ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.60
137 . Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∠ΑΓ , ΑΚ∠ p . 130 , 2 ] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Β τῇ ΑΓ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ Α∠ , αἱ ἐντὸς γωνίαι αἱ ὑπὸ Β∠Α , ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . δέδοται δὲ ἡ ὑπὸ Β∠Α καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ∠ΑΓ λεί - πουσα εἰς τὰς ὀρθὰς δέδοται . δέδοται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚ∠ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ Κ∠Β ἐναλλὰξ οὔσῃ . 138 . Καθόλου γάρ , ἐὰν παραλληλογράμμου μία γωνία δοθῇ , καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν . μιᾶς γὰρ δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται , ὥστε καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται .
Lemmas: 137 . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ∠ΑΓ , ΑΚ∠ p . 130 , 2 ] ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ∠Β ὁ ΑΓ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς ὁ Α∠ , ὁ ἐντός γωνία ὁ ὑπό Β∠Α , ∠ΑΓ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . δίδωμι δέ ὁ ὑπό Β∠Α καί λοιπός ὁ ὑπό ∠ΑΓ λείν - Ποῦσα εἰς ὁ ὀρθός δίδωμι . δίδωμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΚ∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Κ∠Β ἐναλλάξ εἰμί . 138 . Κάθολος γάρ , ἐάν παραλληλόγραμμος εἷς γωνία δίδωμι , καί ὁ λοιπός δίδωμι εἰμί . εἷς γάρ δίδωμι ἐκ ἀνάγκη καί ὁ ἐφεξῆς δίδωμι , ὥστε καί ὁ δίδωμι ὁ ἀπεναντίον δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.61
139 . Ἀντιστρόφιον δύο πρὸ αὐτοῦ θεωρήμασιν . 140 . Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθ΄ θεωρήματι . 141 . P.132,4 ] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠Β τῇ ΒΜ . ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ∠Μ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ , ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ , αἱ ὑπὸ ΜΒΓ , ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ , ΒΓΝ ταῖς ὑπὸ ∠ΒΓ , ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν . ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , BΓΝ · ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ , ΓΒΜ . ἐὰν δὲ πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ καὶ τὰ ἑξῆς , ὡς ἐν τῷ α΄ τῶν στοιχείων ( I , 14 ) . 142 . Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p . 132 , 6 ] ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ · ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν , ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός · καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση . ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί . 143 . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p . 132 , 20 ] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα . 144 . Καθόλου γὰρ πάλιν , ἐὰν δύο τετραγώνων δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν , ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό - γραμμα . 145 . Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς p . 134 , 6 ] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο · ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον , διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ ο΄ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς ΖΘ δοθείς .
Lemmas: 139 . Ἀντίστροφος δύο πρό αὐτός θεώρημα . 140 . Ἀντίστροφος ὁ δύο ὁμοῦ ὁ τε ἑξηκοστός ὄγδοος καί ὁ ξθ΄ θεώρημα . 141 . P.132,4 ] επʼευθειος ἄρα εἰμί καί ὁ ∠Β ὁ ΒΜ . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΝ ὁ ∠Μ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ∠ΒΓ , ΒΓΜ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . πάλιν ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΜΒ ὁ ΑΓ , ὁ ὑπό ΜΒΓ , ΑΓΒ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΒ , ΒΓΝ ὁ ὑπό ∠ΒΓ , ΓΒΜ Ἴσαι εἰμί . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΑΓΒ , BΓΝ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ∠ΒΓ , ΓΒΜ . ἐάν δέ πρός τις εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον καί ὁ ἑξῆς , ὡς ἐν ὁ Α΄ ὁ στοιχεῖον ( I , 14 ) . 142 . εἰμί δέ καί ἰσογώνιος p . 132 , 6 ] ἐπεί γάρ ἰσογώνιος κεῖμαι ὁ ΑΒ ὁ ΕΗ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ πρός ὁ Ζ · ἀλλά ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ πρός ὁ Ν , ὁ ἐκτός ὁ ἐντός · καί ὁ πρός ὁ Ν ἄρα ὁ πρός ὁ Ζ ἴσος . ὁμοίως καί ὁ λοιπός . 143 . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΚΓΒ δίδωμι p . 132 , 20 ] ἴσος γάρ εἰμί ὁ πρός ὁ Ζ δίδωμι . 144 . Κάθολος γάρ πάλιν , ἐάν δύο τετράγωνος δύο γωνία Ἴσαι εἰμί , ἰσογώνιος εἰμί ὁ παράλληλος - γράμμα . 145 . Λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι p . 134 , 6 ] μᾶλλον ἀληθής διά οὗτος · ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΓΒ ὁ Ζ καί περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι , διά ὁ νῦν πρῶτος δείκνυμι ὁ Ο΄ θεώρημα λόγος εἰμί ὁ ΓΛ πρός ΖΘ δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.62
146 . Αἱ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι p . 136 , 9 ] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν .
Lemmas: 146 . ὁ ἐπί αὐτός ἄγω p . 136 , 9 ] κατά κοινός ὁ ἐν δίδωμι λόγος εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.64
154 . Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ . 155 . Τὸ οδ΄ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νς΄ . 156 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p . 144 , 14 ] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄ . 157 . Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον , ἀντὶ τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ , δείξομεν οὕτως . παρα - βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω , ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῃ ΒΞ . καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὑπόκειται γάρ · ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΓΜ ἐστιν ἴσον , τὸ δὲ ΕΗ τῷ ΓΞ , καὶ τοῦ ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΞ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΛ πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς · τῆς δὲ ΓΑ πρὸς ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δεδόσθαι τὸ ΑΓΛ τρίγωνον · καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΞ τῷ ΕΗ , ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΓΝ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΛΓ λόγον ἔχει δεδομένον , τουτέστι πρὸς τὴν ΑΓ , διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΓ , ΓΝ · ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΓΝ .
Lemmas: 154 . Ἀντίστροφος ὁ πρό αὐτός . 155 . ὁ ὁδʹ θεώρημα καθολικός ὁ νς΄ . 156 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΓΒ p . 144 , 14 ] διά ὁ νῦν πρῶτος δείκνυμι ὁ ὁδʹ . 157 . ὅτι2 δέ εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ πάλιν λόγος ἔχω δίδωμι , ἀντί ὁ πρός ὁ ἴσος ἑαυτοῦ , δείκνυμι οὕτως . παρά - βάλλω γάρ ὁμοίως ὁ ἐπάνω παρά ὁ ΓΒ ὁ ΕΗ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΓΞ καί κεῖμαι , ὥστε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΓΝ ὁ ΛΓ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΒ πῃ ΒΞ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΗ λόγος εἰμί δίδωμι · ὑπόκειμαι γάρ · ἀλλά ὁ μέν ΑΒ ὁ ΓΜ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΕΗ ὁ ΓΞ , καί ὁ ΓΜ ἄρα πρός ΓΞ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΛ πρός ΓΝ λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ δέ ΓΑ πρός ΓΛ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ δίδωμι ὁ ΑΓΛ τρίγωνος · καί ὁ ΑΓ ἄρα πρός ΓΝ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΞ ὁ ΕΗ , εἰμί δέ καί ἰσογώνιος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΓΝ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΛΓ λόγος ἔχω δίδωμι , τουτέστι πρός ὁ ΑΓ , διά ὁ νῦν πρῶτος δείκνυμι ὁ ὁδʹ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΝ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΓΝ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.65
158 . Τῆς δὲ ΑΒ p . 148 , 4 ] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: 158 . ὁ δέ ΑΒ p . 148 , 4 ] δίδωμι γάρ ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.66
159 . Καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα p . 148 , 22 ] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος δοθείς , καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . πάλιν ἐπεὶ τοῦ ΒΗ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΕΘ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος δοθείς , καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . 160 . Καὶ δῆλον , ὅτι καί , ἐὰν μὴ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον ἀναγράψωμεν , ἀλλὰ ἀπὸ ἄλλης τινός , οἷον τῆς ΖΞ , καὶ πρὸς ἐκείνην , οἷον τὴν ΖΞ , λόγον ἔχει δεδομένον ἡ ΒΓ .
Lemmas: 159 . καί ὁ ΒΗ ἄρα p . 148 , 22 ] ἐπεί γάρ ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ∠ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΒΗ λόγος δίδωμι , καί ὁ ΒΗ ἄρα πρός ὁ δΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν ἐπεί ὁ ΒΗ πρός ὁ δΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ ΕΘ πρός ὁ ∠ΕΖ λόγος δίδωμι , καί ὁ ΒΗ ἄρα πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . 160 . καί δῆλος , ὅτι καί , ἐάν μή ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος ἀναγράφω , ἀλλά ἀπό ἄλλος τις , οἷος ὁ ΖΞ , καί πρός ἐκεῖνος , οἷος ὁ ΖΞ , λόγος ἔχω δίδωμι ὁ ΒΓ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.67
161 . P . 150 , 18–20 ] ἴσον δὲ τὸ ΖΗ τῳ ΕΚ · λόγος ἄρα τοῦ Γ∠ πρὸς τὸ ΕΚ δοθείς , ὥστε διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ α΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου Εὐκλείδου . 162 . P.152,5–6 ] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΕΘ πρὸς ΖΛ , ἀλλὰ τῆς ΕΘ πρὸς ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΛ λόγος δοθείς . ἴση δέ ἐστιν ἡ ΖΛ τῇ ΒΖ · τετράγωνον γάρ · καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΒ λόγος δοθείς . ἀλλὰ τῆς ΖΒ πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς · ὑπόκειται γάρ · καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς Ε∠ λόγος δοθείς . καί ἐστιν ἴση ἡ Ε∠ τῇ ΓΜ · ἀπεναντίον γάρ · καὶ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΕ λόγος δοθείς . ὁμοίως δὴ καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραί . καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ Ε · ὀρθὴ γάρ · ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ εἰς β ὀρθὰς ἡ Γ , καὶ αἱ ἀπεναντίον · δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ Γ∠ .
Lemmas: 161 . P . 150 , 18–20 ] ἴσος δέ ὁ ΖΗ ὁ ΕΚ · λόγος ἄρα ὁ Γ∠ πρός ὁ ΕΚ δίδωμι , ὥστε διά οὗτος καί ὁ ΓΕ πρός ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ ἀντίστροφος ὁ Α΄ ὁ ΣΤ΄ βιβλίον Εὐκλείδης . 162 . P.152,5–6 ] ἐπεί γάρ λόγος εἰμί δίδωμι ὁ ΕΘ πρός ΖΛ , ἀλλά ὁ ΕΘ πρός ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ ΓΕ ἄρα πρός ΖΛ λόγος δίδωμι . ἴσος δέ εἰμί ὁ ΖΛ ὁ ΒΖ · τετράγωνος γάρ · καί ὁ ΓΕ ἄρα πρός ΖΒ λόγος δίδωμι . ἀλλά ὁ ΖΒ πρός ΕΔ λόγος δίδωμι · ὑπόκειμαι γάρ · καί ὁ ΓΕ ἄρα πρός Ε∠ λόγος δίδωμι . καί εἰμί ἴσος ὁ Ε∠ ὁ ΓΜ · ἀπεναντίον γάρ · καί ὁ ΓΜ ἄρα πρός ΓΕ λόγος δίδωμι . ὁμοίως δή καί ὁ λοιπός πλευρά . καί ἐπεί δίδωμι ὁ Ε · ὀρθός γάρ · ὥστε καί ὁ λοιπός εἰς Β ὀρθός ὁ Γ , καί ὁ ἀπεναντίον · δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος ὁ Γ∠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.68
163 . Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ἀληθέστατον , καὶ ἐχρήσατο αὐτῷ κατιών . 164 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p . 154 , 8 ] ὅτι καθόλου ἐπὶ ὁμοίου τριγώνου τοῦτο συμβαίνει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΒΑΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ Β∠ , καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΕ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ , ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ , ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ , καὶ διʼ ἴσου ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ , ἡ ∠Β πρὸς ΒΜ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ε , ἡ ΘΕ πρὸς ΜΒ . 165 . Οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΜΛ [ p . 154 , 8 ] . ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα , καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραί . ὁμόλογος δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΗ · ἴσας γὰρ γωνίας ὑποτείνουσι τὰς ὑπὸ ΑΒΓ , ΘΛΗ · ἡ δὲ Β∠ ἴση τῇ ΛΜ · ὁμόλογοι γὰρ καὶ αὗται ἴσας γωνίας ὑποτείνουσιν . 166 . Ὅπως ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ ἐστιν ἴση ; ἐπεὶ ὑπό - κειται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Β∠ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ∠Β , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ , οὕτως αὐτὴ ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ . τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλή - λοις ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΚΖ .
Lemmas: 163 . ὁ ἀντίστροφος οὗτος ἀληθής , καί χράω αὐτός κατέρχομαι . 164 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΑΓ p . 154 , 8 ] ὅτι καθόλου ἐπί ὁμοιόω τρίγωνος οὗτος συμβαίνω . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΒΑΓ , καί ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ἄγω ὁ Β∠ , καί διά ὁ Θ ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΘΕ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , ὁ ΘΕ πρός ΕΒ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΓ πρός ΘΕ , ὁ ΓΒ πρός ΒΕ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΕ , ὁ ΔΒ πρός ΒΜ , καί διά ἴσος ὡς ὁ ΑΓ πρός ΘΕ , ὁ ∠Β πρός ΒΜ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΓ πρός ∠Ε , ὁ ΘΕ πρός ΜΒ . 165 . οὕτως ὁ ΗΘ πρός ΜΛ [ p . 154 , 8 ] . ἰσογώνιος γάρ ὁ τρίγωνος , καί ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία πλευρά . ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ μέν ΑΓ ὁ τίθημι · ἴσος γάρ γωνία ὑποτείνω ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΘΛ · ὁ δέ Β∠ ἴσος ὁ ΛΜ · ὁμόλογος γάρ καί οὗτος ἴσος γωνία ὑποτείνω . 166 . ὅπως ὁ ΖΚ ὁ ΛΜ εἰμί ἴσος ; ἐπεί ὑπό - κεῖμαι ὡς ὁ ΑΓ πρός Β∠ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ΖΚ , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ∠Β , οὕτως ὁ τίθημι πρός ΜΛ , καί ὡς ἄρα ὁ τίθημι πρός ΜΛ , οὕτως αὐτός ὁ τίθημι πρός ΖΚ . ὁ δέ πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος ἴσος ἀλλά - Λόϊς εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΛΜ ὁ ΚΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.70
176 . Ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Γ p.160 , 11–12 ] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ ϛ΄ τῶν στοιχείων .
Lemmas: 176 . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Γ p.160 , 11–12 ] ἐάν γάρ τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος διά ὁ ιζʹ ὁ ΣΤ΄ ὁ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.72
179 . Λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Β p . 166 , 4 ] ἡ γὰρ ΒΓ τῆς ΒΑ μείζων ἐστὶ τῇ ∠Γ εὐθείᾳ δοθείσῃ , ὡς ἐν τοῖς ὅροις .
Lemmas: 179 . λοιπός ἄρα ὁ ∠Β p . 166 , 4 ] ὁ γάρ ΒΓ ὁ ΒΑ μείζων εἰμί ὁ ∠Γ εὐθύς δίδωμι , ὡς ἐν ὁ ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.73
180 . Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία p.168 , 2 ] ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ , ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει . 181 . Καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ p . 168 , 10 ] συναμφό - τερος ἡ ΑΒ , ΒΓ ὑπόκειται δοθεῖσα , καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ∠Β , καί εἰσι δοθεῖσαι · ὥστε καὶ ἡ ∠ΒΓ δο - θεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα ὅλη ἡ ∠Γ . ἐὰν οὖν ἀπὸ δεδομένης τῆς ∠Γ δεδομένη ἡ ∠Β ἀφαιρεθῇ , καὶ ἡ ὑπολειπομένη δέδοται .
Lemmas: 180 . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ΑΒ∠ γωνία p.168 , 2 ] ὡς εἄν εὐθύς ἐπί εὐθύς ἵστημι γωνία ποιέω , ἤτοι δύο ὀρθός ἢ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω . 181 . καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ p . 168 , 10 ] συναμφό - τέρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ὑπόκειμαι δίδωμι , καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ∠Β , καί εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ∠ΒΓ δο - τίθημι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὅλος ὁ ∠Γ . ἐάν οὖν ἀπό δίδωμι ὁ ∠Γ δίδωμι ὁ ∠Β ἀφαιρέω , καί ὁ ὑπολείπω δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.74
182 . Λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ∠ΓΒ p . 168 , 23 ] τὸ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ ἐστίν , ὅταν ἀφαιρε - θέντος τοῦ δοθέντος τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχει δεδομένον , ὡς ἐν τοῖς ὅροις . 183 . Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ p 170 , 4 ] ἐὰν γὰρ τὴν Β∠ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ποιήσωμεν , δῆλον · ὡς γὰρ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα , οὕτως καὶ αἱ βάσεις . 184 . Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΓ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ ∠ , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθο - γωνίῳ , ὡς ἐν τῷ β΄ θεωρήματι τοῦ β΄ βιβλίου Εὐκλείδου . 185 . Καὶ συνθέντι ἄρα p . 170 , 18–19 ] ἐὰν γὰρ συν - αμφοτέρου τῆς ΒΓ∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς , συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς · συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ δύο εἰσὶν αἱ ΓΒ . 186 . Ὡρ δὲ ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ p . 170 , 21 ] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ΓΒ τῇ ΒΑ καὶ ἴσην τὴν Β∠ τῇ ΒΕ , δῆλον , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ , τουτέστι τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ∠Ε · ὡς γὰρ αἱ βάσεις , οὕτως τὰ παραλληλόγραμμα . 187 . Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p . 170 , 22 ] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκατέρα τῶν ΓΒ , Β∠ , καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν δεδο - μένην ἔχει γωνίαν · ὀρθογώνιον γάρ · δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ , ὡς ἐν τοῖς ὅροις . ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ δοθέν · τετράγωνον γάρ · λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐστι δοθεὶς διὰ τὸ α΄ . 188 . Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ p . 172 , 3 ] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς , τῆς Β∠ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ Β∠ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ . ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ , ΒΓ δοθεῖσα .
Lemmas: 182 . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ∠ΓΒ p . 168 , 23 ] ὁ γάρ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος εἰμί , ὅταν ἀφαιρέω - θέω ὁ δίδωμι ὁ λοιπός πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι , ὡς ἐν ὁ ὅρος . 183 . ὡς δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ p 170 , 4 ] ἐάν γάρ ὁ Β∠ ὁ ΑΒ ἐπί εὐθύς ποιέω , δῆλος · ὡς γάρ ὁ παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων , οὕτως καί ὁ βάσις . 184 . ἐάν γάρ εὐθύς ὡς ὁ ΒΓ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ ∠ , ὁ ἀπό ὁ ὅλος ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ ὅλος καί ἑκάτερος ὁ τμῆμα περιέχω ορθός - γωνιόω , ὡς ἐν ὁ Β΄ θεώρημα ὁ Β΄ βιβλίον Εὐκλείδης . 185 . καί συντίθημι ἄρα p . 170 , 18–19 ] ἐάν γάρ σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΓ∠ πρός ὁ Β∠ λόγος εἰμί δίδωμι , συντίθημι συναμφότεροι ἄρα ὁ ΒΓ∠ μετά ὁ Β∠ πρός ὁ Β∠ λόγος εἰμί δίδωμι · συναμφότερος δέ ὁ ΒΓ∠ μετά ὁ Β∠ δύο εἰμί ὁ ΓΒ . 186 . ὦρ δέ ὁ ΓΒ πρός Β∠ p . 170 , 21 ] ἐάν γάρ ποιέω ἐπί εὐθύς ὁ ΓΒ ὁ ΒΑ καί ἴσος ὁ Β∠ ὁ ΒΕ , δῆλος , ὡς ὁ ΓΒ πρός Β∠ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΒ∠ πρός ὁ ἀπό Β∠ , τουτέστι ὁ ΕΓ πρός ὁ ∠Ε · ὡς γάρ ὁ βάσις , οὕτως ὁ παραλληλόγραμμος . 187 . καί ὁ ὑπό ὁ ΓΒ∠ p . 170 , 22 ] ἐπεί γάρ δίδωμι ἑκάτερος ὁ ΓΒ , Β∠ , καί ὁ ὑπό αὐτός δίδωμι - μένω ἔχω γωνία · ὀρθογώνιος γάρ · δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΓΒ∠ , ὡς ἐν ὁ ὅρος . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ Β∠ δίδωμι · τετράγωνος γάρ · λόγος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΒ∠ πρός ὁ ἀπό ὁ Β∠ εἰμί δίδωμι διά ὁ Α΄ . 188 . δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΒ p . 172 , 3 ] ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ δίδωμι , ὁ Β∠ πρός ὁ ΒΑ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ Β∠ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΒ . ἕκαστος ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.75
189 . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα p . 172 , 16 ] διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ · ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΕΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν κατὰ τὸν ὅρον .
Lemmas: 189 . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΕΓ δίδωμι p . 172 , 16 ] διά ὁ ἐν ἡμικύκλιον · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΑΕΓ δέχομαι γωνία δίδωμι κατά ὁ ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.76
190 . Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β , ∠ p . 176 , 1 ] δέδοται ἐξ ἀρχῆς τὸ Β , καὶ τὸ ∠ δὲ διὰ τὸ τὸν κύκλον δεδόσθαι τῇ θέσει .
Lemmas: 190 . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ Β , ∠ p . 176 , 1 ] δίδωμι ἐκ ἀρχή ὁ Β , καί ὁ ∠ δέ διά ὁ ὁ κύκλος δίδωμι ὁ θέσις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.77
191 . Καί ἐστιν ὀρθή p . 176 , 18 ] διὰ τὸ ιη΄ τοῦ γ΄ βιβλίου τῶν στοιχείων . 192 . Τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ∠Γ p . 176 , 19 ] διὰ τὸ ἀνά - παλιν τοῦ ιϛ΄ θεωρήματος τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου .
Lemmas: 191 . καί εἰμί ὀρθός p . 176 , 18 ] διά ὁ ιη΄ ὁ Γ΄ βιβλίον ὁ στοιχεῖον . 192 . ὁ ἄρα ἐπί ὁ ∠Γ p . 176 , 19 ] διά ὁ ἀνά - πάλιν ὁ ΙΣΤ΄ θεώρημα ὁ Γ΄ βιβλίον Εὐκλείδης .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.78
193 . Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΑ , ΑΕ p . 180 , 10–11 ] ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τῷ ἐπάνωθεν , ὅπου σημεῖον τόδε ?? . 1 ) 194 . Καί ἐστιν ἴσον p . 180 , 11 ] ὡς δέδεικται ἐν τῷ γ΄ βιβλίῳ Εὐκλείδου ἐν τῷ λε΄ θεωρήματι .
Lemmas: 193 . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ Γῆ , ΑΕ p . 180 , 10–11 ] οὗτος δείκνυμι ἐν ὁ σχόλιον ὁ ἐν ὁ ἐπάνωθεν , ὅπου σημεῖον ὅδε ?? . 1 ) 194 . καί εἰμί ἴσος p . 180 , 11 ] ὡς δείκνυμι ἐν ὁ Γ΄ βιβλίον Εὐκλείδης ἐν ὁ ὅς θεώρημα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.79
195 . Τῆς κάτω p . 180 , 20 ] τουτέστι τῆς ὑπὸ τὴν ἀχθεῖσαν καὶ ἀπολαμβάνουσαν τὸ τμῆμα τὸ δεχόμενον τὴν δεδομένην γωνίαν . 196 . Διὰ τὰ αὐτὰ δή p.182 , 11 ] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑ∠ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ δοθείσης δοθεῖσά ἐστιν . 197 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ p . 182 , 14 ] διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ ς΄ βιβλίου τῶν στοιχείων . 198 . Καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ p . 182 , – 17 ] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν , ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα . 199 . Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ p . 182 , 19 ] ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΑΒ βεβήκασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ Β∠ΓΑ . 200 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p . 182 , 22–23 ] περὶ γὰρ τὰς ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν . 201 . Πῶς ἐστιν , ὡς ΑΓ πρὸς ΓΕ , οὕτως συν - αμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ ; ἐπεὶ τοῦ ΒΑΓ τριγώνου ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται , ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ , ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων . συνθέντι ὡς συναμφό - τερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ , πρὸς τὴν ΒΓ . 202 . Πῶς , ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β ; ἐδείχθη , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ · καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β · ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ γὰρ τὰ μεγέθη . 203 . Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΒΕ∠ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ ; ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ ∠ · ἀλλὰ καὶ κατὰ κορυφὴν αἱ ὑπὸ ΒΕ∠ , ΓΕΑ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΕ τῇ ὑπὸ ΕΑΓ ἴση διὰ τὸ καὶ τὸ ∠Γ τμῆμα ὑποτείνειν αὐτάς.1 )
Lemmas: 195 . ὁ κάτω p . 180 , 20 ] τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ἄγω καί ἀπολαμβάνω ὁ τμῆμα ὁ δέχομαι ὁ δίδωμι γωνία . 196 . Ζεύς ὁ αὐτός δή p.182 , 11 ] ὁ γάρ ὑπό ΒΑ∠ ἥμισυς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ δίδωμι δίδωμι εἰμί . 197 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΒΑ p . 182 , 14 ] διά ὁ Γ΄ θεώρημα ὁ ς΄ βιβλίον ὁ στοιχεῖον . 198 . καί ὡς ἄρα συναμφότερος ὁ ΒΑΓ p . 182 , – 17 ] ὡς γάρ εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ , ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . 199 . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ p . 182 , 19 ] ἐπί γάρ ὁ αὐτός περιφέρεια ὁ ΑΒ βαίνω καί ἐν ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ Β∠ΓΑ . 200 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΑΓ p . 182 , 22–23 ] περί γάρ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί . 201 . Πῶς εἰμί , ὡς ΑΓ πρός ΓΕ , οὕτως σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ ; ἐπεί ὁ ΒΑΓ τρίγωνος ὁ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ δίχα τέμνω , εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΓ , ὡς ἐν ὁ ς΄ ὁ στοιχεῖον . συντίθημι ὡς συναμφό - τέρος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ · καί ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ , πρός ὁ ΒΓ . 202 . Πῶς , ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β ; δείκνυμι , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Β , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ · καί ὡς ἄρα συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Β · ἐν ὁ αὐτός λόγος γάρ ὁ μέγεθος . 203 . Πῶς ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΒΕ∠ τρίγωνος ὁ ΑΕΓ τρίγωνος ; ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Γ ὁ πρός ὁ ∠ · ἀλλά καί κατά κορυφή ὁ ὑπό ΒΕ∠ , ΓΕΑ καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ∠ΒΕ ὁ ὑπό ΕΑΓ ἴσος διά ὁ καί ὁ ∠Γ τμῆμα ὑποτείνω αὐτός )
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.1
1 . Δοθεῖσα ἄρα ἐστίν p . 196 , 8 ] ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΒΓ εὐθειῶν δέδοται τῇ θέσει , δέδοται ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ γωνία τῷ μεγέθει , ὡς ἐν τοῖς ὅροις · δύ - ναμαι γὰρ αὐτῇ ἴσην πορίσασθαι .
Lemmas: 1 . δίδωμι ἄρα εἰμί p . 196 , 8 ] ἐπεί γάρ ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΒΓ εὐθύς δίδωμι ὁ θέσις , δίδωμι ὁ ὑπό ΑΕ∠ γωνία ὁ μέγεθος , ὡς ἐν ὁ ὅρος · δύο - νάω γάρ αὐτός ἴσος πορίζω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.2
2 . P . 198 , 1 ] ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν . ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι , τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν . 3 . Τῶν γὰρ αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν αἱ ΒΗ , Η∠ . 4 . Τουτέστι τῇ ΗΒ p . 198 , 6 ] αἱ γὰρ ΗΒ , Η∠ ἴσαι εἰσίν · ἐκ τοῦ κέντρου γάρ εἰσι τοῦ κύκλου · ἐξ ἀρχῆς δὲ ἐτέθη ἴση τῇ ΕΖ ἡ Η∠ . 5 . Ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ p . 198 , 7 ] ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν εὐθεῖα γραμμὴ ἀνάλογον τέμῃ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ , ἡ ΒΗ πρὸς ΗΘ · ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΒΗ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΗΘ . 6 . Δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ p . 198 , 8–9 ] ἡ γὰρ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΒΗ∠ δοθεῖσά ἐστιν , ὡς ἐδείχθη ἀνωτέρω .
