theodosius-astronomy.sphaerica 2.17.1
Οἱ ἴσας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας , πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων , ἴσοι εἰσὶν , οἱ δὲ μείζονας a , ἐλάσσονες . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ περιφέρειαν τὴν ΒΖ , ἴσην τῇ ΓΖ περιφερείᾳ , ἀφαιρείσθωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ · λέγω , ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ . Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΖ , τοῦ δὲ ΓΔ καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΕΘΖ , ΓΚΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνεται τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί είσι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ παράλληλός ἐστι . Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ , ΓΔ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ περιφέρεια τῇ ΓΖ περιφερείᾳ . Ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΓ , ἔσονται αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι · ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΕ ἴση ἐστίν · ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶ , καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση , καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ , ΒΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ , ΖΓ ἴσαι εἰσίν . Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΑΛΒΖ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΓΜΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση , μέγιστοι γάρ εἰσι κύκλοι οἱ ΕΘΖ , ΑΒΓΔ , ὧν συναμφότεραι αἱ ΕΑ , ΖΒ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ , ΖΓ ἴσαι εἰσίν · λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛΒ λοιπῇ τῇ ΔΜΓ ἐστὶν ἴση , καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἅρα ἐστὶν ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ . Ἤτοι δὴ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ , ΔΚΓ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει , ἢ οὔ . Τεμνέτω πρότερον διὰ τῶν πόλων , καὶ δίχα ἄρα αὐτοὺς τεμεῖ · ἡ μὲν ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒ κύκλου , ἡ δὲ ΔΓ τοῦ ΔΚΓ κύκλου , καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἴση · ἴσος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΓΚΔ κύκλῳ . Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ τεμνέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ , ΓΚΔ κύκλους διὰ τῶν πόλων · καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων , καὶ ἔστω τὸ Ν σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΘΚΜΞ , καὶ τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΜΞ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῇ ΜΞ περιφερείᾳ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια · ὅλη ἄρα ἡ ΛΗΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶν . Ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΛΚΜ , ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΗΜΞ · κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον τῷ Ξ σημείῳ · καί ἐστι τὸ Ν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων · καὶ τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ , ΔΚΓ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΘΚΞ · ὁ ΛΘΚΞ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ περιφέρεια τῇ ΜΔ περιφερείᾳ , διπλῇ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜΔ a περιφέρεια τῆς ΜΓ περιφερείας . Ὁμοίως δῆ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΑΛΒ περιφέρεια τῆς ΑΛ περιφερείας διπλῆ ἐστι · καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΜΓ περιφέρεια τῇ ΑΛΒ περιφερείᾳ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΔ περιφέρεια τῇ ΑΛ περιφερείᾳ . Κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου , τῆς ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ , τμήματα κύκλου ὀρθὰ καὶ ἴσα ἐφέσταται τὸ ΛΘΚΜ , καὶ τὸ ΜΞ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές · καὶ ἀπὸ τούτων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΛΝ , ΜΞ , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι b οὖσαι τῶν ὅλων , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ , ΜΓ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ . Καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου · ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΗΒ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΔΚΓ κύκλου . Ὡν δὲ κύκλων αἱ ἐκ τῶν πόλων ἴσαι εἰσὶν , ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΔΚΓ κύκλῳ . Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω μείζων ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΒΖ περιφερείας · λέγω , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΔΚΓ κύκλος τοῦ ΑΗΒ κύκλου . Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΖΒ περιφερείας , ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΓΖ τῇ ΖΒ ἴση ἡ ΖΟ , καὶ διὰ τοῦ ( ϲ ) Ο τῷ ΕΘΖ κύκλῳ παράλληλος γεγράφθω ὁ ΟΡΠ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΡΟ κύκλος τῷ ΑΗΒ κύκλῳ , ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΟΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ . Ὁ δὲ ΠΡΟ κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου , ἔγγιον γὰρ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΠΡΟ κύκλος , ἤπερ ὁ ΔΚΓ κύκλος · καὶ ὁ ΑΗΒ ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου , ὥστε ὁ ΔΚΓ κύκλος ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου .
Lemmas: ὁ ἴσος ἀφαιρέω ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος μέγας τις κύκλος περιφέρεια , πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ἴσος εἰμί , ὁ δέ μείζων a , μικρός . ἐν γάρ σφαῖρα παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας τις κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὁ ΒΖ , ἴσος ὁ ΓΖ περιφέρεια , ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΓΔ κύκλος . ἔστω γάρ ὁ μέν ΑΒ κύκλος καί ὁ ΑΒΓΔ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΕΖ κύκλος καί ὁ ΑΒΓΔ κοινός τομή ὁ ΕΖ , ὁ δέ ΓΔ καί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος κοινός τομή ὁ ΓΔ . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΕΘΖ , ΓΚΔ ὑπό ἐπίπεδος τις τέμνω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή παράλληλος εἶμι · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΓΔ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ παράλληλος εἰμί . καί ἐπεί ἐν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ δύο παράλληλος ἄγω εἰμί ὁ ΕΖ , ΓΔ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ περιφέρεια ὁ ΓΖ περιφέρεια . ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ , εἰμί ὁ ἐναλλάξ γωνία Ἴσαι · ἐν δέ ὁ ἴσος κύκλος ὁ Ἴσαι γωνία ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ περιφέρεια ὁ ΖΓ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΒΖ ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί · ἀλλά ὁ ΒΖ ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΕ ἄρα ὁ ΕΔ εἰμί ἴσος , καί συναμφότεροι ἄρα ὁ ΑΕ , ΒΖ συναμφότεροι ὁ ΕΔ , ΖΓ Ἴσαι εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΕΖ περιφέρεια ὅλος ὁ ΓΔ περιφέρεια εἰμί ἴσος , μέγας γάρ εἰμί κύκλος ὁ ΕΘΖ , ΑΒΓΔ , ὅς συναμφότεροι ὁ ΕΑ , ΖΒ συναμφότεροι ὁ ΕΔ , ΖΓ Ἴσαι εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ΑΛΒ λοιπός ὁ ΔΜΓ εἰμί ἴσος , καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ εὐθύς ὁ ΓΔ εὐθύς . ἤτοι δή ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΑΗΒ , ΔΚΓ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω , ἢ οὖον . τέμνω πρότερος διά ὁ πόλος , καί δίχα ἄρα αὐτός τέμνω · ὁ μέν ΑΒ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΗΒ κύκλος , ὁ δέ ΔΓ ὁ ΔΚΓ κύκλος , καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ ἴσος · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΗΒ κύκλος ὁ ΓΚΔ κύκλος . ἀλλά δή πάλιν μή τέμνω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΑΗΒ , ΓΚΔ κύκλος διά ὁ πόλος · καί λαμβάνω ὁ πόλος ὁ παράλληλος , καί ἵστημι ὁ Ν σημεῖον , καί διά ὁ Ν σημεῖον καί εἷς ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΘΜ , καί ὁ ΛΝ περιφέρεια ἴσος ἀπολαμβάνω ὁ μξ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΛΝ περιφέρεια ὁ μξ περιφέρεια , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΝΚΜ περιφέρεια · ὅλος ἄρα ὁ ΗΜ περιφέρεια ὅλος ὁ ΝΚΜΞ περιφέρεια ἴσος εἰμί . ἡμικύκλιον δέ ὁ ΛΚΜ , ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί καί ὁ Ξ · κατά διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ Ν σημεῖον ὁ Ξ σημεῖον · καί εἰμί ὁ Ν ὁ πόλος ὁ παράλληλος κύκλος · καί ὁ Ξ ἄρα σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος εἰμί ὁ παράλληλος κύκλος . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΔΚΓ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΛΘΚΞ · ὁ ΛΘΚΞ ἄρα δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ περιφέρεια ὁ ΜΔ περιφέρεια , διπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜΔ a περιφέρεια ὁ ΜΓ περιφέρεια . ὅμοιος δῆ δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΛΒ περιφέρεια ὁ ΑΛ περιφέρεια διπλόος εἰμί · καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΜΓ περιφέρεια ὁ ΑΛΒ περιφέρεια · ἴσος ἄρα καί ὁ ΜΔ περιφέρεια ὁ ΑΛ περιφέρεια . Κύκλος δή τις ὁ ΑΒΓΔ ἐπί διάμετρος , ὁ ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Μ , τμῆμα κύκλος ὀρθός καί ἴσος ἐφίστημι ὁ ΛΘΚΜ , καί ὁ μξ καί ὁ οὗτος συνεχής · καί ἀπό οὗτος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΛΝ , μξ , μικρός ἢ ἥμισυς b εἰμί ὁ ὅλος , ἀπό δέ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΑΛ , ΜΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ξ ἐπί ὁ Γ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς . καί ὁ μέν ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐκ ὁ πόλος εἰμί ὁ ΑΗΒ κύκλος , ὁ δέ ἀπό ὁ Ξ ἐπί ὁ Γ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐκ ὁ πόλος εἰμί ὁ ΓΚΔ κύκλος · ὁ ἄρα ἐκ ὁ πόλος ὁ ΑΗΒ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ πόλος ὁ ΔΚΓ κύκλος . ὡς δέ κύκλος ὁ ἐκ ὁ πόλος Ἴσαι εἰμί , ἴσος εἰμί ὁ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗΒ κύκλος ὁ ΔΚΓ κύκλος . ἀλλά δή πάλιν ἵστημι μείζων ὁ ΓΖ περιφέρεια ὁ ΒΖ περιφέρεια · λέγω , ὅτι μικρός εἰμί ὁ ΔΚΓ κύκλος ὁ ΑΗΒ κύκλος . ἐπεί γάρ μείζων εἰμί ὁ ΓΖ περιφέρεια ὁ ΖΒ περιφέρεια , ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΓΖ ὁ ΖΒ ἴσος ὁ ΖΟ , καί διά ὁ ( Σ ) ὁ ὁ ΕΘΖ κύκλος παράλληλος γράφω ὁ ΟΡΠ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ προ κύκλος ὁ ΑΗΒ κύκλος , ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΟΖ περιφέρεια ὁ ΖΒ περιφέρεια . ὁ δέ προ κύκλος μείζων εἰμί ὁ ΔΚΓ κύκλος , ἐγγύς γάρ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ προ κύκλος , ἤ2 ὁ ΔΚΓ κύκλος · καί ὁ ΑΗΒ ἄρα κύκλος μείζων εἰμί ὁ ΔΚΓ κύκλος , ὥστε ὁ ΔΚΓ κύκλος μικρός εἰμί ὁ ΑΗΒ κύκλος .