theodosius-astronomy.sphaerica 3.1.1
Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον , καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου , διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα · ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μείζονα περιφέρειαν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου προσπιπτουσῶν εὐθειῶν , καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου μεταξὺ τῆς ἐλαχίστης καὶ τῆς διαμέτρου , ἐφ’ ἣν ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου κάθετος πίπτει , διαγομένων εὐθειῶν · πασῶν δὲ μεγίστη ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ τὸ πέρας τῆς αὐτῆς διαμέτρου · ἔτι δὲ ἡ ὑπὸ τὴν μείζονα περιφέρειαν τοῦ τμήματος ἐφεστῶτος ὑποτείνουσα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς διαμέτρου προσπιπτουσῶν a εὐθειῶν , καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων . Ἐὰν δὲ ἡ διαχθεῖσα διάμετρος ᾖ τοῦ κύκλου , τὰ δὲ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ · ἐλάσσων μὲν ἔσται ἡ προσκειμένη a εὐθεῖα πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν , μεγίστη δὲ ἡ ὑπὸ τὴν μείζονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα . Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΒΔ , εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον , ἔστω δὲ μείζων ἡ ΒΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΑΔ περιφερείας · καὶ ἐπὶ τῆς ΒΔ b ὀρθὸν τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΒΕΔ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου , καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΕΔ περιφέρεια εἰς ἄνισα τμήματα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΒΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ · λέγω , ὅτι ἡ ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν . Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΕΖ , πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ΑΒΓΔ , ΒΕΔ ἐπιπέδων , τὴν ΒΔ εὐθεῖαν , ἐπειδήπερ τὸ ΒΕΔ τμῆμα , ὀρθόν ἐστι · πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . Καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Η , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Θ , Κ μέρη · καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προςβεβλήσθω ἡ ΕΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΛ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας · ἅπτεται δὲ τῆς ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΖΒ , ΖΛ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ , καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ , ΛΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστι . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΛ ἐλάσσων ἐστὶν , ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΛ · κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς EΖ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΒ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΛ . Ἄλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ , τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΛ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΛΕ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ · ἡ ἄρα ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων , τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β , Κ σημείων . Διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΕΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΖ τῆς ΖΓ ἐστὶν ἐλάσσων , ἔλαττον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΛ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ · κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΛ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΓ , Ἀλλὰ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΛΖ , ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ , τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ , ἐλάσσων ἄρα ἡ ΛΕ τῆς ΕΓ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΕΒ , τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β , Κ . Ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΕΚ , ΕΔ · λέγω δὴ πάλιν , ὅτι ἡ μὲν ΕΚ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Δ , Β σημείων . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΚΖ τῆς ΓΖ μείζων ἐστί , μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ · κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΚΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ , μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΓ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ · μείζων ἄρα ἡ ΚΕ τῆς ΕΓ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΚ · ἡ ἄρα ΕΚ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὸν ΒΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν . Λέγω δὴ , ὅτι a καὶ ἡ ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ , Δ σημείων . Διήχθω γὰρ καὶ ἑτέρα ἡ ΕΜ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΖ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΜ ἐστιν ἐλάσσων , ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ · κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΔ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ , ἐλασσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΜ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΜ · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῆς ΕΜ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ , Δ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΔ · ἡ ἄρα ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ , Δ σημείων , καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ , τῶν μεταξὺ τῶν Κ , Δ σημείων διαγομένων εὐθειῶν . Ἀλλὰ δὴ ἡ διαγομένη ΒΔ διάμετρος ἔστω τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , τὰ δὲ αὐτὰ λοιπὰ ὑποκείσθω · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΒ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν , ἡ δὲ ΕΔ μεγίστη . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΕ περιφέρεια τῆς ΕΒ περιφερείας , καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΕΖ · μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΒ . Καί ἐστιν ἡ ΒΔ διάμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου · ἐπὶ τῆς ΔΖ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΖΓ , ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΒ , ὥστε καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ · κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ · τὰ μὲν ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ , μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ · τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ , μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΕ , τοῦτ’ ἔστι , τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ · ἡ μὲν ΔΕ ἄρα τῆς ΕΓ μείζων ἐστὶν , ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΕΒ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη a μέν ἐστιν ἡ ΔΕ , ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΒ . Μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν , ἡ δὲ ΕΒ ἐλαχίστη .