pappus-mathematics.synagoge 4.91
91 ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ , ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ , ὡς ἔστιν λήμμα ιγ΄ στοιχείων . ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον , ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων · ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἡ ΜΝ . τετμήσθω ἡ ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΜΞ · δεκαγώνου ἄρα ἡ ΜΞ διὰ τὸ ια΄ λῆμμα . καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ πενταπλάσιον , ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον , ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων , τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ ἴσα ἐστὶν ε’ τοῖς ἀπὸ MΝ . ὡς δὲ τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ Γ∠ , οὕτως πέντε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ( τῆς γὰρ ΓΕ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά , ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων ) · τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΞ . πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΡΣ , ὡς ἐν τῷ εἰκοσαέδρῳ ιγ΄ στοιχείων δείκνυται · πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ . ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ γραφομένου διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων . τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀκὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ πεντάπλευρον ( ἐδείχθη γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ ΘΚ πενταπλάσια ) δεκαπέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ τρίγωνον κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλου ὥστε καὶ τὸ ἓν τῷ ἑνὶ ἴσον · ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ , καὶ ὁ κύκλος τῷ κύκλῳ · ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων .
Lemmas: 91 ἔκκειμαι δή καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ καί εὐθύς τις ὁ ΜΝ , ὥστε πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἀπό ΜΝ , ὡς εἰμί λήμμα ἰ στοιχεῖον . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις πενταπλάσιος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος , ὡς εἰμί ἰ στοιχεῖον · ἐκ ὁ κέντρον ἄρα εἰμί ὁ κύκλος ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος ὁ ΜΝ . τέμνω ὁ ΜΝ ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Ξ , καί ἵστημι μείζων ὁ μξ · δεκάγωνος ἄρα ὁ μξ διά ὁ ΙΑ΄ λῆμμα . καί ἐπεί εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἀπό ΜΝ πενταπλάσιος , εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἀπό ΓΕ ὁ πλευρά ὁ κύβος τριπλάσιος , ὡς εἰμί ἰ στοιχεῖον , τρεῖς ἄρα ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί εἰ ὁ ἀπό MΝ . ὡς δέ τρεῖς ὁ ἀπό ΓΕ πρός τρεῖς ὁ ἀπό Γ∠ , οὕτως πέντε ὁ ἀπό ΜΝ πρός πέντε ὁ ἀπό μξ ( ὁ γάρ ΓΕ κύβος πλευρά ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μείζων τμῆμα εἰμί ὁ ὁ δωδεκάεδρον πλευρά , ὡς εἰμί ἰ στοιχεῖον ) · τρεῖς ἄρα ὁ ἀπό ΓΕ καί τρεῖς ὁ ἀπό ΖΕ ἴσος εἰμί πέντε ὁ ἀπό ΜΝ καί πέντε ὁ ἀπό μξ . πέντε δέ ὁ ἀπό ΜΝ καί πέντε ὁ ἀπό μξ ἴσος εἰμί πέντε ὁ ἀπό ΡΣ , ὡς ἐν ὁ εἰκοσάεδρος ἰ στοιχεῖον δείκνυμι · πέντε ἄρα ὁ ἀπό ΡΣ ἴσος εἰμί τρεῖς ὁ ἀπό ΓΕ καί τρεῖς ὁ ἀπό ΖΕ . ἀλλά πέντε μέν ὁ ἀπό ΡΣ ἴσος εἰμί δεκαπέντε ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ περί ὁ ΠΡΣ γράφω διά ὁ ἰβʹ ὁ ἰ στοιχεῖον . τρεῖς δέ ὁ ἀπό ΓΕ καί τρεῖς ὁ ἀπό ΖΕ ἴσος εἰμί δεκαπέντε ὁ ΑΚΟ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ περιγράφω περί ὁ Γ∠ΕΖΗ πεντάπλευρον ( δείκνυμι γάρ ὁ ἀπό ΓΕΖ ὁ ἀπό ΘΚ πενταπλάσιος ) δεκαπέντε ἄρα ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περί ὁ ΠΡΣ τρίγωνος κύκλος ἴσος εἰμί δεκαπέντε ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περί ὁ Γ∠ΕΖΗ κύκλος ὥστε καί ὁ εἷς ὁ εἷς ἴσος · ὁ ἄρα διάμετρος ἴσος ὁ διάμετρος , καί ὁ κύκλος ὁ κύκλος · ὁ αὐτός ἄρα κύκλος περιλαμβάνω ὁ τε ὁ δωδεκάεδρον πεντάγωνος καί ὁ ὁ εἰκοσάεδρος τρίγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός σφαῖρα ἐγγράφω .