nicomachus-mathematics.harmonicum-enchiridion 6
Ϛ . Τὴν δὲ κατʼ ἀριθμὸν ποσότητα ταύτην ἥτε δι τεσσάρων χορδῶν ἀπόστασις ἥτε διὰ πέντε καὶ ἡ κατʼ ἀμφοτέρων σύνοδον διὰ πασῶν λεγομένη καὶ ὁ προσκείμενος μεταξὺ τῶν δύο τετραχόρδων τόνος τρόπῳ τινὶ τοιούτῳ ὑπὸ τοῦ Πυθαγόρου καταληφθέντι ἔχειν ἐβεβαιοῦτο . ἐν φροντίδι ποτὲ καὶ διαλογισμῷ συντεταμένῳ ὑπάρχων , εἰ ἄρα δύναιτο τῇ ἀκοῇ βοήθειάν τινα ὀργανικὴν ἐπινοῆσαι παγίαν καὶ ἀπαραλόγιστον , οἵαν ἡ μὲν ὄψις διὰ τοῦ διαβήτου καὶ διὰ τοῦ κανόνος ἢ καὶ διὰ τῆς διόπτρας ἔχει , ἡ δʼ ἀφὴ διὰ τοῦ ζυγοῦ ἢ διὰ τῆς τῶν μέτρων ἐπινοίας , παρά τι χαλκοτυπεῖον περιπατῶν ἔκ τινος δαιμονίου συντυχίας ἐπήκουσε ῥαιστήρων σίδηρον ἐπʼ ἄκμονι ῥαιόντων καὶ τοὺς ἤχους παραμὶξ πρὸς ( p . 11 ) ἀλλήλους συμφωνοτάτους ἀποδιδόντων πλὴν μιᾶς συζυγίας · ἐπεγίνωσκε δʼ ἐν αὐτοῖς τὴν δὲ διὰ πασῶν καὶ τὴν διὰ πέντε καὶ τὴν διὰ τεσσάρων συνῳδίαν . τὴν δὲ μεταξύτητα τῆς τε διὰ τεσσάρων καὶ τῆς διὰ πέντε ἀσύμφωνον μὲν ἐώρα αὐτὴν καθʼ ἑαυτὴν , συμπληρωτικὴν δὲ ἄλλως τῆς ἐν αὐτοῖς μείζονος . ἄσμενος δὴ ὡς κατὰ θεὸν ἀνυομένης αὐτῷ τῆς προθέσεως εἰσέδραμεν εἰς τὸ χαλκεῖον καὶ ποικίλαις πείραις παρὰ τὸν ἐν τοῖς ῥαιστῆρσιν ὄγκον εὑρὼν τὴν διαφορὰν τοῦ ἤχου , ἀλλʼ οὐ παρὰ τὴν τῶν ῥαιόντων βίαν οὐδὲ παρὰ τὰ σχήματα τῶν σφυρῶν οὐδὲ παρὰ τὴν τοῦ ἐλαυνομένου σιδήρου μετάθεσιν , σηκώματα ἀκριβῶς ἐκλαβὼν καὶ ῥοπὰς ἰσαιτάτας τῶν ῥαιστήρων πρὸς ἑαυτὸν ἀπηλλάγη . καὶ ἀπό τινος ἑνὸς πασσάλου διὰ γώνων ἐμπεπηγότος τοῖς τοίχοις , ἵνα μὴ κἀκ τούτου διαφορά τις ὑποφαίνηται ἢ ὅλως ὑπονοῆται πασσάλων ἰδιαζόντων παραλλαγή , ἀπαρτήσας τέσσαρας χορδὰς ὁμοΰλους καὶ ἰσοκώλους , ἰσοπαχεῖς τε καὶ ἰσοστρόφους ἑκάστην ἐφʼ ἑκάστης ἐξήρτησεν , ὁλκὴν προσδήσας ἐκ τοῦ κάτωθεν μέρους . τὰ δὲ μήκη τῶν χορδῶν μηχανησάμενος ἐκ παντὸς ἰσαίτατα , εἶτα κρούων ἀνὰ δύο ἅμα χορδὰς ἐναλλὰξ συμφωνίας εὕρισκε τὰς προλεχθείσας , ἄλλην ἐν ἄλλῃ συζυγίᾳ . τὴν μὲν γὰρ ὑπὸ τοῦ μεγίστου ἐξαρτήματος τεινομένην πρὸς τὴν ὑπὸ τοῦ μικροτάτου ( p . 