theodosius-astronomy.sphaerica 1.10.1
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος , ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον , καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , πόλοι δὲ αὐτοῦ ἔστωσαν τὰ Ε , Ζ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ διὰ τῶν πόλων ἀγομένη , καὶ ἔστω ἡ ΕΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον , καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται . Συμβαλλέτω γὰρ τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον ἡ ΕΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου διήχθωσαν αἱ ΑΗΓ , ΒΗΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ΕΔ , ΒΖ , ΖΔ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΒΕ , ΕΖ δυσὶ ταῖς ΖΕ , ΕΔ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΖΔ ἐστὶν ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστί . Πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΗ , δύο δὴ αἱ ΒΕ , ΕΗ δυσὶ ταῖς ΕΗ , ΕΔ ἴσαι εἰσὶ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΗΔ ἐστὶν ἴση , καὶ τὸ ΕΒΗ τρίγωνον τῷ ΕΔΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἔσονται ἴσαι , ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ . Ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΕ , ΔΗΕ γωνιῶν , ἡ ΕΗ ἄρα τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἑστιν . Ὁμοίως δὴ b δειχθήσεται , ὅτι ἡ Ε τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · ἡ ΕΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ , ΑΓ ἄρα ἐπιπέδῳ , τοῦτ’ ἔστι τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ , πρὸς ὀρθάς ἐστιν , ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . Λέγω δὴ , ὅτι καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἥξει . Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ , ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ , καὶ συμβάλλει τῷ ἐπι πέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον , τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . Λέγω δὴ , ὅτε καὶ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Η τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἀνέσταται a ἡ ΕΗΖ , ἐπὶ τῆς ΕΗΖ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας , ἡ ΕΖ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας . Ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ b κύκλον , καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἔρχεται .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος , ὁ διά ὁ πόλος αὐτός ἄγω εὐθύς ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σφαῖρα ἔρχομαι . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , πόλος δέ αὐτός εἰμί ὁ Ε , Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ διά ὁ πόλος ἄγω , καί ἵστημι ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός καί ὁ σφαῖρα ἔρχομαι . συμβάλλω γάρ ὁ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπίπεδος κατά ὁ ὁ σημεῖον ὁ ΕΖ , καί ἀπό ὁ ὁ σημεῖον διάγω ὁ ΑΗΓ , ΒΗΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΕΔ , ΒΖ , ΖΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΔ , κοινός δέ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΒΕ , ΕΖ δύο ὁ ΖΕ , ΕΔ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΒΖ βάσις ὁ ΖΔ εἰμί ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΖ γωνία ὁ ὑπό δΕΖ ἴσος εἰμί . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΔ , κοινός δέ ὁ ΕΗ , δύο δή ὁ ΒΕ , ΕΗ δύο ὁ ΕΗ , ΕΔ Ἴσαι εἰμί , καί γωνία ὁ ὑπό βιόω γωνία ὁ ὑπό ΔΕΗ εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΒΗ βάσις ὁ ΗΔ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΕΒΗ τρίγωνος ὁ ΕΔΗ τρίγωνος ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία εἰμί Ἴσαι , ὑπό ὅς ὁ Ἴσαι πλευρά ὑποτείνω , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΒΗΕ γωνία ὁ ὑπό δΗΕ γωνία . ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΗΕ , δΗΕ γωνία , ὁ ΕΗ ἄρα ὁ ΒΔ πρός ὀρθός εἱμί . ὅμοιος δή b δείκνυμι , ὅτι ὁ Ε ὁ ΑΓ πρός ὀρθός εἰμί · ὁ ΕΗ καί ὁ διά ὁ ΒΔ , ΑΓ ἄρα ἐπίπεδος , οὗτος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , πρός ὀρθός εἰμί , ὁ ΕΖ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . λέγω δή , ὅτι καί διά ὁ κέντρον αὐτός καί ὁ σφαῖρα ἥκω . ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ἀπό δέ τις ὁ πόλος αὐτός ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΕΗ , καί συμβάλλω ὁ ἐπι πέδον κατά ὁ ὁ σημεῖον , ὁ ὁ ἄρα κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . λέγω δή , ὅτε καί διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ἀπό δέ ὁ κέντρον αὐτός ὁ ὁ ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός ἀνίστημι a ὁ ΕΗΖ , ἐπί ὁ ΕΗΖ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ ΕΖ ἄρα διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . ὁ ΕΖ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓΔ b κύκλος , καί διά ὁ κέντρον αὐτός καί ὁ σφαῖρα ἔρχομαι .