pappus-mathematics.synagoge 3.23
23 ιϚ΄ . ∠ύο ἡμικύκλια τὰ BΗΓ · BΕ ∠ , καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν BΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ · ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , οὕτως ἐπὶ μέν τῆς πρώτης καταγραφῆς ἀμφότερος ἡ ΓΒ B ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠ , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης οὕτως ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓB B ∠ , τουέστιν τὴν Γ ∠ . Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ BΓ παράλληλος ἡ ΘΖ . ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ BΗΓ · EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η , καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ BΓ ΖΘ , εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ B καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ , πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕ ∠ EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν αἱ ΘΖ B ∠ , εἐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε B καὶ ἡ δμὼ τῶν Θ Ε ∠ . ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ · ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΙ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΒΚ , καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ , διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕ ∠ τριγώνων ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ , καὶ τὸ ὑπὸ ∠Β ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ , καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ τῷ ὑπὸ ∠Β ΒΛ , ἂν δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ ∠ πίπτῃ , τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ . ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης καταγραφῆς ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ , οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ , ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ Β∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠ , οὕτως , καὶ συναμφότεπος ἡ ΛΒ ΒΚ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὺτῶv τὴν ΚΛ . καὶ ἔστι συναμφοτέρου μέν τῆς ΛΒ ΒΚ ἡμίσεια ἡ ΒΜ ( διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΚΜ τῇ ΜΛ ) , τῆς δὲ ΛΚ ἡμίσεια ἡ ΜΚ · καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΜΚ , τουτέστιν πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . ἐτι δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης καταγραφῆς , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΚ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ∠ΒΛ , ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β ∠ , οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒK . συνθέντι ὡς ἡ Γ ∠ πρὸς ∠Β , ἡ ΚΛ πρὸς ΚΒ · ὥστε καὶ ὡς ἡ Γ ∠ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχήν , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχήν . καὶ ἔστι τῆς μὲν ΚΛ ἡμίσεια ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ἡ δὲ ΒΜ ἡμίσεια τῆς τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχῆς διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΛΜ τῇ ΜΚ , ὥστε καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠ , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τῆς τρίτης ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒ ∠ , τουτέστιν τὴν Γ ∠ .
Lemmas: 23 ΙΣΤ΄ . ὕω ἡμικύκλιον ὁ ΓΗ · BΕ ∠ , καί ἐφάπτω αὐτός κύκλος ὁ ΕΖΗΘ , ἀπό δέ ὁ κέντρον αὐτός ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ BΓ βάσις ὁ ἡμικύκλιον ὁ ΑΜ · ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΜΒ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ἐπί μέν ὁ πρῶτος καταγραφή ἀμφότερος ὁ ΓΒ B ∠ πρός ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ Γ ∠ , ἐπί δέ ὁ δύο καί τρίτος οὕτως ὁ ὁ ΓΒ Β ∠ ὑπεροχή πρός συναμφότεροι ὁ ΓB B ∠ , τουειμι ὁ Γ ∠ . ἄγω διά ὁ Α ὁ BΓ παράλληλος ὁ ΘΖ . ἐπεί οὖν δύο κύκλος ὁ ΓΗ · ΖΗΘ χάπτω ἀλλήλων κατά ὁ ὁ , καί διάμετρος ἐν αὐτός παράλληλος εἰμί ὁ BΓ ΖΘ , εὐθύς εἰμί ὅς τε διά ὁ ὁ Θ B καί ὁ διά ὁ ὁ Ζ Γ , πάλιν ἐπεί δύο κύκλος ὁ ΒΕ ∠ ΖΗΘ χάπτω ἀλλήλων κατά ὁ Ε , καί ἐν αὐτός παράλληλος διάμετρος εἰμί ὁ ΘΖ B ∠ , εἐθεῖα εἰμί ὅς τε διά ὁ Ζ Ε B καί ὁ δμώς ὁ Θ Ε ∠ . ἄγω καί ἀπό ὁ Θ Ζ σημεῖον κάθετος ὁ ΘΚ ΖΛ · εἰμί δή διά μέν ὁ ὁμοιότης ὁ ΒΗ ΒΘΚ τρίγωνος ὡς ὁ ΒΓ πρός ΒΗ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ὁ ΒΚ , καί ὁ ὑπό ΓΒ ΒΚ περιέχω χωρίον ἴσος ὁ ὑπό ΗΒ ΒΘ , διά δέ ὁ ὁμοιότης ὁ ΒΖΛ ΒΕ ∠ τρίγωνος ὡς ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΒΛ , καί ὁ ὑπό ∠Β ΒΛ ἴσος ὁ ὑπό ΖΒ ΒΕ , καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΗΒ ΒΘ ὁ ὑπό ΖΒ ΒΕ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΓΒ ΒΚ ὁ ὑπό ∠Β ΒΛ , εἄν δέ ὁ ἀπό ὁ Ζ κάθετος ἐπί ὁ ∠ πίπτω , ὁ ἀπό ὁ Β∠ . ἐπί μέν ἄρα ὁ πρῶτος καταγραφή ὡς ὁ ΓΒ πρός Β∠ , οὕτως ὁ ΛΒ πρός ὁ ΒΚ , ὥστε καί συναμφότερος ὁ ΓΒ Β∠ πρός ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ Γ ∠ , οὕτως , καί συναμφότεπος ὁ ΛΒ ΒΚ πρός ὁ ὑπεροχή ὅς ὁ ΚΛ . καί εἰμί συναμφότεροι μέν ὁ ΛΒ ΒΚ ἥμισυς ὁ ΒΜ ( διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΚΜ ὁ ΜΛ ) , ὁ δέ ΛΚ ἥμισυς ὁ ΜΚ · καί ὡς ἄρα συναμφότερος ὁ ΓΒ Β ∠ πρός ὁ Γ ∠ , οὕτως ὁ ΒΜ πρός ΜΚ , τουτέστιν πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ἔτι δέ ὁ δύο καί τρίτος καταγραφή , ἐπεί ὁ ὑπό ΓΒΚ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό ∠ΒΛ , ὡς ἄρα ὁ ΓΒ πρός Β ∠ , οὕτως ὁ ΛΒ πρός ὁ ΒK . συντίθημι ὡς ὁ Γ ∠ πρός ∠Β , ὁ ΚΛ πρός ΚΒ · ὥστε καί ὡς ὁ Γ ∠ πρός ὁ ὁ ΓΒ Β ∠ ὑπεροχή , οὕτως ὁ ΚΛ πρός ὁ ὁ ΛΒ ΒΚ ὑπεροχή . καί εἰμί ὁ μέν ΚΛ ἥμισυς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὁ δέ ΒΜ ἥμισυς ὁ ὁ ΛΒ ΒΚ ὑπεροχή διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΜΚ , ὥστε καί ὡς ὁ ΜΒ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ἐπί μέν ὁ πρῶτος καταγραφή συναμφότερος ὁ ΓΒ Β ∠ πρός ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ Γ ∠ , ἐπί δέ ὁ δύο καί ὁ τρίτος ὁ ὁ ΓΒ Β ∠ ὑπεροχή πρός συναμφότεροι ὁ ΓΒ ∠ , τουτέστιν ὁ Γ ∠ .