theodosius-astronomy.sphaerica 3.2.1
Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα ἀπολαμβάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου , καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου , διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα · ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν b . Εἴς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΓ , ἀπὸ . λαμβάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ , καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΑΕΓ , μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου , κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΑΔΓ , καὶ διῃρήσθω ἡ ΑΕΓ περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΕ περιφέρεια τῆς ΕΓ περιφερείας , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΑ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΑ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ a τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν . Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος · πεσεῖται δὴ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας , διὰ τὸ κεκλίσθαι τὸ ΑΕΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΔΓ τμῆμα . Πιπτέτω , καὶ ἔστω ἡ ΕΖ , παὶ συμβαλλέτω τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ἤτοι δὴ ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ἢ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας , διὰ τὸ ΑΒΓ τμῆμα ὑποκεῖσθαι μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου . Ἔστω πρότερον μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας , καὶ ἔστω τὸ Η σημεῖον , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Δ , Β μέρη , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσβεβλήσθω εὐθεῖα ἡ ΕΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΘ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδὸν , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ὁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσαι γωνίας . Ἅπτεται δὲ τῆς ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΑΖ , ΖΘ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ , ΘΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστι . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΖ τῆς ΖΘ ἐστιν ἐλάσσων , ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ απὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΖ · κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ , ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΘΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΕ , ἡ ΑΕ ἄρα τῆς ΕΘ ἐστιν ἐλάσσων . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΕ , ἡ ἄρα ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν . Καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ , τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ Α ἄχρι τοῦ Β περιφέρειαν , μεταξὺ δηλονότι τῶν Α , Β σημείων . Ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΕΒ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΒ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΖ τῆς ΖΘ ἐστι μείζων , μεῖζον ἄρα ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ τῆς ΖΘ · κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΘΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ · μείζων ἄρα ἐστὶ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἡ ΕΒ μείζων ἐστίν · ἡ ΕΒ ἄρα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν . Ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἡ ΕΓ · λέγω δὴ , ὅτι καὶ ἡ ΕΓ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β , Γ σημείων . Διήχθω γὰρ μεταξὺ τῶν Β , Γ σημείων καὶ ἑτέρα ἡ ΕΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ , ΖΚ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΚ ἐστὶν ἐλάσσων , ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΚ · κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ , ἔλασσον ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΚΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ · ἡ ΓΕ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΕΚ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΚΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β , Γ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΓ . Καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν , ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων , τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β , Γ σημείων . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , κἂν ἡμικύκλιον ᾖ τὸ ΑΒΓ , ὅτι ἡ ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος διάζομαι τις εὐθύς ἀπολαμβάνω τμῆμα μή μικρός ἡμικύκλιον , καί ἐπί αὐτός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι μή μείζων ἡμικύκλιον , διαιρέω δέ ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος · ὁ ὑπό ὁ μικρός περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον πρός ὁ μή μικρός ἡμικύκλιον περιφέρεια προπίπτω εὐθύς b . εἰς γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ διάγω τις εὐθύς ὁ ΑΓ , ἀπό . λαμβάνω τμῆμα μή μικρός ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί ἐπί ὁ ΑΓ τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΑΕΓ , μή μείζων ἡμικύκλιον , κλίνω πρός ὁ μή μείζων ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΓ , καί διαιρέω ὁ ΑΕΓ περιφέρεια εἰς ἄνισος κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἵστημι μικρός ὁ ΑΕ περιφέρεια ὁ ΕΓ περιφέρεια , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΑ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό a ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος · πίπτω δή μεταξύ ὁ τε ΑΓ εὐθύς καί ὁ ΑΔΓ περιφέρεια , διά ὁ κλίνω ὁ ΑΕΓ τμῆμα πρός ὁ ΑΔΓ τμῆμα . πίπτω , καί ἵστημι ὁ ΕΖ , πη συμβάλλω ὁ κύκλος ἐπίπεδος κατά ὁ Ζ σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἤτοι δή ἐπί ὁ ΑΓ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ἢ μεταξύ ὁ τε ΑΓ εὐθύς καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια , διά ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὑπόκειμαι μή μικρός ἡμικύκλιον . ἔστω πρότερος μεταξύ ὁ τε ΑΓ εὐθύς καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια , καί ἵστημι ὁ ὁ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ δ , Β μέρος , καί ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προσβάλλω εὐθύς ὁ ΕΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ , ΖΘ . καί ἐπεί ὁ ΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ὁράω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΕΖ ἑκάτερος ὁ αζʹ , ΖΘ εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΕ , ΘΖΕ γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὁ αζʹ ὁ ΖΘ εἰμί μικρός , μικρός ἄρα εἰμί καί ὁ απὸ ὁ αζʹ ὁ ἀπό ὁ ΘΖ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ αζʹ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , ὁ ΑΕ ἄρα ὁ ΕΘ εἰμί μικρός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μικρός εἰμί ὁ ΑΕ , ὁ ἄρα ΑΕ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς . καί πάλιν ὁμοίως δείκνυμι , ὅτι ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος μικρός εἰμί , ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθύς πρός ὁ ἀπό ὁ Α ἄχρι ὁ Β περιφέρεια , μεταξύ δηλονότι ὁ Α , Β σημεῖον . ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΕΒ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΒ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς . ἐπεί γάρ ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ εἰμί μείζων , μείζων ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΒΖ ὁ ὁ ΖΘ · κοινός πρόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΒ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΘ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΘ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς ὁ ΕΒ μείζων εἰμί · ὁ ΕΒ ἄρα μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς . ἐπιζεύγνυμι δή καί ὁ ΕΓ · λέγω δή , ὅτι καί ὁ ΕΓ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Β , Γ σημεῖον . διάγω γάρ μεταξύ ὁ Β , Γ σημεῖον καί ἕτερος ὁ ΕΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , ΖΚ . καί ἐπεί ὁ ΓΖ ὁ ΖΚ εἰμί μικρός , μικρός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΚ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΓ , μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΚ · ὁ ΓΕ ἄρα μικρός εἰμί ὁ ΕΚ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΚΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Β , Γ σημεῖον μικρός εἰμί ὁ ΕΓ . καί πάλιν ὁμοίως δείκνυμι , ὅτι ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος εἰμί μικρός , ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Β , Γ σημεῖον . ὅμοιος δή δείκνυμι , κἀν ἡμικύκλιον εἰμί ὁ ΑΒΓ , ὅτι ὁ ΑΕ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς .