theodosius-astronomy.sphaerica 2.11.1
Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐπισταθῇ , ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασι τῶν τμημάτων , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων , καὶ ἀπὸ τῶν γενομένων σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι προσβληθῶσιν · ἴσας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων . Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ , ΔΖ ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν πρὸς τοῖς πέρασι τοῖς Α , Δ σημείοις , αἱ ΑΗ , ΔΘ , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τῶν ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπὸ τῶν Η , Θ σημείων πρὸς τὰς τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι προβεβλήσβωσαν αἱ ΗΒ , ΘΕ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ . Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η , Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι · πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς , τοῦτ’ ἔστιν , ἐπὶ τὰς ΑΓ , ΔΖ . Πιπτέτωσαν , καὶ ἔστωσαν αἱ ΗΚ , ΘΛ , καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλων , καὶ ἔστω τὰ Μ , Ν σημεῖα · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ , ΒΜ , ΛΕ , ΕΝ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας · ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστι . Καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ ἴσα ἐστὶ , καὶ ἀπειλημμέναι ἴσαι εἰσὶ περιφέρειαι αἱ ΑΗ , ΔΘ , καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΗΚ , ΘΛ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἠ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ , ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΘΕ , ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ · ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΒ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΛ , ΛΕ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΛ , ΛΕ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶν , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΛΕ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ , ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἴση ἐστί λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ a ΛΝ ἐστιν ἴση · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ , δύο δὴ αἱ ΚΜ , ΜΒ δυσὶ ταῖς ΛΝ , ΝΕ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΛΕ ἐστιν ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΜΒ τῇ ὑπὸ ΛΝΕ ἐστιν ἴση . Ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι , ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις , ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ .
Lemmas: ἐάν ἐν ἴσος κύκλος ἐπί διάμετρος ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι , ἀπό δέ αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω πρός ὁ πέρας ὁ τμῆμα , μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος , καί ἀπό ὁ γίγνομαι σημεῖον πρός ὁ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος περιφέρεια Ἴσαι εὐθύς προσβάλλω · ἴσος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος πρός ὁ πέρας ὁ διάμετρος . ἐν γάρ ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΓ , ΔΖ ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καί ἀπό αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω πρός ὁ πέρας ὁ Α , δ σημεῖον , ὁ ΑΗ , ΔΘ , μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος ὁ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καί ἀπό ὁ ὁ , Θ σημεῖον πρός ὁ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ περιφέρεια Ἴσαι εὐθύς προβάλλω ὁ ΗΒ , ΘΕ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΔΕ περιφέρεια . ἄγω γάρ ἀπό ὁ ὁ , Θ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος · πίπτω δή ἐπί ὁ κοινός τομή , οὗτος εἰμί , ἐπί ὁ ΑΓ , ΔΖ . πίπτω , καί εἰμί ὁ ΗΚ , ΘΛ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος , καί ἵστημι ὁ Μ , Ν σημεῖον · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΒ , ΒΜ , ΛΕ , ΕΝ . καί ἐπεί ὁ ΗΚ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία · ἅπτω δέ αὐτός ὁ ΚΒ εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΗΚΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΕΛΘ γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί δύο τμῆμα ὁ ΑΗΓ , ΔΘΖ ἴσος εἰμί , καί ἀπολαμβάνω Ἴσαι εἰμί περιφέρεια ὁ ΑΗ , ΔΘ , καί κάθετος ἄγω εἰμί ὁ ΗΚ , ΘΛ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΚ ὁ δΛ , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΘΛ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΘΕ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΘΕ · ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΒ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΛ , ΛΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΛ , ΛΕ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΗΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΛ λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΚΒ λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΛΕ ἴσος εἰμί , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΛΕ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΜ ὁ ΔΝ , ὅς ὁ ΑΚ ὁ δΛ ἴσος εἰμί λοιπός ἄρα ὁ ΚΜ λοιπός ὁ a ΛΝ εἰμί ἴσος · εἰμί δέ καί ὁ ΒΜ ὁ Νε , δύο δή ὁ ΚΜ , ΜΒ δύο ὁ ΛΝ , Νε Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΚΒ βάσις ὁ ΛΕ εἰμί ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΚΜΒ ὁ ὑπό ΕΛ εἰμί ἴσος . ἐν δέ ὁ ἴσος κύκλος ὁ Ἴσαι γωνία , ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον , ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΔΕ περιφέρεια .