ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 2.48
48 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Γ μετὰ β΄ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ ∠ , συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε , τῷ δὲ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν . Ἐπεὶ γάρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β , οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ · καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ , οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ . καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ ∠ , συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε , καὶ τῷ Γ ὁ Ζ · καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν .
Lemmas: 48 τρεῖς ἀνάλογος εἰμί ὅρος ὁ Α Β Γ καί συναμφότεροι μέν ὁ Α Γ μετά Β΄ ὁ Β ἴσος ἔκκειμαι ὁ ∠ , συναμφότεροι δέ ὁ Β Γ ὁ Ε , ὁ δέ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι καί ὁ ∠ Ε Ζ ὅρος ἀνάλογος εἰμί . ἐπεί γάρ ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , εἰμί καί συντίθημι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρός ὁ Β , οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ · καί πᾶς ἄρα ὁ ἡγέομαι πρός πᾶς ὁ ἕπομαι εἰμί ἐν ὁ αὐτός λόγος ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετά συναμφότεροι ὁ Β Γ πρός συναμφότεροι ὁ Β Γ , οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρός ὁ Γ . καί εἰμί συναμφότεροι μέν ὁ Α Β μετά συναμφότεροι ὁ Β Γ ἴσος ὁ ∠ , συναμφότεροι δέ ὁ Β Γ ἴσος ὁ Ε , καί ὁ Γ ὁ Ζ · καί ὁ ∠ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογος εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 2.49
49 Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ ∠ Ε Ζ ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντʼ ἂν ἀναλογίᾳ · συναμφότερος γὰρ ὁ Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ , συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος · τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων , μεγίστου μὲν ὄντος ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ ∠ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ , ἐλαχίστου δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ · καὶ γὰρ συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Β τριπλάσιος μέν ἐστιν , εἰ διπλάσιος εἴη ὁ Α τοῦ Β , ἡμιόλιος δέ , εἰ ὁ Α τοῦ Β ἥμισυς εἴη . καὶ οὕτως ἀπὸ τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί τε καὶ ἐπιμόριοι εὑρίσκονται . καὶ πάλιν , εἰ μονάδες εἶεν οἱ Α Β Γ , ἡ κατὰ τοὺς ∠ Ε Ζ γεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις λέγοιτʼ ἂν ἀριθμοῖς τοῖς δ΄ β΄ α΄ .
Lemmas: 49 διόπερ ἴσος μέν ὑπόκειμαι ὁ Α Β Γ ὁ ∠ Ε Ζ ἐν ὁ διπλάσιος γίγνομαι εἄν ἀναλογία · συναμφότερος γάρ ὁ Α Γ μετά δύο ὁ Β διπλάσιος συναμφότεροι ὁ Β Γ , συναμφότερος δέ ὁ Β Γ ὁ Γ διπλάσιος · ὁ δέ Α Β Γ ἐν ὁ διπλάσιος ἀναλογία ὑπόκειμαι , μέγας μέν εἰμί ἐν αὐτός ὁ Α ὁ ∠ Ε Ζ εἰμί ἐν ὁ τριπλάσιος , μικρός δέ ἐν ὁ ἡμιόλιος · καί γάρ συναμφότερος ὁ Α Β ὁ Β τριπλάσιος μέν εἰμί , εἰμί διπλάσιος εἰμί ὁ Α ὁ Β , ἡμιόλιος δέ , εἰμί ὁ Α ὁ Β ἥμισυς εἰμί . καί οὕτως ἀπό ὁ ἑξῆς λόγος ὁ ἀκόλουθος πολλαπλάσιος τε καί ἐπιμόριος εὑρίσκω . καί πάλιν , εἰμί μόνος ἄγω ὁ Α Β Γ , ὁ κατά ὁ ∠ Ε Ζ γεωμετρικός μεσότης ἐν μικρός λέγω εἄν ἀριθμός ὁ Δ΄ Β΄ Α΄ .
pappus-mathematics.synagoge 2.50
50 ιθ΄ . Η ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ , καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἐνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε , ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα . Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ , ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β , οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ , καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β . καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή , εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ , τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή . ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ , ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν , ἡ μεσότης ἐστίν ἁρμονική . καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς , μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ , τοῖς Ϛ΄ γ΄ β΄ .
Lemmas: 50 ΙΘ΄ . ὁ ἁρμονικός μεσότης διά ἀναλογία οὕτως συνίστημι . ὑπόκειμαι ὅρος τρεῖς ἀνάλογος ὁ Α Β Γ , καί δύο μέν ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί ἐν ὁ Γ ἴσος ἵστημι ὁ ∠ δύο δέ ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ὁ Ε , εἷς δέ ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ε Ζ ὁ ἁρμονικός ποιέω μεσότης . ἐπεί γάρ ἀνάλογος εἰμί ὁ Α Β Γ , εἰμί καί ὡς δύο ὁ Α μετά ὁ Β πρός ὁ Β , οὕτως δύο ὁ Β μετά ὁ Γ πρός ὁ Γ , καί πᾶς πρός πᾶς δύο ὁ Α μετά τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ πρός ὁ Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρός ὁ Ζ , οὕτως δύο ὁ Α μετά ὁ Β πρός ὁ Β . καί εἰμί δύο μέν ὁ Α μετά ὁ Β ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω δύο ὁ A καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή , εἷς δέ ὁ Β ὑπεροχή εἰμί ὅς ὑπερέχω δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ συναμφότεροι ὁ Β Γ , τουτέστιν ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή . ὅταν δέ εἰμί ὡς ὁ ∠ πρός ὁ Ζ , ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή πρός ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή , ὁ μεσότης εἰμί ἁρμονικός . καί δῆλος ὅτι λέγω εἄν ἐν μικρός ἀριθμός , μόνος ὑποτίθημι ὁμοίως ὁ Α Β Γ , ὁ ΣΤ΄ Γ΄ Β΄ .
pappus-mathematics.synagoge 2.51
51 κ΄ . Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ , δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ ὁ Ε , ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα . Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β . καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή . εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπιρέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή · ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν ∠ , οὕτως ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν , ὕπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν . δῆλον δʼ ὅτι καί , μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ , εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἡ μεσότης τοῖς Ϛ΄ ε΄ β΄ .
Lemmas: 51 Κ΄ . ὁ ὁ ἁρμονικός ὑπεναντίος μεσότης ἐκ ὁ ἀναλογία οὕτως συνίστημι . ὁράω ἀνάλογος ὑπόκειμαι ὁ Α Β Γ δύο μέν ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ἴσος ἵστημι ὁ ∠ , δύο δέ ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ ὁ Ε , εἷς δέ ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ε Ζ ὁ εἴρω ποιέω μεσότης . πάλιν γάρ ὁμοίως ὁ προδείκνυμι εἰμί ὡς ὁ ∠ πρός ὁ Ζ , οὕτως δύο ὁ Α μετά ὁ Β πρός ὁ Β . καί εἰμί δύο μέν ὁ Α μετά ὁ Β ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω δύο ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ εἷς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή . εἷς δέ ὁ Β ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω δύο ὁ A καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ δύο ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή · ὡς ἄρα ὁ Ζ πρός ὁ ∠ , οὕτως ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή πρός ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή , ὑπέρ εἰμί κατά ὁ μεσότης ὁ ὁ ἁρμονικός ὑπεναντίος . δῆλος δέ ὅτι καί , μόνος ὑποτίθημι ὁ Α Β Γ , εἰμί εἄν ἐν μικρός ἀριθμός ὁ μεσότης ὁ ΣΤ΄ Ε΄ Β΄ .
pappus-mathematics.synagoge 2.52
52 Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ , καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ , ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς , B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E , ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ μεσότητα . Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ , ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β . καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή , ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή · ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν E , οὕτως ἡ τῶν ∠ E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν , ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι . καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ε΄ δ΄ β΄ , μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ . .
Lemmas: 52 ὁ πέμπτος μεσότης ἐκ ὁ ἀναλογία οὕτως συνίστημι . ἔκκειμαι ἀνάλογος ὅρος τρεῖς ὁ Α Β Γ , καί εἷς μέν ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ἴσος ἵστημι ὁ ∠ , εἷς δέ ὁ Α καί δύο ὁ , B καί εἷς ὁ Γ ὁ E , εἷς δέ ὁ B καί εἷς ὁ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ε Ζ κατά ὁ πέμπτος εἰμί μεσότης . ἐπεί γάρ διά ὁ ἀναλογία εἰμί ὡς ὁ Α μετά ὁ Β πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β μετά ὁ Γ πρός ὁ Γ , εἰμί καί συναμφότερος ὁ ἡγέομαι ὁ Α Β μετά συναμφότεροι ὁ Β Γ πρός ὁ ἕπω συναμφότεροι ὁ Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρός ὁ Β . καί εἰμί συναμφότερος μέν ὁ Α Β ὁ ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ εἷς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή , ὁ δέ Β ὅς ὑπερέχω εἷς ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή · ὡς ἄρα ὁ Ζ πρός ὁ E , οὕτως ὁ ὁ ∠ E ὑπεροχή πρός ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή , ὅσπερ ὁ πέμπτος συμβαίνω μεσότης . καί λέγω εἄν ἐν μικρός ἀριθμός ὁ Ε΄ Δ΄ Β΄ , μόνος ὑποτίθημι ὁ Α Β Γ . .
pappus-mathematics.synagoge 2.53
53 Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία , καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ ∠ , ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε , ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα . Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β , οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ , καὶ πάντες οἱ ἡγού - Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν A B , οὕτως δύο οἱ B μετὰ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ , καὶ πάντες πρὸς πάντας , ὡς δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν Α καὶ δύο τοὺς Β καὶ ἕνα τὸν Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β , καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή , συναμφότερος δὲ ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή , καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε , ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠ Ε ὑπεροχήν , ὅπερ τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα . καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς Ϛ΄ δ΄ γ΄ , μονάδων νοουμένων τῶν Α Β Γ .
Lemmas: 53 ὁ ἕκτος μεσότης ἐκ ὁ ἀναλογία οὕτως συνίστημι . ἔκκειμαι ὁ αὐτός ὁ Α Β Γ ὁράω ἀναλογία , καί εἷς μέν ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί δύο ὁ Γ ἴσος ὁ ∠ , εἷς δέ ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ὁ Ε , ὁ δέ Ζ ἵστημι ὁ ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω συναμφότερος ὁ ΑΒ ὁ Γ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ε Ζ ὁ πρόκειμαι ποιέω μεσότης . ἐπεί γάρ διά ὁ ἀναλογία εἰμί ὡς ὁ Α μετά δύο ὁ Β πρός συναμφότεροι ὁ Α Β , οὕτως ὁ Β μετά δύο ὁ Γ πρός συναμφότεροι ὁ Β Γ , καί πᾶς ὁ ἡγούω - ἐπεί γάρ διά ὁ ἀναλογία ὡς δύο ὁ Α μετά ὁ Β πρός συναμφότεροι ὁ A B , οὕτως δύο ὁ B μετά ὁ Γ πρός συναμφότεροι ὁ Β Γ , καί πᾶς πρός πᾶς , ὡς δύο ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ πρός εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρός ὁ Ε οὕτως δύο ὁ Α μετά ὁ Β πρός συναμφότεροι ὁ Α Β , καί εἰμί δύο μέν ὁ Α μετά ὁ Β ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω δύο ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή , συναμφότερος δέ ὁ Α Β ὑπεροχή εἰμί ὅς ὑπερέχω δύο ὁ Α καί τρεῖς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή , καί ὡς ἄρα ὁ ∠ πρός ὁ Ε , ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή , ὅσπερ ὁ ὄγδοος συνίστημι μεσότης . καί λέγω εἄν ἐν μικρός ἀριθμός ὁ ΣΤ΄ Δ΄ Γ΄ , μόνος νοέω ὁ Α Β Γ .
pappus-mathematics.synagoge 2.55
55 κβ΄ . Ἡ ἐνάτη μεσότης δι᾿ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ , ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E , ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἐνὶ τῷ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β , οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ , καὶ πάντες πρὸς πάντας , ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β , ἀλλὰ συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή , ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή , καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ , ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠ Ε ὑπεροχήν , ὅπερ τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν . καὶ περιέχουσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ δ΄ γ΄ β΄ , μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως τῶν Α Β Γ .
Lemmas: 55 ΚΒ΄ . ὁ ἔνατος μεσότης διά ἀναλογία οὕτως συνίστημι . ὁ Α Β Γ ἀνάλογος ὑπόκειμαι εἷς μέν ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ἴσος ἵστημι ὁ ∠ , εἷς δέ ὁ Α καί εἷς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ ὁ E , εἷς δέ ὁ B καί ἐν ὁ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ζ ὁ νάω περιέχω μεσότης . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρός ὁ Β , οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρός ὁ Γ , καί πᾶς πρός πᾶς , ὡς ὁ Α μετά δύο ὁ Β καί ὁ Γ πρός συναμφότεροι ὁ Β Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρός ὁ Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρός ὁ Β , ἀλλά συναμφότερος μέν ὁ Α Β ὑπεροχή εἰμί ὅς ὑπερέχω εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ συναμφότεροι ὁ Β Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή , ὁ δέ Β ὑπεροχή εἰμί ὅς ὑπερέχω εἷς ὁ Α καί δύο ὁ Β καί εἷς ὁ Γ εἷς ὁ Α καί εἷς ὁ Β καί εἷς ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή , καί ὡς ἄρα ὁ ∠ πρός ὁ Ζ , ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ∠ Ε ὑπεροχή , ὅσπερ ὁ ἔνατος μεσότης ἴδιος εἰμί . καί περιέχω αὐτός μικρός ἀριθμός ὁ Δ΄ Γ΄ Β΄ , μόνος ὑπόκειμαι ὁμοίως ὁ Α Β Γ .
pappus-mathematics.synagoge 2.56
56 κγ΄ . Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ , τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε , τῷ δὲ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα . Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ , τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β , καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή , ὁ δὲ Β , ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ , τουτέστιν ἡ τῶν Ζ ὑπεροχή , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν , ὃ τῇ δεκάτη συμβέβηκεν μεσότητι . καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ γ΄ β΄ α΄ , μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ .
Lemmas: 56 κγ΄ . ὁ δέκατος μεσότης ἐκ ὁ ἀναλογία οὕτως συνίστημι . πάλιν τρεῖς ἀνάλογος εἰμί ὁ Α Β Γ ὁ μέν Α Β Γ ἴσος ἵστημι ὁ ∠ , ὁ δέ Β Γ ὁ Ε , ὁ δέ Γ ὁ Ζ · λέγω ὅτι ὁ ∠ Ε Ζ κατά ὁ δέκατος εἰμί μεσότης . ἐπεί γάρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρός ὁ Γ , τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρός ὁ Β , καί εἰμί συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω ὁ Α Β Γ ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή , ὁ δέ Β , ὅς ὑπερέχω ὁ Β Γ ὁ Γ , τουτέστιν ὁ ὁ Ζ ὑπεροχή , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ ὁ ∠ Ζ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ Ε Ζ ὑπεροχή , ὅς ὁ δέκατος συμβαίνω μεσότης . καί ποιέω αὐτός μικρός ἀριθμός ὁ Γ΄ Β΄ Α΄ , μόνος ὑποτίθημι ὁ Α Β Γ .
pappus-mathematics.synagoge 2.57
57 Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς , καθʼ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην , καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περιέχοντες αὐτάς . οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ α΄ γ΄ β΄ σημαίνει τοῦθʼ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ α΄ β΄ α΄ σημαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι τῆς μεσότητος . ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς , ὡς γέγραπται , συντίθεται , ἰδίως δʼ ἐπὶ ταύτης ὁ α΄ α΄ α΄ , καθὸ προείρηται , σημαίνει γίνεσθαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ Μεσότητες ) Α Β Γ Οἱ περιέχοντες τὰς μεσότητας τρεῖς ἑλάχιστοι ἀριθμοί ἀριθμητική β΄ γ΄ α΄ ) α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ β΄ γεωμετρική ά β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ β΄ α΄ ἁρμονική β΄ γ΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ γ΄ β΄ ὑπεναντία β΄ γ΄ α΄ β΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ ε΄ β΄ ε΄ α΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ ε΄ δ΄ β΄ Ϛ΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ α΄ ζ΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ η΄ β΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ β΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ ) γ΄ θ΄ ά β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ γ΄ β΄ ι΄ ) α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος ἅπαξ συντεθέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφθέντος τοῦ τρίτου . οἱ δʼ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινθίου ἀριθμοὶ οἱ Ϛ΄ δ΄ α΄ τὴν μεσότητα περιέχουσιν αὐτήν . τὰ δʼ ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινθίων νοείσθω .
