nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.29
κθ . Λοιπὸν καὶ περὶ τῆς τελειοτάτης καὶ τριχῆ διαστατῆς πασῶν τε περιεκτικῆς ἐν βραχεῖ διαρθρώσω μεσότητος χρησιμωτάτης οὔσης εἰς πᾶσαν τὴν ἐν μουσικῇ καὶ φυσιολογίᾳ προκοπήν · κυρίως γὰρ αὕτη καὶ ὡς ἀληθῶς ἁρμονία ἂν λεχθείη μόνη παρὰ τὰς ἄλλας , εἴπερ μὴ ἐπίπεδος μηδὲ μιᾷ μόνῃ μεσότητι συνδεομένη , ἀλλὰ δυσίν , ἵν᾿ οὕτω τριχῆ διιστάνοιτο , ὡς ὁ κύβος ἁρμονία πρὸ βραχέος ἐσαφηνίσθη . ὅταν τοίνυν δύο ὅρων ἄκρων τριχῆ διαστατῶν ἀμφοτέρων , εἴτε ἰσάκις ἴσων ἰσάκις , ἵνα κύβος ᾖ , ἢ ἰσάκις ἴσων ἀνισάκις , ἵνα ἢ δοκίδες ἢ πλινθίδες ὦσιν , εἴτε ἀνισάκις ἀνίσων ἀνισάκις , ἵνα σκαληνοί , δύο ὅροι εὑρίσκωνται ἀνὰ μέσον ἄλλοι ἐναλλὰξ πρὸς τούς ἄκρους τούς αὐτοὺς σώζοντες λόγους καὶ ἀναμίξ , ὥςτε ὁποτερουοῦν αὐτῶν τὴν ἁρμονικὴν σώζοτος ἀναλογίαν τὸν λοιπὸν ἀποτελεῖν τὴν ἀριθμητικήν · ἀνάγκη γὰρ οὕτως διακειμένων τῶν τεσσάρων ἐπιφαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν ἐμπλέγδην ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησιν ἀντεξεταζομένην , ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν τρίτον ἀπ᾿ αὐτοῦ , οὕτως ὁ ὑπ᾿ αὐτὸν δεύτερος πρὸς τὸν τέταρτον · τὸ γὰρ τοιοῦτον τὸ ὑπὸ τῶν μέσων ἶσον ποιεῖ τῷ ὑπὸ τῶν ἄκρων · πάλιν δὲ ἄν ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν ἐν τοσαύτῃ δειχθῇ διαφορᾶ , ἐν ὅσῃ καὶ αὐτὸς οὗτος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , ἀριθμητικὴ ἡ τοιαύτη ἐξέτασις γίνεται καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου · ἐὰν δʼ ὁ τρίτος ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται , ἁρμονικὴ καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ τῆς τῶν ἄκρων συνθέσεως διπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων . ὑπόδειγμα αὐτῆς ἔστω τοιοῦτον Ϛ , η , θ , ιβ · οὐκοῦν ὁ μὲν ϛ σκαληνὸς ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τρίς , ὁ δὲ ιβ ἀπὸ τοῦ δὶς β τρὶς ἐν συνεχείᾳ μηκυνθέντων , τῶν δὲ μέσων ὁ μὲν ἐλάττων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τετράκις , ὁ δὲ μείζων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ γ τρίς , καὶ στερεοί τε οἱ ἄκροι καὶ τριχῆ διαστατοὶ καὶ ὁμογενεῖς αὐτοῖς αἱ μεσότητες , καὶ κατὰ μὲν τὴν γεωμετρικὴν ὡς ὁ ιβ πρὸς τὸν η , οὕτως ὁ θ πρὸς τὸν ϛ , κατὰ δὲ τὴν ἀριθμητικὴν ὅσῳ ὁ ιβ τοῦ θ ὑπερέχει . τοσούτῳ καὶ ὁ θ τοῦ Ϛ , κατὰ δὲ τὴν ἁρμονικὴν ᾧ μέρει ὁ η τοῦ Ϛ ὑπερέχει , ἐν αὐτῷ τῷ Ϛ τοῦ μέρους θεωρουμένου , τούτῳ ὑπὸ τοῦ ιβ ὑπερέχεται ἐν αὐτῷ τῷ ιβ θεωρουμένῳ . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ μὲν η πρὸς Ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς θ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ , ὁ δὲ θ πρὸς ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς η διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ , ὁ δὲ ιβ πρὸς Ϛ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ · λοιπὸν δὲ ὁ θ πρὸς τὸν η τονιαῖον ἐν ἐπογδόῳ , ὅπερ μέτρον κοινὸν πάντων τῶν ἐν μουσικῇ λόγων , ἄτε καὶ γνωριμώτερον ὄν , ὅτι ἄρα καὶ διαφορὰ τῶν πρώτων καὶ στοιχειωδεστάτων συμφώνων πρὸς ἄλληλα ὑπάρχει . Καὶ περὶ μὲν τῶν ἐν ἀριθμοῖς ἐπιφαινομένων καὶ συμβεβηκότων τοσαῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ ἀρκείτω .
