nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.20
κ . Ἔτι δὲ καὶ πᾶς πετράγωνος προςλαβὼν τὴν ἑαυτοῦ πλευρὰν ἑτερομήκης γίνεται ἢ νὴ Δί᾿ ἀφαιρεθεὶς τὴν ἑαυτοῦ πλευράν · οὕτως καὶ τὸ ἕτερον καὶ ἐπὶ τὸ πλεῖον καὶ ἐπὶ τὸ ἔλαττον νοεῖται τοῦ ταυτοῦ , εἴπερ κατὰ πρόςθεσιν καὶ ἀφαίρεσιν συντελεῖται , καθὰ καὶ τοῦ ἀνίσου τὰ δύο εἴδη τό τε μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον κατὰ πρόςθεσιν ἢ ἀφαίρεσιν προςγινομένην τῷ ἴσῳ τὴν γένεσιν λαμβάνει . ἱκανὸν καὶ τοῦτο τεκμήριον τοῦ ταυτότητος καὶ ἑτερότητος μετέχειν τὰ εἴδη ἀμφότερα , ἑτερότητος μὲν ἀορίστως , ταυτότητος δὲ ὡρισμένως , γενικῶς μὲν μονάδα καὶ δυάδα , ὑποβεβηκότως δὲ περισσόν μὲν ταυτότητος διὰ τὸ μονάδι ὁμογενὲς εἶναι , ἄρτιον δὲ ἑτερότητος διὰ τὸ δυάδι . καὶ ἔτι ἐκδηλότερον , τετράγωνον μὲν διὰ τὸ σύνθεσιν περισσοῦ εἶναι ταυτότητι συγγενῆ ὑπάρχειν , ἑτερομήκη δὲ διὰ τὸ ἀρτίου ἑτερότητι · καὶ γὰρ καὶ ὡς φιλάλληλα ἐν τοῖς δυσὶ στίχοις μεταδιδόασιν ἀλλήλοις τὰ δύο εἴδη ταῦτα παρὰ μέρος τῶν αὐτῶν διαφορῶν , εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν λόγων , καὶ ἀνάπαλιν τῶν αὐτῶν λόγων , εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν διαφορῶν · ὃ γὰρ μεταξύ τοῦ δ καὶ τοῦ β διπλασίως , τοῦτο ἐπιμορίως μεταξύ τοῦ Ϛ καὶ τοῦ δ , καὶ πάλιν ὃ μεταξύ τοῦ θ καὶ Ϛ ἡμιολίως , τοῦτο μεταξύ τοῦ ιβ καὶ θ ἐπιτρίτως , καὶ ἀεὶ οὕτως · καὶ ὃ ποιότητι ταυτόν , ποσότητι ἕτερον , καὶ τοὐναντίον ὃ ποσότητι ταυτόν , ποιότητι ἕτερον . καὶ πάλιν , ὅτι ἀναγκαίως κατὰ πάσας τὰς σχέσεις ἡ αὐτὴ διαφορὰ τῶν δύο ὅρων μονάδι ἐξηλλαγμένως μέρος λεχθήσεται , τοῦ μὲν ἥμισυ , τοῦ δὲ τρίτον ὑπάρχουσα , ἢ τοῦ μὲν τρίτον , τοῦ δὲ τέταρτον , ἢ ἄλλως τοῦ μὲν τέταρτον , τοῦ δὲ πέμπτον , καὶ ἐφεξῆς οὕτως . ὃ δὲ μάλιστα βεβαιώσει , ταυτότητος αἰτιώτατον εἶναι τὸ περισσόν , οὐδέποτε δὲ τὸ ἄρτιον , ἐκεῖνο παραδεικτέον ἐν πάσῃ ἀπὸ μονάδος ἀναλόγῳ ἐκθέσει , οἷον διπλασίῳ μὲν α , β , δ , η , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚ , τριπλασίῳ δὲ α , γ , θ , κζ , πα , αμγ , ψκθ , βρπζ καὶ μέχρι οὐ βούλει , πάντας εὑρήσεις ἐξ ἀνάγκης τοὺς ἐν περισσαῖς χώραις τετραγώνους , ἄλλους δὲ οὐκέτι οὐδεμιᾷ μηχανῇ , οὐδένα δὲ ἐν ἀρτίᾳ τετράγωνον , ἀλλὰ καὶ οἱ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις ἄπαντες , τουτέστι κύβοι τριχὴ διαστατοὶ ὄντες καὶ ταυτότητος ἐπὶ πλεῖον δοκοῦντες μετέχειν ἔργον εἰσὶ περισσῶν , ἀλλ᾿ οὐκ ἀρτίων , ὁ α καὶ η καὶ κζ καὶ ξδ καὶ ρκε καὶ σιϚ καὶ οἱ ἀνάλογον προχωροῦντες καὶ ἁπλῇ γε καὶ ἀποικίλῳ ἐφόδῳ · ἐκτεθέντων γὰρ τῶν ἀπὸ μονάδος ἐπ᾿ ἄπειρον συνεχῶν περισσῶν ἐπισκόπει οὕτως , ὁ πρῶτος τὸν δυνάμει κύβον ποιεῖ , οἱ δὲ δύο μετ᾿ ἐκεῖνον συντεθέντες τὸν δεύτερον , οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις τρεῖς τὸν τρίτον , οἱ δὲ συνεχεῖς τούτοις τέσσαρες τὸν τέταρτον , οἱ δὲ ἐφεξῆς τούτοις πέντε τὸν πέμπτον καὶ οἱ ἐξῆς ἕξ τὸν ἕκτον καὶ τοῦτο μέχρις αἰεί .
