ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 1
1 . Θεωρουμένου τινὸς ὕψους p . 286 , ἢ πάλιν ἑτέρου τινὸς σώματος πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἱσταμένου τῷ ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ καὶ τὸ ἔνοπτρον κεῖται .
Lemmas: 1 . θεωρέω τις ὕψος p . 286 , ἢ πάλιν ἕτερος τις σῶμα πρός ὀρθός γωνία ἵστημι ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς καί ὁ ἔνοπτρον κεῖμαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 2
2 . Τῆς σφαίρας p . 286 , εἶπε δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ οὐ τὸ κέντρον τοῦ ἐνόπτρου , ἐπειδὴ σφαιροειδές ἐστι τὸ κυρτὸν ἔνοπτρον . ὥσπερ οὖν ἐπὶ τῆς σφαίρας ἔχει , ὅτι , ὅθεν ἂν νοήσῃ τις ἐπʼ αὐτὴν ἐκβαλλόμενόν τι βάρος ἀπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ἐκεῖνο τὸ βάρος διὰ τοῦ κέντρου ἐλεύσεται · νεύσει γὰρ ἀεὶ φυσικῶς πρὸς τὸ μέσον , καθὰ καὶ τῷ Θεοδοσίῳ ἀποδέδεικται ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς · οὕτω δὴ καὶ ἐπὶ τοῦ σφαιροειδοῦς ἐνόπτρου ἐὰν πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀπό τινος ὁρωμένου ἀφεθῇ τις εὐθεῖα , πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ἐνόπτρου πεσεῖται .
Lemmas: 2 . Τά σφαῖρα p . 286 , λέγω δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί οὐ ὁ κέντρον ὁ ἔνοπτρον , ἐπεί σφαιροειδής εἰμί ὁ κυρτός ἔνοπτρον . ὥσπερ οὖν ἐπί ὁ σφαῖρα ἔχω , ὅτι , ὅθεν ἄν νοέω τις ἐπί αὐτός ἐκβάλλω τίς βάρος ἀπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ἐκεῖνος ὁ βάρος διά ὁ κέντρον ἔρχομαι · νέος γάρ ἀεί φυσικός πρός ὁ μέσος , καθά καί ὁ Θεοδόσιος ἀποδείκνυμι ἐν ὁ Σφαιρικός · οὕτως δή καί ἐπί ὁ σφαιροειδής ἔνοπτρον ἐάν πρός ὀρθός γωνία ἀπό τις ὁράω ἀφίημι τις εὐθύς , πρός ὁ κέντρον ὁ ἔνοπτρον πίπτω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 3
3 . Οὐκέτι ὁρᾶται p . 286 , οὐκοῦν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατʼ ἐκεῖνο τὸ μέρος , καθʼ ὃ σύμπτωσις γίνεται ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου καθέτου , ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τὸ ∠ τὸ ὁρώμενον ἔξω δοκεῖ ἔσω ὁρᾶσθαι ἐν τῷ ἐσόπτρῳ κατὰ τὴν σύμπτωσιν .
Lemmas: 3 . οὐκέτι ὁράω p . 286 , οὐκοῦν ἐν ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω ὁράω κατά ἐκεῖνος ὁ μέρος , κατά ὁ σύμπτωσις γίγνομαι ἐκβάλλω ὁ τε ὄψις καί ὁ ἀπό ὁ ὁράω κάθετος , ὥσπερ ἐπί ὁ υποκείμενος ὑπόδειγμα ὁ ∠ ὁ ὁράω ἔξω δοκέω ἔσω ὁράω ἐν ὁ ἔσοπτρος κατά ὁ σύμπτωσις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 4
4 . Τοῦ Ε καταληφθέντοςοὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον , ὃ κατὰ μὲν τὸ ἀληθὲς ἔξω ὁρᾶται τὸ ∠ , δοκοῦν δὲ ὁρᾶσθαι πρὸς τῇ συμπτώσει .
Lemmas: 4 . Τοῦ Ε καταλαμβάνω ὁράω ὁ ὁράω , ὁ κατά μέν ὁ ἀληθής ἔξω ὁράω ὁ ∠ , δοκέω δέ ὁράω πρός ὁ σύμπτωσις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 5
5 . Τοῦ Ε καταληφθέντος οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον , ὅ ἐστι τὸ ∠ , ὃ κατὰ μὲν τὸ ἀληθὲς ὁρᾶται πρὸς τῷ τόπῳ τῷ ἀντικρὺ τοῦ Β , φαινόμενον δὲ πρὸς τῇ συμπτώσει .
Lemmas: 5 . Τοῦ Ε καταλαμβάνω οὐκέτι ὁράω ὁ ὁράω , ὁ εἰμί ὁ ∠ , ὁ κατά μέν ὁ ἀληθής ὁράω πρός ὁ τόπος ὁ ἀντικρύ ὁ Β , φαίνω δέ πρός ὁ σύμπτωσις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 6
6 . Οὐκέτι ὁρᾶται p . 286 , οὐκοῦν ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατʼ ἐκεῖνο τὸ μέρος , καθʼ ὃ σύμπτωσις γίνεται ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένης εὐθείας .
Lemmas: 6 . οὐκέτι ὁράω p . 286 , οὐκοῦν ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω ὁράω κατά ἐκεῖνος ὁ μέρος , κατά ὁ σύμπτωσις γίγνομαι ἐκβάλλω ὁ τε ὄψις καί ὁ ἀπό ὁ ὁράω ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 7
7 . Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης οὕτω λέγει , ὅτι ἡ γωνία τῇ Ε ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων ἢ μείζων . ἔστω πρότερον μείζων ἡ τῆς Ε ἐλάττων ἄρα ἡ Ε . ὑποκείσθω οὖν πάλιν ὄμμα τὸ ∠ , καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πάλιν ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ ὁρώμενον τὸ Β . ἔσται ἄρα ἡ Ε γωνία μείζων τῆς Ζ . ἦν δὲ καὶ ἐλάττων · ὅπερ ἄτοπον .
Lemmas: 7 . ὁ δέ Ἀρχιμήδης οὕτως λέγω , ὅτι ὁ γωνία ὁ Ε ἢ ἴσος εἰμί ἢ μικρός ἢ μέγας . εἰμί πρότερος μέγας ὁ ὁ Ε μικρός ἄρα ὁ Ε . ὑπόκειμαι οὖν πάλιν ὄμμα ὁ ∠ , καί ἀπό ὁ ὄμμα πάλιν ἀνακλάω ἐπί ὁ ὁράω ὁ Β . εἰμί ἄρα ὁ Ε γωνία μέγας ὁ Ζ . εἰμί δέ καί μικρός · ὅς ἄτοπος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 8
8 . Ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ p . 288 , ἢ ὅτι ἡ κερατοειδὴς γωνία ἀπάσης ὀξείας γωνίας ἐλάττων ἐστίν , ἢ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὴν ἁρήν , ὅλῃ τῇ ὑπὸ Κ , Λ ἴση ἔσται ἡ τοῦ ἡμικυκλίου τῇ τοῦ ἡμικυκλίου ἴση ἐφαρμοζομένου . λοιπὴ ἄρα ἡ Θ τῇ Λ ἴση .
Lemmas: 8 . ἀλλά καί ὁ Θ ὁ Λ p . 288 , ἢ ὅτι ὁ κερατοειδής γωνία ἀπασάω ὀξύς γωνία μικρός εἰμί , ἢ ἐάν ἀπό ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ ἀρή , ὅλος ὁ ὑπό Κ , Λ ἴσος εἰμί ὁ ὁ ἡμικύκλιον ὁ ὁ ἡμικύκλιον ἴσος ἐφαρμόζω . λοιπός ἄρα ὁ Θ ὁ Λ ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 9
9 . Ἀνίσους p . 290 , ἤγουν ὀξεῖαν καὶ ἀμβλεῖαν , ὅπερ γίνεται πλαγίως εἰσβαλλούσης τῆς ἀκτῖνος .
Lemmas: 9 . Ἀνισοῦς p . 290 , ἤγουν ὀξύς καί ἀμβλύς , ὅς γίγνομαι πλάγιος εἰσβάλλω ὁ ἀκτίς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 10
10> Ἐπεὶ οὖν ἡ Θ τῆς Μ μείζων , κοινὴ προσκείσθω ἡ Κ , Λ . δύο ἄρα αἱ Θ , Κ , Λ δύο τῶν Κ , Λ , Μ μείζους . αἱ δὲ Κ , Λ , Μ δύο ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ Θ , Κ , Λ ἄρα δύο ὀρθῶν μείζους . τὰς δὲ ἀπʼ ἐλαττόνων ἢ δυεῖν ὀρθῶν συμπίπτειν .
Lemmas: 10> ἐπεί οὖν ὁ Θ ὁ Μ μέγας , κοινός πρόσκειμαι ὁ Κ , Λ . δύο ἄρα ὁ Θ , Κ , Λ δύο ὁ Κ , Λ , Μ μέγας . ὁ δέ Κ , Λ , Μ δύο ὀρθός ἴσος · ὁ Θ , Κ , Λ ἄρα δύο ὀρθός μέγας . ὁ δέ ἀπό μικρός ἢ δύο ὀρθός συμπίπτω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 11
11> Σχόλιον . ἐπειδὴ γάρ , ὅση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον εὐθεῖα , τοσαύτη ἐστὶ καὶ ἡ ἀντανακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου πρὸς ἴσας γωνίας αὐτῇ διὰ τὸν ὅρον , ἔστι διὰ τοῦτο ἡ μὲν ΒΓ τῇ Γ∠ ἴση , ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΑΕ , ἐπειδὴ τὸ ὄμμα πρὸς τῷ Β ἐστιν . ἄνισος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ ἄνισος ἄρα καὶ ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ . οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται διὰ τοῦτο διὰ τὸ τὴν μὲν μείζονα εἶναι , τὴν δὲ ἐλάττονα . οὐδὲ ἐξέσται αὐξῆσαι τὴν Γ∠ καὶ ἀγαγεῖν ἕως τοῦ Ε · τοσαύτη γὰρ εἶναι ὀφείλει , ὅσηπερ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἡ ἀκτίς , τοσαύτης δὲ αὐτῆς ὑποκειμένης πρὸς τὴν ΑΕ οὐ γενήσεται σύμπτωσις .
Lemmas: 11> σχόλιον . ἐπεί γάρ , ὅσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ἔνοπτρον εὐθύς , τοσοῦτος εἰμί καί ὁ ἀντανακλάω ἀπό ὁ ἔνοπτρον πρός ἴσος γωνία αὐτός διά ὁ ὅρος , εἰμί διά οὗτος ὁ μέν ΒΓ ὁ Γ∠ ἴσος , ὁ δέ ΒΑ ὁ ΑΕ , ἐπεί ὁ ὄμμα πρός ὁ Β εἰμί . ἄνισος δέ ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ ἄνισος ἄρα καί ὁ Γ∠ ὁ ΑΕ . οὐ ἄρα συμπίπτω διά οὗτος διά ὁ ὁ μέν μέγας ἔρχομαι , ὁ δέ μικρός . οὐδέ ἔξεστι αὐξάνω ὁ Γ∠ καί ἄγω ἠώς ὁ Ε · τοσοῦτος γάρ ἔρχομαι ὀφείλω , ὅσηπερ καί ὁ ΒΓ εὐθύς ὁ ἀκτίς , τοσοῦτος δέ αὐτηες͂ς ὑπόκειμαι πρός ὁ ΑΕ οὐ γίγνομαι σύμπτωσις .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 12
12 . Ἴσαι ἄρα εἰσίν p . 294 , κατὰ τὸ ἐφαρμόζεσθαι τὰ ἡμικύκλια .
Lemmas: 12 . Ἴσαι ἄρα εἰμί p . 294 , κατά ὁ ἐφαρμόζω ὁ ἡμικύκλιον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 13
13 . Μείζων ἡ Ζ γωνία p . 296 , ἐπειδὴ παντὸς κύκλου τμήματος αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσίν · οἷον τμήματος τοῦ ΑΒΓ ἐὰν τέμνωμεν δίχα τὴν ΑΒ οἷον κατὰ τὸ Ν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀναστήσωμεν τὴν ΝΓ , ἐφαρμόζουσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ , Β γωνίαι , καὶ κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον καὶ ἴσαι ἔσονται , ἐπειδὴ καὶ τὸ ΓΝΒ ἐφαρμόζει τῷ ΓΝΑ . διὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ τοῦ ΓΒ τμήματος γωνίαι ἴσαι εἰσίν . ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒΡ , μείζων καὶ ἡ Ζ τῆς Θ · ἴση γὰρ ἡ μὲν Ζ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ γωνίᾳ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΡ τῇ πρὸς τῷ Γ . καὶ ταῦτα μὲν ὡς ἐπὶ τοῦ ῥητοῦ . ὅτι δὲ καθόλου ἡ τοῦ μείζονος τμήματος γωνία οἷον ὡς ἡ ὑπὸ Γ∠Ζ μείζων ἐστὶν τῆς τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΖΘ , δείξωμεν οὕτως · ἔστω γὰρ ἡ ὑποκειμένη καταγραφὴ κέντρου ὄντος τοῦ Η . ἐπεὶ οὖν αἱ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσὶν κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον , ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Θ τῇ ὑπὸ ΛΖΘ , ὧν ἡ ὑπὸ Κ∠Γ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΛΖΕ · ἐπὶ ἐλάττονος γὰρ περιφερείας βέβηκεν τῆς ΓΚ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Γ∠Θ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΖΘ . ὅπου γίνεται γὰρ τὸ ἔλαττον , ἐκεῖ τὸ μεῖζον . ο ) . ἔστι δὲ αὐτόθεν ἐκ τοῦ ἐν τῷ γʹ Εὐκλείδου · ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ καὶ τὰ ἐξῆς .
Lemmas: 13 . μείζων ὁ Ζ γωνία p . 296 , ἐπεί πᾶς κύκλος τμῆμα ὁ γωνία ἴσος εἰμί · οἷος τμῆμα ὁ ΑΒΓ ἐάν τέμνω δίχα ὁ ΑΒ οἷος κατά ὁ Ν καί πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΝΓ , ἐφαρμόζω ὁ πρός ὁ Ζ , Β γωνία , καί κατά ὁ ὁ ἐφαρμόζω λόγος καί ἴσος εἰμί , ἐπεί καί ὁ ΓΝΒ ἐφαρμόζω ὁ ΓΝΑ . διά ὁ αὐτός καί ὁ ὁ ΓΒ τμῆμα γωνία ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΖΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΓΒΡ , μέγας καί ὁ Ζ ὁ Θ · ἴσος γάρ ὁ μέν Ζ ὁ ὑπό ΖΒΓ γωνία , ὁ δέ ὑπό ΓΒΡ ὁ πρός ὁ Γ . καί οὗτος μέν ὡς ἐπί ὁ ῥητός . ὅτι δέ καθόλου ὁ ὁ μέγας τμῆμα γωνία οἷος ὡς ὁ ὑπό Γ∠Ζ μέγας εἰμί ὁ ὁ μικρός τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΕΖΘ , δείκνυμι οὕτως · εἰμί γάρ ὁ ὑπόκειμαι καταγραφή κέντρον εἰμί ὁ ὁ . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ἡμικύκλιον γωνία ἴσος εἰμί κατά ὁ ὁ ἐφαρμόζω λόγος , ἴσος ὁ ὑπό Κ∠Θ ὁ ὑπό ΛΖΘ , ὅς ὁ ὑπό Κ∠Γ μικρός εἰμί ὁ ὑπό ΕΖ · ἐπί μικρός γάρ περιφέρεια βαίνω ὁ ΓΚ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Γ∠Θ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΘ . ὅπου γίγνομαι γάρ ὁ μικρός , ἐκεῖ ὁ μείζων . ὁ ) . εἰμί δέ αὐτόθεν ἐκ ὁ ἐν ὁ γε Εὐκλείδης · ἐν κύκλος ὁ μέν ἐν ὁ ἡμικύκλιον καί ὁ ἑξῆς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 14
14 . Τοῦ γὰρ μείζονος τμήματος ἡ γωνία . καὶ πάλιν ἐὰν τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὰ Γ , Α , κατὰ τὰ αὐτὰ ἔσται .
Lemmas: 14 . Τοῦ γάρ μέγας τμῆμα ὁ γωνία . καί πάλιν ἐάν ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Γ , Α , κατά ὁ αὐτός εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 15
15 . Αἱ ἄρα Ζ , p . 296 , 1 ) ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Α καὶ Γ ἐπιζεύξωμεν , αἱ γινόμεναι πρὸς τῷ Α τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαι , τουτέστιν αἱ γ ἅμα αἱ Η , Λ , Ζ , ταῖς γινομέναις πρὸς τῷ Γ τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαις , τουτέστιν ταῖς τρισὶν ἅμα ταῖς Κ , Μ , Θ , ἴσαι εἰσίν · ὧν αἱ Η , Ζ μείζονες ἐδείχθησαν τῶν Κ , Θ · λοιπὴ ἄρα ἡ Λ λοιπῆς τῆς Μ ἐλάττων ἐστίν · ὅπου γὰρ τὸ μεῖζον , ἐκεῖ τὸ ἔλαττον .
Lemmas: 15 . ὁ ἄρα Ζ , p . 296 , 1 ) ἐάν γάρ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ Α καί Γ ἐπιζεύγνυμι , ὁ γίγνομαι πρός ὁ Α ὁ ἡμικύκλιον δύο γωνία , τουτέστι ὁ γ ἅμα ὁ ὁ , Λ , Ζ , ὁ γίγνομαι πρός ὁ Γ ὁ ἡμικύκλιον δύο γωνία , τουτέστι ὁ τρεῖς ἅμα ὁ Κ , Μ , Θ , ἴσος εἰμί · ὅς ὁ ὁ , Ζ μέγας δείκνυμι ὁ Κ , Θ · λοιπός ἄρα ὁ Λ λοιπός ὁ Μ μικρός εἰμί · ὅπου γάρ ὁ μέγας , ἐκεῖ ὁ μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 16
16 . Ἡ δὲ Π τῆς Ο p . 298 , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὰ Α , Γ , ὡς ἐν τῷ σχολίῳ τοῦ πρὸ αὐτοῦ .
Lemmas: 16 . ὁ δέ Π ὁ ὁ p . 298 , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ Α , Γ , ὡς ἐν ὁ σχόλιον ὁ πρό αὐτός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 17
17 . Φανερὸν δέ p . 298 , ἐπεὶ γὰρ ἴσης οὔσης τῆς ΑΘ τῇ ΓΚ ἴση ἐδείχθη καὶ ἡ Π τῇ Ο , μείζονος δὲ οὔσης τῆς Α τῆς ΓΚ ἐλάσσων ἐδείχθη ἡ Ο τῆς Π , ἐὰν ἡ σύμπτωσις ἐπὶ τῆς περιφερείας γένηται ὡς κατὰ τὸ Σ , ἴση ἔσται ἡ ΣΘ τῇ ΣΚ ἢ ἐλάττων ἡ ΣΘ τῆς ΕΚ · αἱ γὰρ γωνίαι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν ταῖς περιφερείαις , ὡς ἐν τῷ Ϛ΄ τῶν στοιχείων · ὅπερ ἀδύνατον . πολλῷ δὲ πλέον οὐδὲ ἐκτὸς συμπεσοῦνται ὡς ἐπὶ τῆς βʹ καταγραφῆς · πολλῷ γὰρ τὸ ἀδύνατον .
Lemmas: 17 . Φανερός δέ p . 298 , ἐπεί γάρ ἴσος σέω ὁ ΑΘ ὁ ΓΚ ἴσος δείκνυμι καί ὁ Π ὁ ὁ , μέγας δέ σέω ὁ Α ὁ ΓΚ μικρός δείκνυμι ὁ ὁ ὁ Π , ἐάν ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ περιφέρεια γίγνομαι ὡς κατά ὁ Σ , ἴσος εἰμί ὁ ΣΘ ὁ ΣΚ ἢ μικρός ὁ ΣΘ ὁ ΕΚ · ὁ γάρ γωνία ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ περιφέρεια , ὡς ἐν ὁ ΣΤ΄ ὁ στοιχεῖον · ὅς ἀδύνατος . πολύς δέ πλείων οὐδέ ἐκτός συμπίπτω ὡς ἐπί ὁ βε καταγραφή · πολύς γάρ ὁ ἀδύνατος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 18
18 . Αὕτη ἡ καταγραφὴ οὐ κατὰ τὰ ἀποδειχθέντα ἐστὶν ἐκβαλλομένων τῶν ὄψεων καὶ τῶν ὁρωμένων , οὐδὲ ἡ τοῦ βιβλίου , ἀλλὰ αὕτη κατὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις ἐκβαλλομένων τῶν ὄψεων καὶ καθέτων ἀγομένων ἀπὸ τῶν ὁρωμένων καὶ ἐκβαλλομένων , καθὸ ἡ σύμπτωσις γίνεται , ὁρωμένων τῶν ὁρωμένων .
Lemmas: 18 . ἄτη ὁ καταγραφή οὐ κατά ὁ ἀποδείκνυμι εἰμί ἐκβάλλω ὁ ὄψις καί ὁ ὁράω , οὐδέ ὁ ὁ βιβλίο , ἀλλά οὗτος κατά ὁ ἐν ὁ ὅρος ἐκβάλλω ὁ ὄψις καί κάθετος ἄγω ἀπό ὁ ὁράω καί ἐκβάλλω , καθό ὁ σύμπτωσις γίγνομαι , ὁράω ὁ ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 19
19 . Δυνατὸν καί , ὡς ἔχει ἡ καταγραφή , προβῆναι τὴν δεῖξιν . ἐπειδὴ γὰρ ἀνωτέρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΒΓ ἐὰν γὰρ ἄνωθεν διὰ αὐτῶν ἀγάγωμεν κάθετον , τὰ κατὰ τῆς Β Α τὰ ἀνώτερά ἐστι τῆς καθέτου · τὸ ἀπὸ τῆς ἀνωτέρας ὁρώμενον , ὅ ἐστι τὸ ∠ , τὸ ἀνώτερόν ἐστιν .
Lemmas: 19 . δυνατός καί , ὡς ἔχω ὁ καταγραφή , προβαίνω ὁ δεῖξις . ἐπεί γάρ ἀνώτερος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΒΓ ἐάν γάρ ἄνωθεν διά αὐτός ἄγω κάθετος , ὁ κατά ὁ Β Α ὁ ανώτερος εἰμί ὁ καθέτης · ὁ ἀπό ὁ ἀνώτερος ὁράω , ὁ εἰμί ὁ ∠ , ὁ ἀνώτερος εἰμί .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 20
20 . Καὶ τοῦτο ὁμοίως τῷ ἀνωτέραν εἶναι τὴν ΒΑ τῆς ΒΓ . ἐὰν δὲ κατὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις ἐπὶ τῶν κυρτῶν , ὅτε ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἐν αὐτοῖς ὁρᾶται , καθὸ ἡ σύμπτωσις γίνεται ἐκβαλλομένων τῆς ὄψεως καὶ τῆς ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένης , ἄλλως ἔσται ἡ καταγραφή · ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων .
Lemmas: 20 . καί οὗτος ὅμοιος ὁ ἀνώτερος ἔρχομαι ὁ ΒΑ ὁ ΒΓ . ἐάν δέ κατά ὁ ἐν ὁ ὅρος ἐπί ὁ κυρτός , ὅτε ἕκαστος ὁ ὁράω ἐν αὐτός ὁράω , καθό ὁ σύμπτωσις γίγνομαι ἐκβάλλω ὁ ὄψις καί ὁ ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι , ἄλλως εἰμί ὁ καταγραφή · ὅμοιος καί ἐπί ὁ ἄλλος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 21
21 . Κατὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ .
Lemmas: 21 . κατά ὁ σχόλιον ὁ ἐν ὁ ὅς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 22
22 . φθήσεται ἄρα ἐπʼ εὐθείας p . 314 , ἐπειδὴ τὸ Α αὐτὸ οὐχ ὁρᾶται ἐν τῷ ἐσόπτρῳ , ἀλλὰ τὸ εἴδωλον αὐτοῦ , ὃ ἔσω που τῇ νοήσει τοῦ ἐσόπτρου ὁρώμενον κατὰ τὴν σύμπτωσιν ὁρᾶται κατὰ τὸ Ε , ἐπειδή , εἰ ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν αἱ ὁράσεις , τὸ Β ἔσω που τοῦ ἐνόπτρου ὄψεται , εἰ δὲ ἔσω , ἀνάγκη ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἀχθεῖσαν εἰς σύμπτωσιν αὐτῆς φθάσαι , ὡς ἔσται τόπος τοῦ ἔσω δοκοῦντος ἐν τῷ ἐνόπτρῳ φαίνεσθαι .
Lemmas: 22 . φθάνω ἄρα ἐπί εὐθεῖα p . 314 , ἐπεί ὁ Α αὐτός οὐ ὁράω ἐν ὁ ἔσοπτρος , ἀλλά ὁ εἴδωλον αὐτός , ὁ ἔσω ποῦ ὁ νόησις ὁ ἔσοπτρος ὁράω κατά ὁ σύμπτωσις ὁράω κατά ὁ Ε , ἐπειδή , εἰμί ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ὅρασις , ὁ Β ἔσω ποῦ ὁ ἔνοπτρον ὁράω , εἰμί δέ ἔσω , ἀνάγκη ἀπό ὁ ὁράω ἄγω εἰς σύμπτωσις αὐτηες͂ς φθάνω , ὡς εἰμί τόπος ὁ ἔσω δοκέω ἐν ὁ ἔνοπτρον φαίνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 23
23 . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστίν p . 316 , διὰ τὸ τὰς μὲν ἀνακλωμένας ἴσας εἶναι , ἐκβληθείσης δὲ τῆς ΘΓ τὰς κατὰ κορυφὴν ἴσας εἶναι .
Lemmas: 23 . καί ἐπεί ἴσος εἰμί p . 316 , διά ὁ ὁ μέν ἀνακλάω ἴσος ἔρχομαι , ἐκβάλλω δέ ὁ ΘΓ ὁ κατά κορυφή ἴσος ἔρχομαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 24
24 . Καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον p . 316 , ἐὰν ἐπιζεύζωμεν ἀπὸ τοῦ Κ καὶ Ε ἐπὶ τὸ Θ , δύο αἱ ΚΖΘ δυσὶν ταῖς ΕΖΘ ἴσαι , καὶ γωνία καὶ γωνίᾳ , ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΘΖ ἴση . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΛΘΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ∠ΘΖ ἴση · ὀρθὴ γὰρ ἐκατέρα · ἐξ ὧν αἱ προρηθεῖσαι ἴσαι , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΘ∠ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση . ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΚΘΛ δυσὶν ταῖς ΕΘΛ ἴσαι , καὶ γωνία γωνίᾳ , καὶ βάσις ἡ ΛΚ βάσει τῇ ∠Ε ἴση .
Lemmas: 24 . καί ἴσος ὁ ὁράω p . 316 , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Κ καί Ε ἐπί ὁ Θ , δύο ὁ ΚΖΘ δύο ὁ ΕΖΘ ἴσος , καί γωνία καί γωνία , ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΚΘΖ ἴσος . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ὑπό ΛΘΖ ὅλος ὁ ὑπό ∠ΘΖ ἴσος · ὀρθός γάρ κατεράω · ἐκ ὅς ὁ προρέω ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΘ∠ λοιπός ὁ ὑπό ΚΘΛ ἴσος . ἐπεί οὖν δύο ὁ ΚΘΛ δύο ὁ ΕΘΛ ἴσος , καί γωνία γωνία , καί βάσις ὁ ΛΚ βάσις ὁ ∠Ε ἴσος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 25
25 . Δίχα ἄν εἴη τετμημένη p . 318 , ἐπεὶ οὖν αἱ διὰ τὴν ἀνάκλασιν ἴσαι , ἐξ ὧν αἱ ἀπολαμβανόμεναι πρὸς τῇ περιφερείᾳ ὑπὸ τῆς ΚΡ ἴσαι διὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΑΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΑΟ ἴση . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΡΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΑΚ ἴση ἐστίν · κατὰ κορυφὴν γάρ · καὶ ἡ ὑπὸ ΟΑΚ ἄρα ἴση τῇ ὑπὸ ΚΑΖ .
Lemmas: 25 . δίχα ἄν εἰμί τετμημένος p . 318 , ἐπεί οὖν ὁ διά ὁ ἀνάκλασις ἴσος , ἐκ ὅς ὁ ἀπολαμβάνω πρός ὁ περιφέρεια ὑπό ὁ ΚΡ ἴσος διά ὁ σχόλιον ὁ ἐν ὁ ὅς , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΡΑΒ λοιπός ὁ ὑπό Καό ἴσος . ἀλλά ὁ ὑπό ΡΑΒ ὁ ὑπό Ζακ ἴσος εἰμί · κατά κορυφή γάρ · καί ὁ ὑπό ΑΚΟ ἄρα ἴσος ὁ ὑπό ΚΑΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 26
26 . Μείζων ἄρα ἡ ΕΚ p . 318 , ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΖΕ , καὶ δίχα τετμήσθω ἡ Α γωνία τῇ ΑΚ , καὶ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΑΚΕ . λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ . ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Α Λ , καὶ περὶ τὸ τρίγωνον τὸ Α Ζ Ε κύκλος περιγεγράφθω , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἡ Α Λ καὶ ἡ ΑΚ . εἴτε δὲ ὀξεῖα εἴη ἡ Ζ εἴτε ὀρθὴ εἴτε ἀμβλεῖα , προβαίνει . ἡ ἀπόδειξις . εἰ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΑΕ τῇ ὑπὸ ΚΑΖ , ἴση καὶ ἡ ΕΝ περιφέρεια · μείζων ἄρα ἡ ΕΜ τῆς ΜΖ . μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΕ τοῦ ἀπὸ ΜΖ , τουτέστι τὰ ἀπὸ Μ Λ , ΛΕ τῶν ἀπὸ Μ Λ , Λ Ζ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ Μ Λ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ ΛΖ μεῖζόν ἐστιν . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΛΑ · τὰ ἄρα ἀπὸ ΕΛ , ΛΑ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΕ , μείζονα τῶν ἀπὸ Λ , ΛΑ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΑ . μείζων ἄρα ἡ ΑΕ εὐθεῖα τῆς ΖΑ εὐθείας . καὶ τέτμηται ἡ Α δίχα τῇ ΑΚ ἐὰν δὲ τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ , τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ . ἐὰν δὲ καὶ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα εἴη ἡ Ζ , αὐτόθεν ἡ ἀπόδειξις · ἐν τριγώνῳ γὰρ τῷ ΑΖΕ ὀρθὴν ἢ ἀμβλεῖαν ἔχοντι τὴν μείζων ἔσται ἡ ΑΕ τῆς ΑΖ . καὶ τέτμηται ἡ Α δίχα τῇ ΑΚ , ἐὰν δὲ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ καὶ τὰ ἑξῆς · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ .
Lemmas: 26 . μείζων ἄρα ὁ ΕΚ p . 318 , εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΖΕ , καί δίχα τέμνω ὁ Α γωνία ὁ ΑΚ , καί εἰμί ἀμβλύς ὁ ὑπό ΑΚΕ . λέγω , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΚΖ . ἄγω γάρ κάθετος ὁ Α Λ , καί περί ὁ τρίγωνον ὁ Α Ζ Ε κύκλος περιγράφω , καί ἐκβάλλω ὁ Α Λ καί ὁ ΑΚ . εἴτε δέ ὀξύς εἰμί ὁ Ζ εἴτε ὀρθός εἴτε ἀμβλύς , προβαίνω . ὁ ἀπόδειξις . εἰμί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΑΕ ὁ ὑπό ΚΑΖ , ἴσος καί ὁ ΕΝ περιφέρεια · μέγας ἄρα ὁ ΕΜ ὁ ΜΖ . μέγας ἄρα καί ὁ ἀπό ΜΕ ὁ ἀπό ΜΖ , τουτέστι ὁ ἀπό Μ Λ , ΛΕ ὁ ἀπό Μ Λ , Λ Ζ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό Μ Λ λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΕΛ ὁ ἀπό ΛΖ μέγας εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΛΑ · ὁ ἄρα ἀπό ΕΛ , ΛΑ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΕ , μέγας ὁ ἀπό Λ , ΛΑ , τουτέστι ὁ ἀπό Γῆ . μέγας ἄρα ὁ ΑΕ εὐθύς ὁ Γῆ εὐθεῖα . καί τέμνω ὁ Α δίχα ὁ ΑΚ ἐάν δέ τρίγωνον ὁ γωνία δίχα τέμνω , ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά · μέγας ἄρα καί ὁ ΕΚ ὁ ΚΖ . ἐάν δέ καί ὀρθός ἢ ἀμβλύς εἰμί ὁ Ζ , αὐτόθεν ὁ ἀπόδειξις · ἐν τρίγωνον γάρ ὁ ΑΖΕ ὀρθός ἢ ἀμβλύς ἔχω ὁ μέγας εἰμί ὁ ΑΕ ὁ αζʹ . καί τέμνω ὁ Α δίχα ὁ ΑΚ , ἐάν δέ τρίγωνον γωνία δίχα τέμνω καί ὁ ἑξῆς · μέγας ἄρα καί ὁ ΕΚ ὁ ΚΖ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 27
27 . Καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν p . 318 , ἐπειδὴ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη ὀρθὴν ποιεῖ τὴν ὑπὸ ΘΑΚ , ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚ Α ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΕ .
Lemmas: 27 . καί ἀμβλύς εἰμί p . 318 , ἐπεί ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ὀρθός ποιέω ὁ ὑπό ΘΑΚ , ὀξύς ἄρα ὁ ὑπό ΘΚ Α ἀμβλύς ἄρα ὁ ὑπό ΑΚΕ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 28
28 . Οὐκοῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ p . 318 , ἐὰν γὰρ τὸ κέντρον λαβόντες τῆς σφαίρας ἀπʼ αὐτοῦ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ ὁρώμενον καὶ ἐκβάλωμεν ὡς ἐν τοῖς πρὸ αὐτοῦ , θεωρηθήσεται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , ὥσπερ καὶ ἐν τοῖς προλαβοῦσιν · τὰ γὰρ ὁρώμενα πάντα ἐν γωνίᾳ ὁρᾶται .
Lemmas: 28 . οὐκοῦν ἀπό ὁ κυρτός p . 318 , ἐάν γάρ ὁ κέντρον λαμβάνω ὁ σφαῖρα ἀπό αὐτός ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ ὁράω καί ἐκβάλλω ὡς ἐν ὁ πρό αὐτός , θεωρέω ὁ Ε∠ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ὥσπερ καί ἐν ὁ προλαμβάνω · ὁ γάρ ὁράω πᾶς ἐν γωνία ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 29
29 . περ ἀδύνατον p . 320 , ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΧΑΕ διὰ τὴν ἀνάκλασιν , ἡ πρὸς τῷ Μ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς πρὸς τῷ Ι · πολλῷ πλέον ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΒ .
Lemmas: 29 . περ ἀδύνατος p . 320 , ἐπεί γάρ ὁ πρός ὁ Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό χαμαί διά ὁ ἀνάκλασις , ὁ πρός ὁ Μ ἄρα μικρός εἰμί ὁ πρός ὁ Ι · πολύς πλείων ἄρα ὁ ὑπό ΓΑΒ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 30
30 . Ὁ συλλογισμὸς οὕτω · τόδε τοῦδε ἔλασσον · τόδε τῷδε ἴσον · τόδε ἄρα τοῦδε ἔλασσον .
Lemmas: 30 . ὁ συλλογισμός οὕτως · ὅδε ὅδε μικρός · ὅδε ὅδε ἴσος · ὅδε ἄρα ὅδε μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 31
31 . Δίχα δὴ τεμεῖ p . 322 , ἐὰν γὰρ ἐφαπτομένην ἀγάγωμεν διὰ τοῦ Γ , αἱ μὲν ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης καὶ τῆς ΘΚ γινόμεναι ἴσαι · ὀρθὴ γὰρ ἐκατέρα · ἐξ ὧν αἱ ἀπολαμβανόμεναι ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων καὶ τῶν ἀνακλωμένων ἴσαι διὰ τὸ τὰς ἀνακλωμένας ἴσας εἶναι , ἐξ ὧν τὰς κερατοειδεῖς ἴσας διὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ . λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕ∠1 ) δίχα τέμνεται .
Lemmas: 31 . δίχα δή τέμνω p . 322 , ἐάν γάρ ἐφάπτω ἄγω διά ὁ Γ , ὁ μέν ὑπό ὁ ἐφάπτω καί ὁ ΘΚ γίγνομαι ἴσος · ὀρθός γάρ κατεράω · ἐκ ὅς ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό ὁ ἐφάπτω καί ὁ ἀνακλάω ἴσος διά ὁ ὁ ἀνακλάω ἴσος ἔρχομαι , ἐκ ὅς ὁ κερατοειδής ἴσος διά ὁ σχόλιον ὁ ἐν ὁ ὅς . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΒ ) δίχα τέμνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 32
32 . Ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων p . 322 , ἐπειδὴ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΕ κατὰ κορυφὴν γάρ · ἡ δὲ ὑπὸ ΘΓΕ ἐλάσσων τῆς ἐκτὸς τριγώνου τοῦ ΘΓΕ .
Lemmas: 32 . εἰμί δέ καί μικρός p . 322 , ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΒΓΚ ἴσος ὁ ὑπό ΘΓΕ κατά κορυφή γάρ · ὁ δέ ὑπό ΘΓΕ μικρός ὁ ἐκτός τρίγωνον ὁ ΘΓΕ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 33
33 . αὐτή p . 324 , τουτέστιν ἡ ἀπὸ τῆς μείζονος σφαίρας · δυνατὸν γὰρ καὶ κατὰ πλείονας ἀκτῖνας ὁρᾶν .
Lemmas: 33 . αὐτός p . 324 , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ μέγας σφαῖρα · δυνατός γάρ καί κατά πολύς ἀκτίς ὁράω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 34
34 . Τοῦτο δὲ ἐπάνω p . 324 , ἐν αὐτῷ ἄρα τῷ θεωρήματι ἀπὸ τῶν διχοτομιῶν τῶν γωνιῶν .
Lemmas: 34 . Τοῦτης δέ ἐπάνω p . 324 , ἐν αὐτός ἄρα ὁ θεώρημα ἀπό ὁ διχοτομία ὁ γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 35
35 . Οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται p . 326 , διὰ τὸ τοῦ γʹ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου · ἡ ἐλαχίστη γὰρ ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου , τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ἀπώτερον ἐλάττων .
Lemmas: 35 . οὐκοῦν ὁ ὄψις μέγας p . 326 , διά ὁ ὁ γε βιβλίο ὁ ἐπίπεδος · ὁ μικρός γάρ ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ διάμετρος , ὁ δέ πρός ὁ κυρτός περιφέρεια ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ διάμετρος ὁ ἀπώτερος μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 36
36 . Οὐκοῦν ἴση ἡ Ε p . 326 , πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσας ποιοῦσι γωνίας κατὰ τὴν ἐφαρμογὴν τῶν ἡμικυκλίων .
Lemmas: 36 . οὐκοῦν ἴσος ὁ Ε p . 326 , πᾶς γάρ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἴσος ποιέω γωνία κατά ὁ ἐφαρμογή ὁ ἡμικύκλιον .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 37
37 . Οὐκοῦν μείζων ἐστίν p . 326 , ὡς μείζονος τμήματος οὖσα κατὰ τὸ λγʹ τοῦ γʹ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου .
Lemmas: 37 . οὐκοῦν μέγας εἰμί p . 326 , ὡς μέγας τμῆμα εἰμί κατά ὁ λγʹ ὁ γε βιβλίο ὁ ἐπίπεδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 38
38 . Ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις p . 328 , ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ κέντρον , τουτέστι τὸ Ζ , ἔσονται αἱ τῶν ἡμικυκλίων ἴσαι κατὰ τὴν ἐφαρμογὴν ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΑ . ὥστε ἡ ὑπὸ ∠ΚΘ ἐλάττων τῆς ὑπὸ ΖΚΑ , πολλῷ πλέον τῆς ὑπὸ ΘΚ Α . ὁμοίως καὶ ἐὰν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ Ζ . ὥστε ἀνακλώμεναι αἱ ψεῖς αἱ ΘΚ , ΜΝ ἥξουσιν ὡς αἱ ΚΛ , ΝΞ διὰ τὸ ε΄ .
Lemmas: 38 . ἀνακλάω ὁ ὄψις p . 328 , ἐάν ἀπό ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ κέντρον , τουτέστι ὁ Ζ , εἰμί ὁ ὁ ἡμικύκλιον ἴσος κατά ὁ ἐφαρμογή ὁ ὑπό ∠ΚΖ ὁ ὑπό ΖΚΑ . ὥστε ὁ ὑπό ∠ΚΘ μικρός ὁ ὑπό ΖΚΑ , πολύς πλείων ὁ ὑπό ΘΚ Α . ὅμοιος καί ἐάν ἀπό ὁ Ν ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Ζ . ὥστε ἀνακλάω ὁ Ψέις ὁ ΘΚ , ΜΝ ἥκω ὡς ὁ ΚΛ , ΝΞ διά ὁ Ε΄ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 39
39 . Ἀνακλωμένη ἥξει p . 330 , ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΒΖΓ δυσὶν ταῖς ΕΖΓ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ , καὶ πάντα πᾶσιν · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΓΕ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ τοῦ ἡμικυκλίου ὑπὸ ΑΓΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΓ∠ ἴση , ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΓΕ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠ ἴση . ἥξει ἄρα ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε .
Lemmas: 39 . ἀνακλάω ἔσσομαι p . 330 , ἐπεί γάρ δύο ὁ ΒΖΓ δύο ὁ ΕΖΓ ἴσος καί γωνία γωνία , καί πᾶς πᾶς · ὥστε καί ὁ ὑπό ΒΓΖ ἴσος ὁ ὑπό ΖΓΕ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ὁ ἡμικύκλιον ὑπό ΑΓΖ ὅλος ὁ ὑπό ΖΓ∠ ἴσος , ἐκ ὅς ὁ ὑπό ΒΓΖ ἴσος ὁ ὑπό ΖΓΕ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ λοιπός ὁ ὑπό ΕΓ∠ ἴσος . ἔσσομαι ἄρα ὁ ΒΓ ὄψις ἐπί ὁ Ε .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 40
40 . Δίχα ἄρα τμηθήσεται p . 330 , ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ τοῦ ἡμικυκλίου τῇ τοῦ ἡμικυκλίου , ἐξ ὧν αἱ ὑπὸ ΒΘΑ , ∠ΘΕ ἴσαι διὰ τὸ πρῶτον , δίχα ἄρα τέτμηται .
Lemmas: 40 . δίχα ἄρα τέμνω p . 330 , ἐπεί γάρ ἴσος ὁ ὁ ἡμικύκλιον ὁ ὁ ἡμικύκλιον , ἐκ ὅς ὁ ὑπό ΒΘΑ , ∠ΘΕ ἴσος διά ὁ πρῶτος , δίχα ἄρα τέμνω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 41
41 . Καὶ ἀνάλογον ἔσται p . 330 , διὰ τὸ γ΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου .
Lemmas: 41 . καί ἀνάλογος εἰμί p . 330 , διά ὁ Γ΄ ὁ ΣΤ΄ βιβλίο ὁ ἐπίπεδος .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 42
42 . Διὰ τοῦτο μία μόνη , ἐπειδή , εἰ ἦν καὶ ἄλλη , εἰκὸς ἦν αὐτὰς συμπεσεῖν .
Lemmas: 42 . Ζεύς οὗτος εἷς μόνος , ἐπειδή , εἰμί εἰμί καί ἄλλος , ἔοικα εἰμί αὐτός συμπίπτω .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 43
43 . Οὐ γὰρ συμπεσεῖται p . 330 , ἐπειδὴ παντὸς τριγώνου αἱ β γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττους .
Lemmas: 43 . οὐ γάρ συμπίπτω p . 330 , ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ β γωνία δύο ὀρθός μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 44
44 . Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστίν ἡ ΒΓ p . 332 , ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΠ ἴση τῇ ΠΚ , ἡ ΓΝ μείζων τῆς ΝΚ . ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΝΒ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ἀπὸ μείζονα . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΝΒ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΒ , τοῖς δὲ ἀπὸ ΒΝΚ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΚ ὥστε ἡ ΓΒ μείζων τῆς ΒΚ .
Lemmas: 44 . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΒΓ p . 332 , ἐπεί γάρ ὁ ΓΠ ἴσος ὁ ΠΚ , ὁ ΓΝ μέγας ὁ ΝΚ . ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΝΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ἀπό μέγας . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ΓΝΒ ἴσος ὁ ἀπό ΓΒ , ὁ δέ ἀπό ΒΝΚ ἴσος ὁ ἀπό ΒΚ ὥστε ὁ ΓΒ μέγας ὁ ΒΚ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 45
45 . Ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων p . 332 , ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΓΒΝ αἱ γ γωνίαι ταῖς τρισὶν γωνίαις τριγώνου τοῦ ΒΝΚ ἴσαι , ἐξ ὧν αἱ δύο ἡ πρὸς τῷ Ρ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΝΚ μείζους τῶν δύο τῆς τε πρὸς τῷ Γ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΝΒ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΒΝ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΓΒΝ ἐλάσσων · ὅπου γὰρ τὸ μεῖζον , ἐκεῖ τὸ ἔλαττον .
Lemmas: 45 . Ὥστος καί ὁ ὑπό ΓΒΘ μέγας p . 332 , ἐπεί γάρ τρίγωνον ὁ ΓΒΝ ὁ γ γωνία ὁ τρεῖς γωνία τρίγωνον ὁ ΒΝΚ ἴσος , ἐκ ὅς ὁ δύο ὁ πρός ὁ Ρ καί ὁ ὑπό ΒΝΚ μέγας ὁ δύο ὁ τε πρός ὁ Γ καί ὁ ὑπό ΓΝΒ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΚΒΝ λοιπός ὁ ὑπό ΓΒΝ μικρός · ὅπου γάρ ὁ μέγας , ἐκεῖ ὁ μικρός .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 46
46 . Τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ p . 332 , ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΚΘ , ἐπειδὴ δύο αἱ ΒΓΚ δυσὶν ταῖς ΘΓΚ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ .
Lemmas: 46 . τουτέστι ὁ ὑπό ΒΘΚ p . 332 , ἴσος γάρ ὁ ΒΚ ὁ ΚΘ , ἐπεί δύο ὁ ΒΓΚ δύο ὁ ΘΓΚ ἴσος καί γωνία γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 47
47 . Οὐκ ἄρα συμπεσεῖται p . 332 , ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῆς ὑπὸ ΒΘΚ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΒΦ αἰ δύο ἄρα τῶν δύο μείζους . ἀλλʼ αἱ δύο δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ δύο ἄρα δύο ὀρθῶν ἐλάττους . ὥστε αἱ ὑπὸ ΓΒΘ , ΥΘΒ δύο ὀρθῶν μείζους .
Lemmas: 47 . οὐ ἄρα συμπίπτω p . 332 , ἐπεί γάρ μέγας ὁ ὑπό ΓΒΚ ὁ ὑπό ΒΘΚ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΘΒΦ ὁ δύο ἄρα ὁ δύο μέγας . ἀλλά ὁ δύο δύο ὀρθός ἴσος · ὁ δύο ἄρα δύο ὀρθός μικρός . ὥστε ὁ ὑπό ΓΒΘ , ΒΘ δύο ὀρθός μέγας .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 48
48 . Μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ p . 334 , διὰ τῶν ἀπὸ ὡς ἐν τῷ λε΄ .
Lemmas: 48 . μείζων εἰμί ὁ ΒΖ p . 334 , διά ὁ ἀπό ὡς ἐν ὁ ὅς .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 49
49 . Συμπεσοῦνται ἄρα p . 334 , κοινῆς προσκειμένης τῆς ὑπὸ Ζ ΑΠ .
Lemmas: 49 . συμπίπτω ἄρα p . 334 , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό Ζ ΑΠ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 50
50 . Παράλληλοι γάρ εἰσιν p . 334 , ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΒΛΖ δυσὶν ταῖς ΓΛΖ ἴσαι , ἀλλὰ καὶ γωνία ἴση · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΓΖ ἴση . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΛ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΛ ὥστε λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΠΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΘΓΑ ἴση διὰ τὸ τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ Π Α Β ἴση τῇ κατὰ κορυφήν . ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα δύο γωνίας δύο γωνίαις ἴσας ἔχῃ καὶ τὰ ἑξῆς · ἴσον ἄρα τὸ ΒΑ Π τρίγωνον τῷ ΘΑΓ τριγώνῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΒΑΓ τὸ ΠΓΒ ἄρα τῷ ΘΒ ἴσον . καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΠΘ · παράλληλος ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΠΘ .
Lemmas: 50 . παράλληλος γάρ εἰμί p . 334 , ἐπεί γάρ δύο ὁ ΒΛΖ δύο ὁ ΓΛΖ ἴσος , ἀλλά καί γωνία ἴσος · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΛΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΛΓΖ ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΛ ἴσος ὁ ὑπό ΑΓΛ ὥστε λοιπός ὁ ὑπό ΠΒΑ λοιπός ὁ ὑπό ΘΓΑ ἴσος διά ὁ τέσσαρες ὀρθός ἴσος ἔρχομαι ὁ ὑπό Π Α Β ἴσος ὁ κατά κορυφή . ἐάν δέ δύο τρίγωνος δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω καί ὁ ἑξῆς · ἴσος ἄρα ὁ ΒΑ Π τρίγωνον ὁ ΘΑΓ τρίγωνον . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΒΑΓ ὁ ΠΓΒ ἄρα ὁ ΘΒ ἴσος . καί εἰμί ἐπί ὁ αὐτηες͂ς βάσις ὁ ΠΘ · παράλληλος ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΠΘ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 51
51 . Μείζων γὰρ ἡ ΜΑ p . 336 , ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ Π ΑΜ τρίγωνον τῷ ΑΒΛ τριγώνῳ · αἱ μὲν ὀρθαὶ αὐτῶν ἴσαι , ἡ δὲ πρὸς τῷ Κ τῇ ὑπὸ ΠΑΜ κατὰ τὰ ἤδη δειχθέντα · λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση · τῶν δὲ ἰσογωνίων ἀνάλογον αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΑ . καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ . μείζων δὲ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ · ἐδείχθη γάρ · καὶ ἡ ΜΑ ἄρα τῆς ΑΛ .
Lemmas: 51 . μέγας γάρ ὁ Μα p . 336 , ἐπεί ἰσογώνιος εἰμί ὁ Π ΑΜ τρίγωνον ὁ ΑΒΛ τρίγωνον · ὁ μέν ὀρθός αὐτός ἴσος , ὁ δέ πρός ὁ Κ ὁ ὑπό ΠΑΜ κατά ὁ ἤδη δείκνυμι · λοιπός ἄρα ὁ λοιπός ἴσος · ὁ δέ ἰσογώνιος ἀνάλογος ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΠΜ πρός Μα , οὕτως ὁ ΒΛ πρός ΛΑ . καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΠΜ πρός ΒΛ , οὕτως ὁ Μα πρός ΑΛ . μέγας δέ ὁ ΠΜ ὁ ΒΛ · δείκνυμι γάρ · καί ὁ Μα ἄρα ὁ ΑΛ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 52
52 . Μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ οὕτως · ἐπεὶ παράλληλος ἡ ΒΛ τῇ ΠΜ , ἴση ἡ πρὸς τῷ Μ γωνία τῇ πρὸς τῷ Λ , ἐπειδὴ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Λ . ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ἴση τῇ ὑπὸ ΠΑΜ διὰ τὸ τὴν μὲν πρὸς τῷ Κ ἴσην εἶναι τῇ πρὸς τῷ ∠ , τὴν δὲ πρὸς τῷ ∠ τῇ κατὰ κορυφήν · ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΠΑ Μ τρίγωνον τῷ ΒΑΛ . τῶν δὲ ἰσογωνίων ἀνάλογον αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΜΑ , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΑ · καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΛΑ . μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΛΑ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ.1 ) ὁμοίως καὶ ἡ ΜΘ τῆς ΛΓ .
Lemmas: 52 . μέγας δέ ὁ Μα ὁ ΑΛ οὕτως · ἐπεί παράλληλος ὁ ΒΛ ὁ ΠΜ , ἴσος ὁ πρός ὁ Μ γωνία ὁ πρός ὁ Λ , ἐπεί ὀρθός ὁ πρός ὁ Λ . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Κ ἴσος ὁ ὑπό ΠΑΜ διά ὁ ὁ μέν πρός ὁ Κ ἴσος ἔρχομαι ὁ πρός ὁ ∠ , ὁ δέ πρός ὁ ∠ ὁ κατά κορυφή · ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΠΑ Μ τρίγωνον ὁ Βαλ . ὁ δέ ἰσογώνιος ἀνάλογος ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΠΜ πρός ὁ Μα , οὕτως ὁ ΒΛ πρός ΛΑ · καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΠΜ πρός ὁ ΒΛ , οὕτως ὁ Μα πρός ΛΑ . μέγας δέ ὁ Μα ὁ ΛΑ · μέγας ἄρα καί ὁ ΠΜ ὁ ΒΛ.1 ) ὅμοιος καί ὁ ΜΘ ὁ ΛΓ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 53
53 . Οὐκοῦν τὸ μὲν Β p . 336 , ἐπειδὴ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ὁρᾶται κατὰ τὴν σύμπτωσιν ἐκβαλλομένων τῆς τε ὄψεως καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένης , ὥστε τοῦ Β ὁρῶντος τοῦ Γ ὁρωμένου καὶ τοῦ Γ ὁρῶντος τοῦ Β ὁρωμένου ταὐτὰ γίνεσθαι .
Lemmas: 53 . οὐκοῦν ὁ μέν Β p . 336 , ἐπεί ἕκαστος ὁ ὁράω ὁράω κατά ὁ σύμπτωσις ἐκβάλλω ὁ τε ὄψις καί ὁ ἀπό ὁ ὁράω ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι , ὥστε ὁ Β ὁράω ὁ Γ ὁράω καί ὁ Γ ὁράω ὁ Β ὁράω αὐτός γίγνομαι .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 54
54 . Ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΚ τῆς ΒΓ ἐκ τοῦ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ∠ΑΓ τῷ ∠ΕΚ2 ) ἐκ τῆς κοινῆς γωνίας καὶ ἐκ τῶν ὀρθῶν διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὴν ΕΚ καὶ τὴν ΒΓ .
Lemmas: 54 . Μικρός δέ ὁ ΕΚ ὁ ΒΓ ἐκ ὁ ἰσογώνιος ἔρχομαι ὁ ∠ΑΓ ὁ ∠ΕΚ2 ) ἐκ ὁ κοινός γωνία καί ἐκ ὁ ὀρθός διά ὁ παράλληλος ἔρχομαι ὁ ΕΚ καί ὁ ΒΓ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 55
55 . Παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ p . 336 , πάλιν ὁμοίως ἰσογωνίου δεικνυμένου τοῦ ΚΖΓ τριγώνου τῷ ΕΖΒ τριγώνῳ καὶ μιᾶς πλευρᾶς μιᾷ πλευρᾷ ἴσης τῆς πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις .
Lemmas: 55 . παράλληλος γάρ εἰμί ὁ ΕΚ p . 336 , πάλιν ὅμοιος ἰσογώνιος δείκνυμι ὁ ΚΖΓ τρίγωνον ὁ ΕΖΒ τρίγωνον καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 56
56 . Ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ p . 34Ο , ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Θ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ · ἡμικυκλίων γάρ . οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΘΓΒ · πολλῷ πλέον τῆς ὑπὸ ∠ΠΒ . Διὰ τί δὲ ἡ ἀνακλωμένη μὴ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζεύγνυται ; ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται , ἐλάττων δὲ ἔμελλεν εἶναι ἡ πρὸς τῷ Π τῆς ὑπὸ ΘΓΒ , ἀνάγκη οὖν τὴν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Π ἀπὸ τῆς μείζονος ἀφαιρεθεῖσαν τῆς ὑπὸ ΘΓΒ ἀνωτέρω που ποιῆσαι τὴν ἀνάκλασιν ὡς ἐπὶ τὸ Κ .
Lemmas: 56 . ὁ γάρ γωνία ὁ πρός ὁ p . Οὗ , ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Θ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΓΘ ὁ ὑπό ΘΓΒ · ἡμικύκλιον γάρ . οὐκοῦν ὁ ὑπό ΗΓ∠ μικρός ὁ ὑπό ΘΓΒ · πολύς πλείων ὁ ὑπό ∠ΠΒ . Ζεύς τίς δέ ὁ ἀνακλάω μή ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ; ἐπεί ὁ ὄψις ἐν ἴσος γωνία ἀνακλάω , μικρός δέ μέλλω ἔρχομαι ὁ πρός ὁ Π ὁ ὑπό ΘΓΒ , ἀνάγκη οὖν ὁ ἴσος ὁ πρός ὁ Π ἀπό ὁ μέγας ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΘΓΒ ἄνω ποῦ ποιέω ὁ ἀνάκλασις ὡς ἐπί ὁ Κ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 57
57 . Φανερὸν οὖν , ὅτι p . 340 , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὸ Α , ἔσται δῆλον οὕτως · ἐπεὶ δύο αἱ ΚΘΓ δυσὶν ταῖς ΚΘΑ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ διὰ τὰς περιφερείας , πάντα πᾶσιν · ὥστε γωνία ἡ ὑπὸ ΚΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΘ ἴση . πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΘ∠ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΘ∠ διὰ τὸ τὰς ῥηθείσας ἴσας γωνίας ἐκ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν τὰς ὑπολοίπους δύο ἴσας καταλιμπάνειν , δύο αἱ ΓΘ∠ δυσὶν ταῖς ΑΘ∠ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑ∠ τῇ ὑπὸ ΘΓ∠ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΘΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΒ · ἡμικυκλίων γὰρ ἐφαρμοζομένων · ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΚΑΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΘ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΒ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΠΗ · ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΑΒ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ .
Lemmas: 57 . Φανερός οὖν , ὅτι p . 340 , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Γ καί ἐπί ὁ Α , εἰμί δῆλος οὕτως · ἐπεί δύο ὁ ΚΘΓ δύο ὁ ΚΘΑ ἴσος καί γωνία γωνία διά ὁ περιφέρεια , πᾶς πᾶς · ὥστε γωνία ὁ ὑπό ΚΑΘ γωνία ὁ ὑπό ΚΓΘ ἴσος . πάλιν ἐπεί ὁ ὑπό ΑΘ∠ ἴσος ὁ ὑπό ΓΘ∠ διά ὁ ὁ λέγω ἴσος γωνία ἐκ ὁ τέσσαρες ὀρθός ὁ ὑπόλοιπος δύο ἴσος καταλείπω , δύο ὁ ΓΘ∠ δύο ὁ ΑΘ∠ ἴσος καί γωνία γωνία · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΘΑ∠ ὁ ὑπό ΘΓ∠ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ὑπό ΘΑΒ ἴσος ὁ ὑπό ΘΓΒ · ἡμικύκλιον γάρ ἐφαρμόζω · ἐκ ὅς ὁ ὑπό ΚΑΘ ἴσος ὁ ὑπό ΚΓΘ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΚΑΒ ἴσος ὁ ὑπό ΚΓΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΚΓΒ ἴσος ὁ ὑπό ΠΗ · ὁ ἄρα ὑπό ∠ΓΗ ἴσος ὁ ὑπό ΚΑΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ∠ΓΗ ἴσος ὁ ὑπό ∠ΑΡ καί ὁ ὑπό ΚΑΒ ἄρα ὁ ὑπό ∠ΑΡ .
scholia-in-euclidem.scholia-in-euclidis-catoptrica-scholia-vetera 58
58 . Ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου p . 342 , τουτέστι κατὰ τῆς ΒΘ πᾶσαι πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ , ἑνὶ δὲ ἑκατέρωθεν ὥσπερ αἱ ΓΚ Α .
Lemmas: 58 . ἐπί ὁ διά ὁ κέντρον p . 342 , τουτέστι κατά ὁ ΒΘ πᾶς πρός ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον , εἷς δέ ἑκατέρωθεν ὥσπερ ὁ ΓΚ Α .