theodosius-astronomy.sphaerica 3.5.1
Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων , καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς , ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν · ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κυκλου , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς ποῤῥώτερον . Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ a ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον , καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΖΓ , ΔΖΕ πρὸς ὀρθὰς . ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ , ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ , διὰ δὲ τῶν Κ , Θ , Η σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράθωσαν οἱ ΟΚΠ , ΝΘΞ , ΛΗΜ · λέγω , ὅτι οἱ ΟΚΠ , ΝΘΞ , ΛΗΜ κύκλοι ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου μεγίστου τοῦ ΑΒΓ , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ΒΖΓ τῆς ποῤῥώτερον · λέγω οὖν , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΟΝ περιφέρεια τῆς ΝΛ περιφερείας . Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α , Θ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ . Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΟΚΠ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΝΟ περιφέρεια τῇ ΑΘΡ περιφερείᾳ . Πάλιν ἐπεὶ το Α σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΝΘΞ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛΝ περιφέρεια τῇ ΑΣΘ περιφερείᾳ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΟ λοιπῇ τῇ ΘΡ ἐστιν ἴση . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΛΝ περιφέρεια τῇ ΣΘ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΘΡ , ἡ δὲ ΛΝ τῇ ΣΘ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΡ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΟΚΠ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΑΘΡ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΟΚΠ κύκλον . Κύκλου δέ τινος τοῦ ΟΚΠ ἐπὶ τῆς διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Ρ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΡΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές · καὶ ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΡΘ ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ σημείου πρὸς τὴν ΟΚΠ προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγυμένης εὐθείας · καί εἰσιν ἴσοι · οἱ κύκλοι , μέγιστοι γάρ εἰσιν · ἡ ἄρα ΘΡ περιφέρεια ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ περιφερείας . Ὁμοίως δὴ δείξωμεν , ὅτι καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΘΗ ἐλάσσων ἐστὶν , ὁμοίως εἰπόντες . Κύκλου δή τινος τοῦ ΛΗΜ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Σ σημείου τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΣΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχὲς , καί ἀπείληπται περιφέρεια ἡ ΣΘ ἐλάσσων ἡ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Σ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΗ · καί ἐστιν ἴση ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ , ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΘ , ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ , ΘΣ ἐστὶ μείζων . Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΟΡΚΠ τῷ ΛΗΜ , ὁ δὲ ΟΡΚΠ συμπίπτει τῇ τῶν ΗΘΚ , ΑΘΡ κύκλων κοινῇ πομῇ ἐντὸς , τοῦτ’ ἔστιν , ὡς κατὰ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας · καὶ ὁ ΛΗΜ ἄρα κύκλος συμπεσεῖται τῇ τῶν ΗΘΚ , ΑΘΡ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μέγιστοι οἱ ΗΘΚ , ΣΘΡ τέμνουσιν ἀλλήλους , ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΗΘΚ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΚΘ , ΘΗ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Θ σημείου , καὶ διὰ τῶν Η , Κ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβέβληται τὰ ΛΗΜ , ΟΚΠ , ὧν τὸ ΛΗΜ συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῶν ΗΘΚ , ΣΘΡ , ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Θ σημεῖον , μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν τῶν ΚΘ , ΘΗ ἑκατέρας τῶν ΡΘ , ΘΣ ἐστὶ μείζων · μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΘ περιφέρεια τῆς ΘΣ περιφερείας . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΡΘ τῇ ΟΝ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΘΣ τῇ ΝΑ · καὶ ἡ ΟΝ a ἄρα περιφέρεια τῆς ΝΑ περιφερείας ἐστὶ μείζων .
Lemmas: ἐάν ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , καί οὗτος τέμνω δύο μέγας κύκλος πρός ὀρθός , ὅς ὁ μέν εἷς ὁ παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος , διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον παράλληλος κύκλος γράφω · ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ πρόσω . ἐπί γάρ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ a ΑΒΓ ὁ πόλος ἵστημι ὁ παράλληλος ὁ Α σημεῖον , καί οὗτος τέμνω δύο μέγας κύκλος ὁ ΒΖΓ , δΖΕ πρός ὀρθός . ὅς ὁ μέν ΒΖΓ εἷς ἵστημι ὁ παράλληλος , ὁ δέ δΖΕ λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος ὁ δΖΕ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΚΘ , τίθημι ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας κύκλος ὁ παράλληλος ὁ ΒΖΓ , διά δέ ὁ Κ , Θ , ὁ σημεῖον παράλληλος κύκλος γράω ὁ ΠΟΠ , ΝΘΞ , ΗΜ · λέγω , ὅτι ὁ ΠΟΠ , ΝΘΞ , ΗΜ κύκλος ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος μέγας ὁ ΑΒΓ , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ ΒΖΓ ὁ πρόσω · λέγω οὖν , ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΟΝ περιφέρεια ὁ ΝΛ περιφέρεια . γράφω γάρ διά ὁ Α , Θ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΑΘ . καί ἐπεί ὁ Α σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΠΟΠ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ Ανό περιφέρεια ὁ ΑΘ περιφέρεια . πάλιν ἐπεί ὁ Α σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΝΘΞ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΛΑ περιφέρεια ὁ ΑΘ περιφέρεια , λοιπός ἄρα ὁ ΝΟ λοιπός ὁ ΘΡ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΛΝ περιφέρεια ὁ ΣΘ περιφέρεια εἰμί ἴσος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΝΟ ὁ ΘΡ , ὁ δέ ΛΝ ὁ ΣΘ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΘ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΠΟΠ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΘ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΠΟΠ κύκλος . κύκλος δέ τις ὁ ΠΟΠ ἐπί ὁ διάμετρος ὁ ἀπό ὁ Ρ τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΡΘ καί ὁ οὗτος συνεχής · καί ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ΡΘ μικρός ἢ ἥμισυς ὁ ἐφίστημι τμῆμα · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Ρ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Θ σημεῖον πρός ὁ ΠΟΠ προσπίπτω εὐθύς · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Ρ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · καί εἰμί ἴσος · ὁ κύκλος , μέγας γάρ εἰμί · ὁ ἄρα ΘΡ περιφέρεια μικρός εἰμί ὁ ΘΚ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΘΣ ὁ τίθημι μικρός εἰμί , ὁμοίως εἶπον . κύκλος δή τις ὁ ΗΜ ἐπί διάμετρος ὁ ἀπό ὁ Σ σημεῖον τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΣΘ καί ὁ οὗτος συνεχής , καί ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ΣΘ μικρός ὁ ἥμισυς εἰμί ὁ ἐφίστημι τμῆμα · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Σ μικρός εἰμί ὁ τίθημι · καί εἰμί ἴσος ὁ ΚΘ ὁ τίθημι , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΚΘ , τίθημι ἑκάτερος ὁ ΡΘ , ΘΣ εἰμί μείζων . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΟΠ ὁ ΗΜ , ὁ δέ ΟΠ συμπίπτω ὁ ὁ ΗΘΚ , ΑΘ κύκλος κοινός πομῇ ἐντός , οὗτος εἰμί , ὡς κατά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · καί ὁ ΗΜ ἄρα κύκλος συμπίπτω ὁ ὁ ΗΘΚ , ΑΘ κύκλος κοινός τομή ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Θ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος μέγας ὁ ΗΘΚ , ΣΘΡ τέμνω ἀλλήλων , ἀπό δέ εἷς αὐτός ὁ ΗΘΚ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΚΘ , τίθημι ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ Θ σημεῖον , καί διά ὁ ὁ , Κ σημεῖον ἐπίπεδος παράλληλος ἐκβάλλω ὁ ΗΜ , ΠΟΠ , ὅς ὁ ΗΜ συμπίπτω ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ΗΘΚ , ΣΘΡ , ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Θ σημεῖον , εἷς δέ ὁ ἴσος περιφέρεια ὁ ΚΘ , τίθημι ἑκάτερος ὁ ΡΘ , ΘΣ εἰμί μείζων · μείζων ἄρα εἰμί καί ὁ ΡΘ περιφέρεια ὁ ΘΣ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν ΡΘ ὁ ΟΝ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΘΣ ὁ ΝΑ · καί ὁ ΟΝ a ἄρα περιφέρεια ὁ ΝΑ περιφέρεια εἰμί μείζων .