theodosius-astronomy.sphaerica 3.10.1
Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας πόλος ἦ τῶν παραλλήλων , καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς , ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν σημείων καὶ τοῦ πόλου τῶν παραλλήλων μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν · ἔσται , ὡς ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια , ἡ μεταξὺ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ τῶν πόλων , πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν , τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων , οὕτως ἡ ἑξῆς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια , ἡ μεταξὺ τῶν διὰ τοῦ πόλου μεγίστων κύκλων καὶ τῶν ληφθέντων σημείων , πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας , τῆς μεταξὺ τῶν ληφθέντων δύο σημείων . Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον , καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο τεμνέτωσαν μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΔΕΓ , ΒΕ , ὧν ὁ μὲν ΒΕ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ , Η ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ , καὶ διὰ τῶν Ζ , Η σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΘ , ΑΗΚ · λέγω , ὅτι ἔστιν , ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΗ περιφερείας . Ἤτοι γὰρ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετρός ἐστιν , ἢ οὔ . Ἔστω πρότερον σύμμετρος , καὶ διῃρήσθωσαν εἰς τὰ μέρη αἱ ΔΖ , ΗΖ κατὰ τὰ Λ , Μ , Ν σημεῖα , καὶ διὰ τῶν Λ , Μ , Ν καὶ πόλου τοῦ Α μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΞ , ΜΟ , ΝΠ . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ , ΜΛ , ΜΖ , ΖΝ , ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν , αἱ ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ , ΘΠ , ΠΚ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν , ἀρχόμεναι ἀπὸ τῆς μεγίστης τῆς ΒΞ . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ , ΘΠ , ΠΚ ἑξῆς μείζους ἀλλήλων εἰσὶν , αἱ δὲ ΔΛ , ΛΜ , ΜΖ , ΖΝ , ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ , καὶ ἔτι τὸ μὲν πλῆθος τῶν ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΔΛ , ΛΜ , ΜΖ , τὸ δὲ πλῆθος τῶν ΘΠ , ΠΚ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΖΝ , ΝΗ · ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ . Ἐὰν ἄρα ποιῶμεν , ὡς τὴν ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτω τὴν ΘΚ πρὸς ἄλλην τινὰ , ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΗ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφερείαν τῆς ΖΗ . Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετηρος · λέγω , ὅτι καὶ οὕτως ἔστιν , ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΗ περιφερείας . Εἰ γὰρ μὴ , ἤτοι πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ ἔσται , ἢ πρὸς αὐτήν . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατὸν , πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ τὴν ΛΖ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς · καὶ τριῶν οὐσῶν ἀνίσων περιφερειῶν τῶν ΛΖ , ΖΗ , ΖΔ ειλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΖΜ τῆς μὲν ΖΛ οὖσα ἐλάσσων , τῆς δὲ ΖΗ μείζων , σύμμετρος δὲ τῇ ΖΔ · καὶ διὰ τοῦ Μ καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΜΝ . Ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΖΜ τῇ ΖΔ · ἔστιν ἆρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΜ . Ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἔστιν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ , οὕτως ἔστιν ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΝ , οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ . Ἐλάσσων δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΘΝ , ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΛΖ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΖΜ · ἀλλὰ καὶ μείζων , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἅρα ἔστιν , ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς μείζονά τινα περιφέρειαν τῆς ΖΗ περιφερείας . Λέγω , ὅτι οὐδὲ πρὸς αὐτήν . Εἰ γὰρ δυνατὸν , ἔστω ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς , καὶ τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΔΖ , ΖΗ δίχα κατὰ τὰ Λ , Μ σημεῖα , καὶ δι’ ἑκατέρου τῶν Λ , Μ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝ , ΜΞ . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ , ΛΖ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν , αἱ ΒΝ , ΝΘ ἄρα ἑξῆς μείζους εἰσὶν ἀλλήλων , ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΒΝ · ἡ ΒΘ ἄρα τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΚΘ τῆς Θ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ . Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΒΘ τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῇ , ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΘΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῇ · ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΝ μείζονα λόγον ἔχει , ἥπερ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΞ · καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει . ἤπερ ἡ ΝΘ πρὸς τὴν ΘΞ . Ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΚ , οὕτως ἔστιν ἡ Δ πρὸς τὴν ΖΗ · ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΞ ἐλάσσονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ . Ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἔστιν ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ · ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΞΘ ἐλάσσουα λόγον ἔχει , ἥπερ ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ · καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΛΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΖΜ . Ἐὰν ἄρα ποιῶμεν , ὡς τὴν ΝΘ πρὸς τὴν ΛΖ , οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ἄλλην τινὰ , ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΜ περιφερείας , ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . Οὐκ ἄρα ἔστιν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ · ἐδείχθη δὲ , ὅτι καὶ οὐδὲ πρὸς μείζονα · πρὸς ἐλάσσονα ἄρα . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ἐλάσσονα τῆς ΖΗ a .
