theodosius-astronomy.sphaerica 2.12.1
Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐπισταθῇ , ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασιν , ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων · ἀπὸ δὲ τῶν κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀ ποληφθῶσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων · αἱ ἐπὶ τὰ γινόμενα σημεῖα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις . Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ , ΔΖ ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι ἀπειλήφθωσαν περιφέρειαι πρὸς b τοῖς πέρασι τῶν τμημάτων αἱ ΑΗ , ΔΘ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων , ἀπὸ δὲ τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλων ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι περιφέρειαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς c πέρασι τῶν διαμέτρων αἱ ΑΒ , ΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ , ΘΕ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΗΒ τῇ ΘΕ . Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η , Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΚ , ΘΛ , πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς , τοῦτ’ ἔστιν , ἐπὶ τὰς ΑΓ , ΔΖ , καὶ εἰλήφθωσαν τὰ κέντρα τῶν κύκλων , καὶ ἔστω τὰ Μ , Ν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ , ΒΜ , ΛΕ , ΕΝ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΝΕ γωνίᾳ . Καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΗ , ΔΘ , καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΗ , ΘΔ · ἴση ἄρα ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ , ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ . Ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση , ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἐστὶν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ ΑΝ ἴση ἐστίν · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ ἴση , δύο δὴ αἱ ΚΜ , ΜΒ δυσὶ ταῖς ΑΝ , ΝΕ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΝΕ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΑΕ ἐστιυ ἴση . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας , καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ , ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . Ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ , οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ γωνία . Ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστιν . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΚ τῇ ΘΑ , ἡ δὲ ΚΒ τῇ ΛΕ , δύο δὴ αἱ ΗΚ , ΚΒ δυσὶ ταῖς ΘΛ , ΛΕ ἴσαι εἰσὶν , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ ὀρθὰς περιέχουσι γωνίας · βάσις ἄρα ἡ ΗΒ βάσει τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση .
Lemmas: ἐάν ἐν ἴσος κύκλος ἐπί διάμετρος ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι , ἀπό δέ αὐτός Ἴσαι περιφέρεια ἀπολαμβάνω πρός ὁ πέρας , μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος τμῆμα · ἀπό δέ ὁ κύκλος Ἴσαι περιφέρεια ὅς πολαμβάνω ἐπί ὁ αὐτός μέρος πρός ὁ πέρας ὁ διάμετρος · ὁ ἐπί ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων . ἐν γάρ ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΓ , ΔΖ ἴσος καί ὀρθός τμῆμα κύκλος ἐφίστημι ὁ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καί ἀπό αὐτός Ἴσαι ἀπολαμβάνω περιφέρεια πρός b ὁ πέρας ὁ τμῆμα ὁ ΑΗ , ΔΘ μικρός ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ ὅλος τμῆμα , ἀπό δέ ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος ἀφαιρέω Ἴσαι περιφέρεια ἐπί ὁ αὐτός μέρος πρός ὁ c πέρας ὁ διάμετρος ὁ ΑΒ , ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΒ , ΘΕ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ ΘΕ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ ὁ , Θ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ , δΕΖ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΗΚ , ΘΛ , πίπτω δή ἐπί ὁ κοινός τομή , οὗτος εἰμί , ἐπί ὁ ΑΓ , ΔΖ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος , καί ἵστημι ὁ Μ , Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΒ , ΒΜ , ΛΕ , ΕΝ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΔΕ περιφέρεια , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΜΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΝΕ γωνία . καί ἐπεί δύο τμῆμα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καί ἀπολαμβάνω εἰμί Ἴσαι περιφέρεια ὁ ΑΗ , ΔΘ , καί κάθετος ἄγω εἰμί ὁ ΚΗ , ΘΔ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΚ ὁ δΛ , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΘΛ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΜ ὁ ΔΝ εἰμί ἴσος , ὅς ὁ ΑΚ ὁ δΛ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΚΜ λοιπός ὁ ΑΝ ἴσος εἰμί · εἰμί δέ καί ὁ ΒΜ ὁ Νε ἴσος , δύο δή ὁ ΚΜ , ΜΒ δύο ὁ ΑΝ , Νε Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΚΜΒ γωνία ὁ ὑπό ΑΝΕ εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΚΒ βάσις ὁ ΑΕ στίζω ἴσος . καί ἐπεί ὁ ΗΚ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς , καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος , ὀρθός ποιέω γωνία . ἄπτω δέ αὐτός ὁ ΚΒ , εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΗΚΒ γωνία . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΕΛΘ γωνία ὀρθός εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΗΚ ὁ ΘΑ , ὁ δέ ΚΒ ὁ ΛΕ , δύο δή ὁ ΗΚ , ΚΒ δύο ὁ ΘΛ , ΛΕ Ἴσαι εἰμί , ἑκάτερος ἑκάτερος , καί ὀρθός περιέχω γωνία · βάσις ἄρα ὁ ΗΒ βάσις ὁ ΘΕ εἰμί ἴσος .