nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.18
ιη . Καὶ περὶ μὲν στερεῶν ἀριθμῶν ἱκανὰ ἐν τῷ παρόντι καὶ ταῦτα · ἐπεὶ δὲ ἀρχὰς τῶν ὅλων οἵ τε φυσικοὶ καὶ οἱ ἐκ τῶν μαθημάτων ὁρμώμενοι τὸ ταυτὸν καὶ τὸ ἕτερον λέγουσιν , ἀπεδείχθη δὲ τὸ ταυτὸντὸν μὲν ὑπάρχουσα ἡ μονὰς καὶ οἱ κατὰ εἰδοποίησιν αὐτῆς περισσοί , πολύ δὲ μᾶλλον οἱ ἐκ τούτων συσσωρευομένων συνιστάμενοι τετράγωνοι ὡς ἂν δὴ ἰσότητος ἐν ταῖς πλευραῖς μετέχοντες , ἕτερον δὲ δυάς τε καὶ ὁ ὑπὸ ταύτης εἰδοποιούμενος πᾶς ἄρτιος , μάλιστα δὲ οἱ ὑπὸ τούτων συσσωρευομένων συνιστάμενοι ἑτερομήκεις διὰ τὸ πρώτης ἀνισότητος καὶ ἑτερότητος ἐν τῇ τῶν πλευρῶν διαφορᾷ μετέχειν , ἔτι τοῦτο ἀποδεικτέον ἀναγκαιότατα , πῶς ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ὡς ἐν ἀρχαῖς καὶ σπέρμασι δυνάμει πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιώματα προυπόκειται εἰδῶν τε αὐτοῦ καὶ ὑποδιαιρέσεων σχέσεών τε πασῶν καὶ πολυγώνων καὶ τῶν παραπλησίων . πρότερον δὲ διασταλτέον ἡμῖν , ᾗ διαφέρει προμήκης ἀριθμὸς ἑτερομήκους · ἑτερομήκης μὲν γάρ ἐστιν , ὡς προελέχθη , ὁ γινόμενος ὑπὸ ἀριθμοῦ τὸν μονάδι ἑαυτοῦ μείζονα πολυπλασιάσαντος , οἷον ὁ Ϛ ὑπὸ τού δὶς γ , ὁ ιβ ὑπὸ τοῦ τρὶς δ , προμήκης δέ ἐστιν ὁ ὑπὸ δύο μὲν ἀριθμῶν διαφέρόντων ὁμοίως καὶ αὐτὸς γινόμενος , οὐ μὴν μονάδι γε , ἀλλὰ μείζονί τινι ἀριθμῷ , οἷον δὶς δ , τρὶς Ϛ , τετράκις , καὶ οἱ παραπλήσιοι τῴ μήκει προπεπτωκότες τρόπον τινὰ καὶ ὑπερβεβηκότες τὴν τῆς μονάδος διαφοράν . οὐκοῦν ὅτι μὲν οἱ τετράγωνοι ὑπό τινων ἀριθμῶν ἰδίῳ μήκει μηκυνθέντων γίνονται , ταυτὸν ἔχοντες τὸ μῆκος τῷ πλάτει , ἰδιομήκεις ἄν κυρίως καὶ ταυτομήκεις λέγοιντο , οἶον δὶς β , τρὶς γ , τετράκις δ καὶ οἱ ἐφεξῆς · εἰ δὲ τοῦτο , ἐπιδεκτικοὶ πάντως ταυτότητος καὶ ἰσότητος , διόπερ ὡρισμένοι τε καὶ περαίνοντες · τὸ γὰρ ἶσον καὶ τὸ ταυτὸν ἑνὶ τρόπῳ καὶ ὡρισμένῳ οιοῦτον · ὅτι δὲ καὶ οἱ ἑτερομήκεις ἀριθμοὶ οὐκ ἰδίῳ μήκει , ἀλλ᾿ ἑτέρου μηκυνθέντος ἀποτελοῦνται , ἑτερομήκεις τε διὰ τοῦτο καὶ ἑτερότητος ἐπιδεκτικοὶ ἀπειρίας τε καὶ ἀοριστίας . τῇ δὲ ἄρα διχοστατεῖ καὶ διανενέμηται καὶ ἐναντία ἀλλήλοις φαίνεται τά τε τοῦ ἀριθμοῦ πάντα καὶ τὰ ἐν κόσμῳ πρὸς ταῦτα ἀποτελεσθέντα καὶ καλῶς οἱ παλαιοὶ φυσιολογεῖν ἀρχόμενοι τὴν πρώτην διαίρεσιν τῆς κοσμοποιίας ταύτῃ ποιοῦνται · Πλάτων μὲν τῆς ταυτοῦ . φύσεως καὶ τῆς θατέρου ὀνομάζων καὶ πάλιν τῆς ἀμερίστου καὶ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἐχούσης οὐσίας τῆς τε οὖ μερι στῆς γινομένης , Φιλόλαος δὲ ἀναγκαῖον τὰ ἐόντα πάντα εἶμεν ἤτοι ἄπειρα ἢ περαίνοντα ἢ περαίνοντα ἄμα καὶ ἄπειρα , ὅπερ μᾶλλον συγκατατίθεται εἶναι , ἐκ περαινόντων ἅμα καὶ ἀπείρων συνεστάναι τὸν κόσμον , κατ᾿ εἰκόνα δηλονότι τοῦ ἀριθμοῦ · καὶ γὰρ οὗτος σύμπας ἐκ μονάδος καὶ δυάδος σύγκειται ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ , ἃ δὴ ἰσότητός τε καὶ ἀνισότητος ἐμφαντικὰ ταυτότητὸς τε καὶ ἑτερότητος περαίνοντός τε καὶ ἀπείρου ὡρισμένου τε καὶ ἀορίστου .
Lemmas: εἷς . καί περί μέν στερεός ἀριθμός ἱκανός ἐν ὁ πάρειμι καί οὗτος · ἐπεί δέ ἀρχή ὁ ὅλος ὁ τε φυσικός καί ὁ ἐκ ὁ μάθημα ὁρμάω ὁ αὐτός καί ὁ ἕτερος λέγω , ἀποδείκνυμι δέ ὁ ταὐτός μέν ὑπάρχω ὁ μονή καί ὁ κατά εἰδοποίησις αὐτός περισσός , πολύς δέ μάλα ὁ ἐκ οὗτος συσσωρεύω συνίστημι τετράγωνος ὡς ἄν δή ἰσότης ἐν ὁ πλευρά μετέχω , ἕτερος δέ δυάς τε καί ὁ ὑπό οὗτος εἰδοποιέω πᾶς ἄρτιος , μάλα δέ ὁ ὑπό οὗτος συσσωρεύω συνίστημι ἑτερομήκης διά ὁ πρῶτος ἀνισότης καί ἑτερότης ἐν ὁ ὁ πλευρά διαφορά μετέχω , ἔτι οὗτος ἀποδεικτέον ἀναγκαῖος , πῶς ἐν ἀμφότερος οὗτος ὡς ἐν ἀρχή καί σπέρμα δύναμις πᾶς ὁ ὁ ἀριθμός ἰδίωμα προυπόκειμαι εἶδος τε αὐτός καί ὑποδιαίρεσις σχέσις τε πᾶς καί πολύγωνος καί ὁ παραπλήσιος . πρότερος δέ διασταλτέον ἐγώ , ὅς διαφέρω προμήκης ἀριθμός ἑτερομήκης · ἑτερομήκης μέν γάρ εἰμί , ὡς προλέγω , ὁ γίγνομαι ὑπό ἀριθμός ὁ μονάς ἑαυτοῦ μέγας πολυπλασιάζω , οἷος ὁ Ϛ ὑπό ὁ δίς γ , ὁ ιβ ὑπό ὁ τρίς δ , προμήκης δέ εἰμί ὁ ὑπό δύο μέν ἀριθμός διαφέρω ὅμοιος καί αὐτός γίγνομαι , οὐ μήν μονάς γε , ἀλλά μέγας τις ἀριθμός , οἷος δίς δ , τρίς Ϛ , τετράκις , καί ὁ παραπλήσιος τις μῆκος προπίπτω τρόπος τις καί ὑπερβαίνω ὁ ὁ μονάς διαφορά . οὐκοῦν ὅτι μέν ὁ τετράγωνος ὑπό τις ἀριθμός ἴδιος μῆκος μηκύνω γίγνομαι , αὐτός ἔχω ὁ μῆκος ὁ πλάτος , ἰδιομήκης ἄν κύριος καί ταυτομῆκυς λέγω , οἷος δίς β , τρίς γ , τετράκις δ καί ὁ ἐφεξῆς · εἰ δέ οὗτος , ἐπιδεκτικός πάντως ταυτότης καί ἰσότης , διόπερ ὁρίζω τε καί περαίνω · ὁ γάρ ἴσος καί ὁ αὐτός εἷς τρόπος καί ὁρίζω οἰόω · ὅτι δέ καί ὁ ἑτερομήκης ἀριθμός οὐ ἴδιος μῆκος , ἀλλά ἕτερος μηκύνω ἀποτελέω , ἑτερομήκης τε διά οὗτος καί ἑτερότης ἐπιδεκτικός ἀπειρία τε καί ἀοριστία . ὁ δέ ἄρα διχοστατέω καί διανέμω καί ἐναντίος ἀλλήλων φαίνω ὁ τε ὁ ἀριθμός πᾶς καί ὁ ἐν κόσμος πρός οὗτος ἀποτελέω καί καλός ὁ παλαιός φυσιολογέω ἄρχω ὁ πρῶτος διαίρεσις ὁ κοσμοποιία οὗτος ποιέω · Πλάτων μέν ὁ ταυτός . φύσις καί ὁ ἕτερος ὀνομάζω καί πάλιν ὁ ἀμέριστος καί ἀεί κατά ὁ αὐτός ἔχω οὐσία ὁ τε ὅς μερίς ἵστημι γίγνομαι , Φιλόλαος δέ ἀναγκαῖος ὁ εἰμί πᾶς εἰμί ἤτοι ἄπειρος ἤ περαίνω ἤ περαίνω ἅμα καί ἄπειρος , ὅς μάλα συγκατατίθημι εἰμί , ἐκ περαίνω ἅμα καί ἄπειρος συνίστημι ὁ κόσμος , κατά εἰκών δηλονότι ὁ ἀριθμός · καί γάρ οὗτος σύμπας ἐκ μονάς καί δυάς σύγκειμαι ἄρτιος τε καί περισσός , ὅς δή ἰσότης τε καί ἀνισότης ἐμφαντικός ταυτότης τε καί ἑτερότης περαίνω τε καί ἄπειρος ὁρίζω τε καί ἀόριστος .