nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.14
ιδ . Αἱ δὲ ἐξῆς πυραμίδες εἰσὶν αἱ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ὁμοιοσχημόνως ἀνιστάμεναι ἐφʼ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον · αὗται δὲ τῷ αὐτῷ τρόπῳ πλάσσονται ταῖς προλεχθείσαις τριγωνικαῖς · τούς γὰρ ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τετραγώνους στοιχηδὸν ἐκθέμενος α , δ , θ , ιϚ , κε , λϚ , μθ , ξδ , πα , ρ καὶ τοὺς ἑξῆς πάλιν σωρηδὸν ἐπιτίθημι ἀλλήλοις κατὰ βάθος αὐτούς , τὸν α ἐπάνω τοῦ δ , καὶ γίνεται πυραμὶς ἡ ε ἐνεργείᾳ πρώτη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως , δυνάμει γὰρ πρώτη καὶ ἐνταῦθα ἡ μονάς . πάλιν δ᾿ αὐτὴν ταύτην , ὡς ἔχει , τὴν πυραμίδα τὴν ἐκ πέντε μονάδων ἐπιτίθημι ὅλην τῷ θ τετραγώνῳ καὶ συνίσταταί μοι ἡ ιδ πυραμὶς ἀπὸ τετραγώνου βάσεως πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι τριάδα , τῆς προτέρας δυάδα ἐχούσης τῆς ε , τῆς δὲ δυνάμει πρωτίστης μονάδα · δεῖ γὰρ καὶ ἐνθάδε τοσούτων ἑκάστην πλευρὰν ἡςτινοςοῦν πυραμίδος μονάδων εἶναι , ὅσοιπέρ εἰσι τὸν ἀριθμὸν οἱ εἰς σύστασιν αὐτῆς συσσωρευθέντες πολύγωνοι . πάλιν γὰρ τὴν ιδ πυραμίδα συνόλην βάσιν ἔχουσαν τὸν θ τετράγωνον ἐπιτίθημι τῷ ιϚ τετραγώνῳ καὶ ἀποτελεῖταί μοι ἡ λ πυραμὶς τρίτη κατ᾿ ἐνέργειαν τῶν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως οὖσα · τῇ δ᾿ αὐτῇ τάξει καὶ ἀγωγῇ καὶ ἀπὸ πενταγώνου βάσεως καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυραμίδας συστησόμεθα τούς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι ὡς ἀπὸ ἐλαχίστου καὶ προχωροῦντες μέχρις ἀπείρου καθ᾿ ἑκάστην . καὶ ἐκ τούτου δῆλον γίνεται , ὅτι στοιχειωδέστερα τὰ τρίγωνα · πᾶσαι γὰρ ἁπλῶς αἱ δεικνύμεναι καὶ φαινόμεναι πυραμίδες ἀπὸ τῶν καθ᾿ ἑκάστην πολυγώνων βάσεων τριγώνοις μέχρι κορυφῆς περιέχονται . Ἵνα δὲ μὴ ἀνήκοοι ὦμεν κολούρων καὶ δικολούρων καὶ τρικολούρων πυραμίδων , ὧν τοῖς ὀνόμασιν ἐντευξόμεθα ἐν συγγράμμασι μάλιστα τοῖς θεωρηματικοῖς , ἰστέον , ὅτι , ἐὰν πυραμὶς ἀφ᾿ ἡςτινοςοῦν βάσεως , τουτέστιν ὁντιναοῦν πολύγωνον ἔχουσα βάσιν εἴτε τρίγωνον εἴτε τετράγωνον εἴτε πεντάγωνον εἴτε τῶν ἐξῆς τινα τῶν ὁμογενῶν πολυγώνων , κατὰ σωρείαν αὐξηθεῖσα μὴ ἐπὶ μονάδα μειουρισθῇ , κόλουρος ἀπλῶς λέγεται ἐστερημένη τῆς φυσικῆς καὶ πᾶσιν ἐπιβαλλούσης κορυφώσεως · οὐ γὰρ εἰς τὸν δυνάμει πολύγωνον τὴν μονάδα τελευτᾷ αὕτη ὡς εἰς ἕν τι σημεῖον , ἀλλ᾿ εἰς ἕτερον ἐνεργείᾳ , καὶ οὐκέτι μονὰς κορυφή , ἀλλ᾿ ἐπίπεδον αὐτῇ τὸ πέρας γίνεται ἰσογώνιον τῇ βάσει · ἐὰν δὲ πρὸς τῷ μὴ εἰς μονάδα τελευτᾶν ἔτι καὶ μὴ εἰς τὸν παρὰ τὴν μονάδα ἐνεργεία πρῶτον τελευτήσῃ , δικόλουρος λέγεται ἡ τοιαύτη · ἐὰν δὲ καὶ ἔτι μὴ ἔχῃ τὸν ἐνεργείᾳ δεύτερον πολύγωνον ἐπὶ τῷ συμπεράσματι , ἀλλὰ μόνον τὸν ὑπ᾿ αὐτόν , τρικόλουρος κεκλήσεται καὶ τετρακόλουρός γε , ἂν καὶ τὸν μετ᾿ ἐκεῖνον μὴ ἔχῃ , καὶ πεντακόλουρος κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ ἀεὶ μέχρι βούλει παρεκτείνειν τὸ ὄνομα .
Lemmas: ὁράω . ὁ δέ ἑξῆς πυραμίς εἰμί ὁ ἀπό τετράγωνος βάσις ὁμοιοσχήμων ἀνίστημι ἐπί εἷς καί ὁ αὐτός σημεῖον · οὗτος δέ ὁ αὐτός τρόπος πλήσσω ὁ προλέγω τριγωνικός · ὁ γάρ ἀπό μονάς εὔτακτος τετράγωνος στοιχηδόν ἐκτίθημι α , δ , θ̅ , ιϚ , ἄν , λϚ , μθ , ξδ , πη , ρ̅ καί ὁ ἑξῆς πάλιν σωρηδόν ἐπιτίθημι ἀλλήλων κατά βάθος αὐτός , ὁ α ἐπάνω ὁ δ , καί γίγνομαι πυραμίς ὁ ε ἐνέργεια πρῶτος ἀπό τετράγωνος βάσις , δύναμις γάρ πρῶτος καί ἐνταῦθα ὁ μονή . πάλιν δέ αὐτός οὗτος , ὡς ἔχω , ὁ πυραμίς ὁ ἐκ πέντε μονάς ἐπιτίθημι ὅλος ὁ θ̅ τετράγωνος καί συνίστημι ἐγώ ὁ ιδʹ πυραμίς ἀπό τετράγωνος βάσις πλευρά ἔχω πάντοθι τριάς , ὁ πρότερος δυάς ἔχω ὁ ε , ὁ δέ δύναμις πρῶτος μονάς · δέω γάρ καί ἐνθάδε τοσοῦτος ἕκαστος πλευρά ὅστις πυραμίς μονάς εἰμί , ὅσος εἰμί ὁ ἀριθμός ὁ εἰς σύστασις αὐτός συσσωρεύω πολύγωνος . πάλιν γάρ ὁ ιδʹ πυραμίς σύνολος βάσις ἔχω ὁ θ̅ τετράγωνος ἐπιτίθημι ὁ ιϚ τετράγωνος καί ἀποτελέω ἐγώ ὁ λ πυραμίς τρίτος κατά ἐνέργεια ὁ ἀπό τετράγωνος βάσις εἰμί · ὁ δέ αὐτός τάξις καί ἀγωγή καί ἀπό πεντάγωνος βάσις καί ἀπό ἑξάγωνος καί ἑπτάγωνος βάσις καί ἐπί πολύς ἀεί προχωρέω πυραμίς συνίστημι ὁ ἀναλογέω ἕκαστος πολύγωνος ἐπισωρεύω ἀλλήλων ἀπό μονάς ἄρχω ὡς ἀπό ἐλαχύς καί προχωρέω μέχρι ἄπειρος κατά ἕκαστος . καί ἐκ οὗτος δῆλος γίγνομαι , ὅτι στοιχειώδης ὁ τρίγωνος · πᾶς γάρ ἁπλῶς ὁ δείκνυμι καί φαίνω πυραμίς ἀπό ὁ κατά ἕκαστος πολύγωνος βάσις τρίγωνος μέχρι κορυφή περιέχω . ἵνα δέ μή ἀνήκοος εἰμί κόλουρος καί δικόλουρος καί τρικόλουρος πυραμίς , ὅς ὁ ὄνομα ἐντυγχάνω ἐν σύγγραμμα μάλα ὁ θεωρηματικός , οἶδα , ὅτι , ἐάν πυραμίς ἀπό ὅστις βάσις , τουτέστι ὅστις πολύγωνος ἔχω βάσις εἴτε τρίγωνος εἴτε τετράγωνος εἴτε πεντάγωνος εἴτε ὁ ἑξῆς τις ὁ ὁμογενής πολύγωνον , κατά σωρεία αὐξάνω μή ἐπί μονάς μειουρίννυμι , κόλουρος ἀπλόος λέγω στερέω ὁ φυσικός καί πᾶς ἐπιβάλλω κορύφωσις · οὐ γάρ εἰς ὁ δύναμις πολύγωνος ὁ μονάς τελευτάω οὗτος ὡς εἰς εἷς τις σημεῖον , ἀλλά εἰς ἕτερος ἐνέργεια , καί οὐκέτι μονή κορυφή , ἀλλά ἐπίπεδος αὐτός ὁ πέρας γίγνομαι ἰσογώνιος ὁ βάσις · ἐάν δέ πρός ὁ μή εἰς μονάς τελευτάω ἔτι καί μή εἰς ὁ παρά ὁ μονάς ἐνέργεια πρῶτος τελευτάω , δικόλουρος λέγω ὁ τοιοῦτος · ἐάν δέ καί ἔτι μή ἔχω ὁ ἐνέργεια δεύτερος πολύγωνος ἐπί ὁ συμπέρασμα , ἀλλά μόνος ὁ ὑπό αὐτός , τρικόλουρος καλέω καί τετρακόλουρος γε , ἐάν καί ὁ μετά ἐκεῖνος μή ἔχω , καί πεντακόλουρος κατά ὁ ἑξῆς καί ἀεί μέχρι βούλομαι παρεκτείνω ὁ ὄνομα .