pappus-mathematics.synagoge 4.98
98 Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ λόγος , καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ , πυραμίδος δὲ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ . ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχημάτων αἱ ἐπιφάνειαι , ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς μάτωνΕΖ · λόγος ἄρα τοῦ μάτωνΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γ΄ πρὸς β΄ . ἤχθω δὴ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ · φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου · τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Ε , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΕΗ , τοῦ ἀπὸ ΕΘ . καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΘΗ · λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ ὃν γ΄ πρὸς β΄ , τουτέστιν ὃν νδ΄ πρὸς λϚ΄ . τοῦ δὲ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν λϚ΄ πρὸς δ΄ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἄρα , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ , πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄ καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου , τέσσαρα ἄρα τρίγωνα τὰ γωναΕΖ,E ἅπερ ἐστὶν ἓξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ , μείζονά ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν α΄ πρὸς Ϛ΄ , τουτέστιν ἢ ὃν θ΄ πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄ , ὡς ἐδείχθη , καὶ διʼ ἴσου τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ θ΄ πρὸς τὰ δ΄ καὶ μήκει ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ . ἐδείχθη δὲ λόγος τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον , ὃν γ΄ πρὸς β' · τὸ ∠ΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ΗΘ . καὶ ἀνάπαλιν ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον . ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ , οὕτως τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τι , ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ ΑΒ τετραγώνου καὶ ἔστιν ὁ μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΑΓ , ἡ δὲ πυραμὶς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἐφʼ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μείζων ἄρα ὁ κύβος τῆς πυραμίδος .
Lemmas: 98 ἔστω δέ πρῶτος ἐπί ὁ κύβος καί ὁ πυραμίς ὁ λόγος , καί ἵστημι κύβος μέν τετράγωνος ὁ ΑΒΓ , πυραμίς δέ τρίγωνος ὁ ∠ΕΖ . ἐπεί οὖν Ἴσαι ὑπόκειμαι ὁ σχῆμα ὁ ἐπιφάνεια , ἓξ ἄρα τετράγωνος ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί τέσσαρες τρίγωνος ὁ Ζάτων · λόγος ἄρα ὁ Ζάτων τρίγωνος πρός ὁ ΑΒ τετράγωνος ὅς Γ΄ πρός Β΄ . ἄγω δή ἀπό ὁ κορυφή ὁ πυραμίς ἐπί ὁ ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ · φανερός δή ὅτι ὁ Θ κέντρον εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος γράφω κύκλος · τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ∠Ε , τουτέστιν ὁ ἀπό ΕΗ , ὁ ἀπό ΕΘ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΕΘΗ · λόγος ἄρα ὁ ἀπό ΗΕ πρός ὁ ἀπό ΗΘ ὅς Γ΄ πρός Β΄ , τουτέστιν ὅς νδ΄ πρός λϚ΄ . ὁ δέ ἀπό ΗΘ πρός ὁ ἀπό ὁ Γ΄ ὁ ΗΘ λόγος εἰμί ὅς λϚ΄ πρός Δ΄ καί ὁ ἀπό ΗΕ ἄρα , τουτέστιν ὁ ἀπό ΕΖ , πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος ὁ ΗΘ λόγος εἰμί ὅς νδ΄ πρός Δ΄ καί ἐπεί πᾶς ἰσόπλευρος τρίγωνος ὁ ἀπό εἷς πλευρά τετράγωνος μικρός ἢ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἰσόπλευρος τρίγωνος , τέσσαρες ἄρα τρίγωνος ὁ Εἴα ὅσπερ εἰμί ἓξ τετράγωνος ὁ ἀπό ΑΓ , μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΕΖ · ὁ ἄρα ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΕΖ μείζων λόγος ἔχω ἢ ὅς Α΄ πρός ΣΤ΄ , τουτέστιν ἢ ὅς Θ΄ πρός νδ΄ ὁ δέ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος ὁ ΗΘ λόγος εἰμί ὅς νδ΄ πρός Δ΄ , ὡς δείκνυμι , καί διά ἴσος ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος ὁ ΗΘ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Θ΄ πρός ὁ Δ΄ καί μῆκος ἄρα ὁ ΑΓ πρός ὁ τρίτος ὁ ΗΘ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ΄ πρός ὁ Β΄ . δείκνυμι δέ λόγος ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΑΒ τετράγωνος , ὅς Γ΄ πρός βε · ὁ ∠ΕΖ ἄρα τρίγωνος πρός ὁ ΑΒ τετράγωνος μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΓ πρός ὁ Γ΄ ὁ ΗΘ . καί ἀνάπαλιν ὁ ΑΓ πρός ὁ τρίτος ὁ ΗΘ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΑΒ τετράγωνος . ἐάν ἄρα ποιέω ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ τρίτος ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος πρός ἄλλος τίς , εἰμί πρός μικρός χωρίον ὁ ΑΒ τετράγωνος καί εἰμί ὁ μέν κύβος ὁ ΑΒ τετράγωνος ἐπί ὕψος ὁ ΑΓ , ὁ δέ πυραμίς ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος ἐπί ὕψος ὁ τρίτος ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ πυραμίς ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος μείζων ἄρα ὁ κύβος ὁ πυραμίς .