ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
pappus-mathematics.synagoge 2.78
78 μβ΄ . Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ , καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθωσαν αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΒΑΕ ∠ΓΖ · ὅτι καὶ αἱ ΑΒ Γ∠ παράλληλοί εἰσι , τουτἐστιν ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν △ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν Γ∠ . Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ , περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἴση γὰρ ὑπύκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ .
Lemmas: 78 μβ΄ . εἰμί ἐν παράλληλος ἐπίπεδος παράλληλος εὐθύς ὁ ΑΕ ΓΖ , καί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος διάγω ὁ ΑΒ Γ∠ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ διά ὁ ΑΕ ΓΖ ἐκβάλλω ἐπίπεδος ἴσος γωνία ποιέω ὁ ὑπό ΒΑΕ ∠ΓΖ · ὅτι καί ὁ ΑΒ Γ∠ παράλληλος εἰμί , τουτέστιν ὅτι ἐκβάλλω ὁ διά ὁ Β Α Γ σημεῖον ἐπίπεδος ποιέω ἐν ὁ διά ὁ △ Γ Ζ ἐπίπεδος ὁ Γ∠ . εἰμί γάρ ἕτερος ποιέω ἐκεῖ , περιέχω μετά ὁ ΓΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΕ , ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος ἴσος γάρ ὑπόκειμαι ὁ ὑπό ΒΑΕ ὁ ὑπό ∠ΓΖ .
pappus-mathematics.synagoge 2.79
79 μγ΄ Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι , ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις κύκλοι ὦσιν , καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέντρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι , παράλληλος ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ∠Ζ . Ἴσαι γάρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ τε Α Γ καὶ αἱ Β ∠ γωνίαι , καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις .
Lemmas: 79 μγ΄ ἐκ οὗτος φανερός ὅτι , ἐάν ἐν παράλληλος ἐπίπεδος κύκλος εἰμί , καί ἐν αὐτός παράλληλος εὐθύς ὁ ΑΒ Γ∠ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Ε Ζ κέντρον ὅμοιος τμῆμα κύκλος ἀπολαμβάνω , παράλληλος εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ∠Ζ . Ἴσαι γάρ γίγνομαι διά ὁ ὁμοιότης ὁ τμῆμα ὁ τε Α Γ καί ὁ Β ∠ γωνία , καί παράλληλος ὁ ΑΒ Γ∠ ἐν παράλληλος ἐπίπεδος .
pappus-mathematics.synagoge 2.80
80 μδ΄ Ἄν δὲ αἱ τά ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπολαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ὦσιν , αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται . Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς .
Lemmas: 80 μδ΄ ἄν δέ ὁ ὁ ὅμοιος ὁ τμῆμα κύκλος ἀπολαμβάνω παράλληλος μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον εἰμί , ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ μή ὁμοίως κεῖμαι πέρας ὁ παράλληλος ἐπιζεύγνυμι παράλληλος εἰμί . δείκνυμι γάρ καί ὁμοίως ὡς ἐπί ὁ πρόκειμαι καταγραφή .
pappus-mathematics.synagoge 2.81
81 με΄ . Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠ , καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἵσαι καὶ παράλληλοι αἱ AB Γ∠ · ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ , Β ∠ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα . Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων · ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται . καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις : ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ Β∠ . καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα ( περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν , καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται , ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς ) καὶ αἱ ΑΓ Β∠ ἄρα ἴσαι τε καὶ περάλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους .
Lemmas: 81 ὅς . εἰμί ἐν σφαῖρα ἴσος καί παράλληλος κύκλος ὁ ΑΒ Γ∠ , καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον ἵζω καί παράλληλος ὁ AB Γ∠ · ὅτι ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πέρας αὐτός ὁ Α Γ , Β ∠ Ἴσαι τε εἰμί καί παράλληλος καί ὀρθός πρός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος . εἰμί δέ φανερός ἐκ ὁ προδείκνυμι · ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΕ ΓΖ παράλληλος εἰμί . καί εἰμί Ἴσαι ἀλλήλων : ὥστε καί ὁ ΑΓ ΕΖ Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί . ὁμοίως καί ὁ ΕΖ Β∠ . καί εἰμί ὁ ΕΖ ὀρθός πρός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ( περί γάρ ὁ αὐτός πόλος εἰμί , καί ὁ διά ὁ πόλος αὐτός ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος αὐτός καί διά ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σφαῖρα ἔρχομαι , ὡς εἰμί ἐν σφαιρικός ) καί ὁ ΑΓ Β∠ ἄρα Ἴσαι τε καί περάλληλοι καί ὀρθός εἰμί πρός ὁ κύκλος .
pappus-mathematics.synagoge 2.82
82 μϚ΄ . Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ A △ , Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας . Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ∠Ζ ΖΗ . ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ , καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ Α∠ ΒΓ , αἱ δ΄ ἄρα αἱ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · τοῦτο γάρ φανερόν ἐστιν · ὥστε καὶ ἡ Α△ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ∠Ζ ἐστὶν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ Η∠Ζ ἐναλλάξ . ἡ δέ ΑΗ βάσις τῇ Η∠ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ . κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗ∠ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΜ∠ , δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι , ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ ἴσαι ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ . καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ · κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ Α∠ ΒΓ , καὶ ἴσαι ἀλλήλαις .
Lemmas: 82 μϚ΄ . μή εἰμί δέ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον ὁ Ἴσαι καί παράλληλος ὁ ΑΒ Γ∠ ὅτι ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πέρας αὐτός ὁ A △ , Β Γ Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων τε καί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα . τέμνω γάρ ἀλλήλων κατά ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ κέντρον ὁ τε ΑΕ ΕΗ καί ὁ ∠Ζ ΖΗ . ἐπεί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός ὁ Α∠ ΒΓ , ὁ Δ΄ ἄρα ὁ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί · οὗτος γάρ φανερός εἰμί · ὥστε καί ὁ Α△ ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί . ἀλλά καί ὁ ΑΕ ὁ ∠Ζ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ἴσος μέν ὁ ὑπό ἐάω γωνία ὁ ὑπό Η∠Ζ ἐναλλάξ . ὁ δέ ΑΗ βάσις ὁ Η∠ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΑΗΕ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΗΖ . κοινός προστίθημι ὁ ὑπό ΕΗ∠ γίγνομαι ὁ ὑπό ΑΗΕ ΕΜ , δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , ὁ ὑπό ΕΗ∠ ∠ΗΖ Ἴσαι ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ . καί ἴσος δείκνυμι ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ · κέντρον ἄρα εἰμί ὁ ὁ ὁ σφαῖρα διά ὁ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ κύκλος διάμετρος ἄρα ὁ σφαῖρα ὁ Α∠ ΒΓ , καί Ἴσαι ἀλλήλων .
pappus-mathematics.synagoge 2.83
83 Ἄν δʼ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ Β∠ , ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ Γ∠ περιέξουσιν γωνίας . Τῇ γὰρ Γ∠ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ , ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ , καὶ πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον , ὥστε καὶ ἡ Γ∠ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ . ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί .
Lemmas: 83 ἄν δέ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ Β∠ , Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων τε καί ὀρθός μετά ὁ ΑΒ Γ∠ περιέχω γωνία . ὁ γάρ Γ∠ ἴσος καί παράλληλος ἐφαρμόζω ὁ τίθημι , εἰμί ὁ τίθημι ὀρθός πρός ἑκάτερος ὁ ΘΓ ΑΘ , καί πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ὥστε καί ὁ Γ∠ · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΓ∠ . ὁμοίως καί ὁ λοιπός .
pappus-mathematics.synagoge 2.84
84 μζ΄ . Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι , αἱ τὰ ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις · ἄν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι , καὶ αὐταὶ παράλληλοι ἔσονται καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραλλήλους . Ἔστιν δὲ φανερόν · ἐκβληθέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἰσιν αἱ παράλληλοι , καὶ αἱ ἐτιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι , αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον ἀλλὰ τετράγωνον ἤ ἑτερόμηκες περιέξουσιν .
Lemmas: 84 μζ΄ . ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα παράλληλος εὐθύς , ὁ ὁ ὁμοταγής πέρας αὐτός ἐπιζεύγνυμι Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων · ἄν δέ καί Ἴσαι εἰμί ὁ παράλληλος , καί αὐτός παράλληλος εἰμί καί ὀρθός πρός ὁ ὑπόκειμαι παράλληλος . ἔρτις δέ φανερός · ἐκβάλλω γάρ ὁ διά ὁ παράλληλος ἐπίπεδος γίγνομαι κύκλος ἐν ὅς εἰμί ὁ παράλληλος , καί ὁ ετιζευγνυειμι ὁ ἐκ ἀρχή παράλληλος ἀνέρχομαι τραπέζιον ποιέω εἄν δέ καί Ἴσαι εἰμί ὁ παράλληλος , ὁ ἐπιζεύγνυμι αὐτός οὐκέτι τραπέζιον ἀλλά τετράγωνος ἤ ἑτερομήκης περιέχω .
pappus-mathematics.synagoge 2.85
85 Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ∠ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κειμένης ἐπιπέδῳ , καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας · ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ∠Ε . Ἤχθω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ , καὶ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΗΒ · αἱ ΑΖ ΖΓ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ . καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνίας ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ , καὶ ΖΑ ΖΓ , καὶ ΗΑ ΗΓ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΒΑ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ὑπόκειται ἴση καὶ ὅλη ἄρα ὅλη · κάθετος ἄρα ἡ ΗΕ ἐπὶ τὴν ∠Ε . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον · καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε .
Lemmas: 85 εἰμί ἐν ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ ΑΒ ΒΓ εὐθύς ἴσος περιέχω γωνία μετά ὁ ∠ΒΕ ἐν ὁ αὐτός κεῖμαι ἐπίπεδος , καί ἐφίστημι ὁ ΒΖ μετά ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ ἴσος περιέχω γωνία · ὅτι ὀρθός εἰμί ὁ ∠Ε . ἄγω ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΖΗ , καί ἐπί ὁ ΑΒ ΒΓ ὁ ΗΓ ΗΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ ΖΓ ΗΒ · ὁ αζʹ ΖΓ ἄρα ὀρθός εἰμί ἐπί ὁ ΑΒ ΒΓ . καί διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΖ ΓΒΖ γωνία Ἴσαι εἰμί καί ὁ ΑΒ ΒΓ , καί Γῆ ΖΓ , καί ΗΑ ΗΓ , καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΗ ὁ ὑπό ΓΒΗ . ἀλλά καί ὁ ὑπό ∠ΒΑ ὁ ὑπό ΕΒΓ ὑπόκειμαι ἴσος καί ὅλος ἄρα ὅλος · κάθετος ἄρα ὁ ΗΕ ἐπί ὁ ∠Ε . εἰμί δέ καί ὁ ΖΗ ἐπί ὁ ἐπίπεδος · καί ὁ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπί ὁ ∠Ε .
pappus-mathematics.synagoge 2.88
88 μθ΄ . Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι . Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ , καὶ ἐκβεβλήσθω διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους · καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα ἴσα τε καὶ παράλληλά ἐστιν . καὶ ἔσται ἐπεζευγμένη ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαίρσς . ἐπεζεύχθω καὶ ἡ ΕΗ . ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΕΗ τοῦ ἀπὸ ΕΘ τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΓ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ γωνία , ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἡμιόλιον . δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΓΕ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ . καὶ ἐστιν διάμετρος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου · δοθεὶς ἄρα ὁ κύκλος , ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ∠ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου .
Lemmas: 88 μθ΄ . εἰς ὁ δίδωμι σφαῖρα κύβος ἐγγράφω . ἐγγράφω καί ἵστημι ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ σημεῖον ὁ γωνία αὐτός ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ ὁ Θ , καί ἐκβάλλω διά αὐτός ἐπίπεδος ποιέω δή τομή κύκλος ἴσος καί παράλληλος · καί γάρ ὁ ἐν αὐτός τετράγωνος ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . καί εἰμί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ διάμετρος ὁ σφαίρσς . ἐπιζεύγνυμι καί ὁ ΕΗ . ἐπεί διπλάσιος ὁ ἀπό ΕΗ ὁ ἀπό ΕΘ τουτέστιν ὁ ἀπό ΗΓ , καί ὀρθός ὁ ὑπό ΓΗΕ γωνία , εἰμί ὁ ἀπό ΓΕ ὁ ἀπό ΕΗ ἡμιόλιος . δίδωμι δέ ὁ ἀπό ΓΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ΕΗ . καί εἰμί διάμετρος ὁ ΕΖΗΘ κύκλος · δίδωμι ἄρα ὁ κύκλος , ὥστε καί ὁ ΑΒΓ∠ καί ὁ ἐν αὐτός τετράγωνος καί ὁ ὁ γωνία σημεῖον ὁ κύβος .
pappus-mathematics.synagoge 2.89
89 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά · δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος , καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠ , καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ , ὡς προεδείξαμεν . καὶ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ , καὶ ἔχειν τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον . δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά , καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευράς , καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας · καὶ γὰρ ἔτ’ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυνάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου .
Lemmas: 89 καί ὁ σύνθεσις φανερός · δεῖ γάρ κύκλος ἐν ὁ σφαῖρα γράφω δύο παράλληλος καί ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ἡμιολία ἵστημι δύναμις ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ἕτερος αὐτός τετράγωνος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ὁ ΒΓ ἄγω ἐν ὁ ἕτερος κύκλος παράλληλος ὁ ΖΗ ἴσος ὁ ΒΓ , ὡς προδείκνυμι . καί ἀπό αὐτός τετράγωνος συμπληρόω ὁ ΕΖΗΘ , καί ἔχω ὁ κύβος ἐγγράφω . δείκνυμι γάρ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις τετράγωνος ὁ ΓΖΗ καί ὁ λοιπός , καί συναποδείκνυμι ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλασίων ὁ ὁ κύβος πλευρά , καί ὅτι ὁ αὐτός κύκλος ὁ ὁ πυραμίς καί ὁ ὁ κύβος περιέχω γωνία · καί γάρ ἔτι ἐκεῖνος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἡμιολία εἰμί δύναμις ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἑκάτερος .
pappus-mathematics.synagoge 2.90
90 ν΄ . Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι . Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ , καὶ ἐκβληθέντα τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τούς ΑΒΓ θένταΕΖ . ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ∠Α ∠Β ∠Ε ∠Ζ , ἔσται τὰ Α Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ . καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ , καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ , καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ . ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ , ἡ δὲ ∠Ζ τῇ ΑΓ · παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύκλοι · καὶ ἴσοι ἀλλήλοις , ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα τρίγωνα ἴσα ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι εἰσίν , καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων , ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας . καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ . τὸ δʼ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ · ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος , καὶ ὁ κύκλος , ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπʼ αὐτῶν σημεῖα .
Lemmas: 90 ν΄ . εἰς ὁ δίδωμι σφαῖρα ὀκτάεδρος ἐγγράφω . ἐγγράφω καί ἵστημι σημεῖον ὁ γωνία αὐτός ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Α Β Γ ∠ Ε Ζ , καί ἐκβάλλω ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος ποιέω κύκλος ὁ ΑΒΓ θένταΕΖ . ἐπεί ἀπό ὁ ∠ Ἴσαι πρός ὁ ἐπιφάνεια προσπίπτω ὁ ∠Α ∠Β ∠Ε ∠Ζ , εἰμί ὁ Α Ζ Β ἐν εἷς ἐπίπεδος . καί εἰμί Ἴσαι ἀλλήλων ὁ ΑΒ ΒΖ ΖΕ , καί εἰμί ἐν κύκλος τετράγωνος ἄρα ὁ ΑΕΖΒ , καί παράλληλος ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ . ὁμοίως καί ὁ μέν ∠Ε ὁ ΒΓ , ὁ δέ ∠Ζ ὁ ΑΓ · παράλληλος ἄρα καί ὁ κύκλος · καί ἴσος ἀλλήλων , ἐπεί καί ὁ ἐν αὐτός ἰσόπλευρος τρίγωνος ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα ἴσος καί παράλληλος κύκλος εἰμί , καί ἐν αὐτός Ἴσαι εὐθύς καί παράλληλος ὁ ΑΒ ΕΖ καί εἰμί οὐ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον , εἰμί ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ διάμετρος ὁ σφαῖρα . καί εἰμί Ἴσαι ὁ ΑΕ ΕΖ διπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό αζʹ ὁ ἀπό ΖΕ . ὁ δέ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ∠ΕΖ κύκλος ἐπίτριτος ὁ ἀπό ὁ ΕΖ · ἡμιόλιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ αζʹ ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ∠ΕΖ κύκλος δίδωμι ἄρα ὁ διάμετρος , καί ὁ κύκλος , ὥστε καί ὁ ΑΒΓ καί ὁ ἐπί αὐτός σημεῖον .
pappus-mathematics.synagoge 2.91
91 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως · δεῖ γάρ ὁμοίως ἐγγρά ψαι τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλοις , ὧν ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος , καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ ΑΒ , καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον , καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀκτάεδρον . καὶ συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνάμει τῆς πλευράς τοῦ ὀκταέδρου . συνεύραται δʼ ὅτι εἴς γε τὴν τῆς πυραμίδος ἐγγραφὴν καὶ εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ τοῦ ὀκταέδρου οἱ αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι , καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου .
Lemmas: 91 καί ὁ σύνθεσις ἀκόλουθος · δεῖ γάρ ὁμοίως ἐγγρά ψα ὁ σφαῖρα δύο κύκλος ἴσος καί παράλληλος , ὅς ἑκάτερος ὁ διάμετρος ἡμιολία δύναμις ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ἕτερος αὐτός ἰσόπλευρος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , καί ἐν ὁ ἕτερος κύκλος παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΑΒ , καί ἀπό αὐτός ἐγγράφω ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος , καί ἔχω συνίστημι ὁ ὀκτάεδρος . καί συναποδείκνυμι ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα διπλάσιος δύναμις ὁ πλευρά ὁ ὀκτάεδρον . συνευρίσκω δέ ὅτι εἰς γε ὁ ὁ πυραμίς ἐγγραφή καί εἰς ὁ ὁ κύβος καί ὁ ὀκτάεδρον ὁ αὐτός παραλαμβάνω κύκλος , καί ὅτι ὁ αὐτός κύκλος περιλαμβάνω ὁ τετράγωνος ὁ κύβος καί ὁ τρίγωνος ὁ ὀκτάεδρον .
pappus-mathematics.synagoge 2.93
93 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά · δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο εὐθείας , πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου , καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους , ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθεισῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας , ὡς τοὺς ∠ΕΖ ΑΒΓ , καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ , καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας , καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυέδρου γωνίας . καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής . συνορᾶται δʼ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευράς τοῦ εἰς τὸν ∠ΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου δοθεῖσα ἄρα ἐν ἑκατέρῳ κύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά , ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν · δοθέντες ἄρα καὶ οἱ κύκλοι καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν , ὅπερ : ~
Lemmas: 93 καί ὁ σύνθεσις φανερός · δήω γάρ ἐκτίθημι δύο εὐθύς , πρός ὅς λόγος ἔχω ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ὅς ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν πρός ὁ ὁ ἑξάγωνος καί πρός ὁ ὁ δεκάγωνος , καί ἐν ὁ σφαῖρα γράφω δύο κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον τρίτος μέρος δύναμις ὁ ἐκτίθημι εὐθύς ἑκάτερος ἑκάτερος , ὡς ὁ ∠ΕΖ ΑΒΓ , καί ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἴσος αὐτός γράφω παράλληλος ὁ ΚΗΘ ΛΜΝ , καί ἐναρμόζω ἐν ἕκαστος ἰσόπλευρος τρίγωνος πλευρά παράλληλος ὁ ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρός ὁ κέντρον κεῖμαι , καί ἐγγράφω ὁ τρίγωνος ὅλος ὁ ποιέω ὁ ὁ πολύεδρος γωνία . καί ὁ ἀπόδειξις ἐκ ὁ ἀνάλυσις εὐχερής . συνοράω δέ ὅτι καί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα τριπλάσιος εἰμί δύναμις ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ ∠ΕΖ κύκλος ἐγγράφω ὁ μέν γάρ ΚΖ πρός ὁ ΖΕ ὁ ὁ πεντάγωνος πρός ὁ ὁ δεκάγωνος δίδωμι ἄρα ἐν ἑκάτερος κύκλος ὁ τρίγωνος πλευρά , ὥστε καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον τρίτος μέρος εἰμί δύναμις ὁ πλευρά · δίδωμι ἄρα καί ὁ κύκλος καί ὁ ἴσος αὐτός καί παράλληλος καί ὁ ἐν αὐτός σημεῖον ὁ ὁ πολύεδρος γωνία , ὅσπερ : ~
pappus-mathematics.synagoge 2.95
95 Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι , πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου , ἃς καὶ ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα , καὶ γράψαι δύο παραλλήλους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους , ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓ∠Ε , ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας . καὶ τούτοις ἴσους ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ καὶ ἐναρμόσαι τὰς Ε∠ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παραλλήλους , καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα , διʼ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι . καὶ φανερὸν ἐκ τῆς κατασκευῆς , ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκαέδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰκοσαέδρου γωνίας , καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγμωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τύ πεντάγωνον τοῦ δω δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐγγραφομένων . Ἄλλως τὸ δέκατον θεώρημα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς καὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον καὶ τὴν ὀργανικὴν κατακσκευὴν τοῦ τε διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου καὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον .
Lemmas: 95 Δεύς οὖν ἐν ὁ σύνθεσις δύο ἐκτίθημι , πρός ὅς λόγος ἔχω ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ὅς ὁ ὁ πεντάγωνος πρός τε ὁ ὁ ἑξάγωνος καί πρός ὁ ὁ δεκάγωνος , ὅς καί ἐπί ὁ εἰκοσάεδρος ἐκτίθημι , καί γράφω δύο παράλληλος κύκλος ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κέντρον κεῖμαι , ὡς ὁ ΖΗΘΚΛ ΑΒΓ∠Ε , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον τρίτος μέρος εἰμί δύναμις ὁ ἔκκειμαι εὐθύς ἑκάτερος ἑκάτερος . καί οὗτος ἴσος ἄλλος δύο κύκλος καί παράλληλος ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὡς ὁ ΜΝ ΡΤ καί ἐναρμόζω ὁ Ε∠ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πεντάγωνος πλευρά παράλληλος , καί ἀπό αὐτός ἀναγράφω ὁ πεντάγωνος , διά ὅς ὁ ὁ πολύεδρος συνίστημι γωνία . καί φανερός ἐκ ὁ κατασκευή , ὅτι ὁ περιέχω κύκλος ὁ ὁ δωδεκάεδρον γωνία ὁ αὐτός εἰμί ὁ περιέχω ὁ ὁ εἰκοσάεδρος γωνία , καί ὅτι ὁ αὐτός κύκλος περιλαμβάνω ὁ τρίγμωνον ὁ εἰκοσάεδρος καί ὅς πεντάγωνος ὁ δήω δεκαέδρου ὁ εἰς ὁ αὐτός σφαῖρα ἐγγράφω . ἄλλος ὁ δέκατος θεώρημα ἐν ὁ τρίτος ὁ ὁ Πάππος συναγωγή καί ὁ ἀπόδειξις περιέχω καί ὁ ὀργανικός κατακσκευὴν ὁ τε διπλασιασμός ὁ κύβος καί ὁ δύο μέσος ἀνάλογος .
pappus-mathematics.synagoge 2.96
96 Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ , διάμετροι δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ Α∠Γ Β∠Ε , καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ · λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κέβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ κύβον . Ἐπεξεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ · παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν Β∠Ε , ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ , τουτ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ∠Μ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ∠Μ . κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ἔσται ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ , τουτέστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ .
Lemmas: 96 ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ , διάμετρος δέ αὐτός πρός ὀρθός ἀλλήλων εἰμί ὁ Α∠Γ Β∠Ε , καί διάγω ὁ ΕΜΝ ΒΗΖ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΘΖ ὁ ΖΗ · λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε∠ κέβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ κύβος . ἐπεξεύχομαι γάρ ὁ Η∠ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΘ καί ὁ ΛΕ · παράλληλος ἄρα ὁ ΘΛ ὁ Α∠Γ καί ὁ ΒΗ ὁ ΛΕ . ἐπεί οὖν ὁ ΛΚ ἐν ἡμικύκλιον ὁ ΕΛΒ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ Β∠Ε , ὁ ΚΛ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΚ ΚΒ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ΚΒ , οὗτος ὡς ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό σής ∠Μ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ∠Μ . κοινός ἄρα προσλαμβάνω λόγος ὁ ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ζ εἰμί ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , τουτέστιν ὡς ὁ Ε∠ πρός ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 2.97
97 Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον . Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρθωμένον , ἐν ᾧ καταγραφέντος κύκλου κέντρῳ καὶ διαστήματι ἐλάττονι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου , ὡς τοῦ ΑΒΓ , πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἤχθωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ Β∠Ε Α∠Γ , καὶ κατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσθω εἰς αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές , καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσθω κανὼν διατρηθεὶς καὶ αὐτός , ὡς ὁ ΒΘΖΗ , ὥστε εὐλύτως περὶ τὸ Β κέντρον περιάγεσθαι , περόνης ἐμβληθείσης εἰς τὸ ἀξόνιον τῆς κατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα . τούτων δὲ οὕτως γενομένων κύβος κύβου πολλαπλάσιος καθʼ ὁποιονοῦν ἀριθμὸν ῥᾳδίως κατασκευασθήσεται . προκείσθω δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι · λαβόντες γὰρ τὴν ∠Ε διπλασίονα τῆς ∠Μ ἐπιζεύξεμεν τὴν ΕΜΝ , καὶ τὸν κανόνα τὸν ΒΘΖΗ κινήσομεν περὶ τὸ Β κέντρον , ἕως ἂν ἡ μεταξὺ τῶν Θ Η διχοτομηθῇ ὑπὸ τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ . τοιαύτην γὰρ θέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισθήσεται ἡ ∠Ζ , ἀφʼ ἧς ὁ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούθως τῇ ἀποδείξει .
Lemmas: 97 ὀργανικός δέ κατασκευάζω ὁ τρόπος οὗτος . ἔστω τύμπανον πρός κανών ἀπορθόω , ἐν ὅς καταγράφω κύκλος κέντρον καί διάστημα μικρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ τύμπανον , ὡς ὁ ΑΒΓ , πρός ὀρθός ἀλλήλων ἄγω διά ὁ κέντρον ὁ Β∠Ε Α∠Γ , καί κατά ὁ Β σημεῖον τρημάτιον γίγνομαι ἐμβάλλω εἰς αὐτός ἀξόνιον κυκλοτερής , καί περί ὁ ἀξόνιον περιβάλλω κανών διατρέω καί αὐτός , ὡς ὁ ΒΗΖ , ὥστε εὔλυτος περί ὁ Β κέντρον περιάγω , περόνη ἐμβάλλω εἰς ὁ ἀξόνιον ὁ κατέχω ἐν ὁ περιαγωγή ὁ κανών . οὗτος δέ οὕτως γίγνομαι κύβος κύβος πολλαπλάσιος κατά ὁποῖος ἀριθμός ῥᾳδίως κατασκευάζω . πρόκειμαι δή διπλασίων κατασκευάζω · λαμβάνω γάρ ὁ ∠Ε διπλασίων ὁ ∠Μ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΜΝ , καί ὁ κανών ὁ ΒΗΖ κινέω περί ὁ Β κέντρον , ἠώς εἄν ὁ μεταξύ ὁ Θ ὁ διχοτομέω ὑπό ὁ Α∠ κατά ὁ Ζ σημεῖον , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΘΖ ὁ ΖΗ . τοιοῦτος γάρ θέσις ὁ κανών λαμβάνω ἀφορίζω ὁ ∠Ζ , ἀπό ὅς ὁ ζητέω κύβος ἀναγράφω ἀκόλουθος ὁ ἀποδείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 2.98
98 Ὑπομνηματικώτερον δὲ συνταχθείη ἂν τὸ αὐτὸ πρόβλημα οὕτως . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΕ περὶ κέντρον τὸ ∠ , πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ Α∠Γ Β∠Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἡ ΒΖΗ · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων ἐστὶ τῆς ΒΗ , καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων · μείζων ἄρα ἡ Β∠ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ . ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς Β∠ · πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ , καὶ πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ΖΗ . Ἐπει ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ , ἴση τῇ ΖΗ κείσθω ἡ ΘΖ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὶ τῆς ∠Ζ .
Lemmas: 98 Ὑπομνηματικός δέ συντάσσω εἄν ὁ αὐτός πρόβλημα οὕτως . ἔστω κύκλος ὁ αβ περί κέντρον ὁ ∠ , πρός ὀρθός δέ ἀλλήλων διάγω ὁ Α∠Γ Β∠Ε , καί ἀπό ὁ Β πρός ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος ἐντός προσπίπτω ὁ ΒΖΗ · μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΗ . ἐπεί γάρ ὁ ΒΕ διά ὁ κέντρον εἰμί μείζων εἰμί ὁ ΒΗ , καί ὁ ἥμισυς ἄρα ὁ ἥμισυς μείζων · μείζων ἄρα ὁ Β∠ ὁ ἥμισυς ὁ ΒΗ . ὁ δέ ΒΖ μείζων εἰμί ὁ Β∠ · πολύς ἄρα ὁ ΒΖ μείζων εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ ΒΗ , καί πολύς ἄρα καί ὁ ΖΗ . ἐπεί ὁ ΒΖ μείζων εἰμί ὁ ΖΗ , ἴσος ὁ ΖΗ κεῖμαι ὁ ΘΖ λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε∠ κύβος πρός ὁ ἀπύ ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 2.99
99 Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ · παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ . Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῆ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν , ἡ δὲ Λ∠ τῇ ∠Η διὰ τὸ ἑκατέραν αὐεῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι , ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ Λ∠ πρὸς τὴν ∠Η , ἐὰν τριγώνοδ ἀνέλογον μηθῶσιν αἱ πλευραί , ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριυγώνου πλευράν · παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Ζ∠ . καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ Β∠Η δυσὶ ταῖς Λ∠Ε ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Β∠Η τῇ ὑπὸ Λ∠Ε ἐστὶν ἴση , καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση , καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ . καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ .
Lemmas: 99 ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ Η∠ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ , καί ἐτεζεύχθω ὁ ΛΘ καί ὁ ΛΕ · παράλληλος ἄρα ὁ ΘΛ ὁ Α∠Γ καί ὁ ΒΗ ὁ ΛΕ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΘΖ τῆ ΖΗ διά ὁ ὑπόθεσις , ὁ δέ Λ∠ ὁ ∠Η διά ὁ ἑκάτερος αὐεῶν ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ Λ∠ πρός ὁ ∠Η , ἐάν τριγώνοδ ἀναλογέω μήθω ὁ πλευρά , ὁ ἐπί ὁ τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς παρά ὁ λοιπός εἰμί ὁ τριυγώνου πλευρά · παράλληλος ἄρα ὁ ΘΛ ὁ Ζ∠ . καί ἐπεί δύο ὁ Β∠Η δύο ὁ Λ∠Ε Ἴσαι εἰμί , καί γωνία ὁ ὑπό Β∠Η ὁ ὑπό Λ∠Ε εἰμί ἴσος , καί βάσις ὁ ΒΗ βάσις ὁ ΛΕ εἰμί ἴσος , καί ὁ τρίγωνος ὁ τρίγωνος , καί ὁ λοιπός γωνία Ἴσαι εἰμί κατεράω ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ Ἴσαι πλευρά ὑποτείνω , ἴσος ἄρα ὁ μέν ὑπό αἱρέω ὁ ὑπό ΒΗΛ , ὁ δέ ὑπό ΗΒΕ ὁ ὑπό Βέλ . καί εἰμί ἐναλλάξ παράλληλος ἄρα ὁ ΒΗ ὁ ΛΕ .
pappus-mathematics.synagoge 2.101
101 Ὅτι δὲ ἴση ἐστιν ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ δῆλον . ἐπεὶ γὰρ παρέλληλός ἐστιε ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ , ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞ∠ τρίγωνον τῷ Ζ∠Η . καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞ∠ Ζ∠Η τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ Ξ∠Λ ∠ΛΞ ταῖς ὑπὸ Ζ∠Η ∠ΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν Λ∠ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ∠Η ἴσην , καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας . ἴση ἄρα ἡ ∠Ξ τῇ ∠Ζ .
Lemmas: 101 ὅτι2 δέ ἴσος εἰμί ὁ Ξ∠ ὁ ∠Ζ δῆλος . ἐπεί γάρ παρέλληλός στίζω ὁ ΛΞ ὁ ΖΗ , ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΛΞ∠ τρίγωνος ὁ Ζ∠Η . καί ἐπεί δύο τρίγωνος εἰμί ὁ ΛΞ∠ Ζ∠Η ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό Ξ∠Λ ∠ΛΞ ὁ ὑπό Ζ∠Η ∠ΗΖ δύο ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά ὁ Λ∠ εἷς πλευρά ὁ ∠Η ἴσος , καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός Ἴσαι εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος ὁ ὑποτείνω ὁ ἴσος γωνία . ἴσος ἄρα ὁ ∠Ξ ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 2.102
102 Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , ἔσται ὡς ἡ B∠ πρὸς τὴν ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς B∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ , τουτέστιν ὡς Ε∠ πρὸς Μ∠ , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ .
Lemmas: 102 κοινός ἄρα προσλαμβάνω λόγος ὁ ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ζ , εἰμί ὡς ὁ B∠ πρός ὁ ∠Μ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ B∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , τουτέστιν ὡς Ε∠ πρός Μ∠ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε∠ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ .
pappus-mathematics.synagoge 2.103
103 Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν Ε∠ ∠Μ δοθεισῶν ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς Ε∠ ∠Ζ ∠Μ ἴσαι αἱ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ . καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ , δῆλον ὡς ἡ ∠Μ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ . Εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ . ἐπεὶ οὖν ἡ ∠Μ τρίτη ἀναλογόν ἐστι τῶν Ε∠ ∠Ζ , ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ , ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ∠Μ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ · ἑκατέρα ἄρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴση ἄρα ἐστιν ἡ Ε∠ τῇ ∠Ζ , ὅπερ ἀδύνατον ( μείζων γὰρ ἡ Ε∠ τῆς ΔΖ ) · οὐκ ἄρα ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν Ε∠ ∠Ζ . Εἰλήφθω τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ . ἐπεὶ οὖν τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ΟΠ , ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ . ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ , οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ . ἀλλʼ ἦν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Z , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ · καὶ ὡς ἄρα ἔ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ , οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ∠Μ · αἱ Ε∠ ∠Ζ ΟΠ ∠Μ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί · τῶν Ε∠ ∠Μ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ∠Ζ ΟΠ .
Lemmas: 103 καί οὗτος ἀκόλουθος δύο ὁ Ε∠ ∠Μ δίδωμι λαμβάνω ὁ δύο μέσος ἀνάλογος ἐν ὁ συνεχής ἀναλογία . ἔκκειμαι γάρ ὁ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ Ἴσαι ὁ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ . καί ἐπεί δείκνυμι ὡς ὁ ἀπό ὁ Ε∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ∠Μ , δῆλος ὡς ὁ ∠Μ οὐ εἰμί τρίτος ἀνάλογος ὁ Ε∠ ∠Ζ . εἰμί γάρ δυνατός , ἵστημι ὁ ∠Μ τρίτος ἀνάλογος ὁ Ε∠ ∠Ζ . ἐπεί οὖν ὁ ∠Μ τρίτος ἀνάλογος εἰμί ὁ Ε∠ ∠Ζ , εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ∠Μ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ε∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ∠Μ , ἀλλά εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Ε∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ∠Μ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Μ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ∠Μ · ἑκάτερος ἄρα ὁ Ε∠ ∠Ζ πρός ὁ ∠Μ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ε∠ ὁ ∠Ζ , ὅσπερ ἀδύνατος ( μείζων γάρ ὁ Ε∠ ὁ ΔΖ ) · οὐ ἄρα ὁ ∠Μ τρίτος ἀνάλογος εἰμί ὁ Ε∠ ∠Ζ . λαμβάνω ὁ Ε∠ ∠Ζ τρίτος ἀνάλογος ὁ ΟΠ . ἐπεί οὖν ὁ Ε∠ ∠Ζ τρίτος ἀνάλογος εἰμί ΟΠ , εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΟΠ . καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ∠Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ὁ ΟΠ . ἀλλά εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Ε∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ∠Μ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ΟΠ , οὕτως ὁ Ζ∠ πρός ὁ ∠Μ · καί ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ΟΠ πρός ὁ δΜ . ἀλλά εἰμί ὡς ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Z , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΟΠ · καί ὡς ἄρα ἔ ∠Ζ πρός ὁ ΟΠ , οὕτως ὁ ΟΠ πρός ὁ ∠Μ · ὁ Ε∠ ∠Ζ ΟΠ ∠Μ ἄρα τέσσαρες εἰμί ἐν ὁ συνεχής καί ἐφεξῆς ἀναλογία εἰμί · ὁ Ε∠ ∠Μ ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ∠Ζ ΟΠ .
pappus-mathematics.synagoge 2.104
104 Τῆς δὲ ἀποδείξεως ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἀκολούθως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἡ μὲν ὀργανικὴ κατασκευή , δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου , εὑρίσκει τὰς δύο μέσας ἀνάλογον , ἐφʼ ὧν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας , ἡ δὲ ἀπόδειξις , ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ ἀλλήλαις ἀνίσους , εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας , οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχίστην . τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλαβοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνάλογον οὕτως θεωρουμένας ὡς ἐπὶ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς . τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό , διʼ ὧν δὲ τοῦτο εὑρίσκεται τῶν πρώτων , οὐ τὸ αὐτό . ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς , λόγου δοθέντος δύο εὐθειῶν ἀνίσων , τὸ συμπέρασμα δείκνυται , ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως , μὴ δοθέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν , διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητούμενον , πῶς ἐν λόγῳ δοθέντι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι . δεῖ γάρ , λόγου δοθέντος τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τετάρτην , ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσθαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας .
Lemmas: 104 ὁ δέ ἀπόδειξις ἐπί ὁ πρόκειμαι καταγραφή ἀκόλουθος ὁ οργανικός κατασκευή γίγνομαι δῆλος ὡς ὁ μέν ὀργανικός κατασκευή , δύο δίδωμι εὐθύς ἄνισος καί λόγος πρός ἀλλήλων ὁ εὐθύς δίδωμι , εὑρίσκω ὁ δύο μέσος ἀνάλογος , ἐπί ὅς ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο , ὁ δέ ἀπόδειξις , ὑφίστημι τις εὐθύς καί ἄλλος δύο λαμβάνω διά ὁ ὁ γραμμή καταγραφή μικρός μέν ὁ πρῶτος ἐφεξῆς δέ αὐτός κεῖμαι καί ἀλλήλων ἄνισος , εὑρίσκω ὡς ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο , οὕτως ὁ δύο πρός ὁ μικρός . οὗτος δέ ὁ τε πρῶτος καί ὁ δύο προσλαμβάνω τρίτος ἀνάλογος ἀποδείκνυμι ὁ δύο μέσος ἀνάλογος οὕτως θεωρέω ὡς ἐπί ὁ ὀργανικός κατασκευή . οὗτος γάρ ὁ μέν συμπέρασμα ὁ αὐτός , διά ὅς δέ οὗτος εὑρίσκω ὁ πρῶτος , οὖον ὁ αὐτός . ἐπί μέν γάρ ὁ ὀργανικός κατασκευή , λόγος δίδωμι δύο εὐθύς ἄνισος , ὁ συμπέρασμα δείκνυμι , ἐπί δέ ὁ ἀπόδειξις , μή δίδωμι ὁ λόγος ὁ εὐθύς , διό ἔτι οὗτος μένω ζητέω , πῶς ἐν λόγος δίδωμι ὁ τέσσαρες εὐθύς . δεῖ γάρ , λόγος δίδωμι ὁ ὅς ἔχω ὁ πρῶτος εὐθύς πρός ὁ τέταρτος , ἐν ὁ αὐτός λόγος γίγνομαι καί ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο .
pappus-mathematics.synagoge 3.1
1 α΄ . Ἐὰν ἦ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἀναγραφῇ τυχόντα παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ , καὶ αἱ ∠Ε ΖΗ ἐκβληθῶσιν ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΘΒ , γίνεται τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἵσα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ∠ΘΒ . Ἐκθεβλήσθω γὰρ ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Κ , καὶ διὰ τῶν Α Γ τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΛ ΓΜ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ . ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΛΘΒ , αἱ ΑΛ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι . ὁμοίως καὶ αἱ ΜΓ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι , ὥστε καὶ αἱ ΛΑ ΜΓ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι . καὶ αἱ ΛΜ ΑΓ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΛΜΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ , τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ ὑπὸ ∠ΘΒ · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΘΒ τῇ ὑπὸ ΛΑΒ . καὶ ἐπεὶ τὸ ∠ΑΒΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΛΑΒΘ ἴσον ἐστίν ( ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΑΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΒ ∠Θ ) , ἀλλὰ τὸ ΛΑΒΘ τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἐστίν ( ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΛΑ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΛΑ ΘΚ ) , καὶ τὸ Α∠ΕΒ ἄρα τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἔστίν . διὰ τὰ αὺτὰ καὶ τὸ ΒΗΖΓ τῷ ΝΚΓΜ ἴσον ἐστίν · τὰ ἄρα ∠ΑΒΕ ΒΗΖΓ παραλληλόγραμμα τῷ ΛΑΓΜ ἴσα ἐστίν , τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΘΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ , ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ ΒΘ∠ . καὶ ἔστι τοῦτο καθολικώτερον πολλῷ τοῦ ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐν τοῖς στοιχείοις δεδειγμένου .
Lemmas: 1 Α΄ . ἐάν εἰμί τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , καί ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ ἀναγραφή τυγχάνω παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ∠Ε ΓΖΗ , καί ὁ ∠Ε ΖΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ , γίγνομαι ὁ ΑΒ∠Ε ΓΖΗ παραλληλόγραμμος ἵζω ὁ ὑπό ὁ ΑΓ ΘΒ περιέχω παραλληλόγραμμος ἐν γωνία ὅς εἰμί ἴσος συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΑΓ ∠ΘΒ . Ἐκθεβλήσθω γάρ ὁ ΘΒ ἐπί ὁ Κ , καί διά ὁ Α Γ ὁ ΘΚ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΛ ΓΜ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΜ . ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ ΑΛ ΘΒ Ἴσαι τε εἰμί καί παράλληλος . ὁμοίως καί ὁ ΜΓ ΘΒ Ἴσαι τε εἰμί καί παράλληλος , ὥστε καί ὁ ΛΑ ΜΓ Ἴσαι τε εἰμί καί παράλληλος . καί ὁ ΛΜ ΑΓ ἄρα Ἴσαι τε καί παράλληλος εἰμί · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΛΑΓ , τουτέστιν συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΒΑΓ καί ὑπό ∠ΘΒ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό ∠ΘΒ ὁ ὑπό Λαβ . καί ἐπεί ὁ ∠ΑΒΕ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ( ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΑΒ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΒ ∠Θ ) , ἀλλά ὁ ΑΒ ὁ ΚΛ ἴσος εἰμί ( ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΛΑ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΛΑ ΘΚ ) , καί ὁ Α∠ΕΒ ἄρα ὁ ΚΛ ἴσος εἰμί . διά ὁ αὐτός καί ὁ ΓΖΗ ὁ ΝΚΓΜ ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ∠ΑΒΕ ΓΖΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΛΜ ἴσος εἰμί , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΓ ΘΒ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΛΑΓ , ὅς εἰμί ἴσος συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΑΓ ΒΘ∠ . καί εἰμί οὗτος καθολικός πολύς ὁ ἐν ὁ ὀρθογώνιος ἐπί ὁ τετράγωνος ἐν ὁ στοιχεῖον δείκνυμι .
pappus-mathematics.synagoge 3.2
2 β΄ . Ἡμικύκλιον ἐπὶ τῆς ΑΒ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον , καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση καὶ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ , καὶ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠ , καὶ δίχα ἡ Β∠ περιφέρεια τῷ Ε σημείῳ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ · ὅτι ἡ ΓΕ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . Ἑἰλήφθω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ζθωσαν ΖΕ . ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Ζ∠Γ , ἐν ἡμι κυκλίῳ ἐστὶν τῷ ἐπὶ τῆς ΖΓ , οὗ κέντρον ἐστὶν τὸ Β . καὶ τῆς Β∠ ἐπιζευχθείσης ἰσόπλευρον γίνεται τὸ ΒΖ∠ τρίγωνον , ὥστε διμοίρου μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ γωνία , τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΕΖΒ . ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡ ΗΕ · ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ τριγώνῳ , καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΖΓ πρὸς τὴν Γ∠ , ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ . ἐπίτριτον δὲ τὸ ἀπὸ ΖΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ · ἐπίτριτον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ · λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ὃν ιϚ΄ πρὸς ιβ΄ , τοῦ δὲ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ ὃν ξδ΄ πρὸς ιϚ΄ . καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὃν ξδ΄ πρὸς ιβ΄ . ἔστω δʼ ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ · καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ · λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΖΘ , ὃν η΄ πρὸς ε΄ , καὶ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΓ ὃν ε΄ πρὸς γ΄ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγος ἐστὶν ὃν ξδ΄ πρὸς κε΄ . ἐδείχθη δὲ τοῦ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ὃν ξδ΄ πρὸς ιβ΄ · καὶ τοῦ ἀπὸ ΘΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὡς κε΄ πρὸς ιβ΄ αἱ ΘΖ ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΒ · ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΘΗ . ῥητὴ δὲ ἡ ΖΓ καὶ ἡ διπλῆ αὐτῆς · ἡ ἄρα δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . καὶ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ ἡ ΓΕ · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ .
Lemmas: 2 Β΄ . ἡμικύκλιον ἐπί ὁ ΑΒ ῥητός ἔχω ὁ διάμετρος , καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος καί ὁ ΑΒ ἐπί εὐθύς ὁ ΒΓ , καί ἐφάπτω ὁ Γ∠ , καί δίχα ὁ Β∠ περιφέρεια ὁ Ε σημεῖον καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ · ὅτι ὁ ΓΕ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μικρός . λαμβάνω ὁ Ζ κέντρον ὁ ἡμικύκλιον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Ζθωσαν ΖΕ . ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό Ζ∠Γ , ἐν ἡμι κύκλιος εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΖΓ , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Β . καί ὁ Β∠ ἐπιζεύγνυμι ἰσόπλευρος γίγνομαι ὁ ΒΖ∠ τρίγωνος , ὥστε δίμοιρος μέν εἰμί ὁ ὑπό ∠ΖΒ γωνία , τρίτος δέ ὁ ὑπό ΕΖΒ . ἄγω κάθετος ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΑΒ διάμετρος ὁ ΗΕ · ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΓΖ∠ τρίγωνος ὁ ΕΖΗ τρίγωνος , καί εἰμί ὡς ὁ ΖΓ πρός ὁ Γ∠ , ὁ ΕΖ πρός ΖΗ . ἐπίτριτος δέ ὁ ἀπό ΖΓ ὁ ἀπό Γ∠ · ἐπίτριτος ἄρα καί ὁ ἀπό ΕΖ ὁ ἀπό ΖΗ · λόγος ἄρα ὁ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὅς ΙΣΤ΄ πρός ἰβʹ , ὁ δέ ἀπό ΖΓ πρός ὁ ἀπό ΕΖ ὅς ξδ΄ πρός ΙΣΤ΄ . καί ὁ ἀπό ΖΓ ἄρα πρός ὁ ἀπό ΖΗ λόγος εἰμί ὅς ξδ΄ πρός ἰβʹ . ἵστημι δέ ὁ ΖΒ τετραπλάσιος ὁ ΒΘ · καί εἰμί ὁ ΒΖ διπλάσιος ὁ ΖΓ · λόγος ἄρα ὁ ΖΓ πρός ὁ ΖΘ , ὅς Η΄ πρός Ε΄ , καί ὁ ΖΘ πρός ΘΓ ὅς Ε΄ πρός Γ΄ καί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ λόγος εἰμί ὅς ξδ΄ πρός ἑ . δείκνυμι δέ ὁ ἀπό ΓΖ πρός ὁ ἀπό ΖΗ λόγος ὅς ξδ΄ πρός ἰβʹ · καί ὁ ἀπό ΘΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ΖΗ λόγος εἰμί ὡς ἑ πρός ἰβʹ ὁ ΘΖ ΖΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΘΖ ὁ ΖΗ μείζων δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί ὅλος ὁ ΖΘ σύμμετρος εἰμί ῥητός ὁ ΑΒ · ἀποτομή ἄρα τέταρτος εἰμί ὁ τίθημι . ῥητός δέ ὁ ΖΓ καί ὁ διπλόος αὐτός · ὁ ἄρα δύναμαι ὁ δίς ὑπό ΖΓ ΗΘ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μικρός . καί δύναμαι ὁ δίς ὑπό ΓΖ ΗΘ ὁ ΓΕ · μικρός ἄρα εἰμί ὁ ΓΕ .
pappus-mathematics.synagoge 3.3
3 Ὅτι δὲ ἡ ΓΕ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ , οὕτως ἔσταιε δῆλον ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ . ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΘ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘ ΘΗ , ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ ἴσα τῷ ἀπὸ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΘ ΘΗ , ἴσα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΖ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΓ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ , τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ · λοιπὰ ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΓ ΖΘ ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΕΖ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ . ὧν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΘΓ ( τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΘ ἐστὶν κε΄ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΓ θʼ , καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ ιϚ΄ ) · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ .
Lemmas: 3 ὅτι2 δέ ὁ ΓΕ δύναμαι ὁ δίς ὑπό ΓΖ ΗΘ , οὕτως σταίω δῆλος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ . ἐπεί ὁ ἀπό ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ ΘΓ καί ὁ δίς ὑπό ΓΘ τίθημι , εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ΕΘ ΘΖ ἴσος ὁ ἀπό ΕΖ καί ὁ δίς ὑπό ΖΘ τίθημι , ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ΓΕ ΕΘ ΘΖ ὁ ἀπό ΕΘ ΘΓ ΕΖ καί ὁ δίς ὑπό ΓΘΗ μετά ὁ δίς ὑπό ΖΗΘ , τουτέστιν ὁ δίς ὑπό ΓΖ ΗΘ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΕΘ · λοιπάς ἄρα ὁ ἀπό ΕΓ ΖΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΖ ΘΓ καί ὁ δίς ὑπό ΓΖ ΗΘ . ὅς ὁ ἀπό ΖΘ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ΘΓ ( ὁ μέν γάρ ἀπό ὁ ΖΘ εἰμί ἑ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΓ ὁ , καί ὁ ἀπό ΕΖ ΙΣΤ΄ ) · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ΖΓ ΗΘ .
pappus-mathematics.synagoge 3.5
καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ὑπὸ ∠ΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΒΗΘ ΒΗ∠ τρίγωνα , τὸ δὲ ὑπὸ ∠ΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΚΗΛ ΚΗ∠ τρίγωνα , ἔστιν ἅρα ὡς τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ . καὶ ἐναλλάξ . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΖΗ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ · διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς Θ∠ πρὸς ΛΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ . καὶ ἐδείχθη ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΗΛ τῷ ἀπὸ ΗΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Η ΛΘ τῷ ἀπὸ ΚΖ . καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΛΘ ἀποτομὴ πέμπτη , ἡ δὲ ΔΗ ῥητή · ἡ ἄρα ΚΖ ἡ μετά ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ∠Κ ἐκ δύο ὀνομάτων · λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Ζ ὑπεροχή ἐστιν ἡ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετά ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης .
Lemmas: καί ἐπεί ὁ μέν ὑπό ∠ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΗ διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΒΗΘ ΒΗ∠ τρίγωνος , ὁ δέ ὑπό ∠ΗΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΚΗ διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ Κῆλ ΚΗ∠ τρίγωνος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ὑπό ∠ΗΘ πρός ὁ ἀπό ΒΗ , οὕτως ὁ ὑπό ∠ΗΛ πρός ὁ ἀπό ΚΗ . καί ἐναλλάξ . ὡς δέ ὁ ὑπό ∠ΗΘ πρός ὁ ὑπό ∠ΗΛ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΛ · καί ὡς ἄρα ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΛ , οὕτως ὁ ἀπό ΒΗ , τουτέστιν ὁ ἀπό ΖΗ , πρός ὁ ἀπό ΗΚ · διαιρέω ἄρα εἰμί ὡς Θ∠ πρός ΛΗ , οὕτως ὁ ἀπό ΚΖ πρός ὁ ἀπό ΗΚ . καί δείκνυμι ἴσος ὁ ὑπό ὁ ∠ΗΛ ὁ ἀπό ΗΚ ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ∠Η ΛΘ ὁ ἀπό ΚΖ . καί εἰμί ὁ μέν ΛΘ ἀποτομή πέμπτος , ὁ δέ δΗ ῥητός · ὁ ἄρα ΚΖ ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . δείκνυμι δέ καί ὁ ∠Κ ἐκ δύο ὄνομα · λοιπός ἄρα ὁ ∠Ζ ὑπεροχή εἰμί ὁ ὑπερέχω ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω .
pappus-mathematics.synagoge 3.6
6 δ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ε , διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ , καὶ ἐφαπτομένη ἡ Α∠ συμπίπτουσα τῇ ΒΓ κατὰ τὸ ∠ , καὶ διήχθω ἡ ∠Ζ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚΗ ΗΛΘ · ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΕΛ . Γεγονέτω καὶ ἤχθω τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ΘΞΜ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΘ κάθετος ἡ ΕΝ · ἴση ἔρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ . ἦν δὲ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ τῇ ΜΖ · οὕτως ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝΞ . τῇ ὑπὸ τῶν ΝΖΜ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΞ · οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα οὕτως ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΝΘ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΞΘ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΑΕΛ · οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ε ∠ σημεῖα . ἔστιν δέ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑ∠ ΕΝ∠ .
Lemmas: 6 Δ΄ ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὅς κέντρον ἵστημι ὁ Ε , διάμετρος δέ ὁ ΒΓ , καί ἐφάπτω ὁ Α∠ συμπίπτω ὁ ΒΓ κατά ὁ ∠ , καί διάγω ὁ ∠Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ ἐκβάλλω ἐπί ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΚΗ ΗΛΘ · ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΕΛ . γίγνομαι καί ἄγω ὁ ΚΛ παράλληλος ὁ ΘΞΜ · ἴσος ἄρα καί ὁ μξ ὁ ΞΘ . ἄγω ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΖΘ κάθετος ὁ ΕΝ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΝ ὁ ΝΘ . εἰμί δέ καί ὁ μξ ὁ ΞΘ παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΝΞ ὁ ΜΖ · οὕτως ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΘΝΞ . ὁ ὑπό ὁ ΝΖΜ , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΘΑ · οὕτως ἄρα ἐν κύκλος εἰμί ὁ Α Ν Ξ Θ σημεῖον οὕτως ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΘ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΘΑ , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΑΕΛ · οὕτως ἄρα ἐν κύκλος εἰμί ὁ Α Ν Ε ∠ σημεῖον . εἰμί δέ ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΕΑ∠ ΕΝ∠ .
pappus-mathematics.synagoge 3.7
7 Συντεθήσεται δὴ οὕτως . ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑ∠ ΕΝ∠ , ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α ∠ E Ν σημεῖα · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΝ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕ∠ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΞΘ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς Ε∠ ΞΘ ἐν κύκλῳ ἄρα τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΑΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΝΞ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΞ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΜ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΝΞ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ · ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ . καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗE , οὕτως ἡ μὲν ΞΜ πρὸς ΕΚ , ἡ δέ ΘΞ πρὸς ΛΕ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΜ πρὸς ΕΚ , οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ΛΕ . καὶ ἐναλλάξ . καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΕ .
Lemmas: 7 συντίθημι δή οὕτως . ἐπεί ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΕΑ∠ ΕΝ∠ , ἐν κύκλος εἰμί ὁ Α ∠ E Ν σημεῖον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΝ ὁ ὑπό ΑΕ∠ . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΕ∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΑ διά ὁ παράλληλος ὁ Ε∠ ΞΘ ἐν κύκλος ἄρα ὁ Α Ν Ξ Θ σημεῖον ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΘΑ γωνία ὁ ὑπό ΘΝΞ . ἀλλά ὁ ὑπό ΘΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΖΜ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΖΜ ὁ ΝΞ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΖΝ ὁ ΝΘ · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ μξ ὁ ΞΘ . καί εἰμί ὡς ὁ ΞΗ πρός Η , οὕτως ὁ μέν ΞΜ πρός ΕΚ , ὁ δέ ΘΞ πρός ΛΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ΞΜ πρός ΕΚ , οὕτως ὁ ΘΞ πρός ΛΕ . καί ἐναλλάξ . καί ἴσος εἰμί ὁ μξ ὁ ΞΘ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΚΕ ὁ ΛΕ .
pappus-mathematics.synagoge 3.8
8 ε΄ . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α.∠ ∠Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ διήχθω ἡ ΕΖ , ἔστω δέ ἡ ΕΗ ἴση τῇ ΗΖ · ὅτι καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση . Ἤχθω τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΜ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῖ κύκλου τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ ΛΖ ΛΓ ΛΜ ΛΕ ΛΗ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ , ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ τῇ ΓΖ . καὶ ἔστιν ἡ ΜΓʼ πρὸς βρθὰς τῇ ΓΛ · ἴση ἔρα ἐστὶν ἡ τῇ ΛΜ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ΜΓ , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΜΓ . ἐστιν δὲ καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΛΓ ἴση , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΜΓΛ ἐστὶν ἴση · ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΜ , τουτἐστιν τῇ ΛΖ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση ἡ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΖ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ .
Lemmas: 8 Ε΄ . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ἐφάπτω ὁ Α.∠ ∠Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , καί διάγω ὁ ΕΖ , ἵστημι δέ ὁ ΕΗ ἴσος ὁ ΗΖ · ὅτι καί ὁ τίθημι ὁ ΗΚ εἰμί ἴσος . ἄγω ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΕΜ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον τοῖ κύκλος ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΑ ΛΖ ΛΓ ΛΜ ΛΕ ΛΗ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΜΓ ὁ ΓΖ . καί εἰμί ὁ ΜΓʼ πρός βρθὰς ὁ ΓΛ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὁ ΛΜ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ΜΓ , ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΜΓ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΛ ὁ ΛΓ ἴσος , καί ὀρθός ὁ ὑπό ὁ ΑΕΛ ὀρθός ὁ ὑπό ὁ ΜΓΛ εἰμί ἴσος · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΛ ὁ ΛΜ , τουτέστιν ὁ ΛΖ . ἀλλά καί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος ὁ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΕΖ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ τίθημι ὁ ΗΚ .
pappus-mathematics.synagoge 3.9
9 Ϛ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α∠ ∠Γ , καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ διήχθω ἡ ΕΖ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ · ὅτι καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση . Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΛ ΛΑ ΛΗ ΛΖ ΜΓ . ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ΕΗΛ , ἐν κύκλῳ ἐστίν τὰ E A H Λ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ γωνίᾳ . πάλιν ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΛΗΖ ΜΓΖ , ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Μ Η Ζ Γ σημεῖα · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΓΛ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ , τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖΛ · ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ . καὶ ἔστιν κάθετος ἡ ΛΗ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ .
Lemmas: 9 ΣΤ΄ ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καί ἐφάπτω ὁ Α∠ ∠Γ , καί ἐτεζεύχθω ὁ ΑΓ καί διάγω ὁ ΕΖ , καί ἵστημι ἴσος ὁ ΗΘ ὁ ΗΚ · ὅτι καί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Α , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΛ ΛΑ ΛΗ ΛΖ ΜΓ . ἐπεί ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΕΛ ΕΗΛ , ἐν κύκλος εἰμί ὁ E A H Λ σημεῖον ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΗΑΛ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΗΕΛ γωνία . πάλιν ἐπεί ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΖΗ ΜΓΖ , ἐν κύκλος εἰμί ὁ Μ ὁ Ζ Γ σημεῖον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΗΛ γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΗΑΛ , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΗΕΛ , ὁ ὑπό ὁ ΗΖΛ · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ . καί εἰμί κάθετος ὁ ΛΗ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ .
pappus-mathematics.synagoge 3.10
10 Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων , καὶ ὁ περιλαμβάνων αὐτοὺς κύκλος δοθεὶς ἔσται τῷ μεγέθει . προγράφεται δὲ τάδε .
Lemmas: 10 ἐάν εἰμί τρεῖς κύκλος ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι καί ἐφάπτω ἀλλήλων , καί ὁ περιλαμβάνω αὐτός κύκλος δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος . προγράφω δέ ὅδε .
pappus-mathematics.synagoge 3.11
11 ζ΄ . Γετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν · δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ θειῶν · β σημεῖα . Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἥχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ , ἐπὶ δέ τὴν AΓ ἡ ΒΕ . ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν , καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ , καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒE , δοθεῖσα ἄρα ἔσται β καὶ ἑκάστη τῶν ΑE EΓ · ΑΓ ΒΕ ( καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ BΓ γίνεται δοθέν καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ , ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα ) . πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν , καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ , δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ ( καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχή τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ἀ παρά τὴν Γ∠ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς Γ∠ πρὸς Η∠ ὑπεροχήν , ὡς ἔστι λῆμμα · ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι .. καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ , οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν EΖ . καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος · δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ . ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα . ἤχθω δὴ κάθετος ἐτὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ · ΒΘ · ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΒ δοθεῖσά ἐστι . καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Β∠ .
Lemmas: 11 Ζ΄ . Γετράπλευρον ὁ ΑΒΓ∠ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία καί δίδωμι ἕκαστος ὁ ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθύς · δείκνυμι δίδωμι ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ θεῖος · Β σημεῖον . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ καί κάθετος ἄγω ἐπί μέν ὁ ΓΔ ὁ ΑΗ , ἐπί δέ ὁ AΓ ὁ ΒΕ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΒΓ δίδωμι εἰμί , καί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί κάθετος εἰμί ὁ ΒE , δίδωμι ἄρα εἰμί Β καί ἕκαστος ὁ ΑE EΓ · ΑΓ ΒΕ ( καί γάρ ὁ ὑπό ΑΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό BΓ γίγνομαι δίδωμι καί δίδωμι εἰμί ὁ ΑΓ , ὥστε ἕκαστος ὁ ΑΕ ΕΓ ΒΕ εἰμί δίδωμι ) . πάλιν ἐπεί δίδωμι εἰμί ἕκαστος ὁ ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθύς , καί κάθετος εἰμί ὁ ΑΗ , δίδωμι εἰμί καί ἕκαστος ὁ ∠Η ΗΓ ΑΗ ( καί γάρ ὁ ὑπεροχή ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ∠Ἀ παρά ὁ Γ∠ παραβάλλω ποιέω δίδωμι ὁ ὁ Γ∠ πρός Η∠ ὑπεροχή , ὡς εἰμί λῆμμα · ὥστε καί ἕκαστος ὁ ∠Η ΗΓ ΑΗ δίδωμι .. καί ἐπεί ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΗΓ τρίγωνος ὁ ΓΕΖ τρίγωνος εἰμί ὡς ὁ ΗΓ πρός ΓΕ , οὕτως ὅς τε ΑΓ πρός ΓΖ καί ὁ ΑΗ πρός ὁ EΖ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὁ ΗΓ πρός ΓΕ λόγος · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ἑκάτερος ὁ ΓΖ ΖΕ . ἀλλά καί ἑκάτερος ὁ ΕΒ ΒΓ · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΖΒ ΒΓ ΓΖ δίδωμι . ἄγω δή κάθετος τίμι ὁ ΓΖ ὁ ΒΘ · δίδωμι ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΖΘ ΘΓ · ΒΘ · ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ∠Θ ΘΒ δίδωμι εἰμί . καί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΒΘ∠ δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Β∠ .