ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 4.35
35 Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεάς τῶν ιγ΄ τούτων σχημάτμων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς , διὰ τοῦδε τοῦ τρέπου θεωρεῖται · ὅσων μὲν γάρ ἀπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίεις , ἐξ αριθμηθεισῶν εῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου , δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἁριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθκοῦ , ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις , ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου , τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ἡ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου . ὁμοίως δὲ εαὶ ὅσσων πολοέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ έ γωνιῶν ἐπιπέδων , τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὦ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν .
Lemmas: 35 ὅσος δέ γωνία ἕκαστος ἔχω στερεός ὁ ἰ οὗτος σχῆμα πολύεδρος καί ὅσος πλευρά , διά ὅδε ὁ τρέπω θεωρέω · ὅσος μέν γάρ ἀπλόος πολύεδρος ὁ στερεός γωνία τρεῖς ἐπίπεδος περιέχω γωνία , ἐκ ἀριθμέω εἰμί ἐπίπεδος γωνία ὅς ἔχω πᾶς ὁ ἕδρα ὁ πολύεδρος , δῆλος ὡς ὁ ὁ στερεός γωνία ἀριθμός τρίτος μέρος εἰμί ὁ γίγνομαι ἀριθκοῦ , ὅσος δέ πολύεδρος ὁ στερεός γωνία περιέχω τέσσαρες ἐπίπεδος , ἐξαριθμέω πᾶς ὁ ἐπίπεδος γωνία ὅς ἔχω ὁ ἕδρα ὁ πολύεδρος , ὁ γίγνομαι ἀριθμός ὁ τέταρτος μέρος εἰμί ὁ ἀριθμός ὁ ὁ στερεός γωνία ὁ πολύεδρος . ὁμοίως δέ ἑός ὅσος πολοεδρα ὁ στερεός γωνία περιέχω ὑπό ἔ γωνία ἐπίπεδος , ὁ πέμπτος ὁ πλῆθος ὁ ἐπίπεδος γωνία εἰμί εἰμί ἀριθμός ὁ πλῆθος ὁ στερεός γωνία .
pappus-mathematics.synagoge 4.39
39 κ΄ . Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ ε΄ σχήματα πρὸς ἄλληλα , περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα · δείκνυται γάρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρόεερον ἀεὶ καὶ μεῖζον . οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου , τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου , καὶ ὁμοίως τὸ μέν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου , ὁ δέ κύβος τῆς πυραμίδος · ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεά ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυώνοις · καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνων , ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας εἶχεν , ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ πολυγωνότερον , καὶ πάντων ὁ κύκλος μείζων , ὥσπερ ἐδείχθη νῦν τῶν πολυέδρων ἡ σφαίρα .
Lemmas: 39 Κ΄ . ἔχις δέ τις σύγκρισις καί οὗτος ὁ Ε΄ σχῆμα πρός ἀλλήλων , περί ὅς ὕστερος ἐπισκοπέω · δείκνυμι γάρ ὑπόκειμαι ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ πολύεδρος ἀεί καί μείζων . οἷος ὁ μέν εἰκοσάεδρος ὁ δωδεκάεδρον , ὁ δέ δωδεκάεδρον ὁ ὀκτάεδρον , καί ὁμοίως ὁ μέν ὀκτάεδρος ὁ κύβος , ὁ δέ κύβος ὁ πυραμίς · ὅμοιος γάρ τίς πάσχω ὁ στερεός οὗτος ὁ ἐπίπεδος πολύων · καί γάρ ἐπί ἐκεῖνος , ὁπότε ὁ περίμετρος ἴσος ἔχω , ἀεί μείζων ἀποδείκνυμι ὁ πολύγωνος , καί πᾶς ὁ κύκλος μείζων , ὥσπερ δείκνυμι νῦν ὁ πολύεδρος ὁ σφαίρα .
pappus-mathematics.synagoge 4.40
40 πρόδηλον δʼ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρμς ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς . ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται , ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾗ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὕψος δὲ τὸ γ΄ τοῦ ἄξπνος τοῦ κώνου , καὶ ἴσος ὢν τῷ κύνῳ , ἴσος εὑρίσκετει καὶ τῇ σφσίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν ἔχων αὐτῆς · αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου , τουεέστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , διπλασίους εἰσίν , ὥστε ὅταν ἑκάτερον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας , τότʼ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν .
Lemmas: 40 πρόδηλος δέ ὅτι καί ὁ κῶνος καί ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσος ἔχω ἐπιφάνεια ὁ ὁ σφαίρμς μικρός εἰμί αὐτός . ὁ μέν γάρ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὅλος δέ ὁ ἐπιφάνεια μείζων ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ἴσος αὐτός καταλαμβάνω , ὅταν ὁ ὕψος αὐτός ἴσος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ δέ κύλινδρος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ κῶνος , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ Γ΄ ὁ ἄξπνος ὁ κῶνος , καί ἴσος εἰμί ὁ Κῦνος , ἴσος εὑρίσκω καί ὁ σφσίρᾳ μείζων ὁ ἐπιφάνεια ἔχω αὐτός · ὁ γάρ δύο βάσις αὐτός ὁ βάσις ὁ κῶνος , τουεέστιν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , διπλάσιος εἰμί , ὥστε ὅταν ἑκάτερος ὁ σχῆμα ἴσος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὁ σφαῖρα , τότε ἐκ ἀνάγκη ὁ σφαῖρα ἑκάτερος σχῆμα μείζων εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.41
41 Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς εφαίρας πρὸς τὰ ε΄ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον , τὰ δʼ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους , ὡς εἴρηται , δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀπδείξομεν , πρνγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αύτῶν συντείνει λημμάτια .
Lemmas: 41 τοσοῦτος μέν οὖν περί ὁ σύγκρισις ὁ ἐφαιρέω πρός ὁ Ε΄ σχῆμα καί ὁ κῶνος καί κύλινδρος , ὁ δέ ὑπό ὁ Ἀρχιμήδης , ὡς εἴρω , δείκνυμι καί ἄλλως ἀποδείκνυμι , πρνγράψαντες ὅσος εἰς ὁ ἀποδείκνυμι αὐτός συντείνω λημμάτιον .
pappus-mathematics.synagoge 4.42
42 ( ά ) , Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυχοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ Γ∠ ΕΖ , καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΕ . ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ · ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ∠Ζ . Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΕΗ , καὶ ληφθέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ , ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἧ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ἴση , κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΗΕΘ ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ τῇ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση . ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἢ Ζ τῇ Η ἴση · ἰσογώνιον ἄρα A.B τὴν ΓΚ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Κ . ἀλλὰ καὶ ἡ Η∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση ἡ ΗΚ ἄρα συναμφοτέρῳ τῇ Γ∠ ΕΖ ἐστὶν ἴση ἡ δέ τὴν λοιπὴν ὑποτείνουσα τοῦ ΓΕΘ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΕΘ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Κ γωνία τῇ Θ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΕΓ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθὴ ἴση ἐστὶν τῇ Η , ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ ΘΕΓ ΚΕΗ τρίγωνα ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΚΗ πρὸς ΗΕ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΘΕ καὶ τῆς ΕΗ , τουτέστιν τῆς ∠Ζ , ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΗΚ ΓΕ , τυτέστιν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Γ∠ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ .
Lemmas: 42 ( ἆ ) , ἡμικύκλιον ὁ ἐπί ὁ ΑΒ διάμετρος καί τυγχάνω ἐπί ὁ διάμετρος κάθετος ὁ Γ∠ ΕΖ , καί ἐφάπτω ὁ ΓΕ . ὅτι ὁ δίς ὑπό ΖΕΓ · ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒ ∠Ζ . ἄγω ἀπό ὁ Ε κάθετος ἐπί ὁ Γ∠ ὁ ΕΗ , καί λαμβάνω ὁ Θ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ , ἐπεί οὖν ὀρθός ἧ ὑπό ΘΕ ὁ ὑπό ΖΕΗ εἰμί ἴσος , κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΗΕΘ εἰμί λοιπός ὁ ὑπό Γῆ ὁ ὑπό ΖΕΘ ἴσος . ἀλλά καί ὀρθός ἢ Ζ ὁ ὁ ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα A.B ὁ ΓΚ πρός ὀρθός τέμνω , ἴσος εἰμί ὁ Γ∠ ὁ ∠Κ . ἀλλά καί ὁ Η∠ ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος ὁ ΗΚ ἄρα συναμφότεροι ὁ Γ∠ ΕΖ εἰμί ἴσος ὁ δέ ὁ λοιπός ὑποτείνω ὁ ΘΕ ἡμικύκλιον εἰμί ὁ ΕΘ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν Κ γωνία ὁ Θ , ὁ δέ ὑπό ΘΕΓ ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ὀρθός ἴσος εἰμί ὁ ὁ , ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΘΕΓ ΚΕΗ τρίγωνος εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΘΕ πρός ΕΓ , ὁ ΚΗ πρός ΗΕ ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΘΕ καί ὁ ΕΗ , τουτέστιν ὁ ∠Ζ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΗΚ ΓΕ , τυτέστιν ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ Γ∠ ΕΖ καί ὁ ΓΕ .
pappus-mathematics.synagoge 4.47
47 κϚ΄ ( Ϛ΄ ) . Ημικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΑΗ , καὶ ἡ ΑΗ περιφέρεια διῃρήσθω εἰς ἴσας ὑποσασοῦν περιφερείας τοῖς Μ Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν Α Η καὶ τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ Γ∠ ΑΕ ΕΖ ΖΗ , καὶ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΗΘ καθέτου οὕσης τῆς ΗΡ ὅτι , εἰ περὶ ἄξονα τὸν ΑΒ στραφέν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταίη , ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὖ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μείζων ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ . Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ , ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ᾗ ΖΛ , ἐπὶ δέ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ , τῆς ΖΚ καθέτου , ὀξείας μέν οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτοόσης , ἀμβλείας δέ οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , ἐκτὸς τοῦ Η , ὡς ἔχουσιν αἰ καταγραφαί . ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπό ΑB ΛΡ ( τοῦτο γάρ ἐν τῷ α’ θεμωρήματι δέδεικται ) , κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ πώ ΒΑ ΛΡ , τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ , ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ . ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ .
Lemmas: 47 κϚ΄ ( ΣΤ΄ ) . ἡμικύκλιον ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἄγω τυγχάνω ὁ ΑΗ , καί ὁ ΑΗ περιφέρεια διαιρέω εἰς ἴσος ὑφίστημι περιφέρεια ὁ Μ Ν Ξ σημεῖον καί ἀπό ὁ Α ὁ καί ὁ διαίρεσις ἐφάπτω ὁ ΑΓ Γ∠ ΑΕ ΕΖ ΖΗ , καί ὁ ΖΗ ἴσος ὁ ΗΘ κάθετος ὗσις ὁ ΗΡ ὅτι , εἰμί περί ἄγω ὁ ΑΒ στρέφω ὁ ἡμικύκλιον ἀποκαθίστημι , ὁ γίγνομαι ὑπό πᾶς ὁ ΑΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια ὁ κύκλος οὖον ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΗ μείζων εἰμί κύκλος ὅς ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Ζ Θ . ἄγω κάθετος ἀπό ὁ Ζ , ἐπί μέν ὁ ΑΒ ὅς ΖΛ , ἐπί δέ ὁ ΗΡ ὁ ΖΚ , ὁ ΖΚ κάθετος , ὀξύς μέν εἰμί ὁ ὑπό ΖΗΘ , μεταξύ ὁ ὁ Θ πίπτω , ἀμβλύς δέ ὗσις ὁ ὑπό ΖΗΘ , ἐκτός ὁ ὁ , ὡς ἔχω ὁ καταγραφή . ἐπεί οὖν ὁ δίς ὑπό ΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑB ΛΡ ( οὗτος γάρ ἐν ὁ ὅς θεμωρήματι δείκνυμι ) , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό Βαλ μετά ὁ ὑπό ΗΘΚ ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό Βαλ μετά ὁ ὑπό ΒΑ ΛΡ καί ὁ ὑπό ΗΘΚ ὁ τε δίς ὑπό ΗΘ καί ὁ ὑπό Βαλ μετά ὁ ὑπό ΗΘΚ . ἀλλά ὁ ὑπό Βαλ μετά ὁ πω ΒΑ ΛΡ , τουτέστιν ὁ ὑπό βοιρ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ . ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ μετά ὁ ὑπό ΗΘΚ ὁ δίς ὑπό ΗΘ μετά ὁ ὑπό ΗΘΚ καί ὁ ὑπό Βαλ .
pappus-mathematics.synagoge 4.48
48 ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ ( τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται ) . καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ ὑπὸ ΖΗΘ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς , πάλιν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ οὕτως · ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ΖΗ ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ , καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ τοῦ ἀπὸ ΗΘ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΘΗΚ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἄσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ . τῷ δέ ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γʼ τοῦ β΄ στοιχείων · καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ ἄσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ εοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ H , δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν AΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων , ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ , ἐλάσσων ἐστίν .
Lemmas: 48 ἀλλά ὁ δίς ὑπό ΗΘ καί ὁ ὑπό ΗΘΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΡΗ καί ὁ ΗΘ μετά ὁ ἀπό ΗΘ ( οὗτος γάρ ἑξῆς δείκνυμι ) . καί ὁ ἄρα ἀπό ΑΗ ὑπό ΖΗΘ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο καταγραφή , πάλιν ὁ ὑπό ΚΘΗ ἴσος γίγνομαι ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Ζ Θ οὕτως · ἐπεί ὁ ἀπό ΖΘ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΖΗ ΗΘ ὁ δίς ὑπό ΘΗΚ , καί ὁ ἥμισυς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Θ ὁ ἀπό ΗΘ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΘΗΚ . ὁ ἄρα ἀπό τίθημι μετά ὁ ὑπό ΘΗΚ ἀείδω εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Ζ Θ . ὁ δέ ἀπό τίθημι μετά ὁ ὑπό ΘΗΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΘΗ διά ὁ γε ὁ Β΄ στοιχεῖον · καί ὁ ἥμισυς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Ζ Θ ἀείδω εἰμί ὁ ὑπό ΚΘΗ . καί ἐπεί ὁ ἥμισυς ἑός ἀπό ὁ ἐπί ὁ Ζ Θ ἐλαχύς εἰμί ἀεί ὁ δίς ἀπό Ζ H , δῆλος ὡς ὁ ὑπό ὁ AΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ γίγνομαι ἐπιφάνεια ὁ κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΗ μετά δύο κύκλος , ὅς ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΖΗ , μικρός εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.49
49 κζ΄ ( ή ) . Οτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφντέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ . Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ίση ἡ ΡΣ , τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ . λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ . μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ , καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ , ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ , ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ τὸ ἔρα ὑπὸ ΣΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ , τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ , ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΜΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ . ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΗΘ , τὸ δέ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΗΘ ΜΣ . ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΣΗΘ , ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ , μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ .
Lemmas: 49 κζ΄ ( ή ) . ὅτι ὁ δίς ὑπό ΗΘ μετά ὁ ὑπό ΚΘΗ ἴσος ὁ ὑπό συναμφντέρου ὁ ΡΗ καί ὁ ΗΘ μετά ὁ ἀπό ΗΘ . κέω ὁ μέν ΗΡ ἴσος ὁ ΡΣ , ὁ δέ ΘΡ ὁ ΡΛ . λοιπός ἄρα ὁ ΛΣ ὁ τίθημι εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΘ . μετά ὁ ἀπό ΗΘ , καί ὁ δίς ἄρα ὑπό ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΗΘ μετά ὁ δίς ἀπό ΗΘ . ἴσος δέ ὁ μέν ΗΡ ὁ ΡΣ , ὁ δέ ΘΡ ὁ ΡΛ , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό Σήθ ὁ ὑπό ΘΗΛ μετά ὁ δίς ἀπό ΗΘ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΚΘΗ ὁ ἄρα ὑπό Σήθ μετά ὁ ὑπό ΚΘΗ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΚΗΘ καί ὁ ἀπό ΗΘ , τουτέστιν ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΡΗ καί ὁ ΗΘ μετά ὁ ἀπό ΗΘ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΜΘΗ μετά ὁ δίς ἀπό ΗΘ καί ὁ ὑπό ΚΘΗ . ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ΘΗΛ μετά ὁ ἀπό ΗΘ ὁ ὑπό ΛΗΘ , ὁ δέ ἀπό ΗΘ ὁ ὑπό ΗΘ ΜΣ . ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό Σήθ , ὅσπερ εἰμί ὁ δίς ὑπό ΗΘ , μετά ὁ ὑπό ΚΘΗ ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΡΗ καί ὁ ΗΘ μετά ὁ ἀπό ΗΘ .
pappus-mathematics.synagoge 4.50
50 κή ( θ΄ ) Εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Γ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ . Τῇ Α∠ ἴση ἡ ΑΕ , τῇ δέ ΑΓ ἡ ΑΖ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων , τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ . τῷ δέ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ( διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ ) καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ , ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ Γ∠ τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ( τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων ) · καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἔρα , ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΒΓ , μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ , ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ .
Lemmas: 50 καί ( Θ΄ ) εὐθύς ὁ ΑΒ , καί ἐπί αὐτός τυγχάνω σημεῖον ὁ Γ ∠ ὅτι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ Α∠ καί ὁ ΓΒ μετά ὁ ἀπό ΓΒ ἴσος ὁ δίς ὑπό ΑΒ ΒΓ μετά ὁ ὑπό ΒΓ∠ . ὁ Α∠ ἴσος ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΑΓ ὁ αζʹ λοιπός ἄρα ὁ Γ∠ ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ μετά ὁ ἀπό ΓΒ διά ὁ Γ΄ θεώρημα ὁ Β΄ στοιχεῖον , ὁ ἄρα δίς ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΓΒ μετά ὁ δίς ἀπό ΓΒ . ὁ δέ δίς ὑπό ΑΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΒ ( διπλόος γάρ εἰμί ὁ ΖΓ ὁ ΓΑ ) καί ὁ ὑπό ΖΓΒ ἄρα μετά ὁ δίς ἀπό ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΒΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΓΒ ΕΖ , ὅσπερ εἰμί ὁ ὑπό ΒΓ Γ∠ ὁ ἄρα ὑπό ΕΓ ΓΒ μετά ὁ δίς ἀπό ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΒΓ μετά ὁ ὑπό ΒΓ∠ ἀλλά ὁ ὑπό ΕΓΒ μετά ὁ δίς ἀπό ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΒ ( ὁ γάρ ὑπό ΕΓΒ μετά ὁ ἀπό ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΓ διά ὁ αὐτός στοιχεῖον ) · καί ὁ ὑπό ΕΒΓ ἄρα , ὅσπερ εἰμί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ Α∠ καί ὁ ΒΓ , μετά ὁ ἀπό ΓΒ , ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΒΓ μετά ὁ ὑπό ΒΓ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 4.51
51 κθʼ ( ί ) . Εστω τις κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΑΒΓ καὶ εὐθεῖα ἡ ∠ ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν ΚΑ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ , ὅπως . ἐφαπτομένων ἀχθεισῶν τῶν ΚΕ ΑΕ , ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς ∠ . Ἔστω γάρ ἐφατομένη ἡ ΚΗ ἴση τῇ ∠ , καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον γ ἡ ΗΒΘ . τέμνοντες δὴ τὴν ΚΒΓ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα , καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιμῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα τῆς ΚΑΒ . καὶ ἤχθω ἐραπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΑΕ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΚΕ , καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ζητούμενον · ἡ γὰρ διὰ τῶν Θ Α ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ αἱ ΚΕΑ τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἑκατέρας τῶν ΑΕ ΕΚ , ὀρθῆς οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΑΕ , καὶ πολὺ μᾶλλον τῆς ∠ ἴσης ὑποκειμένης τῇ ΚΗ .
Lemmas: 51 τύ ( ἵ ) . ἵστημι τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ καί εὐθύς ὁ ∠ ὅτι δυνατός εἰμί ἀπειραχῶς ἀπολαμβάνω ὁ ΚΑ περιφέρεια μέρος εἰμί ὁ ΚΒΓ , ὅπως . ἐφάπτω ἄγω ὁ ΚΕ ΑΕ , μικρός εἰμί οὗτος ὁ ∠ . ἔστω γάρ ἐφάπτω ὁ ΚΗ ἴσος ὁ ∠ , καί ἐπί ὁ κέντρον γ ὁ ΗΒΘ . τέμνω δή ὁ ΚΒΓ περιφέρεια δίχα καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίχα , καί οὗτος ἀεί ποιμῦντες λείπω τις περιφέρεια ὡς ὁ ΚΑ μικρός ὁ ΚΑΒ . καί ἄγω ῥάπτω ὁ τμῆμα ὁ ΑΕ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΚΕ , καί εἰμί γίγνομαι ὁ ζητέω · ὁ γάρ διά ὁ Θ Α ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ , καί ὁ Κέα ὁ ΚΖ ἐλαχύς εἰμί διά ὁ μείζων εἰμί ὁ ΖΕ ἑκάτερος ὁ ΑΕ ΕΚ , ὀρθός ὗσις ὁ ὑπό ΖΑΕ , καί πολύς μᾶλλον ὁ ∠ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ ΚΗ .
pappus-mathematics.synagoge 4.52
52 λ΄ ( τά ) . Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ε ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος . Ἔστω γὰρ τμῆμα σφαίρας , οὗ πόλος μέν ἐστιν τὸ Κ σημεῖον , ἐκ πόλου δέ ἡ ΚΒ , καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος , οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ , ἐφʼ ἣν κάθετος ἡ ΒΑ λέγαω ὅτι σφαιρικὴ ἐπιράνεια τοῦ τμήματος , οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ , κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον , ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ . Ἔστω γάρ , εἶ δυνατόν , ἄνισα ταῦτα , καὶ πρότερον μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια , καὶ τῆς ὐπεροχῆς αὑτῶν νοείσθω ἐλάσσων κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ Θ , ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζθνa εἶναι τῶν δύο κύκλων , οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ , καὶ διῃρήσθω ἠ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσοσοῦν , καὶ ἐφαπτύμεναι ἤχθωσαν , ὡς καταγέγραπται , ὥστε ἑκάστην αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ η΄΄ τοῦ ἀπὸ Θ · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται . ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ , καὶ ὁ περὶ διάμετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ . οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ , ὡς προδέδεικται τῷ Ϛ΄ θεωρήματι , μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων ἐπιφανείας , ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια , καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας , ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρυς ἐστὶν ἡ Θ . ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται , ὅπερ ἄτοπον .
