scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.69
167 . Δέδοται ἄρα τὸ Α∠Β p . 156 , 7 ] ἐπεὶ τρι - γώνου τοῦ ΑΒ∠ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ὧν ἡ ὑπὸ Α∠Β ὀρθή ἐστιν , λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ , ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν . ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ οὖσα ἡ ὑπὸ Α∠Β δέδοται , καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ , ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται , ὧν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ δέδοται , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ δέδοται . ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ , καὶ τὸ ὑπολειπόμενον δέδοται . 168 . Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠ΑΖ , διὰ δὲ τῶν Β , Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ∠Β , ΖΓ · τὸ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ · ἴση δὲ ἡ Β∠ τῇ ΑΕ · τὸ ἄρα ∠Γ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . ἐὰν γὰρ παραλληλό - γραμμον τριγώνῳ βάσιν ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ᾖ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις , διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμ - μον τοῦ τριγώνου · διπλάσιον ἄρα τὸ ΑΓ παραλληλό - γραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τρι - γώνου · τὸ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β∠ . 169 . Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p . 156 , 6 ] ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ , τουτ - έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ · δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ · οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ · δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος . 170 . Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p . 156 , 19 ] διὰ τὸ λγ΄ τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου . 171 . Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [ p . 158 , 4 ] . ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Γ , Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν , ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ , ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην τῇ ὑπὸ ΑΕΓ · δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον , καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς , τουτ - έστι πρὸς τὴν ΕΑ · ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ . 172 . Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο - μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας , δῆλον · καὶ γάρ , ἐὰν περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν , ὅμοια ἔσται τὰ τμήματα , καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ · ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται · ὥστε καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ . 173 . Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ ΖΗΘ τριγώνου , δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος διὰ τὸ α΄ . πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς Β∠ λόγος , ὡς δέδεικται , δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος · ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς , οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος δοθείς · καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ . ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΖΘΗ γωνίαι , καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν ΒΑ πρὸς ΑΓ , ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ , δεδομένα ἄρα ἐστὶ τῷ εἴδει . 174 . Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ , ὅπου σημεῖον τόδε ?? . 175 . Ἔνστασις εἰς τὸ π΄ θεώρημα ?? . φησὶ γὰρ ἐν τῷ π΄ θεωρήματι · ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ · καὶ γεγονέτω , φησίν , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ σημείου τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΚΘ . λέξει τις , ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα , ἀλλʼ ὑπερπεσεῖται . ὑπερπιπτέτω οὖν , εἰ δύνατον , καὶ ἔστω ἡ ΚΙ , καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ , οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΛΘΙ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ , ΙΗ , ΘΗ , ΘΖ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ , οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ , καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΛΖ · ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ , οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ , οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση . ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΙΛ γωνίᾳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΙΛ ἴση ἐστίν · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ φῶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση · οὕτως γὰρ ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ · καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας . ὁμοίως δέ , κἂν ἐντός τις ὑπόθηται .
Lemmas: 167 . δίδωμι ἄρα ὁ Α∠Β p . 156 , 7 ] ἐπεί τρι - γώνον ὁ ΑΒ∠ ὁ τρεῖς γωνία δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , ὅς ὁ ὑπό Α∠Β ὀρθός εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ∠ΑΒ , ΑΒ∠ εἷς ὀρθός Ἴσαι εἰμί . ἐπεί οὖν ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό Α∠Β δίδωμι , καί ὁ ὑπό ∠ΑΒ , ΑΒ∠ εἷς ὀρθός εἰμί Ἴσαι δίδωμι , ὅς ὁ ὑπό ∠ΑΒ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΒ∠ δίδωμι . ἐάν γάρ ἀπό δίδωμι δίδωμι ἀφαιρέω , καί ὁ ὑπολείπω δίδωμι . 168 . Πῶς ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ; ἄγω διά ὁ Α ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ ∠ΑΖ , διά δέ ὁ Β , Γ ὁ ΑΕ παράλληλος ὁ ∠Β , ΖΓ · ὁ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμος περιέχω ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ · ἴσος δέ ὁ Β∠ ὁ ΑΕ · ὁ ἄρα ∠Γ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ περιέχω ὀρθογώνιος καί εἰμί διπλάσιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . ἐάν γάρ παράλληλος - γραμμός τρίγωνος βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί εἰμί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος , διπλάσιος εἰμί ὁ παραλληλόγραμμο - νυμφότιμον ὁ τρίγωνος · διπλάσιος ἄρα ὁ ΑΓ παράλληλος - γραμμός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . ὁμοίως δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , Β∠ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρι - γώνον · ὁ δέ ὁ αὐτός διπλάσιος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , Β∠ . 169 . καί ὁ ΒΓ πρός ΑΕ p . 156 , 6 ] ὡς γάρ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ , οὗτος - εἰμί ὁ ΓΟ πρός ὁ ΓΡ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΑΕ · δίδωμι δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ · οὕτως γάρ δείκνυμι πρό μικρός · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ΒΓ πρός ΑΕ λόγος . 170 . καί γράφω ἐπί ὁ ΖΗ p . 156 , 19 ] διά ὁ λγ΄ ὁ Γ΄ βιβλίον Εὐκλείδης . 171 . πρός ὁ ΑΕ δίδωμι [ p . 158 , 4 ] . ἐάν γάρ διά ὁ Γ , Β ὁ ΕΑ παράλληλος ἄγω , ὁμοίως δέ καί διά ὁ Α ὁ ΒΓ , εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιος διά ὁ ἴσος γίγνομαι ὁ γωνία ἕκαστος ὁ ὑπό ΑΕΓ · δίδωμι ἄρα ὁ παραλληλόγραμμος , καί εἰμί λόγος ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΜ δίδωμι , οὗτος - εἰμί πρός ὁ ΕΑ · ἴσος γάρ ὁ ΓΜ ὁ ΕΑ . 172 . ὅτι2 ὁ διά ὁ Κ παράλληλος ὁ ΖΗ ἄγνυμι - μένω ἐφάπτω ὁ περιφέρεια , δῆλος · καί γάρ , ἐάν περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος τμῆμα περιγράφω , ὅμοιος εἰμί ὁ τμῆμα , καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΑ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ΗΚ · ὁ δέ ΕΑ ἐφάπτω · ὥστε καί ὁ διά ὁ Κ . 173 . ἐπεί γάρ δίδωμι ἕκαστος ὁ πλευρά ὁ ΖΗΘ τρίγωνος , δίδωμι ὁ ὁ ΖΘ πρός τίθημι λόγος διά ὁ Α΄ . πάλιν ἐπεί δίδωμι ὁ ὁ ΑΒ πρός Β∠ λόγος , ὡς δείκνυμι , δίδωμι δέ καί ὁ ὁ ΑΓ πρός Β∠ λόγος · ὡς γάρ δείκνυμι ὁ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΕ δίδωμι , οὕτως δείκνυμι καί ὁ ὁ ΑΓ πρός Β∠ λόγος δίδωμι · καί ὁ ὁ ΒΑ ἄρα πρός ὁ ΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ Η΄ . ἐπεί οὖν Ἴσαι εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΖΗΘ γωνία , καί λόγος ἔχω δίδωμι ὁ μέν ΒΑ πρός ΑΓ , ὁ δέ ΖΘ πρός τίθημι , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ εἶδος . 174 . οὗτος ὁ θεώρημα ἔνστασις κεῖμαι ἐν ὁ πρῶτος ἐξωχιή , ὅπου σημεῖον ὅδε ?? . 175 . ἔνστασις εἰς ὁ Π΄ θεώρημα ?? . φημί γάρ ἐν ὁ Π΄ θεώρημα · ἄγω ἀπό ὁ ὁ σημεῖον ὁ ΖΗ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς ὁ ΗΚ · καί γίγνομαι , φημί , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΚ , καί ἄγω διά ὁ Κ σημεῖον ὁ ΖΗ παράλληλος ὁ ΚΘ . λέγω τις , ὅτι ὁ διά ὁ Κ ὁ ΖΗ παράλληλος ἄγω οὔτε ἐφάπτω οὔτε τέμνω ὁ ΖΗΘ τμῆμα , ἀλλά ὑπερπίπτω . ὑπερπίπτω οὖν , εἰμί δύο , καί ἵστημι ὁ Κις , καί τέμνω ὁ ΖΗ ὁ ΒΓ ὁμοίως κατά ὁ Λ σημεῖον , καί ἵστημι ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΓ , οὕτως ὁ ΖΛ πρός ΛΗ , καί ἄγω ἀπό ὁ Λ σημεῖον ὁ ΖΗ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς ὁ ΛΙ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΙΖ , ΙΗ , τίθημι , ΘΖ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ ΒΕ πρός ΕΓ , οὕτως ὁ ΖΛ πρός ΛΗ , καί συντίθημι ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ΛΖ · ἀνάπαλιν ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΕΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΛΖ πρός ΖΗ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΑ , οὗτος γίγνομαι ὁ ΖΗ πρός ΛΙ · διά ἴσος ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΒΕ πρός ΕΑ , οὕτως ὁ ΖΛ πρός ΛΙ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΕΑ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΙ ἴσος . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνος ὁ ΛΙ τρίγωνος · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΕ γωνία ὁ ὑπό Ζιλ γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΓΑΕ ὁ ὑπό ΙΗΛ ἴσος εἰμί · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ ὅλος ὁ ὑπό ζίω εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό φημί ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος · οὕτως γάρ ὑπόκειμαι διά ὁ ἐν ΖΗΘ τμῆμα εἰμί ὁ ὑπό ΖΗΘ · καί ὁ ὑπό ΖΗΘ ἄρα ὁ ὑπό ζίω εἰμί ἴσος · ὅσπερ εἰμί ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ διά ὁ Κ σημεῖον ἄγω παράλληλος ὁ ΖΗ ὑπερπίπτω ὁ ΖΗΘ περιφέρεια . ὁμοίως δέ , κἀν ἐντός τις ὑποτίθημι .