nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.9
θ . Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν , ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ , ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος , τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμητον ἔχων , οἷον ὁ ϛ , ὁ ι , ὁ ιδ , ὁ ιη , ἡ κβ , ὁ κϛ , οἱ ὅμοιοι · μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται . συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν , ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων , ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναντιοδύναμον τῷ ὀνόματι , μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν · οἷον ἐφʼ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρτιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ , περισσὸν τῇ δυνάμει , τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιημένον Ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει · τὸ δὲ ἐξ ἀντιστροφῆς γ καὶ τὸ θον β , κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς εὑρεθήσεται τρόπος . μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προςηγορίας τέτευχεν , ὅτι ἄρτιος ὢν περισσῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε . γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων , ὅ ἐστι περισσῶν , εὐτάκτως ἐκτεθέντων , μέχρις οὗ βούλει , δυάδι πολυπλασιασθέντων · οἱ γὰρ ἀποτελούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι Ϛ , ι , ιδ , ιη , κβ , κϛ , λ , καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς · διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλαττόνων · αἴτιον δὲ τούτου , ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες αὐτῶν , τουτέστιν οἱ περισσοί , δυάδι ἀλλήλων ὑπερ φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν , ἵνα οὗτοι γένωνται , δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ . ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπʼ ἀλλήλων , τετράδι δὲ ὑπερέχοντες , τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες , δυάδι δὲ μηκυνομένων τῶν περισσῶν γεννώμενοι . ἐναντιοπαθεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις , ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν , ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον · καὶ δὴ καί , ὅτι ἐπʼ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπʼ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό ‾ ἶσον τῷ ἀπό ‾ ἢ τῷ ὑπό ‾ · τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων , ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα , καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις .
Lemmas: θ . ἀρτιοπέρισσος δέ εἰμί ἀριθμός ὁ ὁ γένος καί αὐτός ἄρτιος εἰμί , ἀντιδιαστέλλω δέ ἰδικός ὁ προφράζω ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ὁ μέν εἰς δύο ἴσος διαίρεσις ἐπιδέχομαι κατά ὁ κοινός γένος , ὁ μέντοι μέρος ἑκάτερος εὐθύς εἰς δύο ἴσος ἄτμητος ἔχω , οἷος ὁ ϛ , ὁ ι̅ , ὁ ιδʹ , ὁ ιη , ὁ κβʹ , ὁ κϛ , ὁ ὅμοιος · μετά γάρ ὁ διχάζω ἕκαστος οὗτος ἀδίχαστος εὐθύς ὁ μέρος εὑρίσκω . συμβαίνω δέ αὐτός πᾶς , ὅς ἄν εὑρίσκω μέρος ἔχω , ἐναντιώνυμος ὁ δύναμις εἰμί καί πᾶς μέρος ποσότης ἐναντιοδύναμος ὁ ὄνομα , μηδέποτε δέ μηδείς τρόπος ὁμογενής ὁ δύναμις ὁ μέρος ὁ αὐτός ὄνομα ὑπάρχω · οἷον ἐπί εἷς ὁ ιη ὁ μέν ἥμισυς ἀρτιακός ὀνομάζω ὑπάρχω θ̅ , περισσός ὁ δύναμις , ὁ δέ τρίτος ἔμπαλιν περισσός ὀνοματοπεποιαίνω Ϛ ἄρτιος ὁ δύναμις · ὁ δέ ἐκ ἀντιστροφή γ καί ὁ θον β , ἐπί ὁ ἕτερος ὁ αὐτός εὑρίσκω τρόπος . μήτοι δέ ἄρα καί παρά οὗτος τοιοῦτος προσηγορία τυγχάνω , ὅτι ἄρτιος εἰμί περισσός ὁ ἡμίσευμα εὐθύς τυγχάνω . γεννάω δέ καί οὗτος ὁ ἀπό μονάς δυάς διαφέρω , ὅς εἰμί περισσός , εὐτάκτως ἐκτίθημι , μέχρι ὅς βούλομαι , δυάς πολυπλασιάζω · ὁ γάρ ἀποτελέω γίγνομαι ἄν τάξις οὗτος Ϛ , ι̅ , ιδʹ , ιη , κβʹ , κϛʹ , λ , καί μέχρι ἄν προχωρέω ἐθέλω · διαφέρω δέ ἀλλήλων τετράς ὁ μέγας ἀεί ὁ ἐγγύς ἐλαχύς · αἴτιος δέ οὗτος , ὅτι ὁ ἐκ ἀρχή γνώμων αὐτός , τουτέστι ὁ περισσός , δυάς ἀλλήλων ὑπερ φέρω δυάς μηκύνω , ἵνα οὗτος γίγνομαι , δυάς δέ δυάς πολυπλασιάζω τετράς ποιέω . ἐν οὖν ὁ φυσικός ὕφος ὁ ἀριθμός εὑρίσκω ὁ ἀρτιοπέρισσος πέμπτος μέν ἀπό ἀλλήλων , τετράς δέ ὑπερέχω , τρεῖς δέ ὑπερβαίνω , δυάς δέ μηκύνω ὁ περισσός γεννάω . ἐναντιοπαθέω δέ λέγω ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὅτι οὗτος μέν ὁ μέγας ἄκρον μόνος διαιρετός , ἐκεῖνος δέ ὁ ἐλαχύς μόνος εἰμί ἀδιαίρετος · καί δή καί , ὅτι ἐπί ἐκεῖνος μέν ὁ ἀντιπερίστασις ὁ μέρος ἀπό ἀκρότης εἰς μεσότης ἤ μεσοσος ἀποτελέω ὁ ὑπό̅ ‾ ἴσος ὁ ἀπό̅ʹ ‾ ἤ ὁ ὑπό̅ʹ ‾ · οὗτος δέ κατά ὁ αὐτός ἀμοιβή καί ἐξέτασις ὑποδιπλάσιος ὁ μέσος ὁ δύο ἄκρον συντίθημι , ἤ εἰ δύο εἰμί ὁ μέσος , καί αὐτός ἴσος ἀμφότερος ὁ δύο ἄκρον .