scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-scholia-vetera scholia.63
147 . Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p . 140 , 4 ] ὅτι δέ , ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι , καὶ συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον , ἰσογώνια ἔσονται τὰ παραλληλόγραμμα . ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ , ∠Β , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον · λέγω , ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΒ , ΓΘ παραλληλόγραμμα . ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί εἰσιν αἱ Α∠ , ΓΒ , ΚΘ , ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΘ , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑ∠ , ὥστε ἰσο - γώνιά εἰσιν . 148 . Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p . 140 , 8 ] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν ∠ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο - μένον . ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον , τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ . 149 . P . 140 , 8—9 ] πόθεν , ὅτι ἡ ΑΓ πρὺς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον ; δείξομεν οὕτως · ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ , ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον . μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δύνατον , ἡ ΑΓ πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν ∠ λόγον ἐχέτω δεδομένον . καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , ἡ ΖΕ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον , ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ∠ · ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ · ἴση ἄρα ἡ ∠ τῃ ΓΚ . ἔχει δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον δεδομένον · καὶ πρὸς τὴν ΓΚ ἄρα ἴσην αὐτῇ οὖσαν λόγον ἔχει δεδομένον . 150 . Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον , οἷον πρὸς τὴν ∠ , πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν , ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ∠ . ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον ἔχει δεδομένον · ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον . 151 . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p . 140 , 22 ] δεικτέον δὲ οὕτως . ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠ , πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο - θέντα , ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠ , πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα . καὶ ἁρ - μόσει ἡ προτέρα κατασκευή · καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως δεικτέον . 152 . Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου p . 142 , 1–2 ] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ , ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ , Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον , ὡς πρὸς τὴν ΛΓ , διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογ΄ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς . 153 . Μὴ ἀντιστρέψῃς · οὐ γὰρ ἀληθές .
Lemmas: 147 . εἰμί δέ καί ἰσογώνιος p . 140 , 4 ] ὅτι δέ , ἐάν παραλληλόγραμμος δύο πλευρά ἐκβάλλω , καί συμπληρόω παραλληλόγραμμος , ἰσογώνιος εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος . ἵστημι παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΓ , ∠Β , καί συμπληρόω ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος · λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΘ παραλληλόγραμμος . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ Α∠ , ΓΒ , ΚΘ , ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΓΚΘ , ὁ δέ ὑπό ΚΓΒ ὁ ὑπό ΓΑ∠ , ὥστε ἰος - γωνία εἰμί . 148 . πρός ὅς ὁ ΑΓ p . 140 , 8 ] ὁ ΑΓ λόγος χάρις πρός ὁ ∠ ἢ πρός οἷος δή ποτός τις λόγος ἔχω δίδωμι - μένω . ὡς ἄρα ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΚ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι , τουτέστι Β πρός ὁ ΓΚ . 149 . P . 140 , 8—9 ] πόθεν , ὅτι ὁ ΑΓ πρύος ὁ ΓΚ λόγος ἔχω δίδωμι ; δείκνυμι οὕτως · ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί καί ἰσογώνιος ὁ ΕΗ ὁ ΓΘ , εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , ὁ ΖΕ πρός ΓΚ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ πρός ΓΚ λόγος ἔχω δίδωμι . μή γάρ , ἀλλά , εἰμί δύο , ὁ ΑΓ πρός ἄλλος τις ὁ ∠ λόγος ἔχω δίδωμι . καί ἐπεί ὑπόκειμαι ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , ὁ ΖΕ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι , ὡς ἄρα ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ∠ · εἰμί δέ καί , ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , ὁ ΖΕ πρός ΓΚ · ἴσος ἄρα ὁ ∠ πῃ ΓΚ . ἔχω δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ∠ λόγος δίδωμι · καί πρός ὁ ΓΚ ἄρα ἴσος αὐτός εἰμί λόγος ἔχω δίδωμι . 150 . ἐπεί συνάγω ὡς ὁ ΕΖ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι , οἷος πρός ὁ ∠ , πρός ὁ δέ ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί , ἴσος ἄρα ὁ ΓΚ ὁ ∠ . ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ∠ λόγος ἔχω δίδωμι · ὥστε ὁ ΑΓ καί πρός ὁ ΓΚ λόγος ἔχω δίδωμι . 151 . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ p . 140 , 22 ] δεικτέος δέ οὕτως . ἐπεί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ∠ , πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δο - θέω , εἰμί καί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ∠ , πρός ὅς ὁ ΓΛ λόγος ἔχω δίδωμι . καί ἄρα - μόσει ὁ πρότερος κατασκευή · καί ὁ ἑξῆς δέ οὕτως δεικτέος . 152 . Λόγος ἄρα ὁ ΓΜ παραλληλόγραμμος p . 142 , 1–2 ] ἐπεί γάρ ὁ ΓΜ , ΕΗ περί ἴσος γωνία ὁ πρός ὁ Γ , Ζ ὁ πλευρά οὕτως ἔχω , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι , ὡς πρός ὁ ΛΓ , διά ὁ νῦν ἄρα δείκνυμι ὁ ὅς ὁ πρῶτος λόγος ὁ ΓΜ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι . 153 . μή ἀντιστρέφω · οὖον γάρ ἀληθής .