pappus-mathematics.synagoge 3.17
17 τγ΄ . Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒ ∠ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β ∠ , καὶ τῇ Β ∠ πρὸς ὀρθάς ἤχθω ἡ ∠Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒE , καὶ αὐτῇ πρὺς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ , καὶ τὸ κέντρον τὸ Η , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ , οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ · ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ ∠ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ . Ἤχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ · ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ . καὶ ἔστιν ἀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν Β ∠E · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BΚ Κ ∠ ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗK τῇ ΕΖ , καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕ ∠ γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ ἴσην , καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ , ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία τῇ ὑπὸ Κ ∠Ε , ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ ἴση ἐστίν , ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Κ τῇ ΕΘ . Ἤχθω καὶ τῇ σΕ παράλληλος ἡ ΚΛ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Γ ∠ ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BΛ . ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ∠Ε ἐστὶν παράλληλος , ἡ δὲ ΚΗ τῇ EΖ , ζητεῖται δὲ καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ παράλληλος , ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ Κ ∠Ζ τριγώνῳ , τὸ δὲ ∠ΚΗ τῷ ΕΘΖ , ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗK , ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ , ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠ , ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ · ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ ( διʼ ἴσου γάρ ) · ὅτι ἄρα καὶ ἁς ἡ Λ ∠ πρὸς τὴν ∠Η , οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΖ ( διελόντι γάρ ) . ὑπέκειτο δέ καὶ ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Λ ∠ πρὸς ∠Η , οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ , τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ · ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ · ὃτι ἄρα καὶ ἡ ΛΑ τῇ ∠Η ἐστὶν ἴση . ἀλλὰ καὶ ἡ Ἀὲ τῇ Β ∠ ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴση . ἀλλὰ ἡ ΒΗ ἑκατέρᾳ τῶν Λ ∠ ΑΗ ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΒΛ τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση . ἔστιν δέ · ἐπεὶ γάρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Ε , καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ , ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν BΚΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΚ ∠ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BΚ τῇ Κ ∠ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση , καὶ ἡ ΒΛ ἄρα τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση .
Lemmas: 17 τγ΄ . ἔστω ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί κλάω ὁ ΑΒ ∠ , καί ἵστημι ἴσος ὁ ΑΒ ὁ Β ∠ , καί ὁ Β ∠ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ∠Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒE , καί αὐτός πρύος ὀρθός ἄγω ὁ ΕΖ , καί ὁ κέντρον ὁ ὁ , καί ἵστημι ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ∠ , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ΘΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΕ · ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΒΕ ∠ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ∠ΕΘ γωνία . ἄγω ἀπό ὁ ἐπί ὁ ΒΕ κάθετος ὁ ΗΚ · ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ ὁ ΚΕ . καί εἰμί ἀραρίσκω ὁ ὑπό ὁ Β ∠E · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ BΚ Κ ∠ ΚΕ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . καί παράλληλος εἰμί ὁ Η ὁ ΕΖ , καί ἐπεί ζητέω ὁ ὑπό ὁ ΚΕ ∠ γωνία ὁ ὑπό ὁ ∠ΕΘ γωνία ἴσος , καί εἰμί ἴσος ὁ ∠Κ ὁ ΚΕ , ὅτι ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΕ ∠ γωνία ὁ ὑπό Κ ∠Ε , ὅτι ἄρα καί ὁ ὑπό Κ ∠Ε ὁ ὑπό ∠ΕΘ ἴσος εἰμί , ὅτι ἄρα παράλληλος εἰμί ὁ ∠Κ ὁ ΕΘ . ἄγω καί ὁ Σῦς παράλληλος ὁ ΚΛ , καί ἐκβάλλω ὁ Γ ∠ ἐπί ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ BΛ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΚΛ ὁ ∠Ε εἰμί παράλληλος , ὁ δέ ΚΗ ὁ EΖ , ζητέω δέ καί ὁ Κ ∠ ὁ ΕΘ παράλληλος , ὅτι ἄρα διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ μέν ΚΛΗ τρίγωνος ὁ Κ ∠Ζ τρίγωνος , ὁ δέ ∠ΚΗ ὁ ΕΘΖ , εἰμί ὡς μέν ὁ ΛΗ πρός Η , ὁ ∠Ζ πρός ΖΕ , ὡς δέ ὁ ΚΗ πρός ὁ ∠ , ὁ ΕΖ πρός ΖΘ · ὅτι ἄρα καί ὡς ὁ ΛΗ πρός ὁ ∠ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ΖΘ ( διά ἴσος γάρ ) · ὅτι ἄρα καί ὅς ὁ Λ ∠ πρός ὁ ∠Η , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΖ ( διαιρέω γάρ ) . ὑπόκειμαι δέ καί ὡς ὁ ∠Θ πρός ΘΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ∠ ὅτι ἄρα εἰμί ὡς ὁ Λ ∠ πρός ∠Η , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ΘΖ , τουτέστιν ὁ ΑΗ πρός ὁ ∠ · ὅτι ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Λ ∠ ὁ ΑΗ · ὅτι ἄρα καί ὁ ΛΑ ὁ ∠Η εἰμί ἴσος . ἀλλά καί ὁ ἀεί ὁ Β ∠ εἰμί ἴσος ὅτι ἄρα καί ὁ ΛΒ ὁ ΗΒ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΒΗ ἑκάτερος ὁ Λ ∠ ΑΗ εἰμί ἴσος ὅτι ἄρα καί ὁ ΒΛ ὁ Λ ∠ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ · ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΚΛ ὁ ∠Ε , καί εἰμί ἴσος ὁ ∠Κ ὁ ΚΕ , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ BΚΛ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΚ ∠ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ BΚ ὁ Κ ∠ καί γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΚΛ γωνία ὁ ὑπό ὁ ∠ΚΛ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΒΛ ἄρα ὁ Λ ∠ εἰμί ἴσος .