marinus.commentarium-in-euclidis-data 1
Πρῶτον δεῖ θέσθαι , τί τὸ δεδομένον · ἔπειτα , τί τὸ χρήσιμον τῆς περὶ τούτου πραγματείας , εἰπεῖν · καὶ τρίτον , ὑπὸ τίνα ἐπιστήμην ἀνάγεται . Ὁρίζονται δὴ τὸ δεδομένον πολλαχῶς , καὶ ἄλλως μὲν οἱ παλαιότεροι , ἄλλως δὲ οἱ νεώτεροι · διὸ καὶ συνέβη χαλεπὴν εἶναι τὴν ἀληθῆ περὶ αὐτοῦ ἀπόδοσιν καὶ ἔνιοι μὲν οὐδὲ ὁρισμόν τινα αὐτοῦ ἀποδεδώκασιν , ἴδιον δέ τι τοῦ δεδομένου εὑρίσκειν ἐπειράθησαν · ἕτεροι δὲ συμπλέξαντες ἤδη τὰ παρʼ ἐκείνων ὁρίζεσθαι αὐτὸ ἐπεχείρησαν καὶ οὐδὲ οὗτοι συμφώνως ἑαυτοῖς . ἐοίκασι δὲ πάντες ἐκ μιᾶς καὶ τῆς αὐτῆς ἐννοίας καὶ ὑπολήψεως ὁρμηθέντες λέγειν τι περὶ αὐτοῦ · κατα - ληπτὸν γάρ τι τὸ δεδομένον εἶναι ὑπέλαβον . διὸ τῶν ἁπλούστερον καὶ μιᾷ τινι διαφορᾷ περιγράφειν τὸ δεδο - μένον προθεμένων οἱ μὲν τεταγμένον , ὡς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ περὶ νεύσεων καὶ ἐν τῇ καθόλου πραγματείᾳ , οἱ δὲ γνώριμον , ὡς ∠ιόδωρος · οὕτω γὰρ τὰς ἀκτῖνας καὶ τὰς γωνίας δεδόσθαι λέγει καὶ πᾶν τὸ εἰς γνῶσίν τινα ἐλθόν , καὶ εἰ μὴ ῥητὸν εἵη . ἔνιοι δὲ ῥητὸν αὐτὸ εἶναι ἀπεφήναντο , ὥσπερ δοκεῖ ὁ Πτολεμαῖος , δεδο - μένα ἐκεῖνα προσαγορεύων , ὧν τὸ μέτρον ἐστὶ γνώρι - μον ἤτοι πρὸς ἀκρίβειαν ἢ τὸ σύνεγγυς . καὶ τὸ ἐν ὑποθέσει δὲ παρὰ τοῦ προβάλλοντος ἐκτιθέμενον δεδομένον εἶναί τινες ὑπειλήφασιν . λέγουσι δὲ καὶ ἄλλον τρόπον ἐν ταῖς πρώταις στοιχειώσεσι τὸ δοθὲν καὶ τὴν δοθεῖσαν , τουτέστιν ἡλίκην ἄν τις ἀφορίσῃ καὶ δῷ εὐθεῖαν . ταῦτα δὲ πάντα κατάληψίν τινα βούλεται σημαίνειν . ὅθεν καὶ μάλιστα τῶν ὅρων ἐκεῖνοι εὐδοκιμοῦσιν , ὅσοι γε μάλιστα τὸ καταληπτὸν ἐμφανί - ζουσιν , ὡς προϊοῦσιν ἡμῖν ἔσται καταφανές . νυνὶ δὲ καὶ τῶν μὴ μόνον ψιλῶς καὶ ἑνί τινι χαρακτηριζόντων τὴν τοῦ δεδομένου φύσιν , οἷον δὲ ὁρισμὸν αὐτοῦ ποιούντων , τὰς διαφορὰς ἐκθώμεθα . συγκεφαλαιούμενοι δὲ καὶ τούτων οἱ τρόποι εὐαρίθμη - τοι γίνονται . οἱ μὲν γὰρ τεταγμένον ἄμα καὶ πόρι - μον τὸ δεδομένον εἶναι ἀφωρίσαντο , ἕτεροι δὲ τὸ τεταγμένον ἅμα καὶ γνώριμον , τινὲς δὲ τὸ γνώριμον ἄμα καὶ πόριμον . φαίνονται δὲ καὶ οὗτοι πάντες πρὸς τὴν κατάληψιν ἤτοι λῆψιν καὶ εὕρεσιν τοῦ δεδομένου ἀφεωρακότες τὸν εἰρημένον τρόπον ὁρίζεσθαι . ἵνα δὲ ταύτην τε αὐτῶν τὴν ἔννοιαν καταδησώμεθα , ἔτι γε μὴν καὶ τὸν ἀληθῆ τοῦ προκειμένου ὅρον ἐκ πολλῶν , τῶν παραδεδομένων ἕλωμεν , ἐπισκεπτέον πρότερον ἑκάστου τῶν ἁπλῶν τὸ σημαινόμενον καὶ τῶν τούτοις ἀντικειμένων , τοῦ τε ἀτάκτου λέγω καὶ ἀγνώστου καὶ ἀπόρου καὶ ἀλόγου , ὡς πρὸς τὴν ἐνεστῶσαν γεω - μετρικὴν ὕλην . ἐπιτείνεται γὰρ τὰ τοιαῦτα καὶ ἐπὶ τὰ φυσικὰ πράγματα καὶ τὰς ἄλλας δὲ μαθηματικὰς ἐπι - στήμας . ὑπογράφουσι τοίνυν τὸ τεταγμένον τὸ ἀεὶ ταὐτὸν σωζόμενον , καθʼ ὃ τετάχθαι λέγεται , ἤτοι κατὰ μέγεθος ἢ εἶδος ἢ ἄλλο τι τῶν τοιούτων · ἢ καὶ ἑτέρως · ὅπερ μὴ ἐνδέχεται ἄλλοτε ἄλλως γίνεσθαι , ἀλλὰ μοναχῶς ἐν ἀφωρισμένῳ τινὶ τόπῳ . οἷον , ὡς τύπῳ εἰπεῖν , ἡ διὰ δύο σημείων ἑστηκότων γραφομένη εὐθεῖα τετάχθαι λέγεται τῷ μὴ ἄλλως καὶ ἀστάτως ἄγεσθαι . ἄτακτος δέ ἐστιν ἡ διὰ δυεῖν περιφέρεια · πολλαχῶς γὰρ καὶ ἀστάτως γράφεται , καὶ μείζονος καὶ ἐλάττονος κύκλου ἐπʼ ἄπειρον γραφομένων διὰ τῶν δύο σημείων . πάλιν δὲ τεταγμένη ἐστὶν ἡ διὰ τριῶν σημείων περιφέρεια . ἔστι δὲ καὶ τὰ τοιαῦτα τῶν τεταγμένων , ὡς τὸ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας ἰσόπλευρον τρίγωνον συστή - σασθαι · εἰ γὰρ καὶ διχῶς γίγνεται , ἀλλὰ καθʼ ἑκάτερον μέρος τῆς εὐθείας μοναχῶς καὶ ἀμεταπτώτως · καὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν · μο - ναχῶς γὰρ ἂν καὶ τοῦτο γένοιτο ἐπὶ θάτερα τῆς διχο - τομίας . ἄτακτα δέ ἐστι τὰ τούτοις ἀντικειμένως ἔχοντα , ὡς τὸ σκαληνὸν συστήσασθαι καὶ τὴν εὐθεῖαν ἀορί - στως τεμεῖν . πρόσκειται δὲ τῷ ὅρῳ τὸ καθʼ ὅ τέτακται , ἐπεὶ δύναταί τι ἕν καὶ ταὐτὸν ὄν πῇ μὲν τεταγμένον , ἄλλως δὲ ἄτακτον εἶναι , οἷον τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον , μὲν ἰσόπλευρόν ἐστιν , τέτακται , μεγέθει δὲ οὐχ ὥρισται πᾶν . γνώριμον δέ ἐστι τὸ γιγνωσκόμενον ὡς τὸ δῆλον ἡμῖν καὶ καταλαμβανόμενον , ἄγνωστον δὲ τὸ μὴ γιγνω - σκόμενον μηδὲ καταλαμβανόμενον ὑφʼ ἡμῶν · οἷον τὸ μῆκος τῆς ὁδοῦ γνώριμον εἶναι λέγεται , καθʼ ὅ , πόσων ἐστὶ σταδίων , κατέλαβον , καὶ τοῦ τριγώνου ὅτι αἰ ἐν - τὸς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , καὶ ὅτι ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων ἄλογός ἐστιν . ἔτι μὴν καὶ τὰ τοιάδε γνώριμα λέγεται , ὡς τὸ μίαν εἶναι τὴν ἐφαπτομένην τῆς ἕλικος ἀπὸ τοῦ ἔξω δοθέντος σημείου ἐπὶ θάτερα μέρη . εἰ γὰρ καὶ ἄλλη εἴη , δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν , ὅπερ ἀδύνα - τον . ἄγνωστα δὲ οὐ τὰ ἄλογά ἐστιν , ἀλλὰ τὰ μὴ γιγνωσκόμενα μηδὲ καταλαμβανόμενα ὑφʼ ἡμῶν . πόριμον δέ ἐστιν , ὃ δυνατοί ἐσμεν ἤδη ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι , τουτέστιν εἰς ἐπίνοιαν ἀγαγεῖν . ἄλλως δὲ πάλιν ὁρίζονται τὸ πόριμον ἤτοι τὸ διʼ ἀπο - δείξεως ποριζόμενον , ἢ ὅταν τι φαινόμενον καὶ χωρὶς ἀποδείξεως · οἷόν ἐστι τὸ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράψαι καὶ τὸ τρίγωνον συστήσασθαι οὐ μόνον ἰσό - πλευρον , ἀλλὰ καὶ σκαληνόν , καὶ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων εὑρεῖν καὶ τρεῖς εὐθείας ῥητὰς δυνάμει μόνον συμ - μέτρους · καὶ τὰ ἀπειραχῶς δὲ γινόμενα πόριμά ἐστιν , ὥσπερ τὸ διὰ δύο σημείων κύκλον γράψαι . ἄπορον δέ ἐστι τὸ ἀντικειμένως ἔχον , ὡς ὁ τοῦ κύκλου τετρα - γωνισμός · οὕπω γάρ ἐστιν ἐν πόρῳ , εἰ καὶ οἷόν τε αὐτὸ πορισθῆναι καί ἐστιν ἐπιστητόν · ἐπιστήμη γὰρ αὐτοῦ οὔπω κατείληπται . νῦν δὲ περὶ τοῦ ἤδη ὄντος ἐν πόρῳ ὁ λόγος ἀποδίδοται , ὅπερ καὶ κυρίως πόρι - μον ἐπονομάζουσιν . τὸ γὰρ μήπω ὄν ἐν πόρῳ , ἐν - δεχόμενον δὲ πορισθῆναι ποριστὸν ἰδίως προσαγορεύου - σιν . ἄπορον δέ ἐστιν , ὡς εἴρηται , τὸ τῷ πορίμῳ ἀντι - κείμενον , τουτέστιν οὗ ἡ ζήτησις ἀδιάκριτός ἐστιν . ῥητὸν δέ ἐστιν , οὑπερ ἔχομεν εἰπεῖν μέγεθος ἢ εἶδος ἢ θἐσιν · ἀλλʼ οὗτος μὲν ὁ ὅρος κοινότερός ἐστιν , ἰδίως δὲ καὶ καθʼ αὑτὸ ῥητόν ἐστιν , ὅ κατά τινα γιγνώσκο - μεν ἀριθμὸν πρὸς τὸ τῇ θέσει μέτρον , παλαιστήν , εἰ τύχοι , ἢ δάκτυλον . οὕτω δὴ προδιωρισμένων ῥᾷον ἔσται λοιπὸν ἐπι - σκοπεῖν τήν τε κοινωνίαν τῶν εἰρημένων καὶ τὴν δια - φοράν , καὶ πρῶτον , ὅπως ἔχει τὸ τεταγμένον πρὸς τὸ γνώριμον καὶ τὰ τούτοις ἀντικείμενα πρὸς ἄλληλα . οὐκ ἔστι δὴ τῶν ἀντιστρεφόντων τὰ τοιαῦτα οὐδὲ μὴν ἐκείνων , ἐν οἷς τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου ἐπὶ πλέον ἐστίν . εἰ γὰρ καὶ κοινὰ αὐτοῖς πολλὰ ὑπάρχει , ὡς τὸ διὰ δύο σημείων εὐθεῖαν γράψαι καὶ διὰ τριῶν κύκλον καὶ ἰσόπλευρον συστήσασθαι , ἀλλὰ τὸ τετραγωνίζειν τὸν κύκλον τεταγμένον μέν , ἄγνωστον δέ · καὶ ὅτι μία τῆς ἕλικος ἀφʼ ἑνὸς σημείου ἐφάπτεται , τῶν τεταγμέ - νων καὶ μὴ ἐνδεχομένων ἄλλως ἔχειν ἐστίν · οὐ μὴν καὶ ἔγνωσται αὐτοῦ ἡ ἀπόδειξις ἤτοι κατασκευή . πάλιν δʼ αὗ ἡ ἐπʼ ἄπειρον τομὴ καὶ ἡ τοῦ σκαληνοῦ σύστασις ἔγνωσται μέν , οὐκέτι δὲ καὶ τέτακται , ὥστε φανερόν , ὅτι ἔσται τοῦ τεταγμένου τὸ μὲν γνώριμον , τὸ δὲ ἄγνωστον , καὶ ἀνάπαλιν δὲ τοῦ γνωρίμου τὸ μὲν τεταγμένον , τὸ δὲ ἄτακτον . καὶ οὕτως ἔχει ταῦτα πρὸς ἄλληλα , ὡς τὸ λογικὸν πρὸς τὸ πεζόν · οὔτε γὰρ ἐξισάζει τὰ τοιαῦτα οὔτε μὴν τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου ἐπὶ πλέον ἐστίν . ὁμοίως δὲ ἔχει καὶ τὸ τεταγμένον καὶ τὸ ἄτακτον πρὸς τὸ πόριμον καὶ τὸ ἄπορον · κοινωνία τε γὰρ αὐτοῖς ἔνεστι πλείστη καὶ διαφέρει ἀλλήλων τὸν εἰρημένον τρόπον . ἡ γὰρ ἕλιξ τέτακται μέν , ἀλλʼ οὐκ ἧν τοῖς πρὸ Ἀρχιμήδους πορίμη . καὶ τὰ ἀπειραχῶς δὲ γιγνό - μενα καὶ ἀτάκτως πόριμα μέν ἐστιν , ἐὰν τὴν κατα - σκευὴν ἐπινοῇ τις αὐτῶν καὶ τὴν σύστασιν , οὐκέτι δὲ καὶ τεταγμένα . οἷον σκαληνὸν τρίγωνον ἐπινοῆσαι καὶ εἰς τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ ἀναγαγεῖν τὴν διάνοιαν ἀπὸ τοῦ ἰσοπλεύρου οὐ χαλεπὸν ἀλλʼ εὐποριστόν ἐστιν , καί - τοι τῶν ἀτάκτων ὄν καὶ ἀπείρων . οὕτω δὲ ἔχει καὶ πρὸς τὸ ῥητὸν καὶ ἄλογον τὸ τεταγμένον τε καὶ τὸ ἄτακτον · κοινωνοῦντα γὰρ ἀλλή - λοις πολλαχῇ καὶ διενήνοχε τὸν εἰρημένον τρόπον . οὐδὲ γὰρ ταῦτα ἐξισάζει ἀλλήλοις οὐδὲ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου ἐστὶ περιληπτικόν · ἡ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ οὕτως κατειλημμέναι ἄλογοι τεταγμέναι μέν εἰσιν , οὐκέτι δὲ καὶ ῥηταί , καὶ ὁ τῆς διαμέτρου λόγος πρὸς τὴν πλευράν . πολλὰ δὲ καὶ τῶν ῥητῶν ἄτακτά ἐστιν , ὡς τὰ πολλαχῶς καὶ ἀορίστως γινόμενα · δύναται γὰρ καὶ σκαληνὸν τρίγωνον μετρεῖσθαι ὑπὸ τοῦ προτε - θέντος καὶ ὁρισθέντος ῥητοῦ μέτρου , καίτοι ἄτακτον ὑπάρχον . τοῦ δὲ γνωρίμου πρὸς τὸ πόριμον τὴν μὲν ὁμοιό - τητα παντί γε διιδεῖν ῥᾴδιον , τὴν δὲ διαφορὰν χαλε - πὸν ἑλεῖν · σύνεγγυς γάρ ἐστι τὴν φύσιν ἀλλήλων , ὥστε καὶ ἐξισάζειν δοκεῖν . οὐ μὴν ἀλλὰ κὰν τούτοις ἀκριβῶς ἐπιβλέψαντι ὀφθήσεταί τις ἐνοῦσα διαφορά · ὅτι μὲν γὰρ μία ἐστὶν ἡ τῆς ἕλικος ἀφʼ ἑνὸς σημείου ἐφαπτομένη , συμφανές ἐστι καὶ γνώριμον · ἀλλʼ οὐ διὰ τοῦτο ἤδη καὶ πόριμόν ἐστι τὸ πρόβλημα μήπω κατ - ειλημμένον . ὥστε τὸ γνώριμον πᾶν οὐκέτι πόριμον · τὸ μέντοι πόριμον πᾶν καὶ γνώριμον · ἐπὶ πλέον ἄρα τὸ γνώριμον τοῦ πορίμου . πάλιν δʼ αὖ τὸ γνώριμον καὶ τὸ ῥητὸν πῇ μὲν κοινωνεῖ , πῇ δὲ καὶ διαφέρετον ἀλλήλων τὸν προειρη - μένον τρόπον . αί γὰρ εἰρημέναι ἄλογοι γνώριμοι μέν εἰσιν , οὐκέτι δὲ καὶ ῥηταί · ὁ δὲ ἀριθμὸς πᾶς ῥητὸς μέν ἐστιν , οὐκέτι δὲ καὶ γνώριμος πᾶς . καὶ τὸ μὲν ῥητὸν τοῖς κατὰ ταὐτὸν ἔθος ὁμοίως ῥητόν ἐστιν , καὶ οὐ τῷ μὲν ῥητὸν ἔσται τι μῆκος , τῷ δὲ οὔ · ἐπὶ γὰρ ταὐτὸν ἀνοίσουσι μέτρον . γνώριμον δὲ τῷ μὲν γίγνεται ταὐτὸν μῆκος , τῷ δὲ οὔ , κἂν ἐν τῇ αὐτῇ συνηθείᾳ ὦσιν . ἴσως δὲ κἀνταῦθα χαλεπόν τί ἐστιν εὑρεῖν ῥητὸν μέν , ἄγνωστον δέ · δοκεῖ γὰρ καὶ τοῦ ῥητοῦ ἐπὶ πλέον εἶναι τὸ γνώριμον . ὅτι δὲ καὶ τὸ πόριμον καὶ τὸ ἄπορον διαφέρει τοῦ τε ῥητοῦ καὶ ἀλόγου , φανερὸν ἐκ τούτων · πόριμα γὰρ εἶναι δυνατὸν καὶ τῶν ἀλόγων τινά , οὐδὲν δὲ τῶν ῥητῶν ἄλογον . ἡ δὲ συγγένεια τούτων αὐτῶν καθάπερ καὶ τῶν ἄλλων παντὶ καταφανής · οὕτω μέντοι καὶ ταῦτα ἔχει πρὸς ἄλληλα , ὥστε τὸ πόριμον ἐπὶ πλέον εἶναι δοκεῖν τοῦ ῥητοῦ . ἔξεστι δὲ τῶν προειρημένων τὴν διαφορὰν ἐπισκο - πεῖν καὶ τῇδε . ῥητὸν μὲν γὰρ καὶ ἄλογον κατὰ τὴν ἐπὶ τὸ μέτρον ἀναφορὰν λέγεται , οὐ πρὸς τὴν ἡμετέ - ραν γνῶσιν ἀναπεμπόμενον . δύναται γάρ τι ῥητὸν ὄν μὴ εἶναι ἡμῖν γνώριμον , ὅπως ῥητόν ἐστιν , μηδὲ κατ - ειλῆφθαί πω , ὅτι ῥητόν ἐστιν . τὸ δὲ τεταγμένον καὶ ἄτακτον τῶν καθʼ αὑτὸ καὶ κατʼ ἰδίαν φύσιν θεω - ρουμένων ἐστίν , κἂν ὑφʼ ἡμῶν μήπω καταλαμβάνηται . πολλὰ γοῦν τεταγμένα φύσει ὕστερον Ἀρχιμήδης ἔδειξε τοῖς πρὶν οὐ θεωρηθέντα , ὅτι τέτακται . γνώριμον δὲ καὶ ἄγνωστον κατὰ τὴν πρὸς ἡμᾶς ἀναφορὰν λέγεται . ὥστε διαφέροι ἂν τὰ εἰρημένα ἀλλήλων , εἴπερ τὸ μὲν πρὸς ἡμᾶς ἔχει τὴν ἀναφοράν , τὸ δὲ πρὸς τὴν φύσιν , τὸ δὲ πρὸς τὸ μέτρον . διωρισμένης δὲ καὶ τῆς κοινωνίας καὶ διαφορᾶς τῶν προτεθέντων ἑπόμενον ἂν εἴη λοιπόν , τί ποτέ ἐστι τὸ δεδομένον ἐπισκέψασθαι . ὅσοι τοίνυν τὸ καθʼ ὑπό - θεσιν διδόμενον ὑπὸ τοῦ προβάλλοντος οἴονται εἶναι τὸ δεδομένον , διαμαρτάνουσι τοῦ ζητουμένου . τὰ γὰρ στοιχεῖα πάντα τῶν δεδομένων συντέτακται οὐ περὶ τοῦ καθʼ ὑπόθεσιν τοιούτου , ὡς ἔξεστιν ἰδεῖν ἐπιοῦσι ταῖς περὶ τούτου πραγματείαις . διὸ δεῖ καὶ ἡμᾶς ἀφέντας τὴν τοιαύτην ὑπόληψιν τοὺς παρὰ τῶν ἄλλως ὁριζομένων λόγους ἐξετάσαι · ἔσται δὲ τὸ καθʼ ὑπό - θεσιν διδόμενον τὸ ἀκολούθως ταῖς ἀρχαῖς θεωρού - μενον . ὁρίζονται δὴ οἱ μὲν ὀνομαστικοῖς ὅροις χρώ - μενοι ἑνί τινι τῶν εἰρημένων αὐτὸ χαρακτηρίζοντες , ὡς ἐν ἀρχῇ εἴρηται . πάντες δὲ σχεδὸν ὥσπερ κοινὴν ἔννοιαν περὶ τοῦ δεδομένου δοκοῦσιν ἐσχηκέναι · κατα - ληπτὸν γάρ τι αὐτὸ εἶναι ὑπέλαβον , ὡς αὐτὸ ἐμφαίνει τὸ τοῦ δεδομένου ὄνομα , καὶ μάλιστα οἱ τὸ καθʼ ὑπό - θεσιν δεδομένον ὑπογράφοντες . ἔνιοι δὲ πρὸς τὸ συγχωρούμενον ἀπέβλεψαν . χρώμενοι δὴ καὶ ἡμεῖς τῷ εἰρημένῳ ὥσπερ κανόνι καὶ κριτηρίῳ δυνησόμεθα εὑρίσκειν τὸν τέλειον τοῦ δεδομένου ὁρισμόν . δῆλον δέ , ὅτι καὶ ἐξισάζειν ἤτοι ἀντιστρέφειν αὐτὸν δεήσει πρὸς τὸ ὁριστόν · καὶ γὰρ τοῦτο ὑπάρχειν δεῖ τοῖς ὀρθῶς ἀποδιδομένοις ὁρισμοῖς . ἔστι δὲ τοῦ προκειμέ - νου τοιοῦτος ἐν μὲν τοῖς ἁπλούστερον εἰρημένοις ὁρισμοῖς ὁ τὸ πόριμον ὁρισάμενος , ἐν δὲ τοῖς συμ - πεπλεγμένοις ὁ τὸ γνώριμον ἅμα καὶ πόριμον · ἀτελεῖς δὲ οἱ λοιποὶ πάντες . οὔτε γὰρ ὁ τὸ τεταγμένον ὁρι - ζόμενος αὐτάρκης πρὸς τὴν τοῦ δεδομένου περιοχὴν διὰ τὸ μήτε πᾶν μήτε μόνον τὸ τεταγμένον εἶναι κατα - ληπτόν , ἀλλὰ καὶ τῶν ἀτάκτων τινά , ὡς ἐπιδέδεικται · οὔτε ἐκεῖνος ἱκανὸς ὁ γνώριμον αὐτὸ ἀφοριζόμενος · οὐδὲ γὰρ τοῦτο πᾶν ἐστι καταληπτόν , εἰ καὶ μόνον · τὸ γὰρ ἄγνωστον οὐκ ἂν εἴη καταληπτόν . οὐδὲ μὴν ὁ ῥητὸν αὐτὸ ἀποφαινόμενος ὅρος τέλειος ἔσται · οὐδὲ γὰρ τοῦτο μόνον καταληπτόν , ἐπεὶ καὶ τῶν ἀλόγων τινά · ἴσως δὲ οὐδὲ πᾶν τὸ ῥητὸν καταληπτόν , ὡς καὶ τοῦτο διώρισται πρότερον . λείπεται δὴ ἐν τοῖς ὀνο - μαστικῶς ἀποδεδομένοις τὸ πόριμον , ὅπερ δοκεῖ μάλιστα τὴν κατάληψιν ἐμφαίνειν · καὶ γὰρ πᾶν τὸ πόριμον καταληπτὸν καὶ μόνον . τῷ δὲ τοιούτῳ καὶ ὁ Εὐκλείδης ἐχρήσατο ὅρῳ τὰ εἴδη τοῦ δεδομένου πάντα ὑπογράφων . τῶν δὲ συνθέτων ὁρισμῶν μόνος τέλειός ἐστιν ὁ γνώ - ριμον ἅμα καὶ πόριμον τὸ δεδομένον ἀφοριζόμενος , γένει μὲν ἀνάλογον ἔχων τὸ γνώριμον , διαφορᾷ δὲ τὸ πόριμον . ὁ δὲ τεταγμένον ἅμα καὶ πόριμον λέγων ἀτελής · οὐ μόνα γὰρ τὰ τοιαῦτά ἐστι δεδομένα . καὶ ὁ τεταγμένον καὶ ῥητὸν ὁμοίως ἐλλειπῶς περιέχει τὸ δεδομένον . ὁ δὲ τὸ γνώριμον ἅμα καὶ τεταγμένον διὰ τὸ ὑπερβάλλειν τὸ προκείμενον οὐχ ὑγιὴς ἔσται · οὐδὲ γὰρ πᾶν τὸ τοιοῦτο δεδομένον ἐστίν . μόνοι δὴ λοιπὸν δοκοῦσι καθικνεῖσθαι τῆς ἐννοίας τοῦ δεδομένου οἱ γνώριμον ἅμα καὶ πόριμον αὐτὸ εἶναι ἀποφηνάμενοι · τὸ γὰρ τοιοῦτο πᾶν καταληπτὸν καὶ μόνον · ταῦτα δὲ ἀμφότερα δεῖ ὑπάρχειν τοῖς ἐπιστημονικῶς ἀποδεδομέ - νοις ὁρισμοῖς . ἐγγὺς δὲ τούτων εἰσὶν οἱ συντιθέντες καὶ οὕτως · δεδομένον ἐστίν , ὃ πορίσασθαι δυνάμεθα διὰ τῶν κειμένων ἡμῖν ἐν ταῖς πρώταις ὑποθέσεσί τε καὶ ἀρχαῖς . τῶν δὲ προειρημένων εἴη ἂν καὶ ὁ Εὐκλείδης πανταχοῦ τῷ πορίσασθαι χρώμενος , εἰ καὶ παραλιμπάνει τὸ γνώριμον ὡς παρεπόμενον τῷ πορίμῳ · αἰτιάσαιτο δʼ ἄν τις αὐτὸν εὐλόγως ὡς οὐ πρότερον κοινῶς τὸ δεδομένον ὁρισάμενον , ἀλλʼ ἀμέσως τῶν εἰδῶν αὐτοῦ ἕκαστον , καίτοι ἐν τῇ γεωμετρικῇ στοι - χειώσει φαίνεται πρὸ τῶν εἰδῶν τῆς γραμμῆς τὴν ἁπλῶς γραμμὴν ὁρισάμενος καὶ τὰ ἄλλα ὁμοίως . διακριθέντος τοίνυν κοινότερον καὶ ὡς πρὸς τὴν παροῦσαν χρείαν τοῦ δεδομένου ἐφεξῆς ἂν εἴη τὸ χρή - σιμον τῆς περὶ αὐτοῦ πραγματείας ἀποδοῦναι . ἔστι δὴ καὶ τοῦτο τῶν πρὸς ἄλλο ἐχόντων τὴν ἀναφοράν · πρὸς γὰρ τὸν ἀναλυόμενον λεγόμενον τόπον ἀναγκαι - οτάτη ἐστὶν ἡ τούτου γνῶσις . ὅσην δὲ ἔχει δύναμιν ἐν ταῖς μαθηματικαῖς ἐπιστήμαις καὶ ταῖς συγγενῶς ἐχούσαις ὀπτικῆς τε καὶ κανονικῆς ὁ ἀναλυόμενος τό - πος , ἐν ἄλλοις διώρισται , καὶ ὅτι ἀποδείξεώς ἐστιν εὕρεσις ἡ ἀνάλυσις καὶ ὅπως πρὸς εὕρεσιν τῆς τῶν ὁμοίων ἀποδείξεως ἡμῖν συμβάλλεται καὶ ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ δύναμιν ἀναλυτικὴν κτήσασθαι τοῦ πολλὰς ἀποδείξεις τῶν ἐπὶ μέρους ἔχειν . εἰς πάσας τοίνυν τὰς τοιαύτας ἐπιστήμας χρησίμη οὖσα ἡ περὶ τοῦ δεδομένου θεωρία , ἐπείπερ καὶ εἰς ἀνάλυσιν μέγα συμβάλλεται , εἰκότως ἂν ῥηθείη ἀνά - γεσθαι οὐχ ὑπὸ μίαν τινὰ ἐπιστήμην , ἀλλʼ εἰς τὴν καθόλου λεγομένην μαθηματικήν . αὕτη δέ ἐστιν ἡ περί τε πλήθη καὶ μεγέθη καὶ χρόνους καὶ τάχη ἔχουσα καὶ τὰ τοιαῦτα πάντα , καθάπερ δὴ καὶ ἡ περὶ λόγους καὶ ἀναλογίας καὶ τὰς πανταχοῦ μεσότητας πραγμα - τευομένη . πρὸς ταύτην τοίνυν τὴν τῶν δεδομένων ἐπι - στημονικὴν κατάληψιν χρησιμωτάτην οὖσαν τὸ τῶν δεδομένων βιβλίον ὁ Εὐκλείδης ἐξεπόνησεν , ὃν καὶ στοιχειωτὴν κυρίως ἐπωνόμασαν . πάσης γὰρ σχεδὸν μαθηματικῆς ἐπιστήμης στοιχεῖα καὶ οἷον εἰσαγωγὰς προέταξεν , ὡς γεωμετρίας μὲν ὅλης ἐν τοῖς ιγ΄ βιβλίοις καὶ τῆς ἀστρονομίας ἐν τοῖς Φαινομένοις , καὶ μουσικῆς δὲ καὶ ὀπτικῆς ὁμοίως στοιχεῖα παραδέδωκεν · καὶ δὴ καὶ τῆς περὶ τοῦ δεδομένου πάσης πραγματείας ἐν τῷ προκειμένῳ βιβλίῳ στοιχείωσιν ἀναλυτικὴν ἐποιήσατο . γεωμετρικὸς δὲ ὢν ὁ ἀνὴρ διαφερόντως τοὺς κοινοὺς περὶ τοῦ δεδομένου λόγους τοῖς μεγέθεσιν ἰδίως ἐφήρμοσεν , ὃν τρόπον ἐποίησε καὶ ἐπὶ τῶν καθόλου λόγων ὡς ἐπὶ μεγεθῶν ἰδίως αὐτοὺς πραγματευσά - μενος ἐν τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ τῆς ἐπιπέδου . κοινῶς μὲν οὖν εἴρηται , τί τὸ δεδομένον καὶ ὑπὸ ποίαν ἐπιστήμην ἀνάγεται καὶ ὅτι χρησιμωτάτη ἐστὶν ἡ περὶ αὐτοῦ θεωρία . προσκείσθω δὲ τοῖς εἰρημένοις καὶ ἡ περιγραφὴ τῆς περὶ αὐτοῦ ἐπιστήμης . ἔσται δὴ αὕτη , ὡς ἐκ τῶν εἰρημένων φανερόν , κατάληψις τῶν δεδομένων κατὰ πάντα τρόπον καὶ τῶν περὶ αὐτὰ συμβαινόντων . ἰδίως δὲ καὶ ὡς πρὸς τὸ προκείμενον βιβλίον λεγέσθω εἶναι μέθοδος στοιχείωσιν περιέχουσα τῆς ὅλης περὶ τῶν δεδομένων ἐπιστήμης · ἕξει δὲ καὶ αὐτὴ τὸ χρήσιμον ἀκολούθως καὶ τὰ ἄλλα κατὰ τὴν ἀναφορὰν τὴν πρὸς τὸ δεδομένον . διῄρηται δὲ τὸ βιβλίον πρὸς τὰ τοῦ δεδομένου εἴδη , καὶ τὸ μὲν πρῶ - τον αὐτοῦ τμῆμα περιέχει τὰ κατὰ λόγον δεδομένα τὸ δὲ δεύτερον τὰ τῇ θέσει · ἐπὶ δὲ τούτοις τὰ τῷ εἴδει · ἁπλοῦν γὰρ ἧν τὸ περὶ τῶν μεγέθει δεδομένων . κατέσπαρται δὲ καὶ ταῦτα μερικῶς ἐν τοῖς ἄλλοις καὶ μάλιστα ἐν τοῖς κατὰ τὸ εἶδος δεδομένοις . ἤρξατο δὲ ἀπὸ τῶν λόγῳ καὶ θέσει δεδομένων , ἐπεὶ καὶ ἐκ τούτω συνίσταται τὰ τῷ εἴδει δεδομένα . καὶ ἄλλως δὲ ἡ διαίρεσις αὐτῷ τοῦ βιβλίου γεγένηται , εἴς τε τὰ καθ ὅλου μεγέθη καὶ εἰς γραμμὰς καὶ ἐπίπεδα καὶ κυκλικα θεωρήματα . τῇ δὲ ὁμοίᾳ τάξει ἐχρήσατο καὶ ἐπὶ τῶν ὅρων ἤτοι ὑποθέσεων τοῦ βιβλίου . τρόπῳ δὲ τῆς διδασκαλίας οὐ τῷ κατὰ σύνθεσιν ἐνταῦθα ἡκολού θησεν , ἀλλὰ τῷ κατὰ ἀνάλυσιν , ὡς ὁ Πάππος ἱκανῶς ἀπέδειξεν ἐν τοῖς εἰς τὸ βιβλίον ὑπομνήμασιν .
Lemmas: Πρῶτος δέω τίθημι , τίς ὁ δίδωμι · ἔπειτα , τίς ὁ χρήσιμος ὁ περί οὗτος πραγματεία , λέγω · καί τρίτος , ὑπό τίς ἐπιστήμη ἀνάγω . ὁρίζω δή ὁ δίδωμι πολλαχῶς , καί ἄλλως μέν ὁ παλαιός , ἄλλως δέ ὁ νέος · διό καί συμβαίνω χαλεπός ἔρχομαι ὁ ἀληθής περί αὐτός ἀπόδοσις καί ἔνιοι μέν οὐδέ ὁρισμός τις αὐτός ἀποδίδωμι , ἴδιος δέ τίς ὁ δίδωμι εὑρίσκω ἐπιλέγω · ἕτερος δέ συμπλέκω ἤδη ὁ παρά ἐκεῖνος ὁρίζω αὐτός ἐπιχειρέω καί οὐδέ οὗτος σύμφωνος ἑαυτοῦ . ἔοικα δέ πᾶς ἐκ εἷς καί ὁ αὐτηες͂ς ἔννοια καί ὑπόληψις ὁρμάω λέγω τίς περί αὐτός · κατά - ληπτός γάρ τίς ὁ δίδωμι ἔρχομαι ὑπολαμβάνω . διό ὁ ἁπλόος καί εἷς τις διαφορά περιγράφω ὁ δέω - μένω προτίθημι ὁ μέν τάσσω , ὡς Ἀπολλώνιος ἐν ὁ περί νεῦσις καί ἐν ὁ καθόλου πραγματεία , ὁ δέ γνώριμος , ὡς ∠ιόδωρος · οὕτως γάρ ὁ ἀκτίς καί ὁ γωνία δίδωμι λέγω καί πᾶς ὁ εἰς γνῶσις τις ἔρχομαι , καί εἰμί μή ῥητός ἵημι . ἔνιοι δέ ῥητός αὐτός ἔρχομαι ἀποφαίνω , ὥσπερ δοκέω ὁ Πτολεμαῖος , δέω - Μένα ἐκεῖνος προσαγορεύω , ὅς ὁ μέτρον εἰμί γνώρι - νυμφότιμον ἤτοι πρός ἀκρίβεια ἢ ὁ σύνεγγυς . καί ὁ ἐν ὑπόθεσις δέ παρά ὁ προβάλλω ἐκτίθημι δίδωμι εἰμί τις ὑπολαμβάνω . λέγω δέ καί ἄλλος τρόπος ἐν ὁ πρῶτος στοιχείωσις ὁ δίδωμι καί ὁ δίδωμι , τουτέστιν ἡλίκος ἄν τις ἀφορίζω καί δίδωμι εὐθύς . οὗτος δέ πᾶς κατάληψις τις βούλομαι σημαίνω . ὅθεν καί μάλιστα ὁ ὅρος ἐκεῖνος εὐδοκιμέω , ὅσος γε μάλιστα ὁ καταληπτός ἐμφανής - ζέω , ὡς προέρχομαι ἐγώ εἰμί καταφανής . νυνί δέ καί ὁ μή μόνος ψιλός καί εἷς τις χαρακτηρίζω ὁ ὁ δίδωμι φύσις , οἷος δέ ὁρισμός αὐτός ποιέω , ὁ διαφορά ἐκτίθημι . συγκεφαλαιόω δέ καί οὗτος ὁ τρόπος ευάριθμος - τοι γίγνομαι . ὁ μέν γάρ τάσσω ἄμη καί πόρις - νυμφότιμον ὁ δίδωμι ἔρχομαι ἀφορίζω , ἕτερος δέ ὁ τάσσω ἅμα καί γνώριμος , τις δέ ὁ γνώριμος ἄμη καί πόριμος . φαίνω δέ καί οὗτος πᾶς πρός ὁ κατάληψις ἤτοι λῆψις καί εὕρεσις ὁ δίδωμι ἀφοράω ὁ λέγω τρόπος ὁρίζω . ἵνα δέ οὗτος τε αὐτός ὁ ἔννοια καταδέω , ἔτι γε μήν καί ὁ ἀληθής ὁ πρόκειμαι ὅρος ἐκ πολύς , ὁ παραδίδωμι αἱρέω , ἐπισκοπέω πρότερος ἕκαστος ὁ ἁπλόος ὁ σημαίνω καί ὁ οὗτος ἀντίκειμαι , ὁ τε ἄτακτος λέγω καί ἄγνωστος καί ἄπορος καί ἄλογος , ὡς πρός ὁ ἐνίστημι γεόω - μετρικός ὕλη . ἐπιτείνω γάρ ὁ τοιοῦτος καί ἐπί ὁ φυσικός πρᾶγμα καί ὁ ἄλλος δέ μαθηματικός ἐπι - στῆμα . ὑπογράφω τοίνυν ὁ τάσσω ὁ ἀεί αὐτός σῴζω , κατά ὁ τάσσω λέγω , ἤτοι κατά μέγεθος ἢ εἶδος ἢ ἄλλος τίς ὁ τοιοῦτος · ἢ καί ἑτέρως · ὅς μή ἐνδέχομαι ἄλλοτε ἄλλως γίγνομαι , ἀλλά μοναχός ἐν ἀφορίζω τις τόπος . οἷος , ὡς τύπος λέγω , ὁ διά δύο σημεῖον ἵστημι γράφω εὐθύς τάσσω λέγω ὁ μή ἄλλως καί ἄστατος ἄγω . ἄτακτος δέ εἰμί ὁ διά δύο περιφέρεια · πολλαχῶς γάρ καί ἄστατος γράφω , καί μέγας καί μικρός κύκλος ἐπί ἤπειρος γράφω διά ὁ δύο σημεῖον . πάλιν δέ τάσσω εἰμί ὁ διά τρεῖς σημεῖον περιφέρεια . εἰμί δέ καί ὁ τοιοῦτος ὁ τάσσω , ὡς ὁ ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ἰσόπλευρος τρίγωνος συνίστημι - σάω · εἰμί γάρ καί διχῶς γίγνομαι , ἀλλά κατά ἑκάτερος μέρος ὁ εὐθεῖα μοναχός καί ἀμετάπτωτος · καί ὁ δίδωμι εὐθεῖα εἰς ὁ δίδωμι λόγος τέμνω · μ - ναχῶς γάρ ἄν καί οὗτος γίγνομαι ἐπί ἕτερος ὁ διχο - τομίας . ἄτακτος δέ εἰμί ὁ οὗτος ἀντίκειμαι ἔχω , ὡς ὁ σκαληνός συνίστημι καί ὁ εὐθεῖα ἄορ - Στῶς τέμνω . πρόσκειμαι δέ ὁ ὅρος ὁ κατά ὁ τάσσω , ἐπεί δύναμαι τίς εἷς καί αὐτός εἰμί πῇ μέν τάσσω , ἄλλως δέ ἄτακτος ἔρχομαι , οἷος ὁ ἰσόπλευρος τρίγωνον , μέν ἰσόπλευρος εἰμί , τάσσω , μέγεθος δέ οὐ ὁρίζω πᾶς . γνώριμος δέ εἰμί ὁ γιγνώσκω ὡς ὁ δῆλος ἐγώ καί καταλαμβάνω , ἄγνωστος δέ ὁ μή γιγνο - σκῶ μηδέ καταλαμβάνω ὑπό ἐγώ · οἷος ὁ μῆκος ὁ ὁδός γνώριμος ἔρχομαι λέγω , κατά ὁ , πόσος εἰμί στάδιον , καταλαμβάνω , καί ὁ τρίγωνον ὅτι ὁ ἐν - τός δύο ὀρθός ἴσος , καί ὅτι ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἄλογος εἰμί . ἔτι μήν καί ὁ τοιόσδε γνώριμος λέγω , ὡς ὁ εἷς ἔρχομαι ὁ ἐφάπτω ὁ ἕλιξ ἀπό ὁ ἔξω δίδωμι σημεῖον ἐπί ἕτερος μέρος . εἰμί γάρ καί ἄλλος εἰμί , δύο εὐθεῖα χωρίον περιέχω , ὅς ἀδύνα - τον . ἄγνωστος δέ οὐ ὁ ἄλογος εἰμί , ἀλλά ὁ μή γιγνώσκω μηδέ καταλαμβάνω ὑπό ἐγώ . πόριμος δέ εἰμί , ὁ δυνατός εἰμί ἤδη ποιέω καί κατασκευάζω , τουτέστι εἰς ἐπίνοια ἄγω . ἄλλως δέ πάλιν ὁρίζω ὁ πόριμος ἤτοι ὁ διά ἀπος - δεῖξις πορίζω , ἢ ὅταν τίς φαίνω καί Χωρὶς ἀπόδειξις · οἷος εἰμί ὁ κέντρον καί διάστημα κύκλος γράφω καί ὁ τρίγωνος συνίστημι οὐ μόνος ίσος - πλευρόν , ἀλλά καί σκαληνός , καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα εὑρίσκω καί τρεῖς εὐθεῖα ῥητός δύναμις μόνος σναυ - μέτρος · καί ὁ ἀπειραχῶς δέ γίγνομαι Πορίμα εἰμί , ὥσπερ ὁ διά δύο σημεῖον κύκλος γράφω . ἄπορος δέ εἰμί ὁ ἀντίκειμαι ἔχω , ὡς ὁ ὁ κύκλος τετρᾶς - γωνισμός · οὔπω γάρ εἰμί ἐν πόρος , εἰμί καί οἷος τε αὐτός πορίζω καί εἰμί ἐπιστητός · ἐπιστήμη γάρ αὐτός οὔπω καταλαμβάνω . νῦν δέ περί ὁ ἤδη εἰμί ἐν πόρος ὁ λόγος ἀποδίδωμι , ὅς καί κυρίως πόρις - νυμφότιμον ἐπονομάζω . ὁ γάρ μήπω εἰμί ἐν πόρος , ἐν - δέχομαι δέ πορίζω ποριστός ἴδιος προσαγορεύω - βρόχος . ἄπορος δέ εἰμί , ὡς λέγω , ὁ ὁ πόριμος ἀντι - κεῖμαι , τουτέστι ὅς ὁ ζήτησις ἀδιάκριτος εἰμί . ῥητός δέ εἰμί , ὅσπερ ἔχω λέγω μέγεθος ἢ εἶδος ἢ θέσις · ἀλλά οὗτος μέν ὁ ὅρος κοινός εἰμί , ἴδιος δέ καί κατά ἑαυτοῦ ῥητός εἰμί , ὁ κατά τις γιγνώσκω - μέν ἀριθμός πρός ὁ ὁ θέσις μέτρον , παλαιστής , εἰμί τυγχάνω , ἢ δάκτυλος . οὕτως δή προδιορίζω ῥᾴδιος εἰμί λοιπός ἐπι - σκοπέω ὁ τε κοινωνία ὁ λέγω καί Τάν δα - φορά , καί πρῶτος , ὅπως ἔχω ὁ τάσσω πρός ὁ γνώριμος καί ὁ οὗτος ἀντίκειμαι πρός ἀλλήλων . οὐ εἰμί δή ὁ ἀντιστρέφω ὁ τοιοῦτος οὐδέ μήν ἐκεῖνος , ἐν ὅς ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος ἐπί πλείων εἰμί . εἰμί γάρ καί κοινός αὐτός πολύς ὑπάρχω , ὡς ὁ διά δύο σημεῖον εὐθεῖα γράφω καί διά τρεῖς κύκλος καί ἰσόπλευρος συνίστημι , ἀλλά ὁ τετραγωνίζω ὁ κύκλος τάσσω μέν , ἄγνωστος δέ · καί ὅτι εἷς ὁ ἕλιξ ἀπό εἷς σημεῖον ἐφάπτω , ὁ τεταγμέ - νόος καί μή ἐνδέχομαι ἄλλως ἔχω εἰμί · οὐ μήν καί γιγνώσκω αὐτός ὁ ἀπόδειξις ἤτοι κατασκευή . πάλιν δέ ἀ ὁ ἐπί ἤπειρος τομή καί ὁ ὁ σκαληνός σύστασις γιγνώσκω μέν , οὐκέτι δέ καί τάσσω , ὥστε φανερός , ὅτι εἰμί ὁ τάσσω ὁ μέν γνώριμος , ὁ δέ ἄγνωστος , καί ἀνάπαλιν δέ ὁ γνώριμος ὁ μέν τάσσω , ὁ δέ ἄτακτος . καί οὕτως ἔχω οὗτος πρός ἀλλήλων , ὡς ὁ λογικός πρός ὁ πεζός · οὔτε γάρ ἐξισάζω ὁ τοιοῦτος οὔτε μήν ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος ἐπί πλείων εἰμί . ὅμοιος δέ ἔχω καί ὁ τάσσω καί ὁ ἄτακτος πρός ὁ πόριμος καί ὁ ἄπορος · κοινωνία τε γάρ αὐτός ἔνειμι πλεῖστος καί διαφέρω ἀλλήλων ὁ λέγω τρόπος . ὁ γάρ ἕλιξ τάσσω μέν , ἀλλά οὐ ἧμαι ὁ πρό Ἀρχιμήδης πόριμος . καί ὁ ἀπειραχῶς δέ γιγνο - Μένα καί ἄτακτος πόριμος μέν εἰμί , ἐάν ὁ κατά - σκευή ἐπινοέω τις αὐτός καί ὁ σύστασις , οὐκέτι δέ καί τάσσω . οἷος σκαληνός τρίγωνος ἐπινοέω καί εἰς ὁ κατασκευή αὐτός ἀνάγω ὁ διάνοια ἀπό ὁ ἰσόπλευρος οὐ χαλεπός ἀλλά εὐπόριστος εἰμί , καί - τοι ὁ ἄτακτος εἰμί καί ἤπειρος . οὕτως δέ ἔχω καί πρός ὁ ῥητός καί ἄλογος ὁ τάσσω τε καί ὁ ἄτακτος · κοινωνέω γάρ ἄλλος - Λόϊς πολλαχῆ καί διαφέρω ὁ λέγω τρόπος . οὐδέ γάρ οὗτος ἐξισάζω ἀλλήλων οὐδέ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος εἰμί περιληπτικός · ὁ γάρ ἐκ δύο ὄνομα καί ὁ οὕτως καταλαμβάνω ἄλογος τάσσω μέν εἰμί , οὐκέτι δέ καί ῥητός , καί ὁ ὁ διάμετρος λόγος πρός ὁ πλευρά . πολύς δέ καί ὁ ῥητός ἄτακτος εἰμί , ὡς ὁ πολλαχῶς καί ἀόριστος γίγνομαι · δύναμαι γάρ καί σκαληνός τρίγωνος μετρέω ὑπό ὁ προτείνω - τίθημι καί ὁρίζω ῥητός μέτρον , καίτοι ἄτακτος ὑπάρχω . ὁ δέ γνώριμος πρός ὁ πόριμος ὁ μέν ὄμνυμι - της πᾶς γε διοράω ῥᾴδιος , ὁ δέ διαφορά Χαλέ - πως αἱρέω · σύνεγγυς γάρ εἰμί ὁ φύσις ἀλλήλων , ὥστε καί ἐξισάζω δοκέω . οὐ μήν ἀλλά ἐν οὗτος ἀκριβῶς ἐπιβλέπω ὁράω τις ἔνειμι διαφορά · ὅτι μέν γάρ εἷς εἰμί ὁ ὁ ἕλιξ ἀπό εἷς σημεῖον ἐφάπτω , συμφανής εἰμί καί γνώριμος · ἀλλά οὐ διά οὗτος ἤδη καί πόριμος εἰμί ὁ πρόβλημα μήπω κατά - λαμβάνω . ὥστε ὁ γνώριμος πᾶς οὐκέτι πόριμος · ὁ μέντοι πόριμος πᾶς καί γνώριμος · ἐπί πλείων ἄρα ὁ γνώριμος ὁ πόριμος . πάλιν δέ αὖ ὁ γνώριμος καί ὁ ῥητός πῇ μέν κοινωνέω , πῇ δέ καί διαφέρω ἀλλήλων ὁ προλέγω - μένω τρόπος . ὁ γάρ λέγω ἄλογος γνώριμος μέν εἰμί , οὐκέτι δέ καί ῥητός · ὁ δέ ἀριθμός πᾶς ῥητός μέν εἰμί , οὐκέτι δέ καί γνώριμος πᾶς . καί ὁ μέν ῥητός ὁ κατά αὐτός ἔθος ὅμοιος ῥητός εἰμί , καί οὐ ὁ μέν ῥητός εἰμί τίς μῆκος , ὁ δέ οὐ · ἐπί γάρ αὐτός ἀναφέρω μέτρον . γνώριμος δέ ὁ μέν γίγνομαι αὐτός μῆκος , ὁ δέ οὐ , κἀν ἐν ὁ αὐτός συνήθεια εἰμί . ἴσως δέ ἐνταῦθα χαλεπός τίς εἰμί εὑρίσκω ῥητός μέν , ἄγνωστος δέ · δοκέω γάρ καί ὁ ῥητός ἐπί πλείων ἔρχομαι ὁ γνώριμος . ὅτι δέ καί ὁ πόριμος καί ὁ ἄπορος διαφέρω ὁ τε ῥητός καί ἄλογος , φανερός ἐκ οὗτος · πόριμος γάρ ἔρχομαι δυνατός καί ὁ ἄλογος τις , οὐδείς δέ ὁ ῥητός ἄλογος . ὁ δέ συγγένεια οὗτος αὐτός καθά καί ὁ ἄλλος πᾶς καταφανής · οὕτως μέντοι καί οὗτος ἔχω πρός ἀλλήλων , ὥστε ὁ πόριμος ἐπί πλείων ἔρχομαι δοκέω ὁ ῥητός . ἔξεστι δέ ὁ προλέγω ὁ διαφορά ἐπισκοπέω - πίνω καί τῇδε . ῥητός μέν γάρ καί ἄλογος κατά ὁ ἐπί ὁ μέτρον ἀναφορά λέγω , οὐ πρός ὁ ἧμμαι - Ραν γνῶσις ἀναπέμπω . δύναμαι γάρ τίς ῥητός εἰμί μή ἔρχομαι ἐγώ γνώριμος , ὅπως ῥητός εἰμί , μηδέ κατά - λαμβάνω πω , ὅτι ῥητός εἰμί . ὁ δέ τάσσω καί ἄτακτος ὁ κατά ἑαυτοῦ καί κατά ἴδιος φύσις θέω - ῥέω εἰμί , κἀν ὑπό ἐγώ μήπω καταλαμβάνω . πολύς γοῦν τάσσω φύσις ὕστερον Ἀρχιμήδης δείκνυμι ὁ πρίν οὐ θεωρέω , ὅτι τάσσω . γνώριμος δέ καί ἄγνωστος κατά ὁ πρός ἐγώ ἀναφορά λέγω . ὥστε διαφέρω ἄν ὁ λέγω ἀλλήλων , εἴπερ ὁ μέν πρός ἐγώ ἔχω ὁ ἀναφορά , ὁ δέ πρός ὁ φύσις , ὁ δέ πρός ὁ μέτρον . διορίζω δέ καί ὁ κοινωνία καί διαφορά ὁ προτίθημι ἕπομαι ἄν εἰμί λοιπός , τίς ποτέ εἰμί ὁ δίδωμι ἐπισκέπτομαι . ὅσος τοίνυν ὁ κατά ὑπό - θέσις δίδωμι ὑπό ὁ προβάλλω οἴομαι ἔρχομαι ὁ δίδωμι , διαμαρτάνω ὁ ζητάω . ὁ γάρ στοιχεῖον πᾶς ὁ δίδωμι συντάσσω οὐ περί ὁ κατά ὑπόθεσις τοιοῦτος , ὡς ἔξεστι ὁράω ἐπέρχομαι ὁ περί οὗτος πραγματεία . διό δέω καί ἐγώ ἀφίημι ὁ τοιοῦτος ὑπόληψις ὁ παρά ὁ ἄλλως ὁρίζω λόγος ἐξετάζω · εἰμί δέ ὁ κατά ὑπό - θέσις δίδωμι ὁ ἀκόλουθος ὁ ἀρχή θεωρέω - μένω . ὁρίζω δή ὁ μέν ὀνομαστικός ὅρος χράομαι - μένω εἷς τις ὁ λέγω αὐτός χαρακτηρίζω , ὡς ἐν ἀρχή λέγω . πᾶς δέ σχεδόν ὥσπερ κοινός ἔννοια περί ὁ δίδωμι δοκέω ἔχω · κατά - ληπτός γάρ τίς αὐτός ἔρχομαι ὑπολαμβάνω , ὡς αὐτός ἐμφαίνω ὁ ὁ δίδωμι ὄνομα , καί μάλιστα ὁ ὁ κατά ὑπό - θέσις δίδωμι ὑπογράφω . ἔνιοι δέ πρός ὁ συγχωρέω ἀποβλέπω . χράομαι δή καί ἐγώ ὁ λέγω ὥσπερ κανών καί κριτήριον δύναμαι εὑρίσκω ὁ τέλειος ὁ δίδωμι ὁρισμός . δῆλος δέ , ὅτι καί ἐξισάζω ἤτοι ἀντιστρέφω αὐτός δέω πρός ὁ ὁριστός · καί γάρ οὗτος ὑπάρχω δέω ὁ ὀρθός ἀποδίδωμι ὁρισμός . εἰμί δέ ὁ προκειμέ - νόος τοιοῦτος ἐν μέν ὁ ἁπλόος λέγω ὁρισμός ὁ ὁ πόριμος ὁρίζω , ἐν δέ ὁ σναυ - πλέκω ὁ ὁ γνώριμος ἅμα καί πόριμος · ἀτελής δέ ὁ λοιπός πᾶς . οὔτε γάρ ὁ ὁ τάσσω ἄκτωρ - ζέω αὐτάρκης πρός ὁ ὁ δίδωμι περιοχή διά ὁ μήτε πᾶς μήτε μόνος ὁ τάσσω ἔρχομαι κατά - ληπτός , ἀλλά καί ὁ ἄτακτος τις , ὡς ἐπιδείκνυμι · οὔτε ἐκεῖνος ἱκανός ὁ γνώριμος αὐτός ἀφορίζω · οὐδέ γάρ οὗτος πᾶς εἰμί καταληπτός , εἰμί καί μόνος · ὁ γάρ ἄγνωστος οὐ ἄν εἰμί καταληπτός . οὐδέ μήν ὁ ῥητός αὐτός ἀποφαίνω ὅρος τέλειος εἰμί · οὐδέ γάρ οὗτος μόνος καταληπτός , ἐπεί καί ὁ ἄλογος τις · ἴσως δέ οὐδέ πᾶς ὁ ῥητός καταληπτός , ὡς καί οὗτος διορίζω πρότερος . λείπω δή ἐν ὁ ὀνο - μαστικός ἀποδίδωμι ὁ πόριμος , ὅς δοκέω μάλιστα ὁ κατάληψις ἐμφαίνω · καί γάρ πᾶς ὁ πόριμος καταληπτός καί μόνος . ὁ δέ τοιοῦτος καί ὁ Εὐκλείδης χράω ὅρος ὁ εἶδος ὁ δίδωμι πᾶς ὑπογράφω . ὁ δέ σύνθετος ὁρισμός μόνος τέλειος εἰμί ὁ γιγνώσκω - ριμον ἅμα καί πόριμος ὁ δίδωμι ἀφορίζω , γένος μέν ἀνάλογος ἔχω ὁ γνώριμος , διαφορά δέ ὁ πόριμος . ὁ δέ τάσσω ἅμα καί πόριμος λέγω ἀτελής · οὐ μόνος γάρ ὁ τοιοῦτος εἰμί δίδωμι . καί ὁ τάσσω καί ῥητός ὅμοιος ἐλλιπής περιέχω ὁ δίδωμι . ὁ δέ ὁ γνώριμος ἅμα καί τάσσω διά ὁ ὑπερβάλλω ὁ πρόκειμαι οὐ ὑγιής εἰμί · οὐδέ γάρ πᾶς ὁ τοιοῦτος δίδωμι εἰμί . μόνος δή λοιπός δοκέω καθικνέομαι ὁ ἔννοια ὁ δίδωμι ὁ γνώριμος ἅμα καί πόριμος αὐτός ἔρχομαι ἀποφαίνω · ὁ γάρ τοιοῦτος πᾶς καταληπτός καί μόνος · οὗτος δέ ἀμφότερος δέω ὑπάρχω ὁ ἐπιστημονικός ἀποδίδωμι - νόος ὁρισμός . ἐγγύς δέ οὗτος εἰμί ὁ συντίθημι καί οὕτως · δίδωμι εἰμί , ὁ πορίζω δύναμαι διά ὁ κεῖμαι ἐγώ ἐν ὁ πρῶτος ὑπόθεσις τε καί ἀρχή . ὁ δέ προλέγω εἰμί ἄν καί ὁ Εὐκλείδης πανταχοῦ ὁ πορίζω Χράομαι , εἰμί καί παραλιμπάνω ὁ γνώριμος ὡς παρέπομαι ὁ πόριμος · αἰτιάομαι δέ ἄν τις αὐτός εὔλογος ὡς οὐ πρότερος κοινός ὁ δίδωμι ὁρίζω , ἀλλά ἀμέσως ὁ εἶδος αὐτός ἕκαστος , καίτοι ἐν ὁ γεωμετρικός στος - χέω φαίνω πρό ὁ εἶδος ὁ γραμμή ὁ ἁπλόος γραμμή ὁρίζω καί ὁ ἄλλος ὅμοιος . διακρίνω τοίνυν κοινός καί ὡς πρός ὁ πάρειμι χρεία ὁ δίδωμι ἐφεξῆς ἄν εἰμί ὁ χράω - σιμός ὁ περί αὐτός πραγματεία ἀποδίδωμι . εἰμί δή καί οὗτος ὁ πρός ἄλλος ἔχω ὁ ἀναφορά · πρός γάρ ὁ ἀναλύω λέγω τόπος ἀνάγκη - οὗτος εἰμί ὁ οὗτος γνῶσις . ὅσος δέ ἔχω δύναμις ἐν ὁ μαθηματικός ἐπιστήμη καί ὁ συγγενής ἔχω ὀπτικός τε καί κανονικός ὁ ἀναλύω ὁ - πούς , ἐν ἄλλος διορίζω , καί ὅτι ἀπόδειξις εἰμί εὕρεσις ὁ ἀνάλυσις καί ὅπως πρός εὕρεσις ὁ ὁ ὅμοιος ἀπόδειξις ἐγώ συμβάλλω καί ὅτι μέγας εἰμί ὁ δύναμις ἀναλυτικός κτάομαι ὁ πολύς ἀπόδειξις ὁ ἐπί μέρος ἔχω . εἰς πᾶς τοίνυν ὁ τοιοῦτος ἐπιστήμη χρήσιμος εἰμί ὁ περί ὁ δίδωμι θεωρία , ἐπεί καί εἰς ἀνάλυσις μέγας συμβάλλω , ἔοικα ἄν λέγω ἀνά - γίγνομαι οὐ ὑπό εἷς τις ἐπιστήμη , ἀλλά εἰς ὁ καθόλου λέγω μαθηματικός . οὗτος δέ εἰμί ὁ περί τε πλῆθος καί μέγεθος καί χρόνος καί τάχος ἔχω καί ὁ τοιοῦτος πᾶς , καθά δή καί ὁ περί λόγος καί ἀναλογία καί ὁ πανταχοῦ μεσότης πρᾶγμα - τεύχω . πρός οὗτος τοίνυν ὁ ὁ δίδωμι ἐπι - στημονικός κατάληψις χρήσιμος εἰμί ὁ ὁ δίδωμι βιβλίον ὁ Εὐκλείδης ἐκπονέω , ὅς καί στοιχειωτής κυρίως ἐπονομάζω . πᾶς γάρ σχεδόν μαθηματικός ἐπιστήμη στοιχεῖον καί οἷος εἰσαγωγή προτάσσω , ὡς γεωμετρία μέν ὅλος ἐν ὁ ἰ βιβλίον καί ὁ ἀστρονομία ἐν ὁ φαίνω , καί μουσικός δέ καί ὀπτικός ὅμοιος στοιχεῖον παραδίδωμι · καί δή καί ὁ περί ὁ δίδωμι πᾶς πραγματεία ἐν ὁ πρόκειμαι βιβλίον στοιχείωσις ἀναλυτικός ποιέω . γεωμετρικός δέ εἰμί ὁ ἀνήρ διαφερόντως ὁ κοινός περί ὁ δίδωμι λόγος ὁ μέγεθος ἴδιος ἐφαρμόζω , ὅς τρόπος ποιέω καί ἐπί ὁ καθόλου λόγος ὡς ἐπί μέγεθος ἴδιος αὐτός πραγματεύω - μένος ἐν ὁ πέμπτος βιβλίον ὁ ἐπίπεδος . κοινός μέν οὖν λέγω , τίς ὁ δίδωμι καί ὑπό ποῖος ἐπιστήμη ἀνάγω καί ὅτι χρήσιμος εἰμί ὁ περί αὐτός θεωρία . πρόσκειμαι δέ ὁ λέγω καί ὁ περιγραφή ὁ περί αὐτός ἐπιστήμη . εἰμί δή οὗτος , ὡς ἐκ ὁ λέγω φανερός , κατάληψις ὁ δίδωμι κατά πᾶς τρόπος καί ὁ περί αὐτός συμβαίνω . ἴδιος δέ καί ὡς πρός ὁ πρόκειμαι βιβλίον λέγω ἔρχομαι μέθοδος στοιχείωσις περιέχω ὁ ὅλος περί ὁ δίδωμι ἐπιστήμη · ἔχω δέ καί αὐτός ὁ χρήσιμος ἀκόλουθος καί ὁ ἄλλος κατά ὁ ἀναφορά ὁ πρός ὁ δίδωμι . διερέω δέ ὁ βιβλίον πρός ὁ ὁ δίδωμι εἶδος , καί ὁ μέν πρός - τον αὐτός τμῆμα περιέχω ὁ κατά λόγος δίδωμι ὁ δέ δεύτερος ὁ ὁ θέσις · ἐπί δέ οὗτος ὁ ὁ εἶδος · ἁπλόος γάρ ἧμαι ὁ περί ὁ μέγεθος δίδωμι . κατασπείρω δέ καί οὗτος μερικός ἐν ὁ ἄλλος καί μάλιστα ἐν ὁ κατά ὁ εἶδος δίδωμι . ἄρχω δέ ἀπό ὁ λόγος καί θέσις δίδωμι , ἐπεί καί ἐκ οὗτος συνίστημι ὁ ὁ εἶδος δίδωμι . καί ἄλλως δέ ὁ διαίρεσις αὐτός ὁ βιβλίο γίγνομαι , εἰς τε ὁ κατά ὅλος μέγεθος καί εἰς γραμμή καί ἐπίπεδος καί κυκλικός θεώρημα . ὁ δέ ὅμοιος τάξις χράω καί ἐπί ὁ ὅρος ἤτοι ὑπόθεσις ὁ βιβλίο . τρόπος δέ ὁ διδασκαλία οὐ ὁ κατά σύνθεσις ἐνταῦθα ἄκολος Θῆσε , ἀλλά ὁ κατά ἀνάλυσις , ὡς ὁ Πάππος ἱκανός ἀποδείκνυμι ἐν ὁ εἰς ὁ βιβλίον ὑπόμνημα .