pappus-mathematics.synagoge 3.25
25 ιζ´ . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφθω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ ΕΗΘ κύκλου κατὰ τὰ Θ P Γ σημεία , καὶ ἀπὸ τῶν Α Π κέντρων κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΒΓ · βάσιν αἱ ΑΜ ΠΝ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ , οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον . Ἤχθω τῇ Β ∠ τρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ · ἐφάπτεται ἄρα τοῦ ΒΗΓ ἡμικυκλίου . καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ . ἐπεὶ διὰ τό προδειχθέν ὡς συναμφότερος ἡ δευτέρα καταγραφή ΓΒ ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠ , οὕτως καὶ ἡ ΒΜ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης ὡς ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς συναμφόιερον , τουτέστιν ὡς ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως ἡ MΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου , καὶ ἡ ΒΝ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου ἔσται ἄρα καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ΒΝ , ἡ ΑΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἅ7Θ κύκλου πρύς τὴν ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου . ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ , ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ ( ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΖΜ ἔσται ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ΒΝ , οὕτως ἡ MΖ πρὸς τὴν ΖΞ ) . καὶ ὡς ἄρκ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΠ , οὕτως ἡ ΑΘ ἐκ τυῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου . καὶ τῶν ΕΗΘ ΡΘΤ κύκλων ἐχάπτεταί τις κύκλος ὁ ΒΡΕ∠ κατὰ τὰ P Ε σημεῖα διὰ ἄρα τὸ προδειχθὲν ιε´ θεώρημα ἡ τὰ P Ε σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον πεσεῖται , καὶ ἴσον ἔσται τὸ ὑπὸ ΕΖP περιεχόμενον ὠρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ τετραγώνῳ . ἐστιν δὲ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ τετραγώνῳ ἴσον τὸ ὑπὸ ΕΖΡ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ τῷ ἀπὸ ΖΘ · ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΖΘ . ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ μὲν ΜΑ ἐκβληθεῖσα τέμνει τὴν τοῦ ΕΗΘ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Σ , ἢ δὲ ΠΝ τέμνει τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ο σημεῖον , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΑΣ , ἡ δὲ ΠΟ τῇ ΠΘ , καὶ ἡ τὰ Ο Σ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα ἥξει διὰ τοῦ Θ ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΑΣ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΠΟ γωνίᾳ ἐναλλάξ , καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΘΣ τρίγωνον τῷ ΠΘΟ τριγώνῳ , καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΑΠ · εὐθεῖα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν Σ Θ Ο σημείων ἀπαγομένη . ἥξει δὲ καὶ διὰ τοῦ Β · εὐθεῖα γὰρ ἡ ΘΟΒ διὰ τὶ εἶναι ὡς τὴν ΒΖ πρὸς ΖΘ , οὕτως τὴν ΟΠ πρὸς τὴν ΠΘ , ἴσων οὐσῶν τῶν ὑπὸ ΒΖΘ ΟΠΘ γωνιῶν ἐν παραλλήλοις ταῖς ΒΖ ΟΠ · καὶ τοῦτο γὰρ προδέδεικται ιε´ . ἐπιζευχθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΒΠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΜΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ . ἐπεὶ οὖν ἦν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ , τουτέστιν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΠ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΠ , ἔσται καὶ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΠ , ἡ ΑΣ πρὸς ΠΟ καὶ ἡ ΣΚ πρὸς ΠΟ · ἴση ἄρα ἡ AΣ ΣΚ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚ ὅλῃ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΕΗΘ κύκλου ἐστὶν ἴση , καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΚΣ , οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς ΟΠ , ἔσται καὶ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΑ , τουτέστιν ὡς ἡ ΜΑ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον , οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον , ὅπερ : ~
Lemmas: 25 ιζ´ . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι γράφω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφάπτω ὁ τε ἐκ ἀρχή ἡμικύκλιον καί ὁ ΕΗΘ κύκλος κατά ὁ Θ P Γ σημεῖον , καί ἀπό ὁ Α Π κέντρον κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΒΓ · βάσις ὁ ΑΜ ΠΝ λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΜ μετά ὁ διάμετρος ὁ ΕΗ κύκλος πρός ὁ διάμετρος αὐτός , οὕτως ὁ ΠΝ πρός ὁ ὁ ΘΡΤ κύκλος διάμετρος . ἄγω ὁ Β ∠ τρος ὀρθός ὁ ΒΖ · ἐφάπτω ἄρα ὁ ΒΗΓ ἡμικύκλιον . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΠ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ . ἐπεί διά ὁ προδείκνυμι ὡς συναμφότερος ὁ δύο καταγραφή ΓΒ ∠ πρός ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ Γ ∠ , οὕτως καί ὁ ΒΜ ἐπί μέν ὁ πρῶτος καταγραφή πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΗΘ κύκλος , ἐπί δέ ὁ δύο καί τρίτος ὡς ὁ ὑπεροχή αὐτός πρός συναμφοιερος , τουτέστιν ὡς ὁ ὁ ΓΒ Β ∠ ὑπεροχή πρός ὁ Γ ∠ , οὕτως ὁ MΒ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΗΘ κύκλος , καί ὁ ΒΝ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΘΡΤ κύκλος εἰμί ἄρα καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΜΒ πρός ὁ ΒΝ , ὁ ΑΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἅ7Θ κύκλος πρύος ὁ ΘΠ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΘΡΤ κύκλος . ἀλλά ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΝ , ὁ αζʹ πρός ΖΠ ( ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΖΜ εἰμί ὡς ὁ ΜΒ πρός ὁ ΒΝ , οὕτως ὁ MΖ πρός ὁ ΖΞ ) . καί ὡς αρκʹ ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΠ , οὕτως ὁ ΑΘ ἐκ τῦ κέντρον ὁ ΕΗΘ κύκλος πρός ὁ ΘΠ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΘΡΤ κύκλος . καί ὁ ΕΗΘ ΡΘΤ κύκλος χάπτω τις κύκλος ὁ ΒΡΕ∠ κατά ὁ P Ε σημεῖον διά ἄρα ὁ προδείκνυμι ιε´ θεώρημα ὁ ὁ P Ε σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ σημεῖον πίπτω , καί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖ περιέχω ὀρθογώνιος ὁ ἀπό ὁ ΘΖ τετράγωνος . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ τετράγωνος ἴσος ὁ ὑπό ΕΖΡ · ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ΖΒ ὁ ἀπό ΖΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ . ἐπεί δέ καί ὁ μέν μή ἐκβάλλω τέμνω ὁ ὁ ΕΗΘ κύκλος περιφέρεια κατά ὁ Σ , ἢ δέ ΠΝ τέμνω ὁ ὁ ΘΡΤ κύκλος περιφέρεια κατά ὁ ὁ σημεῖον , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΘ ὁ ΑΣ , ὁ δέ ΠΟ ὁ ΠΘ , καί ὁ ὁ ὁ Σ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι ἥκω διά ὁ Θ ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό τίθημι γωνία ὁ ὑπό ΘΠΟ γωνία ἐναλλάξ , καί ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΘΑ τρίγωνος ὁ ΠΘΟ τρίγωνος , καί εἰμί εὐθύς ὁ ΑΠ · εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ διά ὁ Σ Θ ὁ σημεῖον ἀπάγω . ἥκω δέ καί διά ὁ Β · εὐθύς γάρ ὁ ΘΟΒ διά τίς εἰμί ὡς ὁ ΒΖ πρός ΖΘ , οὕτως ὁ ΟΠ πρός ὁ ΠΘ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΖΘ ΟΠΘ γωνία ἐν παράλληλος ὁ ΒΖ ΟΠ · καί οὗτος γάρ προδείκνυμι ιε´ . ἐπιζεύγνυμι δέ καί ὁ ΒΠ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ μή ἐκβάλλω κατά ὁ Κ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΝ , τουτέστιν ὡς ὁ ΚΒ πρός ὁ ΒΠ , οὕτως ὁ αζʹ πρός ΖΠ καί ὁ ΑΘ πρός ΘΠ , εἰμί καί ὡς ὁ ΚΒ πρός ΒΠ , ὁ ΑΣ πρός ΠΟ καί ὁ ΣΚ πρός ΠΟ · ἴσος ἄρα ὁ AΣ ΣΚ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΑΚ ὅλος ὁ διάμετρος ὁ ΕΗΘ κύκλος εἰμί ἴσος , καί εἰμί ὡς ὁ ΚΜ πρός ΚΣ , οὕτως ὁ ΝΠ πρός ΟΠ , εἰμί καί ὡς ὁ ΜΚ πρός ὁ ΚΑ , τουτέστιν ὡς ὁ μή μετά ὁ διάμετρος ὁ ΕΗΘ κύκλος πρός ὁ διάμετρος , οὕτως ὁ ΝΠ πρός ὁ ὁ ΘΡΤ κύκλος διάμετρος , ὅσπερ : ~