plutarchus.de-animae-procreatione-in-timaeo-1012b-1030c 14
τοιαύτας δὲ δυνάμεις τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν ἐχόντων , ἴδιον τῷ τελευταίῳ συμβέβηκε , τῷ κζʼ , τὸ τοῖς πρὸ αὐτοῦ συντιθέμενον ἴσον εἶναι πᾶσιν , ἔστι δὲ καὶ περιοδικὸς σελήνης . καὶ τῶν ἐμμελῶν διαστημάτων οἱ Πυθαγορικοὶ τὸν τόνον ἐν τούτῳ τῷ ἀριθμῷ τάττουσι διὸ καὶ τὰ τρισκαίδεκα λεῖμμα καλοῦσιν ἀπολείπει γὰρ μονάδι τοῦ ἡμίσεος . ὅτι δʼ οὗτοι καὶ τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους περιέχουσι , ῥᾴδιον καταμαθεῖν . καὶ γὰρ διπλάσιος λόγος ἐστὶν ὁ τῶν δύο πρὸς τὸ ἓν ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν , καὶ ἡμιόλιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν τριῶν ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε , καὶ ἐπίτριτος ὁ πρὸς ; τὰ τρία τῶν τεσσάρων ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων , καὶ τριπλάσιος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε , καὶ τετραπλάσιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν ηʼ ἐν ᾧ τὸ δὶς διὰ πασῶν · ἔνεστι δὲ καὶ ἐπόγδοος ὁ πρὸς τὰ ὀκτὼ τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ τονιαῖον . ἂν τοίνυν ἡ μονὰς ἐπίκοινος οὖσα καὶ τοῖς ἀρτίοις συναριθμῆται καὶ τοῖς περιττοῖς , ὁ μὲν ἄπας ἀριθμὸς τὸ τῆς δεκάδος παρέχεται πλῆθος · οἱ γὰρ ἀπὸ μονάδος μέχρι τῶν δέκα συντιθέμενοι πεντεκαίδεκα , τρίγωνον ἀπὸ πεντάδος · ὁ δὲ περιττὸς τὸν τεσσαράκοντα κατὰ σύνθεσιν μὲν ἐκ τῶν δεκατριῶν καὶ τῶν κζʼ γεννώμενον , οἷς τὰ μελῳδούμενα μετροῦσιν εὐσήμως οἱ μαθηματικοὶ διαστήματα , τὸ μὲν δίεσιν τὸ δὲ τόνον καλοῦντες · κατὰ τὸν πολλαπλασιασμὸν δὲ τῇ τῆς τετρακτύος δυνάμει γιγνόμενον τῶν γὰρ πρώτων τεσσάρων καθʼ αὑτὸν ἑκάστου τετράκις λαμβανομένου γίγνεται τέσσαρα καὶ ηʼ καὶ ιβʼ καὶ ισʼ · ταῦτα τὸν μʼ συντίθησι , περιέχοντα τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους · τὰ μὲν γὰρ ισʼ ἐπίτριτα τῶν δεκαδύο ἐστὶν τῶν δʼ ὀκτὼ διπλάσια , τῶν δὲ τεσσάρων τετραπλάσια · τὰ δὲ ιβʼ τῶν ὀκτὼ ἡμιόλια , τῶν δὲ τεσσάρων τριπλάσια οὗτοι δʼ οἱ λόγοι τὸ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν περιέχουσιν . ἴσος γε μήν ἐστιν ὁ τῶν τεσσαράκοντα δυσὶ τετραγώνοις καὶ δυσὶ κύβοις ὁμοῦ λαμβανομένοις · τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ κζʼ κύβοι καὶ τετράγωνοι μʼ γίγνονται συντεθέντες . ὥστε πολὺ τῆς Πυθαγορικῆς τὴν Πλατωνικὴν τετρακτὺν ποικιλωτέραν εἶναι τῇ διαθέσει καὶ τελειοτέραν .
Lemmas: τοιοῦτος δέ δύναμις ὁ ἔκκειμαι ἀριθμός ἔχω , ἴδιος ὁ τελευταῖος συμβαίνω , ὁ κζʹ , ὁ ὁ πρό αὐτός συντίθημι ἴσος εἰμί πᾶς , εἰμί δέ καί περιοδικός σελήνη . καί ὁ ἐμμελής διάστημα ὁ Πυθαγορικός ὁ τόνος ἐν οὗτος ὁ ἀριθμός τάσσω διό καί ὁ τρεισκαίδεκα λεῖμμα καλέω ἀπολείπω γάρ μονάς ὁ ἥμισυς . ὅτι δέ οὗτος καί ὁ ὁ συμφωνία λόγος περιέχω , ῥᾴδιος καταμανθάνω . καί γάρ διπλάσιος λόγος εἰμί ὁ ὁ δύο πρός ὁ εἷς ἐν ὅς ὁ διά πᾶς , καί ἡμιόλιος ὁ πρός ὁ δύο ὁ τρεῖς ἐν ὅς ὁ διά πέντε , καί ἐπίτριτος ὁ πρός ; ὁ τρεῖς ὁ τέσσαρες ἐν ὅς ὁ διά τέσσαρες , καί τριπλάσιος ὁ πρός ὁ τρεῖς ὁ ἐννέα ἐν ὅς ὁ διά πᾶς καί διά πέντε , καί τετραπλάσιος ὁ πρός ὁ δύο ὁ ἤ ἐν ὅς ὁ δίς διά πᾶς · ἔνειμι δέ καί ἐπόγδοος ὁ πρός ὁ ὀκτώ ὁ ἐννέα ἐν ὅς ὁ τονιαῖος . ἐάν τοίνυν ὁ μονή ἐπίκοινος εἰμί καί ὁ ἄρτιος συναριθμέω καί ὁ περισσός , ὁ μέν ἅπας ἀριθμός ὁ ὁ δεκάς παρέχω πλῆθος · ὁ γάρ ἀπό μονάς μέχρι ὁ δέκα συντίθημι πεντεκαίδεκα , τρίγωνον ἀπό πεντάς · ὁ δέ περισσός ὁ τεσσαράκοντα κατά σύνθεσις μέν ἐκ ὁ δεκατρεῖς καί ὁ κζʹ γεννάω , ὅς ὁ μελῳδέω μετρέω εὔσημος ὁ μαθηματικός διάστημα , ὁ μέν δίεσις ὁ δέ τόνος καλέω · κατά ὁ πολλαπλασιασμός δέ ὁ ὁ τετρακτύς δύναμις γίγνομαι ὁ γάρ πρῶτος τέσσαρες κατά ἑαυτοῦ ἕκαστος τετράκις λαμβάνω γίγνομαι τέσσαρες καί ηʹ καί ιβʹ καί ἴσος · οὗτος ὁ μʹ συντίθημι , περιέχω ὁ ὁ συμφωνία λόγος · ὁ μέν γάρ ἴσος ἐπίτριτος ὁ δεκαδύο εἰμί ὁ δέ ὀκτώ διπλάσιος , ὁ δέ τέσσαρες τετραπλάσιος · ὁ δέ ιβʹ ὁ ὀκτώ ἡμιόλιος , ὁ δέ τέσσαρες τριπλάσιος οὗτος δέ ὁ λόγος ὁ διά τέσσαρες καί ὁ διά πέντε καί ὁ διά πᾶς καί ὁ δίς διά πᾶς περιέχω . ἴσος γε μήν εἰμί ὁ ὁ τεσσαράκοντα δύο τετράγωνος καί δύο κύβος ὁμοῦ λαμβάνω · ὁ γάρ εἷς καί ὁ τέσσαρες καί ὁ ὀκτώ καί ὁ κζʹ κύβος καί τετράγωνος μʹ γίγνομαι συντίθημι . ὥστε πολύς ὁ Πυθαγορικός ὁ Πλατωνικός τετρακτύς ποικίλος εἰμί ὁ διάθεσις καί τέλειος .