pappus-mathematics.synagoge 3.43
43 Δεδόσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ ΛΛ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχές εὑρεῖν , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς ∠ Ε σημείοις , καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ∠Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η , τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ , καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α∠ ἢ τῇ ΓΖ ( τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς ) , καἰ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ · λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΚΓ , ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ , καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ . Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ , ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , οὔτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ . καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ Α∠ , τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ · ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α∠ , οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ , οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ ΓΘ · καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ Μ∠ πρὸς ∠Α , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ . ἴση δέ ὑπόκειται καὶ ἡ Α∠ τῇ ΘΚ · ἴση ἄρα καὶ ἡ Μ∠ τῇ ΖΚ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μ∠ τῷ ἀπὸ ΖΚ . καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ Μ∠ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Α , τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ , ὧν τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ ( ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ Α∠ τῇ ΓΖ ) · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ · ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ , ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ · ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ , καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ .
Lemmas: 43 δίδωμι γάρ δύο εὐθύς ὁ ΓΛ λλ πρός ὀρθός ἀλλήλων , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος κατά ὁ συνεχής εὑρίσκω , καί συμπληρόω ὁ ΑΒΓ παραλληλόγραμμος , καί τέμνω δίχα ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ ὁ ∠ Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι μέν ὁ ∠Λ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΓΒ ἐκβάλλω κατά ὁ ὁ , ὁ δέ ΒΓ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί προσβάλλω ὁ ΓΖ ἴσος εἰμί ὁ Α∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ καί αὐτός παράλληλος ὁ ΓΘ , καί γωνία εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΓΘ ἀπό δίδωμι ὁ Ζ διάγω ὁ ΖΘΚ ποιέω ἴσος ὁ ΘΚ ὁ Α∠ ἢ ὁ ΓΖ ( οὗτος γάρ ὡς δυνατός δείκνυμι διά ὁ κοχλοειδής γραμμή ) , καίω ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΑΒ ἐκβάλλω κατά ὁ Μ · λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΛΓ πρός ΚΓ , ὁ ΚΓ πρός μή , καί ὁ μή πρός ὁ ΑΛ . ἐπεί ὁ ΒΓ τέμνω δίχα ὁ Ε καί πρόσκειμαι αὐτός ὁ ΚΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΚ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΕΖ ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕΖ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΓΖ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΚΕΖ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΚΖ . καί ἐπεί ὡς ὁ μή πρός ΑΒ , ὁ ΜΛ πρός ΛΚ , ὡς δέ ὁ ΜΛ πρός ΛΚ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , καί ὡς ἄρα ὁ μή πρός ΑΒ , οὔτως ὁ ΒΓ πρός ΓΚ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ ἥμισυς ὁ Α∠ , ὁ δέ ΒΓ διπλόος ὁ ΓΗ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ μή πρός Α∠ , οὕτως ὁ ΗΓ πρός ΚΓ . ἀλλά ὡς ὁ ΗΓ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ ΖΘ πρός ΘΚ διά ὁ παράλληλος ὁ ΗΖ ΓΘ · καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ Μ∠ πρός ∠Α , ὁ ΖΚ πρός ΚΘ . ἴσος δέ ὑπόκειμαι καί ὁ Α∠ ὁ ΘΚ · ἴσος ἄρα καί ὁ Μ∠ ὁ ΖΚ · ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό Μ∠ ὁ ἀπό ΖΚ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό Μ∠ ἴσος ὁ ὑπό ΒΜΑ μετά ὁ ἀπό ∠Α , ὁ δέ ἀπό ΖΚ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΖΓ , ὅς ὁ ἀπό Α∠ ἴσος ὁ ἀπό ΓΖ ( ἴσος γάρ ὑπόκειμαι ὁ Α∠ ὁ ΓΖ ) · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΜΑ ὁ ὑπό ΒΚΓ · ὡς ἄρα ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , ὁ ΓΚ πρός μή . ἀλλά ὡς ὁ ΒΜ πρός ΒΚ , ὁ ΛΓ πρός ΓΚ · ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ΑΜ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , ὁ μή πρός ΑΛ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ΑΜ , καί ὁ ΑΜ πρός ΑΛ .