12 ) διὰ πασῶν φθεγγομένην κατελάμβανεν . ἦν δὲ ἡ μὲν δώδεκά τινων ὁλκῶν , ἡ δὲ ἕξ . ἐν διπλασίῳ δὴ λόγῳ ἀπέφαινε τὴν διὰ πασῶν , ὅπερ καὶ αὐτὰ τὰ βάρη ὑπέφαινε . τὴν δʼ αὖ μεγίστην πρὸς τὴν παρὰ τὴν μικροτάτην ( οὖσαν ὀκτὼ ὁλκῶν ) διὰ πέντε συμφωνοῦσαν , ἔνθεν ταύτην ἀπέφαινεν ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ , ἐν ᾧπερ καὶ αἱ ὁλκαὶ ὑπῆρχον πρὸς ἀλλήλας · πρὸς δὲ τὴν μεθʼ ἑαυτὴν μὲν τῷ βάρει , τῶν δὲ λοιπῶν μείζονα , ἐννέα σταθμῶν ὑπάρχουσαν , τὴν διὰ τεσσάρων , ἀναλόγως τοῖς βρίθεσι . καὶ ταύτην δὴ ἐπίτριτον ἄντικρυς κατελαμβάνετο , ἡμιολίαν τὴν αὐτὴν φύσει ὑπάρχουσαν τῆς μικροτάτης , ( τὰ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ οὕτως ἔχει , ) ὅνπερ τρόπον ἡ παρὰ τὴν μικρὰν ἡ ὀκτὼ πρὸς μὲν τὴν τὰ ἓξ ἔχουσαν ἐν ἐπιτρίτῳ ἦν , πρὸς δὲ τὴν τὰ δώδεκα ἐν ἡμιολίῳ . τὸ ἄρα μεταξὺ τῆς διὰ πέντε καὶ τῆς διὰ τεσσάρων τουτέστιν ᾧ ὑπερέχει ἡ διὰ πέντε τῆς διὰ τεσσάρων , ἐβεβαιοῦτο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ὑπάρχειν , ἐν ᾧπερ τὰ ἐννέα πρὸς τὰ ὀκτώ . ἑκατέρως τε ἡ διὰ πασῶν σύστημα ἠλέγχετο τῆς διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων ἐν συναφῇ , ὡς ὁ διπλάσιος λόγος ἤτοι ἡμιολίου τε καὶ ἐπιτρίτου , οἷον δώδεκα ὀκτὼ ἓξ , ἢ ἀναστρόφως τῆς διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε , ὡς τὸ διπλασίον ἐπιτρίτου τε ( p . 13 ) καὶ ἡμιολίου , οἷον δώδεκα ἐννέα ἓξ ἐν τάξει τοιαύτῃ . τυλώσας δὲ καὶ τὴν χεῖρα καὶ τὴν ἀκοὴν πρὸς τὰ ἐξαρτήματα καὶ βεβαιώσας πρὸς , αὐτὰ τὸν τῶν σχέσεων λόγον , μετέθηκεν εὐμηχάνιος τὴν μὲν τῶν χορδῶν κοινὴν ἀπόδεσιν τὴν ἐκ τοῦ διαγωνίου πασσάλου εἰς τὸν τοῦ ὀργάνου βατῆρα , ὃν χορδότονον ὠνόμαζε , τὴν δὲ ποσὴν ἐπίτασιν ἀναλόγως τοῖς βάρεσιν εἰς τὴν τῶν κολλάβων ἄνωθεν σύμμετρον περιστροφήν . ἐπιβάθρφ τε ταύτῃ χρώμενος καὶ οἷον ἀνεξαπατήτῳ γνώμονι εἰς ποικίλα ὄργανα τὴν πεῖραν λοιπὸν ἐξέτεινε , λεκίδων τε κροῦσιν καὶ αὐλοὺς καὶ σύριγγας καὶ μονόχορδα καὶ τρίγωνα καὶ τὰ παραπλήσια , καὶ σύμφωνον εὕρισκεν ἐν ἅπασι καὶ ἀπαράλλακτον τὴν διʼ ἀριθμοῦ κατάληψιν . ὀνομάσας δὲ ὑπάτην μὲν τὸν τοῦ ἓξ ἀριθμοῦ κοινωνοῦντα φθόγγον , μέσην δὲ τὸν τοῦ ὀκτὼ , ἐπίτριτον αὐτοῦ τυγχάνοντα , παραμέσην δὲ τὸν τοῦ ἐννέα , τόνῳ τοῦ μέσου ὀξύτερον καὶ δὴ καὶ ἐπόγδοον , νήτην δὲ τὸν τοῦ δώδεκα , καὶ τὴς μεταξύτητας κατὰ τὸ διατονικὸν γένος συναναπληρώσας φθόγγοις ἀναλόγοις οὕτως τὴν ὀκτάχορδον ἀριθμοῖς συμφώνοις ὑπέταξε , διπλασίῳ ἡμιολίῳ ἐπιτρίτῳ καὶ τῇ τούτων διαφορᾷ ἐπογδόῳ .
Lemmas: Ϛ . ὁ δέ κατά ἀριθμός ποσότης οὗτος ὅστε διά τέσσαρες χορδή ἀπόστασις ὅστε διά πέντε καί ὁ κατά ἀμφότερος σύνοδος διά πᾶς λέγω καί ὁ πρόσκειμαι μεταξύ ὁ δύο τετράχορδος τόνος τρόπος τις τοιοῦτος ὑπό ὁ Πυθαγόρας καταλαμβάνω ἔχω βεβαιόω . ἐν φροντίς ποτέ καί διαλογισμός συντείνω ὑπάρχω , εἰ ἄρα δύναμαι ὁ ἀκοή βοήθεια τις ὀργανικός ἐπινοέω πάγιος καί ἀπαραλόγιστος , οἷος ὁ μέν ὄψις διά ὁ διαβήτης καί διά ὁ κανών ἤ καί διά ὁ διόπτρα ἔχω , ὁ δέ ἁφή διά ὁ ζυγόν ἤ διά ὁ ὁ μέτρον ἐπίνοια , παρά τις χαλκοτυπεῖον περιπατέω ἐκ τις δαιμόνιος συντυχία ἐπακούω ῥαιστήρ σίδηρος ἐπί ἄκμων ῥαίω καί ὁ ἦχος παραμίξ πρός ( p . 11 ) ἀλλήλων σύμφωνος ἀποδίδωμι πλήν εἷς συζυγία · ἐπιγιγνώσκω δέ ἐν αὐτός ὁ δέ διά πᾶς καί ὁ διά πέντε καί ὁ διά τέσσαρες συνῳδία . ὁ δέ μεταξύτης ὁ τε διά τέσσαρες καί ὁ διά πέντε ἀσύμφωνος μέν ἐώρα αὐτός κατά ἑαυτοῦ , συμπληρωτικός δέ ἄλλος ὁ ἐν αὐτός μέγας . ἄσμενος δή ὡς κατά θεός ἀνύω αὐτός ὁ πρόθεσις εἰστρέχω εἰς ὁ χαλκεῖον καί ποικίλος πεῖρα παρά ὁ ἐν ὁ ῥαιστήρ ὄγκος εὑρίσκω ὁ διαφορά ὁ ἦχος , ἀλλά οὐ παρά ὁ ὁ ῥαίω βία οὐδέ παρά ὁ σχῆμα ὁ σφυρόν οὐδέ παρά ὁ ὁ ἐλαύνω σίδηρος μετάθεσις , σήκωμα ἀκριβής ἐκλαμβάνω καί ῥοπή ἰσαίτατος ὁ ῥαιστήρ πρός ἑαυτοῦ ἀπαλλάσσω . καί ἀπό τις εἷς πάσσαλος διά γώνων ἐμπήγνυμι ὁ τοῖχος , ἵνα μή ἐκ οὗτος διαφορά τις ὑποφαίνω ἤ ὅλος ὑπονοέω πάσσαλος ἰδιάζω παραλλαγή , ἀπαρτάω τέσσαρες χορδή ὁμόϋλος καί ἰσόκωλος , ἰσοπαχής τε καί ἰσόστροφος ἕκαστος ἐπί ἕκαστος ἐξαρτάω , ὁλκή προσδέω ἐκ ὁ κάτωθεν μέρος . ὁ δέ μῆκος ὁ χορδή μηχανάομαι ἐκ πᾶς ἰσαίτατος , εἶτα κρούω ἀνά δύο ἅμα χορδή ἐναλλάξ συμφωνία εὑρίσκω ὁ προλέγω , ἄλλος ἐν ἄλλος συζυγία . ὁ μέν γάρ ὑπό ὁ μέγας ἐξάρτημα τείνω πρός ὁ ὑπό ὁ μικρός ( p . 12 ) διά πᾶς φθέγγομαι καταλαμβάνω . εἰμί δέ ὁ μέν δώδεκα τις ὁλκή , ὁ δέ ἕξ . ἐν διπλάσιος δή λόγος ἀποφαίνω ὁ διά πᾶς , ὅς καί αὐτός ὁ βάρος ὑποφαίνω . ὁ δέ αὖ μέγας πρός ὁ παρά ὁ μικρός ( εἰμί ὀκτώ ὁλκή ) διά πέντε συμφωνέω , ἔνθεν οὗτος ἀποφαίνω ἐν ἡμιόλιος λόγος , ἐν ὅς καί ὁ ὁλκή ὑπάρχω πρός ἀλλήλων · πρός δέ ὁ μετά ἑαυτοῦ μέν ὁ βάρος , ὁ δέ λοιπός μέγας , ἐννέα σταθμός ὑπάρχω , ὁ διά τέσσαρες , ἀνάλογος ὁ βρῖθος . καί οὗτος δή ἐπίτριτος ἄντικρυς καταλαμβάνω , ἡμιόλιος ὁ αὐτός φύσις ὑπάρχω ὁ μικρός , ( ὁ γάρ ἐννέα πρός ὁ ἕξ οὕτως ἔχω , ) ὅς τρόπος ὁ παρά ὁ μικρός ὁ ὀκτώ πρός μέν ὁ ὁ ἕξ ἔχω ἐν ἐπίτριτος εἰμί , πρός δέ ὁ ὁ δώδεκα ἐν ἡμιόλιος . ὁ ἄρα μεταξύ ὁ διά πέντε καί ὁ διά τέσσαρες τουτέστι ὅς ὑπερέχω ὁ διά πέντε ὁ διά τέσσαρες , βεβαιόω ἐν ἐπόγδοος λόγος ὑπάρχω , ἐν ὅς ὁ ἐννέα πρός ὁ ὀκτώ . ἑκάτερος τε ὁ διά πᾶς σύστημα ἐλέγχω ὁ διά πέντε καί διά τέσσαρες ἐν συναφή , ὡς ὁ διπλάσιος λόγος ἤτοι ἡμιόλιος τε καί ἐπίτριτος , οἷος δώδεκα ὀκτώ ἕξ , ἤ ἀνάστροφος ὁ διά τέσσαρες καί διά πέντε , ὡς ὁ διπλάζω ἐπίτριτος τε ( p . 13 ) καί ἡμιόλιος , οἷος δώδεκα ἐννέα ἕξ ἐν τάξις τοιοῦτος . τυλόω δέ καί ὁ χείρ καί ὁ ἀκοή πρός ὁ ἐξάρτημα καί βεβαιόω πρός , αὐτός ὁ ὁ σχέσις λόγος , μετατίθημι εὐμήχανος ὁ μέν ὁ χορδή κοινός ἀπόδεσις ὁ ἐκ ὁ διαγώνιος πάσσαλος εἰς ὁ ὁ ὄργανον βατήρ , ὅς χορδότονος ὀνομάζω , ὁ δέ ποσός ἐπίτασις ἀνάλογος ὁ βάρος εἰς ὁ ὁ κόλλαβος ἄνωθεν σύμμετρος περιστροφή . ἐφεβάθρφ τε οὗτος χράω καί οἷος ἀνεξαπάτητος γνώμων εἰς ποικίλος ὄργανον ὁ πεῖρα λοιπός ἐκτείνω , λεκίς τε κροῦσις καί αὐλός καί σῦριγξ καί μονόχορδος καί τρίγωνος καί ὁ παραπλήσιος , καί σύμφωνος εὑρίσκω ἐν ἅπας καί ἀπαράλλακτος ὁ διά ἀριθμός κατάληψις . ὀνομάζω δέ ὑπάτη μέν ὁ ὁ ἕξ ἀριθμός κοινωνέω φθόγγος , μέσος δέ ὁ ὁ ὀκτώ , ἐπίτριτος αὐτός τυγχάνω , παραμέση δέ ὁ ὁ ἐννέα , τόνος ὁ μέσος ὀξύς καί δή καί ἐπόγδοος , νήτη δέ ὁ ὁ δώδεκα , καί ὁ μεταξύτης κατά ὁ διατονικός γένος συναναπληρόω φθόγγος ἀνάλογος οὕτως ὁ ὀκτάχορδος ἀριθμός σύμφωνος ὑποτάσσω , διπλάσιος ἡμιόλιος ἐπίτριτος καί ὁ οὗτος διαφορά ἐπόγδοος .