nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.19
ιθ . Ἐπιμόριος δέ ἐστιν ἀριθμός , τὸ τοῦ μείζονος δεύτερον τῇ φύσει εἶδος καὶ τῇ τάξει , ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ τὸν συγκρινόμενον ὅλον καὶ μόριον αὐτοῦ ἕν τι . ἀλλʼ ἐὰν μὲν ἥμισυ τὸ μόριον , καλεῖται ἡμιόλιος εἰδικῶς ὁ τῶν συγκρινομένων μείζων , ὑφημιόλιος δὲ ὁ ἐλάσσων , ἐὰν δὲ τρίτον , ἐπίτριτός τε καὶ ὑπεπίτριτος , καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντὸς προχωροῦντι συμφωνήσει σοι , ὥςτε καὶ ταῦτα ἐπʼ ἄπειρον τὰ εἴδη πρόεισι καίτοι ἀπείρου τινὸς εἴδη ὄντα γένους · τὸ μὲν γὰρ πρώτιστον αὐτῶν τὸ ἡμιόλιον συμβαίνει τοὺς μὲν ὑπολόγους ἔχειν τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀρτίους , ἄλλον δὲ οὐδαμῶς οὐδένα , τοὺς δὲ προλόγους τοὺς ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς τριπλασίους , ἄλλον δὲ οὐδένα . συζευκτέον δὲ αὐτοὺς εὐτάκτως πρῶτον πρώτῳ , δεύτερον δευτέρῳ , τρίτον τρίτῳ , τὸν γ τῷ β , τὸν Ϛ τῷ δ , τὸν θ τῷ ϛ , τὸν ιβ τῷ η , καὶ τοὺς ἀναλόγους τοῖς ὁμοταγέσιν . ἐὰν δὲ ἐπισκέψασθαι θέλωμεν τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ ἐπιμορίου , τουτέστι τὸ ἐπίτριτον ( συνεχὲς γὰρ μέρος αὐτοῦ φυσικῶς μετὰ τὸ ἥμισυ ὑπάρχει τὸ τρίτον ) , ὅρον μὲν αὐτοῦ ἕξομεν τοῦτον · ἀριθμὸς ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ ὅλον τε τὸν συγκρινόμενων καὶ μέρος αὐτοῦ τρίτον πρὸς τῷ ὅλῳ . ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ εὔτακτα ληφθήσεται ἡμῖν οἱ ἀπὸ τετράδος συνεχεῖς τετραπλάσιοι συνεζευγμένοι τοῖς ἀπὸ τριάδος τριπλασίοις ὁμοταγεῖς ὁμοταγέσιν , οἷον ὁ δ τῷ γ , ὁ η τῷ ϛ , ὁ ιβ τῷ θ , καὶ κατὰ ταὐτὰ ἐφ ὁσονοῦν . δῆλον δέ , ὅτι ὁ ἀνθυπακούων τῷ ἐπιτρίτῳ , λεγόμενος δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει ὑπεπίτριτος , ἐστὶν ὁ ἐμπεριεχόμενος ἐκείνῳ ὅλος τε καὶ προςέτι ἑαυτοῦ τρίτον , ὡς ὁ μὲν γ τῷ δ , ὁ δὲ ϛ τῷ η , ὁ δὲ θ τῷ ιβ , καὶ οἱ ἀκόλουθοι τῶν ὁμοταγῶν . παρατηρητέον δὲ τὸ παρεπόμενον πᾶσι τούτοις γλαφυρόν , ὅτι οἱ μὲν πρῶτοι καὶ πυθμένες λεγόμενοι ἐγγύς εἰσιν ἀλλήλων ἐν τῷ φυσικῷ χύματι , οἱ δὲ δεύτεροι ἀπὸ πυθμένος ἕνα μόνον ἀριθμὸν διαλείπουσιν , οἱ δὲ τρίτοι δύο , οἱ δὲ τέταρτοι τρεῖς καὶ οἱ πέμπτοι τέσσαρας καὶ ἀεὶ οὕτως , μέχρις οὗ βούλει . ἔτι γε P μὴν καί , ὅτι τὸ μόριον , οὗ παρώνυμος ἕκαστός ἐστι τῶν ἐπιμορίων , ἐν τοῖς ἥττοσι θεωρεῖται τῶν πυθμένων , ἐν δὲ τοῖς μείζοσιν οὐδαμῶς . ὅτι δὲ φυσικῶς καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων , ἀρχεγονώτερον τὸ πολλαπλάσιον καὶ πρεσβύτερον τοῦ ἐπιμορίου , καὶ ἐν τοῖς ἑξῆς μὲν ποικιλώτερον εἰσόμεθα , ὅσον οὔπω · κἀνταῦθα δὲ πρὸς ἁπλῆν ἔμφασιν προχειριστέον κατʼ εὐτάκτους καὶ παραλλήλους στίχους τοὺς προφρασθέντας ἡμῖν πολλαπλασίους εἰδικῷς , πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ , εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον , εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι δεκαπλασίων , ἵνα καὶ τάξιν καὶ ποικιλίαν αὐτῶν καὶ πρόβασιν ἔντεχνον καὶ ὅ τι πρότερον φύσει κατίδωμεν καὶ δὴ καὶ ἕτερά τινα τερπνὰ καὶ γλαφυρὰ παροκολουθήματα . ἔστω δὲ τὸ διάγραμμα τοιοῦτον · μῆκος α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι β δ Ϛ η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ γ Ϛ θ ιβ ιε ιη κα κδ κζ λ δ η ιβ ιϚ κ κδ ξη λβ λϚ μ ε ι ιε κ κε λ λε μ με ν Ϛ ιβ ιη κδ λ λϚ μβ μη νδ ξ ζ ιδ κη λε μβ μθ νϚ ξγ ο η ιϚ κδ λβ μ μη νϚ ξδ οβ π θ ιη κζ λϚ με νδ ξγ οβ κα Ϟ ι κ λ μ ν ξ ο π Ϟ ρ ἐκκείσθω ἐν μὲν τῷ πρώτῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ μονάδος φυσικὸς ἀριθμός , εἶτα ἑξῆς οἱ κελευσθέντες τῶν τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν . οὐκοῦν τῶν μὲν πρώτων στίχων ἀρχομένων ἀπὸ μονάδος ἐπί τε πλάτος καὶ ἐπὶ βάθος γαμμοειδῶς οἱ δεύτεροι ἐφ᾿ μα ἑκάτερα καὶ αὐτοὶ γαμμοειδῶς ἀπὸ τετράδος ἀρχόμενοι πολλαπλάσιοί εἰσι κατὰ τὸ πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου , διπλάσιοι γάρ , καὶ ὁ μὲν πρῶιος τοῦ πρώτου μονάδι διαφέρων , ὁ δὲ δεύτερος τοῦ δευτέρου δυάδι καὶ ὁ τρίτος τοῦ τρίτου τριάδι καὶ τετράδι οἱ συνεχεῖς καὶ πεντάδι οἱ μετʼ αὐτοὺς καὶ τοῦτο μέχρις ὅλου ἀκόλουθον εὑρήσπς · οἱ δὲ τρίτοι ἐφʼ ἑκάτερα ἀπὸ ἑνάδος κοινῆς ἀρχόμενοι τῶν ἐν τῷ αὐτῷ πρώτῳ στίχῳ κατὰ τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τριπλάσιοι ἔσονται συνεξεταζομένων αὐτοῖς καὶ τῶν εἰς τριάδα ἑκατέρωθεν χιασμῶν . συμπροκόψει δὲ καὶ ἡ διαφορὰ τούτοις κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων φύσιν , τῷ μὲν πρώτῳ δυὰς οὖσα , τῷ δὲ ἐφεξῆς τετράς , τῷ δὲ τρίτῳ ἑξάς , ἣν καὶ διαφορὰν αὐτομάτως ἡμῖν ἡ φύσις ἐμεσεμβόλησε μεταξύ τούτων τῶν ἐξεταζομένων , ὡς ἐν τῷ διαγράμματι φαίνεται . ὁ δὲ τέταρτος στίχος , οὗ κοινὴ μὲν ἀρχὴ ἐφʼ ἑκάτερα ὁ ιϚ , οἱ δὲ χιασμοὶ περαιοῦνται εἰς τὰς τετράδας , τὸ τρίτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου δεικύντες , τουτέστι τὸ τετραπλάσιον , πρὸς τὸν αὐτὸν ἐξεταζόμενοι πρώτιστον στίχον ὁμοταγῶς , πρώτου μὲν ἀριθμοῦ πρὸς πρῶτον , δευτέρου δὲ πρὸς δεύτερον καὶ τρίτου πρὸς τρίτον καὶ ἐφεξῆς · πάλιν δὲ αἱ τούτων διαφοραὶ τριάς , ἑξάς , εἶτα ἐνάς , εἶτα δωδεκὰς καὶ αἱ κατὰ τριάδος προκοπὴν ποσότητες · καὶ αὗται ἐν τῷ τοῦ διαγράμματος ὕφει πεφώρανται τάξει ἐκκείμεναι ὑπὲρ αὐτούς τοὺς τετραπλασίους καὶ ἐπὶ τῶν ἀκολούθων τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν τὸ ἀνάλογον μέχρι παντὸς προχωρεῖ . πρὸς δὲ τὸν ἐφʼ ἑκάτερα δεύτερον στίχον ἀπὸ κοινῆς ἀρχῆς τοῦ δ ἀρχόμενον , ὑπερεκπίπτοντα δὲ κατὰ χιασμὸν εἰς ἰδίαν ἑκατέρων δυάδα , οἱ ὑποβεβηκότες τάξει στίχοι τοῦ ἐπιμορίου τὸ πρώτιστον εἶδος παρεμφαίνουσι , τουτέστι τὸ ἡμιόλιον , ὁμοταγεῖς πρὸς ὁμοταγεῖς · οὕτω φύσει θείᾳ καὶ οὐ νόμῳ ἡμετέρῳ οὐδὲ συνθήματι μεταγενέστεροι τῶν πολλαπλασίων οἱ ἐπιμόριοι , οἷον ὁ μὲν γ τοῦ β , ὁ δὲ ϛ τοῦ δ , ὁ θ τοῦ ϛ , ὁ ιβ τοῦ η , ὁ ιε τοῦ ι , καὶ μέχρι παντός · διαφορὰν δὲ καὶ οὗτοι ἔχουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἀριθμούς , ὡς οἱ πρὸ αὐτῶν . Ἐπίτριτοι δέ , τὸ τοῦ ἐπιμορίου δεύτερον εἶδος , ἴσῃ τινὶ καὶ ὁμοίᾳ προκοπῇ προχωροῦσιν ἀπὸ τοῦ δ πρὸς τὸν γ καὶ η πρὸς ϛ καὶ ιβ πρὸς θ καὶ ιϛ πρὸς ιβ , καὶ ἀκολούθως ἴσην καὶ τὴν τῶν διαφορῶν αὔξησιν λαμβάνοντες . καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν σχέσεων πολλαπλασίου τε καὶ ἐπιμορίου σύμφωνα τὰ ἀποτελέσματα καὶ οὐδαμῶς ἐναντιούμενα προβαίνων ἐπʼ ἄπειρον ὄψει . κἀκεῖνο δὲ οὐκ ἐλάττονος ἀκριβείας τέτευχεν ἐν τῷ διαγράμματι · ἐπιγώνιοι μὲν γὰρ αὐτῶν εἰσι μονάδες , ἡ μὲν κατʼ ἀρχὴν ἁπλῆ , ἡ δὲ ἐπὶ τέλει τριοδουμένη , δευτεροδούμεναι δὲ ἐν διφορήσει αἱ δύο λοιπαί , ὥςτε ἀποτελεῖν τὸ ύπό ἶσον τῷ ἀπό . ἀλλὰ καὶ ἑκατέρωθεν ἴση πρόβασις ἀπὸ μονάδος εἰς τὰς δεκάδας καὶ πάλιν ἀντιθέτως ἑκάτεραι αἱ ἀπὸ δεκάδος προχωρήσεις εἰς ἑκατοντάδα . καὶ οἱ μὲν διαγώνιοι οἱ ἀπὸ μονάδος εἰς ἑκατοντάδα τετράγωνοι πάντως ἀριθμοὶ ἰσάκις ἶσοι μηκυνθέντες , οἱ δὲ ἑκατέρωθεν παρασπίζοντες αὐτοὺς ἑτερομήκεις πάντως ἄνισοι καὶ μονάδι μείζοσιν ἀλλήλων πλευραῖς μηκυνθέντες · ὥςτε ἐξ ἅπαξ δύο ἐφεξῆς τετραγώνων καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἑτερομήκους τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι καὶ ἀνάπαλιν ἐξ ἅπαξ δύο παρακειμένων ἑτερομηκῶν καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν τετραγώνου τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι . Καὶ ἕτερα πολλὰ τοιαῦτα φιλοτιμούμενος εὕροι τις ἂν τερπνὰ ἐμφαινόμενα τῷδε τῷ διαγράμματι , περὶ ὧν οὐ καιρὸς νῦν μηκύνειν · οὔπώ γὰρ τὴν ἐπίγνωσιν αὐτῶν ἐκ τῆς εἰςαγωγῆς εἰλήφαμεν , ὥςτε ἐπὶ τὰ ἑξῆς τρεπτέον · μετὰ γὰρ τὰς δύο ταύτας γενικὰς σχέσεις πολλαπλασίου καὶ ἐπιμορίου καὶ τὰς ἀντιθέτους αὐταῖς σὺν τῇ ὑπο προθέσει ἐκφερομένας ἄλλας δύο ὑποπολλαπλάσιόν τε καὶ ὑπεπιμόριον εἰσὶν ἐν μὲν τῷ μείζονι τοῦ ἀνίσου μέρει ἡ ἐπιμερής , ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ὑπεπιμερής .
Lemmas: ἔρχομαι . ἐπιμόριος δέ εἰμί ἀριθμός , ὁ ὁ μέγας δεύτερος ὁ φύσις εἶδος καί ὁ τάξις , ὁ ἔχω ἐν ἑαυτοῦ ὁ συγκρίνω ὅλος καί μόριον αὐτός εἷς τις . ἀλλά ἐάν μέν ἥμισυς ὁ μόριον , καλέω ἡμιόλιος εἰδικός ὁ ὁ συγκρίνω μέγας , ὑφημιόλιος δέ ὁ ἐλαχύς , ἐάν δέ τρίτος , ἐπίτριτος τε καί ὑπεπίτριτος , καί ἀεί οὕτως μέχρι πᾶς προχωρέω συμφωνέω σύ , ὥστε καί οὗτος ἐπί ἄπειρος ὁ εἶδος πρόειμι καίτοι ἄπειρος τις εἶδος εἰμί γένος · ὁ μέν γάρ πρῶτος αὐτός ὁ ἡμιόλιος συμβαίνω ὁ μέν ὑπόλογος ἔχω ὁ ἀπό δυάς ἐφεξῆς ἄρτιος , ἄλλος δέ οὐδαμῶς οὐδείς , ὁ δέ πρόλογος ὁ ἀπό τριάς ἐφεξῆς τριπλάσιος , ἄλλος δέ οὐδείς . συζευκτέον δέ αὐτός εὐτάκτως πρῶτος πρῶτος , δεύτερος δεύτερος , τρίτος τρίτος , ὁ γ ὁ β , ὁ Ϛ ὁ δ , ὁ θ̅ ὁ ϛ , ὁ ιβ ὁ η̅ , καί ὁ ἀνάλογος ὁ ὁμοταγής . ἐάν δέ ἐπισκοπέω ἐθέλω ὁ δεύτερος εἶδος ὁ ἐπιμόριος , τουτέστι ὁ ἐπίτριτος ( συνεχής γάρ μέρος αὐτός φυσικός μετά ὁ ἥμισυς ὑπάρχω ὁ τρίτος ) , ὅρος μέν αὐτός ἔχω οὗτος · ἀριθμός ὁ ἔχω ἐν ἑαυτοῦ ὅλος τε ὁ συγκρίνω καί μέρος αὐτός τρίτος πρός ὁ ὅλος . ὑπόδειγμα δέ αὐτός εὔτακτος λαμβάνω ἐγώ ὁ ἀπό τετράς συνεχής τετραπλάσιος συζεύγνυμι ὁ ἀπό τριάς τριπλάσιος ὁμοταγής ὁμοταγής , οἷος ὁ δ ὁ γ , ὁ η̅ ὁ ϛ , ὁ ιβ ὁ θ̅ , καί κατά αὐτός ἐφ ὁσονοῦν . δῆλος δέ , ὅτι ὁ ἀνθυπακούω ὁ ἐπίτριτος , λέγω δέ σύν ὁ ὑπό πρόθεσις ὑπεπίτριτος , εἰμί ὁ ἐμπεριέχω ἐκεῖνος ὅλος τε καί προσέτι ἑαυτοῦ τρίτος , ὡς ὁ μέν γ ὁ δ , ὁ δέ ϛ ὁ η̅ , ὁ δέ θ̅ ὁ ιβ , καί ὁ ἀκόλουθος ὁ ὁμοταγής . παρατηρητέον δέ ὁ παρέπομαι πᾶς οὗτος γλαφυρός , ὅτι ὁ μέν πρῶτος καί πυθμήν λέγω ἐγγύς εἰμί ἀλλήλων ἐν ὁ φυσικός χύμα , ὁ δέ δεύτερος ἀπό πυθμήν εἷς μόνος ἀριθμός διαλείπω , ὁ δέ τρίτος δύο , ὁ δέ τέταρτος τρεῖς καί ὁ πέμπτος τέσσαρες καί ἀεί οὕτως , μέχρι ὅς βούλομαι . ἔτι γε P μήν καί , ὅτι ὁ μόριον , ὅς παρώνυμος ἕκαστος εἰμί ὁ ἐπιμόριος , ἐν ὁ ἥσσων θεωρέω ὁ πυθμήν , ἐν δέ ὁ μέγας οὐδαμῶς . ὅτι δέ φυσικός καί οὐ ἐγώ τίθημι , ἀρχέγονος ὁ πολλαπλάσιος καί πρέσβυς ὁ ἐπιμόριος , καί ἐν ὁ ἑξῆς μέν ποικίλος οἶδα , ὅσος οὔπω · ἐνταῦθα δέ πρός ἁπλόος ἔμφασις προχειριστέον κατά εὔτακτος καί παράλληλος στίχος ὁ προφράζω ἐγώ πολλαπλάσιος ειδικώς , πρῶτος διπλάσιος ἐν εἷς στίχος , εἶτα ἐν δεύτερος τριπλάσιος , εἶτα τετραπλάσιος ἐν τρίτος καί μέχρι δεκαπλάσιος , ἵνα καί τάξις καί ποικιλία αὐτός καί πρόβασις ἔντεχνος καί ὅς τις