pappus-mathematics.synagoge 3.37
37 Ἡ μέν οὖν ἀπόδειξις τοιαύτη τίς ἐστιν , ἔξῆς δὲ γράφομεν θεώρημα περὶ τὴν αὐτὴν γραμμὴν ὑπάρχον ἱστορίας ἄξιον . κδ΄ . Ἔστω γὰρ ὅ τε κύκλος ὁ προειρημένος ἐν τῇ γενέσει . καὶ ἡ ἕλιξ αὐτὴ ἡ ΑΖΕΒ λέγω ὅτι , ἥτις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΒΖ , ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ εὐθείας περιεχόμενον , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΖΒ κύβον . Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ κύκλος περὶ κέντρον τὸ B ὁ ΖΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα , οὕτως ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗΘ περιφερείας καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν περιεχόμενον σχῆμα ( ἑκάτερον γάρ ἑκατέρου τρίτον ἐδείχθη μέρος ) , ὁ δὲ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον , ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον , οὕτως τό ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ , ὡς δέ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τύ εἰρημένον χυρίον , ἡ ὕλη αὐτοῦ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΘ , τουτέστιν ἡ τοῦ ΑΓ∠ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠Α τουτέστιν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ , καὶ τὸ μεταξὺ ἄρα τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆχα πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΖ . οὗτος δὲ ὁ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΖ κύβον . μείου οὕτως ὥστε διὰ παντὸς φέρεσθαι τὸ ∠ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ μὴ ἐκπίπτειν ἑλκομένης τῆς Γ∠ΕΖ διὰ τοῦ Ε . τοιαύτης δὴ κινήσεως γενομένης ἐφ᾿ ἑκάτερα φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον γράψει γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΛΓΜ , καὶ ἔστιν αὐτῆς τὸ σύμπτωμα τοιοῦτον . ὡς ἂν εὐθεῖα προσπίπτῃ τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμήν , τὴν ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς τε ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς ΛΓΜ γραμμῆς ἴσην εἶναι τῇ Γ∠ εὐθείᾳ · μενούσης γὰρ τῆς ΑΒ καὶ μένοντος τοῦ Ε σημείου , ὅταν γένηται τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η , ἡ Γ∠ εὐθεῖα τῇ ΗΘ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Θ πεσεῖται · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ΗΘ . ὁμοίως καὶ ἐὰν ἑτέρα τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμὴν προσπέσῃ , τὴν ἀποτεμνομένην ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἴσην ποιήσει τῇ Γ∠ . καλείσθω δέ , φησιν , ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα κανών , τὸ δὲ σημεῖον πόλος , διάστημα δὲ Γ∠ , ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι πρὸς τὴν ΛΓΜ γραμμήν , αὐτὴ δὲ ἡ ΛΓΜ γραμμὴ κοχλοειδὴς πρώτη ( ἐπειδὴ καὶ ἡ δευτέρα καὶ ἡ τρίτη καὶ ἡ τετάρτη ἐκτίθεται εἰς ἄλλα θεωρήματα χρησιμεύουσαι ) .
Lemmas: 37 ὁ μέν οὖν ἀπόδειξις τοιοῦτος τίς εἰμί , ἑξῆς δέ γράφω θεώρημα περί ὁ αὐτός γραμμή ὑπάρχω ἱστορία ἄξιος . κδ΄ . ἔστω γάρ ὅς τε κύκλος ὁ προερέω ἐν ὁ γένεσις . καί ὁ ἕλιξ αὐτός ὁ ΑΒΕΖ λέγω ὅτι , ὅστις εἄν διάζομαι ὡς ὁ ΒΖ , εἰμί ὡς ὁ ὑπό ὁ ὅλος ἕλιξ καί ὁ ΑΒ εὐθύς περιέχω σχῆμα πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕΒ ἕλιξ καί ὁ ΒΖ εὐθύς περιέχω , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΒ κύβος . γράφω γάρ διά ὁ Ζ κύκλος περί κέντρον ὁ B ὁ ΖΗΘ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ὑπό ὁ ΑΒΕΖ γραμμή καί ὁ ΑΒ εὐθύς περιέχω σχῆμα πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕΒ γραμμή καί ὁ ΖΒ εὐθύς περιέχω σχῆμα , οὕτως ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΗΘ περιφέρεια καί ὁ ΖΒΘ εὐθύς περιέχω σχῆμα ( ἑκάτερος γάρ ἑκάτερος τρίτος δείκνυμι μέρος ) , ὁ δέ ΑΓ∠ κύκλος πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΒΘ εὐθύς καί ὁ ΖΗΘ περιφέρεια ἀπολαμβάνω χωρίον ὁ σύγκειμαι ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρός ὁ ΖΗΘ κύκλος καί ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ΖΗΘ κύκλος πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΒΘ εὐθύς καί ὁ ΖΗΘ περιφέρεια ἀπολαμβάνω χωρίον , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρός ὁ ΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ , ὡς δέ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρός ὅς εἴρω κυρέω , ὁ ὕλη αὐτός περιφέρεια πρός ὁ ΖΗΘ , τουτέστιν ὁ ὁ ΑΓ∠ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ Γ∠Α τουτέστιν διά ὁ σύμπτωμα ὁ γραμμή ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὁ ΒΖ , καί ὁ μεταξύ ἄρα ὁ ἕλιξ καί ὁ ΑΒ εὐθύς σχῆχα πρός ὁ μεταξύ ὁ ἕλιξ καί ὁ ΒΖ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΒ καί ἐκ ὁ ὁ ΑΒ πρός ΒΖ . οὗτος δέ ὁ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ κύβος . μειόω οὕτως ὥστε διά πᾶς φέρω ὁ ∠ ἐπί ὁ ΑΒ εὐθύς καί μή ἐκπίπτω ἕλκω ὁ ΓΕΖ διά ὁ Ε . τοιοῦτος δή κίνησις γίγνομαι ἐπί ἑκάτερος φανερός ὅτι ὁ Γ σημεῖον γράφω γραμμή οἷος εἰμί ὁ ΛΓΜ , καί εἰμί αὐτός ὁ σύμπτωμα τοιοῦτος . ὡς εἄν εὐθύς προσπίπτω τις ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ γραμμή , ὁ ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε ΑΒ εὐθύς καί ὁ ΛΓΜ γραμμή ἴσος εἰμί ὁ Γ∠ εὐθύς · Μένων γάρ ὁ ΑΒ καί Μένων ὁ Ε σημεῖον , ὅταν γίγνομαι ὁ ∠ ἐπί ὁ ὁ , ὁ Γ∠ εὐθύς ὁ ΗΘ ἐφάρμοσις καί ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ Θ πίπτω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Γ∠ ὁ ΗΘ . ὁμοίως καί ἐάν ἕτερος τις ἀπό ὁ Ε σημεῖον πρός ὁ γραμμή προσπίπτω , ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ γραμμή καί ὁ ΑΒ εὐθύς ἴσος ποιέω ὁ Γ∠ . καλέω δέ , φημί , ὁ μέν ΑΒ εὐθύς κανών , ὁ δέ σημεῖον πόλος , διάστημα δέ Γ∠ , ἐπεί οὗτος Ἴσαι εἰμί ὁ προσπίπτω πρός ὁ ΛΓΜ γραμμή , αὐτός δέ ὁ ΛΓΜ γραμμή κοχλοειδής πρῶτος ( ἐπεί καί ὁ δύο καί ὁ τρίτος καί ὁ τέταρτος ἐκτίθημι εἰς ἄλλος θεώρημα χρησιμεύω ) .