pappus-mathematics.synagoge 4.36
36 Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕεαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν . ἐξαριθκηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἅς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχαντα τὸ πολύεδρον , ὁ ἀριθμὸς οὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν . ἀλλʼ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἕκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν , δῆλον ὅτι τοῖ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου . τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις δ΄ καὶ ἑξαγώνοις δ΄ , γωνίας μὲν ἔχει στερεάς ιβ΄ , πλευρὰς δὲ ιη΄ τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἳ τε γωνίαι ιβ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ΄ , τῶν δέ δʼ ἑξαγόνων αἳ τε γωνίαι κδ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδ΄ γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ , ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ΄ , τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ , τουτέστιν τοῦ λϚ΄ , ὥστε εἶναι πλευράς ιη΄ . τῶν δέ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τριγόνοις η΄ καὶ τετραγώνοις Ϛ΄ , ὥστε ἔχειν στερεάς μέν γωνίας β΄ ( ἑκάστη γάρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γαωνιῶν περιέχεται ) , πλευρὰς δέ κδ΄ τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , ἔξει στερεάς μὲν γωνίας κδ΄ ( ἑκάστη γάρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων ) , πλευρὰς δέ λϚ΄ . τὸ δὲ τρίτον τῶv τετρακαιδεκαέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ή καὶ ῤκταγώνοις Ϛ΄ , ἕξxι στερεὰς μὲν χωνίας κδ΄ , πλευρὰς δὲ λϚ΄ . τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μέν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις τε ή καὶ τετραγώνοις ιή , ἔξει στερεὰς μέν γωνίας κδ΄ , πλευράς δὲ μή . τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγόνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις ή καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄ , ἔξει στερεάς μέν γωνίας μή . πλευρὰς δὲ οβ΄ . τῶν δέ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μέν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄ , ἕξει στερεάς μὲν γωνίας λ΄ , πλευρὰς δὲ ξ΄ . τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων , ἐπεὶ περιέχεται πενταγμὸνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις κ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄ , πλευρὰς δὲ ç΄ . τὸ δέ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων , ἐπεί περιέχεαι τριγύνοις τε κʼ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄ , πλευρὰς δὲ ç΄ . τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον , ἐπεί περιέχεται τριγμώνοις τε λβ΄ καὶ τετραγώνοις ἕξ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄ , πλευρὰς δέ ξ΄ . τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄ , ἕξει στερεάς μὲν γωνίας ξ΄ , πλευρὰς δὲ ρκ΄ . τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ΄ καὶ ἑξαγύνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ΄ , πλευρὰς δὲ ρπ΄ . τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον , ἐπεὶ περιέχεται τριγμώνοις τε π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄ , πλευρὲς δὲ ρν΄ . 37 Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγ΄ σχήματα ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περὶεχόμενα διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν , τὰ δὲ καλούμενα έ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει , καὶ διὰ τοῦτʼ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ μᾶλλόν ἐστιν . ὅτι δὲ πλείω τῶν ε΄ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγόνοις περιλαμβανύμενα , καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται . συγκρίνμωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ . 38 Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α , ἒν δέ τι τῶν προειρημένων ε΄ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς Α σφαίρας λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ σφαῖρα . Νοείσθω γὰρ εἰς τύ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαίρα , ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι · μείζμων ἄρα ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας · περιέχει γὰρ αὐτήν . ἀλλʼ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφανείᾳ , ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας · καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σχαίρας μείεζων ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας . ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας , ὥψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς A σφαίρας , μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης ὐθύγραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας . ἀλλʼ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ ( τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπʼ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ’ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημμάτων ἐστὶ φανερόν ) , ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ · μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου .
Lemmas: 36 ὁ δέ πλευρά ὁ πλῆθος ὅς ἕννυμι ἔχω ὁ πολύεδρος ὅδε ὁ τρόπος εὑρίσκω . εξαριθκηθεισος γάρ πᾶς ὁ πλευρά ὅς ἔχω ὁ ἐπίπεδος ὁ περιέχω ὁ πολύεδρος , ὁ ἀριθμός οὐτάω δῆλος ὡς ἴσος εἰμί ὁ πλῆθος ὁ ἐπίπεδος γωνία . ἀλλά ἐπεί δύο ἐπίπεδος ἕκαστος ὁ πλευρά αὐτός κοινός εἰμί , δῆλος ὅτι τοῖ πλῆθος ὁ ἥμισυς ὁ πλευρά εἰμί ὁ πολύεδρος . ὁ μέν οὖν πρῶτος ὁ ἀνομοιογενής ἰ πολύεδρος ἐπεί περιέχω τριγονέω Δ΄ καί ἑξάγωνος Δ΄ , γωνία μέν ἔχω στερεός ἰβʹ , πλευρά δέ ιη΄ ὁ μέν γάρ τέσσαρες τρίγωνος ὅς τε γωνία ἰβʹ εἰμί καί ὁ πλευρά ἰβʹ , ὁ δέ δέ εξαγοναω ὅς τε γωνία κδ΄ εἰμί καί ὁ πλευρά κδ΄ γίγνομαι δή ὁ ἀριθμός πᾶς λϚ΄ ἀναγκαῖον εἰμί ὁ μέν ὁ στερεός γωνία ἀριθμός τρίτος μέρος εἰμί ὁ προερέω ἀριθμός , ἐπεί καί ἕκαστος ὁ στερεός αὐτός γωνία ἐπίπεδος γωνία περιέχω Γ΄ , ὁ δέ ὁ πλευρά πλῆθος ὁ ἥμισυς ὁ ἀριθμός , τουτέστιν ὁ λϚ΄ , ὥστε εἰμί πλευρά ιη΄ . ὁ δέ τετρακαιδεκάεδρον ὁ πρῶτος περιέχω τριγονέω Η΄ καί τετράγωνος ΣΤ΄ , ὥστε ἔχω στερεός μέν γωνία Β΄ ( ἕκαστος γάρ αὐτός γωνία ὑπό τέσσαρες ἐπίπεδος γαωνιῶν περιέχω ) , πλευρά δέ κδ΄ ὁ δέ δύο ὁ τετρακαιδεκάεδρον , ἐπεί περιέχω τετράγωνος ΣΤ΄ καί ἑξάγωνος Η΄ , ἔξειμι στερεός μέν γωνία κδ΄ ( ἕκαστος γάρ ὁ γωνία αὐτός περιέχω ὑπό Γ΄ γωνία ἐπίπεδος ) , πλευρά δέ λϚ΄ . ὁ δέ τρίτος ὅς τετρακαιδεκάεδρον ἐπεί περιέχω τρίγωνος ή καί ῤκταγώνοις ΣΤ΄ , ἕξις στερεός μέν Χώνιας κδ΄ , πλευρά δέ λϚ΄ . ὁ δέ ἑκκαιεικοσάεδρον ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τριγονέω τε ή καί τετράγωνος εἷς , ἔξειμι στερεός μέν γωνία κδ΄ , πλευρά δέ μή . ὁ δέ δύο ὁ ἑκκαιεικοσάεδρον , ἐπεί περιέχω τετραγονοος ἰβʹ καί ἑξάγωνος ή καί ὀκτάγωνος ΣΤ΄ , ἔξειμι στερεός μέν γωνία μή . πλευρά δέ οβ΄ . ὁ δέ δύοκαιτριακονταεδρος ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε Κ΄ καί πεντάγωνος ἰβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία Λ΄ , πλευρά δέ Ξ΄ . ὁ δέ δύο ὁ δύοκαιτριακονταεδρος , ἐπεί περιέχω πενταγμονοος ἰβʹ καί ἑξάγωνος Κ΄ , ἔχω στερεός μέν γωνία Ξ΄ , πλευρά δέ ç΄ . ὁ δέ τρίτος ὁ δύοκαιτριακονταεδρος , ἐπεί περιέχω τριγυνοος τε καί καί δεκάγωνος ἰβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία Ξ΄ , πλευρά δέ ç΄ . ὁ δέ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον , ἐπεί περιέχω τριγμώνοις τε λβ΄ καί τετράγωνος ἕξ , ἔχω στερεός μέν γωνία κδ΄ , πλευρά δέ Ξ΄ . ὁ δέ δύοκαιεξηκονταεδρος ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε Κ΄ καί τετράγωνος Λ΄ καί πεντάγωνος ἰβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία Ξ΄ , πλευρά δέ ρκ΄ . ὁ δέ λοιπός ὁ δύοκαιεξηκονταεδρος , ἐπεί περιέχω τετράγωνος Λ΄ καί εξαγυνοος Κ΄ καί δεκάγωνος ἰβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία ρκ΄ , πλευρά δέ ρπ΄ . ὁ δέ δυοκαιενενηκοντάεδρος , ἐπεί περιέχω τριγμώνοις τε Π΄ καί πεντάγωνος ἰβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία Ξ΄ , πλευρό δέ ρν΄ . 37 οὗτος μέν οὖν ὁ ἰ σχῆμα ὑπό ἄνισος καί ἀνόμοιος πολύγωνος περιεχόμενο διά ὁ ἄτακτος παραιτέομαι ὁ νῦν , ὁ δέ καλέω ἔ σχῆμα ὁ σφαῖρα συγκρίνω ἄξιος ὑπό γάρ ἴσος καί ὅμοιος ἐπίπεδος περιέχω μόνος οὗτος ὁ στερεός γωνία ἴσος ἔχω , καί διά οὗτος εὔτακτος παρά ὁ λοιπάς μάλα εἰμί . ὅτι δέ πλείων ὁ Ε΄ οὗτος ἀδύνατος εἰμί εὑρίσκω ἄλλος σχῆμα ἴσος καί ὅμοιος ἰσόπλευρος πολύγονον περιλαμβάνω , καί ὑπό ὁ Εὐκλείδης καί ὑπό τίνω ἄλλος ἀποδείκνυμι . συγκρίνω οὖν αὐτός οὗτος πρότερος ὁ πολύεδρος ὁ σφαῖρα . 38 ἔστω γάρ σφαῖρα μέν ἐν ὅς ὁ Α , ἐν δέ τίς ὁ προερέω Ε΄ σχῆμα ἴσος ἔχω ὁ σύμπας ἐπιφάνεια ὁ ὁ Α σφαῖρα λέγω ὅτι μείζων εἰμί ὁ σφαῖρα . νοέω γάρ εἰς ὅς πολύεδρος ἐγγράφω σφαίρα , ὥστε ὁ περιέχω ἐπίπεδος ἅπτω · μειζμαω ἄρα εἰμί ὁ ὁ πολύεδρος ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σφαῖρα · περιέχω γάρ αὐτός . ἀλλά ὁ ὁ πολύεδρος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ Α σφαῖρα ἐπιφάνεια , ὥστε καί ὁ ὁ Α σφαῖρα ἐπιφάνεια μείζων εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω ὁ πολύεδρος σφαῖρα · καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἄρα ὁ Α σχαιηρα μείζων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐγγράφω σφαῖρα . ἴσος δέ ὁ ὁ Α σφαῖρα ἐπιφάνεια ὁ ὁ πολύεδρος ἐπιφάνεια · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ Α σφαῖρα , ὁράω δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ A σφαῖρα , μείζων εἰμί ὁ πυραμίς ὁ βάσις ἔχω εὐθύγραμμος ὁ ἴσος ὁ ὁ πολύεδρος ἐπιφάνεια καί ὕψος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐγγράφω αὐτός σφαῖρα . ἀλλά ὁ μέν κῶνος ἴσος εἰμί ὁ Α σφαῖρα ( οὗτος γάρ ἐκ ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης δείκνυμι ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος καί ὁ ἄλλος ὑπό ἐγώ ὑποτάσσω λῆμμα εἰμί φανερός ) , ὁ δέ πυραμίς ἴσος ὁ πολύεδρος · μείζων ἄρα καί ὁ Α σφαῖρα ὁ ὑπόκειμαι πολύεδρος .