πρότερος φύσις κατοράω καί δή καί ἕτερος τις τερπνός καί γλαφυρός παροκολουθήματα . εἰμί δέ ὁ διάγραμμα τοιοῦτος · μῆκος α Β γ δεσποινίδα ε Ϛ ζ ὁ θ ι Β δεσποινίδα Ϛ ὁ ι Ἶβ ὁράω ιϛʹ ἰά κ γ Ϛ θ Ἶβ ιος ἰά ἄν ΚΔ κζ λ δεσποινίδα ὁ Ἶβ ιϛʹ κ ΚΔ ξέω λβ λϚ μ ε ι ιος κ ἄν λ λέα μ ἐγώ ν Ϛ Ἶβ ἰά ΚΔ λ λϚ μβ μής ΝΔΑ ξ ζ ὁράω καί λέα μβ μθ νϚ ξγ ὁ ὁ ιϛʹ ΚΔ λβ μ μής νϚ ξδ ΟΒΕ π θ ἰά κζ λϚ ἐγώ ΝΔΑ ξγ ΟΒΕ ἄν Ϟ ι κ λ μ ν ξ ὁ π Ϟ ρ ἔκκειμαι ἐν μέν ὁ πρῶτος στίχος ὁ ἀπό μονάς φυσικός ἀριθμός , εἶτα ἑξῆς ὁ κελεύω ὁ ὁ πολλαπλάσιος εἶδος . οὐκοῦν ὁ μέν πρῶτος στίχος ἄρχω ἀπό μονάς ἐπί τε πλάτος καί ἐπί βάθος γαμμοειδής ὁ δεύτερος ἐπί μαʹ ἑκάτερος καί αὐτός γαμμοειδής ἀπό τετράς ἄρχω πολλαπλάσιος εἰμί κατά ὁ πρῶτος εἶδος ὁ πολλαπλάσιος , διπλάσιος γάρ , καί ὁ μέν πρώϊος ὁ πρῶτος μονάς διαφέρω , ὁ δέ δεύτερος ὁ δεύτερος δυάς καί ὁ τρίτος ὁ τρίτος τριάς καί τετράς ὁ συνεχής καί πεντάς ὁ μετά αὐτός καί οὗτος μέχρι ὅλος ἀκόλουθος εὑρήσπς · ὁ δέ τρίτος ἐπί ἑκάτερος ἀπό ἑνάς κοινός ἄρχω ὁ ἐν ὁ αὐτός πρῶτος στίχος κατά ὁ δεύτερος εἶδος ὁ πολλαπλάσιος τριπλάσιος εἰμί συνεξετάζω αὐτός καί ὁ εἰς τριάς ἑκατέρωθεν χιασμός . συμπροκόπτω δέ καί ὁ διαφορά οὗτος κατά ὁ ὁ ἄρτιος φύσις , ὁ μέν πρῶτος δυάς εἰμί , ὁ δέ ἐφεξῆς τετράς , ὁ δέ τρίτος ἑξάς , ὅς καί διαφορά αὐτόματος ἐγώ ὁ φύσις μεσεμβολέω μεταξύ οὗτος ὁ ἐξετάζω , ὡς ἐν ὁ διάγραμμα φαίνω . ὁ δέ τέταρτος στίχος , ὅς κοινός μέν ἀρχή ἐπί ἑκάτερος ὁ ιϚ , ὁ δέ χιασμός περαιόω εἰς ὁ τετράς , ὁ τρίτος εἶδος ὁ πολλαπλάσιος δείκνυμι , τουτέστι ὁ τετραπλάσιος , πρός ὁ αὐτός ἐξετάζω πρῶτος στίχος ὁμοταγής , πρῶτος μέν ἀριθμός πρός πρῶτος , δεύτερος δέ πρός δεύτερος καί τρίτος πρός τρίτος καί ἐφεξῆς · πάλιν δέ ὁ οὗτος διαφορά τριάς , ἑξάς , εἶτα ἔνη , εἶτα δωδεκάς καί ὁ κατά τριάς προκοπή ποσότης · καί οὗτος ἐν ὁ ὁ διάγραμμα ὕφος φωράω τάξις ἔκκειμαι ὑπέρ αὐτός ὁ τετραπλάσιος καί ἐπί ὁ ἀκόλουθος ὁ πολλαπλάσιος εἶδος ὁ ἀνάλογος μέχρι πᾶς προχωρέω . πρός δέ ὁ ἐπί ἑκάτερος δεύτερος στίχος ἀπό κοινός ἀρχή ὁ δ ἄρχω , ὑπερεκπίπτω δέ κατά χιασμός εἰς ἴδιος ἑκάτερος δυάς , ὁ ὑποβαίνω τάξις στίχος ὁ ἐπιμόριος ὁ πρῶτος εἶδος παρεμφαίνω , τουτέστι ὁ ἡμιόλιος , ὁμοταγής πρός ὁμοταγής · οὕτως φύσις θεῖος καί οὐ νόμος ἡμέτερος οὐδέ σύνθημα μεταγενής ὁ πολλαπλασίων ὁ ἐπιμόριος , οἷος ὁ μέν γ ὁ β , ὁ δέ ϛ ὁ δ , ὁ θ̅ ὁ ϛ , ὁ ιβ ὁ η̅ , ὁ ιος ὁ ι̅ , καί μέχρι πᾶς · διαφορά δέ καί οὗτος ἔχω ὁ ἀπό μονάς ἐφεξῆς ἀριθμός , ὡς ὁ πρό αὐτός . ἐπίτριτος δέ , ὁ ὁ ἐπιμόριος δεύτερος εἶδος , ἴσος τις καί ὅμοιος προκοπή προχωρέω ἀπό ὁ δ πρός ὁ γ καί η̅ πρός ϛ καί ιβ πρός θ̅ καί ιϛʹ πρός ιβʹ , καί ἀκόλουθος ἴσος καί ὁ ὁ διαφορά αὔξησις λαμβάνω . καί ἐπί ὁ λοιπός σχέσις πολλαπλάσιος τε καί ἐπιμόριος σύμφωνος ὁ ἀποτέλεσμα καί οὐδαμῶς ἐναντιόομαι προβαίνω ἐπί ἄπειρος ὁράω . ἐκεῖνος δέ οὐ ἐλαχύς ἀκρίβεια τυγχάνω ἐν ὁ διάγραμμα · ἐπιγώνιος μέν γάρ αὐτός εἰμί μονάς , ὁ μέν κατά ἀρχή ἁπλόος , ὁ δέ ἐπί τέλος τριοδέομαι , δευτεροδέομαι δέ ἐν διφόρησις ὁ δύο λοιπός , ὥστε ἀποτελέω ὁ ὑπό̅ ἴσος ὁ ἀπό̅ . ἀλλά καί ἑκατέρωθεν ἴσος πρόβασις ἀπό μονάς εἰς ὁ δεκάς καί πάλιν ἀντίθετος ἑκάτερος ὁ ἀπό δεκάς προχώρησις εἰς ἑκατοντάς . καί ὁ μέν διαγώνιος ὁ ἀπό μονάς εἰς ἑκατοντάς τετράγωνος πάντως ἀριθμός ἰσάκις ἴσος μηκύνω , ὁ δέ ἑκατέρωθεν παρασπίζω αὐτός ἑτερομήκης πάντως ἄνισος καί μονάς μέγας ἀλλήλων πλευρά μηκύνω · ὥστε ἐκ ἅπαξ δύο ἐφεξῆς τετράγωνος καί δίς ὁ ἀνά μέσος αὐτός ἑτερομήκης τετράγωνος πάντως ἀποτελέω καί ἀνάπαλιν ἐκ ἅπαξ δύο παράκειμαι ἑτερομήκης καί δίς ὁ ἀνά μέσος αὐτός τετράγωνος τετράγωνος πάντως ἀποτελέω . καί ἕτερος πολύς τοιοῦτος φιλοτιμέομαι εὑρίσκω τις ἄν τερπνός ἐμφαίνω ὅδε ὁ διάγραμμα , περί ὅς οὐ καιρός νῦν μηκύνω · οὔπω γάρ ὁ ἐπίγνωσις αὐτός ἐκ ὁ εἰσαγωγή λαμβάνω , ὥστε ἐπί ὁ ἑξῆς τρεπτέον · μετά γάρ ὁ δύο οὗτος γενικός σχέσις πολλαπλάσιος καί ἐπιμόριος καί ὁ ἀντίθετος αὐτός σύν ὁ ὑπό πρόθεσις ἐκφέρω ἄλλος δύο ὑποπολλαπλάσιος τε καί ὑπεπιμόριος εἰμί ἐν μέν ὁ μέγας ὁ ἄνισος μέρος ὁ ἐπιμερής , ἐν δέ ὁ ἐλαχύς ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ὑπεπιμερής .