὁμογενής ὅρος πρός ἀλλήλων σχέσις . διό καί ὁ ἴσος ὅρος διάστημα μέν οὐδείς εἰμί μεταξύ , λόγος δέ πρός ἀλλήλων εἷς καί ὁ αὐτός ὁ ὁ ἰσότης · ὁ δέ ἄνισος διάστημα μέν εἷς καί ὁ αὐτός ἀπό ἑκάτερος 〈 πρός 〉 ἑκάτερος , λόγος δέ Κίερος καί ἐναντίος ἑκάτερος πρός ἑκάτερος · οἷος ἀπό ὁ βʹ πρός ὁ εἷς καί ἀπό ὁ εἷς πρός ὁ βʹ διάστημα εἷς καί ὁ αὐτός , λόγος δέ ἕτερος , ὁ μέν δύο πρός ὁ εἷς διπλάσιος , ὁ δέ εἷς πρός ὁ βʹ ἥμισυς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 86
Ἐρατοσθένης δὲ ἐν τῷ Πλατωνικῷ φησι , μὴ ταὐ - τὸν εἶναι διάστημα καὶ λόγον , ἐπειδὴ λόγος μέν ἐστι δύο μεγεθῶν ἡ πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις · γίνεται δʼ αὕτη καὶ ἐν διαφόροις 〈 καὶ ἐν ἀδιαφόροις 〉 . οἷον ἐν φ λόγῳ ἐστὶ τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν , ἐν τούτῳ δόξα πρὸς ἐπιστήμην , καὶ διαφέρει καὶ τὸ νοητὸν τοῦ ἐπιστητοῦ ᾧ καὶ ἡ δόξα τοῦ αἰσθητοῦ . διάστημα δὲ ἐν διαφέρουσι μόνον , ἢ κατὰ τὸ μέγεθος ἢ κατὰ ποιό - τητα ἢ κατὰ θέσιν ἢ ἄλλως ὁπωσοῦν . δῆλον δὲ καὶ ἐντεῦθεν , ὅτι λόγος διαστήματος ἕτερον · τὸ γὰρ ἢμισυ πρὸς τὸ διπλάσιον 〈 καὶ τὸ διπλάσιον πρὸς τὸ ἢμισυ 〉 λόγον μὲν οὐ τὸν αὐτὸν ἔχει , διάστημα δὲ τὸ αὐτό .
Lemmas: Ἐρατοσθένης δέ ἐν ὁ Πλατωνικός φημί , μή ταῦ - ὁ εἰμί διάστημα καί λόγος , ἐπειδή λόγος μέν εἰμί δύο μέγεθος ὁ πρός ἀλλήλων ποιός σχέσις · γίγνομαι δέ οὗτος καί ἐν διάφορος 〈 καί ἐν ἀδιάφορος 〉 . οἷον ἐν φ λόγος εἰμί ὁ αἰσθητός πρός ὁ νοητός , ἐν οὗτος δόξα πρός ἐπιστήμη , καί διαφέρω καί ὁ νοητός ὁ ἐπιστητός ὅς καί ὁ δόξα ὁ αἰσθητός . διάστημα δέ ἐν διαφέρω μόνος , ἤ κατά ὁ μέγεθος ἤ κατά ποιός - της ἤ κατά θέσις ἤ ἄλλος ὁπωσοῦν . δῆλος δέ καί ἐντεῦθεν , ὅτι λόγος διάστημα ἕτερος · ὁ γάρ ἥμισυς πρός ὁ διπλάσιος 〈 καί ὁ διπλάσιος πρός ὁ ἥμισυς 〉 λόγος μέν οὐ ὁ αὐτός ἔχω , διάστημα δέ ὁ αὐτός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 87
ἀναλογία δʼ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταὐτό - της , τουτέστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης , ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον , τοῦτον ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον . λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία , ἡ δὲ διῃρημένη , συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις , διῃρημένη δὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν . οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δʹ βʹ αʹ ἔστι γὰρ ὡς δʹ πρὸς β , οὕτως βʹ πρὸς ἕν . διρρημένη δὲ ϛʹ γ δʹ βʹ ἔστι γὰρ ὡς Ϛʹ πρὸς τὰ γ΄ , οὕτως δʹ πρὸς τὰ β΄ . τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων . ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις , δὶς λαμβανομένου τοῦ μέσου . καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος · συν - εχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ θʹ Ϛʹ δʹ , διῃρημένη δὲ θʹ Ϛʹ ιέ ί . ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος .
Lemmas: ἀναλογία δέ εἰμί πολύς λόγος ὁμοιότης ἤ τατός - τις , τουτέστι ἐν πολύς ὅρος λόγος ὁμοιότης , ὅταν ὅς ἔχω λόγος ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος , οὗτος ὁ δεύτερος πρός ὁ τρίτος ἤ ἄλλος τις πρός ἄλλος . λέγω δέ ὁ μέν συνεχής ἀναλογία , ὁ δέ διαιρέω , συνεχής μέν ὁ ἐν ἐλαχύς τρεῖς ὅρος , διαιρέω δέ ὁ ἐν ἐλαχύς τέσσαρες . οἷος μετά ὁ ἐν ἴσος ὅρος ἀναλογία συνεχής ἐν ἐλαχύς ὅρος κατά μέν ὁ διαπλάσιον δʹ βʹ αʹ εἰμί γάρ ὡς δʹ πρός Β , οὕτως βʹ πρός εἷς . διαίρω δέ ϛʹ γ δʹ βʹ εἰμί γάρ ὡς ϛʹ πρός ὁ γʹ , οὕτως δʹ πρός ὁ βʹ . ὁ δέ αὐτός καί ἐπί ὁ ἄλλος πολλαπλασίων . εἰμί δέ τρόπος τις καί ὁ συνεχής ἐν τέσσαρες ὅρος , δίς λαμβάνω ὁ μέσος . καί ἐπί ὁ ἐπιμόριος δέ ὁ αὐτός λόγος · σῦς - ἔχω μέν ἀναλογία ἐν λόγος ἡμιόλιος θʹ ϛʹ δʹ , διαιρέω δέ θʹ ϛʹ ιε ἵ . ὁ δέ αὐτός καί ἐπί ὁ ἄλλος λόγος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 89
ἔοικε δὲ ὁ Πλάτων μίαν οἴεσθαι συνοχὴν εἶναι μαθημάτων τὴν ἐκ τῆς ἀναλογίας . ἔν τε γὰρ τῷ Ἐπι - νομίῳ φησίν · ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἂπεασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περι - φορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἀπάντων ἀναφανὴναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι · φανήσεται δέ , ἂν ἃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ · δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς ἀπάντων εἶς ἀναφανήσεται .
Lemmas: ἔοικα δέ ὁ Πλάτων εἷς οἴομαι συνοχή εἰμί μάθημα ὁ ἐκ ὁ ἀναλογία . ἐν τε γάρ ὁ ἐπι - νόμιος φημί · ἅπας διάγραμμα ἀριθμός τε σύστημα καί ἁρμονία σύστασις ἂπεασαν ὁ τε ὁ ἄστρον περί - φορά ὁ ἀναλογία εἰμί εἷς ἅπας ἀναφαίνω δέω ὁ κατά τρόπος μανθάνω · φαίνω δέ , ἐάν ὅς λέγω ὀρθός τις ἐμβλέπω μανθάνω · δεσμός γάρ φύω ἅπας εἷς ἀναφαίνω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 90
διαφέρει δὲ ἀναλογίας μεσότης , ἐπειδὴ εἰ μέν τι ἀναλογία , τοῦτο καὶ μεσότης , εἰ δέ τι μεσότης , οὐκ εὐ - θὺς ἀναλογία . ἐγχωρεῖ γάρ τι κατὰ τάξιν μέσον ὅν μὴ ἔχειν ἀναλόγως πρὸς τὰ ἄκρα · ὡς τὰ δύο μέσα ἐστὶ τῇ τάξει 〈 τοῦ ἑνὸς καὶ 〉 τῶν γʹ , καὶ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈 τῶν ιʹ 〉 τὰ γʹ καὶ τὰ δʹ καὶ τὰ εʹ · ἀπὸ γὰρ τοῦ ἑνὸς οὐχ οἷόν τε ἐλθεῖν ἐπὶ τὰ ι΄ μὴ πρότερον ἐλθόντα ἐπὶ τὰ β΄ καὶ τὰ γ΄ καὶ τὰ δ . ἀλλʼ οὐδὲν τούτων ἀναλόγως ἔχει πρὸς τὰ ἄκρα . τὸ γὰρ ἓν οὐκ ἐν τούτῳ ἐστὶ τῷ λόγῳ πρὸς τὰ β , ἐν ᾧ τὰ β΄ πρὸς τὰ γ΄ · ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ . τὰ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντα καὶ μέσα ἂν εἴη , οἷον ἔν β΄ δ΄ . ἀναλογία τε γάρ ἐστιν ἡ τοῦ δι - πλασίου , καὶ τά β΄ μέσα τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν δ΄ .
Lemmas: διαφέρω δέ ἀναλογία μεσότης , ἐπειδή εἰ μέν τις ἀναλογία , οὗτος καί μεσότης , εἰ δέ τις μεσότης , οὐ εὐ - Θῦς ἀναλογία . ἐγχωρέω γάρ τις κατά τάξις μέσος εἰμί μή ἔχω ἀνάλογος πρός ὁ ἄκρον · ὡς ὁ δύο μέσος εἰμί ὁ τάξις 〈 ὁ εἷς καί 〉 ὁ γʹ , καί ὁ εἷς καί 〈 ὁ ιʹ 〉 ὁ γʹ καί ὁ δʹ καί ὁ πέντε · ἀπό γάρ ὁ εἷς οὐ οἷος τε ἔρχομαι ἐπί ὁ ιʹ μή πρότερος ἔρχομαι ἐπί ὁ βʹ καί ὁ γʹ καί ὁ δ . ἀλλά οὐδείς οὗτος ἀνάλογος ἔχω πρός ὁ ἄκρον . ὁ γάρ εἷς οὐ ἐν οὗτος εἰμί ὁ λόγος πρός ὁ Β , ἐν ὅς ὁ βʹ πρός ὁ γʹ · ὅμοιος καί ἐπί ὁ βʹ καί γʹ καί δʹ . ὁ δέ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί μέσος ἄν εἰμί , οἷος εἷς βʹ δʹ . ἀναλογία τε γάρ εἰμί ὁ ὁ διά - πλασίου , καί ὁ βʹ μέσος ὁ εἷς καί ὁ δʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 91
ἀναλογίας δὲ ὁ μὲν Θράσυλλός φησιν εἶναι προ - ηγουμένας τρεῖς , ἀριθμιητικὴν γεωμετρικὴν ἁρμονικήν · ἀριθμητικὴν μὲν τὴν ταὐτῷ ἀριθμῷ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην , 〈 οἷον . . . . . . . . . . . · γεωμετρικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην , 〉 οἷον δι - πλασίῳ ἢ τριπλασίῳ , ὡς γ΄ ς΄ ιβ΄ · ἁρμονικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην , οἷον τρίτῳ ἢ τετάρτῳ , οἷον ϛ΄ η΄ ιβ΄ . . . . . . . . . . . .
Lemmas: ἀναλογία δέ ὁ μέν Θράσυλλος φημί εἰμί προ - ἡγέομαι τρεῖς , ἀριθμητικός γεωμετρικός ἁρμονικός · ἀριθμητικός μέν ὁ αὐτός ἀριθμός ὑπερέχω καί ὑπερέχω , 〈 οἷος . . . . . . . . . . . · γεωμετρικός δέ ὁ αὐτός λόγος ὑπερέχω καί ὑπερέχω , 〉 οἷος διά - πλασίον ἤ τριπλάσιος , ὡς γʹ ς΄ ιβʹ · ἁρμονικός δέ ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω , οἷος τρίτος ἤ τέταρτος , οἷος ϛʹ ηʹ ιβʹ . . . . . . . . . . . .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 92
τούτων δʼ Κκαστον ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἄλλως οὕτως ὁρᾶται · τῶν Ϛ΄ διπλάσιος ὁ ιβ΄ , τριπλάσιος δὲ ὁ ιη΄ , τε - τρακλάσιος δὲ ὁ κδ΄ , ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄ , ἐπίτριτος δὲ ὁ η΄ · τὰ δὲ θ΄ τῶν η΄ ἐπόγδοα · τὰ δὲ ιβ΄ πρὸς μὲν θ΄ ἐπίτριτα , πρὸς δὲ η΄ ἡμιόλια , πρὸς δὲ Ϛ΄ διπλάσια · τὰ δὲ ιη΄ τῶν θ΄ διπλάσια · τούτων δὲ τὰ κζ΄ ἡμιόλια . καὶ γίνεται μὲν η΄ ἐν τῷ διὰ τεσσάρων πρὸς ϛ΄ , τὰ δὲ θ΄ ἐν τῷ διὰ πέντε , τὰ δὲ ιβ΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν , τὰ δὲ ιη΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε · τῶν μὲν γὰρ Ϛ΄ διπλά - σια τὰ ιβ΄ ἐστιν ἐν τῷ διὰ πασῶν , τῶν δὲ ιβ΄ τὰ ιη΄ ἡμιόλιά ἐστιν ἐν τῷ διὰ πέντε , ϛʹ ιβʹ ιη΄ · τὰ δὲ κδʹ πρὸς ςʹ ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν . τὰ δὲ θʹ τῶν ηʹ ἐν τόνῳ . τὰ δὲ ιβ΄ τῶν θʹ διὰ τεσσάρων . τὰ δὲ ιβʹ τῶν ηʹ ἐν τῷ διὰ πέντε . τὰ δὲ ιηʹ τῶν θʹ διὰ πασῶν . τὰ δὲ κζʹ τῶν ειηʹ διὰ πέντε . συνέστηκε δὲ τὸ διὰ πασῶν ιβʹ πρὸς Ϛʹ ἐκ τοῦ ἡμιολίου θʹ πρὸς ϛʹ καὶ ἐπιτρίτου ιβʹ πρὸς θʼ καὶ πάλιν ἡμιολίου ιβʹ πρὸς ηʹ καὶ ἐπιτρίτουηʹ πρὸς ϛʹ , καὶ τὰ ιηʹ πρὸς θʹ ἐκ τοῦ ιηʹ πρὸς ιβʹ ἡμιολίου καὶ ιβʹ πρὸς θʹ ἐπιτρίτου , καὶ τὰ κδʹ πρὸς ιβʹ διὰ πασῶν συν - έστηκεν ἐκ τοῦ κδʹ πρὸς ιηʹ ἐπιτρίτου καὶ τοῦ ιηʹ πρὸς ιβʹ ἡμιολίου · τὰ δὲ θʹ πρὸς ϛʹ διὰ πέντε ἐκ τοῦ θʹ πρὸς ηʹ ἐπογδόου καὶ τοῦ ηʹ πρὸς ςʹ ἐπιτρίτου , καὶ τὰ ιβʹ πρὸς ηʹ ἡμιόλιον ἐκ τοῦ ιβʹ πρὸς θʹ ἐπιτρίτου καὶ θʼ πρἐς ηʹ ἐπογδόου .
Lemmas: οὗτος δέ Κκαστον ἐν ἀριθμός καί ἄλλος οὕτως ὁράω · ὁ ϛʹ διπλάσιος ὁ ιβʹ , τριπλάσιος δέ ὁ ιηʹ , τε - τρακλάσιος δέ ὁ κδʹ , ἡμιόλιος δέ ὁ θʹ , ἐπίτριτος δέ ὁ ηʹ · ὁ δέ θʹ ὁ ηʹ ἐπόγδοος · ὁ δέ ιβʹ πρός μέν θʹ ἐπίτριτος , πρός δέ ηʹ ἡμιόλιος , πρός δέ ϛʹ διπλάσιος · ὁ δέ ιηʹ ὁ θʹ διπλάσιος · οὗτος δέ ὁ κζʹ ἡμιόλιος . καί γίγνομαι μέν ηʹ ἐν ὁ διά τέσσαρες πρός ϛʹ , ὁ δέ θʹ ἐν ὁ διά πέντε , ὁ δέ ιβʹ ἐν ὁ διά πᾶς , ὁ δέ ιηʹ ἐν ὁ διά πᾶς καί διά πέντε · ὁ μέν γάρ ϛʹ διπλόος - θεός ὁ ιβʹ εἰμί ἐν ὁ διά πᾶς , ὁ δέ ιβʹ ὁ ιηʹ ἡμιόλιος εἰμί ἐν ὁ διά πέντε , ϛʹ ιβʹ ιηʹ · ὁ δέ κδʹ πρός ςʹ ἐν ὁ δίς διά πᾶς . ὁ δέ θʹ ὁ ηʹ ἐν τόνος . ὁ δέ ιβʹ ὁ θʹ διά τέσσαρες . ὁ δέ ιβʹ ὁ ηʹ ἐν ὁ διά πέντε . ὁ δέ ιηʹ ὁ θʹ διά πᾶς . ὁ δέ κζʹ ὁ ειηʹ διά πέντε . συνίστημι δέ ὁ διά πᾶς ιβʹ πρός ϛʹ ἐκ ὁ ἡμιόλιος θʹ πρός ϛʹ καί ἐπίτριτος ιβʹ πρός θʹ καί πάλιν ἡμιόλιος ιβʹ πρός ηʹ καί ἐπιτρίτουηʹ πρός ϛʹ , καί ὁ ιηʹ πρός θʹ ἐκ ὁ ιηʹ πρός ιβʹ ἡμιόλιος καί ιβʹ πρός θʹ ἐπίτριτος , καί ὁ κδʹ πρός ιβʹ διά πᾶς σῦς - ἵστημι ἐκ ὁ κδʹ πρός ιηʹ ἐπίτριτος καί ὁ ιηʹ πρός ιβʹ ἡμιόλιος · ὁ δέ θʹ πρός ϛʹ διά πέντε ἐκ ὁ θʹ πρός ηʹ ἐπόγδοος καί ὁ ηʹ πρός ςʹ ἐπίτριτος , καί ὁ ιβʹ πρός ηʹ ἡμιόλιος ἐκ ὁ ιβʹ πρός θʹ ἐπίτριτος καί θʹ πρός ηʹ ἐπόγδοος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 93
τὸ δὲ λεῖμμα γίνεται ἐν λιγῶ ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ΄ . εὑρίσκεται δʼ οὕτω · δυεῖν ἐπογδόων ληφθέντων καὶ τούτων τρὶς πολλαπλασιασθέντων καὶ τῷ δὶς ἐπ - ογδόῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου . οἷον εἶς μὲν ἐπόγδοος λόγος ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ η . ἐκι δὲ τούτων γίνονται δύο ἐπόγδοοι οὕτω · τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνεται πα , εἶτα τὰ θʹ ἐπὶ τὰ ηʹ γίνεται οβʹ , ἔπειτα τὰ ηʹ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνεται ξδ΄ , καὶ ἔστι τὰ μὲν παʹ τῶν οβʹ ἐπόγδοα , τὰ δὲ οβʹ τῶν ξδ΄ ἐπόγδοα . ἂν δὴ τρὶς ταῦτα λάβωμεν , τὰ μὲν παʹ γίνεται τρὶς σμγʹ , τὰ δὲ οβʹ γίνεται σιςʹ , τὰ δὲ ξδ΄ τρὶς γίνεται ρ??β΄ . τούτων ἐπίτριτα τὰ σνϚ΄ , ἅτινα πρὸς σμγ΄ ἔχει τὸν τοῦ λείμματος λόγον , ὅς ἐστι πλείων ἢ ἐποκτωκαιδέκςατος .
Lemmas: ὁ δέ λεῖμμα γίγνομαι ἐν λίγω ὅς ἔχω ὁ σνςʹ πρός σμγʹ . εὑρίσκω δέ οὕτως · δύο ἐπόγδοος λαμβάνω καί οὗτος τρίς πολλαπλασιάζω καί ὁ δίς ἔπος - ὄγδοος προστίθημι ἐπίτριτος . οἷος εἷς μέν ἐπόγδοος λόγος ὁ ὁ θʹ πρός ὁ ὁ . ἐπίτεξ δέ οὗτος γίγνομαι δύο ἐπόγδοος οὕτως · ὁ θʹ ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι πῃ , εἶτα ὁ θʹ ἐπί ὁ ηʹ γίγνομαι οβʹ , ἔπειτα ὁ ηʹ ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ξδʹ , καί εἰμί ὁ μέν παʹ ὁ οβʹ ἐπόγδοος , ὁ δέ οβʹ ὁ ξδʹ ἐπόγδοος . ἐάν δή τρίς οὗτος λαμβάνω , ὁ μέν παʹ γίγνομαι τρίς σμγʹ , ὁ δέ οβʹ γίγνομαι σιςʹ , ὁ δέ ξδʹ τρίς γίγνομαι ρ??β΄ . οὗτος ἐπίτριτος ὁ σνϛʹ , ὅστις πρός σμγʹ ἔχω ὁ ὁ λεῖμμα λόγος , ὅς εἰμί πολύς ἤ ἐποκτωκαιδέκατος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 94
σνςʹ σμγ΄ σιϚ΄ ρ??β΄ λεῖμμα ἐπόγδοος ἐπόγδοος διὰ τεσσάρων
Lemmas: σνςʹ σμγ΄ ὅς ρ??β΄ λεῖμμα ἐπόγδοος ἐπόγδοος διά τέσσαρες
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 95
ἡ δὲ τοῦ κανόνος κατατομιὴ γίνεται δια τῆς ἐν τῇ δεκάδι τετρακτύος , ἣ σύγκειται ἐκ μονάδος δυάδος τριάδος τετράδος , α΄ β΄ γ΄ δ΄ · ἔχει γὰρ ἐπίτριτον , ἡμιό - λιον , διπλάσιον , τριπλάσιον , τετραπλάσιον λόγον . διαι - ρεῖ δὲ αὐτὸν ὁ Θράσυλλος οὕτως .
Lemmas: ὁ δέ ὁ κανών κατατομή γίγνομαι διά ὁ ἐν ὁ δεκάς τετρακτύς , ὅς σύγκειμαι ἐκ μονάς δυάς τριάς τετράς , αʹ βʹ γʹ δʹ · ἔχω γάρ ἐπίτριτος , μου - Λιόν , διπλάσιος , τριπλάσιος , τετραπλάσιος λόγος . διά - ρέω δέ αὐτός ὁ Θράσυλλος οὕτως .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 96
δίχα μὲν διελοῦσι τὸ μέγεθος μέσην ποιεῖ τὸ διὰ πασῶν ἐν τῷ διπλασίῳ λόγῳ , ἀντιπεπονθότως ἐν ταῖς κινήσεσι διπλασίαν ἔχουσαν τάσιν ἐπὶ τὸ ὀξύ . τὸ δὲ ἀντιπεπονθότως ἐστὶ τοιοῦτον · ὅσον ἂν τοῦ μεγέθους ἀφέλῃς τῆς ὅλης ἐν τῷ κανόνι χορδῆς , τοσοῦτον τῷ τόνῳ προστίθεται , καὶ ὅσον ἂν τῷ μεγέθει τῆς χορδῆς προσθῇς , τοσοῦτον τοῦ τόνου ὑφαιρεῖται . τὸ μὲν γὰρ ἥμισυ [ προσλαμβανομένη μέση πρὸς τὰ δύο μέρη ] μέγε - θος διπλασίαν τάσιν ἔχει ἐπὶ τὸ ὀξύ · τὸ δὲ διπλάσιον μέγεθος ἡμίσειαν τάσιν ἔχει 〈 ἐπὶ 〉 τὸ βαρύ .
Lemmas: δίχα μέν διαιρέω ὁ μέγεθος μέσος ποιέω ὁ διά πᾶς ἐν ὁ διπλάσιος λόγος , ἀντιπεπονθότως ἐν ὁ κίνησις διπλάσιος ἔχω τάσις ἐπί ὁ ὀξύς . ὁ δέ ἄντιπεπονθοτος εἰμί τοιοῦτος · ὅσος ἄν ὁ μέγεθος ἀφαιρέω ὁ ὅλος ἐν ὁ κανών χορδή , τοσοῦτος ὁ τόνος προστίθημι , καί ὅσος ἄν ὁ μέγεθος ὁ χορδή προστίθημι , τοσοῦτος ὁ τόνος ὑφαιρέω . ὁ μέν γάρ ἥμισυς [ προσλαμβάνω μέσος πρός ὁ δύο μέρος ] ἐγώ - ἄνθος διπλάσιος τάσις ἔχω ἐπί ὁ ὀξύς · ὁ δέ διπλάσιος μέγεθος ἥμισυς τάσις ἔχω 〈 ἐπί 〉 ὁ βαρύς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 97
τρίχα δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης ἥ τε ὑπάτη τῶν μέσων καὶ ἡ νήτη διεζευγμένων γίνεται . ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη διεζευγμένων πρὸς μὲν τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε · δύο γάρ ἐστι διαστήματα πρὸς τρία · πρὸς δὲ τὴν ὑπά - την ἐν τῷ διὰ πασῶν · ἓν γάρ ἐστι διάστημα πρὸς τὰ δύο · πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον 〈 ἐν τῷ 〉 διὰ πα - σῶν καὶ διὰ πέντε · τοῦ γὰρ 〈 προσλαμβανομένου ἐν τῷ 〉 διὰ πασῶν ὄντος πρὸς τὴν μέσην προσείληπται τὸ μέχρι τῆς νήτης διάστημα , ὅ ἐστι διὰ πέντε πρὸς τὴν μέσην . ἡ 〈 δὲ 〉 μέση πρὸς τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ τεσσά - ρων , πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν .
Lemmas: τρίχα δέ ὁ διαίρεσις γίγνομαι ὁ τε ὑπάτη ὁ μέσος καί ὁ νήτη διαζεύγνυμαι γίγνομαι . εἰμί δέ ὁ μέν νήτη διαζεύγνυμαι πρός μέν ὁ μέσος ἐν ὁ διά πέντε · δύο γάρ εἰμί διάστημα πρός τρεῖς · πρός δέ ὁ ὑπό - την ἐν ὁ διά πᾶς · εἷς γάρ εἰμί διάστημα πρός ὁ δύο · πρός δέ ὁ προσλαμβάνω 〈 ἐν ὁ 〉 διά πῃ - σός καί διά πέντε · ὁ γάρ 〈 προσλαμβάνω ἐν ὁ 〉 διά πᾶς εἰμί πρός ὁ μέσος προσλαμβάνω ὁ μέχρι ὁ νήτη διάστημα , ὅς εἰμί διά πέντε πρός ὁ μέσος . ὁ 〈 δέ 〉 μέσος πρός ὁ ὑπάτη ἐν ὁ διά Τέσσα - ῥόος , πρός δέ ὁ προσλαμβάνω ἐν ὁ διά πᾶς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 98
ἡ δὲ ὑπάτη πρὸς τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πέντε . γίνεται δὲ ἴσον τὸ μέγεθος τὸ ἀπὸ τῆς ὑπάτης ἕως μέσης τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ ἀπὸ μέσης ἕως νήτης τοῦ διὰ πέντε . καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τῇ διαιρέσει τῶν μεγεθῶν . τετραχῇ δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης συνίσταται ἥ τε ὑπερυπάτη καλουμένη , ἡ καὶ διάτονος ὑπατῶν , καὶ ἡ νήτη τῶν ὑπερβολαίων . 〈 ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη τῶν ὑπερβολαίων 〉 πρὸς μὲν τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἐν τῷ διὰ τεσσάρων , πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πασῶν , πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων , πρὸς δὲ τὴν ὑπερυπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε , πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν ἐπὶ τὸ βαρύ . τῇ δὲ ὑπερυπάτῃ λόγος ἐστὶ πρὸς μὲν 〈 τὸν 〉 προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ τεσσά - ρων ἐπὶ τὸ βαρύ , πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ὀξύ , τῆς δʼ ὑπάτης τόνῳ ὑπερέχει κατὰ τὸ βαρύ . καὶ ἔστιν ἴσον τὸ τονιαῖον μέγεθος τῆς ὑπερυπάτης πρὸς τὴν ὑπάτην καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τῆς νήτης δι - εζευγμένων πρὸς τὴν νήτην ὑεπερβολαίων . καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τοῖς μεγέθεσι [ τῆς διαιρέσεως ] τῶν διαστημάτων .
