nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.16
ιϚ . Ἀντικειμένων δὲ τῶν δύο τούτων εἰδῶν ὡςανεὶ ἐν ἀκροτήτων τρόπῳ μεσότης φαίνεται ὁ λεγόμενος τέλειος ἐν ἰσότητι εὑρισκόμενος καὶ οὔτε τὰ μέρη ἑαυτοῦ πλείονα ἀποτελῶν συντεθέντα οὔτε ἑαυτὸν μείζονα τῶν μερῶν ἀποφαίνων , ἀλλʼ αἰεὶ ἶσος τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ὑπάρχων · τὸ δὲ ἶσον τοῦ πλείονος καὶ ἐλάττονος πάντως ἐν μεταιχμίῳ θεωρεῖται καὶ ἔστιν ὥςπερ τὸ μέτριον τοῦ ὑπερβάλλοντος καὶ τοῦ ἐλλείποντος μεταξὺ καὶ τὸ ὁμόφωνον τοῦ ὀξυτέρου καὶ βαρυτέρου . ὅταν οὖν ἀριθμὸς πάνθʼ , ὅσα ἐνδέχεται ἐν αὐτῷ εἶναι , μέρη συναχθέντα καὶ συγκεφαλαιωθέντα ἐν συγκρίσει τῆ πρὸς ἑαυτὸν ἔχων μήτε ὑπερβάλλῃ τῷ πλήθει αὐτὰ μήτε ὑπερβάλληται ὑπʼ αὐτῶν , τότε ὁ τοιοῦτος τέλειος κυρίως λέγεται , ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἶσος ὤν · οἷον ὁ Ϛ καὶ ὁ κη · ὅ τε γὰρ Ϛ ἔχει μέρη ἥμισυ , τρίτον , ἕκτον , ἅπερ εἰσὶ γ , β , α , ἅπερ συγκεφαλαιωθέντα ὁμοῦ καὶ γενόμενα Ϛ ἶσα τῷ ἐξ ἀρχῆς ὑπάρχει καὶ οὔτε πλείονα οὔτε ἐλάττονα · καὶ ὁ κη μέρη μὲν ἔχει ἥμισυ , τέταρτον , ἕβδομον , τεσσαρεςκαιδέκατον , εἰκοστόγδοον , ἅπερ γίνεται ιδ , ζ , δ , β , α , καὶ ὑφοʼ ἓν συναθροισθέντα ἀποτελεῖ τὸν κη καὶ οὕτως οὔτε τὰ μέρη πλείονα τοῦ ὅλου οὔτε τὸ ὅλον τῶν μερῶν , ἀλλʼ ἡ σύγκρισις ἐν ἰσότητι , ὅπερ τελείου ἰδιότης . συμβέβηκε δέ , καθάπερ τὰ καλὰ τά τε κατʼ ἀρετὴν σπάνια καὶ εὐαρίθμητα , τὰ δὲ αἰσχρὰ καὶ ἐν κακίᾳ εἶναι πολύχοα , οὕτω καὶ ὑπερτελεῖς μὲν καὶ ἐλλιπεῖς παμπόλλους καὶ ἀτάκτους εὑρίσκεσθαι ἀκόσμου οὔσης τῆς αὐτῶν εὑρέσεως , τελείους δὲ εὐαριθμήτους τε καὶ τεταγμένους μετὰ τος κόσμου · εἷς μὲν γὰρ μόνος εὑρίσκεται ἐν μονάσιν ὁ Ϛ , ἕτερος δὲ μόνος ἐν δεκάσιν ὁ κη , τρίτος δέ τις ἐν βαθμῷ ἑκατοντάδων μόνος ὁ υ??ς , τέταρτος ὁ ἐν χιλιάδων ὅρῳ , τουτέστιν ὁ ἐντὸς μυριάδων ὁ ‚ ηρκη · καὶ παρέπεται αὐτοῖς μίαν παρὰ μίαν εἰς ἑξάδα ἢ ὀγδοάδα καταλήγειν καὶ πάντως εἶναι νἐ ἀρτίοις . Γένεσις δὲ αὐτῶν γλαφυρά τε καὶ ἀσφαλὴς οὔτε παραλείπουσά τινα τῶν τελείων οὔτε ἀδιαφοροϋσά τινα τῶν μὴ τοιούτων τούτῳ γινομένη τῷ τρόπῳ . ἐκθέσθαι δεῖ τοὺς ἀπὸ μονάδος ἀρτιάκις ἀρτίους προβιβάζοντα ἑξῆς ἐν ἑνὶ στίχῳ , μέχρις οὗ βούλει , α , β , δ , η , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚ , φιβ , ‚ ακδ , ‚ βμη , ‚ δ??ϛ , εἶτα ἀεὶ κατὰ ἑνὸς πρόςθεσιν ἐπισωρεύειν , καὶ καθʼ ἑκάστην ἐπισώρευσιν σκοπεῖν τὸν γινόμενον , οἷός ἐστι · καὶ ἂν μὲν εὕρῃς πρῶτον καὶ ἀσύνθετον ὑπάρχοντα , τῇ τοῦ ἐσχάτου προςληφθέντος ποσότητι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ ἀποτελεσθεὶς πάντως τέλειος ἔσται · ἐὰν δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον , οὐ πολλαπλασιάσεις , ἀλλʼ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς καὶ πάλιν ἐπισκέψῃ , τίς ὁ ἀποτελούμενος , καὶ ἐὰν μὲν δεύτερος καὶ σύνθετος , πάλιν παραλείψεις καὶ οὐ πολλαπλασιάσεις , ἀλλʼ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς , ἐὰν δὲ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος , τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σύνθεσιν παραληφθέντι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ γινόμενος τέλειος ἔσται , καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου · παραπλησίως πάντας ἑξῆς ἀπογεννήσεις τοὺς τελείους μηδενὸς παραλειπομένου · οἷον τῷ α ἐπισωρεύω τὸν β καὶ σκοπῶ τὸ συναμφότερον , τίς ἀριθμός ἐστι , καὶ εὑρίσκω τὸν γ ἀριθμόν , ἐξ ὧν προαπεδείχθη , πρῶτον καὶ ἀσύνθετον · ἑτερώνυμον γὰρ μόριον οὐκ ἔχει , ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ παρώνυμον · διὰ τοῦτο αὐτὸν πολλαπλασιάζω τῇ τοῦ ὑστέρου εἰς τὴν σωρείαν ληφθέντος ποσότητι , τουτέστι τοῦ β , καὶ γεννᾶταί μοι ὁ Ϛ καὶ τοῦτον ἀποφαίνομαι ἐνεργείᾳ πρῶτον εἶναι τέλειον καὶ ἔχειν μέρη ἐκεῖνα τὰ ἐνθεωρούμενα τοῖς ἀριθμοῖς , ἐξ ὧν συνέστη · μονάδα μὲν γὰρ ἐκ παρωνύμου μέρους ἕξει , ὅ ἐστι τοῦ ἕκτου , γ δὲ ἐξ ἡμίσους κατὰ τὸν β θεωρουμένου , ἀντιστρόφως δὲ δυάδα ἐκ τρίτου . ὁ δὲ κη καὶ αὐτὸς ἑτέρου προςεπισωρευθέντος τοῖς προτέροις τοῦ δ γεννᾶται τῇ αὐτῇ ἐφόδῳ · τὸ γὰρ συγκεφαλαίωμα τῶν τριῶν , τοῦ τε α καὶ β καὶ δ , γίνεται μὲν ζ , εὑρίσκεται δὲ πρῶτος καὶ σύνθετος · μόνον γὰρ τὸ παρώνυμον μόριον ἐπιδέχεται τὸ ἕβδομον · διὰ τοῦτο πολυπλασιάζω αὐτὸν τῇ τοῦ ἐσχάτου προςληφθέντος εἰς τὴν σωρείαν ποσότητι καὶ ἀποβαίνει μοι ὁ κη τοῖς ἰδίοις μέρεσιν ἶσος , ἔχων καὶ αὐτὸς ἐκ τῶν προηγουμένων τὰ ἐν αὐτῷ μέρη , ἥμισυ μὲν παρὰ τὴν