nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.13
ιγ . Ἐντεῦθεν ἤδη ῥᾴδιον συνιδεῖν , τίς τε ὁ στερεὸς ἀριθμὸς καὶ πῶς ἰσοπλεύρως ὁ τοιοῦτος προκόπτει · ὁ γὰρ πρὸς τοῖς δυσὶ διαστήμασι τοῖς ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ θεωρουμένοις ἐπὶ μῆκος καὶ ἐπὶ πλάτος τρίτον διάστημα προςειληφώς , ὅ τινες μὲν βάθος , τινὲς δὲ πάχος καλοῦσιν , ἔνιοι δὲ ὕψος , ἐκεῖνος ἂν εἴη στερεὸς ἀριθμὸς ὁ τριχῆ διαστατὸς καὶ ἔχων ἐν ἑαυτῷ μῆκος , βάθος , πλάτος . Πρώτιστα δὲ οὗτος φαντάζεται ἐν ταῖς λεγομέναις πυραμίσιν . αὗται δὲ γίνονται ἐκ πλατυτέρων βάσεων μειουριζόμεναι εἰς ὀξεῖαν κορυφήν , πρῶτον μὲν κατὰ τριγωνισμὸν ἀπὸ τριγώνου βάσεως , δεύτερον δὲ κατὰ τετραγωνισμὸν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως , ἑξῆς δὲ τούτοις κατὰ πενταγωνισμὸν ἀπὸ πενταγώνου βάσεως , εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπʼ ἄπειρον . καθάπερ ἀμέλει καὶ ἐν τοῖς γεωμετρικοῖς στερεοῖς σχήμασιν ἀπὸ τριγώνου ἰσοπλεύρου ἐάν τις εὐθείας ἐννοήσῃ τρεῖς ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς καθʼ ὕψος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον , πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ὑπὸ τεσσάρων περιεχομένη τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἴσων ἀλλήλοις , ἑνὸς μὲν τοῦ ἐξ ἀρχῆς τριγώνου , τριῶν δὲ τῶν περιγραφέντων ὑπὸ τῶν λεχθεισῶν τριῶν εὐθειῶν . καὶ πάλιν ἀπὸ τετραγώνου ἐπιπέδου ἐάν τις τέσσαρας εὐθείας λογίσηται τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τετραγώνου πλευραῖς ἑκάστην ἑκάστῃ πάλιν κατὰ τὸ ὕφος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον , πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως τετραγωνικῶς μειουριζομένη , περιεχομένη δὲ ὑπὸ τεσσάρων μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων , ἑνὸς δὲ τετραγώνου τοῦ ἐξ ἀρχῆς . καὶ ἀπὸ πενταγώνου δὲ καὶ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ μέχρις οὗ βούλεταί τις προχωρεῖν , τῷ αὐτῷ τρόπῳ εὐθεῖαι ἰσάριθμοι ταῖς γωνίαις ἀπʼ αὐτῶν τῶν γωνιῶν ἀνεγειρόμεναι καὶ εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ συννεύουσαι σημεῖον πυραμίδα ἀποκορυφοῦσιν ὀνομαζομένην ἀπὸ πενταγώνου βάσεως ἢ ἑξαγώνου ἢ ἑπταγώνου ἢ ἀνάλογον . οὕτω δὲ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἀπὸ μὲν μονάδος ὡς ἀπὸ σημείου πᾶς γραμμικὸς ηὐξήθη ἀριθμός , οἷον α , β γ , δ , ε καὶ οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον · ἀπʼ αὐτῶν δὲ τούτων γραμμικῶν ὄντων καὶ ἐφ᾿ ἓν διαστατῶν πως συντεθέντων καὶ οὐχ ὡς ἔτυχεν οἱ πολύγωνοι καὶ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πλάσσονται , τρίγωνοι μὲν παρὰ μηδένα συντεθέντων τῶν γνωμόνων , τετράγωνοι δὲ παρὰ ἕνα , πεντάγωνοι δὲ παρὰ δύο καὶ ἀεὶ οὕτως . τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ αὐτῶν τούτων τῶν ἐπιπέδων πολυγώνων ἀριθμῶν ἐπισωρευομένων ἀλλήλοις καὶ ὡςανεὶ ἐποικοδομουμένων αἱ ὁμογενεῖς ἑκάστῳ πυραμίδες γεννῶνται , ἡ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τριγώνων , ἡ δὲ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τετραγώνων , ἡ δὲ ἀπὸ πενταγώνου ἀπὸ τῶν πενταγώνων καὶ ἡ ἀπὸ ἑξαγώνου ἀπὸ τῶν ἑξαγώνων καὶ τοῦτο δι᾿ ὅλου . εἰσὶν οὖν αἱ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως εὔτακτοι αὗται α , δ , ι , κ , λε , νϚ , πδ καὶ ἐφεξῆς , ὧν ἡ γένεσις αὐτοὶ οἱ τρίγωνοι ἀλλήλοις ἐπισωρευόμενοι , πρῶτος μὲν ὁ α , εἶτα ὁ αγ , P εἶτα ὁ αγϚ , εῖτα πρὸς τούτοις ὁ ι καὶ ἐφεξῆς σύν τοῖς πρόσθεν ὁ ιε καὶ ἐπὶ τούτοις ὁ κα καὶ ἐξῆς ὁ κη καὶ ἐπʼ ἄπειρον . δῆλον δέ , ὅτι καὶ ὁ μείζων τῶν ἀριθμῶν κατώτατος νοεῖται , αὐτὸς γὰρ βάσις εὑρίσκεται , ὁ δὲ εὐθύς μετ᾿ αὐτὸν ὑπὲρ αὐτὸν καὶ ὁ μετ᾿ ἐκεῖνον ὑπὲρ τοῦτον , ἕως ἄν ἡ μονὰς ἐπὶ τῇ κορυφῇ φανῇ καὶ ὡςανεὶ εἰς σημεῖον ἀπομειουρίσῃ τὴν τελείωσιν τῆς πυραμίδος .
Lemmas: πνίξ . ἐντεῦθεν ἤδη ῥᾴδιος συνοράω , τίς τε ὁ στερεός ἀριθμός καί πῶς ἰσόπλευρος ὁ τοιοῦτος προκόπτω · ὁ γάρ πρός ὁ δύο διάστημα ὁ ἐν ὁ ἐπίπεδος σχηματογραφία θεωρέω ἐπί μῆκος καί ἐπί πλάτος τρίτος διάστημα προσλαμβάνω , ὅς τις μέν βάθος , τις δέ πάχος καλέω , ἔνιοι δέ ὕψος , ἐκεῖνος ἄν εἰμί στερεός ἀριθμός ὁ τριχῆ διαστατός καί ἔχω ἐν ἑαυτοῦ μῆκος , βάθος , πλάτος . πρῶτος δέ οὗτος φαντάζω ἐν ὁ λέγω πυραμίς . οὗτος δέ γίγνομαι ἐκ πλατύς βάσις μειουρίζω εἰς ὀξύς κορυφή , πρῶτος μέν κατά τριγωνισμός ἀπό τρίγωνον βάσις , δεύτερος δέ κατά τετραγωνισμός ἀπό τετράγωνος βάσις , ἑξῆς δέ οὗτος κατά πενταγωνισμός ἀπό πεντάγωνος βάσις , εἶτα ἀνάλογος ἀπό ἑξάγωνος καί ἑπτάγωνος καί ὀκτάγωνος καί ἀεί ἐπί ἄπειρος . καθά ἀμέλει καί ἐν ὁ γεωμετρικός στερεός σχῆμα ἀπό τρίγωνον ἰσόπλευρος ἐάν τις εὐθεῖα ἐννοέω τρεῖς ἀπό ὁ γωνία ὁ μῆκος ἴσος ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά κατά ὕψος συννεύω εἰς εἷς καί ὁ αὐτός σημεῖον , πυραμίς ἄν ἀποτελέω ὑπό τέσσαρες περιέχω τρίγων ἰσόπλευρος τε καί ἴσος ἀλλήλων , εἷς μέν ὁ ἐκ ἀρχή τρίγωνον , τρεῖς δέ ὁ περιγράφω ὑπό ὁ λέγω τρεῖς εὐθεῖα . καί πάλιν ἀπό τετράγωνος ἐπίπεδος ἐάν τις τέσσαρες εὐθεῖα λογίζομαι ὁ μῆκος ἴσος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ἕκαστος ἕκαστος πάλιν κατά ὁ ὕφος συννεύω εἰς εἷς καί ὁ αὐτός σημεῖον , πυραμίς ἄν ἀποτελέω ἀπό τετράγωνος βάσις τετραγωνικός μειουρίζω , περιέχω δέ ὑπό τέσσαρες μέν τρίγων ἰσόπλευρος , εἷς δέ τετράγωνος ὁ ἐκ ἀρχή . καί ἀπό πεντάγωνος δέ καί ἑξάγωνος καί ἑπτάγωνος καί μέχρι ὅς βούλομαι τις προχωρέω , ὁ αὐτός τρόπος εὐθεῖα ἰσάριθμος ὁ γωνία ἀπό αὐτός ὁ γωνία ἀνεγείρω καί εἰς εἷς καί ὁ αὐτός συννεύω σημεῖον πυραμίς ἀποκορυφόω ὀνομάζω ἀπό πεντάγωνος βάσις ἤ ἑξάγωνος ἤ ἑπτάγωνος ἤ ἀνάλογος . οὕτως δέ καί ἐν ὁ ἀριθμός ἀπό μέν μονάς ὡς ἀπό σημεῖον πᾶς γραμμικός αὐξάνω ἀριθμός , οἷος α , β γ , δ , ε καί ὁ ἑξῆς ἐπί ἄπειρος · ἀπό αὐτός δέ οὗτος γραμμικός εἰμί καί ἐπί εἷς διαστατός πως συντίθημι καί οὐ ὡς τυγχάνω ὁ πολύγωνος καί ἐπίπεδος ἀριθμός πλήσσω , τρίγωνος μέν παρά μηδείς συντίθημι ὁ γνώμων , τετράγωνος δέ παρά εἷς , πεντάγωνος δέ παρά δύο καί ἀεί οὕτως . ὁ αὐτός δή τρόπος καί αὐτός οὗτος ὁ ἐπίπεδος πολύγωνος ἀριθμός ἐπισωρεύω ἀλλήλων καί ὡσανεί ἐποικοδομέω ὁ ὁμογενής ἕκαστος πυραμίς γεννάω , ὁ μέν ἀπό τρίγωνος βάσις ἀπό αὐτός ὁ τρίγων , ὁ δέ ἀπό τετράγωνος βάσις ἀπό αὐτός ὁ τετράγωνος , ὁ δέ ἀπό πεντάγωνος ἀπό ὁ πεντάγωνος καί ὁ ἀπό ἑξάγωνος ἀπό ὁ ἑξάγωνος καί οὗτος διά ὅλος . εἰμί οὖν ὁ μέν ἀπό τρίγωνον βάσις εὔτακτος οὗτος α , δ , ι̅ , κ , λε , νϚ , πδ καί ἐφεξῆς , ὅς ὁ γένεσις αὐτός ὁ τρίγωνος ἀλλήλων ἐπισωρεύω , πρῶτος μέν ὁ α , εἶτα ὁ αγ , P εἶτα ὁ αγϚ , εἶτα πρός οὗτος ὁ ι̅ καί ἐφεξῆς σύν ὁ πρόσθεν ὁ ιος καί ἐπί οὗτος ὁ ἄν καί ἑξῆς ὁ πη καί ἐπί ἄπειρος . δῆλος δέ , ὅτι καί ὁ μέγας ὁ ἀριθμός κάτος νοέω , αὐτός γάρ βάσις εὑρίσκω , ὁ δέ εὐθύς μετά αὐτός ὑπέρ αὐτός καί ὁ μετά ἐκεῖνος ὑπέρ οὗτος , ἕως ἄν ὁ μονή ἐπί ὁ κορυφή φαίνω καί ὡσανεί εἰς σημεῖον ἀπομειουρίζω ὁ τελείωσις ὁ πυραμίς .