ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 4.73
73 μδ΄ ( α΄ ) . Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου , ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον . Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΘ ( δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν ΒΓ ) , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ Β∠ΕΓ ( δῆλον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΘ κάθετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου ) , καὶ διὸ τοῦ Α παράλληλος ἤχθω τῇ ΒΓ ἡ ΖΑΗ . ἐπεὶ οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΒΘ δυνάμει , ἐπίτριτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΑΘ δυνάμει , τουτέστιν ἡ ∠Β τῆς ΒΖ · ἡ ∠Β ἄρα τῆς ΒΖ , ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ . καὶ ἔστιν ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ , τὸ ΒΕ τετράγωνον πρὸς τὸ ΖΓ καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ΖΓ παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν , μεῖον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου .
Lemmas: 73 μδ΄ ( Α΄ ) . Παντὸς ἰσόπλευρος τρίγωνος ὁ ἀπό εἷς πλευρά τετράγωνος μείζων μέν εἰμί ἢ διπλάσιος ὁ ἰσόπλευρος τρίγωνος , μικρός δέ ἢ τετραπλάσιος . ἔστω γάρ τρίγωνος ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓ καί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΑΘ ( δίχα δηλονότι τέμνω ὁ ΒΓ ) , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος ὁ Β∠ΕΓ ( δῆλος γάρ ὅτι ὑπερπίπτω ὁ ΑΒΓ τρίγωνος διά ὁ μικρός εἰμί ὁ ΑΘ κάθετος ὁ πλευρά ὁ τρίγωνος ) , καί διό ὁ Α παράλληλος ἄγω ὁ ΒΓ ὁ ΖΑΗ . ἐπεί οὖν τετραπλόος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΘ δύναμις , ἐπίτριτος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΘ δύναμις , τουτέστιν ὁ ∠Β ὁ ΒΖ · ὁ ∠Β ἄρα ὁ ΒΖ , μικρός εἰμί ἢ διπλόος . καί εἰμί ὡς ὁ ∠Β πρός ΒΖ , ὁ ΒΕ τετράγωνος πρός ὁ ΖΓ καί ὁ ΒΕ ἄρα τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ἢ διπλάσιος ὁ ΖΓ παραλληλόγραμμος τουτέστιν ἢ τετραπλάσιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . ὁ ΒΕ ἄρα τετράγωνος μικρός μέν ἢ τετραπλάσιος εἰμί , μείων δέ ἢ διπλάσιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος .
pappus-mathematics.synagoge 4.74
74 με΄ ( β΄ ) . Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ , ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν , καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε · φανερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ Β∠ · ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ∠Ε . Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς , ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει τετραπλασία , διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Β∠ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ BΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων , τοῦ δέ ἀπὸ Β∠ διπλάσιον , τὸ ἄρα ἀπὸ Β∠ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον . ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠ · τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕ∠ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ ΒΕ · διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ∠Ε · τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ Ε∠ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ B∠ , τοῦ ἀπὸ ∠Ε .
Lemmas: 74 ὅς ( Β΄ ) . ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα νῆς περιλαμβάνω ὁ ὀκτάεδρος ἐπί ὁ ἐπίπεδος ὁ ὀκτάεδρον κάθετος δύναμις τρίτος μέρος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ἔστω τρίγωνος ὁ ὀκτάεδρον ὁ ΑΒΓ , ἐν ὁ σφαῖρα εἰμί , καί περί αὐτός κύκλος , καί ἀπό ὁ ∠ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ∠Ε · φανερός δή ἐκ ὁ σφαιρικός ὅτι ὁ Ε κέντρον εἰμί ὁ κύκλος . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ Β∠ · ὅτι ὁ ἀπό ὁ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα τριπλάσιος ὁ ἀπό ∠Ε . ἐπεί γάρ δείκνυμι ἐν ὁ ὀκτάεδρος ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ ὀκτάεδρον πλευρά , εἰμί δέ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα δύναμις τετραπλάσιος , διπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΒΓ ὁ ἀπό Β∠ . καί ἐπεί ὁ ἀπό BΓ ὁ μέν ἀπό ΒΕ τριπλάσιος εἰμί διά ὁ ἰβʹ ὁ ἰ στοιχεῖον , ὁ δέ ἀπό Β∠ διπλάσιος , ὁ ἄρα ἀπό Β∠ ὁ ἀπό ΒΕ ἡμιόλιος . ἴσος δέ ὁ ἀπό Β∠ ὁ ἀπό ΒΕ∠ · ὁ ἄρα ἀπό ΒΕ∠ ἡμιόλιος ὁ ἀπό ΒΕ · διπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΒΕ ὁ ἀπό ∠Ε · τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΒΕ Ε∠ , τουτέστιν ὁ ἀπό B∠ , ὁ ἀπό ∠Ε .
pappus-mathematics.synagoge 4.75
Ἄλλως τὸ αὐτό . 75 μϚ΄ ( γ΄ ) . Ἐκκείσθω τετράγωνον , ἐφʼ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἳ τε ΑΓ Β∠ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ · ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας , ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις · ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ ( ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ ) , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ . καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ , καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται . πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ , καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΑ ὀρθή · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσος ; ὀρθῆς · ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ . ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ · τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀνὸ ΖΗ . ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον · καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστιν .
Lemmas: ἄλλος ὁ αὐτός . 75 μϚ΄ ( Γ΄ ) . ἔκκειμαι τετράγωνος , ἐπί ὅς ὁ ἥμισυς ὁ ὀκτάεδρον ἵστημι ὁ ΑΒΓ∠Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΑΓ Β∠ διάμετρος ὁ τετράγωνος καί ὁ ΕΖ · ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρον εἰμί ὁ περιλαμβάνω ὁ ὀκτάεδρος σφαῖρα , ὡς ἐν ὁ στοιχεῖον · ἀπό ὁ Ζ κέντρον τοίνυν ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΖΗ ( ἴσος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ ΗΒ ) , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ . καί ἐπεί ἰσόπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνος , καί ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΒ , καί ὁ ΕΗ ἥκω διά ὁ κέντρον ὁ περί ὁ ΑΒΕ τρίγωνος κύκλος ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒΕ κύκλος κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΕΗ πίπτω . πίπτω ὡς ὁ ΖΘ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ αζʹ ὁ ΖΒ , καί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΖΒ , ὁ ἄρα ὑπό ΖΑΗ ἥμισυς ὀρθός εἰμί . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΖΗΑ ὀρθός · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΗ ἥμισος ; ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ ΖΗ διπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό αζʹ ὁ ἀπό ΖΗ . ἴσος δέ ὁ αζʹ ὁ ΕΖ · τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΕΖΗ ὁ Ανό ΖΗ . ἀλλά ὁ ἀπό ΕΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΗ διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ ΕΖ πρός ὁ ΑΒΓ∠ τετράγωνος · καί ὁ ἀπό ΕΗ ἄρα τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΖΗ καί εἰμί ὡς ὁ ΕΗ πρός ὁ ΗΖ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΘ διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνος καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ἀπό ὁ ΖΘ κάθετος ἐπί ὁ ἐπίπεδος ὁ ὀκτάεδρον τριπλάσιος εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.76
76 μζ΄ ( δ΄ ) . Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγεγραμμένον εἰς σφαῖραν , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ ∠ , καὶ ἤχθω ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε ( τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου κύκλου , ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς ) , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω · ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ · ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΕΒΖ , διμοίρου δὲ ὁρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ , ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ , ἡ ΒΕ , τουτέστιν ἡ ΑΕ , πρὸς ΕΖ . δοπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ .
Lemmas: 76 μζ΄ ( Δ΄ ) . ἔστω τρίγωνος ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓ ἐγγράφω εἰς σφαῖρα , κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ὁ ∠ , καί ἄγω ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ὁ τρίγωνος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ∠Ε ( ὁ Ε ἄρα κέντρον εἰμί ὁ περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος γράφω κύκλος , ὡς εἰμί ἐν σφαιρικός ) , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ ἐκβάλλω · ὅτι ὁ ΑΕ ὁ ΕΖ διπλόος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ ΕΓ · Ἴσαι ἄρα ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί τρίτος μέν ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΑΕ ΕΒΖ , δίμοιρος δέ ὀρθός ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΕΖ ΑΒΓ , ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΖ τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΖ , ὁ ΒΕ , τουτέστιν ὁ ΑΕ , πρός ΕΖ . δοπλῆ δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΖ διπλόος ἄρα καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΖ .
pappus-mathematics.synagoge 4.77
77 μη΄ ( ε΄ . ) Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ , πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ∠ΗΒ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ , καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ ΖΗ · ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ Ε∠ Ζ∠ Γ∠ . ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ δ περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν ( πενταγώνου γὰρ ἡ ∠ΓΒ ) , εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ∠ΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς · ὤστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓ∠ Ε∠Γ τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν . ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν , κοινὴ δὲ ἡ ∠Η καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ , ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ εὐθεῖα τῇ ΛΓ ἴση · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ τεσσάρων πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς . δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕ∠ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ τῇ ὑπὸ Ε∠Ζ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ Ζ∠ ἴση ἐστίν , τουτέστιν τῇ ∠Γ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε∠Γ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΓ , καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ∠ΓΖ , λοιπὴ ἄρα ἡ . ὑπὸ ∠ΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ Ζ∠Γ ἐστὶν ἴση ἰσογώνιον ἄρα τὸ ∠ΕΓ τρίγωνον τῷ ∠ΖΓ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς Γ∠ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Γ∠ . ἴση δὲ ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ EΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΖ ἡ ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ EΖ .
Lemmas: 77 μη΄ ( Ε΄ . ) ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ περί κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ὁ ΑΓ , πεντάγωνος δέ ἵστημι ὁ ∠ΗΒ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΓ διάμετρος , καί κεῖμαι ὁ ΓΗ ἴσος ὁ ΖΗ · ὅτι ὁ ΕΓ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ὁ μείζων τμῆμα εἰμί ὁ ΕΖ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ Ε∠ Ζ∠ Γ∠ . ἐπεί οὖν ὁ Γ∠ δ περιφέρεια δεκάγωνος εἰμί ( πεντάγωνος γάρ ὁ ∠ΓΒ ) , εἰμί εἄν ὁ ὑπό ∠ΕΓ γωνία δύο πέμπτος ὀρθός · ὥστε ἑκάτερος ὁ ὑπό ΕΓ∠ Ε∠Γ τέσσαρες πέμπτος ὀρθός εἰμί . ἀλλά ἐπεί ὁ ΖΗ ὁ ΗΓ ἴσος εἰμί , κοινός δέ ὁ ∠Η καί πρός ὀρθός ὁ ΖΓ , εἰμί ἄρα καί ὁ ∠Ζ εὐθύς ὁ ΛΓ ἴσος · ὥστε καί ὁ ὑπό ∠ΖΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΓΖ τέσσαρες πέμπτος εἰμί ὀρθός . δύο δέ πέμπτος εἰμί ὁ ὑπό ΖΕ∠ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Ε∠Ζ δύο πέμπτος ὀρθός εἰμί ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ∠ΕΖ ὁ ὑπό Ε∠Ζ ὥστε καί πλευρόν ὁ ΕΖ ὁ Ζ∠ ἴσος εἰμί , τουτέστιν ὁ ∠Γ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Ε∠Γ ὁ ὑπό ΕΓ∠ , τουτέστιν ὁ ὑπό ∠ΑΓ , καί κοινός ὁ ὑπό ∠ΓΖ , λοιπός ἄρα ὁ . ὑπό ∠ΕΓ λοιπός ὁ ὑπό Ζ∠Γ εἰμί ἴσος ἰσογώνιος ἄρα ὁ ∠ΕΓ τρίγωνος ὁ ∠ΖΓ τρίγωνος εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΓ πρός Γ∠ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ΓΖ · ὁ ἄρα ὑπό ΕΓΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Γ∠ . ἴσος δέ ὁ Γ∠ ὁ ΕΖ ὁ ἄρα ὑπό EΓΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό EΖ ὁ ΕΓ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ὁ μείζων τμῆμα εἰμί ὁ EΖ .
pappus-mathematics.synagoge 4.78
78 μθ΄ ( Ϛ΄ ) . Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ . Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ · λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ . Κείσθω τῇ ΓΒ ἴση Γ∠ · γίνεται ἄρα , διὰ τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμῆσθαι τὴν ΑΒ εὐθεῖαν , τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ , ὡς ἔστιν στοιχείοις δʼ τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματι , τουτέστιν τῳ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ . ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ ( ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ , ὥς ἔστι στοιχείοις τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄ ) · τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΒΓ ἴσα ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ · κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΓ , τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓ∠ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ Γ∠ . ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ Α∠Γ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ Γ∠ ( ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ ἀπὸ ∠Γ διὰ τὸ αὐτὸ γ΄ τοῦ β’ στοιχείων θεώρημα ) · τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ πεντάκις ἀπὸ Γ∠ , τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ .
Lemmas: 78 μθ΄ ( ΣΤ΄ ) . ἐάν εὐθύς γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 Δ΄ πρός Γ΄ . εὐθύς γάρ ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ , καί ἵστημι μικρός αὐτός τμῆμα ὁ ΓΒ · λέγω ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 Δ΄ πρός Γ΄ . κέω ὁ ΓΒ ἴσος Γ∠ · γίγνομαι ἄρα , διά ὁ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ ΑΒ εὐθύς , ὁ ἀπό ΑΒ καί ὁ ἀπό ΓΒ ἴσος ὁ τρίς ἀπό ΑΓ , ὡς εἰμί στοιχεῖον δέ ὁ τρισκαιδέκατος θεώρημα , τουτέστιν ὁ τρίς ὑπό ΑΒΓ . ἀλλά ὁ τρίς ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ τρίς ὑπό ΑΓΒ καί ὁ τρίς ἀπό ΓΒ ( ἐπεί καί ὁ ἅπαξ ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ καί ὁ ἀπό ΒΓ , ὅς εἰμί στοιχεῖον ὁ Γ΄ θεώρημα ὁ Β΄ ) · ὁ ἄρα ἀπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ τρίς ὑπό ΑΓΒ καί ὁ τρίς ἀπό ΓΒ · κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΒΓ λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ τρίς ὑπό ΑΓΒ καί ὁ δίς ἀπό ΒΓ , τουτέστιν ὁ τρίς ὑπό ΑΓ∠ καί ὁ δίς ἀπό Γ∠ . ἀλλά ὁ τρίς ὑπό ΑΓ∠ ἴσος εἰμί ὁ τρίς ἀπό Α∠Γ καί ὁ τρίς ἀπό Γ∠ ( ἐπεί καί ὁ ἅπαξ ὑπό ΑΓ∠ ἴσος ὁ ὑπό Α∠Γ καί ὁ ἀπό ∠Γ διά ὁ αὐτός Γ΄ ὁ βε στοιχεῖον θεώρημα ) · ὁ ἄρα ἀπό ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ τρίς ὑπό Α∠Γ καί ὁ πεντάκις ἀπό Γ∠ , τουτέστιν ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ .
pappus-mathematics.synagoge 4.79
79 κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ∠Ε · φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ∠Α τῆς Γ∠ , ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ . καθόλου γάρ , ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἡ ΑΒ , καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ , καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Γ∠ , καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὑτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ , διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Γ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ∠Ε · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ∠ΓΕ . κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ7 καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ , τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε , μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ζονΓΕ . ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠Γ · καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ . κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε καὶ τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ , τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ · τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ . λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ , ὃν α’ πρὸς γ΄ τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ α’ πρὸς γ΄ συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ , τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ , πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνῳ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ .
Lemmas: 79 κεῖμαι δή ὁ ΑΔ ἴσος ὁ ∠Ε · φανερός γάρ ὅτι μικρός εἰμί ὁ ∠Α ὁ Γ∠ , ἐπεί καί ὁ ΓΑ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μείζων αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ∠Γ . καθόλου γάρ , ἐάν ἄκρος καί μέσος λόγος εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς ὁ ΑΒ , καί ὁ μικρός τμῆμα οἷος ὁ ΓΒ , καί ὁ ΓΒ ἴσος τίθημι ὁ Γ∠ , καί ὁ ΑΓ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μείζων ἑαυτοῦ τμῆμα εἰμί ὁ ∠Γ , διά ὁ αὐτός καί ὁ ∠Γ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ Ε , καί ὁ μείζων αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ∠Ε · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ∠ΕΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ∠ΓΕ . κοινός πρόσκειμαι ὁ τετράκις ὑπό ∠ΓΕ · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ∠ΕΓ7 καί ὁ τετράκις ὑπό ∠ΓΕ , τουτέστιν ὁ τετράκις ἀπό ∠Ε , μείζων ὁ πεντάκις ὑπό ζονΓΕ . ἀλλά ὁ τετράκις ὑπό ∠Γ · καί ὁ τετράκις ἀπό ∠Ε ἴσος εἰμί ὁ τετράκις ὑπό Γ∠Ε · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό Γ∠Ε μείζων ὁ πεντάκις ὑπό ∠ΓΕ . κοινός πρόσκειμαι ὁ πεντάκις ὑπό Γ∠Ε ὁ ἄρα ἐννάκις ὑπό Γ∠Ε μέγας εἰμί ὁ πεντάκις ὑπό Γ∠Ε καί ὁ πεντάκις ὑπό ∠ΓΕ , τουτέστιν ὁ πεντάκις ἀπό ∠Γ · ὁ ἄρα τρίς ὑπό Α∠Γ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ∠Γ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ἐννάκις ὑπό Α∠Γ . λόγος δέ ὁ τρίς ὑπό Α∠Γ πρός ὁ ἐννάκις ὑπό Α∠Γ , ὅς ὅς πρός Γ΄ ὁ ἄρα τρίς ὑπό Α∠Γ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ∠Γ μείζων λόγος ἔχω ὅσπερ ὅς πρός Γ΄ συντίθημι ὁ ἄρα τρίς ὑπό Α∠Γ καί πεντάκις ἀπό ∠Γ , τουτέστιν ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ , πρός ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 Δ΄ πρός Γ΄ δείκνυμι δέ ὁ τρίς ὑπό Α∠Γ καί ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ ἴσος ὁ ἀπό ΑΒ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ πεντάκις ἀπό ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 Δ΄ πρός Γ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 4.80
80 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς BΓ μεῖζόν ἐστιν .
Lemmas: 80 ἐκ δή οὗτος φανερός ὅτι καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ πεντάκις ἀπό ὁ BΓ μέγας εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.82
82 Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ · διὰ μὲν οὖν τὸ ε΄ θεώρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΞ , διὰ δὲ τὸ Ϛ΄ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον , τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον . καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ , τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ ( ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα ) · τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν . καὶ λϚ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκ΄ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν . ψκ΄ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὼ ἀπὸ ΛΙ ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ ) . ὀγδοήκοντα δέ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ ( διπλῆ γάρ ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ ) . εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιε΄ ἑστὶν τὰ ἀπὸ Β∠ ( ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ∠ΒΛ τρίγωνον , καὶ κάθετος ἡ ΛΚ , καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ Β∠ τῆς ΚΛ ) · ὥστε λς΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ Β∠ , καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ OΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠ , ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: 82 κέω ὁ ΚΓ ἴσος ὁ ΚΞ · διά μέν οὖν ὁ Ε΄ θεώρημα ὁ προγράφω ὁ ΕΓ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ξ , καί ὁ μείζων αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΕΞ , διά δέ ὁ ΣΤ΄ ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός ὁ ΞΓ μείζων ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ ὁ μέν ἀπό ὁ ΞΓ μέγας εἰμί ἢ πενταπλάσιος , ὁ δέ ἀπό ὁ ΚΓ μείζων ἢ εἰκοσαπλάσιος . καί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ΕΓ πρός ὁ ἀπό ΚΓ , ὁ ἀπό ΓΛ πρός ὁ ἀπό ΓΚ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΟΝ πρός ὁ ἀπό Ν ( ἰσογώνιος γάρ ὁ ἀδών Λιμ ΛΚΓ τρίγωνος ) · ὁ ἄρα ἀπό ΟΝ εἴκοσι ὁ ἀπό Ν μέγας εἰμί . καί λϚ΄ ἄρα ὁ ἀπό ΟΝ ψκ΄ ὁ ἀπό Ν μέγας εἰμί . ψκ΄ δέ ὁ ἀπό Ν ὀγδοήκοντα εἰμί ὁ ἀπό ΛΙ δείκνυμι γάρ τριπλόος ὁ ΛΙ ὁ ΙΝ ) . ὀγδοήκοντα δέ ὁ ἀπό ΙΛ εἴκοσί εἰμί ὁ ἀπό ΛΚ ( διπλόος γάρ ὁ ΛΚ ὁ ΛΙ ) . εἴκοσι δέ ὁ ἀπό ΚΛ ἵημι εἰμί ὁ ἀπό Β∠ ( ἰσόπλευρος γάρ εἰμί ὁ ∠ΒΛ τρίγωνος , καί κάθετος ὁ ΛΚ , καί ἐπίτριτος δύναμις ὁ Β∠ ὁ ΚΛ ) · ὥστε λς΄ ὁ ἀπό ΟΝ δεκαπέντε ὁ ἀπό Β∠ , καί δώδεκα ἄρα ὁ ἀπό OΝ μείζων πέντε ὁ ἀπό Β∠ , ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 4.83
83 να΄ ( η΄ ) . Εὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῶσιν , ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ . Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ , ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ∠Ε κατὰ τὸ Ζ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ∠Ζ , λέγω ἔτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ , οὕτως ὅλη ἡ ∠Ε πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ∠Ζ . Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ · καὶ ὡς ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ , οὕτως τὸ τεπράκις ὐπὸ ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ , καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὐπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ , οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ . ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ7 διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων , τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ∠ΕΖ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ · καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ , οὕτως συναμφότερος ἡ ∠ΕΖ πρὸς ∠Ζ . καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ , τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ , πρὸς ΑΓ , οὕτως συναμφότεραι αἱ ∠Ε ΕΖ μετὰ τῆς ∠Ζ , τουτέστιν δύο αἱ ∠Ε , πρὸς ∠Ζ . καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς ∠Ζ .