Lemmas: 57 ἔκκειμαι δέ ὁ πρόχειρος χάρις καί ὁ ἀριθμός ἑξῆς , κατά ὅς ἕκαστος ὅρος ὁ ἀναλογία πολλαπλασιάζω ποιέω μεσότης ἕκαστος , καί παράκειμαι ὁ μικρός περιέχω αὐτός . οἷος ἐπί ὁ ὁ ἕκτος μεσότης πλινθίον ὁ μέν πρῶτος στίχος ὁ Α΄ Γ΄ Β΄ σημαίνω οὗτος ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος ὁ ἀναλογία ἅπαξ καί ὁ δύο τρίς καί ὁ τρίτος δίς συντίθημι ὁ πρῶτος ὁ μεσότης ὅρος ὁ δέ δύο ὁ πλινθίον στίχος ὁ Α΄ Β΄ Α΄ σημαίνω ὅτι ὁ πρῶτος ὁ ἀναλογία ὅρος ἅπαξ καί ὁ δύο δίς καί ὁ τρίτος ἅπαξ ὁ δύο ὅρος ἀποπληρόω ὁ μεσότης . ὁ δέ τρίτος ὁ πλινθίον στίχος ἐπί μέν ὁ ἄλλος μεσότης ἁπλόος , ὡς γράφω , συντίθημι , ἰδίως δέ ἐπί οὗτος ὁ Α΄ Α΄ Α΄ , καθό προερέω , σημαίνω γίγνομαι ὁ τρίτος ὁ μεσότης ὅρος ἐκ ὁ ὑπεροχή ὅς μεσότης ) Α Β Γ ὁ περιέχω ὁ μεσότης τρεῖς μικρός ἀριθμός ἀριθμητικός Β΄ Γ΄ Α΄ ) Α΄ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ ΣΤ΄ Δ΄ Β΄ γεωμετρικός ἆ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Δ΄ Β΄ Α΄ ἁρμονικός Β΄ Γ΄ Α΄ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ Ϛ Γ΄ Β΄ ὑπεναντίος Β΄ Γ΄ Α΄ Β΄ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ ΣΤ΄ Ε΄ Β΄ Ε΄ Α΄ Γ΄ Α΄ Α΄ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ Ε΄ Δ΄ Β΄ ΣΤ΄ Α΄ Γ΄ Β΄ Α΄ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ ΣΤ΄ Δ΄ Α΄ Ζ΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Γ΄ Β΄ Α΄ Η΄ Β΄ Γ΄ Α΄ Α΄ Β΄ Α΄ Β΄ Α΄ ΣΤ΄ Δ΄ ) Γ΄ Θ΄ ἆ Β΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Δ΄ Γ΄ Β΄ Ι΄ ) Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Α΄ Γ΄ Β΄ Α΄ ὁ πρῶτος ὁ ἀναλογία ὅρος ἅπαξ καί ὁ δύο ἅπαξ συντίθημι ὑπερέχω ἅπαξ λαμβάνω ὁ τρίτος . ὁ δέ ἐκ ὁ τρίτος ὁ πλινθίον ἀριθμός ὁ ΣΤ΄ Δ΄ Α΄ ὁ μεσότης περιέχω αὐτός . ὁ δέ ὅμοιος καί ἐπί ὁ ἄλλος πλινθίον νοέω .
pappus-mathematics.synagoge 2.58
58 κδ΄ . Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε . Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν γωνίαν , καὶ διήχθω τις ἡ Α∠ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ε , καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ∠ΖΓ δύο πλευρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων τῶν ΒΑΓ πλευρῶν . Καὶ ἔστι δῆλον . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ , τουτέστιν αἱ ΓΖΕ , τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ∠Ε τῇ ΑΒ , αἱ ΓΖ∠ ἄρα δύο τῶν ΓΑΒ μείζονές εἰσιν .
Lemmas: 58 κδ΄ . ὁ δέ τρίτος ὁ πρόβλημα εἰμί ὅδε . ἔστω τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ γωνία , καί διάγω τις ὁ Α∠ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ∠Ε , καί δίχα τέμνω ὁ ΕΑ κατά ὁ Ζ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ δείκνυμι συναμφότεροι ὁ ∠ΖΓ δύο πλευρά ἐντός ὁ τρίγωνος μείζων ὁ ἐκτός συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πλευρά . καί εἰμί δῆλος . ἐπεί γάρ ὁ ΓΖΑ , τουτέστιν ὁ ΓΖΕ , ὁ ΓΑ μέγας εἰμί , ἴσος δέ ὁ ∠Ε ὁ ΑΒ , ὁ ΓΖ∠ ἄρα δύο ὁ ΓΑΒ μέγας εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 2.59
59 Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως . ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγαγεῖν , μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ , τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ ἐρχομένην , ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός , ἵνα δηλονότι διάξας τυχοῦσαν τὴν Α∠ καὶ θεὶς τῇ ΑΒ ἴσην τὴν ∠Ε καὶ τεμὼν δίχα τὴν ΕΑ κατὰ τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα . ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο αἱ ΓΖ∠ δύο τῶν ἐκτὸς ΓΑΒ μείζονές εἰσιν . ἀλλʼ ὅτι τοῦτο μέν , ὅπως ἄν τις ἐθέλοι προτείνειν , ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον , οὐκ ἄκαιρον δὲ καθολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων Ἐρυκίνου προτείνοντας οὕτως .
Lemmas: 59 ἦς δέ ὁ πρόκειμαι ὑγιής προτείνω καί οὕτως . ὀρθογώνιος τυγχάνω ὑπόκειμαι ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τίς σημεῖον ἐντός ὁ τρίγωνος , καί ἀπό αὐτός δύο εὐθύς ἄγω , εἷς μέν τέμνω ὁ ΒΓ , ὁ δέ λοιπός ἐπί ὁ Γ ἐρχόμενος , ὥστε συναμφότεροι μείζων εἰμί ὁ ἐκτός , ἵνα δηλονότι διάγω τυγχάνω ὁ Α∠ καί τίθημι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ∠Ε καί τέμνω δίχα ὁ ΕΑ κατά ὁ Ζ ἀποδείκνυμι ὁ Ζ σημεῖον ποιέω ὁ πρόβλημα . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΓΖ δύο ὁ ΓΖ∠ δύο ὁ ἐκτός ΓΑΒ μέγας εἰμί . ἀλλά ὅτι οὗτος μέν , ὅπως ἄν τις ἐθέλω προτείνω , ἀπειραχῶς δείκνυμι δῆλος , οὐ ἄκαιρος δέ καθολικός περί ὁ τοιοῦτος πρόβλημα διαλαμβάνω ἀπό ὁ φέρω παράδοξος Ἐρύκινος προτείνω οὕτως .
pappus-mathematics.synagoge 2.60
60 κε΄ . Ἐν παντί τριγώνῳ , πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσοσκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος , δυνατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις . Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ , καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δίχα κατὰ τὸ ∠ , καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν ∠ Β τυχὸν σημεῖον τὸ Ε , καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ , καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η , καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω . ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ , συναμφότερος ἔρα ἡ ΕΒΓ μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ · μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ , καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ . ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ · τέμνει δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ , ἐπεὶ ἡ ΑΕ , τουτέστιν ἡ ΘΗ , μείζων ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ , τουτέστιν τῆς ΗΑ . ἐπεζεύχθω ἡ ΚΗ · λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΘΗΚ , ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ . Ἔστιν δὲ φανερόν · ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ , ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΗΛ , τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση , καὶ γίνεται ἀπειραχῶς .
Lemmas: 60 ἑ . ἐν πᾶς τρίγωνος , πλήν ὁ ἰσόπλευρος καί ἰσοσκελής ὁ ὁ βάσις μικρός ὁ πλευρά ἔχω , δυνατός εἰμί συνίστημι τις ἐπί ὁ βάσις ἐντός δύο εὐθύς ἴσος ὁ ἐκτός ὁμοῦ λαμβάνω . ἔστω πρότερος ανισοσκελής τρίγωνος ὁ ΑΒΓ μείζων ἔχω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , καί τέμνω συναμφότερος ὁ ΑΒΓ δίχα κατά ὁ ∠ , καί λαμβάνω μεταξύ ὁ ∠ Β τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , καί ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ , καί ἐπί αὐτός τυγχάνω ὁ ὁ , καί ὁ ΕΑ παράλληλος ὁ ΗΘ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΓ ἐκβάλλω . ἐπεί μείζων ὁ μέν ΕΒΖ ὁ ΕΖ ὁ δέ ΓΖΗ ὁ ΓΗ , συναμφότερος ἄρα ὁ ΕΒΓ μετά ὁ ΗΖ μέγας εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΖ ΗΓ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΖΗ · μείζων ἄρα καί συναμφότερος ὁ ΕΒΓ συναμφότεροι ὁ ΕΗΓ , καί μᾶλλον ὁ ΗΓ . ἵστημι συναμφότεροι ὁ ΕΒΓ ἴσος ὁ ΗΛ , καί περί κέντρον ὁ ὁ διά ὁ Λ γράφω κύκλος περιφέρεια ὁ ΛΟ · τέμνω δή ἑκάτερος ὁ ΓΘ τίθημι , ἐπεί ὁ ΑΕ , τουτέστιν ὁ τίθημι , μείζων εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΒΓ , τουτέστιν ὁ ΗΑ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΗ · λέγω δή ὅτι συναμφότερος ὁ ΘΗΚ , ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ . ἔρτις δέ φανερός · ὁ μέν γάρ ΗΘ ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΚΗ ὁ ΗΛ , τουτέστιν συναμφότεροι ὁ ΕΒΓ ἴσος , καί γίγνομαι ἀπειραχῶς .
pappus-mathematics.synagoge 2.61
61 κϚ΄ . Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ , τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτων , καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΕ∠ , καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ ἐκτὸς τῆς περιφερείας , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η , καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ , καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ , καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ , καὶ τῇ ΕΗ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ · ἔσται οὖν ἡ ΑΗ , τουτέστιν ἡ ΚΛ , ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ , καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ . καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν , αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ , συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζονές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΚ · λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων τῶν ΓΚΗ . κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ · συναμφότεροι ἄρα αἱ ΑΖΓ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονές εἰσιν . τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν αἱ ΑΒΓ · καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονες . ὧν συναμφότερος ἡ ΑΒΝ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΓ μείζων τῶν ΗΚΓ συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΓ . κείσθω οὖν τῇ ΝΓ ἴση ἡ ΚΜ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Κ διὰ τοῦ Μ γραφεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΛ κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΞ · λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΛΚΞ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ . Ἔστι δὲ φανερόν . ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ , ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ , τουτέστιν τῇ ΝΓ , καὶ γίνεται ἀπειραχῶς .
Lemmas: 61 κϚ΄ . ἔστω δή νῦν ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ μέν ΑΒ ἴσος ἔχω ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΑΓ μείζων ἑκάτερος αὐτῖς , καί περί κέντρον ὁ Α διά ὁ Β γράφω κύκλος περιφέρεια ὁ ΒΕ∠ , καί διάγω τις ὁ ΑΕΖ τέμνω ὁ ΒΓ ἐκτός ὁ περιφέρεια , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΕΖ τυγχάνω σημεῖον ὁ ὁ , καί ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΗΘ , καί ἐπί αὐτός τυγχάνω ὁ Κ , καί ὁ αζʹ παράλληλος ὁ ΚΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΓ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Μ , καί ὁ ΕΗ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΒΝ · εἰμί οὖν ὁ ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΚΛ , ἴσος συναμφότεροι ὁ ΑΒΝ , καί λοιπός ὁ ΝΓ μικρός ὁ ΚΛ . καί ἐπεί ὁ μέν ΘΖΗ ὁ τίθημι μέγας εἰμί , ὁ δέ ΓΘΚ ὁ ΓΚ , συναμφότεροι ἄρα ὁ ΓΖΗ μετά ὁ ΘΚ μέγας εἰμί συναμφότεροι ὁ ΓΚ ΗΘ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΘΚ · λοιπός ἄρα συναμφότερος ὁ ΓΖΗ μείζων ὁ ΓΗΚ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΗ · συναμφότεροι ἄρα ὁ ΑΖΓ συναμφότεροι ὁ ΑΗ ΗΚ ΚΓ μέγας εἰμί . ὁ δέ ΑΖΓ μέγας εἰμί ὁ ΑΒΓ · καί ὁ ΑΒ ΒΓ ἄρα ὁ ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζων . ὅς συναμφότερος ὁ ΑΒΝ ὁ ΑΗ εἰμί ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΝΓ μείζων ὁ ΓΗΚ συναμφότεροι καί μᾶλλον ὁ ΚΓ . κεῖμαι οὖν ὁ ΝΓ ἴσος ὁ ΚΜ , καί περί κέντρον ὁ Κ διά ὁ Μ γράφω κύκλος περιφέρεια τέμνω ὁ ΓΛ κατά ὁ Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΞ · λέγω δή ὅτι συναμφότερος ὁ ΛΚΞ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ . εἰμί δέ φανερός . ὁ μέν γάρ ΚΛ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒΝ , ὁ δέ ΚΞ ὁ ΚΜ , τουτέστιν ὁ ΝΓ , καί γίγνομαι ἀπειραχῶς .
pappus-mathematics.synagoge 2.62
62 κζ΄ . Λέγω δʼ ὅτι , ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον , ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός , ἀλλʼ αἱ ἐντὸς ἐλάσσονες ἔσονται . Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάοσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ , καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ∠Ε ΕΗ · λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ . Ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΖ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ , μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ . τῆς δʼ ὑπὸ ΒΓΑ μείων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α · πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α τῆς ὑπὸ ΖΑ∠ , ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς Ζ∠ . ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ , ἡ δʼ ὑπὸ ΒΓΑ διὰ τὴν ὑπόθεσιν οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ , ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΑΒΖ , ὥστε καὶ ἡ ΑΒ μείζων τῆς ΑΖ . ἡ δὲ ΑΖ τῆς Ζ∠ ἐδείχθη μείζων · καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ∠Ζ καὶ πολλῷ μᾶλλον τῆς ∠Ε μείζων . ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ΒΓ μείζων τῆς ΕΗ · ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἱ ΗΕ∠ τῶν ΑΒΓ .
Lemmas: 62 κζ΄ . λέγω δέ ὅτι , ἐάν εἰμί ἰσόπλευρος ὁ τρίγωνος ἢ ἰσοσκελής ὁ βάσις μικρός ὁ πλευρά ἔχω , ἀδύνατος εἰμί συνίστημι ὁ ἐντός ἴσος ὁ ἐκτός , ἀλλά ὁ ἐντός μικρός εἰμί . ἔστω γάρ ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ἰσόπλευρος ἢ ἰσοσκελής ἔχω ὁ ΑΓ βάσις ἐλαύνω ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ , καί συνίστημι τις ἐντός ὁ ∠Ε ΕΗ · λέγω ὅτι ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΒ ΒΓ . ἐκβάλλω ὁ ∠Ε ἐπί ὁ Ζ , καί ἐτεζεύχθω ὁ αζʹ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΑ , μείζων ὁ ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΖΑΓ . ὁ δέ ὑπό ΒΓΑ μείων ὁ ὑπό Ζ∠Α · πολύς ἄρα μείζων ὁ ὑπό Ζ∠Α ὁ ὑπό ΖΑ∠ , ὥστε καί ὁ αζʹ μείζων ὁ Ζ∠ . ἐπεί μείζων μέν ὁ ὑπό ΑΖΒ ὁ ὑπό ΒΓΑ , ὁ δέ ὑπό ΒΓΑ διά ὁ ὑπόθεσις οὐ μικρός ὁ ὑπό ΑΒΓ , εἰμί μείζων ὁ ὑπό ΑΖΒ ὁ ὑπό ΑΒΖ , ὥστε καί ὁ ΑΒ μείζων ὁ αζʹ . ὁ δέ αζʹ ὁ Ζ∠ δείκνυμι μείζων · καί ὁ ΑΒ ἄρα ὁ ∠Ζ καί πολύς μᾶλλον ὁ ∠Ε μείζων . ὁμοίως δέ δείκνυμι καί ὁ ΒΓ μείζων ὁ ΕΗ · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΗΕ∠ ὁ ΑΒΓ .
pappus-mathematics.synagoge 2.63
63 κη΄ Ἐφ᾿ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίστανται ταῖς ἐκτός , ἐπʼ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι . Ἔστωσαν γὰρ β ἐν τῷ ΑΒΓ τριγόνῳ αἱ ∠ΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω μία τῶν ἐντὸς ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Η , καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ · ἔσονται δὴ αἱ ∠ΚΖ μείζονες τῶν ∠ΕΖ , ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ . δῆλον δʼ ὅτι , κἂν ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ∠ΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ ∠ Ζ ἐπιζευγνυμένων , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς , καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό , καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον .
Lemmas: 63 κη΄ ἐπί ὅς μέντοι τρίγωνος ὁ ἐντός Ἴσαι συνίστημι ὁ ἐκτός , ἐπί ἐκεῖνος καί μείζων ὁ ἐκτός ἐντός τις εἰμί δύναμαι συναμφότεροι λαμβάνω . εἰμί γάρ Β ἐν ὁ ΑΒΓ τριγονέω ὁ ∠ΕΖ Ἴσαι ὁ ΑΒΓ , καί ἐκβάλλω εἷς ὁ ἐντός ὁ ∠Ε ἐπί ὁ ὁ , καί μεταξύ ὁ Ε ὁ λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΖ · εἰμί δή ὁ ∠ΚΖ μείζων ὁ ∠ΕΖ , ὥστε καί ὁ ΑΒΓ . δῆλος δέ ὅτι , κἀν ἐντός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ Κ σημεῖον οὕτως λαμβάνω ὥστε ὁ ∠ΕΖ περιέχω ὑπό ὁ ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ∠ Ζ ἐπιζεύγνυμι , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο καταγραφή , καί οὕτως εἰμί ὁ αὐτός , καί ἑκατέρως ἀπειραχῶς εἰμί ὁ πρόκειμαι .
pappus-mathematics.synagoge 2.64
64 κθ΄ . Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ , ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι καὶ μείζονα κατὰ μίαν . δείκνυται δʼ οὕτως . Ὑποκείσθω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ ἐλάσσονα ἔχον , τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα , καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕΖ , καὶ εἰλήφθω μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ ∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Γ . ἐπεὶ ἡ μὲν Α∠ μείζων τῆς ΑΒ καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν τῆς ΒΓ , ἡ δὲ ∠Γ ἐλάσσων τῆς ΒΓ , ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν ∠Γ τῇ ΒΓ ἴσην θῶμεν ἑκατέραν τῶν ∠Θ ∠Κ ὁ περὶ κέντρον τὸ ∠ διὰ τῶν Θ Κ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΖ . τεμνέτω κατὰ τὸ Η , καὶ μεταξὺ τῶν Α εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Α · δῆλον δὴ ὅτι ἐπιζευχθείσης τῆς , ∠Α ἑκατέρα τῶν Α∠ ∠Λ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἔσται μείζων .
Lemmas: 64 κθ΄ . καί οὗτος παράδοξος δοκέω εἰμί ὁ ἄγω μετρητός ἔτι παράδοξος φαίνω ὁ μή μόνος συναμφότεροι συναμφότεροι , ἀλλά καί ἑκάτερος ὁ συνίστημι ἐντός ἑκάτερος ὁ ἐκτός καί ἴσος εἰμί δύναμαι καί μείζων κατά εἷς . δείκνυμι δέ οὕτως . ὑπόκειμαι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μή μικρός ἔχω , ὁ δέ ΑΓ ἑκάτερος αὐτός μείζων , καί περί κέντρον ὁ Α διά ὁ Β κύκλος περιφέρεια γράφω ὁ ΒΕΖ , καί λαμβάνω μεταξύ αὐτός καί ὁ ΒΓ εὐθύς τυγχάνω σημεῖον ὁ ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ ∠Γ . ἐπεί ὁ μέν Α∠ μείζων ὁ ΑΒ καί διά ὁ ὑπόθεσις ὁ ΒΓ , ὁ δέ ∠Γ μικρός ὁ ΒΓ , ἐάν ἐκβάλλω ὁ ∠Γ ὁ ΒΓ ἴσος τίθημι ἑκάτερος ὁ ∠Θ ∠Κ ὁ περί κέντρον ὁ ∠ διά ὁ Θ Κ γράφω κύκλος τέμνω ὁ αζʹ . τέμνω κατά ὁ ὁ , καί μεταξύ ὁ Α λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον ὁ Α · δῆλος δή ὅτι ἐπιζεύγνυμι ὁ , ∠Α ἑκάτερος ὁ Α∠ ∠Λ ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ εἰμί μείζων .
pappus-mathematics.synagoge 2.65
65 λ΄ . Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι , δεήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι , τὴν δὲ ΒΓ τῆς ΒΑ ἐλάσσονα . Ἐχέτω γὰρ οὕτως , καὶ ὁμοίως ἡ ΒΕΖ περιφέρεια γεγράφθω , καὶ τὸ ∠ σημεῖον εἰλήφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α ∠Γ , καὶ τῆς ∠Γ ἐκβληθείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσθω ἡ ∠Κ , καὶ ἢ ΚΗΘ περιφέρεια κατὰ τὸ αὐτὸ γραφεῖσα τεμνέτω τὴν Α∠ κατὰ τὸ Θ , τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Η . ἐπεὶ δὲ μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ἔσται καὶ τῆς ∠Θ μείζων . κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ∠Λ , καὶ περὶ κέντρον τὸ ∠ διὰ τοῦ Λ περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΗ κατὰ τὸ Μ . δὴ ὅτι ἐπιζευχθεῖσα ἑκατέρα τῶν ∠Μ ∠Η ἴση ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΒΓ .
Lemmas: 65 Λ΄ . ἄν δέ ἐθέλω ἑκάτερος ἑκάτερος ἴσος εἰμί , δήω ὁ μέν ΑΓ ὁ ΑΒ μείζων ὑποτίθημι , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΒΑ μικρός . Ἔχετος γάρ οὕτως , καί ὁμοίως ὁ ΒΕΖ περιφέρεια γράφω , καί ὁ ∠ σημεῖον λαμβάνω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Α ∠Γ , καί ὁ ∠Γ ἐκβάλλω ὁ ΒΓ ἴσος κεῖμαι ὁ ∠Κ , καί ἢ ΚΗΘ περιφέρεια κατά ὁ αὐτός γράφω τέμνω ὁ Α∠ κατά ὁ Θ , ὁ δέ αζʹ κατά ὁ ὁ . ἐπεί δέ μείζων ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , εἰμί καί ὁ ∠Θ μείζων . κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ∠Λ , καί περί κέντρον ὁ ∠ διά ὁ Λ περιφέρεια γράφω τέμνω ὁ ΑΗ κατά ὁ Μ . δή ὅτι ἐπιζεύγνυμι ἑκάτερος ὁ ∠Μ ∠Η ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ .
pappus-mathematics.synagoge 2.66
66 λα΄ . Μᾶλλον δʼ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον , εἰ μὴ μόνον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν , ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα . Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ ( τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι εἴρηται ἐν ἀρχῇ ) , καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν ΑΒΓ , ἠ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ , καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ , καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ , καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ , ὥστε τὰς διʼ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ Μ∠ περιλαμβάνειν τὸ Ζ . ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ , τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ , πρὸς συναμφότερον τὴν ΑΛ ΝΓ , τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜ∠ , δοθεὶς λόγος · ἐν ἄρα τῷ ΟΜ∠ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜ∠ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπιταχθέντα . Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΛΜΝ ἀνώτερον πίπτειν τῆς ΗΘ , δεῖ τὴν ΒΑ τῆς ΑΛ ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν ( ἐπεὶ καὶ τῆς ΑΠ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία ) , ὥστε καὶ τὸν δοθέντα λόγον δεήσει ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου . δῆλον δʼ ὅτι , ὅσῳ ἂν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ πολλαπλασία γίνηται , ἡ δὲ Β γωνία ἀμβλύνηται , μᾶλλον αἱ ΕΖΚ τῷ διπλασίῳ συνεγγιοῦσι λόγῳ , καὶ μᾶλλον , εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ ΕΖΚ ταῖς ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν , καὶ φανερόν , εἰ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς ΟΜΞ συγκρίνονται . δυνατὸν δὲ καὶ καθʼ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό , ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν Ἱκανὸς ὁ τρόπος οὗτος .
Lemmas: 66 ὅς . μᾶλλος δέ εἄν ἐπιτείνω ὁ παράδοξος , εἰμί μή μόνος Ἴσαι ἢ μείζων ἁπλόος ἄγω ὁ ἐπί ὁ βάσις ἐντός ὁ τρίγωνος συνίστημι ὁ περιέχω δύο πλευρά , ἀλλά καί λόγος ἔχω πρός αὐτός ὁ ἐπιτάσσω . Κατασκευάζω γάρ ὁ ΕΖΚ Ἴσαι ὁ ΑΒΓ ( οὗτος γάρ ὡς δυνατός εἰμί γίγνομαι εἴρω ἐν ἀρχή ) , καί ὁ μέν Π δίχα τέμνω συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ΘΖΗ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΓ , καί ὁ δίδωμι λόγος ὁ αὐτός ἵστημι ὁ ὁ ΑΒ πρός ΑΛ , καί ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΛΜΝ , καί ἐπί ὁ ΛΜΝ σημεῖον λαμβάνω ὁ Μ , ὥστε ὁ διά αὐτός ὁ ΒΑ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΜΟ Μ∠ περιλαμβάνω ὁ Ζ . εἰμί δή καί συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ , τουτέστι συναμφότεροι ὁ ΕΖΚ , πρός συναμφότεροι ὁ ΑΛ ΝΓ , τουτέστι πρός συναμφότεροι ὁ Ο , δίδωμι λόγος · ἐν ἄρα ὁ Ο τρίγωνος ἐντός εἰμί ὁ ΕΖΚ πρός ὁ Ο περιέχω λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω . ἐπεί δέ δεῖ ὁ ΛΜΝ ἀνώτερος πίπτω ὁ ΗΘ , δεῖ ὁ ΒΑ ὁ ΑΛ μικρός εἰμί ἢ διπλάσιος ( ἐπεί καί ὁ ΑΠ μικρός εἰμί ἢ διπλάσιος ) , ὥστε καί ὁ δίδωμι λόγος δήω μικρός εἰμί ὁ διπλάσιος . δῆλος δέ ὅτι , ὅσος εἄν ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ πολλαπλάσιος γίγνομαι , ὁ δέ Β γωνία ἀμβλύνω , μᾶλλον ὁ ΕΖΚ ὁ διπλάσιος συνεγγίζω λόγος , καί μᾶλλον , εἰμί μή Ἴσαι ἄγω ὁ ΕΖΚ ὁ ΑΒΓ ἀλλά μείζων αὐτός , καί φανερός , εἰμί κάθετος ἄγω ὁ μξ πρός ὁ ΟΜΞ συγκρίνω . δυνατός δέ καί κατά ἕτερος ἔφοδος ὁ αὐτός , ἀλλά πρός ἔνδειξις Ἱκανός ὁ τρόπος οὗτος .
pappus-mathematics.synagoge 2.67
67 λβ΄ . Οὐ μόνον δʼ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός , ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ τρεῖς τῶν τριῶν , καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται . Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ∠ΕΖ μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχθῇ ἡ ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ Ε , μείζονες ἔσονται αἱ ∠ΕΖ τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ τετραπλεύρῳ . κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ∠ΚΕ , αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τριῶν τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζους ἔσονται . κἂν πάλιν κλασθῇ ἡ ΠΗΘ , μείζους ἔσονται αἱ ∠ΕΖ καὶ ἔτι αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πενταπλεύρῳ . κἂν ἔτι κλασθῇ ἡ ΕΛΖ , μείζους ἔσονται τέτταρες αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ . κἂν ἡ ΠΗΨΘ κλασθῇ , κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα τῶν Η Ψ καὶ τῶν Κ Λ ἡ κλάσις γίνηται , τὸ αὐτὸ συμβήσεται . καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον , ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐκτὸς εἶναι μείζους , τῷ αὐτῷ τρόπῳ κατασκευασθήσεται .
Lemmas: 67 λβ΄ . οὖον μόνος δέ ἐπί ὁ τρίγωνος ὁ βάσις ὁ εὐθύς συνίστημι συναμφότεροι μείζων ὁ ἐκτός ὁ ἐντός , ἀλλά καί ἐπί τετράπλευρος δύο ὁ τρεῖς καί τρεῖς ὁ τρεῖς , καί ἐπί ὁ ἔτι πολύπλευρος ὁμοίως ὅσος ὁ ἐντός ὁσωνοῦν ὁ ἐκτός μείζων εἰμί δύναμαι . ἄν γάρ εἰμί τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ἐν ὅς συνίστημι ὁ ∠ΕΖ μείζων ὁ ΑΒΓ καί διάζομαι ὁ ΠΘ τυγχάνω ὑπέρ ὁ Ε , μείζων εἰμί ὁ ∠ΕΖ ὁ ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν ὁ ΑΓΘ τετράπλευρος . κἀν τυγχάνω κλάω ὁ ∠ΚΕ , ὁ τρεῖς ὁμοῦ ὁ ∠Κ ΚΕ ΕΖ ὁ τρεῖς ὁ ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζων εἰμί . κἀν πάλιν κλάω ὁ Θ , μείζων εἰμί ὁ ∠ΕΖ καί ἔτι ὁ ∠Κ ΚΕ ΕΖ ὁ τέσσαρες ὁ ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πεντάπλευρον . κἀν ἔτι κλάω ὁ ΕΛΖ , μείζων εἰμί τέσσαρες ὁ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ ὁ τέσσαρες ὁ ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ . κἀν ὁ Θ κλάω , κἀν ἔτι πρός πλείων σημεῖον ὁ ὁ Ψ καί ὁ Κ Λ ὁ κλάσις γίγνομαι , ὁ αὐτός συμβαίνω . καί ἐπί ὁ ἤπειρος , ὅσος ἄν τις ἐπιτάσσω ὁ ἐντός ὁσωνδὴ ὁ ἐκτός εἰμί μείζων , ὁ αὐτός τρόπος κατασκευάζω .
pappus-mathematics.synagoge 2.68
68 λγ΄ . Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι . Κατασκευασθεισῶν γάρ , ὡς προδέδεικται , τῶν ΗΘ ΘΚ ΚΛ ΛΜ μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ , ἂν κλασθῇ ἡ ΒΝΞΕ τῷ ἴσῳ μείζων τῆς ΒΓ∠Ε γεγονὸς ἔσται τὸ προκείμενον .
Lemmas: 68 λγ΄ . Δυνατός δέ καί ὁ ἐντός ὁσαισδὴ ὁ ἐκτός περιλαμβάνω πᾶς ὁμοῦ πᾶς ἴσος εἰμί . Κατασκευάζω γάρ , ὡς προδείκνυμι , ὁ ΗΘ ΘΚ ΚΛ ΛΜ μείζων ὁσωνδὴ ὁ ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ , εἄν κλάω ὁ ΞΝ ὁ ἴσος μείζων ὁ ΒΓ∠Ε γίγνομαι εἰμί ὁ πρόκειμαι .
pappus-mathematics.synagoge 2.69
69 λδ΄ Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν . Ἔστω γὰρ τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β , ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει εὐθεῖα ΑΓ μείζων τῆς ΑΒ , καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΓ εἰς τυχούσας εὐθείας τὰς Β∠ ∠Ε ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήθους , καὶ ἡ μὲν ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ ὑπερέχουσα τῇ Β∠ ( ῥᾴδιον γὰρ ποιῆσαι ) , ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα τῇ ∠Ε , ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ΕΓ · ἔσται δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι , καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ΑΓ . εὔκολον γὰρ ἐκ τῆς κατασκευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς γίνεται .
Lemmas: 69 λδ΄ ῥᾴδιος δέ ἀπό δύο σημεῖον ὁ Β Ε κλάω ὁ ΞΝ καθόλου ὁ δίδωμι εὐθύς ἴσος ὁ κλάσμα ὁ πλῆθος δίδωμι ἔχω . ἔστω γάρ ὁ μέν δίδωμι σημεῖον ὁ Α Β , ὁ δέ δίδωμι ὁ μέγεθος εὐθύς ΑΓ μείζων ὁ ΑΒ , καί διαιρέω ὁ ΒΓ εἰς τυγχάνω εὐθύς ὁ Β∠ ∠Ε ΕΓ εἷς μικρός ὁ ὁ κλάσμα πλῆθος , καί ὁ μέν ΑΘΒ κλάω ὁ ΑΒ ὑπερέχω ὁ Β∠ ( ῥᾴδιος γάρ ποιέω ) , ὁ δέ ΑΗΘ κλάω ὁ ΑΘ ὑπερέχω ὁ ∠Ε , ὁ δέ ΑΖΗ κλάω ὁ ΑΗ ὑπερέχω ὁ ΕΓ · εἰμί δή ὁ πλῆθος ὁ αζʹ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσος ὁ δίδωμι , καί ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι εὐθύς ἴσος ὁ ΑΓ . Εὔκολον γάρ ἐκ ὁ κατασκευή οὗτος συνοράω καί ὅτι ἀπειραχῶς γίγνομαι .
pappus-mathematics.synagoge 2.70
70 λε΄ . Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν , οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περιεχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος τοῦδε . Ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ AΓ τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ τὴν Α∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε ΒΓ . Γεγονέτω . ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐστὶν ἢ ἐν λόγῳ , ἔστω λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοθείσης · ἔστω τῆς Ζ . ὁ δʼ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς Α∠ πρὸς τὰς ∠Ε ΒΓ · καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Β∠ λόγος πρὸς τὴν τῶν Ζ ∠Ε ὑπεροχὴν ὁ αὐτός ἐστίν . καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Ζ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε *** θέσει ἄρα *** ὥστε καί , ἂν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων ᾖ ἢ διπλῆ , δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν παράλληλον τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν τὴν Α∠ διπλῆν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ .
Lemmas: 70 ὅς . Δυνατός δέ καί παραλληλόγραμμος εὑρίσκω , ὅς ἐπί ὁ βάσις ἐντός εὐθύς δύο συνίστημι ὁ περιέχω τρεῖς Ἴσαι καί μείζων αὐτός προδιδάσκω ὅδε . ἔστω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος ἄγω παράλληλος ὁ AΓ ὁ ∠Ε καί ποιέω ἐν ὁ λόγος ὁ Α∠ πρός συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΒΓ . γίγνομαι . ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἵστημι λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ μετά δίδωμι · ἵστημι ὁ Ζ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε ΒΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ Β∠ λόγος πρός ὁ ὁ Ζ ∠Ε ὑπεροχή ὁ αὐτός εἰμί . καί εἰμί δίδωμι ὁ Ζ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ∠Ε *** θέσις ἄρα *** ὥστε καί , εἄν ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μείζων εἰμί ἢ διπλόος , δυνατός εἰμί ἄγω παράλληλος ὁ ∠Ε καί ποιέω ὁ Α∠ διπλόος συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΒΓ .
pappus-mathematics.synagoge 2.71
71 λϚ΄ Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν , τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν , καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Ε ποιοῦσα τὴν Α∠ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ , καὶ τῆς ∠Ε διπλασία κείσθω ἐπʼ εὐθείας ἡ ΑΖ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΗ παραλληλόγραμμον Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ∠Ε , ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ , ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ , τουτέστιν ἡ ΗΒ , διπλασία συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ · ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ Α∠ . ἐπειδὴ ἡ Α∠ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία , κατήχθω ἡ ∠Θ διπλασία τῆς ΒΓ ἴση ἄρα ἡ ∠Θ ταῖς ΗΖ ΒΓ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Α∠ τῇ ΗΒ ἴοη · αἱ Α∠Θ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ , καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ . Δῆλον δʼ ὅτι καὶ μείζους αἱ Α∠Θ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύνανται εἶναι . Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ μείζους τῶν ἐκτός . Καὶ εἰ , ὅσῳ μείζους εἰσίν , κλασθείη ἡ ΗΛ∠ τῷ αὐτῷ μείζων τῆς ΗΒ , ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ . καὶ ἐπὶ τῶν πολυπλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος , ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυχόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται .
Lemmas: 71 λϚ΄ ἔκκειμαι δή τοιοῦτος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ὥστε ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ μείζων εἰμί ἢ διπλάσιος , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΓΒ διπλάσιος , καί ἄγω παράλληλος ὁ ∠Ε ποιέω ὁ Α∠ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΒΓ , καί ὁ ∠Ε διπλάσιος κεῖμαι ἐπί εὐθύς ὁ αζʹ , καί συμπληρόω ὁ ΓΗ παραλληλόγραμμος ἐπεί γάρ ὁ μέν Γῆ διπλάσιος εἰμί ὁ ∠Ε , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΓΒ , εἰμί ὅλος ὁ ΖΓ , τουτέστιν ὁ ΗΒ , διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΒΓ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Α∠ . ἐπεί ὁ Α∠ ὁ ΒΓ μείζων ἢ διπλάσιος , κατάγω ὁ ∠Θ διπλάσιος ὁ ΒΓ ἴσος ἄρα ὁ ∠Θ ὁ ΗΖ ΒΓ . δείκνυμι δέ καί ὁ Α∠ ὁ ΗΒ ἰόω · ὁ Α∠Θ ἄρα Ἴσαι ὁ ΖΗ ΗΒ ΒΓ , καί εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΓΖΗ . Δῆλος δέ ὅτι καί μείζων ὁ Α∠Θ ὁ ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύναμαι εἰμί . καί λαμβάνω σημεῖον τις ὁ Κ μᾶλλον ὁ ΑΚ Κ∠ ∠Θ μείζων ὁ ἐκτός . καί εἰμί , ὅσος μείζων εἰμί , κλάω ὁ ΗΛ∠ ὁ αὐτός μείζων ὁ ΗΒ , εἰμί καί ὁ ΑΚ Κ∠ ∠Θ Ἴσαι ὁ ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πεντάπλευρον . καί ἐπί ὁ πολύπλευρος ὁ αὐτός τρόπος , ὥσπερ καί ἐπί ὁ ἀπό τυγχάνω τετράπλευρος συνίστημι προδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 2.72
72 λϚ΄ . Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα . δοθέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἕτερον παραλληλόγραμμον , ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος , ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν . Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ , καὶ εἰλήφθω ἑκατέρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΛΒ ΒΓ κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς , καὶ ἤχθω τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ , καὶ ἀπειλήφθω τὸ ὑπὸ ∠ΕΚ τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου , καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ∠Ε παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚΛ , καὶ περὶ κέντρον τὸ ∠ περιφέρεια γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ∠Θ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ . δῆλον δʼ ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ ∠Λ παραλληλόγραμμον τὸ δοθὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρθογωνίου , ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτεθέντας ἀριθμούς .
Lemmas: 72 λϚ΄ . ἕπομαι ὁ προερέω καί ὁ τοιοῦτος . δίδωμι παραλληλόγραμμος χωρίον δυνατός εἰμί εὑρίσκω ἕτερος παραλληλόγραμμος , ὥστε αὐτός μέν ὁ ἐπιτάσσω μέρος εἰμί ὁ δίδωμι , ἕκαστος δέ πλευρά ἕκαστος πολλαπλάσιος κατά ὁ δίδωμι ἀριθμός . ἔστω γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ , καί λαμβάνω ἑκάτερος ὁ Ε∠ ∠Ζ πολλαπλάσιος ἑκάτερος ὁ ΛΒ ΒΓ κατά ὁ δίδωμι ἀριθμός , καί ἄγω ὁ ∠Ε πρός ὀρθός ὁ ΕΚ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ὑπό ∠ΕΚ ὁ ἐπιτάσσω μέρος ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος , καί διά ὁ Κ ὁ ∠Ε παράλληλος ἄγω ὁ ΘΚΛ , καί περί κέντρον ὁ ∠ περιφέρεια γράφω ὁ ΖΗΘ τέμνω ὁ ΘΚΛ κατά ὁ Θ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Θ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΛ . δῆλος δέ ἐκ ὁ κατασκευή ὅτι αὐτός μέν ὁ ∠Λ παραλληλόγραμμος ὁ δίδωμι μέρος εἰμί ὁ ΑΓ ὀρθογώνιος , ἕκαστος δέ αὐτός πλευρόν ἕκαστος πολλαπλάσιος κατά ὁ προτίθημι ἀριθμός .
pappus-mathematics.synagoge 2.73
73 λη΄ Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρίγωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα . Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ βάσις ἐφʼ ἑκάτερα μέρη , καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ Β∠ , τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ , καὶ περὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ∠Η , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΘΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Β∠ , ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Θ τῆς ΒΑ . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ . ἐπεὶ δὲ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου , ἀλλὰ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ , μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ ΖΗΘ .
Lemmas: 73 ὅλος πάλιν τρίγωνος δίδωμι μικρός εὑρίσκω τρίγωνος ἕκαστος ἔχω πλευρά ἕκαστος μείζων . ἔστω γάρ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΓ βάσις ἐπί ἑκάτερος μέρος , καί κεῖμαι ὁ μέν ΑΒ ἴσος ὁ Β∠ , ὁ δέ ΑΓ ἴσος ὁ ΓΕ , καί περί ὁ ∠Ε εὐθύς ὁ ΑΒΓ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ὁ ∠Η , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ἐπί ὁ ΒΓ τυγχάνω ὁ Θ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΖ τίθημι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Β∠ , ἄρα εἰμί ὁ ∠Θ ὁ ΒΑ . ὁμοίως δή δείκνυμι ὅτι καί ὁ ΕΘ ὁ ΑΓ μείζων . εἰμί δέ καί ὁ ΖΗ ὁ ΒΓ μείζων · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατά εἷς μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ΒΓ ΓΑ . ἐπεί δέ ὁ ∠Η παραλληλόγραμμος διπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗΘ τρίγωνος , ἀλλά ὁ ∠Η παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος , μείζων ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ὁ μικρός ἔχω πλευρά ὁ ΖΗΘ .
pappus-mathematics.synagoge 2.74
74 λθ΄ . Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται , γένοιτο δʼ ἂν παραδοξότερον , εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου , ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία . Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς , καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ , διὰ δὲ τοῦ Ζ περιφέρεια ἡ ΖΛΜ , καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΗΜ , καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ , καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ , καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΛ . φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ ( ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ ) , ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἣ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς ( μείζων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ ) .
Lemmas: 74 λθ΄ . οὗτος μέν ἐν ὁ παράδοξος φέρω , γίγνομαι δέ εἄν παράδοξος , εἰμί ὁ μέν τρίγωνος αὐτός εὑρίσκω μέρος ὁ δίδωμι τρίγωνος , ἕκαστος δέ πλευρόν ἕκαστος πολλαπλάσιος κατά ὁ δίδωμι ἀριθμός ἢ καί μείζων ἢ πολλαπλάσιος . ἔστω γάρ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , καί συνίστημι τρίγωνος ὁ ΕΖΗ ἕκαστος πλευρά ἔχω ἕκαστος ὁ ὁ ΑΒΓ πλευρά πολλαπλάσιος κατά ὁ δίδωμι ἀριθμός , καί περί κέντρον ὁ ὁ διά μέν ὁ Ε περιφέρεια γράφω ὁ ΕΘΚ , διά δέ ὁ Ζ περιφέρεια ὁ ΖΛΜ , καί διά ὁ ὁ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΗΜ , καί κάθετος ἄγω ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ ΕΖ ὁ ΗΝ , καί ἵστημι ὁ ἐπιτάσσω μέρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ὑπό ΚΜ ΗΠ , καί ὁ ΚΜ παράλληλος ἄγω ὁ ΘΠΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ ΗΛ . φανερός οὖν ἐκ ὁ κατασκευή ὅτι ὁ ΘΗΛ τρίγωνος ἐλαχύς εἰμί ἢ ὁ ἥμισυς ὁ λαμβάνω μέρος ὁ ΑΒΓ ( μικρός γάρ ὁ ΘΛ ὁ ΚΜ ) , ἕκαστος δέ αὐτός πλευρόν ἕκαστος ὁ ὁ ΑΒΓ ὅς πολλαπλάσιος ἢ καί μείζων ἢ πολλαπλάσιος κατά ὁ δίδωμι ἀριθμός ( μείζων γάρ ὁ ΘΛ ὁ ΕΖ ) .
pappus-mathematics.synagoge 2.75
75 μ΄ . Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐγγράψαι τὰ πήντε πολύεδρα , προγράφεται δὲ τάδε . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ , οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ ∠ , καὶ προκείσθω εἰς τὸν κύκλον ἐμβαλεῖν εὐθεῖαν παράλληλον μὲν τῇ ΑΓ διαμέτρῳ , ἴσην δὲ τῇ δοθείσῃ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΓ διαμέτρου . Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης ἴση ἡ Ε∠ , καὶ τῇ ΑΓ διαμέτρῳ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΒ , τῇ δὲ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΖ , ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοθείσῃ διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Ε∠ ( ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ ΕΗ , παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΖΗ τῇ ΒΕ ) .
Lemmas: 75 Μ΄ . εἰς ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐγγράφω ὁ πήντε πολύεδρος , προγράφω δέ ὅδε . ἔστω ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ καί κέντρον ὁ ∠ , καί πρόκειμαι εἰς ὁ κύκλος ἐμβάλλω εὐθύς παράλληλος μέν ὁ ΑΓ διάμετρος , ἴσος δέ ὁ δίδωμι μή μείζων εἰμί ὁ ΑΓ διάμετρος . κέω ὁ ἥμισυς ὁ δίδωμι ἴσος ὁ Ε∠ , καί ὁ ΑΓ διάμετρος ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΕΒ , ὁ δέ ΑΓ παράλληλος ὁ ΒΖ , ὅστις ἴσος εἰμί ὁ δίδωμι διπλόος γάρ εἰμί ὁ Ε∠ ( ἐπεί καί ἴσος ὁ ΕΗ , παράλληλος ἄγω ὁ ΖΗ ὁ ΒΕ ) .
pappus-mathematics.synagoge 2.76
76 μα΄ . Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κόκλοι οἱ ΑΚ∠ ΒΕΖΓ , ἡ δὲ διὰ τῶν B Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου , καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ B Γ διαμέτρῳ . Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Β Γ σημείων ἐπίπεδον ἐρθὸν πρὸς τὸν κύκλον , καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓ∠ μέγιστον κύκλον · ὁ ΑΒΓ∠ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ δίχα τεμεῖ καὶ τὸν ΑΚ∠ . ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Α ∠ ἐπιζευγνυμένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ . ἔστι δὲ φανερόν · τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ σημείῳ · ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΑ τῇ Θ∠ ἴση ἐστὶν ( ἐκ πόλου γάρ ) . ὧν ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ λοιπῇ τῇ Γ∠ ἐστὶν ἴση · παράλληλος ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α ∠ διάμετρος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ .
Lemmas: 76 ὅς . εἰμί ἐν σφαῖρα παράλληλος κοκαλεω ὁ ΑΚ∠ ΓΕΖ , ὁ δέ διά ὁ B Γ ἄγω εὐθύς διάμετρος ἵστημι ὁ κύκλος , καί πρόκειμαι ἄγω διάμετρος ὁ ΑΚ∠ κύκλος παράλληλος ὁ ἐπί ὁ B Γ διάμετρος . ἐκβάλλω διά ὁ Β Γ σημεῖον ἐπίπεδος ἐρθὸν πρός ὁ κύκλος , καί ποιέω τομή ΑΒΓ∠ μέγας κύκλος · ὁ ΑΒΓ∠ ἄρα ἥκω καί διά ὁ πόλος αὐτός καί δίχα τέμνω καί ὁ ΑΚ∠ . ὁ ἄρα ἐπί ὁ Α ∠ ἐπιζεύγνυμι διάμετρος παράλληλος εἰμί ὁ ἐπί ὁ Β Γ . εἰμί δέ φανερός · τέμνω γάρ ὁ ΒΓ περιφέρεια δίχα ὁ Θ σημεῖον · ἐπεί οὖν ὁ ΘΑ ὁ Θ∠ ἴσος εἰμί ( ἐκ πόλος γάρ ) . ὅς ὁ ΘΒ ὁ ΘΓ , καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ λοιπός ὁ Γ∠ εἰμί ἴσος · παράλληλος ἄρα ὁ ἐπί ὁ Α ∠ διάμετρος ὁ ἐπί ὁ Β Γ διάμετρος .
pappus-mathematics.synagoge 2.77
77 Ἔστω δέ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ . Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡμικύκλιον τῆς ΕΖ περιφερείας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση , καὶ διὰ τῶν Β Γ γεγράφθω ὁμοίως μέγιστος ὁ ΑΒΓ∠ ἔσται ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α ∠ διάμετρος τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ , ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ .
Lemmas: 77 ἔστω δέ ὁ ἐπί ὁ Ε Ζ μή διάμετρος καί πρόκειμαι διάμετρος ἄγω ὁ ΑΚ∠ κύκλος παράλληλος ὁ ἐπί ὁ Ε Ζ . κέω ὁ ἥμισυς ὁ ὑπεροχή ὅς ὑπερέχω ἡμικύκλιον ὁ ΕΖ περιφέρεια ἑκάτερος ὁ ΕΒ ΖΓ ἴσος , καί διά ὁ Β Γ γράφω ὁμοίως μέγας ὁ ΑΒΓ∠ εἰμί ἄρα ὁ ἐπί ὁ Α ∠ διάμετρος ὁ ΑΚ∠ κύκλος παράλληλος ὁ ἐπί ὁ Ε Ζ , ὅτι καί αὐτός παράλληλος ὁ ἐπί ὁ Β Γ .