Lemmas: ἐάν ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , καί οὗτος τέμνω δύο μέγας κύκλος πρός ὀρθός , ὅς ὁ μέν εἷς ὁ παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἐπί δέ ὁ λοξός κύκλος λαμβάνω δύο τυγχάνω σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος , διά δέ ὁ σημεῖον καί ὁ πόλος ὁ παράλληλος μέγας κύκλος γράφω · εἰμί , ὡς ὁ ὁ μέγας ὁ παράλληλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος καί ὁ ἑξῆς διά ὁ πόλος , πρός ὁ ὁ λοξός κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ αὐτός κύκλος , οὕτως ὁ ἑξῆς ὁ μέγας ὁ παράλληλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ διά ὁ πόλος μέγας κύκλος καί ὁ λαμβάνω σημεῖον , πρός ἐλαχύς τις περιφέρεια ὁ ὁ λοξός κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ λαμβάνω δύο σημεῖον . ἐπί γάρ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ ὁ πόλος ἵστημι ὁ παράλληλος ὁ Α σημεῖον , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος δύο τέμνω μέγας κύκλος πρός ὀρθός ὁ ΔΕΓ , ΒΕ , ὅς ὁ μέν ΒΕ εἷς ἵστημι ὁ παράλληλος , ὁ δέ ΔΕΓ λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἐπί δέ ὁ λοξός κύκλος ὁ ΔΕΓ λαμβάνω δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , ὁ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΕ , καί διά ὁ Ζ , ὁ σημεῖον καί ὁ πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΖΘ , ΑΗΚ · λέγω , ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ ΔΖ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΘΚ περιφέρεια πρός ἐλαχύς τις ὁ ΖΗ περιφέρεια . ἤτοι γάρ ὁ ΖΗ ὁ ΔΖ σύμμετρος εἰμί , ἢ οὖον . ἔστω πρότερος σύμμετρος , καί διαιρέω εἰς ὁ μέρος ὁ ΔΖ , ΗΖ κατά ὁ Λ , Μ , Ν σημεῖον , καί διά ὁ Λ , Μ , Ν καί πόλος ὁ Α μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΞ , ΜΟ , ΝΠ . ἐπεί οὖν ὁ δΛ , ΜΛ , ΜΖ , ΖΝ , ΝΗ ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ , ΘΠ , ΠΚ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μέγας εἰμί , ἄρχω ἀπό ὁ μέγας ὁ ΒΞ . ἐπεί οὖν ὁ ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ , ΘΠ , ΠΚ ἑξῆς μείζων ἀλλήλων εἰμί , ὁ δέ δΛ , ΛΜ , ΜΖ , ΖΝ , ΝΗ ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , καί ἔτι ὁ μέν πλῆθος ὁ ΒΞ , ΞΟ , ΟΘ ἴσος ὁ πλῆθος ὁ δΛ , ΛΜ , ΜΖ , ὁ δέ πλῆθος ὁ ΘΠ , ΠΚ ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΖΝ , ΝΗ · ὁ ΒΘ ἄρα πρός ὁ ΔΖ μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΘΚ πρός ὁ ΖΗ . ἐάν ἄρα ποιέω , ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὗτος ὁ ΘΚ πρός ἄλλος τις , εἰμί πρός μικρός ὁ ΖΗ · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ ΔΖ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ἐλαχύς τις περιφέρεια ὁ ΖΗ . μή ἵστημι δή ὁ ΖΗ ὁ ΔΖ σύμμετρος · λέγω , ὅτι καί οὕτως εἰμί , ὡς ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ ΔΖ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΘΚ περιφέρεια πρός ἐλαχύς τις ὁ ΖΗ περιφέρεια . εἰμί γάρ μή , ἤτοι πρός μείζων ὁ ΖΗ εἰμί , ἢ πρός αὐτός . ἔστω πρότερος , εἰμί δυνατός , πρός μείζων ὁ ΖΗ ὁ ΛΖ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο καταγραφή · καί τρεῖς εἰμί ἄνισος περιφέρεια ὁ ΛΖ , ΖΗ , ΖΔ λαμβάνω τις περιφέρεια ὁ ΖΜ ὁ μέν ΖΛ εἰμί μικρός , ὁ δέ ΖΗ μείζων , σύμμετρος δέ ὁ ΖΔ · καί διά ὁ Μ καί ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΜΝ . ἐπεί οὖν σύμμετρος εἰμί ὁ ΖΜ ὁ ΖΔ · εἰμί ἆρα ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΘΝ πρός ἐλαχύς τις ὁ ΖΜ . ὡς δέ ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως εἰμί ὁ ΘΚ πρός ὁ ΖΛ καί ὡς ἄρα ὁ ΘΚ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΘΝ πρός μικρός ὁ ΖΜ · καί ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ ΘΚ πρός ὁ ΘΝ , οὕτως ὁ ΖΛ πρός μικρός ὁ ΖΜ . Μικρός δέ ὁ ΘΚ ὁ ΘΝ , μικρός ἄρα καί ὁ ΛΖ ὁ μικρός ὁ ΖΜ · ἀλλά καί μείζων , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός μέγας τις περιφέρεια ὁ ΖΗ περιφέρεια . λέγω , ὅτι οὐδέ πρός αὐτός . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΖΗ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή , καί τέμνω ἑκάτερος ὁ ΔΖ , ΖΗ δίχα κατά ὁ Λ , Μ σημεῖον , καί διά ἑκάτερος ὁ Λ , Μ σημεῖον καί ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΛΝ , μξ . ἐπεί οὖν ὁ δΛ , ΛΖ ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΒΝ , ΝΘ ἄρα ἑξῆς μείζων εἰμί ἀλλήλων , ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΒΝ · ὁ ΒΘ ἄρα ὁ ΘΝ μείζων εἰμί ἢ διπλόος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΚΘ ὁ Θ μικρός εἰμί ἢ διπλόος . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΒΘ ὁ ΘΝ μείζων εἰμί ἢ διπλόος , ὁ δέ ΚΘ ὁ ΘΞ μικρός εἰμί ἢ διπλόος · ὁ ΒΘ ἄρα πρός ὁ ΘΝ μείζων λόγος ἔχω , ὅσπερ ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΞ · καί ἐναλλάξ ὁ ΒΘ ἄρα πρός ὁ ΘΚ μείζων λόγος ἔχω . ἤ2 ὁ ΝΘ πρός ὁ ΘΞ . ὡς δέ ὁ ΒΘ πρός ὁ ΘΚ , οὕτως εἰμί ὁ δ πρός ὁ ΖΗ · ὁ ΝΘ ἄρα πρός ὁ ΘΞ μικρός λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖΗ . ὡς δέ ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΛΖ πρός ὁ ΖΜ · ὁ ΝΘ ἄρα πρός ὁ ΞΘ ἐλαύνω λόγος ἔχω , ὅσπερ ὁ ΛΖ πρός ὁ ΖΜ · καί ἐναλλάξ ὁ ΝΘ ἄρα πρός ὁ ΛΖ μικρός λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΘΞ πρός ὁ ΖΜ . ἐάν ἄρα ποιέω , ὡς ὁ ΝΘ πρός ὁ ΛΖ , οὕτως ὁ ΘΞ πρός ἄλλος τις , εἰμί πρός μείζων ὁ ΖΜ περιφέρεια , ὅσπερ ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΖΗ · δείκνυμι δέ , ὅτι καί οὐδέ πρός μείζων · πρός μικρός ἄρα . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ μικρός ὁ ΖΗ a .