ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 2.9
9 Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ ( τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ ) , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ · ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν , ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν . καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ , ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ , καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ , δοθεῖσα ἄγα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα ἔσται , ὥστε καὶ ἡ διαφορά τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά ἐστιν . εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ , ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη . καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ , δοθέν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει . δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία , καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς γωνίᾳ · ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ , δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει . ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει . δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ , παράλληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΨΩ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ , ἐλάσσων δέ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ ἴση γὰρ ἢ ΩΛ τῇ ΚΖ ) , καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ , οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ , ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ , ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ , ἔσται ἄρα μείζων ἡ MΒ τῆς ΘΦ ( καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται ) · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΛ τῆς ΦΚ ἐλάσσων . ἐπεὶ οὐν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ , δοθεῖσα δέ καὶ ἡ ΛΜ ( ὅτι καὶ ἡ ΚΘ ) , καὶ λύγος ἄρα τῆς ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς . καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ , καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ , καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ .
Lemmas: 9 ἐπεί τοίνυν δίδωμι εἰμί ὁ ὁ ΚΘ πρός ΘΡ λόγος καί δίδωμι εἰμί ὁ ΘΚ ( οὗτος γάρ ὑπόκειμαι δεῖ ) , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΘΡ καί λοιπός ὁ ΡΚ . ἀλλά καί ὁ ΣΡ ἥμισυς εἰμί ὁ ΡΚ · εἰμί δέ καί ὁ ΡΘ δίδωμι · καί ὅλος ἄρα ὁ ΘΣ δίδωμι εἰμί , ὥστε καί ὁ λόγος ὁ ΚΘ πρός ΘΣ δίδωμι εἰμί . καί εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΣ , ὁ ΘΣ πρός ὁ ΘΤ , καί δίδωμι δείκνυμι ὁ ΘΣ , δίδωμι ἄγα εἰμί καί ὁ ΤΘ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΦ δίδωμι εἰμί , ὥστε καί ὁ διαφορά ὁ ΘΡ ΘΦ εὐθύς δίδωμι εἰμί . εὑρίσκω οὖν ὁ Φ μεταξύ ὁ Θ Ρ , ὡς καί διά ὁ ἀριθμός δείκνυμι . καί ἐπεί δίδωμι ὁ ΦΡ διαφορά καί ὁ ὁ Ρ Χ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ ΞΚ , δίδωμι ἄρα ὁ ΦΧΡ τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος . δίδωμι ἄρα ὁ ὑπό ΡΦΧ γωνία , καί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΚΣΨ ἐκτός γωνία · ἐκβάλλω ἄρα καί ὁ ΩΨ ἐπί ὁ Ζ , δίδωμι εἰμί ὁ ΣΖΨ τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁ εἶδος . ἀλλά καί ὁ μέγεθος . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΨΖ , παράλληλος εἰμί ὁ ΞΚ καί ἐπί εὐθύς ὁ ΨΩ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ὧλ ἴσος εἰμί ὁ ΖΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΜΛ , μικρός δέ ὁ Ὧλ ὁ ΣΚ ἴσος γάρ ἢ Ὧλ ὁ ΚΖ ) , καί εἰμί ὡς μέν ὁ ΚΘ πρός ΘΣ , οὕτως ὁ ΣΘ πρός ὁ ΘΤ καί ὁ ΤΘ πρός ὁ ΘΦ , ὡς δέ ὁ ΛΜ πρός ΜΩ , ὁ ΜΩ πρός ὁ μή καί ὁ ΑΜ πρός ὁ ΜΒ , εἰμί ἄρα μείζων ὁ MΒ ὁ ΘΦ ( καί οὗτος γάρ ἑξῆς δείκνυμι ) · καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΛ ὁ ΦΚ μικρός . ἐπεί ὀν πάλιν δίδωμι εἰμί ὁ Ὧλ , δίδωμι δέ καί ὁ ΛΜ ( ὅτι καί ὁ ΚΘ ) , καί λύγος ἄρα ὁ ΛΜ πρός ΜΩ δίδωμι . καί εἰμί ὡς ὁ ΛΜ πρός ὁ ΜΩ , καί ὁ ωμʹ πρός ὁ μή , καί δίδωμι ὁ ωμʹ · δίδωμι ἄρα καί ὁ μή .
pappus-mathematics.synagoge 2.10
10 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ δοθεῖσά ἐστιν , ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον δοθέν ἐστιν , ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον , ὅπου βούλεται , ἤτοι μεταξύ τῶν Ϛ Μ , ὡς νῦν ἐστιν , ἢ μεταξὺ τῶν Ϛ Α , . τῆς ϚΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ . εἰ γὰρ λέγει τὸ Β πίπτειν κατὰ τὸ Ϛ , τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει . φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς MΛ , καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ Ϛ , λαβών μεταξύ δύο σημεῖα τὰ Ω Α καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς MΩ , τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ τὴν ΜΑ πρὸς τὴν ΜϚ , ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ . τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπύρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν , ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τάς ἐκείνων φωνάς . καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει λέγειν ἀνασκευαστικόν , ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ εἰ τὸ Ϛ ἐξ ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου , δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν Ϛ Α δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ Ϛ . ” ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον .
Lemmas: 10 διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΜΒ δίδωμι εἰμί , ὥστε καί ὁ Β σημεῖον δίδωμι εἰμί , ὅσπερ ἵστημι ὑπόκειμαι , ὅπου βούλομαι , ἤτοι μεταξύ ὁ Ϛ Μ , ὡς νῦν εἰμί , ἢ μεταξύ ὁ Ϛ Α , . ὁ ϚΛ ἴσος ὑπόκειμαι ἑκάτερος ὁ ΚΡ ΑΒ . εἰμί γάρ λέγω ὁ Β πίπτω κατά ὁ Ϛ , ὁ ζητέω οὐδείς κακός ὡς ὁμολογέω λαμβάνω . φαίνω γάρ πάλιν ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ MΛ , καί σημεῖον τις ἐν αὐτός δίδωμι ὁ Ϛ , λαμβάνω μεταξύ δύο σημεῖον ὁ Ω Α καί ποιέω ὡς ὁ ΛΜ πρός ΩΩ , ὁ ωμʹ πρός ὁ μή καί ὁ μή πρός ὁ μϛʹ , ὅσπερ οὐδείς αὐτός συγχωρέω . οὗτος γάρ καί ὁ παλαιός ζητέω ἀπαυράω διά ὁ ἐπίπεδος εὑρίσκω , ὡς καί αὐτός δείκνυμι παρατίθημι ὁ ἐκεῖνος φωνή . καί αὐτός δέ οὐδείς ἔχω λέγω ἀνασκευαστικός , ἐάν λέγω αὐτός εἰμί ὁ Ϛ ἐκ ἀνάγκη ὁ ὁ τομή σημεῖον ὁ τρίτος λόγος , δείκνυμι ὅτι οὔτε μεταξύ ὁ Ϛ Α δύναμαι πίπτω οὔτε μεταξύ ὁ Μ Ϛ . ” ἐγώ γάρ ἀποδείκνυμι ἐν ἀρχή καί ἄνω ὁ Ρ καί κάτω ὁ σημεῖον .
pappus-mathematics.synagoge 2.11
11 ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϚΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει , κἂν τύ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ἦ τῶν Ϛ Α , δεδομένου δὲ καὶ τοῦ ∠ΩΛ τριγώνου , ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ∠Ε δεδομένης , ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ λόγος , τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ , τουτέστιν ὁ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ . καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗϠ ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ , τουτέστιν τῇ ΑΒ , τῆς ∠Ϡ , κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ Ϡ . οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν , ἀκούων παῤ ἡμῶν δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ πίπτει . ”
Lemmas: 11 ὁμοίως οὖν ὁ ἀνάλυσις προχωρέω ἐκ ὁ δίδωμι ὁ ϚΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος , κἀν ὅς Β ὁ τομή σημεῖον μεταξύ εἰμί ὁ Ϛ Α , δίδωμι δέ καί ὁ ∠ΩΛ τρίγωνος , ὁμοίως δέ ὁ πρότερος καί ὁ ∠Ε δίδωμι , εἰμί δίδωμι καί ὁ ὁ ∠Η πρός ὁ ΗΕ λόγος , τουτέστιν ὁ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΗΖ , τουτέστιν ὁ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ . καί οὐδαμῶς πάλιν ὁ ὁ δΗ πρός ὁ ΗϠ ἴσος ὑπόκειμαι καί νῦν ὁ ΚΡ , τουτέστιν ὁ ΑΒ , ὁ ∠Ϡ , κἀν ὁ Θ μεταξύ βούλομαι πίπτω ὁ Ζ Ϡ . οὐδείς γάρ ἔχω καί ὧδε λέγω ἀνασκευαστικός , ἀκούω παρά ἐγώ δείκνυμι ὅτι μήτε μεταξύ ὁ Ϡ ὁ μήτε μεταξύ ὁ Ϡ Ζ πίπτω . ”
pappus-mathematics.synagoge 2.12
εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἀπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ Ϡ βούλεται , τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν . μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ Ϡ σημεῖον ( ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν ) , εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε Η λαβεῖν ἐβούλετο , ὡς τὸ Ζ , αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ ἔλαβεν . ὡς βούλεται δέ , κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ Ϡ καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΘΓ , καὶ παραλλήλους ἀγαγών τῇ μὲν ΓΘ τὰς ΖΚ ΕΛ , διὰ δὲ τῶν Κ Λ παραλλήλου ; τῇ ΑΓ τὰς ΚΜ ΛΝ δῆλον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα . παραλλήλου γὰρ μὴ γενομένης τῇ ΕΗ τῆς ΘΓ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνία ἀμβλεῖα μέν ἐστι τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Η Ϡ πίπτοντος , ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ ὄντος · ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ϡ γωνία ὀρθή ἐστι , καθʼ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα , ἐάν τις συγχωρήσῃ , καθὰ πολλάκις εἴπομεν , ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ∠H , καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ , λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε Ζ , ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ , οὕτως τὴν ΗΕ πρὸς ΗΖ , καὶ τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΗϠ .
Lemmas: εἰμί δέ κατά συγχώρησις ἀπλόος ὁ ὁ τοιοῦτος τομή σημεῖον εἰμί κατά ὁ Ϡ βούλομαι , ὁ ζητέω καί νῦν ὡς ὁμολογέω λαμβάνω . μή δίδωμι δέ αὐτός ὁ τομή εἰμί κατά ὁ Ϡ σημεῖον ( ἐπεί μηδέ κατά ὁ Ρ συγχωρέω ἐπί ὁ ΚΘ ποιέω ὁ δεῖξις ) , εἰμί καί ἄλλος τίς μεταξύ ὁ Ε ὁ λαμβάνω βούλομαι , ὡς ὁ Ζ , αὐτός οὐ οἶδα πως ἀπατάω ὁ Θ λαμβάνω . ὡς βούλομαι δέ , κεῖμαι Χωρὶς ὁ εἰμί κατά ὁ Ϡ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΓ , καί παράλληλος ἄγω ὁ μέν ΓΘ ὁ ΖΚ ΕΛ , διά δέ ὁ Κ Λ παράλληλος ; ὁ ΑΓ ὁ ΚΜ ΛΝ δῆλος ποιέω μή νοέω ὁ πρόβλημα . παράλληλος γάρ μή γίγνομαι ὁ ΕΗ ὁ ΘΓ ὁ ὑπό ΓΘΗ γωνία ἀμβλύς μέν εἰμί ὁ Θ μεταξύ ὁ ὁ Ϡ πίπτω , ὀξύς δέ ὁ Θ μεταξύ ὁ Ϡ Ζ εἰμί · ὁ γάρ πρός ὁ Ϡ γωνία ὀρθός εἰμί , κατά ὅς μόνος γίγνομαι ὁ πρόβλημα , ἐάν τις συγχωρέω , καθά πολλάκις εἶπον , ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ∠H , καί σημεῖον δίδωμι ὁ Ϡ , λαμβάνω δύο σημεῖον ὡς Ε Ζ , ὥστε εἰμί ὡς μέν ὁ ∠Η πρός ὁ ΗΕ , οὕτως ὁ ΗΕ πρός ΗΖ , καί ὁ ΗΖ πρός ὁ ΗϠ .
pappus-mathematics.synagoge 2.13
13 μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι , ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι , χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν . ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν , ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν .
Lemmas: 13 μή δίδωμι δέ οὗτος ἀδύνατος εἰμί ὁ προτείνω ὑπό αὐτός διά ὁ ἐπίπεδος εὑρίσκω , ὡς καί διά ὁ ἀριθμός αὐτός ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις ὁ βούλομαι ἔξεστι πείθω , χράω ὁ Πτολεμαῖος κανών περί ὁ ἐν κύκλος εὐθύς . ἀλλά οὗτος μέν ἀπορέω ὁμοίως ὁ ἄλλος ἀγαθός εἰμί ἤ2 οὕτως εὑρίσκω , ἐγώ δέ ὁ ὑπερτίθημι νῦν δείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 2.14
14 β΄ . Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ B Γ ∠ Ε Ζ · ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , ἡ BΓ πρὸςτ τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ∠Β . οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Γ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ , ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ , ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ , ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ 8Η πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ . Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων καὶ ἀεὶ οὕτως , ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα , οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν .
Lemmas: 14 Β΄ . ἔστω τις εὐθύς ὁ ΑΗ τέμνω εἰς ἴσος κατά ὁ B Γ ∠ Ε Ζ · ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , ὁ BΓ πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΒΓ , ὡς δέ ὁ Α∠ πρός ∠Β . οὕτως ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Γ καί ὁ τρίτος ὁ ΓΒ , ὡς δέ ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΓ καί ὁ τέταρτος ὁ ΓΒ , ὡς δέ ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΖΓ καί ὁ πέμπτος ὁ ΓΒ , ὡς δέ ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ 8ος πρός ὁ ΗΓ καί ὁ ἕκτος ὁ ΓΒ . εἰμί δέ φανερός ὁ ἀριθμός παραλαμβάνω καί ἀεί οὕτως , ὅτι ὡς ὁ δίδωμι ὁ ἴσος εὐθύς ἀριθμός ἀπό ὁ Α πρός ὁ μόνος μικρός , οὕτως ὁ μόνος μικρός πρός ὁ μόνος αὐτός μικρός καί ὁ ΓΒ μόριον ὁμώνυμος ὁ δίδωμι πλῆθος ὁ ἴσος εὐθύς .
pappus-mathematics.synagoge 2.15
15 γ΄ . Έστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Α Β , μείζων δὲ ἡ Γ∠ τῆς Ν , καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠ , ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Ν , ἡ Ν πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ · λέγω ὅτι ἡ Ρ ἐλάσσον ἐστὶν τῆς ΗΘ . Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ Γ∠ τῆς Ν , κείσθω τῇ Ν ἴση ἡ ΓΚ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ , ἡ Β πρὸς τὴν Ν . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠ , ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ , γεγενήσθω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΛ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Β πρὸς Ν , ἡ Ν πρὸς Π , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β , ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν · διʼ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΕΛ , ἡ Β πρὸς τὴν Π · ἴση ἄρα ἡ ΕΛ τῇ Π . διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ , ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ , καὶ ἡ ΕΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΗΘ . ἔστω πρὸς τὴν ΗΜ · ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ , ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΗΜ , ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν Π , οὕτως ἡ Π πρὸς τὴν Ρ , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ Ν , ἡ δὲ ΕΛ τῇ Π , ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ τῇ ΗΜ · ἐλάσσων ἄρα ἡ P τῆς ΗΘ .
