pappus-mathematics.synagoge 4.4
4 α΄ . Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ , καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι , πολυγωνότερον δὲ τὸ ∠ΕΖ · λέγω ὅτι τὸ ∠ΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ . Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ , κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ . ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ Ε∠Ζ τοῦ ΑΒΓ , πλεονάκις ἡ ∠Ζ τὴν τοῦ ∠ΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ∠Ζ ( ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι ) , ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ∠Λ ( ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας ) . κείσθω τῇ ∠Λ ἴση ἡ ΚΜ , καὶ ἐπεζεύχθω ΜΗ . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν ( ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον ) , ὁμοίως δὲ καί , ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῆς τοῦ ∠ΕΖ περιμέτρου ; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν , καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον , οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὀρθάς . ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ , τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ , πρὸς τὴν ∠Ζ , αἱ δ΄ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ γωνίαν · δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν Λ∠ , τουτέστιν πρὸς ΚΜ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ . ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ ( τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεὶκται ) · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ∠ΘΛ . ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ Θ∠Λ ἐλάσσων . ἔστω τῇ ὑπὸ Θ∠Λ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ · καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Λ τῇ ΚΜ · καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν · μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ . ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι · μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ . καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χμρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα · μεῖζον ἄρα τὸ ∠ΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ .
Lemmas: 4 Α΄ . ἔστω δύο πολύγωνος ισόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ , καί εἰμί Ἴσαι μέν αὐτός ὁ περίμετρος , πολύγωνος δέ ὁ ∠ΕΖ · λέγω ὅτι ὁ ∠ΕΖ μείζων ὁ ΓΑΒ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ περιγράφω αὐτός κύκλος ὁ ὁ Θ , κάθετος ἄγω ὁ ΗΚ ΘΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ . ἐπεί οὖν πολύγωνος εἰμί ὁ Ε∠Ζ ὁ ΑΒΓ , πλεονάκις ὁ ∠Ζ ὁ ὁ ∠ΕΖ πολύγωνος καταμετρέω περίμετρον ἤ2 ὁ ΑΓ ὁ ὁ ΑΒΓ μείζων ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ∠Ζ ( Ἴσαι γάρ ὑπόκειμαι ὁ περίμετρος ) , ὥστε καί ὁ ΑΚ μείζων ὁ ∠Λ ( ἥμισυς γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος ) . κεῖμαι ὁ ∠Λ ἴσος ὁ ΚΜ , καί ἐπιζεύγνυμι μη . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΓ εὐθύς ὁ ὁ ΑΒΓ πολύγωνος περίμετρον , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΗΓ γωνία τέσσαρες ὀρθός ( ἐπεί ἰσόπλευρος εἰμί ὁ πολύγωνος ) , ὁμοίως δέ καί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ∠Ζ ὁ ὁ ∠ΕΖ περίμετρον ; ὁ αὐτός μέρος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΘΖ γωνία τέσσαρες ὀρθός , καί εἰμί Ἴσαι ὁ περίμετρος ἀλλήλων καί ὁ Δ΄ ὀρθός ὁ Δ΄ ὀρθός , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ περίμετρον , οὕτως ὁ ὁ γωνία πρός Δ΄ ὀρθός . ὡς δέ ὁ περίμετρος ὁ ∠ΕΖ , τουτέστιν ὁ ΑΒΓ , πρός ὁ ∠Ζ , ὁ Δ΄ ὀρθός πρός ὁ ὑπό ∠ΘΖ γωνία · διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΗΓ πρός ὁ ὑπό ∠ΘΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΚ πρός ὁ Λ∠ , τουτέστιν πρός ΚΜ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΗΚ πρός ὁ ὑπό ∠ΘΛ . ὁ δέ ΑΚ πρός ὁ ΚΜ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΑΗΚ πρός ὁ ὑπό Μήκ ( οὗτος γάρ ἐν ὁ εἰς ὁ σφαιρικός λῆμμα δείκνυμι ) · καί ὁ ὑπό ΑΗΚ ἄρα γωνία πρός ὁ ὑπό ∠ΘΛ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΑΗΚ γωνία πρός ὁ ὑπό Μήκ · μείζων ἄρα ὁ ὑπό Μήκ ὁ ὑπό ∠ΘΛ . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Κ ὀρθός ἴσος ὁ πρός ὁ Λ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΗΜΚ ὁ ὑπό Θ∠Λ μικρός . ἵστημι ὁ ὑπό Θ∠Λ ἴσος ὁ ὑπό ΚΜΝ · καί εἰμί ἴσος ὁ ∠Λ ὁ ΚΜ · καί ὁ ΛΘ ἄρα ὁ ΚΝ ἴσος εἰμί · μείζων ἄρα ὁ ΘΛ ὁ ΚΗ . Ἴσαι δέ ὁ περίμετρος · μείζων ἄρα ὁ ὑπό ΛΘ καί ὁ περίμετρον ὁ ∠ΕΖ περιέχω ὀρθογώνιος ὁ ὑπό ὁ ΚΗ καί ὁ περίμετρον ὁ ΑΒΓ . καί εἰμί ὁ εἴρω χμρίων ἥμισυς ὁ πολύγωνος · μείζων ἄρα ὁ ∠ΕΖ πολύγωνος ὁ ΑΒΓ .