theodosius-astronomy.sphaerica 3.3.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους , ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου , καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους · αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη περιφερειῶν εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ε σημεῖον , ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου , ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΒ , ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΕΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ , ΒΔ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΒΔ . Ὁ γάρ πόλῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β · ἤτοι δὴ καὶ διὰ τοῦ Γ ἥξει , ἢ οὔ . Ἐρχέσθω πρότερον καὶ διὰ τοῦ Γ , ἥξει ἄρα καὶ διὰ τοῦ Δ , ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὁ ΑΓΒΔ κύκλος , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΓΒΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου · αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΑΖ , ΖΓ , ΖΒ , ΖΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖ , ΖΓ δυσὶ ταῖς ΔΖ , ΖΒ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ ἴση ἐστί · βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση . Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ πόλῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ a κύκλος γραφόμενος μὴ ἐρχέσθω διὰ τοῦ Γ , ἀλλ’ ὑπερπιπτέτω αὐτό · ἥξει μὲν ἄρα καὶ διὰ τοῦ Β , ὑπερπεσεῖται δὲ καὶ τὸ Δ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΘ , καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΓΕΔ κύκλος κατὰ τὰ Η , Θ σημεῖα , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΗΕΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΗΘ . Ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν , ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου , καὶ ὅτι ἑκάτερος τῶν ΑΕΒ , ΗΕΘ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΗΒΘ κύκλον . Ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τῶν Γ , Δ σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΓΚ , ΔΛ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ , ΛΒ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΕΘ περιφερείᾳ , πόλος γάρ ἐστι τὸ Ε σημεῖον τοῦ ΑΗΒΘ , ὧν ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΔΘ ἐστιν ἴση . Ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ὀρθόν ἐστι τὸ ΗΕΘ , καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΓ , ΔΘ , καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου ἐπίπεδον αἱ ΓΚ , ΔΛ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ τῇ ΔΛ , ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ · ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΖ ὅλῃ τῇ ΖΘ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ λοιπῇ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ ἴση , αἱ ΑΚ , ΛΒ ἄρα ἴσαι εἰσὶν . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ , ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ · δύο δὴ αἱ ΑΚ , ΚΓ δυσὶ ταῖς ΒΛ , ΛΔ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΚΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΒ ἐστιν ἴση , ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν · βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο μέγας κύκλος τέμνω ἀλλήλων , ἀπό δέ ἑκάτερος αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ἀλλήλων · ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πέρας ὁ ἐπί ὁ αὐτός μέρος περιφέρεια εὐθύς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ἐν γάρ σφαῖρα δύο μέγας κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον , ἀπό δέ ἑκάτερος αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ Ε σημεῖον , ὁ μέν ΕΑ ὁ ΕΒ , ὁ δέ ΕΓ ὁ ΕΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , ΒΔ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΒΔ . ὁ γάρ πόλος μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΑ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Β · ἤτοι δή καί διά ὁ Γ ἥκω , ἢ οὖον . ἔρχομαι πρότερος καί διά ὁ Γ , ἥκω ἄρα καί διά ὁ δ , ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΕΔ περιφέρεια . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὁ ΑΓΒΔ κύκλος , καί ἵστημι ὁ μέν ΑΓΒΔ κύκλος καί ὁ ΑΕΒ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΓΒΔ κύκλος καί ὁ ΓΕΔ κοινός τομή ὁ ΓΔ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΓΒΔ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΒ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔ διάμετρος εἰμί ὁ ΑΓΒΔ κύκλος · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ αζʹ , ΖΓ , ΖΒ , ΖΔ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν δύο ὁ αζʹ , ΖΓ δύο ὁ ΔΖ , ΖΒ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΑΖΓ γωνία ὁ ὑπό δΖΒ ἴσος εἰμί · βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΒ εἰμί ἴσος . ἀλλά δή πάλιν ὁ πόλος μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΑ a κύκλος γράφω μή ἔρχομαι διά ὁ Γ , ἀλλά ὑπερπίπτω αὐτός · ἥκω μέν ἄρα καί διά ὁ Β , ὑπερπίπτω δέ καί ὁ δ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΑΗΒΘ , καί προσαναπληρόω ὁ ΓΕΔ κύκλος κατά ὁ ὁ , Θ σημεῖον , καί ἵστημι ὁ μέν ΑΗΒΘ κύκλος καί ὁ ΑΕΒ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΗΒΘ κύκλος καί ὁ ΗΕΘ κοινός τομή ὁ ΗΘ . ὅμοιος δή πάλιν δείκνυμι , ὅτι ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΗΒΘ κύκλος , καί ὅτι ἑκάτερος ὁ ΑΕΒ , ΗΕΘ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΗΒΘ κύκλος . ἄγω δή ἀπό ὁ Γ , δ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΗΒΘ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΓΚ , δΛ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , ΛΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΗ περιφέρεια ὁ ΕΘ περιφέρεια , πόλος γάρ εἰμί ὁ Ε σημεῖον ὁ ΑΗΒΘ , ὅς ὁ ΓΕ ὁ ΕΔ εἰμί ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΓΗ λοιπός ὁ ΔΘ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν τμῆμα κύκλος ὀρθός εἰμί ὁ ΗΕΘ , καί ἀπολαμβάνω εἰμί Ἴσαι περιφέρεια ὁ ΗΓ , ΔΘ , καί κάθετος ἄγω εἰμί ἐπί ὁ ὁ ΑΗΒΘ κύκλος ἐπίπεδος ὁ ΓΚ , δΛ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΓΚ ὁ δΛ , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΘΛ · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΗΖ ὅλος ὁ ΖΘ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΚΖ λοιπός ὁ αζʹ εἰμί ἴσος · εἰμί δέ καί ὁ αζʹ ὁ ΒΖ ἴσος , ὁ ΑΚ , ΛΒ ἄρα Ἴσαι εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΚ ὁ ΛΒ , ὁ δέ ΓΚ ὁ δΛ · δύο δή ὁ ΑΚ , ΚΓ δύο ὁ ΒΛ , ΛΔ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΚΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΛΒ εἰμί ἴσος , ὀρθός γάρ ἑκάτερος αὐτός · βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΒ εἰμί ἴσος .