Lemmas: 15 Γ΄ . εἰμί Ἴσαι εὐθύς ὁ Α Β , μείζων δέ ὁ Γ∠ ὁ Ν , καί ποιέω ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Γ∠ , ὁ Γ∠ πρός ὁ ΕΖ , καί ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Ν , ὁ Ν πρός ὁ Π καί ὁ Π πρός ὁ Ρ · λέγω ὅτι ὁ Ρ ἐλαύνω εἰμί ὁ ΗΘ . ἐπεί γάρ μείζων εἰμί ὁ Γ∠ ὁ Ν , κεῖμαι ὁ Ν ἴσος ὁ ΓΚ εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ ΓΚ , ὁ Β πρός ὁ Ν . καί ἐπεί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ∠ , ὁ Γ∠ πρός ΕΖ , γίγνομαι ὡς ὁ Α πρός ὁ ΓΚ οὕτως ὁ ΓΚ πρός ΕΛ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ Β πρός Ν , ὁ Ν πρός Π , καί ἴσος εἰμί ὁ μέν Α ὁ Β , ὁ δέ ΓΚ ὁ Ν · διά ἴσος ἄρα καί ὡς ὁ Α πρός ὁ ΕΛ , ὁ Β πρός ὁ Π · ἴσος ἄρα ὁ ΕΛ ὁ Π . διά ὁ αὐτός δή ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ∠ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΗΘ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ Α πρός ὁ ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ὁ ΕΛ , καί ὁ ΕΛ πρός μικρός ὁ ΗΘ . ἵστημι πρός ὁ ΗΜ · ἐπεί οὖν εἰμί ὡς μέν ὁ ΓΚ πρός ὁ ΕΛ , ὁ ΕΛ πρός ὁ ΗΜ , ὡς δέ ὁ Ν πρός ὁ Π , οὕτως ὁ Π πρός ὁ Ρ , καί ἴσος εἰμί ὁ ΓΚ ὁ Ν , ὁ δέ ΕΛ ὁ Π , ἴσος ἄρα καί ὁ Ρ ὁ ΗΜ · μικρός ἄρα ὁ P ὁ ΗΘ .
pappus-mathematics.synagoge 2.16
Ἄλλως τὸ αὐτό . 16 δ΄ . Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε , μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ , καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β , οὕτως ἡ Β πρὺς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς ∠ , ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ , ἡ Ζ πρὸς τὴν Η , καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ∠ τῆς Θ . Ἔπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ , ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε , ἡ Β ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε . ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Ε πρὸς Ζ . ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β , οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχε . ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ . ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς Ζ , οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η · καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η . ὡς δὲ ἡ πρὸς Γ , οὕτως ἡ Γ πρὸς ∠ καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η . ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η , οὕτως ἡ Η πρὸς Θ · καὶ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ . ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ , ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η , ἡ δὲ Γ πρὸς ∠ ἐλάσσονα ἤπερ Α πρὸς Θ , διʼ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς . καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α τῇ Ε · μείζων ἄρα ἡ ∠ τῆς Θ , ὅπερ . ~
Lemmas: ἄλλος ὁ αὐτός . 16 Δ΄ . ἔστω ἴσος ὁ Α ὁ Ε , μείζων δέ ὁ Β ὁ Ζ , καί ποιέω ὡς μέν ὁ Α πρός Β , οὕτως ὁ Β πρύος Γ καί ὁ Γ πρός ∠ , ὡς δέ ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὁ Ζ πρός ὁ ὁ , καί ὁ ὁ πρός ὁ Θ ὅτι μείζων εἰμί ὁ ∠ ὁ Θ . ἔπος μείζων εἰμί ὁ Β ὁ Ζ , ἴσος δέ ὁ Α ὁ Ε , ὁ Β ἄρα πρός ὁ Α μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ πρός ὁ Ε . ἀνάπαλιν ὁ Α πρός Β μικρός λόγος ἔχω ὅσπερ ὁ Ε πρός Ζ . ὡς δέ ὁ Α πρός Β , οὕτως ὁ Β πρός Γ καί ὁ Β ἄρα πρός Γ μικρός λόγος ἔχω . ἤ2 ὁ Ε πρός Ζ . ὡς δέ ὁ Ε πρός Ζ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ · καί ὁ Β ἄρα πρός Γ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ πρός ὁ . ὡς δέ ὁ πρός Γ , οὕτως ὁ Γ πρός ∠ καί ὁ Γ ἄρα πρός ∠ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ πρός ὁ . ὡς δέ ὁ Ζ πρός ὁ , οὕτως ὁ ὁ πρός Θ · καί Γ ἄρα πρός ∠ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὁ πρός Θ . ἐπεί οὖν ὁ μέν Α πρός Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ε πρός Ζ , ὁ δέ Β πρός Γ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ πρός ὁ , ὁ δέ Γ πρός ∠ μικρός ἤ2 Α πρός Θ , διά ἴσος ἄρα ὁ Α πρός ∠ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ε πρός Θ διά ὁ ἑξῆς . καί εἰμί ἴσος ὁ Α ὁ Ε · μείζων ἄρα ὁ ∠ ὁ Θ , ὅσπερ . ~
pappus-mathematics.synagoge 2.17
17 ε΄ . Η Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς ∠ · ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν ∠ Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς ∠ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε , ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ , οὕτως ἡ Β πρὸς Ε . ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρύς ∠ · καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς ∠ .
Lemmas: 17 Ε΄ . ὁ Α πρός Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός ∠ · ὅτι καί ἐναλλάξ ὁ Α πρός Γ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Β πρός ὁ ∠ ποιέω ὡς ὁ Α πρός Β , οὕτως ὁ Γ πρός Ε · μείζων ἄρα εἰμί ὁ Ε ὁ ∠ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Α πρός Β , οὕτως ὁ Γ πρός Ε , ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ Α πρός Γ , οὕτως ὁ Β πρός Ε . ὁ δέ Β πρός Ε μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Β πρύος ∠ · καί ὁ Α ἄρα πρός Γ μικρός λύγος ἔχω ἤ2 ὁ Β πρός ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 2.18
18 Ϛ΄ Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε , ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ · ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ . Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε , ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε . διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἐχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ . ἐπεὶ οὖν Α πρὸς ∠ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχι . ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ , ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ , ὅπερ ~ .
Lemmas: 18 ΣΤ΄ οὗτος δείκνυμι ὁ Α πρός Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ∠ πρός Ε , ἔχω δέ καί ὁ Β πρός Γ μικρός λόγος ἤ2 ὁ Ε πρός Ζ · ὅτι καί διά ἴσος ὁ Α πρός Γ μικρός λύγος ἔχω ἤ2 ὁ ∠ πρός Ζ . ἐπεί γάρ ὁ Α πρός Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ∠ πρός Ε , ἐναλλάξ ὁ Α πρός ∠ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Β πρός Ε . διά ὁ αὐτός καί ὁ Β πρός Ε μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός Ζ . ἐπεί οὖν Α πρός ∠ πολύς μικρός λόγος ἔχις . ἤ2 ὁ Γ πρός Ζ , ἐναλλάξ ὁ Α πρός Γ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ∠ πρός Ζ , ὅσπερ ~ .
pappus-mathematics.synagoge 2.19
19 ζ΄ . Α μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα , παρεὶς δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾿ ἡμῶν ἐπενεχθέντα , καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετριᾳ προβλημάτων , ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν .
Lemmas: 19 Ζ΄ . Α μέν οὖν ἐσθίω ἐγώ προεῖπον εἰμί οὗτος , παρίημι δέ κρίνω σύ τε καί ὁ ἐν γεωμετρία γυμνάζω ὁ ὑπό ἐκεῖνος προγράφω περί ὁ κατασκευή καί ὁ ὑπό ἐγώ ἐπιφέρω , καλῶς ἔχω ἡγέομαι καί ὁ δόξα ὁ ἀρχαῖος περί ὁ προερέω πρόβλημα ἐκτίθημι καί πρῶτος εἶπον ὀλίγος περί ὁ ἐν γεωμετρία πρόβλημα , ἀρχή λαμβάνω ἐντεῦθεν .
pappus-mathematics.synagoge 2.20
20 Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι , καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι , τὰ δὲ στερεά , τὰ δὲ γραμμικά . τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα · καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ . ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων , ταῦτα στερεὰ κέκληται · πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις , λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς . τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν · γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρἂ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν , ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς , πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα .
Lemmas: 20 ὁ ἐν γεωμετρία πρόβλημα ὁ παλαιός τρεῖς γένος φημί εἰμί , καί ὁ μέν αὐτός ἐπίπεδος καλέω , ὁ δέ στερεός , ὁ δέ γραμμικός . ὁ μέν οὖν διά εὐθύς καί κύκλος περιφέρεια δύναμαι λύω λέγω εἄν εἰκότως ἐπίπεδος · καί γάρ ὁ γραμμή διά ὅς λύω ὁ τοιοῦτος πρόβλημα ὁ γένεσις ἔχω ἐν ἐπίπεδος . ὅσος δέ πρόβλημα λύω παραλαμβάνω εἰς ὁ εὕρεσις εἷς ὁ ὁ κῶνος τομή ἢ πλείων , οὗτος στερεός καλέω · πρός γάρ ὁ κατασκευή ἀναγκαῖον εἰμί χράω στερεός σχῆμα ἐπιφάνεια , λέγω δέ ὁ κωνικός . τρίτος δέ ἔτι καταλείπω γένος ὅς καλέω γραμμικός · γραμμή γάρ ἕτερος παρά ὁ εἴρω εἰς ὁ κατασκευή λαμβάνω ποικίλος καί βεβιασμένος ἔχω ὁ γένεσις , ὁποῖος τυγχάνω ὁ ἕλιξ καί τετραγωνίζω καί κοχλοειδής καί κισσοειδής , πολύς καί παράδοξος περί ἑαυτοῦ ἔχω σύμπτωμα .
pappus-mathematics.synagoge 2.21
21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες , ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν , τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον , ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς . οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται , Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς , διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν .
Lemmas: 21 τοιοῦτος δή ὁ διαφορά ὁ προβάλλω εἰμί ὁ παλαιός γεωμέτρης ὁ προερέω ἐπί ὁ δύο εὐθύς πρόβλημα ὁ φύσις στερεός ὑπάρχω οὐ οἷος τε εἰμί κατασκευάζω ὁ γεωμετρικός λόγος κατακολουθέω , ἐπεί μηδέ ὁ ὁ κῶνος τομή ῥᾴδιος ἐν ἐπίπεδος γράφω εἰμί , ὁ δέ ὄργανον μεταλαμβάνω αὐτός θαυμάσιος εἰς χειρουργία καί κατασκευή ἐπιτήδειος ἄγω , ὡς εἰμί ὁράω ἐν ὁ Ἐρατοσθένης μεσόλαβος καί ὁ Φίλων καί Ἥρων μηχανικός . οὗτος γάρ ὁμολογέω στερεός εἰμί ὁ πρόβλημα ὁ κατασκευή αὐτός μόνος ὀργανικός ποιέω , Νικομήδης δέ λύω διά κοχλοειδής γραμμή , διά ὅς καί ὁ γωνία τριχοτομέω .
pappus-mathematics.synagoge 2.22
22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας , ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον , δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη , τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις , καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην .
Lemmas: 22 ἐκτίθημι οὖν τέσσαρες αὐτός κατασκευή μετά τις ἐμός επεξεργασία , ὅς πρῶτος μέν ὁ Ἐρατοσθένειον , δύο δέ ὁ ὁ περί Νικομήδης , τρίτος δέ ὁ ὁ περί Ἥρων μάλιστα πρός ὁ χειρουργία ἁρμόζω ὁ ἀρχιτεκτονέω βούλομαι , καί τελευταῖος ὁ ὑπό ἐγώ ἀνευρίσκω .
pappus-mathematics.synagoge 2.23
23 Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓ∠ , καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ ὀρθὰς ἔχοντα τάς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας , καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηρὸς μενέτω , τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου , τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ διὰ τοῦ Γ∠ κανόνος καὶ αὐτοῦ διʼ ὅλου τοῦ μήκους σεσωληνισμένου , παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων κατὰ τοὺς προειρημένους ὀχετούς . τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων , ὅτε βούλοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι , διπλασίαν ἀπολαμβάνων τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρίγωνα ; μέχρις ἂν κατʼ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο , ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ Γ∠ κατὰ τὸ Ρ ( τοῦτο γάρ κατʼ ἀνάγκην ὀφείλει ἐπακολουθεῖν ) , καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ συμβαίνει . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ , οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ , καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ , καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ , καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ , καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ , καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ , καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ , καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν . καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ · διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου . εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον , ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ καὶ τὰ λοιπά ὁμοίως κατασκευάζειν .
Lemmas: 23 ἔστω οὖν πλινθίον πήγνυμι ὁ ΑΒΓ∠ , καί ἐν αὐτός τρίγωνος ὀρθογώνιος ἴσος ὁ ΑΕΘ ΜΖΚ Νήλ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Ε Ζ ὁ γωνία , καί ὁ μέν ΑΕΘ προσπίπτω μένω , ὁ δέ ΜΖΚ ὁ κίνησις ἔχω ἐπί ὁ ΑΒ Γ∠ κανών οὕτως ὥστε ὁ μέν ΜΖ ἐπί ὁ ΑΒ κανών φέρω ἔχω σωλήν διά ὅλος , ὁ δέ κορυφή ὁ Κ διά ὁ Γ∠ κανών καί αὐτός διά ὅλος ὁ μῆκος σωληνίζω , παραπλήσιος δέ καί ὁ Νήλ τρίγωνος ἔχω ὁ κίνησις ἐπί ὁ ΑΒ Γ∠ κανών κατά ὁ προερέω ὀχετός . οὗτος δή οὕτως ὑπόκειμαι , ὅτε βούλομαι τις κύβος κύβος διπλασίων ποιέω , διπλάσιος ἀπολαμβάνω ὁ ΑΓ ὁ ΛΞ καί διίστημι ὁ ΜΖΚ Νήλ τρίγωνος ; μέχρι εἄν κατά εὐθύς γίγνομαι ὁ Α Ξ σημεῖον ὁ ὁ τρίγωνος τομή ὁ Π ὁ , ἐπίζευξις ὁ ΑΠΟ συμπίπτω ὁ Γ∠ κατά ὁ Ρ ( οὗτος γάρ κατά ἀνάγκη ὀφείλω ἐπακολουθέω ) , καί οὕτως ὁ πρόκειμαι αὐτός συμβαίνω . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΠΘ , οὕτως ὁ ΑΡ πρός ΠΡ , καί ὁ ΑΘ πρός ΠΚ , καί ὁ ΘΡ πρός ΡΚ , καί ὁ ΠΘ πρός ΟΚ , καί ὁ ΠΡ πρός ΡΟ , καί ὁ ΠΚ πρός ΟΛ , καί ὁ ΚΡ πρός ΡΛ , καί ὁ ΟΚ πρός ΛΞ ὁ ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσος εἰμί ὁ ΠΘ ΟΚ κατά συνεχής ἀναλογία . καί εἰμί διπλάσιος ὁ ΑΓ ὁ ΛΞ · διπλάσιος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ κύβος ὁ ἀπό ὁ ΠΘ κύβος . εἰμί δέ ἄλλος τις λόγος ἔχω ὁ κύβος πρός ὁ κύβος , ἐκεῖνος ὁ λόγος ἐσθίω ἔχω καί ὁ ΑΓ πρός ΛΞ καί ὁ λοιπός ὁμοίως κατασκευάζω .
pappus-mathematics.synagoge 2.25
25 θ΄ . Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα , πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς , δείξομεν , ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο , καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων , στερεόν . ἐκθησόμεθα δέ ” φησιν “ τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον . ”
Lemmas: 25 Θ΄ . κατά δέ ὁ περί ὁ Ἥρων , πῶς εἰμί δυνατός δύο δίδωμι εὐθύς δύο μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὀργανικός , δείκνυμι , ἐπεί εἰμί ὁ πρόβλημα οὗτος , καθά φημί καί ὁ Ἥρων , στερεός . ἐκτίθημι δέ ” φημί “ ὁ δεῖξις ὁ μάλιστα πρός ὁ χειρουργία εὔθετος . ”
pappus-mathematics.synagoge 2.26
26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ ∠Α , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΓΑ , καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ , ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖεα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν . γεγονέτω , καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ , ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ . Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠Η τῇ ΑΗ , καὶ διῆκται ἡ ΗΖ , τὸ άρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ . καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ . ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ · ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ . ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ , ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ , ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ , ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ · τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ .
Lemmas: 26 εἰμί γάρ ὁ δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ ΒΓ πρός ὀρθός ἀλλήλων κεῖμαι , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . συμπληρόω ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , καί ἐκβάλλω ὁ ∠Γ ∠Α , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Β ΓΑ , καί παράκειμαι κανόνιον πρός ὁ Β σημεῖον καί κινέω τέμνω ὁ ΓΕ αζʹ , ἄχρι ὅς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΓΕ τομή ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ ὁ αζʹ τομή . γίγνομαι , καί ἵστημι ὁ μέν ὁ κανονίας θέσις ὁ ΕΒΖ , Ἴσαι δέ ὁ ΕΗ ΗΖ λέγω οὖν ὅτι ὁ αζʹ ΓΕ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ ΒΓ . ἐπεί γάρ ὀρθογώνιον εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , ὁ τέσσαρες εὐθύς ὁ ∠Η ΗΑ ΗΒ ΗΓ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ ∠Η ὁ ΑΗ , καί διάγω ὁ ΗΖ , ὁ άρα ὑπό ∠ΖΑ μετά ὁ ἀπό ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΖ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ∠ΕΓ μετά ὁ ἀπό ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΕ . καί εἰμί Ἴσαι ὁ ΗΕ ΗΖ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ∠ΖΑ μετά ὁ ἀπό ΑΗ ὁ ὑπό ∠ΕΓ μετά ὁ ἀπό ΓΗ . οὖν ὁ ἀπό ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΑ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ∠ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΖΑ · ὡς ἄρα ὁ Ε∠ πρός ∠Ζ ὁ Γῆ πρός ΓΕ . ὡς δέ ὁ Ε∠ πρός ∠Ζ , ὅς τε ΒΑ πρός αζʹ καί ὁ ΕΓ πρός ΓΒ , ὥστε εἰμί καί ὡς ὁ ΑΒ πρός αζʹ , ὅς τε Γῆ πρός ΓΕ καί ὁ ΓΕ πρός ΓΒ · ὁ ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ αζʹ ΓΕ .
pappus-mathematics.synagoge 2.28
28 ια΄ . Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε . Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν , καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος , οὗ κέντρον τὸ Ε , καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠ , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β , καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ , καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Ζ , τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι , τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν , τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν , τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν . Ὅτι μὲν οὖν ἡ Β∠ μέση ἐστὶ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ , ἡ δὲ ΕΓ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι , φανερόν . ἐστι γὰρ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς ∠Β , ἡ ∠Β πρὸς ∠Γ , ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ἑαυτήν , οὕτως ἡ τῶν Α∠ ΑΕ ὑπεροχή , τουτέστιν ἡ τῶν Α∠ ΕΓ , πρὸς τὴν τῶν ΕΓ Γ∠ . πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος , ἢ ποίων εὐθειῶν , οὑκ εἶπεν , μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ Β∠ , ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ Β∠ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμονικὴ μεσότης . δειχθήσεται γὰρ ὑφ᾿ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ∠Β καὶ μία ἡ BΖ ὡς μία συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος , δύο δὲ αἱ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην , μία δὲ ἡ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην .
Lemmas: 28 ΙΑ΄ . ὁ δέ δύο ὁ πρόβλημα εἰμί ὅδε . ἐν ἡμικύκλιον ὁ τρεῖς μεσότης λαμβάνω ἄλλος τις φάσκω , καί ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ ἐκτίθημι , ὅς κέντρον ὁ Ε , καί τυγχάνω σημεῖον ἐπί ὁ ΑΓ λαμβάνω ὁ ∠ , καί ἀπό αὐτός πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΓ ὁ ∠Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ , καί αὐτός κάθετος ἄγω ἀπό ὁ ∠ ὁ ∠Ζ , ὁ τρεῖς μεσότης λέγω ἀπλόος ἐν ὁ ἡμικύκλιον ἐκτίθημι , ὁ μέν ΕΓ μέσος ἀριθμητικός , ὁ δέ ∠Β μέσος γεωμετρικός , ὁ δέ ΒΖ ἁρμονικός . ὅτι2 μέν οὖν ὁ Β∠ μέσος εἰμί ὁ Α∠ ∠Γ ἐν ὁ γεωμετρικός ἀναλογία , ὁ δέ ΕΓ ὁ Α∠ ∠Γ ἐν ὁ ἀριθμητικός μεσότης , φανερός . εἰμί γάρ ὡς μέν ὁ Α∠ πρός ∠Β , ὁ ∠Β πρός ∠Γ , ὡς δέ ὁ Α∠ πρός ἑαυτοῦ , οὕτως ὁ ὁ Α∠ ΑΕ ὑπεροχή , τουτέστιν ὁ ὁ Α∠ ΕΓ , πρός ὁ ὁ ΕΓ Γ∠ . πῶς δέ καί ὁ ΖΒ μέσος εἰμί ὁ ἁρμονικός μεσότης , ἢ ποῖος εὐθύς , ἐκ εἶπον , μόνος δέ ὅτι τρίτος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΒ Β∠ , ἀγνοέω ὅτι ἀπό ὁ ΕΒ Β∠ ΒΖ ἐν ὁ γεωμετρικός ἀναλογία εἰμί πλάσσω ὁ ἁρμονικός μεσότης . δείκνυμι γάρ ὑπό ἐγώ ὕστερος ὅτι δύο ὁ ΕΒ καί τρεῖς ὁ ∠Β καί εἷς ὁ BΖ ὡς εἷς συντίθημι ποιέω ὁ μείζων ἄκρος ὁ ἁρμονικός μεσότης , δύο δέ ὁ Β∠ καί εἷς ὁ ΒΖ ὁ μέσος , εἷς δέ ὁ Β∠ καί εἷς ὁ ΒΖ ὁ μικρός .
pappus-mathematics.synagoge 2.29
29 Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων , εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τούς παλαιούς , καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτων , καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν , ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα .
Lemmas: 29 Πρότερος δέ διαληπτέον περί ὁ τρεῖς μεσότης , εἶτα περί ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ἄλλος τρεῖς κατά ὁ παλαιός , καί ὕστερος περί ὁ παρά ὁ νέος τέσσαρες ἀκόλουθος ὁ γνώμη αὐτῖς , καί ὡς δυνατός εἰμί ἕκαστος ὁ δέκα μεσότης διά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία εὑρίσκω , ἵνα καί ὁ πρόκειμαι ἔλεγχος διά πλείων συνίστημι .
pappus-mathematics.synagoge 2.30
Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων . 30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία , τοῦτο καὶ μεσότης , οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν . μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς , ὧν ἡ μέν ἀριθμητική , ἡ δὲ γεωμετρική , ἡ δὲ ἁρμονική . Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης , ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ , ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ ( ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν ) , ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν , ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν . Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης , τουτέστιν ἀναλογία κυρίως , ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων , οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον ( ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄ ) , καὶ ἄλλως : ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον , ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν . Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης , ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων , ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ ( ὡς ἔχει ὁ γ΄ ἀριθμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν Ϛ΄ ) , ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρὸς τὸν τρίτον , ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν . Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τάς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε .
Lemmas: περι ὁ τρεῖς μεσότης . 30 ἰβʹ διαφέρω τοίνυν μεσότης ἀναλογία ὅδε ὅτι εἰμί μέν τίς εἰμί ἀναλογία , οὗτος καί μεσότης , οὖον μήv καί ἀνάπαλιν . μεσότης γάρ εἰμί τρεῖς , ὅς ὁ μέν ἀριθμητικός , ὁ δέ γεωμετρικός , ὁ δέ ἁρμονικός . ἀριθμητικός μέν οὖν λέγω μεσότης , ὅταν τρεῖς εἰμί ὁράω ὁ μέσος ὁ ἴσος εἷς μέν ὁ ἄκρος ὑπερέχω , ὑπερέχω δέ ὑπό ὁ λοιπός ( ὡς ἔχω ὁ ΣΤ΄ πρός ὁ Θ΄ καί ὁ Γ΄ ἀριθμός ) , ἢ ὅταν εἰμί ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρός ἑαυτοῦ , ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ δύο . γεωμετρικός δέ λέγω μεσότης , τουτέστιν ἀναλογία κύριος , ὅταν εἰμί ὡς ὁ μέσος ὅρος πρός εἷς ὁ ἄκρος , οὕτως ὁ λοιπός πρός ὁ μέσος ( ὡς ἔχω ὁ ΣΤ΄ ἀριθμός πρός τε ὁ ἰβʹ καί ὁ Γ΄ ) , καί ἄλλως : ὅταν εἰμί ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρός ὁ δύο , ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ δύο . ἁρμονικός δέ εἰμί μεσότης , ὅταν ὁ μέσος ὅρος ὁ αὐτός μέρος ὑπερέχω μέν εἷς ὁ ἄκρος , ὑπερέχω δέ ὑπό ὁ λοιπός ( ὡς ἔχω ὁ Γ΄ ἀριθμός πρός τε ὁ Β΄ καί ὁ ΣΤ΄ ) , ἢ ὅταν εἰμί ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρός ὁ τρίτος , ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ δύο . οὗτος ὑπόκειμαι εὑρίσκω ὁμοῦ ὁ τρεῖς μεσότης ἐν μικρός εὐθύς πέντε ὁ ἀριθμός προγράφω ὅδε .
pappus-mathematics.synagoge 2.31
31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν . Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠ , καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε , καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ ∠ , καὶ τῇ τὰ Β ∠ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ ΒΖ , καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ . ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε . ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή . καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠ , καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β , ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ , καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ .
Lemmas: 31 ἔστω δή πρῶτος δίδωμι ὁ ΑΒ ΒΓ μέσος εὑρίσκω κατά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία . ἄγω πρός ὀρθός ὁ Γ∠ , καί δίχα τέμνω ὁ ΑΒ ὁ Ε , καί περί κέντρον ὁ Ε διά ὁ Β περιφέρεια γράφω τέμνω ὁ πρός ὀρθός κατά ὁ ∠ , καί ὁ ὁ Β ∠ ἐπιζεύγνυμι ἴσος ἀφίημι ὁ ΒΖ , καί γίγνομαι ὁ ζητέω μέσος ὁ ΒΖ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ∠Α ὀρθός περιέχω γωνία μετά ὁ Β∠ διά ὁ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΕ ΕΑ ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠ Ε . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Γ ὀρθός . καί ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΑΒ∠ τρίγωνος ὁ ΒΓ∠ , καί διά οὗτος ὁ περί ὁ κοινός αὐτός γωνία ὁ πρός ὁ Β πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ∠Β , ὁ Β∠ πρός ΒΓ , καί μέσος ὁ ΑΒ ΒΓ ὁ Β∠ ἴσος ὁ ΒΖ .
pappus-mathematics.synagoge 2.32
32 ιγ΄ . Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν . Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε , καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω , καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας κατὰ τὸ ∠ , καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Γ , καὶ γίνεται τῶν ΑΒ ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ . δείκνυται γὰρ ὁμοίως τοῖς προειρημένοις ἐπὶ τῆς μέσης .
Lemmas: 32 ἰ . ἔστω δέ δίδωμι ὁ ΑΒ ΒΖ ὁ μικρός ἄκρος λαμβάνω . τέμνω δίχα ὁ ΑΒ ὁ Ε , καί περί κέντρον ὁ Ε διά ὁ Β περιφέρεια γράφω , καί οὗτος τέμνω ὑπό ὁ διά ὁ Ζ περί κέντρον ὁ Β γράφω περιφέρεια κατά ὁ ∠ , καί κάθετος ἄγω ὁ ∠Γ , καί γίγνομαι ὁ ΑΒ ΒΖ τρίτος ἀνάλογος ὁ ΒΓ . δείκνυμι γάρ ὁμοίως ὁ προερέω ἐπί ὁ μέσος .
pappus-mathematics.synagoge 2.33
33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν . Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ , καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ · γίνεται δὴ ἡ ΑΒ . τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ . καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων .
Lemmas: 33 ἔστω δέ νῦν δίδωμι ὁ ΖΒ ΒΓ ὁ μείζων ἄκρος εὑρίσκω . ἄγω δή πρός ὀρθός ὁ ΓΘ , καί περί κέντρον ὁ Β διά ὁ Ζ γράφω περιφέρεια τέμνω αὐτός κατά ὁ Θ , καί ὁ ΒΘ ἐπιζεύγνυμι πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΘ · γίγνομαι δή ὁ ΑΒ . τρίτος ἀνάλογος ὁ ΓΒ ΒΖ . καί γάρ οὗτος φανερός ἐκ ὁ προδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 2.34
34 ιδ΄ . Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ , καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠ΑΕ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ Β∠ ΕΓΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐτι τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ · ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ , οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ , ἡ ∠Α πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ ( ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ Α∠ ) , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ τρίγωνα ΑΓΕ ΓΖΗ · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ΑΒ πρὸς ΒΗ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ . καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ . ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ , ἡ δὲ ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ ΒΗ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ , οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν .
Lemmas: 34 ὁράω . πάλιν εἰμί δύο εὐθύς ὁ ΑΒ ΒΓ , καί πρός ὀρθός ὁ ΑΒ ὁ ∠ΑΕ ὥστε ἴσος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ ΕΓΖ , καί ἀπό ὁ Ζ κάθετος ἔτι ὁ ΓΒ ὁ ΖΗ · ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΗ , οὕτως ὁ ὁ ΑΒ ΒΓ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ΓΒ ΒΗ ὑπεροχή . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΗ , ὁ ∠Α πρός ΖΗ , τουτέστιν ὁ ΑΕ πρός ΖΗ ( ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΕ ὁ Α∠ ) , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΒΗ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΖΗ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΕ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΓΗ διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος ΑΓΕ ΓΖΗ · εἰμί ἄρα καί ὡς ΑΒ πρός ΒΗ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΓΗ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΓ . ὑπεροχή ὁ ΑΒ ΒΓ , ὁ δέ ΓΗ ὑπεροχή ὁ ΓΒ ΒΗ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΗ , οὕτως ὁ ὁ ΑΒ ΒΓ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ΓΒ ΒΗ ὑπεροχή .
pappus-mathematics.synagoge 2.35
35 Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι , ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην , ἐπιζεύξαντες τὴν Β∠ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ , ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ . καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά .
Lemmas: 35 ἐάν δέ ὁ ΑΒ ΒΗ δίδωμι ἄκρος , ζητέω δέ ὁ μέσος , ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ , καί πρός ὀρθός ἄγω ἀπό ὁ ὁ ὁ ΖΗ , καί ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Ε ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓΕ , ἔχω ὁ ΓΒ μέσος ὁ ΑΒ ΒΗ . καί ὁ ἀπόδειξις φανερός .
pappus-mathematics.synagoge 2.36
36 ιε΄ . Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ∠ΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ∠Ε ΕΖ , καὶ τὰς ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες ἐπι τὸ Η . ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ .
Lemmas: 36 ἵημι . δίδωμι δέ ὁ ΕΒ ΒΓ ὁ μείζων ἄκρος εὑρίσκω ἀπό ὁ Ε πρός ὀρθός ἄγω ὁ ∠ΕΖ καί ἴσος θέω ὁ ∠Ε ΕΖ , καί ὁ ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύγνυμι καί ἐκβάλλω ἐπι ὁ ὁ . ὁ γάρ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ BΓ ἐκβάλλω κάθετος ἄγω ΗΘ ἴσος ἀποτέμνω ὁ ζητέω ὁ ΘΒ .
pappus-mathematics.synagoge 2.37
37 ιϚ΄ . Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ , ὧν μείζων ἡ ΑΒ , μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως . κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ∠Β , καὶ ἡ ∠Α δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε , καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ . καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα .
Lemmas: 37 ΙΣΤ΄ . δύο πάλιν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ Γ , ὅς μείζων ὁ ΑΒ , μέσος ἐν ἴσος ὑπεροχή εὑρίσκω οὕτως . κεῖμαι ὁ Γ ἴσος ὁ ∠Β , καί ὁ ∠Α δίχα τέμνω κατά ὁ Ε , καί ὁ ΕΒ ἴσος κεῖμαι ὁ Ζ . καί φανερός ὅτι ὁ Ζ εἰμί ὁ ζητέω εὐθύς .
pappus-mathematics.synagoge 2.38
38 Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν , τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ .
Lemmas: 38 ὅμοιος δέ κἀν ὁ Ζ Γ δίδωμι , ὁ ὑπεροχή αὐτός προστίθημι ὁ Ζ ὁ γίγνομαι ἔχω ἴσος ὁ ΑΒ .
pappus-mathematics.synagoge 2.39
39 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν , ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην .
Lemmas: 39 ἤ πάλιν ἐάν ὁ ΑΒ Ζ δίδωμι , ὁ ὑπεροχή αὐτός ἀπό ὁ Ζ ἀφαιρέω ποιέω ὁ Γ τρίτος .
pappus-mathematics.synagoge 2.40
40 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ · καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν . γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ , ἡ Γ πρὸς Η · καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης , τουτέστιν ἀναλογία κυρίως . κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η , ὧν μείζων ἡ Γ , τὴν Θ ποιησόμεθα , ὥστʼ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ , οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν , ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης . ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ , καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ , τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς · ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας .
Lemmas: 40 ἔστω οὖν ὁ Ζ μέσος ὁ ΑΒ Γ ἐν ἴσος ὑπεροχή · καί εἰμί ἀριθμητικός μεσότης ὁ ΑΒ Ζ Γ εὐθύς . γίγνομαι δέ καί ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ · καί εἰμί ὁ Ζ Γ ὁ εὐθύς γεωμετρικός μεσότης , τουτέστιν ἀναλογία κύριος . κἀν διά ὁ προδείκνυμι δύο εὐθύς ὁ Γ ὁ , ὅς μείζων ὁ Γ , ὁ Θ ποιέω , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ ὁ Γ ὁ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ὁ Θ ὑπεροχή , εἰμί ἄρα καί ὁ Γ ὁ Θ εὐθύς ἁρμονικός μεσότης . ὁ αὐτός δέ λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ , καί ὁ Γ πρός ὁ Θ , ὁ ἄκρος ὁράω ἐπί τε ὁ ἀριθμητικός μεσότης καί ὁ ἁρμονικός · εἰμί οὖν πέντε ὁ ἀριθμός μικρός εὐθύς περιέχω ὁ τρεῖς μεσότης .
pappus-mathematics.synagoge 2.41
41 Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λύγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς , ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης . ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ὑποδείγματος ἕνεκεν ἔσονται τὸ προκείμενον ποιοῦντες ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὅ τε ιβ΄ καὶ ὁ θ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ δ΄ καὶ ὁ γ΄ , ἐπὶ δὲ τῆς τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὅ τε ιη΄ καὶ ὁ ιβ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ γ΄ καὶ ὁ β΄ . καὶ δῆλον ὡς δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριθμοὺς ἀνευρίσκειν τῶν τριῶν μεσοτήτων .
Lemmas: 41 ἅμα καί διά ἀριθμός μικρός πέντε συνίστημι κατά τε ὁ πολλαπλάσιος λέγω λύγος καί ἐπιμόριος καί ὁ λοιπός , ἀδιαίρετος γοῦν ὁ μόνος ὑπόκειμαι . ἐπί μέν γάρ ὁ διπλάσιος λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ ὑπόδειγμα ἕνεκα εἰμί ὁ πρόκειμαι ποιέω ἀριθμός μικρός ὅς τε ἰβʹ καί ὁ Θ΄ καί ὁ ΣΤ΄ καί ὁ Δ΄ καί ὁ Γ΄ , ἐπί δέ ὁ τριπλασίων ἀναλογία ἀριθμός μικρός γίγνομαι ὅς τε ιη΄ καί ὁ ἰβʹ καί ὁ ΣΤ΄ καί ὁ Γ΄ καί ὁ Β΄ . καί δῆλος ὡς δεῖ καί ἐπί ὁ ἄλλος λόγος ὁ μικρός ἀριθμός ἀνευρίσκω ὁ τρεῖς μεσότης .
pappus-mathematics.synagoge 2.42
42 κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι , διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον , τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γ΄ β΄ α΄ , ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δ΄ β΄ α΄ , καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς . οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου , τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄ , τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν β΄ τὰ δ΄ , ἀντὶ δὲ τοῦ α΄ τὰ β΄ . καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι , γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν . καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος , ὡς γ΄ πρὸς β΄ . ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης . πάντα ἄρα τρίς καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δ΄ ὁ ιβ΄ , ἀντὶ δέ τοῦ γ΄ ὁ θ΄ ἀριθμός , καὶ ἀντὶ τοῦ β΄ ὁ Ϛ΄ . καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβ΄ θ΄ Ϛ΄ δ΄ γ΄ .
Lemmas: 42 κἀν Χωρὶς ἕκαστος τις ἐθέλω ἐκτίθημι , διά ὁ προγράφω εὔδηλος , ὁ τρεῖς ὁράω ἐπί μέν ὁ ἀριθμητικός μεσότης εἰμί ἐν μικρός ἀριθμός Γ΄ Β΄ Α΄ , ἐπί δέ ὁ γεωμετρικός Δ΄ Β΄ Α΄ , καί ὁ κατά ὁ δίδωμι λόγος πυθμήν εἰς ὁ Ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ὁ ἐπιμόριος μεταλαμβάνω καί ὁ λοιπός . οἷος ἐπί ὁ διπλάσιος λόγος , ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ λόγος ἔχω ὅς ἔχω ὁ Β΄ πρός ὁ Α΄ , τάσσω ἀντί μέν ὁ Β΄ ὁ Δ΄ , ἀντί δέ ὁ Α΄ ὁ Β΄ . καί ἐπεί δεῖ ὁ μέσος αὐτός ὁ ἴσος ὑπερέχω καί ὑπερέχω , γίγνομαι ὁ Ζ εὐθύς μόνος τρεῖς . καί ὁ ὁ Ζ πρός ὁ Γ λόγος ἡμιόλιος , ὡς Γ΄ πρός Β΄ . ὁ αὐτός δέ οὗτος καί ὁ ὁ Γ πρός ὁ ὁ γίγνομαι οὖον ποιέω ὁ πρόβλημα ὁ μόνος ἀδιαίρετος Μένων . πᾶς ἄρα τρίς καί γίγνομαι ἀντί μέν ὁ Δ΄ ὁ ἰβʹ , ἀντί δέ ὁ Γ΄ ὁ Θ΄ ἀριθμός , καί ἀντί ὁ Β΄ ὁ ΣΤ΄ . καί γίγνομαι ὁ ὁ εὐθύς μόνος Δ΄ καί ὁ Θ δηλονότι μόνος τρεῖς καί ὁ τρεῖς μεσότης ἀριθμός ἰβʹ Θ΄ ΣΤ΄ Δ΄ Γ΄ .
pappus-mathematics.synagoge 2.43
43 ιζ΄ . Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς , ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν αὐτὰς συστήσασθαι ἐν ἐλαχίσταις Ϛ΄ εὐθείαις τὸν ἀριθμόν , δῆλον ἐντεῦθεν . Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν Β∠ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου , καὶ τὴν ∠Ζ κάθετον , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠ΚΘ · λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ , μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ . Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι , ἔστιν ἄρα ὡς ᾑ ΒΕ πρὸς ΕΖ , ἡ ΗΒ πρὸς Ζ∠ . ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ , ἡ ΒΘ πρὸς ∠Ζ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ∠Ζ , ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ , καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν , ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν · ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν · ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι . μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ . ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν Α∠ EΓ Γ∠ τὴν ἀριθμητικήν , αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν · αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ .
Lemmas: 43 ιζʹ . οὗτος μέν οὖν περί ὁ τρεῖς μεσότης κατά ὁ παλαιός , ὅτι δέ καί ἐν ἡμικύκλιον δυνατός εἰμί αὐτός συνίστημι ἐν μικρός ΣΤ΄ εὐθύς ὁ ἀριθμός , δῆλος ἐντεῦθεν . ἔκκειμαι γάρ ὁ ἡμικύκλιον ἔχω ὁ Β∠ κάθετος καί ὁ ΕΒ ἐκ κέντρον , καί ὁ ∠Ζ κάθετος , καί ἄγω διά ὁ Β ἐφάπτω ὁ κύκλος ὁ τίθημι καί ἐκβάλλω ὁ ΕΓΗ κεῖμαι ὁ ΒΗ ἴσος ὁ ΒΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠ΚΘ · λέγω ὅτι ἐν ὁ ἁρμονικός μεσότης ὁ ΕΚ μέσος εἰμί ὁ ΒΕ ΕΖ , μέγας εἰμί ὁ ΒΕ καί μικρός ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Β Ζ γωνία , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΕ πρός ΕΖ , ὁ ΗΒ πρός Ζ∠ . ἴσος δέ ὁ ΒΗ ὁ ΒΘ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΕ πρός ΕΖ , ὁ ΒΘ πρός ∠Ζ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ∠Ζ , ὁ ΒΚ πρός ΚΖ , καί εἰμί ὁ μέν ΒΚ ὑπεροχή ὁ ΒΕ ΕΚ εὐθύς , ὁ δέ ΚΖ ὑπεροχή ὁ ΚΕ ΕΖ εὐθύς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ὁ ΒΕ ΕΚ ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ΚΕ ΕΖ ὑπεροχή · ἁρμονικός ἄρα μεσότης περιέχω ὁ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθύς . μέσος εἰμί ὁ ΕΚ καί μέγας ὁ ΒΕ καί μικρός ὁ ΕΖ . δείκνυμι δέ καί ὁ μέν Α∠ EΓ Γ∠ ὁ ἀριθμητικός , ὁ δέ Α∠ Β∠ ∠Γ ὁ γεωμετρικός · ὁ τρεῖς ἄρα μεσότης ἐντάσσω εἰμί καί ἐν ἡμικύκλιον .
pappus-mathematics.synagoge 2.44
44 ιη΄ . Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικὸς καὶ ἄλλοι τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρήκασιν , αἳ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν παλαιῶν ἀναγνώσεις , ἀλλὰ καὶ περὶ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς , καὶ ἔτι ταῖς ἓξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων προσεύρηνται τέσσαρες , πειρασόμεθα καὶ περὶ τούτων εἰπεῖν ἐπιτονώτερον , ἀκολουθήσαντες μέντοι γε τοῖς πρότερον , οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν μετάβασιν τρεῖς ἐξέθεντο τὰς προειρημένας .
Lemmas: 44 ιη΄ . ἐπεί δέ καί Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικός καί ἄλλος τις οὖον μόνος περί ὁ πρῶτος τρεῖς μεσότης εἴρω , ὅς χρήσιμος τυγχάνω μάλιστα πρός ὁ ὁ παλαιός ἀναγιγνώσκω , ἀλλά καί περί ἄλλος τρεῖς κατά ὁ παλαιός , καί ἔτι ὁ ἓξ οὗτος ἄλλος ὑπό ὁ νέος προσευρίσκω τέσσαρες , πειράζω καί περί οὗτος εἶπον ἐπίτονος , ἀκολουθέω μέντοι γε ὁ πρότερος , ὅστις ἀπό μέν ὁ μείζων ὁράω ποιέω ὁ μετάβασις τρεῖς ἐκτίθημι ὁ προερέω .
pappus-mathematics.synagoge 2.45
45 Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον , οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου , τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν . Ὅταν δʼ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον , ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου , ἡ μεσότης καλεῖται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ ( τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν ) . Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον , ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου , καλεῖται ἡ μεσότης ἕκτη , λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ διά τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν · ὡς εἶναι κατʼ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ .
Lemmas: 45 ὅταν μέν γάρ εἰμί ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρός ὁ πρῶτος , οὕτως ὁ ὁ πρῶτος ὁράω ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δύο , ὁ μεσότης ὑπεναντίος ὁ ἁρμονικός καλέω . ὅταν δέ εἰμί ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρός ὁ δύο , ὁ ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δύο , ὁ μεσότης καλέω πέμπτος καί ὑπεναντίος ὁ γεωμετρικός ( τις γάρ αὐτός οὕτως ὀνομάζω ) . ὅταν δέ ὡς ὁ δύο ὅρος εἰμί πρός ὁ πρῶτος , ὁ ὁ πρῶτος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ δύο , καλέω ὁ μεσότης ἕκτος , λέγω δέ καί αὐτός ὑπεναντίος ὁ γεωμετρικός διά ὁ αὐτός ὁ λόγος ἀντακολουθία · ὡς εἰμί κατά αὐτός μεσότης ἕξ .
pappus-mathematics.synagoge 2.46
46 Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων , ὡς εἴπομεν , ἄλλαι τέσσαρες τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι , κέχρηνται δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες · καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτοῦ ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην , τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν δευτέραν , τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν τρίτην , νοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι , καθὰ καὶ ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεθα , τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου , τοῦ δὲ μέσου δευτέρου , τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρίτου . Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην , ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον , τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκάλεσαν . Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν , ὅταν γίνηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον , τὴν μεσότητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν . Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην , ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον , τὴν μεσότητα ἐνάτην , Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν , ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον , τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνόμασαν .
Lemmas: 46 ὑπό δέ ὁ νέος , ὡς εἶπον , ἄλλος τέσσαρες ὁ ἀριθμός εὑρίσκω πῇ μέν συμφέρω , χράομαι δέ καί ὅρος ἴδιος ὁ οὗτος εὑρίσκω · καλέω γάρ ὁ μέν ὁ πρῶτος ὁράω παρά ὁ δύο ὑπεροχή πρῶτος , ὁ δέ ὁ δύο παρά ὁ τρίτος ὑπεροχή δύο , ὁ δέ ὁ πρῶτος παρά ὁ τρίτος ὑπεροχή τρίτος , νοέω καί λέγω δηλονότι , καθά καί ἐν ἀρχή διαστέλλω , ὁ μέν μέγας ὁράω πρῶτος , ὁ δέ μέσος δύο , ὁ δέ μικρός τρίτος . καί ὅταν εἰμί ὡς ὁ τρίτος ὑπεροχή πρός ὁ πρῶτος , ὁ δύο ὅρος πρός ὁ τρίτος , ὁ μεσότης ἕβδομος καλέω . Μένων δέ ὁ αὐτός λόγος ὁ ὑπεροχή , ὅταν γίγνομαι οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρός ὁ δύο , ὁ μεσότης ὄγδοος ὀνομάζω . ὅταν δέ εἰμί ὡς ὁ τρίτος ὑπεροχή πρός ὁ πρῶτος , ὁ πρῶτος ὅρος πρός ὁ τρίτος , ὁ μεσότης νάω , ὅταν δέ εἰμί ὡς ὁ τρίτος ὑπεροχή πρός ὁ δύο , ὁ δύο ὅρος πρός ὁ τρίτος , ὁ μεσότης δέκατος ὀνομάζω .
pappus-mathematics.synagoge 2.47
47 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας , ὡς εἴπομεν . Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώτην λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει μεσότητας , ἐνδεικνυμένη , καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων , τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως · λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι τῶν μαθημάτων ἁπάντων , αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας θεία φύσις . δειχθήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας προθεωρηθέντος τοῦδε .
Lemmas: 47 οὗτος δή ὁ ὁράω ὑπόκειμαι ὁ γένεσις ὁ δέκα μεσότης ἐκτίθημι καί διά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία , ὡς εἶπον . ὁ τοίνυν γεωμετρικός μεσότης ἐκ ὁ ἰσότης ὁ πρῶτος λαμβάνω γένεσις αὐτός τε ἑαυτοῦ καί ὁ ἄλλος συνίστημι μεσότης , ἐνδείκνυμι , καθά φημί ὁ θεῖος Πλάτων , ὁ ὁ ἀναλογία φύσις αἴτιος ὁ ἁρμονία πᾶς καί ὁ εὔλογος καί τάσσω γένεσις · λέγω γάρ εἷς δεσμός εἰμί ὁ μάθημα ἅπας , αἰτία δέ γένεσις καί δεσμός πᾶς ὁ γίγνομαι ὁ ὁ ἀναλογία θεῖος φύσις . δείκνυμι δέ ὁ σύστασις ὁ δέκα μεσότης διά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία προθεωρέω ὅδε .