nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.19
ιθ . Ἵνα δὲ καὶ ἐναργῶς πεισθῶμεν περὶ τῶν λεγομένων , ὅτι ἄρα ἐκ μαχομένων καὶ ἐναντίων συνέστη τὰ ὄντα καὶ εἰκότως ἁρμονίαν ὑπεδέξατο ( ἁρμονία δὲ πάντως ἐξ ἐναντίων γίνεται · ἔστι γὰρ ἁρμονία πολυμιγέων ἕνωσις καὶ δίχα φρονεόντων συμφρόνησις ) , ἐκθώμεθα ἐν δυσὶ παραλλήλοις ἐπὶ μῆκος στίχοις μηκέτι ἰδίᾳ ἀρτίους ἀπὸ δυάδος καὶ περισσούς ἀπὸ μονάδος , ὡς πρὸ μικροῦ , ἀλλὰ τούς ἐξ αὐτῶν τούτων συσσωρευθέντων αὐτοῖς ἀποτελεσθέντας , τετραγώνους μὲν ἀπὸ περισσῶν , ἑτερομήκεις δὲ ἀπὸ ἀρτίων · ἐνατενίζοντες γὰρ τῇ ἐκθέσει αὐτῶν θαυμάσομεν τὴν φιλαλληλίαν καὶ τὸ συλληπτικὸν ἀλλήλοις εἰς τὸ ἀπογεννᾶν τὰ λοιπὰ καὶ ἐκτελεῖν , ἵνα εἰκότως ἐπινοῶμεν καὶ ἐν τῇ τῶν ὅλων φύσει ἐντεῦθέν ποθεν τὸ τοιοῦτον ὑπὸ τῆς κοσμικῆς προνοίας συντελεῖσθαι . ἔστωσαν οὖν οἱ δύο στίχοι τοιοῦτοι · ὁ μὲν τῶν τετραγώνων ἀπὸ μονάδος α , δ , θ , ιϚ , κε , λϚ μθ , ξδ , πα , ρ , ρκα , ρμδ , ρξθ , ρ??ϛ , σκε · ὁ δὲ τῶν ἑτερομηκῶν ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενος καὶ αὐτὸς οὕτως · β , Ϛ , ιβ , κ , λ , μβ , νϛ , οβ , ?? , ρι , ρλβ , ρνϚ , ρπβ , σι , σμ . πρῶτον μὲν οὖν πρῶτος πρώτου πυθμὴν πολλαπλάσιος , δεύτερος δὲ δευτέρου ἡμιόλιος , τρίτος δὲ τρίτου ἐπίτριτος , τέταρτος δὲ τετάρτου ἐπιτέταρτος , εἶτα ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ τοῦτο ἐπ᾿ ἄπειρον ἀναλόγως · διαφοραὶ δὲ αὐτῶν προκόψουσι κατὰ τὸν συνεχῆ ἀπὸ μονάδος ἀριθμόν , μονὰς μὲν τῶν πρώτων , δυὰς δὲ τῶν δευτέρων , τριὰς δὲ τῶν τρίτων καὶ ἀεὶ οὕτως · εἶτα δὲ ἐὰν ἀρξάμενος ὁ τῶν τετραγώνων δεύτερος συγκρίνηται κατὰ δυασμὸν τῷ πρώτῳ τῶν ἑτερομηκῶν καὶ ὁ τρίτος δευτέρῳ καὶ ὁ τέταρτος τρίτῳ καὶ ἀκολούθως οἱ λοιποί , τούς αὐτούς ἀπαραλλάκτους λόγους διατηρήσουσι τοῖς πρόσθεν , αἱ δὲ διαφοραὶ οὐκέτι ἀπὸ μονάδος , ἀλλ᾿ ἀπὸ δυάδος ἄρξονται προχωρεῖν αἱ αὐταί , καὶ κατὰ πρόβασιν δὲ ἐν τῇ προτέρᾳ συγκρίσει πρῶτος μὲν πρώτου πρῶτον πυθμένα πολλαπλάσιον ἕξει , δεύτερος δὲ δευτέρου δεύτερον ἀπὸ πυθμένος ἡμιόλιον , τρίτος δὲ τρίτου τρίτον ἀπὸ πυθμένος ἐπίτριτον , καὶ παραπλησίως προκόψουσιν οἱ ἐξῆς . ἔτι δὲ οἱ μὲν τετράγωνοι πρὸς ἑαυτούς διαφορὰς τούς περισσούς μόνον ἔχουσιν , οἱ δὲ ἑτερομήκεις τούς ἀρτίους · ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη μέσον ἀμφοτέρων τῶν πρώτων τετραγώνων θῶμεν , τὸν δὲ δεύτερον τῶν ἐξῆς , τὸν δὲ τρίτον τῶν μετ᾿ αὐτούς , τὸν τέταρτον δὲ τῶν ἐφεξῆς , τούτοις ὀφθήσονται εὐτακτότεραι αἱ σχέσεις ἐν τρισὶν ὅροις · ἣν γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β σχέσιν ἔχει , οὕτως ὁ β πρὸς μονάδα , καὶ ἣν ὁ θ πρὸς τὸν Ϛ ἡμιολίως , οὕτως ὁ Ϛ πρὸς τὸν δ , καὶ ἣν ὁ ιϚ πρὸς τὸν ιβ , οὕτως ὁ ιβ πρὸς τὸν θ , καὶ τοῦτο ἐφεξῆς τῶν ἀριθμῶν καὶ τῶν λόγων προκοπτόντων εὐτάκτως · ὡς γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον , οὕτως ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔσται , καὶ οὐ τῷ αὐτῷ λόγῳ , ἀλλὰ ποικίλῳ ἀεὶ κατὰ προκοπήν · καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν συζυγιῶν τὸ ὑπό · ἶσον τῷ ἀπό · - καὶ ἅπαξ τὰ ἄκρα σύν δὶς τῷ μέσῳ ἐναλλὰξ τετράγωνον πάντως ποιήσει καὶ τό πάντων τούτων γλαφυρώτατον , ἐξ ἀμφοτέρων συντιθεμένων τριγώνων γένεσις εὔτακτος γίνεται σημαίνουσα , ὡς τῆς τῶν πάντων ἀρχῆς ἀρχικωτέρα ἡ τούτων φύσις , α καὶ β , καὶ β καὶ δ , καὶ δ καὶ Ϛ , καὶ Ϛ καὶ θ , καὶ θ καὶ ιβ , καὶ ιβ καὶ ιϛ , καὶ ιϚ καὶ κ , καὶ ἀεὶ οὕτως οἱ τῶν πολυγώνων γεννητικοὶ τρίγωνοι εὔτακτοι γίνονται .
Lemmas: ἔρχομαι . ἵνα δέ καί ἐναργής πείθω περί ὁ λέγω , ὅτι ἄρα ἐκ μάχομαι καί ἐναντίος συνίστημι ὁ εἰμί καί ἔοικα ἁρμονία ὑποδέχομαι ( ἁρμονία δέ πάντως ἐκ ἐναντίος γίγνομαι · εἰμί γάρ ἁρμονία πολυμιγής ἕνωσις καί δίχα φρονέω συμφρόνησις ) , ἐκτίθημι ἐν δύο παράλληλος ἐπί μῆκος στίχος μηκέτι ἴδιος ἄρτιος ἀπό δυάς καί περισσός ἀπό μονάς , ὡς πρό μικρός , ἀλλά ὁ ἐκ αὐτός οὗτος συσσωρεύω αὐτός ἀποτελέω , τετράγωνος μέν ἀπό περισσός , ἑτερομήκης δέ ἀπό ἄρτιος · ἐνατενίζω γάρ ὁ ἔκθεσις αὐτός θαυμάζω ὁ φιλαλληλία καί ὁ συλληπτικός ἀλλήλων εἰς ὁ ἀπογεννάω ὁ λοιπός καί ἐκτελέω , ἵνα ἔοικα ἐπινοέω καί ἐν ὁ ὁ ὅλος φύσις ἐντεῦθεν ποθεν ὁ τοιοῦτος ὑπό ὁ κοσμικός πρόνοια συντελέω . εἰμί οὖν ὁ δύο στίχος τοιοῦτος · ὁ μέν ὁ τετράγωνος ἀπό μονάς α , δ , θ̅ , ιϚ , ἄν , λϚ μθ , ξδ , πη , ρ̅ , ρκαʹ , ρμδ , ρξθʹ , ρ??