nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.10
ι . Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων , κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων τῶν εἰρημένων ὡςανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης · ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ ὑπάρχει , κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ , καὶ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται , τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ , δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον , τούτῳ διαφέρει τοῦ λοιποῦ . ἔστι δέ , ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ , ἔστι δʼ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη , μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν · οἷός ἐστιν ὁ κδ , ὁ κη , ὁ μ · ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκα αστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάντως ἡμίσους ἥμισυ · ἔστι δʼ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρίσκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς τὰ μέρη , οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει . τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ , ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιοπερίσσου , τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐτοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ , ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου . συμβέκηκε δʼ αὐτῷ μόνῳ ὑφʼ ἓν τὰ ἑκατέρῳ ἐκείνων ἰδίως συμβεβηκότα καὶ πάλιν ἃ μηδετέρῳ · καὶ γὰρ ἐκείνων ὁ μὲν τὸ μέγιστον μόνον μέρος εἶχε τμητόν , ὁ δὲ τὸ μικρότατον μόνον ἄτμητον , οὗτος δὲ οὐδέτερον · πλείονα μὲν γὰρ τοὺ ἑνὸς τμήματα ἐν τῷ μείζονι μέρει ἔχων ὁρᾶται , πλείονα δὲ τοῦ ἑνὸς ἄτμητα ἐν τῷ ἐλάττονι . καὶ πάλιν ἐστὶν ἐν αὐτῷ τινα μὲν μέρη μὴ ἐναντιωνυμοῦντα ταῖς δυνάμεσι μηδʼ ἑτερογενοῦντα πρὸς αὐτὰς κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου , ἔνεστι δὲ πάντως καὶ ἕτερα ἐναντιωνυμούμενα ἑτερογενῶς ὑπὸ τῶν δυνάμεων κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιοπερίσσου · οἷον ἐν τῷ κδ οὐκ ἐναντιωνυμεῖ μὲν μέρη δυνάμεσι , τέταρτον Ϛ , ἥμισυ ιβ , ἕκτον δ , δωδέκατον β , ἐναντιοπαθεῖ δὲ τρίτον η , ὄγδοον γ , εἰκοστοτέταρτον α · καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν παραπλησίως . γεννᾶται δὲ οὗτος ἐφόδῳ τινὶ ποικιλωτέρᾳ σημαίνων τρόπον τινὰ καὶ ἐν τῇ γενέσει αὐτοῦ , ὅτι μῖγμα ἀμφοτέρων ἐστίν · ἐπειδὴ γὰρ ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐξ ἀρτίων ὑφίσταται τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασίων ἐς ἀεί , ὁ δὲ ἀρτιοπέρισσος ἀπὸ περισσῶν τῶν ἀπὸ τριάδος προιόντων ἐς ἀεί , ἀναγκαῖον τοῦτον ἐξ ἀμφοτέρων τῶν γενῶν συνυφαίνεσθαι , ὡς κοινὸν ἀμφοτέρων . ἐκθώμεθα δὴ τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἰδίᾳ εὐτάκτως ἐν ἑνὶ στίχῳ γ , ε , ζ , θ , ια , ιγ , ιε , ιζ , ιθ καὶ ἐφεξῆς , τοὺς δὲ ἀπὸ τετράδος ἀρτιάκις ἀρτίους πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἑτέρῳ στίχῳ κατὰ τὴν τάξιν τὴν αὐτῶν δ , η , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚ καὶ ἐφεξῆς , μέχρις οὗ βούλει . ἀπὸ ὁποτέρου δὴ στίχου ( ἀδιάφορον γάρ ) τῷ πρώτῳ κειμένῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε ἐξ ἀρχῆς πάντας ἑξῆς τοὺς ἐν τῷ λοιπῷ στίχῳ καὶ τοὺς ἀποτελουμένους σημειοῦ , εἶτα πάλιν τοῦ αὐτοῦ στίχου τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν , μέχρις οὗ ἔχεις , καὶ τοὺς γινομένους ἀπογράφου · εἶτα τῷ τρίτῳ πάλιν ἀριθμῷ τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν , καὶ μέχρις ἂν προχωρῇς , οὐδένες ἄλλοι σοι ἀπογεννήσονται πλὴν οἱ περισσάρτιοι . χάριν δὲ ὑποδείγματος χρησώμεθα τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ στίχου τῶν περισσῶν καὶ πολυπλασιάσωμεν αὐτῷ τοὺς ἐν τῷ ἑτέρῳ στίχῳ τάξει πάντας , τρὶς δ , τρὶς η , τρὶς ιϚ , τρὶς λβ , καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου · ἔσονται γὰρ ιβ , κδ , μη , ?? Ϛ , οὓς δεῖ σημειώσασθαι ἐν ἑνὶ στίχῳ · εἶτα ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς πάλιν τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ τὸ αὐτὸ ποίει , πεντάκις δ , πεντάκις η , πεντάκις ιϚ , πεντάκις λβ · ἀποτελεσθήσονται γὰρ οἵδε κ , μ , π , ρξ · εἶτα πάλιν τῷ τρίτῳ ἀριθμῷ τῷ ζ τὸ αὐτὸ ποίει , ἑπτάκις δ , ἑπτάκις η , ἑπτάκις ιϛ , ἑπτάκις λβ · οἱ γὰρ γινόμενοί εἰσιν κη , νϚ , ριβ , σκδ , καὶ κατὰ τὰ αὐτά , μέχρις οὗ βούλει , προχωρεῖν συμφωνήσει σοι · γ ε ζ θ ια ιγ ιε δ η ιϚ λβ ξδ ρκη σνϚ οἱ γνώ - μονες τοῦ περισσαρ - τίου . πλάτος . ιβ κδ μη ?? Ϛ ρ??β τπδ ψξη κ μ π ρξ τκ χμ ‚ ασπ κη νϚ ριβ σκδ υμη ω??Ϛ ‚ αψ??β λϚ οβ ρμδ σπη φοϚ ‚ αρνβ ‚ βτδ μδ πη ροϚ τνβ ψδ ‚ ανη ‚ βωιϚ οἱ περισσάρτιοι . μῆκος . ὅταν δὴ τοὺς ἐξ ἑκάστου πολυπλασιασμοὺς ἐν ἰδίῳ στίχῳ τάξῃς παραλλήλους ποιούμενος τοὺς στίχους , φανήσεταί σοι θαυμαστῶς κατὰ μὲν τὸ πλάτος συμβαῖνον τὸ τῶν ἀρτιοπερίσσων · ἰδίωμα , ὅτι ἀεὶ τῶν ἄκρων ὁ μέσος ὑποδιπλάσιος , εἰ εἷς εἴη , εἰ δὲ δύο μέσοι , ἶσοι κατὰ σύνθεσιν · κατὰ δὲ τὸ μῆκος τὸ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων · τὸ γὰρ ὑπό ‾ ἶσον τῷ ἀπό ‾ , εἰ μία εἴη μεσότης , ἢ τῷ ὑπό ‾ , εἰ δύο εἴησαν · ὥςτε τὰ ἀμφοτέρων ἰδιώματα τούτῳ μόνῳ συμβέβηκεν , ὡς ὄντι φυσικῷ μίγματι αὐτῶν .
Lemmas: ι . περισσάρτιος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ ὁ τρίτος εἶδος ὁ ἄρτιος ἐμφαίνω , κοινός εἰμί ἀμφότερος ὁ λέγω ὡσανεί δύο ἀκρότης εἷς τις εἰμί αὐτός μεσότης · ὅμοιος γάρ κατά μέν τις ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ὑπάρχω , κατά δέ τις ὁ ἀρτιοπέρισσος , καί μέν ὁ ἕτερος ἀπαλλάσσω , οὗτος κοινωνέω ὁ λοιπός , δέ κοινός τις ἔχω πρός ἕτερος , οὗτος διαφέρω ὁ λοιπός . εἰμί δέ , ὅταν ἀριθμός ἄρτιος εἰς δύο ἴσος διαιρέω δύναμαι διαιρέω ὅμοιος ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἔχω , εἰμί δέ ὅτε καί ὁ μέρος ὁ μέρος , μέχρι μέντοι μονάς μή δύναμαι ὁ ὁ μέρος λύσις ἄγω · οἷος εἰμί ὁ κδ , ὁ πη , ὁ μ · ἥμισυς μέν γάρ ἕκατι ἀστός οὗτος ἴδιος ἔχω καί πάντως ἥμισυς ἥμισυς · εἰμί δέ ὅτε ἐν αὐτός τις εὑρίσκω καί ἐπί πολύς ὁ διχασμός ἐπιδέχομαι εἰς ὁ μέρος , οὐδείς μέντοι ὁ παράπαν μέχρι ὁ φύσις ἄτομος μονάς ὁ μέρος μεριστός εἰς ἥμισυς ἔχω . ὁ μέν οὖν πολύς εἷς τομή ἐπιδέχομαι ὁμοιόω μέν ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ἀφίστημι δέ ὁ ἀρτιοπέρισσος , ὁ δέ μή ἀπολήγω ποτέ εἰς μονάς αὐτός ὁ τομή ὁμοιόω μέν ὁ ἀρτιοπέρισσος , ἀφίστημι δέ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος . συμβοκαίκω δέ αὐτός μόνος ὑπό εἷς ὁ ἑκάτερος ἐκεῖνος ἴδιος συμβαίνω καί πάλιν ὅς μηδέτερος · καί γάρ ἐκεῖνος ὁ μέν ὁ μέγας μόνος μέρος ἔχω τμητός , ὁ δέ ὁ μικρός μόνος ἄτμητος , οὗτος δέ οὐδέτερος · πολύς μέν γάρ ὁ εἷς τμῆμα ἐν ὁ μέγας μέρος ἔχω ὁράω , πολύς δέ ὁ εἷς ἄτμητος ἐν ὁ ἐλαχύς . καί πάλιν εἰμί ἐν αὐτός τις μέν μέρος μή ἐναντιωνυμέω ὁ δύναμις μηδέ ἑτερογενέω πρός αὐτός κατά εἰκών ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ἔνειμι δέ πάντως καί ἕτερος ἐναντιωνυμέω ἑτερογενής ὑπό ὁ δύναμις κατά εἰκών ὁ ἀρτιοπέρισσος · οἷον ἐν ὁ κδ οὐ ἐναντιωνυμέω μέν μέρος δύναμις , τέταρτος Ϛ , ἥμισυς ιβ , ἕκτος δ , δωδέκατος β , ἐναντιοπαθέω δέ τρίτος η̅ , ὄγδοος γ , εἰκοστοτέταρτος α · καί ἐπί ὁ λοιπός παραπλήσιος . γεννάω δέ οὗτος ἔφοδος τις ποικίλος σημαίνω τρόπος τις καί ἐν ὁ γένεσις αὐτός , ὅτι μῖγμα ἀμφότερος εἰμί · ἐπειδή γάρ ὁ μέν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐκ ἄρτιος ὑφίστημι ὁ ἀπό μονάς διπλασίων εἰς ἀεί , ὁ δέ ἀρτιοπέρισσος ἀπό περισσός ὁ ἀπό τριάς προέρχομαι εἰς ἀεί , ἀναγκαῖος οὗτος ἐκ ἀμφότερος ὁ γένος συνυφαίνω , ὡς κοινός ἀμφότερος . ἐκτίθημι δή ὁ ἀπό τριάς περισσός ἴδιος εὐτάκτως ἐν εἷς στίχος γ , ε , ζ̅ , θ̅ , ιαʹ , ιγ , ιος , ιζ , ιθʹ καί ἐφεξῆς , ὁ δέ ἀπό τετράς ἀρτιάκις ἄρτιος πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἕτερος στίχος κατά ὁ τάξις ὁ αὐτός δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚʹ καί ἐφεξῆς , μέχρι ὅς βούλομαι . ἀπό ὁπότερος δή στίχος ( ἀδιάφορος γάρ ) ὁ πρῶτος κεῖμαι ἀριθμός πολυπλασιάζω ἐκ ἀρχή πᾶς ἑξῆς ὁ ἐν ὁ λοιπός στίχος καί ὁ ἀποτελέω σημειόω , εἶτα πάλιν ὁ αὐτός στίχος ὁ δεύτερος ἀριθμός πολυπλασιάζω ὁ αὐτός ἄνωθεν , μέχρι ὅς ἔχω , καί ὁ γίγνομαι ἀπογράφω · εἶτα ὁ τρίτος πάλιν ἀριθμός ὁ αὐτός ἄνωθεν , καί μέχρι ἄν προχωρέω , οὐδείς ἄλλος σύ ἀπογεννάω πλήν ὁ περισσάρτιος . χάριν δέ ὑπόδειγμα χράω ὁ πρῶτος ἀριθμός ὁ στίχος ὁ περισσός καί πολυπλασιάζω αὐτός ὁ ἐν ὁ ἕτερος στίχος τάξις πᾶς , τρίς δ , τρίς η̅ , τρίς ιϚʹ , τρίς λβʹ , καί οὗτος μέχρι ἄπειρος · εἰμί γάρ ιβʹ , κδʹ , μηδέ , ?? Ϛ , ὅς δέω σημειόω ἐν εἷς στίχος · εἶτα ἀπό ἄλλος ἀρχή πάλιν ὁ δεύτερος ἀριθμός ὁ αὐτός ποιέω , πεντάκις δ , πεντάκις η̅ , πεντάκις ιϚʹ , πεντάκις λβʹ · ἀποτελέω γάρ ὅδε κ , μ , π , ρξ · εἶτα πάλιν ὁ τρίτος ἀριθμός ὁ ζ̅ ὁ αὐτός ποιέω , ἑπτάκις δ , ἑπτάκις η̅ , ἑπτάκις ιϛʹ , ἑπτάκις λβʹ · ὁ γάρ γίγνομαι εἰμί πη , νϚʹ , ριβʹ , σκδʹ , καί κατά ὁ αὐτός , μέχρι ὅς βούλομαι , προχωρέω συμφωνέω σύ · γ ε ζ θ ἰά πνίξ ιος δεσποινίδα ὁ ιϛʹ λβ ξδ ρκη σνϚ ὁ γιγνώσκω - μονός ὁ περισσαρ - τίω . πλάτος . Ἶβ ΚΔ μής ?? Ϛ ρ??β ΤΠΔ ψήχω κ μ π ἔρδω ΤΚΕ χμηʹ ‚ ΑΣΠ καί νϚ Ρίβα σκδ ὑμέτερος Ἔω ‚ αψ??β λϚ ΟΒΕ ρμδ ἕπω φοϚ ‚ αρνβʹ ‚ βτδ μδ πῇ ροϚ τνβ ψδ ‚ ἀνίημι ‚ βωιϚ ὁ περισσάρτιος . μῆκος . ὅταν δή ὁ ἐκ ἕκαστος πολυπλασιασμός ἐν ἴδιος στίχος τάσσω παράλληλος ποιέω ὁ στίχος , φαίνω σύ θαυμαστός κατά μέν ὁ πλάτος συμβαίνω ὁ ὁ ἀρτιοπέρισσος · ἰδίωμα , ὅτι ἀεί ὁ ἄκρον ὁ μέσος ὑποδιπλάσιος , εἰ εἷς εἰμί , εἰ δέ δύο μέσος , ἴσος κατά σύνθεσις · κατά δέ ὁ μῆκος ὁ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος · ὁ γάρ ὑπό̅ʹ ‾ ἴσος ὁ ἀπό̅ʹ ‾ , εἰ εἷς εἰμί μεσότης , ἤ ὁ ὑπό̅ʹ ‾ , εἰ δύο εἰμί · ὥστε ὁ ἀμφότερος ἰδίωμα οὗτος μόνος συμβαίνω , ὡς εἰμί φυσικός μίγμα αὐτός .