scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.71
177 . Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α , ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Ε [ p . 164 , – 16 ] . ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ ἀφῃρήσθω τῇ μὲν Ε ἴση ἡ ΑΓ , τῃ δὲ ∠ ἴση ἡ ΓΒ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ ἡ ΓΕ ἴση οὖσα τῇ Α . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΕ , τουτέστι τὸ ὑπὸ Α , Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΓΒ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Α , ∠ , ἔστιν οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ∠ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α , Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , ∠ . 178 . Τοῦτό φησιν , ὅτι , ἐὰν ὦσι δ εὐθεῖαι καὶ ἔχωσιν οὕτως πρὸς ἀλλήλας · πῶς δὲ ἔχωσιν ; ὥστε λαβεῖν τινα ἐξ αὐτῶν τρεῖς , οἵας ἂν βούλοιτο , προσ - λαβεῖν δὲ καὶ τετάρτην ἀνάλογον οὖσαν ταῖς ληφθεί - σαις τρισί · ἔσται ὡς ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν μετʼ αὐτὴν τρίτην , οὕτως ἡ δευτέρα ἤτοι ἡ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέραν , πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι πρὸς τὴν οὖσαν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην , πρὸς ἣν ἔχει ἡ πρώτη ἤτοι ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα πρὸς αὐτὴν δευτέραν οὖσαν λόγον δεδομένον . ἔστωσαν εὐθεῖαι αὗται αἱ Α , Β , Γ , ∠ , καὶ ἔστω ἡ μὲν Α κδ , ἡ δὲ Β ιβ , ἡ δὲ Γ η , ἡ δὲ ∠ ς . λαβὲ γοῦν ἐξ αὐτῶν τρεῖς , οἵας βούλει , οἷον τὴν Α καὶ τὴν Β καὶ τὴν Γ · προσλαβοῦ καὶ ἑτέραν ἀνάλογον ταύταις ἤτοι τὴν Ε , καὶ ἔστω δ · ὥστε ἔχει αὐταῖς ἀναλόγως ἤτοι τὸν διπλασίονα λόγον . ἔχει οὖν ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα · τετάρτη γὰρ ἀριθμεῖται μετὰ τὰς τρεῖς τὰς ληφθείσας · πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν Γ τὴν μετὰ τὴν προσκληθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην λόγον ὑποδιπλάσιον . θέλει γοῦν ἔχειν οὕτως καὶ ἡ δευ - τέρα , πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον · ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέρα οὖσα ἔχει πρὸς τὴν Β ἤτοι τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν οὖσαν τετάρτην , πρὸς ἣν ἡ ἐξ ἀρχῆς πρώτη ὡς πρὸς δευτέραν λόγον ἔχει δεδομένον · ἔχει γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἤτοι τὸν ὑποδιπλασίονα . ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευ - τέρα , ἥτις ἐστὶ ϛ , πρὸς τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην , δευτέραν δὲ ὡς πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρώτην , ἤτοι τὴν Β ιβ οὖσαν ὑποδιπλάσιόν ἐστιν . κἂν γοῦν ταύτας οὐ λαβῇς τὰς εὐθείας ἀλλʼ ἄλλας τῶν δ , οἵας βούλει , οὕτως εὑρήσεις ταύτας φυλάττειν τὴν παραδοθεῖσαν τάξιν κατὰ τὴν ἐμὴν τέως ἐπιβολήν · ἤ , εἰ βούλει , ἔστωσαν μὲν ὡς ἐν τῷ ἐδαφίῳ τοῦ βιβλίου κείμενα διʼ ἀριθμῶν τοιοῦτον . ἀλλὰ δὴ ἐκ τῶν ἀριθμῶν οὕτως · καὶ ἁπλῶς οἵους βούλει τρεῖς πως τῶν ἐξ ἀρχῆς δ λάμβανε , καὶ εὑρήσεις κατὰ τὴν ἄνωθεν ῥηθεῖσαν ἐξήγησιν ἁρμόζειν τὸ θεώρημα .
Lemmas: 177 . καί ὁ ὑπό ὁ Α , ∠ πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Ε [ p . 164 , – 16 ] . ἔκκειμαι τις εὐθύς ὁ ΑΒ , καί ἀφαιρέω ὁ μέν Ε ἴσος ὁ ΑΓ , πῃ δέ ∠ ἴσος ὁ ΓΒ , καί πρός ὀρθός ἄγω ἀπό ὁ Γ ὁ ΑΒ ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ Α . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΕ , τουτέστι ὁ ὑπό Α , Ε πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΓΒ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ Α , ∠ , εἰμί οὖν ὡς ὁ Ε πρός ὁ ∠ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ Α , Ε πρός ὁ ὑπό ὁ Α , ∠ . 178 . οὗτος φημί , ὅτι , ἐάν εἰμί δ εὐθύς καί ἔχω οὕτως πρός ἀλλήλων · πῶς δέ ἔχω ; ὥστε λαμβάνω τις ἐκ αὐτός τρεῖς , οἷος εἄν βούλομαι , προς - λαμβάνω δέ καί τέταρτος ἀνάλογος εἰμί ὁ λαμβάνω - Σάϊς τρεῖς · εἰμί ὡς ὁ τέταρτος ἤτοι ὁ προσλαμβάνω πρός ὁ τρίτος ἤτοι ὁ μετά αὐτός τρίτος , οὕτως ὁ δύο ἤτοι ὁ μετά ὁ προσλαμβάνω δύο , πρός ὅς ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι ἤτοι πρός ὁ εἰμί μετά ὁ προσλαμβάνω τέταρτος , πρός ὅς ἔχω ὁ πρῶτος ἤτοι ὁ ἐκ ἀρχή εὐθύς πρός αὐτός δύο εἰμί λόγος δίδωμι . εἰμί εὐθύς οὗτος ὁ Α , Β , Γ , ∠ , καί ἵστημι ὁ μέν Α ΚΔ , ὁ δέ Β Ἶβ , ὁ δέ Γ ὁ , ὁ δέ ∠ Σ . λαμβάνω γοῦν ἐκ αὐτός τρεῖς , οἷος βούλομαι , οἷος ὁ Α καί ὁ Β καί ὁ Γ · προσλαμβάνω καί ἕτερος ἀνάλογος οὗτος ἤτοι ὁ Ε , καί ἵστημι δ · ὥστε ἔχω αὐτός ἀνάλογος ἤτοι ὁ διπλασίων λόγος . ἔχω οὖν ὁ τέταρτος ἤτοι ὁ προσλαμβάνω · τέταρτος γάρ ἀριθμέω μετά ὁ τρεῖς ὁ λαμβάνω · πρός ὁ τρίτος ἤτοι ὁ Γ ὁ μετά ὁ προσκαλέω ἀριθμέω τρίτος λόγος ὑποδιπλάσιος . ἐθέλω γοῦν ἔχω οὕτως καί ὁ δήω - τέρας , πρός ὅς ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι · ὁ γάρ μετά ὁ προσλαμβάνω δύο εἰμί ἔχω πρός ὁ Β ἤτοι ὁ μετά ὁ προσλαμβάνω εἰμί τέταρτος , πρός ὅς ὁ ἐκ ἀρχή πρῶτος ὡς πρός δύο λόγος ἔχω δίδωμι · ἔχω γάρ ὁ αὐτός λόγος ἤτοι ὁ ὑποδιπλασίων . ὁ γάρ μετά ὁ προσλαμβάνω δήω - τέρας , ὅστις εἰμί ϛ , πρός ὁ μετά ὁ προσλαμβάνω τέταρτος , δύο δέ ὡς πρός ὁ ἐκ ἀρχή πρῶτος , ἤτοι ὁ Β Ἶβ εἰμί ὑποδιπλάσιος εἰμί . κἀν γοῦν οὗτος οὖον λαβή ὁ εὐθύς ἀλλά ἄλλος ὁ δ , οἷος βούλομαι , οὕτως εὑρίσκω οὗτος φυλάσσω ὁ παραδίδωμι τάξις κατά ὁ ἐμός τέως ἐπιβολή · ἤ , εἰμί βούλομαι , εἰμί μέν ὡς ἐν ὁ ἐδάφιον ὁ βιβλίον κεῖμαι διά ἀριθμός τοιοῦτος . ἀλλά δή ἐκ ὁ ἀριθμός οὕτως · καί ἁπλόος οἷος βούλομαι τρεῖς πως ὁ ἐκ ἀρχή δ λαμβάνω , καί εὑρίσκω κατά ὁ ἄνωθεν εἴρω ἐξήγησις ἁρμόζω ὁ θεώρημα .