Lemmas: 83 ὅς ( Η΄ ) . ἐάν δύο εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ἐν ἀναλογία εἰμί ὁ ὑπόκειμαι . τέμνω γάρ ὁ μέν ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Γ , καί ὁ μείζων τμῆμα αὐτός ἵστημι ὁ ΑΓ , ὁμοίως δέ καί ὁ ∠Ε κατά ὁ Ζ , καί ὁ μείζων τμῆμα ἵστημι ὁ ∠Ζ , λέγω ἔτι ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὁ μείζων τμῆμα ὁ ΑΓ , οὕτως ὅλος ὁ ∠Ε πρός ὁ μείζων τμῆμα ὁ ∠Ζ . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὑπό ὁ ∠ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ∠ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ΑΓ , οὕτως ὁ τεπράκις ὑπό ∠ΕΖ πρός ὁ ἀπό ∠Ζ , καί συντίθημι ὡς ὁ τετράκις ὑπό ΑΒΓ μετά ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΑΓ , οὕτως ὁ τετράκις ὑπό ∠ΕΖ μετά ὁ ἀπό ∠Ζ πρός ὁ ἀπό ∠Ζ . ἀλλά ὁ μέν τετράκις ὑπό ΑΒΓ μετά ὁ ἀπό ΑΓ ὁ ἀπό συναμφότεροι εἰμί ὁ ΑΒ καί ΒΓ7 διά ὁ Η΄ θεώρημα ὁ Β΄ στοιχεῖον , ὁ δέ τετράκις ὑπό ∠ΕΖ μετά ὁ ἀπό ∠Ζ ὁ ἀπό συναμφότεροι εἰμί ὁ ∠ΕΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ∠ΕΖ πρός ὁ ἀπό ∠Ζ · καί μῆκος ἄρα ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒΓ πρός ΑΓ , οὕτως συναμφότερος ὁ ∠ΕΖ πρός ∠Ζ . καί συντίθημι ὡς συναμφότεροι ὁ ΑΒ ΒΓ μετά ὁ ΑΓ , τουτέστιν δύο ὁ ΑΒ , πρός ΑΓ , οὕτως συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΕΖ μετά ὁ ∠Ζ , τουτέστιν δύο ὁ ∠Ε , πρός ∠Ζ . καί ὁ ἡγέομαι ὁ ἥμισυς , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ∠Ε πρός ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 4.84
84 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι , ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι , ὡς αἱ ΑΒ ∠Ε , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ κατὰ τὰ Γ Ζ , ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὁμοίως ἴσα . ἐπεὶ γάρ , ὡς ἐδείχθη , ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς Ζ∠ , καὶ ἐναλλάξ : ~
Lemmas: 84 ἐκ δή οὗτος φανερός ὅτι , ἐάν εἰμί δύο εὐθύς Ἴσαι , ὡς ὁ ΑΒ ∠Ε , καί ἑκάτερος αὐτός ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ Ζ , εἰμί ὁ μείζων τμῆμα αὐτός ἴσος καί ὁ μικρός ὁμοίως ἴσος . ἐπεί γάρ , ὡς δείκνυμι , εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ∠Ε πρός Ζ∠ , καί ἐναλλάξ : ~
pappus-mathematics.synagoge 4.85
85 νβ΄ ( θ΄ ) . Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , οὗ κέντρον τὸ Ε , καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς Γ∠ , καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ · ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλασίων ἐστίν ( ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ Β∠Γ τριγώνων ) . τετμήσθω δʼ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΒΘ , καὶ γεγενήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ ( δυνατὸν δὲ τοῦτο ἡ γὰρ ΕΓ τῆς Ε∠ τριπλῆ ) · λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄ . Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ , καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Κ , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον δύναται , καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ , ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ θεώρημα τοῦ ιγ΄ στοιχείων ὥστε καὶ ἡ ΓΗ . ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΖΗ . ἀλλὰ διὰ τὸ προδεχθέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΘ , ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ , τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΖΓ καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ , ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν BΓ · δυνάμει τριπλῆ ἐστιν , τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ , οἵων ἄρα δυνάμει ἡ ΑΓ ιε΄ , τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ ε΄ , ἡ δὲ ΖΗ γ΄ · ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γʼ ὥστε καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄ .
Lemmas: 85 νβ΄ ( Θ΄ ) . ἔστω ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , ὅς κέντρον ὁ Ε , καί τριπλόος ὁ ΑΓ ὁ Γ∠ , καί ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ∠Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ · ὁ ΑΓ ἄρα ὁ ΒΓ δύναμις τριπλασίων εἰμί ( ὡς γάρ ὁ ΑΓ πρός Γ∠ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΒ διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒΓ Β∠Γ τρίγωνος ) . τέμνω δέ ὁ ΒΓ ἄκρος καί μέσος λόγος ὁ Θ , καί ὁ μείζων τμῆμα ἵστημι ὁ ΒΘ , καί γίγνομαι ὁ ΓΕ ὁ ΕΖ δύναμις πενταπλόος ( δυνατός δέ οὗτος ὁ γάρ ΕΓ ὁ Ε∠ τριπλόος ) · λέγω ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΒΘ πρός ὁ ΓΖ δύναμις ὅς Ε΄ πρός Γ΄ . κέω ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΕΗ , καί ὁ ΖΗ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ Κ , καί ἵστημι μείζων ὁ ΖΚ . καί ἐπεί εὐθύς ὁ ΓΕ ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ ΕΖ πενταπλάσιος δύναμαι , καί ὁ διπλόος ὁ ΕΖ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ Κ , ὁ ΚΖ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΖΓ διά ὁ θεώρημα ὁ ἰ στοιχεῖον ὥστε καί ὁ ΓΗ . ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ Ζ , καί ὁ μείζων αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΖΗ . ἀλλά διά ὁ προδείκνυμι εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΘ , ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΖ , τουτέστιν ὁ ΖΗ πρός ΖΓ καί ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΖΗ , ὁ ΒΘ πρός ὁ ΓΖ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ ὁ μέν BΓ · δύναμις τριπλόος εἰμί , ὁ δέ ΗΖ πενταπλόος , οἷος ἄρα δύναμις ὁ ΑΓ ἵημι , τοιοῦτος ὁ μέν ΒΓ Ε΄ , ὁ δέ ΖΗ Γ΄ · ὁ ΒΓ ἄρα πρός ΖΗ λόγος ἔχω δύναμις ὅς Ε΄ πρός γε ὥστε καί ὁ ΒΘ πρός ΖΓ λόγος ἔχω δύναμις ὅς Ε΄ πρός Γ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 4.86
86 νγ΄ ( ι΄ ) . Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον τύ Ζ , καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ , καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ , καὶ ἔστω μείζων ἡ B∠ · ὅτι τὰ ἀπὸ ΓB Β∠ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ . Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΓ · ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ , ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ ( ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ ) , ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ ( ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ ) . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ , οὕτως ΕΑ πρὸς ΕΓ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ . πλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ , τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚ ΚΜ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΖΗ .
Lemmas: 86 νγ΄ ( Ι΄ ) . πάλιν ἵστημι ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ ὅς κέντρον ὅς Ζ , καί πενταπλάσιος ὁ ἀπό ΓΖ ὁ ἀπό ΕΖ , καί ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ΒΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ δ , καί ἵστημι μείζων ὁ B∠ · ὅτι ὁ ἀπό ΓB Β∠ πενταπλάσιος ὁ ἀπό ΓΕ . κέω ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΖΓ · ὁ ΗΓ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ Ε , καί ὁ μείζων τμῆμα εἰμί ὁ ΕΗ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ἄγω ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΗ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΕΓ ὁ ΑΗ ( ὅτι καί ὁ ΕΖ ὁ ΖΗ ) , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΓ ὁ ἀπό ΕΗ . καί εἰμί ὡς μέν ὁ ἀπό ΕΗ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΕΓ , πρός ὁ ἀπό ΕΓ , οὕτως ὁ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό Β∠ ( ἐπεί καί ὡς ὁ ΗΕ πρός ΕΓ , ὁ ΓΒ πρός Β∠ ) . ὡς δέ ὁ ὑπό ΑΕΓ πρός ὁ ἀπό ΕΓ , οὕτως ΕΑ πρός ΕΓ καί ὡς ἄρα ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό Β∠ . πλάσια ὁ ἀπό ΒΘ , ὁ ἄρα ἀπό ΒΚ ΚΜ τριπλάσιος ὁ ἀπό ΖΗ .
pappus-mathematics.synagoge 4.89
89 ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο , καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ · δεκαγώνου ἄρα ἡ Ν0 διὰ τὸ προδειχθέν . καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου , ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ βιβλίῳ στοιχείων , ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ . καὶ εἰσὶν ἀμφότεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι · διὰ τὸ ἐν ἀρχῆ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ , ΚΜ πρὸς ΝΟ . καὶ τὰ τετράγωνα . καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν , πάντα πρὸς πάντα · τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια . ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ . καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου , ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον , οὗ κέντρον τὸ Ν , γραφομένου ( δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγ΄ στοιχείων καὶ τοῦτο ) . ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά ἐστιν ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου .
Lemmas: 89 ἔκκειμαι οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνω ὁ τρίγωνος ὁ εἰκοσάεδρος , καί ἀπό ὁ κέντρον τυγχάνω διάγω ὁ ΝΞ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ ὁ , καί μείζων ἵστημι τμῆμα ὁ ΟΝ · δεκάγωνος ἄρα ὁ Ν0 διά ὁ προδείκνυμι . καί ἐπεί ὁ ὁ τρίγωνος ὁ ἰσόπλευρος ὁ εἰς ὁ κύκλος ὅς κέντρον ὁ Ν γράφω τριπλάσιος εἰμί δύναμις ὁ ΝΞ ἐκ κέντρον , ὡς εἰμί ἐν ὁ ἰ βιβλίον στοιχεῖον , εἰμί δέ ὁ ὁ τρίγωνος ὁ ΚΒ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΒ τριπλάσιος ὁ ἀπό ΝΞ . καί εἰμί ἀμφότερος ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω · διά ὁ ἐν ἀρχής τοίνυν εἰμί ὡς ὁ ΒΚ πρός ΝΞ , ΚΜ πρός ΝΟ . καί ὁ τετράγωνος . καί ὡς εἷς πρός εἷς , πᾶς πρός πᾶς · ὁ ἄρα ἀπό ΒΚΜ ὁ ἀπό ΞΝΟ εἰμί τριπλάσιος . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΒΚΜ τριπλάσιος ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ΞΝΟ ὁ ἀπό ΖΗ . καί εἰμί ὁ μέν ΝΞ ἑξάγωνος , ὁ δέ ΝΟ δεκάγωνος ὁ ΖΗ ἄρα πεντάγωνος εἰμί πλευρόν ὁ εἰς ὁ κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Ν , γράφω ( δείκνυμι γάρ ἐν ὁ ἰ στοιχεῖον καί οὗτος ) . ὁ δέ ΖΗ πεντάγωνος εἰμί πλευρόν καί δωδεκάεδρον πλευρά εἰμί ὁ αὐτός ἄρα κύκλος περιλαμβάνω ὁ τρίγωνος ὁ εἰκοσάεδρος καί ὁ πεντάγωνος ὁ δωδεκάεδρον .
pappus-mathematics.synagoge 4.90
90 νϚ΄ ( ιγ΄ ) . Ἄλλως ὅτι αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καί τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον . Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον , καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου πεντάγωνον τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ Γ∠Ε , εἰκοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ · λέγω ὅτι οἱ κύκλοι ἴσοι εἰσίν , τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον . Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ · κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ · τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγ΄ στοιχείων . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ , καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ · δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ , τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ . ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ( ἡ γάρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων , ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων ) τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ .
Lemmas: 90 νϚ΄ ( ἰ ) . ἄλλος ὅτι αὐτός κύκλος περιλαμβάνω ὁ εἰκοσάεδρος τρίγωνος καί ὁ δωδεκάεδρον πεντάγωνος . ἔκκειμαι τις σφαῖρα καί ἐγγράφω εἰς αὐτός δωδεκάεδρον καί εἰκοσάεδρος , καί ἵστημι ὁ μέν δωδεκάεδρον πεντάγωνος ὁ Γ∠ΕΖΗ κύκλος περιέχω ὁ Γ∠Ε , εἰκοσάεδρος δέ τρίγωνος ἐν κύκλος ὁ ΠΡΣ · λέγω ὅτι ὁ κύκλος ἴσος εἰμί , τουτέστιν ὁ αὐτός κύκλος περιλαμβάνω ὁ πεντάγωνος καί ὁ τρίγωνος . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ · κύβος ἄρα ὁ ὑπό ὁ αὐτός σφαῖρα ὁ δωδεκάεδρον πλευρά εἰμί ὁ ΓΕ · οὗτος γάρ δείκνυμι ἰ στοιχεῖον . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Κ , καί κάθετος ἀπό αὐτός ὁ ΚΛ , καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Γ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ · δεκάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΓΘ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΘΕ τετραπλάσιος ὁ ἀπό ΘΚ , ὁ ἄρα ἀπό ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσιος ὁ ἀπό ΘΚ . ἀλλά ὁ ἀπό ΕΘ ΘΚ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ( ὁ γάρ ὁ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω , ὡς εἰμί ἰ στοιχεῖον ) ὁ ἄρα ἀπό ΓΕ ΕΖ πενταπλάσιος ὁ ἀπό ΘΚ .
pappus-mathematics.synagoge 4.92
92 νζ΄ ( ιδ΄ ) . Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων . Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓ∠Ε , καὶ ἐγγεγράφθω εῖς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ᾑ ΒΕ , πενταγώνου δὲ ἡ Γ∠ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ Α∠ ΑΕ ΒΘ ΓΘ . ἐπεὶ οὖν ΒΕ τριγώνου πλευρά ἐστιν , ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν . πάλιν ἐπεὶ ἡ Γ∠ πενταγώνου ἐστίν , ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐστίν . καὶ κάθετοί εἰσιν αἱ ΒΖ ΓΗ · μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ διὰ τὸ ἑξῆς · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔ∠ τρίγωνον τοῦ ΑΒΕ τριγώνου καὶ ξ΄ ἄρα τρίγωνα τὰ Γ∠Α ξ΄ τριγώνων τῶν ΒΑΕ μείζονά ἐστιν . ἀλλὰ ξ΄ μὲν τὰ ΓΑ∠ τρίγωνα τὸ δωδεκάεδρόν ἐστιν ( ἔκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑ∠ ) , ξ΄ δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν ἐστιν ( ἕκαστον γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ ΒΑΕ ) · μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων .
Lemmas: 92 νζ΄ ( ὁράω ) . ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω ὁ δώδεκα πεντάγωνος μέγας εἰμί εἴκοσι τρίγωνος . ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνω ὁ τε τρίγωνος ὁ εἰκοσάεδρος καί ὁ πεντάγωνος ὁ δωδεκάεδρον ὁ ΒΓ∠Ε , καί ἐγγράφω ἔρχομαι αὐτός τρίγωνος μέν πλευρόν ὁ ΒΕ , πεντάγωνος δέ ὁ Γ∠ , καί εἰμί παράλληλος , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Α , καί ἀπό αὐτός κάθετος ἐπί ὁ παράλληλος ὁ ΖΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΑΓ Α∠ ΑΕ ΒΘ ΓΘ . ἐπεί οὖν ΒΕ τρίγωνος πλευρά εἰμί , ὁ ΒΘ ἄρα ἑξάγωνος εἰμί . πάλιν ἐπεί ὁ Γ∠ πεντάγωνος εἰμί , ὁ ΓΘ ἄρα δεκάγωνος εἰμί . καί κάθετος εἰμί ὁ ΒΖ ΓΗ · μείζων ἄρα ὁ ὑπό ΓΗΑ ὁ ὑπό ΒΖΑ διά ὁ ἑξῆς · μείζων ἄρα καί ὁ ΑΔΓ τρίγωνος ὁ ΑΒΕ τρίγωνος καί Ξ΄ ἄρα τρίγωνος ὁ Γ∠Α Ξ΄ τρίγωνος ὁ ΒΑΕ μέγας εἰμί . ἀλλά Ξ΄ μέν ὁ ΓΑ∠ τρίγωνος ὁ δωδεκάεδρος εἰμί ( ἕκαστος γάρ πεντάγωνος πέντε ἔχω τρίγωνος ὅμοιος ὁ ΓΑ∠ ) , Ξ΄ δέ ὁ ΒΑΕ ὁ εἰκοσάεδρος εἰμί ( ἕκαστος γάρ τρίγωνος τρεῖς ἔχω ὅμοιος ὁ ΒΑΕ ) · μείζων ἄρα ὁ δώδεκα πεντάγωνος εἴκοσι τρίγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω .
pappus-mathematics.synagoge 4.93
93 νή ( ιε' ) . Τὸ ὑπερτεθέν . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ οὗ κέντρον τὸ Κ , καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ Β∠ , καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ∠Ε , δεκαγώνου δὲ ἡ ∠Ζ , καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ . κάθετοι ἐπὶ τὴν Β∠ διάμετρον ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ . Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου ἡ ∠Ο · οἵων ἄρα ὁ κύκλος τξ΄ , τοιούτων ἡ μὲν ∠Ε ξ΄ , ἡ δὲ ∠Ζ λϚ΄ , ἡ δὲ Ο∠ με΄ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΟ θ΄ ἡ δὲ ΟΕ ιε΄ . κείσθω οὖν τῇ ΖΟ ἴση ἡ ΟΡ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ ∠Ζ ἴση ἐστίν . ἐπιζευχθεῖσαι δὲ αἱ ΖΕ ΖΡ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν ὡς αἱ ΝΕΖΞ ΛΡΖΜ εὐθεῖαι · ἐπιζευχθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΟ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ . τεμνέτω κατὰ τὸ Σ . καὶ ἐπεὶ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΟΚΛ ΟΚΜ , ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ ; μείζων δὲ ἡ ΚΞ πολλῷ τῆς ΚΝ . καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΞ , ἡ ΖΗ πρὸς ΗΞ · ἐλάσσων ἔρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΗΞ . ἀλλὰ ᾑ ΖΗ μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΚ καθέτου , τουτέστιν τῆς ΘΚ ( τῇ γὰρ ἀπὸ τοῦ P καθέτῳ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ ) · ἡ ΗΘ ἄρα πρὸς ΘΝ μείζονα λύγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΞ . καὶ συνθέντι ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΞΗ , τουτέστιν ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΗ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ .
Lemmas: 93 νή ( ἵημι ) . ὁ ὑπερτίθημι . ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ ὅς κέντρον ὁ Κ , καί διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΓ Β∠ , καί ἑξάγωνος μέν περιφέρεια ὁ ∠Ε , δεκάγωνος δέ ὁ ∠Ζ , καί ὁ ΕΘ ΖΗ . κάθετος ἐπί ὁ Β∠ διάμετρος ὅτι ὁ ὑπό ΖΗΚ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΕΘΚ . ἔστω γάρ ὀκτάγωνος ὁ ∠Ο · οἷος ἄρα ὁ κύκλος τξ΄ , τοιοῦτος ὁ μέν ∠Ε Ξ΄ , ὁ δέ ∠Ζ λϚ΄ , ὁ δέ Ο∠ ὅς · λοιπός ἄρα ὁ ΖΟ Θ΄ ὁ δέ ΟΕ ἵημι . κεῖμαι οὖν ὁ ΖΟ ἴσος ὁ ΟΡ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΡ ὁ ∠Ζ ἴσος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΖΕ ΖΡ ἐκβάλλω καί εἰμί ὡς ὁ ΕΖ ΛΡΖΜ εὐθύς · ἐπιζεύγνυμι ἄρα καί ὁ ΚΟ δίχα τε καί πρός ὀρθός τέμνω ὁ ΖΡ . τέμνω κατά ὁ Σ . καί ἐπεί ἥμισυς ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΛΟ ΟΚΜ , ἴσος ἄρα καί ὁ μέν ΚΜ ὁ ΚΛ ; μείζων δέ ὁ ΚΞ πολύς ὁ ΚΝ . καί εἰμί ὡς ὁ ΝΚ πρός ΚΞ , ὁ ΖΗ πρός ΗΞ · μικρός ἄρα καί ὁ ΖΗ ὁ ΗΞ . ἀλλά ὁ ΖΗ μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΑΚ κάθετος , τουτέστιν ὁ ΘΚ ( ὁ γάρ ἀπό ὁ P κάθετος ἴσος εἰμί ὁ ΖΗ ) · ὁ ΗΘ ἄρα πρός ΘΝ μείζων λύγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ΗΞ . καί συντίθημι ὁ ΗΚ πρός ΚΘ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΘΞ πρός ὁ ΞΗ , τουτέστιν ἤ2 ὁ ΕΘ πρός ὁ ΖΗ · ὁ ἄρα ὑπό ΖΗΚ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΕΘΚ .
pappus-mathematics.synagoge 4.94
94 νθ΄ ( ιϚ΄ ) . Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον αὐτῷ ἴσον ἦ , δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς , τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ὔπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος . Ἔστω γὰρ ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ Β∠Ε ἔχον τεσσάρων πέμπτων τὴν πρὸς τῷ Ε κύκλῳ οὗ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος ΑΕΖΓ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν Β∠ πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ∠ πλευρά . ἐὰν δὲ ἀπολάβωμεν ἑκατέραν τῶν ΓH ΓΘ περιφερειῶν δωδεκαγώνου , καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΘ καὶ τὰς ΕΗ ΕΘ , ἔσται ἰσόπλευρον τὸ ΕΗ . καὶ ἐὰν ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τὴν ΚΓΛ , ἔσται καὶ τὸ ΕΚΛ τρίγωνον ἰσόπλευρον . καὶ ἐὰν θέλωμεν ἁρμύσαι ἴσον τῷ Β∠Ε τριγώνῳ , δείκνυται ὅτι μεταξὺ πίπτει τῶν ΘΕΗ ΚΕΛ , τουτέστιν τοῦ μὲν ΕΗΘ μεῖζον ἔσται τοῦ δὲ ΚΕΛ ἔλασσον .
Lemmas: 94 νθ΄ ( ΙΣΤ΄ ) . ἐάν τρίγωνος ἰσοσκελής ἔχω ὁ πρός ὁ κορυφή γωνία τέσσαρες πέμπτος ὀρθός καί ἰσόπλευρος αὐτός ἴσος εἰμί , δείκνυμι ὁ ἀπό εἷς πλευρά ὁ ἰσόπλευρος πρός ὁ ἀπό εἷς , ὁ ἴσος πλευρά ὁ ἰσοσκελής μικρός λόγος ἔχω ὑπέρ εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ ἀπό ὁ ὅλος πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός . ἔστω γάρ ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ Β∠Ε ἔχω τέσσαρες πέμπτος ὁ πρός ὁ Ε κύκλος ὅς κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ΑΕΖΓ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ Β∠ πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΒΖ∠ πλευρά . ἐάν δέ ἀπολαμβάνω ἑκάτερος ὁ ΓH ΓΘ περιφέρεια δωδεκάγωνον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ καί ὁ ΕΗ ΕΘ , εἰμί ἰσόπλευρος ὁ ΕΗ . καί ἐάν ἄγω ἐφάπτω ὁ ΚΓΛ , εἰμί καί ὁ ΕΛΚ τρίγωνος ἰσόπλευρος . καί ἐάν ἐθέλω ἁρμόζω ἴσος ὁ Β∠Ε τρίγωνος , δείκνυμι ὅτι μεταξύ πίπτω ὁ ΘΕΗ ΚΕΛ , τουτέστιν ὁ μέν ΕΗΘ μείζων εἰμί ὁ δέ ΚΕΛ μικρός .
pappus-mathematics.synagoge 4.95
95 Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄ , ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ EΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄ . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ , τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ , τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον . καὶ τὰ ἑξαπλᾶ · τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον λόγον ἔχει ὃν δ΄ πρὸς γ΄ , τουτέστιν ὃν ιβ΄ πρὸς θ΄ . τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς ε΄ τρίγωνα τὰ ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβ΄ πρὸς ι΄ καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν ( ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγραφομένου ξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν ) · ἔλασσον ἄρα τὸ ∠ΕΒ τοῦ ΚΕΛ . Λέγω δὴ ὅτι καὶ τοῦ ΕΗΘ μεῖξόν ἐστιν . εἰλήφθω γὰρ ἡ ΓΝ περιφέρεια ἑκαγώνου καὶ κάθετος ἡ ΝΗ . καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΝΞΕ . καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ ( πάντα γὰρ πᾶσίν ἐστιν ἴσα ) , καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ , ὥστε καὶ τὸ Β∠Ε τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΘΕΗ τριγώνου .
Lemmas: 95 ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ἀπό ΘΕ πρός ὁ ἀπό ΕΜ ὅς Δ΄ πρός Γ΄ , ἴσος δέ ὁ ΘΕ ὁ ΕΓ , λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό EΓ πρός ὁ ἀπό ΕΜ ὅς Δ΄ πρός Γ΄ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΕΓ πρός ὁ ἀπό ΕΜ , ὁ ἀπό ΚΛ πρός ὁ ἀπό τίθημι , τουτέστιν ὁ ΚΕΛ τρίγωνος πρός ὁ ΕΗΘ τρίγωνος . καί ὁ Εξαπλά · ὁ περιγράφω ἑξάγωνος πρός ὁ ἐγγράφω λόγος ἔχω ὅς Δ΄ πρός Γ΄ , τουτέστιν ὅς ἰβʹ πρός Θ΄ . ὁ δέ περιγράφω ἑξάγωνος πρός Ε΄ τρίγωνος ὁ ΚΕΛ λόγος εἰμί ὅς ἰβʹ πρός Ι΄ καί πέντε ἄρα τρίγωνος ὁ ΚΕΛ μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω ἑξάγωνος πολύς ἄρα ὁ ἐγγράφω πεντάγωνος μέγας εἰμί ( ἐν γάρ κύκλος ὁ ἐγγράφω πεντάγωνος ἰσόπλευρος ὁ ἐγγράφω ξαγώνου ἐλαχύς εἰμί ) · μικρός ἄρα ὁ ∠ΕΒ ὁ ΚΕΛ . λέγω δή ὅτι καί ὁ ΕΗΘ μίγνυμι εἰμί . λαμβάνω γάρ ὁ ΓΝ περιφέρεια ἑκαγώνου καί κάθετος ὁ ΝΗ . καί ἐπεί διά ὁ πρό οὗτος ὁ ὑπό ∠ΖΕ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΝΞΕ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΝΞΕ ὁ ὑπό ΘΜ ( πᾶς γάρ πᾶς εἰμί ἴσος ) , καί ὁ ὑπό ∠ΖΕ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΘΜ , ὥστε καί ὁ Β∠Ε τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ ΘΕΗ τρίγωνος .
pappus-mathematics.synagoge 4.96
96 Τὸ ἄρα τῷ Β∠Ε ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον , ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ ΗΘ ἢ τῇ ΚΛ , μεταξὺ τῶν Κ Θ πίπτει . ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ Ϛ΄ λήμματι ὅτι εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ , ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ , λόγον ὃν δ΄ πρὸς γ΄ , πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ΚΕ ΘΕ τοῖ ἰσοπλεύρου τριγώνου πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ , τουτέστιν τῆς Ε∠ τοῦ ἰσοσκελοῦς .
Lemmas: 96 ὁ ἄρα ὁ Β∠Ε ἴσος συνίστημι ἰσόπλευρος , ὥστε ὁ βάσις αὐτός παράλληλος εἰμί ὁ ΗΘ ἢ ὁ ΚΛ , μεταξύ ὁ Κ Θ πίπτω . ἐπεί οὖν δείκνυμι ἐν ὁ ΣΤ΄ λῆμμα ὅτι εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ ἀπό ὁ ὅλος πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 Δ΄ πρός Γ΄ , ἔχω δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΚΕ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΓ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΕΘ , λόγος ὅς Δ΄ πρός Γ΄ , πολύς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ὅλος εὐθύς πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ ΚΕ ΘΕ τοῖ ἰσόπλευρος τρίγωνος πλευρά πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΘ , τουτέστιν ὁ Ε∠ ὁ ἰσοσκελής .
pappus-mathematics.synagoge 4.97
97 ξ΄ . Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημήτων ἐδείχθη καθʼ αὑτά , δεικτέον δʼ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν ἐστιν , μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον , εἶτα τὸ ὀκτάεδρον , μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος , ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυραμίδος .
Lemmas: 97 Ξ΄ . ὁ μέν οὖν λαμβάνω εἰς ὁ σύγκρισις ὁ ἴσος ἐπιφάνεια ἔχω πέντε σχῆμα δείκνυμι κατά ἑαυτοῦ , δεικτέος δέ ἐφεξῆς ὅτι ὁ μέν εἰκοσάεδρος μέγας εἰμί , μετά δέ οὗτος ὁ δωδεκάεδρον , εἶτα ὁ ὀκτάεδρος , μετά δέ ὁ ὀκτάεδρος ὁ κύβος , μικρός δέ ὁ ὁ πυραμίς .
pappus-mathematics.synagoge 4.100
100 ξβ΄ . Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖξόν ἐστιν . Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ∠ΕΖ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ , πέωτε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ ( ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ · καὶ γὰρ τετραπλάσια κʼ τρίγωνα τοῖς η΄ ἴσα ἐστίν , καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον , οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόηολον πλευράν ) , δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ ( προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν Ϛ΄ πρὸς α’ ) , δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ · μείζων ἅρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ . καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς ΘΗ τοῦ γ΄ τῆς ΚΛ μεῖζον . καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΗΘ , τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΚΛ , καὶ ἔστιν κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν , μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου .
Lemmas: 100 ξβ΄ . ἔστω δείκνυμι ὅτι ὁ εἰκοσάεδρος ὁ ὀκτάεδρον μίγνυμι εἰμί . καί ἵστημι ὀκτάεδρον μέν τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , εἰκοσάεδρος δέ ὁ ∠ΕΖ , καί ἄγω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ στερεός ἐπί ὁ ἐπίπεδος ὁ στερεός κάθετος ὁ ΗΘ ΚΛ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ἐν ὁ Ζ΄ θεώρημα ὁ προγράφω ὅτι δώδεκα ὁ ἀπό ΗΘ μέγας εἰμί πέντε ὁ ἀπό ΕΖ , πίνω δέ ὁ ἀπό ΕΖ δύο εἰμί ὁ ἀπό ΒΓ ( ἐπεί καί πέντε τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ ἴσος εἰμί δύο τριγονέω ὁ ΑΒΓ · καί γάρ τετραπλάσιος καί τρίγωνος ὁ Η΄ ἴσος εἰμί , καί ὡς ὁ τρίγωνος πρός ὁ τρίγωνος , οὕτως ὁ τετράγωνος πρός ὁ τετράγωνος ὁ ὅμοιος σχῆμα πρός ἀλλήλων διπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὁμόλογος πλευρά πρός ὁ ὁμόηολον πλευρά ) , δύο δέ ὁ ἀπό ΒΓ δώδεκα εἰμί ὁ ἀπό ΚΛ ( προδείκνυμι γάρ λόγος ὁ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό ΚΛ ὅς ΣΤ΄ πρός ὅς ) , δώδεκα ἄρα ὁ ἀπό ΗΘ μέγας εἰμί δώδεκα ὁ ἀπό ΚΛ · μείζων ἄρα ὁ τίθημι ὁ ΚΛ . καί ὁ ΣΤ΄ ὁ τίθημι ὁ Γ΄ ὁ ΚΛ μείζων . καί ἐπεί ὁ μέν εἰκοσάεδρος εἰμί εἴκοσι τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ ἐπί ὕψος ὁ Γ΄ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ὀκτάεδρος ὀκτώ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ἐπί ὕψος ὁ Γ΄ ὁ ΚΛ , καί εἰμί Κ΄ τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ ἴσος ὀκτώ τριγονέω ὁ ΑΒΓ διά ὁ ὑπόθεσις , μείζων ἄρα ὁ εἰκοσάεδρος ὁ ὀκτάεδρον .
pappus-mathematics.synagoge 4.101
101 ξγ΄ . Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεἳζόν ἐστιν . Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἓν τῶν τοῦ δωδεκαέδρου , τρίγωνον δὲ τὸ ∠ΕΖ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιεχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ∠ΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Η∠ Θ∠ ΚΑ ΑΛ . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τό τε πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ εἶς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ , ὥστε ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου , ἡ δὲ ΚΛ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὸν κάθετος , ἡ δὲ ΚΑ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ἀλλὰ καὶ τὸ ΗΘ∠ τρίγωνον ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον , καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἐν τῷ μδ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ , τουτέστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ , μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων τῶν ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ ΑΒΓ · πεντάγωνον , φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον κύκλος μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον ὥστε καὶ ἡ ∠Θ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ . καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ∠ΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα ὡς ἄρα ἡ ∠Θ πρὸς ΘΗ , οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς ΛΚ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΑΛ , ἡ ΗΘ πρὸς ΚΛ . μείζων δέ ἡ ∠Θ τῆς ΑΛ μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΚΛ . καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς ΗΘ τοῦ τρίτου τῆς ΚΛ μεῖζόν ἐστιν . καὶ ἔστιν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΗΘ , τὸ δὲ δωδεκάεδρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΚΛ . καὶ ὑπόκειται κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς ΑΒΓ ἴσα · μεῖζον ἄρα τὸ εἰδοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου .
Lemmas: 101 ξγ΄ . ὁ εἰκοσάεδρος ὁ δωδεκάεδρον μείζων εἰμί . ἔστω γάρ πεντάγωνος μέν ὁ ΑΒΓ εἷς ὁ ὁ δωδεκάεδρον , τρίγωνος δέ ὁ ∠ΕΖ εἷς ὁ ὁ εἰκοσάεδρος , καί ἄγω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιέχω ὁ στερεός σχῆμα ἐπί ὁ ∠ΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΗΘ ΚΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Η∠ Θ∠ ΚΑ ΑΛ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ἐν ὁ ἰβʹ θεώρημα ὁ προγράφω ὅτι ὁ αὐτός κύκλος περιλαμβάνω ὁ τε πεντάγωνος ὁ δωδεκάεδρον καί ὁ τρίγωνος ὁ εἰκοσάεδρος ὁ εἰμί ὁ αὐτός σφαῖρα ἐγγράφω ὁ δωδεκάεδρον , ὥστε ὁ ΑΛ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ κύκλος ὁ περιλαμβάνω ὁ τρίγωνος ὁ εἰκοσάεδρος , ὁ δέ ΚΛ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί αὐτός κάθετος , ὁ δέ ΚΑ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ἀλλά καί ὁ ΗΘ∠ τρίγωνος ὁμοίως εἰμί λαμβάνω , καί ἐπεί πάλιν δείκνυμι ἐν ὁ μδ΄ θεώρημα ὁ προγράφω ὅτι εἴκοσι τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ , τουτέστιν δώδεκα πεντάγωνος ὁ ΑΒΓ , μέγας εἰμί εἴκοσι τρίγωνος ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ κύκλος ὁ περιλαμβάνω ὁ ΑΒΓ · πεντάγωνος , φανερός ὡς καί ὁ περί ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος κύκλος μείζων εἰμί ὁ περί ὁ ΑΒΓ πεντάγωνος ὥστε καί ὁ ∠Θ μείζων εἰμί ὁ ΑΛ . καί εἰμί ὅμοιος ὁ ∠ΗΘ Ακλ τρίγωνος ὡς ἄρα ὁ ∠Θ πρός τίθημι , οὕτως ὁ ΑΛ πρός ΛΚ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ∠Θ πρός ΑΛ , ὁ ΗΘ πρός ΚΛ . μείζων δέ ὁ ∠Θ ὁ ΑΛ μείζων ἄρα καί ὁ ΗΘ ὁ ΚΛ . καί ὁ τρίτος ἄρα ὁ ΗΘ ὁ τρίτος ὁ ΚΛ μέγας εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν εἰκοσάεδρος εἴκοσι τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ ἐπί ὁ τρίτος ὁ ΗΘ , ὁ δέ δωδεκάεδρος εἰμί δώδεκα πεντάγωνος ὁ ΑΒΓ ἐπί ὁ τρίτος ὁ ΚΛ . καί ὑπόκειμαι Κ΄ τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ ἰβʹ πεντάγωνος ὁ ΑΒΓ ἴσος · μείζων ἄρα ὁ εἰδοσάεδρον ὁ δωδεκάεδρον .
pappus-mathematics.synagoge 4.102
102 ξδ΄ . Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν . Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ Φ??Τ καὶ κάθετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ Φ??Τ πεντάγωνον ἠγμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ Ω𝒢 ΩΤ ΥΦ , ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος , ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου .
Lemmas: 102 ξδ΄ . ὁ δωδεκάεδρον ὁ ὀκτάεδρον μέγας εἰμί . ἔστω δωδεκάεδρον μέν πεντάγωνος ὁ Φ??Τ καί κάθετος ὁ ΥΩ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ δωδεκάεδρον ἐπί ὁ Φ??Τ πεντάγωνος ἄγω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΩΦ ΩΩ ΩΤ ΥΦ , ὀκτάεδρον δέ τρίγωνος ὁ ΣΡΠ ἵστημι , καί ὁμοίως ὁ ΧΨ κάθετος , ὅς δεῖ μικρός δείκνυμι ὁ ΥΩ κάθετος .
pappus-mathematics.synagoge 4.104
104 ξε΄ . Ὅτι μὲν οὖν τῶν ε΄ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φανερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων , ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως .
Lemmas: 104 ὅς . ὅτι2 μέν οὖν ὁ Ε΄ σχῆμα οὗτος ὁ δή καί πολύεδρος καλέω ὁ πολύεδρος ἀεί μέγας εἰμί φανερός ἐκ ὁ ἀποδείκνυμι , ὅτι δέ πλείων ὁ πέντε οὗτος ἀδύνατος εἰμί εὑρίσκω ἄλλος σχῆμα ἴσος καί ὅμοιος ἰσόπλευρος πολύγωνος περιέχω μανθάνω τις εἄν καί οὕτως .
pappus-mathematics.synagoge 4.105
105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον , καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς , ἐάν τε τρεῖς ὦσιν δάν τε πλείους , τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν πάντως . ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν ἀδύνατον ( αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους ) , ὑπὸ δὲ πενταγώνου τριῶν μόνων δυνατόν , ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου . πάλιν δέ τέσσαρες μέν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεάν γωνίαν οὐ δύνανται ( τεσσάρων γὰρ ὀρθῶν οὖκ εἰσὶν ἐλάττους ) , τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ κύβου . κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους , καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι , πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται , καὶ περιέχεται ὑπὸ μέν πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου , ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου , ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος . δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγόνου συνεστηκυῖα γωνιῶν , ὥστε οὐδὲ πολύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοἰων πολυγώνων περιεχόμενον .
Lemmas: 105 πᾶσα στερεός γωνία ἐκ τρεῖς μικρός συνίστημι γωνία ἐπίπεδος ἀναγκαῖος , καί ὁ περιέχω αὐτός , ἐάν τε τρεῖς εἰμί Δάν τε πλείων , ὁ τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς εἰμί πάντως . ὑπό μέν οὖν ἑξάγωνος γωνία ἤ τις εὐθύγραμμος πολύγωνος περιέχω στερεός γωνία ἀδύνατος ( ὁ γάρ μικρός δύναμαι περιλαμβάνω αὐτός τρεῖς τέσσαρες ὀρθός οὐ εἰμί μικρός ) , ὑπό δέ πεντάγωνος τρεῖς μόνος δυνατός , ὡς καί συνίστημι ὁ ὁ δωδεκάεδρον . πάλιν δέ τέσσαρες μέν ἢ πλείων τετράγωνος γωνία περιέχω στερεός γωνία οὖον δύναμαι ( τέσσαρες γάρ ὀρθός οὐ εἰμί μικρός ) , τρεῖς δέ περιέχω ὁ ὁ κύβος . κατά ὁ αὐτός δέ καί ἰσόπλευρος τρίγωνος ἓξ μέν ἢ πλείων γωνία τέσσαρες ὀρθός οὐ εἰμί μικρός , καί διά οὗτος στερεός γωνία οὖον περιέχω , πέντε δέ καί τέσσαρες καί τρεῖς δύναμαι , καί περιέχω ὑπό μέν πέντε ὁ ὁ εἰκοσάεδρος , ὑπό δέ τέσσαρες ὁ ὁ ὀκτάεδρον , ὑπό δέ τρεῖς ὁ ὁ πυραμίς . δῆλος οὖν ἐκ ὁ εἴρω ὅτι παρά οὗτος οὐ εἰμί ἄλλος στερεός γωνία ἐκ ἴσος καί ὁ αὐτός πολύγονον συνίστημι γωνία , ὥστε οὐδέ πολύεδρος εὑρίσκω ἄλλος παρά ὁ προερέω πέντε δυνατός εἰμί ὑπό ἴσος καί ὁμοιόω πολύγωνος περιέχω .