nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.22
κβ . Πολλαπλασιεπιμόριος μὲν οὖν ἐστι σχέσις , ὅταν τῶν συγκρινομένων ὁ μείζων πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ τὸν ἐλάσσονα καὶ πρὸς τούτῳ μοριόν τι ἓν αὐτοῦ οἷον δήποτε . διττῶς δὲ ὡς ἂν δὴ σύνθετος ὁ τοιοῦτος ποικίλλεται κατὰ τὴν τῶν συμπλεκομένων ὀνομάτων καθʼ ἑκάτερον ἰδιότητα · ἐπεὶ γὰρ ὁ πολλαπλασιεπιμόριος ἔκ τε τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς σύγκειται , ἕξει ἐν ταῖς εἰδικαῖς ὑποδιαιρέσεσι ποικιλίαν τινὰ καὶ ἐξαλλαγήν , ἰδίᾳ μὲν κατὰ τὸ πρότερον μέρος τοῦ ὀνόματος , ἰδέα δὲ κατὰ τὸ δεύτερον , οἷον κατὰ μὲν τὸ πρότερον τὸ τοῦ πολλαπλασίου τὸ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσιον ἢ πενταπλάσιον καὶ ἐφεξῆς , κατὰ δὲ τὸ δεύτερον ἀπὸ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς τὰ εἰδικὰ αὐτοῦ εὔτακτα τὸ ἐφημιόλιον , τὸ ἐπίτριτον , τὸ ἐπιτέταρτον , τὸ ἐπίπεμπτον καὶ ἐφεξῆς , ὥςτε τὴν σύνθεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν · διπλασιεφήμισυς , διπλασιεπίτριτος , διπλασιεπιτέταρτος , διπλασιεπίπεμπτος , διπλασιεπίεκτος καὶ ἀνάλογον , καὶ ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς τριπλασιεφήμισυς , τριπλασιεπίτριτος , τριπλασιεπιτέταρτος , τριπλασιεπίπεμπτος , καὶ πάλιν ἄνωθεν τετραπλασιεφήμισυς , τετραπλασιεπίτριτος , τετραπλασιεπιτέταρτος , τετραπλασιεπίπεμπτος , καὶ πάλιν ἄνωθεν πενταπλασιεφήμισυς , πενταπλασιεπίτιτρος , πενταπλασιεπιτέταρτος , πενταπλασιεπίπεμπτος καὶ τὰ τούτοις ἐπʼ ἄπειρον ἀναλογοῦντα · ὁσάκις μὲν γὰρ ὁ μείζων τὸν ἐλάττονα ὅλον ἐν ἑαυτῷ ἔχει , παρὰ τὴν τοσαύτην ποσότητα παρονομασθήσεται τὸ πρότερον μέρος τοῦ λόγου τῶν συμπλεκομένων ἐν τῷ πολλαπλασιεπιμορίῳ , οἷον δʼ ἂν τὸ μόριον τὸ πρὸς τῷ πολλάκις ὅλῳ ἐνυπάρχον ἐν τῷ μείζονι ᾖ , πρὸς ἐκεῖνο παρώνυμον ἔσται τὸ δεύτερον εἶδος του λόγου , ἀφʼ οὗ σύνθετον τὸ πολλαπλασιεπιμόριον . ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ · ὁ μὲν ε τοῦ β διπλασιεφημιόλιος , ὁ δὲ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος , ὁ δὲ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος , ὁ δὲ ια τοῦ ε διπλασιεπίπεμπτος · καὶ αἰεὶ οὕτως εὐτάκτους αὐτοὺς γεννήσεις συγκρίνων τοῖς ἀπὸ δυάδος ἑξῆς ἀρτίοις καὶ περισσοῖς τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαρούς περισσούς , πρῶτον πρώτῳ , δεύτερον δευτέρῳ , τρίτον τρίτῳ καὶ τοὺς ἄλλους ὁμοταγεῖς τοῖς ὁμοταγέσιν , ἀπὸ δυάδος δὲ τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων οἱ ἀπὸ πεντάδος συνεχεῖς πεντάδι διαφέροντες διπλασιεφημιόλιοι καθαροὶ ἔσονται ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν , ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου πάντων τῶν τριάδι διαφερόντων ἐκτεθέντων , οἷον γ , Ϛ , θ , ιβ , ιε , ιη , κα , καὶ ἐν ἄλλῳ στίχῳ τῶν ἀπὸ ἑβδομάδος ἑβδομάδι διαφερόντων ἐπʼ ἄπειρον ἐκτεθέντων , οἷον ζ , ιδ , κα , κη , λε , μβ , μθ , καὶ συγκρινομένων μειζόνων ἐλάττοσι , πρώτου πρώτῳ , δευτέρου δευτέρῳ , τρίτου τρίτῳ , τετάρτου τετάρτῳ , καὶ ἐφεξῆς , τὸ δεύτερον εἶδος ἀναφαίνεται τὸ τῶν διπλασιεπιτρίτων μετὰ τῆς οἰκείας εὐταξίας ἐκκείμενον . εἶτα πάλιν ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἂν ἐκτεθῇ ὁ τῶν τετραπλασίων καθαρὸς στίχος , δ , η , ιβ , ιϚ , κ , κδ , κη , λβ , εἶτα παρεκτεθῇ αὐτῷ ἐν ἄλλῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ τῆς ἑνάδος ἀρχόμενος κατὰ ἐνάδος προκοπὴν συνεχὴς ἀριθμός , οἷον θ , ιη . κζ , λϚ , με , νδ , ἕξομεν ἀναφαινόμενον πάλιν τὸν εἰδικὸν πολλαπλασιεπιμόριον , τουτέστι τὸν διπλασιεπιτέταρτον εὔτακτον · καὶ τοῦτο ἐπινοεῖν πάρεστι τῷ βουλομένῳ μέχρις ἀπείρου . τὸ δὲ ἕτερον εἶδος ἄρχεται ἀπὸ τοῦ τριπλασιεφημίσους , οἷον ὁ ζ πρὸς τὸν β καὶ ὁ ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἀπλῶς οἱ καθʼ ἑβδομάδα προχωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους . εἶτα πάλιν ἐξ ὑπαρχῆς ὁ ι πρὸς τὸν γ τριπλασιεπίτριτός ἐστι πρῶτος , ὁ δὲ κ πρὸς τὸν Ϛ τριπλασιεπίτριτος δεύτερος , καὶ ἀπλῶς οἱ δεκαπλάσιοι ἐφεξῆς πρὸς τοὺς ἐφεξῆς τριπλασίους · ἃ δὴ ἀκριβέστερον κατιδεῖν δυνάμεθα καὶ τρανότερον ἐν τῷ προεπιγνωσθέντι διαγράμματι · πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον στίχον οἱ ἐφεξῆς τάξει συγκείμενοι ὅλοι πρὸς ὅλον τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἐπʼ ἄπειρον ὑποδεικνύουσι πρὸς τὸν αὐτὸν ἀεὶ πρῶτον ἅπαντες συγκρινόμενοι , πρὸς δὲ τούς ὑπεράνω πάντας ἐφεξῆς εἷς ἕκαστος πρὸς τὸν γείτονα · τῆς ἀρχῆς ᾑμῖν ἀπὸ τοῦ δευτέρου γινομένης στίχου πάντα τὰ τοῦ ἐπιμορίου εἴδη κατὰ τὴν οἰκείαν εὐταξίαν γεννᾶται , ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου στίχου πρὸς αὐτόν τε πρῶτον καὶ τοὺς συνεχεῖς αὐτῷ καθʼ ἕκαστον οἱ ἀπὸ τοῦ πέμπτου περισσοταγεῖς πάντες ἀντεξεταζόμενοι τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς πάντα εἴδη εὔτακτα ὑποδείξουσι · τοῦ δὲ πολλαπλασιεπιμορίου αἱ συγκρίσεις τάξιν φυσικὴν καὶ ἰδίαν ἕξουσιν , ἐὰν ἀπὸ τοῦ δευτέρου στίχου ἀρχόμενοι τοὺς ἀπὸ τοῦ πέμπτου συγκρίνωμεν ἀριθμούς , πρῶτον πρὸς πρῶτον καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τρίτον καὶ οὕτως ἑξῆς , πρὸς δὲ τὸν τρίτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου , πρὸς δὲ τὸν τέταρτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἐνάτου , καὶ κατὰ τὴν ἁρμόζουσαν εὐταξίαν , μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπεσθαι . δῆλον δέ , ὅτι οἱ ἐλάττονες σὺν τῇ ὑπο προ ἀντονομάζονται καὶ ἐνθάδε πρὸς τοὺς μείζονας κατὰ τὰς ἐγκειμένας πᾶσι προςηγορίας .
Lemmas: κβ . πολλαπλασιεπιμόριος μέν οὖν εἰμί σχέσις , ὅταν ὁ συγκρίνω ὁ μέγας πλεονάκις ἤ ἅπαξ ἔχω ἐν ἑαυτοῦ ὁ ἐλαχύς καί πρός οὗτος μόριον τις εἷς αὐτός οἷος δήποτε . δισσός δέ ὡς ἄν δή σύνθετος ὁ τοιοῦτος ποικίλλω κατά ὁ ὁ συμπλέκω ὄνομα κατά ἑκάτερος ἰδιότης · ἐπεί γάρ ὁ πολλαπλασιεπιμόριος ἐκ τε ὁ πολλαπλάσιος καί ὁ ἐπιμόριος γενικός σύγκειμαι , ἔχω ἐν ὁ εἰδικός ὑποδιαίρεσις ποικιλία τις καί ἐξαλλαγή , ἴδιος μέν κατά ὁ πρότερος μέρος ὁ ὄνομα , ἰδέα δέ κατά ὁ δεύτερος , οἷος κατά μέν ὁ πρότερος ὁ ὁ πολλαπλάσιος ὁ διπλάσιος ἤ τριπλάσιος ἤ τετραπλάσιος ἤ πενταπλάσιος καί ἐφεξῆς , κατά δέ ὁ δεύτερος ἀπό ὁ ἐπιμόριος γενικός ὁ εἰδικός αὐτός εὔτακτος ὁ ἐφημιόλιος , ὁ ἐπίτριτος , ὁ ἐπιτέταρτος , ὁ ἐπίπεμπτος καί ἐφεξῆς , ὥστε ὁ σύνθεσις τοιοῦτος τις τάξις προχωρέω · διπλασιεφήμισυς , διπλασιεπίτριτος , διπλασιεπιτέταρτος , διπλασιεπίπεμπτος , διπλασιεπίεκτος καί ἀνάλογος , καί ἀπό ἄλλος ἀρχή τριπλασιεφήμισυς , τριπλασιεπίτριτος , τριπλασιεπιτέταρτος , τριπλασιεπίπεμπτος , καί πάλιν ἄνωθεν τετραπλασιεφήμισυς , τετραπλασιεπίτριτος , τετραπλασιεπιτέταρτος , τετραπλασιεπίπεμπτος , καί πάλιν ἄνωθεν πενταπλασιεφήμισυς , πενταπλασιεπίτιτρος , πενταπλασιεπιτέταρτος , πενταπλασιεπίπεμπτος καί ὁ οὗτος ἐπί ἤπειρος ἀναλογέω · ὁσάκις μέν γάρ ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς ὅλος ἐν ἑαυτοῦ ἔχω , παρά ὁ τοσοῦτος ποσότης παρονομάζω ὁ πρότερος μέρος ὁ λόγος ὁ συμπλέκω ἐν ὁ πολλαπλασιεπιμόριον , οἷος δέ ἐάν ὁ μόριον ὁ πρός ὁ πολλάκις ὅλος ἐνυπάρχω ἐν ὁ μέγας εἰμί , πρός ἐκεῖνος παρώνυμος εἰμί ὁ δεύτερος εἶδος τις λόγος , ἀπό ὅς σύνθετος ὁ πολλαπλασιεπιμόριον . ὑπόδειγμα δέ αὐτός · ὁ μέν ε ὁ β διπλασιεφημιόλιος , ὁ δέ ζ̅ ὁ γ διπλασιεπίτριτος , ὁ δέ θ̅ ὁ δ διπλασιεπιτέταρτος , ὁ δέ ιαʹ ὁ ε διπλασιεπίπεμπτος · καί ἀεί οὕτως εὔτακτος αὐτός γεννάω συγκρίνω ὁ ἀπό δυάς ἑξῆς ἄρτιος καί περισσός ὁ ἀπό πεντάς