theon-philosophy.de-utilitate-mathematicae 34
ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν . τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων , λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς , οἱ μὲν ἕνα παῤ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ τετράγωνοι πάντες εἰσίν , οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες , οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά - γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες , τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς . ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμιῶν οἱ μὲν παρʼ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν , οἱ δὲ παρὰ βʹ κύβοι , οἱ δὲ παρὰ εʹ κύβοι ἄμα καὶ τε - τράγωνοί εἰσι , δῆλον οὕτως . ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις , κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον αʹ βʹ γʹ δʼ εʹ ςʹ ζʹ ηʹ θ΄ ι΄ ια΄ ιγ΄ ιδ΄ ιεʹ ιϛʹ ιζ ιηʹ ιθʹ κʹ καʹ κβʹ κγʹ κδʹ κε πρῶτος διπλάσιος ὁ β · εἶτα ὁ δʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος · εἶτα ὁ ηʹ , ὅς ἐστι κύβος · εἶτα ιϛʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος · εἴτα ὁ λβ΄ · μεθʼ ὅν ὁ ἔδʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ κύβος · εἶτα ρκη · μεθʼ ὅν σνςʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος · καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος . καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρʼ ἕνα τετράγωνοι , καὶ ἐν τῷ πεν - ταπλασίῳ , καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους . ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλα - πλασίοις κύβοι πάντες , καὶ οἱ εʹ διαλείποντες κύβοι ἂμα καὶ τετράγωνοι . ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώόνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως , ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως · καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε - θείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως , ὡς ὁ δʹ , τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως , ὡς ὁ θʹ , ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον , ὡς ὁ λςʹ [ ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν - τως ] , ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον , ὡς ὁ κε΄ .
Lemmas: ἕτερος δέ πάλιν εἰμί τάξις ἐν ὁ πολύγωνον ὁ ἀπό μονάς πολλαπλασίων ἀριθμός . ὁ γάρ ἀπό μονάς πολλαπλασίων , λέγω δέ διπλασίων τριπλασίων καί ὁ ἑξῆς , ὁ μέν εἷς παρά εἷς διαλείπω ἀριθμός τετράγωνος πᾶς εἰμί , ὁ δέ δύο διαλείπω κύβος πᾶς , ὁ δέ πέντε διαλείπω κύβος ἅμα καί τετρᾶς - γωνοί εἰμί καί ὁ μέν πλευρά ἔχω τετράγωνος ἀριθμός κύβος εἰμί , τετράγωνος δέ εἰμί ἀριθμός κυβικός ἔχω ὁ πλευρά . ὅτι δέ ὁ πολλαπλασίων ἀρίθμιον ὁ μέν παρά εἷς ἀπό μονάς τετράγωνος εἰμί , ὁ δέ παρά βʹ κύβος , ὁ δέ παρά πέντε κύβος ἅμα καί τε - τράγων εἰμί , δῆλος οὕτως . ἐν μέν ὁ διπλάσιος , κεῖμαι πολύς ἀριθμός οἷος αʹ βʹ γʹ δʹ πέντε ςʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ ιαʹ ιγʹ ιδʹ ιεʹ ιϛʹ ἵζω ιηʹ ιθʹ ἄν καʹ κβʹ κγʹ κδʹ ἄν πρῶτος διπλάσιος ὁ Β · εἶτα ὁ δʹ , ὅς εἰμί τετράγωνος · εἶτα ὁ ηʹ , ὅς εἰμί κύβος · εἶτα ιϛʹ , ὅς εἰμί τετράγωνος · εἶτα ὁ λβʹ · μετά ὅς ὁ ἐσθίω , ὅς εἰμί τετράγωνος ἅμα καί κύβος · εἶτα ρκη · μετά ὅς σνςʹ , ὅς εἰμί τετράγωνος · καί μέχρι ἄπειρος ὁ αὐτός λόγος . καί ἐν ὁ τριπλάσιος εὑρίσκω ὁ παρά εἷς τετράγωνος , καί ἐν ὁ Πεν - ταπλασίῳ , καί κατά ὁ ἑξῆς πολλαπλάσιος . ὅμοιος δέ εὑρίσκω καί ὁ δύο διαλείπω ἐν ὁ πολύς - πλασίον κύβος πᾶς , καί ὁ πέντε διαλείπω κύβος ἅμα καί τετράγωνος . ἴδιος δέ ὁ τρώγω συμβαίνω ἤτοι τρίτος ἔχω ἤ μονάς ἀφαιρέω τρίτος ἔχω πάντως , ἤ πάλιν τέταρτος ἔχω ἤ μονάς ἀφαιρέω τέταρτος ἔχω πάντως · καί ὁ μέν μονάς ἀφαιρέω - τίθημι τρίτος ἔχω ἔχω καί τέταρτος πάντως , ὡς ὁ δʹ , ὁ δέ μονάς ἀφαιρέω τέταρτος ἔχω ἔχω τρίτος πάντως , ὡς ὁ θʹ , ἤ ὁ αὐτός πάλιν καί τρίτος ἔχω καί τέταρτος , ὡς ὁ λςʹ [ ἤ μηδέτερος οὗτος ἔχω οὗτος μονάς ἀφαιρέω τρίτος ἔχω πᾶς - πως ] , ἤ μήτε τρίτος μήτε τέταρτος ἔχω μονάς ἀφαιρέω καί τρίτος ἔχω καί τέταρτος , ὡς ὁ κε# .