ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 3.12
Ἄλλως . 12 η΄ · Ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΜΕ καὶ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Ζ . ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν Α∠ ∠Γ · ΓΑ , καὶ κάθετος ἡ ∠Ε , δοθεῖσα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΕΓ , καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ , ἔστιν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς EΖ , ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ . δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ λόγος : δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος . καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ . ἦν δὲ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσα καὶ ὅλη ἄρα ἡ ∠Ζ ἔσται δοθεῖσα . κατά ταὐτὰ δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΖ ΖΓ · ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ . καὶ δοθεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος ) . ἤχθω δὴ πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ κάθετος ἡ ∠Η · δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΖΗ ΗΓ , ὣστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ Η∠ δοθεῖσά ἐστι . καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Η γωνία δοθεῖσα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ Β∠ .
Lemmas: ἄλλος . 12 Η΄ · ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΑΓ ὁ ΜΕ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἕκαστος ὁ Α∠ ∠Γ · ΓΑ , καί κάθετος ὁ ∠Ε , δίδωμι εἰμί καί ἑκάτερος ὁ ΑΕ ΕΓ , καί ἐπεί ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΓΕΖ τρίγωνος , εἰμί ὡς ὁ ΓΕ πρός EΖ , ὁ ΓΒ πρός ΒΑ . δίδωμι δέ ὁ ὁ ΓΒ πρός ΒΑ λόγος : δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΕ πρός ΕΖ λόγος . καί δίδωμι εἰμί ὁ ΓΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΖ . εἰμί δέ καί ὁ ∠Ε δίδωμι καί ὅλος ἄρα ὁ ∠Ζ εἰμί δίδωμι . κατά αὐτός δίδωμι καί ἑκάτερος ὁ ΒΖ ΖΓ · ὡς γάρ ὁ ΑΓ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΖΓ πρός ΓΕ . καί δίδωμι ὁ ὁ ΑΓ πρός ΓΒ λόγος ) . ἄγω δή πάλιν ἀπό ὁ ∠ κάθετος ὁ ∠Η · δίδωμι ἄρα ἑκάτερος ὁ ΖΗ ΗΓ , ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ΒΗ Η∠ δίδωμι εἰμί . καί ὀρθός εἰμί ὁ ὁ γωνία δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ Β∠ .
pappus-mathematics.synagoge 3.13
13 θ΄ . Ἰσοι κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δοθέντες , ὧν κέντρα τὰ Α Β , καὶ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ , καὶ διὰ τοῦ Γ ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων , ὧν κέντρα τὰ Α Β , γεγράφθω ὁ ΓΕΖ ὅτι δοθεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος . Ἐπεζεύχθωσαν αἱ EΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΓΕ ΠΖΚ ΘΚ ΘΗ · γίνεται δὴ παράλληλος ἡ ΗΘ τῇ ΓΕ διὰ τὸ τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι , καὶ ὁμοίας τὰς ΕΠΖ ΗΚΖ περιφερείας καὶ τὸ ΕΓΖ τρίγωνον ἰσογώνιον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ . καὶ διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ΘΚ τῇ ΠΓʼ ἐστὶν παράλληλος . καὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι , ὧν τὰ κέντρα τὰ Α Β · ἴση ἄρα ἡ ΖH τῇ ∠Ε . ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΑΣ ΒΛ ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ ΒΛ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ΒΜ τῇ ΜΑ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ΛΜ τῇ MΣ δύο γὰρ τρίγωνά ἐστιν τὰ BΛM ΑΣΜ τὰς δύο γωνίας τὰς κατά κορυφὴν ἴσας ἔχοντα καὶ τὰς πρὸς τοῖς Λ Σ σημείοις ὀρθάς , ἔχει δὲ καὶ μίαν πλευράν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ΒΛ τῇ ΑΣ ) . καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΜΛ ∠Β ΜΣ ΣΑ · οθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΜ ΜΑ εὐθειῶν . ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΓΒ δοθεῖσά ἐστιν ( θέσει γὰρ τὰ Α B Γ σημεῖα ) δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει · καὶ ἡ ΓΜ ἄρα δοθεῖσα ἔσται ( καθέτου ἀχθείσης ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ ) . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΝΡ διάμετρος τοῦ κύκλου , ἀλλὰ καὶ ἡ MA δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΜΡ δοθεῖσά ἐστιν . καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΝΜΡ , δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΗΜΖ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΜΖ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΜΠ . καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΜ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΠ . ἐπεὶ οὖν θέσει καὶ μεγέθει ἐστὶν κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Α , καὶ δοθεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει ἡ ΓΠ , καὶ διηγμέναι αἱ ΠΖ∠ ΓΖΘ , ὥστε παράλληλον εἶναι τῇ ΓΠ τὴν ΚΘ , δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὸ ΓΖΠ τρίγωνον κύκλου , τουτέστιν τοῦ ΓΕΖ .
Lemmas: 13 Θ΄ . Ἴσος κύκλος ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι , ὅς κέντρον ὁ Α Β , καί δίδωμι σημεῖον ὁ Γ , καί διά ὁ Γ ἐφάπτω ὁ κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α Β , γράφω ὁ ΓΕΖ ὅτι δίδωμι εἰμί αὐτός ὁ διάμετρος . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΓΕ ΠΖΚ ΘΚ τίθημι · γίγνομαι δή παράλληλος ὁ ΗΘ ὁ ΓΕ διά ὁ ὁ κατά κορυφή γωνία ὁ ὑπό ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσος εἰμί , καί ὅμοιος ὁ ΕΠΖ ΗΚΖ περιφέρεια καί ὁ ΕΓΖ τρίγωνος ἰσογώνιος ὁ ΖΗΘ τρίγωνος . καί διά ὁ αὐτός καί ΘΚ ὁ ΠΓΕ εἰμί παράλληλος . καί ἴσος εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ κέντρον ὁ Α Β · ἴσος ἄρα ὁ ΖH ὁ ∠Ε . ἄγω κάθετος ὁ ΑΣ ΒΛ ἴσος ἄρα ὁ ΑΣ ὁ ΒΛ · ὥστε καί ὁ μέν ΒΜ ὁ μή εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΛΜ ὁ MΣ δύο γάρ τρίγωνος εἰμί ὁ BΛM ΑΣΜ ὁ δύο γωνία ὁ κατά κορυφή ἴσος ἔχω καί ὁ πρός ὁ Λ Σ σημεῖον ὀρθός , ἔχω δέ καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ ΒΛ ὁ ΑΣ ) . καί δίδωμι εἰμί ἕκαστος ὁ ΜΛ ∠Β ΜΣ σός · ὀθέω ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΒΜ μή εὐθύς . ἀλλά καί ἑκάτερος ὁ ΑΓ ΓΒ δίδωμι εἰμί ( θέσις γάρ ὁ Α B Γ σημεῖον ) δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος · καί ὁ ΓΜ ἄρα δίδωμι εἰμί ( κάθετος ἄγω ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΑΒ ) . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ΝΡ διάμετρος ὁ κύκλος , ἀλλά καί ὁ MA δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ΜΡ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΝΜΡ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ΜΖΗ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΜΖ , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΓΜΠ . καί δίδωμι εἰμί ὁ ΓΜ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΠ . ἐπεί οὖν θέσις καί μέγεθος εἰμί κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α , καί δίδωμι ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος ὁ ΓΠ , καί διάγω ὁ ΠΖ∠ ΓΖΘ , ὥστε παράλληλος εἰμί ὁ ΓΠ ὁ ΚΘ , δίδωμι εἰμί ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ ΓΖΠ τρίγωνος κύκλος , τουτέστιν ὁ ΓΕΖ .
pappus-mathematics.synagoge 3.14
14 ί . Τρίγωνον τὸ ΑBΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν , καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ ∠ , καὶ ὧ ὑπερέχει ἡ Α∠ τῆς Γ∠ , τούτῳ ὑπερεχέτω καὶ ἡ Γ∠ τῆς ∠Β , καὶ ἔστω ὑπεροχὴ δοθεῖσα · ὅτι ἑκάστη τῶν Α∠ ∠Γ ∠Β δοθεῖσά ἐστιν . Ἐπεὶ ἡ τῶν Α∠ ∠Γ ὑπεροχή δοθεῖσά ἐστιν , ἔστω τῇ ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΒΖ · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ Ε∠ ∠Γ ∠Ζ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ ∠ κύκλος ὁ ΓΕΖ · διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ∠Ζ . ἧς ἡ ΒΖ ἐστὶν δοθεῖσα ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ ἐστὶν δοθεῖσα . ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν Α∠ ∠Γ δοθεῖσά ἐστιν · ἑκάστη ἄρα τῶν Α∠ ∠Γ ∠Β ἐστὶν δοθεῖσα .
Lemmas: 14 ἵ . Τρίγωνον ὁ ΓΑ ἔχω ἕκαστος ὁ πλευρά δίδωμι , καί σημεῖον ἐντός ὁ ∠ , καί ἵημι ὑπερέχω ὁ Α∠ ὁ Γ∠ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ Γ∠ ὁ ∠Β , καί ἵστημι ὑπεροχή δίδωμι · ὅτι ἕκαστος ὁ Α∠ ∠Γ ∠Β δίδωμι εἰμί . ἐπεί ὁ ὁ Α∠ ∠Γ ὑπεροχή δίδωμι εἰμί , ἵστημι ὁ ὑπεροχή ἴσος ἑκάτερος ὁ ΑΕ ΒΖ · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ Ε∠ ∠Γ ∠Ζ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . γράφω περί κέντρον ὁ ∠ κύκλος ὁ ΓΕΖ · διά δή ὁ προγράφω δίδωμι εἰμί ὁ ∠Ζ . ὅς ὁ ΒΖ εἰμί δίδωμι ὁ λοιπός ἄρα ὁ Β∠ εἰμί δίδωμι . ἀλλά καί ἑκάτερος ὁ Α∠ ∠Γ δίδωμι εἰμί · ἕκαστος ἄρα ὁ Α∠ ∠Γ ∠Β εἰμί δίδωμι .
pappus-mathematics.synagoge 3.15
15 ια΄ . Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα , τὸ δὲ ἀρχαϊκόν · τρεῖς κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοθείσας ἔχοντες τὰς διαμέτρους , ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ , καὶ περὶ αὐτοὺς κύκλος ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὁ ∠ΕΖ , οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διάμετρον . Ἔστω δὲ αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Η , καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α Β Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καὶ ἔτι αἱ ΗΑ∠ ΗΒΖ ΗΓΕ . ἐπεὶ οὖν αἱ διάμετροι τῶν κύκλων , ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ , δοθεῖσαί εἰσιν , γενήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δοθεῖσα . καὶ αἱ τῶν ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφοραὶ δοθεῖσαι · διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσά ἐστιν , ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου . καὶ τοῦτο μὲν ἐνθάδε μοι πέρας ἔχει , τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω .
Lemmas: 15 ΙΑ΄ . ὁ μέν οὖν λῆμμα οὗτος , ὁ δέ ἀρχαϊκός · τρεῖς κύκλος ἄνισος ἐφάπτω ἀλλήλων δίδωμι ἔχω ὁ διάμετρος , ὅς κέντρον ὁ Α Β Γ , καί περί αὐτός κύκλος ἐφάπτω αὐτός ὁ ∠ΕΖ , ὅς δήω ἵστημι εὑρίσκω ὁ διάμετρος . ἔστω δέ αὐτός ὁ κέντρον ὁ ὁ , καί ἐπί ὁ κέντρον ὁ Α Β Γ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καί ἔτι ὁ ΗΑ∠ ΗΒΖ ἄγω . ἐπεί οὖν ὁ διάμετρος ὁ κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α Β Γ , δίδωμι εἰμί , γίγνομαι καί ἕκαστος ὁ ΑΒ ΒΓ ΓΑ δίδωμι . καί ὁ ὁ ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφορά δίδωμι · διά ἄρα ὁ προγράφω δίδωμι εἰμί ὁ ΑΗ . ἀλλά καί ὁ Α∠ δίδωμι εἰμί , ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ∠ΕΖ κύκλος . καί οὗτος μέν ἐνθάδε ἐγώ πέρας ἔχω , ὁ δέ λοιπάς ὑπογράφω .
pappus-mathematics.synagoge 3.16
16 ιβ΄ Ἕστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , καὶ κεκλάσθω ἡ ΓΒΑ , καὶ διήχθω ἡ Γ∠ , καὶ ἴση ἔστω ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ AB △Γ , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴv AΓ αἱ ΒΕ △Ζ ὅτι ἡ AΖ διπλασίων ἐστὶν τῆς BΕ . Κείσθω γὰρ τῇ μὲν AΕ ἴση ἡ ΕΗ , τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΘ ΘΗ ΘΖ , καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ . ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρᾳ τῇ ΑΒ ∠Γ , ὧν ἡ ΒΘ τῇ BΑ ἐστὶν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ τῇ Γ ∠ ἐστὶν ἴση καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ ∠ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ∠Γ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ · καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ γωνίᾳ . πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΗ , ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΒ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΖΗ ἐστὶν ἴση . καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΘΚ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒΘ ΑΚΘ , ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὸ ΑΒΘΚ τετράπλευρον ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ . ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ · ἡμίσους ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ . ὀρθὴ δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΚ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΚ . τῆς δὲ ΕΚ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ ( ἐπείπερ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΗ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ΖΚ τῇ ΚΗ ) · καὶ τῆς ΕΒ ἄρα διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ , ὅπερ : ~
Lemmas: 16 ἰβʹ εἱμί ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί κλάω ὁ ΓΒΑ , καί διάγω ὁ Γ∠ , καί ἴσος ἵστημι ὁ ΓΒ συναμφότεροι ὁ AB △Γ , καί κάθετος ἄγω ἐπί ὅς AΓ ὁ ΒΕ △Ζ ὅτι ὁ AΖ διπλάσιος εἰμί ὁ BΕ . κέω γάρ ὁ μέν Εὖ ἴσος ὁ ΕΗ , ὁ δέ ΑΒ ἴσος ὁ ΒΘ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΑΘ τίθημι ΘΖ , καί κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΚ . ἐπεί ὁ ΓΒ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒ ∠Γ , ὅς ὁ ΒΘ ὁ BΑ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΘΓ λοιπός ὁ Γ ∠ εἰμί ἴσος καί ὁ ἀπό ὁ Γ ∠ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΘ . ὁ δέ ἀπό ὁ ∠Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΖ · καί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΖ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΘ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΖΘΓ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΘΑΗ γωνία . πάλιν ἐπεί ὁ ὑπό ὁ Γ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , καί ὁ δίς ἄρα ὑπό ὁ Γ ΑΕ , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ Γ ΑΗ , ἴσος εἰμί ὁ δίς ἀπό ὁ ΑΒ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΑΘ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΘΗ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΘΓΖ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΘΑΗ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΖΘΓ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΗΘ λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΘΖΓ εἰμί ἴσος καί ὁ ὑπό ΘΗΖ ἄρα ὁ ὑπό ΘΖΗ εἰμί ἴσος . καί κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΚ ὁ ΚΗ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΒΘ ΑΚΘ , ἐν κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΘ τετράπλευρος ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΘΑ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΚΑ . ἥμισυς δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΘΑ · ἥμισυς ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΚΑ . ὀρθός δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΕΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΚ . ὁ δέ ΕΚ διπλόος εἰμί ὁ αζʹ ( ἐπεί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΗ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΖΚ ὁ ΚΗ ) · καί ὁ ΕΒ ἄρα διπλόος εἰμί ὁ αζʹ , ὅσπερ : ~
pappus-mathematics.synagoge 3.18
18 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ᾗ ∠Κ τῇ ΚΕ , ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ΚΕ ∠ ἀλλʼ ἡ μέν ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕ ∠ τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ Ε ∠ παραλλήλους · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση . ἔστιν δέ καὶ ἡ BΚ εὐθεῖα τῇ Κ ∠ ἴση καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση , ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒ ∠ τῇ ὑπὸ B ∠Α , τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΒ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΒΗ . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒ ∠ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΒΗ ἐστὶν ἴση . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β ∠Η τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ Β ∠ΗΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευράν τὴν ΑΒ τῇ Β ∠ ἴση ἔρα ἡ μέν ΒΗ τῇ ΒΛ , ἡ δὲ ∠Η τῇ ΛΑ , ὥστε καὶ ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ , ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ , ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Λ ∠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Λ ∠ πρὸς ∠Η , ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ · συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠ , ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ . ἔστιν δέ καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗK , ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ ἐξ ἰσου ἄρα καὶ ὡς ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠ , ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ . καὶ ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΘ τῇ ὑπὸ ΚΗ ∠ διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΚΗ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ τῇ ὑπὸ Κ ∠Η · παράλληλος ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ .
Lemmas: 18 καί ὁ σύνθεσις ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὅς ∠Κ ὁ ΚΕ , ἴσος καί γωνία ὁ ὑπό Κ ∠Ε ὁ ὑπό ΚΕ ∠ ἀλλά ὁ μέν ὑπό Κ ∠Ε ὁ ὑπό ∠ΚΛ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ὑπό ΚΕ ∠ ὁ ὑπό ΒΚΛ εἰμί ἴσος διά ὁ ΚΛ Ε ∠ παράλληλος · καί ὁ ὑπό ΒΚΛ ἄρα ὁ ὑπό ∠ΚΛ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ BΚ εὐθύς ὁ Κ ∠ ἴσος καί βάσις ἄρα ὁ ΒΛ βάσις ὁ Λ ∠ εἰμί ἴσος , ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΒ ∠ ὁ ὑπό B ∠Α , τουτέστιν ὁ ὑπό ∠ΑΒ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΒΗ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΑΒ ∠ λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΛ λοιπός ὁ ὑπό ∠ΒΗ εἰμί ἴσος . ἀλλά καί ὁ ὑπό Β ∠Η ὁ ὑπό Βαλ εἰμί ἴσος δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ Β ∠ΗΒΑΛ ὁ δύο γωνία ὁ δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά ὁ ΑΒ ὁ Β ∠ ἴσος ἄρα ὁ μέν ΒΗ ὁ ΒΛ , ὁ δέ ∠Η ὁ ΛΑ , ὥστε καί ὁ Λ ∠ ὁ ΑΗ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ∠ , ὁ ∠Θ πρός ΘΖ , ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ Λ ∠ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Λ ∠ πρός ∠Η , ὁ ∠Θ πρός ΘΖ · συντίθημι ἄρα ὡς ὁ ΛΗ πρός ὁ ∠ , ὁ ∠Ζ πρός ΖΘ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΛΗ πρός Η , ὁ ∠Ζ πρός ΖΕ ἐκ ἴσος ἄρα καί ὡς ὁ ΚΗ πρός ὁ ∠ , ὁ ΕΖ πρός ΖΘ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΕΖΘ ὁ ὑπό ΚΗ ∠ διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΕΖ ΚΗ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΕΘΖ ὁ ὑπό Κ ∠Η · παράλληλος ἄρα εἰμί καί ὁ Κ ∠ ὁ ΕΘ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό Κ ∠Ε , τουτέστιν ὁ ὑπό ΚΕ ∠ γωνία ὁ ὑπό ∠ΕΘ .
pappus-mathematics.synagoge 3.19
19 ιδ΄ Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐχαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑκείσθωΕ ΕΖΓ , καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον , ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον , ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , ὡς οἱ περὶ κέντρα τὰ Η Θ Κ Λ δεῖξαι τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Η κέντρου κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Η . κύκλου , τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Θ κύκλου , τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετον τριπλασίαν , καὶ τὰς ἑξῆς καθέτους τῶν οἰκείων διαμέτρων ολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμοὺς ἐπʼ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων ἐγγραφῆς . δειχθήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα .
Lemmas: 19 ὁράω φέρω ἐν τις ἀρχαῖος πρότασις τοιοῦτος ὑπόκειμαι τρεῖς ἡμικύκλιον χάπτω ἀλλήλων ὁ ΑΒΓ ΑκείσθωΕ ΕΖΓ , καί εἰς ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια αὐτός χωρίον , ὅς δή καλέω ἄρβηλος , ἐγγράφω κύκλος ἐφάπτω ὁ τε ἡμικύκλιον καί ἀλλήλων οσοιδηποος , ὡς ὁ περί κέντρον ὁ ὁ Θ Κ Λ δείκνυμι ὁ μέν ἀπό ὁ ὁ κέντρον κάθετος ἐπί ὁ ΑΓ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ ὁ . κύκλος , ὁ δέ ἀπό ὁ Θ κάθετος διπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ περί ὁ Θ κύκλος , ὁ δέ ἀπό ὁ Κ κάθετος τριπλάσιος , καί ὁ ἑξῆς κάθετος ὁ οἰκέω διάμετρος ολλαπλασίας κατά ὁ ἑξῆς μόνος ἀλλήλων ὑπερέχω ἀριθμός ἐπί ἤπειρος γίγνομαι ὁ ὁ κύκλος ἐγγραφή . δείκνυμι δέ πρότερος ὁ λαμβάνω .
pappus-mathematics.synagoge 3.20
20 τέ . Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐχαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β , καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ , ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ ( πεσοῦνται δὴ διὰ τῶν Κ Λ ) , καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Κ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τεμεῖ μὲν τὸν ΖΒ κύκλον , συμπίπτει δὲ τῇ διὰ τῶν Α Γ κέντρων ἐκβαλλομένη εὐθείᾳ διὰ τύ μείζονα εἶναι τὴν ΑΚ πλευρὰν τῆς Γ ∠ τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζίου συμπιπτέτω οὖν κατὰ τὸ Ε τέμνουσα τὸν κύκλον κατὰ τὸ ∠ · δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς BΓ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ . Ἔστιν δὲ φανερόν · γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ Γ ∠Λ ΛΚΗ τρίγωνα τάς κατά κορυφὴν γωνίας ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς πλευράς ἀνάλογον , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ , καὶ παράλληλον τὴν Γ ∠ τῇ ΑΗ , καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ , τὴν ΑΚ πρὸς Γ ∠ , τουτέστιν τὴν ΑΒ πρὸς BΓ .
Lemmas: 20 τε . εἰμί δύο κύκλος ὁ ΖΒ ΒΜ περί κέντρον ὁ Α Γ εχαπτομενω ἀλλήλων κατά ὁ Β , καί μείζων ἵστημι ὁ ΒΜ , ἄλλος δέ τις ἐφάπτω αὐτός κατά ὁ Κ Λ περί κέντρον ὁ ὁ ὁ ΚΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ ( πίπτω δή διά ὁ Κ Λ ) , καί ὁ ἐπί ὁ Κ Α ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐκβάλλω τέμνω μέν ὁ ΖΒ κύκλος , συμπίπτω δέ ὁ διά ὁ Α Γ κέντρον ἐκβάλλω εὐθύς διά ὅς μείζων εἰμί ὁ ΑΚ πλευρά ὁ Γ ∠ ὁ ΑΚ ∠Γ τραπέζιον συμπίπτω οὖν κατά ὁ Ε τέμνω ὁ κύκλος κατά ὁ ∠ · δείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός BΓ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ . ἔρτις δέ φανερός · γίγνομαι γάρ ἰσογώνιος ὁ Γ ∠Λ ΚΛΗ τρίγωνος ὁ κατά κορυφή γωνία ἴσος ἔχω καί περί ὁ Γ ὁ γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνία ἐναλλάξ , καί παράλληλος ὁ Γ ∠ ὁ ΑΗ , καί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΓ , ὁ ΑΚ πρός Γ ∠ , τουτέστιν ὁ ΑΒ πρός BΓ .
pappus-mathematics.synagoge 3.21
21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν . ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , ἡ Κέστιν ἐπʼ τὐθείας γίνεται τῇ ∠Ε . Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ Γ ∠ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς βΓ , τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΑΚ πρὸς Γ ∠ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ Κ ∠ τῇ ∠Ε . εἰ γὰρ ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ ∠ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ , γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ , ὅπερ ἀδύνατον . ὁμοίως οὐδὲ τοῦ ∠ ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν Γ ∠ ἐκβληθεῖσαν , βληθεἴσαν , οἷον κατὰ τὸ Ν · ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΑΚ πρὸς ΓΝ , ὅπερ ἀδύνατον ἔστιν γὰρ πρὸς τὴν Γ ∠ . Ἢ οὕτως . διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω , καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ , καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΓΝ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , οὕτως ἡ ΑΚ , τουτέστιν ἡ ΓΝ , πρὸς Γ ∠ , διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , ἡ Ν ∠ τρὸς ∠Γ . ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ , τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ , πρὸς Ν ∠ , οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς Γ ∠ . καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ Ε ∠Γ τρίγωνον τῷ ∠ΝΚ τριγώνῳ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε ∠Γ γωνία τῇ ὑπὸ Ν ∠Κ . καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ · εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ Κ ∠Ε .
Lemmas: 21 καί ὁ ἀναστρόφιος δέ φανερός εἰμί . ἐάν γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ὁ κεστός ἐπί εὐθύς γίγνομαι ὁ ∠Ε . παράλληλος τε γάρ εἰμί ὁ ΑΚ ὁ Γ ∠ καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός βγʹ , τουτέστιν ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ὁ ΑΚ πρός Γ ∠ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ Κ ∠ ὁ ∠Ε . εἰμί γάρ ὁ διά ὁ Κ Ε οὐ ἥκω καί διά ὁ ∠ , ἀλλά διά ὁ Θ , γίγνομαι ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ὁ ΑΚ πρός ΓΘ , ὅσπερ ἀδύνατος . ὁμοίως οὐδέ ὁ ∠ ἐκτός ἥκω τέμνω ὁ Γ ∠ ἐκβάλλω , βάλλω , οἷος κατά ὁ Ν · εἰμί γάρ πάλιν ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ὁ ΑΚ πρός ΓΝ , ὅσπερ ἀδύνατος εἰμί γάρ πρός ὁ Γ ∠ . ἤ οὕτως . διά ὁ Κ ὁ ΑΕ παράλληλος ὁ ΚΝ ἄγω , καί γίγνομαι παραλληλόγραμμος ὁ ΓΑ , καί ἴσος ὁ ΑΚ ὁ ΓΝ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , οὕτως ὁ ΑΚ , τουτέστιν ὁ ΓΝ , πρός Γ ∠ , διαιρέω ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , ὁ Ν ∠ Τρος ∠Γ . ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΓ , τουτέστιν ὡς ὁ ΚΝ , πρός Ν ∠ , οὕτως ὁ ΕΓ πρός Γ ∠ . καί περί ὁ ἴσος γωνία ὁ πρός ὁ Ν Γ ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ Ε ∠Γ τρίγωνος ὁ ∠ΝΚ τρίγωνος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό Ε ∠Γ γωνία ὁ ὑπό Ν ∠Κ . καί εἰμί εὐθύς ὁ ΓΝ · εὐθύς ἄρα καί ὁ Κ ∠Ε .
pappus-mathematics.synagoge 3.22
22 Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΒ . Ἔπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , τουτέστιν πρὸς ΓΖ , ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , τουτέστιν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Κ ∠ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς Ε ∠ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠ , ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς EΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ BΕΖ , καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠ τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΖ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ τῷ ἀπὸ EΒ .
Lemmas: 22 λέγω δή ὅτι καί ὁ ὑπό ΚΕΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό EΒ . ἔπος γάρ ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , τουτέστιν πρός ΓΖ , εἰμί καί ὁ λοιπός ὁ ΒΕ πρός λοιπός ὁ ΕΖ ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , τουτέστιν ὡς ὁ ΚΕ πρός Κ ∠ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΚΕ πρός Ε ∠ , οὕτως ὁ ὑπό ΚΕΛ πρός ὁ ὑπό ΛΕ Ε ∠ , ὡς δέ ὁ ΒΕ πρός EΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΕ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΛΕ Ε ∠ ὁ ὑπό ΒΕ ΕΖ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΚΕΛ ὁ ἀπό EΒ .
pappus-mathematics.synagoge 3.24
24 Συνθεωρεῖται δʼ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑM . διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ ΖΛΓ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΛΓ , καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΚ ΖΛ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ . Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν BΓ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως τὴν ΒΛ πρὸς ΚΛ , τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΛ , τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου , ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΛ ∠Γ , διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως τὴν BΚ πρὸς ΚΛ , τὸ ὑπὸ τῆς B ∠ καὶ τῆς ΚΛ , τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου , ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΚ ∠Γ .
Lemmas: 24 συνθεωρέω δέ ὅτι καί ὁ ὑπό ὁ ΒΚ ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑM . διά γάρ ὁ ὁμοιότης ὁ ΒΘΚ ΖΛΓ τρίγωνος εἰμί ὡς ὁ ΒΚ πρός ΚΘ , οὕτως ὁ ΖΛ πρός ὁ ΛΓ , καί ὁ ὑπό ΒΚ ΛΓ ἴσος ὁ ὑπό ΘΚ ΖΛ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΑΜ . γίγνομαι δέ καί διά μέν ὁ εἰμί ὡς ὁ BΓ πρός ὁ Γ ∠ , οὕτως ὁ ΒΛ πρός ΚΛ , ὁ ὑπό ΒΓ καί ὁ ΚΛ , τουτέστιν ὁ ὁ κύκλος διάμετρος , ἴσος ὁ ὑπό ΒΛ ∠Γ , διά δέ ὁ εἰμί ὡς ὁ Β ∠ πρός ὁ Γ ∠ , οὕτως ὁ BΚ πρός ΚΛ , ὁ ὑπό ὁ B ∠ καί ὁ ΚΛ , τουτέστιν ὁ ὁ κύκλος διάμετρος , ἴσος ὁ ὑπό ΒΚ ∠Γ .
pappus-mathematics.synagoge 3.28
28 ιθ´ Τὸ ὑπερτεθὲν λῆμμα . ἡμικύκλια τὰ BΗΓ ΒΑ∠ , καὶ ἀρθὴ ἡ ∠Ε , καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὁ ΘΗΖΑ · ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ μήκει , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου δυνάμει . Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ · εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΖΑΒ ΘΑ∠ . κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ · ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς1Β∠ τετραγώνῳ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΒ∠ , οὕτως ἡ ΒΒ∠ πρὸς Β∠Κ , τουτέστιν πρὸς ΘΖ . ὡς δὲ ἡ ΒΒ∠ πρὸς ΘΖ , ἡ Β∠Α πρὸς ΘΑ , ὡς δὲ ἡ Β∠Α πρὸς ΑΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ ( ὀρθογώνιον γάρ ἐστιν τὸ ΘΖ∠ , καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν ἡ ΖΑ ) · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου .
Lemmas: 28 ιθ´ ὁ ὑπερτίθημι λῆμμα . ἡμικύκλιον ὁ ΓΗ ΒΑ∠ , καί ἀραρίσκω ὁ ∠Ε , καί κύκλος ἐφάπτω ὁ ΖΗΘ · ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ∠ μῆκος , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ διάμετρος ὁ ΖΗΘ κύκλος δύναμις . ἄγω διάμετρος ὁ ΘΖ · εὐθύς ἄρα ὁ ΖΑΒ ΘΑ∠ . κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ · εἰμί ἄρα διά ὁ προδείκνυμι ὁ ὑπό ὁ ΓΒ ΒΚ περιέχω χωρίον ἴσος ὁ ἀπό Βῆς τετράγωνος ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ΓΒ∠ , οὕτως ὁ ΒΒ∠ πρός Β∠Κ , τουτέστιν πρός ΘΖ . ὡς δέ ὁ ΒΒ∠ πρός ΘΖ , ὁ Β∠Α πρός ΘΑ , ὡς δέ ὁ Β∠Α πρός ΑΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ζ∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΖ ( ὀρθογώνιος γάρ εἰμί ὁ ΘΖ∠ , καί κάθετος ἐπί ὁ ὑποτείνω ὁ Γῆ ) · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός Γ∠ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ζ∠ πρός ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ΖΗΘ κύκλος .
pappus-mathematics.synagoge 3.29
29 κ´ . Ἔτι καὶ τοῦτο διὰ τῶν προγεγραμμένων λημμάτων τεθεώρηται . ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ Α∠Ε , καὶ γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τῶν περιφερειῶν αὐτῶν κύκλοι οἱ περὶ τά κέντρα τὰ Ζ Η Θ , καὶ οἱ συνεχεῖς αὐτοῖς ὡς ἐπὶ τὸ Α . ὅτι μὲν οὖν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Ζ κύκλου δῆλον , λέγω δʼ ὅτι καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Η κάθετος τριπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Η κύκλου , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ πενταπλασία , καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσούς ἀριθμούς . Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον , οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος πρὸς τὴν ἰδίαν διάμετρον , καὶ ἔστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου ἡμιολία τῆς διαμέτρου , τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται τριπλασία . πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον , οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον , ἡ δʼ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον λόγον ἔχει ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ δύο , ἕξει καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον τὸν αὐτὸν λόγον · τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται πενταπλασία . ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς .
Lemmas: 29 κ . ἔτι καί οὗτος διά ὁ προγράφω λῆμμα θεωρέω . ἵστημι ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ Α∠Ε , καί γράφω ἐφάπτω ὁ περιφέρεια αὐτός κύκλος ὁ περί ὁ κέντρον ὁ Ζ ὁ Θ , καί ὁ συνεχής αὐτός ὡς ἐπί ὁ Α . ὅτι μέν οὖν ὁ ἀπό ὁ Ζ κάθετος ἐπί ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περί ὁ Ζ κύκλος δῆλος , λέγω δέ ὅτι καί ὁ μέν ἀπό ὁ ὁ κάθετος τριπλάσιος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περί ὁ ὁ κύκλος , ὁ δέ ἀπό ὁ Θ πενταπλάσιος , καί ὁ ἑξῆς κάθετος ὁ ἐκ ὁ κέντρον πολλαπλάσιος κατά ὁ ἑξῆς περισσός ἀριθμός . ἐπεί γάρ προδείκνυμι ὡς ὁ ἀπό ὁ Ζ κάθετος μετά ὁ διάμετρος πρός ὁ διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ὁ κάθετος πρός ὁ ἴδιος διάμετρος , καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ζ κάθετος μετά ὁ διάμετρος ἡμιολία ὁ διάμετρος , ὁ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον εἰμί τριπλάσιος . πάλιν ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ὁ κάθετος μετά ὁ διάμετρος πρός ὁ διάμετρος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Θ κάθετος πρός ὁ διάμετρος , ὁ δέ ἀπό ὁ ὁ κάθετος μετά ὁ διάμετρος πρός ὁ διάμετρος λόγος ἔχω ὅς ἔχω ὁ πέντε πρός ὁ δύο , ἔχω καί ὁ ἀπό ὁ Θ κάθετος πρός ὁ διάμετρος ὁ αὐτός λόγος · ὁ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον εἰμί πενταπλάσιος . ὁμοίως δείκνυμι καί ὁ ἑξῆς κάθετος ὁ ἐκ ὁ κέντρον πολλαπλάσιος κατά ὁ ἑξῆς περισσός ἀριθμός .
pappus-mathematics.synagoge 3.30
30 κα΄ . Τὸ ἐπὶ τῆς ἕλικος τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης θεώρημα προὔτεινε μὲν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης , ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης θαυμαστῇ τινι χρησάμενος ἐπιβολῇ . ἔχει δὲ γένεσιν ἡ γραμμὴ τοιαύτην .
Lemmas: 30 ΚΑ΄ . ὁ ἐπί ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ἐπίπεδος γράφω θεώρημα προτείνω μέν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης , ἀποδείκνυμι δέ Ἀρχιμήδης θαυμαστός τις χράω ἐπιβολή . ἔχω δέ γένεσις ὁ γραμμή τοιοῦτος .
pappus-mathematics.synagoge 3.31
31 Ἔστω κύκλος οὗ κέντρον μὲν τὸ Β , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΑ . κεκινήσθω ἡ ΒΑ εὐθεῖα οὕτως ὥστε τὸ μὲν Β μένειν , τὸ δὲ Α ὁμαλῶς φέρεσθαι κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας , ἅμα δὲ αὑτῇ ἀρξάμενόν τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β φερέσθω κατʼ αὑτῆς ὁμαλῶς ὡς ἐπὶ τὸ Α , καὶ ἐν ἴσῳ χρὸνῳ τό τε ἐπὸ τοῦ Β σημεῖον τὴν ΒΑ διερχέσθω καὶ τὸ Α τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν γράψει δὴ τὸ κατὰ τὴν ΒΑ κινούμενον σημεῖον ἐν τῇ περιφορᾷ γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΒΕΖΑ , καὶ ἀρχὴ μὲν αὐτῆς ἔσται τὸ Β σημεῖον , ἁρχὴ δὲ τῆς περιφορᾶς ἡ ΒΑ , αὐτὴ δὲ ἡ γραυμὴ ἕλιξ καλεῖται . καὶ τὸ ἀρχικὸν αὑτῆς ἐστι σύμπτωμα τοιοῦτον .
Lemmas: 31 ἔστω κύκλος ὅς κέντρον μέν ὁ Β , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΒΑ . κινέω ὁ ΒΑ εὐθύς οὕτως ὥστε ὁ μέν Β μένω , ὁ δέ Α ὁμαλός φέρω κατά ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ἅμα δέ ἑαυτοῦ ἄρχω τίς σημεῖον ἀπό ὁ Β φέρω κατά ἑαυτοῦ ὁμαλός ὡς ἐπί ὁ Α , καί ἐν ἴσος χρόνος ὁ τε πόμι ὁ Β σημεῖον ὁ ΒΑ διέρχομαι καί ὁ Α ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια γράφω δή ὁ κατά ὁ ΒΑ κινέω σημεῖον ἐν ὁ περιφορά γραμμή οἷος εἰμί ὁ Βέζα , καί ἀρχή μέν αὐτός εἰμί ὁ Β σημεῖον , ἀρχή δέ ὁ περιφορά ὁ ΒΑ , αὐτός δέ ὁ γραυμὴ ἕλιξ καλέω . καί ὁ ἀρχικός ἑαυτοῦ εἰμί σύμπτωμα τοιοῦτος .
pappus-mathematics.synagoge 3.32
32 Ἥτις γὰρ ἂν διαχθῇ πρὸς αὖτὴν ὡς ἡ ΒΖ καὶ ἐτβληθῇ , ἔστιν ὡς ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΑΒ εὔθεῖα πρύς τὴν ΒΖ . Τοῦτο δὲ συνιδεῖν ῥᾴδιον ἐκ τῆς γενέσεως · ἐν ᾧ μὲν γὰρ τὸ Α σημεῖον τὴν ὅλην κύκλου περιφέρειαν διέρχεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΑ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Α τὴν Α∠Γ περιφέρειαν , ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀκὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ εὐθεῖαν . καὶ εἰσὶν αἱ κινήσεις αὗται ἑαυταῖς ἰσοταχεῖς , ὥστε καὶ ἀνάλογον εἶναι .
Lemmas: 32 ἥτις γάρ εἄν διάζομαι πρός αὐτός ὡς ὁ ΒΖ καί βάλλω , εἰμί ὡς ὁ ὅλος ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ Α∠Γ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒ εὐθύς πρύος ὁ ΒΖ . οὗτος δέ συνοράω ῥᾴδιος ἐκ ὁ γένεσις · ἐν ὅς μέν γάρ ὁ Α σημεῖον ὁ ὅλος κύκλος περιφέρεια διέρχομαι , ἐν οὗτος καί ὁ ἀπό ὁ Β ὁ ΒΑ , ἐν ὅς δέ ὁ Α ὁ Α∠Γ περιφέρεια , ἐν οὗτος καί ὁ ΑΚΟ ὁ Β ὁ ΒΖ εὐθύς . καί εἰμί ὁ κινέω οὗτος ἑαυτοῦ ἰσοταχής , ὥστε καί ἀνάλογος εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 3.33
33 Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι , αἵτινες ἂν διαχθῶσιν ἀπὸ τοῦ B πρὸς τὴν γραμμὴν εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας , τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχουσιν .
Lemmas: 33 Φανερός δέ καί οὗτος ὅτι , ὅστις εἄν διάζομαι ἀπό ὁ B πρός ὁ γραμμή εὐθύς ἴσος περιέχω γωνία , ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω .
pappus-mathematics.synagoge 3.34
34 κβ΄ . Δείκνυται δέ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐν ἀρχῇ τῆς περιφορᾶς τρίτον μέρος τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κύκλου . Ἔστω γάρ ὅ τε κύκλος καὶ ἡ προειρημένη γραμμή , καὶ ἐκκείσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογόνιον τὸ ΚΝΛΠ , καὶ ἀπειλήφθω μὲν ΑΓ περιφέρεια μέρος τι τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας , ἡ δέ ΚΡ εὐθεῖα τῆς ΚΠ τὸ αὐτὸ μέρος , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ , καὶ τῇ μὲν ΚΝ παράλληλος ἡ ΡΤ , τῇ δέ ΚΠ ἡ ΩΜ , καὶ περὶ τὸ Β κέντρον περιφέρεια ἡ ΖΗ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς ΑΗ , τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ , οὕτως ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ ( τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ ἀρχικὸν τῆς ἕλικος σύμπτωμα ) , ὡς δὲ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ , ἡ ΠΚ πρὸς ΚΡ , ὡς δέ ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΡ , ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΩ , τουτέστιν ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΡΩ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τήν ΓΖ , ᾗ ΓΡ πρὸς ΡΩ . καὶ ἀναστρέψαντι · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΩ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ PΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΩ , οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα · καὶ ὡς ἄρα ὁ ΓΒΑ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα , οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν NT πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ MT παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα .
Lemmas: 34 ΚΒ΄ . δείκνυμι δέ ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ ἕλιξ καί ὁ εὐθύς ὁ ἐν ἀρχή ὁ περιφορά τρίτος μέρος ὁ περιλαμβάνω αὐτός κύκλος . ἔστω γάρ ὅς τε κύκλος καί ὁ προερέω γραμμή , καί ἔκκειμαι παραλληλόγραμμος ὀρθογόνιον ὁ ΚΝΛΠ , καί ἀπολαμβάνω μέν ΑΓ περιφέρεια μέρος τίς ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ὁ δέ ΚΡ εὐθύς ὁ ΚΠ ὁ αὐτός μέρος , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΓΒ καί ὁ ΒΑ , καί ὁ μέν ΚΝ παράλληλος ὁ ΡΤ , ὁ δέ ΚΠ ὁ ωμʹ , καί περί ὁ Β κέντρον περιφέρεια ὁ ΖΗ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΒΓ πρός ΓΖ , οὕτως ὁ ὅλος ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΓΑ ( οὗτος γάρ εἰμί ὁ ἀρχικός ὁ ἕλιξ σύμπτωμα ) , ὡς δέ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΓΑ , ὁ ΠΚ πρός ΚΡ , ὡς δέ ὁ ΠΚ πρός ὁ ΚΡ , ὁ ΛΚ πρός ὁ ΚΩ , τουτέστιν ὁ ΡΤ πρός ὁ ΡΩ , καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΖ , ὅς ΓΡ πρός ΡΩ . καί ἀναστρέφω · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΡΤ πρός ὁ ἀπό ὁ εγώ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τομεύς πρός ὁ ΖΒΗ τομεύς . ὡς δέ ὁ ἀπό PΓ πρός ὁ ἀπό ὁ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΚΤ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ἄγω ὁ ΝΤ πρός ὁ ἀπό ὁ ΜΤ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ὁ αὐτός ἄγω · καί ὡς ἄρα ὁ ΓΒΑ τομεύς πρός ὁ ΖΒΗ τομεύς , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΚΤ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ἄγω ὁ NT πρός ὁ ἀπό ὁ MT παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ὁ αὐτός ἄγω .
pappus-mathematics.synagoge 3.35
35 ὁμοίως δὲ ἐὰν τῇ μέν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν Γ∠ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τήν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , ἔσται ὡς ὁ ∠ΒΓ τομεύς πρὸς τὸν ΕΒΘ , μῦτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΡΦ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΓΦ τπρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΞΦ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα . τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ ἐφοδεύσαντες δείξομεν ὡς ὅλον τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ ἐγγεγραμμένα τῇ ἕλικι ἐκ τομέων σχήματα , οὕτως τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΠ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ ἄξονα τὸν ΝΛ πρὸς πάντα τὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΚΝΛ τριγώνου περὶ τὸν ΛΝ ἄξονα κώνῳ ἐγγραφόμενα ἐκ κυλίνδρων σχήματα , καὶ πάλιν ὡς τὸν κύκλον πρὸς πάντα τά περιγραφόμενα τῇ ἕλικι ἐκ τομέμων σχήματα , οὕτως τὸν κύλινδρον πρὸς πάντα τὰ τῳ αὐτῷ κώνῳ ἐκ κυλίνδρων περιγραφόμενα σχήματα , ἐξ οὗ φανερὸν τι ὡς ὁ κύκλος πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆμα , οὕτως ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κῶνον . τριπλάσιος δὲ ὁ κύλινδρος τοῦ κονοῦ · τριπλάσιος ἅρα καὶ ὁ κύκλος τοῦ εἰρημένου σχήματος .
Lemmas: 35 ὁμοίως δέ ἐάν ὁ μέν ΑΓ ἴσος τίθημι ὁ Γ∠ , ὁ δέ ΚΡ ἴσος ὁ ΡΧ , καί ὁ αὐτός κατασκευάζω , εἰμί ὡς ὁ ∠ΒΓ τομεύς πρός ὁ ΕΒΘ , μῦτως ὁ ἀπό ὁ ΡΦ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ἄγω ὁ ΓΦ τπρὸς ὁ ἀπό ὁ ΞΦ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ὁ αὐτός ἄγω . ὁ δέ αὐτός τρόπος ἐφοδεύω δείκνυμι ὡς ὅλος ὁ κύκλος πρός πᾶς ὁ ἐγγράφω ὁ ἕλιξ ἐκ τομεύς σχῆμα , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΝΠ παραλληλόγραμμος κύλινδρος περί ἄγω ὁ ΝΛ πρός πᾶς ὁ ὁ ἀπό ὁ ΚΝΛ τρίγωνος περί ὁ ΛΝ ἄγω κῶνος ἐγγράφω ἐκ κύλινδρος σχῆμα , καί πάλιν ὡς ὁ κύκλος πρός πᾶς ὁ περιγράφω ὁ ἕλιξ ἐκ τομέμων σχῆμα , οὕτως ὁ κύλινδρος πρός πᾶς ὁ ὁ αὐτός κῶνος ἐκ κύλινδρος περιγράφω σχῆμα , ἐκ ὅς φανερός τίς ὡς ὁ κύκλος πρός ὁ μεταξύ ὁ ἕλιξ καί ὁ ΑΒ εὐθύς σχῆμα , οὕτως ὁ κύλινδρος πρός ὁ κῶνος . τριπλάσιος δέ ὁ κύλινδρος ὁ κονέω · τριπλάσιος ἄρα καί ὁ κύκλος ὁ εἴρω σχῆμα .
pappus-mathematics.synagoge 3.36
36 κγ΄ . Γῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δείξομεν ὅτι , κἂν διαχθῇ τις εἰς τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΒΖ καὶ διὰ τοῦ περὶ τὸ κέντρον τύ Β γραφῇ κύκλος , τὸ περιεχύμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ περιεχομένου σχήματος ὑπό τε τῆς ΖΗΘ περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν .
Lemmas: 36 κγ΄ . ἐγώ δέ αὐτός τρόπος δείκνυμι ὅτι , κἀν διάζομαι τις εἰς ὁ ἕλιξ ὡς ὁ ΒΖ καί διά ὁ περί ὁ κέντρον ὅς Β γράφω κύκλος , ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ ΖΕΒ ἕλιξ καί ὁ ΖΒ εὐθύς τρίτος μέρος εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ ΖΗΘ περιφέρεια ὁ κύκλος καί ὁ ΖΒΘ εὐθύς .
pappus-mathematics.synagoge 3.40
40 κζ΄ . Ὅτι δὲ ὀργανικῶς δύναται γράφεσθαι ἡ γραμμὴ καὶ ἐπ᾿ ἔλαττον ἀεὶ συμπορεύεται τῷ κανόνι , τουτέστιν ὅτι πασῶν τῶν ἀπό τινων σημείων τῆς ΛΓΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν καθέτων μεγίστη ἐστὶν ἡ Γ∠ κάθετος , ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς Γ∠ ἀγομένη κάθετος τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , καὶ ὅτι , εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τοῦ κανόνος καὶ τῆς κοχλοειδοῦς ἐάν τις ᾖ εὐθεῖα , ἐκβαλλομένη τμηθήσεται ὑπὸ τῆς κοχλοειδοῦς , αὐτὸς ἀπέδειξεν ὁ Νικομήδης , καὶ ἡμεῖς ἐν τῷ εἰς τὸ ἀνάλημμα Διοδώρου , τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν βουλόμενοι , κεχρήμεθα τῇ προειρημένῃ γραμμῇ .
