ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0055.2
τῇ ΑΠ . διάμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΛΜ τοῦ ΟΕΠ κύκλον . ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΟΛ τῇ ΘΑ , ἡ ΛΜ δὲ τῇ ΑΞ , ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΟΛ , ΛΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΑ , ΑΞ ἴση ἐστίν · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΟΛ , ΛΜ . ἡ ΕΛ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΟΠ διάμετρον τοῦ κύκλου · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΟΛ , ΑΠ . ἐπεὶ δὲ οὐκ ἐστὶν ἡ τομὴ ὑπεναντία , ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΟΓ γωνία οὐκ ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ ΟΓΛ · οὐδὲ ἡ ΟΛ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΓΛ ἴση ἐστίν · οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΟΛ ἄρα , τούτεστι τὸ ὑπὸ τῶν ΟΛ , ΑΠ , τῷ ἀπὸ τῆς ΛΓ , τούτεστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ , ΛΔ , ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΟΛ , ΑΠ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ οὐκ ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ , ΛΔ ἴσον . οὐκ ἄρα κύκλος ἐστὶν ἡ ΓΕΛ τομή · ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ εὐθύγραμμον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ΑΠ . διάμετρος ἄρα καί ὁ ΕΛΜ ὁ ΕΠΟ κύκλος . ἐπεί οὖν παράλληλος εἰμί ὁ μέν ΟΛ ὁ ΘΑ , ὁ ΛΜ δέ ὁ ΑΞ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΟΛ , ΛΜ γωνία ὁ ὑπό ΘΑ , ΑΞ ἴσος εἰμί · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΟΛ , ΛΜ . ὁ ΕΛ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΟΠ διάμετρος ὁ κύκλος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΟΛ , ΑΠ . ἐπεί δέ οὐ εἰμί ὁ τομή ὑπεναντίος , ὁ ἄρα ὑπό λογ γωνία οὐ εἰμί ἴσος ὁ ὑπό Ογλ · οὐδέ ὁ ΟΛ ἄρα εὐθύς ὁ ΓΛ Ἴσος εἰμί · οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΟΛ ἄρα , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΟΛ , ΑΠ , ὁ ἀπό ὁ ΛΓ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΓΛ , ΛΔ , ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΟΛ , ΑΠ ὁ ἀπό ὁ ΕΛ ἴσος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΛ οὐ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΛ , ΛΔ ἴσος . οὐ ἄρα κύκλος εἰμί ὁ ΓΕΛ τομή · δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ εὐθύγραμμος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0055.3
καὶ συναπεδείχθη , ὅτι ἡ τὴν ΓΛ ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν ΖΗ διχοτομοῦσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς βάσεως .
Lemmas: καί συναποδείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ ΓΛ ἐν ὁ τομή παρά ὁ ΖΗ διχοτομέω εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0055.4
Ἄλλὰ δὴ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τεμνέτω καὶ τὰς βάσεις , τὴν μὲν Α βάσιν τῇ ΓΕ εὐθείᾳ , τὴν δὲ Β τῇ ΖΗ , καὶ διὰ τοῦ Α ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΕ ἡ ΘΑΛ , καὶ διὰ τῆς ΘΑ διαμέτρου καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον , ὁ ποιεῖ τομὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον , τῆς δὲ ΖΕ τομῆς καὶ τοῦ ΘΚ παραλληλογράμμου κοινὴ τομὴ ἡ ΛΜ . ἐπεὶ οὖν τὸ ΖΕ ἐπίπεδον οὔτε διὰ τοῦ
Lemmas: ἀλλά δή ὁ τέμνω ἐπίπεδος τέμνω καί ὁ βάσις , ὁ μέν Α βάσις ὁ ΓΕ εὐθύς , ὁ δέ Β ὁ ΖΗ , καί διά ὁ Α ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΓΕ ὁ ΘΑΛ , καί διά ὁ ΘΑ διάμετρος καί ὁ ἄγω ἐκβάλλω ἐπίπεδος , ὁ ποιέω τομή ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ΖΕ τομή καί ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος κοινός τομή ὁ ΛΜ . ἐπεί οὖν ὁ ΖΕ ἐπίπεδος οὔτε διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0057.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0057.2
ἄξονος ἦκται οὔτε παραλλήλως τῷ ἄξονι , ἡ AM ἄρα ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὸν ἄξονα · τεμεῖ ἄρα καὶ τὴν ΘN παράλληλον οὔσαν τῷ ἄξονι · ἀμφοτέρα γὰρ ἐν τῷ ΘK εἰσὶν ἐπιπέδῳ . τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ N , καὶ ἐκβελησθῶ ἐφ’ ἑκάτερα ἡ ΘN . ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ ἄξονος καὶ τῶν κύκλων ἡ ΘN περιενεχθεῖσα σὺν ταῖς διαμέτροις ἀποκατασταθῇ , αὐξήσει τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κυλίνδρου ἐπιφάνειαν κατὰ τὸ ὕψος , καὶ προσεκβληθέντος τοῦ ZE ἐπιπέδου αὐξηθήσεται καὶ ἡ τομὴ μέχρι τοῦ N · τὸ δ’ αὐτὸ ἔσται καὶ ἐπὶ τὰ Γ , A μέρη · ἡ NHEP ἄρα τομὴ ἐστὶ κυλίνδρου , οἷα καὶ ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι . ἡ NHEP ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος οὔτε εὐθύγραμμόν ἐστι · καὶ ἡ ΓΕΗΖ ἄρα τομὴ οὔτε εὐθύγραμμον οὔτε κύκλος οὔτε τμῆμα κύκλου , ἀλλ’ ἐστὶν ἡ τοιαύτη τομὴ κυλίνδρου τομή .
Lemmas: ἄγω ἄγω οὔτε παράλληλος ὁ ἄγω , ὁ AM ἄρα ἐπί ἤπειρος ἐκβάλλω τέμνω ὁ ἄγω · τέμνω ἄρα καί ὁ ΘN παράλληλος εἰμί ὁ ἄγω · ἀμφότερος γάρ ἐν ὁ ΘK εἰμί ἐπίπεδος . τέμνω δή κατά ὁ N , καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ ΘN . ἐάν δή Μένων ὁ ἄγω καί ὁ κύκλος ὁ ΘN περιφέρω σύν ὁ διάμετρος ἀποκαθίστημι , αὐξάνω ὁ ὁ ἐκ ἀρχή κύλινδρος ἐπιφάνεια κατά ὁ ὕψος , καί προσεκβάλλω ὁ ZE ἐπίπεδος αὐξάνω καί ὁ τομή μέχρι ὁ N · ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ἐπί ὁ Γ , A μέρος · ὁ NHEP ἄρα τομή εἰμί κύλινδρος , οἷος καί ἐν ὁ πρό οὗτος θεώρημα . ὁ NHEP ἄρα τομή οὔτε κύκλος οὔτε εὐθύγραμμος εἰμί · καί ὁ ΓΗΖ ἄρα τομή οὔτε εὐθύγραμμος οὔτε κύκλος οὔτε τμῆμα κύκλος , ἀλλά εἰμί ὁ τοιοῦτος τομή κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0057.3
ια’ .
Lemmas: ἰά .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0057.4
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος , ληφθῇ δὲ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας , ὁ μὴ ἐστὶν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα παράλληλος εὐθείᾳ τινί , ἥτις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὔσα τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου , ἐντὸς πεσεῖται τοῦ παραλληλογράμμου καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄγω , λαμβάνω δέ τίς σημεῖον ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια , ὁ μή εἰμί ἐπί ὁ πλευρά ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος , καί ἀπό αὐτός ἄγω τις εὐθύς παράλληλος εὐθύς τις , ὅστις ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ βάσις ὁ κύλινδρος πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος , ἐντός πίπτω ὁ παραλληλόγραμμος καί προσεκβάλλω ἠώς ὁ ἕτερος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.10
παραλληλογράμμου καὶ προεκβαλλομένη μέχρι τοῦ
Lemmas: παραλληλόγραμμος καί προεκβάλλω μέχρι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.11
10 ἑτέρου μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ
Lemmas: 10 ἕτερος μέρος ὁ ἐπιφάνεια δίχα τέμνω ὑπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.12
παραλληλογράμμου .
Lemmas: παραλληλόγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.13
ἤχθω διὰ τοῦ E σημείου παρὰ τὸν ἄξονα ἡ ΘEH
Lemmas: ἄγω διά ὁ E σημεῖον παρά ὁ ἄγω ὁ ΘEH
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.14
εὐθεῖα τέμνουσα τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως κατὰ τὸ
Lemmas: εὐθύς τέμνω ὁ περιφέρεια ὁ βάσις κατά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.15
Θ , καὶ διὰ τοῦ Θ ἤχθω ἡ ΘK παράλληλος τῇ ἐπὶ τὴν
Lemmas: Θ , καί διά ὁ Θ ἄγω ὁ ΘK παράλληλος ὁ ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.16
15 ΓΔ καθέτῳ , ᾗτινι παράλληλος ὑπόκειται ἡ EZ · τεμεῖ
Lemmas: 15 ΓΔ κάθετος , ὅστις παράλληλος ὑπόκειμαι ὁ EZ · τέμνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.17
ἄρα ἡ ΘK τὴν ΓΔ καὶ αὐτή . ἤχθω οὖν διὰ τῶν HΘ ,
Lemmas: ἄρα ὁ ΘK ὁ ΓΔ καί αὐτός . ἄγω οὖν διά ὁ HΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.18
ΘK ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω τὸ
Lemmas: ΘK ἐπίπεδος τέμνω ὁ κύλινδρος καί ποιέω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.19
HN παραλληλόγραμμον , καὶ ἐπεξεύχθω ἡ KA κοινὴ
Lemmas: HN παραλληλόγραμμος , καί ἐπεξεύχομαι ὁ KA κοινός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.2
μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ παρ -
Lemmas: μέρος ὁ ἐπιφάνεια δίχα τέμνω ὑπό ὁ παρά -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.20
τομὴ τῶν ΓΔ , NH παραλληλογράμμων . ἐπεὶ τοίνυν
Lemmas: τομή ὁ ΓΔ , NH παραλληλόγραμμος . ἐπεί τοίνυν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.21
20 αἱ EZ , KΘ τῇ αὐτῇ εἰσὶ παράλληλοι , καὶ ἀλλήλαις
Lemmas: 20 ὁ EZ , KΘ ὁ αὐτός εἰμί παράλληλος , καί ἀλλήλων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.22
ἄρα εἰσὶ παράλληλοι · καὶ ἐστὶν ἡ ΘK ἐν τῷ KH ἐπιπέδῳ ·
Lemmas: ἄρα εἰμί παράλληλος · καί εἰμί ὁ ΘK ἐν ὁ KH ἐπίπεδος ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.23
καὶ ἡ EZ ἄρα ἐν τῷ KH ἐστὶν ἐπιπέδῳ . ἐκβαλλομένη
Lemmas: καί ὁ EZ ἄρα ἐν ὁ KH εἰμί ἐπίπεδος . ἐκβάλλω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.24
ἄρα ἡ EZ πίπτει ἐπὶ τὴν AK , ἥτις ἐστὶν
Lemmas: ἄρα ὁ EZ πίπτω ἐπί ὁ AK , ὅστις εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.25
ἐν τῷ ΓΔ ἐπιπέδῳ . ἡ EZ ἄρα ἔντὸς πίπτει τοῦ ΓΔ
Lemmas: ἐν ὁ ΓΔ ἐπίπεδος . ὁ EZ ἄρα ἐντός πίπτω ὁ ΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.26
25 παραλληλογράμμου .
Lemmas: 25 παραλληλόγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.27
ᾗτινι V , ἥ τινι v . τεμεῖ ] τέμει V . 16 . ΘK ] Θ e corr .
Lemmas: ὅστις V , ὅς τις v . τέμνω ] τέμνω V . 16 . ΘK ] Θ e corr .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.29
παράλληλοι ] παράλληλοι εἰσὶ p .
Lemmas: παράλληλος ] παράλληλος εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.3
αλληλογράμμου .
Lemmas: αλληλογραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.4
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ A , B κύκλοι , τὸ
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ A , B κύκλος , ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.5
δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ , καὶ
Lemmas: δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.6
5 εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου
Lemmas: 5 λαμβάνω τίς σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.7
τὸ E , καὶ ἀπὸ τοῦ E παράλληλος ἤχθω εὐθεῖα τινὶ
Lemmas: ὁ E , καί ἀπό ὁ E παράλληλος ἄγω εὐθύς τις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.8
καθέτῳ ἐπὶ τὴν ΓΔ βάσιν τοῦ παραλληλογράμμου , καὶ
Lemmas: κάθετος ἐπί ὁ ΓΔ βάσις ὁ παραλληλόγραμμος , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0059.9
ἔστω ἡ EZ . λέγω , ὅτι ἡ EZ ἔντὸς πεσεῖται τοῦ ΓΔ
Lemmas: ἵστημι ὁ EZ . λέγω , ὅτι ὁ EZ ἐντός πίπτω ὁ ΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0061.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0061.2
φανερόν δέ , ὅτι , κἂν εἰς τὸ ἕτερον μέρος ἐκβληθῇ μέχρι τοῦ M , ὅπερ ἐστὶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου , δίχα ἔσται τετμημένη κατὰ τὸ Z . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΑ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῇ ΘΚ , ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΝ . καὶ παράλληλοι αἱ ΜΝ , ΑΚ , ΗΘ · ἴση ἄρα ἡ ΜΖ τῇ ΖΕ .
Lemmas: φανερός δέ , ὅτι , κἀν εἰς ὁ ἕτερος μέρος ἐκβάλλω μέχρι ὁ M , ὅσπερ εἰμί ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος , δίχα εἰμί τέμνω κατά ὁ Z . ἐπεί γάρ ὁ ΓΑ διάμετρος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΘΚ , ἴσος ἄρα ὁ ΘΚ ὁ ΚΝ . καί παράλληλος ὁ ΜΝ , ΑΚ , ΗΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΜΖ ὁ ΖΕ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0061.3
ιβ' .
