nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.5
ε . Λοιπὸν δεῖ , σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις , τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι , μεταβῆναι ἐπὶ τὰ τῆς εἰςαγωγῆς ἀκόλουθα . οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον , τουτέστι τὸν διπλάσιον · πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται · οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β , ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ , ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου · πάλιν ἐπεὶ ὁ Ϛ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ , εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον , ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον , πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον · ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ Ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον ἐπίτριτον , πρὸς δὲ τὸν Ϛ τὸν ἡμιόλιον . ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι , συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλάσιον καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συντεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων πρωτίστου εἴδους . πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους , τουτέστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου , ὅπερ ἐστὶ τριπλασίου · ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται · οἷον ἐπεὶ τοῦ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ , αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιόλιος ὁ ιη , εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ Ϛ · καὶ ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν , ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ Ϛ ἡμιόλιον τὸν θ , τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται · τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν Ϛ · ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται . ἰδού γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ , ὃς δύο λόγους παραδείξει , τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β , πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ · ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεῇ ἐπτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ᾿ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος , τουτέστι τὸ τετραπλάσιον , ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν · τὸ δὲ τετραπλάσιον προςλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου , καὶ τοῦτο μέχρι παντός , ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτάκτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκωνται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων · διπλάσιος μὲν γὰρ μεθʼ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός , τριπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτρίτου τετραπλασιότητος , τετραπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτετάρτου πεντα πλασιότητος καί , ἕως προχωρεῖν θέλεις , οὐδὲν ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται .
Lemmas: ε . λοιπός δέω , σαφηνίζω ὁ ὁ λόγος σύνθεσις , τίς ἕτερος ἀποδοτικός εἰμί , μεταβαίνω ἐπί ὁ ὁ εἰσαγωγή ἀκόλουθος . ὁ πρῶτος τοίνυν ὁ ἐπιμόριος δύο λόγος συλλαμβάνω εἰς ὁ αὐτός γεννάω ὁ ὁ πολλαπλάσιος πρῶτος λόγος , τουτέστι ὁ διπλάσιος · πᾶς γάρ διπλάσιος σύστημα εἰμί ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος καί πᾶς ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος συντίθημι ἀποδοτικός εἷς διπλάσιος πάντως εἰμί · οἷον ἐπεί ὁ γ ἡμιόλιος ὁ β , ὁ δέ δ ἐπίτριτος ὁ γ , εἰμί ὁ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος εἰμί ἐκ ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος · πάλιν ἐπεί ὁ Ϛ διπλάσιος εἰμί ὁ γ , εὑρίσκω ἀνά μέσος αὐτός ἀριθμός τις τάσσω , ὅς ἐκ ἀνάγκη πρός μέν ὁ ἕτερος ὁ ἐπίτριτος σῴζω λόγος , πρός δέ ὁ λοιπός ὁ ἡμιόλιος · ὁ γοῦν δ ἀνά μέσος κεῖμαι ὁ Ϛ καί ὁ γ πρός μέν ὁ γ ἀποδίδωμι λόγος ἐπίτριτος , πρός δέ ὁ Ϛ ὁ ἡμιόλιος . ὀρθός ἄρα λέγω διαλύω μέν ὁ διπλάσιος εἰς ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος διαλύω , συντίθημι δέ πάντως ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος μόνος συνίστημι διπλάσιος καί ὁ ὁ ἐπιμόριος δύο πρῶτος εἶδος συντίθημι ποιητικός εἰμί ὁ ὁ πολλαπλασίων πρῶτος εἶδος . πάλιν δέ ἐκ ἄλλος ἀρχή ὁ γεννάω οὗτος ὁ πολλαπλάσιος πρῶτος εἶδος μετά ὁ πρῶτος ὁ ἐπιμόριος εἶδος ἀποδοτικός γίγνομαι ὁ ὁμογενής αὐτός συνεχής εἶδος , τουτέστι ὁ δεύτερος πολλαπλάσιος , ὅς εἰμί τριπλάσιος · ἐκ γάρ πᾶς διπλάσιος καί ἡμιόλιος συντίθημι τριπλάσιος ἐκ ἀνάγκη φύω · οἷον ἐπεί ὁ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ , αὐτός δέ οὗτος ἡμιόλιος ὁ ιηʹ , εὐθύς καί τριπλάσιος ὁ ιη ὁ Ϛ · καί ἕτερος τρόπος ἐάν μή ὁ ιβ ἐθέλω μέσος ποιέω , ἀλλά μάλα ὁ ὁ Ϛ ἡμιόλιος ὁ θ̅ , ὁ αὐτός ἐγώ ἀπαράλλακτος καί σύμφωνος συμβαίνω · ὁ γάρ θ̅ ὁ ιη διπλάσιος εἰμί ὁ τριπλάσιος λόγος σῴζω πρός ὁ Ϛ · ἐκ ἡμιόλιος ἄρα καί διπλάσιος πρῶτος εἶδος ἐπιμόριος καί πολλαπλάσιος συνίστημι μείγνυμι ὁ δεύτερος εἶδος ὁ πολλαπλάσιος ὁ τριπλάσιος καί εἰς αὐτός δέ πάντως ἀναλύω . ἰδού γάρ ὁ Ϛ ὁ β τριπλάσιος εἰμί ἔχω μέσος ὁ γ , ὅς δύο λόγος παραδείκνυμι , ὁ μέν ἡμιόλιος πρός ὁ β , πρός ἑαυτοῦ δέ διπλάσιος ὁ ὁ Ϛ · ἐάν δέ καί ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερος εἶδος εἰμί ὁ πολλαπλάσιος συντείνω ἐπτρίτῳ δεύτερος εἶδος εἰμί ὁ ἐπιμόριος γίγνομαι ἄν ἐκ ἀμφότερος ὁ συνεχής ὁ πολλαπλάσιος εἶδος , τουτέστι ὁ τετραπλάσιος , ὅς καί ἀναγκαῖος εἰς ἀμφότερος ἀναλύω κατά ὁ αὐτός ὁ προδηλόω φύσις · ὁ δέ τετραπλάσιος προσλαμβάνω ὁ ἐπιτέταρτος ποιητικός εἰμί ὁ πενταπλάσιος καί πάλιν ἐκεῖνος σύν ὁ ἐπίπεμπτος ὁ ἑξαπλάσιος , καί οὗτος μέχρι πᾶς , ἵνα εὔτακτος ὁ ἐκ ἀρχή πολλαπλάσιος μετά εὔτακτος ὁ ἐκ ἀρχή ἐπιμόριος ἀποδοτικός εὑρίσκω ὁ ἐπί ὁ μέγας συνεχής πολλαπλασίων · διπλάσιος μέν γάρ μετά ἡμιόλιος τριπλασιότης ποιητικός , τριπλάσιος δέ μετά ἐπίτριτος τετραπλασιότης , τετραπλάσιος δέ μετά ἐπιτέταρτος Πέντα πλασιοτητη καί , ἕως προχωρέω ἐθέλω , οὐδείς ὑπεναντίος σύ συμβαίνω φαίνω .