theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 14
ἀριθμός ἐστι σύστημα μονάδων , ἢ προποδισμὸς πλήθους ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενος καὶ ἀναποδισμὸς εἰς μονάδα καταλήγων . μονὰς δέ ἐστι περαίνουσα ποσότης [ ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον τῶν ἀριθμῶν ] , ἥτις μειουμένου τοῦ πλήθους κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ στερηθεῖσα μονήν τε καὶ στάσιν λαμβάνει . οὐ γὰρ οἷόν τε περαιτέρω γενέσθαι τὴν τομήν · καὶ γὰρ ἐὰν εἰς μόρια διαιρῶμεν τὸ ἓν ἐν αἰσθητοῖς , ἔμπαλιν πλῆθος γενή - σεται τὸ ἓν καὶ πολλὰ , καὶ καταλήξει εἰς ἓν κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων · κἂν ἐκεῖνο πάλιν εἰς μόρια διαιρῶμεν , πλῆθός τε τὰ μόρια γενήσεται καὶ ἡ κατάληξις καθʼ ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων εἰς ἕν . ὥστε ἀμέριστον καὶ ἀδιαίρετον τὸ ἓν ὡς ἕν . καὶ γὰρ ὁ μὲν ἄλλος ἀριθμὸς διαιρούμενος ἐλαττοῦται καὶ διαι - ρεῖται εἰς ἐλάττονα αὐτοῦ μόρια , οἷον τὰ Ϛʹ εἰς τὰ γʹ καὶ γʹ δʹ καὶ βʹ ἢ εʹ καὶ α΄ . τὸ δὲ ἓν ἂν μὲν ἐν αἰσθητοῖς διαιρῆται , ὡς μὲν σῶμα ἐλαττοῦται καὶ διαι - ρεῖται εἰς ἐλάττονα αὐτοῦ μόρια τῆς τομῆς γινομένης , ὡς δὲ ἀριθμὸς αὔξεται · ἀντὶ γὰρ ἑνὸς γίνεται πολλά . ὥστε καὶ κατὰ τοῦτο ἀμερὲς τὸ ἕν . οὐδὲν γὰρ διαιρού - μενον εἰς μείζονα ἑαυτοῦ μόρια διαιρεῖται · τὸ δὲ 〈 ἓν 〉 διαιρούμενον καὶ εἰς μείζονα τοῦ ὅλου μόρια ὡς ἐν ἀριθμοῖς διαιρεῖται καὶ 〈 εἰς 〉 ἴσα τῷ ὅλῳ · οἷον τὸ ἓν τὸ ἐν αἰσθητοῖς ἂν εἰς ἓξ διαιρεθῇ , εἰς ἴσα μὲν τῷ ὅλῳ ὡς ἀριθμὸς διαιρεθήσεται αʹ αʹ αʹ αʹ αʹ αʹ , εἰς μείζονα δὲ τοῦ ὅλον ὡς ἀριθμὸς εἰς δʹ καὶ βʹ · τὰ γὰρ βʹ καὶ δʹ ὡς ἀριθμοὶ πλείονα τοῦ ἑνός . ἀδιαίρετος ἄρα ἡ μονὰς ὡς ἀριθμός . καλεῖται δὲ μονὰς ἤτοι ἀπὸ τοῦ μένειν ἄτρεπτος καὶ μὴ ἐξίστασθαι τῆς ἑαυτῆς φύσεως · ὁσάκις γὰρ ἂν ἐφʼ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσωμεν τὴν μο - νάδα , μένει μονάς · καὶ γὰρ ἅπαξ ἓν ἔν , καὶ μέχρις ἀπείρου ἐὰν πολλαπλασιάζωμεν τὴν μονάδα , μένει μονάς . ἢ ἀπὸ τοῦ διακεκρίσθαι καὶ μεμονῶσθαι ἀπὸ τοῦ λοιποῦ πλήθους τῶν ἀριθμῶν καλεῖται μονάς . ᾗ δὲ διενήνοχεν ἀριθμὸς καὶ ἀριθμητόν , ταύτῃ καὶ μονὰς καὶ ἕν . ἀριθμὸς μὲν γάρ ἐστι τὸ ἐν νοητοῖς ποσόν , οἷον αὐτὰ εʹ καὶ αὐτὰ ί , οὐ σώμιατά τινα οὐδὲ αἰσθητά , ἀλλὰ νοητά · ἀριθμητὸν δὲ το ἐν αἰσθητοῖς ποσόν , ὡς ἵπποι έ , βόες εʹ , ἄνθρωποι έ . καὶ μονὰς τοίνυν ἐστὶν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα ἡ νοητή , ἣ ἐστιν ἄτομος · ἓν δὲ τὸ ἐν αἰσθητοῖς καθʼ ἑαυτὸ λεγόμενον , οἷον εἷς ἵππος , εἷς ἄνθρωπος . ὥστʼ εἴη ἂν ἀρχὴ τῶν μὲν ἀριθμῶν ἡ μονάς , τῶν δὲ ἀριθμητῶν τὸ ἓν · καὶ τὸ ἓν ὡς ἐν αἰσθητοῖς τέμνεσθαί φασιν εἰς ἄπειρον , οὐχ ὡς ἀριθμὸν οὐδὲ . ὡς ἀρχὴν ἀριθμοῦ , ἀλλʼ ὡς αἰσθητόν . ὥστε ἡ μὲν μονὰς νοητὴ οὖσα ἀδιαίρετος , τὸ δὲ ἓν ὡς αἰσθητὸν εἰς ἄπειρον τμητόν . καὶ τὰ ἀριθμητὰ τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν διαφέ - ροντα τῷ τὰ μὲν σώόματα εἶναι , τὰ δὲ ἀσώματα . ἀπλῶς δὲ ἀρχὰς ἀριθμῶν οἱ μὲν ὕστερόν φασι τήν τε μονάδα καὶ τὴν δυάδα , οἱ δὲ ἀπὸ Πυθαγόρου πάσας κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς τῶν ὅρων ἐκθέσεις , διʼ ὧν ἄρτιοί τε καὶ περιτ - τοὶ νοοῦνται , οἷον τῶν ἐν αἰσθητοῖς τριῶν ἀρχὴν τὴν τριάδα καὶ τῶν ἐν αἰσθητοῖς τεσσάρων πάντων ἀρχὴν τὴν τετράδα καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν κατὰ ταὐτά . οἱ δὲ καὶ αὐτῶν τούτων ἀρχὴν τὴν μονάδα φασὶ καὶ τὸ ἓν πάσης ἀπηλλαγμένον διαφορᾶς ὡς ἐν ἀριθμοῖς , μόνον αὐτὸ ἕν , οὐ τὸ ἕν , τουτέστιν οὐ τόδε τὸ ποιὸν καὶ διαφοράν τινα πρὸς ἕτερον ἓν προσειληφός , ἀλλʼ αὐτὸ καθʼ αὐτὸ ἕν . οὕτω γὰρ ἂν ἀρχή τε καὶ μέτρον εἴη τῶν ὑφʼ ἑαυτὸ ὄντων , καθὸ ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται , μετασχὸν τῆς πρώτης τοῦ ἑνὸς οὐσίας τε καὶ ἰδέας . Ἀρχύτας δὲ καὶ Φιλόλαος ἀδιαφόρως τὸ ἓν καὶ μονάδα καλοῦσι καὶ τὴν μονάδα ἕν . οἱ δὲ πλεῖστοι προστιθέασι τῷ μονάδα αὐτὴν τὴν πρώτην μονάδα , ὡς οὕσης τινὸς οὐ πρώτης μονάδος , ἣ ἐστι κοινότερον καὶ αὐτὴ μονὰς καὶ ἕν — λέγουσι δὴ καὶ τὸ ἕν — , τουτ - έστιν ἡ πρώτη καὶ νοητὴ οὐσία τοῦ ἑνός , ἑκάστου τῶν πραγμάτων παρέχουσα ἔν · μετοχῇ γὰρ αὐτῆς ἕκαστον ἓν καλεῖται . διὸ καὶ τοὔνομα αὐτοῦ οὐδὲν παρεμφαίνει τί ἓν καὶ τίνος γένους , κατὰ πάντων δὲ κατηγορεῖται , [ ὥστε καὶ ἡ μονὰς καὶ ἕν ἐστι , ] κἂν τὰ μὲν νοητὰ καὶ παραδείγματαμηδὲν ἀλλήλων διαφέροντα , τὰ δὲαίσθητά . ἔνιοι δὲ ἑτέραν διαφορὰν τῆς μονάδος καὶ τοῦ ἑν??ς παρέδοσαν . τὸ μὲν γὰρ ἓν οὔτε κατʼ οὐσίαν ἀλλοιοῦται , οὔτε τῇ μονάδι καὶ τοῖς περιττοῖς αἴτιόν ἐστι τοῦ μὴ ἀλλοιοῦσθαι κατʼ οὐσίαν , οὔτε κατὰ ποιότητα , αὐτὸ γὰρ μονάς ἐστι καὶ οὐχ ὥσπερ αἱ μονάδες πολλαί , οὔτε κατὰ τὸ ποσόν · οὐδὲ γὰρ συντίθεται ὥσπερ αἰ μονάδες ἄλλῃ μονάδι · ἓν γάρ ἐστι καὶ οὐ πολλά , διὸ καὶ ἑνικῶς καλεῖται ἕν . καὶ γὰρ εἰ παρὰ Πλάτωνι ἑνάδες εἴρηνται ἐν Φιλήβῳ , οὐ παρὰ τὸ ἓν ἐλέχθησαν , ἀλλὰ παρὰ τὴν ἑνάδα , ἥτις ἐστὶ μονὰς μετοχῇ τοῦ ἑνός . κατὰ πάντα δὴ ἀμετάβλητον τὸ ἓν τὸ ὡρισμένον τοῦτο ἐν τῇ μονάδι . ὥστε διαφέροι ἂν τὸ ἓν τῆς μονάδος , ὅτι τὸ μέν ἐστιν ὡρισμένον καὶ πέρας , αἱ δὲ μονάδες ἄπειροι καὶ ἀόριστοι .
Lemmas: ἀριθμός εἰμί σύστημα μονάς , ἤ προποδισμός πλῆθος ἀπό μονάς ἄρχω καί ἀναποδισμός εἰς μονάς καταλήγω . μονή δέ εἰμί περαίνω ποσότης [ ἀρχή καί στοιχεῖον ὁ ἀριθμός ] , ὅστις μειόω ὁ πλῆθος κατά ὁ ὑφαίρεσις ὁ πᾶς ἀριθμός στερέω μονή τε καί στάσις λαμβάνω . οὐ γάρ οἷος τε περαιτέρω γίγνομαι ὁ τομή · καί γάρ ἐάν εἰς μόριον διαιρέω ὁ εἷς ἐν αἰσθητός , ἔμπαλιν πλῆθος γενή - σέτα ὁ εἷς καί πολύς , καί καταλήγω εἰς εἷς κατά ὁ ὑφαίρεσις ἕκαστος ὁ μόριον · ἐάν ἐκεῖνος πάλιν εἰς μόριον διαιρέω , πλῆθος τε ὁ μόριον γίγνομαι καί ὁ κατάληξις κατά ὑφαίρεσις ἕκαστος ὁ μόριον εἰς εἷς . ὥστε ἀμέριστος καί ἀδιαίρετος ὁ εἷς ὡς εἷς . καί γάρ ὁ μέν ἄλλος ἀριθμός διαιρέω ἐλασσόω καί διά - ῥέω εἰς ἐλαχύς ἑαυτοῦ μόριον , οἷος ὁ ϛʹ εἰς ὁ γʹ καί γʹ δʹ καί βʹ ἤ πέντε καί αʹ . ὁ δέ εἷς ἐάν μέν ἐν αἰσθητός διαιρέω , ὡς μέν σῶμα ἐλασσόω καί διά - ῥέω εἰς ἐλαχύς ἑαυτοῦ μόριον ὁ τομή γίγνομαι , ὡς δέ ἀριθμός αὐξάνω · ἀντί γάρ εἷς γίγνομαι πολύς . ὥστε καί κατά οὗτος ἀμερής ὁ εἷς . οὐδείς γάρ διαιρέω - μένω εἰς μέγας ἑαυτοῦ μόριον διαιρέω · ὁ δέ 〈 εἷς 〉 διαιρέω καί εἰς μέγας ὁ ὅλος μόριον ὡς ἐν ἀριθμός διαιρέω καί 〈 εἰς 〉 ἴσος ὁ ὅλος · οἷος ὁ εἷς ὁ ἐν αἰσθητός ἐάν εἰς ἕξ διαιρέω , εἰς ἴσος μέν ὁ ὅλος ὡς ἀριθμός διαιρέω αʹ αʹ αʹ αʹ αʹ αʹ , εἰς μέγας δέ ὁ ὅλος ὡς ἀριθμός εἰς δʹ καί βʹ · ὁ γάρ βʹ καί δʹ ὡς ἀριθμός πολύς ὁ εἷς . ἀδιαίρετος ἄρα ὁ μονή ὡς ἀριθμός . καλέω δέ μονή ἤτοι ἀπό ὁ μένω ἄτρεπτος καί μή ἐξίστημι ὁ ἑαυτοῦ φύσις · ὁσάκις γάρ ἄν ἐπί ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ μ - Νάδα , μένω μονή · καί γάρ ἅπαξ εἷς εἷς , καί μέχρι ἄπειρος ἐάν πολλαπλασιάζω ὁ μονάς , μένω μονή . ἤ ἀπό ὁ διακρίνω καί μονόω ἀπό ὁ λοιπός πλῆθος ὁ ἀριθμός καλέω μονή . ὅς δέ διαφέρω ἀριθμός καί ἀριθμητός , ταύτῃ καί μονή καί εἷς . ἀριθμός μέν γάρ εἰμί ὁ ἐν νοητός ποσός , οἷος αὐτός πέντε καί αὐτός ἵ , οὐ σωμιατη τις οὐδέ αἰσθητός , ἀλλά νοητός · ἀριθμητός δέ ὁ ἐν αἰσθητός ποσός , ὡς ἵππος ἔ , βοῦς πέντε , ἄνθρωπος ἔ . καί μονή τοίνυν εἰμί ὁ ὁ εἷς ἰδέα ὁ νοητός , ὅς εἰμί ἄτομος · εἷς δέ ὁ ἐν αἰσθητός κατά ἑαυτοῦ λέγω , οἷος εἷς ἵππος , εἷς ἄνθρωπος . ὥστε εἰμί ἄν ἀρχή ὁ μέν ἀριθμός ὁ μονή , ὁ δέ ἀριθμητής ὁ εἷς · καί ὁ εἷς ὡς ἐν αἰσθητός τέμνω φημί εἰς ἄπειρος , οὐ ὡς ἀριθμός οὐδέ . ὡς ἀρχή ἀριθμός , ἀλλά ὡς αἰσθητός . ὥστε ὁ μέν μονή νοητός εἰμί ἀδιαίρετος , ὁ δέ εἷς ὡς αἰσθητός εἰς ἄπειρος τμητός . καί ὁ ἀριθμητός ὁ ἀριθμός εἰμί ἄν