ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.6
ἐπεὶ γὰρ ἴσαι μὲν αἱ ΓΑ , ΕΖ βάσεις , κοινὴ δὲ ἦκται ἡ ΒΑ ἐπὶ τὴν διχοτομίαν αὐτῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς , καὶ ἐστὶ τὸ ΑΕΖ τοῦ ΑΓΔ ἐλάττον , ἡ ἄρα ΕΑ πρὸς ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΔ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ κα´ θεωρήματι · ἡ μὲν ἄρα ΕΑ
Lemmas: ἐπεί γάρ Ἴσαι μέν ὁ ΓΑ , ΕΖ βάσις , κοινός δέ ἄγω ὁ ΒΑ ἐπί ὁ διχοτομία αὐτός ἀπό ὁ κορυφή , καί εἰμί ὁ ΑΕΖ ὁ ΑΓΔ ἐλάσσων , ὁ ἄρα ΕΑ πρός αζʹ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑ πρός ΑΔ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ κα´ θεώρημα · ὁ μέν ἄρα ΕΑ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.2
μεγίστη ἐστὶ τῶν τεσσάρων εὐθειῶν , ἡ δὲ AZ ἐλάχιστη · καὶ ταῦτα γὰρ ἐδείχθη ιη' καὶ ιθ' θεωρήματι . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης , τούτεστι τὰ ἀπὸ EA , AZ , τοῖς ἀπὸ ΓA , AΔ ἴσα ἐστίν , συν - 5 ἀμφότερος ἄρα ἡ EA , AZ εὐθεῖα συναμφοτέρου τῆς ΓA , AΔ ἐλάττων ἐστὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα . προσκείσθωσαν αἱ EZ , ΓA · ὅλη ἄρα ἡ AEZ περίμετρος ὅλης τῆς AGA περιμέτρου ἐλάττων ἐστίν . μείζων ἄρα ἡ τοῦ μείζονος περιμέτρος .
Lemmas: μέγας εἰμί ὁ τέσσαρες εὐθύς , ὁ δέ AZ λίγος · καί οὗτος γάρ δείκνυμι ΙΗΥ καί εὐθύς θεώρημα . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ μέγας καί ὁ μικρός , τουτέστι ὁ ἀπό EA , AZ , ὁ ἀπό ΓA , AΔ ἴσος εἰμί , σῦς - 5 ἀμφότερος ἄρα ὁ EA , AZ εὐθύς συναμφότεροι ὁ ΓA , AΔ μικρός εἰμί διά ὁ πρό οὗτος θεώρημα . πρόσκειμαι ὁ EZ , ΓA · ὅλος ἄρα ὁ AEZ περίμετρος ὅλος ὁ AGA περίμετρον μικρός εἰμί . μείζων ἄρα ὁ ὁ μείζων περίμετρος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.3
10 Καὶ γέγονε φανερὸν , ὅτι ἐν τοῖς σκαληνοῖς κώνοις τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μεγίστη μὲν ἡ τοῦ μεγίστου περιμέτρος , τούτεστι τοῦ ἰσοσκελοῦς , ἐλάχιστη δὲ ἡ τοῦ ἐλαχίστου , τούτεστι τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου , τῶν δ' ἄλλων ἀεὶ τὸ μείζων μείζονα περιμέτρον 15 ἔχει ἢπερ τὸ ἕλαττον .
Lemmas: 10 καί γίγνομαι φανερός , ὅτι ἐν ὁ σκαληνός κῶνος ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος μέγας μέν ὁ ὁ μέγας περίμετρος , τουτέστι ὁ ἰσοσκελής , λίγος δέ ὁ ὁ μικρός , τουτέστι ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ὁ κῶνος , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ μείζων μείζων περίμετρον 15 ἔχω ἤ ὁ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.4
Πάλιν ὑποκείσθω ἡ τοῦ ΓAΔ τριγώνου περιμέτρος μείζων εἶναι τῆς τοῦ EAZ .. λέγω δή , ὅτι τὸ AGA τρίγωνον τοῦ EAZ μείζων ἐστίν .
Lemmas: πάλιν ὑπόκειμαι ὁ ὁ ΓAΔ τρίγωνος περίμετρος μείζων εἰμί ὁ ὁ EAZ .. λέγω δή , ὅτι ὁ AGA τρίγωνος ὁ EAZ μείζων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.5
ἐπεὶ ἡ AGA περιμέτρος τῆς EAZ περιμέτρου 20 μείζων ἐστίν , ἴση δὲ ἡ ΓA τῇ EZ , λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓA , AΔ συναμφοτέρου τῆς EA , AZ μείζων ἐστίν . καὶ ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΓA , AΔ τοῖς ἀπὸ EA , AZ ἴσα · τῶν ἄρα ΓA , AΔ , EA , AZ εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἐστὶν ἡ EA , ἐλάχιστη δὲ ἡ AZ · ταῦτα 25 γὰρ ἅπαντα προδέδεικται . ἡ EA ἄρα πρὸς τὴν AZ μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΔA πρὸς AΓ . ἐπεὶ οὖν
Lemmas: ἐπεί ὁ AGA περίμετρος ὁ EAZ περίμετρον 20 μείζων εἰμί , ἴσος δέ ὁ ΓA ὁ EZ , λοιπός ἄρα συναμφότερος ὁ ΓA , AΔ συναμφότεροι ὁ EA , AZ μείζων εἰμί . καί εἰμί ὁ ἀπό ΓA , AΔ ὁ ἀπό EA , AZ ἴσος · ὁ ἄρα ΓA , AΔ , EA , AZ εὐθύς μέγας μέν εἰμί ὁ EA , λίγος δέ ὁ AZ · οὗτος 25 γάρ ἅπας προδείκνυμι . ὁ EA ἄρα πρός ὁ AZ μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΔA πρός AΓ . ἐπεί οὖν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0295.6
2 . ιη' καὶ ] V , ἐν τῷ p , + ιη' καὶ ιθ' add . mg . m . rec . V .
Lemmas: 2 . ΙΗΥ καί ] V , ἐν ὁ p , + ΙΗΥ καί εὐθύς add . mg . m . rec . V .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.2
δύο τρίγωνα τὰ ΓΑΔ , ΕΑΖ βάσεις ἴσας ἔχει , ἔχει δὲ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἡγμένην τὴν αὐτήν , ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ τοῦ ἑτέρου μείζων πρὸς τὴν ἐλάττονα , καὶ τὰ λοιπά , τὸ ἄρα ΕΑΖ τρίγωνον ἐλάττον ἐστὶ · μείζον ἄρα τὸ ΓΑΔ τρίγωνον τοῦ ΕΑΖ [ ὡς ἐδείχθη θεωρήματι ιθ' τοῦ πρώτου βιβλίου ] .
Lemmas: δύο τρίγωνος ὁ ΓΑΔ , ΕΑΖ βάσις ἴσος ἔχω , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἅγω ὁ αὐτός , ὁ δέ ὁ ἕτερος μείζων πλευρόν πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ ἕτερος μείζων πρός ὁ μικρός , καί ὁ λοιπός , ὁ ἄρα ΕΑΖ τρίγωνος ἐλάσσων εἰμί · μείζων ἄρα ὁ ΓΑΔ τρίγωνος ὁ ΕΑΖ [ ὡς δείκνυμι θεώρημα εὐθύς ὁ πρῶτος βιβλίον ] .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.3
νη'
Lemmas: ναῦς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.4
Τῶν ἴσων μὲν καὶ ὀρθῶν κώνων , ἀνομοίων δέ , ἀντιπέπονθε τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν .
Lemmas: ὁ ἴσος μέν καί ὀρθός κῶνος , ἀνόμοιος δέ , ἀντιπάσχω ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ἑαυτοῦ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.5
ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοὶ καὶ ἴσοι , ἀνόμοιοι δέ , ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α , Β σημεῖα , ἄξονες δὲ οἱ ΑΗ , ΘΒ , τὰ δὲ διὰ τῶν ἄξονων τρίγωνα τὰ ΑΓΔ , ΒΕΖ , βάσεις δὲ τῶν κώνων οἱ περὶ τὰς ΓΔ , ΕΖ διαμέτρους κύκλοι . λέγω , ὅτι , ὡς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ , οὕτως ἡ ΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ .
Lemmas: εἰμί κῶνος ὀρθός καί ἴσος , ἀνόμοιος δέ , ὅς κορυφή μέν ὁ Α , Β σημεῖον , ἄγω δέ ὁ ΑΗ , ΘΒ , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΑΓΔ , ΒΕΖ , βάσις δέ ὁ κῶνος ὁ περί ὁ ΓΔ , ΕΖ διάμετρος κύκλος . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ ΒΕΖ , οὕτως ὁ ΕΖ βάσις πρός ὁ ΓΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0297.6
ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι , ὡς ἄρα ὁ περὶ τὸ Η κέντρον κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὸ Θ κύκλον , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΑΗ . ὁ δὲ περὶ τὸ Η κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὸ Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ
Lemmas: ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ κῶνος , ὡς ἄρα ὁ περί ὁ ὁ κέντρον κύκλος πρός ὁ περί ὁ Θ κύκλος , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ὁ ΑΗ . ὁ δέ περί ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ περί ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.2
ΓΑ πρὸς τὴν EZ . ἔστω τῶν ΘΒ , ΑΗ μέση ἀνάλογον ἡ KH , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΓ , ΚΑ · ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως ἡ τε ΒΘ πρὸς τὴν KH καὶ ἡ KH πρὸς τὴν HA . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν KH , τὸ BEZ ἄρα τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΓΑ τριγώνῳ . καὶ ἐπεὶ , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως ἡ KH πρὸς HA , ὡς δὲ ἡ KH πρὸς τὴν HA , οὕτως τὸ ΚΓΑ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ , ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως τὸ ΚΓΑ τρίγωνον , τοὔτεστι τὸ BEZ τρίγωνον , πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ , οὕτως ἡ EZ βάσις πρὸς τὴν ΓΑ βάσιν . ἀντιπέπονθεν ἄρα τὰ ἐκκειμένα τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν .
Lemmas: ΓΑ πρός ὁ EZ . ἵστημι ὁ ΘΒ , ΑΗ μέσος ἀνάλογος ὁ KH , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΓ , ΚΑ · ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ τε ΒΘ πρός ὁ KH καί ὁ KH πρός ὁ HA . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ὁ KH , ὁ BEZ ἄρα τρίγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΚΓΑ τρίγωνος . καί ἐπεί , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ KH πρός HA , ὡς δέ ὁ KH πρός ὁ HA , οὕτως ὁ ΚΓΑ τρίγωνος πρός ὁ ΑΓΔ , ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ ΚΓΑ τρίγωνος , τουτέστι ὁ BEZ τρίγωνος , πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνος · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ , οὕτως ὁ EZ βάσις πρός ὁ ΓΑ βάσις . ἀντιπάσχω ἄρα ὁ ἐκκειμένα τρίγωνος ὁ ἑαυτοῦ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.3
νθ' .
Lemmas: ἐντί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.4
Ὅν κώνων ὀρθῶν ἀντιπέπονθε τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν , οὗτοι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις .
Lemmas: ὅς κῶνος ὀρθός ἀντιπάσχω ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ἑαυτοῦ βάσις , οὗτος ἴσος εἰμί ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.5
Ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοί , ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α , Β σημεῖα , ἄξονες δὲ αἱ ΑΗ , ΒΘ εὐθεῖαι , τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΑΓΔ , BEZ , καὶ ἔστω , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως τὸ EBZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ . λέγω , ὅτι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις οἱ κῶνοι .
Lemmas: εἰμί κῶνος ὀρθός , ὅς κορυφή μέν ὁ Α , Β σημεῖον , ἄγω δέ ὁ ΑΗ , ΒΘ εὐθύς , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΑΓΔ , BEZ , καί ἵστημι , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ EBZ τρίγωνος πρός ὁ ΑΓΔ . λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ἀλλήλων ὁ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0299.6
γενέσθω , ὡς τὸ BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ , οὕτως τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ KEZ · τὸ BEZ ἄρα πρὸς τὸ KEZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ KEZ . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν EZ , οὕτως τὸ
Lemmas: γίγνομαι , ὡς ὁ BEZ τρίγωνος πρός ὁ ΑΓΔ , οὕτως ὁ ΑΓΔ πρός ὁ KEZ · ὁ BEZ ἄρα πρός ὁ KEZ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑΔ πρός ὁ KEZ . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0301.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0301.2
BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ , ὡς δὲ τὸ BEZ πρὸς τὸ ΑΓΔ , οὕτως τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ KEZ , ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς τὴν EZ , οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ . ὥστε ἐπεὶ τὰ ΑΓΔ , KEZ τρίγωνα πρὸς ἀλλήλα ἐστὶν ὡς αἱ βάσεις , ὑπὸ τὸ αὐτὸ ἄρα ὕψος ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ AH τῇ KΘ . καὶ ἐπεὶ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν EZ , ὡς δὲ ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν EZ , οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ EKZ , ὁ ἄρα H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ EKZ . εἶχε δὲ καὶ τὸ EBZ πρὸς τὸ EKZ διπλασίονα λόγον ἢπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ EKZ · ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , οὕτω τὸ EBZ τρίγωνον πρὸς τὸ EKZ , τούτεστιν ἡ BΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν KΘ . καὶ ἐστὶν ἡ ΘK τῇ AH ἴση · ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , οὕτως ἡ BΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν AH . καὶ εἰσὶν αἱ BΘ , AH ἄξονες τῶν κώνων καὶ ἀντικεῖνται ταῖς βάσεσι , τούτεστι τοῖς H , Θ κύκλοις · οἱ ἄρα A , B κῶνοι ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν .
Lemmas: BEZ τρίγωνος πρός ὁ ΑΓΔ , ὡς δέ ὁ BEZ πρός ὁ ΑΓΔ , οὕτως ὁ ΑΓΔ πρός ὁ KEZ , ὡς ἄρα ὁ ΓΔ πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ KEZ . ὥστε ἐπεί ὁ ΑΓΔ , KEZ τρίγωνος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις , ὑπό ὁ αὐτός ἄρα ὕψος εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ AH ὁ KΘ . καί ἐπεί ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔ διάμετρος πρός ὁ EZ , ὡς δέ ὁ ΓΔ διάμετρος πρός ὁ EZ , οὕτως ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ EKZ , ὁ ἄρα H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑΔ πρός ὁ EKZ . ἔχω δέ καί ὁ EBZ πρός ὁ EKZ διπλασίων λόγος ἤ ὁ ΓΑΔ πρός ὁ EKZ · ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , οὗτος ὁ EBZ τρίγωνος πρός ὁ EKZ , τουτέστιν ὁ BΘ εὐθύς πρός ὁ KΘ . καί εἰμί ὁ ΘK ὁ AH ἴσος · ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , οὕτως ὁ BΘ εὐθύς πρός ὁ AH . καί εἰμί ὁ BΘ , AH ἄγω ὁ κῶνος καί ἀντίκειμαι ὁ βάσις , τουτέστι ὁ H , Θ κύκλος · ὁ ἄρα A , B κῶνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0303.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0303.2
ξ'
Lemmas: ξο
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0303.3
Ἐὰν δύο κώνων ὀρθῶν ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχῃ ἢπερ ὁ κώνος πρὸς τὸν κώνον , τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἔσται .
Lemmas: ἐάν δύο κῶνος ὀρθός ὁ βάσις πρός ὁ βάσις διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ κώνος πρός ὁ κώνος , ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0303.4
Ἔστωσαν κῶνοι ὀρθοί , ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ A , B σημεία , βάσεις δὲ οἱ περὶ τὰ H , Θ κέντρα κύκλοι , τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ AHΓΔ , BΘEZ , ἔχετω δὲ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἢπερ ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν BΘEZ . λέγω , ὅτι τὰ AHΓΔ , BΘEZ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί .
Lemmas: εἰμί κῶνος ὀρθός , ὅς κορυφή μέν ὁ A , B σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί ὁ H , Θ κέντρον κύκλος , ὁ δέ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ AHΓΔ , BΘEZ , ἔχω δέ ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ διπλασίων λόγος ἤ ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ BΘEZ . λέγω , ὅτι ὁ AHΓΔ , BΘEZ τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0303.5
Ἔστω , ὡς ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν BΘEZ , οὕτως ὁ BΘEZ πρὸς τὸν KΘEZ . ἐπεὶ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν BΘEZ κώνον , ἀλλὰ καὶ ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν KΘEZ κώνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν BΘEZ , ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , οὕτως ὁ AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν KΘEZ κώνον . ὥστε ἐπεὶ οἱ AHΓΔ , KΘEZ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις , ἴσους ἄρα εἰσὶ διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ θεωρήματος τοῦ ιβ' τῶν Στοιχείων · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ AH τῇ KΘ . ἐπεὶ οὖν ὁ
Lemmas: ἔστω , ὡς ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ BΘEZ , οὕτως ὁ BΘEZ πρός ὁ KΘEZ . ἐπεί ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ BΘEZ κώνος , ἀλλά καί ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ KΘEZ κώνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ BΘEZ , ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , οὕτως ὁ AHΓΔ κώνος πρός ὁ KΘEZ κώνος . ὥστε ἐπεί ὁ AHΓΔ , KΘEZ κῶνος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις , ἴσος ἄρα εἰμί διά ὁ ἀντίστροφος ὁ θεώρημα ὁ ἶβις ὁ στοιχεῖον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ AH ὁ KΘ . ἐπεί οὖν ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.10
ξαʹ
Lemmas: ξάγι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.11
Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις
Lemmas: καί ἐάν ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.12
ᾖ , ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ
Lemmas: εἰμί , ὁ βάσις πρός ὁ βάσις διπλασίων λόγος ἔχω ἤ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.13
ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον .
Lemmas: ὁ κῶνος πρός ὁ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.14
καταγεγράφθωσαν πάλιν οἱ προκείμενοι κῶνοι , καὶ
Lemmas: καταγράφω πάλιν ὁ πρόκειμαι κῶνος , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.15
ὑποκεῖσθω τὰ AΓΔ , BEZ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις εἶναι .
Lemmas: ὑπόκειμαι ὁ AΓΔ , BEZ τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.16
δεικτέον δή , ὅτι ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον
Lemmas: δεικτέος δή , ὅτι ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.17
διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν
Lemmas: διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.18
BΘEZ κῶνον .
Lemmas: BΘEZ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.19
ἔστω γάρ , ὡς ἡ BΘ εὐθεῖα πρὸς AH , οὕτως ἡ
Lemmas: ἵστημι γάρ , ὡς ὁ BΘ εὐθύς πρός AH , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.2
Ἡ κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ
Lemmas: ὁ κύκλος πρός ὁ Θ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.20
AH πρὸς HK . ἐπεὶ οὖν τὰ AΓΔ , BEZ τρίγωνα
Lemmas: AH πρός HK . ἐπεί οὖν ὁ AΓΔ , BEZ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.3
AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ κῶνον , τούτεστιν
Lemmas: AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ κῶνος , τουτέστιν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.4
ἢπερ ὁ BΘEZ πρὸς τὸν KΘEZ , τούτεστιν ἢπερ ἡ
Lemmas: ἤ ὁ BΘEZ πρός ὁ KΘEZ , τουτέστιν ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.5
BΘ πρὸς τὴν ΘK , ἔχει δὲ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ
Lemmas: BΘ πρός ὁ ΘK , ἔχω δέ ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.6
κύκλον διπλασίονα λόγον ἢπερ ἡ ΓΔ πρὸς EZ , ὡς
Lemmas: κύκλος διπλασίων λόγος ἤ ὁ ΓΔ πρός EZ , ὡς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.7
ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς EZ , οὕτως ἡ BΘ πρὸς ΘK , τούτεστι
Lemmas: ἄρα ὁ ΓΔ πρός EZ , οὕτως ὁ BΘ πρός ΘK , τουτέστι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.8
πρὸς AH . ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ AΓΔ , BEZ τρίγωνα · ὃ
Lemmas: πρός AH . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ AΓΔ , BEZ τρίγωνος · ὅς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0305.9
προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0306.1
Γ
Lemmas: Γ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0306.2
Θ
Lemmas: Θ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0307.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0307.2
ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις , ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ , τούτεστιν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ . καὶ ἐπεὶ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , τούτεστιν ἢπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ , ἔχει δὲ καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ διπλασίονα λόγον ἢπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ , ὡς ἄρα ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ · ὁ ἄρα ΚΗΓΔ κῶνος τῷ ΒΘΕΖ ἴσος ἐστίν . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ , ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΔΓ , τούτεστι πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον , ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον . ἀλλ’ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ · ὁ ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , τούτεστιν ἡ βάσις τοῦ ΑΗΓΔ κῶνου πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΒΘΕΖ κῶνου , διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ὡς ἄρα ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΑΗ πρός ΗΚ . καί ἐπεί ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ Θ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , τουτέστιν ἤ ὁ ΒΘ πρός ΑΗ , ἔχω δέ καί ὁ ΒΘ πρός ΚΗ διπλασίων λόγος ἤ ὁ ΒΘ πρός ΑΗ , ὡς ἄρα ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΚΗ · ὁ ἄρα ΓΔΗ κῶνος ὁ ΕΖΘ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΗΚ , ὡς δέ ὁ ΑΗ πρός ΗΚ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΓΔΗ , τουτέστι πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος , ὡς ἄρα ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος . ἀλλά ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ · ὁ ἄρα ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , τουτέστιν ὁ βάσις ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ βάσις ὁ ΕΖΘ κῶνος , διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0307.3
ξβ’ .
Lemmas: ξβ’ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0307.4
Οἱ ἰσούψεῖς κῶνοι ὀρθοὶ διπλασίονα λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους ἢπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα .
Lemmas: ὁ ισοϋψής κῶνος ὀρθός διπλασίων λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ἤ ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0307.5
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω ὁ ΑΗ ἀξὼν τῷ ΒΘ ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΒΕΖ .
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ἵστημι ὁ ΑΗ ἄγω ὁ ΒΘ ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ πρός ὁ ΒΕΖ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.2
ἐπεὶ γὰρ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΑ πρὸς EZ , ὡς δὲ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον , οὕτως ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ κῶνον · ἴσους γὰρ καὶ ὁ AHΓΔ 5 ἄρα κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΓΑ πρὸς EZ , τοὔτεστιν ἢπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τρίγωνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑ πρός EZ , ὡς δέ ὁ H κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος , οὕτως ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ κῶνος · ἴσος γάρ καί ὁ AHΓΔ 5 ἄρα κῶνος πρός ὁ BΘEZ κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑ πρός EZ , τουτέστιν ἤ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ τρίγωνος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.3
ξγ
Lemmas: ξγʹ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.4
Ἐὰν ὀρθοὶ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον 10 ἔχωσιν ἢπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα , ἴσους ἔσονται οἱ κῶνοι .
Lemmas: ἐάν ὀρθός κῶνος πρός ἀλλήλων διπλασίων λόγος 10 ἔχω ἤ ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος , ἴσος εἰμί ὁ κῶνος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.5
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ὑποκείσθω ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ διπλασίονα λόγον ἔχειν ἢπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τρίγωνον . 15 λέγω , ὅτι ἡ AH ἴση ἐστὶ τῇ BΘ .
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ὑπόκειμαι ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ τρίγωνος . 15 λέγω , ὅτι ὁ AH ἴσος εἰμί ὁ BΘ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0309.6
κεισάθω τῷ BEZ τριγώνῳ ἴσον τὸ KΓΔ τρίγωνον . ἐπεὶ οὖν ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ , ἴσον δὲ τὸ BEZ τρίγωνον τῷ KΓΔ τριγώνῳ , 20 ὁ ἄρα AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ KΓΔ τρίγωνον , τοὔτεστιν ἢπερ ἡ AH πρὸς HK , τοὔτεστιν ἢπερ ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν KHΓΔ κῶνον · ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ πρὸς τὸν KHΓΔ κῶνον , 25 οὕτως ὁ KHΓΔ πρὸς τὸν BΘEZ . καὶ ἐπεὶ τῶν
Lemmas: κεῖμαι ὁ BEZ τρίγωνος ἴσος ὁ KΓΔ τρίγωνος . ἐπεί οὖν ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ , ἴσος δέ ὁ BEZ τρίγωνος ὁ KΓΔ τρίγωνος , 20 ὁ ἄρα AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ KΓΔ τρίγωνος , τουτέστιν ἤ ὁ AH πρός HK , τουτέστιν ἤ ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ KHΓΔ κῶνος · ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ πρός ὁ KHΓΔ κῶνος , 25 οὕτως ὁ KHΓΔ πρός ὁ BΘEZ . καί ἐπεί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.2
ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν , ἡ ἄρα Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΚΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι . ὡς δὲ ὁ ΚΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ καὶ ἡ ΑΗ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΚ · ὁ ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ . ἔχει δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ · ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ . ἐπεὶδὴ δὲ τὸ ΚΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστί , κατ’ ἀντισπεκόνθησιν ἄρα , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ . ἐδείχθη δέ , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως καὶ ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ΓΔΗ , ΕΖΘ κῶνος ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἄρα ὁ βάσις ὁ κῶνος πρός ὁ Θ βάσις διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔΗ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πρό εἷς θεώρημα . ὡς δέ ὁ ΓΔΗ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ πρός ὁ ΓΔΗ καί ὁ ΑΗ εὐθύς πρός ὁ ΗΚ · ὁ ἄρα ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΚ . ἔχω δέ ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΔ διάμετρος πρός ὁ ΕΖ · ὡς ἄρα ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΗΚ . ἐπειδή δέ ὁ ΚΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί , κατά ἀντισπάω ἄρα , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΚΗ . δείκνυμι δέ , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως καί ὁ ΑΗ πρός ΚΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΘ πρός ΚΗ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΚΗ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΒΘ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.3
ξδ’ .
Lemmas: ξδ’ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.4
Τῶν ἀντισπεκονθότων κώνων ὀρθῶν τοῖς ἀξοσι τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί .
Lemmas: ὁ ἀντισπάω κῶνος ὀρθός ὁ ἄγω ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.5
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ ἀξὼν πρὸς τὸν ΑΗ . λέγω , ὅτι τὰ ΑΓΔ , ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν .
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ἵστημι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ , ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0311.6
ἔστω τῷ ΑΗΓΔ κώνῳ ἰσούψης ὁ ΚΘΕΖ κῶνος . ἐπεὶ οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ ,
Lemmas: ἵστημι ὁ ΑΗΓΔ κῶνος ισοϋψής ὁ ΕΖΘ κῶνος . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0312.5
26 . οὖν ] v , οὖν ἐστιν Vp .
Lemmas: 26 . οὖν ] v , οὖν εἰμί Vp .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.2
οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ , ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΘΚ , τουνεστίων ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον . ἀλλ’ ὡς ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ . ἔχει δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ἴσουψὴ κῶνον διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι · ὡς ἄρα τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ . τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν · ὃ προεῖχετο δεῖξαι .
Lemmas: οὕτως ὁ ΒΘ εὐθύς πρός ὁ ΑΗ , ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ ΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ εὐθύς πρός ὁ ΘΚ , τουνεστίων ὁ ΕΖΘ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος . ἀλλά ὡς ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ . ἔχω δέ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ ισοϋψής κῶνος διπλασίων λόγος καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πρό εἷς θεώρημα · ὡς ἄρα ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ . ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ ἴσος εἰμί · ὅς προέχω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.3
ξε’ .
Lemmas: ξέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.4
Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἦ , ἀντιπεπόνθασιν οἱ κῶνοι τοῖς ἄξοσιν .
Lemmas: καί ἐάν ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἀντιπάσχω ὁ κῶνος ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.5
ὑποκείσθω γὰρ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον εἶναι . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ .
Lemmas: ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0313.6
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς , ἐπεὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν , ὡς ἄρα
Lemmas: ἐπί γάρ ὁ αὐτός καταγραφή καί κατασκευή , ἐπεί ὁ ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ ἴσος εἰμί , ὡς ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.10
πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ,
Lemmas: πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.11
τούτεστιν οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ . ἀλλ᾽ ἡ ΘΚ τῇ ΑΗ
Lemmas: τουτέστιν οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΘΚ . ἀλλά ὁ ΘΚ ὁ ΑΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.12
ἴση · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως
Lemmas: ἴσος · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.13
ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.14
ξζʹ .
Lemmas: ξζʹ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.15
Τῶν ἀντιπεπονθότων ὀρθῶν κώνων ταῖς βάσεσι
Lemmas: ὁ ἀντιπάσχω ὀρθός κῶνος ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.16
τὰ διὰ τῶν ἄξων τρίγωνα πρὸς ἀλλήλα τριπλασίονα
Lemmas: ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος πρός ἀλλήλων τριπλασίων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.17
λόγον ἔχει ἢπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως .
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ βάσις πρός ὁ βάσις ἀντιπεπονθότως .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.19
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ἵστημι , ὡς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.2
τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ
Lemmas: ὁ ΑΓΔ πρός ὁ ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΒΕΖ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.20
ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ἡ Θ βάσις
Lemmas: ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ Θ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.21
πρὸς τὴν Η βάσιν . λέγω , ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς
Lemmas: πρός ὁ ὁ βάσις . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.22
τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΕΖ πρὸς
Lemmas: ὁ ΒΕΖ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.23
τὴν ΓΔ .
Lemmas: ὁ ΓΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.3
ΚΕΖ . ἐπειδὴ δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ
Lemmas: ΚΕΖ . ἐπεί δέ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.4
ἰσοῦψὴ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΑΓΔ
Lemmas: ισοϋψής κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.5
πρὸς τὸ ΚΕΖ , ὡς δὲ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ
Lemmas: πρός ὁ ΚΕΖ , ὡς δέ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.6
ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΕΖ , ὁ ἄρα ΑΗΓΔ
Lemmas: ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΒΕΖ πρός ΚΕΖ , ὁ ἄρα ΑΗΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.7
κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ
Lemmas: κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.8
τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , τούτεστιν ὁ ΒΘΕΖ
Lemmas: ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0315.9
κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος
Lemmas: κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.2
ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἄξονων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν , ἡ ἄρα Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΚΗΓΔ κώνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι . ὡς δὲ ὁ ΚΗΓΔ κώνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ καὶ ἡ ΑΗ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΚ · ὁ ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ . ἔχει δὲ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΔ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ · ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ . ἐπεὶδὴ δὲ τὸ ΚΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστί , κατ’ ἀντισπεκόνδησιν ἄρα , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ . ἐδείχθη δέ , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως καὶ ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΚΗ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ΓΔΗ , ΕΖΘ κῶνος ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἄρα ὁ βάσις ὁ κῶνος πρός ὁ Θ βάσις διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΔΗ κώνος πρός ὁ ΕΖΘ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πρό εἷς θεώρημα . ὡς δέ ὁ ΓΔΗ κώνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΑΗΓΔ πρός ὁ ΓΔΗ καί ὁ ΑΗ εὐθύς πρός ὁ ΗΚ · ὁ ἄρα ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΚ . ἔχω δέ ὁ ὁ κύκλος πρός ὁ Θ κύκλος διπλασίων λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΔ διάμετρος πρός ὁ ΕΖ · ὡς ἄρα ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΗΚ . ἐπειδή δέ ὁ ΚΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί , κατά ἀντισπεκόνδησιν ἄρα , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΚΗ . δείκνυμι δέ , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΕΖ , οὕτως καί ὁ ΑΗ πρός ΚΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΘ πρός ΚΗ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΚΗ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΒΘ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.3
ξδ’ .
Lemmas: ξδ’ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.4
Τῶν ἀντισπεκονδότην κώνων ὀρθῶν τοῖς ἄξοσι τὰ διὰ τῶν ἄξονων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί .
Lemmas: ὁ αντισπεκονδοος κῶνος ὀρθός ὁ ἄγω ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.5
καταγεγράφωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κώνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ . λέγω , ὅτι τὰ ΑΓΔ , ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν .
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ἵστημι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κώνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ , ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.6
ἔστω τῷ ΑΗΓΔ κώνῳ ἰσοῦψης ὁ ΚΘΕΖ κώνος . ἐπεὶ οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κώνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ ,
Lemmas: ἵστημι ὁ ΑΗΓΔ κῶνος ισοϋψής ὁ ΕΖΘ κώνος . ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κώνος πρός ὁ ΕΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0317.7
1 . τῶν ἄξονων ] τοῦ ἄξονος p . 2 . ἀλλήλοις ἐστίν ] εἰσὶν ἀλλήλοις p . 4 . τόν ] Vp , τὴν v . 5 . πρὸ ἑνὸς ] scripsi ; προενὶ v , πρὸ τοῦτου Vp . 10 . λόγου ] Vp , λόγον ἔχει v . ΓΔ διάμετρος ] Vp , σύμμετρος v . 11 . ΕΖ ( alt . ) [ v , τὴν ΕΖ Vp . 12 . ΗΚ ] τὴν ΗΚ p . ἐπειδὴ ] v , ἐπεὶ Vp . 13 . ἀντι -
Lemmas: 1 . ὁ ἄγω ] ὁ ἄγω p . 2 . ἀλλήλων εἰμί ] εἰμί ἀλλήλων p . 4 . ὁ ] Vp , ὁ v . 5 . πρό εἷς ] scripsi ; προΐημι v , πρό οὗτος Vp . 10 . λόγος ] Vp , λόγος ἔχω v . ΓΔ διάμετρος ] Vp , σύμμετρος v . 11 . ΕΖ ( alt . ) [ v , ὁ ΕΖ Vp . 12 . ΗΚ ] ὁ ΗΚ p . ἐπεί ] v , ἐπεί Vp . 13 . ἀντι -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0318.1
καὶ ὡς ἀρα ] ἀλλ’ ὡς ὅπερ δεῖ δεῖξαι ] ἐστί ] ἐστι οὖν ἐστιν
Lemmas: καί ὡς ἀρά ] ἀλλά ὡς ὅσπερ δεῖ δείκνυμι ] εἰμί ] εἰμί οὖν εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.2
οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ , ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΘΚ , τούτεστιν ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον . ἀλλ’ ὡς ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ . ἔχει δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ἰσοῦψῃ κῶνον διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς θεωρήματι · ὡς ἄρα τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ . τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν · ὃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: οὕτως ὁ ΒΘ εὐθύς πρός ὁ ΑΗ , ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ ΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ εὐθύς πρός ὁ ΘΚ , τουτέστιν ὁ ΕΖΘ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ κῶνος . ἀλλά ὡς ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ · ὁ ἄρα ΑΗΓΔ πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ . ἔχω δέ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ ισοϋψής κῶνος διπλασίων λόγος καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πρό εἷς θεώρημα · ὡς ἄρα ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ . ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ ἴσος εἰμί · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.3
ξϵ’ .
Lemmas: ἐξάγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.4
Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ᾖ , ἀντιπεπόνθασιν οἱ κῶνοι τοῖς ἄξοσιν .
Lemmas: καί ἐάν ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἀντιπάσχω ὁ κῶνος ὁ ἄγω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.5
ὑποκείσθω γὰρ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ ἴσον εἶναι . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ .
Lemmas: ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί . λέγω , ὅτι , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0319.6
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς , ἐπεὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον ἐστίν , ὡς ἄρα
Lemmas: ἐπί γάρ ὁ αὐτός καταγραφή καί κατασκευή , ἐπεί ὁ ΑΓΔ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ ἴσος εἰμί , ὡς ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.10
πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ,
Lemmas: πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΕΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.11
τούτεστιν οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ . ἀλλ’ ἡ ΘΚ τῇ ΑΗ
Lemmas: τουτέστιν οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΘΚ . ἀλλά ὁ ΘΚ ὁ ΑΗ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.12
ἴση · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως
Lemmas: ἴσος · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.13
ὁ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΑΗ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ΒΘ ἄγω πρός ὁ ΑΗ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.14
ξζʹ
Lemmas: ξζʹ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.15
Τῶν ἀντιπεπονθότων ὀρθῶν κώνων ταῖς βάσεσι
Lemmas: ὁ ἀντιπάσχω ὀρθός κῶνος ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.16
τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα πρὸς ἀλλήλα τριπλασίονα
Lemmas: ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος πρός ἀλλήλων τριπλασίων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.17
λόγον ἔχει ἢπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως .
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ βάσις πρός ὁ βάσις ἀντιπεπονθότως .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.19
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ἵστημι , ὡς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.2
τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ
Lemmas: ὁ ΑΓΔ πρός ὁ ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΒΕΖ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.20
ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ἡ Θ βάσις
Lemmas: ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ Θ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.21
πρὸς τὴν Η βάσιν . λέγω , ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς
Lemmas: πρός ὁ ὁ βάσις . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.22
τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΕΖ πρὸς
Lemmas: ὁ ΒΕΖ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.23
τὴν ΓΔ .
Lemmas: ὁ ΓΔ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.3
ΚΕΖ . ἐπειδὴ δὲ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ
Lemmas: ΚΕΖ . ἐπεί δέ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.4
ἰσοψὴ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΑΓΔ
Lemmas: ἰσοψὴ κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.5
πρὸς τὸ ΚΕΖ , ὡς δὲ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ
Lemmas: πρός ὁ ΚΕΖ , ὡς δέ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.6
ΚΕΖ , οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΕΖ , ὁ ἄρα ΑΗΓΔ
Lemmas: ΚΕΖ , οὕτως ὁ ΒΕΖ πρός ΚΕΖ , ὁ ἄρα ΑΗΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.7
κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ
Lemmas: κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.8
τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ , τούτεστιν ὁ ΒΘΕΖ
Lemmas: ὁ ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΕΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0321.9
κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος
Lemmas: κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.10
λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ . ἀλλ’ ὡς
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΓΔΗ . ἀλλά ὡς
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.11
10 ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ , οὕτως τὸ ΑΓΔ
Lemmas: 10 ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΓΔΗ , οὕτως ὁ ΑΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.12
τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ · τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον πρὸς
Lemmas: τρίγωνος πρός ὁ ΚΓΔ · ὁ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.13
τὸ ΚΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ ΒΘΕΖ κῶνος
Lemmas: ὁ ΚΓΔ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖΘ κῶνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.14
πρὸς τὸν ΚΗΓΔ . ὁ δὲ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν
Lemmas: πρός ὁ ΓΔΗ . ὁ δέ ΕΖΘ κῶνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.15
ΚΗΓΔ ἰσοῦψῃ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ
Lemmas: ΓΔΗ ισοϋψής κῶνος διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.16
15 ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ · τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον
Lemmas: 15 ΒΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΓΔ · ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.17
πρὸς τὸ ΚΓΔ τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ
Lemmas: πρός ὁ ΚΓΔ τετραπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.18
ΒΕΖ πρὸς τὸ ΚΓΔ . καὶ τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον
Lemmas: ΒΕΖ πρός ὁ ΚΓΔ . καί ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.19
πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΒΕΖ
Lemmas: πρός ὁ ΒΕΖ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΕΖ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.2
κεῖσθω τῇ ΒΘ ἴση ἡ ΚΗ · οἱ ἄρα ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ
Lemmas: κεῖμαι ὁ ΒΘ ἴσος ὁ ΚΗ · ὁ ἄρα ΓΔΗ , ΕΖΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.20
πρὸς τὸ ΚΓΔ . ὡς δὲ τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΓΔ , οὕτως ἡ
Lemmas: πρός ὁ ΚΓΔ . ὡς δέ ὁ ΒΕΖ πρός ΚΓΔ , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.21
20 ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ · τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ
Lemmas: 20 ΕΖ πρός ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.22
1 . ΒΘ ] Vp , BE v . 3 . ΒΘΕΖ ] ΒΘΕΖ κῶνον p . 4 .
Lemmas: 1 . ΒΘ ] Vp , BE v . 3 . ΕΖΘ ] ΕΖΘ κῶνος p . 4 .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.25
ΑΗΓΔ ἄρα V . 9 . ΚΗΓΔ — 13 . τόν ( pr . ) ] mg . p ( κεῖμενον ) .
Lemmas: ΑΗΓΔ ἄρα V . 9 . ΓΔΗ — 13 . ὁ ( pr . ) ] mg . p ( κεῖμαι ) .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.26
12 . ΚΓΔ ] Vp , om . v . 12 . ΚΓΔ ] ΚΓΔ τρίγωνον V . 13 .
Lemmas: 12 . ΚΓΔ ] Vp , om . v . 12 . ΚΓΔ ] ΚΓΔ τρίγωνος V . 13 .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.27
ΚΗΓΔ ] ΚΗΓΔ κῶνον V . ὁ δέ ] v , ἀλλ’ ὁ Vp . 14 . ἰσο -
Lemmas: ΓΔΗ ] ΓΔΗ κῶνος V . ὁ δέ ] v , ἀλλά ὁ Vp . 14 . ἰος -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.29
ΚΓΔ ( pr . ) ] om . Vp ( καὶ τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ suppl .
Lemmas: ΚΓΔ ( pr . ) ] om . Vp ( καί ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ suppl .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.3
ἰσοῦφεῖς κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ὡς αἱ βάσεις .
Lemmas: ισουφημι κῶνος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὡς ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.30
ὁ ΚΓΔ p .
Lemmas: ὁ ΚΓΔ p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.4
ἐπεὶ οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ ,
Lemmas: ἐπεί οὖν , ὡς ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΕΖΘ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.5
οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν Η βάσιν , ἀλλ’ ὡς ἡ Θ
Lemmas: οὕτως ὁ Θ βάσις πρός ὁ ὁ βάσις , ἀλλά ὡς ὁ Θ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.6
βάσις πρὸς τὴν Η βάσιν , οὕτως ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς
Lemmas: βάσις πρός ὁ ὁ βάσις , οὕτως ὁ ΕΖΘ κῶνος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.7
τὸν ΚΗΓΔ κῶνον , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς
Lemmas: ὁ ΓΔΗ κῶνος , ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.8
τὸν ΒΘΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΔ · ὁ
Lemmas: ὁ ΕΖΘ , οὕτως ὁ ΕΖΘ πρός ὁ ΓΔΗ · ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0323.9
ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΔ διπλασίονα
Lemmas: ἄρα ΑΗΓΔ κῶνος πρός ὁ ΓΔΗ διπλασίων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.2
BEZ τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ EZ πρὸς τὴν ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: BEZ τρίγωνος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ EZ πρός ὁ ΓΔ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.3
ξζ´ .
Lemmas: ξζ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.4
Καὶ ὧν κώνων ὀρθῶν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τριπλασίονα λόγον ἔχει πρὸς ἀλλήλα ἢπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιστοιχούντως , οὕτοι ταῖς βάσεσιν ἀντιστοιχούντως .
Lemmas: καί ὅς κῶνος ὀρθός ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος τριπλασίων λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ἤ ὁ βάσις πρός ὁ βάσις ἀντιστοιχέω , οὕτος ὁ βάσις ἀντιστοιχέω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.5
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς ἔχετω τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τριπλασίονα λόγον ἢπερ ἡ EZ βάσις τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν ΓΔ . λέγω δή , ὅτι , ὡς ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν BΘEZ , οὕτως ἡ Θ βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν H βάσιν .
Lemmas: ἐπί γάρ ὁ αὐτός καταγραφή καί κατασκευή ἔχω ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ τριπλασίων λόγος ἤ ὁ EZ βάσις ὁ τρίγωνος πρός ὁ ΓΔ . λέγω δή , ὅτι , ὡς ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ BΘEZ , οὕτως ὁ Θ βάσις ὁ κῶνος πρός ὁ H βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0325.6
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ EZ πρὸς ΓΔ , ὡς δὲ ἡ EZ πρὸς ΓΔ , οὕτως τὸ BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ KΓΔ ἰσοῦφές τρίγωνον , τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ BEZ πρὸς τὸ KΓΔ · τὸ ἄρα ΑΓΔ πρὸς τὸ KΓΔ τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ BEZ πρὸς τὸ KΓΔ . ὡς δὲ τὸ ΑΓΔ πρὸς τὸ KΓΔ , οὕτως ὁ AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν KHΓΔ · ὁ ἄρα AHΓΔ κῶνος πρὸς τὸν KHΓΔ
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ EZ πρός ΓΔ , ὡς δέ ὁ EZ πρός ΓΔ , οὕτως ὁ BEZ τρίγωνος πρός ὁ KΓΔ ισουφη τρίγωνος , ὁ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ BEZ πρός ὁ KΓΔ · ὁ ἄρα ΑΓΔ πρός ὁ KΓΔ τετραπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ BEZ πρός ὁ KΓΔ . ὡς δέ ὁ ΑΓΔ πρός ὁ KΓΔ , οὕτως ὁ AHΓΔ κῶνος πρός ὁ KHΓΔ · ὁ ἄρα AHΓΔ κῶνος πρός ὁ KHΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.10
ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν H · ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ κώνος
Lemmas: ὁ Θ βάσις πρός ὁ H · ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ κώνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.11
πρὸς τὸν BΘEZ , οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν H ·
Lemmas: πρός ὁ BΘEZ , οὕτως ὁ Θ βάσις πρός ὁ H ·
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.12
ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.13
ζη´ .
Lemmas: ζηʹ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.14
Ἐὰν κώνος ὀρθὸς πρὸς κώνον ὀρθὸν διπλασίονα
Lemmas: ἐάν κώνος ὀρθός πρός κώνος ὀρθός διπλασίων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.15
λόγον ἔχῃ ἢπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν , τὸ διὰ τοῦ
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ βάσις πρός ὁ βάσις , ὁ διά ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.16
ἄξονος τρίγωνον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον
Lemmas: ἄγω τρίγωνος πρός ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.17
τριπλασίονα λόγον ἔξει ἢπερ ἡ τοῦ τριγώνου βάσις
Lemmas: τριπλασίων λόγος ἔξειμι ἤ ὁ ὁ τρίγωνος βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.18
πρὸς τὴν βάσιν .
Lemmas: πρός ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.19
καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ὑποκείσθω ὁ
Lemmas: καταγράφω ὁ κῶνος , καί ὑπόκειμαι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.2
τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ BEZ τρίγωνον
Lemmas: τετραπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ BEZ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.20
AHΓΔ κώνος πρὸς τὸν BΘEZ κώνον διπλασίονα
Lemmas: AHΓΔ κώνος πρός ὁ BΘEZ κώνος διπλασίων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.21
λόγον ἔχειν ἢπερ ἡ H βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ
Lemmas: λόγος ἔχω ἤ ὁ H βάσις ὁ κῶνος πρός ὁ Θ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.22
βάσιν . λέγω , ὅτι τὸ AΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ
Lemmas: βάσις . λέγω , ὅτι ὁ AΓΔ τρίγωνος πρός ὁ BEZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.23
τριπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ἡ ΔΓ βάσις τοῦ τριγώνου
Lemmas: τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΔΓ βάσις ὁ τρίγωνος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.24
πρὸς τὴν EZ .
Lemmas: πρός ὁ EZ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.25
ἔστω τῇ AH ἡ ΘK ἴση · οἱ ἄρα AHΓΔ , KΘEZ
Lemmas: ἵστημι ὁ AH ὁ ΘK ἴσος · ὁ ἄρα AHΓΔ , KΘEZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.3
πρὸς τὸ KΓΔ . ἔχει δὲ ὁ BΘEZ κώνος πρὸς τὸν
Lemmas: πρός ὁ KΓΔ . ἔχω δέ ὁ BΘEZ κώνος πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.4
KHΓΔ κώνον ἰσοῦψῃ διπλασίονα λόγον ἢπερ τὸ
Lemmas: KHΓΔ κώνος ισοϋψής διπλασίων λόγος ἤ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.5
BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ KΓΔ · ὁ ἄρα AHΓΔ πρὸς
Lemmas: BEZ τρίγωνος πρός ὁ KΓΔ · ὁ ἄρα AHΓΔ πρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.6
τὸν KHΓΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ ὁ BΘEZ
Lemmas: ὁ KHΓΔ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ BΘEZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.7
κώνος πρὸς τὸν KHΓΔ κώνον . ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ
Lemmas: κώνος πρός ὁ KHΓΔ κώνος . ὡς ἄρα ὁ AHΓΔ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.8
κώνος πρὸς τὸν BΘEZ , οὕτως ὁ BΘEZ πρὸς τὸν
Lemmas: κώνος πρός ὁ BΘEZ , οὕτως ὁ BΘEZ πρός ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0327.9
KHΓΔ . ὡς δὲ ὁ BΘEZ πρὸς τὸν KHΓΔ , οὕτως
Lemmas: KHΓΔ . ὡς δέ ὁ BΘEZ πρός ὁ KHΓΔ , οὕτως
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0329.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΤ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Ο τομή .