pappus-mathematics.synagoge 4.103
103 Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου , διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠ . ἔστω δὲ καὶ τὸ Α,Β,Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου , καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ ἡ ∠,Ε , ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι · ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ∠,Α,Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϚ΄ λημματίου ἐδείχθη ὅτι , ἐὰν ᾗ τρίγωνον ἰσοσκελές ὡς τὸ 𝒢ΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ Μ Μ Μ , τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος , καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω2 , τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ 𝒢Ω . καὶ ἐπεὶ ἔχομεν η΄ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς Φ𝒢Τ , τουτέστιν ξ΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ , ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἔσα ἐστὶν ιε΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ , τουτέστιν ιε΄ τοῖς Μ Μ Μ , ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀνὸ Μ Μ τὸ ἔρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ω𝒢 τῇ ΩΦ ) . δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβ΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΨ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ κρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ τῇ ΚΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ · ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΕΓ , τουτέστιν λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΓΛ , πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ . ἀλλʼ ὡς κὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ , ἡ ΑΜ πρὸς ΙΜ , ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ , ἡ 0Ν πρὸς ΝΙ ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΝΙ , τουτέστιν π΄ τὰ ἀπὸ ΙΛ ( τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζ΄ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ ) , τουτέστιν κ΄ τὰ ἀπὸ Κ∠ , τουτέστιν ιε΄ τὰ ἀπὸ Β∠ ( ἐπίτριτος γὰρ ἡ Β∠ τῆς ΚΛ δυνάμει ) , μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ ὥστε καὶ οβ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ε’ τὰ ἀπὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ . πέντε δὲ τὰ ἀπὸ Β∠ ιε΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ , ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ τῶν στοιχείων ( τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν ) · καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ON πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΛΝ , τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠κ Ε πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΕΑ , μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ . καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ∠ Α,Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ · μείζων ἄρα ἡ ΓΩ κάθετος τῆς ΧΨ καθέτου . καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στερεῶν σχημάτων μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου .
Lemmas: 103 ἔκκειμαι δέ καί ὁ λαμβάνω θεώρημα εἰς ὁ σύγκρισις ὁ εἰκοσάεδρος καί ὀκτάεδρον , διά ὅς δείκνυμι δώδεκα ὁ ἀπό ΟΝ μείζων πέντε ὁ ἀπό Β∠ . ἵστημι δέ καί ὁ ΑΒ τρίγωνος εἰκοσάεδρος , καί κάθετος ἀπό ὁ ∠ ὁ ∠,Ε , ὡς ἐν ὁ πρόκειμαι θεώρημα · ὅμοιος ἄρα ὁ ὑφάω ὁ τε ∠,Α,Ε τρίγωνος καί ὁ ΛΟ ἐπεί οὖν διά ὁ ΙΣΤ΄ λημμάτιον δείκνυμι ὅτι , ἐάν ὅς τρίγωνος ἰσοσκελής ὡς ὁ Ω ἔχω ὁ πρός ὁ Ω γωνία τέσσαρες πέμπτος ὀρθός καί ἰσόπλευρος ἴσος αὐτός ὡς ὁ Μ Μ Μ , ὁ ἀπό Μ Μ πρός ὁ ἀπό ΩΩ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ ἀπό ὁ ὅλος πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ μικρός , καί ὁ ΕΓ εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ξ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ΞΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό Μ Μ πρός ὁ ἀπό Ω , τουτέστιν ὁ πεντεκαιδεκάκις ἀπό Μ Μ πρός ὁ πεντεκαιδεκάκις ἀπό ΩΩ . καί ἐπεί ἔχω Η΄ τρίγωνος ὁ ΣΡΠ ἴσος ἰβʹ πεντάγωνος ὁ Φ𝒢Τ , τουτέστιν Ξ΄ τρίγωνος ὁ Ω , ὥστε καί δύο τρίγωνος ὁ ΣΡΠ Έσα εἰμί ἵημι τρίγωνος ὁ Ω , τουτέστιν ἵημι ὁ Μ Μ Μ , ὥστε καί ὁ δίς ἀπό ΣΠ ἴσος εἰμί ὁ πεντεκαιδεκάκις Ανό Μ Μ ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ὁ ΚΓ μείζων λόγος ἔχω ὅσπερ δύο ὁ ἀπό ΣΠ πρός ὁ πεντεκαιδεκάκις ἀπό ΩΦ ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΩΩ ὁ ΩΦ ) . δύο δέ ὁ ἀπό ΣΠ ἰβʹ εἰμί ὁ ἀπό ΚΨ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ σύγκρισις ὁ κύβος καί ὀκτάεδρον · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ πεντάκις ἀπό ΞΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΚΨ Κρος ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΞΚ ὁ ΚΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ εἰκοσάκις ἀπό ὁ ΚΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΚΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ · ὥστε καί λϚ΄ ὁ ἀπό ΕΓ , τουτέστιν λϚ΄ ὁ ἀπό ΓΛ , πρός ψκ΄ ὁ ἀπό ΓΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΚΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ . ἀλλά ὡς ἄν ὁ ΓΛ πρός ΓΚ , ὁ ΑΜ πρός ιμʹ , ὡς δέ ὁ ΛΜ πρός Μι , ὁ 0Ν πρός Ν ὥστε καί λϚ΄ ὁ ἀπό ΟΝ πρός ψκ΄ ὁ ἀπό Ν , τουτέστιν Π΄ ὁ ἀπό ΙΛ ( τριπλάσιος γάρ ἐν ὁ Ζ΄ λῆμμα δείκνυμι ὁ ΙΛ ὁ ΙΝ ) , τουτέστιν Κ΄ ὁ ἀπό Κ∠ , τουτέστιν ἵημι ὁ ἀπό Β∠ ( ἐπίτριτος γάρ ὁ Β∠ ὁ ΚΛ δύναμις ) , μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΚΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ ὥστε καί οβ΄ ὁ ἀπό ΟΝ πρός εἰ ὁ ἀπό ΒΑ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΧΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΘ . πέντε δέ ὁ ἀπό Β∠ ἵημι εἰμί ὁ ἀπό ΝΛ , ὡς εἰμί ἐν ὁ ἰ ὁ στοιχεῖον ( ὁ γάρ κέντρον ὁ περί ὁ Β∠Λ τρίγωνος κύκλος ὁ Ν σημεῖον εἰμί ) · καί ἰβʹ ἄρα ὁ ἀπό ON πρός ἵημι ὁ ἀπό ΛΝ , τουτέστιν ἰβʹ ὁ ἀπό ∠κ Ε πρός ἵημι ὁ ἀπό ΕΑ , μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΧΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΘ . καί εἰμί ὅμοιος ὁ ∠ Α,Ε τρίγωνος ὁ ὑφάω τρίγωνος καί ἰβʹ ἄρα ὁ ἀπό ΥΩ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἰβʹ ὁ ἀπό ΧΨ πρός ἵημι ὁ ἀπό ΩΦ · μείζων ἄρα ὁ εγώ κάθετος ὁ ΧΨ κάθετος . καί ὑπόκειμαι ὁ ἐπιφάνεια Ἴσαι ὁ στερεός σχῆμα μείζων ἄρα ὁ δωδεκάεδρον ὁ ὀκτάεδρον .