proclus.in-platonis-timaeum-commentaria proclus_timaeus_v2_0198.2
τεσσαράκοντα τέσσαρα τριπλασίους οὐσι τῶν πυθμενικῶν ὅρων τῶν εὐρεθέντων ἡμῖν ἐν τῷ τρίτῳ διπλασίῳ πρότερον · ὅτι γὰρ ὁ τῆς ἀποτομῆς λόγος ἐν ἐκείνοις ἐστὶ πυθμενικὸς , δῆλον · δεῖκνυται γὰρ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὁ διςχλία καὶ ἑκατὸν καὶ ὀγδοήκοντα καὶ ἑπτὰ καὶ ὁ διςχλία καὶ τεσσαράκοντα καὶ ὀκτὼ διὰ τοῦ ἐκ τῆς ἀνθυφαιρέσεως θεωρήματος , τῶν πρώτων ἐλαχίστων ὄντων ἐξ ἀνάγκης . δέδεικται μὲν οὖν ἐκ τῶν Φιλολάου [ A 26 D . ] τὸ πλῆθος τῶν παρὰ τῷ Τιμαίῳ γραφέντων ὅρων , τοῖς δὲ Πλάτωνος τὸ διάγραμμα προβαίνει καὶ ἄνευ τοῦ λόγου τῆς ἀποτομῆς . ταῦτα μὲν οὖν εἰρήσθω μέχρι τούτων . ἐπεὶ δὲ εἴπομεν [ 185 , 27 ss ] ἐν τοῖς ἐμπροσθεν , ὅτι , ἐὰν ἑνὸς ὅρου ὁ μὲν διπλάσιος , ὁ δὲ τριπλάσιος ληφθῇ , ὁ μὲν τῶν διπλασίων μεταξὺ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἐμπίπτων ἀρμονικὴ μεσότης ἔσται κατὰ τὸ τριπλάσιον , αὐτὸς δὲ ὁ διπλάσιος ἀριθμητική , νῦν αὐτὸ συντóμως σαφηνίσωμεν ἄμα ἀποδεικνύντες · ἔστω γὰρ τοῦ A ὁ B διπλάσιος , ὁ δὲ Γ τριπλάσιος , καὶ τοῦ A καὶ B μεταξὺ ὁ Δ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν · λέγω , ὅτι συμβαίνει τὰ ἐν τῇ προτάσει · ἐπεὶδὴ γὰρ τοῦ A ὁ μὲν B διπλάσιος , ὁ δὲ Γ τριπλάσιος , οἷον ἐστὶν ὁ A δυοῖν , τοιούτων ὁ μὲν B τεσσάρων , ὁ δὲ Γ ἐξ , ὥστε καὶ οἷον ὁ B τεττάρων , τοιούτων ὁ Γ ἐξ . τοσοῦτῳ ἄρα ὁ Γ ὑπερέχει τοῦ B , ὅσῳ ὁ B τοῦ A , ὥστε ἀριθμητικὴ μεσότης ἐστὶ τοῦ Γ καὶ A ὁ B . πάλιν ἐπεὶ οἷον ὁ A δυοῖν , τοιούτων ὁ B τεσσάρων , ὁ δὲ Δ μέσος αὐτῶν κατὰ τὴν ἀριθμητικήν , ἔσται καὶ αὐτὸς τοιούτων τριῶν , οἷων ὁ μὲν A δυοῖν , ὁ δὲ B τεττάρων . οἷον δὲ ὁ B τεσσάρων , τοιούτων ὁ Γζ . ἔστιν ἄρα οἷον ὁ A δυοῖν , τοιούτων ὁ μὲν Δ τριῶν , ὁ δὲ Γζ . ὁ δὲ Δ ἄρα πρὸς τὸν A καὶ τὸν Γ ποιήσει μεσότητα ἀρμονικήν · τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὑπερἔχεται τε ὑπὸ τοῦ μεῖζονος καὶ ὑπερέχει τοῦ ἐλάσσονος . τοῦτο μὲν οὖν ταύτῃ ἔχετω .
Lemmas: τεσσαράκοντα τέσσαρες τριπλάσιος οὐ ὁ πυθμενικός ὁράω ὁ εὑρίσκω ἐγώ ἐν ὁ τρίτος διπλάσιος πρότερος · ὅτι γάρ ὁ ὁ ἀποτομεύς λόγος ἐν ἐκεῖνος εἰμί πυθμενικός , δῆλος · δείκνυμι γάρ πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ διςχλία καί ἑκατόν καί ὀγδοήκοντα καί ἑπτά καί ὁ διςχλία καί τεσσαράκοντα καί ὀκτώ διά ὁ ἐκ ὁ ἀνθυφαίρεσις θεώρημα , ὁ πρῶτος μικρός εἰμί ἐκ ἀνάγκη . δείκνυμι μέν οὖν ἐκ ὁ Φιλόλαος [ A 26 D . ] ὁ πλῆθος ὁ παρά ὁ Τίμαιος γράφω ὁράω , ὁ δέ Πλάτων ὁ διάγραμμα προβαίνω καί ἄνευ ὁ λόγος ὁ ἀποτομεύς . οὗτος μέν οὖν εἴρω μέχρι οὗτος . ἐπεί δέ εἶπον [ 185 , 27 ss ] ἐν ὁ ἔμπροσθεν , ὅτι , ἐάν εἷς ὁράω ὁ μέν διπλάσιος , ὁ δέ τριπλάσιος λαμβάνω , ὁ μέν ὁ διπλάσιος μεταξύ κατά ὁ ἀριθμητικός ἐμπίπτω ἁρμονικός μεσότης εἰμί κατά ὁ τριπλάσιος , αὐτός δέ ὁ διπλάσιος ἀριθμητικός , νῦν αὐτός συντóμως σαφηνίζω ἄμη ἀποδείκνυμι · ἵστημι γάρ ὁ A ὁ B διπλάσιος , ὁ δέ Γ τριπλάσιος , καί ὁ A καί B μεταξύ ὁ δ κατά ὁ ἀριθμητικός · λέγω , ὅτι συμβαίνω ὁ ἐν ὁ πρότασις · ἐπειδή γάρ ὁ A ὁ μέν B διπλάσιος , ὁ δέ Γ τριπλάσιος , οἷος εἰμί ὁ A δύο , τοιοῦτος ὁ μέν B τέσσαρες , ὁ δέ Γ ἐκ , ὥστε καί οἷος ὁ B τέσσαρες , τοιοῦτος ὁ Γ ἐκ . τοσοῦτος ἄρα ὁ Γ ὑπερέχω ὁ B , ὅσος ὁ B ὁ A , ὥστε ἀριθμητικός μεσότης εἰμί ὁ Γ καί A ὁ B . πάλιν ἐπεί οἷος ὁ A δύο , τοιοῦτος ὁ B τέσσαρες , ὁ δέ δ μέσος αὐτός κατά ὁ ἀριθμητικός , εἰμί καί αὐτός τοιοῦτος τρεῖς , οἶος ὁ μέν A δύο , ὁ δέ B τέσσαρες . οἷος δέ ὁ B τέσσαρες , τοιοῦτος ὁ γζʹ . εἰμί ἄρα οἷος ὁ A δύο , τοιοῦτος ὁ μέν δ τρεῖς , ὁ δέ γζʹ . ὁ δέ δ ἄρα πρός ὁ A καί ὁ Γ ποιέω μεσότης ἁρμονικός · ὁ γάρ αὐτός μέρος ὑπερέχω τε ὑπό ὁ μείζων καί ὑπερέχω ὁ μικρός . οὗτος μέν οὖν οὗτος ἔχω .