theodosius-astronomy.sphaerica 3.11.1
Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ἡ τῶν παραλλήλων , καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο κύκλοι μέγιστοι πρὸς ὀρθὰς , ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , διὰ τῶν πόλων ὧν τῶν παραλλήλων , τέμνῃ τὸν λοξὸν κύκλον μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ ὁ λοξὸς ἐφάπτεται · ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον , οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος , μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια , ἡ μεταξὺ τοῦ τε ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ πόλων , πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν , τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων . Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων , τὸ Α σημεῖον , καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΕΓ , ΔΕΖ , ὧν ὁ μὲν ΒΕΓ μέγιστος τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΔΕΖ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους b · ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗΚ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων τεμνέτω τὸν ΔΕΖ μεταξὺ τοῦ τε ΒΕΓ καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ · οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ , ἔστω ὁ ΔΛΜ · λέγω , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν . Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ , καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ τῶν ἐπιπέδων αἱ ΑΚ , ΔΖ , ΒΓ , ΝΞ , ΔΜ , ΘΟ , ΗΠ , ΟΗ c , ΗΡ . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · αἱ ΔΜ , ΝΞ , ΒΓ ἄρα διάμετροί εἰσι τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων , καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν εὐθεῖά τις διῆκται ἡ ΑΚ · ἡ ΑΚ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἕκα ‐ στον τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων , καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστί · τὰ Σ , Π , Ο ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων . Καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ τέμνεται , αἱ κοιναὶ τομαὶ ἄρα αὐτῶν παράλληλοί εἰσιν · αἱ ἄρα ΔΜ , ΝΞ , ΒΓ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλοις . Πάλιν , ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΝΗΖ , ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΗΚ τέμνεται , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ . Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΝΠ , ΠΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΒΟ , ΟΘ εἰσι , μὴ οὖσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἴσας γωνίας περιέχουσιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΝΠΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΟΘ γωνίᾳ . Καὶ ἐπεὶ οἱ ΝΗΞ , ΔΕΖ ὀρθοί εἰσι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον , καὶ ἡ τῶν ΝΗΞ , ΔΕΖ ἄρα κοινὴ τομὴ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐστὶν ὀρθή . Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΗΡ · καὶ ἡ ΗΡ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἅπτεται δὲ τῆς ΗΡ ἑκατέρα τῶν ΠΡ , ΡΟ a , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΡΠ , ΗΡΟ b γωνιῶν . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΚ τῇ ΝΞ ὀρθή ἐστιν , ἡ ἄρα ὑπὸ ΡΠΟ c γωνία ὀρθή ἐστιν . Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΡΗΟ d ὀρθή ἐστιν , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΠΟΡ e · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΡ f τῆς ΡΠ . Κείσθω οὖν τῇ ΠΡ . ἴση ἡ ΡΤ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΤ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΠΡ τῇ ΡΤ , κοινὴ δὲ ἡ ΗΡ , δύο δὴ αἱ ΠΡ , ΡΗ δυσὶ ταῖς ΤΡ , ΡΗ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΡΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΤΡΗ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΗΠ τῇ ΗΤ ἴση ἐστί , καὶ τὸ ΠΡΗ τρίγωνον τῷ ΤΡΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΤΡ γωνίᾳ . Ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΗΤΡ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ ἐστιν ἴση . Καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΗΟΡ a , ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ρ γωνίαν , καὶ διῆκταί τις ἡ ΗΤ · ἡ ΟΡ b ἄρα πρὸς τὴν ΡΤ μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ(ϲ ) γωνίαν . Ἴση δὲ ἡ μὲν ΡΤ τῇ ΡΠ , ἡ δὲ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ · καὶ ἡ ΟΡ d ἄρα πρὸς τὴν ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ e γωνίαν . Ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΡΟ f πρὸς τὴν ΡΠ , οὕτως ἔστιν ἡ ΟΔ g πρὸς τὴν ΔΣ , τοῦτ’ ἔστιν , ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ , ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ h γωνίαν , οὕτως ἔστιν ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν · καὶ ἡ ΖΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΜ μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΔΖ διάμετρος τῆς σφαίρας , ἡ δὲ ΔΜ διάμετρος τοῦ ΔΛΜ κύκλου · ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν .
Lemmas: ἐάν ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ πόλος ὁ ὁ παράλληλος , καί οὗτος τέμνω δύο κύκλος μέγας πρός ὀρθός , ὅς ὁ μέν εἷς ὁ παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος λοξός πρός ὁ παράλληλος , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , διά ὁ πόλος ὅς ὁ παράλληλος , τέμνω ὁ λοξός κύκλος μεταξύ ὁ μέγας ὁ παράλληλος καί ὅς ὁ λοξός ἐφάπτω · ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος πρός ὁ ὁ κύκλος διάμετρος , ὅς ἐφάπτω ὁ λοξός κύκλος , μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ὁ μέγας ὁ παράλληλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ τε ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος καί ὁ ἑξῆς διά πόλος , πρός ὁ ὁ λοξός κύκλος περιφέρεια , ὁ μεταξύ ὁ αὐτός κύκλος . ἐπί γάρ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ ὁ πόλος ἵστημι ὁ παράλληλος , ὁ Α σημεῖον , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος τέμνω δύο μέγας κύκλος πρός ὀρθός ὁ ΒΕΓ , δΕΖ , ὅς ὁ μέν ΒΕΓ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ δέ δΕΖ λοξός πρός ὁ παράλληλος b · ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος ὁ ΑΗΚ διά ὁ πόλος ὁ παράλληλος τέμνω ὁ δΕΖ μεταξύ ὁ τε ΒΕΓ καί ὅς ἐφάπτω ὁ δΕΖ · ὅς δέ ἐφάπτω ὁ δΕΖ , ἵστημι ὁ ΔΛΜ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος πρός ὁ ὁ ΔΛΜ κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δΗ περιφέρεια . γράφω γάρ διά ὁ ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ , καί εἰμί κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΚ , ΔΖ , ΒΓ , ΝΞ , δΜ , ὁ , ΗΠ , οηʹ c , ΗΡ . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ δΜ , ΝΞ , ΒΓ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλος , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ἕκαστος ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος εἰμί ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ , διά δέ ὁ πόλος αὐτός εὐθύς τις διάγω ὁ ΑΚ · ὁ ΑΚ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ἕκατι ‐ στον ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σφαῖρα εἰμί · ὁ Σ , Π , ὁ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλος . καί ἐπεί ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ ὑπό τις ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓ τέμνω , ὁ κοινός τομή ἄρα αὐτός παράλληλος εἰμί · ὁ ἄρα δΜ , ΝΞ , ΒΓ παράλληλος εἰμί ἀλλήλων . πάλιν , ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΖΗ , ΒΕΓ ὑπό τις ἐπίπεδος ὁ ΑΗΚ τέμνω , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΗΠ ὁ ὁ . ἐπεί οὖν δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΝΠ , ΠΗ παρά δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΒΟ , ΟΘ εἰμί , μή εἰμί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἴσος γωνία περιέχω · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΠΝ γωνία ὁ ὑπό ΒΟΘ γωνία . καί ἐπεί ὁ ΝΗΞ , δΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί ὁ ὁ ΝΗΞ , δΕΖ ἄρα κοινός τομή πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος εἰμί ὀρθός . Κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΗΡ · καί ὁ ΗΡ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΗΡ ἑκάτερος ὁ ΠΡ , ΡΟ a , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΡΗ , ΡΟ b γωνία . καί ἐπεί ὁ ΑΚ ὁ ΝΞ ὀρθός εἰμί , ὁ ἄρα ὑπό ΟΠ c γωνία ὀρθός εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΡΟ d ὀρθός εἰμί , ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΠΟΡ e · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΟΡ f ὁ ΡΠ . κέω οὖν ὁ ΠΡ . ἴσος ὁ ΡΤ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΤ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΠΡ ὁ ΡΤ , κοινός δέ ὁ ΗΡ , δύο δή ὁ ΠΡ , ΡΗ δύο ὁ ΤΡ , ΡΗ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί ὀρθός ὁ ὑπό πρόειμι ὀρθός ὁ ὑπό τρέω εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΗΠ ὁ ΗΤ ἴσος εἰμί , καί ὁ πρόειμι τρίγωνος ὁ τρέω τρίγωνος ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία Ἴσαι εἰμί , ὑπό ὅς ὁ Ἴσαι πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΡΗ γωνία ὁ ὑπό ΗΤΡ γωνία . ἀλλά ὁ ὑπό ΡΗ γωνία ὁ ὑπό ΘΟΒ γωνία εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΗΤΡ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΘΟΒ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί τρίγωνος εἰμί ὁ ΟΡ a , ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Ρ γωνία , καί διάγω τις ὁ ΗΤ · ὁ ΟΡ b ἄρα πρός ὁ ΡΤ μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ὑπό ΡΤΗ γωνία πρός ὁ ὑπό Ο ) γωνία . Ἴσος δέ ὁ μέν ΡΤ ὁ ΡΠ , ὁ δέ ὑπό ΡΤΗ γωνία ὁ ὑπό ΘΟΒ · καί ὁ ΟΡ d ἄρα πρός ὁ ΡΠ μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ὑπό ΒΟΘ γωνία πρός ὁ ὑπό ῥοή e γωνία . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΡΟ f πρός ὁ ΡΠ , οὕτως εἰμί ὁ ΟΔ g πρός ὁ ΔΣ , οὗτος εἰμί , ὁ ΔΖ πρός ὁ δΜ , ὡς δέ ὁ ὑπό ΒΟΘ γωνία πρός ὁ ὑπό ῥοή h γωνία , οὕτως εἰμί ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δΗ περιφέρεια · καί ὁ ΖΔ ἄρα πρός ὁ δΜ μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δΗ περιφέρεια . καί εἰμί ὁ μέν ΔΖ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ὁ δέ δΜ διάμετρος ὁ ΔΛΜ κύκλος · ὁ ἄρα ὁ σφαῖρα διάμετρος πρός ὁ ὁ ΔΛΜ κύκλος διάμετρος μείζων λόγος ἔχω , ἤ2 ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δΗ περιφέρεια .