theodosius-astronomy.sphaerica 2.23.1
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τὰς ἐπαφὰς καθήκουσαι περιφέρειαι ἴσαι ὦσιν , ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι οἱ προειρημένοι μέγιστοι κύκλοι . Ἔστωσαν γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων , τοῦτ’ ἔστι , τῶν Μ , Ρ σημείων , ἐπὶ τὰ Π , Ν καθήκουσαι περιφέρειαι αἱ Μ , ΠΡ ἴσαι · λέγω , ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι . Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΔ , ΕΖΗΘ , καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον , καὶ διὰ τῶν Α , Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΑΛΖΥ · φανερὸν δὴ , ὅτι καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου , πόλου ὄντος τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ἐλεύσεται · καὶ διὰ τοῦ Λ , καὶ δι’ ἑκατέρου τῶν Ν , Π μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝΒ , ΛΠΓ . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων , οἱ ΕΖΗΘ , ΜΝΞ , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΝΒ · ὁ ΛΝΒ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων , καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ὁ ΛΠΓ διὰ τῶν τοῦ ΟΠΡ πόλων ἐστὶ , καὶ ὀρθός ἐστι πρὸς αὐτόν . Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΜΝΞ , ΟΠΡ , ἐπὶ διαμέτρων ἀπὸ τῶν Ν , Π σημείων , ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται , τὰ ΝΛ , ΠΛ , καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ , καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΝΛ , ΠΛ , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων , ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ , ΠΡ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ · ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Λ , διαστήματι δὲ τῷ ΛΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ρ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὁ ΜΞΟΡΡ · καί ἐστι a τοῖς ΑΔ , ΕΖΗΘ κύκλοις παράλληλος , περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτοῖς . Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΜΞΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΘΑΛΚΖΥ , ὁ ἄρα ΘΑΛΚΖΥ τέμνει δίχα τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΥ περιφέρεια τῇ ΥΡ περιφερείᾳ . Πάλιν , ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ , ΜΞΥΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΝΒ , ὁ ἄρα ΛΝΒ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΝ περιφέρεια τῇ ΝΞ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΜΣ τῇ ΣΞ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ μὲν ΟΠ τῇ ΠΡ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΟΤ τῇ ΤΡ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ , καί ἐστι τῆς μὲν ΜΝ διπλῇ ἡ ΜΝΞ , τῆς δὲ ΠΡ διπλῆ ἡ ΟΠΡ · καὶ ἡ ΜΝΞ ἄρα τῇ ΟΠΡ ἐστιν ἴση · καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι , ἡ ἄρα τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ . Ἀλλ’ ἡ μὲν τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΜΣΞ , ἡ δὲ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΟΤΡ · καὶ ἡ ἄρα τὴν ΜΣΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΤΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ · καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΣΞ περιφέρεια τῇ ΟΤΡ περιφερείᾳ . Καί ἐστι τῆς μὲν ΜΣΞ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΜΣ , τῆς δὲ ΟΤΡ ἡμίσεια ἡ ΡΤ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΣ τῇ ΡΤ · ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΜΣΞΥ ὅλῃ τῇ ΥΟΤΡ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΣΞΥ λοιπῇ τῇ ΥΟΤ ἐστιν ἴση · καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου , ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΞΣ περιφέρεια τῇ ΥΟΤ περιφερείᾳ . Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΞΥ περιφέρεια τῇ ΝΖ περιφερείᾳ ἐστν ὁμοία , ἡ δὲ ΥΟΤ τῇ ΖΠ , καὶ ἡ ΝΖ ἄρα τῇ ΖΠ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία · καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ . Οἱ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν , ὁμοίως ἄρα εἰσὶ κεκλιμένοι . Οἱ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι .
Lemmas: ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἐάν ὁ ἀπό ὁ σύνδεσμος ἐπί ὁ ἐπαφή καθήκω περιφέρεια Ἴσαι εἰμί , ὁμοίως εἰμί κλίνω ὁ προερέω μέγας κύκλος . εἰμί γάρ ὁ ἀπό ὁ σύνδεσμος , οὗτος εἰμί , ὁ Μ , Ρ σημεῖον , ἐπί ὁ Π , Ν καθήκω περιφέρεια ὁ Μ , ΠΡ Ἴσαι · λέγω , ὅτι ὁ ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁμοίως εἰμί κλίνω . λαμβάνω γάρ ὁ πόλος ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΑΔ , ΕΖΗΘ , καί ἵστημι ὁ Λ σημεῖον , καί διά ὁ Α , Λ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΘ · φανερός δή , ὅτι καί διά ὁ Κ σημεῖον , πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ἔρχομαι · καί διά ὁ Λ , καί διά ἑκάτερος ὁ Ν , Π μέγας κύκλος γράφω ὁ ΛΝΒ , ΛΠΓ . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων , ὁ ΕΖΗΘ , ΜΝΞ , διά δέ ὁ ὁ εἷς πόλος καί ὁ ἁφή μέγας κύκλος γράφω ὁ ΛΝΒ · ὁ ΛΝΒ ἄρα ἥκω καί διά ὁ ὁ ΜΝΞ πόλος , καί εἰμί ὀρθός πρός αὐτός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΛΠΓ διά ὁ ὁ ΟΠΡ πόλος εἰμί , καί ὀρθός εἰμί πρός αὐτός . καί ἐπεί ἐν ἴσος κύκλος ὁ ΜΝΞ , ΟΠΡ , ἐπί διάμετρος ἀπό ὁ Ν , Π σημεῖον , ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι , ὁ ΝΛ , ΠΛ , καί ὁ οὗτος συνεχής , καί ἀπό αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΝΛ , ΠΛ , μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος , ἀπό δέ ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΜΝ , ΠΡ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Μ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Ρ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · ὁ ἄρα πόλος μέν ὁ Λ , διάστημα δέ ὁ ΛΜ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Ρ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὁ ΡΟ · καί εἰμί a ὁ ΑΔ , ΕΖΗΘ κύκλος παράλληλος , περί γάρ ὁ αὐτός πόλος εἰμί αὐτός . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΟΜ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΘ , ὁ ἄρα ΑΘ τέμνω δίχα ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Μῦς περιφέρεια ὁ ΥΡ περιφέρεια . πάλιν , ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΜΝΞ , ΟΥ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΒΝ , ὁ ἄρα ΛΝΒ δίχα τέμνω ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΜΝ περιφέρεια ὁ ΝΞ περιφέρεια , ὁ δέ ΜΣ ὁ ΣΞ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΟΠ ὁ ΠΡ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΟΤ ὁ ΤΡ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΜΝ περιφέρεια ὁ ΠΡ περιφέρεια , καί εἰμί ὁ μέν ΜΝ διπλόος ὁ ΜΝΞ , ὁ δέ ΠΡ διπλόος ὁ ΟΠΡ · καί ὁ ΜΝΞ ἄρα ὁ ΟΠΡ εἰμί ἴσος · καί εἰμί ἴσος ὁ κύκλος , ὁ ἄρα ὁ ΜΝΞ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΟΠΡ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς . ἀλλά ὁ μέν ὁ ΜΝΞ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς ὑποτείνω καί ὁ ΜΣΞ , ὁ δέ ὁ ΟΠΡ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς ὑποτείνω καί ὁ ΟΤΡ · καί ὁ ἄρα ὁ ΜΣΞ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΟΤΡ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς · καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΜΣΞ περιφέρεια ὁ ΟΤΡ περιφέρεια . καί εἰμί ὁ μέν ΜΣΞ περιφέρεια ἥμισυς ὁ ΜΣ , ὁ δέ ΟΤΡ ἥμισυς ὁ ΡΤ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΣ ὁ ΡΤ · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΣΜ ὅλος ὁ ΟΡ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΣΥ λοιπός ὁ ΟΥ εἰμί ἴσος · καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΣΥ περιφέρεια ὁ ΟΥ περιφέρεια . ἀλλά ὁ μέν ΣΥ περιφέρεια ὁ ΝΖ περιφέρεια εἰμί ὅμοιος , ὁ δέ ΟΥ ὁ ΖΠ , καί ὁ ΝΖ ἄρα ὁ ΖΠ περιφέρεια εἰμί ὅμοιος · καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΝΖ περιφέρεια ὁ ΖΠ περιφέρεια . ὁ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλος ἴσος ἀπέχω ὁποτερασοῦν ὁ διχοτομία , ὁμοίως ἄρα εἰμί κλίνω . ὁ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁμοίως εἰμί κλίνω .