theodosius-astronomy.sphaerica 2.22.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται , ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνῃ μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ μέγιστος κύκλος · ἔτι δὲ ὁ a πόλος τοῦ μεγίστου μεταξὺ ᾖ τῶν παραλλήλων , καὶ γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων · κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν μέγιστον κύκλον , καὶ ὀρ θότατος μὲν ἔσται ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος , ταπεινότατος δὲ ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κα τὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος · τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτεραςοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ a κεκλιμένοι · ἀεὶ δὲ ὁ ποῤῥώτερον τὴν συναφὴν ἔχων τῆς διχοτομίας τοῦ μείζονος τμήματος , τοῦ ἔγγιον μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος . Ἔτι δὲ οἱ b πόλοι τῶν μεγίστων ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος , ἡ ἐστιν ἐκεῖνος , οὗ ἐφάψεται ὁ ἐξ ἀρχῆς μέγιστος κύκλος . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν ΕΖΗΘ τεμνέτω μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ κύκλου · ἔτι δὲ ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου μεταξὺ ἔστω τῶν ΑΔ , ΕΖΗΘ , καὶ ἔστω τὸ Κ σημεῖον , καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΘΥ ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖΗΘ , καὶ ἔστω ὁ μὲν ΒΖΓ κύκλος κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , ὁ δὲ ΥΘ κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου κατὰ τὸ Θ σημεῖον , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ἴσον ἀπεχέτωσαν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν , ὁ δὲ ΤΣ ἔστω ὡς ἔτυχε · λέγω , ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἔσται ὁ ΒΖΓ , ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι , ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΟΠΡ · ἔτι δὲ οἱ πόλοι τῶν ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ . Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τῶν ΑΔ , ΕΖΗΘ , καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον , καὶ διὰ τῶν Α , Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΛ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΑΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἀφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛ · ὁ ΑΛ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ c κύκλου πόλων , καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν . Καί ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον · ὁ ΑΛ ἄρα προςαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Κ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΛΚ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΕΖΗΘ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛΚ · ὁ ΑΛΚ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων . Καί ἐστι a τοῦ μὲν ΕΖΗ τμήματος διχοτομία τὸ Ζ , τοῦ δὲ ΕΘΗ τμήματος διχοτομία τὸ Θ · ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ , Θ σημείων . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΘΑΛΚΖ . Καὶ ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ μέγιστος · ἡ ΑΚ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΖΗΘ ἐλασσων ἐστὶ τοῦ μεγίστου , καί ἐστι μεταξὺ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ , καί ἐστιν αὐτοῦ πόλος τὸ Λ σημεῖον · ἡ ΛΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΚΖ μείζων ἐστὶ τῆς , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἡ δὲ ΛΖ ἐλάσσων · ἐὰν ἄρα τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἴσην ἀπολάβωμεν περιφέρειαν , μεταξὺ τῶν Α , Λ σημείων πεσεῖται . Ἀπειλήφθω αὐτῇ ἴση , καὶ ἔστω ἡ ΖΦ · καὶ πόλῳ μὲν τῷ Λ , διαστήματι δὲ τῷ ΛΦ κύκλος γεγράφθω ὁ ΦΧΨΩ , παράλληλος ἄρα ἐστὶ τοῖς ΑΔ , ΕΖΗΘ κύκλοις . Καὶ διὰ τοῦ Λ σημείου καὶ ἑκάστου τῶν Π , Ν , Τ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΝΛΩ , ΠΛΧ , ΤΑΨ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μέν ΝΛ τῇ ΛΖ , ἐκ τοῦ πόλου γὰρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ἡ δὲ ΛΩ τῇ ΛΦ , ἐκ τοῦ πόλου b γὰρ τοῦ ΦΧΨΩ · ὅλη ἄρα ἡ ΝΛΩ ὅλῃ τῇ ΖΛΦ ἐστιν ἴση . Καί ἐστιν ἡ ΖΛΦ ἴση τῇ , ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · καὶ ἡ ΝΛΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΧΛΠ , ΨΛΤ , ΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ , ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς τοῦ ΕΖΗΘ πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΝΛΩ · ὁ ἄρα ΝΛΩ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων , καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΜΝΞ κύκλος μέγιστός ἐστιν , ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · καί ἐστιν ἡ ΝΛΩ ἴση τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ω ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου · τὸ Ω ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ μὲν Φ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΖΓ κύκλου , τὸ δὲ Χ τοῦ ΟΠΡ , τὸ δὲ Ψ τοῦ ΣΤ , καὶ ἔτι τὸ τ τοῦ ΥΘ · οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι ἄρα τοὺς πόλους ἔχουσιν ἐπὶ ἑνὸς κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ . Λέγω δὴ , ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ , καὶ ὅτι ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ , ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι , ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΓΒ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΟΠΡ πρὸς τὸν ΑΒΓ . Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ Ζ ΖΠ περιφερείᾳ . Ἀλλ’ ἡ μὲν Ν τῇ Ϛτ ′ ἐστιν ὁμοία , ἡ δὲ ΖΠ τῇ τη , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ϛ τ περιφέρεια τῇ ητ περιφερείᾳ . Ἀλλ’ ἡ μὲν ητ περιφέρεια τῇ ΧΦ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶ , κατὰ κορυφὴν γὰρ , ἡ δὲ Ϛτ τῇ ΦΩ · καὶ ἡ ΦΩ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΧΦ . Κύκλου δέ τινος τοῦ ΦΧΨΩ ἐπὶ διαμέτρου , τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ τ , κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΦΚ τ a , καὶ ἀπειλημμένη ἐστὶν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ὅλου τμήματος περιφέρεια ἡ τ Κ , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΧΦ , ΦΩ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Ω ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ · ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ω . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΧΙΩ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΙΩ τῷ ΑΒΓ , περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτῷ , τὸ γὰρ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΧΙΩ κύκλος τῷ ΑΒΓ κύκλῳ , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ω καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον . Καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τοῦ Χ , Ω καθέτων ἀγομένων , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον · καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον . Ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου , ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ι ἀγομένῃ . Μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ Ω τοῦ Φ · καί ἐστι τὸ μὲν Ω πόλος τοῦ ΜΝ κύκλου , τὸ δὲ Φ τοῦ ΒΖΓ · ὁ ἄρα τοῦ ΜΝΞ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΒΖΓ κύκλου πόλου . Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι , μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι , ὁ ΜΝΞ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΒΖΓ κύκλος · ὁ ἄρα ΒΖΓ κύκλος ὀρθότερός ἐστι τοῦ ΜΝΞ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλων ἐφαπτομένων ὁ ΒΖΓ ὀρθότερός ἐστιν · ὀρθότατος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΖΓ . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ ὁ ΥΘ κύκλος ταπεινότατός ἐστιν . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ τ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ψ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον · μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ τ τοῦ Ψ . Καί ἐστι τὸ μὲν τ πόλος τοῦ ΥΘ κύκλου , τὸ δὲ Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου · ὁ ἄρα τοῦ ΥΘ πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΣΤ πόλου . Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι , μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι · ὁ ΥΘ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται , ἤπερ ὁ ΣΤ , ταπεινότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΥΘ τοῦ ΣΤ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐφαπτομένων ταπεινότερός ἐστιν ὁ ΥΘ · ὁ ΥΘ ἄρα ταπεινότατός a ἐστι . Καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον · τὰ Ω , Χ ἄρα σημεῖα ἴσον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου . Καί ἐστι τὸ μὲν Ω σημεῖον πόλος τοῦ ΜΝΞ κύκλου , τὸ δὲ Χ σημεῖον πόλος τοῦ ΟΠΡ κύκλου · τῶν ΜΝΞ , ΟΠΡ ἄρα κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου , ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι · οἱ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι . Πάλιν , ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον · μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τοῦ Χ τὸ Ψ . Καί ἐστι τὸ μὲν Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου , τὸ δὲ Χ πόλος τοῦ ΟΠΡ · ὁ ἄρα τοῦ ΣΤ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΟΠΡ κύκλου πόλου . Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι , μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι · ὁ ΣΤ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ . Οἱ ἄρα ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ , καὶ ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ , ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι , ὁ δὲ ΣΤ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ ἔτι δὲ οἱ πόλοι αὐτῶν ἐπὶ ἑνός εἰσι κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ κύκλου .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ἕτερος δέ οὗτος παράλληλος τέμνω μεταξύ εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὅς ἐφάπτω ὁ μέγας κύκλος · ἔτι δέ ὁ a πόλος ὁ μέγας μεταξύ εἰμί ὁ παράλληλος , καί γράφω μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ μείζων ὁ παράλληλος · κλίνω εἰμί πρός ὁ μέγας κύκλος , καί Ὅρ θότατος μέν εἰμί ὁ ὁ συναφή ἔχω κατά ὁ διχοτομία ὁ μείζων τμῆμα , ταπεινός δέ ὁ ὁ συναφή ἔχω ἄν ὁ ὁ διχοτομία ὁ μικρός τμῆμα · ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ἴσος ἀπέχω ὁποτεραςοῦν ὁ διχοτομία ὁμοίως εἰμί a κλίνω · ἀεί δέ ὁ πρόσω ὁ συναφή ἔχω ὁ διχοτομία ὁ μείζων τμῆμα , ὁ ἐγγύς μᾶλλον εἰμί κλίνω . ἔτι δέ ὁ b πόλος ὁ μέγας ἐπί εἷς εἰμί κύκλος παράλληλος τε καί μικρός , ὁ εἰμί ἐκεῖνος , ὅς ἐφάπτω ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΔ ἐφάπτω κατά ὁ Α σημεῖον , ἕτερος δέ οὗτος παράλληλος ὁ ΕΖΗΘ τέμνω μεταξύ εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ΑΔ κύκλος · ἔτι δέ ὁ πόλος ὁ ΑΒΓ κύκλος μεταξύ ἵστημι ὁ ΑΔ , ΕΖΗΘ , καί ἵστημι ὁ Κ σημεῖον , καί γράφω μέγας κύκλος ὁ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΘΥ ἐφάπτω ὁ μείζων ὁ παράλληλος ὁ ΕΖΗΘ , καί ἵστημι ὁ μέν ΒΖΓ κύκλος κατά ὁ διχοτομία ὁ μείζων τμῆμα ὁ ΕΖΗΘ κατά ὁ Ζ σημεῖον , ὁ δέ ΥΘ κατά ὁ διχοτομία ὁ μικρός τμῆμα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος κατά ὁ Θ σημεῖον , ὁ δέ ΜΝΞ , ΟΠΡ ἴσος ἀπέχω ὁποτερασοῦν ὁ διχοτομία , ὁ δέ ΤΣ ἵστημι ὡς τυγχάνω · λέγω , ὅτι ὁ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλος κλίνω εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος καί ὀρθός μέν αὐτός εἰμί ὁ ΒΖΓ , ταπεινός δέ ὁ ΥΘ , ὁ δέ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰμί κλίνω , ὁ δέ ΣΤ πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΟΠΡ · ἔτι δέ ὁ πόλος ὁ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ ἐπί εἷς εἰμί κύκλος παράλληλος τε καί μικρός ὁ ΑΔ . λαμβάνω γάρ ὁ πόλος ὁ παράλληλος ὁ ΑΔ , ΕΖΗΘ , καί ἵστημι ὁ Λ σημεῖον , καί διά ὁ Α , Λ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΛ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΑΔ ἐφάπτω ἀλλήλων , διά δέ ὁ ὁ εἷς πόλος καί ὁ ἀφῆς μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΛ · ὁ ΑΛ ἄρα ἥκω καί διά ὁ ὁ ΑΒΓ c κύκλος πόλος , καί εἰμί ὀρθός πρός αὐτός . καί εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος πόλος ὁ Κ σημεῖον · ὁ ΑΛ ἄρα προαναπληρόω ἥκω καί διά ὁ Κ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΑΛΚ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΕΖΗΘ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΛΚ · ὁ ΑΛΚ ἄρα δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος . καί εἰμί a ὁ μέν ΕΖΗ τμῆμα διχοτομία ὁ Ζ , ὁ δέ ΕΘΗ τμῆμα διχοτομία ὁ Θ · ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρόω ἥκω καί διά ὁ Ζ , Θ σημεῖον . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΚΛ . καί ἐπεί ὁ Κ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰμί ὁ ΑΒΓ μέγας · ὁ ΑΚ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ὁ ΕΖΗΘ μικρός εἰμί ὁ μέγας , καί εἰμί μεταξύ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ΑΔ , καί εἰμί αὐτός πόλος ὁ Λ σημεῖον · ὁ ΛΖ ἄρα μικρός εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΑΚΖ μείζων εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ὁ δέ ΛΖ μικρός · ἐάν ἄρα ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ἀπό ὁ Ζ σημεῖον ἴσος ἀπολαμβάνω περιφέρεια , μεταξύ ὁ Α , Λ σημεῖον πίπτω . ἀπολαμβάνω αὐτός ἴσος , καί ἵστημι ὁ ΖΦ · καί πόλος μέν ὁ Λ , διάστημα δέ ὁ ΛΦ κύκλος γράφω ὁ φχψωʹ , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ , ΕΖΗΘ κύκλος . καί διά ὁ Λ σημεῖον καί ἕκαστος ὁ Π , Ν , Τ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΝΛ , ΠΛΧ , ΑΤ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΝΛ ὁ ΛΖ , ἐκ ὁ πόλος γάρ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὁ δέ λῶ ὁ ΛΦ , ἐκ ὁ πόλος b γάρ ὁ φχψωʹ · ὅλος ἄρα ὁ ΝΛ ὅλος ὁ ΖΛΦ εἰμί ἴσος . καί εἰμί ὁ ΖΛΦ ἴσος ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · καί ὁ ΝΛ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ΧΛΠ , ΨΛΤ , ΛΘ ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΜΝΞ , ΕΖΗΘ ἐφάπτω ἀλλήλων , διά δέ ὁ ὁ εἷς ὁ ΕΖΗΘ πόλος καί ὁ ἁφή μέγας κύκλος γράφω ὁ ΝΛ · ὁ ἄρα ΝΛ ἥκω καί διά ὁ ὁ ΜΝΞ πόλος , καί εἰμί ὀρθός πρός αὐτός . καί ἐπεί ὁ ΜΝΞ κύκλος μέγας εἰμί , ὁ ἄρα ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · καί εἰμί ὁ ΝΛ ἴσος ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ Ω ἐκ ὁ πόλος εἰμί ὁ ΜΝΞ κύκλος · ὁ Ω ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΜΝΞ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν Φ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΒΖΓ κύκλος , ὁ δέ Χ ὁ ΟΠΡ , ὁ δέ Ψ ὁ ΣΤ , καί ἔτι ὁ τ ὁ ΥΘ · ὁ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλος ἄρα ὁ πόλος ἔχω ἐπί εἷς κύκλος παράλληλος τε καί μικρός ὁ ΑΔ . λέγω δή , ὅτι ὁ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος κλίνω εἰμί , καί ὅτι ὀρθός μέν εἰμί αὐτός ὁ ΒΖΓ , ταπεινός δέ ὁ ΥΘ , ὁ δέ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰμί κλίνω , ὁ δέ ΣΤ πρός ὁ ΑΓΒ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΟΠΡ πρός ὁ ΑΒΓ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΝΖ περιφέρεια ὁ ΖΠ περιφέρεια , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΝΖ περιφέρεια ὁ Ζ ΖΠ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν Ν ὁ Ϛτ ′ εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΖΠ ὁ ὅς , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ϛ τ περιφέρεια ὁ ητ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν ητ περιφέρεια ὁ ΧΦ περιφέρεια ἴσος εἰμί , κατά κορυφή γάρ , ὁ δέ Ϛτ ὁ ΦΩ · καί ὁ ΦΩ ἄρα περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΧΦ . Κύκλος δέ τις ὁ φχψωʹ ἐπί διάμετρος , ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ τ , κύκλος τμῆμα ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΦΚ τ a , καί ἀπολαμβάνω εἰμί μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος τμῆμα περιφέρεια ὁ τ Κ , ἀπό δέ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΧΦ , ΦΩ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Κ σημεῖον ἐπί ὁ Χ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ Ω ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ ΚΧ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Ω . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ Χῖος · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Χῖος ὁ ΑΒΓ , περί γάρ ὁ αὐτός πόλος εἰμί αὐτός , ὁ γάρ Κ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ Χῖος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Χ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ω κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος . καί ὁ ἀπό ὁ Ι κάθετος ἄγω ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ἀπό ὁ Χ , Ω κάθετος ἄγω , ὁ δέ ἀπό ὁ Ι κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · καί ὁ ἀπό ὁ Ω ἄρα κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος . ὡσαύτως δέ καί ὁ ἀπό ὁ Χ κάθετος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ κάθετος , ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ι ἄγω . μετέωρος ἄρα εἰμί ὁ Ω ὁ Φ · καί εἰμί ὁ μέν Ω πόλος ὁ ΜΝ κύκλος , ὁ δέ Φ ὁ ΒΖΓ · ὁ ἄρα ὁ ΜΝΞ κύκλος πόλος μετέωρος εἰμί ὁ ΒΖΓ κύκλος πόλος . ὅς δέ κύκλος ὁ πόλος μετέωρος εἰμί , μάλα εἰμί κλίνω , ὁ ΜΝΞ ἄρα κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΒΖΓ κύκλος · ὁ ἄρα ΒΖΓ κύκλος ὀρθός εἰμί ὁ ΜΝΞ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφάπτω ὁ ΒΖΓ ὀρθός εἰμί · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ΒΖΓ . λέγω δή , ὅτι καί ὁ ΥΘ κύκλος ταπεινός εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ τ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ψ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · μετέωρος ἄρα εἰμί ὁ τ ὁ Ψ . καί εἰμί ὁ μέν τ πόλος ὁ ΥΘ κύκλος , ὁ δέ Ψ πόλος ὁ ΣΤ κύκλος · ὁ ἄρα ὁ ΥΘ πόλος μετέωρος εἰμί ὁ ΣΤ πόλος . ὅς δέ κύκλος ὁ πόλος μετέωρος εἰμί , μάλα εἰμί κλίνω · ὁ ΥΘ ἄρα κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος μᾶλλον κλίνω , ἤ2 ὁ ΣΤ , ταπεινός ἄρα εἰμί ὁ ΥΘ ὁ ΣΤ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφάπτω ταπεινός εἰμί ὁ ΥΘ · ὁ ΥΘ ἄρα ταπεινός a εἰμί . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Ω κάθετος ἄγω ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ Ω , Χ ἄρα σημεῖον ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ ἐπίπεδος . καί εἰμί ὁ μέν Ω σημεῖον πόλος ὁ ΜΝΞ κύκλος , ὁ δέ Χ σημεῖον πόλος ὁ ΟΠΡ κύκλος · ὁ ΜΝΞ , ΟΠΡ ἄρα κύκλος ὁ πόλος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅς δέ κύκλος ὁ πόλος ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ὁμοίως εἰμί κλίνω · ὁ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁμοίως εἰμί κλίνω . πάλιν , ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Ψ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Χ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · μετέωρος ἄρα εἰμί ὁ Χ ὁ Ψ . καί εἰμί ὁ μέν Ψ πόλος ὁ ΣΤ κύκλος , ὁ δέ Χ πόλος ὁ ΟΠΡ · ὁ ἄρα ὁ ΣΤ κύκλος πόλος μετέωρος εἰμί ὁ ΟΠΡ κύκλος πόλος . ὅς δέ κύκλος ὁ πόλος μετέωρος εἰμί , μάλα εἰμί κλίνω · ὁ ΣΤ ἄρα κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος μᾶλλον κλίνω ἤ2 ὁ ΟΠΡ . ὁ ἄρα ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος κλίνω εἰμί , καί ὀρθός μέν εἰμί αὐτός ὁ ΒΖΓ , ταπεινός δέ ὁ ΥΘ , ὁ δέ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰμί κλίνω , ὁ δέ ΣΤ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος μᾶλλον κλίνω ἤ2 ὁ ΟΠΡ ἔτι δέ ὁ πόλος αὐτός ἐπί εἷς εἰμί κύκλος παράλληλος τε καί μικρός ὁ ΑΔ κύκλος .