nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.12
ιβ . Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως Xl τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ · ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα , δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθʼ ἕκαστον , ἀλλὰ κἀκεῖθεν · πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρεθὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν · οἷον τρίγωνοι μέν εἰσιν α , γ , Ϛ , ι , ιε , κα , κη , λϚ , με , νε καὶ οἱ ἑξῆς , τετράγωνοι δὲ α , δ , θ , ιϚ , κε , λϚ , μθ , ξδ , πα , ρ δύο δή , οὓς ἂν θέλῃς , τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπʼ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι · καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ σχήματι τρίγωνον προςζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ , οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προςζευχθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προςτεθείς , δηλονότι ὁ γ , πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ , τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως . κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προςτιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει , τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προςπλεκόμενοι τοὺς ἐν τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετʼ ἐκείνους τοὺς ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον . πρὸς δὲ ὑπόμνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλλήλως γεγραμμένοι οἵδε , ὁ πρῶτος τρίγωνων , ὁ μετʼ αὐτὸν τετραγώνων , μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πενταγώνων , εἶτα ἑξαγώνων , εἶτα ἑπταγώνων , εἶτα , εἰ ἐθέλοι τις , καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων · μῆκος καὶ πλάτος τρίγωνοι α γ Ϛ ι ιε κα κη λϚ με νε τετράγωνο α δ θ ιϚ κε λϚ μθ ξδ πα ρ πεντάγωνοι α ε ιβ κβ λε να ο Ϟβ ριζ ρμε ἑξάγωνοι α Ϛ ιε κ με ξϚ Ϟα ρκ ρνγ ρϞ ἑπτάγωνοι α ζ ιη λδ νε πα ριβ ρμη ρπθ σλε βάθος ἔξεστι δὲ καὶ τῶν ἐφεξῆς πολυγώνων τὴν ἔκθεσιν ἐν παραλλήλοις οὕτω στίχοις ποιήσασθαι . καθολικῶς γὰρ εὑρήσεις τοὺς μὲν τετραγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς σύστημα ὄντας ὁμοταγῶν τριγώνων καὶ ἔτι τῶν ὑπερκειμένων ἐκείνοις ὁμογενῶν , οἷον τὸν δ τοῦ γ καὶ α , τὸν θ τοῦ Ϛ καὶ γ , τὸν ιϚ τοῦ ι καὶ Ϛ , τὸν κε τοῦ ιε καὶ ι , τὸν δὲ λϚ τοῦ κα καὶ ιε καὶ μέχρις ἀεὶ οὕτως · τοὺς δὲ πενταγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν τετραγώνων σύστημα ὄντας καὶ προςέτι τῶν πρωτογενῶν τριγώνων , ὅσοι εἰσὶ μονάδι ἔλαττον ὁμοταγεῖς , οἷον ὁ μὲν ε τοῦ δ καὶ α , ὁ δὲ ιβ τοῦ θ καὶ γ , ὁ δὲ κβ τοῦ ιϛ καὶ ϛ , ὁ δὲ λε τοῦ κε καὶ ι καὶ ἀεὶ οὕτως . πάλιν δὲ οἱ ἑξάγωνοι τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν πενταγώνων καὶ τῶν προεκτεθέντων τριγώνων ὁμοίως , οἷον ὁ Ϛ τοῦ ε καὶ α , ὁ ιε τοῦ ιβ καὶ γ , ὁ δὲ κη τοῦ κῆ καὶ Ϛ , ὁ δὲ με τοῦ λε καὶ ι καὶ μέχρις οὗ βούλει . τῶν δὲ ἑπταγώνων ὁ αὐτὸς τρόπος · ὁ μὲν γὰρ ζ σύστημα τοῦ Ϛ καὶ α , ὁ δὲ ιη τοῦ ιε καὶ γ , ὁ δὲ λδ τοῦ κη καὶ Ϛ καὶ οἱ ἑξῆς ἀκολούθως , ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύστημα τοῦ τε ὑπὲρ αὐτὸν ὁμοταγοῦς μονάδι ἐλάττονος ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ ὁμοταγοῦς παῤ ἓν κειμένου . εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων τὸ τρίγωνον καὶ ἐν γραμμαῖς καὶ ἐν ἀριθμοῖς · καὶ γὰρ καὶ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι εὑρίσκονται οἱ συνεχεῖς αἰεὶ ἀριθμοὶ κατὰ τοὺς στίχους αὐτούς ἔχοντες διαφορὰς τοὺς εὐτάκτους τριγώνους .
