nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.18
ιη . Ἄνωθεν οὖν πολλαπλάσιόν ἐστιν εἶδος τοῦ μείζονος τὸ πρώτιστον καὶ προγενέστερον φύσει , ὡς εὐθὺς εἰσόμεθα , καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ , ἐπειδὰν ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρῆται , ἔχων αὐτὸν ἐν ἑαυτῷ ὅλον πλεονάκις ἢ ἅπαξ · οἷον πρὸς τὴν μονάδα πάντες οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ ἀπὸ δυάδος ἀρξάμε νοι συγκρινόμενοι τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἀπογεννῶσι τῇ οἰκείᾳ ἀκολουθία · πρῶτος μὲν γὰρ ὁ β διπλάσιος καὶ ἔστι καὶ λέγεται , ὁ δὲ γ τριπλάσιος , ὁ δὲ δ τετραπλάσιος , καὶ ἐπʼ ἄπειρον · τὸ γὰρ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἤτοι δὶς ἢ τρὶς σημαίνει ἢ ἐφεξῆς , μέχρις οὗ βούλει . ἀντιδιέσταλται δὲ τούτῳ τὸ ὑποπολλαπλάσιον καὶ αὐτὸ φύσει πρώτιστον ὑπάρχον ἐν τῷ ἐλάττονι τῆς ἀνισότητος μέρει , καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ , ἐπειδὰν μείζονι συγκρίνηται , δυνάμενος μετρεῖν αὐτὸν πληρούντως πλεονάκις ἢ ἅπαξ , τὸ δὲ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἀπὸ τοῦ δὶς ἄρχεται καὶ ἐπʼ ἄπειρον πρόεισιν . ἐὰν μὲν οὖν δὶς μόνον μετρῇ τὸν ἐν συγκρίσει μείζονα , ὑποδιπλάσιος λέγεται ἰδίως , ὥςπερ τὸ α τῶν β , ἐὰν δὲ τρίς , ὑποτριπλάσιος , ὥςπερ τῶν γ τὸ α , ἐὰν δὲ τετράκις , ὑποτετραπλάσιος , ὥςπερ τὸ αὐτὸ α τῶν δ , καὶ ἐφεξῆς οὕτως . γενικῶς δὲ ἀπείρου ὑπάρχοντος ἑκατέρου , τοῦ τε πολλαπλασίου καὶ τοῦ ὑποπολλαπλασίου , ἔτι καὶ αἱ καθʼ ὑποδιαίρεσιν διαφοραὶ καὶ τὰ εἴδη ἐπʼ ἄπειρον φύσει προιόντα θεωρεῖται · τὸ γὰρ διπλάσιον ἀρχόμενον ἀπὸ τοῦ β διὰ πάντων ἀρτίων πρόεισιν , ἕνα παῤ ἕνα λαμβανόντων ἡμῶν τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος · ἐν συγκρίσει δὲ οὗτοι διπλάσιοι λεχθήσονται πρὸς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀρτίους τε καὶ περισσούς . τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσὶν οἱ ἀπʼ ἀρχῆς δύο παραλειπομένων ἐκλεγόμενοι τρίτοι τῇ τάξει , οἷον γ , Ϛ , θ , ιβ , ιε , ιη , κα , κδ , οἷς συμβέβηκεν ἕνα παῤ ἕνα ἀρτίοις τε καὶ περισσοῖς εἶναι , καὶ αὐτοὶ δὲ ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες , ἐφ᾿ ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν . τετραπλάσιοι δέ εἰσιν οἱ τριῶν παραλειπομένων πάντη τέταρτοι , οἷον δ , η , ιβ , ιϚ , κ , κδ , κη , λβ καὶ ἐφεξῆς , καὶ οὗτοι δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος εὐτάκτων τετραπλάσιοί εἰσι προιόντες , ἐφʼ ὅσον ἂν εὐτονῇ τις ἕπεσθαι · συμβέβηκε δὲ καὶ τούτοις πάντας εἶναι ἀρτίους · ἕνα γὰρ παῤ ἕνα μόνον παραλειπτέον ἐξ αὐτῶν τῶν ἄνωθεν διακεκριμένων ἀρτίων , ὥςτε ἀναγκαίως ὑπάρχειν τοῖς ἁπλῶς ἀρτίοις διπλασίοις μὲν ἅπασιν εἶναι , τετραπλασίοις δὲ ἕνα παῤ ἕνα καὶ ἑξαπλασίοις ἕνα παρὰ δύο καὶ ὀκταπλασίοις ἕνα παρὰ τρεῖς , καὶ ἐπʼ ἄπειρον οὕτως ἀνάλογον ἡ προκοπή . πενταπλάσιοι δὲ ὀφθήσονται οἱ τέσσαρας μὲν παραλείποντες , πέμπτοι δὲ τεταγμένοι ἀπʼ ἀλλήλων καὶ αὐτοὶ δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς τεταγμένων ἀριθμῶν πενταπλάσιοι , καὶ εἷς παῤ ἕνα περισσὸς καὶ ἄρτιος κατὰ τὴν αὐτὴν τῶν τριπλασίων τάξιν .
