nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.22
κβ . Εἰσὶν οὖν ἀναλογίαι αἱ μὲν πρῶται καὶ παρὰ πᾶσι τοῖς παλαιοῖς ὁμολογούμεναι , Πυθαγόρᾳ τε καὶ Πλάτωνι καὶ Ἀριστοτέλει , τρεῖς πρώτισται ἀριθμητική , γεωμετρική , ἁρμονική , αἱ δὲ ταύταις ὑπεναντίαι ἄλλαι τρεῖς , ἰδίων μὴ τετευχυῖαι ὀνομάτων , κοινότερον δὲ λεγόμεναι μεσότητες τετάρτη , πέμπτη , ἕκτη · μεθʼ ἃς καὶ ἄλλας τέσσαρας οἱ νεώτεροι εὑρίσκουσι , συμπληροῦντες τὸν δέκατον ἀριθμὸν κατὰ τὸ τοῖς Πυθαγορικοῖς δοκοῦν ὡς τελειότατον , καθ᾿ ὃν καὶ αἱ δέκα σχέσεις ὤφθησαν ἡμῖν πρὸ βραχέος ποσότητα λαμβάνουσαι καὶ αἱ δέκα λεγόμεναι κατηγορίαι καὶ τῶν ἡμετέρων χειρῶν καὶ ποδῶν αἱ τῶν ἀκρωτηρίων διαιρέσεις καὶ σχέσεις καὶ ἕτερα μυρία , ἃ κατʼ οἰκεῖον τόπον ἐν ἑτέροις ὀ ψόμεθα . νῦν δὲ περὶ τῶν ἀναλογιῶν ἄνωθεν τεχνολογητέον καὶ πρῶτόν γε περὶ τῆς κατὰ τὸ ποσὸν τὴν τῶν ὅρων σύγκρισιν οἰκειούσης ἀλλήλοις καὶ συνδεούσης , ἢ ἐστι κατὰ τὴν τῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους διαφορὰν ἴση κατὰ τὸ ποσὸν οὖσα · αὕτη δ᾿ ἂν εἴη ἡ ἀριθμητική , ταύτης γὰρ ἴδιον προαπεδόθη τὸ ποσόν . τίς οὖν ἡ αἰτία , ὅτι περὶ ταύτης πρώτης καὶ οὐ περὶ ἄλλης ; ἢ δῆλον , ὅτι καὶ ἡ φύσις αὐτὴν πρὸ τῶν ἄλλων ἐμφαίνει · ἐν γὰρ τῇ τοῦ ἀπλοῦ ἀριθμοῦ φυσικῇ ἀπὸ μονάδος ἐκθέσει μηδενὸς παραλειπομένου μηδ᾿ ὑπεξαιρουμένου σώζεται ὁ ταύτης μόνης λόγος , ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἀπεδείξαμεν συλλογισάμενοι καὶ αὐτὴν τὴν ἀριθμητικὴν εἰςαγωγὴν πρὸ πασῶν τῶν ἄλλων ὑπάρχειν συναναιροῦσαν μὲν ἑαυτῇ ἐκείνας , οὐ συναναιρουμένην δέ , καὶ συνεπιφερομένην μὲν ἐκείναις , οὐ συνεπιφέρουσαν δέ , ὥςτε εἰκότως καὶ ἡ ὁμώνυμος τῇ ἀριθμητικῇ μεσότης οὐκ ἀλόγως προηγήσεται τῶν ἐν ἐκείναις ὁμωνύμων μεσοτήτων , γεωμετρικῆς τε καὶ ἁρμονικῆς · τῶν γὰρ ὑπεναντίων ἐκδηλότατον ὅτι πολύ μᾶλλον ἡγήσεται , ὧνπερ αὗται ἡγεμόνες . πρωτίστη ἄρα καὶ ἔξαρχος δικαιοτάτη ἡ ἀριθμητικὴ οὖσα φυσικῶς καὶ παρ᾿ ἡμῶν τυγχανέτω διαρθρώσεως πρό γε τῶν ἄλλων .
Lemmas: κβ . εἰμί οὖν ἀναλογία ὁ μέν πρῶτος καί παρά πᾶς ὁ παλαιός ὁμολογέω , Πυθαγόρας τε καί Πλάτων καί Ἀριστοτέλης , τρεῖς πρῶτος ἀριθμητικός , γεωμετρικός , ἁρμονικός , ὁ δέ οὗτος ὑπεναντίος ἄλλος τρεῖς , ἴδιος μή τυγχάνω ὄνομα , κοινός δέ λέγω μεσότης τέταρτος , πέμπτος , ἕκτος · μετά ὅς καί ἄλλος τέσσαρες ὁ νέος εὑρίσκω , συμπληρόω ὁ δέκατος ἀριθμός κατά ὁ ὁ Πυθαγορικός δοκέω ὡς τέλειος , κατά ὅς καί ὁ δέκα σχέσις ὁράω ἐγώ πρό βραχύς ποσότης λαμβάνω καί ὁ δέκα λέγω κατηγορία καί ὁ ἡμέτερος χείρ καί πούς ὁ ὁ ἀκρωτήριον διαίρεσις καί σχέσις καί ἕτερος μυρίος , ὅς κατά οἰκεῖος τόπος ἐν ἕτερος ὁ ἕψω . νῦν δέ περί ὁ ἀναλογία ἄνωθεν τεχνολογητέον καί πρῶτος γε περί ὁ κατά ὁ ποσός ὁ ὁ ὅρος σύγκρισις οἰκέω ἀλλήλων καί συνδέω , ἤ εἰμί κατά ὁ ὁ ὅρος πρός ἀλλήλων διαφορά ἴσος κατά ὁ ποσός εἰμί · οὗτος δέ ἄν εἰμί ὁ ἀριθμητικός , οὗτος γάρ ἴδιος προαποδίδωμι ὁ ποσός . τίς οὖν ὁ αἰτία , ὅτι περί οὗτος πρῶτος καί οὐ περί ἄλλος ; ἤ δῆλος , ὅτι καί ὁ φύσις αὐτός πρό ὁ ἄλλος ἐμφαίνω · ἐν γάρ ὁ ὁ ἀπολόω ἀριθμός φυσικός ἀπό μονάς ἔκθεσις μηδείς παραλείπω μηδέ ὑπεξαιρέω σῴζω ὁ οὗτος μόνος λόγος , ἀλλά καί ἐν ὁ ἔμπροσθεν ἀποδείκνυμι συλλογίζομαι καί αὐτός ὁ ἀριθμητικός εἰσαγωγή πρό πᾶς ὁ ἄλλος ὑπάρχω συναναιρέω μέν ἑαυτοῦ ἐκεῖνος , οὐ συναναιρέω δέ , καί συνεπιφέρω μέν ἐκεῖνος , οὐ συνεπιφέρω δέ , ὥστε ἔοικα καί ὁ ὁμώνυμος ὁ ἀριθμητικός μεσότης οὐ ἄλογος προηγέομαι ὁ ἐν ἐκεῖνος ὁμώνυμος μεσότης , γεωμετρικός τε καί ἁρμονικός · ὁ γάρ ὑπεναντίος ἔκδηλος ὅτι πολύς μάλα ἡγέομαι , ὅς οὗτος ἡγεμών . πρῶτος ἄρα καί ἔξαρχος δίκαιος ὁ ἀριθμητικός εἰμί φυσικός καί παρά ἐγώ τυγχάνω διάρθρωσις πρό γε ὁ ἄλλος .