ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.1
1 . Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα , τὰ δὲ μεγέθει , τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει .
Lemmas: 1 . ὁ δίδωμι ὁ μέν θέσις εἰμί δίδωμι , ὁ δέ μέγεθος , ὁ δέ καί θέσις καί μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.2
2 . Τὸ δεδομένον λέγεται τετραχῶς · ἢ γὰρ μεγέθει ἢ εἴδει ἢ λόγῳ ἢ θέσει δεδόσθαι λέγεται . καὶ τί μὲν τούτων ἕκαστον σημαίνει , αὐτὸς σαφῶς διδάσκει . κοι - νῶς δὲ λέγεται δεδομένον , ᾧ δυνατόν ἐστιν ἴσον εὑρεῖν τε καὶ πορίσασθαι .
Lemmas: 2 . ὁ δίδωμι λέγω τετραχῶς · ἢ γάρ μέγεθος ἢ εἶδος ἢ λόγος ἢ θέσις δίδωμι λέγω . καί τίς μέν οὗτος ἕκαστος σημαίνω , αὐτός σαφῶς διδάσκω . κέω - Νῶς δέ λέγω δίδωμι , ὅς δυνατός εἰμί ἴσος εὑρίσκω τε καί πορίζω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.3
3 . Τὴν τῶν δεδομένων πραγματείαν ἐν ἑνὶ ἐπι - πέδῳ κειμένων ὑποθετέον , ὥσπερ καὶ τὰ πρῶτα ἓξ τῆς στοιχειώσεως βιβλία .
Lemmas: 3 . ὁ ὁ δίδωμι πραγματεία ἐν εἷς ἐπι - πέδον κεῖμαι ὑποθετέον , ὥσπερ καί ὁ πρῶτος ἓξ ὁ στοιχείωσις βιβλίον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.4
4 . Δεδομένα ἐστὶ τὰ ὡρισμένα , τουτέστιν ὧν τὰ πέρατα δέδοται εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει · τούτοις γὰρ δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι ὁμοίως εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει . δύναται δὲ καὶ ῥητὸν καὶ ἄλογον δεδο - μένον εἶναι , ὡς λέγει Πάππος ἐν ἀρχῇ τοῦ εἰς τὸ ι΄ Εὐκλείδου · τὸ μὲν γὰρ ῥητὸν καὶ δεδομένον ἐστίν , οὐ πάντως δὲ καὶ τὸ δεδομένον ῥητόν ἐστιν .
Lemmas: 4 . δίδωμι εἰμί ὁ ὁρίζω , τουτέστιν ὅς ὁ πέρας δίδωμι εἴτε διάνοια εἴτε αἴσθησις · οὗτος γάρ δύναμαι ἴσος πορίζω ὁμοίως εἴτε διάνοια εἴτε αἴσθησις . δύναμαι δέ καί ῥητός καί ἄλογος δίδωμι - μένω εἰμί , ὡς λέγω Πάππος ἐν ἀρχή ὁ εἰς ὁ Ι΄ Εὐκλείδης · ὁ μέν γάρ ῥητός καί δίδωμι εἰμί , οὖον πάντως δέ καί ὁ δίδωμι ῥητός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.5
5 . Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει .
Lemmas: 5 . ἵνα εἰμί ὁρίζω ὁ μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.6
6 . Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ .
Lemmas: 6 . ἵνα καί ὁ τόπος καί ὁ μέγεθος ὁρίζω εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.7
7 . Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον .
Lemmas: 7 . οὗτος ὡς ἐπί εἷς ἐπίπεδος ἀκούω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.8
8 . Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο - μεῖναν μεῖζόν ἐστιν .
Lemmas: 8 . ὁ γάρ ἀφαιρέω ὁ ὁ ἀφαίρεσις ὑπο - μένω μέγας εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.9
9 . Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος , ἐνταῦθα δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος .
Lemmas: 9 . ὁ μέν πρό αὐτός ἀπό ὁ μείζων , ἐνταῦθα δέ ἀπό ὁ μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.10
10 . Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν · τοῖς γὰρ δύο · καὶ τὰ δ τῶν ς δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν · τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις .
Lemmas: 10 . ὁ ϛ ὁ δ δίδωμι μέγας εἰμί · ὁ γάρ δύο · καί ὁ δ ὁ Σ δίδωμι ἐλάσσων εἰμί · ὁ γάρ δύο πάλιν δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.11
11 . Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρʼ ὃ ἐν λόγῳ . ἔχει δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον · παρὰ τοσοῦτον γὰρ οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη , παῤ ὅσον ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει , οὗ ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν δύο μεγεθῶν . εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ , ἀφ - αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι - πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν . εἰ δὲ πρόσκειται τὸ ἢ ἐν λόγῳ , ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον , ἀλλʼ ἔχει τινὰ λόγον . μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε ποιῆσαι λόγον . ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ , καὶ ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν .
Lemmas: 11 . ὁ ἢ ἐν λόγος ἀντί ὁ παρά ὅς ἐν λόγος . ἔχω δέ ὁ ἀναφορά πρός ὁ μείζων · παρά τοσοῦτος γάρ οὐ ἔχω λόγος δίδωμι ὁ δύο μέγεθος , παρά ὅσος ὑπερέχω ὁ εἷς ὁ ἕτερος δίδωμι τις μέγεθος , ὅς ἀφαιρέω εὑρίσκω καί ὁ δίδωμι λόγος ὁ δύο μέγεθος . εἰμί μέν γάρ λείπω ὁ ἢ ἐν λόγος , ἀπό - αἱρέω ὁ ὑπερέχω ἀπό ὁ μείζων ὁ Λόι - πως πρός ὁ ἕτερος ἴσος εἰμί . εἰμί δέ πρόσκειμαι ὁ ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ ὑπερέχω οὐκέτι ὁ λοιπός πρός ὁ ἕτερος ἴσος , ἀλλά ἔχω τις λόγος . μείζων οὖν εἰμί ὁ εἷς μέγεθος ὁ ἕτερος ἢ ὥστε ποιέω λόγος . ἐάν οὖν ὁ ὑπεροχή δίδωμι εἰμί , καί ὁ λόγος δίδωμι εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.12
12 . Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν τοῦ δεδομένου λόγου .
Lemmas: 12 . ἄπειμι γάρ ὁ προστίθημι λυμαίνομαι ὁ σχέσις ὁ δίδωμι λόγος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.13
13 . Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους .
Lemmas: 13 . οὗτος Ἀπολλώνιος φημί εἰμί ὁ τρεῖς ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.14
14 . Τουτέστιν ἀκίνητον , ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία .
Lemmas: 14 . τουτέστιν ἀκίνητος , ἵνα ὁμολογέω ἐγώ εἰμί ὁποῖος εἰμί ὁ γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.15
15 . Εἰδέναι δεῖ , ὡς , ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο - λελυμένως δεδομένα μεγέθη , μεγέθει δεδόσθαι ση - μαίνει . 16 . Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος , ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου , ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι . 17 . P . 6 , 2 ] δέδοται καὶ τὸ διὰ τὸ ἀντιστρό - φιον τοῦ ὅρου . ( l . 4 ) ὁμοίως καὶ τὸ ∠ · ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ ∠ . 18 . Ὁ αὐτὸς γάρ p . 6 , 8 ] διὰ τοὺς ὅρους · λόγος δεδόσθαι λέγεται , ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι .
Lemmas: 15 . οἶδα δεῖ , ὡς , ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγω ἀπος - λελυμένως δίδωμι μέγεθος , μέγεθος δίδωμι σός - μαίνομαι . 16 . ὁ λόγος ὁ πόσος διακόλουθος , ὁ θέσις δέ οὖον διά ὁ πόσος , ἀλλά ὁ κεῖμαι . 17 . P . 6 , 2 ] δίδωμι καί ὁ διά ὁ ἀντιστρό - φίον ὁ ὁράω . ( l . 4 ) ὁμοίως καί ὁ ∠ · ὁ αὐτός γάρ αὐτός πορίζω ἐν δίδωμι μέγεθος ὁ Γ καί ∠ . 18 . ὁ αὐτός γάρ p . 6 , 8 ] διά ὁ ὅρος · λόγος δίδωμι λέγω , ὅς δύναμαι ὁ αὐτός πορίζω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.16
19 . Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται · οὐκέτι δέ , εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος δέδοται , καὶ ταῦτα πάντως δέδοται τὰ μεγέθη . πολλάκις γὰρ ὁ μὲν λόγος αὐτῶν δέδοται , αὐτὰ δὲ οὐ δέδοται . 20 . Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ . οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον . ἧν γὰρ ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν · ἐὰν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , δέδοται τῷ μεγέθει . τινὲς δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς · ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον , δέδοται τῷ μεγέθει . 21 . Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p . 6 , 20 ] δέδοται καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου . δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ α΄ . δέ - δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντι - στρόφιον τοῦ ὅρου . ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ ∠ πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ . 22 . Ἴσον ἄρα p . 6 , 23 ] διὰ τοῦ θ΄ τοῦ ε΄ . χρὴ δὲ γινώσκειν , ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν . ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί , καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ τὴν ἰσότητα . οὐκ ἀντιστρέφει δέ · οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ τὸ αὐτό τινι , καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ · δύναται γὰρ καὶ κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι . 23 . Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα , δῆλον , ὅτι τῷ με - γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει . ἐὰν δεδομένον τῷ εἴδει , λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει . ἐὰν δεδομένον τῇ θέσει , λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει . σπανίως πάνυ , ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει , λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ μεγέθει .
Lemmas: 19 . ὁ μέν δίδωμι μέγεθος καί ὁ λόγος ὁ πρός ἀλλήλων δίδωμι · οὐκέτι δέ , εἰμί ὁ μέγεθος ὁ πρός ἀλλήλων λόγος δίδωμι , καί οὗτος πάντως δίδωμι ὁ μέγεθος . πολλάκις γάρ ὁ μέν λόγος αὐτός δίδωμι , αὐτός δέ οὖον δίδωμι . 20 . οὗτος ἀντίστροφος εἰμί πως ὁ πρό αὐτός . οὖον γάρ δή καθόλου ῥητέος αὐτός ἀντίστροφος . ἧμαι γάρ εἄν ὁ ἀντίστροφος ὁ καθόλου εἰμί · ἐάν μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ μέγεθος . τις δέ ὁ θεώρημα ψευδογραφέω ἐπείγω δείκνυμι ἀντίστροφος αὐτός ὁ πρό αὐτός καί τίς φημί ὡς · ἐάν μέγεθος τις λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι , δίδωμι ὁ μέγεθος . 21 . καί ἵστημι ὁ ὁ Γ p . 6 , 20 ] δίδωμι καί ὁ ὁ Γ πρός ὁ ∠ λόγος διά ὁ ἀντίστροφος ὁ ὁράω . δίδωμι δέ ὁ Α πρός ὁ Γ λόγος διά ὁ Α΄ . δέ - δοτός δέ καί ὁ Β πρός ὁ ∠ λόγος διά ὁ ἀντι - στρόφιον ὁ ὁράω . ἴσος γάρ αὐτός ὁ Β ὁ ∠ πορίζω ἐν δίδωμι λόγος . 22 . Ἴσος ἄρα p . 6 , 23 ] διά ὁ Θ΄ ὁ Ε΄ . χρή δέ γιγνώσκω , ὅτι ὁ ἴσος καί ὁ αὐτός λέγω εἷς εἰμί . ὅς γάρ εἰμί ἴσος τις , καί ὁ αὐτός εἰμί ἐκεῖνος κατά ὁ ἰσότης . οὐ ἀντιστρέφω δέ · οὖον γάρ ὅσπερ εἰμί ὁ αὐτός τις , καί ἴσος εἰμί ἐκεῖνος · δύναμαι γάρ καί κατά ποιότης τυγχάνω ὁ αὐτός εἰμί . 23 . ἐάν λέγω ὅτι δίδωμι ἄρα , δῆλος , ὅτι ὁ ἐγώ - γίγνομαι αὐτός δίδωμι λέγω . ἐάν δίδωμι ὁ εἶδος , λέγω ὅτι δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος . ἐάν δίδωμι ὁ θέσις , λέγω ὅτι δίδωμι ἄρα ὁ θέσις . σπανίως πάνυ , ἐάν εἰμί δίδωμι ὁ μέγεθος , λέγω ὅτι δίδωμι ἄρα ὁ μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.17
24 . Ὅλον ἄρα p . 8 , 11 ] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ - τεθῇ , τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα .
Lemmas: 24 . ὅλος ἄρα p . 8 , 11 ] ἐάν γάρ ἴσος ἴσος προς - τίθημι , ὁ πᾶς εἰμί ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.18
25 . Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ · τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ , καὶ ἕκαστον τῶν , εἰς ἃ διῄρηται , δεδομένον ἐστίν . 26 . Λοιπὸν ἄρα p . 8 , 24 ] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ , τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα .
Lemmas: 25 . καί οὗτος ἀντίστροφος εἰμί πως ὁ πρό αὐτός · ὁ γάρ κύριος ἀντίστροφος ἧμαι ἐάν δίδωμι μέγεθος εἰς ὁποσοσοῦν διαιρέω , καί ἕκαστος ὁ , εἰς ὁ διαιρέω , δίδωμι εἰμί . 26 . λοιπός ἄρα p . 8 , 24 ] ἐάν γάρ ἀπό ἴσος ἴσος ἀφαιρέω , ὁ λοιπός εἰμί ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.19
27 . Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ῑ λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον , καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει τὸν τριπλασίονα . 28 . Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν δεδομένον . 29 . Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p . 10 , 10 ] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν . 30 . Λόγος ἄρα τοῦ ∠ Ζ p . 10 , 14 ] τῶν γὰρ δεδο - μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται . 31 . Ἀναστρέψαντι ἄρα p . 10 , 16 ] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ ε8 · ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν , ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου . 32 . Λόγος ἄρα καί p . 10 , 19 ] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ∠ Ζ πρὸς ΖΕ .
Lemmas: 27 . Οἷος ὁ εἶμι πρός ἑαυτοῦ μέρος ὁ Ι λόγος ἔχω ὁ ἡμιόλιος , καί πρός ὁ λοιπός ὁ ε λόγος ἔχω ὁ τριπλασίων . 28 . οὗτος ἔοικα ὁ καί ἀντιστρέφω λόγος ἔχω δίδωμι . 29 . ὁ αὐτός αὐτός πορίζω p . 10 , 10 ] δυνατός γάρ τρεῖς δίδωμι μέγεθος τέταρτος ἀνάλογος εὑρίσκω . 30 . Λόγος ἄρα ὁ ∠ Ζ p . 10 , 14 ] ὁ γάρ δίδωμι - Μένων μέγεθος ὁ λόγος πρός ἀλλήλων δίδωμι . 31 . ἀναστρέφω ἄρα p . 10 , 16 ] διά ὁ ὁράω ὁ ε8 · ἀναστροφή λόγος εἰμί λῆψις ὁ ἡγέομαι πρός ὁ ὑπεροχή , ὑπερέχω ὁ ἡγέομαι ὁ ἕπομαι . 32 . Λόγος ἄρα καί p . 10 , 19 ] ἴσος γάρ αὐτός πορίζω ὁ ὁ ∠ Ζ πρός ΖΕ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.20
33 . Ὁ ἄρα τοῦ ∠Ε πρὸς ΕΖ p . 12 , 5 ] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ . 34 . Λόγος ἄρα τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον p . 12 , 8–9 ] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον τῶν ∠Ε , ΕΖ .
Lemmas: 33 . ὁ ἄρα ὁ ∠Ε πρός ΕΖ p . 12 , 5 ] ὁ γάρ αὐτός αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΓ πρός ΓΒ . 34 . Λόγος ἄρα ὁ ∠Ζ πρός ἑκάτερος p . 12 , 8–9 ] ὁ γάρ αὐτός αὐτός πορίζω ὁ ὁ ∠Ζ πρός ἑκάτερος ὁ ∠Ε , ΕΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.21
35 . Λόγος ἄρα καί p . 12 , 24 ] διὰ τοῦ ϛ΄ τῶν Δεδομένων . 36 . Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p . 14 , 1 ] διὰ τοῦ β΄ τῶν αὐτῶν . ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται .
Lemmas: 35 . Λόγος ἄρα καί p . 12 , 24 ] διά ὁ ΣΤ΄ ὁ δίδωμι . 36 . δίδωμι ἄρα καί ἑκάτερος p . 14 , 1 ] διά ὁ Β΄ ὁ αὐτός . ἐπεί γάρ μέγεθος τίς ὁ ΑΒ δίδωμι λόγος ἔχω πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ ὡς πρός ἄλλος τις ἄρα καί ἑκάτερος ἐκεῖνος ὡς ἄλλος τίς δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.22
37 . Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί . 38 . Πάλιν , ἐπεί p . 14 , 12 ] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β λόγος , δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ λόγος . 39 . Διʼ ἴσου ἄρα p . 14 , 18 ] διʼ ἴσου λόγος ἐστίν : ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων τὸ πλῆθος , ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν , οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν .
Lemmas: 37 . ὁ ὁ αὐτός ὁ αὐτός καί ἀλλήλων εἰμί ὁ αὐτός . 38 . πάλιν , ἐπεί p . 14 , 12 ] ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ ὁ Γ πρός ὁ Β λόγος , δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ Β πρός ὁ Γ λόγος . 39 . διά ἴσος ἄρα p . 14 , 18 ] διά ἴσος λόγος εἰμί : ἐν συνεχής ἀναλογία πλείων εἰμί καί ἄλλος ἴσος ὁ πλῆθος , ὅταν ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ ἔσχατος ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος , οὕτως ὁ πρῶτος πρός ὁ ἔσχατος ἐν ὁ δύο μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.25
59 . Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p . 22 , 19 ] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή . 60 . Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p . 24 , 11 ] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ , τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται . 61 . Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ Β∠ τοῦ ΑΓ , θέντες τῷ ΑΓ ἰσον ἀπὸ τοῦ Β∠ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο - μεν τὸ Γ∠ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον . τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ ἐν τῇ προτάσει · ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν .
Lemmas: 59 . ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος p . 22 , 19 ] κἀν εἰμί δίδωμι κἀν μή . 60 . καί λοιπός ὁ ΑΕ p . 24 , 11 ] ἐάν γάρ ἀπό δίδωμι δίδωμι μέγεθος ἀφαιρέω , ὁ λοιπός δίδωμι εἰμί . 61 . ἐάν δέ μείζων εἰμί ὁ Β∠ ὁ ΑΓ , θέω ὁ ΑΓ ἴσος ἀπό ὁ Β∠ καί ὁ αὐτός ποιέω δείκνυμι - μέν ὁ Γ∠ ὁ ΑΒ δίδωμι μείζων . οὗτος γάρ δηλόω ὁ ἐν ὁ πρότασις · ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.26
62 . Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Ζ p . 24 , 25 — 26 , 1 ] ὡς ἐν τοῖς ὅροις · σύγκειται γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ . 63 . Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p . 26 , 5 ] ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον , οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν , καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον .
Lemmas: 62 . λοιπός ἄρα ὁ ∠Ζ p . 24 , 25 — 26 , 1 ] ὡς ἐν ὁ ὅρος · σύγκειμαι γάρ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος . 63 . καί λοιπός ὁ ΗΒ p . 26 , 5 ] ἐάν γάρ εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος , οὕτως ἀφαιρέω πρός ἀφαιρέω , καί λοιπός πρός λοιπός εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.27
64 . P . 26 , 17 ] κἄν τε ἴσα ᾖ τὰ ΑΕ , ΓΖ κἄν τε ἄνισα . 65 . Λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ p . 26 , 21–22 ] τῶν γὰρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται . 66 . Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ p . 28 , 6–7 ] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄ καὶ διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ὅρου . ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς Γ∠ λόγος καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ΗΑ πρὸς ΖΓ . δέδοται καὶ οὕτως ὁ τοῦ ΗΒ πρὸς Ζ∠ . 67 . Ἐὰν δὲ ποιήσωμεν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠ , οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ὡς ἐπὶ τὸ Ζ , εὑρε - θήσεται τὸ Ζ∠ τοῦ ΕΒ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ . Ad prop . XV . 68 . Τοῦτο ἀντιστρόφιόν πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ . δείξας γάρ , ὅτι ἐὰν προστεθῇ δεδομένα μεγέθη τοῖς δεδο - μένον ἔχουσι λόγον , νῦν καὶ ἀφαιρῶν τὰ αὐτὰ τῶν αὐτῶν δείκνυσι τὸ αὐτό .
Lemmas: 64 . P . 26 , 17 ] ἄν τε ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ , ΓΖ ἄν τε ἄνισος . 65 . Λόγος ἄρα ὁ ΕΑ p . 26 , 21–22 ] ὁ γάρ δίδωμι μέγεθος ὁ λόγος πρός ἀλλήλων δίδωμι . 66 . Λόγος ἄρα καί ὁ ΗΒ p . 28 , 6–7 ] διά ὁ ἰβʹ ὁ Ε΄ καί διά ὁ ἀντίστροφος ὁ ὁράω . ἐπεί δίδωμι ὁ ὁ ΑΒ πρός Γ∠ λόγος καί εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὁ ΗΑ πρός ΖΓ . δίδωμι καί οὕτως ὁ ὁ ΗΒ πρός Ζ∠ . 67 . ἐάν δέ ποιέω ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ∠ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ἀπό ὁ Γ ὡς ἐπί ὁ Ζ , εὑρίσκω - τίθημι ὁ Ζ∠ ὁ ΕΒ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος . Ad prop . XV . 68 . οὗτος ἀντίστροφος πως ὁ πρό αὐτός . δείκνυμι γάρ , ὅτι ἐάν προστίθημι δίδωμι μέγεθος ὁ δίδωμι - μένω ἔχω λόγος , νῦν καί ἀφαιρέω ὁ αὐτός ὁ αὐτός δείκνυμι ὁ αὐτός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.28
69 . Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p . 30 , 23–24 ] καὶ δῆλον , ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ Ε∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων .
Lemmas: 69 . καί λοιπός ὁ ΗΒ p . 30 , 23–24 ] καί δῆλος , ὅτι καί λοιπός ὁ ΗΒ πρός λοιπός ὁ Ε∠ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ ΙΘ΄ ὁ Ε΄ ὁ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.29
70 . Ἀντιστρόφιον τοῦ ιε΄ . 71 . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ p . 38 , 21 ] ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς ΑΕ πρὸς ΓΖ , οὕτως ΑΗ πρὸς Γ∠ , δῆλον . ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΗ πρὸς λοιπὸν τὸ Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων , καὶ ἐν ἅπασι τοῖς τοιούτοις διὰ τὸ σχόλιον μάλιστα τοῦ ι΄ θεωρήματος , ὅπου σημεῖον τόδε P .
Lemmas: 70 . Ἀντίστροφος ὁ ἵημι . 71 . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ p . 38 , 21 ] ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ΑΕ πρός ΓΖ , οὕτως ΑΗ πρός Γ∠ , δῆλος . ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΗ πρός λοιπός ὁ Ζ∠ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ ΙΘ΄ ὁ Ε΄ ὁ στοιχεῖον , καί ἐν ἅπας ὁ τοιοῦτος διά ὁ σχόλιον μάλιστα ὁ Ι΄ θεώρημα , ὅπου σημεῖον ὅδε P .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.30
72 . Ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ p . 42 , 21 ] ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον , οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε - θέν , καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον . 73 . P . 44 , 5 ] διὰ μὲν τὸ ε΄ τούτου τοῦ Γ∠ καὶ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς . 74 . P . 44 , 6 ] συμπέρασμα · ὥστε τοῦ Γ∠ πρὸς ἕκαστον τῶν ΓΖ , Ζ∠ λόγος δοθείς · ἔστι δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΖ λόγος δοθείς · καὶ τοῦ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθεὶς καὶ πρὸς τὸ Ζ∠ . 75 . Ὥστε πάντων πρὸς πάντα p . 44 , 8 ] ὥστε καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΑΕ καὶ ΕΒ μέρη αὐτοῦ λόγος δοθείς , καὶ πάλιν τοῦ ΑΕ πρὸς πάντα καί ἐστι τοῦ ΕΒ πρὸς πάντα . 76 . Ἐπεὶ οὖν συνήχθη ὁ τοῦ ΓΖ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς , κεῖται δὲ καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς , καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ . πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς , ὡς ἐδείχθη , κεῖται δὲ καὶ ὁ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δο - θείς , καὶ ὁ τοῦ ΑΕ ἄρα πρὸς Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΕ , ΕΒ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον , καὶ τὸ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ , ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ϛ΄ . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ , Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον . καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγον ἔχει δεδομένον , ἔχει δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ , Ζ∠ λόγον δεδομένον , καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκά - τερον τῶν ΓΖ , Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ η΄ . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ , ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον · ὥστε πάντα πρὸς πάντα λόγους ἔχει δεδομένους .
Lemmas: 72 . εἰμί καί λοιπός ὁ ΕΒ p . 42 , 21 ] ἐάν εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος , οὕτως ἀφαιρέω πρός ἀφαιρέω - τίθημι , καί ὁ λοιπός πρός ὁ λοιπός εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος . 73 . P . 44 , 5 ] διά μέν ὁ Ε΄ οὗτος ὁ Γ∠ καί πρός ὁ Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι . 74 . P . 44 , 6 ] συμπέρασμα · ὥστε ὁ Γ∠ πρός ἕκαστος ὁ ΓΖ , Ζ∠ λόγος δίδωμι · εἰμί δέ ὁ ΑΒ πρός ΓΖ λόγος δίδωμι · καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ ΓΖ λόγος εἰμί δίδωμι καί πρός ὁ Ζ∠ . 75 . ὥστε πᾶς πρός πᾶς p . 44 , 8 ] ὥστε καί ὁ ΑΒ πρός ΑΕ καί ΕΒ μέρος αὐτός λόγος δίδωμι , καί πάλιν ὁ ΑΕ πρός πᾶς καί εἰμί ὁ ΕΒ πρός πᾶς . 76 . ἐπεί οὖν συνάγω ὁ ὁ ΓΖ πρός Ζ∠ λόγος δίδωμι , κεῖμαι δέ καί ὁ ΕΒ πρός Ζ∠ λόγος δίδωμι , καί ὁ ΓΖ ἄρα πρός ΕΒ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ Η΄ . πάλιν ἐπεί ὁ ὁ ΑΕ πρός ΕΒ λόγος εἰμί δίδωμι , ὡς δείκνυμι , κεῖμαι δέ καί ὁ ὁ ΕΒ πρός Ζ∠ λόγος δο - θέω , καί ὁ ὁ ΑΕ ἄρα πρός Ζ∠ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ Η΄ . καί ἐπεί ὁ ΑΕ , ΕΒ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ ὅλος ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ λόγος ἔχω δίδωμι διά ὁ ΣΤ΄ . ὁμοίως δέ καί ὁ Γ∠ πρός ἑκάτερος ὁ ΓΖ , Ζ∠ λόγος ἔχω δίδωμι . καί ἐπεί ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ∠ λόγος ἔχω δίδωμι , ἔχω δέ καί ὁ Γ∠ πρός ἑκάτερος ὁ ΓΖ , Ζ∠ λόγος δίδωμι , καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ἑκα - τέρος ὁ ΓΖ , Ζ∠ λόγος ἔχω δίδωμι διά ὁ Η΄ . ὁμοίως δέ καί ὁ Γ∠ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ λόγος ἔχω δίδωμι · ὥστε πᾶς πρός πᾶς λόγος ἔχω δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.31
77 . Εἰλήφθω τῶν ∠ , Ζ p . 44 , 20 ] δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν . 78 . Δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ∠ , Ζ p . 44 , 22 ] ἐπεὶ γὰρ ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις , ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται , ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι , ἐὰν ποιήσωμεν ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἴσην τῇ μὲν ∠ τὴν ΑΒ , τῇ δὲ Ζ ἴσην τὴν ΒΓ . ἔχομεν τῶν μὲν γω - νιῶν ἑκάστην δεδομένην διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι · πᾶσα γὰρ ὀρθὴ δέδοται · ὀρθὴ γὰρ ὀρθῆς οὐ διαφέρει . καὶ δῆλον , ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν · ὁ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος δέδοται , ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς ∠ πρὸς Ζ λόγος δέδοται . καὶ διὰ τοῦτο δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ∠ , Ζ . 79 . Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε p . 44 , 24 ] εἰ γὰρ δέδοταί μοι τὸ τετράγωνον , ἐπεὶ καὶ τὸ ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓ , δέδοται καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ ποιοῦσα αὐτό . καὶ ἄλλως · ἐπεὶ ἕσαι εἰσὶν αἱ δ πλευραὶ τοῦ τετραγώύνου , δῆλον , ὅτι δέδοται ἡ ποιοῦσα αὐτὸ εὐθεῖα · ἴσαι γὰρ αὐταὶ ἐπορίσθησαν · ὤστε δέδοται ἡ Ε . 80 . Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ ἀληθές .
Lemmas: 77 . λαμβάνω ὁ ∠ , Ζ p . 44 , 20 ] δύο δίδωμι εὐθύς μέσος ἀνάλογος προσευρίσκω . 78 . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ∠ , Ζ p . 44 , 22 ] ἐπεί γάρ μανθάνω ἐν ὁ ὅρος , ὅτι εὐθύγραμμος σχῆμα ὁ εἶδος δίδωμι λέγω , ὅς ὁ τε γωνία δίδωμι εἰμί κατά εἷς καί ὁ λόγος ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων δίδωμι , ἐάν ποιέω ὀρθογώνιος παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ∠ ἔχω ἴσος ὁ μέν ∠ ὁ ΑΒ , ὁ δέ Ζ ἴσος ὁ ΒΓ . ἔχω ὁ μέν εγώ - Νίων ἕκαστος δίδωμι διά ὁ ὀρθός εἰμί · πᾶς γάρ ὀρθός δίδωμι · ὀρθός γάρ ὀρθός οὖον διαφέρω . καί δῆλος , ὅτι καί ὁ λόγος ὁ πλευρά δίδωμι εἰμί · ὁ γάρ ὁ ΑΒ πρός ΒΓ λόγος δίδωμι , ἐπεί καί ὁ ὁ ∠ πρός Ζ λόγος δίδωμι . καί διά οὗτος δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ∠ , Ζ . 79 . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ε p . 44 , 24 ] εἰμί γάρ δίδωμι ἐγώ ὁ τετράγωνος , ἐπεί καί ὁ ἴσος αὐτός παραλληλόγραμμος ὁ ΑΓ , δίδωμι καί ὁ εὐθύς ὁ ποιέω αὐτός . καί ἄλλως · ἐπεί ἕννυμι εἰμί ὁ δ πλευρά ὁ τετράγωνος , δῆλος , ὅτι δίδωμι ὁ ποιέω αὐτός εὐθύς · Ἴσαι γάρ αὐτός πορίζω · ὥστε δίδωμι ὁ Ε . 80 . καί ὁ ἀντίστροφος αὐτός ἀληθής .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.32
81 . Λέγω , ὅτι — σημεῖον p . 46 , 17–18 ] δῆλον , ὅτι τῇ θέσει · μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα .
Lemmas: 81 . λέγω , ὅτι — σημεῖον p . 46 , 17–18 ] δῆλος , ὅτι ὁ θέσις · μόνος γάρ ὁ θέσις δίδωμι ὁ σημεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.33
82 . Τὰ Α , Β δέδοται τῇ θέσει · μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα .
Lemmas: 82 . ὁ Α , Β δίδωμι ὁ θέσις · μόνος γάρ ὁ θέσις δίδωμι ὁ σημεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.34
83 . Εἰ μὲν γὰρ τὸ Β σημεῖον ἢ ἐντὸς ἢ ἐκτὸς μεταπεσεῖται , οὐκ ἔσται τῷ μεγέθει δεδομένη ἡ εὐθεῖα · εἰ δὲ μεταπεσεῖται ἢ ἄνω ἢ . κάτω , οὐκ ἔσται τῇ θέσει δεδομένη .
Lemmas: 83 . εἰμί μέν γάρ ὁ Β σημεῖον ἢ ἐντός ἢ ἐκτός μεταπίπτω , οὐ εἰμί ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ εὐθύς · εἰμί δέ μεταπίπτω ἢ ἄνω ἢ . κάτω , οὐ εἰμί ὁ θέσις δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.35
84 . Παντὸς γὰρ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν .
Lemmas: 84 . Παντὸς γάρ τρίγωνος ὁ ἐκτός γωνία δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.36
85 . Ἐὰν εὐσεῖα τῇ θέσει δοθῇ , δέδοται καὶ τῳ μεγέθει · ἐὰν τῷ μεγέθει , οὔπω καὶ τῇ θέσει · δύναται γὰρ μεταπίπτειν . 86 . Θέσει ἄρα p . 52 , 23 ] διὰ τοὺς ὅρους . κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται , οὐ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει . 87 . Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι λέγεται , οὗ δέδοται κτλ . , ὡς ἐν τοῖς ὅροις .
Lemmas: 85 . ἐάν εὐσεῖα ὁ θέσις δίδωμι , δίδωμι καί ὁ μέγεθος · ἐάν ὁ μέγεθος , οὔπω καί ὁ θέσις · δύναμαι γάρ μεταπίπτω . 86 . Θέσις ἄρα p . 52 , 23 ] διά ὁ ὅρος . κύκλος γάρ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι λέγω , οὖον δίδωμι ὁ μέν κέντρον ὁ θέσις , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγεθος . 87 . ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος κύκλος δίδωμι λέγω , ὅς δίδωμι κτλ . , ὡς ἐν ὁ ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.37
88 . Ἀντιστρόφιον τοῦ λβλ΄ .
Lemmas: 88 . Ἀντίστροφος ὁ λβλ΄ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.38
89 . Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p . 64 , 9 ] κἂν τε οὖν αἱ ΖΕ , ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ - άλληλοι , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΝ , ἔσται ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ , ὡς δὲ ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ , ὥστε ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ .
Lemmas: 89 . ὡς δέ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ p . 64 , 9 ] κἀν τε οὖν ὁ ΖΕ , ΛΝ παράλληλος εἰμί ἄν τε μή εἰμί παρά - ἄλληλος , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΝ , εἰμί ὡς ὁ ΖΗ πρός ΗΕ , οὕτως ὁ ΝΞ πρός ΞΕ , ὡς δέ ὁ ΝΞ πρός ΞΕ , οὕτως ὁ ΝΜ πρός ΜΛ , ὥστε ὡς ὁ ΖΗ πρός ΗΕ , οὕτως ὁ ΝΜ πρός ΜΛ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.39
90 . Δέδοται ἄρα p . 68 , 19 ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΚΕ , ΕΖ , ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄ . ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ , ΖΚ λόγος δέδοται · καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ , ΚΕ λόγος δέδοται . πάλιν , ἐπεὶ αἱ ΚΕ , ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει , τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν . καὶ διὰ τοῦτο . δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει · καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ δέδοται τῷ μεγέθει .
Lemmas: 90 . δίδωμι ἄρα p . 68 , 19 ] ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ΚΕ , ΕΖ , ὁ πρός ἀλλήλων λόγος αὐτός δίδωμι διά ὁ Α΄ . ὁμοίως δέ καί ὁ ΕΖ , ΖΚ λόγος δίδωμι · καί ἔτι ὁ ὁ ΖΚ , ΚΕ λόγος δίδωμι . πάλιν , ἐπεί ὁ ΚΕ , ΕΖ δίδωμι εἰμί ὁ θέσις , ὁ αὐτός ἄρα ἀεί τόπος ἐπέχω . καί διά οὗτος . δίδωμι ὁ ὑπό ΚΕΖ ὁ μέγεθος . ὁμοίως δέ καί ὁ ὑπό ΕΖΚ δίδωμι ὁ μέγεθος · καί ἔτι ὁ ὑπό ΕΖ δίδωμι ὁ μέγεθος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.40
91 . Δέδοται ἄρα τὸ ∠ΖΕ τρίγωνον p . 70 , 21 ] ἐπεὶ οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ∠Ε , ΕΖ , δέδοται καὶ ὁ πρὸς ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ α΄ . ὁμοίως καὶ ὁ τῶν ΕΖ , Ζ∠ δέδοται λόγος · καὶ ἔτι ὁ τῶν Ζ∠ , ∠Ε δέ - δοται λόγος . ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν ∠ , Ε , Ζ γωνιῶν δεδομένη τῷ μεγέθει . δέδοται ἄρα τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει , ὡς ἐν τοῖς ὅροις . 92 . Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p . 70 , 23 ] ἐπεὶ τὰ ΑΒΓ , ∠ΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς ἐδείχθη , τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται , δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι · ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου · δέδοται ἄρα τῷ εἴδει , ὡς ἐν τοῖς ὅροις .
Lemmas: 91 . δίδωμι ἄρα ὁ ∠ΖΕ τρίγωνος p . 70 , 21 ] ἐπεί οὖν δίδωμι ἑκάτερος ὁ ∠Ε , ΕΖ , δίδωμι καί ὁ πρός ἀλλήλων αὐτός λόγος διά ὁ Α΄ . ὁμοίως καί ὁ ὁ ΕΖ , Ζ∠ δίδωμι λόγος · καί ἔτι ὁ ὁ Ζ∠ , ∠Ε δέ - δοτός λόγος . εἰμί δέ καί ἕκαστος ὁ ∠ , Ε , Ζ γωνία δίδωμι ὁ μέγεθος . δίδωμι ἄρα ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος ὁ εἶδος , ὡς ἐν ὁ ὅρος . 92 . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ p . 70 , 23 ] ἐπεί ὁ ΑΒΓ , ∠ΕΖ τρίγωνος ἀνάλογος ἔχω ὁ πλευρά δείκνυμι , ὁ δέ ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πλευρά ὁ λόγος ὁ πρός ἀλλήλων δίδωμι , δίδωμι δέ αὐτός ὁ γωνία · Ἴσαι γάρ εἰμί ὁ ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος · δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος , ὡς ἐν ὁ ὅρος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.41
93 . Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p . 76 , 23 ] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο - μένη , δῆλον , ὅτι , ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος , ἔστι κέν - τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια , τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει , ὥστε καὶ ὁ κύκλος διὰ τὸν ὅρον.1 )
Lemmas: 93 . Θέσις ἄρα εἰμί ὁ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p . 76 , 23 ] ἐπεί γάρ κεῖμαι ὁ ∠Ε ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι - μένω , δῆλος , ὅτι , ἐάν τέμνω δίχα ὁ κύκλος , εἰμί ἄν - τρος ὁ κύκλος ὁ ἥμισυς , τουτέστιν ὁ ἐκ ὁ κέντρον δίδωμι ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος , ὥστε καί ὁ κύκλος διά ὁ ὅρος )
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.42
94 . Μὴ ἔστω δή p . 80 , 6 ] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή , εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ . 95 . Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p . 80 , 11 ] διὰ τὸ ἀντί - στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄ . ἐπεὶ γάρ , ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας , ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν , καὶ τῶν δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας .
Lemmas: 94 . μή ἵστημι δή p . 80 , 6 ] εἰμί γάρ ὑποτίθημι ὀρθός , εὐθύς δίδωμι ὁ εἶδος διά ὁ πρό αὐτός . 95 . Λόγος ἄρα ὁ ΒΑ p . 80 , 11 ] διά ὁ ἀντί - στρόφος ὁ ὁράω ὁ δίδωμι διά ὁ Μ΄ . ἐπεί γάρ , ὅς ὁ γωνία δίδωμι εἰμί καί ὁ λόγος ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων , ἐκεῖνος δίδωμι εἰμί , καί ὁ δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος δίδωμι εἰμί καί ὁ γωνία καί ὁ λόγος ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.43
96 . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p . 82 , 21 ] ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων ( VI , 3 ) · ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῆ , ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ , τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς . εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ , ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β · καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ , ΑΒ πρὸς ΑΒ , ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ , ΑΒ πρὸς ΓΒ , ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ . 97 . Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p . 82 , 23 ] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα .
Lemmas: 96 . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ p . 82 , 21 ] ὡς ἐν ὁ ς΄ ὁ στοιχεῖον ( VI , 3 ) · ἐάν τρίγωνος ὁ γωνία δίχα τέμνω , ὁ δέ τέμνω αὐτός ἐπί ὁ βάσις ἄγω , ὁ ὁ βάσις καί ὁ ἑξῆς . εἰμί δίχα τέμνω ὁ ὑπό ΒΑΓ , ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΒ , ὁ Γ∠ πρός ∠Β · καί συντίθημι ὡς συναμφότερος ὁ ΓΑ , ΑΒ πρός ΑΒ , ὁ ΓΒ πρός Β∠ · καί ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ὁ ΓΑ , ΑΒ πρός ΓΒ , ὁ ΑΒ πρός Β∠ . 97 . καί ὡς συναμφότερος ἄρα ὁ ΒΑΓ p . 82 , 23 ] ὡς γάρ εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.44
98 . Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ , τὰ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι - γώνου πλευραῖς .
Lemmas: 98 . ἐάν γάρ τρίγωνος γωνία δίχα τέμνω , ὁ ὁ βάσις ὁ τρίγωνος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὁ τρι - γώνον πλευρά .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.45
99 . Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p . 92 , 6 ] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἔστι δὲ καὶ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς , δῆλον ἄρα , ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς ἐστι λόγος · ἢ καὶ διὰ τὸ η΄ , ὃ καὶ βέλτιον . 100 . Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p . 92 , 7 ] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον .
Lemmas: 99 . ὥστε καί ὁ ΑΒ p . 92 , 6 ] ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ ὁ Γ∠ πρός ὁ ὁ λόγος δίδωμι , δῆλος ἄρα , ὡς καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ δύο δίδωμι λόγος δίδωμι εἰμί λόγος · ἢ καί διά ὁ Η΄ , ὅς καί ἀγαθός . 100 . ὡς δέ ὁ ΑΒ p . 92 , 7 ] ὡς γάρ ὁ Α΄ πρός ὁ Γ΄ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α΄ εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ Β΄ ὁ ὅμοιος καί ὁμοίως ἀναγράφω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.46
101 . Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p . 94 , 14 ] πᾶν γὰρ τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι · πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί · καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν · πᾶσαι γάρ εἰσιν ἴσαι · καὶ γὰρ οὐ τῶν ἀνίσων μόνων ἐστὶ λόγος , ἀλλὰ καὶ τῶν ἴσων . καὶ ἐπεὶ ἔκκειται τὸ τετράγωνον · ἀναγέγραπται γάρ · δύναμαι αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι · καὶ διὰ τοῦτο δέδοται καὶ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ τὸ τετράγωνον καὶ ἑκάστη αὐτοῦ πλευρά .
Lemmas: 101 . δίδωμι ἄρα ὁ αζʹ p . 94 , 14 ] πᾶς γάρ τετράγωνος δίδωμι εἰμί ὁ εἶδος διά ὁ καί ὁ γωνία αὐτός δίδωμι · πᾶς γάρ εἰμί ὀρθός · καί ὁ λόγος δέ ὁ πλευρά · πᾶς γάρ εἰμί Ἴσαι · καί γάρ οὖον ὁ ἄνισος μόνος εἰμί λόγος , ἀλλά καί ὁ ἴσος . καί ἐπεί ἔκκειμαι ὁ τετράγωνος · ἀναγράφω γάρ · δύναμαι αὐτός ἴσος πορίζω · καί διά οὗτος δίδωμι καί ὁ μέγεθος καί αὐτός ὁ τετράγωνος καί ἕκαστος αὐτός πλευρά .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.47
102 . P . 96,1 ] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον . 103 . Τῆς δὲ ∠Β p . 96 , 8 ] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις · δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει .
Lemmas: 102 . P . 96,1 ] δίδωμι ὁ εἶδος κατά ἑαυτοῦ ἕκαστος . 103 . ὁ δέ ∠Β p . 96 , 8 ] ὑπόκειμαι γάρ ἐν ὁ ὅρος · δίδωμι γάρ εἰμί ὁ εἶδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.48
104 . Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ - τοις σχολίοις τοῦ πρό , ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P , ὅτι , ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον , ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄ δεδομένον , καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄ , οὕτως τὸ γ΄ πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄ , οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον , διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον , ἀλλὰ ἄλλως , ὡς νῦν λέγει . 105 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p . 96 , 24 ] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον . 106 . Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p . 98 , 1 ] σχόλιον . ἐδείχθη γάρ , ὅτι , ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἡ δὲ α΄ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον , ἐν τῷ κδ΄ . ἢ καὶ οὕτως · ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται , καὶ ἑκάτερος τῶν τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται · ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός . 107 . Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p . 98 , 2 ] ἀντὶ τοῦ · καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α , Β · καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν , ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον · ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια · τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα , τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια .
Lemmas: 104 . δείκνυμι γάρ ἐν ὁ σχόλιον ὁ ἐν ὁ πρωΐ - ὁ σχόλιον ὁ πρό , ὅπου σημεῖον εἰμί ὅδε P , ὅτι , ἐάν Α΄ πρός Β΄ λόγος ἔχω δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ Γ΄ δίδωμι , καί γίγνομαι ὡς ὁ Α΄ πρός ὁ Β΄ , οὕτως ὁ Γ΄ πρός ἄλλος τίς ὁ Δ΄ , οὐκέτι καί ἐναλλάξ λόγος ἔχω δίδωμι , διόπερ καί ἐνταῦθα οὐ ἐκ ὁ ἐναλλάξ εὑρίσκω ὁ λόγος αὐτός δίδωμι , ἀλλά ἄλλως , ὡς νῦν λέγω . 105 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ Γ∠ p . 96 , 24 ] ἐάν τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ Α΄ πρός ὁ Γ΄ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο ὁ ὅμοιος καί ὁμοίως ἀναγράφω . 106 . καί ὁ Γ∠ ἄρα p . 98 , 1 ] σχόλιον . δείκνυμι γάρ , ὅτι , ἐάν τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ Α΄ πρός ὁ τρίτος λόγος ἔχω δίδωμι , καί πρός ὁ δύο λόγος ἔχω δίδωμι , ἐν ὁ κδ΄ . ἢ καί οὕτως · ἐπεί ὁ σύγκειμαι λόγος δίδωμι , καί ἑκάτερος ὁ τίθημι αὐτός λόγος δίδωμι · ἑκάτερος γάρ ὁ αὐτός . 107 . καί εἰμί ὅμοιος ὁ Α ὁ Β p . 98 , 2 ] ἀντί ὁ · καί εἰμί δίδωμι ὁ εἶδος ὁ Α , Β · καί γάρ ὅμοιος σχῆμα εὐθύγραμμος εἰμί , ὅσος ὁ τε γωνία ἴσος ἀλλήλων ἔχω κατά εἷς καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος · ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ εἶδος ὁ ὅμοιος · ὁ οὖν ὅμοιος καί ὁ εἶδος εἰμί δίδωμι , ὁ δέ ὁ εἶδος δίδωμι οὖον πάντως ὅμοιος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.49
108 . Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p . 102 , 23 ] ἐπεὶ γὰρ δύο εἴδη τὰ ΕΒ , Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον , καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον . 109 . Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p . 104 8–9 ] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο - γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ · αὐτοῦ δὲ τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν τεσσάρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΗ , ΗΓ , ΓΑ μήκους ὄντος τοῦ ΑΒ , πλάτος ἔσται τὸ ΑΓ · ἐπὶ γὰρ τῶν προκειμένων τεσσάρων εὐθειῶν τὸ πλάτος ζητεῖ , οὐ τὸ ἀληθῶς τοῦ χωρίου πλάτος · ἄλλη γάρ ἐστι παρὰ τὰς τέσσαρας ὡς ἡ ΑΘ .
Lemmas: 108 . ὥστε καί ὁ ΕΑ p . 102 , 23 ] ἐπεί γάρ δύο εἶδος ὁ ΕΒ , Β∠ δίδωμι ὁ εἶδος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ πλευρά αὐτός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . 109 . καί εἰμί ὁ πλάτος ὁ παράβλημα p . 104 8–9 ] ὁ μέν ἀληθής πλάτος ὁ ΑΒΓΗ παράλληλος - Γράμμου εἰμί ὁ ΑΘ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ · αὐτός δέ οὗτος ὁ ΑΒΓΗ παράβλημα ὡς ἐπί οὗτος ὁ τέσσαρες εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΗ , ΗΓ , ΓΑ μῆκος εἰμί ὁ ΑΒ , πλάτος εἰμί ὁ ΑΓ · ἐπί γάρ ὁ πρόκειμαι τέσσαρες εὐθύς ὁ πλάτος ζητέω , οὖον ὁ ἀληθής ὁ χωρίον πλάτος · ἄλλος γάρ εἰμί παρά ὁ τέσσαρες ὡς ὁ ΑΘ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.50
110 . Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε∠ p . 104 , 17–18 ] ἡμί - σεια γάρ ἐστι τῆς Α∠ δοθείσης ἡ Ε∠ . 111 . Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p . 104 , 20 ] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ∠Γ δεδομένῳ . 112 . Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ , ΚΘ p . 104 , 23 ] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον , κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ∠ · ὅλον ἄρα τὸ Κ∠ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον . ἀλλὰ τὸ Κ∠ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον , ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ Ε∠ ἴση · δίχα γὰρ τέτμηται . καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον , τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ . ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ · τὰ ΑΓ , ΚΘ ἄρα ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΖ . 113 . Ἔστι δὲ καὶ ἡ Ε∠ δοθεῖσα p . 06 , 5 ] ἡμίσεια γάρ ἐστιν ἡ Ε∠ τῆς Α∠ δεδομένης .
Lemmas: 110 . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ε∠ p . 104 , 17–18 ] ὁμίς - σείω γάρ εἰμί ὁ Α∠ δίδωμι ὁ Ε∠ . 111 . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΖ p . 104 , 20 ] ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ ∠Γ δίδωμι . 112 . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΓ , ΚΘ p . 104 , 23 ] ἐπεί γάρ ὁ ΕΓ ὁ ΓΖ εἰμί ἴσος , κοινός πρόσκειμαι ὁ Γ∠ · ὅλος ἄρα ὁ Κ∠ ὁ ὅλος ὁ ΒΖ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ Κ∠ ὁ ΑΚ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί ὁ ΑΕ ὁ Ε∠ ἴσος · δίχα γάρ τέμνω . καί ὁ ΑΚ ἄρα ὁ ΒΖ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΚΒ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΓ ὁ γνώμων εἰμί ἴσος , τουτέστι ὁ ΒΚ καί ΒΖ . ἔτι κοινός πρόσκειμαι ὁ ΚΘ · ὁ ΑΓ , ΚΘ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ . 113 . εἰμί δέ καί ὁ Ε∠ δίδωμι p . 06 , 5 ] ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ Ε∠ ὁ Α∠ δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.51
114 . Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p . 106 , 17 ] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις , ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό - γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον . 115 . Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p . 106 , 24 ] καὶ ὁμοίως τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος . 116 . Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p . 108 , 1 ] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ .
Lemmas: 114 . περι ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος p . 106 , 17 ] δείκνυμι γάρ ἐν ὁ στοιχεῖον , ὡς ὁ ὅμοιος παράλληλος - γράμμα περί ὁ αὐτός εἰμί διάμετρος . 115 . καί εἰμί ἴσος ὁ ΚΛ p . 106 , 24 ] καί ὁμοίως ὁ σχόλιον ὁ αὐτός πρό αὐτός θεώρημα . 116 . εἰμί δέ καί ὁ εἶδος p . 108 , 1 ] ὁ εἶδος γάρ δίδωμι ὑπόκειμαι ὁ ΓΒ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.52
117 . Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p . 108 , 17 ] ὅτι δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ , δῆλον · παντὸς γὰρ παρ - αλληλογράμμου εἶς μόνος ἐστὶ γνώμων . καὶ γὰρ γνώ - μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον ταραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν , ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ , προσετέθη παρ - αλληλογράμμῳ , τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ - αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος . ὁμοίως δέ , κἂν ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου · περὶ τὴν αὐτὴν γάρ ἐστι διάμετρον , ὡς ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν στοιχείων .
Lemmas: 117 . ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ ΑΒ p . 108 , 17 ] ὅτι δέ ὁμοῖος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΗ , δῆλος · πᾶς γάρ παρά - αλληλογραμμος εἰμί μόνος εἰμί γνώμων . καί γάρ γιγνώσκω - μῶν εἰμί εἷς ὁποῖος ὁ περί ὁ διάμετρος ταραλληλογραμμη σύν ὁ δύο παραπλήρωμα , ὅς προστίθημι ὅμοιος ποιέω , προστίθημι παρά - αλληλογραμμος , ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ἐκ ἀρχή παρά - αλληλογραμμος καί ὁ γνώμων . ὁμοίως δέ , κἀν ἀφαιρέω γνώμων παραλληλόγραμμος · περί ὁ αὐτός γάρ εἰμί διάμετρος , ὡς ἐν ὁ ς΄ βιβλίον ὁ στοιχεῖον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.53
118 . Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p . 110,22 ] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ . 119 . Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p.110,23 ] ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον , δῆλον . ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία , δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ γωνία · εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ , ΓΒ εὐθεῖα ἐμ - πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας , ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται · ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ δύο δεδομέναι εἰσίν . καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος , ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ , ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΖΗ , καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται . 120 . Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς p . 112 , 3–4 ] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς , τοῦ δὲ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ διʼ ἴσου τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς . 121 . Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p . 112 , 14 ] ἐπεὶ γὰρ παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΚ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν .
Lemmas: 118 . ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΒ γωνία p . 110,22 ] δίδωμι γάρ ὁ εἶδος ὑπόκειμαι ὁ ΒΓΑ . 119 . δίδωμι ἄρα ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμος p.110,23 ] ὅτι δίδωμι ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμος , δῆλος . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ ΖΓΒ γωνία , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΖΒ γωνία · εἰς γάρ παράλληλος ὁ ΖΒ , ΓΒ εὐθύς ἐν - πίπτω ὁ ΓΖ ποιέω ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος δύο ὀρθός ἴσος , ὅς ὁ ὑπό ΖΓΒ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΖΗ δίδωμι · ὥστε καί ὁ λοιπός δύο δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί δίδωμι ὁ ὁ ΓΖ πρός ὁ ΓΒ λόγος , ἴσος δέ ὁ μέν ΖΓ ὁ ΗΒ , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΖΗ , καί ὁ λόγος ὁ πλευρά δίδωμι . 120 . ὁ δέ ΖΒ πρός ὁ Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι p . 112 , 3–4 ] ἐπεί γάρ ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΒΓΑ εἶδος λόγος εἰμί δίδωμι , ὁ δέ ΒΓΑ εἶδος πρός ὁ Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι , καί διά ἴσος ὁ ΖΒ πρός ὁ Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι . 121 . Ἴσος γάρ ὁ ὑπό ΚΓΒ p . 112 , 14 ] ἐπεί γάρ παράλληλος ὁ ΓΒ ὁ ΛΘ , καί εἰς αὐτός ἐμπίτνω εὐθύς ὁ ΓΚ , ὁ ἐναλλάξ γωνία Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.54
122 . Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν , ὅτι καὶ τὰ τετρά - γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον · τούτῳ γὰρ ἐξῆς προσχρήσεται . ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν , δῆλον . εἰ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ , ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον , δῆλον , ὅτι καὶ τὰ ΕΒ , ΖΓ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον .
Lemmas: 122 . Δεύς οὗτος προσεπιθεωρέω , ὅτι καί ὁ τετρᾶς - γωνα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · οὗτος γάρ ἑξῆς προσχράομαι . ὅτι δέ ἀληθής εἰμί , δῆλος . εἰμί γάρ ἑκάτερος ὁ ΕΒ , ΖΓ πρός ὁ ΑΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι , δῆλος , ὅτι καί ὁ ΕΒ , ΖΓ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.56
127 . Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p . 120 , 13 ] καί ἐστιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ , ∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ , Α∠ . 128 . Πόθεν , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α , οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , Β∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ . Α∠ ; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπʼ αὐτῆς τῇ μὲν Β∠ ἴση ἡ εδ , τῇ δὲ ∠Α ἴση ἡ δζ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ ἴση οὗσα τῇ ΒΓ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ εδ πρὸς δζ , οὕτως τὸ εη πρὸς ηζ , καί ἐστι τὸ μὲν εη τὸ ὑπὸ τῶν εδ , δη , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Β∠ , ΒΓ , τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ , δη , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ∠Α · ἴση γὰρ ἡ μὲν δη τῇ ΒΓ , ἡ δὲ δζ τῇ ∠Α · λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἑξῆς . 129 . Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ των ΓΒ , Β∠ p.120,17–18 ] ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγ΄ θεωρήματι ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις .
Lemmas: 127 . ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΓΒ∠ p . 120 , 13 ] καί εἰμί ὡς ὁ Β∠ πρός ∠Α , οὕτως ὁ ὑπό ΓΒ , ∠Β πρός ὁ ὑπό ΓΒ , Α∠ . 128 . πόθεν , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Β∠ πρός ∠Α , οὕτως καί ὁ ὑπό ὁ ∠Β , Β∠ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓ . Α∠ ; ἔκκειμαι τις εὐθύς ὁ εζʹ καί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός ὁ μέν Β∠ ἴσος ὁ ΕΔ , ὁ δέ ∠Α ἴσος ὁ δζʹ , καί πρός ὀρθός ὁ ἡδύς ἴσος ὕω ὁ ΒΓ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΕΔ πρός δζʹ , οὕτως ὁ εἰμί πρός ζηʹ , καί εἰμί ὁ μέν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΔ , δη , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ Β∠ , ΒΓ , ὁ δέ ζηʹ ὁ ὑπό ὁ ζδ , δη , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΒΓ ∠Α · ἴσος γάρ ὁ μέν δη ὁ ΒΓ , ὁ δέ δζʹ ὁ ∠Α · λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ ἑξῆς . 129 . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , Β∠ p.120,17–18 ] ὡς ἐν ὁ Β΄ ὁ στοιχεῖον ἐν ὁ ἰ θεώρημα ἐν ὁ ὀξυγώνιος τρίγωνος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.57
130 . Ὡρ δὲ ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ p . 122 , 9 ] πάλιν καὶ ἐνταῦθα , ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη , τῇ δὲ Β∠ τὴν ηζ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν τῇ ΑΓ · καὶ συμπεπληρώ - σθω τὸ σχῆμα · ἔσται ὡς ἡ εη πρὸς ηζ , τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ , οὕτως τὸ εθ πρὸς θζ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν θηε , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , πρὸς τὸ θζ , τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη , ηζ , τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β∠ · ἴση γὰρ ἡ μὲν εη τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ . ἡ δὲ ηζ τῇ Β∠ . 131 . Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β∠ p . 122 , 12 ] ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον , ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν Β∠ , ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς · διπλά - σιον γάρ . 132 . Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ καταγέγραπται . ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ , αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον · δι - πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν . ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἡ ΒΕ . δέδοται οὖν ἡ Ε · ὀρθὴ γάρ · ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ , ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό - κειται · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ δέδοται . δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς . ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ , τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ , ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ , ΑΓ λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ , ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ , ΑΙ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΒ , ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς · διπλάσιον γάρ · ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α , Γ τῇ ΕΒ παρ - αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ , δῆλον γίνεται · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: 130 . ὦρ δέ ὁ ΑΒ πρός Β∠ p . 122 , 9 ] πάλιν καί ἐνταῦθα , ἐάν ὁ μέν ΑΒ ἴσος εὐθύς λαμβάνω ὁ εἰμί , ὁ δέ Β∠ ὁ ζηʹ καί πρός ὀρθός ὁ ηθʹ ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ · καί συμπληρόω - ποτάομαι ὁ σχῆμα · εἰμί ὡς ὁ εἰμί πρός ζηʹ , τουτέστιν ὡς ὁ ΑΒ πρός Β∠ , οὕτως ὁ εθʹ πρός θζ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ θεάομαι , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , πρός ὁ θζ , τουτέστι πρός ὁ ὑπό ὁ τίθημι , ζηʹ , τουτέστι πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , Β∠ · ἴσος γάρ ὁ μέν εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ δέ ηθʹ ὁ ΑΓ . ὁ δέ ζηʹ ὁ Β∠ . 131 . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ , Β∠ p . 122 , 12 ] ἐάν γάρ ἀπό ὁ Β ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω καί ποιέω παραλληλόγραμμος , εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β∠ , ΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος δίδωμι · διπλόος - σίον γάρ . 132 . ὁ θεώρημα ὡς ὀξύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ καταγράφω . ἐάν δέ ὀρθός εἰμί , αὐτόθεν ὁ ὑπό ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΑΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι · Ζεύς - πλάσις γάρ αὐτός εἰμί . ἐάν δέ ἀμβλύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ , ἄγω κάθετος ἐκβάλλω ὁ ΓΑ ὁ ΒΕ . δίδωμι οὖν ὁ Ε · ὀρθός γάρ · ἀλλά καί ὁ ὑπό ΒΑΕ , ἐπεί καί ὁ ἐφεξῆς αὐτός ὑπό - κεῖμαι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΒΑ δίδωμι . δίδωμι ἄρα ὁ τρίγωνος ὁ ΕΒΑ ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΕΒ πρός ΒΑ δίδωμι . ἀλλά ὡς ὁ ΕΒ πρός ΒΑ , ὁ ΑΓ μέσος λαμβάνω οὕτως ὁ ὑπό ΕΒ , ΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΑ , ΑΓ λόγος ἄρα ὁ ὑπό ΕΒ , ΑΓ πρός ὁ ὑπό ΒΑ , ὁ δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ΕΒ , ΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος δίδωμι · διπλάσιος γάρ · ἐάν γάρ διά ὁ Α , Γ ὁ ΕΒ παρά - ἀλλήλων ἄγω καί ἔτι διά ὁ Β ὁ ΕΓ , δῆλος γίγνομαι · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ ἄρα πρός ὁ ΒΑΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.58
133 . Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα , ὡς ἔτυχεν , ἐπὶ τὴν βάσιν , τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν . ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα , ὡς ἔτυχεν , ἡ Α∠ . λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν Β∠ , ∠Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ . ἡ Α∠ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον κάθετος . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ ∠ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠ , ∠Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠ , ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ , ∠Β . ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ , ∠Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ Α∠ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ∠ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ . καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕ∠ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπδ τῶν ΑΕ , ΕΒ . καί ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΕ , ΕΒ τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον . τὸ ἄρα ὑπὸ Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ Α∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ . 134 . Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα . 135 . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p . 124 , 18 ] παρ - άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ .
Lemmas: 133 . ἐάν ἰσοσκελής τρίγωνος ἄγω τις εὐθύς , ὡς τυγχάνω , ἐπί ὁ βάσις , ὁ ἀπό ὁ κατάγω μετά ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἀπό μίας ὁ ἴσος πλευρά . ἵστημι δή ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ ἴσος ἔχω ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ , καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ ἄγω τις εὐθύς , ὡς τυγχάνω , ὁ Α∠ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Α∠ μετά ὁ ὑπό ὁ Β∠ , ∠Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . ὁ Α∠ ἐπί ὁ ΒΓ ἤτοι κάθετος εἰμί ἢ οὖον . ἵστημι πρότερος κάθετος . καί ἐπεί εὐθύς τις ὁ ΒΓ τέμνω δίχα κατά ὁ ∠ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠ , ∠Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ Α∠ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠ , ∠Β μετά ὁ ἀπό ὁ Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ , ∠Β . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ Α∠ , ∠Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠Β μετά ὁ ἀπό ὁ Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ . ἀλλά δή μή ἵστημι κάθετος ὁ Α∠ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΕ . καί ἐπεί εὐθύς τις τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Ε , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ ∠ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠Β μετά ὁ ἀπό ὁ ∠Ε ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΑΕ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠Β μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΕ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΕΒ . καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ∠ ὁ ἀπό ὁ Α∠ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ∠Β μετά ὁ ἀπό Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ΑΠΔ ὁ ΑΕ , ΕΒ . καί εἰμί ὁ ἀπό ΑΕ , ΕΒ ὁ ἀπό ΑΒ ἴσος . ὁ ἄρα ὑπό Γ∠Β μετά ὁ ἀπό Α∠ ἴσος ὁ ἀπό ΑΒ . 134 . ἰσογώνιος γάρ εἰμί ὁ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνος . 135 . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ p . 124 , 18 ] παρά - άλλος γάρ εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΕ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.59
136 . Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p . 128 , 3–4 ] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ , ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ , καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση · ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί .
Lemmas: 136 . εἰμί δέ καί ἰσογώνιος p . 128 , 3–4 ] ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ Ζ , ἀλλά ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ Θ , καί ὁ Θ ἄρα ὁ Ζ εἰμί ἴσος · ὁμοίως καί ὁ λοιπός .