ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
nicomachus-mathematics.problemata-arithmetica 1
α . ΤΟΤ ΚΥΝΟΣ . Δοθέντων ἀπὸ μονάδος ὁποσωνοῦν ἀριθμῶν ἐφεξῆς εὑρεῖν , ὅσος ἐστὶν ὁ σύμπας . Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς α ἐφεξῆς οἱ β , γ , δ , ε , ζ , η , θ , ι · ἢ δὴ ἄρτιόν ἐστι τὸ πλῆθος αὐτῶν ἢ περιττόν · ἔστω πρῶτον περιττόν · φανερὸν δή , ὅτι οἱ μὲν α ι διπλάσιοί εἰσι τοῦ ε , οἱ δὲ β θ τοῦ ε καὶ ἐφεξῆς ὅσον ἄρα ἐστὶ τὸ πλῆθος πάντων , τοσαυταπλασίων ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθεὶς τοῦ ε · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ι πρὸς τὴν μονάδα , ὁ σύμπας πρὸς τὸν ε · ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ ι καὶ ε ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς μονάδος καὶ συμπάντων , τουτέστι τῷ σύμπαντι ἀριθμῷ . εἰλήφθω δὴ ὁ ἐφεξῆς τῷ ι , ὁ κ · φανερὸν δὴ ὅτι ὁ κ διπλάσιός ἐστι τοῦ ε , ἴσος γάρ ἐστι τοῖς ι α · ἐπεὶ οὖν ὁ ι τὸν ε πολλαπλασιάσας ποιεῖ τὸν σύμπαντα , ἐὰν ἄρα τὸν κ πολλαπλασιάσας ποιήσῃ τινά , ὁ γενόμενος ἔσται τοῦ σύμπαντος διπλασίων . ὅταν ἄρα ἀπὸ μονάδος πλήθους ἀριθμῶν ἐφεξῆς τεθέντος ἐρωτηθῶμεν , πόσος ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθείς , ἐὰν ὦσι περιττοὶ τὸ πλῆθος , πολλαπλασιάσομεν τὸν μέγιστον ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς αὐτοῦ μείζονα καὶ τούτου γενομένου τὸ ἥμισυ λαβόντες ἕξομεν τὸν σύμπαντα · ὁμοίως δὴ ποιήσομεν , καὶ ἐὰν ἄρτιον τὸ πλῆθος · ἡ γὰρ αὐτὴ ἀπόδειξις · α β γ δ ε ζ η θ ι — κ α| β| γ| δ| ε| ϛ| ζ| η| θ| — ι| .
Lemmas: α . τοτέ Κῦνος . δίδωμι ἀπό μόνος ὁπόσως ἀριθμός ἐφεξῆς εὑρίσκω , ὅσος εἰμί ὁ σύμπας . εἰμί ἀπό μόνος ὁ α ἐφεξῆς ὁ β , γ , δ , ε , ζ , η̅ , θ , Ι · ἢ δή ἄρτιος εἰμί ὁ πλῆθος αὐτός ἢ περισσός · εἰμί πρῶτος περισσός · φανερός δή , ὅτι ὁ μέν α Ι διπλάσιος εἰμί ὁ ε , ὁ δέ β θ ὁ ε καί ἐφεξῆς ὅσον ἄρα εἰμί ὁ πλῆθος πᾶς , τοσαυταπλάσιος εἰμί ὁ σύμπας συντίθημι ὁ ε · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ι πρός ὁ μόνος , ὁ σύμπας πρός ὁ ε · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Ι καί ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μόνος καί σύμπας , τουτέστι ὁ σύμπας ἀριθμός . λαμβάνω δή ὁ ἐφεξῆς ὁ Ι , ὁ κ · φανερός δή ὅτι ὁ κ διπλάσιος εἰμί ὁ ε , ἴσος γάρ εἰμί ὁ Ι α · ἐπεί οὖν ὁ Ι ὁ ε πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ σύμπας , ἐάν ἄρα ὁ κ πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι εἰμί ὁ σύμπας διπλάσιος . ὅταν ἄρα ἀπό μόνος πλῆθος ἀριθμός ἐφεξῆς τίθημι ἐρωτάω , πόσος εἰμί ὁ σύμπας συντίθημι , ἐάν εἰμί περισσός ὁ πλῆθος , πολλαπλασιάζω ὁ μέγας ἐπί ὁ ἐφεξῆς αὐτός μέγας καί οὗτος γίγνομαι ὁ μισός λαμβάνω ἔχω ὁ σύμπας · ὅμοιος δή ποιέω , καί ἐάν ἄρτιος ὁ πλῆθος · ὁ γάρ αὐτός ἀπόδειξις · α β γ δ ε ζ η̅ θ Ι — κ αʹ β| γ| δ| ἀείδω ϛ| ζ| ἡηʹ θ| — ἰ .
nicomachus-mathematics.problemata-arithmetica 2
β . Πῶς ἂν ἐκ μεθόδου προχειρότατα γινώσκοι τις ἀκριβῶς τὴν τῶν συντιθεμένων ἀπὸ μονάδος καὶ ἐφεξῆς ἀριθμῶν γινομένου ποσότητα , μέχρις οὗ δηλονότι ἡ ζήτησις γίνεται . Ποιείτω οὕτω · πολλαπλασιαζέτω ἐφ᾿ ἑαυτὸν τὸν ἀριθμόν , μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται , καὶ ἀπὸ τοῦ γινομένου λαμβανέτω τὸ ἥμισυ · τούτῳ προςτιθέτω καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πολλαπλασιασθέντος ἀριθμοῦ καὶ τὸν γινόμενον γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν ἀπὸ μονάδος , μέχρις οὐ ἡ ζήτησις γίνεται . οἷον ἔστω · γενέσθαι τὴν ζήτησιν ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε , πόση ἐστὶν ἡ τῶν ἀριθμῶν κατὰ τὸ συνεχὲς σύνθεσις · τὸν ιε ἐφʼ ἑαυτόν , γίνονται σκε · τούτου τὸ ἥμισυ , ριβ ?? · πρόςθες τὸ ἥμισυ τῶν ιε ἤτοι ζ ?? , γίνονται ὁμοῦ ρκ · τοσούτων ἡ ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε τῶν κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμῶν σύνθεσις . ΙΣΑΑΚ . Ἤ καὶ οὕτω · λαμβανέτω τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται καὶ προςτιθέτω τούτῳ μονάδος ἥμισυ καὶ τὸν γινόμενον πολλαπλασιαζέτω μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ , οὗτινος εἰλήφει τὸ ἥμισυ · καὶ τὸν γινόμενον αὖθις γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν . οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ προυποδειχθέντος ἀριθμοῦ τοῦ ιε , τούτου τὸ ἥμισυ ζ ?? · πρόςθες μονάδος ἥμισυ , γίνονται η · ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ιε , γίνονται ρκ . καὶ ἔστι καὶ οὕτως ἡ εὕρεσις ἀσφαλεστάτη , ὡς καὶ ἐπὶ τῆς προτέρας μεθόδου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ .
Lemmas: β . Πῶς ἄν ἐκ μέθοδος πρόχειρος γιγνώσκω τις ἀκριβῶς ὁ ὁ συντίθημι ἀπό μόνος καί ἐφεξῆς ἀριθμός γίγνομαι ποσότης , μέχρι ὅς δηλονότι ὁ ζήτησις γίγνομαι . ποιέω οὕτως · πολλαπλασιάζω ἐπί ἑαυτοῦ ὁ ἀριθμός , μέχρι ὅς ὁ ζήτησις γίγνομαι , καί ἀπό ὁ γίγνομαι λαμβάνω ὁ μισός · οὗτος προτίθημι καί ὁ μισός ὁ πολλαπλασιάζω ἀριθμός καί ὁ γίγνομαι γιγνώσκω ἔρχομαι ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις ἀπό μόνος , μέχρι οὐ ὁ ζήτησις γίγνομαι . οἷος εἰμί · γίγνομαι ὁ ζήτησις ἀπό μόνος ἄχρι ὁ ιεʹ , πόσος εἰμί ὁ ὁ ἀριθμός κατά ὁ συνεχής σύνθεσις · ὁ ιος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι σκεʹ · Τοῦτος ὁ μισός , ριβʹ ?? · προτίθημι ὁ μισός ὁ ιος ἤτοι ζʹ ?? , γίγνομαι ὁμοῦ ρκʹ · τοσοῦτος ὁ ἀπό μόνος ἄχρι ὁ ιος ὁ κατά ὁ συνεχής ἀριθμός σύνθεσις . Ἰσαάκ . ἤ καί οὕτως · λαμβάνω ὁ μισός ὁ ἀριθμός ὁ μέχρι ὅς ὁ ζήτησις γίγνομαι καί προτίθημι οὗτος μόνος μισός καί ὁ γίγνομαι πολλαπλασιάζω μετά ὁ ἀριθμός , ὅστις λαμβάνω ὁ μισός · καί ὁ γίγνομαι αὖθις γιγνώσκω ἔρχομαι ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις . οἷος ὡς ἐπί ὁ προυποδείκνυμι ἀριθμός ὁ ιεʹ , οὗτος ὁ μισός ζʹ ?? · προτίθημι μόνος μισός , γίγνομαι η̅ · οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ιος , γίγνομαι ρκʹ . καί εἰμί καί οὕτως ὁ εὕρεσις ἀσφαλής , ὡς καί ἐπί ὁ πρότερος μέθοδος · ὅς δέω δείκνυμι . Του αὐτός .
nicomachus-mathematics.problemata-arithmetica 3
γ . Ἀριθμῶν ὅσων δήποτε ἐκκειμένων ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τὸν συγκεφαλαιούμενον ἐκ τῆς συνθέσεως αὐτῶν λαμβάνειν . Ποίοι οὕτω · λάμβανε τούς ἄκρους τῶν ἐκκειμένων καὶ τούτων τὰ ἡμίση συντιθεὶς καὶ πολλαπλασιάζων ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ἕξεις τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν ὅλων . οἷον ἔστωσαν β , δ , Ϛ , η , ι , ιβ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ζ · ταῦτα πολλαπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν , εἰσὶ δὲ Ϛ , ποιοῦσι μβ . πάλιν ἔστωσαν α , δ , ζ , ι , ιγ , ιϚ , ιθ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ι καὶ τὸ πλῆθος ζ · δεκάκις οὖν τὰ ζ ποιοῦσιν ο · καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως . ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ .
Lemmas: γ . Ἀριθμοί ὅσος δήποτε ἔκκειμαι ἐν ἴσος ὑπεροχή ὁ συγκεφαλαιόω ἐκ ὁ σύνθεσις αὐτός λαμβάνω . ποῖος οὕτως · λαμβάνω ὁ ἄκρος ὁ ἔκκειμαι καί οὗτος ὁ ἥμισυς συντίθημι καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ἀριθμός ὁ πλῆθος ὁ ἔκκειμαι ἔχω ὁ ἐκ ὁ σύνθεσις ὁ ὅλος . οἷος εἰμί β , δ , Ϛ , η̅ , Ι , Ἶβ · ὁ ἥμισυς ὁ ἄκρος ζ · οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ πλῆθος ὁ ἔκκειμαι ἀριθμός , εἰμί δέ Ϛ , ποιέω μβʹ . πάλιν εἰμί α , δ , ζ , Ι , ιγ , ιϚ , ιθʹ · ὁ ἥμισυς ὁ ἄκρος Ι καί ὁ πλῆθος ζ · δεκάκις οὖν ὁ ζ ποιέω ὁ · καί ἐπί ὁ ἄλλος ὅμοιος . Του αὐτός .
nicomachus-mathematics.problemata-arithmetica 4
δ . α , α , α , γ , γ , ε , ε , ε , ζ , θ · Ταῦτα τὸ δέκα στοιχεῖα συντιθέμενα ποιοῦσι μονάδαςμ · φασὶν οὖν τὸν βασιλέα Λέοντα ταῦτα ἐκθεῖναι · καὶ ζητεῖν , ὡς ἂν μερισθῶσι δίχα ἤτοι εἰς πέντε καὶ πέντε στοιχεῖα καὶ ἑκατέρας μερίδος ἴσον εἶναι τὸν ἀριθμόν . Ἀγνοοῦντες οὖν οἱ ἐξ ἐκείνου μέχρι τοῦ νῦν πάντες τὸν σκοπὸν ἐκείνου καὶ ζητοῦντες , ὥςτε καὶ ἑκατέραν μερίδα μονάδων κ εἶναι ἤτοι τῆς ἡμισείας τῶν ὅλων ποσότητος , ἀνηνύτοις ἐδόκουν ἐπιχειρεῖν , ἀλλ᾿ ἡμεῖς μὴ ἀγνοοῦντες τὸν ἐκείνου σκοπόν , ὅτι οὐκ ἀδύνατα προέθετο ζητεῖν , ἀλλὰ δυνατὰ μέν , πλὴν οὐ τοῖς πᾶσι πρόχειρα , μόνοις δὲ τοῖς τῶν ἀριθμητικῶν μαθημάτων ἐμπείροις , διείλομεν αὐτὰ δίχα οὕτως · ὥςτε ἑκατέρας μερίδος ἀνὰ ε στοιχεῖα ἐχούσης τὸ μὲν πρῶτον εἶναι πολλαπλασιάζον , τὰ δὲ λοιπὰ πολλαπλασιαζόμενα ὑπ᾿ αὐτοῦ , ὡς συνἀγειν ἑκατέραν μερίδα μονάδας ξ · καὶ ἔχουσιν οὕτω · — ις — ις ε , α , α , γ , ζ · — γ , α , ε , ε , θ · ἔστιν οὖν τῆς μιᾶς μερίδος ἡ ποσότης μονάδων ιβ , δηλαδὴ τῶν δ στοιχείων συντιθεμένων πλὴν τοῦ πρώτου , καὶ πενταπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ · ὁμοίως καὶ τῆς ἑτέρας μερίδος κ καὶ τριπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ .
Lemmas: δ . α , α , α , γ , γ , ε , ε , ε , ζ , θ · Ταΰς ὁ δέκα στοιχεῖον συντίθημι ποιέω μονάδαςμ · φημί οὖν ὁ βασιλεύς Λέων οὗτος ἐκτίθημι · καί ζητέω , ὡς ἄν μερίζω δίχα ἤτοι εἰς πέντε καί πέντε στοιχεῖον καί ἑκάτερος μερίς ἴσος ἔρχομαι ὁ ἀριθμός . ἀγνοέω οὖν ὁ ἐκ ἐκεῖνος μέχρι ὁ νῦν πᾶς ὁ σκοπός ἐκεῖνος καί ζητέω , ἵημι καί ἑκάτερος μερίς μόνος κ ἔρχομαι ἤτοι ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος ποσότης , ἀνήνυτος δοκέω ἐπιχειρέω , ἀλλά ἐγώ μή ἀγνοέω ὁ ἐκεῖνος σκοπός , ὅτι οὐ ἀδύνατος προτίθημι ζητέω , ἀλλά δυνατός μέν , πλήν οὐ ὁ πᾶς πρόχειρος , μόνος δέ ὁ ὁ ἀριθμητικός μάθημα ἔμπειρος , διαιρέω αὐτός δίχα οὕτως · ἵημι ἑκάτερος μερίς ἀνά ε στοιχεῖον ἔχω ὁ μέν πρῶτος ἔρχομαι πολλαπλασιάζω , ὁ δέ λοιπός πολλαπλασιάζω ὑπό αὐτός , ὡς συνάγω ἑκάτερος μερίς μόνος ξ · καί ἔχω οὕτως · — ἴς — ἴς ε , α , α , γ , ζ · — γ , α , ε , ε , θ · εἰμί οὖν ὁ εἷς μερίς ὁ ποσότης μόνος ιβʹ , δηλαδή ὁ δ στοιχεῖον συντίθημι πλήν ὁ πρῶτος , καί πενταπλασιάζομαι ὑπό ὁ πρῶτος ποιέω ξ · ὅμοιος καί ὁ ἕτερος μερίς κ καί τριπλασιάζω ὑπό ὁ πρῶτος ποιέω ξ .