nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.7
ζ . Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος , οὐ διάστημα δέ , τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς , οὐ γραμμὴ δέ · καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας , οὐκ ἐπιφάνεια δέ , καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ , οὐ διχῆ δὲ διαστατόν . καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος , οὐ σῶμα δέ , καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ , οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν . οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφʼ ἓν διάστημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου , ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφʼ ἕτερον διάστημα ἐπιπέδως πλατυνομένου , ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθμὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προςκτωμένου · οἷον καθʼ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διάστημα , ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχικωτάτης ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἐξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες , λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν · πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι , εἶτα μετʼ αὐτοὺς τετράγωνοι , εἶτα μετʼ αὐτοὺς πεντάγωνοι , εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπʼ ἄπειρον · προςαγορεύονται δέ , ὡς ἔφαμεν , ἀπὸ τῶν ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν . ἀρχικώτατον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται · καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι , λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα , ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί , αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖται , ἀλλʼ εἰς ἑαυτό · στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ ρίγωνον · εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως , αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον · ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά , αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός · στοιχεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων , αὐτοῦ δὲ οὐδέν . κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βεβαιώσει τὸ λεγόμενον .
Lemmas: ζ . εἰμί οὖν σημεῖον ἀρχή διάστημα , οὐ διάστημα δέ , ὁ δέ αὐτός καί ἀρχή γραμμή , οὐ γραμμή δέ · καί γραμμή ἀρχή ἐπιφάνεια , οὐ ἐπιφάνεια δέ , καί ἀρχή ὁ διχῆ διαστατός , οὐ διχῆ δέ διαστατός . καί ἔοικα ὁ ἐπιφάνεια ἀρχή μέν σῶμα , οὐ σῶμα δέ , καί ὁ αὐτός ἀρχή μέν ὁ τριχῆ διαστατός , οὐ τριχῆ δέ διαστατός . οὕτως δή καί ἐν ὁ ἀριθμός ὁ μέν μονή ἀρχή πᾶς ἀριθμός ἐπί εἷς διάστημα κατά μονάς προβιβάζω , ὁ δέ γραμμικός ἀριθμός ἀρχή ἐπίπεδος ἀριθμός ἐπί ἕτερος διάστημα ἐπίπεδος πλατύνω , ὁ δέ ἐπίπεδος ἀριθμός ἀρχή στερεός ἀριθμός ἐπί τρίτος διάστημα πρός ὁ ἐκ ἀρχή βάθος τις προσκτάομαι · οἷον κατά ὑποδιαίρεσις γραμμικός μέν εἰμί ἀριθμός ἁπλῶς ἅπας ὁ ἀπό δυάς ἄρχω καί κατά μονάς πρόσθεσις ἐπί εἷς καί ὁ αὐτός προχωρέω διάστημα , ἐπίπεδος δέ ὁ ἀπό τριάς ἄρχω ἀρχικός ῥίζα καί διά ὁ ἑξῆς συνεχής ἀριθμός προέρχομαι , λαμβάνω καί ὁ ἐπωνυμία κατά ὁ αὐτός τάξις · πρῶτος γάρ τρίγωνος , εἶτα μετά αὐτός τετράγωνος , εἶτα μετά αὐτός πεντάγωνος , εἶτα ἐπί οὗτος ἑξάγωνος καί ἑπτάγωνος καί ἐπί ἄπειρος · προσαγορεύω δέ , ὡς φημί , ἀπό ὁ ἀπό τριάς ἐφεξῆς κεῖμαι ἀριθμός . ἀρχικός ἄρα σχῆμα ἐπίπεδος καί στοιχειώδης ὁ τρίγωνος εὑρίσκω · καί γάρ ἐν ὁ γραμμικός ἐπίπεδος ἐάν ἀπό ὁ γωνία ἐπί ὁ μέσος εὐθεῖα ἄγω , λύω ἕκαστος εὐθύγραμμος σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνος τοσοῦτος , ὅσος ἄν αὐτός τυγχάνω ὁ πλευρά , αὐτός δέ ὁ τρίγωνος ὁ αὐτός ὁ ἄλλος πάσχω εἰς ἕτερος τις οὐ μεταπίπτω , ἀλλά εἰς ἑαυτοῦ · στοιχεῖον ἄρα καί ἐν ἐκεῖνος ὁ ρίγωνον · εἰς αὐτός γάρ ὁ ἄλλος πᾶς ἀναλύω ἀναγκαῖος , αὐτός δέ οὐ εἰς ἕτερος · ἐκ οὗτος ἄν καί συνίστημι ὁ λοιπός , αὐτός δέ ἐκ οὐδείς · στοιχεῖον ἄρα οὗτος ὁ ἄλλος , αὐτός δέ οὐδείς . ἐν ὁ ἀριθμητικός δέ ἐπίπεδος προέρχομαι ὁ λόγος βεβαιόω ὁ λέγω .