pappus-mathematics.synagoge 4.2
2 τοῦτο δ᾿ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν . πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς , ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα . τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα ?? τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο , λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ?? ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια , τὰ δ᾿ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαι ?? ?? οὐκ ἤρεσεν . τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγων ?? καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοιρ ?? δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖο ?? τόπον , ἑτέρῳ δὲ τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον ?? ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ Ϛ΄ μὲν τριγώνα ?? ἰσοπλεύρων καὶ διὰ Ϛ΄ γωνιῶν , ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστ ?? ὀρθῆς , συμπληροῦται , τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ΄ ὀ ὁ ἡρ θῶν γωνιῶν , τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἐξαγώνου γ ?? νιῶν τριῶν , ὧν ἑκάστη α΄ γ΄΄ ἐστὶν ὀρθῆς . πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρώσαι τὸν περὶ τὸ α??ὐτὸ σημεῖον τόπον , ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα τρεῖς μὲν γὰρ τοῦ πενταγώνου γωνίαι δ΄ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν ( ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ ε ″ ἐστὶν ὀρθῆς ) , τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν . ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλήλοις παρακείμενα τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζονες ( ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων ) . ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος . ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημάτων τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον , τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξαγώνου , τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέλισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν , ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι .
Lemmas: 2 οὗτος δέ ὅτι κατά τις γεωμετρικός μηχανάομαι πρόνοια οὕτως εἄν μανθάνω . πάντως μέν γάρ οἴομαι δήω ὁ σχῆμα παρακειεπομαι τε ἀλλήλων καί κοινωνέω κατά ὁ πλευρά , ἵνα μή ὁ μεταξύ παραπλήρωμα ἐμπίπτω τις ἕτερος λυμαίνομαι αὐτός ὁ ἔργον . τρεῖς δέ σχῆμα εὐθύγραμμος ?? ὁ πρόκειμαι ἐπιτελέω δύναμαι , λέγω δέ τάσσω ὁ ?? ισόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὁ δέ ἀνόμοιος ὁ μέλισσα ?? ?? οὐ ἀρέσκω . ὁ μέν οὖν ἰσόπλευρος τρίγωνος καί τέτραξ ?? καί ὁ ἑξάγωνος Χωρὶς ἀνόμοιος παραπλήρωμα ἀλλήλων ?? δύναμαι παράκειμαι ὁ πλευρά κοινός ἔχω δύναμαι συμπληρόω ἐκ ἑαυτοῦ ὁ περί ὁ αὐτός σημείο ?? τόπος , ἕτερος δέ τάσσω σχῆμα οὗτος ποιέω ἀδύνατος ?? ὁ γάρ περί ὁ αὐτός σημεῖον τόπος ὑπό ΣΤ΄ μέν Τριγώνα ?? ἰσόπλευρος καί διά ΣΤ΄ γωνία , ὅς ἕκαστος δίμοιρος εἰμί ?? ὀρθός , συμπληρόω , τέσσαρες δέ τετράγωνος καί Δ΄ ὁ ὁ ἔαρ Θῶν γωνία , τρεῖς δέ ἑξάγωνος καί ἑξάγωνος γ ?? Νίων τρεῖς , ὅς ἕκαστος Α΄ γ΄΄ εἰμί ὀρθός . πεντάγωνος δέ ὁ τρεῖς μέν οὖον φθάνω συμπληρόω ὁ περί ὁ α??ὐτὸ σημεῖον τόπος , ὑπερβάλλω δέ ὁ τέσσαρες τρεῖς μέν γάρ ὁ πεντάγωνος γωνία Δ΄ ὀρθός ἐλαχύς εἰμί ( ἕκαστος γάρ γωνία εἷς καί ε ″ εἰμί ὀρθός ) , τέσσαρες δέ γωνία μείζων ὁ τέσσαρες ὀρθός . ἑπτάγωνος δέ οὐδέ τρεῖς περί ὁ αὐτός σημεῖον δύναμαι τίθημι κατά ὁ πλευρά ἀλλήλων παράκειμαι τρεῖς γάρ ἑπτάγωνος γωνία τέσσαρες ὀρθός μείζων ( ἕκαστος γάρ εἰμί εἷς ὀρθός καί τρεῖς ἕβδομος ) . ἔτι δέ μᾶλλον ἐπί ὁ πολύγωνος ὁ αὐτός ἐφαρμόζω δύναμαι λόγος . εἰμί δή οὖν τρεῖς σχῆμα ὁ ἐκ ἑαυτοῦ δύναμαι συμπληρόω ὁ περί ὁ αὐτός σημεῖον τόπος , τρίγωνος τε καί τετράγωνος καί ἑξάγωνος , ὁ πολύγωνος αἱρέω διά ὁ σοφία ὁ μέλισσα πρός ὁ παρασκευή , ἅτε καί πλείων ἑκάτερος ὁ λοιπός αὐτός χωρέω ὑπολαμβάνω μέλι .