ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.4
Ἔστι μὲν οὖν καὶ δι' ἑτέρων πλείστων ἐπιδεῖξαι τὴν ταυτότητα τῶν τομῶν διὰ τῶν κοινῇ συμβαινόν - 10 τῶν αὐταῖς · οὐ μὴν ἀλλὰ τὰ γε ἀρχικώτερα τῶν συμπτωμάτων εἴρηται σχεδόν . ἔπειτα μέχρι τοῦδε προαχθείσης τῆς θεωρίας οὐχ ἔμοι προσήκει τοῦντεύθεν ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἕκαστα διεξιόντι τοῖς ἀλλοτρίοις ἐνδιατρίβειν · ἀνάγκη γὰρ πον λεπτολογούντα περὶ ἐλλεί - 15 ψεως ἐπεισυγκληθῆναι καὶ τὰ τῷ Περγαίῳ Ἀπολλωνίῳ τεθεωρημένα περὶ αὐτῆς . ἀλλ' ὅτῃ σπουδὴ περαιτέρω σκοπεῖν , ἔξεστι ταῦτα παρατιθέντι τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ τῶν Κοινικῶν εἰρημένοις αὐτῷ δι' αὐτοῦ βεβαιῶσαι τὸ προκείμενον · ὅσα γὰρ ἐν ἐκείνοις περὶ τὴν τοῦ κώνου 20 τομὴν συμβαίνοντα τὴν καλουμένην ἔλλειψιν , τοσαῦτα καὶ περὶ τὴν τοῦ κυλίνδρου τομὴν ἐκ τῶν ἐνταῦθα προδεδειγμένων εὑρήσει συμβαίνοντα . διόπερ τοῦτον μὲν ἀποστάς , ὀλίγα δὲ ἄττα λημμάτια προσθεῖς , δι' ὧν καὶ αὐτῶν ἐνδείκνυται πῶς ἡ τῶν τομῶν ταυτότης , ἐπ' 25 ἄλλο τι τρέψομαι .
Lemmas: εἰμί μέν οὖν καί διά ἕτερος πλεῖστος ἐπιδείκνυμι ὁ ταυτότης ὁ τομή διά ὁ κοινός συμβαίνω - 10 ὁ αὐτός · οὖον μήv ἀλλά ὁ γε ἀρχικός ὁ σύμπτωμα εἴρω σχεδόν . ἔπειτα μέχρι ὅδε προάγω ὁ θεωρία οὐ ἐγώ προσήκω τοῦντεύθεν ἐπί ὁ λοιπός ἕκαστος διεξέρχομαι ὁ ἀλλότριος ἐνδιατρίβω · ἀνάγκη γάρ πως λεπτολογώ περί ἐλλή - 15 ψεως επεισυγκαλεω καί ὁ ὁ Περγαῖος Ἀπολλώνιος θεωρέω περί αὐτός . ἀλλά ὅτῃ σπουδή περαιτέρω σκοπέω , ἔξεστι οὗτος παρατίθημι ὁ ἐν ὁ πρῶτος ὁ κοινικη εἴρω αὐτός διά αὐτός βεβαιόω ὁ πρόκειμαι · ὅσος γάρ ἐν ἐκεῖνος περί ὁ ὁ κῶνος 20 τομή συμβαίνω ὁ καλέω ἔλλειψις , τοσοῦτος καί περί ὁ ὁ κύλινδρος τομή ἐκ ὁ ἐνταῦθα προδείκνυμι εὑρίσκω συμβαίνω . διόπερ οὗτος μέν ἀφίστημι , ὀλίγος δέ τις λημμάτιον προστίθημι , διά ὅς καί αὐτός ἐνδείκνυμι πῶς ὁ ὁ τομή ταυτότης , ἐπί 25 ἄλλος τίς τρέπω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.5
κ' .
Lemmas: καί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0083.6
Λέγω τοίνυν , ὅτι δυνατόν ἐστι δεῖξαι κῶνον ὁμοῦ καὶ κύλινδρον μιᾷ καὶ τῇ αὐτῇ τεμνομένους ἔλλειψει .
Lemmas: λέγω τοίνυν , ὅτι δυνατός εἰμί δείκνυμι κῶνος ὁμοῦ καί κύλινδρος εἷς καί ὁ αὐτός τέμνω ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0085.1
ΠΕΡΙ ΚΤΑΙΝΔΑΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΑΔ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0085.2
ἐκκείσθω τρίγωνον σκαληρὸν τὸ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς ΒΓ 5 βάσεως δίχα τεμνομένης κατὰ τὸ Α , καὶ μείζων ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΑΓ , καὶ πρὸς τῇ ΓΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ συνεστάτω γωνία ἢ ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΕ ἤτοι μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἢ ἐλάσσω , καὶ συμπίπτέτω ἡ ΑΕ τῇ ΒΓΕ κατὰ τὸ Ε , καὶ τῶν ΒΕ , ΕΓ μέση 10 ἀνάλογον ἔστω ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ΑΖ , καὶ τῇ ΑΕ παράλληλος ἐν τῷ τριγώνῳ διήχθω ἡ ΘΗ , καὶ διὰ τῶν Θ , Η σημείων τῇ ΑΖ παράλληλοι ἠχθῶσαν αἱ ΘΚ , ΑΗΜ , καὶ συμπληρωσάθω τὸ ΚΜ παραλληλόγραμμον , καὶ διὰ τῆς ΒΕ ἀχθέντος ἐπιπέδου πρὸς 15 ὀρθὰς τῷ ΒΑΕ ἐπιπέδῳ γεγράφθω ἐν τῷ ἀχθέντι περὶ μὲν τὴν ΚΛ διάμετρον ὁ ΚΝΛ κύκλος βάσις ἐσόμενος κυλίνδρου , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΚΜ , περὶ δὲ τὴν ΒΓ διάμετρον ὁ ΒΞΓ κύκλος βάσις ἐσόμενος κώνου , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνον 20 ἐστι τὸ ΑΒΓ , καὶ τῆς ΘΗ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Ο ἠχθῶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΕ ἡ ΟΠ ἐν τῷ τῶν κύκλων ἐπιπέδῳ οὖσα , καὶ ἠχθῶ διὰ τῶν ΟΠ , ΟΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῷ κώνῳ τῷ ἐπὶ τῆς ΒΞΓ βάσεως . ποιείτω τὴν ΘΡΗ · ἢ ΘΗ ἄρα εὐθεῖα διάμετρος 25 ἐστὶ τῆς τομῆς . τῆς οὖν ΘΗ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ Σ κατήχθωσαν τεταγμένως ἐπ’ αὐτὴν δευτέρα μὲν διάμετρος ἢ ΡΣΤ , τυχοῦσα δὲ ἢ ΓΦ , καὶ γενέσθω , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς ΘΡΗ τομῆς πρὸς τὸ
Lemmas: ἔκκειμαι τρίγωνος σκαληρὸν ὁ ΑΒΓ ἐπί ὁ ΒΓ 5 βάσις δίχα τέμνω κατά ὁ Α , καί μείζων ἵστημι ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ , καί πρός ὁ ΓΑ εὐθύς καί ὁ Α σημεῖον συνίστημι γωνία ἢ ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΕ ἤτοι μείζων εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἢ μικρός , καί συμπίπτω ὁ ΑΕ ὁ ΒΓΕ κατά ὁ Ε , καί ὁ ΒΕ , ΕΓ μέσος 10 ἀνάλογος ἵστημι ὁ ΕΖ , καί ἐπεξεύχομαι ὁ αζʹ , καί ὁ ΑΕ παράλληλος ἐν ὁ τρίγωνος διάγω ὁ τίθημι , καί διά ὁ Θ , ὁ σημεῖον ὁ αζʹ παράλληλος ἄγω ὁ ΘΚ , ΑΗΜ , καί συμπληρόω ὁ ΚΜ παραλληλόγραμμος , καί διά ὁ ΒΕ ἄγω ἐπίπεδος πρός 15 ὀρθός ὁ ΒΑΕ ἐπίπεδος γράφω ἐν ὁ ἄγω περί μέν ὁ ΚΛ διάμετρος ὁ ΚΝΛ κύκλος βάσις εἰμί κύλινδρος , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΚΜ , περί δέ ὁ ΒΓ διάμετρος ὁ ΒΞΓ κύκλος βάσις εἰμί κῶνος , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος 20 εἰμί ὁ ΑΒΓ , καί ὁ τίθημι ἐκβάλλω ἐπί ὁ ὁ ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΒΕ ὁ ΟΠ ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί , καί ἄγω διά ὁ ΟΠ , ΟΘ εὐθύς ἐπίπεδος · ποιέω δή τομή ἐν ὁ κῶνος ὁ ἐπί ὁ ΒΞΓ βάσις . ποιέω ὁ Θρής · ἢ τίθημι ἄρα εὐθύς διάμετρος 25 εἰμί ὁ τομή . ὁ οὖν τίθημι δίχα τέμνω κατά ὁ Σ κατάγω τεταγμένως ἐπί αὐτός δύο μέν διάμετρος ἢ ΡΣΤ , τυγχάνω δέ ἢ ΓΦ , καί γίγνομαι , ὡς ὁ ἀπό ὁ τίθημι διάμετρος ὁ Θρής τομή πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0087.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0087.2
ἀπὸ τῆς PT δευτέρας διαμέτρου τῆς αὐτῆς τομῆς , οὕτως ἡ ΘH πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ΘX ὀρθίαν .
Lemmas: ἀπό ὁ PT δύο διάμετρος ὁ αὐτός τομή , οὕτως ὁ ΘH πλάγιος ὁ εἶδος πλευρόν πρός ὁ ΘX ὄρθιος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0087.3
ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΘK τῇ AZ παράλληλός ἐστιν , ἡ δὲ ΘO τῇ AE , ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AE πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EZ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘO πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς KO . ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς AE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BE , EG , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘH διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς PT δευτέρας διαμέτρου τῆς αὐτῆς τομῆς , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΘO πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς OK , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς KA , τούτεστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς · HΘ διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ὡς ἐδείχθη πρότερον · ἡ ἄρα δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ἴση ἐστὶ τῇ PT δευτέρᾳ διαμέτρῳ τῆς τοῦ κώνου τομῆς . καὶ ἐστιν ἡ διχοτομία τῆς ΘH κατὰ τὸ Σ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄγεται τῇ ΘH δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ὥσπερ καὶ ἡ PT · ἡ ἄρα PT δευτέρα διάμετρος ἐστὶ τῆς τε τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς . ὁμοίως δὲ ἡ ΘH διάμετρος ἐστὶ τῆς τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς · τὸ P ἄρα σημεῖον ἐπὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας ἐστίν . πάλιν ἐπεὶ ἐν ταῖς τομαῖς τοῦ τε κώνου καὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ αὐταὶ εἰσὶ διάμετροι ἡ τε ΘH καὶ ἡ PT , καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἀνάλογον ἡ αὐτή , τούτ -
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ μέν ΘK ὁ AZ παράλληλος εἰμί , ὁ δέ ΘO ὁ AE , ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ AE πρός ὁ ἀπό ὁ EZ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΘO πρός ὁ ἀπό ὁ KO . ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ AE πρός ὁ ὑπό ὁ BE , EG , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΘH διάμετρος ὁ ὁ κῶνος τομή πρός ὁ ἀπό ὁ PT δύο διάμετρος ὁ αὐτός τομή , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΘO πρός ὁ ἀπό ὁ OK , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΘH πρός ὁ ἀπό ὁ KA , τουτέστιν οὕτως ὁ ἀπό ὁ · HΘ διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος τομή πρός ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος τομή , ὡς δείκνυμι πρότερος · ὁ ἄρα δύο διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος τομή ἴσος εἰμί ὁ PT δύο διάμετρος ὁ ὁ κῶνος τομή . καί εἰμί ὁ διχοτομία ὁ ΘH κατά ὁ Σ , καί πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΘH δύο διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος τομή , ὥσπερ καί ὁ PT · ὁ ἄρα PT δύο διάμετρος εἰμί ὁ τε ὁ κῶνος καί ὁ ὁ κύλινδρος τομή . ὁμοίως δέ ὁ ΘH διάμετρος εἰμί ὁ ὁ κῶνος καί ὁ ὁ κύλινδρος τομή · ὁ P ἄρα σημεῖον ἐπί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια καί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια εἰμί . πάλιν ἐπεί ἐν ὁ τομή ὁ τε κῶνος καί ὁ κύλινδρος ὁ αὐτός εἰμί διάμετρος ὁ τε ΘH καί ὁ PT , καί ὁ τρίτος ἄρα ἀνάλογος ὁ αὐτός , οὗτος -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0087.4
2 . ΘH ] HΘ p . 6 . KO ] OK p . 11 . πρὸς τὸ — 12 . HΘ ] om . p . 14 . τῆς — τομῆς ] om . p . 19 . ἡ ( alt . ) ] bis p . 21 . τῆς τοῦ ] τῆς τε τοῦ p . 22 . P ἄρα ] ἄρα P p . ἐπὶ ] καὶ ἐπὶ p . 26 . αὐτή ] αὐτὴ ἐστι p .
Lemmas: 2 . ΘH ] HΘ p . 6 . KO ] OK p . 11 . πρός ὁ — 12 . HΘ ] om . p . 14 . ὁ — τομή ] om . p . 19 . ὁ ( alt . ) ] bis p . 21 . ὁ ὁ ] ὁ τε ὁ p . 22 . P ἄρα ] ἄρα P p . ἐπί ] καί ἐπί p . 26 . αὐτός ] αὐτός εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0089.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0089.2
ἐστὶν ἡ ΘΧ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά · ἢ ἄρα ΘΧ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ὀρθία ἐστὶ τοῦ εἴδους πλευρά . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΧ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ , ΦΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΦΤ , ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ὡς ἡ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης ἐπ’ αὐτὴν τεταγμένως καὶ ποιούσης τὰ τμήματα , καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἄρα τομῆς , ὡς ἡ ΘΗ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ΘΧ ὀρθίαν , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ , ΘΦ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ΤΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΘΗ . ἀλλ’ ἡ ἴση τῇ ΤΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ’ αὐτὴν ἀγομένη κατὰ τὸ Φ οὐχ ἑτέρα ἐστὶ τῆς ΤΦ . ἢ ἄρα ΦΤ καὶ ἐν τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶ τομή · τὸ ἄρα Τ σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ὡν καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἐπιφανείας . ὁμοίως δὲ δείκνυται , κἂν ὁσασοῦν ὁμοίως τεταγμένως ἀγράψωμεν . ἡ ΘΡΗ ἄρα γραμμὴ ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ἐστὶν ἀμφοτέρων τῶν σχημάτων · ἡ ΘΡΗ ἄρα τομὴ μία καὶ ἡ αὐτὴ ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶ τοῖς σχήμασι . καὶ ἐπεὶ κατεσκευάσθη ἡ ὑπὸ ΓΑ , ΑΕ γωνία , τούτεστιν ἡ ὑπὸ ΑΗ , ΗΘ , ἤτοι μεῖζων ἢ ἐλάττων οὖσα τῆς πρὸς τῷ Β , ἡ ἄρα τομὴ οὐκ ἐστὶν ὑπεναντία · ἡ ΘΡΗ ἄρα τομὴ οὐκ ἐστὶ κύκλος · ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΡΗ . καὶ τοῦ κώνου ἄρα τοῦ ἐκκειμένου καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ τομὴ αὕτη ἔλλειψίς ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί ὁ ΘΧ ὄρθιος ὁ εἶδος πλευρά · ἢ ἄρα ΘΧ καί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος τομή ὄρθιος εἰμί ὁ εἶδος πλευρά . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ τίθημι πρός ὁ ΘΧ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΗΦ , ΦΘ πρός ὁ ἀπό ὁ ΦΤ , δείκνυμι δέ καί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος τομή , ὡς ὁ πλάγιος ὁ εἶδος πλευρόν πρός ὁ ὄρθιος , οὕτως ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ κατάγω ἐπί αὐτός τεταγμένως καί ποιέω ὁ τμῆμα , καί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἄρα τομή , ὡς ὁ τίθημι πλάγιος ὁ εἶδος πλευρόν πρός ὁ ΘΧ ὄρθιος , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΗΦ , ΘΦ πρός ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ ΤΦ καί πρός ἴσος γωνία ἄγω ἐπί ὁ τίθημι . ἀλλά ὁ ἴσος ὁ ΤΦ καί πρός ἴσος γωνία ἐπί αὐτός ἄγω κατά ὁ Φ οὐ ἕτερος εἰμί ὁ ΤΦ . ἢ ἄρα ΦΤ καί ἐν ὁ ὁ κύλινδρος εἰμί τομή · ὁ ἄρα Τ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ὡς καί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος εἰμί ἐπιφάνεια . ὁμοίως δέ δείκνυμι , κἀν ὁσασοῦν ὁμοίως τεταγμένως ἀγράψωμεν . ὁ Θρής ἄρα γραμμή ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ἀμφότερος ὁ σχῆμα · ὁ Θρής ἄρα τομή εἷς καί ὁ αὐτός ἐν ἀμφότερος εἰμί ὁ σχῆμα . καί ἐπεί κατασκευάζω ὁ ὑπό ΓΑ , ΑΕ γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΗ , ΗΘ , ἤτοι μείζων ἢ μικρός εἰμί ὁ πρός ὁ Β , ὁ ἄρα τομή οὐ εἰμί ὑπεναντίος · ὁ Θρής ἄρα τομή οὐ εἰμί κύκλος · ἔλλειψις ἄρα εἰμί ὁ Θρής . καί ὁ κῶνος ἄρα ὁ ἔκκειμαι καί ὁ κύλινδρος ὁ τομή οὗτος ἔλλειψις εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.2
κα´ .
Lemmas: κα´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.3
Κώνου δοθέντος καὶ ἔλλειψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν κύλινδρον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἔλλειψει τοῦ κώνου .
Lemmas: Κώνου δίδωμι καί ἔλλειψις ἐν αὐτός εὑρίσκω κύλινδρος τέμνω ὁ αὐτός ἔλλειψις ὁ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.4
ἔστω ὁ δοθεὶς κώνος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ABΓ , ἡ δὲ δοθεῖσα ἐν αὐτῷ ἔλλειψις , ἧς διάμετρος ἡ ZE , ἥτις ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ A , καὶ παρἄλληλος τῇ ZA ἡ AM , καὶ τῶν BM , MΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ MH , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AH , καὶ διὰ τῶν Z καὶ E σημείων τῇ AH παράλληλοι ἠχθώσων αἱ ZΘ , KEA , καὶ συμπληρωσθῶ τὸ ΘA παραλληλόγραμμον . ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΘK κύκλος , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΘA , ἔσται καὶ ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομή , ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ ZE . ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δεῖχθήσεται καὶ ἡ δευτέρα διάμετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι αἱ τεταγμένας ἀγόμεναι . εὑρεται ἄρα κύλινδρος , ὃς τέμνεται τῇ δοθείσῃ ἔλλειψει τοῦ δοθέντος κώνου · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἵστημι ὁ δίδωμι κώνος , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ABΓ , ὁ δέ δίδωμι ἐν αὐτός ἔλλειψις , ὅς διάμετρος ὁ ZE , ὅστις ἐκβάλλω ἐπί ὁ A , καί παράλληλος ὁ ZA ὁ AM , καί ὁ BM , MΓ μέσος ἀνάλογος ἵστημι ὁ MH , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AH , καί διά ὁ Z καί E σημεῖον ὁ AH παράλληλος ἄχθομαι ὁ ZΘ , KEA , καί συμπληρόω ὁ ΘA παραλληλόγραμμος . ἐάν δή νοέω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΘK κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΘA , εἰμί καί ἐν ὁ κύλινδρος τομή , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ZE . ὁμοίως δή ὁ πρό οὗτος θεώρημα δείκνυμι καί ὁ δύο διάμετρος ὁ αὐτός εἰμί καί πᾶς ὁ τάσσω ἄγω . εὑρετής ἄρα κύλινδρος , ὅς τέμνω ὁ δίδωμι ἔλλειψις ὁ δίδωμι κῶνος · ὅσπερ ἐσθίω ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.5
κβ´ .
Lemmas: κβ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0091.6
Κυλίνδρου δοθέντος καὶ ἔλλειψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν κώνον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἔλλειψει τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: Κυλίνδρου δίδωμι καί ἔλλειψις ἐν αὐτός εὑρίσκω κώνος τέμνω ὁ αὐτός ἔλλειψις ὁ κύλινδρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0093.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0093.2
ἐκκεισθω ἐξωθεν εὐθεῖα τις ἡ AB καὶ τυχὸν σημείου ἐπ' αὐτῆς τὸ A , καὶ γενέσθω , ὡς μὲν ἡ AB πρὸς τὴν BA , οὕτως ἡ AB πρὸς τὴν BG , ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν BG , οὕτως ἡ AA πρὸς τὴν EA , καὶ ἀπὸ μὲν τῶν E , A , Γ σημείων τῇ AB εὐθεῖα πρὸς οἵανδήποτε γωνίαν ἐφεστάτωσαν εὐθεῖαι παράλληλοι ἀλλήλαις αἱ EZ , AH , GΘ , διὰ δὲ τοῦ Γ ἤχθω τις εὐθεῖα τέμνουσα τὰς EZ , AH ἢ GK , καὶ ἐπιευχθεῖσα ἡ AK συμπίπτέτω τῇ AH κατὰ τὸ H , καὶ ἐπεξεύχθω ἡ HB .
Lemmas: ἐκχέω ἐξωθεν εὐθύς τις ὁ AB καί τυγχάνω σημεῖον ἐπί αὐτός ὁ A , καί γίγνομαι , ὡς μέν ὁ AB πρός ὁ BA , οὕτως ὁ AB πρός ὁ BG , ὡς δέ ὁ AB πρός ὁ BG , οὕτως ὁ AA πρός ὁ EA , καί ἀπό μέν ὁ E , A , Γ σημεῖον ὁ AB εὐθύς πρός οἵανδήποτε γωνία ἐφεστάω εὐθύς παράλληλος ἀλλήλων ὁ EZ , AH , GΘ , διά δέ ὁ Γ ἄγω τις εὐθύς τέμνω ὁ EZ , AH ἢ GK , καί ἐπιχέω ὁ AK συμπίπτω ὁ AH κατά ὁ H , καί ἐπεξεύχομαι ὁ HB .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0093.3
τούτων οὕτως ἰδίᾳ κατασκευασθέντων ἔστω ὁ δοθεὶς κύλινδρος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ AM , τῆς δὲ δοθείσης ἐν αὐτῷ ἐλλείψεως διάμετρος ἔστω ἡ NE , καὶ τεμνησθω ἡ AE βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ὁμοίως τῇ EG , ἵν' ἢ , ὡς ἡ EA πρὸς τὴν AG , οὕτως ἡ AO πρὸς τὴν OE . ἐπὶ γενέσθω , ὡς μὲν ἡ EG πρὸς τὴν GB , οὕτως ἡ AE πρὸς τὴν EP , ὡς δὲ ἡ GE πρὸς τὴν EA , οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν AP , καὶ διὰ τοῦ O ἤχθω παράλληλος ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς ἡ OS , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ PN συμπίπτέτω τῇ OS κατὰ τὸ Σ , καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΣΠ , ΣΞ .
Lemmas: οὗτος οὕτως ἴδιος κατασκευάζω ἵστημι ὁ δίδωμι κύλινδρος , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ AM , ὁ δέ δίδωμι ἐν αὐτός ἔλλειψις διάμετρος ἵστημι ὁ NE , καί τέμνω ὁ AE βάσις ὁ παραλληλόγραμμος ὁμοίως ὁ EG , ἵνα ἢ , ὡς ὁ EA πρός ὁ AG , οὕτως ὁ AO πρός ὁ OE . ἐπί γίγνομαι , ὡς μέν ὁ EG πρός ὁ GB , οὕτως ὁ AE πρός ὁ EP , ὡς δέ ὁ GE πρός ὁ EA , οὕτως ὁ EA πρός ὁ AP , καί διά ὁ O ἄγω παράλληλος ὁ ὁ παραλληλόγραμμος πλευρά ὁ OS , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ PN συμπίπτω ὁ OS κατά ὁ Σ , καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΣΠ , ΣΞ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0093.4
ἐπεὶ οὖν ἡ PΠ εὐθεῖα ὁμοίως τῇ AB τέτμηται , ἐστιν ἄρα καὶ , ὡς μὲν ἡ PΠ πρὸς τὴn ΠO , οὕτως ἡ OP πρὸς τὴν ΠΞ , ὡς δὲ ἡ PΠ πρὸς τὴν ΠΞ , οὕτως ἡ PO πρὸς τὴν OA , τοιούστιν ἡ PΞ οὕτως πρὸς τὴν ΣN · παράλληλος ἄρα τῇ NΞ ἡ ΣΠ . ἐὰν δὴ νοήσω -
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ PΠ εὐθύς ὁμοίως ὁ AB τέμνω , εἰμί ἄρα καί , ὡς μέν ὁ PΠ πρός ὅς ΠO , οὕτως ὁ OP πρός ὁ ΠΞ , ὡς δέ ὁ PΠ πρός ὁ ΠΞ , οὕτως ὁ PO πρός ὁ OA , τοιουειμι ὁ PΞ οὕτως πρός ὁ ΣN · παράλληλος ἄρα ὁ NΞ ὁ ΣΠ . ἐάν δή νοέω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0095.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0095.2
μεν κώνον , οὐ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν PΞ κύκλος , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΣPΞ , ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ τομή , ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ NΞ . ὁμοίως δὲ τοῖς προοδειγμένοις δεῖχθήσεται καὶ ἡ δευτέρα διά - 5 μετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι αἱ τεταγμένως ἀγόμεναι . τέτμηται ἄρα καὶ ὁ κώνος τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ δοθέντος κυλίνδρου · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: μέν κώνος , οὖον βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ PΞ κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΣPΞ , εἰμί καί ἐν ὁ κῶνος τομή , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ NΞ . ὁμοίως δέ ὁ προδείκνυμι δείκνυμι καί ὁ δύο διά - 5 μέτρος ὁ αὐτός εἰμί καί πᾶς ὁ τεταγμένως ἄγω . τέμνω ἄρα καί ὁ κώνος ὁ αὐτός ἔλλειψις ὁ δίδωμι κύλινδρος · ὅσπερ ἐσθίω ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0095.3
κγʹ
Lemmas: κγʹ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0095.4
Κώνου δοθέντος εὑρεῖν κύλινδρον καὶ τεμεῖν ἄμ - 10 φοτέρους ἐνὶ ἐπιπέδῳ διὰ τῆς τομῆς ποιοῦντι ἐν ἑκατέρῳ ὁμοίας ἐλλείψεις .
Lemmas: Κώνου δίδωμι εὑρίσκω κύλινδρος καί τέμνω ἀνά - 10 φωτερός ἐν ἐπίπεδος διά ὁ τομή ποιέω ἐν ἑκάτερος ὅμοιος ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0095.5
δεδόσθω κώνος , οὐ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ A κέντρον κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ B σημεῖον , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΓBA πρὸς ὀρθὰς ὄν τῇ βάσει τοῦ κώνου , 15 καὶ ἐκβελησθῶ ἐφʼ ἑκάτερα ἡ AGE , AΔZ , καὶ πρὸς τὴν AB καὶ τῷ πρὸς αὐτὴ σημείῳ τῷ B συνεστάτω ἡ ὑπὸ τῶν AB , BZ γωνία ἢτοι μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ BΓA ἢ ἐλάσσων , καὶ τῶν ΓZ , ZA μέσῃ ἀνάλογον εἰληφθῶ ἡ ZH , καὶ ἐπεξεύχθω ἡ BH , τοῦ δὲ ζητου - 20 μένου κυλίνδρου βάσις ἔστω ἢτοι ὁ A κύκλος ἢ καὶ ἄλλος τις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ A κύκλῳ · οὐδὲν γὰρ διοίσει . ἔστω δὴ ὁ περὶ τὴν EΘ διάμετρον , καὶ διὰ τῶν E , Θ σημείων παράλληλοι τῇ BH εὐθείᾳ ἡχθῶσαν αἱ EK , ΘA · ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ
Lemmas: δίδωμι κώνος , οὖον βάσις μέν ὁ περί ὁ A κέντρον κύκλος , κορυφή δέ ὁ B σημεῖον , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΓBA πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις ὁ κῶνος , 15 καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ AGE , AΔZ , καί πρός ὁ AB καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ B συνίστημι ὁ ὑπό ὁ AB , BZ γωνία ἤτοι μείζων εἰμί ὁ ὑπό BΓA ἢ μικρός , καί ὁ ΓZ , ZA μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὁ ZH , καί ἐπεξεύχομαι ὁ BH , ὁ δέ ζητέω - 20 μένω κύλινδρος βάσις ἵστημι ἤτοι ὁ A κύκλος ἢ καί ἄλλος τις ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ A κύκλος · οὐδείς γάρ διαφέρω . ἵστημι δή ὁ περί ὁ EΘ διάμετρος , καί διά ὁ E , Θ σημεῖον παράλληλος ὁ BH εὐθύς ἄγω ὁ EK , ΘA · ἐν ὁ αὐτός ἄρα εἰμί ἐπίπεδος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0097.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0097.2
ΓΒΑ τριγώνω . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τέμνει τὴν ΒΗ , ἡ ΒΖ ἄρα ἐκβαλλομένη πάσας τὰς τῇ ΒΗ παραλλήλους ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένας τέμνει · καὶ αἱ παράλληλοι οὖν τῇ ΒΖ τὰς τῇ ΒΗ παραλλήλους τέμνουσιν . ἔχθω δὲ τῇ ΒΖ παράλληλος ἡ ΜΝ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὰς ΘΑ , ΕΚ κατὰ τὰ Ξ , Ο σημεῖα , καὶ τῇ ΕΘ παράλληλος ἔχθω ἡ ΚΑ καὶ περὶ τὴν ΚΑ διάμετρον κύκλος παράλληλος τῷ περὶ τὴν ΕΘ · νοηθήσεται δὲ κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ ΕΘ , ΚΑ κύκλοι , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΚΘ , δηλονότι καὶ αὐτὸ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει . καὶ ἐὰν διὰ τοῦ Μ τῇ ΓΑΖ βάσει πρὸς ὀρθὰς ἀγάγωμεν τὴν ΜΠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαν τῷ Α κύκλῳ καὶ διὰ τῶν ΜΠ , ΜΟ διεκβάλωμεν ἐπίπεδον , ποιήσει ἐν μὲν τῷ κώνῳ τὴν ΝΣΤ ἔλλειψιν , ἐν δὲ τῷ κυλίνδρῳ τὴν ΟΦΞ , διάμετροι δὲ τῆς μὲν ἡ ΝΤ , τῆς δὲ ἡ ΟΞ . λέγω δή , ὅτι ἡ ΝΣΤ ἔλλειψις τῇ ΟΦΞ ἔλλειψει ὁμοία ἐστίν .
Lemmas: ΓΒΑ τρίγωνος . καί ἐπεί ὁ ΒΖ τέμνω ὁ ΒΗ , ὁ ΒΖ ἄρα ἐκβάλλω πᾶς ὁ ὁ ΒΗ παράλληλος ἐπί ἤπειρος ἐκβάλλω τέμνω · καί ὁ παράλληλος οὖν ὁ ΒΖ ὁ ὁ ΒΗ παράλληλος τέμνω . ἔχθω δέ ὁ ΒΖ παράλληλος ὁ ΜΝ καί ἐκβάλλω τέμνω ὁ ΘΑ , ΕΚ κατά ὁ Ξ , ὁ σημεῖον , καί ὁ ΕΘ παράλληλος ἔχθω ὁ ΚΑ καί περί ὁ ΚΑ διάμετρος κύκλος παράλληλος ὁ περί ὁ ΕΘ · νοέω δέ κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΕΘ , ΚΑ κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΚΘ , δηλονότι καί αὐτός πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις . καί ἐάν διά ὁ Μ ὁ ΓΑΖ βάσις πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΜΠ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ Α κύκλος καί διά ὁ ΜΠ , ΜΟ διεκβάλλω ἐπίπεδος , ποιέω ἐν μέν ὁ κῶνος ὁ ΝΣΤ ἔλλειψις , ἐν δέ ὁ κύλινδρος ὁ Ξ , διάμετρος δέ ὁ μέν ὁ ΝΤ , ὁ δέ ὁ ΟΞ . λέγω δή , ὅτι ὁ ΝΣΤ ἔλλειψις ὁ Ξ ἔλλειψις ὅμοιος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0097.3
ἐπεὶ γὰρ αἱ ΟΜ , ΒΖ παράλληλοι εἰσιν ἀλλήλαις , ἀλλὰ καὶ αἱ ΕΚ , ΘΑ , ΒΗ παράλληλοι ἀλλήλαις , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ τέμνει , ἐστὶν ἄρα , ὡς ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΕ , τοιούτως ὡς ἡ ΟΞ πρὸς τὴν ΘΕ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΗ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ , τοιούτως πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ . ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου , φέρε τῆς ΦΨ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΝΤ διαμέτρου
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ΟΜ , ΒΖ παράλληλος εἰμί ἀλλήλων , ἀλλά καί ὁ ΕΚ , ΘΑ , ΒΗ παράλληλος ἀλλήλων , κοινός δέ ὁ ΕΖ τέμνω , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΟΜ πρός ὁ ΜΕ , τοιοῦτος ὡς ὁ ΟΞ πρός ὁ ΘΕ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΖΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΟΞ πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΖ πρός ὁ ἀπό ΖΗ , τοιοῦτος πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , Γῆ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΟΞ διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΟΞ διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος , φέρω ὁ ΦΨ , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , Γῆ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΝΤ διάμετρος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.2
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου , φέρε τῆς ΣΩ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΟΞ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΦΨ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΝΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΣΩ . καὶ ὡς ἡ ΟΞ ἄρα πρὸς τὴν ΦΨ συζυγῆ διάμετρον , οὕτως καὶ ἡ ΝΤ πρὸς τὴν ΣΩ συζυγὴ διάμετρον . ὅτι δὲ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνουσιν ἡ τε ΟΞ τὴν ΦΨ καὶ ἡ ΝΤ τὴν ΣΩ , δῆλον · τὰς γὰρ ΨΦ , ΩΣ παραλλήλους οὔσας ἀλλήλαις τε καὶ τῇ ΜΡ ἢ ΜΟ τέμνει . ἡ ἄρα ΟΦΞ τομῇ τῇ ΝΣΤ τομῇ ὁμοία ἐστί . καὶ οὐκ ἔστι κύκλος οὐδετέρα αὐτῶν διὰ τὸ μὴ ὀπεναντίαν εἶναι τὴν τομὴν τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΖ γωνίας , τοιούστει τῆς ὑπὸ τῶν ΒΤ , ΤΝ , ἄνισον οὔσης τῇ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΓΔ . ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΟΦΞ , ΝΤΣ τομῶν , καὶ εἰσὶν ὁμοιαι ἀλλήλαις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος , φέρω ὁ ΣΩ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΟΞ πρός ὁ ἀπό ὁ ΦΨ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΝΤ πρός ὁ ἀπό ὁ ΣΩ . καί ὡς ὁ ΟΞ ἄρα πρός ὁ ΦΨ συζυγής διάμετρος , οὕτως καί ὁ ΝΤ πρός ὁ ΣΩ συζυγή διάμετρος . ὅτι δέ καί πρός ἴσος γωνία τέμνω ὁ τε ΟΞ ὁ ΦΨ καί ὁ ΝΤ ὁ ΣΩ , δῆλος · ὁ γάρ ΨΦ , ως παράλληλος εἰμί ἀλλήλων τε καί ὁ ΜΡ ἢ ΜΟ τέμνω . ὁ ἄρα Ξ τομή ὁ ΝΣΤ τομή ὅμοιος εἰμί . καί οὐ εἰμί κύκλος οὐδέτερος αὐτός διά ὁ μή ὀπεναντίαν εἰμί ὁ τομή ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΖ γωνία , τοιούστει ὁ ὑπό ὁ ΒΤ , ΤΝ , ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΓΔ . ἔλλειψις ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Ξ , ΝΤΣ τομή , καί εἰμί ὅμοιος ἀλλήλων · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.3
15 κδ´ .
Lemmas: 15 κδ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.4
Κυλίνδρου δοθέντος εὑρεῖν κῶνον καὶ τεμεῖν ἀμφοτέρους ἐνὶ ἐπιπέδῳ ποιούντι διὰ τῆς τομῆς ἐν ἑκατέρῳ ὁμοίας ἔλλειψεις .
Lemmas: Κυλίνδρου δίδωμι εὑρίσκω κῶνος καί τέμνω ἀμφότερος ἐν ἐπίπεδος ποιέω διά ὁ τομή ἐν ἑκάτερος ὅμοιος ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.5
δεδόσθω κύλινδρος , οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει , καὶ ἐκβελησθῶ ἡ ΒΑ , τοῦ δὲ ζητουμένου κῶνου βάσις ἔστω ἤτοι ὁ Α κύκλος ἢ καὶ ἄλλος τις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ Α , οἷον περὶ τὴν ΕΖ διάμετρον , ἐφ´ ἧς κέντρον τὸ Α , καὶ ληφθέντος σημείου τυχόντος ἐπὶ τῆς ΖΗ τοῦ Η εἰληφθῶ
Lemmas: δίδωμι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ Α κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΒΓ πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΑ , ὁ δέ ζητέω κῶνος βάσις ἵστημι ἤτοι ὁ Α κύκλος ἢ καί ἄλλος τις ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ Α , οἷος περί ὁ ΕΖ διάμετρος , ἐφίημι ὅς κέντρον ὁ Α , καί λαμβάνω σημεῖον τυγχάνω ἐπί ὁ ΖΗ ὁ ὁ λαμβάνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0099.6
1 . φέρε ] om . p . 2 . ΟΞ ] νρ , ωξ V , ωξ c . ΦΨ ] ΦΧ p . 4 . ΦΨ ] ΧΦ p . οὕτως καί ] om . p . 6 . ΦΨ ] ΦΧ p . 7 . ΨΦ , ΩΣ ] ΦΧ , ΣΩ p . 8 . ΜΟ ] ΟΜ p . 11 . τῶν ΑΒ , ΒΖ ] ΑΒΖ p . τῶν ΒΤ , ΤΝ ] ΒΤΝ p . 12 . τῶν ΒΓ , ΓΔ ] ΒΓΔ p . 13 . ΝΤΣ ] ΝΣΤ p . 14 . ὅπερ ἔδει δεῖξαι ] om . p .
Lemmas: 1 . φέρω ] om . p . 2 . ΟΞ ] νρ , οἴγω V , οἴγω c . ΦΨ ] ΦΧ p . 4 . ΦΨ ] ΧΦ p . οὕτως καί ] om . p . 6 . ΦΨ ] ΦΧ p . 7 . ΨΦ , ως ] ΦΧ , ΣΩ p . 8 . ΜΟ ] ΟΜ p . 11 . ὁ ΑΒ , ΒΖ ] ΑΒΖ p . ὁ ΒΤ , ΤΝ ] ΒΤΝ p . 12 . ὁ ΒΓ , ΓΔ ] ΒΓΔ p . 13 . ΝΤΣ ] ΝΣΤ p . 14 . ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.10
ἔσται ἡ τομὴ ὁμοία ἐν ἑκατέρῳ , δεξιὰς δὲ ἡ αὐτὴ τῷ
Lemmas: εἰμί ὁ τομή ὅμοιος ἐν ἑκάτερος , δεξιά δέ ὁ αὐτός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.11
πρὸ τούτου . ὅτι δὲ καὶ ἐλλείψεις αἱ τομαὶ καὶ οὐχὶ
Lemmas: πρό οὗτος . ὅτι δέ καί ἔλλειψις ὁ τομή καί οὐ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.12
κύκλοι , δῆλον · τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΜΗ ἢτοι μείζον κατεσκευάσθη
Lemmas: κύκλος , δῆλος · ὁ γάρ ἀπό ὁ μη ἤτοι μείζων κατασκευάζω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.13
ἢ ἐλάττον τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ , τούτῃστι τοῦ
Lemmas: ἢ ἐλάσσων ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , τοῦτος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.14
ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΖ .
Lemmas: ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΖ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.15
κε'
Lemmas: κύ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.16
Ἔστω εὐθεῖα ἢ ΑΒ τετμημένη κατὰ τὸ Γ καὶ Δ ,
Lemmas: ἔστω εὐθύς ἢ ΑΒ τέμνω κατά ὁ Γ καί δ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.17
ἢ δὲ ΑΓ τῆς ΔΒ μὴ ἔστω μείζων . λέγω δή , ὅτι , ἐὰν
Lemmas: ἢ δέ ΑΓ ὁ ΔΒ μή ἵστημι μείζων . λέγω δή , ὅτι , ἐάν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.18
τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ ἴσον χωρίον παρὰ τὴν ΑΓ
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ἴσος χωρίον παρά ὁ ΑΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.19
παραβάλω ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , ἢ πλευρὰ τοῦ
Lemmas: παραβάλλω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , ἢ πλευρόν ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.2
τῶν ΕΗ , ΗΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΘΗ , καὶ κέντρῳ τῷ
Lemmas: ὁ ΕΗ , ΗΖ μέσος ἀνάλογος ὁ τίθημι , καί κέντρον ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.20
ὑπερβλήματος μείζων μὲν ἔσται τῆς ΓΔ , ἐλάττων δὲ
Lemmas: ὑπέρβλημα μείζων μέν εἰμί ὁ ΓΔ , μικρός δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.21
τῆς ΓΒ .
Lemmas: ὁ ΓΒ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.22
εἰ γὰρ δυνατόν , ὑποκείσθω πρῶτον ἢ ΓΔ πλευρὰ
Lemmas: εἰμί γάρ δυνατός , ὑπόκειμαι πρῶτος ἢ ΓΔ πλευρόν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.23
εἶναι τοῦ ὑπερβλήματος . ἐπεὶ οὖν τὸ παρὰ τὴν ΑΓ
Lemmas: εἰμί ὁ ὑπέρβλημα . ἐπεί οὖν ὁ παρά ὁ ΑΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.24
παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ
Lemmas: παραβάλλω ὑπερβάλλω ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.25
ταὐτὸν ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ , ἐστὶ δὲ τὸ παρὰ τὴν
Lemmas: αὐτός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ , εἰμί δέ ὁ παρά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.28
τοῦ ΒΓ p . 5 . ΜΕ ] ΜΕ , ΜΘ Vcp ; corr . Comm . 8 . διαγάγωμεν ]
Lemmas: ὁ ΒΓ p . 5 . ΜΕ ] ΜΕ , ΜΘ Vcp ; corr . Comm . 8 . διάγω ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.29
διάγωμεν c ? 10 . τοῦτον ] τοῦ τοῦτον V . 14 . κε' ]
Lemmas: διάγω c ? 10 . οὗτος ] ὁ οὗτος V . 14 . κύ ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.3
Η , διαστήματι δὲ ἢτοι μείζονι ἢ ἐλάττονι τοῦ ΗΘ
Lemmas: ὁ , διάστημα δέ ἤτοι μείζων ἢ μικρός ὁ ΗΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.30
om . V . 15 . Ante ἔστω add . ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ κατὰ
Lemmas: om . V . 15 . Ante ἵστημι add . ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω κατά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.31
δύο σημεία , τὸ δὲ πρὸς τῷ ἐνὶ πέρατι τῆς εὐθείας τμῆμα μὴ
Lemmas: δύο σημεῖον , ὁ δέ πρός ὁ ἐν πέρας ὁ εὐθύς τμῆμα μή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.32
μείζον ἢ τοῦ πρὸς τῷ λοιπῷ πέρατι τμήματος , τῷ δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου
Lemmas: μείζων ἢ ὁ πρός ὁ λοιπός πέρας τμῆμα , ὁ δέ ἀπό συναμφότεροι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.33
τοῦ τε μέσου τμήματος καὶ τοῦ λοιποῦ τετραγώνῳ
Lemmas: ὁ τε μέσος τμῆμα καί ὁ λοιπός τετράγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.4
γεγράφθω ἐν τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ περιφέρεια κύκλου ἢ
Lemmas: γράφω ἐν ὁ ΒΓ ἐπίπεδος περιφέρεια κύκλος ἢ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.5
ΚΑ , καὶ διὰ τοῦ Θ ταῖς πλευραῖς τοῦ ΒΓ παράλληλος
Lemmas: ΚΑ , καί διά ὁ Θ ὁ πλευρά ὁ ΒΓ παράλληλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.6
ἠχθῶ ἡ ΘΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ , ΜΖ , ΜΗ ,
Lemmas: ἄγω ὁ ΘΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΕ , ΜΖ , μη ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.7
καὶ τῇ ΜΗ παράλληλος ἠχθῶ τέμνουσα τὸ τρίγωνον
Lemmas: καί ὁ μη παράλληλος ἄγω τέμνω ὁ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.8
καὶ τὸ παραλληλόγραμμον ἢ ΝΞ . ἐὰν δὴ διὰ τῆς ΝΞ
Lemmas: καί ὁ παραλληλόγραμμος ἢ ΝΞ . ἐάν δή διά ὁ ΝΞ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0101.9
διαγάγωμεν ἐπίπεδον κατὰ τὸν ὑποδειχθέντα τρόπον ,
Lemmas: διάγω ἐπίπεδος κατά ὁ ὑποδείκνυμι τρόπος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0102.1
ἴσον παρὰ τὸ μὴ μεῖζον τμῆμα παραβληθῇ ὑπερβάλλον εἶδει
Lemmas: ἴσος παρά ὁ μή μείζων τμῆμα παραβάλλω ὑπερβάλλω εἶδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0102.2
τετραγώνῳ , ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μεῖζων μὲν ἔσται τοῦ
Lemmas: τετράγωνος , ὁ πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα μείζων μέν εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0102.3
μέσου τμήματος , ἐλάττων δὲ συναφωτέρου τοῦ τε μέσου καὶ τοῦ
Lemmas: μέσος τμῆμα , μικρός δέ συναφωτέρου ὁ τε μέσος καί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0102.4
πρὸς τῷ λοιπῷ πέρατι τμήματος p . 16 . δη ] om . p . ἐάν \
Lemmas: πρός ὁ λοιπός πέρας τμῆμα p . 16 . δη ] om . p . ἐάν \
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0102.5
cp , ἐὰν ἐν V . 18 . παραβάλω ] παραβληθῇ p .
Lemmas: cp , ἐάν ἐν V . 18 . παραβάλλω ] παραβάλλω p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.2
ΑΓ παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ οὐχ ἑλάττον · οὐ γὰρ ἑλάττων ἢ ΔΒ τῆς ΑΓ οὐδὲ ἢ ΓΒ τῆς ΑΔ · καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνου οὐκ ἐστὶν ἑλάττον · ὅπερ ἀδύνατον . τὸ δὲ αὐτὸ δεῖξθήσεται , εἰ καὶ ἑλάττων τῆς ΓΔ ὑποτεθεῖν γίνεσθαι ἢ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος .
Lemmas: ΑΓ παραβάλλω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ οὐ μικρός · οὖον γάρ μικρός ἢ ΔΒ ὁ ΑΓ οὐδέ ἢ ΓΒ ὁ ΑΔ · καί ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ τετράγωνος οὐ εἰμί μικρός · ὅσπερ ἀδύνατος . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι , εἰμί καί μικρός ὁ ΓΔ υποθέτω γίγνομαι ἢ πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.3
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος ἢ ΓΒ . ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ · ὅπερ ἀδύνατον . τὸ αὐτὸ δέ , εἰ καὶ μεῖζων τῆς ΓΒ ὑποτεθεῖν γίνεσθαι ἢ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος .
Lemmas: ἀλλά δή πάλιν ἵστημι πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα ἢ ΓΒ . εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος · ὅσπερ ἀδύνατος . ὁ αὐτός δέ , εἰμί καί μείζων ὁ ΓΒ υποθέτω γίγνομαι ἢ πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.4
ἢ ἄρα πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μεῖζων ἔσται τῆς ΓΔ , ἑλάττων δὲ τῆς ΓΒ .
Lemmas: ἢ ἄρα πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα μείζων εἰμί ὁ ΓΔ , μικρός δέ ὁ ΓΒ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.5
κ5 ′ .
Lemmas: κ5 ′ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.6
Κυλίνδρου δοθέντος τετμημένου ἑλλείψει κῶνον συστήσασθαι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα καὶ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τεμνόμενον καὶ ποιούντα ὁμοίαν ἑλλειψιν τῇ τοῦ κυλίνδρου ἑλλείψει .
Lemmas: Κυλίνδρου δίδωμι τέμνω ἔλλειψις κῶνος συνίστημι ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ κύλινδρος ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί καί ὁ αὐτός ἐπίπεδος τέμνω καί ποιέω ὅμοιος ἔλλειψις ὁ ὁ κύλινδρος ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0103.7
ἔστω ὁ δοθεὶς κύλινδρος , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΒΓ , ἐν ᾧ διάμετρος τῆς δοθείσης ἑλλείψεως ἢ ΕΔ , ἥτις ἐκβληθεῖσα συμπίπτει τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ζ , καὶ τῇ ΔΖ διὰ τοῦ Γ παράλληλος ἠχθῶ ἢ ΓΗ συμπίπτουσα τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Η , καὶ προσεκβεβλησθῶ ἢ ΖΔΘ εὐθεῖα .
Lemmas: ἵστημι ὁ δίδωμι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Α κέντρον κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΒΓ , ἐν ὅς διάμετρος ὁ δίδωμι ἔλλειψις ἢ ΕΔ , ὅστις ἐκβάλλω συμπίπτω ὁ ΒΑ κατά ὁ Ζ , καί ὁ ΔΖ διά ὁ Γ παράλληλος ἄγω ἢ ΓΗ συμπίπτω ὁ ΒΑ κατά ὁ ὁ , καί προσεκβάλλω ἢ ΖΔΘ εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0105.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0105.2
ἐπεὶ οὖν τοῦ ΘΗ παραλληλογράμμου ἡ ΖΗ πλευρὰ τῇ ΘΓ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΘΓ τῆς ΒΚ οὐκ ἐστὶν ἐλάττων , καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΒΚ οὐκ ἐστὶν ἐλάττων . ἐὰν ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον παραβάλλωμεν 5 παρὰ τὴν ΒΚ ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μειζὼν μὲν ἔσται τῆς ΚΖ , ἐλάττων δὲ τῆς ΚΗ διὰ τὸ προδειχθέν . ἔστω τοίνυν ἡ ΚΛ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος , καὶ διὰ τοῦ Α παράλληλος ἥχθω τῇ ΗΓ ἡ ΑΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ , ΜΚ , 10 καὶ νενοήσθω κώνος , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Μ σημεῖον , βάσις δὲ ὁ Α κύκλος , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον δηλουότι τὸ ΒΚΜ . ἐὰν δὴ νοήσωμεν καὶ τὸν κῶνον τετμημένον τῷ ἐπιπέδῳ , ᾧ οὗ γέγονεν ἡ ΕΔ διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ 15 τομή , ἧς διάμετρος ἡ ΝΞ . ἐπεὶ οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον παρὰ τὴν ΒΚ παραβέβληται ὑπερβάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ τετραγώνῳ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΛ , ΛΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον ἐστίν . ἐπεὶ οὖν αἱ ΛΒ , ΚΓ παράλληλοι ἀλλήλαις εἰσίν , ἀλλὰ καὶ 20 αἱ ΛΖ , ΜΛ , ΓΗ παράλληλοι εἰσιν ἀλλήλαις , ὡς ἄρα ἡ ΛΖ πρὸς ΖΒ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΚ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΗ , τουνεστί τὸ ἀπὸ τῆς ΜΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΛ , ΛΚ . ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ 25 ἀπὸ τῆς ΛΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ τίθημι παραλληλόγραμμος ὁ ΖΗ πλευρόν ὁ ΘΓ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΘΓ ὁ ΒΚ οὐ εἰμί μικρός , καί ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ΒΚ οὐ εἰμί μικρός . ἐάν ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΚΗ τετράγωνος ἴσος παραβάλλω 5 παρά ὁ ΒΚ ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , ὁ πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα μείζων μέν εἰμί ὁ ΚΖ , μικρός δέ ὁ ΚΗ διά ὁ προδείκνυμι . ἵστημι τοίνυν ὁ ΚΛ πλευρόν ὁ ὑπέρβλημα , καί διά ὁ Α παράλληλος ἄγω ὁ ΗΓ ὁ ΑΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΒ , ΜΚ , 10 καί νοέω κώνος , ὅς κορυφή μέν ὁ Μ σημεῖον , βάσις δέ ὁ Α κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος δηλόω ὁ ΒΚΜ . ἐάν δή νοέω καί ὁ κῶνος τέμνω ὁ ἐπίπεδος , ὅς ὅς γίγνομαι ὁ ΕΔ διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος τομή , εἰμί καί ἐν ὁ κῶνος 15 τομή , ὅς διάμετρος ὁ ΝΞ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΚΗ τετράγωνος ἴσος παρά ὁ ΒΚ παραβάλλω ὑπερβάλλω ὁ ἀπό ὁ ΚΛ τετράγωνος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΛ , ΛΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΗ τετράγωνος ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ΛΒ , ΚΓ παράλληλος ἀλλήλων εἰμί , ἀλλά καί 20 ὁ ΛΖ , ΜΛ , ΓΗ παράλληλος εἰμί ἀλλήλων , ὡς ἄρα ὁ ΛΖ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΛΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΗ , τουνεστί ὁ ἀπό ὁ ΜΛ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΛ , ΛΚ . ἀλλά ὡς μέν ὁ 25 ἀπό ὁ ΛΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0105.3
1 . ΘΗ ] p , ΘΔ Vc . 2 . τῆς ] p , τῇ Vc ? ΒΚ ] p , ΘΚ Vc . 3 . καὶ ἡ — ἐλάττων ] om . c . 4 . παραβάλλωμεν ] παραβάλωμεν p . 8 . παράλληλος — 9 . ΗΓ ] τῇ ΗΓ παράλληλος ἥχθω p . 10 . νενοήσθω ] νενοεῖσθω p , sed corr . in scrib . 11 . Λ ] πρώτος c . 17 . τῆς ] e corr . p . ΚΛ ] ΒΚ p . 19 . ἀλλήλαις εἰσίν ] εἰσιν ἀλλήλαις p . 21 . τὴν ] om . p . 23 . ΚΗ ] ΗΚ p , bene . 24 . ΜΛ ] p , corr . ex ΜΛ m . 1 V , ΜΛ v , ΜΘ c .
Lemmas: 1 . τίθημι ] p , ΘΔ Vc . 2 . ὁ ] p , ὁ Vc ? ΒΚ ] p , ΘΚ Vc . 3 . καί ὁ — μικρός ] om . c . 4 . παραβάλλω ] παραβάλλω p . 8 . παράλληλος — 9 . ΗΓ ] ὁ ΗΓ παράλληλος ἄγω p . 10 . νοέω ] νοέω p , sed corr . in scrib . 11 . Λ ] πρώτος c . 17 . ὁ ] e corr . p . ΚΛ ] ΒΚ p . 19 . ἀλλήλων εἰμί ] εἰμί ἀλλήλων p . 21 . ὁ ] om . p . 23 . ΚΗ ] ΗΚ p , bene . 24 . ΜΛ ] p , corr . ex ΜΛ m . 1 V , ΜΛ v , ΜΘ c .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0107.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0107.2
ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ , τοῦτέστι τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἑλλείψεως τῆς ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΑ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου ἑλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου . καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἑλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου ἑλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου . καὶ ὡς ἄρα ἡ διάμετρος τῆς ἑλλείψεως τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον , οὕτως ἡ διάμετρος τῆς τοῦ κώνου ἑλλείψεως πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον . καὶ εἰσὶν αἱ δεύτεραι διάμετροι πρὸς ἴσας γωνίας ταῖς διαμέτροις · ἀμφότεραι γὰρ παράλληλοι εἰσι ταῖς πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΗ τῇ ΖΟ καὶ τῇ ΑΠ . ἡ ἄρα τοῦ κώνου ἑλλειψὶς ὁμοία ἐστὶ τῇ τοῦ κυλίνδρου ἑλλείψει , καὶ γέγονεν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου , καὶ συνέστη ὁ κώνος ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κυλίνδρῳ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος · ἅπερ ἦν τὰ ἐπιταχθέντα .
Lemmas: ΕΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΚ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος ἔλλειψις ὁ ΕΑ πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ μή πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΚ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὁ κῶνος ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος . καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὁ κύλινδρος ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὁ κῶνος ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος . καί ὡς ἄρα ὁ διάμετρος ὁ ἔλλειψις ὁ κύλινδρος πρός ὁ συζυγής διάμετρος , οὕτως ὁ διάμετρος ὁ ὁ κῶνος ἔλλειψις πρός ὁ συζυγής διάμετρος . καί εἰμί ὁ δύο διάμετρος πρός ἴσος γωνία ὁ διάμετρος · ἀμφότερος γάρ παράλληλος εἰμί ὁ πρός ὀρθός ὁ ΒΗ ὁ ΖΟ καί ὁ ΑΠ . ὁ ἄρα ὁ κῶνος ἔλλειψις ὅμοιος εἰμί ὁ ὁ κύλινδρος ἔλλειψις , καί γίγνομαι ὑπό ὁ αὐτός ἐπίπεδος , καί συνίστημι ὁ κώνος ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ κύλινδρος καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος · ὅσπερ εἰμί ὁ ἐπιτάσσω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0107.3
κζ´ .
Lemmas: κζ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0107.4
Τὸν δοθέντα κύλινδρον ἢ κώνον σκαληνὸν δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις μὴ παραλλήλως μὲν κειμένοις , ποιοῦσι δὲ ὁμοίας ἑλλείψεις .
Lemmas: ὁ δίδωμι κύλινδρος ἢ κώνος σκαληνός δυνατός εἰμί ἀπό ὁ ἕτερος μέρος ἀπειραχῶς τέμνω δύο ἐπίπεδος μή παράλληλος μέν κεῖμαι , ποιέω δέ ὅμοιος ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0107.5
Ἔστω πρῶτον ὁ δοθεὶς κύλινδρος σκαληνός , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου , καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ὀξεῖα , καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν
Lemmas: ἔστω πρῶτος ὁ δίδωμι κύλινδρος σκαληνός , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις ὁ κύλινδρος , καί ὑπόκειμαι ὁ πρός ὁ Α γωνία ὀξύς , καί διά ὁ Γ ἄγω κάθετος ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0109.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0109.2
ΑΑ πλευρὰν ἢ ΓΔ · ἐλάχιστη ἄρα ἐστὶν ἢ ΓΔ πασῶν τῶν ταῖς ΑΔ , ΓΒ παραλλήλοις ἐμπίπτονσῶν . εἰλήφθωσαν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Δ ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΕΔ , ΔΖ , καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΕΓ , ΓΖ · ἴση ἄρα ἢ ΕΓ τῇ ΖΓ . ἐὰν 5 οὖν κατὰ τὸν παραδεδομένον τρόπον ἀγάγωμεν διὰ τῶν ΓΕ , ΓΖ ἐπίπεδα , τεμεῖ τὸν κύλινδρον . τεμνέτω καὶ ποιείτω τὰς ΕΗΓ , ΖΘΓ ἑλλείψεις . λέγω δή , ὅτι ὁμοίαι εἰσιν .
Lemmas: ΑΑ πλευρά ἢ ΓΔ · λίγος ἄρα εἰμί ἢ ΓΔ πᾶς ὁ ὁ ΑΔ , ΓΒ παράλληλος ἐμπίπτω . λαμβάνω ἐπί ἑκάτερος ὁ δ Ἴσαι εὐθύς ὁ ΕΔ , ΔΖ , καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΕΓ , ΓΖ · ἴσος ἄρα ἢ ΕΓ ὁ ΖΓ . ἐάν 5 οὖν κατά ὁ παραδίδωμι τρόπος ἄγω διά ὁ ΓΕ , ΓΖ ἐπίπεδος , τέμνω ὁ κύλινδρος . τέμνω καί ποιέω ὁ ΕΗΓ , ΖΘΓ ἔλλειψις . λέγω δή , ὅτι ὅμοιος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0109.3
ἐπεὶ γάρ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 10 ΓΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ , ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἑαυτῇ συζυγοῦς διαμέτρου , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ διαμέτρου τῆς τομῆς 15 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου , καὶ ὡς ἄρα ἢ ΕΓ διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συζυγῇ διάμετρον , οὕτω καὶ ἢ ΖΓ διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συζυγῇ διάμετρον . ἀλλὰ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνονται ἐν ἑκάτερα αἱ διάμετροι , ὡς ἐδείχθη πολλάκις · 20 ὁμοίαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσιν αἱ ΕΗΓ , ΖΘΓ ἑλλείψεις .
Lemmas: ἐπεί γάρ , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ ἀπό ὁ 10 ΓΑ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ διάμετρος ὁ τομή πρός ὁ ἀπό ὁ ἑαυτοῦ συζυγής διάμετρος , ὁ δέ ἀπό ὁ ΖΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ διάμετρος ὁ τομή 15 πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής ἑαυτοῦ διάμετρος , καί ὡς ἄρα ἢ ΕΓ διάμετρος πρός ὁ ἑαυτοῦ συζυγή διάμετρος , οὗτος καί ἢ ΖΓ διάμετρος πρός ὁ ἑαυτοῦ συζυγή διάμετρος . ἀλλά καί πρός ἴσος γωνία τέμνω ἐν ἑκάτερος ὁ διάμετρος , ὡς δείκνυμι πολλάκις · 20 ὅμοιος ἄρα ἀλλήλων εἰμί ὁ ΕΗΓ , ΖΘΓ ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0109.4
κἂν ἑτέρας δὲ ἀπολάβῃς ἴσας εὐθείας παρ’ ἑκάτερα τοῦ Δ , συνστήσονται πάλιν ἑτεραι δύο ἑλλείψεις ὁμοίαι ἀλλήλαις .
Lemmas: κἀν ἕτερος δέ ἀπολαμβάνω ἴσος εὐθύς παρά ἑκάτερος ὁ δ , συνίστημι πάλιν ἕτερος δύο ἔλλειψις ὅμοιος ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0109.5
ἐπισημαντέον δέ , ὅτι ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου ἀνάγκη 25 τὰς ἐκ τοῦ αὐτοῦ μέρους ὁμοίας καὶ ἴσας εἶναι διὰ τὸ
Lemmas: ἐπισημαντέον δέ , ὅτι ἐπί ὁ κύλινδρος ἀνάγκη 25 ὁ ἐκ ὁ αὐτός μέρος ὅμοιος καί ἴσος εἰμί διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0111.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0111.2
τὸν λόγον εἶναι τῶν διαμέτρων τὸν αὐτὸν πρὸς τὴν αὐτὴν τὴν ΑΓ .
Lemmas: ὁ λόγος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ αὐτός πρός ὁ αὐτός ὁ ΑΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0111.3
Ἔστω δὲ νῦν ὁ δοθεὶς κώνος σκαληνός , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ὄν τῇ βάσει τοῦ κώνου , καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΑΓ μειζών , καὶ περιγεγράφθω κύκλος , καὶ ἡχθῶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παρἄλληλος ἡ ΑΔ δηλονότι τέμνουσα τὸν κύκλον , καὶ τῆς ΑΔ περιφερείας δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ Ε εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΔΕ περιφερείας τὸ Ζ , καὶ ἡχθῶ παράλληλος τῇ ΑΔ ἡ ΖΗ , καὶ ἐπιευχθείσα ἡ μὲν ΖΑ συμπίπτέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΗΑ κατὰ τὸ Κ · ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ , οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΖ . ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ , ΚΑ , ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΘ , ΘΖ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ , ΚΑ , τοὔτεστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ , ΚΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ , ΘΑ , τοὔτεστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ , ΘΓ . ἐὰν οὖν διαγάγωμεν εὐθείας παραλλήλους τῇ μὲν ΑΚ τὴν ΑΜ , τῇ δὲ ΑΘ τὴν ΑΝ , καὶ δι' αὐτῶν ἀχθέντα ἐπίπεδα τέμῃ τὸν κώνον , ὁμοίας ἐλλείψεις ποιήσει . ἐπεὶ γάρ , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ , ΚΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ , ΘΓ , ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ,
Lemmas: ἔστω δέ νῦν ὁ δίδωμι κώνος σκαληνός , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΑΒΓ πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις ὁ κῶνος , καί ἵστημι ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ μείζων , καί περιγράφω κύκλος , καί ἄγω διά ὁ Α ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ ΑΔ δηλονότι τέμνω ὁ κύκλος , καί ὁ ΑΔ περιφέρεια δίχα τέμνω κατά ὁ Ε λαμβάνω τίς σημεῖον ἐπί ὁ ΔΕ περιφέρεια ὁ Ζ , καί ἄγω παράλληλος ὁ ΑΔ ὁ ΖΗ , καί ἐπιχέω ὁ μέν Γῆ συμπίπτω ὁ ΒΓ κατά ὁ Θ , ὁ δέ ΗΑ κατά ὁ Κ · ὡς ἄρα ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΗ , οὕτως ὁ ΑΘ πρός ὁ ΘΖ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΗ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΗΚ , ΚΑ , ὡς δέ ὁ ΑΘ πρός ὁ ΘΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΖ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΗΚ , ΚΑ , τουτέστι πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΚ , ΚΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΘ , ΘΑ , τουτέστι πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , ΘΓ . ἐάν οὖν διάγω εὐθύς παράλληλος ὁ μέν ΑΚ ὁ ΑΜ , ὁ δέ ΑΘ ὁ ΑΝ , καί διά αὐτός ἄγω ἐπίπεδος τέμνω ὁ κώνος , ὅμοιος ἔλλειψις ποιέω . ἐπεί γάρ , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΚ , ΚΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , ΘΓ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΚ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0112.1
$\Theta A$ , τοιτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν $B\Theta$ , $\Theta\Gamma$ p . 22 . τέμη ] τεμεῖ c .
Lemmas: $\Theta A$ , τοιτέστι πρός ὁ ὑπό ὁ $B\Theta$ , $\Theta\Gamma$ p . 22 . τέμνω ] τέμνω c .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.2
ΚΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΜ διαμέτρου τῆς ἑλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ , ΘΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΝ διαμέτρου τῆς ἑλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ διάμετρος πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον , οὕτως ἡ ΝΑ διάμετρος πρὸς τὴν συζυγῆ διάμετρον . αἱ ἄρα ΑΜ , ΑΝ ὁμοίων ἑλλείψεων εἰσὶ διάμετροι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ΚΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΜ διάμετρος ὁ ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής ἑαυτοῦ διάμετρος , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , ΘΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΝ διάμετρος ὁ ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής ἑαυτοῦ διάμετρος , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΜ διάμετρος πρός ὁ συζυγής διάμετρος , οὕτως ὁ ΝΑ διάμετρος πρός ὁ συζυγής διάμετρος . ὁ ἄρα ΑΜ , ΑΝ ὅμοιος ἔλλειψις εἰμί διάμετρος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.3
κἂν ἑτέρας δὲ τῇ ΖΗ παραλλήλους ἀγάγωμεν , ὡς τὴν ΕΟ , καὶ ἀπὸ τῶν Ε καὶ Ο ἐπὶ τὸ Α ἐπιζεύξαντες ἐκβάλωμεν ἐπὶ τὴν ΒΘ , καὶ ταῖς ἐκβληθείσαις παραλλήλους ἀγάγωμεν ἐν τῷ τριγώνῳ , συστήσονται πάλιν ἑτεραι δύο ἑλλείψεις ὁμοιαι ἀλλήλαις , καὶ τοῦτο ἐπ' ἄπειρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: κἀν ἕτερος δέ ὁ ΖΗ παράλληλος ἄγω , ὡς ὁ ΕΟ , καί ἀπό ὁ Ε καί ὁ ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω ἐπί ὁ ΒΘ , καί ὁ ἐκβάλλω παράλληλος ἄγω ἐν ὁ τρίγωνος , συνίστημι πάλιν ἕτερος δύο ἔλλειψις ὅμοιος ἀλλήλων , καί οὗτος ἐπί ἤπειρος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.4
κη'
Lemmas: καίω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.5
Τὸν δοθέντα κύλινδρον σκαληνὸν ἢ κῶνον δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις καὶ ποιεῖν ἑλλείψεις ὁμοίας .
Lemmas: ὁ δίδωμι κύλινδρος σκαληνός ἢ κῶνος δυνατός εἰμί ἀπό ὁ ἀντίκειμαι μέρος ἀπειραχῶς τέμνω δύο ἐπίπεδος καί ποιέω ἔλλειψις ὅμοιος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0113.6
ἔστω πρῶτον ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου δεῖξαι , καὶ κείσθω ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον , καὶ τῇ ΑΔ ἴση ἔστω ἡ ΔΗ · ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ΗΓ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΒ ἀγομένη εὐθεῖα μείζων ἐστὶν ἑκάτέρας τῶν ΑΓ , ΓΗ καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ μεταξὺ τῶν Η , Α σημείων πιπτουσῶν , δήλον , ὡς , ἐὰν ἐκ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἀγάγωμεν δύο εὐθείας ἴσας ἀλλήλαις , ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἀγομένη ὑπερπεσεῖται τὸ Η . ἤχθω -
Lemmas: ἵστημι πρῶτος ἐπί ὁ κύλινδρος δείκνυμι , καί κεῖμαι ὁ αὐτός καταγραφή ὁ πρότερος , καί ὁ ΑΔ ἴσος ἵστημι ὁ δΗ · ἴσος ἄρα ὁ ΓΑ ὁ ΗΓ . ἐπεί τοίνυν ὁ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΓΒ ἄγω εὐθύς μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΗ καί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Γ μεταξύ ὁ ὁ , Α σημεῖον πίπτω , δῆλος , ὡς , ἐάν ἐκ ὁ ἀντίκειμαι μέρος ἄγω δύο εὐθύς ἴσος ἀλλήλων , ὁ ἀπό ὁ Γ ἄγω ὑπερπίπτω ὁ ὁ . ἄγω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.10
ΑΘ διάμετροί εἰσιν ὁμοίων ἔλλειψεων .
Lemmas: ΑΘ διάμετρος εἰμί ὅμοιος ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.11
10Κείσθω πάλιν ἡ καταγραφὴ τοῦ κώνου , καὶ ἐκβληθείσης
Lemmas: 10Κείσθω πάλιν ὁ καταγραφή ὁ κῶνος , καί ἐκβάλλω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.12
τῆς ΓΒ ἐπὶ θάτερα δέον ἔστω ἀπ’ ἀμφοτέρων
Lemmas: ὁ ΓΒ ἐπί ἕτερος δήω ἵστημι ἀπό ἀμφότερος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.13
τῶν μερῶν ἀγαγεῖν ἐπίπεδα ποιοῦντα ὁμοίας
Lemmas: ὁ μέρος ἄγω ἐπίπεδος ποιέω ὅμοιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.14
ἔλλειψεις .
Lemmas: ἔλλειψις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.15
διήχθω τις εἰς τὸν κύκλον εὐθεῖα παράλληλος τῇ
Lemmas: διάγω τις εἰς ὁ κύκλος εὐθύς παράλληλος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.16
15ΒΓ ἢ ΠΡ , καὶ ἐπιευχθείσαι αἱ ΑΠ , ΑΡ ἐκβεβλη -
Lemmas: 15ΒΓ ἢ ΠΡ , καί επιευχθεισος ὁ ΑΠ , ΑΡ ἐκβάλλω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.17
σθῶσαν ἐπὶ τὰ Σ , Τ σημεῖα · ὡς ἄρα ἡ ΑΣ πρὸς τὴν
Lemmas: σῴζω ἐπί ὁ Σ , Τ σημεῖον · ὡς ἄρα ὁ ΑΣ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.18
ΣΠ , οὕτως ἡ ΑΤ πρὸς τὴν ΤΡ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ
Lemmas: ΣΠ , οὕτως ὁ ΑΤ πρός ὁ ΤΡ . καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.19
τῆς ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΣ , ΣΠ , τουντέστι πρὸς
Lemmas: ὁ ΑΣ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΣ , ΣΠ , τουντέστι πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.2
σαν οὖν ἐκ τῶν ἀντικειμένων μερῶν αἱ ΑΘ , ΓΚ ἴσαι
Lemmas: σάω οὖν ἐκ ὁ ἀντίκειμαι μέρος ὁ ΑΘ , ΓΚ Ἴσαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.20
τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , ΣΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ πρὸς τὸ
Lemmas: ὁ ὑπό ὁ ΓΣ , ΣΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΤ πρός ὁ