nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.6
ϛ . Μέχρι μὲν οὖν τοῦδε ἱκανῶς περὶ τοῦ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντος ποσοῦ διειλέγμεθα συμμετρησάμενοι κατʼ ἐκλογην τὰ προςήκοντα καὶ εὐπερίληπτα τῇ τῶν ἄρτι εἰςαγομένων ἕξει · τὰ γὰρ εἰς τὸν τόπον τοῦτον ὑπόλοιπα προςπληρωθήσεται διαλιπόντων πάλιν ἡμῶν καὶ προτεχνολογησάντων ἕτερά τινα προὐργιατέραν τὴν σκέψιν ἔχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῷ καθʼ αὑτὸ ποσῷ καὶ μὴ τῷ πρὸς , ἕτερόν πως ἔχοντι , αἰεὶ γὰρ δἰ ἀλλήλων φιλεῖ πως διαρθροῦσθαι καὶ σαφηνίζεσθαι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρήματα · ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι καὶ προθεάσασθαι , ἔστι περί τε γραμμικῶν ἀριθμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ στερεῶν , κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν , καὶ ἰσοπλεύρων καὶ σκαληνῶν , πλινθίδων τε καὶ δοκίδων καὶ σφηνίσκων καὶ τῶν ὁμοίων , ἃ δὴ ἰδίως μὲν ἐν τῇ γεωμετρικῇ παραδίδοται εἰςαγωγῇ τοῦ πηλίκου οἰκειότερα ὄντα , σπερματικώτερον δὲ προςπαραλαμβάνεται ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ὡςὰν μητρὶ καὶ ἀρχεγονωτέρᾳ ἐκείνης · μεμνήμεθα γάρ , ὅτι πρὸ βραχέος τοιαύτη ἡμῖν ἐφάνη συναναιροῦσα μὲν τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἑαυτῇ , οὐ συναναιρουμένη δὲ ἐκείναις , καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομένη μὲν ἐκείναις ἀναγκαίως , οὐ συνεπιφέρουσα δὲ αὐτὰς ἑαυτῇ . Πρότερον δὲ ἐπιγνωστέον , ὅτι ἕκαστον γράμμα , ᾧ σημειούμεθα ἀριθμόν , οἷον τὸ ι , ᾧ τὰ δέκα , τὸ κ , τὰ εἴκοσι , τὸ ω , ᾧ τὰ ὀκτακόσια , νόμῳ καὶ συνθήματι ἀνθρωπίνῳ , ἀλλʼ οὐ φύσει σημαντικόν ἐστι τοῦ ἀριθμοῦ , ἡ δὲ φυσικὴ καὶ ἀμέθοδος καὶ διὰ τοῦτο ἁπλουστάτη σημείωσις τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν ἡ τῶν μονάδων τῶν ἐν ἑκάστῳ οὐσῶν παράλληλος ἔκθεσις · οἷον μιᾶς μὲν μονάδος γραφὴ διὰ τοῦ ἑνὸς ἄλφα σημεῖον ἔσται τοῦ ἑνός , δυεῖν δὲ μονάδων παραλλήλων , τουτέστι δυεῖν ἄλφα ἔκθεσις σημεῖον ἔσται τῆς δυάδος , τριῶν δὲ ἐπʼ εὐθείας ἀλλήλοις κειμένων τριάδος ἔσται χαρακτήρ καὶ τεσσάρων ἐπʼ εὐθὺ τεταγμένων τετράδος καὶ πέντε πεντάδος καὶ ἀεὶ οὕτως · διὰ γὰρ τῆς τοιαύτης γραφῆς καὶ σημάνσεως ἡ τῶν φρασθησομένων ἐπιπέδων τε καὶ στερεῶν σχηματογραφία τρανωθῆναι δύναιτʼ ἂν μόνως καὶ σαφηνισθῆναι , οἷον μονὰς μὲν α , δυὰς δὲ αα , τριὰς δὲ ααα , τετρὰς δὲ αααα , πεντὰς δὲ ααααα , καὶ εἰς πλείονα ἀεὶ ἀναλόγως . ἔσται οὖν ἡ μὲν μονὰς σημείου τόπον ἐπέχουσα καὶ τρόπον ἀρχή μὲν διαστημάτων καὶ ἀριθμῶν , οὔπω δὲ διάστημα οὐδὲ ἀριθμός , ὡς τὸ σημεῖον ἀρχὴ μὲν γραμμῆς καὶ διαστήματος , οὔπω δὲ γραμμὴ οὐδὲ διάστημα · ἀμέλει οὔτε σημείῳ σημεῖον συντεθὲν πλεῖόν τι ποιεῖ , ἀδιάστατον γὰρ ἀδιαστάτῳ συντεθὲν διάστημα οὐχ ἕξει , ὥςπερ εἴ τις τὸ οὐδὲν οὐδενὶ συντεθὲν σκέπτοιτο , οὐδὲν γὰρ ποιεῖ · κατὰ ταυτὰ γὰρ ἐφαίνετο καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἡμῖν ἐν ταῖς σχέσεσι , σώζεται μὲν γὰρ ἀναλογία , ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον , οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον , οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους , ὥςπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν χωρὶς ἰσότητος σχέσεων πασῶν · τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ μονὰς ἐκ παντὸς μόνη τοῦ ἀριθμοῦ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσασα οὐδὲν πλέον ἑαυτῆς γεννᾷ · ἀδιάστατος ἄρα ἡ μονὰς καὶ ἀρχοειδής , πρῶτον δὲ διάστημα εὑρίσκεται καὶ φαίνεται ἐν δυάδι , εἶτʼ ἐν τριάδι , εἶτα ἐν τετράδι καὶ ἑξῆς ἐν τοῖς ἀκολούθοις · διάστημα γάρ ἐστι δυεῖν ὅρων τὸ μεταξὺ θεωρούμενον . πρῶτον δὲ διάστημα γραμμὴ λέγεται , γραμμὴ γάρ ἐστι τὸ ἐφʼ ἓν διαστατόν · δύο δὲ διαστήματα ἐπιφάνεια , ἐπιφάνεια γάρ ἐστι τὸ διχῆ διαστατόν · τρία δὲ διαστήματα στερεόν , στερεὸν γάρ ἐστι τὸ τριχῆ διαστατὸν καὶ οὐκ ἔστιν οὐδαμῶς ἐπινοεῖν στερεόν , ὃ πλεόνων τέτευχε διαστημάτων ἢ τριῶν , βάθους , πλάτους , μήκους · τούτοις γὰρ αἱ λεγόμεναι περὶ πᾶν σῶμα ὑπάρχειν ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται , καθʼ ἃς αἱ κατὰ τόπον κινήσεις διακρίνονται , πρόσω , ὀπίσω , ἄνω , κάτω , δεξιά , ἀριστερά · ἑκάστῳ γὰρ διαστήματι δύο ἐξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπονται ἀλλήλαις ἀντίθετοι , ἑνὶ μὲν αἱ ἄνω καὶ κάτω , ἑτέρῳ δὲ αἱ πρόσω καὶ ὀπίσω , τῷ τρίτῳ δὲ αἱ ἐπὶ δεξιὰ καὶ ἀριστερά . καὶ συμβαίνει πως οὕτως ἀναστρέφειν τὸν λόγον · εἴ τι γὰρ στερεόν ἐστιν , ἐκεῖνο τὰς τρεῖς διαστάσεις πάντως ἔχει , μῆκος , βάθος , πλάτος καὶ ἔμπαλιν , εἴ τι ἔχει τὰς τρεῖς διαστάσεις , ἐκεῖνο πάντως στερεόν ἔστιν , ἄλλο δʼ οὐδέν . οὐκ ἄρα τὸ δύο μόνον ἔχον διαστάσεις ἔσται στερεόν , ἀλλʼ ἐπιφάνεια , αὕτη γὰρ διαστημάτων ἐπιδεκτικὴ δυεῖν ἐστι μόνων · καὶ ἐπʼ αὐτῆς δυνατὸν ὁμοιοτρόπως ἀντιστρέφειν τὸν λόγον , ἐπι - φάνειά τε γὰρ ὀρθῶς τὸ διχῆ διαστατὸν καὶ πάλιν τὸ διχῆ διαστατὸν πάντως ἐπιφάνεια ἔσται . ἑνὶ ἄρα διαστήματι ἠλάττωται ἐπιφάνεια στερεοῦ , ἑνὶ δὲ καὶ γραμμὴ ἐπιφανείας οὖσα τὸ ἐφ᾿ ἓν διαστατὸν καὶ ἑνὸς μόνου τετευχυῖα δικστήματος , λειπομένη δὲ στερεοῦ δυσὶ διαστήμασι · ταύτης δʼ αὐτῆς λείπεται ἑνὶ διαστήματι τὸ σημεῖον · διὰ τοῦτο προελέχθη εἶναι ἀδιάστατον στερεοῦ μὲν τρισὶ διαστήμασι λειπόμενον , ἐπιφανείας δὲ δυσί , γραμμῆς δὲ ἑνί .
Lemmas: ϛ . μέχρι μέν οὖν ὅδε ἱκανός περί ὁ πρός ἕτερος πως ἔχω πός διαλέγω συμμετρέω κατά ἐκλογή ὁ προσήκω καί εὐπερίληπτος ὁ ὁ ἄρτι εἰσάγω ἕξις · ὁ γάρ εἰς ὁ τόπος οὗτος ὑπόλοιπος προσπληρόω διαλείπω πάλιν ἐγώ καί προτεχνολογέω ἕτερος τις προυργιετερος ὁ σκέψις ἔχω ἐκ ὁ συμβαίνω ὁ κατά ἑαυτοῦ πός καί μή ὁ πρός , ἕτερος πως ἔχω , ἀεί γάρ διά ἀλλήλων φιλέω πως διαρθρόω καί σαφηνίζω ὁ ἐν ὁ μάθημα θεώρημα · ὅς δέ χρή προεπισκοπέω καί προθεάομαι , εἰμί περί τε γραμμικός ἀριθμός καί ἐπίπεδος καί στερεός , κυβικός τε καί σφαιρικός , καί ἰσόπλευρος καί σκαληνός , πλινθίς τε καί δοκίς καί σφηνίσκος καί ὁ ὅμοιος , ὅς δή ἴδιος μέν ἐν ὁ γεωμετρικός παραδίδωμι εἰσαγωγή ὁ πηλίκος οἰκεῖος εἰμί , σπερματικός δέ προσπαραλαμβάνω ἐν ὁ ἀριθμητικός ὡσάν μήτηρ καί ἀρχέγονος ἐκεῖνος · μιμνῄσκω γάρ , ὅτι πρό βραχύς τοιοῦτος ἐγώ φαίνω συναναιρέω μέν ὁ ἄλλος ἐπιστήμη ἑαυτοῦ , οὐ συναναιρέω δέ ἐκεῖνος , καί ἔμπαλιν συνεπιφέρω μέν ἐκεῖνος ἀναγκαῖος , οὐ συνεπιφέρω δέ αὐτός ἑαυτοῦ . πρότερος δέ ἐπιγνωστέον , ὅτι ἕκαστος γράμμα , ὅς σημειόω ἀριθμός , οἷος ὁ ι̅ , ὅς ὁ δέκα , ὁ κ , ὁ εἴκοσι , ὁ ω̅ , ὅς ὁ ὀκτακόσιοι , νόμος καί σύνθημα ἀνθρώπινος , ἀλλά οὐ φύσις σημαντικός εἰμί ὁ ἀριθμός , ὁ δέ φυσικός καί ἀμέθοδος καί διά οὗτος ἁπλόος σημείωσις ὁ ἀριθμός εἰμί ἄν ὁ ὁ μονάς ὁ ἐν ἕκαστος εἰμί παράλληλος ἔκθεσις · οἷον εἷς μέν μονάς γραφή διά ὁ εἷς ἄλφα σημεῖον εἰμί ὁ εἷς , δύο δέ μονάς παράλληλος , τουτέστι δύο ἄλφα ἔκθεσις σημεῖον εἰμί ὁ δυάς , τρεῖς δέ ἐπί εὐθεῖα ἀλλήλων κεῖμαι τριάς εἰμί χαρακτήρ καί τέσσαρες ἐπί εὐθύς τάσσω τετράς καί πέντε πεντάς καί ἀεί οὕτως · διά γάρ ὁ τοιοῦτος γραφή καί σήμανσις ὁ ὁ φράζω ἐπίπεδος τε καί στερεός σχηματογραφία τρανόω δύναμαι ἄν μόνος καί σαφηνίζω , οἷος μονή μέν α , δυάς δέ ααʹ , τριάς δέ αααʹ , τετράς δέ ααααʹ , πεντάς δέ αααααʹ , καί εἰς πολύς ἀεί ἀνάλογος . εἰμί οὖν ὁ μέν μονή σημεῖον τόπος ἐπέχω καί τρόπος ἀρχή μέν διάστημα καί ἀριθμός , οὔπω δέ διάστημα οὐδέ ἀριθμός , ὡς ὁ σημεῖον ἀρχή μέν γραμμή καί διάστημα , οὔπω δέ γραμμή οὐδέ διάστημα · ἀμέλει οὔτε σημεῖον σημεῖον συντίθημι πολύς τις ποιέω , ἀδιάστατος γάρ ἀδιάστατος συντίθημι διάστημα οὐ ἔχω , ὥσπερ εἰ τις ὁ οὐδείς οὐδείς συντίθημι σκοπέω , οὐδείς γάρ ποιέω · κατά αὐτός γάρ φαίνω καί ἐπί ὁ ἰσότης ἐγώ ἐν ὁ σχέσις , σῴζω μέν γάρ ἀναλογία , ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος , οὕτως ὁ δεύτερος πρός ὁ τρίτος , οὐ μήν διάστημα γεννάω τις ὁ ἄκρος πρός ἀλλήλων , ὥσπερ ἐπί ὁ ἄλλος ὁ χωρίς ἰσότης σχέσις πᾶς · ὁ αὐτός δή τρόπος καί μονή ἐκ πᾶς μόνος ὁ ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω οὐδείς πολύς ἑαυτοῦ γεννάω · ἀδιάστατος ἄρα ὁ μονή καί ἀρχοειδής , πρῶτος δέ διάστημα εὑρίσκω καί φαίνω ἐν δυάς , εἶτα ἐν τριάς , εἶτα ἐν τετράς καί ἑξῆς ἐν ὁ ἀκόλουθος · διάστημα γάρ εἰμί δύο ὅρος ὁ μεταξύ θεωρέω . πρῶτος δέ διάστημα γραμμή λέγω , γραμμή γάρ εἰμί ὁ ἐπί εἷς διαστατός · δύο δέ διάστημα ἐπιφάνεια , ἐπιφάνεια γάρ εἰμί ὁ διχῆ διαστατός · τρεῖς δέ διάστημα στερεός , στερεός γάρ εἰμί ὁ τριχῆ διαστατός καί οὐ εἰμί οὐδαμῶς ἐπινοέω στερεός , ὅς πολύς τυγχάνω διάστημα ἤ τρεῖς , βάθος , πλάτος , μῆκος · οὗτος γάρ ὁ λέγω περί πᾶς σῶμα ὑπάρχω ἕξ περίστασις ὁρίζω , κατά ὅς ὁ κατά τόπος κίνησις διακρίνω , πρόσω , ὀπίσω , ἄνω , κάτω , δεξιός , ἀριστερός · ἕκαστος γάρ διάστημα δύο ἐκ ἀνάγκη περίστασις παρέπομαι ἀλλήλων ἀντίθετος , εἷς μέν ὁ ἄνω καί κάτω , ἕτερος δέ ὁ πρόσω καί ὀπίσω , ὁ τρίτος δέ ὁ ἐπί δεξιός καί ἀριστερός . καί συμβαίνω πως οὕτως ἀναστρέφω ὁ λόγος · εἰ τις γάρ στερεός εἰμί , ἐκεῖνος ὁ τρεῖς διάστασις πάντως ἔχω , μῆκος , βάθος , πλάτος καί ἔμπαλιν , εἰ τις ἔχω ὁ τρεῖς διάστασις , ἐκεῖνος πάντως στερεός εἰμί , ἄλλος δέ οὐδείς . οὐ ἄρα ὁ δύο μόνος ἔχω διάστασις εἰμί στερεός , ἀλλά ἐπιφάνεια , οὗτος γάρ διάστημα ἐπιδεκτικός δύο εἰμί μόνος · καί ἐπί αὐτός δυνατός ὁμοιότροπος ἀντιστρέφω ὁ λόγος , ἐπι - Φάνεια τε γάρ ὀρθός ὁ διχῆ διαστατός καί πάλιν ὁ διχῆ διαστατός πάντως ἐπιφάνεια εἰμί . εἷς ἄρα διάστημα ἐλασσόω ἐπιφάνεια στερεός , εἷς δέ καί γραμμή ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ἐπί εἷς διαστατός καί εἷς μόνος τυγχάνω δικστήματος , λείπω δέ στερεός δύο διάστημα · οὗτος δέ αὐτός λείπω εἷς διάστημα ὁ σημεῖον · διά οὗτος προλέγω εἰμί ἀδιάστατος στερεός μέν τρεῖς διάστημα λείπω , ἐπιφάνεια δέ δύο , γραμμή δέ εἷς .