ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0233.7
ἢπερ ἡ HA πρὸς AB . ἀλλ’ ὡς ἡ HΘ πρὸς ΘΒ ,
Lemmas: ἤ ὁ HA πρός AB . ἀλλά ὡς ὁ HΘ πρός ΘΒ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0233.8
οὕτως ἡ BA , τούτεστιν ἡ BK , πρὸς ΑΗ · ἡ ἄρα BK
Lemmas: οὕτως ὁ BA , τουτέστιν ὁ BK , πρός ΑΗ · ὁ ἄρα BK
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0233.9
πρὸς ΑΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ HA πρὸς AB .
Lemmas: πρός ΑΗ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ HA πρός AB .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0235.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0235.2
ἐπεὶ παράλληλοι μὲν αἱ ΒΓ , ΔΖ καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΖ , οὐκ ἐλάττων δὲ ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ γωνία οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς · μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΑΓ . καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἐστίν , ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν , οὐ διάμετρος ἡ ΑΓ · περιγραφέν ἄρα τὸ ἡμικύκλιον τέμει τὴν ΑΔ . τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΔΒ · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΔΒ .
Lemmas: ἐπεί παράλληλος μέν ὁ ΒΓ , ΔΖ καί πρός ὀρθός ὁ ΒΖ , οὐ μικρός δέ ὁ ΔΖ ὁ ΓΒ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΒ γωνία οὐ μικρός εἰμί ὀρθός · μείζων ἄρα ὁ ΑΔ ὁ ΑΓ . καί ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιος εἰμί , ἐν ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί , οὖον διάμετρος ὁ ΑΓ · περιγράφω ἄρα ὁ ἡμικύκλιον τέμνω ὁ ΑΔ . τέμνω δή κατά ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ΑΓΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΕΒ μείζων ὁ ὑπό ΑΔΒ · καί ὁ ὑπό ΑΓΒ ἄρα μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΒ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0235.3
ληʹ
Lemmas: λαός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0235.4
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τοῦ ὀρθογωνίου ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία μὴ μείζων ᾖ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπὸ τε τῆς τὰς κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιξευγνούσης καὶ τῆς πρὸς ἀμβλείαν τῇ βάσει , ἡ τὴν ὀρθὴν ὑποτεινούσα τοῦ ὀρθογωνίου πλευρὰ πρὸς τὴν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ τοῦ ἀμβλυγωνίου ἡ τὴν ἀμβλείαν ὑποτεινούσα πρὸς τὴν πρὸς ἀμβλείαν τῇ βάσει . καταγεγράφθω τὰ αὐτὰ τρίγωνα , καὶ ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ μὴ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΔΒ . λέγω , ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ . ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΑΔΒ , ὡς ἐδείχθη , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ , συννεστάτω τῇ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΔΗ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ ἡ ὑπὸ ΔΑΗ · ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΓΒ , ΑΔΗ
Lemmas: ὁ αὐτός εἰμί ἐάν ὁ ὀρθογώνιος ὁ πρός ὁ κορυφή γωνία μή μείζων εἰμί ὁ περιέχω γωνία ὑπό τε ὁ ὁ κορυφή ὁ τρίγωνος επιξευγιγνωσκω καί ὁ πρός ἀμβλύς ὁ βάσις , ὁ ὁ ὀρθός ὑποτείνω ὁ ὀρθογώνιος πλευρόν πρός ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀμβλυγώνιος ὁ ὁ ἀμβλύς ὑποτείνω πρός ὁ πρός ἀμβλύς ὁ βάσις . καταγράφω ὁ αὐτός τρίγωνος , καί ἵστημι ὁ ὑπό ΑΓΒ μή μείζων ὁ ὑπό ΓΔΒ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ πρός ΓΒ μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΔ πρός ΔΒ . ἐπεί μείζων εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΑΔΒ , ὡς δείκνυμι , ὁ δέ ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό ΔΑΒ , συνίστημι ὁ μέν ὑπό ΑΓΒ ἴσος ὁ ὑπό ΑΔΗ , ὁ δέ ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό ΔΑΗ · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓΒ , ΑΔΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.10
ληλόγραμμον τὸ ΓΖ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τῶν
Lemmas: ληλογραμμος ὁ ΓΖ . ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΒ μετά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.11
10 ὑπὸ ΓΒΔ , ΔΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ
Lemmas: 10 ὑπό ΓΒΔ , δΒΖ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . ἀλλά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.12
τῆς ὑπὸ ΓΔΒ , τούτεστι τῆς ὑπὸ ΔΒΖ , οὐ μείζων
Lemmas: ὁ ὑπό ΓΔΒ , τουτέστι ὁ ὑπό δΒΖ , οὖον μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.13
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ τῶν
Lemmas: εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΓΔ μετά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.14
ὑπὸ ΓΒΔ , ΑΓΒ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν ,
Lemmas: ὑπό ΓΒΔ , ΑΓΒ οὖον μέγας εἰμί δύο ὀρθός ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.15
δ ἐστιν αἱ ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΒΔ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν
Lemmas: δ εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΓΒΔ οὖον μέγας εἰμί δύο
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.16
15 ὀρθῶν . ἀλλὰ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΗ ·
Lemmas: 15 ὀρθός . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΓΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΗ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.17
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΗ , ΓΒΔ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν
Lemmas: ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΗ , ΓΒΔ οὖον μέγας εἰμί δύο
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.18
ὀρθῶν . προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή · αἱ ἄρα ὑπὸ
Lemmas: ὀρθός . πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.19
ΑΒΗ , ΑΒΔ οὐ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν . λοιπὴ
Lemmas: ΑΒΗ , ΑΒΔ οὖον μέγας εἰμί τρεῖς ὀρθός . λοιπός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.2
τρίγωνον [ δμοια ] . ως ἄρα ἡ ΔΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ
Lemmas: τρίγωνος [ δμοια ] . ως ἄρα ὁ ΔΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.20
ἄρα εἰς τέσσαρας ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΔΒΗ οὐκ ἐλάσσων
Lemmas: ἄρα εἰς τέσσαρες ὀρθός ὁ ὑπό ΔΒΗ οὐ μικρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.21
20 ἐστὶ μιᾶς ὀρθῆς · μείζων ἄρα ἡ ΔΗ τῆς ΔΒ · ἡ ἄρα
Lemmas: 20 εἰμί εἷς ὀρθός · μείζων ἄρα ὁ δΗ ὁ ΔΒ · ὁ ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.22
ΑΔ πρὸς ΔΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς
Lemmas: ΑΔ πρός δΗ μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΔ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.23
ΔΒ . ἀλλ' ως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς
Lemmas: ΔΒ . ἀλλά ως ὁ ΑΔ πρός δΗ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.24
ΓΒ · καὶ ἡ ἄρα ΑΓ πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει
Lemmas: ΓΒ · καί ὁ ἄρα ΑΓ πρός ΓΒ μικρός λόγος ἔχω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.25
ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ .
Lemmas: ἤ ὁ ΑΔ πρός ΔΒ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.26
25 ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ μείζων · ἄμβλεια ἄρα
Lemmas: 25 ἀλλά δή ἵστημι ὁ ΔΖ ὁ ΓΒ μείζων · ἀμβλύς ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.27
ἡ ὑπὸ ΔΓΒ . ἤχθω τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΒΘ . κατὰ
Lemmas: ὁ ὑπό ΔΓΒ . ἄγω ὁ ΓΔ παράλληλος ὁ ΒΘ . κατά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.28
τὰ αὐτὰ δή , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΓΒ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ ,
Lemmas: ὁ αὐτός δή , ἐπεί ὁ ὑπό ΔΓΒ μετά ὁ ὑπό ΓΒΔ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.29
ΔΒΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , τῆς δὲ ὑπὸ ΔΒΘ ,
Lemmas: ΔΒΘ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΔΒΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.3
ΗΑ πρὸς ΑΒ · καὶ περιέχουσιν ἴσας γωνίας · ὅμοιον
Lemmas: ΗΑ πρός ΑΒ · καί περιέχω ἴσος γωνία · ὅμοιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.4
ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ ἐπιξευχθεί -
Lemmas: ἄρα ὁ δΑΓ τρίγωνος ὁ ΗΑΒ τρίγωνος ἐπιξευχθεί -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.5
σης τῆς ΒΗ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΗ
Lemmas: σός ὁ ΒΗ . ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.6
5 ἴση ἐστίν .
Lemmas: 5 ἴσος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.7
ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΖ τῆς ΓΒ οὐκ ἐστὶν ἐλάττων , ἤτοι
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ ΔΖ ὁ ΓΒ οὐ εἰμί μικρός , ἤτοι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.8
ἴση ἐστὶν ἢ μείζων .
Lemmas: ἴσος εἰμί ἢ μείζων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0237.9
ἔστω πρότερον ἴση · ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ παραλ -
Lemmas: ἵστημι πρότερος ἴσος · ὀρθογώνιος ἄρα εἰμί παραλ -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.10
Τῶν αὐτῶν ὄντων τῶν ἄλλων ἐὰν τοῦ ὀρθογωνίου
Lemmas: ὁ αὐτός εἰμί ὁ ἄλλος ἐάν ὁ ὀρθογώνιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.11
ἡ τὴν ὀρθὴν ὑποτεινούσα πρὸς τὴν πρὸς ὀρθὰς
Lemmas: ὁ ὁ ὀρθός ὑποτείνω πρός ὁ πρός ὀρθός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.12
τῇ βάσει μείζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ τοῦ ἁμβλυγωνίου ἡ
Lemmas: ὁ βάσις μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ αμβλυγώνιος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.13
τὴν ἁμβλείαν ὑποτεινούσα πρὸς τὴν πρὸς ἁμβλείαν τῇ
Lemmas: ὁ ἀμβλύς ὑποτείνω πρός ὁ πρός ἀμβλύς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.14
βάσει , ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ ὀρθογωνίου γωνία μείζων
Lemmas: βάσις , ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ ὀρθογώνιος γωνία μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.15
ἐστὶ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπὸ τε τῆς τὰς
Lemmas: εἰμί ὁ περιέχω γωνία ὑπό τε ὁ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.16
κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιζευγνούσης καὶ τῆς πρὸς
Lemmas: κορυφή ὁ τρίγωνος ἐπιζεύγνυμι καί ὁ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.17
ἁμβλείαν τῇ βάσει .
Lemmas: ἀμβλύς ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.18
κεισθῶ ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῶν αὐτῶν κατεσκευασμένων .
Lemmas: κεῖμαι ὁ αὐτός καταγραφή ὁ αὐτός κατασκευάζω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.19
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ πρός ΓΒ μείζων λόγος ἔχω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.2
τουτέστι τῆς ὑπὸ ΓΑΒ , οὐ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ,
Lemmas: τουτέστι ὁ ὑπό ΓΑΒ , οὖον μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.20
ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως
Lemmas: ἤ ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.21
ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ , καὶ ἡ ἄρα ΑΔ πρὸς ΔΗ μείζονα
Lemmas: ὁ ΑΔ πρός δΗ , καί ὁ ἄρα ΑΔ πρός δΗ μείζων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.22
λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ · ἐλάττων ἄρα ἡ ΗΔ
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΔ πρός ΔΒ · μικρός ἄρα ὁ ΗΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.23
τῆς ΔΒ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ἐλάττων ἐστὶν
Lemmas: ὁ ΔΒ . ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΗ γωνία μικρός εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.24
Halley : τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ . ἔχει ] om . c . 7 . ὅπερ
Lemmas: Halley : τουτέστιν ὁ ΑΓ πρός ΓΒ . ἔχω ] om . c . 7 . ὅσπερ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.26
14 . ἐστὶ ] ἔσται p . 16 . ἁμβλείαν ] vcp , β supra scr . m . 1 Ὅ .
Lemmas: 14 . εἰμί ] εἰμί p . 16 . ἀμβλύς ] vcp , Β supra scr . m . 1 ὅς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.3
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΒΔ , τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΑΒΗ ,
Lemmas: ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΔ , ΓΒΔ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΒΗ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.4
ΓΒΔ , οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν · αἱ ἄρα ὑπὸ
Lemmas: ΓΒΔ , οὖον μέγας εἰμί δύο ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.5
ΑΒΔ , ΑΒΗ οὐ μείζονές εἰσι τριῶν ὀρθῶν . ἡ ἄρα
Lemmas: ΑΒΔ , ΑΒΗ οὖον μέγας εἰμί τρεῖς ὀρθός . ὁ ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.6
ὑπὸ ΑΒΗ οὐκ ἐλάττων ὀρθῆς ἐστι · μείζων ἄρα ἡ ΗΔ
Lemmas: ὑπό ΑΒΗ οὐ μικρός ὀρθός εἰμί · μείζων ἄρα ὁ ΗΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.7
τῆς ΔΒ . ἡ ΑΔ ἄρα πρὸς ΔΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει
Lemmas: ὁ ΔΒ . ὁ ΑΔ ἄρα πρός δΗ μικρός λόγος ἔχω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.8
ἢπερ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἤ ὁ ΑΔ πρός ΔΒ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0239.9
λθ´ .
Lemmas: λθ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0240.1
ἀλλ’ ὡς ἡ οὕτως ἡ καὶ ἡ ἄρα ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ
Lemmas: ἀλλά ὡς ὁ οὕτως ὁ καί ὁ ἄρα μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0240.2
ὡς δέ ἐστιν ὀρθῆς μιᾶς ] ἐστὶ μιᾶς ὀρθῆς
Lemmas: ὡς δέ εἰμί ὀρθός εἷς ] εἰμί εἷς ὀρθός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.2
ὀρθῆς μιᾶς · λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ABA , ABH μειζόνες εἰσι τριῶν ὀρθῶν . ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ ABH ἴση τῇ ὑπὸ AGA · αἱ ἄρα ὑπὸ AGA , ABA μειζόνες εἰσι τριῶν ὀρθῶν . ἀφηρησθῶ ἡ ὑπὸ ABΓ ὀρθή · αἱ ἄρα ὑπὸ 5 AGA , ΓBA δύο ὀρθῶν μειζόνες εἰσιν . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ BΓA μετὰ μὲν τῶν ὑπὸ AGB , ΓBA δυσὶν ὀρθῶν εἰσι μειζους , μετὰ δὲ τῶν ὑπὸ ΓAB , ΓBA δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , μειζῶν ἄρα ἡ ὑπὸ AGB τῆς ὑπὸ ΓAB .
Lemmas: ὀρθός εἷς · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ABA , ABH μείζων εἰμί τρεῖς ὀρθός . ἀλλά ὁ ὑπό ABH ἴσος ὁ ὑπό AGA · ὁ ἄρα ὑπό AGA , ABA μείζων εἰμί τρεῖς ὀρθός . ἀφαιρέω ὁ ὑπό ABΓ ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό 5 AGA , ΓBA δύο ὀρθός μείζων εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό BΓA μετά μέν ὁ ὑπό AGB , ΓBA δύο ὀρθός εἰμί μείζων , μετά δέ ὁ ὑπό ΓAB , ΓBA δύο ὀρθός Ἴσαι , μείζων ἄρα ὁ ὑπό AGB ὁ ὑπό ΓAB .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.3
μ᾽ .
Lemmas: εἷς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.4
Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηθέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρίγωνα συνστῇ , ἀφ᾽ οὗ μέρους ἀπονεύει ὁ ἄξων , τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν , ὡς εἴρηται , συνισταμένων 15 ἰσοσκελῶν οὔτε μέγιστον ἔσται πάντων οὔτε πάντων ἐλάχιστον .
Lemmas: ἐάν ἐν κῶνος σκαληνός τέμνω διά ὁ κορυφή ἐπίπεδος τις ἐπί παράλληλος βάσις ἰσοσκελής τρίγωνος συνίστημι , ἀπό ὅς μέρος ἀπονεύω ὁ ἄγω , ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής ὁ , ὡς εἴρω , συνίστημι 15 ἰσοσκελής οὔτε μέγας εἰμί πᾶς οὔτε πᾶς μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.5
Ἔστω κώνος , οὗ ὁ ἄξων ὁ AB , βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος , τοῦ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ κύκλῳ ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομή 20 ἡ ΓBA , ἡ δὲ ὑπὸ ABA ἐλάττων ἔστω ὀρθῆς . λέγω , ὅτι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συνισταμένων ἰσοσκελῶν τὰς βάσεις ἔχοντων μεταξὺ τῶν Γ , B σημείων οὔτε μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον .
Lemmas: ἔστω κώνος , ὅς ὁ ἄγω ὁ AB , βάσις δέ ὁ περί ὁ B κέντρον κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω πρός ὀρθός γωνία ὁ κύκλος ἐπίπεδος καί ὁ κύκλος κοινός τομή 20 ὁ ΓBA , ὁ δέ ὑπό ABA μικρός ἵστημι ὀρθός . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής ὁ συνίστημι ἰσοσκελής ὁ βάσις ἔχω μεταξύ ὁ Γ , B σημεῖον οὔτε μέγας εἰμί πᾶς οὔτε μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0241.6
ὁ δὴ ἄξων ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου 25 τῆς βάσεως ἢ ἴσος αὐτῇ ἢ μειζών .
Lemmas: ὁ δή ἄγω ἤτοι μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον 25 ὁ βάσις ἢ ἴσος αὐτός ἢ μείζων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0243.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0243.2
ἔστω πρῶτον ἐλάττων . ἐπεὶ οὖν ἡ AB ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἐνηρμόσθω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ AE , καὶ διὰ τῶν B καὶ E σημείων τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἠχθῶσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ EZ , BH , καὶ τῇ ὑπὸ AEB ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ EBΘ , καὶ ἐξεύχθω ἡ ΘE . ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν AE , BΘ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , κοινὴ δὲ ἡ BE , καὶ περιἔχουσιν ἴσας γωνίας , καὶ τὰ λοιπὰ ἄρα τοῖς λοιποῖς ἴσα · ὁμοία ἄρα τὰ τρίγωνα . ὡς ἄρα ἡ EA πρὸς AB , οὕτως ἡ BΘ πρὸς ΘE . ἐπεὶ δὲ μεῖζων ἡ ZE τῆς EΘ , ἴσαι δὲ αἱ BH , BΘ , ἡ ἄρα BΘ πρὸς ΘE μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ BH πρὸς ZE . ἀλλ’ ὡς ἡ BΘ πρὸς ΘE , οὕτως ἡ EA πρὸς AB · ἡ ἄρα EA πρὸς AB μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ BH πρὸς EZ . τὸ ἄρα ὑπὸ AE , EZ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ AB , BH , τούτεστι τὸ διὰ τῆς AE ἰσόσκελές , οὐ βάσις ἐστὶν ἡ διπλὴ τῆς EZ , τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς μεῖζόν ἐστι · τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσόσκελές οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν , ὡς εἴρηται , συνισταμένων τριγώνων . ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ τριακοστῷ ἕκτῳ καθόλου , ὅτι οὔδ’ ἐλάχιστον · οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον .
Lemmas: ἵστημι πρῶτος μικρός . ἐπεί οὖν ὁ AB μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἐναρμόζω ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ AE , καί διά ὁ B καί E σημεῖον ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ἄγω ἐν ὁ κύκλος ὁ EZ , BH , καί ὁ ὑπό AEB ἴσος συνίστημι ὁ ὑπό EBΘ , καί ἐξεύχομαι ὁ ΘE . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ AE , BΘ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , κοινός δέ ὁ BE , καί περιέχω ἴσος γωνία , καί ὁ λοιπάς ἄρα ὁ λοιπός ἴσος · ὅμοιος ἄρα ὁ τρίγωνος . ὡς ἄρα ὁ EA πρός AB , οὕτως ὁ BΘ πρός ΘE . ἐπεί δέ μείζων ὁ ZE ὁ EΘ , Ἴσαι δέ ὁ BH , BΘ , ὁ ἄρα BΘ πρός ΘE μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ BH πρός ZE . ἀλλά ὡς ὁ BΘ πρός ΘE , οὕτως ὁ EA πρός AB · ὁ ἄρα EA πρός AB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ BH πρός EZ . ὁ ἄρα ὑπό AE , EZ μέγας εἰμί ὁ ὑπό AB , BH , τουτέστι ὁ διά ὁ AE ἰσοσκελής , οὖον βάσις εἰμί ὁ διπλόος ὁ EZ , ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής μέγας εἰμί · ὁ ἄρα διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής οὖον πᾶς μέγας εἰμί ὁ , ὡς εἴρω , συνίστημι τρίγωνος . δείκνυμι δέ ἐν ὁ τριακοστός ἕκτος καθόλου , ὅτι οὐδέ μικρός · οὔτε ἄρα μέγας εἰμί πᾶς οὔτε μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0243.3
μα’ .
Lemmas: μαί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0243.4
Ἄλλα δὴ ἔστω ὁ AB ἄξων ἴσος τῇ ἐκ τοῦ κέντρου . ἡ δὴ ὑπὸ ABΔ γωνία ἐλάττων οὖσα ὀρθῆς ἤτοι ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας ὀρθῆς ἢ οὔ .
Lemmas: ἄλλος δή ἵστημι ὁ AB ἄγω ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον . ὁ δή ὑπό ABΔ γωνία μικρός εἰμί ὀρθός ἤτοι μικρός εἰμί ἥμισυς ὀρθός ἢ οὖον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0243.5
ἔστω πρότερον οὐκ ἐλάττων ἡμισείας , καὶ διὰ τοῦ
Lemmas: ἵστημι πρότερος οὐ μικρός ἥμισυς , καί διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.10
ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ZEB , ZAB ἐπὶ μιᾶς βάσεως
Lemmas: ἐπεί οὖν δύο τρίγωνος ὁ ZEB , ZAB ἐπί εἷς βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.11
10 συνέστηκε , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ A κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ
Lemmas: 10 συνίστημι , καί ὁ ἀπό ὁ A κάθετος ἐπί ὁ ΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.12
ἀγομένη , ὡς ἡ AK , οὐκ ἐστὶν ἐλάττων τῆς EB , ἡ δὲ
Lemmas: ἄγω , ὡς ὁ AK , οὐ εἰμί μικρός ὁ EB , ὁ δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.13
ὑπὸ ZEB τοῦ ὀρθογωνίου γωνία οὐ μείζων ἐστὶ τῆς
Lemmas: ὑπό ZEB ὁ ὀρθογώνιος γωνία οὖον μείζων εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.14
ὑπὸ EAB , ἡ ἄρα ZE πρὸς EB ἐλάττονα λόγον ἔχει
Lemmas: ὑπό EAB , ὁ ἄρα ZE πρός EB μικρός λόγος ἔχω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.15
ἢπερ ἢ ZA πρὸς AB διὰ τὸ τριακοστὸν ὀγδοὸν θεώ -
Lemmas: ἤ ἢ ZA πρός AB διά ὁ τριακοστός ὄγδοος θεός -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.16
15 ρημα . ὡς δὲ ἢ ZE πρὸς EB , οὕτως ἢ BH , τουν -
Lemmas: 15 ῥῆμα . ὡς δέ ἢ ZE πρός EB , οὕτως ἢ BH , ὅς -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.17
τέστιν ἢ BΘ , πρὸς ZH · ἴση γὰρ καὶ ἢ EZ τῇ ἐκ τοῦ
Lemmas: τέστον ἢ BΘ , πρός ZH · ἴσος γάρ καί ἢ EZ ὁ ἐκ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.18
κέντρου · καὶ ἢ BΘ ἄρα πρὸς ZH ἐλάττονα λόγον
Lemmas: κέντρον · καί ἢ BΘ ἄρα πρός ZH μικρός λόγος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.19
ἔχει ἢπερ ἢ ZA πρὸς AB . τὸ ἄρα ὑπὸ AB , BΘ
Lemmas: ἔχω ἤ ἢ ZA πρός AB . ὁ ἄρα ὑπό AB , BΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.2
A ἐν τῷ ὀρθῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ παραλλήλως
Lemmas: A ἐν ὁ ὀρθός πρός ὁ κύκλος ἐπίπεδος παράλληλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.20
ἐλάττον ἐστὶ τοῦ ὑπὸ AZ , ZH , τούτεστι τὸ διὰ τοῦ
Lemmas: ἐλάσσων εἰμί ὁ ὑπό AZ , ZH , τουτέστι ὁ διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.21
20 ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τῆς AZ ἰσοσκελοῦς · οὐκ ἄρα
Lemmas: 20 ἄγω ἰσοσκελής ὁ διά ὁ AZ ἰσοσκελής · οὐ ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.22
τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ,
Lemmas: ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής μέγας εἰμί πᾶς ὁ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.23
ἢ AE καὶ ἀπὸ τοῦ B πρὸς ὀρθὰς ἀνῃχθῶ ἢ BE καὶ διὰ τοῦ E p ,
Lemmas: ἢ AE καί ἀπό ὁ B πρός ὀρθός ἀνάγω ἢ BE καί διά ὁ E p ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.24
τῇ ] τῇ δὲ Halley . παράλληλος ] παράλληλος ἡχθῶ p . ἢ EZ ]
Lemmas: ὁ ] ὁ δέ Halley . παράλληλος ] παράλληλος ἄγω p . ἢ EZ ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.25
5 . οὐκ ἐλάττων ] vcp , οὐκ ἐ - euan . V . ἡμισείας ] ἡμισείας
Lemmas: 5 . οὐ μικρός ] vcp , οὐ εἰ - euan . V . ἥμισυς ] ἥμισυς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.26
ὀρθῆς p . καὶ ἡ ὑπὸ BAE ἄρα ] vcp , καὶ ἡ ὑ - et - qa euan . V .
Lemmas: ὀρθός p . καί ὁ ὑπό BAE ἄρα ] vcp , καί ὁ ὑ - et - qa euan . V .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.27
7 . ἡμισείας ] ἡμισείας ὀρθῆς p . 8 . Post μείζων rep . ἐστὶν
Lemmas: 7 . ἥμισυς ] ἥμισυς ὀρθός p . 8 . Post μείζων rep . εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.28
οὐ μείζων ἐστὶν ἡμισείας ἢ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ μείζων V , del .
Lemmas: οὖον μείζων εἰμί ἥμισυς ἢ ἄρα ὑπό ZEB οὖον μείζων V , del .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.29
οὐ μείζων ἐστὶν ἡμισείας ; ἐστὶν ἡμισείας ἢ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ
Lemmas: οὖον μείζων εἰμί ἥμισυς ; εἰμί ἥμισυς ἢ ἄρα ὑπό ZEB οὖον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.3
ἡχθῶ τῇ ΓΒ ἢ AE καὶ τῇ AB παράλληλος ἢ EZ ,
Lemmas: ἄγω ὁ ΓΒ ἢ AE καί ὁ AB παράλληλος ἢ EZ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.4
καὶ ἐπεξεύχθω ἢ ZA , ἐν δὲ τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς
Lemmas: καί ἐπεξεύχομαι ἢ ZA , ἐν δέ ὁ κύκλος ὁ ΓΔ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.5
ὀρθὰς ἡχθῶσαν αἱ BΘ , ZH , καὶ ἐπεξεύχθω ἢ BH .
Lemmas: ὀρθός ἄγω ὁ BΘ , ZH , καί ἐπεξεύχομαι ἢ BH .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.6
5 ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABA οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας , καὶ ἡ
Lemmas: 5 ἐπεί ὁ ὑπό ABA οὐ μικρός εἰμί ἥμισυς , καί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.7
ὑπὸ BAE ἄρα οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας · ἢ ἄρα ὑπὸ
Lemmas: ὑπό BAE ἄρα οὐ μικρός εἰμί ἥμισυς · ἢ ἄρα ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.8
EBA , τούτεστιν ἡ ὑπὸ ZEB , οὐ μείζων ἐστὶν ἡμισειας ·
Lemmas: EBA , τουτέστιν ὁ ὑπό ZEB , οὖον μείζων εἰμί ἥμισυς ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0245.9
ἢ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ EAB .
Lemmas: ἢ ἄρα ὑπό ZEB οὖον μείζων εἰμί ὁ ὑπό EAB .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.10
πρὸς ὀρθὰς ἥχθω ἡ ΕΖ , τῇ δὲ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ
Lemmas: πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΖ , ὁ δέ ΓΔ πρός ὀρθός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.11
ΒΗ , καὶ ὑποτεινέτω τὴν ὑπὸ ΖΒΗ γωνίαν ἡ ΖΗ
Lemmas: ΒΗ , καί ὑποτείνω ὁ ὑπό ΖΒΗ γωνία ὁ ΖΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.12
εὐθεῖα ἴση συσταθεῖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐπεξεύχθω
Lemmas: εὐθύς ἴσος συνίστημι ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐπεξεύχομαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.13
ἡ ΖΑ .
Lemmas: ὁ Γῆ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.14
ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ , τούτεστιν ἡ ὑπὸ ΖΒΕ ,
Lemmas: ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΑΒΔ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΖΒΕ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.15
ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς ἡμισείας , ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ε ,
Lemmas: μικρός εἰμί ὀρθός ἥμισυς , ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ Ε ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.16
ἡ ἄρα ΒΕ τῆς ΕΖ μείζων . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ ἴσον
Lemmas: ὁ ἄρα ΒΕ ὁ ΕΖ μείζων . καί ἐπεί ὁ ἀπό ΖΒ ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.17
ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ , ΕΒ , ὧν μείζων τὸ ἀπὸ ΕΒ τοῦ
Lemmas: εἰμί ὁ ἀπό ΖΕ , ΕΒ , ὅς μείζων ὁ ἀπό ΕΒ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.18
ἀπὸ ΖΕ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΒ ἑλάττον ἢ διπλάσιον τοῦ
Lemmas: ἀπό ΖΕ , ὁ ἄρα ἀπό ΖΒ μικρός ἢ διπλάσιος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.19
ἀπὸ ΒΕ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ μείζων ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ
Lemmas: ἀπό ΒΕ · ὁ ἄρα ἀπό ΖΗ μείζων ἢ διπλάσιος εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.2
ὡς εἴρηται , συνισταμένων ἰσοσκελῶν . ἐδείχθη δέ , ὅτι
Lemmas: ὡς εἴρω , συνίστημι ἰσοσκελής . δείκνυμι δέ , ὅτι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.20
ἀπὸ ΖΒ · λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΒΗ ἑλάττον ἢ διπλάσιόν
Lemmas: ἀπό ΖΒ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΒΗ μικρός ἢ διπλάσιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.21
ἐστι τὸ ἀπὸ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΒ ἡμισεία ἐστι
Lemmas: εἰμί ὁ ἀπό ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ΕΒ ἥμισυς εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.22
τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , τὸ ἄρα δις ὑπὸ ΑΒ , ΒΕ ἴσον
Lemmas: ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ ἄρα δις ὑπό ΑΒ , ΒΕ ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.23
ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΑ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΑ ἴσον ἐστὶ
Lemmas: εἰμί ὁ ἀπό ΒΑ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό Γῆ ἴσος εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.24
τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΖ καὶ τῷ δις ὑπὸ ΑΒ , ΒΕ , ἀλλὰ τὸ
Lemmas: ὁ ἀπό ΑΒ , ΒΖ καί ὁ δις ὑπό ΑΒ , ΒΕ , ἀλλά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.25
δις ὑπὸ ΑΒ , ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ , τὸ ἄρα ἀπὸ
Lemmas: δις ὑπό ΑΒ , ΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ , ὁ ἄρα ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.26
ΖΑ ἴσον ἐστὶ τῷ τε δις ἀπὸ ΑΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ ·
Lemmas: Γῆ ἴσος εἰμί ὁ τε δις ἀπό ΑΒ καί ὁ ἀπό ΒΖ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.27
τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΑ μείζων ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΒ .
Lemmas: ὁ ἄρα ἀπό Γῆ μείζων ἢ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.3
οὔδε ἑλάχιστον · οὔτε ἄρα πάντων μέγιστόν ἐστιν οὔτε
Lemmas: οὐδέ μικρός · οὔτε ἄρα πᾶς μέγας εἰμί οὔτε
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.4
ἑλάχιστον .
Lemmas: μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.5
μβ´
Lemmas: μβ´
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.6
Ἄλλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ἡμισείας
Lemmas: ἀλλά δή ἵστημι ὁ ὑπό ΑΒΔ μικρός ἥμισυς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.7
ὀρθῆς , καὶ ἐμπεβλησθῶ ἡ ΑΒΕ , καὶ κείσθω ἡ ΒΕ
Lemmas: ὀρθός , καί ἐμπίμπλημι ὁ ΑΒΕ , καί κεῖμαι ὁ ΒΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.8
ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ
Lemmas: ἴσος ὁ ἥμισυς ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐν ὁ ὀρθός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0247.9
πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΕ , τῇ ΑΕ
Lemmas: πρός ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἐν ὅς καί ὁ ΑΕ , ὁ ΑΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.2
ἐδείχθη δὲ τὸ ἀπὸ ZH ἑλάττων ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ HB · τὸ ἄρα ἀπὸ ZH πρὸς τὸ ἀπὸ HB ἑλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ἀπὸ ZA πρὸς τὸ ἀπὸ AB · ὥστε καὶ ἡ ZH πρὸς HB ἑλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ZA πρὸς AB . ἐὰν οὖν πάλιν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἀχθῶσιν αἱ ZK , BΘ , ἐπίκευθῇ τε ἡ BK , ἡ BΘ πρὸς ZK ἑλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ZA πρὸς AB · τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσόσκελές ἑλάττόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς AZ . οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσόσκελές μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν , ὡς εἴρηται , συνισταμένων ἰσοσκελῶν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὔδ’ ἐλάχιστον · οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστιν οὔτε ἐλάχιστον .
