nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.8
η . Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυόμενος εἰς μονάδας καὶ τὴν κατʼ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν , οὗ ὑποδείγμαπα ὁ γ , Ϛ , ι , ιε , κα , κη καὶ οἱ ἐφεξῆς · σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι , καὶ τὸ τοιοῦτον , μέχρις οὗ βούλει , προκόπτων τριγωνιζόμενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάττων τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον , ἵνα καὶ τρίγωνος δυνάμει φαίνηται ἡ μονάς , ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ . πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ , τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς , τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς , τουτέστι τοῦ γ , τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς , τουτέστι τοῦ Ϛ , τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως . γεννᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπʼ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθεμένων , κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προςσώρευσιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται · οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου α , β , γ , δ , ε , Ϛ , ζ , η , θ , ι , ια , ιβ , ιγ , ιδ , ιε τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον τρίγωνον , τὴν μονάδα , εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον , β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί , καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται · ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλληλοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός · εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προςσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προςέτι σχηματογραφεῖ · καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται · καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ , εἶτα ὁ ϛ , εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες , ὥςτʼ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι μονάδων , ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν ·
Lemmas: ὁ . τρίγωνος μέν οὖν εἰμί ἀριθμός ὁ διαλύω εἰς μονάς καί ὁ κατά ἐπίπεδος θέσις ὁ μόριον ἰσόπλευρος σχηματογραφέω εἰς τριγωνισμός , ὅς ὑποδείκνυμι ὁ γ , Ϛ , ι̅ , ιος , ἄν , πη καί ὁ ἐφεξῆς · σχηματογραφία γάρ αὐτός εὔτακτος εἰμί τρίγωνος τε ἅμα καί ἰσόπλευρος , καί ὁ τοιοῦτος , μέχρι ὅς βούλομαι , προκόπτω τριγωνίζω εὑρίσκω πρό πᾶς στοιχειώδης τάσσω ὁ ἐκ μονάς γίγνομαι , ἵνα καί τρίγωνος δύναμις φαίνω ὁ μονή , ἐνέργεια δέ πρῶτος ὁ γ . πλευρά δέ παραυξάνω ὁ συνεχής ἀριθμός , ὁ μέν γάρ δύναμις πρῶτος πλευρόν μονή , ὁ δέ ἐνέργεια πρῶτος πλευρόν δυάς , τουτέστι ὁ γ , ὁ δέ ἐνέργεια δεύτερος πλευρόν τριάς , τουτέστι ὁ Ϛ , ὁ δέ τρίτος πλευρόν τετράς καί ὁ τέταρτος πεντάς καί ὁ πέμπτος ἑξάς καί ἀεί οὕτως . γεννάω δέ ὁ φυσικός ἀριθμός στοιχηδόν ἐκτίθημι καί ἀεί ἀπό ἀρχή ὁ συνεχής κατά εἷς συντίθημι , κατά γάρ ἕκαστος σύνθεσις καί προσσώρευσις ὁ εὔτακτος τρίγωνος συντελέω · οἷον ἐκ μέν ὁ φυσικός στίχος οὗτος α , β , γ , δ , ε , Ϛ , ζ̅ , η̅ , θ̅ , ι̅ , ιαʹ , ιβ , ιγ , ιδʹ , ιος ὁ μέν πρῶτος λαμβάνω ἔχω ὁ δύναμις πρῶτος τρίγωνος , ὁ μονάς , εἶτα ὁ συνεχής αὐτός ἐπισωρεύω ἔχω ὁ ἐνέργεια πρῶτος τρίγωνος , β γάρ καί α ὁ γ εἰμί , καί ὁ γε σχηματογραφία οὕτως συνίστημι · ἐπί εἷς μονάς δύο μονάς παράλληλος ὑποτίθημι καί τριγωνίζω ὁ γ ἀριθμός · εἶτα ἑξῆς ἐπί οὗτος ὁ γ συνεχής προσσωρεύω καί ἐξαπλόω γε εἰς μονάς καί συντίθημι ὁ Ϛ ἀποδίδωμι δεύτερος ἐνέργεια τρίγωνος καί προσέτι σχηματογραφέω · καί πάλιν ὁ φύσις ἀκόλουθος ὁ δ ἐπί οὗτος σωρεύω καί μοναδιστί ὑπογράφω ὁ εὔτακτος μετά ὁ λέγω ἀποδίδωμι ὁ ι̅ καί τριγωνιστί γε σχηματίζω · καί ὁ ε ἐπί οὗτος , εἶτα ὁ ϛ , εἶτα ὁ ζ̅ καί ὁ ἑξῆς ἅπας , ὥστε ἐμμελής καί ὁ πλευρά ἕκαστος τοσοῦτος εἰμί μονάς , ὁπόσοιπερ ἀριθμός συντίθημι ἐκ ὁ φυσικός στίχος εἰς ὁ αὐτός σύστασις ·