Lemmas: ὁ δέ ὑπάτη πρός ὁ προσλαμβάνω ἐν ὁ διά πέντε . γίγνομαι δέ ἴσος ὁ μέγεθος ὁ ἀπό ὁ ὑπάτη ἕως μέσος ὁ διά τέσσαρες πρός ὁ ἀπό μέσος ἕως νήτη ὁ διά πέντε . καί ὅμοιος ἀντιπάσχω ὁ ἀριθμός ὁ κίνησις ὁ διαίρεσις ὁ μέγεθος . τετραχῇ δέ ὁ διαίρεσις γίγνομαι συνίστημι ὁ τε ὑπερυπάτη καλέω , ὁ καί διάτονος ὑπάτη , καί ὁ νήτη ὁ ὑπερβολαῖος . 〈 εἰμί δέ ὁ μέν νήτη ὁ ὑπερβολαῖος 〉 πρός μέν ὁ νήτη ὁ διαζεύγνυμαι ἐν ὁ διά τέσσαρες , πρός δέ ὁ μέσος ἐν ὁ διά πᾶς , πρός δέ ὁ ὑπάτη ἐν ὁ διά πᾶς καί διά τέσσαρες , πρός δέ ὁ ὑπορρυπάω ἐν ὁ διά πᾶς καί διά πέντε , πρός δέ ὁ προσλαμβάνω ἐν ὁ δίς διά πᾶς ἐπί ὁ βαρύς . ὁ δέ ὑπερυπάτη λόγος εἰμί πρός μέν 〈 ὁ 〉 προσλαμβάνω ἐν ὁ διά Τέσσα - ῥόος ἐπί ὁ βαρύς , πρός δέ ὁ μέσος ἐν ὁ διά πέντε ἐπί ὁ ὀξύς , ὁ δέ ὑπάτη τόνος ὑπερέχω κατά ὁ βαρύς . καί εἰμί ἴσος ὁ τονιαῖος μέγεθος ὁ ὑπερυπάτη πρός ὁ ὑπάτη καί ὁ διά τέσσαρες ὁ νήτη διά - ζεύγνυμι πρός ὁ νήτη υεπερβολαιος . καί ὅμοιος ἀντιπάσχω ὁ ἀριθμός ὁ κίνησις ὁ μέγεθος [ ὁ διαίρεσις ] ὁ διάστημα .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 101
καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει . ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόζεται σφαίρας , ἐπτειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονο - μίας ἐκθώμεθα λόγους , παραδείξομεν . νυνὶ δʼ ἐπανέλ - θωμεν ἐπεὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον , ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἡ ἀναλογία καὶ μεσότης , οὐ μέντοι ἡ μεσότης καὶ ἀναλογία . καθὸ δὴ 〈 ἡ 〉 ἀναλο - γία καὶ μεσότης ἐστίν , ἀκόλουθος ἄν εἴη ὁ περὶ τῶν ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος .
Lemmas: καί ὁ μέν ὑπό Θράσυλλος παραδίδωμι κατατομή ὁ κανών ὧδε ἔχω . ὅς δέ τρόπος καί ἐπί ὁ ὁ ὅλος ἐφαρμόζω σφαῖρα , ἐπτειδὰν καί ὁ ἀστρονο - μίας ἐκτίθημι λόγος , παραδείκνυμι . νυνί δέ ἐπαναλύω - τίθημι ἐπεί ὁ ὁ λοιπός ἀναλογία καί μεσότης λόγος , ἐπειδή ὡς φημί ὁ ἀναλογία καί μεσότης , οὐ μέντοι ὁ μεσότης καί ἀναλογία . καθό δή 〈 ὁ 〉 ανάλατος - γία καί μεσότης εἰμί , ἀκόλουθος ἄν εἰμί ὁ περί ὁ ἀναλογία καί περί ὁ μεσότης λόγος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 102
ἐπειδὴ πάντες οἱ τῶν συμφωνιῶν εὑρέθησαν λόγοι , καθὰ δέδεικται , ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι , καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον . τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν ἡ δεκάς . ἓν γὰρ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ ι΄ · α΄ β΄ γ΄ δ΄ . ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ ἡ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ καὶ ἡ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ 〈 ἡ 〉 δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ · ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα . τοιαύτη μὲν 〈 ἡ 〉 ἐν μουσικῇ τετρακτὺς κατὰ σύνθεσιν οὖσα , ἐπειδὴ ἐντὸς αὐτῆς πᾶσαι αἱ συμφωνίαι εὑρίσκονται . οὐ διὰ τοῦτο δὲ μό - νον πᾶσι τοῖς Πυθαγορικοῖς προτετίμηται , ἀλλʼ ἐπεὶ καὶ δοκεῖ τὴν τῶν ὅλων φύσιν συνέχειν · διὸ καὶ ὅρκος ἦν αὐτοῖς οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν , παγὰν ἀενάου φύσεως ῥίζωμά τʼ ἔχουσαν . τὸν παραδόντα Πυθαγόραν λέγουσιν , ἐπεὶ δοκεῖ τούτου εὕρημα ὁ περὶ αὐτῆς λόγος .
Lemmas: ἐπειδή πᾶς ὁ ὁ συμφωνία εὑρίσκω λόγος , καθά δείκνυμι , ἐν ὁ ὁ δεκάς τετρακτύς , καί περί οὗτος πρότερος λεκτέος . ὁ μέν γάρ τετρακτύς συνίστημι ὁ δεκάς . εἷς γάρ καί βʹ καί γʹ καί δʹ ιʹ · αʹ βʹ γʹ δʹ . ἐν δέ οὗτος ὁ ἀριθμός εἰμί ὁ τε διά τέσσαρες συμφωνία ἐν ἐπίτριτος λόγος καί ὁ διά πέντε ἐν ἡμιόλιος καί ὁ διά πᾶς ἐν διπλάσιος καί 〈 ὁ 〉 δίς διά πᾶς ἐν τετραπλάσιος · ἐκ ὅς συμπληρόω ὁ ἀμετάβολος διάγραμμα . τοιοῦτος μέν 〈 ὁ 〉 ἐν μουσική τετρακτύς κατά σύνθεσις εἰμί , ἐπειδή ἐντός αὐτός πᾶς ὁ συμφωνία εὑρίσκω . οὐ διά οὗτος δέ μό - νος πᾶς ὁ Πυθαγορικός προτιμάω , ἀλλά ἐπεί καί δοκέω ὁ ὁ ὅλος φύσις συνέχω · διό καί ὅρκος εἰμί αὐτός οὐ μά ὁ ἡμέτερος ψυχή παραδίδωμι τετρακτύς , πηγή ἀέναος φύσις ῥίζωμα τε ἔχω . ὁ παραδίδωμι Πυθαγόρας λέγω , ἐπεί δοκέω οὗτος εὕρημα ὁ περί αὐτός λόγος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 104
δύο μιὲν οὖν αὗται τετρακτύες , ἥ τε κατʼ ἐπισύν - θεσιν καὶ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμόν , τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικοὺς λόγους περιέχου - σαι , ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη . τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς ἡ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέθους φύσιν περιέχουσα · ὅπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρᾳ τετρακτύι μονάς , τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή . ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀριθμοὶ τὰ β΄ καὶ γ΄ , τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς ἥ τε περιφερὴς καὶ ἡ εὐθεῖα , κατὰ μὲν ἄρτιον ἡ εὐθεῖα , ἐπειδὴ δυσὶ σημείοις περατοῦται , κατὰ δὲ τὸ περιττὸν ἡ περιφερής , ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχε - ται · ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ τετράγωνον δυνάμενοι ὁ δ΄ καὶ ὁ θ΄ , τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων , εὐθύ - γραμμον καὶ περιφερόγραμμον · ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ κύβον δυνάμενοι ὁ η΄ καὶ ὁ κζ΄ δύο ὄντες ὁ μὲν ἐκ περιττοῦ , ὁ δὲ ἐξ ἀρτίου , τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν , διτ - τὸν ὄν , 〈 τὸ μὲν 〉 ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ κύλινδρος , τὸ δὲ ἐξ ἐπιπέδων ὡς κύβος πυραμίς . αὕτη δέ ἐστιν ἡ τρίτη τετρακτὺς παντὸς μεγέθους συμπλη - ρωτικὴ ἐκ σημείου γραμμῆς ἐπιπέδου στερεοῦ .
Lemmas: δύο μιαίνω οὖν οὗτος τετρακτύς , ὁ τε κατά ἐπισσεύω - θέσις καί ὁ κατά πολλαπλασιασμός , ὁ τε μουσικός καί γεωμετρικός καί ἀριθμητικός λόγος περιέχω - σός , ἐκ ὅς καί ὁ ὁ πᾶς ἁρμονία συνίστημι . τρίτος δέ εἰμί τετρακτύς ὁ κατά ὁ αὐτός ἀναλογία πᾶς μέγεθος φύσις περιέχω · ὅς γάρ ἐν ὁ πρότερος τετρακτύς μονή , οὗτος ἐν οὗτος στιγμή . ὅς δέ ἐν ἐκεῖνος ὁ πλευρά δύναμαι ἀριθμός ὁ βʹ καί γʹ , οὗτος ἐν οὗτος ὁ δισσός εἶδος ὁ γραμμή ὁ τε περιφερής καί ὁ εὐθύς , κατά μέν ἄρτιος ὁ εὐθύς , ἐπειδή δύο σημεῖον περατόω , κατά δέ ὁ περισσός ὁ περιφερής , ἐπειδή ὑπό εἷς γραμμή πέρας οὐ ἔχω περιέχω - ται · ὅς δέ ἐν ἐκεῖνος ὁ τετράγωνος δύναμαι ὁ δʹ καί ὁ θʹ , οὗτος ἐν οὗτος ὁ δισσός εἶδος ἐπίπεδος , εὐθύς - γραμμός καί περιφερόγραμμος · ὅς δέ ἐν ἐκεῖνος ὁ κύβος δύναμαι ὁ ηʹ καί ὁ κζʹ δύο εἰμί ὁ μέν ἐκ περισσός , ὁ δέ ἐκ ἄρτιος , οὗτος ἐν οὗτος στερεός , διτ - ὁ εἰμί , 〈 ὁ μέν 〉 ἐκ κοῖλος ἐπιφάνεια ὡς σφαῖρα καί κύλινδρος , ὁ δέ ἐκ ἐπίπεδος ὡς κύβος πυραμίς . οὗτος δέ εἰμί ὁ τρίτος τετρακτύς πᾶς μέγεθος συμπλέω - ρωτικὴ ἐκ σημεῖον γραμμή ἐπίπεδος στερεός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 105
τετάρτη δὲ τετρακτύς ἐστι τῶν ἁπλῶν 〈 σωμάτων 〉 , πυρὸς ἀέρος ὕδατος γῆς , ἀναλογίαν ἔχουσα τὴν κατὰ τοὺς ἀριθμούς . ὅπερ γὰρ ἐν ἐκείνῃ μονάς , ἐν ταύτῃ πῦρ · ὃ δὲ δυάς , ἀήρ · δὲ τριάς , ὕδωρ · ὃ δὲ τετράς , γῆ . τοιαύτη γὰρ ἡ φύσις τῶν στοιχείων κατὰ λεπτο - μέρειαν καὶ παχυμέρειαν , ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον πῦρ πρὸς ἀέρα , ὅν ἓν πρὸς β΄ , πρὸς δὲ ὕδωρ , ὃν ἓν πρὸς γ΄ , πρὸς δὲ γῆν , ὃν ἓν πρὸς δ΄ · καὶ τἆλλα ἀνάλο - γον πρὸς ἄλληλα .
