scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-data-et-catoptrica-scholia-vetera 1
Scholia codicis Vat . Gr . 1038 fol . 129 sub fine Datorum in mg . inferiore . α α α α α α α α α α α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι δυαδικαὶ συζυγίαι α γ ϛ ι ιε κα κη λϚ με τριαδικαὶ συζυγίαι α δ ι1 ) κ λε νς πδ ρκ α ε ιε λε ο ρκς σι α Ϛ κα νϚ ρκϚ σνβ α ζ κη πδ σι α η λϚ ρκ α θ με αι α Ὅρων δοθέντων ὁποσαοῦν εὑρεῖν δυαδικὰς συζυγίας . εὑρίσκομεν δὲ αὐτὰς οὕτως · λαμβάνομεν τῶν δοθέντων ὅρων ῑ ἀριθμὸν μονάδι ἐλάττονα καὶ πολυπλασιάζομεν αὐτὸν εἰς τὸν ἐγγὺς αὐτοῦ μονάδι μείζονα καὶ ἐκ τοῦ γενομένου ποσοῦ λαμβάνομεν τὸ ἥμισυ · καὶ ἔχομεν αὐτὴν εὕρεσιν τῶν δοθέντων ὅρων δυαδικὰς συζυγίας . τὰς δὲ τριαδικὰς οὕτως · λαμβάνομεν τὸν δυάδι ἐλάσσονα ἀριθμὸν τοῦ ποσοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς δοθέντων ὅρων καὶ πολλαπλασιάζομεν ἐπὶ τὸ ποσὸν τὸ γεγονὸς ἐκ τῶν δυαδικῶν συζυγιῶν ἐκ τοῦ ποσοῦ τῶν δοθέντων ἐξ ἀρχῆς ὄρων καὶ τοῦ γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ λαμβάνομεν τὸ τρίτον μέρος · καὶ ἔχομεν τριαδικὰς συζυγίας . καὶ ἑξῆς ὁμοίως . Μέθοδος εἰς τοὺς τριγωνικοὺς ἀριθμούς . δοθείσης πλευρᾶς εὑρεῖν τὸ πλῆθος τῶν μονάδων τοῦ ἐμβαδοῦ . ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν ζ · ταύτης τὸ ἥμισυ γίνεται γ ἥμισυ . πρόσθες καθόλου τὸ ἥμισυ · γίνεται δ . τετράκις τὸ ζ γίνεται κη . πάλιν ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν η · ὧν τὸ ἥμισυ δ . πρόσθες ἥμισυ · γίνεται δ ?? . ἐπὶ τὸ η γένεται λϚ . ὁμοίως ἐπὶ πάντων . μέθοδος ἄλλη χρησιμωτέρα . πᾶς ἀριθμὸς διαιρεθεὶς εἰς δύο ἀριθμούς , ὥστε μονάδι ἀλλήλων διαφέρειν τὰ τμήματα , ἐὰν πολλαπλασιασθῇ ἐφ᾿ ὁποιονοῦν , ὁ ὅλος τριγωνικὸς ἔσται · πλευρὰ δὲ ἔσται τοῦ μὲν μείζονος τριγώνου ὁ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμός , τοῦ δὲ ἐλάττονος ὁ μονάδι ἐλάσσων αὐτοῦ · οἷον ὁ θ διαιρεῖται εἰς δ καὶ ε · γίνεται οὖν λϚ , με · πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὁ η , τοῦ δὲ ὁ θ . πάλιν ὁ ιβ εἰς ε ἥμισυ καὶ ϛ ἥμισυ · γίνεται ξϚ , οη · πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὁ ια , τοῦ δὲ ὁ ιβ . Scholium codicis Vaticani Gr . 204 fol . 134v ad Euclidis Catoptrica prop . I . Δῆλον τοῦτό ἐστι μάλιστα ἀπὸ τῶν ἡλιακῶν ἀκτίνων . ἐὰν γὰρ ἐν σταθερᾷ μεσημβρίᾳ τοῦ ἡλίου φλογῶδες ἐλλάμποντος ὕδωρ τις ἐν πινακίσκῳ βαλὼν ἔγγιον αὐτὸ θῇ τοίχου τινός , κατ᾿ ἐκεῖνο δηλονότι τὸ μέρος , ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὰς ἀκτῖνας ἀφίησιν , αὐτίκα γενήσονται παλμοί τινες ἐπὶ τὸν τοῖχον ἀπὸ τοῦ ὕδατος , ὡς ὁρᾶσθαι τὰς ἀκτῖνας παλλομένας τοῦ ἡλίου ἐπὶ τὸν τοῖχον καὶ οἷον ὑποτρεμούσας , ὅπερ ἐστὶν ἡ λεγομένη ἀντανάκλασις . καὶ εἴγε ἦν αἰσθητικώτερον ἰδεῖν τὴν ἀκτῖνα , καθάπερ ξύλον ἢ λίθον ἢ ἄλλο τι σῶμα τοιοῦτον , εἶδες ἂν τὴν ἀπὸ ταύτης ἐπὶ τὴν ἀνακλωμένην εὐθεῖαν ἐπίζευγνυμένην γραμμὴν πρὸς ἴσας γωνίας οὖσαν ἑκατέραις καὶ διάνδιχα ταύτας μερίζουσαν . ἐπεὶ τοίνυν , ὅπερ ἐστὶν ἥλιος ἐν κόσμῳ , τοῦτο ἐν σώματι ὀφθαλμός , τὸ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τούτου γενήσεται , ὅπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου , ὅταν θεωρῇ διά τινος σώματος καθαρωτάτου καὶ διαφανοῦς , οἷον τὸ τῆς ὑέλλου . ὑποστήσεται γάρ τινα παλμὸν ἡ ἀπὸ τοῦ ὀφθαλμοῦ ἐπὶ τὴν ὕελλον ἀποχεομένη ἀκτὶς καὶ γωνίαν τὴν αὐτὴν ποιήσει πρὸς τῷ ἐνόπτρῳ , οἵαν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς αὐτό . δῆλον , ὅτι , εἰ μὲν πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἐστὶν αὐτὴ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος , αὐτὴ δἰ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται , εἰ δὲ πρὸς ἀμβλείας , ἔσται ἀναλόγως καὶ ἡ ἀντανακλωμένη αὐτὴ ἰσογώνιος αὐτῇ , τουτέστιν ἴσην ἔχουσα τὴν πρὸς τῇ κατὰ τὸ ἔνοπτρον συναφῇ γωνίαν τῇ ἀπὸ τῆς τοῦ ὄμματος ἀκτῖνος πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ , καὶ τοῦτό ἐστιν , ὅπερ φησὶν Εὐκλείδης , ὅτι ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται .
Lemmas: Scholia codicis Vat . Gr . 1038 fol . 129 sub fine Datorum in mg . inferiore . α α α α α α α α α α α β γ δ ε Ϛ ζ η̅ θ Ι δυαδικός συζυγία α γ ϛ Ι ιος ἄν καί λϚʹ ἐγώ τριαδικός συζυγία α δ ἔρχομαι ) κ λαός νς πδʹ ρκʹ α ε ιος λαός ὁ ρκς βρόχος α Ϛ ἄν νϚʹ ρκϚʹ σνβʹ α ζ καί πδʹ βρόχος α η̅ λϚ ρκʹ α θ ἐγώ ὁ α Ὅρος δίδωμι ὁποσοσοῦν εὑρίσκω δυαδικός συζυγία . εὑρίσκω δέ αὐτός οὕτως · λαμβάνω ὁ δίδωμι ὅρος ιʹ ἀριθμός μόνος μικρός καί πολυπλασιάζω αὐτός εἰς ὁ ἐγγύς αὐτός μόνος μέγας καί ἐκ ὁ γίγνομαι ποσός λαμβάνω ὁ μισός · καί ἔχω αὐτός εὕρεσις ὁ δίδωμι ὅρος δυαδικός συζυγία . ὁ δέ τριαδικός οὕτως · λαμβάνω ὁ δυάς μικρός ἀριθμός ὁ ποσός ὁ ἐκ ἀρχή δίδωμι ὅρος καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ποσός ὁ γίγνομαι ἐκ ὁ δυαδικός συζυγία ἐκ ὁ ποσός ὁ δίδωμι ἐκ ἀρχή ὄρον καί ὁ γίγνομαι πολλαπλασιασμός λαμβάνω ὁ τρίτος μέρος · καί ἔχω τριαδικός συζυγία . καί ἑξῆς ὅμοιος . μέθοδος εἰς ὁ τριγωνικός ἀριθμός . δίδωμι πλευρά εὑρίσκω ὁ πλῆθος ὁ μόνος ὁ ἐμβαδός . εἰμί ὁ πλευρά μοῖρα ζʹ · οὗτος ὁ μισός γίγνομαι γ μισός . προστίθημι καθόλου ὁ μισός · γίγνομαι δ . τετράκις ὁ ζ γίγνομαι καί . πάλιν εἰμί ὁ πλευρά μοῖρα η̅ · ὅς ὁ μισός δ . προστίθημι μισός · γίγνομαι δ ?? . ἐπί ὁ η̅ γενέτης λϚʹ . ὅμοιος ἐπί πᾶς . μέθοδος ἄλλος χρήσιμος . πᾶς ἀριθμός διαιρέω εἰς δύο ἀριθμός , ὥστε μόνος ἀλλήλων διαφέρω ὁ τμῆμα , ἐάν πολλαπλασιάζω ἐπί ὁποῖος , ὁ ὅλος τριγωνικός εἰμί · πλευρά δέ εἰμί ὁ μέν μέγας τρίγωνον ὁ ἐκ ἀρχή ἀριθμός , ὁ δέ μικρός ὁ μόνος μικρός αὐτός · οἷος ὁ θ διαιρέω εἰς δ καί ε · γίγνομαι οὖν λϚʹ , ἐγώ · πλευρά δέ ὁ μέν ὁ η̅ , ὁ δέ ὁ θ . πάλιν ὁ Ἶβ εἰς ε μισός καί ϛ μισός · γίγνομαι ξϛʹ , οηʹ · πλευρά δέ ὁ μέν ὁ ἰά , ὁ δέ ὁ ιβʹ . Scholium codicis Vaticani Gr . 204 fol . 134v ad Euclidis Catoptrica prop . I . Δῆλος τούτος εἰμί μάλιστα ἀπό ὁ ἡλιακός ἀκτίς . ἐάν γάρ ἐν σταθερός μεσημβρία ὁ ἥλιος φλογώδης ἐλλάμπω ὕδωρ τις ἐν πινακίσκος βάλλω ἐγγίων αὐτός τίθημι τοῖχος τις , κατά ἐκεῖνος δηλονότι ὁ μέρος , ἐν ὅς ὁ ἥλιος ὁ ἀκτίς ἀφίημι , αὐτίκα γίγνομαι παλμός τις ἐπί ὁ τοῖχος ἀπό ὁ ὕδωρ , ὡς ὁράω ὁ ἀκτίς πάλλω ὁ ἥλιος ἐπί ὁ τοῖχος καί οἷος ὑποτρέμω , ὅς εἰμί ὁ λέγω ἀντανάκλασις . καί εἰ εἰμί αἰσθητικός ὁράω ὁ ἀκτίς , καθά ξύλον ἢ λίθος ἢ ἄλλος τίς σῶμα τοιοῦτος , ὁράω ἄν ὁ ἀπό οὗτος ἐπί ὁ ἀνακλάω εὐθύς ἐπιζεύγνυμι γραμμή πρός ἴσος γωνία εἰμί ἑκάτερος καί διάνδιχα αὐτός μερίζω . ἐπεί τοίνυν , ὅς εἰμί ἥλιος ἐν κόσμος , οὗτος ἐν σῶμα ὀφθαλμός , ὁ αὐτός καί ἐπί οὗτος γίγνομαι , ὅς καί ἐπί ὁ ἥλιος , ὅταν θεωρέω διά τις σῶμα καθαρός καί διαφανής , οἷος ὁ ὁ ὕαλος . ὑφίστημι γάρ τις παλμός ὁ ἀπό ὁ ὀφθαλμός ἐπί ὁ ὕλλος ἀποχέω ἀκτίς καί γωνία ὁ αὐτός ποιέω πρός ὁ ἔνοπτρον , οἷος ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός αὐτός . δῆλος , ὅτι , εἰμί μέν πρός ὀρθός γωνία εἰμί αὐτός ὁ ἀπό ὁ ὄμμα , αὐτός διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω , εἰμί δέ πρός ἀμβλύς , εἰμί ἀνάλογος καί ὁ ἀντανακλάω αὐτός ἰσογώνιος αὐτός , τουτέστι ἴσος ἔχω ὁ πρός ὁ κατά ὁ ἔνοπτρον συναφή γωνία ὁ ἀπό ὁ ὁ ὄμμα ἀκτίς πρός ὁ αὐτός σημεῖον , καί τούτος εἰμί , ὅς φημί Εὐκλείδης , ὅτι ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον καί κυρτός καί κοῖλος ὁ ὄψις ἐν ἴσος γωνία ἀνακλάω .