Lemmas: 2 . P . 198 , 1 ] ὅτι ὁ αὐτός ἀεί τόπος ἐπέχω . ~ ὅς γάρ περιέχω εἰμί εὐθύς , ὁ θέσις δίδωμι εἰμί . 3 . ὁ γάρ αὐτός ἀεί τόπος ἐπέχω ὁ ΒΗ , Η∠ . 4 . τουτέστι ὁ ΗΒ p . 198 , 6 ] ὁ γάρ ΗΒ , Η∠ Ἴσαι εἰμί · ἐκ ὁ κέντρον γάρ εἰμί ὁ κύκλος · ἐκ ἀρχή δέ τίθημι ἴσος ὁ ΕΖ ὁ Η∠ . 5 . Ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΘ ὁ τίθημι p . 198 , 7 ] ἐάν τρίγωνος παρά εἷς ὁ πλευρά εὐθύς γραμμή ἀνάλογος τέμνω ὁ ὁ τρίγωνος πλευρά , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρός ΖΘ , ὁ ΒΗ πρός ΗΘ · ἴσος δέ ὁ ΕΖ ὁ ΒΗ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΖΘ ὁ ΗΘ . 6 . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ΘΗΖ p . 198 , 8–9 ] ὁ γάρ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ΒΗ∠ δίδωμι εἰμί , ὡς δείκνυμι ἀνωτέρω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.3
7 . Ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ p . 200 , 3 ] διὰ τὸ δ΄ τοῦ ϛ΄ · ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ΚΖΕ , ΕΘΗ τρίγωνα , ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι .
Lemmas: 7 . ὡς δέ ὁ ΘΕ πρός ΕΚ p . 200 , 3 ] διά ὁ Δ΄ ὁ ΣΤ΄ · ἰσογώνιος γάρ εἰμί ὁ ΚΕΖ , ΕΘΗ τρίγωνος , ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία πλευρά ὑποτείνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.4
8 . Καί ἐστι δοθεῖσα p . 200 , 12 ] ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία δεδομένη ἐστίν , ἴση δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ταῖς ∠ , γωνίαις , ἡ ἐκτὸς δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν - τίον ἴση ἐστίν , ἴσαι δέ εἰσι καὶ αἱ ∠ , Γ γωνίαι , ὥστε δεδομέναι εἰσὶν αἱ ∠ , ∠ γωνίαι . 9 . Ἡμίσεια γάρ ἐστι p . 2Ο0 , 12 ] ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ Α∠Γ , ∠ΓΑ ἴσαις οὔσαις ἀλλήλαις , ἡ ὑπὸ Α∠Γ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ .
Lemmas: 8 . καί εἰμί δίδωμι p . 200 , 12 ] ἐπεί γάρ ὁ πρός ὁ Α γωνία δίδωμι εἰμί , ἴσος δέ ὁ πρός ὁ Α ὁ ∠ , γωνία , ὁ ἐκτός δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναν - Τῖον ἴσος εἰμί , Ἴσαι δέ εἰμί καί ὁ ∠ , Γ γωνία , ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ ∠ , ∠ γωνία . 9 . ἥμισυς γάρ εἰμί p . 2Ο0 , 12 ] ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος εἰμί δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό Α∠Γ , ∠ΓΑ ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ὁ ὑπό Α∠Γ ἄρα ἥμισυς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.5
10 . Καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ p . 202 , 5 ] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ ∠ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ · ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση · ὥστε τῆς πρὸς τῷ ∠ μόνης διπλάσιόν ἐστιν . ἴσαι δὲ ἀλλή - λαις εἰσὶ κἀκεῖναι διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΓ καὶ ἰσοσκελὲς καθεστάναι τὸ τρίγωνον .
Lemmas: 10 . καί εἰμί αὐτός διπλόος p . 202 , 5 ] ἴσος γάρ εἰμί ὁ πρός ὁ ∠ γωνία ὁ πρός ὁ Γ · εἰμί δέ ὁ ὑπό ΒΑΓ δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος · ὥστε ὁ πρός ὁ ∠ μόνος διπλάσιος εἰμί . Ἴσαι δέ ἀλλά - Λαΐς εἰμί κἀκείνης διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ΑΓ καί ἰσοσκελής καθίστημι ὁ τρίγωνος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.6
11 . Ἐκκείσθω δοθεῖσα p . 202 , 12 ] τῷ μεγέθει · οὕτω γὰρ ἀεὶ λαμβάνει ἀοριστῶς λέγων . 12 . Ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β p . 202 , 21 ] ἐμά - θομεν γάρ , ὅτι , ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται . 13 . Καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραί p . 204 , 8 ] ἐπεὶ λόγος τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς , ἔστι δὲ καὶ τὸ Α ὅμοιον τῷ Β , τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν , πρὸς ἃς αὗται ἀνάλογόν εἰσιν , κἀκεῖναι δεδομέναι ἔσονται .
Lemmas: 11 . ἔκκειμαι δίδωμι p . 202 , 12 ] ὁ μέγεθος · οὗτος γάρ ἀεί λαμβάνω ἀόριστος λέγω . 12 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β p . 202 , 21 ] ἐμός - θομεν γάρ , ὅτι , ἐάν τέσσαρες εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , καί ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὁμοῖος τε καί ὁμοίως ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί . 13 . καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά p . 204 , 8 ] ἐπεί λόγος ὁ Γ∠ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ Α ὅμοιος ὁ Β , ὁ δέ ὅμοιος σχῆμα ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί , πρός ὅς οὗτος ἀνάλογος εἰμί , κἀκείνης δίδωμι εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.7
14 . Δέδοται ἄρα τῷ εἴδει p . 204 , 19 ] ἐμάθομεν γὰρ ἐν τοῖς ὅροις , ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δε - δόσθαι λέγεται , ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσί κτλ . 15 . Διὰ τὰ αὐτὰ δή p . 204 , 24 ] ὡς ἐν τῷ σχολίῳ τοῦ νβ΄ ἀπὸ γὰρ ἑκάστης ἀναγράφοντες τετράγωνον ὁμοίως δείξομεν .
Lemmas: 14 . δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος p . 204 , 19 ] μανθάνω γάρ ἐν ὁ ὅρος , ὅτι εὐθύγραμμος σχῆμα ὁ εἶδος δέ - δίδωμι λέγω , ὅς ὁ τε γωνία δίδωμι εἰμί κτλ . 15 . Ζεύς ὁ αὐτός δή p . 204 , 24 ] ὡς ἐν ὁ σχόλιον ὁ νβ΄ ἀπό γάρ ἕκαστος ἀναγράφω τετράγωνος ὁμοίως δείκνυμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.8
16 . Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ p . 206 , 13 ] σχόλιον . ἐκ τῶν λαμβανομένων τῇ Γ∠ τῇ αὐτῇ ἀποδείξει τῇ ἐπὶ τοῦ ξδ΄ χρησόμεθα . ἐκθέμενοι εὐθέως τὴν αβ καὶ τῇ μὲν ΕΓ ἴσην τὴν αγ , τῇ δὲ ΑΖ τὴν γβ καὶ πρὸς ὀρ - θὰς ἀπὸ τοῦ γ τὴν γδ ἴσην οὖσαν τῇ Γ∠ καὶ τὰ ἑξῆς ὡς ἐν τῷ ξδ΄ θεωρήματι . 17 . Σχόλιον . ὡς γὰρ ἡ ΕΓ πρὸς ΑΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ . 18 . Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ πρὸς τὸ ΑΓ∠ τρίγωνον p . 206 , 15 ] διπλάσιον γάρ , φησίν , ἔστιν αὐτοῦ . πῶς ; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ηθ , καὶ κείσθω τῇ μὲν Γ∠ ἴση ἡ ηθ , τῇ δὲ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ηκ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ κθ παρ - αλληλόγραμμον , καὶ ἔστω διαγώνιος ἡ θκ ἀντὶ τῆς Α∠ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν θη , ηκ ἐστι τὸ κθ , καί ἐστι δι᾿ αὐτοῦ ἡ θκ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τοῦ κηθ τριγώνου · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ηθ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ - αλλήλοις ταῖς ηθ , κλ · καί ἐστι τὸ μὲν θκ παραλληλό - γραμμον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ , τὸ δὲ κηθ ἴσον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ · διπλάσιον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου . 19 . Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου διπλάσιόν ἐστιν ; δείξομεν οὕτως . ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΗ καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΗΘ . δύο ἄρα παραλληλόγραμμά ἐστι τὰ ΑΘ , Α∠ ( ὑπό - κειται γὰρ καὶ ἡ ΑΓ τῇ Β∠ παράλληλος ) ἐπὶ τῆς ΑΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΗ , Ζ∠ · ἴσον ἄρα τὸ ΑΘ παραλληλό - γραμμον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΑΗ ἐστι τὸ ΑΘ , ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Γ∠ , καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ ἐστι τὸ ΑΘ διπλάσιον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου , ἐπεὶ καὶ τὸ Α∠ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ , Γ∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου .
Lemmas: 16 . ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΕΓ∠ p . 206 , 13 ] σχόλιον . ἐκ ὁ λαμβάνω ὁ Γ∠ ὁ αὐτός ἀποδείκνυμι ὁ ἐπί ὁ ξδ΄ χράω . ἐκτίθημι εὐθύς ὁ αβ καί ὁ μέν ΕΓ ἴσος ὁ αγ , ὁ δέ αζʹ ὁ γβ καί πρός Ὅρ - Θᾶς ἀπό ὁ γ ὁ γδʹ ἴσος εἰμί ὁ Γ∠ καί ὁ ἑξῆς ὡς ἐν ὁ ξδ΄ θεώρημα . 17 . σχόλιον . ὡς γάρ ὁ ΕΓ πρός αζʹ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΕΓ∠ πρός ὁ ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ . 18 . ὁ δέ ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ πρός ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος p . 206 , 15 ] διπλάσιος γάρ , φημί , εἰμί αὐτός . πῶς ; ἔκκειμαι τις εὐθύς ὁ ηθʹ , καί κεῖμαι ὁ μέν Γ∠ ἴσος ὁ ηθʹ , ὁ δέ αζʹ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ἡκ , καί συμπληρόω ὁ κθʹ παρά - αλληλογραμμος , καί ἵστημι διαγώνιος ὁ θκ ἀντί ὁ Α∠ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ τίθημι , ἡκ εἰμί ὁ κθʹ , καί εἰμί διά αὐτός ὁ θκ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ Κηθ τρίγωνος · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ηθʹ καί ἐν ὁ αὐτός παρά - ἀλλήλων ὁ ηθʹ , κλ · καί εἰμί ὁ μέν θκ παράλληλος - γραμμός ἴσος ὁ ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ , ὁ δέ Κηθ ἴσος ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος · διπλάσιος ἄρα ὁ ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος . 19 . Πῶς ὁ ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος διπλάσιος εἰμί ; δείκνυμι οὕτως . ἄγω διά ὁ Α ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΑΗ καί διά ὁ ὁ ὁ αζʹ παράλληλος ὁ ΗΘ . δύο ἄρα παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΘ , Α∠ ( ὑπό - κεῖμαι γάρ καί ὁ ΑΓ ὁ Β∠ παράλληλος ) ἐπί ὁ ΑΗ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΗ , Ζ∠ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΘ παράλληλος - γραμμός ὁ Α∠ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ αζʹ , ΑΗ εἰμί ὁ ΑΘ , ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ Γ∠ , καί ὁ ἄρα ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ εἰμί ὁ ΑΘ διπλάσιος δέ ὁ ΑΘ ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος , ἐπεί καί ὁ Α∠ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ αζʹ , Γ∠ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.10
32 . Πῶς μὲν τὴν ὑπὸ ∠ΕΓ δύναμαι συστήσασθαι ἴσην τῇ ὑπὸ Α∠Γ χωρὶς τῶν Ἀπολλωνίου ; οὕτως . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ Α∠Γ , μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ Α∠Γ . κείσθω οὖν ἴση τῇ ὑπὸ ΒΓ∠ ἡ ὑπὸ Β∠Ε , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ . ἔστι δὲ κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ τε ∠ΒΓ τρι - γώνου καὶ τοῦ ∠ΒΕ . λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Β∠Γ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΕΓ ἐστιν ἴση . 33 . Πῶς δὲ δυνατὸν καθόλου ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ὡς τοῦ α ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὡς τὴν βγ καταγαγεῖν εὐθεῖαν ἴσην ποιοῦσαν γωνίαν τῇ δο - θείσῃ τῇ ὑπὸ δεζ ; δείξομεν οὕτως . ἡ γὰρ ὑπὸ δεζ ἢ ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα . εἰ μὲν οὖν ὀρθή , φανερόν · ἄγω γὰρ ἀπὸ τοῦ α κάθετον τὴν αη · καὶ ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ . καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ , ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ αη εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ α τῇ ὑπὸ εδθ ἴση ἡ ὑπὸ ηακ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δεζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη . ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ δεζ . ἐκ - βληθείσης ἄρα τῆς ζε ὀξεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ δελ . κάθετος οὖν ἤχθω ἡ δλ , καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ . λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη , ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν . Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p . 214 , 6–7 ] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ - ειρημένου τετραγώνῳ . 35 . Ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β∠ p . 214 , 7–8 ] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον , τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τρίτης ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας .
Lemmas: 32 . Πῶς μέν ὁ ὑπό ∠ΕΓ δύναμαι συνίστημι ἴσος ὁ ὑπό Α∠Γ Χωρὶς ὁ Ἀπολλώνιος ; οὕτως . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓ∠ ὁ ὑπό Α∠Γ , μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΒΓ∠ ὁ ὑπό Α∠Γ . κεῖμαι οὖν ἴσος ὁ ὑπό ΒΓ∠ ὁ ὑπό Β∠Ε , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΓ . εἰμί δέ κοινός ὁ πρός ὁ Β γωνία ὁ τε ∠ΒΓ τρι - γώνον καί ὁ ∠ΒΕ . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Β∠Γ λοιπός ὁ ὑπό ∠ΕΓ εἰμί ἴσος . 33 . Πῶς δέ δυνατός καθόλου ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ὡς ὁ ὅς ἐπί ὁ δίδωμι εὐθύς ὡς ὁ βγʹ κατάγω εὐθύς ἴσος ποιέω γωνία ὁ δο - θέω ὁ ὑπό δεʹ ; δείκνυμι οὕτως . ὁ γάρ ὑπό δεʹ ἢ ὀρθός εἰμί ἢ ὀξύς ἢ ἀμβλύς . εἰμί μέν οὖν ὀρθός , φανερός · ἄγω γάρ ἀπό ὁ ὅς κάθετος ὁ ἀεί · καί εἰμί ἴσος ὁ ε ὁ ὁ . ἀλλά δή ἵστημι ὀξύς ὁ ὑπό δεʹ . καί ἄγω κάθετος ἀπό μέν ὁ δ ἐπί ὁ εζʹ ὁ ΔΘ , ἀπό δέ ὁ ὅς ἐπί ὁ βγʹ ὁ ἀεί , καί συνίστημι πρός ὁ ἀεί εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ ὅς ὁ ὑπό ἐσθίω ἴσος ὁ ὑπό ἀάω · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό δεʹ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ἀκή . ἀλλά δή ἵστημι ἀμβλύς ὁ ὑπό δεʹ . ἐκ - βάλλω ἄρα ὁ ζε ὀξύς εἰμί ὁ ὑπό δελ . κάθετος οὖν ἄγω ὁ δλ , καί ὁ ὑπό λδε ἴσος κεῖμαι ὁ ὑπό ἀάω . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό δελ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ἀκή , ὥστε καί ὁ ἐφεξῆς ὁ ὑπό δεʹ ὁ ἐφεξῆς ὁ ὑπό ακγ ἴσος εἰμί . τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΕΓΒ p . 214 , 6–7 ] ἐάν γάρ εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί εἷς ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ τμῆμα καί ὁ ἀπό ὁ προ - εἴρω τετράγωνος . 35 . Ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Β∠ p . 214 , 7–8 ] ἐάν γάρ τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος , ὁ ὑπό πρῶτος καί τρίτος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ δύο .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.11
36 . Πῶς δυνατὸν ποιῆσαι , ὡς τὸ Α παραλληλόγραμ - μον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον , οὕτως τὴν Κ πρὸς Λ ; εἰλήφθω τῶν Γ∠ , ΕΖ τρίτη ἀνάλογον . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα - γραφόμενον , καὶ λοιπὸν ὡς ἐπὶ εὐθειῶν γεγονέτω , ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ . 37 . Τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β p . 218 , 3 ] ὡς δέδεικται ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τοῦ Εὐκλείδου ἐν τῷ κγ΄ θεωρήματι . 38 . Ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ Κ p . 218 , 6 ] ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι , καὶ ληφθῇ τις μία εὐθεῖα , ἡ μία τῶν πρότε - ρον πρὸς τὴν ἑτέραν λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη πρὸς τὴν ἔξωθεν , ὡς ἔτυχεν , ληφθεῖσαν καὶ ὃν ἡ ληφθεῖσα πρὸς τὴν ἑτέραν . 39 . Ὁ ἄρα συγκείμενος p . 218 , 8 ] κεῖται δὲ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ · ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς Λ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν , τοῦ ὃν ἔχει ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς ΕΗ .
Lemmas: 36 . Πῶς δυνατός ποιέω , ὡς ὁ Α παραλληλόγραμμο - νυμφότιμον πρός ὁ Β παραλληλόγραμμος , οὕτως ὁ Κ πρός Λ ; λαμβάνω ὁ Γ∠ , ΕΖ τρίτος ἀνάλογος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο ὁ ὅμοιος καί ὁμοίως ἀνα - γράφω , καί λοιπός ὡς ἐπί εὐθύς γίγνομαι , ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ Κ πρός Λ . 37 . ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β p . 218 , 3 ] ὡς δείκνυμι ἐν ὁ ς΄ βιβλίον ὁ Εὐκλείδης ἐν ὁ κγ΄ θεώρημα . 38 . ἀλλά μέν καί ὁ Κ p . 218 , 6 ] ἐάν εἰμί δύο εὐθύς , καί λαμβάνω τις εἷς εὐθύς , ὁ εἷς ὁ πρό - ἀντίμοιρος πρός ὁ ἕτερος λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ πρῶτος πρός ὁ ἔξωθεν , ὡς τυγχάνω , λαμβάνω καί ὅς ὁ λαμβάνω πρός ὁ ἕτερος . 39 . ὁ ἄρα σύγκειμαι p . 218 , 8 ] κεῖμαι δέ ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Κ πρός Λ · ὥστε καί ὁ Κ πρός Λ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά , ὁ ὅς ἔχω ὁ Γ∠ πρός ΕΖ καί ὁ ΘΓ πρός ΕΗ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.12
40 . Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς Β γωνίας ἢ ὀξείας ; τὸ λημμάτιον ἐν τῷ τέλει εὑρήσεις , ὅπου σημεῖον τόδε α ?? .
Lemmas: 40 . Πῶς δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἀμβλύς ὑπόκειμαι ὁ Β γωνία ἢ ὀξύς ; ὁ λημμάτιον ἐν ὁ τέλος εὑρίσκω , ὅπου σημεῖον ὅδε ὅς ?? .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.13
41 . Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α∠Ζ p . 226 , 9 ] ἐπεὶ γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΑΖ , Ζ∠ , καὶ ὅλη ἡ Α∠ δέδοται διὰ τὸ γ΄ ὥστε ἑκατέρα τῶν Α∠ , ΑΖ δέδοται . καὶ δῆλον , ὅτι τὸ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον δέδοται , ὡς ἐν τοῖς ὅροις · ὅ τε γὰρ λόγος τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ δέδοται , ἐπειδήπερ ἑκατέρα τῶν Α∠ , ∠Ζ δέδοται διὰ τὸ α΄ , καὶ αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσίν · ὀρθαὶ γάρ . 42 . P . 226 , 10 ] ἐὰν γὰρ διάμετρον ἀγάγωμεν , τὰ λοιπὰ δῆλα , ὡς ἐν τῷ γ΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ λδ΄ θεωρήματι · ὅλαι γὰρ αἱ τέμνουσαι εὐθεῖαι τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων ἴσον ἔχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης . 43 . Ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ κύκλου .
Lemmas: 41 . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠Ζ p . 226 , 9 ] ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ αζʹ , Ζ∠ , καί ὅλος ὁ Α∠ δίδωμι διά ὁ Γ΄ ὥστε ἑκάτερος ὁ Α∠ , αζʹ δίδωμι . καί δῆλος , ὅτι ὁ ὑπό αὐτός περιέχω δίδωμι , ὡς ἐν ὁ ὅρος · ὅς τε γάρ λόγος ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ζ δίδωμι , ἐπεί ἑκάτερος ὁ Α∠ , ∠Ζ δίδωμι διά ὁ Α΄ , καί ὁ γωνία δίδωμι εἰμί · ὀρθός γάρ . 42 . P . 226 , 10 ] ἐάν γάρ διάμετρος ἄγω , ὁ λοιπάς δῆλος , ὡς ἐν ὁ Γ΄ ὁ στοιχεῖον ἐν ὁ λδ΄ θεώρημα · ὅλος γάρ ὁ τέμνω εὐθύς ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ἴσος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω . 43 . ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω ὁ κύκλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.14
44 . Πῶς ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ ΑΓ∠ , ΓΒΕ ἐστι διπλῆ ; ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δίχα τέμνει τὴν ὑπὸ ΑΓΒ . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΓΕΒ ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ , ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΓΕΒ , ΕΒΓ · αἱ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ , ΕΒΓ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ διπλαῖ εἰσιν · ἴσαι γὰρ ἀλλήλαις εἰσίν , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΕΓ πλευρᾷ τῇ ΒΓ ἴση · διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΒΕ . ἔστι δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΑΓ∠ διπλῆ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ ΓΒΕ . 45 . Τουτέστι τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ p . 226 , 19 ] τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνει αὐτὰς τὸ Α∠ . 46 . Καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι p . 228 , 1 ] ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ Γ∠Β , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ ἴσην , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΓΒ τῇ ΓΕ ἴση , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ τῇ ὑπὸ ∠ΒΖ · ὥστε καὶ λοιπὴ ἤτοι ἡ ΕΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΖ∠ ἐστιν ἴση . 47 . Τῆς γὰρ ὑπὸ ΖΓΒ γωνίας ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΓΒΕ συνάγεται ὅλη ἡ ὑπὸ ΖΒΕ ἴση δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΒΓ , ΖΓΒ , τουτέστι τῇ ὑπὸ ∠ΖΒ . 48 . Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ p.228 , 4 ] πάλιν δ μεγέθη γίνεται ἀνάλογον , τὰ ΑΓΒ , ΑΒ , Β∠ , ∠Ζ .
Lemmas: 44 . Πῶς ὁ ὑπό ΑΓΒ ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓ∠ , ΓΒΕ εἰμί διπλόος ; ἐν ὁ πρό οὗτος θεώρημα δίχα τέμνω ὁ ὑπό ΑΓΒ . ἐπεί οὖν τρίγωνος ὁ ΓΕΒ ἐκτός εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΒ , ΕΒΓ · ὁ δέ ὑπό ΓΕΒ , ΕΒΓ ὁ ὑπό ΕΒΓ διπλόος εἰμί · Ἴσαι γάρ ἀλλήλων εἰμί , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΕΓ πλευρά ὁ ΒΓ ἴσος · διπλόος ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΓΒΕ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΓ∠ διπλόος · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓ∠ ὁ ὑπό ΓΒΕ . 45 . τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΑΒ∠ p . 226 , 19 ] ὁ γάρ αὐτός τμῆμα ὑποτείνω αὐτός ὁ Α∠ . 46 . καί ἐπεί ἰσογώνιος εἰμί p . 228 , 1 ] ἴσος γάρ ὁ ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό Γ∠Β , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΖΒ∠ ὁ ὑπό ΑΕΒ ἴσος διά ὁ ὁ ὑπό ΓΒΕ ὁ ὑπό ΓΕΒ ἴσος , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΓΒ ὁ ΓΕ ἴσος , ἴσος δέ ὁ ὑπό ΓΒΕ ὁ ὑπό ∠ΒΖ · ὥστε καί λοιπός ἤτοι ὁ ΕΒΑ ὁ ὑπό ΒΖ∠ εἰμί ἴσος . 47 . ὁ γάρ ὑπό ΖΓΒ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΒΕ συνάγω ὅλος ὁ ὑπό ΖΒΕ ἴσος δύο ὁ ὑπό ΖΒΓ , ΖΓΒ , τουτέστι ὁ ὑπό ∠ΖΒ . 48 . ὡς ἄρα συναμφότερος ὁ ΑΓΒ p.228 , 4 ] πάλιν δ μέγεθος γίγνομαι ἀνάλογος , ὁ ΑΓΒ , ΑΒ , Β∠ , ∠Ζ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.15
49 . Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ p . 230 , 3 ] ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον , αἱ ἄρα ἀπ - εναντίον αἱ ὑπὸ ΑΒ∠ , ∠ΓΑ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ καὶ αἰ ὑπὸ ∠ΓΑ , ∠ΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ∠ΓΑ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ ἐστιν ἴση . 50 . Καὶ ὁμοίως τῷ πρότερον δείξομεν p . 230 , 18 ] ἐπειδὴ γάρ , ὡς εἴρηται ἐν τῇ κατασκευῇ τοῦ qγ΄ θεω - ρήματος , τῆς Α γωνίας δίχα τμηθείσης καὶ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τὸν αὐτὸν ἐχόντων λόγον ταῖς πλευ - ραῖς συνήγετο , ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα , τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως συν - αμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ · ἀλλʼ ἐπεὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΓΕ∠ τριγώνῳ , ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε . τὸ ἄρα ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης , τουτέστι τὸ ὑπὸ συν - αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠ ἴσον τῷ ὑπὸ δευτέρας καὶ τρίτης , τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ , Γ∠ · δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , Γ∠ · δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΓ , Γ∠ διὰ τὸ πη΄ · ἡ μὲν γὰρ Β∠ ἀπολαμβάνει τμῆμα τὸ ΒΑΓ∠ ἔχον δεδομένην γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑ∠ , ἡ δὲ Γ∠ τὸ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ∠ΑΓ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠ .
Lemmas: 49 . καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒ∠ p . 230 , 3 ] ἐπεί γάρ ἐν κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος , ὁ ἄρα ἀπό - ἐναντίος ὁ ὑπό ΑΒ∠ , ∠ΓΑ γωνία δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . ἀλλά καί ὁ ὑπό ∠ΓΑ , ∠ΓΖ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ∠ΓΑ ὁ ὑπό ΑΒ∠ ὁ ὑπό ∠ΓΖ εἰμί ἴσος . 50 . καί ὁμοίως ὁ πρότερος δείκνυμι p . 230 , 18 ] ἐπεί γάρ , ὡς εἴρω ἐν ὁ κατασκευή ὁ qγ΄ θέω - ῥῆμα , ὁ Α γωνία δίχα τέμνω καί ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ πλεύς - Ραΐς συνάγω , ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι , τουτέστιν ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΕ , οὕτως σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ΒΓ · ἀλλά ἐπεί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΕ τρίγωνος ὁ ΓΕ∠ τρίγωνος , εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ∠Ε · εἰμί ἄρα καί ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ∠Ε . ὁ ἄρα ὑπό πρῶτος καί τέταρτος , τουτέστι ὁ ὑπό σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑΓ καί ὁ Ε∠ ἴσος ὁ ὑπό δύο καί τρίτος , ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , Γ∠ · δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , Γ∠ · δίδωμι γάρ ἑκάτερος ὁ ΒΓ , Γ∠ διά ὁ πηʹ · ὁ μέν γάρ Β∠ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ ΒΑΓ∠ ἔχω δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ΒΑ∠ , ὁ δέ Γ∠ ὁ τμῆμα ἔχω δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ∠ΑΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ καί ὁ Ε∠ .