ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 1
1 . Τουτέστι κατὰ συνέχειαν p . 148 , 18 — οὐ τοῦτο ἔοικε λέγειν τὸ κατὰ συνέχειαν ἤγουν συνεχῶς καὶ ἐχομένως ἀεί · εἴη γὰρ ἂν ἐναντίον τῷ ἐν διαστήματι φέρεσθαι καὶ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν · λέγει δὲ κατὰ συνέχειαν τὸ ἐφεξῆς μεταπίπτειν καὶ μὴ πεπλανημένως , ἀλλὰ κατὰ μετάβασιν προϊούσας καὶ μεθισταμένας .
Lemmas: 1 . τουτέστι κατά συνέχεια p . 148 , 18 — οὐ οὗτος ἔοικα λέγω ὁ κατά συνέχεια ἤγουν συνεχής καί ἐχομένως ἀεί · εἰμί γάρ ἄν ἐναντίος ὁ ἐν διάστημα φέρω καί ἐκ διάστημα αὐτός ὑπάρχω · λέγω δέ κατά συνέχεια ὁ ἐφεξῆς μεταπίπτω καί μή πεπλανημένως , ἀλλά κατά μετάβασις προέρχομαι καί μεθίστημι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 2
2 . Ἔφερεν αἰτίας p . 148 , ἤγουν αἰτιάματα ὡς μὴ κατὰ λόγον λεγόμενον αἰτιώμενος αὐτό .
Lemmas: 2 . φέρω αἰτία p . 148 , ἤγουν αἰτίαμα ὡς μή κατά λόγος λέγω αἰτιάομαι αὐτός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 3
3 . Οἷον γωνίαι p . 154 , κἀντεῦθεν ὅρα τὸ ἐν διαστήμασι τὰς ὄψεις φέρεσθαι , νόει δὲ ταῦτα τὰ διαστήματα βραχύτατα ὅσον οἷόν τέ ἐστι μάλιστα , ὅσον ταῖς πρὸς τῷ ὄμματι γωνίαις ἐγγίζει πορρώτερον τοῦ ὄμματος ἀεὶ μείζω γίνεται κέντρου γὰρ τοῦ ὄμματος νοουμένου ἀνάγκη τὰς ὄψεις κωνοειδῶς φέρεσθαι καὶ προϊούσας μᾶλλον ἀλλήλων σχίζεσθαι , ὃ καὶ δῆλον αἴτιον γίνεσθαι τοῦ πᾶν μέγεθος ἔχειν τι διάστημα , ἀφʼ οὗ οὐχ ὁρᾶται . μέχρι μὲν γὰρ ἔγγιον ὂν μεῖζον ᾖ τοῦ τῶν ὄψεων διαστήματος , ὁρᾶται , ἐπειδὰν δὲ πορρώτερον γενόμενον μείζονι ἑαυτοῦ διαστήματι τῶν ὄψεων ἐντύχῃ , ἤδη μηδαμῶς αὐτοῦ τῶν ὄψεων ἐφαπτομένων διὰ τὸ παρεμπεπτωκέναι τῷ διαστήματι αὐτῶν οὐχ ὁρᾶται . Ad definitiones .
Lemmas: 3 . Οἷος γωνία p . 154 , ἐντεῦθεν ὁράω ὁ ἐν διάστημα ὁ ὄψις φέρω , νοέω δέ οὗτος ὁ διάστημα βραχύς ὅσον οἷος τε εἰμί μάλιστα , ὅσον ὁ πρός ὁ ὄμμα γωνία ἐγγίζω πρόσω ὁ ὄμμα ἀεί μέγας γίγνομαι κέντρον γάρ ὁ ὄμμα νοέω ἀνάγκη ὁ ὄψις κωνοειδής φέρω καί προέρχομαι μᾶλλον ἀλλήλων σχίζω , ὁ καί δῆλος αἴτιος γίγνομαι ὁ πᾶς μέγεθος ἔχω τίς διάστημα , ἀπό ὅς οὐ ὁράω . μέχρι μέν γάρ ἐγγίων εἰμί μέγας εἰμί ὁ ὁ ὄψις διάστημα , ὁράω , ἐπειδάν δέ πρόσω γίγνομαι μέγας ἑαυτοῦ διάστημα ὁ ὄψις ἐντυγχάνω , ἤδη μηδαμῶς αὐτός ὁ ὄψις ἐφάπτω διά ὁ παρεμπίπτω ὁ διάστημα αὐτός οὐ ὁράω . Ad definitiones .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 4
4 . Τὰ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται οὐχ ἑαυτῶν , ἀλλὰ μείζονα δηλονότι , ἢ εἰ ἑωρᾶτο ὑπὸ ὀξείας γωνίας · οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν δύο τρίγωνα ἴσα τὰ ΒΓ∠ , Β Κ Λ , μείζων δὲ ἔστω ἡ τοῦ ΒΓ∠ τριγώνου πρὸς τῷ Β γωνία , παῤ ὃ ἡ τοὺ ΒΚ Λ πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ . λέγω , ὅτι τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενον , παῤ ὃ τὸ ΚΒΛ , μεῖζον φαίνεται τοῦ ΚΒΛ διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒ∠ γωνίαν εἶναι μείζονα τῆς ὑπὸ ΚΒΛ . ἢ τὸ μείζονα ἐνταῦθα τὸ συγκριτικὸν ἀντὶ ἁπλοῦ κεῖται ὡς εἶναι τὸ μείζονα φαίνεσθαι ἀντὶ τοῦ μεγάλα φαίνεσθαι , ὥσπερ τὸ ἐναντίον τὰ ὑπὸ ἐλάσσονος γωνίας θεωρούμενα μικρὰ φαίνεται καὶ τὰ ὑπὸ ἴσης ἴσα .
Lemmas: 4 . Τά ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω οὐ ἑαυτοῦ , ἀλλά μέγας δηλονότι , ἢ εἰμί ὁράω ὑπό ὀξύς γωνία · οἷος ὡς ἐν ὑπόδειγμα εἰμί δύο τρίγωνος ἴσος ὁ ΒΓ∠ , Β Κ Λ , μέγας δέ εἰμί ὁ ὁ ΒΓ∠ τρίγωνον πρός ὁ Β γωνία , παρά ὁ ὁ ὁ ΒΚ Λ πρός ὁ αὐτός σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ∠ τρίγωνον ὑπό μέγας γωνία ὁράω , παρά ὁ ὁ ΚΒΛ , μέγας φαίνω ὁ ΚΒΛ διά ὁ ὁ ὑπό ΓΒ∠ γωνία ἔρχομαι μέγας ὁ ὑπό ΚΒΛ . ἢ ὁ μέγας ἐνταῦθα ὁ συγκριτικός ἀντί ἁπλόος κεῖμαι ὡς ἔρχομαι ὁ μέγας φαίνω ἀντί ὁ μέγας φαίνω , ὥσπερ ὁ ἐναντίος ὁ ὑπό μικρός γωνία θεωρέω μικρός φαίνω καί ὁ ὑπό ἴσος ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 5
5 . Μετεώρους μὲν ἀπλῶς ἀκτῖνας τὰς μακρὰς ὀνομάζει καὶ ὑψηλάς , μετεωροτέρας δὲ τούτων αὐτῶν πάλιν τὰς μακροτέρας τε καὶ ὑψηλοτέρας · οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τρία μεγέθη ἀλλήλων ἀπέχοντα ἱκανὸν διάστημα τὰ ΒΓ , ∠Ζ , Κ Λ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἐπʼ αὐτὰ ὄψεις αἱ ΒΝ , ∠Ν , ΚΝ . λέγω , ὅτι ἴσων μεγεθῶν τούτων ὑποκειμένων καὶ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου , καθʼ ὅ ἐστι τὸ ὄμμα , τῶν ἀκτίνων προσπιπτουσῶν μετεωροτέρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΝ ἀκτὶς τῆς ∠Ν , ἡ δὲ ∠Ν τῆς ΚΝ , καὶ ὁμοίως ἂν τοῦτο ὑπῆρχεν , εἰ καὶ ἕτεραι πλείους αὐτῶν ἦσαν .
Lemmas: 5 . μετέωρος μέν ἀπλόος ἀκτίς ὁ μακρός ὀνομάζω καί ὑψηλός , μετέωρος δέ οὗτος αὐτός πάλιν ὁ μακρός τε καί ὑψηλός · οἷος ὡς ἐν ὑπόδειγμα εἰμί τρεῖς μέγεθος ἀλλήλων ἀπέχω ἱκανός διάστημα ὁ ΒΓ , ∠Ζ , Κ Λ , καί προσπίπτω ἐπί αὐτός ὄψις ὁ ΒΝ , ∠Ν , ΚΝ . λέγω , ὅτι ἴσος μέγεθος οὗτος υποκείμενος καί ἀπό ὁ Ν σημεῖον , κατά ὁ εἰμί ὁ ὄμμα , ὁ ἀκτίς προσπίπτω μετέωρος εἰμί ὁ μέν ΒΝ ἀκτίς ὁ ∠Ν , ὁ δέ ∠Ν ὁ ΚΝ , καί ὅμοιος ἄν οὗτος ὑπάρχω , εἰμί καί ἕτερος πολύς αὐτός ἥδω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 6
6 . Τουτέστιν ὅταν τὸ αὐτὸ διὰ πλειόνων γωνιῶν ὁρᾶται · τότε γὰρ ἐκ τῶν ὄψεων ἀκτῖνες αὐταῖς ἐρειδόμεναι διὰ πλειόνων ἂν λέγοιντο ὁρᾶν τὸ ὁρώμενον . Ad prop . I .
Lemmas: 6 . τουτέστιν ὅταν ὁ αὐτός διά πολύς γωνία ὁράω · τότε γάρ ἐκ ὁ ὄψις ἀκτίς αὐτός ἐρείδω διά πολύς ἄν λέγω ὁράω ὁ ὁράω . Ad prop . I .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 7
7 . Δεῖ γὰρ τὸ ὁρώμενον ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα · οὕτω γὰρ καὶ ὁραθήσεται , ὡς , εἴ γε μηδεμίαν ἀπόστασιν ἔχει , οὐχ ὁραθήσεται . Ad propp . II .
