ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 4.5
5 β΄ . Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ · λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ∠ΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου . Εἰλήφθω τοῦ μὲν ∠ΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ , τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρ τὸ Η , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμο τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ∠ , καὶ κάθε ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ . ἐπεὶ οὖν μείζ ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγόνου περίμετρος τῆς τοῦ ∠ . κύκλου περιφερείας , ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρ Ἀρχιμήδει ὑπόκειται , ἡ δὲ τ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγόνου πε μέτρῳ , καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου . καὶ ἔστιν ὅμοια πολύγωνα · μείζων ἄρα ἡ Λ∠ τῆς ΑΚ . καὶ ἔστιν ὁμο τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘ∠ τριγώνῳ ( καὶ γὰρ τὰ ὅλα τ λύγωνα ὅμοιά ἐστι ) · μείζων ἄρα καὶ ἡ Θ∠ τῆς ΗΚ . δὲ ἡ τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώ περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ∠Θ καὶ τῆς τοῦ ∠ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ Α . πολυγώνου περιμέτρου . καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ∠Θ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ∠ΕΖ κύκ . ( καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκ περιφερείας δέδεικται ) , τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πο γώνου , καὶ τὰ ἡμίση · μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ τ λυγώνου .
Lemmas: 5 Β΄ . ἔστω πάλιν ὁ πολύγωνος ὁ ΑΒΓ ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἴσος ἔχω ὁ περίμετρον ὁ ὁ δΕΖ κύκλος περιφέρεια · λέγω ὅτι μείζων εἰμί ὁ ∠ΕΖ κύκλος ὁ ΑΒΓ πολύγωνος . λαμβάνω ὁ μέν ∠ΕΖ κύκλος κέντρον ὁ Θ , ὁ περί ὁ ΑΒΓ πολύγωνος περιγράφω κύκλος κέντρον ὁ ὁ , καί περιγράφω περί ὁ κύκλος πολύγωνος Όμο ὁ ΑΒΓ ὁ ΛΜΝΞΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Θ∠ , καί κάθε ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ ΑΓ ἄγω ὁ ΗΚ . ἐπεί οὖν Μέιζ εἰμί ὁ ὁ ΛΜΝΞΟ πολύγονον περίμετρος ὁ ὁ ∠ . κύκλος περιφέρεια , ὡς ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κυλίς Ἀρχιμήδης ὑπόκειμαι , ὁ δέ τ κύκλος περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓ πολύγονον μετά μέτρον , καί ὁ ὁ ΛΜΝΞΟ πολύγωνος περίμετρος Μέιζ ὁ ὁ ΑΒΓ πολύγωνος περίμετρον . καί εἰμί ὅμοιος πολύγωνος · μείζων ἄρα ὁ Λ∠ ὁ ΑΚ . καί εἰμί ὁμος ὁ ΑΗΚ τρίγωνος ὁ ΛΘ∠ τρίγωνος ( καί γάρ ὁ ὅλος τ λύγων ὁμοῖος εἰμί ) · μείζων ἄρα καί ὁ Θ∠ ὁ ΗΚ . δέ ὁ ὁ ∠ΕΖ κύκλος περιφέρεια ὁ ὁ ΑΒΓ πολυγος περίμετρος μείζων ἄρα ὁ ὑπό ὁ ∠Θ καί ὁ ὁ ∠ κύκλος περιφέρεια ὁ ὑπό ὁ ΗΚ καί ὁ ὁ Α . πολύγωνος περίμετρον . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ∠Θ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια διπλάσιος ὁ ∠ΕΖ κύξ . ( καί οὗτος γάρ ὑπό Ἀρχιμήδης ἐν ὁ περί ὁ ὁ κύξ περιφέρεια δείκνυμι ) , ὁ δέ ὑπό ὁ ΗΚ καί ὁ ΑΒΓ πολύγωνος περίμετρον διπλάσιος ὁ ΑΒΓ ἀπό γώνον , καί ὁ ἥμισυς · μείζων ἄρα ὁ κύκλος ὁ ΑΒΓ τ λιγώνομαι .
pappus-mathematics.synagoge 4.6
6 Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκ . καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρ μήδης ἀπέδειξεν , οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου . Ἔστω . γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον · λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓ∠ κύκλῳ .
Lemmas: 6 ὅτι2 μέν οὖν ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ κύξ . καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον διπλάσιος εἰμί ὁ κύκλος ἀρ Μήδης ἀποδείκνυμι , οὐδείς δέ κακός καί ἑξῆς δείκνυμι οὗτος πρός ὁ μή δήω ὁ αρχιμήδειος σύνταγμα ἕνεκα μόνος ὁ θεώρημα οὗτος . ἔστω . γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ὁ ὑπό ὁ περίμετρον αὐτός καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἥμισυς ἵστημι ὁ Ζ χωρίον · λέγω ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Ζ χωρίον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος .
pappus-mathematics.synagoge 4.7
7 Ἔστω γὰρ . πρότερον , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον , ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου , εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο , μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου . ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν . πλευρὰν τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε ὁποσαγώνου , ἡ δ᾿ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ . καὶ τὰ ἡμίση · μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου , ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον · οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου .
Lemmas: 7 ἔστω γάρ . πρότερος , εἰμί δυνατός , μικρός . δυνατός ἄρα εἰμί ἀκόλουθος ὁ ἀγωγή ὁ ἐν ὁ δωδέκατος ὁ στοιχεῖον ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος πολύγωνος , ὥστε ὁ ἐγγράφω πολύγωνος μείζων εἰμί ὁ Ζ χωρίον , εἰμί πρότερος ἐγγράφω τετράγωνος εἰς ὁ κύκλος καί ὁ περιφέρεια ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἀεί δίχα τέμνω , μέχρι εἄν λείπω τις τμῆμα μικρός εἰμί ὁ ὑπεροχή ἧ ὑπερέχω ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ὁ Ζ χωρίον . ἐγγράφω καί ἵστημι ὁ ΑΒΓ∠Ε , καί ἀπό ὁ ὁ κέντρον ἄγω ἐπί εἷς . πλευρά ὁ ΑΒΓ∠Ε πολύγωνος ἐπί ὁ Γ∠ κάθετος ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος μείζων εἰμί ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠Ε ὁποσάγωνον , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον μείζων ὁ ΗΘ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέγας εἰμί ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠Ε πολύγωνος καί ὁ ΗΘ . καί ὁ ἥμισυς · μείζων ἄρα ὁ Ζ χωρίον ὁ ΑΒΓ∠Ε πολύγωνος , ὅσπερ ἀδύνατος ὑπόκειμαι γάρ μικρός · οὐ ἄρα μείζων εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ὁ Ζ χωρίον .
pappus-mathematics.synagoge 4.8
8 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ἐλάσσων · δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον , ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου , εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι , μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι δέδεικται . περιγεγράφθω οὖν , ὡς εἴρηται , τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ . ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου , τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ . καὶ τὰ ἡμίση · τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου , ὅπερ ἀδύνατον · ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον · οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα . καὶ ἔστι τοῦ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου .
Lemmas: 8 λέγω δή ὅτι οὐδέ μικρός . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι μικρός · δυνατός ἄρα περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος πολύγωνος , ὥστε ὁ Ζ χωρίον μείζων εἰμί ὁ περιγράφω πολύγωνος , εἰμί πρότερος τετράγωνος περιγράφω περί ὁ κύκλος καί δίχα ἀεί τέμνω ὁ ἀπολείπω περιφέρεια ἄγω ἐφάπτω , μέχρι εἄν ἀπολείπω τις τμῆμα ὁ ἐκτός σχῆμα , ὁ εἰμί μικρός ὁ ὑπεροχή ἧ ὑπερέχω ὁ Ζ χωρίον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος · οὗτος γάρ ὡς δυνατός γίγνομαι δείκνυμι . περιγράφω οὖν , ὡς εἴρω , ὁ πολύγωνος καί ἵστημι ὁ ΚΛΜΝΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ ὁ κέντρον ἐπί εἷς ὁ συναφή ὁ ὁ ὁ ΗΟ . ἐπεί οὖν ὁ περίμετρος ὁ ΚΛΜΝΞ πολύγωνος μείζων εἰμί ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ περίμετρον ὁ ΚΛΜΝΞ πολύγωνος καί ὁ ΗΟ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος καί ὁ ΗΟ . καί ὁ ἥμισυς · ὁ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνος μείζων ὁ Ζ χωρίον , ὅσπερ ἀδύνατος · ὑπόκειμαι γάρ μικρός · οὐ ἄρα ὁ Ζ χωρίον μείζων ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ μικρός ἴσος ἄρα . καί εἰμί ὁ χωρίον διπλάσιος ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος .
pappus-mathematics.synagoge 4.9
9 δ΄ . Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων , ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια , ὁ κύκλος γίνεται μείζων , ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων , ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ . δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἶσογώνιον . πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν .
Lemmas: 9 Δ΄ . οὖον μόνος δέ ὁ τάσσω ἐπίπεδος σχῆμα , ὅς εἰμί ισόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὁ κύκλος γίγνομαι μείζων , ἀλλά καί ὁ ανισόπλευρος καί ὁ ἀνομοιογώνιος , ὅταν ὁ αὐτός αὐτός περίμετρον ἔχω . δείκνυμι γάρ ὅτι καί ὁ ἰσοπερίμετρος σχῆμα πολύγωνος καί πλευρά ἰσοπληθής ἔχω ὁ μέγας ἰσόπλευρος τε εἰμί καί ισογώνιος . πρότερος οὖν ὁ εἰς ὁ ἀπόδειξις αὐτός λαμβάνω θεώρημα προγράφω .
pappus-mathematics.synagoge 4.10
10 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ , καὶ εὐθεῖα ἡ Ε , ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ , μείζων δὲ τῆς ΒΓ · ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι , ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ , μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε . Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς Ε , ἔστω ἡ Ζ · ἡ Ζ ἄρα τῆς μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν ( ὅτι συναμφότεραι αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι εἰσίν , ὧν ἡ Ε τῆς ΓΒ μείζων ) , τῆς δὲ ΓΒ μείζων ( ἐπεὶ συναμφότεραι πάλιν αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι , ὧν ἡ Ε τῆς ΑΒ ἐλάσσων ) . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν , καὶ αἱ Ε Ζ ἄρα τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν . ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονές εἰσιν , καὶ ἔστι τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ε , τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ζ , πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ε τῆς Ζ μείζονές εἰσιν . ὁμοίως ἐπεὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονες , ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ζ , τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ε , πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς Ε μείζονές εἰσιν · δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω τὸ ΑΓ∠ .
Lemmas: 10 ἔστω τρίγωνος ὁ ΑΒΓ μείζων ἔχω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , καί εὐθύς ὁ Ε , ὅστις ἵστημι μικρός μέν ὁ ΑΒ , μείζων δέ ὁ ΒΓ · ὅτι δυνατός εἰμί ἐπί ὁ ΑΓ δύο εὐθύς συνίστημι , ὥστε συναμφότεροι μέν ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ , εἷς δέ αὐτός ἴσος ὁ Ε . ὅσος γάρ ὑπερέχω ὁ ΑΒ ΒΓ ὁ Ε , ἵστημι ὁ Ζ · ὁ Ζ ἄρα ὁ μέν ΑΒ μικρός εἰμί ( ὅτι συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ ὁ Ε Ζ Ἴσαι εἰμί , ὅς ὁ Ε ὁ ΓΒ μείζων ) , ὁ δέ ΓΒ μείζων ( ἐπεί συναμφότεροι πάλιν ὁ ΑΒΓ ὁ Ε Ζ Ἴσαι , ὅς ὁ Ε ὁ ΑΒ μικρός ) . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΓ μέγας εἰμί , καί ὁ Ε Ζ ἄρα ὁ ΑΓ μέγας εἰμί . ἐπεί δέ καί ὁ ΑΓΒ ὁ ΑΒ μέγας εἰμί , καί εἰμί ὁ μέν ΓΒ μείζων ὁ Ε , ὁ δέ ΑΒ μικρός ὁ Ζ , πολύς ἄρα ὁ ΑΓ Ε ὁ Ζ μέγας εἰμί . ὁμοίως ἐπεί ὁ ΑΓΒ ὁ ΑΒ μείζων , ἀλλά ὁ μέν ΓΒ μείζων ὁ Ζ , ὁ δέ ΑΒ μικρός ὁ Ε , πολύς ἄρα ὁ ΑΓ Ζ ὁ Ε μέγας εἰμί · δυνατός ἄρα εἰμί ἐκ ὁ ΑΓ Ε Ζ τρίγωνος συνίστημι . συνίστημι ὁ ΑΓ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 4.11
11 ε΄ . Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν , καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέστερον μεῖζον . Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα , ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ , ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ ( δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος ) · λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ , μεῖζον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ . ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας · ἐκβληθείσης ἄρα τῆς ΓΕ ἄχρι τῆς ∠Λ παραλλήλου καὶ συμπιπτούσης κατὰ τὸ Λ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΛ ἔσται τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΛΓ , ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ Β∠Γ .
Lemmas: 11 Ε΄ . ὁ ἰσοπερίμετρος τρίγωνος καί ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ ἰσοσκελής μέγας εἰμί , καί ἀεί ὁ ἰσοσκελής μείζων . ἐπί γάρ ὁ ΒΓ βάσις ἰσοπερίμετρος ἵστημι τρίγωνος , ἰσοσκελής μέν ὁ ΑΒΓ , ἰσοσκελής δέ ὁ Β∠Γ ὁ ΒΕΓ ( δυνατός γάρ κατασκευάζω διά ὁ προδείκνυμι ἔναγχος ) · λέγω ὅτι μέγας μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ , μείζων δέ ὁ Β∠Γ ὁ ΒΕΓ . εἰμί παράλληλος εἰμί ὁ ΒΓ διά ὁ ἐναλλάξ γωνία · ἐκβάλλω ἄρα ὁ ΓΕ ἄχρι ὁ ∠Λ παράλληλος καί συμπίπτω κατά ὁ Λ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΛ εἰμί ὁ ΒΓ∠ τρίγωνος ἴσος ὁ ΒΛΓ , ὥστε μείζων εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΒΕΓ μικρός εἰμί ὁ Β∠Γ .
pappus-mathematics.synagoge 4.12
12 Ϛ΄ Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας · λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η , καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΕΗ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ ∠Ε ἀχθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ∠Ζ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ , διὰ δὲ τοῦ ∠ παράλληλος τῇ ΖΗ ἡ ∠Θ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠Θ τῇ ΗΕ ἐν παραλληλογράμμῳ , τουτέστιν τῇ ΒΓ , καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Θ γωνία τῇ Ζ ἴση , τουτέστιν τῇ Γ , καὶ ὀρθὴ ἡ Θ τῇ Β , καὶ λοιπὴ ἡ Κ τῇ Α , ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΘ∠ ΑΒΓ τρίγωνα καὶ ἴσα τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς τῷ τε ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς .
Lemmas: 12 ΣΤ΄ πάλιν ἵστημι δύο τρίγωνος ὀρθογώνιος ὅμοιος ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσος ἔχω ὁ Γ Ζ γωνία · λέγω ὅτι ὁ ἀπό ΑΓ ∠Ζ ὡς εἷς ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ΒΓ ΕΖ ὡς εἷς καί ὁ ἀπό ΑΒ ∠Ε ὡς εἷς . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΕΖ ἐπί ὁ ὁ , καί κεῖμαι ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ΕΗ , καί διά μέν ὁ ὁ παράλληλος ὁ ∠Ε ἄγω συμπίπτω ὁ ∠Ζ ἐκβάλλω κατά ὁ Κ , διά δέ ὁ ∠ παράλληλος ὁ ΖΗ ὁ ∠Θ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ∠Θ ὁ ΗΕ ἐν παραλληλόγραμμος , τουτέστιν ὁ ΒΓ , καί ὁ ὑπό Κ∠Θ γωνία ὁ Ζ ἴσος , τουτέστιν ὁ Γ , καί ὀρθός ὁ Θ ὁ Β , καί λοιπός ὁ Κ ὁ Α , ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΚΘ∠ ΑΒΓ τρίγωνος καί ἴσος ὁ ἄρα ἀπό ΚΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό κηζʹ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΑΓ ∠Ζ ὡς εἷς ὁ τε ἀπό ΑΒ ∠Ε ὡς εἷς καί ὁ ἀπό ΒΓ ΕΖ ὡς εἷς .
pappus-mathematics.synagoge 4.13
13 ζ΄ . Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνομοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις , ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς , μείζονά ἐστιν . Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΖΒ ΒΑΓ , καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ , ἀνόμοια δὲ ἐξ ἀνάγκης · τοῦτο δὲ ὡς δυνατὸν κατασκευάσαι δειχθήσεται · λέγω ὅτι τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ συναμφότερα τῶν ∠ΕΒ ΒΛΓ συναμφοτέρων μείζονά ἐστιν . Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις · τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς · ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ∠ΕΖ ταῖς ΒΕΖ , καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ∠Ζ ΖΒ διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα , καὶ γωνίαι ἴσαι , ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι , ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ ∠ Β , καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι · ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν · καὶ ἴσαι αἱ ∠Η ΗΒ . ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ . τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ , καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ · ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ( ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης · ὅμοια γὰρ τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα ) · καὶ ἡ ὑπὸ ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ · ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ , ὑποκειμένης τῆς ∠ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ , τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ , καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσσων , ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ .
Lemmas: 13 Ζ΄ . ὁ ὅμοιος ἰσοσκελής τρίγωνος συναμφότεροι ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις συναμφότεροι ἰσοσκελής τρίγωνος ἀνόμοιος μέν ἀλλήλων καί ὁ ὅμοιος , ἰσοπερίμετρος δέ αὐτός , μέγας εἰμί . ἔστω ὅμοιος ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ ∠ΖΒ ΒΑΓ , καί ἐπί ὁ αὐτός βάσις ἄλλος ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ ∠ΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρος μέν ὁ ∠ΖΒ ΒΑΓ , ἀνόμοιος δέ ἐκ ἀνάγκη · οὗτος δέ ὡς δυνατός κατασκευάζω δείκνυμι · λέγω ὅτι ὁ ∠ΒΖ ΒΑΓ συναμφότεροι ὁ ∠ΕΒ ΒΛΓ συναμφότεροι μέγας εἰμί . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ ΑΛ , καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ βάσις · τέμνω δή αὐτός δίχα τε καί πρός ὀρθός · Ἴσαι γάρ εἰμί ὁ ∠ΕΖ ὁ ΒΕΖ , καί βάσις Ἴσαι ὁ ∠Ζ ΖΒ διά ὁ ἰσοσκελής εἰμί ὁ τρίγωνος , καί γωνία Ἴσαι , ὥστε καί ὁ ἐκτός γωνία Ζ Ζ ἴσος εἰμί , Ἴσαι δέ εἰμί καί ὁ ∠ Β , καί ὁ λοιπός ὁ ὁ ὁ Ἴσαι · ὀρθός ἄρα εἰμί · καί Ἴσαι ὁ ∠Η ΗΒ . ὁμοίως δέ καί ὁ ΒΜ ΜΓ Ἴσαι εἰμί , καί ὀρθός ὁ Μ Μ . τέμνω οὖν κατά ὁ ὁ Μ , καί ἐκβάλλω ὁ ΕΗ , καί κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ · εἰμί δή ἴσος ὁ ὑπό ΕΒΗ ὁ ὑπό ΒΗΘ . ἀλλά ὁ ὑπό ΕΒΗ μείζων ὁ ὑπό ΑΒΓ ( ὅτι καί ὁ ὑπό ΖΒΗ ἴσος · ὅμοιος γάρ ὁ ∠ΒΖ ΒΑΓ τρίγωνος ) · καί ὁ ὑπό ΒΗΘ ἄρα μείζων ὁ ὑπό ΑΒΓ · ὁ ἄρα ὁ Θ Λ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι τέμνω ὁ ΒΜ , ὑπόκειμαι ὁ ∠ΒΓ εὐθύς καί ὁ ΘΒΝ ἐκβάλλω ἔξωθεν ὁ ΑΒ , ὅτι μικρός εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΒΗΘ , τουτέστιν ὁ κατά κορυφή ὁ ὑπό ΝΒΓ , καί πολύς ὁ ὑπό ΛΒΓ μικρός , ὥστε ὁ ΒΜ τέμνω ὑπό ὁ ΘΛ κατά ὁ Κ .
pappus-mathematics.synagoge 4.14
14 ἐπεὶ οὖν αἱ ∠ΕΒ Β∠Γ ταῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν ( ὑπόκεινται γὰρ ἰσοπερίμετροι ) , καὶ αἱ ἡμίσειαι αἱ ΕΒΛ , τουτέστιν αἱ ΘΒΛ , ταῖς ΖΒΑ ἴσαι εἰσίν , αἱ δὲ ΘΒΛ τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν , καὶ αἱ ΖΒΑ ἄρα τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν . καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΛ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΒΜ ὡς μιᾶς , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ , διὰ τὴν τῶν ΗΖΒ ΒΑΜ τριγώνων ὀρθογωνίων ὁμοιότητα ( τοῦτο γὰρ προεδείχθη ) , τῷ δὲ ἀπὸ ΘΛ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΛ ὡς μιᾶς , ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΛΜ ΗΘ ὡς μιᾶς , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΛΜ ΗΕ ὡς μιᾶς , μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΚΜ ὡς μιᾶς , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ , διὰ τὸ αὐτὸ προδειχθέν · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ ΖΗ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΗΜ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΕ ΛΜ ὡς μιᾶς · καὶ μήκει ἄρα μείζων ἡ ΖΗ ΑΜ ὡς μία τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς . τὰ δ᾿ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις : ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ , τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα τὸ ∠ΕΒ πρὸς ∠ΖΒ , ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ , τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ , καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ · καὶ συνθέντι ἄρα πρὸς συγκείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ ΕΗ ΛΜ πρὸς τὴν ΖΗ ΑΜ , τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα πρὸς τὰ ∠ΖΒ ΑΒΓ τρίγωνα · καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς . ἐλάσσων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΗ ΛΜ τῆς ΖΗ ΑΜ συναμφοτέρου · ἐλάσσονα ἄρα καὶ τὰ συναμφότερα ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα τῶν ∠ΖΒ ΒΑΓ συναμφοτέρων τριγώνων .
Lemmas: 14 ἐπεί οὖν ὁ ∠ΕΒ Β∠Γ ὁ ∠ΖΒ ΒΑΓ Ἴσαι εἰμί ( ὑπόκειμαι γάρ ἰσοπερίμετρος ) , καί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΛΒ , τουτέστιν ὁ ΘΒΛ , ὁ ΖΒΑ Ἴσαι εἰμί , ὁ δέ ΘΒΛ ὁ ΘΛ μέγας εἰμί , καί ὁ ΖΒΑ ἄρα ὁ ΘΛ μέγας εἰμί . καί ὁ ἀπό συναμφότεροι ἄρα ὁ ΖΒΑ ὡς εἷς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΘΛ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό συναμφότεροι ὁ ΖΒΑ ὡς εἷς ἴσος εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΖΗ ΑΜ μετά ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΗΒΜ ὡς εἷς , τουτέστιν ὁ ἀπό ΗΜ , διά ὁ ὁ ΗΖΒ ΒΑΜ τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁμοιότης ( οὗτος γάρ προδείκνυμι ) , ὁ δέ ἀπό ΘΛ , τουτέστιν ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΘΚ ΚΛ ὡς εἷς , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΛΜ ΗΘ ὡς εἷς , τουτέστιν ὁ ἀπό ΛΜ ΗΕ ὡς εἷς , μετά ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΗΚ ΚΜ ὡς εἷς , τουτέστιν ὁ ἀπό ΗΜ , διά ὁ αὐτός προδείκνυμι · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΑΜ ΖΗ ὡς εἷς μετά ὁ ἀπό ΗΜ μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΕΗ ΛΜ ὡς εἷς μετά ὁ ἀπό ΗΜ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΗΜ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΖΗ ΑΜ ὡς εἷς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΗΕ ΛΜ ὡς εἷς · καί μῆκος ἄρα μείζων ὁ ΖΗ ΑΜ ὡς εἷς ὁ ΕΗ ΛΜ ὡς εἷς . ὁ δέ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί τρίγωνος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις : εἰμί ἄρα ὡς μέν ὁ ΗΕ πρός ΗΖ , ὁ τε ἥμισυς ὁ τρίγωνος ὁ ΕΗΒ πρός ΒΗΖ καί ὁ ὅλος τρίγωνος ὁ ∠ΕΒ πρός ∠ΖΒ , ὡς δέ ὁ ΛΜ πρός μή , ὁ ΜΛΓ πρός ὁ ΑΜ , καί ὁ διπλάσιος ΒΛΓ πρός ὁ ΒΑΓ · καί συντίθημι ἄρα πρός σύγκειμαι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὡς ὁ ΕΗ ΛΜ πρός ὁ ΖΗ ΑΜ , ὁ ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΖΒ ΑΒΓ τρίγωνος · καί οὗτος γάρ ἑξῆς . μικρός δέ συναμφότερος ὁ ΕΗ ΛΜ ὁ ΖΗ ΑΜ συναμφότεροι · μικρός ἄρα καί ὁ συναμφότεροι ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνος ὁ ∠ΖΒ ΒΑΓ συναμφότεροι τρίγωνος .
pappus-mathematics.synagoge 4.15
15 η΄ . Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ Γ∠Ζ , καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω , ἡ δὲ ΑΒ τῆς ∠Γ μείζων ( ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα ) · δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι , ὥστε τὰς δ΄ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα . Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ , καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν Γ∠ , τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ Γ∠ μείζων ἐστίν ( ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖ∠ ) , καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠ , ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ , μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ , ἡ δὲ ΚΘ τῆς Γ∠ . καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα · τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι . ὁμοίως καὶ τῶν Γ∠ ΚΜ ΜΘ . συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον ( φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ · ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ , ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖ∠ , καὶ αἱ δ΄ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ , ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ ) , ἐκ δὲ τῶν Γ∠ ΚΜΘ τὸ ΓΝ∠ ( ὑμοίως γὰρ ἔνδον συνίστανται ) . καὶ φανερὸν ὅτι όμοια ἔσται τὰ τρίγωνα , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠ , οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ , καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ , καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμενσι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ πρὸς ∠Ν .
Lemmas: 15 Η΄ . ἔστω ἐπί ἄνισος βάσις ὁ ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ ΑΕΒ Γ∠Ζ , καί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΓΖ ἴσος ἵστημι , ὁ δέ ΑΒ ὁ ∠Γ μείζων ( ἀνόμοιος ἄρα ὁ τρίγωνος ) · δεῖ δή ἐπί ὁ ΑΒ Γ∠ ὅμοιος ἰσοσκελής τρίγωνος συνίστημι , ὥστε ὁ Δ΄ πλευρά αὐτός ἅμα ἴσος εἰμί ὁ ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα . ἔκκειμαι γάρ ὁ ΗΘ εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ΑΕΒ ΓΖ∠ , καί τέμνω κατά ὁ Κ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΗΚ πρός ΚΘ , οὕτως ὁ ΑΒ βάσις πρός ὁ Γ∠ , τέμνω δέ καί ἑκάτερος ὁ ΗΚ ΚΘ δίχα κατά ὁ Λ Μ σημεῖον . ἐπεί οὖν ὁ ΗΘ συναμφότεροι ὁ ΑΒ Γ∠ μείζων εἰμί ( ὅτι καί ὁ ΑΕΒ ΓΖ∠ ) , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός Γ∠ , ὁ ΗΚ πρός ΚΘ , μείζων ἄρα καί ὁ μέν ΗΚ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΚΘ ὁ Γ∠ . καί τέμνω ἑκάτερος δίχα · ὁ ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . ὁμοίως καί ὁ Γ∠ ΚΜ ΜΘ . συνίστημι οὖν ἐκ μέν ὁ ΑΒ ΗΛ ΛΚ ὁ ΑΒ τρίγωνος ( φανερός γάρ ὅτι ἔξω πίπτω ὁ ΑΕΒ διά ὁ μείζων εἰμί ὁ ΚΛΗ ὁ ΑΕΒ · ὁ μέν γάρ ΑΕΒ ἥμισυς ὁ ΗΘ , Ἴσαι γάρ ὁ ΑΕΒ ὁ ΓΖ∠ , καί ὁ Δ΄ ἅμα εὐθύς ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΗΚ μείζων ἢ ἥμισυς ὁ ΗΘ ) , ἐκ δέ ὁ Γ∠ ΚΜΘ ὁ ΓΝ∠ ( υμοιος γάρ ἔνδον συνίστημι ) . καί φανερός ὅτι ὅμοιος εἰμί ὁ τρίγωνος , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός Γ∠ , οὕτως ὁ ΗΚ πρός ΚΘ , καί ὁ ἥμισυς ὅς τε ΗΛ πρός ΚΜ καί ὁ ΛΚ πρός ΜΘ , καί ὁ Ἴσαι συνίστημι ὁ ΑΞ πρός ΓΝ καί ὁ ΒΞ πρός ∠Ν .
pappus-mathematics.synagoge 4.17
17 Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει
Lemmas: 17 ὁ λοιπός ὁ ἐν ὑπέρθεσις
pappus-mathematics.synagoge 4.18
18 θ΄ . Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν , τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλενρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον . Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓ∠Ε μέγιστον τῶν ἰσοπερι ?? μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων · λέγω ὅτι ἰσό όπλευρόν ἐστιν . μὴ γάρ , ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν , ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , ἐφ ἧ συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελς τὸ ΑΖΓ , ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄ . ἐπεν οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν , μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓ∠Ε τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓ∠ΕΑ τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου , ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον , μεῖζον , ὅπερ ἀδύνατον · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ∠Ε . καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ μεῖζον · καὶ γὰρ τὸ ἰσοσκελέστερον ἀεὶ μεῖζον , ὡς ἐδείχθη πρὸ τριῶν .
Lemmas: 18 Θ΄ . οὗτος προγράφω ὁ πρόκειμαι δείκνυμι , τουτέστιν ὅτι ὁ ἰσοπερίμετρος εὐθύγραμμος σχῆμα καί ὁ πλευρά ἰσοπληθής ἔχω ὁ μέγας ἰσόπλενρόν τε εἰμί καί ἰσογώνιος . ἔστω γάρ πολύπλευρος ὁ ΑΒΓ∠Ε μέγας ὁ ἰσοπερι ?? μέτρον αὐτός καί ἰσοπληθής πλευρά ἔχω · λέγω ὅτι ίσος όπλευρόν εἰμί . μή γάρ , ἀλλά εἰμί δυνατός , εἰμί ὁ ΑΒΓ ἄνισος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ἐπί ἧ συνίστημι τρίγωνος ἰσοσκελής ὁ ΑΖΓ , ὥστε συναμφότεροι ὁ ΑΖΓ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ διά ὁ Δ΄ . ἕπω οὖν πρό τρεῖς δείκνυμι ὅτι ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις ἰσοπε ριμετρον τρίγωνος ὁ ἰσοσκελής μέγας εἰμί , μείζων ἄρα ὁ ΑΖΓ ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . κοινός προστίθημι ὁ ΑΓ∠Ε τετράπλευρος εἰμί τίς χωρίον ὁ ΖΓ∠ΕΑ ὁ ΑΒΓ∠Ε μέγας , ἰσοπερίμετρος αὐτός καί ἰσάριθμος πλευρά ἔχω , μείζων , ὅσπερ ἀδύνατος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ∠Ε . καί φανερός ὅτι ὁ ἰσόπλευρος ἀεί μείζων · καί γάρ ὁ ἰσοσκελής ἀεί μείζων , ὡς δείκνυμι πρό τρεῖς .
pappus-mathematics.synagoge 4.19
19 ι΄ . Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον . μὴ γάρ , ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν , ἔστω ἡ Β γωνία τῆς ∠ μείζων . καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων ( ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ Γ∠Ε ) . συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα , ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη , τὰ . ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ Γ∠Ε . μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ Γ∠Ε · καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο . κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ . καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον . Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος , ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος , ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , ἐδείχθη μείζων .
Lemmas: 19 Ι΄ . λέγω δή ὅτι καί ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρος . μή γάρ , ἀλλά εἰμί δυνατός , ἵστημι ὁ Β γωνία ὁ ∠ μείζων . καί ὁ ΑΓ εὐθύς ὁ ΓΕ ἄρα μείζων ( Ἴσαι γάρ ὁ ΑΒΓ Γ∠Ε ) . συνίστημι ἐπί ὁ ΑΓ ΓΕ ἄνισος ὅμοιος ἰσοσκελής τρίγωνος , ὡς πρό εἷς δείκνυμι , ὁ . ΑΖΓ ΓΗΕ ὁ ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρά συναμφότεροι ἴσος ἔχω συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ Γ∠Ε . μείζων δή εἰμί ὁ συνίστημι ὁ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα ὁ ἐκ ἀρχή ΑΒΓ Γ∠Ε · καί οὗτος γάρ δείκνυμι πρό δύο . κοινός προστίθημι ὁ ΑΓΕ τρίγωνος εἰμί ὁ αὐτός ἄτοπος ὁ γάρ ΓΑΗ μείζων εἰμί ὁ ΑΒΓ∠Ε μέγας καί ἰσοπερίμετρος αὐτός . καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρος ὁ ἄρα ἰσοπερίμετρος εὐθύγραμμος σχῆμα καί ὁ πλευρά ἰσοπληθής ἔχω ὁ μέγας ἰσόπλευρος τε εἰμί καί ἰσογώνιος . καί δῆλος ὅτι μέγας πᾶς ὁ ἰσοπερίμετρος σχῆμα ὁ κύκλος , ἐπεί ὁ ἰσοπερίμετρος τάσσω σχῆμα , εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , δείκνυμι μείζων .
pappus-mathematics.synagoge 4.20
20 ια΄ . Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο . τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον . δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα .
Lemmas: 20 ΙΑ΄ . ὁ αὐτός δέ εἰμί ὁ προερέω θεωρία καί οὗτος . ὁ ἴσος ἔχω περιφέρεια κυκλικός τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ἡμικύκλιον . δείκνυμι δέ οὗτος προγράφω πρότερος ὁ εἰς αὐτός λαμβάνω .
pappus-mathematics.synagoge 4.21
21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι . Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠ , καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠ · λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ κύκλου περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρ ὸς τὴν Γ∠ Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ , ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας , τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας ( τοῦτο γὰρ προδέδεικται ) , καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ . καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ , οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ .
Lemmas: 21 ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ διάμετρος . εἰμί δύο κύκλος ὁ ΑΒ Γ∠ , καί διάμετρος αὐτός ὁ ΑΒ Γ∠ · λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ὁ ΑΒ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ὁ Γ∠ κύκλος περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒ εὐθύς ΠΡ ὅς ὁ Γ∠ ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρός ὁ Γ∠ ΓΑ κύκλος , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Γ∠ , ἀλλά ὁ μέν ΑΒ κύκλος τετραπλάσιος εἰμί ὁ περιέχω ὀρθογώνιος ὑπό τε ὁ ΑΒ εὐθύς καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ὁ δέ Γ∠ κύκλος τετραπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Γ∠ εὐθύς καί ὁ ὁ Γ∠ κύκλος περιφέρεια ( οὗτος γάρ προδείκνυμι ) , καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒ καί ὁ περιφέρεια ὁ ΑΒ κύκλος πρός ὁ ὑπό ὁ Γ∠ καί ὁ ὁ Γ∠ κύκλος περιφέρεια , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Γ∠ . καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ὑπό ὁ ὁ ΑΒ κύκλος περιφέρεια καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΑΒ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ὁ Γ∠ κύκλος περιφέρεια καί ὁ Γ∠ πρός ὁ ἀπό Γ∠ ὡς ἄρα ὁ ὁ ΑΒ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ὁ Γ∠ περιφέρεια πρός ὁ Γ∠ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ὁ ΑΒ περιρρέω πρός ὁ ὁ Γ∠ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 4.22
22 ιβ΄ . Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου . τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων , ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι .
Lemmas: 22 ἰβʹ . οὗτος ἀποδείκνυμι καί Χωρὶς ὁ λαμβάνω ὅτι ὁ ὑπό ὁ διάμετρος ὁ κύκλος καί ὁ περιφέρεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ κύκλος . ὁ γάρ ἐγγράφω ὁ κύκλος ἢ περιγράφω ὅμοιος πολύγωνος ὁ περίμετρος ἔχω λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ αὐτός ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὥστε καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ διάμετρος .
pappus-mathematics.synagoge 4.23
23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ , ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε · ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν , οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα . Εἰ μὲν οὖν σύμμετρύς ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου , ἐπεὶ διαιρεθείσης εῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἷς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ ∠ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἐφαρμμύσουσιν ἀλλήλοις πάντες οἱ τομεῖς , καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος αὐσῶν τῷ πλήθει τῶν μέτρων , ἔσται ἄρα ὡς ὅλη ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν , οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα .
Lemmas: 23 πάλιν ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ , ἐκ ὁ κέντρον δέ αὐτός ὁ ∠Β , καί ἀπό ὁ ∠ διάγω τις ὁ ∠Ε · ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ περίμετρος ὁ κύκλος πρός ὁ ΒΖΕ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς . εἰμί μέν οὖν σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΖΕ περιφέρεια ὁ ΑΒΓ περίμετρος ὁ κύκλος , ἐπεί διαιρέω Εῆς ΑΒΓ περίμετρον ὁ κύκλος εἷς ὁ μέτρον καί ἀπό ὁ ὁ διαίρεσις σημεῖον ἐπί ὁ ∠ κέντρον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς εφαρμμυσεω ἀλλήλων πᾶς ὁ τομεύς , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ἰαύω ὁ πλῆθος ὁ μέτρον , εἰμί ἄρα ὡς ὅλος ὁ ΑΒΓ περίμετρος ὁ κύκλος πρός ὁ ΒΖΕ περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς .
pappus-mathematics.synagoge 4.24
24 εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφρείρ , ὐμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν . ἔστω , εἶ δυνατόν , ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περφιετρος ἀετοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας , καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων , σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Η . ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περι ειαν . ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμεπρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν Η περιψέρειαν ἐλάσσονμ λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τήν ΒΖ περιφέρειαν , τουτέσειν ἥπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα · καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα ἐλάσσονα λόγον ἓξει ἤπερ πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα , ὅπερ ἄτοπον · οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὑτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας .
Lemmas: 24 εἰμί δέ μή εἰμί σύμμετρος ὁ ΒΖΕ περιφρείρ , υμοιος εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περμετρος πρός ὁ ΒΖΕ περιφέρεια . ἵστημι , εἰμί δυνατός , ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περφιετρος ἀετός πρός ὁ ΒΖ περιφέρεια πρότερος μικρός εἰμί ὁ ΒΖΕ περιφέρεια , καί λαμβάνω τις ἕτερος περιφέρεια ΒΗ ὁ μέν ΒΖ μείζων ὁ δέ ΒΖΕ μικρός , σύμμετρος δέ εἰμί ὁ ΑΒΓ περίμετρος ὡς εἰμί λῆμμα σφαιρικός , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Η . εἰμί οὖν διά ὁ προερέω καί ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Η τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περμετρος ὁ κύκλος πρός ὁ ΒΖΗ περί ἄν . ἀλλά ὁ ΑΒΓ περίμεπρος ὁ κύκλος πρός ὁ ὁ περιψέρειαν ἐλαύνω λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ΒΖ περιφέρεια , τουτέσειν ὅσπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς · καί ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρός ὁ Β∠Η τομεύς μικρός λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ Α∠Ε τομεύς , ὅσπερ ἄτοπος · οὐ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Α∠Ε τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περίμετρος αὐτός πρός ὁ ΒΖ περιφέρεια μικρός εἰμί ὁ ΒΖΕ περιφέρεια .
pappus-mathematics.synagoge 4.25
25 λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΤ περιφέρειαν , καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων , σύμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Θ . ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύἰέ κλου πρὸς εὴν ΒΕΘ περιρέρειαν , ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν , τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα , ἔξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα , ἥπερ ἐστὶν ἄτοπον οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Γ τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείξονα τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν . ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα , οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν .
Lemmas: 25 λέγω δή ὅτι οὐδέ πρός μείζων ὁ ΒΖΕ . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι πρός ὁ ΕΒ περιφέρεια , καί λαμβάνω τις ὁμοίως ὁ ΒΕΘ περιφέρεια ὁ μέν ΒΖΕ περιφέρεια μείζων ὁ δέ ΒΕΓ περιφέρεια μικρός , σύμετρος δέ πρός ὁ ΑΒΓ περίμετρον ὁ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Θ . ἐπεί οὖν πάλιν εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Θ τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περίμετρος ὁ κύἰέ καλέω πρός ἑός ΒΕΘ περιρρέω , ὁ δέ ΑΒΓ περίμετρος πρός ὁ ΒΕΘ περιφέρεια μείζων λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ΒΕΓ περιφέρεια , τουτέστιν ἤ2 ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς , ἔξειμι δηλονότι καί ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Θ τομεύς μείζων λόγος ἤ2 πρός ὁ Β∠Ε τομεύς , ὅσπερ εἰμί ἄτοπος οὐ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Γ τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περίμετρος αὐτός πρός μίγνυμι ὁ ΒΖΕ περιφέρεια . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ πρός μικρός · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ Β∠Ε τομεύς , οὕτως ὁ ΑΒΓ περίμετρος αὐτός πρός ὁ ΒΖΕ περιφέρεια .
pappus-mathematics.synagoge 4.26
26 ιγ΄ . Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα , καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . Ἐστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ , οὕτως τὸ ἀκὸ τῆς ΑΓ τετράγμωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ πιριφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ζ . Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι , καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ . ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμήματα , ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ , καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγπωνον τῷ ∠ΘΖ , καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ∠ΕΖ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα , οὕτπως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν , τουτέστιν δ΄ ῥρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν . ὡς δὲ ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα , οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ∠ΕΖ περιφέρειαν , τουτέσετν δʼ ῤρθαὶ πρὸς τὴν Θ γμωνίαν . καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ Η γωνίᾳ ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα , οὕτως ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα , καἰ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα . ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κόκλον , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Θ , τουτέστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον · καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον . καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ τμῆμά ἐστιν ὡς τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον , τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ .
Lemmas: 26 ἰ . ὁ ὅμοιος τμῆμα ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ βάσις τετράγωνος πρός ἀλλήλων , καί ὁ περιφέρεια δέ αὐτός πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . ἵστημι ὅμοιος τμῆμα κύκλος ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μέν ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΚΟ ὁ ΑΓ τετράγμωνον πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , ὡς δέ ὁ ΑΒΓ πιριφέρεια πρός ὁ ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ∠Ζ . προσαναπληρόω ὁ κύκλος , καί λαμβάνω αὐτός κέντρον ὁ ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗΓ ΔΘΖ . ἐπεί οὖν ὁμοῖος ἕννυμι ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμῆμα , ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ ὁ γωνία ὁ πρός ὁ Θ , καί ὅμοιος ὁ ΑΗΓ τρίγπωνον ὁ ∠ΘΖ , καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια ὅμοιος ὁ ∠ΕΖ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΗ τομεύς , οὕτπως ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓ περιφέρεια , τουτέστιν Δ΄ ῥρθαὶ πρός ὁ ὁ γωνία . ὡς δέ ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς , οὕτως ὁ περίμετρος ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρός ὁ ∠ΕΖ περιφέρεια , τουτέσετν δέ ῤρθαὶ πρός ὁ Θ γμωνίαν . καί ἴσος εἰμί ὁ Θ γωνία ὁ ὁ γωνία εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΗ τομεύς , οὕτως ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς , καίω ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρός ὁ ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ τομεύς πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς . ὡς δέ ὁ κύκλος πρός ὁ κοκλων , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Θ , τουτέστιν ὁ ΑΗΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΘΖ τρίγωνος · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΗ τομεύς πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς οὕτως ὁ ΑΗΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΘΖ τρίγωνος . καί λοιπός ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ∠ΕΖ τμῆμα εἰμί ὡς ὁ ΑΗΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΘΖ τρίγωνος , τουτέστιν ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 4.27
27 Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ . ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ∠Θ , τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ , οὕτως ἡ ΑΓ · πρὸς τὴν ∠Ζ .
Lemmas: 27 λέγω δή ὅτι εἰμί καί ὡς ὁ ΑΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΔΖ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω εἰμί ὡς ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ὁ ∠ΕΖ κύκλος περιφέρεια , οὕτως ὁ ΑΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ∠ΕΖ . ὡς δέ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ∠Θ , τουτέστιν ὁ ΑΓ πρός ὁ ∠Ζ καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ∠ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΓ · πρός ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 4.28
28 ιδ΄ . Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις οὐτῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιεχύιιεναι , καὶ ἐφαπτύμεναι μὲν αἰ ΑΗ ∠Θ , κάθετοι δὲ αἰ ΑΚ ∠Λ δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον , οὕτως καὶ τὸ ∠ΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΖΛ τρίγρεμμον . Ἔστι δέ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου . ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ∠ΘΛ , καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ∠ΖΛ τριγράιιμῳ , καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον πρὸς ἑκάτερον , ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Λ .
Lemmas: 28 ὁράω . εἰμί δύο κύκλος καί πρός ὁ κέντρον οὐτάω Ἴσαι γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ ∠ΕΖ περιχέω , καί ἐφάπτω μέν ὁ ΑΗ ∠Θ , κάθετος δέ ὁ ΑΚ ∠Λ δείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΗΚ τρίγωνος πρός ὁ ΑΓΚ τρίγραμμος , οὕτως καί ὁ ∠ΘΛ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΖΛ τρίγρεμμον . εἰμί δέ φανερός ἐκ ὁ προγράφω . ὅμοιος γάρ γίγνομαι ὁ ΑΗΚ τρίγωνος ὁ ∠ΘΛ , καί ὁ ΑΓΚ τρίγραμμος ὁ ∠ΖΛ τριγραιιμαω , καί λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ἑκάτερος πρός ἑκάτερος , ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Λ .
pappus-mathematics.synagoge 4.30
30 ιϚ΄ . Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ δμὼ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ Α∠ · λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ . Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ , καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΒΑ , καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ . ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγρσμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι , φανερὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων . καὶ μείζαων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ · μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ∠ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον , καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα . ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς νὴν ὑπὸ ΓΑΖ . καὶ ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ . καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ ( ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓ∠ , ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓ∠ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ) .
Lemmas: 30 ΙΣΤ΄ . ἔστω πάλιν ὀρθογώνιος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Β , καί περί κέντρον ὁ Γ δμώς ὁ Α γράφω κύκλος περιφέρεια ὁ Α∠ · λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεύς πρός ὁ ΑΒ∠ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὀρθός γωνία πρός ὁ ὑπό ΑΓ∠ . ἄγω ὁ ΑΓ ὀρθός ὁ ΑΕ , καί ἐκθεβλήσθω ὁ ΒΑ , καί διά ὁ Γ σημεῖον περί κέντρον ὁ Α γράφω κύκλος περιφέρεια ὁ ΕΓΖ . ἐπεί οὖν περί ὁ αὐτός ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΓΑ γράφω εἰμί ὁ περιφέρεια , φανερός ὅτι ἴσος εἰμί κύκλος . καί μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΑΓ∠ γωνία ὁ ὑπό ΓΑΕ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ∠ τομεύς ὁ ΑΓΕ τομεύς · μείζων ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΑΓ∠ τομεύς πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ἤ2 ὁ ΑΓΕ τομεύς πρός ὁ αὐτός τρίγωνος , καί πολύς μᾶλλον ἤ2 ὁ ΑΓΕ τομεύς πρός ὁ ΑΓΖ τομεύς . ὡς δέ ὁ ΑΓΕ τομεύς πρός ὁ ΓΑΖ , οὕτως ὁ ὑπό ΕΑΓ γωνία πρός νή ὑπό ΓΑΖ . καί ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεύς πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΕΑΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΓΑΖ . καί ἀνάπαλιν καί συντίθημι μείζων λόγος ἔχω ὁ ΑΓ∠ τομεύς πρός ὁ ΑΒ∠ τρίγραμμος ἤ2 ὁ ὑπό ΕΑΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΑΖ , τουτέστιν ἤ2 ὀρθός πρός ὁ ὑπό ΑΓ∠ ( εἰμί γάρ ὁ ὑπό ΕΑΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΑΓ∠ , ὅτι καί ὁ μέν ὑπό ΑΓ∠ ἴσος εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΓΒΑ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ ) .
pappus-mathematics.synagoge 4.31
31 ιξ΄ . Τούτων πρθγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεμωρηφα συγκρινικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως . Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ∠ΕΖ περιφερείας , καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ ΑΒΓ , τὸ δὲ Ε∠Ζ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου λέγω ὃτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικόκλιον τοῦ τμήματος . Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η . Θ , καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ , ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ζ ἡ ΘΚΕ , καὶ τῇ ∠Ζ παράλληλος ἡ ΛΜ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΛΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ ( αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι ) , ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ∠Ε , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ πιριφέρεια πρὸς τὴν Ε∠ , οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ . ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠Ε , ὁ ΛΘΕ τομεύς πρὸς τὸν ΕΘ∠ τομέα . καὶ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ , τὸ δέ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ , διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεύς πρὸς τὸν ∠ΕΘ τομέα · τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ∠ΕΘ τομεύς . καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ Ε∠Θ τομεὺς πρὸς τὸ Ε∠Κ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ , πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ , τουτἐστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ , ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ , οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα , ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΕΚ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ αὐτὸς τομεύς πρὸς τὸν ΑΒΗ τομέα · μείζων ἄρα ὁ ΑΒΗ τομεὺς τοῦ ∠ΚΕ τριγράμμου . καὶ τὰ διπλάσια μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος .
Lemmas: 31 ὅς . οὗτος πρθγεγραμμένων ὁ πρόκειμαι θεμωρηφα συγκρινικὸν ὑπάρχω δείκνυμι οὕτως . ἔστω δύο τμῆμα κύκλος ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσος ἔχω ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιφέρεια , καί ἵστημι ἡμικύκλιον μέν ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ Ε∠Ζ πρότερος μικρός ἡμικύκλιον λέγω ὅτι μέγας εἰμί ὁ ἡμικόκλιον ὁ τμῆμα . λαμβάνω κέντρον ὁ κύκλος ὁ ὁ . Θ , καί ὀρθός μέν ὁ ΗΒ , ἀπό δέ ὁ Θ κάθετος ἐπί ὁ ∠Ζ ὁ ΘΚΕ , καί ὁ ∠Ζ παράλληλος ὁ ΛΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΘ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΛΕ περιφέρεια πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΛΘ εὐθύς πρός ὁ ΑΗ ( ὁ γάρ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ διάμετρος ) , ἴσος δέ ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ∠Ε , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΛΕ πιριφέρεια πρός ὁ Ε∠ , οὕτως ὁ ΛΘ πρός ὁ ΑΗ . ὡς δέ ὁ ΕΛ περιφέρεια πρός ὁ ∠Ε , ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ ΕΘ∠ τομεύς . καί ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΛΘ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΗ διπλασίων λόγος ὁ ὁ ΘΛ πρός ΗΑ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΛ πρός ὁ ἀπό ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ ΑΗΒ , διπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΛΕΘ τομεύς πρός ὁ ∠ΕΘ τομεύς · ὁ ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομεύς μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ∠ΕΘ τομεύς . καί ἐπεί ἔχω διά ὁ προδείκνυμι λῆμμα μείζων λόγος ὁ Ε∠Θ τομεύς πρός ὁ Ε∠Κ τρίγραμμος ἤ2 ὀρθός γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΛΘ , πρός ὁ ὑπό ∠ΘΕ , τουτέστιν ὅσπερ ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ ∠ΘΕ , ὡς δέ ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ ∠ΘΕ , οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεύς πρός ὁ ΑΗΒ τομεύς , ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεύς πρός ὁ ∠ΕΚ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ αὐτός τομεύς πρός ὁ ΑΒΗ τομεύς · μείζων ἄρα ὁ ΑΒΗ τομεύς ὁ ∠ΚΕ τρίγραμμος . καί ὁ διπλάσιος μείζων ἄρα ὁ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ὁ ∠ΕΖ τμῆμα .
pappus-mathematics.synagoge 4.32
32 ιή . Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ∠ΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον . Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν κλίουΘΕ , οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ ( ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ∠Ε περιφέρειαι ) . καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ , πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ , τουτέστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ , τουτέστιν ἤπερ ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ , ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ∠ΕΚ τριγράμμου . καὶ τὰ διπλάσια · μεῖζον ἔρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος · πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τάς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον .
Lemmas: 32 εἷς . ἔστω δή πάλιν ὁ ∠ΕΖ τμῆμα μείζων ἡμικύκλιον λέγω ὅτι καί οὕτως μέγας εἰμί ὁ ἡμικύκλιον . κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός . ὁμοίως δή δείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ κλιοκορυς , οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεύς πρός ὁ ΑΗΒ ( Ἴσαι γάρ ὁ ΑΒ ∠Ε περιφέρεια ) . καί ἐπεί διά ὁ πρό δύο λῆμμα μείζων λόγος ἔχω ὁ ∠ΘΕ τομεύς πρός ὁ ∠ΚΕ τρίγραμμος ἤ2 ὀρθός γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΛΘ , πρός ὁ ὑπό ∠ΘΕ , τουτέστιν ὅσπερ ὁ ΕΛΘ τομεύς πρός ὁ ∠ΘΕ , τουτέστιν ἤ2 ὁ ∠ΘΕ τομεύς πρός ὁ ΑΒΗ , εἰμί μείζων ὁ ΑΗΒ τομεύς ὁ ∠ΕΚ τρίγραμμος . καί ὁ διπλάσιος · μείζων ἄρα ὁ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ὁ ∠ΕΖ τμῆμα · πᾶς ἄρα ὁ ἴσος ἔχω ὁ περιφέρεια κυκλικός τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ἡμικύκλιον .
pappus-mathematics.synagoge 4.33
Περὶ τῶν στερεῶν . 33 τθ΄ . Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τό κάλλιστον , τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα . τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται , τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔδʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν , ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον , οὕτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος . φέρʼ οὖν , ὥρπερ ἐν τοῖς πρόσθεν εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων αὐτῷ τὴν περίμετρον τεταγμένων πολυγμώνων σχημάτων , καὶ νῦν τὴν σφαῖραν κατὰ τὸ ἀεόλουθον ἀποδεῖξαι πειραθῶμεν μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγμένων στερεῶν σχημάτων .
Lemmas: περι ὁ στερεός . 33 τθ΄ . ὁ πρῶτος καί δημιουργός ὁ πᾶς θεός ὁ φιλόσοφος φημί εἰκότως ὁ κόσμος σχῆμα περιτίθημι σφαιρικός ἐκλέγω ὁ εἰμί ὁ καλῶς , ὁ τε πρόσειμι ὁ σφαῖρα φυσικός σύμπτωμα λέγω ἔτι καί οὗτος προστίθημι ὅτι πᾶς ὁ στερεός σχῆμα ὁ ἴσος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ὁ σφαῖρα . ἄλλος μέν οὖν ὅσος πρόσειμι λέγω αὐτός πρόδηλος τε εἰμί καί παραμυθία μικρός δήω , ὁ δέ ὅτι μείζων εἰμί ὁ ἄλλος σχῆμα οὐδέ ὁ φιλόσοφος δείκνυμι , ἀλλά ἀποφαίνω μόνος , ἵημι παραμυθέομαι ῥᾴδιος ἄνευ θεωρία πλείων . φέρω οὖν , ὦρ ἐν ὁ πρόσθεν εὑρίσκω ὁ κύκλος μέγας εἰμί ὁ ἴσος ἔχω αὐτός ὁ περίμετρον τάσσω πολυγμώνων σχῆμα , καί νῦν ὁ σφαῖρα κατά ὁ ἀεόλουθον ἀποδείκνυμι πειράω μέγας εἰμί ὁ ἴσος ἐπιφάνεια ἔχω αὐτός τάσσω στερεός σχῆμα .
pappus-mathematics.synagoge 4.34
34 πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν κὐτῶν , πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν , ὀλίγα προδιαληψόμεθα · πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα , μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα . ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρά τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα , τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἔξάεδρον , ὀκτάεδρύν τε καὶ δωδεκάεδρον , πέμπτον δʼ εἶκοσάεδρον , ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων περιεχόμενα . τὸ μέν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγύνων δ΄ καὶ ἑξαγώνων δ΄ . τρία δέ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγμνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , τὸ δέ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄ . μετὰ δέ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγμώνοις ιη΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις β΄ , ἑξαγώνοις η΄ καὶ όκταγώνοις Ϛ΄ . μετὰ δέ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία , ὧν τὸ μέν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ πενταγώνεις ιβ΄ , τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις κʼ , τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄ . μετὰ δὲ ταῦτα ἓν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιὑπὸ τριγμώνων λβ΄ καὶ τετραγώνων Ϛ΄ . μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ κεὶ πενταγώνοις ιβ΄ , τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ΄ καὶ ἔξαγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄ . μετὰ δέ ταῦτα τελευῖόν ἐστιν δυοκατενενηκοντάεδρον , ὃ περιέχεται τριγώνοις π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄ .
Lemmas: 34 πρότερος δέ περί ὁ στερεός κύτος , πρός ὁ δεῖ συγκρίνω ὁ σφαῖρα , ὀλίγος προδιαλαμβάνω · πολύς γάρ ἐπινοέω δυνατός στερεός σχῆμα παντοῖος ἐπιφάνεια ἔχω , μᾶλλον δέ ἄν τις ἀξιόω λόγος ὁ τάσσω δοκέω . οὗτος δέ εἰμί οὖον μόνος ὁ παρά ὁ θεῖος Πλάτων πέντε σχῆμα , τουτέστιν τετράεδρος τε καί ἐξάεδρος , ὀκτάεδρος τε καί δωδεκάεδρον , πέμπτος δέ εἰκοσάεδρος , ἀλλά καί ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης εὑρίσκω τρεισκαίδεκα ὁ ἀριθμός ὑπό ἰσόπλευρος μέν καί ἰσογώνιος οὐ ὅμοιος δέ πολύγωνος περιέχω . ὁ μέν γάρ πρῶτος ὀκτάεδρος εἰμί περιέχω ὑπό τριγυνη Δ΄ καί ἑξάγωνος Δ΄ . τρεῖς δέ μετά οὗτος τεσσαρεσκαιδεκάεδρον , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τριγμνοις Η΄ καί τετράγωνος ς΄ , ὁ δέ δύο τετράγωνος ΣΤ΄ καί ἑξάγωνος Η΄ , ὁ δέ τρίτος τρίγωνος Η΄ καί ὀκτάγωνος ΣΤ΄ . μετά δέ οὗτος ἑκκαιεικοσάεδρον εἰμί δύο , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος Η΄ καί τετραγμώνοις ιη΄ , ὁ δέ δύο τετράγωνος Β΄ , ἑξάγωνος Η΄ καί ὀκτάγωνον ΣΤ΄ . μετά δέ οὗτος δυοκαιτριακοντάεδρος εἰμί τρεῖς , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος Κ΄ καί πεντάγωνος ἰβʹ , ὁ δέ δύο πεντάγωνος ἰβʹ καί ἑξάγωνος καί , ὁ δέ τρίτος τρίγωνος Κ΄ καί δεκάγωνος ἰβʹ . μετά δέ οὗτος εἷς εἰμί ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιέπω τριγμώνων λβ΄ καί τετράγωνος ΣΤ΄ . μετά δέ οὗτος δυοκαιεξηκοντάεδρος εἰμί δύο ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος Κ΄ καί τετράγωνος Λ΄ κύ πεντάγωνος ἰβʹ , ὁ δέ δύο τετράγωνος Λ΄ καί ἑξάγωνος Κ΄ καί δεκάγωνος ἰβʹ . μετά δέ οὗτος τελευῖόν εἰμί δυοκατενενηκοντάεδρον , ὅς περιέχω τρίγωνος Π΄ καί πεντάγωνος ἰβʹ .