Lemmas: εἷς . ἄνωθεν οὖν πολλαπλάσιος εἰμί εἶδος ὁ μέγας ὁ πρῶτος καί προγενής φύσις , ὡς εὐθύς οἶδα , καί εἰμί ἀριθμός ὁ , ἐπειδάν ἐν σύγκρισις πρός ἕτερος θεωρέω , ἔχω αὐτός ἐν ἑαυτοῦ ὅλος πλεονάκις ἤ ἅπαξ · οἷον πρός ὁ μονάς πᾶς ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ἀπό δυάς ἄρχω νόος συγκρίνω ὁ ὁ πολλαπλάσιος εὔτακτος εἶδος ἀπογεννάω ὁ οἰκεῖος ἀκολουθία · πρῶτος μέν γάρ ὁ β διπλάσιος καί εἰμί καί λέγω , ὁ δέ γ τριπλάσιος , ὁ δέ δ τετραπλάσιος , καί ἐπί ἄπειρος · ὁ γάρ πλεονάκις ἤ ἅπαξ ἤτοι δίς ἤ τρίς σημαίνω ἤ ἐφεξῆς , μέχρι ὅς βούλομαι . ἀντιδιαστέλλω δέ οὗτος ὁ ὑποπολλαπλάσιος καί αὐτός φύσις πρῶτος ὑπάρχω ἐν ὁ ἐλαχύς ὁ ἀνισότης μέρος , καί εἰμί ἀριθμός ὁ , ἐπειδάν μέγας συγκρίνω , δύναμαι μετρέω αὐτός πληρούντως πλεονάκις ἤ ἅπαξ , ὁ δέ πλεονάκις ἤ ἅπαξ ἀπό ὁ δίς ἄρχω καί ἐπί ἄπειρος πρόειμι . ἐάν μέν οὖν δίς μόνος μετρέω ὁ ἐν σύγκρισις μέγας , ὑποδιπλάσιος λέγω ἴδιος , ὥσπερ ὁ α ὁ β , ἐάν δέ τρίς , ὑποτριπλάσιος , ὥσπερ ὁ γ ὁ α , ἐάν δέ τετράκις , ὑποτετραπλάσιος , ὥσπερ ὁ αὐτός α ὁ δ , καί ἐφεξῆς οὕτως . γενικός δέ ἄπειρος ὑπάρχω ἑκάτερος , ὁ τε πολλαπλάσιος καί ὁ ὑποπολλαπλάσιος , ἔτι καί ὁ κατά ὑποδιαίρεσις διαφορά καί ὁ εἶδος ἐπί ἄπειρος φύσις προέρχομαι θεωρέω · ὁ γάρ διπλάσιος ἄρχω ἀπό ὁ β διά πᾶς ἄρτιος πρόειμι , εἷς παρά εἷς λαμβάνω ἐγώ ὁ ἀριθμός ἀπό ὁ φυσικός χύμα · ἐν σύγκρισις δέ οὗτος διπλάσιος λέγω πρός ὁ ἀπό μονάς ἑξῆς κεῖμαι ἄρτιος τε καί περισσός . τριπλάσιος δέ πᾶς εἰμί ὁ ἀπό ἀρχή δύο παραλείπω ἐκλέγω τρίτος ὁ τάξις , οἷος γ , Ϛ , θ̅ , ιβ , ιος , ιη , ἄν , κδ , ὅς συμβαίνω εἷς παρά εἷς ἄρτιος τε καί περισσός εἰμί , καί αὐτός δέ ἐν ὁ ἀπό ὁ μονάς ἀριθμός εὔτακτος ὁ ἐφεξῆς πᾶς τριπλάσιος εἰμί προχωρέω , ἐπί ὅσος βούλομαι τις παρακολουθέω . τετραπλάσιος δέ εἰμί ὁ τρεῖς παραλείπω πάντῃ τέταρτος , οἷος δ , η̅ , ιβ , ιϚ , κ , κδ , πη , λβ καί ἐφεξῆς , καί οὗτος δέ ὁ ἀπό μονάς εὔτακτος τετραπλάσιος εἰμί προέρχομαι , ἐπί ὅσος ἄν εὐτονέω τις ἕπομαι · συμβαίνω δέ καί οὗτος πᾶς εἰμί ἄρτιος · εἷς γάρ παρά εἷς μόνος παραλείπω ἐκ αὐτός ὁ ἄνωθεν διακρίνω ἄρτιος , ὥστε ἀναγκαῖος ὑπάρχω ὁ ἁπλῶς ἄρτιος διπλάσιος μέν ἅπας εἰμί , τετραπλάσιος δέ εἷς παρά εἷς καί ἑξαπλάσιος εἷς παρά δύο καί ὀκταπλάσιος εἷς παρά τρεῖς , καί ἐπί ἄπειρος οὕτως ἀνάλογος ὁ προκοπή . πενταπλάσιος δέ ὁράω ὁ τέσσαρες μέν παραλείπω , πέμπτος δέ τάσσω ἀπό ἀλλήλων καί αὐτός δέ ὁ ἀπό μονάς ἑξῆς τάσσω ἀριθμός πενταπλάσιος , καί εἷς παρά εἷς περισσός καί ἄρτιος κατά ὁ αὐτός ὁ τριπλασίων τάξις .