δυάδα , τέταρτον δὲ παρὰ τὴν ἑπτάδα , ἕβδομον δὲ παρὰ τὸ δ , τεσσαρεςκαιδέκατον δὲ παρὰ τὴν τοῦ ἡμίσους ἀντιδιαστολήν , εἰκοστόγδοον δὲ παρὰ τὴν αὐτοῦ παρωνυμίαν , ἥτις ἐν πᾶσι μονὰς ὑπάρχει . εὑρημένων δὲ τούτων , ἐν μὲν μονάσι τοῦ Ϛ , ἐν δὲ δεκάσι τοῦ κη , εἰς τὴν ἐφεξῆς πλάσιν τὸ αὐτό σε δεῖ ποιῆσαι . πάλιν γὰρ ἐπισύνθες τὸν ἑξῆς τὸν η , γίνονται ὁμοῦ ιε · ἐπισκοπῶν αὐτὸν εὑρίσκω οὐκέτι πρῶτον καὶ ἀσύνθετον , πρὸς δὲ τῷ παρωνύμῳ μορίῳ ἔτι καὶ πέμπτον ἔχει καὶ τρίτον ἑτερώνυμον · διὸ οὐ πολλαπλασιάζω τῷ η αὐτόν , ἀλλʼ ἐπισωρεύω τὸν ἑξῆς τὸν ιϚ καὶ γίνεται ὁ λα · οὗτος ἐπειδὴ πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστιν , ἀναγκαίως πολυπλασιασθήσεται κατὰ τὸ τῆς ἐφόδου καθολικὸν πρόςταγμα τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν προςληφθέντι τῷ ιϚ καὶ γενήσεται ὁ υ??Ϛ ἐν ἑκατοντάσιν , ἔπειτα τῷ αὐτῷ τρόπῳ καὶ ὁ ‚ ηρκη ἐν χιλιάσι , καὶ ἀεὶ οὕτως , μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπεσθαι . ἡ ἄρα μονὰς δυνάμει , ἀλλʼ οὔπω ἐστὶ τέλειος ἐνεργείᾳ · ἐκ γὰρ τοῦ στίχου πρωτίστην αὐτὴν εἰς τὴν σωρείαν λαβὼν ἐπεσκόπησα κατὰ τὸ πρόςταγμα , ποταπή τις ὑπάρχει , καὶ εὗρον πρώτην καὶ ἀσύνθετον · ὡς ἀληθῶς γάρ , οὐ κατὰ μετοχὴν ὡς οἱ ἄλλοι , πρώτη τε ὑπάρχει παντὸς ἀριθμοῦ καὶ ἀσύνθετος μόνη . πολυπλασιάζω οὖν αὐτὴν τῷ ληφθέντι ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν , τουτέστιν ἑαυτῇ , καὶ γεννᾶταί μοι μονάς · ἅπαξ γὰρ α μονάς . τελεία ἄρα ἐστὶ δυνάμει ἡ μονάς · ἴση γὰρ τοῖς ἰδίοις μέρεσι κατὰ δύναμιν αὕτη , οἱ δʼ ἄλλοι κατʼ ἐνέργειαν .
Lemmas: ιϛʹ . ἀντίκειμαι δέ ὁ δύο οὗτος εἶδος ὡσανεί ἐν ἀκρότητος τρόπος μεσότης φαίνω ὁ λέγω τέλειος ἐν ἰσότης εὑρίσκω καί οὔτε ὁ μέρος ἑαυτοῦ πολύς ἀποτελέω συντίθημι οὔτε ἑαυτοῦ μέγας ὁ μέρος ἀποφαίνω , ἀλλά ἀεί ἴσος ὁ ἑαυτοῦ μέρος ὑπάρχω · ὁ δέ ἴσος ὁ πολύς καί ἐλαχύς πάντως ἐν μεταίχμιον θεωρέω καί εἰμί ὥσπερ ὁ μέτριος ὁ ὑπερβάλλω καί ὁ ἐλλείπω μεταξύ καί ὁ ὁμόφωνος ὁ ὀξύς καί βαρύς . ὅταν οὖν ἀριθμός πᾶς , ὅσος ἐνδέχομαι ἐν αὐτός εἰμί , μέρος συνάγω καί συγκεφαλαιόω ἐν σύγκρισις ὁ πρός ἑαυτοῦ ἔχω μήτε ὑπερβάλλω ὁ πλῆθος αὐτός μήτε ὑπερβάλλω ὑπό αὐτός , τότε ὁ τοιοῦτος τέλειος κύριος λέγω , ὁ ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἴσος εἰμί · οἷος ὁ Ϛ καί ὁ πη · ὁ τε γάρ Ϛ ἔχω μέρος ἥμισυς , τρίτος , ἕκτος , ὅς εἰμί γ , β , α , ὅς συγκεφαλαιόω ὁμοῦ καί γίγνομαι Ϛ ἴσος ὁ ἐκ ἀρχή ὑπάρχω καί οὔτε πολύς οὔτε ἐλαχύς · καί ὁ πη μέρος μέν ἔχω ἥμισυς , τέταρτος , ἕβδομος , τεσσαρεσκαιδέκατος , εἰκοστόγδοον , ὅς γίγνομαι ιδʹ , ζ̅ , δ , β , α , καί ὑφοʼ εἷς συναθροίζω ἀποτελέω ὁ πη καί οὕτως οὔτε ὁ μέρος πολύς ὁ ὅλος οὔτε ὁ ὅλος ὁ μέρος , ἀλλά ὁ σύγκρισις ἐν ἰσότης , ὅς τέλειος ἰδιότης . συμβαίνω δέ , καθά ὁ καλός ὁ τε κατά ἀρετή σπάνιος καί εὐαρίθμητος , ὁ δέ αἰσχρός καί ἐν κακία εἰμί πολύχοος , οὕτως καί ὑπερτελής μέν καί ἐλλιπής πάμπολυς καί ἄτακτος εὑρίσκω ἄκοσμος εἰμί ὁ αὐτός εὕρεσις , τέλειος δέ εὐαρίθμητος τε καί τάσσω μετά ὅς κόσμος · εἷς μέν γάρ μόνος εὑρίσκω ἐν μονάς ὁ Ϛ , ἕτερος δέ μόνος ἐν δεκάς ὁ πη , τρίτος δέ τις ἐν βαθμός ἑκατοντάς μόνος ὁ υ??ς , τέταρτος ὁ ἐν χιλιάς ὅρος , τουτέστι ὁ ἐντός μυριάς ὁ ‚ ἀείρω · καί παρέπομαι αὐτός εἷς παρά εἷς εἰς ἑξάς ἤ ὀγδοάς καταλήγω καί πάντως εἰμί νέος ἄρτιος . γένεσις δέ αὐτός γλαφυρός τε καί ἀσφαλής οὔτε παραλείπω τις ὁ τέλειος οὔτε ἀδιαφορέω τις ὁ μή τοιοῦτος οὗτος γίγνομαι ὁ τρόπος . ἐκτίθημι δέω ὁ ἀπό μονάς ἀρτιάκις ἄρτιος προβιβάζω ἑξῆς ἐν εἷς στίχος , μέχρι ὅς βούλομαι , α , β , δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚʹ , φιβʹ , ‚ ακδʹ , ‚ β , ‚ δ??ϛ , εἶτα ἀεί κατά εἷς πρόσθεσις ἐπισωρεύω , καί κατά ἕκαστος ἐπισώρευσις σκοπέω ὁ γίγνομαι , οἷος εἰμί · καί ἐάν μέν εὑρίσκω πρῶτος καί ἀσύνθετος ὑπάρχω , ὁ ὁ ἔσχατος προσλαμβάνω ποσότης πολλαπλασιάζω αὐτός καί ὁ ἀποτελέω πάντως τέλειος εἰμί · ἐάν δέ δεύτερος καί σύνθετος , οὐ πολλαπλασιάζω , ἀλλά ἐπισωρεύω ὁ ἑξῆς καί πάλιν ἐπισκοπέω , τίς ὁ ἀποτελέω , καί ἐάν μέν δεύτερος καί σύνθετος , πάλιν παραλείπω καί οὐ πολλαπλασιάζω , ἀλλά ἐπισωρεύω ὁ ἑξῆς , ἐάν δέ πρῶτος καί ἀσύνθετος , ὁ ἔσχατος εἰς ὁ σύνθεσις παραλαμβάνω πολλαπλασιάζω αὐτός καί ὁ γίγνομαι τέλειος εἰμί , καί οὗτος μέχρι ἄπειρος · παραπλήσιος πᾶς ἑξῆς ἀπογεννάω ὁ τέλειος μηδείς παραλείπω · οἷος ὁ α ἐπισωρεύω ὁ β καί σκοπέω ὁ συναμφότεροι , τίς ἀριθμός εἰμί , καί εὑρίσκω ὁ γ ἀριθμός , ἐκ ὅς προαποδείκνυμι , πρῶτος καί ἀσύνθετος · ἑτερώνυμος γάρ μόριον οὐ ἔχω , ἀλλά μόνος ὁ ἑαυτοῦ παρώνυμος · διά οὗτος αὐτός πολλαπλασιάζω ὁ ὁ ὕστερος εἰς ὁ σωρεία λαμβάνω ποσότης , τουτέστι ὁ β , καί γεννάω ἐγώ ὁ Ϛ καί οὗτος ἀποφαίνω ἐνέργεια πρῶτος εἰμί τέλειος καί ἔχω μέρος ἐκεῖνος ὁ ἐνθεωρέω ὁ ἀριθμός , ἐκ ὅς συνίστημι · μονάς μέν γάρ ἐκ παρώνυμος μέρος ἔχω , ὅς εἰμί ὁ ἕκτος , γ δέ ἐκ ἥμισυς κατά ὁ β θεωρέω , ἀντίστροφος δέ δυάς ἐκ τρίτος . ὁ δέ πη καί αὐτός ἕτερος προσεπισωρεύω ὁ πρότερος ὁ δ γεννάω ὁ αὐτός ἔφοδος · ὁ γάρ συγκεφαλαίωμα ὁ τρεῖς , ὁ τε α καί β καί δ , γίγνομαι μέν ζ̅ , εὑρίσκω δέ πρῶτος καί σύνθετος · μόνος γάρ ὁ παρώνυμος μόριον ἐπιδέχομαι ὁ ἕβδομος · διά οὗτος πολυπλασιάζω αὐτός ὁ ὁ ἔσχατος προσλαμβάνω εἰς ὁ σωρεία ποσότης καί ἀποβαίνω ἐγώ ὁ πη ὁ ἴδιος μέρος ἴσος , ἔχω καί αὐτός ἐκ ὁ προηγέομαι ὁ ἐν αὐτός μέρος , ἥμισυς μέν παρά ὁ δυάς , τέταρτος δέ παρά ὁ ἑπτάς , ἕβδομος δέ παρά ὁ δ , τεσσαρεσκαιδέκατος δέ παρά ὁ ὁ ἥμισυς ἀντιδιαστολή , εἰκοστόγδοον δέ παρά ὁ αὐτός παρωνυμία , ὅστις ἐν πᾶς μονή ὑπάρχω . εὑρίσκω δέ οὗτος , ἐν μέν μονάς ὁ Ϛ , ἐν δέ δεκάς ὁ πη , εἰς ὁ ἐφεξῆς πλάσις ὁ αὐτός σύ δέω ποιέω . πάλιν γάρ ἐπισυντίθημι ὁ ἑξῆς ὁ η̅ , γίγνομαι ὁμοῦ ιος · ἐπισκοπέω αὐτός εὑρίσκω οὐκέτι πρῶτος καί ἀσύνθετος , πρός δέ ὁ παρώνυμος μόριον ἔτι καί πέμπτος ἔχω καί τρίτος ἑτερώνυμος · διό οὐ πολλαπλασιάζω ὁ η̅ αὐτός , ἀλλά ἐπισωρεύω ὁ ἑξῆς ὁ ιϚ καί γίγνομαι ὁ λα · οὗτος ἐπειδή πρῶτος καί ἀσύνθετος εἰμί , ἀναγκαῖος πολυπλασιάζω κατά ὁ ὁ ἔφοδος καθολικός πρόσταγμα ὁ ἔσχατος εἰς ὁ σωρεία προσλαμβάνω ὁ ιϚ καί γίγνομαι ὁ υ??Ϛ ἐν ἑκατοντάς , ἔπειτα ὁ αὐτός τρόπος καί ὁ ‚ ἀείρω ἐν χιλιάς , καί ἀεί οὕτως , μέχρι ἄν εὐτονέω τις παρέπομαι . ὁ ἄρα μονή δύναμις , ἀλλά οὔπω εἰμί τέλειος ἐνέργεια · ἐκ γάρ ὁ στίχος πρῶτος αὐτός εἰς ὁ σωρεία λαμβάνω ἐπισκοπέω κατά ὁ πρόσταγμα , ποδαπός τις ὑπάρχω , καί εὑρίσκω πρῶτος καί ἀσύνθετος · ὡς ἀληθής γάρ , οὐ κατά μετοχή ὡς ὁ ἄλλος , πρῶτος τε ὑπάρχω πᾶς ἀριθμός καί ἀσύνθετος μόνος . πολυπλασιάζω οὖν αὐτός ὁ λαμβάνω ἔσχατος εἰς ὁ σωρεία , τουτέστι ἑαυτοῦ , καί γεννάω ἐγώ μονή · ἅπαξ γάρ α μονή . τέλειος ἄρα εἰμί δύναμις ὁ μονή · ἴσος γάρ ὁ ἴδιος μέρος κατά δύναμις οὗτος , ὁ δέ ἄλλος κατά ἐνέργεια .