theodosius-astronomy.sphaerica 2.16.1
Οἱ ὁμοίας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι παραλλήλων τινῶν κύκλων περιφερείας ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων , ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφ άπτονται . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ παραλλήλων τινῶν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ ΕΖΗΘ ὁμοίας ἀφαιρείσθωσαν περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν , τοῦτ’ ἔστι , τὴν ΑΒ τῇ ΕΖ ὁμοίαν · λέγω , ὅτι οἱ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ κύκλοι ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων , ἢ τοῦ αὐτοῦ ἐφάπτονται τῶν παραλλήλων . Ἤτοι γὰρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων , ἤ οὔ . Ἔστω πρότερον διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων · λέγω , ὅτι καὶ ὁ ΒΘΔ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων , τοῦτ’ ἔστι , ὅτι τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ . Μὴ γὰρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατὸν , ἔστω τὸ Λ σημεῖον πόλος τῶν παραλλήλων , καὶ διὰ τῶν Λ , Ζ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΜ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΜ περιφέρεια τῇ ΕΖ . Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία , καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ , ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα τὸ Λ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλο , πλὴν τὸ Κ σημεῖον · τὸ Κ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων . Οἱ ἄρα ΑΗΓ , ΒΘΔ κύκλοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων . Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ ἔστω ὁ ΑΗΓ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων . Ἤτοι δὴ ἐφάψεται τοῦ ΕΖΘ κύκλου , ἢ λοξὸς ἔσται πρὸς αὐτόν . Ἐφαπτέσθω πρότερον κατὰ τὸ Ε , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς · λέγω , ὅτι καὶ ὁ ΖΒ ἐφάψεται . Εἰ γὰρ δυνατὸν , μὴ ἐφαπτέσθω , καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Ζ σηποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΖΓ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΕΑ ἡμικυκλίῳ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ . Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία , καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ b ΑΒ ἐστιν ὁμοία · καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ὁ ΒΖ κύκλος τοῦ ΕΖΘ κύκλου οὐκ ἐφάψεται , ἐφάψεται ἄρα . Ἀλλὰ δὴ ὁ ΑΗΓ λοξὸς ἔστω τοὺς παραλλήλους , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφὴς · ἐφάψεται ἄρα δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις , παραλλήλων δὲ τοῖς ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ · λέγω , ὅτι καὶ ὁ ΒΖΘΔ λοξός ἐστι πρὸς τοὺς παραλλήλους , καὶ τοῦ αὐτοῦ ἐφάψεται . Εἰ γὰρ δυνατὸν , ὁ μὲν ΑΕΗΓ κύκλος ἐφαπτέσθω ἑνὸς τῶν παραλλήλων τοῦ ΜΞ κατά τὸ Λ σημεῖον , ὁ δὲ ΒΖΘΔ μὴ ἐφαπτέσθω · καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου , ὄντος μεταξὺ τοῦ τε ΛΜ κύκλου καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ , μέγιστος κύκλος γεγράφθω , ἐφαπτόμενος τοῦ ΛΜ κατὰ το Μ σημεῖον ὁ ΝΖΜ , ἀσύμπτωτον ποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΛΑ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΜΝ d ἡμικυκλίῳ . Ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΝ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ · ἀλλ’ ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΑΒ ἐστὶν ὁμοία , [ καὶ ἡ ΑΒΝ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία e ] , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἡ ΝΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὔκ ἄρα ὁ ΔΘΒ κύκλος οὐκ ἐφάψεται τοῦ ΛΜ κύκλου , ἐφάψεται ἄρα . Οἱ ΑΕΗΓ , ΒΖΘΔ ἄρα κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτονται .
Lemmas: ὁ ὅμοιος ἀφαιρέω ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος παράλληλος τις κύκλος περιφέρεια ἤτοι διά ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , ἢ ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐπί ἅπτω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ παράλληλος τις κύκλος ὁ ΑΒΓΔ ΕΖΗΘ ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ μεταξύ αὐτός , οὗτος εἰμί , ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ ὅμοιος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ κύκλος ἤτοι διά ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , ἢ ὁ αὐτός ἐφάπτω ὁ παράλληλος . ἤτοι γάρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διά ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , ἤ οὖον . ἔστω πρότερος διά ὁ πόλος ὁ παράλληλος · λέγω , ὅτι καί ὁ ΒΘΔ κύκλος διά ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , οὗτος εἰμί , ὅτι ὁ Κ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἵστημι ὁ Λ σημεῖον πόλος ὁ παράλληλος , καί διά ὁ Λ , Ζ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΜ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΜ περιφέρεια ὁ ΕΖ . ἀλλά ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ εἰμί ὅμοιος , καί ὁ ΑΜ ἄρα ὁ ΑΒ εἰμί ὅμοιος , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΜ περιφέρεια ὁ ΑΒ περιφέρεια , ὁ μείζων ὁ μικρός , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Λ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ παράλληλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος , πλήν ὁ Κ σημεῖον · ὁ Κ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ παράλληλος . ὁ ἄρα ΑΗΓ , ΒΘΔ κύκλος διά ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος . ἀλλά δή πάλιν μή ἵστημι ὁ ΑΗΓ διά ὁ πόλος ὁ παράλληλος . ἤτοι δή ἐφάπτω ὁ ΕΖΘ κύκλος , ἢ λοξός εἰμί πρός αὐτός . ἐφάπτω πρότερος κατά ὁ Ε , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο καταγραφή · λέγω , ὅτι καί ὁ ΖΒ ἐφάπτω . εἰμί γάρ δυνατός , μή ἐφάπτω , καί γράφω διά ὁ Ζ σηπία ὁ ἀπό ὁ ΖΓ ἡμικύκλιον ὁ ἀπό ὁ ΕΑ ἡμικύκλιον · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ περιφέρεια ὁ ΕΖ περιφέρεια . ἀλλά ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ εἰμί ὅμοιος , καί ὁ ΓΑ ἄρα ὁ b ΑΒ εἰμί ὅμοιος · καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ περιφέρεια ὁ ΑΒ περιφέρεια , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΒΖ κύκλος ὁ ΕΖΘ κύκλος οὐ ἐφάπτω , ἐφάπτω ἄρα . ἀλλά δή ὁ ΑΗΓ λοξός ἵστημι ὁ παράλληλος , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή · ἐφάπτω ἄρα δύο κύκλος ἴσος μέν ἀλλήλων , παράλληλος δέ ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΒΖΘΔ λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , καί ὁ αὐτός ἐφάπτω . εἰμί γάρ δυνατός , ὁ μέν ΑΗΓ κύκλος ἐφάπτω εἷς ὁ παράλληλος ὁ μξ κατά ὁ Λ σημεῖον , ὁ δέ ΒΖΘΔ μή ἐφάπτω · καί διά ὁ Ζ σημεῖον , εἰμί μεταξύ ὁ τε ΛΜ κύκλος καί ὁ ἴσος τε καί παράλληλος αὐτός , μέγας κύκλος γράφω , ἐφάπτω ὁ ΛΜ κατά ὁ Μ σημεῖον ὁ ΝΖΜ , ἀσύμπτωτος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΛΑ ἡμικύκλιον ὁ ἀπό ὁ ΜΝ d ἡμικύκλιον . Ὁμοία ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΝ περιφέρεια ὁ ΕΖ περιφέρεια · ἀλλά ὁ ΕΖ περιφέρεια ὁ ΑΒ εἰμί ὅμοιος , [ καί ὁ ΑΒΝ ἄρα ὁ ΑΒ εἰμί ὅμοιος e ] , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα ὁ ΝΑ περιφέρεια ὁ ΑΒ περιφέρεια , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΔΘΒ κύκλος οὐ ἐφάπτω ὁ ΛΜ κύκλος , ἐφάπτω ἄρα . ὁ ΑΗΓ , ΒΖΘΔ ἄρα κύκλος ὁ αὐτός ὁ παράλληλος ἐφάπτω .