pappus-mathematics.synagoge 2.86
86 μη΄ . Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι . Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶε αὐτῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠ . ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ · ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶν ΑΓ Α∠ γωνίας . καὶ ἐφέστηκεν ἡ ΑΒ ἴσας ποιοῦσα μετὰ τῶν ΑΓ Α∠ γωνίας · διὰ τὰ προδειχθέντα ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ , καὶ ἐχάψεται τῆς σφαίρας ἐὰν γὰρ ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ∠Α ΑΓ ἐπίπεδον , ποιήσει κύκλον , ἐν ᾧ ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ Α∠Γ , καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ ἐχάψεται ἄρα ἡ ΕΖ τοῦ κύκλου , ὥστε καὶ τῆς σφαίρας . ἐκβληθέν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ ΑΒ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον , οὗ διάμετρος ἔσται ἡ ΑΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπτομένῃ ὁμοίως . τἂν διὰ τοῦ ∠ τῇ ΑΒ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΗΘ , ἐτάψεται τῆς σχαίρας , καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἔσται ἡ Γ∠ . κἂν ἐκθληθῇ τὸ διὰ τῶν ΗΘ Γ∠ ἐπίπεδον , κύκλον ποιήσει διάμετρον ἔχοντα τὴν Γ∠ ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι τὴν ΑΒ παράλληλοι γὰρ αἱ ΕΖ Γ∠ καὶ αἱ ΑΒ ΗΘ . ἤχθω διὰ τοῦ Κ κέντρου τῇ Γ∠ ὀρθὴ ἡ ΛΜ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΒ . κἂν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΒΛ ΒΜ , ἡ μὲν ΒΜ ὀρθὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΛΜ καὶ τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις , ἡ δὲ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας ( προδέδεικται γάρ ) . καὶ ἐπεὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜΓ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΓ , ἔσται καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΓΜ . καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ . ἴση ἄρα ἡ ΒΜ τῇ ΜΓ , ὕστε διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΛΜ τοῦ ἀπὸ ΜΒ · ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΛ τοῦ ἀπὸ ΛΜ . καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τοῦ κύκλου διάμετρος . καὶ οἱ κύκλοι θέσει , καὶ δοθέντα τὰ Α Β Γ ∠ σημεῖα . Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά · δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους , ὥστε τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου διαμέτρου , καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς ΑΒ ΛΜ , ὡς προεμάθομεν , καὶ τῇ ΛΜ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθὴν τὴν Γ∠ , καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυραμίδος τὰ Α Β Γ ∠ . καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος .
Lemmas: 86 μη΄ . εἰς ὁ δίδωμι σφαῖρα πυραμίς ἐγγράφω . ἐγγράφω καί ἵστημι σημεῖον ὁ γωνιῶε αὐτός ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Α Β Γ ∠ . ἄγω δή διά ὁ Α ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΕΖ · ἴσος δή περιέχω μετά ὁ ΑΓ Α∠ γωνία . καί ἐφίστημι ὁ ΑΒ ἴσος ποιέω μετά ὁ ΑΓ Α∠ γωνία · διά ὁ προδείκνυμι ἄρα ὀρθός εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ , καί χάπτω ὁ σφαῖρα ἐάν γάρ ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ∠Α ΑΓ ἐπίπεδος , ποιέω κύκλος , ἐν ὅς ἰσόπλευρος ἐγγράφω τρίγωνος ὁ Α∠Γ , καί ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΕΖ χάπτω ἄρα ὁ ΕΖ ὁ κύκλος , ὥστε καί ὁ σφαῖρα . ἐκβάλλω οὖν ὁ διά ὁ ΕΖ ΑΒ ἐπίπεδος τομή ποιέω ὁ σφαῖρα κύκλος , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒ διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ ΕΖ ἐφάπτω ὁμοίως . ἄν διά ὁ ∠ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ , ἐτάψεται ὁ σχαιηρα , καί ὀρθός αὐτός εἰμί ὁ Γ∠ . κἀν ἐκθάλλω ὁ διά ὁ ΗΘ Γ∠ ἐπίπεδος , κύκλος ποιέω διάμετρος ἔχω ὁ Γ∠ ἴσος καί παράλληλος ὁ διάμετρος ἔχω ὁ ΑΒ παράλληλος γάρ ὁ ΕΖ Γ∠ καί ὁ ΑΒ ΗΘ . ἄγω διά ὁ Κ κέντρον ὁ Γ∠ ὀρθός ὁ ΛΜ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ . κἀν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΛ ΒΜ , ὁ μέν ΒΜ ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΛΜ καί ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ὁ δέ ΒΛ διάμετρος ὁ σφαῖρα ( προδείκνυμι γάρ ) . καί ἐπεί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΓ ὁ ἀπό ὁ ΛΜ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΜΓ , εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ διπλάσιος ὁ ἀπό ΓΜ . καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΜΓ . ἴσος ἄρα ὁ ΒΜ ὁ ΜΓ , ὕω διπλάσιος ὁ ἀπό ΛΜ ὁ ἀπό ΜΒ · ἡμιόλιος ἄρα ὁ ἀπό ΒΛ ὁ ἀπό ΛΜ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΒΛ διάμετρος ὁ σφαῖρα · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΛΜ ὁ κύκλος διάμετρος . καί ὁ κύκλος θέσις , καί δίδωμι ὁ Α Β Γ ∠ σημεῖον . καί ὁ σύνθεσις φανερός · δήω γάρ ἐν ὁ σφαῖρα γράφω δύο κύκλος ἴσος καί παράλληλος , ὥστε ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἡμιόλιος εἰμί δύναμις ὁ ἑκάτερος διάμετρος , καί ἄγω δύο διάμετρος παράλληλος ὁ ΑΒ ΛΜ , ὡς προμανθάνω , καί ὁ ΛΜ διά ὁ κέντρον ὀρθός ὁ Γ∠ , καί ἔχω ὁ σημεῖον ὁ γωνία ὁ πυραμίς ὁ Α Β Γ ∠ . καί ὁ ἀπόδειξις ἀντίστροφος ὁ ἀνάλυσις καί συναποδείκνυμι ὅτι ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἡμιολία εἰμί δύναμις ὁ πλευρά ὁ πυραμίς .