theodosius-astronomy.sphaerica 3.14.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτῃται , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφάπτῃται , ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο · ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς ποῤῥώτερον . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔΞ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΒΕΓ , λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφαπτέσθω , ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται · λέγω , ὅτι ἀνομοίας ἀπολήψονται περιφερείας τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν · καὶ μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἰεὶ αἱ ἔγγιον ὁποτερουοῦν τῶν πόλων τῆς ποῤῥώτερον . Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΒΓ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ε , Κ καὶ τῶν Ε , Κ σημείων τῷ ΑΔΞ κύκλοι παράλληλοι γεγράφθωσαν οἱ ΖΕΗ , ΘΜΑ · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΘΚ περιφέρεια τῆς ΖΕ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Ε , Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕΜ , ΞΝΚ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔΞ , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ Δ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπὶ τὰ Μ μέρη , τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυλίῳ , ὡς ἐπὶ τὰ Θ μέρη , τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπὶ τὰ Κ μέρη , τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ , ὡς ἐπὶ τὰ Λ μέρη . Ἐπεὶ οὖν ἀσύμπτωτά ἐστι τὰ ΑΛ , ΞΚ ἡμικύκλια , καὶ μεταξὺ αὐτῶν κύκλων παραλλήλων περιφέρειαί εἰσιν αἱ ΝΗ , ΚΛ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΘΜ ἐστιν ὁμοία · καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΗ περιφέρεια τῇ ΚΛ περιφερείᾳ , ἡ ἄρα ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΖΕ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω · ἀνόμοιος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ παράλληλος κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἢ ὅμοιος εἰμί ἀεί ὁ ἐγγύς ὁποτέσρις ὁ πόλος ὁ πρόσω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΔΑ ἐφάπτω κατά ὁ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος ὁ ΒΕΓ , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω · λέγω , ὅτι ἀνόμοιος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ παράλληλος ὁ μεταξύ αὐτός · καί μείζων ἢ ὅμοιος εἰμί ἀεί ὁ ἐγγύς ὁποτέσρις ὁ πόλος ὁ πρόσω . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ λοξός κύκλος ὁ ΒΓ δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , Κ καί ὁ Ε , Κ σημεῖον ὁ ΔΑ κύκλος παράλληλος γράφω ὁ ΖΕΗ , ΘΜΑ · λέγω , ὅτι ὁ μέν ΕΗ περιφέρεια ὁ ΚΛ περιφέρεια μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος , ὁ δέ ΘΚ περιφέρεια ὁ ΖΕ περιφέρεια μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος . γράφω γάρ διά ὁ Ε , Κ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΔΕΜ , ΞΝΚ ἐφάπτω ὁ ΔΑ , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ δ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ Μ μέρος , ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικυλίῳ , ὡς ἐπί ὁ Θ μέρος , ὁ δέ ἀπό ὁ Ξ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ Κ μέρος , ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ Λ μέρος . ἐπεί οὖν ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ΑΛ , ΞΚ ἡμικύκλιον , καί μεταξύ αὐτός κύκλος παράλληλος περιφέρεια εἰμί ὁ ΝΗ , ΚΛ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΝΗ περιφέρεια ὁ ΚΛ περιφέρεια . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ ΖΕ ὁ ΘΜ εἰμί ὅμοιος · καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΝΗ περιφέρεια ὁ ΚΛ περιφέρεια , ὁ ἄρα ΕΗ περιφέρεια ὁ ΚΛ περιφέρεια μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΚ ὁ ΖΕ μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος , ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .