ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 3.52
52 λδ΄ . Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γρσφομένης ἕλικος ἀναλύεσθαι τὸν ὅμοιον τρόπον . ἔστω γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν , καὶ ἐν ᾧ ἡ ΑΒ εὐθεῖα περὶ τὸ Β κινουμένη παροδεύει τὴν Α∠Γ περιφέρειαν , σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω θέσιν λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς ΑΒ , καὶ ποιείτω τὴν ΒΗΑ ἕλικα . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ , ἡ Α∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠ , καὶ ἐναλλάξ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς ∠Γ · ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΖΕ . ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΚΗ ἔση τῇ ΒΗ · ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ Κ . ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ ( ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρθῆς κεκλιμένη πρὸς τὸ ὑποκείμενον καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ Β ) · πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Κ . ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ ΛΚΙ , καὶ ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΛ ΕΙ · ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ ἡ ΛΚΙ ( φέρεται γὰρ διά τε τῆς ΒΛ εὐθείας θέσει οὔσης καὶ διὰ θέσει γραμμῆς πρὸς ᾗ τὸ Κ ) · καὶ τὸ Ι ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ . ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιπέδῳ ( ἴση γὰρ ἡ ΖΕ τῇ ΕΙ , ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ , καὶ γίνεται παρὰ θέσει ἡ ΖΙ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΓ ) · πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι , ὥστς καὶ τὸ Ε . καὶ δῆλον ὅτι , ἂν ὀρθὴ ἥ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία , ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γραμμή γίνεται .
Lemmas: 52 λδ΄ . δύναμαι δέ καί διά ὁ ἐν ἐπίπεδος γράφω ἕλιξ ἀναλύω ὁ ὅμοιος τρόπος . ἵστημι γάρ ὁ ὁ ΕΖ πρός ὁ ∠Γ περιφέρεια λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ Α∠Γ περιφέρεια , καί ἐν ὅς ὁ ΑΒ εὐθύς περί ὁ Β κινέω παροδεύω ὁ Α∠Γ περιφέρεια , σημεῖον ἐπί αὐτός ἄρχω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β παραγίγνομαι θέσις λαμβάνω ὁ ΓΒ ὁ ΑΒ , καί ποιέω ὁ ΒΗΑ ἕλιξ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΗ , ὁ Α∠Γ περιφέρεια πρός ὁ Γ∠ , καί ἐναλλάξ . ἀλλά καί ὁ ΕΖ πρός ∠Γ · ἴσος ἄρα ὁ ΒΗ ὁ ΖΕ . ἄγω ὁ ἐπίπεδος ὀρθός ὁ ΚΗ σέω ὁ ΒΗ · ἐν κυλινδροειδής ἄρα ἐπιφάνεια ὁ ἀπό ὁ ἕλιξ ὁ Κ . ἀλλά καί ἐν κωνικός ( ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΚ ἐν κωνικός γίγνομαι ἐπιφάνεια ἥμισυς ὀρθός κλίνω πρός ὁ ὑπόκειμαι καί ἄγω διά δίδωμι ὁ Β ) · πρός γραμμή ἄρα ὁ Κ . ἄγω διά ὁ Κ ὁ ΕΒ παράλληλος ὁ ΛΙ , καί ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ὁ ΒΛ ΕΙ · ἐν πλεκτοειδής ἄρα ἐπιφάνεια ὁ ΛΙ ( φέρω γάρ διά τε ὁ ΒΛ εὐθύς θέσις εἰμί καί διά θέσις γραμμή πρός ὅς ὁ Κ ) · καί ὁ Ι ἄρα ἐν ἐπιφάνεια . ἀλλά καί ἐν ἐπίπεδος ( ἴσος γάρ ὁ ΖΕ ὁ ΕΙ , ἐπεί καί ὁ ΒΗ , καί γίγνομαι παρά θέσις ὁ ΖΙ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΒΓ ) · πρός γραμμή ἄρα ὁ Ι , ὅς καί ὁ Ε . καί δῆλος ὅτι , εἄν ὀρθός ὅς ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία , ὁ προερέω τετραγωνίζω γραμμή γίγνομαι .
pappus-mathematics.synagoge 3.53
53 λε΄ . Ὥσπερ ἐν ἐπιπέδῳ νοεῖται γινομένη τις ἕλιξ φερομένου σημείου κατʼ εὐθείας κύκλον περιγραφούσης , καὶ ἐπὶ στερεῶν φερομένου σημείου κατά μιᾶς πλευράς τινʼ ἐπιφάνειαν περιγραφούσης , οὕτως δέ καὶ ἐπὶ σφαίρας ἕλικα νοεῖν ἀκόλουθόν ἐστι γραφομένην τὸν τρόπον τοῦτον .
Lemmas: 53 ὅς . ὥσπερ ἐν ἐπίπεδος νοέω γίγνομαι τις ἕλιξ φέρω σημεῖον κατά εὐθύς κύκλος περιγράφω , καί ἐπί στερεός φέρω σημεῖον κατά εἷς πλευρά τις ἐπιφάνεια περιγράφω , οὕτως δέ καί ἐπί σφαῖρα ἕλιξ νοέω ἀκόλουθος εἰμί γράφω ὁ τρόπος οὗτος .
pappus-mathematics.synagoge 3.54
54 Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΚΛΜ περὶ πόλον τὸ Θ σημεῖον , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ μεγίστου κύκλου τεταρτημύριον γεγράφθω τὸ ΘΝΚ , καὶ ἡ μέν ΘΝΚ περιφέρεια , περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς ἐπὶ τὰ Λ Μ μέρη , ἀποκαθιστάσθω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό , σημεῖον δέ τι φερόμενον ἐπʼ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ παραγινέσθω · γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα , οἳα ἐστὶν ἡ ΘΟΙΚ , καὶ ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγίστου κύκλου περιφέρεια , πρὸς τὴν ΚΛ περιφέρειαν λόγον ἔχει ὃν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ0 · λέγω δὴ ὅτι , ἄν ἐκτεθῇ τεταρτημύριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ , καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΓΑ , γίνεται ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος καὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν , οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς πρὸς τύ ΑΒΓ τμῆμα . Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΑΕΖ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τομεὺς τῷ ΑΕΖΓ ( διπλασία μὲν γὰρ ἡ πρὸς τῷ ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ , ἥμισυ δέ τὸ ἀπὸ ∠Α τοῦ ἀπὺ ΑΓ ) · ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας , οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεύς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα .
Lemmas: 54 ἔστω ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΚΛΜ περί πόλος ὁ Θ σημεῖον , καί ἀπό ὁ Θ μέγας κύκλος τεταρτημύριον γράφω ὁ ΘΝΚ , καί ὁ μέν ΘΝΚ περιφέρεια , περί ὁ Θ μένω φέρω κατά ὁ ἐπιφάνεια ὡς ἐπί ὁ Λ Μ μέρος , ἀποκαθίστημι πάλιν ἐπί ὁ αὐτός , σημεῖον δέ τίς φέρω ἐπί αὐτός ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Κ παραγίγνομαι · γράφω δή τις ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ἕλιξ , οἷος εἰμί ὁ ΟΘ , καί ὅστις εἄν ἀπό ὁ Θ γράφω μέγας κύκλος περιφέρεια , πρός ὁ ΚΛ περιφέρεια λόγος ἔχω ὅς ὁ ΛΘ πρός ὁ Θ0 · λέγω δή ὅτι , ἄν ἐκτίθημι τεταρτημύριον ὁ μέγας ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , γίγνομαι ὡς ὁ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια πρός ὁ μεταξύ ὁ ΟΘ ἕλιξ καί ὁ ΚΝΘ περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἐπιφάνεια , οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς πρός ὅς ΑΒΓ τμῆμα . ἄγω γάρ ἐφάπτω ὁ περιφέρεια ὁ ΓΖ , καί περί κέντρον ὁ Γ διά ὁ Α γράφω περιφέρεια ὁ ΑΕΖ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς ὁ ΑΕΖΓ ( διπλάσιος μέν γάρ ὁ πρός ὁ ∠ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΖ , ἥμισυς δέ ὁ ἀπό ∠Α ὁ ἀπύ ΑΓ ) · ὅτι ἄρα καί ὡς ὁ εἴρω ἐπιφάνεια πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεύς πρός ὁ ΑΒΓ τμῆμα .
pappus-mathematics.synagoge 3.55
55 ἔστω , ὃ μέρος ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ὅλης τοῦ κύκλου περιφερείας , καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ , καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΕΓ · ἔσται δὴ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος . ὃ δέ μέρος ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας , τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ ΑΒΓ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΒΓ . γεγράφθω περὶ πόλον τὸν Θ διὰ τοῦ Ο περιφίρεια ἡ ΝΟ , καὶ διὰ τοῦ B περὶ τὸ Γ · κέντρον ἡ ΒΗ . ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΛΚΘ σφαιρικὴ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΟΘΝ , ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ Θ0 , ὡς δʼ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν , οὕτως ἐστὶν τύ ἀπὸ τῆς τὰ Θ Λ ἐπιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ Ο , ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ΚΛΘ τομεύς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ πρὸς τὸν ΟΘΝ , οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΗΓ . ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ ὡς πάντες οἱ ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΚΛΘ , οἳ εἰσιν ἡ ὕλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια , πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὴν ἕλικα τομέας ὁμοταγεῖς τῷ ΟΘΝ , οὕτως πάντες οἱ ἐν τῷ ΑΖΓ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΕΖΓ , τουτέστιν ὅλος ὁ ΑΖΓ τομεύς , πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τούς ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ . τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιράνεια πρὸς τούς ἐγγραφομένους τῇ ἕλικι τομέας , οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς πρὸς τοῖς ἐγγραρομένους τῷ ΑΒΓ τμήματι τομέας , ὥστε καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ὑπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν , οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς , τουτέστιν τὸ ΑΒΗ∠ τεταρτημόριον , πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα .
Lemmas: 55 ἵστημι , ὅς μέρος ὁ ΚΛ περιφέρεια ὁ ὅλος ὁ κύκλος περιφέρεια , καί ὁ αὐτός μέρος περιφέρεια ὁ ΖΕ ὁ Γῆ , καί ἐτεζεύχθω ὁ ΕΓ · εἰμί δή καί ὁ ΒΓ ὁ ΑΒΓ ὁ αὐτός μέρος . ὅς δέ μέρος ὁ ΚΛ ὁ ὅλος περιφέρεια , ὁ αὐτός καί ὁ ὁ ὁ Θολ . καί εἰμί ἴσος ὁ Θολ ὁ ΑΒΓ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὁ ὁ ΒΓ . γράφω περί πόλος ὁ Θ διά ὁ ὁ περιφίρεια ὁ ΝΟ , καί διά ὁ B περί ὁ Γ · κέντρον ὁ ΒΗ . ἐπεί οὖν ὡς ὁ ΛΚΘ σφαιρικός ἐπιφάνεια πρός ὁ ΟΘ , ὁ ὅλος ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια πρός ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια ὅς ὁ ἐκ ὁ πόλος εἰμί ὁ Θ0 , ὡς δέ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια πρός ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια , οὕτως εἰμί ὅς ἀπό ὁ ὁ Θ Λ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Θ ὁ , ἢ ὁ ἀπό ὁ ΕΓ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΚΛΘ τομεύς ἐν ὁ ἐπιφάνεια πρός ὁ ΟΘ , οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεύς πρός ὁ ΒΗΓ . ὁμοίως δείκνυμι ὅτι καί ὡς πᾶς ὁ ἐν ὁ ἡμισφαίριον τομεύς ὁ ἴσος ὁ ΚΛΘ , ἕ εἰμί ὁ ὕλη ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια , πρός ὁ περιγράφω περί ὁ ἕλιξ τομεύς ὁμοταγής ὁ ΟΘ , οὕτως πᾶς ὁ ἐν ὁ ΑΖΓ τομεύς ὁ ἴσος ὁ ΕΖΓ , τουτέστιν ὅλος ὁ ΑΖΓ τομεύς , πρός ὁ περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ὁμοταγής ὁ ΓΒΗ . ὁ δέ αὐτός τρόπος δείκνυμι καί ὡς ὁ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιράνεια πρός ὁ ἐγγράφω ὁ ἕλιξ τομεύς , οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς πρός ὁ ἐγγράφω ὁ ΑΒΓ τμῆμα τομεύς , ὥστε καί ὡς ὁ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια πρός ὁ ὑπό ὁ ἕλιξ ἀπολαμβάνω ἐπιφάνεια , οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς , τουτέστιν ὁ ΑΒΗ∠ τεταρτημόριον , πρός ὁ ΑΒΓ τμῆμα .
pappus-mathematics.synagoge 3.56
56 συνάγεται δέ διὸ τούτου ἡ μὲν ἀπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένη ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΘΝΚ περιφέρειαν ὀκταπλασία τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐπεὶ καὶ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ∠ τομέως ) , ἡ δὲ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς βάσεως τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια ὀκταπλασία τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου , τουτἐστιν ἴση τῷ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας τετραγώνῳ .
Lemmas: 56 συνάγω δέ διό οὗτος ὁ μέν ἀπό ὁ ἕλιξ ἀπολαμβάνω ἐπιφάνεια πρός ὁ ΘΝΚ περιφέρεια ὀκταπλάσιος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἐπεί καί ὁ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς ) , ὁ δέ μεταξύ ὁ ἕλιξ καί ὁ βάσις ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια ὀκταπλάσιος ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος , τουτέστιν ἴσος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα τετράγωνος .
pappus-mathematics.synagoge 3.57
57 λς΄ . Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον εἰς τρία ἴσα τεμεῖν οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι θελήσαντες ἠπόρησαν διʼ αἰτίαν τοιαύτην . τρία γένη φαμὲν εἶναι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων , καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι , τὰ δὲ στερεά , τὰ δέ γραμμικά , τά μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτʼ ἂν εἰκότως ἐπίπεδα καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν εὑρίσκεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ . ὅσα δέ λύεται προβλήματα παραλαμβανομένης εἷς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ καὶ πλειόνων , στερεά ταῦτα κέκληται · πρὸς γάρ τὴν κατασκευὴν χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις , λέγω δέ ταῖς κωνικαῖς , ἀναγκαῖον . τρίτον δέ τι προβλημάτων ὑπολείπεται γένος τὸ καλούμενον γρσμμικόν · γραμμαὶ γάρ ἕτεραι παρά τάς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν ἔχουσαι τὴν γένεσιν καὶ βεβιασμένην μᾶλλον , ἐξ ἀτακτοτέρων ἐπιφανειῶν καὶ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι .
Lemmas: 57 λς΄ . ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος εἰς τρεῖς ἴσος τέμνω ὁ παλαιός γεωμέτρης ἐθέλω ἀπορέω διά αἴτιος τοιοῦτος . τρεῖς γένος φημί εἰμί ὁ ἐν γεωμετρία πρόβλημα , καί ὁ μέν αὐτός ἐπίπεδος καλέω , ὁ δέ στερεός , ὁ δέ γραμμικός , ὁ μέν οὖν διά εὐθύς καί κύκλος περιφέρεια δύναμαι λύω λέγω εἄν εἰκότως ἐπίπεδος καί γάρ ὁ γραμμή διά ὅς εὑρίσκω ὁ τοιοῦτος πρόβλημα ὁ γένεσις ἔχω ἐν ἐπίπεδος . ὅσος δέ λύω πρόβλημα παραλαμβάνω εἷς ὁ εὕρεσις εἷς ὁ ὁ κῶνος τομή ἢ καί πλείων , στερεός οὗτος καλέω · πρός γάρ ὁ κατασκευή χράω στερεός σχῆμα ἐπιφάνεια , λέγω δέ ὁ κωνικός , ἀναγκαῖος . τρίτος δέ τίς πρόβλημα ὑπολείπω γένος ὁ καλέω γρσμμικόν · γραμμή γάρ ἕτερος παρά ὁ εἴρω εἰς ὁ κατασκευή λαμβάνω ποικίλος ἔχω ὁ γένεσις καί βεβιασμένος μᾶλλον , ἐκ ἄτακτος ἐπιφάνεια καί κίνησις ἐπιπλέκω γεννάω .
pappus-mathematics.synagoge 3.58
58 τοιαῦται δέ εἶσιν αἵ τε ἐν τοῖς πρὸς ἐπιφανείαις καλουμένοις τόποις εὑρισκόμεναι γραμμαὶ ἕτεραί τε τούτων ποικιλώτεραι καί πολλαὶ τὸ πλῆθος ὑπὸ Δημητρίου τοῦ Ἀλεξανδρέως ἐν ταῖς γραμμικαῖς ἐπιστάσεσι καὶ Φίλωνος τοῦ Τυανέως ἐξ ἐπιπλοκῆς πλεκτοειδῶν τε καὶ ἑτέρων παντοίων ἐπιφανειῶν εὑρισκόμεναι πολλὰ καὶ θαυμαστὰ συμπτώματα περὶ αὐτάς ἔχουσαι . καί τινες αὐτῶν ὑπὸ τῶν νεωτέρων ἠξιώθησαν λόγου πλείονος , μία δέ τις ἐξ οὐτῶν ἐστιν ἡ καὶ παράδοξος ὑπὸ τοῦ Μενελάου κληθεῖσα γραμμή . τοῦ δὲ αὐτοῦ γένους ἕτεραι ἕλικές εἰσιν τετραγωνίζουσαί τε καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειμδεῖς .
Lemmas: 58 τοιοῦτος δέ εἶμι ὁ τε ἐν ὁ πρός ἐπιφάνεια καλέω τόπος εὑρίσκω γραμμή ἕτερος τε οὗτος ποικίλος καί πολύς ὁ πλῆθος ὑπό Δημήτριος ὁ Ἀλεξανδρεύς ἐν ὁ γραμμικός ἐπίστασις καί Φίλων ὁ Τυανεύς ἐκ ἐπιπλοκή πλεκτοειδής τε καί ἕτερος παντοῖος ἐπιφάνεια εὑρίσκω πολύς καί θαυμαστός σύμπτωμα περί αὐτός ἔχω . καί τις αὐτός ὑπό ὁ νέος ἀξιόω λόγος πλείων , εἷς δέ τις ἐκ οὐτάω εἰμί ὁ καί παράδοξος ὑπό ὁ Μενέλαος καλέω γραμμή . ὁ δέ αὐτός γένος ἕτερος ἕλιξ εἰμί τετραγωνίζω τε καί κοχλοειδής καί κισσοειμδεῖς .
pappus-mathematics.synagoge 3.59
59 δοκεῖ δέ πως ἁμάρτημα τὸ τοιοῦτον οὐ μικρὸν εἶναι τοῖς γεωμέτραις , ὅταν ἐπίπεδον πρόβλημα διὰ τῶν κωνικῶν ἢ τῶν γραμμικῶν ὑπό τινος εὑρίσκηται , καὶ τὸ σύνολον ὅταν ἐξ ἀνοικείου λύηται γένους , οἷόν ἐστιν τὸ ἐν τῷ πέμπτῳ τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐπὶ τῆς παραβολῆς πρόβλημα καὶ ἡ ἐν τῷ περὶ τῆς ἕλικος ὑπὸ Ἀρχιμήδους λαμβανομένη στερεοῦ νεῦσις ἐπὶ κύκλον μηδενὶ γάρ προσχρμώμενον στερεῷ δυνατὸν εὑρεῖν τὸ ὑπʼ αὐτοῦ γραφόμενον θεώρημα , λέγω δὴ τὸ τὴν περιφέρειαν τοῦ ἐν τῇ πρώτῃ περιφορά κύκλου ἴσην ἀποδεῖξαι τῇ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένῃ εὐθείᾳ τῇ ἐκ τῆς γενέσεως ἕως τῆς ἐφαπτομένης τῆς ἕλικος . τοιαύτης δή τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων ὑπαρχούσης οἱ πρότεροι γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῆς γωνίας πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον διὰ τῶν ἐπιπέδων ζητοῦντες οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν εὑρίσκειν · οὐδέπω γὰρ αἱ τοῦ κύνου τομαὶ συνήθεις ἦσαν αὐτοῖς , καὶ διὰ τοῦτο ἠπόρησαν · ὕστερον μέντοι διὰ τῶν κωνικῶν ἐτριχοτόμησαν τὴν γωνίαν εἰς τὴν εὕρεσιν χρησάμενοι τῇ ὑπογεγραμμένῃ νεύσει .
Lemmas: 59 δοκέω δέ πως ἁμάρτημα ὁ τοιοῦτος οὖον μικρός εἰμί ὁ γεωμέτρης , ὅταν ἐπίπεδος πρόβλημα διά ὁ κωνικός ἢ ὁ γραμμικός ὑπό τις εὑρίσκω , καί ὁ σύνολον ὅταν ἐκ ἀνοίκειος λύω γένος , οἷος εἰμί ὁ ἐν ὁ πέμπτος ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός ἐπί ὁ παραβολή πρόβλημα καί ὁ ἐν ὁ περί ὁ ἕλιξ ὑπό Ἀρχιμήδης λαμβάνω στερεός νεῦσις ἐπί κύκλος μηδείς γάρ προσχράομαι στερεός δυνατός εὑρίσκω ὁ ὑπό αὐτός γράφω θεώρημα , λέγω δή ὁ ὁ περιφέρεια ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά κύκλος ἴσος ἀποδείκνυμι ὁ πρός ὀρθός ἄγω εὐθύς ὁ ἐκ ὁ γένεσις ἠώς ὁ ἐφάπτω ὁ ἕλιξ . τοιοῦτος δή ὁ διαφορά ὁ πρόβλημα ὑπάρχω ὁ πρότερος γεωμέτρης ὁ προερέω ἐπί ὁ γωνία πρόβλημα ὁ φύσις στερεός ὑπάρχω διά ὁ ἐπίπεδος ζητέω οὐ οἷος τε εἰμί εὑρίσκω · οὐδέπω γάρ ὁ ὁ Κῦνος τομή συνήθης εἰμί αὐτός , καί διά οὗτος ἀπορέω · ὕστερος μέντοι διά ὁ κωνικός τριχοτομώ ὁ γωνία εἰς ὁ εὕρεσις χράω ὁ ὑπογράφω νέος .
pappus-mathematics.synagoge 3.60
60 Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΓ , δέον ἔστω διαγαγόντα τὴν ΑΕ ποιεῖν τὴν ΕΖ εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ . Γεγονέτω , καὶ ταῖς ΕΖ Ε∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠Η ΗΖ . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΖΕ καὶ ἔστιν ἴση τῇ ∠Η , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Η . καὶ δοθέν τὸ ∠ · τὸ Η ἄρα πρὸς θέσει κύκλου περιψερείᾳ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ∠ δοθέν καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΖ Ε∠ δοθὲν ὥρα καὶ τύ ὑπὸ ΒΖ Ε∠ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ · τὸ Η ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ . ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει κύκλου περιφερείᾳ · δοθὲν ἄρα τὸ Η .
Lemmas: 60 παραλληλόγραμμος δίδωμι ὀρθογώνιος ὁ ΑΒΓ∠ καί ἐκβάλλω ὁ ΒΓ , δήω ἵστημι διάγω ὁ ΑΕ ποιέω ὁ ΕΖ εὐθύς ἴσος ὁ δίδωμι . γίγνομαι , καί ὁ ΕΖ Ε∠ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Η ΗΖ . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ΖΕ καί εἰμί ἴσος ὁ ∠Η , δίδωμι ἄρα καί ὁ ∠Η . καί δίδωμι ὁ ∠ · ὁ ὁ ἄρα πρός θέσις κύκλος περιψερείᾳ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΒΓ∠ δίδωμι καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΒΖ Ε∠ δίδωμι ὥρα καί ὅς ὑπό ΒΖ Ε∠ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΒΖΗ · ὁ ὁ ἄρα πρός ὑπερβολή . ἀλλά καί πρός θέσις κύκλος περιφέρεια · δίδωμι ἄρα ὁ ὁ .
pappus-mathematics.synagoge 3.61
61 λζ΄ . Συντεθήσεται δή τὸ πρόβλημα οὕτως . ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓ∠ , ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα τῷ μεγέθει ἡ Μ , καὶ ἵση αὐτῇ ἔστω ∠Κ , καὶ γεγράφθω διὰ μέν τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολή ἡ ∠ΗΘ ( τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν ) , διὰ δὲ τοῦ Κ περὶ κέντρον τὸ ∠ κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν ὑπερβολὴν κατὰ τὸ Η , καὶ τῇ ∠Γ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΗΖ ἐπεζεύχθω ΖΑ λέγω ὅτι ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶν τῇ M . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ τῇ ΚΑ παράλληλος ἥχθω ἡ ΗΛ . τὸ ἔρα ὑπὸ ΖΗΛ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ , ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Γ∠Α , τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ Γ∠ . ἔσειν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ , τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΖΗ · ἡ ἄρα Ε∠ ἴση τῇ ΖΗ · παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ∠ΕΖΗ · ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ∠Η , τουτέστιν τῇ ∠Κ , τουτέστιν τῇ M .
Lemmas: 61 λζ΄ . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως . ἵστημι ὁ δίδωμι παραλληλόγραμμμον ὁ ΑΒΓ∠ , ὁ δέ δίδωμι εὐθύς ὁ μέγεθος ὁ Μ , καί ἴσος αὐτός ἵστημι ∠Κ , καί γράφω διά μέν ὁ ∠ περί ἀσύμπτωτος ὁ ΑΒΓ ὑπερβολή ὁ ∠ΗΘ ( οὗτος γάρ ἑξῆς ἀποδείκνυμι ) , διά δέ ὁ Κ περί κέντρον ὁ ∠ κύκλος περιφέρεια ὁ ΚΗ τέμνω ὁ ὑπερβολή κατά ὁ ὁ , καί ὁ ∠Γ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΖ ἐπιζεύγνυμι Γῆ λέγω ὅτι ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ M . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ Η∠ καί ὁ ΚΑ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΛ . ὁ ἄρα ὑπό ΖΗ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΒΖΗ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Γ∠Α , τουτέστιν ὁ ὑπό ΒΓ Γ∠ . ἕννυμι ἄρα ὡς ὁ ΖΒ πρός ΒΓ , τουτέστιν ὡς ὁ Γ∠ πρός ∠Ε , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ΖΗ · ὁ ἄρα Ε∠ ἴσος ὁ ΖΗ · παραλληλόγραμμος ἄρα ὁ ∠ΕΖΗ · ἴσος ἄρα ὁ ΕΖ ὁ ∠Η , τουτέστιν ὁ ∠Κ , τουτέστιν ὁ M .
pappus-mathematics.synagoge 3.62
62 λη΄ . Δεδειγμένου δή τούτου τρίχα τέμνεται ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος οὕτως . Ἔστω γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ , καὶ ἀπό τινος σημείου κάθετος ἡ ΑΓ , καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ΓΖ παραλληλογράμμου ἡ ΖΑ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ παραλληλογράμμου ὄντος ὀρθογωνίου τοῦ ΓΖ κείσθω μεταξὺ τῶν ΕΑΓ εὐθεῖα ἡ Ε∠ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ἴση τῇ διπλασίᾳ τῆς ΑΒ ( τοῦτο γάρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι προγέγραπται ) · λέγω δὴ ὅτι τῆς δοθείσης γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΒΓ τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ . Τετμήσθω γὰρ ἡ Ε∠ δίχα τῷ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ∠Η ΗΑ ΗΕ ἴσαι εἰσίν · διπλῆ ἄρα ἡ ∠Ε τῆς ΑΗ . ἀλλὰ καὶ τῆς ΑΒ διπλῆ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΑΗ , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗ∠ . ἡ δὲ ὑπὸ ΑΗ∠ διπλασία τῆς ὑπὸ ΑΕ∠ , τουτέστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ . καὶ ἐὰν τὴν ὑπὸ ΑΒ∠ δίχα τέμωμεν , ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα τετμημένη .
Lemmas: 62 ὅλος . δείκνυμι δή οὗτος θρίξ τέμνω ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος οὕτως . ἔστω γάρ ὀξύς πρότερος ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί ἀπό τις σημεῖον κάθετος ὁ ΑΓ , καί συμπληρόω ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος ὁ Γῆ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ε , καί παραλληλόγραμμος εἰμί ὀρθογώνιος ὁ ΓΖ κεῖμαι μεταξύ ὁ ΕΑΓ εὐθύς ὁ Ε∠ νεύω ἐπί ὁ Β ἴσος ὁ διπλάσιος ὁ ΑΒ ( οὗτος γάρ ὡς δυνατός γίγνομαι προγράφω ) · λέγω δή ὅτι ὁ δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΓ . τέμνω γάρ ὁ Ε∠ δίχα ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ∠Η ΗΑ ΗΕ Ἴσαι εἰμί · διπλόος ἄρα ὁ ∠Ε ὁ ΑΗ . ἀλλά καί ὁ ΑΒ διπλόος ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΑΗ , καί ὁ ὑπό ΑΒ∠ γωνία ὁ ὑπό ΑΗ∠ . ὁ δέ ὑπό ΑΗ∠ διπλάσιος ὁ ὑπό ΑΕ∠ , τουτέστιν ὁ ὑπό ∠ΒΓ · καί ὁ ὑπό ΑΒ∠ ἄρα διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΒΓ . καί ἐάν ὁ ὑπό ΑΒ∠ δίχα τέμνω , εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία θρίξ τέμνω .
pappus-mathematics.synagoge 3.63
63 λθ΄ . Ἐὰν δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία ὀρθὴ τυγχάνῃ , ἀπολαβόντες τινὰ τὴν ΒΓ ἰσόπλευρον ἐπʼ αὐτῆς γράψομεν τὸ Β∠Γ , καὶ τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ γωνίαν δίχα τεμόντες ἕξομεν τρίχα τετμημένην τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν .
Lemmas: 63 λθ΄ . ἐάν δέ ὁ δίδωμι γωνία ὀρθός τυγχάνω , ἀπολαμβάνω τις ὁ ΒΓ ἰσόπλευρος ἐπί αὐτός γράφω ὁ Β∠Γ , καί ὁ ὑπό ∠ΒΓ γωνία δίχα τέμνω ἔχω θρίξ τέμνω ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία .
pappus-mathematics.synagoge 3.64
64 μ΄ . Εσιω δὲ ἀμβλεῖα ἡ γωνία καὶ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠ , καὶ τῆς μὲν ὑπὸ ∠ΒΓ τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ , τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒ∠ ὀξείας γωνίας τρίτον ἡ ὑπὸ ΕΒ∠ ( ταῦτα γὰρ ἡμῖν προδέδεικται ) · καὶ ὅλης ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΖ . ἐὰν δὲ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ ἴσην συστησόμεθα προς ἑκατέραν τῶν ΑΒΓ , τρίχα τεμοῦμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν .
Lemmas: 64 Μ΄ . σείω δέ ἀμβλύς ὁ γωνία καί ὁ ΓΒ πρός ὀρθός ὁ Β∠ , καί ὁ μέν ὑπό ∠ΒΓ τρίτος ἀπολαμβάνω μέρος ὁ ὑπό ∠ΒΖ , ὁ δέ ὑπό ΑΒ∠ ὀξύς γωνία τρίτος ὁ ὑπό ΕΒ∠ ( οὗτος γάρ ἐγώ προδείκνυμι ) · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΖ . ἐάν δέ ὁ ὑπό ΕΒΖ ἴσος συνίστημι προς ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ , θρίξ τέμνω ὁ δίδωμι γωνία .
pappus-mathematics.synagoge 3.65
65 μα΄ . Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν . θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοθέντος σημείου τοῦ ∠ γράψαι διὰ τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολήν . Γεγονέτω , καὶ γεγράφθω ἡ Ε∠Ζ , καὶ ἤχθω ἀπὸ ποῦ ∠ ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ Α∠Γ , καὶ διάμετρος ἡ ΗΒ∠ , καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ . θέσει ἄρα αἱ Η∠ ∠Θ , καὶ δοθὲν τὸ Θ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒΓ τῆς ὑπερβολῆς , καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ , ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ , καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας αὑτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστίν τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους . ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται . ἐπεὶ οὖν ἴκη ἡ Γ∠ τῇ ∠Α , ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ . καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΘ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΑ . καὶ δοθὲν τὸ Θ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α · θέσει ἄρα ἡ Α∠Γ . καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἡ ΑΓ , ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ δοθέν ἐστιν . καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ Η∠ εἴδει . δοθέν ἄρα καὶ τύ πρὸς τῇ Η∠ εἶδος . καὶ δοθεῖσα ἡ Η∠ ( διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Β∠ τῷ μεγέθει δεδομένης διὰ τὸ δοθέν ἑκάτερον εἶναι τῶν Β Δ ) · δοθεῖσα ἔρα καὶ ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά . γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον · θέσει καὶ μεγέθει δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῆς τε Η∠ καὶ τῆς ὀρθίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν Η∠ ὑπερβολήν , ἧς παρʼ ἣν δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐθεῖα , καὶ αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν Η∠ παράλληλοι ἔσονται θέσει τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΓ . τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ τῶν κωνικῶν .
Lemmas: 65 ὅς . ὁ δέ ὑπερτίθημι πρόβλημα νῦν ἀναλύω . θέσις εἰμί δύο εὐθύς ὁ ΑΒΓ καί δίδωμι σημεῖον ὁ ∠ γράφω διά ὁ ∠ περί ἀσύμπτωτος ὁ ΑΒΓ ὑπερβολή . γίγνομαι , καί γράφω ὁ Ε∠Ζ , καί ἄγω ἀπό ποῦ ∠ ἐφάπτω αὐτός ὁ Α∠Γ , καί διάμετρος ὁ ΗΒ∠ , καί ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ ∠Θ . θέσις ἄρα ὁ Η∠ ∠Θ , καί δίδωμι ὁ Θ . καί ἐπεί ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ΑΒΓ ὁ ὑπερβολή , καί ἐφάπτω ὁ ΑΓ , ἴσος ἄρα ὁ Α∠ ὁ ∠Γ , καί ὁ ἀπό ἑκάτερος ἑαυτοῦ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τέταρτος ὁ πρός ὁ Η∠ εἶδος . οὗτος γάρ ἐν ὁ δύο ὁ κωνικός ἀποδείκνυμι . ἐπεί οὖν ἱκνέομαι ὁ Γ∠ ὁ ∠Α , ἴσος καί ὁ ΒΘ ὁ ΘΑ . καί δίδωμι ὁ ΒΘ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΘΑ . καί δίδωμι ὁ Θ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Α · θέσις ἄρα ὁ Α∠Γ . καί δίδωμι ὁ μέγεθος ὁ ΑΓ , ὥστε καί ὁ ἀπό ΑΓ δίδωμι εἰμί . καί εἰμί ἴσος ὁ πρός ὁ Η∠ εἶδος . δίδωμι ἄρα καί ὅς πρός ὁ Η∠ εἶδος . καί δίδωμι ὁ Η∠ ( διπλόος γάρ εἰμί ὁ Β∠ ὁ μέγεθος δίδωμι διά ὁ δίδωμι ἑκάτερος εἰμί ὁ Β δ ) · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὄρθιος ὁ εἶδος πλευρά . γίγνομαι δή πρόβλημα τοιοῦτος · θέσις καί μέγεθος δύο δίδωμι εὐθύς ὁ τε Η∠ καί ὁ ὀρθίαξ γράφω περί διάμετρος ὁ Η∠ ὑπερβολή , ὅς παρά ὅς δύναμαι εἰμί ὁ λοιπός εὐθύς , καί ὁ κατάγω τεταγμένως ἐπί ὁ Η∠ παράλληλος εἰμί θέσις τις εὐθύς ὁ ΑΓ . οὗτος δέ ἀναλύω ἐν ὁ πρῶτος ὁ κωνικός .
pappus-mathematics.synagoge 3.66
66 μβ΄ . Συντεθήσεται δὴ οὕτως . ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ ∠ , καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Θ , τῇ δὲ ΒΘ ἴση ἡ ΘΑ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ , ἐπιζευχθεῖσα δέ καὶ ἡ Β∠ ἐκβεβλήσθω καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΗ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς Η∠ καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς Κ , καὶ περὶ διάμετρον τὴν Η∠ καὶ ὀρθίαν τὴν Κ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ Ε∠Ζ , ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν Η∠ παραλλήλους εἶναι τῇ ΑΓ · ἡ ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς . καὶ ἔστιν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ ἴση ( ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ ) , καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Γ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους · αἱ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς Ε∠Ζ ὑπερβολῆς · γέγραπται ἅρα διὰ τοῦ ∠ περὶ τὰς δοθείσας εὐθείας ἀσυμπτώτους ὑπερβολή .
Lemmas: 66 μβ΄ . συντίθημι δή οὕτως . εἰμί ὁ μέν ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ὁ ∠ , καί ὁ μέν ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Θ , ὁ δέ ΒΘ ἴσος ὁ ΘΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Γ , ἐπιζεύγνυμι δέ καί ὁ Β∠ ἐκβάλλω καί ὁ Β∠ ἴσος κεῖμαι ὁ ΒΗ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἴσος ἵστημι ὁ ὑπό ὁ Η∠ καί ἕτερος τις ὁ Κ , καί περί διάμετρος ὁ Η∠ καί ὄρθιος ὁ Κ γράφω ὑπερβολή ὁ Ε∠Ζ , ὥστε ὁ κατάγω ἐπί ὁ Η∠ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ΑΓ ἐφάπτω ὁ τομή . καί εἰμί ὁ Α∠ ὁ ∠Γ ἴσος ( ἐπεί καί ὁ ΒΘ ὁ ΘΑ ) , καί φανερός ὅτι ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ Α∠ ∠Γ τέταρτος εἰμί ὁ πρός ὁ Η∠ εἶδος · ὁ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ Ε∠Ζ ὑπερβολή · γράφω ἄρα διά ὁ ∠ περί ὁ δίδωμι εὐθύς ἀσύμπτωτος ὑπερβολή .
pappus-mathematics.synagoge 3.67
67 μγ΄ . Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον ἀφαιρεῖται μέρος , χυρὶς τῆς νεύσεως , διὰ στερεοῦ τόπου τοιούτου . Θέσει ἡ διὰ τῶν Α Γ , καὶ ἀπὸ δοθέντων ἐπʼ αὐτῆς τῶν Α Γ κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ ΑΓΒ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΓΑΒ · ὅτι τὸ Β πρὸς ὑπερβολῇ . Ἤχθω κάθετος ἡ Β∠ , καὶ τῇ Γ∠ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ∠Ε · ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση ἔσται τῇ ΑΕ . κείσθω καὶ τῇ ∠Ε ἴση ἡ ΕΖ · τριπλασία ἄρα ἡ ΓΖ τῆς Γ∠ . εστω καὶ ἡ ΑΓ τῆς ΓΗ τριπλασία · ἔσται δὴ δοθέν τὸ Η , καὶ λοιπή ἡ ΑΖ τῆς Η∠ τριπλασία . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ Β∠ ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Α ΑΖ τῶν οὐτῶν ὑπερυχή , ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΑΖ , τουτέστιν τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Η , ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠ · πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα τὸ Β , ἧς πλαγία μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ , ἡ δέ ὀρθία τριπλασία τῆς ΑΗ . καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον ἀπολαμβένει πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ ἡμίσειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς ΑΗ . Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά · δεήσει γάρ τὴν ΑΓ τεμεῖν ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ , καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΑΗ γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν , ἧς ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά τριπλασία τῆς ΑΗ , καὶ δεικνύναι ποιοῦσαν μὐτὴν τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν . καὶ ἔτι τῆς δοθείσης κύκλου περιφερείας τὸ γ΄ ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦτον γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν ῥάδιον τῶν Α Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποκειμένων .
Lemmas: 67 μγ΄ . καί ἄλλως ὁ δίδωμι περιφέρεια ὁ τρίτος ἀφαιρέω μέρος , Χύρις ὁ νεῦσις , διά στερεός τόπος τοιοῦτος . Θέσις ὁ διά ὁ Α Γ , καί ἀπό δίδωμι ἐπί αὐτός ὁ Α Γ κλάω ὁ ΑΒΓ διπλάσιος ποιέω ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΓΑΒ · ὅτι ὁ Β πρός ὑπερβολή . ἄγω κάθετος ὁ Β∠ , καί ὁ Γ∠ ἴσος ἀπολαμβάνω ὁ ∠Ε · ἐπιζεύγνυμι ἄρα ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ . κεῖμαι καί ὁ ∠Ε ἴσος ὁ ΕΖ · τριπλάσιος ἄρα ὁ ΓΖ ὁ Γ∠ . ἵστημι καί ὁ ΑΓ ὁ ΓΗ τριπλάσιος · εἰμί δή δίδωμι ὁ ὁ , καί λοιπός ὁ αζʹ ὁ Η∠ τριπλάσιος . καί ἐπεί ὁ ἀπό ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή εἰμί ὁ ἀπό Β∠ εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ∠Α αζʹ ὁ οὐτάω ὑπερέχω , εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ∠ΑΖ , τουτέστιν ὁ τρίς ὑπό Α∠Η , ἴσος ὁ ἀπό Β∠ · πρός ὑπερβολή ἄρα ὁ Β , ὅς πλάγιος μέν ὁ πρός ἄγω εἶδος ὁ ΑΗ , ὁ δέ ὄρθιος τριπλάσιος ὁ ΑΗ . καί φανερός ὅτι ὁ Γ σημεῖον ἀπολαμβάνω πρός ὁ ὁ κορυφή ὁ τομή ὁ ΓΗ ἥμισυς ὁ πλάγιος ὁ εἶδος πλευρά ὁ ΑΗ . καί ὁ σύνθεσις φανερός · δήω γάρ ὁ ΑΓ τέμνω ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΓ , καί περί ἄγω ὁ ΑΗ γράφω διά ὁ ὁ ὑπερβολή , ὅς ὄρθιος ὁ εἶδος πλευρά τριπλάσιος ὁ ΑΗ , καί δείκνυμι ποιέω μύτης ὁ εἴρω διπλάσιος λόγος ὁ γωνία . καί ἔτι ὁ δίδωμι κύκλος περιφέρεια ὁ Γ΄ ἀποτέμνω μέρος ὁ οὗτος γράφω ὁ τρόπος ὑπερβολή συνοράω ῥούδιον ὁ Α Γ σημεῖον πέρας ὁ περιφέρεια ὑπόκειμαι .
pappus-mathematics.synagoge 3.68
68 μδ΄ Ἑτέρως δὲ τὴν ἀνάλυσιν τοῦ τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν ἢ περιφέρειαν ἐξέθεντό τινες ἄνευ τῆς νεύσεως . ἔστω δὲ ἐπὶ περιφερείας ὁ λόγος · οὐδὲν γὰρ διαφέρει γωνίαν ἢ περιφέρειαν τεμεῖν . Γεγονέτω δή , καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΓ · διπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ . τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΑΓβ τῇ Γ∠ , καὶ κάθετοι αἱ ∠Ε ΖΒ · ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ , ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ δοθὲν ἄρα τὸ Ε . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β , τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ , καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ , ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ . διπλῆ δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΕ · διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ · τετραπλάσιον ἔρα τὸ ἀπὸ ΒΓ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἐπεὶ οὖν δύο δοθέντα ἐστὶν τὰ Ε Γ , καὶ ὀρθὴ ἡ ΒΖ , καὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ , τὸ Β ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ . ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει περιφερείᾳ · δοθὲν ἄρα τὸ Β . καὶ ἡ σύνθεσις φανερά .
Lemmas: 68 μδ΄ ἕτερος δέ ὁ ἀνάλυσις ὁ θρίξ τέμνω ὁ γωνία ἢ περιφέρεια ἐκτίθημι τις ἄνευ ὁ νεῦσις . ἵστημι δέ ἐπί περιφέρεια ὁ λόγος · οὐδείς γάρ διαφέρω γωνία ἢ περιφέρεια τέμνω . γίγνομαι δή , καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια τρίτος ἀπολαμβάνω μέρος ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΒΓ ΑΓ · διπλάσιος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΒΑΓ . τέμνω δίχα ὁ ὑπό ΓΑβ ὁ Γ∠ , καί κάθετος ὁ ∠Ε ΖΒ · ἴσος ἄρα ὁ Α∠ ὁ ∠Γ , ὥστε καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΓ δίδωμι ἄρα ὁ Ε . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Β , τουτέστιν ὁ ΑΕ πρός ΕΖ , καί ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΕ , ὁ ΒΓ πρός ΕΖ . διπλόος δέ ὁ ΓΑ ὁ ΑΕ · διπλόος ἄρα καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΒΓ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΒΖΓ , ὁ ἀπό ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν δύο δίδωμι εἰμί ὁ Ε Γ , καί ὀρθός ὁ ΒΖ , καί λόγος εἰμί ὁ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖΓ , ὁ Β ἄρα πρός ὑπερβολή . ἀλλά καί πρός θέσις περιφέρεια · δίδωμι ἄρα ὁ Β . καί ὁ σύνθεσις φανερός .
pappus-mathematics.synagoge 3.69
69 με΄ . Τὸ μὲν οὖν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τρίχα τεμεῖν στερεόν ἐστιν , ὡς προδέδεικται , τὸ δὲ τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν γραμμικόν ἐστιν καὶ δέδεικται μὲν ὑπὸ τῶν νεωτέρων , γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ᾿ ἡμῶν διχῶς .
Lemmas: 69 ὅς . ὁ μέν οὖν ὁ δίδωμι γωνία ἢ περιφέρεια θρίξ τέμνω στερεός εἰμί , ὡς προδείκνυμι , ὁ δέ ὁ δίδωμι γωνία ἢ περιφέρεια εἰς ὁ δίδωμι λόγος τέμνω γραμμικός εἰμί καί δείκνυμι μέν ὑπό ὁ νέος , γράφω δέ καί ὑπό ἐγώ διχῶς .
pappus-mathematics.synagoge 3.70
70 Ἔστω γὰρ κύκλου τοῦ ΚΛΘ περιφέρενει ἡ ΛΘ , καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν εἰς δοθέντα λόγον . Ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΛΒΘ , καὶ τῇ ΒΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΚ , καὶ διὰ τοῦ Κ γεγράφθω τετραγωνίζουσα γραμμὴ ἡ ΚΑ∠Γ , καὶ κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΑΕ τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς ΖΕ , οὕτως τὸν δοθέντα λόγον εἰς ὃν διελεῖν θέλομεν τὴν γωνίαν , καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ζ∠ , ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Β∠ , καὶ κάθετος ἡ ∠Η . ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ∠Η , τουτέστιν πρὸς ΖΕ , ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ , διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΕ , τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος , οὕτως ἡ ἀπὸ ΑΒ∠ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ , τουτέστιν ἡ ΛΜ περιφέρεια πρὸς ΜΘ .
