nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.21
κα . Τάξις δὲ ἀμφοτέρων καὶ ἀκόλουθος γένεσις εὑρίσκεται , ὅταν ἐκθέμενοι τοὺς ἀπὸ τριάδος ἑξῆς ἀρτίους καὶ περιττοὺς ἀριθμοὺς πρὸς τούτους συγκρίνωμεν τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαροὺς συνεχεῖς περισσοὺς μόνους , πρῶτον πρὸς πρῶτον , οἷον τὸν ε πρὸς τὸν γ , καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον , οἷον τὸν ζ πρὸς τὸν δ , καὶ τρίτον πρὸς τρίτον , οἷον τὸν θ πρὸς τὸν ε , καὶ τέταρτον πρὸς τέταρτον , οἷον τὸν ια πρὸς τὸν Ϛ , καὶ ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ τάξει ἐφʼ ὁσονοῦν · οὕτως γὰρ εὔτακτα τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς τε καὶ ὑπεπιμεροῦς εἴδη κατὰ τοὺς ἑκάστου πυθμένας δηλωθήσεται , ἐπιδιμερὲς πρῶτον , εἶτα ἐπιτριμερὲς καὶ ἐπιτετραμερὲς καὶ ἐπιπενταμερὲς καὶ ἐφεξῆς ἐπὶ πλέον παραπλησίως · μετὰ γὰρ τοὺς πυθμένας ἑκάστου γενήσονται οἱ συνεχεῖς διπλασιαζομένων ἀμφοτέρων τῶν ὅρων ἢ τριπλασιαζομένων καὶ ὅλως κατὰ τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη μεγεθυνομένων . οἱ πυθμένες . ε γ ζ δ θ ε ια Ϛ ιγ ζ ι ς ιδ η ιη ι κβ ιβ κϚ ιβ ιε θ κα ιβ κζ ιε λγ ιη λθ κα κ ιβ κη ιϚ κ μδ κδ νβ κη κε ιε λε κ με κε νε λ ξε λε λ ιη μβ κδ νδ λ ξϚ λϚ οη μβ λε κα μθ κη ξγ λε οζ μβ Ϟα μθ μ κδ νϚ λβ οβ μ πη μη ρδ νϚ με κζ ξγ λϚ κα με Ϟθ νθ ριζ εγ ἐπιδί - ἐπιτρι - ἐπιτετρά - ἐπιπέν - ἐφεκτέ - τριτοι τέταρτοι πεμπτοι θεκτοι βδομοι προςεκτέον δέ , ὅτι ἐκ μὲν τῶν δύο μερῶν τῶν πρὸς τῷ ὅλῳ ἐνόντων τῷ μείζονι τὸ τρίτον ὑπακούεται , ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν τὸ τέταρτον , ἐπὶ δὲ τῶν τεσσάρων τὸ πέμπτον , ἐπὶ δὲ τῶν πέντε τὸ ἕκτον καὶ ἀεὶ οὕτως , ἵνα ἡ πρόβασις κατὰ τὴν ὀνομασίαν τοιαύτη τις ᾖ · ἐπιδίτριτος , ἐπιτριτέταρτος , ἐπιτετράπεμπτος , εἶτα ἐπιπένθεκτος καὶ παραπλησίως ἐπὶ τῶν λοιπῶν . Αἱ μὲν οὖν τοῦ πρός τι ποσοῦ ἁπλαῖ καὶ ἀσύνθετοὶ σχέσεις αἵδε εἰσὶν αἱ προλεχθεῖσαι , αἱ δὲ σύνθετοι ἐξ αὐτῶν καὶ οἷον συμπλακεῖσαι ἐκ δυοῖν εἰς μίαν εἰσὶν αἵδε , ὧν πρόλογοι μὲν πολλαπλασιεπιμόριος καὶ πολλαπλασιεπιμερής , ὑπόλογοι δὲ αἱ εὐθύς ἑκατέρᾳ τούτων συνυφιστάμεναι , σὺν τῇ ὑπο προθέσει ὀνομαζόμεναι , πολλαπλασιεπιμορίῳ μὲν ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμόριος , πολλαπλασιεπιμερεῖ δὲ ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμερής , καὶ καθʼ ὑποδιαίρεσιν τῶν γενῶν αἱ εἰδικαὶ ταῖς εἰδικαῖς ἀνθυπακούσονται , μετὰ τῆς ὑπο προθέσεως καὶ αὗται ὀνομαζόμεναι .
Lemmas: ἄν . τάξις δέ ἀμφότερος καί ἀκόλουθος γένεσις εὑρίσκω , ὅταν ἐκτίθημι ὁ ἀπό τριάς ἑξῆς ἄρτιος καί περισσός ἀριθμός πρός οὗτος συγκρίνω ὁ ἀπό πεντάς καθαρός συνεχής περισσός μόνος , πρῶτος πρός πρῶτος , οἷος ὁ ε πρός ὁ γ , καί δεύτερος πρός δεύτερος , οἷος ὁ ζ̅ πρός ὁ δ , καί τρίτος πρός τρίτος , οἷος ὁ θ̅ πρός ὁ ε , καί τέταρτος πρός τέταρτος , οἷος ὁ ιαʹ πρός ὁ Ϛ , καί ἐφεξῆς ὁ αὐτός τάξις ἐπί ὁσονοῦν · οὕτως γάρ εὔτακτος ὁ ὁ ἐπιμερής τε καί ὑπεπιμερώ εἶδος κατά ὁ ἕκαστος πυθμήν δηλόω , ἐπιδιμερής πρῶτος , εἶτα ἐπιτριμερής καί ἐπιτετραμερής καί ἐπιπενταμερής καί ἐφεξῆς ἐπί πολύς παραπλήσιος · μετά γάρ ὁ πυθμήν ἕκαστος γίγνομαι ὁ συνεχής διπλασιάζω ἀμφότερος ὁ ὅρος ἤ τριπλασιάζω καί ὅλος κατά ὁ ὁ πολλαπλάσιος εὔτακτος εἶδος μεγεθύνω . ὁ πυθμήν . ε γ ζ δεσποινίδα θ ε ἰά Ϛ πνίξ ζ ι ϛ ὁράω ὁ ἰά ι κβ Ἶβ κϚ Ἶβ ιος θ ἄν Ἶβ κζ ιος λγ εἷς λθ ἄν κ Ἶβ καί ιϛʹ κ μδ ΚΔ νβ καί ἄν ιος λέα κ ἐγώ ἄν νε λ ξ λέα λ εἷς μβ ΚΔ ΝΔΑ λ ξϚ λϚ ΟΗΕ μβ λέα ἄν μθ καί ξγ λέα ὄζω μβ Ἠ μθ μ ΚΔ νϚ λβ ΟΒΕ μ πῇ μής ρδ νϚ ἐγώ κζ ξγ λϚ ἄν ἐγώ Ϟθ ἐντί ῥίζα ἐκ ἐπιδίδω - ἐπιτρι - επιτετρας - ἐπιπνέω - ἐφεκτός - τρίτος τέταρτος πέμπτος θεκτοι βδοεγω προσέχω δέ , ὅτι ἐκ μέν ὁ δύο μέρος ὁ πρός ὁ ὅλος ἔνειμι ὁ μέγας ὁ τρίτος ὑπακούω , ἐπί δέ ὁ τρεῖς ὁ τέταρτος , ἐπί δέ ὁ τέσσαρες ὁ πέμπτος , ἐπί δέ ὁ πέντε ὁ ἕκτος καί ἀεί οὕτως , ἵνα ὁ πρόβασις κατά ὁ ὀνομασία τοιοῦτος τις εἰμί · ἐπιδίτριτος , ἐπιτριτέταρτος , ἐπιτετράπεμπτος , εἶτα ἐπιπένθεκτος καί παραπλήσιος ἐπί ὁ λοιπός . ὁ μέν οὖν ὁ πρός τις πός ἁπλόος καί ἀσύνθετος σχέσις ὅδε εἰμί ὁ προλέγω , ὁ δέ σύνθετος ἐκ αὐτός καί οἷος συμπλέκω ἐκ δύο εἰς εἷς εἰμί ὅδε , ὅς πρόλογος μέν πολλαπλασιεπιμόριος καί πολλαπλασιεπιμερής , ὑπόλογος δέ ὁ εὐθύς ἑκάτερος οὗτος συνυφίστημι , σύν ὁ ὑπό πρόθεσις ὀνομάζω , πολλαπλασιεπιμόριος μέν ὁ ὑποπολλαπλασιεπιμόριος , πολλαπλασιεπιμερής δέ ὁ ὑποπολλαπλασιεπιμερής , καί κατά ὑποδιαίρεσις ὁ γένος ὁ εἰδικός ὁ εἰδικός ἀνθυπακούω , μετά ὁ ὑπό πρόθεσις καί οὗτος ὀνομάζω .