scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera appendix.9
20 . Καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ p . 208 , 7 ] διὰ γὰρ τὸ ξς΄ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον · ὥστε καὶ τὸ δίς . 21 . Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p . 208 , 11–12 ] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη τῷ ιγ΄ θεωρήματι . 22 . Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p . 208 , 14 ] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη ἐν τῷ δ΄ θεωρήματι . 23 . Τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ∠ p . 208 , 17–18 ] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν ὡς ἄτμητον , τὴν δὲ δαγ μίαν μὲν καὶ αὐτήν , τετμη - μένην δὲ κατὰ τὸ α , γίνεται τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα , αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ α΄ τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων · ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν βα , αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα , αγ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ . 24 . Καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ∠ΑΓ p . 208 , 26 ] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ∠Α τῇ Α∠ ὡς τὴν ∠ΑΓ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Γ πρὸς ὀρθὴν ἀναστήσωμεν τὴν Α∠ , δηλαδὴ ἴσης μενούσης τῆς μὲν ∠Α τῇ ∠Α , τῆς δὲ ΑΓ τῇ ΑΓ , τῆς δὲ ΒΑ τῇ ΒΑ , ἔσται σαφὲς τὸ λεγόμενον · ὡς γὰρ αἱ βάσεις , οὕτω καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα . 25 . Καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΑΓ p . 210 , 2 ] ἔστω εὐθεῖα ἡ δε , καὶ κείσθω τῇ μὲν ∠Α ἴση ἡ δα , τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ , καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ , καὶ κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση . ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος ἐστὶ δοθείς , ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς γα , οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ , αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα , αβ , καὶ τοῦ ὑπὸ δαγ , αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα , αβ ἄρα λόγος ἐστίν . ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα , αβ πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξς΄ θεώ - ρημα · καὶ τὸ ὑπὸ δαγ , αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ θεώρημα . 26 . Καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΓΖ p . 210 , 21–22 ] ἐὰν γὰρ συμπληρώσωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βα , αγ παραλληλό - γραμμον ὡς τὸ αη , καὶ διὰ τοῦ ζ παράλληλον ἀγάγωμεν τῇ αβ , ἔπειτα ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ , καταλείπεται , τὸ ζη παρ - αλληλόγραμμον , ὅ ἐστιν ὑπὸ τῶν βα , ζγ · τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ . 27 . Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἀφέλω - μεν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ , τὸ καταλειπόμενόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΖΓ . 28 . Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΑΒ p . 212 , 6 ] εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ , ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον · ὡς γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΕΑ παραλληλόγραμμον , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΒΑ , πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓ , ΑΒ . 29 . Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ p . 212 , 7–8 ] διὰ τὸ τὴν ΓΕ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὴν ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ γίνεσθαι διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΕΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . 30 . Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω - μεν καὶ διὰ τῶν Α , Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν , ἔσται δῆλον . τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓ , ΑΒ ἐστι τὸ ΑΒ , καὶ τὸ ΑΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , καὶ διὰ τοῦτο λόγον ἔχει πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δεδομένον . 31 . Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω - μεν καὶ διὰ τῶν Α , Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν , ἔσται δῆλον · ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἴση ἐστὶ τῇ ΕΓ , ὡς ἔχει ἄνω τὸ σχόλιον .
Lemmas: 20 . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ p . 208 , 7 ] διά γάρ ὁ ξς΄ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι · ὥστε καί ὁ δίς . 21 . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑΓ p . 208 , 11–12 ] ἐν ὁ Β΄ ὁ στοιχεῖον δείκνυμι ὁ ἰ θεώρημα . 22 . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑΓ p . 208 , 14 ] ἐν ὁ Β΄ ὁ στοιχεῖον δείκνυμι ἐν ὁ Δ΄ θεώρημα . 23 . τουτέστι ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ΓΑ∠ p . 208 , 17–18 ] ἐάν γάρ λαμβάνω ὁ βάω εἷς εὐθύς ὡς ἄτμητος , ὁ δέ δα εἷς μέν καί αὐτός , τέμνω - μένω δέ κατά ὁ ὅς , γίγνομαι ὁ ὑπό τε ὁ ἄτμητος ὁ βάω καί ἕκαστος ὁ τμῆμα ὁ δα , αγ ἴσος ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ δα καί ὁ αβ διά ὁ Α΄ ὁ δύο βιβλίον ὁ στοιχεῖον · ὥστε καί ὁ δίς ὑπό ὁ βάω , αδʹ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ βάω , αγ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ Γάδ καί ὁ αβ . 24 . καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ἄρα ὁ ∠ΑΓ p . 208 , 26 ] ἐάν γάρ ποιέω ἐπί εὐθύς ὁ ∠Α ὁ Α∠ ὡς ὁ ∠ΑΓ καί διά ὁ Α ὁ ∠Γ πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ Α∠ , δηλαδή ἴσος Μένων ὁ μέν ∠Α ὁ ∠Α , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΑ ὁ ΒΑ , εἰμί σαφής ὁ λέγω · ὡς γάρ ὁ βάσις , οὗτος καί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί . 25 . καί ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ∠ΑΓ p . 210 , 2 ] ἵστημι εὐθύς ὁ δέ , καί κεῖμαι ὁ μέν ∠Α ἴσος ὁ δα , ὁ δέ ΑΓ ὁ αγ , καί ἀπό ὁ ὅς ὁ δγʹ πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ αβ , καί κεῖμαι ὁ αβ ὁ ΑΒ ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ ὁ δα πρός γῆ λόγος εἰμί δίδωμι , ὡς δέ ὁ δα πρός γῆ , οὕτως ὁ ὑπό δα , αβ πρός ὁ ὑπό γῆ , αβ , καί ὁ ὑπό δα , αβ πρός ὁ ὑπό γῆ , αβ ἄρα λόγος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ γῆ , αβ πρός ὁ αβγʹ τρίγωνος λόγος δίδωμι διά ὁ ξς΄ θεός - ῥῆμα · καί ὁ ὑπό δα , αβ ἄρα πρός ὁ αβγʹ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ Η΄ θεώρημα . 26 . καί ὁ δες ὑπό ὁ ΒΑ , ΓΖ p . 210 , 21–22 ] ἐάν γάρ συμπληρόω ὁ ὑπό ὁ βάω , αγ παράλληλος - γραμμός ὡς ὁ ἀεί , καί διά ὁ ζ παράλληλος ἄγω ὁ αβ , ἔπειτα ἀφαιρέω ὁ ὑπό ὁ βαζ , καταλείπω , ὁ ζῶ παρά - αλληλογραμμος , ὅς εἰμί ὑπό ὁ βάω , ζγ · ὁ γάρ βάω ἴσος εἰμί ὁ ζκ . 27 . ἐάν γάρ ἀπό ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ ἀφαιρέω - μέν ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΖ , ὁ καταλείπω εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑ , ΖΓ . 28 . ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΑΒ p . 212 , 6 ] εἰμί γάρ ὁ ΖΓ ἐπί εὐθύς ὁ ΕΓ νοέω καί κοινός ὕψος ὁ ΒΑ , εἰμί ὁ λέγω δῆλος · ὡς γάρ ὁ ΕΓ βάσις πρός ὁ ΓΖ βάσις , οὕτως ὁ ΕΑ παραλληλόγραμμος , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΒΑ , πρός ὁ αζʹ παραλληλόγραμμος , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΖΓ , ΑΒ . 29 . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΓΕ πρός ὁ ΑΒΓ p . 212 , 7–8 ] διά ὁ ὁ ΓΕ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΒΑ ἐκβάλλω καί γίγνομαι διπλάσιος ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΕΓ ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . 30 . ἐάν γάρ διά ὁ Γ ὁ ΕΒ παράλληλος ἄγω - μέν καί διά ὁ Α , Β ὁ ΕΓ παράλληλος ἄγω , εἰμί δῆλος . ὁ γάρ ὑπό ΕΓ , ΑΒ εἰμί ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος , καί διά οὗτος λόγος ἔχω πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι . 31 . ἐάν γάρ διά ὁ Γ ὁ ΕΒ παράλληλος ἄγω - μέν καί διά ὁ Α , Β ὁ ΕΓ παράλληλος ἄγω , εἰμί δῆλος · ὁ γάρ ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ , ὡς ἔχω ἄνω ὁ σχόλιον .