pappus-mathematics.synagoge 2.24
24 η΄ . Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ∠ ∠Α δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Λ∠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η , καὶ τῇ 8Γ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ , καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ , καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΛ ἢ τῇ ΓΖ ( τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς ) , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐτβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ · λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν Α∠ . Ἐπεὶ γάρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΓΚ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓρ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ , ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ . τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ , ὡς δὲ ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , οὕτως BΓ πρὸς ΓΚ . καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ , τῆς δέ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ · ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ , οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΚ οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ ΓΘ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΑ , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ . ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΘΚ ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΖΚ . ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΛ τῷ ἀπὸ ΖΚ . καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ ΜΛ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΑ , τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ , ἧν τὸ ἀπὸ ΑΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ ( ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ τῇ ΓΖ ) · ἴσον ἄρα καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΒΜΑ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ · ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ ΜΑ πρὸς Α∠ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ , ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς Α∠ .
Lemmas: 24 Η΄ . κατά δέ Νικομήδης δύο δίδωμι εὐθύς ὁ Γ∠ ∠Α δύο μέσος κατά ὁ συνεχής λαμβάνω τρόπος τοιόσδε . συμπληρόω ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , καί τέμνω δίχα ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ ὁ Λ Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Λ∠ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΓΒ ἐκβάλλω κατά ὁ ὁ , καί ὁ 8Γ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ ἴσος εἰμί ὁ ΑΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ , καί αὐτός παράλληλος ὁ ΓΘ , καί γωνία εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΓΘ ἀπό δίδωμι ὁ Ζ διάγω ὁ ΖΘΚ ποιέω ἴσος ὁ ΘΚ ὁ ΑΛ ἢ ὁ ΓΖ ( οὗτος γάρ ὡς δυνατός δείκνυμι διά ὁ κοχλοειδής γραμμή ) , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ∠ βάλλω καί συμπίπτω ὁ ΒΑ ἐκβάλλω κατά ὁ Μ · λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ∠Γ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός μή καί ὁ μή πρός ὁ Α∠ . ἐπεί γάρ ὁ ΒΓ τέμνω δίχα ὁ Ε καί πρόσκειμαι αὐτός ὁ ΓΚ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓρ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΚ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΕΖ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕΖ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΓΖ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΚΕΖ . τουτέστιν ὁ ἀπό ΚΖ . καί ἐπεί ὡς ὁ μή πρός ΑΒ , ὁ Μ∠ πρός ∠Κ , ὡς δέ ὁ Μ∠ πρός ∠Κ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , καί ὡς ἄρα ὁ μή πρός ΑΒ , οὕτως BΓ πρός ΓΚ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ ἥμισυς ὁ ΑΛ , ὁ δέ ΒΓ διπλόος ὁ ΓΗ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ μή πρός ὁ ΑΛ , οὕτως ὁ ΗΓ πρός ΓΚ . ἀλλά ὡς ὁ ΓΗ πρός ΓΚ οὕτως ὁ ΖΘ πρός ΘΚ διά ὁ παράλληλος ὁ ΗΖ ΓΘ καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ ΜΛ πρός ΛΑ , ὁ ΖΚ πρός ΚΘ . ἴσος δέ ὑπόκειμαι καί ὁ ΑΛ ὁ ΘΚ ἴσος ἄρα καί ὁ ΜΛ ὁ ΖΚ . ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ΜΛ ὁ ἀπό ΖΚ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ΜΛ ἴσος ὁ ὑπό ΒΜΑ μετά ὁ ἀπό ΛΑ , ὁ δέ ἀπό ΖΚ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΖ , ἧμαι ὁ ἀπό ΑΛ ἴσος ὁ ἀπό ΓΖ ( ἴσος γάρ ὑπόκειμαι ὁ ΑΛ ὁ ΓΖ ) · ἴσος ἄρα καί λοιπός ὁ ὑπό ΒΜΑ λοιπός ὁ ὑπό ΒΚΓ · ὡς ἄρα ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός μή . ἀλλά ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , ὁ ∠Γ πρός ΓΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ∠Γ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ΑΜ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , ὁ μή πρός Α∠ · καί ὡς ἄρα ὁ ∠Γ πρός ΓΚ , ὁ ΚΓ πρός ΑΜ καί ὁ μή πρός Α∠ .