pappus-mathematics.synagoge 4.45
45 κγ΄ ( δ΄ ) , Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὕτι , ἐὰν ἡμικνκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓ∠ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι , αἱ ὑπὸ τῶν ἐτιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι είσίν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται , ἐπιζεοχθείσης τῆς ΕΒ , τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ . Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς Η∠ ινομένη ἐτιτάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὐπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ . λέγει γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει , τῇ μεταξὺ τῶν παλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κύνου τῆς μεταξύ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς περαλλήλοις ἐπιπέδοιςʼ᾿ ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς Η∠ γινυμένη ἐπιμφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ , ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἵσον . ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ , καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά . καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινομένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ , ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ ( καὶ γὰρ ἰσογώνία ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα , καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ . καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ) . καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ∠Η ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γινομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ . ∠ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ , ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ , καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι , ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὐμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ .
Lemmas: 45 κγ΄ ( Δ΄ ) , καί ἐκ οὗτος φανερός ὕς , ἐάν ἡμικνκλίου τις ὡς ὁ ΑΒΓ περιφέρεια τις ὡς ὁ ΑΓ∠ διαιρέω εἰς ὁποσοσοῦν ἴσος καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ὁ ὑπό ὁ ετιζευχθεισος ὁ ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατά ὁ περί ἄγω ὁ ΑΒ στροφή γίγνομαι ἐπιφάνεια Ἴσαι εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι , επιζεοχθεισος ὁ ΕΒ , ὁ ὑπό ΕΒ ΑΘ . ὁ μέν γάρ ὑπό ὁ Η∠ ἰνέω ἐτιτάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΗΚ ∠Θ καί ὁ Η∠ . λέγω γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐάν κῶνος ἰσοσκελής ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ βάσις , ὁ μεταξύ ὁ παλλήλων ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ πλευρά ὁ Κῦνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος καί ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ περαλλήλοις ἐπίπεδος ὥστε ὁ ὑπό ὁ Η∠ γινυμενω ἐπιμφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΗΚ ∠Θ καί ὁ Η∠ , ὅσπερ δείκνυμι ὁ ὑπό ΕΒ ΚΘ ἵζω . ὁ δέ ὑπό ὁ ΓΗ ὁμοίως ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΕΒ ΛΚ , καί ἐπί ὁ ἑξῆς ὁ αὐτός . καί ὁ ὑπό ὁ ἔσχατος ὁ ΑΕ κωνικός ἐπιφάνεια γίγνομαι ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΕΒ ΑΝ , ὅσπερ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΝ ( καί γάρ ισογώνιος εἰμί ὁ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνος , καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ γίγνομαι ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΕΝ . καί οὗτος γάρ Ἀρχιμήδης ἀποδείκνυμι ) . καί ὁ ὑπό πᾶς ἄρα ὁ ∠Η ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γίγνομαι σύνθετος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΕΒ ΑΘ . ἧλος δέ ὅτι καί ἐάν ὁ ὅλος ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια εἰς ἴσος διαιρέω , ὅς εἷς εἰμί ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ὁ γίγνομαι ὑπό πᾶς ὁ ὁ πολύγωνος πλευρά ἐπιφάνεια κατά ὁ υμοεις στροφή ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΕΒΑ .