scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.23
40 . Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον , ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με - γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ , ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο - μένον , παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα . Ad prop . X . 41 . P . 16 , 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως . 42 . Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ - τάσεως . τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο - διαιρεῖται . τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα . 43 . Καὶ τὸ συναμφότερον p . 16 , 24 ] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . 44 . Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ , δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἀφαιρείσθω ἴσους τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα , οἷον ὡς νῦν τῶν β λό - γων , ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται . 45 . Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος , ὅπου σημεῖον τόδε Ƒ . οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ . καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ . ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ , τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον · τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ . τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι λοιπόν , ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο - θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ . τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον . ἐὰν μὲν οὖν τὸ δοθὲν ἴσον ᾖ τῷ ΑΒ , ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον η , τοῦ δὲ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ὄντος δ , ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ , τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ . ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν ) ιη , ἡ δὲ ΒΓ η , ἡ δὲ Α∠ δύο . ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον . ὁμοίως καὶ δείκνυσι , καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ . ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ , τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ . δείκ - νυσιν οὖν , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . μετὰ γὰρ τὸ ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΓ δοθέν , τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον . πάλιν συν - αμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ , καὶ ἔστω τὸ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ΑΒ τὸ Α∠ καὶ ἔστω τὸ β . ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη , τοῦ δὲ ΒΓ ὄντος η , ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ Α∠ τὰ β , τὸ λοιπὸν τὸ ∠Γ τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον . ὁμοίως καὶ δείκνυσι λοιπόν , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ῑ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον . καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ · ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ ΑΒ τῶν ῑ τὸ Α∠ δοθὲν τὰ β , τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ ἢ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα · τὸν γὰρ ἴσον . πάλιν συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ · καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ καὶ ἔστω ιδ . ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη , τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η , ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ , τὸ λοιπὸν τὸ EΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὄροις εἰρημένον . ὁμοίως καὶ διὰ τούτου δείκνυσιν , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ · τὸ γὰρ ΒΕ ἐστιν , πρὸς ὅ τὸ ἕτερον τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον · δοθέν ἐστιν · ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν . 46 . Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p . 18 , 4–5 ] τοῦτο τὸ σχό - λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος , ὅπου σημεῖον τόδε P . πῶς λέγει · λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς ; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἔσται τοῦ ∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄ , ὥστε καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β , ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . 47 . Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p . 18 , 7 ] ἐπεὶ γὰρ τοῦ Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ , προσκείσθω πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ . 48 . Τὸ δὴ δοθέν p . 18 , 15 ] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ , τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον . δύναμαι γὰρ αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ , ὡς ἐν τοῖς ὅροις . 49 . Λόγος ἄρα λοιποῦ p . 18 , 22 ] δέδοται γὰρ τὸ ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα . καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΑΕ , καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄ · ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΕ · ἀλλὰ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ · καὶ τοῦ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΕ . 50 . Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p . 20 , 2 ] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ , πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα . 51 . Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ , τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ . 52 . Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα · τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ . δοθέν ἐστιν , ὅλον τὸ ΑΕ .
Lemmas: 40 . ὡς ἐκ περιουσία ἔχω ὁ αὐτός δείκνυμι , εἄν ὁ λόγος ὁ ὁ προτίθημι πρός ὁ τυγχάνω ἐγώ - γίγνομαι ὁ αὐτός εἰμί , ὅτι καί ὁ τυγχάνω λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , παρίημι ἐπί οὗτος γυμνάζω ὁ πρόβλημα . Ad prop . X . 41 . P . 16 , 18 ἐνταῦθα συμπεραίνω ὁ πρῶτος μέρος ὁ πρότασις . 42 . ἐνταῦθα ἄρχω ὁ δύο μέρος ὁ προ - τάσις . ὁ δύο μέρος ὁ πρότασις πάλιν ὑπο - διαιρέω . ὁ οὖν πρῶτος μέρος ὁ ὑποδιαίρεσις συμπεραίνω ἐνταῦθα . 43 . καί ὁ συναμφότεροι p . 16 , 24 ] τουτέστι καί συντίθημι δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . 44 . ἔστω μέγεθος ὁ Ι καί ἕτερος κγʹ , δίδωμι δέ ἵστημι ὁ γ καί συναμφότεροι ὁ λγʹ ὁ Ι ὁ δίδωμι γδʹ εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἀφαιρέω ἴσος ὁ δίδωμι ὁ γῆ ὁ Ι πρός ὁ Κ δίδωμι , οἷος ὡς νῦν ὁ Β λό - γῆ , ὡς καί ἐν ὁ ὅρος εἴρω . 45 . οὗτος ὁ σχόλιον εἰμί ὁ Ι θεώρημα , ὅπου σημεῖον ὅδε Ƒ . οἷος μέγεθος ὁ ΑΒ κατά ὑπόθεσις κγʹ μέγεθος ὁ ΒΓ εἰμί κατά ὑπόθεσις Ι δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος . καί ἵστημι δίδωμι ὁ Α∠ εἰμί γ . ἐάν οὖν ἀπό ὁ ΑΒ ὁ κγʹ ἀφαιρέω ὁ δίδωμι ὁ Α∠ ὁ γ , ὁ λοιπός ὁ ∠Β ὁ Κ πρός ὁ ΒΓ ὁ Ι λόγος ἔχω δίδωμι διά ὁ ἐν ὁ ὅρος εἴρω · ὁ γάρ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος . οὗτος δηλόω καί δείκνυμι λοιπός , ὅτι καί ὅλος ὁ ΑΓ πρός ὁ αὐτός ὁ ΒΓ δο - θέω μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἀλλά δή συναμφότεροι ὁ ΑΓ ὁ αὐτός ὁ ΓΒ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος . ὁ δή δίδωμι ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ἢ μικρός ἢ μείζων . ἐάν μέν οὖν ὁ δίδωμι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , εἰμί κατά ὑπόθεσις ὁ ΑΓ οἷος ὁ , ὁ δέ αὐτός ὁ ΒΓ εἰμί δ , ἐάν ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ὁ ἀφαιρέω ὁ δίδωμι ὁ ΑΒ οἷος δ , ὁ λοιπός ὁ ΒΓ ὁ δ πρός ὁ αὐτός ὁ ΒΓ ὁ δ λόγος ὅλος ὁ ΑΓ μόνος Κ . ὅλος ὁ μέν ΑΓ μόνος ἐστὶ(ν ) ἔρχομαι , ὁ δέ ΒΓ ὁ , ὁ δέ Α∠ δύο . ἔχω δίδωμι διά ὁ ἐν ὁ ὅρος εἴρω . ὁμοίως καί δείκνυμι , καί ὅτι λοιπός ὁ ΑΒ . ἐάν γάρ ἀπό ὁ ΑΓ ἀφαιρέω ὁ ΒΓ , ὁ λοιπός εἰμί ὁ ΑΒ . δείκος - νύσις οὖν , ὅτι καί λοιπός ὁ ΑΒ πρός ὁ αὐτός ὁ ΓΒ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . μετά γάρ ὁ ἀφαιρέω καί αὐτός ὁ ΑΓ δίδωμι , ὁ λοιπός ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι . πάλιν σῦς - ἀμφότερος ὁ ΑΓ ὁ αὐτός ὁ ΓΒ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος , καί ἵστημι ὁ δίδωμι μικρός ὁ ΑΒ ὁ Α∠ καί ἵστημι ὁ Β . ἐάν οὖν εἰμί κατά ὑπόθεσις ὁ ΑΓ οἷος ἔρχομαι , ὁ δέ ΒΓ εἰμί ὁ , ἐάν ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἔρχομαι ἀφαιρέω ὁ Α∠ ὁ Β , ὁ λοιπός ὁ ∠Γ ὁ ιϛʹ πρός ὁ αὐτός ὁ ΓΒ ὁ ὁ λόγος ἔχω δίδωμι διά ὁ ἐν ὁ ὅρος εἴρω . ὁμοίως καί δείκνυμι λοιπός , ὅτι καί λοιπός ὁ ΑΒ ὁ Ι πρός ὁ αὐτός ὁ ΓΒ ὁ ὁ λόγος ἔχω δίδωμι . καί διά οὗτος καί ὁ λοιπός ὁ ΑΒ ὁ ι ὁ αὐτός ὁ ΒΓ ὁ ὁ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος · ἐάν γάρ ἀφαιρέω καί ἀπό ὁ ΑΒ ὁ Ι ὁ Α∠ δίδωμι ὁ Β , ὁ λοιπός ὁ ∠Β ὁ ἢ πρός ὁ ΒΓ ὁ ὁ λόγος ἔχω δίδωμι · ὁ γάρ ἴσος . πάλιν συναμφότεροι ὁ ΑΓ ὁ αὐτός ὁ ΓΒ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος · καί ἵστημι ὁ δίδωμι μείζων ὁ ΑΒ ὁ ΑΕ καί ἵστημι ιδʹ . ἐάν οὖν εἰμί κατά ὑπόθεσις ὁ ΑΓ οἷος ἔρχομαι , ὁ δέ ΒΓ οἷος ὁ , ἐάν ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἔρχομαι ἀφαιρέω ὁ ΑΕ ὁ ιδʹ , ὁ λοιπός ὁ EΓ ὁ δ πρός ὁ αὐτός ὁ ΓΒ ὁ ὁ λόγος ἔχω δίδωμι διά ὁ ἐν ὁ ὄρνυμι εἴρω . ὁμοίως καί διά οὗτος δείκνυμι , ὅτι καί λοιπός ὁ ΑΒ μετά ὁ ΒΕ · ὁ γάρ ΒΕ εἰμί , πρός ὅς ὁ ἕτερος ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι · δίδωμι εἰμί · ὅλος γάρ ὁ ΑΕ δίδωμι εἰμί . 46 . λοιπός ἄρα ὁ ∠Β p . 18 , 4–5 ] οὗτος ὁ σόχος - Λιόν ὁ Ι΄ θεώρημα , ὅπου σημεῖον ὅδε P . πῶς λέγω · λοιπός ὁ ∠Β πρός ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι ; ἐπεί γάρ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΒ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰμί ὁ ∠Γ καί πρός ὁ ∠Β λόγος δίδωμι διά ὁ Ε΄ , ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ∠Β , ΒΓ πρός ὁ ∠Γ λόγος εἰμί δίδωμι · καί διά ὁ Η΄ καί ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . 47 . ὁ ΓΑ ἄρα ὁ ΓΒ p . 18 , 7 ] ἐπεί γάρ ὁ Γ∠ λόγος ἀποδείκνυμι δίδωμι πρός ὁ ΓΒ , πρόσκειμαι πάλιν ὁ ἀπό ἀρχή δίδωμι ὁ Α∠ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΑ δίδωμι μέγας εἰμί ὁ ΓΒ ἢ ἐν λόγος . 48 . ὁ δή δίδωμι p . 18 , 15 ] ἐάν γάρ ἴσος ὑπάρχω ὁ δίδωμι ὁ ΑΒ , ὁ λοιπός ὁ ΒΓ πρός ὁ αὐτός ὁ ΒΓ πάλιν λόγος ἔχω δίδωμι . δύναμαι γάρ αὐτός ἴσος πορίζω ὁ ἴσος λόγος , ὡς ἐν ὁ ὅρος . 49 . Λόγος ἄρα λοιπός p . 18 , 22 ] δίδωμι γάρ ὁ ΕΓ διά ὁ Δ΄ θεώρημα . καί ἐπεί δίδωμι ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΑΕ , καί ὁ πρός ἀλλήλων λόγος αὐτός δίδωμι διά ὁ Α΄ · ὥστε καί ὁ ΑΓ πρός ΓΕ · ἀλλά ὁ ΑΓ πρός ΓΒ · καί ὁ ΒΓ ἄρα πρός ΓΕ . 50 . Μδετὰ ὁ ἑξῆς p . 20 , 2 ] τουτέστι μετά ὁ ΒΕ , πρός ὅς ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι . 51 . πρός ὅς ὁ ΒΓ , τουτέστι πρός ὁ ΒΕ . 52 . ὁ γάρ ΒΓ πρός ὁ ΒΕ λόγος ἔχω δίδωμι · ὁ οὖν ΑΒ μετά ὁ ΒΕ . δίδωμι εἰμί , ὅλος ὁ ΑΕ .