nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.26
κϚ . Τὸ δὲ πρός τι ἐπέγνωμεν ἐν τῇ τοῦ ὄντος ἀνωτέρω φρασθείσῃ διαιρέσει τῆς ἁρμονικῆς ἴδιον θεωρίας , ἀλλὰ καὶ οἱ μουσικοὶ τῶν ἐν ἁρμονίᾳ συμιφωνιῶν λόγοι ἐν ταύτῃ μᾶλλον εὑρίσκονται τῇ μεσότητι · στοιχειωδέστατος μὲν ὁ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ , ὡς δ πρὸς γ , ὅρος πρὸς ὅρον ἐν τῷ κατὰ τὸν διπλάσιον ὑποδείγματι ἢ διαφορὰ πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον , τοῦ γὰρ Ϛ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ Ϛ πρὸς γ αὗται αἱ διαφοραί · μετὰ δὲ τοῦτον εὐθύς ὁ διὰ πέντε ὑπάρχων ἡμιόλιος τοῦ γ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ Ϛ πρὸς δ , ὅρου πρὸς ὅρον · εἶτα τούτων ἀμφοτέρων σύστημα τοῦ τε ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου ὁ διὰ πασῶν ἐφεξῆς αὐτοῖς κείμενος , ἐν διπλασίῳ ὑπάρχων λόγῳ , ὡς ϛ πρὸς γ ἐν ἀμφοτέροις ὑποδείγμασιν , ὅρος πρὸς ὅρον · ἢ ὁ ἐπὶ τούτῳ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε , τριπλάσιον σώζων ἀμφοτέρων ἄμα τὸν λόγον , σύστημα ὑπάρχων διπλασίου ἄμα καὶ ἡμιολίου , ὥςπερ τοῦ Ϛ πρὸς β , ὅρου πρὸς ὅρον , ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον ὑποδείγματι , καὶ πάλιν διαφορὰς πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ αὐτῷ , ἐν δὲ τώ κατὰ τὸν διπλάσιον ὅρου μεγίστου πρὸς διαφορὰν αὐτοῦ καὶ τοῦ μέσου ἢ διαφορᾶς τῶν ἄκρων πρὸς διαφορὰν τῶν ἐλαττόνων · τελευταῖον δὲ καὶ μέγιστον σύμφωνον τὸ λεγόμενον δὶς διὰ πασῶν ὡςανεὶ δὶς διπλάσιον , ἁπάρχον δὲ ἐν λόγῳτετραπλασίῳ , ὡς ὁ μέσος ὄρος τῆς ἐν διπλασίοις πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων διαφορὰν ἢ ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ τῆς ἐν τριπλασίοις πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων . Τινὲς δὲ αὐτὴν ἁρμονικὴν καλεῖσθαι νομίζουσιν ἀκολούθως Φιλολάῳ ἀπὸ τοῦ παρέπεσθαι πάσῃ γεωμετρικῇ ἁρμονίᾳ , γεωμετρικὴν δὲ ἁρμονίαν φασὶ τὸν κύβον ἀπὸ τοῦ κατὰ τὰ τρία διαστήματα ἡρμόσθαι ἰσάκις ἶσα ἰσάκις · ἐν γὰρ παντὶ κύβῳ ἥδε ἡ μεσότης ἐνοπτρίζεται , πλευραὶ μὲν γὰρ παντὸς κύβου εἰσὶν ιβ , γωνίαι δὲ η , ἐπίπεδα δὲ Ϛ · μεσότης ἄρα ὁ η τῶν Ϛ καὶ τῶν ιβ κατὰ τὴν ἁρμονικήν · ὡς γὰρ οἱ ἄκροι πρὸς ἀλλήλους , οὕτως ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον διαφοράν , καὶ πάλιν ὁ μέσος ἄλλῳ μὲν ἑαυτοῦ μέρει μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάττονος , ἄλλῳ δὲ ἐλάττων τοῦ μείζονος , ἐνὶ μέντοι καὶ τῷ αὐτῷ αὐτῶν τῶν ἄκρων μέρει καὶ μείζων καὶ ἐλάττων ὑπάρχει · καὶ ἑτέρως οἱ ἄκροι συντεθέντες καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντες διπλάσιονἀποτελοῦσι τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἀλλήλους γινομένου · καὶ ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐστὶ τοῦ η πρὸς τὸν Ϛ , ἐπίτριτος γάρ , ἡ δὲ διὰ πέντε τοῦ ιβ πρὸς τὸν η , ἡμιόλιος γάρ , ἡ δὲ διὰ πασῶν ἀμφοῖν οὖσα σύστημα ἡ τοῦ ιβ πρὸς τὸν Ϛ , διπλασία γὰρ , ἡ δὲ διὰ πασῶν ἄμα καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος οὖσα ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ ὑπάρχει πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων , ἡ δὲ δὶς διὰ πασῶν ὁ μέσος ὅρος πρὸς τὴν ἑαυτοῦ καὶ τοῦ ἐλάττονος διαφοράν · οἰκειοτάτως ἄρα ἁρμονικὴ προςωνομάσθη .
Lemmas: κϚ . ὁ δέ πρός τις ἐπιγιγνώσκω ἐν ὁ ὁ εἰμί ἀνώτερος φράζω διαίρεσις ὁ ἁρμονικός ἴδιος θεωρία , ἀλλά καί ὁ μουσικός ὁ ἐν ἁρμονία συμφωνία λόγος ἐν οὗτος μάλα εὑρίσκω ὁ μεσότης · στοιχειώδης μέν ὁ διά τέσσαρες ἐν ἐπίτριτος λόγος , ὡς δ πρός γ , ὅρος πρός ὅρος ἐν ὁ κατά ὁ διπλάσιος ὑπόδειγμα ἤ διαφορά πρός διαφορά ἐν ὁ κατά ὁ τριπλάσιος , ὁ γάρ Ϛ πρός β ἤ πάλιν ὁ Ϛ πρός γ οὗτος ὁ διαφορά · μετά δέ οὗτος εὐθύς ὁ διά πέντε ὑπάρχω ἡμιόλιος ὁ γ πρός β ἤ πάλιν ὁ Ϛ πρός δ , ὅρος πρός ὅρος · εἶτα οὗτος ἀμφότερος σύστημα ὁ τε ἡμιόλιος καί ὁ ἐπίτριτος ὁ διά πᾶς ἐφεξῆς αὐτός κεῖμαι , ἐν διπλάσιος ὑπάρχω λόγος , ὡς ϛ πρός γ ἐν ἀμφότερος ὑπόδειγμα , ὅρος πρός ὅρος · ἤ ὁ ἐπί οὗτος διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε , τριπλάσιος σῴζω ἀμφότερος ἅμα ὁ λόγος , σύστημα ὑπάρχω διπλάσιος ἅμα καί ἡμιόλιος , ὥσπερ ὁ Ϛ πρός β , ὅρος πρός ὅρος , ἐν ὁ κατά ὁ τριπλάσιος ὑπόδειγμα , καί πάλιν διαφορά πρός διαφορά ἐν ὁ αὐτός , ἐν δέ ὁ κατά ὁ διπλάσιος ὅρος μέγας πρός διαφορά αὐτός καί ὁ μέσος ἤ διαφορά ὁ ἄκρον πρός διαφορά ὁ ἐλαχύς · τελευταῖος δέ καί μέγας σύμφωνος ὁ λέγω δίς διά πᾶς ὡσανεί δίς διπλάσιος , ἐπάρχω δέ ἐν λόγῳτετραπλασίῳ , ὡς ὁ μέσος ὄρος ὁ ἐν διπλάσιος πρός ὁ ὁ ἐλαχύς διαφορά ἤ ὁ ὁ ἄκρον διαφορά ὁ ἐν τριπλάσιος πρός ὁ ὁ ἐλαχύς . τις δέ αὐτός ἁρμονικός καλέω νομίζω ἀκόλουθος Φιλόλαος ἀπό ὁ παρέπομαι πᾶς γεωμετρικός ἁρμονία , γεωμετρικός δέ ἁρμονία φημί ὁ κύβος ἀπό ὁ κατά ὁ τρεῖς διάστημα ἁρμόζω ἰσάκις ἴσος ἰσάκις · ἐν γάρ πᾶς κύβος ὅδε ὁ μεσότης ἐνοπτρίζω , πλευρά μέν γάρ πᾶς κύβος εἰμί ιβʹ , γωνία δέ η̅ , ἐπίπεδος δέ Ϛ · μεσότης ἄρα ὁ η̅ ὁ Ϛ καί ὁ ιβʹ κατά ὁ ἁρμονικός · ὡς γάρ ὁ ἄκρος πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ὁ μέγας παρά ὁ μέσος διαφορά πρός ὁ ὁ μέσος παρά ὁ ἐλαχύς διαφορά , καί πάλιν ὁ μέσος ἄλλος μέν ἑαυτοῦ μέρος μέγας εἰμί ὁ ἐλαχύς , ἄλλος δέ ἐλαχύς ὁ μέγας , ἐν μέντοι καί ὁ αὐτός αὐτός ὁ ἄκρον μέρος καί μέγας καί ἐλαχύς ὑπάρχω · καί ἕτερος ὁ ἄκρος συντίθημι καί ὑπό ὁ μέσος πολυπλασιάζω διπλασιοναποτελεω ὁ ὑπό ὁ ἄκρον πρός ἀλλήλων γίγνομαι · καί ὁ μέν διά τέσσαρες εἰμί ὁ η̅ πρός ὁ Ϛ , ἐπίτριτος γάρ , ὁ δέ διά πέντε ὁ ιβʹ πρός ὁ η̅ , ἡμιόλιος γάρ , ὁ δέ διά πᾶς ἄμφω εἰμί σύστημα ὁ ὁ ιβ πρός ὁ Ϛ , διπλάσιος γάρ , ὁ δέ διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε τριπλάσιος εἰμί ὁ ὁ ἄκρον διαφορά ὑπάρχω πρός ὁ ὁ ἐλαχύς , ὁ δέ δίς διά πᾶς ὁ μέσος ὅρος πρός ὁ ἑαυτοῦ καί ὁ ἐλαχύς διαφορά · οἰκεῖος ἄρα ἁρμονικός προσονομάζω .