pappus-mathematics.synagoge 4.99
99 ξα΄ . Τὸ ὀκτέδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν . Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , κύθου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ∠Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΒΕ . ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ , λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν διὰ τὸ α’ λῆμμα καθόλου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευράς τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τσῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τὸ ἀπὸ βΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ς΄ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δ΄ . τέσσαρα ἄρα πρὸς Ϛ΄ , τουτέστιν λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ . καὶ ἐπεὶ δμὰ τὸ β’ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε ὃν γʼ πρὸς α’ , ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠ , λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν α’ πρὸς β' . τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν Ϛ΄ πρὸς β΄ διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων · λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν α’ πρὸς Ϛ΄ , τουτέστιν ὃν θ' πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ τοῦ γʼ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε λόγος ἐστὶν ὃν α’ πρὸς θ΄ ( τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια ἐστιν ) · καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν α΄ πρὸς νδ΄ ἐδείχθη δὲ ὅτι λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ · διʼ ἴσου ἄρα λϚ΄ πρὸς α’ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ∠Ε · καὶ μήκει ἄρα Ϛ΄ πρὸς α΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠Ε . λόγος δὲ Ϛ΄ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς α΄ ὃν Ϛ΄ πρὸς α΄ καὶ ἔστιν τὰ Ϛ΄ τετράγωνα ἴσα η΄ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ · καὶ η΄ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠~ . καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ᾿ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ∠Ε , κύβος δὲ τὸ ΖΗ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΘΖ · μεῖζον ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου .
Lemmas: 99 ὅς . ὁ ὀκτέδρον ὁ κύβος μέγας εἰμί . ἔστω γάρ ὀκτάεδρον μέν τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , κύθου δέ τετράγωνος ὁ ΖΗ , καί ἀπό ὁ κέντρον ὁ περιλαμβάνω ὁ ὀκτάεδρος σφαῖρα ἵστημι κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ∠Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Β ΒΕ . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὀκτώ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ἴσος ἓξ τετράγωνος ὁ ΖΗ , λόγος ἄρα ὁ ΖΗ τετράγωνος πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὅς Δ΄ πρός Γ΄ καί εἰμί διά ὁ ὅς λῆμμα καθόλου πᾶς τρίγωνος ἰσόπλευρος ὁ ἀπό εἷς πλευρά τετράγωνος μείζων ἢ διπλάσιος τσῦ ἰσόπλευρος τρίγωνος καί ὁ ἀπό βγʹ ἄρα μέγας εἰμί ἢ ς΄ οἷος ὁ ἀπό ΖΘ Δ΄ . τέσσαρες ἄρα πρός ΣΤ΄ , τουτέστιν λϚ΄ πρός νδ΄ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΖΘ πρός ὁ ἀπό ΒΓ . καί ἐπεί ΔΜΑ ὁ βε λῆμμα λόγος εἰμί ὁ ἀπό Β∠ πρός ὁ ἀπό ∠Ε ὅς γε πρός ὅς , ἴσος δέ ὁ ἀπό Β∠ ὁ ἀπό ΒΕ∠ , λόγος ἄρα ὁ ἀπό ∠Ε πρός ὁ ἀπό ΕΒ ὅς ὅς πρός βε . ὁ δέ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό ΒΕ ὅς ΣΤ΄ πρός Β΄ διά ὁ ἰβʹ ὁ ἰ στοιχεῖον · λόγος ἄρα ὁ ἀπό ∠Ε πρός ὁ ἀπό ΒΓ ὅς ὅς πρός ΣΤ΄ , τουτέστιν ὅς ὁ πρός νδ΄ ὁ δέ ἀπό ὁ γε ὁ ∠Ε πρός ὁ ἀπό ∠Ε λόγος εἰμί ὅς ὅς πρός Θ΄ ( ὁ γάρ μῆκος τριπλάσιος δύναμις ἐνναπλάσια εἰμί ) · καί ὁ ἀπό ὁ τρίτος οὖν ὁ ∠Ε πρός ὁ ἀπό ΒΓ λόγος εἰμί ὅς Α΄ πρός νδ΄ δείκνυμι δέ ὅτι λϚ΄ πρός νδ΄ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΖΘ πρός ὁ ἀπό ΒΓ · διά ἴσος ἄρα λϚ΄ πρός ὅς μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΖΘ πρός ὁ ἀπό ὁ Γ΄ ὁ ∠Ε · καί μῆκος ἄρα ΣΤ΄ πρός Α΄ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΖΘ πρός ὁ Γ΄ ὁ ∠Ε . λόγος δέ ΣΤ΄ τετράγωνος ὁ ΖΗ πρός Α΄ ὅς ΣΤ΄ πρός Α΄ καί εἰμί ὁ ΣΤ΄ τετράγωνος ἴσος Η΄ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ · καί Η΄ ἄρα τρίγωνος ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΖΗ τετράγωνος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΖΘ πρός ὁ Γ΄ ὁ ∠~ . καί εἰμί ὀκτάεδρος ὀκτώ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ἐπί ὕψος ὁ Γ΄ ὁ ∠Ε , κύβος δέ ὁ ΖΗ τετράγωνος ἐπί ὕψος ὁ ΘΖ · μείζων ἄρα ὁ ὀκτάεδρος ὁ κύβος .