nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.24
κδ . δὲ ἐπὶ ταύτῃ συνεχὴς γεωμετρικὴ μεσότης κυρίως ἀναλογία μόνη καλουμένη διὰ τὸ ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον θεωρεῖσθαι πρὸς ἀλλήλους τούς ἐν αὐτῇ ὅρους · ἔστι δέ , ὅταν τριῶν ὅρων ἢ πλειόνων ὡς ἔχει ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν , οὕτως αὐτὸς πρὸς τὸν ὑποβεβηκότα ἔχῃ , ἐὰν δὲ πλείονες ὅροι εἶεν , καὶ αὐτὸς πάλιν πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν , ποσότητι μέντοι μὴ τῇ αὐτῇ διαφέρωσιν ἀλλήλων , ἀλλὰ λόγου ποιότητι τῇ αὐτῇ , ἐναντίως ἢ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ὤφθη . οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐκκείσθωσαν οἱ ἀπὸ μονάδος κατὰ διπλάσιον λόγον προχωροῦντες α , β , δ , η , ιϚ , λβ , ξδ καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον , ἢ κατὰ τριπλασίονα α , γ , θ , κζ , πα , σμγ καὶ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τετραπλάσιον ἢ παραπλησίως τοῖς ἐκτεθεῖσιν · ἐν ἑκάστῳ γὰρ τούτων τῶν στίχων τρεῖς παράλληλοι ἢ τέσσσαρες ἢ ὁσοιοῦν ληφθέντες τὴν γεωμετρικὴν πρὸς ἀλλήλους ἀποδώσουσιν ἀναλογίαν · ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν , οὕτως κἀκεῖνος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ πάλιν ἐκεῖνος πρὸς τὸν ἔτι ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ τοῦτο μέχρι θέλει τις , καὶ ἀναμίξ · οἷον β , δ , η · ὄν γὰρ λόγον ἔχει ὁ η πρὸς τὸν δ , τοῦτον καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β καὶ ἀνάπαλιν , οὐ μὴν ἴσην ποσότητα μεταξὺ ἀλλήλων ἔχουσιν · ἢ πάλιν β , δ , η , ιϚ · οὐ γὰρ μόνον ὁ ιϛ πρὸς τὸν η τὸν αὐτὸν τοῖς πρόσθεν λόγον ἔχει , εἰ καὶ μὴ διαφοράν , ἀλλὰ καὶ ἀναμὶξ διασώζει τὴν ὁμοίαν σχέσιν , ὡς ὁ ιϚ πρὸς τὸν δ , οὕτως καὶ ὁ η πρὸς τὸν β , καὶ ἔμπαλιν ὡς ὁ β πρὸς τὸν η , οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν ιϛ , καὶ διεζευγμένως ὡς ὁ β πρὸς τὸν δ , οὕτως ὁ η πρὸς τὸν ιϛ , ἀναστρόφως τε καὶ κατὰ τὸ διεζευγμένον ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν η , οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β · ἔχει γ`ρ τὸν διπλασίονα λόγον . Ἴδιον δὲ ἔχει ἡ γεωμετρικὴ μεσότης , ὃ μηδεμία τῶν λοιπῶν , τὸ τὰς τῶν ὅρων διαφορὰς ἐν λόγῳ πρὸς ἀλλήλας τῷ αὐτῷ εἶναι , ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι πρὸς τούς συνεχεῖς οἱ μείζονες πρὸς τούς ἐλάττονας , καὶ τὰς ἀνάπαλιν ὡς οἱ ἀνάπαλιν · ἔτι καὶ ἕτερον ἰδίωμα τὸ τούς μείζονας ὅρους διαφορὰν ἔχειν πρὸς τούς ἐλάττονας αὐτούς τούς ἐλάττονας καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ διαφορὰν πρὸς διαφορὰν αὐτῇ τῇ ἐλάττονι διαφέρειν ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐκτιθεμένων τῶν ὄρων , ἐν δὲ τριπλασίῳ διαφορὰν ἕξουσι δὶς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν οἱ ὅροι καὶ αἱ διαφοραί , ἐν δὲ τετραπλασίῳ τρὶς καὶ ἐν πενταπλασίῳ τετράκις καὶ τοῦτο μέχρι παντός . οὐ μόνον δὲ ἐν πολλαπλασίοις ἀναλογίαι γίνονται γεωμετρικαί , ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιμορίοις εἴδεσιν ἅπασι καὶ ἐπιμερέσι καὶ μικτοῖς , καὶ τὸ ἐξαίρετον ἰδίωμα τῆς μεσότητος ταύτης ἐπὶ πασῶν σώζεται , τῶν μὲν συνημμένων τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου , τῶν δὲ ἐν διαζεύξει ἢ καὶ ἐν πλείοσιν ὅροις , κἂν μὴ συνημμένοι ὦσιν , ἀρτιοταγεῖς δέ , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων . Παράδειγμα δὲ τοῦ ἐν πάσαις ταῖς σχέσεσι πολυπλασίαις τε παντοίαις καὶ ἐπιμορίοις παντοίαις καὶ ἐπιμερέσι παντοίαις καὶ μικταῖς παντοίαις τὸ τῆς ἀναλογίας ταύτης ἰδίωμα σώζεσθαι ἔστω ἱκανὸν καὶ αὔταρκες ἡμῖν ἐκεῖνο , ἐν ᾧ ἀπὸ ἰσότητος ἐπλάσσομεν κατὰ τὰ τρία προςτάγματα πάντα τὰ τοῦ ἀνίσου εἴδη ἐξ ἀλλήλων ὀρθῶς τε τιθεμένων καὶ ἀναστρεφομένων · ἑκάστη γὰρ πλάσις καὶ ἔκθεσις ἀναλογία ἐστὶ γεωμετρικὴ πάντα τὰ λεχθέντα ἰδιώματα περιέχουσα καὶ τέταρτον τὸ ἔν τε μείζοσιν ὄροις ἔν τε ἐλάττοσι τὸν αὐτὸν διαφυλάττειν λόγον · ἀλλὰ καὶ ἐὰν τὸν κοινὸν στίχον ἑτερομηκῶν τε καὶ τετραγώνων ἐκθώμεθα ἕνα παρ᾿ ἕνα περιέχοντα τούς ἐν ἀμφοτέροις αὐτοῖς , εἶτα κατὰ τρεῖς ἀπὸ μονάδος ἀποτεμνόμενοι σκοπῶμεν αἰεὶ τὸν τῶν προτέρων ὕστερον ἀρχὴν τῶν ὑστέρων τιθέμενοι , εὑρήσομεν ἀπὸ πολλαπλασίου σχέσεως , τουτέστι διπλασίου , πάσας τὰς ἐπιμορίους ἑξῆς ἐπιφαινομένας , ἡμιόλιον , εἶτα ἐπίτριτον , εἶτα ἐπιτέταρτον καὶ ἐφεξῆς . εὐκαιρότατον δ᾿ ἂν εἴη ἐνταῦθα γενομένους ἐπιμνησθῆναι παρακολουθήματος χρησιμεύοντος ἡμῖν εἰς Πλατωνικόν τι θεώρημα · οἱ μὲν γὰρ ἐπίπεδοι μιᾷ μεσότητι συνέχονται πάντως , οἱ δὲ στερεοὶ δυσὶν ἀνάλογον κειμέναις · δύο γὰρ τετραγώνων συνεχῶν εἶς μόνος εὑρίσκεται μέσος ἀναλογίαν σώζων γεωμετρικήν , πρόλογος μὲν πρὸς τὸν ἐλάττονα , ὑπόλογος δὲ πρὸς τὸν μείζονα , οὐδέποτε δὲ πλείονες · δύο ἄρα διαστήματα θεωροῦμεν πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων αὐτοῦ τοῦ μέσου ἐν σχέσει λόγων ὁμοίων . πάλιν δὲ δύο κύβων συνεχῶν δύο μόνοι εὑρίσκονται ἀνάλογον μέσοι ὅροι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν , πλείονες δὲ οὐδέποτε · τρία ἄρα διαστήματα , ἓν μὲν τὸ μεταξύ τῶν μέσων πρὸς ἀλλήλους , δύο δὲ τὰ μεταξύ τῶν ἄκρων πρὸς τούς μέσους ἑκατέρωθεν . οὕτω τὰ μὲν στερεὰ σχήματα λέγεται τριχῆ διαστατά , τὰ δὲ ἐπίπεδα διχῆ , οἷον ὁ α καὶ ὁ δ ἐπίπεδοι , μέσος δὲ ἀνάλογον ὁ β , ἢ οἷον δ , θ , δύο τετράγωνοι , μέσος δὲ αὐτῶν ἀνάλογον ὁ Ϛ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐχόμενος ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ ἔχων τὸν ἐλάττονα , ἐν ᾧ καὶ ἡ διαφορὰ διαφορὰν ἔχει . τούτου δʼ αἴτιον , ὅτι αἱ τῶν δύο τετραγώνων πλευραί , ἐκατέρα μία ἰδία , αὐτὸν τὸν Ϛ ἄμα ἀμφότεραι ἐγέννησαν · ἐν δὲ κύβοις , οἷον τῷ η καὶ τῷ κζ , μία μὲν οὐκέτι , δύο δὲ μεσότητες εὑρίσκονται ὅ τε ιβ καὶ ιη , ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἑαυτάς τε καὶ τούς ὅρους ποιοῦσαι , ἐν καὶ αἱ διαφοραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσί · καὶ τούτου δ᾿ αἴτιον τὸ τῶν κυβικῶν πλευρῶν μίγδην σύστημα εἶναι τὰς δύο μεσότητας , δὶς β τρὶς καὶ τρὶς γ δίς . ἐὰν μὲν οὖν καθόλου τετράγωνος τετράγωνον λάβῃ , τουτέστι πολυπλασιάσῃ , τετράγωνον πάντως ποιεῖ , ἂν δὲ τετράγωνος ἑτερομήκη . οὐδέποτε τετράγωνος ἀποτελεῖται , κἂν κύβος κύβον , κύβος πάντως γενήσεται , ἐὰν δὲ ἑτερομήκης κύβον , οὐδέποτε κύβος , καθάπερ ἀμέλει ἂν ἄρτιος ἄρτιον πολυπλασιάσῃ , πάντως ἄρτιος γεννᾶται , κὰν περισσὸς περισσόν , πάντως περισσός , ἂν δὲ περισσὸς ἄρτιον ἢ ἄρτιος περισσόν , πάντως ὁ γινόμενος ἔσται ἄρτιος , οὐδέποτε δὲ περισσός . ταῦτα δὲ τῆς οἰκείας σαφηνείας ἐπιλήψεται ἐν τῇ Πλατωνικῇ συναναγνώσει κατὰ τὸν τοῦ λεγομένου γάμου τόπον ἐν τῇ Πολιτείᾳ ἀπὸ προςώπου τῶν Μουσῶν παρειςαγομένου · ὥςτε ἐπὶ τὴν τρίτην ἀναλογίαν τὴν καλουμένην ἁρμονικὴν μεταβάντες διαιρῶμεν .
Lemmas: ΚΔ . δέ ἐπί οὗτος συνεχής γεωμετρικός μεσότης κύριος ἀναλογία μόνος καλέω διά ὁ ἀνά ὁ αὐτός λόγος θεωρέω πρός ἀλλήλων ὁ ἐν αὐτός ὅρος · εἰμί δέ , ὅταν τρεῖς ὅρος ἤ πολύς ὡς ἔχω ὁ μέγας πρός ὁ ὑπό αὐτός , οὕτως αὐτός πρός ὁ ὑποβαίνω ἔχω , ἐάν δέ πολύς ὅρος εἰμί , καί αὐτός πάλιν πρός ὁ ὑπό αὐτός , ποσότης μέντοι μή ὁ αὐτός διαφέρω ἀλλήλων , ἀλλά λόγος ποιότης ὁ αὐτός , ἐναντίος ἤ ἐπί ὁ ἀριθμητικός ὁράω . οἷον ὑπόδειγμα χάριν ἔκκειμαι ὁ ἀπό μονάς κατά διπλάσιος λόγος προχωρέω α , β , δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ καί ἐπί ἄπειρος , ἤ κατά τριπλασίων α , γ , θ̅ , κζʹ , πη , σμγʹ καί ἐφεξῆς ἤ κατά τετραπλάσιος ἤ παραπλήσιος ὁ ἐκτίθημι · ἐν ἕκαστος γάρ οὗτος ὁ στίχος τρεῖς παράλληλος ἤ τέσσαρες ἤ ὁσσοιοῦν λαμβάνω ὁ γεωμετρικός πρός ἀλλήλων ἀποδίδωμι ἀναλογία · ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ ὑπό αὐτός , οὕτως ἐκεῖνος πρός ὁ ὑπό αὐτός καί πάλιν ἐκεῖνος πρός ὁ ἔτι ὑπό αὐτός καί οὗτος μέχρι ἐθέλω τις , καί ἀναμίξ · οἷος β , δ , η̅ · εἰμί γάρ λόγος ἔχω ὁ η̅ πρός ὁ δ , οὗτος καί ὁ δ πρός ὁ β καί ἀνάπαλιν , οὐ μήν ἴσος ποσότης μεταξύ ἀλλήλων ἔχω · ἤ πάλιν β , δ , η̅ , ιϚ · οὐ γάρ μόνος ὁ ιϛ πρός ὁ η̅ ὁ αὐτός ὁ πρόσθεν λόγος ἔχω , εἰ καί μή διαφορά , ἀλλά καί ἀναμίξ διασῴζω ὁ ὅμοιος σχέσις , ὡς ὁ ιϚ πρός ὁ δ , οὕτως καί ὁ η̅ πρός ὁ β , καί ἔμπαλιν ὡς ὁ β πρός ὁ η̅ , οὕτως καί ὁ δ πρός ὁ ιϛ , καί διεζευγμένως ὡς ὁ β πρός ὁ δ , οὕτως ὁ η̅ πρός ὁ ιϛ , ἀνάστροφος τε καί κατά ὁ διαζεύγνυμαι ὡς ὁ ιϛ πρός ὁ η̅ , οὕτως καί ὁ δ πρός ὁ β · ἔχω γ`ρ ὁ διπλάσιος λόγος . ἴδιος δέ ἔχω ὁ γεωμετρικός μεσότης , ὅς μηδείς ὁ λοιπός , ὁ ὁ ὁ ὅρος διαφορά ἐν λόγος πρός ἀλλήλων ὁ αὐτός εἰμί , ἐν ὅς καί ὁ ὅρος πρός ὁ συνεχής ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , καί ὁ ἀνάπαλιν ὡς ὁ ἀνάπαλιν · ἔτι καί ἕτερος ἰδίωμα ὁ ὁ μέγας ὅρος διαφορά ἔχω πρός ὁ ἐλαχύς αὐτός ὁ ἐλαχύς καί κατά ὁ αὐτός διαφορά πρός διαφορά αὐτός ὁ ἐλαχύς διαφέρω ἐν διπλάσιος λόγος ἐκτίθημι ὁ ὄρον , ἐν δέ τριπλάσιος διαφορά ἔχω δίς ὁ ὑπό αὐτός ὁ ὅρος καί ὁ διαφορά , ἐν δέ τετραπλάσιος τρίς καί ἐν πενταπλάσιος τετράκις καί οὗτος μέχρι πᾶς . οὐ μόνος δέ ἐν πολλαπλάσιος ἀναλογία γίγνομαι γεωμετρικός , ἀλλά καί ἐν ἐπιμόριος εἶδος ἅπας καί ἐπιμερής καί μικτός , καί ὁ ἐξαιρετός ἰδίωμα ὁ μεσότης οὗτος ἐπί πᾶς σῴζω , ὁ μέν συνάπτω ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος , ὁ δέ ἐν διάζευξις ἤ καί ἐν πολύς ὅρος , ἐάν μή συνάπτω εἰμί , ἀρτιοταγής δέ , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος ὁ ὑπό ὁ μέσος . παράδειγμα δέ ὁ ἐν πᾶς ὁ σχέσις πολυπλάσιος τε παντοῖος καί ἐπιμόριος παντοῖος καί ἐπιμερής παντοῖος καί μικτός παντοῖος ὁ ὁ ἀναλογία οὗτος ἰδίωμα σῴζω εἰμί ἱκανός καί αὐτάρκης ἐγώ ἐκεῖνος , ἐν ὅς ἀπό ἰσότης πλήσσω κατά ὁ τρεῖς πρόσταγμα πᾶς ὁ ὁ ἄνισος εἶδος ἐκ ἀλλήλων ὀρθός τε τίθημι καί ἀναστρέφω · ἕκαστος γάρ πλάσις καί ἔκθεσις ἀναλογία εἰμί γεωμετρικός πᾶς ὁ λέγω ἰδίωμα περιέχω καί τέταρτος ὁ ἐν τε μέγας ὄρον ἐν τε ἐλαχύς ὁ αὐτός διαφυλάσσω λόγος · ἀλλά καί ἐάν ὁ κοινός στίχος ἑτερομήκης τε καί τετράγωνος ἐκτίθημι εἷς παρά εἷς περιέχω ὁ ἐν ἀμφότερος αὐτός , εἶτα κατά τρεῖς ἀπό μονάς ἀποτέμνω σκοπέω ἀεί ὁ ὁ πρότερος ὕστερον ἀρχή ὁ ὕστερος τίθημι , εὑρίσκω ἀπό πολλαπλάσιος σχέσις , τουτέστι διπλάσιος , πᾶς ὁ ἐπιμόριος ἑξῆς ἐπιφαίνω , ἡμιόλιος , εἶτα ἐπίτριτος , εἶτα ἐπιτέταρτος καί ἐφεξῆς . εὔκαιρος δέ ἄν εἰμί ἐνταῦθα γίγνομαι ἐπιμιμνῄσκομαι παρακολούθημα χρησιμεύω ἐγώ εἰς Πλατωνικός τις θεώρημα · ὁ μέν γάρ ἐπίπεδος εἷς μεσότης συνέχω πάντως , ὁ δέ στερεός δύο ἀνάλογος κεῖμαι · δύο γάρ τετράγωνος συνεχής εἷς μόνος εὑρίσκω μέσος ἀναλογία σῴζω γεωμετρικός , πρόλογος μέν πρός ὁ ἐλαχύς , ὑπόλογος δέ πρός ὁ μέγας , οὐδέποτε δέ πολύς · δύο ἄρα διάστημα θεωρέω πρός ἑκάτερος ὁ ἄκρον αὐτός ὁ μέσος ἐν σχέσις λόγος ὅμοιος . πάλιν δέ δύο κύβος συνεχής δύο μόνος εὑρίσκω ἀνάλογος μέσος ὅρος κατά ὁ γεωμετρικός ἀναλογία , πολύς δέ οὐδέποτε · τρεῖς ἄρα διάστημα , εἷς μέν ὁ μεταξύ ὁ μέσος πρός ἀλλήλων , δύο δέ ὁ μεταξύ ὁ ἄκρον πρός ὁ μέσος ἑκατέρωθεν . οὕτως ὁ μέν στερεός σχῆμα λέγω τριχῆ διαστατός , ὁ δέ ἐπίπεδος διχῆ , οἷος ὁ α καί ὁ δ ἐπίπεδος , μέσος δέ ἀνάλογος ὁ β , ἤ οἷος δ , θ̅ , δύο τετράγωνος , μέσος δέ αὐτός ἀνάλογος ὁ Ϛ ἐν ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὑπό ὁ μέγας καί ἔχω ὁ ἐλαχύς , ἐν ὅς καί ὁ διαφορά διαφορά ἔχω . οὗτος δέ αἴτιος , ὅτι ὁ ὁ δύο τετράγωνος πλευρά , κατεράω εἷς ἴδιος , αὐτός ὁ Ϛ ἅμα ἀμφότερος γεννάω · ἐν δέ κύβος , οἷος ὁ η̅ καί ὁ κζ , εἷς μέν οὐκέτι , δύο δέ μεσότης εὑρίσκω ὁ τε ιβ καί ιη , ἐν ὁ αὐτός λόγος ἑαυτοῦ τε καί ὁ ὅρος ποιέω , ἐν καί ὁ διαφορά αὐτός πρός ἀλλήλων εἰμί · καί οὗτος δέ αἴτιος ὁ ὁ κυβικός πλευρά μίγδην σύστημα εἰμί ὁ δύο μεσότης , δίς β τρίς καί τρίς γ δίς . ἐάν μέν οὖν καθόλου τετράγωνος τετράγωνος λαμβάνω , τουτέστι πολυπλασιάζω , τετράγωνος πάντως ποιέω , ἐάν δέ τετράγωνος ἑτερομήκης . οὐδέποτε τετράγωνος ἀποτελέω , ἐάν κύβος κύβος , κύβος πάντως γίγνομαι , ἐάν δέ ἑτερομήκης κύβος , οὐδέποτε κύβος , καθά ἀμέλει ἐάν ἄρτιος ἄρτιος πολυπλασιάζω , πάντως ἄρτιος γεννάω , κάν περισσός περισσός , πάντως περισσός , ἐάν δέ περισσός ἄρτιος ἤ ἄρτιος περισσός , πάντως ὁ γίγνομαι εἰμί ἄρτιος , οὐδέποτε δέ περισσός . οὗτος δέ ὁ οἰκεῖος σαφήνεια ἐπιλαμβάνω ἐν ὁ Πλατωνικός συνανάγνωσις κατά ὁ ὁ λέγω γάμος τόπος ἐν ὁ Πολιτεία ἀπό πρόσωπον ὁ Μοῦσα παρεισάγω · ὥστε ἐπί ὁ τρίτος ἀναλογία ὁ καλέω ἁρμονικός μεταβαίνω διαιρέω .