ϛ , σκε · ὁ δέ ὁ ἑτερομήκης ἀπό δυάς ἄρχω καί αὐτός οὕτως · β , Ϛ , ιβ , κ , λ , μβ , νϛ , οβ , ?? , ρ̅ι̅ , ρλβʹ , ρνϚʹ , ρπβʹ , σι , σμʹ . πρῶτος μέν οὖν πρῶτος πρῶτος πυθμήν πολλαπλάσιος , δεύτερος δέ δεύτερος ἡμιόλιος , τρίτος δέ τρίτος ἐπίτριτος , τέταρτος δέ τέταρτος ἐπιτέταρτος , εἶτα ἐπίπεμπτος καί ἔφεκτος καί οὗτος ἐπί ἄπειρος ἀνάλογος · διαφορά δέ αὐτός προκόπτω κατά ὁ συνεχής ἀπό μονάς ἀριθμός , μονή μέν ὁ πρῶτος , δυάς δέ ὁ δεύτερος , τριάς δέ ὁ τρίτος καί ἀεί οὕτως · εἶτα δέ ἐάν ἄρχω ὁ ὁ τετράγωνος δεύτερος συγκρίνω κατά δασμός ὁ πρῶτος ὁ ἑτερομήκης καί ὁ τρίτος δεύτερος καί ὁ τέταρτος τρίτος καί ἀκόλουθος ὁ λοιπός , ὁ αὐτός ἀπαράλλακτος λόγος διατηρέω ὁ πρόσθεν , ὁ δέ διαφορά οὐκέτι ἀπό μονάς , ἀλλά ἀπό δυάς ἄρχω προχωρέω ὁ αὐτός , καί κατά πρόβασις δέ ἐν ὁ πρότερος σύγκρισις πρῶτος μέν πρῶτος πρῶτος πυθμήν πολλαπλάσιος ἔχω , δεύτερος δέ δεύτερος δεύτερος ἀπό πυθμήν ἡμιόλιος , τρίτος δέ τρίτος τρίτος ἀπό πυθμήν ἐπίτριτος , καί παραπλήσιος προκόπτω ὁ ἑξῆς . ἔτι δέ ὁ μέν τετράγωνος πρός ἑαυτοῦ διαφορά ὁ περισσός μόνος ἔχω , ὁ δέ ἑτερομήκης ὁ ἄρτιος · ἐάν δέ καί ὁ πρῶτος ἑτερομήκης μέσος ἀμφότερος ὁ πρῶτος τετράγωνος τίθημι , ὁ δέ δεύτερος ὁ ἑξῆς , ὁ δέ τρίτος ὁ μετά αὐτός , ὁ τέταρτος δέ ὁ ἐφεξῆς , οὗτος ὁράω εὔτακτος ὁ σχέσις ἐν τρεῖς ὅρος · ὅς γάρ ὁ δ πρός ὁ β σχέσις ἔχω , οὕτως ὁ β πρός μονάς , καί ὅς ὁ θ̅ πρός ὁ Ϛ ἡμιόλιος , οὕτως ὁ Ϛ πρός ὁ δ , καί ὅς ὁ ιϚ πρός ὁ ιβ , οὕτως ὁ ιβ πρός ὁ θ̅ , καί οὗτος ἐφεξῆς ὁ ἀριθμός καί ὁ λόγος προκόπτω εὐτάκτως · ὡς γάρ ὁ μέγας πρός ὁ μέσος , οὕτως ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς εἰμί , καί οὐ ὁ αὐτός λόγος , ἀλλά ποικίλος ἀεί κατά προκοπή · καί ἐπί πᾶς ὁ συζυγία ὁ ὑπό · ἴσος ὁ ἀπό · - καί ἅπαξ ὁ ἄκρον σύν δίς ὁ μέσος ἐναλλάξ τετράγωνος πάντως ποιέω καί ὁ πᾶς οὗτος γλαφυρός , ἐκ ἀμφότερος συντίθημι τρίγων γένεσις εὔτακτος γίγνομαι σημαίνω , ὡς ὁ ὁ πᾶς ἀρχή ἀρχικός ὁ οὗτος φύσις , α καί β , καί β καί δ , καί δ καί Ϛ , καί Ϛ καί θ̅ , καί θ̅ καί ιβʹ , καί ιβ καί ιϛʹ , καί ιϚ καί κ , καί ἀεί οὕτως ὁ ὁ πολύγωνον γεννητικός τρίγωνος εὔτακτος γίγνομαι .