nicomachus-mathematics.harmonicum-enchiridion 8
η . Χρήσιμον δʼ ἐστὶν ἐνταῦθα γινομένους τὴν Πλατωνικὴν εὐκαίρως διαπτύξαι λέξιν , ἣν ἐν τῇ ψυχογονίᾳ . προηνέγκατο εἰπὼν ,, ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας , τὴν μὲν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην , τὴν δὲ ἴσῳ μὲν κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν , ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην . ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διάστασιν τῷ τοῦ ἐπογδόου λείμματι συνεπληροῦτο . “ Διάστημα μὲν γὰρ διπλάσιον ὁ δώδεκα πρὸς τὰ ἓξ , μεσότητες δὲ δύο , ὅ τε ἐννέα ἀριθμὸς καὶ ὁ ὀκτώ . ἀλλʼ ὁ μὲν ὀκτὼ κατὰ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν μεσιτεύει τόν τε ἓξ καὶ τὸν δώδεκα , ὑπερέχων μὲν τοῦ ἓξ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ἓξ , ὑπερεχόμενος δὲ ὑπὸ τοῦ ιβ ῇ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ιβ · διόπερ ταὐτῷ μέρει ἐν αὐτοῖς τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι τὴν ὀκτὼ μεσότητα εἶπεν οἷα δὴ ἁρμονικῆς ὑπάρχουσαν ἀναλογίας . ὡς γὰρ ὁ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον διπλάσιος , οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα οὖσαν · καὶ αὗται γὰρ ἐν διπλασίῳ λόγῳ τετρὰς πρὸς δυάδα . ἴδιον δὲ τῆς τοιαύτης μεσότητος τὸ συντεθέντων τῶν ἄκρων ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου ( p . 16 ) προμήκους . ὀκτάκις γὰρ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις τουτέστι τὰ ὀκτωκαίδεκα ποιεῖ τὸν ρμδ , ὅς ἐστι διπλάσιος τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους , τοῦτʼ ἔστι τοῦ o β . ἡ δὲ ἑτέρα μεσότης , ἡ ἐννέα , κατὰ τὴν παρα - μέσην τεταγμένη , ἐν ἀριθμητικῇ μεσότητι ἐνθεωρεῖται πρὸς τὰ ἄκρα τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ ( τρία ) ὑπερεχομένη μὲν ὑπὸ τοῦ δώδεκα , ὑπερέχουσα δὲ τὰ ἕξ . ἴδιον δὲ καὶ ταύτης τὸ διπλάσιον εἶναι τὴν σύνθεσιν τῶν ἄκρων αὐτοῦ τοῦ μέσου , καὶ τὸ μεῖζονὑπάρχειν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράγωνον ( οἷον τὸ α ) τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους ( τουτέστι τοῦ ο β ) ὅλῳ τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ , τουτέστι τῷ τρὶς θ αὕτη γὰρ ἡ διαφορά . δύναται δέ τις καὶ τὴν τρίτην μεσότητα τὴν κυριώτερον ἀναλογίαν λεγομένην ἐν ἀμφοτέροις ἐπιδεῖξαι τοῖς μέσοις ὅροις , τῷ θ καὶ τῷ η . ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ὑπάρχει ιβ πρὸς n ὡς θ πρὸς ς , ἡμιόλιον γὰρ ἀμφότεροι . καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρόμηκες ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , τὸ δωδεκάκις Ϛ τῷ ἐννάκις η .
Lemmas: ὁ . χρήσιμος δέ εἰμί ἐνταῦθα γίγνομαι ὁ Πλατωνικός εὔκαιρος διαπτύσσω λέξις , ὅς ἐν ὁ ψυχογονία . προφέρω λέγω ,, ὥστε ἐν ἕκαστος διάστημα δύο εἰμί μεσότης , ὁ μέν αὐτός μέρος ὁ ἄκρον αὐτός ὑπερέχω καί ὑπερέχω , ὁ δέ ἴσος μέν κατά ἀριθμός ὑπερέχω , ἴσος δέ ὑπερέχω . ἡμιόλιος δέ καί ἐπίτριτος διάστασις διάστασις ὁ ὁ ἐπόγδοος λεῖμμα συμπληρόω . “ διάστημα μέν γάρ διπλάσιος ὁ δώδεκα πρός ὁ ἕξ , μεσότης δέ δύο , ὁ τε ἐννέα ἀριθμός καί ὁ ὀκτώ . ἀλλά ὁ μέν ὀκτώ κατά ὁ ἁρμονικός ἀναλογία μεσιτεύω ὁ τε ἕξ καί ὁ δώδεκα , ὑπερέχω μέν ὁ ἕξ τρίτος αὐτός ὁ ἕξ , ὑπερέχω δέ ὑπό ὁ ιβ ᾗ τρίτος αὐτός ὁ ιβ · διόπερ αὐτός μέρος ἐν αὐτός ὁ ἄκρος θεωρέω ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω ὁ ὀκτώ μεσότης λέγω οἷος δή ἁρμονικός ὑπάρχω ἀναλογία . ὡς γάρ ὁ μέγας ὅρος πρός ὁ ἐλαχύς διπλάσιος , οὕτως καί ὁ ὁ μέγας παρά ὁ μέσος διαφορά τετράς εἰμί πρός ὁ ὁ μέσος παρά ὁ ἐλαχύς δυάς εἰμί · καί οὗτος γάρ ἐν διπλάσιος λόγος τετράς πρός δυάς . ἴδιος δέ ὁ τοιοῦτος μεσότης ὁ συντίθημι ὁ ἄκρον ἀλλήλων καί ὑπό ὁ μέσος πολυπλασιάζω διπλάσιος ἀποτελέω ὁ γίγνομαι ὁ ὑπό ὁ ἄκρον γίγνομαι ( p . 16 ) προμήκης . ὀκτάκις γάρ ὁ ὁ ἄκρον σύνθεσις τουτέστι ὁ ὀκτωκαίδεκα ποιέω ὁ ρμδʹ , ὅς εἰμί διπλάσιος ὁ ὑπό ὁ ἄκρον προμήκης , οὗτος εἰμί ὁ o Β . ὁ δέ ἕτερος μεσότης , ὁ ἐννέα , κατά ὁ παρά - μέσος τάσσω , ἐν ἀριθμητικός μεσότης ἐνθεωρέω πρός ὁ ἄκρον ὁ αὐτός ἀριθμός ( τρεῖς ) ὑπερέχω μέν ὑπό ὁ δώδεκα , ὑπερέχω δέ ὁ ἕξ . ἴδιος δέ καί οὗτος ὁ διπλάσιος εἰμί ὁ σύνθεσις ὁ ἄκρον αὐτός ὁ μέσος , καί ὁ μεῖζονὑπάρχειν ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος ( οἷος ὁ α ) ὁ ὑπό ὁ ἄκρον προμήκης ( τουτέστι ὁ ὁ Β ) ὅλος ὁ ὑπό ὁ διαφορά τετράγωνος , τουτέστι ὁ τρίς θ̅ οὗτος γάρ ὁ διαφορά . δύναμαι δέ τις καί ὁ τρίτος μεσότης ὁ κύριος ἀναλογία λέγω ἐν ἀμφότερος ἐπιδείκνυμι ὁ μέσος ὅρος , ὁ θ̅ καί ὁ η̅ . ἀνά γάρ ὁ αὐτός λόγος ὑπάρχω ιβ πρός n ὡς θ̅ πρός σ̅ , ἡμιόλιος γάρ ἀμφότερος . καί ὁ ὑπό ὁ ἄκρον προμήκης ἴσος ὁ ὑπό ὁ μέσος , ὁ δωδεκάκις Ϛ ὁ ἐννάκις η̅ .