pappus-mathematics.synagoge 3.4
4 γ΄ . Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον , καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω ἡ Γ∠ , καὶ ἐφαπτομένη ἡ ∠Β , καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ὑπὸ Γ∠Β γωνία ὑπὸ τῆς ∠Ζ · ὅτι ἡ ∠Ζ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης . Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ , καὶ ἐπὶ τῆς Η∠ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΗΒ∠ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ζ ἐπὶ τὸ Κ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ . ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΚΛ . καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου ἐστὶν πλευρὰ ἡ ΒΗ , ἡμίσεια δὲ τῆς ἑξαγώνου ἡ ΚΛ ( ἐκβαλλομένη γὰρ τὴν διπλῆν τῆς ΚΗ περιφερείας ὑποτείνει ) , διπλασία ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΚΛ , τουτέστιν ἡ ΓΚ τῆς ΚΛ . καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΚΛΓ · ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ∠Γ τοῦ ἀπὸ ΓΛ · αἱ ∠Γ ΓΛ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ∠Γ τῆς ΓΛ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ μείζων ἡ ∠Γ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ · ἐκ δύο ῥνομάτων ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ Λ∠ , ῥητὴ δὲ ἡ Η∠ · ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η∠Λ χμρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων . δύναται δὲ αὐτὸ ἡ ∠Κ ( διὰ γὰρ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ Η∠Κ τρίγωνον τῷ ∠ΛΚ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ Η∠ πρὸς ∠Κ , ἡ Κ∠ πρὸς ∠Λ ) · ἡ ∠Κ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . καὶ ἐτεὶ διμοίρου ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία καὶ ἴση ἡ ΗΒ τῇ ΗΓ , ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΗΓ τρίγωνον . ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ΒΘ · διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ , τουτέστιν ἡ ∠Γ , τῆς ΓΘ . καὶ ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ∠Γ τοῦ ἀπὸ ΓΛ ἐπίτριτον · τὸ ἄρα ἀπὸ ΛΓ τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΓΘ · αἱ ∠Γ ΓΘ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΛΓ τῆς ΓΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ τὸ ἔλασσον ὄνομα τὸ ΓΘ σύμμετρόν ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ · ἡ ΛΘ ἄρα ἀποτομή ἐστιν πέμπτη .
Lemmas: 4 Γ΄ . ἡμικύκλιον ὁ ἐπί ὁ ΑΓ ῥητός ἔχω ὁ διάμετρος , καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος ἵστημι ὁ Γ∠ , καί ἐφάπτω ὁ ∠Β , καί δίχα τέμνω ὁ ὑπό Γ∠Β γωνία ὑπό ὁ ∠Ζ · ὅτι ὁ ∠Ζ ὑπεροχή εἰμί ὅς ὑπερέχω ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω . λαμβάνω γάρ ὁ ὁ κέντρον ὁ ἡμικύκλιον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΗ , καί ἐπί ὁ Η∠ γράφω ἡμικύκλιον ὁ ΗΒ∠ , καί ἐκβάλλω ὁ ∠Ζ ἐπί ὁ Κ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ περιφέρεια ὁ ΚΗ . ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΑΓ ὁ ΚΛ . καί ἐπεί ἑξάγωνος εἰμί πλευρόν ὁ ΒΗ , ἥμισυς δέ ὁ ἑξάγωνος ὁ ΚΛ ( ἐκβάλλω γάρ ὁ διπλόος ὁ ΚΗ περιφέρεια ὑποτείνω ) , διπλάσιος ἄρα ὁ ΒΗ ὁ ΚΛ , τουτέστιν ὁ ΓΚ ὁ ΚΛ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΚΛΓ · ἐπίτριτος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ΚΓ ὁ ἀπό ΓΛ , τουτέστιν ὁ ἀπό ∠Γ ὁ ἀπό ΓΛ · ὁ ∠Γ ΓΛ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ∠Γ ὁ ΓΛ μείζων δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ μείζων ὁ ∠Γ σύμμετρος εἰμί ῥητός ὁ ΑΓ · ἐκ δύο ρνοματη ἄρα πρῶτος εἰμί ὁ Λ∠ , ῥητός δέ ὁ Η∠ · ὁ ἄρα ὁ ὑπό ὁ Η∠Λ χμρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο ὄνομα . δύναμαι δέ αὐτός ὁ ∠Κ ( διά γάρ ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ Η∠Κ τρίγωνος ὁ ∠ΛΚ τρίγωνος εἰμί ὡς ὁ Η∠ πρός ∠Κ , ὁ Κ∠ πρός ∠Λ ) · ὁ ∠Κ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . καί ἔτος δίμοιρος εἰμί ὁ ὑπό ΒΗΓ γωνία καί ἴσος ὁ ΗΒ ὁ ΗΓ , ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗΓ τρίγωνος . ἄγω δή κάθετος ὁ ΒΘ · διπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΗΓ , τουτέστιν ὁ ∠Γ , ὁ ΓΘ . καί δείκνυμι ὁ ἀπό ∠Γ ὁ ἀπό ΓΛ ἐπίτριτος · ὁ ἄρα ἀπό ΛΓ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΓΘ · ὁ ∠Γ ΓΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΛΓ ὁ ΓΘ μείζων δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ μικρός ὄνομα ὁ ΓΘ σύμμετρος εἰμί ῥητός ὁ ΑΓ · ὁ ΛΘ ἄρα ἀποτομή εἰμί πέμπτος .