Lemmas: 7 . Δεύς γάρ ὁ ὁράω ἀπόστασις τις ἔχω πρός ὁ ὄμμα · οὕτως γάρ καί ὁράω , ὡς , εἰμί γε μηδείς ἀπόστασις ἔχω , οὐ ὁράω . Ad propp . II .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 8
8 . Οὐ γὰρ ἂν εἴποιμεν p . 156 , εἰ γὰρ ἐλεύσονται διὰ τῶν Γ , ∠ , γίνεται τρίγωνον ἔχον δύο ὑποτεινούσας , ὧν ἡ ἐκτὸς ὑποτείνουσα μείζων γίνεται τῆς ἐντός , ὑπετέθη δὲ ἴση .
Lemmas: 8 . οὐ γάρ ἄν λέγω p . 156 , εἰμί γάρ ἔρχομαι διά ὁ Γ , ∠ , γίγνομαι τρίγωνος ἔχω δύο ὑποτείνω , ὅς ὁ ἐκτός ὑποτείνω μέγας γίγνομαι ὁ ἐντός , ὑποτίθημι δέ ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 9
9 . Μὴ θορυβείτω γὰρ ἡμᾶς τοῦτο , ὅπως τὸ μὲν ΒΓ∠ τρίγωνον ἐπὶ πλέον ἠνέῳκται κατὰ πλάτος , τὸ δὲ ΒΚ Λ στενώτερόν ἐστι . πρῶτον μὲν γὰρ τοῦ στοιχειωτοῦ ζητοῦντος ἴσα καὶ παράλληλα νοεῖν τὰ φαινόμενα , εἴπερ τὸ ΒΚ Λ τρίγωνον κατὰ πάντα ἐφήρμοζε τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ , οὐκ ἂν ἦσαν δύο , ἀλλʼ ὡς ἓν ἐφαίνοντο ἀλλʼ οὐδὲ παράλληλα · νῦν δʼ οὕτως , ὡς ἔχει , τεθέντων συμβαίνει τὴν ἔκθεσιν ἐφαρμόζειν αὐτοῖς · καὶ γὰρ παράλληλά τέ εἰσι τὰ τρίγωνα , καὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον πλεονεκτεῖ τῷ μήκει τῶν ΒΚ , ΒΛ γραμμῶν , καί ἐστι διὰ ταῦτα ἴσον τὸ ἕτερ
Lemmas: 9 . μή θορυβέω γάρ ἐγώ οὗτος , ὅπως ὁ μέν ΒΓ∠ τρίγωνον ἐπί πλείων ἠῴγνυμι κατά πλάτος , ὁ δέ ΒΚ Λ στένος εἰμί . πρῶτος μέν γάρ ὁ στοιχειωτής ζητέω ἴσος καί παράλληλος νοέω ὁ φαίνω , εἴπερ ὁ ΒΚ Λ τρίγωνον κατά πᾶς ἐφαρμόζω ὁ ΒΓ∠ τρίγωνον , οὐ ἄν ἥδω δύο , ἀλλά ὡς εἷς φαίνω ἀλλά οὐδέ παράλληλος · νῦν δέ οὕτως , ὡς ἔχω , τίθημι συμβαίνω ὁ ἔκθεσις ἐφαρμόζω αὐτός · καί γάρ παράλληλος τε εἰμί ὁ τρίγωνος , καί ὁ ΒΚΛ τρίγωνον πλεονεκτέω ὁ μῆκος ὁ ΒΚ , ΒΛ γραμμή , καί εἰμί διά οὗτος ἴσος ὁ ἕτερος
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 10
10 . Ἐπτειδή , ὅσαι ἂν ἀκτῖνες ἐπὶ τὸ Γ∠ προσπέσωσιν , ἐξώτεραι ἔσονται τοῦ ΚΛ μὴ προσπίπτουσαι αὐτῷ · ὥστε ὑπὸ πλειόνων ὁρᾶται τὸ Γ∠ .
Lemmas: 10 . Ἐπτειδή , ὅσος ἄν ἀκτίς ἐπί ὁ Γ∠ προσπίπτω , ἐξώτερος εἰμί ὁ ΚΛ μή προσπίπτω αὐτός · ὥστε ὑπό πολύς ὁράω ὁ Γ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 11
11 . Ἀλλὰ δηλονότι μέχρι τῶν Κ , Λ περάτων ἐλθοῦσαι στήσονται καὶ ἐφʼ ἑαυτὰς ἀνακλασθήσονται στηρίζουσιν , ἀλλʼ ὡς θ τι ἐπεὶ ἐγγύτερόν ἐστι τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον , καὶ πλείονες ὄψεις τούτῳ προσπεσοῦνται , καὶ ἀκολούθως ἀκριβέστερον ὁραθήσεται , τουτέστι μᾶλλον ἢ τὸ ἕτερον ὁραθήσεται .
Lemmas: 11 . ἀλλά δηλονότι μέχρι ὁ Κ , Λ πέρας ἔρχομαι ἵστημι καί ἐπί ἑαυτοῦ ἀνακλάω στηρίζω , ἀλλά ὡς θ τίς ἐπεί ἐγγύς εἰμί ὁ ΒΓ∠ τρίγωνος , καί πολύς ὄψις οὗτος προσπίπτω , καί ἀκόλουθος ἀκριβής ὁράω , τουτέστι μᾶλλον ἢ ὁ ἕτερος ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 12
12 . Πλειόνων ὄψεων p . 156 , εἰ δὲ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων , καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν . Ad prop . III .
Lemmas: 12 . πλείων ὄψις p . 156 , εἰμί δέ ὑπό πολύς ὄψις , καί ὑπό πολύς γωνία . Ad prop . III .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 13
13 . Ἴσως εἴποι τις ἄν , ὡς , ἐπειδὴ οὐ μόναι αἱ ΒΓ , Β∠ προσπίπτουσιν ἀκτῖνες πρὸς τὸ Γ∠ μέγεθος , ἀλλὰ καὶ ἄλλαι πλεῖσται μεταξὺ τῶν Γ , ∠ , ὅτε ἀφισταμένου τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ πίπτουσιν αἱ ΒΓ , Β∠ ἀκτῖνες , προσπεσοῦνται αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦσαι ἀκτῖνες . λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ἀπορήσαντα , ὅτι , εἰ καὶ πρὸς μικρὸν ἀφεστηκότος τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ προσβαλοῦσιν αἱ ΒΓ , Β∠ ἀκτῖνες , ἀλλʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου , καὶ ἐπὶ πλεῖστον ἀφεστηκότος τοῦ τοιούτου μεγέθους οὐδʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦνται διὰ τὸ πλατύνεσθαι τὸ μεταξὺ τῶν τοιούτων ὄψεων διάστημα ἀφισταμένου τοῦ μεγέθους ὄντος ὡρισμένου παντὸς μεγέθους .
Lemmas: 13 . ἴσος λέγω τις ἄν , ὡς , ἐπεί οὐ μόνος ὁ ΒΓ , Β∠ προσπίπτω ἀκτίς πρός ὁ Γ∠ μέγεθος , ἀλλά καί ἄλλος πλεῖστος μεταξύ ὁ Γ , ∠ , ὅτε ἀφίστημι ὁ Γ∠ μέγεθος οὐ πίπτω ὁ ΒΓ , Β∠ ἀκτίς , προσπίπτω ὁ μεταξύ ὁ μέσος προσπίπτω ἀκτίς . λέγω οὖν πρός ὁ οὕτως ἀπορέω , ὅτι , εἰμί καί πρός μικρός ἀφίστημι ὁ Γ∠ μέγεθος οὐ προσβάλλω ὁ ΒΓ , Β∠ ἀκτίς , ἀλλά ὁ μεταξύ ὁ μέσος , καί ἐπί πλεῖστος ἀφίστημι ὁ τοιοῦτος μέγεθος οὐδέ ὁ μεταξύ ὁ μέσος προσπίπτω διά ὁ πλατύνω ὁ μεταξύ ὁ τοιοῦτος ὄψις διάστημα ἀφίστημι ὁ μέγεθος εἰμί ὁρίζω πᾶς μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 14
14 . Τῶν γὰρ διαστημάτων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα , οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπʼ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψονται . Ad prop . IV .
Lemmas: 14 . Τοί γάρ διάστημα ἢ μᾶλλον ἀπόστασις προχωρέω εἰμί μεταξύ διάστημα , ὅς ὁ ἀπόστασις διά ὁ ἀπό ἀλλήλων ἀποσχίζω οὐ ἅπτω . Ad prop . IV .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 15
15 . Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΚΒΖ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β , ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ , Γ∠ , ∠Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΚ , ∠Κ . φημὶ δή , ὅτι ἡ Μ τῆς Ν μείζων ἐστίν , ἡ δὲ Ν τῆς Ξ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ∠Κ παράλληλος ἡ ΓΛ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ , οὕτως ἡ Κ Λ πρὸς τὴν ΛΒ . ἴση δὲ ἡ ∠Γ τῇ ΓΒ , ἴση ἄρα καὶ ἡ Κ Λ τῇ ΛΒ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β , μείζων ἡ ΓΛ τῆς ΛΒ , τουτέστι τῆς ΛΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Μ μείζων ἐστὶ τῆς Ο . ἀλλὰ ἡ Ο ἴση ἐστὶ τῇ Ν ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν · καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Μ ἐλάσσων ἐστίν . πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΖΚ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Π φανερὸν δή , ὅτι ἡ Ρ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . ὥστε πάλιν ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἡ Π ∠ μείζων ἐστὶ τῆς ΠΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Ν τῆς Σ . ἀλλʼ ἡ Σ τῇ Ξ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Ξ μείζων ἐστίν .
Lemmas: 15 . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΚΒΖ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Β , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΒΓ , Γ∠ , ∠Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΚ , ∠Κ . φημί δή , ὅτι ὁ Μ ὁ Ν μέγας εἰμί , ὁ δέ Ν ὁ Ξ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Γ ὁ ∠Κ παράλληλος ὁ ΓΛ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ∠Γ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ Κ Λ πρός ὁ ΛΒ . ἴσος δέ ὁ ∠Γ ὁ ΓΒ , ἴσος ἄρα καί ὁ Κ Λ ὁ ΛΒ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Β , μέγας ὁ ΓΛ ὁ ΛΒ , τουτέστι ὁ ΛΚ ὥστε καί γωνία ὁ Μ μείζων εἰμί ὁ ὁ . ἀλλά ὁ ὁ ἴσος εἰμί ὁ Ν ἐναλλάξ γάρ εἰμί · καί ὁ Ν ἄρα ὁ Μ μικρός εἰμί . πάλιν ἀπό ὁ ∠ ὁ ΖΚ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Π φανερός δή , ὅτι ὁ Ρ μέγας εἰμί ὀρθός . ὥστε πάλιν ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ Π ∠ μέγας εἰμί ὁ ΠΚ ὥστε καί γωνία ὁ Ν ὁ Σ . ἀλλά ὁ Σ ὁ Ξ εἰμί ἴσος · καί ὁ Ν ἄρα ὁ Ξ μέγας εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 16
16 . Ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , καὶ ἀνήχθω τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ , ἐφʼ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε . λέγω , ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ , τὸ δὲ ΒΓ τοῦ Γ∠ . προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΓ , Ε∠ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ διὰ , τὸ δεύτερον τοῦ ἕκτου . λοιπὸν ἔσται ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ . μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ διὰ τὸ μείζονα γωνίαν ὑποτείνειν · μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ . μείζωον ἄρα καὶ ἡ Θ γωνία τῆς Κ . ἀλλὰ τῇ Κ ἴση ἡ Λ διὰ τὸ εἶναι ἐναλλάξ · μείζων ἄρα ἡ καὶ τῆς Λ . μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ . ὁμοίως διὰ τοῦ Γ ἀχθείσης παραλλήλου τῇ ∠Ε τῆς ΓΗ δειχθήσεται τὸ ΒΓ , ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ Γ∠ .
Lemmas: 16 . εἰμί ἴσος διάστημα ἐπί εἷς εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , καί ἀνάγω ὁ Α∠ πρός ὀρθός ὁ ΑΕ , ἐπί ὅς κεῖμαι ὄμμα ὁ Ε . λέγω , ὅτι μέγας φαίνω ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΒΓ ὁ Γ∠ . προσπίπτω γάρ ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΓ , Ε∠ , καί ἄγω διά ὁ Β σημεῖον ὁ ΓΕ εὔθεια παράλληλος ὁ ΒΖ διά , ὁ δεύτερος ὁ ἕκτος . λοιπός εἰμί ἴσος ὁ αζʹ ὁ ΖΕ . μέγας δέ ὁ ΒΖ ὁ Γῆ διά ὁ μέγας γωνία ὑποτείνω · μέγας ἄρα καί ὁ ΖΕ . μείζωον ἄρα καί ὁ Θ γωνία ὁ Κ . ἀλλά ὁ Κ ἴσος ὁ Λ διά ὁ ἔρχομαι ἐναλλάξ · μέγας ἄρα ὁ καί ὁ Λ . μέγας ἄρα ὁράω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὅμοιος διά ὁ Γ ἄγω παράλληλος ὁ ∠Ε ὁ ΓΗ δείκνυμι ὁ ΒΓ , ὅτι μέγας φαίνω ὁ Γ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 17
17 . Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ τῆς ὑποτεινούσης τὴν Ο , ἡ δὲ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει . ἡ δὲ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ . Ad prop . VI .
Lemmas: 17 . Ζεύς ὁ ὁ ΛΓ ὑποτείνω καί ὁ Μ μέγας εἰμί καί ὁ ΛΚ ὁ ὑποτείνω ὁ ὁ , ὁ δέ μέγας πλευρά ὁ μέγας γωνία ὑποτείνω . ὁ δέ εἰς ὁ παράλληλος εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω . Ad prop . VI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 18
18 . Κάθετος ἄρα ἐστίν p . 162 , 3 — πῶς ἡ ΚΜ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΜΛ , δείξομεν οὕτως · ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἦκται ἡ Κ Α , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ Κ Α ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τὴν ΖΛ κάθετος ἦκται ἡ ΑΜ , καὶ πρὸς τὴν ΑΜ ἡ ΚΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν . ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α καὶ ἐπὶ τὸ Λ ἡ ΑΛ · καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΑΛ ἡ ΑΚ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν . ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΛ γωνίαν , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ , ΑΛ . πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΑΜΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΜΛ γωνίαν , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ , ΜΑ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ , ΑΜ , ΜΛ . ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ , ΑΜ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ · τρίγωνον γάρ ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ , καὶ διὰ τὸ μηʹ τοῦ πρώτου τῶν Στοιχείων ἡ ὑπὸ ΚΜΛ γωνία ὀρθή ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: 18 . κάθετος ἄρα εἰμί p . 162 , 3 — πῶς ὁ ΚΜ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΜΛ , δείκνυμι οὕτως · ἐπεί ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ἄγω ὁ Κ Α , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτηες͂ς εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ Κ Α ὀρθός ποιέω γωνία . ἐπεί οὖν ἐπί ὁ ΖΛ κάθετος ἄγω ὁ ΑΜ , καί πρός ὁ ΑΜ ὁ ΚΑ ὀρθός ποιέω γωνία . ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Α καί ἐπί ὁ Λ ὁ ΑΛ · καί πρός ἄρα ὁ ΑΛ ὁ ΑΚ ὀρθός ποιέω γωνία . ἐπεί οὖν τρίγωνος εἰμί ὀρθογώνιον ὁ ΚΑΛ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΚΑΛ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΛ ὑποτείνω ὁ ὀρθός γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΑ , ΑΛ . πάλιν ἐπεί τρίγωνος εἰμί ὀρθογώνιον ὁ ΑΜ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΑΜ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , Μα . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΑ , ΑΜ , ΜΛ . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΚΑ , ΑΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΜ · τρίγωνον γάρ εἰμί ὀρθογώνιον ὁ ΚΑΜ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΚΑΜ γωνία . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΜ , ΜΛ , καί διά ὁ μῆον ὁ πρῶτος ὁ στοιχεῖον ὁ ὑπό ΚΜΛ γωνία ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 19
19 . Μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ κτλ . p . 162 , ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ μείζων ἐστίν , δείξομεν τοῦτον τὸν τρόπον · ἐπεὶ ὀρθογώνιόν ἐστι τρίγωνον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν , ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΑ · ὥστε ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΚΜΞ . ἀμβλυγωνίου οὖν τριγώνου τοῦ ΚΞΜ ἡ ΚΞ ὑποτείνει τὴν πρὸς τῷ Μ ἀμβλεῖαν γωνίαν · μείζων ἄρα ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ . ἐπεὶ οὖν τρίγωνά εἰσιν ὀρθογώνια τὰ ΚΞΝ , ΚΜΛ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Ξ , Μ γωνίας , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ , ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ · ἡ γὰρ ΞΝ τῃ ΜΛ ἴση ἐστὶν ὡς παραλληλογράμμου τοῦ ΜΝ οὖσα ἀπεναντίον , ἡ δὲ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων . καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ μεῖζον · ὥστε καὶ ἡ ΚΝ τῆς ΚΛ μείζων . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων · ἴση δὲ ἡ ΞΝ τῇ ΜΛ · ἐὰν ἄρα τὴν ΜΛ ἐπὶ τὴν ΞΝ ἐφαρμόσωμεν , ἐντὸς πεσεῖται τὸ ΚΜΛ τρίγωνον τοῦ ΚΞΝ τριγώνου , καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ad prop . VII .
Lemmas: 19 . μείζων ἄρα καί γωνία ὁ ὑπό ΜΚΛ κτλ . p . 162 , ὅτι δέ ὁ ὑπό ΜΚΛ ὁ ὑπό ΞΚΝ μέγας εἰμί , δείκνυμι οὗτος ὁ τρόπος · ἐπεί ὀρθογώνιον εἰμί τρίγωνον ὁ ΚΑΜ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΚΑΜ γωνία , ὀξύς εἰμί ὁ ὑπό ΚΑΜ · ὥστε ἀμβλύς ὁ ὑπό ΚΜΞ . ἀμβλυγώνιος οὖν τρίγωνον ὁ ΚΞΜ ὁ ΚΞ ὑποτείνω ὁ πρός ὁ Μ ἀμβλύς γωνία · μέγας ἄρα ὁ ΚΞ ὁ ΚΜ . ἐπεί οὖν τρίγωνος εἰμί ὀρθογώνιον ὁ ΚΞΝ , ΚΜΛ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Ξ , Μ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΝ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΞ , ΞΝ , ὅμοιος καί ὁ ἀπό ὁ ΚΛ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΚΜ , ΜΛ . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΞ , ΞΝ μέγας ὁ ἀπό ὁ ΚΜ , ΜΛ · ὁ γάρ ΞΝ πῃ ΜΛ ἴσος εἰμί ὡς παραλληλόγραμμος ὁ ΜΝ εἰμί ἀπεναντίον , ὁ δέ ΚΞ ὁ ΚΜ μέγας . καί ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΝ ὁ ἀπό ὁ ΚΛ μέγας · ὥστε καί ὁ ΚΝ ὁ ΚΛ μέγας . δείκνυμι δέ καί ὁ ΚΞ ὁ ΚΜ μέγας · ἴσος δέ ὁ ΞΝ ὁ ΜΛ · ἐάν ἄρα ὁ ΜΛ ἐπί ὁ ΞΝ ἐφαρμόζω , ἐντός πίπτω ὁ ΚΜΛ τρίγωνον ὁ ΚΞΝ τρίγωνον , καί διά ὁ καί ὁ ὅς ὁ στοιχεῖον μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΜΚΛ ὁ ὑπό ΞΚΝ · ὅς δέω δείκνυμι . Ad prop . VII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 20
20 . Γεγράφθω γὰρ περὶ τὸ τρίγωνον κύκλος , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Κ∠ , ΚΓ ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ Ν , Ξ . καὶ ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ ὑπὸ Ζ∠Ν ὡς ἐκτὸς οὖσα , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ Ζ∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ∠Α . πάλιν ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ Γ ὡς ἐκτὸς οὖσα , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ΓΜ . τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων δειχθήσεται ἡ ΖΛΝ περιφέρεια μείζων τῆς ΞΒ περιφερείας ἐκ τοῦ παρακειμένου λήμματος τοῦ ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν · ἴσας γὰρ περιφερείας ἀφαιροῦσιν αἱ κάθετοι . ὥστε καὶ γωνία ἡ Σ μείζων ἐστὶ τῆς Φ . ὥστε καὶ ἡ Ζ∠ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ .
Lemmas: 20 . γράφω γάρ περί ὁ τρίγωνος κύκλος , καί ἐκβάλλω ὁ Κ∠ , ΚΓ ἐπί εὐθεῖα ἐπί ὁ Ν , Ξ . καί ἐπεί ἀμβλύς δείκνυμι ὁ ὑπό Ζ∠Ν ὡς ἐκτός εἰμί , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ∠ ὁ Ζ∠ πρός ὀρθός ἄγω εἰμί ὡς ὁ ∠Α . πάλιν ἐπεί ἀμβλύς δείκνυμι ὁ Γ ὡς ἐκτός εἰμί , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Γ πρός ὀρθός ἄγω εἰμί ὡς ὁ ΓΜ . οὗτος δέ οὕτως ἔχω δείκνυμι ὁ ΖΛΝ περιφέρεια μέγας ὁ ΞΒ περιφέρεια ἐκ ὁ παράκειμαι λῆμμα ὁ ἐν ὁ δέ θεώρημα ὁ γε βιβλίο ὁ σφαιρικός · ἴσος γάρ περιφέρεια ἀφαιρέω ὁ κάθετος . ὥστε καί γωνία ὁ Σ μέγας εἰμί ὁ Φ . ὥστε καί ὁ Ζ∠ μέγας φαίνω ὁ ΓΒ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 22
22 . Ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν εὑρήσεις ἔξωθεν σχόλιον , ὃ συμβαλεῖταί σοι εἰς τὴν παροῦσαν δεῖξιν .
Lemmas: 22 . ἐν ὁ ἰά θεώρημα ὁ γε βιβλίο ὁ σφαιρικός εὑρίσκω ἔξωθεν σχόλιον , ὁ συμβάλλω σύ εἰς ὁ πάρειμι δεῖξις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 23
23 . Ἴαη δὲ ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ · ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΘΖ , οὕτως ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΚΓ γωνίαν . ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΚΖ διὰ τὸ τριγώνου τοῦ ΚΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἦχθαι τὴν ΘΖ καὶ ἰσογώνια εἶναι τὰ τρίγωνα .
Lemmas: 23 . ἰάομαι δέ ὁ ∠Ζ ὁ ΒΓ · ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ΘΖ , οὕτως ὁ ὑπό ∠ΚΖ γωνία πρός ὁ ὑπό ΒΚΓ γωνία . ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΘΖ , οὕτως ὁ ΚΓ πρός ΚΖ διά ὁ τρίγωνον ὁ ΚΒΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ἄγω ὁ ΘΖ καί ἰσογώνιος ἔρχομαι ὁ τρίγωνος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 24
24 . Ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ p . 164 , ὡς ἀπὸ μείζονος διαστήματος γραφόμενος , ὅπερ ἐστὶν ἡ ΘΚ · μείζων γὰρ αὕτη τῆς ΚΖ · ὥστε ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ ὡς ἐλάσσονα τῆς ΚΘ .
Lemmas: 24 . ὑπερπίπτω ὁ ΚΖ p . 164 , ὡς ἀπό μέγας διάστημα γράφω , ὅς εἰμί ὁ ΘΚ · μέγας γάρ οὗτος ὁ ΚΖ · ὥστε ὑπερπίπτω ὁ ΚΖ ὡς μικρός ὁ ΚΘ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 25
25 . Οὕτως ἡ ΓΚ p . 164 , 25 ] διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΒΓΚ τῷ ΘΖΚ καὶ ἔχειν ἀνάλογον τὰς πλευράς , ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ , τὴν ΘΖ πρὸς τὴν ΖΚ . ὥστε καὶ ἐναλλάξ , ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ , τὴν ΓΚ πρὸς τὴν ΖΚ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ , καὶ ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΘΖ · ἴση γὰρ ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ . ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ .
Lemmas: 25 . οὕτως ὁ ΓΚ p . 164 , 25 ] διά ὁ ἰσογώνιος ἔρχομαι ὁ ΒΓΚ ὁ ΘΖΚ καί ἔχω ἀνάλογος ὁ πλευρά , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΚ , ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΚ . ὥστε καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΘΖ , ὁ ΓΚ πρός ὁ ΖΚ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΘΖ , καί ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΘΖ · ἴσος γάρ ὁ ∠Ζ ὁ ΒΓ . ὡς ἄρα ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΘΖ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 26
26 . Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι , διʼ ὧν ὁρῶνται τὰ ὁρώμενα , ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας , οὕτως καὶ τὰ ὁρώμενα διὰ τῶν γωνιῶν πρὸς ἄλληλα ἔχειν φαίνονται . ὡς ἄρα λοιπὸν ἡ ΣΡ γωνία ἔχει πρὸς τὴν Ρ γωνίαν , οὕτως ἔχει φαίνεται καὶ τὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ΒΓ . ἡ δὲ γωνία ἡ ΣΡ πρὸς τὴν Ρ γωνίαν ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπόστημα τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ . καὶ τὸ ∠Ζ ἄρα πρὸς τὸ ΒΓ μικρότερον φαίνεται παρὰ τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ . Ad prop . Χ .
Lemmas: 26 . ὡς γάρ ὁ γωνία , διά ὅς ὁράω ὁ ὁράω , ἔχω πρός ἀλλήλων , οὕτως καί ὁ ὁράω διά ὁ γωνία πρός ἀλλήλων ἔχω φαίνω . ὡς ἄρα λοιπός ὁ ΣΡ γωνία ἔχω πρός ὁ Ρ γωνία , οὕτως ἔχω φαίνω καί ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΒΓ . ὁ δέ γωνία ὁ ΣΡ πρός ὁ Ρ γωνία μικρός λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπόστημα ὁ ΚΓ πρός ὁ ΚΖ . καί ὁ ∠Ζ ἄρα πρός ὁ ΒΓ μικρός φαίνω παρά ὁ ΚΓ πρός ὁ ΚΖ . Ad prop . Χ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 27
27 . Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΚ παράλληλος ἡ ΗΕ . ἐπεὶ οὖν αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν κατὰ τὰ Η , Λ , M σημεῖα ἤπερ πρὸς τὴν ΚΓ , καί ἐστι μετεωρότερον τὸ Η τοῦ Λ , τὸ δὲ Λ τοῦ Μ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Η σημείου ἡ ΒΗΓ φέρεται ἀκτίς , διὰ δὲ τοῦ Λ ἡ ΒΛΖ , διὰ δὲ τοῦ Μ ἡ ΒΜ∠ , μετεωροτέρα ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΒΖ , ἡ δὲ ΒΖ τῆς Β∠ .
Lemmas: 27 . ἄγω γάρ διά ὁ ὁ σημεῖον ὁ ΒΚ παράλληλος ὁ ΗΕ . ἐπεί οὖν ὁ ὄψις πρότερος πρός ὁ ΗΕ προσπίπτω κατά ὁ ὁ , Λ , M σημεῖον ἤ πρός ὁ ΚΓ , καί εἰμί μετέωρος ὁ ὁ ὁ Λ , ὁ δέ Λ ὁ Μ , καί διά μέν ὁ ὁ σημεῖον ὁ ΒΗΓ φέρω ἀκτίς , διά δέ ὁ Λ ὁ ΒΛΖ , διά δέ ὁ Μ ὁ ΒΜ∠ , μετέωρος ὁ μέν ΒΓ ὁ ΒΖ , ὁ δέ ΒΖ ὁ Β∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 28
28 . Τὸ ι΄ ἐν ἄλλῳ οὕτως · ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον , ἀφʼ οὗ ὄμματος προσ πιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . λέγω , ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ζ μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ ∠Ζ τοῦ ΖΚ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε , καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΚ ἡ ΕΗ . καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ , προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον , ἡ δὲ Β∠ κατὰ τὸ Λ , ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερόν ἐστι , τὸ δὲ Λ τοῦ Μ , ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η , ἐν τούτῳ τὸ Γ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ , ἐν τούτῳ τὸ ∠ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ , ἐν τούτῳ τὸ Ζ , διὰ δὲ τῶν ΒΓ , Β∠ ἡ ∠Γ φαίνεται , διὰ δὲ τῶν Β∠ , ΒΖ ἡ Ζ ∠ , διὰ δὲ τῶν ΒΖ , ΒΚ ἡ ΚΖ , οὐκοῦν ἡ μὲν Γ∠ τῆς ∠Ζ μετεωροτέρα φαίνεται , ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΖΚ · τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται . τῶν ἄρα κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ἑξῆς . Ad prop . XI .
Lemmas: 28 . Τέ Ι΄ ἐν ἄλλος οὕτως · εἰμί γάρ ὄμμα ὁ Β ἄνω ὁ ΓΚ ἐπίπεδος κεῖμαι , ἀπό ὅς ὄμμα προς πίπτω ἀκτίς ὁ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , ὅς ὁ ΒΚ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι ὁ Γ∠ ὁ ∠Ζ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ∠Ζ ὁ ΖΚ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΖΚ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΖΚ ὁ ΕΗ . καί ἐπεί ὁ ὄψις πρότερος πρός ὁ ΗΕ προσπίπτω ἤ πρός ὁ ΕΓ , προσπίπτω ὁ ΗΕ ὁ μέν ΒΓ κατά ὁ ὁ σημεῖον , ὁ δέ Β∠ κατά ὁ Λ , ὁ δέ ΒΖ κατά ὁ Μ . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ὁ Λ μετέωρος εἰμί , ὁ δέ Λ ὁ Μ , ἀλλά ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ , ἐν οὗτος ὁ Γ , ἐν ὅς δέ ὁ Λ , ἐν οὗτος ὁ ∠ , ἐν ὅς δέ ὁ Μ , ἐν οὗτος ὁ Ζ , διά δέ ὁ ΒΓ , Β∠ ὁ ∠Γ φαίνω , διά δέ ὁ Β∠ , ΒΖ ὁ Ζ ∠ , διά δέ ὁ ΒΖ , ΒΚ ὁ ΚΖ , οὐκοῦν ὁ μέν Γ∠ ὁ ∠Ζ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ΔΖ ὁ ΖΚ · ὁ γάρ ὑπό μετέωρος ἀκτίς ὁράω μετέωρος φαίνω . ὁ ἄρα κάτω ὁ ὄμμα κεῖμαι καί ὁ ἑξῆς . Ad prop . XI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 29
29 . Πάλιν ἐὰν ἀγάγῃς παράλληλον εὐθεῖαν διὰ τοῦ Γ , φανερὸν ἔσται ἀπὸ τῶν σημείων . Ad prop . XII .
Lemmas: 29 . πάλιν ἐάν ἄγω παράλληλος εὐθεῖα διά ὁ Γ , φανερός εἰμί ἀπό ὁ σημεῖον . Ad prop . XII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 30
30 . Τοῦτο ὡς ἀπὸ τοῦ Ϛʹ φανερώτερον γίνεται . Ad prop . XIV .
Lemmas: 30 . Τοῦτης ὡς ἀπό ὁ ϛηʹ φανερός γίγνομαι . Ad prop . XIV .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 31
31 . Ἀντίστροφον · ἐκεῖ μὲν γὰρ ὑπὸ τοῦ ὄμματος ἐτέθη τὰ μεγέθη , νῦν δὲ ἄνω τοῦ ὄμματος . Ad prop . XVI .
Lemmas: 31 . ἀντίστροφος · ἐκεῖ μέν γάρ ὑπό ὁ ὄμμα τίθημι ὁ μέγεθος , νῦν δέ ἄνω ὁ ὄμμα . Ad prop . XVI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 32
32 . Ἀντίστροφον , ὡς εἰ νοηθείη τὸ σχῆμα μετατιθέμενον ἄνω κάτω . Ad prop . XIX .
Lemmas: 32 . ἀντίστροφος , ὡς εἰμί νοέω ὁ σχῆμα μετατίθημι ἄνω κάτω . Ad prop . XIX .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 33
33 . Ἐπὶ τὸ Β πέρας p . 176 , μετακινουμένου δηλονότι ἢ τοῦ ἐνόπτρου ἢ τοῦ ὁρῶντος · οὐ γὰρ κατὰ πρώτην τυχὸν ἐπιβολὴν τῆς ὄψεως κατʼ ἔμφασιν ὁραθήσεται παρὰ τῆς ὄψεως ἐν τῷ κατόπτρῳ τὸ ἄκρον τοῦ ὕψους .
Lemmas: 33 . ἐπί ὁ Β πέρας p . 176 , μετακινέω δηλονότι ἢ ὁ ἔνοπτρον ἢ ὁ ὁράω · οὐ γάρ κατά πρῶτος τυγχάνω ἐπιβολή ὁ ὄψις κατά ἔμφασις ὁράω παρά ὁ ὄψις ἐν ὁ κάτοπτρον ὁ ἄκρος ὁ ὕψος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 34
34.Οὕτως γὰρ ἐνορῶμεν τῷ ἐσόπτρῳ , ἕως οὗ τὸ ἄκρον ἐν αὐτῷ τοῦ δοθέντος μεγέθους ἴδωμεν .
Lemmas: Οὗ̓τως γάρ ἐνοράω ὁ ἔσοπτρος , ἠώς ὅς ὁ ἄκρος ἐν αὐτός ὁ δίδωμι μέγεθος ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 35
35 . Ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς p . 176 , φησὶ γὰρ ἐκεῖσε ὁ Εὐκλείδης οὕτως · ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται . ἁρμόζει δὲ αὐτῷ καὶ τὸ ἐν τοῖς ὅροις τῶν Κατοπτρικῶν εἰρημένον · ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ τὰ ἑξῆς . Ad prop . XXI .
Lemmas: 35 . ἐν ὁ κατοπτρικός p . 176 , φημί γάρ ἐκεῖσε ὁ Εὐκλείδης οὕτως · ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον καί κυρτός καί κοῖλος ὁ ὄψις ἐν ἴσος γωνία ἀνακλάω . ἁρμόζω δέ αὐτός καί ὁ ἐν ὁ ὅρος ὁ κατοπτρικός λέγω · ἔνοπτρον τίθημι ἐν ἐπίπεδος καί ὁ ἑξῆς . Ad prop . XXI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 36
36 . Ἐναρμόζω γὰρ ἐν τῷ μέσῳ διαστήματι τῶν ἀκτίνων μέγεθος ἀεὶ ἐναρμόζων , ἕως οὗ διὰ τῶν ἄκρων αὐτοῦ ἴδω τὰ ἄκρα τοῦ δοθέντος μεγέθους . Ad prop . XXII .
Lemmas: 36 . ἐναρμόζω γάρ ἐν ὁ μέσος διάστημα ὁ ἀκτίς μέγεθος ἀεί ἐναρμόζω , ἠώς ὅς διά ὁ ἄκρος αὐτός ὁράω ὁ ἄκρος ὁ δίδωμι μέγεθος . Ad prop . XXII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 37
37 . Οὐδὲ γὰρ ἅμα βλέπει ὅλον , ἵνα συναίσθηται ὡς περιφεροῦς τοῦ ὁρωμένου .
Lemmas: 37 . οὐδέ γάρ ἅμα βλέπω ὅλος , ἵνα συναισθάνομαι ὡς περιφερής ὁ ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 39
39 . Ποιήσει δή p . 180 , διὰ τὸ πρῶτον τῶν Σφαιρικῶν .
Lemmas: 39 . Ποίησις δή p . 180 , διά ὁ πρῶτος ὁ σφαιρικός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 40
40 . Ἐφάψονται αἱ ΒΛ , ΒΖ p . 182 , ἔσχαται οὖσαι αἱ ἀκτῖνες τῶν ὁρώντων τὴν σφαῖραν .
Lemmas: 40 . ἐφάπτω ὁ ΒΛ , ΒΖ p . 182 , ἔσχατος εἰμί ὁ ἀκτίς ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 41
41 . Καὶ ἐπεὶ ἑκάστη κτλ . p . 182 , ἑκάστην τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθὴν συνάξουσιν εἶναι ἄλλοι μὲν ἴσως ἄλλως , ἐγὼ δὲ τοῦτον τὸν τρόπον . ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΚΖΒ , ΚΛΒ ἡμικύκλιόν ἐστιν , ἡ ΚΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΛΒ περιφερείᾳ , ὧν ἡ ΚΖ ἴση τῇ ΚΛ · ἴσαι γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΚΖ , ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ΖΓ∠ κύκλου ὑποτείνουσιν αὐτάς · λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια τῇ ΛΒ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν . ὥστε καὶ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ΒΛ ἴση ἐστίν . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΚΖΒ , ΚΛΒ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ , ΚΒ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ , ΚΒ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΒ τῇ βάσει τῇ ΛΒ ἴσην , καὶ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΖΚΒ τῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΚΒ ἴσην ἕξει . πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΖΚΘ , ΛΚΘ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ , ΚΘ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ , ΚΘ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ , καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΘ βάσει τῇ ΘΛ ἴσην ἕξει . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΚΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν Ζ Λ δίχα τέμνει , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ .
Lemmas: 41 . καί ἐπεί ἕκαστος κτλ . p . 182 , ἕκαστος ὁ πρός ὁ Θ γωνία ὀρθός συνάγω ἔρχομαι ἄλλος μέν ἴσως ἄλλως , ἐγώ δέ οὗτος ὁ τρόπος . ἐπεί ἕκαστος ὁ ΚΖΒ , ΚΛΒ ἡμικύκλιον εἰμί , ὁ ΚΖΒ περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΚΛΒ περιφέρεια , ὅς ὁ ΚΖ ἴσος ὁ ΚΛ · ἴσος γάρ εὐθεῖα ὁ ΚΖ , ΚΛ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΖΓ∠ κύκλος ὑποτείνω αὐτός · λοιπός ἄρα ὁ ΖΒ περιφέρεια ὁ ΛΒ περιφέρεια ἴσος εἰμί . ὥστε καί εὐθύς ὁ ΖΒ ὁ ΒΛ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν δύο τρίγωνος εἰμί ὁ ΚΖΒ , ΚΛΒ ὁ δύο πλευρά ὁ ΖΚ , ΚΒ Τά δύο πλευρά ὁ ΛΚ , ΚΒ ἴσος ἔχω καί ὁ βάσις ὁ ΖΒ ὁ βάσις ὁ ΛΒ ἴσος , καί ὁ γωνία ὁ ὑπό ΖΚΒ ὁ γωνία ὁ ὑπό ΛΚΒ ἴσος ἔχω . πάλιν ἐπεί δύο τρίγωνος ὁ ΖΚΘ , ΛΚΘ ὁ δύο πλευρά ὁ ΖΚ , ΚΘ ὁ δύο πλευρά ὁ ΛΚ , ΚΘ ἴσος ἔχω καί ὁ γωνία ὁ γωνία , καί ὁ βάσις ὁ ΖΘ βάσις ὁ ΘΛ ἴσος ἔχω . καί ἐπεί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΚΒ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ Ζ Λ δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 42
42 . Διὰ τὸ παράλληλον p . 182 , παράλληλος διὰ τοῦ κηʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων .
Lemmas: 42 . Ζεύς ὁ παράλληλος p . 182 , παράλληλος διά ὁ καίω ὁ ὅς ὁ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 44
44 . Αἱ ΡΖ , ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται p . 184 , ἐφάπτονται ἄρα διὰ τὸ ἐν τῷ ιϚʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων πόρισμα . Ad prop . XXVI .
Lemmas: 44 . ὁ ΡΖ , ΡΣ κατά εἷς ἐφάπτω p . 184 , ἐφάπτω ἄρα διά ὁ ἐν ὁ ιϚʹ ὁ γε ὁ στοιχεῖον πόρισμα . Ad prop . XXVI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 45
45 . Ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ p . 186 , χρὴ δὲ νοεῖν , ὅτι ἡ διάστασις τῶν ὀμμάτων παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου .
Lemmas: 45 . ὄμμα διάστημα ὁ ΒΓ p . 186 , χράω δέ νοέω , ὅτι ὁ διάστασις ὁ ὄμμα παράλληλος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ κύκλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 46
46 . Τουτέστιν ἐπιζευχθεισῶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰ Β , Γ σημεῖα εὐθειῶν .
Lemmas: 46 . τουτέστιν ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ Β , Γ σημεῖον εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 47
47 . Ἔλασσον ἂν εἴη p . 186 , εἰ γὰρ τεθείη τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ , διὰ τὸ κγʹ τῶν Ὀπτικῶν ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος .
Lemmas: 47 . ἔλασσον ἄν εἰμί p . 186 , εἰμί γάρ τίθημι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Θ , διά ὁ κγʹ ὁ ὀπτικός μικρός ἡμισφαίριον ὁράω ὑπό ὁ εἷς ὄμμα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 48
48 . Τὸ ΖΝ∠ p . 186 , τουτέστιν τὸ ὑπὸ τοῦ κύκλου διοριζόμενον τοῦ περὶ τὴν ∠ΝΖ . Ad prop . XXVIII .
Lemmas: 48 . Τέ ΖΝ∠ p . 186 , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ κύκλος διορίζω ὁ περί ὁ ∠ΝΖ . Ad prop . XXVIII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 49
49 . Ὃν τρόπον ἐπὶ τοῦ κγʹ καὶ κδ΄ ἔδειξεν , οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν δύο τούτων τοῦ κηʹ καὶ κθʹ , πλὴν ἐκεῖ μὲν ἐπὶ σφαίρας , ὧδε δὲ ἐπὶ κυλίνδρου . Ad prop . XXX .
Lemmas: 49 . ὅς τρόπος ἐπί ὁ κγʹ καί κδ΄ δείκνυμι , οὕτως καί ἐπί ὁ δύο οὗτος ὁ καίω καί τύ , πλήν ἐκεῖ μέν ἐπί σφαῖρα , ὧδε δέ ἐπί κύλινδρος . Ad prop . XXX .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 50
50 . Κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν p . 192 , οὐχί , διότι ἔστι τις κῶνος μὴ ἔχων κύκλον τὴν βάσιν , τοῦτό φησιν , ἀλλὰ τὴν φύσιν τοῦ κώνου παραστῆσαι βουλόμενος .
Lemmas: 50 . Κύκλος ἔχω ὁ βάσις p . 192 , οὐ , διότι εἰμί τις κῶνος μή ἔχω κύκλος ὁ βάσις , τούτος φημί , ἀλλά ὁ φύσις ὁ κῶνος παρίστημι βούλομαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 51
51 . Καὶ ἐπὶ τούτου καὶ τοῦ μετὰ τοῦτο ὁμοία ἡ δεῖξις πλὴν ἐπὶ κώνου . Ad prop . XXXII .
Lemmas: 51 . καί ἐπί οὗτος καί ὁ μετά οὗτος ὅμοιος ὁ δεῖξις πλήν ἐπί κῶνος . Ad prop . XXXII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 52
52 . Τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ p . 194 , τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου .
Lemmas: 52 . ὁ προυπόκειμαι ἐπίπεδος p . 194 , τουτέστι ὁ βάσις ὁ κῶνος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 53
53 . Οὐκοῦν συμπεσεῖται p . 196 , ἐπειδὴ κατὰ τὸ αὐτὸ ἄκρον ἄνω μὲν κατὰ τὸ Β , κάτω δὲ κατὰ τὸ Κ συνάπτονται . Ad prop . XXXIII .
Lemmas: 53 . οὐκοῦν συμπίπτω p . 196 , ἐπεί κατά ὁ αὐτός ἄκρος ἄνω μέν κατά ὁ Β , κάτω δέ κατά ὁ Κ συνάπτω . Ad prop . XXXIII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 54
54 . Ἔλασσον φαίνεται p . 196 , γρ . μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον , ἔλαττον δὲ φαίνεται , ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται , δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι .
Lemmas: 54 . ἔλασσον φαίνω p . 196 , γρ . μέγας μέν εἰμί ὁ κῶνος ὁ ὁράω , μικρός δέ φαίνω , ταπεινός δέ μικρός μέν εἰμί , δοκέω δέ μέγας φαίνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 55
55 . Τουτέστιν ἵνα ἐπί τινος εὐθείας τὸ ὄμμα ᾖ , ἥτις παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν περιφέρειαν αὐτοῦ ἀγομένῃ εὐθείᾳ .
Lemmas: 55 . τουτέστιν ἵνα ἐπί τις εὐθεῖα ὁ ὄμμα εἰμί , ὅστις παράλληλος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος πρός ὁ περιφέρεια αὐτός ἄγω εὐθύς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 56
56 . Ἴσὸν δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν κτλ . p . 198 , ἐὰν γάρ , καθὼς εἴρηται ἐν τῷ λαʹ θεωρήματι , ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπέσωσιν ἀκτῖνες πρὸς τὴν τοῦ κώνου περιφέρειαν ὡς αἱ ΝΤ , ΝΦ , καὶ ἀπὸ τῶν Τ , Φ ἐπὶ τὴν κορυφὴν τὴν ∠ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ὡς αἱ Τ∠ , Φ∠ , τὸ διὰ τῶν ΝΤ , Τ∠ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ΝΦ , Φ∠ κοινὴν τομὴν ἕξει τὴν ∠Ν , ἐφʼ ἧς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα ὡς κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Θ , ἴσον ἀεὶ τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται διὰ τὸ λαʹ θεώρημα · ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῆς ΛΣ . Ad prop . XXXV .
Lemmas: 56 . Ἴσος δέ ὁ μέν πρός ὁ Ν κτλ . p . 198 , ἐάν γάρ , καθώς λέγω ἐν ὁ λαός θεώρημα , ἀπό ὁ Ν ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς πρός ὁ ὁ κῶνος περιφέρεια ὡς ὁ ΝΤ , ΝΦ , καί ἀπό ὁ Τ , Φ ἐπί ὁ κορυφή ὁ ∠ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ὡς ὁ Τ∠ , Φ∠ , ὁ διά ὁ ΝΤ , Τ∠ ἐπίπεδος καί ὁ διά ὁ ΝΦ , Φ∠ κοινός τομή ἔχω ὁ ∠Ν , ἐπί ὅς ἐάν τίθημι ὁ ὄμμα ὡς κατά ὁ Ν καί ὁ Θ , ἴσος ἀεί ὁ κῶνος ὁ ὁράω ὁράω διά ὁ λαός θεώρημα · ὁμοίως καί ἐπί ὁ ΛΣ . Ad prop . XXXV .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 57
57 . Ὀρθὴ ἄν εἴη p . 20Ο , ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Κ∠Β γωνία τῇ ΚΒ∠ , ἡ δὲ ΚΖΒ τῇ ΖΒΚ , δύο ἄρα αἱ Β∠Κ , ∠ΖΒ δύο ταῖς ΖΒΚ , ΚΒ∠ ἴσαι εἰσίν . ὥστε αἱ τέσσαρες αἱ ΒΖΚ , Ζ∠Β , ∠ΒΚ , ΚΒΖ δύο τῶν ∠ΒΚ , ΚΒΖ , τουτέστι τῆς ∠ΒΖ , διπλασίονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ τέσσαρες δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ἐν τῷ τριγώνῳ γάρ εἰσι τῷ ∠ΖΒ . ὥστε ἡ ∠ΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν .
Lemmas: 57 . ὀρθός ἄν εἰμί p . 20ος , ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ Κ∠Β γωνία ὁ ΚΒ∠ , ὁ δέ ΚΖΒ ὁ ΖΒΚ , δύο ἄρα ὁ Β∠Κ , ∠ΖΒ δύο ὁ ΖΒΚ , ΚΒ∠ ἴσος εἰμί . ὥστε ὁ τέσσαρες ὁ ΒΖΚ , Ζ∠Β , ∠ΒΚ , ΚΒΖ δύο ὁ ∠ΒΚ , ΚΒΖ , τουτέστι ὁ ∠ΒΖ , διπλασίων εἰμί . ἀλλά ὁ τέσσαρες δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ἐν ὁ τρίγωνον γάρ εἰμί ὁ ∠ΖΒ . ὥστε ὁ ∠ΒΖ γωνία ὀρθός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 58
58 . Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς ἴσαι εἰσὶν αἱ ∠Κ , ΚΖ , ΚΒ , ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ Κ∠ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Β , Ζ . ὥστε ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ · ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ .
Lemmas: 58 . ἐπεί γάρ ὁ τρεῖς ἴσος εἰμί ὁ ∠Κ , ΚΖ , ΚΒ , ὁ ἄρα κέντρον ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ Κ∠ κύκλος γράφω ἔσσομαι καί διά ὁ Β , Ζ . ὥστε ὀρθός ὁ ὑπό ∠ΒΖ · ἐν ἡμικύκλιον γάρ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 59
59 . . δ γάρ εἰσιν ὡς τῆς ὑπὸ ∠ΒΖ διαιρουμένης ἐπεὶ ὡς ἐν τριγώνῳ τρεῖς εἰσιν . διὰ τοῦτο καὶ δύο ὀρθαῖς ἴσαι · ὥστε ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ ὀρθή ἐστι , διότι δ ἐφάνησαν ἐν τῷ τριγώνῳ , καὶ αὕτη ὡς δὶς λαμβανομένη ὀρθή ἐστιν .
Lemmas: 59 . . δ γάρ εἰμί ὡς ὁ ὑπό ∠ΒΖ διαιρέω ἐπεί ὡς ἐν τρίγωνον τρεῖς εἰμί . διά οὗτος καί δύο ὀρθός ἴσος · ὥστε ὁ ὑπό ∠ΒΖ ὀρθός εἰμί , διότι δ φαίνω ἐν ὁ τρίγωνον , καί οὗτος ὡς δίς λαμβάνω ὀρθός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 60
60 . Αἱ διάμετροι ἴσαι p . 202 , δῆλον δέ , ὅτι οὐ πᾶσαι πάσαις αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται , ἀλλὰ μία μιᾷ , οἷον τῇ ΕΓ ἡ ∠Β · αὕτη γὰρ μόνη δύναται ἴσας γωνίας περιέχειν μετὰ τῆς ΑΖ ταῖς περιεχομέναις ὑπὸ τῆς ΑΖ καὶ ΕΓ · τοῦτο δὲ διὰ τὸ μὴ εἶναι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὴν ΖΑ . Ad prop . XXXVI .
Lemmas: 60 . ὁ διάμετρος ἴσος p . 202 , δῆλος δέ , ὅτι οὐ πᾶς πᾶς ὁ διάμετρος ἴσος φανάω , ἀλλά εἷς εἷς , οἷος ὁ ΕΓ ὁ ∠Β · οὗτος γάρ μόνος δύναμαι ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ αζʹ ὁ περιέχω ὑπό ὁ αζʹ καί ΕΓ · οὗτος δέ διά ὁ μή ἔρχομαι πρός ὀρθός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ Γῆ . Ad prop . XXXVI .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 61
61 . Διήχθω γάρ p . 204 , μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δηλονότι τῇ ΓΑ .
Lemmas: 61 . διάγω γάρ p . 204 , μή πρός ὀρθός εἰμί δηλονότι ὁ ΓΑ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 62
62 . Ἡ ΓΖ p . 204 , οὖσα δηλονότι τοῦ κύκλου .
Lemmas: 62 . ὁ ΓΖ p . 204 , εἰμί δηλονότι ὁ κύκλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 63
63 . Αῆμμα . πῶς δὲ χρὴ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν τῇ κεκλιμένῃ εὐθείᾳ πρὸς τὸ ἐπίπεδον μίαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ; οὐ γὰρ καὶ ἑτέραν δυνατόν · ὑποκείσθω γὰρ τὸ σχῆμα , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ . φανερόν , ὅτι ἡ ΑΛ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστίν . ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΛ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΜ · ἥξει δὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΛ , τουτέστιν ἐν τῷ κύκλῳ . ἐπεὶ οὖν ἡ Β Λ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΛ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν κύκλον . ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΛ ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΑΛ τρίγωνον · καὶ τὸ ΒΛΑ ἄρα τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον . καὶ τῇ κοινῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΜ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΛ ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν . καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς , οὔσας δὲ ἐν τῷ ΒΑΛ ἐπιπέδῳ , ὀρθή ἐστιὐ ἡ ΜΑ ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΑΒ ὀρθή ἐστιν .
Lemmas: 63 . Αῆμμα . πῶς δέ χράω πρός ὀρθός ἄγω ὁ κλίνω εὔθεια πρός ὁ ἐπίπεδος εἷς εὐθεῖα ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ; οὐ γάρ καί ἕτερος δυνατός · ὑπόκειμαι γάρ ὁ σχῆμα , καί ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ἐπίπεδος κάθετος ἄγω ὁ ΒΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ . φανερός , ὅτι ὁ ΑΛ ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί . ἄγω οὖν ἀπό ὁ Α ὁ ΑΛ πρός ὀρθός ὁ ΑΜ · ἔσσομαι δή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἐν ὅς καί ὁ ΑΛ , τουτέστι ἐν ὁ κύκλος . ἐπεί οὖν ὁ Β Λ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΒΛ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος . εἷς δέ ὁ διά ὁ ΒΛ ἐπίπεδος εἰμί ὁ Βαλ τρίγωνον · καί ὁ ΑΒΛ ἄρα τρίγωνον ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος . καί ὁ κοινός ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΜ ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ΑΜ ἄρα πρός ὁ Βαλ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί . καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτηες͂ς , εἰμί δέ ἐν ὁ Βαλ ἐπίπεδος , ὀρθός εἰμί ὁ Μα ὥστε καί πρός ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 64
64 . Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἀπόδειξις , εἰ μήτε πρὸς ὁρθὰζ ἡ Ε∠ τῇ ΓΑ διαχθῇ · τότε γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν δυνάμεθα κάθετον ἀγαγεῖν τὴν Γ Ζ , καὶ οὕτως ἡ ἀπόδειξις προχωρεῖ . εἰ δὲ ἡ Ε∠ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΑ διαχθῇ , δειχθήσεται πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ ἐλάττων τοῦτον τὸν τρόπον · ἐπεὶ ἡ Βγ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ πάντα ἄρα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . ὥστε καὶ τὸ ΒΓΑ τρίγωνον τῷ Ε∠ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθάς ἐστι καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ ἡ Ε Α ἐν ἐνὶ τῶν ἐπιπέδων , ἡ ΕΑ ἄρα καὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΑΒΓ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἅπτεται δὲ αὐτῆς καὶ ἡ ΒΑ · καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΒΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ . ἐλάττων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ .
Lemmas: 64 . καί οὗτος μέν ὁ ἀπόδειξις , εἰμί μήτε πρός ὁρθός ὁ Ε∠ ὁ ΓΑ διάζομαι · τότε γάρ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ∠Ε εὐθεῖα δύναμαι κάθετος ἄγω ὁ Γ Ζ , καί οὕτως ὁ ἀπόδειξις προχωρέω . εἰμί δέ ὁ Ε∠ κάθετος ἐπί ὁ ΓΑ διάζομαι , δείκνυμι πάλιν ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΕ μικρός οὗτος ὁ τρόπος · ἐπεί ὁ βγʹ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , καί πᾶς ἄρα ὁ διά αὐτηες͂ς ἐπίπεδος ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ὥστε καί ὁ ΒΓΑ τρίγωνον ὁ Ε∠ κύκλος πρός ὀρθός εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ΓΑΒ τρίγωνον ὁ κύκλος πρός ὀρθός εἰμί καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ Ε Α ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος , ὁ ΕΑ ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὀρθός εἰμί · καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτηες͂ς εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓ ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ αὐτηες͂ς καί ὁ ΒΑ · καί πρός ἄρα ὁ ΒΑ ὀρθός ποιέω γωνία . ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΕ ὀξύς δέ ὁ ὑπό ΒΑΓ . μικρός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΒΑΕ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 65
65 . Ἀνάπαλιν ἄρα p . 206 , ἐπειδὴ εἶπεν · ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει , οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ , ἰστέον τοῦτο , ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ταυτότητος τῶν λόγων πάντα σώζεται καὶ τὸ ἐναλλὰξ καὶ τὸ συνθέντι καὶ τὸ διελόντι καὶ τὸ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν , οἷον ὡς τόδε πρὸς τόδε , οὕτως τόδε πρὸς τόδε · ἐναλλὰξ ὡς τόδε πρὸς τόδε , οὕτως τόδε πρὸς τόδε · πάλιν ὡς τόδε πρὸς τόδε , οὕτως τόδε πρὸς τόδε · συνθέντι ὡς τόδε πρὸς τόδε , οὕτως τόδε πρὸς τόδε · ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων . ἐπὶ δὲ τῆς ἑτερότητος τῶν λόγων πάντα μὲν τὰ ἄλλα σώζεται , τὸ δὲ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν οὐκέτι , οἷον ἐπεὶ . τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε , ἐναλλὰξ τόδε ἄρα πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε · ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ συνθέντι καὶ διελόντι . ἐπὶ δὲ τοῦ ἀντιστρέψαντι καὶ τοῦ ἀνάπαλιν οὐκέτι , ἀλλὰ τὸ ἐναντίον γίνεται οὕτως · τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε · ἀνάπαλιν τόδε ἄρα πρὸς τόδε ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε , ὡς ὧδε εἶπεν · ταῦτα δὲ ὁ Ἤρων διαρθροῖ .
Lemmas: 65 . ἀνάπαλιν ἄρα p . 206 , ἐπεί λέγω · ἀνάπαλιν ἄρα ὁ Ζ Α πρός ὁ ΑΒ μικρός λόγος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΑΒ , οἶδα οὗτος , ὅτι ἐπί μέν ὁ ταυτότης ὁ λόγος πᾶς σῴζω καί ὁ ἐναλλάξ καί ὁ συντίθημι καί ὁ διαιρέω καί ὁ ἀναστρέφω καί ὁ ἀνάπαλιν , οἷος ὡς ὅδε πρός ὅδε , οὕτως ὅδε πρός ὅδε · ἐναλλάξ ὡς ὅδε πρός ὅδε , οὕτως ὅδε πρός ὅδε · πάλιν ὡς ὅδε πρός ὅδε , οὕτως ὅδε πρός ὅδε · συντίθημι ὡς ὅδε πρός ὅδε , οὕτως ὅδε πρός ὅδε · ὅμοιος καί ἐπί ὁ ἄλλος . ἐπί δέ ὁ ἑτερότης ὁ λόγος πᾶς μέν ὁ ἄλλος σῴζω , ὁ δέ ἀναστρέφω καί ὁ ἀνάπαλιν οὐκέτι , οἷος ἐπεί . ὅδε πρός ὅδε μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅδε πρός ὅδε , ἐναλλάξ ὅδε ἄρα πρός ὅδε μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅδε πρός ὅδε · ὅμοιος καί ἐπί ὁ συντίθημι καί διαιρέω . ἐπί δέ ὁ ἀντιστρέφω καί ὁ ἀνάπαλιν οὐκέτι , ἀλλά ὁ ἐναντίος γίγνομαι οὕτως · ὅδε πρός ὅδε μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅδε πρός ὅδε · ἀνάπαλιν ὅδε ἄρα πρός ὅδε μικρός λόγος ἔχω ἤ ὅδε πρός ὅδε , ὡς ὧδε λέγω · οὗτος δέ ὁ Ἥρων διαρθρόω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 66
66 . Τὸ γὰρ αὐτὸ ἡ ΖΑ πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον τὸ ΑΒ .
Lemmas: 66 . Τέ γάρ αὐτός ὁ Γῆ πρός ὁ μικρός μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ μέγας ὁ ΑΒ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 67
67 . Πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν p . 208 , καὶ πρὸς αὐτὴν γὰρ ὀρθὰς ποιεῖν οὐ δύναται , ἐπειδή , ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ , καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · ὑπόκειται δὲ αὐτῷ μὴ οὖσα πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ λϚ΄ .
Lemmas: 67 . πρός δέ ὁ ΑΒ τυγχάνω p . 208 , καί πρός αὐτός γάρ ὀρθός ποιέω οὐ δύναμαι , ἐπειδή , ἐάν εὐθύς δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός ἐπί ὁ κοινός τομή ἐφίστημι , καί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὑπόκειμαι δέ αὐτός μή εἰμί πρός ὀρθός ἐν ὁ λϚ΄ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 68
68 . Καὶ πάντα ἄρα κτλ . p . 208 , διὰ τὸ δ΄ καὶ τὸ ιηʹ τῶν Στερεῶν τοῦ αʹ βιβλίου .
Lemmas: 68 . καί πᾶς ἄρα κτλ . p . 208 , διά ὁ Δ΄ καί ὁ ΙΗΥ ὁ Στερεός ὁ ὅς βιβλίο .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 69
69 . Ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα p . 208 , ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Στερεοῖς θεώρημα · ἐὰν ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ , καὶ ἀπό τινος σημείου αὐτῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ , ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέδων .
Lemmas: 69 . ἐπί ὁ κοινός ἄρα p . 208 , ἔχω γάρ ἐν ὁ Στερεός θεώρημα · ἐάν ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , καί ἀπό τις σημεῖον αὐτός ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ἐπί ὁ ἕτερος ἐπίπεδος κάθετος ἄγω , ἐπί ὁ κοινός τομή πίπτω ὁ ἐπίπεδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 70
70 . Ἡ ΝΞ μείζων p . 210 , διότι ἴση ὑπετέθη τῇ ΕΖ τῇ ὑποτεθείσῃ μείζονι τῶν ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐὰν ἡ ΕΖ μείζων , καὶ αὕτη ὡς ἴση ταύτῃ .
Lemmas: 70 . ὁ ΝΞ μέγας p . 210 , διότι ἴσος ὑποτίθημι ὁ ΕΖ ὁ ὑποτίθημι μέγας ὁ ἐκ ὁ κέντρον , καί ἐάν ὁ ΕΖ μέγας , καί οὗτος ὡς ἴσος οὗτος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 71
71 . Ἡ ΝΟ p . 21Ο , ἡ ΝΟ γὰρ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΛΣΜ τμήματος · ἡ γὰρ ΝΞ τῆς ΝΡ μείζων ἐστίν · ἐπὶ γὰρ τῆς ΝΞ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ ΛΣ · μείζων γάρ ἐστι τῆς ΛΝ . ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ τῷ ΛΞΜ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΛΜ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΛΞΜ κύκλου . ὑπόκειται δὲ ἡ ΝΞ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἐπειδὴ καὶ ἡ ΕΖ , καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων .
Lemmas: 71 . ὁ ΝΟ p . Ο , ὁ ΝΟ γάρ ἐκτός πίπτω ὁ ΛΣΜ τμῆμα · ὁ γάρ ΝΞ ὁ ΝΡ μέγας εἰμί · ἐπί γάρ ὁ ΝΞ εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ΛΣ · μέγας γάρ εἰμί ὁ ΛΝ . ἐπεί γάρ ἐν κύκλος ὁ ΛΞΜ εὐθύς τις ὁ ΝΞ εὐθεῖα τις ὁ ΛΜ δίχα καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ ΝΞ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ ΛΞΜ κύκλος . ὑπόκειμαι δέ ὁ ΝΞ μέγας ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἐπεί καί ὁ ΕΖ , καί ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 72
72 . Ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ p . 210 , ἡ γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἐδείχθη ἐλάττων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ γωνίας .
Lemmas: 72 . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΖΚ p . 210 , ὁ γάρ ὑπό ὁ ΕΖΚ δείκνυμι μικρός πᾶς ὁ διά ὁ Ζ διάγω καί ποιέω πρός ὁ ΑΒ γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 73
73 . Μείζων δὲ ἡ Ο p . τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΡΠ ἐκτός ἐστι , καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Π . καί ἐστι ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο ἴση τῇ ὑπὸ ΗΕΘ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Π ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ . Ad prop . XXXVIII .
Lemmas: 73 . μείζων δέ ὁ ὁ p . τρίγωνον γάρ ὁ ΛΡΠ ἐκτός εἰμί , καί ὁ πρός ὁ ὁ ἄρα μέγας εἰμί ὁ πρός ὁ Π . καί εἰμί ὁ μέν πρός ὁ ὁ ἴσος ὁ ὑπό ΗΕΘ , ὁ δέ πρός ὁ Π ἴσος ὁ ὑπό ΑΕΒ . Ad prop . XXXVIII .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 74
74 . Τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου κειμένου .
Lemmas: 74 . Τώς ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ὁ κύκλος κεῖμαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 75
75 . Ὁμοίως δέ , κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα , ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ , καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὄν τῇ εὐθείᾳ , ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται . Ad prop . XL . |76 . Λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κτλ . p . 220 , τουτέστιν · ὅταν ἡ ∠Ζ τὴν θέσιν ἐν τῷ κύκλῳ ταύτην σχοίη , ἐλάττων ὀφθήσεται ἤπερ , ὅτε ἦν ἀναστᾶσα μὴ πρὸς ὀρθάς .
Lemmas: 75 . Ὅμοιος δέ , κἀν ἀπό ὁ Γ κέντρον πρός ὀρθός ἀνίστημι εὐθύς , ἐπί δέ οὗτος ὁ ὄμμα τίθημι , καί μετακινέω ὁ ὁράω μέγεθος κατά ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια παράλληλος εἰμί ὁ εὐθύς , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω ὁράω . Ad prop . XL . |76 . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κτλ . p . 220 , τουτέστιν · ὅταν ὁ ∠Ζ ὁ θέσις ἐν ὁ κύκλος οὗτος ἔχω , μικρός ὁράω ἤ , ὅτε εἰμί ἀνίστημι μή πρός ὀρθός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 77
77 . Δῆλον , ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι p . 220 , εἰ γὰρ τοῦτο δειχθῇ , ὅτι ἐλάσσων ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας , γνώριμον τὸ ζητούμενον ὡς διὰ τῶν ὅρων .
Lemmas: 77 . Δῆλος , ὅτι πρότερος δέω δείκνυμι p . 220 , εἰμί γάρ οὗτος δείκνυμι , ὅτι μικρός ὁ ὑπό ΒΕΑ γωνία ὁ ὑπό ΖΕ∠ γωνία , γνώριμος ὁ ζητέω ὡς διά ὁ ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 78
78 . Ἀλλὰ δὴ ἔστω p.222 , ἐπεὶ εἶπεν , ὅτι · ἤτοι δὲ ἡ ∠Ζ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων , ὑπέθετο δὲ αὐτὴν μείζονα καὶ ἔδειξε τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ ἔλασσον , νῦν ὑποτίθεται τὴν ∠Ζ ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου καὶ δείκνυσι πάλιν τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους , ἐν δὲ τῷ ἐφεξῆς ὑποτίθεται τῆν ∠Ζ ἐλάσσονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ πάλιν δείκνυσί τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους .
Lemmas: 78 . ἀλλά δή εἰμί p.222 , ἐπεί λέγω , ὅτι · ἤτοι δέ ὁ ∠Ζ μέγας ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἢ ἴσος ἢ μικρός , ὑποτίθημι δέ αὐτός μέγας καί δείκνυμι ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ∠Ζ μικρός , νῦν ὑποτίθημι ὁ ∠Ζ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον καί δείκνυμι πάλιν ὁ ΑΒ μέγεθος μικρός ὁ ∠Ζ μέγεθος , ἐν δέ ὁ ἐφεξῆς ὑποτίθημι τῆν ∠Ζ μικρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον καί πάλιν δείκνυμι ὁ ΑΒ μέγεθος μικρός ὁ ∠Ζ μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 79
79 . Ἀπὸ τῆς ΘΝ p . 224 , ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ὑπετέθη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ ΘΝ ἐκ τοῦ κέντρου , μείζων θέλει εἶναι τῆς Ζ∠ τῆς ἐλάσσονος . Ad prop . XLI .
Lemmas: 79 . ἀπό ὁ ΘΝ p . 224 , ἐπεί γάρ μικρός ὑποτίθημι ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ δέ ΘΝ ἐκ ὁ κέντρον , μέγας ἐθέλω ἔρχομαι ὁ Ζ∠ ὁ μικρός . Ad prop . XLI .