διαφέ - Ρόντα ὁ ὁ μέν σῶμα εἰμί , ὁ δέ ἀσώματος . ἁπλῶς δέ ἀρχή ἀριθμός ὁ μέν ὕστερον φημί ὁ τε μονάς καί ὁ δυάς , ὁ δέ ἀπό Πυθαγόρας πᾶς κατά ὁ ἑξῆς ὁ ὁ ὅρος ἔκθεσις , διά ὅς ἄρτιος τε καί Περίτ - ὁ νοέω , οἷος ὁ ἐν αἰσθητός τρεῖς ἀρχή ὁ τριάς καί ὁ ἐν αἰσθητός τέσσαρες πᾶς ἀρχή ὁ τετράς καί ἐπί ὁ ἄλλος ἀριθμός κατά αὐτός . ὁ δέ καί αὐτός οὗτος ἀρχή ὁ μονάς φημί καί ὁ εἷς πᾶς ἀπαλλάσσω διαφορά ὡς ἐν ἀριθμός , μόνος αὐτός εἷς , οὐ ὁ εἷς , τουτέστι οὐ ὅδε ὁ ποιός καί διαφορά τις πρός ἕτερος εἷς προσλαμβάνω , ἀλλά αὐτός κατά ἑαυτοῦ εἷς . οὕτως γάρ ἄν ἀρχή τε καί μέτρον εἰμί ὁ ὑπό ἑαυτοῦ εἰμί , καθό ἕκαστος ὁ εἰμί εἷς λέγω , μετέχω ὁ πρῶτος ὁ εἷς οὐσία τε καί ἰδέα . Ἀρχύτας δέ καί Φιλόλαος ἀδιάφορος ὁ εἷς καί μονάς καλέω καί ὁ μονάς εἷς . ὁ δέ πολύς προστίθημι ὁ μονάς αὐτός ὁ πρῶτος μονάς , ὡς εἰμί τις οὐ πρῶτος μονάς , ὅς εἰμί κοινός καί αὐτός μονή καί εἷς — λέγω δή καί ὁ εἷς — , οὗτος - εἰμί ὁ πρῶτος καί νοητός οὐσία ὁ εἷς , ἕκαστος ὁ πρᾶγμα παρέχω εἷς · μετοχή γάρ αὐτός ἕκαστος εἷς καλέω . διό καί ὄνομα αὐτός οὐδείς παρεμφαίνω τίς εἷς καί τίς γένος , κατά πᾶς δέ κατηγορέω , [ ὥστε καί ὁ μονή καί εἷς εἰμί , ] ἐάν ὁ μέν νοητός καί παραδείγματαμηδὲν ἀλλήλων διαφέρω , ὁ δαίω . ἔνιοι δέ ἕτερος διαφορά ὁ μονάς καί ὁ Ἕνες παραδίδωμι . ὁ μέν γάρ εἷς οὔτε κατά οὐσία ἀλλοιόω , οὔτε ὁ μονάς καί ὁ περισσός αἴτιος εἰμί ὁ μή ἀλλοιόω κατά οὐσία , οὔτε κατά ποιότης , αὐτός γάρ μονή εἰμί καί οὐ ὥσπερ ὁ μονάς πολύς , οὔτε κατά ὁ ποσός · οὐδέ γάρ συντίθημι ὥσπερ ὁ μονάς ἄλλος μονάς · εἷς γάρ εἰμί καί οὐ πολύς , διό καί ἑνικός καλέω εἷς . καί γάρ εἰ παρά Πλάτων ἑνάς λέγω ἐν Φίληβος , οὐ παρά ὁ εἷς λέγω , ἀλλά παρά ὁ ἑνάς , ὅστις εἰμί μονή μετοχή ὁ εἷς . κατά πᾶς δή ἀμετάβλητος ὁ εἷς ὁ ὁρίζω οὗτος ἐν ὁ μονάς . ὥστε διαφέρω ἄν ὁ εἷς ὁ μονάς , ὅτι ὁ μέν εἰμί ὁρίζω καί πέρας , ὁ δέ μονάς ἄπειρος καί ἀόριστος .