ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 1.1
1 γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατοντάδος μετρεῖσθαι δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς . Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριθμοὶ ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄ · ἔσονται ἄρα οἱ πυθμένες ε΄ ε΄ έ δ΄ δ΄ γ΄ · ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδων Ϛ . καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν δεκάδων ἐστὶν Ϛ΄ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο , ἔσται ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν . καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν , αἱ ἄρα μυριάδες ρ΄ · ἐπὶ τὰς μονάδας Ϛ γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας ξ΄ διπλᾶς , ὥστε ὁ ἐκ τῶν ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄ στερεός ἐστιν μυριάδων ξ΄ διπλῶν .
Lemmas: 1 γάρ αὐτός μικρός μέν εἰμί ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ αὐτός στερεός εἶπον μή πολλαπλασιάζω αὐτός . εἰμί οὖν ὁ ἀριθμός ν΄ ν΄ ν΄ Μ΄ Μ΄ Λ΄ · εἰμί ἄρα ὁ πυθμήν Ε΄ Ε΄ ἔ Δ΄ Δ΄ Γ΄ · ὁ ἄρα ἐκ αὐτός στερεός γίγνομαι μόνος Ϛ . καί ἐπεί ὁ πλῆθος ὁ δεκάς εἰμί ΣΤ΄ καί μετρέω ὑπό τετράς λείπω δύο , εἰμί ὁ ἐκ αὐτός στερεός μυριάς ἁπλόος ἑκατόν . καί ἐπεί ὁ ἐκ ὁ δεκάς στερεός ἐπί ὁ ἐκ ὁ πυθμήν στερεός ποιέω ὁ ἐκ ὁ ἐκ ἀρχή στερεός , ὁ ἄρα μυριάς Ρ΄ · ἐπί ὁ μόνος Ϛ γίγνομαι ποιέω μυριάς Ξ΄ διπλόος , ὥστε ὁ ἐκ ὁ ν΄ ν΄ ν΄ Μ΄ Μ΄ Λ΄ στερεός εἰμί μυριάς Ξ΄ διπλόος .
pappus-mathematics.synagoge 1.2
2 ιε΄ . Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐφʼ ὧν τὰ Β , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσθω δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριθμούς . Γεγονέτω , καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους αὐτῶν μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος , καὶ ὑποκείσθω ὑπὸ ἕκαστον τῶν Β ἑκατοντάς ἡ α΄ , καὶ καθὸ μετρεῖται ἕκαστος τῶν Β ὑπὸ τῆς ἑκατοντάδος ἔστωσαν οἱ ἐξ᾿ ὧν τὰ Γ · πυθμένες ἄρα εἰσὶν οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Γ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β . ὁ δὲ διὰ τῶν πυθμένων στερεὸς ἔστω ὁ Ε . δείκνυται οὖν διὰ τῶν γραμμῶν ὁ διὰ τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β στερεὸς μυριάδων διπλῶν ρκ , ἐπειδὴ καὶ ὁ διὰ τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν , τουτέστιν διπλῆ μυριάς α΄ ἐπὶ τάς ρκ΄ μονάδας .
Lemmas: 2 ἵημι . εἰμί δή πάλιν οσοιδηποος ἀριθμός ἐπί ὅς ὁ Β , ὅς ἕκαστος μικρός μέν χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ αὐτός στερεός εἶπον μή πολλαπλασιάζω ὁ ἀριθμός . γίγνομαι , καί ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος αὐτός μετρέω πρότερος ὑπό τετράς , καί ὑπόκειμαι ὑπό ἕκαστος ὁ Β ἑκατοντάς ὁ Α΄ , καί καθό μετρέω ἕκαστος ὁ Β ὑπό ὁ ἑκατοντάς εἰμί ὁ ἔξω ὅς ὁ Γ · πυθμήν ἄρα εἰμί ὁ ἔχω ὅς ὁ Γ ὁ ἐπί ὅς ὁ Β . ὁ δέ διά ὁ πυθμήν στερεός ἵστημι ὁ Ε . δείκνυμι οὖν διά ὁ γραμμή ὁ διά ὁ ἔχω ὅς ὁ Β στερεός μυριάς διπλόος ρκʹ , ἐπεί καί ὁ διά ὁ ἔχω ὅς ὁ Β στερεός ἴσος εἰμί ὁ διά ὁ ἑκατοντάς στερεός ἐπί ὁ ἐκ ὁ πυθμήν στερεός , τουτέστιν διπλόος μυριάς Α΄ ἐπί ὁ ρκ΄ μόνος .
pappus-mathematics.synagoge 1.3
3 Ἀλλ᾿ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος · μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ ἀνάγκης ( τοῦτο γὰρ προδέδεικται ) , ὥστε καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος · τὸ ἄρα πλῆθος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος λείψει μίαν ἑκατοντάδα . ὁ τοίνυν διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεὸς ἔσται μυριάδων ρ΄ ὁμωνύμων τῷ Ζ , τουτέστι διπλῶν , ὥστε δῆλον ὅτι ὁ διὰ τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μυριάδες εἰσὶν ρ ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν Ε . γίνονται μυριάς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων .
Lemmas: 3 ἀλλά ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ ἔχω ὅς ὁ Β μή μετρέω ὑπό τετράς · μετρέω ἄρα λείπω δυάς ἐκ ἀνάγκη ( οὗτος γάρ προδείκνυμι ) , ὥστε καί ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ ἑκατοντάς μετρέω ὑπό τετράς · ὁ ἄρα πλῆθος ὁ ἑκατοντάς μετρέω ὑπό δυάς λείπω εἷς ἑκατοντάς . ὁ τοίνυν διά ὁ ἑκατοντάς στερεός εἰμί μυριάς Ρ΄ ὁμώνυμος ὁ Ζ , τουτέστι διπλόος , ὥστε δῆλος ὅτι ὁ διά ὁ ἔχω ὅς ὁ Β μυριάς εἰμί ρ ὁμώνυμος ὁ Ζ γίγνομαι ἐπί ὁ Ε . γίγνομαι μυριάς εἷς δισχίλιοι διπλόος μυριάς .
pappus-mathematics.synagoge 1.4
4 ιϚ΄ . Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ , καὶ ὁ μὲν Α ὑποκείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , οἷον μονάδες φ΄ , ὁ δέ Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , οἷον μονάδες μ΄ , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριθμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς . Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν οἱ γὰρ ε΄ δ΄ πυθμένες αὐτῶν ὄντες πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι μονάδας κ΄ , χιλιάκις δὲ ὁ κ΄ ἀριθμὸς ποιεῖ μυριάδας δύο ποιούσας τὸν ὑπὸ τῶν Α Β γινόμενον . τὸ δὲ γραμμικὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν Ἀπολλώνιος .
Lemmas: 4 ΙΣΤ΄ . εἰμί δύο ἀριθμός ὁ ΑΒ , καί ὁ μέν Α ὑπόκειμαι μικρός μέν χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , οἷος μόνος Φ΄ , ὁ δέ Β μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , οἷος μόνος Μ΄ , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ αὐτός ἀριθμός εἶπον μή πολλαπλασιάζω αὐτός . εἰμί δέ φανερός διά ὁ ἀριθμός ὁ γάρ Ε΄ Δ΄ πυθμήν αὐτός εἰμί πολλαπλασιάζω ποιέω μόνος Κ΄ , χιλιάκις δέ ὁ Κ΄ ἀριθμός ποιέω μυριάς δύο ποιέω ὁ ὑπό ὁ Α Β γίγνομαι . ὁ δέ γραμμικός δῆλος ἐκ ὅς δείκνυμι Ἀπολλώνιος .
pappus-mathematics.synagoge 1.5
5 ιζ΄ . Ἐπὶ δὲ τοῦ ιη΄ θεωρήματος . Ἔστω πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχʼ ὧν τὰ Α , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ ἄλλο πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχ’ ὧν τὰ Β , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐχ᾿ ὧν τὰ Α Β στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς . Έστωσαν γὰρ πυθμένες τῶν μὲν ἐχʼ ὧν τὰ Α οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Η , μονάδες α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ , τῶν δὲ ἐχʼ ὧν τὰ Β οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Θ , μονάδες β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ ε΄ , καὶ ληφθέντες τοῦ ἐκ τῶν πυθμένων στερεοῦ , τουτέστιν τοῦ Ε , μονάδων ὄντος βωπ΄ , τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος . καὶ δείκνυσιν ὁ Ἀπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸν μυριάδων τοσούτων , ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες , ὁμωνύμων τῷ Ζ ἀριθμῷ , τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων βωπ΄ .
Lemmas: 5 ιζʹ . ἐπί δέ ὁ ιη΄ θεώρημα . ἔστω πλῆθος ἀριθμός ὁ ἔχω ὅς ὁ Α , ὅς ἕκαστος μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , καί ἄλλος πλῆθος ἀριθμός ὁ ἔχω ὅς ὁ Β , ὅς ἕκαστος μικρός μέν χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ ὁ ἔχω ὅς ὁ Α Β στερεός εἶπον μή πολλαπλασιάζω αὐτός . εἰμί γάρ πυθμήν ὁ μέν ἔχω ὅς ὁ Α ὁ ἔχω ὅς ὁ ὁ , μόνος Α΄ καί Β΄ καί Γ΄ καί Δ΄ , ὁ δέ ἔχω ὅς ὁ Β ὁ ἔχω ὅς ὁ Θ , μόνος Β΄ καί Γ΄ καί Δ΄ καί Ε΄ , καί λαμβάνω ὁ ἐκ ὁ πυθμήν στερεός , τουτέστιν ὁ Ε , μόνος εἰμί βωπ΄ , ὁ πλῆθος ὁ ἔχω ὅς ὁ Α προσλαμβάνω ὁ διπλασίων ὁ πλῆθος ὁ ἔχω ὅς ὁ Β μετρέω πρότερος ὑπό τετράς . καί δείκνυμι ὁ Ἀπολλώνιος ὁ ἐκ πᾶς ὁ ἔχω ὅς ὁ Α Β στερεός μυριάς τοσοῦτος , ὅσος εἰμί ἐν ὁ Ε μόνος , ὁμώνυμος ὁ Ζ ἀριθμός , τουτέστιν τριπλός μυριάς βωπ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 1.6
6 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α , προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β , μετρούμενον ὑπὸ τετράδος καταλειπέτω πρὸτερον γα . καί συνάγει ὁ Ἀπολλώνιος ὅτι ὁ ἐκ τῶν ἀριθμῶν ἐφʼ αν τὰ Α Β στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ , ὅσος ἐστὶν ὁ δεκαπλασίων τοῦ Ε , ἐὰν δὲ τὸ προειρημένον πλῆθος μετρούμενον ὑπὸ τετράδος καταλείπω δύο , ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐξ᾿ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ , ὅσος ἐστὶν ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ , ὅταν δὲ τρεῖς καταλειφθῶσιν , ἴσος ἐστὶν ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς μυριάσιν τοσαύταις ὁμωνύμοις τῷ Ζ , ὅσος ἐστὶν ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ .
Lemmas: 6 ἀλλά δή ὁ πλῆθος ὁ ἔχω ὅς ὁ Α , προσλαμβάνω ὁ διπλασίων ὁ πλῆθος ὁ ἔχω ὅς ὁ Β , μετρέω ὑπό τετράς καταλείπω πρότερος γῆ . καί συνάγω ὁ Ἀπολλώνιος ὅτι ὁ ἐκ ὁ ἀριθμός ἐπί αν ὁ Α Β στερεός μυριάς εἰμί τοσοῦτος ὁμώνυμος ὁ Ζ , ὅσος εἰμί ὁ δεκαπλασίων ὁ Ε , ἐάν δέ ὁ προερέω πλῆθος μετρέω ὑπό τετράς καταλείπω δύο , ἐκ ὁ ἀριθμός στερεός ὁ ἔξω ὅς ὁ Α Β μυριάς εἰμί τοσοῦτος ὁμώνυμος ὁ Ζ , ὅσος εἰμί ὁ ἑκατονταπλάσιος ὁ Ε ἀριθμός , ὅταν δέ τρεῖς καταλείπω , ἴσος εἰμί ὁ ἐκ αὐτός στερεός μυριάς τοσοῦτος ὁμώνυμος ὁ Ζ , ὅσος εἰμί ὁ χιλιαπλάσιος ὁ Ε ἀριθμός .
pappus-mathematics.synagoge 1.7
7 ιη΄ . Ἐπὶ δὲ τοῦ ιθ΄ θεωρήματος . Ἔστω τις ἀριθμὸς ὁ Α ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ Β Γ ∠ Ε , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸν εἰπεῖν . Ἔστω γὰρ καθʼ ὃν μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῆς δεκάδος ὁ Ζ , τουτέστιν ὁ πυθμὴν τοῦ Α , καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Ζ Β Γ ∠ Ε στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η · λέγω ὅτι ὁ διὰ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η . Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν τοῦ γὰρ Α ὑποκειμένου , φέῤ εἰπεῖν , μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων ε΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων Ϛ΄ , ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες ζσ΄ . ἀλλὰ καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων β΄ , ὅς ἐστι πυθμὴν τοῦ Α , ὁ ἐκ τούτου καὶ τῶν Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις γενόμενος ἔσται μονάδες ζσ΄ , ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ἑ στερεῷ . τὸ δὲ γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Ἀπολλωνίου δέδεικται .
Lemmas: 7 ιη΄ . ἐπί δέ ὁ ΙΘ΄ θεώρημα . ἔστω τις ἀριθμός ὁ Α μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , καί ἄλλος οσοιδηποος ἀριθμός μικρός δεκάς οἷος ὁ Β Γ ∠ Ε , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός εἶπον . ἔστω γάρ κατά ὅς μετρέω ὁ Α ὑπό ὁ δεκάς ὁ Ζ , τουτέστιν ὁ πυθμήν ὁ Α , καί λαμβάνω ὁ ἐκ ὁ Ζ Β Γ ∠ Ε στερεός καί ἵστημι ὁ ὁ · λέγω ὅτι ὁ διά ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός δέκα εἰμί ὁ ὁ . καί εἰμί φανερός διά ὁ ἀριθμός ὁ γάρ Α ὑπόκειμαι , φέρω εἶπον , μόνος Κ΄ καί ὁ Β μόνος Γ΄ καί ὁ Γ μόνος Δ΄ καί ὁ ∠ μόνος Ε΄ καί ὁ Ε μόνος ΣΤ΄ , ὁ ἐκ αὐτός στερεός γίγνομαι μόνος ζσ΄ . ἀλλά καί ὁ Ζ εἰμί μόνος Β΄ , ὅς εἰμί πυθμήν ὁ Α , ὁ ἐκ οὗτος καί ὁ Β Γ ∠ Ε στερεός δέκα γίγνομαι εἰμί μόνος ζσ΄ , ἴσος ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ ὅς στερεός . ὁ δέ γραμμικός ὑπό ὁ Ἀπολλώνιος δείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 1.8
8 ιθ΄ . Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β , ὧν ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , τῶν δὲ Γ ∠ Ε ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος ἔστω , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸν εἰπεῖν . Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Ζ Η · λέγω ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς τοῦ ἐκ τῶν Ζ Η Γ ∠ Ε στερεοῦ ἑκατονταπλάσιός ἐστιν . Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν , τοῦ Α ὄντος μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων λ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων β΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων δ΄ καὶ τοῦ Ζ μονάδων β΄ καὶ τοῦ Η μονάδων γ΄ · ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεός ἐστιν μ δυ΄ , ὁ δὲ ὑπὸ Ζ Η Γ ∠ Ε μονάδες ρμδ΄ , οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ποιεῖ μ δυ΄ . τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου .
Lemmas: 8 ΙΘ΄ . ἀλλά δή εἰμί δύο ἀριθμός ὁ Α Β , ὅς ἑκάτερος μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , ὁ δέ Γ ∠ Ε ἕκαστος μικρός δεκάς ἵστημι , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός εἶπον . εἰμί γάρ ὁ Α Β πυθμήν ὁ Ζ ὁ · λέγω ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Γ ∠ Ε στερεός εκατονταπλάσιος εἰμί . Φανερός δέ καί οὗτος διά ὁ ἀριθμός , ὁ Α εἰμί μόνος Κ΄ καί ὁ Β μόνος Λ΄ καί ὁ Γ μόνος Β΄ καί ὁ ∠ μόνος Γ΄ καί ὁ Ε μόνος Δ΄ καί ὁ Ζ μόνος Β΄ καί ὁ ὁ μόνος Γ΄ · ὁ γάρ ὑπό ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός εἰμί μ δυ΄ , ὁ δέ ὑπό Ζ ὁ Γ ∠ Ε μόνος ρμδ΄ , οὗτος δέ γίγνομαι ἑκατοντάκις ποιέω μ δυ΄ . ὁ δέ γραμμικός ἐκ ὁ Ἀπολλώνιος .
pappus-mathematics.synagoge 1.9
9 κ΄ . Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α Β Γ , καὶ ἔστω ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , ἕκαστος δὲ τῶν ∠ Ε Ζ ἔστω ἐλάσσων δεκάδος , καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ πυθμένες οἱ Η Θ Κ , καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Η Θ Κ ∠ Ε Ζ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Ξ · ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεὸς ἴσος ἐστὶν χιλίοις τοῖς Ξ . Ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν , τοῦ Α ὄντος λόγου χάριν μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων λ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων μ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων β΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ζ μονάδων δ΄ , τοῦ δὲ Η μονάδων β΄ καὶ τοῦ Θ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Κ μονάδων δ΄ ὁ γὰρ ὑπὸ Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεός ἐστιν μυριάδων νζ΄ ἁπλῶν καὶ μονάδων Ϛ , ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Η Θ Κ πυθμένων καὶ τῶν ∠ Ε Ζ ἔσται μονάδων φοϚ΄ , αὗται δὲ χιλιάκις γενόμεναι , τουτέστιν ἐκ πάντων στερεός , γίνεται μυριάδων ἁπλῶν νζ΄ καὶ μονάδων Ϛ .
Lemmas: 9 Κ΄ . ἀλλά δή εἰμί τρεῖς ἀριθμός ὁ Α Β Γ , καί ἵστημι ἕκαστος αὐτός μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , ἕκαστος δέ ὁ ∠ Ε Ζ ἵστημι μικρός δεκάς , καί εἰμί ὁ Α Β Γ πυθμήν ὁ ὁ Θ Κ , καί λαμβάνω ὁ ἐκ ὁ ὁ Θ Κ ∠ Ε Ζ στερεός καί ἵστημι ὁ Ξ · ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεός ἴσος εἰμί χίλιοι ὁ Ξ . εἰμί φανερός διά ὁ ἀριθμός , ὁ Α εἰμί λόγος χάρις μόνος Κ΄ καί ὁ Β μόνος Λ΄ καί ὁ Γ μόνος Μ΄ καί ὁ ∠ μόνος Β΄ καί ὁ Ε μόνος Γ΄ καί ὁ Ζ μόνος Δ΄ , ὁ δέ ὁ μόνος Β΄ καί ὁ Θ μόνος Γ΄ καί ὁ Κ μόνος Δ΄ ὁ γάρ ὑπό Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεός εἰμί μυριάς νζ΄ ἁπλόος καί μόνος Ϛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ὁ Θ Κ πυθμήν καί ὁ ∠ Ε Ζ εἰμί μόνος ὅς , οὗτος δέ χιλιάκις γίγνομαι , τουτέστιν ἐκ πᾶς στερεός , γίγνομαι μυριάς ἁπλόος νζ΄ καί μόνος Ϛ .
pappus-mathematics.synagoge 1.10
10 κα΄ . Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν πλείους τριῶν οἱ Α Β Γ ∠ Ε , καὶ ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , τῶν δὲ Ζ Η Θ ἕκαστος ἔστω ἐλάσσων δεκάδος . Τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠ Ε πρότερον μετρείσθω ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ο , καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Κ Λ Μ Ν Ξ · ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ στερεὸς ἴσος ἐστὶν μυριάσιν ὁμωνύμοις τῷ Ο ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ στερεῷ τῷ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ . Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν , τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων ι΄ καὶ τοῦ Β μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων λ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων μ΄ , καὶ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων ὄντων μονάδων α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεός ἐστιν ἁπλῶν μυριάδων κδ᾿ , ὁ δὲ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ μυριάδων ἁπλῶν ρμδ΄ , ὁ δὲ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων μονάδων κδ΄ οὗτος δὲ γενόμενος ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ , ὄντα μονάδων Ϛ΄ , ποιεῖ μονάδας ρμδ΄ , ὅσαι μυριάδες ἁπλαῖ εἰσιν τοῦ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ στερεοῦ , διὰ τὸ καὶ τετράδα ἅπαξ μετρεῖν τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠ .
Lemmas: 10 ΚΑ΄ . ἀλλά δή εἰμί πλείων τρεῖς ὁ Α Β Γ ∠ Ε , καί ἕκαστος μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , ὁ δέ Ζ ὁ Θ ἕκαστος ἵστημι μικρός δεκάς . ὁ πλῆθος ὁ Α Β Γ ∠ Ε πρότερος μετρέω ὑπό τετράς κατά ὁ ὁ , καί εἰμί ὁ Α Β Γ ∠ Ε πυθμήν ὁ Κ Λ Μ Ν Ξ · ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ζ ὁ Θ στερεός ἴσος εἰμί μυριάς ὁμώνυμος ὁ ὁ ὅσος μόνος εἰμί ἐν ὁ στερεός ὁ ἐκ ὁ Κ Λ Μ Ν ἐπί ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Θ . εἰμί δέ φανερός διά ὁ ἀριθμός , ὁ Α ὑπόκειμαι λόγος χάρις μόνος Ι΄ καί ὁ Β μόνος Κ΄ καί ὁ Γ μόνος Λ΄ καί ὁ ∠ μόνος Μ΄ , καί ὁ Κ Λ Μ Ν πυθμήν εἰμί μόνος Α΄ καί Β΄ καί Γ΄ καί Δ΄ · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ στερεός εἰμί ἁπλόος μυριάς κδέʹ , ὁ δέ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ζ ὁ Θ μυριάς ἁπλόος ρμδ΄ , ὁ δέ ἐκ ὁ Κ Λ Μ Ν πυθμήν μόνος κδ΄ οὗτος δέ γίγνομαι ἐπί ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Θ , εἰμί μόνος ΣΤ΄ , ποιέω μόνος ρμδ΄ , ὅσος μυριάς ἁπλόος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ζ ὁ Θ στερεός , διά ὁ καί τετράς ἅπαξ μετρέω ὁ πλῆθος ὁ Α Β Γ ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 1.11
11 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠ Ε μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος · μετρούμενον δὴ ἤτοι α΄ ἢ β΄ ἢ γ΄ λείψει . εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει , ἔσται ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο , ὅσος ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ γενόμενος δεκάκις , εἰ δὲ δύο λείψει , ἑκατοντάκις . εἰ δέ τρεῖς λείψει , ὅσων ὁ ἐκ τῶν Κ Α Μ Ν Ξ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ χιλιάκις γενόμενος ἔσται μονάδων , τοσούτων μοριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο . τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον .
Lemmas: 11 ἀλλά δή ὁ πλῆθος ὁ Α Β Γ ∠ Ε μή μετρέω ὑπό τετράς · μετρέω δή ἤτοι Α΄ ἢ Β΄ ἢ Γ΄ λείπω . εἰμί μέν οὖν εἷς λείπω , εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ ὁ Θ στερεός μυριάς ὁμώνυμος ὁ ὁ , ὅσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Κ Λ Μ Ν Ξ στερεός ἐπί ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Θ γίγνομαι δέκα , εἰμί δέ δύο λείπω , ἑκατοντάκις . εἰμί δέ τρεῖς λείπω , ὅσος ὁ ἐκ ὁ Κ Α Μ Ν Ξ ἐπί ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Θ χιλιάκις γίγνομαι εἰμί μόνος , τοσοῦτος μοριάς ὁμώνυμος ὁ ὁ . ὁ δέ γραμμικός ἐκ ὁ στοιχεῖον δῆλος .
pappus-mathematics.synagoge 1.12
12 κβ΄ . Ἔστω ὁ μὲν Α ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , ἕκαστος δὲ τῶν Β Γ ∠ ἐλάσσων δεκάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεὸν εἰπεῖν . Κείσθω γάρ τοῦ μὲν Α πυθμὴν ὁ Ε , ὁ δὲ ἐκ τῶν Ε Β Γ ∠ ὁ Ζ · ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεὸς ἑκατοντάκις ἐστὶν ὁ Ζ . Φανερὸν δέ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν , τοῦ Α ὑποκειμένου , φέῤ εἰπεῖν , μονάδων τ΄ καὶ τοῖ Β μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων ε΄ · ὁ μὲν γάρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ ∠ ἐστὶν μ η , ὁ δέ ὑπὸ τῶν Ε Β Γ ∠ ἐστὶν μονάδων ρπ΄ · οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ἔσται μ η . τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον .
Lemmas: 12 ΚΒ΄ . ἔστω ὁ μέν Α μικρός μέν χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , ἕκαστος δέ ὁ Β Γ ∠ μικρός δεκάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ στερεός εἶπον . κέω γάρ ὁ μέν Α πυθμήν ὁ Ε , ὁ δέ ἐκ ὁ Ε Β Γ ∠ ὁ Ζ · ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ στερεός ἑκατοντάκις εἰμί ὁ Ζ . Φανερός δέ καί οὗτος διά ὁ ἀριθμός , ὁ Α ὑπόκειμαι , φέρω εἶπον , μόνος τ΄ καί τοῖ Β μόνος Γ΄ καί ὁ Γ μόνος Δ΄ καί ὁ ∠ μόνος Ε΄ · ὁ μέν γάρ ὑπό ὁ Α Β Γ ∠ εἰμί μ ὁ , ὁ δέ ὑπό ὁ Ε Β Γ ∠ εἰμί μόνος ρπ΄ · οὗτος δέ γίγνομαι ἑκατοντάκις εἰμί μ ὁ . ὁ δέ γραμμικός ἐκ ὁ στοιχεῖον δῆλος .
pappus-mathematics.synagoge 1.13
13 κγ΄ . Ἐπὶ δὲ τοῦ κδ΄ θεωρήματος . Τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων σ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων τ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων β΄ τοῦ δὲ ∠ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων δ΄ , ὁ στερεὸς ἐξ αὐτῶν ἔσται μυριάδων ἁπλῶν ρμδ΄ , ἐπεὶ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἅπαξ , δὲ ὑπὸ τῶν Ζ H πυθμένων καὶ τῶν Γ ∠ Ε ἐστιν μονάδων ρμδ΄ . Ἐὰν δὲ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος , δῆλον ὅτι μετρούμενον κατὰ τὸν Κ λείψει δύο τοῦτο γάρ ἀνώτερον ἐδείχθη . διὰ δὴ τοῦτο μυριάδες εἰσὶν ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ , καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς ὁ Θ ἴσος τῷ ἐκ τῶν Ζ Η Γ ∠ Ε στερεῷ ἐπὶ τὰς ἑκατὸν μυριάδας ὁμωνύμους τῷ Κ . τὸ γραμμικὸν ὡς Ἀπολλώνιος .
Lemmas: 13 κγ΄ . ἐπί δέ ὁ κδ΄ θεώρημα . ὁ Α ὑπόκειμαι λόγος χάρις μόνος Σ΄ καί ὁ Β μόνος τ΄ καί ὁ Γ μόνος Β΄ ὁ δέ ∠ μόνος Γ΄ καί ὁ Ε μόνος Δ΄ , ὁ στερεός ἐκ αὐτός εἰμί μυριάς ἁπλόος ρμδ΄ , ἐπεί ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ Α Β μετρέω ὑπό τετράς ἅπαξ , δέ ὑπό ὁ Ζ H πυθμήν καί ὁ Γ ∠ Ε εἰμί μόνος ρμδ΄ . ἐάν δέ ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ Α Β μή μετρέω ὑπό τετράς , δῆλος ὅτι μετρέω κατά ὁ Κ λείπω δύο οὗτος γάρ ἀνώτερος δείκνυμι . διά δή οὗτος μυριάς εἰμί ἑκατόν ὁμώνυμος ὁ Κ , καί εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός ὁ Θ ἴσος ὁ ἐκ ὁ Ζ ὁ Γ ∠ Ε στερεός ἐπί ὁ ἑκατόν μυριάς ὁμώνυμος ὁ Κ . ὁ γραμμικός ὡς Ἀπολλώνιος .
pappus-mathematics.synagoge 1.14
14 κδ΄ . Ἐπὶ δὲ τοῦ κε΄ θεωρήματος . Ἔστω τῶν μὲν Α Ε ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , ἕκαστος δὲ τῶν Γ ∠ Ε ἐλάσσων δεκάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν . Ἔστωσαν γάρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Θ Κ , καὶ τῷ ἐκ τῶν Θ Κ Γ ∠ Ε στερεῷ ἴσος ἔστω ὁ Λ · ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς ἴσος ἐστὶν ἑκατὸν τοῖς Λ . Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν , τοῦ Α ὄντος μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων κ΄ , καὶ τοῦ Γ μονάδων ε΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων Ϛ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων ζ΄ , καὶ τῶν Θ Κ πυθμένων ὄντων μονάδων β΄ · ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Θ Κ Γ ∠ Ε γίνεται στερεὸς μονάδων ωμ΄ , οὗτος δὲ ἑκατοντάκις γενόμενος ἔσται μυριάδων η΄ μονάδων δ , ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεῷ ἀριθμῷ .
