nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.8
η . Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παῤ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κειμένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν . μονωτάτη δὲ ἡ μονάς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμιούς ἐστιν · ἀρχὴ ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς . καθʼ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον , τὸ δὲ περισσάρτιον , τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον · ἐναντία μὲν ἀλλήλοις ὥςπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέρισσον , κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥςπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον . Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετόν καὶ πάλιν κατὰ τὰ αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις . οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ · τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϚ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β , ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου ἡμίσεια , ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται τὸ ἥμισυ . παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί , ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ , πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προςηορίαν , τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον , μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τούτων . μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος ὠνόμασται , ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρτια ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει · καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος , ὃ ἐὰν ἔχῃ , ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι , τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν δύναμιν . γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου , ὥςτε μηδένα διαφυγεῖν , ἀλλʼ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν αὐτῇ , εἰ γένοιτο ἂν οὕτως · ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου , ὅσοι καὶ ἂν γένωνται , οὗτοι πάντες ἀρτιάκις ἄρτιοι εἰσιν , ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν ἐστιν εὑρεῖν , οἷον πρὸς ὑπόδειγμα α , β , δ , η , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚ , φιβ καὶ ἐφ᾿ ὁσονοῦν . ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέγονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λύγον , ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέρος , ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων , πάντως καὶ παρώνυμόν ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον , ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐτοῦ εἷς τις ἐστί , κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν , ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν · μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης εὑρεθῆναι , πᾶντως δὲ δύο , ἀφʼ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀντιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει , πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παῤ ἑκάτερα δύο , εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκειμένους ἑκατέρωθεν , μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους ἀφίκηται , ὥςτε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ · οἷον λόγου χάριν , ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον , ἀρτιογενεῖς ἔσονται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων , ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι , καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν , ἀδύνατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ , ἀλλʼ ἀναγκαίως δύο , τήν τε η καὶ τὴν ιϛ , αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος · τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ , ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδ έκατον τὰ η · καὶ προιόντες ἐφʼ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ , τριακοστόδυον δὲ τὰ δ , καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ , ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β , καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστοεικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς , ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ἔμπαλιν τὰ ρκή . ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται , οἷον ἐν ἑπτά , προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ , ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισσῶν φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν , οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις , μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τελευτήσῃ · οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται , ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ , καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ , τριακοστόδυον δὲ τὰ β , καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϚ , ἑκκαιδ έκατον δὲ τὰ δ , ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς αὐτὰ τὰ ή . συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετʼ αὐτὰς παρὰ μονάδα , ὥςτε ἀναγκαίως ἡ ὁπωςοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται · αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι . χρησιμεύσει δʼ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις , ὅσον οὐδέπω , πρὸς τὴν τῶν τελείων ἀριθμῶν σύστασιν · ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϚ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγκεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα , τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰσὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός , καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετʼ αὐτήν , ὅ ἐστι τῷ β , καὶ οἱ συναμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετʼ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς , καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις . κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον · ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις , πάντως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομένων συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα , ἐὰν δὲ περισσαί , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό · ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϚ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο διʼ ὅλου · ἐν δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϚ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτάκις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου .
Lemmas: ὁ . πᾶς ἀριθμός ὁ παρά ἑκάτερος συντίθημι ἅμα ἥμισυς εἰμί καί ὁ ὑπέρ εἷς ἑκατέρωθεν κεῖμαι ὅμοιος ἥμισυς εἰμί καί ἔτι ὁ ὑπέρ ἐκεῖνος καί οὗτος μέχρι ὅς δυνατός . μόνος δέ ὁ μονή διά ὁ μή ἔχω ἑκατέρωθεν αὐτός δύο ἀριθμός εἷς μόνος ὁ παράκειμαι ἥμιούς εἰμί · ἀρχή ἄρα πᾶς φυσικός ὁ μονή . κατά ὑποδιαίρεσις δέ ὁ ἄρτιος ὁ μέν ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ δέ περισσάρτιος , ὁ δέ ἀρτιοπέρισσος · ἐναντίος μέν ἀλλήλων ὥσπερ ἀκρότης ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος καί ὁ ἀρτιοπέρισσος , κοινός δέ ἀμφότερος ὥσπερ μεσότης ὁ περισσάρτιος . ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἀριθμός εἰμί ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἴσος δύναμαι διχάζω κατά ὁ ὁ γένος φύσις καί ὁ ἑαυτοῦ μέρος ὁπότερος τοιοῦτος ἔχω δίχα διαιρετός καί πάλιν κατά ὁ αὐτός ὁ ἐν ἐκεῖνος μέρος ὁπότερος εἰς δύο ἴσος διαιρετός καί μέχρι ἄν εἰς ὁ φύσις ἄτομος μονάς καταντάω ὁ ὁ ἀεί ὑπομερισμός διαίρεσις . οἷος ὑπόδειγμα χάριν ὁ ξδ · οὗτος γάρ ἥμισυς ὁ λβ καί οὗτος ὁ ιϚ καί οὗτος ἥμισυς ὁ η̅ καί οὗτος ὁ δ καί οὗτος ὁ β , ἔπειτα ὁ τελευταῖος μονή οὗτος ἥμισυς , ὅστις φύσις ἄτομος εἰμί οὐκέτι ἐπιδέχομαι ὁ ἥμισυς . παρακολουθέω δέ αὐτός καί , ὅς τις ἄν ἐν αὐτός μέρος λαμβάνω , πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμος εἰμί ὁ προαιρέω , ὁ δέ αὐτός καί ὁ ποσότης ὁ ἐν αὐτός μονάς ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμος , μηδέποτε δέ ἕτερος γένος κοινωνέω ἑκάτερος οὗτος . μήτοι δέ ἄρα καί παρά οὗτος ἀρτιάκις ἄρτιος ὀνομάζω , ὅτι αὐτός ἄρτιος εἰμί καί ὁ μέρος καί ὁ ὁ μέρος μέρος μέχρι μονάς ἄρτιος ἀεί ἔχω ὄνομα τε καί δύναμις · καί ἕτερος πᾶς μέρος , ὅς ἄν ἔχω , ἀρτιάκις ἄρτιος κατά ὁ ὄνομα εἰμί , ὁ δέ αὐτός καί ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί κατά ὁ δύναμις . γένεσις δέ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὥστε μηδείς διαφεύγω , ἀλλά ἐκ εἷς πᾶς ὑποπίπτω αὐτός , εἰ γίγνομαι ἄν οὕτως · ἀπό μονάς ὡς ἀπό ῥίζα κατά ὁ διπλάσιος λόγος προχωρέω μέχρι ἄπειρος , ὅσος καί ἄν γίγνομαι , οὗτος πᾶς ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί , ἄλλος δέ παρά οὗτος ἀμήχανος εἰμί εὑρίσκω , οἷος πρός ὑπόδειγμα α , β , δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚʹ , φιβʹ καί ἐπί ὁσονοῦν . ἕκαστος δή ὁ πρόκειμαι γίγνομαι μέν κατά ὁ ἀπό μονάς διπλάσιος ἀεί λύγος , ὑπάρχω δέ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καί πᾶς δέ μέρος , ὅς ἄν εὑρίσκω ἔχω , πάντως καί παρώνυμος εἰμί εἷς ὁ ἐντός αὐτός καί μονάς σύστημα ἐν οὗτος ὑπάρχω τοσοῦτος , ὁπόσος ὁ ἐντός αὐτός εἷς τις εἰμί , κατά ἀντιπερίστασις μέντοι καί ἀμοιβή , ἐάν μέν εἰμί ἄρτιος ὁ ἔκθεσις ὁ ἀπό μονάς διπλασιασμός · εἷς μέν οὐ οἷος τε μεσότης εὑρίσκω , πάντως δέ δύο , ἀπό ὅς ἄρχω ὁ ἀντιπερίστασις καί ἀμοιβή μέρος πρός δύναμις καί δύναμις πρός μέρος προχωρέω τάξις , πρῶτος μέν ἐπί ὁ παρά ἑκάτερος δύο , εἶτα ἐπί ὁ ὑπέρκειμαι ἑκατέρωθεν , μέχρι ἄν ἐπί ὁ ἄκρος ἀφικνέομαι , ὥστε καί ὁ ὅλος ἀντιπαρωνυμέομαι ὁ μονάς καί ὁ μονάς ὁ ὅλος · οἷος λόγος χάριν , ἐάν ὁ ρκη τίθημι ὁ μέγας , ἀρτιογενής εἰμί αὐτός ὁ ἔκθεσις ὁ ὅρος , ὀκτώ γάρ ὁ μέχρι αὐτός πᾶς , καί εἷς μεσότης οὐ ἔχω , ἀδύνατος γάρ ἐν ἄρτιος , ἀλλά ἀναγκαῖος δύο , ὁ τε η̅ καί ὁ ιϛʹ , ὅστις ἀνταποκρίνομαι ἀλλήλων παρά μέρος · ὁ γάρ ὅλος ὁ ρκη ὄγδοος μέν εἰμί ὁ ιϛʹ , ἔμπαλιν δέ ἑκκαιδ ἕκατος ὁ η̅ · καί προέρχομαι ἐπί ἑκάτερος τέταρτος μέν ὁ λβʹ , τριακοστόδυος δέ ὁ δ , καί πάλιν ἥμισυς μέν ὁ ξδʹ , ἑξηκοστοτέταρτος δέ ὁ β , καί τελευταῖος κατά ὁ ἀκρότης ἑκατοστοεικοστόγδοον μέν ὁ μονή , ὅλος δέ κατά ὁ μονάς ἔμπαλιν ὁ κραίνω . ἐάν δέ ἐν περισσός ὅρος ὁ ἔκθεσις γίγνομαι , οἷος ἐν ἑπτά , προχειρίζω ἐγώ ὁ ξδ , ὁ μεσότης ἀναγκαῖος εἷς εἰμί κατά ὁ ὁ περισσός φύσις καί αὐτός μέν ἑαυτοῦ ἀνταποκρίνομαι διά ὁ σύζυγος μή ἔχω , ὁ δέ ἑκατέρωθεν αὐτός ἀεί ἀλλήλων , μέχρι ἄν εἰς ὁ ἄκρον ὁ ἀνταπόκρισις τελευτάω · οἷον ἑξηκοστοτέταρτος μέν ὁ μονή εἰμί , ὅλος δέ κατά ὁ μονάς ξδʹ , καί ἥμισυς μέν ὁ λβʹ , τριακοστόδυος δέ ὁ β , καί τέταρτος μέν ὁ ιϚʹ , ἑκκαιδ ἑκατόν δέ ὁ δ , ὄγδοος δέ ἄνευ ἀντιδιαστολή αὐτός ὁ η̅ . συμβαίνω δέ πᾶς ὁ ἔκθεσις συντίθημι σωρηδόν ἴσος εἰμί ὁ μετά αὐτός παρά μονάς , ὥστε ἀναγκαῖος ὁ ὁπωσοῦν συγκεφαλαίωσις περισσός ἀριθμός εἰμί · ἀεί γάρ ὁ παρά μονάς ἴσος ὁ ἄρτιος περισσός εἰμί . χρησιμεύω δέ ἐγώ οὗτος ὁ ἐπίγνωσις , ὅσος οὐδέπω , πρός ὁ ὁ τέλειος ἀριθμός σύστασις · ὑπόδειγμα δέ χάριν ὁ σνϚ ὁ ἐντός αὐτός μέχρι μονάς ἴσος εἰμί συγκεφαλαιόω παρά εἷς μονάς , ὁ δέ ρκη ὁ εὐθύς ὑπό αὐτός ὁ ἐντός αὐτός πᾶς ὅμοιος εἰμί ἴσος παρά εἷς μονάς καί ὁ συνεχής δέ ἀεί κατά ὁ αὐτός ὁ ἐντός , καθά καί αὐτός ὁ μονή παρά μονάς ἴσος ὁ μετά αὐτός , ὅς εἰμί ὁ β , καί ὁ συναμφότεροι παρά μονάς ὁ μετά αὐτός καί ὁ σύντρεις παρά μονάς ὁ ἑξῆς , καί οὗτος ἐπί ἄπειρος προχωρέω ἄπταιστος εὑρίσκω . ἐκεῖνος δέ μιμνῄσκω ἀναγκαῖος · ἐάν μέν γάρ ἄρτιος εἰμί ὁ ὁ προχειρίζω ἀρτιάκις ἄρτιος ἔκθεσις , πάντως ὁ ὑπό ὁ ἄκρον πρός ἀλλήλων πολυπλασιάζω συντελέω ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος πρός ἀλλήλων , ἐάν δέ περισσός , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος πρός ἑαυτοῦ · ἅπαξ γάρ ρκηʹ ἐν ἄρτιος ἔκθεσις ἴσος εἰμί ὁ ὀκτάκις ιϚʹ καί ἔτι ὁ δίς ξδʹ καί πάλιν ὁ τετράκις λβʹ καί οὗτος διά ὅλος · ἐν δέ περισσός ἔκθεσις ἴσος ὁ ἅπαξ ξδʹ ὁ δίς λβʹ καί οὗτος ὁ τετράκις ιϚʹ καί οὗτος πάλιν ὁ ὀκτάκις η̅ μόνος μέσος πρός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω .