nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 1.23
κγ . Πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστιν ἡ λοιπὴ σχέ - σις τοῦ ἀριθμοῦ · αὕτη τε καὶ ἡ σὺν τῇ ὑπο προθέσει ἀντονομαζομένη αὐτῇ ἔστιν , ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἀριθμὸν ὅλον τε ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ( τουτέστι δὶς ἢ τρὶς ἢ ὁσακιςοῦν ) καὶ πρὸς τούτῳ μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸς ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς . ταῦτα δὲ οὐκ ἔστι μὲν ἡμίση διὰ τὰ προλεχθέντα ἤτοι δὲ τρίτα ἢ τέταρτα ἢ πέμπτα καὶ κατὰ τὴν ὁμοίαν ἀκολουθίαν . οὐ χαλεπὸν δὲ ἐκ τῶν προφρασθέντων νοῆσαι καὶ τὰ τούτου εἴδη , ὡς ὁμοίως καὶ ἀπαραλλάκτως τοῖς πρὸ αὐτοῦ ποικίλλεται , διπλασιεπιδιμερής , εἶτα διπλασιεπιτριμερής , εἶτα διπλασιεπιτετραμερής , καὶ ἀνάλογον · οἷον ὁ μὲν η τοῦ γ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ ὁ ιϚ τοῦ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ καθόλου οἱ ἀπὸ ὀγδοάδος ὀγδοάδι διαφέροντες τῶν ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφερόντων , ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν , καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν δύναιτʼ ἄν τις ἀκολουθῶν τοῖς προειρημένοις εὑρίσκειν τὴν εὐταξίαν · κἀνταῦθα δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει νοητέον προιοῦσαν καὶ συμμεταβαλλομένην τὴν τοῦ συγκρινομένου ἀντονομασίαν . Καὶ οὕτως αἱ δέκα ἀριθμητικαὶ σχέσεις πέρας ἡμῖν τῆς θεωρίας , ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰςαγωγῇ · ἔστι δέ τις γλαφυρωτέρα ἔφοδος καὶ ἀναγκαιοτάτη πρὸς πᾶσαν τὴν τῶν ὅλων φυσιολογίαν , ἥτις ἡμῖν σαφέστατα καὶ ἀναμφιλέκτως παρίστησιν , ὅτι πρῶτον μὲν τὸ καλὸν καὶ ὡρισμένον καὶ ὑπὸ ἐπιστήμην πῖπτον φύσει προγενέστερον τοῦ ἀορίστου καὶ ἀπεριλήπτου καὶ αἰσχροῦ , εἶτα ὅτι καὶ τὰ τοῦ ἀπείρου καὶ ἀορίστου μέρη καὶ εἴδη ὑπʼ ἐκείνου μορφοῦται καὶ περαίνεται καὶ τοῦ προςήκοντος κόσμου καὶ εὐταξίας τυγχάνει καὶ ὥςπερ ὑπὸ σφραγιστῆρός τινος ἢ μέτρου πάντα τὰ ἐμπίπτοντα μεταλαμβάνει τῆς ὁμοιότητος καὶ ὁμωνυμίας · οὕτω γὰρ εὐλόγως καὶ τὸ τῆς ψυχῆς λογικὸν τοῦ ἀλόγου κοσμητικὸν ἔσται καὶ ὁ θυμὸς καὶ ἡ ἐπιθυμία ἐν τοῖς τῆς ἀνισότητος δυσὶν εἴδεσι τεταγμένα ὑπὸ τοῦ διανοητικοῦ εὐτακτηθήσονται ὡς ὑπό τινος ἰσότητος καὶ ταυτότητος . ἐκ δὲ τῆς ἀπισώσεως ταύτης ὀρθῶς ἡμῖν ἀποβήσονται αἱ λεγόμεναι ἠθικαὶ ἀρεταί , σωφροσύνη , ἀνδρεία , πρᾳότης , ἐγκράτεια , καρτερία καὶ αἱ ὅμοιαι . Φέρε οὖν ἐπισκεψώμεθα , ποταπὸν τὸ εἰς τὰ φυσικὰ ταῦτα συντεῖνον θεώρημα · ἔστι δὲ ἀποδεικτικὸν τοῦ ἀπ᾿ ἰσότητος μονωτάτης καὶ πρωτίστης οἷον μητρός τινος καὶ ῥίζης γεννᾶσθαι πάντα τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδη καὶ εἰδῶν διαφοράς . προκείσθωσαν γὰρ ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί , πρῶτον μὲν μονάδες , εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν , εἶτα τριάδες , καὶ · ἑξῆς τετράδες , ἔπειτα πεντάδες , καὶ τοῦτο μέχρις οὗ βούλει · οὕτω γὰρ τῆς τούτων ἐκθέσεως θείῳ τινὶ καὶ οὐκ ἀνθρωπίνῳ λόγῳ , ἀλλʼ ἀπὸ φύσεως αὐτῆς γεγονυίας πρῶτοι μὲν γενήσονται πολλαπλάσιοι , καὶ τούτων αὐτῶν ἡγήσεται μὲν διπλάσιος , μετʼ αὐτὸν δὲ τριπλάσιος , ἐπὶ δὲ τούτῳ τετραπλάσιος , εἶτα πενταπλάσιος , καὶ κατὰ τὴν προεπιγνωσθεῖσαν ἡμῖν τάξιν ἐπʼ ἄπειρον · δεύτερος δὲ ἐπιμόριος , καὶ τούτου πάλιν ἡγήσεται τὸ πρώτιστον εἶδος ἡμιόλιος , ἐπὶ τούτῳ δὲ τὸ μετʼ αὐτὸ ἐπίτριτος , ἐπὶ δὲ τούτοις ὁ τάξει ἑξῆς ἐπτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ ἀνάλογον ἐπʼ ἄπειρον · τρίτον δὲ τὸ ἐπιμερές , καὶ πάλιν αὐτοῦ τούτου ἐπιδιμερὲς μὲν ἡγήσεται , ἕπεται δʼ εὐθὺς ἐπὶ τούτῳ τὸ ἐπιτριμερές , εἶτα τὸ ἐπιτετραμερές , καὶ εὐθὺς τὸ ἐπιπενταμερές , καὶ μέχρις ἂν προχωρῇ τις ἀκολούθως τοῖς ἔμπροσθεν . προςτάγματα οὖν τινα δεῖ ἔχειν οἷον νόμους φυσικοὺς ἀπαρεγκλίτους καὶ ἀπαραβάτους , οἷς πᾶσα ἡ προλεχθεῖσα πρόβασις καὶ προχώρησις ἀπὸ τῆς ἰσότητος εὐοδώσει μὴ λειποτακτουμένη · τὰ δὲ προςτάγματα ταῦτά ἐστι , πρῶτον πρώτῳ ἶσον ποιῆσαι , δεύτερον δὲ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ , τρίτον δὲ πρώτῳ καὶ δυσὶ δευτέροις ἅμα καὶ τρίτῳ · γένοιτο γὰρ μετὰ τούτων τῶν νόμων πλάσσοντί σοι εὐθὺς μὲν τὰ τοῦ πολλαπλασίου ἅπαντα εἴδη τάξει ἐκ τῶν τῆς ἰσότητος τριῶν ἐκκειμένων ὅρων οἷον βλαστάνοντα καὶ ἐκφυόμενα , σοῦ μηδὲν ἐπιτηδεύοντος μηδὲ συλλαμβάνοντος · καὶ ἐκ μὲν ἰσότητος εὐθὺς τὸ διπλάσιον , ἐκ δὲ διπλασίου εὐθὺς τὸ τριπλάσιον , ἐκ δὲ τριπλασίου ἑξῆς τὸ τετραπλάσιον καὶ ἐκ τούτου τὸ πενταπλάσιον εὐτάκτως καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί . ἐκ δὲ αὐτῶν τούτων τῶν εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστραφέντων εὐθὺς γεννῶνται φύσει τινὶ ἀναγκαίᾳ διὰ τῶν αὐτῶν τριῶν προςταγμάτων οἱ ἐπιμόριοι , καὶ οὗτοι οὐχ ὡς ἔτυχεν οὐδὲ ἀτάκτως , ἀλλὰ τῇ προςηκούσῃ ἀκολουθίᾳ · ἐκ μὲν τοῦ πρώτου διπλασίου ἀναστραφέντος ὁ πρῶτος ἡμιόλιος , ἐκ δὲ τοῦ δευτέρου τριπλασίου ὁ ἐν ἐκείνοις δεύτερος ἐπίτριτος , εἶτα ἐπιτέταρτος ἐκ τετραπλασίου , καὶ ἀπλῶς ἕκαστος ἀπʼ ἐκείνου , ᾧ παρώνυμός ἐστιν . ἀπὸ δὲ ἄλλης ἀρχῆς αὐτῶν τῶν ἐπιμορίων ἐκκειμένων , ὥςπερ καὶ ἀνεφύησαν , ἀναστρόφως μέντοι , γεννῶνται οἱ φύσει μετʼ αὐτοὺς ἐπιμερεῖς · ἀπὸ μὲν τοῦ ἡμιολίου ἐπιδιμερής , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς ἐκ τοῦ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπʼ ἄπειρον τῇ αὐτῇ ἀναλογίᾳ . μὴ ἀναστρεφομένων δέ , ἀλλʼ ὀρθῶς ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶνται διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι · διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου ἡμιολίου , διπλασιεπίτριτος δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἐπιτρίτοu , διπλασιεπιτέταρτος δὲ ἐκ τοῦ τρίτου ἐπιτετάρτου , καὶ ἀεὶ οὕτως . ἐκ δὲ τῶν ἐξ ἀναστροφῆς τῶν ἐπιμορίων γεννηθέντων , τουτέστι τῶν ἐπιμερῶν , καὶ τῶν μὴ ἐξ ἀναστροφῆς , τουτέστι πολλαπλασιεπιμορίων , πάλιν τῷ αὐτῷ τρόπῳ διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων ἀπογεννῶνται ὀρθῶς τε κειμένων καὶ ἀναστρεφομένων οἱ τὰς λοιπὰς σχέσεις ἐμφαίνοντες ἀριθμοί . πάντων δὲ τῶν προειρημένων , γενέσεώς τε αὐτῶν καὶ τάξεως , ὀρθότητός τε καὶ ἀναστροφῆς ὑποδείγματα ἀρκείτω ἡμῖν πρὸς ὑπόμνησιν τὰ τοσαῦτα . ἐκ μὲν τῆς ἐν ἡμιολίοις σχέσεως καὶ ἀναλογίας ἀνεστραμμένης ἐκ τοῦ μείζονος ὅρου συνίσταται σχέσις ἐν ἐπιμερέσι λόγοις ἐπιδίτριτος , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος κειμένης ὀρθῶς πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεφήμισυς , ὡς ἀπὸ τοῦ θ , ϛ , δ ἤτοι θ , ιε , κε ἢ δ , ι , κε · ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἐπιμερὴς ἤτοι τριςεπιτέταρτος , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάσσονος διπλασιεπίτριτος , ὡς ἐκ τοῦ ιϚ , ιβ , θ ἤτοι ιϚ , κη , μθ ἢ θ , κα , μθ · ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ ὑπερέχοντος ἐπιμερὴς ἤτοι τετρακιςεπίπεμπτος , ἐκ δὲ τοῦ ἐλάττονος πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεπιτέταρτος , ὡς ἐκ τοῦ κε , κ , ιϚ ἤτοι κε , μδ , πα ἢ ιϚ , λϚ , πα . ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν διαζευχθεισῶν καὶ ἀφʼ ἧς ἀμφότεραι , ὁ μὲν ἔσχατος τετράγωνος ὁ αὐτὸς μένει , ὁ δὲ πρῶτος εἰς τὸν ἐλάττονα μεταβαίνει , πάντως δὲ οἱ ἄκροι τετράγωνοι . ἀλλὰ μὴν καὶ ἑτέρως ἐκ τῶν ἐπιμερῶν οἱ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἑτερογενεῖς ἐπιμερεῖς ἀναφαίνονται , οἷον ἐκ μὲν τῆς διςεπιτρίτου ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἡ διπλασία καὶ διςεπίτριτος · ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τριςεπίπεμπτος , ὡς ἐκ τοῦ θ , ιε , κε ἤτοι θ , κδ , ξδ ἢ κε , μ , ξδ · ἐκ δὲ τῆς τριςεπιτετάρτου ἐκ μὲν τοῦ μικροτέρου ἡ διπλασία καὶ τριςεπιτέταρτος , ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τετρακιςεφέβδομος , ὡς ἐπὶ τοῦ ιϚ , κη , μθ ἤτοι ιϚ , μδ , ρκα ἢ μθ , οζ , ρκα . πάλιν δὲ ἐκ τῆς τετράκιςἐπιπέμπτου , οἷον τῆς κε , μδ , πσ , ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάσσονος ἡ διπλασία καὶ τετρακιςεπίπεμπτος ἐν τοῖς , κε , ο , ρϞϚ , ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος πάλιν ἐπιμερὴς ᾔ πεντακιςεπένατος ὡς ἐν τοῖς πα , ρκϚ , ρϞϚ , καὶ κατὰ τὰ ἐξῆς ἐπʼ ἄπειρον ἀνάλογα καὶ εὐάρμοστα εὑρήσεις . 1 . ( § . 8 ) : ὅρα , πῶς ἐκ τῆς ἰσότητος ἀπογεννῶνται τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη · α α α διπλ . α β δ τριπλ . α γ θ τετραπλ . α δ ιϚ πενταπλ . α ε κε ἑξαπλ . α Ϛ λϚ ἑπταπλ . α ζ μθ ὀκταπλ . α η ξδ ἐναπλ . α θ πα δεκαπλ . α ι ρ 2 . ( § . 9 ) : ὅρα , πῶς οἱ ἡμιόλιοι ἀπὸ τῶν διπλασίων ἀναστραφέντων · διπλάσιοι ἀναστραφέντες δ β α δ ϛ θ · ὅρα , πῶς οἱ ἐπίτριτοι ἀπὸ τῶν τριπλασίων , ἀναστραφέντων καὶ τούτων · τριπλάσιοι ἀναστραφέντες θ γ α ἐπίτριτοι θ ιβ ιϛ · ὅρα , πῶς καὶ οἱ ἐπιτέταρτοι ἀπὸ τῶν τετραπλασίων ἀναστραφέντων · τετραπλάσιοι ιϚ δ α ἐπιτέταρτοι ιϚ κ κε · πῶς καὶ ἐκ τῶν πενταπλασίων οἱ ἐπέπεμιπτοι · κε ε α κε λ λϚ · πῶς ἐκ τῶν ἑξαπλασίων οἱ ἔφεκτοι · λϚ Ϛ α λϚ μβ μθ · πῶς ἐκ τῶν ἑπταπλασίων οἱ ἐφέβδομοι · μθ ζ α μθ νϛ ξδ · καὶ ἐκ τῶν ὀκταπλασίων οἱ ἐπόγδοοι · ξδ η α ξδ οβ πα · καὶ ἐκ τῶν ἐναπλασίωον οἱ ἐπένατοι · πα θ α πα Ϟ ρ · καὶ ἐκ τῶν δεκαπλασίων οἱ ἐπιδέκατοι · ρ ι α ρ ρι ρκα . 3 . ( § . 10 ) : ὅρα , πῶς ἀναστρόφως ἐκκείμενοι οἱ ἐπιμόριοι ἀπεγέννησαν τοὺς ἐπιμερεῖς · τὰ εἴδη τοῦ ἐπιμορίου · ἡμιόλιοι ἀναστραφέντες ἐπίτριτοι ἐπιτέταρτοι θ ϛ δ ιϛ ιβ θ κε κ ιϚ ἐπιδιμερεῖς ἐπιτριμερεῖς ἐπιτετραμερεῖς θ ιε κε ιϚ κη μθ κε με πα ἐπίπεμπτοι ἔφεκτοι ἐφέβδομοι λϚ λ κε μθ με λϛ ξδ νϚ μθ ἐπιπενταμερεῖς ἐφεξαμερεῖς ἐφεπταμερείς ξϚ ρκα μθ Ϟα ρξθ ξδ ρκ σκε ἐπόγδοοι ἐπένατοι ἐπιδέκατοι πα οβ ξδ ρ Ϟ πα ρκα ρι ρ ἐποκταμερεῖς ἐπεναμερεῖς ἐπιδεκαμερεῖς πα ρνγ σπθ ρ ρϞ τξα ρκα σλα υμα ( in exemplis tribus extremis cod . G articulum adponit : οἱ ἐπόγδ . cet . ) Τέλος P . Τέλος τοῦ πρώτου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς εἰς δύο τοῦ Γερασυνοῦ μ . Τέλος τοῦ πρώτου βιβλίου ΗΓ
Lemmas: κγ . πολλαπλασιεπιμερής δέ εἰμί ὁ λοιπός σχῶ - τις ὁ ἀριθμός · οὗτος τε καί ὁ σύν ὁ ὑπό πρόθεσις ἀντονομάζω αὐτός εἰμί , ὅταν ἀριθμός ὁ συγκρίνω ἀριθμός ὅλος τε ἔχω ἐν ἑαυτοῦ πλεονάκις ἤ ἅπαξ ( τουτέστι δίς ἤ τρίς ἤ ὅσακις ) καί πρός οὗτος μέρος τις αὐτός πολύς εἷς ἤ β ἤ γ ἤ δ ἤ ε καί ἐφεξῆς . οὗτος δέ οὐ εἰμί μέν ἥμισυς διά ὁ προλέγω ἤτοι δέ τρίτος ἤ τέταρτος ἤ πέμπτος καί κατά ὁ ὅμοιος ἀκολουθία . οὐ χαλεπός δέ ἐκ ὁ προφράζω νοέω καί ὁ οὗτος εἶδος , ὡς ὅμοιος καί ἀπαράλλακτος ὁ πρό αὐτός ποικίλλω , διπλασιεπιδιμερής , εἶτα διπλασιεπιτριμερής , εἶτα διπλασιεπιτετραμερής , καί ἀνάλογος · οἷον ὁ μέν η̅ ὁ γ διπλασιεπιδιμερής καί ὁ ιϚ ὁ διπλασιεπιδιμερής καί καθόλου ὁ ἀπό ὀγδοάς ὀγδοάς διαφέρω ὁ ἀπό τριάς τριάς διαφέρω , ὁμοταγής ὁμοταγής , καί ἐπί ὁ λοιπός εἶδος δύναμαι ἄν τις ἀκολουθέω ὁ προλέγω εὑρίσκω ὁ εὐταξία · ἐνταῦθα δέ σύν ὁ ὑπό πρόθεσις νοέω προέρχομαι καί συμμεταβάλλω ὁ ὁ συγκρίνω ἀντονομασία . καί οὕτως ὁ δέκα ἀριθμητικός σχέσις πέρας ἐγώ ὁ θεωρία , ὡς ἐν πρῶτος λαμβάνω εἰσαγωγή · εἰμί δέ τις γλαφυρός ἔφοδος καί ἀναγκαῖος πρός πᾶς ὁ ὁ ὅλος φυσιολογία , ὅστις ἐγώ σαφής καί ἀναμφίλογος παρίστημι , ὅτι πρῶτος μέν ὁ καλός καί ὁρίζω καί ὑπό ἐπιστήμη πίπτω φύσις προγενής ὁ ἀόριστος καί ἀπερίληπτος καί αἰσχρός , εἶτα ὅτι καί ὁ ὁ ἄπειρος καί ἀόριστος μέρος καί εἶδος ὑπό ἐκεῖνος μορφόω καί περαίνω καί ὁ προσήκω κόσμος καί εὐταξία τυγχάνω καί ὥσπερ ὑπό σφραγιστήρ τις ἤ μέτρον πᾶς ὁ ἐμπίπτω μεταλαμβάνω ὁ ὁμοιότης καί ὁμωνυμία · οὕτως γάρ εὔλογος καί ὁ ὁ ψυχή λογικός ὁ ἄλογος κοσμητικός εἰμί καί ὁ θυμός καί ὁ ἐπιθυμία ἐν ὁ ὁ ἀνισότης δύο εἶδος τάσσω ὑπό ὁ διανοητικός εὐτακτέω ὡς ὑπό τις ἰσότης καί ταυτότης . ἐκ δέ ὁ ἀπίσωσις οὗτος ὀρθός ἐγώ ἀποβαίνω ὁ λέγω ἠθικός ἀρετή , σωφροσύνη , ἀνδρεία , πραότης , ἐγκράτεια , καρτερία καί ὁ ὅμοιος . φέρω οὖν ἐπισκοπέω , ποταπός ὁ εἰς ὁ φυσικός οὗτος συντείνω θεώρημα · εἰμί δέ ἀποδεικτικός ὁ ἀπό ἰσότης μόνος καί πρῶτος οἷος μήτηρ τις καί ῥίζα γεννάω πᾶς ὁ ὁ ἀνισότης ποικίλος εἶδος καί εἶδος διαφορά . πρόκειμαι γάρ ἐγώ ἐν τρεῖς ὅρος ἴσος τις ἀριθμός , πρῶτος μέν μονάς , εἶτα δυάς ἐν ἄλλος τρεῖς , εἶτα τριάς , καί · ἑξῆς τετράς , ἔπειτα πεντάς , καί οὗτος μέχρι ὅς βούλομαι · οὕτως γάρ ὁ οὗτος ἔκθεσις θεῖος τις καί οὐ ἀνθρώπινος λόγος , ἀλλά ἀπό φύσις αὐτός γίγνομαι πρῶτος μέν γίγνομαι πολλαπλάσιος , καί οὗτος αὐτός ἡγέομαι μέν διπλάσιος , μετά αὐτός δέ τριπλάσιος , ἐπί δέ οὗτος τετραπλάσιος , εἶτα πενταπλάσιος , καί κατά ὁ προεπιγιγνώσκω ἐγώ τάξις ἐπί ἄπειρος · δεύτερος δέ ἐπιμόριος , καί οὗτος πάλιν ἡγέομαι ὁ πρῶτος εἶδος ἡμιόλιος , ἐπί οὗτος δέ ὁ μετά αὐτός ἐπίτριτος , ἐπί δέ οὗτος ὁ τάξις ἑξῆς ἐπτέταρτος καί ἐπίπεμπτος καί ἔφεκτος καί ἀνάλογος ἐπί ἄπειρος · τρίτος δέ ὁ ἐπιμερής , καί πάλιν αὐτός οὗτος ἐπιδιμερής μέν ἡγέομαι , ἕπομαι δέ εὐθύς ἐπί οὗτος ὁ ἐπιτριμερής , εἶτα ὁ ἐπιτετραμερής , καί εὐθύς ὁ ἐπιπενταμερής , καί μέχρι ἄν προχωρέω τις ἀκόλουθος ὁ ἔμπροσθεν . πρόσταγμα οὖν τις δέω ἔχω οἷος νόμος φυσικός ἀπαρέγκλιτος καί ἀπαράβατος , ὅς πᾶς ὁ προλέγω πρόβασις καί προχώρησις ἀπό ὁ ἰσότης εὐοδόω μή λειποτακτόομαι · ὁ δέ πρόσταγμα οὗτος εἰμί , πρῶτος πρῶτος ἴσος ποιέω , δεύτερος δέ πρῶτος ἅμα καί δεύτερος , τρίτος δέ πρῶτος καί δύο δεύτερος ἅμα καί τρίτος · γίγνομαι γάρ μετά οὗτος ὁ νόμος πλήσσω σύ εὐθύς μέν ὁ ὁ πολλαπλάσιος ἅπας εἶδος τάξις ἐκ ὁ ὁ ἰσότης τρεῖς ἔκκειμαι ὅρος οἷος βλαστάνω καί ἐκφύω , σύ μηδείς ἐπιτηδεύω μηδέ συλλαμβάνω · καί ἐκ μέν ἰσότης εὐθύς ὁ διπλάσιος , ἐκ δέ διπλάσιος εὐθύς ὁ τριπλάσιος , ἐκ δέ τριπλάσιος ἑξῆς ὁ τετραπλάσιος καί ἐκ οὗτος ὁ πενταπλάσιος εὐτάκτως καί οὗτος μέχρι ἀεί . ἐκ δέ αὐτός οὗτος ὁ εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστράπτω εὐθύς γεννάω φύσις τις ἀναγκαῖος διά ὁ αὐτός τρεῖς πρόσταγμα ὁ ἐπιμόριος , καί οὗτος οὐ ὡς τυγχάνω οὐδέ ἄτακτος , ἀλλά ὁ προσήκω ἀκολουθία · ἐκ μέν ὁ πρῶτος διπλάσιος ἀναστρέφω ὁ πρῶτος ἡμιόλιος , ἐκ δέ ὁ δεύτερος τριπλάσιος ὁ ἐν ἐκεῖνος δεύτερος ἐπίτριτος , εἶτα ἐπιτέταρτος ἐκ τετραπλάσιος , καί ἀπλόος ἕκαστος ἀπό ἐκεῖνος , ὅς παρώνυμος εἰμί . ἀπό δέ ἄλλος ἀρχή αὐτός ὁ ἐπιμόριος ἔκκειμαι , ὥσπερ καί ἀναφύω , ἀνάστροφος μέντοι , γεννάω ὁ φύσις μετά αὐτός ἐπιμερής · ἀπό μέν ὁ ἡμιόλιος ἐπιδιμερής , ἀπό δέ ὁ ἐπίτριτος ἐπιτριμερής καί ἐπιτετραμερής ἐκ ὁ ἐπιτέταρτος καί ἐπί ἄπειρος ὁ αὐτός ἀναλογία . μή ἀναστρέφω δέ , ἀλλά ὀρθός ἔκκειμαι ὁ εὔτακτος ἐπιμόριος γεννάω διά ὁ αὐτός πρόσταγμα ὁ πολλαπλασιεπιμόριος · διπλασιεφήμισυς μέν ἐκ ὁ πρῶτος ἡμιόλιος , διπλασιεπίτριτος δέ ἐκ ὁ δεύτερος ἐπιτρίβω , διπλασιεπιτέταρτος δέ ἐκ ὁ τρίτος ἐπιτέταρτος , καί ἀεί οὕτως . ἐκ δέ ὁ ἐκ ἀναστροφή ὁ ἐπιμόριος γεννάω , τουτέστι ὁ ἐπιμερής , καί ὁ μή ἐκ ἀναστροφή , τουτέστι πολλαπλασιεπιμόριος , πάλιν ὁ αὐτός τρόπος διά ὁ αὐτός πρόσταγμα ἀπογεννάω ὀρθός τε κεῖμαι καί ἀναστρέφω ὁ ὁ λοιπός σχέσις ἐμφαίνω ἀριθμός . πᾶς δέ ὁ προλέγω , γένεσις τε αὐτός καί τάξις , ὀρθότης τε καί ἀναστροφή ὑπόδειγμα ἀρκέω ἐγώ πρός ὑπόμνησις ὁ τοσοῦτος . ἐκ μέν ὁ ἐν ἡμιόλιος σχέσις καί ἀναλογία ἀναστρέφω ἐκ ὁ μέγας ὅρος συνίστημι σχέσις ἐν ἐπιμερής λόγος ἐπιδίτριτος , ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς κεῖμαι ὀρθός πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεφήμισυς , ὡς ἀπό ὁ θ̅ , ϛ , δ ἤτοι θ̅ , ιος , ἄν ἤ δ , ι̅ , ἄν · ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπίτριτος ἀπό μέν ὁ μέγας ἐπιμερής ἤτοι τρισεπιτέταρτος , ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς διπλασιεπίτριτος , ὡς ἐκ ὁ ιϚʹ , ιβʹ , θ̅ ἤτοι ιϚʹ , πη , μθ ἤ θ̅ , ἄν , μθʹ · ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπιτέταρτος ἀπό μέν ὁ ὑπερέχω ἐπιμερής ἤτοι τετρακισεπίπεμπτος , ἐκ δέ ὁ ἐλαχύς πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεπιτέταρτος , ὡς ἐκ ὁ ἄν , κ , ιϚ ἤτοι ἄν , μδʹ , πη ἤ ιϚʹ , λϚʹ , πη . ἐπί πᾶς δέ ὁ διαζεύγνυμαι καί ἀπό ὅς ἀμφότερος , ὁ μέν ἔσχατος τετράγωνος ὁ αὐτός μένω , ὁ δέ πρῶτος εἰς ὁ ἐλαχύς μεταβαίνω , πάντως δέ ὁ ἄκρος τετράγωνος . ἀλλά μήν καί ἕτερος ἐκ ὁ ἐπιμερής ὁ πολλαπλασιεπιμερής καί ἑτερογενής ἐπιμερής ἀναφαίνω , οἷος ἐκ μέν ὁ δισεπίτριτος ἀπό μέν ὁ ἐλαχύς ὅρος ὁ διπλάσιος καί δισεπίτριτος · ἐκ δέ ὁ μέγας ὁ τρισεπίπεμπτος , ὡς ἐκ ὁ θ̅ , ιος , ἄν ἤτοι θ̅ , κδ , ξδ ἤ ἄν , μ , ξδ · ἐκ δέ ὁ τρισεπιτέταρτος ἐκ μέν ὁ μικρός ὁ διπλάσιος καί τρισεπιτέταρτος , ἐκ δέ ὁ μέγας ὁ τετρακισεφέβδομος , ὡς ἐπί ὁ ιϚʹ , πη , μθʹ ἤτοι ιϚʹ , μδʹ , ρκαʹ ἤ μθʹ , οζʹ , ρκαʹ . πάλιν δέ ἐκ ὁ τετρακιςεπιπεμπτος , οἷος ὁ ἄν , μδʹ , πςʹ , ἀπό μέν ὁ ἐλαχύς ὁ διπλάσιος καί τετρακισεπίπεμπτος ἐν ὁ , ἄν , ο̅ , ρϞϚʹ , ἀπό δέ ὁ μέγας πάλιν ἐπιμερής ἠμί πεντακισεπένατος ὡς ἐν ὁ πη , ρκϚʹ , ρϞϚʹ , καί κατά ὁ ἑξῆς ἐπί ἄπειρος ἀνάλογος καί εὐάρμοστος εὑρίσκω . 1 . ( § . 8 ) : ὁράω , πῶς ἐκ ὁ ἰσότης ἀπογεννάω ὁ ὁ πολλαπλάσιος εὔτακτος εἶδος · α α α διπλός . α Β δεσποινίδα τριπλός . α γ θ τετραπλός . α δεσποινίδα ιϛʹ πενταπλός . α ε ἄν ἑξαπλός . α Ϛ λϚ ἑπταπλ . α ζ μθ ὀκταπλ . α ὁ ξδ ἐναπλ . α θ πῃ δεκαπλός . α ι ρ 2 . ( § . 9 ) : ὁράω , πῶς ὁ ἡμιόλιος ἀπό ὁ διπλάσιος ἀναστρέφω · διπλάσιος ἀναστρέφω δεσποινίδα Β α δεσποινίδα ϛ θ · ὁράω , πῶς ὁ ἐπίτριτος ἀπό ὁ τριπλασίων , ἀναστρέφω καί οὗτος · τριπλάσιος ἀναστρέφω θ γ α ἐπίτριτος θ Ἶβ ιϛʹ · ὁράω , πῶς καί ὁ ἐπιτέταρτος ἀπό ὁ τετραπλάσιος ἀναστρέφω · τετραπλάσιος ιϛʹ δεσποινίδα α ἐπιτέταρτος ιϛʹ κ ἄν · πῶς καί ἐκ ὁ πενταπλάσιος ὁ ἐπιπέμπω · ἄν ε α ἄν λ λϚ · πῶς ἐκ ὁ ἑξαπλασίων ὁ ἔφεκτος · λϚ Ϛ α λϚ μβ μθ · πῶς ἐκ ὁ ἑπταπλάσιος ὁ ἐφέβδομος · μθ ζ α μθ νϛ ξδ · καί ἐκ ὁ ὀκταπλασίων ὁ ἐπόγδοος · ξδ ὁ α ξδ ΟΒΕ πῃ · καί ἐκ ὁ ἐναπλασίωον ὁ ἐπινάσσω · πῃ θ α πῃ Ϟ ρ · καί ἐκ ὁ δεκαπλάσιος ὁ ἐπιδέκατος · ρ ι α ρ Ῥίον κρα . 3 . ( § . 10 ) : ὁράω , πῶς ἀνάστροφος ἔκκειμαι ὁ ἐπιμόριος ἀπογεννάω ὁ ἐπιμερής · ὁ εἶδος ὁ ἐπιμόριος · ἡμιόλιος ἀναστρέφω ἐπίτριτος ἐπιτέταρτος θ ϛ δεσποινίδα ιϛʹ Ἶβ θ ἄν κ ιϛʹ ἐπιδιμερής ἐπιτριμερής ἐπιτετραμερής θ ιος ἄν ιϛʹ καί μθ ἄν ἐγώ πῃ ἐπίπεμπτος ἔφεκτος ἐφέβδομος λϚ λ ἄν μθ ἐγώ λϛ ξδ νϚ μθ ἐπιπενταμερής ἐφεξαμερής ἐφεπταμερείς ξϚ κρα μθ Ἠ ρξθ ξδ ρκεʹ σκῶ ἐπόγδοος ἐπινάσσω ἐπιδέκατος πῃ ΟΒΕ ξδ ρ Ϟ πῃ κρα Ῥίον ρ ἐποκταμερής ἐπεναμερεῖς επιδεκαμερης πῃ ρνγ σπθ ρ ρϞ ταξ κρα σλα ὑμέτερος ( in exemplis tribus extremis cod . G articulum adponit : ὁ ἐπόγδ . cet . ) Τέλος P . Τέλος ὁ πρῶτος ἀριθμητικός εἰσαγωγή εἰς δύο ὁ γερασυνοος μ . Τέλος ὁ πρῶτος βιβλίο ΗΓ