theodosius-astronomy.sphaerica 2.19.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ , εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ , χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων . Τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων , ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα , ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου · τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάττονα , ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου . Τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν b . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ παραλλήλους τοὺς ΑΔ , ΕΖ , ΒΓ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω , μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ , χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖ · τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων , ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα , ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου , τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάσσονα · τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον , καὶ διὰ τῶν Ε , Η μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΕΘ · ὁ ΗΕΘ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Z σημείου , κατὰ διάμετρον γὰρ τὸ Ε τῷ Ζ , διὰ τὸ μέγιστον εἶναι ἑκάτερον τῶν ΕΖ , ΑΒΓΔ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΝΖΚ , καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΓ κύκλος ἕως τῶν Θ , Κ σημείων . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΘΕΜΗΝΖΚ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΜΝΔ , ΕΖ , ΘΒΓΚ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΜΝ , ΕΖ , ΘΒΓΚ . Ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΝ ἡμικύκλιόν ἐστι , τὸ ΑΜΝΔ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ Η πόλου μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων . Πάλιν ἐπεὶ τὸ ΘΒΓΚ ἡμικύκλιόν ἐστι , τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου , καὶ ὄντα ἐν τῷ αὐτῷ ἡμισφαιρίῳ , ἐλάττονά ἐστιν ἡμικυκλίων . Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλος · λέγω , ὅτι τῶν ΑΔ , ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια τῇ ΕΒ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ · [ ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΓ a ] συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ , ΔΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΒ , ΖΓ ἴσαι εἰσίν · ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΑΔΖ ὅλη τῇ ΕΒΓΖ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῇ τῇ ΒΓ ἴση ἐστὶ , διὰ τὸ ἡμικυκλίου εἶναι ἑκατέραν τῶν ΕΑΔΖ , ΕΒΓΖ , μέγιστοι γάρ εἰσιν οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖ b . Καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου αἱ ΑΔ , ΒΓ περιφέρειαι , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ · καί ἐστιν ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἡ ὑπὸ τὴν ΑΔ περιφέρειαν ὑποτείνουσα , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἡ ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα · ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι , τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι , τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι · ἡ μὲν ἄρα τοῦ ΑΔ κύκλου μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου μείζονι περιφερείᾳ , ἡ δὲ τοῦ ΑΔ κύκλου ἐλάσσων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου ἐλάσσονι περιφερείᾳ . Καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ μεῖζον ἡμικυκλίου , τὸ δὲ ΒΓ ἐλάττον · τῶν ἄρα ΑΔ , ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος παράλληλος τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μή διά ὁ πόλος τέμνω , εἰς ἄνισος αὐτός τέμνω , Χωρὶς ὁ μέγας ὁ παράλληλος . ὁ δέ ἀπολαμβάνω τμῆμα ἐν εἷς ὁ ἡμισφαίριον , ἡμικύκλιον μέν εἰμί μείζων , ὅσος εἰμί μεταξύ ὁ μέγας ὁ παράλληλος καί ὁ φανερός πόλος · ὁ δέ λοιπάς μικρός , ὅσος εἰμί μεταξύ ὁ μέγας ὁ παράλληλος καί ὁ ἀφανής πόλος . ὁ δέ ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί b . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα παράλληλος ὁ ΑΔ , ΕΖ , ΒΓ μή διά ὁ πόλος τέμνω , μέγας δέ ὁ παράλληλος ἵστημι ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι εἰς ἄνισος αὐτός τέμνω , Χωρὶς ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ · ὁ δέ ἀπολαμβάνω τμῆμα ἐν εἷς ὁ ἡμισφαίριον , ἡμικύκλιον μέν εἰμί μείζων , ὅσος εἰμί μεταξύ ὁ τε ΕΖ καί ὁ φανερός πόλος , ὁ δέ λοιπάς μικρός · ὁ δέ ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἔστω γάρ ὁ φανερός πόλος ὁ παράλληλος ὁ ὁ σημεῖον , καί διά ὁ Ε , ὁ μέγας κύκλος γράφω ὁ ΗΕΘ · ὁ ΗΕΘ ἄρα προσαναπληρόω ἥκω καί διά ὁ Z σημεῖον , κατά διάμετρος γάρ ὁ Ε ὁ Ζ , διά ὁ μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΖ , ΑΒΓΔ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΖΗ , καί προσαναπληρόω ὁ ΒΓ κύκλος ἠώς ὁ Θ , Κ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΕΖ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΔ , ΕΖ , ΘΒΓΚ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τέμνω καί πρός ὀρθός · ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΜΝ , ΕΖ , ΘΒΓΚ . ἐπεί οὖν ὁ ΜΝ ἡμικύκλιος εἰμί , ὁ ΑΔ ἄρα μέγας εἰμί ἡμικύκλιον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ τμῆμα ὁ μεταξύ ὁ τε ΕΖ κύκλος καί ὁ ὁ πόλος μέγας εἰμί ἡμικύκλιον . πάλιν ἐπεί ὁ ΘΒΓΚ ἡμικύκλιος εἰμί , ὁ ΒΓ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ τμῆμα ὁ μεταξύ ὁ τε ΕΖ κύκλος καί ὁ ἀφανής πόλος , καί εἰμί ἐν ὁ αὐτός ἡμισφαίριον , ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον . ἀλλά δή πάλιν ἵστημι ὁ ΑΔ κύκλος ὁ ΒΓ κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΔ , ΒΓ κύκλος ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ΑΔ κύκλος ὁ ΒΓ κύκλος ἴσος εἰμί καί παράλληλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΕ περιφέρεια ὁ ΕΒ περιφέρεια , ὁ δέ ΔΖ περιφέρεια ὁ ΖΓ περιφέρεια · [ ἀλλά ὁ μέν ΑΕ ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΕΒ ὁ ΖΓ a ] συναμφότεροι ἄρα ὁ ΑΕ , ΔΖ συναμφότεροι ὁ ΕΒ , ΖΓ Ἴσαι εἰμί · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΔ ὅλος ὁ ΕΒΓΖ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΑΔ λοιπός ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί , διά ὁ ἡμικύκλιον εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΕΒΓΖ , μέγας γάρ εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖ b . καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος ὁ ΑΔ , ΒΓ περιφέρεια , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ δ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Γ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ δ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ὑπό ὁ ΑΔ περιφέρεια ὑποτείνω , ὁ δέ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Γ ὁ ὑπό ὁ ΒΓ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς · ἐν δέ ὁ ἴσος κύκλος ὁ Ἴσαι εὐθύς ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω , ὁ μέν μείζων ὁ μείζων , ὁ δέ μικρός ὁ μικρός · ὁ μέν ἄρα ὁ ΑΔ κύκλος μείζων περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΒΓ κύκλος μείζων περιφέρεια , ὁ δέ ὁ ΑΔ κύκλος μικρός περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΒΓ κύκλος μικρός περιφέρεια . καί εἰμί ὁ μέν ΑΔ μείζων ἡμικύκλιον , ὁ δέ ΒΓ ἐλάσσων · ὁ ἄρα ΑΔ , ΒΓ κύκλος ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί .