theodosius-astronomy.sphaerica 3.6.1
Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων , καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς , ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , καὶ διὰ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν · ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον . Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον , καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ b ΒΖΓ , ΔΖΕ , ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ , ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ , διὰ δὲ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Κ , Θ , Η σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΗΛ , ΑΘΜ , ΑΚΝ · λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας . Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Κ , Θ , Η σημείων παράλληλοι κύλοι οἱ ΞΗΟ , ΠΘΡ , ΣΚΤ , μείζων ἄρα ἡ ΣΠ περιφέρεια τῆς ΠΞ περιφερείας , διὰ τὸ προδειχθὲν θεώρημα . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΠ τῇ ΥΘ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΠΞ τῇ ΘΦ · καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΦ ἐστι μείζων . Κείσθω οὖν τῇ ΘΦ ἴση ἡ ΘΧ · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ . Γεγράφθω διὰ τοῦ Χ τοῖς ἐξ ἀρχῆς παράλληλος κύκλος ὁ ΧΨΩ . Καὶ ἐπεὶ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΨΚΝ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΧΨΩ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ἄρα ΑΨΚΝ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΧΨΩ κύκλον , ὥστε καὶ ὁ ΧΨΩ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΨΚΝ κύκλον . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖΓ , ΧΨΩ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΑΨΚΝ , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ ἄρα παράλληλοί εἰσιν · ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ , ΒΖΤ , ἥπερ ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου , διάμετρος οὖσα τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου , καὶ ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ , ΧΨΩ παράλληλοί εἰσιν , [ ὥστε ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ , ΧΨΩ παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ a ] . Καὶ ἐπεὶ εἰς κύκλον τὸν ΑΨΚΝ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΑΨΚΝ , ΧΨΩ κύκλων κοινὴ τομὴ , εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν ΑΨΚΝ κύκλον , παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου , καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τὸ τούτῳ συνεχὲς , καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Χ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Χ σημείου πρὸς τὴν ΨΚΝ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν . Ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα ἐπὶ τὸ Φ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΧΨΩ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου , ἥπερ ὁ ΞΗΟ , μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΨΩ κύκλος τοῦ ΞΗΟ κύκλου . Ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΨΩ , ΞΗΟ , καί ἐστιν ἐλάσσω ὁ ΞΗΟ , καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι , ἐν μὲν τῷ ΞΗΟ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ , ἐν δὲ τῷ ΧΨΩ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ , καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ · ἡ ΗΦ ἄρα περιφέρεια τῆς ΧΨ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΗΦ τῇ ΛΜ ἐστιν ὁμοία , ἡ δὲ ΧΨ τῇ ΜΝ ἐστιν ὁμοία · καὶ ἡ ΜΛ ἄρα περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · μείζων ἄρα ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας .
Lemmas: ἐάν ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , καί οὗτος τέμνω δύο μέγας κύκλος πρός ὀρθός , ὅς ὁ μέν εἷς ὁ παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος , καί διά ὁ γίγνομαι σημεῖον καί ὁ πόλος μέγας κύκλος γράφω · ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος ὁ πρόσω . ἐπί γάρ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ ὁ πόλος ἵστημι ὁ παράλληλος ὁ Α σημεῖον , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος δύο μέγας κύκλος τέμνω πρός ὀρθός ὁ b ΒΖΓ , δΖΕ , ὅς ὁ μέν ΒΖΓ εἷς ἵστημι ὁ παράλληλος , ὁ δέ δΖΕ λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος ὁ δΖΕ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΚΘ , τίθημι ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΖΓ , διά δέ ὁ Α καί ἕκαστος ὁ Κ , Θ , ὁ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΗΛ , ΑΘΜ , ΑΚΝ · λέγω , ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΛΜ περιφέρεια ὁ ΜΝ περιφέρεια . γράφω γάρ διά ὁ Κ , Θ , ὁ σημεῖον παράλληλος κύλος ὁ ΞΗΟ , ΠΘΡ , ΣΚΤ , μείζων ἄρα ὁ ΣΠ περιφέρεια ὁ ΠΞ περιφέρεια , διά ὁ προδείκνυμι θεώρημα . ἀλλά ὁ μέν ΣΠ ὁ ΥΘ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΠΞ ὁ ΘΦ · καί ὁ ΥΘ ἄρα ὁ ΘΦ εἰμί μείζων . κέω οὖν ὁ ΘΦ ἴσος ὁ ΘΧ · εἰμί δέ καί ὁ ΗΘ ὁ ΘΚ ἴσος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Φ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς . γράφω διά ὁ Χ ὁ ἐκ ἀρχή παράλληλος κύκλος ὁ ΧΨΩ . καί ἐπεί μέγας κύκλος ὁ ΚΑΝ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΧΨΩ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ἄρα ΚΑΝ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΧΨΩ κύκλος , ὥστε καί ὁ ΧΨΩ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΚΑΝ κύκλος . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΒΖΓ , ΧΨΩ ὑπό τις ἐπίπεδος τέμνω ὁ ΚΑΝ , ὁ κοινός αὐτός τομή ἄρα παράλληλος εἰμί · ὁ ἄρα κοινός τομή ὁ ΚΑΝ , ΒΖΤ , ὅσπερ εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ν σημεῖον , διάμετρος εἰμί ὁ ΚΑΝ κύκλος , καί ὁ κοινός τομή ὁ ΚΑΝ , ΧΨΩ παράλληλος εἰμί , [ ὥστε ὁ κοινός τομή ὁ ΚΑΝ , ΧΨΩ παράλληλος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΚΑΝ a ] . καί ἐπεί εἰς κύκλος ὁ ΚΑΝ διάγω τις εὐθύς ὁ ὁ ΚΑΝ , ΧΨΩ κύκλος κοινός τομή , εἰς ἄνισος τέμνω ὁ ΚΑΝ κύκλος , παράλληλος γάρ εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΚΑΝ κύκλος , καί ἐπί αὐτός τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΧΨ καί ὁ οὗτος συνεχής , καί διαιρέω ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος κατά ὁ Χ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Χ σημεῖον πρός ὁ ΨΚΝ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς . ὁ ἄρα ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Κ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Κ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ , ὁ δέ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Κ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Φ , καί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἄρα ἐπί ὁ Φ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ . καί ἐπεί ὁ ΧΨΩ κύκλος ἐγγίων εἰμί ὁ κέντρον , ὅσπερ ὁ ΞΗΟ , μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΧΨΩ κύκλος ὁ ΞΗΟ κύκλος . ἐπεί οὖν δύο κύκλος ἄνισος εἰμί ὁ ΧΨΩ , ΞΗΟ , καί εἰμί μικρός ὁ ΞΗΟ , καί ἐν αὐτός διάγω εἰμί εὐθύς , ἐν μέν ὁ ΞΗΟ ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Φ , ἐν δέ ὁ ΧΨΩ ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ , καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Φ μείζων ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ Ψ · ὁ ΗΦ ἄρα περιφέρεια ὁ ΧΨ περιφέρεια μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος . ἀλλά ὁ μέν ΗΦ ὁ ΛΜ εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΧΨ ὁ ΜΝ εἰμί ὅμοιος · καί ὁ ΜΛ ἄρα περιφέρεια ὁ ΜΝ περιφέρεια μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · μείζων ἄρα ὁ ΛΜ περιφέρεια ὁ ΜΝ περιφέρεια .