Lemmas: δείκνυμι δέ ὁ ἀπό ZH μικρός ἢ διπλάσιος ὁ ἀπό HB · ὁ ἄρα ἀπό ZH πρός ὁ ἀπό HB μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ZA πρός ὁ ἀπό AB · ὥστε καί ὁ ZH πρός HB μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ZA πρός AB . ἐάν οὖν πάλιν ἐν ὁ κύκλος ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ZK , BΘ , ἐπικεύθω τε ὁ BK , ὁ BΘ πρός ZK μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ZA πρός AB · ὁ ἄρα διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής μικρός εἰμί ὁ διά ὁ AZ . οὐ ἄρα ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής μέγας εἰμί πᾶς ὁ , ὡς εἴρω , συνίστημι ἰσοσκελής . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ μικρός · οὔτε ἄρα μέγας εἰμί οὔτε μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.3
μγ’ .
Lemmas: μγ’ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.4
“ Ἔστω δὴ νῦν ὁ AB ἄξων μεῖζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ ἡχθῶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἢ AE .
Lemmas: “ ἔστω δή νῦν ὁ AB ἄγω μείζων ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐν ὁ ὀρθός πρός ὁ κύκλος ἐπίπεδος ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΓΔ ἢ AE .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.5
ἢ δὴ AE ἤτοι ἑλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ οὔ .
Lemmas: ἢ δή AE ἤτοι μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἢ οὖον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0249.6
Ἔστω πρότερον ἑλάττων , καὶ διὰ τοῦ A παρὰ τὴν ΓΔ ἡχθῶ ἢ AZ , διὰ δὲ τοῦ B παρὰ τὴν AE ἢ BZ , καὶ συστήτω ἢ ὑπὸ BZH μὴ μεῖζων οὖσα τῆς ὑπὸ ZAB , καὶ ἐπεξεύχθω ἢ HA . πάλιν ἄρα διὰ τὰ δειχθέντα ἢ ZH πρὸς ZB ἑλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἢ HA πρὸς AB . ἐπεὶ οὖν ἢ ZB ἴση οὖσα τῇ AE ἑλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , μεῖζων δὲ ἢ ZH τῆς ZB , ἢ ἄρα ZH ἤτοι μεῖζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἑλάττων ἢ ἴση .
Lemmas: ἔστω πρότερος μικρός , καί διά ὁ A παρά ὁ ΓΔ ἄγω ἢ AZ , διά δέ ὁ B παρά ὁ AE ἢ BZ , καί συνίστημι ἢ ὑπό BZH μή μείζων εἰμί ὁ ὑπό ZAB , καί ἐπεξεύχομαι ἢ HA . πάλιν ἄρα διά ὁ δείκνυμι ἢ ZH πρός ZB μικρός λόγος ἔχω ἤ ἢ HA πρός AB . ἐπεί οὖν ἢ ZB ἴσος εἰμί ὁ AE μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , μείζων δέ ἢ ZH ὁ ZB , ἢ ἄρα ZH ἤτοι μείζων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἢ μικρός ἢ ἴσος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0251.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0251.2
ἔστω πρῶτον ἴση .
Lemmas: ἵστημι πρῶτος ἴσος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0251.3
ἔαν οὖν πάλιν , τὸ εἰωθὸς , ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἀγάγωμεν τὰς ΗΑ , ΜΒ , καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΒΔ , διὰ τὰ δειχθέντα πολλάκις ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ 5 μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΒΜ πρὸς ΗΑ · ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΗ , ΗΑ ἰσόσκελὲς μείζον ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς .
Lemmas: ἐάω οὖν πάλιν , ὁ εἴωθα , ἐν ὁ κύκλος ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΗΑ , ΜΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , διά ὁ δείκνυμι πολλάκις ὁ ΗΑ πρός ΑΒ 5 μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΜ πρός ΗΑ · ὥστε καί ὁ διά ὁ ΑΗ , ΗΑ ἰσοσκελής μείζων εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0251.4
εἰ δὲ ἡ ΖΗ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἔστω ἡ ΗΝ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΑ πρὸς 10 ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ , ἡ δὲ ΗΖ πρὸς ΖΒ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΗΝ πρὸς ΝΒ , καὶ ἡ ἄρα ΗΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΗΝ πρὸς ΝΒ , τουνεστίν ἢπερ ἡ ΒΜ πρὸς ΗΑ . καὶ οὕτως τὸ διὰ τῆς ΑΗ ἰσόσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ 15 ἄξονος ἰσοσκελοῦς μείζον ἔσται .
Lemmas: εἰμί δέ ὁ ΖΗ μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἵστημι ὁ ΗΝ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον . ἐπεί οὖν ὁ ΗΑ πρός 10 ΑΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΗΖ πρός ΖΒ , ὁ δέ ΗΖ πρός ΖΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΗΝ πρός ΝΒ , καί ὁ ἄρα ΗΑ πρός ΑΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΗΝ πρός ΝΒ , τουνεστίν ἤ ὁ ΒΜ πρός ΗΑ . καί οὕτως ὁ διά ὁ ΑΗ ἰσοσκελής ὁ διά ὁ 15 ἄγω ἰσοσκελής μείζων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0251.5
εἰ δὲ ἡ ΖΗ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , διήχθω ἡ ΖΞ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΞΖΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ , ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΞΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔξει ἢπερ ἡ ΞΖ 20 πρὸς ΖΒ . ὡς δὲ ἡ ΞΖ πρὸς ΖΒ , οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΞΟ · ἡ ἄρα ΞΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΜΒ πρὸς ΞΟ . τὸ ἄρα διὰ τῶν ΑΞ , ΞΟ ἰσόσκελὲς μείζον ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς · οὐχ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσόσκελὲς πάντων μέγιστόν ἐστι 25 τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ
Lemmas: εἰμί δέ ὁ ΖΗ μείζων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , διάγω ὁ ΖΞ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΞΖΒ οὖον μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΖΑΒ , ἐπιζεύγνυμι ἄρα ὁ ΞΑ πρός ΑΒ μείζων λόγος ἔξειμι ἤ ὁ ΞΖ 20 πρός ΖΒ . ὡς δέ ὁ ΞΖ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΒΜ πρός ΞΟ · ὁ ἄρα ΞΑ πρός ΑΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΜΒ πρός ΞΟ . ὁ ἄρα διά ὁ ΑΞ , ΞΟ ἰσοσκελής μείζων εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής · οὐ ἄρα ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής πᾶς μέγας εἰμί 25 ὁ εἴρω ἰσοσκελής . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.2
ἐλάχιστον · οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον .
Lemmas: μικρός · οὔτε ἄρα μέγας εἰμί πᾶς οὔτε μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.3
μδ´ .
Lemmas: μδ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.4
Ἔστω δὴ ἡ AE κάθετος μὴ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ ZB ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AZ , καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ AΘ , καὶ συστήτω ἡ ὑπὸ BΘH μὴ μεῖζων οὖσα τῆς ὑπὸ ΘAB , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ HA . ἔχει δὴ πάλιν διὰ τὰ δειχθέντα ἡ HΘ πρὸς ΘB ἐλάττονα λόγον ἢπερ ἡ HA πρὸς AB . καὶ ἐπεὶ ἡ ΘB ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , μεῖζων δὲ ἡ ΘH τῆς ΘB , ἡ ΘH ἄρα ἤτοι ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων ἢ μεῖζων .
Lemmas: ἔστω δή ὁ AE κάθετος μή μικρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ δέ ZB ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AZ , καί διάγω τυγχάνω ὁ AΘ , καί συνίστημι ὁ ὑπό BΘH μή μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΘAB , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ HA . ἔχω δή πάλιν διά ὁ δείκνυμι ὁ HΘ πρός ΘB μικρός λόγος ἤ ὁ HA πρός AB . καί ἐπεί ὁ ΘB μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , μείζων δέ ὁ ΘH ὁ ΘB , ὁ ΘH ἄρα ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἢ μικρός ἢ μείζων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.5
Ἔστω πρῶτον ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἤχθωσαν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς αἱ HK , BA . ἐπεὶ οὖν ἡ HA πρὸς AB μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ HΘ πρὸς ΘB , ὡς δὲ ἡ HΘ πρὸς ΘB , οὕτως ἡ BA πρὸς HK , ἡ ἄρα HA πρὸς AB μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ BA πρὸς HK · μεῖζον ἄρα τὸ διὰ τῆς AH τρίγωνον ἰσόσκελες τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς .
Lemmas: ἔστω πρῶτος ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἄγω ἐν ὁ κύκλος ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ὁ HK , BA . ἐπεί οὖν ὁ HA πρός AB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ HΘ πρός ΘB , ὡς δέ ὁ HΘ πρός ΘB , οὕτως ὁ BA πρός HK , ὁ ἄρα HA πρός AB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ BA πρός HK · μείζων ἄρα ὁ διά ὁ AH τρίγωνος ἰσοσκελής ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0253.6
εἰ δὲ ἡ ΘH ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἔστω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ HM . ἐπεὶ οὖν ἡ HA πρὸς AB μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ HΘ πρὸς ΘB , ἡ δὲ HΘ πρὸς ΘB μεῖζονα ἢπερ ἡ HM πρὸς MB , ἡ ἄρα HA πρὸς AB μεῖζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ HM πρὸς MB , τοὔτεστιν ἢπερ ἡ BA πρὸς HK . ὥστε καὶ
Lemmas: εἰμί δέ ὁ ΘH μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἵστημι ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ HM . ἐπεί οὖν ὁ HA πρός AB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ HΘ πρός ΘB , ὁ δέ HΘ πρός ΘB μείζων ἤ ὁ HM πρός MB , ὁ ἄρα HA πρός AB μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ HM πρός MB , τουτέστιν ἤ ὁ BA πρός HK . ὥστε καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0254.1
ΘH > ΘB
Lemmas: ΘH > ΘB
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.2
οὐτω μείζων τὸ διὰ τῆς HA ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς .
Lemmas: οὗτος μείζων ὁ διά ὁ HA ἰσοσκελής ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.3
εἰ δὲ μείζων ἡ HΘ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἔστω ἡ ΘN ἐνηρμοσμένη ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ NA , καὶ ἐν τῷ κύκλῳ πάλιν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἡ NΞ . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ NΘB οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΘAB , ἡ ἄρα NΘ πρὸς ΘB ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ NA πρὸς AB . ὡς δὲ ἡ NΘ πρὸς ΘB , οὕτως ἡ BA πρὸς NΞ · ἡ ἄρα BA πρὸς NΞ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ NA πρὸς AB . μείζων ἄρα τὸ διὰ τῆς AN ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς · τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον · οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον .
Lemmas: εἰμί δέ μείζων ὁ HΘ ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἵστημι ὁ ΘN ἐναρμόζω ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ NA , καί ἐν ὁ κύκλος πάλιν πρός ὀρθός ὁ ΓΔ ὁ NΞ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό NΘB οὖον μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΘAB , ὁ ἄρα NΘ πρός ΘB μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ NA πρός AB . ὡς δέ ὁ NΘ πρός ΘB , οὕτως ὁ BA πρός NΞ · ὁ ἄρα BA πρός NΞ μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ NA πρός AB . μείζων ἄρα ὁ διά ὁ AN ἰσοσκελής ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής · ὁ ἄρα διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής οὖον πᾶς μέγας εἰμί ὁ εἴρω ἰσοσκελής . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ μικρός · οὔτε ἄρα μέγας εἰμί πᾶς οὔτε μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.4
με' .
Lemmas: μου .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.5
Παντὸς κώνου σκαληνοῦ δυνάμει ἀπείρων ὄντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς βάσεις τῶν τριγώνων ἀγόμεναι κάθεται πᾶσαι ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφέρειαν πίπτουσιν ὄντος τε ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ τῆς βάσεως τοῦ κώνου καὶ περὶ διάμετρον τὴν ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐπιπέδῳ ἀπολαμβανομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τοῦ τε κέντρου τῆς βάσεως καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον καθέτον .
Lemmas: Παντὸς κῶνος σκαληνός δύναμις ἤπειρος εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐπί ὁ βάσις ὁ τρίγωνος ἄγω κάθομαι πᾶς ἐπί εἷς κύκλος περιφέρεια πίπτω εἰμί τε ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ ὁ βάσις ὁ κῶνος καί περί διάμετρος ὁ ἐν ὁ εἴρω ἐπίπεδος ἀπολαμβάνω εὐθύς μεταξύ ὁ τε κέντρον ὁ βάσις καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ ἐπίπεδος καθίημι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0255.6
ἔστω κώνος σκαληνός , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ A σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος , καὶ ἄξων ὁ AB , ἀπὸ δὲ τοῦ A κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἡ AG , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ GB , τῇ δὲ GB ἀπὸ τοῦ B πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΔB , τυγχούσαι δὲ
Lemmas: ἵστημι κώνος σκαληνός , ὅς κορυφή μέν ὁ A σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί ὁ B κέντρον κύκλος , καί ἄγω ὁ AB , ἀπό δέ ὁ A κάθετος ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος ὁ AG , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ GB , ὁ δέ GB ἀπό ὁ B πρός ὀρθός ἄγω ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ ΔB , τυγχάνω δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.10
ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΓΛ , ΓΜ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΛ
Lemmas: ἐπεξεύχομαι ὁ ΓΛ , ΓΜ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΛ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.11
10 κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ , ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΛΑ
Lemmas: 10 κάθετος ἐπί ὁ ΖΗ , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΛΑ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.12
γωνία . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΑΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς
Lemmas: γωνία . πάλιν ἐπεί ὁ ΑΓ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.13
βάσεως ἐπίπεδον , ὀρθαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΑΓΛ , ΑΓΜ
Lemmas: βάσις ἐπίπεδος , ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ , ΑΓΛ , ΑΜ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.14
γωνίαι · ὥστε ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ
Lemmas: γωνία · ὥστε ἐπεί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.15
ΒΛ , ΛΛ ἴσον , τὸ δὲ ἀπὸ ΛΛ τοῖς ἀπὸ ΛΓ , ΓΛ ἴσον ,
Lemmas: ΒΛ , λλ ἴσος , ὁ δέ ἀπό λλ ὁ ἀπό ΛΓ , ΓΛ ἴσος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.16
15 τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΛ , ΛΓ , ΓΛ ἴσον
Lemmas: 15 ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ΒΛ , ΛΓ , ΓΛ ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.17
ἐστίν . ἐστὶ δὲ καὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ , ΓΛ ἴσον τὸ ἀπὸ
Lemmas: εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ΒΓ , ΓΛ ἴσος ὁ ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.18
τῆς ΒΑ · τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΓ , ΓΛ τοῖς ἀπὸ ΒΛ , ΛΓ , ΓΛ
Lemmas: ὁ ΒΑ · ὁ ἄρα ἀπό ΒΓ , ΓΛ ὁ ἀπό ΒΛ , ΛΓ , ΓΛ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.19
ἴσα ἐστίν . κοινὸν ἀφῃρησθῶ τὸ ἀπὸ ΓΛ · λοιπὸν ἄρα
Lemmas: ἴσος εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΓΛ · λοιπός ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.2
αἱ ΖΗ , ΚΘ · γίνονται δὴ αἱ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ βάσεις
Lemmas: ὁ ΖΗ , ΚΘ · γίγνομαι δή ὁ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.20
τὸ ἀπὸ ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΛ , ΛΓ · ὀρθὴ ἄρα
Lemmas: ὁ ἀπό ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΛ , ΛΓ · ὀρθός ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.21
1 . αἱ ( pr . ) ] διήχθωσαν διὰ τοῦ Β αἱ p . ΚΘ ] ΘΚ p . δή ]
Lemmas: 1 . ὁ ( pr . ) ] διάγω διά ὁ Β ὁ p . ΚΘ ] ΘΚ p . δή ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.23
ὁ μέν ] μὲν οὖν ὁ p . 6 . μέρη ] μέρη τῶν ΖΗ , ΘΚ p . πίπτον -
Lemmas: ὁ μέν ] μέν οὖν ὁ p . 6 . μέρος ] μέρος ὁ ΖΗ , ΘΚ p . πίπτω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.24
σιν ] πίπτουσιν V . 8 . ἐστίν ] εἰσὶν p . εὐθεῖα ] om . p .