καθαρός περισσός , πρῶτος πρῶτος , δεύτερος δεύτερος , τρίτος τρίτος καί ὁ ἄλλος ὁμοταγής ὁ ὁμοταγής , ἀπό δυάς δέ ὁ ἐφεξῆς πᾶς ἄρτιος ὁ ἀπό πεντάς συνεχής πεντάς διαφέρω διπλασιεφημιόλιος καθαρός εἰμί ὁμοταγής ὁμοταγής , ἀπό δέ ὁ τρίτος πᾶς ὁ τριάς διαφέρω ἐκτίθημι , οἷος γ , Ϛ , θ̅ , ιβ , ιος , ιη , ἄν , καί ἐν ἄλλος στίχος ὁ ἀπό ἑβδομάς ἑβδομάς διαφέρω ἐπί ἄπειρος ἐκτίθημι , οἷος ζ̅ , ιδʹ , ἄν , πη , λε , μβʹ , μθʹ , καί συγκρίνω μέγας ἐλαχύς , πρῶτος πρῶτος , δεύτερος δεύτερος , τρίτος τρίτος , τέταρτος τέταρτος , καί ἐφεξῆς , ὁ δεύτερος εἶδος ἀναφαίνω ὁ ὁ διπλασιεπίτριτος μετά ὁ οἰκεῖος εὐταξία ἔκκειμαι . εἶτα πάλιν ἀπό ἄλλος ἀρχή ἐάν ἐκτίθημι ὁ ὁ τετραπλάσιος καθαρός στίχος , δ , η̅ , ιβ , ιϚ , κ , κδ , πη , λβ , εἶτα παρεκτίθημι αὐτός ἐν ἄλλος στίχος ὁ ἀπό ὁ ἑνάς ἄρχω κατά ἔνας προκοπή συνεχής ἀριθμός , οἷος θ̅ , ιηʹ . κζʹ , λϚʹ , ἐγώ , νδʹ , ἔχω ἀναφαίνω πάλιν ὁ εἰδικός πολλαπλασιεπιμόριος , τουτέστι ὁ διπλασιεπιτέταρτος εὔτακτος · καί οὗτος ἐπινοέω πάρειμι ὁ βούλομαι μέχρι ἄπειρος . ὁ δέ ἕτερος εἶδος ἄρχω ἀπό ὁ τριπλασιεφήμισοι , οἷος ὁ ζ̅ πρός ὁ β καί ὁ ιδʹ πρός ὁ δ καί ἀπλόος ὁ κατά ἑβδομάς προχωρέω πρός ὁ ἀπό δυάς εὔτακτος ἄρτιος . εἶτα πάλιν ἐκ ὑπαρχή ὁ ι̅ πρός ὁ γ τριπλασιεπίτριτος εἰμί πρῶτος , ὁ δέ κ πρός ὁ Ϛ τριπλασιεπίτριτος δεύτερος , καί ἀπλόος ὁ δεκαπλάσιος ἐφεξῆς πρός ὁ ἐφεξῆς τριπλάσιος · ὅς δή ἀκριβής κατοράω δύναμαι καί τρανής ἐν ὁ προεπιγιγνώσκω διάγραμμα · πρός μέν γάρ ὁ πρῶτος στίχος ὁ ἐφεξῆς τάξις σύγκειμαι ὅλος πρός ὅλος ὁ ὁ πολλαπλάσιος εὔτακτος εἶδος ἐπί ἄπειρος ὑποδείκνυμι πρός ὁ αὐτός ἀεί πρῶτος ἅπας συγκρίνω , πρός δέ ὁ ὑπεράνω πᾶς ἐφεξῆς εἷς ἕκαστος πρός ὁ γείτων · ὁ ἀρχή ἐγώ ἀπό ὁ δεύτερος γίγνομαι στίχος πᾶς ὁ ὁ ἐπιμόριος εἶδος κατά ὁ οἰκεῖος εὐταξία γεννάω , ἀπό δέ ὁ τρίτος στίχος πρός αὐτός τε πρῶτος καί ὁ συνεχής αὐτός κατά ἕκαστος ὁ ἀπό ὁ πέμπτος περισσοταγής πᾶς ἀντεξετάζω ὁ ὁ ἐπιμερής πᾶς εἶδος εὔτακτος ὑποδείκνυμι · ὁ δέ πολλαπλασιεπιμόριον ὁ σύγκρισις τάξις φυσικός καί ἴδιος ἔχω , ἐάν ἀπό ὁ δεύτερος στίχος ἄρχω ὁ ἀπό ὁ πέμπτος συγκρίνω ἀριθμός , πρῶτος πρός πρῶτος καί δεύτερος πρός δεύτερος καί τρίτος πρός τρίτος καί οὕτως ἑξῆς , πρός δέ ὁ τρίτος ὁ ἀπό ὁ ἕβδομος , πρός δέ ὁ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ἔνατος , καί κατά ὁ ἁρμόζω εὐταξία , μέχρι ἄν εὐτονέω τις παρέπομαι . δῆλος δέ , ὅτι ὁ ἐλαχύς σύν ὁ ὑπό προ ἀντονομάζω καί ἐνθάδε πρός ὁ μέγας κατά ὁ ἔγκειμαι πᾶς προσηγορία .