ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theodosius-astronomy.sphaerica 2.2.1
Οἱ περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ κύκλοι παράλληλοί εἰσιν . Ἔστωσαν περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους τοὺς Η , Θ ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ · λέγω , ὅτι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλοι παράλληλοί εἰσιν . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΘ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτοῦ εὐθεῖα διῆκται ἡ ΗΘ · ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πρὸς τὸν ΔΕΖ κύκλον ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστι . Πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν , ἐκβαλλόμενα τὰ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται · ἐκβαλλόμενα ἄρα τὰ τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλων ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται . Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος τῷ ΔΕΖ κύκλῳ .
Lemmas: ὁ περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος παράλληλος εἰμί . εἰμί περί ὁ αὐτός πόλος ὁ ὁ , Θ ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος παράλληλος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΓ , διά δέ ὁ πόλος αὐτός εὐθύς διάγω ὁ ΗΘ · ὁ ΗΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πρός ὁ δΕΖ κύκλος ὁ ΗΘ ὀρθός εἰμί . πρός ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ αὐτός εὐθύς ὀρθός εἰμί , ἐκβάλλω ὁ ἐπίπεδος οὖον συμπίπτω · ἐκβάλλω ἄρα ὁ ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος ἐπίπεδος οὖον συμπίπτω . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ δΕΖ κύκλος .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.4.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων , ὁ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τῆς συναφῆς αὐτῶν ἐλεύσεται . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ c ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον , τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ , Κ πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος διὰ τοῦ Γ σημείου ἥξει . Μὴ γὰρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατὸν , ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΖΒΚ . d Καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ ΖΒ , κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗΘ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ κύκλος τῷ ΒΗΘ κύκλῳ , περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΒΗΘ περιφέρειαν μεγίστου τινὸς κύκλου τὴν ΖΒΚ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ , ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ , ΒΗΘ κύκλοι · ἀλλὰ καὶ τέμνουσιν , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ὁ διὰ τῶν Ζ , Κ πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου · ὁ ἄρα διὰ τῶν πόλων τῶν ΑΒΓ , ΓΔΕ e κύκλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῆς συναφῆς τῶν κύκλων .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων , ὁ διά ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω καί διά ὁ συναφή αὐτός ἔρχομαι . ἐν γάρ σφαῖρα δύο κύκλος ὁ c ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφάπτω ἀλλήλων κατά ὁ Γ σημεῖον , καί ἵστημι ὁ μέν ΑΒΓ κύκλος πόλος ὁ Κ σημεῖον , ὁ δέ ΓΔΕ κύκλος πόλος ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Ζ , Κ πόλος μέγας κύκλος γράφω διά ὁ Γ σημεῖον ἥκω . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΖΒΚ . d καί πόλος μέν ὁ Ζ , διάστημα δέ ὁ ΖΒ , κύκλος γράφω ὁ ΒΗΘ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΔΕ κύκλος ὁ ΒΗΘ κύκλος , περί γάρ ὁ αὐτός πόλος εἰμί . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΒΗΘ περιφέρεια μέγας τις κύκλος ὁ ΖΒΚ κατά ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Β τέμνω , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός , ἐφάπτω ἀλλήλων ὁ ΑΒΓ , ΒΗΘ κύκλος · ἀλλά καί τέμνω , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ διά ὁ Ζ , Κ πόλος μέγας κύκλος γράφω οὐ ἥκω καί διά ὁ Γ σημεῖον · ὁ ἄρα διά ὁ πόλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ e κύκλος μέγας κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ συναφή ὁ κύκλος .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.5.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων , ὁ διὰ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς συναφῆς μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων . Ἐν σφαίρᾳ γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Ζ σημεῖον , τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Η σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ , Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τοῦ Η σημείου ἐλεύσεται . Μὴ γὰρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατὸν , ἐρχέσθω ὡς ὁ ΖΓΘ , καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Ζ , Η πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΖΗ · ἥξει δὴ διὰ τοῦ Γ . Ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ . Καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΖΓΗ , ΖΓΘ , δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους , ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΚΓ , ΖΛΓ ἡμικύκλιόν ἐστιν · ἡ ΖΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας , ἐπεὶ καὶ τῶν μεγίστων κύκλων τῶν ΖΓΗ , ΖΓΘ · ἀλλὰ καὶ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ὁ διὰ τῶν Ζ , Γ σημείων μέγιστος κύκλος γραφόμενος οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Η σημείου · διὰ τοῦ Η σημείου ἄρα ἥξει .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων , ὁ διά ὁ ὁ εἷς πόλος καί ὁ συναφή μέγας κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ ὁ ἕτερος πόλος . ἐν σφαῖρα γάρ δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφάπτω ἀλλήλων κατά ὁ Γ σημεῖον , καί ἵστημι ὁ μέν ΑΒΓ κύκλος πόλος ὁ Ζ σημεῖον , ὁ δέ ΓΔΕ κύκλος πόλος ὁ ὁ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Ζ , Γ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω καί διά ὁ ὁ σημεῖον ἔρχομαι . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἔρχομαι ὡς ὁ ΖΓΘ , καί γράφω διά ὁ Ζ , ὁ πόλος μέγας κύκλος ὁ ΖΗ · ἥκω δή διά ὁ Γ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ΖΓΗ , ΖΓΘ , δίχα ἄρα τέμνω ἀλλήλων , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΚΓ , ΖΛΓ ἡμικύκλιος εἰμί · ὁ ΖΓ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ σφαῖρα , ἐπεί καί ὁ μέγας κύκλος ὁ ΖΓΗ , ΖΓΘ · ἀλλά καί ἐκ ὁ πόλος ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ διά ὁ Ζ , Γ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω οὐ ἥκω καί διά ὁ ὁ σημεῖον · διά ὁ ὁ σημεῖον ἄρα ἥκω .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.6.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται , ἐφάψεται καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τοῦ ΓΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται καὶ ἑτέρου κύκλου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ κύκλῳ . Εἰλήφθω ὁ πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον · καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Γ , Ε σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΓΕΔΒΖΗ , καὶ ἀπειλήφθω τῇ ΓΕ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΒΖ , καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ ΖΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΓΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων τοῦ Ε καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΕΔΒΖΗ · ὁ ΓΕΔΒΖΗ ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΒΗ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΓΗ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ , ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ , ΒΗ κύκλοι . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΒΖ περιφερείᾳ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ , ὅλη ἄρα ἡ ΓΒ ὅλῃ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση . Ἡμικυκλίου δέ ἐστιν ἡ ΓΒ , ἡμικυκλίου ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τὸ Ε ἄρα κατὰ διάμετρόν ἐστι τῷ Ζ . Καί ἐστι τὸ Ε σημεῖον πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου , καὶ τὸ Ζ ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου . Πάλιν ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἡμικυκλίου ἐστὶ , καί ἐστι τὸ Ζ πόλος τοῦ ΒΗ κύκλου , καὶ τὸ Ε ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΗ κύκλου . Οἱ ΓΔ , ΒΗ ἄρα κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες παράλληλοί εἰσι , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ τῷ ΒΗ κύκλῳ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΒΖ , ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΓΔ κύκλος τῷ ΒΗ κύκλῳ , ἀλλὰ καὶ παράλληλος · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάπτεται καὶ τοῦ ἑτέ ‐ ρου κύκλου τοῦ ΒΗ ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ἐφάπτω καί ἕτερος ἴσος τε καί παράλληλος αὐτός . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ΓΔ ἐφάπτω κατά ὁ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω καί ἕτερος κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος ὁ ΓΔ κύκλος . λαμβάνω ὁ πόλος ὁ ΓΔ κύκλος , καί ἵστημι ὁ Ε σημεῖον · καί γράφω διά ὁ Γ , Ε σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΖΗ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΓΕ περιφέρεια ἴσος ὁ ΒΖ , καί πόλος μέν ὁ Ζ , διάστημα δέ ὁ ΖΒ κύκλος γράφω ὁ ΒΗ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔ ἐφάπτω ἀλλήλων , διά δέ ὁ ὁ εἷς πόλος ὁ Ε καί ὁ ἁφή μέγας κύκλος γράφω ὁ ΖΗ · ὁ ΖΗ ἄρα ἥκω διά ὁ ὁ ΑΒΓ πόλος . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΒΗ μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΓΗ κατά ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω ὁ Β , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός , ἐφάπτω ἄρα ἀλλήλων ὁ ΑΒΓ , ΒΗ κύκλος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΒΖ περιφέρεια , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΕΒ , ὅλος ἄρα ὁ ΓΒ ὅλος ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος . ἡμικύκλιον δέ εἰμί ὁ ΓΒ , ἡμικύκλιον ἄρα καί ὁ ΕΖ ὁ Ε ἄρα κατά διάμετρος εἰμί ὁ Ζ . καί εἰμί ὁ Ε σημεῖον πόλος ὁ ΓΔ κύκλος , καί ὁ Ζ ἄρα ὁ ἕτερος πόλος εἰμί ὁ ΓΔ κύκλος . πάλιν ἐπεί ὁ ΕΖ ἡμικύκλιον εἰμί , καί εἰμί ὁ Ζ πόλος ὁ ΒΗ κύκλος , καί ὁ Ε ἄρα ὁ ἕτερος πόλος εἰμί ὁ ΒΗ κύκλος . ὁ ΓΔ , ΒΗ ἄρα κύκλος περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί παράλληλος εἰμί , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΒΗ κύκλος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ ὁ ΒΖ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΓΔ κύκλος ὁ ΒΗ κύκλος , ἀλλά καί παράλληλος · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάπτω καί ὁ ἑτός ‐ ῥόος κύκλος ὁ ΒΗ ἴσος τε καί παράλληλος ὁ ΓΔ .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.7.1
Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι , ὁ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ἑτέρου . Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ . Εἰ γὰρ δυνατὸν , ἐφαπτέσθω μὲν τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κατὰ τὸ Α σημεῖον , τοῦ δὲ ΓΔ μὴ ἐφαπτέσθω . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΒ ἐφάπτεται , ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΒ · ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΕΖ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΒ τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος , ἀλλὰ ὁ ΑΒ καὶ τῷ ΓΔ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος · καὶ ὁ ΓΔ ἄρα τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος . Ἔσονται ἄρα ἐν σφαίρᾳ τρεῖς κύκλοι ἴσοι τε καὶ παράλληλοι , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος οὐκ ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ , ἐφάψεται ἄρα .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα δύο ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος , ὁ ὁ εἷς αὐτός μέγας κύκλος ἐφάπτω ἐφάπτω καί ὁ ἕτερος . εἰμί ἐν σφαῖρα δύο ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ μέγας κύκλος ἐφάπτω ἐφάπτω καί ὁ ΓΔ . εἰμί γάρ δυνατός , ἐφάπτω μέν ὁ ΑΒ μέγας κύκλος ὁ ΑΕ κατά ὁ Α σημεῖον , ὁ δέ ΓΔ μή ἐφάπτω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΕ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ ἐφάπτω , ἐφάπτω ἄρα καί ἕτερος ἴσος τε καί παράλληλος ὁ ΑΒ · ἐφάπτω οὖν ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί καί παράλληλος , ἀλλά ὁ ΑΒ καί ὁ ΓΔ ἴσος εἰμί καί παράλληλος · καί ὁ ΓΔ ἄρα ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί καί παράλληλος . εἰμί ἄρα ἐν σφαῖρα τρεῖς κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ὁ ΑΒ μέγας κύκλος ἐφάπτω οὐ ἐφάπτω καί ὁ ΓΔ , ἐφάπτω ἄρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.8.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος πρός τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ λοξὸς ᾖ , ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μέν ἀλλήλοις , παραλλήλων δὲ τῷ προειρημένῳ . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ πρός τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΔ λοξὸς ἔστω , τοῦτ’ ἔστι , μὴ ἔστω διὰ τῶν πόλων · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις , παραλλήλων δὲ τῷ προειρημένῳ τῷ ΒΔ . Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒΓ κύκλος λοξός ἐστι πρὸς τὸν ΒΔ , ὁ πόλος τοῦ ΒΔ οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Εἰλήφθω οὖν ὁ πόλος τοῦ ΒΔ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΓΗ , καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ γεγράφθω ὁ ΑΖ . Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ , περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσί . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΑΖ μεγίστου τἰνὸς κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Α , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ , ἐφάψονται ἀλλήλων · ὁ ἄρα ΑΒΓ κύκλος τοῦ ΑΖ κύκλου ἐφάψεται . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΖ ἐφάπτεται , ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΖ · ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΓΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΖ τῷ ΓΗ ἴσος τέ ἐστι καὶ παράλληλος , ἀλλ’ ὁ ΑΖ τῷ ΒΔ ἐστὶ παράλληλος , καὶ ὁ ΓΗ ἄρα τῷ ΒΔ ἐστὶ παράλληλος · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων τῶν ΑΖ , ΓΗ , ἴσων μὲν ἀλλήλοις , παραλλήλων δὲ τῷ ΒΔ .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος πρός τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα λοξός εἰμί , ἐφάπτω δύο κύκλος ἴσος μέν ἀλλήλων , παράλληλος δέ ὁ προερέω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ πρός τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΒΔ λοξός ἵστημι , οὗτος εἰμί , μή ἵστημι διά ὁ πόλος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω δύο κύκλος ἴσος μέν ἀλλήλων , παράλληλος δέ ὁ προερέω ὁ ΒΔ . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒΓ κύκλος λοξός εἰμί πρός ὁ ΒΔ , ὁ πόλος ὁ ΒΔ οὐ εἰμί ἐπί ὁ ΑΒΓ κύκλος . λαμβάνω οὖν ὁ πόλος ὁ ΒΔ κύκλος , καί ἵστημι ὁ Ε σημεῖον , καί διά ὁ Ε σημεῖον καί εἷς ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΗΓ , καί πόλος μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΑΕ γράφω ὁ αζʹ . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ αζʹ ὁ ΒΔ , περί γάρ ὁ αὐτός πόλος εἰμί . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , αζʹ μέγας τις κύκλος περιφέρεια κατά ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω ὁ Α , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός , ἐφάπτω ἀλλήλων · ὁ ἄρα ΑΒΓ κύκλος ὁ αζʹ κύκλος ἐφάπτω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ αζʹ ἐφάπτω , ἐφάπτω ἄρα καί ἕτερος ἴσος τε καί παράλληλος ὁ αζʹ · ἐφάπτω οὖν ὁ ΓΗ . ἐπεί οὖν ὁ αζʹ ὁ ΓΗ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος , ἀλλά ὁ αζʹ ὁ ΒΔ εἰμί παράλληλος , καί ὁ ΓΗ ἄρα ὁ ΒΔ εἰμί παράλληλος · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάπτω δύο κύκλος ὁ αζʹ , ΓΗ , ἴσος μέν ἀλλήλων , παράλληλος δέ ὁ ΒΔ .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.14.1
Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάττονος τοῦ μεγίστου , καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ , γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος . Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ἐν σφαίρᾳ ὁ ΑΒ , ἐλάσσων ὤν τοῦ μεγίστου , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ ἔστω τὸ Β · δεῖ δὴ διὰ τοῦ Β σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου . Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Γ · b καὶ διὰ τῶν Γ , Β σημείων μεγίστου κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΓΒΔ , καὶ τῇ , ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΒ . Οὐ γὰρ δυνατὸν , τὴν ΒΓ εἶναι τεταρτημόριον , ἔσται γὰρ μέγιστος ὁ ΑΒ , ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ τεταρτημόριον · c καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΔΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΒΖ , μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΖ , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ , ΕΒΖ , μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν d ΒΓΔ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ , ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι · ἐφάψεται ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΒΖ κύκλου . Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Β γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΕΒΖ ἐφαπτόμενος τοῦ ΑΒ κύκλου κατὰ τὸ Β σημεῖον .
Lemmas: κύκλος δίδωμι ἐν σφαῖρα μικρός ὁ μέγας , καί σημεῖον τις ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός , γράφω διά ὁ σημεῖον μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ δίδωμι . ἔστω ὁ δίδωμι κύκλος ἐν σφαῖρα ὁ ΑΒ , μικρός εἰμί ὁ μέγας , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός ἵστημι ὁ Β · δεῖ δή διά ὁ Β σημεῖον γράφω μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ ΑΒ κύκλος . λαμβάνω γάρ ὁ πόλος ὁ ΑΒ κύκλος , καί ἵστημι ὁ Γ · b καί διά ὁ Γ , Β σημεῖον μέγας κύκλος περιφέρεια γράφω ὁ ΓΒΔ , καί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ἴσος ἀπολαμβάνω ὁ ΔΒ . οὖον γάρ δυνατός , ὁ ΒΓ εἰμί τεταρτημόριον , εἰμί γάρ μέγας ὁ ΑΒ , ὅσπερ οὐ ὑπόκειμαι · οὐ ἄρα ὁ ΓΒ τεταρτημόριον · c καί πόλος μέν ὁ δ , διάστημα δέ ὁ ΔΒ κύκλος γράφω ὁ ΕΒΖ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΖ , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒ , ΕΒΖ , μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ d ΒΓΔ κατά ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Β τέμνω , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός , ἐφάπτω ἀλλήλων ὁ κύκλος · ἐφάπτω ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΕΒΖ κύκλος . Ζεύς ὁ δίδωμι ἄρα σημεῖον ὁ Β γράφω μέγας κύκλος ὁ ΕΒΖ ἐφάπτω ὁ ΑΒ κύκλος κατά ὁ Β σημεῖον .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.18.1
Ἐν σφαίρᾳ οἱ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι μεγίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων , οἱ δὲ μείζονες ἐλάττονας . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ ; ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ περιφερείας τὰς ΒΖ , ΖΔ ἀφῃρήσθωσαν a πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΖΔ περιφερείᾳ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ ΒΖ περιφέρεια ἴση τῇ ΖΔ , οὐδὲ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ ἴσος ἐστίν · ἔστι δέ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ . Ἀλλὰ πάλιν ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος μείζων τοῦ ΓΔ κύκλου · λέγω , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΔ περιφερείας . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἐλάσσων ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας , οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΓΔ κύκλου μείζων ἐστίν · ἔστι δέ · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας .
Lemmas: ἐν σφαῖρα ὁ ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω μέγας τις κύκλος πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ δέ μείζων μικρός . ἐν γάρ σφαῖρα ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ ; ΓΔ μέγας τις κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὁ ΒΖ , ΖΔ ἀφαιρέω a πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΖ περιφέρεια ὁ ΖΔ περιφέρεια . εἰμί γάρ μή εἰμί ὁ ΒΖ περιφέρεια ἴσος ὁ ΖΔ , οὐδέ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΓΔ κύκλος ἴσος εἰμί · εἰμί δέ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΒΖ ὁ ΖΔ . ἀλλά πάλιν ἵστημι ὁ ΑΒ κύκλος μείζων ὁ ΓΔ κύκλος · λέγω , ὅτι μικρός εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΔ περιφέρεια . εἰμί γάρ μή εἰμί μικρός ὁ ΒΖ περιφέρεια ὁ ΖΔ περιφέρεια , οὐ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΓΔ κύκλος μείζων εἰμί · εἰμί δέ · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΒΖ περιφέρεια ὁ ΖΔ περιφέρεια .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.20.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ , τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω · λέγω , ὅτι τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον · τοῦτ’ ἔστιν , ὅτι ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΕΖ . Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Γ , Δ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΗΘΓ , ΗΚΔ . Οἱ ἄρα ΗΘΓ , ΗΚΔ ὁμοίας ἀφαιροῦσι περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν , ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ὁμοία , ἡ ΑΘΚΒ ἄρα τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΕΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , γραφόντων ἡμῶν διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Ε , Ζ μεγίστους κύκλους . Δύναται δὲ δειχθῆναι , καὶ μὴ γραφόντων ἡμῶν , μόνον δὲ προςαναπληρούντων τοὺς ΗΘΓ , ΗΚΔ , ΕΖ , ὡς ἐν τῷ θεωρήματι a .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος παράλληλος τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μή διά ὁ πόλος τέμνω , ὁ ἀπολαμβάνω περιφέρεια ἐν εἷς ὁ ἡμισφαίριον μείζων ἢ ὅμοιος εἰμί ὁ ἐγγύς ὁ φανερός πόλος ὁ ἀπώτερος . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ παράλληλος τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ μή διά ὁ πόλος τέμνω · λέγω , ὅτι ὁ ἀπολαμβάνω περιφέρεια ἐν εἷς ὁ ἡμισφαίριον μείζων ἢ ὅμοιος εἰμί ὁ ἐγγύς ὁ φανερός πόλος ὁ ἀπώτερος · οὗτος εἰμί , ὅτι ὁ μέν ΑΒ ὁ ΓΔ μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΕΖ . ἔστω γάρ ὁ φανερός πόλος ὁ παράλληλος ὁ ὁ σημεῖον , καί διά ὁ ὁ καί ἑκάτερος ὁ Γ , δ μέγας κύκλος γράφω ὁ ΗΘΓ , ΗΚΔ . ὁ ἄρα ΗΘΓ , ΗΚΔ ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ μεταξύ αὐτός , ὁ ΘΚ ἄρα ὁ ΓΔ εἰμί ὅμοιος , ὁ ΑΒΘ ἄρα ὁ ΓΔ μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔ ὁ ΕΖ μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος , γράφω ἐγώ διά ὁ ὁ καί ἑκάτερος ὁ Ε , Ζ μέγας κύκλος . δύναμαι δέ δείκνυμι , καί μή γράφω ἐγώ , μόνος δέ προαναπληρόω ὁ ΗΘΓ , ΗΚΔ , ΕΖ , ὡς ἐν ὁ θεώρημα a .
theodosius-astronomy.sphaerica 3.13.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιρῶσι μεχίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι , ἢ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων , ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι · ἴσας ἀπολήψονται περιφερείας ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΔ περιφερείας τὰς ΑΕ , ΕΔ ἴσας ἀφαιρείσθωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΕΗ , καὶ διὰ τῶν Α , Ε , Δ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΓ , ΘΕΚ , ΒΗΔ , ἤτοι διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων , ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτόμενοι · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ . Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΕΔ περιφερείας τὰς ΑΕ , ΕΔ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ , ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΘΚ περιφερείας τὰς ΘΕ , ΕΚ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΖΗ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἴση · καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἄρα ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ . Καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι , ἡ ΑΘ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΔ περιφερείᾳ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ περιφέρεια τῇ ΚΔ περιφερείᾳ . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΖΕ ἐστιν ὁμοία , ἡ δὲ ΚΔ τῇ ΕΗ ἐστιν ὁμοία · καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ὁμοία ἐστί . Καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω μεχίστου τις κύκλος πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος , διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον γράφω μέγας κύκλος , ἢ διά ὁ πόλος ὁ παράλληλος , ἢ ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐφάπτω · ἴσος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ἀπό ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ μεταξύ αὐτός . ἐν γάρ σφαῖρα παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας τις κύκλος ὁ ΑΔ περιφέρεια ὁ ΑΕ , ΕΔ ἴσος ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΖΕΗ , καί διά ὁ Α , Ε , δ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΖΓ , ΘΕΚ , ΒΗΔ , ἤτοι διά ὁ πόλος ὁ παράλληλος , ἢ ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐφάπτω · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΖΕ περιφέρεια ὁ ΕΗ περιφέρεια . ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας τις κύκλος ὁ ΑΕΔ περιφέρεια ὁ ΑΕ , ΕΔ ἴσος ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΖΗ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΓΔ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας τις κύκλος ὁ ΘΚ περιφέρεια ὁ ΘΕ , ΕΚ ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΖΗ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΕ ὁ ΕΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ ἴσος · καί ὁ ἀπό ὁ Α ἄρα ἐπί ὁ Θ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ δ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς . καί εἰμί ἴσος ὁ κύκλος , ὁ ΑΘ ἄρα περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΚΔ περιφέρεια · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ περιφέρεια ὁ ΚΔ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν ΑΘ ὁ ΖΕ εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΚΔ ὁ ΕΗ εἰμί ὅμοιος · καί ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΕΗ περιφέρεια ὅμοιος εἰμί . καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΕ περιφέρεια ὁ ΕΗ περιφέρεια .