theodosius-astronomy.sphaerica 1.13.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ a πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ , δίχα αὐτ ὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω · λέγω , ὅτι δίχα αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ ἡ ΒΔ , καὶ εἰλήφθω κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον · τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας · καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἡ ΗΘ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α , Γ σημεῖα . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς ἄλληλα , τό τε τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΕΒΖΔ , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΘΑ , ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων οὖσα τῷ ΑΒΓΔ ἡ ΑΓ ἄρα καὶ τῷ ΕΒΖΔ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ , καὶ συμπίπτει τῷ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον · τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου , ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ , ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΓΔ κύκλον δίχα τέμνει . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων . Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ , καὶ ἐκβέβληται ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη , καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α , Γ ἐὰν δὲ ἡ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ , καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη , ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου · τὰ Α , Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ , ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει · ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ δίχα · ὁ ΑΒΓΔ . ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα a πρός ὀρθός τέμνω , δίχα αὐτ εἰμί τέμνω καί διά ὁ πόλος . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΕΒΖΔ πρός ὀρθός τέμνω · λέγω , ὅτι δίχα αὐτός τέμνω καί διά ὁ πόλος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ ΒΔ , καί λαμβάνω κέντρον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ὁ σημεῖον · ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ σφαῖρα · καί ἄγω ἀπό ὁ ὁ σημεῖον ἐπί ὁ ΒΔ κάθετος ὁ ΗΘ , καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Α , Γ σημεῖον . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ἀλλήλων , ὁ τε ὁ ΑΒΓΔ κύκλος καί ὁ ὁ ΕΒΖΔ , καί ὁ κοινός τομή αὐτός ὁ ΒΔ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΘΑ , ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ ὁ ΑΓ ἄρα καί ὁ ΕΒΖΔ ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΗΘ , καί συμπίπτω ὁ ὁ ΕΒΖΔ κύκλος ἐπίπεδος κατά ὁ Θ σημεῖον · ὁ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΕΒΖΔ κύκλος , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΒΕΔ , ΒΖΔ ἡμικύκλιος εἰμί · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὁ βγδʹ κύκλος δίχα τέμνω . λέγω δή , ὅτι καί διά ὁ πόλος . ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΗΘ , καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος , καί συμπίπτω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Α , Γ ἐάν δέ ὁ ἐν σφαῖρα κύκλος , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω , καί ἐκβάλλω ἐπί ἀμφότερος ὁ μέρος , ἐπί ὁ πόλος πίπτω ὁ κύκλος · ὁ Α , Γ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΕΒΖΔ , ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω · τέμνω δέ αὐτός καί δίχα · ὁ ΑΒΓΔ . ἄρα κύκλος ὁ ΕΒΖΔ κύκλος δίχα τε καί διά ὁ πόλος τέμνω .