nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.15
ιε . Καὶ ἡ μὲν τῶν ἰσοπλεύρων στερεῶν ἀριθμῶν πυραμοειδῶν γένεσις καὶ προκοπὴ καὶ ἐπαύξησις καὶ φύσις τοιαύτη σπέρμα καὶ ῥίζαν ἔχουσα τούς πολυγώνους αὐτούς καὶ τὴν ἐκείνων εὔτακτον ἐπισωρείαν , ἑτέρα δέ τις στερεῶν ἑτερογενῶν εὐταξία ἐστὶ τῶν λεγομένων κύβων , δοκίδων , πλινθίδων , σφηνίσκων , σφαιρικῶν , παραλληλεπιπέδων , τήν τῆς προβάσεως τάξιν ἔχουσα τοιαύτην τινά . οἱ προφρασθέντες τετράγωνοι α , δ , θ , ιϚ , κε , λϚ μθ , ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχοντες ἔτι καὶ τρίτον προςλήψονται διάστημα καὶ ἔσονται στερεοὶ καὶ τριχῆ διαστατοί , ἐὰν τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ ἕκαστος πολλαπλασιασθῇ , ὁ μὲν δ δὶς β ὢν πάλιν δὶς γενόμενος , ἵνα ὀγδοὰς ἀποτελεσθῇ , ὁ δὲ θ τρὶς γ ὤν πάλιν τριάδι ἐπ᾿ ἄλλο διάστημα αὐξηθῇ καὶ γένηται ὁ κζ , ὁ δὲ ιϚ τετράκις δ ὑπάρχων πάλιν τετράδι τῇ αὐτοῦ πλευρᾷ μεγεθυνθῇ καὶ γένηται ὁ ξδ , καὶ οἱ ἑξῆς παραπλησίως μέχρι παντός . τοσούτων δὲ καὶ ἐνθάδε μονάδων αἱ πλευραὶ ἔσονται , ὅσωνπερ ἧσαν καὶ αἱ τῶν τετραγώνων , ἀφ᾿ ὧν ἐγένοντο , ἕκαστος ἀφ᾿ ἑκάστου , αἱ μὲν τοῦ η δυάδων , ὅσων καὶ αἱ τοῦ δ , αἱ δὲ τοῦ κζ τριάδων , ὅσων καὶ αἱ τοῦ θ , αἱ δὲ τοῦ ξδ τετράδων , ὅσων καὶ αἱ τοῦ ιϚ , καὶ τοῦτο ἐφεξῆς , ὥςτε καὶ ἡ τῆς δυνάμει κύβου μονάδος πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι , ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος . καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν ἐστι , γωνίας δὲ ἔχει τέσσαρας καὶ πλευρὰς τέσσαρας , ἕκαστος δὲ κύβος ηὐξημένος ὢν ἐξ ἑκάστου τετραγώνου τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ πολυπλασιασθέντος ἐπίπεδα μὲν ἕξει πάντως ἔξ , ὧν ἕκαστον ἶσον τῷ προγόνῳ αὐτοῦ τετραγώνῳ , πλευρὰς δὲ δώδεκα , ὦν ἑκάστῃ ἴση καὶ μο νάδων γε τῶν αὐτῶν τῇ τοῦ προγόνου τετραγώνου πλευρᾷ , γωνίας δὲ ὀκτώ στερεάς , ὧν ἑκάστη περιέχεται ὑπὸ τριῶν πλευρῶν , οἵα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ἐν τῷ προγόνῳ τετραγώνῳ .
Lemmas: ιε . καί ὁ μέν ὁ ἰσόπλευρος στερεός ἀριθμός πυραμοειδής γένεσις καί προκοπή καί ἐπαύξησις καί φύσις τοιοῦτος σπέρμα καί ῥίζα ἔχω ὁ πολύγωνος αὐτός καί ὁ ἐκεῖνος εὔτακτος ἐπισωρεία , ἕτερος δέ τις στερεός ἑτερογενής εὐταξία εἰμί ὁ λέγω κύβος , δοκίς , πλινθίς , σφηνίσκος , σφαιρικός , παραλληλεπίπεδον , ὁ ὁ πρόβασις τάξις ἔχω τοιοῦτος τις . ὁ προφράζω τετράγωνος α , δ , θ̅ , ιϚʹ , ἄν , λϚʹ μθʹ , ξδʹ καί ὁ ἑξῆς διχῆ εἰμί διαστατός καί ἐν ὁ ἐπίπεδος σχηματογραφία μῆκος καί πλάτος μόνος ἔχω ἔτι καί τρίτος προσλαμβάνω διάστημα καί εἰμί στερεός καί τριχῆ διαστατός , ἐάν ὁ ἴδιος πλευρά ἕκαστος πολλαπλασιάζω , ὁ μέν δ δίς β εἰμί πάλιν δίς γίγνομαι , ἵνα ὀγδοάς ἀποτελέω , ὁ δέ θ̅ τρίς γ εἰμί πάλιν τριάς ἐπί ἄλλος διάστημα αὐξάνω καί γίγνομαι ὁ κζʹ , ὁ δέ ιϚ τετράκις δ ὑπάρχω πάλιν τετράς ὁ αὐτός πλευρά μεγεθύνω καί γίγνομαι ὁ ξδ , καί ὁ ἑξῆς παραπλήσιος μέχρι πᾶς . τοσοῦτος δέ καί ἐνθάδε μονάς ὁ πλευρά εἰμί , ὁσώνπηρ εἰμί καί ὁ ὁ τετράγωνος , ἀπό ὅς γίγνομαι , ἕκαστος ἀπό ἕκαστος , ὁ μέν ὁ η̅ δυάς , ὅσος καί ὁ ὁ δ , ὁ δέ ὁ κζʹ τριάς , ὅσος καί ὁ ὁ θ̅ , ὁ δέ ὁ ξδ τετράς , ὅσος καί ὁ ὁ ιϚʹ , καί οὗτος ἐφεξῆς , ὥστε καί ὁ ὁ δύναμις κύβος μονάς πλευρόν μονή εἰμί πανταχόθι , ὅσηπερ καί ὁ ὁ δύναμις τετράγωνος μονάς . καθόλου δέ ἕκαστος τετράγωνος εἷς μέν ἐπίπεδος εἰμί , γωνία δέ ἔχω τέσσαρες καί πλευρά τέσσαρες , ἕκαστος δέ κύβος αὐξάνω εἰμί ἐκ ἕκαστος τετράγωνος ὁ ἴδιος πλευρά πολυπλασιάζω ἐπίπεδος μέν ἔχω πάντως ἐκ , ὅς ἕκαστος ἴσος ὁ πρόγονος αὐτός τετράγωνος , πλευρά δέ δώδεκα , ὅς ἕκαστος ἴσος καί μ νάδα γε ὁ αὐτός ὁ ὁ πρόγονος τετράγωνος πλευρά , γωνία δέ ὀκτώ στερεός , ὅς ἕκαστος περιέχω ὑπό τρεῖς πλευρά , οἷος εἰμί ἕκαστος ὁ ἐν ὁ πρόγονος τετράγωνος .