pappus-mathematics.synagoge 4.29
29 ιέ . Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠ , ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην . Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ ( ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας ) , καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ , καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα ἡ ΒΘ . ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον , οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας ( τοῦτο γὰρ προδέδεικται ) , καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα . τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον · πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον . ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ . καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον . καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ , καὶ συνθέντι ὁ ∠ΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ , τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γενία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ ( ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ , καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ ) .
Lemmas: 29 ἰός . ἔστω τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁ ΑΒΓ , καί περί κέντρον ὁ Γ διά ὁ Α περιφέρεια γράφω ὁ Α∠ , ὀρθός δέ ἵστημι ὁ πρός ὁ Β γωνία δείκνυμι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεύς πρός ὁ μεὺςΑΒ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὀρθός γωνία πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓΑ περιέχω . ἄγω ὁ ΓΑ ὀρθός ὁ Γῆ ( ἐφάπτω ἄρα ὁ Α∠ περιφέρεια ) , καί διά ὁ Β περί κέντρον ὁ Α περιφέρεια γράφω ὁ ΕΒΗ , καί κάθετος ἐπί ὁ αζʹ ἄγω ὁ ΒΘ . ἐπεί οὖν μείζων λόγος ἔχω ὁ ΕΒΖ τρίγραμμος πρός ὁ ΕΒΘ τρίγραμμος ἤ2 πρός ὁ ΕΑΒ τομεύς , καί συντίθημι μείζων λόγος ἔχω ὁ ΖΘΒ τρίγωνος πρός ὁ ΕΘΒ τρίγραμμος ἤ2 ὁ ΖΑΒ τρίγωνος πρός ὁ ΕΑΒ τομεύς , ὡς δέ ὁ ΖΘΒ τρίγωνος πρός ὁ ΕΒΘ τρίγραμμος , οὕτως ὁ ΖΑΒ τρίγωνος πρός ὁ Α∠Β τρίγραμμος διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνία ( οὗτος γάρ προδείκνυμι ) , καί ὁ ΖΑΒ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΑΒ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ αὐτός τρίγωνος πρός ὁ ΕΑΒ τομεύς , κειζω ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεύς ὁ ∠ΑΒ τριγραμμος μείζων ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΕΑΒ τομεύς ἄρος ὁ ΑΗΒ τομεύς ἤ2 ὁ ∠ΑΒ τρίγραμμος πρός ὁ ΑΗΒ τομεύς . ὁ δέ ∠ΑΒ τρίγραμμος πρός ὁ ΑΗΒ τομεύς μείζων λόγος ἔχω ἢ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος · πολύς ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεύς πρός ὁ ΒΑΗ τομεύς μείζων λόγος ἔχω ἢ ὁ ∠ΑΒ τρίγραμμος πρός ὁ ΒΑΓ τρίγωνος . ὡς δέ ὁ ΕΑΒ τομεύς πρός ὁ BAH τομεύς , οὕτως ὁ ὑπό ΖΑΒ πρός ὁ ὑπό ΒΑΓ . καί ὁ ὑπό ΖΑΒ ἄρα πρός ὁ ὑπό ΒΑΓ μείζων λόγος ἔχω ἢ ὁ ∠ΑΕ τρίγραμμος πρός ὁ ΒΑΓ τρίγωνος . καί ἀνάπαλιν ὁ ΒΑΓ τρίγωνος πρός ὁ ΒΑ∠ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΒΑΖ , καί συντίθημι ὁ ∠ΓΑ τομεύς πρός ὁ ∠ΑΒ τρίγραμμος μείζων λόγος ἔχω ὅσπερ ὁ ὑπό ΖΑΓ πρός ὁ ὑπό ΖΑΒ , τουτέστιν ἤ2 ὁ ὀρθός γενιά πρός ὁ ὑπό ΑΓΒ ( ἴσος γάρ ὁ ὑπό ΖΑΒ ὁ ὑπό ΑΓΒ διά ὁ ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνος ὁ ΖΑΓ κάθετος εἰμί ὁ ΑΒ , καί ὅμοιος ὁ ΖΑΒ τρίγωνος ὁ ΑΓΖ ) .