theodosius-astronomy.sphaerica 1.21.1
Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν . Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν . Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ , καὶ ἀπειλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΔΑ , ΑΕ , ἡ δὲ λοιπὴ ΔΕ δίχα τεμνέσθω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον · ὁ δὴ ΑΒΓ κύκλος ἤτοι μέγιστός ἐστιν , ἢ οὔ . Ἔστω πρότερον μὴ μέγιστος , καὶ διὰ δύο δοθέντων σημείων τῶν Ζ , Α , ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας , μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΑΘ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ ἴση , ὅλη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔΖ ὅλῃ τῇ ΑΕΖ ἴσην · ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τέμνει . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνει , πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων · ὁ ΖΘΑ ἄρα τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθάς τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει . Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον · τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλος μέγιστος ἔστω . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔΖ περιφέρεια τῇ ΑΕΖ περιφερείᾳ . Τετμήσθω δὴ ἡ ΑΓΖ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον , ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΓ , ΓΖ περιφερειῶν τεταρτημόριά ἐστιν · ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ΓΖ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου , ἐπείπερ τὸ Α τῷ Ζ κατὰ διάμετρόν ἐστιν . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς . ὁ a ΖΑΘ , ὁ ἄρα ΖΑΘ κύκλος μέγιστός ἐστιν , ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ ἐστι , τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . Καὶ ἐπεὶ τὸ Γ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΖΑΘ κύκλου , ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος τὸν ΖΑΘ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΘ διὰ πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΑΘ κύκλον , καὶ ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΖΑΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων · ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει . Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον · τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου .
Lemmas: ὁ δίδωμι ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ πόλος εὑρίσκω . ἔστω ὁ δίδωμι ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , δεῖ δή ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ πόλος εὑρίσκω . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός τυγχάνω σημεῖον ὁ δ , καί ἀπολαμβάνω δύο Ἴσαι περιφέρεια ὁ ΔΑ , ΑΕ , ὁ δέ λοιπός ΔΕ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ σημεῖον · ὁ δή ΑΒΓ κύκλος ἤτοι μέγας εἰμί , ἢ οὖον . ἔστω πρότερος μή μέγας , καί διά δύο δίδωμι σημεῖον ὁ Ζ , Α , ὅς εἰμί ἐπί σφαιρικός ἐπιφάνεια , μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΖΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ περιφέρεια ὁ ΑΕ περιφέρεια , εἰμί δέ καί ὁ ΔΖ ὁ ΖΕ ἴσος , ὅλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΖ ὅλος ὁ ΑΕΖ ἴσος · ὁ ΑΖΘ ἄρα κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος δίχα τέμνω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μή μέγας εἰμί δίχα τέμνω , πρός ὀρθός τε αὐτός τέμνω καί διά ὁ πόλος · ὁ ΖΘΑ ἄρα ὁ ΑΒΓ πρός ὀρθός τε καί διά ὁ πόλος τέμνω . τέμνω ὁ Γῆ περιφέρεια δίχα κατά ὁ ὁ σημεῖον · ὁ ὁ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἀλλά δή πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλος μέγας ἵστημι . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΔΖ περιφέρεια ὁ ΑΕΖ περιφέρεια . τέμνω δή ὁ ΑΓΖ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Γ σημεῖον , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΓ , ΓΖ περιφέρεια τεταρτημόριον εἰμί · ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ ΓΖ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Α σημεῖον , ἐπεί ὁ Α ὁ Ζ κατά διάμετρος εἰμί . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς . ὁ a ΑΖΘ , ὁ ἄρα ΑΖΘ κύκλος μέγας εἰμί , ὁ γάρ ἐκ ὁ πόλος αὐτός ἴσος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά εἰμί , ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω . καί ἐπεί ὁ Γ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΖΘ κύκλος , ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΖΘ διά πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΖΘ κύκλος , καί ὁ ΑΖΘ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓ πρός ὀρθός τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί διά ὁ πόλος · ὁ ΑΖΘ ἄρα κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος δίχα τε καί διά ὁ πόλος τέμνω . τέμνω ὁ Γῆ περιφέρεια δίχα κατά ὁ ὁ σημεῖον · ὁ ὁ ἄρα σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος .