nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.25
κε . Ἔστι γὰρ ἡ τῇ τρίτῃ τάξει μεσότης ἁρμονικὴ καλουμένη , ὅταν ἐν τρισὶν ὄροις ὁ μέσος θεωρῆται πρὸς τούς ἄκρους μήτε ἐν λόγῳ τῷ αὐτῷ ἐξεταζόμενος , τοῦ μὲν πρόλογος , τοῦ δὲ ὑπόλογος , ὡς ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς , μήτε ἐν διαστήμασι μὲν ἴσοις , λόγων δὲ ἑτερότητι , ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς , ἀλλ᾿ ὅταν , ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ὅρον ἔχει , οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου διαφορὰ παρὰ τὸν μέσον πρὸς τὴν τοῦ μέσου διαφορὰν παρὰ τὸν ἐλάχιστον , οἷον γ , δ , Ϛ ἢ πάλιν β , γ , Ϛ · ὁ γὰρ ϛ τοῦ δ τῷ αὐτοῦ τρίτῳ ὑπερέχει , τρίτον γὰρ τοῦ Ϛ τὰ β , καὶ ὁ γ τού δ λείπεται τῷ αὐτοῦ τρίτῳ , τοῦ γὰρ γ τρίτον μονάς · ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ προτέρου ὑποδείγματος οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ λόγῳ καὶ αἱ τούτων πρὸς τὸν μέσον διαφοραὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ διπλασίονι πρὸς ἀλλήλας , ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ ἑκατέρα ἐν τριπλασίῳ . Ἰδίωμα δὲ ἔχει ὑπεναντίον , ὡς προέφαμεν , τῳ κατὰ τὴν ἀριθμητικήν · ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὅροις μείζονες ἦσαν οἱ λόγοι , ἐλάττονες δὲ ἐν τοῖς μείζοσιν , ὧδε δὲ ἀνάπαλιν οἱ μὲν ἐν τοῖς μείζοσι μείζονες , οἱ δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττονες , ἵνα ὡς ἐν μεσότητι ἀμφοῖν τῇ γεωμετρικῇ εἰκότως ἡ τῶν ἑκατέρωθι λόγων ἰσότης μεταίχμιον οὖσα τοῦ μείζονος καὶ τοῦ ἐλάττονος ἐνθεωρῆται . ἔτι ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ὁ μέσος ἑαυτοῦ μέρει τῷ αὐτῷ μείζων τε καὶ ἐλάττων τῶν ἑκατέρωθι φαίνεται , αὐτῶν δὲ ἐκείνων ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ μείζων ἢ ἐλάττων , ἐν δὲ τῇ ἁρμονικῇ ταύτῃ ὑπεναντίως · ἑαυτοῦ μὲν γὰρ ὁ μέσος ἑτέρῳ τε καὶ ἑτέρῳ μείζων τε καὶ ἐλάττων τῶν ἑκατέρωθί ἐστιν , αὐτῶν δὲ ἐκείνων τῶν ἑκατέρωθι πάντως τῷ αὐτῷ , ἤτοι γὰρ ἐκατέρων ἡμίσει ἢ ἀμφοτέρων τρίτῳ · ἡ δὲ γεωμετρικὴ ὡς ἐν μεταιχμίῳ ἀμφοῖν οὔτε ἐν τῷ μέσῳ μόνον οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις μόνον , ἀλλὰ καὶ ἐν ἀμφοτέροις , μέσῳ καὶ ἄκρῳ . ἔτι ἡ ἁρμονικὴ ἔχει ἴδιον συμβεβηκὸς τὸ τούς ἄκρους συντεθέντας καὶ πολυπλασιασθέντας ὑπὸ τοῦ μέσου διπλάσιον ἀποτελεῖν τοῦ ἐξ ἀλλήλων πολυπλασιασμοῦ . ἐκλήθη δὲ ἁρμονικὴ ἡ τοιαύτη μεσότης , ὅτι ἡ μὲν ἀριθμητικὴ ποσῷ διεκρίνετο ἰσότητα κατὰ τοῦτο ἐν τῇ τῶν ὅρων διαστάσει πρὸς ἀλλήλους παρεχομένη , ἡ δὲ γεωμετρικὴ ποιότητι τὰς σχέσεις ὁμοίας κατὰ τὸ ποιὸν τῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους ἀποδιδοῦσα , αὕτη δὲ κατὰ τὸ πρὸς ἕτερόν πως ἐν ἑτέροις καὶ ἑτέροις εἴδεσι φανταζομένη · οὔτε γὰρ ἐν ὅροις μόνον οὔτε ἐν διαφοραῖς μόνον , ἀλλʼ ἐκ μέρους μὲν ἐν ὅροις , ἐκ μέρους δὲ ἐν διαφοραῖς · ὡς γὰρ ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου διαφορὰ πρὸς τὸν παρʼ αὐτὸν μέσον πρὸς τὴν τοῦ ἐλαχίστου πρὸς τὸν αὐτὸν μέσον καὶ ἀνάπαλιν .
Lemmas: ἄν . εἰμί γάρ ὁ ὁ τρίτος τάξις μεσότης ἁρμονικός καλέω , ὅταν ἐν τρεῖς ὄρον ὁ μέσος θεωρέω πρός ὁ ἄκρος μήτε ἐν λόγος ὁ αὐτός ἐξετάζω , ὁ μέν πρόλογος , ὁ δέ ὑπόλογος , ὡς ἐπί ὁ γεωμετρικός , μήτε ἐν διάστημα μέν ἴσος , λόγος δέ ἑτερότης , ὡς ἐπί ὁ ἀριθμητικός , ἀλλά ὅταν , ὡς ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς ὅρος ἔχω , οὕτως καί ὁ ὁ μέγας διαφορά παρά ὁ μέσος πρός ὁ ὁ μέσος διαφορά παρά ὁ ἐλαχύς , οἷος γ , δ , Ϛ ἤ πάλιν β , γ , Ϛ · ὁ γάρ ϛ ὁ δ ὁ αὐτός τρίτος ὑπερέχω , τρίτος γάρ ὁ Ϛ ὁ β , καί ὁ γ ὁ δ λείπω ὁ αὐτός τρίτος , ὁ γάρ γ τρίτος μονή · ἐπί μέν γάρ ὁ πρότερος ὑπόδειγμα ὁ τε ἄκρος ἐν διπλάσιος λόγος καί ὁ οὗτος πρός ὁ μέσος διαφορά πάλιν ἐν ὁ αὐτός διπλασίων πρός ἀλλήλων , ἐν δέ ὁ δεύτερος ἑκάτερος ἐν τριπλάσιος . ἰδίωμα δέ ἔχω ὑπεναντίος , ὡς πρόφημι , τις κατά ὁ ἀριθμητικός · ἐκεῖ μέν γάρ ἐν ὁ ἐλαχύς ὅρος μέγας εἰμί ὁ λόγος , ἐλαχύς δέ ἐν ὁ μέγας , ὧδε δέ ἀνάπαλιν ὁ μέν ἐν ὁ μέγας μέγας , ὁ δέ ἐν ὁ ἐλαχύς ἐλαχύς , ἵνα ὡς ἐν μεσότης ἄμφω ὁ γεωμετρικός ἔοικα ὁ ὁ ἑκατέρωθι λόγος ἰσότης μεταίχμιος εἰμί ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ἐνθεωρέω . ἔτι ἐν μέν ὁ ἀριθμητικός ὁ μέσος ἑαυτοῦ μέρος ὁ αὐτός μέγας τε καί ἐλαχύς ὁ ἑκατέρωθι φαίνω , αὐτός δέ ἐκεῖνος ἄλλος καί ἄλλος μέγας ἤ ἐλαχύς , ἐν δέ ὁ ἁρμονικός οὗτος ὑπεναντίος · ἑαυτοῦ μέν γάρ ὁ μέσος ἕτερος τε καί ἕτερος μέγας τε καί ἐλαχύς ὁ ἑκατέρωθι εἰμί , αὐτός δέ ἐκεῖνος ὁ ἑκατέρωθι πάντως ὁ αὐτός , ἤτοι γάρ κατεράω ἥμισυς ἤ ἀμφότερος τρίτος · ὁ δέ γεωμετρικός ὡς ἐν μεταίχμιον ἄμφω οὔτε ἐν ὁ μέσος μόνος οὔτε ἐν ὁ ἄκρος μόνος , ἀλλά καί ἐν ἀμφότερος , μέσος καί ἄκρον . ἔτι ὁ ἁρμονικός ἔχω ἴδιος συμβαίνω ὁ ὁ ἄκρος συντίθημι καί πολυπλασιάζω ὑπό ὁ μέσος διπλάσιος ἀποτελέω ὁ ἐκ ἀλλήλων πολυπλασιασμός . καλέω δέ ἁρμονικός ὁ τοιοῦτος μεσότης , ὅτι ὁ μέν ἀριθμητικός πός διακρίνω ἰσότης κατά οὗτος ἐν ὁ ὁ ὅρος διάστασις πρός ἀλλήλων παρέχω , ὁ δέ γεωμετρικός ποιότης ὁ σχέσις ὅμοιος κατά ὁ ποιός ὁ ὅρος πρός ἀλλήλων ἀποδίδωμι , οὗτος δέ κατά ὁ πρός ἕτερος πως ἐν ἕτερος καί ἕτερος εἶδος φαντάζω · οὔτε γάρ ἐν ὅρος μόνος οὔτε ἐν διαφορά μόνος , ἀλλά ἐκ μέρος μέν ἐν ὅρος , ἐκ μέρος δέ ἐν διαφορά · ὡς γάρ ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως καί ὁ ὁ μέγας διαφορά πρός ὁ παρά αὐτός μέσος πρός ὁ ὁ ἐλαχύς πρός ὁ αὐτός μέσος καί ἀνάπαλιν .