pappus-mathematics.synagoge 3.26
26 ιη´ Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ , καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ ∠ , καὶ ἐπὶ τῶν Β∠ ∠Γ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕ∠ ∠ΥΓ , καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐχαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α ΠΟ , καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ · λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , ἡ δὲ ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου , ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου , καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς . Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ BΓ , καὶ αἱ ΘΚ ΖΛ · ἔσται δὴ κατὰ τὰ προγεγραμμένα τὸ μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ ΜΒ Β∠ , τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ τῷ ὑπὸ ΚΓ∠ . καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ · ἑκάτερος γὰρ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Β∠ πρὸς ∠Γ ( ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπο ΓΒ ΒΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΒ Β∠ , ἔστιν ἅρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ , οὕτως ἡ ∠Β πρὸς ΒΚ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ , οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ · διελόντι ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β , ἡ ΛΚ πρὸς ΚΒ · ἀνάπαλιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Γ , ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ · πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΓ Γ∠ , ἔστιν ἔρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΛ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ , ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΛ · διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ B∠ πρὸς ∠Γ , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΓ · ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν Γ∠ , ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ , οὕτως ἡ KΛ πρὸς τὴν ΛΓ ) · ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΓΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ . προδέδεικται δὲ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον καὶ τῷ ἀπὸ ΑΜ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΚΛ , τουτέστιν τῇ ΖΘ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου . ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦτο προδέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ , οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τήν τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διάμετρον , καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ διπλῆ τῆς ΖΘ , ἔσται καὶ ἡ ΠΝ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διπλῆ . ἡ ΠΝ ὥρα μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου τριπλασία τῆς διαμέτρου , καὶ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἡ ΟΣ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου καὶ ἡ ΟΣ ἄρα τριπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ 0 κύκλου . καὶ ὁμοίως καὶ ἡ τοῦ ἑξῆς κύκλου κάθετος τῆς διαμέτρου τετραπλασία , καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν καθʼ αὐτὰς διαμέτρων εὑρεθήσονται πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς , καὶ τοῦτο συμβαῖνον ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀποδειχθήσεται . 27 Ἂν δʼ ἀντὶ τῶν BΗΓ . ∠ΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν ὀρθαὶ πρὸς τὴν Β∠ , ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει καταγραφῆς , τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ τούς ἐγγραφομένους κύκλους · αὐτόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β∠ ἴση γίνεται τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέτρῳ . Ἂν δὲ αἱ μὲν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένωσιν περιφέρειαι , ἀντὶ δὲ τῆς ∠ΥΓʼ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ ( ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης ἔχει καταγραφῆς ) ἡ ∠Ζ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ , τῆς μὲν BΓ πρὸς τὴν Γ∠ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον ἐχούσης , σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ διαμέτρῳ μέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , εἰ δὲ μή , ἀσύμμετρος . καθόλου γὰρ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον δυνάμει ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , ὡς ἑξῆς δείκνυται . οἷον ἐὰν ἦ τετραπλασία μήκει ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ , γίνεται διπλῆ μήκει ἡ ∠Ζ , τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος , τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Π τριπλῆ , δʼ ἀπὸ τοῦ O τετραπλῆ , καὶ ἑξῆς κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς .
Lemmas: 26 ιη´ οὗτος προθεωρέω ὑπόκειμαι ἡμικύκλιον ὁ ΒΗΓ , καί ἐπί ὁ βάσις αὐτός τυγχάνω σημεῖον λαμβάνω ὁ ∠ , καί ἐπί ὁ Β∠ ∠Γ ἡμικύκλιον γράφω ὁ ΒΕ∠ ∠ΥΓ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ τρεῖς περιφέρεια ὁ καλέω ἄρβηλος κύκλος εχαπτομενω ὁ ἡμικύκλιον καί ἀλλήλων οσοιδηποος , ὡς ὁ περί ὁ κέντρον ὁ Α ΠΟ , καί ἀπό ὁ κέντρον αὐτός κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΑΜ ΠΝ ΟΣ · λέγω ὅτι ὁ μέν ΑΜ ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Α κύκλος , ὁ δέ ΠΝ διπλόος ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Π κύκλος , ὁ δέ ΟΣ τριπλόος ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ ὁ κύκλος , καί ὁ ἑξῆς κάθετος ὁ οἰκέω διάμετρος πολλαπλάσιος κατά ὁ ἑξῆς μόνος ἀλλήλων ὑπερέχω ἀριθμός . ἄγω διάμετρος ὁ ΘΖ παράλληλος ὁ BΓ , καί ὁ ΘΚ ΖΛ · εἰμί δή κατά ὁ προγράφω ὁ μέν ὑπό ΓΒ ΒΚ περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος ὁ ὑπό ΜΒ Β∠ , ὁ δέ ὑπό ΒΓ ΓΛ ὁ ὑπό ΚΓ∠ . καί διά οὗτος ὡς ὁ ΒΚ πρός ΚΛ , οὕτως ὁ ΚΛ πρός ΛΓ · ἑκάτερος γάρ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Β∠ πρός ∠Γ ( ἐπεί γάρ ὁ ὑπο ΓΒ ΒΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΛΒ Β∠ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΛ , οὕτως ὁ ∠Β πρός ΒΚ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ΓΒ πρός Β∠ , οὕτως ὁ ΛΒ πρός ΒΚ · διαιρέω ὡς ὁ Γ∠ πρός ∠Β , ὁ ΛΚ πρός ΚΒ · ἀνάπαλιν ὡς ὁ Β∠ πρός ∠Γ , ὁ ΒΚ πρός ΚΛ · πάλιν ἐπεί ὁ ὑπό ΒΓ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΓ Γ∠ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ΓΛ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ∠ , ὁ ΚΓ πρός ὁ ΓΛ · διαιρέω ἄρα εἰμί ὡς ὁ B∠ πρός ∠Γ , οὕτως ὁ ΚΛ πρός ὁ ΛΓ · εἰμί δέ καί ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ Γ∠ , ὁ ΒΚ πρός ὁ ΚΛ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΚ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ KΛ πρός ὁ ΛΓ ) · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΚ ΓΛ ὁ ἀπό ὁ ΚΛ . προδείκνυμι δέ ὁ ὑπό ΒΚ ΛΓ ἴσος καί ὁ ἀπό ΑΜ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΜ ὁ ΚΛ , τουτέστιν ὁ ΖΘ διάμετρος ὁ περί ὁ Α κύκλος . ἐπεί δέ καί οὗτος προδείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΜ μετά ὁ ΖΘ πρός ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΠΝ πρός ὁ ὁ περί ὁ Π κύκλος διάμετρος , καί εἰμί ὁ ΑΜ μετά ὁ ΖΘ διπλόος ὁ ΖΘ , εἰμί καί ὁ ΠΝ ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Π κύκλος διπλόος . ὁ ΠΝ ὥρα μετά ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Π κύκλος τριπλάσιος ὁ διάμετρος , καί εἰμί ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ ΟΣ πρός ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ ὁ κύκλος καί ὁ ΟΣ ἄρα τριπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ 0 κύκλος . καί ὁμοίως καί ὁ ὁ ἑξῆς κύκλος κάθετος ὁ διάμετρος τετραπλάσιος , καί ὁ ἑξῆς κάθετος ὁ κατά αὐτός διάμετρος εὑρίσκω πολλαπλάσιος κατά ὁ ἑξῆς μόνος ἀλλήλων ὑπερέχω ἀριθμός , καί οὗτος συμβαίνω ἐπί ὁ ἤπειρος ἀποδείκνυμι . 27 ἄν δέ ἀντί ὁ ΓΗ . ∠ΥΓ περιφέρεια εὐθύς εἰμί ὀρθός πρός ὁ Β∠ , ὡς ἐπί ὁ τρίτος ἔχω καταγραφή , ὁ αὐτός συμβαίνω περί ὁ ἐγγράφω κύκλος · αὐτόθεν γάρ ὁ ἀπό ὁ Α κέντρον κάθετος ἐπί ὁ Β∠ ἴσος γίγνομαι ὁ ὁ περί ὁ Α κύκλος διάμετρος . ἄν δέ ὁ μέν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένω περιφέρεια , ἀντί δέ ὁ ∠ΥΓʼ περιφέρεια εὐθύς ὑποτίθημι ( ὡς ἐπί ὁ τέταρτος ἔχω καταγραφή ) ὁ ∠Ζ ὀρθός πρός ὁ ΒΓ , ὁ μέν BΓ πρός ὁ Γ∠ τετραγωνικός ἐν ἀριθμός λόγος ἔχω , σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ὁ διάμετρος μέτρον ὁ περί ὁ Α κύκλος , εἰμί δέ μή , ἀσύμμετρος . καθόλου γάρ ὅς ἔχω λόγος ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ∠ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος δύναμις ὁ ∠Ζ πρός ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Α κύκλος , ὡς ἑξῆς δείκνυμι . οἷος ἐάν εἰμί τετραπλάσιος μῆκος ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , γίγνομαι διπλόος μῆκος ὁ ∠Ζ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος , ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Α κύκλος , καί ὁ μέν ἀπό ὁ Π τριπλόος , δέ ἀπό ὁ O τετραπλόος , καί ἑξῆς κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός .