nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.28
κη . Καὶ τάδε μὲν περὶ τῶν παρὰ τοῖς παλαιοῖς θρυλλουμένων τριῶν ἀναλογιῶν , ἃς καὶ ἐπιτηδὲς σαφέστερον καὶ πλατύτερον διηρθρώσαμεν , ὅτι πολλάκις τε καὶ ποικιλώτερον ἐντυγχάνειν ἦν αὐταῖς ἐν τοῖς ἀναγνώσμασι · τὰς δʼ ἐξῆς ἐπιτμητέον οὐ πάνυ φερομένας παρὰ τοῖς ἀρχαίοις , ἀλλὰ εἰς μόνην ἐμπειρίαν ἡμῶν αὐτῶν καὶ τὸ οἱονεὶ πλῆρες τοῦ συλλογισμοῦ παραλαμβανομένας . εἰσὶ δὲ αὗται τάξει ἐκφερόμεναι ὑφʼ ἡμῶν κατὰ ὑπεναντίωσιν τὴν πρὸς τὰς πεφρασμένας ἀρχετύπους τρεῖς , εἴπερ καὶ ἐξ αὐτῶν τούτων ἀναπλάσσονται , τάξεως τυγχάνουσαι ὁμοίας . τετάρτη μὲν ἡ καὶ ὑπεναντία λεγομένη διὰ τὸ ἀντικεῖσθαι καὶ ἀντιπεπονθέναι τῇ ἁρμονικῇ ὑπάρχει , ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως ἡ τῶν ἐλαττόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων ἔχῃ , οἷον γ , ε , Ϛ , ἐν γὰρ διπλασίῳ τὰ συγκριθέντα ὁρᾶται · φανερὸν δέ , καθʼ ἃ ἠναντίωται τῇ ἁρμονικῇ · τῶν γὰρ αὐτῶν ἄκρων ἀμφοτέραις ὑπαρχόντων καὶ ἐν διπλασίῳ γε λόγῳ , ἐν μὲν τῇ πρὸ ταύτης ἡ τῶν μειζόνων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων τὸν αὐτὸν ἔσωζε λόγον , ἐν ταύτῃ δὲ ἀνάπαλιν ἡ τῶν ἐλαττόνων πρὸς τὴν τῶν μειζόνων · ἴδιον δὲ ταύτης ἰστέον ἐκεῖνο , τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ μέσου πρὸς τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ ἐλαχίστου , τοῦ γὰρ πεντάκις γ διπλάσιον τὸ ἑξάκις ε . αἱ δὲ δύο μεσότητες πέμπτη καὶ ἕκτη παρὰ τὴν γεωμετρικὴν ἐπλάσθησαν ἀμφότεραι , διαφέρουσι δʼ ἀλλήλων οὕτως · ἡ μὲν πέμπτη ἔστιν , ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτω καὶ ἡ αὐτῶν τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον , οἷον β , δ , ε · διπλάσιος γὰρ ὁ μὲν δ τοῦ β , μέσος ὅρος τοῦ ἐλαχίστου , ὁ δὲ β τοῦ α , ἐλαχίστων διαφορὰ πρὸς διαφορὰν μεγίστων · ὃ δʼ ὑπεναντίον αὐτὴν τῇ γεωμετρικῇ ποιεῖ , ἐκεῖνό ἐστιν , ὅτι ἐπὶ μὲν ἐκείνης ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα , οὕτως ἡ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τού μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα , ἐπὶ δὲ ταύτης ἀνάπαλιν ἡ τοῦ ἐλάττονος πρὸς τὴν τοῦ μείζονος · ἴδιον δʼ ὅμως καὶ ταύτης ἐστὶ τὸ διπλάσιον γίνεσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ μέσου τοῦ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου , τὸ γὰρ πεντάκις δ διπλάσιον τοῦ πεντάκις β . ἡ δὲ ἕκτη γίνεται , ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν μέσον , οὕτως ἡ τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον ὑπεροχὴ πρός τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον , οἷον α , δ , ϛ , ἐν ἡμιολίῳ γὰρ ἑκάτεροι λόγῳ · ἐοικυῖα δʼ αἰτία καὶ ταύτῃ τῆς πρὸς τήν γεωμετρικήν ὑπεναντιότητος , ἀναστρέφει γὰρ κἀνταῦθα ἡ τῶν λόγων ὁμοιότης ὡς ἐπὶ τῆς πέμπτης . Καὶ αἱ μὲν παρὰ τοῖς πρόσθεν θρυλλούμεναι ἓξ μεσότητες αἵδε εἰσί , τρεῖς μὲν αἱ πρωτότυποι μέχρι Ἀριστοτέλους καὶ Πλάτωνος ἄνωθεν ἀπὸ Πυθαγόρου διαμείνασαι , τρεῖς δʼ ἕτεραι ἐκείναις ὑπεναντίαι τοῖς μετʼ ἐκείνους ὑπομνηματογράφοις τε καὶ αἱρετισταῖς ἐν χρήσει γινόμεναι · τέσσαρας δέ τινας ἑτέρας μετακινοῦντες τοὺς τούτων ὄρους τε καὶ διαφορὰς ἐπεξεῦρόν τινες οὐ πάνυ ἐμφανταζομένας τοῖς τῶν παλαιῶν συγγράμμασιν , ἀλλʼ ὡς περιεργότερον λελεπτολογημένας , ἃς ὅμως πρὸς τὸ μὴ δοκεῖν ἀγνοεῖν ἐπιτροχαστέον τῇδέ πη . πρώτη μὲν γὰρ αὐτῶν , ἑβδόμη δὲ ἐν τ πασῶν συντάξει ἔστιν , ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως καὶ ἡ τῶν οὐτῶν διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων , οἷον Ϛ , η , θ · ἡμιόλιος γὰρ ὁ λόγος ἑκατέρου συγκρίσει ἐνορᾶται . ὀγδόη δὲ μεσότης , ἥτις τούτων δευτέρα ἐστί , γίνεται , ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως ἡ δια - φορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν τῶν μειζόνων διαφοράν , οἷον Ϛ , ζ , θ · καὶ αὕτη γὰρ ἡμιολίους ἔχει τούς δύο λόγους . ἡ δὲ ἐνάτη μὲν ἐν τῇ τῶν πασῶν συντάξει , τρίτη δὲ ἐν τῷ τῶν ἐφευρημένων ἀριθμῷ ὑπάρχει , ὅταν τριῶν ὅρων ὄντων , ὃν λόγον ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , τοῦτον καὶ ἡ τῶν ἄκρων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαχίστων ἔχῃ , ὡς δ , Ϛ , ζ . ἡ δὲ ἐπὶ πάσαις δεκάτη μὲν συλλήβδην , τετάρτη δὲ ἐν τῇ τῶν νεωτερικῶν ἐκθέσει ὁρᾶται , ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως καὶ ἡ διαφορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν διαφορὰν τῶν μειζόνων , οἷον γ , ε , η · ἐπιδιμερὴς γὰρ ὁ ἐν ἑκατέρᾳ συζυγίᾳ λόγος . ἐπὶ κεφαλαίου τοίνυν οἱ τῶν δέκα ἀναλογιῶν ὅροι ἐκκείσθωσαν ὑφ᾿ ἕν παράδειγμα πρὸς τὸ εὐσύνοπτον , πρώτης α , β , γ , δευτέρας α , β , δ , τρίτης γ , δ , Ϛ , τετάρτης γ , ε , Ϛ , πέμπτης β , δ , ε , ἕκτης α , δ , Ϛ , ἑβδόμης Ϛ , η , θ , ὀγδόης Ϛ , ζ , θ , ἐνάτης δ , Ϛ , ζ , δεκάτης γ , ε , η .
Lemmas: καί . καί ὅδε μέν περί ὁ παρά ὁ παλαιός θρυλέω τρεῖς ἀναλογία , ὅς καί ἐπιτηδές σαφής καί πλατύς διαρθρόω , ὅτι πολλάκις τε καί ποικίλος ἐντυγχάνω εἰμί αὐτός ἐν ὁ ἀνάγνωσμα · ὁ δέ ἑξῆς ἐπιτμητέον οὐ πάνυ φέρω παρά ὁ ἀρχαῖος , ἀλλά εἰς μόνος ἐμπειρία ἐγώ αὐτός καί ὁ οἱονεί πλήρης ὁ συλλογισμός παραλαμβάνω . εἰμί δέ οὗτος τάξις ἐκφέρω ὑπό ἐγώ κατά ὑπεναντίωσις ὁ πρός ὁ φράζω ἀρχέτυπος τρεῖς , εἴπερ καί ἐκ αὐτός οὗτος ἀναπλάσσω , τάξις τυγχάνω ὅμοιος . τέταρτος μέν ὁ καί ὑπεναντίος λέγω διά ὁ ἀντίκειμαι καί ἀντιπάσχω ὁ ἁρμονικός ὑπάρχω , ὅταν ἐν τρεῖς ὅρος ὡς ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως ὁ ὁ ἐλαχύς διαφορά πρός ὁ ὁ μέγας ἔχω , οἷος γ , ε , Ϛ , ἐν γάρ διπλάσιος ὁ συγκρίνω ὁράω · φανερός δέ , κατά ὅς ἐναντιόομαι ὁ ἁρμονικός · ὁ γάρ αὐτός ἄκρον ἀμφότερος ὑπάρχω καί ἐν διπλάσιος γε λόγος , ἐν μέν ὁ πρό οὗτος ὁ ὁ μέγας ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ἐλαχύς ὁ αὐτός σῴζω λόγος , ἐν οὗτος δέ ἀνάπαλιν ὁ ὁ ἐλαχύς πρός ὁ ὁ μέγας · ἴδιος δέ οὗτος οἶδα ἐκεῖνος , ὁ διπλάσιος ἀποτελέω ὁ ὑπό ὁ μέγας καί μέσος πρός ὁ ὑπό ὁ μέσος καί ἐλαχύς , ὁ γάρ πεντάκις γ διπλάσιος ὁ ἑξάκις ε . ὁ δέ δύο μεσότης πέμπτος καί ἕκτος παρά ὁ γεωμετρικός πλάσσω ἀμφότερος , διαφέρω δέ ἀλλήλων οὕτως · ὁ μέν πέμπτος εἰμί , ὅταν ἐν τρεῖς ὅρος ὡς ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως καί ὁ αὐτός οὗτος διαφορά πρός ὁ ὁ μέγας πρός ὁ μέσος , οἷος β , δ , ε · διπλάσιος γάρ ὁ μέν δ ὁ β , μέσος ὅρος ὁ ἐλαχύς , ὁ δέ β ὁ α , ἐλαχύς διαφορά πρός διαφορά μέγας · ὅς δέ ὑπεναντίος αὐτός ὁ γεωμετρικός ποιέω , ἐκεῖνος εἰμί , ὅτι ἐπί μέν ἐκεῖνος ὡς ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως ὁ ὁ μέγας πρός ὁ μέσος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς , ἐπί δέ οὗτος ἀνάπαλιν ὁ ὁ ἐλαχύς πρός ὁ ὁ μέγας · ἴδιος δέ ὅμως καί οὗτος εἰμί ὁ διπλάσιος γίγνομαι ὁ ὑπό ὁ μέγας καί μέσος ὁ ὑπό ὁ μέγας καί ἐλαχύς , ὁ γάρ πεντάκις δ διπλάσιος ὁ πεντάκις β . ὁ δέ ἕκτος γίγνομαι , ὅταν ἐν τρεῖς ὅρος εἰμί ὡς ὁ μέγας πρός ὁ μέσος , οὕτως ὁ ὁ μέσος παρά ὁ ἐλαχύς ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μέγας παρά ὁ μέσος , οἷος α , δ , ϛ , ἐν ἡμιόλιος γάρ ἑκάτερος λόγος · ἔοικα δέ αἰτία καί οὗτος ὁ πρός ὁ γεωμετρικός ὑπεναντιότης , ἀναστρέφω γάρ ἐνταῦθα ὁ ὁ λόγος ὁμοιότης ὡς ἐπί ὁ πέμπτος . καί ὁ μέν παρά ὁ πρόσθεν θρυλέω ἕξ μεσότης ὅδε εἰμί , τρεῖς μέν ὁ πρωτότυπος μέχρι Ἀριστοτέλης καί Πλάτων ἄνωθεν ἀπό Πυθαγόρας διαμένω , τρεῖς δέ ἕτερος ἐκεῖνος ὑπεναντίος ὁ μετά ἐκεῖνος ὑπομνηματόγραφος τε καί αἱρετιστής ἐν χρῆσις γίγνομαι · τέσσαρες δέ τις ἕτερος μετακινέω ὁ οὗτος ὄρος τε καί διαφορά ἐπεξευρίσκω τις οὐ πάνυ ἐμφαντάζομαι ὁ ὁ παλαιός σύγγραμμα , ἀλλά ὡς περίεργος λεπτολογέω , ὅς ὅμως πρός ὁ μή δοκέω ἀγνοέω ἐπιτροχαστέον τῇδε πη . πρῶτος μέν γάρ αὐτός , ἕβδομος δέ ἐν τ πᾶς σύνταξις εἰμί , ὅταν ὡς ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως καί ὁ ὁ οὐτάω διαφορά πρός ὁ ὁ ἐλαχύς , οἷος Ϛ , η̅ , θ̅ · ἡμιόλιος γάρ ὁ λόγος ἑκάτερος σύγκρισις ἐνοράω . ὄγδοος δέ μεσότης , ὅστις οὗτος δεύτερος εἰμί , γίγνομαι , ὅταν ὡς ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως ὁ δα - φορά ὁ ἄκρον πρός ὁ ὁ μέγας διαφορά , οἷος Ϛ , ζ̅ , θ̅ · καί οὗτος γάρ ἡμιόλιος ἔχω ὁ δύο λόγος . ὁ δέ ἔνατος μέν ἐν ὁ ὁ πᾶς σύνταξις , τρίτος δέ ἐν ὁ ὁ ἐφευρίσκω ἀριθμός ὑπάρχω , ὅταν τρεῖς ὅρος εἰμί , ὅς λόγος ἔχω ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς , οὗτος καί ὁ ὁ ἄκρον ὑπεροχή πρός ὁ ὁ ἐλαχύς ἔχω , ὡς δ , Ϛ , ζʹ . ὁ δέ ἐπί πᾶς δέκατος μέν συλλήβδην , τέταρτος δέ ἐν ὁ ὁ νεωτερικός ἔκθεσις ὁράω , ὅταν ἐν τρεῖς ὅρος εἰμί ὡς ὁ μέσος πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως καί ὁ διαφορά ὁ ἄκρον πρός ὁ διαφορά ὁ μέγας , οἷος γ , ε , η̅ · ἐπιδιμερής γάρ ὁ ἐν ἑκάτερος συζυγία λόγος . ἐπί κεφάλαιος τοίνυν ὁ ὁ δέκα ἀναλογία ὅρος ἔκκειμαι ὑπό εἷς παράδειγμα πρός ὁ εὐσύνοπτος , πρῶτος α , β , γ , δεύτερος α , β , δ , τρίτος γ , δ , Ϛ , τέταρτος γ , ε , Ϛ , πέμπτος β , δ , ε , ἕκτος α , δ , Ϛ , ἕβδομος Ϛ , η̅ , θ̅ , ὄγδοος Ϛ , ζ̅ , θ̅ , ἔνατος δ , Ϛ , ζ̅ , δέκατος γ , ε , η̅ .