Lemmas: ἶβις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0061.4
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι μὲν τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἔκτος τοῦ κύκλου , ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἢ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῆ , αἱ ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἀπὸ τῆς τομῆς τῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου γενομένης ὑπὸ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου παράλληλοι τῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων πεσοῦνται καὶ προσεκβαλλόμεναι ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσονται ὑπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων , καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ ὀρθοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς ἔσται καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου , σκαληνοῦ δὲ ὄντος οὐκέτι , πλὴν ὅταν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ἢ τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω τέμνω μέν ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος ἕκτος ὁ κύκλος , ὁ δέ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἢ ὁ βάσις ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ἢ ὁ ἐπί εὐθύς αὐτῆ , ὁ ἄγω εὐθύς ἀπό ὁ τομή ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος γίγνομαι ὑπό ὁ τέμνω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ἢ ὁ ἐπί εὐθύς αὐτός ἐπί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πίπτω καί προσεκβάλλω ἠώς ὁ ἕτερος μέρος ὁ τομή δίχα τέμνω ὑπό ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος , καί ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ἢ ὁ ἐπί εὐθύς αὐτός ὀρθός μέν εἰμί ὁ κύλινδρος πρός ὀρθός εἰμί καί ὁ κοινός τομή ὁ τε διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος καί ὁ τέμνω ἐπίπεδος , σκαληνός δέ εἰμί οὐκέτι , πλήν ὅταν ὁ διά ὁ ἄγω ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἢ ὁ βάσις ὁ κύλινδρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0061.5
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ Α , Β κύκλοι , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ , καὶ
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ Α , Β κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.2
τετμησθω ο κυλινδρος , ως ειρηται , επιπεδω ποιουντι την EZHΘ τομην , ωστε συμπιπτοντων του τε της EZHΘ τομης και του της ΑΓ βασεως επιπεδου την κοινων τομην την ΚΑ προς ορθας ειναι τη ΓΑΑ ευ-5θεια , και απο της EZH τομης ηχθω τις ευθεια παρ-αλληλος τη ΚΑ η ΖΜ και προσεκβληθεϊσα περατουσθω κατα το ετερον μερος της επιφανειας κατα το Θ . λεγω , οτι η ΖΜ πιπτει επι την ΕΗ , και οτι ιση εστιν η ΖΜ τη ΜΘ .
Lemmas: τέμνω ὁ κύλινδρος , ως εἴρω , ἐπίπεδος ποιέω ὁ EZHΘ τομή , ὥστε συμπίπτω ὁ τε ὁ EZHΘ τομή και ὁ ὁ ΑΓ βάσις ἐπίπεδος ὁ κοινός τομή ὁ ΚΑ προς ὀρθός εἰμί ὅς ΓΑΑ εὐθύς , και ἀπό ὁ EZH τομή ἄγω τις εὐθύς παράλληλος ὅς ΚΑ ὁ ΖΜ και προσεκβάλλω περατόω κατά ὁ ἕτερος μέρος ὁ ἐπιφάνεια κατά ὁ Θ . λέγω , ὅτι ὁ ΖΜ πίπτω ἐπί ὁ ΕΗ , και ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΖΜ ὅς ΜΘ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.3
10επει γαρ εν τη EZH τομη παραλληλος ηκται τη ΚΑ η ΖΜ , εντος αρα πιπτει του ΓΑ παραλληλο-γραμμου . επει δε εστιν η μεν ΖΜ ευθεια εν τω EZHΘ επιπεδω , η δε ΕΗ κοινη τομη εστιν αυτου και του ΓΑ παραλληλογραμμου , η ΖΜ αρα επι την15ΕΗ πιπτει .
Lemmas: εἶπον γαρ εν ὅς EZH τομή παράλληλος ἄγω ὅς ΚΑ ὁ ΖΜ , ἐντός ἄρα πίπτω ὁ ΓΑ παραλληλόγραμμος . ἐπεί δέ εἰμί ὁ μέν ΖΜ εὐθύς εν ὁ EZHΘ ἐπίπεδος , ὁ δέ ΕΗ κοινός τομή εἰμί αὐτός και ὁ ΓΑ παραλληλόγραμμος , ὁ ΖΜ ἄρα ἐπί την15ΕΗ πίπτω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.4
οτι δε και η ΖΜ τη ΜΘ ιση εστι , φανερων και αυτο δια το προ τούτου θεωρημα .
Lemmas: ὅτι δέ και ὁ ΖΜ ὅς ΜΘ ἴσος εἰμί , φανερόω και αὐτός διά ὁ προ οὗτος θεώρημα .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.5
λοιπον δει δεϊξαι , οτι η ΚΑ ορθον μεν οντος του κυλινδρου η του ΓΑ προς ορθας οντος τη βασει του20κυλινδρου προς ορθας εστι τη ΕΗΑ . επει γαρ το μεν ΓΑ επιπεδον προς ορθας εστι τω της βασεως επιπεδω , τη δε κοινη αυτων τομη τη ΓΑΑ προς ορθας εστιν η ΚΑ εν τω της βασεως επιπεδω ουσα , και τω λοιπω αρα τω του ΓΑ παραλληλογραμμου επιπεδω προς25ορθας εστιν .
Lemmas: λοιπός δεῖ δείκνυμι , ὅτι ὁ ΚΑ ὀρθός μέν εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ ὁ ΓΑ προς ὀρθός εἰμί ὅς βάσις του20κυλινδρου προς ὀρθός εἰμί ὅς ΑΗΕ . ἐπεί γαρ ὁ μέν ΓΑ ἐπίπεδος προς ὀρθός εἰμί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , ὅς δέ κοινός αὐτός τομή ὅς ΓΑΑ προς ὀρθός εἰμί ὁ ΚΑ εν ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος εἰμί , και ὁ λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΓΑ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος προΐημι εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0063.6
ει δε το ΓΑ ουκ εστι προς ορθας τη βασει ,
Lemmas: ει δέ ὁ ΓΑ οὐ εἰμί προς ὀρθός ὅς βάσις ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ·ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.10
μετρος ἔστι τῆς EZHΘ τομῆς · πάσας γὰρ τὰς παρὰ
Lemmas: μέτρος εἰμί ὁ EZHΘ τομή · πᾶς γάρ ὁ παρά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.11
τὴν KA καταγομένας ἐπ’ αὐτὴν δίχα τέμνει , ὥσπερ
Lemmas: ὁ KA κατάγω ἐπί αὐτός δίχα τέμνω , ὥσπερ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.12
τὴν ZΘ .
Lemmas: ὁ ZΘ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.13
ιγ´ .
Lemmas: ιγ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.14
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὁμοίως τμηθῶσιν , ἔσται , ὡς τὸ
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς ὁμοίως τέμνω , εἰμί , ὡς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.15
ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας , οὕτως τὸ
Lemmas: ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.16
ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν
Lemmas: ὑπό ὁ τμῆμα ὁ πρῶτος πρός ὁ ὑπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.17
τμημάτων τῆς δευτέρας .
Lemmas: τμῆμα ὁ δύο .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.18
εὐθεῖαι γὰρ αἱ AB , ΓΔ ὁμοίως τετμήσθωσαν κατὰ
Lemmas: εὐθύς γάρ ὁ AB , ΓΔ ὁμοίως τέμνω κατά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.19
τὰ E , Z σημεία . λέγω , ὅτι , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς AB πρὸς
Lemmas: ὁ E , Z σημεῖον . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ἀπό ὁ AB πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.2
πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἔσται ἡ KA τῇ AE . εἰ γὰρ δυνατόν ,
Lemmas: πρός ὀρθός οὐ εἰμί ὁ KA ὁ AE . εἰμί γάρ δυνατός ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.20
τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AE , EB πρὸς τὸ
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ AE , EB πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.21
ὑπὸ τῶν ΓZ , ZΔ .
Lemmas: ὑπό ὁ ΓZ , ZΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.22
ἐπεὶ γὰρ , ὡς ἡ AE πρὸς EB , οὕτως ἡ ΓZ πρὸς
Lemmas: ἐπεί γάρ , ὡς ὁ AE πρός EB , οὕτως ὁ ΓZ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.23
ZΔ , καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ AB πρὸς
Lemmas: ZΔ , καί συντίθημι ἄρα καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ AB πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.24
ΓΔ , οὕτως ἡ EB πρὸς ZΔ . καὶ ἐπεὶ , ὡς ἡ AE πρὸς
Lemmas: ΓΔ , οὕτως ὁ EB πρός ZΔ . καί ἐπεί , ὡς ὁ AE πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.25
EB , οὕτως ἡ ΓZ πρὸς ZΔ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE ,
Lemmas: EB , οὕτως ὁ ΓZ πρός ZΔ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ AE ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.26
1 . πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἔσται ] scripsi cum Comm . , ἔσται Vc ,
Lemmas: 1 . πρός ὀρθός οὐ εἰμί ] scripsi cum Comm . , εἰμί Vc ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.3
ἔστω πρὸς ὀρθὰς ἡ KA τῇ AE . ἔστι δὲ καὶ τῇ ΑΓ
Lemmas: ἵστημι πρός ὀρθός ὁ KA ὁ AE . εἰμί δέ καί ὁ ΑΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.4
πρὸς ὀρθάς · καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπιπέδῳ , τουνεστί
Lemmas: πρός ὀρθός · καί ὁ διά αὐτός ἄρα ἐπίπεδος , τουνεστί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.5
τῷ ΓΔ , πρὸς ὀρθὰς ἔσται ἡ KA . καὶ τὸ δι’ αὐτῆς
Lemmas: ὁ ΓΔ , πρός ὀρθός εἰμί ὁ KA . καί ὁ διά αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.6
ἄρα ἐπίπεδον τὸ τῆς A βάσεως πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ
Lemmas: ἄρα ἐπίπεδος ὁ ὁ A βάσις πρός ὀρθός εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.7
ΓΔ · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οὐκ ἄρα ἡ KA πρὸς ὀρθὰς
Lemmas: ΓΔ · ὅσπερ οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἄρα ὁ KA πρός ὀρθός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.8
ἔστι τῇ AE .
Lemmas: εἰμί ὁ AE .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0065.9
ἐκ δὴ τῶν δεδειγμένων φανερὸν , ὅτι ἡ EH διά -
Lemmas: ἐκ δή ὁ δείκνυμι φανερός , ὅτι ὁ EH διά -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0067.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0067.2
EB πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἢ EB πρὸς ΖΔ , τούτεστιν ἢπερ ἢ AB πρὸς ΓΔ . ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς AB πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἢ AB πρὸς ΓΔ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AB πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AE , EB πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · ὁ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: EB πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ἢ EB πρός ΖΔ , τουτέστιν ἤ ἢ AB πρός ΓΔ . ἀλλά καί ὁ ἀπό ὁ AB πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ἢ AB πρός ΓΔ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ AB πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ AE , EB πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · ὁ πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0067.3
ιδ´
Lemmas: ιδ´
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0067.4
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος , τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον , ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ἢ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ , ἀπὸ δὲ τῆς τομῆς ἀχθῇ τις ἐπὶ τὴν διάμετρον παράλληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων , ἡ ἀχθεῖσα δυνήσεται τι χωρίον , πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς λόγον ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως .
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄγω , τέμνω δέ καί ἕτερος ἐπίπεδος τέμνω ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , ὁ δέ κοινός τομή ὁ τε ὁ βάσις καί ὁ τέμνω ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἢ ὁ βάσις ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ἢ ὁ ἐπί εὐθύς αὐτός , ἀπό δέ ὁ τομή ἄγω τις ἐπί ὁ διάμετρος παράλληλος ὁ εἴρω κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος , ὁ ἄγω δύναμαι τίς χωρίον , πρός ὅς ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ διάμετρος ὁ τομή λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ τομή πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0067.5
Ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ A , B κύκλοι , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ , καὶ τεμηθῶ ὁ κύλινδρος ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ κατ’ εὐθεῖαν ὀρθὴν πρὸς ΓΔ ἐκβληθείσαν , καὶ ἔστω ἡ γενομένη τομὴ ἢ EZH , κοινὴ δὲ τομὴ τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου ἢ EH διάμετρος οὖσα τῆς τομῆς , ὡς ἐδείχθη . ληφθέντος δέ τινος σημείου ἐπὶ τῆς τομῆς τοῦ Z κατῃχθῶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν διάμετρον εὐθεῖα παράλ -
Lemmas: ἔστω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ A , B κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ , καί τέμνω ὁ κύλινδρος ἐπίπεδος συμπίπτω ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος κατά εὐθύς ὀρθός πρός ΓΔ ἐκβάλλω , καί ἵστημι ὁ γίγνομαι τομή ἢ EZH , κοινός δέ τομή ὁ παραλληλόγραμμος καί ὁ τέμνω ἐπίπεδος ἢ EH διάμετρος εἰμί ὁ τομή , ὡς δείκνυμι . λαμβάνω δέ τις σημεῖον ἐπί ὁ τομή ὁ Z κατάγω ἀπό αὐτός ἐπί ὁ διάμετρος εὐθύς παράλ -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0069.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0069.2
ληλος τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἡ ZΘ · πίπτει ἄρα ἡ ZΘ ἐπὶ τὴν EH , ὡς ἐδείχθη . λέγω δή , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν EΘ , ΘH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZΘ λόγον ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως .
Lemmas: Λήλος ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ZΘ · πίπτω ἄρα ὁ ZΘ ἐπί ὁ EH , ὡς δείκνυμι . λέγω δή , ὅτι ὁ ὑπό ὁ EΘ , ΘH πρός ὁ ἀπό ὁ ZΘ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ EH διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0069.3
ἤχθω διὰ τοῦ Θ παράλληλος τῇ ΓΑ ἡ KΘA , καὶ διὰ τῶν ZΘ , KA εὐθειῶν ἤχθω ἐπίπεδον τομὴν ποιούν τὴν KZA . ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν KA τῇ ΓΑ παράλληλος , ἡ δὲ ZΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων οὐσῇ ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ , καὶ τὰ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα παράλληλά ἐστιν · ἡ KZA ἄρα τομὴ κύκλος ἐστίν . πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν KA τῇ ΓΑ , ἡ δὲ ZΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς οὖσα πρὸς τὴν ΓΑ , καὶ ἡ ZΘ ἄρα πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῇ KA . καὶ ἐστὶ κύκλος ὁ KZA · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ZΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν KΘ , ΘA . ἐπεὶ ἡ KE τῇ AH παράλληλος ἐστιν , ὡς ἄρα ἡ KΘ πρὸς τὴν ΘA , οὕτως ἡ EΘ πρὸς τὴν ΘH · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν EΘ , ΘH ὅμοιόν ἐστι τῷ ὑπὸ KΘ , ΘA . ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν EΘ , ΘH πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν KΘ , ΘA , τοιούτῃ πρὸς τὸ ἀπὸ ZΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς KA , τοιούτῃ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως .
Lemmas: ἄγω διά ὁ Θ παράλληλος ὁ ΓΑ ὁ KΘA , καί διά ὁ ZΘ , KA εὐθύς ἄγω ἐπίπεδος τομή ποιέω ὁ KZA . ἐπεί οὖν ὁ μέν KA ὁ ΓΑ παράλληλος , ὁ δέ ZΘ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος εἰμί ἐν ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , καί ὁ διά αὐτός ἄρα ἐπίπεδος παράλληλος εἰμί · ὁ KZA ἄρα τομή κύκλος εἰμί . πάλιν ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ μέν KA ὁ ΓΑ , ὁ δέ ZΘ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΓΑ , καί ὁ ZΘ ἄρα πρός ὀρθός εἰμί ὁ KA . καί εἰμί κύκλος ὁ KZA · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ZΘ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ KΘ , ΘA . ἐπεί ὁ KE ὁ AH παράλληλος εἰμί , ὡς ἄρα ὁ KΘ πρός ὁ ΘA , οὕτως ὁ EΘ πρός ὁ ΘH · ὁ ἄρα ὑπό ὁ EΘ , ΘH ὁμοῖος εἰμί ὁ ὑπό KΘ , ΘA . ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ EΘ , ΘH πρός ὁ ὑπό ὁ KΘ , ΘA , τοιοῦτος πρός ὁ ἀπό ZΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ EH διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ KA , τοιοῦτος πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0069.4
Ἡ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς τεταγμένως ἀγομένη ἐν τῇ τομῇ δευτέρα διάμετρος ἐσται .
