scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.24
53 . Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p . 20 , 20 ] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄ · ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα . ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠ , ἑπόμενα δὲ τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε . ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε , οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ . ὅλον γὰρ τὸ ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠ , καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β . 54 . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε , οὕτως ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β , καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ , οὕτως Ε∠ πρὸς ∠Β , καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠ , οὕτως ΕΒ πρὸς ∠Β , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ , οὕτως Γ∠ πρὸς ∠Β , δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος , δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος . μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν · ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ - νων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπό - μενα , ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ . 55 . Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος , ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙ . ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι , οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι · οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον , ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον , τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ · τοῦ γὰρ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος , δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ ἄλογον , οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει · ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠ , οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν . διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠ δεδομένῳ . ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι , οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ - σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι . 56 . Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p . 22 , 6 – 7 ] σχόλιον εἰς τὸ ια΄ θεώρημα ?? · ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ ΑΒ μέγεθος συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ καὶ ἀφελὼν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ καὶ βουλόμενος δεῖξαι , ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγω , λέγει · γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε . ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε , κατασκευάσαντες ποιήσο - μεν οὕτως · ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ . τουτέστιν ἡ ΑΕ , πρὸς τὴν Ε∠ · δῆλον γάρ , ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά , πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν · γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν Ε∠ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς Ε∠ , συνθέντι ἐστίν , ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε . ἱση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε . 57 . Σχόλιον . ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ , ΒΓ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠ . καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ , ΒΓ , οὕτως τὸ ∠Α πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ , οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς . 58 . Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p . 22 , 13 ] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε , καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠ πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ · δοθεὶς δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β .
Lemmas: 53 . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΓ p . 20 , 20 ] διά ὁ ἰβʹ ὁ Ε΄ · ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . ἡγέομαι γάρ εἰμί ὁ τε Γ∠ καί ὁ Α∠ , ἕπομαι δέ ὁ τε ∠Β καί ὁ ∠Ε . ὡς γοῦν ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὅλος ὁ ΑΓ πρός ὅλος ὁ ΕΒ . ὅλος γάρ ὁ ΑΓ ὁ δύο εἰμί ἡγέομαι ὁ τε ∠Α καί ὁ Γ∠ , καί ὅλος ὁ ΕΒ ὁ δύο εἰμί ἕπομαι τότε Ε∠ καί ὁ ∠Β . 54 . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α∠ πρός ∠Ε , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ∠Β , καί ἐναλλάξ ὡς Α∠ πρός ∠Γ , οὕτως Ε∠ πρός ∠Β , καί συντίθημι ὡς ΑΓ πρός Γ∠ , οὕτως ΕΒ πρός ∠Β , καί ἐναλλάξ ὡς ΑΓ πρός ΕΒ , οὕτως Γ∠ πρός ∠Β , δίδωμι δέ ὁ ὁ Γ∠ πρός ∠Β λόγος , δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ΑΓ πρός ΕΒ λόγος . μᾶλλον σύντομος εἰμί οὕτως εἶπον · ὡς εἷς ὁ άγω - νάω πρός εἷς ὁ ἕπομαι , τουτέστιν ὡς ὁ Γ∠ πρός ∠Β , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἑπὸ - Μένα , ὁ ΑΓ πρός ΕΒ . 55 . οὗτος ὁ σχόλιον ὁ ΙΑ΄ θεώρημα , ὅπου σημεῖον εἰμί ὅδε ⊙ . ὥσπερ λέγω ὁ θ ὁ δ μείζων ἢ διπλάσιος μόνος , οὗτος λέγω καί ὁ μείζων ἢ ἐν λόγος δίδωμι · οἷος ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι , ἐάν ὁ Α∠ δίδωμι , ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος · ὁ γάρ ∠Β πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι καί ὁ Α∠ δίδωμι ὑπάρχω , δίδωμι καί ῥητός ὅς καί ἄλογος , οὐ ἄρα καί ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω · ὅτι γάρ ἄλογος εἰμί ὁ Α∠ , οὖον δύναμαι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω . διό μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ∠Β ὁ λόγος ἔχω πρός ὁ Β∠ δίδωμι ὁ Α∠ δίδωμι . ὁμοίως δέ καί ὡς ὁ ζ ὁ δ μικρός λέγω ἢ διπλάσιος μόνος , οὗτος λέγω καί ὁ ἐλαύνω - σός ἢ ἐν λόγος δίδωμι . 56 . ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι p . 22 , 6 – 7 ] σχόλιον εἰς ὁ ΙΑ΄ θεώρημα ?? · ἐν ὁ ΙΑ΄ θεώρημα λαμβάνω ὁ ΑΒ μέγεθος συναμφότεροι ὁ ΑΓ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος καί ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΑΕ καί βούλομαι δείκνυμι , ὅτι ὁ αὐτός ὁ ΑΒ καί ὁ ΒΓ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , λέγω · γίγνομαι γάρ ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε . ἐάν οὖν βούλομαι ποιέω ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε , κατασκευάζω ποιέω - μέν οὕτως · ἐκβάλλω γάρ ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΑΕ ἴσος ὁ ΓΖ , καί γίγνομαι ὡς ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ἴσος ὁ ΖΓ . τουτέστιν ὁ ΑΕ , πρός ὁ Ε∠ · δῆλος γάρ , ὅτι ποιέω ὡς ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ἄλλος τις , πρός μικρός ὁ ΒΕ ποιέω · γίγνομαι οὖν πρός ὁ Ε∠ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός Ε∠ , συντίθημι εἰμί , ὡς ὁ ΖΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Ε . ἱσης δέ ὁ ΖΕ ὁ ΑΓ διά ὁ ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Ε . 57 . σχόλιον . ὡς συναμφότεροι ὁ ΑΕ , ΒΓ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός Α∠ . καί ἀνάπαλιν καί ὡς ὁ ΑΓ πρός συναμφότεροι ΑΕ , ΒΓ , οὕτως ὁ ∠Α πρός ΑΕ καί ἀναστρέφω ὡς ὁ ΑΓ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Κ δίδωμι . 58 . εἰμί δή καί λοιπός ὁ Γ∠ p . 22 , 13 ] ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΕΒ , οὕτως ἀφαιρέω ὁ Α∠ πρός ἀφαιρέω ὁ ∠Ε , καί λοιπός ἄρα ὁ Γ∠ πρός λοιπός ὁ ∠Β εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΕΒ · δίδωμι δέ ὁ ὁ ΑΓ πρός ΕΒ λόγος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ Γ∠ πρός ∠Β .