proclus.in-platonis-rem-publicam-commentarii 14
I . Zu Μέλισσα εἰς τὸν ἐν Πολιτείᾳ λόγον τῶν Κ#x772;Α#x772 ; , S . 23 f . Die Εrklärung der schwierigen Stelle hat zu beginnen mit der Deutung der auf ünf Grruppen verteilten grofsen Zahl . Offenbar konnen das nicht , wie die Handschrift angiebt , lauter μονάδες sein , sondern die ersten vier Gruppen sind μυριάδες , und erst am Schlusse werden Einheiten aufgezahlt , die als ἴτη bezeichnet sind . Die vorhergehenden Zahlen haben demnach als μυριάδες ἐτῶν zu gelten . tjber die Unterscheidung verschiedener Stufen der Myriaden durch Ordnungszahlen πρώτων , δευτέρων u . s . w . ) kann nach den friiher von mir gegebenen Nachweisen kein Zweifel sein . Bekanntlich hatten die Griechen kein besonders benanntes Zahlwort iiber μύριοι oder μυριάς hinaus . Als Archimedes sein kilhnes System der bis ins Unendliche aufsteigenden Zahlenreihe entwarf , legte er sich die strenge Regel auf , keine anderen Zahlbenennungen als die im Laienmunde iiblichen zu bilden . 1 ) Über μύριοι hinaus konnten die Griechen mit Hilfe der Zahladverbien bis ,, 9999 mal 10000 " zahlen . Statt μυριάκις μύριοι setzte nun Archimedes die Zahl 1 und begann somit eine zweite Zahlen - reihe , deren sprechbare Bezeichnungen ebenso weit reichten als die der ersten Reihe , sodafs nach Erfüllung der Reihe eine dritte daran kam und dann eine vierte u . s . f . Die Zahlen der ersten Reihe nannte er πρῶτοι ἀριθμοί , die der zweiten δεύτεροι u . s . f , In Anlehnung an Archimedes hat ApoUonios von Perge in einer Schrift , zu welcher Erlauterungen in der συναγωγή des Pappos erhalten sind1 ) , gezeigt , dafs , um die Zahlenreihe bis zu aufserordentlich hohen Betragen auf - steigen zu lassen , es nicht notig sei Gruppen von 10000 2 Ein - heiten zu bilden . Die μυριάς selbst gab den hoheren Zahlengruppen die Namen . Die Zahlen von 10000 bis vor 10000 2 wurden von 1 an auf der Stufe der ἁπλῆ μυριάς gezahlt , dann kam 10000 2 = 1 auf der Stufe der διπλῆ μυριάς , 10000 31 auf der Stufe der τριπλῆ μυριάς u . s . f . Noch in weit spateren Zeiten haben Domninos , Simplikios und Nikolaos Rhabdas so gezahlt . 2 ) Allein mit Recht ist von anderen Mathematikern eine ählungsweise bevorzugt worden , die von Apollonios die Gruppierung nach Myriaden und von Archimedes die Unterscheidung der Zahlengruppen durch Ordnungszahlen entnahm . Theon von Smyrna fand ür das Yolumen der Erde eine grofse Zahl von Kubikstadien , die er wahrscheinlich nach dritten , zweiten und ersten Myriaden abteilte , denen sich eine gewisse Zahl von Einheiten στάδια ) anschlofs . 3 ) Ahnlich hat spater Diophantos den Nenner eines Bruches als eine aus zweiten und ersten Myriaden und Einheiten bestehende Zahl abgeteilt . 4 ) Etwas umstandlicher , aber fiir seine Zwecke ganz passend hat amblichos , der etwa ein halbes Jahrhundert junger als Diophantos war , einen πρῶτος und δεύτερος βαθμὸς τῶν μυριάδων unterschieden und angedeutet , dafs diese Reihe der myria - dischen Stufen nach Belieben ( soweit die griechischen Ordnungszahlen reichen ) fortgesetzt werden kann . 1 ) Nun kommt als ältester , bisher bekannter Gewahrsmann Sosigenes hinzu . Die von ihm ausgerechnete , leider nicht vollständig erhaltene Zahl gruppiert sich , wie folgt : μυριάδες ἐτῶν τέταρται τρίται Ι δεύτεραι πρῶται ἴτη μονάδες ) 34 4300+ x Zehner + y Einer 7876 3836 0609 ? oder 0670 d . i . 344 3 ** 787 638 360 *** , wobei durch Sterne die aus - gefallenen oder nur unsicher iiberlieferten Zahlen bezeichnet sind . Wegen dieser Lucken üssen wir uns mit der Begren - zung begniigen , dafs die von Sosigenes ausgerechnete Zahl zwischen 344 300 und 344 400 Billionen gelegen hat . Wenn der alexandrinische Astronom eine solche unabseh - bare Reihe von Jahren zu einem τέλειος ἐνιαυτός zusammen - fafste ( Prokl . S . 23 , 23 ) , so hat er sich ohne Zweifel an Platon ( Tim . 39 C . D ) angeschlossen : ὡς ἕπος εἰπεῖν οὐκ ἴσασι χρόνον ὄντα τὰς τούτων τῶν κύκλων ) πλάνας , πλήθει μὲν ἀμηχάνῳ χρωμένας , πεποικιλμένας δὲ θαυμαστῶς · ἔστι δ’ ὅμως οὑδὲν ἧττον κατανοῆσαι δυνατόν , ὡς ὅ γε τέλεος ἀριθμὸς χρόνου τὸν τέλεον ἐνιαυτὸν πληροῖ τότε , ὅταν ἁπασῶν τῶν ὁκτὼ περιόδων τὰ πρὸς ἄλληλα ξυμπερανθέντα τάχη σχῆ κεφαλὴν τῷ τοῦ ταὐ - τοῦ καὶ ὁμοίως ἰόντος ἀναμετρηθέντα κύκλῳ . Also eine unendliche Menge von Einzelbewegungen war es , deren Summe das vollkommene oder , wie Spatere sagten , grofse Jahr bildete 2 ) , und dieser Zeitraum war nach einer Zahl von Sonnenjahren bemessen , die nach Platon ebenfalls die yoUkommene hiefs und durch keine endliche Zahl ausgedriickt werden konnte . Da nun nach der Lehre der Pythagoreer der Name τέλειος ἀριθμός zunacht an der Zehnzahl haftete 1 ) , so hat Platon bereits den grofsen , spater von Archimedes ausgefiihrten Gedanken angedeutet , dafs man durch eine fortschreitende Potenzierung dekadischer Abteilungen sich der unendlichen Zahl des vollkommenen Jahres aUmahlich nahern konnen , dabei aber immer sich bescheiden miisse , dafs eine andere noch grofsere Zahl gebildet werden konne , die der unerreichbaren voU - kommenen Zahl noch naher stehe . 2 ) Sosigenes hat von Platon nur die Anschauung entlehnt , dafs das voUkommene Jahr aus einer iiberaus grofsen Zahl von Sonnenjahren bestehen miisse ; er ist aber von ihm abgewichen , indem er eine endlich begrenzte , bis auf Einer oder Zehner bestimmbare Zahl auszurechnen unternahm , Dafs jeder Versuch der Art von vornherein aussichtslos ist , kann hier nicht ausgefuhrt werden ; dennoch verdient die Zahl des Sosigenes alle Beachtung . Man vergleiche nur den schuchternen Versuch des Aristarchos von Samos , der nicht liber eine Annaherung auf 2484 Jahre hinauskam . 1 ) Daran reihten sich andere , auf mehr oder minder schwankenden Hypothesen beruhende Ansätze , die von bis zu 3600000 und 6 570000 Jahren ansteigen . 2 ) Mit den Fortschritten der astronomischen Wissenschaft mufsten die Bereclinungen einer Periode von ganzen Sonnenjahren , die durch ganze Zahlen von Umlaufszeiten des Mondes und der fiinf Planeten teilbar war , auf um so grofsere Betriige fiihren , je genauere Beobachtungen man angestellt hatte . 1 ) Wenn also Sosigenes mehr als den dritten Teil einer Trillion von Jahren ausrechnete , so haben ihm verhaltnismafsig genaue Daten vorgelegen . Ware nun in der Handschrift die vollstandige Zahl iiberliefert , so wiirde man sie auf ihre Teiler zuruckfiihrtn und , da die Verhaltnisse der von den Alten beobachteten Um - laufszeiten annahernd bekannt sind , wahrscheinlich ermitteln konnen , wie viele ganze Jahre Sosigenes gleich einer ganzen Zahl von synodischen Monaten gesetzt und wie er jene Zahl von Jahren weiter vermehrt hat , um eine grofste Zahl zu erhalten , in welcher auch die Umlaufszeiten der fiinf Pla - neten dergestalt enthalten - waren , dafs die grofste Zahl , wenn man sie der Reihe nacli durch fiinf andere Zahlen von Jahren , die gewisse Multipla je eines Planetenumlaufes darstellten , dividierte , jedesmal als Quotienten eine ganze Zahl ergab . Um indes wenigstens von dem Anfange der Ausrechnung des Sosigenes eine angenaherte Vorstellung zu geben , vergleiche ich seine Zahl mit der Hipparchischen Beobachtung , dafs auf 126 007 1/24 Tage 4267 volle Monate ( μῆνες ἀπαρτιζόμενοι , synodische ) kommen . 1 ) Da bei Sosigenes die Einheit des τέλειος ἐνιαυτός das tropische Jahr von nahezu 365 1/4 Tagen ιστ 2 ) , so sind zunachst die 126 007 1/24 Tage Hipparchs einzurichten zu 3024 169.4 _ 3024169 24 . 1461 8766 Jahren . Sosigenes brauchte aber eine ganze Zahl von Jahren , die gleich einer gewissen Zahl von Monaten ist ; er wiirde demnacli , wenn er die Hipparchische Beobachtung zu Grunde legte , 3024169 Jahre gefunden haben , die so gut wie genau 4267 8766 = 37404 522 Monaten entsprachen . So grofs jene Zahl von Jahren auch war , mufste sie doch jedesmal bedeutend vervielfacht werden , wenn nach einander die Umlaufszeiten des Merkur , der Venus u . s . w . in Rechnung gebracht und ahnlich , wie bei Mond und Sonne , jedesmal eine voUe Zahl von Jahren , die ein Vielfaches von 3024169 sein mufste , einer vollen Zahl von Planetenumlaufen entsprechen soUte . Nach dem Verlaufe von mehr als 1/3 TriUion Jahren werden nach Sosigenes bei Prokl . 23 , 26 die συναποκαταστάσεις τῶν ἑπτὰ σφαιρῶν , d . i . die gleichzeitige Riickkehr der Sonne , des Mondes und der fiinf Planeten zu den Anfangspunkten ihrer Bewegungen , stattfinden . Denn jedes einzelne Gestirn erreicht seine ἀποκατάστασις , wenn es zu einer beHebigen SteUe seiner Bahn , die man als Anfangspunkt seines Umlaufes setzt , nach VoUendung eines voUen Umlaufes zurdckkehrt . Wenn man nun fiir zwei Gestirne den gleichen Zeitpunkt als Anfang der Bewegung setzt , so wird die συναποκατάστασις stattfinden , wenn beide Gestirne zu demselben Zeitpunkte an die Anfangs - steUen ihrer Bahnen zuriickkehren . Der grofse Zeiger der Uhr erreicht seine ἀποκατάστασις nach einmaUgem Umlaufe ; er mufs aber 12 mal umlaufen , damit die συναποκατάστασις des grofsen und des kleinen Zeigers eintrete . Wenn sich — immer nach der geocentrischen Anschauung der Alten — der Mond ahnUch wie der grofse Zeiger der Uhr genau zwolfmal so schneU wie die Sonne bewegte , so wiirde die erste συναποκατάστασις nach Ablauf eines Jahres sich erfiiUen ; da aber die Umlaufs - zeit der Sonne zu der des Mondes sich nicht wie 12:1 , sondern wie 12,368529 ... : 1 verhält 1 ) , so miissen nach Hipparch 3024169 Jahre vergehen , ehe die erste συναποκατάστασις von Sonne und Mond eintritt . Damit sind zugleich die Worte des Proklos ( 23 , 27 ) er - klärt : λαβὼν γὰρ ἑνὸς ( scil . ἄστρου ) ἀποκατάστασιν ἀκριβῆ ἄλλου , εὗρεν τὸν ὑπὸ τούτων 2 ) μετρούμενον ( scil . ἀριθμόν ) . Denn nach Eukl . Elem . Y def . 1 f . mifst eine Gröfse b Grofse a , wenn b , mit einer ganzen Zalil multipliziert , die Grofse a ergiebt , oder , indem wir mit Elem . VII def . 3 statt des allgemeinen Begriffes Grofse die Zalil einsetzen , eine Zahl a wird von einer Zahl b gemessen , wenn b ein Teiler ( μέρος ) von a ist . Wenn es dann weiter heifst καὶ τρίτον ( ἀρινθμὸν ) καὶ ἑξῆς · καὶ οὕτως εὗρεν τὸν ὑπὸ πάντων τῶν ἑπτὰ ἄστρων μετρούμενον ἀριθμόν ) , 80 sieht man deutlich , dafs die Zahl von Jahren der συναποκατάστασις von Sonne und Mond zuerst vermehrt wurde durch die Hinzufiigung eines Planeten . Welcher Planet dies war und welche Umlaufszeit von Sosigenes in Rechnung gestellt wurde , wissen wir nicht ; doch ist es gestattet , als τρίτον ἄστρον des Proklos entweder den Merkur oder die Venus zu setzen . Nehmen wir nun an , dafs Sosigenes bei Berechnung der Umlaufszeit des einen oder des andern Gestirns mit der Annaherung auf ganze Tage sich begniigte , so waren diese einzurichten zu ungelenken Jahresbriichen , woraus dann ahnlich wie vorher eine weit iiber 3 Millionen Jahre hinausreichende zAveite Zahl fiir die συναποκατάστασις der Sonne , des Mondes und des Planeten zu berechnen war . Und so war fortzufahren bis zur sechsten Zahl , welche die συναποκατάστασις aller sieben Gestirne umfafste ; das war jene grofste Zahl , die bei Proklos , wenn auch nicht voUstandig , doch insoweit erhalten ist , dafs wir uns von ihrem Umfange eine geniigende Vorstellung machen konnen . 1 ) II . Zu Μέλισσα ΚݲΓݲ . ΚݲΖݲ , S . 24 f . 2729 . Theon von Smyrna hat in dem Abschnitte iiber die Zahlenlehre ( S . 18,3 — 46,19 der Ausg . von Hiller ) , wie er selbst ( S . 17 , 25 ff . 47 , 11 ff . ) angiebt , lediglich τὰ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν παραδοθέντα , und zwar , wie aus S . 47 , 12 f . zu schliefsen ist , in Form einer erlautemden Paraphrase wiederholt . Da er nun bald darauf in dem Abschnitte περὶ ἁρμονίας καὶ συμφωνίας ( 49 , 6 f . ) den Peripatetiker Adrastos als Gewahrsmann nennt und 50 , 4 eine Aufserung desselben iiber die betreffende Lehre der Πυθαγορικοί anfiihrt , so liegt die Vermutung nahe , dafs auch der Abschnitt iiber die Pythagoreische Zahlenlehre aus Adrastos , und zwar aus dessen Kommentar zum Timaios , geschöpft sei . 1 ) In dem vorletzten Kapitel dieses Abschnittes , das im Cod . Marcianus 307 die zwar erst nachträglich hinzugefügte , aber durch den Text S . 43 , 2 bestatigte Uberschrift περὶ πλευρικῶν καὶ διαμετρικῶν ἀριθμῶν aufweist , finden wir die umstandliche Entwickelung von zwei Zahlenreihen , deren eine die sogen . πλευραί , die andere die διάμετροι enthalt . Aus der von Theon benutzten Quelle riihrt augenscheinlich auch her , was Proklos im Kap . χݲγݲ als eine Pythagoreische anfiihrt . Grleich aus den Eingangsworten erkennen wir den verstandigen Berichterstatter , und einen nicht minder giinstigen Eindruck erweckt die darauf folgende knappe und sachgemilfse Darstellung . Wir haben also hier , abgesehen von den Kürzungen , einen an die Quelle sich eng anschliefsenden Bericht , wahrend Theon eine ziemlich umstandliche Paraphrase bietet , die bei dem Leser ein moglichst geringes Mafs mathematischer Kenntnisse voraussetzt . Auch in Kap . κζ handelt Proklos iiber πλευρά und διά - μετρος , aber nicht blofs im arithmetischen , sondern auch , gemäfs der eigentlichen Bedeutung dieser Worte , im geometrischen Sinne . Hier hat ihm eine andere Quelle als die vorher in Kap . χݲγݲ benutzte vorgelegen , vielleicht die μαθημάτων des Geininos , die er im Kommentar zum I ; Buche der Elemente Euklids so ausgiebig benutzt hat . Nach Theon a . a . 0 . , dem sich Jamblichos anschliefst 1 ) , war die Doppelreihe der durch die geometrischen Ausdriicke πλευρά und διάμετρος bestimmten Zahlen ( πλευρικοὶ καὶ λόγοι bei Theon 43 , 2 ) von Nesselmann 2 ) , CANTOR 3 ) und anderen behandelt worden . Dabei hatte Nesselmann ( S . 231 ) mit Recht hervorgehoben , dafs keiner der ( damals bekannten ) Autoren uns irgend einen Wink dariiber giebt , wie man auf die Auflosung der durch diese Doppelreihe angezeigten Glei - chungen gekommen ist . Diese Lucke der Tradition wird nun durch den hier vorliegenden Text ausgefiillt und es ist danach moglich geworden , nicht nur die eigentliche Doppelreihe der πλευραί und διάμετροι geometrisch darzustellen , sondern auch den Pythagoreischen Ursprung der Reihen sowohl-der geometrischen als der daraus abgeleiteten arithmetischen Funktionen zu erweisen . 4 ) Je naher man den Kommentar des Proklos zum I . Buche der Elemente kennen lernt , desto deutlicher treten die Verdienste hervor , die der Verfasser durch eine sorgfaltige Aus - wahl der Quellen und durch die Bethatigung eines streng historischen Sinnes sich um die Geschichte der Mathematik erworben hat . In der hier vorliegenden Abhandlung zu Platons Republik hatte er in Kap . χݲγݲ , auf Adrastos fufsend , Pythagoreer als Erfinder der Reihe der ῥηταὶ διάμετροι genannt und zugleich angedeutet , dafs diese Reihe aus einer ahnlichen , welche die ἄρρητοι διάμετροι ( mithin auch die dazugehörigen πλευραί ) enthielt , hervorgegangen war . Zu den all gemeinen Satzen der Pythagoreer fiigte er dann die von Platon daraus abgeleitete Erklarung der Zahl 48 hinzu ( S . 25 , 6 ff . ) . Ahnlich werden in Kap . χݲζݲ οἱ Πυθαγόρειοι καὶ Πλάτων und bald darauf vdrd , gleich als ob jedem Zweifel an der Prioritat der Pythagoreer vorgebeugt werden i solle , liinzugefiigt : προετίθεσαν δὲ οἱ Πυθαγόρειοι τούτου τοιόνδε θεώρημα γλαφυρὸν περὶ τῶν διαμέτρων καὶ πλευρῶν u . s . w . Wenn nun bald darauf mit den Worten δείκνυται διὰ τῶν ἐν τῷ δευτέρῳ στοιχείων γραμμικῶς auf Eukl . Elem . II 10 hingewiesen wird , so folgt aus der Erwahnung dieses Satzes , der zu dem Beweise des ersterwahnten Theorems dient , durchaus nicht , dafs auch dieses Theorem erst in der Zeit nach Euklid entstanden sei . Denn die allermeisten Satze der Elemente waren schon langere oder kiirzere Zeit vor Euklid , namentlich von den Pythagoreern und Eudoxos , festgestellt worden , und auch an der Form mag Euklid zumeist wenig geandert haben ; nur die methodische Anordnung des gesamten Stoffes und dessen Erganzung in einzelnen Punkten war sein eigenes wohlgelungenes Werk . Wenn hier bei Proklos die glaubwiirdige Uberlieferung vorliegt , dafs die Pythagoreer die Doppelreihe der Seiten und Diagonalen gefunden und durch geometrische Konstruktion erwiesen haben , so ist auch jedes einzelne Glied der Beweisfiihrung als Pythagoreisch anzusehen , und wenn ein solches Einzelglied spater dem II . Buche der Elemente eingereiht worden ist , so bestatigt das nur die nach anderen Erwagungen wahrscheinliche Annahme , dafs das ganze zweite Buch der Elemente , ebenso wie erwiesenermafsen das erste , aus Satzen besteht , die schon von den Pythagoreern gefunden und bewiesen worden waren , Wie aus dem Anfange von Kap . κζ hervorgeht , waren die Pythagoreer von der Beobachtung ausgegangen , dafs die Diagonale eines Quadrates mit rationaler Seite irrational ist . 1 ) Weiter aber bildeten sie eine von 1 aufsteigende Doppelreihe von Seiten - und Diagonalzahlen von der Eigenschaft , dafs die Quadrate der Diagonalzahlen jedesmal nur um das ganzzahlige Minimum 1 von den doppelten Quadraten der Seitenzahlen sich unterschieden , mithim , zu je gröfseren Zahlen die Doppelreihe aufsteigh , der Unterschied relativ desto geringer und zuletzt verschwindend klein wird . 1 ) Ehe man nun diese Zahlenreihen aufstellen konnte , mufste anf geometrischem Wege eine Doppelreihe von Seiten und Diagonalen von der Eigenschaft gebildet werden , dafs in der Reihe der Seiten jede folgende Seite gleich war der Summe der vorhergehenden Seite und Diagonale , und in der Reihe verdoppelten vorhergehenden Seite und der vorhergehenden Diagonale ( S . 27 , 13—16 ) . Um eine solche Doppelreihe aufzubauen , bedurfte es des schon erähnten Hülfssatzes , der von den Pythagoreern gefunden und später von Euklid in das II . Buch der Elemente aufgenommen worden ist : wenn eine Gerade AD in zei Abschnitte AB=BC und einen dritten beliebigen Abschnitt CD geteilt wird ( Fig . 1 ) , so ist AD2 + CD2 = 2AB2 + 2BD2 , oder in algebraischer Formel ( a+b)2+b2=2(a/2)2+2(a/2+b)2 . Wenn nun ( Fig . 2 ) liber A B ein Quadrat mit der Diagonale B E konstruiert und auf der Verlangerung von A B zuerst B C = A B und dann CD = B E eingetragen wird , so beweist man mit Hilfe des eben angefuhrten Satzes , dafs die Diagonale des iiber Β D errichteten Quadrates =2 A B + CD = 2 AB + BE ist . 1 ) Es ist also aus Seite A B + Diagonale Β Ε des ersten Quadrates eine zweite Seite B D , und aus 2 AB +| Diagonalw B E eine zweite Diagonale D F gebildet worden . Weiterkann man aus der zweiten Seite und der zweiten Diagonale eine dritte Seite und eine dritte Diagonale bilden ( Fig . 2 ) und dieses Yerfahren beliebig fortsetzen , kurz man erhalt , wenn man der Reihe nach die Seiten mit s 1 , s2 , u . s . f . und die Diagonalen mit d 1 , d 2 u . s . f . bezeichnet , die Doppelreihe d 1 , d 2=2 s1 + d 1 , d 3 = 2 s 2 + d 2 , . . . , in welcher das Quadrat jedes unteren Gliedes gleich dem dop - pelten Quadrate des dariiber stehenden Gliedes ist . Aufser dieser geometrischen Darstellung entwickelten nun die Pythagoreer ( S . 28 , 10 — 29 , 4 ) eine Doppelreihe von ratio - nalen und ganzen Zahlen , indem sie die erste Seite = 1 setzten und fur die erste Diagonale statt des ihr zukommenden Zahlenwertes 1 2 die nachste ganzzahlige Annaherung 1 eintreten liefsen . Das war , im Gegensatze zu der ἄρρητος διάμετρος τῆς μονάδος , d . i . der eigentlichen Diagonale des Quadrates liber der Seite 1 , die ῥητὴ διάμετρος τῆς μονάδος , und ihr folgten die ῥηταὶ διάμετροι τῆς δυάδος = 3 ( S . 28 , 17 — 21 ) , τῆς πεμπά - δος = 7 ( Plat . Staat 546 C , Procl . 28 , 22–27 ) u . s . wir nun , ahnlich wie vorher , die Zahlen der Seiten mit Sj , Sg . . . und die ῥηταὶ διάμετροι oder Diagonalzahlen mit δ 1 , δ 2 . . . , so wird die vorhergehende Doppelreihe umgebildet zu in welcher zwar nicht mehr , wie vorher , das Quadrat jedes unteren Grliedes gleich dem doppelten Quadrate des oberen Gliedes sein kann , die Differenzen aber stetig = 1 bleiben , und zwar alternierend nach der Seite des Plus oder Minus hin . Dies wird bei Proklos ( 28 , 10 — 29 , 4 ) fiir die Anfangsglieder , wie die folgende Tabelle zeigt , im einzelnen ausgefiihrt : Seiten - zahlen Diagonal - zahlen 1 1 2 3 5 7 12 17 Doppelte Quadrate der Seitenzahlen Quadrate der Diagonalzahlen Differenzen 2 2 2 2 = 8 2 . 5 2 = 50 2 . 12 2 = 288 3 2 = 9 7 2 = 49 17 2289 + 1 — 1 + 1 — 1 Durch die Schlufsworte καὶ ἀεὶ οὕτως ( 29 , 4 ) weist Proklos darauf hin , dafs die Reihe nach der angegebenen Regel beliebig fortgesetzt werden kann und dafs die Differenzen stetig so wechseln werden wie bei den ersten vier Gliedern . Daraus geht zugleich hervor , dafs die Summe der Quadrate von je 2 benachbarten Diagonalzahlen gleich der doppelten Summe der Quadrate von je 2 entsprechenden Seitenzahlen ist , z . B . 32 + 7 2 = 2 ( 2 2 + 52 ) . Dies hat Proklos in Kap . χݲγݲ , wo er Adrastos folgte , kurz erwahnt 1 ) und aus derselben Quelle hinzugefügt , dafs die Summe der Quadrate “ aller " Diagonalzahlen , d . i . eine unendliche Reihe von Quadratzahlen , gleich der doppelten Summe der Quadrate aller Seitenzahlen sein wird . Kehren wir nun wieder zu dem Anfange von Kap . κζ zurück . Die Pythagoreer hatten beobachtet , dafs es ( im Bereiche der rationalen und ganzen Zahlen ) keine Quadratzahl giebt , die doppelt so grofs als eine andere Quadratzahl ware . Weitere Untersuchungen , die sie daran kniipften , fiihrten zu den folgenden Ergebnissen : 1 ) Es ’ giebt eine unendliclie Reihe von Quadratzahlen , deren Glieder je von dem doppelten Quadrate einer anderen Zahl nur um 1 sich unterscheiden , sodafs die Differenz zuletzt verschwindend klein wird . 2 ) Die Summe von je zwei benachbarten Quadratzahlen dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe von je zwei anderen Quadratzahlen . 3 ) Die Summe aller Glieder dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe einer andern unendlichen Reihe von Quadratzahlen , in welcher jedes Glied sich um den Zahlenwert 1/2 von der Hälfte des entsprechenden Gliedes der ersten Reihe unterscheidet . 4 ) Die Giieder beider Reihen sind aus der Quadrierung der sogen . Diagonal - und Seitenzahlen hervorgegangen . Bildet man eine Reihe der Verhältnisse jeder Diagonalzahl zu der ihr zugehorigen Seitenzahl , so erhalt man immer genauere Naherungswerte für ABBREV2 . In sprachlicher Hinsicht läfst der Bericht des Proklos hin und wieder die Schärfe und Deutlichkeit der mathematischen Ausdrucksweise vermissen . Die Worte S . 27 , 6 ff . sind zunächst durch eine Einschaltung zu erklären : ἐπενόησαν οὕτω λέγειν οἱ Πυθαγόρειοι καὶ Πλάτων , τῆς πλευρᾶς οὔσης ῥητῆς , τὴν διάμετρον ῥητὴν οὐχ ἁπλῶς ἀλλ᾿ ἐν οἷς <ἥ τε πλευρὰ καὶ ἡ διάμετρος> δύνανται τετραγώνοις . Hier genügt es auf das Platonische Beispiel ( Staat 546 C ) hinzuweisen : die Diagonale eines Quadrates , dessen Seite = 5 ist , hat den Wert ABBREV2.5 2 = 5ABBREV2 ; dieser ist inkommensurabel zu 5 , aber das Quadrat von 5ABBREV2 = 50 ist kommensurabel zu dem Quadrate von 5 = 25 ( Eukl . Elem . X def . 1 f . ) . Wenn es nun mit Beziehung auf τὴν διάμετρον weiter heifst τοῦ διπλασίου λόγου , ὅν δεῖ τὴν διάμετρον ποιεῖν , ἢ μονάδι δέουσαν ἢ μονάδι πλεονάζουσαν , so meint Proklos , wie auch die von ihm hinzugefügten Beispiele zeigen , dafs das Quadrat der ῥητὴ διάμετρος entweder um 1 gröfser ist als das doppelte Quadrat der Seite , z . B . 3 2 = 2.2 2 + 1 , oder um 1 kleiner , z . B . 7 2=2.5 2 — 1 . Bald darauf ( S . 28 , 14 ) wird die ῥητὴ διάμετρος erklärt als μονάδι ποιοῦσα ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς . Statt ποιοῦσα hatte es eigentlich δυναμένη heifsen müssen ; doch erklärt sich der abweichende Ausdruck aus Z . 20 f . γίνεται τριὰς καὶ ποιεῖ τὸν ἐννέα , wo hinter καὶ die Worte ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιαζομένη hinzuzudenken sind , Dann hat Proklos mit τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς offenbar τοῦ δὶς ἀπὸ τῆς πλευρᾶς gemeint ; doch ist δὶς nicht etwa in den Text einzuschalten , denn Ζ . 21 und 26 heifst es ahnlich , dafs das Quadrat 9 um 1 grofser ist τοῦ ἀπὸ δυάδος und das Quadrat 49 um 1 kleiner τοῦ ἀπὸ τῆς πεμπάδος , beide Male im Sinne von τοῦ δὶς ἀπὸ δυάδος , bez . πεμπάδος . Erst am Ende des Kapitels ( S . 29 , 2–4 ) hat er wieder an den genauen Ausdruck erinnert , denn er erklart die Zahl 17 2= 289 als μονάδι μείζων ἢ διπλάσιος τοῦ ἑκατὸν τεσσαράκοντα τέσσαρα , d . i . um 1 gröfser als III . Zu Μέλισσα ΛΕ , S . 36 , 3—42 , 10 . Die geometrische Zahl Platons ( Staat 546 B . C ) wird von Proklos unter folgenden , gleich zu Anfang angefiihrten Gesichtspunkten behandelt : ἀριθμητικῶς S . 36 , 7 — 40 , 1 , γεω - μετρικῶς 40 , 2 — 42 , 12 , μουσικῶς 42 , 12 — 43 , 19 , ἀστρονομικῶς 43 , 20 — 45 , 16 , endlich διαλεκτικῶς 45 , 17 — 54,24 , wonach zu Anfang von Kap . λζ mit den Worten εἰ ἔστιν ὁ ἀριθμὸς οὗτος καὶ ἐν τῷ παντὶ δηλούμενος u . s . w . der Abschlufs der Untersuchung über die geometrische Zahl angedeutet wird . Von diesem langen Abschnitte hatte Schoell nur den Schlufs ( 54 , 3 — 24 ) veroffentlichen konnen . Der jetzt vorliegende , nahezu voUstandige Text bietet nach verschiedenen Seiten hin wichtige Aufschliisse , giebt aber auch neue Ratsel auf . Das alles zu untersuchen wird eine Aufgabe fiir sich sein ; hier konnen nur einige sachliche Erlauterungen zu dem Berichte des Proklos beigefiigt werden . Bei der arithmetischen Erklarung der Platonischen Stelle hat Proklos zu Anfang sich eng an die einzelnen Textesworte angeschlossen ; diese mogen also im Folgenden jedesmal vorangestellt werden . αὐξήσεις δυνάμεναί τε καὶ δυναστευόμεναι ] im Proklostexte ( 36 , 7–11 ) sind an sieben Stellen zusammen als 120 Buchstaben ausgefallen ; doch geht aus den erhaltenen Resten wenigstens soviel hervor , dafs αὐξήσεις δυνάμεναι die Erhebung ganzer Zahlen ins Quadrat , und δυναστευόμεναι die Wurzeln einer Quadratzahl bedeuten . Damit hat sich Platon in freierer Nachbildung an den Sprachgebrauch der Mathematiker angeschlossen , mithin auch es , vermieden , etwa Kubikzahlen , wie man auf den ersten Blick aus 36 , 21 — 25 vgl . mit 37 , 9 — 14 schliefsen konnte , als δυνάμεναι , und Kubikwurzeln als δυναστευόμεναι zu bezeichnen , ὁμοιούντων καὶ ἀνομοιούντων καὶ αὐξόντων καὶ φθινόντων ] namlich ἀριθμῶν , wie Proklos 36 , 13 mit Recht suppliert . Ὁμοιοῦντες sind nach ihm die Quadrat - und Kubikzahlen , ἀνομοιοῦντες solche Zahlen , die nicht durchweg aus gleichen Faktoren bestehen . Die letzteren sind entweder αὔξοντες , d . i Produkte von zwei einander gleichen Zahlen und einer dritten grofseren Zahl , oder φθίνοντες , d . i . Produkte von zwei einander gleichen und einer dritten kleineren Zahl . Die ersteren Produkte werden δοκίδες , Balken , die letzteren πλινθίδες , Ziegel , benannt . τρεῖς ἀποστάσεις , στάσεις , τέτταρας δὲ ὅρους λαβοῦσαι ] ὅροι sind die Glieder einer Proportion 1 ( ; zwischen vier Gliedern einer stetigen Proportion giebt es drei ἀποστάσεις , z , B . bei 1:2 = 2:4 = 4:8 die Abstande von 1 zu 2 , von 2 zu 4 und von 4 zu 8 . 2 ) πάντα προσήγορα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα ἀπέφηναν ] diese Worte citiert Proklos 36 , 23 in der Fassung πάντα ῥητὰ καὶ προσήγορα ποιοῦσιν und erklart sie durch den Zusatz καὶ τοὺς δυναμένους καὶ τοὺς δυναστευομένους , καὶ τοὺς ὁμοιοῦντας καὶ τοὺς δνομοιοῦντας ἀλλήλοις , καὶ τοὺς αὔξοντας καὶ φθίνοντας . Dazu gebe es eine geometrische Figur διάγραμμα ) , in welcher auf einer Querlinie zwei Schenkel sich erheben . Auf der horizontalen Geraden seien die ὁμοιοῦντες und von den ἀνομοιοῦντες sowohl die αὔξοντες als die φθίνοντες einzutragen ; alle diese Zahlen seien durch den noch darzulegen - den ἐπέτριτος πυθμήν verbunden . Auf den Schenkeln des von der Horizontaien aufsteigenden Winkels sollen die Qyadrat - zahlen und ihre Wurzeln eingetragen werden . Die in der Handschrift fehlende Figur hat also drei Gerade etwa in der Zusanunenstellung V gezeigt . Unterhalb der Basis haben , wie es scheint , die Zahlen κζ' , λζ' , μη' , ξδ' gestanden , von denen κζ' und ξδ' ὁμοιοῦντες , die beiden anderen aber ἀνομοιοῦντες sind , und zwar λς' ein αὔξων , μη' ein φθίνων , wie sofort sich zeigen wird . Zu den Schenkeln mufsten zuerst die Zahlen γ' und δ' , die den ἐπίτριτος πυθμήν bilden , beigeschrieben sein , vemiutlich γ' zu dem einen , δ' zu dem andem Schenkel . Dann kamen oberhalb von γ' , bez . δ' , die Quadratzahlen θ' und ις' und dariiber standen , wenn es auch keine δυνάμενοι im eigentlichen Sinne waren , die Kubikzahlen κζ' und ξδ' . Zum Schlusse hat Proklos , soweit es sich aus dem luckenhaften Texte ersehen lafst , noch darauf hingewiesen , dafs alle diese Zahlen sowie ihre Verhaltnisse zu einander rational und aus - sprechbar sind . ὧν ἐπίτριτος πυθμήν ] das sind nach Proklos 37,5 die Zahlen γ' und δ' . Beide werden ins Quadrat erhoben ; da aber diese Quadrate zu einander ein anderes Verhaltnis als das von 3:4 haben , so ist , um den ἐπίτριτος πυθμήν durchzufiihren , zwischen 9 und 16 als mittlere Proportionale die Zahl 3,4 = 12 einzuschieben . 1 ) Weiter werden 3 und 4 in ihre Kuben erhoben . Nun geniigt , um zwischen 27 und 64 das Verhaltnis 3:4 durchzufuhren , nicht mehr eine mittlere Proportionale , sondem es sind deren zwei zu bilden . 2 ) So erhalten wir 3 3 : 3 2.4 = 3 2 . 4:3.4 2 =3 . 4 2:4 3 , d . i . 27 : 36 = 36:48 = 4864 . Die Zahl 36 heifst , wie schon erwahnt wurde , δοκίς , denn das Quadrat von 3 ist mit einer grofseren Zahl als 3 multipliziert ; die Zahl 48 erscheint als πλινθίς , denn das Quadrat von 4 ist mit einer kleineren Zahl als 4 multipliziert . Hier ist ahnlich , wie vorher zu Μέλισσα χݲγݲ und κζ , den Unterschied zwischen der arithmetischen und geometrischen Darstellung hinzuweisen . In arithmetischer Form miissen δοκίς und πλινθίς Produkte ganzer Zahlen sein 3 ) , wie auch die Kuben , zwischen denen sie als mittlere Proportionalen eingeschaltet werden , ganzzahlige Wurzeln haben . Das kleinste ganzzahlige Beispiel bieten die Kuben 1 und 8 , zwischen denen die δοκίς = 1 . 1 . 2 und die πλινθίς = 2 . 2 . 1 ist . Allein eine solche Einschaltung kann auch stattfinden , wenn nicht , wie hier , der grofsere Wurfel zu dem kleineren in dem Verhaltnisse einer ganzen Zahl zu 1 steht , sondern auch , wenn das Verhaltnis einer ganzen Zahl n zu einer kleineren Zahl m , die grofser als 1 sei , gegeben ist . Das Platonische , auf dem ἐπίτριτος πυθμήν beruhende Beispiel kann ausgesprochen werden als die Aufgabe , einen Wiirfel zu konstruieren , der 6/2 4/7 so grofs als ein gegebener Wurfel sei . Dann setzen wir den gegebenen Wiirfel = 27 Kubikeinheiten , mithin seine Kante = 3 Längeneinheiten ; demnach wird der gesuchte Wiirfel 64 Kubikeinheiten und seine Kante 4 Langeneinheiten haben . Nach dem Verhältnis von Kante zu Kante = 3:4 werden nun die Zahlen 27 , 36 , 48 , 64 zu einer stetigen Proportion verbunden und daraus erhellt , dafs zwischen den beiden Wiirfeln eine δοκίς , d . i . ein rechtwinkliges Parallelepiped mit der Breite und Hohe = 3 und der Lange = 4 , sodann eine πλινθίς mit der Lange und Breite = 4 und der Hohe = 3 1 ) derart eingeschoben sind , dafs von dem kleineren zu dem grofseren Wiirfel eine viergliedrige , stetige Proportion nach dem durch die Kanten der Wiirfel gegebenen Verhaltnisse besteht . Damit ist zugleich die geometrische Darstellung vorbereitet . Nach der Pythagoreischen Lehre hatten wir es vorher nur mit ganzen Zahlen und ihren Verhaltnissen zu thun . Das bekannte delische Problem der Wurfelverdoppelung war fiir Platon , der sich in der Zahlenlehre ganz an die Pythagoreer anschlofs , auf arithmetischem Wege unlosbar ; denn die dritte Wurzel aus 2 war eine unaussprechbare Grofse und deshalb konnte auch das Zahlenverhaltnis 1 : ½ nicht zur Losung des Problems verwendet werden . Was aber in arithmetischer Form unsagbar war , konnte doch geometrisch konstruiert werden . Wie man von dem 8 mal so grofsen Wiirfel zuriickgegangen war auf seine Kante und erkannt hatte , dafs 2 die erste von den beiden mittleren Proportionalen zwischen 1 und 8 ist , so war der doppelt so grofse Wiirfel gefunden , wenn es auf geometrischem Wege gelang zwischen zwei Geraden , die sich zu einander wie 1 : 2 verhielten , zwei mittlere Proportionalen zu konstruieren , denn das erste Mittelglied war dann die Kante des doppelt so grofsen Wiirfels . Platon hat sich aber nicht damit begniigt , eine solche Gerade durch eine besondere Vorrichtung annahernd darzustellen 1 ) , sondern er hat auch , wie wir aus unserm Proklos - texte in Verbindung mit der vielbesprochenen Timaiosstelle 32 A . B erkennen , den Weg gezeigt , wie aus dem gegebenen Verhaltnis zweier Korper das die beiden Korper durch eine viergliedrige Proportion verbindende Verhaltnis 1 ) von zwei Geraden zu entwickeln ist . Es seien zwei ahnliclie rechtwinklige Parallelepipede oder zwei Wiirfel Α und D gegeben , die sich zu einander wie die Zahlen a:d verhalten . Wenn man nun das Yerhaltnis a:d geometrisch durch zwei Gerade darstellt und dazu die mittleren Proportionalen b und c konstruiert , so ist an Stelle des Verhaltnisses der dreidimensionalen Grofsen Α und D ein Verhältnis der eindimensionalen Grofsen und b getreten . Nach diesem Verhaltnisse wird nun zuerst zu dem Korper Α ein Mittelglied Β gebildet , das mit Α zwei Dimensionen gleich , die dritte aber , da sie mit — multipliziert a wird , verschieden hat . Durch weitere Anwendung desselben Verhaltnisses tritt dazu ein zweites Mittelglied V , das mit Β zwei Dimensionen gleich , die dritte aber verschieden hat , und in ahnlicher Weise findet drittens auch der Übergang von C zu D statt oder , um die Ausdrdcke nach ’ Vorgange zu wahlen : zwischen zwei Wiirfeln Α und D , deren Verhaltnis a : d gegeben ist , wird , nachdem a:b = b:c=c:d bestimmt worden , nach dem stetigen Verhaltnisse a : b dem Wiirfel Α die δοκίς Β , dieser die πλινθίς C zur Seite gestellt . Da nun auch C : D sich wie a : b verhalten , so ist von Α tm D eine viergliedrige stetige Proportion hergestellt . Solche Erwagungen haben Platon vorgeschwebt , als er im Timaios ( 32 A . B ) die bei der Vergleichung von Wiirfeln erprobten geometrischen Grundanschauungen auf ein gebundenes Verhaltnis der Elemente zu einander ubertrug . Des weiteren hatte Proklos , dem Texte Platons folgend , die schwierigen Worte πεμπάδι συζυγείς erklaren soUen . Doch ist er , oder vielmehr sein unbekannter Gewahrsmann diesem Hindemisse aus dem Wege gegangen und hat gemeint , spater ( 39 , 14 f . 25 f . ) es beilaufig durch eine freilich nicht stichhaltige Auslegung beseitigen zu konnen . Überhaupt finden wir bei Proklos von 37 , 12 an statt einer methodischen , an den Platontext eng sich anschliefsenden Interpretation zumeist nur willkiirliche Kombinationen . Es werden gebildet 27 + 48 = 75 und 36 + 64 = 100 . 1 ) Dann hat der von ihm benutzte Autor die Platonischen Worte ἑκατὸν τοσαυτάκις herausgehoben und durch Multiplikation mit 100 die Zahlen 7500 und 10000 gebildet , von denen die letz - tere die ἰσάκις ἴση ἁρμονία ( = 100 , 100 ) , die erstere die προμήκης ( = 75 , 100 ) sei . Aus dem , was weiter folgt , geniigt es auf die Umschreibung von Platons Worten ἰσομήκη μὲν τῇ , προμήκη δέ durch ἡ δὲ ἰσομήκης μὶν ἐκείνῃ διὰ τὸν ρ' , προμήκης δὲ διὰ τὸν οε' ( 37 , 20 ) hinzuweisen . Die Zahlen 10000 und 7500 haben , als Rechtecke betrachtet , die gleiche Lange 100 ; aber nur 10000 ist ἰσομήκης , weil auch die Breite = 100 ist , dagegen 7500 προμήκης , weil hier die Lange 100 grofser als die Breite 75 ist . Weiter wird von dem Gewahrsmann des Proklos , um die Worte ἑκατὸν μὲν ἀριθμῶν ἀπὸ διαμέτρων ῥητῶν πεμπάδος , δεομένων ἑνὸς ἑκάστου , ἀρρήτων δὲ δυεῖν , ἑκατὸν δὲ κύβων τριάδος zu erklaren , 7500 = 48 . 100 + 3 3 . 100 gesetzt . Dann zieht er statt der ἑκατὸν ἀριθμοί u . s . w . nur einen ἀριθμὸς ἀπὸ διαμέτρου ῥητῆς πεμπάδος δεόμενος ἑνός , τοῦ ἀπὸ ) ἀρρήτου δὲ ( δεόμενος ) δυεῖν in Betracht . 2 ) Das soll die Zahl sein , denn die πεμπάς , als Seite eines Quadrates betrachtet , erzeugt eine Diagonale oder ἄρρητος διάμετρος = 1/50 und eine ῥητὴ διάμετρος = 7 ( vgl . oben zu Μέλισσα κݲγݲ . κζ ) . Da es um Zahlenwerte ἀπὸ διαμέτρου u . s . w . handelt , so sind 150 und 7 in ihire Quadrate 50 und 49 zu erheben ; dann ziehe man von 50 zwei Einheiten und von 49 eine Einheit ab , um ein und dieselbe Zahl zu erhalten . So soU Platon die Entstehumg der Zahl 48 sich gedacht haben ( 38 , 9–24 ) . folgt . eine liickenhafte Stelle und dann setzt der Text mit der abschliefsenden Erklarung ein , dafs in der That die Zahl 7500 = 100 ( 27 + 48 ) die προμήκης ἁρμονία darstelle , wobei an die Zahl 10000 nochmals erinnert , diese aber nicht , wie vor - her , ἰσομήκης , sondem ταυτομήκης ἁρμονία benannt wird . Was dann bis zum Ende von S . 39 noch folgt , sind teils Wiederholungen teils neue , ganz haltlose Zahlenkombinationen , die vielleicht aus einer anderen als der vorher benutzten Quelle geschopft sind . Im ganzen hat der bei Proklos ilberlieferte Versuch , die geometrische Zahl Platons zu erklaren , zu keinem befriedigenden Ergebnisse gefuhrt , aber nachdem so viele andere Versuche von den Neueren angestellt worden sind , werden weitere Untersuchungen jedenfalls die Aufschliisse be - riicksichtigen mussen , die Proklos iiber einzelne Punkte der schwierigen Frage gegeben hat . Auf die arithmetische Deutung der Zahl Platons folgt in unserm Texte , wie schon erwahnt wurde , der Versuch einer geometrischen Darstellung . Zu Grunde liegt das sogen . Pythagoreische Dreieck , dessen Seiten sich wie 3:4:5 verhalten . 1 ) Dieses erscheint auf Seite 41 zunachst fiir sich mit den Buchstaben A , Β , Γ und den beigeschriebenen Zahlen γݲ , δ , εݲ . Dan ist an die Seite A B ein zweites , dem ersten Dreieck angelegt , sodafs wir nun ein Dreieck ΑΖΓ mit der Normale A B vor uns haben . Die Basis Ζ Γ besteht aus den Abschnitten Β Γ = 3 und Ζ Β = 5 1/3 , denn nach Eukl . Elem . VI 8 coroll . verhalt sich ΒΓ:AB =AB:BZ . Zu AZ hatte noch ω' beigeschrieben werden soUen ( denn in den ahnlichen Drei - ecken Α Β Γ , Ζ Β Α ist ΑΒ Α Γ= ΖΒ : ΖΑ , d . i . 4:5 = 5 1/3 : 6 2/3 ) . Um die laier vorkommenden Briiche zu entfernen sind in der dritten Figur die zur zweiten Figur gehorigen Zahlen mit 3 multipliziert worden , sodafs nun ΑΓ= 16 , ΒΓ=9 , ΖΒ = 16 ΖΓ=24 , ΑΖ=20 , ΑΒ = 12 gelten ( vgl . die Erganzungen des Herausgebers zur dritten Figur ) . In der vierten Figur ist an die Kathete Α Ζ ( die dort einzuzeichnen ist ) ein dem Dreieck Α Ζ Γ ahnliches Dreieck ΖΑΚ angelegt und in diesem von Α aus das Lot Α Λ gefallt worden . Dadurch kommen zu den fur die dritte Figur nachgewiesenen Werten noch Α Λ = 16 Λ Ζ = 12 , Λ Κ=21 1/3 , ΚΑ = 26 2/3 ( die letztere , in der Handschrift fehlende Zahl ergiebt sich aus der Proportion ΑΓ=ΚΛ:KA ) . Wiederum sind nun , um die Briiche zu beseitigen , alle Werte der vierten Figur mit 3 multipliziert worden , sodafs als fiinfte Figur ein Dreieck ΚΖΓ erscheint , in welchem jede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite des an erster Stelle in der Handschrift liberlieferten Dreiecks hat , mithin Κ Γ=125 , Κ Ζ = 100 , Ζ Γ=75 gelten . Da nun , wie die Figur zeigt , diese Seiten je in zwei Abschnitte zerlegt worden sind , zu denen die Normalen ΑΖ , ΛΑ , ΒΛ die mittleren Proportionalen darstellen , so erhalten wir 4827 ΚΖ = 6436 ΚΓ=ΚΑ+ΑΓ=80+45 ( das Zahlzeichen πݲ ist in der Handschrift ausgefallen ) . Nun erinnern wir uns , dafs in der vorhergehenden arith - metischen Darlegung aus dem ἐπίτριτος πυθμήν die Proportion 27:36 = 36:48 = 48:64 entwickelt und 27 + 48 zu 75 , 3664 zu 100 summiert worden waren ; dieselben Zahlen sind hier durch geometrische Zeichnungen aus den Katheten 3 und 4 des Pythagoreischen Dreiecks entwickelt worden . Sehen wir genauer zu , so bietet die fiinfte Figur zugleich die Losung der Aufgabe „ nachdem ein Dreieck , dessen Seiten sich wie 345 verhalten , durch das aus der Spitze des rechten Winkels zur Hypotenuse gefallte Lot in zwei dem ersten ahnliche Dreiecke , und weiter jedes Teildreieck in ahnlicher Weise in zwei Dreiecke zerlegt worden ist , sind die kleinsten ganzzahligen Werte sowohl fiir die Seiten des ersten Dreiecks als auch fiir die Seiten der Teildreiecke zu finden . " Der Name des Autors , bei welchem Proklos jene fiinf Zeichnungen und den zugehorigen Text vorgefunden hat , ist zwar S . 42 , 10 in einer Liicke von 9 Buchstaben geschwunden ; doch lafst er sich mit einiger Wahrscheinlichkeit wieder her - stellen . Nach Proklos 64 , 5 f . hat Nestorios τὸν περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου λόγον ἀπόρρητον ans Licht gestellt . Er war Grofsvater des Plutarchos und letzterer Lehrer des Proklos . Setzen wir , ganz ungefahr , vom Grofsvater zum Enkel zwei , und vom Lehrer zum Schiiler eine Generation , so wird uns Nestorios um etwa 100 Jahre alter als Proklos erscheinen , wo - nach des ersteren Bliitezeit um die Mitte des 4 . Jahrhunderts fallen wiirde . Nun wird Nestorios von Proklos 64 , 6 als ὁ θεῖος ὄντως gepriesen 1 ) , an der Stelle aber , mit der wir es vorher zu thun hatten , ist es ( 42 , 10 ) ὁ μέγας . . . . . . . . . gewesen , der aus dem ὀρθογώνιον τρίγωνον mit den Katheten 3 und 4 die Zahlen 27 , 36 u . s.w . bis 100 entwickelt hat . SoUte also nicht bei dieser Erorterung iiber besondere Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks hinter ὁ μέγας in der Lücke von 9 derselbe Autor zu erganzen sein , der von Proklos weiter unten als Verfasser einer Abhandlung περὶ τοῦ ὀρθογωνίον τριγώνου durch ὁ θεῖος ὄντως hervorgehoben wird ? An die Figuren des Nestorios hat , wie Proklos 40 , 25 bis 42 , 9 berichtet , ein gewisser Paterios , dessen Epoche zwischen Nestorios und Proklos zu setzen ist , eine schiilerhafte Ausrechnung angekniipft , die jedoch von grofsem historischen Interesse ist , weil sie eine um drei bis vier Jahrhunderte vor der Niederschrift des mathematischen Papyrus von Akhmim zuriickliegende Sammlung von Beispielen zur agyptischen Teilungsrechnung bietet . 2 ) Die fiinfte Figur des Nestorios war durch Hinzufugung ahnliclier Dreiecke zu einem ersten Drei - eck ΑΒΓ entstanden ( S . 40 , 25 — 27 ) , sodafs zuletzt in dem Dreieck XZFjede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite von ΑΒΓ hatte . Es lag nun sehr nahe , das von Nestorios an funfter Stelle gebildete Dreieck als erstes , und dessen Seiten der Eeihe nach gleich 3 , 4 , 5 zu setzen . Nachdem die Normale ZA gezogen war , berechnete man zuerst nach der Proportion ΚΓ : ΚΖ = KZ:AK , d . i . 5 : 4 = 4 : x , den Abschnitt ΚΑ = 3 1/5 , dann durch einen ähnlichen Ansatz den Abschnitt ΑΓ=14/5 , die Normale ΖΑ = 22/5 , und so fort die iibrigen Stucke . Zuletzt wurde , um die Richtigkeit der Ausrechnungen zu bestatigen , jeder so ermittelte Wert mit 25 multipliziert ; dann mufsten die der fiinften Figur des Nestorios beigeschriebenen Werte herauskommen , z . B . ΑΓ=1~4/5Χ24 = 45 u . s . w . Diesen Weg haben nach Proklos ( 40 , 27 ) „ andere " , nament - lich Paterios ( 42 , 9 ) eingeschlagen , dabei aber statt der gemeinen Brüche nach agyptischer Rechnungsweise Reihen Einheitsteilen , μόρια , angewendet . 1 ) Die in der Handschrift an sechster Stelle iiberlieferte Figur , verglichen mit dem Texte S . 40 , 27 — 42 , 8 , zeigt trotz einiger Schreibfehler 2 ) deutlich ge - nug , welche Zahlen an jeder Stelle gemeint sind , aber die Figur selbst ist verderbt ; die links sich erhebende Kathete mufs verkiirzt und die andere Kathete , welche die Basis des Dreiecks bildet , verlangert werden . Fiigen wir dann die in der vierten und fiinften Figur gegebenen Buchstaben hinzu , so erhalten wir ΖΚ als Basis , ΖΓ als aufrecht stehende Kathete , und nun stimmen die handschriftlich beigefdgten Zahlenwerte so weit nicht Verderbnisse sich eingeschlichen haben ( Fig . 3 ) . α ιε οε γ Β αݲς γ΄ ιε' ν Fig . 3 Ζ Der tlberlieferung nach ist es nicht ganz sicher , ob Paterios aufser den Zahlen zu den Abschnitten der Seiten auch die Werte 3 , 4 , 5 fiir die ganzen Seiten beigefiigt hat . Da jedoch an der Stelle , wo in unserer Fig . 3 der geometrische Buchstabe Α steht , in der Handschrift ein εݲ , und an der statt des Buchstabens Λ ein δ sich findet , so kann vielleicht auch das Κ , das in der Handschrift vor den Zahlen , die zum untem Abschnitte der Kathete ΓΖ gehoren , beigefugt ist , als Schreibfehler statt y gedeutet werden . Daher habe ich zu Fig . 3 die Zahlzeichen y , d , I beigefiigt und durch Klammem angezeigt , dafs sie zu den ganzen Seiten , nicht zu deren Abschnitten gehoren . Es folgt nun die Übersicht der von Paterios für die der Seiten ausgerechneten Werte : ΖΛ =3/2 6/5 = 11/2 1/5 # x772 ; γ' ιε' κε' 3 ) , ΓΑ=9/5 =14/5 ς δ' κ' 5 ) ΑΖ = 12/5 = 2 2/5 β γ' ιε' . 6 ) AuTserdem sind noch die folgenden Summen von Ganzen und Einheitsteilen ausgerechnet 7 ) : ΓΒ + ΒΖ = ΓΖ , d . i . 1 1/15 1/75 ½1/3 1/15 1/50 = 3 . ΖΛ+ΛΚ=ΖΚ , d . i . 1 1/3 1/15 + 21/2 1/20 1/100 = 4 ΓΑ+ΑΚ=ΓΚ , d . i . 1 1/2 1/4 1/20+ 3 1/5= 5 . Zu dem Kap . Λݲݲ der Μέλισσα ( S . 66–70 ) , das Schoell veroffentlicht war , habe ich in einem Exkurse zu dessen Ausgabe ( S . 140 — 142 ) einige Erlauterungen gegeben . Die Quelle , aus welcher Proklos hier geschopft hat , zeigt eine nahe Verwandtschaft mit dem damals noch unbekannten Kap . ΛݲΕݲ ; doch ist ltzteres weit ausfiihrlicher und in der einzelnen Zahlen zuverlassiger . Exknrs von W . Kroll . Zu S . 218 , Iff . Platon giebt rep . Χ 616 e sq . nicht die Namen der einzelnen Planetenspharen , sondern nur die Farben und die Grofsenverhaltnisse ihrer Dicke . Danach lafst sich folgende Reihenfolge in den Entfernungen der Spharen von der Erde erschliefsen , die ganz zu der im Tim . 38 d stimmt ( vgl . Hdltsch bei Pauly-Wissowa II 1844 , 60 ) : 1 Fixstemsphare 5 Merkur 2 Saturn 6 Venus 3 Juppiter 7 Sonne 4 Mars 8 Mond . Was dagegen die Grofsenverhaltnisse anlangte , so fand Proklos Varianten im Platontext ; es gab eine altere Lesart ( a ) und eine jiingere ( b ) , die sich in den nach κῶλα abgeteilten Hss . fand ( vgl . Dziatzko bei Pauly-Wissowa III 960 , 27 ) und auch die unserer Hss . ist ( ich ordne in absteigender Folge ) : a 1 Fixsternsphare b 1 Fixsternsphare 7 Sonne 6 Venus 8 Mond 4 Mars 6 Venus 8 Mond 4 Mars 7 Sonne 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn . 3 . Juppiter 5 Merkur 2 Saturn . Proklos meint nun , nach der alteren Lesart ( a ) folgten die Spharen in ihrer Dicke ebenso auf einander wie die an ihnen befestigten Steme in ihrer Grofse ; nur dariiber bestehe ein Zweifel , ob nicht Venus vielmehr grofser sei als der Mond . 1)j Die andere Lesart dagegen folge wahrscheinlich den Differenzen zwischen Erdnahe iind Erdferne der Planeten , weil von diesen die Dicke der Spharen abhange ; allerdings stimme die Reihenfolge nicht ganz zu den Beobachtungen der spateren Astronomen ( am ehesten noch zu der Theorie von den ἀνελίττουσαι ) , jedoch folge Platon wohl den Astronomen seiner Zeit ( S . 219,29 ) . tJbrigens hatten sich die jungeren Gelehrten um die Dicke der Spharen nicht recht gekiimmert ( S . 222 , 4 ) . Die nun folgende Erorterung ( S . 222 , 5 ff . ) ist etwas dunkel , da Proklos es dem Leser uberlafst , den Gedankenzusammenhang herzustellen , kann aber kaum anders verstanden werden als so : die Spateren haben liber die Dicke der Spharen keine bestimmten Angaben gemacht . Allerdings schienen einen Anhaltspunkt für die Bestimmung diejenigen Zahlen zu welche fiir das Verhaltnis der Radien der Epicyklen zu denen der excentrischen Kreise von den Astronomen gegeben würden . 2 ) Aber auch diese Hoffnung stelle sich bei naherer Betrachtung als triigerisch heraus ; denn aus den Verhaltniszahlen folge gar nichts fiir die wirkliche Grofse der beiden Eadien 1 ) ; aber auch wenn man diese kenne , wisse man noch nichts iiber die Dicke der Spharen : denn sie sei weder von der Grofse der Epicyklen noch von der der Sterne noch von dem Umfange der Spharen abhangig . Das schliefse aber nicht aus , dafs Platon auf Grund alterer Beobachtungen liber Erdnahe und Erdferne der Planeten seine Reihenfolge aufgestellt habe .
Lemmas: I . Zu Μέλισσα εἰς ὁ ἐν πολιτεία λόγος ὁ Αὖ ; , S . 23 f . Die Ε der schwierigen Stelle hat zu beginnen mit der Deutung der auf ünf Grruppen verteilten grofsen Zahl . Offenbar konnen das nicht , wie die Handschrift angiebt , lauter μόνος sein , sondern die ersten vier Gruppen sind μυριάς , und erst am Schlusse werden Einheiten aufgezahlt , die als Ίτη bezeichnet sind . Die vorhergehenden Zahlen haben demnach als μυριάς ἔτος zu gelten . tjber die Unterscheidung verschiedener Stufen der Myriaden durch Ordnungszahlen πρῶτος , δύο u . s . w . ) kann nach den friiher von mir gegebenen Nachweisen kein Zweifel sein . Bekanntlich hatten die Griechen kein besonders benanntes Zahlwort iiber μύριοι oder μυριάς hinaus . Als Archimedes sein kilhnes System der bis ins Unendliche aufsteigenden Zahlenreihe entwarf , legte er sich die strenge Regel auf , keine anderen Zahlbenennungen als die im Laienmunde iiblichen zu bilden . 1 ) Über μύριοι hinaus konnten die Griechen mit Hilfe der Zahladverbien bis ,, 9999 mal 10000 " zahlen . Statt μυριάκις μύριοι setzte nun Archimedes die Zahl 1 und begann somit eine zweite Zahlen - reihe , deren sprechbare Bezeichnungen ebenso weit reichten als die der ersten Reihe , sodafs nach Erfüllung der Reihe eine dritte daran kam und dann eine vierte u . s . f . Die Zahlen der ersten Reihe nannte er πρῶτος ἀριθμός , die der zweiten δύο u . s . f , In Anlehnung an Archimedes hat ApoUonios von Perge in einer Schrift , zu welcher Erlauterungen in der συναγωγή des Pappos erhalten sind1 ) , gezeigt , dafs , um die Zahlenreihe bis zu aufserordentlich hohen Betragen auf - steigen zu lassen , es nicht notig sei Gruppen von 10000 2 Ein - heiten zu bilden . Die μυριάς selbst gab den hoheren Zahlengruppen die Namen . Die Zahlen von 10000 bis vor 10000 2 wurden von 1 an auf der Stufe der ἁπλόος μυριάς gezahlt , dann kam 10000 2 = 1 auf der Stufe der διπλόος μυριάς , 10000 31 auf der Stufe der τριπλόος μυριάς u . s . f . Noch in weit spateren Zeiten haben Domninos , Simplikios und Nikolaos Rhabdas so gezahlt . 2 ) Allein mit Recht ist von anderen Mathematikern eine ählungsweise bevorzugt worden , die von Apollonios die Gruppierung nach Myriaden und von Archimedes die Unterscheidung der Zahlengruppen durch Ordnungszahlen entnahm . Theon von Smyrna fand ür das Yolumen der Erde eine grofse Zahl von Kubikstadien , die er wahrscheinlich nach dritten , zweiten und ersten Myriaden abteilte , denen sich eine gewisse Zahl von Einheiten στάδιος ) anschlofs . 3 ) Ahnlich hat spater Diophantos den Nenner eines Bruches als eine aus zweiten und ersten Myriaden und Einheiten bestehende Zahl abgeteilt . 4 ) Etwas umstandlicher , aber fiir seine Zwecke ganz passend hat amblichos , der etwa ein halbes Jahrhundert junger als Diophantos war , einen πρῶτος und δύο βαθμός ὁ μυριάς unterschieden und angedeutet , dafs diese Reihe der myria - dischen Stufen nach Belieben ( soweit die griechischen Ordnungszahlen reichen ) fortgesetzt werden kann . 1 ) Nun kommt als ältester , bisher bekannter Gewahrsmann Sosigenes hinzu . Die von ihm ausgerechnete , leider nicht vollständig erhaltene Zahl gruppiert sich , wie folgt : μυριάς ἔτος τέταρτος τρίτος Ι δύο πρῶτος Ίτη μόνος ) 34 4300+ x Zehner + y Einer 7876 3836 0609 ? oder 0670 d . i . 344 3 ** 787 638 360 *** , wobei durch Sterne die aus - gefallenen oder nur unsicher iiberlieferten Zahlen bezeichnet sind . Wegen dieser Lucken üssen wir uns mit der Begren - zung begniigen , dafs die von Sosigenes ausgerechnete Zahl zwischen 344 300 und 344 400 Billionen gelegen hat . Wenn der alexandrinische Astronom eine solche unabseh - bare Reihe von Jahren zu einem τέλειος ἐνιαυτός zusammen - fafste ( Prokl . S . 23 , 23 ) , so hat er sich ohne Zweifel an Platon ( Tim . 39 C . D ) angeschlossen : ὡς ἔπος εἶπον οὐ οἶδα χρόνος εἰμί ὁ οὗτος ὁ κύκλος ) πλάνη , πλῆθος μέν ἀμήχανος χράω , ποικίλλω δέ θαυμαστός · εἰμί δέ ὅμως οὐδείς κακός κατανοέω δυνατός , ὡς ὅς γε τέλος ἀριθμός χρόνος ὁ τελέω ἐνιαυτός πληρόω τότε , ὅταν ἅπας ὁ ὁκσώς περίοδος ὁ πρός ἀλλήλων συμπεραίνω τάχος ἔχω κεφαλή ὁ ὁ ταῦ - ὁ καί ὁμοίως εἶμι ἀναμετρέω κύκλος . Also eine unendliche Menge von Einzelbewegungen war es , deren Summe das vollkommene oder , wie Spatere sagten , grofse Jahr bildete 2 ) , und dieser Zeitraum war nach einer Zahl von Sonnenjahren bemessen , die nach Platon ebenfalls die yoUkommene hiefs und durch keine endliche Zahl ausgedriickt werden konnte . Da nun nach der Lehre der Pythagoreer der Name τέλειος ἀριθμός zunacht an der Zehnzahl haftete 1 ) , so hat Platon bereits den grofsen , spater von Archimedes ausgefiihrten Gedanken angedeutet , dafs man durch eine fortschreitende Potenzierung dekadischer Abteilungen sich der unendlichen Zahl des vollkommenen Jahres aUmahlich nahern konnen , dabei aber immer sich bescheiden miisse , dafs eine andere noch grofsere Zahl gebildet werden konne , die der unerreichbaren voU - kommenen Zahl noch naher stehe . 2 ) Sosigenes hat von Platon nur die Anschauung entlehnt , dafs das voUkommene Jahr aus einer iiberaus grofsen Zahl von Sonnenjahren bestehen miisse ; er ist aber von ihm abgewichen , indem er eine endlich begrenzte , bis auf Einer oder Zehner bestimmbare Zahl auszurechnen unternahm , Dafs jeder Versuch der Art von vornherein aussichtslos ist , kann hier nicht ausgefuhrt werden ; dennoch verdient die Zahl des Sosigenes alle Beachtung . Man vergleiche nur den schuchternen Versuch des Aristarchos von Samos , der nicht liber eine Annaherung auf 2484 Jahre hinauskam . 1 ) Daran reihten sich andere , auf mehr oder minder schwankenden Hypothesen beruhende Ansätze , die von bis zu 3600000 und 6 570000 Jahren ansteigen . 2 ) Mit den Fortschritten der astronomischen Wissenschaft mufsten die Bereclinungen einer Periode von ganzen Sonnenjahren , die durch ganze Zahlen von Umlaufszeiten des Mondes und der fiinf Planeten teilbar war , auf um so grofsere Betriige fiihren , je genauere Beobachtungen man angestellt hatte . 1 ) Wenn also Sosigenes mehr als den dritten Teil einer Trillion von Jahren ausrechnete , so haben ihm verhaltnismafsig genaue Daten vorgelegen . Ware nun in der Handschrift die vollstandige Zahl iiberliefert , so wiirde man sie auf ihre Teiler zuruckfiihrtn und , da die Verhaltnisse der von den Alten beobachteten Um - laufszeiten annahernd bekannt sind , wahrscheinlich ermitteln konnen , wie viele ganze Jahre Sosigenes gleich einer ganzen Zahl von synodischen Monaten gesetzt und wie er jene Zahl von Jahren weiter vermehrt hat , um eine grofste Zahl zu erhalten , in welcher auch die Umlaufszeiten der fiinf Pla - neten dergestalt enthalten - waren , dafs die grofste Zahl , wenn man sie der Reihe nacli durch fiinf andere Zahlen von Jahren , die gewisse Multipla je eines Planetenumlaufes darstellten , dividierte , jedesmal als Quotienten eine ganze Zahl ergab . Um indes wenigstens von dem Anfange der Ausrechnung des Sosigenes eine angenaherte Vorstellung zu geben , vergleiche ich seine Zahl mit der Hipparchischen Beobachtung , dafs auf 126 007 1/24 Tage 4267 volle Monate ( μείς ἀπαρτίζω , synodische ) kommen . 1 ) Da bei Sosigenes die Einheit des τέλειος ἐνιαυτός das tropische Jahr von nahezu 365 1/4 Tagen ιστʹ 2 ) , so sind zunachst die 126 007 1/24 Tage Hipparchs einzurichten zu 3024 169.4 _ 3024169 24 . 1461 8766 Jahren . Sosigenes brauchte aber eine ganze Zahl von Jahren , die gleich einer gewissen Zahl von Monaten ist ; er wiirde demnacli , wenn er die Hipparchische Beobachtung zu Grunde legte , 3024169 Jahre gefunden haben , die so gut wie genau 4267 8766 = 37404 522 Monaten entsprachen . So grofs jene Zahl von Jahren auch war , mufste sie doch jedesmal bedeutend vervielfacht werden , wenn nach einander die Umlaufszeiten des Merkur , der Venus u . s . w . in Rechnung gebracht und ahnlich , wie bei Mond und Sonne , jedesmal eine voUe Zahl von Jahren , die ein Vielfaches von 3024169 sein mufste , einer vollen Zahl von Planetenumlaufen entsprechen soUte . Nach dem Verlaufe von mehr als 1/3 TriUion Jahren werden nach Sosigenes bei Prokl . 23 , 26 die συναποκατάστασις ὁ ἑπτά σφαῖρα , d . i . die gleichzeitige Riickkehr der Sonne , des Mondes und der fiinf Planeten zu den Anfangspunkten ihrer Bewegungen , stattfinden . Denn jedes einzelne Gestirn erreicht seine ἀποκατάστασις , wenn es zu einer beHebigen SteUe seiner Bahn , die man als Anfangspunkt seines Umlaufes setzt , nach VoUendung eines voUen Umlaufes zurdckkehrt . Wenn man nun fiir zwei Gestirne den gleichen Zeitpunkt als Anfang der Bewegung setzt , so wird die συναποκατάστασις stattfinden , wenn beide Gestirne zu demselben Zeitpunkte an die Anfangs - steUen ihrer Bahnen zuriickkehren . Der grofse Zeiger der Uhr erreicht seine ἀποκατάστασις nach einmaUgem Umlaufe ; er mufs aber 12 mal umlaufen , damit die συναποκατάστασις des grofsen und des kleinen Zeigers eintrete . Wenn sich — immer nach der geocentrischen Anschauung der Alten — der Mond ahnUch wie der grofse Zeiger der Uhr genau zwolfmal so schneU wie die Sonne bewegte , so wiirde die erste συναποκατάστασις nach Ablauf eines Jahres sich erfiiUen ; da aber die Umlaufs - zeit der Sonne zu der des Mondes sich nicht wie 12:1 , sondern wie 12,368529 ... : 1 verhält 1 ) , so miissen nach Hipparch 3024169 Jahre vergehen , ehe die erste συναποκατάστασις von Sonne und Mond eintritt . Damit sind zugleich die Worte des Proklos ( 23 , 27 ) er - klärt : λαμβάνω γάρ εἷς ( scil . ἄστρον ) ἀποκατάστασις ἀκριβής ἄλλος , εὑρίσκω ὁ ὑπό οὗτος 2 ) μετρέω ( scil . ἀριθμός ) . Denn nach Eukl . Elem . Y def . 1 f . mifst eine Gröfse b Grofse a , wenn b , mit einer ganzen Zalil multipliziert , die Grofse a ergiebt , oder , indem wir mit Elem . VII def . 3 statt des allgemeinen Begriffes Grofse die Zalil einsetzen , eine Zahl a wird von einer Zahl b gemessen , wenn b ein Teiler ( μέρος ) von a ist . Wenn es dann weiter heifst καί τρίτος ( ἀρινθμὸν ) καί ἑξῆς · καί οὕτως εὑρίσκω ὁ ὑπό πᾶς ὁ ἑπτά ἄστρον μετρέω ἀριθμός ) , 80 sieht man deutlich , dafs die Zahl von Jahren der συναποκατάστασις von Sonne und Mond zuerst vermehrt wurde durch die Hinzufiigung eines Planeten . Welcher Planet dies war und welche Umlaufszeit von Sosigenes in Rechnung gestellt wurde , wissen wir nicht ; doch ist es gestattet , als τρίτος ἄστρον des Proklos entweder den Merkur oder die Venus zu setzen . Nehmen wir nun an , dafs Sosigenes bei Berechnung der Umlaufszeit des einen oder des andern Gestirns mit der Annaherung auf ganze Tage sich begniigte , so waren diese einzurichten zu ungelenken Jahresbriichen , woraus dann ahnlich wie vorher eine weit iiber 3 Millionen Jahre hinausreichende zAveite Zahl fiir die συναποκατάστασις der Sonne , des Mondes und des Planeten zu berechnen war . Und so war fortzufahren bis zur sechsten Zahl , welche die συναποκατάστασις aller sieben Gestirne umfafste ; das war jene grofste Zahl , die bei Proklos , wenn auch nicht voUstandig , doch insoweit erhalten ist , dafs wir uns von ihrem Umfange eine geniigende Vorstellung machen konnen . 1 ) II . Zu Μέλισσα ΚݲΓݲ . ΚݲΖݲ , S . 24 f . 2729 . Theon von Smyrna hat in dem Abschnitte iiber die Zahlenlehre ( S . 18,3 — 46,19 der Ausg . von Hiller ) , wie er selbst ( S . 17 , 25 ff . 47 , 11 ff . ) angiebt , lediglich ὁ ὑπό ὁ Πυθαγορικός παραδίδωμι , und zwar , wie aus S . 47 , 12 f . zu schliefsen ist , in Form einer erlautemden Paraphrase wiederholt . Da er nun bald darauf in dem Abschnitte περί ἁρμονία καί συμφωνία ( 49 , 6 f . ) den Peripatetiker Adrastos als Gewahrsmann nennt und 50 , 4 eine Aufserung desselben iiber die betreffende Lehre der Πυθαγορικός anfiihrt , so liegt die Vermutung nahe , dafs auch der Abschnitt iiber die Pythagoreische Zahlenlehre aus Adrastos , und zwar aus dessen Kommentar zum Timaios , geschöpft sei . 1 ) In dem vorletzten Kapitel dieses Abschnittes , das im Cod . Marcianus 307 die zwar erst nachträglich hinzugefügte , aber durch den Text S . 43 , 2 bestatigte Uberschrift περί πλευρικός καί διαμετρικός ἀριθμός aufweist , finden wir die umstandliche Entwickelung von zwei Zahlenreihen , deren eine die sogen . πλευρά , die andere die διάμετρος enthalt . Aus der von Theon benutzten Quelle riihrt augenscheinlich auch her , was Proklos im Kap . χݲγݲ als eine Pythagoreische anfiihrt . Grleich aus den Eingangsworten erkennen wir den verstandigen Berichterstatter , und einen nicht minder giinstigen Eindruck erweckt die darauf folgende knappe und sachgemilfse Darstellung . Wir haben also hier , abgesehen von den Kürzungen , einen an die Quelle sich eng anschliefsenden Bericht , wahrend Theon eine ziemlich umstandliche Paraphrase bietet , die bei dem Leser ein moglichst geringes Mafs mathematischer Kenntnisse voraussetzt . Auch in Kap . κζ handelt Proklos iiber πλευρά und διά - μέτρος , aber nicht blofs im arithmetischen , sondern auch , gemäfs der eigentlichen Bedeutung dieser Worte , im geometrischen Sinne . Hier hat ihm eine andere Quelle als die vorher in Kap . χݲγݲ benutzte vorgelegen , vielleicht die μάθημα des Geininos , die er im Kommentar zum I ; Buche der Elemente Euklids so ausgiebig benutzt hat . Nach Theon a . a . 0 . , dem sich Jamblichos anschliefst 1 ) , war die Doppelreihe der durch die geometrischen Ausdriicke πλευρά und διάμετρος bestimmten Zahlen ( πλευρικός καί λόγος bei Theon 43 , 2 ) von Nesselmann 2 ) , CANTOR 3 ) und anderen behandelt worden . Dabei hatte Nesselmann ( S . 231 ) mit Recht hervorgehoben , dafs keiner der ( damals bekannten ) Autoren uns irgend einen Wink dariiber giebt , wie man auf die Auflosung der durch diese Doppelreihe angezeigten Glei - chungen gekommen ist . Diese Lucke der Tradition wird nun durch den hier vorliegenden Text ausgefiillt und es ist danach moglich geworden , nicht nur die eigentliche Doppelreihe der πλευρά und διάμετρος geometrisch darzustellen , sondern auch den Pythagoreischen Ursprung der Reihen sowohl-der geometrischen als der daraus abgeleiteten arithmetischen Funktionen zu erweisen . 4 ) Je naher man den Kommentar des Proklos zum I . Buche der Elemente kennen lernt , desto deutlicher treten die Verdienste hervor , die der Verfasser durch eine sorgfaltige Aus - wahl der Quellen und durch die Bethatigung eines streng historischen Sinnes sich um die Geschichte der Mathematik erworben hat . In der hier vorliegenden Abhandlung zu Platons Republik hatte er in Kap . χݲγݲ , auf Adrastos fufsend , Pythagoreer als Erfinder der Reihe der ῥητός διάμετρος genannt und zugleich angedeutet , dafs diese Reihe aus einer ahnlichen , welche die ἄρρητος διάμετρος ( mithin auch die dazugehörigen πλευρά ) enthielt , hervorgegangen war . Zu den all gemeinen Satzen der Pythagoreer fiigte er dann die von Platon daraus abgeleitete Erklarung der Zahl 48 hinzu ( S . 25 , 6 ff . ) . Ahnlich werden in Kap . χݲζݲ ὁ Πυθαγόρειος καί Πλάτων und bald darauf vdrd , gleich als ob jedem Zweifel an der Prioritat der Pythagoreer vorgebeugt werden i solle , liinzugefiigt : προτίθημι δέ ὁ Πυθαγόρειος οὗτος τοιόσδε θεώρημα γλαφυρός περί ὁ διάμετρος καί πλευρά u . s . w . Wenn nun bald darauf mit den Worten δείκνυμι διά ὁ ἐν ὁ δύο στοιχεῖον γραμμικός auf Eukl . Elem . II 10 hingewiesen wird , so folgt aus der Erwahnung dieses Satzes , der zu dem Beweise des ersterwahnten Theorems dient , durchaus nicht , dafs auch dieses Theorem erst in der Zeit nach Euklid entstanden sei . Denn die allermeisten Satze der Elemente waren schon langere oder kiirzere Zeit vor Euklid , namentlich von den Pythagoreern und Eudoxos , festgestellt worden , und auch an der Form mag Euklid zumeist wenig geandert haben ; nur die methodische Anordnung des gesamten Stoffes und dessen Erganzung in einzelnen Punkten war sein eigenes wohlgelungenes Werk . Wenn hier bei Proklos die glaubwiirdige Uberlieferung vorliegt , dafs die Pythagoreer die Doppelreihe der Seiten und Diagonalen gefunden und durch geometrische Konstruktion erwiesen haben , so ist auch jedes einzelne Glied der Beweisfiihrung als Pythagoreisch anzusehen , und wenn ein solches Einzelglied spater dem II . Buche der Elemente eingereiht worden ist , so bestatigt das nur die nach anderen Erwagungen wahrscheinliche Annahme , dafs das ganze zweite Buch der Elemente , ebenso wie erwiesenermafsen das erste , aus Satzen besteht , die schon von den Pythagoreern gefunden und bewiesen worden waren , Wie aus dem Anfange von Kap . κζ hervorgeht , waren die Pythagoreer von der Beobachtung ausgegangen , dafs die Diagonale eines Quadrates mit rationaler Seite irrational ist . 1 ) Weiter aber bildeten sie eine von 1 aufsteigende Doppelreihe von Seiten - und Diagonalzahlen von der Eigenschaft , dafs die Quadrate der Diagonalzahlen jedesmal nur um das ganzzahlige Minimum 1 von den doppelten Quadraten der Seitenzahlen sich unterschieden , mithim , zu je gröfseren Zahlen die Doppelreihe aufsteigh , der Unterschied relativ desto geringer und zuletzt verschwindend klein wird . 1 ) Ehe man nun diese Zahlenreihen aufstellen konnte , mufste anf geometrischem Wege eine Doppelreihe von Seiten und Diagonalen von der Eigenschaft gebildet werden , dafs in der Reihe der Seiten jede folgende Seite gleich war der Summe der vorhergehenden Seite und Diagonale , und in der Reihe verdoppelten vorhergehenden Seite und der vorhergehenden Diagonale ( S . 27 , 13—16 ) . Um eine solche Doppelreihe aufzubauen , bedurfte es des schon erähnten Hülfssatzes , der von den Pythagoreern gefunden und später von Euklid in das II . Buch der Elemente aufgenommen worden ist : wenn eine Gerade AD in zei Abschnitte AB=BC und einen dritten beliebigen Abschnitt CD geteilt wird ( Fig . 1 ) , so ist AD2 + CD2 = 2AB2 + 2BD2 , oder in algebraischer Formel ( a+b)2+b2=2(a/2)2+2(a/2+b)2 . Wenn nun ( Fig . 2 ) liber A B ein Quadrat mit der Diagonale B E konstruiert und auf der Verlangerung von A B zuerst B C = A B und dann CD = B E eingetragen wird , so beweist man mit Hilfe des eben angefuhrten Satzes , dafs die Diagonale des iiber Β D errichteten Quadrates =2 A B + CD = 2 AB + BE ist . 1 ) Es ist also aus Seite A B + Diagonale Β Ε des ersten Quadrates eine zweite Seite B D , und aus 2 AB +| Diagonalw B E eine zweite Diagonale D F gebildet worden . Weiterkann man aus der zweiten Seite und der zweiten Diagonale eine dritte Seite und eine dritte Diagonale bilden ( Fig . 2 ) und dieses Yerfahren beliebig fortsetzen , kurz man erhalt , wenn man der Reihe nach die Seiten mit s 1 , s2 , u . s . f . und die Diagonalen mit d 1 , d 2 u . s . f . bezeichnet , die Doppelreihe d 1 , d 2=2 s1 + d 1 , d 3 = 2 s 2 + d 2 , . . . , in welcher das Quadrat jedes unteren Gliedes gleich dem dop - pelten Quadrate des dariiber stehenden Gliedes ist . Aufser dieser geometrischen Darstellung entwickelten nun die Pythagoreer ( S . 28 , 10 — 29 , 4 ) eine Doppelreihe von ratio - nalen und ganzen Zahlen , indem sie die erste Seite = 1 setzten und fur die erste Diagonale statt des ihr zukommenden Zahlenwertes 1 2 die nachste ganzzahlige Annaherung 1 eintreten liefsen . Das war , im Gegensatze zu der ἄρρητος διάμετρος ὁ μόνος , d . i . der eigentlichen Diagonale des Quadrates liber der Seite 1 , die ῥητός διάμετρος ὁ μόνος , und ihr folgten die ῥητός διάμετρος ὁ δυάς = 3 ( S . 28 , 17 — 21 ) , ὁ Πέμπα - δίδωμι = 7 ( Plat . Staat 546 C , Procl . 28 , 22–27 ) u . s . wir nun , ahnlich wie vorher , die Zahlen der Seiten mit Sj , Sg . . . und die ῥητός διάμετρος oder Diagonalzahlen mit δ 1 , δ 2 . . . , so wird die vorhergehende Doppelreihe umgebildet zu in welcher zwar nicht mehr , wie vorher , das Quadrat jedes unteren Grliedes gleich dem doppelten Quadrate des oberen Gliedes sein kann , die Differenzen aber stetig = 1 bleiben , und zwar alternierend nach der Seite des Plus oder Minus hin . Dies wird bei Proklos ( 28 , 10 — 29 , 4 ) fiir die Anfangsglieder , wie die folgende Tabelle zeigt , im einzelnen ausgefiihrt : Seiten - zahlen Diagonal - zahlen 1 1 2 3 5 7 12 17 Doppelte Quadrate der Seitenzahlen Quadrate der Diagonalzahlen Differenzen 2 2 2 2 = 8 2 . 5 2 = 50 2 . 12 2 = 288 3 2 = 9 7 2 = 49 17 2289 + 1 — 1 + 1 — 1 Durch die Schlufsworte καί ἀεί οὕτως ( 29 , 4 ) weist Proklos darauf hin , dafs die Reihe nach der angegebenen Regel beliebig fortgesetzt werden kann und dafs die Differenzen stetig so wechseln werden wie bei den ersten vier Gliedern . Daraus geht zugleich hervor , dafs die Summe der Quadrate von je 2 benachbarten Diagonalzahlen gleich der doppelten Summe der Quadrate von je 2 entsprechenden Seitenzahlen ist , z . B . 32 + 7 2 = 2 ( 2 2 + 52 ) . Dies hat Proklos in Kap . χݲγݲ , wo er Adrastos folgte , kurz erwahnt 1 ) und aus derselben Quelle hinzugefügt , dafs die Summe der Quadrate “ aller " Diagonalzahlen , d . i . eine unendliche Reihe von Quadratzahlen , gleich der doppelten Summe der Quadrate aller Seitenzahlen sein wird . Kehren wir nun wieder zu dem Anfange von Kap . κζ zurück . Die Pythagoreer hatten beobachtet , dafs es ( im Bereiche der rationalen und ganzen Zahlen ) keine Quadratzahl giebt , die doppelt so grofs als eine andere Quadratzahl ware . Weitere Untersuchungen , die sie daran kniipften , fiihrten zu den folgenden Ergebnissen : 1 ) Es ’ giebt eine unendliclie Reihe von Quadratzahlen , deren Glieder je von dem doppelten Quadrate einer anderen Zahl nur um 1 sich unterscheiden , sodafs die Differenz zuletzt verschwindend klein wird . 2 ) Die Summe von je zwei benachbarten Quadratzahlen dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe von je zwei anderen Quadratzahlen . 3 ) Die Summe aller Glieder dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe einer andern unendlichen Reihe von Quadratzahlen , in welcher jedes Glied sich um den Zahlenwert 1/2 von der Hälfte des entsprechenden Gliedes der ersten Reihe unterscheidet . 4 ) Die Giieder beider Reihen sind aus der Quadrierung der sogen . Diagonal - und Seitenzahlen hervorgegangen . Bildet man eine Reihe der Verhältnisse jeder Diagonalzahl zu der ihr zugehorigen Seitenzahl , so erhalt man immer genauere Naherungswerte für ABBREV2 . In sprachlicher Hinsicht läfst der Bericht des Proklos hin und wieder die Schärfe und Deutlichkeit der mathematischen Ausdrucksweise vermissen . Die Worte S . 27 , 6 ff . sind zunächst durch eine Einschaltung zu erklären : ἐπινοέω οὗτος λέγω ὁ Πυθαγόρειος καί Πλάτων , ὁ πλευρά εἰμί ῥητός , ὁ διάμετρος ῥητός οὐ ἁπλόος ἀλλά ἐν ὅς ὅς τε πλευρόν καί ὁ διάμετρος δύναμαι τετράγωνος . Hier genügt es auf das Platonische Beispiel ( Staat 546 C ) hinzuweisen : die Diagonale eines Quadrates , dessen Seite = 5 ist , hat den Wert ABBREV2.5 2 = 5ABBREV2 ; dieser ist inkommensurabel zu 5 , aber das Quadrat von 5ABBREV2 = 50 ist kommensurabel zu dem Quadrate von 5 = 25 ( Eukl . Elem . X def . 1 f . ) . Wenn es nun mit Beziehung auf ὁ διάμετρος weiter heifst ὁ διπλάσιος λόγος , ὅς δεῖ ὁ διάμετρος ποιέω , ἢ μόνος δήω ἢ μόνος πλεονάζω , so meint Proklos , wie auch die von ihm hinzugefügten Beispiele zeigen , dafs das Quadrat der ῥητός διάμετρος entweder um 1 gröfser ist als das doppelte Quadrat der Seite , z . B . 3 2 = 2.2 2 + 1 , oder um 1 kleiner , z . B . 7 2=2.5 2 — 1 . Bald darauf ( S . 28 , 14 ) wird die ῥητός διάμετρος erklärt als μόνος ποιέω μικρός ὁ ἀπό ὁ πλευρά . Statt ποιέω hatte es eigentlich δύναμαι heifsen müssen ; doch erklärt sich der abweichende Ausdruck aus Z . 20 f . γίγνομαι τριάς καί ποιέω ὁ ἐννέα , wo hinter καί die Worte ἐπί ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω hinzuzudenken sind , Dann hat Proklos mit ὁ ἀπό ὁ πλευρά offenbar ὁ δίς ἀπό ὁ πλευρά gemeint ; doch ist δίς nicht etwa in den Text einzuschalten , denn Ζ . 21 und 26 heifst es ahnlich , dafs das Quadrat 9 um 1 grofser ist ὁ ἀπό δυάς und das Quadrat 49 um 1 kleiner ὁ ἀπό ὁ πεμπάς , beide Male im Sinne von ὁ δίς ἀπό δυάς , bez . πεμπάς . Erst am Ende des Kapitels ( S . 29 , 2–4 ) hat er wieder an den genauen Ausdruck erinnert , denn er erklart die Zahl 17 2= 289 als μόνος μείζων ἢ διπλάσιος ὁ ἑκατόν τεσσαράκοντα τέσσαρες , d . i . um 1 gröfser als III . Zu Μέλισσα ΛΕ , S . 36 , 3—42 , 10 . Die geometrische Zahl Platons ( Staat 546 B . C ) wird von Proklos unter folgenden , gleich zu Anfang angefiihrten Gesichtspunkten behandelt : ἀριθμητικός S . 36 , 7 — 40 , 1 , γεόω - μετρικός 40 , 2 — 42 , 12 , μουσικός 42 , 12 — 43 , 19 , ἀστρονομικός 43 , 20 — 45 , 16 , endlich διαλεκτικός 45 , 17 — 54,24 , wonach zu Anfang von Kap . λζʹ mit den Worten εἰμί εἰμί ὁ ἀριθμός οὗτος καί ἐν ὁ πᾶς δηλέομαι u . s . w . der Abschlufs der Untersuchung über die geometrische Zahl angedeutet wird . Von diesem langen Abschnitte hatte Schoell nur den Schlufs ( 54 , 3 — 24 ) veroffentlichen konnen . Der jetzt vorliegende , nahezu voUstandige Text bietet nach verschiedenen Seiten hin wichtige Aufschliisse , giebt aber auch neue Ratsel auf . Das alles zu untersuchen wird eine Aufgabe fiir sich sein ; hier konnen nur einige sachliche Erlauterungen zu dem Berichte des Proklos beigefiigt werden . Bei der arithmetischen Erklarung der Platonischen Stelle hat Proklos zu Anfang sich eng an die einzelnen Textesworte angeschlossen ; diese mogen also im Folgenden jedesmal vorangestellt werden . αὐξάνω δύναμαι τε καί δυναστεύω ] im Proklostexte ( 36 , 7–11 ) sind an sieben Stellen zusammen als 120 Buchstaben ausgefallen ; doch geht aus den erhaltenen Resten wenigstens soviel hervor , dafs αὐξάνω δύναμαι die Erhebung ganzer Zahlen ins Quadrat , und δυναστεύω die Wurzeln einer Quadratzahl bedeuten . Damit hat sich Platon in freierer Nachbildung an den Sprachgebrauch der Mathematiker angeschlossen , mithin auch es , vermieden , etwa Kubikzahlen , wie man auf den ersten Blick aus 36 , 21 — 25 vgl . mit 37 , 9 — 14 schliefsen konnte , als δύναμαι , und Kubikwurzeln als δυναστεύω zu bezeichnen , ὁμοιόω καί ἀνομοιόω καί αὐξάνω καί φθίω ] namlich ἀριθμός , wie Proklos 36 , 13 mit Recht suppliert . ὁμοιόω sind nach ihm die Quadrat - und Kubikzahlen , ἀνομοιόω solche Zahlen , die nicht durchweg aus gleichen Faktoren bestehen . Die letzteren sind entweder αὐξάνω , d . i Produkte von zwei einander gleichen Zahlen und einer dritten grofseren Zahl , oder φθίω , d . i . Produkte von zwei einander gleichen und einer dritten kleineren Zahl . Die ersteren Produkte werden δοκίς , Balken , die letzteren πλινθίς , Ziegel , benannt . τρεῖς ἀπόστασις , στάσις , τέσσαρες δέ ὅρος λαμβάνω ] ὅρος sind die Glieder einer Proportion 1 ( ; zwischen vier Gliedern einer stetigen Proportion giebt es drei ἀπόστασις , z , B . bei 1:2 = 2:4 = 4:8 die Abstande von 1 zu 2 , von 2 zu 4 und von 4 zu 8 . 2 ) πᾶς προσήγορος καί ῥητός πρός ἀλλήλων ἀποφαίνω ] diese Worte citiert Proklos 36 , 23 in der Fassung πᾶς ῥητός καί προσήγορος ποιέω und erklart sie durch den Zusatz καί ὁ δύναμαι καί ὁ δυναστεύω , καί ὁ ὁμοιόω καί ὁ δνομοιοῦντας ἀλλήλων , καί ὁ αὐξάνω καί φθίω . Dazu gebe es eine geometrische Figur διάγραμμα ) , in welcher auf einer Querlinie zwei Schenkel sich erheben . Auf der horizontalen Geraden seien die ὁμοιόω und von den ἀνομοιόω sowohl die αὐξάνω als die φθίω einzutragen ; alle diese Zahlen seien durch den noch darzulegen - den επετριος πυθμήν verbunden . Auf den Schenkeln des von der Horizontaien aufsteigenden Winkels sollen die Qyadrat - zahlen und ihre Wurzeln eingetragen werden . Die in der Handschrift fehlende Figur hat also drei Gerade etwa in der Zusanunenstellung V gezeigt . Unterhalb der Basis haben , wie es scheint , die Zahlen κζ' , λζ' , μῆον , ξδ' gestanden , von denen κζ' und ξδ' ὁμοιόω , die beiden anderen aber ἀνομοιόω sind , und zwar λος ein αὐξάνω , μῆον ein φθίω , wie sofort sich zeigen wird . Zu den Schenkeln mufsten zuerst die Zahlen γε und δέ , die den ἐπίτριτος πυθμήν bilden , beigeschrieben sein , vemiutlich γε zu dem einen , δέ zu dem andem Schenkel . Dann kamen oberhalb von γε , bez . δέ , die Quadratzahlen ὁ und εἰμί und dariiber standen , wenn es auch keine δύναμαι im eigentlichen Sinne waren , die Kubikzahlen κζ' und ξδ' . Zum Schlusse hat Proklos , soweit es sich aus dem luckenhaften Texte ersehen lafst , noch darauf hingewiesen , dafs alle diese Zahlen sowie ihre Verhaltnisse zu einander rational und aus - sprechbar sind . ὅς ἐπίτριτος πυθμήν ] das sind nach Proklos 37,5 die Zahlen γε und δέ . Beide werden ins Quadrat erhoben ; da aber diese Quadrate zu einander ein anderes Verhaltnis als das von 3:4 haben , so ist , um den ἐπίτριτος πυθμήν durchzufiihren , zwischen 9 und 16 als mittlere Proportionale die Zahl 3,4 = 12 einzuschieben . 1 ) Weiter werden 3 und 4 in ihre Kuben erhoben . Nun geniigt , um zwischen 27 und 64 das Verhaltnis 3:4 durchzufuhren , nicht mehr eine mittlere Proportionale , sondem es sind deren zwei zu bilden . 2 ) So erhalten wir 3 3 : 3 2.4 = 3 2 . 4:3.4 2 =3 . 4 2:4 3 , d . i . 27 : 36 = 36:48 = 4864 . Die Zahl 36 heifst , wie schon erwahnt wurde , δοκίς , denn das Quadrat von 3 ist mit einer grofseren Zahl als 3 multipliziert ; die Zahl 48 erscheint als πλινθίς , denn das Quadrat von 4 ist mit einer kleineren Zahl als 4 multipliziert . Hier ist ahnlich , wie vorher zu Μέλισσα χݲγݲ und κζ , den Unterschied zwischen der arithmetischen und geometrischen Darstellung hinzuweisen . In arithmetischer Form miissen δοκίς und πλινθίς Produkte ganzer Zahlen sein 3 ) , wie auch die Kuben , zwischen denen sie als mittlere Proportionalen eingeschaltet werden , ganzzahlige Wurzeln haben . Das kleinste ganzzahlige Beispiel bieten die Kuben 1 und 8 , zwischen denen die δοκίς = 1 . 1 . 2 und die πλινθίς = 2 . 2 . 1 ist . Allein eine solche Einschaltung kann auch stattfinden , wenn nicht , wie hier , der grofsere Wurfel zu dem kleineren in dem Verhaltnisse einer ganzen Zahl zu 1 steht , sondern auch , wenn das Verhaltnis einer ganzen Zahl n zu einer kleineren Zahl m , die grofser als 1 sei , gegeben ist . Das Platonische , auf dem ἐπίτριτος πυθμήν beruhende Beispiel kann ausgesprochen werden als die Aufgabe , einen Wiirfel zu konstruieren , der 6/2 4/7 so grofs als ein gegebener Wurfel sei . Dann setzen wir den gegebenen Wiirfel = 27 Kubikeinheiten , mithin seine Kante = 3 Längeneinheiten ; demnach wird der gesuchte Wiirfel 64 Kubikeinheiten und seine Kante 4 Langeneinheiten haben . Nach dem Verhältnis von Kante zu Kante = 3:4 werden nun die Zahlen 27 , 36 , 48 , 64 zu einer stetigen Proportion verbunden und daraus erhellt , dafs zwischen den beiden Wiirfeln eine δοκίς , d . i . ein rechtwinkliges Parallelepiped mit der Breite und Hohe = 3 und der Lange = 4 , sodann eine πλινθίς mit der Lange und Breite = 4 und der Hohe = 3 1 ) derart eingeschoben sind , dafs von dem kleineren zu dem grofseren Wiirfel eine viergliedrige , stetige Proportion nach dem durch die Kanten der Wiirfel gegebenen Verhaltnisse besteht . Damit ist zugleich die geometrische Darstellung vorbereitet . Nach der Pythagoreischen Lehre hatten wir es vorher nur mit ganzen Zahlen und ihren Verhaltnissen zu thun . Das bekannte delische Problem der Wurfelverdoppelung war fiir Platon , der sich in der Zahlenlehre ganz an die Pythagoreer anschlofs , auf arithmetischem Wege unlosbar ; denn die dritte Wurzel aus 2 war eine unaussprechbare Grofse und deshalb konnte auch das Zahlenverhaltnis 1 : ½ nicht zur Losung des Problems verwendet werden . Was aber in arithmetischer Form unsagbar war , konnte doch geometrisch konstruiert werden . Wie man von dem 8 mal so grofsen Wiirfel zuriickgegangen war auf seine Kante und erkannt hatte , dafs 2 die erste von den beiden mittleren Proportionalen zwischen 1 und 8 ist , so war der doppelt so grofse Wiirfel gefunden , wenn es auf geometrischem Wege gelang zwischen zwei Geraden , die sich zu einander wie 1 : 2 verhielten , zwei mittlere Proportionalen zu konstruieren , denn das erste Mittelglied war dann die Kante des doppelt so grofsen Wiirfels . Platon hat sich aber nicht damit begniigt , eine solche Gerade durch eine besondere Vorrichtung annahernd darzustellen 1 ) , sondern er hat auch , wie wir aus unserm Proklos - texte in Verbindung mit der vielbesprochenen Timaiosstelle 32 A . B erkennen , den Weg gezeigt , wie aus dem gegebenen Verhaltnis zweier Korper das die beiden Korper durch eine viergliedrige Proportion verbindende Verhaltnis 1 ) von zwei Geraden zu entwickeln ist . Es seien zwei ahnliclie rechtwinklige Parallelepipede oder zwei Wiirfel Α und D gegeben , die sich zu einander wie die Zahlen a:d verhalten . Wenn man nun das Yerhaltnis a:d geometrisch durch zwei Gerade darstellt und dazu die mittleren Proportionalen b und c konstruiert , so ist an Stelle des Verhaltnisses der dreidimensionalen Grofsen Α und D ein Verhältnis der eindimensionalen Grofsen und b getreten . Nach diesem Verhaltnisse wird nun zuerst zu dem Korper Α ein Mittelglied Β gebildet , das mit Α zwei Dimensionen gleich , die dritte aber , da sie mit — multipliziert a wird , verschieden hat . Durch weitere Anwendung desselben Verhaltnisses tritt dazu ein zweites Mittelglied V , das mit Β zwei Dimensionen gleich , die dritte aber verschieden hat , und in ahnlicher Weise findet drittens auch der Übergang von C zu D statt oder , um die Ausdrdcke nach ’ Vorgange zu wahlen : zwischen zwei Wiirfeln Α und D , deren Verhaltnis a : d gegeben ist , wird , nachdem a:b = b:c=c:d bestimmt worden , nach dem stetigen Verhaltnisse a : b dem Wiirfel Α die δοκίς Β , dieser die πλινθίς C zur Seite gestellt . Da nun auch C : D sich wie a : b verhalten , so ist von Α tm D eine viergliedrige stetige Proportion hergestellt . Solche Erwagungen haben Platon vorgeschwebt , als er im Timaios ( 32 A . B ) die bei der Vergleichung von Wiirfeln erprobten geometrischen Grundanschauungen auf ein gebundenes Verhaltnis der Elemente zu einander ubertrug . Des weiteren hatte Proklos , dem Texte Platons folgend , die schwierigen Worte πεμπάς συζυγής erklaren soUen . Doch ist er , oder vielmehr sein unbekannter Gewahrsmann diesem Hindemisse aus dem Wege gegangen und hat gemeint , spater ( 39 , 14 f . 25 f . ) es beilaufig durch eine freilich nicht stichhaltige Auslegung beseitigen zu konnen . Überhaupt finden wir bei Proklos von 37 , 12 an statt einer methodischen , an den Platontext eng sich anschliefsenden Interpretation zumeist nur willkiirliche Kombinationen . Es werden gebildet 27 + 48 = 75 und 36 + 64 = 100 . 1 ) Dann hat der von ihm benutzte Autor die Platonischen Worte ἑκατόν τοσαυτάκις herausgehoben und durch Multiplikation mit 100 die Zahlen 7500 und 10000 gebildet , von denen die letz - tere die Ἰσάκις ἴσος ἁρμονία ( = 100 , 100 ) , die erstere die προμήκης ( = 75 , 100 ) sei . Aus dem , was weiter folgt , geniigt es auf die Umschreibung von Platons Worten ἰσομήκης μέν ὁ , προμήκης δέ durch ὁ δέ ἰσομήκης μιν ἐκεῖνος διά ὁ ῥεῖα , προμήκης δέ διά ὁ ΟΕΕ ( 37 , 20 ) hinzuweisen . Die Zahlen 10000 und 7500 haben , als Rechtecke betrachtet , die gleiche Lange 100 ; aber nur 10000 ist ἰσομήκης , weil auch die Breite = 100 ist , dagegen 7500 προμήκης , weil hier die Lange 100 grofser als die Breite 75 ist . Weiter wird von dem Gewahrsmann des Proklos , um die Worte ἑκατόν μέν ἀριθμός ἀπό διάμετρος ῥητός πεμπάς , δήω εἷς ἕκαστος , ἄρρητος δέ δύο , ἑκατόν δέ κύβος τριάς zu erklaren , 7500 = 48 . 100 + 3 3 . 100 gesetzt . Dann zieht er statt der ἑκατόν ἀριθμός u . s . w . nur einen ἀριθμός ἀπό διάμετρος ῥητός πεμπάς δήω εἷς , ὁ ἀπό ) ἄρρητος δέ ( δήω ) δύο in Betracht . 2 ) Das soll die Zahl sein , denn die Πεμπᾶς , als Seite eines Quadrates betrachtet , erzeugt eine Diagonale oder ἄρρητος διάμετρος = 1/50 und eine ῥητός διάμετρος = 7 ( vgl . oben zu Μέλισσα κݲγݲ . κζ ) . Da es um Zahlenwerte ἀπό διάμετρος u . s . w . handelt , so sind 150 und 7 in ihire Quadrate 50 und 49 zu erheben ; dann ziehe man von 50 zwei Einheiten und von 49 eine Einheit ab , um ein und dieselbe Zahl zu erhalten . So soU Platon die Entstehumg der Zahl 48 sich gedacht haben ( 38 , 9–24 ) . folgt . eine liickenhafte Stelle und dann setzt der Text mit der abschliefsenden Erklarung ein , dafs in der That die Zahl 7500 = 100 ( 27 + 48 ) die προμήκης ἁρμονία darstelle , wobei an die Zahl 10000 nochmals erinnert , diese aber nicht , wie vor - her , ἰσομήκης , sondem ταυτομήκης ἁρμονία benannt wird . Was dann bis zum Ende von S . 39 noch folgt , sind teils Wiederholungen teils neue , ganz haltlose Zahlenkombinationen , die vielleicht aus einer anderen als der vorher benutzten Quelle geschopft sind . Im ganzen hat der bei Proklos ilberlieferte Versuch , die geometrische Zahl Platons zu erklaren , zu keinem befriedigenden Ergebnisse gefuhrt , aber nachdem so viele andere Versuche von den Neueren angestellt worden sind , werden weitere Untersuchungen jedenfalls die Aufschliisse be - riicksichtigen mussen , die Proklos iiber einzelne Punkte der schwierigen Frage gegeben hat . Auf die arithmetische Deutung der Zahl Platons folgt in unserm Texte , wie schon erwahnt wurde , der Versuch einer geometrischen Darstellung . Zu Grunde liegt das sogen . Pythagoreische Dreieck , dessen Seiten sich wie 3:4:5 verhalten . 1 ) Dieses erscheint auf Seite 41 zunachst fiir sich mit den Buchstaben A , Β , Γ und den beigeschriebenen Zahlen γݲ , δ , ἀείδω . Dan ist an die Seite A B ein zweites , dem ersten Dreieck angelegt , sodafs wir nun ein Dreieck ΑΖΓ mit der Normale A B vor uns haben . Die Basis Ζ Γ besteht aus den Abschnitten Β Γ = 3 und Ζ Β = 5 1/3 , denn nach Eukl . Elem . VI 8 coroll . verhalt sich ΒΓ:AB =AB:BZ . Zu AZ hatte noch ᾠόν beigeschrieben werden soUen ( denn in den ahnlichen Drei - ecken Α Β Γ , Ζ Β Α ist ΑΒ Α Γ= ΖΒ : Γῆ , d . i . 4:5 = 5 1/3 : 6 2/3 ) . Um die laier vorkommenden Briiche zu entfernen sind in der dritten Figur die zur zweiten Figur gehorigen Zahlen mit 3 multipliziert worden , sodafs nun ΓΑ 16 , ΒΓ=9 , ΖΒ = 16 ΖΓ=24 , ΑΖ=20 , ΑΒ = 12 gelten ( vgl . die Erganzungen des Herausgebers zur dritten Figur ) . In der vierten Figur ist an die Kathete Α Ζ ( die dort einzuzeichnen ist ) ein dem Dreieck Α Ζ Γ ahnliches Dreieck Ζακ angelegt und in diesem von Α aus das Lot Α Λ gefallt worden . Dadurch kommen zu den fur die dritte Figur nachgewiesenen Werten noch Α Λ = 16 Λ Ζ = 12 , Λ Κ=21 1/3 , ΚΑ = 26 2/3 ( die letztere , in der Handschrift fehlende Zahl ergiebt sich aus der Proportion ΓΑ ) . Wiederum sind nun , um die Briiche zu beseitigen , alle Werte der vierten Figur mit 3 multipliziert worden , sodafs als fiinfte Figur ein Dreieck ΚΖΓ erscheint , in welchem jede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite des an erster Stelle in der Handschrift liberlieferten Dreiecks hat , mithin Κ Γ=125 , Κ Ζ = 100 , Ζ Γ=75 gelten . Da nun , wie die Figur zeigt , diese Seiten je in zwei Abschnitte zerlegt worden sind , zu denen die Normalen αζʹ , ΛΑ , ΒΛ die mittleren Proportionalen darstellen , so erhalten wir 4827 ΚΖ = 6436 ΓΑΗ ( das Zahlzeichen πݲ ist in der Handschrift ausgefallen ) . Nun erinnern wir uns , dafs in der vorhergehenden arith - metischen Darlegung aus dem ἐπίτριτος πυθμήν die Proportion 27:36 = 36:48 = 48:64 entwickelt und 27 + 48 zu 75 , 3664 zu 100 summiert worden waren ; dieselben Zahlen sind hier durch geometrische Zeichnungen aus den Katheten 3 und 4 des Pythagoreischen Dreiecks entwickelt worden . Sehen wir genauer zu , so bietet die fiinfte Figur zugleich die Losung der Aufgabe „ nachdem ein Dreieck , dessen Seiten sich wie 345 verhalten , durch das aus der Spitze des rechten Winkels zur Hypotenuse gefallte Lot in zwei dem ersten ahnliche Dreiecke , und weiter jedes Teildreieck in ahnlicher Weise in zwei Dreiecke zerlegt worden ist , sind die kleinsten ganzzahligen Werte sowohl fiir die Seiten des ersten Dreiecks als auch fiir die Seiten der Teildreiecke zu finden . " Der Name des Autors , bei welchem Proklos jene fiinf Zeichnungen und den zugehorigen Text vorgefunden hat , ist zwar S . 42 , 10 in einer Liicke von 9 Buchstaben geschwunden ; doch lafst er sich mit einiger Wahrscheinlichkeit wieder her - stellen . Nach Proklos 64 , 5 f . hat Nestorios ὁ περί ὁ ὀρθογώνιος τρίγωνος λόγος ἀπόρρητος ans Licht gestellt . Er war Grofsvater des Plutarchos und letzterer Lehrer des Proklos . Setzen wir , ganz ungefahr , vom Grofsvater zum Enkel zwei , und vom Lehrer zum Schiiler eine Generation , so wird uns Nestorios um etwa 100 Jahre alter als Proklos erscheinen , wo - nach des ersteren Bliitezeit um die Mitte des 4 . Jahrhunderts fallen wiirde . Nun wird Nestorios von Proklos 64 , 6 als ὁ θεῖος εἰμί gepriesen 1 ) , an der Stelle aber , mit der wir es vorher zu thun hatten , ist es ( 42 , 10 ) ὁ μέγας . . . . . . . . . gewesen , der aus dem ὀρθογώνιος τρίγωνος mit den Katheten 3 und 4 die Zahlen 27 , 36 u . s.w . bis 100 entwickelt hat . SoUte also nicht bei dieser Erorterung iiber besondere Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks hinter ὁ μέγας in der Lücke von 9 derselbe Autor zu erganzen sein , der von Proklos weiter unten als Verfasser einer Abhandlung περί ὁ ὀρθογώνιος τρίγωνος durch ὁ θεῖος εἰμί hervorgehoben wird ? An die Figuren des Nestorios hat , wie Proklos 40 , 25 bis 42 , 9 berichtet , ein gewisser Paterios , dessen Epoche zwischen Nestorios und Proklos zu setzen ist , eine schiilerhafte Ausrechnung angekniipft , die jedoch von grofsem historischen Interesse ist , weil sie eine um drei bis vier Jahrhunderte vor der Niederschrift des mathematischen Papyrus von Akhmim zuriickliegende Sammlung von Beispielen zur agyptischen Teilungsrechnung bietet . 2 ) Die fiinfte Figur des Nestorios war durch Hinzufugung ahnliclier Dreiecke zu einem ersten Drei - eck ΑΒΓ entstanden ( S . 40 , 25 — 27 ) , sodafs zuletzt in dem Dreieck XZFjede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite von ΑΒΓ hatte . Es lag nun sehr nahe , das von Nestorios an funfter Stelle gebildete Dreieck als erstes , und dessen Seiten der Eeihe nach gleich 3 , 4 , 5 zu setzen . Nachdem die Normale ZA gezogen war , berechnete man zuerst nach der Proportion ΚΓ : ΚΖ = KZ:AK , d . i . 5 : 4 = 4 : x , den Abschnitt ΚΑ = 3 1/5 , dann durch einen ähnlichen Ansatz den Abschnitt ἙΙ , die Normale Γῆ = 22/5 , und so fort die iibrigen Stucke . Zuletzt wurde , um die Richtigkeit der Ausrechnungen zu bestatigen , jeder so ermittelte Wert mit 25 multipliziert ; dann mufsten die der fiinften Figur des Nestorios beigeschriebenen Werte herauskommen , z . B . ὅς = 45 u . s . w . Diesen Weg haben nach Proklos ( 40 , 27 ) „ andere " , nament - lich Paterios ( 42 , 9 ) eingeschlagen , dabei aber statt der gemeinen Brüche nach agyptischer Rechnungsweise Reihen Einheitsteilen , μόριον , angewendet . 1 ) Die in der Handschrift an sechster Stelle iiberlieferte Figur , verglichen mit dem Texte S . 40 , 27 — 42 , 8 , zeigt trotz einiger Schreibfehler 2 ) deutlich ge - nug , welche Zahlen an jeder Stelle gemeint sind , aber die Figur selbst ist verderbt ; die links sich erhebende Kathete mufs verkiirzt und die andere Kathete , welche die Basis des Dreiecks bildet , verlangert werden . Fiigen wir dann die in der vierten und fiinften Figur gegebenen Buchstaben hinzu , so erhalten wir ΖΚ als Basis , ΖΓ als aufrecht stehende Kathete , und nun stimmen die handschriftlich beigefdgten Zahlenwerte so weit nicht Verderbnisse sich eingeschlichen haben ( Fig . 3 ) . ὅς εἶμι οεʹ γ Β ἀάω Γ΄ ἵημι Ν Fig . 3 Ζ Der tlberlieferung nach ist es nicht ganz sicher , ob Paterios aufser den Zahlen zu den Abschnitten der Seiten auch die Werte 3 , 4 , 5 fiir die ganzen Seiten beigefiigt hat . Da jedoch an der Stelle , wo in unserer Fig . 3 der geometrische Buchstabe Α steht , in der Handschrift ein ἀείδω , und an der statt des Buchstabens Λ ein δ sich findet , so kann vielleicht auch das Κ , das in der Handschrift vor den Zahlen , die zum untem Abschnitte der Kathete ΓΖ gehoren , beigefugt ist , als Schreibfehler statt y gedeutet werden . Daher habe ich zu Fig . 3 die Zahlzeichen y , d , I beigefiigt und durch Klammem angezeigt , dafs sie zu den ganzen Seiten , nicht zu deren Abschnitten gehoren . Es folgt nun die Übersicht der von Paterios für die der Seiten ausgerechneten Werte : ΖΛ =3/2 6/5 = 11/2 1/5 # x772 ; γε ἵημι κύ 3 ) , ΓΑ=9/5 =14/5 Σ δέ καί 5 ) αζʹ = 12/5 = 2 2/5 Β γε ἵημι . 6 ) AuTserdem sind noch die folgenden Summen von Ganzen und Einheitsteilen ausgerechnet 7 ) : ΓΒ + ΒΖ = ΓΖ , d . i . 1 1/15 1/75 ½1/3 1/15 1/50 = 3 . ΖΛ+ΛΚ=ΖΚ , d . i . 1 1/3 1/15 + 21/2 1/20 1/100 = 4 ΓΚΑΓΚ , d . i . 1 1/2 1/4 1/20+ 3 1/5= 5 . Zu dem Kap . Λݲݲ der Μέλισσα ( S . 66–70 ) , das Schoell veroffentlicht war , habe ich in einem Exkurse zu dessen Ausgabe ( S . 140 — 142 ) einige Erlauterungen gegeben . Die Quelle , aus welcher Proklos hier geschopft hat , zeigt eine nahe Verwandtschaft mit dem damals noch unbekannten Kap . ΕΛ ; doch ist ltzteres weit ausfiihrlicher und in der einzelnen Zahlen zuverlassiger . Exknrs von W . Kroll . Zu S . 218 , Iff . Platon giebt rep . Χ 616 e sq . nicht die Namen der einzelnen Planetenspharen , sondern nur die Farben und die Grofsenverhaltnisse ihrer Dicke . Danach lafst sich folgende Reihenfolge in den Entfernungen der Spharen von der Erde erschliefsen , die ganz zu der im Tim . 38 d stimmt ( vgl . Hdltsch bei Pauly-Wissowa II 1844 , 60 ) : 1 Fixstemsphare 5 Merkur 2 Saturn 6 Venus 3 Juppiter 7 Sonne 4 Mars 8 Mond . Was dagegen die Grofsenverhaltnisse anlangte , so fand Proklos Varianten im Platontext ; es gab eine altere Lesart ( a ) und eine jiingere ( b ) , die sich in den nach κῶλον abgeteilten Hss . fand ( vgl . Dziatzko bei Pauly-Wissowa III 960 , 27 ) und auch die unserer Hss . ist ( ich ordne in absteigender Folge ) : a 1 Fixsternsphare b 1 Fixsternsphare 7 Sonne 6 Venus 8 Mond 4 Mars 6 Venus 8 Mond 4 Mars 7 Sonne 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn . 3 . Juppiter 5 Merkur 2 Saturn . Proklos meint nun , nach der alteren Lesart ( a ) folgten die Spharen in ihrer Dicke ebenso auf einander wie die an ihnen befestigten Steme in ihrer Grofse ; nur dariiber bestehe ein Zweifel , ob nicht Venus vielmehr grofser sei als der Mond . 1)j Die andere Lesart dagegen folge wahrscheinlich den Differenzen zwischen Erdnahe iind Erdferne der Planeten , weil von diesen die Dicke der Spharen abhange ; allerdings stimme die Reihenfolge nicht ganz zu den Beobachtungen der spateren Astronomen ( am ehesten noch zu der Theorie von den ἀνελίσσω ) , jedoch folge Platon wohl den Astronomen seiner Zeit ( S . 219,29 ) . tJbrigens hatten sich die jungeren Gelehrten um die Dicke der Spharen nicht recht gekiimmert ( S . 222 , 4 ) . Die nun folgende Erorterung ( S . 222 , 5 ff . ) ist etwas dunkel , da Proklos es dem Leser uberlafst , den Gedankenzusammenhang herzustellen , kann aber kaum anders verstanden werden als so : die Spateren haben liber die Dicke der Spharen keine bestimmten Angaben gemacht . Allerdings schienen einen Anhaltspunkt für die Bestimmung diejenigen Zahlen zu welche fiir das Verhaltnis der Radien der Epicyklen zu denen der excentrischen Kreise von den Astronomen gegeben würden . 2 ) Aber auch diese Hoffnung stelle sich bei naherer Betrachtung als triigerisch heraus ; denn aus den Verhaltniszahlen folge gar nichts fiir die wirkliche Grofse der beiden Eadien 1 ) ; aber auch wenn man diese kenne , wisse man noch nichts iiber die Dicke der Spharen : denn sie sei weder von der Grofse der Epicyklen noch von der der Sterne noch von dem Umfange der Spharen abhangig . Das schliefse aber nicht aus , dafs Platon auf Grund alterer Beobachtungen liber Erdnahe und Erdferne der Planeten seine Reihenfolge aufgestellt habe .