Lemmas: ὁ διά ὁ διχοτομία ὁ διάμετρος ὁ τομή τεταγμένως ἄγω ἐν ὁ τομή δύο διάμετρος εἰμαι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0069.5
ἔστω γὰρ τῆς EZH τομῆς διάμετρος ἡ EH καὶ δίχα τεμησθῶ κατὰ τὸ Θ , καὶ διήχθω ἡ ZΘM τεταγμένως . λέγω , ὅτι ἡ ZM δευτέρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς .
Lemmas: ἵστημι γάρ ὁ EZH τομή διάμετρος ὁ EH καί δίχα τέμνω κατά ὁ Θ , καί διάγω ὁ ZΘM τεταγμένως . λέγω , ὅτι ὁ ZM δύο διάμετρος εἰμί ὁ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.10
ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ NI τῷ ἀπὸ ΞP · παραλληλόγραμμον
Lemmas: ἴσος δέ ὁ ἀπό NI ὁ ἀπό ΞP · παραλληλόγραμμος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.11
γάρ ἐστι τὸ NIPΞ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ EIH τῷ
Lemmas: γάρ εἰμί ὁ NIPΞ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό EIH ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.12
ὑπὸ EPH . καὶ ἀπ’ ἴσων ἀφῃρήται τῶν ἀπὸ EΘ , ΘH ·
Lemmas: ὑπό EPH . καί ἀπό ἴσος ἀφαιρέω ὁ ἀπό EΘ , ΘH ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.13
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ PΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘP ἴσον ἐστίν ·
Lemmas: καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό PΘ λοιπός ὁ ἀπό ΘP ἴσος εἰμί ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.14
ἴση ἄρα ἢ PΘ τῇ ΘP , τουνεστίν ἢ NO τῇ OΞ . ὁμοίως
Lemmas: ἴσος ἄρα ἢ PΘ ὁ ΘP , τουνεστίν ἢ NO ὁ OΞ . ὁμοίως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.15
δὲ πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν EH δίχα τέμνονται ὑπὸ τῆς
Lemmas: δέ πᾶς ὁ παρά ὁ EH δίχα τέμνω ὑπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.16
ZM · δευτέρα διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἢ ZM .
Lemmas: ZM · δύο διάμετρος ἄρα εἰμί ἢ ZM .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.17
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι τὸ τῆς
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω τέμνω ὁ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.18
βάσεως ἐπίπεδον , ἢ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως
Lemmas: βάσις ἐπίπεδος , ἢ δέ κοινός τομή ὁ τε ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.19
καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ἢ τῇ βάσει
Lemmas: καί ὁ τέμνω ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἢ ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.2
ἡχθω παρὰ μὲν τὴν EH ἢ NΞ , παρὰ δὲ τὴν ZM
Lemmas: ἄγω παρά μέν ὁ EH ἢ NΞ , παρά δέ ὁ ZM
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.20
τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας
Lemmas: ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ἢ ὁ ἐπί εὐθύς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.21
αὐτῇ , ἢ μὲν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον
Lemmas: αὐτός , ἢ μέν ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ διάμετρος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.22
ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων
Lemmas: ἄγω παράλληλος ὁ εἴρω κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.23
δυνήσεται χωρίον , πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων
Lemmas: δύναμαι χωρίον , πρός ὅς ὁ ὑπό ὁ τμῆμα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.24
τῆς διαμέτρου λόγον ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διατῷ
Lemmas: ὁ διάμετρος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ διάω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.25
EP , PH p . 8 . οὕτως ] οὕτω p . ΞP ] τῆς ΞP p ; et
Lemmas: EP , PH p . 8 . οὕτως ] οὗτος p . ΞP ] ὁ ΞP p ; et
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.26
10 . NIPΞ ] p , NIPΞ Vc . 11 . ἀπ’ ] ἀπὸ c . 12 . ἀπὸ
Lemmas: 10 . NIPΞ ] p , NIPΞ Vc . 11 . ἀπό ] ἀπό c . 12 . ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.27
ΘP ] Halley , ἀπὸ τῆς ΘP p , ΘP Vc . 15 . διάμετρος ] om . p .
Lemmas: ΘP ] Halley , ἀπό ὁ ΘP p , ΘP Vc . 15 . διάμετρος ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.29
χωρίον p . 24 . ἔχει ] ἔξει p .
Lemmas: χωρίον p . 24 . ἔχω ] ἔξειμι p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.3
αἱ NI , ΞP · τεταγμέναι ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ NI , ΞP .
Lemmas: ὁ NI , ΞP · τάσσω ἄρα εἰμί καί ὁ NI , ΞP .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.4
ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς NI πρὸς τὸ ὑπὸ EIH λόγον
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ NI πρός ὁ ὑπό EIH λόγος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.5
ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου
Lemmas: ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ κύλινδρος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.6
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς , ἔχει δὲ
Lemmas: πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ τομή , ἔχω δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.7
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΞP πρὸς τὸ ὑπὸ EPH τὸν αὐτὸν
Lemmas: καί ὁ ἀπό ὁ ΞP πρός ὁ ὑπό EPH ὁ αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.8
λόγον , ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς NI πρὸς τὸ ὑπὸ EIH ,
Lemmas: λόγος , ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ NI πρός ὁ ὑπό EIH ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0071.9
οὕτως τὸ ἀπὸ ΞP πρὸς τὸ ὑπὸ EPH . καὶ ἐναλλάξ ·
Lemmas: οὕτως ὁ ἀπό ΞP πρός ὁ ὑπό EPH . καί ἐναλλάξ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0073.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0073.2
μέτρον τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον , πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας διαμέτρου λόγον ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου .
Lemmas: μέτρον ὁ τομή πρός ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος , ὁ δέ ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ δύο διάμετρος ἄγω παράλληλος ὁ διάμετρος δύναμαι χωρίον , πρός ὅς ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ δύο διάμετρος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0073.3
ἔστω κύλινδρος , καὶ κατεσκευάσθω ὡς ἐν τῷ ιδ´ . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τῆς διχοτομοῦσης τὴν ΕΗ τεταγμένως , ὡς ἐδείχθη πρὸς τῷ δ´ θεωρήματι , ἡ δὲ διχοτομοῦσα τὴν διάμετρον τεταγμένως δευτέρα διάμετρός ἐστιν , ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου , εἰ᾽ ἄν , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , καί κατασκευάζω ὡς ἐν ὁ ιδ´ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ὁ μέν ὑπό ὁ ΕΘ , τίθημι πρός ὁ ἀπό ΖΘ , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΗ πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ διχοτομέω ὁ ΕΗ τεταγμένως , ὡς δείκνυμι πρός ὁ δδʹ θεώρημα , ὁ δέ διχοτομέω ὁ διάμετρος τεταγμένως δύο διάμετρος εἰμί , ὡς ἐν ὁ πρό οὗτος , εἰμί ἄν , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΗ διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΕΘ , τίθημι πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0073.4
ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ μὲν Θ διχοτομεῖν τὴν ΕΗ διάμετρον , τὴν δὲ ΖΘΦ τεταγμένην εἶναι · δευτέρα ἄρα διάμετρος ἡ ΖΦ . κατῆχθω ἐπ᾽ αὐτὴν ἀπὸ τῆς τομῆς ἡ ΜΝ παράλληλος τῇ ΕΗ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΦΝ , ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ λόγον ἔχει , ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου τῆς τομῆς .
Lemmas: ἀλλά δή ὑπόκειμαι ὁ μέν Θ διχοτομέω ὁ ΕΗ διάμετρος , ὁ δέ ΖΘΦ τάσσω εἰμί · δύο ἄρα διάμετρος ὁ ΖΦ . κατάγω ἐπί αὐτός ἀπό ὁ τομή ὁ ΜΝ παράλληλος ὁ ΕΗ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΦΝ , ΝΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΜΝ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΦΖ δύο διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ διάμετρος ὁ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0073.5
ἦχθω διὰ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ΓΔ παραλληλογράμμῳ τέμνον τὸν κύλινδρον · ποιήσει δὴ παραλληλόγραμμον τὴν τομήν . ποιεῖτω τὸ ΡΣ , ἔστω -
Lemmas: ἄγω διά ὁ ΜΝ ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΓΔ παραλληλόγραμμος τέμνω ὁ κύλινδρος · ποιέω δή παραλληλόγραμμος ὁ τομή . ποιέω ὁ ΡΣ , ἵστημι -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0075.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0075.2
σαν δὲ κοινὰι τομαὶ αὐτοῦ καὶ τῶν παραλλήλων κύκλων αἱ ΣΤ , ΞΟ , ΠΡ , αὐτοῦ δὲ καὶ τῆς ΕΖΗ τομῆς κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΜΝ . ἐπεὶ οὖν παράλληλα ἐπίπεδα τὰ ΓΔ , ΡΣ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΚΖΑ ἐπιπέδου , αἱ κοινὰι αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι · παράλληλος ἄρα ἡ ΚΘ τῇ ΝΞ . ἢν δὲ καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΝΜ παράλληλος · ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΘΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΞΝΜ ἴση ἐστίν . καὶ ἐπεὶ τὸ ΡΣ παραλληλόγραμμον ἰσογώνιον ἐστὶ τῷ ΓΔ παραλλήλογράμμῳ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ γʹ θεωρήματι , ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΣΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ ἴση ἐστίν , τούτεστιν ἡ ὑπὸ ΣΞΝ τῇ ὑπὸ ΕΚΘ · ὁμοία ἄρα ἀλλήλοις τὰ ΕΚΘ , ΜΞΝ τρίγωνα . ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ , οὕτως ἡ ΞΝ πρὸς ΝΜ · καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ , τούτεστι τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῆς ΦΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΞΝ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ . ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΦΝ , ΝΖ · κύκλος γὰρ ἐστὶν ὁ ΚΖΑ , καὶ ὀρθὴ ἡ ΘΖ ἐπὶ τὰς ΚΘ , ΞΝ . ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΦΝ , ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ · ὃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: σάω δέ κοινός τομή αὐτός καί ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΣΤ , ΞΟ , ΠΡ , αὐτός δέ καί ὁ ΕΖΗ τομή κοινός τομή ἵστημι ὁ ΜΝ . ἐπεί οὖν παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ΓΔ , ΡΣ τέμνω ὑπό ὁ ΚΖΑ ἐπίπεδος , ὁ κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα ὁ ΚΘ ὁ ΝΞ . εἄν δέ καί ὁ ΘΕ ὁ ΝΜ παράλληλος · ὁ ἄρα ὑπό ΚΘΕ γωνία ὁ ὑπό ΞΝΜ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΡΣ παραλληλόγραμμος ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΓΔ παραλληλόγραμμος , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ γε θεώρημα , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΣΠΡ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ ἴσος εἰμί , τουτέστιν ὁ ὑπό ΣΞΝ ὁ ὑπό ΕΚΘ · ὅμοιος ἄρα ἀλλήλων ὁ ΕΚΘ , ΜΞΝ τρίγωνος . ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός ΘΕ , οὕτως ὁ ΞΝ πρός ΝΜ · καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος ὁ ΦΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΞΝ πρός ὁ ἀπό ὁ ΝΜ . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΝΞ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΦΝ , ΝΖ · κύκλος γάρ εἰμί ὁ ΚΖΑ , καί ὀρθός ὁ ΘΖ ἐπί ὁ ΚΘ , ΞΝ . ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΦΖ δύο διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ διάμετρος , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΦΝ , ΝΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΜΝ · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0075.3
Ἐὰν κυλίνδρου τομῆς συζυγεῖς διάμετροι ὦσι , καὶ ποιηθῇ , ὡς ἡ διάμετρος τῆς τομῆς πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον , οὕτως ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά , ἧτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχθῇ τεταγμένως , δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπʼ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμ -
Lemmas: ἐάν κύλινδρος τομή συζυγέω διάμετρος εἰμί , καί ποιέω , ὡς ὁ διάμετρος ὁ τομή πρός ὁ δύο διάμετρος , οὕτως ὁ δύο διάμετρος πρός ἄλλος τις , ὅστις εἄν ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ διάμετρος ἄγω τεταγμένως , δύναμαι ὁ παρά ὁ τρίτος ἀνάλογος πλάτος ἔχω ὁ ὑπό αὐτός ὁ τεταγμένως ἄγω ἀπολαμβάνω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0076.1
quare etiam ΚΘ²:ΘΕ²=ΞΝ²:ΝΜ²=ΦΖ²:ΕΗ² .
Lemmas: quare etiam ΘΕ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0076.2
τῶ p . τῆς ] pc , τὴν Vv . ΝΞ ] ΞΝ p . τῶ ] τό p . ὑπό ] p ,
Lemmas: ὁ p . ὁ ] pc , ὁ Vv . ΝΞ ] ΞΝ p . ὁ ] ὁ p . ὑπό ] p ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0076.3
ὑπό Vc . 19 . ΦΖ ] p , ΦΖΑ Vc . 21 . ΝΖ ] p , ΝΞ Vc .
Lemmas: ὑπό Vc . 19 . ΦΖ ] p , ΦΖΑ Vc . 21 . ΝΖ ] p , ΝΞ Vc .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0076.4
ὁ — 22 . δεῖξαι ] om . p . 25 . τῆς — 26 . διαμέτρων ] bis V .
Lemmas: ὁ — 22 . δείκνυμι ] om . p . 25 . ὁ — 26 . διάμετρος ] bis V .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0076.5
26 . οὕτως ] τῆς τομῆς οὕτως c . 29 . ἔχου ] ἔχειν p . ὑπὸ \
Lemmas: 26 . οὕτως ] ὁ τομή οὕτως c . 29 . ἔχω ] ἔχω p . ὑπό \
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.10
τὸ ἀπὸ τῆς EZ ἴσον ἐστὶ τῷ AΘ παραλληλογράμμῳ .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ EZ ἴσος εἰμί ὁ AΘ παραλληλόγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.11
10 ἐπεὶ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς AB πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ ,
Lemmas: 10 ἐπεί , ὡς ὁ ἀπό ὁ AB πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.12
οὕτως ἡ AB πρὸς τὴν AH , τουνεστί ν ἡ BZ πρὸς ZΘ ,
Lemmas: οὕτως ὁ AB πρός ὁ AH , τουνεστί Ν ὁ BZ πρός ZΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.13
ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς AB πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ ,
Lemmas: ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ AB πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.14
οὕτως τὸ ὑπὸ BZ , ZA πρὸς τὸ ἀπὸ EZ , ὡς δὲ ἡ BZ
Lemmas: οὕτως ὁ ὑπό BZ , ZA πρός ὁ ἀπό EZ , ὡς δέ ὁ BZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.15
πρὸς ZΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ BZ , ZA πρὸς τὸ ὑπὸ ΘZ ,
Lemmas: πρός ZΘ , οὕτως ὁ ὑπό BZ , ZA πρός ὁ ὑπό ΘZ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.16
15 ZA , τουνεστί τὸ AΘ παραλληλόγραμμον , τὸ ἄρα ἀπὸ
Lemmas: 15 ZA , τουνεστί ὁ AΘ παραλληλόγραμμος , ὁ ἄρα ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.17
τῆς EZ ἴσον ἐστὶ τῷ AΘ , ὁ παράκειται παρὰ τὴν AH
Lemmas: ὁ EZ ἴσος εἰμί ὁ AΘ , ὁ παράκειμαι παρά ὁ AH
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.18
τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν AZ ἔλλειπον εἶδει
Lemmas: τρίτος ἀνάλογος πλάτος ἔχω ὁ AZ ἐλλείπω εἶδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.19
τῷ ὑπὸ HKΘ ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ HAB .
Lemmas: ὁ ὑπό HKΘ ὅμοιος ὁ ὑπό HAB .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.2
βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἔλλειπον εἶδει ὁμοίῳ τῷ περικαλείσθω
Lemmas: βαίνω πρός ὁ τομή ἐλλείπω εἶδος ὅμοιος ὁ περικαλέω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.20
δὲ ἡ μὲν AB πλαγία τοῦ εἴδους πλευρά ,
Lemmas: δέ ὁ μέν AB πλάγιος ὁ εἶδος πλευρά ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.21
20 ἡ δὲ AH ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά .
Lemmas: 20 ὁ δέ AH ὄρθιος ὁ εἶδος πλευρά .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.22
Τούτων οὕτως ἔχοντων φανερὸν ἐστίν , ὅτι ἡ ABΓ
Lemmas: οὗτος οὕτως ἔχω φανερός εἰμί , ὅτι ὁ ABΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.23
τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψίς ἐστιν · ὅσα γὰρ ἐνταῦθα
Lemmas: ὁ κύλινδρος τομή ἔλλειψις εἰμί · ὅσος γάρ ἐνταῦθα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.24
τῇ τομῇ ἐδείχθη ὑπάρχοντα , πάντα ὁμοίως καὶ ἐπὶ
Lemmas: ὁ τομή δείκνυμι ὑπάρχω , πᾶς ὁμοίως καί ἐπί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.25
τοῦ κώνου τῇ ἔλλειψει ὑπῆρχεν , ὡς ἐν τοῖς Κωνικοῖς
Lemmas: ὁ κῶνος ὁ ἔλλειψις ὑπάρχω , ὡς ἐν ὁ κωνικός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.26
25 δείκνυται θεωρήματι ιε’ τοῖς δυναμένοις λέγειν τὴν
Lemmas: 25 δείκνυμι θεώρημα ἵημι ὁ δύναμαι λέγω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.27
ἀκρίβειαν τοῦ θεωρήματος , καὶ ἡμεῖς ἐν τοῖς εἰς αὐτὰ
Lemmas: ἀκρίβεια ὁ θεώρημα , καί ἐγώ ἐν ὁ εἰς αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.28
ὑπομνήμασι γεωμετρικῶς ἀπεδείξαμεν .
Lemmas: ὑπόμνημα γεωμετρικός ἀποδείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.3
εχομένῳ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς τρίτης ἀναλόγου .
Lemmas: ἔχω ὑπό ὁ διάμετρος καί ὁ τρίτος ἀνάλογος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.4
ἔστω κυλίνδρου τομή , ἧς διάμετρος μὲν ἡ AB ,
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος τομή , ὅς διάμετρος μέν ὁ AB ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.5
δευτέρα δὲ διάμετρος ἡ ΓΔ , καὶ γενέσθω , ὡς ἡ AB
Lemmas: δύο δέ διάμετρος ὁ ΓΔ , καί γίγνομαι , ὡς ὁ AB
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.6
5 πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν AH , καὶ κείσθω
Lemmas: 5 πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ AH , καί κεῖμαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.7
ἡ AH πρὸς ὀρθὰς τῇ AB , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BH , καὶ
Lemmas: ὁ AH πρός ὀρθός ὁ AB , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ BH , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.8
ἐπὶ τὴν AB ἤχθω τεταγμένως ἡ EZ , καὶ παρὰ μὲν
Lemmas: ἐπί ὁ AB ἄγω τεταγμένως ὁ EZ , καί παρά μέν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0077.9
τὴν AH ἡ ZΘ , παρὰ δὲ τὴν AZ ἡ ΘK . λέγω , ὅτι
Lemmas: ὁ AH ὁ ZΘ , παρά δέ ὁ AZ ὁ ΘK . λέγω , ὅτι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.2
ιη´ .
Lemmas: ιη´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.3
Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ συζυγεῖς διάμετροι ᾖσι , καὶ ποιηθῇ , ὡς ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον , οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά , ἥτις ἂν 5 ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθῇ τεταγμένως , δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ᾽ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμβανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἔλλειπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου καὶ τῆς πορισ - 10θείσης τρίτης ἀναλόγου .
Lemmas: ἐάν ἐν κύλινδρος τομή συζυγέω διάμετρος εἰμί , καί ποιέω , ὡς ὁ δύο διάμετρος πρός ὁ διάμετρος , οὕτως ὁ διάμετρος πρός ἄλλος τις , ὅστις εἄν 5 ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ δύο διάμετρος ἄγω τεταγμένως , δύναμαι ὁ παρά ὁ τρίτος ἀνάλογος πλάτος ἔχω ὁ ὑπό αὐτός ὁ τεταγμένως ἄγω ἀπολαμβάνω πρός ὁ τομή ἐλλείπω εἶδος ὅμοιος ὁ περιέχω ὑπό ὁ δύο διάμετρος καί ὁ Πόρις - ἐθίζω τρίτος ἀνάλογος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.4
Ἔστω κυλίνδρου τομή , καὶ γενέσθω , ὡς ἡ ΓΔ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν ΑΒ διάμετρον , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΗ , καὶ κεῖσθω ἡ ΓΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ , καὶ ἐπὶ τὴν ΓΔ κατῃχθῶ τεταγ - 15μένως ἡ ΕΖ , καὶ παρὰ μὲν τὴν ΓΗ ἡ ΖΘ , παρὰ δὲ τὴν ΓΔ ἡ ΘΚ . λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΘ παραλληλογράμμῳ .
Lemmas: ἔστω κύλινδρος τομή , καί γίγνομαι , ὡς ὁ ΓΔ δύο διάμετρος πρός ὁ ΑΒ διάμετρος , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΗ , καί κεῖμαι ὁ ΓΗ πρός ὀρθός ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ δΗ , καί ἐπί ὁ ΓΔ κατάγω τάσσω - ἔρχομαι ὁ ΕΖ , καί παρά μέν ὁ ΓΗ ὁ ΖΘ , παρά δέ ὁ ΓΔ ὁ ΘΚ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.5
ἔπει γάρ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΗ , τούτεστιν ἡ ΔΖ πρὸς 20ΖΘ , ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΖ , ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ · ταῦτα γὰρ ἐδείχθη · ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΖ , ΖΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ , ΖΓ , τούτεστι τὸ ΓΘ ὀρθογώνιον , ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΘ ,
Lemmas: ἔπος γάρ , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΓΗ , τουτέστιν ὁ ΔΖ πρός 20ΖΘ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΔΖ , ΖΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ · οὗτος γάρ δείκνυμι · ὡς δέ ὁ ΔΖ πρός ΖΘ , οὕτως ὁ ὑπό ΔΖ , ΖΓ πρός ὁ ὑπό ΘΖ , ΖΓ , τουτέστι ὁ ΓΘ ὀρθογώνιος , ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ΓΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0079.6
1 . ιη´ ] mg . m . rec . V , et sic deinceps . 7 . ὑπ᾽ αὐτῆς τῆς ] scripsi , ὑπ᾽ αὐτῆς Vc , ὑπὸ τῆς p . 12 . ΑΒ ( alt . ) ] ΑΗ c . 15 . μέν ] om . p . τὴν ΓΗ ] bis p , sed corr . 17 . παραλληλογράμμῳ ] παραλληλόγραμμῷ c . 18 . ΓΔ ] ΓΘΔ p . 19 . ΓΔ ] ΔΓ p . 20 . πρὸς — 22 . ΖΘ ] mg . p add . κείμενον ( πρὸς etiam in textu , item ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ ) . 24 . ΓΘ ( pr . ) ] ΖΘ Vcp , corr . Comm . ἄρα ] ἄρα ἐστὶ p .
Lemmas: 1 . ιη´ ] mg . m . rec . V , et sic deinceps . 7 . ὑπό αὐτός ὁ ] scripsi , ὑπό αὐτός Vc , ὑπό ὁ p . 12 . ΑΒ ( alt . ) ] ΑΗ c . 15 . μέν ] om . p . ὁ ΓΗ ] bis p , sed corr . 17 . παραλληλόγραμμος ] παραλληλόγραμμος c . 18 . ΓΔ ] ΓΘΔ p . 19 . ΓΔ ] ΔΓ p . 20 . πρός — 22 . ΖΘ ] mg . p add . κεῖμαι ( πρός etiam in textu , item ὡς δέ ὁ ΔΖ πρός ΖΘ ) . 24 . ΓΘ ( pr . ) ] ΖΘ Vcp , corr . Comm . ἄρα ] ἄρα εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.1
ΠΕΡΙ ΚΤΑΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΑΔ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.10
διάμετρον τεταγμένως , ἔσται τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα
Lemmas: διάμετρος τεταγμένως , εἰμί ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.11
10 πρὸς μὲν τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων
Lemmas: 10 πρός μέν ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ ἀπολαμβάνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.12
ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τοὺς πέρασι τῆς πλαγίας τοῦ
Lemmas: ὑπό αὐτός πρός ὁ πέρας ὁ πλάγιος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.13
εἴδους πλευρᾶς , ὡς τοῦ εἴδους ἡ ὀρθία πλευρὰ πρὸς
Lemmas: εἶδος πλευρά , ὡς ὁ εἶδος ὁ ὄρθιος πλευρόν πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.14
τὴν πλάγιαν , πρὸς ἑαυτὰ δέ , ὡς τὰ περιεχόμενα χωρία
Lemmas: ὁ πλάγιος , πρός ἑαυτοῦ δέ , ὡς ὁ περιέχω χωρίον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.15
ὑπὸ τῶν , ὡς εἴρηται , λαμβανομένων εὐθειῶν .
Lemmas: ὑπό ὁ , ὡς εἴρω , λαμβάνω εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.16
15 ἔστω κυλίνδρου τομὴ ἡ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτῆς
Lemmas: 15 ἵστημι κύλινδρος τομή ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.17
ἡ ΑΔ καὶ πλάγια πλευρὰ τοῦ εἴδους , ὀρθία δὲ
Lemmas: ὁ ΑΔ καί πλάγιος πλευρόν ὁ εἶδος , ὄρθιος δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.18
τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΑΗ , καὶ ἐπὶ τὴν ΑΔ τεταγμένως
Lemmas: ὁ εἶδος πλευρόν ὁ ΑΗ , καί ἐπί ὁ ΑΔ τεταγμένως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.19
ἠχθῶσαν αἱ ΒΕ , ΖΓ . λέγω , ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ
Lemmas: ἄγω ὁ ΒΕ , ΖΓ . λέγω , ὅτι ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.2
ὁ παραβέβληται παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον τὴν ΓΗ
Lemmas: ὁ παραβάλλω παρά ὁ τρίτος ἀνάλογος ὁ ΓΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.20
πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΔ ἐστίν , ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΔ ,
Lemmas: πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΔ εἰμί , ὡς ὁ ΗΑ πρός ΑΔ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.21
20 τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἐστίν , ὡς τὸ
Lemmas: 20 ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΕ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ εἰμί , ὡς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.22
ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΔ .
Lemmas: ὑπό ΑΕΔ πρός ὁ ὑπό ΑΖΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.23
ἐπεὶ γάρ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς
Lemmas: ἐπεί γάρ , ὡς ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.24
τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου , οὕτως τό τε ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ διάμετρος , οὕτως ὁ τε ἀπό ὁ ΒΕ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.25
τὸ ὑπὸ ΑΕΔ καὶ ἡ ΑΗ ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν ΑΔ
Lemmas: ὁ ὑπό ΑΕΔ καί ὁ ΑΗ ὄρθιος πλευρόν πρός ὁ ΑΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.26
25 πλάγιαν , ὡς ἄρα ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλάγιαν , οὕτως
Lemmas: 25 πλάγιος , ὡς ἄρα ὁ ὄρθιος πρός ὁ πλάγιος , οὕτως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.3
πλάτος ἔχον τὴν ΖΓ ἔλλειπον εἶδει τῷ ὑπὸ ΘΚΗ
Lemmas: πλάτος ἔχω ὁ ΖΓ ἐλλείπω εἶδος ὁ ὑπό ΘΚΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.4
ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΑΓΗ · ἃπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὅμοιος ὁ ὑπό ΑΓΗ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.5
Ταῦτα σαφέστατα παρηκολούθει τῇ ἔλλειψει ἐν τῷ
Lemmas: οὗτος σαφής παρακολουθέω ὁ ἔλλειψις ἐν ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.6
5 με’ θεωρήματι τῶν Κωνικῶν · ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἡ
Lemmas: 5 μου θεώρημα ὁ κωνικός · ἔλλειψις ἄρα εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.7
ΑΒΓ τομὴ τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ΑΒΓ τομή ὁ κύλινδρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.8
ιθ’ .
Lemmas: εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0081.9
Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν
Lemmas: ἐάν ἐν κύλινδρος τομή εὐθύς ἄγω ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.2
τὸ ἀπὸ τῆς BE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AEΔ · ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AZΔ . καὶ ἐναλλάξ ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς BE πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AEΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AZΔ · ὃ προέκειτο 5 δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ BE πρός ὁ ὑπό ὁ AEΔ · ὁμοίως δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ὑπό AZΔ . καί ἐναλλάξ ἄρα , ὡς ὁ ἀπό ὁ BE πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ AEΔ πρός ὁ ὑπό ὁ AZΔ · ὅς πρόκειμαι 5 δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.3
Καὶ ταῦτα δέδεικται ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τοῖς Κοινικοῖς θεωρήματι κ' .
Lemmas: καί οὗτος δείκνυμι ἐπί ὁ ἔλλειψις ἐν ὁ κοινικοιξ θεώρημα καί .