ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0007.1
ΥΠΑΘΕΙ ΔΙΟΓΝΑΤΕ
Lemmas: ΘΕ ΑΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0015.1
σερήνου ἀντινέσεως φιλοσόφου περὶ κυλίνδρου ( del . alia manus et κώνου supra scripsit atramento nigro ) τομῆς adparet , eum a V pendere , cuius subscriptio libelli de sectione cylindri ( u . p . 166 ) pro titulo libri insequentis accepta est , sicut etiam in w factum esse uidemus.¹ ) cum neque e v neque e w recentiore descriptus esse possit , sine dubio ipsius V apographum est . prior pars codicis e Parisino 2472 sumpta est ( Euclidis opp . VII p . XXII ) . Serenum sequitur post interuallum paruum haec nota : πῶς ἔχοντες δεδομένην εὐθεῖαν ληψόμεθα τὴν περιφέρειαν , ὅφ’ ἧν ὑποτείνει ; λαμβάνομεν τὴν ἐγγιστα ἐλάττονα τῆς ὑποκειμένης εὐθείας καὶ τὴν ἐγγιστα μείζονα καὶ ἐκτίθεμεν ἰδίως τὴν τούτων ὑπεροχήν · εἶτα ἐκτίθεμεν τὴν ὑπεροχὴν τῶν περιφερειῶν ( περιφερ - e corr . ) , ὅφ’ ἃς ὑποτείνουσιν , εἶτα τὴν ὑπεροχὴν τῆς ὑποκειμένης εὐθείας πρὸς τὴν ἐγγιστα ἐλάττονα αὐτῆς , καὶ πολλαπλασιάζομεν αὐτὴν ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν περιφερειῶν ( περιφερ - supra scr . ) καὶ τὸν γινόμενον ἀριθμὸν μερίζομεν παρὰ τὴν ὑπεροχὴν τῆς μείζονος καὶ ἐλάττονος τῶν εὐθειῶν καὶ τὸν γινόμενον ἀριθμὸν προστίθεμεν τῇ ἐλάττονι περιφερείᾳ .
Lemmas: σερήνος ἀντινέσεως φιλόσοφος περί κύλινδρος ( del . alia manus et κῶνος supra scripsit atramento nigro ) τομή adparet , eum a V pendere , cuius subscriptio libelli de sectione cylindri ( u . p . 166 ) pro titulo libri insequentis accepta est , sicut etiam in w factum esse uidemus.¹ ) cum neque e v neque e w recentiore descriptus esse possit , sine dubio ipsius V apographum est . prior pars codicis e Parisino 2472 sumpta est ( Euclidis opp . VII p . XXII ) . Serenum sequitur post interuallum paruum haec nota : πῶς ἔχω δίδωμι εὐθύς λαμβάνω ὁ περιφέρεια , ὑπό ἧμαι ὑποτείνω ; λαμβάνω ὁ ἐγγύς μικρός ὁ ὑπόκειμαι εὐθύς καί ὁ ἐγγύς μείζων καί ἐκτίθημι ἰδίως ὁ οὗτος ὑπεροχή · εἶτα ἐκτίθημι ὁ ὑπεροχή ὁ περιφέρεια ( περιφερ - e corr . ) , ὑπό ὅς ὑποτείνω , εἶτα ὁ ὑπεροχή ὁ ὑπόκειμαι εὐθύς πρός ὁ ἐγγύς μικρός αὐτός , καί πολλαπλασιάζω αὐτός ἐπί ὁ ὑπεροχή ὁ περιφέρεια ( περιφερ - supra scr . ) καί ὁ γίγνομαι ἀριθμός μερίζω παρά ὁ ὑπεροχή ὁ μείζων καί μικρός ὁ εὐθύς καί ὁ γίγνομαι ἀριθμός προστίθημι ὁ μικρός περιφέρεια .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0023.1
Σερήνου τοῦ φιλοσόφου ἐκ τῶν λημμάτων .
Lemmas: Σερήνος ὁ φιλόσοφος ἐκ ὁ λῆμμα .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0023.2
Ἐὰν κύκλον ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον , δ μὴ ἐστὶ κέντρον τοῦ κύκλου , καὶ πρὸς αὐτῷ συσταθῶσιν εὐθύγραμμοι γωνίαι 15 ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι , ἡ ἐγγύτερον τοῦ κέντρου ἀεὶ ἐλάσσων τῆς ἀπώτερον τοῦ κέντρου .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐπί ὁ διάμετρος λαμβάνω τίς σημεῖον , δ μή εἰμί κέντρον ὁ κύκλος , καί πρός αὐτός συνίστημι εὐθύγραμμος γωνία 15 ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ὁ ἐγγύς ὁ κέντρον ἀεί μικρός ὁ ἀπώτερος ὁ κέντρον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0023.3
20 ἐὰν οὖν ταύτην τὴν πρότασιν ἐφαρμόσωμεν ἐπὶ τῆς ἡλιακῆς ἐκκεντρότητος καὶ ὑποθώμεθα κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ A , ζῳδιακὸν δὲ τὸν ΓΔΚ , ἡλιακὸν δὲ 25 ἐκκεντρον τὸν ΕΑΖΘ περὶ κέντρον τὸ Β καὶ ἀπο -
Lemmas: 20 ἐάν οὖν οὗτος ὁ πρότασις ἐφαρμόζω ἐπί ὁ ἡλιακός ἐκκεντρότης καί ὑποτίθημι κέντρον ὁ ζῳδιακός ὁ A , ζῳδιακός δέ ὁ ΓΔΚ , ἡλιακός δέ 25 ἔκκεντρος ὁ ΕΖΘ περί κέντρον ὁ Β καί ἀπος -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0023.4
12 . διαμέτρου ] σ·ο corr . ex σ·:δ M , ἐπιφανείας m , σ · : P ?
Lemmas: 12 . διάμετρος ] σ·ο corr . ex σ·:δ M , ἐπιφάνεια m , Σ · : P ?
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0023.6
14 . εὐθύγραμμοι ] m , εὐθύγραμμα MP . 18 . ἀπώτερον ] ἀπωτέρω m . 19 . Huc Serenus . 22 . ἐκκεντρότητος ] m , ἐγκεντρότητος MP . 25 . ἐκκεντρον ] m , ἐγκε M , ἐγκον P ? ΕΑΖΘ ] scribendum ΕΖΘΑ . ἀπολάβωμεν ] Hultsch , ἀπολάβομεν MP , ὑπολάβωμεν m .
Lemmas: 14 . εὐθύγραμμος ] m , εὐθύγραμμος MP . 18 . ἀπώτερος ] ἀπωτέρω m . 19 . Huc Serenus . 22 . ἐκκεντρότης ] m , εγκεντροτητη MP . 25 . ἔκκεντρος ] m , ἐγκος M , ἐγκον P ? ΕΖΘ ] scribendum ΕΖ . ἀπολαμβάνω ] Hultsch , ἀπολαμβάνω MP , ὑπολαμβάνω m .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.1
λάβωμεν ἴσας περιφερείας τοῦ ἐκκέντρου τὰς ΨΩ , ΩΑ' ,
Lemmas: λαμβάνω ἴσος περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος ὁ ΨΩ , ᾤα ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.10
μέγιστα κινηθήσεται , ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Α ἔρχομενος 10
Lemmas: μέγας κινέω , ἀπό δέ ὁ Ζ ἐπί ὁ Α ἐρχόμενος 10
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.11
δόξει ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ καὶ ἔσται ἀπὸ τῶν μεγίστων
Lemmas: δοκέω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Κ καί εἰμί ἀπό ὁ μέγας
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.12
ἐπὶ τὰ ἐλάχιστα κινούμενος .
Lemmas: ἐπί ὁ μικρός κινέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.13
1 . ἐκκέντρου ] ἐκε M . ΩΑ' ] scripsi , να MP , γω m ( qui
Lemmas: 1 . ἔκκεντρος ] ἐπίτεξ M . ᾤα ] scripsi , νάω MP , εγώ m ( qui
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.14
ωγα P , ωαγ m . 3 . ΤΦ ] m , νφ MP . ἐλάσσων ] scripsi ,
Lemmas: μικρόρρωξ P , ωαγ m . 3 . ΤΦ ] m , ΝΦ MP . μικρός ] scripsi ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.16
6 . ἐλάσσων ] καὶ MPm . 7 . ΕΞΟ ] m , εξ ξο MP .
Lemmas: 6 . μικρός ] καί MPm . 7 . ΕΞ ] m , ἕξ ξο MP .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.2
ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΑΩ γωνία ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΩΑ'Α ·
Lemmas: εἰμί ὁ ὑπό ψάω γωνία μικρός ὁ ὑπό ΑΩ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.3
ὥστε καὶ ἡ ΓΦ περιφέρεια τῆς ΧΦ περιφερείας ἐλάσσων
Lemmas: ὥστε καί ὁ ΓΦ περιφέρεια ὁ ΧΦ περιφέρεια μικρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.4
ἔσται . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί , ἐὰν ἴσας ἀλλήλαις
Lemmas: εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί , ἐάν ἴσος ἀλλήλων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.5
θῶμεν τὰς ΕΞ , ΞΟ , ἐλάσσων ἔσται ἡ ΓΜ τῆς ΜΝ . 5
Lemmas: τίθημι ὁ ΕΞ , ΞΟ , μικρός εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΜΝ . 5
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.6
ἔτι δὲ καὶ ἴσων οὐσῶν τῶn ΣΤ , ΤΘ ἐλάσσων ἔσται
Lemmas: ἔτι δέ καί ἴσος εἰμί ὅς ΣΤ , ΤΘ μικρός εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.7
ἡ ΠΡ τῆς ΡΗ . καὶ καθόλου περὶ μὲν τὴν ΕΞΟ
Lemmas: ὁ ΠΡ ὁ ΡΗ . καί καθόλου περί μέν ὁ ΕΞ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.8
περιφέρειαν κινούμενος ὁ ἥλιος , φαινόμενος δὲ ἐπὶ
Lemmas: περιφέρεια κινέω ὁ ἥλιος , φαίνω δέ ἐπί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0024.9
τῆς ΓΜΝ περιφερείας , ἀπὸ τῶν ἐλαχίστων ἐπὶ τὰ
Lemmas: ὁ ΓΜΝ περιφέρεια , ἀπό ὁ μικρός ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0027.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0027.2
Πολλοὺς ὁρῶν , ὦ φίλε Κύρε , τῶν περὶ γεωμετρίαν ἀναστρεφομένων οἰομένων τὴν τοῦ κυλίνδρου πλαγίαν τομὴν ἑτέραν εἶναι τῆς τοῦ κώνου τομῆς τῆς καλουμένης ἑλλείψεως ἐδικαίωσα μὴ χρήναι περιορᾶν ἄγνοοῦντας αὐτοὺς τε καὶ τοὺς ὑπ’ αὐτῶν οὕτω φρονεῖν ἀναπείσμενους · καίτοι δοξεῖεν ἂν παντὶ ἄλογον εἶναι γεωμέτρας γε ὄντας περὶ γεωμετρικοῦ προβλήματος ἄνευ ἀποδείξεως ἀποφαίνεσθαι τι καὶ πιθανολογεῖν ἄτεχνῶς ἀλλότριον γεωμετρίας πρᾶγμα ποιούντας . ὅμως δ’ οὖν , ἐπεὶπερ οὕτως ὑπελήφασιν , ἡμεῖς δὲ οὐ συμφερόμεθα , φέρε γεωμερικῶς ἀποδείξωμεν , ὅτι μίαν καὶ τὴν αὐτὴν κατ’ εἶδος ἀνάγκη γίνεσθαι ἐν ἀμφοτέροις τοῖς σχήμασι τομήν , τῷ κώνῳ λέγω καὶ τῷ κυλίνδρῳ , τοιῶσδε μέντοι ἀλλ’ οὐχ ἁπλῶς τεμνομένοις .
Lemmas: Πολύς ὁράω , εἰμί φίλος Κῦρος , ὁ περί γεωμετρία ἀναστρέφω οἴομαι ὁ ὁ κύλινδρος πλάγιος τομή ἕτερος εἰμί ὁ ὁ κῶνος τομή ὁ καλέω ἔλλειψις δικαιόω μή χρή περιοράω ἀγνοέω αὐτός τε καί ὁ ὑπό αὐτός οὗτος φρονέω ἀναπείθω · καίτοι δοκέω εἄν πᾶς ἄλογος εἰμί γεωμέτρης γε εἰμί περί γεωμετρικός πρόβλημα ἄνευ ἀπόδειξις ἀποφαίνω τίς καί πιθανολογέω ἄτεχνος ἀλλότριος γεωμετρία πρᾶγμα ποιέω . ὅμως δέ οὖν , ἐπεί οὕτως ὑπολαμβάνω , ἐγώ δέ οὖον συμφέρω , φέρω γεωμερικῶς ἀποδείκνυμι , ὅτι εἷς καί ὁ αὐτός κατά εἶδος ἀνάγκη γίγνομαι ἐν ἀμφότερος ὁ σχῆμα τομή , ὁ κῶνος λέγω καί ὁ κύλινδρος , τοιῶσδε μέντοι ἀλλά οὐ ἁπλόος τέμνω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0027.3
ὡςπερ δὲ οἱ τὰ κωνικὰ πραγματευσάμενοι τῶν παλαιῶν οὐκ ἠρέσθησαν τῇ κοινῇ ἐννοίᾳ τοῦ κώνου , ὅτι τριγώνου περιενεχθέντος ὀρθογωνίου συνίστατο , περισσότερον δὲ καὶ καθολικώτερον ἐφιλοτέχνησαντο μὴ μόνον ὀρθούς , ἀλλὰ καὶ σκαληνοὺς ὑποστησάμενοι κώνους , οὕτω χρή καὶ ἡμᾶς , ἐπεὶδὴ πρόκειται περὶ κυλίνδρου τομῆς ἐπισκέψασθαι , μὴ τὸν ὀρθὸν μόνον ἀφορίσαντας ἐπ’ αὐτοῦ ποιεῖσθαι τὴν σκέψιν , ἀλλὰ καὶ
Lemmas: ὡς δέ ὁ ὁ κωνικός πραγματεύομαι ὁ παλαιός οὐ ἀρέσκω ὁ κοινός ἔννοια ὁ κῶνος , ὅτι τρίγωνος περιφέρω ὀρθογώνιος συνίστημι , περισσός δέ καί καθολικός φιλοτεχνέω μή μόνος ὀρθός , ἀλλά καί σκαληνός ὑφίστημι κῶνος , οὗτος χρή καί ἐγώ , ἐπειδή πρόκειμαι περί κύλινδρος τομή ἐπισκοπέω , μή ὁ ὀρθός μόνος ἀφορίζω ἐπί αὐτός ποιέω ὁ σκέψις , ἀλλά καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0027.4
1 . ΠΕΡΙ ] Σερήνου περὶ V v p . ΠΕΡΙ — ΤΟΜΗΣ ] om . c . 2 . Πολλούς ] ολλούς c . 6 . τε ] om . p . 11 . ὅμως ] p ,
Lemmas: 1 . περί ] Σερήνος περί V v p . περί — τομή ] om . c . 2 . Πολλοῦς ] ὄλλυμι c . 6 . τε ] om . p . 11 . ὅμως ] p ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0029.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0029.2
τὸν σχῆληνὸν περιλαβόντας ἐπὶ πλέον ἐκτεῖναι τὴν θεωρίαν . ὅτι μὲν γὰρ οὐχ ἂν προσοίτο τις ἐτοίμως μὴ οὐχὶ πάντα κύλινδρον ὀρθὸν εἶναι τῆς ἐννοίας τοῦτο συνεφελκούσης , οὐκ ἄγνωθὸν ἤπουθεν · οὐ μὴν ἀλλ’ ἕνεκά γε τῆς θεωρίας ἄμεινον οἶμαι καθολικώτερον ὁρισμῷ περιλαβεῖν , ἐπεὶ καὶ τὴν τομὴν ὀρθοῦ μένοντος αὐτοῦ μόνῃ τῇ τοῦ ὀρθοῦ κανόνος ἐλλείψει τὴν αὐτὴν εἶναι συμβήσεται , καθολικώτερον δὲ ὑποθεέντος ὅλη τῇ ἐλλείψει καὶ αὐτὴν ἐξισάζειν , ὅ δὴ καὶ δεῖξιν ὁ παρὼν λόγος ἐπαγγέλλεται . ἰτέον οὖν ἡμῖν ἐπὶ τὸ προκείμενον ὁρισάμενοις τάδε ·
Lemmas: ὁ σχῆληνὸν περιλαμβάνω ἐπί πλέω ἐκτείνω ὁ θεωρία . ὅτι μέν γάρ οὐ εἄν πρόσω τις ἑτοίμως μή οὐ πᾶς κύλινδρος ὀρθός εἰμί ὁ ἔννοια οὗτος συνεφέλκω , οὐ ἄγων ἀποθύω · οὖον μήv ἀλλά ἕνεκα γε ὁ θεωρία ἀγαθός οἴομαι καθολικός ὁρισμός περιλαμβάνω , ἐπεί καί ὁ τομή ὀρθός Μένων αὐτός μόνος ὁ ὁ ὀρθός κανών ἔλλειψις ὁ αὐτός εἰμί συμβαίνω , καθολικός δέ ὑποτίθημι ὅλος ὁ ἔλλειψις καί αὐτός ἐξισάζω , ὅς δή καί δεῖξις ὁ πάρειμι λόγος ἐπαγγέλλω . εἶμι οὖν ἐγώ ἐπί ὁ πρόκειμαι ὁρίζω ὅδε ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0029.3
ἐὰν μενόντων δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων αἱ διάμετροι παράλληλοι οὖσαι διὰ παντὸς αὗται τε περιενεχθεῖσαι ἐν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις περὶ μένον τὸ κέντρον καὶ συμπεριενεγκούσαι τὴν τὰ πέρατα αὐτῶν κατὰ τὸ αὐτὸ μέρος ἐπιζευγνύουσαν εὐθεῖαν εἰς ταὐτὸ πάλιν ἀποκαταστῶσιν , ἡ γραφεῖσα ὑπὸ τῆς περιενεχθείσης εὐθείας ἐπιφάνεια κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια καλεῖσθω , ἥτις καὶ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεσθαι δύναται τῆς γραφοῦσης αὐτὴν εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένης . κύλινδρος δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τε τῶν παραλλήλων κύκλων καὶ τῆς μεταξὺ αὐτῶν ἀπειλημμένης κυλινδρικῆς ἐπιφανείας . βάσεις δὲ τοῦ κυλίνδρου οἱ κύκλοι . ἄξων δὴ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν ἀγομένη εὐθεῖα . πλευρὰ δὲ τοῦ κυλίνδρου γραμμὴ τις , ἥτις εὐθεῖα οὖσα καὶ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου τῶν βάσεων ἀμφοτέρων ἅπτεται , ἣν καὶ
Lemmas: ἐάν μένω δύο κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος ὁ διάμετρος παράλληλος εἰμί διά πᾶς οὗτος τε περιφέρω ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος περί μένω ὁ κέντρον καί συμπεριφέρω ὁ ὁ πέρας αὐτός κατά ὁ αὐτός μέρος ἐπιζεύγνυμι εὐθύς εἰς αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὁ γράφω ὑπό ὁ περιφέρω εὐθύς ἐπιφάνεια κυλινδρικός ἐπιφάνεια καλέω , ὅστις καί ἐπί ἤπειρος αὐξάνω δύναμαι ὁ γράφω αὐτός εὐθύς ἐπί ἤπειρος ἐκβάλλω . κύλινδρος δέ ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ παράλληλος κύκλος καί ὁ μεταξύ αὐτός ἀπολαμβάνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια . βάσις δέ ὁ κύλινδρος ὁ κύκλος . ἄγω δή διά ὁ κέντρον αὐτός ἄγω εὐθύς . πλευρόν δέ ὁ κύλινδρος γραμμή τις , ὅστις εὐθύς εἰμί καί ἐπί ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἀμφότερος ἅπτω , ὅς καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.10
καμπύλης γραμμῆς πάσας τὰς ἀγομένας ἐν τῇ γραμμῇ
Lemmas: καμπύλος γραμμή πᾶς ὁ ἄγω ἐν ὁ γραμμή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.11
10 εὐθείας εὐθεῖα τινὶ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ , κορυφὴ
Lemmas: 10 εὐθύς εὐθύς τις παράλληλος δίχα διαιρέω , κορυφή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.12
δὲ τῆς γραμμῆς τὸ πέραν τῆς εὐθείας τὸ πρὸς τῇ
Lemmas: δέ ὁ γραμμή ὁ πέραν ὁ εὐθύς ὁ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.13
γραμμῇ , τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον κατῆχθαι
Lemmas: γραμμή , τεταγμένως δέ ἐπί ὁ διάμετρος κατάγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.14
ἑκάστην τῶν παραλλήλων .
Lemmas: ἕκαστος ὁ παράλληλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.15
σύνγεις δὲ διάμετροι καλεῖσθωσαν , αἵτινες ἀπὸ
Lemmas: σύνεις δέ διάμετρος καλέω , ὅστις ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.16
15 τῆς γραμμῆς τεταγμένως ἄχθεῖσαι ἐπὶ τὰς σύνγειας
Lemmas: 15 ὁ γραμμή τεταγμένως ἄχθομαι ἐπί ὁ σύνγειας
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.17
διαμέτρους ὁμοίως αὐτὰς τέμνουσι .
Lemmas: διάμετρος ὁμοίως αὐτός τέμνω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.18
τοιούτων δὲ γραμμῶν ὑφισταμένων καὶ ἐν ταῖς
Lemmas: τοιοῦτος δέ γραμμή ὑφίστημι καί ἐν ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.19
πλάγαις τομαῖς τοῦ κυλίνδρου ἡ διχοτομία τῆς δια -
Lemmas: πλάζω τομή ὁ κύλινδρος ὁ διχοτομία ὁ διά -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.2
φαμεν περιενεχθείσαν γράφειν τὴν κυλινδρικὴν ἐπιμέτρου
Lemmas: φημί περιφέρω γράφω ὁ κυλινδρικός ἐπίμετρον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.20
κέντρον τῆς τομῆς καλεῖσθω , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ
Lemmas: κέντρον ὁ τομή καλέω , ὁ δέ ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.21
20 κέντρου ἐπὶ τὴν γραμμὴν προσπίπτουσα ἐκ τοῦ κέντρου
Lemmas: 20 κέντρον ἐπί ὁ γραμμή προσπίπτω ἐκ ὁ κέντρον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.22
τῆς γραμμῆς .
Lemmas: ὁ γραμμή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.23
ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς παρὰ τεταγμένως
Lemmas: ὁ δέ διά ὁ κέντρον ὁ τομή παρά τεταγμένως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.24
κατηγμένην ἄχθεῖσα περατουμένη ὑπὸ τῆς γραμμῆς
Lemmas: κατάγω ἄγω περατόω ὑπό ὁ γραμμή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.25
δεύτερα διάμετρος καλεῖσθω · δεῖξθησεται γὰρ πάσας
Lemmas: δύο διάμετρος καλέω · δείκνυμι γάρ πᾶς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.26
25 τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν διάμετρον δίχα
Lemmas: 25 ὁ ἄγω ἐν ὁ τομή παρά ὁ διάμετρος δίχα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.27
τέμνουσα .
Lemmas: τέμνω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.29
τὸ πέραν τῆς εὐθείας c . 9 . πάσας — 11 . γραμμῆς ] p , om . V c .
Lemmas: ὁ πέραν ὁ εὐθύς c . 9 . πᾶς — 11 . γραμμή ] p , om . V c .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.3
φάνειαν .
Lemmas: φάνεια .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.30
10 . κορυφὴν comp . dubio p . 12 . κατῆκται c . 16 . δίχα
Lemmas: 10 . κορυφή comp . dubio p . 12 . κατάγνυμι c . 16 . δίχα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.31
τέμνουσι Halley . 19 . ἡ δὲ — 24 . καλεῖσθω ] mg . m . 1 p ( κείτῶν
Lemmas: τέμνω Halley . 19 . ὁ δέ — 24 . καλέω ] mg . m . 1 p ( κέω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.4
δὲ κυλίνδρων ὀρθοὶ μὲν οἱ τὸν ἄξονα πρὸς
Lemmas: δέ κύλινδρος ὀρθός μέν ὁ ὁ ἄγω πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.5
ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι , σκαληνοὶ δὲ οἱ μὴ πρὸς
Lemmas: ὀρθός ἔχω ὁ βάσις , σκαληνός δέ ὁ μή πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.6
5 ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι τὸν ἄξονα .
Lemmas: 5 ὀρθός ἔχω ὁ βάσις ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.7
ὁριστέον δὲ κατὰ Ἀπολλώνιον καὶ τάδε ·
Lemmas: ὁριστέον δέ κατά Ἀπολλώνιος καί ὅδε ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.8
πάσης καμπύλης γραμμῆς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ οὔσης
Lemmas: πᾶς καμπύλος γραμμή ἐν εἷς ἐπίπεδος εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0031.9
διάμετρος καλεῖσθω εὐθεῖά τις , ἥτις ἡγμένη ἀπὸ τῆς
Lemmas: διάμετρος καλέω εὐθύς τις , ὅστις ἄγω ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0032.1
μενον ) . 22 . ἡ δὲ διὰ ] διὰ δὲ p . 23 . κατηγμένην ] pc , κατηνεγμένην Vv . 24 . δευτέρα ] β-α p .
Lemmas: μένω ) . 22 . ὁ δέ διά ] διά δέ p . 23 . κατάγω ] pc , καταφέρω Vv . 24 . δύο ] βάω p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.2
ἐτι κάκεῖνο προδιωρίσθω , ὅτι ὁμοιαι ἐλλείψεις εἰσίν , ὧν ἐκατέρας αἱ συζυγεῖς διάμετροι πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνουσιν ἀλλήλας .
Lemmas: ἔτι ἐκεῖνος προδιορίζω , ὅτι ὅμοιος ἔλλειψις εἰμί , ὅς ἑκάτερος ὁ συζυγέω διάμετρος πρός ἀλλήλων ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί πρός ἴσος γωνία τέμνω ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.3
α
Lemmas: ὅς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.4
Ἔαν ὡσι δύο εὐθεῖαι ἀπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἀπτομένας ἀλλήλων καὶ ἴσας ἐκατέραν ἐκατέρα , αἱ τὰ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύνουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν .
Lemmas: ἐάω ὡσι δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων καί ἴσος ἑκάτερος κατεράω , ὁ ὁ πέρας αὐτός ἐπιζεύγνυμι καί αὐτός Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.5
Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἀπτόμεναι ἀλλήλων αἱ AB , BG παρὰ δύο εὐθείας ἀπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔE , EZ , καὶ ἴση ἔστω ἡ μὲν AB τῇ ΔE , ἡ δὲ BG τῇ EZ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AG , ΔZ . λέγω , ὅτι αἱ AG , ΔZ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν .
Lemmas: εἰμί δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ AB , BG παρά δύο εὐθύς ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΔE , EZ , καί ἴσος ἵστημι ὁ μέν AB ὁ ΔE , ὁ δέ BG ὁ EZ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AG , ΔZ . λέγω , ὅτι ὁ AG , ΔZ Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.6
ἐπεζεύχθωσαν αἱ BE , ΓZ , AΔ . ἐπεὶ ἡ AB τῇ ΔE ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι , καὶ ἡ BE ἄρα . . . . τῇ ΓZ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι . καὶ αἱ AG , ΔZ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν · ὃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ἐπιζεύγνυμι ὁ BE , ΓZ , AΔ . ἐπεί ὁ AB ὁ ΔE ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί , καί ὁ BE ἄρα . . . . ὁ ΓZ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . καί ὁ AG , ΔZ ἄρα Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.7
β
Lemmas: Β
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.8
Ἔαν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος , ἡ τομὴ παραλληλόγραμμον ἔσται .
Lemmas: ἐάω κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄγω , ὁ τομή παραλληλόγραμμος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0033.9
1 . ὁμοιαι ] pc , ὁμαιαι Vv , mg . γο . † ὁμοιαι m . rec . V . 2 . συζυγεῖς ] vcp , euan . V , repet . mg . m . rec . 5 . α' ] p , om . Vc . 8 . αὐταὶ ] αὐται Vcp . 13 . EZ — 14 . εἰσιν ] mg . p ( κεῖμενον ) ; in textu deinde del . EZ καὶ . 13 . EZ ] ZE p . 15 . AΔ , BE , ΓZ p . ἐπεὶ ] ἐπεὶ οὖν p . 16 . τε ] τὲ ἐστι p . ἐστι ] om . p . Post ἄρα exciderunt haec fere : τῇ AΔ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι . καὶ ἐπεὶ ἡ BG τῇ EZ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι , καὶ ἡ BE ἄρα τῇ ΓZ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι . καὶ ἡ AΔ ἄρα . 17 . ΓZ ] Vc , AΔ p . ἐστι ] διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΓZ τῇ BE ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος · αἱ AΔ ἄρα ΓZ ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι p . 18 . τε ] εἰσὶν p . εἰσιν — δεῖξαι ] om . p . 19 . β' ] p , m . rec . V , om . vc .
Lemmas: 1 . ὅμοιος ] pc , ὁμαιαι Vv , mg . γος . † ὅμοιος m . rec . V . 2 . συζυγέω ] vcp , euan . V , repet . mg . m . rec . 5 . ὅς ] p , om . Vc . 8 . αὐτός ] αὐτός Vcp . 13 . EZ — 14 . εἰμί ] mg . p ( κεῖμαι ) ; in textu deinde del . EZ καί . 13 . EZ ] ZE p . 15 . AΔ , BE , ΓZ p . ἐπεί ] ἐπεί οὖν p . 16 . τε ] τε εἰμί p . εἰμί ] om . p . Post ἄρα exciderunt haec fere : ὁ AΔ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . καί ἐπεί ὁ BG ὁ EZ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί , καί ὁ BE ἄρα ὁ ΓZ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . καί ὁ AΔ ἄρα . 17 . ΓZ ] Vc , AΔ p . εἰμί ] διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ ΓZ ὁ BE ἴσος εἰμί καί παράλληλος · ὁ AΔ ἄρα ΓZ Ἴσαι τε εἰμί καί παράλληλος p . 18 . τε ] εἰμί p . εἰμί — δείκνυμι ] om . p . 19 . βε ] p , m . rec . V , om . vc .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0035.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0035.2
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ A , B κέντρα κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ AB εὐθεῖα , καὶ διὰ τῆς AB ἐκβεβλησθῶ ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον · ποιήσει δὴ ἐν μὲν τοῖς κύκλοις εὐθείας τὰς ΓΔ , EZ διαμέτρους οὖσας , ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς EΗΓ , ZA γραμμὰς . λέγω , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν EΗΓ , AZ γραμμῶν εὐθεῖά ἐστιν .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ A , B κέντρον κύκλος , ἄγω δέ ὁ AB εὐθύς , καί διά ὁ AB ἐκβάλλω ἐπίπεδος τέμνω ὁ κύλινδρος · ποιέω δή ἐν μέν ὁ κύκλος εὐθύς ὁ ΓΔ , EZ διάμετρος οὖς , ἐν δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ ΓΗ , ZA γραμμή . λέγω , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΓΗ , AZ γραμμή εὐθύς εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0035.3
εἰ γὰρ δυνατόν , μὴ ἔστωσαν εὐθεῖαι , καὶ ἐπεξευχθῶ ἡ EΘΓ εὐθεῖα . ἐπεὶ οὖν ἡ EΗΓ γραμμὴ καὶ ἡ EΘΓ εὐθεῖα ἐν τῷ EA ἐπιπέδῳ εἰσὶ συνάπτουσαι κατὰ τὰ E , Γ σημεῖα , καὶ ἐστὶν ἡ EΗΓ γραμμὴ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας , ἡ EΘΓ ἄρα εὐθεῖα οὐκ ἐστὶν ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας . ἐπεὶ οὖν οἱ A , B κύκλοι ἴσοι τε καὶ παράλληλοί εἰσι καὶ τέμνονται ὑπὸ τοῦ EA ἐπιπέδου , αἱ ἄρα κοινὰς αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν . εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι · διαμέτροι γάρ εἰσιν ἴσων κύκλων · ἐὰν ἄρα μενόντων τῶν A , B σημείων τὰς AΓ , BE διαμέτρους νοήσωμεν περιενεγκούσας τὴν EΘΓ εὐθεῖαν περὶ τοὺς A , B κύκλους καὶ ἀποκαθισταμένας , ἡ EΘΓ εὐθεῖα γράψει τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν , καὶ ἔσται τὸ Θ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας . ἦν δὲ ἔκτος · ὅπερ ἀδύνατον . εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ EΗΓ . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ZA . καὶ ἐπίξευγνύουσιν ἴσας τε καὶ παραλλήλους τὰς EZ , ΓΔ · τὸ EA ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί γάρ δυνατός , μή εἰμί εὐθύς , καί ἐπεξευχθῶ ὁ EΘΓ εὐθύς . ἐπεί οὖν ὁ ΓΗ γραμμή καί ὁ EΘΓ εὐθύς ἐν ὁ EA ἐπίπεδος εἰμί συνάπτω κατά ὁ E , Γ σημεῖον , καί εἰμί ὁ ΓΗ γραμμή ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια , ὁ EΘΓ ἄρα εὐθύς οὐ εἰμί ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια . ἐπεί οὖν ὁ A , B κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί καί τέμνω ὑπό ὁ EA ἐπίπεδος , ὁ ἄρα κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί . εἰμί δέ καί Ἴσαι · διάμετρος γάρ εἰμί ἴσος κύκλος · ἐάν ἄρα μένω ὁ A , B σημεῖον ὁ AΓ , BE διάμετρος νοέω περιφέρω ὁ EΘΓ εὐθύς περί ὁ A , B κύκλος καί ἀποκαθίστημι , ὁ EΘΓ εὐθύς γράφω ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια , καί εἰμί ὁ Θ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια . εἰμί δέ ἕκτος · ὅσπερ ἀδύνατος . εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ ΓΗ . ὁμοίως δέ καί ὁ ZA . καί επιξευγνυειμι ἴσος τε καί παράλληλος ὁ EZ , ΓΔ · ὁ EA ἄρα παραλληλόγραμμος εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0037.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0037.2
γ' .
Lemmas: γε .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0037.3
'Εὰν κύλινδρος ἐπίπεδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ , ἡ τομὴ παραλληλόγραμμον ἔσται ἴσας γωνίας ἔχον τῷ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ .
Lemmas: Ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος , ὁ τομή παραλληλόγραμμος εἰμί ἴσος γωνία ἔχω ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0037.4
Ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ A , B κέντρα κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ AB εὐθεῖα , τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ , καὶ τεμησάθω ὁ κύλινδρος ἑτέρῳ ἐπίπεδῳ τῷ διὰ τῶν E , Z , H , Θ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΓΔ παραλληλογράμμῳ καὶ ποιούντι τομὰς ἐν μὲν ταῖς βάσεσι τὰς EZ , HΘ εὐθείας , ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς EH , ZΘ γραμμὰς . λέγω , ὅτι τὸ EHZΘ σχῆμα παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἰσογώνιον τῷ ΓΔ .
Lemmas: ἔστω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ A , B κέντρον κύκλος , ἄγω δέ ὁ AB εὐθύς , ὁ δέ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ , καί τέμνω ὁ κύλινδρος ἕτερος ἐπίπεδος ὁ διά ὁ E , Z , H , Θ παράλληλος εἰμί ὁ ΓΔ παραλληλόγραμμος καί ποιέω τομή ἐν μέν ὁ βάσις ὁ EZ , HΘ εὐθύς , ἐν δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ EH , ZΘ γραμμή . λέγω , ὅτι ὁ EHZΘ σχῆμα παραλληλόγραμμος εἰμί ἰσογώνιος ὁ ΓΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0037.5
ἤχθω ἀπὸ τοῦ B κέντρου ἐπὶ τὴν EZ εὐθεῖαν κάθετος ἡ BK , καὶ διὰ τῶν KB , BA διεκβεβλήσθω ἐπίπεδον , καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αἱ AA , KA , καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ BZ , AΘ . ἐπεὶ οὖν παράλληλος ὁ μὲν A κύκλος τῷ B , τὸ δὲ EΘ ἐπίπεδον τῷ ΓΔ ἐπιπέδῳ , καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ABKA ἐπιπέδου , παράλληλος ἄρα ἡ μὲν AA τῇ BK , ἡ δὲ KA τῇ BA · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ KA · ἴση ἄρα ἡ μὲν KA τῇ BA , ἡ δὲ BK τῇ AA . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν BK
Lemmas: ἄγω ἀπό ὁ B κέντρον ἐπί ὁ EZ εὐθύς κάθετος ὁ BK , καί διά ὁ KB , BA διεκβάλλω ἐπίπεδος , καί εἰμί κοινός τομή ὁ AA , KA , καί ἐπεξεύχομαι ὁ BZ , AΘ . ἐπεί οὖν παράλληλος ὁ μέν A κύκλος ὁ B , ὁ δέ EΘ ἐπίπεδος ὁ ΓΔ ἐπίπεδος , καί τέμνω ὑπό ὁ ABKA ἐπίπεδος , παράλληλος ἄρα ὁ μέν AA ὁ BK , ὁ δέ KA ὁ BA · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ KA · ἴσος ἄρα ὁ μέν KA ὁ BA , ὁ δέ BK ὁ AA . καί ἐπεί ὁ μέν BK
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0039.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0039.2
τῇ ΑΑ παράλληλός ἐστιν , ἡ δὲ ΚΖ τῇ ΑΘ , καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΖ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΑΘ ἴση ἐστί . καὶ ἐστιν ἡ ΒΚ κάθετος ἐπὶ τὴν ΚΖ · καὶ ἡ ΑΑ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΘ . καὶ εἰσιν ἴσαι · ἴσαι ἄρα 5 καὶ αἱ ΕΖ , ΗΘ · ἀλλὰ καὶ παράλληλοι . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΘ παράλληλός ἐστι , τὸ ἄρα διὰ τῆς ΒΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἄγόμενον ἐπίπεδον ἥξει καὶ διὰ τῆς ΑΘ καὶ τομὴν ποιήσει παραλληλόγραμμον , καὶ πλευρὰ αὐτοῦ ἔσται ἡ τὰ Ζ , Θ ἐπιξεννύουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς 10 ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΘ πλευρὰ τοῦ ΕΖΗΘ σχήματος ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας · κοινὴ ἄρα πλευρά ἐστι τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΕΗΖΘ σχήματος . εὐθεῖα δὲ ἐδείχθη ἡ πλευρὰ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ - 15 ληλογράμμου · ἡ ΘΖ ἄρα ἐστιν εὐθεῖα . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΕΗ . καὶ ἐπιξεννύουσιν ἴσας καὶ παραλλήλους τὰς ΕΖ , ΗΘ · τὸ ΕΘ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστι . λέγω δή , ὅτι καὶ ἰσογώνιον τῷ ΓΑ . ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΑΒ , ΒΖ δυσὶ ταῖς ΜΑ , ΑΘ 20 παράλληλοί εἰσι , καὶ εἰσιν αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἴσαι , καὶ αἱ ΖΑ , ΜΘ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα . καὶ αἱ ΖΘ , ΑΜ ἄρα καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΑΜ παράλληλος . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ γωνία τοῦ ΕΘ 25 παραλληλογράμμου τῇ ὑπὸ ΓΜΑ γωνίᾳ τοῦ ΓΑ παραλληλογράμμου ἴση ἐστίν · ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΘ τῷ ΓΑ .
Lemmas: ὁ ΑΑ παράλληλος εἰμί , ὁ δέ ΚΖ ὁ ΑΘ , καί ὁ ὑπό ΒΚΖ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΑΘ ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ ΒΚ κάθετος ἐπί ὁ ΚΖ · καί ὁ ΑΑ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΑΘ . καί εἰμί Ἴσαι · Ἴσαι ἄρα 5 καί ὁ ΕΖ , ΗΘ · ἀλλά καί παράλληλος . καί ἐπεί ὁ ΒΖ ὁ ΑΘ παράλληλος εἰμί , ὁ ἄρα διά ὁ ΒΖ καί ὁ ἄγω ἄγω ἐπίπεδος ἥκω καί διά ὁ ΑΘ καί τομή ποιέω παραλληλόγραμμος , καί πλευρόν αὐτός εἰμί ὁ ὁ Ζ , Θ επιξεννυειμι εὐθύς ἐπί ὁ 10 ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος . εἰμί δέ καί ὁ ΖΘ πλευρόν ὁ ΕΖΗΘ σχῆμα ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια · κοινός ἄρα πλευρά εἰμί ὁ τε διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος καί ὁ ΕΖΘ σχῆμα . εὐθύς δέ δείκνυμι ὁ πλευρόν ὁ διά ὁ ἄγω παραλ - 15 ληλογραμμος · ὁ ΘΖ ἄρα εἰμί εὐθύς . ὁμοίως δέ καί ὁ ΕΗ . καί επιξεννυειμι ἴσος καί παράλληλος ὁ ΕΖ , ΗΘ · ὁ ΕΘ ἄρα παραλληλόγραμμος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ἰσογώνιος ὁ ΓΑ . ἐπεί γάρ δύο ὁ ΑΒ , ΒΖ δύο ὁ μή , ΑΘ 20 παράλληλος εἰμί , καί εἰμί ὁ τέσσαρες εὐθύς Ἴσαι , καί ὁ Γῆ , ΜΘ ἄρα Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί διά ὁ πρῶτος θεώρημα . καί ὁ ΖΘ , ΑΜ ἄρα καί αὐτός Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΑΘ ὁ ΑΜ παράλληλος . ὁ ἄρα ὑπό ΑΘΖ γωνία ὁ ΕΘ 25 παραλληλόγραμμος ὁ ὑπό ΓΜΑ γωνία ὁ ΓΑ παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί · ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΕΘ ὁ ΓΑ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0039.3
1 . ΚΖ τῇ ΑΘ ] ΑΘ τῇ ΚΖ p . 2 . ΒΚΖ ] ΑΑΘ p . γωνία ] om . p . ΑΑΘ ] ΒΚΖ γωνία p . 3 . ΒΚ ] vcp , Β e corr . m . 1 V . 6 . ΒΖ ( pr . ) ] ΑΘ p . ΑΘ ] ΒΖ p . 9 . Ζ , Θ ] Θ , Ζ p . 10 . ΖΘ ] ΘΖ p . 11 . ΕΖΗΘ ] ΗΘ e corr . p . 13 . ΕΗΖΘ ] ΕΘΖ p . 15 . εὐθεῖά ἐστιν p . 16 . ΕΗ ] corr . ex
Lemmas: 1 . ΚΖ ὁ ΑΘ ] ΑΘ ὁ ΚΖ p . 2 . ΒΚΖ ] ΑΘ p . γωνία ] om . p . ΑΘ ] ΒΚΖ γωνία p . 3 . ΒΚ ] vcp , Β e corr . m . 1 V . 6 . ΒΖ ( pr . ) ] ΑΘ p . ΑΘ ] ΒΖ p . 9 . Ζ , Θ ] Θ , Ζ p . 10 . ΖΘ ] ΘΖ p . 11 . ΕΖΗΘ ] ΗΘ e corr . p . 13 . ΕΖΘ ] ΕΘΖ p . 15 . εὐθύς εἰμί p . 16 . ΕΗ ] corr . ex
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0040.1
αὐταί ] αὐται ἄρα ] ἄρα ἐστί τῷ ὅ
Lemmas: αὐτός ] αὐτός ἄρα ] ἄρα εἰμί ὁ ὅς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.2
δ´ .
Lemmas: δδʹ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.3
Ἐὰν καμπύλην γραμμὴν ὑποτείνῃ εὐθεῖα , αἱ δὲ 5 ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ὑποτεινούσαν κάθετοι ἴσον δύνωνται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ὑποτείνουσης , ἡ γραμμὴ κύκλου περιφέρεια ἔσται .
Lemmas: ἐάν καμπύλος γραμμή ὑποτείνω εὐθύς , ὁ δέ 5 ἀπό ὁ γραμμή ἐπί ὁ ὑποτείνω κάθετος ἴσος δύναμαι ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ὑποτείνω , ὁ γραμμή κύκλος περιφέρεια εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.4
Ἔστω καμπύλη γραμμὴ ἡ ΑΒΔ , ὑποτεινούσα δὲ αὐτὴν ἡ ΑΔ εὐθεῖα , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΑΔ αἱ ΒΕ , ΓΖ , καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΔ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον 10 τῷ ὑπὸ ΑΖΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΔ κύκλου περιφέρειά ἐστι .
Lemmas: ἔστω καμπύλος γραμμή ὁ ΑΒΔ , ὑποτείνω δέ αὐτός ὁ ΑΔ εὐθύς , καί κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΔ ὁ ΒΕ , ΓΖ , καί ὑπόκειμαι ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΔ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΖ ἴσος 10 ὁ ὑπό ΑΖΔ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΔ κύκλος περιφέρεια εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.5
τετμησθῶ δίχα ἡ ΑΔ κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΗΒ , ΗΓ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΗΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΔ , ὃ 15 ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ , ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΗΕ , ΕΒ , ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΓΗ τῇ ΗΔ ἴση δείκνυται καὶ αἱ ἄλλαι · ἡμικύκλιον ἄρα τὸ ΑΒΔ .
Lemmas: τέμνω δίχα ὁ ΑΔ κατά ὁ ὁ , καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΗΒ , ΗΓ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΗΔ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΗΕ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΔ , ὅς 15 εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ἀλλά καί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΕ , ΕΒ , ἴσος ἄρα ὁ ΒΗ ὁ ΗΔ . ὁμοίως δέ καί ὁ ΓΗ ὁ ΗΔ ἴσος δείκνυμι καί ὁ ἄλλος · ἡμικύκλιον ἄρα ὁ ΑΒΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.6
ε´ .
Lemmas: ἀείδω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.7
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ταῖς 20 βάσεσιν , ἡ τομὴ κύκλος ἔσται τὸ κέντρον ἔχον ἐπὶ τοῦ ἄξονος .
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ 20 βάσις , ὁ τομή κύκλος εἰμί ὁ κέντρον ἔχω ἐπί ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0041.8
Ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ Α , Β κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα , καὶ τετμησθῶ ὁ κύλινδρος 25 ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ ταῖς βάσεσι ποιούντῃ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΞΔ γραμμὴν . λέγω , ὅτι ἡ ΓΞΔ γραμμὴ κύκλου ἐστὶ περιφέρεια .
Lemmas: ἔστω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ Α , Β κύκλος , ἄγω δέ ὁ ΑΒ εὐθύς , καί τέμνω ὁ κύλινδρος 25 ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ποιέω ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ ΓΞΔ γραμμή . λέγω , ὅτι ὁ ΓΞΔ γραμμή κύκλος εἰμί περιφέρεια .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0043.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0043.2
ἠχθῶσαν ἐν τῷ Α κύκλῳ διάμετροι αἱ ΕΖ , ΗΘ , καὶ δι’ ἐκατέρας τῶν ΕΖ , ΗΘ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον · ποιήσει δὴ παραλληλόγραμμα τὰς τομὰς . ἔστω τοῦ μὲν ΕΚ παρ - 5 αλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΞΔ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ , τοῦ δὲ ΗΑ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΔΞ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ ΝΞ . ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΞΔ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ Α κύκλῳ καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΕΚ ἐπιπέδου , ἡ ΓΔ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΕΖ παράλλη - 10 λός ἐστι . διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΗΘ παράλληλός ἐστιν . ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ ἐκατέρα τῶν ΓΕ , ΔΖ παράλληλός ἐστι , καὶ ἴση ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΜΔ . ὁμοίως ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΑΘ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῇ ΜΞ . ἐπεὶ δὲ αἱ ΑΕ , ΑΗ ἴσαι 15 εἰσί , καὶ αἱ ΜΓ , ΜΝ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις · πᾶσαι ἄρα αἱ ΜΓ , ΜΔ , ΜΝ , ΜΞ ἴσαι εἰσίν . ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλαι διαχθῶσι , πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΓΞΔ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι εὑρεθήσονται . κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΞΔ τομή .
Lemmas: ἄγω ἐν ὁ Α κύκλος διάμετρος ὁ ΕΖ , ΗΘ , καί διά ἑκάτερος ὁ ΕΖ , ΗΘ καί ὁ ἄγω ἐκβάλλω ἐπίπεδος τέμνω ὁ κύλινδρος · ποιέω δή παραλληλόγραμμος ὁ τομή . ἵστημι ὁ μέν ΕΚ παρά - 5 αλληλογραμμος καί ὁ ΓΞΔ ἐπίπεδος κοινός τομή ὁ ΓΔ , ὁ δέ ΗΑ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΓΔΞ ἐπίπεδος κοινός τομή ὁ ΝΞ . ἐπεί οὖν ὁ ΓΞΔ ἐπίπεδος παράλληλος εἰμί ὁ Α κύκλος καί τέμνω ὑπό ὁ ΕΚ ἐπίπεδος , ὁ ΓΔ ἄρα εὐθύς ὁ ΕΖ παράλλος - 10 Λός εἰμί . διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ ΝΞ ὁ ΗΘ παράλληλος εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ΒΑ κατεράω ὁ ΓΕ , ΔΖ παράλληλος εἰμί , καί ἴσος ὁ ΑΕ ὁ αζʹ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΓΜ ὁ ΜΔ . ὁμοίως ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΗΑ ὁ ΑΘ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΜΝ ὁ μξ . ἐπεί δέ ὁ ΑΕ , ΑΗ Ἴσαι 15 εἰμί , καί ὁ ΜΓ , ΜΝ ἄρα Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων · πᾶς ἄρα ὁ ΜΓ , ΜΔ , ΜΝ , μξ Ἴσαι εἰμί . ὁμοίως δέ κἀν ἄλλος διάζομαι , πᾶς ὁ ἀπό ὁ Μ ἐπί ὁ ΓΞΔ γραμμή προσπίπτω Ἴσαι εὑρίσκω . κύκλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΞΔ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0043.3
20 ὅτι δὲ καὶ τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἔχει , δῆλον · τὸ γὰρ Μ ἐν τοῖς τρισὶν ἐπιπέδοις ὅν ἐπὶ τῆς ΑΒ κοινῆς τομῆς τῶν παραλληλογράμμων ἐστί , τουνἐστὶν ἐπὶ τοῦ ἄξονος .
Lemmas: 20 ὅτι δέ καί ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΒ εὐθύς ἔχω , δῆλος · ὁ γάρ Μ ἐν ὁ τρεῖς ἐπίπεδος ὅς ἐπί ὁ ΑΒ κοινός τομή ὁ παραλληλόγραμμος εἰμί , τουνἐστὶν ἐπί ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0043.4
25 Ἐὰν κύλινδρος σκαληνὸς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τμηθῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει , τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπι -
Lemmas: 25 ἐάν κύλινδρος σκαληνός ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω τέμνω πρός ὀρθός ὁ βάσις , τέμνω δέ καί ἕτερος ἐπι -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.10
παραλληλόγραμμον ἔστω τὸ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ὄν τῇ
Lemmas: παραλληλόγραμμος ἵστημι ὁ ΑΔ πρός ὀρθός εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.11
10βάσει , τεμνησθῶ δὲ ὁ κύλινδρος καὶ ἕτερῳ ἐπιπέδῳ τῷ
Lemmas: 10βάσει , τέμνω δέ ὁ κύλινδρος καί ἕτερος ἐπίπεδος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.12
ΕΖΗ ὀρθῶ καὶ αὐτῷ πρὸς τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον
Lemmas: ΕΖΗ ὄρνυμι καί αὐτός πρός ὁ ΑΔ παραλληλόγραμμος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.13
καὶ ποιοῦντι ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν ΕΗ εὐθεῖαν
Lemmas: καί ποιέω ἐν αὐτός κοινός τομή ὁ ΕΗ εὐθύς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.14
μὴ παράλληλον μὲν ταῖς ΑΒ , ΓΔ , ἴσας δὲ γωνίας
Lemmas: μή παράλληλος μέν ὁ ΑΒ , ΓΔ , ἴσος δέ γωνία
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.15
ποιοῦσαν τὴν μὲν ὑπὸ ΗΕΑ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ , τὴν δὲ
Lemmas: ποιέω ὁ μέν ὑπό ΑΗΕ ὁ ὑπό ΕΑΒ , ὁ δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.16
15ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ . λέγω , ὅτι ἡ ΕΖΗ τομὴ
Lemmas: 15ὑπὸ ΕΗΒ ὁ ὑπό ΑΒΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΕΖΗ τομή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.17
κύκλος ἐστίν .
Lemmas: κύκλος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.18
εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τὸ Θ , καὶ
Lemmas: λαμβάνω τίς σημεῖον ἐπί ὁ ΕΗ εὐθύς ὁ Θ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.19
πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΗ ἡχθῶ ἡ ΘΖ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐπιπέδῳ
Lemmas: πρός ὀρθός ὁ ΕΗ ἄγω ὁ ΘΖ ἐν ὁ ΕΖΗ ἐπίπεδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.2
πέδῳ ὀρθῶ τε πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ -
Lemmas: πέδον ὄρνυμι τε πρός ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμο -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.20
οὖσα · ἡ ΖΘ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον .
Lemmas: εἰμί · ὁ ΖΘ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΑΔ ἐπίπεδος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.21
20ἡχθῶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΚΘΑ , καὶ
Lemmas: ἀΐσσω διά ὁ Θ ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΚΘΑ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.22
κεῖσθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΜΝ , καὶ διὰ τῶν ΖΘ ,
Lemmas: κεῖμαι ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΜΝ , καί διά ὁ ΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.23
ΚΑ ἡχθῶ ἐπίπεδον ποιοῦν τὴν ΚΖΑ τομήν . ἐπεὶ
Lemmas: ΚΑ ἄγω ἐπίπεδος ποιέω ὁ ΚΖΑ τομή . ἐπεί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.24
οὖν ἡ ΜΝ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΒ κοινὴν τομὴν
Lemmas: οὖν ὁ ΜΝ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΑΒ κοινός τομή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.25
τῶν ἐπιπέδων ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα , κάθετος
Lemmas: ὁ ἐπίπεδος ἐν ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος εἰμί , κάθετος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.26
25ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον · παράλληλοι
Lemmas: ἄρα εἰμί ὁ ΜΝ ἐπί ὁ ΑΔ ἐπίπεδος · παράλληλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.27
ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ , ΜΝ . παράλληλοι δὲ καὶ αἱ ΚΑ ,
Lemmas: ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ , ΜΝ . παράλληλος δέ καί ὁ ΚΑ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.28
16 . ἐστίν ] ἔσται p . 18 . ἡχθῶ ] ἡχθῶ εὐθεῖα p . 19 . ΑΔ ]
Lemmas: 16 . εἰμί ] εἰμί p . 18 . ἄγω ] ἄγω εὐθύς p . 19 . ΑΔ ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.3
μον καὶ ποιοῦντι τὴν κοινὴν τομὴν ἐν τῷ παραλληλογράμμῳ
Lemmas: νυμφότιμον καί ποιέω ὁ κοινός τομή ἐν ὁ παραλληλόγραμμος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.4
εὐθεῖαν ἴσας μὲν ποιοῦσαν γωνίας ταῖς τοῦ
Lemmas: εὐθύς ἴσος μέν ποιέω γωνία ὁ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.5
παραλληλογράμμου , μὴ παράλληλον δὲ οὖσαν ταῖς βά -
Lemmas: παραλληλόγραμμος , μή παράλληλος δέ εἰμί ὁ βαίνω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.6
5σεσι τοῦ παραλληλογράμμου , ἡ τομὴ κύκλος ἔσται ,
Lemmas: ὕω ὁ παραλληλόγραμμος , ὁ τομή κύκλος εἰμί ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.7
καλεῖσθω δὲ ἡ τοιαύτη ἄγωγη τοῦ ἐπιπέδου ὑπεναντία .
Lemmas: καλέω δέ ὁ τοιοῦτος ἀγωγή ὁ ἐπίπεδος ὑπεναντίος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0045.9
ἔστω σκαληνὸς κύλινδρος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος
Lemmas: ἵστημι σκαληνός κύλινδρος , ὅς ὁ διά ὁ ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0047.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0047.2
AB · καὶ τὰ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα . ἡ KZA ἄρα τομὴ παράλληλός ἐστι τῇ βάσει · κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ KZA τομή . διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἡ KA καὶ τῇ KA πρὸς ὀρθὰς ἡ ZΘ · ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν KΘ , ΘA τῷ ἀπὸ τῆς ΘZ . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν KΘ , ΘA τὸ ὑπὸ τῶν EΘ , ΘH ἴσον ἐστίν · ἴση γὰρ ἡ μὲν EΘ τῇ ΘK , ἡ δὲ HΘ τῇ ΘA διὰ τὸ τὰς πρὸς ταῖς EK , AH βάσει γωνίας ἴσας εἶναι · καὶ τῷ ὑπὸ τῶν EΘ , ΘH ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ZΘ ἴσον ἐστί . καὶ ἐστὶν ὀρθὴ ἡ ZΘ ἐπὶ τὴν EH . ὁμοίως δὲ καὶ ἄλλην ἀγάγης παράλληλον τῇ ZΘ ἐπὶ τὴν EH , ἴσον δυνήσεται τῷ ὑπὸ τῶν γενο-μένων τμημάτων τῆς EH · κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ EZH τομή , οὗ διάμετρος ἡ EΘH εὐθεῖα .
Lemmas: AB · καί ὁ διά αὐτός ἄρα ἐπίπεδος . ὁ KZA ἄρα τομή παράλληλος εἰμί ὁ βάσις · κύκλος ἄρα εἰμί ὁ KZA τομή . διάμετρος δέ ὁ κύκλος ὁ KA καί ὁ KA πρός ὀρθός ὁ ZΘ · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ KΘ , ΘA ὁ ἀπό ὁ ΘZ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ KΘ , ΘA ὁ ὑπό ὁ EΘ , ΘH ἴσος εἰμί · ἴσος γάρ ὁ μέν EΘ ὁ ΘK , ὁ δέ HΘ ὁ ΘA διά ὁ ὁ πρός ὁ EK , AH βάσις γωνία ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ὁ EΘ , ΘH ἄρα ὁ ἀπό ὁ ZΘ ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὀρθός ὁ ZΘ ἐπί ὁ EH . ὁμοίως δέ καί ἄλλος ἄγω παράλληλος ὁ ZΘ ἐπί ὁ EH , ἴσος δύναμαι ὁ ὑπό ὁ γίγνομαι τμῆμα ὁ EH · κύκλος ἄρα εἰμί ὁ EZH τομή , ὅς διάμετρος ὁ EΘH εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0047.3
Δοθέντος κυλίνδρου σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἀγαγεῖν διὰ τοῦ σημείου πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: δίδωμι κύλινδρος σημεῖον τις ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ἄγω διά ὁ σημεῖον πλευρά ὁ κύλινδρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0047.4
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ A , B κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ AB εὐθεῖα , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπι-φανείας τὸ Γ , καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ Γ ἀγαγεῖν τοῦ κυλίνδρου πλευρὰν .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ A , B κύκλος , ἄγω δέ ὁ AB εὐθύς , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ Γ , καί δήω ἵστημι διά ὁ Γ ἄγω ὁ κύλινδρος πλευρά .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0047.5
ἡχθῶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου κάθετος ἐπὶ τὴν AB ἡ ΓA , καὶ διὰ τῶν AB ,
Lemmas: ἄγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον κάθετος ἐπί ὁ AB ὁ ΓA , καί διά ὁ AB ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.2
ΓΔ εὐθεῖων ἐκβεβλησθῶ ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον · ἥξει ἄρα ἡ τομὴ διὰ τοῦ Γ καὶ ποιήσει εὐθεῖαν ὡς τὴν ΓΕ , ἥτις ἐστὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ΓΔ εὐθύς ἐκβάλλω ἐπίπεδος τέμνω ὁ κύλινδρος · ἥκω ἄρα ὁ τομή διά ὁ Γ καί ποιέω εὐθύς ὡς ὁ ΓΕ , ὅστις εἰμί πλευρόν ὁ κύλινδρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.3
η'
Lemmas: ἤ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.4
Ἐὰν ἐπὶ κυλίνδρου ἐπιφανείας δύο σημεῖα ληφθῇ μὴ ἐπὶ μιᾶς ὄντα πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου , ἡ ἐπιξευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας .
Lemmas: ἐάν ἐπί κύλινδρος ἐπιφάνεια δύο σημεῖον λαμβάνω μή ἐπί εἷς εἰμί πλευρά ὁ παραλληλόγραμμος ὁ διά ὁ ἄγω ὁ κύλινδρος , ὁ επιξευγνυμενω εὐθύς ἐντός πίπτω ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.5
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις εἰσὶν οἱ Α , Β κύκλοι , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ δύο σημεῖα τὰ Γ , Δ μὴ ὄντα ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου , καὶ ἐπεζευχθῶ ἡ ΓΔ εὐθεῖα . λέγω , ὅτι ἡ ΓΔ ἐντὸς πίπτει τῆς ἐπιφανείας .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις εἰμί ὁ Α , Β κύκλος , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός δύο σημεῖον ὁ Γ , δ μή εἰμί ἐπί εἷς πλευρά ὁ παραλληλόγραμμος ὁ διά ὁ ἄγω ὁ κύλινδρος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΔ εὐθύς . λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ ἐντός πίπτω ὁ ἐπιφάνεια .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0049.6
εἰ γὰρ δυνατόν , πιπτέτω ἢ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἢ ἔκτος αὐτῆς . καὶ ἐπεὶ τὰ Γ , Δ σημεῖα οὐκ ἐστὶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου , ἡχθῶ διὰ μὲν τοῦ Γ ἡ ΕΓΖ πλευρά , διὰ δὲ τοῦ Δ ἡ ΗΔΘ , καὶ ἐπεξευχθῶσαν αἱ ΕΗ , ΖΘ εὐθεῖαι · ἐντὸς ἄρα πίπτουσι τῶν κύκλων αἱ ΕΗ , ΖΘ . εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΔ τὸ Κ · τὸ δὴ Κ ἢτοι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου ἢ ἔκτος . ἔστω πρότερον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας , καὶ διὰ τοῦ Κ ἡχθῶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἢ ΑΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ , ΖΘ περιφερείας ἐκβαλλομένη . οὐδετέραν , ἄρα τεμεῖ τῶν ΕΗ , ΖΘ εὐθειῶν ·
Lemmas: εἰμί γάρ δυνατός , πίπτω ἢ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ἢ ἕκτος αὐτός . καί ἐπεί ὁ Γ , δ σημεῖον οὐ εἰμί ἐπί ὁ αὐτός πλευρά ὁ κύλινδρος , ἄγω διά μέν ὁ Γ ὁ ΕΓΖ πλευρά , διά δέ ὁ δ ὁ ΗΔΘ , καί ἐπεξευχθῶσαν ὁ ΕΗ , ΖΘ εὐθύς · ἐντός ἄρα πίπτω ὁ κύκλος ὁ ΕΗ , ΖΘ . λαμβάνω τίς σημεῖον ἐπί ὁ ΓΔ ὁ Κ · ὁ δή Κ ἤτοι ἐπί ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος ἢ ἕκτος . ἵστημι πρότερος ἐπί ὁ ἐπιφάνεια , καί διά ὁ Κ ἄγω πλευρόν ὁ κύλινδρος ἢ ΚΑΜ εὐθύς πίπτω ἐπί ὁ ΕΗ , ΖΘ περιφέρεια ἐκβάλλω . οὐδέτερος , ἄρα τέμνω ὁ ΕΗ , ΖΘ εὐθύς ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΤΝ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.2
οὐν ἄρα ἐστὶν ἡ AM ἐν τῷ ZEHΘ ἐπιπέδῳ . καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ K · οὐδὲ τὸ K ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ZEHΘ ἐπιπέδῳ . ἐπεὶ δὲ ἡ ΓΔ ἐστὶν ἐν τῷ ZEHΘ ἐπιπέδῳ καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ K , τὸ K ἄρα ἐν τῷ ZEHΘ ἐστὶν ἐπιπέδῳ . καὶ ἐστὶν ἄρα καὶ οὐκ ἐστὶν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τὸ K · ὅπερ ἀδύνατον . οὐν ἄρα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶν ἡ ΓΔ .
Lemmas: ὀν ἄρα εἰμί ὁ AM ἐν ὁ ZEHΘ ἐπίπεδος . καί ἐπί αὐτός ὁ K · οὐδέ ὁ K ἄρα εἰμί ἐν ὁ ZEHΘ ἐπίπεδος . ἐπεί δέ ὁ ΓΔ εἰμί ἐν ὁ ZEHΘ ἐπίπεδος καί ἐπί αὐτός ὁ K , ὁ K ἄρα ἐν ὁ ZEHΘ εἰμί ἐπίπεδος . καί εἰμί ἄρα καί οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ K · ὅσπερ ἀδύνατος . ὀν ἄρα ἐπί ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ΓΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.3
ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔκτος , καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς EH περιφερείας τοῦ A ἐπεξεύχθω ἡ KA . ἐκβληθεῖσα δὴ ἐφ’ ἑκάτερα ἡ KA οὐδετέραν τέμνει τῶν EH , ZΘ εὐθειῶν · ὥστε οὐκ ἔσται ἡ KA ἐν τῷ ZEHΘ ἐπιπέδῳ · καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα .
Lemmas: ἀλλά δή ἵστημι ἕκτος , καί λαμβάνω σημεῖον τις ἐπί ὁ EH περιφέρεια ὁ A ἐπεξεύχομαι ὁ KA . ἐκβάλλω δή ἐπί ἑκάτερος ὁ KA οὐδέτερος τέμνω ὁ EH , ZΘ εὐθύς · ὥστε οὐ εἰμί ὁ KA ἐν ὁ ZEHΘ ἐπίπεδος · καί ὁ λοιπάς δῆλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.4
θ’ .
Lemmas: ὁ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.5
Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ μήτε παρὰ τὰς βάσεις μήτε ὕπεναντίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλλήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ , ἡ τομὴ οὐκ ἔσται κύκλος οὐδὲ εὐθύγραμμον .
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω μήτε παρά ὁ βάσις μήτε ὑπενάντιος μήτε διά ὁ ἄγω μήτε παράλληλος ὁ διά ὁ ἄγω ἐπίπεδος , ὁ τομή οὐ εἰμί κύκλος οὐδέ εὐθύγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0051.6
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις οἱ A , B κύκλοι , καὶ τεμησθῶ ἐπιπέδῳ μήτε παρὰ τὰς βάσεις μήτε ὕπεναντίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλλήλως τῷ ἄξονι . τὸ δὴ τέμνον ἐπίπεδον ἤτοι καὶ τὰς βάσεις τέμνει ἀμφοτέρας ἢ τὴν ἑτέραν ἢ οὐδετέραν . πρῶτον δὴ μηδετέραν τεμνέτω καὶ ποιείτω γραμμὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΕΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΕΔ τομὴ οὔτε κύκλος ἐστὶν οὔτε εὐθύγραμμον .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ A , B κύκλος , καί τέμνω ἐπίπεδος μήτε παρά ὁ βάσις μήτε ὑπενάντιος μήτε διά ὁ ἄγω μήτε παράλληλος ὁ ἄγω . ὁ δή τέμνω ἐπίπεδος ἤτοι καί ὁ βάσις τέμνω ἀμφότερος ἢ ὁ ἕτερος ἢ οὐδέτερος . πρῶτος δή μηδέτερος τέμνω καί ποιέω γραμμή ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ ΓΕΔ . λέγω , ὅτι ὁ ΓΕΔ τομή οὔτε κύκλος εἰμί οὔτε εὐθύγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0053.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0053.2
ὅτι μὲν οὐκ ἔστιν εὐθύγραμμον , δῆλον . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω εὐθύγραμμον , καὶ εἰλήφθω πλευρά τις αὐτοῦ ἡ ΓΕ . ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου δύο σημεῖα εἰλήφται τὰ Γ , Ε μὴ ὄντα ἐπὶ τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου · ἡ γὰρ πλευρὰ κατὰ δύο σημεῖα οὐ τέμνει τὴν τοιαύτην γραμμήν · ἡ ἄρα τὰ Γ , Ε σημεῖα ἐπιζευγνύνουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΓΕ γραμμή · τὸ ἄρα ΓΕΔ σχῆμα οὐκ ἔστιν εὐθύγραμμον .
Lemmas: ὅτι μέν οὐ εἰμί εὐθύγραμμος , δῆλος . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι εὐθύγραμμος , καί λαμβάνω πλευρά τις αὐτός ὁ ΓΕ . ἐπεί οὖν ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος δύο σημεῖον λαμβάνω ὁ Γ , Ε μή εἰμί ἐπί ὁ αὐτός πλευρά ὁ κύλινδρος · ὁ γάρ πλευρόν κατά δύο σημεῖον οὖον τέμνω ὁ τοιοῦτος γραμμή · ὁ ἄρα ὁ Γ , Ε σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐπί ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος · ὅσπερ ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα εὐθύς εἰμί ὁ ΓΕ γραμμή · ὁ ἄρα ΓΕΔ σχῆμα οὐ εἰμί εὐθύγραμμος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0053.3
δεῖκτέον δή , ὅτι οὔδε κύκλος .
Lemmas: δείκνυμι δή , ὅτι οὐδέ κύκλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0053.4
ἐπεὶ γὰρ τὸ τῆς ΓΕΔ τομῆς ἐπίπεδον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ οὐκ ἔστι παράλληλον , ἐκβαλλόμενα τὰ ἐπίπεδα τεμεῖ ἀλλήλα . τεμνέτω , καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ΖΗ , καὶ διὰ τοῦ Α κέντρου ἡχθῶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἡ ΘΑΗ , καὶ διὰ τῆς ΘΑ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλησθῶ ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον , ἐν δὲ τῇ ΓΕΔ τομῇ τὴν ΓΔ εὐθεῖαν , καὶ τῆς ΓΔ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ Α ἡχθῶσαν τῇ ΖΗ παράλληλοι διὰ μὲν τοῦ Α ἡ ΕΛΜ , διὰ δὲ τοῦ Α ἡ ΝΑΞ · αἱ ἄρα ΜΕ , ΝΞ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις . ἡχθῶ τοίνυν διὰ τῆς ΕΜ ἐπίπεδον παράλληλον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν τὴν ΟΕΠΜ · ἡ ΟΕΠ ἄρα τομὴ κύκλος ἐστίν , οὐ διάμετρος ἐστὶν ἡ ΟΠ δίχα τετμημένη κατὰ τὸ Α · ἐπεὶ γὰρ τῶν ΑΟΓ , ΑΠΔ τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΑΔ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΟΔ
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ὁ ΓΕΔ τομή ἐπίπεδος ὁ ὁ Α κύκλος ἐπίπεδος οὐ εἰμί παράλληλος , ἐκβάλλω ὁ ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων . τέμνω , καί ἵστημι κοινός τομή αὐτός ὁ ΖΗ , καί διά ὁ Α κέντρον ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΖΗ ὁ ΘΑΗ , καί διά ὁ ΘΑ καί ὁ ἄγω ἐκβάλλω ἐπίπεδος ποιέω ἐν μέν ὁ κύλινδρος τομή ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος , ἐν δέ ὁ ΓΕΔ τομή ὁ ΓΔ εὐθύς , καί ὁ ΓΔ δίχα τέμνω κατά ὁ Α ἄγω ὁ ΖΗ παράλληλος διά μέν ὁ Α ὁ ΕΛΜ , διά δέ ὁ Α ὁ Ἄναξ · ὁ ἄρα ΜΕ , ΝΞ παράλληλος εἰμί ἀλλήλων . ἄγω τοίνυν διά ὁ ΕΜ ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ὁ κύλινδρος ποιέω ἐν ὁ κύλινδρος τομή ὁ ΕΜ · ὁ ΕΠΟ ἄρα τομή κύκλος εἰμί , οὖον διάμετρος εἰμί ὁ ΟΠ δίχα τέμνω κατά ὁ Α · ἐπεί γάρ ὁ ΑΟΓ , ΑΠΔ τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ἴσος εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΑΔ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΟΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0055.1
ΠΕΡΙ ΚΤΑΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΑΔ τομή .