theodosius-astronomy.sphaerica 2.21.1
Ἐὰν ἐν ἴσαις σφαίραις ἐπὶ μεγίστων κύκλων μέγιστοι κύκλοι κεκλιμένοι ὦσιν , ὁποτερουοῦν αὐτῶν ὁ πόλος μετεωρότερος ᾖ , μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος·ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων , ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι . Ἐν γὰρ σφαίραις ἴσαις ἐπὶ μεγίστων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΚΔ , ΖΛΘ κεκλιμένοι ἔστωσαν , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΒΚΔ κύκλου πόλος τὸ Μ σημεῖον , τοῦ δὲ ΖΛΘ κύκλου πόλος τὸ Ν σημεῖον , μετεωρότερον δὲ ἔστω τὸ Μ τοῦ Ν · λέγω , ὅτι ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ . Γεγράφθω διὰ μὲν τοῦ Μ καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ , διὰ δὲ τοῦ Ν καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΕΛΝΗ · καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΚΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ , τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ , τοῦ δὲ ΒΚΔ καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΞ · καὶ ἔτι τοῦ μὲν ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ , τοῦ δὲ ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΕΛΝΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ , τοῦ δὲ ΕΛΝΗ καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΛΟ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒΓΔ , ΒΚΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΑΚΜΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλων , ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον . Ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλων ἡ ΒΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον , ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἅπτεται δὲ τῆς ΒΞΔ ἑκατέρα τῶν ΚΞ , ΞΑ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΒΞ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΚΞ , ΞΑ ὀρθή ἐστι . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα τέμνει ἄλληλα τὰ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ , καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἠγμέναι εἰσὶν ἡ ΚΞ , ΞΑ , ἡ μὲν ΚΞ ἐν τῷ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἡ δὲ ΞΑ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΘ ἐπίπεδον . Λέγω δὴ , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ γωνίας . Ἐπεὶ γὰρ μετεωρότερον ἐστὶ τὸ Μ τοῦ Ν , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον . Ἀλλ’ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει τοῦ τε ΑΚΜΓ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ , τοῦτ’ ἔστι , τὴν ΑΓ , διὰ τὸ ὀρθὰ εἶναι πρὸς ἄλληλα τὰ ΑΚΜΓ , ΑΒΓΔ ἐπίπεδα , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν ΕΗ πίπτει · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ ἀγομένης καθέτου . Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ , ΕΛΝΗ , καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ , Ν , καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὴν ΕΗ · μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῆς ΝΗ περιφερείας . Ἴση δὲ ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΝΛ περιφερείᾳ , ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ περιφέρεια ὅλης τῆς ΛΝΗ περιφερείας μείζων ἐστίν . Ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση ἐστὶν , ὧν ἡ ΚΜΓ τῆς ΛΝΗ μείζων ἐστὶ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΛ περιφερείας ἐλάσσων ἐστί . Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ , ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ . Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ἡ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον , ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον · ἡ ἄρα τοῦ ΒΚΔ κύκλου πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον κλίσις ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον κλίσεως . Ὁ ΒΚΔ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον . Ἀλλὰ δὴ πάλιν τῶν ΒΚΔ , ΖΛΘ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπεχέτωσαν τῶν ἐπιπέδων , τοῦτ’ ἔστιν , ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον · λέγω , ὅτι οἱ ΒΚΔ , ΖΛΘ κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι , τοῦτ’ ἔστιν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾖ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον , ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον · λέγω οὖν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ . Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ , ΕΛΝΗ , καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ , Ν , καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἀγομένη ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ καθέτῳ ἀγομένῃ · ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῇ ΗΝ περιφερείᾳ . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΚ τῇ ΛΝ ἴση , ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΛΝΗ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν · ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΕΛ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ , ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ · ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟE . Καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον , ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον · ἡ ἄρα κλίσις , ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , ἴση ἐστὶ τῇ κλίσει τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον . Οἱ ΒΚΔ , ΖΛΘ ἄρα κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι . Ἐμάθομεν γὰρ , ὅτι ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται , καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον , ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων . πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν .
Lemmas: ἐάν ἐν ἴσος σφαῖρα ἐπί μέγας κύκλος μέγας κύκλος κλίνω εἰμί , ὁποτέσρις αὐτός ὁ πόλος μετέωρος εἰμί , μᾶλλον εἰμί κλίνω δέ κύκλος ὁ πόλος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ ἐπίπεδος , ὁμοίως εἰμί κλίνω . ἐν γάρ σφαῖρα ἴσος ἐπί μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ μέγας κύκλος ὁ ΒΚΔ , ΖΛΘ κλίνω εἰμί , καί ἵστημι ὁ μέν ΒΚΔ κύκλος πόλος ὁ Μ σημεῖον , ὁ δέ ΖΛΘ κύκλος πόλος ὁ Ν σημεῖον , μετέωρος δέ ἵστημι ὁ Μ ὁ Ν · λέγω , ὅτι ὁ ΒΚΔ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΖΛΘ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ . γράφω διά μέν ὁ Μ καί εἷς ὁ ὁ ΑΒΓΔ πόλος μέγας κύκλος ὁ ΚΜ , διά δέ ὁ Ν καί εἷς ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πόλος μέγας κύκλος ὁ ΕΛ · καί ἵστημι ὁ μέν ΑΒΓΔ κύκλος καί ὁ ΒΚΔ κοινός τομή ὁ ΒΔ , ὁ δέ ΑΒΓΔ κύκλος καί ὁ ΚΜ κοινός τομή ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΚΔ καί ὁ ΚΜ κοινός τομή ὁ ΚΞ · καί ἔτι ὁ μέν ΕΖΗΘ κύκλος καί ὁ ΖΛΘ κοινός τομή ὁ ΖΘ , ὁ δέ ΕΖΗΘ κύκλος καί ὁ ΕΛ κοινός τομή ὁ ΕΗ , ὁ δέ ΕΛ καί ὁ ΖΛΘ κοινός τομή ὁ ΛΟ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΚΜ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΚΜ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλος , ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΚΜ κύκλος . ἐάν δέ δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · καί ὁ κοινός ἄρα τομή ὁ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ κύκλος ὁ ΒΔ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΚΜ κύκλος , ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ ΚΜ κύκλος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΒΞΔ ἑκάτερος ὁ ΚΞ , ΞΑ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΚΜ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ΒΞ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΚΞ , ΞΑ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων ὁ ΑΒΓΔ , ΒΚΔ , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ ΒΔ πρός ὀρθός ἄγω εἰμί ὁ ΚΞ , ΞΑ , ὁ μέν ΚΞ ἐν ὁ ὁ ΒΚΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ δέ ΞΑ ἐν ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ὑπό ΚΑ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὅς κλίνω ὁ ΒΚΔ ἐπίπεδος πρός ὁ ΑΒΓΔ ἐπίπεδος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό Λοέ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὅς κλίνω ὁ ΖΛΘ ἐπίπεδος πρός ὁ ΕΖΘ ἐπίπεδος . λέγω δή , ὅτι μικρός εἰμί ὁ ὑπό ΚΑ γωνία ὁ ὑπό Λοέ γωνία . ἐπεί γάρ μετέωρος εἰμί ὁ Μ ὁ Ν , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ν κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐπίπεδος . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος ἐπί ὁ κοινός τομή πίπτω ὁ τε ΚΜ κύκλος καί ὁ ΑΒΓΔ , οὗτος εἰμί , ὁ ΑΓ , διά ὁ ὀρθός εἰμί πρός ἀλλήλων ὁ ΚΜ , ΑΒΓΔ ἐπίπεδος , ὁ δέ ἀπό ὁ Ν κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐπίπεδος ἐπί ὁ ΕΗ πίπτω · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ ΕΗ ἄγω κάθετος . ἐπεί οὖν δύο τμῆμα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ΚΜ , ΕΛ , καί τυγχάνω σημεῖον ὁ Μ , Ν , καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ μείζων ὁ ἀπό ὁ Ν ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΕΗ · μείζων ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΓ περιφέρεια ὁ ΝΗ περιφέρεια . Ἴσος δέ ὁ ΜΚ περιφέρεια ὁ ΝΛ περιφέρεια , ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · ὅλος ἄρα ὁ ΚΜΓ περιφέρεια ὅλος ὁ ΛΗ περιφέρεια μείζων εἰμί . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΚΜ ὅλος ὁ ΕΛ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ΚΜΓ ὁ ΛΗ μείζων εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ ΑΚ περιφέρεια λοιπός ὁ ΕΛ περιφέρεια μικρός εἰμί . καί βαίνω ἐπί μέν ὁ ΑΚ γωνία ὁ ὑπό ΚΑ , ἐπί δέ ὁ ΛΕ γωνία ὁ ὑπό Λοέ · μικρός ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΚΑ γωνία ὁ ὑπό Λοέ . καί ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΚΑ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὁ κλίνω ὁ ΒΚΔ ἐπίπεδος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ δέ ὑπό Λοέ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὅς κλίνω ὁ ΖΛΘ ἐπίπεδος πρός ὁ ΕΖΗΘ ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ὁ ΒΚΔ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος κλίσις μικρός εἰμί ὁ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος κλίσις . ὁ ΒΚΔ ἄρα κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΖΛΘ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ἀλλά δή πάλιν ὁ ΒΚΔ , ΖΛΘ κύκλος ὁ πόλος ἴσος ἀπέχω ὁ ἐπίπεδος , οὗτος εἰμί , ἵστημι ὁ ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος ἴσος ὁ ἀπό ὁ Ν κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐπίπεδος · λέγω , ὅτι ὁ ΒΚΔ , ΖΛΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλος ὁμοίως εἰμί κλίνω , οὗτος εἰμί , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΑ γωνία ὁ ὑπό Λοέ γωνία . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὁμοίως δή δείκνυμι , ὅτι ὁ μέν ὑπό ΚΑ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν εἰμί κλίνω ὁ ὁ ΒΚΔ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ δέ ὑπό Λοέ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὅς κλίνω ὁ ὁ ΖΛΘ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐπίπεδος · λέγω οὖν , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΑ γωνία ὁ ὑπό Λοέ γωνία . ἐπεί οὖν δύο τμῆμα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ΚΜ , ΕΛ , καί τυγχάνω σημεῖον ὁ Μ , Ν , καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ Μ ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ἄγω ἴσος ὁ ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ ΕΗ κάθετος ἄγω · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΓ περιφέρεια ὁ ΗΝ περιφέρεια . εἰμί δέ καί ὁ ΜΚ ὁ ΛΝ ἴσος , ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος γράφω · καί ὅλος ἄρα ὁ ΚΜΓ ὅλος ὁ ΛΗ περιφέρεια ἴσος εἰμί · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΚΜ ὅλος ὁ ΕΛ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΑΚ περιφέρεια λοιπός ὁ ΕΛ περιφέρεια εἰμί ἴσος . καί βαίνω ἐπί μέν ὁ ΑΚ περιφέρεια γωνία ὁ ὑπό ΚΑ , ἐπί δέ ὁ ΛΕ γωνία ὁ ὑπό Λοέ · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΚΑ γωνία ὁ ὑπό ΛΟ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΚΑ γωνία ὁ κλίσις , ἐν ὅς κλίνω ὁ ὁ ΒΚΔ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ δέ ὑπό Λοέ γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν ὅς κλίνω ὁ ὁ ΖΛΘ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ἄρα κλίσις , ἐν ὅς κλίνω ὁ ΒΚΔ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ κλίσις ὁ ΖΛΘ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ὁ ΒΚΔ , ΖΛΘ ἄρα κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλος ὁμοίως εἰμί κλίνω . μανθάνω γάρ , ὅτι ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος ὁμοίως κλίνω λέγω , καί ἕτερος πρός ἕτερος , ὅταν ὁ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός γωνία ἄγω εὐθύς ἐν ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος . πρός ὁ αὐτός σημεῖον ἴσος γωνία περιέχω .