pappus-mathematics.synagoge 4.46
46 κδ΄ ( ε΄ ) . Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα ὑποσαοῦν , ἀφ᾿ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν , ὡς καταγέγραπται · ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινύμεναι ἐπιφάνειαι κατά τὴν ὐμοίαν στρυρὴν ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ . Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διάμετρον . διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ Ξ∠ καὶ καθέτους τὰς ΓΑ ∠Κ , τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συνσμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ τοῦτο γὰρ β΄ θεωρήιματι προδέδεικται . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζ΄ θεωρημα · καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ . ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὖ ἡ ἐκ ταῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ , διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ∠Ο τῇ ΟΕ , ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Ε γινομένη ἐπιφανείᾳ . καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά . καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ AB ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ . κε΄ . Ἤ οὕτως τὸ αὐτό . ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ∠ΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον , καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ , καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθωσαν · γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν Γ∠ τῆς ΓΡ , ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον , καὶ διὰ τοῦτο Γ∠ μετὰ τῆς Γ∠Θ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ . ὑποτείνει δὲ τὴν Γ∠Θ ἡ , ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ ἔσται δὴ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ BΑΚ , ἵκον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ , καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠Κ ΕΛ καὶ τῆς ∠Ε . καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά . καὶ πάντα ἅρα πᾶσιν ἴσα καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε Ε∠ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐτιφανείαις .
Lemmas: 46 κδ΄ ( Ε΄ ) . διαιρέω δέ πάλιν ὁ ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια εἰς ἴσος ὑποσαίνω , ἀπό ὅς ἐφάπτω ἄγω , ὡς καταγράφω · ὅτι ὁ ὑπό ὁ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γίγνομαι ἐπιφάνεια κατά ὁ υμοεις στρυρὴν Ἴσαι εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ . κάθετος ἄγω ἀπό ὁ ∠ Ε Ζ ὁ ἐπί ὁ διάμετρος . διά δή ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΓΞ ὁ Ξ∠ καί κάθετος ὁ ΓΑ ∠Κ , ὁ ὑπό ΒΑΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό συνσμφοτερεω ὁ ΓΑ ∠Κ καί ὁ Γ∠ οὗτος γάρ Β΄ θεώρημα προδείκνυμι . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ Γ∠ γίγνομαι ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΓΑ ∠Κ καί ὁ Γ∠ διά ὁ αὐτός Ἀρχιμήδης ιζʹ θεώρημα · καί ὁ κύκλος ἄρα ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΒΑΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Γ∠ γίγνομαι ἐτιφανείᾳ . ὁμοίως δέ καί ὁ κύκλος οὖον ὁ ἐκ ταῦ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΒ ΚΛ , διά ὁ ἴσος εἰμί πάλιν ὁ ∠Ο ὁ ΟΕ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ∠Ε γίγνομαι ἐπιφάνεια . καί ἐπί ὁ ἑξῆς ὁ αὐτός . καί ὁ κύκλος ἄρα ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ AB ἴσος εἰμί ὁ ὑπό πᾶς ὁ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γίγνομαι ἐπιφάνεια . ἑ . ἤ οὕτως ὁ αὐτός . ἐγγράφω ὁ ΑΗΒ πολύγωνος εἰς ἕτερος ἡμικύκλιον περί ὁ αὐτός κέντρον , καί ἵστημι αὐτός διάμετρος ὁ ΡΣ , καί κάθετος ὁμοίως ἄγω · γίγνομαι δή διπλόος ὁ μέν Γ∠ ὁ ΓΡ , ὁ δέ ΗΘ ὁ ΘΣ διά ὁ πρόκειμαι , καί διά οὗτος Γ∠ μετά ὁ Γ∠Θ ἴσος εἰμί ὁ ΡΘΣ . ὑποτείνω δέ ὁ Γ∠Θ ὁ , ἐπί ὁ Γ Θ ἐπιζεύγνυμι ἴσος ὁ ΑΒ εἰμί δή διά ὁ Γ΄ θεώρημα ὁ ὑπό ΘΓ ΑΚ , τουτέστιν ὁ ὑπό BΑΚ , ἵκω ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΓΑ ∠Κ καί ὁ Γ∠ , καί ὁ ὑπό ΒΑ ΚΛ ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ∠Κ ΕΛ καί ὁ ∠Ε . καί ἐπί ὁ ἑξῆς ὁ αὐτός . καί πᾶς ἄρα πᾶς ἴσος καί ὁ κύκλος ἄρα ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Γ∠ ∠Ε Ε∠ ΖΗ ΗΘ γίγνομαι ετιφανεια .