theodosius-astronomy.sphaerica 3.12.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτωνται , ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν i παραλλήλων κύκλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφάπτηται , ἢ ὧν οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο , καὶ τέμνῃ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφαπτομένους μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο · ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον , οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος , μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρεια , ἡ μεταξὺ τῶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφαπτομένων , πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν , τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτέσθωσαν τοῦ ΑΓ κατὰ τὰ Α , Γ σημεῖα , ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν · ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους , ὁ ΕΖ , μειζόνων ἐφαπτέσθω , ἢ ὧν οἱ ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτονται , καὶ τεμνέτω ὁ ΕΖ τοὺς ΑΒ , ΓΔ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , καὶ οὗ οἱ ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτονται , τοῦ ΑΓ κύκλου . Ἔστω δὲ μέγιστος μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων ὁ ΜΒΞ , οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΕΖ , ἔστω ὁ ΕΗ · λέγω , ὅτι ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν . Ἔστω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Λ σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ Λ καὶ ἑκάστου τῶν Ε , Θ , Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΕΜ , ΛΘΝ , ΛΚΞ , διὰ δὲ τοῦ Κ παράλληλος κύκλος γεγράφθω ὁ ΟΚ , διὰ δὲ τοῦ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΠ , ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΗ κύκλου κατὰ τὸ Π . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο παράλληλοί εἰσι κύκλοι οἱ ΟΚ , ΕΠΗ , καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΕΘΚΖ , ΟΘΠ , ἐφαπτόμενοι τοῦ ΕΠΗ κατὰ τὰ Ε , Π , διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου καὶ τοῦ πόλου τοῦ Λ μέγιστος γέγραπται κύκλος ὁ ΛΘΡ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΡ τῇ ΡΚ , καὶ ἡ ΡΣ ἄρα τῆς ΡΚ ἐλάσσων ἐστὶν , ἡ ΣΚ ἄρα τῇ ΚΡ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῇ . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΒΔ ἐστὶν ὁμοία , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΝΞ · καὶ ἡ ΒΔ ἄρα τῆς ΝΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ . Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἥπερ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΘ περιφέρειαν , ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΗ περιφέρειαν μείζονα λόγον , ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν · καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἄρα διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν · καὶ η ἄρα διπλασίων a τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῇ πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν · ἡ δὲ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῆ πρὸς τὴ ΘΚ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ , ἡ γὰρ τῆς ΝΞ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΔ . Πολλῷ ἄρα ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐφάπτω , ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ i παράλληλος κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω , καί τέμνω ὁ ὁ αὐτός ἐφάπτω μεταξύ ὁ μέγας ὁ παράλληλος καί ὅς ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω · ὁ διπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα πρός ὁ ὁ κύκλος διάμετρος , ὅς ἐφάπτω ὁ λοξός κύκλος , μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ὁ μέγας ὁ παράλληλος κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ ὁ αὐτός κύκλος ἐφάπτω , πρός ὁ ὁ λοξός κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ αὐτός κύκλος . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐφάπτω ὁ ΑΓ κατά ὁ Α , Γ σημεῖον , ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ παράλληλος κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός · ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , ὁ ΕΖ , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτω , καί τέμνω ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ , ΓΔ μεταξύ ὁ μέγας ὁ παράλληλος , καί ὅς ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτω , ὁ ΑΓ κύκλος . ἔστω δέ μέγας μέν ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΜΒΞ , ὅς δέ ἐφάπτω ὁ ΕΖ , ἵστημι ὁ ΕΗ · λέγω , ὅτι ὁ διπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα πρός ὁ ὁ ΕΗ κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΔ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚ περιφέρεια . ἔστω γάρ ὁ πόλος ὁ παράλληλος ὁ Λ σημεῖον , καί διά ὁ Λ καί ἕκαστος ὁ Ε , Θ , Κ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΛΕΜ , ΛΘΝ , ΛΚΞ , διά δέ ὁ Κ παράλληλος κύκλος γράφω ὁ ΟΚ , διά δέ ὁ Θ μέγας κύκλος γράφω ὁ ΘΠ , ἐφάπτω ὁ ΕΗ κύκλος κατά ὁ Π . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα δύο παράλληλος εἰμί κύκλος ὁ ΟΚ , ἕπω , καί γράφω εἰμί δύο μέγας κύκλος ὁ ΕΖΘ , ΟΘΠ , ἐφάπτω ὁ ἕπω κατά ὁ Ε , Π , διά δέ ὁ Θ σημεῖον καί ὁ πόλος ὁ Λ μέγας γράφω κύκλος ὁ ΛΘΡ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΟΡ ὁ ΡΚ , καί ὁ ΡΣ ἄρα ὁ ΡΚ μικρός εἰμί , ὁ ΣΚ ἄρα ὁ ΚΡ μικρός εἰμί ἢ διπλόος . ἀλλά ὁ μέν ΣΚ ὁ ΒΔ εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΚΡ ὁ ΝΞ · καί ὁ ΒΔ ἄρα ὁ ΝΞ μικρός εἰμί ἢ διπλόος . καί ἐπεί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος πρός ὁ ὁ ΕΗ κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ὅσπερ ὁ ΜΝ περιφέρεια πρός ὁ ΕΘ περιφέρεια , ἔχω δέ καί ὁ ΜΝ περιφέρεια πρός ὁ ΕΗ περιφέρεια μείζων λόγος , ἤ2 ὁ ΝΞ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚ περιφέρεια · καί ὁ ὁ σφαῖρα ἄρα διάμετρος πρός ὁ ὁ ἕπω κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΝΞ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚ περιφέρεια · καί ὁ ἄρα διπλάσιος a ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα πρός ὁ ὁ ἕπω κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ὁ ΝΞ περιφέρεια διπλόος πρός ὁ ΘΚ περιφέρεια · ὁ δέ ὁ ΝΞ περιφέρεια διπλόος πρός ὅς ΘΚ περιφέρεια μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΔ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚ , ὁ γάρ ὁ ΝΞ διπλόος μείζων εἰμί ὁ ΒΔ . πολλός ἄρα ὁ διπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα πρός ὁ ὁ ἕπω κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΔ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚ περιφέρεια .