theodosius-astronomy.sphaerica 1.6.1
Τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι · τῶν δ’ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἑκατέρωθεν τοῦ κέντρου ἴσοι εἰσὶν , οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες . Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , καὶ ὁ μὲν ΓΔ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , οἱ δὲ ΑΒ , ΕΖ πρότερον ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου · λέγω , ὅτι μέγιστος μέν ἐστιν ὁ ΓΔ , ἴσοι δέ εἰσιν οἱ ΑΒ , ΕΖ . Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Η σημεῖον , τὸ αὐτὸ ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ κύκλου · καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τῶν ΑΒ , ΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ , ΗΚ , καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Θ , Κ σημεῖα · τὰ Θ , Κ ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΑΒ , ΕΖ κύκλων . Ἐκβεβλήθωσαν ἀπὸ τῶν Θ , Η , Κ ἐπὶ τοὺς κύκλους εὐθεῖαι αἱ ΘΛ , ΗΜ , ΚΝ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΛ , ΗΝ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ a ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς γωνίας ποιεῖ . Ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΘΛ , οὖσα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ , ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ γωνία . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΝ ὀρθή ἐστι . Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὐπὸ ΗΟΛ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΛΗΘ · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ τῆς ὑπὸ ΛΗΘ , πλευρὰ ἄρα ἡ ΛΗ πλευρᾶς τῆς ΛΘ ἐστὶ μείζων . Καί ἐστιν ἡ ΛΗ τῇ ΗΜ ἴση , διὰ τὸ , τὸ Η σημεῖον κέντρον εἶναι τῆς σφαίρας , καὶ προσπεπτωμέναι ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰς ΛΗ , ΗΜ · καὶ ἡ ΗΜ ἄρα τῆς ΛΘ μείζων ἐστί . Καὶ ἡ μὲν ΗΜ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΓΔ κύκλου , ἡ δὲ ΛΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου · μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ κύκλος τοῦ ΑΒ κύκλου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ πάντων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων καὶ μὴ ὄντων διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ οἱ ΑΒ , ΕΖ κύκλοι εἰσὶν ἴσοι . Ἐπεὶ γὰρ οἱ ΑΒ , ΕΖ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κένπρου τῆς σφαίρας , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ · καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας , ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ , ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ · ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΛΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΘΗ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΝ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΘΗ ἄρα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΝ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶν , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου , ἡ δὲ ΚΝ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου , ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΕΖ κύκλῳ . Ἀλλὰ δὴ πάλιν μεῖζον ἀπεχέτω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεὶ μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος , ἤπερ ὁ ΕΖ , μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῆς ΗΚ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ , τὸ γὰρ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας , καὶ τὰ Λ , Ν πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ · ἴσον ἄρα ἐστὶ a τὸ ἀπὸ τῆς ΗΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ , τοῦτ’ ἔστι , τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ , ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ , ΚΝ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΗ μεῖζόν ἐστι · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ ἔλασσόν ἐστιν , ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΘ τῆς ΝΚ . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου , ἡ δὲ ΝΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου · Καὶ ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΖ κύκλου . Τῶν ἄρα ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι , τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσοι εἰσὶν , οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες .
Lemmas: ὁ ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ μέν διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα μέγας εἰμί · ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ἴσος ἀπέχω ἑκατέρωθεν ὁ κέντρον ἴσος εἰμί , ὁ δέ μείζων μικρός . εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , καί ὁ μέν ΓΔ ἵστημι διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΑΒ , ΕΖ πρότερος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον · λέγω , ὅτι μέγας μέν εἰμί ὁ ΓΔ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΑΒ , ΕΖ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ὁ σημεῖον , ὁ αὐτός ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΔ κύκλος · καί ἄγω ἀπό ὁ ὁ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ , ΕΖ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΗΘ , ΗΚ , καί συμβάλλω ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος κατά ὁ Θ , Κ σημεῖον · ὁ Θ , Κ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ , ΕΖ κύκλος . Ἐκβεβλήθωσαν ἀπό ὁ Θ , ὁ , Κ ἐπί ὁ κύκλος εὐθύς ὁ ΘΛ , ΗΜ , ΚΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΛ , ΗΝ . καί ἐπεί ὁ ΗΘ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ a ΑΒ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός γωνία ποιέω . ἄπτω δέ αὐτός ὁ ΘΛ , εἰμί ἐν ὁ ΑΒ ἐπίπεδος , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΘΗΛ γωνία . Ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΚΗ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΟΛ , μικρός ἄρα εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΛΗΘ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΘΗΛ ὁ ὑπό ΛΗΘ , πλευρόν ἄρα ὁ ΛΗ πλευρά ὁ ΛΘ εἰμί μείζων . καί εἰμί ὁ ΛΗ ὁ ΗΜ ἴσος , διά ὁ , ὁ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , καί προσπίπτω ἀπό αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΛΗ , ΗΜ · καί ὁ ΗΜ ἄρα ὁ ΛΘ μείζων εἰμί . καί ὁ μέν ΗΜ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΓΔ κύκλος , ὁ δέ ΛΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ κύκλος · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ κύκλος ὁ ΑΒ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος καί μή εἰμί διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . λέγω δή , ὅτι καί ὁ ΑΒ , ΕΖ κύκλος εἰμί ἴσος . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ , ΕΖ κύκλος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κένπρου ὁ σφαῖρα , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΗΚ · καί ἐπεί ὁ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , ἴσος εἰμί ὁ ΗΛ ὁ ΗΝ , ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΛΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΝ · ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΛΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΘ , τίθημι , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΝ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΝ , καί ὁ ἀπό ὁ ΛΘ , τίθημι ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΝ , ὅς ὁ ἀπό ὁ τίθημι ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΘΛ λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΚΝ ἴσος εἰμί , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΛ ὁ ΚΝ . καί εἰμί ὁ μέν ΘΛ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ κύκλος , ὁ δέ ΚΝ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖ κύκλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖ κύκλος , ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΕΖ κύκλος . ἀλλά δή πάλιν μείζων ἀπέχω ὁ ΑΒ κύκλος ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἤ2 ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι μικρός εἰμί ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΕΖ κύκλος . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ἐπεί μείζων ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ κύκλος , ἤ2 ὁ ΕΖ , μείζων ἄρα εἰμί ὁ τίθημι ὁ ΗΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΗΛ ὁ ΗΝ , ὁ γάρ ὁ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , καί ὁ Λ , Ν πρός ὁ ἐπιφάνεια · ἴσος ἄρα εἰμί a ὁ ἀπό ὁ ΗΛ ὁ ἀπό ὁ ΗΝ , οὗτος εἰμί , ὁ ἀπό ὁ ΛΘ , τίθημι ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ΚΝ , ὅς ὁ ἀπό ὁ τίθημι ὁ ἀπό ὁ ΚΗ μέγας εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΛΘ λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΝΚ ἐλαχύς εἰμί , μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΛΘ ὁ ΝΚ . καί εἰμί ὁ μέν ΘΛ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ κύκλος , ὁ δέ ΝΚ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖ κύκλος · καί ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος μικρός εἰμί ὁ ΕΖ κύκλος . ὁ ἄρα ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ μέν διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα μέγας εἰμί , ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί , ὁ δέ μείζων μικρός .