Lemmas: 70 ἔστω γάρ κύκλος ὁ ΚΛΘ περιφέρω ὁ ΛΘ , καί δήω ἵστημι τέμνω αὐτός εἰς δίδωμι λόγος . ἐπί ὁ κέντρον ὁ ΛΒΘ , καί ὁ ΒΘ πρός ὀρθός ὁ ΒΚ , καί διά ὁ Κ γράφω τετραγωνίζω γραμμή ὁ ΓΚΑΓΚ , καί κάθετος ἄγω ὁ ΑΕ τέμνω κατά ὁ Ζ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ αζʹ πρός ΖΕ , οὕτως ὁ δίδωμι λόγος εἰς ὅς διαιρέω ἐθέλω ὁ γωνία , καί ὁ μέν ΒΓ παράλληλος ὁ Ζ∠ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ Β∠ , καί κάθετος ὁ ∠Η . ἐπεί οὖν διά ὁ σύμπτωμα ὁ γραμμή εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ∠Η , τουτέστιν πρός ΖΕ , ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ∠ΒΓ , διαιρέω ἄρα εἰμί ὡς ὁ αζʹ πρός ΖΕ , τουτέστιν ὡς ὁ δίδωμι λόγος , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ∠ γωνία πρός ὁ ὑπό ∠ΒΓ , τουτέστιν ὁ ΛΜ περιφέρεια πρός ΜΘ .
pappus-mathematics.synagoge 3.71
71 μϚ΄ . Ἑτέρως δὲ τέμνεται κύκλου τοῦ ΑΗΓ ἡ ΑΓ περιφέρεια . ὁμοίως ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΑΒΓ , καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Β ἕλιξ ἡ ΒΖ∠Γ , ἧς ἡ ἐν τῇ γενέσει εὐθεῖα ἡ ΓΒ , καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔοτω ὁ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ , καὶ διὰ τοῦ Ε περὶ κέντρον τὸ Β κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΖ τέμνουσα τὴν ἕλικα κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η · ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἕλικα ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ , τουτέστιν πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΑΗΓ περιφέρεια πρὸς ΓΗ , καὶ διελόντι ὡς ἡ ∠Ε πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ ΑΗ περιφέρεια πρὸς ΗΓ . ὁ δὲ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶν ὁ αὐτὸς τῷ δοθέντι · καὶ ὁ τῆς ΑΗ ἄρα περιφερείας πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ δοθέντι · τέτμηται ἄρα : ~
Lemmas: 71 μϚ΄ . ἕτερος δέ τέμνω κύκλος ὁ ΑΗΓ ὁ ΑΓ περιφέρεια . ὁμοίως ἐπί ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ , καί γράφω διά ὁ Β ἕλιξ ὁ ΒΖ∠Γ , ὅς ὁ ἐν ὁ γένεσις εὐθύς ὁ ΓΒ , καί ὁ δίδωμι λόγος ὁ αὐτός ὅστις ὁ ὁ ∠Ε πρός ΕΒ , καί διά ὁ Ε περί κέντρον ὁ Β κύκλος περιφέρεια ὁ ΕΖ τέμνω ὁ ἕλιξ κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ ἐκβάλλω ἐπί ὁ ὁ · εἰμί ἄρα διά ὁ ἕλιξ ὡς ὁ ∠Β πρός ΒΖ , τουτέστιν πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΑΗΓ περιφέρεια πρός ΓΗ , καί διαιρέω ὡς ὁ ∠Ε πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ΑΗ περιφέρεια πρός ΗΓ . ὁ δέ ὁ ∠Ε πρός ΕΒ λόγος εἰμί ὁ αὐτός ὁ δίδωμι · καί ὁ ὁ ΑΗ ἄρα περιφέρεια πρός ὁ ΗΓ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ δίδωμι · τέμνω ἄρα : ~
pappus-mathematics.synagoge 3.72
72 μζ΄ . Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν ἀπὸ δύο κύκλων ἀνίσων ἴσας περιφερείας ἀφελεῖν . Γεγονέτω γάρ , καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι αἱ ΑΗΒ ΓΘ∠ , ἔστω δὲ μείζων ὁ περὶ κέντρον τὸ Ε · μείζων ἄρα ἡ ὁμοία τῇ ΓΘ∠ τῆς ΑΗΒ . ἔστω οὖν τῇ ΑΗΒ ὁμοία ἡ ΓΘ · λόγος ἄρα ὁ τῆς ΑΗΒ πρὸς ΓΘ δοθείς · ὁ γὰρ αὐτός ἐστιν ταῖς ὅλαις τῶν κύκλων περιφερείαις ἢ ταῖς τῶν κύκλων διαμέτροις . ἴση δὲ ἡ ΑΗΒ τῇ ΓΘ∠ · λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ΓΘ∠ πρὸς τὴν ΓΘ . καὶ διελόντι . γέγονεν οὖν τέμνειν τὴν ΓΘ∠ περιφέρειαν εἰς δοθέντα λόγον κατὰ τὸ Θ · τοῦτο δὲ προγέγραπται .
Lemmas: 72 μζ΄ . ἐκ δή οὗτος φανερός ὡς δυνατός εἰμί ἀπό δύο κύκλος ἄνισος ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω . γίγνομαι γάρ , καί ἀφαιρέω Ἴσαι ὁ ΑΗΒ ΓΘ∠ , ἵστημι δέ μείζων ὁ περί κέντρον ὁ Ε · μείζων ἄρα ὁ ὅμοιος ὁ ΓΘ∠ ὁ ΑΗΒ . ἵστημι οὖν ὁ ΑΗΒ ὅμοιος ὁ ΓΘ · λόγος ἄρα ὁ ὁ ΑΗΒ πρός ΓΘ δίδωμι · ὁ γάρ αὐτός εἰμί ὁ ὅλος ὁ κύκλος περιφέρεια ἢ ὁ ὁ κύκλος διάμετρος . ἴσος δέ ὁ ΑΗΒ ὁ ΓΘ∠ · λόγος ἄρα δίδωμι καί ὁ ΓΘ∠ πρός ὁ ΓΘ . καί διαιρέω . γίγνομαι οὖν τέμνω ὁ ΓΘ∠ περιφέρεια εἰς δίδωμι λόγος κατά ὁ Θ · οὗτος δέ προγράφω .
pappus-mathematics.synagoge 3.73
73 μη΄ . Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν . Γεγονέτω , καὶ συνεστάτω τὸ ΑΒΓ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διὰ τῶν Α Γ κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Γ , καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ ∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ . ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , καὶ ἔστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ ∠ , λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ὑπὸ ΓΑ∠ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ , ὥστε καὶ τῆς ∠Γ περιφερείας πρὸς τὴν ΑΓ λόγος . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου εἰς δοθέντα λόγον τέτμηται , δοθέν ἐστιν τὸ Γ , καὶ δοθὲν τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . Συντεθήσεται δὲ οὕτως . ἔστω γὰρ δοθεὶς λόγος , ὃν ἔδει ἔχειν ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν πρὸς τὴν λοιπήν , ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ , καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ δίχα τῷ Θ , καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ Α∠Γ περὶ κέντρον τὸ Β καὶ διάμετρον τὴν Α∠ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια κατὰ τὸ Γ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ∠Γ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ΖΘ ( τοῦτο γὰρ προγέγραπται , καὶ καθόλου πῶς ἡ δοθεῖσα περιφέρεια εἰς δοθέντα λόγον τέμνεται ) , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΓΑ Γ∠ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ , τουτέστιν ὡς ἡ ὑπὸ ∠ΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ , οὕτως ἡ ΕΖ κρὸς ΖΘ , καὶ τὰ διπλάσια τῶν ἑπομένων , ὡς ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΒΓ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ · ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν .
Lemmas: 73 μη΄ . ἰσοσκελής τρίγωνος συνίστημι ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ βάσις γωνία λόγος ἔχω δίδωμι πρός ὁ λοιπός . γίγνομαι , καί συνίστημι ὁ ΑΒΓ , καί περί κέντρον ὁ Β διά ὁ Α Γ κύκλος γράφω ὁ Α∠Γ , καί ἐκθεβλήσθω ὁ ΑΒ ἐπί ὁ ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Γ . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ γωνία πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , καί εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ ἥμισυς ὁ πρός ὁ ∠ , λόγος ἄρα δίδωμι καί ὁ ὑπό ΓΑ∠ γωνία πρός ὁ ὑπό Α∠Γ , ὥστε καί ὁ ∠Γ περιφέρεια πρός ὁ ΑΓ λόγος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ∠ περιφέρεια ὁ ἡμικύκλιον εἰς δίδωμι λόγος τέμνω , δίδωμι εἰμί ὁ Γ , καί δίδωμι ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . συντίθημι δέ οὕτως . ἵστημι γάρ δίδωμι λόγος , ὅς ἐσθίω ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ βάσις γωνία πρός ὁ λοιπός , ὁ ὁ ΕΖ πρός ΖΗ , καί τέμνω ὁ ΖΗ δίχα ὁ Θ , καί ἔκκειμαι κύκλος ὁ Α∠Γ περί κέντρον ὁ Β καί διάμετρος ὁ Α∠ , καί τέμνω ὁ ΑΓ∠ περιφέρεια κατά ὁ Γ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ∠Γ περιφέρεια πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΖΘ ( οὗτος γάρ προγράφω , καί καθόλου πῶς ὁ δίδωμι περιφέρεια εἰς δίδωμι λόγος τέμνω ) , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ ΓΑ Γ∠ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ∠Γ περιφέρεια πρός ὁ ΓΑ , τουτέστιν ὡς ὁ ὑπό ∠ΑΓ γωνία πρός ὁ ὑπό Α∠Γ , οὕτως ὁ ΕΖ Κρος ΖΘ , καί ὁ διπλάσιος ὁ ἕπομαι , ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΑΒ πρός ὁ ὑπό ΑΒΓ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΖΗ · ἰσοσκελής ἄρα τρίγωνος συνίστημι ὁ ΑΒΓ ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ βάσις γωνία λόγος ἔχω ὁ δίδωμι πρός ὁ λοιπός .
pappus-mathematics.synagoge 3.74
74 μθ΄ . Δεδειγμένου δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατὸν ἐγγράψαι πολύγωνον εἰς κύκλον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον πλευρὰς ἔχον ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ .
Lemmas: 74 μθ΄ . δείκνυμι δή οὗτος φανερός ὡς δυνατός ἐγγράφω πολύγωνος εἰς κύκλος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος πλευρά ἔχω ὅσος ἄν τις ἐπιτάσσω .
pappus-mathematics.synagoge 3.75
75 Πῶς δ᾿ εὑρίσκεται κύκλος οὗ ἡ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ δοθείσῳ εὐθείᾳ , συνιδεῖν εὔκολον . Εὑρήσθω γὰρ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ τοῦ Α κύκλου περιφέρεια , καὶ ἐκκείσθω κύκλος τυχὼν ὁ Β , καὶ τῇ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἴση διὰ τῆς τετραγωνιζούσης εὑρήσθω ἡ ∠ εὐθεῖα . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ∠ , οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β . λόγος δὲ τῆς ∠ πρὸς Γ · λόγος ἄρα καὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου πρδς ἀλλήλας . καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α , ὥστε καὶ αὐτὸς ὁ Α . καὶ φανερὰ ἡ σύνθεσις .
Lemmas: 75 Πῶς δέ εὑρίσκω κύκλος ὅς ὁ περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ δοθείσῳ εὐθύς , συνοράω Εὔκολον . εὑρίσκω γάρ ὁ Γ εὐθύς ἴσος ὁ ὁ Α κύκλος περιφέρεια , καί ἔκκειμαι κύκλος τυγχάνω ὁ Β , καί ὁ περιφέρεια αὐτός ἴσος διά ὁ τετραγωνίζω εὑρίσκω ὁ ∠ εὐθύς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ ∠ , οὕτως ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Β . λόγος δέ ὁ ∠ πρός Γ · λόγος ἄρα καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον πρδς ἀλλήλων . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Β · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α , ὥστε καί αὐτός ὁ Α . καί φανερός ὁ σύνθεσις .
pappus-mathematics.synagoge 3.76
76 ν΄ . Εὐθείας τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ γράψαι διὰ τῶν Α Β κύκλου περιφέρειαν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν . Γεγράφθω ἡ ΑΓΒ , καὶ ἐκκείσθω τεταρτημόριον κύκλου θέσει δεδομένον τὸ ΖΗΕ , καὶ γεγράφθω τετραγωνίζουσα ἡ ΖΘΚ , καὶ τῇ βεβηκυίᾳ γωνίᾳ ἐπὶ τῆς ΑΓ περιφερείας πρὸς τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΕΗΛ , καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΛΜ ΘΝ . ἔσται οὖν διὰ τὸ ἰδίωμα τῆς γραμμῆς ὡς ἡ ΕΛΖ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗ εὐθεῖαν , τουτέστιν ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ , οὕτως ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΝ εὐθεῖαν . ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ , τὸν αὐτὸν ποιῆσαι τὸν τῆς ∠Η πρὸς ΗΚ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ ∠ γράψαι περιφέρειαν , καὶ λαβεῖν τὸ Θ , καθ᾿ ὃ τέμνει τὴν τετραγωνίζουσαν , καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΘΗ , καὶ δίχα τεμόντα τὴν ΑΒ καὶ ὀρθὴν ἀναστήσαντα τὴν ΡΞ καταγαγεῖν τὴν ΑΞ περιέχουσαν μετὰ τῆς ΞΡ ἴσην τῇ ὑπὸ ΚΗΘ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Ξ διὰ τοῦ Α γράψαι κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΒ ἔχουσαν λόγον πρὸς τὴν ΑΒ βάσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι .
Lemmas: 76 ν΄ . εὔθεια ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ ΑΒ γράφω διά ὁ Α Β κύκλος περιφέρεια λόγος ἔχω ὁ δίδωμι πρός ὁ ΑΒ εὐθύς . γράφω ὁ ΑΓΒ , καί ἔκκειμαι τεταρτημόριον κύκλος θέσις δίδωμι ὁ ΖΗΕ , καί γράφω τετραγωνίζω ὁ ΖΘΚ , καί ὁ βαίνω γωνία ἐπί ὁ ΑΓ περιφέρεια πρός ὁ ΖΕ περιφέρεια ἴσος συνίστημι ὁ ὑπό ΕΗΛ , καί ἄγω κάθετος ὁ ΛΜ ΘΝ . εἰμί οὖν διά ὁ ἰδίωμα ὁ γραμμή ὡς ὁ ΕΛΖ περιφέρεια πρός ὁ ΖΗ εὐθύς , τουτέστιν ὡς ὁ ΛΗ πρός ΗΚ , οὕτως ὁ ΛΕ περιφέρεια πρός ὁ ΘΝ εὐθύς . ἀλλά καί ὡς ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΛ , ὁ αὐτός ποιέω ὁ ὁ ∠Η πρός ΗΚ , καί περί κέντρον ὁ ὁ διά ὁ ∠ γράφω περιφέρεια , καί λαμβάνω ὁ Θ , κατά ὅς τέμνω ὁ τετραγωνίζω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τίθημι , καί δίχα τέμνω ὁ ΑΒ καί ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΡΞ κατάγω ὁ ΑΞ περιέχω μετά ὁ ΞΡ ἴσος ὁ ὑπό ΚΗΘ , καί περί κέντρον ὁ Ξ διά ὁ Α γράφω κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΓΒ ἔχω λόγος πρός ὁ ΑΒ βάσις ὁ αὐτός ὁ δίδωμι .
pappus-mathematics.synagoge 3.77
77 να΄ . Οὐκ ἀπίθανον δὲ οὐδὲ τὸ γωνίας ἀσυμμέτρους εὑρεῖν . διὰ τούτου γὰρ καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀσύμμετροι ληφθήσονται περιφέρειαι , κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεθα τὴν μίαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν , ἄλογος ἡ λοιπὴ γενήσεται . Ἐκκείσθω τὸ ΑΒΓ τεταρτημύριον , καὶ ἐν αὐτῷ τετραγωνίζουσα ἡ ΑΕ∠Ζ , καὶ διήχθω ἡ ΒΕ , καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΕΗ , καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ ἀσύμμετρος μήκει τῇ ΒΗ , καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Β · λέγω ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ἀπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΒΖ . Ἤχθω κάθετος ἡ ∠Ν · ἔστιν ἄρα διὰ τὴν γραμμὴν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ∠Ν , οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΖ . ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΕΚ τῇ ∠Ν ( ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ τῇ ΒΘ ) · ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ γωνία τῇ γωνίᾳ , κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΕΒΖ γωνίαν , ἄλογος ἔσται ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ .
Lemmas: 77 ὅς . οὐ ἀπίθανος δέ οὐδέ ὁ γωνία ἀσύμμετρος εὑρίσκω . διά οὗτος γάρ καί ὁ αὐτός κύκλος ἀσύμμετρος λαμβάνω περιφέρεια , κἀν ῥητός ὑφίστημι ὁ εἷς γωνία ἢ περιφέρεια , ἄλογος ὁ λοιπός γίγνομαι . ἔκκειμαι ὁ ΑΒΓ τεταρτημύριον , καί ἐν αὐτός τετραγωνίζω ὁ ΑΕ∠Ζ , καί διάγω ὁ ΒΕ , καί ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ ΕΗ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΒΘ ἀσύμμετρος μῆκος ὁ ΒΗ , καί ἄγω παράλληλος ὁ ∠Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Β · λέγω ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ΕΒΖ γωνία ὁ ὑπό ∠ΒΖ . ἄγω κάθετος ὁ ∠Ν · εἰμί ἄρα διά ὁ γραμμή ὡς ὁ ΕΚ πρός ∠Ν , οὕτως ὁ ὑπό ΕΒΖ γωνία πρός ὁ ὑπό ∠ΒΖ . ἀσύμμετρος δέ ὁ ΕΚ ὁ ∠Ν ( ἐπεί καί ὁ ΗΒ ὁ ΒΘ ) · ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ γωνία ὁ γωνία , κἀν ῥητός ὑφίστημι ὁ ὑπό ΕΒΖ γωνία , ἄλογος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΒΖ .
pappus-mathematics.synagoge 3.78
78 νβ΄ . Τῆς ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ ἑλίκων βιβλίῳ λαμβανομένης νεύσεως τὴν ἀνάλυσίν σοι κατέταξα , ἵνα τὸ βιβλίον διερχόμενος μὴ διαπορῇς . δὲ εἰς αὐτὴν οἱ ὑπογεγραμμένοι τόποι καὶ πρὸς ἄλλα πολλὰ τῶν στερεῶν προβλημάτων χρήσιμοι . Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ ἀπὸ δοθέντος σημείου τοῦ Γ προσπιπτέτω τις ἡ Γ∠ , καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠Ε , ἔστω δὲ λύγος τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε · ὅτι τὸ Ε πρὸς ὑπερβολῇ . Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ πρὸς ὀρθὰς παράλληλος ἡ ΓΖ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΗ , καὶ τῷ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς τῶν ΖΘ ΖΚ · δοθὲν ἄρα ἑκάτερον τῶν Θ Κ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς Ζ∠ , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ , πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΚΗΘ λόγος ἐστὶν δοθείς . καὶ ἔστι δοθέντα τὰ Κ Θ · τὸ Ε ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ ἐρχομένῃ διὰ τῶν Θ Ε .
Lemmas: 78 νβ΄ . ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης ἐν ὁ περί ἕλιξ βιβλίον λαμβάνω νεῦσις ὁ ἀνάλυσις σύ κατατάσσω , ἵνα ὁ βιβλίον διέρχομαι μή διαπορέω . δέ εἰς αὐτός ὁ ὑπογράφω τόπος καί πρός ἄλλος πολύς ὁ στερεός πρόβλημα χρήσιμος . Θέσις εὐθύς ὁ ΑΒ , καί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Γ προσπίπτω τις ὁ Γ∠ , καί πρός ὀρθός ὁ ΑΒ ὁ ∠Ε , ἵστημι δέ λύγος ὁ Γ∠ πρός ∠Ε · ὅτι ὁ Ε πρός ὑπερβολή . ἄγω διά ὁ Γ ὁ πρός ὀρθός παράλληλος ὁ ΓΖ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . καί ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΕΗ , καί ὁ ὁ Γ∠ πρός ∠Ε λόγος ὁ αὐτός ἵστημι ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΘ ΖΚ · δίδωμι ἄρα ἑκάτερος ὁ Θ Κ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Γ∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ζ∠ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , πρός λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΚΗΘ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ Κ Θ · ὁ Ε ἄρα πρός ὑπερβολή ἐρχόμενος διά ὁ Θ Ε .
pappus-mathematics.synagoge 3.79
79 νγ΄ . Ἔστω θέσει καὶ μεγέθει δοθεῖσα ἡ ΑΒ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Γ , ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Γ∠ · ὅτι τὸ ∠ σημεῖον ἅπτεται θέσει παραβολῆς . Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ε , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΕΖ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η , ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΖΗ . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ · τὸ ἄρα ∠ σημεῖον ἅπτεται παραβολῆς κατερχομένης διὰ τῶν Α Ζ Β , ἧς ἄξων ἐστὶν ὁ ΕΖ .
Lemmas: 79 νγ΄ . ἔστω θέσις καί μέγεθος δίδωμι ὁ ΑΒ , καί πρός ὀρθός ὁ ∠Γ , ἵστημι δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ ἴσος ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ Γ∠ · ὅτι ὁ ∠ σημεῖον ἅπτω θέσις παραβολή . τέμνω γάρ ὁ ΑΒ δίχα ὁ Ε , καί πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ ἴσος ἵστημι ὁ ὑπό ὁ δίδωμι καί ὁ ΕΖ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . καί ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ∠Η · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΓ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ∠Η , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ δίδωμι καί ὁ ΖΗ . καί εἰμί δίδωμι ὁ Ζ · ὁ ἄρα ∠ σημεῖον ἅπτω παραβολή κατέρχομαι διά ὁ Α Ζ Β , ὅς ἄγω εἰμί ὁ ΕΖ .
pappus-mathematics.synagoge 3.80
80 νδ΄ . Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον . θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ καὶ θέσει ἐν αὐτῷ εὐθείας τῆς ΒΓ , καὶ δοθέντος ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ Α , θεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεθείσῃ νεύουσαν πρὸς τὸ Γ . Γεγονέτω γάρ , καὶ κείσθω τῇ ΕΑ ἴση , καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Ζ ἴση τῇ Α∠ . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Α προσβέβληται ἡ Α∠ , καὶ ἴση τῇ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ το πρὸς ὑπερβολῇ ( ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ Β∠Γ τῷ ὑπὸ Α∠Ε , τουτέστιν τῷ ὑπὸ Ζ∠Ε ) . καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ∠Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ Β∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ∠Ζ · τὸ Ζ ἄρα πρὸς παραβολῇ δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . ἀναλο τῷ προβλήματι χρῆται ὁ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν . αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν .
Lemmas: 80 νδ΄ . οὗτος προγράφω πρόκειμαι προγίγνομαι ὁ τρόπος οὗτος . θέσις εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ καί θέσις ἐν αὐτός εὐθύς ὁ ΒΓ , καί δίδωμι ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ Α , τίθημι μεταξύ ὁ ΒΓ εὐθύς καί ὁ ΒΖΓ περιφέρεια ἴσος ὁ τίθημι νεύω πρός ὁ Γ . γίγνομαι γάρ , καί κεῖμαι ὁ ΕΑ ἴσος , καί ὁ ΒΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ∠Ζ ἴσος ὁ Α∠ . ἐπεί οὖν πρός θέσις ὁ ΒΓ ἀπό δίδωμι ὁ Α προσβάλλω ὁ Α∠ , καί ἴσος ὁ πρός ὀρθός ἐφίστημι ὁ ἀπό ὁ πρός ὑπερβολή ( ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Β∠Γ ὁ ὑπό Α∠Ε , τουτέστιν ὁ ὑπό Ζ∠Ε ) . καί εἰμί δίδωμι ὁ ∠Ε · ὁ ἄρα ὑπό Β∠Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ ∠Ζ · ὁ Ζ ἄρα πρός παραβολή δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . ανάλατος ὁ πρόβλημα χράω ὁ Ἀρχιμήδης πρός ὁ δείκνυμι κύκλος περιφέρεια ἴσος εὐθύς . αἰτιάομαι δέ αὐτός τις ὡς οὖον δήω χράω στερεός πρόβλημα δείκνυμι ὡς καί διά ὁ ἐπίπεδος εὑρίσκω εἰμί εὐθύς ἴσος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια χράω ὁ ἐπί ὁ ἕλιξ εἴρω θεώρημα .
pappus-mathematics.synagoge 4
Περιέχει δὲ συγκρίσεις τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν κύκλον , καὶ συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σχηηάτων πρὸς ἄλληά τε καὶ τὴν σφαῖραν .
Lemmas: περιέχω δέ σύγκρισις ὁ ἴσος περίμετρον ἔχω ἐπίπεδος σχῆμα πρός ἀλλήλων τε καί ὁ κύκλος , καί σύγκρισις ὁ ἴσος ἐπιφάνεια ἔχω στερεός ἔχω πρός ἄλληά τε καί ὁ σφαῖρα .
pappus-mathematics.synagoge 4.1
1 Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειοτάτην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν , ὦ κράτιστε Μεγεθίον , ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν . ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν , τοῖς δὲ λοιποῖς ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο . τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλείστοις γένεσιν τῶν ζῴων , οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις · ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις , ἥ τε φιλοτιμία καὶ καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα . πεπιστευμέναι γὰρ , ὡς εἰκός , παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπόμοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν , ἀλλ᾿ ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων συνάγουσαι τὰ κάλλιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑποδοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα , τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα .
Lemmas: 1 Σοφία καί μάθημα ἔννοια ἀγαθός μέν καί τέλειος ἄνθρωπος θεός δίδωμι , εἰμί ἀγαθός Μεγέθιον , ἐκ μέρος δέ ποῦ καί ὁ ἄλογος ζῷον μοῖρα ἀπονέμω τις . ἄνθρωπος μέν οὖν ἅτε λογικός εἰμί ὁ μετά λόγος καί ἀπόδειξις παρέχω ἕκαστος ποιέω , ὁ δέ λοιπός ζῷον ἄνευ λόγος ὁ χρήσιμος καί βιωφελής αὐτός μόνος κατά τις φυσικός πρόνοια ἕκαστος ἔχω δωρέω . οὗτος δέ μανθάνω τις εἄν ὑπάρχω καί ἐν ἕτερος μέν πλεῖστος γένεσις ὁ ζῷον , οὐ ἥκιστος δέ ἐν ὁ μέλισσα · ὅς τε γάρ εὐταξία καί πρός ὁ ἡγέομαι ὁ ἐν ἑαυτοῦ πολιτεία εὐπείθεια θαυμαστός τις , ὅς τε φιλοτιμία καί καθαριότης ὁ περί ὁ ὁ μέλι συναγωγή καί ὁ περί ὁ φυλακή αὐτός πρόνοια καί οἰκονομία πολύς μᾶλλον θαυμάσιος . πιστεύω γάρ , ὡς εἰκός , παρά θεός κομίζω ὁ ὁ ἄνθρωπος μουσικός ὁ ἀμβρόσιος ἀπόμοιρα τις οὗτος οὖον μάτην ἐκχέω εἰς γῆ καί ξύλον ἤ τις ἕτερος ἀσχήμων καί ἄτακτος ὕλη ἀξιόω , ἀλλά ἐκ ὁ ἡδύς ἐπί γῆ φύω ἄνθος συνάγω ὁ καλῶς κατασκευάζω ἐκ οὗτος εἰς ὁ ὁ μέλι ὑποδοχή ἀγγεῖον ὁ καλέω κειρία πᾶς μέν ἀλλήλων ἴσος καί ὅμοιος καί παράκειμαι , ὁ δέ σχῆμα ἑξάγωνος .
pappus-mathematics.synagoge 4.3
3 Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται μόνον τοῦθ᾿ ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης , ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνούμενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον . τῶν γὰρ ἴσην ἐχόντων περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον , μέγιστος δ᾿ ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος , ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ . δείξπμεν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων , τὴν δὲ περίμετρον ἴσην , τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν .
Lemmas: 3 καί ὁ μέλισσα μέν ὁ χρήσιμος ἑαυτοῦ ἐπίσταμαι μόνος οὗτος ὅτι ὁ ἑξάγωνος ὁ τετράγωνος καί ὁ τρίγωνος μέγας εἰμί καί χωρέω δύναμαι πλείων μέλι ὁ ἴσος εἰς ὁ ἕκαστος κατασκευή ἀναλίσκω ὕλη , ἐγώ δέ πλέω ὁ μέλισσα σοφία μέρος ἔχω ὑπισχνέομαι ζητέω τίς καί περισσός . ὁ γάρ ἴσος ἔχω περίμετρον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐπίπεδος σχῆμα μέγας εἰμί ἀεί ὁ πολύγωνος , μέγας δέ ἐν πᾶς ὁ κύκλος , ὅταν ἴσος αὐτός περίμετρον ἔχω . δείκνυμι δέ πρότερος ὅτι ὁ ἀνισοπληθής μέν ἔχω ὁ γωνία τάσσω πολύγωνος , ὁ δέ περίμετρον ἴσος , ὁ πολύγωνος ἀεί καί μέγας εἰμί .