scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 21
21 . Τὸ αὐτὸ θεώρημα ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων εὕρηται οὕτως · τὰ ἴσα μεγέθη ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα καὶ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις κείμενα ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται . ἔστωσαν δύο μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς Α∠ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ , Ε∠ , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς Ε∠ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠Α . λέγω , ὅτι ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ μείζων φανήσεται . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕ∠ κύκλος ὁ ΑΕ∠ , καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ΕΒ , ΕΓ εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Ζ , Η , καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β , Γ σημείων ταῖς ΑΒ , ΓΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας αἱ ΒΘ , ΓΚ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ , Γ∠ ἴσαι εἰσίν , ἀλλὰ καὶ αἱ ΒΘ , ΓΚ , ὡς δείξομεν , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∠ΓΚ ἐστιν ἴση , καὶ βάσις ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ τῇ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστίν · ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖΘ περιφερείᾳ τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση . ἡ Κ∠ ἄρα περιφέρεια τῆς ΑΖ μείζων ἐστίν . πολλῷ ἄρα μείζων τῆς ΑΖ ἡ ΗΚ∠ . ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΖ βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία , ἐπὶ δὲ τῆς ΗΚ∠ περιφερείας βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ γωνία · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ τῆς ὑπὸ ΑΚΖ μείζων ἐστίν . ἀλλʼ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ὁρᾶται , ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕ∠ ἡ Γ∠ · μειζων ἄρα ὁρᾶται ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ . ὅτι δὲ ἡ ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΚ , δείξομεν οὕτως · ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ἴση ἐστί , καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν Α∠ αἱ ΘΒ , ΓΚ , παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΘ , ΓΚ εὐθεῖαι · προσεκβληθεῖσαι παράλληλοι ἔσονται . προσεκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΘΟ , ΚΠ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ρ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ μὲν τὰς ΘΟ , ΚΠ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΡΝ , ΡΞ , ἐπὶ δὲ τὴν Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΡΣ ἡ ΡΣ ἄρα δίχα τὴν Α∠ κατὰ τὸ Σ τεμεῖ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΣ τῇ ΣΓ ἴση ἐστίν . ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΣ τῇ ΝΡ ἴση ἐστίν , καὶ ἡ ΣΓ τῇ ΡΞ ἴση ἐστίν . καί εἰσι πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΘΟ , ΚΠ · αἱ ΘΟ , ΚΠ ἄρα ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ Ρ , καὶ διὰ τοῦτο καί εἰσιν ἴσαι . ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν αἱ ΘΝ , ΚΞ ἴσαι εἰσίν , ὧν αἱ ΒΝ , ΓΞ ἴσαι · καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ΘΒ , ΚΓ ἴσαι εἰσίν . Ad prop . VIII .
Lemmas: 21 . Τέ αὐτός θεώρημα ἐν τις ὁ ἀντίγραφος εὑρίσκω οὕτως · ὁ ἴσος μέγεθος ἐπί ὁ αὐτηες͂ς εὐθεῖα εἰμί καί μή ἐφεξῆς ἀλλήλων κεῖμαι ἄνισος διΐστημι ὁ ὄμμα ἄνισος φαίνω . εἰμί δύο μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ ἐπί ὁ αὐτηες͂ς εὐθεῖα ὁ Α∠ μή ἐφεξῆς ἀλλήλων εἰμί καί ἄνισος διΐστημι ἀπό ὁ ὄμμα ὁ Ε , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΑ , Ε∠ , καί εἰμί μέγας ὁ ΕΑ ὁ Ε∠ , καί ὀρθός ὁ ὑπό ∠Α . λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ μέγας φαίνω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΕ∠ κύκλος ὁ ΑΕ∠ , καί προσεκβάλλω ὁ ΕΒ , ΕΓ εὐθεῖα ἐπί ὁ Ζ , ὁ , καί ἀναστατόω ἀπό ὁ Β , Γ σημεῖον ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ὀρθός γωνία ὁ ΒΘ , ΓΚ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ , Γ∠ ἴσος εἰμί , ἀλλά καί ὁ ΒΘ , ΓΚ , ὡς δείκνυμι , καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΘ γωνία ὁ ὑπό ∠ΓΚ εἰμί ἴσος , καί βάσις ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Θ ὁ ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ Κ ἴσος εἰμί · ὥστε καί περιφέρεια ὁ ΑΖΘ περιφέρεια ὁ ΚΔ εἰμί ἴσος . ὁ Κ∠ ἄρα περιφέρεια ὁ αζʹ μέγας εἰμί . πολύς ἄρα μέγας ὁ αζʹ ὁ ΗΚ∠ . ἀλλά ἐπί μέν ὁ αζʹ βαίνω ὁ ὑπό ΑΕΖ γωνία , ἐπί δέ ὁ ΗΚ∠ περιφέρεια βαίνω ὁ ὑπό ΗΕ∠ γωνία · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΗΕ∠ ὁ ὑπό ΑΚΖ μέγας εἰμί . ἀλλά ὑπό μέν ὁ ὑπό ΑΕΖ ὁ ΑΒ εὐθύς ὁράω , ὑπό δέ ὁ ὑπό ΗΕ∠ ὁ Γ∠ · μέγας ἄρα ὁράω ὁ Γ∠ ὁ ΑΒ . ὅτι δέ ὁ ΒΘ ἴσος εἰμί ὁ ΓΚ , δείκνυμι οὕτως · ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ ἴσος εἰμί , καί κάθετος ἐπί ὁ Α∠ ὁ ΘΒ , ΓΚ , παράλληλος εἰμί ὁ ΒΘ , ΓΚ εὐθεῖα · προσεκβάλλω παράλληλος εἰμί . προσεκβάλλω καί εἰμί ὁ ὁ , ΚΠ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος καί εἰμί ὁ Ρ , καί ἀπό ὁ Ρ ἐπί μέν ὁ ὁ , ΚΠ κάθετος ἄγω ὁ ΡΝ , ΡΞ , ἐπί δέ ὁ Α∠ πρός ὀρθός ὁ ΡΣ ὁ ΡΣ ἄρα δίχα ὁ Α∠ κατά ὁ Σ τέμνω . ἀλλά καί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ ὑπόκειμαι ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΣ ὁ ΣΓ ἴσος εἰμί . ἀλλά καί ὁ ΒΣ ὁ ΝΡ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΣΓ ὁ ΡΞ ἴσος εἰμί . καί εἰμί πρός ὀρθός ὁ ὁ , ΚΠ · ὁ ὁ , ΚΠ ἄρα ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ Ρ , καί διά οὗτος καί εἰμί ἴσος . ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός ὁ ΘΝ , ΚΞ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ΒΝ , ΓΞ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΘΒ , ΚΓ ἴσος εἰμί . Ad prop . VIII .