theodosius-astronomy.sphaerica 3.4.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους , ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου , καθ’ ὃ τέμνούσιν ἀλλήλους · διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβληθῇ , ὧν τὸ ἓν συμπίπτῃ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ εἰρημένον σημεῖον , μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν μείζων ᾖ ἑκατέρας τῶν ἀπειλημμένων a ὑπὸ τῶν ἠγμένων ἐπιπέδων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ · ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ ἀσυμπτώτου ἐπιπέδου μείζων ἐστὶ τῆς μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τοῦ συμπίπτοντος ἐπιπέδου τοῦ αὐτοῦ κύκλου . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΒ , ΓΕΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ε σημεῖον · ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΑΕΒ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΒ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου , καὶ διὰ τῶν Α , Β a σημείων ἐπίπεδα παράλληλα διήχθω τὰ ΑΔ , ΓΒ , ὧν τὸ ΑΔ συμπιπτέτω τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΑΕΒ , ΓΕΔ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον , μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν τῶν ΑΕ , ΕΒ μείζων ἔστω ἑκατέρας τῶν ΓΕ ΕΔ · λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας . Ὁ πόλῳ γὰρ τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει μὲν διὰ τοῦ Β , ὑπερπεσεῖται δὲ τὰ Γ , Δ σημεῖα , διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν ΑΕ , ΕΒ ἑκατέρας τῶν ΓΕ , ΕΔ μείζονα εἶναι . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΖ , καὶ προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι · καὶ ὁ μὲν ΑΔ κύκλος συμπιπτέτω τῷ ΑΗΒΖ κύκλῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον , ὁ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Κ σημεῖον · καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΖ καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ΑΗΒΖ καὶ τοῦ ΗΕΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΗΖ , τοῦ δὲ ΑΔΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΘ , τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΒ , τοῦ δὲ ΗΕΖ καὶ τοῦ ΑΔΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΔΜ , τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΗΕΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΝ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΗΕΖ , ΛΕΒ ἐπιπέδων , τοῦτ’ ἔστι , τῇ ΕΛ , ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΛ ἐπὶ τὸ Ξ . Τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ἐν τῷ ΑΔΘ ἐπιπέδῳ ἐστίν · ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ ΗΕΖ · ἔστι δὲ καὶ τὰ Δ , Μ σημεῖα ἐν ἀμφοτέροις τοῖς ΑΔΘ , ΗΕΖ ἐπιπέδοις · ἡ ΜΔ ἄρα συμπίπτει ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον , συμπεσεῖται δὴ κατὰ τὸ Ξ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΗΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΗΖ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου , κέντρον ἄρα ἐστὶν αὐτοῦ τὸ Λ . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΓΒ , ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπίπεδου τέμνεται τοῦ ΑΗΒΖ , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΑΘ . Πάλιν ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΓΒ , ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΗΕΖ , αἱ κοιναὶ αὐτῶν ἄρα τομαὶ παράλληλοί εἰσι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ . Καὶ ἐπεὶ ἑκάτερον τῶν ΑΕΒ , ΗΕΖ ἐπιπέδων πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν ἄρα τομὴ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον · κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΕΛ , καὶ ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον , ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἅπτεται δὲ τῆς ΕΛ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΗΖ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ , ΗΖ . Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΞΑΜ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΞΛΝ a , μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον b γωνίας τῆς ὑπὸ ΞΜΛ · ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΞΛΝ , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΛ , ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΖ . Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΖ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ τῇ ὑπὸ ΞΜΛ · ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΞΜΛ , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ . Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΜ τῇ ΝΒ , καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ , ΜΝ , καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΒ · ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΛΜ · ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΖ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΝ λοιπῇ τῇ ΜΖ ἐστιν ἴση . Ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΗΕΖ , καὶ αἱ ἀπειλημμέναι ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΝ , ΜΖ , καὶ διηγμέναι εἰσὶ παράλληλοι αἱ ΓΝ , ΔΜ , καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ περιφερείας . Ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΗΕ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση , ὧν ἡ ΗΓ τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων · λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΕ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΔ περιφερείας μείζων ἐστίν .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο μέγας κύκλος τέμνω ἀλλήλων , ἀπό δέ εἷς αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ἀλλήλων · διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐπίπεδος παράλληλος ἐκβάλλω , ὅς ὁ εἷς συμπίπτω ὁ κοινός τομή ὁ κύκλος ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ εἴρω σημεῖον , εἷς δέ ὁ ἴσος περιφέρεια μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ἀπολαμβάνω a ὑπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος πρός ὁ αὐτός σημεῖον · ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ἀσύμπτωτος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ συμπίπτω ἐπίπεδος ὁ αὐτός κύκλος . ἐν γάρ σφαῖρα δύο μέγας κύκλος ὁ ΑΕΒ , ΓΕΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον · ἀπό δέ εἷς αὐτός ὁ ΑΕΒ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΑΕ , ΕΒ ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ Ε σημεῖον , καί διά ὁ Α , Β a σημεῖον ἐπίπεδος παράλληλος διάγω ὁ ΑΔ , ΓΒ , ὅς ὁ ΑΔ συμπίπτω ὁ κοινός τομή ὁ ΑΕΒ , ΓΕΔ ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Ε σημεῖον , εἷς δέ ὁ ἴσος περιφέρεια ὁ ΑΕ , ΕΒ μείζων ἵστημι ἑκάτερος ὁ ΓΕ ΕΔ · λέγω , ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΕΔ περιφέρεια . ὁ πόλος γάρ ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΑ κύκλος γράφω ἥκω μέν διά ὁ Β , ὑπερπίπτω δέ ὁ Γ , δ σημεῖον , διά ὁ ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ ἑκάτερος ὁ ΓΕ , ΕΔ μείζων εἰμί . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΑΒΖ , καί προσαναπληρόω ὁ κύκλος · καί ὁ μέν ΑΔ κύκλος συμπίπτω ὁ ΑΒΖ κύκλος κατά ὁ Θ σημεῖον , ὁ δέ ΒΓ κατά ὁ Κ σημεῖον · καί ἵστημι ὁ μέν ΑΒΖ καί ὁ ΑΕΒ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΒΖ καί ὁ ΗΕΖ κοινός τομή ὁ ΗΖ , ὁ δέ ΔΑΘ κύκλος καί ὁ ΑΒΖ κοινός τομή ὁ ΑΘ , ὁ δέ ΚΓΒ καί ὁ ΑΒΖ κοινός τομή ὁ ΚΒ , ὁ δέ ΗΕΖ καί ὁ ΔΑΘ κοινός τομή ὁ δΜ , ὁ δέ ΚΓΒ καί ὁ ΗΕΖ κοινός τομή ὁ ΓΝ . καί ἐπεί ὁ ΑΔ ἐπίπεδος συμπίπτω ὁ κοινός τομή ὁ ΗΕΖ , λεβʹ ἐπίπεδος , οὗτος εἰμί , ὁ ΕΛ , ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Ε σημεῖον , συμπίπτω κατά ὁ Ξ , καί ἐκβάλλω ὁ ΕΛ ἐπί ὁ Ξ . ὁ Ξ ἄρα σημεῖον ἐν ὁ ΔΑΘ ἐπίπεδος εἰμί · ἀλλά καί ἐν ὁ ΗΕΖ · εἰμί δέ καί ὁ δ , Μ σημεῖον ἐν ἀμφότερος ὁ ΔΑΘ , ΗΕΖ ἐπίπεδος · ὁ ΜΔ ἄρα συμπίπτω ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Ε σημεῖον , συμπίπτω δή κατά ὁ Ξ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΖ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΒ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΖ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΗΖ διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΖ κύκλος , κέντρον ἄρα εἰμί αὐτός ὁ Λ . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΚΓΒ , ΔΑΘ ὑπό τις επίπεδος τέμνω ὁ ΑΒΖ , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΑΘ . πάλιν ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΚΓΒ , ΔΑΘ ὑπό τις ἐπίπεδος τέμνω ὁ ΗΕΖ , ὁ κοινός αὐτός ἄρα τομή παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΝ ὁ δΜ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΑΕΒ , ΗΕΖ ἐπίπεδος πρός ὁ ΑΒΖ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , καί ὁ κοινός αὐτός ἄρα τομή ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΖ ἐπίπεδος · κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΕΛ , καί ὁ ΕΛ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΖ ἐπίπεδος , ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΖ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΕΛ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΗΖ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΖ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ ΕΛ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΗΖ . καί ἐπεί τρίγωνος ὁ ΑΜ ἐκτός εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΞΛΝ a , μείζων εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον b γωνία ὁ ὑπό ΞΜΛ · ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΞΛΝ , ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΞΜΛ , ἀμβλύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΞΜΖ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΓΝ ὁ δΜ , καί εἰς αὐτός ἐμπίτνω ὁ ΗΖ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΗ ὁ ὑπό ΞΜΛ · ὀξύς δέ ὁ ὑπό ΞΜΛ , ὀξύς ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΗ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΜ ὁ ΝΒ , καί δύο διάγω εἰμί ὁ ΑΒ , ΜΝ , καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΛ ὁ ΛΒ · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΝΛ ὁ ΛΜ · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΗΛ ὅλος ὁ ΛΖ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΗΝ λοιπός ὁ ΜΖ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν τμῆμα κύκλος εἰμί ὁ ΗΕΖ , καί ὁ ἀπολαμβάνω Ἴσαι εἰμί ὁ ΗΝ , ΜΖ , καί διάγω εἰμί παράλληλος ὁ ΓΝ , δΜ , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΓΗ ὀξύς , ὁ δέ ὑπό ΔΜΖ ἀμβλύς · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΗΓ περιφέρεια ὁ ΔΖ περιφέρεια . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΗΕ περιφέρεια ὅλος ὁ ΖΕ περιφέρεια εἰμί ἴσος , ὅς ὁ ΗΓ ὁ ΔΖ εἰμί μικρός · λοιπός ἄρα ὁ ΓΕ περιφέρεια λοιπός ὁ ΕΔ περιφέρεια μείζων εἰμί .