ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 1
1 . Διάστημα p . 2 , ἤτοι κατὰ διαστάσεις καὶ τὰς ἀπʼ ἀλλήλων ἀποτμήσεις .
Lemmas: 1 . διάστημα p . 2 , ἤτοι κατά διάστασις καί ὁ ἀπό ἀλλήλων ἀπότμησις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 2
2 . Ἐν διαστήματι p . 4 , τουτέστι κατὰ διάστασιν .
Lemmas: 2 . ἐν διάστημα p . 4 , τουτέστι κατά διάστασις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 3
3 . Τουτέστιν ἐπεὶ μὴ συνεχεῖς προσπίπτουσιν αἱ ὄψεις , ἀλλὰ κατὰ διάστημα , ἔσονταί τινα ἐν τῷ Α∠ διαστήματι , πρὸς ἃ αἱ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται .
Lemmas: 3 . τουτέστιν ἐπεί μή συνεχής προσπίπτω ὁ ὄψις , ἀλλά κατά διάστημα , εἰμί τις ἐν ὁ Α∠ διάστημα , πρός ὅς ὁ ὄψις οὐ προσπίπτω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 4
4 . Δεῖ γὰρ τὰ ὁρώμενα ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα · οὕτω γὰρ ὁραθήσεται · ὡς εἴ γε μηδεμίαν ἔχει ἀπόστασιν , οὐχ ὁραθήσεται .
Lemmas: 4 . Δεύς γάρ ὁ ὁράω ἀπόστασις τις ἔχω πρός ὁ ὄμμα · οὕτως γάρ ὁράω · ὡς εἰμί γε μηδείς ἔχω ἀπόστασις , οὐ ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 5
5 . Μείζων ἂν ἦν τῆς Γ∠ p . 4 , μάνθανε , διὰ τί μείζων ἡ ΚΛ τῆς Γ∠ καίτοι ἴση οὖσα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν , ὅταν διέλθῃ καὶ ἡ ΕΚ καὶ ἡ Ε Λ διὰ τῆς Γ∠ . ἐπεὶ παράλληλος ἐλήφθη ἡ Γ∠ τῇ ΚΛ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΚΕ , ἐγένετο ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἡ ὑπὸ ∠ΓΕ τῇ ὑπὸ ΛΚΓ . διὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἡ πρὸς τῷ ∠ τῇ πρὸς τῷ Λ . ἔστι δὲ καὶ κοινὴ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε · καί εἰσι δύο τρίγωνα τὰ ΓΕ∠ , ΚΕΛ τὰς τρεῖς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχοντα — ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Κ , ἡ πρὸς τῷ ∠ τῇ πρὸς τῷ Λ , κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Ε — , τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ διὰ τοῦ δʹ τοῦ Ϛʹ τῶν Στοιχείων . ἔσται οὖν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΛΚ · καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΕΛ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΚΛ . μείζων δὲ ἡ ΕΛ τῆς Ε∠ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΛ τῆς Γ∠ .
Lemmas: 5 . μέγας ἄν εἰμί ὁ Γ∠ p . 4 , μανθάνω , διά τίς μέγας ὁ ΚΛ ὁ Γ∠ καίτοι ἴσος εἰμί κατά ὁ ὑπόθεσις , ὅταν διέρχομαι καί ὁ ΕΚ καί ὁ Ε Λ διά ὁ Γ∠ . ἐπεί παράλληλος λαμβάνω ὁ Γ∠ ὁ ΚΛ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς ὁ ΚΕ , γίνομαι ὁ ἐκτός γωνία ἴσος ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ∠ΓΕ ὁ ὑπό ΛΚΓ . διά ὁ αὐτός λόγος καί ὁ πρός ὁ ∠ ὁ πρός ὁ Λ . εἰμί δέ καί κοινός γωνία ὁ πρός ὁ Ε · καί εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΓΕ∠ , ΚΕΛ ὁ τρεῖς γωνία ἴσος ἀλλήλων ἔχω — ὁ πρός ὁ Γ ὁ πρός ὁ Κ , ὁ πρός ὁ ∠ ὁ πρός ὁ Λ , κοινός ὁ πρός ὁ Ε — , ὁ δέ ἰσογώνιος τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά διά ὁ δέ ὁ ϛηʹ ὁ στοιχεῖον . εἰμί οὖν ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ΕΛ πρός ὁ ΛΚ · καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ΕΛ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ὁ ΚΛ . μέγας δέ ὁ ΕΛ ὁ Ε∠ · μέγας ἄρα καί ὁ ΚΛ ὁ Γ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 6
6 . Ὑπὸ πλειόνων ὄψεων p . 4 , εἰ δὲ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων , καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν .
Lemmas: 6 . ὑπό πολύς ὄψις p . 4 , εἰμί δέ ὑπό πολύς ὄψις , καί ὑπό πολύς γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 7
7 . Ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι p . 6 , τουτέστι τῶν ΒΓ καὶ Β∠ ἐπὶ τὰ ἔμπροσθεν ὡς πρὸς τὸ Κ ἐρχομένων .
Lemmas: 7 . ἐν ὁ μεταξύ διάστημα p . 6 , τουτέστι ὁ ΒΓ καί Β∠ ἐπί ὁ ἔμπροσθεν ὡς πρός ὁ Κ ἔρχομαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 8
8 . Οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ p . 6 , τῶν γὰρ διαστάσεων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα , οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπʼ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψψονται .
Lemmas: 8 . οὐκοῦν πρός ὁ Κ p . 6 , ὁ γάρ διάστασις ἢ μᾶλλον ἀπόστασις προχωρέω εἰμί μεταξύ διάστημα , ὅς ὁ ἀπόστασις διά ὁ ἀπό ἀλλήλων ἀποσχίζω οὐ ἅπτω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 9
9 . Μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ p . 6 , μείζων εὐλόγως · ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει , ἡ δὲ ΖΑ ἐλάττονα ὀρθῆς · οὐ γὰρ ἐγχωρεῖ πολλὰς ὀρθὰς εἶναι ἐν ἑνὶ τριγώνῳ · πᾶν γὰρ τρίγωνον τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει .
Lemmas: 9 . μείζων δέ πλευρά ὁ ΒΖ p . 6 , μέγας εὔλογος · ὀρθός γάρ ὑποτείνω , ὁ δέ Γῆ μικρός ὀρθός · οὐ γάρ ἐγχωρέω πολύς ὀρθός ἔρχομαι ἐν εἷς τρίγωνον · πᾶς γάρ τρίγωνον ὁ τρεῖς γωνία δύο ὀρθός ἴσος ἔχω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 10
10> Καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ p . 6 , διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὴν ΕΒ ἐμπεσεῖν καὶ ποιῆσαι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας .
Lemmas: 10> καί ὁ ὑπό ΖΒΕ p . 6 , διά ὁ εἰς παράλληλος ὁ ΕΒ ἐμπίπτω καί ποιέω ὁ ἐναλλάξ ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 11
11 . Μείζων ἄρα ὀφθήσεται p . 8 , διὰ τὸν ὅρον , ὅτι τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα .
Lemmas: 11 . μείζων ἄρα ὁράω p . 8 , διά ὁ ὅρος , ὅτι ὁ ὑπό μέγας γωνία ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 12
12 . εʹ p . 8 , 5 ] ἕτερον τοῦτο τοῦ δευτέρου θεω ρήματος · ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐδείκνυεν , ὡς τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται , ἐνταῦθα δέ , ὡς μεῖζον τὸ ἔγγιον .
Lemmas: 12 . εἰ p . 8 , 5 ] ἕτερος οὗτος ὁ δεύτερος θέω ῥῆμα · ἐκεῖ μέν γάρ δείκνυμι , ὡς ὁ ἐγγίων κεῖμαι ἀκριβής ὁράω , ἐνταῦθα δέ , ὡς μέγας ὁ ἐγγίων .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 13
13 . Μείζων δὲ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ p . 8 , ὡς περιέχουσα · οὐ γὰρ ἂν πέσῃ ἡ ΕΓ πρὸς τῷ Α , ὡς ἐν τῷ β΄ ἤκουσας .
Lemmas: 13 . μείζων δέ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ p . 8 , ὡς περιέχω · οὐ γάρ ἄν πίπτω ὁ ΕΓ πρός ὁ Α , ὡς ἐν ὁ Β΄ ἀκούω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 14
14 . Ἐν μετεώρῳ p . 10 , ἐπὶ τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος τὸ μὲν ὄμμα ἦν , ἐφʼ ὃ ἐπίπεδον καὶ τὰ παράλληλα διαστήματα , ἐνταῦθα δὲ τὸ ὄμμα μετεωρότερον ἐν μετεώρῳ ὄντων καὶ τῶν διαστημάτων .
Lemmas: 14 . ἐν μετέωρος p . 10 , ἐπί ὁ πρό οὗτος θεώρημα ὁ μέν ὄμμα εἰμί , ἐπί ὁ ἐπίπεδος καί ὁ παράλληλος διάστημα , ἐνταῦθα δέ ὁ ὄμμα μετέωρος ἐν μετέωρος εἰμί καί ὁ διάστημα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 15
15 . Ἡ ΑΒ p . 10 , ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἀκτίς , ἀλλὰ εὐθεῖα , ὡς ἀπό τινος σημείου τοῦ Α ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ∠Γ , ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος . ὁμοίως καὶ ἡ ΑΡ οὐκ ἀκτίς ἐστιν , ἀλλὰ κάθετος εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΡΞ , οὐ μὴν καὶ πρὸς τὸ ἐπίπεδον κάθετος · ἡ γὰρ ΑΒ κάθετος ἦν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον .
Lemmas: 15 . ὁ ΑΒ p . 10 , ὁ ΑΒ οὐ εἰμί ἀκτίς , ἀλλά εὐθύς , ὡς ἀπό τις σημεῖον ὁ Α ἄγω ἐπί ὁ διά ὁ ∠Γ , ΕΖ ἐπίπεδος κάθετος . ὅμοιος καί ὁ ΑΡ οὐ ἀκτίς εἰμί , ἀλλά κάθετος εὐθύς ἐπί ὁ ΡΞ , οὐ μήν καί πρός ὁ ἐπίπεδος κάθετος · ὁ γάρ ΑΒ κάθετος εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 16
16 . Ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ p . 10 , διὰ τὸ δειχθὲν παρὰ τοῦ Πάππου λημμάτιον ἐν τοῖς εἰς τὰ Ὀπτικὰ Εὐκλείδου · ἐὰν ἀπὸ μετεώρου σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου , καθʼ ὃ προσβάλλει τῷ ἐπιπέδῳ ἡ κάθετος , ἀχθῇ πάλιν κάθετος πρός τινα εὐθεῖαν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ οὖσαν , καὶ ἡ ἀγομένη ἀπὸ τοῦ μετεώρου σημείου ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἔσται .
Lemmas: 16 . ὁ ΑΡ ἄρα ἐπί ὁ ΡΞ p . 10 , διά ὁ δείκνυμι παρά ὁ Πάππος λημμάτιον ἐν ὁ εἰς ὁ ὀπτικός Εὐκλείδης · ἐάν ἀπό μετέωρος σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ἄγω , ἀπό δέ ὁ σημεῖον , κατά ὁ προσβάλλω ὁ ἐπίπεδος ὁ κάθετος , ἄγω πάλιν κάθετος πρός τις εὐθεῖα ἐν ὁ ἐπίπεδος εἰμί , καί ὁ ἄγω ἀπό ὁ μετέωρος σημεῖον ἐπί αὐτός κάθετος εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 17
17 . Μείζων ἄρα γωνία p . 10 , ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν , αἱ δὲ βάσεις ἴσαι , αἱ δὲ πλευραὶ ἄνισοι .
Lemmas: 17 . μείζων ἄρα γωνία p . 10 , ἐπεί ὀρθογώνιος εἰμί , ὁ δέ βάσις ἴσος , ὁ δέ πλευρά ἄνισος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 18
18 . Δεικτέον , πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ . ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα , ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων · τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΠΡΑ · ἀμβλεῖα γάρ · ἡ γὰρ ΑΡ πρὸς τὴν ΡΞ ἐστιν ὀρθή , οὐ μὴν καὶ πρὸς τὴν ΠΒ , ὅτι μηδὲ πρὸς τὸ ἐπίπεδόν ἐστιν ὀρθή , ἵνα καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας ποιῇ ὀρθὰς γωνίας , ἀλλὰ κέκλιται πρὸς αὐτό , καί ἐστιν ἡ κλίσις ὀξεῖα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΡΑ · ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΠΡΑ . μείζων ἄρα ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ · ὑπὸ γὰρ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει . μείζων δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΑΞ ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΝΠΑ καὶ ὑπὸ ΞΡΑ ὀρθαί εἰσιν , ἐδείχθη δὲ ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων · ὥστε καὶ τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΝΠΑ τοῦ ὑπὸ ΞΡΑ μεῖζον , καὶ ἡ τοῦ μείζονος διάμετρος μείζων · διάμετροι δέ εἰσι τῶν παραλληλογράμμων αἱ ΝΑ , ΞΑ · ἡμίση γὰρ τούτων τὰ τρίγωνα . ὥστε , ἐὰν ἡ ΡΞ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΠΝ , ἐφαρμόσει · ἴση γὰρ ταύτῃ · καὶ αἱ ΡΑ , ΑΞ ἐντὸς πεσοῦνται τῶν ΑΠ , ΑΝ · ἐλάττονες γὰρ αὐτῶν . ὥστε διὰ τὸ κα΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΡΑΞ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΑΝ . ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν , ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται · ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν ἐστιν · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β · ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ , μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον · ἀμβλεῖα ἄρα . ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν · ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων . ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ .
Lemmas: 18 . δείκνυμι , πῶς μέγας ὁ ὑπό ΑΡ ὁ ὑπό Πᾶς . ἐπεί ὀρθογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος , ὁ δέ ΠΑ ὁ ΑΡ μέγας · τρίγωνον γάρ ὁ ΠΑΡ μέγας γωνία ὁ ὑπό ΠΡΑ · ἀμβλύς γάρ · ὁ γάρ ΑΡ πρός ὁ ΡΞ εἰμί ὀρθός , οὐ μήν καί πρός ὁ ΠΒ , ὅτι μηδέ πρός ὁ ἐπίπεδος εἰμί ὀρθός , ἵνα καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω ποιέω ὀρθός γωνία , ἀλλά κλίνω πρός αὐτός , καί εἰμί ὁ κλίσις ὀξύς γωνία ὁ ὑπό βρά · ἀμβλύς ἄρα ὁ ὑπό ΠΡΑ . μέγας ἄρα ὁ ΠΑ ὁ ΑΡ · ὑπό γάρ ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρά ὑποτείνω . μέγας δέ καί ὁ ΑΝ ὁ ΑΞ ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΠΝ καί ὑπό ΑΡ ὀρθός εἰμί , δείκνυμι δέ ὁ ΠΑ ὁ ΑΡ μέγας · ὥστε καί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ὑπό ΠΝ ὁ ὑπό ΑΡ μέγας , καί ὁ ὁ μέγας διάμετρος μέγας · διάμετρος δέ εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ΝΑ , ΞΑ · ἥμισυς γάρ οὗτος ὁ τρίγωνος . ὥστε , ἐάν ὁ ΡΞ πίπτω ἐπί ὁ ΠΝ , ἐφαρμόζω · ἴσος γάρ οὗτος · καί ὁ ΡΑ , ΑΞ ἐντός πίπτω ὁ ΑΠ , ΑΝ · μικρός γάρ αὐτός . ὥστε διά ὁ ΚΑ΄ ὁ Α΄ ὁ στοιχεῖον μέγας εἰμί ὁ ὑπό ῥάξ γωνία ὁ ὑπό Πᾶς . ὅτι δέ ὁ ὑπό ΠΡΑ γωνία ἀμβλύς εἰμί , ἔκδηλος οὕτως δείκνυμι · ἐπεί ὁ ΑΒ τρίγωνον ὀρθογώνιον εἰμί · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Β · ἐκτός δέ αὐτός ὁ ὑπό ΠΡΑ , μέγας εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον · ἀμβλύς ἄρα . ἀλλά καί τρίγωνον ὁ ΑΝ ὁ πρός ὁ Ξ γωνία μέγας ὁ πρός ὁ Ν · ὥστε καί ὁ ὑποτείνω ὁ μέγας γωνία μέγας . ὁ ἄρα ΑΝ μέγας ὁ ΑΞ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 19
19 . Πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι p . 12 , εἰ γάρ τις εἴποι , ὡς ἡ ΗΓ κάθετός ἐστι πρὸς τὴν Γ∠ , ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ , δῆλον ἔσται τὸ ἄτοπον . εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ γωνία ὀρθή , καὶ ἡ ὑπὸ Β ὀρθὴ ἔσται .
Lemmas: 19 . πρός ὀρθός γωνία ἴσος p . 12 , εἰμί γάρ τις λέγω , ὡς ὁ ΗΓ κάθετος εἰμί πρός ὁ Γ∠ , ὡσαύτως δέ καί ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΑ , δῆλος εἰμί ὁ ἄτοπος . εἰμί γάρ ὁ ὑπό ΗΓ∠ γωνία ὀρθός , καί ὁ ὑπό Β ὀρθός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 20
20 . Κείσθω πρὸς τῷ ∠ γωνία ὀρθὴ · διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ . ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓ∠ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ . ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ Γ∠ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται . πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα , ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ . ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι . ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ , ΛΝ · τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ M , Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων . ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ , ΑΚ . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται · ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ · καὶ ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ , ΜΛ , ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ , ΝΛ . ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση . ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ , ΚΓΠ . ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν · δυνατὸν γάρ · τὴν Α∠ τυχὸν καὶ PΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ , ΚΓΠ κατά τε τὰ Β , Γ καὶ Τ , Υ σημεῖα , καὶ ἴσων ἀφαιρεθεισῶν τῶν ΓΒ , ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀπόστασιν · δειχθήσεται ἡ ΘΒ τῇ ΒΑ ἴση καὶ ἡ ΚΓ τῇ Γ∠ .
Lemmas: 20 . κέω πρός ὁ ∠ γωνία ὀρθός · διάμετρος ἄρα ὁ ΑΕ . ὥστε ὁ ὑπό ΕΓ∠ γωνία ὀξύς καί ὁ κατά κορυφή αὐτός , ὁ δέ ὑπό ΒΓΕ ἀμβλύς καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ΗΓ∠ . ὥστε ὁ πρός ὀρθός ἄγω ὁ Γ∠ ὁ ΚΓ δηλαδή ἐντός πίπτω . πάλιν ἐπεί ὁ ὑπό ΒΓΕ ἀμβλύς , ὀξύς ὁ ὑπό ΓΒΕ καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ΖΒΑ . ὥστε ὁ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΒ ἐκτός πίπτω ὁ ΘΒ δηλονότι . ἐκβάλλω ὁ ΘΒ καί ΚΓ ἐπί ὁ περιφέρεια , καί ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἄγω πρός ὀρθός ἐπί ὁ ΘΒ καί ΚΓ ἐκβάλλω ὁ ΛΜ , ΛΝ · τέμνω ἄρα αὐτός δίχα κατά ὁ M , Ν σημεῖον διά ὁ γε ὁ γε ὁ στοιχεῖον . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΘ , ΑΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί αὐτός · ἐκ κέντρον γάρ ὁ Λ · καί ὑποτείνω ὀρθός γωνία ὁ πρός ὁ Μ καί Ν , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΛΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΘΜ , ΜΛ , ὡσαύτως δέ καί ὁ ἀπό ΚΛ ἴσος ὁ ἀπό ΚΝ , ΝΛ . ἀλλά ὁ ΘΜ ὁ ΚΝ ἴσος · ὥστε καί ὁ ΜΛ ὁ ΛΝ ἴσος . ἴσος ἄρα ὁ ΘΒΞ , ΚΓΠ . εἄν δή τοίνυν ἴσος αὐτός ἕτερος δύο εὐθεῖα ἄγω · δυνατός γάρ · ὁ Α∠ τυγχάνω καί PΣ τέμνω πρός ὀρθός ὁ ΘΒΖ , ΚΓΠ κατά τε ὁ Β , Γ καί Τ , Υ σημεῖον , καί ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΓΒ , ἴσος γάρ διά ὁ ἴσος ἀπό ὁ κέντρον ἀπόστασις · δείκνυμι ὁ ΘΒ ὁ ΒΑ ἴσος καί ὁ ΚΓ ὁ Γ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 21
21 . Μεῖζον p . 14 , ὡς περιέχον . Ἔλαττον p . 14 , ὡς περιεχόμενον .
Lemmas: 21 . Μέγας p . 14 , ὡς περιέχω . ἔλαττον p . 14 , ὡς περιέχω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 22
22 . Καὶ ὡς ἡ ΑΒ κτλ . p . 14 , ἰσογώνια γὰρ τὰ ΕΑΒ , ΕΖ∠ τρίγωνα , ὅτι ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐμπέπτωκε γὰρ εὐθεῖα ἡ ΕΒ εἰς παραλλήλους τὰς Γ∠ , ΑΒ καὶ πάλιν ἡ ὑπὸ ΕΖ ∠ τῇ ὑπὸ ΕΒ ἴση διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε κοινὴ καὶ ἀμφοτέροις . τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ἀνάλογον διὰ τὸ δ΄ τοῦ Ϛ΄ τῶν Στοιχείων . ὡς ἡ ΑΒ οὖν πρὸς τὴν ΒΕ , ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Ε · καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ζ∠ , ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ∠Ε ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: 22 . καί ὡς ὁ ΑΒ κτλ . p . 14 , ἰσογώνιος γάρ ὁ ΕΑΒ , ΕΖ∠ τρίγωνος , ὅτι ὁ ὑπό Ε∠Ζ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΑ ἐμπίπτω γάρ εὐθύς ὁ ΕΒ εἰς παράλληλος ὁ Γ∠ , ΑΒ καί πάλιν ὁ ὑπό ΕΖ ∠ ὁ ὑπό ΕΒ ἴσος διά ὁ αὐτός αἰτία , ὁ δέ πρός ὁ Ε κοινός καί ἀμφότερος . ὁ δέ ἰσογώνιος τρίγων ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος διά ὁ Δ΄ ὁ ΣΤ΄ ὁ στοιχεῖον . ὡς ὁ ΑΒ οὖν πρός ὁ ΒΕ , ὁ Ζ∠ πρός ὁ ∠Ε · καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Ζ∠ , ὁ ΒΕ πρός ὁ ∠Ε ὅς δέω δείκνυμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 23
23 . Τῶν ΑΓ , Α∠ p . 18 , δηλονότι ἀκτίνων .
Lemmas: 23 . Τοί ΑΓ , Α∠ p . 18 , δηλονότι ἀκτίς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 24
24 . Κοῖλα φανήσεται p . 18 , τοῦ πορρωτέρου ἄκρου μετεωροτέρου φαινομένου .
Lemmas: 24 . Κοῖλα φαίνω p . 18 , ὁ πορρώτερος ἄκρος μετέωρος φαίνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 25
25 . Ὡς πόρισμα τοῦτο ἐπάγειν δοκεῖ .
Lemmas: 25 . ὡς πόρισμα οὗτος ἐπάγω δοκέω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 26
26 . Ταπεινότερον φαίνεται p . 20 , καὶ γὰρ πρόχειρον , ὅτι τὰ ὑπὸ ταπεινοτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα ταπεινότερα φαίνεται .
Lemmas: 26 . ταπεινός φαίνω p . 20 , καί γάρ πρόχειρος , ὅτι ὁ ὑπό ταπεινός ἀκτίς ὁράω ταπεινός φαίνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 27
27 . Μείζονι p . 24 , μείζονι ὑπερφέρον .
Lemmas: 27 . Μέγας p . 24 , μέγας ὑπερφέρω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 28
28 . Ἴσα ἀλλήλοις φαίνεται p . 24 , διὰ πλάνην τὴν τῆς ὄψεως .
Lemmas: 28 . Ἴσος ἀλλήλων φαίνω p . 24 , διά πλάνη ὁ ὁ ὄψις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 29
29 . Μέχρι τοῦ ∠ ὄμματος p . 28 , ὡς κάτωθεν τῆς ἀκτῖνος .
Lemmas: 29 . μέχρι ὁ ∠ ὄμμα p . 28 , ὡς κάτωθεν ὁ ἀκτίς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 30
30 . Ὡς ἡ ∠Ε κτλ . p . 28 , διὰ τὸ δ΄ τοῦ ϛ΄ τῶν Στοιχείων · ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα διὰ τὸ ἐν ταῖς παραλλήλοις ἐμπίπτειν εὐθεῖαν .
Lemmas: 30 . ὡς ὁ ∠Ε κτλ . p . 28 , διά ὁ Δ΄ ὁ ΣΤ΄ ὁ στοιχεῖον · ἰσογώνιος γάρ ὁ τρίγωνος διά ὁ ἐν ὁ παράλληλος ἐμπίπτω εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 31
31 . Ἄχρις οὗ συμβαλεῖ p . 28 , τουτέστι μέχρις ἂν τὸ πέρας τοῦ ὕψους ἢ τὸ ἄκρον δηλαδὴ τὸ Α ἐμφανήσεται τῷ κατόπτρῳ μετακινουμένῳ · οὐ γὰρ κατὰ πρώτην τυχὸν προσβολὴν τῆς ὄψεως κατʼ ἔμφασιν ὁραθήσεται παρὰ τῆς ὄψεως ἐν τῷ κατόπτρῳ τὸ ἄκρον τοῦ ὕψους .
Lemmas: 31 . ἄχρι ὅς συμβάλλω p . 28 , τουτέστι μέχρι ἄν ὁ πέρας ὁ ὕψος ἢ ὁ ἄκρος δηλαδή ὁ Α ἐμφαίνω ὁ κάτοπτρον μετακινέω · οὐ γάρ κατά πρῶτος τυγχάνω προσβολή ὁ ὄψις κατά ἔμφασις ὁράω παρά ὁ ὄψις ἐν ὁ κάτοπτρον ὁ ἄκρος ὁ ὕψος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 32
32 . Ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς p . 30 , διὰ τὸν ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς ὅρον .
Lemmas: 32 . ἐν ὁ κατοπτρικός p . 30 , διά ὁ ἐν ὁ κατοπτρικός ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 33
33 . Ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΒ p . 30 , κάθετοι γὰρ α ΕΖ καὶ Α∠ .
Lemmas: 33 . Ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΕΖΒ p . 30 , κάθετος γάρ α ΕΖ καί Α∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 34
34 . Ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ p . 30 , κατὰ κορυφὴν γάρ .
Lemmas: 34 . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΑΒ∠ p . 30 , κατά κορυφή γάρ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 35
35 . Καὶ ἡ τρίτη ἄρα p . 30 , δι᾿ ὃν λόγον ἄνωθεν γέγραπται .
Lemmas: 35 . καί ὁ τρίτος ἄρα p . 30 , διά ὅς λόγος ἄνωθεν γράφω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 36
36 . Βλέπεται p . 34 , οὕτως ἡ Κ∠ ἐλάττων φανήσεται τῆς Κ Β μὴ τοῦ ∠ πρὸς τῇ περιφερείᾳ δοκοῦντος φαίνεσθαι , ἀλλʼ ὑποκάτω τοῦ Β , καὶ τὸ Ε ὡσαύτως οὐχὶ πρὸς τῇ περιφερείᾳ , ἀλλʼ ὑποκάτω τοῦ ∠ καὶ οὕτως ὡς καὶ εὐθείας ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς κατηγμένης διὰ τῶν ∠ , Ε διῆχθαι . ἀλλὰ δὴ καὶ τοῦ Ζ · καὶ τὸ Ν γὰρ ὑποκάτω τοῦ Ε ὀφθήσεται καὶ οὐ πρὸς τῇ περιφερείᾳ . τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἀπὸ τοῦ Γ , ὡς φαίνεσθαι ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τῆς ΒΓ τὰ Β , ∠ , Ε , Ζ , Η , Θ , Γ στοιχεῖα .
Lemmas: 36 . βλέπω p . 34 , οὕτως ὁ Κ∠ μικρός φαίνω ὁ Κ Β μή ὁ ∠ πρός ὁ περιφέρεια δοκέω φαίνω , ἀλλά ὑποκάτω ὁ Β , καί ὁ Ε ὡσαύτως οὐ πρός ὁ περιφέρεια , ἀλλά ὑποκάτω ὁ ∠ καί οὕτως ὡς καί εὐθεῖα ἀπό ὁ Β πρός ὀρθός κατάγω διά ὁ ∠ , Ε διάγω . ἀλλά δή καί ὁ Ζ · καί ὁ Ν γάρ ὑποκάτω ὁ Ε ὁράω καί οὐ πρός ὁ περιφέρεια . ὁ αὐτός δέ τρόπος καί ἀπό ὁ Γ , ὡς φαίνω ἐπί εἷς εὐθεῖα ὁ ΒΓ ὁ Β , ∠ , Ε , Ζ , ὁ , Θ , Γ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 37
37 . Διὰ τὸ συμβαίνειν , ὅπερ γίνεται εὐθείας ὑποκειμένης τῆς νῦν οὔσης περιφερείας , νομίζεται καὶ ἡ περιφέρεια εὐθεῖα · ἔστι δὲ τοῦτο τὸ φαίνεσθαι τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου καὶ ταῦτα ἴσας οὔσας τὴν ἐκτὸς μείζω τῆς ἐντός , οἷον τὴν Κ Β τῆς Κ∠ , ὅ γίνεται , εἰ ἐπʼ εὐθείας κείσεται ἡ ΒΓ . ἐπὶ γὰρ εὐθείας συμβαίνει τὴν ἐκκειμένην οἷον τὴν ΚΒ μείζονα τῆς Κ∠ εἶναι . εἰ γὰρ ἄλλως λέγει τις ταύτας ἴσας εἶναι , συμβαίνει ἄτοπόν τι · ὀρθογωνίου γὰρ κειμένου τοῦ ΚΕΒ τριγώνου τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως τῆς ΚΒ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ τῶν πλευρῶν τῶν ΚΕ , ΕΒ . ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Κ∠ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΕ , Ε∠ . πῶς οὖν ἔσται ἴση ἡ Κ∠ τῇ Κ Β τῶν ἀπὸ ἐν ἴσοις ἴσων ὄντων ; φαίνεται οὖν ἡ περιφέρεια εὐθεῖα διὰ τὸ φαίνεσθαι συμβαῖνον ἐπὶ τῆς περιφερείας , ὃ καὶ ἐπὶ τῆς εὐθείας .
Lemmas: 37 . Ζεύς ὁ συμβαίνω , ὅς γίγνομαι εὐθεῖα ὑπόκειμαι ὁ νῦν σέω περιφέρεια , νομίζω καί ὁ περιφέρεια εὐθύς · εἰμί δέ οὗτος ὁ φαίνω ὁ ἀπό ὁ κέντρον καί οὗτος ἴσος εἰμί ὁ ἐκτός μέγας ὁ ἐντός , οἷος ὁ Κ Β ὁ Κ∠ , ὁ γίγνομαι , εἰμί ἐπί εὐθεῖα κεῖμαι ὁ ΒΓ . ἐπί γάρ εὐθεῖα συμβαίνω ὁ ἔκκειμαι οἷος ὁ ΚΒ μέγας ὁ Κ∠ ἔρχομαι . εἰμί γάρ ἄλλως λέγω τις αὐτός ἴσος ἔρχομαι , συμβαίνω ἄτοπος τίς · ὀρθογώνιον γάρ κεῖμαι ὁ ΕΚΒ τρίγωνον ὁ ἀπό ὁ βάσις ὁ ΚΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ πλευρά ὁ ΚΕ , ΕΒ . ὅμοιος καί ὁ ἀπό ὁ Κ∠ ὁ ἀπό ὁ ΚΕ , Ε∠ . πῶς οὖν εἰμί ἴσος ὁ Κ∠ ὁ Κ Β ὁ ἀπό ἐν ἴσος ἴσος εἰμί ; φαίνω οὖν ὁ περιφέρεια εὐθύς διά ὁ φαίνω συμβαίνω ἐπί ὁ περιφέρεια , ὁ καί ἐπί ὁ εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 38
38 . Ὃ ὄπισθεν ἔλεγε δυνατὸν δείκνυσθαι καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας , τοῦτο νῦν δεικνύει · οἷον ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τῆς περιφερείας τεθῇ τὸ ὄμμα , αἱ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ὑποτεθῶσιν ὡς ἀκτῖνες , μέγιστον μὲν φανήσεται ἡ ΑΒ εὐθεῖα , τὸ πρότερον ἀκτὶς ὑπέκειτο , ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΑΒ τῆς ἀπώτερον μείζων τῆς προτέρας προχωρούσης δείξεως .
Lemmas: 38 . ὅς ὄπισθεν λέγω δυνατός δείκνυμι καί ἐπί ὁ κοῖλος περιφέρεια , οὗτος νῦν δείκνυμι · οἷος ἐάν ἐπί ὁ κέντρον ὁ περιφέρεια τίθημι ὁ ὄμμα , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὑποτίθημι ὡς ἀκτίς , μέγας μέν φαίνω ὁ ΑΒ εὐθύς , ὁ πρότερος ἀκτίς ὑπόκειμαι , ἀεί δέ ὁ ἐγγίων ὁ ΑΒ ὁ ἀπώτερος μέγας ὁ πρότερος προχωρέω δεῖξις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 39
39 . Καθέτου ἐπʼ αὐτὴν οὔσης p . 34 , τῆς ΒΓ περιφερείας ὡς εὐθείας νοουμένης .
Lemmas: 39 . κάθετος ἐπί αὐτός σέω p . 34 , ὁ ΒΓ περιφέρεια ὡς εὐθεῖα νοέω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 40
40 . Ἐγχάλασμα p . 34 , τύχ κοίλωμα .
Lemmas: 40 . Ἐγχάλασμα p . 34 , τῦχος κοίλωμα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 41
41 . Eὐθεῖαι γίνονται p . 36 , περιφερειῶν μὲν οὔσης τῆς σκιᾶς , διὰ δὲ τὰς ἐξερχομένας ἀπὸ τοῦ φωτίζοντος ἀποστάσεις φαίνεσθαι ταύτας , οἵας καὶ ἐν τῇ εὐθείᾳ , καὶ εἶναι τοιαύτας .
Lemmas: 41 . εὐθύς γίγνομαι p . 36 , περιφέρεια μέν σέω ὁ σκιά , διά δέ ὁ ἐξέρχομαι ἀπό ὁ φωτίζω ἀπόστασις φαίνω αὐτός , οἷος καί ἐν ὁ εὐθύς , καί ἔρχομαι τοιοῦτος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 42
42 . Ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον p . 36 , τοῦτο ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς τοῦ Θεοδοσίου δείκνυται .
Lemmas: 42 . Ποίησις οὖν τομή κύκλος p . 36 , οὗτος ἐν ὁ Σφαιρικός ὁ Θεοδόσιος δείκνυμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 43
43 . Αἱ ΓΒ , Β∠ ἄρα ἐφάπτονται p . 38 , ἡ τῇ διαμέτρῳ γὰρ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου , διάμετρος δὲ ἡ ΑΓ τοῦ ΓΗ∠Θ κύκλου .
Lemmas: 43 . ὁ ΓΒ , Β∠ ἄρα ἐφάπτω p . 38 , ὁ ὁ διάμετρος γάρ ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρος ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος , διάμετρος δέ ὁ ΑΓ ὁ ΓΗ∠Θ κύκλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 44
44 . Ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ p . 38 , διὰ τί ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Κ ; ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΒ∠ ἐφ ἀπτηταί τις εὐθεῖα ἡ HΘ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἐπαφὴν ἐπεζεύχθη εὐθεῖα ἡ ΒΑ , ἡ ἐπιζευχθεῖσα ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην · ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΗ . ἐπεὶ δὲ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΘ , Γ∠ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΒ , ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΑΗ ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΓ . ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τὸ Κ .
Lemmas: 44 . ὀρθός ἄρα ὁ πρός ὁ Κ p . 38 , διά τίς ὀρθός ὁ πρός ὁ Κ ; ἐπεί κύκλος ὁ ΑΓΒ∠ ἐπί ἅπτω τις εὐθύς ὁ HΘ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἐπαφή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΒΑ , ὁ ἐπιζεύγνυμι ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐφάπτω · ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΗ . ἐπεί δέ εἰς παράλληλος ὁ ΗΘ , Γ∠ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΑΒ , ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΒΚΓ ἴσος εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΒΑΗ ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΒΑΗ καί ὁ ὑπό ΒΚΓ . ὀρθός ἄρα ὁ πρός ὁ Κ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 45
45 . Ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται p . 40 , πῶς ὑπὸ ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΚΛ μέρος τῆς σφαίρας ; ἐπεὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΘ κύκλος ὁ ΑΛΘΚ γέγραπται τέμνων τὸν Γ∠Ζ κύκλον κατὰ τὰ Κ , Λ , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου τῆς διαμέτρου Κ κύκλου ἐπὶ σημεῖα ἤχθησαν εὐθεῖαι αἱ ΑΛ , ΑΚ , καὶ ἀπὸ τοῦ πέρατος τοῦ Θ ἀνακυκλουμ ΘΛ , ΘΚ , καὶ ὀρθὰς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΛΘ , Θ · ἡμικυκλί δὲ διάμετρος ἡ ΑΚ καὶ ἡ ΑΛ τοῦ EΓ∠Ζ ἐκβαλλόμεναι , ἡ ΘΚ , ΘΛ ἄρα ἐφάπτονται τοῦ κύκλου διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ιϛʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων . ἀχθείσης οὖν τῆς Κ Λ παραλλήλου οὔσης τῇ ΕΖ γίνονται τὰ ΛΘΜ , ΘΚ τρίγωνα ὀρθογώνια , ὡς προδέδεικται ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι . μενούσης ἄρα τῆς ΘΜ ὀρθὴν γωνίαν εὐθείας περιστρεφόμενον τὸ τρίγωνον ποιεῖ τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἡ ΘΛ Θ τῆς σφαίρας ἐφαπτομένη , ἡ δὲ Μ τὸν κύκλον , ὅστις ἐστὶ βάσις τοῦ κώνου . ὑπὸ τῶν ΘΚ , ΘΛ ἄρα ἀκτίνων ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΛΚ μέρος τῆς σφαίρας .
Lemmas: 45 . ὑπό ὁ Θ ὄμμα βλέπω p . 40 , πῶς ὑπό ὄμμα ὁ Θ βλέπω ὁ ΚΛ μέρος ὁ σφαῖρα ; ἐπεί περί διάμετρος ὁ ΑΘ κύκλος ὁ ΚΑΛ γράφω τέμνω ὁ Γ∠Ζ κύκλος κατά ὁ Κ , Λ , ἀπό δέ ὁ σημεῖον ὁ διάμετρος Κ κύκλος ἐπί σημεῖον ἀχθέω εὐθεῖα ὁ ΑΛ , ΑΚ , καί ἀπό ὁ πέρας ὁ Θ ἀνακυκλόω ΘΛ , ΘΚ , καί ὀρθός γωνία ὁ ὑπό ΑΘ , Θ · ἡμικυκλί δέ διάμετρος ὁ ΑΚ καί ὁ ΑΛ ὁ EΓ∠Ζ ἐκβάλλω , ὁ ΘΚ , ΘΛ ἄρα ἐφάπτω ὁ κύκλος διά ὁ πόρισμα ὁ ιϛʹ ὁ γε ὁ στοιχεῖον . ἄγω οὖν ὁ Κ Λ παράλληλος σέω ὁ ΕΖ γίγνομαι ὁ ΛΘΜ , ΘΚ τρίγωνος ὀρθογώνιον , ὡς προδείκνυμι ἐν ὁ πρό οὗτος θεώρημα . μένω ἄρα ὁ ΘΜ ὀρθός γωνία εὐθεῖα περιστρέφω ὁ τρίγωνον ποιέω ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ ΘΛ Θ ὁ σφαῖρα ἐφάπτω , ὁ δέ Μ ὁ κύκλος , ὅστις εἰμί βάσις ὁ κῶνος . ὑπό ὁ ΘΚ , ΘΛ ἄρα ἀκτίς ὄμμα ὁ Θ βλέπω ὁ ΛΚ μέρος ὁ σφαῖρα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 46
46 . Μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ p . 40 , πῶς ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β ; ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ , ΘΛΑ τὰς ὑπὸ ΒΓΑ , ΘΛΑ ἴσας ἔχουσιν · ἐν ἡμικυκλίοις γάρ · ἔχει δὲ τὸ ΘΛΑ τρίγωνον τὴν ὑπὸ ΘA Λ ἐλάττονα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ · περιέχεται γάρ · λοιπὴν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΘ∠ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒΓ . ὁμοίως καὶ τὴν ὑπὸ ΑΘΚ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒ∠ . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΘΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΒ∠ .
Lemmas: 46 . μείζων γάρ ὁ ὑπό ΚΘΛ p . 40 , πῶς ὁ πρός ὁ Θ γωνία μέγας ὁ πρός ὁ Β ; ἐπεί δύο τρίγωνος ὁ ΒΓΑ , θλάω ὁ ὑπό ΒΓΑ , θλάω ἴσος ἔχω · ἐν ἡμικύκλιον γάρ · ἔχω δέ ὁ θλάω τρίγωνον ὁ ὑπό ΘA Λ μικρός ὁ ὑπό ΒΑΓ · περιέχω γάρ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΘ∠ μέγας ἔχω ὁ ὑπό ΑΒΓ . ὅμοιος καί ὁ ὑπό ΑΘΚ μέγας ἔχω ὁ ὑπό ΑΒ∠ . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΛΘΚ μέγας ὁ ὑπό ΓΒ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 47
47 . Παραλληλόγραμμόν ἐστι p . 42 , ἀλλὰ καὶ ἴσον τῷ ΓΖ παραλληλογράμμῳ · ἴση γὰρ ἡ Γ τῇ ΑΒ .
Lemmas: 47 . παραλληλόγραμμος εἰμί p . 42 , ἀλλά καί ἴσος ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος · ἴσος γάρ ὁ Γ ὁ ΑΒ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 48
48 . Ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπί p . 42 , τοῦ γὰρ Α∠ περιστρεφομένου ἐφάψεται ἡ ∠Β τῆς σφαίρας , ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ κύκλου .
Lemmas: 48 . ἔρχομαι δέ καί ἐπί p . 42 , ὁ γάρ Α∠ περιστρέφω ἐφάπτω ὁ ∠Β ὁ σφαῖρα , ὅτι καί ὁ ΒΓ κύκλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 49
49 . Συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις p . 44 , διότι ἐλάττους εἰσὶ β ὀρθῶν αἱ Β , Γ γωνίαι διὰ τὸ κατʼ ἀνάγκην τῆς ἁρῆς τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μείζονος οὔσης . 5Ο . Εἰ γὰρ οὐ συνέβαλλον , ἦν ἂν παράλληλος ἡ τῇ ΓΖ , καὶ τὸ ΒΖ παραλληλόγραμμον , καὶ ἡ διάμετρος ἴση διαστήματι · οὐχ ὑπόκειται .
Lemmas: 49 . συμβάλλω δή ἀλλήλων p . 44 , διότι μικρός εἰμί β ὀρθός ὁ Β , Γ γωνία διά ὁ κατά ἀνάγκη ὁ ἀρή ὁ διάμετρος ὁ κύκλος μέγας σέω . 5Ο . εἰμί γάρ οὐ συμβάλλω , εἰμί ἄν παράλληλος ὁ ὁ ΓΖ , καί ὁ ΒΖ παραλληλόγραμμος , καί ὁ διάμετρος ἴσος διάστημα · οὐ ὑπόκειμαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 51
51 . Διὰ τί προσπεσοῦνται αἱ ΒΕ , Γ∠ ; ἐπεὶ τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζόν ἐστι καὶ παράλληλον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , ἐφάψονται δὲ αἱ ἀκτῖνες τῆς σφαίρας κατὰ πέρατα διαμέτρου κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐλάττονος καὶ παραλλήλου οὔσης τῷ διαστήματι τῶν ὀμμάτων , ἐπεὶ καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων αὕτη ἐστὶ καὶ παράλληλος , καὶ οὐχὶ κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , αἱ ἐπιζευγνῦσαι τὰς παραλλήλους μέν , μὴ ἴσας δέ , οὐκ ἔσονται παράλληλοι . συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΒΕ . Γ∠ . ὅτι δὲ οὐκ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , φανερόν · εἰ γὰρ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , διὰ τὸ ιηʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ἐφαπτομένη μετὰ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας · αἱ δὲ ἀπὸ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι οὐ συμπεσοῦνται · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων , τοῦ διαστήματος τῶν ὀμμάτων καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας περιεχόμενον . τῶν δὲ παραλληλογράμμων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί · ἴσον ἄρα τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οὐκ ἐφάψονται ἄρα κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας .
Lemmas: 51 . διά τίς προσπίπτω ὁ ΒΕ , Γ∠ ; ἐπεί ὁ ὁ ὄμμα διάστημα μέγας εἰμί καί παράλληλος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ἐφάπτω δέ ὁ ἀκτίς ὁ σφαῖρα κατά πέρας διάμετρος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μικρός καί παράλληλος σέω ὁ διάστημα ὁ ὄμμα , ἐπεί καί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα μικρός οὗτος εἰμί καί παράλληλος , καί οὐ κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ παράλληλος μέν , μή ἴσος δέ , οὐ εἰμί παράλληλος . συμπίπτω ἄρα ὁ ΒΕ . Γ∠ . ὅτι δέ οὐ ἐφάπτω κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , φανερός · εἰμί γάρ ἐφάπτω κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , διά ὁ ΙΗΥ ὁ γε ὁ στοιχεῖον ὀρθός ποιέω γωνία ὁ ἐφάπτω μετά ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα · ὁ δέ ἀπό δύο ὀρθός ἐκβάλλω οὐ συμπίπτω · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀκτίς , ὁ διάστημα ὁ ὄμμα καί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα περιέχω . ὁ δέ παραλληλόγραμμος ὁ ἀπεναντίον πλευρά ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ὁ ὄμμα διάστημα ὁ ΒΓ ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἐφάπτω ἄρα κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 52
52 . Ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου p . 44 , διὰ τὸ κεʹ · νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ προσβάλλον τῇ ∠Η σφαίρᾳ .
Lemmas: 52 . ἐλάσσων εἰμί ἡμικύκλιον p . 44 , διά ὁ κύ · νοέω γάρ ὄμμα ὁ Ζ προσβάλλω ὁ ∠Η σφαῖρα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 53
53 . Ἐπτεὶ οὖν ἀπό τινος p . 46 , νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ · διὰ τὸ κε΄ .
Lemmas: 53 . Ἐπτεὶ οὖν ἀπό τις p . 46 , νοέω γάρ ὄμμα ὁ Ζ · διά ὁ ἑ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 54
54 . Κύλινδρος p . 46 , σημείωσαι τὸν κύλινδρον ὀρθὸν ἱστάμενον .
Lemmas: 54 . Κύλινδρος p . 46 , σημειόω ὁ κύλινδρος ὀρθός ἵστημι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 55
55 . Οὐδέτερον ἄρα p . 48 , κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν γὰρ τοῦ κυλίνδρου ἅπτονται αἱ εὐθεῖαι .
Lemmas: 55 . οὐδέτερος ἄρα p . 48 , κατά ὁ ἐπιφάνεια γάρ ὁ κύλινδρος ἅπτω ὁ εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 56
56 . κθʹ p . 5 , τὸ παρὸν θεώρημα δείκνυται , διʼ ὧν καὶ τὸ κζ΄ ἐδείχθη .
Lemmas: 56 . τύ p . 5 , ὁ πάρειμι θεώρημα δείκνυμι , διά ὅς καί ὁ κζ΄ δείκνυμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 57
57 . Τὸ ἴσον ἄρα p . 58 , ἴσον μὲν ταῖς ὄψεσι φαίνεται διὰ τὸ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρᾶσθαι , οὐκ ἔστι δὲ τὰ γὰρ ἀνωτέρω τοῦ κώνου στενοῦνται .
Lemmas: 57 . Τέ ἴσος ἄρα p . 58 , ἴσος μέν ὁ ὄψις φαίνω διά ὁ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω , οὐ εἰμί δέ ὁ γάρ ἄνω ὁ κῶνος στενόω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 58
58 . Ἴσαι αἱ γωνίαι , ὅτι τὰ ἐπίπεδα τοῖς αὐτοῖς ἐμπεριέχεται διαστήμα · ἐξ ὡρισμένων γὰρ εὐθειῶν έδωκεν οπτικον ἐξενεχθῆ αὐτάς .
Lemmas: 58 . Ἴσαι ὁ γωνία , ὅτι ὁ ἐπίπεδος ὁ αὐτός ἐμπεριέχω διάστημα · ἐκ ὁρίζω γάρ εὐθεῖα δίδωμι ὀπτικός ἐκφέρω αὐτός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 59
59 . Αἱ ΓΒ , ΒΖ ἄνισοι p . 68 , δύο γὰρ τρίγωνά εἰσι τὰ ΒΓΑ , ΒΖ Α ὀρθὴν ἔχοντα γωνίαν τὸ μὲν τὴν πρὸς τῷ Γ , τὸ δὲ τὴν πρὸς τῷ Ζ , καί ἐστι λοιπὸν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἀνὰ μέρος τῷ ἀπὸ τῶν ΒΓ , ΓΑ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ . ἀλλʼ ἡ ΓΑ μείζων ἐδείχθη τῆς ΖΑ . ὥστε , ὅπερ ἐλλείπει τὴν ΖΑ , ἔξει τοῦτο ἡ ΒΖ καὶ ἔσται μείζων τῆς ΒΓ .
Lemmas: 59 . ὁ ΓΒ , ΒΖ ἄνισος p . 68 , δύο γάρ τρίγωνος εἰμί ὁ ΒΓΑ , ΒΖ Α ὀρθός ἔχω γωνία ὁ μέν ὁ πρός ὁ Γ , ὁ δέ ὁ πρός ὁ Ζ , καί εἰμί λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ἴσος ἀνά μέρος ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ΓΑ καί ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , Γῆ . ἀλλά ὁ ΓΑ μέγας δείκνυμι ὁ Γῆ . ὥστε , ὅς ἐλλείπω ὁ Γῆ , ἔχω οὗτος ὁ ΒΖ καί εἰμί μέγας ὁ ΒΓ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 60
60 . Ἐλάσσων μὲν ἄρα p . 70 , 1 ] ἐπειδὴ γὰρ ἴσα εἰσὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ , ΚΑ , 52 . Vb . 53 . Vb . 54 . VbVat . 1 cum fig . 55 . Vb . 56 . V1 . 57 . Vb . 58 . Vb . 59 . Vb . 60 . Vb . 15 . ἴσαι αἱ γωνίαι ] postea add . 19 τά ] τό . 20 . Γ ] corr . ex ∠ 21 26 τῷ ] immo τοῖς , sed cfr . p . 137 , 4 . ἔστι δέ , ὡς δέδεικται , ἡ ΖΑ μείζων τῆς ΚΑ , δῆλον , ὅτι ἡ ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΒΚ · ὅσῳ γὰρ ὑπερέχει ἡ ΖΑ τῆς ΑΚ , τοσοῦτον ἐλαττοῦται ἡ ΒΖ τῆς ΒΚ διὰ τό , ὡς εἴρηται , ἴσον εἶναι τὸ ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ , ΚΑ .
Lemmas: 60 . Μικρός μέν ἄρα p . 70 , 1 ] ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , Γῆ ὁ ἀπό ὁ ΒΚ , ΚΑ , 52 . Vb . 53 . Vb . 54 . VbVat . 1 cum fig . 55 . Vb . 56 . V1 . 57 . Vb . 58 . Vb . 59 . Vb . 60 . Vb . 15 . ἴσος ὁ γωνία ] postea add . 19 ὁ ] ὁ . 20 . Γ ] corr . ex ∠ 21 26 ὁ ] immo ὁ , sed cfr . p . 137 , 4 . εἰμί δέ , ὡς δείκνυμι , ὁ Γῆ μέγας ὁ ΚΑ , δῆλος , ὅτι ὁ ΒΖ μικρός εἰμί ὁ ΒΚ · ὅσος γάρ ὑπερέχω ὁ Γῆ ὁ ΑΚ , τοσοῦτος ἐλασσόω ὁ ΒΖ ὁ ΒΚ διά ὁ , ὡς λέγω , ἴσος ἔρχομαι ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , Γῆ ὁ ἀπό ὁ ΒΚ , ΚΑ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 61
61 . Μείζων δὲ πάλιν p . 70 , μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ , διότι τὴν ὑπὸ ΒΑΚ ἡ ΒΚ ὑποτείνει μείζων οὖσα , ὡς δέδεικται , τῆς ΒΖ .
Lemmas: 61 . μείζων δέ πάλιν p . 70 , μέγας ὁ ὑπό ΒΑΚ ὁ ὑπό ΒΑΖ , διότι ὁ ὑπό ΒΑΚ ὁ ΒΚ ὑποτείνω μέγας εἰμί , ὡς δείκνυμι , ὁ ΒΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 62
62 . Ἤχθω οὖν p . 72 , ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἐτέθη πρὸς μὲν τὴν ΓΔ πρὸς ὀρθάς , πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχούσας γωνίας ποιοῦσα , οὐκ ἔστι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ .
Lemmas: 62 . ἄγω οὖν p . 72 , ἐπεί ὁ ΕΖ τίθημι πρός μέν ὁ ΓΔ πρός ὀρθός , πρός δέ ὁ ΑΒ τυγχάνω γωνία ποιέω , οὐ εἰμί πρός ὀρθός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 63
63 . Ἡ ΛΜ p . 72 , ἡ ΛΜ ἴση μέν ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου , οὐ μὴν καὶ διάμετρος , ἀλλʼ ὑποτείνουσα μεῖζον τμῆμα ἡμικυκλίου διὰ τὸ ὑποτεθῆναι τὴν ΕΖ ἴσην ὑποτεθεῖσαν τῇ ΞΝ μείζονα τῶν ἐκ τοῦ κέντρου .
Lemmas: 63 . ὁ ΛΜ p . 72 , ὁ ΛΜ ἴσος μέν εἰμί ὁ διάμετρος ὁ κύκλος , οὐ μήν καί διάμετρος , ἀλλά ὑποτείνω μέγας τμῆμα ἡμικύκλιον διά ὁ ὑποτίθημι ὁ ΕΖ ἴσος ὑποτίθημι ὁ ΞΝ μέγας ὁ ἐκ ὁ κέντρον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 64
64 . Ἡ ΝΞ μείζων p . 72 , ἡ γὰρ ΕΖ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ ΝΞ τῇ ἴση . μείζων τῶν ΛΝ , ΜΝ .
Lemmas: 64 . ὁ ΝΞ μέγας p . 72 , ὁ γάρ ΕΖ μέγας ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ δέ ΝΞ ὁ ἴσος . μέγας ὁ ΛΝ , ΜΝ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 65
65 . Ἡ ἄρα πρὸς τῷ ΞΝ , γωνία p . 74 , ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΞΝ , ἡ δὲ ΛΜ ἴση τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου καὶ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ν , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΛΜ καὶ ἡ Ζ ∠ τῇ ΝΜ . δύο δὴ αἱ ΓΖ , ΖΕ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΝ , ΝΞ . καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΝΞ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΕ ἴση · πρὸς ὀρθὰς γὰρ ὑπόκειται καὶ ἡ ΕΖ τῇ Γ∠ βάσις ἄρα ἡ ΕΓ βάσει τῇ ΛΞ ἴση , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τῇ ὑπὸ ΛΞΝ . διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΚ∠ ἴση τῇ ὑπὸ ΝΞΜ . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ .
Lemmas: 65 . ὁ ἄρα πρός ὁ ΞΝ , γωνία p . 74 , ἐπεί γάρ ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ΞΝ , ὁ δέ ΛΜ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ κύκλος καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ν , ἴσος ἄρα καί ὁ ΓΖ ὁ ΛΜ καί ὁ Ζ ∠ ὁ ΝΜ . δύο δή ὁ ΓΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ΛΝ , ΝΞ . καί γωνία ὁ ὑπό ΛΝΞ γωνία ὁ ὑπό ΓΖΕ ἴσος · πρός ὀρθός γάρ ὑπόκειμαι καί ὁ ΕΖ ὁ Γ∠ βάσις ἄρα ὁ ΕΓ βάσις ὁ ΛΞ ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΓΕΖ ὁ ὑπό ΛΞΝ . διά ὁ αὐτός καί ὁ ὑπό ΖΚ∠ ἴσος ὁ ὑπό ΝΞΜ . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΓΕ∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΛΞΜ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 66
66 . Ἔσται δὴ καί p . 74 , ἐπεὶ ἡ ΗΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΝ , ἡ δὲ ΖΕ ὑπετέθη ἴση τῇ ΝΟ , καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΝΟ , ἔσται καὶ ἡ ΕΗ βάσις ἴση τῇ ΟΛ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΝ . ἐπεὶ οὖν εὐθειῶν τῶν ΕΖ , ΟΝ ἐπ᾿ εὐθειῶν σταθεισῶν γεγόνασιν αἱ ὑπὸ ΗΖΕ , ΛΝΟ ἴσαι , καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΕΖΘ , ΟΝΜ ἴσαι ἔσονται . καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ , ΖΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΟΝ , ΜΜ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΟΝΜ , βάσις ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΟΜ ἴση καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΝΟΜ . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΜ .
Lemmas: 66 . εἰμί δή καί p . 74 , ἐπεί ὁ ΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ΛΝ , ὁ δέ ΖΕ ὑποτίθημι ἴσος ὁ ΝΟ , καί ὁ ὑπό ΗΖΕ ἴσος ὁ ὑπό ΛΝΟ , εἰμί καί ὁ ΕΗ βάσις ἴσος ὁ ΟΛ καί ὁ τρίγωνον ὁ τρίγωνον καί ὁ ὑπό ΗΕΖ ἴσος ὁ ὑπό ΛΟ . ἐπεί οὖν εὐθεῖα ὁ ΕΖ , ΟΝ ἐπί εὐθεῖα ἵστημι γίγνομαι ὁ ὑπό ΗΖΕ , ΛΝΟ ἴσος , καί ὁ λοιπός ὁ ὑπό ΕΖΘ , ΟΝ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΕΖ , ΖΘ ἴσος εἰμί ὁ ΟΝ , ΜΜ , καί γωνία ὁ ὑπό ΕΖΘ ἴσος Τά ὑπό ΟΝ , βάσις ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΟΜ ἴσος καί ὁ τρίγωνον ὁ τρίγωνον καί ὁ ὑπό ΖΕΘ ἴσος ὁ ὑπό ΝΟΜάς . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΗΕΘ ἴσος ὁ ὑπό ΛΟΜ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 67
67.Ἐπτεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρός p . 74 , διὰ τὸ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων . ἐπὶ τῆς αὐτῆς γὰρ εὐθείας δύο ὅμοια τμήματα κύκλων οὐ συσταθήσονται , ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων κατὰ τὸν ὄρον τοῦ αὐτοῦ βιβλίου τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας . ὅτι δὲ ἡ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ο καὶ πάλιν αὕτη τῆς πρὸς τῷ Π , δειχθήσεται διὰ τῆς δείξεως τοῦ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων .
Lemmas: 67.Ἐπτεὶ οὖν μέγας εἰμί ὁ πρός p . 74 , διά ὁ κβʹ ὁ γε ὁ στοιχεῖον . ἐπί ὁ αὐτηες͂ς γάρ εὐθεῖα δύο ὅμοιος τμῆμα κύκλος οὐ συνίστημι , ὅμοιος δέ τμῆμα κύκλος κατά ὁ ὄρον ὁ αὐτός βιβλίο ὁ δέχομαι γωνία ἴσος . ὅτι δέ ὁ πρός ὁ Ξ μέγας ὁ πρός ὁ ὁ καί πάλιν οὗτος ὁ πρός ὁ Π , δείκνυμι διά ὁ δεῖξις ὁ κβʹ ὁ γε ὁ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 68
68 . Μεγίστη δὲ ἡ Ξ p . 76 , διὰ τὸ λῆμμα τὸ πρὸ τούτου · αἱ γὰρ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς διαμέτρου γωνίαι ἴσαι εἰσίν .
Lemmas: 68 . Μεγίστη δέ ὁ Ξ p . 76 , διά ὁ λῆμμα ὁ πρό οὗτος · ὁ γάρ ἴσος ἀπέχω ὁ διάμετρος γωνία ἴσος εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 69
69 . Ὑπερπίπτειν p . 76 , εἰ γὰρ ἴση , τὸ δὲ ἡμικυκλοειδὲς σχῆμα στενοῦται , ὑπερπέσῃ ἂν ἡ ἴση αὐτῇ . στενοῦνται δὲ διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι ἀπὸ τοῦ κέντρου μειζόνων οὐσῶν τῆς ΝΞ .
Lemmas: 69 . ὑπερπίπτω p . 76 , εἰμί γάρ ἴσος , ὁ δέ ἡμικυκλοειδής σχῆμα στενόω , ὑπερπίπτω ἄν ὁ ἴσος αὐτός . στενόω δέ διά ὁ ἐφάπτω ἀπό ὁ κέντρον μέγας εἰμί ὁ ΝΞ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 70
70 . Περιγεγράφθω p . 78 , δέδεικται ἐν τῷ δ΄ βιβλίῳ Γωμετρίας περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι . ὥστε δυνατόν ἐστι τῷ βουλομένῳ περὶ τὸ ΚΞΛ τρίγωνον καὶ ἔτι περὶ τὸ ΚΟΑ τμήματα κύκλων γράψαι . περιγραφέντων δὲ τῶν γ τμημάτων φανερόν , ὅτι μεῖζον τῶν β ἐστὶ τὸ ΚΝΛ τμῆμα , τὸ δὲ ΚΞΛ ἔλαττον αὐτοῦ , μεῖζον δὲ τοῦ ΚΟΛ . διὰ ταῦτα δὴ μείζων ἡ ἐν τῷ Κ Λ τμήματι γωνία · ἡ γὰρ ἐν ἐλάττονι τμήματι γωνία μείζων · ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν .
Lemmas: 70 . περιγράφω p . 78 , δείκνυμι ἐν ὁ Δ΄ βιβλίον Γωμετρίας περί ὁ δίδωμι τρίγωνος κύκλος περιγράφω . ὥστε δυνατός εἰμί ὁ βούλομαι περί ὁ ΚΞΛ τρίγωνος καί ἔτι περί ὁ ΚΟΑ τμῆμα κύκλος γράφω . περιγράφω δέ ὁ γ τμῆμα φανερός , ὅτι μέγας ὁ β εἰμί ὁ ΚΝΛ τμῆμα , ὁ δέ ΚΞΛ μικρός αὐτός , μέγας δέ ὁ Κολ . διά οὗτος δή μέγας ὁ ἐν ὁ Κ Λ τμῆμα γωνία · ὁ γάρ ἐν μικρός τμῆμα γωνία μέγας · ὁ δέ πρός ὁ Ξ μέγας ὁ πρός ὁ Ν .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 71
71 . Καὶ κείσθω τῇ ΗΘ p . 78 , ἐπεὶ γὰρ τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΚΝΛ , ἀπὸ τοῦ Μ σημείου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἄλλη τις ἴση τῇ ΜΝ οὐκ ἐκβληθήσεται , ἀλλʼ εἰ ἴση τῇ ΗΘ ἐκβληθῆναι ἐπιταχθήσεται , ἔξω ἐκβληθήσεται .
Lemmas: 71 . καί κεῖμαι ὁ ΗΘ p . 78 , ἐπεί γάρ τμῆμα κύκλος εἰμί ὁ ΚΝΛ , ἀπό ὁ Μ σημεῖον πρός ὁ περιφέρεια ἄλλος τις ἴσος ὁ ΜΝ οὐ ἐκβάλλω , ἀλλά εἰμί ἴσος ὁ ΗΘ ἐκβάλλω ἐπιτάσσω , ἔξω ἐκβάλλω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 72
72 . Ἐπεὶ οὖν μείζων p . 78 , διὰ τὸ λα΄ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτων λῆμμα · ὡς γὰρ οἷον λῆμμα ἐλήφθη τὸ
Lemmas: 72 . Ἐπεί οὖν μέγας p . 78 , διά ὁ ὅς ὁ γε ὁ στοιχεῖον καί διά ὁ πρό οὗτος λῆμμα · ὡς γάρ οἷος λῆμμα λαμβάνω ὁ
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 73
73 . Παρεσπασμένοι p . 80 , ἤτοι εἰς ἓν μέρος καθʼ ὅλην μίαν διάμετρον ἐπιμήκεις .
Lemmas: 73 . παρασπάω p . 80 , ἤτοι εἰς εἷς μέρος κατά ὅλος εἷς διάμετρος ἐπιμήκης .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 74
74 . Ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν p . 82 , ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἀκτίνων περιέχεται .
Lemmas: 74 . ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί p . 82 , ὑπό γάρ ὁ αὐτός ἀκτίς περιέχω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 75
75 . Πρὸς ὀρθάς p . 84 , σημείωσαι , ὅτι , εἰ πρὸς ὀρθὰς ἕστηκεν ἐξ ἀρχῆς , πρὸς ὀρθὰς φερέσθω .
Lemmas: 75 . πρός ὀρθός p . 84 , σημειόω , ὅτι , εἰμί πρός ὀρθός ἵστημι ἐκ ἀρχή , πρός ὀρθός φέρω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 76
76 . Ἐὰν δὲ ἀπό p . 84 , ὅτι ἴσα τὰ τρίγωνα πάντα γίνονται τά τε ὑπὸ τῆς ἀκτῖνος καὶ τῶν εὐθειῶν περιεχόμενα καὶ τοῦτο τοῦ παρόντος βιβλίου .
Lemmas: 76 . ἐάν δέ ἀπό p . 84 , ὅτι ἴσος ὁ τρίγωνος πᾶς γίγνομαι ὁ τε ὑπό ὁ ἀκτίς καί ὁ εὐθύς περιέχω καί οὗτος ὁ πάρειμι βιβλίο .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 77
77 . Τὸ αὐτό p . 88 , ἤτοι ἡ ΑΒ , ΕΓ , ∠Ζ · αἱ αὐταὶ γὰρ ἴσαι ἐλήφθησαν .
Lemmas: 77 . Τέ αὐτός p . 88 , ἤτοι ὁ ΑΒ , ΕΓ , ∠Ζ · ὁ αὐτός γάρ ἴσος λαμβάνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 78
78 . Ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ p . 88 , διὰ τὸ λδ΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων · δίχα γὰρ τέτμηται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῆς ΕΒ εὐθείας .
Lemmas: 78 . ἥμισυς ὁ ὑπό ΒΕΑ p . 88 , διά ὁ λδ΄ ὁ Α΄ ὁ στοιχεῖον · δίχα γάρ τέμνω ὁ παραλληλόγραμμος ὑπό ὁ ΕΒ εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 79
79 . Μέγιστον δέ p . 88 , φανήσεται γὰρ εὐρυχωροτέρα ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία , εἰ ἐκ τοῦ Α διάμετρος ἀχθείη πρὸς τὸ μέρος τοῦ Β .
Lemmas: 79 . Μέγιστος δέ p . 88 , φαίνω γάρ εὐρύχωρος ὁ πρός ὁ Ε γωνία , εἰμί ἐκ ὁ Α διάμετρος ἄγω πρός ὁ μέρος ὁ Β .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 80
80 . Πᾶσαι γὰρ αἱ p . 90 , γὰρ τὰ τρίγωνα πὸ τῆς ἀκτῖνος μματος καὶ τῶν πὸ τοῦ κέντρου περιεχόμενα .
Lemmas: 80 . Πᾶς γάρ ὁ p . 90 , γάρ ὁ τρίγωνος πόα ὁ ἀκτίς ματός καί ὁ πόα ὁ κέντρον περιέχω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 81
81 . Μέση ἀνάλογον p . 92 , ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου .
Lemmas: 81 . Μέση ἀνάλογος p . 92 , ὥστε ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 82
82 . Ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων p . 94 , ἡ πρὸς τῷ Σ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β , ἐπειδὴ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον , τριγώνου δὲ τοῦ ΔΒΣ ἐκτός ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Σ γωνία .
Lemmas: 82 . ὁ Σ ὁ Β γωνία μέγας p . 94 , ὁ πρός ὁ Σ γωνία μέγας ὁ πρός ὁ Β , ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ ἐκτός γωνία ἴσος εἰμί δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον , τρίγωνον δέ ὁ ΔΒΣ ἐκτός εἰμί ὁ πρός ὁ Σ γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 83
83 . Ἴσα φανήσεται p . 96 , καθʼ ὁποιονοῦν γὰρ μέρος τῆς Ζ∠ τιθεμένου τοῦ ὄμματος ἴσαι γωνίαι γίνονται αἱ πρὸς τῷ ὄμματι · ἴσα γὰρ τρίγωνα καὶ ὅμοια γίνεται τὰ ΑΒΘ , ΘΒΓ . καὶ αἱ βάσεις αἱ ΑΘ , ΘΓ ἴσαι καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι .
Lemmas: 83 . Ἴσος φαίνω p . 96 , κατά ὁποῖος γάρ μέρος ὁ Ζ∠ τίθημι ὁ ὄμμα ἴσος γωνία γίγνομαι ὁ πρός ὁ ὄμμα · ἴσος γάρ τρίγωνος καί ὅμοιος γίγνομαι ὁ ΑΒΘ , ΘΒΓ . καί ὁ βάσις ὁ ΑΘ , ΘΓ ἴσος καί ὁ γωνία ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 84
84 . Μείζων ἄρα p . 98 , διότι ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται τῆς ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑποτεινομένης ὑπὸ τῆς Α∠Η περιφερείας .
Lemmas: 84 . μείζων ἄρα p . 98 , διότι ὑπό μέγας γωνία ὁράω ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑποτείνω ὑπό ὁ Α∠Η περιφέρεια .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 85
85 . Ἐπὶ τῆς ΕΗ p . 98 , κἂν καθʼ ὁτιοῦν , φησίν , μέρος τῆς ΕΗ τίθηται τὸ ὄμμα , ισα φανήσεται .
Lemmas: 85 . ἐπί ὁ ΕΗ p . 98 , κἀν κατά ὁστισοῦν , φημί , μέρος ὁ ΕΗ τίθημι ὁ ὄμμα , ἴσος φαίνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 86
86 . Τῆς πρὸς ὀρθάς p . 98 , τοῦ Ζ δηλονότι καὶ ∠ .
Lemmas: 86 . ὁ πρός ὀρθός p . 98 , ὁ Ζ δηλονότι καί ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 87
87 . Ἴσα δὲ φανήσεται p . 98 , δυνατὸν γὰρ ἐπὶ τῶν ΒΓ , ΓΔ καὶ ἀμφοτέρων γράψαι μείζονα τμήματα ἡμικυκλίων , ἅτινα οὐ τεμοῦσιν ἄλληλα , ἀλλʼ ἐφάψονται κατὰ τὸ Γ σημεῖον .
Lemmas: 87 . Ἴσος δέ φαίνω p . 98 , δυνατός γάρ ἐπί ὁ ΒΓ , ΓΔ καί ἀμφότερος γράφω μέγας τμῆμα ἡμικύκλιον , ὅστις οὐ τέμνω ἀλλήλων , ἀλλά ἐφάπτω κατά ὁ Γ σημεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 88
88 . Προηγούμενον p . 108 , ἀντὶ τοῦ ἐγγύτερον εἶναι δοκεῖ τῷ Ν σημείῳ ἤτοι πορρώτερον τοῦ Σ σημείου .
Lemmas: 88 . προηγούμενος p . 108 , ἀντί ὁ ἐγγύς ἔρχομαι δοκέω ὁ Ν σημεῖον ἤτοι πρόσω ὁ Σ σημεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-optica-scholia-vetera 89
89 . Μείζων ἡ ∠ γωνία p . 112 , διὰ τὸ κα΄ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων .
Lemmas: 89 . μείζων ὁ ∠ γωνία p . 112 , διά ὁ ΚΑ΄ ὁ ὅς ὁ στοιχεῖον .