Lemmas: τέταρτος δέ τετρακτύς εἰμί ὁ ἁπλόος 〈 σῶμα 〉 , πῦρ ἀήρ ὕδωρ γῆ , ἀναλογία ἔχω ὁ κατά ὁ ἀριθμός . ὅς γάρ ἐν ἐκεῖνος μονή , ἐν οὗτος πῦρ · ὅς δέ δυάς , ἀήρ · δέ τριάς , ὕδωρ · ὅς δέ τετράς , γῆ . τοιοῦτος γάρ ὁ φύσις ὁ στοιχεῖον κατά λεπτός - μέρεια καί παχυμέρεια , ὥστε οὗτος ἔχω ὁ λόγος πῦρ πρός ἀήρ , ὅς εἷς πρός βʹ , πρός δέ ὕδωρ , ὅς εἷς πρός γʹ , πρός δέ γῆ , ὅς εἷς πρός δʹ · καί ἄλλος ανάλατος - γος πρός ἀλλήλων .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 106
πέμπτη δʼ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν σχημάτων τῶν ἁπλῶν σωμάτων . ἡ μὲν γὰρ πυραμὶς σχῆμα πυρός , τὸ δὲ ὀκτάεδρον ἀέρος , τὸ δὲ εἰκοσάεδρον ὕδατος , κύβος δὲ γῆς .
Lemmas: πέμπτος δέ εἰμί τετρακτύς ὁ ὁ σχῆμα ὁ ἁπλόος σῶμα . ὁ μέν γάρ πυραμίς σχῆμα πῦρ , ὁ δέ ὀκτάεδρος ἀήρ , ὁ δέ εἰκοσάεδρος ὕδωρ , κύβος δέ γῆ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 107
ἕκτη δὲ τῶν φυομένων . τὸ μὲν σπέρμα ἀνάλογον μονάδι καὶ σημείῳ , ἡ δὲ εἰς μῆκος αὔξη δυάδι καὶ γραμμῇ , ἡ δὲ εἰς πλάτος τριάδι καὶ ἐπιφανείᾳ , ἡ δὲ εἰς πάχος τετράδι καὶ στερεῷ .
Lemmas: ἕκτος δέ ὁ φύω . ὁ μέν σπέρμα ἀνάλογος μονάς καί σημεῖον , ὁ δέ εἰς μῆκος αὔξη δυάς καί γραμμή , ὁ δέ εἰς πλάτος τριάς καί ἐπιφάνεια , ὁ δέ εἰς πάχος τετράς καί στερεός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 108
ἑβδόμη δὲ τετρακτὺς ἡ τῶν κοινωνιῶν . ἀρχὴ μὲν καὶ οἷον μονὰς ἄνθρωπος , δυὰς δὲ οἶκος , τριὰς δὲ κώμη , τετρὰς δὲ πόλις . τὸ γὰρ ἔθνος ἐκ τούτων σύγκειται .
Lemmas: ἕβδομος δέ τετρακτύς ὁ ὁ κοινωνία . ἀρχή μέν καί οἷος μονή ἄνθρωπος , δυάς δέ οἶκος , τριάς δέ κώμη , τετράς δέ πόλις . ὁ γάρ ἔθνος ἐκ οὗτος σύγκειμαι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 109
καὶ αὗται μὲν ὑλικαί τε καὶ αἰσθηταὶ τετρακτύες . ὀγδόη δὲ τετρακτὺς ἥδε , τούτων κριτικὴ καὶ νοητή τις οὖσα · νοῦς ἐπιστήμη δόξα αἴσθησις . νοῦς μὲν ὡς μονὰς ἐν οὐσίᾳ · ἐπιστήμη δὲ ὡς δυάς , ἐπειδή τινός ἐστιν ἐπιστήμη · 〈 δόξα δὲ ὡς τριάς , ἐπειδὴ . . . . . . . . . . . . . . . 〉 καὶ μεταξύ ἐστι δόξα ἐπιστήμης [ ἐστὶ ] καὶ ἀγνοίας · ἡ δὲ , αἴσθησις ὡς τετράς , ἐπειδὴ τετραπλῆ κοινῆς πασῶν οὔσης τῆς ἁφῆς κατʼ ἐπαφὴν πᾶσαι ἐνεργοῦσιν αἱ αἰσθήσεις .
Lemmas: καί οὗτος μέν ὑλικός τε καί αἰσθητός τετρακτύς . ὄγδοος δέ τετρακτύς ὅδε , οὗτος κριτικός καί νοητός τις εἰμί · νόος ἐπιστήμη δόξα αἴσθησις . νόος μέν ὡς μονή ἐν οὐσία · ἐπιστήμη δέ ὡς δυάς , ἐπειδή τις εἰμί ἐπιστήμη · 〈 δόξα δέ ὡς τριάς , ἐπειδή . . . . . . . . . . . . . . . 〉 καί μεταξύ εἰμί δόξα ἐπιστήμη [ εἰμί ] καί ἄγνοια · ὁ δέ , αἴσθησις ὡς τετράς , ἐπειδή τετραπλόος κοινός πᾶς εἰμί ὁ ἁφή κατά ἐπαφή πᾶς ἐνεργέω ὁ αἴσθησις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 110
ἐνάτη δὲ τετρακτύς , ἐξ ἧς συνέστηκε τὸ ζῷον , ψυχή τε καὶ σῶμα . ψυχῆς μὲν γὰρ μέρη λογιστικὸν θυμικὸν ἐπιθυμητικόν , καὶ τέταρτον σῶμα , ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ψυχή . δεκάτη δὲ τετρακτὺς ὡρῶν διʼ ἃς γίνεται πάντα , ἔαρ θέρος μετόπωρον χειμών .
Lemmas: ἔνατος δέ τετρακτύς , ἐκ ὅς συνίστημι ὁ ζῷον , ψυχή τε καί σῶμα . ψυχή μέν γάρ μέρος λογιστικός θυμικός ἐπιθυμητικός , καί τέταρτος σῶμα , ἐν ὅς εἰμί ὁ ψυχή . δεκάτη δέ τετρακτύς ὥρα διά ὅς γίγνομαι πᾶς , ἔαρ θέρος μετόπωρον χειμών .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 111
ἑνδεκάτη δὲ ἡλικιῶν , νηπίου μειρακίου ἀνδρὸς γέ - ροντος .
Lemmas: ἑνδέκατος δέ ἡλικία , νήπιος μειράκιον ἀνήρ γε - Ρόντος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 113
ἡ μὲν γὰρ μονας ἀρχὴ πάντων καὶ κυριωτάτη πα - σῶν . . . . . . . . καὶ ἐξ ἧς πάντα , αὐτὴ δὲ ἐξ οὐδενός , ἀδιαίρετος καὶ δυνάμει πάντα , ἀμετάβλητος , μηδεπώ - ποτε τῆς αὐτῆς ἐξισταμένη φύσεως κατὰ τὸν πολλαπλα - σιασμόν · καθʼ ἣν πᾶν τὸ νοητὸν καὶ ἀγέννητον καὶ ἡ τῶν ἰδεῶν φύσις καὶ ὁ θεὸς καὶ ὁ νοῦς καὶ τὸ καλὸν καὶ τὸ ἀγαθὸν καὶ ἑκάστη τῶν νοητῶν οὐσιῶν , οἷον αὐτὸ καλόν , αὐτὸ δίκαιον , αὐτὸ [ τὸ ] ἴσον · ἕκαστον γὰρ τού - των ὡς ἓν καὶ καθʼ ἑαυτὸ νοεῖται .
Lemmas: ὁ μέν γάρ μονή ἀρχή πᾶς καί κύριος πῃ - σός . . . . . . . . καί ἐκ ὅς πᾶς , αὐτός δέ ἐκ οὐδείς , ἀδιαίρετος καί δύναμις πᾶς , ἀμετάβλητος , μηδέπω - ποτέ ὁ αὐτός ἐξίστημι φύσις κατά ὁ πολλαπλός - σιασμος · κατά ὅς πᾶς ὁ νοητός καί ἀγέννητος καί ὁ ὁ ἰδέα φύσις καί ὁ θεός καί ὁ νόος καί ὁ καλός καί ὁ ἀγαθός καί ἕκαστος ὁ νοητός οὐσία , οἷος αὐτός καλός , αὐτός δίκαιος , αὐτός [ ὁ ] ἴσος · ἕκαστος γάρ ὁ - ὁ ὡς εἷς καί κατά ἑαυτοῦ νοέω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 114
πρώτη δὲ αὔξη καὶ μεταβολὴ ἐκ μονάδος εἰς δυάδα κατὰ διπλασιασμὸν τῆς μονάδος , καθʼ ἣν ὕλη καὶ πᾶν τὸ αἰσθητὸν καὶ ἡ γένεσις καὶ ἡ κίνησις καὶ ἡ αὔξησις καὶ ἡ σύνθεσις καὶ κοινωνία καὶ τὸ πρός τι .