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος διάζομαι τις εὐθύς εἰς ἄνισος τέμνω ὁ κύκλος , καί ἐπί αὐτός τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι μή μείζων ἡμικύκλιον , διαιρέω δέ ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος · ὁ ὑπό ὁ μικρός περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον πρός ὁ μείζων περιφέρεια ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος προσπίπτω εὐθύς , καί ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος εἰμί μικρός ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον μεταξύ ὁ μικρός καί ὁ διάμετρος , ἐπί ὅς ὁ ἀπό ὁ σημεῖον κάθετος πίπτω , διάγω εὐθύς · πᾶς δέ μέγας ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ἐπί ὁ πέρας ὁ αὐτός διάμετρος · ἔτι δέ ὁ ὑπό ὁ μείζων περιφέρεια ὁ τμῆμα ἐφίστημι ὑποτείνω μικρός εἰμί πᾶς ὁ μεταξύ αὐτός καί ὁ διάμετρος προσπίπτω a εὐθύς , καί ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος εἰμί μικρός . ἐάν δέ ὁ διάγω διάμετρος εἰμί ὁ κύκλος , ὁ δέ λοιπάς ὁ αὐτός ὑπάρχω · μικρός μέν εἰμί ὁ πρόσκειμαι a εὐθύς πᾶς ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον πρός ὁ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος περιφέρεια προπίπτω εὐθύς , μέγας δέ ὁ ὑπό ὁ μείζων περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς . εἰς γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ διάγω τις εὐθύς ὁ ΒΔ , εἰς ἄνισος τέμνω ὁ κύκλος , ἵστημι δέ μείζων ὁ ΒΓΔ περιφέρεια ὁ ΔΑΒ περιφέρεια · καί ἐπί ὁ ΒΔ b ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΒΕΔ μή μείζων ἡμικύκλιον , καί διαιρέω ὁ ΒΕΔ περιφέρεια εἰς ἄνισος τμῆμα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἵστημι μικρός ὁ ΒΕ περιφέρεια ὁ ΕΔ περιφέρεια , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ · λέγω , ὅτι ὁ ΒΕ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓΔ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΕΖ , πίπτω δή ἐπί ὁ κοινός τομή ὁ ΑΒΓΔ , ΒΕΔ ἐπίπεδος , ὁ ΒΔ εὐθύς , ἐπεί ὁ ΒΕΔ τμῆμα , ὀρθός εἰμί · πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , καί ἵστημι ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ , Κ μέρος · καί ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓΔ περιφέρεια προβάλλω ὁ ΕΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΛ . καί ἐπεί ὁ ΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία · ἅπτω δέ ὁ ΕΖ ἑκάτερος ὁ ΖΒ , ΖΛ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ὑπό ΒΖΕ , ΕΖ γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΒΖ ὁ ΖΛ μικρός εἰμί , μικρός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ὁ ἀπό ὁ ΖΛ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ EΖ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΒ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΛ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΕ · καί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΕ , μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΛΕ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓΔ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μικρός εἰμί ὁ ΒΕ · ὁ ἄρα ΒΕ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΓΔ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς . λέγω δή , ὅτι καί ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος εἰμί μικρός , ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθύς μεταξύ ὁ Β , Κ σημεῖον . διάγω γάρ τις καί ἕτερος ὁ ΕΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ . καί ἐπεί ὁ ΛΖ ὁ ΖΓ εἰμί μικρός , μικρός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΖΛ ὁ ἀπό ὁ ΖΓ · κοινός πρόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΛ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΓ , ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΛΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΕ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ · καί ὁ ἀπό ὁ ΛΕ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ , μικρός ἄρα ὁ ΛΕ ὁ ΕΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ ΕΒ , ὁ ἀπώτερος μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθύς μεταξύ ὁ Β , Κ . ἐπιζεύγνυμι δή καί ὁ ΕΚ , ΕΔ · λέγω δή πάλιν , ὅτι ὁ μέν ΕΚ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθύς μεταξύ ὁ δ , Β σημεῖον . ἐπεί γάρ ὁ ΚΖ ὁ ΓΖ μείζων εἰμί , μείζων ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΚΖ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ · κοινός πρόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΚ , μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΓ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΓ · μείζων ἄρα ὁ ΚΕ ὁ ΕΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΔ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς μείζων εἰμί ὁ ΕΚ · ὁ ἄρα ΕΚ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΒΔ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς . λέγω δή , ὅτι a καί ὁ ΕΔ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον προπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Κ , δ σημεῖον . διάγω γάρ καί ἕτερος ὁ ΕΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΖ . καί ἐπεί ὁ ΔΖ ὁ ΖΜ εἰμί μικρός , μικρός ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΜ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΔ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΔ , μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΜ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΜ · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΜ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΚΔ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Κ , δ σημεῖον μικρός εἰμί ὁ ΕΔ · ὁ ἄρα ΕΔ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΚΔ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μεταξύ ὁ Κ , δ σημεῖον , καί ἀεί ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος μικρός εἰμί , ὁ μεταξύ ὁ Κ , δ σημεῖον διάγω εὐθύς . ἀλλά δή ὁ διάγω ΒΔ διάμετρος ἵστημι ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ὁ δέ αὐτός λοιπάς ὑπόκειμαι · λέγω , ὅτι ὁ μέν ΕΒ μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περιφέρεια προπίπτω εὐθύς , ὁ δέ ΕΔ μέγας . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ἐπεί μείζων εἰμί ὁ ΔΕ περιφέρεια ὁ ΕΒ περιφέρεια , καί κάθετος ἄγω ὁ ΕΖ · μείζων ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΖ ὁ ΖΒ . καί εἰμί ὁ ΒΔ διάμετρος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · ἐπί ὁ ΔΖ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος · μείζων ἄρα εἰμί ὁ μέν ΔΖ ὁ ΖΓ , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΖΒ , ὥστε καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΔΖ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΖΓ ὁ ἀπό ὁ ΖΒ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ · ὁ μέν ἄρα ἀπό ὁ ΔΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΕΔ , μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΓΕ · ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΓΕ , μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , ΖΕ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΒΕ · ὁ μέν ΔΕ ἄρα ὁ ΕΓ μείζων εἰμί , ὁ δέ ΕΓ ὁ ΕΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περιφέρεια προπίπτω εὐθύς μέγας a μέν εἰμί ὁ ΔΕ , μικρός δέ ὁ ΕΒ . Μεγίστη ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περιφέρεια προπίπτω εὐθύς , ὁ δέ ΕΒ μικρός .