Lemmas: 52 Λ΄ ( ὁ ) . Παντὸς τμῆμα σφαῖρα ὁ κυρτός ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ε ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ πόλος ὁ τμῆμα . ἔστω γάρ τμῆμα σφαῖρα , ὅς πόλος μέν εἰμί ὁ Κ σημεῖον , ἐκ πόλος δέ ὁ ΚΒ , καί ὁ διά ὁ Κ Β μέγας , ὅς διάμετρος ὁ ΚΓ , ἐπί ὅς κάθετος ὁ ΒΑ λέγω ὅτι σφαιρικός ἐπιράνεια ὁ τμῆμα , ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ , κορυφή δέ ὁ Κ σημεῖον , ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ . ἔστω γάρ , εἰμί δυνατός , ἄνισος οὗτος , καί πρότερος μείζων ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια , καί ὁ υπεροχή ἑαυτοῦ νοέω μικρός κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ Θ , ὥστε ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα μείζθνa εἰμί ὁ δύο κύκλος , ὅς ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ καί ὅς διάμετρος ὁ Θ , καί διαιρέω ὁ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσος ὁποσοσοῦν , καί ἐφάπτω ἄγω , ὡς καταγράφω , ὥστε ἕκαστος αὐτός μικρός εἰμί ὁ δύναμαι ὁ ὅς ὁ ἀπό Θ · οὗτος γάρ ὡς δυνατός προγράφω . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ ἀπό Θ ὁ ὀκτώ ἀπό ΗΒ , καί ὁ περί διάμετρος ἄρα ὁ Θ κύκλος μείζων εἰμί δύο κύκλος ὅς ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΗΒ . οὗτος δέ ὁ δύο κύκλος καί ὁ κύκλος ὅς ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ , ὡς προδείκνυμι ὁ ΣΤ΄ θεώρημα , μέγας εἰμί ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ἐφάπτω ἐπιφάνεια , ὅστις περιγράφω περί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα εἰμί ἄρα οὗτος ὁ ἐπιφάνεια , καί πολύς μᾶλλον ὁ ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , μικρός κύκλος ὅς τε ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ καί ὅς διάμετρος εἰμί ὁ Θ . ἀλλά καί μείζων ὑπόκειμαι , ὅσπερ ἄτοπος .
pappus-mathematics.synagoge 4.53
53 ( ιβ΄ ) . Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος · καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστίν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος . νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ · ἔστω τῇ Θ ἴση ἡ ΓΟ , καὶ διῃρήσθω ἡ Κ0Β περιφέρεια εἶς περιφερείας ἴσας ὁσασδήποτε , ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ , ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ . ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια περιέχεαι ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρον δύναται , ἐτιζευχθείσης τῆς ΓΛ , τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα , ἐλάσσων δέ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιρανείας · πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ᾗ ἐκ κέντρου δύναταμι τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας . ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται μεταξύ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου θὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ , ὅπερ ἀδύνατον ἴσα ἅρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα . Καὶ δῆλον ὡς , ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ , γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον , καὶ ἔσεαι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ , ἢ καὶ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων , ὁποῖα ἔν ἧ , τὸ αὐτὸ συναχθήσεται .
Lemmas: 53 ( ἰβʹ ) . ἔστω δέ μείζων ὁ κύκλος ὅς ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ ὁ σφαιρικός ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα · καί ὁ κύκλος ἄρα ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΚΑΓ μείζων εἰμί ὁ κυρτός ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα . νοέω δέ μεταξύ αὐτός κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Θ ΚΑ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΚΓ ὁ Θ · ἵστημι ὁ Θ ἴσος ὁ ΓΟ , καί διαιρέω ὁ Κ0Β περιφέρεια εἰμί περιφέρεια ἴσος ὁσασδήποτε , ὅς ἕκαστος μικρός ἵστημι ὁ ΛΟ , ὡς εἰμί πρό εἷς , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ . ὁ δή ὑπό οὗτος γίγνομαι ἐπιφάνεια περιέχω ὑπό ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια καί εἰμί ἴσος μέν κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι , ετιζευχθεισος ὁ ΓΛ , ὁ ὑπό ΛΓ ΚΑ διά ὁ Δ΄ θεώρημα , μικρός δέ ὁ σφαιρικός ὁ τμῆμα επιραινω · πολύς ἄρα ὁ κύκλος ὅς ὅς ἐκ κέντρον δύνατος ὁ ὑπό ογʹ ΚΑ ἢ ὁ ὑπό Θ ΚΑ μικρός εἰμί ὁ σφαιρικός ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια . ἀλλά καί μείζων ὑπόκειμαι μεταξύ εἰμί ὁ τμῆμα καί ὁ κύκλος ΘΥ ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΚΒ , ὅσπερ ἀδύνατος ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ζητέω . καί δῆλος ὡς , ἐάν ὁ Α κέντρον εἰμί , γίγνομαι ὁ τμῆμα ἡμισφαίριον , καί εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὅλος ἴσος κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΚΓ , ἢ καί ἐκ ἀμφότερος ὁ τμῆμα , ὁποῖος ἐν ἧ , ὁ αὐτός συνάγω .
pappus-mathematics.synagoge 4.54
54 λβ΄ ( ιγ΄ ) . Ἐὰν ὦσιν γ΄ εὐθεῖαι ὡς αἰ Α Β Γ , ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α Β , ὕψος δὲ ἡ Γ , ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ , ὕψος δὲ ἡ Α . Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ , καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β , τοῦ δὲ Ζ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Β Γ , ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ , τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ ἴσον ἔστω τῇ Α . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ , τουτέστιν ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ , τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ B Γ , τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος , ὕψος δὲ τὸ ΕΗ , τῷ κύνῳ οὗ βόσις μὲν ὁ Ζ κύκλος , ὕψος δὲ τὸ ΖΘ · ἀντιπεπόνθασιν γάρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν .
Lemmas: 54 λβ΄ ( ἰ ) . ἐάν εἰμί Γ΄ εὐθύς ὡς ὁ Α Β Γ , ὁ κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Α Β , ὕψος δέ ὁ Γ , ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Β Γ , ὕψος δέ ὁ Α . ἔκκειμαι γάρ δύο κύκλος ὁ Ε Ζ , καί ὁ μέν Ε ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Α Β , ὁ δέ Ζ ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Β Γ , ὕψος δέ ὁ μέν Ε κῶνος ἵστημι ὁ ΕΗ ἴσος ὁ Γ , ὁ δέ Ζ ὕψος ὁ ΖΘ ἴσος ἵστημι ὁ Α . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Α πρός Γ , τουτέστιν ὡς ὁ ΖΘ πρός ὁ ΕΗ , ὁ ὑπό Α Β πρός ὁ ὑπό B Γ , τουτέστιν ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὅς βάσις μέν ὁ Ε κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΕΗ , ὁ Κῦνος ὅς βόσις μέν ὁ Ζ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΖΘ · ἀντιπάσχω γάρ αὐτός ὁ βάσις ὁ ὕψος .
pappus-mathematics.synagoge 4.55
55 λγ΄ ( ιδ΄ ) . Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω · ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ᾿ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ , ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος . Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ Α∠ . ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ∠ ὁρθῇ τῇ Ε ἴση , κοινὴ δὲ ἡ B , ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ . ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ , τὸ ὑπὸ ΒΑ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠ · ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ B Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠ , οὕτως ἡ BΓ πρὸς ΓΕ · καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ∠ , ὕψος δέ ἡ ΓΕ , ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ Α∠ , ὕψος δὲ ἡ ΒΓ · ( διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι πάλιν τάς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν ) . καὶ ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Α∠ , ὕψος δὲ ἡ BΓ · τὸ αὐτὸ ἔρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κύνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ BΑ∠ , ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κάθετον . ἀλλʼ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιε΄ πάλιν Ἀρχιμήδους θεύρημα . ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς BΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ , ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος .
Lemmas: 55 λγ΄ ( ὁράω ) . Τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί Μένων ὁ ΒΓ περιφέρω ὁ τρίγωνος εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι · ὅτι ὁ γίγνομαι ὑπό αὐτός στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΒ ἐν ὁ στροφή γίγνομαι κωνικός ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος . ἄγω γάρ ἐπί ὁ ΑΒ ΒΓ κάθετος ἀπό ὁ Α Γ ὁ ΓΕ Α∠ . ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ∠ ὀρθός ὁ Ε ἴσος , κοινός δέ ὁ B , ἰσογώνιος γίγνομαι ὁ ΑΒ∠ τρίγωνος ὁ ΒΓΕ τρίγωνος · εἰμί ἄρα ὡς μέν ὁ ΒΑ πρός Α∠ ὁ ΒΓ πρός ΓΕ . ὡς δέ ὁ ΒΑ πρός Α∠ , ὁ ὑπό ΒΑ∠ πρός ὁ ἀπό Α∠ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ὑπό B Α∠ πρός ὁ ἀπό Α∠ , οὕτως ὁ BΓ πρός ΓΕ · καί ὁ κῶνος ἄρα ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΒΑ∠ , ὕψος δέ ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ Α∠ , ὕψος δέ ὁ ΒΓ · ( διά ὁ ἀντιπάσχω πάλιν ὁ βάσις αὐτός ὁ ὕψος ) . καί εἰμί ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ἐν ὁ στροφή στερεός ἴσος ὁ κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α∠ , ὕψος δέ ὁ BΓ · ὁ αὐτός ἄρα στερεός ἴσος εἰμί ὁ Κῦνος ὁ βάσις μέν ἔχω κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό BΑ∠ , ὕψος δέ ὁ ΓΕ κάθετος . ἀλλά ὁ μέν κύκλος οὗτος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ ἐν ὁ στροφή γίγνομαι κωνικός ἐπιφάνεια διά ὁ ἵημι πάλιν Ἀρχιμήδης θεύρημα . ἐάν ἄρα Μένων ὁ BΓ περιφέρω ὁ τρίγωνος εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ γίγνομαι ὑπό αὐτός στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΒ ἐν ὁ στροφή γίγνομαι κωνικός ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος .
pappus-mathematics.synagoge 4.56
56 λδ΄ ( ιε΄ ) . Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα διήχθω ἡ ΓΒ , ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστίν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν , ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος . Ἐκβεβλήοθω ἡ ΖΑ ἐπὶ τὸ Β · διὰ τὸ προδειχθὲ ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἧ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ , τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κύνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ , ὕψος δέ τὸ αὐτό · καὶ λοιπὸν ἅρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ , ὕψος δὲ τὸ αὐτό .
Lemmas: 56 λδ΄ ( ἵημι ) . ἔστω πάλιν τρίγωνος ὁ ΑΓΖ καί τυγχάνω διάγω ὁ ΓΒ , ὅς Μένων περιφέρω ὁ τρίγωνος εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι ὅτι ὁ γίγνομαι ὑπό αὐτός στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ἴσος ὁ ὑπό ὁ αζʹ γίγνομαι ἐπιφάνεια κατά ὁ στροφή , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ αζʹ κάθετος . Ἐκβεβλήοθω ὁ Γῆ ἐπί ὁ Β · διά ὁ προδείκνυμι ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ τρίγωνος γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὅς ποιέω ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ἧ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΒΑ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΖΓ γίγνομαι ὁμοίως ἴσος εἰμί Κῦνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ Κῦνος ὅς ποιέω ὁ ΒΖ , ὕψος δέ ὁ αὐτός · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΖ γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί Κῦνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κόλουρος κῶνος ὅς ποιέω ὁ αζʹ , ὕψος δέ ὁ αὐτός .
pappus-mathematics.synagoge 4.57
57 λε΄ ( ιϚ΄ ) . Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ ἤχθωσαν αἱ ΖΓ Α∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ , ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ , τουτέστιν τῆς ∠Γ . Ἐπεὶ γάρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἠ ἐκ τοῦ κάντρου ἐστὶν ἡ Α∠ ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς Δ∠Γ , ὁ δέ ὑπὸ τοῦ ΑB∠ τριγώνου γινόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν , ὕψος δέ τὴν Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὲ τοῦ A∠ΓZ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν Β∠ μετὰ τριῶν τῶν ∠Γ . κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ὑπὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος , ὥψος ἔχων τήν τε Β∠ καὶ ἅπαξ τὴν ∠Γ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν , ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ ἢ τῆς ΑΖ .
Lemmas: 57 ὅς ( ΙΣΤ΄ ) . ἔστω δέ παράλληλος ὁ αζʹ ὁ ΒΓ καί ἄγω ὁ ΖΓ Α∠ ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΖ τρίγωνος ἐν ὁ στροφή γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί Κῦνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ κέντρον εἰμί ὁ ΓΖ , ὕψος δέ ὁ διπλόος ὁ αζʹ , τουτέστιν ὁ ∠Γ . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος κύλινδρος ἴσος εἰμί κῶνος βάσις μέν ἔχω κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ Κάντρου εἰμί ὁ Α∠ ὕψος δέ ὁ τριπλάσιος ὁ Δ∠Γ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑB∠ τρίγωνος γίγνομαι κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ Β∠ ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ∠ τρίγωνος μετά ὁ ΥΠΕ ὁ A∠ΓZ παραλληλόγραμμος γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί Κῦνος ἀπό ὁ αὐτός βάσις ὕψος ἔχω ὁ Β∠ μετά τρεῖς ὁ ∠Γ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ὁ ΒΓΖ τρίγωνος γίγνομαι ἀπό ὁ αὐτός βάσις κῶνος , ὁράω ἔχω ὁ τε Β∠ καί ἅπαξ ὁ ∠Γ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒΖ γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ διπλάσιος ὁ ∠Γ ἢ ὁ αζʹ .
pappus-mathematics.synagoge 4.58
58 Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κυλινδρικῇ ρὔσῃ , ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως ( τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδησ ἔδειξεν ιδ΄ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλψ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓ∠ .
Lemmas: 58 ἔτι δέ καί οὗτος φανερός ὅτι ὁ ὑπό ὁ αζʹ γίγνομαι ἐπιφάνεια κυλινδρικός ῥύομαι , ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις ( οὗτος γάρ Ἀρχιμήδης δείκνυμι ὁράω θεώρημα περί σφαῖρα καί κύλινδρος ) ὥστε ὁ ὑπό ὁ αζʹ γίγνομαι ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλωψ ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ δίς ὑπό ὁ ΖΓ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 4.59
59 λϚ΄ ( ιζ΄ ) . Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾗ τῶν ∠ Γ , δείκνυται . ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ Α∠ΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος , τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων βάσιν καὶ ὕψος τὴν ∠Γ , ὑπερέχει οὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ , ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ , ὅπερ : ~
Lemmas: 59 λϚ΄ ( ιζʹ ) . ἐάν μέντοι ὁ Β μεταξύ ὅς ὁ ∠ Γ , δείκνυμι . ὁ γάρ ὑπό ὁ Α∠ΓΖ παραλληλόγραμμος γίγνομαι κύλινδρος , ὁ ὑπό ὁ ΑΒ∠ ΖΒΓ τρίγωνος γίγνομαι κῶνος ὁ αὐτός ἔχω βάσις καί ὕψος ὁ ∠Γ , ὑπερέχω οὐτάω ὁ ἀπό ὁ αὐτός βάσις κῶνος ὕψος ἔχω ὁ διπλάσιος ὁ ∠Γ , ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΖ τρίγωνος γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί ὁ αὐτός κῶνος , ὅσπερ : ~
pappus-mathematics.synagoge 4.60
60 λζ΄ ( ιη΄ ) . Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὰς Α∠ ∠Γ κάθετοι ἴσαι , καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ , καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφανείαις , ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ , κάθετος . Ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ∠ΓΒ τριγώνων ἐστὶν γινόμενον . καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μέν ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ γινόμενον ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Α∠ γινομένη ἐπιφανείᾳ , ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ κάθετος , τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ∠ΒΓ τριγώνου ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Γ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ , ὕψος δὲ τὸ αὐτό · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ γινομέναις κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις , ὕψος δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ .
Lemmas: 60 λζ΄ ( ιη΄ ) . ἔστω τετράπλευρος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ἀπό ὁ ἐπί ὁ Α∠ ∠Γ κάθετος Ἴσαι , καί διάγω τις ὁ ΒΕ , καί Μένων αὐτός περιφέρω ὁ τετράπλευρος εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι ὅτι ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ τετράπλευρος στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠ ∠Γ ἐν ὁ στροφή γίγνομαι ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί εἷς ὁ Α∠ ∠Γ , κάθετος . ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ ὁ ἄρα ὑπό ὁ τετράπλευρος γίγνομαι στερεός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ∠ ∠ΓΒ τρίγωνος εἰμί γίγνομαι . καί δείκνυμι πρό δύο ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒ∠ γίγνομαι ἴσος κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠ γίγνομαι ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί εἷς ὁ Α∠ ∠Γ κάθετος , ὁ δέ ὑπό ὁ ∠ΒΓ τρίγωνος ἴσος κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ∠Γ γίγνομαι ἐτιφανείᾳ , ὕψος δέ ὁ αὐτός · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος γίγνομαι στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠ ∠Γ γίγνομαι κατά ὁ στροφή ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί εἷς ὁ Α∠ ∠Γ .
pappus-mathematics.synagoge 4.61
61 λη΄ ( ιθ΄ ) . Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευρον ἦ τὸ ∠ ΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον , ὥστε τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφ’ ἑκάστην τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ καθέτους ἴσας εἶναι , δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον κύνῳ πὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις , ὕψος δέ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων . καὶ οὐδὲν διαφέρει , ἂν ἡ ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ .
Lemmas: 61 ὅλος ( ΙΘ΄ ) . κἀν ἀντί ὁ τετράπλευρος δέ πεντάπλευρον εἰμί ὁ ∠ ΑΒΖΓ ἢ καί ὁποσασοῦν πλευρά ἔχω , ὥστε ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ἕκαστος ὁ Α∠ ∠Γ ΓΖ κάθετος ἴσος εἰμί , δείκνυμι ὁμοίως ὁ ὑπό ὁ πολύγωνος γίγνομαι στερεός ἴσος Κῦνος ΠΥ ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠ ∠Γ ΓΖ γίγνομαι ἐπιφάνεια , ὕψος δέ εἷς ὁ εἴρω ἴσος κάθετος . καί οὐδείς διαφέρω , εἄν ὁ ἔσχατος ἐφαρμόζω ὁ ΕΒ .
pappus-mathematics.synagoge 4.62
62 λθ΄ ( κ΄ ) . Τὸ δʼ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι , ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ , γραφή τι πολύγωνον ὑποσασοῦν ἔχον πλευράς , ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ , μενούσης δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθέν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα - τασταθῇ , τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν , ὃ δὴ καὶ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον , ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατά τὴν στροφήν , ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας · πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Σ ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάθετοι . ὡς αἱ ΣΜ , ΣΚ ΣΗ ΣΑ Σ∠ , ἴσαι εἰσίν . καὶ οὐ διαφέρει , ἐὰν τὸ ∠ τῷ O , ἢ τὸ Μ τῷ Ξ ταὐτὸν ἦ . Δῆλον δʼ ὅτι , κἂν περὶ τομέα κύκλου , οἷον τὸν ΞΣΑ ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον , τὰ αὐτὰ δειχθήσεται .
Lemmas: 62 λθ΄ ( Κ΄ ) . ὁ δέ αὐτός εἰμί ὁ εἴρω λέγω ὅτι , ἐάν περί ἡμικύκλιον ὅς κέντρον ὁ Σ , γραφεύς τίς πολύγωνος ὑφίστημι ἔχω πλευρά , ὡς ὁ ΕΖ , Μένων δέ ὁ ΒΓ περιφέρω ὁ πολύγωνος εἰς ὁ αὐτός ἀποκάω - τάσσω , ὁ γίγνομαι ὑπό αὐτός στερεός , ὅς δή καί περιγράφω περί ὁ σφαῖρα ὅς ποιέω ὁ ἡμικύκλιον , ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὁ πολύγωνος πλευρά γίγνομαι κατά ὁ στροφή , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · πᾶς γάρ ὁ ἀπό ὁ Σ ἄγω ἐπί ὁ πλευρά κάθετος . ὡς ὁ ΣΜ , ΣΚ ΣΗ σός Σ∠ , Ἴσαι εἰμί . καί οὖον διαφέρω , ἐάν ὁ ∠ ὁ O , ἢ ὁ Μ ὁ Ξ αὐτός εἰμί . Δῆλος δέ ὅτι , κἀν περί τομεύς κύκλος , οἷος ὁ Ξ ἢ ΜΣΑ περιγραφή τίς πολύγωνος , ὁ αὐτός δείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 4.63
63 μ΄ ( κα΄ ) . Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας , ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου . Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ , κέντρον δὲ τὸ Γ , καί , εἰ δυνατόν , πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας , τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , καὶ μεταξὺ αὐτῶν , τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου , μείζων δὲ τῆς σφαίρας , νοείσθω κῶνος ἄλλος , οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή , ὕψος δὲ ἡ Β∠ , ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ , καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ Β . καὶ τὰ ἡμίση · τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ .
Lemmas: 63 Μ΄ ( ΚΑ΄ ) . πᾶσα σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον . ἔστω γάρ σφαῖρα ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , κέντρον δέ ὁ Γ , καί , εἰμί δυνατός , πρότερος ἵστημι μείζων ὁ κῶνος ὅς βάσις μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , τουτέστιν ὁ κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ ΓΒ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , καί μεταξύ αὐτός , τουτέστιν μικρός μέν ὁ κῶνος , μείζων δέ ὁ σφαῖρα , νοέω κῶνος ἄλλος , ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ Β∠ , μικρός εἰμί ὁ ΓΒ , καί ἡμικύκλιον εἰμί ὁ ΑΕΒ ἄγω ὁ ΑΚ δύναμαι ὁ δίς ὑπό ΑΒ Γ∠ · καί λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ΑΒ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Κ Β . καί ὁ ἥμισυς · ὁ ὑπό ΑΒ∠ ἴσος εἰμί ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ Β Κ .
pappus-mathematics.synagoge 4.64
64 ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ , ὥστε ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς BΛΚ ( δυνατὸν δὲ τοῦτο · τέμνοντες γάρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περιφέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ , ὡς τὴν ΒΛ ) .
Lemmas: 64 ἐγγράφω δή εἰς ὁ ἡμικύκλιον πολύγωνος ἰσόπλευρος ὁ ΑΒ , ὥστε μικρός εἰμί ὁ ΒΛ περιφέρεια ὁ BΛΚ ( δυνατός δέ οὗτος · τέμνω γάρ ὁ ἡμικύκλιον δίχα καί ὁ ἥμισυς περιφέρεια δίχα καί οὗτος ἀεί ποιέω λείπω τις περιφέρεια μικρός ὁ ΒΛΚ , ὡς ὁ ΒΛ ) .
pappus-mathematics.synagoge 4.65
65 καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ , καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΟ . ἐπεὶ οὖν ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΛΒ τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΛ τῆς ΓΟ , ἡ , δὲ ΛΒ τῆς ΒΟ , καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΒ τῆς ΑΛ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΛ ΓΟ μεῖξόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΒ . διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν ΚΒ ἐπιζεύξωμεν , παράλληλον δὲ διὰ τοῦ Γ μέχρι τῆς ΚΒ . τῇ ΑΚ ἀγάγωμεν , τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης παραλλήλου καὶ τῆς ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ εὐθείας · καὶ πολλῷ τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπʼ αὐτῆς , τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠ . καὶ ὁ κῶνος ἄρα , οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ , ὕψος δέ ἡ ΑΒ , μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δόναται τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ , ὕψος δὲ ἡ ΑΒ . ἀλλʼ ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ , ὕψος δὲ ἡ ΑΒ , ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΟ · καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος , τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΟ , μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου , οὖ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ , ὕψος δὲ ἡ ΑΒ , τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ Β∠ .
Lemmas: 65 καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ , καί παράλληλος αὐτός ὁ ΓΟ . ἐπεί οὖν ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΛΒ τρίγωνος ὁ ΓΟΒ τρίγωνος καί διπλόος εἰμί ὁ μέν ΑΛ ὁ ΓΟ , ὁ , δέ ΛΒ ὁ ΒΟ , καί μικρός εἰμί ὁ ΛΒ ὁ ΑΛ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΛ ΓΟ μίγνυμι εἰμί ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ΛΒ . διά αὐτός δή κἀν μέν ὁ ΚΒ ἐπιζεύγνυμι , παράλληλος δέ διά ὁ Γ μέχρι ὁ ΚΒ . ὁ ΑΚ ἄγω , ὁ ὑπό ὁ ἄγω παράλληλος καί ὁ ΑΚ μέγας εἰμί ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ΚΒ εὐθύς · καί πολύς ὁ ὑπό ΑΛ ΓΟ ἥμισυς ὁ ἀπό αὐτός , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΒ∠ . καί ὁ κῶνος ἄρα , ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΛ ΓΟ , ὕψος δέ ὁ ΑΒ , μείζων εἰμί ὁ κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δίδωμι ὁ ὑπό ΑΒ∠ , ὕψος δέ ὁ ΑΒ . ἀλλά ὁ κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΛ ΓΟ , ὕψος δέ ὁ ΑΒ , ἴσος εἰμί κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΛ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ ΓΟ · καί ὁ κῶνος ἄρα οὗτος , τουτέστιν ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Λαβ , ὕψος δέ ὁ ΓΟ , μείζων εἰμί ὁ κῶνος , οὖον ὁ μέν βάσις εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΒ∠ , ὕψος δέ ὁ ΑΒ , τουτέστιν ὁ ἴσος κῶνος ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Β∠ .
pappus-mathematics.synagoge 4.66
66 καὶ δέδεικται τῷ δ΄ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ · καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ , ὕψος δέ ἡ ΓΟ , ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι , μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρον τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ Β∠ , ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ Β∠ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαίρας · πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν , ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν .
Lemmas: 66 καί δείκνυμι ὁ Δ΄ θεώρημα ὁ γίγνομαι ὑπό πᾶς ὁ πολύγωνος πλευρά ἐπιφάνεια κατά ὁ ὅμοιος στροφή ἴσος κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Λαβ · καί ὁ κῶνος ἄρα ὅς ὁ βάσις μέν εἰμί ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Λαβ , ὕψος δέ ὁ ΓΟ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ σφαῖρα στερεός σχῆμα , μείζων εἰμί ὁ κῶνος ὅς ὁ μέν ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Β∠ , ὥστε καί ὁ εἴρω στερεός σχῆμα μέγας εἰμί ὁ κῶνος ὅς ὁ μέν ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Β∠ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ κῶνος οὗτος μείζων ὁ σφαῖρα · πολύς ἄρα μέγας εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ στερεός σχῆμα ὁ ἐγγράφω εἰς αὐτός , ὅσπερ ἀδύνατος εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.67
67 μα΄ . ( κβ΄ ) . Ἔστω δέ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος κῶνος , οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΒ , τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ , ὕψος δὲ ἡ ΑΒ , καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή , ὕψος δέ ἡ Κ μείζων τῆς ΑΒ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιεν πολύγωνον ἰσόπλευρον , ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ∠Ε τῆς ὐπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἔλάσσονα εἶναι . καὶ ἔστιν μείζων ἡ ∠Ε τῶν ∠Α ΒΜ , ἐπεὶ καὶ ἡ Ν∠ τῆς ∠Α καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν .
Lemmas: 67 ὅς . ( ΚΒ΄ ) . ἔστω δέ μικρός ὁ σφαῖρα ὁ εἴρω κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ ΓΒ , τουτέστιν ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ , ὕψος δέ ὁ ΑΒ , καί μεταξύ ὁ σφαῖρα καί ὁ κῶνος νοέω κῶνος ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ Κ μείζων ὁ ΑΒ , καί περιγράφω περί ὁ ἡμικύκλιος πολύγωνος ἰσόπλευρος , ὥστε εἷς αὐτός πλευρά ὁ ∠Ε ὁ υπεροχή ὁ Κ ΑΒ μικρός εἰμί . καί εἰμί μείζων ὁ ∠Ε ὁ ∠Α ΒΜ , ἐπεί καί ὁ Ν∠ ὁ ∠Α καί ὁ ∠Μ ἄρα ὁ Κ μικρός εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 4.68
68 ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατά τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δ΄ θεώρημα ἴση ἐστὶ΄ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ , δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν , ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαίραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον , ἴσον ἐστὶν κώνῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐστιν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας διὰ τὸ κʼ θεύρημα , . καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ∠Μ , ὁ δὲ κῶνος , οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ , ὕψος δὲ ἡ BΓ , ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαίρας · πολλῷ ἄρα τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας , ὅπερ ἀδύνατον . ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ .
Lemmas: 68 ἐπεί δέ καί ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ πολύγωνος ἐπιφάνεια κατά ὁ περί ἄγω ὁ δΜ στροφή διά ὁ Δ΄ θεώρημα ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ δύναμαι ὁ ὑπό δΜ ΑΒ , δῆλος ὡς καί ὁ γίγνομαι ὑπό αὐτός στερεός , ὅς δή περιγράφω περί ὁ σφαῖρα ὅς ποιέω ὁ ἡμικύκλιον , ἴσος εἰμί κῶνος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις εἰμί ὁ δύναμαι ὁ ὑπό ∠Μ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ ΓΒ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα διά ὁ καί θεύρημα , . καί εἰμί μείζων ὁ Κ ὁ ∠Μ , ὁ δέ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Κ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ BΓ , μικρός εἰμί ὁ σφαῖρα · πολύς ἄρα ὁ περιγράφω στερεός ἐλαχύς εἰμί ὁ σφαῖρα , ὅσπερ ἀδύνατος . ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὁ σφαῖρα .
pappus-mathematics.synagoge 4.69
69 μβ΄ ( κγ΄ ) . Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου , τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί , ὥστε τὰς ἐπιφανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι . Ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ Α∠ΒΕ , καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η , καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ∠Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Β , καὶ ἐκκείσθιοσαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ , ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Α∠ , ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ∠Β · ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ∠ΑΕ τμήματος , ὁ δὲ Κ τοῦ ∠ΒΕ τμήματος · τοῦτο γὰρ προδέδεικται . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Α∠Β καὶ κάθετος ἡ ∠Γ , ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η , τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου , τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον , τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ∠ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ∠ΒΕ τμήματος τῆς σφαίρως .
Lemmas: 69 μβ΄ ( κγ΄ ) . σφαῖρα δίδωμι καί λόγος , τέμνω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τις , ὥστε ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ δίδωμι . ἔστω γάρ σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ Α∠ΒΕ , καί διάμετρος ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι λόγος ὁ ὁ Ζ πρός ὁ , καί τέμνω ὁ ΑΒ κατά ὁ Γ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ , καί διά ὁ Γ ἐπίπεδος τέμνω ὁ σφαῖρα πρός ὀρθός ὁ ΑΒ εὐθύς καί ἵστημι κοινός τομή ὁ ∠Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ ∠Β , καί εκκεισθιοσαω δύο κύκλος ὁ Θ Κ , ὁ μέν Θ ἴσος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α∠ , ὁ δέ Κ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος ἔχω ὁ ∠Β · εἰμί ἄρα ὁ μέν Θ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ∠ΑΕ τμῆμα , ὁ δέ Κ ὁ ∠ΒΕ τμῆμα · οὗτος γάρ προδείκνυμι . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό Α∠Β καί κάθετος ὁ ∠Γ , εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , τουτέστιν ὁ Ζ πρός ὁ , ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό ∠Β , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Θ κύκλος πρός ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Κ κύκλος , τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρός ὁ Κ κύκλος , τουτέστιν ὁ ἐπιφάνεια ὁ ∠ΑΕ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ∠ΒΕ τμῆμα ὁ σφαῖρος .
pappus-mathematics.synagoge 4.70
70 μγ΄ . Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μέν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας , καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ , οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ , διχοτομία δέ τὸ Ε , καὶ κέντρον τὸ Ζ , ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν ΑΕΓ , ὡς αἱ ΑΒ Β∠ ∠Γ , μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ὁ γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠Γʼ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινομένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας . ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἀνάλογόν ἐστιν τῆς Β∠ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ Γ∠ , τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ ἐστὶν ἡ ΑΓ , οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σραίρας ἐπιφάνεια δ΄ μεγίστοις ἴση , ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ · μετὰ δύο ἄρα κύκλων , οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου , λόγον ἔχει πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν , ὃν ἔχει τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ δ΄ οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὕψοε δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου , ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος . τῆς σφαίρας .
Lemmas: 70 μγ΄ . εἰμί δέ οὗτος φανερός ὅτι καί πᾶς σφαῖρα ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , αὐτός τε ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα , καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . ἡμικύκλιον γάρ εἰμί ὁ ΑΕΓ , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , διχοτομία δέ ὁ Ε , καί κέντρον ὁ Ζ , ὁπόταν τρεῖς ἄγω ἐφάπτω διά ὁ ΑΕΓ , ὡς ὁ ΑΒ Β∠ ∠Γ , Μένων δέ ὁ ΑΓ περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ΑΒ∠Γʼ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιος κύλινδρος πρός ὁ σφαῖρα ὁ ὑπό ὁ ἡμικύκλιον γίγνομαι ἡμιόλιος λόγος ἔχω ὅσπερ καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ὁ Β∠ γίγνομαι ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ἴσος εἰμί κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἀνάλογος εἰμί ὁ Β∠ καί συναμφότεροι ὁ ΑΒ Γ∠ , τουτέστιν ὁ κύκλος ὅς ὁ ἐκ ὁ εἰμί ὁ ΑΓ , οὗτος δέ ὁ κύκλος ἴσος εἰμί τέσσαρες μέγας ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , δείκνυμι δέ καί ὁ ὁ σραιηρα ἐπιφάνεια Δ΄ μέγας ἴσος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Β∠ γίγνομαι ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια · μετά δύο ἄρα κύκλος , ὁ εἰμί βάσις ὁ κύλινδρος , λόγος ἔχω πρός ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια , ὅς ἔχω ὁ ΣΤ΄ πρός ὁ Δ΄ οὗτος δέ ὁ λόγος ἡμιόλιος εἰμί . καί ἐπεί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὑψόω δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἕκτος μέρος εἰμί ὁ πᾶς κύλινδρος , ἡμιόλιος ἄρα καί ὁ κύλινδρος . ὁ σφαῖρα .
pappus-mathematics.synagoge 4.72
72 Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτʼ ἐστίν , ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν , ὡς ὑπεσχόμεθα , τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων , πυραμίδος τε καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου , οὐ διὰ τῆς ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας , διʼ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις , ἀλλά διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὐπʼ ἐμοῦ διεσκευασμένας . προγράφεται δὲ τάδε .
Lemmas: 72 καί ὁ μέν περί ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης δείκνυμι ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος τοσοῦτος εἰμί , ἑξῆς δέ οὗτος γράφω , ὡς ὑπισχνέομαι , ὁ σύγκρισις ὁ ἴσος ἐπιφάνεια ἔχω πέντε σχῆμα , πυραμίς τε καί κύβος καί ὀκτάεδρον δωδεκάεδρον τε καί εἰκοσάεδρος , οὖον διά ὁ ἀναλυτικός λέγω θεωρία , διά ὅς ἔνιοι ὁ παλαιός ποιέω ὁ ἀποδείκνυμι , ἀλλά διά ὁ κατά σύνθεσις ἀγωγή ἐπί ὁ σαφής καί σύντομος ὑπό ἐγώ διασκευάζω . προγράφω δέ ὅδε .