Lemmas: πρῶτος δέ αὔξη καί μεταβολή ἐκ μονάς εἰς δυάς κατά διπλασιασμός ὁ μονάς , κατά ὅς ὕλη καί πᾶς ὁ αἰσθητός καί ὁ γένεσις καί ὁ κίνησις καί ὁ αὔξησις καί ὁ σύνθεσις καί κοινωνία καί ὁ πρός τις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 115
ἡ δὲ δυὰς συνελθοῦσα τῇ μονάδι γίνεται τριάς , ἥτις πρώτη ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τελευτὴν ἔχει . διὸ καὶ πρώτη λέγεται πάντα εἶναι · ἐπὶ γὰρ ἐλαττόνων αὐτῆς οὐ λέγεται πάντα εἶναι , ἀλλὰ ἓν καὶ ἀμφότερα , ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν πάντα . καὶ τρεῖς σπονδὰς ποιούμεθα δη - λοῦντες ὅτι πάντα ἀγαθὰ αἰτούμεθα , καὶ τοὺς κατὰ πάντα ἀθλίους τρισαθλίους καλοῦμεν καὶ τοὺς κατὰ πάντα μακαρίους τρισμακαρίους . πρώτη δὲ καὶ ἡ τοῦ ἐπιπέδου φύσις ἐκ τούτου . ἡ γὰρ τριὰς οἷον εἰκὼν ἐπι - πέδου , καὶ πρώτη αὐτοῦ ὑπόστασις ἐν τριγώνῳ , καὶ διὰ τοῦτο τρία αὐτῶν γένη , ἰσόπλευρον ἰ σκα - ληνόν [ γ΄ ] · τρεῖς δὲ καὶ γωνίαι ὁμοιούμεναι ἡ μὲν ὀρθὴ τῇ τοῦ ἑνὸς φύσει , ὡρισμένη καὶ ἐξ ἴσου καὶ ὁμοίου συνεστῶσα · διὸ καὶ πᾶσαι αἱ ὀρθαὶ ἀλλήλαις εἰσὶν ἴσαι , μέσαι οὖσαι ὀξείας καὶ ἀμβλείας καὶ ὑπερέχοντος καὶ ὑπερεχομένου · αἱ δὲ λοιπαὶ ἄπειροι καὶ ἀόριστοι · ἐκ γὰρ ὑπεροχῆς καὶ ἐλλείψεως συνεστᾶσιν . ἡ δὲ τριὰς ἐκ τῆς μονάδος καὶ δυάδος Ϛ΄ ποιεῖ κατὰ σύνθεσιν , ὅς ἐστε πρῶτος τέλετος ἀριθμὸς τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ἄν · ὁ δὲ τέλειος οὗτος συντεθεὶς τῷ πρώτῳ τετραγώνῳ τῇ τετράδι ποιεῖ τὴν δεκάδα .
Lemmas: ὁ δέ δυάς συνέρχομαι ὁ μονάς γίγνομαι τριάς , ὅστις πρῶτος ἀρχή καί μέσος καί τελευτή ἔχω . διό καί πρῶτος λέγω πᾶς εἰμί · ἐπί γάρ ἐλαχύς αὐτός οὐ λέγω πᾶς εἰμί , ἀλλά εἷς καί ἀμφότερος , ἐπί δέ ὁ τρεῖς πᾶς . καί τρεῖς σπονδή ποιέω δή - λοῦς ὅτι πᾶς ἀγαθός αἰτέω , καί ὁ κατά πᾶς ἄθλιος τρισάθλιος καλέω καί ὁ κατά πᾶς μακάριος τρισμακάριος . πρῶτος δέ καί ὁ ὁ ἐπίπεδος φύσις ἐκ οὗτος . ὁ γάρ τριάς οἷος εἰκών ἐπι - πέδον , καί πρῶτος αὐτός ὑπόστασις ἐν τρίγωνον , καί διά οὗτος τρεῖς αὐτός γένος , ἰσόπλευρος ἰός σκα - ληνός [ γʹ ] · τρεῖς δέ καί γωνία ὁμοιόω ὁ μέν ὀρθός ὁ ὁ εἷς φύσις , ὁρίζω καί ἐκ ἴσος καί ὅμοιος συνίστημι · διό καί πᾶς ὁ ὀρθός ἀλλήλων εἰμί ἴσος , μέσος εἰμί ὀξύς καί ἀμβλύς καί ὑπερέχω καί ὑπερέχω · ὁ δέ λοιπός ἄπειρος καί ἀόριστος · ἐκ γάρ ὑπεροχή καί ἔλλειψις συνίστημι . ὁ δέ τριάς ἐκ ὁ μονάς καί δυάς ϛʹ ποιέω κατά σύνθεσις , ὅς εἰμί πρῶτος Τελέτος ἀριθμός ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἴσος ἄν · ὁ δέ τέλειος οὗτος συντίθημι ὁ πρῶτος τετράγωνος ὁ τετράς ποιέω ὁ δεκάς .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 116
ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριθμὸς [ καὶ ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις · καὶ αἱ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατʼ αὐτὸν συμπληροῦνται , ὡς ἐδείχθη .
Lemmas: ὁ δέ τετράς στερεός εἰμί εἰκών πρῶτος τε ἀριθμός [ καί ] τετράγωνος εἰμί ἐν ἄρτιος · καί ὁ συμφωνία δέ πᾶς κατά αὐτός συμπληρόω , ὡς δείκνυμι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 117
ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος . ἐὰν γὰρ καθʼ ὁποιανοῦν σύνθεσιν ἐκ δύο ἀριθμῶν τὸν ι΄ συνθῇς , μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλο - γίαν · οἷον θ΄ καὶ α΄ , καὶ η΄ καὶ β΄ , καὶ ζ΄ καὶ γ΄ , καὶ ϛ΄ καὶ δ΄ · αἰεί τε ι΄ ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν , ὡς δηλοῖ τὸ διά - γραμμα , κατὰ πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ ι΄ δυεῖν ἀριθμῶν [ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν ] τῷ ἴσῳ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος .
Lemmas: ὁ δέ πεντάς μέσος εἰμί ὁ δεκάς . ἐάν γάρ κατά ὁποῖος σύνθεσις ἐκ δύο ἀριθμός ὁ ιʹ συντίθημι , μέσος εὑρίσκω ὁ πέντε κατά ὁ ἀριθμητικός ανάλατος - Γιάν · οἷος θʹ καί αʹ , καί ηʹ καί βʹ , καί ζʹ καί γʹ , καί ϛʹ καί δʹ · ἀεί τε ιʹ ποιέω καί μέσος εὑρίσκω ὁ πέντε κατά ὁ ἀριθμητικός ἀναλογία , ὡς δηλόω ὁ διά - γράμμα , κατά πᾶς σύνθεσις ὁ συμπληρόω ὁ ιʹ δύο ἀριθμός [ μέσος εὑρίσκω ὁ πέντε κατά ὁ ἀριθμητικός ἀναλογία ] ὁ ἴσος ἀριθμός ὁ ἄκρον ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 118
πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ εἶδος ὁ ε΄ , τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν , λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα · ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριθμός .
Lemmas: πρῶτος δέ καί περιλαμβάνω ὁ ὁ πᾶς ἀριθμός εἶδος ὁ πέντε , ὁ ἄρτιος τε καί περισσός , λέγω ὁ δυάς τε καί τριάς · ὁ γάρ μονή οὐ εἰμί ἀριθμός .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 119
ὁ δὲ Ϛ΄ τέλειος , ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν ἴσος , ὡς δέδεικται · διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν , ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι . καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσότης ληφθέντος [ μὲν ] τοῦ Ϛ΄ ἐπιτρίτου 〈 μὲν 〉 λόγου τῶν η΄ , διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄ · ϛ΄ η΄ ιβ΄ · τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὁ η΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται , ϛ΄ η΄ ιβ΄ , τουτέστι τῷ τρίτῳ · καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ ϛ΄ ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν θ΄ , διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄ · τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριθμῷ τὰ θ΄ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερ - ἐχεται · ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος λη - φθείς · ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῦ λάβωμεν τὸν γ΄ καὶ διπλά - σιον τὸν ιβ΄ , ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία γ΄ Ϛ΄ ιβ΄ · τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ϛ΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται , γ΄ ϛ΄ ιβ΄ , τουτέστι τῷ διπλασίῳ .
Lemmas: ὁ δέ ϛʹ τέλειος , ἐπειδή ὁ ἑαυτοῦ μέρος εἰμί ἴσος , ὡς δείκνυμι · διό καί γάμος αὐτός καλέω , ἐπεί γάμος ἔργον ὅμοιος ποιέω ὁ ἔκγονος ὁ γονεύς . καί κατά οὗτος δέ πρῶτος συνίστημι ὁ ἁρμονικός μεσότης λαμβάνω [ μέν ] ὁ ϛʹ ἐπίτριτος 〈 μέν 〉 λόγος ὁ ηʹ , διπλάσιος δέ ὁ ιβʹ · ϛʹ ηʹ ιβʹ · ὁ γάρ αὐτός μέρος ὁ ηʹ ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω , ϛʹ ηʹ ιβʹ , τουτέστι ὁ τρίτος · καί ἀριθμητικός δέ μεσότης λαμβάνω ὁ ϛʹ ἡμιόλιος μέν λόγος ὁ θʹ , διπλάσιος δέ ὁ ιβʹ · ὁ γάρ αὐτός ἀριθμός ὁ θʹ ὑπερέχω ὁ ἄκρον καί ὑπερ - ἔχω · ποιέω δέ ὁ γεωμετρικός ἀναλογία μέσος λα - φθίω · ἐάν γάρ ἥμισυς αὐτός λαμβάνω ὁ γʹ καί διπλόος - σίον ὁ ιβʹ , εἰμί ἐγώ ὁ γεωμετρικός ἀναλογία γʹ ϛʹ ιβʹ · ὁ γάρ αὐτός λόγος ὁ ϛʹ ὁ ἄκρον ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω , γʹ ϛʹ ιβʹ , τουτέστι ὁ διπλάσιος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 121
ἡ δὲ ὀγδοάς , ἥτις ἐστὶ πρῶτος κύβος , συντίθεται . ἔκ τε μονάδος 〈 καὶ ἑπτάδος 〉 . ἔνιοι δέ φασιν ὀκτὼ τούς πάντων κρατοῦντας εἶναι θεούς , ὡς καὶ ἐν τοῖς Ὀρφι - κοῖς ὅρκοις ἔστιν εὑρεῖν · ναὶ μὴν ἀθανάτων γεννήτορας αἰὲν ἐόντων πῦρ καὶ ὕδωρ γαῖάν τε καὶ οὐρανὸν ἠδὲ σελήνην ἠέλιόν τε Φανῆ τε μέγαν καὶ νύκτα μέλαιναν . ἐν δὲ Αἰγυπτιακῇ στήλῃ φησὶν Κὔανδρος εὑρίσκεσθαι γραφὴν βασιλέως Κρόνου καὶ βασιλίσσης Ῥέας · „ πρε - σβύτατος βασιλεὺς πάντων Ὄσιρις θεοῖςἀθανάτοις πνεύ - ματι καὶ οὐρανῷ καὶ γῇ καὶ νυκτὶ καὶ ἡμέρῳ καὶ πατρὶ τῶν ὄντων καὶ ἐσομένων Ἔρωτι μνημεῖα τῆς αὐτοῦ ἀρετῆς 〈 καὶ 〉 βίου συντάξεως . Τιμόθεός φησι καὶ παροιμίαν εἶναι τὴν ,, πάντα ὀκτὼ “ διὰ τὸ τοῦ κόσμου τὰς πάσας ὀκτὼ σφαίρας περὶ γῆν κυκλεῖσθαι , καθά φησι καὶ Ἐρατοσθένης · ὀκτὼ δὴ τάδε πάντα σὺν ἁρμονίῃσιν ἀρήρει , ὀκτὼ δʼ ἐν σφαίρῃσι κυλίνδετο κύκλῳ ἰόντα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ἐνάτην περὶ γαῖαν .
