theodosius-astronomy.sphaerica 2.9.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφῇ · δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα a τμήματα τῶν κύκλων . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΖΑΕΒ , ΖΔΕΓ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΒΔ κύκλος δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων , τοῦτ’ ἔστιν , ὅτι ἡ μὲν ΖΑ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΑΕ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΒΕ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ , καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ . Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΖΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ΑΓΒΔ καὶ τοῦ ΖΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΖΗ , ΗΕ . Καὶ ἐπεὶ τὰ Ζ , Η , Ε σημεῖα ἐν τῷ τοῦ ΑΕΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν , b ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου ἐπιπέδῳ · τὰ Ζ , Η , Ε ἄρα σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι c τῶν δύο ἐπιπέδων . Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν , ἐπ’ ευθεῖαν ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΒΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΕΒ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΑΕΒ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΖΑΕΒ , ΖΔΕΓ κύκλων , καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν ΖΑΕΒ , ΖΔΕΓ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον . Ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ ἐπιπέδῳ · καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΖΑΕΒ , ΖΔΕΓ τῷ ΑΓΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΗΕ , καὶ ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον , ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἅπτεται δὲ τῆς ΖΗΕ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ , ΓΔ καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΗΕ . Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΖΑΕΒ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν τὴν ΖΗΕ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , καὶ δίχα αὐτὴν τέμεῖ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ . Κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΑ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ μὲν ΖΒ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶν , ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ , καὶ ἔπι ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ · ὁ ΑΓΒΔ ἄρα κύκλος δίχα τέμνει τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω · δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω a τμῆμα ὁ κύκλος . ἐν γάρ σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΕΖ , ΔΓ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΓΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΒΔ κύκλος δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος , οὗτος εἰμί , ὅτι ὁ μέν Γῆ περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ περιφέρεια , ὁ δέ ΖΒ περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ περιφέρεια , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΓΕ , καί ὁ ΖΔ ὁ ΔΕ . ἔστω γάρ ὁ μέν ΑΓΒΔ κύκλος καί ὁ ΑΒΕΖ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΓΒΔ καί ὁ ΖΕ κοινός τομή ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ , ΗΕ . καί ἐπεί ὁ Ζ , ὁ , Ε σημεῖον ἐν ὁ ὁ ΑΕΒΖ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί , b εἰμί δέ καί ἐν ὁ ὁ ΔΓ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ Ζ , ὁ , Ε ἄρα σημεῖον ἐπί ὁ κοινός τομή εἰμί c ὁ δύο ἐπίπεδος . πάντως δέ δύο ἐπίπεδος ὁ κοινός τομή εὐθύς εἰμί , ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΕ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΓΒΔ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΕΖ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΒ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΕΖ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔ διάμετρος εἰμί ὁ ΔΓ κύκλος . καί ἐπεί ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒΕΖ , ΔΓ κύκλος , καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒΕΖ , ΔΓ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΓΒΔ κύκλος . ἐάν δέ δύο ἐπίπεδος ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ κοινός αὐτός τομή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος · καί ὁ κοινός ἄρα τομή ὁ ΑΒΕΖ , ΔΓ ὁ ΑΓΒΔ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . Κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΖΗΕ , καί ὁ ΖΗΕ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΓΒΔ κύκλος , ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΖΗΕ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ΖΗΕ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΖΗΕ . ἐπεί οὖν ἐν κύκλος ὁ ΑΒΕΖ εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΑΒ εὐθύς τις μή διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΖΗΕ πρός ὀρθός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΕ . κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΗΑ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ Γῆ περιφέρεια ὁ ΑΕ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΖΒ ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΓΕ , καί ἐπί ὁ ΖΔ ὁ ΔΕ · ὁ ΑΓΒΔ ἄρα κύκλος δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος .