nicomachus-mathematics.excerpta 2
2 . Εἰσὶν οἱ ἀριθμοὶ , ἐξ ὧν ποιοῦσιν οἱ κατὰ τὴν μουσικὴν τὰ τονιαῖα διαστήματα . ἐπὶ μὲν τοῦ διὰ τεσσάρων , ὅ φασιν ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ θεωρεῖσθαι , τοῦ συνεστῶτος ἐκ δύο τόνων καί τινος , οἷον τοῦ ἀρχομένου ἀπὸ παρυπάτης ὑπατῶν καὶ καταλήγοντος εἰς παρυπάτην μέσων λαμβάνουσιν ἀριθμὸν ἐπίτριτον , τὸν cνϚ πρὸς τὸν ρ Ϟβ , καὶ ἀπὸ τούτου τοῦ ρ Ϟβ διὰ τῶν ἐπογδόων λόγων , ἐν οἷς θεωρεῖται τὰ τονιαία διαστήματα , ( καὶ τοῦ καταλειπομένου λείμματος ) συμιπληροῦσι τὸ cνϚ . ἐπιτείνουσι τοίνυν ἀπὸ τοῦ ρϞβ τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν cιϚ , ὅς ἐστιν ἐπόγδοος τοῦ ρ Ϟβ · περιέχει γὰρ τὸν ρϞβ καὶ τὸ ὄγδοον αὐτοῦ τὰ κδ . καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ cιϚ ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν cμγ ἐπόγδοον ὄντα τοῦ cιϚ · περιέχει γὰρ αὐτὸν καὶ τὸ ὄγδοον αὐτοῦ τὰ κζ . εἰς δὲ τὴν συμιπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ cνϚ ἀριθμοῦ λείπει τὰ ιγ , ἅπερ οὔτε τοῦ πρώτου τόνου ἐστὶν ἡμίση , τοῦ ἐν τῷ κδ ἀριθμῷ θεωρουμένου , οὔτε τοῦ δευτέρου , τοῦ ἐν τῷ κζ . Ἐπὶ δὲ τοῦ διὰ πέντε , ὃ ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ κεῖται καὶ συνέστηκεν ἐκ τριῶν τόνων καί τινος , οἶον τοῦ ἀρχομένου ἀπὸ παρυπάτης μέσων καὶ καταλήγοντος εἰς τρίτην διεζευγμένων , ( p . 31 ) κατασκευάζουσι τὸ προκείμενον οὕτω . λαμβάνουσιν ἡμιόλιον ἀριθμόν τινα . τὸν ψξη πρὸς τὸν φιβ , καὶ ἀπὸ τούτου τοῦ φιβ διὰ τῶν ἐπογδόων λόγων , ἐν οἷς θεωρεῖται τὰ τονιαία διαστήματα , καὶ τοῦ καταλειπομένου λείμματος ἀναπληροῦσι , τὸν ψξη . ἐπιτείνουσι τοίνυν ἀπὸ τοῦ φιβ τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν φοϚ , ὅς ἐστιν ἐπόγδοος τοῦ φιβ · περιέχει γὰρ αὐτὸν τὸν φιβ καὶ τὸ ὄγδοον αὐτοῦ τὰ ἑξήκοντα τέσσαρα . πάλιν ἀπὸ τοῦ φοϚ ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν χμη ἐπόγδοον ὄντα τοῦ φοϚ , ἐπειδὴ περιέχει αὐτόν τε καὶ τὸ ὄγδοον αὐτοῦ τὰ οβ . πάλιν ἀπὸ τοῦ χμ ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπόγδοον αὐτοῦ τὸν ψλθ , ἐπόγδοον ὄντα τοῦ χμη , ἐπειδὴ περιέχει αὐτὸν καὶ τὸν πα ἀριθμὸν , ὅς ἐστιν ὄγδοον τοῦ χμη . εἰς δὲ συμπλήρωσιν τοῦ ἡμιολίου ἀριθμοῦ τοῦ ψξη τὰ λειπόμενά εἰσι λθ . ἀλλʼ οὔτε τοῦ ξδ ἐστὶν ἥμισυ , ἐν ὁ πρότερος θεωρεῖται τόνος , οὔτε τοῦ οβ ἐν ᾧ ὁ δεύτερος τόνος , οὔτε τοῦ πα , ἐν ᾧ ὁ τρίτος · οὐδὲ γὰρ τόνος εἰς δύο ἡμιτόνια πρὸς ἀκρίβειαν διαιρεῖται . Οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τοῦ διὰ τεσσάρων τοῦ συνεστῶτος ἐκ τόνου καὶ λείμματος καὶ τόνου , οἷον τοῦ ἀρχομένου ἀπὸ προσλαμβανομένου καὶ καταλήγοντος εἰς ὑπατῶν διάτονον , κατασκευάζουσιν οὕτως . λαμβάνουσι πάλιν ἐπίτριτον ἀριθμόν τινα , τὸν cπ πρὸς τὸν cιϚ . καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ σιϚ ἐπιτείνουσιν τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν cμ ἐπόγδοον ὄντα ( p . 32 ) τοῦ cιϚ καὶ τῷ κζ ὑπερέχοντα . ἐπεὶ δὲ οὐκέτι δυνάμεθα ἀπὸ τοῦ Cμγ ἐπιτεῖναι τόνον , ἐπόγδοον γὰρ αὐτοῦ ἀπαρτίζοντα οὐχ εὑρίσκομεν , κατὰ ἄνεσιν ποιοῦμεν τοῦ cπη ὑπεπόγδοον τόνον . ἔστι δὲ ύπεπόγδοος τοῦ cπη ὁ cν νϚ , ὅτι περιέχεται ὑπὸ τοῦ cπη ὅλος καὶ τὸ ὄγδοον αὐτοῦ τὰ λβ . ἐκ μὲν οὗν τῆς ἀπὸ τοῦ cιϚ γενομένης κατὰ τὸ ἐπόγδοον τοῦ τόνου διάστημα ἐπιτάσεως εὑρίσκετο ὁ cμγ , ἐκ δὲ τῆς ἀπὸ τοῦ cπη τοῦ τόνου γενομένης ἀνέσεως ὁ cνϛ · ἀλλʼ ἵνα συμπληρωθῇ πᾶς ὁ μεταξὑ ἀριθμὸς , λείπεται ὁ ιγ , ὅπερ οὔτε τοῦ κζ οὔτε τοῦ λβ ἐστὶν ἥμισυ . καὶ τὸ πᾶν σύστημα τοῦ διὰ τεσσάρων ἐπὶ τῶν προειρημένων ἀριθμῶν ἐστιν oβ ἀλλʼ ἐν μὲν τῷ κατὰ τὴν ἐπίτασιν ἐπογδόῳ ἀριθμὸς εὑρεθήσεται ὁ κζ , ἐν δὲ τῷ κατὰ τὴν ἄνεσιν ὁ λβ . εἰ δὲ ἀπὸ τοῦ oβ ἀφελοῦμεν τὸν κ καὶ τὸν λβ , καταλειπόμενα ἔσται ΙΥ , μήτε τῶν κζ μήτε τῶν λβ ὄντα ἡμίση . Πάλιν ἐπὶ τοῦ διἀ πέντε τοῦ συνεστῶτος ἐκ τόνου καὶ λείμματος καὶ δύο τόνων οἷον τοῦ ἀρχομένου ἀπὸ ὑπατῶν διατόνου καὶ καταλγοντος εἰς μέσην κατασκευάζουσιν οὕτως . λαμβάνουσιν ἡμιόλιόν τινα ἀριθμὸν τὸν ac ?? Ϛ πρὸς τὰ ωξδ καὶ ἀπὸ τούτου ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν ϡοβ τῷ ρ ὑπερέχοντα τοῦ ωξδ . ἐπεὶ δὲ οὐκέτι ἀπὸ τοῦ ϡοβ δυνάμεθα ἐπιτεῖναι τόνον , κατʼ ἄνεσιν ( p . 33 ) αὐτὸν εὑρίσκομεν . ἀνίεμεν τοίνυν ἀπὸ τοῦ ασι , καὶ εὑρίσκομεν τὸν ἀρνῇ ὑπεπόγδοον ὄντα τοῦ ασλ , Ϛ καὶ ὑπερεχόμενον ὑπ’ αὐτοῦ τῷ ρμ δ ἀριθμῷ , ὅς ἐστιν ὄγδοον τοῦ αρνβ . πάλιν τοίνυν ἀπὸ τοῦ μρνβ ἀνίεμεν τόνον καὶ εὑρίσκομεν τὸν ακ ὑπεπόγδοον ὄντα τοῦ αρν β καὶ ὑπερεχόμενον ὑπʼ αὐτοῦ τῷ ρκη ἀριθμῷ , ὅς ἐστιν ὄγδοον τοῦ ακδ . ἀπὸ τοίνυν τοῦ ανδ ἐπὶ τὸν ϡοβ , ἐν ᾧ ἵσταται ὁ κατὰ τὴν ἐπίτασιν τόνος ἀπὸ τοῦ ωξδ , διαλείπει νβ · οὐδενὸς δὲ τῶν ἐν τοῖς τόνοις εὑρεθέν των ἀριθμῶν οὗτός ἐστιν ἥμισυς , οὔτε τοῦ ρη οὔτε τοῦ pκ οὔτε τοῦ ρμδ · ἐν τούτοις γὰρ ἦν εὑρισκόμενα τὰ τονιαῖα διαστήματα .
Lemmas: 2 . εἰμί ὁ ἀριθμός , ἐκ ὅς ποιέω ὁ κατά ὁ μουσική ὁ τονιαῖος διάστημα . ἐπί μέν ὁ διά τέσσαρες , ὅς φημί ἐν ἐπίτριτος λόγος θεωρέω , ὁ συνίστημι ἐκ δύο τόνος καί τις , οἷος ὁ ἄρχω ἀπό παρυπάτη ὑπάτη καί καταλήγω εἰς παρυπάτη μέσος λαμβάνω ἀριθμός ἐπίτριτος , ὁ cνϚ πρός ὁ ρ Ϟβ , καί ἀπό οὗτος ὁ ρ Ϟβ διά ὁ ἐπόγδοος λόγος , ἐν ὅς θεωρέω ὁ τονιαῖος διάστημα , ( καί ὁ καταλείπω λεῖμμα ) συμιπληροω ὁ cνϚ . ἐπιτείνω τοίνυν ἀπό ὁ ρϞβʹ τόνος καί ποιέω ὁ Ϛ , ὅς εἰμί ἐπόγδοος ὁ ρ Ϟβ · περιέχω γάρ ὁ ρϞβʹ καί ὁ ὄγδοος αὐτός ὁ κδʹ . καί πάλιν ἀπό ὁ Ϛ ἐπιτείνω τόνος καί ποιέω ὁ cμγ ἐπόγδοος εἰμί ὁ Ϛ · περιέχω γάρ αὐτός καί ὁ ὄγδοος αὐτός ὁ κζʹ . εἰς δέ ὁ συμιπληροω ὁ διά τέσσαρες καί cνϚ ἀριθμός λείπω ὁ ιγʹ , ὅς οὔτε ὁ πρῶτος τόνος εἰμί ἥμισυς , ὁ ἐν ὁ κδʹ ἀριθμός θεωρέω , οὔτε ὁ δεύτερος , ὁ ἐν ὁ κζʹ . ἐπί δέ ὁ διά πέντε , ὅς ἐν ἡμιόλιος λόγος κεῖμαι καί συνίστημι ἐκ τρεῖς τόνος καί τις , οἷος ὁ ἄρχω ἀπό παρυπάτη μέσος καί καταλήγω εἰς τρίτος διαζεύγνυμαι , ( p . 31 ) κατασκευάζω ὁ πρόκειμαι οὕτως . λαμβάνω ἡμιόλιος ἀριθμός τις . ὁ ψξη πρός ὁ φιβʹ , καί ἀπό οὗτος ὁ φιβʹ διά ὁ ἐπόγδοος λόγος , ἐν ὅς θεωρέω ὁ τονιαῖος διάστημα , καί ὁ καταλείπω λεῖμμα ἀναπληρόω , ὁ ψξηʹ . ἐπιτείνω τοίνυν ἀπό ὁ φιβʹ τόνος καί ποιέω ὁ φοϚʹ , ὅς εἰμί ἐπόγδοος ὁ φιβʹ · περιέχω γάρ αὐτός ὁ φιβʹ καί ὁ ὄγδοος αὐτός ὁ ἑξήκοντα τέσσαρες . πάλιν ἀπό ὁ φοϚʹ ἐπιτείνω τόνος καί ποιέω ὁ χμηʹ ἐπόγδοος εἰμί ὁ φοϚʹ , ἐπειδή περιέχω αὐτός τε καί ὁ ὄγδοος αὐτός ὁ οβʹ . πάλιν ἀπό ὁ χμ ἐπιτείνω τόνος καί ποιέω ὁ ἐπόγδοος αὐτός ὁ ψλθʹ , ἐπόγδοος εἰμί ὁ χμη , ἐπειδή περιέχω αὐτός καί ὁ πη ἀριθμός , ὅς εἰμί ὄγδοος ὁ χμη . εἰς δέ συμπλήρωσις ὁ ἡμιόλιος ἀριθμός ὁ ψξηʹ ὁ λείπω εἰμί λθʹ . ἀλλά οὔτε ὁ ξδ εἰμί ἥμισυς , ἐν ὁ πρότερος θεωρέω τόνος , οὔτε ὁ οβ ἐν ὅς ὁ δεύτερος τόνος , οὔτε ὁ πη , ἐν ὅς ὁ τρίτος · οὐδέ γάρ τόνος εἰς δύο ἡμιτόνιον πρός ἀκρίβεια διαιρέω . οὐ μήν ἀλλά καί ἐπί ὁ διά τέσσαρες ὁ συνίστημι ἐκ τόνος καί λεῖμμα καί τόνος , οἷος ὁ ἄρχω ἀπό προσλαμβάνω καί καταλήγω εἰς ὑπάτη διάτονος , κατασκευάζω οὕτως . λαμβάνω πάλιν ἐπίτριτος ἀριθμός τις , ὁ cπ πρός ὁ Ϛ . καί ἀπό μέν ὁ σιϚʹ ἐπιτείνω τόνος καί ποιέω ὁ cμ ἐπόγδοος εἰμί ( p . 32 ) ὁ Ϛ καί ὁ κζʹ ὑπερέχω . ἐπεί δέ οὐκέτι δύναμαι ἀπό ὁ Cμγ ἐπιτείνω τόνος , ἐπόγδοος γάρ αὐτός ἀπαρτίζω οὐ εὑρίσκω , κατά ἄνεσις ποιέω ὁ Ἕπη ὑπεπόγδοος τόνος . εἰμί δέ ὑπεπόγδοος ὁ Ἕπη ὁ cν νϚʹ , ὅτι περιέχω ὑπό ὁ Ἕπη ὅλος καί ὁ ὄγδοος αὐτός ὁ λβʹ . ἐκ μέν ἐν ὁ ἀπό ὁ Ϛ γίγνομαι κατά ὁ ἐπόγδοος ὁ τόνος διάστημα ἐπίτασις εὑρίσκω ὁ cμγ , ἐκ δέ ὁ ἀπό ὁ Ἕπη ὁ τόνος γίγνομαι ἄνεσις ὁ cνϛ · ἀλλά ἵνα συμπληρόω πᾶς ὁ μεταξύ ἀριθμός , λείπω ὁ ιγ , ὅς οὔτε ὁ κζ οὔτε ὁ λβ εἰμί ἥμισυς . καί ὁ πᾶς σύστημα ὁ διά τέσσαρες ἐπί ὁ προλέγω ἀριθμός εἰμί oβ ἀλλά ἐν μέν ὁ κατά ὁ ἐπίτασις ἐπόγδοος ἀριθμός εὑρίσκω ὁ κζʹ , ἐν δέ ὁ κατά ὁ ἄνεσις ὁ λβʹ . εἰ δέ ἀπό ὁ oβ ἀφαιρέω ὁ κ καί ὁ λβ , καταλείπω εἰμί ΙΥ , μήτε ὁ κζʹ μήτε ὁ λβ εἰμί ἥμισυς . πάλιν ἐπί ὁ διά πέντε ὁ συνίστημι ἐκ τόνος καί λεῖμμα καί δύο τόνος οἷος ὁ ἄρχω ἀπό ὑπάτη διάτονος καί καταλγέω εἰς μέσος κατασκευάζω οὕτως . λαμβάνω ἡμιόλιος τις ἀριθμός ὁ ac ?? Ϛ πρός ὁ ωξδʹ καί ἀπό οὗτος ἐπιτείνω τόνος καί ποιέω ὁ ϡοβʹ ὁ ρ̅ ὑπερέχω ὁ ωξδʹ . ἐπεί δέ οὐκέτι ἀπό ὁ ϡοβ δύναμαι ἐπιτείνω τόνος , κατά ἄνεσις ( p . 33 ) αὐτός εὑρίσκω . ἀνίημι τοίνυν ἀπό ὁ ασι , καί εὑρίσκω ὁ ἀρνέομαι ὑπεπόγδοος εἰμί ὁ ασλʹ , Ϛ καί ὑπερέχω ὑπό αὐτός ὁ ρμʹ δ ἀριθμός , ὅς εἰμί ὄγδοος ὁ αρνβʹ . πάλιν τοίνυν ἀπό ὁ μρνβʹ ἀνίημι τόνος καί εὑρίσκω ὁ ακʹ ὑπεπόγδοος εἰμί ὁ αρνʹ β καί ὑπερέχω ὑπό αὐτός ὁ ρκη ἀριθμός , ὅς εἰμί ὄγδοος ὁ ακδʹ . ἀπό τοίνυν ὁ ανδʹ ἐπί ὁ ϡοβ , ἐν ὅς ἵστημι ὁ κατά ὁ ἐπίτασις τόνος ἀπό ὁ ωξδʹ , διαλείπω νβʹ · οὐδείς δέ ὁ ἐν ὁ τόνος εὑρίσκω ὁ ἀριθμός οὗτος εἰμί ἥμισυς , οὔτε ὁ ρηʹ οὔτε ὁ pκ οὔτε ὁ ρμδʹ · ἐν οὗτος γάρ εἰμί εὑρίσκω ὁ τονιαῖος διάστημα .