nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.21
κα . Ἐπὶ δὲ τούτοις καιρὸς ἂν εἴη τὸν περὶ ἀναλογιῶν τρόπον προςθέντας ἀναγκαιότατον ὄντα εἰς τὰς φυσιολογίας καὶ εἰς τὰ μουσικά τε καὶ σφαιρικὰ καὶ γραμμικὰ θεωρήμαται , οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ εἰς τὰς τῶν παλαιῶν συναναγνώσεις , τέλος ἐπιθεῖναι τῇ ἀριθμητικῇ εἰσαγωγῇ τὸ ἁρμόζον ἄμα καὶ συμμετρότατον . ἔστιν οὖν ἀναλογία κυρίως δυεῖν ἢ πλειόνων λόγων σύλληφις ἐς τὸ αὐτό , κοινότερον δὲ δυεῖν ἢ πλεόνων σχέσεων , κἂν μὴ λόγῳ τῷ αὐτῷ ὑποτάσσωνται , διαφορᾶ δὲ ἤ τινι ἑτέρῳ . λόγος μὲν οὖν ἐστι δύο ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις , σύνθεσις δὲ τῶν τοιούτων ἡ ἀναλογία , ὥςτε ἐν ἐλαχίστοις ὅροις τρισὶν αὕτη συμμέμικται , δύναταί γε μὴν καὶ ἐν πλείοσι κατὰ τὸ αὐτὸ διάστημα ἢ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον προχωρεῖν · οἷον τοῦ α πρὸς τὸν β λόγος ἐστὶ δύο ὅρων ὑπαρχόντων , εἷς ὁ διπλάσιος , ἀλλὰ καὶ τοῦ β πρὸς τὸν δ ἕτερος λόγος ὅμοιος · ἀναλογία ἄρα ἡ α , β , δ , λόγων γὰρ σύλληψις ἢ ὅρων τριῶν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον θεωρουμένων πρὸς ἀλλήλους . καὶ ἐν πλείοσι δὲ καὶ ἐπιμηκεστέραις ἐκθέσεσι τὸ αὐτὸ δύναται θεωρεῖσθαι · προςαπτέσθω γὰρ τέταρτος ὅρος ὁ η μετὰ τὸν δ πάλιν ἐν ὁμοία σχέσει , διπλασίων γάρ , καὶ πάλιν μετὰ τὸν η ὁ ιϚ καὶ ἀεὶ οὕτως . ἐὰν μὲν οὖν ὁ αὐτὸς ὅρος ἀεὶ εἷς καὶ ἀπαράλλακτος πρὸς τούς παρ᾿ ἑκάτερα αὐτοῦ ἀποκρίνηται , πρὸς μὲν τὸν μείζονα ὡς ὑπόλογος , πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα ὡς πρόλογος , συνημμένη λέγεται ἡ τοιαύτη ἀναλογία , οἷον α , β , δ κατὰ ποιότητα · οἷος γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β , τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν α , καὶ ἀνάπαλιν οἷος ὁ α πρὸς τὸν β , τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν δ · κατὰ ποσότητα δὲ οἷον α , β , γ · ὅσον γὰρ ὁ γ τοῦ β ὑπερέχει , τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ α , καὶ ἐξ ἐναντίου , ὅσον ὁ α τοῦ β ἐλαττοῦται , τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ γ . ἐὰν δὲ ἕτερος μὲν ὄρος ὑπακούῃ πρὸς τὸν ἐλάττονα πρόλογος γινόμενος καὶ μείζων , ἕτερος δὲ καὶ μὴ ὁ αὐτὸς πρὸς τὸν μείζονα ὑπόλογός τε γινόμενος καὶ ἐλάττων , οὐκέτι συνημμένη , ἀλλὰ διεζευγμένη λέγεται ἡ τοιαύτη μεσότης τε καὶ ναλογία · οἷον κατὰ μὲν τὸ ποιὸν α , β , δ , η ὡς γὰρ τὰ β πρὸς τὸ α , οὕτω τὰ η πρὸς τὰ δ , καὶ ἀνάπαλιν ὡς τὸ α πρὸς τὰ β , οὕτως τὰ δ πρὸς τὰ η , ἐναλλάξ τε ὡς τὸ α πρὸς τὰ δ , οὕτω τὰ β πρὸς τὰ η , ἤ ὡς τὰ δ πρὸς τὸ α , οὕτως τὰ η πρὸς τὰ β · κατὰ δὲ τὸ ποσὸν οὕτως α , β , γ , δ · ὅσῳ γὰρ τὸ α τοῦ β λείπεται , τοσούτῳ καὶ τὰ γ τοῦ δ , ἢ ὅσῳ τὰ δ τοῦ γ περισσεύει , τοσούτῳ καὶ τὰ β τοῦ α , ἢ καὶ ἀναμὶξ ὅσῳ τὰ γ τοῦ α , τοσούτῳ τὰ δ τοῦ β , ἢ ὅσῳ λείπεται τὸ α τῶν γ , τοσούτῳ τὰ β τῶν δ .
Lemmas: ἄν . ἐπί δέ οὗτος καιρός ἄν εἰμί ὁ περί ἀναλογία τρόπος προστίθημι ἀναγκαῖος εἰμί εἰς ὁ φυσιολογία καί εἰς ὁ μουσικός τε καί σφαιρικός καί γραμμικός θεωρέω , οὐ ἦκα δέ καί εἰς ὁ ὁ παλαιός συνανάγνωσις , τέλος ἐπιτίθημι ὁ ἀριθμητικός εἰσαγωγή ὁ ἁρμόζω ἅμα καί σύμμετρος . εἰμί οὖν ἀναλογία κύριος δύο ἤ πολύς λόγος συλλαμβάνω εἰς ὁ αὐτός , κοινός δέ δύο ἤ πολύς σχέσις , ἐάν μή λόγος ὁ αὐτός ὑποτάσσω , διαφοράω δέ ἤ τις ἕτερος . λόγος μέν οὖν εἰμί δύο ὅρος πρός ἀλλήλων σχέσις , σύνθεσις δέ ὁ τοιοῦτος ὁ ἀναλογία , ὥστε ἐν ἐλαχύς ὅρος τρεῖς οὗτος συμμείγνυμι , δύναμαι γε μήν καί ἐν πολύς κατά ὁ αὐτός διάστημα ἤ κατά ὁ αὐτός λόγος προχωρέω · οἷος ὁ α πρός ὁ β λόγος εἰμί δύο ὅρος ὑπάρχω , εἷς ὁ διπλάσιος , ἀλλά καί ὁ β πρός ὁ δ ἕτερος λόγος ὅμοιος · ἀναλογία ἄρα ὁ α , β , δ , λόγος γάρ σύλληψις ἤ ὅρος τρεῖς κατά ὁ αὐτός λόγος θεωρέω πρός ἀλλήλων . καί ἐν πολύς δέ καί ἐπιμήκης ἔκθεσις ὁ αὐτός δύναμαι θεωρέω · προσάπτω γάρ τέταρτος ὅρος ὁ η̅ μετά ὁ δ πάλιν ἐν ὅμοιος σχέσις , διπλασίων γάρ , καί πάλιν μετά ὁ η̅ ὁ ιϚ καί ἀεί οὕτως . ἐάν μέν οὖν ὁ αὐτός ὅρος ἀεί εἷς καί ἀπαράλλακτος πρός ὁ παρά ἑκάτερος αὐτός ἀποκρίνω , πρός μέν ὁ μέγας ὡς ὑπόλογος , πρός δέ ὁ ἐλαχύς ὡς πρόλογος , συνάπτω λέγω ὁ τοιοῦτος ἀναλογία , οἷος α , β , δ κατά ποιότης · οἷος γάρ ὁ δ πρός ὁ β , τοιοῦτος ὁ αὐτός β πρός ὁ α , καί ἀνάπαλιν οἷος ὁ α πρός ὁ β , τοιοῦτος ὁ αὐτός β πρός ὁ δ · κατά ποσότης δέ οἷος α , β , γ · ὅσος γάρ ὁ γ ὁ β ὑπερέχω , τοσοῦτος καί αὐτός ὁ β ὁ α , καί ἐκ ἐναντίος , ὅσος ὁ α ὁ β ἐλασσόω , τοσοῦτος καί αὐτός ὁ β ὁ γ . ἐάν δέ ἕτερος μέν ὄρος ὑπακούω πρός ὁ ἐλαχύς πρόλογος γίγνομαι καί μέγας , ἕτερος δέ καί μή ὁ αὐτός πρός ὁ μέγας ὑπόλογος τε γίγνομαι καί ἐλαχύς , οὐκέτι συνάπτω , ἀλλά διαζεύγνυμαι λέγω ὁ τοιοῦτος μεσότης τε καί ναλογία · οἷον κατά μέν ὁ ποιός α , β , δ , η̅ ὡς γάρ ὁ β πρός ὁ α , οὕτως ὁ η̅ πρός ὁ δ , καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ α πρός ὁ β , οὕτως ὁ δ πρός ὁ η̅ , ἐναλλάξ τε ὡς ὁ α πρός ὁ δ , οὕτως ὁ β πρός ὁ η̅ , ἤ ὡς ὁ δ πρός ὁ α , οὕτως ὁ η̅ πρός ὁ β · κατά δέ ὁ ποσός οὕτως α , β , γ , δ · ὅσος γάρ ὁ α ὁ β λείπω , τοσοῦτος καί ὁ γ ὁ δ , ἤ ὅσος ὁ δ ὁ γ περισσεύω , τοσοῦτος καί ὁ β ὁ α , ἤ καί ἀναμίξ ὅσος ὁ γ ὁ α , τοσοῦτος ὁ δ ὁ β , ἤ ὅσος λείπω ὁ α ὁ γ , τοσοῦτος ὁ β ὁ δ .