pappus-mathematics.synagoge 2.100
100 Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Γ , αἱ ὑπὸ ΛΚ∠ Κ∠Γ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Κ∠Γ · καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚ∠ ἄρα ὀρθή ἐτιν · πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΒΕ . καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΛΚ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΛΚ τῶν ΕΚ ΚΒ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ . καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ τῇ ΛΕ , ἡ δὲ ΘΛ τῇ ΖΞ , ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ , τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ Β∠Ζ , καὶ ἔτι τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ Μ∠Ε , τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε · ἰσογώνιον ἄρα ἕκαστον ἔκάστῳ . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ · ὡς ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ . ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ . πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ , τὸ δὲ ΘΚΕ τῷ Μ∠Ε , καὶ τὸ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε τριγόνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογονία αὐτὰ ποιεῖν , ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ , οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ , οὕτως ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ , ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ξ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Ε πρὸς Ε∠ , οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς ∠Ξ . ὁμοίως καί , ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Ε∠ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ∠Μ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ∠Ξ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν Μ∠ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ , οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς ∠Μ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ , οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς τὴν ∠Μ . ἴση δὲ ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ , οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ .
Lemmas: 100 καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΚΛ ὁ ∠Γ , ὁ ὑπό ΛΚ∠ Κ∠Γ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . ὅς ὀρθός ὁ ὑπό Κ∠Γ · καί ὁ ὑπό ΛΚ∠ ἄρα ὀρθός ὅς · πρός ὀρθός ἄρα ὁ ΚΛ ὁ ΒΕ . καί ἐπεί ἐν ἡμικύκλιον ὁ ΕΛΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΛΚ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΛΚ ὁ ΕΚ ΚΒ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ΚΒ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ μέν ΒΖ ὁ ΛΕ , ὁ δέ ΘΛ ὁ ΖΞ , ὁμοῖος εἰμί ὁ μέν ΛΚΕ τρίγωνος ὁ ΒΚΘ , ὁ δέ ΒΚΘ ὁ Β∠Ζ , καί ἔτι ὁ μέν ΘΚΕ ὁμοῖος εἰμί ὁ Μ∠Ε , ὁ δέ ΛΚΕ ὁ Ξ∠Ε · ἰσογώνιος ἄρα ἕκαστος ἕκαστος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΘ . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ · ὡς ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ . πάλιν ἐπεί ὁμοῖος εἰμί ὁ μέν ΛΚΕ τρίγωνος ὁ ΒΚΘ , ὁ δέ ΘΚΕ ὁ Μ∠Ε , καί ὁ ΛΚΕ ὁ Ξ∠Ε τριγονέω διά ὁ ὁ παράλληλος ἰσογονία αὐτός ποιέω , εἰμί ὡς μέν ὁ ΕΚ πρός ΚΛ , οὕτως ὁ ΒΚ πρός ΚΘ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ , οὕτως ὁ ΛΚ πρός ὁ ΚΘ , ὡς δέ ὁ ΕΚ πρός ΚΛ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Ξ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Ε πρός Ε∠ , οὕτως ὁ ΚΑ πρός ∠Ξ . ὁμοίως καί , ἐπεί ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΘ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ∠Μ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΚΕ πρός Ε∠ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ὁ ∠Μ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΚΛ πρός ὁ ∠Ξ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ Μ∠ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΛΚ πρός ὁ ΚΘ , οὕτως ὁ Ξ∠ πρός ∠Μ . ἀλλά ὡς ὁ ΛΚ πρός ΚΘ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ΚΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ , οὕτως ὁ Ξ∠ πρός ὁ ∠Μ . ἴσος δέ ὁ Ξ∠ ὁ ∠Ζ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ , οὕτως ὁ Ζ∠ πρός ὁ ∠Μ . ἀλλά ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ Β∠ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ Ζ∠ πρός ὁ ∠Μ .