theodosius-astronomy.sphaerica 1.1.1
Ἐὰν σφαιρικὴ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ , ἡ γενομένη ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν . Σφαιρικὴ γὰρ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω , ποιείσθω δὲ καὶ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὴν ΑΒΓ γραμμήν · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν . Εἰ μὲν οὖν τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας · φανερὸν , ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν · αἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί καί ἐστιν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὥστε αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί . καὶ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον διὰ κέντρου τῆς σφαίρας ὄν · ὥτε ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν , ἧς κέντρον τὸ αὐτὸ , ὃ καὶ τῆς σφαίρας . Πόρισμα α ′ . Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν , ὅτι τοῦ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὄντος κύκλου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ καὶ τῆς σφαῖρας ( α ) . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , τὸ δὲ κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον · καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ , καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπό του Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν εὐθεῖαι αἱ ΕΑ , ΕΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ , ΔΒ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ , καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ , ΕΔ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ , ΕΔ , ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΔ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ , ΕΔ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ . Ὁμοίως δὴ b δείξομεν , ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ἡ ἄρα ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν , ἧς κέντρον τὸ Ε . Πόρισμα β ′ . Ἐκ δὴ c τούτου φανερὸν , ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθε τος ἀγομένη ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου .
Lemmas: ἐάν σφαιρικός ἐπιφάνεια ἐπίπεδος τις τέμνω , ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί . σφαιρικός γάρ ἐπιφάνεια ἐπίπεδος τις τέμνω , ποιέω δέ καί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓ γραμμή · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί . εἰμί μέν οὖν ὁ τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα · φανερός , ὅτι ὁ ΑΒΓ γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί · ὁ γάρ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πρός ὁ ἐπιφάνεια προσπίπτω Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί καί εἰμί ὁ ΑΒΓ γραμμή ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὥστε ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ γραμμή προσπίπτω Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . καί ὑπόκειμαι ὁ ΑΒΓ ἐπίπεδος διά κέντρον ὁ σφαῖρα εἰμί · ὥτε ὁ ΑΒΓ γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί , ὅς κέντρον ὁ αὐτός , ὅς καί ὁ σφαῖρα . πόρισμα ὅς ′ . καί ἐκ οὗτος φανερός , ὅτι ὁ διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα εἰμί κύκλος ὁ αὐτός κέντρον εἰμί καί ὁ σφαῖρα ( ὅς ) . ἀλλά δή μή ἵστημι ὁ τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ δέ κέντρον ὁ σφαῖρα ἵστημι ὁ δ σημεῖον · καί ἀπό ὁ δ σημεῖον ἐπί ὁ τέμνω ἐπίπεδος κάθετος ἄγω ὁ ΔΕ , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Ε σημεῖον , καί προσπίπτω ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ γραμμή εὐθύς ὁ ΕΑ , ΕΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΑ , ΔΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΔ ἴσος ὁ ἀπό ΑΕ , ΕΔ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΔΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ΕΔ , ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Ε γωνία · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ΕΔ κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ . ὅμοιος δή b δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ΑΒΓ γραμμή προσπίπτω Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί · ὁ ἄρα ΑΒΓ γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί , ὅς κέντρον ὁ Ε . πόρισμα Β ′ . ἐκ δή c οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθε ὅς ἄγω ἐπί ὁ κέντρον πίπτω ὁ κύκλος .