theodosius-astronomy.sphaerica 2.10.1
Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν , αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων ὅμοιαί εἰσιν , αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσίν . a Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι παράλληλοι οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΕΗΓ , ΒΖΘΔ λέγω , ὅτι αἱ μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι , αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων , ὅμοιαί εἰσι , τοῦτ’ ἔστιν , ὅτι ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια ὁμοία ἐστὶ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΗΘ , ἡ δὲ ΔΑ τῇ ΘΕ , καὶ ἔτι ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ αἱ δὲ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ἴσαι εἰσί . τοῦτ’ ἔστιν , ὅτι αἱ τέσσαρες αἱ ΖΒ , ΗΓ , ΘΔ , ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΖΘΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ , τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΗΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ , τοῦ δὲ ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΚΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ , τοῦ δὲ ΕΖΗΘ καὶ τοῦ ΕΚΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΗΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ΑΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ ΒΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου · τὸ Λ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . Πάλιν ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΗΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΖΗΘ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ΕΗ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΖΘ διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου · τὸ Μ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΒΖΘΔ , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΖΘ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΕΗ παράλληλός ἐστιν . Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΛ , ΛΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΖΜ , ΜΗ εἰσι , μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι , ἴσας γωνίας περιέξουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΛΓ γωνίᾳ . Καί εἰσι πρὸς τοῖς κέντροις , καὶ βέβηκεν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΜΗ γωνία ἐπὶ τῆς ΖΗ περιφερείας , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΛΓ γωνία ἐπὶ τῆς ΒΓ περιφερείας · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΖΗ περιφερείᾳ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ μὲν ΓΔ περιφέρεια ὁμοία ἐστὶ τῇ ΗΘ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΕΘ , καὶ ἔτι ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ . Αἱ ἄρα τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι , αἱ μεταξὺ τῶν μεγίστων κύκλων , ὅμοιαί εἰσι . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ αἱ τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι , αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων , ἴσαι εἰσίν . Ἐπεὶ γὰρ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΚΑ , ΚΒ , ΚΓ , ΚΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί . Πάλιν ἐπεὶ τὸ Κ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ , ΚΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί λοιπαὶ ἄρα αἱ τέσσαρες αἱ ΕΑ , ΖΒ , ΗΓ , ΘΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Αἱ ἄρα τῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι , αἱ μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων , ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω , ὁ μέν ὁ παράλληλος κύκλος περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ μέγας κύκλος ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ ὁ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος Ἴσαι εἰμί . a εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος παράλληλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ λέγω , ὅτι ὁ μέν ὁ παράλληλος κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ μέγας κύκλος , ὅμοιος εἰμί , οὗτος εἰμί , ὅτι ὁ μέν ΒΓ περιφέρεια ὅμοιος εἰμί ὁ ΖΗ περιφέρεια , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΔΑ ὁ ΘΕ , καί ἔτι ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ ὁ δέ ὁ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος Ἴσαι εἰμί . οὗτος εἰμί , ὅτι ὁ τέσσαρες ὁ ΖΒ , ΗΓ , ΘΔ , ΕΑ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ἔστω γάρ ὁ μέν ΑΒΓΔ κύκλος καί ὁ ΒΖΘΔ κοινός τομή ὁ ΒΔ , ὁ δέ ΑΒΓΔ κύκλος καί ὁ ΑΗΓ κοινός τομή ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΕΖΗΘ κύκλος καί ὁ ΖΚΘ κοινός τομή ὁ ΖΘ , ὁ δέ ΕΖΗΘ καί ὁ ἔκω κοινός τομή ὁ ΕΗ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΗΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓΔ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΓ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΒΔ διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · ὁ Λ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . πάλιν ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΗΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΕΖΗΘ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΕΗ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΖΘ διάμετρος εἰμί ὁ ΕΖΗΘ κύκλος · ὁ Μ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ ὑπό τις ἐπίπεδος τέμνω ὁ ΒΖΘΔ , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΖΘ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΑ ὁ ΕΗ παράλληλος εἰμί . ἐπεί οὖν δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΒΛ , ΛΓ παρά δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΖΜ , μη εἰμί , μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί , ἴσος γωνία περιέχω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΜΖΗ γωνία ὁ ὑπό ΒΛΓ γωνία . καί εἰμί πρός ὁ κέντρον , καί βαίνω ὁ μέν ὑπό ΜΖΗ γωνία ἐπί ὁ ΖΗ περιφέρεια , ὁ δέ ὑπό ΒΛΓ γωνία ἐπί ὁ ΒΓ περιφέρεια · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ περιφέρεια ὁ ΖΗ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΓΔ περιφέρεια ὅμοιος εἰμί ὁ ΗΘ περιφέρεια , ὁ δέ ΑΔ ὁ ΕΘ , καί ἔτι ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ . ὁ ἄρα ὁ παράλληλος κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ μέγας κύκλος , ὅμοιος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ὁ ὁ μέγας κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος , Ἴσαι εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Κ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΚΑ , ΚΒ , ΚΓ , ΚΔ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . πάλιν ἐπεί ὁ Κ Κ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ , ΚΘ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί λοιπός ἄρα ὁ τέσσαρες ὁ ΕΑ , ΖΒ , ΗΓ , ΘΔ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα ὁ μέγας κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος , Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί .