scholia-in-euclidem.scholia-in-opticorum-recensionem-theonis-scholia-vetera 84
84 . Ἄλλως τὸ ν΄ . ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ Κ∠ , εὐθεῖα δὲ πλαγία ἔστω ἡ ΒΓ , καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ∠Κ ἡ ΚΓ καὶ συμβαλλέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Γ , καὶ εἰλήφθω τῶν ∠Γ ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ , καὶ ἔστω τὸ ὄμμα τὸ Ζ , καὶ μετακεκινήσθω τὸ ὄμμα τὸ Ζ καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τὸ Β . λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ζ , Β ὁρώμενον ἄνισον φανήσεται . ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΖ , Ζ∠ , ΚΒ , Β∠ , καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΚΖ∠ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΚΖ∠ , καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Η∠ . ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚΗΒ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ τῆς ὑπὸ ΚΗ∠ · ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΟΚ φανερὸν τοῦτο · ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΚΗ∠ τῇ ὑπὸ ΚΒ∠ , ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν , καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΚΒ∠ μείζων ἐστίν . ἔχομεν γάρ · τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ὥστε καὶ τὸ ἀντίστροφον · ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν , ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον , ὡς δείξομεν . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΓΚΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒ∠ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΗΚ∠ · αἱ ὑπὸ ΓΚΗ ἄρα ΗΚ∠ ταῖς ὑπὸ ΗΚ∠ , ΗΒ∠ ἴσαι . ἀλλʼ αἱ ῦπὸ ΓΚΗ , ΒΚ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · καὶ αἰ ὑπὸ ΗΚ∠ , HΒ∠ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὥστε καὶ αἱ λοιπαί . ὅτι δέ , ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν , ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον , δέδεικται ἐν τῷ ὑπομνήματι . Ad prop . XLV . S5 . Τὸ αὐτὸ τῷ νβ΄ . ἔστι τις τόπος κοινός , ἐν ᾧ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , ΒΓ . καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠ καὶ ἐκβεβλήσθω . λέγω , ὅτι καθʼ ὁποιονοῦν τῆς Β∠ μέρος τεθῇ τὸ ὄμμα , τὰ ΑΒ , ΒΓ ἴσα φαίνεται . καί ἐστι αὐτόθεν δῆλον . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε . λέγω , ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται . προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ . καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον κύκλος , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Η . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ , μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΑΕ , μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΓ . μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ὡσαύτως δέ , κἂν μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ τεθῇ , ἴσα φαίνεται , ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ΒΗ , ἄνισα . ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα , ἄνισα φαίνεται .
Lemmas: 84 . ἄλλος ὁ ν΄ . εἰμί ὁράω μέγεθος ὁ Κ∠ , εὐθύς δέ πλάγιος εἰμί ὁ ΒΓ , καί προσεκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ∠Κ ὁ ΚΓ καί συμβάλλω ὁ ΒΓ κατά ὁ Γ , καί λαμβάνω ὁ ∠Γ ΓΚ μέσος ἀνάλογος ὁ ΓΖ , καί εἰμί ὁ ὄμμα ὁ Ζ , καί μετακινέω ὁ ὄμμα ὁ Ζ καί εἰμί ἐπί ὁ αὐτηες͂ς εὐθεῖα ὁ Β . λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ Ζ , Β ὁράω ἄνισος φαίνω . ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ὁ ΚΖ , Ζ∠ , ΚΒ , Β∠ , καί γράφω περί ὁ ΚΖ∠ τρίγωνος τμῆμα κύκλος ὁ ΚΖ∠ , καί κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΓΒ∠ Γώνιας ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΓΗΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Η∠ . ἐν κύκλος ἄρα εἰμί ὁ ΔΒ . ἐπεί οὖν μέγας ὁ ὑπό ΚΖ∠ ὁ ὑπό ΚΗ∠ · ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΟΚ φανερός οὗτος · ἴσος δέ ὁ ὑπό ΚΗ∠ ὁ ὑπό ΚΒ∠ , ἐπεί ἐν ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί , καί ὁ ὑπό ΚΖ∠ ἄρα ὁ ὑπό ΚΒ∠ μέγας εἰμί . ἔχω γάρ · ὁ ἐν ὁ κύκλος τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὥστε καί ὁ ἀντίστροφος · ἐάν τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , ἐν κύκλος εἰμί ὁ τετράπλευρος , ὡς δείκνυμι . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΓΗΚ ἴσος ὁ ὑπό ΓΒ∠ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΗΚ∠ · ὁ ὑπό ΓΗΚ ἄρα ΗΚ∠ ὁ ὑπό ΗΚ∠ , ΗΒ∠ ἴσος . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΗΚ , ΒΚ∠ δύο ὀρθός ἴσος · καί ὁ ὑπό ΗΚ∠ , HΒ∠ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὥστε καί ὁ λοιπός . ὅτι δέ , ἐάν τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , ἐν κύκλος εἰμί ὁ τετράπλευρος , δείκνυμι ἐν ὁ ὑπόμνημα . Ad prop . XLV . S5 . Τέ αὐτός ὁ νβ΄ . εἰμί τις τόπος κοινός , ἐν ὅς ὁ ὄμμα τίθημι ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος φαίνω . εἰμί ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί ἄγω ἀπό ὁ Β πρός ὀρθός ὁ Β∠ καί ἐκβάλλω . λέγω , ὅτι κατά ὁποῖος ὁ Β∠ μέρος τίθημι ὁ ὄμμα , ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος φαίνω . καί εἰμί αὐτόθεν δῆλος . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα καί εἰμί ὁ Ε . λέγω , ὅτι ἀπό ὁ Ε ἄνισος φαίνω . προσπίπτω γάρ ἀκτίς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ . καί γράφω περί ὁ ΑΓΕ τρίγωνος κύκλος , καί ἐκβάλλω ὁ ΕΒ ἐπί ὁ ὁ . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , μέγας δέ ὁ ΓΕ ὁ ΑΕ , μέγας ἄρα καί γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΓ . μέγας ἄρα φαίνω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὡσαύτως δέ , κἀν μέν ἐπί ὁ ΒΖ τίθημι , ἴσος φαίνω , ἐάν δέ ἐπί ὁ ΒΗ , ἄνισος . ὅμοιος δέ καί ἐπί ὁ ἄλλος ὁ κύκλος Μέρα Χωρὶς ὁ πρός ὀρθός ἐάν τίθημι ὁ ὄμμα , ἄνισος φαίνω .