nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.23
κγ . Ἔστιν οὖν ἀριθμητικὴ μεσότης , ὅταν τριῶν ἢ πλειόνων ὅρων ἐφεξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἢ ἐπινοουμένων ἡ αὐτὴ κατὰ ποσότητα διαφορὰ εὑρίσκηται μεταξὺ τῶν ἐφεξῆς ὑπάρχουσα , μὴ μέντοι λόγος ὁ αὐτὸς ἐν τοῖς ὅροις πρὸς ἀλλήλους γίνηται , οἷον α , β , γ , δ , ε , Ϛ , ζ , η , θ , ι , ια , ιβ , ιγ · ἐν γὰρ τῇ φυσικῇ ταύτῃ ἐκθέσει τοῦ ἀριθμοῦ συνεχῶς καὶ ἀνυπερβάτως ἐξεταζομένῃ εὑρίσκεται πᾶς ὁςτιςοῦν ὅρος δυεῖν ἀνὰ μέσον τεταγμένος τὴν ἀριθμητικὴν πρὸς αὐτούς διασώζων μεσότητα · ἶσαι γὰρ αἱ διαφοραὶ αὐτοῦ εἰσι πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν τεταγμένους , οὐ μὴν ἔτι καὶ λόγος ὁ αὐτὸς σώζεται ἐν αὐτοῖς . ἐπιστάμεθα δέ , ὡς ἐν τῇ τοιαύτῃ ἐκθέσει συνημμένη τε καὶ διεζευγμένη γίνεται μεσότης · εἰ μὲν γὰρ ὁ αὐτὸς μέσος ὅρος πρόλογός τε καὶ ὑπόλογος πρὸς τούς ἑκατέρωθεν ὑπακούοι , συνημμένη ἂν εἴη , εἰ δὲ σὺν αὐτῷ ἕτερος , διεζευγμένη γίνεται μεσότης . ἐὰν μὲν οὖν ἐκ τῆς ἐκθέσεως ταύτης τρεῖς ἀποτεμόμενοι οὑςτιναςοῦν παραλλήλους κατὰ τὴν συνημμένην σκοπῶμεν ἢ τέσσαρας ἢ πλείους κατὰ τὴν διεζευγμένην , μονὰς ἂν εἴη πάντων ἡ διαφορά , λόγοι δὲ ἕτεροι ἐκ παντός · ἐὰν δὲ μὴ παραλλήλους , ἀλλὰ διεχεῖς , κατὰ ἴσην μέντοι παράλειψιν , πάλιν δὲ ἤτοι τρεῖς ἢ πλέονας , εἰ μὲν εἷς ὁ παραλειπόμενος εἴη καθ᾿ ἑκάστην θέσιν ὅρου , δυὰς ἔσται ἡ διαφορὰ πάντων , καὶ πάλιν ἐν τρισὶ μὲν συνημμένη , ἐν πλείοσι δὲ διῃρημένη · εἰ δὲ δύο οἱ παραλειπόμενοι , τριὰς πάντως ἡ διαφορὰ ἐν ἅπασι συνημμένοις τε καὶ διεζευγμένοις , εἰ δὲ τρεῖς , τετράς , εἰ δὲ τέσσαρας , πεντάς , καὶ τοῦτο ἐφ᾿ ὁποσονοῦν . μετέχει ἄρα ἡ τοιαύτη ποσοῦ μὲν ἴσου ἐν ταῖς διαφοραῖς , ποιοὺ δὲ οὐκέτι ἴσου · διὰ τοῦτο ἀριθμητική · εἰ δ᾿ ἔμπαλιν ποιοῦ μὲν ὁμοίου μετεῖχε , ποσοῦ δὲ οὔ , ἦν ἂν γεωμετρικὴ ἀντὶ ἀριθμητικῆς . ἴδιον δὲ ὑπάρχει τῆςδε τῆς μεσότητος , ὃ μηδεμιᾷ ἄλλῃ συμβέβηκε , τὸ κατὰ σύνθεσιν τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιον ἢ ἶσον τὸ μέσον εἶναι , ἄν τε συνημμένως ἄν τε διεζευγμένως σκοπῆται ἄν τε ἐναλλάξ · ἢ γὰρ τὸ μέσον σύν ἑαυτῷ ἢ τὰ μέσα σύν ἀλλήλοις ἶσα τῇ τῶν ἄκρων συνθέσει . ἔτι καὶ ἄλλο ἔχει ἴδιον · ὃν γὰρ ἔχει λόγον ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν , τοῦτον αἱ διαφοραὶ πρὸς τὰς διαφοράς , τουτέστιν ἐν ἰσότητί εἰσιν · ἔτι τὸ γλαφυρώτατον καὶ τούς πολλούς λεληθός , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινόμενον συγκρινόμενον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ἔλαττον αὐτοῦ εὑρίσκεται τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν , ἐάν τε μονάδες ὦσιν ἐάν τε δυάδες ἐάν τε τριάδες ἐάν τε τετράδες ἐάν τε ὁςτιςοῦν ἀριθμός · τέταρτον δέ , ὃ καὶ οἱ πρόσθεν πάντες ἐσημειώσαντο , οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὄροις λόγοι συγκρινόμενοι πρὸς τούς ἐν τοῖς μείζοσι μείζονές εἰσι δειχθήσονται δὲ ἐν τῇ ἁρμονικῇ ἐναντίως οἱ ἐν τοῖς μείζοσι μείζονες καὶ οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττονες · διὰ τοῦτο ὑπεναντία ἡ ἀρμονικὴ μεσότης τῇ ἀριθμητικῇ , μεταίχμιον δὲ αὐτῶν ὥςπερ ἀκροτήτων ἐστὶν ἡ γεωμετρικὴ ἔχουσα τούς ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγους καὶ τούς ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἀλλήλοις ἴσους · ἐν μεσότητι δὲ ἡμῖν ὤφθη τὸ ἴσον τοῦ μείζονος καὶ τοῦ ἐλάττονος . τοσάδε ἡμῖν περὶ τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος .
Lemmas: κγ . εἰμί οὖν ἀριθμητικός μεσότης , ὅταν τρεῖς ἤ πολύς ὅρος ἐφεξῆς ἀλλήλων κεῖμαι ἤ ἐπινοέω ὁ αὐτός κατά ποσότης διαφορά εὑρίσκω μεταξύ ὁ ἐφεξῆς ὑπάρχω , μή μέντοι λόγος ὁ αὐτός ἐν ὁ ὅρος πρός ἀλλήλων γίγνομαι , οἷος α , β , γ , δ , ε , Ϛ , ζ̅ , η̅ , θ̅ , ι̅ , ιαʹ , ιβ , ιγ · ἐν γάρ ὁ φυσικός οὗτος ἔκθεσις ὁ ἀριθμός συνεχής καί ἀνυπέρβατος ἐξετάζω εὑρίσκω πᾶς ὅστις ὅρος δύο ἀνά μέσος τάσσω ὁ ἀριθμητικός πρός αὐτός διασῴζω μεσότης · ἴσος γάρ ὁ διαφορά αὐτός εἰμί πρός ὁ ἑκατέρωθεν τάσσω , οὐ μήν ἔτι καί λόγος ὁ αὐτός σῴζω ἐν αὐτός . ἐπίσταμαι δέ , ὡς ἐν ὁ τοιοῦτος ἔκθεσις συνάπτω τε καί διαζεύγνυμαι γίγνομαι μεσότης · εἰ μέν γάρ ὁ αὐτός μέσος ὅρος πρόλογος τε καί ὑπόλογος πρός ὁ ἑκατέρωθεν ὑπακούω , συνάπτω ἄν εἰμί , εἰ δέ σύν αὐτός ἕτερος , διαζεύγνυμαι γίγνομαι μεσότης . ἐάν μέν οὖν ἐκ ὁ ἔκθεσις οὗτος τρεῖς ἀποτέμνω ὅστις παράλληλος κατά ὁ συνάπτω σκοπέω ἤ τέσσαρες ἤ πολύς κατά ὁ διαζεύγνυμαι , μονή ἄν εἰμί πᾶς ὁ διαφορά , λόγος δέ ἕτερος ἐκ πᾶς · ἐάν δέ μή παράλληλος , ἀλλά διεχής , κατά ἴσος μέντοι παράλειψις , πάλιν δέ ἤτοι τρεῖς ἤ πολύς , εἰ μέν εἷς ὁ παραλείπω εἰμί κατά ἕκαστος θέσις ὅρος , δυάς εἰμί ὁ διαφορά πᾶς , καί πάλιν ἐν τρεῖς μέν συνάπτω , ἐν πολύς δέ διαιρέω · εἰ δέ δύο ὁ παραλείπω , τριάς πάντως ὁ διαφορά ἐν ἅπας συνάπτω τε καί διαζεύγνυμαι , εἰ δέ τρεῖς , τετράς , εἰ δέ τέσσαρες , πεντάς , καί οὗτος ἐπί ὁπόσος . μετέχω ἄρα ὁ τοιοῦτος πός μέν ἴσος ἐν ὁ διαφορά , ποιός δέ οὐκέτι ἴσος · διά οὗτος ἀριθμητικός · εἰ δέ ἔμπαλιν ποιός μέν ὅμοιος μετέχω , πός δέ οὐ , εἰμί ἄν γεωμετρικός ἀντί ἀριθμητικός . ἴδιος δέ ὑπάρχω ὅδε ὁ μεσότης , ὅς μηδείς ἄλλος συμβαίνω , ὁ κατά σύνθεσις ὁ ἄκρον ὑποδιπλάσιος ἤ ἴσος ὁ μέσος εἰμί , ἐάν τε συνημμένως ἐάν τε διεζευγμένως σκοπέω ἐάν τε ἐναλλάξ · ἤ γάρ ὁ μέσος σύν ἑαυτοῦ ἤ ὁ μέσος σύν ἀλλήλων ἴσος ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις . ἔτι καί ἄλλος ἔχω ἴδιος · ὅς γάρ ἔχω λόγος ἕκαστος ὅρος πρός ἑαυτοῦ , οὗτος ὁ διαφορά πρός ὁ διαφορά , τουτέστι ἐν ἰσότης εἰμί · ἔτι ὁ γλαφυρός καί ὁ πολύς λανθάνω , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον γίγνομαι συγκρίνω ὁ ἀπό ὁ μέσος ἐλαχύς αὐτός εὑρίσκω ὁ ὑπό ὁ διαφορά , ἐάν τε μονάς εἰμί ἐάν τε δυάς ἐάν τε τριάς ἐάν τε τετράς ἐάν τε ὅστις ἀριθμός · τέταρτος δέ , ὅς καί ὁ πρόσθεν πᾶς σημειόω , ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς ὄρον λόγος συγκρίνω πρός ὁ ἐν ὁ μέγας μέγας εἰμί δείκνυμι δέ ἐν ὁ ἁρμονικός ἐναντίος ὁ ἐν ὁ μέγας μέγας καί ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς ἐλαχύς · διά οὗτος ὑπεναντίος ὁ ἁρμονικός μεσότης ὁ ἀριθμητικός , μεταίχμιος δέ αὐτός ὥσπερ ἀκρότητος εἰμί ὁ γεωμετρικός ἔχω ὁ ἐν ὁ μέγας ὅρος λόγος καί ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς ἀλλήλων ἴσος · ἐν μεσότης δέ ἐγώ ὁράω ὁ ἴσος ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς . τοσόσδε ἐγώ περί ὁ ἀριθμητικός μεσότης .