Lemmas: βρόχος ] πίπτω V . 8 . εἰμί ] εἰμί p . εὐθύς ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.25
9 . ΓΛ ] p , ΓΛ Vcv . 10 . κάθετος ] κάθετός ἐστιν p . ἄρα ]
Lemmas: 9 . ΓΛ ] p , ΓΛ Vcv . 10 . κάθετος ] κάθετος εἰμί p . ἄρα ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.26
ὀρθαὶ ] ὀρθὴ p . αἱ — 13 . γωνίαι ] ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΛ διὰ τὰ
Lemmas: ὀρθός ] ὀρθός p . ὁ — 13 . γωνία ] εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΛ διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.27
αὐτὰ δή καὶ ἑκάτερα τῶν ὑπὸ ΑΓΛ , ΑΓΜ ὀρθὴ ἐστιν p . 12 .
Lemmas: αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓΛ , ΑΜ ὀρθός εἰμί p . 12 .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.3
τριγώνων διὰ τοῦ ἄξονος ἡμμένων . ἤχθασαν οὖν
Lemmas: τρίγωνος διά ὁ ἄγω ἅπτω . ἄγω οὖν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.30
15 . ΑΒ ] ΒΑ p . ΓΛ ] p , ΛΛ Vc . 16 . ἐστίν ] ἐστί - c . τοῖς ]
Lemmas: 15 . ΑΒ ] ΒΑ p . ΓΛ ] p , λλ Vc . 16 . εἰμί ] εἰμί - c . ὁ ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.31
εἰσι τοῖς p . ΓΛ ] p , ΛΛ Vc . 18 . ἴσα ἐστίν ] om . p . 19 .
Lemmas: εἰμί ὁ p . ΓΛ ] p , λλ Vc . 18 . ἴσος εἰμί ] om . p . 19 .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.32
τοῖς ] scripsi , τῷ Vcp . ἄρα ] ἄρα ἐστὶν p .
Lemmas: ὁ ] scripsi , ὁ Vcp . ἄρα ] ἄρα εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.4
κάθετοι ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὰς ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ εὐθείας
Lemmas: κάθετος ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ εὐθύς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.5
αἱ ΑΒ , ΑΛ , ΑΜ · ὅτι γὰρ ὁ μὲν ΑΒ ἄξων πρὸς ὀρθὰς
Lemmas: ὁ ΑΒ , ΑΛ , ΑΜ · ὅτι γάρ ὁ μέν ΑΒ ἄγω πρός ὀρθός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.6
5 ἐστὶ τῇ ΔΕ , αἱ δὲ ΑΛ , ΑΜ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ , ΒΚ
Lemmas: 5 εἰμί ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΛ , ΑΜ κάθετος ἐπί ὁ ΒΗ , ΒΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.7
μέρη πίπτουσιν , ἐξῆς δεῖχθήσεται . λέγω δή , ὅτι τὰ Β
Lemmas: μέρος πίπτω , ἑξῆς δείκνυμι . λέγω δή , ὅτι ὁ Β
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.8
καὶ Α καὶ Μ σημεῖα ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφερείας
Lemmas: καί Α καί Μ σημεῖον ἐπί εἷς κύκλος περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0257.9
ἐστί , οὗ διάμετρος ἐστὶν ἡ ΒΓ εὐθεῖα .
Lemmas: εἰμί , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ΒΓ εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0259.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0259.2
αἱ ΖΗ , ΚΘ · γίνονται οὖν αἱ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ βάσεις τριγώνων διὰ τοῦ ἄξονος ἡμμένων . ἠχθῶσαν οὖν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὰς ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ εὐθείας αἱ ΑΒ , ΑΛ , ΑΜ · ὅτι γὰρ ὁ μὲν ΑΒ ἄξων πρὸς ὀρθὰς 5 ἐστὶ τῇ ΔΕ , αἱ δὲ ΑΛ , ΑΜ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ , ΒΚ μέρη πίπτουσιν , ἐξῆς δεῖξθήσεται . λέγω οὖν , ὅτι τὰ Β καὶ Α καὶ Μ σημεῖα ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφερείας ἐστίν , οὗ διάμετρος ἐστὶν ἡ ΒΓ εὐθεῖα .
Lemmas: ὁ ΖΗ , ΚΘ · γίγνομαι οὖν ὁ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ βάσις τρίγωνος διά ὁ ἄγω ἅπτω . ἄγω οὖν κάθετος ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΔΕ , ΖΗ , ΘΚ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΑΛ , ΑΜ · ὅτι γάρ ὁ μέν ΑΒ ἄγω πρός ὀρθός 5 εἰμί ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΛ , ΑΜ κάθετος ἐπί ὁ ΒΗ , ΒΚ μέρος πίπτω , ἑξῆς δείκνυμι . λέγω οὖν , ὅτι ὁ Β καί Α καί Μ σημεῖον ἐπί εἷς κύκλος περιφέρεια εἰμί , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ΒΓ εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0259.3
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ , ΓΜ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΛ 10 κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ , ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΛΑ γωνία . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΑΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον , ὀρθαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΑΓΛ , ΑΓΜ γωνίαι · ὥστε ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΑ , ΛΑ ἴσον , τὸ δὲ ἀπὸ ΛΑ τοῖς ἀπὸ ΑΓ , ΓΛ ἴσον , 15 τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΒΑ , ΑΓ , ΓΛ ἴσον ἐστίν . ἐστὶ δὲ καὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ , ΓΛ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ · τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΓ , ΓΛ τοῖς ἀπὸ ΒΑ , ΑΓ , ΓΛ ἴσα ἐστίν . κοινὸν ἀφῃρήθω τὸ ἀπὸ ΓΛ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΑ , ΑΓ · ὀρθὴ ἄρα
Lemmas: ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , ΓΜ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΛ 10 κάθετος ἐπί ὁ ΖΗ , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΛΑ γωνία . πάλιν ἐπεί ὁ ΑΓ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ , ΑΓΛ , ΑΜ γωνία · ὥστε ἐπεί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ΒΑ , ΛΑ ἴσος , ὁ δέ ἀπό ΛΑ ὁ ἀπό ΑΓ , ΓΛ ἴσος , 15 ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ΒΑ , ΑΓ , ΓΛ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ΒΓ , ΓΛ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΑ · ὁ ἄρα ἀπό ΒΓ , ΓΛ ὁ ἀπό ΒΑ , ΑΓ , ΓΛ ἴσος εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΓΛ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΑ , ΑΓ · ὀρθός ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0259.4
1 . αἱ ( pr . ) ] διήχθωσαν διὰ τοῦ Β αἱ p . ΚΘ ] ΘΚ p . δῆ ] δέ c . βάσεις ] cp , corr . ex βάσις m . 1 V , βάσις v . 4 . γὰρ ὁ μέν ] μὲν οὖν ὁ p . 6 . μέρη ] μέρη τῶν ΖΗ , ΘΚ p . πίπτονσιν ] πιπτόσιν V . 8 . ἐστίν ] εἰσὶν p . εὐθεῖα ] om . p . 9 . ΓΛ ] p , ΓΛ Vcv . 10 . κάθετος ] κάθετός ἐστιν p . ἄρα ] vcp , - α suppl . m . rec . V . ἐστίν ] vcp , ἐστί - euan . V , + ἐστιν mg . m . rec . ΖΛΑ ] p , ΖΛΑ Vc . 11 . ἐπεὶ ] e corr . p . 12 . ὀρθαί ] ὀρθὴ p . αἱ — 13 . γωνία ] ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΛ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερα τῶν ὑπὸ ΑΓΛ , ΑΓΜ ὀρθὴ ἐστιν p . 12 . ΑΓΒ ] ΑΓΔ V et Λ euan . c , corr . Comm . 13 . τοῖς ] ἴσον ἐστὶ τοῖς p . ἀπὸ ( alt . ) ] ἀπὸ τῶν p , ut semper fere . 14 . ΛΛ ( pr . ) ] Λ e corr . p . ἴσον ] om . p . ἀπὸ ( pr . ) ] ἀπὸ τῆς p . ΑΓ ] Γ sustulit lacuna in c . ΓΛ ] p , ΛΛ Vc . ἴσον ] om . p . 15 . ΑΒ ] ΒΑ p . ΓΛ ] p , ΛΛ Vc . 16 . ἐστίν ] ἐστί - c . τοῖς ] bis p , sed corr . 17 . ΒΓ ] scripsi , τῆς ΒΓ Vcp . τοῖς ] ἴσα εἰσὶ τοῖς p . ΓΛ ] p , ΛΛ Vc . 18 . ἴσα ἐστίν ] om . p . 19 . τοῖς ] scripsi , τῶ Vcp . ἄρα ] ἄρα ἐστίν p .
Lemmas: 1 . ὁ ( pr . ) ] διάγω διά ὁ Β ὁ p . ΚΘ ] ΘΚ p . δῆ ] δέ c . βάσις ] cp , corr . ex βάσις m . 1 V , βάσις v . 4 . γάρ ὁ μέν ] μέν οὖν ὁ p . 6 . μέρος ] μέρος ὁ ΖΗ , ΘΚ p . πίπτω ] πίπτω V . 8 . εἰμί ] εἰμί p . εὐθύς ] om . p . 9 . ΓΛ ] p , ΓΛ Vcv . 10 . κάθετος ] κάθετος εἰμί p . ἄρα ] vcp , - ὅς suppl . m . rec . V . εἰμί ] vcp , εἰμί - euan . V , + εἰμί mg . m . rec . ΖΛΑ ] p , ΖΛΑ Vc . 11 . ἐπεί ] e corr . p . 12 . ὀρθός ] ὀρθός p . ὁ — 13 . γωνία ] εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΛ διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓΛ , ΑΜ ὀρθός εἰμί p . 12 . ΑΓΒ ] ΑΓΔ V et Λ euan . c , corr . Comm . 13 . ὁ ] ἴσος εἰμί ὁ p . ἀπό ( alt . ) ] ἀπό ὁ p , ut semper fere . 14 . λλ ( pr . ) ] Λ e corr . p . ἴσος ] om . p . ἀπό ( pr . ) ] ἀπό ὁ p . ΑΓ ] Γ sustulit lacuna in c . ΓΛ ] p , λλ Vc . ἴσος ] om . p . 15 . ΑΒ ] ΒΑ p . ΓΛ ] p , λλ Vc . 16 . εἰμί ] εἰμί - c . ὁ ] bis p , sed corr . 17 . ΒΓ ] scripsi , ὁ ΒΓ Vcp . ὁ ] ἴσος εἰμί ὁ p . ΓΛ ] p , λλ Vc . 18 . ἴσος εἰμί ] om . p . 19 . ὁ ] scripsi , ὁ Vcp . ἄρα ] ἄρα εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.2
κοινού ἄρα προστεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ , ΓΑ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ , ΓΑ μειζονά ἐστι , τουνέστι τὸ ἀπὸ ΖΑ τοῦ ἀπὸ ΑΗ μειζόν ἐστι · μειζὼν ἄρα καὶ ἡ ΖΑ τῆς ΑΗ . ἐπεὶ οὖν αἱ μὲν ΖΒ , ΒΗ ἴσαι , κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ , μειζὼν δὲ ἡ ΖΑ τῆς ΑΗ , ἡ μὲν ἄρα ὑπὸ ΖΒΑ γωνία ἀμβλεία ἐστιν , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ ὀξεῖα · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἐπὶ τὰ ΒΗ μέρη πίπτει . ὁμοίως δὲ δεῖξθήσεται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων .
Lemmas: κοινός ἄρα προστίθημι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΖΓ , ΓΑ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , ΓΑ μείζων εἰμί , τουνέστι ὁ ἀπό Γῆ ὁ ἀπό ΑΗ μείζων εἰμί · μείζων ἄρα καί ὁ Γῆ ὁ ΑΗ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΖΒ , ΒΗ Ἴσαι , κοινός δέ ὁ ΒΑ , μείζων δέ ὁ Γῆ ὁ ΑΗ , ὁ μέν ἄρα ὑπό ΖΒΑ γωνία ἀμβλύς εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΑΒΗ ὀξύς · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α κάθετος ἐπί ὁ ΖΗ ἐπί ὁ ΒΗ μέρος πίπτω . ὁμοίως δέ δείκνυμι καί ἐπί ὁ ἄλλος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.3
Ὡστε φανερὸν , ὅτι αἱ προειρημέναι κάθετοι ἀπὸ μετεώρου τοῦ Α σημείου ἐπὶ κύκλου περιφέρειαν πίπτουσαι κατὰ ἐπιφανείας οἰσθήσονται κώνον , οὗ βάσις μὲν ὁ ὑπὸ τῶνπτώσεων τῶν καθέτων γραφόμενος κύκλος , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ ἐξ ἀρχῆς κώνῳ .
Lemmas: ὡστε φανερός , ὅτι ὁ προερέω κάθετος ἀπό μετέωρος ὁ Α σημεῖον ἐπί κύκλος περιφέρεια πίπτω κατά ἐπιφάνεια φέρω κώνος , ὅς βάσις μέν ὁ ὑπό τῶνπτώσεων ὁ κάθετος γράφω κύκλος , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ ἐκ ἀρχή κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.4
μζʹ
Lemmas: μζʹ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.5
Ἐν κώνῳ σκαληνῷ δοθέντος τινὸς τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων , ὃ μήτε μέγιστόν ἐστι μήτε ἐλάχιστον , εὑρεῖν ἕτερον τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος , ὃ μετὰ τοῦ δοθέντος ἴσον ἔσται συναμφοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος .
Lemmas: ἐν κῶνος σκαληνός δίδωμι τις ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος , ὅς μήτε μέγας εἰμί μήτε μικρός , εὑρίσκω ἕτερος τρίγωνος διά ὁ ἄγω , ὅς μετά ὁ δίδωμι ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ μέγας καί ὁ μικρός ὁ διά ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0261.6
Ἔστω κώνος σκαληνός , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος , ἄξων
Lemmas: ἔστω κώνος σκαληνός , ὅς κορυφή μέν ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί ὁ Β κέντρον κύκλος , ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0263.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0263.2
δὲ ὁ AB , καὶ ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κάθετος ἡ AG , καὶ διὰ τοῦ Γ καὶ τοῦ B κέντρον διήχθω ἡ ΓΔΒΕ εὐθεῖα , ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ZBH · τῶν ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται , ὡς ἐδείχθη πολλάκις , οὗ βάσις μὲν ἡ ZH , ὕψος δὲ ἡ AB , ἐλάχιστον δέ , οὗ βάσις μὲν ἡ EΔ , ὕψος δὲ ἡ AG . ἔστω δή · τὸ δοθὲν τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος , οὗ βάσις μὲν ἔστιν ἡ ΘK , ὕψος δὲ ἡ AA , καὶ δεῖν ἔστω ἑτέρου τριγώνου τῶν διὰ τοῦ ἄξονος εὑρεῖν , ὁ μετὰ τοῦ τριγώνου , οὗ βάσις μὲν ἡ ΘK , ὕψος δὲ ἡ AA , ἴσον ἔσται συναμφοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ .
Lemmas: δέ ὁ AB , καί ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος κάθετος ὁ AG , καί διά ὁ Γ καί ὁ B κέντρον διάγω ὁ ΓΔΕ εὐθύς , ὁ πρός ὀρθός ὁ ZBH · ὁ ἄρα διά ὁ ἄγω τρίγωνος μέγας μέν εἰμί , ὡς δείκνυμι πολλάκις , ὅς βάσις μέν ὁ ZH , ὕψος δέ ὁ AB , μικρός δέ , ὅς βάσις μέν ὁ EΔ , ὕψος δέ ὁ AG . ἵστημι δή · ὁ δίδωμι τρίγωνος διά ὁ ἄγω , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΘK , ὕψος δέ ὁ AA , καί δήω ἵστημι ἕτερος τρίγωνος ὁ διά ὁ ἄγω εὑρίσκω , ὁ μετά ὁ τρίγωνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΘK , ὕψος δέ ὁ AA , ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ μέγας καί ὁ μικρός .