Lemmas: ὁ δέ ὀγδοάς , ὅστις εἰμί πρῶτος κύβος , συντίθημι . ἐκ τε μονάς 〈 καί ἑπτάς 〉 . ἔνιοι δέ φημί ὀκτώ ὁ πᾶς κρατέω εἰμί θεός , ὡς καί ἐν ὁ Ὀρφι - κέω ὅρκος εἰμί εὑρίσκω · ναί μήν ἀθάνατος γεννήτωρ ἀεί εἰμί πῦρ καί ὕδωρ γῆ τε καί οὐρανός ἠδέ σελήνη ἥλιος τε Φανεύς τε μέγας καί νύξ μέλας . ἐν δέ Αἰγυπτιακός στήλη φημί Κὔανδρος εὑρίσκω γραφή βασιλεύς Κρόνος καί βασίλισσα Ῥέα · „ πρώ - σβύτατος βασιλεύς πᾶς Ὄσιρις θεοῖςἀθανάτοις πνεύ - μάτι καί οὐρανός καί γῆ καί νύξ καί ἥμερος καί πατήρ ὁ εἰμί καί εἰμί Ἔρως μνημεῖον ὁ ἑαυτοῦ ἀρετή 〈 καί 〉 βίος σύνταξις . Τιμόθεος φημί καί παροιμία εἰμί ὁ ,, πᾶς ὀκτώ “ διά ὁ ὁ κόσμος ὁ πᾶς ὀκτώ σφαῖρα περί γῆ κυκλέω , καθά φημί καί Ἐρατοσθένης · ὀκτώ δή ὅδε πᾶς σύν ἁρμονία ἀραρίσκω , ὀκτώ δέ ἐν σφαῖρα κυλίνδω κύκλος ἔρχομαι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ἔνατος περί γῆ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 122
ὁ δὲ τῶν ἐννέα πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἐν περιτ - τοῖς . πρῶτοι γάρ εἰσιν ἀριθμοὶ δυὰς καὶ τριάς , ἡ μὲν ἀρτίων , ἡ δὲ περιττῶν · διὸ καὶ πρώτους τετραγώνους ποιοῦσιν , ὁ μὲν δ΄ , ὁ δὲ θ΄ .
Lemmas: ὁ δέ ὁ ἐννέα πρῶτος εἰμί τετράγωνος ἐν Περίτ - ὁ . πρῶτος γάρ εἰμί ἀριθμός δυάς καί τριάς , ὁ μέν ἄρτιος , ὁ δέ περισσός · διό καί πρῶτος τετράγωνος ποιέω , ὁ μέν δʹ , ὁ δέ θʹ .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 123
ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν , ἐμ - περιέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς αὑτῆς , ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ἀκινήτου ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ · περὶ ἧς καὶ Ἀρχύτας ἐν τῷ περὶ τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν τῷ περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν .
Lemmas: ὁ μέντοι δεκάς πᾶς περαίνω ὁ ἀριθμός , ἐν - περιέχω πᾶς φύσις ἐντός ἑαυτοῦ , ἄρτιος τε καί περισσός κινέω τε καί ἀκίνητος ἀγαθός τε καί κακός · περί ὅς καί Ἀρχύτας ἐν ὁ περί ὁ δεκάς καί Φιλόλαος ἐν ὁ περί φύσις πολύς διεξέρχομαι .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 124
ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὸν τῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτή - των λόγον . μεσότητές εἰσι πλείονες , γεωμετρικὴ ἀριθ - μητικὴ ἁρμονικὴ ὑπεναντία πέμπτη ἕκτη . λέγονται δὲ καὶ ἄλλαι πάλιν ἓξ ταύταις ὑπεναντίαι . τούτων δέ φη - σιν ὁ Ἄδραστος μίαν τὴν γεωμετρικὴν κυρίως λέγεσθαι καὶ ἀναλογίαν καὶ πρώτην · ταύτης μὲν γὰρ αἱ ἄλλαι προσδέονται , αὐτὴ δʼ ἐκείνων οὐχί , ὡς ὑποδείκνυσιν ἐν τοῖς ἐφεξῆς . κοινότερον δέ φησι καὶ τὰς ἄλλας μεσότη - τας ὑπʼ ἐνίων καλεῖσθαι ἀναλογίας . τῶν δὲ κυρίως λεγομένων ἀναλογιῶν , τουτέστι τῶν γεωμετρικῶν , αἱ μέν εἰσιν ἐν ῥητοῖς ὅροις τε καὶ λόγοις , ὡς ιβ΄ ϛ΄ γ΄ , εἰσὶ γὰρ ἐν λόγοις διπλασίοις , καὶ ὅσαι τοιαῦται [ αἵτι - νές εἰσιν ἐν ἀριθμοῖς ] , αἱ δὲ ἐν ἀρρήτοις τε καὶ ἀλό - γοις [ ἤτοι μεγέθεσιν ἢ βάρεσιν ἢ χρόνοις ἤ τισιν ἄλλοις διπλασίοις ἢ τριπλασίοις ἤ τισι τοιούτοις πολλαπλα - σίοις ἢ ἐπιμορίοις ] . γεωμετρικὴ μὲν γάρ , ὡς ἔφαμεν , μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη · ἀριθμητικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη , ἁρμονικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη . δείκνυσι δὲ ὅτι ὁ τῆς ἰσότητος λόγος ἀρχηγὸς καὶ πρῶ - τός ἐστι καὶ στοιχεῖον πάντων τῶν εἰρημένων λόγων καὶ τῶν κατʼ αὐτοὺς ἀναλογιῶν · ἐκ πρώτου γὰρ τούτου πάντα συνίσταται καὶ εἰς τοῦτον ἀναλύεται τά τε τῶν λόγων καὶ τὰ τῶν ἀναλογιῶν .
Lemmas: ἐπανιτέον δέ ἐπί ὁ ὁ ἀναλογία καί μεσοτή - ὁ λόγος . μεσότης εἰμί πολύς , γεωμετρικός ὁριθς - μητικός ἁρμονικός ὑπεναντίος πέμπτος ἕκτος . λέγω δέ καί ἄλλος πάλιν ἕξ οὗτος ὑπεναντίος . οὗτος δέ φή - βρόχος ὁ Ἄδραστος εἷς ὁ γεωμετρικός κύριος λέγω καί ἀναλογία καί πρῶτος · οὗτος μέν γάρ ὁ ἄλλος προσδέω , αὐτός δέ ἐκεῖνος οὐ , ὡς ὑποδείκνυμι ἐν ὁ ἐφεξῆς . κοινός δέ φημί καί ὁ ἄλλος μεσότης - της ὑπό ἔνιοι καλέω ἀναλογία . ὁ δέ κύριος λέγω ἀναλογία , τουτέστι ὁ γεωμετρικός , ὁ μέν εἰμί ἐν ῥητός ὅρος τε καί λόγος , ὡς ιβʹ ϛʹ γʹ , εἰμί γάρ ἐν λόγος διπλάσιος , καί ὅσος τοιοῦτος [ αἵτι - νεσκαφέ εἰμί ἐν ἀριθμός ] , ὁ δέ ἐν ἄρρητος τε καί ἀλός - γος [ ἤτοι μέγεθος ἤ βάρος ἤ χρόνος ἤ τις ἄλλος διπλάσιος ἤ τριπλάσιος ἤ τις τοιοῦτος πολλαπλός - σίον ἤ ἐπιμόριος ] . γεωμετρικός μέν γάρ , ὡς φημί , μεσότης ὁ ὁ αὐτός λόγος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω · ἀριθμητικός δέ ὁ ὁ αὐτός ἀριθμός ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω , ἁρμονικός δέ ὁ ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω . δείκνυμι δέ ὅτι ὁ ὁ ἰσότης λόγος ἀρχηγός καί πρός - ὅς εἰμί καί στοιχεῖον πᾶς ὁ λέγω λόγος καί ὁ κατά αὐτός ἀναλογία · ἐκ πρῶτος γάρ οὗτος πᾶς συνίστημι καί εἰς οὗτος ἀναλύω ὁ τε ὁ λόγος καί ὁ ὁ ἀναλογία .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 125
ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησὶν ὅτι πᾶς μὲν λόγος ἢ κατὰ διάστημα ἢ κατὰ τοὺς ὅρους αὔξεται · τῇ δὲ ἰσότητι συμ - βέβηκε διαστήματος μὴ μετέχειν · εὔδηλον δὲ ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους μόνους αὐξηθήσεται . λαβόντες δὴ τρία με - γέθη καὶ τὴν ἐν τούτοις ἀναλογίαν κινήσομεν τοὺς ὅρους . καὶ δείξομεν ὅτι πάντα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἐξ ἀναλογίας ποσῶν τινων σύγκειται καὶ ἔστιν αὐτῶν ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον ἡ τῆς ἀναλογίας φύσις .