Lemmas: 40 κζ΄ . ὅτι2 δέ ὀργανικός δύναμαι γράφω ὁ γραμμή καί ἐπί μικρός ἀεί συμπορεύομαι ὁ κανών , τουτέστιν ὅτι πᾶς ὁ ἀπό τίνω σημεῖον ὁ ΛΓΘ γραμμή ἐπί ὁ ΑΒ εὐθύς κάθετος μέγας εἰμί ὁ Γ∠ κάθετος , ἀεί δέ ὁ ἐγγύς ὁ Γ∠ ἄγω κάθετος ὁ ἀπώτερος μείζων εἰμί , καί ὅτι , εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ κανών καί ὁ κοχλοειδής ἐάν τις εἰμί εὐθύς , ἐκβάλλω τέμνω ὑπό ὁ κοχλοειδής , αὐτός ἀποδείκνυμι ὁ Νικομήδης , καί ἐγώ ἐν ὁ εἰς ὁ ἀνάλημμα Διόδωρος , θρίξ τέμνω ὁ γωνία βούλομαι , χράομαι ὁ προερέω γραμμή .
pappus-mathematics.synagoge 3.41
41 Διὰ δὴ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν γωνίας δοθείσης ὡς τῆς ὑπὸ ΗΑΒ καὶ σημείου ἐκτὸς αὐτῆς τοῦ Γ διάγειν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ μεταξὺ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ . Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ ∠Θ , καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ , διαστήματι δέ τῷ δοθέντι , τουτέστιν τῇ ∠Θ , κανόνι δὲ τῷ ΑΒ γεγράφθω κοχλοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε∠Η συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προλεχθέν . συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ δοθείσῃ .
Lemmas: 41 Ζεύς δή ὁ εἴρω φανερός ὡς δυνατός εἰμί γωνία δίδωμι ὡς ὁ ὑπό ΗΑΒ καί σημεῖον ἐκτός αὐτός ὁ Γ διάγω ὁ ΓΗ καί ποιέω ὁ ΚΗ μεταξύ ὁ γραμμή καί ὁ ΑΒ ἴσος ὁ δίδωμι . ἄγω κάθετος ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ ὁ ΓΘ καί ἐκβάλλω , καί ὁ δίδωμι ἴσος ἵστημι ὁ ∠Θ , καί πόλος μέν ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ δίδωμι , τουτέστιν ὁ ∠Θ , κανών δέ ὁ ΑΒ γράφω κοχλοειδής γραμμή πρῶτος ὁ Ε∠Η συμβάλλω ἄρα ὁ ΑΗ διά ὁ προλέγω . συμβάλλω κατά ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΚΗ ὁ δίδωμι .
pappus-mathematics.synagoge 3.42
42 κη΄ . Τινὲς δὲ τῆς χρήσεως ἕνεκα παρατιθέντες κανόνα τῷ Γ κινοῦσιν αὐτόν , ἕως ἂν ἐκ τῆς πείρας ἡ μεταξὺ ἀπολαμβανομένη τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς Ε∠Η γραμμῆς ἴση γένηται τῇ δοθείσῃ · τούτου γάρ ὄντος τὸ προκείμενον ἐξ ἀρχῆς δείκνυται λέγω δέ κύβος κύβου διπλάσιος εὑρίσκεται ) . πρότερον δέ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον λαμβάνονται , ὧν ὁ μὲν Νικομήδης τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο μόνον , ἡμεῖς δέ καὶ τὴν ἀπόδειξιν ἐφηρμόσαμεν τῇ κατασκευῇ τὸν τρόπον τοῦτον .
Lemmas: 42 κη΄ . Τινές δέ ὁ χρῆσις ἕνεκα παρατίθημι κανών ὁ Γ κινέω αὐτός , ἠώς εἄν ἐκ ὁ πείρω ὁ μεταξύ ἀπολαμβάνω ὁ ΑΒ εὐθύς καί ὁ Ε∠Η γραμμή ἴσος γίγνομαι ὁ δίδωμι · οὗτος γάρ εἰμί ὁ πρόκειμαι ἐκ ἀρχή δείκνυμι λέγω δέ κύβος κύβος διπλάσιος εὑρίσκω ) . πρότερος δέ δύο δίδωμι εὐθύς δύο μέσος κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος λαμβάνω , ὅς ὁ μέν Νικομήδης ὁ κατασκευή ἐκτίθημι μόνος , ἐγώ δέ καί ὁ ἀπόδειξις ἐφαρμόζω ὁ κατασκευή ὁ τρόπος οὗτος .
pappus-mathematics.synagoge 3.44
44 κθ΄ . Τούτου δειχθέντος πρόδηλον ὅπως δεῖ κύβου δοθέντος κύβον ἄλλον εὑρεῖν κατὰ τὸν δοθέντα λόγον . Ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α εὐθείας πρὸς τὴν Β , καὶ τῶν Α B δύο μέσαι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εἰλήφθωσαν αἱ Γ ∠ · ἔσται ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Α κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ κύβον · τοῦτο γὰρ δῆλον ἐκ τῶν στοιχείων .
Lemmas: 44 κθ΄ . οὗτος δείκνυμι πρόδηλος ὅπως δεῖ κύβος δίδωμι κύβος ἄλλος εὑρίσκω κατά ὁ δίδωμι λόγος . ἔστω γάρ ὁ δίδωμι λόγος ὁ Α εὐθύς πρός ὁ Β , καί ὁ Α B δύο μέσος ἀνάλογος κατά ὁ συνεχής λαμβάνω ὁ Γ ∠ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ Γ κύβος · οὗτος γάρ δῆλος ἐκ ὁ στοιχεῖον .
pappus-mathematics.synagoge 3.45
45 λ΄ . Εἰς τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου παρελήφθη τις ὑπὸ Δεινοστράτου καὶ Νικομήδους γραμμή καί τινων ἄλλων νεωτέρων ἀπὸ τοῦ περὶ αὐτὴν συμπτώματος λαβοῦσα τοὔνομα · καλεῖται γάρ ὐπ᾿ αὐτῶν τετραγωνίζουσα καὶ γένεσιν ἔχει τοιαύτην . Ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠ καὶ περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕ∠ καὶ κινείσθω ἡ μὲν ΑΒ οὕτως ὥστε τὸ μὲν Α σημεῖον μένειν τὸ δὲ Β φέρεσθαι κατὰ τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν , ἡ δέ ΒΓ παράλληλος ἀεὶ διαμένουσα τῇ Α∠ τῷ σημείῳ φερομένῳ κατὰ τῆς ΒΑ συνακολουθείτω , καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἥ τε ΑΒ κινουμένη ὁμαλῶς τὴν ὑπὸ ΒΑ∠ γωνίαν , τουτέστιν τὸ Β σημεῖον τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν , διανυέτω , καὶ ἡ ΒΓ τὴν ΒΑ εὐθεῖαν παροδευέτω , τουτέστιν τὸ Β σημεῖον κατὰ τῆς ΒΑ φερέσθω . συμβήσεται δῆλον τῇ Α∠ εὐθείᾳ ἅμα ἐφερμόζειν ἑκατέραν τήν τε ΑΒ καὶ τὴν ΒΓ . τοιαύτης δὴ γινομένης κινήσεμως τεμοῦσιν ἀλλήλας ἐν τῇ φορᾷ αἱ ΒΓ ΒΑ εὐθεῖαι κατά τι σημεῖον αἰεὶ συμμεθιστάμενον αὑταῖς , ὑφ᾿ οὗ σημείου γράφεταί τις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τε ΒΑ∠ εὐθειῶν καὶ τῆς ΒΕ∠ περιφερείας γραμμὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη , οἵα ἐστὶν ἡ ΒΖΗ , ἣ καὶ χρειώδης εἶναι δοκεῖ πρὸς τὸ τῷ δοθέντι κύκλῳ τετράγωνον ἴσον εὑρεῖν . τὸ δὲ ἀρχικὸν αὐτῆς σύμτοιοῦτόν ἐστιν . ἥτις γάρ ἂν διαχθῇ τυχοῦσα πρὸς τὴν περιφέρειαν , ὡς ἡ ΑΖΕ , ἔσται ὡς ὅλη ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠ , ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΘ · τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς γενέσεως τῆς γραμμῆς φανερὸν ἐστιν .
Lemmas: 45 Λ΄ . εἰς ὁ τετραγωνισμός ὁ κύκλος παραλαμβάνω τις ὑπό Δεινόστρατος καί Νικομήδης γραμμή καί τίνω ἄλλος νέος ἀπό ὁ περί αὐτός σύμπτωμα λαμβάνω ὄνομα · καλέω γάρ ὑπό αὐτός τετραγωνίζω καί γένεσις ἔχω τοιοῦτος . ἔκκειμαι τετράγωνος ὁ ΑΒΓ∠ καί περί κέντρον ὁ Α περιφέρεια γράφω ὁ ΒΕ∠ καί κινέω ὁ μέν ΑΒ οὕτως ὥστε ὁ μέν Α σημεῖον μένω ὁ δέ Β φέρω κατά ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια , ὁ δέ ΒΓ παράλληλος ἀεί διαμένω ὁ Α∠ ὁ σημεῖον φέρω κατά ὁ ΒΑ συνακολουθέω , καί ἐν ἴσος χρόνος ὅς τε ΑΒ κινέω ὁμαλός ὁ ὑπό ΒΑ∠ γωνία , τουτέστιν ὁ Β σημεῖον ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια , διανύω , καί ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ εὐθύς παροδεύω , τουτέστιν ὁ Β σημεῖον κατά ὁ ΒΑ φέρω . συμβαίνω δῆλος ὁ Α∠ εὐθύς ἅμα εφερμοζεω ἑκάτερος ὁ τε ΑΒ καί ὁ ΒΓ . τοιοῦτος δή γίγνομαι κινήσεμως τέμνω ἀλλήλων ἐν ὁ φορός ὁ ΒΓ ΒΑ εὐθύς κατά τίς σημεῖον ἀεί συμμεθίστημι ἑαυτοῦ , ὑπό ὅς σημεῖον γράφω τις ἐν ὁ μεταξύ τόπος ὁ τε ΒΑ∠ εὐθύς καί ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια γραμμή ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , οἷος εἰμί ὁ ΒΖΗ , ὅς καί χρειώδης εἰμί δοκέω πρός ὁ ὁ δίδωμι κύκλος τετράγωνος ἴσος εὑρίσκω . ὁ δέ ἀρχικός αὐτός συμτοιοω εἰμί . ὅστις γάρ εἄν διάζομαι τυγχάνω πρός ὁ περιφέρεια , ὡς ὁ ΑΖΕ , εἰμί ὡς ὅλος ὁ περιφέρεια πρός ὁ Ε∠ , ὁ ΒΑ εὐθύς πρός ὁ ΖΘ · οὗτος γάρ ἐκ ὁ γένεσις ὁ γραμμή φανερός εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 3.46
46 λα΄ . Δυσαρεστεῖται δὲ αὐτῇ ὁ Σπόρος εὐλόγως διὰ ταῦτα . πρῶτον μὲν γάρ πρὸς ὃ δοκεῖ χρειώδης εἶναι πρᾶγμα , τοῦτʼ ἐν ὑποθέσει λαμβάνει . πῶς γὰρ δυνατόν , δύο σημείων ἀρξαμένων ἀπὸ τοῦ Β κινεῖσθαι , τὸ μὲν κατʼ εὐθείας ἐπὶ τὸ Α , τὸ δὲ κατὰ περιφερείας ἐπὶ τὸ ∠ ἐν ἴσῳ χρόνῳ συναποκαταστῆσαι μή πρότερον τὸν λόγον τῆς ΑB εὐθείας πρὸς τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν ἐπιστάμενον ; ἐν γὰρ τούτῳ τῷ λόγῳ καὶ τά τάχη τῶν κινήσεων ἀνάγκη εἶναι . ἐπεὶ πῶς οἷόν τε συναποκαταστῆναι τάχεσιν ἀκρίτοις χρώμενα , πλὴν εἶ μὴ ἂν κατὰ τύχην ποτέ συμβῇ ; τοῦτο δὲ πῶς οὐκ ἀλογον ; ἔπειτα δὲ τύ πέρας αὐτῆς ᾧ χρῶνται πρὸς τὸν τετραγμωνισμὸν τοῦ κύκλου , τουτέστιν καθʼ ὃ τέμνει σημεῖον τὴν Α∠ εὐθεῖαν , οὐχ εὑρίσκεται . νοείσθω δὲ ἐπὶ τῆς προκειμένης τὰ λεγόμενα καταγραφῆς ὁπόταν χὰρ αἱ ΓΒ ΒΑ φερόμεναι συναποκατασταθῶσιν , ἐφαρμόσουσιν τῇ Α∠ καὶ τομὴν οὐκέτι ποιήσουσιν ἐν ἀλλήλαις · παύεται γὰρ ἡ τομὴ πρὸ τῆς ἐπὶ τὴν Α∠ ἐφαρμογῆς ἥπερ τομὴ πέρας αὖ ἐγένετο τῆς γραμμῆς , καθʼ ὃ τῇ Α∠ εὐθείᾳ συνέπιπτεν . πλὴν εἰ μὴ λέγοι τις ἐπινοεῖσθαι προσεκβαλλομένην τὴν γραμμήν , ὡς ὑποτιθέμεθα τὰς εὐθείας , ἕως τῆς Α∠ · τοῦτο δʼ οὐχ ἕπεται ταῖς ὑποκειμέναις ἀρχαῖς , ἀλλʼ ὡς ἂν ληφθείη τὸ Η σημεῖον προειλημμένου τοῦ τῆς περιφερείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν λόγου . χωρὶς δέ τοῦ δοθῆναι τὸν λόγον τοῦτον οὐ χρὴ τῇ τῶν εὑρόντων ἀνδρῶν δόξῃ πιστεύοντας παραδέχεσθαι τὴν γραμμήν μηχανικωτέραν πως οὖσαν εἰς πολλὰ προβλήματα χρησιμεύουσαν τοῖς ἀλλά πρότερον παραδεκτέον ἐστὶ τὸ δι᾿ αὐτῆς δεικνύμενον πρόθλημα .
Lemmas: 46 ὅς . δυσαρεστέω δέ αὐτός ὁ Σπόρος εὔλογος διά οὗτος . πρῶτος μέν γάρ πρός ὅς δοκέω χρειώδης εἰμί πρᾶγμα , οὗτος ἐν ὑπόθεσις λαμβάνω . πῶς γάρ δυνατός , δύο σημεῖον ἄρχω ἀπό ὁ Β κινέω , ὁ μέν κατά εὐθύς ἐπί ὁ Α , ὁ δέ κατά περιφέρεια ἐπί ὁ ∠ ἐν ἴσος χρόνος συναποκαθίστημι μή πρότερος ὁ λόγος ὁ ΑB εὐθύς πρός ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια ἐφίστημι ; ἐν γάρ οὗτος ὁ λόγος καί ὁ τάχος ὁ κίνησις ἀνάγκη εἰμί . ἐπεί πῶς οἷος τε συναποκαθίστημι τάχος ἄκριτος χράω , πλήν εἰμί μή εἄν κατά Τύχη ποτός συμβαίνω ; οὗτος δέ πῶς οὐ ἄλογος ; ἔπειτα δέ ὅς πέρας αὐτός ὅς χράω πρός ὁ τετραγμωνισμὸν ὁ κύκλος , τουτέστιν κατά ὅς τέμνω σημεῖον ὁ Α∠ εὐθύς , οὐ εὑρίσκω . νοέω δέ ἐπί ὁ πρόκειμαι ὁ λέγω καταγραφή ὁπόταν χαρά ὁ ΓΒ ΒΑ φέρω συναποκαθίστημι , ἐφαρμόζω ὁ Α∠ καί τομή οὐκέτι ποιέω ἐν ἀλλήλων · παύω γάρ ὁ τομή πρό ὁ ἐπί ὁ Α∠ ἐφαρμογή ὅσπερ τομή πέρας αὖος γίγνομαι ὁ γραμμή , κατά ὅς ὁ Α∠ εὐθύς συμπίπτω . πλήν εἰμί μή λέγω τις ἐπινοέω προσεκβάλλω ὁ γραμμή , ὡς ὑποτίθημι ὁ εὐθύς , ἠώς ὁ Α∠ · οὗτος δέ οὐ ἕπω ὁ ὑπόκειμαι ἀρχή , ἀλλά ὡς εἄν λαμβάνω ὁ ὁ σημεῖον προλαμβάνω ὁ ὁ περιφέρεια πρός ὁ εὐθύς λόγος . Χωρὶς δέ ὁ δίδωμι ὁ λόγος οὗτος οὖον χρή ὁ ὁ εὑρίσκω ἀνήρ δόξα πιστεύω παραδέχομαι ὁ γραμμή μηχανικός πως εἰμί εἰς πολύς πρόβλημα χρησιμεύω ὁ ἀλλά πρότερος παραδεκτέον εἰμί ὁ διά αὐτός δείκνυμι πρόθλημα .
pappus-mathematics.synagoge 3.47
47 Τετραγώνου γάρ ὄντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τῆς μέν περὶ τὲ κέντρον τὸ Γ περιφερείας τῆς ΒΕ∠ , τῆς δέ ΒΗΘ τετραγωνιζούσης γινομένῃς , ὡς προείρηται , δείκνυται , ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΘ εὐθεῖαν . εἰ γὰρ μὴ ἔσκιμ , ἤτοι πρὸς μείζονα ἔσται τῆς ΓΘ ἢ πρὸς ἐλάσσονα .
Lemmas: 47 τετράγωνος γάρ εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ καί ὁ μέν περί τε κέντρον ὁ Γ περιφέρεια ὁ ΒΕ∠ , ὁ δέ ΒΗΘ τετραγωνίζω γίγνομαι , ὡς προερέω , δείκνυμι , ὡς ὁ ∠ΕΒ περιφέρεια πρός ὁ ΒΓ εὐθύς , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΘ εὐθύς . εἰμί γάρ μή ἔσκιμ , ἤτοι πρός μείζων εἰμί ὁ ΓΘ ἢ πρός μικρός .
pappus-mathematics.synagoge 3.48
48 Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , πρὸς μείζονα τὴν ΓΚ , καὶ περὶ κέντρον τό Γ περιφέρεια ἡ ΖΗΚ γεγράφθω τέμνουσα τήν γραμμὴν κατὰ τὸ Η , καὶ κάθετος ἡ ΗΛ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν , οὕτως ἡ ΒΓ , τουτέστιν ἡ Γ∠ , πρὸς τὴν ΓΚ , ὡς δὲ ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΓΚ , ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΚ περιφέρειαν ( ὡς γὰρ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον , ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν ) , φανερὸν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ . καὶ ἐπειδὴ διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΛ , καὶ ὡς ἦρ ἡ ΖΗΚ πρὸς τὴν ΗΚ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΒΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΛ . καὶ ἐδείχθη ἴση ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΗΚ περιφέρεια τῇ ΗΛ εὐθείᾳ , ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς μείζονα τῆς ΓΘ .
Lemmas: 48 ἔστω πρότερος , εἰμί δυνατός , πρός μείζων ὁ ΓΚ , καί περί κέντρον ὁ Γ περιφέρεια ὁ ΖΗΚ γράφω τέμνω ὁ γραμμή κατά ὁ ὁ , καί κάθετος ὁ ΗΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ε . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ∠ΕΒ περιφέρεια πρός ὁ ΒΓ εὐθύς , οὕτως ὁ ΒΓ , τουτέστιν ὁ Γ∠ , πρός ὁ ΓΚ , ὡς δέ ὁ Γ∠ πρός ὁ ΓΚ , ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια πρός ὁ ΖΗΚ περιφέρεια ( ὡς γάρ ὁ διάμετρος ὁ κύκλος πρός ὁ διάμετρος , ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος πρός ὁ περιφέρεια ) , φανερός ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΖΗΚ περιφέρεια ὁ ΒΓ εὐθύς . καί ἐπεί διά ὁ σύμπτωμα ὁ γραμμή εἰμί ὡς ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια πρός ὁ Ε∠ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΗΛ , καί ὡς ἔαρ ὁ ΖΗΚ πρός ὁ ΗΚ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΒΓ εὐθύς πρός ὁ ΗΛ . καί δείκνυμι ἴσος ὁ ΖΗΚ περιφέρεια ὁ ΒΓ εὐθύς · ἴσος ἄρα καί ὁ ΗΚ περιφέρεια ὁ ΗΛ εὐθύς , ὅσπερ ἄτοπος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια πρός ὁ ΒΓ εὐθύς , οὕτως ὁ ΒΓ πρός μείζων ὁ ΓΘ .
pappus-mathematics.synagoge 3.49
49 λβ΄ . Λέγω δέ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω πρὸς τὴν ΚΓ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΖΜΚ , καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ Γ∠ ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν τετραγωνίζουσαν κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε . ὁμοίως δὴ τοῖς προγεγραμμένοις δείξομεν καὶ τὴν ΖΜΚ περιφέρειαν τῇ ΒΓ εὐθείᾳ ἴσην , καὶ ὡς τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν πρὸς τὴν Ε∠ τουτἐστιν ὡς τὴν ΖΜΚ πρὸς τὴν ΜΚ , πὕτως τὴν ΒΓ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΗΚ . ἐξ ὧν φανερὸν ὅτι ἴση ἔσται ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ εὐθείᾳ , ὅπερ ἄτοπον . οὖκ ἄρα ἔσται ὡς ἧ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ ἐθεῖαν , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΘ . ἐδείχθη δέ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα · πρὸς αὐτὴν ἄρα τὴν ΓΘ .
Lemmas: 49 λβ΄ . λέγω δέ ὅτι οὐδέ πρός μικρός . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι πρός ὁ ΚΓ , καί περί κέντρον ὁ Γ περιφέρεια γράφω ὁ ΖΜΚ , καί πρός ὀρθός ὁ Γ∠ ὁ ΚΗ τέμνω ὁ τετραγωνίζω κατά ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ε . ὁμοίως δή ὁ προγράφω δείκνυμι καί ὁ ΖΜΚ περιφέρεια ὁ ΒΓ εὐθύς ἴσος , καί ὡς ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια πρός ὁ Ε∠ τουτέστιν ὡς ὁ ΖΜΚ πρός ὁ ΜΚ , πὕτως ὁ ΒΓ εὐθύς πρός ὁ ΗΚ . ἐκ ὅς φανερός ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΜΚ περιφέρεια ὁ ΚΗ εὐθύς , ὅσπερ ἄτοπος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ἧ ΒΕ∠ περιφέρεια πρός ὁ ΒΓ θεῖος , οὕτως ὁ ΒΓ πρός μικρός ὁ ΓΘ . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ πρός μείζων · πρός αὐτός ἄρα ὁ ΓΘ .
pappus-mathematics.synagoge 3.50
50 Ἔστι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἡ τῶν ΘΓ ΓΒ εὐθειῶν τρίτη ἀνάλογον λαμβανομένη εὐθεῖα ἴση ἔσται τῇ ΒΕ∠ περιφερείᾳ , καὶ ἡ τετραπλασίων αὐτῆς τῇ τοῦ ὅλου κύκλου περιφερείᾳ . εὑρημένης δέ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσης εὐθείας πρόδηλον ὡς δὴ καὶ αὐτῷ τῷ κύκλῳ ῥᾴδιον ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι · τὸ γάρ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου , ὡς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν .
Lemmas: 50 εἰμί δέ καί οὗτος φανερός ὅτι ὁ ὁ ΘΓ ΓΒ εὐθύς τρίτος ἀνάλογος λαμβάνω εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ∠ περιφέρεια , καί ὁ τετραπλασίων αὐτός ὁ ὁ ὅλος κύκλος περιφέρεια . εὑρίσκω δέ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἴσος εὐθύς πρόδηλος ὡς δή καί αὐτός ὁ κύκλος ῥᾴδιος ἴσος τετράγωνος συνίστημι · ὁ γάρ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον διπλάσιος εἰμί ὁ κύκλος , ὡς Ἀρχιμήδης ἀποδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 3.51
51 λγ΄ . Αὕτη μὲν οὖν ἡ γένεσις τῆς γραμμῆς ἐστιν , ὡς εἴρηται , μηχανικωτέρα , γεμωμετρικῶς δὲ διὰ τῶν πρὸς ἐπιφανείαις τόπων ἀναλύεσθαι δύναται τὸν τρόπον τοῦτον . Θέσει κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΑΒΓ , καὶ διήχθω , ὡς ἔτυχεν , ἡ Β∠ , καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΕΖ λόγον ἔχουσα δοθέντα πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν · ὅτι πρὸς γρσμμῇ τὸ Ε . Νοείσθω γὰρ ἀπὸ τῆς Α∠Γ περιφερείας ὀρθοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια , καὶ ἐν αὐτῇ ἕλιξ γεγραμμένη δεδομένη τῇ θέσει ἡ ΓΗΘ , καὶ πλευρά τοῦ κυλίνδρου ἡ Θ∠ , καὶ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΕΙ ΒΛ , διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΘΛ . ἐπεὶ λόγος τῆς ΕΙ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειάν ἐστιν δοθεὶς διὰ τὴν ἕλικα , δοθεὶς δὲ καὶ ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς τὴν ∠Γ , ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΕΙ λόγος δοθείς . καὶ εἰσὶν αἱ ΖΕ ΕΙ παρὰ θέσει · καὶ ἡ ΖΙ ἄρα ἐπιζευχθεῖσα παρὰ θέσει . καὶ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ · ἐν τέμνοντι ἄρα ἐπιπέδῳ ἡ ΖΙ , ὥστε καὶ τὸ Ι . ἔστιν δὲ καὶ ἐν κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ ( φέρεται γὰρ ἡ ΘΛ διά τε τῆς ΘΗΓ ἕλικος καὶ τῆς ΛΒ εὐθείας καὶ αὐτῆς τῇ θέσει δεδομένης αἰεὶ παράλληλος οὖσα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ) · πρὸς γραιμμῇ ἄρα τὸ Ι , ὥστε καὶ τὸ Ε . τοῦτο μὲν οὖν ἀνελύθη καθόλου , ἂν δʼ ὁ τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς ᾖ τῷ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν Α∠Γ , ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γίνεται γραμμή .
Lemmas: 51 λγ΄ . Ἄτη μέν οὖν ὁ γένεσις ὁ γραμμή εἰμί , ὡς εἴρω , μηχανικός , γεμωμετρικῶς δέ διά ὁ πρός ἐπιφάνεια τόπος ἀναλύω δύναμαι ὁ τρόπος οὗτος . Θέσις κύκλος τεταρτημόριον ὁ ΑΒΓ , καί διάγω , ὡς τυγχάνω , ὁ Β∠ , καί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ λόγος ἔχω δίδωμι πρός ὁ ∠Γ περιφέρεια · ὅτι πρός γρσμμῇ ὁ Ε . νοέω γάρ ἀπό ὁ Α∠Γ περιφέρεια ὀρθός κύλινδρος ἐπιφάνεια , καί ἐν αὐτός ἕλιξ γράφω δίδωμι ὁ θέσις ὁ ΓΗΘ , καί πλευρά ὁ κύλινδρος ὁ Θ∠ , καί ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός ἄγω ὁ ΕΙ ΒΛ , διά δέ ὁ Θ ὁ Β∠ παράλληλος ὁ ΘΛ . ἐπεί λόγος ὁ ΕΙ εὐθύς πρός ὁ ∠Γ περιφέρεια εἰμί δίδωμι διά ὁ ἕλιξ , δίδωμι δέ καί ὁ ὁ ΕΖ λόγος πρός ὁ ∠Γ , εἰμί καί ὁ ΕΖ πρός ΕΙ λόγος δίδωμι . καί εἰμί ὁ ΖΕ ΕΙ παρά θέσις · καί ὁ ΖΙ ἄρα ἐπιζεύγνυμι παρά θέσις . καί εἰμί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ · ἐν τέμνω ἄρα ἐπίπεδος ὁ ΖΙ , ὥστε καί ὁ Ι . εἰμί δέ καί ἐν κυλινδρικός ἐπιφάνεια ( φέρω γάρ ὁ ΘΛ διά τε ὁ ΓΗΘ ἕλιξ καί ὁ ΛΒ εὐθύς καί αὐτός ὁ θέσις δίδωμι ἀεί παράλληλος εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ) · πρός γραιμμῇ ἄρα ὁ Ι , ὥστε καί ὁ Ε . οὗτος μέν οὖν ἀναλύω καθόλου , εἄν δέ ὁ ὁ ΕΖ εὐθύς πρός ὁ ∠Γ περιφέρεια λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΒΑ πρός ὁ Α∠Γ , ὁ προερέω τετραγωνίζω γίγνομαι γραμμή .