theodosius-astronomy.sphaerica 3.9.1
Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων , καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς , ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι μὴ οὖσαι ἑξῆς , ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλου · διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πό . λου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν · ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον . Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον , καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν οἱ ΔΕΓ , ΒΕ πρὸς ὀρθὰς , ὧ ὁ μὲν ΒΕ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν μὴ οὖσαι ἑξῆς , ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ , αἱ ΖΗ , ΘΚ · καὶ διὰ τῶν Ζ , Η , Θ , Κ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΛ , ΑΗΜ . ΑΘΝ , ΑΚΞ . λέγω . ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας . Ἡ γὰρ ΗΘ ταῖς ΖΗ , ΘΚ ἤτοι σύμμετρός ἐστιν , ἢ οὔ . Ἔστω πρότερον σύμμετρος ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ ΘΚ , καὶ διῃρήσθωσαν αἱ ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ εἰς τὰ μέρη κατὰ Ο , Π , Ρ , Σ σημεῖα καὶ διὰ τῶν Ο , Π Σ σημείων και τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΤ , ΠΥ , ΡΦ , ΣΧ . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΚ περιφέρειαι ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ΛΤ , ΓΜ , ΜΥ , ΥΦ , ΦΝ , ΝΧ , ΧΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν , ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΤ . Επεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ , ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ . ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς ΝΞ μέίζων ἐστί . Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΗΘ ταῖς ΖΗ , ΘΚ σύμμετρος · λέγω , ὅτι ὁμοίως μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας . Εἰ γὰρ μὴ ἔσται μείζων , ἤτοι ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς , ἠ ἴση αὐτῇ . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατὸν , ἐλάσσων ἡ ΑΜ τῆς ΝΞ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς . Κείσθω τῇ ΑΜ ἴση ἡ ΝΟ , καὶ διὰ τοῦ Α πόλου καὶ τοῦ Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ · καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλή φθω τις περιφέρεια ἡ ΘΡ , μείζων μὲν οὖσα τῆς ΘΠ , ἐλάσσων δὲ τῆς ΘΚ a , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ · καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ καὶ διὰ τῶν Σ , Ρ σημείων καὶ διὰ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΣΤ , ΡΥ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΣΗ τῇ ΘΡ , ἡ ΤΜ ἄρα τῆς ΝΟ μείζων ἐστί · τῆς δὲ ΤΜ ἡ ΛΜ μείζων ἐστὶ , πολλῷ ἄρα ἡ ΜΑ τῆς ΝΟ μείζων ἐστὶν · ἀλλὰ καὶ ἴση , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΜ τῆς ΝΞ . Λέγω δὴ , ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ . Εἰ γὰρ δυνατὸν , ἔστω , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς , καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΖΗ , ΘΚ δίχα κατὰ τὰ Ο , Π σημεῖα , καὶ διὰ τῶν Ο , Π σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΟΡ , ΠΣ . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΟ , ΟΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν , αἱ ἄρα ΛΡ , ΡΜ ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν , ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΡ μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῇ ΡΜ , ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ . Πάλιν , ἐπεὶ αἱ ΘΗ , ΠΚ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν , αἱ ΝΣ , ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζους εἰσὶν , ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΝΣ · μείζων ἄρα . ἐστὶν ἡ ΝΣ τῆς ΣΞ , ὥστε ἡ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσω ἐστὶν ἢ διπλῆ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ , ὧν ἡ ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΝΣ , ἴσων ὑποκειμένων τῶν ΟΗ , ΘΠ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΝΞ · ἐδείχθη δὲ , ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΝΞ περιφερείας .
Lemmas: ἐάν ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ πόλος εἰμί ὁ παράλληλος , καί οὗτος τέμνω δύο μέγας κύκλος πρός ὀρθός , ὅς ὁ μέν εἷς ὁ παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος λοξός πρός ὁ παράλληλος , ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω μή εἰμί ἑξῆς , ἐπί ὁ αὐτός δέ μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος κύκλος · διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον καί ὁ πό . Λοῦ μέγας κύκλος γράφω · ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος ὁ πρόσω . ἐπί γάρ μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ ὁ πόλος ἵστημι ὁ παράλληλος ὁ Α σημεῖον , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος δύο μέγας κύκλος τέμνω ὁ ΔΕΓ , ΒΕ πρός ὀρθός , ἵημι ὁ μέν ΒΕ εἷς ἵστημι ὁ παράλληλος , ὁ δέ ΔΕΓ λοξός πρός ὁ παράλληλος · ἀπό δέ ὁ λοξός κύκλος ὁ ΔΕΓ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω μή εἰμί ἑξῆς , ἐπί ὁ αὐτός δέ μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΕ , ὁ ΖΗ , ΘΚ · καί διά ὁ Ζ , ὁ , Θ , Κ σημεῖον καί ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΖΛ , ΑΗΜ . ΑΘ , ΚΑ . λέγω . ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΛΜ περιφέρεια ὁ ΝΞ περιφέρεια . ὁ γάρ ΗΘ ὁ ΖΗ , ΘΚ ἤτοι σύμμετρος εἰμί , ἢ οὖον . ἔστω πρότερος σύμμετρος ὁ ΗΘ ὁ ΖΗ ΘΚ , καί διαιρέω ὁ ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ εἰς ὁ μέρος κατά ὁ , Π , Ρ , Σ σημεῖον καί διά ὁ ὁ , Π Σ σημεῖον και ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΟΤ , ΠΥ , ΡΦ , σχʹ . ἐπεί οὖν ὁ ΖΟ , οηʹ , ΗΠ , ΠΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΚ περιφέρεια ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΛΤ , ΓΜ , Μῦς , ΥΦ , ΦΝ , ΝΧ , ΧΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μέγας εἰμί , ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΛΤ . ἐπεί οὖν μείζων εἰμί ὁ μέν ΛΤ ὁ ΝΧ , ὁ δέ ΤΜ ὁ ΧΞ . ὅλος ἄρα ὁ ΛΜ ὅλος ὁ ΝΞ μείζων εἰμί . μή ἵστημι δή ὁ ΗΘ ὁ ΖΗ , ΘΚ σύμμετρος · λέγω , ὅτι ὁμοίως μείζων εἰμί ὁ ΛΜ περιφέρεια ὁ ΝΞ περιφέρεια . εἰμί γάρ μή εἰμί μείζων , ἤτοι μικρός εἰμί αὐτός , ὁ ἴσος αὐτός . ἔστω πρότερος , εἰμί δυνατός , μικρός ὁ ΑΜ ὁ ΝΞ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο καταγραφή . κέω ὁ ΑΜ ἴσος ὁ ΝΟ , καί διά ὁ Α πόλος καί ὁ ὁ μέγας κύκλος γράφω ὁ ΠΟ · καί τρεῖς εἰμί περιφέρεια ὁμογενής ἄνισος ὁ ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἴλω φθάνω τις περιφέρεια ὁ ΘΡ , μείζων μέν εἰμί ὁ ΘΠ , μικρός δέ ὁ ΘΚ a , σύμμετρος δέ ὁ ΗΘ · καί κεῖμαι ὁ ΘΡ ἴσος ὁ ΣΗ καί διά ὁ Σ , Ρ σημεῖον καί διά ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΣΤ , ΡΥ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΣΗ ὁ ΘΡ , ὁ ΤΜ ἄρα ὁ ΝΟ μείζων εἰμί · ὁ δέ ΤΜ ὁ ΛΜ μείζων εἰμί , πολύς ἄρα ὁ μή ὁ ΝΟ μείζων εἰμί · ἀλλά καί ἴσος , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα μικρός εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΝΞ . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΝΞ . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή , καί τέμνω ὁ ΖΗ , ΘΚ δίχα κατά ὁ ὁ , Π σημεῖον , καί διά ὁ ὁ , Π σημεῖον καί ὁ Α πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΟΡ , ΠΣ . ἐπεί οὖν ὁ ΖΟ , οηʹ ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἄρα ΛΡ , ΡΜ ἑξῆς ἀλλήλων μέγας εἰμί , ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΛΡ μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΛΡ ὁ ΡΜ , ὁ ἄρα ΛΜ ὁ ΜΡ μείζων εἰμί ἢ διπλόος . πάλιν , ἐπεί ὁ τίθημι , ΠΚ ἑξῆς Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΝΣ , ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζων εἰμί , ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΝΣ · μείζων ἄρα . εἰμί ὁ ΝΣ ὁ ΣΞ , ὥστε ὁ ΞΝ ὁ ΝΣ μικρός εἰμί ἢ διπλόος . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΝΞ , ὅς ὁ ΛΜ ὁ ΜΡ μείζων εἰμί ἢ διπλόος , ὁ δέ ΞΝ ὁ ΝΣ μικρός εἰμί ἢ διπλόος · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΡΜ ὁ ΝΣ , ἴσος ὑπόκειμαι ὁ οηʹ , ΘΠ , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΝΞ · δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ μικρός · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΛΜ περιφέρεια ὁ ΝΞ περιφέρεια .