theodosius-astronomy.sphaerica 3.8.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφάπτηται , ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο · ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων · διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων γραφῶσοι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι , οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο , ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν ἐπαφῶν ἡμικύκλια , ὡς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν σημείων , δέ ὧν ἐγράφησαν , τῷ ἡμικυκλίῳ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου , τῷ , ἐφ’ οὗ ἂν ᾖ ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου , ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων · ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγιστος ὁ ΕΖΓ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφαπτέσθω , ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται · ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε , Γ σημεῖα , μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΒΖ · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΗΘ , ΘΚ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖ , καὶ διὰ τῶν Η , Θ , Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΗΛ , ΜΘΝ , ΞΚΟ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔ κύκλου κατὰ τὰ Δ , Μ , Ξ σημεῖα , ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν Δ , Μ , Ξ ἡμικύκλια , ὡς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν Η , Θ , Κ , τῷ ΑΒ ἡμικυκλίῳ · λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας . Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Η , Θ , Κ σημείων παράλληλοι κύκλοι οἱ ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ , μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περιφερείας . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΤ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΥ , ἡ δὲ ΣΠ’ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΡ · καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΡ μείζων ἐστί . Κείσθω οὖ τῇ ΦΡ ἴση ἡ ΘΦ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ . Γεγράφθω διὰ τοῦ Φ ὁποτέρῳ τῶν ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ , ΒΖ παράλληλος ὁ ΧΦΨ , καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ Ω , καὶ διὰ τῶν Ω , Ο σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΩΟ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΩΟ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΩΟ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΒΖ κύκλον , ὁ ΞΚΟ ἄρα πρὸς τὸν ΒΖ κέκλιται , ὡς ἐπὶ τὰ Α , Ε , Β μέρη , καὶ ὁ ΒΖ πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται , ὡς ἐπὶ τὰ Α , Ε , Β μέρη . Παράλληλος δὲ ὁ ΒΖ τῷ ΧΦΨ , καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται , ὡς ἐπὶ τὰ Ξ μέρη . Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ , ΧΦΨ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ λοξοῦ τέμνεται τοῦ ΞΚΟ , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν · ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ , ΒΖ ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ο σημείου διάμετρος τοῦ ΞΚΟ κύκλου · ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ , ΧΦΨ , ἥτις ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ σημείου διηγμένη , παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τοῦ Ο διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ κύκλου . Εἰς δὲ κύκλον τὸ ΞΚΟ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΞΚΟ , ΧΦΨ κοινὴ τομὴ εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον , παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ κύκλου , καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τό τούτῳ συνεχὲς , κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου · διῄρηται δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Φ σημεῖον , καὶ ἡ ΦΨ ἐλάσσων ἐστὶν , ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ ᾧ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Φ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ , ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ . Καὶ ἐπεὶ ὁ ΦΧ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ἤπερ ὁ ΠΗΡ · μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΦΨ κύκλος τοῦ ΠΗΡ κύκλου . Ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΦΨ , ΠΗΡ , καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΠΗΡ κύκλος , καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι , ἐν μὲν τῷ ΠΗΡ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ , ἐν δὲ τῷ ΧΦΨ ἡ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ , καὶ ἡ ἐν τῷ ἐλάσσονι κύκλῳ διηγμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι κύκλῳ διηγμένης εὐθείας , τοῦτ’ ἔστι , μείζων ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ · ἡ ΗΡ ἄρα περιφέρεια τῆς ΨΦ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἡ ὁμοία · ἀλλ’ ἡ μὴν ΗΡ περιφέρεια τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία , ἡ δὲ ΦΨ τῇ ΝΟ ἐστὶν ὁμοία · καὶ ἠ ΑΝ ἄρα μείζων ἐστιν ἢ ὁμοία τῆς ΝΟ . καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου , μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω · ἔτι δέ ὁ ἁφή εἰμί ἐπί ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος · διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον γράφω μέγας κύκλος ἐφάπτω , ὅς καί ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω , ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ παράλληλος κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , ἀσύμπτωτος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ἐπαφάω ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ μέρος ὁ σημεῖον , δέ ὅς γράφω , ὁ ἡμικύκλιον ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος , ὁ , ἐπί ὅς εἄν εἰμί ὁ συναφή ὁ λοξός κύκλος , ὁ μεταξύ ὁ τε φανερός πόλος καί ὁ μέγας ὁ παράλληλος · ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος ὁ πρόσω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΔ ἐφάπτω κατά ὁ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγας ὁ ΕΖΓ λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω · ἔτι δέ ὁ ἁφή εἰμί ἐπί ὁ ΑΒΓ κύκλος κατά ὁ Ε , Γ σημεῖον , μέγας δέ ὁ παράλληλος ἵστημι ὁ ΒΖ · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος ὁ ΕΖΓ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΗΘ , ΘΚ ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΖ , καί διά ὁ ὁ , Θ , Κ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΔΗ , ΜΘΝ , ΞΚΟ ἐφάπτω ὁ ΑΔ κύκλος κατά ὁ δ , Μ , Ξ σημεῖον , ὅμοιος ἀφαιρέω περιφέρεια ὁ παράλληλος κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , ἀσύμπτωτος ποιέω ὁ ἀπό ὁ δ , Μ , Ξ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ μέρος ὁ ὁ , Θ , Κ , ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον · λέγω , ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΛΝ περιφέρεια ὁ ΝΟ περιφέρεια . γράφω γάρ διά ὁ ὁ , Θ , Κ σημεῖον παράλληλος κύκλος ὁ ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥ , μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΣΤ περιφέρεια ὁ ΣΠ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν ΣΤ ἴσος εἰμί ὁ ΘΥ , ὁ δέ ἕπω ἴσος εἰμί ὁ ΘΡ · καί ὁ ΥΘ ἄρα ὁ ΘΡ μείζων εἰμί . κέω οὖον ὁ ΦΡ ἴσος ὁ ΘΦ , εἰμί δέ καί ὁ ΗΘ ὁ ΘΚ ἴσος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Ρ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς . γράφω διά ὁ Φ ὁπότερος ὁ ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥ , ΒΖ παράλληλος ὁ ΧΦΨ , καί λαμβάνω ὁ πόλος ὁ παράλληλος κύκλος ὁ Ω , καί διά ὁ Ω , ὁ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΩΟ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΩΟ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΒΖ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΩΟ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΒΖ κύκλος , ὁ ΞΚΟ ἄρα πρός ὁ ΒΖ κλίνω , ὡς ἐπί ὁ Α , Ε , Β μέρος , καί ὁ ΒΖ πρός ὁ ΞΚΟ κλίνω , ὡς ἐπί ὁ Α , Ε , Β μέρος . παράλληλος δέ ὁ ΒΖ ὁ ΧΦΨ , καί ὁ ΧΦΨ ἄρα πρός ὁ ΞΚΟ κλίνω , ὡς ἐπί ὁ Ξ μέρος . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΒΖ , ΧΦΨ ὑπό τις ἐπίπεδος ὁ λοξός τέμνω ὁ ΞΚΟ , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · ὁ δέ κοινός τομή ὁ ΞΚΟ , ΒΖ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ σημεῖον διάμετρος ὁ ΞΚΟ κύκλος · ὁ ἄρα κοινός τομή ὁ ΞΚΟ , ΧΦΨ , ὅστις εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ψ σημεῖον διάγω , παράλληλος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ διάμετρος ὁ ΞΚΟ κύκλος . εἰς δέ κύκλος ὁ ΞΚΟ διάγω τις εὐθύς ὁ ὁ ΞΚΟ , ΧΦΨ κοινός τομή εἰς ἄνισος τέμνω ὁ κύκλος , παράλληλος γάρ εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΞΚΟ κύκλος , καί ἐπί αὐτός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΧΨ καί ὁ οὗτος συνεχής , κλίνω πρός ὁ μή μείζων ἡμικύκλιον · διαιρέω δέ ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος κατά ὁ Φ σημεῖον , καί ὁ ΦΨ μικρός εἰμί , ἢ ἥμισυς ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ὅς ἐπί ὁ Ψ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Φ σημεῖον πρός ὁ μή μικρός ἡμικύκλιον περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Ψ μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Κ , ὁ δέ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Κ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Ρ , ὥστε ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Ρ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Ψ . καί ἐπεί ὁ ΦΧ κύκλος ἐγγίων εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ἤ2 ὁ ΠΗΡ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΧΦΨ κύκλος ὁ ΠΗΡ κύκλος . ἐπεί οὖν δύο κύκλος ἄνισος εἰμί ὁ ΧΦΨ , ΠΗΡ , καί μικρός εἰμί ὁ ΠΗΡ κύκλος , καί ἐν αὐτός διάγω εἰμί εὐθύς , ἐν μέν ὁ ΠΗΡ ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Ρ , ἐν δέ ὁ ΧΦΨ ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Ψ , καί ὁ ἐν ὁ μικρός κύκλος διάγω μείζων εἰμί ὁ ἐν ὁ μείζων κύκλος διάγω εὐθύς , οὗτος εἰμί , μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Ρ ὁ ἀπό ὁ Φ ἐπί ὁ Ψ · ὁ ΗΡ ἄρα περιφέρεια ὁ ΨΦ περιφέρεια μείζων εἰμί ὁ ὅμοιος · ἀλλά ὁ μήv ΗΡ περιφέρεια ὁ ΛΝ περιφέρεια εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΦΨ ὁ ΝΟ εἰμί ὅμοιος · καί ὁ ΑΝ ἄρα μείζων εἰμί ἢ ὅμοιος ὁ ΝΟ . καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος , μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΑΝ περιφέρεια ὁ ΝΟ περιφέρεια .