Lemmas: 14 κδ΄ . ἐπί δέ ὁ ἑ θεώρημα . ἔστω ὁ μέν Α Ε ἑκάτερος μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , ἕκαστος δέ ὁ Γ ∠ Ε μικρός δεκάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ αὐτός στερεός εἶπον . εἰμί γάρ ὁ Α Β πυθμήν ὁ Θ Κ , καί ὁ ἐκ ὁ Θ Κ Γ ∠ Ε στερεός ἴσος ἵστημι ὁ Λ · ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός ἴσος εἰμί ἑκατόν ὁ Λ . εἰμί δέ φανερός διά ὁ ἀριθμός , ὁ Α εἰμί μόνος Κ΄ καί ὁ Β μόνος Κ΄ , καί ὁ Γ μόνος Ε΄ καί ὁ ∠ μόνος ΣΤ΄ καί ὁ Ε μόνος Ζ΄ , καί ὁ Θ Κ πυθμήν εἰμί μόνος Β΄ · ὁ γάρ ὑπό ὁ Θ Κ Γ ∠ Ε γίγνομαι στερεός μόνος ὅς , οὗτος δέ ἑκατοντάκις γίγνομαι εἰμί μυριάς Η΄ μόνος δ , ἴσος ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός ἀριθμός .
pappus-mathematics.synagoge 1.15
15 κε΄ . Τὸ δʼ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϚ΄ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην . Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ ∠ Ε , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος , καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Η Θ στερεὸν εἰπεῖν . Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο . ὁ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν Γ ∠ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ . Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ , καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ , τοῖς δὲ Γ ∠ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ . καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεῷ . εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Α Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Φ · ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ . τοῦτο δὲ γραμμικῶς Ἀπολλώνιος ἀπέδειξεν .
Lemmas: 15 ἑ . ὁ δέ ἐπί πᾶς θεώρημα κϚ΄ πρότασις ἔχω καί ἀπόδειξις τοιοῦτος . εἰμί δύο ἀριθμός ἢ πλείων ὁ Α Β , ὅς ἕκαστος μικρός μέν χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , καί ἄλλος ἀριθμός ὁστισδήποτε ὁ Γ ∠ Ε , ὅς ἕκαστος μικρός μέν ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , καί ἄλλος πάλιν οσοιδηποος ἀριθμός ὁ Ζ ὁ Θ , ὅς ἕκαστος μικρός δεκάς , καί δήω ἵστημι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε ὁ Θ στερεός εἶπον . εἰμί γάρ ὁ Α Β Γ ∠ Ε πυθμήν ὁ Λ Μ Ν Ξ ὁ . ὁ δή διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ Α Β μετά ὁ ὁ Γ ∠ Ε ἁπλόος ἀριθμός ἤτοι μετρέω ὑπό τετράς ἢ οὖον . μετρέω πρότερος ὑπό τετράς κατά ὁ Κ , καί ὑποτάσσω ὁ μέν Α Β ἑκατοντάς ὁ Π Ρ , ὁ δέ Γ ∠ Ε δεκάς ὁ Σ Τ Υ . καί φανερός ὅτι ὁ ἐκ ὁ Π Ρ Σ Τ Υ ἐπί ὁ ἐκ ὁ Λ Μ Ν Ξ ὁ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε στερεός . λαμβάνω δή ὁ ἐκ ὁ Α Μ Ν Ξ ὁ Ζ ὁ Θ στερεός καί ἵστημι ὁ Φ · ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ ὁ Θ στερεός μυριάς εἰμί τοσοῦτος ὁμώνυμος ὁ Κ ὅσος μόνος εἰμί ἐν ὁ Φ . οὗτος δέ γραμμικός Ἀπολλώνιος ἀποδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 1.16
16 Ἐὰν δὲ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Γ ∠ Ε μὴ μετρῆται ὑπὸ τεράδος , μετρούμενος ἄρα κατὰ τὸν Κ λείψει ἢ ἕνα ἢ δύο ἢ τρεῖς . εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει , ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν δέκα ὁμώνυμοι τῷ Κ , εἰ δὲ δύο , μυριάδες ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ , εἰ δὲ τρεῖς , μυριάδες χίλιαι ὁμώνυμοι τῷ Κ . καὶ δῆλον ἐκ τῶν γεγραμμένων ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται , ὅσος ὁ δεκαπλάσιος τοῦ Φ , ὁμώνυμοι τῷ Κ ἀριθμῷ , ἢ ὅσος ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Φ , ὁμώνυμοι τῷ Κ , ἢ ὅσος ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Φ , ὁμώνυμοι τῷ Κ .
Lemmas: 16 ἐάν δέ ὁ διπλάσιος ὁ πλῆθος ὁ Α Β μετά ὁ πλῆθος ὁ Γ ∠ Ε μή μετρέω ὑπό τεράδος , μετρέω ἄρα κατά ὁ Κ λείπω ἢ εἷς ἢ δύο ἢ τρεῖς . εἰμί μέν οὖν εἷς λείπω , ὁ ἐκ ὁ Π Ρ Σ Τ Υ στερεός μυριάς εἰμί δέκα ὁμώνυμος ὁ Κ , εἰμί δέ δύο , μυριάς ἑκατόν ὁμώνυμος ὁ Κ , εἰμί δέ τρεῖς , μυριάς χίλιοι ὁμώνυμος ὁ Κ . καί δῆλος ἐκ ὁ γράφω ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ ὁ Θ στερεός μυριάς εἰμί τοσοῦτος , ὅσος ὁ δεκαπλάσιος ὁ Φ , ὁμώνυμος ὁ Κ ἀριθμός , ἢ ὅσος ὁ ἑκατονταπλάσιος ὁ Φ , ὁμώνυμος ὁ Κ , ἢ ὅσος ὁ χιλιαπλάσιος ὁ Φ , ὁμώνυμος ὁ Κ .
pappus-mathematics.synagoge 1.17
17 Τούτου δὴ προτεθεωρημένου πρόδηλον , πῶς ἔστιν τὸν δοθέντα στίχον πολλαπλασιάσαι καὶ εἰπεῖν τὸν γενόμενον ἀριθμὸν ἐκ τοῦ τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ πρῶτον τῶν γραμμάτων ἐπὶ τὸν δεύτερον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ δεύτερον τῶν γραμμάτων πολλαπλασιασθῆναι καὶ τὸν γενόμενον ἐπὶ τὸν τρίτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ τρίτον γράμμα καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς περαίνεσθαι μέχρι τοῦ διεξοδεύεσθαι τὸν στίχον , ὃν εἶπεν Ἀπολλώνιος ἐν ἀρχῇ οὕτως . Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι ( τὸ δὲ κλεῖτέ φησιν ἀντὶ τοῦ ὑπομνήσατε ) .
Lemmas: 17 οὗτος δή προθεωρέω πρόδηλος , πῶς εἰμί ὁ δίδωμι στίχος πολλαπλασιάζω καί εἶπον ὁ γίγνομαι ἀριθμός ἐκ ὁ ὁ πρῶτος ἀριθμός ὅς λαμβάνω ὁ πρῶτος ὁ γράμμα ἐπί ὁ δύο ἀριθμός ὅς λαμβάνω ὁ δύο ὁ γράμμα πολλαπλασιάζω καί ὁ γίγνομαι ἐπί ὁ τρίτος ἀριθμός ὅς λαμβάνω ὁ τρίτος γράμμα καί κατά ὁ ἑξῆς περαίνω μέχρι ὁ διεξοδεύω ὁ στίχος , ὅς εἶπον Ἀπολλώνιος ἐν ἀρχή οὕτως . Ἄρτεμις καλέω κράτος ἔξοχος ἐννέα κόρη ( ὁ δέ κλειτός φημί ἀντί ὁ ὑπομιμνῄσκω ) .
pappus-mathematics.synagoge 1.18
18 Ἐπεὶ οὖν γράμματά ἐστιν λη΄ τοῦ στίχου , ταῦτα δὲ περιέχει ἀριθμοὺς δέκα τοὺς ρ΄ τ΄ σ΄ τ΄ ρ΄ τ΄ σ΄ χ΄ υ΄ ρ΄ , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν χιλιάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , καὶ ἀριθμοὺς ιζ΄ τοὺς μ΄ ι΄ ο΄ κ΄ λ΄ ι΄ κ΄ ο΄ ξ΄ ο΄ ο΄ ν΄ ν΄ ν΄ κ΄ ο΄ ι΄ , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν ἑκατοντάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ τούς λοιποὺς ια΄ τοὺς α΄ ε΄ δ΄ ε΄ α΄ ε΄ ε΄ ε΄ α΄ α΄ , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος , ἐὼν ἄρα τοῖς μὲν δέκα ἀριθμοῖς ὑποτάξωμεν ἰσαρίθμους δέκα κατὰ τάξιν ἑκατοντάδος , τοῖς δὲ ιζ΄ ὁμοίως ὑποτάζωμεν δεκάδας ιζ΄ , φανερὸν ἐκ τοῦ ἀνώτερον λογιστικοῦ θεωρήματος ιβ΄ ὅτι δέκα ἑκατοντάδες μετὰ τῶν ιζ΄ δεκάδων ποιοῦσι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα .
Lemmas: 18 ἐπεί οὖν γράμμα εἰμί ὅλος ὁ στίχος , οὗτος δέ περιέχω ἀριθμός δέκα ὁ Ρ΄ τ΄ Σ΄ τ΄ Ρ΄ τ΄ Σ΄ Χ΄ Υ΄ Ρ΄ , ὅς ἕκαστος μικρός μέν εἰμί χιλιάς μετρέω δέ ὑπό ἑκατοντάς , καί ἀριθμός ιζʹ ὁ Μ΄ Ι΄ Ο΄ Κ΄ Λ΄ Ι΄ Κ΄ Ο΄ Ξ΄ Ο΄ Ο΄ ν΄ ν΄ ν΄ Κ΄ Ο΄ Ι΄ , ὅς ἕκαστος μικρός μέν εἰμί ἑκατοντάς μετρέω δέ ὑπό δεκάς , καί ὁ λοιπός ΙΑ΄ ὁ Α΄ Ε΄ Δ΄ Ε΄ Α΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Α΄ Α΄ , ὅς ἕκαστος μικρός δεκάς , εἰμί ἄρα ὁ μέν δέκα ἀριθμός ὑποτάσσω ἰσάριθμος δέκα κατά τάξις ἑκατοντάς , ὁ δέ ιζʹ ὁμοίως ὑποτάσσω δεκάς ιζʹ , φανερός ἐκ ὁ ἀνώτερος λογιστικός θεώρημα ἰβʹ ὅτι δέκα ἑκατοντάς μετά ὁ ιζʹ δεκάς ποιέω μυριάς ἐνναπλᾶς δέκα .
pappus-mathematics.synagoge 1.19
19 Ἐπεὶ δὲ καὶ πυθμένες ὁμοῦ τῶν μετρουμένων ἀριθμῶν ὑπὸ ἑκατοντάδος καὶ τῶν μετρουμένων ὑπὸ δεκάδος εἰσὶν οἱ ὑποκείμενοι κζ΄ α΄ γ΄ β΄ γ΄ α΄ γ΄ β΄ Ϛ΄ δ΄ α΄ δ΄ α΄ ζ΄ β΄ γ΄ α΄ β΄ ζ΄ Ϛ΄ ζ΄ ζ΄ ε΄ ε΄ ε΄ β΄ ζ΄ α΄ , ἀλλὰ καὶ τῶν ἐλασσόνων δεκάδος εἰσίν ια΄ , τουτέστιν ἀριθμοὶ οἱ α΄ ε΄ δ΄ ε΄ ε΄ α΄ ε΄ ε΄ ε΄ α΄ α΄ , ἐὰν τὸν ἐκ τούτων τῶν ια΄ καὶ τὸν ἐκ τῶν κζ΄ πυθμένων στερεὸν διʼ ἀλλήλων πολλαπλασιάσωμεν , ἔσται ὁ στερεὸς μυριάδων τετραπλῶν ιθ΄ καὶ τριπλῶν ϚλϚ΄ καὶ διπλῶν ηυπ΄ .
