pappus-mathematics.synagoge 4.81
81 ν΄ ( ζ΄ ) . Γῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου . Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου , ὡς ἐν στοιχείοις , καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ διάμετρος τοῦ κύκλου , τὸ δὲ Ε κέντρον , ἡ δὲ ∠ΚΒ πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον , καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ , καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου , ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου , καί τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας , ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϚ΄ θεώργμα τοῦ ιγ΄ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ . ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ , δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ , καὶ ὀρθή ἐστιν ὑπὸ ΒΓΛ , πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ι΄ θεώρημα τοῦ ιγ΄ · ὁμοίως καὶ ἡ Λ∠ . ἔτι δὲ καὶ ἡ Β∠ τὸ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεσρον . καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ Β∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον , ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων , ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν B∠ · καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ∠ ἐπίπεδα , ὧν ἐστιν καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον , ὁρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ . ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον ὥστε καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ . ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ 0Ν · δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ R∠Λ , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτων τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ · καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ Β∠Α τρίγωνον . καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δ΄ . τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ · ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ ( ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ , ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν ) , καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση ( τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ , καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ ) . καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ · οἳων ἄρα ἡ ΚΛ Ϛ΄ , ἡ ΛΝ δ΄ καὶ ἡ ΚΝ β΄ , καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν , καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός · τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μεῖζονά ἐστιν ε΄ τῶν ἀπὸ B∠ .
Lemmas: 81 ν΄ ( Ζ΄ ) . Γῆ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ εἰκοσάεδρος ἐπί εἷς ἐπίπεδος ὁ ὁ εἰκοσάεδρος κάθετος ὁ δύναμις δωδεκαπλάσιος μέγας εἰμί ὁ δύναμις πενταπλάσιος ὁ πλευρά ὁ εἰκοσάεδρος . ἔκκειμαι κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δέχομαι ὁ πεντάγωνος ὁ εἰκοσάεδρος , ὡς ἐν στοιχεῖον , καί ἵστημι ὁ μέν ΑΓ διάμετρος ὁ κύκλος , ὁ δέ Ε κέντρον , ὁ δέ ∠ΚΒ πεντάγωνος ἰσόπλευρος πλευρόν κάθετος εἰμί ἐπί ὁ διάμετρος , καί ἀπό ὁ Ε Γ ἀναστατόω ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ὁ κύκλος ὁ ΖΕΗ ΓΛ , καί ἑκάτερος μέν ὁ ΕΘ ΓΛ ἑξάγωνος , ἑκάτερος δέ ὁ ΕΖ ΗΘ δεκάγωνος , καί τέμνω ὁ ΕΘ δίχα κατά ὁ ὁ ὁ ὁ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα , ὡς ἐν ὁ στοιχεῖον ΙΣΤ΄ θεώργμα ὁ ἰ . ἐπιζεύγνυμι ὁ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ . ἐπεί οὖν ἑξάγωνος εἰμί ὁ ΓΛ , δεκάγωνος δέ ὁ ΒΓ , καί ὀρθός εἰμί ὑπό ΒΓΛ , πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΒΛ διά ὁ Ι΄ θεώρημα ὁ ἰ · ὁμοίως καί ὁ Λ∠ . ἔτι δέ καί ὁ Β∠ ὁ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνος ἰσόπλευρος εἰμί ὁ περιέχω ὁ εἰκοσάεσρον . καί ἐπεί ὁ ΛΚ ὁ Β∠ πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ διά ὁ ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδος , ὅσπερ εἰμί ὁ διά ὁ ΕΗ ΓΛ παράλληλος , ὀρθός εἰμί πρός ὁ B∠ · καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΒΔ∠ ἐπίπεδος , ὅς εἰμί καί ὁ Β∠Λ τρίγωνος , ὀρθός εἰμί πρός ὁ διά ὁ ΕΗ . ΓΛ παράλληλος ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί καί ὁ ΓΚΛ τρίγωνος ὥστε καί ὁ Β∠Λ τρίγωνος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΓΚΛ . ἄγω ἐπί ὁ ΚΛ κάθετος ὁ 0Ν · δύο οὖν ἐπίπεδος εἰμί ὀρθός ἀλλήλων ὁ τε ΓΚΛ καί ὁ R∠Λ , καί ὁ κοινός τομή αὐτῖς ὁ ΚΛ ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΟΝ · καί ὁ ΟΝ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ Β∠Α τρίγωνος . καί διπλόος εἰμί ὁ ΛΒ ὁ ΒΚ ὥστε διπλόος εἰμί ὁ ΛΝ ὁ ΝΚ διά ὁ Δ΄ . τέμνω δέ δίχα ὁ ΓΛ κατά ὁ Μ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΟΜ · εἰμί δή παράλληλος ὁ ΟΜ ὁ ΕΓ ( ἴσος γάρ ὁ ΕΟ ὁ ΓΜ , ἐπεί καί ὁ ΓΛ ΕΘ διπλόος Ἴσαι καί παράλληλος εἰμί ) , καί ὁ ΛΙ ὁ ΙΚ ἴσος ( τρίγωνος γάρ ὁ ΓΚΛ παρά ὁ ΓΚ ἄγω ὁ ιμʹ , καί εἰμί ἴσος ὁ ΓΜ ὁ ΜΛ ) . καί διπλόος εἰμί ὁ ΛΝ ὁ ΝΚ · οἷος ἄρα ὁ ΚΛ ΣΤ΄ , ὁ ΛΝ Δ΄ καί ὁ ΚΝ Β΄ , καί ἑκάτερος ὁ ΛΙ ΙΚ τρεῖς , καί λοιπός ὁ ΙΝ εἷς · τριπλόος ἄρα ὁ ΛΙ ὁ ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα ὁ ἀπό ΟΝ μέγας εἰμί Ε΄ ὁ ἀπό B∠ .