nicomachus-mathematics.harmonicum-enchiridion 12
ιβ . Ἵνα δὲ τὴν κατὰ τὰ τρία γένη προβίβασιν ἀπὸ προσλαμβανομένου μέχρι ὑπερβολαίας νήτης εὐτακτῶς ἐκτατὴν ἔχῃς , εὔλογον μικρὰ ἔτι ἄνωθεν προσυπομνῆσαι ἀπὸ τῶν ἤδη εἰρημένων ἀρξάμενον ἕνεκα σαφηνείας . Φθόγγος ἐστὶ φωνὴ ἄτομος , οἷον μονὰς κατʼ ἀκοήν · ὡς δὲ οἱ νεώτεροι , ἐπίπτωσις φωνῆς ἐπὶ μίαν τάσιν καὶ ἀπλῆν · ὡς δʼ ἔνιοι , ἦχος ἀπλατὴς κατὰ τόπον ἀδιάστατος . Διάστημα δʼ ἐστὶ δυοῖν φθόγγων μεταξύτης . σχέσις δὲ λόγος ἐν ἑκάστῳ διαστήματι μετρητικὸς τῆς ἀποστάσεως · διαφορὰ δὲ ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις φθόγγων πρὸς ἀλλήλους . κακῶς γὰρ οἴονται οἱ νομίζοντες διαφορὰν καὶ σχέσιν τὸ αὐτὸ εἶναι . ἰδοὺ γὰρ τὰ δύο πρὸς τὸ ἓν διαφορὰν μὲν ἔχει τὴν αὐτὴν , ἣν ἓν πρὸς δύο , σχέσιν δὲ οὐ τὴν αὐτὴν . τὰ μὲν γὰρ δύο ( p . 25 ) διπλάσια , τὸ δὲ ἓν ἥμισυ . καὶ πάλιν ἐν πᾶσιν ἀριθμητικῆς μεσότητος ὅροις τρισὶν ἢ καὶ πλείοσι διαφορὰ μὲν ἡ αὐτὴ ἐν πᾶσι , σχέσις δὲ ἄλλη καὶ ἄλλη . περὶ τοῦτο δὲ πλατύτερον εἴσῃ ἐν τοῖς κατὰ πλάτος . Σύστημα δέ ἐστι δυοῖν ἢ καὶ πλειόνων διαστημάτων σύνοδος . ἀλλὰ τῶν μὲν διαστημάτων οὐδεὶς φθόγγος πρὸς τὸν συνεχῆ σύμφωνος , ἀλλὰ πάντως διάφωνος , τῶν δὲ συστημάτω ἐστί τινα σύμφωνα , τινὰ δὲ καὶ διάφωνα . σύμφωνα μὲν , ἐπειδὴ οἱ περιέχοντες φθόγγοι διάφοροι τῷ μεγέθει ὄντες , ἃμα κρουσθέντες ἢ ὅμως ποτὲ ἠχήσαντες ἐγκραθῶσιν ἀλλήλοις οὕτως , ὥστε ἑνοειδῆ τὴν ἐξ αὐτῶν φωνὴν γενέσθαι καὶ οἷον μίαν · διάφωνοι δὲ , ὅταν διεσχισμένη πως καὶ ἀσύγκρατος ἡ ἐξ ἀμφοτέρων φωνὴ ἀκούηται . Ἐπεὶ δὲ τὸ πρώτιστον καὶ στοιχειωδέστατον σύμφωνον τὸ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἐν τετραχόρδῳ συνεχεῖ , λόγῳ δὲ ἐπιτρίτῳ , εὐλόγως κατὰ τοῦτο τῶν τῆς μελῳδίας τριῶν γενῶν αἱ παραλλαγαὶ εὑρίσκονται πρὸς ἀλλήλας . τὸ μὲν γὰρ διατονικὸν , περὶ οὗ καὶ προέφαμεν , οὕτω προχῳρεῖ · ἡμιτόνιον , εἶτα τόνος , εἶτα τόνος · τρία διαστήματα ἐν τέσσαρσιν ἀριθμοῖς ὅ ἐστι φοθόγγοις . καὶ ἐκ τούτου γε διατονικὸν καλεῖται , ἐκ τοῦ προχωωρεῖν διὰ τῶν τόνων αὐτὸ μονώτατον τῶν ἄλλων . ( p . 26 ) τὸ δὲ χρωματικὸν οὕτω προβιβάζε ται · ἡμιτόνιον , εἶτα ἄλλο ἡμιτόνιον , εἶτα ἐπὶ τούτοις ἀσύνθετον τριημιτόνιον . ἵνα καὶ τοῦτο , εἰ καὶ μὴ ἐκ δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου ἄντικρύς ἐστιν , ἀλλʼ οὖν ἴσα ἔχον φαίνηται τὰ διαστήματα δυσὶ τόνοις καὶ ἡμιτονίῳ . τὸ δὲ ἐναρμόνιον τὴν προκοπὴν φυσικῶς τοιαύτην ἔχει · δίεσις , ὅπερ ἐστὶν ἡμιτονίου ἥμισυ , καὶ πάλιν ἄλλη δίεσις , συναμφότεραι ἡμιτονίῳ ἴσαι , καὶ τὸ λειπόμενον τοῦ τετραχόρδου , ὅλον δίτονον ἀσύνθετον · ἵνα καὶ τοῦτο δυσὶ τόνοις καὶ ἡμιτονίῳ ἴσον ᾖ ἐνδοτέρω γὰρ τούτων συμφωνῆσαι ἀδύνατον φθόγγον φθόγγῳ . δῆλον οὖν ὅτι αἱ παραλλαγαὶ τῶν γενῶν οὐκ ἐν τοῖς τέσσαρσι φθόγγοις τοῦ διὰ τεσσάρων διαφορὰν λαμβάνουσιν , ἀλλʼ ἐν μόνοις τοῖς δυ σὶ μέσοις . ἐν μὲν οὗν χρωματικῷ ὁ τρίτος ἠλλάγη φθόγγος πρὸς τὸ διάτονον , ὁ δὲ δεύτερος τῷ μὲν διατονικῷ ὁ αὐτὸς ἔμεινεν , ὁμοτονεῖ δὲ τῷ τοῦ ἐναρμονίου τρίτῳ . ἐν δὲ τῷ ἐναρμονίῳ οἱ δύο μέσοι ἐξηλλάγησαν πρὸς τὸ διάτονον · ὥστʼ ἀντικεῖσθαι τὸ ἐναρμόνιον τῷ διατόνῳ , μέσον δʼ αὐτῶν ὑπάρχειν τὸ χρωματικόν · μικρὸν γὰρ παρέτρεψεν , ἓν μόνον ἡμιτόνιον , ἀπὸ τοῦ διατονικοῦ . ἔνθεν καὶ χρῶμα ἔχειν λέγομεν τοὺς εὐτρέπτους ἀνθρώπους . οἱ μὲν οὖν τοῦ τετραχόρδου ἄκροι ἑστῶτες φθόγγοι λέγονται , οὐ γὰρ μεταπίπτουσιν ἐν οὐδενὶ τῶν γενῶν · ( p . 27 ) οἱ δὲ μέσοι κινούμενοι · ἔν γε τῷ ἐναρμονίῳ . ἐν δὲ τῷ χρώματι ὁ δεύτερος κινούμενός τε καὶ οὐ κινούμενος · πρὸς μὲν γὰρ τὸ διάτονον οὐ μεταπίπτει , πρὸς δὲ τὸ ἐναρμόνιον μεταπίπτει . Σύστημα δὲ οὖσα ἡ διὰ πασῶν εἴτε ὑπὲρ μέσης ἕως προσλαμβανομένου , εἴτε ὑπὸ μέσης ἕως νήτης ὑπερβολαίας ἐν ὀκτὼ χορδαῖς — τῆς τε διὰ τεσσάρων δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου οὕσης , τῆς τε διὰ πέντε τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου ὑπαρχούσης — οὐκ εὐθὺς ἓξ τόνων ὡς οἱ νεώτεροι νομίζουσιν ἀποτελεῖται , ἀλλὰ πέντε τόνων καὶ δύο τῶν λεγομένων ἡμιτονίων . ἅπερ εἰ ὡς ἀληθῶς ἡμίση τόνων ὑπῆρχε , τί ἐκώλυε τόνον ἐξ αὐτῶν ἀποτελεῖσθαι καὶ ἓξ τόνων ὑπάρχειν αὐτήν ; τὴν δὲ τούτου ἀπόδειξιν ἐν τοῖς κατὰ πλάτος ποικιλώτατα σαφηνιοῦμεν . συμφήσει δὲ ἡμῖν καὶ ἐν τῇ προκειμένῃ λέξει Φιλόλαος λέγων · ,, ἁρμονία δὲ πέντε ἐπόγδοα καὶ δύο διέσιες “ , τουτέστι δύο ἡμιτόνια , ἃ πεποιήκει ἂν ἕνα τόνον , εἴπερ ἦν ὡς ἀληθῶς ἡμίση τόνων . Ἀναμεμιγμένων οὗν ὑπὸ τὸ αὐτὸ διάγραμμα τῶν τριῶν ἀλλήλοις γενῶν τὰ ὀνόματα ἔσται ταῦτα · προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπατῶν ἐναρμόνιος παρυπάτη ὑπατῶν χρωματικὴ καὶ διάτονος παρυπάτη ὑπατῶν ἐναρμόνιος ἐναρμόνιος ὑπατῶν χροματικὴ ὑπατῶν διάτονος ὑπατῶν ὑπάτη μέσων . παρυπάτη μέσων ἐναρμόνιος παρυπάτη μέσω χροματικὴ καὶ διάτονος μέσων ( p . 28 ) ἐναρμόνιος μέσων χριοματική μέσων διάτονος μέση τρίτη συνημμένων ἐναρμόνιος τρίτη συνημμένων χρωματικὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐναρμόνιος συνημμένων χρωματική συνημμένων διάτονος νήτη συνημμένων παραμέση τρίτη διεζευγμένων ἐναρμόνιος τρίτη διεζευγμένων χρωματικὴ καὶ διάτονος ἐναρμόνιος διεζευγμένων χριοματικὴ διεζευγμένων διάτονος διεζευγμένων νήτη διεζευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος τρίτη ὑπερβολαίων χροματικὴ καὶ διάτονος ἐναρμόνιος ὑπερβολαίων χριοματικὴ ὑπερβολαίων διάτονος ὑπερβολαίων νήτη ὑπερβολαίων . Τῇς δὲ γραφῆς τοιαύτης τῇ ἐπείξει συγγινώσκουσα — σύνοισθα γὰρ , ὅτι ἐν αὐτῇ τῇ ὁδεύσει μοι ἐπέταξας παντοίως μετεώρῳ — κατὰ τὸν ἡμερώτατόν σου τρόπον καὶ κοινῶν νοημονέστατον ἀπόδεξαι μὲν ὡς ἀπαρχήν τινα καὶ ἐξευμενισμόν , προσδέχου δὲ θεῶν ἐπιτρεπόντων πληρεστάτην καὶ παντοίως ἐντελεστάτην τὴν περὶ αὐτῶν τούτων τεχνολογίαν αὐτίκα μάλα σοι ὑπʼ ἐμοῦ πεμφθησομένην μετὰ τῆς πρώτης ἀφορμῆς .
Lemmas: Ἶβ . ἵνα δέ ὁ κατά ὁ τρεῖς γένος προβίβασις ἀπό προσλαμβάνω μέχρι ὑπερβολαία νήτη εὐτάκτως ἐκτατός ἔχω , εὔλογος μικρός ἔτι ἄνωθεν προσυπομιμνήσκω ἀπό ὁ ἤδη λέγω ἄρχω ἕνεκα σαφήνεια . φθόγγος εἰμί φωνή ἄτομος , οἷος μονή κατά ἀκοή · ὡς δέ ὁ νέος , ἐπίπτωσις φωνή ἐπί εἷς τάσις καί ἀπολάω · ὡς δέ ἔνιοι , ἦχος ἀπλατής κατά τόπος ἀδιάστατος . διάστημα δέ εἰμί δύο φθόγγος μεταξύτης . σχέσις δέ λόγος ἐν ἕκαστος διάστημα μετρητικός ὁ ἀπόστασις · διαφορά δέ ὑπερβολή ἤ ἔλλειψις φθόγγος πρός ἀλλήλων . κακός γάρ οἴομαι ὁ νομίζω διαφορά καί σχέσις ὁ αὐτός εἰμί . ἰδού γάρ ὁ δύο πρός ὁ εἷς διαφορά μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὅς εἷς πρός δύο , σχέσις δέ οὐ ὁ αὐτός . ὁ μέν γάρ δύο ( p . 25 ) διπλάσιος , ὁ δέ εἷς ἥμισυς . καί πάλιν ἐν πᾶς ἀριθμητικός μεσότης ὅρος τρεῖς ἤ καί πολύς διαφορά μέν ὁ αὐτός ἐν πᾶς , σχέσις δέ ἄλλος καί ἄλλος . περί οὗτος δέ πλατύς οἶδα ἐν ὁ κατά πλάτος . σύστημα δέ εἰμί δύο ἤ καί πολύς διάστημα σύνοδος . ἀλλά ὁ μέν διάστημα οὐδείς φθόγγος πρός ὁ συνεχής σύμφωνος , ἀλλά πάντως διάφωνος , ὁ δέ σύστημα εἰμί τις σύμφωνος , τις δέ καί διάφωνος . σύμφωνος μέν , ἐπειδή ὁ περιέχω φθόγγος διάφορος ὁ μέγεθος εἰμί , ἅμα κρούω ἤ ὅμως ποτέ ἠχέω ἐγκεράννυμι ἀλλήλων οὕτως , ὥστε ἑνοειδής ὁ ἐκ αὐτός φωνή γίγνομαι καί οἷος εἷς · διάφωνος δέ , ὅταν διασχίζω πως καί ἀσύγκρατος ὁ ἐκ ἀμφότερος φωνή ἀκούω . ἐπεί δέ ὁ πρῶτος καί στοιχειώδης σύμφωνος ὁ διά τέσσαρες εἰμί ἐν τετράχορδος συνεχής , λόγος δέ ἐπίτριτος , εὔλογος κατά οὗτος ὁ ὁ μελῳδία τρεῖς γένος ὁ παραλλαγή εὑρίσκω πρός ἀλλήλων . ὁ μέν γάρ διατονικός , περί ὅς καί πρόφημι , οὕτως προχωρέω · ἡμιτόνιον , εἶτα τόνος , εἶτα τόνος · τρεῖς διάστημα ἐν τέσσαρες ἀριθμός ὅς εἰμί φθόγγος . καί ἐκ οὗτος γε διατονικός καλέω , ἐκ ὁ προχωρέω διά ὁ τόνος αὐτός μόνος ὁ ἄλλος . ( p . 26 ) ὁ δέ χρωματικός οὕτως προβιβάζω ται · ἡμιτόνιον , εἶτα ἄλλος ἡμιτόνιον , εἶτα ἐπί οὗτος ἀσύνθετος τριημιτόνιον . ἵνα καί οὗτος , εἰ καί μή ἐκ δύο τόνος καί ἡμιτόνιον ἄντικρυς εἰμί , ἀλλά οὖν ἴσος ἔχω φαίνω ὁ διάστημα δύο τόνος καί ἡμιτόνιον . ὁ δέ ἐναρμόνιος ὁ προκοπή φυσικός τοιοῦτος ἔχω · δίεσις , ὅς εἰμί ἡμιτόνιον ἥμισυς , καί πάλιν ἄλλος δίεσις , συναμφότεροι ἡμιτόνιον ἴσος , καί ὁ λείπω ὁ τετράχορδος , ὅλος δίτονος ἀσύνθετος · ἵνα καί οὗτος δύο τόνος καί ἡμιτόνιον ἴσος εἰμί ἔνδον γάρ οὗτος συμφωνέω ἀδύνατος φθόγγος φθόγγος . δῆλος οὖν ὅτι ὁ παραλλαγή ὁ γένος οὐ ἐν ὁ τέσσαρες φθόγγος ὁ διά τέσσαρες διαφορά λαμβάνω , ἀλλά ἐν μόνος ὁ δύο βρόχος μέσος . ἐν μέν ἐν χρωματικός ὁ τρίτος ἀλλάσσω φθόγγος πρός ὁ διάτονος , ὁ δέ δεύτερος ὁ μέν διατονικός ὁ αὐτός μένω , ὁμοτονέω δέ ὁ ὁ ἐναρμόνιος τρίτος . ἐν δέ ὁ ἐναρμόνιος ὁ δύο μέσος ἐξαλλάσσω πρός ὁ διάτονος · ὥστε ἀντίκειμαι ὁ ἐναρμόνιος ὁ διάτονος , μέσος δέ αὐτός ὑπάρχω ὁ χρωματικός · μικρός γάρ παρατρέπω , εἷς μόνος ἡμιτόνιον , ἀπό ὁ διατονικός . ἔνθεν καί χρῶμα ἔχω λέγω ὁ εὔτρεπτος ἄνθρωπος . ὁ μέν οὖν ὁ τετράχορδος ἄκρος ἵστημι φθόγγος λέγω , οὐ γάρ μεταπίπτω ἐν οὐδείς ὁ γένος · ( p . 27 ) ὁ δέ μέσος κινέω · ἐν γε ὁ ἐναρμόνιος . ἐν δέ ὁ χρῶμα ὁ δεύτερος κινέω τε καί οὐ κινέω · πρός μέν γάρ ὁ διάτονος οὐ μεταπίπτω , πρός δέ ὁ ἐναρμόνιος μεταπίπτω . σύστημα δέ εἰμί ὁ διά πᾶς εἴτε ὑπέρ μέσος ἕως προσλαμβάνω , εἴτε ὑπό μέσος ἕως νήτη ὑπερβολαία ἐν ὀκτώ χορδή — ὁ τε διά τέσσαρες δύο τόνος καί ἡμιτόνιον ὗσις , ὁ τε διά πέντε τρεῖς τόνος καί ἡμιτόνιον ὑπάρχω — οὐ εὐθύς ἕξ τόνος ὡς ὁ νέος νομίζω ἀποτελέω , ἀλλά πέντε τόνος καί δύο ὁ λέγω ἡμιτόνιον . ὅς εἰ ὡς ἀληθής ἥμισυς τόνος ὑπάρχω , τίς κωλύω τόνος ἐκ αὐτός ἀποτελέω καί ἕξ τόνος ὑπάρχω αὐτός ; ὁ δέ οὗτος ἀπόδειξις ἐν ὁ κατά πλάτος ποικίλος σαφηνίζω . σύμφημι δέ ἐγώ καί ἐν ὁ πρόκειμαι λέξις Φιλόλαος λέγω · ,, ἁρμονία δέ πέντε ἐπόγδοος καί δύο δίεσις “ , τουτέστι δύο ἡμιτόνιον , ὅς ποιέω ἄν εἷς τόνος , εἴπερ εἰμί ὡς ἀληθής ἥμισυς τόνος . ἀναμίσγω ἐν ὑπό ὁ αὐτός διάγραμμα ὁ τρεῖς ἀλλήλων γένος ὁ ὄνομα εἰμί οὗτος · προσλαμβάνω ὑπάτη ὑπάτη ἐναρμόνιος παρυπάτη ὑπάτη χρωματικός καί διάτονος παρυπάτη ὑπάτη ἐναρμόνιος ἐναρμόνιος ὑπάτη χρομαδικός ὑπάτη διάτονος ὑπάτη ὑπάτη μέσος . παρυπάτη μέσος ἐναρμόνιος παρυπάτη μέσος χρομαδικός καί διάτονος μέσος ( p . 28 ) ἐναρμόνιος μέσος χριοματική μέσος διάτονος μέσος τρίτος συνάπτω ἐναρμόνιος τρίτος συνάπτω χρωματικός καί διάτονος συνάπτω ἐναρμόνιος συνάπτω χρωματικός συνάπτω διάτονος νήτη συνάπτω παραμέση τρίτος διαζεύγνυμαι ἐναρμόνιος τρίτος διαζεύγνυμαι χρωματικός καί διάτονος ἐναρμόνιος διαζεύγνυμαι χριοματική διαζεύγνυμαι διάτονος διαζεύγνυμαι νήτη διαζεύγνυμαι τρίτος ὑπερβολαῖος ἐναρμόνιος τρίτος ὑπερβολαῖος χροματική καί διάτονος ἐναρμόνιος ὑπερβολαῖος χριοματική ὑπερβολαῖος διάτονος ὑπερβολαῖος νήτη ὑπερβολαῖος . ὅς δέ γραφή τοιοῦτος ὁ ἔπειξις συγγιγνώσκω — σύνοιδα γάρ , ὅτι ἐν αὐτός ὁ ὅδευσις ἐγώ ἐπιτάσσω παντοίως μετέωρος — κατά ὁ ἥμερος σύ τρόπος καί κοινός νοήμων ἀποδείκνυμι μέν ὡς ἀπαρχή τις καί ἐξευμενισμός , προσδέχομαι δέ θεός ἐπιτρέπω πλήρης καί παντοίως ἐντελής ὁ περί αὐτός οὗτος τεχνολογία αὐτίκα μάλα σύ ὑπό ἐγώ πέμπω μετά ὁ πρῶτος ἀφορμή .