Lemmas: 19 ἐπεί δέ καί πυθμήν ὁμοῦ ὁ μετρέω ἀριθμός ὑπό ἑκατοντάς καί ὁ μετρέω ὑπό δεκάς εἰμί ὁ ὑπόκειμαι κζ΄ Α΄ Γ΄ Β΄ Γ΄ Α΄ Γ΄ Β΄ ΣΤ΄ Δ΄ Α΄ Δ΄ Α΄ Ζ΄ Β΄ Γ΄ Α΄ Β΄ Ζ΄ ΣΤ΄ Ζ΄ Ζ΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Β΄ Ζ΄ Α΄ , ἀλλά καί ὁ μικρός δεκάς εἰμί ΙΑ΄ , τουτέστιν ἀριθμός ὁ Α΄ Ε΄ Δ΄ Ε΄ Ε΄ Α΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Α΄ Α΄ , ἐάν ὁ ἐκ οὗτος ὁ ΙΑ΄ καί ὁ ἐκ ὁ κζ΄ πυθμήν στερεός διά ἀλλήλων πολλαπλασιάζω , εἰμί ὁ στερεός μυριάς τετραπλός ΙΘ΄ καί τριπλός ϚλϚ΄ καί διπλόος ηυπ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 1.20
20 δὲ τούτῳ συνάγεται καὶ ὁ διὰ τῶν τοῦ στίχου πυθμένων ἅμα ταῖς μονάσιν Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι , οἵ εἰσιν α΄ α΄ γ΄ ε΄ δ΄ α΄ δ΄ ζ΄ β΄ β΄ γ΄ ε΄ α΄ γ΄ ε΄ β΄ α΄ α΄ γ΄ ζ΄ β΄ ε΄ Ϛ΄ ζ΄ Ϛ΄ ζ΄ ε΄ ε΄ ε΄ ε΄ ε΄ α΄ β΄ ζ΄ δ΄ α΄ α΄ α΄ . ἓν γὰρ ἐπὶ α΄ γίνεται α΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται γ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται ιε΄ ἐπὶ δ΄ γίνεται ἐπὶ α΄ γίνεται ξ΄ ἐπὶ δ΄ γίνεται σμ΄ ἐπὶ ζ΄ γίνεται αχή΄ ἐπὶ β΄ γίνεται γτξ΄ ἐπὶ β΄ γίνεται Ϛψκ΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται μα β καὶ μο ρξ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μα ι΄ καὶ μο ω΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μα ι΄ καὶ μο ω΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται μα λ΄ καὶ μο βυ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μα ρνα΄ καὶ μο β ἐπὶ β΄ γινέται μα τβ΄ καὶ μο δ ἐπὶ α΄ γίνεται μα τβ΄ καὶ μο δ ἐπὶ α΄ γίνεται μα τβ΄ καὶ μο δ ἐπὶ γ΄ γίνεται μα Ϡζ΄ καὶ μο β ἐπὶ ζ΄ γίνεται μα Ϛτν΄ καὶ μο δ ἐπὶ β΄ γίνεται μβ α΄ καὶ μα βψ΄ καὶ μο η ἐπὶ ε΄ γίνεται μβ Ϛ΄ καὶ μα γφδ΄ ἐπὶ Ϛ΄ γίνεται μβ λη΄ καὶ μα ακδ΄ ἐπὶ ζ΄ γίνεται μβ σξϚ΄ καὶ μα ζρξη΄ ἐπὶ Ϛ΄ γίνεται μβ αχ΄ καὶ μα γη΄ ἐπὶ ζ΄ γίνεται μΓ α΄ καὶ μβ ασβ΄ καὶ μα ανϚ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μΓ ε΄ καὶ μβ Ϛι΄ καὶ μα εσπ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μΓ κη΄ καὶ μβ νβ΄ καὶ μα Ϛυ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μΓ ρμ΄ καὶ μβ σξγ΄ καὶ μα β ἐπὶ ε΄ γίνεται μΓ ψ΄ καὶ μβ ατιϚ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μΓ γφ΄ καὶ μβ Ϛφπ΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μΓ γφ΄ καὶ μβ Ϛφπ΄ ἐπὶ β΄ γίνεται μΓ ζα΄ καὶ μβ γρξ΄ ἐνὶ ζ΄ γίνεται μδ δ΄ καὶ μΓ θθ΄ καὶ μβ βρκ΄ ἐπὶ δ΄ γίνεται μδ ιθ΄ καὶ μΓ ϚλϚ΄ καὶ μβ
Lemmas: 20 δέ οὗτος συνάγω καί ὁ διά ὁ ὁ στίχος πυθμήν ἅμα ὁ μόνος Ἄρτεμις καλέω κράτος ἔξοχος ἐννέα κόρη , ὁ εἰμί Α΄ Α΄ Γ΄ Ε΄ Δ΄ Α΄ Δ΄ Ζ΄ Β΄ Β΄ Γ΄ Ε΄ Α΄ Γ΄ Ε΄ Β΄ Α΄ Α΄ Γ΄ Ζ΄ Β΄ Ε΄ ΣΤ΄ Ζ΄ ΣΤ΄ Ζ΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Ε΄ Α΄ Β΄ Ζ΄ Δ΄ Α΄ Α΄ Α΄ . εἷς γάρ ἐπί Α΄ γίγνομαι Α΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι Γ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι ἵημι ἐπί Δ΄ γίγνομαι ἐπί Α΄ γίγνομαι Ξ΄ ἐπί Δ΄ γίγνομαι σμ΄ ἐπί Ζ΄ γίγνομαι αχή΄ ἐπί Β΄ γίγνομαι γτξ΄ ἐπί Β΄ γίγνομαι Ϛψκ΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μή Β καί μ ρξ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μή Ι΄ καί μ Ω΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μή Ι΄ καί μ Ω΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μή Λ΄ καί μ βυ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μή ὥρα καί μ Β ἐπί Β΄ γίγνομαι μή τβ΄ καί μ δ ἐπί Α΄ γίγνομαι μή τβ΄ καί μ δ ἐπί Α΄ γίγνομαι μή τβ΄ καί μ δ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μή Ϡζ΄ καί μ Β ἐπί Ζ΄ γίγνομαι μή Ϛτν΄ καί μ δ ἐπί Β΄ γίγνομαι μβʹ Α΄ καί μή βψ΄ καί μ ὁ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μβʹ ΣΤ΄ καί μή γφδ΄ ἐπί ΣΤ΄ γίγνομαι μβʹ ὅλος καί μή ἀκδʹ ἐπί Ζ΄ γίγνομαι μβʹ σξϚ΄ καί μή ζρξη΄ ἐπί ΣΤ΄ γίγνομαι μβʹ ἀχʹ καί μή γη ἐπί Ζ΄ γίγνομαι μγʹ Α΄ καί μβʹ ασβ΄ καί μή ανϚ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μγʹ Ε΄ καί μβʹ ὅς καί μή εσπ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μγʹ κη΄ καί μβʹ νβ΄ καί μή ὅς ἐπί Ε΄ γίγνομαι μγʹ ρμ΄ καί μβʹ σξγ΄ καί μή Β ἐπί Ε΄ γίγνομαι μγʹ Ψ΄ καί μβʹ ατιϚ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μγʹ γφ΄ καί μβʹ Ϛφπ΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μγʹ γφ΄ καί μβʹ Ϛφπ΄ ἐπί Β΄ γίγνομαι μγʹ ἑ καί μβʹ γρξ΄ ἐν Ζ΄ γίγνομαι μδʹ Δ΄ καί μγʹ θθ΄ καί μβʹ βρκ΄ ἐπί Δ΄ γίγνομαι μδʹ ΙΘ΄ καί μγʹ ϚλϚ΄ καί μβʹ
pappus-mathematics.synagoge 1.21
21 Αὗται δὴ συμπολλαπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ἑκατοντάδων καὶ δεκάδων στερεόν , τουτέστι τὰς προκειμένας μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα , ποιοῦσιν μυριάδας τρισκαιδεκαπλᾶς ρҀϚ΄ , δωδεκαπλᾶς τξη΄ , ἑνδεκαπλᾶς δω΄ . ταῦτα γὰρ πάντα προδέδεικται .
Lemmas: 21 οὗτος δή συμπολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ἐκ ὁ ἑκατοντάς καί δεκάς στερεός , τουτέστι ὁ πρόκειμαι μυριάς ἐνναπλᾶς δέκα , ποιέω μυριάς τρισκαιδεκαπλᾶς ρҀϚ΄ , δωδεκαπλᾶς τξη΄ , ἑνδεκαπλᾶς ὁράω . οὗτος γάρ πᾶς προδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 1.22
22 Φατέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι πολλαπλασιασθέντα διʼ ἀλλήλων δύνασθαι μυριάδων πλῆθος τρισκαιδεκαπλῶν ρҀϚ΄ , δωδεκαπλῶν τξη΄ , ἑνδεκαπλῶν δω΄ , συμφόνως τοῖς ὑπὸ Ἀπολλωνίου κατὰ τὴν μέθοδον ἐν ἀρχῇ τοῦ βιβλίου προγεγραμμένοις .
Lemmas: 22 φατέον οὖν ὁ ἐκ ἀρχή στίχος Ἄρτεμις καλέω κράτος ἔξοχος ἐννέα κόρη πολλαπλασιάζω διά ἀλλήλων δύναμαι μυριάς πλῆθος τρισκαιδεκαπλος ρҀϚ΄ , δωδεκαπλῶν τξη΄ , ἑνδεκαπλόω ὁράω , συμφοναω ὁ ὑπό Ἀπολλώνιος κατά ὁ μέθοδος ἐν ἀρχή ὁ βιβλίον προγράφω .
pappus-mathematics.synagoge 1.23
23 Πάλιν δεδόσθω στίχος ὁ ὑποκείμενος Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου , καὶ εἰλήφθω τά τε ἀνάλογα καὶ οἱ πυθμένες ἅμα ταῖς μονάσιν ὥσπερ ὑπόκεινται δ΄ η΄ ε΄ α΄ ε΄ α΄ ε΄ α΄ δ΄ ε΄ θ΄ ε΄ α΄ δ΄ η΄ δ΄ η΄ γ΄ ε΄ α΄ ζ΄ β΄ α΄ γ΄ γ΄ α΄ ζ΄ β΄ α΄ α΄ η΄ ζ΄ δ΄ , καὶ πεπολλαπλασιάσθωσαν διʼ ἀλλήλων οἱ ἀριθμοί · γίνονται τετραπλαῖ μυριάδες δύο , τριπλαῖ αωμθ΄ , διπλαῖ δυβ΄ , ἁπλαῖ εχ΄ .
Lemmas: 23 πάλιν δίδωμι στίχος ὁ ὑπόκειμαι Μῆνις ἀείδω θεά Δημήτηρ ἀγλαόκαρπος , καί λαμβάνω ὁ τε ἀνάλογος καί ὁ πυθμήν ἅμα ὁ μόνος ὥσπερ ὑπόκειμαι Δ΄ Η΄ Ε΄ Α΄ Ε΄ Α΄ Ε΄ Α΄ Δ΄ Ε΄ Θ΄ Ε΄ Α΄ Δ΄ Η΄ Δ΄ Η΄ Γ΄ Ε΄ Α΄ Ζ΄ Β΄ Α΄ Γ΄ Γ΄ Α΄ Ζ΄ Β΄ Α΄ Α΄ Η΄ Ζ΄ Δ΄ , καί πολλαπλασιάζω διά ἀλλήλων ὁ ἀριθμός · γίγνομαι τετραπλός μυριάς δύο , τριπλόος αωμθ΄ , διπλόος δυβ΄ , ἁπλόος ἔχω .
pappus-mathematics.synagoge 1.24
24 Τέσσαρες γὰρ μο ἐπὶ η΄ γίνονται λβ΄ ἐπὶ ε΄ γίνονται ρξ΄ ἐπὶ μίαν γίνονται ρξ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται ω΄ ἐπὶ α΄ γίνεται ω΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται δ ἐπὶ μίαν γίνεται δ ἐπὶ δ΄ γίνεται μα α΄ καὶ μο Ϛ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μα η΄ ἐπὶ θ΄ γίνεται μα οβ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μα τξ΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μα τξ΄ ἐπὶ δ΄ γίνεται μα αυμ΄ ἐπὶ η΄ γίνεται μβ α΄ καὶ μα αφκ΄ ἐπὶ δ΄ γίνεται μβ δ΄ καὶ μα Ϛπ΄ ἐπὶ η΄ γίνεται μβ λϚ΄ καὶ μα ηχμ΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται μβ ρι΄ καὶ μα εϠκ΄ ἐπὶ ε΄ γίνεται μβ φνβ΄ καὶ μα θχ΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μβ φνβ΄ καὶ μα θχ΄ ἐπὶ ζ΄ γίνεται μβ γωο΄ καὶ μα ζσ΄ ἐπὶ β΄ γίνεται μβ ζψμα΄ καὶ μα δυ΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μβ ζψμα΄ καὶ μα δυ΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται μΓ β΄ καὶ μβ γσκδ΄ καὶ μα γσ΄ ἐπὶ γ΄ γίνεται μΓ Ϛ΄ καὶ μβ θχοβ΄ καὶ μα θχ΄ ἐπὶ α΄ γίνεται μΓ Ϛ΄ καὶ μβ θχοβ΄ καὶ μα θχ΄ ἐπὶ ζ΄ γίνεται μΓ μη΄ καὶ μβ ζψι΄ καὶ μα ζσ΄ ἐπὶ β΄ γίνεται μΓ 𝒢ζ΄ καὶ μβ ευκα΄ καὶ μα δυ΄ ἐπὶ α΄ καὶ πάλιν ἐπὶ α΄ γίνονται μΓ 𝒢ζ΄ καὶ μβ ευκα΄ καὶ μα δυ΄ ἐπὶ η΄ γίνεται μΓ ψπ΄ καὶ μβ γτοα΄ καὶ μα εσ΄ ἐνὶ ζ΄ γίνεται μΓ ευξβ΄ καὶ μβ γχ΄ καὶ μα Ϛυ΄ ἐπὶ δʼ γίνονται μδ΄ β΄ , τριπλαῖ αωμθ΄ , διπλαῖ δυβ΄ , ὁπλαῖ εχ΄ .
Lemmas: 24 τέσσαρες γάρ μ ἐπί Η΄ γίγνομαι λβ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι ρξ΄ ἐπί εἷς γίγνομαι ρξ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι Ω΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι Ω΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι δ ἐπί εἷς γίγνομαι δ ἐπί Δ΄ γίγνομαι μή Α΄ καί μ ΣΤ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μή Η΄ ἐπί Θ΄ γίγνομαι μή οβ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μή τξ΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μή τξ΄ ἐπί Δ΄ γίγνομαι μή αὐμʹ ἐπί Η΄ γίγνομαι μβʹ Α΄ καί μή αφκ΄ ἐπί Δ΄ γίγνομαι μβʹ Δ΄ καί μή Ϛπ΄ ἐπί Η΄ γίγνομαι μβʹ λϚ΄ καί μή ηχμ΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μβʹ ρι΄ καί μή εϠκ΄ ἐπί Ε΄ γίγνομαι μβʹ φνβ΄ καί μή θχ΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μβʹ φνβ΄ καί μή θχ΄ ἐπί Ζ΄ γίγνομαι μβʹ ἐγώ καί μή ζσ΄ ἐπί Β΄ γίγνομαι μβʹ ζψμα΄ καί μή δυ΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μβʹ ζψμα΄ καί μή δυ΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μγʹ Β΄ καί μβʹ γσκδ΄ καί μή γσ΄ ἐπί Γ΄ γίγνομαι μγʹ ΣΤ΄ καί μβʹ θχοβ΄ καί μή θχ΄ ἐπί Α΄ γίγνομαι μγʹ ΣΤ΄ καί μβʹ θχοβ΄ καί μή θχ΄ ἐπί Ζ΄ γίγνομαι μγʹ μη΄ καί μβʹ ζψι΄ καί μή ζσ΄ ἐπί Β΄ γίγνομαι μγʹ 𝒢ζ΄ καί μβʹ ευκα΄ καί μή δυ΄ ἐπί Α΄ καί πάλιν ἐπί Α΄ γίγνομαι μγʹ 𝒢ζ΄ καί μβʹ ευκα΄ καί μή δυ΄ ἐπί Η΄ γίγνομαι μγʹ ψπ΄ καί μβʹ ἐγώ καί μή εἰμί ἐν Ζ΄ γίγνομαι μγʹ ευξβ΄ καί μβʹ γχ΄ καί μή ὅς ἐπί δέ γίγνομαι μδ΄ Β΄ , τριπλόος αωμθ΄ , διπλόος δυβ΄ , ὁπλή ἔχω .
pappus-mathematics.synagoge 1.25
25 Τῶν δὴ ἀναλόγων κβ΄ καὶ μετρουμένων ὑπὸ τετράδος ὅσαι μονάδες γεγόνασιν , τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν ἐκβάντα διά τε τῶν μονάδων καὶ πυθμένων ἀριθμόν ( λέγω δὲ τοσαυτάκις κατὰ μυριάδων αὔξησιν ) , ὥστε γίνεσθαι τὸν πρότερον ὑπάρχοντα μυριάδων τετραπλῶν δύο , τριπλῶν αωμθ΄ , διπλῶν δυβ΄ καὶ ἁπλῶν εχ΄ , νῦν ἐνναπλῶν β΄ , ὀκταπλῶν , αωμθ΄ , ἑπταπλῶν δυβ΄ , ἑξαπλῶν εχ΄ .
Lemmas: 25 ὁ δή ἀνάλογος ΚΒ΄ καί μετρέω ὑπό τετράς ὅσος μόνος γίγνομαι , τοσαυτάκις αὐξάνω ὁ ἐκβαίνω διά τε ὁ μόνος καί πυθμήν ἀριθμός ( λέγω δέ τοσαυτάκις κατά μυριάς αὔξησις ) , ὥστε γίγνομαι ὁ πρότερος ὑπάρχω μυριάς τετραπλός δύο , τριπλός αωμθ΄ , διπλόος δυβ΄ καί ἁπλόος ἔχω , νῦν ἐναπλόω Β΄ , οχταπλός , αωμθ΄ , εφταπλός δυβ΄ , εξαπλός ἔχω .
pappus-mathematics.synagoge 1.26
26 Ὅτι δὲ περιλέλειπται τῶν ἀναλόγων δύο , ἅπερ ἐστὶ τῆς ἑκατοντάδος , τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριθμόν , ὥστε εἶναι μυριάδων ἐνναπλῶν σιη΄ , ὀκταπλῶν δϠμδ΄ , ἑπταπλῶν σνϚ΄ .
Lemmas: 26 ὅτι2 δέ περιλείπομαι ὁ ἀνάλογος δύο , ὅσπερ εἰμί ὁ ἑκατοντάς , τοσαυτάκις αὐξάνω ὁ εἴρω ἀριθμός , ὥστε εἰμί μυριάς ἐναπλόω εἰμί , οχταπλός δϠμδ΄ , εφταπλός σνϚ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 1.27
27 Ῥητέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου πολλαπλασιασθέντα δύνασθαι μυριάδων πλῆθος ἐνναπλῶν σιη΄ , ὀκταπλῶν δϠμδ΄ , ἑπταπλῶν σνϚ΄ .
Lemmas: 27 ῥητέος οὖν ὁ ἐκ ἀρχή στίχος Μῆνις ἀείδω θεά Δημήτηρ ἀγλαόκαρπος πολλαπλασιάζω δύναμαι μυριάς πλῆθος ἐναπλόω εἰμί , οχταπλός δϠμδ΄ , εφταπλός σνϚ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 2
Περιέχει δὲ προβλήματα γεωμετρικὰ ἐπίπεδά τε καὶ στερεά .
Lemmas: περιέχω δέ πρόβλημα γεωμετρικός ἐπίπεδος τε καί στερεός .
pappus-mathematics.synagoge 2.1
1 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν , ὦ κράτιστε Πανδροσίον , πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι , θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπίμενον αὐτοῖς καί πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρείται , τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα , τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων . ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι , ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων , κἂν · ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ , σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος . τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι , τό τε δυνατὸν καὶ τὸ δύνατον , κἂν ᾖ δυνατόν , πότε καὶ πώς καὶ ποσαχῶς δυνατόν . ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων , οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω . πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν . περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμάς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ . τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς · τὸ γάρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὁ ἀνὴρ ἐπισκεψαμένους ἀποκρίνασθαι περὶ τῆς ὑπʼ αὐτοῦ γενηθείσης κατασκευῆς , ἥτις ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον .
Lemmas: 1 ὁ ὁ ἐν γεωμετρία ζητέω βούλομαι τεχνικός διακρίνω , εἰμί ἀγαθός Πανδροσίον , πρόβλημα μέν ἀξιόω καλέω ἐπί ὅς προβάλλω τίς ποιέω καί κατασκευάζω , θεώρημα δέ ἐν ὅς τις ὑπόκειμαι ὁ ἐπιμένω αὐτός καί πάντως ἐπισυμβαίνω θεωρέω , ὁ παλαιός ὁ μέν πρόβλημα πᾶς , ὁ δέ θεώρημα εἰμί φάσκω . ὁ μέν οὖν ὁ θεώρημα προτείνω σύν-εἶδον ὅστις τρόπος ὁ ἀκόλουθος οὗτος ἀξιόω ζητέω καί οὐ εἄν ἄλλως ὑγιής προτείνω , ὁ δέ ὁ πρόβλημα προτείνω , κἀν · ἀδύνατος πως κατασκευάζω προστάσσω , συγγνωστός εἰμί καί ἀνυπεύθυνος . ὁ γάρ ζητέω ἔργον καί οὗτος διορίζω , ὁ τε δυνατός καί ὁ δύο , κἀν εἰμί δυνατός , πότε καί πως καί ποσαχῶς δυνατός . ἐάν δέ προσποιέω εἰμί ὁ μάθημα πως ἤπειρος προβάλλω , οὐ εἰμί αἴτιος ἔξω . πρώην γοῦν τις ὁ ὁ μάθημα προσποιέω οἶδα διά σύ ὁ ὁ πρόβλημα πρότασις ἀμαθής ἐγώ ὁρίζω . περί ὅς ἐσθίω καί ὁ παραπλήσιος αὐτός ἀποδείκνυμι τις ἡμέτερος εἶπον εἰς ὠφέλεια σός τε καί ὁ φιλομαθέω ἐν ὁ τρίτος οὗτος ὁ συναγωγή βιβλίον . ὁ μέν οὖν πρῶτος ὁ πρόβλημα μέγας τις γεωμέτρης εἰμί δοκέω ὁρίζω ἀμαθής · ὁ γάρ δύο δίδωμι εὐθύς δύο μέσος ἀνάλογος ἐν συνεχής ἀναλογία λαμβάνω φάσκω οἶδα διά ἐπίπεδος ἀξιόω δέ καί ἐγώ ὁ ἀνήρ ἐπισκοπέω ἀποκρίνω περί ὁ ὑπό αὐτός γίγνομαι κατασκευή , ὅστις ἔχω ὁ τρόπος οὗτος .
pappus-mathematics.synagoge 2.2
2 α΄ . Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ Β∠ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ · ἴδη ἡ Β∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ , καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ∠Η , καὶ κείσθωσαν τῇ Β∠ ἴσαι αἱ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚP κατὰ τὸ Σ , καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ , οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , ὡς δέ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΚΦ καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ XΦ παράλληλος ἡ ΣΨ , ὑπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ , καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ , οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ . ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ καὶ ἡ ΓΒ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Ω∠ , ἀπὸ δέ τοῦ ∠ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ ΛΕ , καὶ ἔστω ὡς ἡ ∠Η πρὸς ΗΕ , οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ , ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ , καὶ ἤχθωσαν τῇ ΘΓ παράλληλοι αἱ ΖΚ ΕΛ , καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ ταῖς ΑΓ B∠ παράλληλοι αἱ ΚΜ ΛΝ δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ Β∠ υέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΚ ΝΛ .
Lemmas: 2 Α΄ . εἰμί δύο εὐθύς ὁ ΑΒ ΑΓ πρός ὀρθός ἀλλήλων , καί ἄγω ἀπό ὁ Β ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ Β∠ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ · ἴδη ὁ Β∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Γ , καί συμπίπτω ὁ ΒΑ κατά ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ε ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΕΘ , καί ἐκβάλλω ὁ Β∠ , καί ἄγω ἀπό ὁ ∠ ὁ ΒΕ παράλληλος ὁ ∠Η , καί κεῖμαι ὁ Β∠ Ἴσαι ὁ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καί διά ὁ Ν Λ Ξ Κ σημεῖον ὁ ΒΕ παράλληλος ὁ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καί κεῖμαι ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ΚΡ , καί τέμνω δίχα ὁ ΚP κατά ὁ Σ , καί ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΣ , οὕτως ὁ ΣΘ πρός ΘΤ , ὡς δέ ὁ ΣΘ πρός ΘΤ , οὕτως ὁ ΘΤ πρός ΘΦ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΞΠ ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΧΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΧΚ καί ὁ ΚΦ καί ἀπό ὁ Σ ὁ XΦ παράλληλος ὁ σψ , ὑπό δέ ὁ Ψ ὁ ΚΞ παράλληλος ὁ ΨΩ , καί ἵστημι ὡς ΛΜ πρός ΜΩ , οὕτως ὁ ωμʹ πρός μή . ὡς δέ ὁ ωμʹ πρός μή , οὕτως ὁ ΑΜ πρός ΜΒ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΟΝ ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΝΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΛ καί ὁ ΓΒ , καί ἄγω ἀπό ὁ Ω ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ Ω∠ , ἀπό δέ ὁ ∠ ὁ ΛΝ παράλληλος ὁ ΛΕ , καί ἵστημι ὡς ὁ ∠Η πρός ΗΕ , οὕτως ΗΕ πρός ΗΖ , ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ΗΖ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΓ , καί ἄγω ὁ ΘΓ παράλληλος ὁ ΖΚ ΕΛ , καί ἀπό ὁ Κ Λ ὁ ΑΓ B∠ παράλληλος ὁ ΚΜ ΛΝ δείκνυμι ὅτι ὁ ΑΓ Β∠ ὕω ἀνάλογος εἰμί ὁ ΜΚ ΝΛ .
pappus-mathematics.synagoge 2.3
3 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περιέχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος . ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλύσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δέ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνασθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς , ἐκείνου τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι , τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν , ὡς οὖ δεόντως , ἀλλʼ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ . διχοτομήσας γάρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ , οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ , ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΦ . πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτʼ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου , ὡς τὸ Φ , μήθʼ ἡμᾶς . τῆς δέ τοιαύτης ἀπορίας παρά τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολουθούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδέ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλουθον .
Lemmas: 3 οὗτος μέν οὖν ἐκεῖνος γράφω ἐκδίδωμι ἐγώ μή περιέχω καί ὁ ἀπόδειξις ὁ πρόκειμαι πρόβλημα . ἐπεί δέ καί Ἱέριος ὁ φιλύσοφος καί ἄλλος πολύς ὁ αὐτός μέν ἑταῖρος ἐγώ δέ γνώριμος ἀξιόω ἀποκρίνω ἐγώ τέως περί ὁ πρόκειμαι κατασκευή , ἐκεῖνος ὁ ἀπόδειξις ἐπαγγέλλω ποιέω , τοσοῦτος ἔχω ὁ νῦν εἶπον , ὡς οὖον δήω , ἀλλά ἤπειρος χράω ὁ κατασκευή . διχοτομέω γάρ ὁ ΡΚ εὐθύς ὁ Σ καί ποιέω ὡς μέν ὁ ΚΘ εὐθύς πρός ὁ ΘΣ , οὕτως ὁ ΘΣ πρός ὁ ΘΤ , ποιέω ἐν ὁ αὐτός λόγος καί ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΦ . πᾶς δέ ἀνάγκη μήτε ἐκεῖνος εὑρίσκω ὁ σημεῖον ὁ τομή ὁ τρίτος λόγος , ὡς ὁ Φ , μήτε ἐγώ . ὁ δέ τοιοῦτος ἀπορία παρά ὁ αὐτός αἴτιος ἐπακολουθέω ἐμφανίζω ἑαυτοῦ μηδέ οὗτος συνοράω ὁ ἀκόλουθος .
pappus-mathematics.synagoge 2.4
4 ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον , ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου , μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ , τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον , ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ , ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λύγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ , τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ , καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ , δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λύγου . καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης . καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν .
Lemmas: 4 ἀδύνατος γάρ εἰμί ὁρίζω ὁ ὁ τομή σημεῖον , ὡς ὁ Φ ὁ τρίτος λόγος , μή πρότερος ὑποτίθημι ὁ λόγος ὅς ἔχω ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΡ , τουτέστιν ὁ ὅς ἔχω ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ , οὖον μόνος αὐτός πειράω ζητέω ὁ ἀδύνατος , ἀλλά καί ἐγώ ἀξιόω , ὑποτίθημι μέντοι ὁ λύγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΡ , τουτέστιν ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ , καί δίδωμι ὁ ΚΘ , δίδωμι ὁ μικρός εὐθύς ὁ τρίτος λύγος . καί δίδωμι εἰμί ὁ Θ σημεῖον · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἕτερος πέρας ὁ μικρός . καί ὅτι ἤτοι μεταξύ πίπτω ὁ Θ Ρ ἢ μεταξύ ὁ Ρ Τ δῆλος εἰμί .
pappus-mathematics.synagoge 2.5
5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄ , τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ , τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄ , οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ , τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄ . ὡς δὲ καὶ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄ , οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ , ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ , καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον , ὡς τὸ Φ , μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ . Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος · λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ καὶ ἔστιν ὡς τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ , οὕτως τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ η΄΄ · ὡς δέ τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ , οὕτως τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο , ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξύ πίπτει τῶν Θ Ρ . Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο · καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ι΄ πρὸς τὰ Ϛ΄ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ι΄ πρὸς τά Ϛ΄ , οὕτως αὐτὰ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄ · ὡς δὲ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄ , οὕτως αὐτὰ τὰ γ΄ S ι΄΄ πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο . καὶ ἔστιν ἡ ΘΡ οὐτῶν τῶν δύο · μεταξύ ἄρα τῶν Ρ Γ τὸ σημεῖον πίπτει τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λύγου .
Lemmas: 5 ὑπόκειμαι γάρ ὁ δίδωμι λόγος πρότερος διπλάσιος · λόγος ἄρα καί ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΡ ὅς ἔχω ὁ Β΄ πρός ὁ Α΄ , τουτέστιν ὅς Δ΄ πρός Β΄ καί ὁ ΚΘ ἄρα πρός ΘΣ λόγος εἰμί ὅς Δ΄ πρός Γ΄ καί εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΣ , τουτέστιν ὡς Δ΄ πρός Γ΄ , οὕτως ὁ ΘΣ πρός ΘΤ , τουτέστιν ὡς Γ΄ πρός Β΄ καί δ΄΄ . ὡς δέ καί ὁ Γ΄ πρός ὁ Β΄ καί δ΄΄ , οὔτως αὐτός ὁ Β΄ δ΄΄ πρός ἄλλος μικρός ὁ δύο μόνος ὁ ΘΡ , ὥστε ὁ μικρός εὐθύς ὁ τρίτος λόγος μικρός εἰμί ὁ ΘΡ , καί ὁ ὁ τομή σημεῖον , ὡς ὁ Φ , μεταξύ πίπτω ὁ Θ Ρ . ἀλλά δή ὁ δίδωμι λόγος ἵστημι τετραπλάσιος · λόγος ἄρα ὁ ΚΘ πρός ΘΡ ὅς ἔχω ὁ Η΄ πρός Β΄ καί ὁ ΘΚ ἄρα πρός ΘΣ λόγος ὅς ἔχω ὁ Η΄ πρός ὁ Ε΄ καί εἰμί ὡς ὁ Η΄ πρός ὁ Ε΄ , οὕτως ὁ Ε΄ πρός ὁ Γ΄ καί ὅς · ὡς δέ ὁ Ε΄ πρός ὁ Γ΄ καί ὁ ὅς , οὕτως ὁ Γ΄ καί ὁ ὅς πρός μικρός ὁ δύο , ὥστε πάλιν ὁ τομή ὁ τρίτος λόγος μεταξύ πίπτω ὁ Θ Ρ . πάλιν ὑπόκειμαι λόγος ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα ὁ ΚΘ πρός ΘΡ ὅς δέκα πρός δύο · καί ὁ ΚΘ ἄρα πρός ὁ ΘΣ λόγος εἰμί ὅς ὁ Ι΄ πρός ὁ ΣΤ΄ . καί εἰμί ὡς μέν ὁ Ι΄ πρός ὁ ΣΤ΄ , οὕτως αὐτός ὁ ΣΤ΄ πρός ὁ Γ΄ S ὅς · ὡς δέ ὁ ΣΤ΄ πρός ὁ Γ΄ S ὅς , οὕτως αὐτός ὁ Γ΄ S ὅς πρός μέγας τις ὁ δύο . καί εἰμί ὁ ΘΡ οὐτάω ὁ δύο · μεταξύ ἄρα ὁ Ρ Γ ὁ σημεῖον πίπτω ὁ τομή ὁ τρίτος λύγος .
pappus-mathematics.synagoge 2.6
Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου 6 λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ , πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ , ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα .
Lemmas: καί δῆλος ὡς πᾶς μέν ὁ μικρός ὁ τετραπλάσιος 6 λόγος ποιέω ὁ τοιοῦτος τομή μεταξύ ὁ Ρ Θ , πᾶς δέ ὁ μείζων ὁ πενταπλάσιος ποιέω ὁ σημεῖον ὁ τομή μεταξύ ὁ Ρ Τ , ὡς καί λῆμμα περί ὁ τοιοῦτος ἀναλογία χρήσιμος ὑποτάσσω .
pappus-mathematics.synagoge 2.7
Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον , ὡς τὸ Φ , 7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ , τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν . αἰτίαν , ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι , ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ , ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω , οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ , οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ . ἐὸν οὖν λέγῃ γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ , οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ , καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ , ” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών . ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων , γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως . ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ , οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓ πρὸς τὴν ΡΜδ . καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ Β∠ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , ὥστε καὶ τὴν ΑΓ ἴσην εἶναι τῇ ΡΜδ καὶ ηὑρῆσθαι δύο τῶν ΑΓ Β∠ , τουτέστιν δύο τῶν ΚΜα ΡΜδ , δύο μέσας ἀνάλογον τὰς ΣΜβ ΤΜΓ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . εὐθείας γὰρ οὔσης τῆς ΘΚ καὶ σημείου ἐπ αὐτῆς τοῦ Ρ , ἀδύνατόν ἐστι διʼ ἐπιπέδου θεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν Ρ Κ δύο σημεῖα ὡς τὰ Γ Σ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ , οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ , καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΡ , ὥστε , κἂν τὸ Ζ λάβῃ ἀντὶ τοῦ Σ , καὶ οὕτως ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα στερεὸν γάρ ἐστιν τῇ φύσει .
Lemmas: ἐπεί οὖν δείκνυμι ὁ ὁ τομή σημεῖον , ὡς ὁ Φ , 7 ποτέ μέν μεταξύ πίπτω ὁ Θ Ρ ποτέ δέ μεταξύ ὁ Ρ Τ , ὁ τοιοῦτος μηδαμῶς ὑπό αὐτός θεωρέω διά ὅς εἶπον . αἴτιος , ἐκεῖνος χρή πρό πᾶς σκοπέω ὅτι , ὅπου εἄν λαμβάνω ὁ Φ , ἤτοι κάτω ὁ Ρ ἢ ἄνω , οὐ εἰμί ὡς ὁ ΣΘ πρός ΘΤ , τουτέστιν ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΣ , οὕτως καί ὁ ΤΘ πρός ΘΡ . εἰμί οὖν λέγω γίγνομαι ὡς μέν ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΣ , οὕτως ὁ ΘΣ πρός ὁ ΘΤ , καί ὁ ΤΘ πρός ὁ ΘΡ , ” αὐτόθεν ἐλέγχω ὁ ζητέω ὁμολογέω λαμβάνω . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΞΚ καί ἴσος τίθημι ὁ ΞΚ ὁ Μα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Μα καί παράλληλος ἄγω ὁ Μα διά ὁ Σ καί Τ καί Ρ σημεῖον , γίγνομαι εἰμί ὁ ζητέω καί δῆλος πως . εἰμί γάρ καί ὡς ὁ Μα πρός σμβʹ , οὕτως ὁ σμβʹ πρός τμγʹ καί ὁ τμγʹ πρός ὁ ρμδʹ . καί ἴσος εἰμί ὁ μέν Μα ὁ Β∠ , ὁ δέ ΚΡ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΚΘ , ὥστε καί ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ρμδʹ καί εὑρίσκω δύο ὁ ΑΓ Β∠ , τουτέστιν δύο ὁ Μα ρμδʹ , δύο μέσος ἀνάλογος ὁ σμβʹ τμγʹ , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . εὐθύς γάρ εἰμί ὁ ΘΚ καί σημεῖον ἔπος αὐτός ὁ Ρ , ἀδύνατος εἰμί διά ἐπίπεδος θεωρία λαμβάνω μεταξύ ὁ Ρ Κ δύο σημεῖον ὡς ὁ Γ Σ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΣ , οὕτως ὁ ΘΣ πρός ὁ ΘΤ , καί ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΡ , ὥστε , κἀν ὁ Ζ λαμβάνω ἀντί ὁ Σ , καί οὕτως ἀδύνατος εἰμί ὁ πρόβλημα στερεός γάρ εἰμί ὁ φύσις .
pappus-mathematics.synagoge 2.8
8 διὰ τοῦτο δέ , οἶμαι , καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται , οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ , ” ἀνωτέρω δέ , τουτέστι μεταξύ τῶν Ρ Θ , λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ , ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος . οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων , ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος , ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον .
Lemmas: 8 διά οὗτος δέ , οἴομαι , καί αὐτός εἰδοί ὅτι ὁ ζητέω ὁμολογέω λαμβάνω , οὐ τολμάω εἶπον ὁ ἕτερος πέρας ὁ μικρός εὐθύς ἵστημι ὁ Ρ , ” ἀνωτέρω δέ , τουτέστι μεταξύ ὁ Ρ Θ , λαμβάνω αὐτός κατά ὁ Φ , ἀποπληρόω ὁ λοιπάς ὁ κατασκευή ὡς βούλομαι καί οὐδείς κακός εἰς ὁ ἐκ ἀρχή ἄπορος ἐμπίπτω λανθάνω . οὖον γάρ ἑκών ψευδογραφέω διά πλείων εἰς ἀπάτη ὁ ἐντυγχάνω , ἀλλά ἑαυτοῦ παραλογίζομαι , ὡς δείκνυμι πρότερος κατά ὁ ὑγιής τρόπος ἐφοδεύω ὁ πρόκειμαι .