Lemmas: Ἶβ . καί περί μέν ὁ ὁ πολύγωνος φύσις Xl ὁ ἐπίπεδος ἱκανός οὗτος ὡς ἐν πρῶτος εἰσαγωγή · ὅτι δέ σύμφωνος διδασκαλία ὁ περί αὐτός ὁ γραμμικός καί οὐ ἀπᾴδω , δῆλος ἄν εἰμί οὐ μόνος ἐκ ὁ σχηματογραφία ὁ κατά ἕκαστος , ἀλλά ἐκεῖθεν · πᾶς τετράγωνος σχῆμα διαγώνιος διαιρέω εἰς δύο τρίγωνος λύω καί πᾶς τετράγωνος ἀριθμός εἰς δύο τρίγωνος συνεχής λύω καί ἐκ ἄρα δύο τρίγων συνεχής συνίστημι · οἷον τρίγωνος μέν εἰμί α , γ , Ϛ , ι̅ , ιος , ἄν , πη , λϚ , ἐγώ , νε καί ὁ ἑξῆς , τετράγωνος δέ α , δ , θ̅ , ιϚ , ἄν , λϚ , μθ , ξδ , πη , ρ̅ δύο δή , ὅς ἄν ἐθέλω , τρίγωνος συνεχής ἀλλήλων συντίθημι πάντως τετράγωνος ποιέω καί ὅστις τετράγωνος ἄρα διαλύω δύναμαι δύο ἀπό αὐτός τρίγωνος ποιέω · καί πάλιν πᾶς τετράγωνος σχῆμα τρίγωνον προσζεύγνυμαι ὁθενοῦν πεντάγωνος ποιέω , οἷος ὁ δ τετράγωνος ὁ α τρίγωνος προσζεύγνυμαι ὁ ε πεντάγωνος ποιέω καί ὁ θ̅ ὁ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προστίθημι , δηλονότι ὁ γ , πεντάγωνος ὁ ιβ ποιέω , ὁ δέ ιϛ εἰμί ἀκόλουθος ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντίθημι ὁ κβʹ ἀκόλουθος ἀποδίδωμι καί ὁ ἄν ὁ ι̅ ὁ λε καί ἀεί οὕτως . κατά δέ ὁ αὐτός ἐάν ὁ πεντάγωνος ὁ τρίγωνος προστιτίθημι ὁ αὐτός τάξις , ὁ εὔτακτος γεννάω ἑξάγωνος καί πάλιν ἐκεῖνος ὁ αὐτός προσπλέκω ὁ ἐν τάξις ἑπτάγωνος ποιέω καί μετά ἐκεῖνος ὁ ὀκτάγωνος καί οὗτος ἐπί ἄπειρος . πρός δέ ὑπόμνησις ἔκκειμαι ἐγώ πολύγωνον στίχος παράλληλος γράφω ὅδε , ὁ πρῶτος τρίγων , ὁ μετά αὐτός τετράγωνος , μετά δέ ἀμφότερος πεντάγωνος , εἶτα ἑξάγωνος , εἶτα ἑπτάγωνος , εἶτα , εἰ ἐθέλω τις , καί ὁ ἑξῆς πολύγωνον · μῆκος καί πλάτος τρίγωνος α γ Ϛ ι ιος ἄν καί λϚ ἐγώ νε τετράγωνος α δεσποινίδα θ ιϛʹ ἄν λϚ μθ ξδ πῃ ρ πεντάγωνος α ε Ἶβ κβ λέα να ὁ Ϟβ ῥίζα ρ ἑξάγωνος α Ϛ ιε κ ἐγώ ξϚ Ἠ ρκεʹ ρνγ ρϞ ἑπτάγωνος α ζ εἷς λδ νε πῃ Ρίβα ρμη ρπθ σελ βάθος ἔξεστι δέ καί ὁ ἐφεξῆς πολύγωνον ὁ ἔκθεσις ἐν παράλληλος οὕτως στίχος ποιέω . καθολικός γάρ εὑρίσκω ὁ μέν τετράγωνος ὁ ὑπέρ αὐτός σύστημα εἰμί ὁμοταγής τρίγων καί ἔτι ὁ ὑπέρκειμαι ἐκεῖνος ὁμογενής , οἷος ὁ δ ὁ γ καί α , ὁ θ̅ ὁ Ϛ καί γ , ὁ ιϚ ὁ ι̅ καί Ϛ , ὁ ἄν ὁ ιος καί ι̅ , ὁ δέ λϚ ὁ ἄν καί ιεʹ καί μέχρι ἀεί οὕτως · ὁ δέ πεντάγωνος ὁ ὑπέρ αὐτός ὁμοταγής τετράγωνος σύστημα εἰμί καί προσέτι ὁ πρωτογενής τρίγων , ὅσος εἰμί μονάς ἐλαχύς ὁμοταγής , οἷος ὁ μέν ε ὁ δ καί α , ὁ δέ ιβ ὁ θ̅ καί γ , ὁ δέ κβʹ ὁ ιϛ καί ϛ , ὁ δέ λε ὁ ἄν καί ι̅ καί ἀεί οὕτως . πάλιν δέ ὁ ἑξάγωνος ὁ ὑπέρ αὐτός ὁμοταγής πεντάγωνος καί ὁ προεκτίθεμαι τρίγων ὅμοιος , οἷος ὁ Ϛ ὁ ε καί α , ὁ ιος ὁ ιβ καί γ , ὁ δέ πη ὁ πη καί Ϛ , ὁ δέ ἐγώ ὁ λε καί ι̅ καί μέχρι ὅς βούλομαι . ὁ δέ ἑπτάγωνος ὁ αὐτός τρόπος · ὁ μέν γάρ ζ̅ σύστημα ὁ Ϛ καί α , ὁ δέ ιη ὁ ιος καί γ , ὁ δέ λδ ὁ πη καί Ϛ καί ὁ ἑξῆς ἀκόλουθος , ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύστημα ὁ τε ὑπέρ αὐτός ὁμοταγής μονάς ἐλαχύς ὁμογώνιος καί ὁ ἀνώτατος τρίγωνον ὁ ὁμοταγής παρά εἷς κεῖμαι . ἔοικα ἄρα στοιχεῖον πολύγωνον ὁ τρίγωνος καί ἐν γραμμή καί ἐν ἀριθμός · καί γάρ καί κατά βάθος καί κατά πλάτος ἐν ὁ διάγραμμα εὑρίσκω ὁ συνεχής ἀεί ἀριθμός κατά ὁ στίχος αὐτός ἔχω διαφορά ὁ εὔτακτος τρίγωνος .