nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 3
α . ΤΟΤ ΚΥΝΟΣ . Δοθέντων ἀπὸ μονάδος ὁποσωνοῦν ἀριθμῶν ἐφεξῆς εὑρεῖν , ὅσος ἐστὶν ὁ σύμπας . Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς α ἐφεξῆς οἱ β , γ , δ , ε , ζ , η , θ , ι · ἢ δὴ ἄρτιόν ἐστι τὸ πλῆθος αὐτῶν ἢ περιττόν · ἔστω πρῶτον περιττόν · φανερὸν δή , ὅτι οἱ μὲν α ι διπλάσιοί εἰσι τοῦ ε , οἱ δὲ β θ τοῦ ε καὶ ἐφεξῆς ὅσον ἄρα ἐστὶ τὸ πλῆθος πάντων , τοσαυταπλασίων ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθεὶς τοῦ ε · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ι πρὸς τὴν μονάδα , ὁ σύμπας πρὸς τὸν ε · ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ ι καὶ ε ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς μονάδος καὶ συμπάντων , τουτέστι τῷ σύμπαντι ἀριθμῷ . εἰλήφθω δὴ ὁ ἐφεξῆς τῷ ι , ὁ κ · φανερὸν δὴ ὅτι ὁ κ διπλάσιός ἐστι τοῦ ε , ἴσος γάρ ἐστι τοῖς ι α · ἐπεὶ οὖν ὁ ι τὸν ε πολλαπλασιάσας ποιεῖ τὸν σύμπαντα , ἐὰν ἄρα τὸν κ πολλαπλασιάσας ποιήσῃ τινά , ὁ γενόμενος ἔσται τοῦ σύμπαντος διπλασίων . ὅταν ἄρα ἀπὸ μονάδος πλήθους ἀριθμῶν ἐφεξῆς τεθέντος ἐρωτηθῶμεν , πόσος ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθείς , ἐὰν ὦσι περιττοὶ τὸ πλῆθος , πολλαπλασιάσομεν τὸν μέγιστον ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς αὐτοῦ μείζονα καὶ τούτου γενομένου τὸ ἥμισυ λαβόντες ἕξομεν τὸν σύμπαντα · ὁμοίως δὴ ποιήσομεν , καὶ ἐὰν ἄρτιον τὸ πλῆθος · ἡ γὰρ αὐτὴ ἀπόδειξις · α β γ δ ε ζ η θ ι — κ α| β| γ| δ| ε| ϛ| ζ| η| θ| — ι| . β . Πῶς ἂν ἐκ μεθόδου προχειρότατα γινώσκοι τις ἀκριβῶς τὴν τῶν συντιθεμένων ἀπὸ μονάδος καὶ ἐφεξῆς ἀριθμῶν γινομένου ποσότητα , μέχρις οὗ δηλονότι ἡ ζήτησις γίνεται . Ποιείτω οὕτω · πολλαπλασιαζέτω ἐφ᾿ ἑαυτὸν τὸν ἀριθμόν , μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται , καὶ ἀπὸ τοῦ γινομένου λαμβανέτω τὸ ἥμισυ · τούτῳ προςτιθέτω καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πολλαπλασιασθέντος ἀριθμοῦ καὶ τὸν γινόμενον γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν ἀπὸ μονάδος , μέχρις οὐ ἡ ζήτησις γίνεται . οἷον ἔστω · γενέσθαι τὴν ζήτησιν ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε , πόση ἐστὶν ἡ τῶν ἀριθμῶν κατὰ τὸ συνεχὲς σύνθεσις · τὸν ιε ἐφʼ ἑαυτόν , γίνονται σκε · τούτου τὸ ἥμισυ , ριβ ?? · πρόςθες τὸ ἥμισυ τῶν ιε ἤτοι ζ ?? , γίνονται ὁμοῦ ρκ · τοσούτων ἡ ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε τῶν κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμῶν σύνθεσις . ΙΣΑΑΚ . Ἤ καὶ οὕτω · λαμβανέτω τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται καὶ προςτιθέτω τούτῳ μονάδος ἥμισυ καὶ τὸν γινόμενον πολλαπλασιαζέτω μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ , οὗτινος εἰλήφει τὸ ἥμισυ · καὶ τὸν γινόμενον αὖθις γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν . οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ προυποδειχθέντος ἀριθμοῦ τοῦ ιε , τούτου τὸ ἥμισυ ζ ?? · πρόςθες μονάδος ἥμισυ , γίνονται η · ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ιε , γίνονται ρκ . καὶ ἔστι καὶ οὕτως ἡ εὕρεσις ἀσφαλεστάτη , ὡς καὶ ἐπὶ τῆς προτέρας μεθόδου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ . γ . Ἀριθμῶν ὅσων δήποτε ἐκκειμένων ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τὸν συγκεφαλαιούμενον ἐκ τῆς συνθέσεως αὐτῶν λαμβάνειν . Ποίοι οὕτω · λάμβανε τούς ἄκρους τῶν ἐκκειμένων καὶ τούτων τὰ ἡμίση συντιθεὶς καὶ πολλαπλασιάζων ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ἕξεις τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν ὅλων . οἷον ἔστωσαν β , δ , Ϛ , η , ι , ιβ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ζ · ταῦτα πολλαπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν , εἰσὶ δὲ Ϛ , ποιοῦσι μβ . πάλιν ἔστωσαν α , δ , ζ , ι , ιγ , ιϚ , ιθ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ι καὶ τὸ πλῆθος ζ · δεκάκις οὖν τὰ ζ ποιοῦσιν ο · καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως . ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ . δ . α , α , α , γ , γ , ε , ε , ε , ζ , θ · Ταῦτα τὸ δέκα στοιχεῖα συντιθέμενα ποιοῦσι μονάδαςμ · φασὶν οὖν τὸν βασιλέα Λέοντα ταῦτα ἐκθεῖναι · καὶ ζητεῖν , ὡς ἂν μερισθῶσι δίχα ἤτοι εἰς πέντε καὶ πέντε στοιχεῖα καὶ ἑκατέρας μερίδος ἴσον εἶναι τὸν ἀριθμόν . Ἀγνοοῦντες οὖν οἱ ἐξ ἐκείνου μέχρι τοῦ νῦν πάντες τὸν σκοπὸν ἐκείνου καὶ ζητοῦντες , ὥςτε καὶ ἑκατέραν μερίδα μονάδων κ εἶναι ἤτοι τῆς ἡμισείας τῶν ὅλων ποσότητος , ἀνηνύτοις ἐδόκουν ἐπιχειρεῖν , ἀλλ᾿ ἡμεῖς μὴ ἀγνοοῦντες τὸν ἐκείνου σκοπόν , ὅτι οὐκ ἀδύνατα προέθετο ζητεῖν , ἀλλὰ δυνατὰ μέν , πλὴν οὐ τοῖς πᾶσι πρόχειρα , μόνοις δὲ τοῖς τῶν ἀριθμητικῶν μαθημάτων ἐμπείροις , διείλομεν αὐτὰ δίχα οὕτως · ὥςτε ἑκατέρας μερίδος ἀνὰ ε στοιχεῖα ἐχούσης τὸ μὲν πρῶτον εἶναι πολλαπλασιάζον , τὰ δὲ λοιπὰ πολλαπλασιαζόμενα ὑπ᾿ αὐτοῦ , ὡς συνἀγειν ἑκατέραν μερίδα μονάδας ξ · καὶ ἔχουσιν οὕτω · — ις — ις ε , α , α , γ , ζ · — γ , α , ε , ε , θ · ἔστιν οὖν τῆς μιᾶς μερίδος ἡ ποσότης μονάδων ιβ , δηλαδὴ τῶν δ στοιχείων συντιθεμένων πλὴν τοῦ πρώτου , καὶ πενταπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ · ὁμοίως καὶ τῆς ἑτέρας μερίδος κ καὶ τριπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ . ε . Μέθοδος , διʼ ἧς ἀστείως εὑρήσεις , οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν . Ἀριθμὸν ὁντιναοῦν τῶν ἀπὸ τοῦ ζ μέχρι τοῦ ρε ὑπό τινος ἐν διανοίᾳ εἰλημμένον ζητῶν εὑρεῖν ὁπόσος ἐστί , λήψῃ αὐτὸν μεθόδῳ τοιᾷδε · ἐπίταξον τῷ κατὰ διάνοιαν ἔχοντι τὸν ἀριθμὸν κρυφίως παρ᾿ αὐτῷ ἐκβαλεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τὸν γ , ὁσάκις ἐγχωρεῖ , καὶ τὰ καταλειφθέντα κάτωθεν τοῦ γ , εἰ καταλειφθείη δηλονότι , ἐκφωνήσαντα εἰπεῖν πρὸς σέ · οὐ καὶ εἰπόντος σύ ἀνθʼ ἑκάστης μονάδος τῶν καταλειφθεισῶν λάμβανε τῇ σῇ χειρὶ τὸν ο ἀριθμόν · οἷον εἰ μὲν μονὰς καταλειφθείη , τὸν ο μόνον , εἰ δὲ δυάς , αὐτὸν τὸν ο δὶς ἤτοι τὸν ρμ , εἰ δʼ οὐδεμία μὲν καταλειφθείη , πάντως οὐδὲ σὺ λήψῃ τι · τοῦτο δὲ φυλάξαι σε δεῖ καὶ ἐν ταῖς γενησομέναις λοιπαῖς ἀφαιρέσεσιν , ἐν αἷς δηλονότι μηδεμία μονὰς καταλειφθήσοιτο · εἶτα ἐπίταξον ἐκβαλεῖν ὁμοίως ἐξ αὐτοῦ καὶ τὸν ε , ὁσάκις ἐγχωρεῖ , καὶ τὰ κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα εἰπεῖν , ὧν καὶ ἀνθʼ ἑκάστης μονάδος λάμβανε τὸν κα , ἑνῶν καὶ τὸν ἀπὸ τούτου συναγόμενον τῷ προειλημμένῳ , εἰ τύχοι , τῇ σῇ χειρί · εἶτ᾿ ἐπίταξον ὁμοίως ἐκβαλόντι καὶ τὸν ζ εἰπεῖν τὰ κάτωθεν τούτου καταλειπόμενα · ὧν καὶ ἑκάστης ἕνεκα μονάδος τὸν ιε λαβών καὶ οὓς ἔχεις πάντας συνθεὶς ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς ἄφες , ὁσάκις δύνῃ , τὸν ρε , εἰ ἐγχωρεῖ δηλονότι , καὶ τὸν κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα γίνωσκε τὸν ἀριθμὸν εἶναι , ὃν ζητεῖς , δηλαδὴ τὸν ἐν τῷ λογισμῷ τοῦ ζητήσαντος εὑρεῖν σε τοῦτον εἰλημμένον · ἰστέον μέντοι γε , ὡς εἰ μηδὲν ἐν μηδεμιᾷ ἀφαιρέσει καταλειφθείη , ὅτε οὐδὲ σὺ λήψῃ πάντως τινὰ τῶν προῤῥηθέντων ἀριθμῶν , ὁ ρε ἐστὶν ὁ ὑπ᾿ ἐκείνου ληφθείς . Γενέσθω δὲ τὰ λεγόμενα καὶ δι᾿ ὑποδείγματος σαφέστερα , καὶ ἔστω ὑφʼ ἡμῶν ἐπὶ νοῦν εἰλημμένος ὁ κη · ὄν ἐπειδὴ βούλεταί τις εὑρεῖν τῇ ῥηθείσῃ μεθόδῳ χρώμενος , ἐπιτάττει τὸν γ ἐκβαλεῖν ἐξ αὐτοῦ ὁσάκις ἐγχωρεῖ · οὐ καὶ ἐννάκις ἐκβαλλομένου παῤ ἡμῶν ἐκφωνούντων πρὸς αὐτὸν καὶ τὴν λειπομένην μονάδα , οὗτος ἀντʼ αὐτῆς τὸν ο τῇ χειρὶ λαμβάνει · εἶτα καὶ τοῦ ε ὁμοίως ἐκβαλλομένου πεντάκις ἀνθʼ ἑκάστης τῶν καταλειπομένων τριῶν μονάδων τὸν κα λαμβάνων τὸν γινόμενον ξγ συντίθησι τῷ πρότερον εἰλημμένῳ τῷ ο · ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦ ζ κατὰ τὴν μέθοδον ἐκβαλλομένου τετράκις οὐδὲν λείπεται , οὐδʼ οὗτος ἀντὶ τούτου λαβών τινα , ἀλλ᾿ ἀπὸ τοῦ ἐκ τῆς συνθέσεως μόνων ἐκείνων τοῦ τε δηλονότι ο καὶ τοῦ ξγ ἤτοι ἀπὸ τοῦ ρλγ ἐκβαλών τὸν ρε τὸν λειπόμενον κη λέγει πρὸς ἡμᾶς ἀναμφιβόλως εἶναι τὸν ἀριθμόν , ὅν ἡμεῖς ἐπὶ νοῦν κεκρατήκαμεν · ὑπὲρ οὐ καὶ ἐκπληττόμενοι τὸν λόγον ζητοῦμεν , ὅτου χάριν τόδε τοιαύτῃ μεθόδῳ εὑρίσκεται . ϛ . Τῷ ἀποθνήσκοντι ἐωὶ τοῖς Ϛ παιδίοις , ὧν τὰ γ ἦσαν ἄῤῥενα καὶ τὰ γ θήλεα , καὶ διαταξαμένῳ περὶ τῶν ἐν τῷ κιβωτίῳ αὐτοῦ χρυσίνων , τὸν πρωτυν τῶν παίδων αὐτῷ τῶν ἀῤῥένων θεῖναι τοσούτους χρυσίνους ἐν τῷ κιβωτίῳ , ὅσοι εἰσὶν ἐν αὐτῷ , εἶτα λαβεῖν διακοσίους πεντήκοντα , τὸν δὲ μετʼ ἐκεῖνον θεῖναι τοσούτους , ὅσοι ὑπελείφθησαν , καὶ λαβεῖν σν , καὶ τὸν τρίτον ὁμοίως θεῖναι τοσούτους , ὅσοι ὑπελείφθησαν , καὶ λαβεῖν σν , τὴν δὲ πρώτην τῶν θυγατέρων θεῖναι τοσούτους , ὅσοι ὑπελείφθησαν , καὶ λαβεῖν ρκε , τὴν δὲ μετʼ ἐκείνην θεῖναι τοσούτους , ὅσοι ὑπελείφθησαν , καὶ λαβεῖν ρκε , καὶ τὴν τρίτην ὁμοίως θεῖναι τοσούτους , ὅσοι ὑπελείφθησαν , καὶ λαβεῖν ρκε , ὡς μηδένα οὕτω χρύσινον ὑπολειφθῆναι , σλβ ἦσαν χρύσινοι καὶ τρίτον χρυσίνου καὶ δωδέκατον καὶ ἑκατοστοενενηκοστοδεύτερον ἕν .
Lemmas: α . τοτέ Κῦνος . δίδωμι ἀπό μονάς ὁπόσως ἀριθμός ἐφεξῆς εὑρίσκω , ὅσος εἰμί ὁ σύμπας . εἰμί ἀπό μονάς ὁ α ἐφεξῆς ὁ β , γ , δ , ε , ζ̅ , η̅ , θ̅ , ι̅ · ἤ δή ἄρτιος εἰμί ὁ πλῆθος αὐτός ἤ περισσός · εἰμί πρῶτος περισσός · φανερός δή , ὅτι ὁ μέν α ι̅ διπλάσιος εἰμί ὁ ε , ὁ δέ β θ̅ ὁ ε καί ἐφεξῆς ὅσος ἄρα εἰμί ὁ πλῆθος πᾶς , τοσαυταπλάσιος εἰμί ὁ σύμπας συντίθημι ὁ ε · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ι̅ πρός ὁ μονάς , ὁ σύμπας πρός ὁ ε · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ι̅ καί ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μονάς καί σύμπας , τουτέστι ὁ σύμπας ἀριθμός . λαμβάνω δή ὁ ἐφεξῆς ὁ ι̅ , ὁ κ · φανερός δή ὅτι ὁ κ διπλάσιος εἰμί ὁ ε , ἴσος γάρ εἰμί ὁ ι̅ α · ἐπεί οὖν ὁ ι̅ ὁ ε πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ σύμπας , ἐάν ἄρα ὁ κ πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι εἰμί ὁ σύμπας διπλασίων . ὅταν ἄρα ἀπό μονάς πλῆθος ἀριθμός ἐφεξῆς τίθημι ἐρωτάω , πόσος εἰμί ὁ σύμπας συντίθημι , ἐάν εἰμί περισσός ὁ πλῆθος , πολλαπλασιάζω ὁ μέγας ἐπί ὁ ἐφεξῆς αὐτός μέγας καί οὗτος γίγνομαι ὁ ἥμισυς λαμβάνω ἔχω ὁ σύμπας · ὅμοιος δή ποιέω , καί ἐάν ἄρτιος ὁ πλῆθος · ὁ γάρ αὐτός ἀπόδειξις · α Β γ δεσποινίδα ε ζ ὁ θ ι — κ α̅ β| γ| δ| ἀείδω ϛ| ζ| η| θ| — ἰ . Β . πῶς ἄν ἐκ μέθοδος πρόχειρος γιγνώσκω τις ἀκριβής ὁ ὁ συντίθημι ἀπό μονάς καί ἐφεξῆς ἀριθμός γίγνομαι ποσότης , μέχρι ὅς δηλονότι ὁ ζήτησις γίγνομαι . ποιέω οὕτως · πολλαπλασιάζω ἐπί ἑαυτοῦ ὁ ἀριθμός , μέχρι ὅς ὁ ζήτησις γίγνομαι , καί ἀπό ὁ γίγνομαι λαμβάνω ὁ ἥμισυς · οὗτος προστίθημι καί ὁ ἥμισυς ὁ πολλαπλασιάζω ἀριθμός καί ὁ γίγνομαι γιγνώσκω εἰμί ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις ἀπό μονάς , μέχρι οὐ ὁ ζήτησις γίγνομαι . οἷος εἰμί · γίγνομαι ὁ ζήτησις ἀπό μονάς ἄχρι ὁ ιος , πόσος εἰμί ὁ ὁ ἀριθμός κατά ὁ συνεχής σύνθεσις · ὁ ιος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι σκε · οὗτος ὁ ἥμισυς , Ρίβα ?? · προστίθημι ὁ ἥμισυς ὁ ιεʹ ἤτοι ζ ?? , γίγνομαι ὁμοῦ ρκʹ · τοσοῦτος ὁ ἀπό μονάς ἄχρι ὁ ιος ὁ κατά ὁ συνεχής ἀριθμός σύνθεσις . Ἰσαάκ . ἤ καί οὕτως · λαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ ἀριθμός ὁ μέχρι ὅς ὁ ζήτησις γίγνομαι καί προστίθημι οὗτος μονάς ἥμισυς καί ὁ γίγνομαι πολλαπλασιάζω μετά ὁ ἀριθμός , ὅστις λαμβάνω ὁ ἥμισυς · καί ὁ γίγνομαι αὖθις γιγνώσκω εἰμί ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις . οἷος ὡς ἐπί ὁ προυποδείκνυμι ἀριθμός ὁ ιος , οὗτος ὁ ἥμισυς ζ ?? · προστίθημι μονάς ἥμισυς , γίγνομαι η̅ · οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ιεʹ , γίγνομαι ρκʹ . καί εἰμί καί οὕτως ὁ εὕρεσις ἀσφαλής , ὡς καί ἐπί ὁ πρότερος μέθοδος · ὅς δέω δείκνυμι . Του αὐτός . γ . ἀριθμός ὅσος δήποτε ἔκκειμαι ἐν ἴσος ὑπεροχή ὁ συγκεφαλαιόω ἐκ ὁ σύνθεσις αὐτός λαμβάνω . ποιέω οὕτως · λαμβάνω ὁ ἄκρος ὁ ἔκκειμαι καί οὗτος ὁ ἥμισυς συντίθημι καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ἀριθμός ὁ πλῆθος ὁ ἔκκειμαι ἔχω ὁ ἐκ ὁ σύνθεσις ὁ ὅλος . οἷος εἰμί β , δ , Ϛ , η̅ , ι̅ , ιβ · ὁ ἥμισυς ὁ ἄκρον ζ̅ · οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ πλῆθος ὁ ἔκκειμαι ἀριθμός , εἰμί δέ Ϛ , ποιέω μβʹ . πάλιν εἰμί α , δ , ζ̅ , ι̅ , ιγ , ιϚ , ιθ · ὁ ἥμισυς ὁ ἄκρον ι̅ καί ὁ πλῆθος ζ̅ · δεκάκις οὖν ὁ ζ̅ ποιέω ο̅ · καί ἐπί ὁ ἄλλος ὅμοιος . Του αὐτός . δεσποινίδα . α , α , α , γ , γ , ε , ε , ε , ζ̅ , θ̅ · οὗτος ὁ δέκα στοιχεῖον συντίθημι ποιέω μονάδαςμ · φημί οὖν ὁ βασιλεύς Λέων οὗτος ἐκτίθημι · καί ζητέω , ὡς ἄν μερίζω δίχα ἤτοι εἰς πέντε καί πέντε στοιχεῖον καί ἑκάτερος μερίς ἴσος εἰμί ὁ ἀριθμός . ἀγνοέω οὖν ὁ ἐκ ἐκεῖνος μέχρι ὁ νῦν πᾶς ὁ σκοπός ἐκεῖνος καί ζητέω , ὥστε καί ἑκάτερος μερίς μονάς κ εἰμί ἤτοι ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος ποσότης , ἀνήνυτος δοκέω ἐπιχειρέω , ἀλλά ἐγώ μή ἀγνοέω ὁ ἐκεῖνος σκοπός , ὅτι οὐ ἀδύνατος προτίθημι ζητέω , ἀλλά δυνατός μέν , πλήν οὐ ὁ πᾶς πρόχειρος , μόνος δέ ὁ ὁ ἀριθμητικός μάθημα ἔμπειρος , διείλω αὐτός δίχα οὕτως · ὥστε ἑκάτερος μερίς ἀνά ε στοιχεῖον ἔχω ὁ μέν πρῶτος εἰμί πολλαπλασιάζω , ὁ δέ λοιπός πολλαπλασιάζω ὑπό αὐτός , ὡς συνάγω ἑκάτερος μερίς μονάς ξ · καί ἔχω οὕτως · — ἴς — ἴς ε , α , α , γ , ζ · — γ , α , ε , ε , θ · εἰμί οὖν ὁ εἷς μερίς ὁ ποσότης μονάς ιβʹ , δηλαδή ὁ δ στοιχεῖον συντίθημι πλήν ὁ πρῶτος , καί πενταπλασιάζομαι ὑπό ὁ πρῶτος ποιέω ξ · ὅμοιος καί ὁ ἕτερος μερίς κ καί τριπλασιάζω ὑπό ὁ πρῶτος ποιέω ξ . ε . μέθοδος , διά ὅς ἀστεῖος εὑρίσκω , οἷος ἀριθμός ἔχω τις ἐπί νόος . ἀριθμός ὅστις ὁ ἀπό ὁ ζ̅ μέχρι ὁ ρ̅ε̅ ὑπό τις ἐν διάνοια λαμβάνω ζητέω εὑρίσκω ὁπόσος εἰμί , λαμβάνω αὐτός μέθοδος τοιόσδε · ἐπιτάσσω ὁ κατά διάνοια ἔχω ὁ ἀριθμός κρύφιος παρά αὐτός ἐκβάλλω ἀπό αὐτός ὁ γ , ὁσάκις ἐγχωρέω , καί ὁ καταλείπω κάτωθεν ὁ γ , εἰ καταλείπω δηλονότι , ἐκφωνέω λέγω πρός σύ · οὐ καί λέγω σύ ἀντί ἕκαστος μονάς ὁ καταλείπω λαμβάνω ὁ σός χείρ ὁ ο̅ ἀριθμός · οἷον εἰ μέν μονή καταλείπω , ὁ ο̅ μόνος , εἰ δέ δυάς , αὐτός ὁ ο̅ δίς ἤτοι ὁ ρμ , εἰ δέ οὐδείς μέν καταλείπω , πάντως οὐδέ σύ λαμβάνω τις · οὗτος δέ φυλάσσω σύ δέω καί ἐν ὁ γίγνομαι λοιπός ἀφαίρεσις , ἐν ὅς δηλονότι μηδείς μονή καταλείπω · εἶτα ἐπιτάσσω ἐκβάλλω ὅμοιος ἐκ αὐτός καί ὁ ε , ὁσάκις ἐγχωρέω , καί ὁ κάτωθεν οὗτος καταλείπω λέγω , ὅς καί ἀντί ἕκαστος μονάς λαμβάνω ὁ ἄν , ἑνόω καί ὁ ἀπό οὗτος συνάγω ὁ προλαμβάνω , εἰ τυγχάνω , ὁ σός χείρ · εἶτα ἐπιτάσσω ὅμοιος ἐκβάλλω καί ὁ ζ̅ λέγω ὁ κάτωθεν οὗτος καταλείπω · ὅς καί ἕκαστος ἕνεκα μονάς ὁ ιος λαμβάνω καί ὅς ἔχω πᾶς συντίθημι ἐκ ὁ ἐπισυναγωγή ἀφίημι , ὁσάκις δύναμαι , ὁ ρ̅ε̅ , εἰ ἐγχωρέω δηλονότι , καί ὁ κάτωθεν οὗτος καταλείπω γιγνώσκω ὁ ἀριθμός εἰμί , ὅς ζητέω , δηλαδή ὁ ἐν ὁ λογισμός ὁ ζητέω εὑρίσκω σύ οὗτος λαμβάνω · οἶδα μέντοι γε , ὡς εἰ μηδείς ἐν μηδείς ἀφαίρεσις καταλείπω , ὅτε οὐδέ σύ λαμβάνω πάντως τις ὁ προλέγω ἀριθμός , ὁ ρ̅ε̅ εἰμί ὁ ὑπό ἐκεῖνος λαμβάνω . γίγνομαι δέ ὁ λέγω καί διά ὑπόδειγμα σαφής , καί εἰμί ὑπό ἐγώ ἐπί νόος λαμβάνω ὁ πη · εἰμί ἐπειδή βούλομαι τις εὑρίσκω ὁ λέγω μέθοδος χράω , ἐπιτάσσω ὁ γ ἐκβάλλω ἐκ αὐτός ὁσάκις ἐγχωρέω · οὐ καί ἐννάκις ἐκβάλλω παρά ἐγώ ἐκφωνέω πρός αὐτός καί ὁ λείπω μονάς , οὗτος ἀντί αὐτός ὁ ο̅ ὁ χείρ λαμβάνω · εἶτα καί ὁ ε ὅμοιος ἐκβάλλω πεντάκις ἀντί ἕκαστος ὁ καταλείπω τρεῖς μονάς ὁ ἄν λαμβάνω ὁ γίγνομαι ξγ συντίθημι ὁ πρότερος λαμβάνω ὁ ο̅ · ἐπεί δέ καί ὁ ζ̅ κατά ὁ μέθοδος ἐκβάλλω τετράκις οὐδείς λείπω , οὐδέ οὗτος ἀντί οὗτος λαμβάνω τις , ἀλλά ἀπό ὁ ἐκ ὁ σύνθεσις μόνος ἐκεῖνος ὁ τε δηλονότι ο̅ καί ὁ ξγʹ ἤτοι ἀπό ὁ ρλγ ἐκβάλλω ὁ ρ̅ε̅ ὁ λείπω πη λέγω πρός ἐγώ ἀναμφίβολος εἰμί ὁ ἀριθμός , ὅς ἐγώ ἐπί νόος κρατέω · ὑπέρ οὐ καί ἐκπλήσσω ὁ λόγος ζητέω , ὅστις χάριν ὅδε τοιοῦτος μέθοδος εὑρίσκω . ϛ . ὁ ἀποθνῄσκω ἠώς ὁ Ϛ παιδίον , ὅς ὁ γ εἰμί ἄρσην καί ὁ γ θῆλυς , καί διατάσσω περί ὁ ἐν ὁ κιβώτιον αὐτός χρύσινος , ὁ πρῶτος ὁ παῖς αὐτός ὁ ἄρσην τίθημι τοσοῦτος χρύσινος ἐν ὁ κιβώτιον , ὅσος εἰμί ἐν αὐτός , εἶτα λαμβάνω διακόσιοι πεντήκοντα , ὁ δέ μετά ἐκεῖνος τίθημι τοσοῦτος , ὅσος ὑπολείπω , καί λαμβάνω σ , καί ὁ τρίτος ὅμοιος τίθημι τοσοῦτος , ὅσος ὑπολείπω , καί λαμβάνω σ , ὁ δέ πρῶτος ὁ θυγάτηρ τίθημι τοσοῦτος , ὅσος ὑπολείπω , καί λαμβάνω ρκεʹ , ὁ δέ μετά ἐκεῖνος τίθημι τοσοῦτος , ὅσος ὑπολείπω , καί λαμβάνω ρκεʹ , καί ὁ τρίτος ὅμοιος τίθημι τοσοῦτος , ὅσος ὑπολείπω , καί λαμβάνω ρκεʹ , ὡς μηδείς οὕτως χρύσινος ὑπολείπω , σλβʹ εἰμί χρύσινος καί τρίτος χρύσινος καί δωδέκατος καί ἑκατοστοενενηκοστόδειος εἷς .