ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0263.3
ἐπεὶ ἡ AA κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΘK βάσιν , τὸ ἄρα A σημεῖον ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἐστίν , οὗ διάμετρος ἐστὶν ἡ BG , διὰ τὸ προδειχθέν . γεγράφθω δὲ ὁ BAG κύκλος , καὶ φ μείζων ἐστὶ συναμφοτέρος ἡ BA , AG τῆς AA , τούτῳ ἴση ἔστω ἡ M . ἐπεὶ οὖν τῶν ἀπὸ τοῦ A ἐπὶ τὴν BAG περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἡ AB , ἐλάχιστη δὲ ἡ AG , ἡ ἄρα AA ἐλάττων μὲν ἐστὶ τῆς AB , μείζων δὲ τῆς AG . ἀλλ’ ἡ AA μετὰ τῆς M ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ BAG , ὧν ἡ AA ἐλάττων τῆς AB · ἡ ἄρα M τῆς AG μείζων ἐστί · καὶ τὸ ἀπὸ M ἄρα τοῦ ἀπὸ AG μεῖζόν ἐστιν . ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς M ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν AG , GN τῆς GN ἐναρμοσθείσης εἰς τὸν κύκλον , καὶ
Lemmas: ἐπεί ὁ AA κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΘK βάσις , ὁ ἄρα A σημεῖον ἐπί κύκλος περιφέρεια εἰμί , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ BG , διά ὁ προδείκνυμι . γράφω δέ ὁ BAG κύκλος , καί φ μείζων εἰμί συναμφοτέρος ὁ BA , AG ὁ AA , οὗτος ἴσος ἵστημι ὁ M . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ A ἐπί ὁ BAG περιφέρεια ἄγω εὐθύς μέγας μέν ὁ AB , λίγος δέ ὁ AG , ὁ ἄρα AA μικρός μέν εἰμί ὁ AB , μείζων δέ ὁ AG . ἀλλά ὁ AA μετά ὁ M ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ BAG , ὅς ὁ AA μικρός ὁ AB · ὁ ἄρα M ὁ AG μείζων εἰμί · καί ὁ ἀπό M ἄρα ὁ ἀπό AG μέγας εἰμί . ἵστημι ὁ ἀπό ὁ M ἴσος ὁ ἀπό ὁ AG , GN ὁ GN ἐναρμόζω εἰς ὁ κύκλος , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0265.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0265.2
διηχθω η ΝΞΒΟ , καλ επεξευχθω η ΝΑ · η αρα υπο ΒΝΓ γωνια ορθη εστιν · εν ημικυκλιω γαρ . επει ουν το απο της ΑΒ ισον εστι τοις απο ΒΓ , ΓΑ , το δε απο ΒΓ ισον τοις απο ΒΝ , ΝΓ , το αρα απο ΑΒ ισον εστι τοις απο ΒΝ , ΝΓ , ΓΑ , ων τοις απο ΓΝ , ΓΑ το απο ΑΝ ισον εστι · το αρα απο της ΑΒ τοις απο ΒΝ , ΝΑ ισον εστιν . ορθη αρα η υπο ΒΝΑ γωνια · η ΑΝ αρα υψος εστι του δια του αξονος τριγωνου , ου βασις εστιν η ΟΒΞ . καλ επει το απο της Μ ισον εστι τοις απο ΑΓ , ΓΝ , εστι δε καλ το απο της ΑΝ ισον τοις απο ΑΓ , ΓΝ , ιση αρα η Μ τη ΑΝ · ωστε καλ συναμφότερος η ΑΑΝ συναμφότερω τη ΒΑΓ ιση εστι , καλ το υπο της διαμετρου καλ συναμφότερου της ΑΑΝ τω υπο της διαμετρου καλ συναμφότερου της ΒΑΓ ισον εστιν . αλλα το μεν υπο της διαμετρου καλ συναμφότερου της ΒΑΓ διπλασιον εστι του μεγιστου καλ ελαχιστου τριγωνου , ων βασεις μεν αι ΖΗ , ΕΔ , υψη δε αι ΒΑ , ΑΓ , το δε υπο της διαμετρου καλ συναμφότερου της ΑΑΝ διπλασιον εστι των τριγωνων , ων βασεις μεν αι ΘΚ , ΟΞ , υψη δε αι ΑΑ , ΑΝ · τα αρα τριγωνα , ων βασεις μεν αι ΘΚ , ΟΞ , υψη δε αι ΑΑ , ΑΝ , ισα εστι τω τε ελαχιστω καλ τω μεγιστω των δια του αξονος . καλ εστι το δοθεν το επι της ΘΚ · ευρεται αρα τριγωνον δια
Lemmas: διαχέω ὁ ΞΝ , καλστις επεξευχθω ὁ ΝΑ · ὁ ἄρα ὑπό βνγʹ γωνία Ὄρθη εἰμί · εν ἡμικύκλιον γαρ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΓ , ΓΑ , ὁ δέ ἀπό ΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ΒΝ , ΝΓ , ὁ ἄρα ἀπό ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΝ , ΝΓ , ΓΑ , εἰμί ὁ ἀπό ΓΝ , ΓΑ ὁ ἀπό ΑΝ ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ΒΝ , ΝΑ ἴσος εἰμί . Ὄρθη ἄρα ὁ ὑπό ΑΒ γωνία · ὁ ΑΝ ἄρα ὕψος εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος , ου βάσις εἰμί ὁ ΞΟ . καλστις ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Μ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΓ , ΓΝ , εἰμί δέ καλστις ὁ ἀπό ὁ ΑΝ ἴσος ὁ ἀπό ΑΓ , ΓΝ , ἴσος ἄρα ὁ Μ ὅς ΑΝ · ὥστε καλστις συναμφότερος ὁ ἀάω συναμφότερος ὅς ΒΑΓ ἴσος εἰμί , καλστις ὁ ὑπό ὁ διάμετρος καλστις συναμφότερος ὁ ἀάω ὁ ὑπό ὁ διάμετρος καλστις συναμφότερος ὁ ΒΑΓ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ διάμετρος καλστις συναμφότερος ὁ ΒΑΓ διπλάσιος εἰμί ὁ μέγας καλστις μικρός τρίγωνος , εἰμί βάσις μέν ὁ ΖΗ , ΕΔ , ὕψος δέ ὁ ΒΑ , ΑΓ , ὁ δέ ὑπό ὁ διάμετρος καλστις συναμφότερος ὁ ἀάω διπλάσιος εἰμί ὁ τρίγωνος , εἰμί βάσις μέν ὁ ΘΚ , ΟΞ , ὕψος δέ ὁ ΑΑ , ΑΝ · ὁ ἄρα τρίγωνος , εἰμί βάσις μέν ὁ ΘΚ , ΟΞ , ὕψος δέ ὁ ΑΑ , ΑΝ , ἴσος εἰμί ὁ τε μικρός καλστις ὁ μέγας ὁ διά ὁ ἄγω . καλστις εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ἐπί ὁ ΘΚ · εὑρετής ἄρα τρίγωνος διά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0265.3
1 . ΝΞΒΟ ] ΜΞΒΟ ? c . 4 . τοις ] της c . 5 . ΓΑ ] p , ΝΑ Vc . ΓΝ ] ΝΓ p . 6 . ΓΑ ] ΓΑ ισον εστι p . ΑΝ ισον εστι ] της ΑΝ p . ΑΒ ] ΑΒ ισον εστι p . 7 . ισον εστιν ] om . p . ΒΝΑ ] p , ΒΑΝ Vc . 8 . ΑΝ ] ΝΑ p . 11 . ΑΓ ] τοις ΑΓ c . 12 . συναμφότερος ] συναμφότεροις V . 14 . ΑΑΝ — 15 . της ] om . c . 16 . καλ συναμφότερου ] p , om . Vc . 17 . τριγωνου ] των τριγωνων p . 18 . ΖΗ ] p , ΖΕ Vv . ΖΗ — 20 . αι ] om . c . 18 . ΕΔ ] vp , Ε e corr . m . 1 V . ΒΑ ] p , ΨΑ Vv . 20 . ων ] p , om . V . 24 . τριγωνου ] om . p .
Lemmas: 1 . ΞΝ ] ΒΞ ? c . 4 . ὁ ] ὁ c . 5 . ΓΑ ] p , ΝΑ Vc . ΓΝ ] ΝΓ p . 6 . ΓΑ ] ΓΑ ἴσος εἰμί p . ΑΝ ἴσος εἰμί ] ὁ ΑΝ p . ΑΒ ] ΑΒ ἴσος εἰμί p . 7 . ἴσος εἰμί ] om . p . ΑΒ ] p , ΒΑΝ Vc . 8 . ΑΝ ] ΝΑ p . 11 . ΑΓ ] ὁ ΑΓ c . 12 . συναμφότερος ] συναμφοτερεω V . 14 . ἀάω — 15 . ὁ ] om . c . 16 . καλστις συναμφότερος ] p , om . Vc . 17 . τρίγωνος ] ὁ τρίγωνος p . 18 . ΖΗ ] p , ΖΕ Vv . ΖΗ — 20 . ὁ ] om . c . 18 . ΕΔ ] vp , Ε e corr . m . 1 V . ΒΑ ] p , ΨΑ Vv . 20 . εἰμί ] p , om . V . 24 . τρίγωνος ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.10
σθω δὲ ὁμοταγῆ .
Lemmas: ποτάομαι δέ ὁμοταγής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.11
10 ἔστω κώνος ,
Lemmas: 10 ἵστημι κώνος ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.12
οὐ κορυφὴ μὲν
Lemmas: οὖον κορυφή μέν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.13
τὸ Α , βάσις δὲ ὁ
Lemmas: ὁ Α , βάσις δέ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.14
περὶ τὸ Β κέντρον
Lemmas: περί ὁ Β κέντρον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.15
κύκλος , καὶ ἄξων
Lemmas: κύκλος , καί ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.16
15 ὁ ΑΒ , κάθετος δὲ
Lemmas: 15 ὁ ΑΒ , κάθετος δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.17
ἐπὶ τὴν βάσιν ἡ
Lemmas: ἐπί ὁ βάσις ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.18
ΑΓ , ἡ δὲ διὰ
Lemmas: ΑΓ , ὁ δέ διά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.19
τοῦ Γ σημείου
Lemmas: ὁ Γ σημεῖον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.2
τοῦ ἄξονος τὸ ἐπὶ τῆς ΟΞ , ὁ μετὰ τοῦ δοθέντος τοῦ
Lemmas: ὁ ἄγω ὁ ἐπί ὁ ΟΞ , ὁ μετά ὁ δίδωμι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.20
τῆς καθέτου διά -
Lemmas: ὁ κάθετος διά -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.21
20 μετρος ἡ ΑΓΒΕ ,
Lemmas: 20 μέτρος ὁ ΑΓΒΕ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.22
διήχθωσαν δὲ αἱ
Lemmas: διάγω δέ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.23
ΖΒΗ , ΘΒΚ ἴσας
Lemmas: ΖΒΗ , ΘΒΚ ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.24
περιφερείας ἀπολαμβανόμεναι πρὸς τῇ ΕΔ τὰς ΚΔ ,
Lemmas: περιφέρεια ἀπολαμβάνω πρός ὁ ΕΔ ὁ ΚΔ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.25
ΔΗ . λέγω , ὅτι τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα , ὧν βάσεις
Lemmas: δΗ . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος , ὅς βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.26
25 εἰσὶν αἱ ΖΗ , ΘΚ , ἴσα ἀλλήλοις ἐστί .
Lemmas: 25 εἰμί ὁ ΖΗ , ΘΚ , ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.27
γεγράφθω περὶ τὴν ΒΓ διάμετρον κύκλος ὁ
Lemmas: γράφω περί ὁ ΒΓ διάμετρος κύκλος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.28
ΒΑΓΜ , καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΜ · κάθετοι ἄρα
Lemmas: ΒΑΓ , καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΑΔ , ΑΜ · κάθετος ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.3
ἐπὶ τῆς ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ .
Lemmas: ἐπί ὁ ΘΚ ἴσος εἰμί ὁ μέγας καί ὁ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.4
μη' .
Lemmas: μῆον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.5
Ἐὰν δύο τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ βάσεις
Lemmas: ἐάν δύο ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.6
5 ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνωσι πρὸς τῇ διὰ τῆς καθέτον
Lemmas: 5 ἴσος περιφέρεια ἀπολαμβάνω πρός ὁ διά ὁ καθίημι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.7
διαμέτρω , τὰ
Lemmas: διάμετρος , ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.8
τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις
Lemmas: τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0267.9
ἔσται · καλεῖ -
Lemmas: εἰμί · καλέω -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.2
εἰσὶν ἡ μὲν ΑΑ ἐπὶ τὴν ΖΗ , ἡ δὲ ΑΜ ἐπὶ τὴν ΘΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΑ ἴση ἐστίν , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ εὐθεῖα τῇ ΒΑ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ , ΜΒ , ἀλλὰ καὶ τοῖς ἀπὸ ΑΑ , ΑΒ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ , ΜΒ ἄρα τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΑ , ΑΒ ἴσα ἐστίν , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΜΒ τῷ ἀπὸ ΒΑ ἴσον ἐστὶ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΑ τῷ ἀπὸ ΑΑ ἴσον ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ ΑΑ τῇ ΑΜ . καὶ εἰσὶν ὕψη τῶν τριγώνων , ὧν βάσεις εἰσὶν αἱ ΖΗ , ΘΚ · ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΖΗ , ΘΚ βάσεων τρίγωνα τὰ διὰ τοῦ ἄξονος · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί ὁ μέν ΑΑ ἐπί ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΑΜ ἐπί ὁ ΘΚ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΓΒΜ γωνία ὁ ὑπό ΓΒΑ ἴσος εἰμί , ἴσος ἄρα καί ὁ ΜΒ εὐθύς ὁ ΒΑ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ΜΒ , ἀλλά καί ὁ ἀπό ΑΑ , ΑΒ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ΜΒ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΑ , ΑΒ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΜΒ ὁ ἀπό ΒΑ ἴσος εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό μή ὁ ἀπό ΑΑ ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΑΑ ὁ ΑΜ . καί εἰμί ὕψος ὁ τρίγωνος , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΖΗ , ΘΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΖΗ , ΘΚ βάσις τρίγωνος ὁ διά ὁ ἄγω · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.3
μθ´ .
Lemmas: μθ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.4
Τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὰ ὁμοταγῆ ἴσα τε καὶ ὅμοια ἀλλήλοις ἐστίν .
Lemmas: ὁ διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ ὁμοταγής ἴσος τε καί ὅμοιος ἀλλήλων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.5
ἔστω γὰρ ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης τὰ ΖΑΗ , ΘΑΚ τρίγωνα ὁμοταγῆ . λέγω , ὅτι ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις .
Lemmas: ἵστημι γάρ ὡς ἐπί ὁ πρόκειμαι ὁ ΖΑΗ , ΘΑΚ τρίγωνος ὁμοταγής . λέγω , ὅτι ἴσος τε καί ὁμοῖος εἰμί ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.6
ὅτι μὲν οὖν ἴσα ἐστίν , ἤδη δέδεικται · ὅτι δὲ ὅμοια , νῦν δεῖκτέον .
Lemmas: ὅτι μέν οὖν ἴσος εἰμί , ἤδη δείκνυμι · ὅτι δέ ὅμοιος , νῦν δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0269.7
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν ἥκται τῆς βάσεως , καὶ ἐστὶν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῖς ἀπὸ ΑΜ , ΜΒ , ἀλλὰ καὶ τοῖς ἀπὸ ΑΑ , ΑΒ , καὶ τὰ ἀπὸ ΑΜ , ΜΒ ἄρα
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ ἐν ἑκάτερος ὁ τρίγωνος ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ἄγω ὁ βάσις , καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ΑΜ , ΜΒ , ἀλλά καί ὁ ἀπό ΑΑ , ΑΒ , καί ὁ ἀπό ΑΜ , ΜΒ ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0270.1
ΑΒ² = ΑΜ² + ΜΒ² ,
Lemmas: ΑΒ² = ΑΜ + ΜΒ² ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0270.2
ΑΒ² = ΑΜ² + ΜΒ² ,
Lemmas: ΑΒ² = ΑΜ + ΜΒ² ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0270.3
ΑΒ² = ΑΑ² + ΑΒ² ,
Lemmas: ΑΒ² = ΑΑ² + ΑΒ² ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.10
δήλον δὲ καὶ τὸ ἀντίστροφον αὐτοῦ .
Lemmas: δῆλος δέ καί ὁ ἀντίστροφος αὐτός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.11
ν’
Lemmas: ν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.12
Ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὁ ἄξων ἴσος ᾖ τῇ ἐκ τοῦ
Lemmas: ἐάν κῶνος σκαληνός ὁ ἄγω ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.13
κέντρου τῆς βάσεως , ἔσται , ὡς τὸ μέγιστον τῶν διὰ
Lemmas: κέντρον ὁ βάσις , εἰμί , ὡς ὁ μέγας ὁ διά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.14
τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον , οὕτως τὸ
Lemmas: ὁ ἄγω τρίγωνος πρός ὁ μικρός , οὕτως ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.15
ἐλάχιστον πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἴσοσκελές .
Lemmas: μικρός πρός ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.16
Ἔστω κώνος σκαληνός , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α , ἄξων
Lemmas: ἔστω κώνος σκαληνός , ὅς κορυφή μέν ὁ Α , ἄγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.17
δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς
Lemmas: δέ ὁ ΑΒ εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.18
βάσεως , βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος , καὶ τῶν
Lemmas: βάσις , βάσις δέ ὁ περί ὁ Β κέντρον κύκλος , καί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.19
διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ μὲν πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει
Lemmas: διά ὁ ἄγω τρίγωνος ὁ μέν πρός ὀρθός ὁ βάσις
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.2
τοῖς ἀπὸ ΑΛ , ΑΒ ἴσα , ὧν τὸ ἀπὸ ΑΜ τῷ ἀπὸ ΑΛ
Lemmas: ὁ ἀπό ΑΛ , ΑΒ ἴσος , ὅς ὁ ἀπό ΑΜ ὁ ἀπό ΑΛ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.20
ἔστω τὸ ΓΑΔ , τὸ δὲ ἴσοσκελές τὸ ΕΑΖ · μέγιστον
Lemmas: ἵστημι ὁ ΓΑΔ , ὁ δέ ἰσοσκελής ὁ ΕΑΖ · μέγας
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.21
μὲν ἄρα ἐστὶ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τὸ ΕΑΖ , ἐλάχιστον
Lemmas: μέν ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω ὁ ΕΑΖ , μικρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.22
δὲ τὸ ΓΑΔ , διὰ τὰ πρότερον δεῖχθέντα . ἔχθω οὖν
Lemmas: δέ ὁ ΓΑΔ , διά ὁ πρότερος δείκνυμι . ἔχθω οὖν
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.23
ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος · πίπτει δὴ ἐπὶ τὴν
Lemmas: ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ βάσις κάθετος · πίπτω δή ἐπί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.24
ΓΑ διάμετρον . ἔστω οὖν ἡ ΑΗ , καὶ διήχθω ἡ ΘΗΚ
Lemmas: ΓΑ διάμετρος . ἵστημι οὖν ὁ ΑΗ , καί διάγω ὁ ΘΗΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.25
πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΑ , καὶ διεκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον
Lemmas: πρός ὀρθός ὁ ΓΑ , καί διεκβάλλω ὁ ἐπίπεδος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.3
ἴσον · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΒ τῷ ἀπὸ ΒΑ καὶ ἡ ΜΒ
Lemmas: ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΜΒ ὁ ἀπό ΒΑ καί ὁ ΜΒ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.4
εὐθεῖα τῇ ΒΑ · ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΜΘ τῇ ΑΖ . ἴση δὲ
Lemmas: εὐθύς ὁ ΒΑ · ὥστε καί ὅλος ὁ ΜΘ ὁ αζʹ . ἴσος δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.5
καὶ ἡ ΜΑ τῇ ΛΑ · καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί ,
Lemmas: καί ὁ μή ὁ ΛΑ · καί ὁ ἀπό αὐτός ἄρα ἴσος εἰμί ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.6
δ τούτεστι τὸ ἀπὸ ΑΖ τῷ ἀπὸ ΑΘ , καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΑΘ
Lemmas: δ τουτέστι ὁ ἀπό αζʹ ὁ ἀπό ΑΘ , καί ὁ αζʹ ὁ ΑΘ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.7
ἴση . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΑΚ τῇ ΑΗ δείκνυται ἴση . ἀλλὰ
Lemmas: ἴσος . ὁμοίως δέ καί ὁ ΑΚ ὁ ΑΗ δείκνυμι ἴσος . ἀλλά
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.8
καὶ αἶ ΖΗ , ΘΚ βάσεις ἴσαι · τὰ ἄρα ΖΑΗ , ΘΑΚ
Lemmas: καί ἀεί ΖΗ , ΘΚ βάσις Ἴσαι · ὁ ἄρα ΖΑΗ , ΘΑΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0271.9
τρίγωνα ἴσα τε καὶ ὁμοιά ἐστιν ἀλλήλοις .
Lemmas: τρίγωνος ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί ἀλλήλων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0273.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0273.2
ποιούν τὸ ΘΑΚ τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὂν καὶ ὀρθὸν πρὸς τὴν βάσιν . λέγω δή , ὅτι , ὡς τὸ ΕΑΖ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ΓΑΔ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος , οὕτω τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ ἰσοσκελές .
Lemmas: ποιέω ὁ ΘΑΚ τρίγωνος ἰσοσκελής εἰμί καί ὀρθός πρός ὁ βάσις . λέγω δή , ὅτι , ὡς ὁ ΕΑΖ μέγας ὁ διά ὁ ἄγω πρός ὁ ΓΑΔ μικρός ὁ διά ὁ ἄγω , οὗτος ὁ ΓΑΔ πρός ὁ ΘΑΚ ἰσοσκελής .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0273.3
ἐπεὶ γὰρ τῶν ΕΑΖ , ΓΑΔ τριγώνων αἱ μὲν βάσεις ἴσαι εἰσιν αἱ ΓΔ , ΕΖ διάμετροι , ὕψος δὲ τοῦ μὲν ΕΑΖ ἡ ΒΑ , τοῦ δὲ ΓΑΔ ἡ ΑΗ , ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ , οὕτως τὸ ΕΑΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΑΔ . πάλιν ἐπεὶ τῶν ΓΑΔ καὶ ΘΑΚ τριγώνων κοινὸν ὕψος ἐστὶν ἡ ΑΗ , βάσις δὲ τοῦ μὲν ΓΑΔ ἡ ΓΔ , τούτεστιν ἡ ΕΖ , τοῦ δὲ ΘΑΚ ἡ ΘΚ , ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ , οὕτως τὸ ΓΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΘΑΚ . ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ , οὕτως αἱ ἡμίσειαι , τούτεστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ · ὅμοια γὰρ τὰ ΒΗΚ , ΒΗΑ τρίγωνα ὀρθογώνια · καὶ τὸ ἄρα ΓΑΔ τρίγωνον πρὸς ΘΑΚ ἐστίν , ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ . ἦν δὲ καὶ τὸ ΕΑΖ πρὸς ΓΑΔ , ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ · ὡς ἄρα τὸ ΕΑΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΑΔ , οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπεί γάρ ὁ ΕΑΖ , ΓΑΔ τρίγωνος ὁ μέν βάσις Ἴσαι εἰμί ὁ ΓΔ , ΕΖ διάμετρος , ὕψος δέ ὁ μέν ΕΑΖ ὁ ΒΑ , ὁ δέ ΓΑΔ ὁ ΑΗ , ὡς ἄρα ὁ ΒΑ πρός ΑΗ , οὕτως ὁ ΕΑΖ τρίγωνος πρός ὁ ΓΑΔ . πάλιν ἐπεί ὁ ΓΑΔ καί ΘΑΚ τρίγωνος κοινός ὕψος εἰμί ὁ ΑΗ , βάσις δέ ὁ μέν ΓΑΔ ὁ ΓΔ , τουτέστιν ὁ ΕΖ , ὁ δέ ΘΑΚ ὁ ΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ΕΖ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ ΓΑΔ τρίγωνος πρός ὁ ΘΑΚ . ἀλλά ὡς ὁ ΕΖ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ ἥμισυς , τουτέστιν ὁ ΒΚ πρός ΚΗ , ὡς δέ ὁ ΒΚ πρός ΚΗ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ΑΗ · ὅμοιος γάρ ὁ ΒΗΚ , ΒΗΑ τρίγωνος ὀρθογώνιος · καί ὁ ἄρα ΓΑΔ τρίγωνος πρός ΘΑΚ εἰμί , ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΗ . εἰμί δέ καί ὁ ΕΑΖ πρός ΓΑΔ , ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΗ · ὡς ἄρα ὁ ΕΑΖ τρίγωνος πρός ὁ ΓΑΔ , οὕτως ὁ ΓΑΔ πρός ὁ ΘΑΚ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0273.4
να' .
Lemmas: ναί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0273.5
Πάλιν ἔστω , ὡς τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΓΑΔ , οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ . λέγω , ὅτι ἡ ΒΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως .
Lemmas: πάλιν ἵστημι , ὡς ὁ ΕΑΖ πρός ὁ ΓΑΔ , οὕτως ὁ ΓΑΔ πρός ΘΑΚ . λέγω , ὅτι ὁ ΒΑ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.1
ΕΑΖ , ΓΑΔ . ΓΔ , ΕΖ ΓΑΔ , ΘΑΚ ΕΖ , ΘΑΚ
Lemmas: ΕΑΖ , ΓΑΔ . ΓΔ , ΕΖ ΓΑΔ , ΘΑΚ ΕΖ , ΘΑΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.2
ΕΖ : ΘΚ = ΓΑΔ : ΘΑΚ [ Eucl . VI , 1 ] .
Lemmas: ΕΖ : ΘΚ = ΓΑΔ : ΘΑΚ [ Eucl . VI , 1 ] .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.3
ΒΗΚ , ΒΗΑ
Lemmas: ΒΗΚ , ΒΗΑ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.4
ΕΑΖ : ΓΑΔ = ΓΑΔ : ΘΑΚ ;
Lemmas: ΕΑΖ : ΓΑΔ = ΓΑΔ : ΘΑΚ ;
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.5
πρὸς ΚΗ οὕτως ]
Lemmas: πρός ΚΗ οὕτως ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.6
ἄρα ΓΑΔ ] ΓΑΔ ἄρα πρὸς ] ἐστι πρὸς τό ΓΑΔ ] τὸ ΓΑΔ ὡς ἢ ΑΗ ] τὴν ΑΗ ὅπερ ἔδει δεῖξαι ]
Lemmas: ἄρα ΓΑΔ ] ΓΑΔ ἄρα πρός ] εἰμί πρός ὁ ΓΑΔ ] ὁ ΓΑΔ ὡς ἢ ΑΗ ] ὁ ΑΗ ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι ]
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.7
μθ' ἀντίστροφον
Lemmas: μθ' ἀντίστροφος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0274.8
ΘΑΚ ] τὸ ΘΑΚ
Lemmas: ΘΑΚ ] ὁ ΘΑΚ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0275.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0275.2
ἐπεὶ , ὡς τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΓΑΔ , οὕτως ἡ BA πρὸς AH , ὡς δὲ τὸ ΕΑΖ πρὸς ΓΑΔ , οὕτως τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ , καὶ τὸ ἄρα ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ ἐστιν , ὡς ἡ BA πρὸς AH . ὡς δὲ τὸ ΓΑΔ πρὸς ΘΑΚ , 5 οὕτως ἡ EZ πρὸς ΘΚ , τοὔστιν ἡ BK πρὸς KH · καὶ ὡς ἄρα ἡ BA πρὸς AH , οὕτως ἡ BK πρὸς KH , καὶ ἐστιν ὅμοια τὰ BAH , BKH τρίγωνα καὶ ὁμόλογοι αἱ AB , BK . ἴση ἄρα ἡ AB τῇ BK ἐκ τοῦ κέντρου · δ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ἐπεί , ὡς ὁ ΕΑΖ πρός ὁ ΓΑΔ , οὕτως ὁ BA πρός AH , ὡς δέ ὁ ΕΑΖ πρός ΓΑΔ , οὕτως ὁ ΓΑΔ πρός ΘΑΚ , καί ὁ ἄρα ΓΑΔ πρός ΘΑΚ εἰμί , ὡς ὁ BA πρός AH . ὡς δέ ὁ ΓΑΔ πρός ΘΑΚ , 5 οὕτως ὁ EZ πρός ΘΚ , ἔτος ὁ BK πρός KH · καί ὡς ἄρα ὁ BA πρός AH , οὕτως ὁ BK πρός KH , καί εἰμί ὅμοιος ὁ BAH , BKH τρίγωνος καί ὁμόλογος ὁ AB , BK . ἴσος ἄρα ὁ AB ὁ BK ἐκ ὁ κέντρον · δ πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0275.3
10 Καὶ συναπεδείχθη καθ’ ἑκατέραν τῶν δείξεων , ὅτι τὸ ΕΑΖ τρίγωνον τῷ ΘΑΚ ὁμοίόν ἐστιν · ὡς γὰρ ἡ EZ πρὸς ΘΚ , οὕτως ἡ BA πρὸς AH . καὶ ἐπὶ τὸ μὲν ΕΑΖ πρὸς τὸ ΘΑΚ διπλασίονα λόγον ἔχει ἢπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΘΑΚ . καὶ ἐστὶ τὸ ΓΑΔ τρίγωνον 15 πρὸς τὸ ΘΑΚ , ὡς ἡ ΓΔ , τοὔστιν ὡς ἡ EZ , πρὸς ΘΚ · ὥστε τὸ ΕΑΖ πρὸς τὸ ΘΑΚ διπλασίονα λόγον ἔχει τῶν ὁμολόγων πλευρῶν τῶν EZ , ΘΚ . ὅμοια ἄρα τὰ ΕΑΖ , ΘΑΚ . ὥστε φανερὸν , ὅτι , ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὁ ἄξων ἴσος ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου 20 τῆς βάσεως , τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὁμοίόν ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ · καὶ ἀντιστρόφως , ὅτι , ἐὰν τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ , ὁ ἄξων τοῦ κώνου ἴσος ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως · καὶ τοῦτο γὰρ 25 εὐκατανόητον ἐκ τῶν ἤδη δειχθέντων .
Lemmas: 10 καί συναποδείκνυμι κατά ἑκάτερος ὁ δεῖξις , ὅτι ὁ ΕΑΖ τρίγωνος ὁ ΘΑΚ ὅμοιος εἰμί · ὡς γάρ ὁ EZ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ BA πρός AH . καί ἐπί ὁ μέν ΕΑΖ πρός ὁ ΘΑΚ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑΔ πρός ὁ ΘΑΚ . καί εἰμί ὁ ΓΑΔ τρίγωνος 15 πρός ὁ ΘΑΚ , ὡς ὁ ΓΔ , ἔτος ὡς ὁ EZ , πρός ΘΚ · ὥστε ὁ ΕΑΖ πρός ὁ ΘΑΚ διπλασίων λόγος ἔχω ὁ ὁμόλογος πλευρά ὁ EZ , ΘΚ . ὅμοιος ἄρα ὁ ΕΑΖ , ΘΑΚ . ὥστε φανερός , ὅτι , ἐάν κῶνος σκαληνός ὁ ἄγω ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον 20 ὁ βάσις , ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ἰσοσκελής ὅμοιος εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής · καί ἀντιστρόφως , ὅτι , ἐάν ὁ πρός ὀρθός ὁ βάσις ἰσοσκελής ὅμοιος εἰμί ὁ διά ὁ ἄγω ἰσοσκελής , ὁ ἄγω ὁ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις · καί οὗτος γάρ 25 εὐκατανόητος ἐκ ὁ ἤδη δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0275.4
1 . ἐπεὶ ] ἐπεὶ γὰρ p . 2 . πρὸς ( alt . ) ] πρὸς τὸ p . 3 . ΘΑΚ ( utrumque ) ] τὸ ΘΑΚ p . ἄρα ΓΑΔ ] ΓΑΔ ἄρα p . 4 . ΓΑΔ ] e corr . p . ΘΑΚ ] v , τὸ ΘΑΚ p , ΔΑΚ c ; Θ corr . ex Δ m . 1 V , K euan . , mg . † ΘΑΚ — m . rec . 8 . ἐκ ] τῇ ἐκ p . 9 . δ προέκειτο δεῖξαι ] om . p . 10 . ἐκατέραν ] c ? , ἐτέραν Vp . 11 . τρίγωνον — 12 . EZ ] bis c . 12 . ἐπὶ ] ὅτι ΕΑΖ ] vcp , 13 . μέν ] fort . delendum .
Lemmas: 1 . ἐπεί ] ἐπεί γάρ p . 2 . πρός ( alt . ) ] πρός ὁ p . 3 . ΘΑΚ ( utrumque ) ] ὁ ΘΑΚ p . ἄρα ΓΑΔ ] ΓΑΔ ἄρα p . 4 . ΓΑΔ ] e corr . p . ΘΑΚ ] v , ὁ ΘΑΚ p , ΔΑΚ c ; Θ corr . ex δ m . 1 V , K euan . , mg . † ΘΑΚ — m . rec . 8 . ἐκ ] ὁ ἐκ p . 9 . δ πρόκειμαι δείκνυμι ] om . p . 10 . ἑκάτερος ] c ? , ἕτερος Vp . 11 . τρίγωνος — 12 . EZ ] bis c . 12 . ἐπί ] ὅτι ΕΑΖ ] vcp , 13 . μέν ] fort . delendum .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.10
θείσης εὐθείας καὶ τῆς διὰ τοῦ κέντρου περιφερείας
Lemmas: θέω εὐθύς καί ὁ διά ὁ κέντρον περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.11
ἐπὶ τὴν ἑτέραν κοινὴν τομὴν τῶν κύκλων ἐπιεγγραμμένη .
Lemmas: ἐπί ὁ ἕτερος κοινός τομή ὁ κύκλος ἐπιγράφω .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.12
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α , διὰ δὲ
Lemmas: ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ Α , διά δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.13
τοῦ Α κέντρου γεγράφθω τις κύκλος ὁ ΑΒΓ τέμνων
Lemmas: ὁ Α κέντρον γράφω τις κύκλος ὁ ΑΒΓ τέμνω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.14
τὸν ἐξ ἀρχῆς κατὰ τὰ Β , Γ σημεῖα , καὶ διήχθωσαν
Lemmas: ὁ ἐκ ἀρχή κατά ὁ Β , Γ σημεῖον , καί διάγω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.15
εὐθεῖαι διὰ μὲν τοῦ Α ἡ ΒΔΕ , τυχοῦσα δὲ ἡ ΒΖΗ ,
Lemmas: εὐθύς διά μέν ὁ Α ὁ ΒΔΕ , τυγχάνω δέ ὁ ΒΖΗ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.16
καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΖΓ . λέγω , ὅτι ἴση ἔστιν
Lemmas: καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΑΓ , ΖΓ . λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.17
ἡ μὲν ΕΔ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ΖΗ τῇ ΖΓ .
Lemmas: ὁ μέν ΕΔ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΖΗ ὁ ΖΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.18
ἐπεξεύχθωσαν αἱ ΕΓ , ΓΗ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἔστιν ἡ
Lemmas: ἐπεξεύχομαι ὁ ΕΓ , ΓΗ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.19
ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΓ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ
Lemmas: ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΓ , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.2
νβ´ .
Lemmas: νβ´ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.20
ΕΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΓ ἴση ἔστιν . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ
Lemmas: ΕΑΓ λοιπός ὁ ὑπό ΗΖΓ ἴσος εἰμί . ἀλλά καί ὁ ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.21
ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΖΗΓ ἴση διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς περιφερείας
Lemmas: ΑΕΓ ὁ ὑπό ΖΗΓ ἴσος διά ὁ ἐπί ὁ αὐτός περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.22
βεβηκέναι · καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση , καὶ
Lemmas: βαίνω · καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ λοιπός ἴσος , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.23
ὅμοια τὰ τρίγωνα · ἴσοσκελὲς ἄρα καὶ τὸ ΓΖΗ . ἴση
Lemmas: ὅμοιος ὁ τρίγωνος · ἰσοσκελής ἄρα καί ὁ ΓΖΗ . ἴσος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.24
ἄρα ἡ μὲν ΕΖ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ΗΖ τῇ ΖΓ . ὁμοίως δέ ,
Lemmas: ἄρα ὁ μέν ΕΖ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΗΖ ὁ ΖΓ . ὁμοίως δέ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.25
κἂν ἄλλαι διαχθῶσι , δεῖχθήσεται τὰ τῆς προτάσεως .
Lemmas: κἀν ἄλλος διάζομαι , δείκνυμι ὁ ὁ πρότασις .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.28
in c . 21 . ἴση ] ἴση ἔστι p . 22 . Post τρίγωνα add . ἴσοσκελὲς
Lemmas: in c . 21 . ἴσος ] ἴσος εἰμί p . 22 . Post τρίγωνος add . ἰσοσκελής
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.29
δὲ τὸ ΓΔΕ Halley cum Comm . Mg . ὁ γὰρ ΕΔΓ ἴσοσκελές ,
Lemmas: δέ ὁ ΓΔΕ Halley cum Comm . Mg . ὁ γάρ ΕΔΓ ἰσοσκελής ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.3
Ἔαν κύκλος κύκλον τέμνῃ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ
Lemmas: ἐάω κύκλος κύκλος τέμνω διά ὁ κέντρον αὐτός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.30
αἱ δὲ ΕΔ καὶ ΔΓ ἴσαι ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ( Α)ΒΓ
Lemmas: ὁ δέ ΕΔ καί ΔΓ Ἴσαι ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ( ΓΑ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.4
γραφόμενος , ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας αὐτῶν τομῆς διαχθῶσιν
Lemmas: γράφω , ἀπό δέ ὁ ἕτερος αὐτός τομή διάζομαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.5
εὐθεῖαι τέμνουσαι τὴν διὰ τοῦ κέντρου περιφέρειαν
Lemmas: εὐθύς τέμνω ὁ διά ὁ κέντρον περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.6
καὶ προσεκβληθῶσιν ἐπὶ τὴν τοῦ ἑτέρου κύκλου περιφέρειαν ,
Lemmas: καί προσεκβάλλω ἐπί ὁ ὁ ἕτερος κύκλος περιφέρεια ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.7
ἡ ἀπολαμβανομένη εὐθεῖα μεταξὺ τῆς τοῦ
Lemmas: ὁ ἀπολαμβάνω εὐθύς μεταξύ ὁ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.8
ἑτέρου κύκλου κυρτῆς περιφερείας καὶ τῆς κοίλης τοῦ
Lemmas: ἕτερος κύκλος κυρτός περιφέρεια καί ὁ κοῖλος ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0277.9
ἑτέρου ἴση ἔσται τῇ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῆς διαχ -
Lemmas: ἕτερος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κοινός τομή ὁ διαχ -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.2
Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὑποκείσθω τῇ μὲν ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ , τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς ΒΑΓ περιφερείας κατὰ τὸ Δ δίχα τετμημένης . λέγω , ὅτι ὁ κέντρῳ μὲν τῷ Δ , διαστήματι δὲ ὁποτερῶν τῶν ΑΒ , ΑΓ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ε καὶ Η σημείων .
Lemmas: πάλιν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ὑπόκειμαι ὁ μέν ΓΔ ἴσος ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΓΖ ὁ ΖΗ ὁ ΒΑΓ περιφέρεια κατά ὁ δ δίχα τέμνω . λέγω , ὅτι ὁ κέντρον μέν ὁ δ , διάστημα δέ ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΑΓ γράφω κύκλος ἥκω καί διά ὁ Ε καί ὁ σημεῖον .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.3
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΓ , καὶ ἐστὶν ἴσοσκελῆ τὰ ΕΔΓ , ΗΖΓ τρίγωνα , ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΓ · ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα κύκλῳ αἱ ὑπὸ ΒΕΓ , ΒΗΓ γωνίαι . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ε , Η σημείων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπεί γάρ ἴσος ὁ ὑπό ΕΔΓ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΓ , καί εἰμί ἰσοσκελής ὁ ΕΔΓ , ΗΖΓ τρίγωνος , ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΕΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΗΓ · ἐν ὁ αὐτός ἄρα κύκλος ὁ ὑπό ΒΕΓ , ΒΗΓ γωνία . ὁ ἄρα κέντρον ὁ δ , διάστημα δέ ὁ ΑΒ γράφω κύκλος ἥκω καί διά ὁ Ε , ὁ σημεῖον · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.4
νγ´
Lemmas: νγ´
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.5
Ἐὰν ἐν τμήματι κύκλου κλασθῶσιν εὐθεῖαι , μεγίστη μὲν ἔσται ἡ πρὸς τὴν δίχοτομίαν τὴν κλάσιν ἔχουσα , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἐγγιόν τῆς πρὸς τὴν δίχοτομίαν τῆς ἀπωτέρων ἐστὶ μειζών .
Lemmas: ἐάν ἐν τμῆμα κύκλος κλάω εὐθύς , μέγας μέν εἰμί ὁ πρός ὁ διχοτομία ὁ κλάσις ἔχω , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγύς ὁ πρός ὁ διχοτομία ὁ ἀπωτέρω εἰμί μείζων .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.6
ἐν γὰρ τῷ ΑΒΓ τμήματι κεκλάσθωσαν εὐθεῖαι , ἡ μὲν ΑΒΓ ὥστε τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν δίχα τετμη-σθαι κατὰ τὸ Β , τυγχάνουσι δὲ αἱ ΑΔΓ , ΑΗΓ . λέγω , ὅτι συναμφότερος ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων εὐθειῶν , μειζῶν δὲ ἡ ΑΔΓ τῆς ΑΗΓ .
Lemmas: ἐν γάρ ὁ ΑΒΓ τμῆμα κλάω εὐθύς , ὁ μέν ΑΒΓ ὥστε ὁ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα τέμνω κατά ὁ Β , τυγχάνω δέ ὁ ΑΔΓ , ΑΗΓ . λέγω , ὅτι συναμφότερος ὁ ΑΒΓ εὐθύς μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἐν ὁ τμῆμα κλάω εὐθύς , μείζων δέ ὁ ΑΔΓ ὁ ΑΗΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0279.7
ἐπεὶ ἡ ΑΒ περιφερεία τῇ ΒΓ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν , καὶ ἡ ΑΒ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση . κέντρῳ
Lemmas: ἐπεί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΒΓ περιφέρεια ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒ ἄρα εὐθύς ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος . κέντρον
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0280.1
ἐπεὶ ] ἐπεὶ γὰρ ἔστιν ἴση ] ἴση ἔστι
Lemmas: ἐπεί ] ἐπεί γάρ εἰμί ἴσος ] ἴσος εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0281.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0281.2
σὺν τῷ Β , διαστήματι δὲ ὁποτερφοῦν τῶν ΒΑ , ΒΓ γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΒΕ , ΑΔΖ , ΑΗΘ · ἴση ἄρα διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα ἡ μὲν ΕΒ τῇ ΒΓ , ἡ δὲ ΖΔ τῇ ΔΓ , ἡ δὲ ΘΗ τῇ ΗΓ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΕ διάμετρος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ κύκλου , μεγίστη μὲν ἄρα τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν ἡ ΑΕ , ἡ δὲ ΑΖ μείζων τῆς ΑΘ . ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΕ ἴση συναμφότερος ἡ ΑΒΓ , τῇ δὲ ΑΖ ἡ ΑΔΓ , τῇ δὲ ΑΘ · ἡ ΑΗΓ · καὶ τούτων ἄρα μεγίστη μὲν ἡ ΑΒΓ , μείζων δὲ ἡ ΑΔΓ τῆς ΑΗΓ . καὶ ὁμοίως ἀεὶ ἡ ἐγγιου τῆς πρὸς τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μειζων · ὁ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: σύν ὁ Β , διάστημα δέ ὁποτερφοῦν ὁ ΒΑ , ΒΓ γράφω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒΕ , ΑΔΖ , ΑΗΘ · ἴσος ἄρα διά ὁ πρό οὗτος θεώρημα ὁ μέν ΕΒ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΖΔ ὁ ΔΓ , ὁ δέ τίθημι ὁ ΗΓ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΕ διάμετρος εἰμί ὁ ΑΕΖ κύκλος , μέγας μέν ἄρα ὁ ἐν ὁ κύκλος εὐθύς ὁ ΑΕ , ὁ δέ αζʹ μείζων ὁ ΑΘ . ἀλλά ὁ μέν ΑΕ ἴσος συναμφότερος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ αζʹ ὁ ΑΔΓ , ὁ δέ ΑΘ · ὁ ΑΗΓ · καί οὗτος ἄρα μέγας μέν ὁ ΑΒΓ , μείζων δέ ὁ ΑΔΓ ὁ ΑΗΓ . καί ὁμοίως ἀεί ὁ ἐγγιέω ὁ πρός ὁ διχοτομία ὁ ἀπώτερος εἰμί μείζων · ὁ πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0281.3
Ἄλλως τὸ αὐτό .
Lemmas: ἄλλος ὁ αὐτός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0281.4
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ἐν τῷ ΑΒΓ τμήματι κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα , ὥστε τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν δίχα τεμνῆσθαι κατὰ τὸ Β . λέγω , ὅτι συναμφότερος ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι κλαμένων εὐθειῶν .
Lemmas: ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ἐν ὁ ΑΒΓ τμῆμα κλάω ὁ ΑΒΓ εὐθύς , ὥστε ὁ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα τέμνω κατά ὁ Β . λέγω , ὅτι συναμφότερος ὁ ΑΒΓ εὐθύς μέγας εἰμί πᾶς ὁ ἐν ὁ αὐτός τμῆμα Κλαμένος εὐθύς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0281.5
κεκλάσθω γὰρ ἡ ΑΔΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔΕ , καὶ κείσθω ἡ ΔΕ τῇ ΔΓ ἴση , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ , ΒΕ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶ , καὶ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία βέβηκεν , ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ
Lemmas: κλάω γάρ ὁ ΑΔΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΔΕ , καί κεῖμαι ὁ ΔΕ ὁ ΔΓ ἴσος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , ΒΕ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΒΓ περιφέρεια ἴσος εἰμί , καί ἐπί μέν ὁ ΑΒ ὁ ὑπό ΒΔΑ γωνία βαίνω , ἐπί δέ ὁ ΒΓ ὁ ὑπό ΒΑΓ , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΑ ὁ ὑπό ΒΑΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0283.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0283.2
ΒΔΕ · συναμφοτέρος ἄρα ἢ ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΔΑ συναμφοτέρω τῇ ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ ἐστὶν ἴση . καὶ ἐστὶ συναμφοτέρος ἢ ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΔΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση · καὶ συναμφότερος ἄρα ἢ ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἐστὶν 5 ἴση . ἐστὶ δὲ καὶ συναμφοτέρος ἢ ὑπὸ ΒΔΓ , ΒΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση · συναμφοτέρος ἄρα ἢ ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ συναμφοτέρω τῇ ὑπὸ ΒΔΓ , ΒΑΓ ἴση ἐστί . κοινῆς ἀφθείσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ λοιπὴ ἢ ὑπὸ ΒΔΕ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ ἴση ἐστίν . ἐπεὶ οὖν ἴση μὲν ἢ ΓΔ τῇ ΔΕ , 10 κοινὴ δὲ ἢ ΒΔ , καὶ περὶ ἴσας γωνίας , καὶ βάσις ἄρα ἢ ΓΒ τῇ ΒΕ ἐστὶν ἴση . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ , ΒΕ εὐθεῖαι μείζονές εἰσι τῆς ΑΕ , ἀλλὰ ταῖς μὲν ΑΒ , ΒΕ συναμφότερος ἢ ΑΒΓ ἴση ἐστί , τῇ δὲ ΑΕ συναμφοτέρος ἢ ΑΔΓ ἴση ἐστί , καὶ συναμφοτέρος ἄρα ἢ ΑΒΓ τῆς 15 ΑΔΓ μείζων ἐστίν . ὁμοίως δὲ δείκνυται καὶ τῶν ἄλλων μείζων . συναμφοτέρος ἄρα ἢ ΑΒΓ πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων μεγίστη ἐστίν .
Lemmas: ΒΔΕ · συναμφοτέρος ἄρα ἢ ὑπό ΒΔΕ , ΒΔΑ συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΔΕ , ΒΑΓ εἰμί ἴσος . καί εἰμί συναμφοτέρος ἢ ὑπό ΒΔΕ , ΒΔΑ δύο ὀρθός ἴσος · καί συναμφότερος ἄρα ἢ ὑπό ΒΔΕ , ΒΑΓ δύο ὀρθός εἰμί 5 ἴσος . εἰμί δέ καί συναμφοτέρος ἢ ὑπό ΒΔΓ , ΒΑΓ δύο ὀρθός ἴσος · συναμφοτέρος ἄρα ἢ ὑπό ΒΔΕ , ΒΑΓ συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΔΓ , ΒΑΓ ἴσος εἰμί . κοινός ἅπτω ὁ ὑπό ΒΑΓ λοιπός ἢ ὑπό ΒΔΕ ὁ ὑπό ΒΔΓ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος μέν ἢ ΓΔ ὁ ΔΕ , 10 κοινός δέ ἢ ΒΔ , καί περί ἴσος γωνία , καί βάσις ἄρα ἢ ΓΒ ὁ ΒΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ὁ ΑΒ , ΒΕ εὐθύς μέγας εἰμί ὁ ΑΕ , ἀλλά ὁ μέν ΑΒ , ΒΕ συναμφότερος ἢ ΑΒΓ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΑΕ συναμφοτέρος ἢ ΑΔΓ ἴσος εἰμί , καί συναμφοτέρος ἄρα ἢ ΑΒΓ ὁ 15 ΑΔΓ μείζων εἰμί . ὁμοίως δέ δείκνυμι καί ὁ ἄλλος μείζων . συναμφοτέρος ἄρα ἢ ΑΒΓ πᾶς ὁ ἐν ὁ τμῆμα κλάω μέγας εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0283.3
Ἄλλὰ δὴ ἔστω ἡ διχοτομία πρὸς τῷ Ζ . λέγω , ὅτι ἢ τοῦ Ζ ἐγγιὸν ἢ ΑΒΓ εὐθεῖα τῆς ἀπώτερον τῆς 20 ΑΔΓ μείζων ἐστίν .
Lemmas: ἀλλά δή ἵστημι ὁ διχοτομία πρός ὁ Ζ . λέγω , ὅτι ἢ ὁ Ζ ἐγγύς ἢ ΑΒΓ εὐθύς ὁ ἀπώτερος ὁ 20 ΑΔΓ μείζων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0283.4
ἐπεὶ γὰρ ἢ ΑΖΒ περιφέρεια τῆς ΒΔΓ περιφερείας μείζων ἐστί , καὶ ἢ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων . κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΒΔΕ αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΔΑ μείζονές εἰσι τῶν ὑπὸ ΒΔΕ ,
Lemmas: ἐπεί γάρ ἢ ΑΖΒ περιφέρεια ὁ ΒΔΓ περιφέρεια μείζων εἰμί , καί ἢ ὑπό ΒΔΑ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ μείζων . κοινός προστίθημι ὁ ὑπό ΒΔΕ ὁ ἄρα ὑπό ΒΔΕ , ΒΔΑ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΕ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.2
ΒΑΓ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ , ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθαῖν . εἰσὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΒΑΓ δυσιὶν ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ , ΒΑΓ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ , ΒΑΓ μειζόνες εἰσι . καὶ κοινῆς ἀφθείσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ μειζων ἐστίν . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ μειζῶν , καὶ ἡ ΓΒ ἄρα βάσις μειζων ἐστὶ τῆς ΒΕ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ , ΒΕ εὐθεῖαι μειζόνες εἰσι τῆς ΑΕ , τῶν δὲ ΑΒ , ΒΕ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ εὐθεῖα μειζων ἐστί , συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒΓ μειζων ἐστὶ τῆς ΑΕ , τούτεστι συναμφότερου τῆς ΑΑΓ .
Lemmas: ΒΑΓ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΕ , ΒΑΓ ἐλαχύς εἰμί δύο ὀρθός . εἰμί δέ ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΒΑΓ δυσιὶν ὀρθός Ἴσαι · ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΓ , ΒΑΓ ὁ ὑπό ΒΑΕ , ΒΑΓ μείζων εἰμί . καί κοινός ἅπτω ὁ ὑπό ΒΑΓ λοιπός ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΒΑΕ μείζων εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ ΑΓ ὁ ΑΕ , κοινός δέ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό ΒΑΕ μείζων , καί ὁ ΓΒ ἄρα βάσις μείζων εἰμί ὁ ΒΕ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ , ΒΕ εὐθύς μείζων εἰμί ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΑΒ , ΒΕ συναμφότερος ὁ ΑΒΓ εὐθύς μείζων εἰμί , συναμφότερος ἄρα ὁ ΑΒΓ μείζων εἰμί ὁ ΑΕ , τουτέστι συναμφότερος ὁ ΑΑΓ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.3
νδʹ
Lemmas: ΝΔΑ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.4
Ἐὰν τεσσάρων ἀνίσων εὐθειῶν τὸ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης τὸ συναμφότερον τετράγωνον ἴσον ἢ συναμφότερῳ τῷ ἀπὸ τῶν λοιπῶν , ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἐκ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης ἐλάττων ἔσται τῆς συγκειμένης ἐκ τῶν λοιπῶν .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες ἄνισος εὐθύς ὁ ἀπό ὁ μέγας καί ὁ μικρός ὁ συναμφότεροι τετράγωνος ἴσος ἢ συναμφότερος ὁ ἀπό ὁ λοιπός , ὁ σύγκειμαι εὐθύς ἐκ ὁ μέγας καί ὁ μικρός μικρός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ λοιπός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.5
Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , καὶ μεγίστη μὲν πασῶν ἔστω ἡ ΑΒ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΒΓ , ἡ δὲ ΔΕ τῆς ΕΖ μὴ ἐλάττων ἔστω , ἔστω δὲ τὰ ἀπὸ ΑΒ , ΒΓ τοῖς ἀπὸ ΔΕ , ΕΖ ἴσα . λέγω , ὅτι ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ ἐλάττων ἐστίν .
Lemmas: εἰμί τέσσαρες εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , καί μέγας μέν πᾶς ἵστημι ὁ ΑΒ , μικρός δέ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΔΕ ὁ ΕΖ μή μικρός ἵστημι , ἵστημι δέ ὁ ἀπό ΑΒ , ΒΓ ὁ ἀπό ΔΕ , ΕΖ ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ ὁ ΔΖ μικρός εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0285.6
ἡχθῶσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΗ , ΕΘ , καὶ κείσθω
Lemmas: ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΒΗ , ΕΘ , καί κεῖμαι
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0287.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0287.2
ἴση ἡ μὲν B H τῇ B Γ , ἡ δὲ E Θ τῇ E Z , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ A H , ΔΘ , καὶ γεγράφθω περὶ τὸ A B H ὀρθογώνιον ἡμικύκλιον . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ A B , B Γ , τούτέστι τὰ ἀπὸ A B , B H , τοῖς ἀπὸ ΔE , E Θ ἴσα ἐστί , καὶ τὸ ἀπὸ A H ἄρα τῷ ἀπὸ ΔΘ ἐστὶν ἴσον , καὶ ἡ A H τῇ ΔΘ . καὶ ἐπεὶ ἡ E Θ τῆς B H μείζων ἐστίν , ἡ ἄρα τῇ E Θ ἴση ἐναρμοζομένη τῷ ἡμικυκλίῳ τεμεῖ τὴν ὑπὸ B H A γωνίαν . ἐνηρμόσθω ἡ H K ἴση οὖσα τῇ ΘE , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ A K καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ 10 ἔστω ἴση ἡ K A τῇ K H . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ A K , K H τοῖς ἀπὸ A B , B H ἴσα ἐστί , τὰ δὲ ἀπὸ A B , B H τοῖς ἀπὸ ΔE , E Θ ἴσα , τὰ ἄρα ἀπὸ A K , K H τοῖς ἀπὸ ΔE , E Θ ἴσα ἐστίν · ὧν τὸ ἀπὸ K H τῷ ἀπὸ E Θ ἴσον · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ A K τῷ ἀπὸ ΔE ἴσον ἐστί , 15 καὶ ἡ A K τῇ ΔE · τὸ ἄρα A K H τρίγωνον ἴσον καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΔEΘ , καὶ ἡ A A τῇ ΔZ ἴση ἐστίν . ἐπεὶ οὖν ἡ A K εὐθεῖα τῆς K H οὐκ ἐστὶν ἐλάττων , οὐδ’ ἡ A K ἄρα περιφέρεια τῆς K H περιφερείας ἐλάττων ἐστί . καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα , ἐπεὶ 20 ἐν τμήματι κύκλου κεκλασμέναι εἰσὶν αἱ A K H , A B H εὐθεῖαι , καὶ ἐστὶν ἡ A K H ἤτοι πρὸς τῇ δίχοτομίᾳ ἢ ἐγγίων τῆς διχοτομίας , μείζων ἄρα ἡ A K H τῆς A B H , τούτέστιν ἡ A A τῆς A Γ , τούτέστιν ἡ ΔZ τῆς A Γ . ἐλάττων ἄρα ἡ A Γ τῆς ΔZ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἴσος ὁ μέν B H ὁ B Γ , ὁ δέ E Θ ὁ E Z , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ A H , ΔΘ , καί γράφω περί ὁ A B H ὀρθογώνιος ἡμικύκλιον . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό A B , B Γ , τουτέστι ὁ ἀπό A B , B H , ὁ ἀπό ΔE , E Θ ἴσος εἰμί , καί ὁ ἀπό A H ἄρα ὁ ἀπό ΔΘ εἰμί ἴσος , καί ὁ A H ὁ ΔΘ . καί ἐπεί ὁ E Θ ὁ B H μείζων εἰμί , ὁ ἄρα ὁ E Θ ἴσος ἐναρμόζω ὁ ἡμικύκλιον τέμνω ὁ ὑπό B H A γωνία . ἐναρμόζω ὁ H K ἴσος εἰμί ὁ ΘE , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ A K καί ἐκβάλλω , καί 10 ἵστημι ἴσος ὁ K A ὁ K H . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό A K , K H ὁ ἀπό A B , B H ἴσος εἰμί , ὁ δέ ἀπό A B , B H ὁ ἀπό ΔE , E Θ ἴσος , ὁ ἄρα ἀπό A K , K H ὁ ἀπό ΔE , E Θ ἴσος εἰμί · ὅς ὁ ἀπό K H ὁ ἀπό E Θ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό A K ὁ ἀπό ΔE ἴσος εἰμί , 15 καί ὁ A K ὁ ΔE · ὁ ἄρα A K H τρίγωνος ἴσος καί ὁμοῖος εἰμί ὁ ΔEΘ , καί ὁ A A ὁ ΔZ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ A K εὐθύς ὁ K H οὐ εἰμί μικρός , οὐδέ ὁ A K ἄρα περιφέρεια ὁ K H περιφέρεια μικρός εἰμί . καί διά ὁ πρό οὗτος θεώρημα , ἐπεί 20 ἐν τμῆμα κύκλος κλάω εἰμί ὁ A K H , A B H εὐθύς , καί εἰμί ὁ A K H ἤτοι πρός ὁ διχοτομία ἢ ἐγγίων ὁ διχοτομία , μείζων ἄρα ὁ A K H ὁ A B H , τουτέστιν ὁ A A ὁ A Γ , τουτέστιν ὁ ΔZ ὁ A Γ . μικρός ἄρα ὁ A Γ ὁ ΔZ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0287.3
25 νε’ .
Lemmas: 25 ναῦς .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0287.4
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι διηρημέναι ὦσι , τὰ δὲ ἀπὸ τῶν τῆς ἐλάττονος τμημάτων τετράγωνα ἴσα ἢ τοῖς ἀπὸ τῶν τῆς μείζονος τμημάτων τετραγώνοις , τῶν
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς ἄνισος διαιρέω εἰμί , ὁ δέ ἀπό ὁ ὁ μικρός τμῆμα τετράγωνος ἴσος ἢ ὁ ἀπό ὁ ὁ μείζων τμῆμα τετράγωνος , ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.10
εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἔστιν ἡ ΔE , ἐλάχιστη δὲ ἡ EZ .
Lemmas: εὐθύς μέγας μέν εἰμί ὁ ΔE , λίγος δέ ὁ EZ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.11
10 ἡχθῶ πρὸς ὀρθὰς τῇ AΓ ἡ BH ἴση οὖσα τῇ BΓ ,
Lemmas: 10 ἄγω πρός ὀρθός ὁ AΓ ὁ BH ἴσος εἰμί ὁ BΓ ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.12
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AH , καὶ περὶ τὸ ABH ὀρθογώνιον
Lemmas: καί ἐπιζεύγνυμι ὁ AH , καί περί ὁ ABH ὀρθογώνιος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.13
γεγράφθω ἡμικύκλιον . ἐπεὶ οὖν ἡ AB εὐθεῖα τῆς
Lemmas: γράφω ἡμικύκλιον . ἐπεί οὖν ὁ AB εὐθύς ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.14
BH οὐκ ἔστιν ἐλάττων , καὶ ἡ AB ἄρα περιφέρεια τῆς
Lemmas: BH οὐ εἰμί μικρός , καί ὁ AB ἄρα περιφέρεια ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.15
BH οὐκ ἔστιν ἐλάττων · ἡ ἄρα τῆς ABH περιφερείας
Lemmas: BH οὐ εἰμί μικρός · ὁ ἄρα ὁ ABH περιφέρεια
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.16
15 διχοτομία ἤτοι κατὰ τὸ B ἔσται ἢ ἐπὶ τῆς AB περιφερείας ,
Lemmas: 15 διχοτομία ἤτοι κατά ὁ B εἰμί ἢ ἐπί ὁ AB περιφέρεια ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.17
οἷον κατὰ Θ . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῇ διχοτομίᾳ ,
Lemmas: οἷος κατά Θ . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ διχοτομία ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.18
διαστήματι δὲ ὁποτερῶν τῶν A , H γραφόμενος
Lemmas: διάστημα δέ ὁπότερος ὁ A , H γράφω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.19
κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ , ὡς προεδείχθη · γεγράφθω
Lemmas: κύκλος ἥκω καί διά ὁ Γ , ὡς προδείκνυμι · γράφω
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.2
τεσσάρων τμημάτων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ τῆς ἐλάττονος
Lemmas: τέσσαρες τμῆμα μέγας μέν εἰμί ὁ ὁ μικρός
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.20
οὖν καὶ ἔστω ὁ AKΓH . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΔZ
Lemmas: οὖν καί ἵστημι ὁ AKΓH . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΔZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.21
20 μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ ΔE , EZ , τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΔE ,
Lemmas: 20 μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΔE , EZ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΔE ,
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.22
EZ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς AH , καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔZ ἄρα
Lemmas: EZ ἴσος ὁ ἀπό ὁ AH , καί ὁ ἀπό ὁ ΔZ ἄρα
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.23
μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς AH · μεῖζων ἄρα ἡ ΔZ τῆς
Lemmas: μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ AH · μείζων ἄρα ὁ ΔZ ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.24
AH . ἐλάττων δὲ ἡ ΔZ τῆς AΓ · δυνατόν ἄρα μεταξὺ
Lemmas: AH . μικρός δέ ὁ ΔZ ὁ AΓ · δυνατός ἄρα μεταξύ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.25
τῶν AΓ , AH εὐθειῶν ἐναρμόσαι τῷ AKΓH κύκλῳ
Lemmas: ὁ AΓ , AH εὐθύς ἐναρμόζω ὁ AKΓH κύκλος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.26
25 εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΔZ . ἐνηρμόσθω ἡ AΛM , καὶ
Lemmas: 25 εὐθύς ἴσος ὁ ΔZ . ἐναρμόζω ὁ AΛM , καί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.27
ἐπεζεύχθω ἡ ΛH · ἴση ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα ἡ
Lemmas: ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛH · ἴσος ἄρα διά ὁ προδείκνυμι ὁ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.28
6 . μεῖζων ] p , μεῖζον V . 9 . [ ἔστιν ] ἔσται p . ἐλάχιστη
Lemmas: 6 . μείζων ] p , μείζων V . 9 . [ εἰμί ] εἰμί p . λίγος
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.29
ἔσται ] ἔστιν p . 16 . Θ ] τὸ Θ p . 19 . οὖν ( pr . ) ] om . p .
Lemmas: εἰμί ] εἰμί p . 16 . Θ ] ὁ Θ p . 19 . οὖν ( pr . ) ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.3
μεῖζον τμῆμα , ἐλάχιστον δὲ τὸ ἕλαττον .
Lemmas: μείζων τμῆμα , μικρός δέ ὁ μικρός .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.4
ἔστωσαν εὐθεῖαι δύο ἄνισοι αἱ ABΓ , ΔEZ
Lemmas: εἰμί εὐθύς δύο ἄνισος ὁ ABΓ , ΔEZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.5
διηρημέναι κατὰ τὰ B καὶ E σημεῖα , ὥστε τὴν μὲν ΔE
Lemmas: διαιρέω κατά ὁ B καί E σημεῖον , ὥστε ὁ μέν ΔE
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.6
5 τῆς EZ μεῖζονα εἶναι , τὴν δὲ AB τῆς BΓ μὴ εἶναι
Lemmas: 5 ὁ EZ μείζων εἰμί , ὁ δέ AB ὁ BΓ μή εἰμί
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.7
ἐλάσσονα , καὶ μεῖζων μὲν ἔστω ἡ AΓ τῆς ΔZ , τὰ δὲ
Lemmas: μικρός , καί μείζων μέν ἵστημι ὁ AΓ ὁ ΔZ , ὁ δέ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.8
ἀπὸ τῶν AB , BΓ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν ΔE , EZ
Lemmas: ἀπό ὁ AB , BΓ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΔE , EZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0289.9
τετραγώνοις ἴσα . λέγω , ὅτι τῶν AB , BΓ , ΔE , EZ
Lemmas: τετράγωνος ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ AB , BΓ , ΔE , EZ
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.2
ΑΜ τῇ ΑΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΑ μειζῶν ἐστὶ τῆς ΑΒ , ἡ δὲ ΑΒ οὐκ ἐλάσσων τῆς ΒΗ , ἡ ἄρα ΑΑ μειζῶν ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΑΒ , ΒΗ . ἡ δὲ ΑΗ ἐλάττων ἑκατέρας τῶν ΑΒ , ΒΗ · τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΗ , ΑΑ , ΑΗ μεγίστη μὲν ἡ ΑΑ , ἐλάχιστη δὲ ἡ ΑΗ . ἀλλ’ ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ΑΑ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΑΗ , τούτεστιν ἡ ΑΜ , τῇ ΕΖ , ὡς δεῖξομεν · τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἡ ΔΕ , ἐλάχιστη δὲ ἡ ΕΖ · ὃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ΑΜ ὁ ΑΗ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΑΑ μείζων εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΒ οὐ μικρός ὁ ΒΗ , ὁ ἄρα ΑΑ μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΗ . ὁ δέ ΑΗ μικρός ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΗ , ΑΑ , ΑΗ μέγας μέν ὁ ΑΑ , λίγος δέ ὁ ΑΗ . ἀλλά ὁ μέν ΒΗ ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΑΑ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΑΜ , ὁ ΕΖ , ὡς δείκνυμι · ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ εὐθύς μέγας μέν ὁ ΔΕ , λίγος δέ ὁ ΕΖ · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.3
10 νζ´
Lemmas: 10 νζ´
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.4
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἴσαι διηρημέναι ὦσιν οὕτως , ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ἑτέρας τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς λοιπῆς ἴσον εἶναι , καὶ τὰ τμήματα τοῖς τμήμασιν ἴσα ἔσται ἑκάτερον ἑκατέρῳ .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς Ἴσαι διαιρέω εἰμί οὕτως , ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ἕτερος ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ λοιπός ἴσος εἰμί , καί ὁ τμῆμα ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.5
15 Ἔστωσαν εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΑΜ , ΔΕΖ διηρημέναι κατὰ τὰ Α καὶ Ε σημεῖα , ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΑ , ΑΜ ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ . λέγω , ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ΑΑ τῇ ΔΕ .
Lemmas: 15 εἰμί εὐθύς Ἴσαι ἀλλήλων ὁ ΑΑΜ , δΕΖ διαιρέω κατά ὁ Α καί Ε σημεῖον , ὥστε ὁ ὑπό ΑΑ , ΑΜ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΖ . λέγω , ὅτι εἰμί ἴσος ὁ ΑΑ ὁ ΔΕ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0291.6
ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΜ τῇ ΔΖ , καὶ αἱ ἡμισεῖαι ἄρα ἴσαι εἰσίν . ὥστε καὶ τὸ ἄπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΜ τῷ ἄπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΔΖ ἴσον ἐστίν . εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΜ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Α , καὶ ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΑ , ΑΜ τὸ ἄπὸ τῆς ἡμισείας , καὶ ἡ ΔΖ ἄρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ε , ἐπεὶδὴ τὸ ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἄπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΜ , τούτεστι τῆς ἡμισείας τῆς ΔΖ .
Lemmas: ἐπεί ἴσος ὁ ΑΜ ὁ ΔΖ , καί ὁ ἥμισυς ἄρα Ἴσαι εἰμί . ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ΑΜ ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί . εἰμί μέν οὖν ὁ ΑΜ δίχα τέμνω κατά ὁ Α , καί εἰμί ὁ ὑπό ΑΑ , ΑΜ ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς , καί ὁ ΔΖ ἄρα δίχα τέμνω κατά ὁ Ε , ἐπειδή ὁ ὑπό ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ΑΜ , τουτέστι ὁ ἥμισυς ὁ ΔΖ .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0292.1
[ τού -
Lemmas: [ ὅς -
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0292.2
έστι ] τουτέστιν V . τῆς ἡμισείας ( alt . ) ] om . p .
Lemmas: εἰμί ] τουτέστιν V . ὁ ἥμισυς ( alt . ) ] om . p .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.1
ΠΕΡΙ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ .
Lemmas: περί Κῶνος τομή .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.2
εἰ δὲ μή , τετμησθῶσαν δίχα κατὰ τὰ Ν , Ξ σημεία · ἴση ἄρα ἡ ΝΜ εὐθεῖα τῇ ΞΖ . ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ , τούτεστι τὸ ὑπὸ ΑΑ , ΑΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΞΕ , ὧν τὸ ὑπὸ ΑΑ , ΑΜ τῷ ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ ἴσον ἐστίν · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΝΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΕ ἴσον ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ ΝΑ τῇ ΞΕ . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΞΖ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΜ τῇ ΕΖ ἴση . ὥστε καὶ ἡ ΑΑ τῇ ΔΕ ἴση · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί δέ μή , τέμνω δίχα κατά ὁ Ν , Ξ σημεῖον · ἴσος ἄρα ὁ ΝΜ εὐθύς ὁ ΞΖ . ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΝΜ ὁ ἀπό ὁ ΞΖ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΑ , ΑΜ μετά ὁ ἀπό ΝΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΕ , ΕΖ μετά ὁ ἀπό ΞΕ , ὅς ὁ ὑπό ΑΑ , ΑΜ ὁ ὑπό ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΝΑ ὁ ἀπό ὁ ΞΕ ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΝΑ ὁ ΞΕ . εἰμί δέ καί ὁ ΝΜ ὁ ΞΖ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΑΜ ὁ ΕΖ ἴσος . ὥστε καί ὁ ΑΑ ὁ ΔΕ ἴσος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.3
νζ´
Lemmas: νζ´
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.4
Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος τμηθῇ , τῶν γινομένων τριγώνων τὸ μείζων μείζονα περίμετρον ἔχει , καὶ οὐ τριγώνου μείζων ἡ περίμετρος , καὶ αὐτὸ μείζον ἐστίν .
Lemmas: ἐάν κῶνος σκαληνός διά ὁ ἄγω τέμνω , ὁ γίγνομαι τρίγωνος ὁ μείζων μείζων περίμετρον ἔχω , καί οὖον τρίγωνος μείζων ὁ περίμετρος , καί αὐτός μείζων εἰμί .
serenus.de-sectione-cylindri serenus_heiberg_opuscula_0293.5
τετμησθῶ κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος , καὶ γενέσθω ἐκ τῆς τομῆς τὰ ΑΓΔ , ΑΕΖ τρίγωνα , μείζων δὲ τὸ ΑΓΔ , ὥστε τὴν μὲν ΕΑ τῆς ΑΖ μείζονα εἶναι , τὴν δὲ ΓΑ τῆς ΑΔ μὴ ἐλάττονα . λέγω , ὅτι ἡ ΑΓΔ περίμετρος τῆς ΑΕΖ περιμέτρου μείζων ἐστίν .
Lemmas: τέμνω κῶνος σκαληνός διά ὁ ΑΒ ἄγω , καί γίγνομαι ἐκ ὁ τομή ὁ ΑΓΔ , ΑΕΖ τρίγωνος , μείζων δέ ὁ ΑΓΔ , ὥστε ὁ μέν ΕΑ ὁ αζʹ μείζων εἰμί , ὁ δέ ΓΑ ὁ ΑΔ μή μικρός . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔ περίμετρος ὁ ΑΕΖ περίμετρον μείζων εἰμί .