nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.4
δ . Τριπλασίου δὲ ὑπόδειγμα παραπλήσιον διαγράφειν δεῖ · Τριπλασίων διάγραμμα · κατὰ μὲν τὸ πλάτος τριπλάσιον . α γ θ κζ πα σμγ ψκθ δ ιβ λϚ ρη τκδ Ϡοβ ιϚ μη ρμδ υλβ ᾳσϞϚ ξδ ρϞβ φοϚ ᾳψκη σνϚ ψξη βτδ ᾳκδ γοβ ᾳκδ γοβ κατὰ δὲ τὴν ὑποτείνουσαν τετραπλάσιον . κατὰ δὲ τὸ βάθος ἐπίτριτον . ἐν ᾧ κατὰ ταυτὰ ὀψόμεθα τὸν μὲν πρῶτον τὸν γ ἑνὸς μόνου ἐπιτρίτου ἡγούμενον λόγου τοῦ δ πρὸς αὐτόν , ὅςτις ἀποκλείει εὐθύς ἑτέρου γένεσιν ὁμοίου · τρίτον γὰρ οὐκ ἐπιδέχεται ὁ δ , οὐκ ἄρα οὐδʼ ἐπίτριτον ἕξει · δεύτερος δὲ τριπλάσιός ἐστιν ὁ θ , διὰ τοῦτο δυεῖν μόνων ἐπιτρίτων κατάρξει λόγων τοῦ τε ιβ πρὸς αὐτὸν καὶ τοῦ ιϚ πρὸς τὸν ιβ · ὁ δὲ ιϚ ἀνακόπτει τὴν πρόβασιν λοιπόν , τρίτου γὰρ οὐκ ἔστιν ἐπιδεκτικός , διόπερ οὐδὲ ἐπίτριτόν τινα ἔχει ἐν ἑαυτῷ . ἑξῆς δὲ τέτακται τριπλάσιος ὁ κζ ἐν τρίτῃ ἀπὸ μονάδος χώρᾳ τριπλασίων προχωρούντων α , γ , θ , κζ · διὰ τοῦτο τριῶν μόνων κατάρξει καὶ αὐτὸς ἐπιτρίτων λόγων , πλειόνων δὲ οὐδαμῶς · αὐτοῦ μὲν γὰρ πρῶτος ὁ λϚ , τούτου δὲ δεύτερος ὁ μη , τρίτος δὲ τούτου ὁ ξδ , ὃς οὐκέτι τρίτον μέρος ἔχει , διὸ οὐδʼ ἐπιτρίτου δεκτικός , καὶ ὁ τέταρτος τεσσάρων ἡγεμών ἐστι λόγων καὶ ὁ πέμπτος δηλονότι πέντε . τὸ δὲ ὑπόδειγμα τοιοῦτον · καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πολυπλασίων ὁ αὐτὸς τῶν διαγραμμάτων ἔστω σοι τρόπος παρατηροῦντι , ὅτι καὶ ἐνταῦθα ἡ φύσις , ὥςπερ καὶ ἐν τοῖς προτεχνολογηθεῖσιν εὕρομεν , προγενεστέρους ἡμῖν παρεμφαίνει διπλασίους μὲν τριπλασίων , τριπλασίους δὲ τετραπλασίων , τούτους δὲ πενταπλασίων , καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντός · οἱ μὲν γὰρ ἐπὶ πλάτος στίχοι οἱ ἀνωτάτω , ἐὰν ὦσι διπλάσιοι , ὁμοίως ἕξουσι τοὺς ὑπ᾿ αὐτοὺς παραλλήλους κειμένους , τοὺς δὲ ὑποτείνοντας διαγωνίους τοῦ αὐτοῦ γένους τὸ συνεχὲς καὶ μονάδι μεῖζον εἶδος , ὅ ἐστι τριπλασίους , ἐν παραλλήλῳ ἐξετάσει θεωρουμένους · εἰ δʼ οἱ ἐπὶ πλάτος εἶεν τριπλάσιοι , πάντως οἱ διαγώνιοι ἔσονται τετραπλάσιοι , εἰ δὲ ἐκεῖνοι τετραπλάσιοι , εὐθὺς οὗτοι πενταπλάσιοι , καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί .
Lemmas: δεσποινίδα . τριπλάσιος δέ ὑπόδειγμα παραπλήσιος διαγράφω δέω · τριπλασίων διάγραμμα · κατά μέν ὁ πλάτος τριπλάσιος . α γ θ κζ πῃ σμγ ψκθ δεσποινίδα Ἶβ λϚ ῥέω τκδ Ϡοβ ιϛʹ μής ρμδ Ύλβα ᾳσϞϚ ξδ ρϞβ φοϚ αψκηʹ σνϚ ψήχω βτδ κᾴδη γοβ κᾴδη γοβ κατά δέ ὁ ὑποτείνω τετραπλάσιος . κατά δέ ὁ βάθος ἐπίτριτος . ἐν ὅς κατά αὐτός ὁράω ὁ μέν πρῶτος ὁ γ εἷς μόνος ἐπίτριτος ἡγέομαι λόγος ὁ δ πρός αὐτός , ὅστις ἀποκλείω εὐθύς ἕτερος γένεσις ὅμοιος · τρίτος γάρ οὐ ἐπιδέχομαι ὁ δ , οὐ ἄρα οὐδέ ἐπίτριτος ἔχω · δεύτερος δέ τριπλάσιος εἰμί ὁ θ̅ , διά οὗτος δύο μόνος ἐπίτριτος κατάρχω λόγος ὁ τε ιβ πρός αὐτός καί ὁ ιϚʹ πρός ὁ ιβ · ὁ δέ ιϚ ἀνακόπτω ὁ πρόβασις λοιπός , τρίτος γάρ οὐ εἰμί ἐπιδεκτικός , διόπερ οὐδέ ἐπίτριτος τις ἔχω ἐν ἑαυτοῦ . ἑξῆς δέ τάσσω τριπλάσιος ὁ κζ ἐν τρίτος ἀπό μονάς χώρα τριπλασίων προχωρέω α , γ , θ̅ , κζʹ · διά οὗτος τρεῖς μόνος κατάρχω καί αὐτός ἐπίτριτος λόγος , πολύς δέ οὐδαμῶς · αὐτός μέν γάρ πρῶτος ὁ λϚʹ , οὗτος δέ δεύτερος ὁ μηδέ , τρίτος δέ οὗτος ὁ ξδʹ , ὅς οὐκέτι τρίτος μέρος ἔχω , διό οὐδέ ἐπίτριτος δεκτικός , καί ὁ τέταρτος τέσσαρες ἡγεμών εἰμί λόγος καί ὁ πέμπτος δηλονότι πέντε . ὁ δέ ὑπόδειγμα τοιοῦτος · καί ἐπί ὁ λοιπός δέ πολυπλάσιος ὁ αὐτός ὁ διάγραμμα εἰμί σύ τρόπος παρατηρέω , ὅτι καί ἐνταῦθα ὁ φύσις , ὥσπερ καί ἐν ὁ προτεχνολογέω εὑρίσκω , προγενής ἐγώ παρεμφαίνω διπλάσιος μέν τριπλασίων , τριπλάσιος δέ τετραπλάσιος , οὗτος δέ πενταπλάσιος , καί ἀεί οὕτως μέχρι πᾶς · ὁ μέν γάρ ἐπί πλάτος στίχος ὁ ἄνω , ἐάν εἰμί διπλάσιος , ὅμοιος ἔχω ὁ ὑπό αὐτός παράλληλος κεῖμαι , ὁ δέ ὑποτείνω διαγώνιος ὁ αὐτός γένος ὁ συνεχής καί μονάς μέγας εἶδος , ὅς εἰμί τριπλάσιος , ἐν παράλληλος ἐξέτασις θεωρέω · εἰ δέ ὁ ἐπί πλάτος εἰμί τριπλάσιος , πάντως ὁ διαγώνιος εἰμί τετραπλάσιος , εἰ δέ ἐκεῖνος τετραπλάσιος , εὐθύς οὗτος πενταπλάσιος , καί οὗτος μέχρι ἀεί .