plutarchus.de-animae-procreatione-in-timaeo-1012b-1030c 16
τὸν δὲ τρόπον , ᾧ λαμβάνουσι τὰς εἰρημένας μεσότητας , ἁπλῶς καὶ σαφῶς Εὔδωρος ἀποδείκνυσι . σκόπει δὲ πρότερον ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς . ἂν γὰρ ἐκθεὶς τοὺς ἄκρους λάβῃς ἑκατέρου τὸ ἥμισυ μέρος καὶ συνθῇς , ὁ συντεθεὶς ἔσται μέσος ἔν τε τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίοις ὁμοίως . ἐπὶ δὲ τῆς ὑπεναντίας , ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις ἂν τοὺς ἄκρους ἐκθεὶς τοῦ μὲν ἐλάττονος τὸ τρίτον τοῦ δὲ μείζονος τὸ ἥμισυ λάβῃς , ὁ συντεθεὶς γίγνεται μέσος · ἐν δὲ τοῖς τριπλασίοις ἀνάπαλιν , τοῦ μὲν ἐλάττονος ἥμισυ δεῖ λαβεῖν τοῦ δὲ μείζονος τρίτον · ὁ γὰρ συντεθεὶς οὕτω γίγνεται μέσος . ἔστω γὰρ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τὰ σʼ ἐλάχιστος ὅρος τὰ δʼ ιηʼ μέγιστος · ὁὲν οὖν τῶν σʼ τὸ ἥμισυ λαβὼν τὰ τρία καὶ τῶν ὀκτὼ καὶ δέκα τὸ τρίτον τὰ σʼ συνθῇς , ἕξεις τὸν ἐννέα ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχοντα καὶ ὑπερεχόμενον . οὓτω μὲν αἱ μεσότητες λαμβάνονται . δεῖ δʼ αὐτὰς ἐκεῖ παρεντάξαι καὶ ἀναπληρῶσαι τὰ διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα . τῶν δʼ ἐκκειμένων ἀριθμῶν οἱ μὲν οὐδʼ ὅλως μεταξὺ χώραν ἔχουσιν οἱ δʼ οὐχ ἱκανὴν αὔξοντες οὖν αὐτούς , τῶν αὐτῶν λόγων διαμενόντων , ὑποδοχὰς ποιοῦσιν ἀρκούσας ταῖς εἰρημέναις μεσότησι . καὶ πρῶτον μὲν ἐλάχιστον ἀντὶ τοῦ ἑνὸς τὰ ἓξ θέντες , ἐπεὶ πρῶτος ἥμισύ τε καὶ τρίτον ἔχει μέρος , ἅπαντας ἑξαπλασίους τοὺς ὑποτεταγμένους ἐποίησαν , ὡς ὑπογέγραπται , δεχομένους τὰς μεσότητας ἀμφοτέρας καὶ τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίους διαστήμασιν . εἰρηκότος δὲ τοῦ Πλάτωνος ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων , ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσι τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο , λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον , τῆς δὲ τοῦ μορίου ταύτης διαστάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ διὰ ταύτην τὴν λέξιν ἠναγκάζοντο πάλιν τοὺς ἀριθμοὺς ἐπανάγειν καὶ μείζονας ποιεῖν . ἔδει μὲν γὰρ ἐφεξῆς ἐπόγδοα γίγνεσθαι δύο · τῆς δʼ ἑξάδος οὔτʼ αὐτόθεν ἐπόγδοον ἐχούσης , εἴ τε τέμνοιτο , κερματιζομένων εἰς μόρια τῶν μονάδων , δυσθεωρήτου τῆς μαθήσεως ἐσομένης , αὐτὸ τὸ πρᾶγμα τὸν πολλαπλασιασμὸν ὑπηγόρευσεν , ὥσπερ ἐν ἁρμονικῇ μεταβολῇ τοῦ διαγράμματος ὅλου συνεπιτεινομένου τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμῶν . ὁ μὲν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθήσας Κράντορι πρῶτον ἔλαβε τὸν τπδʼ , ὃς γίγνεται τοῦ ἓξ ἐπὶ τὰ ξδʼ πολλαπλασιασθέντος ἐπηγάγετο δʼ αὐτοὺς ὁ τῶν ξδʼ ἀριθμὸς ἐπόγδοον ἔχων τὸν οβʼ . τοῖς δʼ ὑπὸ τοῦ Πλάτωνος λεγομένοις συμφωνότερόν ἐστιν ὑποθέσθαι τὸ ἥμισυ τούτου γὰρ τὸ λεῖμμα τὸ τῶν ἐπογδόων ἕξει λόγον ἐν ἀριθμοῖς , οὓς ὁ Πλάτων εἴρηκεν σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τρία καὶ μʼ καὶ σʼ , τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πρώτων τιθεμένων . ἂν δʼ ὁ τούτου διπλάσιος τεθῇ πρῶτος , ἔσται τὸ λεῖμμα λόγον μὲν ἔχον τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν δὲ τὸν διπλάσιον , ὃν ἔχει τὰ φιβʼ πρὸς υπσʼ · γίγνεται γὰρ ἐπίτριτα τῶν μὲν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τὰ σνσʼ , τῶν δὲ τπδʼ τὰ φιβʼ . καὶ οὐκ ἄλογος ἡ ἐπὶ τοῦτον ἀναγωγὴ τὸν ἀριθμόν , ἀλλὰ καὶ τοῖς περὶ τὸν Κράντορα παρασχοῦσα τὸ εὔλογον τὰ γὰρ ξδʼ καὶ κύβος ἐστὶν ἀπὸ πρώτου τετραγώνου καὶ τετράγωνος ἀπὸ πρώτου κύβου · γενόμενος δʼ ἐπὶ τὸν γʼ , πρῶτον ὄντα περισσὸν καὶ πρῶτον τρίγωνον καὶ πρῶτον τέλειον ὄντα καὶ ἡμιόλιον , ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πεποίηκεν , ἔχοντα καὶ αὐτὸν ἐπόγδοον , ὡς δείξομεν .
Lemmas: ὁ δέ τρόπος , ὅς λαμβάνω ὁ λέγω μεσότης , ἁπλῶς καί σαφής Εὔδωρος ἀποδείκνυμι . σκοπέω δέ πρότερος ἐπί ὁ ἀριθμητικός . ἐάν γάρ ἐκτίθημι ὁ ἄκρος λαμβάνω ἑκάτερος ὁ ἥμισυς μέρος καί συντίθημι , ὁ συντίθημι εἰμί μέσος ἐν τε ὁ διπλάσιος καί ὁ τριπλάσιος ὅμοιος . ἐπί δέ ὁ ὑπεναντίος , ἐν μέν ὁ διπλάσιος ἄν ὁ ἄκρος ἐκτίθημι ὁ μέν ἐλαχύς ὁ τρίτος ὁ δέ μέγας ὁ ἥμισυς λαμβάνω , ὁ συντίθημι γίγνομαι μέσος · ἐν δέ ὁ τριπλάσιος ἀνάπαλιν , ὁ μέν ἐλαχύς ἥμισυς δέω λαμβάνω ὁ δέ μέγας τρίτος · ὁ γάρ συντίθημι οὕτως γίγνομαι μέσος . εἰμί γάρ ἐν τριπλάσιος λόγος ὁ σύ ἐλαχύς ὅρος ὁ δέ ιηʹ μέγας · ὁ οὖν ὁ σύ ὁ ἥμισυς λαμβάνω ὁ τρεῖς καί ὁ ὀκτώ καί δέκα ὁ τρίτος ὁ σύ συντίθημι , ἔχω ὁ ἐννέα αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὑπερέχω καί ὑπερέχω . οὕτως μέν ὁ μεσότης λαμβάνω . δέω δέ αὐτός ἐκεῖ παρεντάσσω καί ἀναπληρόω ὁ διπλάσιος καί τριπλάσιος διάστημα . ὁ δέ ἔκκειμαι ἀριθμός ὁ μέν οὐδέ ὅλος μεταξύ χώρα ἔχω ὁ δέ οὐ ἱκανός αὐξάνω οὖν αὐτός , ὁ αὐτός λόγος διαμένω , ὑποδοχή ποιέω ἀρκέω ὁ λέγω μεσότης . καί πρῶτος μέν ἐλαχύς ἀντί ὁ εἷς ὁ ἕξ τίθημι , ἐπεί πρῶτος ἥμισυς τε καί τρίτος ἔχω μέρος , ἅπας ἑξαπλάσιος ὁ ὑποτάσσω ποιέω , ὡς ὑπογράφω , δέχομαι ὁ μεσότης ἀμφότερος καί ὁ διπλάσιος καί ὁ τριπλάσιος διάστημα . λέγω δέ ὁ Πλάτων ἡμιόλιος δέ διάστασις καί ἐπίτριτος καί ἐπόγδοος γίγνομαι , ἐκ οὗτος ὁ δεσμός ἐν ὁ πρόσθεν διάστασις ὁ ὁ ἐπόγδοος διάστημα ὁ ἐπίτριτος πᾶς συμπληρόω , λείπω αὐτός ἕκαστος μόριον , ὁ δέ ὁ μόριον οὗτος διάστασις λείπω ἀριθμός πρός ἀριθμός ἔχω ὁ ὅρος σύ καί νʹ καί ς# πρός γʹ καί μʹ καί ς# διά οὗτος ὁ λέξις ἀναγκάζω πάλιν ὁ ἀριθμός ἐπανάγω καί μέγας ποιέω . δέω μέν γάρ ἐφεξῆς ἐπόγδοος γίγνομαι δύο · ὁ δέ ἑξάς οὔτε αὐτόθεν ἐπόγδοος ἔχω , εἰ τε τέμνω , κερματίζω εἰς μόριον ὁ μονάς , δυσθεώρητος ὁ μάθησις εἰμί , αὐτός ὁ πρᾶγμα ὁ πολλαπλασιασμός ὑπαγορεύω , ὥσπερ ἐν ἁρμονικός μεταβολή ὁ διάγραμμα ὅλος συνεπιτείνω ὁ πρῶτος ὁ ἀριθμός . ὁ μέν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθέω Κράντωρ πρῶτος λαμβάνω ὁ τπδʹ , ὅς γίγνομαι ὁ ἕξ ἐπί ὁ ξδʹ πολλαπλασιάζω ἐπάγω δέ αὐτός ὁ ὁ ξδʹ ἀριθμός ἐπόγδοος ἔχω ὁ οβʹ . ὁ δέ ὑπό ὁ Πλάτων λέγω σύμφωνος εἰμί ὑποτίθημι ὁ ἥμισυς οὗτος γάρ ὁ λεῖμμα ὁ ὁ ἐπόγδοος ἔχω λόγος ἐν ἀριθμός , ὅς ὁ Πλάτων λέγω σύ καί νʹ καί ς# πρός τρεῖς καί μʹ καί ς# , ὁ ἑκατόν ἐνενήκοντα δύο πρῶτος τίθημι . ἐάν δέ ὁ οὗτος διπλάσιος τίθημι πρῶτος , εἰμί ὁ λεῖμμα λόγος μέν ἔχω ὁ αὐτός ἀριθμός δέ ὁ διπλάσιος , ὅς ἔχω ὁ φιβʹ πρός ὅς · γίγνομαι γάρ ἐπίτριτος ὁ μέν ἑκατόν ἐνενήκοντα δύο ὁ ὅς , ὁ δέ τπδʹ ὁ φιβʹ . καί οὐ ἄλογος ὁ ἐπί οὗτος ἀναγωγή ὁ ἀριθμός , ἀλλά καί ὁ περί ὁ Κράντωρ παρέχω ὁ εὔλογος ὁ γάρ ξδʹ καί κύβος εἰμί ἀπό πρῶτος τετράγωνος καί τετράγωνος ἀπό πρῶτος κύβος · γίγνομαι δέ ἐπί ὁ γʹ , πρῶτος εἰμί περισσός καί πρῶτος τρίγωνος καί πρῶτος τέλειος εἰμί καί ἡμιόλιος , ἑκατόν ἐνενήκοντα δύο ποιέω , ἔχω καί αὐτός ἐπόγδοος , ὡς δείκνυμι .