nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.3
γ . Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ , ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὥν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος , οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ . διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν , ὁ πρῶτος ἕνα , ὁ δεύτερος δύο , ὁ τρίτος τρεῖς , ὁ τέταρτος τέσσαρας , ὁ πέμπτος πέντε , ὁ ἕκτος ἕξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας , ἀλλʼ ἐξ ἀνάγκης πάσης , ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσάριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις , τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου . τοῦ μορίου , καθʼ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι · ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προκοπῆς εἰς ἀριθμούς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου · καὶ ἐπιτέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύφωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν . οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ πρῶτος α , β , δ , η , ιϚ , λβ , ξδ · ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα , ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ , ὅςτις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν , ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος · ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεννητικός ἐστιν ἡμιολίου , ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων , αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ Ϛ , τοῦ δὲ Ϛ ὁ θ , τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος , ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει · ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ , ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν , ἑτέρου δὲ τοῦ ιη πρὸς τὸν ιβ , τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη , τετάρτου δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν , ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται · ὁ δὲ ιϚ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων , τοῦ τε κδ , τοῦ λϚ , τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου , ἵνα ἰσάριθμοι ἀνάγκαίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν , ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται · καὶ τούτο μέχρις ἀπείρου προιών ἀνάλογον εὑρήσεις . οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γεγράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα Διπλασίων διάγραμμα · κατὰ τὸ πλάτος διπλάσιον . α β δ η ιϚ λβ ξδ γ Ϛ ιβ κδ μη ϞϚ θ ιη λϚ οβ ρμδ κζ νδ ρη σιϚ πα ρξβ τκδ σμη υπϚ ψκθ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν τριπλάσιον . κατὰ τὸ βάθος ἡμιόλοιν
Lemmas: γ . ἅπας πολλαπλάσιος τοσοῦτος ἐπιμόριος ἡγέομαι λόγος ἀντιπαρώνυμος αὐτός , ὁπόστος ἄν αὐτός ἀνά τυγχάνω ἀπό μονάς , οὔτε δέ πολύς οὔτε ἐλαχύς οὐδείς μηχανή . διπλάσιος μέν οὖν ἡμιόλιος φύω , ὁ πρῶτος εἷς , ὁ δεύτερος δύο , ὁ τρίτος τρεῖς , ὁ τέταρτος τέσσαρες , ὁ πέμπτος πέντε , ὁ ἕκτος ἕξ καί οὔτε πολύς οὔτε ἐλαχύς , ἀλλά ἐκ ἀνάγκη πᾶς , ὅταν ὁ σύμμετρος ποσότης ἀπολαμβάνω ὁ γεννάω ἐπιμόριος ἰσάριθμος γίγνομαι ὁ γεννάω πολλαπλάσιος , τότε δή ἐκ τις δαιμόνιος μηχανή εὑρίσκω ὁ πᾶς περαίνω ἀριθμός ἀνεπίδεκτος εἰμί φύσις ἐκεῖνος . ὁ μόριον , κατά ὅς προκόπτω ὁ ἐπιμόριος · ἀπό δέ ὁ τριπλασίων ὁ ἐπίτριτος πᾶς προκόπτω καί αὐτός ἰσάριθμος ὁ γεννάω ὁ γεννάω καί περαιόω γε μετά ὁ αὐτάρκεια ὁ προκοπή εἰς ἀριθμός μή ἐπιδεκτικός τρίτος · καί ἐπιτέταρτος δέ κατά αὐτός ἐκ τετραπλάσιος ἐπικορύφωσις λαμβάνω ἀριθμός μετά ὁ αὐτάρκης πρόβασις τέταρτος μή ἐπιδεκτικός . οἷον διπλασίων μέν ὑπόδειγμα χάριν ἰσάριθμος γεννάω ἡμιόλιος ὁ μέν ἄνω στίχος εἰμί πολλαπλασίων ὁ πρῶτος α , β , δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ · ἐπεί δέ πρῶτος εἰμί ὁ β μετά ὁ μονάς , εἷς κατάρχω οὗτος ἡμιόλιος μόνος ὁ γ , ὅστις ἥμισυς ἐπιδεκτικός οὐ εἰμί , ἵνα καί ἄλλος αὐτός γίγνομαι ἡμιόλιος · ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος εἷς μόνος γεννητικός εἰμί ἡμιόλιος , ὁ δέ δεύτερος ὁ δ δύο γεννητικός ἡμιόλιος , αὐτός μέν γάρ ὁ Ϛ , ὁ δέ Ϛ ὁ θ̅ , ὁ δέ θ̅ οὐ εἰμί ἄλλος , ἥμισυς γάρ οὐ ἔχω · ὁ δέ η̅ τρίτος εἰμί διπλάσιος τρεῖς ἡμιόλιος εἰμί πατήρ , εἷς μέν ὁ ιβʹ πρός αὐτός , ἕτερος δέ ὁ ιηʹ πρός ὁ ιβʹ , τρίτος δέ ὁ κζ πρός ὁ ιηʹ , τέταρτος δέ οὐκέτι διά ὁ καθολικός , ὁ γάρ κζ ἥμισυς οὐκέτι ἐπιδέχομαι · ὁ δέ ιϚ τέταρτος εἰμί διπλάσιος τέσσαρες ἡγέομαι ἡμιόλιος , ὁ τε κδʹ , ὁ λϚʹ , ὁ νδʹ καί ὁ πη τελευταῖος , ἵνα ἰσάριθμος ἀναγκαῖος εἰμί ὁ γεννάω , ὁ γάρ πη οὐκέτι ἥμισυς φύσις ἐπιδέχομαι · καί οὗτος μέχρι ἄπειρος προέρχομαι ἀνάλογος εὑρίσκω . οἷος ὑπόδειξις ἕνεκα γράφω οὕτως διπλάσιος διάγραμμα διπλάσιος διάγραμμα · κατά ὁ πλάτος διπλάσιος . α Β δεσποινίδα ὁ ιϛʹ λβ ξδ γ Ϛ Ἶβ ΚΔ μη ϞϚ θ εἷς λϚ ΟΒΕ ρμδ κζ ΝΔΑ ῥέω σιϚ πῃ ρξβ τκδ σμάω υπϚ ψκθ κατά ὁ ὑποτείνω τριπλάσιος . κατά ὁ βάθος ἡμίολος