ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.21
20ὑπὸ τῶν ΑΤ , ΤΡ , τουντέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΤ , ΤΓ .
Lemmas: Ἰός ὁ ΑΤ , ΤΡ , τουντέστι πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΤ , ΤΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.22
ἕαν ἄρα ταῖς ΣΑ , ΑΤ παραλλήλους εὐθείας ἀγάγωμεν
Lemmas: ἐάν ἄρα ὁ σός , ΑΤ παράλληλος εὐθύς ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.23
ἐν τῷ τριγώνῳ , ὡς τὰς ΒΤ , ΓΦ , καὶ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδα
Lemmas: ἐν ὁ τρίγωνος , ὡς ὁ ΒΤ , ΓΦ , καί διά αὐτός ἐπίπεδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.24
ποιοῦντα ἔλλειψεις , ἔσονται διὰ τὰ πολλάκις εἰρημένα
Lemmas: ποιέω ἔλλειψις , εἰμί διά ὁ πολλάκις εἴρω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.25
αἱ ΒΤ , ΓΦ εὐθεῖαι ὁμοίων ἔλλειψεων διά -
Lemmas: ὁ ΒΤ , ΓΦ εὐθύς ὅμοιος ἔλλειψις διά -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.26
25μετροι .
Lemmas: Άμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.27
Καὶ φανερὸν , ὅτι τῇ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους τῶν
Lemmas: καί φανερός , ὅτι ὁ ἀπό ὁ αὐτός μέρος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.28
ὁμοίων ἔλλειψεων συζυγία γίνεται τις ὁμοία ἀπὸ τῶν
Lemmas: ὅμοιος ἔλλειψις συζυγία γίγνομαι τις ὅμοιος ἀπό ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.29
ἀντικειμένων μερῶν ὁμοίων ἔλλειψεων συζυγία , ἀντι -
Lemmas: ἀντίκειμαι μέρος ὅμοιος ἔλλειψις συζυγία , ἀντι -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.3
οὔσαι ἀλλήλαις , δι’ ὧν ἕαν ἀχθῇ ἐπίπεδα ποιοῦντα
Lemmas: εἰμί ἀλλήλων , διά ὅς ἐάν ἄγω ἐπίπεδος ποιέω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.4
ἔλλειψεις , ἔσται , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ διαμέτρου τῆς
Lemmas: ἔλλειψις , εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΘΑ διάμετρος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.5
ἔλλειψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , τουντέστι πρὸς τὸ ἀπὸ
Lemmas: ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , τουντέστι πρός ὁ ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.6
5τῆς συζυγοῦς ἐαντῆ διαμέτρου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΓ
Lemmas: ὅς συζυγής ἐάω διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΚΓ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.7
διαμέτρου τῆς ἔλλειψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , τουν -
Lemmas: διάμετρος ὁ ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ὅς -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.8
τέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΓ διαμέτρου τῆς ἔλλειψεως
Lemmas: τέστον ὡς ὁ ἀπό ὁ ΚΓ διάμετρος ὁ ἔλλειψις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0115.9
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου . αἱ ἄρα ΚΓ ,
Lemmas: πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος . ὁ ἄρα ΚΓ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0117.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0117.2
πεπονθυίας μέντοι τὰς διαμέτρους ἔχουσα ταῖς διαμέτροις .
Lemmas: πάσχω μέντοι ὁ διάμετρος ἔχω ὁ διάμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0117.3
ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καταγραφῆς κατασκευάσωμεν , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἢ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἢ τῆς ΓΚ , γενήσεται , ὡς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΕΓ , ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ , τοιούστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ὁμοίων ἐλλείψεων τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους ἡγμένων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΘ , ΓΚ , τοιούστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων ἡγμένων ὁμοίων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου · ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ διάμετρος πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον , οὕτως τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον .
Lemmas: ἐάν γάρ ἐπί ὁ ὁ κύλινδρος καταγραφή κατασκευάζω , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ἢ ὁ ΓΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΘ ἢ ὁ ΓΚ , γίγνομαι , ὡς ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΓΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , τοιουειμι ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὅμοιος ἔλλειψις ὁ ἀπό ὁ αὐτός μέρος ἅγνυμι πρός ὁ ἀπό ὁ δύο συζυγής διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΑ πρός ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΑΘ , ΓΚ , τοιουειμι οὕτως ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος ὁ ἀπό ὁ ἀντίκειμαι ἅγνυμι ὅμοιος ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος · ὡς ἄρα ὁ ἕτερος συζυγία ὁ διάμετρος πρός ὁ δύο διάμετρος , οὕτως ὁ ἕτερος συζυγία ὁ δύο διάμετρος πρός ὁ διάμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0117.4
Ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου , ἐὰν πάλιν κατασκευάσωμεν , ὡς τὴν ΗΑ πρὸς ΑΚ , οὕτως τὴν ΑΠ πρὸς τὴν ΠΣ , ἔσται , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΗ , οὕτως ἡ ΠΣ πρὸς τὴν ΣΑ , τοιούστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ , ΚΑ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ . ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ , ΚΑ , τοιούστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ , ΚΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ
Lemmas: ἐπί δέ ὁ κῶνος , ἐάν πάλιν κατασκευάζω , ὡς ὁ ΗΑ πρός ΑΚ , οὕτως ὁ ΑΠ πρός ὁ ΠΣ , εἰμί , ὡς ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΗ , οὕτως ὁ ΠΣ πρός ὁ σός , τοιουειμι ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΗΚ , ΚΑ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΠΣ , σός πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΣ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΗΚ , ΚΑ , τοιουειμι πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΚ , ΚΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ἀπό ὁ αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0119.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0119.2
μέρους ὁμοίων δύο ἐλλείψεων ἤτοι τῆς AN ἢ τῆς AM πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ , τοὔτεστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , ΣΒ , πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΣΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἡμμένων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς διαμέτρου . ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ διάμετρος πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον , οὕτως τῆς ἑτέρας συζυγίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον .
Lemmas: μέρος ὅμοιος δύο ἔλλειψις ἤτοι ὁ AN ἢ ὁ AM πρός ὁ ἀπό ὁ δύο συζυγής διάμετρος , ὡς δέ ὁ ὑπό ὁ ΠΣ , σός , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΓΣ , ΣΒ , πρός ὁ ἀπό ὁ σός , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δύο διάμετρος ὁ ἀπό ὁ ἀντίκειμαι μέρος ἅπτω ἔλλειψις πρός ὁ ἀπό ὁ συζυγής διάμετρος . ὡς ἄρα ὁ ἕτερος συζυγία ὁ διάμετρος πρός ὁ δύο διάμετρος , οὕτως ὁ ἕτερος συζυγία ὁ δύο διάμετρος πρός ὁ διάμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0119.3
10 Καὶ γέγονε φανερὸν ἐκ τούτων , ὅτι ἐν παντὶ μὲν κυλίνδρῳ καὶ κώνῳ συνίστανται δύο συζυγίαι ἐλλείψεων ὁμοίων μὲν ἀλλήλαις , ἀντιπεπονθίας δὲ τὰς διαμέτρους ἔχουσῶν , καὶ ὅτι παρὰ τὰς τέσσαρας ταύτας ἄλλη ὁμοία οὐ συνίσταται πλὴν τῶν παραλλήλων 15 αὐταῖς · ἀεὶ γὰρ αἱ παράλληλοι τομαὶ ὁμοίας ποιοῦσιν ἐλλείψεις , ἐὰν ποιῶσι · καὶ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ κυλίνδρου ἡ διὰ τῆς ΓΗ ἀγωγι τοῦ ἐπιπέδου ὑπεναντία τέ ἐστι καὶ κύκλον ποιεῖ τὴν τομήν , ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου , ἐὰν διὰ τοῦ Α τοῦ κύκλου ἐφάπτηταί τις ὡς ἡ ΑΧ , διὰ 20 τὸ εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΧ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΧ , ΧΓ ἴσον ἢ διὰ τῶν τῇ ΑΧ παραλλήλων εὐθειῶν ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγωγι τῶν ἐπιπέδων ποιήσει κύκλους · ὑπεναντία γὰρ ἐστὶ καὶ αὕτη , ὡς τῷ προσέχοντι γίνεται καταφανές · καὶ ὅτι τῇ δοθείσῃ ἐλλείψει ἐν κυλίνδρῳ σκαληνῷ καὶ 25 κώνῳ τρεῖς ὁμοίας ἄλλας ἐστὶν εὑρεῖν , μίαν μὲν αὐτῇ τῇ δοθείσῃ σύζυγον , δύο δὲ ἑκαταῖς μὲν συζύγοις , ταῖς δὲ λοιπαῖς ὁμοίας κατὰ ἀντιπεπόνθησιν τῶν διαμέτρων ·
Lemmas: 10 καί γίγνομαι φανερός ἐκ οὗτος , ὅτι ἐν πᾶς μέν κύλινδρος καί κῶνος συνίστημι δύο συζυγία ἔλλειψις ὅμοιος μέν ἀλλήλων , ἀντιπεπονθίας δέ ὁ διάμετρος ἔχω , καί ὅτι παρά ὁ τέσσαρες οὗτος ἄλλος ὅμοιος οὖον συνίστημι πλήν ὁ παράλληλος 15 αὐτός · ἀεί γάρ ὁ παράλληλος τομή ὅμοιος ποιέω ἔλλειψις , ἐάν ποιέω · καί ὅτι ἐπί μέν ὁ κύλινδρος ὁ διά ὁ ΓΗ αγώγι ὁ ἐπίπεδος ὑπεναντίος τε εἰμί καί κύκλος ποιέω ὁ τομή , ἐπί δέ ὁ κῶνος , ἐάν διά ὁ Α ὁ κύκλος ἐφάπτω τις ὡς ὁ ΑΧ , διά 20 ὁ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΧ ὁ ὑπό ὁ ΒΧ , ΧΓ ἴσος ἢ διά ὁ ὁ ΑΧ παράλληλος εὐθύς ἐν ὁ τρίγωνος αγώγι ὁ ἐπίπεδος ποιέω κύκλος · ὑπεναντίος γάρ εἰμί καί οὗτος , ὡς ὁ προσέχω γίγνομαι καταφανής · καί ὅτι ὁ δίδωμι ἔλλειψις ἐν κύλινδρος σκαληνός καί 25 κῶνος τρεῖς ὅμοιος ἄλλος εἰμί εὑρίσκω , εἷς μέν αὐτός ὁ δίδωμι σύζυγος , δύο δέ Ἑκαταῖς μέν σύζυγος , ὁ δέ λοιπός ὅμοιος κατά ἀντιπεπόνθησις ὁ διάμετρος ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0121.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0121.2
ἵστε καὶ τῇ δοθείσῃ δυνατὸν τρεῖς ὁμοίας πορίσασθαι · δεῖ δὲ τὴν δοθείσαν μὴτε ὑπεναντίαν εἶναι · ταύτῃ γὰρ οὐδεμία συνίσταται ὁμοία πλὴν τῶν παραλλήλων · μὴτε τὴν διάμετρον αὐτῆς παράλληλον εἶναι τῇ διὰ τῶν E καὶ A ἀγομένῃ εὐθείᾳ ἐν τῇ καταγραφῇ τοῦ χώρου · μονήσης γὰρ καὶ αὐτὴ διὰ τὸ τὴν διὰ τοῦ E τῇ AA παράλληλον ἀγομένην ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου πίπτειν ἔκτος καὶ μὴ εἶναι τῷ E σημείον σύζυγον ὡς τῷ Ξ τὸ O ἢ τῷ Z τὸ H .
Lemmas: οἶδα καί ὁ δίδωμι δυνατός τρεῖς ὅμοιος πορίζω · δεῖ δέ ὁ δίδωμι μήτε ὑπεναντίος εἰμί · οὗτος γάρ οὐδείς συνίστημι ὅμοιος πλήν ὁ παράλληλος · μήτε ὁ διάμετρος αὐτός παράλληλος εἰμί ὁ διά ὁ E καί A ἄγω εὐθύς ἐν ὁ καταγραφή ὁ χῶρος · μονεος γάρ καί αὐτός διά ὁ ὁ διά ὁ E ὁ AA παράλληλος ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος πίπτω ἕκτος καί μή εἰμί ὁ E σημεῖον σύζυγος ὡς ὁ Ξ ὁ O ἢ ὁ Z ὁ H .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0121.3
Περὶ μὲν οὖν τοῦ προτεθέντος ἡμῖν προβλήματος ἀπὸ πλειόνων ἀρκεῖτω καὶ τὰ εἰρημένα , ὧρα δ’ ἂν εἴη μετελθεῖν , ἐφ’ ὅπερ ἀρτίως ἐπηγγειλάμην · ἀφορμὴ δέ μοι τῆς μελλούσης σκέψεως οὐχ ἄκαιρος , ἔστι δὲ ἥδε . Πειδῶν δ γεωμέτρης ἐν συγγράμματι ἑαυτοῦ τὰς παραλλήλους ἐξηγούμενος , οἷς μὲν Εὐκλείδης εἶπεν , οὐκ ἡρκέσθη , σοφώτερον δὲ δι’ ὑποδείγματος αὐτὰς ἐσαφήνισε · φησὶ γὰρ τὰς παραλλήλους εὐθείας εἶναι τοιούτων , οἷας ἐν τοῖς τοίχοις ἢ τῷ ἑδάφει τὰς τῶν κιόνων σκιάς ὁρῶμεν ἀποτελουμένας ἢτοι λαμπάδος τινὸς ἀπ’ ἀντικρὺ καίουμένης ἢ λύχνου . τούτων δὲ εἰ καὶ πᾶσι πλεῖστον παρέχει καταγέλω , ἀλλὰ ἡμῖν οὐ καταγέλαστον αἰδοῖ τοῦ γεγραφότος · φίλος γὰρ ἄνθρω . ἀλλὰ σκεπτέον , ὅπως τὸ τοιούτον ἔχει μαθηματικῶς · οἰκεία δὲ ἡ σκέψις τοῖς ἐνταῦθα προτεθεωρημένοις · δι’ αὐτῶν γὰρ ἀποδειχθήσεται τὸ προκείμενον .
Lemmas: περι μέν οὖν ὁ προτίθημι ἐγώ πρόβλημα ἀπό πλείων ἀρκέω καί ὁ εἴρω , ὤρα δέ εἄν εἰμί μετέρχομαι , ἐπί ὅσπερ ἄρτιος ἐπαγγέλλω · ἀφορμή δέ ἐγώ ὁ μέλλω σκέψις οὐ ἄκαιρος , εἰμί δέ ὅδε . πειδηω δ γεωμέτρης ἐν σύγγραμμα ἑαυτοῦ ὁ παράλληλος ἐξηγέομαι , ὅς μέν Εὐκλείδης εἶπον , οὐ ἀρκέω , σοφός δέ διά ὑπόδειγμα αὐτός σαφηνίζω · φημί γάρ ὁ παράλληλος εὐθύς εἰμί τοιοῦτος , οἶς ἐν ὁ τοῖχος ἢ ὁ ἔδαφος ὁ ὁ κίων σκιά ὁράω ἀποτελέω ἤτοι λαμπάς τις ἀπό ἀντικρύ καίω ἢ λύχνος . οὗτος δέ εἰμί καί πᾶς πλεῖστος παρέχω καταγελάω , ἀλλά ἐγώ οὖον καταγέλαστος αἰδώς ὁ γράφω · φίλος γάρ ἄνθρω . ἀλλά σκεπτέος , ὅπως ὁ τοιοῦτος ἔχω μαθηματικός · οἰκεῖος δέ ὁ σκέψις ὁ ἐνταῦθα προθεωρέω · διά αὐτός γάρ ἀποδείκνυμι ὁ πρόκειμαι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0123.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0123.2
κθ' .
Lemmas: τύ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0123.3
Αἱ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κυλινδρικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαι κατ' ἀμφοτέρα τὰ μέρη πᾶσαι καθ' ἕνὸς παραλληλογράμμου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς ποιοῦνται .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον κυλινδρικός ἐπιφάνεια ἐφάπτω εὐθύς κατά ἀμφότερος ὁ μέρος πᾶς κατά εἷς παραλληλόγραμμος πλευρά ὁ ἐπαφή ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0123.4
ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ Α , Β κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα , καὶ εἰληφθῶ τι σημεῖον ἔκτὸς τὸ Γ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἡχθῶσαν αἱ ΓΔ , ΓΕ εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κατὰ τὰ Δ , Ε σημεῖα . λέγω , ὅτι τὰ Ε , Δ τῶν ἐπαφῶν σημεῖα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί .
Lemmas: ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ Α , Β κύκλος , ἄγω δέ ὁ ΑΒ εὐθύς , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ἕκτος ὁ Γ , καί ἀπό ὁ Γ ἄγω ὁ ΓΔ , ΓΕ εὐθύς ἐφάπτω ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια ἐπί ὁ αὐτός μέρος κατά ὁ δ , Ε σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ Ε , δ ὁ ἐπαφάω σημεῖον ἐπί εἷς εὐθύς εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0123.5
κατήχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ , καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἡχθῶ ἐπίπεδον παράλληλον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κύκλον , ὥστε κύλινδρον ὑποστῆναι , οὗ βάσεις οἱ Β , Ζ κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ ΒΖ εὐθεῖα , καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλησθῶ ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ , καὶ τῇ ΖΓ πρὸς ὀρθὰς ἡχθῶ ἡ ΓΚ ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα , καὶ διὰ τῆς ΓΚ καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΔ , ΓΕ διεκβεβλησθῶ ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς ΔΔΜ , ΝΕΞ γραμμὰς , ἐν δὲ τῷ τοῦ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ τὰς ΔΜΓ , ΝΞΓ εὐθείας · διάμετροι ἄρα τῶν
Lemmas: κατάγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΖ , καί διά ὁ ΓΖ ἄγω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁ Α κύκλος ἐπίπεδος καί ποιέω τομή ἐν ὁ κύλινδρος ὁ περί ὁ Ζ κύκλος , ὥστε κύλινδρος ὑφίστημι , ὅς βάσις ὁ Β , Ζ κύκλος , ἄγω δέ ὁ ΒΖ εὐθύς , καί διά ὁ ΓΖ καί ὁ ἄγω ἐκβάλλω ἐπίπεδος ποιέω ἐν ὁ κύλινδρος ὁ διά ὁ ἄγω παραλληλόγραμμος ὁ ΗΘ , καί ὁ ΖΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΓΚ ἐν ὁ ὁ Ζ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί , καί διά ὁ ΓΚ καί ἑκάτερος ὁ ΓΔ , ΓΕ διεκβάλλω ἐπίπεδος τέμνω ὁ κύλινδρος καί ποιέω διά ὁ τομή ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ ΔΔΜ , ΝΕΞ γραμμή , ἐν δέ ὁ ὁ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος ὁ ΔΜΓ , ΝΞΓ εὐθύς · διάμετρος ἄρα ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0125.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0125.2
τομῶν εἰσιν αἱ ΛΜ , ΝΞ εὐθεῖαι . κατήχθωσαν τοίνυν ἐπὶ τὰς ΛΜ , ΝΞ διαμέτρους αἱ ΔΟ , ΕΠ τεταγμένως καὶ προσεκβλησθῶσαν ἐπὶ θάτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ρ καὶ Σ . ἐπεὶ οὖν ἑφάπτεται τῆς 5 ΛΔΜΡ γραμμῆς ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Δ , καὶ δέδεικται ἡ τοιαύτη τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψις οὖσα , ἀλλ’ οὐ κύκλος , καὶ κατῆκται τεταγμένως ἡ ΔΟ , ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ , οὕτως ἡ ΔΟ πρὸς τὴν ΟΜ , ὡς δέδεικται τῷ Ἀπολλωνίῳ ἐν τῷ α’ τῶν Κωνικῶν . καὶ 10 διὰ τὰ αὐτά , ὡς ἡ ΝΓ πρὸς τὴν ΓΞ , οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ . ἐπεὶ δὲ ἡ ΝΗ τῇ ΘΜ παράλληλός ἐστιν , ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ , οὕτως ἡ ΝΓ πρὸς τὴν ΓΞ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΟ πρὸς τὴν ΟΜ , οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ · ἡ ἄρα τὰ Π , Ο σημεῖα 15 ἐπιξευγνύνουσα εὐθεῖα ἐν τῷ ΗΘ ἐπιπέδῳ ἐστὶ καὶ παράλληλος ἑκατέρα τῶν ΒΑ , ΘΜ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΔΟ , ΕΠ τῇ ΓΚ παράλληλός ἐστιν , αἱ ΔΟ , ΕΠ ἄρα καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι . ἐὰν δὴ διὰ τῶν ΔΟ , ΕΠ εὐθειῶν ἀχθῇ ἐπίπεδον , τεμεῖ τὸ ΘΗ παρ - 20 αλληλόγραμμον κατὰ τὴν ΟΠ γραμμὴν , καὶ ἔσται τὸ ΠΕΔΟ ἐπίπεδον παράλληλον ἐπιπέδῳ τινὶ τῶν διὰ τῆς ΒΑ ἀγομένων καὶ τεμνόντων τὸ ΗΘ · τὸ ἄρα ΠΕΔΟ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει ἐν τῷ κυλίνδρῳ παραλληλόγραμμον , ὡς ἐδείχθη θεωρήματι τρίτῳ . καὶ 25 ἐστὶν ἡ ΕΔ γραμμὴ κοινὴ τομὴ τοῦ ΠΕΔΟ ἐπιπέδου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας · ἡ ΕΔ ἄρα εὐθεῖά ἐστι καὶ πλευρὰ τοῦ παραλληλογράμμου . ὁμοίως δὴ δείκνυνται καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων , καὶ ὅτι
Lemmas: τομή εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ εὐθύς . κατάγω τοίνυν ἐπί ὁ ΛΜ , ΝΞ διάμετρος ὁ ΔΟ , ΕΠ τεταγμένως καί προσεκβάλλω ἐπί ἕτερος μέρος ὁ ἐπιφάνεια κατά ὁ Ρ καί Σ . ἐπεί οὖν εφάπτομαι ὁ 5 ΛΔΜΡ γραμμή ὁ ΓΔ κατά ὁ δ , καί δείκνυμι ὁ τοιοῦτος ὁ κύλινδρος τομή ἔλλειψις εἰμί , ἀλλά οὖον κύκλος , καί κατάγνυμι τεταγμένως ὁ ΔΟ , ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ὁ ΓΜ , οὕτως ὁ ΔΟ πρός ὁ ΟΜ , ὡς δείκνυμι ὁ Ἀπολλώνιος ἐν ὁ ὅς ὁ κωνικός . καί 10 διά ὁ αὐτός , ὡς ὁ ΝΓ πρός ὁ ΓΞ , οὕτως ὁ ΝΠ πρός ὁ ΠΞ . ἐπεί δέ ὁ ΝΗ ὁ ΘΜ παράλληλος εἰμί , ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ὁ ΓΜ , οὕτως ὁ ΝΓ πρός ὁ ΓΞ · καί ὡς ἄρα ὁ ΔΟ πρός ὁ ΟΜ , οὕτως ὁ ΝΠ πρός ὁ ΠΞ · ὁ ἄρα ὁ Π , ὁ σημεῖον 15 επιξευγνυνεω εὐθύς ἐν ὁ ΗΘ ἐπίπεδος εἰμί καί παράλληλος ἑκάτερος ὁ ΒΑ , ΘΜ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΔΟ , ΕΠ ὁ ΓΚ παράλληλος εἰμί , ὁ ΔΟ , ΕΠ ἄρα καί ἀλλήλων εἰμί παράλληλος . ἐάν δή διά ὁ ΔΟ , ΕΠ εὐθύς ἄγω ἐπίπεδος , τέμνω ὁ τίθημι παρά - 20 αλληλογραμμος κατά ὁ ΟΠ γραμμή , καί εἰμί ὁ ΟΠ ἐπίπεδος παράλληλος ἐπίπεδος τις ὁ διά ὁ ΒΑ ἄγω καί τέμνω ὁ ΗΘ · ὁ ἄρα ΟΠ ἐπίπεδος τομή ποιέω ἐν ὁ κύλινδρος παραλληλόγραμμος , ὡς δείκνυμι θεώρημα τρίτος . καί 25 εἰμί ὁ ΕΔ γραμμή κοινός τομή ὁ ΟΠ ἐπίπεδος καί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια · ὁ ΕΔ ἄρα εὐθύς εἰμί καί πλευρόν ὁ παραλληλόγραμμος . ὁμοίως δή δείκνυμι καί ἐπί πᾶς ὁ ἐφάπτω , καί ὅτι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0126.1
Κωνικῶν ] κωνικῶν λ$\xi^{\omega}$ θεωρήματι p .
Lemmas: κωνικός ] κωνικός λ$\xi^{\omega}$ θεώρημα p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0126.2
18 . εἰσὶ παράλληλοι ] παράλληλοι εἰσιν p .
Lemmas: 18 . εἰμί παράλληλος ] παράλληλος εἰμί p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0126.3
24 . θεωρήματι τρίτῳ ] ἐν θεωρήματι $\gamma^{\omega}$ p .
Lemmas: 24 . θεώρημα τρίτος ] ἐν θεώρημα $\gamma^{\omega}$ p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0126.5
25 . κοινὴ τομή ]
Lemmas: 25 . κοινός τομή ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0127.1
ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κύλινδρος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0127.2
πάλιν · ἐπὶ θάτερα μέρη αἱ ἀφαὶ κατὰ τὸ P καὶ Σ γίνονται καὶ εἰσιν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας παραλλήλου τῇ EZ . πᾶσαι ἄρα αἱ ἐραπτόμεναι καθ’ ἑνὸς παραλληλο-γράμμον πλευρῶν τὰς ἀφὰς ποιοῦνται · ὃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: πάλιν · ἐπί ἕτερος μέρος ὁ ἁφή κατά ὁ P καί Σ γίγνομαι καί εἰμί ἐπί εἷς εὐθύς παράλληλος ὁ EZ . πᾶς ἄρα ὁ ῥάπτω κατά εἷς παραλληλόγραμμος πλευρά ὁ ἀφείνω ποιέω · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0127.3
λ’ .
Lemmas: λίαν .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0127.4
Τούτου δειχθέντος ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ABΓΔ , καὶ παρὰ τὴν AB αὐτοῦ βάσιν ἡχθώσαν αἱ EZ , HΘ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ K μὴ ὄν ἐν τῷ τοῦ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ , καὶ ἐπιευχθείσαι αἱ KE , KZ , KH , KΘ ἐκβληθείσαι προσπιπτέτωσαν ἐπι-πέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ABΓΔ κατὰ τὰ Λ , M , N , Ξ σημεῖα . τὸ δὴ διὰ τῶν KA , EZ εὐθειῶν ἐκ-βαλλόμενον ἐπίπεδον τεμεῖ καὶ τὸ ΛMNΞ ἐπίπεδον καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν ΛM εὐθεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ EZ · ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν KN , HΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον ποιήσει παράλληλον τὴν NΞ τῇ HΘ . ἐπεὶ οὖν τὸ AKN τρίγωνον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ABΓΔ , ANΞM , αἱ ἄρα κοινὰς αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις , τουτ-ἐστὶν ἡ NA τῇ HE · διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΞM τῇ ΘZ παράλληλος . ὡς ἄρα ἡ EK πρὸς τὴν KA , οὕτως ἡ HK πρὸς τὴν KN . ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ HK πρὸς τὴν KN , οὕτως ἡ HΘ πρὸς τὴν NΞ , ὡς δὲ ἡ EK πρὸς KA , οὕτως ἡ EZ πρὸς ΛM · καὶ ὡς ἄρα ἡ EZ πρὸς τὴν ΛM , οὕτως ἡ HΘ πρὸς τὴν NΞ . καὶ ἐναλλάξ ·
Lemmas: οὗτος δείκνυμι ἵστημι παραλληλόγραμμος ὁ ABΓΔ , καί παρά ὁ AB αὐτός βάσις ἄγω ὁ EZ , HΘ , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ὁ K μή εἰμί ἐν ὁ ὁ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος , καί επιευχθεισος ὁ KE , KZ , KH , KΘ ἐκβάλλω προσπίπτω ἐπίπεδος τις παράλληλος εἰμί ὁ ABΓΔ κατά ὁ Λ , M , N , Ξ σημεῖον . ὁ δή διά ὁ KA , EZ εὐθύς ἐκβάλλω ἐπίπεδος τέμνω καί ὁ ΛMNΞ ἐπίπεδος καί ποιέω ἐν αὐτός κοινός τομή ὁ ΛM εὐθύς παράλληλος εἰμί ὁ EZ · ὁμοίως δέ καί ὁ διά ὁ KN , HΘ εὐθύς ἐπίπεδος ποιέω παράλληλος ὁ NΞ ὁ HΘ . ἐπεί οὖν ὁ AKN τρίγωνος τέμνω ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ABΓΔ , ANΞM , ὁ ἄρα κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί ἀλλήλων , τουτέστιν ὁ NA ὁ HE · διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ ΞM ὁ ΘZ παράλληλος . ὡς ἄρα ὁ EK πρός ὁ KA , οὕτως ὁ HK πρός ὁ KN . ἀλλά ὡς μέν ὁ HK πρός ὁ KN , οὕτως ὁ HΘ πρός ὁ NΞ , ὡς δέ ὁ EK πρός KA , οὕτως ὁ EZ πρός ΛM · καί ὡς ἄρα ὁ EZ πρός ὁ ΛM , οὕτως ὁ HΘ πρός ὁ NΞ . καί ἐναλλάξ ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.2
καὶ ἐστὶν ἴση ἡ EZ τῇ HO · ἴση ἄρα καὶ ἡ AM τῇ NΞ . εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι · παράλληλος ἄρα καὶ ἡ MΞ εὐθεῖα τῇ AN .
Lemmas: καί εἰμί ἴσος ὁ EZ ὁ HO · ἴσος ἄρα καί ὁ AM ὁ NΞ . εἰμί δέ καί παράλληλος · παράλληλος ἄρα καί ὁ MΞ εὐθύς ὁ AN .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.3
Ἐὰν δὴ τὸ μὲν K σημεῖον ὑποθώμεθα εἶναι τὸ φωτίζον , τὸ δὲ AΓ παραλληλόγραμμον τὸ ἐπιπροσθοῦν ταῖς ἀκτίνσι , εἴτε καθ’ αὐτὸ εἴη εἴτε ἐν κυλίνδρῳ , συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ K φωτίζοντος ἀκτῖνας ἐκβαλλομένας ὁρίζεσθαι τῇ τε MA καὶ τῇ NΞ εὐθείᾳ , καὶ τὸ μεταξὺ τῶν MA , ΞN παραλλήλων ἐσκιασμένον ἔσται .
Lemmas: ἐάν δή ὁ μέν K σημεῖον ὑποτίθημι εἰμί ὁ φωτίζω , ὁ δέ AΓ παραλληλόγραμμος ὁ ἐπιπροσθέω ὁ ἀκτίς , εἴτε κατά αὐτός εἰμί εἴτε ἐν κύλινδρος , συμβαίνω ὁ ἀπό ὁ K φωτίζω ἀκτίς ἐκβάλλω ὁρίζω ὁ τε MA καί ὁ NΞ εὐθύς , καί ὁ μεταξύ ὁ MA , ΞN παράλληλος σκιάζω εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.4
ὅτι μὲν οὖν παράλληλος καὶ ἡ AA τῇ ΓΒ καὶ ἡ NA τῇ ΞM , δέδεικται · οὐ μὴν καὶ οὕτω φανούσονται · τῶν γὰρ AM , NΞ διαστάσεων ἡ ἐγγύτερον τῆς ὄψεως μείζων φαίνεται · ταῦτα δὲ παρελήφαμεν ἐκ τῶν Ὀπτικῶν .
Lemmas: ὅτι μέν οὖν παράλληλος καί ὁ AA ὁ ΓΒ καί ὁ NA ὁ ΞM , δείκνυμι · οὖον μήv καί οὗτος φαίνω · ὁ γάρ AM , NΞ διάστασις ὁ ἐγγύς ὁ ὄψις μείζων φαίνω · οὗτος δέ παραλαμβάνω ἐκ ὁ ὀπτικός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.5
Ἐπειδὴ δὲ παρακείμενόν ἐστι καὶ περὶ τοῦ κώνου θεωρῆσαι τὸ ὅμοιον διὰ τὸ κοινὸν εἶναι τὴν ἔλλειψιν τοῦ τε κώνου καὶ τοῦ κυλίνδρου , ἔσκεπται δὲ περὶ τοῦ κυλίνδρου , φέρε καὶ περὶ τοῦ κώνου σκεψώμεθα .
Lemmas: ἐπεί δέ παράκειμαι εἰμί καί περί ὁ κῶνος θεωρέω ὁ ὅμοιος διά ὁ κοινός εἰμί ὁ ἔλλειψις ὁ τε κῶνος καί ὁ κύλινδρος , σκέπτομαι δέ περί ὁ κύλινδρος , φέρω καί περί ὁ κῶνος σκέπτομαι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.6
λα' .
Lemmas: λαός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0129.7
Ἐὰν τριγώνου ληφθῇ σημεῖον ἔκτός , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον , ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ τις ἑτέρα εὐθεῖα τέμνουσα τὴν διηγμένην οὕτως , ὥστε ἔχειν , ὡς ὅλη ἡ διηγμένη πρὸς τὴν ἔκτος τοῦ τριγώνου , οὕτως τῆς ἔντος ἀπειλημμένης τὸ μείζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον καὶ πρὸς τῷ ἔκτος τοῦ τριγώνου κείμενον , ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ ληφθέντος σημείου ἀχθῇ εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον , ἀνάλογον ἔσται τετμημένη ὑπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ
Lemmas: ἐάν τρίγωνος λαμβάνω σημεῖον ἕκτος , καί ἀπό αὐτός ἄγω τις εὐθύς τέμνω ὁ τρίγωνος , ἀπό δέ ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις ἄγω τις ἕτερος εὐθύς τέμνω ὁ διάγω οὕτως , ὥστε ἔχω , ὡς ὅλος ὁ διάγω πρός ὁ ἕκτος ὁ τρίγωνος , οὕτως ὁ ἔντεα ἀπολαμβάνω ὁ μείζων τμῆμα πρός ὁ μικρός καί πρός ὁ ἕκτος ὁ τρίγωνος κεῖμαι , ὅστις εἄν ἀπό ὁ λαμβάνω σημεῖον ἄγω εὐθύς τέμνω ὁ τρίγωνος , ἀνάλογος εἰμί τέμνω ὑπό ὁ ἄγω ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.10
ὡς τὴν ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως τὴν ΖΗ πρὸς τὴν
Lemmas: ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.11
10 ΗΕ , καὶ διήχθω τις ἑτέρα εὐθεῖα ἡ ΔΚΑ . λέγω , ὅτι ,
Lemmas: 10 ΗΕ , καί διάγω τις ἕτερος εὐθύς ὁ ΚΑΔ . λέγω , ὅτι ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.12
ὡς ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ .
Lemmas: ὡς ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ , οὕτως ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.13
ἠχθῶσαν διὰ μὲν τῶν Ε , Κ σημείων τῇ ΑΒ
Lemmas: ἄγω διά μέν ὁ Ε , Κ σημεῖον ὁ ΑΒ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.14
παράλληλοι αἱ ΕΝ , ΚΞ , διὰ δὲ τῶν Ε , Ζ τῇ ΜΔ
Lemmas: παράλληλος ὁ ΕΝ , ΚΞ , διά δέ ὁ Ε , Ζ ὁ ΜΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.15
παράλληλοι αἱ ΕΟ , ΖΙΠ . ἐπεὶ τοῦ ΑΜΚ τριγώνου
Lemmas: παράλληλος ὁ ΕΟ , ΠΙ . ἐπεί ὁ ΑΜΚ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.16
15 παρὰ τὴν ΑΜ πλευρὰν ἐστὶν ἡ ΕΝ , ὡς ἄρα ἡ ΝΕ
Lemmas: 15 παρά ὁ ΑΜ πλευρά εἰμί ὁ ΕΝ , ὡς ἄρα ὁ Νε
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.17
πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΑΚ , τούτεστιν
Lemmas: πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΜΔ πρός ὁ ΑΚ , τουτέστιν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.18
οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΑΡ . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΖΔ τῇ
Lemmas: οὕτως ὁ ΖΔ πρός ὁ ΑΡ . πάλιν ἐπεί ὁ ΖΔ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.19
ΚΞ παράλληλός ἐστιν , ἐστὶν ἄρα , ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν
Lemmas: ΚΞ παράλληλος εἰμί , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.2
τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν εὐθείας . κἂν πᾶσαι αἱ
Lemmas: ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις εὐθύς . κἀν πᾶς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.20
ΚΞ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ . ἐπεὶ οὖν , ὡς μὲν ἡ
Lemmas: ΚΞ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ . ἐπεί οὖν , ὡς μέν ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.21
20 ΝΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΑΡ , ὡς δὲ
Lemmas: 20 Νε πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΖΔ πρός ὁ ΑΡ , ὡς δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.22
ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΞ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ , καὶ
Lemmas: ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΞ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.23
δι’ ἴσον ἄρα ἐν τετραγμένη ἀναλογίᾳ , ὡς ἡ ΕΝ πρὸς
Lemmas: διά ἴσος ἄρα ἐν τρώγω ἀναλογία , ὡς ὁ ΕΝ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.24
τὴν ΚΞ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΑΡ , τούτεστιν ἡ ΕΟ
Lemmas: ὁ ΚΞ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΑΡ , τουτέστιν ὁ ΕΟ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.25
πρὸς τὴν ΙΠ . ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ
Lemmas: πρός ὁ ΙΠ . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.26
25 λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΔΞ λόγῳ ,
Lemmas: 25 λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΞ λόγος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.27
ὁ δὲ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΔΞ λόγος σύγκειται ἐκ τε τοῦ
Lemmas: ὁ δέ ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΞ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.3
οὕτως ἠγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἀνάλογον τμηθῶσιν ,
Lemmas: οὕτως ἄγω ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ἀνάλογος τέμνω ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.4
ἡ τέμνουσα αὐτὰς εὐθεῖα ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγομένη
Lemmas: ὁ τέμνω αὐτός εὐθύς ἐν ὁ τρίγωνος ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.5
διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ τριγώνου ἐλεύσεται .
Lemmas: διά ὁ κορυφή ὁ τρίγωνος ἔρχομαι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.6
5 τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς
Lemmas: 5 τρίγωνος γάρ ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.7
τὸ Δ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω εὐθεῖα τέμνουσα τὸ
Lemmas: ὁ δ , καί ἀπό ὁ δ διάγω εὐθύς τέμνω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.8
τρίγωνον ἡ ΔΕΖ , ἀπὸ δὲ τῆς Α κορυφῆς ἐπὶ τὴν
Lemmas: τρίγωνος ὁ δΕΖ , ἀπό δέ ὁ Α κορυφή ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0131.9
βάσιν ἀχθήτω ἡ ΑΗΘ τέμνουσα τὴν ΖΔ , ὥστε εἶναι ,
Lemmas: βάσις ἄγω ὁ ΑΗΘ τέμνω ὁ ΖΔ , ὥστε εἰμί ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.10
πρὸς ΗΕ λόγου καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ . πάλιν
Lemmas: πρός ΗΕ λόγος καί ὁ ὁ ΟΕ πρός ὁ ΠΡ . πάλιν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.11
10 ἐπεὶ ὁ τῆς ΜΑ πρὸς τὴν ΔΚ λόγος ὁ αὐτὸς ἐστὶ τῷ
Lemmas: 10 ἐπεί ὁ ὁ μή πρός ὁ δΚ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.12
τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ , ὁ δὲ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ
Lemmas: ὁ ΖΠ πρός ὁ ΠΡ , ὁ δέ ὁ ΖΠ πρός ὁ ΠΡ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.13
λόγος σύγκειται ἐκ τε τοῦ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΟΕ
Lemmas: λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΖΠ πρός ὁ ΟΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.14
λόγου , τούτεστι τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , καὶ τοῦ
Lemmas: λόγος , τουτέστι ὁ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ , καί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.15
τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ , καὶ ὁ τῆς ΜΑ ἄρα πρὸς τὴν
Lemmas: ὁ ΟΕ πρός ὁ ΠΡ , καί ὁ ὁ μή ἄρα πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.16
15 ΔΚ λόγος σύγκειται ἐκ τε τοῦ τῆς ΗΖ πρὸς τὴν ΗΕ
Lemmas: 15 δΚ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΗΖ πρός ὁ ΗΕ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.17
λόγου καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ . ἐδείχθη δὲ καὶ
Lemmas: λόγος καί ὁ ὁ ΟΕ πρός ὁ ΠΡ . δείκνυμι δέ καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.18
ὁ τῆς ΜΑ πρὸς τὴν ΔΚ λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν συγκειμένος ·
Lemmas: ὁ ὁ μή πρός ὁ δΚ λόγος ἐκ ὁ αὐτός σύγκειμαι ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.19
ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ ΜΑ
Lemmas: ὡς ἄρα ὁ μή πρός ὁ δΚ , οὕτως ὁ μή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.2
τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΕΑ καὶ τοῦ τῆς ΕΑ πρὸς ΔΞ , καὶ
Lemmas: ὁ Γῆ πρός ὁ ΕΑ καί ὁ ὁ ΕΑ πρός ΔΞ , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.20
πρὸς τὴν ΔΚ .
Lemmas: πρός ὁ δΚ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.21
20 ὁμοίως δὲ δεῖξθήσεται , κἂν ἄλλαι διαχθῶσιν ἀπὸ
Lemmas: 20 ὁμοίως δέ δείκνυμι , κἀν ἄλλος διάζομαι ἀπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.22
τοῦ Α · πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῆς ΑΘ διαιρεθήσονται τὸν
Lemmas: ὁ Α · πᾶς γάρ ὑπό ὁ ΑΘ διαιρέω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.23
εἰρημένον τρόπον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἴρω τρόπος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.24
Κἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Α διαχθεῖσαι ἀνάλογον ᾧσι τετμημέναι ,
Lemmas: κἀν ὁ ἀπό ὁ Α διαχέω ἀνάλογος εἰμί τέμνω ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.25
ἵν’ ἢ , ὡς μὲν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΖΗ
Lemmas: ἵνα ἢ , ὡς μέν ὁ Γῆ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΖΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.26
25 πρὸς τὴν ΗΕ , ὡς δὲ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ
Lemmas: 25 πρός ὁ ΗΕ , ὡς δέ ὁ μή πρός ὁ δΚ , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.27
ΜΑ πρὸς τὴν ΛΚ , ἢ τὰς ἐν τῷ τριγώνῳ ἀπειλημμένας
Lemmas: μή πρός ὁ ΛΚ , ἢ ὁ ἐν ὁ τρίγωνος ἀπολαμβάνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.28
εὐθείας , οἷον τὰς ΖΕ , ΜΚ , ἀνάλογον τέμνουσα
Lemmas: εὐθύς , οἷος ὁ ΖΕ , ΜΚ , ἀνάλογος τέμνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.29
εὐθεῖα διαγομένη διὰ τῆς κορυφῆς ἥξει τοῦ τριγώνου .
Lemmas: εὐθύς διάγω διά ὁ κορυφή ἥκω ὁ τρίγωνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.3
ὁ τῆς ΜΑ πρὸς ΔΚ λόγος ἄρα σύγκειται ἐκ τε τοῦ
Lemmas: ὁ ὁ μή πρός δΚ λόγος ἄρα σύγκειμαι ἐκ τε ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.30
1 . πρὸς ΔΞ ] V , πρὸς τὴν ΔΞ c . καὶ ὁ — 8 . ΔΞ ] om . c .
Lemmas: 1 . πρός ΔΞ ] V , πρός ὁ ΔΞ c . καί ὁ — 8 . ΔΞ ] om . c .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.4
τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΕΑ καὶ τοῦ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΔΞ .
Lemmas: ὁ Γῆ πρός ὁ ΕΑ καί ὁ ὁ ΕΑ πρός ὁ ΔΞ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.5
ἀλλ’ ὁ μὲν τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΕΑ λόγος ὁ αὐτὸς ἐστι
Lemmas: ἀλλά ὁ μέν ὁ Γῆ πρός ὁ ΕΑ λόγος ὁ αὐτός εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.6
5 τῷ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ διὰ τὴν ὑπόθεσιν , ὁ δὲ τῆς
Lemmas: 5 ὁ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ διά ὁ ὑπόθεσις , ὁ δέ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.7
ΕΑ πρὸς τὴν ΔΞ , τούτεστιν ὁ τῆς ΕΝ πρὸς τὴν ΞΚ ,
Lemmas: ΕΑ πρός ὁ ΔΞ , τουτέστιν ὁ ὁ ΕΝ πρός ὁ ΞΚ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.8
ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ · ὁ ἄρα τῆς
Lemmas: ὁ αὐτός δείκνυμι ὁ ὁ ΟΕ πρός ὁ ΠΡ · ὁ ἄρα ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0133.9
ΜΑ πρὸς τὴν ΔΚ λόγος σύγκειται ἐκ τε τοῦ τῆς ΖΗ
Lemmas: μή πρός ὁ δΚ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΖΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.2
εἰ γὰρ δυνατόν , ἡκέτω ἔκτὸς κατὰ τὸ Φ σημεῖον , καὶ διήχθω ἡ ΑΗΨ εὐθεῖα . ἐπεὶ οὖν κατὰ τὸ προδειχθὲν εὐθεῖά τις ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἡ ΑΨ ἀγομένη τέμνει τὴν ΖΔ εὐθεῖαν , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , καὶ τὴν ΜΔ ἄρα ἀνάλογον τέμνει . ὡς ἄρα ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ ΜΨ πρὸς τὴν ΨΚ · ὅπερ ἀδύνατον · ὑπέκειτο γάρ , ὡς ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ ΜΔ πρὸς τὴν ΔΚ . ἡ ἄρα ΑΗ ἐκβαλλομένη οὐχ ἥξει δι’ ἄλλου σημείου πλὴν τοῦ Α · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί γάρ δυνατός , ἥκω ἕκτος κατά ὁ Φ σημεῖον , καί διάγω ὁ ΑΗ εὐθύς . ἐπεί οὖν κατά ὁ προδείκνυμι εὐθύς τις ἀπό ὁ κορυφή ὁ ΑΨ ἄγω τέμνω ὁ ΖΔ εὐθύς , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ , καί ὁ ΜΔ ἄρα ἀνάλογος τέμνω . ὡς ἄρα ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ , οὕτως ὁ ΜΨ πρός ὁ ΨΚ · ὅσπερ ἀδύνατος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ , οὕτως ὁ ΜΔ πρός ὁ δΚ . ὁ ἄρα ΑΗ ἐκβάλλω οὐ ἥκω διά ἄλλος σημεῖον πλήν ὁ Α · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.3
λβ’ .
Lemmas: λβ’ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.4
Αἱ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κωνικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαι κατ’ ἀμφοτέρα τὰ μέρη πᾶσαι καθ’ ἕνὸς τριγώνου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς ποιοῦνται .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον κωνικός ἐπιφάνεια ἐφάπτω εὐθύς κατά ἀμφότερος ὁ μέρος πᾶς κατά εἷς τρίγωνος πλευρά ὁ ἐπαφή ποιέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.5
Ἔστω κώνος , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον , ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα , σημείου δέ τινος τοῦ Γ ληφθέντος ἔκτὸς τοῦ κώνου ἠχθώσαν ἀπὸ τοῦ Γ αἱ ΓΔ , ΓΕ εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη . λέγω , ὅτι τὰ Ε , Δ σημεῖα τῶν ἐπαφῶν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί .
Lemmas: ἔστω κώνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Α κέντρον κύκλος , κορυφή δέ ὁ Β σημεῖον , ἄγω δέ ὁ ΑΒ εὐθύς , σημεῖον δέ τις ὁ Γ λαμβάνω ἕκτος ὁ κῶνος ἄγω ἀπό ὁ Γ ὁ ΓΔ , ΓΕ εὐθύς ἐφάπτω ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ἐπί ὁ αὐτός μέρος . λέγω , ὅτι ὁ Ε , δ σημεῖον ὁ ἐπαφάω ἐπί εἷς εὐθύς εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0135.6
κατήχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ , καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἠχθω ἐπίπεδον παράλληλον τῷ τοῦ Α κύκλῳ ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῷ κώνῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κέντρον κύκλον , ὥστε κώνον ὑποστῆναι , οὗ βάσις μὲν ὁ Ζ κύκλος , ἄξων δὲ ὁ ΖΒ , καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω
Lemmas: κατάγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΖ , καί διά ὁ ΓΖ ἄγω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁ Α κύκλος ἐπίπεδος καί ποιέω τομή ἐν ὁ κῶνος ὁ περί ὁ Ζ κέντρον κύκλος , ὥστε κώνος ὑφίστημι , ὅς βάσις μέν ὁ Ζ κύκλος , ἄγω δέ ὁ ΖΒ , καί διά ὁ ΓΖ καί ὁ ἄγω ἐκβάλλω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.10
αἱ ΛΜ , ΝΞ εὐθεῖαι . ἥχθωσαν τοίνυν ἐπὶ τὰς ΛΜ ,
Lemmas: ὁ ΛΜ , ΝΞ εὐθύς . ἄγω τοίνυν ἐπί ὁ ΛΜ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.11
10 ΝΞ διαμέτρους αἱ ΔΟ , ΕΠ τεταγμένως καὶ προσεκβεβλήσθωσαν
Lemmas: 10 ΝΞ διάμετρος ὁ ΔΟ , ΕΠ τεταγμένως καί προσεκβάλλω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.12
ἐπὶ θάτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ
Lemmas: ἐπί ἕτερος μέρος ὁ ἐπιφάνεια κατά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.13
τὸ Ρ καὶ Σ . ἐπεὶ οὖν ἢ ΓΔ εὐθεῖα τῆς ΛΛΜ γραμμῆς
Lemmas: ὁ Ρ καί Σ . ἐπεί οὖν ἢ ΓΔ εὐθύς ὁ ΛΛΜ γραμμή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.14
ἐφάπτεται κατὰ τὸ Δ σημεῖον , καὶ κατῆκται τεταγμένως
Lemmas: ἐφάπτω κατά ὁ δ σημεῖον , καί κατάγνυμι τεταγμένως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.15
ἢ ΔΟ , ὡς ἄρα ἢ ΛΓ πρὸς τὴν ΓΜ , οὕτως ἢ
Lemmas: ἢ ΔΟ , ὡς ἄρα ἢ ΛΓ πρός ὁ ΓΜ , οὕτως ἢ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.16
15 ΔΟ πρὸς τὴν ΟΜ · καὶ διὰ τὰ αὐτά , ὡς ἢ ΝΓ πρὸς
Lemmas: 15 ΔΟ πρός ὁ ΟΜ · καί διά ὁ αὐτός , ὡς ἢ ΝΓ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.17
τὴν ΓΞ , οὕτως ἢ ΝΠ πρὸς τὴν ΠΞ · ἢ ἄρα τὰ Ο καὶ
Lemmas: ὁ ΓΞ , οὕτως ἢ ΝΠ πρός ὁ ΠΞ · ἢ ἄρα ὁ ὁ καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.18
Π σημεία ἐπιξενγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἥξει διὰ
Lemmas: Π σημεῖον επιξενγνυειμι εὐθύς ἐκβάλλω ἥκω διά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.19
τῆς κορυφῆς διὰ τὸ πρὸ τούτου . διήχθω τοίνυν ἢ
Lemmas: ὁ κορυφή διά ὁ πρό οὗτος . διάγω τοίνυν ἢ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.2
ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κώνῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί -
Lemmas: ἐπίπεδος ποιέω ἐν ὁ κῶνος ὁ διά ὁ ἄγω τρεῖς -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.20
ΟΠΒ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΞ , ΔΡ τῇ ΓΚ ἐστι
Lemmas: ΠΟ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΕΞ , δΡ ὁ ΓΚ εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.21
20 παράλληλος , αἱ ἄρα ΔΡ , ΕΞ παράλληλοί τε εἰσιν
Lemmas: 20 παράλληλος , ὁ ἄρα δΡ , ΕΞ παράλληλος τε εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.22
ἀλλήλαις καὶ ἐν ἐνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . τὸ οὖν διὰ τῆς
Lemmas: ἀλλήλων καί ἐν ἐν εἰμί ἐπίπεδος . ὁ οὖν διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.23
ΒΠΟ καὶ τῶν ΕΞ , ΔΡ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τὴν
Lemmas: ΠΟ καί ὁ ΕΞ , δΡ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.24
τομὴν ποιήσει τρίγωνον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ ·
Lemmas: τομή ποιέω τρίγωνος ἐν ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.25
τὰ ἄρα Ε καὶ Δ σημεία ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ὄντα τοῦ
Lemmas: ὁ ἄρα Ε καί δ σημεῖον ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.26
25 κώνου ἐπὶ πλευρᾶς ἐστὶ τριγώνου τοῦ τέμνοντος τὸ
Lemmas: 25 κῶνος ἐπί πλευρά εἰμί τρίγωνος ὁ τέμνω ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.27
ΒΗΘ τρίγωνον κατὰ τὴν ΒΠΟ εὐθεῖαν . ὁμοίως δὲ
Lemmas: ΒΗΘ τρίγωνος κατά ὁ ΠΟ εὐθύς . ὁμοίως δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.28
δείκνυνται ἐπὶ τῶν ἐφαπτομένων πασῶν καὶ τῶν κατὰ
Lemmas: δείκνυμι ἐπί ὁ ἐφάπτω πᾶς καί ὁ κατά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.29
τὸ Ρ καὶ Σ ἐφαπτομένων τὸ αὐτὸ συμβαῖνον . πᾶσαι
Lemmas: ὁ Ρ καί Σ ἐφάπτω ὁ αὐτός συμβαίνω . πᾶς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.3
γωνον τὸ ΒΗΘ , καὶ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς ἥχθω ἢ ΓΚ
Lemmas: γωνον ὁ ΒΗΘ , καί ὁ ΓΖ πρός ὀρθός ἄγω ἢ ΓΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.4
ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα , καὶ διὰ τῆς ΓΚ
Lemmas: ἐν ὁ ὁ Ζ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί , καί διά ὁ ΓΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.5
καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΔ , ΓΕ ἥχθω ἐπίπεδα τέμνοντα
Lemmas: καί ἑκάτερος ὁ ΓΔ , ΓΕ ἄγω ἐπίπεδος τέμνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.6
5 τὸν κῶνον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ
Lemmas: 5 ὁ κῶνος καί ποιέω διά ὁ τομή ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.7
τοῦ κώνου τὰς ΛΛΜ , ΝΕΞ γραμμάς , ἐν δὲ
Lemmas: ὁ κῶνος ὁ ΛΛΜ , ΝΕΞ γραμμή , ἐν δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.8
τῷ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐπιπέδῳ τὰς ΛΓ , ΝΓ εὐθείας ·
Lemmas: ὁ ὁ ΒΗΘ τρίγωνος ἐπίπεδος ὁ ΛΓ , ΝΓ εὐθύς ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0137.9
διαμέτροι ἄρα τῶν ΛΛΜ , ΝΕΞ τομῶν εἰσιν
Lemmas: διάμετρος ἄρα ὁ ΛΛΜ , ΝΕΞ τομή εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0139.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0139.2
ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτόμεναι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καθ’ ἕνος τριγώνου πλευρῶν πίπτουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἄρα ὁ ἀπό ὁ Γ ἐφάπτω ὁ κωνικός ἐπιφάνεια κατά ἕνος τρίγωνος πλευρά πίπτω · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0139.3
λγ’
Lemmas: λγ’
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0139.4
Τούτου δή δειχθέντος ἔστω τρίγωνον τὸ ABΓ , καὶ παρὰ τὴν BΓ βάσιν αἱ ΔE , ZH , καὶ εἰληφθῶ τι σημεῖον τὸ Θ μὴ ὂν ἐν τῷ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ , καὶ ἐπιζευχθείσαι αἱ ΘΔ , ΘZ , ΘH , ΘE ἐκβληθείσαι προσπιπτέτωσαν ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὂντι τῷ ABΓ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ K , Λ , M , N σημεία · τὸ δὴ διὰ τῶν EΔ , KΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τέμνει καὶ τὸ KAMN ἐπίπεδον καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν KN εὐθεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ EΔ . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν ZH , ΛΘ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ποιήσει παράλληλον τῇ ZH τὴν ΛM . ἐπεὶ οὖν τὸ KΘΛ ἐπίπεδον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ABΓ , KAMN , αἱ κοινὰς αὐτῶν τομαὶ αἱ KΛ , ΔZ παράλληλοι εἰσὶν ἀλλήλαις . διὰ ταῦτά δὲ καὶ ἡ NM τῇ HE παράλληλός ἐστιν · ἐκβληθείσαι ἄρα αἱ KΛ , MN συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Ξ . ἐπεὶ οὖν δύο αἱ KΞ , ΞN δυσὶ ταῖς ΔΛ , AE παράλληλοι εἰσιν , ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία τῇ πρὸς τῷ Λ . πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΞK , KN δυσὶ ταῖς ΔΛ , ΔE παράλληλοι εἰσιν , ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΞK , KN γωνία τῇ ὑπὸ ΔΛ , ΔE ἴση . τὰ ἄρα ΞKN , ABΓ τρίγωνα ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις .
Lemmas: οὗτος δή δείκνυμι ἵστημι τρίγωνος ὁ ABΓ , καί παρά ὁ BΓ βάσις ὁ ΔE , ZH , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ὁ Θ μή εἰμί ἐν ὁ ὁ τρίγωνος ἐπίπεδος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΔ , ΘZ , ΘH , ΘE ἐκβάλλω προσπίπτω ἐπίπεδος τις παράλληλος εἰμί ὁ ABΓ ἐπίπεδος κατά ὁ K , Λ , M , N σημεῖον · ὁ δή διά ὁ EΔ , KΘ εὐθύς ἐπίπεδος ἐκβάλλω τέμνω καί ὁ KAMN ἐπίπεδος καί ποιέω ἐν αὐτός κοινός τομή ὁ KN εὐθύς παράλληλος εἰμί ὁ EΔ . ὁμοίως δέ καί ὁ διά ὁ ZH , ΛΘ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ποιέω παράλληλος ὁ ZH ὁ ΛM . ἐπεί οὖν ὁ KΘΛ ἐπίπεδος τέμνω ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ABΓ , KAMN , ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ KΛ , ΔZ παράλληλος εἰμί ἀλλήλων . διά οὗτος δέ καί ὁ NM ὁ HE παράλληλος εἰμί · ἐκβάλλω ἄρα ὁ KΛ , MN συμπίπτω κατά ὁ Ξ . ἐπεί οὖν δύο ὁ KΞ , ΞN δύο ὁ δΛ , AE παράλληλος εἰμί , ἴσος ἄρα ὁ πρός ὁ Ξ γωνία ὁ πρός ὁ Λ . πάλιν ἐπεί δύο ὁ ΞK , KN δύο ὁ δΛ , ΔE παράλληλος εἰμί , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΞK , KN γωνία ὁ ὑπό δΛ , ΔE ἴσος . ὁ ἄρα ΞKN , ABΓ τρίγωνος ὁμοῖος εἰμί ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0139.5
Ἐὰν οὖν πάλιν τὸ μὲν Θ σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ φωτίζον εἶναι , τὸ δὲ ABΓ τρίγωνον τὸ ἐπιπροσθοῦν
Lemmas: ἐάν οὖν πάλιν ὁ μέν Θ σημεῖον ὑποτίθημι ὁ φωτίζω εἰμί , ὁ δέ ABΓ τρίγωνος ὁ ἐπιπροσθέω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0141.1
ΠΕΡΙ ΚΤΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί ΔΕ τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0141.2
ταῖς ἀκτίνων , εἴτε καθ’ αὐτὸ ὅν τὸ τρίγωνον εἴτε ἐν κώνῳ , συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ Θ φερομένας ἀκτῖνας ἐκπιπτούσας διὰ τοῦ ABΓ τριγώνου ποιεῖν τὸ KNΞ τρίγωνον τῆς σκιᾶς ὅμοιον ὅν τῷ ABΓ .
Lemmas: ὁ ἀκτίς , εἴτε κατά αὐτός ὅς ὁ τρίγωνος εἴτε ἐν κῶνος , συμβαίνω ὁ ἀπό ὁ Θ φέρω ἀκτίς ἐκπίπτω διά ὁ ABΓ τρίγωνος ποιέω ὁ KNΞ τρίγωνος ὁ σκιά ὅμοιος ὅς ὁ ABΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0141.3
Ταῦτα εἰ καὶ ὀπτικῆς θεωρίας ἔχειται καὶ δοκεῖ διὰ τοῦτο τῆς παρούσης πραγματείας ἀλλότρια εἶναι , ἀλλ’ οὖν ἐκεῖνό γε φανερὸν γέγονεν , ὅτι ἄνευ τῶν περὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς τοῦ κώνου τομῆς ἐνταῦθα δειχθέντων , τῆς ἐλλείψεως λέγω καὶ τῶν ἀποτομένων αὐτῆς εὐθειῶν , ἀδύνατον ἦν καταστῆσαι τὸ τοιοῦτον πρόβλημα · ὥστε οὐκ ἀλόγως , ἀλλὰ διὰ τὴν χρείαν ἐπεισῆλθεν ὁ περὶ τούτων λόγος .
Lemmas: οὗτος εἰμί καί ὀπτικός θεωρία χέω καί δοκέω διά οὗτος ὁ πάρειμι πραγματεία ἀλλότριος εἰμί , ἀλλά οὖν ἐκεῖνος γε φανερός γίγνομαι , ὅτι ἄνευ ὁ περί ὁ ὁ κύλινδρος καί ὁ ὁ κῶνος τομή ἐνταῦθα δείκνυμι , ὁ ἔλλειψις λέγω καί ὁ ἀποτέμνω αὐτός εὐθύς , ἀδύνατος εἰμί καθίστημι ὁ τοιοῦτος πρόβλημα · ὥστε οὐ ἄλογος , ἀλλά διά ὁ χρεία ἐπεισέρχομαι ὁ περί οὗτος λόγος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0145.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0145.2
Τῆς ἐν τοῖς κώνοις τομῆς , ἄριστε Κύρε , ὅταν διὰ τῆς κορυφῆς αὐτῶν γίνηται , τρίγωνα μὲν ὑφιστάσης ἐν τοῖς κώνοις , ποικίλην δὲ καὶ γλαφυρὰν θεωρίαν 5 ἔχούσης καὶ μηδενὶ τῶν πρὸ ἡμῶν , ὅσα γε ἐμὲ εἰδέναι , πραγματευθείσης ἔδοξέ μοι μὴ καλῶς ἔχειν ἀνεξέργαστον ἀφεῖναι τὸν τόπον τοῦτον , εἰπεῖν δὲ περὶ αὐτῶν , ὅσα γε εἰς ἐμὴν ἀφίκεται κατάληψιν . σχεδὸν μὲν οὖν τὰ γε πλεῖω καὶ βαθυτέρας δοκοῦντα δεῖσθαι γεω - 10 μετρίας ἤρουμε λόγου τετυχηκέναι παρ’ ἡμῶν , οὐχ ἂν δὲ θαυμάσαιμι , εἰ καὶ τι τῶν ὀφειλόντων λεχθῆναι παρεῖκων ὀφθείην ἄτε πρῶτος ἐγχειρήσας τῇ τούτων θεωρίᾳ · ὥστε εἴκός ἦ σὲ καθέντα εἰς τὴν αὐτὴν σκέψιν ἢ τῶν ὑστερὸν ἐντευξομένων τινὰ ὀρωμένον ἐνδένεδε 15 τὸ παροφθέν ἡμῖν προσθεῖναι . ἔστι δὲ ἃ καὶ ἔχοντες παραλελοίπαμεν ἢ διὰ τὸ σαφὲς ἢ διὰ τὸ ἄλλοις δεδείχθαι · αὐτίκα τὸ μὲν ἐν παντὶ κώνῳ τρίγωνον εἶναι τομήν , εἰ διὰ τῆς κορυφῆς τμηθείη , διὰ τὸ δεδειχθαι ἄλλοις ὡς οὕτως ἔχον ἡμεῖς παραλιμπάνομεν , ἵνα μηδὲν 20 ἄλλοτριον τοῖς ὑφ’ ἡμῶν εὑρεθεῖσι συντεταγμένον ἢ . τὰ δ’ ἐπιπολαιότερα καὶ τοῖς πολλοῖς εὔληπτα γραφῆς οὐκ ἡξιώσαμεν , ἵνα μὴ τῶν ἐντυγχάνοντων τὴν προσων ]
Lemmas: ὁ ἐν ὁ κῶνος τομή , ἀγαθός Κῦρος , ὅταν διά ὁ κορυφή αὐτός γίγνομαι , τρίγωνος μέν ὑφίστημι ἐν ὁ κῶνος , ποικίλος δέ καί γλαφυρός θεωρία 5 ἔχω καί μηδείς ὁ πρό ἐγώ , ὅσος γε ἐγώ οἶδα , πραγματεύομαι δοκέω ἐγώ μή καλῶς ἔχω ἀνεξέργαστος ἀφίημι ὁ τόπος οὗτος , εἶπον δέ περί αὐτός , ὅσος γε εἰς ἐμός ἀφικάνω κατάληψις . σχεδόν μέν οὖν ὁ γε πλείων καί βαθύς δοκέω δήω γεόω - 10 μέτριος αίρω λόγος τυγχάνω παρά ἐγώ , οὐ εἄν δέ θαυμάζω , εἰμί καί τίς ὁ ὀφείλω λέγω παρείκω ὁράω αὔγ-ασμα πρῶτος ἐγχειρέω ὁ οὗτος θεωρία · ὥστε εἰκός εἰμί σύ καθίημι εἰς ὁ αὐτός σκέψις ἢ ὁ ὕστερος ἐντεύχω τις ὁράω ἐνδέω 15 ὁ παροράω ἐγώ προστίθημι . εἰμί δέ ὁ καί ἔχω παραλείπω ἢ διά ὁ σαφής ἢ διά ὁ ἄλλος δείκνυμι · αὐτίκα ὁ μέν ἐν πᾶς κῶνος τρίγωνος εἰμί τομή , εἰμί διά ὁ κορυφή τέμνω , διά ὁ δείκνυμι ἄλλος ὡς οὕτως ἔχω ἐγώ παραλιμπάνω , ἵνα μηδείς 20 ἀλλότριος ὁ ὑπό ἐγώ εὑρίσκω συντάσσω ἢ . ὁ δέ ἐπιπόλαιος καί ὁ πολύς εὔληπτος γραφεύς οὐ ἀξιόω , ἵνα μή ὁ ἐντυγχάνω ὁ πρόσειμι ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0146.1
παρήκων
Lemmas: παρήκω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0146.2
ἄλλοις ] ἐν ἄλλοις
Lemmas: ἄλλος ] ἐν ἄλλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.2
οχὴν τῆς διανοίας ἐκλύσωμεν . ἰτέον δὴ ἐπὶ τὴν τῶν προκειμένων ἀπόδειξιν .
Lemmas: ὀχή ὁ διάνοια ἐκλύω . εἶμι δή ἐπί ὁ ὁ πρόκειμαι ἀπόδειξις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.3
α'
Lemmas: ὅς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.4
Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν μείζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην , τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης μείζον ἐστὶ τοῦ ὑπὸ δευτέρας καὶ τρίτης .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθύς ὁ πρῶτος πρός ὁ δύο μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ τρίτος πρός ὁ τέταρτος , ὁ ὑπό πρῶτος καί τέταρτος μείζων εἰμί ὁ ὑπό δύο καί τρίτος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.5
εὐθεῖα γὰρ ἡ A πρὸς τὴν B μείζονα λόγον ἔχετω ἢπερ ἡ Γ πρὸς τὴν ΔE . λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν A , ΔE μείζον ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν B , Γ .
Lemmas: εὐθύς γάρ ὁ A πρός ὁ B μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ ΔE . λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ A , ΔE μείζων εἰμί ὁ ὑπό ὁ B , Γ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.6
ἐπεὶ ἡ A πρὸς B μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ Γ πρὸς ΔE , ἔστω , ὡς ἡ A πρὸς B , οὕτως ἡ Γ πρὸς ΔZ · τὸ ἄρα ὑπὸ A , ΔZ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν B , Γ . μείζον δὲ τὸ ὑπὸ A , ΔE τοῦ ὑπὸ A , ΔZ · καὶ τοῦ ὑπὸ B , Γ ἄρα μείζον ἐστὶ τὸ ὑπὸ A , ΔE .
Lemmas: ἐπεί ὁ A πρός B μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ΔE , ἵστημι , ὡς ὁ A πρός B , οὕτως ὁ Γ πρός ΔZ · ὁ ἄρα ὑπό A , ΔZ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ B , Γ . μείζων δέ ὁ ὑπό A , ΔE ὁ ὑπό A , ΔZ · καί ὁ ὑπό B , Γ ἄρα μείζων εἰμί ὁ ὑπό A , ΔE .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.7
β'
Lemmas: βε
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.8
Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου ἀπὸ τῆς ἑτέρας τῶν γωνιῶν ἐπὶ μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἀχθῇ εὐθεῖα , ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῇ καθέτῳ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ἐξ ἀρχῆς ὑποτεινούσα τὴν ὀρθὴν πρὸς τὴν τμηθεῖσαν πλευρὰν ὑπὸ τῆς ἀχθείσης .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ὀρθογώνιος ἀπό ὁ ἕτερος ὁ γωνία ἐπί εἷς ὁ περί ὁ ὀρθός ἄγω εὐθύς , ὁ ἄγω πρός ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός πρός ὁ κάθετος μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐκ ἀρχή ὑποτείνω ὁ ὀρθός πρός ὁ τέμνω πλευρά ὑπό ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0147.9
τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ABΓ ὀρθὴν ἔχοντος τὴν A γωνίαν ἀπὸ μιᾶς τῶν γωνιῶν τῆς Γ ἐπὶ
Lemmas: τρίγωνος γάρ ὀρθογώνιος ὁ ABΓ ὀρθός ἔχω ὁ A γωνία ἀπό εἷς ὁ γωνία ὁ Γ ἐπί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0148.1
ἀχθῆ ] γωνίαν εὐθειῶν ἀχθῆ πρὸς τῷ Γ ] πρὸς τῷ Γ
Lemmas: ἄγω ] γωνία εὐθύς ἄγω πρός ὁ Γ ] πρός ὁ Γ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.10
τῶν γινομένων ἐν ταῖς τομαῖς τριγώνων τὰ ἴσας ἔχοντα
Lemmas: ὁ γίγνομαι ἐν ὁ τομή τρίγωνος ὁ ἴσος ἔχω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.11
10 βάσεις ἀλλήλοισ ἐστὶν ἴσα .
Lemmas: 10 βάσις ἀλλήλων εἰμί ἴσος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.12
ἔστω κῶνος , οὐ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον , βάσις
Lemmas: ἵστημι κῶνος , οὖον κορυφή μέν ὁ Α σημεῖον , βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.13
δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος , τοῦ δὲ κώνου διὰ
Lemmas: δέ ὁ περί ὁ Β κέντρον κύκλος , ὁ δέ κῶνος διά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.14
τῆς κορυφῆς τμηθέντος ἐπιπέδῳι γεγενήσθω τὰ ὑπὸ
Lemmas: ὁ κορυφή τέμνω ἐπίπεδος γίγνομαι ὁ ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.15
τῆς τομῆς γενόμενα τρίγωνα · ὅτι γὰρ τρίγωνα ποιοῦσιν
Lemmas: ὁ τομή γίγνομαι τρίγωνος · ὅτι γάρ τρίγωνος ποιέω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.16
15 αἱ τοιαῦται τομαί , ἐν ἄλλοις δείκνυται . γεγενήσθω δὴ
Lemmas: 15 ὁ τοιοῦτος τομή , ἐν ἄλλος δείκνυμι . γίγνομαι δή
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.17
τὰ ΑΓΔ , ΑΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΓΔ , ΕΖ βάσεις .
Lemmas: ὁ ΑΓΔ , ΑΕΖ ἴσος ἔχω ὁ ΓΔ , ΕΖ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.18
λέγω , ὅτι τὰ ΑΓΔ , ΑΕΖ τρίγωνα ἴσα ἐστίν .
Lemmas: λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ , ΑΕΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0149.19
ἐπεὶ γὰρ αἱ τε βάσεις ἴσαι ἀλλήλαις , ἴσαι δὲ καὶ
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ τε βάσις Ἴσαι ἀλλήλων , Ἴσαι δέ καί