theodosius-astronomy.sphaerica 2.15.1
Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάσσονος τοῦ μεγίστου , καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ , γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος κύκλου . Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ ἐλάσσων τοῦ μεγίστου ὁ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὅ ἐστι μεταξὺ αὐτοῦ τε τοῦ ΑΒ , καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ , ἔστω τὸ Γ · δεῖ δὴ διὰ τοῦ Γ σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου . Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον · καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΔΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΕΖΗ , καὶ διὰ τῶν Δ , Γ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΓΘ , καὶ τῇ , ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἴση περιφέρεια ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ · καὶ πόλῳ μὲν τῷ Θ , διαστήματι δὲ τῷ ΒΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΒΗ · μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΗ κύκλος , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ · δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΕΒΗ , ΑΒ a μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴ ΔΒΓΘ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ . Καὶ διὰ τοῦ Δ σημείου καὶ ἑκατέρου τῶν Ε , Η σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΜΕΚ , ΔΝΗΛ , καὶ τῇ ΓΘ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἑκατέρα τῶν ΕΚ , ΗΛ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΕΒΗ , ΖΕΓΗ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΔΒΓΘ , δίχα ἄρα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ , ἡ δὲ ΕΒ περιφέρεια τῇ ΒΗ περιφερείᾳ . Καὶ ἐπεὶ αἱ ΔΕ , ΔΓ , ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν , ἐκ γὰρ τοῦ πόλου εἰσὶ τοῦ ΖΕΗ κύκλου , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ΔΜ , ΔΒ , ΔΝ ἴσαι ἀλλήλαις , ἀλλὰ καὶ αἱ ΕΚ , ΓΘ , ΗΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὅλαι ἄρα αἱ ΜΚ , ΒΘ , ΝΛ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί b . Καί ἐστιν ἡ ΒΘ ἴση τῇ , ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · καὶ αἱ ΜΚ , ΝΛ ἄρα ἴσαι εἰσὶ τῇ , ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΒΓΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΕΓΗ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΔΒΓΘ ἄρα ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ κύκλον . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ὁ ΔΝΗΛ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ , καὶ ἔτι ὁ ΔΜΕΚ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΕΓΗ . Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΝ , ΛΓ , ΘΕ . Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΖΕΓΗ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ τῶν Γ , Η σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφίσταται τὰ ΓΘ , ΗΛ καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ , καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΓΘ , ΗΛ , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων , καί ἑστιν ἴση ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ ΛΓ . Τετραγώνου δὲ ἡ ΘΕ , καὶ ἡ ΛΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΝ τετραγώνου πλευρὰ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΛ τῇ ΛΝ . Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Λ , διαστήματι δὲ τῷ ΛΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ὁ ΓΝΞ , μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΝΞ , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΓΝΞ , ΑΒ a μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΔΝΗΛ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Ν , τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ , ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων ὁ ΓΝΞ ἄρα τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφάψεται . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ὁ πόλῳ τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου . Ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΓΚ , ΘΗ , ἔσονται ἴσαι ἀλλήλαις · καί ἐστιν ἡ ΘΗ τετραγώνου πλευρὰ , ἐκ γὰρ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τοῦ ΕΒΗ , καὶ ἡ ΚΓ ἄρα τετραγώνου ἔσται πλευρά · ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΜ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΚΜ . Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Μ σημείου , καὶ ἔσται ὡς ὁ ΓΜΟ , καὶ ἐφάψεται τοῦ ΑΒ κύκλου · καὶ γίνεται διχῶς τὸ πρόβλημα . Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Γ b , ὅ ἐστι μεταξὺ τοῦ ΑΒ κύκλου , καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ , μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΝΞ , καὶ ὁ ΓΜΟ . [ Ὁμοίως γὰρ ἐροῦμεν · ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΕΖΗΓ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ἀπὸ Ε , Γ σημείων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται τὰ ΕΚ , ΓΘ καὶ τὰ τούτοις συνεχῇ , καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΓ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ · ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΚ εὐθεῖα τῇ ΘΗ εὐθείᾳ . Τετραγώνου δὲ ἡ ΘΗ , ἐκ πόλου γὰρ τοῦ ΕΒΗ κύκλου · τετραγώνου ἄρα καὶ ἡ ΓΚ , ἔτι δὲ καὶ ἡ ΚΜ τετραγώνου . Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ , διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Γ , Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ · καὶ φανερὸν , ὅτι ἐφάψεται τοῦ ΑΒ κύκλου . Εἰ δέ τις λέγοι , τὴν ἀπολαμβανομένην ἴσην τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , εἶναι τὴν ΒΓ , δείξομεν οὕτως . Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ , ΔΗ , ὧν ἡ ΔΒ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΔΜ , ΔΝ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΝΗ , ΕΜ . Τετραγώνου δὲ ἡ ΒΓ , τετραγώνου ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΝΗ , ΕΜ . Ἐπεὶ οὖν τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΗΝ καὶ ἡ ΗΓ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΗ τῇ ΓΗ · ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ΓΗ , γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τοῦ Ν σημείου . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ὁ πόλῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ , κύκλος γραφόμενος ἥξει διὰ τοῦ Μ σημείου . Καὶ ἔσται διχῶς τὸ πρόβλημα a ] .
Lemmas: κύκλος δίδωμι ἐν σφαῖρα μικρός ὁ μέγας , καί σημεῖον τις ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὅς εἰμί μεταξύ αὐτός τε καί ὁ ἴσος τε καί παράλληλος αὐτός , γράφω διά ὁ σημεῖον μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ δίδωμι κύκλος . ἔστω ὁ δίδωμι ἐν σφαῖρα μικρός ὁ μέγας ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὅς εἰμί μεταξύ αὐτός τε ὁ ΑΒ , καί ὁ ἴσος τε καί παράλληλος αὐτός , ἵστημι ὁ Γ · δεῖ δή διά ὁ Γ σημεῖον γράφω μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ ΑΒ κύκλος . λαμβάνω γάρ ὁ πόλος ὁ ΑΒ κύκλος , καί ἵστημι ὁ δ σημεῖον · καί πόλος μέν ὁ δ , διάστημα δέ ὁ ΔΓ κύκλος γράφω ὁ ΓΗΖ , καί διά ὁ δ , Γ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΔΓΘ , καί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , ἴσος περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΒΘ · καί πόλος μέν ὁ Θ , διάστημα δέ ὁ ΒΘ κύκλος γράφω ὁ ΕΒΗ · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΗ κύκλος , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐφάπτω ὁ ΑΒ · δύο γάρ κύκλος ὁ ΕΒΗ , ΑΒ a μέγας κύκλος περιφέρεια ὅς ΔΒΓΘ κατά ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω ὁ Β , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός . καί διά ὁ δ σημεῖον καί ἑκάτερος ὁ Ε , ὁ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΚΜ , ΔΛΔ , καί ὁ ΓΘ περιφέρεια ἴσος ἀπολαμβάνω ἑκάτερος ὁ ΕΚ , ΗΛ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΕΒΗ , ΖΕΓΗ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΔΒΓΘ , δίχα ἄρα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΕΓ περιφέρεια ὁ ΓΗ , ὁ δέ ΕΒ περιφέρεια ὁ ΒΗ περιφέρεια . καί ἐπεί ὁ ΔΕ , ΔΓ , δΗ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ἐκ γάρ ὁ πόλος εἰμί ὁ ΖΕΗ κύκλος , εἰμί δέ καί ὁ δΜ , ΔΒ , ΔΝ Ἴσαι ἀλλήλων , ἀλλά καί ὁ ΕΚ , ΓΘ , ΗΛ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί · ὅλος ἄρα ὁ ΜΚ , ΒΘ , ΝΛ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί b . καί εἰμί ὁ ΒΘ ἴσος ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · καί ὁ ΜΚ , ΝΛ ἄρα Ἴσαι εἰμί ὁ , ὑπό ὅς ὑποτείνω ὁ ὁ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΔΒΓΘ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΖΕΓΗ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΔΒΓΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΖΕΓΗ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΔΛΔ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΖΕΓΗ , καί ἔτι ὁ ΚΜ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΖΕΓΗ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΝ , ΛΓ , ΘΕ . καί ἐπεί κύκλος ὁ ΖΕΓΗ ἐπί διάμετρος ὁ ἀπό ὁ Γ , ὁ σημεῖον ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΓΘ , ΗΛ καί ὁ οὗτος συνεχής , καί ἀπό αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΓΘ , ΗΛ , μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος , καί εἱμί ἴσος ὁ ΕΓ περιφέρεια ὁ ΓΗ περιφέρεια · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΕ ὁ ΛΓ . τετράγωνος δέ ὁ ΘΕ , καί ὁ ΛΓ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . εἰμί δέ καί ὁ ΛΝ τετράγωνος πλευρόν , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ ὁ ΛΝ . ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Λ , διάστημα δέ ὁ ΛΓ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Ν σημεῖον . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΓΝΞ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΓΝΞ , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΓΝΞ , ΑΒ a μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΔΛΔ κατά ὁ αὐτός σημεῖον τέμνω ὁ Ν , ὁ πόλος ἔχω ἐπί αὐτός , ἐφάπτω ἄρα ἀλλήλων ὁ ΓΝΞ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος ἐφάπτω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ πόλος ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ ΚΓ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Μ σημεῖον . ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΚ , τίθημι , εἰμί Ἴσαι ἀλλήλων · καί εἰμί ὁ τίθημι τετράγωνος πλευρόν , ἐκ γάρ ὁ πόλος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ΕΒΗ , καί ὁ ΚΓ ἄρα τετράγωνος εἰμί πλευρά · ἀλλά καί ὁ ΚΜ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΓ ὁ ΚΜ . ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ ΚΓ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Μ σημεῖον , καί εἰμί ὡς ὁ Μ , καί ἐφάπτω ὁ ΑΒ κύκλος · καί γίγνομαι διχῶς ὁ πρόβλημα . Ζεύς ὁ δίδωμι ἄρα σημεῖον ὁ Γ b , ὅς εἰμί μεταξύ ὁ ΑΒ κύκλος , καί ὁ ἴσος τε καί παράλληλος αὐτός , μέγας κύκλος γράφω ὁ ΓΝΞ , καί ὁ Μ . [ ὅμοιος γάρ εἴρω · ἐπεί κύκλος ὁ ΖΗΓ ἐπί διάμετρος ὁ ἀπό Ε , Γ σημεῖον ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΕΚ , ΓΘ καί ὁ οὗτος συνεχής , καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΓ περιφέρεια ὁ ΓΗ περιφέρεια · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΚ εὐθύς ὁ τίθημι εὐθύς . τετράγωνος δέ ὁ τίθημι , ἐκ πόλος γάρ ὁ ΕΒΗ κύκλος · τετράγωνος ἄρα καί ὁ ΓΚ , ἔτι δέ καί ὁ ΚΜ τετράγωνος . ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Κ , διάστημα δέ εἷς ὁ Γ , Μ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός · καί φανερός , ὅτι ἐφάπτω ὁ ΑΒ κύκλος . εἰμί δέ τις λέγω , ὁ ἀπολαμβάνω ἴσος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω , εἰμί ὁ ΒΓ , δείκνυμι οὕτως . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΓ ἑκάτερος ὁ ΔΕ , δΗ , ὅς ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ δΜ , ΔΝ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΝΗ , ΕΜ . τετράγωνος δέ ὁ ΒΓ , τετράγωνος ἄρα εἰμί καί ἑκάτερος ὁ ΝΗ , ΕΜ . ἐπεί οὖν τετράγωνος εἰμί ὁ ΗΝ καί ὁ ΗΓ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΝΗ ὁ ΓΗ · ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ ὁ , διάστημα δέ ὁ ΓΗ , γράφω κύκλος ἥκω διά ὁ Ν σημεῖον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ πόλος μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΓ , κύκλος γράφω ἥκω διά ὁ Μ σημεῖον . καί εἰμί διχῶς ὁ πρόβλημα a ] .