pappus-mathematics.synagoge 2.27
27 ι΄ . Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμάς , ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα . Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ∠Β , καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ . τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα . καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β∠ πρὸς ∠Ε καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ . παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ , ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας · τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν . γεγονέτω δή , καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ . λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα , τουτέστιν τὸν τῆς ∠Β πρὸς ∠Ε . Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ , τὴν δὲ Κ∠ τῇ ∠Λ . ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ . ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ , τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ ( καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΑ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ , ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ , καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ ) . κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ , τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ , λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ . ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύθον . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ , οὕτως ἡ Γ∠ · πρὸς ∠Ε , τουτέστιν ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε , ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Θ , τουτέστιν ἡ ∠Β πρὸς ∠Θ · καὶ ὡς ἄρα ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε , τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον . ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν Β∠ πρὸς τὴν ∠Θ , οὕτως τὴν ∠Θ πρὸς ἄλλην τινά , οἷον τὴν ∠Ν , ἔσονται τῶν Β∠ ∠Ε δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ∠Θ ∠Ν .
Lemmas: 27 Ι΄ . κύβος δέ κύβος διπλάσιος οὖον μόνος εὑρίσκω διά ὁ ὑπόκειμαι ὄργανον καί κατά ἡμέτερος , ἀλλά καί καθόλου λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω . κατασκευάζω γάρ ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί ἀπό ὁ ∠ κέντρον πρός ὀρθός ἀνάγω ὁ ∠Β , καί κινέω κανόνιον τίς περί ὁ Α σημεῖον οὕτως ὥστε ὁ μέν εἷς πέρας αὐτός περίκειμαι τυλίον τις κατά ὁ Α σημεῖον ἵστημι ὁ δέ λοιπός μέρος ὡς περί κέντρον ὁ τυλάριον κινέω μεταξύ ὁ Β Γ . οὗτος δή κατασκευάζω ἐπιτάσσω δύο κύβος εὑρίσκω λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι . καί ὁ λόγος ὁ αὐτός ποιέω ὁ ὁ Β∠ πρός ∠Ε καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ . παράγω δή ὁ κανόνιον μεταξύ ὁ Β Γ , ἠώς ὅς ὁ ἀπολαμβάνω αὐτός μέρος μεταξύ ὁ ΖΕ ΕΒ εὐθύς ἴσος γίγνομαι ὁ μεταξύ ὁ ΒΕ εὐθύς καί ὁ ΒΚΓ περιφέρεια · οὗτος γάρ πειράω ἀεί καί μετάγω ὁ κανόνιον ῥᾳδίως ποιέω . γίγνομαι δή , καί ἔχω θέσις ὁ ΑΗΘ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ ΘΚ . λέγω ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Θ κύβος λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω , τουτέστιν ὁ ὁ ∠Β πρός ∠Ε . νοέω γάρ ὁ κύκλος προσαναπληρόω καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ∠ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΗ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Β∠ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΚΘ ὁ τίθημι , ὁ δέ Κ∠ ὁ ∠Λ . ἐπιζεύγνυμι δή καί ὅς τε ΑΛ καί ὁ ΛΓ . ἐπεί οὖν ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΗΑΛ ἐν ἡμικύκλιον καί κάθετος ὁ ΑΜ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό μή , τουτέστιν ὡς ὁ ΓΜ πρός μή , οὕτως ὁ ἀπό ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη ( καί γάρ ὡς ὁ ΛΜ πρός ὁ μή , οὕτως ὁ μή πρός ὁ μη , ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό μή , οὕτως ὁ ἀπό ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη , καί ὁ ΓΜ πρός μή ) . κοινός πρόσκειμαι λόγος ὁ ὁ ΑΜ πρός μη . ὁ ἄρα σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΓΜ πρός μή καί ὁ ὁ ΑΜ πρός μη , τουτέστιν ὁ ὁ ΓΜ πρός μη , λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ . ἀπό ὁ ΑΜ πρός ὁ ἀπό ὁ μη καί ἐκ ὁ ὁ ΑΜ πρός μη . ὁ δέ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ἀπό ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη καί ὁ ὁ ΑΜ πρός μη ὁ αὐτός εἰμί ὁ λόγος ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΜ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ μη κύβος καί ὁ ὁ ΓΜ ἄρα πρός ὁ μη λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ λόγος ὁ ἀπό ὁ ΑΜ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ μη κεύθω . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΜ πρός μη , οὕτως ὁ Γ∠ · πρός ∠Ε , τουτέστιν ὁ Β∠ πρός ∠Ε , ὡς δέ ὁ ΑΜ πρός μη , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠Θ , τουτέστιν ὁ ∠Β πρός ∠Θ · καί ὡς ἄρα ὁ Β∠ πρός ∠Ε , τουτέστιν ὡς ὁ δίδωμι λόγος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Θ κύβος . ἐάν οὖν ποιέω καί ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Θ , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ἄλλος τις , οἷος ὁ ∠Ν , εἰμί ὁ Β∠ ∠Ε δύο μέσος ἀνάλογος ὁ ∠Θ ∠Ν .