ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.5
ε . Πάλιν δὲ ἐπὶ τῆς μουσικῆς · οὐ γὰρ μόνον ὅτι προγενέστερον τὸ καθʼ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἄλλο , καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος καὶ τὸ πλούσιον τοῦ πλουσιωτέρου καὶ ὁ ἄνθρωπος τοῦ πατρός , ἀλλʼ ὅτι καὶ αἱ μουσικαὶ συμφωνίαι διὰ τεσσάρων , διὰ πέντε , διὰ πασῶν κατὰ ἀριθμόν εἰσιν ὠνομασμέναι · ὁμοίως καὶ τοὺς άρμονικοὺς λόγους ἀριθμητικοὺς πάντως ἔχουσιν , ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος , ἡ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος , ἡ δὲ διὰ πασῶν διπλάσιος , τριπλάσιος δὲ ἡ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε , τετραπλάσιος δὲ ἡ τελειοτάτη ἡ δὶς διὰ πασῶν . ἐκδηλότερόν γε μὴν ἡ σφαιρικὴ διʼ ἀριθμητικῆς τυγχάνει πάντων τῶν προςηκόντων αὐτῇ σκεμμάτων οὐ μόνον , ὅτι γεωμετρίας μεταγενεστέρα ἐστιν ( ἡ γὰρ κίνησις φύσει μετὰ τὴν μονήν ) , οὐδʼ τι ἁρμονίας ἐκ παντὸς ἐμμελοῦς τὰ τῶν ἀστέρων κινήματα τέτευχεν , ἀλλʼ ὅτι καὶ ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ποσότησιν ἀνατολαί τε καὶ δύσεις καὶ προποδισμοὶ καὶ ἀναποδισμοὶ καὶ ἐπιπροςθήσεις καὶ φάσεις παντοῖαι διαρθροῦνται . ὡς οὖν προγενεστέρας φύσει καὶ τιμιωτέρας καὶ πρεσβυτέρας ὡςανεὶ μητρὸς καὶ τιθήνης καλῶς προτέραν τὴν τεχνολογίαν ὑπεστησάμεθα , τὴν δὲ ἀρχὴν τῆς τεχνολογίας τοῦ σαφοῦς χάριν ἐντεῦθεν ποιησόμεθα .
Lemmas: ε . πάλιν δέ ἐπί ὁ μουσικός · οὐ γάρ μόνος ὅτι προγενής ὁ κατά ἑαυτοῦ ὁ πρός ἄλλος , καθά ὁ μέγας ὁ μέγας καί ὁ πλούσιος ὁ πλούσιος καί ὁ ἄνθρωπος ὁ πατήρ , ἀλλά ὅτι καί ὁ μουσικός συμφωνία διά τέσσαρες , διά πέντε , διά πᾶς κατά ἀριθμός εἰμί ὀνομάζω · ὅμοιος καί ὁ ἁρμονικός λόγος ἀριθμητικός πάντως ἔχω , ὁ μέν διά τέσσαρες ἐπίτριτος , ὁ δέ διά πέντε ἡμιόλιος , ὁ δέ διά πᾶς διπλάσιος , τριπλάσιος δέ ὁ διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε , τετραπλάσιος δέ ὁ τέλειος ὁ δίς διά πᾶς . ἔκδηλος γε μήν ὁ σφαιρικός διά ἀριθμητικός τυγχάνω πᾶς ὁ προσήκω αὐτός σκέμμα οὐ μόνος , ὅτι γεωμετρία μεταγενής εἰμί ( ὁ γάρ κίνησις φύσις μετά ὁ μονή ) , οὐδέ τις ἁρμονία ἐκ πᾶς ἐμμελής ὁ ὁ ἀστήρ κίνημα τυγχάνω , ἀλλά ὅτι καί ἀριθμός περίοδος καί ποσότης ἀνατολή τε καί δύσις καί προποδισμός καί ἀναποδισμός καί ἐπιπρόσθησις καί φάσις παντοῖος διαρθρόω . ὡς οὖν προγενής φύσις καί τίμιος καί πρέσβυς ὡσανεί μήτηρ καί τιθήνη καλός πρότερος ὁ τεχνολογία ὑφίστημι , ὁ δέ ἀρχή ὁ τεχνολογία ὁ σαφής χάριν ἐντεῦθεν ποιέω .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.6
Ϛ . Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύσεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ διανοίᾳ , νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον , οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον , ἵνα πρὸς αὐτὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμιπαντα ταῦτα , χρόνος , κίνησις , οὐρανός , ἄστρα , ἐξελιγμοὶ παντοῖοι . ἀναγκαῖον ἄρα , τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθʼ ἑαυτὸν ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ᾿ ἄλλου , ἀλλʼ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ . πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄντων γε · οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν , ὅμοια δὲ ἀλλήλοις , οὔτε τὰ διαφέροντα μέν , ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα · ὑπολείπεται δὴ τά , ἐξ ὧν ἁρμόζεται , καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχοντα . ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστημονικὸς ἀριθμός · ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ , περιττὸν καὶ ἄρτιον , καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαιτῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοειδῶς , ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα .
Lemmas: Ϛ . πᾶς ὁ κατά τεχνικός διέξοδος ὑπό φύσις ἐν ὁ κόσμος διατάσσω κατά μέρος τε καί ὅλος φαίνω κατά ἀριθμός ὑπό ὁ πρόνοια καί ὁ ὁ ὅλος δημιουργέω νόος διακρίνω τε καί κοσμέω βεβαιόω ὁ παράδειγμα οἷος λόγος προχάραγμα ἐκ ὁ ἐπέχω ὁ ἀριθμός προυφίστημι ἐν ὁ ὁ κοσμοποιός θεός διάνοια , νοητός αὐτός μόνος καί παντάπασι ἄυλος , οὐσία μέντοι ὁ ὄντως ὁ ἀίδιος , ἵνα πρός αὐτός ὡς λόγος τεχνικός ἀποτελέω ὁ συμπίνω οὗτος , χρόνος , κίνησις , οὐρανός , ἄστρον , ἐξελιγμός παντοῖος . ἀναγκαῖος ἄρα , ὁ ἐπιστημονικός ἤδη ἀριθμός ἐπί ὁ τοιοῦτος ὑπάρχω κατά ἑαυτοῦ ἁρμόζω καί οὐ ὑπό ἄλλος , ἀλλά ὑπό ἑαυτοῦ . πᾶς δέ ἁρμόζω ἐκ ἐναντίος πάντως ἁρμόζω καί εἰμί γε · οὔτε γάρ ὁ μή εἰμί ἁρμόζω οἷος τε οὔτε ὁ εἰμί μέν , ὅμοιος δέ ἀλλήλων , οὔτε ὁ διαφέρω μέν , ἄλογος δέ πρός ἀλλήλων · ὑπολείπω δή ὁ , ἐκ ὅς ἁρμόζω , καί εἰμί εἰμί καί διάφορος καί λόγος πρός ἀλλήλων ἔχω . ἐκ τοιοῦτος ἄρα καί ὁ ἐπιστημονικός ἀριθμός · εἰμί γάρ ὁ ἐν αὐτός πρῶτος εἶδος δύο οὐσία τε ἔχω ὁ ὁ ποσότης καί διαφέρω ἀλλήλων καί οὐ ἑτερογενής , περισσός καί ἄρτιος , καί ἐναλλάξ ὑπό θαυμαιος καί θεῖος φύσις διαρμόζω ἀλλήλων ἀχώριστος καί ἑνοειδής , ὡς αὐτίκα οἶδα .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.7
ζ . Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον , τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον , τὸ δὲ περιττόν . ἔστι δὲ ἄρτιον μέν , οἷόν τε εἰς δύο ἷσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης , περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν . οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως · κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος , μέγιστα μὲν πηλικότητι , ἐλάχιστα δὲ ποσόττι , κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν , περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν , ἀλλʼ εἰς ἄνισα δύο τεμνομενος . ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο . πλὴν τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα , ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ παρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ , ὅπως ἂν διχασθῇ , ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ · περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθʼ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων , ἀλλὰ πάντοτε σὺν ἀλλήλοις . ἐν δὲ τῷ διʼ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφʼ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ , τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον , ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφʼ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ , τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων .
Lemmas: ζ . ἀριθμός εἰμί πλῆθος ὁρίζω ἤ μονάς σύστημα ἤ ποσότης χύμα ἐκ μονάς σύγκειμαι , ὁ δέ ἀριθμός πρῶτος τομή ὁ μέν ἄρτιος , ὁ δέ περισσός . εἰμί δέ ἄρτιος μέν , οἷος τε εἰς δύο ἵζω διαιρέω μονάς μέσος μή παρεμπίπτω , περισσός δέ ὁ μή δύναμαι εἰς δύο ἴσος μερίζω διά ὁ προλέγω ὁ μονάς μεσιτεία . οὗτος μέν οὖν ὁ ὅρος ἐκ ὁ δημώδης ὑπόληψις · κατά δέ ὁ Πυθαγορικός ἄρτιος ἀριθμός εἰμί ὁ ὁ εἰς ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς κατά αὐτός τομή ἐπιδέχομαι , μέγας μέν πηλικότης , ἐλαχύς δέ ποσός , κατά φυσικός ὁ δύο οὗτος γένος ἀντιπεπόνθησις , περισσός δέ ὁ μή δύναμαι οὗτος πάσχω , ἀλλά εἰς ἄνισος δύο τέμνω . ἕτερος δέ τρόπος κατά ὁ παλαιός ἄρτιος εἰμί ὁ καί εἰς δύο ἴσος τέμνω δύναμαι καί εἰς ἄνισος δύο . πλήν ὁ ἐν αὐτός ἀρχοειδής δυάς ἕτερος ὁ διχοτόμημα μόνος ἐπιδέχομαι ὁ εἰς ἴσος , ἐν ὅστις οὖν τομή παρεμφαίνω ὁ ἕτερος εἶδος μόνος ὁ ἀριθμός , ὅπως ἄν διχάζω , ἀμέτοχος ὁ λοιπός · περισσός δέ εἰμί ἀριθμός ὁ κατά ὁστισοῦν τομή εἰς ἄνισος πάντως γίγνομαι ἀμφότερος ἅμα ἐμφαίνω ὁ ὁ ἀριθμός δύο εἶδος οὐδέποτε ἄκρατος ἀλλήλων , ἀλλά πάντοτε σύν ἀλλήλων . ἐν δέ ὁ διά ἀλλήλων ὅρος περισσός εἰμί ὁ μονάς ἐπί ἑκάτερος διαφέρω ἄρτιος ἀριθμός , τουτέστι ἐπί ὁ μέγας καί ἐλαχύς , ἄρτιος δέ ὁ μονάς διαφέρω ἐπί ἑκάτερος περισσός ἀριθμός , τουτέστι μονάς μέγας καί μονάς ἐλαχύς .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.11
ια . Τοῦ δὲ περισσοῦ καὶ πάλιν καθʼ ὑποδιαίρεσιν διακεκριμένου πρὸς τὸν ἄρτιον καὶ κατὰ μηδὲν κοινωνοῦντος , εἴπερ ἐκεῖνος μὲν διχὴ εἰς ἶσα διαιρετός , οὗτος δὲ εἰς δύο ἶσα ἀδιαίρετος , τρία ὁμοίως εἴδη εὑρίσκεται ἀλλήλων διαφέροντα , ὧν τὸ μὲν καλεῖται πρῶτον καὶ ἀσύνθετον , τὸ δὲ ἀντικείμενον τούτῳ δεύτερο καὶ σύνθετον , τὸ δὲ ἐν μεταιχμίῳ ἀμφοῖν τούτοιν θεωρούμενον ὡς μεσότης ἐν ἀκρότησιν , ὃ καθʼ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον , πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον . Τὸ μὲν οὖν πρώτιστον εἶδος τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον γίνεται , ὅταν ἀριθμὸς περισσὸς μόριον μηδὲν ἕτερον ἐπιδέχηται , εἰ μὴ τὸ παρώνυμον ἑαυτῷ , ὃ καὶ ἐξ ἀνάγκης μονὰς ἔσται , οἷον ὁ γ , ὁ ε , ὁ ζ , ὁ ια , ὁ ιγ , ὁ ιζ , ὁ ιθ , ὁ κγ , ὁ κθ , ὁ λα · τούτων δὲ ἕκαστος οὐδεμιᾷ μηχανῇ εὑρεθήσεται ἔχων ἑτερώνυμον μόριον , ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ παρώνυμον καὶ τοῦτο μονάδα πάντως ἐν ἑκάστῳ · ὁ μὲν γὰρ γ μόνον τρίτον , ὁ δὲ ε μόνον πέμπτον καὶ ὁ ζ μόνον ἕβδομον καὶ ὁ ια μόνον ἑνδέκατον , καὶ ἐν πᾶσι ταῦτα τὰ μέρη μονὰς ὑπάρχει . τέτευχε δὲ τοῦ ὀνόματος τούτου , ὅτι τῷ κοινῷ πάντων ἀριθμῷ καὶ πρωτίστῳ μονάδι μόνῃ δύναται μετρεῖσθαι , ἑτέρῳ δὲ οὐδενί , ἀλλὰ καὶ ὑπ᾿ οὐδενὸς ἑτέρου ἀριθμοῦ ἑαυτῷ συντεθέντος γεγένηται , ἀλλὰ μόνης μονάδος , πεντάκις μὲν συντεθείσης ὁ ε , ἑπτάκις δὲ ὁ ζ , καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα · αὐτῶν μέντοι συντεθέντων ἑαυτοῖς δύναιντʼ ἂν ἄλλοι γενέσθαι ἀπὸ πηγῆς ὡςανεὶ καὶ ῥίζης αὐτῶν τούτων ἀρχόμενοι , διόπερ πρῶτοι καλοῦνται ὡςανεὶ ἀρχαὶ ἐκείνων προυποκείμενοι · ἀρχὴ δὲ πᾶσα στοιχειώδης καὶ ἀσύνθετος , εἰς ἣν πάντα ἀναλύεται καὶ ἐξ ἧς πάντα συνίσταται , αὐτὴ δὲ εἰς οὐδὲν καὶ ἐξ οὐδενός .
Lemmas: ἰά . ὁ δέ περισσός καί πάλιν κατά ὑποδιαίρεσις διακρίνω πρός ὁ ἄρτιος καί κατά μηδείς κοινωνέω , εἴπερ ἐκεῖνος μέν διχή εἰς ἴσος διαιρετός , οὗτος δέ εἰς δύο ἴσος ἀδιαίρετος , τρεῖς ὅμοιος εἶδος εὑρίσκω ἀλλήλων διαφέρω , ὅς ὁ μέν καλέω πρῶτος καί ἀσύνθετος , ὁ δέ ἀντίκειμαι οὗτος δεύτερος καί σύνθετος , ὁ δέ ἐν μεταίχμιον ἄμφω οὗτος θεωρέω ὡς μεσότης ἐν ἀκρότης , ὅς κατά ἑαυτοῦ μέν δεύτερος καί σύνθετος , πρός ἄλλος δέ πρῶτος καί ἀσύνθετος . ὁ μέν οὖν πρῶτος εἶδος ὁ πρῶτος καί ἀσύνθετος γίγνομαι , ὅταν ἀριθμός περισσός μόριον μηδείς ἕτερος ἐπιδέχομαι , εἰ μή ὁ παρώνυμος ἑαυτοῦ , ὅς καί ἐκ ἀνάγκη μονή εἰμί , οἷος ὁ γ , ὁ ε , ὁ ζ̅ , ὁ ιαʹ , ὁ ιγ , ὁ ιζ , ὁ ιθ , ὁ κγ , ὁ κθ , ὁ λα · οὗτος δέ ἕκαστος οὐδείς μηχανή εὑρίσκω ἔχω ἑτερώνυμος μόριον , ἀλλά μόνος ὁ ἑαυτοῦ παρώνυμος καί οὗτος μονάς πάντως ἐν ἕκαστος · ὁ μέν γάρ γ μόνος τρίτος , ὁ δέ ε μόνος πέμπτος καί ὁ ζ̅ μόνος ἕβδομος καί ὁ ιαʹ μόνος ἑνδέκατος , καί ἐν πᾶς οὗτος ὁ μέρος μονή ὑπάρχω . τυγχάνω δέ ὁ ὄνομα οὗτος , ὅτι ὁ κοινός πᾶς ἀριθμός καί πρῶτος μονάς μόνος δύναμαι μετρέω , ἕτερος δέ οὐδείς , ἀλλά καί ὑπό οὐδείς ἕτερος ἀριθμός ἑαυτοῦ συντίθημι γίγνομαι , ἀλλά μόνος μονάς , πεντάκις μέν συντίθημι ὁ ε , ἑπτάκις δέ ὁ ζ̅ , καί ὁ λοιπός κατά ὁ ἑαυτοῦ ποσότης · αὐτός μέντοι συντίθημι ἑαυτοῦ δύναμαι ἄν ἄλλος γίγνομαι ἀπό πηγή ὡσανεί καί ῥίζα αὐτός οὗτος ἄρχω , διόπερ πρῶτος καλέω ὡσανεί ἀρχή ἐκεῖνος προυπόκειμαι · ἀρχή δέ πᾶς στοιχειώδης καί ἀσύνθετος , εἰς ὅς πᾶς ἀναλύω καί ἐκ ὅς πᾶς συνίστημι , αὐτός δέ εἰς οὐδείς καί ἐκ οὐδείς .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.12
ιβ . Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετός ἐστιν ἀριθμὸς περισσὸς μὲν διὰ τὸ ἐξ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ γένους διακεκρίσθαι , ἀρχοειδὲς δὲ οὐδὲν ἔχων ἐν ἑαυτῷ · συντεθέντος γὰρ ἑτέρου τινὸς τὴν γένεσιν αὐτὸς ἔσχε · διόπερ συμβαίνει αὐτῷ πρὸς τῷ παρωνύμῳ μέρει ἔτι καὶ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα κεκτῆσθαι , τὸ μὲν παρώνυμον καθὰ καὶ ἐπὶ πάντων μονάδα εἶναι πάντως , τὸ δὲ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα οὐδέποτε μονάδα , ἀλλὰ πάντως ἢ ἐκεῖνον ἢ ἐκείνους , ὧν συντεθέντων ἀπετελέσθη , οἷον θ , ιε , κα , κε , κζ , λγ , λε , λθ · τούτων γὰρ ἕκαστος καὶ ὑπὸ μονάδος μετρεῖται ὡς οἱ ἕτεροι καὶ παρώνυμον ἔχει μέρος ὡς κἀκεῖνοι διὰ τὴν τοῦ κοινοῦ γένους φύσιν , ἐξηλλαγμένως δὲ καὶ ἰδιαίτερον ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ μέρει ἢ μέρεσι χρῆται , ὁ μὲν θ πρὸς τῷ ἐνάτῳ ἔτι καὶ τρίτῳ , ὁ δὲ ιε ἔτι καὶ τρίτῳ καὶ πέμπτῳ πρὸς τῷ ιεῳ , ὁ δὲ κα καὶ ἑβδόμῳ καὶ τρίτῳ πρὸς τῷ εἰκοστοπρώτῳ , ὁ δὲ κε πρὸς τῷ εἰκοστοπέμπτῳ τῷ παρωνύμῳ ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ χρῆται τῷ πέμπτῳ . δεύτερος οὖν λέγεται , ὅτι καὶ ἄλλῳ σὺν τῇ μονάδι μέτρῳ δύναται χρῆσθαι , καὶ ὅτι οὐκ ἀρχοειδής , ἀλλʼ ἑτέρου προςτεθέντος πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρὸς ἕτερον συντεθέντος αὐτὸς ἐγένετο , ὁ μὲν θ τοῦ γ , ὁ δὲ ιε τοῦ ε ἢ νὴ Δία τοῦ γ , καὶ οἱ ἐφεξῆς κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον · σύνθετος δὲ ἐκ τοιαύτης αἰτίας , ὅτι διαλυθείη ἂν εἰς ἐκείνους , ἐξ ὧν συνέστηκεν , εἴπερ καὶ μετρηθείη ἂν ὑπ᾿ αὐτῶν · οὐδὲν δὲ διαλυτὸν ἀσύνθετον , ἀλλὰ πάντως σύνθετον .
Lemmas: Ἶβ . δεύτερος δέ καί σύνθετος εἰμί ἀριθμός περισσός μέν διά ὁ ἐκ εἷς καί ὁ αὐτός γένος διακρίνω , ἀρχοειδής δέ οὐδείς ἔχω ἐν ἑαυτοῦ · συντίθημι γάρ ἕτερος τις ὁ γένεσις αὐτός ἔχω · διόπερ συμβαίνω αὐτός πρός ὁ παρώνυμος μέρος ἔτι καί ἑτερώνυμος ἤ ἑτερώνυμος κτάομαι , ὁ μέν παρώνυμος καθά καί ἐπί πᾶς μονάς εἰμί πάντως , ὁ δέ ἑτερώνυμος ἤ ἑτερώνυμος οὐδέποτε μονάς , ἀλλά πάντως ἤ ἐκεῖνος ἤ ἐκεῖνος , ὅς συντίθημι ἀποτελέω , οἷος θ̅ , ιος , ἄν , ἄν , κζ , λγ , λε , λθ · οὗτος γάρ ἕκαστος καί ὑπό μονάς μετρέω ὡς ὁ ἕτερος καί παρώνυμος ἔχω μέρος ὡς ἐκεῖνος διά ὁ ὁ κοινός γένος φύσις , ἐξηλλαγμένως δέ καί ἴδιος ἔτι καί ἑτερώνυμος μέρος ἤ μέρος χράω , ὁ μέν θ̅ πρός ὁ ἔνατος ἔτι καί τρίτος , ὁ δέ ιος ἔτι καί τρίτος καί πέμπτος πρός ὁ ιεῳ , ὁ δέ ἄν καί ἕβδομος καί τρίτος πρός ὁ εἰκοστόπρωτος , ὁ δέ ἄν πρός ὁ εἰκοστόπεμπτος ὁ παρώνυμος ἔτι καί ἑτερώνυμος χράω ὁ πέμπτος . δεύτερος οὖν λέγω , ὅτι καί ἄλλος σύν ὁ μονάς μέτρον δύναμαι χράω , καί ὅτι οὐ ἀρχοειδής , ἀλλά ἕτερος προστίθημι πρός ἑαυτοῦ ἤ πρός ἕτερος συντίθημι αὐτός γίγνομαι , ὁ μέν θ̅ ὁ γ , ὁ δέ ιος ὁ ε ἤ νή Ζεύς ὁ γ , καί ὁ ἐφεξῆς κατά ὁ αὐτός λόγος · σύνθετος δέ ἐκ τοιοῦτος αἰτία , ὅτι διαλύω ἄν εἰς ἐκεῖνος , ἐκ ὅς συνίστημι , εἴπερ καί μετρέω ἄν ὑπό αὐτός · οὐδείς δέ διαλυτός ἀσύνθετος , ἀλλά πάντως σύνθετος .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.15
ιε . Ἐλλιπὴς δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τὸ ἐναντίον τοῖς δειχθεῖσι πεπονθὼς καὶ τὰ ἑαυτοῦ μέρη συντεθέντα ὑφʼ ἓν κατὰ σύγκρισιν ἑαυτοῦ ἐλάττονα κεκτημένος , ὡς εἴ τι ζῶον τῶν κατὰ φύσιν μελῶν ἢ μερῶν ἐλαττοῦται , ἢ εἴ τις μονόφθαλμος εἴη , ὡς τὸ κυκλοτερὴς δʼ ὀφθαλμὸς ἕεις ἐνέκειτο μετώπῳ , ἢ εἴ τις μονόχειρ εἴη ἢ ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἐλάττονας τῶν ε δακτύλους κεκτημένος εἴη ἢ ἄγλωσσος ἢ τοιούτου τινὸς ἐστερημένος , ἐλλιπὴς ἂν ὁ τοιοῦτος λέγοιτο καὶ οἱονεὶ πηρὸς κατὰ τὴν τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιότητα τοῦ ἔχοντος τὰ ἴδια μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ · οἷός ἐστιν ὁ η , ὁ ιδ · ὁ μὲν γὰρ η μέρος ἔχει ἥμισυ , τέταρτον , ὄγδοον , ἅπερ ἐστὶ δ , β , α , συγκεφαλαιωθέντα δὲ εἰς τὸ αὐτὸ ζ γίνονται καὶ ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς · τὰ ἄρα μέρη ἐλλείπει πρὸς τὴν τοῦ ὅλου συμπλήρωσιν . πάλιν ὁ ιδ ἔχει ἥμισυ , ἔβδομον , τεσσαρεςκαιδέκατον , ἅπερ εἰσὶν ζ , β , α , σύμπαντα δὲ ὁμοῦ ι , ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς · ἐλλείπει ἄρα καὶ οὗτος ἐν τοῖς μέρεσι πρὸς τὸ συμπληρωθῆναι τὸ ὅλον ἐξ αὐτῶν .
Lemmas: ιος . ἐλλιπής δέ ἀριθμός εἰμί ὁ ὁ ἐναντίος ὁ δείκνυμι πάσχω καί ὁ ἑαυτοῦ μέρος συντίθημι ὑπό εἷς κατά σύγκρισις ἑαυτοῦ ἐλαχύς κτάομαι , ὡς εἰ τις ζῷον ὁ κατά φύσις μέλος ἤ μέρος ἐλασσόω , ἤ εἰ τις μονόφθαλμος εἰμί , ὡς ὁ κυκλοτερής δέ ὀφθαλμός εἷς ἔγκειμαι μέτωπον , ἤ εἰ τις μονόχειρ εἰμί ἤ ἐν ἕτερος ὁ χείρ ἐλαχύς ὁ ε δάκτυλος κτάομαι εἰμί ἤ ἄγλωσσος ἤ τοιοῦτος τις στερέω , ἐλλιπής ἄν ὁ τοιοῦτος λέγω καί οἱονεί πηρός κατά ὁ ὁ ἀριθμός ἰδιότης ὁ ἔχω ὁ ἴδιος μέρος ἐλαχύς ἑαυτοῦ · οἷος εἰμί ὁ η̅ , ὁ ιδʹ · ὁ μέν γάρ η̅ μέρος ἔχω ἥμισυς , τέταρτος , ὄγδοος , ὅς εἰμί δ , β , α , συγκεφαλαιόω δέ εἰς ὁ αὐτός ζ̅ γίγνομαι καί ἐλαχύς ὁ ἐκ ἀρχή · ὁ ἄρα μέρος ἐλλείπω πρός ὁ ὁ ὅλος συμπλήρωσις . πάλιν ὁ ιδʹ ἔχω ἥμισυς , ἕβδομος , τεσσαρεσκαιδέκατος , ὅς εἰμί ζ̅ , β , α , σύμπας δέ ὁμοῦ ι̅ , ἐλαχύς ὁ ἐκ ἀρχή · ἐλλείπω ἄρα καί οὗτος ἐν ὁ μέρος πρός ὁ συμπληρόω ὁ ὅλος ἐκ αὐτός .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.20
κ . Ἔστι δὲ ἐπιμερὴς μὲν σχέσις , ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ ὅλον καὶ προςέτι μέρη αὐτοῦ πλείονα ἑνός · τὸ δὲ πλείονα ἑνὸς ἄρχεται πάλιν ἀπὸ τοῦ β καὶ πρόεισιν ἐπὶ πάντας τοὺς ἐφεξῆς ἀριθμούς · ὥςτε τοῦ ἐπιμεροῦς πυθμήν ἐστιν εἰκότως ὁ πρὸς τῷ ὅλῳ δύο μέρη τοῦ ἀντισυγκρινομένου ἔχων καὶ κληθήσεται ἐπιδιμερὴς εἰδικῶς , μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τρία πρὸς τῷ ὅλῳ ἔχων κληθήσεται ἐπιτριμερὴς εἰδικῶς , καὶ μετὰ τοῦτον ἐπιτετραμερής , εἶτα ἐπιπενταμερής , καὶ οὕτως ἀεί . τὰ δέ μέρη ῥίζαν ἔχει καὶ ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ τρίτου · ἀδύνατον γὰρ ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ ἥμισυ ἅρχεσθαι · ἂν γὰρ καί τινα ὑποθώμεθα β ἡμίση ἔχειν τοῦ ἀντιθέτου πρὸς τῷ ὅλῳ , λήσομεν ἑαυτοὺς πολλαπλάσιον ἀντὶ ἐπιμεροῦς τιθέντες · ἕκαστον γὰρ ὅλον καὶ β ἡμίση αὐτοῦ συντιθέμενα διπλάσιον γίνεται τοῦ ἐξ ἀρχῆς · ὥςτε ἀναγκαιότατον ἀπὸ β τρίτων ἄρχεσθαι , εἶτα β πέμπτων , εἶτα β ἑβδόμων , καὶ ἐπὶ τούτοις β ἐνάτων κατὰ τὴν τῶν περισσῶν πρόβασιν · τὰ γὰρ β τέταρτα λόγου χάριν πάλιν ἥμισύ ἐστι καὶ τὰ β ἔκτα τρίτον καὶ οὕτω πάλιν ἐπιμόριοι ἀντὶ ἐπιμερῶν γενήσονται , ὅπερ οὐ πρόκειται οὕτε ἡμῖν οὔτε τῇ τῆς τεχνολογίας καταλληλίᾳ . μετὰ δὲ τὸν ἐπιμερῆ εὐθύς συνυφίσταται ὁ ὑπεπιμερής , ὅταν ἀριθμὸς ἐν τῷ συγκρινομένῳ ὅλος ἔχηται αὐτός τε καὶ προςέτι πλείονα αὐτοῦ μέρη ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς .
Lemmas: κ . εἰμί δέ ἐπιμερής μέν σχέσις , ὅταν ἀριθμός ὁ συγκρίνω ἔχω ἐν ἑαυτοῦ ὅλος καί προσέτι μέρος αὐτός πολύς εἷς · ὁ δέ πολύς εἷς ἄρχω πάλιν ἀπό ὁ β καί πρόειμι ἐπί πᾶς ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός · ὥστε ὁ ἐπιμερής πυθμήν εἰμί ἔοικα ὁ πρός ὁ ὅλος δύο μέρος ὁ ἀντισυγκρίνω ἔχω καί καλέω ἐπιδιμερής εἰδικός , μετά δέ οὗτος ὁ τρεῖς πρός ὁ ὅλος ἔχω καλέω ἐπιτριμερής εἰδικός , καί μετά οὗτος ἐπιτετραμερής , εἶτα ἐπιπενταμερής , καί οὕτως ἀεί . ὁ δέ μέρος ῥίζα ἔχω καί ἀρχή ἀπό ὁ τρίτος · ἀδύνατος γάρ ἐνθάδε ἀπό ὁ ἥμισυς ἔρχομαι · ἐάν γάρ καί τις ὑποτίθημι β ἥμισυς ἔχω ὁ ἀντίθετος πρός ὁ ὅλος , λανθάνω ἑαυτοῦ πολλαπλάσιος ἀντί ἐπιμερής τίθημι · ἕκαστος γάρ ὅλος καί β ἥμισυς αὐτός συντίθημι διπλάσιος γίγνομαι ὁ ἐκ ἀρχή · ὥστε ἀναγκαῖος ἀπό β τρίτος ἄρχω , εἶτα β πέμπτος , εἶτα β ἕβδομος , καί ἐπί οὗτος β ἔνατος κατά ὁ ὁ περισσός πρόβασις · ὁ γάρ β τέταρτος λόγος χάριν πάλιν ἥμισυς εἰμί καί ὁ β κτείνω τρίτος καί οὕτως πάλιν ἐπιμόριος ἀντί ἐπιμερής γίγνομαι , ὅς οὐ πρόκειμαι ἵημι ἐγώ οὔτε ὁ ὁ τεχνολογία καταλληλία . μετά δέ ὁ ἐπιμερής εὐθύς συνυφίστημι ὁ ὑπεπιμερής , ὅταν ἀριθμός ἐν ὁ συγκρίνω ὅλος ἔχω αὐτός τε καί προσέτι πολύς αὐτός μέρος ἤ β ἤ γ ἤ δ ἤ ε καί ἐφεξῆς .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.1
α . Ἐπειδὴ στοιχεῖον λέγεται καὶ ἔστιν , ἐξ οὗ ἐλαχίστου συνίσταται τι καὶ εἰς ὃ ἐλάχιστον ἀναλύεται ( οἷον γράμματα μὲν τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς στοιχεῖα λέγεται , ἐξ αὐτῶν τε γὰρ ἡ σύστασις τῆς συμπάσης ἐνάρθρου φωνῆς καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἀναλύεται · φθόγγοι δὲ μελῳδίας ἁπάσης , ἀφʼ ὧν ἄρχεται συγκρίνεσθαι καὶ εἰς οὓς ἀναλύεται · κοινῇ δὲ τοῦ κόσμου τὰ λεγόμενα τέσσαρα στοιχεῖα ἁπλᾶ ὑπάρχει σώματα , πῦρ , ὕδωρ , ἀήρ , γῆ · ἐκ γὰρ πρωτίστων αὐτῶν ἡ σύστασις τοῦ παντὸς φυσιολογεῖται καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἐπινοεῖται ἡ ἀνάλυσις ) , ἀποδεῖξαι δὲ βουλόμεθα , ὅτι καὶ ἡ ἰσότης στοιχεῖόν ἐστι τοῦ πρός τι ποσοῦ · τοῦ γὰρ ἀπλῶς καὶ καθʼ αὑτὸ ποσοῦ μονὰς ἦν καὶ δυὰς τὰ ἀρχικώτατα στοιχεῖα , ἐξ ὧν ἐλαχίστων καὶ ἐπʼ ἄπειρον ἀεὶ συνίσταται καὶ αὔξεται καὶ ἐπὶ τὸ μεῖον ἀναλυόμενον ἵσταται . ἀλλὰ τὴν μὲν ἐπὶ τῆς ἀνισότητος προκοπὴν καὶ ἐπαύξησιν ἀπεδείξαμεν ἀπὸ ἰσότητος γινομένην ἐπὶ πάσας ἁπλῶς τὰς σχέσεις μετά τινος εὐταξίας διὰ τριῶν προςταγμάτων · λοιπὸν δʼ , ἵνʼ ὡς ἀληθῶς στοιχεῖον ᾖ , ἀποδεικνύειν , ὅτι καὶ αἱ ἀναλύσεις ἐπʼ αὐτὴν ἐσχάτην περαιοῦνται · ἔφοδον ἰστέον τοιαύτην καθολικήν . ·
Lemmas: α . ἐπειδή στοιχεῖον λέγω καί εἰμί , ἐκ ὅς ἐλαχύς συνίστημι τις καί εἰς ὅς ἐλαχύς ἀναλύω ( οἷος γράμμα μέν ὁ ἐγγράμματος φωνή στοιχεῖον λέγω , ἐκ αὐτός τε γάρ ὁ σύστασις ὁ σύμπας ἔναρθρος φωνή καί εἰς αὐτός ἔσχατος ἀναλύω · φθόγγος δέ μελῳδία ἅπας , ἀπό ὅς ἄρχω συγκρίνω καί εἰς ὅς ἀναλύω · κοινῇ δέ ὁ κόσμος ὁ λέγω τέσσαρες στοιχεῖον ἁπλόος ὑπάρχω σῶμα , πῦρ , ὕδωρ , ἀήρ , γῆ · ἐκ γάρ πρῶτος αὐτός ὁ σύστασις ὁ πᾶς φυσιολογέω καί εἰς αὐτός ἔσχατος ἐπινοέω ὁ ἀνάλυσις ) , ἀποδείκνυμι δέ βούλομαι , ὅτι καί ὁ ἰσότης στοιχεῖον εἰμί ὁ πρός τις πός · ὁ γάρ ἀπλόος καί κατά ἑαυτοῦ πός μονή εἰμί καί δυάς ὁ ἀρχικός στοιχεῖον , ἐκ ὅς ἐλαχύς καί ἐπί ἄπειρος ἀεί συνίστημι καί αὐξάνω καί ἐπί ὁ μείων ἀναλύω ἵστημι . ἀλλά ὁ μέν ἐπί ὁ ἀνισότης προκοπή καί ἐπαύξησις ἀποδείκνυμι ἀπό ἰσότης γίγνομαι ἐπί πᾶς ἁπλῶς ὁ σχέσις μετά τις εὐταξία διά τρεῖς πρόσταγμα · λοιπός δέ , ἵνα ὡς ἀληθής στοιχεῖον εἰμί , ἀποδείκνυμι , ὅτι καί ὁ ἀνάλυσις ἐπί αὐτός ἔσχατος περαιόω · ἔφοδος οἶδα τοιοῦτος καθολικός . ·
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.2
β . Δοθέντων σοι τριῶν ὅρων ἐν ᾑτινιοῦν σχέσει καὶ ἀναλογίᾳ , εἴτε πολλαπλασίῳ εἴτε ἐπιμορίῳ εἴτε ἐπιμερεῖ εἴτε συνθέτῳ ἀπὸ τούτων πολλαπλασιεπιμορίῳ ἤτοι πολλαπλασιεπιμερεῖ , μόνον ἵνα ἐν τῷ αὐτ ῷ λόγῳ ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα θεωρῆται , ἐν ᾧ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ἢ ἀνάπαλιν , αἰεὶ τὸν ἐλάττονα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ μέσου , ἐάν τε πρῶτος ᾖ κείμενος ἐάν τε ἔσχατος , καὶ τίθει αὐτὸν μὲν τὸν ἐλάσσονα πρῶτον ὅρον , τὸ δὲ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ δευτέρου μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν δεύτερον τάσσε ὅρον , ἑνὸς δὲ τοιούτου πρώτου καὶ δύο τοιούτων δεύτερων ἀφαιρεθέντων ἀπὸ τοῦ λοιποῦ , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν δοθέντων σοι , τὸ λειπόμενον ποίει τρίτον ὅρον καὶ ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει προγενεστέρᾳ κατὰ φύσιν . πάλιν δὲ ἀπʼ αὐτῶν τούτων τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἂν ἀφέλῃς ὅρου τὸ λειπόμενον , οἱ τρεῖς ὅροι ἀναπεποδισμένοι σοι εὑρεθήσονται εἰς πυθμενικωτέρους ἄλλους τρεῖς , καὶ τοῦτο ἀεὶ ἀκόλουθον εὑρήσεις γινόμενον , μέχρις ἂν εἰς ἰσότητα ἀναχθῶσιν · ἐξ οὗ πᾶσα ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνεσθαι , τῆν ἰσότητα τοῦ πρός τι ποσοῦ στοιχεῖον πάντως εἶναι . παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρίᾳ ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἴς τε τὴν Πλατωνικὴν ψυχογονίαν καὶ εἰς τὰ ἁρ μονικὰ διαστήματα πάντα · κελευόμεθα γὰρ ἐκεῖ πυκνῶς λόγου χάριν ἀποστῆσαι ἐφεξῆς δύο ἡμιολίους λόγους ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ ἐπʼ ἄπειρον ἢ δύο ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογδόους ἢ οἵους δήποτε ἐπιμορίους καὶ καθʼ ἕκαστον αὐτῶν ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ μέχρις ὅσων τις προςτάσσει . εὔλογον δέ ἐστι , μὴ ἰδιωτικῶς καὶ ἀνεπιστημόνως , ἔστι δὲ ὅτε καὶ διημαρτημένως τὸ τοιοῦτον ποιεῖν , ἀλλʼ ἐντέχνως τε καὶ ἀπταίστως καὶ τάχιστα ἐφόδῳ τοιαύτῃ .
Lemmas: Β . δίδωμι σύ τρεῖς ὅρος ἐν ὅστις σχέσις καί ἀναλογία , εἴτε πολλαπλάσιος εἴτε ἐπιμόριος εἴτε ἐπιμερής εἴτε σύνθετος ἀπό οὗτος πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι πολλαπλασιεπιμερής , μόνος ἵνα ἐν ὁ αὐτ εἰμί λόγος ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς θεωρέω , ἐν ὅς ὁ μέγας πρός ὁ μέσος ἤ ἀνάπαλιν , ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀφαιρέω ἀπό ὁ μέσος , ἐάν τε πρῶτος εἰμί κεῖμαι ἐάν τε ἔσχατος , καί τίθημι αὐτός μέν ὁ ἐλαχύς πρῶτος ὅρος , ὁ δέ λείπω ἀπό ὁ δεύτερος μετά ὁ ἀφαίρεσις δεύτερος τάσσω ὅρος , εἷς δέ τοιοῦτος πρῶτος καί δύο τοιοῦτος δεύτερος ἀφαιρέω ἀπό ὁ λοιπός , τουτέστι ἀπό ὁ μέγας ὁ δίδωμι σύ , ὁ λείπω ποιέω τρίτος ὅρος καί εἰμί ὁ γίγνομαι ἐν ἄλλος τις σχέσις προγενής κατά φύσις . πάλιν δέ ἀπό αὐτός οὗτος ὁ αὐτός τρόπος ἐάν ἀφαιρέω ὅρος ὁ λείπω , ὁ τρεῖς ὅρος ἀναποδίζω σύ εὑρίσκω εἰς πυθμενικός ἄλλος τρεῖς , καί οὗτος ἀεί ἀκόλουθος εὑρίσκω γίγνομαι , μέχρι ἄν εἰς ἰσότης ἀνάσσω · ἐκ ὅς πᾶς ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνω , ὁ ἰσότης ὁ πρός τις πός στοιχεῖον πάντως εἰμί . παρέπομαι δέ ὁ τοιοῦτος θεωρία ἔμμουσος τις θεώρημα καί χρήσιμος εἰς τε ὁ Πλατωνικός ψυχογονία καί εἰς ὁ ἀρ Μονίκα διάστημα πᾶς · κελεύω γάρ ἐκεῖ πυκνός λόγος χάριν ἀφίστημι ἐφεξῆς δύο ἡμιόλιος λόγος ἤ τρεῖς ἤ τέσσαρες ἤ πέντε ἤ ἐπί ἄπειρος ἤ δύο ἐπίτριτος ἤ ἐπιτέταρτος ἤ ἐπόγδοος ἤ οἷος δήποτε ἐπιμόριος καί κατά ἕκαστος αὐτός ἤ τρεῖς ἤ τέσσαρες ἤ πέντε ἤ μέχρι ὅσος τις προστάσσω . εὔλογος δέ εἰμί , μή ἰδιωτικός καί ἀνεπιστήμων , εἰμί δέ ὅτε καί διημαρτημένως ὁ τοιοῦτος ποιέω , ἀλλά ἔντεχνος τε καί ἄπταιστος καί ταχύς ἔφοδος τοιοῦτος .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.9
θ . Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς , ὡς ὁ πρόσθεν , ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ καταγραφῇ γωνίας ἀποδιδούς , ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ , οἷον α , δ , θ , ιϚ , κε , λϚ , μθ , ξδ , πα , ρ · τούτων γὰρ αἱ καταγραφαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνισμοὶ οὕτω πως γίνονται · καὶ ἐφεξῆς οὕτως , μέχρις οὗ βούλει . καὶ τούτοις δὲ συμβέβηκεν , ὥςπερ καὶ τοῖς πρὸ αὐτῶν , τὴν τῶν πλευρῶν πρόβασιν κατὰ τὸν φυσικὸν ἀριθμὸν προκόπτειν · τῷ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτῳ τῷ ἑνὶ πλευρὰ μονάς , τῷ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτῳ τῷ δ πλευρὰ δυάς , τῷ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρῳ τῷ θ πλευρὰ τριάς , τῷ δὲ μετʼ αὐτὸν ἐνεργείᾳ τρίτῳ τῷ ιϚ πλευρὰ τετρὰς καὶ τῷ τετάρτῳ πεντὰς καὶ τῷ πέμπτῳ ἑξὰς καὶ καθόλου ἑξῆς τοῖς ἐφεξῆς . γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος στοιχηδὸν ἐκτεθέντος φυσικοῦ ἀριθμοῦ τῇ μονάδι ἐπισωρευθέντων οὐκέτι τῶν ἐφεξῆς τοῖς ἐφεξῆς , ὡς δέδεικται , ἀλλὰ τῶν παῤ ἕνα κειμένων πάντων , τουτέστι τῶν περισσῶν · πρῶτος γὰρ ὁ α δυνάμει πρῶτος τετράγωνος , δεύτερος ὁ α καὶ γ ἐνεργείᾳ πρῶτος τετράγωνος , τρίτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε ἐνεργείᾳ δεύτερος τετράγωνος , τέταρτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε καὶ ζ ἐνεργείᾳ τρίτος τετράγωνος καὶ ὁ ἑξῆς τοῖς προτέροις προςσωρευθέντος τοῦ θ γίνεται καὶ ὁ μετ᾿ αὐτόν τοῦ ια προςτεθέντος καὶ οὕτως ἀεί . καὶ ἐπὶ τούτων δὲ συμβέβηκε τοσούτων μονάδων τὴν ἑκάστου πλευρὰν εἶναι , ὁπόσοιπερ ἂν ὦσιν οἱ εἰς τὴν αὐτοῦ γένεσιν ἐπισωρευθέντες ἀριθμοί .
Lemmas: θ . τετράγωνος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ συνεχής οὗτος καί μηκέτι τρεῖς , ὡς ὁ πρόσθεν , ἀλλά τέσσαρες ἐν ὁ καταγραφή γωνία ἀποδίδωμι , ἐν ἰσόπλευρος μέντοι καί αὐτός σχηματισμός , οἷος α , δ , θ̅ , ιϚ , ἄν , λϚ , μθ , ξδ , πη , ρ̅ · οὗτος γάρ ὁ καταγραφή ἰσόπλευρος τετραγωνισμός οὕτως πως γίγνομαι · καί ἐφεξῆς οὕτως , μέχρι ὅς βούλομαι . καί οὗτος δέ συμβαίνω , ὥσπερ καί ὁ πρό αὐτός , ὁ ὁ πλευρά πρόβασις κατά ὁ φυσικός ἀριθμός προκόπτω · ὁ μέν γάρ δύναμις πρῶτος ὁ εἷς πλευρόν μονή , ὁ δέ ἐνέργεια πρῶτος ὁ δ πλευρόν δυάς , ὁ δέ ἐνέργεια δεύτερος ὁ θ̅ πλευρόν τριάς , ὁ δέ μετά αὐτός ἐνέργεια τρίτος ὁ ιϚ πλευρόν τετράς καί ὁ τέταρτος πεντάς καί ὁ πέμπτος ἑξάς καί καθόλου ἑξῆς ὁ ἐφεξῆς . γεννάω δέ καί οὗτος στοιχηδόν ἐκτίθημι φυσικός ἀριθμός ὁ μονάς ἐπισωρεύω οὐκέτι ὁ ἐφεξῆς ὁ ἐφεξῆς , ὡς δείκνυμι , ἀλλά ὁ παρά εἷς κεῖμαι πᾶς , τουτέστι ὁ περισσός · πρῶτος γάρ ὁ α δύναμις πρῶτος τετράγωνος , δεύτερος ὁ α καί γ ἐνέργεια πρῶτος τετράγωνος , τρίτος δέ ὁ α καί γ καί ε ἐνέργεια δεύτερος τετράγωνος , τέταρτος δέ ὁ α καί γ καί ε καί ζ̅ ἐνέργεια τρίτος τετράγωνος καί ὁ ἑξῆς ὁ πρότερος προσσωρεύω ὁ θ̅ γίγνομαι καί ὁ μετά αὐτός ὁ ιαʹ προστίθημι καί οὕτως ἀεί . καί ἐπί οὗτος δέ συμβαίνω τοσοῦτος μονάς ὁ ἕκαστος πλευρά εἰμί , ὁπόσοιπερ ἄν εἰμί ὁ εἰς ὁ αὐτός γένεσις ἐπισωρεύω ἀριθμός .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.10
ι . Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογραφούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον , οἷον α , ε , ιβ , κβ , λε , να , ο καὶ οἱ ἀνάλογοι . ἀλλʼ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατʼ ἐνέργειαν , τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς , μονὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός , τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετʼ αὐτὸν τοῦ κβ τετρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως · καθόλου γὰρ τοσούτων μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν , ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέντες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ χύματος · παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφʼ ὁσονοῦν , τουτέστιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες · ἡ μὲν μονὰς δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως , ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχηματογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως , ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς , ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ , ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν , ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς , ἡ δὲ σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν · οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσονται καθεξῆς προςσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα . ὄντων , οἷον τοῦ ι , ιγ , ιϚ , ιθ , κβ , κε καὶ ἐπʼ ἄπειρον · ἔσονται γὰρ κβ , λε , να , ο , Ϟβ , ριζ καὶ τοῦτο μέχρι παντός .
Lemmas: ι . πεντάγωνος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ καί αὐτός κατά ὁ ἐξάπλωσις ὁ εἰς μονάς σχηματογραφέω ἐπίπεδος εἰς πενταγωνικός σχῆμα πάντῃ ἰσόπλευρος , οἷος α , ε , ιβ , κβʹ , λε , να , ο̅ καί ὁ ἀνάλογος . ἀλλά εἰμί ὁ μέν πρῶτος κατά ἐνέργεια , τουτέστι ὁ ε ἕκαστος πλευρόν δυάς , μονή μέν γάρ ὁ δύναμις πρῶτος πεντάγωνος ὑπάρχω ὁ εἷς , ὁ δέ ὁ ἔκκειμαι δεύτερος ὁ ιβ πλευρόν τριάς καί ὁ μετά αὐτός ὁ κβʹ τετράς καί ὁ ἑξῆς ὁ λε πεντάς καί ἑξάς ὁ ἐπί οὗτος ὁ να καί ἀεί οὕτως · καθόλου γάρ τοσοῦτος μονάς ὁ πλευρόν εἰμί , ὅσος εἰς ὁ αὐτός σύστασις συσωρεύω ἀριθμός ἐκλέγω ἐκ ὁ κατά φύσις στοιχηδόν ἔκκειμαι ὁριθς χύμα · παραπλήσιος γάρ καί ὁμοιότροπος ἐπισωρεύω ἀλλήλων εἰς πεντάγωνος γένεσις ὁ ἀπό μονάς δύο διαλείπω ἐπί ὁσονοῦν , τουτέστι ὁ τριάς ἀλλήλων ὑπερέχω · ὁ μέν μονή δύναμις πρῶτος καί σχηματογραφέω οὕτως , ὁ δέ ε δεύτερος ἐκ ὁ α καί δ συντίθημι σχηματογραφέω καί αὐτός οὕτως , ὁ δέ ιβ ὁ τρίτος ἐκ τε ὁ δύο πρότερος καί ὁ ζ̅ ἐπισωρεύω αὐτός , ἵνα καί αὐτός τριάς πλευρά ἔχω , ὡς τρεῖς συντίθημι εἰς ὁ αὐτός σύστασις , ὡς καί ὁ πρό αὐτός ὁ ε δυάς πλευρά ἔχω ἐκ δύο συντίθημι , ὁ δέ σχηματογραφία αὐτός τοιοῦτος εἰμί · ὁ δέ ἐπί οὗτος γίγνομαι καθεξῆς προσσωρεύω ὁ κατά τριάς ὑπεροχή εὔτακτος μετά ὁ ἑβδομάς . εἰμί , οἷος ὁ ι̅ , ιγ , ιϚ , ιθ , κβʹ , ἄν καί ἐπί ἄπειρος · εἰμί γάρ κβʹ , λε , να , ο̅ , Ϟβʹ , ριζʹ καί οὗτος μέχρι πᾶς .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.11
ια . Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν τῶν ἀποστάσεων γινομένων · ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας , μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο , ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας , ἕνα δὲ παραλείποντας , πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας , δύο δὲ παραλείποντας , οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐτῶν , οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τετράδι μὲν διαφέροντας , τρεῖς δὲ παραλείποντας , ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται , οἷον α , ε , θ , ιγ , ιζ , κα καὶ ἐφεξῆς , ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν α , Ϛ , ιε , κη , με , ξϛ καὶ ἀεί , μέχρις ἄν τις θέλῃ . οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας , τετράδι δὲ διαλείποντας , οἷον α , Ϛ , ια , ιϚ , κα , κϚ , λα , λϚ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν , αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστάμενοί εἰσιν α , ζ , ιη , λδ , νε , πα , ριβ , ρμη καὶ τοῦτο μέχρι παντός . ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως . ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφωνον ᾖ , ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως , ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν , τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον , δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον , τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον , τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως .
Lemmas: ἰά . ἑξάγωνος δέ καί ἑπτάγωνος καί ὁ ἑξῆς κατά ὁ αὐτός ἔφοδος προβιβάζω ἀπό ὁ φυσικός χύμα ὁ ἀριθμός στοιχηδόν ἐκτίθημι ἀεί κατά μονάς πρόσθεσις ὁ ἀπόστασις γίγνομαι · ὡς γάρ ὁ μέν τρίγωνος ὁ μονάς διαφέρω , μηδείς παραλείπω εἰς ὁ σωρεία δέχομαι ἀποτελέω , ὁ δέ τετράγωνος ὁ δυάς μέν διαφέρω , εἷς δέ παραλείπω , πεντάγωνος δέ ἀκόλουθος ὁ τριάς μέν διαφέρω , δύο δέ παραλείπω , ὅς καί ἀποδείκνυμι ὑπόδειγμα αὐτός τε καί ὁ ἀποτελέω ἐκτίθημι ἐκ αὐτός , οὕτως καί ἑξάγωνος γνώμων ἔχω ὁ τετράς μέν διαφέρω , τρεῖς δέ παραλείπω , ἐκ ὅς συντίθημι σωρηδόν ἀποτελέω , οἷος α , ε , θ̅ , ιγ , ιζ , ἄν καί ἐφεξῆς , ἵνα ὁ ἀποτελέω ἑξάγωνος εἰμί α , Ϛ , ιος , πη , ἐγώ , ξϛʹ καί ἀεί , μέχρι ἐάν τις ἐθέλω . ὁ δέ οὗτος ἀκόλουθος ἑπτάγωνος ὁ μέν γνώμων ἔχω πεντάς μέν διαφέρω , τετράς δέ διαλείπω , οἷος α , Ϛ , ιαʹ , ιϚ , ἄν , κϚʹ , λα , λϚʹ καί ἐπί ὁσονοῦν , αὐτός δέ ὁ συνίστημι εἰμί α , ζ̅ , ιη , λδ , νε , πη , ριβʹ , ρμηʹ καί οὗτος μέχρι πᾶς . ὀκτάγωνος δέ κατά ὁ αὐτός τάξις ὁ τε γνώμων ἑξάς διαφέρω προκόπτω καί ὁ σύστημα ἀνάλογος . ἵνα δέ ἐπί πᾶς παρατηρέω οὗτος καθολικός σύμφωνος εἰμί , ἕκαστος πολύγωνον ὁ γνώμων διαφέρω ἀλλήλων δυάς ἐλαχύς , ἤ κατά ὁ ἐν ὁ ὄνομα ποσότης ὁ γωνία , τουτέστι μονάς μέν ὁ τρίγωνος , δυάς δέ ὁ τετράγωνος , τριάς δέ ὁ πεντάγωνος , τετράς δέ ὁ ἑξάγωνος καί πεντάς ὁ ἑπτάγωνος καί ἀεί κατά παραύξησις οὕτως .
nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.16
ιϚ . Ἐπειδὴ οὖν πάντη ἰσόπλευρον ἐπὶ μῆκος καὶ βάθος καὶ πλάτος σχῆμα στερεὸν ὑπάρχει ὁ κύβος καὶ ἐπὶ τὰς λεγομένας ἓξ περιστάσεις ἰσοδιάστατον , ἀκόλουθον ἄρα ἐστίν , ἀντικεῖσθαι αὐτῷ τὸ μηδαμῆ ἴσας ἔχον τὰς διαστάσεις ἀλλήλαις , ἀλλ᾿ ἄνισον τὴν τοῦ βάθους τῇ τοῦ πλάτους καὶ ἑκατέρᾳ τούτων τὴν τοῦ μήκους , οἷον δὶς τρὶς τετράκις ἢ δὶς τετράκις ὀκτάκις ἢ τρὶς πεντάκις δωδεκάκις ἢ κατά τινα ἄλλην ἀνισότητα τοιαύτην . τὰ δὲ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα λέγεται σκαληνὰ ἁπλῶς , ὧν πάντη τὰ διαστήματα ἄνισα ἀλλήλοις ἐστι · τινὲς δὲ αὐτὰ πωλυνωύμως σφηνίσκους καλοῦσι , καὶ γὰρ καὶ οἱ σφῆνες ἀνισόπλευροι πανταχῆ τεκτονικοί τε καὶ οἰκοδομικοὶ καὶ χαλκευτικοὶ καὶ οἱ τῶν ἄλλων τεχνῶν πλάσσονται ἀπὸ ὀξυτέρου ἄκρου διαδύνειν ἀρχόμενοι καὶ αἰεὶ μᾶλλον πλατυνόμενοι ἀνομοίως κατὰ πάντα τὰ διαστήματα · τινὲς δὲ τούς αὐτούς σφηκίσκους καλοῦσι , τοιοῦτος γὰρ καὶ ὁ τῶν σφηκῶν μάλιστα ἄγκος ἀποσφιγγόμενος κατὰ μέσον καὶ τὴν λεχθεῖσαν ὁμοιότητα ἐμφαίνων · παρὰ τοῦτο εἰκὸς καὶ τὸ σφήκωμα ὠνομάσθαι , ἔνθα γὰρ ἂν ἀποσφίγξῃ , τὴν τού σφηκὸς ἐντομὴν μιμεῖται · ἕτεροι δὲ τούς αὐτούς βωμίσκους προςαγορεύουσιν ἀπὸ οἰκείας εἰκόνος , οἱ γὰρ παλαιότροποι βωμοί , μάλιστα δὲ ἰωνικοί , οὔτε τὸ πλάτος τῷ βάθει οὔτε συναμφότερα τῴ μήκει ἶσα ἔχουσιν οὕτε τὴν βάσιν τῇ κορυφῇ , ἀλλὰ πάντη εἰσὶν ἐξηλλαγμένοι ταῖς διαστάσεσιν . ὡς οὖν ἀκροτήτων δύο κύβου τε καὶ σκαληνοῦ , τοῦ μὲν κατ᾿ ἰσότητα διεστῶτος , τοῦ δὲ κατ᾿ ἀνισότητα πάντη , μέσοι εἰσὶ στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ λεγόμενοι παραλληλεπίπεδοι , ὧν καὶ τὰ ἐπίπεδα ἑτερομήκεις ὑπάρχουσιν ἀριθμοί , ὥςπερρ καὶ τῶν κύβων αὐτῶν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἦσαν τὰ ἐπίπεδα , ὡς ἐδείχθη .
Lemmas: ιϛʹ . ἐπειδή οὖν πάντῃ ἰσόπλευρος ἐπί μῆκος καί βάθος καί πλάτος σχῆμα στερεός ὑπάρχω ὁ κύβος καί ἐπί ὁ λέγω ἕξ περίστασις ἰσοδίαις , ἀκόλουθος ἄρα εἰμί , ἀντίκειμαι αὐτός ὁ μηδαμῆ ἴσος ἔχω ὁ διάστασις ἀλλήλων , ἀλλά ἄνισος ὁ ὁ βάθος ὁ ὁ πλάτος καί ἑκάτερος οὗτος ὁ ὁ μῆκος , οἷος δίς τρίς τετράκις ἤ δίς τετράκις ὀκτάκις ἤ τρίς πεντάκις δωδεκάκις ἤ κατά τις ἄλλος ἀνισότης τοιοῦτος . ὁ δέ τοιοῦτος στερεός σχῆμα λέγω σκαληνός ἁπλῶς , ὅς πάντῃ ὁ διάστημα ἄνισος ἀλλήλων εἰμί · τις δέ αὐτός πωλυνωυμαω σφηνίσκος καλέω , καί γάρ καί ὁ σφήν ἀνισόπλευρος πανταχῇ τεκτονικός τε καί οἰκοδομικός καί χαλκευτικός καί ὁ ὁ ἄλλος τέχνη πλήσσω ἀπό ὀξύς ἄκρον διαδύνω ἄρχω καί ἀεί μάλα πλατύνω ἀνόμοιος κατά πᾶς ὁ διάστημα · τις δέ ὁ αὐτός σφηκίσκος καλέω , τοιοῦτος γάρ καί ὁ ὁ σφήξ μάλα ἄγκος ἀποσφίγγω κατά μέσος καί ὁ λέγω ὁμοιότης ἐμφαίνω · παρά οὗτος ἔοικα καί ὁ σφήκωμα ὀνομάζω , ἔνθα γάρ ἄν ἀποσφίγγω , ὁ ὁ σφήξ ἐντομή μιμέομαι · ἕτερος δέ ὁ αὐτός βωμίσκος προσαγορεύω ἀπό οἰκεῖος εἰκών , ὁ γάρ παλαιότροπος βωμός , μάλα δέ Ἰωνικός , οὔτε ὁ πλάτος ὁ βάθος οὔτε συναμφότεροι τις μῆκος ἴσος ἔχω ἵημι ὁ βάσις ὁ κορυφή , ἀλλά πάντῃ εἰμί ἐξαλλάσσω ὁ διάστασις . ὡς οὖν ἀκρότης δύο κύβος τε καί σκαληνός , ὁ μέν κατά ἰσότης διίστημι , ὁ δέ κατά ἀνισότης πάντῃ , μέσος εἰμί στερεός ἀριθμός ὁ λέγω παραλληλεπίπεδος , ὅς καί ὁ ἐπίπεδος ἑτερομήκης ὑπάρχω ἀριθμός , ὥςπερρ καί ὁ κύβος αὐτός τετράγωνος ἀριθμός εἰμί ὁ ἐπίπεδος , ὡς δείκνυμι .