Lemmas: ὁ δέ Ἐρατοσθένης φημί ὅτι πᾶς μέν λόγος ἤ κατά διάστημα ἤ κατά ὁ ὅρος αὐξάνω · ὁ δέ ἰσότης σναυ - βαίνω διάστημα μή μετέχω · εὔδηλος δέ ὅτι κατά ὁ ὅρος μόνος αὐξάνω . λαμβάνω δή τρεῖς ἐγώ - γίγνομαι καί ὁ ἐν οὗτος ἀναλογία κινέω ὁ ὅρος . καί δείκνυμι ὅτι πᾶς ὁ ἐν ὁ μάθημα ἐκ ἀναλογία πόσος τις σύγκειμαι καί εἰμί αὐτός ἀρχή καί στοιχεῖον ὁ ὁ ἀναλογία φύσις .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 126
τὰς δὲ ἀποδείξεις ὁ μὲν Ἐρατοσθένης φησὶ παρα - λείψειν . ὁ δὲ Ἄδραστος γνωριμώτερον δείκνυσιν , ὅτι τριῶν ἐκτεθέντων ὅρων ἐν ᾗ δήποτε ἀναλογίᾳ , ἐὰν τρεῖς ἕτεροι ληφθῶσιν ἐκ . τούτων πεπλασμένοι ὁ μὲν τῷ πρώτῳ ἴσος , ὁ δὲ σύνθετος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου , ὁ δʼ ἑνὸς πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου , οἱ ληφθέντες οὕτως πάλιν ἔσονται ἀνάλογον . καὶ ἐκ τῆς ἐν ἴσοις ὅροιρ ἀναλογίας γεννᾶται ἡ ἐν διπλασίοις ἀνα - λογία , ἐκ δὲ τῆς ἐν διπλασίοις ἡ ἐν τριπλασίοις , ἐκ δὲ ταύτης ἡ ἐν τετραπλασίοις , καὶ ἑξῆς οὕτως αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις πολλαπλασίοις οἷον ἐκκείσθω ἐν τρισὶν ὅροις ἴσοις ἐλαχίστοις ἀναλογία ἡ τῆς ἰσότητος , τουτέστιν ἐν μονάσι τρισίν . ἀλλὰ καὶ εἰλήφθωσαν ἄλλοι τρεῖς ὅροι τὸν εἰρημένον τρόπον , ὁ μὲν ἐκ πρώτου , ὁ δὲ ἐκ πρώ - του καὶ δευτέρου , 〈 ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων 〉 καὶ τρίτου · γενήσεται α β΄ δ΄ , ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ διπλα - σίῳ . πάλιν ἐκ τούτων συνεστάτωσατ ἕτεροι κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον , ὁ μὲν ἐκ πρώτου , ὁ δὲ ἐκ πρώπου καὶ δευτέρου , ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου · ἔσται α΄ γ΄ θ΄ , ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ τριπλασίῳ . ἐκ δὲ τού - των ὁμοίως συστήσονται α΄ δ΄ ιϚ΄ ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ , καὶ ἐκ τούτων α΄ ε΄ πε΄ ἐν λόγῳ πενταπλασίῳ , καὶ ἑξῆς οὕτως ἐπʼ ἄπειρον ἐν τοῖς ἐχομένοις πολλαπλασίοις .
Lemmas: ὁ δέ ἀπόδειξις ὁ μέν Ἐρατοσθένης φημί παρά - λείπω . ὁ δέ Ἄδραστος γνώριμος δείκνυμι , ὅτι τρεῖς ἐκτίθημι ὅρος ἐν ὅς δήποτε ἀναλογία , ἐάν τρεῖς ἕτερος λαμβάνω ἐκ . οὗτος πλάσσω ὁ μέν ὁ πρῶτος ἴσος , ὁ δέ σύνθετος ἐκ πρῶτος καί δεύτερος , ὁ δέ εἷς πρῶτος καί δύο δεύτερος καί τρίτος , ὁ λαμβάνω οὕτως πάλιν εἰμί ἀνάλογος . καί ἐκ ὁ ἐν ἴσος ὅρος ἀναλογία γεννάω ὁ ἐν διπλάσιος ἀνα - λόγιος , ἐκ δέ ὁ ἐν διπλάσιος ὁ ἐν τριπλάσιος , ἐκ δέ οὗτος ὁ ἐν τετραπλάσιος , καί ἑξῆς οὕτως ὁ ἐν ὁ ἄλλος πολλαπλάσιος οἷον ἔκκειμαι ἐν τρεῖς ὅρος ἴσος ἐλαχύς ἀναλογία ὁ ὁ ἰσότης , τουτέστι ἐν μονάς τρεῖς . ἀλλά καί λαμβάνω ἄλλος τρεῖς ὅρος ὁ λέγω τρόπος , ὁ μέν ἐκ πρῶτος , ὁ δέ ἐκ πρωΐ - τις καί δεύτερος , 〈 ὁ δέ ἐκ πρῶτος καί δύο δεύτερος 〉 καί τρίτος · γίγνομαι α βʹ δʹ , ὅς εἰμί ἐν λόγος διπλός - σίον . πάλιν ἐκ οὗτος συστατός ἕτερος κατά ὁ αὐτός τρόπος , ὁ μέν ἐκ πρῶτος , ὁ δέ ἐκ πρώπου καί δεύτερος , ὁ δέ ἐκ πρῶτος καί δύο δεύτερος καί τρίτος · εἰμί αʹ γʹ θʹ , ὅς εἰμί ἐν λόγος τριπλάσιος . ἐκ δέ ὁ - ὁ ὅμοιος συνίστημι αʹ δʹ ιϛʹ ἐν λόγος τετραπλάσιος , καί ἐκ οὗτος αʹ πέντε πε ἐν λόγος πενταπλάσιος , καί ἑξῆς οὕτως ἐπί ἄπειρος ἐν ὁ ἔχω πολλαπλάσιος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 127
α α α α β δ α γ θ α δ ις α ε κε α ς λς α ζ μθ α η ξδ α θ πα α ι ρ
Lemmas: α α α α β δ α γ θ̅ α δ ἴς α ε ἄν α ϛ λς α ζ̅ μθ α η̅ ξδ α θ̅ πη α ι̅ ρ̅
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 128
ἐκ δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀνάπαλιν τεθέντων [ α΄ α΄ α΄ ] καὶ ὁμοίως πλαττομένων οἱ ἐπιμόριοι λόγοι 〈 καὶ αἱ 〉 ἐν τούτοις συστήσονται ἀναλογίαι , ἐκ μὲν τῶν διπλασίων ἡμιόλιοι , ἐκ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι , ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι , καὶ ἀεὶ ἑξῆς οὕτως . οἷον ἔστω ἀναλογία κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἐν τρισὶν ὅροις , τοῦ μείζονος κειμένου πρώτου , καὶ πεπλάσθωσαν ἕτεροι τρεῖς ἐκ τούτων τὸν εἰρημένον τρόπον · δ΄ β΄ α΄ οἱ δὲ ἐξ αὐτῶν γενήσονται δʹ Ϛʹ θ΄ · γίνεται ἀνάλογον ἐν ἡμιολίοις . πάλιν ἔστωσαν τρεῖς ὅροι ἀνάλογον ἐν τριπλασίοις θ΄ γ΄ α΄ · συστήσονται τὸν αὐτὸν τρόπεον ἐκ τούτων ὅροι τρεῖς ἀνάλογον ἐν ἐπιτρίτοις θ΄ ιβ΄ ιϛ΄ . ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων συστήσονται ἐν ἐπιτετάρτοις ιϚ΄ κ΄ κε΄ , καὶ οὕτως ἀεὶ ἐκ τῶν ἐχομένων οἱ ἑξῆς ὁμώνυμοι .
Lemmas: ἐκ δέ ὁ πολλαπλασίων ἀνάπαλιν τίθημι [ αʹ αʹ αʹ ] καί ὅμοιος πλήσσω ὁ ἐπιμόριος λόγος 〈 καί ὁ 〉 ἐν οὗτος συνίστημι ἀναλογία , ἐκ μέν ὁ διπλασίων ἡμιόλιος , ἐκ δέ ὁ τριπλασίων ὁ ἐπίτριτος , ἐκ δέ ὁ τετραπλάσιος ἐπιτέταρτος , καί ἀεί ἑξῆς οὕτως . οἷος εἰμί ἀναλογία κατά ὁ διπλάσιος λόγος ἐν τρεῖς ὅρος , ὁ μέγας κεῖμαι πρῶτος , καί πλάσσω ἕτερος τρεῖς ἐκ οὗτος ὁ λέγω τρόπος · δʹ βʹ αʹ ὁ δέ ἐκ αὐτός γίγνομαι δʹ ϛʹ θʹ · γίγνομαι ἀνάλογος ἐν ἡμιόλιος . πάλιν εἰμί τρεῖς ὅρος ἀνάλογος ἐν τριπλάσιος θʹ γʹ αʹ · συνίστημι ὁ αὐτός τροπέω ἐκ οὗτος ὅρος τρεῖς ἀνάλογος ἐν ἐπίτριτος θʹ ιβʹ ιϛʹ . ἐκ δέ ὁ τετραπλάσιος συνίστημι ἐν ἐπιτέταρτος ιϛʹ ἄν κε# , καί οὕτως ἀεί ἐκ ὁ ἔχω ὁ ἑξῆς ὁμώνυμος .
theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 129
δ β α δ ς θ θ γ α θ ιβ ις ις κ κε κε λ λς λς μβ μθ μθ νς ζδ ξδ οβ πα πα ?? ρ
Lemmas: δ β α δ ϛ θ̅ θ̅ γ α θ̅ ιβ ἴς ἴς κ ἄν ἄν λ λς λς μβʹ μθ μθ ΝΣ ζδ ξδ οβ πη πη ?? ρ̅