Lemmas: κτάομαι . λοιπός καί περί ὁ τέλειος καί τριχῆ διαστατέω πᾶς τε περιεκτικός ἐν βραχύς διαρθρόω μεσότης χρήσιμος εἰμί εἰς πᾶς ὁ ἐν μουσικός καί φυσιολογία προκοπή · κύριος γάρ οὗτος καί ὡς ἀληθής ἁρμονία ἄν λέγω μόνος παρά ὁ ἄλλος , εἴπερ μή ἐπίπεδος μηδέ εἷς μόνος μεσότης συνδέω , ἀλλά δύο , ἵνα οὕτως τριχῆ διιστάνω , ὡς ὁ κύβος ἁρμονία πρό βραχύς σαφηνίζω . ὅταν τοίνυν δύο ὅρος ἄκρος τριχῆ διαστατός ἀμφότερος , εἴτε ἰσάκις ἴσος ἰσάκις , ἵνα κύβος εἰμί , ἤ ἰσάκις ἴσος ἀνισάκις , ἵνα ἤ δοκίς ἤ πλινθίς εἰμί , εἴτε ἀνισάκις ἄνισος ἀνισάκις , ἵνα σκαληνός , δύο ὅρος εὑρίσκω ἀνά μέσος ἄλλος ἐναλλάξ πρός ὁ ἄκρος ὁ αὐτός σῴζω λόγος καί ἀναμίξ , ὥστε ὁποτέσρις αὐτός ὁ ἁρμονικός σῴζω ἀναλογία ὁ λοιπός ἀποτελέω ὁ ἀριθμητικός · ἀνάγκη γάρ οὕτως διάκειμαι ὁ τέσσαρες ἐπιφαίνω ὁ γεωμετρικός ἐμπλέγδην ἀμφότερος ὁ μεσότης ἀντεξετάζω , ὡς ὁ μέγας πρός ὁ τρίτος ἀπό αὐτός , οὕτως ὁ ὑπό αὐτός δεύτερος πρός ὁ τέταρτος · ὁ γάρ τοιοῦτος ὁ ὑπό ὁ μέσος ἴσος ποιέω ὁ ὑπό ὁ ἄκρον · πάλιν δέ ἐάν ὁ μέγας πρός ὁ ὑπό αὐτός ἐν τοσοῦτος δείκνυμι διαφοράω , ἐν ὅσος καί αὐτός οὗτος πρός ὁ ἐλαχύς , ἀριθμητικός ὁ τοιοῦτος ἐξέτασις γίγνομαι καί ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις διπλάσιος ὁ μέσος · ἐάν δέ ὁ τρίτος ἀπό ὁ μέγας ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον αὐτός ὑπερέχω καί ὑπερέχω , ἁρμονικός καί ὁ ὑπό ὁ μέσος καί ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις διπλάσιος ὁ ὑπό ὁ ἄκρον . ὑπόδειγμα αὐτός εἰμί τοιοῦτος Ϛ , η̅ , θ̅ , ιβ · οὐκοῦν ὁ μέν ϛ σκαληνός ἀπό ὁ ἅπαξ β τρίς , ὁ δέ ιβ ἀπό ὁ δίς β τρίς ἐν συνέχεια μηκύνω , ὁ δέ μέσος ὁ μέν ἐλαχύς ἀπό ὁ ἅπαξ β τετράκις , ὁ δέ μέγας ἀπό ὁ ἅπαξ γ τρίς , καί στερεός τε ὁ ἄκρος καί τριχῆ διαστατός καί ὁμογενής αὐτός ὁ μεσότης , καί κατά μέν ὁ γεωμετρικός ὡς ὁ ιβ πρός ὁ η̅ , οὕτως ὁ θ̅ πρός ὁ ϛ , κατά δέ ὁ ἀριθμητικός ὅσος ὁ ιβ ὁ θ̅ ὑπερέχω . τοσοῦτος καί ὁ θ̅ ὁ Ϛ , κατά δέ ὁ ἁρμονικός ὅς μέρος ὁ η̅ ὁ Ϛ ὑπερέχω , ἐν αὐτός ὁ Ϛ ὁ μέρος θεωρέω , οὗτος ὑπό ὁ ιβ ὑπερέχω ἐν αὐτός ὁ ιβ θεωρέω . ἀλλά μήν καί ὁ μέν η̅ πρός Ϛ ἤ ὁ ιβ πρός θ̅ διά τέσσαρες ἐν ἐπίτριτος λόγος , ὁ δέ θ̅ πρός ϛ ἤ ὁ ιβ πρός η̅ διά πέντε ἐν ἡμιόλιος , ὁ δέ ιβ πρός Ϛ διά πᾶς ἐν διπλάσιος · λοιπός δέ ὁ θ̅ πρός ὁ η̅ τονιαῖος ἐν ἐπόγδοος , ὅς μέτρον κοινός πᾶς ὁ ἐν μουσική λόγος , ἆτος καί γνώριμος εἰμί , ὅτι ἄρα καί διαφορά ὁ πρῶτος καί στοιχειώδης σύμφωνος πρός ἀλλήλων ὑπάρχω . καί περί μέν ὁ ἐν ἀριθμός ἐπιφαίνω καί συμβαίνω τοσοῦτος ὡς ἐν πρῶτος εἰσαγωγή ἀρκέω .