scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.55
123 . Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα · ἀλλὰ καὶ τὸ ιγ΄ πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξε΄ , καὶ ζήτει αὐτὰ ἐκεῖ . 124 . Πόθεν ἐστίν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β , οὕτως ὁ ὑπὸ τῶν Α∠ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , ΒΓ ἐκ - κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ , καὶ κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση ἡ αδ , τῇ δὲ ∠Β ἴση ἡ δβ , καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ , καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ · καὶ συμ - πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ αδ πρὸς δβ , οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ , καί ἐστι τὸ μὲν αζ τὸ ὑπὸ τῶν αδ , δζ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Α∠ , ΒΓ · ἴση γὰρ ἡ ΒΓ τῇ δζ , ἡ δὲ αδ τῇ Α∠ τὸ δὲ δθ τὸ ὑπὸ τῶν δζ , δβ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , ΒΓ · ἴση γὰρ ἡ μὲν ζδ τῇ ΒΓ , ἡ δὲ δβ τῇ ∠Β ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α∠ πρὸς ∠Β , οὕτως τὸ ὑπὸ Α∠ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , ΒΓ . 125 . Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ∠Α , ΒΓ p . 118 , 13 ] ἀν - ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ σημείου τῇ Α∠ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΒΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ∠Γ διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΑΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ . καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό - γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά - σιόν ἐστιν · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις · καὶ περι - έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΓ ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ Α∠ , ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ , διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον , ὥστε καὶ διπλα - σίονα τὸ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει πρὸς τὸ τρί - γωνον , ὅπερ ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν Α,∠ , ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα πρὸς τὸ τρίγωνον τετραπλασίονα . τὸ γὰρ ∠Γ τοῦ ὑπὸ ΓΒ μεῖζόν ἐστιν , ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων . 126 . Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β , ΒΓ p . 118 , 16 ] ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τοῦ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις .
Lemmas: 123 . ὁ ἐν ὁ δύο βιβλίον δωδέκατος θεώρημα συμβάλλω εἰς ὁ πάρειμι θεώρημα · ἀλλά καί ὁ ἰ πάλιν εἰς ὁ μετά οὗτος ἤτοι ὁ ὅς , καί ζητέω αὐτός ἐκεῖ . 124 . πόθεν εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β , οὕτως ὁ ὑπό ὁ Α∠ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ∠Β , ΒΓ ἐκ - κεῖμαι τις εὐθύς ὁ αβ , καί κεῖμαι ὁ μέν Α∠ ἴσος ὁ αδʹ , ὁ δέ ∠Β ἴσος ὁ δβ , καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ δζʹ , καί κεῖμαι ὁ ΒΓ ἴσος ὁ δζʹ · καί συμ - πληρόω ὁ σχῆμα ὁ αθʹ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ αδʹ πρός δβ , οὕτως ὁ αζʹ πρός ὁ ΔΘ , καί εἰμί ὁ μέν αζʹ ὁ ὑπό ὁ αδʹ , δζʹ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ Α∠ , ΒΓ · ἴσος γάρ ὁ ΒΓ ὁ δζʹ , ὁ δέ αδʹ ὁ Α∠ ὁ δέ ΔΘ ὁ ὑπό ὁ δζʹ , δβ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ∠Β , ΒΓ · ἴσος γάρ ὁ μέν ζδ ὁ ΒΓ , ὁ δέ δβ ὁ ∠Β εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α∠ πρός ∠Β , οὕτως ὁ ὑπό Α∠ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ∠Β , ΒΓ . 125 . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ∠Α , ΒΓ p . 118 , 13 ] εἰς - ἄγω πρός ὀρθός ἀπό ὁ σημεῖον ὁ Α∠ ἴσος καί παράλληλος ὁ ΒΖ , καί ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ∠Γ διάγω ἴσος καί παράλληλος ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ . καί ἐπεί ὁ ΒΕ παράλληλος - γραμμός ὁ τρίγωνος διπλόος - θεός εἰμί · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος · καί περί - ἔχω ὁ παραλληλόγραμμος ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΓ ἴσος δέ ὁ ΕΓ ὁ Α∠ , ὁ δέ ΖΕ ὁ ΒΓ , διά οὗτος λόγος ἔχω ὁ παραλληλόγραμμος πρός ὁ τρίγωνος , ὥστε καί διπλόος - σίων ὁ παραλληλόγραμμος λόγος ἔχω πρός ὁ τρεῖς - γωνον , ὅσπερ εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ Α,∠ , ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι πρός ὁ τρίγωνος τετραπλασίων . ὁ γάρ ∠Γ ὁ ὑπό ΓΒ μέγας εἰμί , ὡς ἐν ὁ Β΄ ὁ στοιχεῖον . 126 . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ∠Β , ΒΓ p . 118 , 16 ] ἐν ὁ ἰβʹ θεώρημα ὁ Β΄ ὁ στοιχεῖον ἐν ὁ ἀμβλυγώνιος τρίγωνος .