theodosius-astronomy.sphaerica 3.7.1
Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τίνος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος , λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφάπτηται , ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο · ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν · ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου , τὰς μεταξὺ αὐτῶν , καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς ποῤῥώτερον . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΕΖΗ , λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους , μειζόνων ἐφαπτέσθω , ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται · ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε , Η σημεῖα , μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΒΖΓ · ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ a κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΑΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ , διὰ δὲ τῶν Θ , Κ , Λ σημείων παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΜΘΚ , ΞΚΟ , ΠΛΡ · λέγω δὴ , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ περιφέρεια τῆς ΞΜ περιφερείας . Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Κ σημείου τοῦ ΑΔ κύκλου ἐφαπτόμενος μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΣ , ὥςτε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικύκλιον , ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη a , τῷ ἀπὸ τοῦ Δ ἡμικυκλίῳ , ὡς ἐπὶ τὰ Σ μέρη · καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων , καὶ ἔστω τὸ Υ σημεῖον , καὶ διὰ τῶν Υ , Κ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΥΚΦ . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΥΚΦ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΠΛΡ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὁ ΥΚΦ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΠΛΡ κύκλον . Κύκλου δή τινος τοῦ ΠΛΡ ἐπὶ διαμέτρου , τῆς ἀπὸ τοῦ Φ , κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφίσταται τὸ ΦΚΥ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές · καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Κ σημεῖον , καί ἐστιν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια ἡ ΦΚ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Κ σημείου πρὸς τὴν ΠΛΡ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν , αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένης εὐθείας · καί εἰσιν ἴσοι οἱ ΔΚΣ , ΕΛΗ κύκλοι , μέγιστοι γάρ εἰσι , μείζων ἄρα ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ΚΣ περιφερείας . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια μείζων ἐστὶ τῆς ΚΨ περιφερείας · καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΚ τῇ ΚΛ , μία ἄρα τῶν ΘΚ , ΚΛ ἑκατέρας τῶν ΨΚ , ΚΣ μείζων ἐστί . Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΠΦΣΛΡ κύκλος τῷ ΜΘΝ κύκλῳ , ὁ δὲ ΠΦΣΛΡ κύκλος συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ , ΨΚΣ κοινῇ τομῇ ἐντὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , καὶ ὁ ΜΘΝ ἄρα κύκλος συμπεσεῖται τῇ τῶν ΘΚΛ , ΨΚΣ κύκλων κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΘΚΛ , ΨΚΣ τέμνουσιν ἀλλήλους κατὰ τὸ Κ σημεῖον , ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΘΚΛ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΘΚ , ΚΛ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου , καθ’ ὁ τέμνουσιν ἀλλήλους , καὶ διὰ τῶν Θ , Λ σημείων παράλληλα ἐπίπεδα ἐκβέβληται τὰ ΠΛΡ , ΜΘΝ , ὧν τὸ ΜΘΝ συμπίπτει τῇ τῶν ΘΚΛ , ΨΚΣ κύκλω κοινῇ τομῇ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ὡς κατὰ τὸ Κ σημεῖον , μία δὲ τῶν ΘΚ , ΚΛ περιφερειῶν μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΣΚ , ΚΨ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΚ τῆς ΚΨ . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΠΞ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΚΨ τῇ ΜΞ · καὶ ἡ ΠΞ ἄρα τῆς ΞΜ b μείζων ἐστίν .
Lemmas: ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος κύκλος τίς ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ἐκ ἀρχή ἐφάπτω · ἔτι δέ ὁ ἁφή εἰμί ἐπί ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος , ἀπό δέ ὁ λοξός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος , διά δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον παράλληλος κύκλος γράφω · ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ ἐκ ἀρχή μέγας κύκλος , ὁ μεταξύ αὐτός , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ πρόσω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΔ ἐφάπτω κατά ὁ Α σημεῖον , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος ὁ ΕΖΗ , λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος , μείζων ἐφάπτω , ἢ ὅς ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω · ἔτι δέ ὁ ἁφή εἰμί ἐπί ὁ ΑΒΓ κύκλος κατά ὁ Ε , ὁ σημεῖον , μέγας δέ ὁ παράλληλος ἵστημι ὁ ΒΖΓ · ἀπό δέ ὁ λοξός a κύκλος ὁ ΕΖΗ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΑΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΖΓ , διά δέ ὁ Θ , Κ , Λ σημεῖον παράλληλος κύκλος γράφω ὁ ΜΘΚ , ΞΚΟ , ΠΛΡ · λέγω δή , ὅτι μείζων εἰμί ὁ ΠΞ περιφέρεια ὁ ΞΜ περιφέρεια . γράφω γάρ διά ὁ Κ σημεῖον ὁ ΑΔ κύκλος ἐφάπτω μέγας κύκλος ὁ ΔΚΣ , ἵημι ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ Β μέρος a , ὁ ἀπό ὁ δ ἡμικύκλιον , ὡς ἐπί ὁ Σ μέρος · καί λαμβάνω ὁ πόλος ὁ παράλληλος , καί ἵστημι ὁ Υ σημεῖον , καί διά ὁ Υ , Κ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΥΦ . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΥΦ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΠΛΡ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὁ ΥΦ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΠΛΡ κύκλος . Κύκλος δή τις ὁ ΠΛΡ ἐπί διάμετρος , ὁ ἀπό ὁ Φ , κύκλος τμῆμα ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΦΥ καί ὁ οὗτος συνεχής · καί διαιρέω ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος κατά ὁ Κ σημεῖον , καί εἰμί μικρός ἢ ἥμισυς ὁ ΦΚ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ Φ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Κ σημεῖον πρός ὁ ΠΛΡ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς , ἀεί δέ ὁ ἐγγύς αὐτός ὁ ἀπώτερος εἰμί μικρός · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ Σ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ Λ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΚΣ , αἱρέω κύκλος , μέγας γάρ εἰμί , μείζων ἄρα ὁ ΚΛ περιφέρεια ὁ ΚΣ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΘΚ περιφέρεια μείζων εἰμί ὁ ΚΨ περιφέρεια · καί εἰμί ἴσος ὁ ΘΚ ὁ ΚΛ , εἷς ἄρα ὁ ΘΚ , ΚΛ ἑκάτερος ὁ ΨΚ , ΚΣ μείζων εἰμί . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΠΦΣΛΡ κύκλος ὁ ΜΘΝ κύκλος , ὁ δέ ΠΦΣΛΡ κύκλος συμπίπτω ὁ ὁ ΘΚΛ , ΨΚΣ κοινός τομή ἐντός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , καί ὁ ΜΘΝ ἄρα κύκλος συμπίπτω ὁ ὁ ΘΚΛ , ΨΚΣ κύκλος κοινός τομή ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Κ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΘΚΛ , ΨΚΣ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Κ σημεῖον , ἀπό δέ εἷς αὐτός ὁ ΘΚΛ Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΘΚ , ΚΛ ἑξῆς ἐπί ἑκάτερος ὁ σημεῖον , κατά ὁ τέμνω ἀλλήλων , καί διά ὁ Θ , Λ σημεῖον παράλληλος ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ ΠΛΡ , ΜΘΝ , ὅς ὁ ΜΘΝ συμπίπτω ὁ ὁ ΘΚΛ , ΨΚΣ κύκλος κοινός τομή ἐκτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὡς κατά ὁ Κ σημεῖον , εἷς δέ ὁ ΘΚ , ΚΛ περιφέρεια μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ΣΚ , ΚΨ · μείζων ἄρα καί ὁ ΣΚ ὁ ΚΨ . ἀλλά ὁ μέν ΣΚ ὁ ΠΞ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΚΨ ὁ μξ · καί ὁ ΠΞ ἄρα ὁ ΞΜ b μείζων εἰμί .