theodosius-astronomy.sphaerica 2.3.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνωσι , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ · ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΓΔΕ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΕ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τεμνέτωσαν τὸ Γ , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ · λέγω , ὅτι ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλοι . Ἔστωσαν γὰρ αὐτῶν κοιναὶ τομαὶ , τοῦ μὲν ΑΓΕ καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ ΑΓ , τοῦ δὲ ΑΓΕ καὶ τοῦ ΓΔΕ ἡ ΓΕ , τοῦ δὲ ΑΒΓ καὶ τοῦ ΓΔΕ ἡ ΗΓΖ . b Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΕ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΕ διάμετρός ἐστι τοῦ ΓΔΕ κύκλου . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΕ ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλων , καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομή ἐστιν ἄρα ὀρθὴ πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον . Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΓΗ , καὶ ἡ ΖΓΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΕ κύκλον · ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν . Ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΓ , ΓΕ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΕ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΖΗ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς κατερᾶν τῶν ΑΓ , ΓΕ . Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἀπ’ ἄκρας τῇ διαμέτρῳ τῇ a ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΖΗ , ἡ ΖΗ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τό Γ σημεῖον . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου ἐφάπτεται ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Γ σημεῖον . Ἐν δὲ σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται , ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται · ἐφάπτεται b δὲ ἡ ΖΗ ἀμφοτέρων τῶν κύκλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον · καὶ οἱ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἄρα κύκλοι ἐφάψονται ἀλλήλων .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος μέγας τις κύκλος περιφέρεια κατά ὁ ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός · ἐφάπτω ἀλλήλων ὁ κύκλος . ἐν γάρ σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΓΕ κατά ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω ὁ Γ , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός · λέγω , ὅτι ἐφάπτω ἀλλήλων ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλος . εἰμί γάρ αὐτός κοινός τομή , ὁ μέν ΑΓΕ καί ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΑΓΕ καί ὁ ΓΔΕ ὁ ΓΕ , ὁ δέ ΑΒΓ καί ὁ ΓΔΕ ὁ ΗΓΖ . b καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΓΕ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΕ διάμετρος εἰμί ὁ ΓΔΕ κύκλος . καί ἐπεί ὁ ΑΓΕ ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλος , καί ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΓΕ κύκλος , καί ὁ κοινός αὐτός τομή εἰμί ἄρα ὀρθός πρός ὁ ΑΓΕ κύκλος . Κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΖΓΗ , καί ὁ ΖΓΗ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΓΕ κύκλος · ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΓΕ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί . ἅπτω δέ αὐτός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΕ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΓΕ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ΖΗ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός κατεράω ὁ ΑΓ , ΓΕ . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΒΓ ἀπό ἄκρος ὁ διάμετρος ὁ a ΑΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΖΗ , ὁ ΖΗ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος κατά ὁ Γ σημεῖον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔΕ κύκλος ἐφάπτω ὁ ΖΗ κατά ὁ Γ σημεῖον . ἐν δέ σφαῖρα κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων λέγω , ὅταν ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ἀμφότερος ὁ κύκλος ἐφάπτω · ἐφάπτω b δέ ὁ ΖΗ ἀμφότερος ὁ κύκλος κατά ὁ Γ σημεῖον · καί ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἄρα κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων .