ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0177.2
κορυφῆς κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κατὰ τὸ E , καὶ ἐπεξυχθῶ ἡ BE , καὶ διεκβελησθῶ τὸ τοῦ ABE τριγώνου ἐπίπεδον ποιῶν ἐν τῷ κώνῳ τὸ AGΔ τρίγωνον . λέγω , ὅτι τὸ AGΔ πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ κώνου .
Lemmas: κορυφή κάθετος ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος κατά ὁ E , καί ἐπεύχομαι ὁ BE , καί διεκβάλλω ὁ ὁ ABE τρίγωνος ἐπίπεδος ποιέω ἐν ὁ κῶνος ὁ AGΔ τρίγωνος . λέγω , ὅτι ὁ AGΔ πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις ὁ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0177.3
ἐπεὶ γὰρ ἡ AE κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς AE ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ · καὶ τὸ AGΔ ἄρα τρίγωνον πρὸς ὀρθὰς ἐστὶ τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ AE κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ AE ἐπίπεδος ἐκβάλλω πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος · καί ὁ AGΔ ἄρα τρίγωνος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος · ὅσπερ ἐσθίω ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0177.4
Ἐὰν κώνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηθῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει , τὸ γεγόμενον τρίγωνον ἔσται σκαληνόν , οὗ ἡ μὲν μεῖζων πλευρὰ μεγίστη ἔσται πασῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν , ἡ δὲ ἐλάττων πλευρὰ ἐλάχιστη πασῶν τῶν ὁμοίως ἀγομένων εὐθειῶν , τῶν δὲ ἄλλων εὐθειῶν ἡ τῇ μεγίστῃ ἐγγιόν τῆς ἀπωτέρου ἐστὶ μεῖζων .
Lemmas: ἐάν κώνος σκαληνός διά ὁ ἄγω ἐπίπεδος τέμνω πρός ὀρθός ὁ βάσις , ὁ γίγνομαι τρίγωνος εἰμί σκαληνός , ὅς ὁ μέν μείζων πλευρόν μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ βάσις ἄγω εὐθύς , ὁ δέ μικρός πλευρόν λίγος πᾶς ὁ ὁμοίως ἄγω εὐθύς , ὁ δέ ἄλλος εὐθύς ὁ ὁ μέγας ἐγγύς ὁ ἀπωτέρω εἰμί μείζων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0177.5
ἔστω κώνος σκαληνός , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ A , βάσις δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος , ἄξων δὲ ὁ AB , τοῦ δὲ κώνου τμηθέντος διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΕΔ κύκλῳ τὸ γεγόμενον τρίγωνον ἔστω τὸ AGΔ , προσενευέτω δὲ ὁ ἄξων ἐπὶ τὸ Δ μέρος . ἐπεὶ οὖν σκαληνοῦ ὄντος τοῦ κώνου οὐκ ἐστὶν ἡ AB πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΔΕ
Lemmas: ἵστημι κώνος σκαληνός , ὅς κορυφή μέν ὁ A , βάσις δέ ὁ ΓΕΔ κύκλος , ἄγω δέ ὁ AB , ὁ δέ κῶνος τέμνω διά ὁ ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΓΕΔ κύκλος ὁ γίγνομαι τρίγωνος ἵστημι ὁ AGΔ , προσφέρω δέ ὁ ἄγω ἐπί ὁ δ μέρος . ἐπεί οὖν σκαληνός εἰμί ὁ κῶνος οὐ εἰμί ὁ AB πρός ὀρθός ὁ ΓΔΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0179.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0179.2
κύκλῳ , ἔστω πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ ἡ ΑΘ · ἡ ΑΘ ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΔ ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΓΒΔ ἐκβληθεῖσαν . ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ΓΘ τῆς ΘΔ , καὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΘΔ μείζον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΘΑ · τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΘ , ΘΑ τῶν ἀπὸ ΔΘ , ΘΑ μείζονά ἐστι , τοῦτέστι τὸ ἀπὸ ΓΑ μείζον ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ . μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΑΔ .
Lemmas: κύκλος , ἵστημι πρός ὀρθός αὐτός ὁ ΑΘ · ὁ ΑΘ ἄρα ἐν ὁ ὁ ΑΓΔ εἰμί ἐπίπεδος καί πίπτω ἐπί ὁ ΓΒΔ ἐκβάλλω . ἐπεί οὖν μείζων ὁ ΓΘ ὁ ΘΔ , καί ὁ ἀπό ΓΘ ἄρα ὁ ἀπό ΘΔ μείζων . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΘΑ · ὁ ἄρα ἀπό ΓΘ , ΘΑ ὁ ἀπό ΔΘ , ΘΑ μέγας εἰμί , τουτέστι ὁ ἀπό ΓΑ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ΑΔ . μείζων ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΑΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0179.3
λέγω δή , ὅτι ἡ ΑΓ καὶ πασῶν ἀπλῶς μεγίστη ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν , ἡ δὲ ΑΔ ἐλάχιστη .
Lemmas: λέγω δή , ὅτι ὁ ΑΓ καί πᾶς ἀπλόος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ βάσις ἄγω εὐθύς , ὁ δέ ΑΔ λίγος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0179.4
ἤχθωσαν γὰρ αἱ ΘΕ , ΘΖ , ΘΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΘ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν , καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἄρα μέγιστόν ἐστι τῶν ἀπὸ ΘΕ , ΘΖ , ΘΗ , ΘΔ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΘΑ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφότερου τῆς ΓΘΑ μείζον ἐστὶν ἑκάστου τῶν ἀπὸ συναμφότερου τῆς ΕΘΑ , ΖΘΑ , ΗΘΑ , ΔΘΑ , τοῦτέστι τὸ ἀπὸ ΑΓ . ἑκάστου τῶν ἀπὸ ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ΑΔ . καὶ ἡ ΑΓ ἄρα μείζων ἐστὶν ἑκάστης τῶν ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ΑΔ . ὁμοίως δείκνυται , ὅτι καὶ τῶν ἄλλων · μεγίστη ἄρα ἡ ΑΓ πασῶν τῶν , ὡς εἴρηται , ἀγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ κώνῳ . διὰ τῶν αὐτῶν δὲ δείκνυται , ὅτι καὶ ἡ μὲν ΑΔ ἐλάχιστη , τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΑΕ τῆς ΑΖ μείζων , ἡ δὲ ΑΖ
Lemmas: ἄγω γάρ ὁ ΘΕ , ΘΖ , τίθημι . ἐπεί οὖν ὁ ΓΘ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ περιφέρεια προσπίπτω , καί ὁ ἀπό ὁ ΘΓ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΘΕ , ΘΖ , τίθημι , ΘΔ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΘΑ · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότερος ὁ ΓΘΑ μείζων εἰμί ἕκαστος ὁ ἀπό συναμφότερος ὁ ΕΘΑ , ΖΘΑ , ΗΘΑ , ΔΘΑ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΓ . ἕκαστος ὁ ἀπό ΑΕ , αζʹ , ΑΗ , ΑΔ . καί ὁ ΑΓ ἄρα μείζων εἰμί ἕκαστος ὁ ΑΕ , αζʹ , ΑΗ , ΑΔ . ὁμοίως δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ἄλλος · μέγας ἄρα ὁ ΑΓ πᾶς ὁ , ὡς εἴρω , ἄγω εὐθύς ἐν ὁ κῶνος . διά ὁ αὐτός δέ δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΑΔ λίγος , ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ΑΕ ὁ αζʹ μείζων , ὁ δέ αζʹ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0179.5
2 . ΓΒΔ ] ΓΔ p . 3 . ΓΘ ] Θ e corr . p . 4 . μείζον ] μείζον ἐστι p . 5 . ΓΘ ] τῆς ΓΘ p . ΔΘ ] τῆς ΔΘ p . 11 . Post ΘΗ add . καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ p . 14 . ἀπὸ ] ἀπὸ τῶν p . 15 . τό ( alt . ) ] p , om . Vc . 18 . ΑΕ ] supra add . + m . rec . V , τῆς ΑΕ p . 20 . δείκνυται ] δεῖχθησεται p . 21 . ἀγομένων ] ἀπὸ τοῦ Α ἀγομένων p . 22 . δὲ ] ὁμοίως p . δείκνυται ] δεῖχθήσεται p .
Lemmas: 2 . ΓΒΔ ] ΓΔ p . 3 . ΓΘ ] Θ e corr . p . 4 . μείζων ] μείζων εἰμί p . 5 . ΓΘ ] ὁ ΓΘ p . ΔΘ ] ὁ ΔΘ p . 11 . Post τίθημι add . καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΑΕ , αζʹ , ΑΗ p . 14 . ἀπό ] ἀπό ὁ p . 15 . ὁ ( alt . ) ] p , om . Vc . 18 . ΑΕ ] supra add . + m . rec . V , ὁ ΑΕ p . 20 . δείκνυμι ] δείκνυμι p . 21 . ἄγω ] ἀπό ὁ Α ἄγω p . 22 . δέ ] ὁμοίως p . δείκνυμι ] δείκνυμι p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.10
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , οὗ δίχα τετμήσθω ἡ βάσις
Lemmas: ἔστω τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ὅς δίχα τέμνω ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.11
κατὰ τὸ Δ , καὶ διήχθω ἡ ΑΔ . λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ
Lemmas: κατά ὁ δ , καί διάγω ὁ ΑΔ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.12
ΑΒ , ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ
Lemmas: ΑΒ , ΑΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ , ΔΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.13
καὶ τῷ δις ἀπὸ τῆς ΑΔ .
Lemmas: καί ὁ δις ἀπό ὁ ΑΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.14
εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελὲς ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , φανερά
Lemmas: εἰμί μέν οὖν ἰσοσκελής εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος , φανερός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.15
ἡ δεῖξις διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν πρὸς τῷ Δ γίνεσθαι
Lemmas: ὁ δεῖξις διά ὁ ἑκάτερος ὁ πρός ὁ δ γίγνομαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.16
ὀρθήν .
Lemmas: ὀρθός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.17
ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ μείζων · μείζων ἄρα
Lemmas: ἀλλά δή ἵστημι ὁ ΒΑ ὁ ΑΓ μείζων · μείζων ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.18
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΔΓ . ἐκβεβλήσθω
Lemmas: καί ὁ ὑπό ΒΔΑ γωνία ὁ ὑπό ΑΔΓ . ἐκβάλλω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.19
ἡ ΑΔ , καὶ κατῃχθῶσαν ἐπ' αὐτὴν κάθετοι αἱ ΒΕ , ΓΖ ·
Lemmas: ὁ ΑΔ , καί κατάγω ἐπί αὐτός κάθετος ὁ ΒΕ , ΓΖ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.2
τῆς ΑΗ , καὶ ἀεὶ ἡ ἐγγίων τῆς ΑΓ τῆς ἀπώτερόν ἐστι
Lemmas: ὁ ΑΗ , καί ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ ΑΓ ὁ ἀπώτερος εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.20
ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΕΒΔ , ΓΖΔ ὀρθογώνια διὰ τὸ παρἀλλήλους
Lemmas: ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΔ , ΓΖΔ ὀρθογώνιος διά ὁ παράλληλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.21
εἶναι τὰς ΒΕ , ΖΓ · ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ ,
Lemmas: εἰμί ὁ ΒΕ , ΖΓ · ὡς ἄρα ὁ ΒΔ πρός ΔΓ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.22
οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ . ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΓΔ · ἴση
Lemmas: οὕτως ὁ ΕΔ πρός ΔΖ . ἴσος δέ ὁ ΒΔ ὁ ΓΔ · ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.23
ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔ , ΔΕ τῷ ὑπὸ
Lemmas: ἄρα καί ὁ ΕΔ ὁ ΔΖ καί ὁ ὑπό ΑΔ , ΔΕ ὁ ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.24
ΑΔ , ΔΖ καὶ τὸ δις ὑπὸ ΑΔ , ΔΕ τῷ δις ὑπὸ ΑΔ , ΔΖ .
Lemmas: ΑΔ , ΔΖ καί ὁ δις ὑπό ΑΔ , ΔΕ ὁ δις ὑπό ΑΔ , ΔΖ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.25
1 . ἀπώτερον ] p , ἀπότερον Vc . ἐστι ] om . p . 2 . ὅπερ
Lemmas: 1 . ἀπώτερος ] p , αποτερος Vc . εἰμί ] om . p . 2 . ὅσπερ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.26
ἔδει δεῖξαι ] om . p . 6 . βάσεως ] βάσεος c . 10 .. ἀπὸ ] ἀπὸ
Lemmas: ἐσθίω δείκνυμι ] om . p . 6 . βάσις ] βάσις c . 10 .. ἀπό ] ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.27
τῶν p . 11 . ΑΒ ] ΒΑ p . ἐστι ] εἰσί p . 14 . τῷ ] vcp ,
Lemmas: ὁ p . 11 . ΑΒ ] ΒΑ p . εἰμί ] εἰμί p . 14 . ὁ ] vcp ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.28
corr . ex τὸ m . 1 V . Δ ] Δ γωνιῶν p . γίνεσθαι ] εἶναι p .
Lemmas: corr . ex ὁ m . 1 V . δ ] δ γωνία p . γίγνομαι ] εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.29
16 . τῆς ΑΓ μείζων ] μείζων τῆς ΑΓ p . 17 . ΒΔΑ ] p , ΒΑΔ
Lemmas: 16 . ὁ ΑΓ μείζων ] μείζων ὁ ΑΓ p . 17 . ΒΔΑ ] p , ΔΑΒ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.3
μείζων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: μείζων · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.31
ΖΓ ] Γ' e corr . m . 1 c , ΓΖ p . 21 . ΓΔ ] ΔΓ p . 22 . τὸ ]
Lemmas: ΖΓ ] Γε e corr . m . 1 c , ΓΖ p . 21 . ΓΔ ] ΔΓ p . 22 . ὁ ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.32
τῇ c , τῷ p . τῷ ] ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ p . 23 . καὶ — ΔΖ ] om . c .
Lemmas: ὁ c , ὁ p . ὁ ] ἄρα ἴσος εἰμί ὁ p . 23 . καί — ΔΖ ] om . c .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.33
τῷ ] τῷ p . τῷ ] ἴσον ἐστὶ τὸ p .
Lemmas: ὁ ] ὁ p . ὁ ] ἴσος εἰμί ὁ p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.4
ιζ'
Lemmas: ἵζω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.5
Ἐὰν τριγώνου ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.6
τῆς βάσεως εὐθεῖα ἀχθῇ , τὰ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετράγωνα
Lemmas: ὁ βάσις εὐθύς ἄγω , ὁ ἀπό ὁ πλευρά τετράγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.7
ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως
Lemmas: ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ τμῆμα ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.8
καὶ τῷ δις ἀπὸ τῆς ἡγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν
Lemmas: καί ὁ δις ἀπό ὁ ἡγμένης ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0181.9
βάσιν εὐθείας .
Lemmas: βάσις εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.10
μείζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην ,
Lemmas: μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ τρίτος πρός ὁ τέταρτος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.11
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας
Lemmas: καί ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.12
μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ
Lemmas: μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ὁ τρίτος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.13
ἀπὸ τῆς τετάρτης . κἂν τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ
Lemmas: ἀπό ὁ τέταρτος . κἀν ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.14
ἀπὸ τῆς δευτέρας μειζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ τὸ ἀπὸ τῆς
Lemmas: ἀπό ὁ δύο μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.15
τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης , ἡ πρώτη πρὸς τὴν
Lemmas: τρίτος πρός ὁ ἀπό ὁ τέταρτος , ὁ πρῶτος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.16
δευτέραν μειζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν
Lemmas: δύο μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ τρίτος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.17
τετάρτην .
Lemmas: τέταρτος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.18
Ἔστωσαν εὐθεῖαι αἱ A , B , Γ , Δ , ἔχετω δὲ ἡ A πρὸς
Lemmas: εἰμί εὐθύς ὁ A , B , Γ , δ , ἔχω δέ ὁ A πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.19
τὴν B μειζονα λόγον ἢπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ . λέγω ,
Lemmas: ὁ B μείζων λόγος ἤ ὁ Γ πρός ὁ δ . λέγω ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.2
ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς AB τῶν ἀπὸ AD , ΔB μειζόν
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ μέν ἀπό ὁ AB ὁ ἀπό AD , ΔB μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.20
ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B μειζονα
Lemmas: ὅτι καί ὁ ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ B μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.21
λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ .
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.22
ἐπεὶ γὰρ ὁ τῆς A πρὸς τὴν B λόγος μειζων ἐστὶ
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ὁ A πρός ὁ B λόγος μείζων εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.23
τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ , καὶ ὁ τοῦ μειζονος ἄρα διπλάσιος
Lemmas: ὁ ὁ Γ πρός ὁ δ , καί ὁ ὁ μείζων ἄρα διπλάσιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.24
μειζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἐλαττονος διπλασίου . ἐστι
Lemmas: μείζων εἰμί ὁ ὁ μικρός διπλάσιος . εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.25
δὲ τοῦ μὲν τῆς A πρὸς τὴν B λόγου μειζονος ὄντος
Lemmas: δέ ὁ μέν ὁ A πρός ὁ B λόγος μείζων εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.26
διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος ,
Lemmas: διπλάσιος ὁ ὁ ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ B λόγος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.27
τοῦ δὲ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγου ἐλαττονος ὄντος
Lemmas: ὁ δέ ὁ Γ πρός ὁ δ λόγος μικρός εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.28
διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ · καὶ
Lemmas: διπλάσιος ὁ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ · καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.29
ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς A ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος μειζων
Lemmas: ὁ ὁ ἀπό ὁ A ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ B λόγος μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.3
ἔστι τῷ δις ὑπὸ AD , ΔE , τουνεχὶ τῷ δις ὑπὸ AD , ΔZ ,
Lemmas: εἰμί ὁ δις ὑπό AD , ΔE , τουνεχὶ ὁ δις ὑπό AD , ΔZ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.30
ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ .
Lemmas: εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.4
τὸ δὲ ἀπὸ AG τῶν ἀπὸ AD , ΔΓ ἐλαττόν ἐστι τῷ
Lemmas: ὁ δέ ἀπό AG ὁ ἀπό AD , ΔΓ μικρός εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.5
αὐτῷ τῷ δις ὑπὸ AD , ΔZ , τὰ ἄρα ἀπὸ BA , AΓ
Lemmas: αὐτός ὁ δις ὑπό AD , ΔZ , ὁ ἄρα ἀπό BA , AΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.6
ἴσα ἔστι τοῖς ἀπὸ BA , ΔΓ καὶ τῷ δις ἀπὸ τῆς AD .
Lemmas: ἴσος εἰμί ὁ ἀπό BA , ΔΓ καί ὁ δις ἀπό ὁ AD .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.7
ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.8
ιη'
Lemmas: ΙΗΥ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0183.9
Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθύς ὁ πρῶτος πρός ὁ δύο
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.2
πάλιν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B μειζονα λόγον ἔχετω ἢπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ . λέγω , ὅτι ἡ A πρὸς τὴν B μειζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ .
Lemmas: πάλιν δέ ὁ ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ B μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ . λέγω , ὅτι ὁ A πρός ὁ B μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ δ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.3
ἐπεὶ δ τοῦ ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος μειζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγου , καὶ δ τοῦ μειζονος ἄρα ἡμισυς τοῦ τοῦ ἐλάττονος ἡμίσεος μειζων ἐστίν . ἐστὶ δὲ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγου μειζονος ὄντος ἡμισυς δ τῆς A πρὸς τὴν B , τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ ἐλάττονος ὄντος ἡμισυς δ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ · καὶ δ τῆς A ἄρα πρὸς τὴν B λόγος μειζων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπεί δ ὁ ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ B λόγος μείζων εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ λόγος , καί δ ὁ μείζων ἄρα ἥμισυς ὁ ὁ μικρός ἥμισυς μείζων εἰμί . εἰμί δέ ὁ μέν ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ B λόγος μείζων εἰμί ἥμισυς δ ὁ A πρός ὁ B , ὁ δέ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ δ μικρός εἰμί ἥμισυς δ ὁ Γ πρός ὁ δ · καί δ ὁ A ἄρα πρός ὁ B λόγος μείζων εἰμί ὁ ὁ Γ πρός ὁ δ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.4
ιθ'
Lemmas: εὐθύς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.5
Ἐὰν δύο μεγέθη ἴσα ἀνομοίως διαιρεθῇ , τῶν δὲ τοῦ ἑτέρου τμημάτων τὸ μειζον πρὸς τὸ ἐλαττον μειζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ τοῦ λοιποῦ τὸ μειζον πρὸς τὸ ἐλαττον ἢ τὸ ἴσον πρὸς τὸ ἴσον , τῶν προειρημένων τμημάτων τὸ μὲν μειζον μέγιστον ἔσται τῶν τεσσάρων τμημάτων , τὸ δὲ ἐλαττον ἐλάχιστον τῶν τεσσάρων .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος ἴσος ἀνομοίως διαιρέω , ὁ δέ ὁ ἕτερος τμῆμα ὁ μείζων πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ λοιπός ὁ μείζων πρός ὁ μικρός ἢ ὁ ἴσος πρός ὁ ἴσος , ὁ προερέω τμῆμα ὁ μέν μείζων μέγας εἰμί ὁ τέσσαρες τμῆμα , ὁ δέ μικρός μικρός ὁ τέσσαρες .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.6
ἔστω δύο μεγέθη ἴσα τὰ AB , ΓΔ , καὶ διηρησθω τὸ μὲν AB τῷ E , τὸ δὲ ΓΔ τῷ Z , ἔστω δὲ τὸ μὲν AE τοῦ EB μειζον , τὸ δὲ ΓZ τοῦ ZΔ μὴ ἐλαττον , ὥστε τὸ AE πρὸς EB μειζονα λόγον ἔχειν ἢπερ τὸ ΓZ πρὸς τὸ ZΔ . λέγω , ὅτι τῶν AE , EB , ΓZ , ZΔ μεγεθῶν μέγιστον μὲν ἐστι τὸ AE , ἐλάχιστον δὲ τὸ BE .
Lemmas: ἵστημι δύο μέγεθος ἴσος ὁ AB , ΓΔ , καί διαιρέω ὁ μέν AB ὁ E , ὁ δέ ΓΔ ὁ Z , ἵστημι δέ ὁ μέν AE ὁ EB μείζων , ὁ δέ ΓZ ὁ ZΔ μή μικρός , ὥστε ὁ AE πρός EB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓZ πρός ὁ ZΔ . λέγω , ὅτι ὁ AE , EB , ΓZ , ZΔ μέγεθος μέγας μέν εἰμί ὁ AE , μικρός δέ ὁ BE .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0185.7
ἐπεὶ τὸ AE πρὸς EB μειζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓZ πρὸς ZΔ , καὶ συνθέντι ἄρα τὸ AB πρὸς BE
Lemmas: ἐπεί ὁ AE πρός EB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓZ πρός ZΔ , καί συντίθημι ἄρα ὁ AB πρός BE
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0187.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0187.2
μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓΔ πρὸς ΔΖ , καὶ ἐναλλάξ τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΕΒ πρὸς ΖΔ . καὶ ἐστὶν ἴσον τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ · ἔλαττον ἄρα τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ . τὸ δὲ ΖΔ τοῦ ΓΖ οὐ μεῖζον · καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ΕΒ . ἢν δὲ καὶ τοῦ ΑΕ ἔλαττον · ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΒ . πάλιν ἐπεὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ ἴσον , ὧν τὸ ΕΒ τοῦ ΔΖ ἔλαττον , λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΑ λοιποῦ τοῦ ΓΖ μεῖζον . τὸ δὲ ΓΖ τοῦ ΖΔ οὐχ ἔλαττόν ἐστι · καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ . ἢν δὲ καὶ τοῦ ΕΒ μεῖζον · μέγιστον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕ , τὸ δὲ ΕΒ ἐλάχιστον .
Lemmas: μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔ πρός ΔΖ , καί ἐναλλάξ ὁ ΑΒ πρός ΓΔ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΒ πρός ΖΔ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · μικρός ἄρα ὁ ΕΒ ὁ ΖΔ . ὁ δέ ΖΔ ὁ ΓΖ οὖον μείζων · καί ὁ ΓΖ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ΕΒ . εἄν δέ καί ὁ ΑΕ μικρός · μικρός ἄρα ὁ ΕΒ . πάλιν ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ ἴσος , ὅς ὁ ΕΒ ὁ ΔΖ μικρός , λοιπός ἄρα ὁ ΕΑ λοιπός ὁ ΓΖ μείζων . ὁ δέ ΓΖ ὁ ΖΔ οὐ ἐλάσσων εἰμί · καί ὁ ΖΔ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ΑΕ . εἄν δέ καί ὁ ΕΒ μείζων · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΕΒ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0187.3
κ'
Lemmas: καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0187.4
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ , ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένας εὐθείας ἴσας , τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ μεῖζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μεῖζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ ἡ τοῦ λοιποῦ μεῖζων πρὸς τὴν ἐλάττονα ἢ καὶ ἴση πρὸς τὴν ἴσην , οὐ ἡ μεῖζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μεῖζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ τε βάσις ἴσος ἔχω , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἡγμένας εὐθύς ἴσος , ὁ δέ ἕτερος ὁ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ λοιπός μείζων πρός ὁ μικρός ἢ καί ἴσος πρός ὁ ἴσος , οὖον ὁ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλάσσων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0187.5
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ , ΕΖ βάσεις , ὧν ἑκατέρα τετμήσθω δίχα κατὰ τὰ Η καὶ Θ σημεῖα , καὶ ἐπιευχθείσαι αἱ ΑΗ , ΔΘ ἴσαι ἔστωσαν · ἔστω δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῆς ΔΖ μεῖζων , ἡ δὲ ΒΑ τῆς ΑΓ μὴ ἐλάττων , ὥστε τὴν ΕΔ πρὸς ΔΖ μεῖζονα
Lemmas: ἔστω δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ ἴσος ἔχω ὁ ΒΓ , ΕΖ βάσις , ὅς ἑκάτερος τέμνω δίχα κατά ὁ ὁ καί Θ σημεῖον , καί επιευχθεισος ὁ ΑΗ , ΔΘ Ἴσαι εἰμί · ἵστημι δέ ὁ μέν ΕΔ ὁ ΔΖ μείζων , ὁ δέ ΒΑ ὁ ΑΓ μή μικρός , ὥστε ὁ ΕΔ πρός ΔΖ μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0189.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0189.2
μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓΔ πρὸς ΔΖ , καὶ ἐναλλάξ τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΕΒ πρὸς ΖΔ . καὶ ἐστὶν ἴσον τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ · ἔλαττον ἄρα τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ . τὸ δὲ ΖΔ τοῦ ΓΖ οὐ μεῖζον · καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ΕΒ . ἢν δὲ καὶ τοῦ ΑΕ ἔλαττον · ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΒ . πάλιν ἐπεὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ ἴσον , ὧν τὸ ΕΒ τοῦ ΔΖ ἔλαττον , λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΑ λοιποῦ τοῦ ΓΖ μεῖζον . τὸ δὲ ΓΖ τοῦ ΖΔ οὐκ ἔλαττόν ἐστι · καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ . ἢν δὲ καὶ τοῦ ΕΒ μεῖζον · μέγιστον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕ , τὸ δὲ ΕΒ ἐλάχιστον .
Lemmas: μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔ πρός ΔΖ , καί ἐναλλάξ ὁ ΑΒ πρός ΓΔ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΒ πρός ΖΔ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · μικρός ἄρα ὁ ΕΒ ὁ ΖΔ . ὁ δέ ΖΔ ὁ ΓΖ οὖον μείζων · καί ὁ ΓΖ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ΕΒ . εἄν δέ καί ὁ ΑΕ μικρός · μικρός ἄρα ὁ ΕΒ . πάλιν ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ ἴσος , ὅς ὁ ΕΒ ὁ ΔΖ μικρός , λοιπός ἄρα ὁ ΕΑ λοιπός ὁ ΓΖ μείζων . ὁ δέ ΓΖ ὁ ΖΔ οὐ ἐλάσσων εἰμί · καί ὁ ΖΔ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ΑΕ . εἄν δέ καί ὁ ΕΒ μείζων · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΕΒ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0189.3
χ'
Lemmas: καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0189.4
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ , ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένας εὐθείας ἴσας , τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ μεῖζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἔλαττονα μεῖζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ ἡ τοῦ λοιποῦ μεῖζων πρὸς τὴν ἔλαττονα ἢ καὶ ἴση πρὸς τὴν ἴσην , οὐ ἡ μεῖζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἔλαττονα μεῖζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ τε βάσις ἴσος ἔχω , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἡγμένας εὐθύς ἴσος , ὁ δέ ἕτερος ὁ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ λοιπός μείζων πρός ὁ μικρός ἢ καί ἴσος πρός ὁ ἴσος , οὖον ὁ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλάσσων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0189.5
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ , ΕΖ βάσεις , ὧν ἑκάτερα τετμήσθω δίχα κατὰ τὰ Η καὶ Θ σημεῖα , καὶ ἐπιευθεύσειν αἱ ΑΗ , ΔΘ ἴσαι ἔστωσαν · ἔστω δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῆς ΔΖ μεῖζων , ἡ δὲ ΒΑ τῆς ΑΓ μὴ ἔλαττων , ὥστε τὴν ΕΔ πρὸς ΔΖ μεῖζονα
Lemmas: ἔστω δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ ἴσος ἔχω ὁ ΒΓ , ΕΖ βάσις , ὅς ἑκάτερος τέμνω δίχα κατά ὁ ὁ καί Θ σημεῖον , καί επιευθεω ὁ ΑΗ , ΔΘ Ἴσαι εἰμί · ἵστημι δέ ὁ μέν ΕΔ ὁ ΔΖ μείζων , ὁ δέ ΒΑ ὁ ΑΓ μή ἔλαττων , ὥστε ὁ ΕΔ πρός ΔΖ μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0191.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0191.2
λόγον ἔχειν ἧπερ τὴν BA πρὸς AΓ . λέγω , ὅτι τὸ AEZ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ABΓ .
Lemmas: λόγος ἔχω ὁ ὁ BA πρός AΓ . λέγω , ὅτι ὁ AEZ τρίγωνος ἐλάσσων εἰμί ὁ ABΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0191.3
ἐπεὶ γὰρ αἱ BΓ , EZ ἴσαι τέ εἰσι καὶ εἰς ἴσα διήχθηται , ἐστι δὲ καὶ ἡ AH τῇ AΘ ἴση , καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστίν · τὰ ἄρα ἀπὸ BH , HΓ μετὰ τοῦ δις ἀπὸ AH τοῖς ἀπὸ EΘ , ΘZ μετὰ τοῦ δις ἀπὸ ΘA ἴσα ἐστίν . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ BH , HΓ μετὰ τοῦ δις ἀπὸ AH ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ BA , AΓ · τοῦτο γὰρ ἐδείχθη · τοῖς δὲ ἀπὸ EΘ , ΘZ μετὰ τοῦ δις ἀπὸ ΘA ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ EA , AZ · καὶ συναμφότερον ἄρα τὸ ἀπὸ BA , AΓ συναμφότερω τῷ ἀπὸ EA , AZ ἴσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἡ EA πρὸς AZ μειζόνα λόγον ἔχει ἧπερ ἡ BA πρὸς AΓ , καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς EA πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AZ μειζόνα λόγον ἔχει ἧπερ τὸ ἀπὸ BA πρὸς τὸ ἀπὸ AΓ . ἐπεὶ οὖν δύο ἴσων μεγεθῶν τοῦ τε ἀπὸ συναμφότερον τῆς BA , AΓ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφότερον τῆς EA , AZ τὸ μειζὸν τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον , τουνἐστὶ τὸ ἀπὸ EA πρὸς τὸ ἀπὸ AZ , μειζόνα λόγον ἔχει ἧπερ τὸ τοῦ λοιποῦ τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα , τουντέστι τὸ ἀπὸ BA πρὸς τὸ ἀπὸ AΓ , τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ EA μέγιστον ὄν μειζόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ BA , AΓ , τὸ δὲ ἀπὸ AZ ἐλάχιστον ὄν ἔλαττόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ BA , AΓ διὰ τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος · καὶ ἡ μὲν EA ἄρα ἑκατέρας τῶν BA , AΓ μειζὼν ἐστίν , ἡ δὲ AZ ἑκατέρας τῶν BA , AΓ ἐλάττων . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ B , διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ EA γραφόμενος κύκλος ὑπερπεσεῖται τὴν BA · γεγράφθω δ KA · καὶ ὁ κέντρῳ μὲν τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ AZ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν AΓ · γεγράφθω
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ BΓ , EZ Ἴσαι τε εἰμί καί εἰς ἴσος διάγω , εἰμί δέ καί ὁ AH ὁ AΘ ἴσος , καί ὁ ἀπό αὐτός ἄρα ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ἀπό BH , HΓ μετά ὁ δις ἀπό AH ὁ ἀπό EΘ , ΘZ μετά ὁ δις ἀπό ΘA ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ἀπό BH , HΓ μετά ὁ δις ἀπό AH ἴσος εἰμί ὁ ἀπό BA , AΓ · οὗτος γάρ δείκνυμι · ὁ δέ ἀπό EΘ , ΘZ μετά ὁ δις ἀπό ΘA ἴσος εἰμί ὁ ἀπό EA , AZ · καί συναμφότεροι ἄρα ὁ ἀπό BA , AΓ συναμφότερος ὁ ἀπό EA , AZ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ὁ EA πρός AZ μείζων λόγος ἔχω ὁ ὁ BA πρός AΓ , καί ὁ ἄρα ἀπό ὁ EA πρός ὁ ἀπό ὁ AZ μείζων λόγος ἔχω ὁ ὁ ἀπό BA πρός ὁ ἀπό AΓ . ἐπεί οὖν δύο ἴσος μέγεθος ὁ τε ἀπό συναμφότεροι ὁ BA , AΓ καί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ EA , AZ ὁ μείζων τμῆμα πρός ὁ μικρός , τουνἐστὶ ὁ ἀπό EA πρός ὁ ἀπό AZ , μείζων λόγος ἔχω ὁ ὁ ὁ λοιπός τμῆμα πρός ὁ λοιπός τμῆμα , τουντέστι ὁ ἀπό BA πρός ὁ ἀπό AΓ , ὁ μέν ἄρα ἀπό EA μέγας εἰμί μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ἀπό BA , AΓ , ὁ δέ ἀπό AZ μικρός εἰμί ἐλάσσων εἰμί ἑκάτερος ὁ ἀπό BA , AΓ διά ὁ πρό οὗτος θεώρημα · καί ὁ μέν EA ἄρα ἑκάτερος ὁ BA , AΓ μείζων εἰμί , ὁ δέ AZ ἑκάτερος ὁ BA , AΓ μικρός . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ B , διάστημα δέ ὁ ἴσος ὁ EA γράφω κύκλος ὑπερπίπτω ὁ BA · γράφω δ KA · καί ὁ κέντρον μέν ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ ἴσος ὁ AZ γράφω κύκλος τέμνω ὁ AΓ · γράφω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0192.1
τὸ ἀπὸ τῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς καὶ τό ἄ ἀπὸ
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ πρός ὁ ἀπό ὁ καί ὁ ὅς ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0193.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0193.2
δ MN . τέμνουσι δὴ ἀλλήλους οἱ KA , MN κύκλοι , ὡς δεῖξθήσεται . τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞA , ΞB , ΞH , ΞΓ · ἡ μὲν ἄρα BΞ τῇ EA ἴση , ἡ δὲ ΞΓ τῇ AZ . ἦν δὲ καὶ ἡ BG τῇ EZ ἴση · καὶ ὅλον ἄρα τὸ BΞΓ τρίγωνον τῷ EAZ ἴσον ἐστίν . ὥστε ἴση καὶ ἡ ΞH τῇ AΘ , τούτεστι τῇ AH · ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΞAH γωνία . καὶ ἐπεὶ ἡ BA τῆς AG οὐκ ἐστὶν ἐλάττων , καὶ ἡ ὑπὸ AHB ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ AHG οὐκ ἐστὶν ἐλάττων · ἡ ἄρα ὑπὸ AHG οὐ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . ἡ δὲ ὑπὸ HAΞ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓHA , ΞAH δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν · οὐκ ἄρα ἡ AΞ τῇ HG παράλληλός ἐστιν . ἔχθω δὴ διὰ τοῦ A τῇ BG παράλληλος ἡ AP , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ BΞΠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΠ · τὸ ἄρα ABΓ ἴσον ἐστὶ τῷ BΠΓ τριγώνῳ . τὸ ἄρα BAΓ μείζον ἐστὶ τοῦ BΞΓ , τούτεστι τοῦ EAZ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δ MN . τέμνω δή ἀλλήλων ὁ KA , MN κύκλος , ὡς δείκνυμι . τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞA , ΞB , ΞH , ΞΓ · ὁ μέν ἄρα BΞ ὁ EA ἴσος , ὁ δέ ΞΓ ὁ AZ . εἰμί δέ καί ὁ BG ὁ EZ ἴσος · καί ὅλος ἄρα ὁ BΞΓ τρίγωνος ὁ EAZ ἴσος εἰμί . ὥστε ἴσος καί ὁ ΞH ὁ AΘ , τουτέστι ὁ AH · ὀξύς ἄρα ὁ ὑπό ΞAH γωνία . καί ἐπεί ὁ BA ὁ AG οὐ εἰμί μικρός , καί ὁ ὑπό AHB ἄρα γωνία ὁ ὑπό AHG οὐ εἰμί μικρός · ὁ ἄρα ὑπό AHG οὖον μείζων εἰμί ὀρθός . ὁ δέ ὑπό HAΞ μικρός εἰμί ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΓHA , ΞAH δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί · οὐ ἄρα ὁ AΞ ὁ HG παράλληλος εἰμί . ἔχθω δή διά ὁ A ὁ BG παράλληλος ὁ AP , καί ἐκβάλλω ὁ BΞΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΠ · ὁ ἄρα ABΓ ἴσος εἰμί ὁ BΠΓ τρίγωνος . ὁ ἄρα BAΓ μείζων εἰμί ὁ BΞΓ , τουτέστι ὁ EAZ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0193.3
" Ὅτι δὲ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ KA , MN κύκλοι , δεῖκτέον οὕτως .
Lemmas: " ὅτι2 δέ τέμνω ἀλλήλων ὁ KA , MN κύκλος , δείκνυμι οὕτως .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0193.4
ἔστω γὰρ τῇ μὲν EA ἴση ἡ BAP , τῇ δὲ AZ ἴση ἡ ΓΣ ἐπ’ εὐθείας οὖσα τῇ BG · ὅλη ἄρα ἡ BΣ ἴση ἐστὶ συναμφότερω τῇ EZ , ZA . ἐπεὶ οὖν συναμφότερος ἡ EZ , ZA τῆς EA μείζων ἐστί , καὶ ἡ BΣ ἄρα τῆς BP μείζων ἐστίν · ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ B , διαστήματι δὲ τῷ BP γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν BΣ . ἡ δὲ ΓΣ
Lemmas: ἵστημι γάρ ὁ μέν EA ἴσος ὁ BAP , ὁ δέ AZ ἴσος ὁ ΓΣ ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ BG · ὅλος ἄρα ὁ BΣ ἴσος εἰμί συναμφότερος ὁ EZ , ZA . ἐπεί οὖν συναμφότερος ὁ EZ , ZA ὁ EA μείζων εἰμί , καί ὁ BΣ ἄρα ὁ BP μείζων εἰμί · ὁ ἄρα κέντρον ὁ B , διάστημα δέ ὁ BP γράφω κύκλος τέμνω ὁ BΣ . ὁ δέ ΓΣ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.2
ἴση οὖσα τῇ ΔΖ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΓΑ · ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ΓΣ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΓ . τεμνέτω κατὰ τὸ Ρ · ἥξει ἄρα διὰ τῆς ΡΤ περιφερείας . τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους καὶ οἱ ΚΑ , ΜΝ δ κύκλοι .
Lemmas: ἴσος εἰμί ὁ ΔΖ μικρός εἰμί ὁ ΓΑ · ὁ ἄρα κέντρον ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ ΓΣ γράφω κύκλος τέμνω ὁ ΑΓ . τέμνω κατά ὁ Ρ · ἥκω ἄρα διά ὁ ΡΤ περιφέρεια . τέμνω ἄρα ἀλλήλων καί ὁ ΚΑ , ΜΝ δ κύκλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.3
κα´ .
Lemmas: κα´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.4
Ἐὰν δύο τρίγωνα ἀνισοσκελῆ τὰς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ , ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένας εὐθείας ἴσας , τοῦ ἐλάττονος ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ τοῦ μείζονος μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ανισοσκελής ὁ τε βάσις ἴσος ἔχω , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἡγμένας εὐθύς ἴσος , ὁ μικρός ὁ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ μείζων μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.5
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΕΖΗ ἴσας ἔχοντα τὰς τε ΑΓ , ΕΗ βάσεις δίχα τετμημένας κατὰ τὰ Δ καὶ Θ σημεία , ἴσαι δὲ ἔστωσαν καὶ αἱ ΒΔ , ΖΘ , καὶ μείζον τὸ ΕΖΗ τρίγωνον , ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων , ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΗ . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ .
Lemmas: ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΕΖΗ ἴσος ἔχω ὁ τε ΑΓ , ΕΗ βάσις δίχα τέμνω κατά ὁ δ καί Θ σημεῖον , Ἴσαι δέ εἰμί καί ὁ ΒΔ , ΖΘ , καί μείζων ὁ ΕΖΗ τρίγωνος , ἵστημι δέ ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ μείζων , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΖΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πρός ΒΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός ΖΗ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.6
εἰ γὰρ μή , ἤτοι τὸν αὐτὸν ἢ ἐλάττονα .
Lemmas: εἰμί γάρ μή , ἤτοι ὁ αὐτός ἢ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.7
ἔστω οὖν πρῶτον , εἰ δυνατόν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ . ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ · καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ , ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΑΒ , ΒΓ πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΕΖ , ΖΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ . ἀλλὰ συναμφότερον τὸ
Lemmas: ἵστημι οὖν πρῶτος , εἰμί δυνατός , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΖΗ . ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ΖΗ · καί συντίθημι ἄρα καί ἐναλλάξ , ὡς συναμφότεροι ὁ ἀπό ΑΒ , ΒΓ πρός συναμφότεροι ὁ ἀπό ΕΖ , ΖΗ , οὕτως ὁ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό ΖΗ . ἀλλά συναμφότεροι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0195.8
1 . ἐλάττων ] p , ἐλαττον Vc . 4 . καί ] om . p . 5 . κξ mg . m . rec . V . 6 . κα´ ] p , κβ´ mg . m . rec . V , om . Vc . 13 . καί ] om . p . 14 . αἱ ] vcp , ἔ V . ΖΘ ] corr . ex ΖΔ p . 15 . τριγωνον ] τριγωνον τοῦ ΑΒΓ p . 16 . ΒΓ ] τὴν ΒΓ p . 17 . ΖΗ ] τὴν ΖΗ p . 18 . ἐλάττονα ] ἐλάττονα ἔξει Halley . 20 . οὕτως ] om . p . 21 . οὕτως ] om . p . 22 . καὶ ἐναλλάξ ] om . p . ἀπὸ ] ἀπὸ τῆς p . 23 . πρὸς ] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ οὕτω p . ἀπὸ ] ἀπὸ τῆς p . οὕτω ] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , καὶ
Lemmas: 1 . μικρός ] p , μικρός Vc . 4 . καί ] om . p . 5 . κξ mg . m . rec . V . 6 . κα´ ] p , κβ´ mg . m . rec . V , om . Vc . 13 . καί ] om . p . 14 . ὁ ] vcp , ἔ V . ΖΘ ] corr . ex ΖΔ p . 15 . τρίγωνος ] τρίγωνος ὁ ΑΒΓ p . 16 . ΒΓ ] ὁ ΒΓ p . 17 . ΖΗ ] ὁ ΖΗ p . 18 . μικρός ] μικρός ἔξειμι Halley . 20 . οὕτως ] om . p . 21 . οὕτως ] om . p . 22 . καί ἐναλλάξ ] om . p . ἀπό ] ἀπό ὁ p . 23 . πρός ] πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ οὗτος p . ἀπό ] ἀπό ὁ p . οὗτος ] πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.2
ἀπὸ ABΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ EZH ἴσον · καὶ τὸ ἀπὸ BΓ ἄρα τῷ ἀπὸ ZH ἴσον . ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ἀπὸ AB λοιπῷ τῷ ἀπὸ EZ ἴσον · ἴση ἄρα ἡ μὲν AB τῇ EZ , ἡ δὲ BΓ τῇ ZH . ἀλλὰ καὶ αἱ βάσεις ἴσαι · πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα . ἴσον ἄρα τὸ ABΓ τρίγωνον τῷ EZH · ὅπερ ἄτοπον · ἦν γὰρ ἔλαττον τὸ ABΓ . οὐκ ἄρα ἡ AB πρὸς BΓ λόγον ἔχει , ὃν ἡ EZ πρὸς ZH .
Lemmas: ἀπό ABΓ συναμφότεροι ὁ ἀπό EZH ἴσος · καί ὁ ἀπό BΓ ἄρα ὁ ἀπό ZH ἴσος . ὥστε καί λοιπός ὁ ἀπό AB λοιπός ὁ ἀπό EZ ἴσος · ἴσος ἄρα ὁ μέν AB ὁ EZ , ὁ δέ BΓ ὁ ZH . ἀλλά καί ὁ βάσις Ἴσαι · πᾶς ἄρα πᾶς ἴσος . ἴσος ἄρα ὁ ABΓ τρίγωνος ὁ EZH · ὅσπερ ἄτοπος · εἰμί γάρ μικρός ὁ ABΓ . οὐ ἄρα ὁ AB πρός BΓ λόγος ἔχω , ὅς ὁ EZ πρός ZH .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.3
ἀλλ' , εἰ δυνατόν , ἔχετω ἡ AB πρὸς BΓ ἔλαττονα λόγον ἢπερ ἡ EZ πρὸς ZH · ἡ EZ ἄρα πρὸς ZH μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ AB πρὸς BΓ . τὸ ἄρα EZH τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ABΓ διὰ τὰ δεῖχθέντα · ὅπερ ἄτοπον · ὑπέκειτο γὰρ μείζων . οὐκ ἄρα ἡ AB πρὸς BΓ ἔλαττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ EZ πρὸς ZH . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὔδὲ τὸν αὐτόν · ἡ AB ἄρα πρὸς BΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ EZ πρὸς ZH .
Lemmas: ἀλλά , εἰμί δυνατός , ἔχω ὁ AB πρός BΓ μικρός λόγος ἤ ὁ EZ πρός ZH · ὁ EZ ἄρα πρός ZH μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ AB πρός BΓ . ὁ ἄρα EZH τρίγωνος ἐλάσσων εἰμί ὁ ABΓ διά ὁ δείκνυμι · ὅσπερ ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ μείζων . οὐ ἄρα ὁ AB πρός BΓ μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ EZ πρός ZH . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ὁ αὐτός · ὁ AB ἄρα πρός BΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ EZ πρός ZH .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.4
κβ'
Lemmas: κβ'
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.5
Τὸν δοθέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς ἐπίπεδῳ ποιούντι ἐν τῷ κώνῳ τρίγωνον ἰσοσκελές .
Lemmas: ὁ δίδωμι κῶνος σκαληνός τέμνω διά ὁ κορυφή ἐπίπεδος ποιέω ἐν ὁ κῶνος τρίγωνος ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.6
Ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός , οὗ ἄξων μὲν ὁ AB , βάσις δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος , καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτόν , ὡς ἐπιτέτακται .
Lemmas: ἔστω ὁ δίδωμι κῶνος σκαληνός , ὅς ἄγω μέν ὁ AB , βάσις δέ ὁ ΓΕΔ κύκλος , καί δήω ἵστημι τέμνω αὐτός , ὡς ἐπιτάσσω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0197.7
τετμήσθω πρῶτον διὰ τοῦ ἄξονος τῷ ΑΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὄντι τῷ ΓΕΔ κύκλῳ , καὶ ἡχθῶ ἡ AH κάθετος , ἥτις πίπτει ἐπὶ τὴν ΓΔ βάσιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου , καὶ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡχθῶ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ EZ , καὶ διὰ τῆς EZ καὶ τῆς A κορυφῆς ἐκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ AEZ
Lemmas: τέμνω πρῶτος διά ὁ ἄγω ὁ ΑΓΔ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΓΕΔ κύκλος , καί ἄγω ὁ AH κάθετος , ὅστις πίπτω ἐπί ὁ ΓΔ βάσις ὁ ΑΓΔ τρίγωνος , καί ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ἄγω ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ὁ EZ , καί διά ὁ EZ καί ὁ A κορυφή ἐκβάλλω ὁ ἐπίπεδος ποιέω ὁ AEZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.2
ἴση οὖσα τῇ AZ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΓΑ · ὁ ἄρα κέντρω τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ΓΣ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΓ . τεμνέτω κατὰ τὸ Ρ · ἕξει ἄρα διὰ τῆς ΡΤ περιφερείας . τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους καὶ οἱ ΚΑ , ΜΝ δ κύκλοι .
Lemmas: ἴσος εἰμί ὁ AZ μικρός εἰμί ὁ ΓΑ · ὁ ἄρα κέντρον ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ ΓΣ γράφω κύκλος τέμνω ὁ ΑΓ . τέμνω κατά ὁ Ρ · ἔχω ἄρα διά ὁ ΡΤ περιφέρεια . τέμνω ἄρα ἀλλήλων καί ὁ ΚΑ , ΜΝ δ κύκλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.3
καʹ .
Lemmas: καί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.4
Ἐὰν δύο τρίγωνα ἀνῑσόσκελα τὰς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ , ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν δίχοτο-μίαν τῆς βάσεως ἡγμένας εὐθείας ἴσας , τοῦ ἐλάττονος 10 ἢ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ τοῦ μειζόνος μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ἀνῑσόσκελα ὁ τε βάσις ἴσος ἔχω , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἡγμένας εὐθύς ἴσος , ὁ μικρός 10 ἢ μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ μείζων μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.5
ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΕΖΗ ἴσας ἔχοντα τὰς τε ΑΓ , ΕΗ βάσεις δίχα τετμημένας κατὰ τὰ Δ καὶ Θ σημεία , ἴσαι δὲ ἔστωσαν καὶ αἱ ΒΔ , ΖΘ , καὶ μείζον 15 τὸ ΕΖΗ τρίγωνον , ἔστω δὴ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων , ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΗ . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ .
Lemmas: ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΕΖΗ ἴσος ἔχω ὁ τε ΑΓ , ΕΗ βάσις δίχα τέμνω κατά ὁ δ καί Θ σημεῖον , Ἴσαι δέ εἰμί καί ὁ ΒΔ , ΖΘ , καί μείζων 15 ὁ ΕΖΗ τρίγωνος , ἵστημι δή ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ μείζων , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΖΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πρός ΒΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός ΖΗ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.6
εἰ γὰρ μή , ἤτοι τὸν αὐτὸν ἢ ἐλάττονα .
Lemmas: εἰμί γάρ μή , ἤτοι ὁ αὐτός ἢ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.7
ἔστω οὖν πρῶτον , εἰ δυνατόν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , 20 οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ . ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ · καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ , ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΑΒ , ΒΓ πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΕΖ , ΖΗ , οὕτω τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ . ἀλλὰ συναμφότερον τὸ
Lemmas: ἵστημι οὖν πρῶτος , εἰμί δυνατός , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , 20 οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΖΗ . ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ΖΗ · καί συντίθημι ἄρα καί ἐναλλάξ , ὡς συναμφότεροι ὁ ἀπό ΑΒ , ΒΓ πρός συναμφότεροι ὁ ἀπό ΕΖ , ΖΗ , οὗτος ὁ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό ΖΗ . ἀλλά συναμφότεροι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0199.8
1 . ἐλάττων ] p , ἐλαττον Vc . 4 . καί ] om . p . 5 . κξ mg . m . rec . V . 6 . καʹ ] p , κβʹ mg . m . rec . V , om . Vc . 13 . καί ] om . p . 14 . αἱ ] vcp , ἔ V . ΖΘ ] corr . ex ΖΔ p . 15 . τριγωνον ] τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ p . 16 . ΒΓ ] τὴν ΒΓ p . 17 . ΖΗ ] τὴν ΖΗ p . 18 . ἐλάττονα ] ἐλάττονα ἕξει Halley . 20 . οὕτως ] om . p . 21 . οὕτως ] om . p . 22 . καὶ ἐναλλάξ ] om . p . ἀπὸ ] ἀπὸ τῆς p . 23 . πρὸς ] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ οὕτω p . ἀπὸ ] ἀπὸ τῆς p . οὕτω ] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , καὶ
Lemmas: 1 . μικρός ] p , μικρός Vc . 4 . καί ] om . p . 5 . κξ mg . m . rec . V . 6 . καί ] p , κβʹ mg . m . rec . V , om . Vc . 13 . καί ] om . p . 14 . ὁ ] vcp , ἔ V . ΖΘ ] corr . ex ΖΔ p . 15 . τρίγωνος ] τρίγωνος ὁ ΑΒΓ p . 16 . ΒΓ ] ὁ ΒΓ p . 17 . ΖΗ ] ὁ ΖΗ p . 18 . μικρός ] μικρός ἔχω Halley . 20 . οὕτως ] om . p . 21 . οὕτως ] om . p . 22 . καί ἐναλλάξ ] om . p . ἀπό ] ἀπό ὁ p . 23 . πρός ] πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ οὗτος p . ἀπό ] ἀπό ὁ p . οὗτος ] πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0200.1
ἐναλλάξ , ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ τῆς πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ τῆς
Lemmas: ἐναλλάξ , ὡς συναμφότεροι ὁ ἀπό ὁ πρός συναμφότεροι ὁ ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0201.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0201.2
ἐλάχιστον δὲ τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου , τῶν δὲ λοιπῶν τὸ τοῦ μεγίστου ἐγγιὸν μειζόν ἐστι τοῦ ἀπάτερον .
Lemmas: μικρός δέ ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ὁ κῶνος , ὁ δέ λοιπός ὁ ὁ μέγας ἐγγύς μείζων εἰμί ὁ ἀπάτερον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0201.3
ἐν γὰρ κώνῳ σκαληνῷ διὰ τοῦ AB ἄξονος ἔστω τρίγωνα , ἰσόσκελές μὲν τὸ AΓΔ , ὀρθὸν δὲ πρὸς τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον τὸ AEZ . λέγω , ὅτι πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μὲν ἐστι τὸ AΓΔ , ἐλάχιστον δὲ τὸ AEZ .
Lemmas: ἐν γάρ κῶνος σκαληνός διά ὁ AB ἄγω ἵστημι τρίγωνος , ἰσοσκελής μέν ὁ AΓΔ , ὀρθός δέ πρός ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος ὁ AEZ . λέγω , ὅτι πᾶς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος μέγας μέν εἰμί ὁ AΓΔ , μικρός δέ ὁ AEZ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0201.4
ἔστω γὰρ διὰ τοῦ ἄξονος ἡγμένον ἄλλο τρίγωνον τὸ AHΘ . καὶ ἐπεὶ σκαληνὸς ὁ κώνος , κεκλισθῶ ὁ AB ἄξων ἐπὶ τὰ τοῦ Z μέρη · μεγίστη μὲν ἄρα ἡ AE πλευρὰ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ A ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν , ἐλάχιστη δὲ ἡ AZ . ἡ μὲν ἄρα EA τῆς AH μειζὼν ἐστίν , ἡ δὲ ZA τῆς AΘ ἐλάττων . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ AEZ , AHΘ ἴσας ἔχει βάσεις τὰς EZ , HΘ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν δίχοτομίαν τῆς βάσεως τὴν αὐτὴν τὴν AB , καὶ μειζόνα λόγον ἔχει ἡ AE πρὸς AZ ἢπερ ἡ HA πρὸς AΘ , ἐλάττων ἄρα ἐστὶ τὸ AEZ τοῦ HAΘ . ὁμοίως δὲ δείκνυται , ὅτι καὶ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων · ἐλάχιστον ἄρα τὸ EAZ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων . πάλιν ἐπεὶ τῶν AHΘ , AΓΔ τριγώνων αἱ τε βάσεις ἴσαι καὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν δίχοτομίαν τῆς βάσεως ἡ αὐτή , καὶ ἔχει ἡ HA πρὸς AΘ μειζόνα λόγον ἢπερ ἡ ΓA πρὸς AΔ · ἴσαι γὰρ αἱ ΓA ,
Lemmas: ἵστημι γάρ διά ὁ ἄγω ἄγω ἄλλος τρίγωνος ὁ AHΘ . καί ἐπεί σκαληνός ὁ κώνος , κλίνω ὁ AB ἄγω ἐπί ὁ ὁ Z μέρος · μέγας μέν ἄρα ὁ AE πλευρόν πᾶς ὁ ἀπό ὁ A ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω εὐθύς , λίγος δέ ὁ AZ . ὁ μέν ἄρα EA ὁ AH μείζων εἰμί , ὁ δέ ZA ὁ AΘ μικρός . ἐπεί οὖν δύο τρίγωνος ὁ AEZ , AHΘ ἴσος ἔχω βάσις ὁ EZ , HΘ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ὁ αὐτός ὁ AB , καί μείζων λόγος ἔχω ὁ AE πρός AZ ἤ ὁ HA πρός AΘ , μικρός ἄρα εἰμί ὁ AEZ ὁ HAΘ . ὁμοίως δέ δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος · μικρός ἄρα ὁ EAZ πᾶς ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος . πάλιν ἐπεί ὁ AHΘ , AΓΔ τρίγωνος ὁ τε βάσις Ἴσαι καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ὁ αὐτός , καί ἔχω ὁ HA πρός AΘ μείζων λόγος ἤ ὁ ΓA πρός AΔ · Ἴσαι γάρ ὁ ΓA ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0203.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0203.2
ἡ BA πρὸς ἄλλην τινά , ἔχετω δὲ πρὸς τὴν AH , ἥτις ἐνηρμοσθῶ ὑπὸ τὴν ὑπὸ AZH γωνίαν . ἡ BA ἄρα πρὸς AH ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ AB πρὸς AG · μείζων ἄρα ἡ HA τῆς AG καὶ ἡ HZ τῆς ZΓ . ἐπεὶ οὖν , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς E , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς BA πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AH , μείζον ἄρα τὸ ἀπὸ BA τοῦ ἀπὸ AH , τοιούστι τὰ ἀπὸ BZ , ZA τῶν ἀπὸ AZ , ZH . κοινὸν ἀφηρησθῶ τὸ ἀπὸ AZ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ BZ τοῦ ἀπὸ ZH μείζον , καὶ ἡ BZ τῆς ZH . ἢν δὲ καὶ ἡ ΓZ τῆς ZH ἐλάττων · ἡ ἄρα ZH τῆς μὲν ZΓ μείζων ἐστίν , τῆς δὲ ZB ἐλάττων . ἐνηρμοσθῶ τοίνυν τῷ κύκλῳ τῇ ZH ἴση ἡ ZΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AΘ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΘZ τῇ ZH ἴση , κοινὴ δὲ ἡ ZA καὶ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρα αὐτῶν , καὶ βάσις ἄρα ἡ ΘA τῇ AH ἴση . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ A πρὸς E , οὕτως ἡ BA πρὸς AH , τοιούστιν ἡ BA πρὸς AΘ , ἡ δὲ A πρὸς E ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστί , καὶ ἡ BA ἄρα πρὸς AΘ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστίν . ἡ AΘ ἄρα διήκται , πρὸς ἣν ἡ BA λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ BA πρός ἄλλος τις , ἔχω δέ πρός ὁ AH , ὅστις ἐναρμόζω ὑπό ὁ ὑπό AZH γωνία . ὁ BA ἄρα πρός AH μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ AB πρός AG · μείζων ἄρα ὁ HA ὁ AG καί ὁ HZ ὁ ZΓ . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ἀπό ὁ A πρός ὁ ἀπό ὁ E , οὕτως ὁ ἀπό ὁ BA πρός ὁ ἀπό ὁ AH , μείζων ἄρα ὁ ἀπό BA ὁ ἀπό AH , τοιουειμι ὁ ἀπό BZ , ZA ὁ ἀπό AZ , ZH . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό AZ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό BZ ὁ ἀπό ZH μείζων , καί ὁ BZ ὁ ZH . εἄν δέ καί ὁ ΓZ ὁ ZH μικρός · ὁ ἄρα ZH ὁ μέν ZΓ μείζων εἰμί , ὁ δέ ZB μικρός . ἐναρμόζω τοίνυν ὁ κύκλος ὁ ZH ἴσος ὁ ZΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AΘ . ἐπεί οὖν ὁ ΘZ ὁ ZH ἴσος , κοινός δέ ὁ ZA καί πρός ὀρθός ἑκάτερος αὐτός , καί βάσις ἄρα ὁ ΘA ὁ AH ἴσος . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ A πρός E , οὕτως ὁ BA πρός AH , τοιουειμι ὁ BA πρός AΘ , ὁ δέ A πρός E ἐν ὁ δίδωμι λόγος εἰμί , καί ὁ BA ἄρα πρός AΘ ἐν ὁ δίδωμι λόγος εἰμί . ὁ AΘ ἄρα διήκω , πρός ὅς ὁ BA λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω · ὅσπερ ἐσθίω ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.2
κς'
Lemmas: κ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.3
" Ἔστω τρίγωνον δοθὲν τὸ ΑΒΓ σκαληνὸν μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΑΓ , ἡ δὲ ΒΓ βάσις τετμησθῶ δίχα κατὰ τὸ Δ , καὶ διήχθω ἡ ΑΔ , καὶ ἡ μὲν ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ ΒΓ ἴση οὖσα τῇ ΔΑ , ἡ δὲ ΑΖ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ . μείζον τοῦ ΑΒΓ ἄλλο τρίγωνον συστήσασθαι τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἴσην ἐκατέρας τῶν ΔΕ , ΔΑ καὶ προσέτι λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒΓ , ὃν ἡ Θ πρὸς Η μείζω πρὸς ἐλάττονα · ἔχετω δὲ ἡ Θ πρὸς Η λόγον μὴ μείζω ἢπερ ἡ ΔΕ πρὸς ΑΖ .
Lemmas: " ἔστω τρίγωνος δίδωμι ὁ ΑΒΓ σκαληνός μείζων ἔχω ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΓ βάσις τέμνω δίχα κατά ὁ δ , καί διάγω ὁ ΑΔ , καί ὁ μέν ΕΔ πρός ὀρθός ἵστημι ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ , ὁ δέ αζʹ κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ . μείζων ὁ ΑΒΓ ἄλλος τρίγωνος συνίστημι ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἴσος ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΔΑ καί προσέτι λόγος ἔχω πρός ὁ ΑΒΓ , ὅς ὁ Θ πρός ὁ μείζων πρός μικρός · ἔχω δέ ὁ Θ πρός ὁ λόγος μή μείζων ἤ ὁ ΔΕ πρός αζʹ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.4
κέντρῳ τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΔΑ γεγράφθω κύκλος · ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ Ε · ἔστω δὴ ὁ ΕΑ .
Lemmas: κέντρον ὁ δ , διάστημα δέ ὁ ΔΑ γράφω κύκλος · ἥκω δή καί διά ὁ Ε · ἵστημι δή ὁ ΕΑ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.5
ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς Θ πρὸς Η λόγος οὐ μείζων ἐστὶ τοῦ τῆς ΔΕ πρὸς ΑΖ , ἤτοι ὁ αὐτὸς ἐστὶν ἢ ἐλάττων .
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ ὁ Θ πρός ὁ λόγος οὖον μείζων εἰμί ὁ ὁ ΔΕ πρός αζʹ , ἤτοι ὁ αὐτός εἰμί ἢ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0205.6
1 . κς' ] p et m . rec . V , om . Vc . Praemittit p : τριγώνον δοθέντος σκαληνοῦ καὶ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένης εὐθείας ἄλλο μείζον τρίγωνον συστήσασθαι , ὥστε ἴσην μὲν ἔχειν τὴν βάσιν καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως τῇ τοῦ δοθέντος τριγώνου , λόγον δὲ ἔχειν πρὸς τὸ δοθὲν τρίγωνον , ὃν εὐθεῖά τις μείζων πρὸς ἐλάττονα · δεῖ δὴ τὰς τοιαύτας εὐθείας λόγον ἔχειν πρὸς ἀλλήλας μὴ μείζω τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ δοθέντος τριγώνου ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένη τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν πιπτούσης καθέτου . 2 . τρίγωνον δοθὲν ] τὸ δοθὲν σκαληνὸν τρίγωνον p . σκαληνόν ] om . p . 3 . ΑΓ ] ΒΓ Vcp , corr . Comm . ἡ δὲ ΒΓ βάσις ] καὶ p . ΒΓ ] Β euau . c . δίχα ] ἡ ΒΓ βάσις δίχα p . 4 . καὶ ( alt . ) ] om . p . ἡ μὲν — 6 . συστήσασθαι ] ἡχθῶ δὲ ἀπὸ τοῦ Α καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΖ , καὶ δεῖν ἔστω ἄλλο μείζον τρίγωνον συστήσασθαι ἐπὶ τῆς ΒΓ p . 8 . ἐκατέρας — ΔΑ ] ἔχον τῇ ΑΔ p . 9 . ΑΒΓ ] ΑΒΓ τρίγωνον p . Θ — 10 . ἐλάττονα ] Θ μείζων πρὸς ἐλάττονα τὴν Η p . 10 . Η ] τὴν Η p . 11 . ἢπερ ] τοῦ ὃν ἔχει p . ΔΕ ] ΔΑ p . ΑΖ ] corr . ex ΑΔZ m . 1 c . 12 . κέντρῳ ] ἡχθῶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ καὶ κέντρῳ p . κέντρῳ — ΔΑ ] om . c . γεγράφθω — 13 . ΕΑ ] κύκλου περιφέρεια
Lemmas: 1 . κ ] p et m . rec . V , om . Vc . Praemittit p : τρίγωνος δίδωμι σκαληνός καί ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἡγμένης εὐθύς ἄλλος μείζων τρίγωνος συνίστημι , ὥστε ἴσος μέν ἔχω ὁ βάσις καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ὁ ὁ δίδωμι τρίγωνος , λόγος δέ ἔχω πρός ὁ δίδωμι τρίγωνος , ὅς εὐθύς τις μείζων πρός μικρός · δεῖ δή ὁ τοιοῦτος εὐθύς λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων μή μείζων ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ δίδωμι τρίγωνος ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἄγω ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις πίπτω κάθετος . 2 . τρίγωνος δίδωμι ] ὁ δίδωμι σκαληνός τρίγωνος p . σκαληνός ] om . p . 3 . ΑΓ ] ΒΓ Vcp , corr . Comm . ὁ δέ ΒΓ βάσις ] καί p . ΒΓ ] Β euau . c . δίχα ] ὁ ΒΓ βάσις δίχα p . 4 . καί ( alt . ) ] om . p . ὁ μέν — 6 . συνίστημι ] ἄγω δέ ἀπό ὁ Α καί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ βάσις ὁ αζʹ , καί δήω ἵστημι ἄλλος μείζων τρίγωνος συνίστημι ἐπί ὁ ΒΓ p . 8 . ἑκάτερος — ΔΑ ] ἔχω ὁ ΑΔ p . 9 . ΑΒΓ ] ΑΒΓ τρίγωνος p . Θ — 10 . μικρός ] Θ μείζων πρός μικρός ὁ ὁ p . 10 . ὁ ] ὁ ὁ p . 11 . ἤ ] ὁ ὅς ἔχω p . ΔΕ ] ΔΑ p . αζʹ ] corr . ex ΔΑΔ m . 1 c . 12 . κέντρον ] ἄγω ἀπό ὁ δ πρός ὀρθός ὁ ΔΕ καί κέντρον p . κέντρον — ΔΑ ] om . c . γράφω — 13 . ΕΑ ] κύκλος περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.10
H , τούτεστι τὸν ἐπιταχθέντα .
Lemmas: H , τουτέστι ὁ ἐπιτάσσω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.11
ἀλλὰ δὴ ἔχετω ἡ Θ πρὸς H ἐλάττονα λόγον ἢπερ ἡ
Lemmas: ἀλλά δή ἔχω ὁ Θ πρός H μικρός λόγος ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.12
EA πρὸς AZ , γενέσθω δέ , ὡς ἡ Θ πρὸς H , οὕτως ἡ
Lemmas: EA πρός AZ , γίγνομαι δέ , ὡς ὁ Θ πρός H , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.13
KA πρὸς AZ , καὶ διὰ τοῦ K τῇ ΓΔ παράλληλος
Lemmas: KA πρός AZ , καί διά ὁ K ὁ ΓΔ παράλληλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.14
ἡχθῶ ἡ KA , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AB , AG . ἐπεὶ
Lemmas: ἄγω ὁ KA , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AB , AG . ἐπεί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.15
οὖν , ὡς ἡ Θ πρὸς H , οὕτως ἡ KA πρὸς AZ , ὡς δὲ
Lemmas: οὖν , ὡς ὁ Θ πρός H , οὕτως ὁ KA πρός AZ , ὡς δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.16
ἡ KA πρὸς AZ , οὕτως τὸ BAG τρίγωνον πρὸς τὸ
Lemmas: ὁ KA πρός AZ , οὕτως ὁ BAG τρίγωνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.17
BAG τρίγωνον , τὸ ἄρα BAG πρὸς τὸ BAG τὸν ἐπιταχθέντα
Lemmas: BAG τρίγωνος , ὁ ἄρα BAG πρός ὁ BAG ὁ ἐπιτάσσω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0207.18
ἔχει λόγον τὸν τῆς Θ πρὸς H · ἔχει δὲ καὶ
Lemmas: ἔχω λόγος ὁ ὁ Θ πρός H · ἔχω δέ καί