pappus-mathematics.synagoge 2.92
92 να΄ . Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι . Ἐγγεγράφθω , καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ , ∠ Ε Ζ , Η Θ Κ , Λ Μ Ν . ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου πρὸς τήν ἐπιψάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις , ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α ΓΖ Η Ε σημεῖα . καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ , καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ · ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον · ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓ∠ ∠ΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια , καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ , ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ , ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ · καὶ γὰρ τὸ ΛΚ∠ΘΜ πεντάγωνόν ἐστιν . ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Γ , Ε ∠ , Η Θ , Λ Ν παράλληλοι , αἱ δὲ ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Α , Ζ ∠ , Η Κ , Μ Ν παράλληλοι . καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ περὶ τὰ Λ Μ Ν · ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ . οἱ δὲ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ , Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι · καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα · ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνει . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ , Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων , ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία · προδέδεικται γάρ . καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ , τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης , μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ ΑΓ · ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου . καὶ δύναται ἀμφο τέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ · ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον , ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου , πρὸς δὲ ΑΓ , ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου . καὶ δοθεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΖ ΑΓ , ὥστε καί αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ ΑΓ · καὶ αὐτοὶ ἄρα οἱ κύκλοι δοθέντες , καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι , καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν .
Lemmas: 92 ὅς . εἰς ὁ δίδωμι σφαῖρα εἰκοσάεδρος ἐγγράφω . ἐγγράφω , καί ἵστημι ἐν ὁ ἐπιφάνεια σημεῖον ὁ γωνία αὐτός ὁ Α Β Γ , ∠ Ε Ζ , ὁ Θ Κ , Λ Μ Ν . ἐπεί ἀπό ὁ B σημεῖον πρός ὁ ἐπιψάω προσπίπτω ὁ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ Ἴσαι ἀλλήλων , ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος ὁ Α ΓΖ ὁ Ε σημεῖον . καί Ἴσαι ἀλλήλων ὁ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ , καί εἰμί ἐν κύκλος · ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΑΗΓ πεντάγωνος · ὁμοίως καί ἑκάτερος ὁ ΚΕΒΓ∠ ∠ΘΖΒΑ καί ὁ ΑΒ ΚΑ ΒΗ ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , καί εἰμί παράλληλος ὁ μέν ΑΓ ὁ ΕΖ ἐπιζεύγνυμι , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΚΘ , ὁ δέ ΚΘ ὁ ΛΜ · καί γάρ ὁ ΛΚ∠ΘΜ πεντάγωνος εἰμί . ὁμοίως δείκνυμι καί ὁ μέν ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Γ , Ε ∠ , ὁ Θ , Λ Ν παράλληλος , ὁ δέ ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Α , Ζ ∠ , ὁ Κ , Μ Ν παράλληλος . καί ὁμοίως ὁ περί ὁ Α Β Γ κύκλος ἴσος καί παράλληλος ὁ περί ὁ Λ Μ Ν · ἴσος γάρ καί ὅμοιος ὁ ἐν αὐτός τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ΛΜΝ . ὁ δέ περί ὁ ∠ Ε Ζ , ὁ Θ σημεῖον κύκλος ἴσος καί παράλληλος · καί γάρ ὁ ἐν αὐτός τρίγωνος ἴσος καί ἰσόπλευρος · ἕκαστος γάρ πλευρόν πεντάγωνος γωνία ὑποτείνω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα ὁ περί ὁ ∠ Ε Ζ , Κ ὁ Θ κύκλος ἴσος εἰμί καί ἐν αὐτός ἰσόπλευρος τρίγωνος πλευρά παράλληλος ὁ ΕΖ ΚΘ μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον , εἰμί ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ Ζ Κ διάμετρος ὁ σφαῖρα καί ὀρθός ὁ ὑπό ζεκʹ γωνία · προδείκνυμι γάρ . καί ἐπεί πεντάγωνος εἰμί ὁ ΓΑΗ , ὁ ΕΖ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , μείζων εἰμί τμῆμα ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ΕΖ πρός ὁ ΑΓ λόγος ἔχω ὅς ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρόν πρός ὁ ὁ δεκάγωνος . καί δύναμαι ἀμφο τέρας ὁ ΖΚ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΑΓ · ἔχω ἄρα ὁ ΖΚ διάμετρος ὁ σφαῖρα πρός μέν ὁ ΕΖ λόγος , ὅς ὁ ὁ πεντάγωνος πρός ὁ ὁ ἑξάγωνος , πρός δέ ΑΓ , ὅς ὁ ὁ πεντάγωνος πρός ὁ ὁ δεκάγωνος . καί δίδωμι ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα · δίδωμι ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΕΖ ΑΓ , ὥστε καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος τρίτος μέρος εἰμί δύναμις ὁ ΕΖ ΑΓ · καί αὐτός ἄρα ὁ κύκλος δίδωμι , καί ὁ ἴσος αὐτός καί παράλληλος , καί ὁ ἐν αὐτός σημεῖον ὁ ὁ πολύεδρος γωνία .