Lemmas: κ . ἔτι δέ καί πᾶς πετράγωνος προσλαμβάνω ὁ ἑαυτοῦ πλευρά ἑτερομήκης γίγνομαι ἤ νή Ζεύς ἀφαιρέω ὁ ἑαυτοῦ πλευρά · οὕτως καί ὁ ἕτερος καί ἐπί ὁ πολύς καί ἐπί ὁ ἐλαχύς νοέω ὁ ταυτός , εἴπερ κατά πρόσθεσις καί ἀφαίρεσις συντελέω , καθά καί ὁ ἄνισος ὁ δύο εἶδος ὁ τε μέγας καί ὁ ἐλαχύς κατά πρόσθεσις ἤ ἀφαίρεσις προσγίγνομαι ὁ ἴσος ὁ γένεσις λαμβάνω . ἱκανός καί οὗτος τεκμήριον ὁ ταυτότης καί ἑτερότης μετέχω ὁ εἶδος ἀμφότερος , ἑτερότης μέν ἀόριστος , ταυτότης δέ ὡρισμένως , γενικός μέν μονάς καί δυάς , ὑποβεβηκότως δέ περισσός μέν ταυτότης διά ὁ μονάς ὁμογενής εἰμί , ἄρτιος δέ ἑτερότης διά ὁ δυάς . καί ἔτι ἔκδηλος , τετράγωνος μέν διά ὁ σύνθεσις περισσός εἰμί ταυτότης συγγενής ὑπάρχω , ἑτερομήκης δέ διά ὁ ἄρτιος ἑτερότης · καί γάρ καί ὡς φιλάλληλος ἐν ὁ δύο στίχος μεταδίδωμι ἀλλήλων ὁ δύο εἶδος οὗτος παρά μέρος ὁ αὐτός διαφορά , εἰ μή καί ὁ αὐτός λόγος , καί ἀνάπαλιν ὁ αὐτός λόγος , εἰ μή καί ὁ αὐτός διαφορά · ὅς γάρ μεταξύ ὁ δ καί ὁ β διπλάσιος , οὗτος ἐπιμόριος μεταξύ ὁ Ϛ καί ὁ δ , καί πάλιν ὅς μεταξύ ὁ θ̅ καί Ϛ ἡμιόλιος , οὗτος μεταξύ ὁ ιβ καί θ̅ ἐπίτριτος , καί ἀεί οὕτως · καί ὅς ποιότης αὐτός , ποσότης ἕτερος , καί ἐναντίος ὅς ποσότης αὐτός , ποιότης ἕτερος . καί πάλιν , ὅτι ἀναγκαῖος κατά πᾶς ὁ σχέσις ὁ αὐτός διαφορά ὁ δύο ὅρος μονάς ἐξηλλαγμένως μέρος λέγω , ὁ μέν ἥμισυς , ὁ δέ τρίτος ὑπάρχω , ἤ ὁ μέν τρίτος , ὁ δέ τέταρτος , ἤ ἄλλος ὁ μέν τέταρτος , ὁ δέ πέμπτος , καί ἐφεξῆς οὕτως . ὅς δέ μάλα βεβαιόω , ταυτότης αἴτιος εἰμί ὁ περισσός , οὐδέποτε δέ ὁ ἄρτιος , ἐκεῖνος παραδεικτέον ἐν πᾶς ἀπό μονάς ἀνάλογος ἔκθεσις , οἷος διπλάσιος μέν α , β , δ , η̅ , ιϚ , λβ , ξδ , ρκη , σνϚʹ , τριπλάσιος δέ α , γ , θ̅ , κζʹ , πη , αμγʹ , ψκθʹ , βρπζʹ καί μέχρι οὐ βούλομαι , πᾶς εὑρίσκω ἐκ ἀνάγκη ὁ ἐν περισσός χώρα τετράγωνος , ἄλλος δέ οὐκέτι οὐδείς μηχανή , οὐδείς δέ ἐν ἄρτιος τετράγωνος , ἀλλά καί ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἀπάντομαι , τουτέστι κύβος τριχῆ διαστατός εἰμί καί ταυτότης ἐπί πολύς δοκέω μετέχω ἔργον εἰμί περισσός , ἀλλά οὐ ἄρτιος , ὁ α καί η̅ καί κζʹ καί ξδʹ καί ρκεʹ καί σιϚʹ καί ὁ ἀνάλογος προχωρέω καί ἁπλόος γε καί ἀποίκιλος ἔφοδος · ἐκτίθημι γάρ ὁ ἀπό μονάς ἐπί ἄπειρος συνεχής περισσός ἐπισκοπέω οὕτως , ὁ πρῶτος ὁ δύναμις κύβος ποιέω , ὁ δέ δύο μετά ἐκεῖνος συντίθημι ὁ δεύτερος , ὁ δέ ἐπί οὗτος τρεῖς ὁ τρίτος , ὁ δέ συνεχής οὗτος τέσσαρες ὁ τέταρτος , ὁ δέ ἐφεξῆς οὗτος πέντε ὁ πέμπτος καί ὁ ἑξῆς ἕξ ὁ ἕκτος καί οὗτος μέχρι ἀεί .