nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.17
ιζ . Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται , οὐ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ τετραγώνιος γίνεται ἡ καταγραφή , οὐ μὴν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ πλευραὶ οὐδὲ τὸ μῆκος τῷ πλάτει ἶσον , ἀλλὰ παρὰ μονάδα , οἷον ὁ β , ὁ Ϛ , ὁ ιβ , ὁ κ , ὁ λ , ὁ μβ καὶ οἱ ἐξῆς · ἂν γὰρ αὐτούς ἐπιπέδως διαγράφῃ τις , πάντως οὕτω ποιήσει · ἅπαξ β β , δὶς γ Ϛ , τρὶς δ ιβ καὶ τοὺς ἐξῆς ἀναλόγως · τετράκις ε , πεντάκις ς , ἑξάκις ζ , ἑπτάκις η καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον , μόνον ἵνα μονάδι μείζων ἡ ἑτέρα πλευρὰ τῆς λοιπῆς ᾖ , ἄλλῳ δὲ μηδενὶ ἀριθμῷ · ἐὰν δὲ ἄλλως παρὰ τὴν μονάδα διαφέρωσιν ἀλλήλων αἱ πλευραὶ , οἷον δυάδι , τριάδι , τετράδι ἢ ἐφεξῆς , ὡς τὰ δὶς δ ἢ τρὶς Ϛ ἢ τετράκις η ἢ ὅπως ποτὲ οὖν ἑτέρως , οὐκέτι κυρίως ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης κληθήσεται , ἀλλὰ προμήκης · ἕτερον γὰρ καὶ ἑτερότητα οἱ παλαιοὶ οἱ περί τε Πυθαγόραν καὶ τούς ἐκείνου διαδόχους πυθμενικῶς ἐν τῇ δυάδιἐθεώρουν , ταυτὸν δὲ καὶ ταυτότητα ἐν τῇ μονάδι , ὡς ἐν δυσὶν ἀρχαῖς τῶν ὅλων · εὑρίσκονται δὲ αὗται μονάδι μόνον ἀλλήλων διαφέρουσαι , ὥςτε καὶ τὸ ἕτερον σπερματικῶς μονάδι ἕτερόν ἐστι καὶ οὐκ ἄλλῳ ἀριθμῷ · διόπερ καὶ συνήθως ἐπὶ δυοῖν , ἀλλʼ οὐκ ἐπὶ πλειόνων τὸ ἕτερον λέγεται παρὰ τοῖς ὀρθῶς διαλεγομένοις . ἀλλὰ μὴν καὶ μονάδι μὲν εἰδοποιεῖσθαι ἀπεδείχθη ὁ περισσὸς πᾶς ἀριθμός , δυάδι δὲ ὁ ἄρτιος πᾶς Ὅθεν εἰκότως τὸν μὲν περισσὸν τῆς ταυτοῦ φύσεως ἐροῦμεν μετέχειν , τὸν δὲ ἄρτιον τῆς θατέρου , καὶ γὰρ δὴ καὶ κατὰ σωρείαν ἑκατέρου ἀποτελοῦνται φύσει , ἀλλʼ οὐχ ἡμῶν θεμένων , τῇ μὲν τοῦ ἀπὸ μονάδος περισσοῦ ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τετραγώνων φύσις , τῇ δὲ τοῦ ἀπὸ δυάδος ἀρτίου ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τῶν ἑτερομηκῶν . πᾶσα ἄρα ἀνάγκη , τὸν μὲν τετράγωνον οἴεσθαι πάλιν τῆς ταυτοῦ φύσεως μετέχειν · τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον καὶ ὅμοιον καὶ ἀπαράλλακτον καὶ ἐν ἰσότητι κείμενον αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἀποδεικνύουσι πρὸς ἑαυτάς , τὸν δὲ ἑτερομήκη τῆς θατέρου · ὃν γὰρ μονὰς πρὸς δυάδα τρόπον παρήλλακται μονάδι μόνῃ διαφέρουσα , τοῦτον καὶ παντὸς ἑτερομήκους αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας διαλλάσσουσιν , ἡ ἑτέρα τῆς ἑρέρας μονάδι μόνον διαφέρουσα · οἷον ἐκκειμένου μοι τοῦ ἀπὸ μονάδος συνεχοῦς ἐξῆς ἀριθμοῦ ἐκλεξάμενος ἰδίᾳ μὲν τούς περισσούς τάσσω ἐν ἑνὶ στίχῳ , ἰδία δὲ τούς ἀρτίους ἐν ἑτέρῳ , καὶ γίνονταί μοι δύο στίχοι τοιοῦτοι · α , γ , ε , ζ , θ , ια , ιγ , ιε , ιζ , ιθ , κα , κγ , κε , κζ · β , δ , Ϛ , η , ι , ιβ , ιδ , ιϚ , ιη , κ , κβ , κδ , κϚ , κη . ἀρχὴ μὲν οὖν τοῦ τῶν περισσῶν στίχου ἡ μονὰς ὁμογενής τε οὖσα καὶ τὴν τοῦ ταυτοῦ φύσιν ἔχουσα · διὸ οὔτε ἐὰν τε ἑαυτὴν πολυπλασιάσῃ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς , ἑτεροιοῦται οὔτε ἄλλον ὁντιναοῦν ἐξίστησι τοῦ ἐξ ἀρχῆς , ἀλλὰ τηρεῖ αὐτὸν ἐν ταυτῷ · τὸ δὲ τοιοῦτον περὶ ἄλλον ἀριθμὸν εὑρεῖν ἀδύνατον . τοῦ δ᾿ ἄλλου στίχου ἄρχει ἡ δυὰς ὁμογενὴς αὐτῷ οῡσα καὶ ἑτερότητος καταρκτική · εἴτε γὰρ ἑαυτὴν εἴτε ἄλλον πολυπλασιάσειεν , ἔκστασιν ποιεῖ , οἷον δὶς β , θὶς γ . Ὅταν δὲ ᾖ ὀκτάκις η δὶς ἢ τρίς , τὰ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα πλινθίδες λέγονται ἰσάκις ἶσοι ἐλαττονάκις · ἐὰν δὲ καὶ μείζονα τὰ ὕψη τῷ τετραγώνῳ προςγένηται , δοκίδες οἱ τοιοῦτοι ἀριθμοὶ λέγονται , οἷον τρὶς γ ἑπτάκις ἢ ὀκτάκις ἢ ἐνάκις ἢ ὁσακιςοῦν μόνον ὑπερβαλλόντως · ἔστι δὲ δοκὶς ἀριθμὸς ἰσάκις ἶσος μειζονάκις · οἱ δέ γε σφηνίσκοι ἦσαν ἀνισάκις ἄνισοι ἀνισάκις καὶ οἱ κύβοι ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις . αὐτῶν δὲ τῶν κύβων ὅσοι πρὸς τῷ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις εἶναι ἔτι ἔχουσι καὶ τὸ αἰεὶ καταλήγειν κατὰ πᾶσαν πολυπλασίασιν εἰς τὸ αὐτό , ἀφ᾿ οὗπερ ἤρξαντο , σφαιρικοὶ καλοῦνται , οἱ δʼ αὐτοὶ καὶ ἀποκαταστατικοί , ὥςπερ ἀμέλει ὁ ἀπὸ τῆς ε πλευρᾶς καὶ ὁ ἀπὸ τῆς Ϛ · ὅσαις γὰρ ἂν αὐξήσεσιν αὐξήσω τούτων ἑκάτερον , εἰς τὸ αὐτὸ συμπέρασμα ἀεὶ τελευτήσει πάντως , ὁ μὲν ἀπὸ τοὺ Ϛ εἰς αὐτὸ τὸ Ϛ , ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ε εἰς αὐτὸ τὸ ε · οἷον πεντάκις ε εἰς τὸ ε τελευτήσει καὶ τοῦτο πεντάκις καὶ εἰ δέοι πάλιν πεντάκις τοῦτο καὶ μέχρις ἀπείρου ἑτέρα τις τελευτὴ οὐχ εὑρεθήσεται , πλὴν εἰ μὴ ἡ ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ϛ τὸν αὐτὸν τρόπον ἡ Ϛ καὶ ἄλλη οὐδεμία · ὥςτε καὶ ἡ μονὰς δυνάμει σφαιρική ἐστι καὶ ἀποκαταστατική , τὸ γὰρ αὐτὸ πάσχει τοῦτο , ὡς εἰκός , πάθος τὸ περὶ τὰς σφαίρας καὶ τούς κύκλους · ἐκείνων γὰρ ἑκάτερον , ὅθεν ἄρχεται , ἐκεῖ καὶ τελευτὰ περικυκλούμενον καὶ περιστρεφόμενον . ὡς καὶ οἱ λεχθέντες οὗτοι ἀριθμοὶ μονώτατοι τῶν ἄλλων τῶν ἰσάκις ἴσων καταστρέφουσιν εἰς τὴν αὐτὴνἀρχήν , ὅθεν ἤρξαντο , κατὰ πάσας τὰς αὐξήσεις · ἀλλ᾿ ἄν μὲν ἐπιπέδως δυσὶ διαστήμασι προκόψωσι , κυκλικοὶ λέγονται , ὡς ὁ α , κε , λϚ ἐκ τοῦ ἅπαξ α καὶ τοῦ πεντάκις ε καὶ τοῦ ἑξάκις Ϛ · ἐὰν δὲ τρία διαστήματα ἔχωσιν ἢ ἐπὶ πλέον τούτων πολλαπλασιασθῶσι , σφαιρικοὶ στερεοὶ λέγονται , ὡς ὁ α , ρκε , σιϚ ἤ ἄλλως α , χκε , σσ??Ϛ .
Lemmas: ἵζω . πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμός λέγω , οὐ ἐπίπεδος σχηματογραφέω τετράπλευρος μέν καί τετραγώνιος γίγνομαι ὁ καταγραφή , οὐ μήν ἴσος ἀλλήλων ὁ πλευρά οὐδέ ὁ μῆκος ὁ πλάτος ἴσος , ἀλλά παρά μονάς , οἷος ὁ β , ὁ Ϛ , ὁ ιβ , ὁ κ , ὁ λ , ὁ μβ καί ὁ ἑξῆς · ἐάν γάρ αὐτός ἐπίπεδος διαγράφω τις , πάντως οὕτως ποιέω · ἅπαξ β β , δίς γ Ϛ , τρίς δ ιβ καί ὁ ἑξῆς ἀνάλογος · τετράκις ε , πεντάκις σ̅ , ἑξάκις ζʹ , ἑπτάκις η̅ καί ἐπί ἄπειρος , μόνος ἵνα μονάς μέγας ὁ ἕτερος πλευρόν ὁ λοιπός εἰμί , ἄλλος δέ μηδείς ἀριθμός · ἐάν δέ ἄλλος παρά ὁ μονάς διαφέρω ἀλλήλων ὁ πλευρά , οἷος δυάς , τριάς , τετράς ἤ ἐφεξῆς , ὡς ὁ δίς δ ἤ τρίς Ϛ ἤ τετράκις η̅ ἤ ὅπως ποτέ οὖν ἕτερος , οὐκέτι κύριος ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης καλέω , ἀλλά προμήκης · ἕτερος γάρ καί ἑτερότης ὁ παλαιός ὁ περί τε Πυθαγόρας καί ὁ ἐκεῖνος διάδοχος πυθμενικός ἐν ὁ δυαδιθεωρεω , αὐτός δέ καί ταυτότης ἐν ὁ μονάς , ὡς ἐν δύο ἀρχή ὁ ὅλος · εὑρίσκω δέ οὗτος μονάς μόνος ἀλλήλων διαφέρω , ὥστε καί ὁ ἕτερος σπερματικός μονάς ἕτερος εἰμί καί οὐ ἄλλος ἀριθμός · διόπερ καί συνήθης ἐπί δύο , ἀλλά οὐ ἐπί πολύς ὁ ἕτερος λέγω παρά ὁ ὀρθός διαλέγω . ἀλλά μήν καί μονάς μέν εἰδοποιέω ἀποδείκνυμι ὁ περισσός πᾶς ἀριθμός , δυάς δέ ὁ ἄρτιος πᾶς ὅθεν ἔοικα ὁ μέν περισσός ὁ ταυτός φύσις λέγω μετέχω , ὁ δέ ἄρτιος ὁ ἕτερος , καί γάρ δή καί κατά σωρεία ἑκάτερος ἀποτελέω φύσις , ἀλλά οὐ ἐγώ τίθημι , ὁ μέν ὁ ἀπό μονάς περισσός ἐπί ἄπειρος ὁ τετράγωνος φύσις , ὁ δέ ὁ ἀπό δυάς ἄρτιος ἐπί ἄπειρος ὁ ὁ ἑτερομήκης . πᾶς ἄρα ἀνάγκη , ὁ μέν τετράγωνος οἴομαι πάλιν ὁ ταυτός φύσις μετέχω · ὁ γάρ αὐτός λόγος καί ὅμοιος καί ἀπαράλλακτος καί ἐν ἰσότης κεῖμαι ὁ πλευρά αὐτός ἀποδείκνυμι πρός ἑαυτοῦ , ὁ δέ ἑτερομήκης ὁ ἕτερος · ὅς γάρ μονή πρός δυάς τρόπος παραλλάσσω μονάς μόνος διαφέρω , οὗτος καί πᾶς ἑτερομήκης ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων διαλλάσσω , ὁ ἕτερος ὁ ἑρέα μονάς μόνος διαφέρω · οἷον ἔκκειμαι ἐγώ ὁ ἀπό μονάς συνεχής ἑξῆς ἀριθμός ἐκλέγω ἴδιος μέν ὁ περισσός τάσσω ἐν εἷς στίχος , ἴδιος δέ ὁ ἄρτιος ἐν ἕτερος , καί γίγνομαι ἐγώ δύο στίχος τοιοῦτος · α , γ , ε , ζ̅ , θ̅ , ιαʹ , ιγ , ιος , ιζ , ιθ , ἄν , κγ , ἄν , κζ · β , δ , Ϛ , η̅ , ι̅ , ιβ , ιδʹ , ιϚ , ιη , κ , κβʹ , κδ , κϚ , πη . ἀρχή μέν οὖν ὁ ὁ περισσός στίχος ὁ μονή ὁμογενής τε εἰμί καί ὁ ὁ ταυτός φύσις ἔχω · διό οὔτε ἐάν τε ἑαυτοῦ πολυπλασιάζω ἐπίπεδος ἤ στερεός , ἑτεροιόω οὔτε ἄλλος ὅστις ἐξίστημι ὁ ἐκ ἀρχή , ἀλλά τηρέω αὐτός ἐν αὐτός · ὁ δέ τοιοῦτος περί ἄλλος ἀριθμός εὑρίσκω ἀδύνατος . ὁ δέ ἄλλος στίχος ἄρχω ὁ δυάς ὁμογενής αὐτός εἰμί καί ἑτερότης καταρκτικός · εἴτε γάρ ἑαυτοῦ εἴτε ἄλλος πολυπλασιάζω , ἔκστασις ποιέω , οἷος δίς β , θίς γ . ὅταν δέ εἰμί ὀκτάκις η̅ δίς ἤ τρίς , ὁ τοιοῦτος στερεός σχῆμα πλινθίς λέγω ἰσάκις ἴσος ἐλαττονάκις · ἐάν δέ καί μέγας ὁ ὕψος ὁ τετράγωνος προσγίγνομαι , δοκίς ὁ τοιοῦτος ἀριθμός λέγω , οἷος τρίς γ ἑπτάκις ἤ ὀκτάκις ἤ ἐνάκις ἤ ὁσακισοῦν μόνος ὑπερβαλλόντως · εἰμί δέ δοκίς ἀριθμός ἰσάκις ἴσος μειζονάκις · ὁ δέ γε σφηνίσκος εἰμί ἀνισάκις ἄνισος ἀνισάκις καί ὁ κύβος ἰσάκις ἴσος ἰσάκις . αὐτός δέ ὁ κύβος ὅσος πρός ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις εἰμί ἔτι ἔχω καί ὁ ἀεί καταλήγω κατά πᾶς πολυπλασίασις εἰς ὁ αὐτός , ἀπό ὅς ἄρχω , σφαιρικός καλέω , ὁ δέ αὐτός καί ἀποκαταστατικός , ὥσπερ ἀμέλει ὁ ἀπό ὁ ε πλευρά καί ὁ ἀπό ὁ Ϛ · ὅσος γάρ ἄν αὔξησις αὐξάνω οὗτος ἑκάτερος , εἰς ὁ αὐτός συμπέρασμα ἀεί τελευτάω πάντως , ὁ μέν ἀπό ὁ Ϛ εἰς αὐτός ὁ Ϛ , ὁ δέ ἀπό ὁ ε εἰς αὐτός ὁ ε · οἷος πεντάκις ε εἰς ὁ ε τελευτάω καί οὗτος πεντάκις καί εἰ δέω πάλιν πεντάκις οὗτος καί μέχρι ἄπειρος ἕτερος τις τελευτή οὐ εὑρίσκω , πλήν εἰ μή ὁ ε , καί ἀπό ὁ Ϛ ὁ αὐτός τρόπος ὁ Ϛ καί ἄλλος οὐδείς · ὥστε καί ὁ μονή δύναμις σφαιρικός εἰμί καί ἀποκαταστατικός , ὁ γάρ αὐτός πάσχω οὗτος , ὡς ἔοικα , πάθος ὁ περί ὁ σφαῖρα καί ὁ κύκλος · ἐκεῖνος γάρ ἑκάτερος , ὅθεν ἄρχω , ἐκεῖ καί τελευτή περικυκλέω καί περιστρέφω . ὡς καί ὁ λέγω οὗτος ἀριθμός μόνος ὁ ἄλλος ὁ ἰσάκις ἴσος καταστρέφω εἰς ὁ αὐτὴνἀρχήν , ὅθεν ἄρχω , κατά πᾶς ὁ αὔξησις · ἀλλά ἐάν μέν ἐπίπεδος δύο διάστημα προκόπτω , κυκλικός λέγω , ὡς ὁ α , ἄν , λϚʹ ἐκ ὁ ἅπαξ α καί ὁ πεντάκις ε καί ὁ ἑξάκις Ϛ · ἐάν δέ τρεῖς διάστημα ἔχω ἤ ἐπί πολύς οὗτος πολλαπλασιάζω , σφαιρικός στερεός λέγω , ὡς ὁ α , ρκεʹ , σιϚʹ ἤ ἄλλος α , χκεʹ , σσ??Ϛ .