ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
theodosius-astronomy.sphaerica 1.0.1
α ′ . Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερε ὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον , πρὸς ἣν , ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων , πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . β ′ . Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ τοιοῦτο σημεῖόν ἐστιν . γ ′ . Ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη , καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , περὶ ἣν μένουσαν εὐθεῖαν ἡ σφαῖρα στρέφεται . δ ′ . Πόλοι δὲ τῆς σφαίρας εἰσὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος ( α ) , δηλα δὴ τῆς διαμέτρου . ε ′ . Κύκλου πόλος ἐν σφαίρᾳ ἐστὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ἀφ’ οὗ πᾶσαι προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Ϛ ′ . Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδ ον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται , καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον , ὅταν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν .
Lemmas: ὅς ′ . σφαῖρα εἰμί σχῆμα στερ εἰμί ὑπό εἷς ἐπιφάνεια περιέχω , πρός ὅς , ἀπό εἷς σημεῖον ὁ ἐντός ὁ σχῆμα κεῖμαι , πᾶς ὁ προσπίπτω εὐθύς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . Β ′ . κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ὁ τοιοῦτος σημεῖον εἰμί . γ ′ . Ἄξων δέ ὁ σφαῖρα εἰμί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ἄγω , καί περατόω ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , περί ὅς Μένων εὐθύς ὁ σφαῖρα στρέφω . δ ′ . Πόλος δέ ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ πέρας ὁ ἄγω ( ὅς ) , δῆλος δή ὁ διάμετρος . ε ′ . Κύκλος πόλος ἐν σφαῖρα εἰμί σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ἀπό ὅς πᾶς προσπίπτω εὐθύς πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . Ϛ ′ . ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος εἰμί ὁμοίως κλίνω λέγω , καί ἕτερος πρός ἕτερος , ὅταν ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ πρός ὀρθός ἄγω εὐθύς ἐν ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος πρός ὁ αὐτός σημεῖον ἴσος γωνία περιέχω .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.2.1
Τῆς δοθείσης σφαίρας τὸ κέντρον εὑρεῖν . Ἔστω δοθεῖσα σφαῖρα , δεῖ δὲ τὸ αὐτῆς κέντρον εὑρεῖν . Τετμήσθω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τινὶ , ποιήσει δὲ τομὴν κύκλον . Ποιείτω τὸν ΑΒΓ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον , καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΔΕ , καὶ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ε , Ζ , καὶ τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η σημείον · λέγω , ὅτι τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας . Μὴ γὰρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατὸν , ἔστω τὸ Θ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω , καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Κ σημεῖον · τὸ ἄρα Κ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου · ἀλλὰ καὶ τὸ Δ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλο πλὴν τὸ Η . Τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας . Πόρισμα . Ἐκ δὴ a τούτου φανερὸν , ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἀνασταθῇ , ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης τὸ κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας .
Lemmas: ὁ δίδωμι σφαῖρα ὁ κέντρον εὑρίσκω . ἔστω δίδωμι σφαῖρα , δεῖ δέ ὁ αὐτός κέντρον εὑρίσκω . τέμνω ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐπίπεδος τις , ποιέω δέ τομή κύκλος . ποιέω ὁ ΑΒΓ , καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον , καί ἵστημι ὁ δ σημεῖον , καί ἀπό ὁ δ σημεῖον ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΔΕ , καί ἐκβάλλω καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Ε , Ζ , καί τέμνω ὁ ΕΖ δίχα κατά ὁ ὁ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἵστημι ὁ Θ , καί ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ἄγω , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Κ σημεῖον · ὁ ἄρα Κ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος · ἀλλά καί ὁ δ , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὁ Θ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος πλήν ὁ ὁ . ὁ ὁ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . πόρισμα . ἐκ δή a οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον αὐτός ὁ ἐπίπεδος αὐτός πρός ὀρθός εὐθύς ἀνίστημι , ἐπί ὁ ἀνίστημι ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.3.1
Σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ b ἅπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα , ἢ ἕν . Εἰ γὰρ δυνατὸν , σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος ἁπτέσθω κατὰ πλείονα σημεῖα τὰ Α , Β . καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΒΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΓ , ΒΓ ἐπίπεδον · τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλου περιφέρειαν , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΔΑΒ κύκλον , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΕΑΒΖ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον οὐ τέμνει τὴν σφαῖραν , ἔστι δὲ ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ κύκλος , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ ἡ εὐθεῖα , οὐδὲ τὸν ΔΑΒ κύκλον ἄρα τέμνει ἡ ΕΑΒΖ εὐθεῖα . Ἐπεὶ οὖν κυκλου τοῦ ΔΑΒ ἐπὶ τῆς περιφερείας εἴληπται δύο σημεῖα τυχόντα τὰ Α , Β , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου ΔΑΒ , ἀλλὰ καὶ ἐκτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Σφαῖρα ἄρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ ἅψεται κατὰ πλείονα σημεῖα , ἢ ἕν .
