nicomachus-mathematics.introductio-arithmetica 2.27
κζ . Ὥςπερ δὲ ἐν τῇ τοῦ μουσικοῦ κανόνος κατατομῇ χορδῆς μιᾶς τεταμένης ἢ αὐλοῦ μήκους ἑνὸς ἐκκειμένου τῶν ἄκρων ἀμετακινήτων ὑπαρχόντων , μεταλαμβανούσης δὲ τῆς μεσότητος ἐν μὲν τῷ αὐλῷ διὰ τρυπημάτων , ἐν δὲ τῇ χορδῇ διʼ ὑπαγωγέως , ἄλλον ἐξ ἄλλου τρόπον ἀποτελεῖσθαι δύνανται αἰ προλεχθεῖσαι μεσότητες , ἀριθμητική τε καὶ γεωμετρική καὶ ἁρμονική , ἵνα εἰκότως καὶ ἐτυμώτατα καλοῖντο διὰ τὴν τοῦ μέσου ὅρου μετάστασίν τε καὶ μεταγωγὴν διαφόρως συντελούμεναι , οὕτως καὶ ἐν ἀριθμητικοῖς δυσὶν ὅροις , εἴτε περισσοῖς ἀμφοτέροις εἴτε καὶ ἀρτίοις , εὔλογόν ἐστι καὶ ἄμα δυνατὸν μένουσιν ἐν τῷ αὐτῷ καὶ μὴ μεταβιβαζομένοις μεσότητα καθ᾿ ἑκάστην τῶν τριῶν ἐφαρμόζουσαν ἐντάσσεσθαι · κατὰ μὲν ἀριθμητικὴν ἴσῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην , κατὰ δὲ γεωμετρικὴν ὁμοίῳ λόγῳ διαφορουμένην , κατὰ δὲ ἁρμονικὴν τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τῶν αὐτῶν μείζονά τε καὶ ἐλάττονα . προκείσθωσαν δὴ πρῶτον ἄρτιοι ὅροι δύο , ὧν μεταξύ αἱ τρεῖς μεσότητες ζητητέον πῶς ἂν ταγεῖεν καὶ τίνες , καὶ ἔστωσαν ὅ τε ι καὶ ὁ μ . πρῶτον οὖν τὴν ἀριθμητικὴν ἐναρμόζω καὶ ἔστιν κε καὶ τὰ παρακολουθήματα αὐτῆς σώζεται πάντα κἀνταῦθα · ὡς γὰρ ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν , οὕτω καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν , ἆρα ἐν ἰσότητι , καὶ ὅσῳ ὁ μείζων τοῦ μέσου , τοσούτῳ καὶ οὗτος τοῦ ἐλάττονος ὑπερφέρει , καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου καὶ ὁ τῶν ἐλαττόνων ὅρων λόγος μείζων τοῦ τῶν μειζόνων καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τῷ ἀπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ , καὶ ὁ μέσος τῷ αὐτῷ ἰδίῳ μέρει καὶ μείζων ὑπάρχει καὶ ἐλάττων τῶν ἄκρων , ἐν δὲ τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ἑτέρῳ καὶ ἑτέρῳ . ἐὰν δὲ τὴν κ μεσότητα ἐμβάλλω εἰς τούς προκειμένους ἀρτίους ὅρους , τὰ τῆς γεωμετρικῆς ἰδιώματα ἀνακύπτει , ἐξαπόλλυνται δὲ τὰ τῆς ἀριθμητικῆς · οἷος γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον , τοιοῦτος καὶ ὁ μέσος πρὸς τὸν μικρόν , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσο καὶ αἱ διαφοραὶ πρὸς ἀλλήλας ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ θεωροῦνται , ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι , καὶ οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις καθαροῖς ἡ τοῦ μέρους ταυτότης καθ᾿ ὑπεροχὴν καὶ ἔλλειψιν οὕτε ἐν μέσῳ καθαρῷ . ἀλλ᾿ ἐν μέσῳ καὶ θατέρῳ τῶν ἄκρων παρὰ μέρος , ἔν τε μείζοσιν ὅροις καὶ ἐλάττοσιν ἶσος λόγος . ἐὰν δὲ τὸν ιϚ ἀντιλάβω μέσον ὄρον , πάλιν τὰ μὲν τῶν προτέρων δυοῖν μεσοτήτων ἰδιώματα ἐκποδών γίνεται , τὰ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ἀναφαίνεται πρὸς τούς αὐτούς διαμένοντα δύο ἀρτίους ὅρους · ὥςπερ γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως ἡ τῶν μειζόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων , καὶ ὅσοις μέρεσιν ὁ μέσος ἐλάττων τοῦ μείζονος ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωροῦ μένοις , τοσούτοις ὁ αὐτὸς τοῦ ἐλάττονος μείζων ἐν αὐτῷ τῷ ἐλάττονι θεωρουμένοις , καὶ ὁ μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγος μείζων , ἐλάττων δʼ ὁ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν , ὅπερ οὐκ ἐπ᾿ ἄλλης , καὶ συντεθέντα τὰ ἄκρα καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντα διπλάσιον ἀποτελεῖ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου . ἂν δὲ οἱ δύο ἄκροι ὅροι μὴ ἄρτιοι ἐκτεθῶσιν , ἀλλὰ περισσοί , οἷον ε , με , ὁ μὲν αὐτὸς ὅρος ὁ κε ἀριθμητικὴν ποιήσει · σἴτιον δὲ τούτου , ὅτι ἐφ᾿ ἑκάτερα αὐτοῦ ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέβησάν τε καὶ ὑπέβησαν οἱ ὅροι τὴν αὐτὴν πρὸς αὐτὸν διατηροῦντες διαφορὰς ποσότητα · ὁ δὲ ιε ἀντιτεθεὶς τὴν γεωμετρικὴν ἀποδίδωσι τριπλάσιός τε καὶ ὑποτριπλάσιος ἑκατέρου ἂν · ὁ δὲ θ μεταλαβών τὸ μέσος εἶναι τὴν ἁρμονικὴν ἀποδίδωσιν , οἷς γὰρ μέρεσι μείζων τοῦ ἐλάττονός ἐστι , τέσσαρσι πέμπτοις αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος , τούτοις τοῦ μείζονος ἐλάττων ἐστὶν ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωρουμένοις , τέσσαρσι γὰρ πέμπτοις , καὶ πάντα τὰ προλεχθέντα ἰδιώματα ἐφαρμόζων σύμφωνα εὑρήσεις . Ἔφοδος δέ , ὡς ἄν ἐντέχνως πλάσσοις τούς προδειχθέντας ὅρους κατὰ τὰς τρεῖς ἀναλογίας , τοιαύτη ἔστω σοι · ἐπ᾿ ἀμφοτέρων τῶν προχειρισθέντων ὅρων περισσῶν τε καὶ ἀρτίων ἀριθμητικὴν μὲν εὐρήσεις , συνθεὶς τὰ ἄκρα τούτων τὸ ἥμισυ μέσοντάξον ἢ τὴν τοῦ μείζονος ὑπεροχὴν πρὸς τὸν ἐλάττονα διχῆ τεμών καὶ προςθεὶς τῷ ἐλάττονι μέσον ἕξεις · γεωμετρικὴν δέ , τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρὼν μέσον ὅρον ποιήσεις ἢ ὃν ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους οἱ ὅροι λόγον ἰδών , τοῦτον δίχα τεμών μέσον ποίησον , οἷον ἐπὶ τετραπλασίου διπλάσιον · ἁρμονικὴν δέ , τῶν ἄκρων τὴν διαφορὰν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον ἐπὶ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων , εἶτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς προςθετέον τῷ ἐλάττονι , καὶ ἔσται ὁ γινόμενος ἁρμονικὴ μεσότης .
Lemmas: κζ . ὥσπερ δέ ἐν ὁ ὁ μουσικός κανών κατατομή χορδή εἷς τείνω ἤ αὐλός μῆκος εἷς ἔκκειμαι ὁ ἄκρον ἀμετακίνητος ὑπάρχω , μεταλαμβάνω δέ ὁ μεσότης ἐν μέν ὁ αὐλός διά τρύπημα , ἐν δέ ὁ χορδή διά ὑπαγωγεύς , ἄλλος ἐκ ἄλλος τρόπος ἀποτελέω δύναμαι ὁ προλέγω μεσότης , ἀριθμητικός τε καί γεωμετρικός καί ἁρμονικός , ἵνα ἔοικα καί ἔτυμος καλέω διά ὁ ὁ μέσος ὅρος μετάστασις τε καί μεταγωγή διάφορος συντελέω , οὕτως καί ἐν ἀριθμητικός δύο ὅρος , εἴτε περισσός ἀμφότερος εἴτε καί ἄρτιος , εὔλογος εἰμί καί ἅμα δυνατός μένω ἐν ὁ αὐτός καί μή μεταβιβάζω μεσότης κατά ἕκαστος ὁ τρεῖς ἐφαρμόζω ἐντάσσω · κατά μέν ἀριθμητικός ἴσος ὑπερέχω καί ὑπερέχω , κατά δέ γεωμετρικός ὅμοιος λόγος διαφορέω , κατά δέ ἁρμονικός ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρον ὁ αὐτός μέγας τε καί ἐλαχύς . πρόκειμαι δή πρῶτος ἄρτιος ὅρος δύο , ὅς μεταξύ ὁ τρεῖς μεσότης ζητέω πῶς ἄν τάσσω καί τίς , καί εἰμί ὁ τε ι̅ καί ὁ μ . πρῶτος οὖν ὁ ἀριθμητικός ἐναρμόζω καί εἰμί ἄν καί ὁ παρακολούθημα αὐτός σῴζω πᾶς ἐνταῦθα · ὡς γάρ ἕκαστος ὅρος πρός ἑαυτοῦ , οὕτως καί διαφορά πρός διαφορά , ἆρα ἐν ἰσότης , καί ὅσος ὁ μέγας ὁ μέσος , τοσοῦτος καί οὗτος ὁ ἐλαχύς ὑπερφέρω , καί ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις διπλάσιος ὁ μέσος καί ὁ ὁ ἐλαχύς ὅρος λόγος μέγας ὁ ὁ μέγας καί ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἐλαχύς ὁ ἀπό ὁ μέσος ὁ ἀπό ὁ διαφορά τετράγωνος , καί ὁ μέσος ὁ αὐτός ἴδιος μέρος καί μέγας ὑπάρχω καί ἐλαχύς ὁ ἄκρον , ἐν δέ ὁ ἄκρον θεωρέω ἕτερος καί ἕτερος . ἐάν δέ ὁ κ μεσότης ἐμβάλλω εἰς ὁ πρόκειμαι ἄρτιος ὅρος , ὁ ὁ γεωμετρικός ἰδίωμα ἀνακύπτω , ἐξαπόλλυμι δέ ὁ ὁ ἀριθμητικός · οἷος γάρ ὁ μέγας πρός ὁ μέσος , τοιοῦτος καί ὁ μέσος πρός ὁ μικρός , καί ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος καί ὁ διαφορά πρός ἀλλήλων ἐν ὁ αὐτός λόγος θεωρέω , ἐν ὅς καί ὁ ὅρος , καί οὔτε ἐν ὁ ἄκρον καθαρός ὁ ὁ μέρος ταυτότης κατά ὑπεροχή καί ἔλλειψις ἵημι ἐν μέσος καθαρός . ἀλλά ἐν μέσος καί ἕτερος ὁ ἄκρον παρά μέρος , ἐν τε μέγας ὅρος καί ἐλαχύς ἴσος λόγος . ἐάν δέ ὁ ιϚ ἀντιλαμβάνω μέσος ὄρον , πάλιν ὁ μέν ὁ πρότερος δύο μεσότης ἰδίωμα ἐκποδών γίγνομαι , ὁ δέ ὁ ἁρμονικός ἀναφαίνω πρός ὁ αὐτός διαμένω δύο ἄρτιος ὅρος · ὥσπερ γάρ ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς , οὕτως ὁ ὁ μέγας διαφορά πρός ὁ ὁ ἐλαχύς , καί ὅσος μέρος ὁ μέσος ἐλαχύς ὁ μέγας ἐν αὐτός ὁ μέγας θεωρέω μένω , τοσοῦτος ὁ αὐτός ὁ ἐλαχύς μέγας ἐν αὐτός ὁ ἐλαχύς θεωρέω , καί ὁ μέν ἐν ὁ μέγας ὅρος λόγος μέγας , ἐλαχύς δέ ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς , ὅς οὐ ἐπί ἄλλος , καί συντίθημι ὁ ἄκρον καί ὑπό ὁ μέσος πολυπλασιάζω διπλάσιος ἀποτελέω ὁ ὑπό ὁ ἄκρον γίγνομαι . ἐάν δέ ὁ δύο ἄκρος ὅρος μή ἄρτιος ἐκτίθημι , ἀλλά περισσός , οἷος ε , ἐγώ , ὁ μέν αὐτός ὅρος ὁ ἄν ἀριθμητικός ποιέω · σιτίον δέ οὗτος , ὅτι ἐπί ἑκάτερος αὐτός ἴσος ἀριθμός ὑπερβαίνω τε καί ὑποβαίνω ὁ ὅρος ὁ αὐτός πρός αὐτός διατηρέω διαφορά ποσότης · ὁ δέ ιος ἀντιτίθημι ὁ γεωμετρικός ἀποδίδωμι τριπλάσιος τε καί ὑποτριπλάσιος ἑκάτερος ἄν · ὁ δέ θ̅ μεταλαμβάνω ὁ μέσος εἰμί ὁ ἁρμονικός ἀποδίδωμι , ὅς γάρ μέρος μέγας ὁ ἐλαχύς εἰμί , τέσσαρες πέμπτος αὐτός ὁ ἐλαχύς , οὗτος ὁ μέγας ἐλαχύς εἰμί ἐν αὐτός ὁ μέγας θεωρέω , τέσσαρες γάρ πέμπτος , καί πᾶς ὁ προλέγω ἰδίωμα ἐφαρμόζω σύμφωνος εὑρίσκω . ἔφοδος δέ , ὡς ἄν ἔντεχνος πλήσσω ὁ προδείκνυμι ὅρος κατά ὁ τρεῖς ἀναλογία , τοιοῦτος εἰμί σύ · ἐπί ἀμφότερος ὁ προχειρίζω ὅρος περισσός τε καί ἄρτιος ἀριθμητικός μέν εὑρίσκω , συντίθημι ὁ ἄκρον οὗτος ὁ ἥμισυς μέσοντάξον ἤ ὁ ὁ μέγας ὑπεροχή πρός ὁ ἐλαχύς διχῆ τέμνω καί προστίθημι ὁ ἐλαχύς μέσος ἔχω · γεωμετρικός δέ , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον προμήκης ὁ τετραγωνικός πλευρά εὑρίσκω μέσος ὅρος ποιέω ἤ ὅς ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ ὅρος λόγος ὁράω , οὗτος δίχα τέμνω μέσος ποιέω , οἷος ἐπί τετραπλάσιος διπλάσιος · ἁρμονικός δέ , ὁ ἄκρον ὁ διαφορά ποιέω ἐπί ὁ ἐλαχύς καί ὁ γίγνομαι παραβλητέος ἐπί ὁ σύνθετος ἐκ ὁ ἄκρον , εἶτα ὁ πλάτος ὁ παραβολή προστίθημι ὁ ἐλαχύς , καί εἰμί ὁ γίγνομαι ἁρμονικός μεσότης .