ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 155
τὸ Πλατωνικόν · ἁρμονικὴ γάρ ἐστιν ἡ μεσότης ἡ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσά τε καὶ ὑπερεχομένη , ὅπερ ἄλλῃ οὐ συμβέβηκεν · ἐπί τε γὰρ τῆς βʹ γʹ ϛʹ [ τῷ αὐτῷ μέρει ] ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων , τουτέστιν ἡμίσει , ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται · ὑπερέχει μὲν τοῦ ἐλάττονος , ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ μείζονος · ἐπί τε τῆς γʹ δʹ ϛʹ πάλιν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τρίτῳ , τῶν ἄκρων ὑπερέχει μὲν τοῦ γʹ , ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ ϛʹ · μονάδι γὰρ καὶ δυάδι . ὑπεναντία δὲ τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι αὕτη ἐνομίσθη ὑπὸ τῶν περὶ Πυθαγόραν , διότι ἐκείνη τὸν μέσον ὑπερεχόμενόν τε καὶ ὑπερέχοντα εἶχεν ἰδίῳ αὑτοῦ μέρει οὐκέτι τῶν ἄκρων καὶ τῷ αὐτῷ · ἴσῳ γὰρ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται ἀριθμῷ ἢ μονάδι , ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς οὐκ ἴσῳ . ἐπεὶ δὲ βούλονταί τινες ὑπεναντίαν ἀμφοτέραις ἀριθμητικῇ τε καὶ γεωμετρικῇ ταύτην ἐκδέχεσθαι , ἔφαμεν δὲ ἡμεῖς τῇ ἀριθμητικῇ μόνῃ ὑπεναντίον τι πάσχειν , συλλήψεται ἡμῖν κἀκεῖνο · ἐφέξει γὰρ τὸ μικτόν τι παθοῦσαν φαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν καὶ μεσότητος λόγον ἔχειν πρός τε ἀριθμητικὴν καὶ
Lemmas: ὁ πλατωνικός · ἁρμονικός γάρ εἰμί ὁ μεσότης ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρος αὐτός ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω , ὅσπερ ἄλλος οὖον συμβαίνω · ἐπί τε γάρ ὁ βε γε ϛυʹ [ ὁ αὐτός μέρος ] ὁ μέσος ὅρος ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρος , τουτέστιν ἥμισυς , ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω · ὑπερέχω μέν ὁ μικρός , ὑπερέχω δέ ὑπό ὁ μείζων · ἐπί τε ὁ γε δέ ϛυʹ πάλιν ὁ μέσος ὅρος ὁ αὐτός μέρος τρίτος , ὁ ἄκρος ὑπερέχω μέν ὁ γε , ὑπερέχω δέ ὑπό ὁ ϛυʹ · μόνος γάρ καί δυάς . ὑπεναντίος δέ ὁ ἀριθμητικός μεσότης οὗτος νομίζω ὑπό ὁ περί Πυθαγόρας , διότι ἐκεῖνος ὁ μέσος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω ἔχω ἴδιος αὐτός μέρος οὐκέτι ὁ ἄκρος καί ὁ αὐτός · ἴσος γάρ ὑπερέχω καί ὑπερέχω ἀριθμός ἢ μόνος , ἐπί δέ ὁ ἁρμονικός οὐ ἴσος . ἐπεί δέ βούλομαι τις ὑπεναντίος ἀμφότερος ἀριθμητικός τε καί γεωμετρικός οὗτος ἐκδέχομαι , φημί δέ ἐγώ ὁ ἀριθμητικός μόνος ὑπεναντίος τίς πάσχω , συλλαμβάνω ἐγώ ἐκεῖνος · ἐπέχω γάρ ὁ μικτός τίς πάθος φαίνω ὁ γεωμετρικός καί μεσότης λόγος ἔχω πρός τε ἀριθμητικός καί
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 156
ἁρμονικὴν ὡς ἀεὶ ἀκρότητα · τὰ γὰρ ἑκατέρας ἰδιώματα ἐφ’ ἑαυτῆς ἀναμίξει . ἦν μὲν γὰρ τῆς ἁρμονικῆς ἴδιον τὸ τὸν μέσον ὅρον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι μέρει αὐτῶν τῶν ἄκρων ποιότητι τῷ αὐτῷ , εἰ καὶ μὴ ποσότητι , οὐδέποτε δὲ τοῦ μέσου · τῆς δὲ ἀριθμητικῆς ἀνάπαλιν οὐκέτι τῶν ἄκρων , ἀλλὰ τοῦ μέσου καὶ ποσότητι τῷ αὐτῷ . ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς ὁ μέσος ὅρος ᾧ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται μέρει , ἐκεῖνο οὔτε μόνων τῶν ἄκρων ἐστὶν οὔτε μόνου τοῦ μέσου , ἀλλὰ καὶ μέσου καὶ ἄκρων · τοῦ μὲν γὰρ ἑτέρου τῶν ἄκρων ὑπερέξει αὑτοῦ μέρει , ὑπερσχεθήσεται δὲ ὑπὸ θατέρου τοῦ ἐκείνου μέρει · τὸ δὲ αὐτὸ ἔσται ποιότητι , εἰ καὶ μὴ ποσότητι τὸ μέρος , ὡς ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς . πολλάκις δὲ καὶ πλείοσι μέρεσιν ὑπερέξει τε καὶ ὑπερσχεθήσεται , ἐπὶ ποιότητι πάλιν τοῖς αὐτοῖς , ὥστε καὶ κοινόν τι ἕξει πρὸς τὴν ἁρμονικὴν τὸ μόνον ποιότητι ταὐτὸν εἶναι τὸ μέρος , μηκέτι δὲ ποσότητι , καὶ κατὰ τοῦτο οὐκ ἔσται αὐτῇ ὑπεναντία ἡ ἁρμονική . πάλιν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ κατὰ μὲν τοὺς μείζονας ὅρους οἱ ἐλάττονες λόγοι ἐφαίνοντο , κατὰ δὲ τοὺς ἐλάττονας
Lemmas: ἁρμονικός ὡς ἀεί ἀκρότης · ὁ γάρ ἑκάτερος ἰδίωμα ἐπί ἑαυτοῦ ἀνάμιξις . εἰμί μέν γάρ ὁ ἁρμονικός ἴδιος ὁ ὁ μέσος ὅρος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω μέρος αὐτός ὁ ἄκρος ποιότης ὁ αὐτός , εἰμί καί μή ποσότης , οὐδέποτε δέ ὁ μέσος · ὁ δέ ἀριθμητικός ἀνάπαλιν οὐκέτι ὁ ἄκρος , ἀλλά ὁ μέσος καί ποσότης ὁ αὐτός . ἐπί δέ ὁ γεωμετρικός ὁ μέσος ὅρος ὅς ὑπερέχω καί ὑπερέχω μέρος , ἐκεῖνος οὔτε μόνος ὁ ἄκρος εἰμί οὔτε μόνος ὁ μέσος , ἀλλά καί μέσος καί ἄκρος · ὁ μέν γάρ ἕτερος ὁ ἄκρος ὑπερέχω αὐτός μέρος , ὑπερέχω δέ ὑπό θατέρου ὁ ἐκεῖνος μέρος · ὁ δέ αὐτός εἰμί ποιότης , εἰμί καί μή ποσότης ὁ μέρος , ὡς ἐπί ὁ ἁρμονικός . πολλάκις δέ καί πλείων μέρος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω , ἐπί ποιότης πάλιν ὁ αὐτός , ὥστε καί κοινός τίς ἔχω πρός ὁ ἁρμονικός ὁ μόνος ποιότης αὐτός εἰμί ὁ μέρος , μηκέτι δέ ποσότης , καί κατά οὗτος οὐ εἰμί αὐτός ὑπεναντίος ὁ ἁρμονικός . πάλιν ἐν μέν ὁ ἀριθμητικός κατά μέν ὁ μείζων ὅρος ὁ μικρός λόγος φαίνω , κατά δέ ὁ μικρός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 157
οἱ μείζονες · ἐν δὲ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίως μείζονες μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν , ἐλάττονες δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν , ἐν δὲ τῇ γεωμετρικῇ ὡσανεὶ μέσῃ αὐτῶν οὔσῃ οὔτε ἐλάττονες οὔτε μείζονες , ἀλλ’ ἴσοι . διὰ δὴ ταῦτα εὐλόγως ἂν μόνῃ τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντία ἡ ἁρμονικὴ λέγοιτο , οὐκέτι δὲ καὶ τῇ γεωμετρικῇ . ἴδιον δὲ ἔχει ἡ ἁρμονικὴ τὸ ὑπὸ μέσου καὶ συνάμφω τῶν ἄκρων εἶναι διπλάσιον τοῦ ὑπὸ μόνων τῶν ἄκρων γινομένου . γεννᾶται δὲ προστάγμασι τούτοις πάλιν ἀπὸ ἰσότητος πρῶτον ἐκ μονάδων 〈 εἶτα δυάδων 〉 εἶτα τριάδων καὶ ἐφεξῆς · πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου , δεύτερον δὲ ἐκ πρώτου δύο δευτέρων , τρίτον δὲ ἐκ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου , ἵνα γένηται ἡ τὰ ἄκρα καὶ τὰς διαφορὰς ἐν τριπλασίῳ λόγῳ ἔχουσα . εἰ δὲ ᾖ ἐν διπλασίῳ , πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δὶς δευτέρου , δεύτερον δ’ ἐκ δὶς πρώτου καὶ δὶς δευτέρου , τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου . ἀπὸ μὲν γὰρ ἰσότητος ἐν μονάσιν ἔσονται κατὰ τὰ εἰρημένα προστάγματα αἱ πυθμενικαὶ δύο μεσότητες ἡ βʹ γʹ ϛʹ καὶ ἡ γʹ δʹ ϛʹ · ἀπὸ δὲ τῆς ἐν δυάσιν 〈 αἱ διπλάσιαι καὶ ἀπὸ τῆς ἐν τριάσιν 〉 αἱ τριπλάσιαι καὶ ἐφεξῆς . ἀπὸ πασῶν δὲ τῶν γινομένων πλάσεων τὰ ἰδιώματα τῆς ἁρμονικῆς παρακολουθήσει . Καθάπερ δὲ ἐπὶ τοῦ κανόνος τῶν ἐξάψεων μενουσῶν ὁ ὑπαγωγεὺς μεθιστάμενος ποικίλας
Lemmas: ὁ μείζων · ἐν δέ ὁ ἁρμονικός ὑπεναντίος μείζων μέν ἐν ὁ μείζων , μικρός δέ ἐν ὁ μικρός , ἐν δέ ὁ γεωμετρικός ὡσανεί μέσος αὐτός εἰμί οὔτε μικρός οὔτε μείζων , ἀλλά ἴσος . διά δή οὗτος εὔλογος εἄν μόνος ὁ ἀριθμητικός ὑπεναντίος ὁ ἁρμονικός λέγω , οὐκέτι δέ καί ὁ γεωμετρικός . ἴδιος δέ ἔχω ὁ ἁρμονικός ὁ ὑπό μέσος καί συνάμφω ὁ ἄκρος εἰμί διπλάσιος ὁ ὑπό μόνος ὁ ἄκρος γίγνομαι . γεννάω δέ πρόσταγμα οὗτος πάλιν ἀπό ἰσότης πρῶτος ἐκ μόνος 〈 εἶτα δυάς 〉 εἶτα τριάς καί ἐφεξῆς · πρῶτος ἐκ πρῶτος καί δύο , δύο δέ ἐκ πρῶτος δύο δύο , τρίτος δέ ἐκ πρῶτος δίς δύο τρίς τρίτος , ἵνα γίγνομαι ὁ ὁ ἄκρος καί ὁ διαφορά ἐν τριπλάσιος λόγος ἔχω . εἰμί δέ εἰμί ἐν διπλάσιος , πρῶτος ἐκ πρῶτος καί δίς δύο , δύο δέ ἐκ δίς πρῶτος καί δίς δύο , τρίτος δέ ἐκ ἅπαξ πρῶτος δίς δύο τρίς τρίτος . ἀπό μέν γάρ ἰσότης ἐν μόνος εἰμί κατά ὁ εἴρω πρόσταγμα ὁ πυθμενικός δύο μεσότης ὁ βε γε ϛυʹ καί ὁ γε δέ ϛυʹ · ἀπό δέ ὁ ἐν δυάς 〈 ὁ διπλάσιος καί ἀπό ὁ ἐν τριάς 〉 ὁ τριπλάσιος καί ἐφεξῆς . ἀπό πᾶς δέ ὁ γίγνομαι πλάσις ὁ ἰδίωμα ὁ ἁρμονικός παρακολούθησις . καθά δέ ἐπί ὁ κανών ὁ ἔξαψις Μένων ὁ ὑπαγωγεύς μεθίστημι ποικίλος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 158
συμφωνίας ἀποτελεῖ , τὸν αὐτὸν τρόπον δυνατόν ἐστι , δύο ὅρων δοθέντων εἴτε ἀρτίων εἴτε καὶ περισσῶν καὶ τῶν αὐτῶν διαμενόντων , ἄλλην καὶ ἄλλην μεσότητα νῦν μὲν ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖν νῦν δὲ γεωμετρικὴν νῦν δὲ τὴν τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντίαν , τουτέστιν ἁρμονικήν · ἰδοὺ γὰρ ἐν μὲν ἀρτίοις ὅροις τῷ τε μʹ καὶ τῷ ιʹ ὁ μὲν κεʹ ὅρος μεσότης γενόμενος ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖ , ᾗ καὶ τὰ ἰδιώματα πάντα παρακολουθήσει , ὁ δὲ κʹ γεωμετρικὴν σὺν τοῖς ἰδιώμασιν αὐτῆς , ὁ δὲ ιϛʹ ἁρμονικὴν μετὰ τῶν προσηκόντων συμπτωμάτων . ἐν δὲ περισσοῖς ὅροις τῷ τε μεʹ καὶ τῷ εʹ ὁ αὐτὸς κεʹ μεσεμβοληθεὶς ὁμοίως ποιήσει τὴν ἀριθμητικήν ·
Lemmas: συμφωνία ἀποτελέω , ὁ αὐτός τρόπος δυνατός εἰμί , δύο ὁράω δίδωμι εἴτε ἄρτιος εἴτε καί περισσός καί ὁ αὐτός διαμένω , ἄλλος καί ἄλλος μεσότης νῦν μέν ἀριθμητικός ἀποτελέω νῦν δέ γεωμετρικός νῦν δέ ὁ ὁ ἀριθμητικός ὑπεναντίος , τουτέστιν ἁρμονικός · ἰδού γάρ ἐν μέν ἄρτιος ὅρος ὁ τε εἷς καί ὁ εἷς ὁ μέν κύ ὅρος μεσότης γίγνομαι ἀριθμητικός ἀποτελέω , ὅς καί ὁ ἰδίωμα πᾶς παρακολούθησις , ὁ δέ καί γεωμετρικός σύν ὁ ἰδίωμα αὐτός , ὁ δέ ιϛʹ ἁρμονικός μετά ὁ προσήκω σύμπτωμα . ἐν δέ περισσός ὅρος ὁ τε μου καί ὁ εἰ ὁ αὐτός κύ μεσεμβολέω ὁμοίως ποιέω ὁ ἀριθμητικός ·
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 159
αἴτιον δ’ ὅτι οἷον προσέλαβεν ὁ μείζων πρὸς 〈 τὸν μέσον 〉 , τοσούτων ἀφῃρέθη ὁ ἐλάττων , ὥστε κατ’ ἴσην πάλιν ὑπεροχὴν τὸν μέσον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι · τοῦτο γὰρ ἦν ἀριθμητικῆς ἴδιον . ὁ δὲ ιεʹ μεσεμβοληθεὶς γεωμετρικὴν ποιήσει , ὁ δὲ θʹ τὴν ἁρμονικήν . ἐλάττονας δὲ ἀριθμοὺς τῶν ἐκκειμένων ἄκρων κατά τε τὸ περισσὸν εἶδος καὶ τὸ ἄρτιον περιεκτικοὺς τῶν τριῶν μεσοτήτων οὐκ ἄν τις εὕροι , ἀλλ’ οὗτοι ἂν εἶεν οἱ πυθμενικοὶ καὶ ἐλάχιστοι . Καὶ αἵδε μὲν αἱ τρεῖς μεσότητες πρὸς τῶν παλαιῶν μόναι λόγου ἠξιοῦντο , διαφοραῖς χρώμεναι πρὸς ἀλλήλας καὶ ἰδιότησι καθ’ αὑτὰς ταῖς εἰρημέναις , ἐφηρμόζοντο δὲ ὑπ’ αὐτῶν καὶ τῇ κοσμικῇ συστάσει καὶ ἁρμονίᾳ , ὡς ἐν ἄλλοις δείξομεν . αἱ δὲ ἐπὶ ταύταις τρεῖς ἀπ’ Ἀρχύτου καὶ Ἱππάσου παραδοχῆς καὶ αὐταὶ ἠξιώθησαν , ὧν ἡ πρώτη , τετάρτη δὲ συναριθμουμένη τῶν ἐξ ἀρχῆς τριῶν , ἰδίως ὑπεναντία ὡς ἔφαμεν κέκληται , διὰ τὸ ὑπεναντίον τι πάσχειν τῇ ἁρμονικῇ διὰ τοὺς ἐνοφθέντας αὐτῇ τῶν συμφωνιῶν λόγους . ἔστι δ’ οὖν ἡ τετάρτη μεσότης τοιαύτη · τριῶν ὅρων ὡς ἔχει ὁ μείζων πρὸς
Lemmas: αἴτιος δέ ὅτι οἷος προσλαμβάνω ὁ μείζων πρός 〈 ὁ μέσος 〉 , τοσοῦτος ἀφαιρέω ὁ μικρός , ὥστε κατά ἴσος πάλιν ὑπεροχή ὁ μέσος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω · οὗτος γάρ εἰμί ἀριθμητικός ἴδιος . ὁ δέ ἵημι μεσεμβολέω γεωμετρικός ποιέω , ὁ δέ ὁ ὁ ἁρμονικός . μικρός δέ ἀριθμός ὁ ἔκκειμαι ἄκρος κατά τε ὁ περισσός εἶδος καί ὁ ἄρτιος περιεκτικός ὁ τρεῖς μεσότης οὐ ἄν τις εὑρίσκω , ἀλλά οὗτος εἄν ἄγω ὁ πυθμενικός καί μικρός . καί ὅδε μέν ὁ τρεῖς μεσότης πρός ὁ παλαιός μόνος λόγος ἀξιόω , διαφορά χράω πρός ἀλλήλων καί ἰδιότης κατά ἑαυτοῦ ὁ εἴρω , ἐφαρμόζω δέ ὑπό αὐτός καί ὁ κοσμικός σύστασις καί ἁρμονία , ὡς ἐν ἄλλος δείκνυμι . ὁ δέ ἐπί οὗτος τρεῖς ἀπό Ἀρχύτας καί Ἵππασος παραδοχή καί αὐτός ἀξιόω , ὅς ὁ πρῶτος , τέταρτος δέ συναριθμέω ὁ ἐκ ἀρχή τρεῖς , ἰδίως ὑπεναντίος ὡς φημί καλέω , διά ὁ ὑπεναντίος τίς πάσχω ὁ ἁρμονικός διά ὁ ἐνοράω αὐτός ὁ συμφωνία λόγος . εἰμί δέ οὖν ὁ τέταρτος μεσότης τοιοῦτος · τρεῖς ὁράω ὡς ἔχω ὁ μείζων πρός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 160
τὸν ἐλάττονα , οὕτως ἕξει ἡ τῶν ἐλαττόνων ὅρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων . ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ εἴρηται , διότι ἐν ἐκείνῃ ἡ τῶν μειζόνων ὅρων διαφορὰ πρόλογος ἦν , ἐπὶ δὲ ταύτης ἡ τῶν ἐλαττόνων . τοὺς δὲ ἄκρους τοὺς αὐτοὺς διατηροῦσιν ἀμφότεραι κατά τε τὰς πυθμενικὰς καὶ τὰς τούτων πολλαπλασίους . ὑποδείγματα δὲ ταύτης ἔσται βʹ εʹ ϛʹ , γʹ εʹ ϛʹ , ἴδιον δὲ τὸ πολλαπλάσιον ἀποτελεῖν τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων τοῦ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων . οὔτε δὲ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὁ μέσος ὅρος ὑπερέξει τε καὶ ὑπερσχεθήσεται ὡς ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς , οὔτε τῷ ἑαυτοῦ μέρει ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς , οὔτε ἅμα τῷ τε ἑαυτοῦ καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν ἄκρων ὡς ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς , ἀλλ’ ἔσται τις ἰδιότης κατὰ τὴν ὑπεροχὴν ἑαυτῆς . γεννᾶται
Lemmas: ὁ μικρός , οὕτως ἔχω ὁ ὁ μικρός ὁράω διαφορά πρός ὁ ὁ μείζων . ὑπεναντίος δέ ὁ ἁρμονικός εἴρω , διότι ἐν ἐκεῖνος ὁ ὁ μείζων ὁράω διαφορά πρόλογος εἰμί , ἐπί δέ οὗτος ὁ ὁ μικρός . ὁ δέ ἄκρος ὁ αὐτός διατηρέω ἀμφότερος κατά τε ὁ πυθμενικός καί ὁ οὗτος πολλαπλάσιος . ὑπόδειγμα δέ οὗτος εἰμί βε εἰ ϛυʹ , γε εἰ ϛυʹ , ἴδιος δέ ὁ πολλαπλάσιον ἀποτελέω ὁ ὑπό ὁ μείζων ὁράω ὁ ὑπό ὁ μικρός . οὔτε δέ ὁ αὐτός μέρος ὁ ἄκρος αὐτός ὁ μέσος ὅρος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω ὡς ἐπί ὁ ἁρμονικός , οὔτε ὁ ἑαυτοῦ μέρος ὡς ἐπί ὁ ἀριθμητικός , οὔτε ἅμα ὁ τε ἑαυτοῦ καί ὁ ἕτερος ὁ ἄκρος ὡς ἐπί ὁ γεωμετρικός , ἀλλά εἰμί τις ἰδιότης κατά ὁ ὑπεροχή ἑαυτοῦ . γεννάω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 161
δὲ καὶ αὕτη ἐξ ἰσότητος , πρώτως τῆς ἐν μονάσιν εἶτ’ ἐν δυάσι καὶ τριάσιν καὶ ἑξῆς ἀκολούθως · πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου , δεύτερον δὲ 〈 ἐκ 〉 πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων , τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου , καὶ φύσεται ἡ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τοὺς ἄκρους ἔχουσα . ἵνα δὲ ἡ ἐν διπλασίῳ ἔχουσα γένηται , ποιητέον πρῶτον ἐκ πρώτου δύο δευτέρων , δεύτερον δὲ ἐκ πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων , τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου . αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι πρωτότυποι φύσονται ἐκ τῆς ἀπὸ μονάδων ἰσότητος , αἱ δὲ τούτων διπλάσιαι ἐκ τῆς ἀπὸ δυάδων καὶ τριπλάσιαι ἐκ τῆς ἀπὸ τριάδων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ἡ δὲ πέμπτη ὑπεναντίον μέν τι καὶ αὕτη πάσχει τῇ γεωμετρικῇ , ἁπλῶς δὲ πέμπτη εἴρηται διὰ τὸ προειλῆφθαι τῷ ὀνόματι τὴν πρὸ αὐτῆς . ἔστι δ’ οὖν τριῶν ὅρων ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως ἡ αὐτῶν τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων , οἷον βʹ δʹ εʹ . ὑπηναντίωται δὲ τῇ γεωμετρικῇ , διότι ἐπὶ μὲν ἐκείνης ἦν ἡ τῶν μειζόνων ὅρων διαφορὰ πολλαπλασία τῆς τῶν ἐλασσόνων , ἐπὶ δὲ ταύτης ἀνάπαλιν ἡ τῶν ἐλασσόνων τῆς τῶν μειζόνων , ἐν μέντοι τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐν ᾧ καὶ οἱ λεχθέντες
Lemmas: δέ καί οὗτος ἐκ ἰσότης , πρῶτος ὁ ἐν μόνος εἶτα ἐν δυάς καί τριάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος · πρῶτος ἐκ πρῶτος καί δύο , δύο δέ 〈 ἐκ 〉 πρῶτος δύο δύο δύο τρίτος , τρίτος δέ ἐκ ἅπαξ πρῶτος δίς δύο τρίς τρίτος , καί φύω ὁ ἐν τριπλάσιος λόγος ὁ ἄκρος ἔχω . ἵνα δέ ὁ ἐν διπλάσιος ἔχω γίγνομαι , ποιητέος πρῶτος ἐκ πρῶτος δύο δύο , δύο δέ ἐκ πρῶτος δύο δύο δύο τρίτος , τρίτος δέ ἐκ ἅπαξ πρῶτος δίς δύο τρίς τρίτος . ὁ μέν οὖν εἴρω πρωτότυπος φύω ἐκ ὁ ἀπό μόνος ἰσότης , ὁ δέ οὗτος διπλάσιος ἐκ ὁ ἀπό δυάς καί τριπλάσιος ἐκ ὁ ἀπό τριάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ὁ δέ πέμπτος ὑπεναντίος μέν τίς καί οὗτος πάσχω ὁ γεωμετρικός , ἁπλόος δέ πέμπτος εἴρω διά ὁ προλαμβάνω ὁ ὄνομα ὁ πρό αὐτός . εἰμί δέ οὖν τρεῖς ὁράω ὡς ὁ μέσος πρός ὁ μικρός , οὕτως ὁ αὐτός οὗτος διαφορά πρός ὁ ὁ μείζων , οἷος βε δέ εἰ . ὑπηναντίωται δέ ὁ γεωμετρικός , διότι ἐπί μέν ἐκεῖνος εἰμί ὁ ὁ μείζων ὁράω διαφορά πολλαπλάσιος ὁ ὁ μικρός , ἐπί δέ οὗτος ἀνάπαλιν ὁ ὁ μικρός ὁ ὁ μείζων , ἐν μέντοι ὁ αὐτός λόγος ἐν ὅς καί ὁ λέγω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 162
ὅροι . ἴδιον δ’ ἔχει τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τοῦ ὑπ’ ἐλαχίστου καὶ μέσου , καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων . καὶ ταύτης δὲ αἱ πολλαπλάσιαι τὰ αὐτὰ ἕξουσι παρακολουθήματα . γεννᾶται δὲ ἐκ τριῶν ἴσων ὅρων , πρῶτος ὅρος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου , μέσος ἐκ δύο πρώτων δύο δευτέρων , μείζων ἐκ τοῦ πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων . ἡ δὲ ἕκτη , ὅταν ὡς ὁ μέγιστος τῶν τριῶν ὅρων πρὸς τὸν μέσον ἔχῃ , οὕτως καὶ ἡ τῶν ἐλαττόνων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων . διὰ ταὐτὰ δέ , δι’ ἅπερ καὶ ἡ πρὸ αὐτῆς , τῇ γεωμετρικῇ ἠναντίωται , οἷον αʹ δʹ ϛʹ . κἀνταῦθα δὲ πρόλογός ἐστιν ἡ τῶν ἐλαττόνων ὅρων διαφορά , τῆς γεωμετρικῆς πρόλογον ἐχούσης τὴν τῶν μειζόνων ὅρων πρὸς ἀλλήλους , καὶ συνάμφω τῶν διαφορῶν πρὸς ἀλλήλας ἡμιόλιοί εἰσι . τοιοῦτοι γενήσονται καὶ οἱ τὸ ἴδιον 〈 ταύτης 〉 τῆς μεσότητος ἀποδιδόντες λόγοι . τὸ γὰρ ἀπὸ τοῦ μεγίστου ϛʹ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων , καὶ αὐτὸ τοῦτο 〈 τὸ 〉 ἀπὸ τοῦ μέσου καὶ αὕτη δ’ ἂν γεννηθείη ἐκ τριῶν ἐν ἰσότητι ὅρων οὕτως ·
Lemmas: ὅρος . ἴδιος δέ ἔχω ὁ διπλάσιος ἀποτελέω ὁ ἀπό ὁ μέσος ὁ ὑπό μικρός καί μέσος , καί ἔτι ὁ ὑπό ὁ μείζων ὁράω ὁ ὑπό ὁ ἄκρος . καί οὗτος δέ ὁ πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω παρακολούθημα . γεννάω δέ ἐκ τρεῖς ἴσος ὁράω , πρῶτος ὅρος ἐκ πρῶτος καί δύο , μέσος ἐκ δύο πρῶτος δύο δύο , μείζων ἐκ ὁ πρῶτος δύο δύο δύο τρίτος . ὁ δέ ἕκτος , ὅταν ὡς ὁ μέγας ὁ τρεῖς ὁράω πρός ὁ μέσος ἔχω , οὕτως καί ὁ ὁ μικρός ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μείζων . διά αὐτός δέ , διά ὅσπερ καί ὁ πρό αὐτός , ὁ γεωμετρικός ἐναντιόομαι , οἷος ὅς δέ ϛυʹ . ἐνταῦθα δέ πρόλογος εἰμί ὁ ὁ μικρός ὁράω διαφορά , ὁ γεωμετρικός πρόλογος ἔχω ὁ ὁ μείζων ὁράω πρός ἀλλήλων , καί συνάμφω ὁ διαφορά πρός ἀλλήλων ἡμιόλιος εἰμί . τοιοῦτος γίγνομαι καί ὁ ὁ ἴδιος 〈 οὗτος 〉 ὁ μεσότης ἀποδίδωμι λόγος . ὁ γάρ ἀπό ὁ μέγας ϛυʹ ἡμιόλιος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μείζων ὁράω , καί αὐτός οὗτος 〈 ὁ 〉 ἀπό ὁ μέσος καί οὗτος δέ εἄν γεννάω ἐκ τρεῖς ἐν ἰσότης ὁράω οὕτως ·
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 163
πρῶτος πρώτῳ ἴσος , δεύτερος δυσὶ πρώτοις δυσὶ δευτέροις , τρίτος ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου . ἡ μὲν οὖν πρωτότυπος ἀπὸ μονάδων ἐστίν , αἱ δὲ ταύτης πολλαπλάσιαι ἀπὸ δυάδων καὶ τριάδων καὶ τῶν ἑξῆς ἰσοτήτων . Εἴρηται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς ταῖς πρώταις τριῶν μεσοτήτων , αἷς καὶ οἱ ἀπὸ Πλάτωνος μέχρις Ἐρατοσθένους ἐχρήσαντο , ἄρξαντος ὡς ἔφαμεν τῆς εὑρέσεως αὐτῶν Ἀρχύτα καὶ Ἱππάσου τῶν μαθηματικῶν . τὰς δ’ ὑπὸ τῶν μετὰ ταῦτα νεωτέρων περὶ τε Μυωνίδην καὶ Εὐφράνορα τοὺς Πυθαγορικοὺς προσφιλοτεχνηθείσας τέσσαρας οὔτε παραλείπειν ἄξιον · ἀφιλόκαλον γὰρ τὸ τοιοῦτον · οὔτε μὴν ἐπεκτείνειν τὸν περὶ αὐτῶν λόγον , διὰ τὸ μηδὲν οὕτω σεμνὸν αὐτὰς ἔχειν μηδὲ ποικίλον , ὡς τὰς πρὸ αὐτῶν . διόπερ ἐν ἐπιδρομῇ ῥητέον περὶ αὐτῶν στοχαζομένους ἅμα καὶ τῆς τοῦ βιβλίου συμμετρίας . ὠνομάσαμεν δ’ αὐτὰς ἁπλῶς οὕτως · ἑβδόμην καὶ ὀγδόην καὶ ἐνάτην καὶ δεκάτην .
Lemmas: πρῶτος πρῶτος ἴσος , δύο δύο πρῶτος δύο δύο , τρίτος ἐκ ἅπαξ πρῶτος δίς δύο τρίς τρίτος . ὁ μέν οὖν πρωτότυπος ἀπό μόνος εἰμί , ὁ δέ οὗτος πολλαπλάσιος ἀπό δυάς καί τριάς καί ὁ ἑξῆς ισότητα . ἔρομαι καί περί ὁ ἑξῆς ὁ πρῶτος τρεῖς μεσότης , ὅς καί ὁ ἀπό Πλάτων μέχρι Ἐρατοσθένης χράω , ἄρχω ὡς φημί ὁ εὕρεσις αὐτός Ἀρχύτης καί Ἵππασος ὁ μαθηματικός . ὁ δέ ὑπό ὁ μετά οὗτος νέος περί τε Μυωνίδης καί Εὐφράνωρ ὁ Πυθαγορικός προσφιλοτεχνέω τέσσαρες οὔτε παραλείπω ἄξιος · ἀφιλόκαλος γάρ ὁ τοιοῦτος · οὔτε μήv ἐπεκτείνω ὁ περί αὐτός λόγος , διά ὁ μηδείς οὗτος σεμνός αὐτός ἔχω μηδέ ποικίλος , ὡς ὁ πρό αὐτός . διόπερ ἐν ἐπιδρομή ῥητέος περί αὐτός στοχάζομαι ἅμα καί ὁ ὁ βιβλίον συμμετρία . ὀνομάζω δέ αὐτός ἁπλόος οὕτως · ἕβδομος καί ὄγδοος καί νάω καί δέκατος .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 164
καὶ ἔστιν ἡ μὲν ἑβδόμη , ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ , οὕτως ἡ αὐτῶν διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων , οἷον ϛʹ ηʹ θʹ . γένεσις δὲ αὐτῆς ἐκ τῆς τετάρτης γʹ εʹ ϛʹ · τὰ γὰρ ἐκείνης ἄκρα συνθεὶς ταύτης μέγιστον τάσσω , ἐκ δὲ ἐλαχίστου καὶ μέσου τὸν ταύτης ποιῶ μέσον , τὸν δ’ ἐκείνης μέγιστον ταύτης ἐλάχιστον . παρακολουθεῖ δὲ ταύτῃ τὸ ἔχειν τὸν αὐτὸν λόγον τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων πρόμηκες πρὸς τὰ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων , ὅνπερ καὶ ὁ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχει , καὶ ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων . ἡ δὲ ὀγδόη θεωρεῖται , ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ , οὕτως καὶ ἡ αὐτῶν
Lemmas: καί εἰμί ὁ μέν ἕβδομος , ὅταν ὡς ὁ μέγας πρός ὁ μικρός ἔχω , οὕτως ὁ αὐτός διαφορά πρός ὁ ὁ μικρός , οἷος ϛυʹ ἤ ὁ . γένεσις δέ αὐτός ἐκ ὁ τέταρτος γε εἰ ϛυʹ · ὁ γάρ ἐκεῖνος ἄκρος συντίθημι οὗτος μέγας τάσσω , ἐκ δέ μικρός καί μέσος ὁ οὗτος ποιέω μέσος , ὁ δέ ἐκεῖνος μέγας οὗτος μικρός . παρακολουθέω δέ οὗτος ὁ ἔχω ὁ αὐτός λόγος ὁ ὑπό ὁ μείζων ὁράω προμήκης πρός ὁ ὑπό ὁ μικρός , ὅσπερ καί ὁ μέγας ὅρος πρός ὁ μικρός ἔχω , καί ὁ ὁ ἄκρος διαφορά πρός ὁ ὁ μικρός . ὁ δέ ὄγδοος θεωρέω , ὅταν ὡς ὁ μέγας πρός ὁ μικρός ἔχω , οὕτως καί ὁ αὐτός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 165
τούτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον , ἀντιστρόφως τῇ πρὸ αὐτῆς , οἷον ϛʹ ζʹ θʹ . γένεσις δὲ καὶ ταύτης ἐκ τῆς πέμπτης τῆς βʹ δʹ εʹ · συνθεὶς γὰρ τοὺς μεγίστους αὐτῆς ὅρους ποιῶ τὸν ταύτης μέγιστον , τοὺς δ’ ἄκρους τὸν ταύτης μέσον τάσσω , τοὺς δὲ ἐλάττονας πάλιν συνθεὶς ἐκείνης ἔχω τὸν ταύτης ἐλάττονα . παρακολουθεῖ δὲ αὐτῇ τό , ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχει , οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων ἔχειν πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων . ἡ δὲ ἐννάτη , ὅταν ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ , οὕτως ἡ διαφορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων , οἷον δʹ ϛʹ ζʹ .
Lemmas: οὗτος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μέγας παρά ὁ μέσος , ἀντιστρόφως ὁ πρό αὐτός , οἷος ϛυʹ γῆ ὁ . γένεσις δέ καί οὗτος ἐκ ὁ πέμπτος ὁ βε δέ εἰ · συντίθημι γάρ ὁ μέγας αὐτός ὅρος ποιέω ὁ οὗτος μέγας , ὁ δέ ἄκρος ὁ οὗτος μέσος τάσσω , ὁ δέ μικρός πάλιν συντίθημι ἐκεῖνος ἔχω ὁ οὗτος μικρός . παρακολουθέω δέ αὐτός ὁ , ὡς ὁ μέγας πρός ὁ μικρός ἔχω , οὕτως καί ὁ ὑπό ὁ μείζων ὁράω ἔχω πρός ὁ ὑπό ὁ μικρός . ὁ δέ ἐννάτη , ὅταν ὡς ὁ μέσος ὅρος πρός ὁ μικρός ἔχω , οὕτως ὁ διαφορά ὁ ἄκρος πρός ὁ ὁ μικρός , οἷος δέ ϛυʹ γῆ .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 166
ἴδιον δὲ ἔχει τὸ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων , ἐν ᾧπερ καὶ μέσος πρὸς ἐλάχιστον , καὶ διαφορὰ δὲ ἄκρων πρὸς διαφορὰν ἐλαττόνων . γεννήσομεν δὲ καὶ ταύτην ἐκ τῆς ἕκτης αʹ δʹ ϛʹ · συνθεὶς γὰρ αὐτῆς τὰ ἄκρα ποιῶ τὸν ταύτης μέγιστον , μέσον δὲ τάσσω τὸν ἐκείνης μέγιστον , ἐλάχιστον δὲ τὸν μέσον . ἔσονται δὴ τάξει ταῖς ἀπὸ τῆς ἑβδόμης τρισὶ μεσότησιν αἱ γενέσεις ἀπὸ τῶν πρὸ αὐτῶν τριῶν τετάρτης τε καὶ πέμπτης καὶ ἕκτης . ἡ δ’ ἐπὶ πάσαις δεκάτη ἐστίν , ὅταν ὡς ὁ μέσος ἔχῃ πρὸς τὸν ἐλάσσονα , οὕτως καὶ ἡ 〈 διαφορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν διαφορὰν 〉 τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον , οἷον γʹ εʹ ηʹ . ἴδιον δὲ ταύτης τὸ ἐν ἐπιμερεῖ λόγῳ θεωρεῖσθαι καὶ πυθμένειν γε , ἀλλ’ - οὐκ ἐν πολλαπλασίῳ ἢ ἐπιμορίῳ .
Lemmas: ἴδιος δέ ἔχω ὁ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μείζων πρός ὁ ὑπό ὁ ἄκρος , ἐν ὅσπερ καί μέσος πρός μικρός , καί διαφορά δέ ἄκρος πρός διαφορά μικρός . γεννάω δέ καί οὗτος ἐκ ὁ ἕκτος ὅς δέ ϛυʹ · συντίθημι γάρ αὐτός ὁ ἄκρος ποιέω ὁ οὗτος μέγας , μέσος δέ τάσσω ὁ ἐκεῖνος μέγας , μικρός δέ ὁ μέσος . εἰμί δή τάξις ὁ ἀπό ὁ ἕβδομος τρεῖς μεσότης ὁ γένεσις ἀπό ὁ πρό αὐτός τρεῖς τέταρτος τε καί πέμπτος καί ἕκτος . ὁ δέ ἐπί πᾶς δέκατος εἰμί , ὅταν ὡς ὁ μέσος ἔχω πρός ὁ μικρός , οὕτως καί ὁ 〈 διαφορά ὁ ἄκρος πρός ὁ διαφορά 〉 ὁ μέγας παρά ὁ μέσος , οἷος γε εἰ ἤ . ἴδιος δέ οὗτος ὁ ἐν ἐπιμερής λόγος θεωρέω καί πυθμενέω γε , ἀλλά - οὐ ἐν πολλαπλάσιος ἢ ἐπιμόριος .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 167
καὶ παρακολουθεῖ αὐτῇ τὸ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων πρόμηκες ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν λεχθεισῶν διαφορῶν ἀποτελεῖν · αἴτιον δ’ ὅτι οἱ αὐτοί εἰσιν ἀριθμοί . γεννᾶται δὲ καὶ αὕτη ἐκ τῆς ἁρμονικῆς τῆς βʹ γʹ ϛʹ , ἥτις πρὸ τῶν εἰρημένων ἐστὶ τριῶν μέσων , ἵνα συνεχεῖς ἀπὸ συνεχῶν καὶ εἰ μὴ εὐτάκτων τὴν γένεσιν σχῶσι . συνθεὶς δ’ οὖν τοὺς ἄκρους ἐκείνης ποιῶ τὸν ταύτης μέγιστον , ἐκ δὲ τῶν ἐλασσόνων τὸν μέσον ταύτης τάσσω , τὸν δὲ μέσον ἐφ’ ἑαυτοῦ ἐλάχιστον ταύτης φυλάσσω . δέκα δὴ τῶν πασῶν ἡμῖν ἀναφανεισῶν μεσοτήτων , οὐ τὸ τυχὸν ἐγκώμιον ἔσται τῆς δεκάδος καὶ τοῦτο πρὸς τὸ μηδένα τέλειον λόγον ἐκφυγεῖν αὐτήν , ἀλλ’ ὡσανεὶ δεχάδα τινὰ οὖσαν τοὺς τῶν ὄντων ἁπάντων λόγους εἰς ἑαυτὴν ἀναδέχεσθαι , καὶ διὰ τοῦτο πᾶν καὶ ὅλον καὶ οὐρανὸν πρὸς τῶν παλαιῶν ἐπωνομάσθαι , ὡς ἐν τῷ περὶ αὐτῆς λόγῳ πειρασόμεθα δεῖξαι , ὅταν καὶ τῶν ἄλλων ἀπὸ μονάδος μέχρις αὐτῆς ἀριθμῶν ἑκάστου ἐπανθήματα εὐθὺς ἑξῆς μετὰ τήνδε τὴν εἰσαγωγὴν δεικνύωμεν . Τὰ νῦν δὲ περὶ τῆς τελειοτάτης ἀναλογίας ῥητέον
Lemmas: καί παρακολουθέω αὐτός ὁ ὑπό ὁ μικρός προμήκης ἴσος ὁ ὑπό ὁ λέγω διαφορά ἀποτελέω · αἴτιος δέ ὅτι ὁ αὐτός εἰμί ἀριθμός . γεννάω δέ καί οὗτος ἐκ ὁ ἁρμονικός ὁ βε γε ϛυʹ , ὅστις πρό ὁ εἴρω εἰμί τρεῖς μέσος , ἵνα συνεχής ἀπό συνεχής καί εἰμί μή εὔτακτος ὁ γένεσις ἔχω . συντίθημι δέ οὖν ὁ ἄκρος ἐκεῖνος ποιέω ὁ οὗτος μέγας , ἐκ δέ ὁ μικρός ὁ μέσος οὗτος τάσσω , ὁ δέ μέσος ἐπί ἑαυτοῦ μικρός οὗτος φυλάσσω . δέκα δή ὁ πᾶς ἐγώ αναφανεισος μεσότης , οὖον ὁ τυγχάνω ἐγκώμιον εἰμί ὁ δεκάς καί οὗτος πρός ὁ μηδείς τέλειος λόγος ἐκφεύγω αὐτός , ἀλλά ὡσανεί δεχάς τις εἰμί ὁ ὁ εἰμί ἅπας λόγος εἰς ἑαυτοῦ ἀναδέχομαι , καί διά οὗτος πᾶς καί ὅλος καί οὐρανός πρός ὁ παλαιός ἐπονομάζω , ὡς ἐν ὁ περί αὐτός λόγος πειράζω δείκνυμι , ὅταν καί ὁ ἄλλος ἀπό μόνος μέχρι αὐτός ἀριθμός ἕκαστος ἐπάνθημα εὐθύς ἑξῆς μετά ὅδε ὁ εἰσαγωγή δείκνυμι . ὁ νῦν δέ περί ὁ τέλειος ἀναλογία ῥητέος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 168
ἐν τέσσαρσιν ὅροις ὑπαρχούσης καὶ ἰδίως μουσικῆς ἐπικληθείσης διὰ τὸ τοὺς μουσικοὺς λόγους τῶν καθ’ ἁρμονίαν συμφωνιῶν τρανότατα ἐν αὐτῇ περιέχεσθαι . εὕρημα δ’ αὐτήν φασιν εἶναι Βαβυλωνίων καὶ διὰ Πυθαγόρου πρώτου εἰς Ἕλληνας ἐλθεῖν . εὑρίσκονται γοῦν πολλοὶ τῶν Πυθαγορείων αὐτῇ κεχρημένοι , ὥσπερ Ἀρισταῖος ὁ Κροτωνιάτης καὶ Τίμαιος ὁ Λοκρὸς καὶ Φιλόλαος καὶ Ἀρχύτας οἱ Ταραντῖνοι καὶ ἄλλοι πλείους , καὶ μετὰ ταῦτα Πλάτων ἐν τῷ Τιμαίῳ λέγων οὕτως · μετὰ δὲ ταῦτα συνεπληροῦτο τά τε διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα , μοίρας ἔτι ἐκεῖθεν ἀποτέμνων καὶ τιθεὶς εἰς τὸ μεταξὺ τούτων , ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας , τὴν μὲν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσάν τε καὶ ὑπερεχομένην , τὴν δ’ ἴσῳ μὲν κατ’ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν , ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην · ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διὰ πασῶν τῷ τοῦ ἐπογδόου λείμματι συνεπληροῦτο · καὶ τὰ τούτοις ἐφεξῆς , ἅπερ δῆλα πάντα ἔσται μετὰ τὴν τῆς ἀναλογίας ταύτης παράδοσιν . ἔστιν οὖν ἡ μουσικὴ καλουμένη ἀναλογία ἐν ὅροις τέσσαρσι , δύο μὲν ἄκροις δύο δὲ μέσοις , ὥστ’ ἐμπεπλέχθαι διαφόρους
Lemmas: ἐν τέσσαρες ὅρος ὑπάρχω καί ἰδίως μουσικός ἐπικαλέω διά ὁ ὁ μουσικός λόγος ὁ κατά ἁρμονία συμφωνία τρανός ἐν αὐτός περιέχω . εὕρημα δέ αὐτός φημί εἰμί Βαβυλώνιος καί διά Πυθαγόρας πρῶτος εἰς Ἕλλην ἔρχομαι . εὑρίσκω γοῦν πολύς ὁ Πυθαγόρειος αὐτός χράομαι , ὥσπερ Ἀρισταῖος ὁ Κροτωνιάτης καί Τίμαιος ὁ Λοκρός καί Φιλόλαος καί Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος καί ἄλλος πλείων , καί μετά οὗτος Πλάτων ἐν ὁ Τίμαιος λέγω οὕτως · μετά δέ οὗτος συμπληρόω ὁ τε διπλάσιος καί τριπλάσιος διάστημα , μοῖρα ἔτι ἐκεῖθεν ἀποτέμνω καί τίθημι εἰς ὁ μεταξύ οὗτος , ὥστε ἐν ἕκαστος διάστημα δύο εἰμί μεσότης , ὁ μέν αὐτός μέρος ὁ ἄκρος αὐτός ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω , ὁ δέ ἴσος μέν κατά ἀριθμός ὑπερέχω , ἴσος δέ ὑπερέχω · ἡμιόλιος δέ καί ἐπίτριτος διάστασις διά πᾶς ὁ ὁ ἐπόγδοος λεῖμμα συμπληρόω · καί ὁ οὗτος ἐφεξῆς , ὅσπερ δῆλος πᾶς εἰμί μετά ὁ ὁ ἀναλογία οὗτος παράδοσις . εἰμί οὖν ὁ μουσική καλέω ἀναλογία ἐν ὅρος τέσσαρες , δύο μέν ἄκρος δύο δέ μέσος , ὥστε ἐμπλέκω διάφορος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 169
ὄντας τοὺς λόγους τῶν μέσων ὅρων πρὸς τοὺς ἄκρους κατὰ τὰς ἐν ἁρμονίαις συμφωνίας διεστώσαις . ἐπεὶ γὰρ τὰ κατὰ μουσικὴν ἐν ἁρμονίᾳ σύμφωνα γίνεται , φθόγγων δυεῖν ἢ καὶ πλειόνων οὐχ ὁμοφώνων ὑπὸ μίαν πλῆξιν κατακιρναμένη καὶ τῇ ἀκοῇ ἑνοειδῶς προσπιπτόντων , ἐλάχιστον δὲ καὶ πρῶτον τῇ ἀκοῇ αἰσθητὸν σύμφωνον διάστημά ἐστι τὸ διὰ τεσσάρων · ἐν τοσαύτῃ γὰρ αἱ περιέχουσαι αὐτὸ χορδαὶ ἀποστάσει εἰσὶν ἀπ’ ἀλλήλων . ἔστι δὲ τοῦτο ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ , μεθ’ ὃ μιᾶς χορδῆς προσληφθείσης τὸ μὲν ὅλον διάστημα παρὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν διὰ πέντε κέκληται , ἐν λόγῳ δὲ καὶ αὕτη ἡμιολίῳ τυγχάνει . διαφορὰ δὲ τούτου πρὸς τὸν ἕτερον τὸ περιεχόμενόν ἐστι διάστημα ὑπὸ τῆς προσληφθείσης πέμπτης χορδῆς τονιαῖον ὑπάρχον καὶ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ τυγχάνον , ὥστε τὸ μὲν διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων τόνῳ ὑπερέξει , ὁ δὲ ἡμιόλιος λόγος ἐπιτρίτου ἐπογδόῳ . καὶ ταῦτα μὲν ἀσύνθετα διαστήματα καὶ ἁπλῶς ἐν συμφώνοις κατείληπται , ἐξ ὧν συντιθεμένων τὰ μείζονα κατακορεστέραν ἤδη τὴν συμφωνίαν
Lemmas: εἰμί ὁ λόγος ὁ μέσος ὁράω πρός ὁ ἄκρος κατά ὁ ἐν ἁρμονία συμφωνία διίστημι . ἐπεί γάρ ὁ κατά μουσική ἐν ἁρμονία σύμφωνος γίγνομαι , φθόγγος δύο ἢ καί πλείων οὐ ὁμόφωνος ὑπό εἷς πλῆξις κατακιρνάω καί ὁ ἀκοή ἑνοειδής προσπίπτω , μικρός δέ καί πρῶτος ὁ ἀκοή αἰσθητός σύμφωνος διάστημα εἰμί ὁ διά τέσσαρες · ἐν τοσοῦτος γάρ ὁ περιέχω αὐτός χορδή ἀπόστασις εἰμί ἀπό ἀλλήλων . εἰμί δέ οὗτος ἐν ἐπίτριτος λόγος , μετά ὅς εἷς χορδή προσλαμβάνω ὁ μέν ὅλος διάστημα παρά ὁ αὐτός αἴτιος διά πέντε καλέω , ἐν λόγος δέ καί οὗτος ἡμιόλιος τυγχάνω . διαφορά δέ οὗτος πρός ὁ ἕτερος ὁ περιέχω εἰμί διάστημα ὑπό ὁ προσλαμβάνω πέμπτος χορδή τονιαῖος ὑπάρχω καί ἐν ἐπόγδοος λόγος τυγχάνω , ὥστε ὁ μέν διά πέντε ὁ διά τέσσαρες τόνος ὑπερέχω , ὁ δέ ἡμιόλιος λόγος ἐπίτριτος ἐπόγδοος . καί οὗτος μέν ἀσύνθετος διάστημα καί ἁπλόος ἐν σύμφωνος καταλαμβάνω , ἐκ ὅς συντίθημι ὁ μείζων κατακορής ἤδη ὁ συμφωνία
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 170
ἀποδίδωσι , καὶ πρῶτόν γε τὸ διὰ πασῶν καλούμενον ὅπερ ἐξ ἀμφοτέρων ἐκείνων σύνθετόν ἐστιν , ἐπικληθὲν καὶ αὐτὸ οὕτως , ὅτι πάσας ἐμπεριέχει τὰς τὰ ἁπλᾶ σύμφωνα ἀποτελούσας χορδάς , καὶ ἔστιν ἐν λόγῳ διπλασίῳ · παντὸς γὰρ ἐπιτρίτου καὶ ἡμιολίου λόγου σύστημά ἐστιν ὁ διπλάσιος . ἐξ αὐτοῦ δὲ πάλιν τοῦ διπλασίου καὶ ἑκατέρου τῶν ἐξ ἀρχῆς 〈 τὸ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε 〉 . τὸ δὲ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ τεσσάρων λεγόμενον οἱ Πυθαγορικοὶ μὲν σύμφωνον οὐκ ᾤοντο εἶναι , διαφεῦγον πολλαπλάσιόν τε καὶ ἐπιμόριον λόγον καὶ ἔτι ἐπιμερῆ , εἰς δὲ μικτὴν σχέσιν ἐκπῖπτόν ἐστι · καὶ γὰρ ὡς ηʹ πρὸς γʹ , διότι τὰ μὲν ϛʹ τοῦ γʹ διπλάσια , τὰ δὲ ηʹ τοῦ ϛʹ ἐπίτριτα · εἰς δ’ οὖν τὸ παρὸν κατὰ τοὺς νεωτέρους νομιζέσθω καὶ αὐτὸ σύμφωνον , σαφηνείας ἕνεκα τῶν ἑξῆς . μεθ’ ὃ πάλιν τὸ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε σύμφωνόν ἐστιν ἐν τριπλασίῳ λόγῳ ὄν , διότι ἐκ διπλασίου καὶ ἡμιολίου ὁ τριπλάσιος λόγος σύγκειται · διπλάσια μὲν γὰρ τὰ ϛʹ τῶν γʹ , ἡμιόλια δὲ τὰ θʹ τῶν ϛʹ , ἅπερ πρὸς γʹ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ ἐστίν .
Lemmas: ἀποδίδωμι , καί πρότερος γε ὁ διά πᾶς καλέω ὅσπερ ἐκ ἀμφότερος ἐκεῖνος σύνθετος εἰμί , ἐπικαλέω καί αὐτός οὕτως , ὅτι πᾶς ἐμπεριέχω ὁ ὁ ἁπλόος σύμφωνος ἀποτελέω χορδή , καί εἰμί ἐν λόγος διπλάσιος · πᾶς γάρ ἐπίτριτος καί ἡμιόλιος λόγος σύστημα εἰμί ὁ διπλάσιος . ἐκ αὐτός δέ πάλιν ὁ διπλάσιος καί ἑκάτερος ὁ ἐκ ἀρχή 〈 ὁ διά πᾶς ἅμα καί διά τέσσαρες καί ὁ διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε 〉 . ὁ δέ διά πᾶς ἅμα καί διά τέσσαρες λέγω ὁ Πυθαγορικός μέν σύμφωνος οὐ οἴομαι εἰμί , διαφεύγω πολλαπλάσιος τε καί ἐπιμόριος λόγος καί ἔτι ἐπιμερής , εἰς δέ μικτός σχέσις ἐκπίπτω εἰμί · καί γάρ ὡς ἤ πρός γε , διότι ὁ μέν ϛυʹ ὁ γε διπλάσιος , ὁ δέ ἤ ὁ ϛυʹ ἐπίτριτος · εἰς δέ οὖν ὁ πάρειμι κατά ὁ νέος νομίζω καί αὐτός σύμφωνος , σαφήνεια ἕνεκα ὁ ἑξῆς . μετά ὅς πάλιν ὁ διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε σύμφωνος εἰμί ἐν τριπλάσιος λόγος εἰμί , διότι ἐκ διπλάσιος καί ἡμιόλιος ὁ τριπλάσιος λόγος σύγκειμαι · διπλάσιος μέν γάρ ὁ ϛυʹ ὁ γε , ἡμιόλιος δέ ὁ ὁ ὁ ϛυʹ , ὅσπερ πρός γε ἐν τριπλάσιος λόγος εἰμί .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 171
ἑαυτῷ δὲ τὸ διπλάσιον συντεθὲν ποιεῖ τὸ δὶς διὰ πασῶν σύμφωνον διάστημα ἐν λόγῳ ὂν τετραπλασίῳ · δὶς γὰρ ὁ διπλάσιος λόγος τετραπλάσιός ἐστι . τὰς δὲ εʹ τούτῳ μείζονας συμφωνίας συμβαίνει γίνεσθαι , προσπλεκομένων πάλιν τῇ δὶς διὰ πασῶν τῶν ἐξ ἀρχῆς ἁπλῶν διαστημάτων , ἃ νῦν παρίεμεν ἑκόντες , ὡς εὐκαιρότερον ὂν ἐν αὐτῇ τῇ Μουσικῇ εἰσαγωγῇ περὶ αὐτῶν τεχνολογεῖν . τὰς δὲ ἐπιτάσεις καὶ ἀνέσεις τῶν χορδῶν κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους γινομένας πρῶτον Πυθαγόραν ἱστοροῦσι συμμετρήσασθαι · παριόντα γὰρ εἴς τι χαλκοτυπεῖον , καὶ ἐκ τῆς τῶν ῥαιστήρων καταφορᾶς συμφώνου ἀπηχήσεως ἐπακούσαντα , συσταθμίσασθαι τὰ βάρη , καὶ εὑρόντα *** καὶ ἐν λόγοις τοῖς εἰρημένοις , μεγαλοφυῶς περινοῆσαι καὶ ποικίλαις ὕλαις ἐφαρμόσαι τοὺς αὐτοὺς λόγους , νῦν μὲν μήκεσι χορδῶν ἢ ἰσοπαχῶν μέν , κατὰ δὲ τὴν κολόβωσιν συμμετρηθεισῶν πρὸς ἀλλήλας , ἢ ἀνάπαλιν ἰσομηκῶν μέν , ἀναλόγως δὲ παχυνθεισῶν , νῦν δὲ κατὰ μὲν τὰ προειρημένα ἀδιαφόρων οὐσῶν κατὰ δὲ μόνην
Lemmas: ἑαυτοῦ δέ ὁ διπλάσιος συντίθημι ποιέω ὁ δίς διά πᾶς σύμφωνος διάστημα ἐν λόγος εἰμί τετραπλάσιος · δίς γάρ ὁ διπλάσιος λόγος τετραπλάσιος εἰμί . ὁ δέ εἰ οὗτος μείζων συμφωνία συμβαίνω γίγνομαι , προσπλέκω πάλιν ὁ δίς διά πᾶς ὁ ἐκ ἀρχή ἁπλόος διάστημα , ὁ νῦν παρίημι ἑκών , ὡς εὔκαιρος εἰμί ἐν αὐτός ὁ μουσικός εἰσαγωγή περί αὐτός τεχνολογέω . ὁ δέ ἐπίτασις καί ἄνεσις ὁ χορδή κατά ὁ εἴρω λόγος γίγνομαι πρῶτος Πυθαγόρας ἱστορέω συμμετρέω · πάρειμι γάρ εἰς τίς χαλκοτυπεῖον , καί ἐκ ὁ ὁ ῥαιστήρ καταφορά σύμφωνος ἀπήχησις ἐπακούω , συσταθμίζω ὁ βάρος , καί εὑρίσκω *** καί ἐν λόγος ὁ εἴρω , μεγαλοφυῶς περινοέω καί ποικίλος ὕλη ἐφαρμόζω ὁ αὐτός λόγος , νῦν μέν μῆκος χορδή ἢ ισοπαχής μέν , κατά δέ ὁ κολόβωσις συμμετρέω πρός ἀλλήλων , ἢ ἀνάπαλιν ισομήκης μέν , ἀνάλογος δέ παχύνω , νῦν δέ κατά μέν ὁ προερέω ἀδιάφορος εἰμί κατά δέ μόνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 172
τὴν τάσιν διαφόρως συμμετρηθεισῶν , πολλάκι δὲ καὶ κατὰ δύο τῶν εἰρημένων καὶ τρεῖς διαφορὰς τὴν ἐξέτασιν ἀναλαμβανουσῶν . ἤδη δὲ κἀπὶ τῶν συρίγγων καὶ αὐλῶν καὶ ὅλως τῶν ἐμπνευστῶν τὸ ἀνάλογον ἐφαρμόζειν αὐτῷ ῥᾷστον ἦν · κἀκεῖ γὰρ ἀκολούθως τοῖς ἐντατοῖς τά τε μήκη καὶ αἱ κοιλώσεις κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους συμμετρούμεναι τὰς συμφωνίας ἀπετέλουν , τῆς μὲν εὐρύτητος καὶ μακρότητος τῶν αὐλῶν ἀναλογούσης πάχει καὶ μήκει καὶ ἀνέσει χορδῆς , στενότητος δὲ καὶ βραχύτητος λεπτότητί τε καὶ ἐπιτάσει καὶ βραχύτητι . τὰς δ’ αἰτίας , δι’ ἃς τοῦτο συνέβαινε , κατ’ οἰκεῖον τόπον ἐν αὐτῇ τῇ Μουσικῇ εἰσαγωγῇ σαφηνιοῦμεν . τὰ νῦν δὲ ὡς ἐν ἐπιδρομῇ θεωρητέον ἐπ’ ἀριθμῶν τοὺς εἰρημένους λόγους . ἵνα τοίνυν ἐπίτριτον ἀποστήσῃ τις λόγον , ἀριθμοῦ δεῖ τρίτον ἔχοντος · ὁ γὰρ τούτου ἐπίτριτος πάντως ἥμισυ ἕξει , ὅπως καὶ ὁ τούτου ἡμιόλιος πρὸς τὸν ἐξ ἀρχῆς διπλάσιον , ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν ϛʹ ηʹ ιβʹ . ἢ πάλιν ἵνα ἡμιόλιον λόγον ποιήσω , ἀριθμοῦ δεῖ ἥμισυ ἔχοντος , ἵν’ ὁ ἡμιόλιος αὐτοῦ τεινόμενος τρίτον ἀναγκαίως ἔχων ὑπεπίτριτον λόγον πρὸς
Lemmas: ὁ τάσις διάφορος συμμετρέω , πολλάκις δέ καί κατά δύο ὁ εἴρω καί τρεῖς διαφορά ὁ ἐξέτασις ἀναλαμβάνω . ἤδη δέ ἐπί ὁ σῦριγξ καί αὐλή καί ὅλως ὁ ἐμπνευστός ὁ ἀνάλογος ἐφαρμόζω αὐτός ῥᾴδιος εἰμί · ἐκεῖ γάρ ἀκόλουθος ὁ ἐντατός ὁ τε μῆκος καί ὁ κοίλωσις κατά ὁ εἴρω λόγος συμμετρέω ὁ συμφωνία ἀποτελέω , ὁ μέν εὐρύτης καί μακρότης ὁ αὐλή ἀναλογέω πάχος καί μῆκος καί ἄνεσις χορδή , στενότης δέ καί βραχύτης λεπτότης τε καί ἐπίτασις καί βραχύτης . ὁ δέ αἴτιος , διά ὅς οὗτος συμβαίνω , κατά οἰκέω τόπος ἐν αὐτός ὁ Μουσικός εἰσαγωγή σαφηνίζω . ὁ νῦν δέ ὡς ἐν ἐπιδρομή θεωρητέον ἐπί ἀριθμός ὁ εἴρω λόγος . ἵνα τοίνυν ἐπίτριτος ἀφίστημι τις λόγος , ἀριθμός δεῖ τρίτος ἔχω · ὁ γάρ οὗτος ἐπίτριτος πάντως ἥμισυς ἔχω , ὅπως καί ὁ οὗτος ἡμιόλιος πρός ὁ ἐκ ἀρχή διπλάσιος , ὡς ἔχω ἐπί ὁ ϛυʹ ἤ ἶβις . ἢ πάλιν ἵνα ἡμιόλιος λόγος ποιέω , ἀριθμός δεῖ ἥμισυς ἔχω , ἵνα ὁ ἡμιόλιος αὐτός τείνω τρίτος ἀναγκαῖος ἔχω ὑπεπίτριτος λόγος πρός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 173
ἄλλον τινὰ ὅρον παράσχῃ , ὃς τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἔσται πάλιν πολλαπλάσιος , ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν ϛʹ θʹ ιβʹ . εἰ δὴ τηρήσαιμεν τοὺς ἄκρους ὅρους ἑστῶτας , ἐπειδὴ καὶ οἱ αὐτοί εἰσιν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησι , τὸν ϛʹ λέγω καὶ τὸν ιβʹ , τοὺς δὲ μέσους ἅμα τάξαιμεν μεταξὺ αὐτῶν , ἔσται ἡ εἰρημένη διὰ τεσσάρων ὅρων μουσικὴ ἀναλογία ἡ ϛʹ ηʹ θʹ ιβʹ . πρῶτον δ’ ἐτάξαμεν αὐτῆς τὸν ϛʹ ἀριθμόν , ἐπειδὴ τρίτου ἅμα καὶ ἡμίσους πρῶτος ἦν ἐπιδεκτικός , ἵνα ἀπ’ αὐτοῦ τοὺς εἰρημένους λόγους ἀποστῆσαι δυνηθῶμεν , ἐπίτριτον μὲν τὸν ηʹ πρὸς τὸν ἡμιόλιον τὸν ιβʹ , ὃς διπλάσιος ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς ϛʹ , ἢ πάλιν ἡμιόλιον μὲν τὸν θʹ πρὸς τὸν ἐπίτριτον τὸν ιβʹ , ὃς πάλιν ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς διπλάσιος . καὶ αὕτη ἐστὶν ἡ προειρημένη ἐμπλοκὴ τῶν μέσων ὅρων πρὸς τοὺς ἄκρους . ὅτι δ’ ἀναγκαῖον ἦν πρῶτον τάξαι τὸν ϛʹ πρὸς τὴν τῶν λόγων ἀπόστασιν , ἐντεῦθεν ἂν μάθοιμεν · μονάδα μὲν γὰρ οὐχ οἷόν τ’ ἦν , ἐπειδὴ ἀμερὴς ὑπόκειται καὶ οὔτε ἥμισυ οὔτε τρίτον ἔχει , ἀλλ’ οὐδὲ δυάδα , διότι ἥμισυ μὲν ἔχει τρίτον δ’ οὐκ ἔχει , οὐδὲ μὴν τὴν τριάδα τρίτον μὲν ἔχουσαν ἥμισυ δ’ οὐκ ἔχουσαν , οὐδὲ τετράδα διὰ τὰ αὐτὰ τῇ δυάδι ( τρίτου γὰρ καὶ αὕτη ἐστέρηται ) , τὴν δὲ πεντάδα διὰ τὰ αὐτὰ τῇ μονάδι οὔθ’ ἥμισυ οὔτε τρίτον ἔχουσαν . πρῶτος δὴ καὶ ἐλάχιστος ἡμῖν ὁ ϛʹ χρησιμεύσει
Lemmas: ἄλλος τις ὅρος παρέχω , ὅς ὁ ἐκ ἀρχή εἰμί πάλιν πολλαπλάσιος , ὡς ἔχω ἐπί ὁ ϛυʹ ὁ ἶβις . εἰμί δή τηρέω ὁ ἄκρος ὅρος ἵστημι , ἐπεί καί ὁ αὐτός εἰμί ἐν ἀμφότερος ὁ μεσότης , ὁ ϛυʹ λέγω καί ὁ ἶβις , ὁ δέ μέσος ἅμα τάσσω μεταξύ αὐτός , εἰμί ὁ εἴρω διά τέσσαρες ὁράω μουσική ἀναλογία ὁ ϛυʹ ἤ ὁ ἶβις . πρῶτος δέ τάσσω αὐτός ὁ ϛυʹ ἀριθμός , ἐπεί τρίτος ἅμα καί ἥμισυς πρῶτος εἰμί ἐπιδεκτικός , ἵνα ἀπό αὐτός ὁ εἴρω λόγος ἀφίστημι δύναμαι , ἐπίτριτος μέν ὁ ἤ πρός ὁ ἡμιόλιος ὁ ἶβις , ὅς διπλάσιος εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή ϛυʹ , ἢ πάλιν ἡμιόλιος μέν ὁ ὁ πρός ὁ ἐπίτριτος ὁ ἶβις , ὅς πάλιν εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή διπλάσιος . καί οὗτος εἰμί ὁ προερέω ἐμπλοκή ὁ μέσος ὁράω πρός ὁ ἄκρος . ὅτι δέ ἀναγκαῖος εἰμί πρῶτος τάσσω ὁ ϛυʹ πρός ὁ ὁ λόγος ἀπόστασις , ἐντεῦθεν εἄν μανθάνω · μόνος μέν γάρ οὐ οἷος τε εἰμί , ἐπεί ἀμερής ὑπόκειμαι καί οὔτε ἥμισυς οὔτε τρίτος ἔχω , ἀλλά οὐδέ δυάς , διότι ἥμισυς μέν ἔχω τρίτος δέ οὐ ἔχω , οὐδέ μήv ὁ τριάς τρίτος μέν ἔχω ἥμισυς δέ οὐ ἔχω , οὐδέ τετράς διά ὁ αὐτός ὁ δυάς ( τρίτος γάρ καί οὗτος στερέω ) , ὁ δέ πεντάς διά ὁ αὐτός ὁ μόνος οὔτε ἥμισυς οὔτε τρίτος ἔχω . πρῶτος δή καί μικρός ἐγώ ὁ ϛυʹ χρησιμεύω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 174
πρὸς τὰς τῶν λόγων ἀποστάσεις , ἀποτέλεσμα ὢν τῶν δύο πρώτων ἀριθμῶν καὶ ἡμίσους καὶ τρίτου ἐπιδεκτικῶν , λέγω δὲ τοῦ βʹ καὶ γʹ . πρὸς δὴ τὸν ϛʹ ὁ μὲν ηʹ ἐπίτριτος ὢν περιέξει τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν . καὶ ἐπεὶ πρὸς τὸν ηʹ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ ιβʹ περιέχων τὴν διὰ πέντε , πρὸς τὸν ἐξ ἀρχῆς ϛʹ ὁ αὐτὸς ιβʹ διπλάσιος ὢν 〈 περιέξει τὴν διὰ πασῶν 〉 συμφωνίαν σύνθετον οὖσαν ἐκ τῆς διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε . καὶ πάλιν τοῦ ϛʹ ὁ θʹ ἡμιόλιος ὢν περιέξει τὴν διὰ πέντε , πρὸς δὲ τὸν θʹ ὁ ιβʹ τὴν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος ὢν αὐτοῦ , πρὸς δὲ τὸν ἐξ ἀρχῆς ϛʹ πάλιν τὴν διὰ πασῶν . τὴν δὲ ὑπεροχὴν τοῦ διὰ πέντε πρὸς τὸ διὰ τεσσάρων , τὸ τονιαῖον διάστημα , περιέξουσιν οἱ μέσοι ὁ θʹ πρὸς ηʹ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ὄντες , διότι ὁ ἡμιόλιος λόγος τοῦ ἐπιτρίτου ἐπογδόῳ ὑπερέχει , ὡς εἴρηται . καὶ ἡ διαφορὰ δὲ μειζόνων ὅρων τοῦ ιβʹ καὶ θʹ 〈 πρὸς τὴν 〉 τοῦ ηʹ καὶ ϛʹ τὸν ἡμιόλιον λόγον περιέξει , ὅς ἐστι τῆς διὰ πέντε συμφωνίας · καὶ κατ’ ἐμπλοκὴν ἡ διαφορὰ τοῦ ιβʹ καὶ ηʹ πρὸς διαφορὰν τοῦ θʹ καὶ ϛʹ τὸν ἐπίτριτον ἕξει λόγον τῆς διὰ τεσσάρων συμφωνίας · τὸν δὲ διπλάσιον ἥ τε τοῦ ηʹ καὶ ϛʹ διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ ηʹ καὶ θʹ διαφοράν , καὶ ἡ τοῦ ιβʹ καὶ ηʹ διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ ηʹ καὶ ϛʹ διαφοράν , καὶ ἔτι ἡ τοῦ ιβʹ καὶ ϛʹ διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ θʹ καὶ ϛʹ διαφοράν · καθ’ ἑκάστην γὰρ συζυγίαν λόγος ἐστὶ τῆς διὰ πασῶν
Lemmas: πρός ὁ ὁ λόγος ἀπόστασις , ἀποτέλεσμα εἰμί ὁ δύο πρῶτος ἀριθμός καί ἥμισυς καί τρίτος επιδεκτικός , λέγω δέ ὁ βε καί γε . πρός δή ὁ ϛυʹ ὁ μέν ἤ ἐπίτριτος εἰμί περιέχω ὁ διά τέσσαρες συμφωνία . καί ἐπεί πρός ὁ ἤ ἡμιόλιος εἰμί ὁ ἶβις περιέχω ὁ διά πέντε , πρός ὁ ἐκ ἀρχή ϛυʹ ὁ αὐτός ἶβις διπλάσιος εἰμί 〈 περιέχω ὁ διά πᾶς 〉 συμφωνία συντίθημι εἰμί ἐκ ὁ διά τέσσαρες καί διά πέντε . καί πάλιν ὁ ϛυʹ ὁ ὁ ἡμιόλιος εἰμί περιέχω ὁ διά πέντε , πρός δέ ὁ ὁ ὁ ἶβις ὁ διά τέσσαρες ἐπίτριτος εἰμί αὐτός , πρός δέ ὁ ἐκ ἀρχή ϛυʹ πάλιν ὁ διά πᾶς . ὁ δέ ὑπεροχή ὁ διά πέντε πρός ὁ διά τέσσαρες , ὁ τονιαῖος διάστημα , περιέχω ὁ μέσος ὁ ὁ πρός ἤ ἐν ἐπόγδοος λόγος εἰμί , διότι ὁ ἡμιόλιος λόγος ὁ ἐπίτριτος ἐπόγδοος ὑπερέχω , ὡς εἴρω . καί ὁ διαφορά δέ μείζων ὁράω ὁ ἶβις καί ὁ 〈 πρός ὁ 〉 ὁ ἤ καί ϛυʹ ὁ ἡμιόλιος λόγος περιέχω , ὅς εἰμί ὁ διά πέντε συμφωνία · καί κατά ἐμπλοκή ὁ διαφορά ὁ ἶβις καί ἤ πρός διαφορά ὁ ὁ καί ϛυʹ ὁ ἐπίτριτος ἔχω λόγος ὁ διά τέσσαρες συμφωνία · ὁ δέ διπλάσιος ὅς τε ὁ ἤ καί ϛυʹ διαφορά πρός ὁ ὁ ἤ καί ὁ διαφορά , καί ὁ ὁ ἶβις καί ἤ διαφορά πρός ὁ ὁ ἤ καί ϛυʹ διαφορά , καί ἔτι ὁ ὁ ἶβις καί ϛυʹ διαφορά πρός ὁ ὁ ὁ καί ϛυʹ διαφορά · κατά ἕκαστος γάρ συζυγία λόγος εἰμί ὁ διά πᾶς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 175
συμφωνίας ὁ διπλάσιος . τὸν δὲ τριπλάσιον λόγον περιέξει τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συμφωνίᾳ ἡ διαφορὰ τοῦ τε θʹ καὶ ϛʹ πρὸς διαφορὰν τοῦ θʹ καὶ ηʹ , ἢ καὶ 〈 ἡ 〉 διαφορὰ τοῦ ιβʹ καὶ ϛʹ πρὸς διαφορὰν τοῦ ηʹ καὶ ϛʹ . τὸν δὲ τετραπλάσιον λόγον τῆς 〈 δὶς 〉 διὰ πασῶν συμφωνίας , ἡ τοῦ ιβʹ καὶ ηʹ [ ἡ ] διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ θʹ καὶ ηʹ διαφοράν . καὶ πλείονας δ’ ἄν τις εὕροι λόγους τῶν συμφώνων διαστημάτων πολλαπλασιάσας τοὺς ἐκκειμένους τέσσαρας ὅρους ἐπί τε αὑτοὺς ἕκαστον καὶ ἐπ’ ἀλλήλους , καὶ ἔτι ἐπὶ τὰς αὐτῶν διαφοράς , καὶ αὐτὰς τὰς διαφορὰς καθ’ ἑαυτάς τε καὶ ἐπ’ ἀλλήλας , ὡς ἔνεστι κατὰ τὸ φιλόκαλον δι’ αὑτοῦ ἕκαστον πειραθέντα κατανοῆσαι . ἔστιν οὖν πάλιν μουσικὴ μεσότης , ὅταν ἐν τέτταρσιν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν παρ’ αὐτόν , οὕτως ὁ τῶν μέσων ἐλάττων πρὸς τὸν ἐλάχιστον · ὡς δ’ ὁ μέγιστος πρὸς τὸν τῶν μέσων ἐλάττονα , οὕτως ὁ τῶν μέσων μείζων πρὸς τὸν ἐλάχιστον . παρακολουθεῖ δὲ αὐτῇ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρόμηκες ἴσον ἀποτελεῖν τῷ ὑπὸ τῶν μέσων γινομένῳ ἑτερομήκει .
Lemmas: συμφωνία ὁ διπλάσιος . ὁ δέ τριπλάσιος λόγος περιέχω ὁ διά πᾶς καί διά πέντε συμφωνία ὁ διαφορά ὁ τε ὁ καί ϛυʹ πρός διαφορά ὁ ὁ καί ἤ , ἢ καί 〈 ὁ 〉 διαφορά ὁ ἶβις καί ϛυʹ πρός διαφορά ὁ ἤ καί ϛυʹ . ὁ δέ τετραπλάσιος λόγος ὁ 〈 δίς 〉 διά πᾶς συμφωνία , ὁ ὁ ἶβις καί ἤ [ ὁ ] διαφορά πρός ὁ ὁ ὁ καί ἤ διαφορά . καί πλείων δέ ἄν τις εὑρίσκω λόγος ὁ σύμφωνος διάστημα πολλαπλασιάζω ὁ ἔκκειμαι τέσσαρες ὅρος ἐπί τε ἑαυτοῦ ἕκαστος καί ἐπί ἀλλήλων , καί ἔτι ἐπί ὁ αὐτός διαφορά , καί αὐτός ὁ διαφορά κατά ἑαυτοῦ τε καί ἐπί ἀλλήλων , ὡς ἔνειμι κατά ὁ Φιλόκαλον διά αὐτός ἕκαστος πειράω κατανοέω . εἰμί οὖν πάλιν μουσική μεσότης , ὅταν ἐν τέσσαρες ὅρος εἰμί ὡς ὁ μέγας πρός ὁ παρά αὐτός , οὕτως ὁ ὁ μέσος μικρός πρός ὁ μικρός · ὡς δέ ὁ μέγας πρός ὁ ὁ μέσος μικρός , οὕτως ὁ ὁ μέσος μείζων πρός ὁ μικρός . παρακολουθέω δέ αὐτός ὁ ὑπό ὁ ἄκρος προμήκης ἴσος ἀποτελέω ὁ ὑπό ὁ μέσος γίγνομαι ἑτερομήκης .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 176
ἀριθμητικὴν μὲν ἐν ὅροις τοῖς ιβʹ θʹ ϛʹ · ἴσως γὰρ ὁ μέσος 〈 ὑπερέχει καὶ 〉 ὑπερέχεται . ἁρμονικὴν δὲ ἐν ὅροις τοῖς ιβʹ ηʹ ϛʹ · τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὁ μέσος ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται . τὴν δὲ γεωμετρικὴν ἐν διαζεύξει · ἔστι γὰρ ὡς ιβʹ πρὸς ηʹ , θʹ πρὸς ϛʹ , ὥστε τὴν ταυτότητα τῶν λόγων διὰ τῶν δʹ ὅρων ἀποδοθῆναι . Καὶ τοῦτο μὲν ἡμῖν πέρας τῆς Εἰσαγωγῆς ἔστω τὸ παρὸν τῆς κατὰ τὸν Πυθαγόρειον Νικόμαχον , αὖθις δὲ θεοῦ διδόντος ἐντελέστερόν σοι καὶ αὐτὴν ταύτην τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγὴν ὡς ἂν ἤδη ἕξιν παρακολουθητικὴν διὰ ταύτης ἐσχηκότι ποιήσαντες παρέξομεν · καὶ ὅσα δὲ ἄλλα ἐπανθεῖ τοῖς ἀπὸ μονάδος μέχρι δεκάδος ἀριθμοῖς κατὰ τὸν φυσικὸν λόγον καὶ τὸν ἠθικὸν καὶ ἔτι πρὸ τούτων τὸν θεολογικὸν κατατάξαντες συμφιλολογήσομεν , ἵνα ἀπ’ αὐτῶν εὐμαρεστέρα σοι λοιπὸν καὶ ῥᾴστη τῶν ἑξῆς τριῶν εἰσαγωγῶν , μουσικῆς λέγω καὶ γεωμετρικῆς καὶ σφαιρικῆς , ἡ παράδοσις γίνηται .
Lemmas: ἀριθμητικός μέν ἐν ὅρος ὁ ἶβις ὁ ϛυʹ · ἴσως γάρ ὁ μέσος 〈 ὑπερέχω καί 〉 ὑπερέχω . ἁρμονικός δέ ἐν ὅρος ὁ ἶβις ἤ ϛυʹ · ὁ γάρ αὐτός μέρος ὁ ἄκρος αὐτός ὁ μέσος ὑπερέχω τε καί ὑπερέχω . ὁ δέ γεωμετρικός ἐν διάζευξις · εἰμί γάρ ὡς ἶβις πρός ἤ , ὁ πρός ϛυʹ , ὥστε ὁ ταυτότης ὁ λόγος διά ὁ δέ ὁράω ἀποδίδωμι . καί οὗτος μέν ἐγώ πέρας ὁ εἰσαγωγή ἵστημι ὁ πάρειμι ὁ κατά ὁ Πυθαγόρειος Νικόμαχος , αὖθις δέ θεός δίδωμι ἐντελής σύ καί αὐτός οὗτος ὁ ἀριθμητικός εἰσαγωγή ὡς εἄν ἤδη ἕξις παρακολουθητικός διά οὗτος ἔχω ποιέω παρέχω · καί ὅσος δέ ἄλλος ἐπανθέω ὁ ἀπό μόνος μέχρι δεκάς ἀριθμός κατά ὁ φυσικός λόγος καί ὁ ἠθικός καί ἔτι πρό οὗτος ὁ θεολογικός κατατάσσω συμφιλολογήσομεν , ἵνα ἀπό αὐτός εὐμαρής σύ λοιπός καί ῥᾴδιος ὁ ἑξῆς τρεῖς εἰσαγωγή , μουσικός λέγω καί γεωμετρικός καί σφαιρικός , ὁ παράδοσις γίγνομαι .