Lemmas: σφαῖρα ἐπίπεδος μή τέμνω οὐ b ἅπτω κατά πλείων σημεῖον , ἢ εἷς . εἰμί γάρ δυνατός , σφαῖρα ἐπίπεδος μή τέμνω ἅπτω κατά πλείων σημεῖον ὁ Α , Β . καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Γ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΒΓ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΑΓ , ΒΓ ἐπίπεδος · τομή δή ποιέω ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κύκλος περιφέρεια , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος εὐθύς . ποιέω οὖν ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΔΑΒ κύκλος , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος εὐθύς ὁ ΑΒΕΖ . καί ἐπεί ὁ ἐπίπεδος οὖον τέμνω ὁ σφαῖρα , εἰμί δέ ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ κύκλος , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος ὁ εὐθύς , οὐδέ ὁ ΔΑΒ κύκλος ἄρα τέμνω ὁ ΑΒΕΖ εὐθύς . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΔΑΒ ἐπί ὁ περιφέρεια λαμβάνω δύο σημεῖον τυγχάνω ὁ Α , Β , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐντός πίπτω ὁ κύκλος ΔΑΒ , ἀλλά καί ἐκτός · ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . σφαῖρα ἄρα ἐπίπεδος μή τέμνω οὐ ἅπτω κατά πλείων σημεῖον , ἢ εἷς .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.4.1
Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος , ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον . Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου τινὸς ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Β σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑ λέγω , ὅτι ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον . Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον , τομὴν δὲ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλον , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΓΔ κύκλον , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΕΑΖ εὐθεῖαν . Πάλιν δὲ διὰ τῆς ΑΒ ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω , καὶ ποιείτω τὴν τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΘ κύκλον , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΚΑΛ εὐθεῖαν . Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ἐφάπτεται τῆς σφαίρας , καὶ ἡ ΕΑΖ ἄρα εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου . Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΑΖ κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπέζευκται ἡ ΑΒ , ἡ ΑΒ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΑΖ , καὶ φανερὸν , ὅτι τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΓΔ κύκλου , ἐπειδήπερ ἐκβέβληται διὰ τῆς ΒΑ , οὔσης ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ἐπίπεδον τὸ τοῦ ΑΓΔ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἐπὶ τὴν ΚΑΛ κάθετός ἐστιν ἡ ΒΑ . Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΑ δύο εὐθείαις ταῖς ΕΖ , ΚΛ τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς ὀρθὴ ἐφέστηκε , καὶ τῷ δι’ αὐτῶν . ἄρα ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΒΑ . Τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ , ΚΛ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ἐφαπτόμενον · ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐφαπτόμενον ἐπίπεδον τῆς σφαίρας .
Lemmas: ἐάν σφαῖρα ἐπίπεδος ἅπτω μή τέμνω , ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐπίπεδος . σφαῖρα γάρ ἐπίπεδος τις ἅπτω μή τέμνω κατά ὁ Α σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Β σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ λέγω , ὅτι ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος . ἐκβάλλω γάρ διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος , τομή δέ ποιέω ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κύκλος , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος εὐθύς . ποιέω οὖν ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΑΓΔ κύκλος , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος ὁ ΕΑΖ εὐθύς . πάλιν δέ διά ὁ ΑΒ ἕτερος ἐπίπεδος ἐκβάλλω , καί ποιέω ὁ τομή ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΑΘ κύκλος , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος ὁ ΚΑΛ εὐθύς . καί ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ἐφάπτω ὁ σφαῖρα , καί ὁ ΕΑΖ ἄρα εὐθύς ἐφάπτω ὁ ΑΓΔ κύκλος . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΓΔ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΕΑΖ κατά ὁ Α σημεῖον , ἀπό δέ ὁ Α ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ὁ ΑΒ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΕΑΖ , καί φανερός , ὅτι ὁ Β σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΓΔ κύκλος , ἐπεί ἐκβάλλω διά ὁ ΒΑ , εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ἐπίπεδος ὁ ὁ ΑΓΔ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἐπί ὁ ΚΑΛ κάθετος εἰμί ὁ ΒΑ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΒΑ δύο εὐθύς ὁ ΕΖ , ΚΛ τέμνω ἀλλήλων ἐπί ὁ τομή ὀρθός ἐφίστημι , καί ὁ διά αὐτός . ἄρα ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΒΑ . ὁ δέ διά ὁ ΕΖ , ΚΛ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ἐφάπτω · ὁ ΑΒ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐφάπτω ἐπίπεδος ὁ σφαῖρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.5.1
Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος , ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα , ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης ἔσται τὸ κέντρον τῆς σφαίρας . Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ · λέγω , ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστι τὸ κέντρον τῆς σφαίρας . Μὴ γὰρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατὸν , ἔστω τὸ Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ . Ἐπεὶ οὖν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτεται μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴ ἐπέζευκται ἡ ΓΑ , ἡ ΓΑ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΑ ὀρθὴ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον · ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Α τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑποκειμένῳ δύο πρὸς ὀρθὰς ἀνιστάμεναί εἰσιν αἱ ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖαι , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλο , πλὴν τὸ ἐπὶ τῆς ΒΑ . Ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας .
Lemmas: ἐάν σφαῖρα ἐπίπεδος ἅπτω μή τέμνω , ἀπό δέ ὁ ἁφή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀνίστημι εὐθύς , ἐπί ὁ ἀνίστημι εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . σφαῖρα γάρ ἐπίπεδος ἅπτω μή τέμνω κατά ὁ Α σημεῖον , καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι ἐπί ὁ ΑΒ εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἵστημι ὁ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ . ἐπεί οὖν σφαῖρα ἐπίπεδος ἅπτω μή τέμνω κατά ὁ Α σημεῖον , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , ὁ ΓΑ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος · εἰμί δέ καί ὁ ΒΑ ὀρθός πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος · ἀπό ὁ αὐτός ἄρα σημεῖον ὁ Α ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὑπόκειμαι δύο πρός ὀρθός ἀνίστημι εἰμί ὁ ΑΒ , ΑΓ εὐθύς , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὁ Γ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος , πλήν ὁ ἐπί ὁ ΒΑ . ἐπί ὁ ΒΑ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.6.2
Δείξομεν δ’ ἀντιστρόφως , ὅτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν μέγιστοι διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶ τῆς σφαίρας , τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσοι ἴσον ἑκατέρωθεν ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου , οἱ δὲ ἐλάσσονες μεῖζον . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἔστω ὁ ΓΔ κύκλος μέγιστος · λέγω , ὅτι ἔσται διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Εἰ γὰρ δυνατὸν , ἔστω μὴ διὰ τοῦ κέντρου . Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη , ὅτι ὁ διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἐστὶ πάντων τῶν μὴ διὰ τοῦ κέντρου κύκλων , ὁ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἔσται τοῦ ΓΔ · ὁ ἅρα ΓΔ κύκλος οὐκ ἔσται μέγιστος , ὅπερ ἄτοπον , ὑπόκειται γὰρ μέγιστος · ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος μέγιστος διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας . Πάλιν ἔστωσαν οἱ ΑΒ , ΕΖ κύκλοι ἴσοι · λέγω , ὅτι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ ἴση δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ , καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΟΗ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΝ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΚ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶν , ἡ ἄρα ΘΗ τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν . Ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας οἱ ἴσοι κύκλοι . Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἐλάσσων ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου · λέγω , ὅτι μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος ἤπερ ὁ ΕΖ . Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΖΕ , ἡ ἄρα ΘΛ τῆς ΚΝ ἐστιν ἐλάσσων · καί ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΑ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΘΗ ἴσον ἐστὶ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ , ΚΗ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ , ΚΗ ἴσα ἐστὶν , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ μεῖζον · ἡ ἄρα ΘΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν . Οἱ ἄρα ἐλάσσονες κύκλοι μεῖζον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας .
Lemmas: δείκνυμι δέ ἀντιστρόφως , ὅτι ὁ ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ μέν μέγας διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ἴσος ἴσος ἑκατέρωθεν ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον , ὁ δέ μικρός μείζων . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ἵστημι ὁ ΓΔ κύκλος μέγας · λέγω , ὅτι εἰμί διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι μή διά ὁ κέντρον . καί ἐπεί δείκνυμι , ὅτι ὁ διά ὁ κέντρον μείζων εἰμί πᾶς ὁ μή διά ὁ κέντρον κύκλος , ὁ ἄρα διά ὁ κέντρον μείζων εἰμί ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος οὐ εἰμί μέγας , ὅσπερ ἄτοπος , ὑπόκειμαι γάρ μέγας · ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος μέγας διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . πάλιν εἰμί ὁ ΑΒ , ΕΖ κύκλος ἴσος · λέγω , ὅτι ἴσος ἀπέχω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΛ ὁ ΚΝ ἴσος δέ καί ὁ ΗΛ ὁ ΗΝ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΗΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΘ , οηʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΝ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΝ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΛΘ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΝΚ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΗΚ ἴσος εἰμί , ὁ ἄρα τίθημι ὁ ΗΚ ἴσος εἰμί . ἴσος ἄρα ἀπέχω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ἴσος κύκλος . ἀλλά δή πάλιν μικρός ἵστημι ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΕΖ κύκλος · λέγω , ὅτι μείζων ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ κύκλος ἤ2 ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ μικρός εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΖΕ , ὁ ἄρα ΘΛ ὁ ΚΝ εἰμί μικρός · καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΗΑ ὁ ἀπό ὁ ΛΘ , τίθημι ἴσος εἰμί , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΝ ὁ ἀπό ὁ ΝΚ , ΚΗ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΛΘ , τίθημι ὁ ἀπό ὁ ΝΚ , ΚΗ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΛΘ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΚ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ τίθημι ὁ ἀπό ὁ ΗΚ μείζων · ὁ ἄρα τίθημι ὁ ΗΚ μείζων εἰμί . ὁ ἄρα μικρός κύκλος μείζων ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.7.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα , ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθή ἐστι πρὸς τόν κύκλον . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε σημεῖον , τὸ δὲ τοῦ κύκλου τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . Διήχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου αἱ ΑΖΓ , ΒΖΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ΕΔ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ . δύο δὴ αἱ ΒΖ , ΖΕ δυσὶ ταῖς ΔΖ , ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση , τὸ γὰρ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας , καὶ τὰ Β , Δ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστν ἴση , Ὅταν δέ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ , ΔΖΕ , ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΒΔ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τῇ ΑΓ , ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ , ΓΕ . Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΕΖ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΑΓ , ΒΔ , τεμνούσαις ἀλλήλας , ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκε , καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΓ , ΒΔ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστι . Τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΓ , ΒΑ ἐπίπεδόν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι τις εὐθύς , ὁ ἐπιζεύγνυμι ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί ὁ μέν κέντρον ὁ σφαῖρα ἵστημι ὁ Ε σημεῖον , ὁ δέ ὁ κύκλος ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . διάγω γάρ διά ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ΑΖΓ , ΒΖΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΕΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΔ , κοινός δέ ὁ ΕΖ . δύο δή ὁ ΒΖ , ΖΕ δύο ὁ ΔΖ , ΖΕ Ἴσαι εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΒΕ βάσις ὁ ΕΔ εἰμί ἴσος , ὁ γάρ Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , καί ὁ Β , δ πρός ὁ ἐπιφάνεια · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΖΕ γωνία ὁ ὑπό δΖΕ εἰμί ἴσος , ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθύς ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΖΕ , δΖΕ , ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΒΔ εἰμί πρός ὀρθός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΓ , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΓΕ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΕΖ δύο εὐθύς ὁ ΑΓ , ΒΔ , τέμνω ἀλλήλων , ἐπί ὁ τομή πρός ὀρθός ἐφίστημι , καί ὁ διά ὁ ΑΓ , ΒΔ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί . ὁ δέ διά ὁ ΑΓ , ΒΑ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · καί ὁ ΕΖ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.8.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα a τὰ μέρη · ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Δ σημεῖον , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ , καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον · τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ζ , Η σημεῖα · λέγω , ὅτι τὰ Ζ , Η σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Διήχθωσαν γὰρ αἱ ΑΕΓ , ΒΕΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΓ , ΑΗ , ΗΓ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΕΑ , ΖΕΓ , ΖΕΒ , ΖΕΘ γωνιῶν . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ · βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΓΖ ἐστιν ἴση . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ Η σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου · τὰ Ζ , Η ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ἐὰν ἄρα ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος a ὁ μέρος · ἐπί ὁ πόλος πίπτω ὁ κύκλος . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ δ σημεῖον , καί ἄγω ἀπό ὁ δ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΔΕ , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Ε σημεῖον · ὁ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . καί ἐκβάλλω ὁ ΔΕ ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Ζ , ὁ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ Ζ , ὁ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . διάγω γάρ ὁ ΑΕΓ , ΒΕΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ , ΖΓ , ΑΗ , ΗΓ . καί ἐπεί ὁ ΖΕ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος · καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΖΕΑ , ΖΕΓ , ΖΕΒ , ΖΕΘ γωνία . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΓ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΕΖ · βάσις ἄρα ὁ αζʹ βάσις ὁ ΓΖ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ζ σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια προπίπτω εὐθύς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί · ὁ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὁ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος · ὁ Ζ , ὁ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐάν ἄρα εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ἑξῆς .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.9.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ · ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου , καὶ προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὸν ἕτερον πόλον πεσεῖται τοῦ κύκλου . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ τοῦ Δ κάθετος ἤχθω ἐπ’ αὐτὸν ἡ ΔΕ , καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι τὸ μὲν Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , τὸ δὲ Ζ ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ κύκλου . Διήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε αἱ ΕΑ , ΕΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΒ , ΑΖ , ΒΖ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ ΑΒΓ κύκλῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΕΑ , ΔΕΒ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ , ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ , ΕΛ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ , ΕΔ · κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ λοιπῷ , ἴση ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὁτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ τὸ Ζ σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ a γραμμὴν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί . Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , τὸ δὲ Δ ὁ ἕτερος πόλος .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ τις ὁ πόλος αὐτός ἐπί αὐτός κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω · ἐπί ὁ κέντρον πίπτω ὁ κύκλος , καί προσεκβάλλω ἐπί ὁ ἕτερος πόλος πίπτω ὁ κύκλος . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἀπό δέ τις ὁ πόλος αὐτός ὁ δ κάθετος ἄγω ἐπί αὐτός ὁ ΔΕ , καί συμβάλλω ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἐκβάλλω , καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ μέν Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ δέ Ζ ὁ ἕτερος πόλος εἰμί ὁ κύκλος . διάγω γάρ ἀπό ὁ Ε ὁ ΕΑ , ΕΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΒ , αζʹ , ΒΖ . καί ἐπεί ὁ ΔΕ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος · καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ αὐτός ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΔΕΑ , δΕΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ΕΛ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ΕΔ · κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΕΔ λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ λοιπός , ἴσος ἄρα ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος προσπίπτω εὐθύς Ἴσαι εἰμί ὁ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Ζ σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , βάσις ἄρα ὁ αζʹ βάσις ὁ ΒΖ ἴσος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Ζ σημεῖον πρός ὁ ΑΒΓ a γραμμή προσπίπτω εὐθύς Ἴσαι εἰμί . ὁ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ δέ δ ὁ ἕτερος πόλος .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.11.1
Ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα · λέγω , ὅτι οἱ ΑΒ , ΓΔ κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους . Εἰλήφθω γὰρ αὐτῶν τὸ κέντρον , καὶ ἔστω τὸ Η , τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΗ , ΗΖ . Καὶ ἐπεὶ τὰ Ε , Η , Ζ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἐστὶν , ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ ΔΓ · ἐπὶ ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ἐπιπέδοις τῶν ΑΒ , ΓΔ κύκλων τὰ Ε , Η , Ζ σημεῖά ἐστι , τὰ Ε , Η , Ζ ἄρα ἐν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἐστί . Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν , εὐθεῖά ἐστιν ἄρα ἡ ΕΗΖ . Καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒ κύκλου , ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ , ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΑΖ , ΕΒΖ ἡμικύκλιόν ἐστι . Πάλιν ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου , ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ , ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΓΖ , ΕΔΖ ἡμικύκλιόν ἐστιν . Οἱ ΑΒ , ΓΔ ἄρα κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους .
Lemmas: ἐν σφαῖρα ὁ μέγας κύκλος δίχα τέμνω ἀλλήλων . ἐν γάρ σφαῖρα δύο μέγας κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος δίχα τέμνω ἀλλήλων . λαμβάνω γάρ αὐτός ὁ κέντρον , καί ἵστημι ὁ ὁ , ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ σφαῖρα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ , ΗΖ . καί ἐπεί ὁ Ε , ὁ , Ζ σημεῖον ἐν ὁ ΑΒ ἐπίπεδος εἰμί , εἰμί δέ καί ἐν ὁ ΔΓ · ἐπί ἀμφότερος ἄρα ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος ὁ Ε , ὁ , Ζ σημεῖον εἰμί , ὁ Ε , ὁ , Ζ ἄρα ἐν ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος εἰμί . πάντως δέ δύο ἐπίπεδος ὁ κοινός τομή εὐθύς εἰμί , εὐθύς εἰμί ἄρα ὁ ΕΗΖ . καί ἐπεί ὁ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ κύκλος , ὁ ΕΖ ἄρα διάμετρος εἰμί αὐτός , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΑΖ , ΕΒΖ ἡμικύκλιος εἰμί . πάλιν ἐπεί ὁ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΔ κύκλος , ὁ ΕΖ ἄρα διάμετρος εἰμί αὐτός , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΓΖ , ΕΔΖ ἡμικύκλιος εἰμί . ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα κύκλος δίχα τέμνω ἀλλήλων .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.12.1
Ἐν σφαίρᾳ οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα · λέγω , ὅτι οἱ ΑΒ , ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ , ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστι τῶν ΑΒ , ΓΔ κύκλων · λέγω δὴ , ὅτι καὶ τῆς σφαίρας . Τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η · τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων . Ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείον τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ , τῷ δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΓΔ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΗΘ · ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΗΚ , ἐπὶ τῆς ἄρα κοινῆς τομῆς τῶν ΗΘ , ΗΚ , τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἐστίν · ἡ δὲ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἐστι τὸ Η σημεῖον · τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας . Ἔστι δὲ καὶ τῶν ΑΒ , ΓΔ κύκλων κέντρον τὸ Η σημεῖον , οἱ δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντες τῆς σφαίρας κύκλοι μέγιστοί εἰσι · ἐν σφαίρᾳ ἄρα δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν .
Lemmas: ἐν σφαῖρα ὁ δίχα τέμνω ἀλλήλων κύκλος μέγας εἰμί . ἐν γάρ σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων δίχα κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος μέγας εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΕΖ , ὁ ΕΖ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος · λέγω δή , ὅτι καί ὁ σφαῖρα . τέμνω ὁ ΕΖ δίχα κατά ὁ ὁ · ὁ ὁ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ κύκλος . ἀνίστημι ἀπό ὁ ὁ σημεῖον ὁ μέν ὁ ΓΔ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΗΘ , ὁ δέ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΗΚ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΓΔ , ἀπό δέ ὁ κέντρον αὐτός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΗΘ · ἐπί ὁ ΗΘ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἐπί ὁ ΗΚ , ἐπί ὁ ἄρα κοινός τομή ὁ ΗΘ , ΗΚ , ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα εἰμί · ὁ δέ κοινός τομή αὐτός εἰμί ὁ ὁ σημεῖον · ὁ ὁ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος κέντρον ὁ ὁ σημεῖον , ὁ δέ περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα κύκλος μέγας εἰμί · ἐν σφαῖρα ἄρα δίχα τέμνω ἀλλήλων κύκλος μέγας εἰμί .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.14.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνῃ , πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα τὸν ΕΒΖΔ δίχα τεμνέτω · λέγω , ὅτι καὶ πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ , καὶ διὰ τῶν πόλων . Ἐπεζεύχθω γὰρ αὐτῶν ἡ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τέμνει · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ , ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν , ἡ ΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου . Τετμήσθω οὖν ἡ ΒΔ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον , τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου · καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον , τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῆς σφαίρας ἐστί καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη , καὶ συμπιπτέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α , Γ σημεῖα . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ , διὰ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΗΘ , ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΗΘ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ · ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΗΘ ἐπιπέδων ὁ ΑΒΓΔ ἐστὶ κύκλος , καὶ ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων · ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ , καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , καὶ συμπίπτπει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α , Γ σημεῖα · τὰ Α , Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ , ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει · ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθάς , ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει , καὶ διὰ τῶν πόλων .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μή μέγας εἰμί δίχα τέμνω , πρός ὀρθός τε αὐτός τέμνω καί διά ὁ πόλος . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μή μέγας εἰμί ὁ ΕΒΖΔ δίχα τέμνω · λέγω , ὅτι καί πρός ὀρθός τε αὐτός τέμνω , καί διά ὁ πόλος . ἐπιζεύγνυμι γάρ αὐτός ὁ κοινός τομή ὁ ΒΔ . καί ἐπεί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος δίχα τέμνω · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΒΕΔ , ΒΖΔ ἡμικύκλιος εἰμί , ὁ ΒΔ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ κύκλος . τέμνω οὖν ὁ ΒΔ δίχα κατά ὁ Θ σημεῖον , ὁ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΕΒΖΔ κύκλος · καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ὁ σημεῖον , ὁ δέ αὐτός καί ὁ σφαῖρα εἰμί καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος , καί συμπίπτω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Α , Γ σημεῖον . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , διά δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΗΘ , ὁ ΗΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΗΘ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ · εἷς δέ ὁ διά ὁ ΗΘ ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓΔ εἰμί κύκλος , καί ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος πρός ὀρθός τέμνω . λέγω δή , ὅτι καί διά ὁ πόλος · ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΗΘ , καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , καί συμπίπτω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Α , Γ σημεῖον · ὁ Α , Γ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα ὁ ΕΒΖΔ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω · τέμνω δέ αὐτός καί πρός ὀρθός , ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα ὁ ΕΒΖΔ κύκλος πρός ὀρθός τέμνω , καί διά ὁ πόλος .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.15.1
Ἐὰν ἐν σφαιρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαιρᾳ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ , δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ τεμνέτω διὰ τῶν πόλων · λέγω , ὅτι δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει . Ἔστωσαν γὰρ οἱ πόλοι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου τὰ Α , Γ σημεῖα , φανερὸν δὴ , ὅτι ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου εἰσὶ , διὰ γὰρ τῶν πόλων τέμνει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτοῦ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΑΓ · ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον , καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται · ἡ ΑΓ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΓ ἐπί ‐ πεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ . Ἕν δὲ τῶν διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸ ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνει · τέμνει δὲ αὐτὸν καὶ δίχα a · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνων δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός καί πρός ὀρθός τέμνω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΕΒΖΔ τέμνω διά ὁ πόλος · λέγω , ὅτι δίχα τε αὐτός καί πρός ὀρθός τέμνω . εἰμί γάρ ὁ πόλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος ὁ Α , Γ σημεῖον , φανερός δή , ὅτι ἐπί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος εἰμί , διά γάρ ὁ πόλος τέμνω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , διά δέ ὁ πόλος αὐτός εὐθύς ἄγω ὁ ΑΓ · ἐάν δέ εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ὁ διά ὁ πόλος αὐτός ἄγω εὐθύς ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σφαῖρα ἔρχομαι · ὁ ΑΓ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ κύκλος , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΑΓ ἐπί ‐ μετά ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ . εἷς δέ ὁ διά ὁ ΑΓ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΒΖΔ κύκλος · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὁ ΕΒΖΔ πρός ὀρθός τέμνω · τέμνω δέ αὐτός καί δίχα a · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.16.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος , ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ . λέγω , ὅτι ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν κύκλον ΑΒΓΔ ἐγγραφομένου . Ἤχθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ , ΒΔ , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ , ΑΖ , ἡ ΒΑ ἄρα τετραγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον ΑΒΓΔ ἐγγραφομένου · ἡ δὲ ΖΑ ἐκ τοῦ πόλου ἐστί λέγω , ὅτι ἡ ΖΑ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας · ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκάστην τῶν ΑΕ , ΒΕ , ΔΕ . Καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας , ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ · κοινὴ δὲ ἡ ΕΑ , δύο δὴ a αἱ ΒΕ , ΕΑ δυσὶ ταῖς ΑΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν , ἐκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστί . βάσις ἄρα ἡ ΒΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση ἐστί . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΖ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , ἡ δὲ ΒΑ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος , ὁ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . ἔστω ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ . λέγω , ὅτι ὁ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ κύκλος ΑΒΓΔ ἐγγράφω . ἄγω γάρ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΓ , ΒΔ , καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Ε σημεῖον ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Ζ σημεῖον , ὁ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ , αζʹ , ὁ ΒΑ ἄρα τετράγωνος εἰμί πλευρόν ὁ εἰς ὁ κύκλος ΑΒΓΔ ἐγγράφω · ὁ δέ Γῆ ἐκ ὁ πόλος εἰμί λέγω , ὅτι ὁ Γῆ ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος . ἐπεί γάρ ὁ ΖΕ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία · ὁ ΕΖ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ἕκαστος ὁ ΑΕ , ΒΕ , ΔΕ . καί ἐπεί ὁ Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΖ · κοινός δέ ὁ ΕΑ , δύο δή a ὁ ΒΕ , ΕΑ δύο ὁ ΑΕ , ΕΖ Ἴσαι εἰμί , κατεράω ἑκάτερος , καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΕΑ ὀρθός ὁ ὑπό ΑΕΖ ἴσος εἰμί . βάσις ἄρα ὁ ΒΑ βάσις ὁ αζʹ ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν αζʹ ἐκ ὁ πόλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ὁ δέ ΒΑ πλευρόν ὁ τετράγωνος ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ πόλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.17.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ᾖ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγρα φομένου · καὶ αὐτὸς μέγιστος ἔσται . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , πόλος δὲ αὐτοῦ τὸ Δ σημεῖον , ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἡ ΔΓ ἴση ἔστω τῇ τοῦ τετραγώνου b πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ μέγιστός ἐστιν . Ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΔΓ καὶ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπίπεδον , τομὴν δή τινα ποιήσει μέγιστον κύκλον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας · ποιείτω τὸν ΒΔΓΕ , καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ , καὶ ἐπζεύχθω ἡ ΔΒ . Ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ , καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΓ , ΔΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ περιφέρεια ἡ ΒΔΓ , διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τοῦ ΒΔΓΕ κύκλου . Καὶ ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ὁ ΔΒΕΓ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ὁ ΔΒΕΓ κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει · καὶ αὐτῶν κοινὴ τομή ἐστιν ἡ ΒΓ , ἡ ΒΓ ἄρα c διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου · ἔστι δὲ καὶ τῆς σφαίρας · μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ὁ δέ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγρα φομενω · καί αὐτός μέγας εἰμί . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , πόλος δέ αὐτός ὁ δ σημεῖον , ὁ δέ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ὁ ΔΓ ἴσος ἵστημι ὁ ὁ τετράγωνος b πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ μέγας εἰμί . ἐκβάλλω διά ὁ ΔΓ καί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος , τομή δή τις ποιέω μέγας κύκλος ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα · ποιέω ὁ βδʹ , καί ἵστημι αὐτός κοινός τομή ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΔΒ , καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΔΓ , ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί περιφέρεια ὁ ΒΔΓ , διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ βδʹ κύκλος . καί ἐπεί ὁ δ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ ΒΕΔ ἄρα κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα ὁ ΒΕΔ κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός καί πρός ὀρθός τέμνω · καί αὐτός κοινός τομή εἰμί ὁ ΒΓ , ὁ ΒΓ ἄρα c διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος · εἰμί δέ καί ὁ σφαῖρα · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.18.1
Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι . Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , δεῖ δὲ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι . Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τυχόντα σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΔΕΖ , ἴσην ἔχον τὴν ΔΕ τῇ ΑΒ , τὴν δὲ ΕΖ τῇ ΒΓ , τὴν δὲ ΖΔ τῇ ΑΓ , καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Ε σημείου τῇ ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ , ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ · ἤχθω δὲ καὶ διάμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἡ ΑΘ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΘ . Ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΓΘ . Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ ὀυσὶ ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστί γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν · ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΘΓ ἴση ἐστὶν , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΖ a , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΗΖ ἴση ἐστίν . Ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΘ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΗ ἴση · δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΘΓ , ΔΗΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΘ , ΓΘΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΔΖΗ , ΖΗΔ ἴσας ἔχοντα , ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην , τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν , τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει , ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , ἡ ΑΘ ἄρα τῇ ΔΗ ἴση ἐστί . Καί ἐστιν ἡ ΑΘ διάμετρος τοῦ κύκλου · ἡ ΔΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ .
Lemmas: ὁ δίδωμι ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ διάμετρος ἴσος ἐκτίθημι . ἔστω ὁ δίδωμι ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , δεῖ δέ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ διάμετρος ἴσος ἐκτίθημι . λαμβάνω ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια τυγχάνω σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , καί ἐκ τρεῖς εὐθύς τρίγωνος συνίστημι ὁ δΕΖ , ἴσος ἔχω ὁ ΔΕ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΖΔ ὁ ΑΓ , καί ἀπό μέν ὁ Ε σημεῖον ὁ ΕΔ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΗ , ἀπό δέ ὁ Ζ ὁ ΔΖ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΖΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ δΗ · ἄγω δέ καί διάμετρος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΑΘ · λέγω , ὅτι ὁ δΗ ἴσος εἰμί ὁ ΑΘ . ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΓΘ . ἐπεί οὖν δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ ουσί ὁ ΔΕ , ΕΖ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό δΕΖ ἴσος εἰμί · ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΑΘΓ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ὑπό δΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό δΗΖ a , καί ὁ ὑπό ΑΘΓ ἄρα ὁ ὑπό δΗΖ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΑΓΘ ὀρθός ὁ ὑπό ΔΖΗ ἴσος · δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΘΓ , δΗΖ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΓΘ , ΓΘΑ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΔΖΗ , ΖΗΔ ἴσος ἔχω , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος , ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία , ὁ ΑΓ ὁ ΔΖ · καί ὁ λοιπάς ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω , ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ ΑΘ ἄρα ὁ δΗ ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ ΑΘ διάμετρος ὁ κύκλος · ὁ δΗ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ κύκλος διάμετρος .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.19.1
Τῆς δοθείσης σφαίρας τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι . Νενοήσθω γὰρ ἡ σφαῖρα , ἧς δεῖ τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι · καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α , Β , καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α , διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ , κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ · δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τοῦ ΒΓΔ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι . Ἐκ τριῶν οὖν εὐθειῶν , αἵ εἰσι δύο μὲν ταῖς ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΒΓΔ ἴσαι , μία δὲ τῇ διαμέτρῳ , τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΕΖΗ , ὥστε ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΖΕ , ΕΗ ἑκατέρᾳ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ Α , τὴν δὲ ΖΗ τῇ διαμέτρῳ · καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ζ , Η ταῖς ΖΕ , ΕΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ αἱ ΖΘ , ΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας . Νενοήσθω γὰρ ἡ διάμετρος · τῆς σφαίρας ἡ ΑΚ , καὶ διὰ τῆς ΑΚ ἐπίπεδον · τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον · ποιείτω τὸν ΑΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ , ΔΚ . Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΔ δυσὶ a ταῖς ΕΖ , ΖΗ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , βάσις δὲ ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστὶ , γωνία ἄρα ἡ b ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ἴση ἐστίν . Ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΚΔ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΕΖΗ τῇ ὑπὸ ΕΘΗ ἴση , ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου δέδεικται · ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΗ Θ ἴση · δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΚΔ , ΕΘΗ , τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΔΚ , ΔΚΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΕΗΘ , ΗΘΕ ἴσας ἔχοντα , ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην , τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν , τὴν ΑΔ τῇ ΕΗ · καὶ · τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΕΘ . Καί ἐστιν ἡ ΑΚ διάμετρος τῆς σφαίρας · ἡ ΕΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας .
Lemmas: ὁ δίδωμι σφαῖρα ὁ διάμετρος ἴσος ἐκτίθημι . νοέω γάρ ὁ σφαῖρα , ὅς δεῖ ὁ διάμετρος ἴσος ἐκτίθημι · καί λαμβάνω ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Α , Β , καί πόλος μέν ὁ Α , διάστημα δέ ὁ ΑΒ , κύκλος γράφω ὁ ΒΓΔ · δυνατός ἄρα εἰμί ὁ ΒΓΔ κύκλος ὁ διάμετρος ἴσος ἐκτίθημι . ἐκ τρεῖς οὖν εὐθύς , ὁ εἰμί δύο μέν ὁ ἐκ ὁ πόλος ὁ ΒΓΔ Ἴσαι , εἷς δέ ὁ διάμετρος , τρίγωνος συνίστημι ὁ ΕΖΗ , ὥστε ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΖΕ , ΕΗ ἑκάτερος ὁ ἐκ ὁ πόλος ὁ Α , ὁ δέ ΖΗ ὁ διάμετρος · καί ἄγω διά ὁ Ζ , ὁ ὁ ΖΕ , ΕΗ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ὁ ΖΘ , ΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΘ ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα . νοέω γάρ ὁ διάμετρος · ὁ σφαῖρα ὁ ΑΚ , καί διά ὁ ΑΚ ἐπίπεδος · τομή δή ποιέω μέγας κύκλος · ποιέω ὁ ΑΔΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ , δΚ . καί ἐπεί δύο ὁ ΑΒ , ΒΔ δύο a ὁ ΕΖ , ΖΗ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , βάσις δέ ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΕΗ ἴσος εἰμί , γωνία ἄρα ὁ b ὑπό ΑΒΔ γωνία ὁ ὑπό ΕΖΗ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΒΔ ὁ ὑπό ακδʹ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ὑπό ΕΖΗ ὁ ὑπό ΕΘΗ ἴσος , ὡς ἐν ὁ πρό οὗτος δείκνυμι · εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΚΑΔ ὀρθός ὁ ὑπό ΕΗ Θ ἴσος · δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ακδʹ , ΕΘΗ , ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΚΑΔ , ΚΑΔ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΕΗΘ , ΗΘΕ ἴσος ἔχω , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος , ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία , ὁ ΑΔ ὁ ΕΗ · καί · ὁ λοιπάς ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ ὁ ΕΘ . καί εἰμί ὁ ΑΚ διάμετρος ὁ σφαῖρα · ὁ ΕΘ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.20.1
Διὰ δύο δοθέντων σημείων , ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας , μέγιστον κύκλον γράψαι . Ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α , Β ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας · δεῖ δὴ διὰ τῶν Α , Β σημείων μέγιστον κύκλον γράψαι . Εἰ μὲν τὰ Α , Β κατὰ διάμετρόν ἐστι τῆς σφαίρας , φανερὸν , ὅτι μέγιστοι κύκλοι ἄπειροι διὰ τῶν Α , Β σημείων γραφήσονται . Μὴ ἔστω δὴ τὰ Α , Β σημεῖα κατὰ τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας . Καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α , διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου , κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΔΕ , μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Πάλιν πόλῳ μὲν τῷ Β , διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΕΗ , μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΕΗ κύκλος , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ γραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον . Καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημεῖου ἐπὶ τὰ Α , Β εὐθεῖαι αἱ ΑΕ , ΕΒ . Ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΑ , ΕΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἴση ἄρα ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν . Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΒ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α , διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΑ τῇ ΕΒ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΒΘ , μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΘ κύκλος , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Διὰ δύο ἄρα δοθέντων σημείων τῶν Α , Β , ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας , μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΒΘ .
Lemmas: Ζεύς δύο δίδωμι σημεῖον , ὅς εἰμί ἐπί σφαιρικός ἐπιφάνεια , μέγας κύκλος γράφω . ἔστω ὁ δίδωμι δύο σημεῖον ὁ Α , Β ὅς εἰμί ἐπί σφαιρικός ἐπιφάνεια · δεῖ δή διά ὁ Α , Β σημεῖον μέγας κύκλος γράφω . εἰμί μέν ὁ Α , Β κατά διάμετρος εἰμί ὁ σφαῖρα , φανερός , ὅτι μέγας κύκλος ἤπειρος διά ὁ Α , Β σημεῖον γράφω . μή ἵστημι δή ὁ Α , Β σημεῖον κατά ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα . καί πόλος μέν ὁ Α , διάστημα δέ ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος γράφω , κύκλος γράφω ὁ ΓΔΕ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΓΔΕ , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . πάλιν πόλος μέν ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , κύκλος γράφω ὁ ΖΕΗ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΖΕΗ κύκλος , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ γράφω εἰς ὁ μέγας κύκλος . καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ Α , Β εὐθύς ὁ ΑΕ , ΕΒ . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΑ , ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ἴσος ἄρα ὁ ΕΑ ὁ ΕΒ εἰμί . ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΒ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Α , διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΕΑ ὁ ΕΒ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΑΒΘ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΒΑΘ κύκλος , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . Ζεύς δύο ἄρα δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β , ὅς εἰμί ἐπί σφαιρικός ἐπιφάνεια , μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΒΘ .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.22.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνῃ , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ · καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ , καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ . Ἡ ἀπόδειξις , ὡς ἐν τοῖς κυκλικοῖς . Ἐὰν γὰρ διὰ τῆς διαμέτρου διὰ τοῦ κέντρου οὔσης τῆς σφαίρας , καὶ τῆς μὴ · διὰ τοῦ κέντρου οὔσης ἐπίπεδον ἐκβληθῇ , τομὴν ποιήσουσι γραμμὴν κύκλον · καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα , ὥστε καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ · καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ , καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα εὐθύς τις διά ὁ κέντρον εἰμί εὐθύς τις μή διά ὁ κέντρον εἰμί δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · καί ἐάν πρός ὀρθός αὐτός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω . ὁ ἀπόδειξις , ὡς ἐν ὁ κυκλικός . ἐάν γάρ διά ὁ διάμετρος διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , καί ὁ μή · διά ὁ κέντρον εἰμί ἐπίπεδος ἐκβάλλω , τομή ποιέω γραμμή κύκλος · καί εἰμί ἐν κύκλος εὐθύς τις διά ὁ κέντρον εἰμί εὐθύς τις μή διά ὁ κέντρον εἰμί δίχα τέμνω , ὥστε καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · καί ἐάν πρός ὀρθός αὐτός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω .
theodosius-astronomy.sphaerica 1.23.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα · ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τοῦ κύκλου . a Ἔστω γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον , τὸ δὲ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . Διήχθω γάρ τις διὰ τοῦ κέντρου Ε b ὡς ἔτυχεν εἰ αὐτὸν εὐθεῖα ἡ ΑΕΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔΑ , ΔΒ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ · δύο δὴ αἱ ΑΕ , ΕΔ δυσὶ ταῖς ΒΕ , ΕΔ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστί · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΒ ἴση ἐστίν · ὀρφὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ , ΒΕΔ γωνῶν , ἡ ΔΕ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάσαις ταῖς διὰ τοῦ Ε ἀγομέναις εὐθείαις ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΔΕ · ἡ ΔΕ ἄρα εὐθεῖα τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐπιζεύγνυμι τις εὐθύς · ὁ ἐπιζεύγνυμι κάθετος εἰμί ἐπί ὁ κύκλος . a ἔστω γάρ ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ὁ μέν κέντρον ὁ σφαῖρα ἵστημι ὁ δ σημεῖον , ὁ δέ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΕ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . διάγω γάρ τις διά ὁ κέντρον Ε b ὡς τυγχάνω εἰμί αὐτός εὐθύς ὁ ΑΕΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔΑ , ΔΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ , κοινός δέ ὁ ΕΔ · δύο δή ὁ ΑΕ , ΕΔ δύο ὁ ΒΕ , ΕΔ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία ὁ ὑπό δΕΒ ἴσος εἰμί · Ὀρφεύς ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΕΔ , ΒΕΔ γωνῶν , ὁ ΔΕ ἄρα ὁ ΑΒ εἰμί πρός ὀρθός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ διά ὁ Ε ἄγω εὐθύς ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΔΕ · ὁ ΔΕ ἄρα εὐθύς ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.0.1
Ἐν σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται , ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται .
Lemmas: ἐν σφαῖρα κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων λέγω , ὅταν ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ἀμφότερος ὁ κύκλος ἐφάπτω .
theodosius-astronomy.sphaerica 2.1.1
Ἐν σφαίρᾳ οἱ παράλληλοι κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν . Ἔστωσαν γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ · λέγω , ὅτι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν . Εἰλήφθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου οἱ πόλοι , καὶ ἔστωσαν οἱ Η , Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ . Καὶ ἐπεὶ , ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον , καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστίν · ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . Καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ κύκλος παράλληλος τῷ ΔΕΖ κύκλῳ · καὶ ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΔΕΖ . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΔΕΖ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ , καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Η , Θ σημεῖα · ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ , καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου · τὰ Η , Θ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου . Οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἄρα κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν . a
Lemmas: ἐν σφαῖρα ὁ παράλληλος κύκλος περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί . εἰμί γάρ ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί . λαμβάνω γάρ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ πόλος , καί εἰμί ὁ ὁ , Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ . καί ἐπεί , ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ὁ διά ὁ πόλος αὐτός ἄγω εὐθύς ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σφαῖρα εἰμί · ὁ ΗΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . καί εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος παράλληλος ὁ δΕΖ κύκλος · καί ὁ ΗΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ δΕΖ . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ δΕΖ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΗΘ , καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , καί συμπίπτω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ ὁ , Θ σημεῖον · ἐάν δέ εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω , καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , ἐπί ὁ πόλος πίπτω ὁ κύκλος · ὁ ὁ , Θ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ δΕΖ κύκλος . ὁ ΑΒΓ , δΕΖ ἄρα κύκλος περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί . a