ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 28
ἄρτιοι καὶ αὐταὶ ὁμοειδῶς εἰσι . γένεσις δ’ αὐτοῦ ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον διπλάσιος λόγος ἐπ’ ἄπειρον . ἀλλ’ ἐὰν κατὰ περισσὴν ἔκθεσιν οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι ἀπὸ ῥίζης προχειρισθῶσιν εἰς μίαν μεσότητα , ἀντιπαρωνυμήσουσιν αἱ ἀκρότητες ἐν αὐτοῖς καὶ αἱ μετ’ ἐκείνας καὶ αἱ συνεχῶς μέχρι τῶν παραμέσων , ὥστε καὶ τὸ ὑφ’ ἑκάστης συζυγίας ἴσον ἀποτελεῖσθαι τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος , ἐπεὶ καὶ μόνη ἡ αὐτὴ παρωνύμως ἀνθυπήκουεν αὐτῇ . ἐὰν δὲ κατὰ ἀρτίαν , ὁ λόγος εἰς δύο μεσότητας ἀντιπαρωνυμούσας ἀλλήλαις διχασθήσεται , ὥστε καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν ἴσον ἀποτελεῖσθαι τῷ ὑπὸ τῶν παρ’ ἑκάτερα εὐτάκτως ἀεὶ μέχρι τῶν ἄκρων . διαφορὰν δὲ πάντως ἕξουσιν ἐν τῇ τῆς γενέσεως προκοπῇ οἱ μείζονες ἀεὶ πρὸς τοὺς ἐλάττονας αὐτοὺς τοὺς ἐλάττονας , ἵν’ ἐκ τούτου καὶ αἱ διαφοραὶ καὶ αἱ τῶν διαφορῶν πάλιν διαφοραὶ καὶ τούτων μέχρι ἐπιδέχεται τὸν αὐτοῦ λόγον ἔχουσαι τριγώνου τρόπον σχηματίζονται . κατὰ σύνθεσιν δ’ αὐτῶν τὴν σωρηδὸν περισσογονία πάντως γίνεται
Lemmas: ἄρτιος καί αὐτός ὁμοειδῶς εἰμί . γένεσις δέ αὐτός ἀπό μόνος ἀνάλογος διπλάσιος λόγος ἐπί ἤπειρος . ἀλλά ἐάν κατά περισσός ἔκθεσις ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ἀπό ῥίζα προχειρίζω εἰς εἷς μεσότης , ἀντιπαρωνυμέω ὁ ἀκρότης ἐν αὐτός καί ὁ μετά ἐκεῖνος καί ὁ συνεχῶς μέχρι ὁ παράμεσος , ὥστε καί ὁ ὑπό ἕκαστος συζυγία ἴσος ἀποτελέω ὁ ἀπό ὁ μεσότης , ἐπεί καί μόνος ὁ αὐτός παρώνυμος ανθυπηκουω αὐτός . ἐάν δέ κατά ἄρτιος , ὁ λόγος εἰς δύο μεσότης ἀντιπαρωνυμέω ἀλλήλων διχάζω , ὥστε καί ὁ ὑπό αὐτός ἴσος ἀποτελέω ὁ ὑπό ὁ παρά ἑκάτερος εὔτακτος ἀεί μέχρι ὁ ἄκρος . διαφορά δέ πάντως ἔχω ἐν ὁ ὁ γένεσις προκοπή ὁ μείζων ἀεί πρός ὁ μικρός αὐτός ὁ μικρός , ἵνα ἐκ οὗτος καί ὁ διαφορά καί ὁ ὁ διαφορά πάλιν διαφορά καί οὗτος μέχρι ἐπιδέχομαι ὁ αὐτός λόγος ἔχω τρίγωνος τρόπος σχηματίζω . κατά σύνθεσις δέ αὐτός ὁ σωρηδόν περισσογονία πάντως γίγνομαι
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 29
χρησιμεύουσα ἡμῖν μετὰ βραχὺ εἰς τὴν τῶν τελείων γένεσιν . αἰεὶ γὰρ παρ’ αὐτῇ ὁ μέλλων παρὰ μονάδα προεμφαίνεται , πάντες δὲ οἱ μέλλοντες ἄρτιοι γενικῶς · τοιούτων γὰρ ἡ ἔκθεσις . παρὰ δὲ μονάδα πᾶς ἄρτιος ἀναγκαίως περισσός . καὶ ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν ἀνάλογον ἐκθέσεων βεβαιοῦται τὸ ἀδιαίρετον φύσει τὴν μονάδα μένειν · ἀντιπαρωνυμοῦσαν γὰρ ἑκάστοτε τῷ μεγίστῳ τὴν τοῦ ὅλου προσηγορίαν μόνη ὑφαίνει . Ἀρτιοπέρισσος δέ ἐστιν ὁ καὶ αὐτὸς μὲν εἰς δύο ἴσα κατὰ τὸ κοινὸν διαιρούμενος , οὐ μέντοι γε τὰ μέρη ἔτι διαιρετὰ ἔχων , ἀλλ’ εὐθὺς ἑκάτερον περισσόν · ἔνθεν καὶ ὠνομάσθη , ὅτι ἄρτιος ὢν τὰ μέγιστα μέρη εὐθὺς περισσὰ ἔχει , ἢ μᾶλλον ὅτι τοῖς τῶν ἐν αὐτῷ μερῶν ὀνόμασιν αἱ αὐτῶν δυνάμεις ἀντιπαίουσιν , ἄρτιαι μὲν οὖσαι περισσωνυμούντων ἐκείνων , περισσαὶ δὲ ἀρτιωνυμούντων . καὶ οὐ κατὰ τοῦτο μόνον ἀντικεῖσθαι τῷ πρώτῳ εἴδει τοῦ ἀρτίου ἐλέχθη , ἀλλὰ καὶ ὅτι τούτου μὲν τὸ μεῖζον ἄκρον μόνον ἅπαξ διαιρετὸν
Lemmas: χρησιμεύω ἐγώ μετά βραχύς εἰς ὁ ὁ τέλειος γένεσις . ἀεί γάρ παρά αὐτός ὁ μέλλω παρά μόνος προεμφαίνω , πᾶς δέ ὁ μέλλω ἄρτιος γενικός · τοιοῦτος γάρ ὁ ἔκθεσις . παρά δέ μόνος πᾶς ἄρτιος ἀναγκαῖος περισσός . καί ἐπί πᾶς δέ ὁ ἀνάλογος ἔκθεσις βεβαιόω ὁ ἀδιαίρετος φύσις ὁ μόνος μένω · ἀντιπαρωνυμέω γάρ ἑκάστοτε ὁ μέγας ὁ ὁ ὅλος προσηγορία μόνος ὑφαίνω . ἀρτιοπέρισσος δέ εἰμί ὁ καί αὐτός μέν εἰς δύο ἴσος κατά ὁ κοινός διαιρέω , οὖον μέντοι γε ὁ μέρος ἔτι διαιρετός ἔχω , ἀλλά εὐθύς ἑκάτερος περισσός · ἔνθεν καί ὀνομάζω , ὅτι ἄρτιος εἰμί ὁ μέγας μέρος εὐθύς περισσός ἔχω , ἢ μᾶλλον ὅτι ὁ ὁ ἐν αὐτός μέρος ὄνομα ὁ αὐτός δύναμις ἀντιπαίω , ἄρτιος μέν εἰμί περισσωνυμέω ἐκεῖνος , περισσός δέ ἀρτιωνυμέω . καί οὖον κατά οὗτος μόνος ἀντίκειμαι ὁ πρῶτος εἶδος ὁ ἄρτιος λέγω , ἀλλά καί ὅτι οὗτος μέν ὁ μείζων ἄκρος μόνος ἅπαξ διαιρετός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 30
ἀόριστον ὂν καὶ ἄλλοτε ἄλλο , ἐκείνου δὲ τὸ ἔλαττον μόνον ἀδιαίρετον ὡρισμένον ὑπάρχον καὶ ταὐτὸν ἀεί . γεννᾶται δὲ δυάδος τοὺς τάξει περισσοὺς μηκυνούσης , ἵν’ ἐπειδὴ δυάδι οἱ γνώμονες ἀλλήλων διαφέρουσι δυὰς δὲ καὶ ἡ μηκύνουσα , τῶν ἀποτελουμένων ἡ παραλλαγὴ συνεχῶν τετρὰς ᾖ · δὶς γὰρ δύο τοῦτο . κἂν μὲν ἀπὸ τοῦ δυνάμει περισσοῦ ἀρχώμεθα , ὁ δυνάμει ἀρτιοπέρισσος ἀποτελεῖται ὁ δύο , ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ ἑνεργείᾳ τοῦ τρία , ὁ ἐνεργείᾳ ϛʹ . ἔσονται δὴ ἐν τῇ φυσικῇ τοῦ ἀριθμοῦ ἐκθέσει οἱ τοιοῦτοι δυάδι μὲν εἰδοποιούμενοι , τρεῖς δὲ παραλείποντες , τετράδι δὲ διαφέροντες , πέμπτοι δ’ ἀπ’ ἀλλήλων . ὅτι δ’ ἐφάνη τὸ συνεχές , ὅπερ ἐστὶ πηλίκον , ἀντιπάσχον τῷ διῃρημένῳ , τουτέστι ποσῷ , κέχρηται δὲ ἤδη τὸ πρότερον εἶδος τῇ τοῦ πηλίκου ἀναλογίᾳ δὲ χρήσεται καὶ τοῦτο τῇ τοῦ ποσοῦ ὡς ἂν καὶ τὸ ἀντικείμενον ἐκείνῳ , καὶ κατ’ ἀριθμητικὴν μεσότητα αἱ ἀκρότητες συντεθειμέναι ἴσαι ταῖς μεσότησιν ἔσονται ἐν ἀρτίᾳ ἐκθέσει · ἐν δὲ περισσῇ , τῇ μεσότητι σὺν αὐτῇ , τουτέστι διπλαὶ
Lemmas: ἀόριστος εἰμί καί ἄλλοτε ἄλλος , ἐκεῖνος δέ ὁ μικρός μόνος ἀδιαίρετος ὁρίζω ὑπάρχω καί αὐτός ἀεί . γεννάω δέ δυάς ὁ τάξις περισσός μηκύνω , ἵνα ἐπεί δυάς ὁ γνώμων ἀλλήλων διαφέρω δυάς δέ καί ὁ μηκύνω , ὁ ἀποτελέω ὁ παραλλαγή συνεχής τετράς εἰμί · δίς γάρ δύο οὗτος . κἀν μέν ἀπό ὁ δύναμις περισσός ἄρχω , ὁ δύναμις ἀρτιοπέρισσος ἀποτελέω ὁ δύο , ἐάν δέ ἀπό ὁ ἐνέργεια ὁ τρεῖς , ὁ ἐνέργεια ϛυʹ . εἰμί δή ἐν ὁ φυσικός ὁ ἀριθμός ἔκθεσις ὁ τοιοῦτος δυάς μέν εἰδοποιέω , τρεῖς δέ παραλείπω , τετράς δέ διαφέρω , πέμπτος δέ ἀπό ἀλλήλων . ὅτι δέ φαίνω ὁ συνεχής , ὅσπερ εἰμί πηλίκος , ἀντιπάσχω ὁ διαλέγω , τουτέστι ποσός , χράομαι δέ ἤδη ὁ πρότερος εἶδος ὁ ὁ πηλίκος ἀναλογία δέ χράω καί οὗτος ὁ ὁ ποσός ὡς εἄν καί ὁ ἀντίκειμαι ἐκεῖνος , καί κατά ἀριθμητικός μεσότης ὁ ἀκρότης συντίθημι Ἴσαι ὁ μεσότης εἰμί ἐν ἄρτιος ἔκθεσις · ἐν δέ περισσός , ὁ μεσότης σύν αὐτός , τουτέστι διπλόος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 31
αὐτῆς , ὥσπερ καὶ τὸ ἀπὸ τοῖς ὑπὸ γεωμετρικῶς ἐν ἀρτιάκις ἀρτίῳ συμβάντος τὸ τοὺς ἄκρους καὶ τοὺς ὑπ’ ἐκείνους μέχρι μέσου ἀλλήλους πολυπλασιάζοντας ἴσους γίνεσθαι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντι , ἢ δυσὶ μέσοις καὶ αὐτοῖς μηκυνομένοις , καθὰ καὶ οἱ ἑκατέρωθεν αὐτῶν ἄκροι , ἐν ἀρτίᾳ δηλονότι ἐκθέσει . ἴδιον δὲ τοῦ εἴδους τούτου ὑπεναντίον τῷ τοῦ προτέρου τὸ μόνον ἢ ὑπὸ ἀρτίου περισσῶς ἢ ὑπὸ περισσοῦ ἀρτίως κατὰ ἀναστροφὴν μετρεῖσθαι . Ἐπειδὴ δὲ ἐνταῦθα προδηλότερον ἁμάρτημα παρὰ τῷ Εὐκλείδῃ ἐστὶ τὸ μὴ διακρίνειν ἀρτιοπέρισσον περισσαρτίου μηδὲ τὸν ἕτερον μὲν αὐτῶν ἀντικεῖσθαι ἀρ τιάκις ἀρτίῳ τὸν δὲ λοιπὸν ἀμφοτέρων μῖγμα νομίζειν , ἔτι σαφέστερον περὶ τοῦ τρίτου λέγωμεν , αὐτὸ τὸ Εὐκλείδου ῥητὸν προεκθέμενοι περὶ αὐτῶν . λέγει γὰρ οὕτως · ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ’ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος περισσάκις . ὁ δὲ αὐτὸς καὶ περισσάρτιός ἐστι · καὶ γὰρ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρεῖται ἀρτιάκις , οἷον λόγου χάριν ὁ ϛʹ ·
Lemmas: αὐτός , ὥσπερ καί ὁ ἀπό ὁ ὑπό γεωμετρικός ἐν ἀρτιάκις ἄρτιος συμβαίνω ὁ ὁ ἄκρος καί ὁ ὑπό ἐκεῖνος μέχρι μέσος ἀλλήλων πολυπλασιάζω ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ μέσος πολυπλασιάζω , ἢ δύο μέσος καί αὐτός μηκύνω , καθά καί ὁ ἑκατέρωθεν αὐτός ἄκρος , ἐν ἄρτιος δηλονότι ἔκθεσις . ἴδιος δέ ὁ εἶδος οὗτος ὑπεναντίος ὁ ὁ πρότερος ὁ μόνος ἢ ὑπό ἄρτιος περισσός ἢ ὑπό περισσός ἄρτιος κατά ἀναστροφή μετρέω . ἐπεί δέ ἐνταῦθα πρόδηλος ἁμάρτημα παρά ὁ Εὐκλείδης εἰμί ὁ μή διακρίνω ἀρτιοπέρισσος περισσάρτιος μηδέ ὁ ἕτερος μέν αὐτός ἀντίκειμαι ἀρ τιάκις ἄρτιος ὁ δέ λοιπός ἀμφότερος μίγμα νομίζω , ἔτι σαφής περί ὁ τρίτος λέγω , αὐτός ὁ Εὐκλείδης ῥητός προεκτίθεμαι περί αὐτός . λέγω γάρ οὕτως · ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός εἰμί ὁ ὑπό ἄρτιος ἀριθμός μετρέω περισσάκις . ὁ δέ αὐτός καί περισσάρτιος εἰμί · καί γάρ ὑπό περισσός ἀριθμός μετρέω ἀρτιάκις , οἷος λόγος χάρις ὁ ϛυʹ ·
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 32
ἐὰν μὲν γὰρ δὶς τρία λέγωμεν , ἀρτιοπέρισσος , ἐὰν δὲ τρὶς δύο , περισσάρτιος · πάνυ εὐήθως . ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν ἀριθμητικῶν τοὺς τρεῖς εἰς ἕνα συγχέει , δουλεύων δηλονότι τῇ τοῦ ὀνόματος ἐμφάσει · φησὶ γάρ · ἐὰν ἄρτιος ἀριθμὸς τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσόν , ἀρτιάκις τέ ἐστι περισσὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος , τὸ αὐτὸ δηλονότι τοῖς ἔμπροσθεν λέγων . εἶτ’ ἐπιφέρει · ἐὰν ἄρτιος μήτε τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσὸν μήτε τῶν ἀπὸ μονάδος ᾖ διπλασιαζομένων , ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσὸς ὁ αὐτὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος . καὶ ὁ μὲν Εὐκλείδης οὕτως · ἡμῖν δὲ μᾶλλον λεγέσθω τὸ τρίτον εἶδος ὃ κοινῶς ἐξ ἀμφοῖν πλάσσεταί τε καὶ εἰδοποιεῖται καὶ συμβεβηκότα ἴσχει . ἔστιν οὖν καὶ τῷ ὅρῳ κρᾶμα αὐτῶν · ὑπό τε γὰρ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖται καὶ ὁ αὐτὸς ὑπὸ ἀρτίου περισσάκις , οὐδετέρῳ δὲ τῶν προτέρων τοῦθ’ ἅμα συμβέβηκεν , ἀλλὰ θάτερον μόνον θατέρῳ . καὶ μὴν τὸ πλεονάκις μὲν τοῦ ἅπαξ διαιρεῖσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου ἔχει , τὸ δὲ μὴ μέχρι μονάδος δύεσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιοπερίσσου · καὶ τὸ μὲν ἀντιπαίεσθαι τὰ τῶν μερῶν ὀνόματα ὑπὸ τῶν δυνάμεων κοινωνεῖ τῷ δευτέρῳ , τὸ δὲ ἅμα καὶ ὁμωνυμεῖν οὐκ ἀπήλλακται
Lemmas: ἐάν μέν γάρ δίς τρεῖς λέγω , ἀρτιοπέρισσος , ἐάν δέ τρίς δύο , περισσάρτιος · πάνυ εὐήθως . ἀλλά καί ἐν ὁ τρίτος ὁ ἀριθμητικός ὁ τρεῖς εἰς εἷς συγχέω , δουλεύω δηλονότι ὁ ὁ ὄνομα ἔμφασις · φημί γάρ · ἐάν ἄρτιος ἀριθμός ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός , ἀρτιάκις τε εἰμί περισσός καί περισσάκις ἄρτιος , ὁ αὐτός δηλονότι ὁ ἔμπροσθεν λέγω . εἶτα ἐπιφέρω · ἐάν ἄρτιος μήτε ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός μήτε ὁ ἀπό μόνος εἰμί διπλασιάζω , ἀρτιάκις τε εἰμί ἄρτιος καί ἀρτιάκις περισσός ὁ αὐτός καί περισσάκις ἄρτιος . καί ὁ μέν Εὐκλείδης οὕτως · ἐγώ δέ μᾶλλον λέγω ὁ τρίτος εἶδος ὅς κοινῶς ἐκ ἄμφω πλάσσω τε καί εἰδοποιέω καί συμβεβηκός ἴσχω . εἰμί οὖν καί ὁ ὅρος κρᾶμα αὐτός · ὑπό τε γάρ ἄρτιος ἀρτιάκις μετρέω καί ὁ αὐτός ὑπό ἄρτιος περισσάκις , οὐδέτερος δέ ὁ πρότερος οὗτος ἅμα συμβαίνω , ἀλλά ἕτερος μόνος ἕτερος . καί μήv ὁ πλεονάκις μέν ὁ ἅπαξ διαιρέω παρά ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ἔχω , ὁ δέ μή μέχρι μόνος δύο παρά ὁ ἀρτιοπέρισσος · καί ὁ μέν ἀντιπαίω ὁ ὁ μέρος ὄνομα ὑπό ὁ δύναμις κοινωνέω ὁ δύο , ὁ δέ ἅμα καί ὁμωνυμέω οὐ ἀπαλλάσσω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 33
τοῦ προτέρου , ἀπό τε τοῦ μείζονος ἄκρου ὅτι πλεονάκις ἢ ἅπαξ διχοτομεῖται προστρέχει τῷ μέχρι μονάδος αὐτῷ , ἀφιστάμενος τοῦ ἅπαξ μόνον διχαζομένου · πρὸς δὲ τῷ ἐλάττονι καὶ ἄλλα διαλυτὰ ἔχων ἀφίσταται μὲν τούτου τέως , προσεχὴς δὲ τῷ ἐναντίῳ γίνεται . καὶ ἡ γένεσις δ’ αὐτοῦ ἐξ ἀμφοῖν μικτή . τοὺς μὲν γὰρ τοῦ ἀρτιοπερίσσου γνώμονας ἐκθέσθαι δεῖ πάντας ἑξῆς ἀπὸ τριάδος , τοὺς δὲ ἀρτιάκις ἀρτίους αὐτοὺς ἐπὶ ἑαυτῶν καὶ γνώμονες ἀπὸ τετράδος τάξει , καὶ ὁποτερωθενοῦν , ἀδιάφορον γάρ , τῷ πρώτῳ τὴν προτέραν ἔκθεσιν καθ’ ἕκαστον ἐξ ἀρχῆς μηκυντέον μέχρι τις θέλει , εἶτα τῷ δευτέρῳ πάλιν τοὺς αὐτοὺς καὶ μετὰ ταῦτα τῷ τρίτῳ , εἶτα πάλιν τῷ τετάρτῳ , καὶ ἐπ’ ἄπειρον . ἐὰν μὲν γὰρ τοῖς τοῦ ἅπαξ διαιρετοῦ γνώμοσιν οἱ τοῦ ἑτέρου πολυπλασιασθῶσι , γενήσονται πρῶτον μὲν ὀγδοάδι ἀλλήλων διαφέροντες , διπλάσιοι ἄρτιοι περισσῶν , ἐπίπλαστος περισσάρτιοι εὔτακτοι εὐτάκτων . εἶτ’ ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς οἱ αὐτῶν τούτων διπλάσιοι τῶν ἐξ ἀρχῆς τετραπλάσιοι , τετραπλασίᾳ πρὸς ἐκείνους χρώμενοι διαφορᾷ , πρὸς δὲ τοὺς πρὸ
Lemmas: ὁ πρότερος , ἀπό τε ὁ μείζων ἄκρος ὅτι πλεονάκις ἢ ἅπαξ διχοτομέω προστρέχω ὁ μέχρι μόνος αὐτός , ἀφίστημι ὁ ἅπαξ μόνος διχάζω · πρός δέ ὁ μικρός καί ἄλλος διαλυτός ἔχω ἀφίστημι μέν οὗτος τέως , προσεχής δέ ὁ ἐναντίος γίγνομαι . καί ὁ γένεσις δέ αὐτός ἐκ ἄμφω μικτός . ὁ μέν γάρ ὁ ἀρτιοπέρισσος γνώμων ἐκτίθημι δεῖ πᾶς ἑξῆς ἀπό τριάς , ὁ δέ ἀρτιάκις ἄρτιος αὐτός ἐπί ἑαυτοῦ καί γνώμων ἀπό τετράς τάξις , καί ὁποτερωθενοῦν , ἀδιάφορος γάρ , ὁ πρῶτος ὁ πρότερος ἔκθεσις κατά ἕκαστος ἐκ ἀρχή μηκυντέον μέχρι τις ἐθέλω , εἶτα ὁ δύο πάλιν ὁ αὐτός καί μετά οὗτος ὁ τρίτος , εἶτα πάλιν ὁ τέταρτος , καί ἐπί ἤπειρος . ἐάν μέν γάρ ὁ ὁ ἅπαξ διαιρετός γνώμων ὁ ὁ ἕτερος πολυπλασιάζω , γίγνομαι πρῶτος μέν ὀγδοάς ἀλλήλων διαφέρω , διπλάσιος ἄρτιος περισσός , ἐπίπλαστος περισσάρτιος εὔτακτος εὔτακτος . εἶτα ἀπό ἄλλος ἀρχή ὁ αὐτός οὗτος διπλάσιος ὁ ἐκ ἀρχή τετραπλάσιος , τετραπλάσιος πρός ἐκεῖνος χράω διαφορά , πρός δέ ὁ πρό
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 34
αὐτῶν ἀναγκαίως διπλασίᾳ , καὶ τοῦτο δι’ ὅλου ἀναλόγως καὶ τοῦ μήκους ὑποφαινομένου . ἐὰν δὲ ἔμπαλιν τοῖς τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου οἱ τοῦ ἀρτιοπερίσσου , τὰ μὲν αὐτὰ συμβήσεται , μεταστήσεται δὲ εἰς ἄλληλα τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος , ὡς ἐν ἀμοιβῇ . ἵνα μέντοι προδηλότερον ἠγνοηκὼς ὁ Εὐκλείδης ταῦτα φανῇ , παρατηρητέον καὶ κατὰ τὰς ἐπὶ πλέον ἐκθέσεις ἔν τε μήκει καὶ πλάτει τὰ ἀμφοτέροις ἐκείνοις συμβεβηκότα ἅμα τούτῳ ὑπάρχοντα μόνῳ ὡς ἂν μίγματι αὐτῶν · τῇ γὰρ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ χρήσεται ὡς ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος τὸ ὑπὸ ποιῶν τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ἢ ὑπὸ τῶν μέσων παρὰ τὴν τῆς ἐκθέσεως ποσότητα , τῇ δὲ ἀριθμητικῇ ἴσα συναμφότερα τὰ περιέχοντα τὸ μέσον ἢ τὰ μέσα ἀποτελῶν , ἢ δὶς τῷ ἑνὶ ἢ ἅπαξ τοῖς δυσίν . οὕτως ἐν ἅπασι κοινῶς ἀμφοῖν καὶ ὡσανεὶ ἔκγονος οὗτος δείκνυται , ἀντικειμένων ἀλλήλοις τῶν προελθόντων τοῦ ἀρτίου εἰδῶν , οὐ πάντῃ διαφέρων ἑκατέρου οὔτε πάντῃ ὁ αὐτὸς ὤν . εὐθυντέον δὴ τοὺς Εὐκλείδου ὅρους
Lemmas: αὐτός ἀναγκαῖος διπλάσιος , καί οὗτος διά ὅλος ἀνάλογος καί ὁ μῆκος ὑποφαίνω . ἐάν δέ ἔμπαλιν ὁ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ὁ ὁ ἀρτιοπέρισσος , ὁ μέν αὐτός συμβαίνω , μεθίστημι δέ εἰς ἀλλήλων ὁ μῆκος καί ὁ πλάτος , ὡς ἐν ἀμοιβή . ἵνα μέντοι πρόδηλος ἀγνοέω ὁ Εὐκλείδης οὗτος φαίνω , παρατηρητέον καί κατά ὁ ἐπί πλέω ἔκθεσις ἐν τε μῆκος καί πλάτος ὁ ἀμφότερος ἐκεῖνος συμβεβηκός ἅμα οὗτος ὑπάρχω μόνος ὡς εἄν μίγμα αὐτός · ὁ γάρ γεωμετρικός ἀναλογία χράω ὡς ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ὁ ὑπό ποιέω ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος ἢ ὑπό ὁ μέσος παρά ὁ ὁ ἔκθεσις ποσότης , ὁ δέ ἀριθμητικός ἴσος συναμφότεροι ὁ περιέχω ὁ μέσος ἢ ὁ μέσος ἀποτελέω , ἢ δίς ὁ εἷς ἢ ἅπαξ ὁ δύο . οὕτως ἐν ἅπας κοινῶς ἄμφω καί ὡσανεί ἔκγονος οὗτος δείκνυμι , ἀντίκειμαι ἀλλήλων ὁ προέρχομαι ὁ ἄρτιος εἶδος , οὖον πάντῃ διαφέρω ἑκάτερος οὔτε πάντῃ ὁ αὐτός εἰμί . εὐθυντέον δή ὁ Εὐκλείδης ὅρος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 35
καὶ λεκτέον ὅτι ὁ μόνον ὑπ’ ἀρτίου περισσάκις ἀρτιοπέρισσος , ὁ δ’ οὐδέποτε μόνον θάτερον ἀλλ’ ἀμφότερα ἐξ ἀνάγκης ἀεὶ ἔχων ὅπερ οὐδέτερος ἐκείνων 〈 περισσάρτιος , ἀ〉μφότεροι δὲ ἅμα κρᾶμα εὐλόγως ἀμφοτέρων τῇ τοῦ λοιποῦ μετοχῇ τοῦ ἑτέρου ἀφιστάμενοι . Τοῦ δὲ περισσοῦ ἀριθμοῦ πάλιν καθ’ ὑποδιαίρεσιν τὸ μέν ἐστι πρῶ|τον
Lemmas: καί λεκτέος ὅτι ὁ μόνος ὑπό ἄρτιος περισσάκις ἀρτιοπέρισσος , ὁ δέ οὐδέποτε μόνος ἕτερος ἀλλά ἀμφότερος ἐκ ἀνάγκη ἀεί ἔχω ὅσπερ οὐδέτερος ἐκεῖνος 〈 περισσάρτιος , ἄμφος δέ ἅμα κρᾶμα εὔλογος ἀμφότερος ὁ ὁ λοιπός μετοχή ὁ ἕτερος ἀφίστημι . ὁ δέ περισσός ἀριθμός πάλιν κατά ὑποδιαίρεσις ὁ μέν εἰμί πρῶτος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 36
καὶ ἀσύνθετον τὸ δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον , καὶ ἄλλως τὸ μὲν καθ’ αὑτὸ πρῶτον , ὃ δὴ καὶ εὐθὺς πρὸς ἄλλο πρῶτον καὶ ἀσύνθετόν ἐστι , τὸ δὲ καθ’ αὑτὸ δεύτερον , ὃ οὐκ ἀνάγκη καὶ πρὸς ἄλλο εἶναι δεύτερον , ἀλλ’ αὐτοῦ τούτου τὸ μὲν πρὸς ἄλλο πρῶτον , τὸ δὲ καὶ πρὸς ἄλλο ἔσται δεύτερον καὶ σύνθετον . πρῶτος μὲν οὖν καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός ἐστι περισσὸς ὃς ὑπὸ μόνης μονάδος πληρούντως μετρεῖται , οὐκέτι δὲ καὶ ὑπ’ ἄλλου τινὸς μέρους καὶ ἐπὶ μίαν δὲ διάστασιν προβήσεται ὁ τοιοῦτος . διὰ τοῦτο δὲ αὐτὸν καὶ εὐθυμετρικόν τινες καλοῦσι , Θυμαρίδας δὲ καὶ εὐθυγραμμικόν · ἀπλατὴς γὰρ ἐν τῇ ἐκθέσει ἐφ’ ἓν μόνον διιστάμενος . ἴδιον δ’ αὐτοῦ τὸ μὴ ἔχειν μέρος ὅτι μὴ μόνον τὸ παρώνυμον αὐτῷ , οὗ μέγεθος ἐξ ἀνάγκης μονάς . πρῶτος δὲ καλεῖται οὐ μόνον ὅτι μέτρον αὐτοῦ μονὰς μόνη ἄλλος δὲ οὐδεὶς ἀριθμός ( πρωτίστη δὲ καὶ στοιχεῖον ἀριθμοῦ ἡ μονάς ) , ἀλλὰ καὶ ὅτι οὐδεὶς πρὸ αὐτοῦ δύναται ἀριθμὸς θεωρηθῆναι , μονάδων
Lemmas: καί ἀσύνθετος ὁ δέ δύο καί συντίθημι , καί ἄλλως ὁ μέν κατά ἑαυτοῦ πρῶτος , ὅς δή καί εὐθύς πρός ἄλλος πρῶτος καί ἀσύνθετος εἰμί , ὁ δέ κατά ἑαυτοῦ δύο , ὅς οὐ ἀνάγκη καί πρός ἄλλος εἰμί δύο , ἀλλά αὐτός οὗτος ὁ μέν πρός ἄλλος πρῶτος , ὁ δέ καί πρός ἄλλος εἰμί δύο καί συντίθημι . πρῶτος μέν οὖν καί ἀσύνθετος ἀριθμός εἰμί περισσός ὅς ὑπό μόνος μόνος πληρόω μετρέω , οὐκέτι δέ καί ὑπό ἄλλος τις μέρος καί ἐπί εἷς δέ διάστασις προβαίνω ὁ τοιοῦτος . διά οὗτος δέ αὐτός καί εὐθυμετρικός τις καλέω , Θυμαρίδας δέ καί εὐθυγραμμικός · ἀπλατής γάρ ἐν ὁ ἔκθεσις ἐπί εἷς μόνος διίστημι . ἴδιος δέ αὐτός ὁ μή ἔχω μέρος ὅτι μή μόνος ὁ παρώνυμος αὐτός , ὅς μέγεθος ἐκ ἀνάγκη μόνος . πρῶτος δέ καλέω οὖον μόνος ὅτι μέτρον αὐτός μονή μόνος ἄλλος δέ οὐδείς ἀριθμός ( πρῶτος δέ καί στοιχεῖον ἀριθμός ὁ μόνος ) , ἀλλά καί ὅτι οὐδείς πρό αὐτός δύναμαι ἀριθμός θεωρέω , μόνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 37
γε ὢν σύστημα , οὗ αὐτὸς ἔσται πολυπλάσιος , ἀλλὰ πρῶτον δῆλον ὅτι ἑαυτὸν παρέξει εἰς τὸ ἄλλους τινὰς αὐτοῦ πολυπλασίους γενέσθαι · ἀσύνθετος δὲ ὅτι οὐκ ἂν λυθείη εἰς ἀριθμοὺς ἀλλήλοις ἴσους , ἐξ οὗ δῆλον ὅτι οὐδὲ συνετέθη ἐκ τοιούτων . Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετος ὁ τἀναντία τῷ λεχθέντι ἔχων μέρος τε παρὲξ τοῦ παρωνύμου ἢ ἓν ἢ πλέονα , μέτρον τε παρὰ τὴν μονάδα τὸν αὐτὸν τρόπον ἢ ἓν ἢ πλέονα . ὁ δὲ τοιοῦτος πρὸς τῷ γραμμικῶς εὐθυμετρεῖσθαι ἔτι καὶ ἐπιπεδωθήσεται ἤτοι γε τετραγωνικῶς ἐὰν ἓν ἔχῃ μέρος παρὲξ τοῦ παρωνύμου , ἢ παραλληλογράμμως ἐὰν ἐκ παντὸς δύο ἀνθυπακούοντα ἀλλήλοις ἔχῃ μέρη παρὰ τὴν τῶν πλευρῶν διαφοράν . πλείονα δ’ ἂν ἐπ’ ἀμφοτέρων εὑρεθείη πολυπλασίου , περισσάκις γενομένης τῆς ἐκθέσεως ἕως τῶν ἐξ ἀρχῆς . καλεῖται δὲ δεύτερος μὲν ὅτι καὶ δευτέρῳ τινὶ μέτρῳ ἢ καὶ πλείοσι παρὰ τὴν μονάδα χρᾶται , καὶ ἐν πολυπλασίοις οὐδέποτε πρῶτος ἀλλὰ μετὰ πρῶτον ἢ πρώτους ἀνάλογον τάσσεται · σύνθετος δὲ ὅτι καὶ εἰς ἀριθμοὺς ἴσους οἷός τέ ἐστι λύεσθαι , ἐξ οὗ φανερὸν
Lemmas: γε εἰμί σύστημα , ὅς αὐτός εἰμί πολυπλάσιος , ἀλλά πρῶτος δῆλος ὅτι ἑαυτοῦ παρέχω εἰς ὁ ἄλλος τις αὐτός πολυπλάσιος γίγνομαι · ἀσύνθετος δέ ὅτι οὐ εἄν λύω εἰς ἀριθμός ἀλλήλων ἴσος , ἐκ ὅς δῆλος ὅτι οὐδέ συντίθημι ἐκ τοιοῦτος . Δεύτερος δέ καί σύνθετος ὁ τἀναντία ὁ λέγω ἔχω μέρος τε παρέξ ὁ παρώνυμος ἢ εἷς ἢ πλέω , μέτρον τε παρά ὁ μόνος ὁ αὐτός τρόπος ἢ εἷς ἢ πλέω . ὁ δέ τοιοῦτος πρός ὁ γραμμικός εὐθυμετρέω ἔτι καί ἐπιπεδόομαι ἤτοι γε τετραγωνικός ἐάν εἷς ἔχω μέρος παρέξ ὁ παρώνυμος , ἢ παραλληλόγραμμος ἐάν ἐκ πᾶς δύο ἀνθυπακούω ἀλλήλων ἔχω μέρος παρά ὁ ὁ πλευρά διαφορά . πλείων δέ εἄν ἐπί ἀμφότερος εὑρίσκω πολυπλάσιος , περισσάκις γίγνομαι ὁ ἔκθεσις ἠώς ὁ ἐκ ἀρχή . καλέω δέ δύο μέν ὅτι καί δύο τις μέτρον ἢ καί πλείων παρά ὁ μόνος χράομαι , καί ἐν πολυπλάσιος οὐδέποτε πρῶτος ἀλλά μετά πρῶτος ἢ πρῶτος ἀνάλογος τάσσω · σύνθετος δέ ὅτι καί εἰς ἀριθμός ἴσος οἷος τε εἰμί λύω , ἐκ ὅς φανερός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 38
ὅτι καὶ συνετέθη ἐκ τοιούτων . Ἀπ’ ἄλλης δὲ ἀρχῆς τοῦ δευτέρου εἴδους τὸ μὲν καὶ καθ’ ἑαυτὸ καὶ πρὸς ἄλλο δεύτερον καὶ σύνθετόν ἐστι ὡς θʹ πρὸς ιεʹ ἢ καʹ , τὸ δὲ καθ’ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον πρὸς δὲ ἄλλο πρῶτον ὡς τὰ θʹ πρὸς τὰ κεʹ ἢ λεʹ . ἑτέροις μὲν γὰρ καθ’ ἑαυτοὺς οὗτοι μέτροις ἄνευ τῆς μονάδος χρῶνται , πρὸς δὲ ἀλλήλους μόνῃ ταύτῃ . παραιτητέοι δὲ οἱ λέγοντες ἀνάπαλιν εἶναί τινα καθ’ ἑαυτὸν πρῶτον καὶ ἀσύνθετον πρὸς δὲ ἄλλον δεύτερον καὶ σύνθετον · ἐξαπατῶνται γὰρ τὸ μέτρον αὐτὸ τῷ μετρουμένῳ συγκρίνοντες , καὶ οὐχ ὁρῶσιν ὅτι κοινὸν δεῖ μέτρον ἄλλο παρὰ τὴν μονάδα καὶ παρ’ ἀμφοτέρους ἔχειν . εἴ τινι συμβήσεται πρὸς ἄλλον , οὗτος καὶ καθ’ ἑαυτὸν ὢν δεύτερος ἔσται καὶ πρὸς ἄλλον δεύτερος . δυνατὸν δὲ ἐκ τῶν ἐναντίων καθ’ ἑαυτὸν ἔχοντα δευτέρως πρὸς ἄλλον μὴ ἔχειν . ἐὰν δύο τυχόντες περισσοὶ προβληθῶσιν εἰς διάγνωσιν τοῦ πότερον πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἢ δεύτεροί εἰσι , καὶ εἰ δεύτεροι τί κοινὸν αὐτῶν μέτρον , ἀνθυφελοῦμεν ἀεὶ τὸν ἐλάττονα
Lemmas: ὅτι καί συντίθημι ἐκ τοιοῦτος . ἀπό ἄλλος δέ ἀρχή ὁ δύο εἶδος ὁ μέν καί κατά ἑαυτοῦ καί πρός ἄλλος δύο καί σύνθετος εἰμί ὡς ὁ πρός ἵημι ἢ καί , ὁ δέ κατά ἑαυτοῦ μέν δύο πρός δέ ἄλλος πρῶτος ὡς ὁ ὁ πρός ὁ κύ ἢ λαός . ἕτερος μέν γάρ κατά ἑαυτοῦ οὗτος μέτρον ἄνευ ὁ μόνος χράω , πρός δέ ἀλλήλων μόνος οὗτος . παραιτητέος δέ ὁ λέγω ἀνάπαλιν εἰμί τις κατά ἑαυτοῦ πρῶτος καί ἀσύνθετος πρός δέ ἄλλος δύο καί συντίθημι · ἐξαπατάω γάρ ὁ μέτρον αὐτός ὁ μετρέω συγκρίνω , καί οὐ ὁράω ὅτι κοινός δεῖ μέτρον ἄλλος παρά ὁ μόνος καί παρά ἀμφότερος ἔχω . εἰμί τις συμβαίνω πρός ἄλλος , οὗτος καί κατά ἑαυτοῦ εἰμί δύο εἰμί καί πρός ἄλλος δύο . δυνατός δέ ἐκ ὁ ἐναντίος κατά ἑαυτοῦ ἔχω δύο πρός ἄλλος μή ἔχω . ἐάν δύο τυγχάνω περισσός προβάλλω εἰς διάγνωσις ὁ πότερος πρῶτος πρός ἀλλήλων ἢ δεύτερος εἰμί , καί εἰμί δύο τίς κοινός αὐτός μέτρον , ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ μικρός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 39
ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁσάκις δυνατὸν καὶ τὸ λεῖπον ἀπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐλάσσονος καὶ ὁμοίως ἀεί , μέχρις ἂν ἤτοι εἰς μονάδα ἡ κατάληξις γένηται ἢ εἴς τινα ἄλλον ἀριθμόν , ἀφ’ οὗ οὐκέτ’ ἀφαιρεῖν οἷόν τε , καὶ οὗτος κοινὸν ἂν εἴη μέτρον τῶν ἐξ ἀρχῆς , οἵπερ δεύτεροι πρὸς ἀλλήλους λεχθήσονται , ὡς ιεʹ καὶ λεʹ · κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ πεντάς . ἡ δὲ μονὰς πρώτους αὐτοὺς πρὸς ἀλλήλους καὶ ἀσυνθέτους ἀποφαίνει , ὅταν εἰς αὐτὴν ἡ κατάληξις γίνηται · τοιούτων γὰρ κοινὸν μέτρον αὕτη μόνη . Ἵνα δὲ τάξει πάντας ἡμεῖς τοὺς δευτέρους καὶ συνθέτους καθ’ ἑαυτούς τε καὶ πρὸς ἀλλήλους εἰδῶμεν γεννᾶν , καὶ μέτρα αὐτῶν καὶ τὰ ἀντιπαρονομαζόμενα μέρη ὅσα ἂν ᾖ , ἔφοδον τοιαύτην τιν’ ἰστέον , ἥτις ὡσανεὶ κόσκινον τοὺς μὲν τοιούτους ἐντὸς τοῦ λόγου καθέξει , τοὺς δὲ λοιποὺς , δηλονότι πρώτους καὶ ἀσυνθέτους , ὥσπερ ἐκβόλους ἀποχωρίσει . στοιχηδὸν εὐτάκτους τοὺς ἀπὸ τριάδος περισσοὺς ἐφεξῆς ὡς ὅτι μάλιστα ἐπὶ μήκιστον ἐκθοῦ , καὶ τῷ πρώτῳ πειρώμενος μετρεῖν πληρούντως τῶν ἐφεξῆς δυνήσῃ τοὺς δύο μέσους παραλιπόντας ἐπ’ ἄπειρον ,
Lemmas: ἀπό ὁ μείζων ὁσάκις δυνατός καί ὁ λείπω ἀπό ὁ ἐκ ἀρχή μικρός καί ὁμοίως ἀεί , μέχρι εἄν ἤτοι εἰς μόνος ὁ κατάληξις γίγνομαι ἢ εἰς τις ἄλλος ἀριθμός , ἀπό ὅς οὐκέτι ἀφαιρέω οἷος τε , καί οὗτος κοινός εἄν εἰμί μέτρον ὁ ἐκ ἀρχή , ὅσπερ δύο πρός ἀλλήλων λέγω , ὡς ἵημι καί λαός · κοινός γάρ αὐτός μέτρον ὁ πεντάς . ὁ δέ μονή πρῶτος αὐτός πρός ἀλλήλων καί ἀσύνθετος ἀποφαίνω , ὅταν εἰς αὐτός ὁ κατάληξις γίγνομαι · τοιοῦτος γάρ κοινός μέτρον οὗτος μόνος . ἵνα δέ τάξις πᾶς ἐγώ ὁ δεύτερος καί σύνθετος κατά ἑαυτοῦ τε καί πρός ἀλλήλων οἶδα γεννάω , καί μέτρον αὐτός καί ὁ ἀντιπαρονομάζομαι μέρος ὅσος εἄν εἰμί , ἔφοδος τοιοῦτος τις ἰστέον , ὅστις ὡσανεί κόσκινον ὁ μέν τοιοῦτος ἐντός ὁ λόγος κατέχω , ὁ δέ λοιπός , δηλονότι πρῶτος καί ἀσύνθετος , ὥσπερ ἔκβολος ἀποχώρισις . στοιχηδόν εὔτακτος ὁ ἀπό τριάς περισσός ἐφεξῆς ὡς ὅτι μάλιστα ἐπί μακρός ἐκτίθημι , καί ὁ πρῶτος πειράω μετρέω πληρόω ὁ ἐφεξῆς δύναμαι ὁ δύο μέσος παραλείπω ἐπί ἤπειρος ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 40
τῷ δὲ δευτέρῳ τοὺς τέσσαρας μέσους διαλείποντας , τῷ δὲ τρίτῳ τοὺς ἕξ καὶ τετάρτῳ τοὺς ὀκτὼ καὶ ἁπλῶς ἑκάστῳ τοὺς δι - πλασίους τῆς ἑαυτοῦ τάξεως διαλείποντας . ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι ἕκαστος κατὰ τὸ ἑαυτοῦ ὄνομα τοὺς παρωνύμως ἀφεστῶτας μετρήσει , ὡς ὁ γʹ δύο ὑπερβὰς τρίτους ἀεί , καὶ τοῦτο ἀκολούθως . ἀλλ’ ὁ μὲν πρῶτος κατά τὸ ἑαυτοῦ μέγεθος τρὶς τὸν μετ’ αὐτὸν πρώτως μετρούμενον μετρήσει , τὸν δὲ μετ’ ἐκεῖνον πεντάκις κατὰ τὸ τοῦ ἑξῆς μέγεθος , τὸν δὲ ἐκείνῳ ἐφεξῆς κατὰ τὸ τοῦ τρίτου , καὶ τοῦτο δι’ ὅλου παραπλησίως · ὁ δὲ δεύτερος μεταλαβὼν τὸ τοιοῦτον τὸν μὲν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον τῷ τοῦ ἔμπροσθεν μέγεθει , τὸν δὲ ἀπ’ αὐτοῦ ἐκείνου πάλιν πέμπτον τῷ ἑαυτοῦ , τὸν δὲ ἐφεξῆς πάλιν πέμπτον τῷ τοῦ μετ’ αὐτὸν καὶ τοῦτο μέχρι παντός , τὸ δ’ ὅμοιον καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν . καὶ ἡ τοῦ δυνάμει δὲ περισσοῦ ἔννοια , τουτέστι μονάδος , κἀνταῦθα παραφανήσεται , ὁπόταν ἕκαστος τῶν ἐκκειμένων παραλαβὼν τὸ μετρεῖν καὶ ἑαυτὸν πολυπλασιάζων τετράγωνον ποιῇ , ὡς ἀπὸ τοῦ τρὶς τρία ὁ θʹ . ἐν δὲ τοῖς τοιούτοις ἡ ταυτότης , ἥπερ ἐστὶ παρὰ τὴν μονάδα
Lemmas: ὁ δέ δύο ὁ τέσσαρες μέσος διαλείπω , ὁ δέ τρίτος ὁ ἕξ καί τέταρτος ὁ ὀκτώ καί ἁπλόος ἕκαστος ὁ Ζεύς - πλασίους ὁ ἑαυτοῦ τάξις διαλείπω . ἐκ δή οὗτος φανερός ὅτι ἕκαστος κατά ὁ ἑαυτοῦ ὄνομα ὁ παρώνυμος ἀφίστημι μετρέω , ὡς ὁ γε δύο ὑπερβαίνω τρίτος ἀεί , καί οὗτος ἀκόλουθος . ἀλλά ὁ μέν πρῶτος κατά ὁ ἑαυτοῦ μέγεθος τρίς ὁ μετά αὐτός πρῶτος μετρέω μετρέω , ὁ δέ μετά ἐκεῖνος πεντάκις κατά ὁ ὁ ἑξῆς μέγεθος , ὁ δέ ἐκεῖνος ἐφεξῆς κατά ὁ ὁ τρίτος , καί οὗτος διά ὅλος παραπλήσιος · ὁ δέ δύο μεταλαμβάνω ὁ τοιοῦτος ὁ μέν ἀπό αὐτός πέμπτος ὁ ὁ ἔμπροσθεν μέγεθος , ὁ δέ ἀπό αὐτός ἐκεῖνος πάλιν πέμπτος ὁ ἑαυτοῦ , ὁ δέ ἐφεξῆς πάλιν πέμπτος ὁ ὁ μετά αὐτός καί οὗτος μέχρι πᾶς , ὁ δέ ὅμοιος καί ἐπί ὁ λοιπός . καί ὁ ὁ δύναμις δέ περισσός ἔννοια , τουτέστι μόνος , ἐνταῦθα παραφαίνω , ὁπόταν ἕκαστος ὁ ἔκκειμαι παραλαμβάνω ὁ μετρέω καί ἑαυτοῦ πολυπλασιάζω τετράγωνος ποιέω , ὡς ἀπό ὁ τρίς τρεῖς ὁ ὁ . ἐν δέ ὁ τοιοῦτος ὁ ταυτότης , ὅσπερ εἰμί παρά ὁ μόνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 41
ὡς ἅπαξ θʹ , ἡ δ’ ἑτερότης ἐπεὶ παρὰ τὴν δυάδα ἐστὶν εὐλόγως καὶ οἱ ἀπὸ διαφόρων ἀριθμῶν ἀλλήλους πολυπλασιασάντων γενόμενοι διαφόρους καὶ τὰς πλευρὰς ἕξουσιν ἀντιφωνούσας κατὰ τὰ τῶν γνωμόνων μεγέθη , καὶ ὁ τοιοῦτος προμήκης κεκλήσεται . τοῦ σαφοῦς δὲ ἕνεκα τὸ μὲν ποσάκις μετρεῖν αὐτοῖς κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ τριάδος ἐπ’ ἄπειρον περισσῶν ἔκθεσιν φανήσεται , τὸ δὲ πόσους διαλείποντας κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ δυάδος ἀρτίων ( σύμβολον καὶ τοῦτο τῆς τῶν δύο εἰδῶν τοῦ ἀριθμοῦ ἀιδιότητός τε καὶ φιλαλληλίας , εἰ καὶ ἐναντία δοκεῖ καθάπερ δεξιὰ ἀριστερῷ καὶ ὁμοίως συλληπτικὰ ἀλλήλοις ) ἢ νὴ Δία κατὰ τὴν 〈 τῆς 〉 χώρας ἑκάστου διπλασίασιν , καθ’ ἣν ὁ μετρῶν τέτακται . οἱ μὲν οὖν . ὑπὸ τῶν μετρήσεων τούτων σημανθέντες δεύτεροι δηλονότι καὶ σύνθετοι , κοινὸν δ’ αὐτῶν
Lemmas: ὡς ἅπαξ ὁ , ὁ δέ ἑτερότης ἐπεί παρά ὁ δυάς εἰμί εὔλογος καί ὁ ἀπό διάφορος ἀριθμός ἀλλήλων πολυπλασιάζω γίγνομαι διάφορος καί ὁ πλευρά ἔχω ἀντιφωνέω κατά ὁ ὁ γνώμων μέγεθος , καί ὁ τοιοῦτος προμήκης καλέω . ὁ σαφής δέ ἕνεκα ὁ μέν ποσάκις μετρέω αὐτός κατά ὁ ὁ ἀπό τριάς ἐπί ἤπειρος περισσός ἔκθεσις φαίνω , ὁ δέ πόσος διαλείπω κατά ὁ ὁ ἀπό δυάς ἄρτιος ( σύμβολον καί οὗτος ὁ ὁ δύο εἶδος ὁ ἀριθμός ἀιδιότης τε καί φιλαλληλία , εἰμί καί ἐναντίος δοκέω καθάπερ δεξιός ἀριστερός καί ὁμοίως συλληπτικός ἀλλήλων ) ἢ νή Ζεύς κατά ὁ 〈 ὁ 〉 χώρα ἕκαστος διπλασίασις , κατά ὅς ὁ μετρέω τάσσω . ὁ μέν οὖν . ὑπό ὁ μέτρησις οὗτος σημαίνω δύο δηλονότι καί σύνθετος , κοινός δέ αὐτός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 42
μέτρον τὸ ἐπελθὸν αὐτοῖς · οἱ δὲ παραλειπόμενοι ὥσπερ τὰ διὰ κοσκίνου ἔκβολα πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι . κἀνταῦθα δὲ ὁ Εὐκλείδης προδηλότατον ἀμάρτημα πάσχει τὴν δυάδα τῶν πρώτων καὶ ἀσυνθέτων οἰόμενος εἶναι , ἐπεὶ μονάδι μόνῃ μέτρῳ χρῆται , ἐκλελησμένος ὅτι ἡ μὲν τοῦ ἀρτίου εἴδους ἐστίν , ὅτι μέντοι περισσοειδὴς ἵνα δυνάμει τοὺς λόγους τῶν ὁμογενῶν ἀρτιάκις ἀρτίων καὶ ἀρτιοπερίσσων τρόπῳ σπερματικῷ , καθάπερ ἡ μονάς ἁπάντων ἁπλῶς · οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι καθ’ ὑποδιαίρεσιν τοῦ περισσοῦ εἴδους μόνου ὤφθησαν , ἀλλ’ οὐ καὶ τοῦ ἀρτίου . ἕτερον γοῦν ἄρτιον οὐκ ἂν δύναιτο προχειρίσαι οὐδὲ ἐπιταθείς , οὕτω φύσει τοῦ τοιούτου ἀπηλλάχθαι θάτερον τοῦ ἀριθμοῦ εἶδος , ὥσπερ καὶ τὸ λοιπὸν τῶν αὐτοῦ ὑποδιαιρέσεων ἀρτιάκις ἀρτίου τε καὶ ἀρτιοπερίσσου καὶ περισσαρτίου . ἀλλὰ καὶ αὐτὴ ἡ δυὰς ὡς ἂν στοιχειώδης οὖσα καὶ σπερματικὴ οὐ μετέχει τρανῶς τῶν ὑποδιαιρέσεων τούτων καίτοι τούτου τοῦ γένους ἄρχουσα αὐτοῖς , καθάπερ ἀμέλει
Lemmas: μέτρον ὁ ἐπέρχομαι αὐτός · ὁ δέ παραλείπω ὥσπερ ὁ διά κόσκινον ἔκβολος πρῶτος καί ἀσύνθετος . ἐνταῦθα δέ ὁ Εὐκλείδης πρόδηλος ἁμάρτημα πάσχω ὁ δυάς ὁ πρῶτος καί ἀσύνθετος οἴομαι εἰμί , ἐπεί μόνος μόνος μέτρον χράω , ἐκλανθάνω ὅτι ὁ μέν ὁ ἄρτιος εἶδος εἰμί , ὅτι μέντοι περισσοειδής ἵνα δύναμις ὁ λόγος ὁ ὁμογενής ἀρτιάκις ἄρτιος καί ἀρτιοπέρισσος τρόπος σπερματικός , καθάπερ ὁ μόνος ἅπας ἁπλόος · ὁ δέ πρῶτος καί ἀσύνθετος κατά ὑποδιαίρεσις ὁ περισσός εἶδος μόνος ὁράω , ἀλλά οὖον καί ὁ ἄρτιος . ἕτερος γοῦν ἄρτιος οὐ εἄν δύναμαι προχειρίζω οὐδέ ἐπιτείνω , οὗτος φύσις ὁ τοιοῦτος ἀπαλλάσσω ἕτερος ὁ ἀριθμός εἶδος , ὥσπερ καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ὑποδιαίρεσις ἀρτιάκις ἄρτιος τε καί ἀρτιοπέρισσος καί περισσάρτιος . ἀλλά καί αὐτός ὁ δυάς ὡς εἄν στοιχειώδης εἰμί καί σπερματικός οὖον μετέχω τρανής ὁ ὑποδιαίρεσις οὗτος καίτοι οὗτος ὁ γένος ἄρχω αὐτός , καθάπερ ἀμελέω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 43
καὶ ἐπὶ ἄλλων αἱ ἀρχαὶ πολλῶν οὐ μετέχουσιν ὧν ἐξ ἀνάγκης τοῖς συγκρίμασι μέτεστιν , ὥσπερ σημείῳ τὰ γραμμῇ συμβεβηκότα οὐκ ἐνθεωρεῖται καὶ τὰ διαστήματι φθόγγῳ καὶ τὰ ἀναλογίᾳ λόγῳ καὶ τὰ σωματικὰ ὕλῃ καὶ εἴδει καὶ τὰ πολλῶν ἑτέρων συστημάτων φαρμάκων τε καὶ μιγμάτων ἑκάστων προέχει στοιχείων . Πάλιν δὲ ἐξ ὑπαρχῆς τοῦ ἀρτίου ἀριθμοῦ καθ’ ἑαυτὸν καὶ παντάπασιν ἀπηλλαγμένου τῆς πρὸς τὸν περισσὸν κἀνταῦθα ἐπιπλοκῆς τὸ μέν ἐστιν ὑπερτελὲς τὸ δὲ ἐλλιπὲς ἐναντία ἀλλήλοις , κοινὸν δ’ αὐτῶν καὶ οἱονεὶ μεσότης τὸ λεγόμενον τέλειον διαφέρον κατά τι ἀμφοῖν καὶ πάλιν ἀμφοῖν κατά τι μετέχον . ὑπερτελὲς μὲν οὖν ἐστιν ὅταν ἄρτιος ἀριθμὸς πάντα τὰ αὑτοῦ μέρη συντεθέντα πλείονα ἀποδίδωσιν αὐτοῦ καὶ ὑπερπαίοντα τῇ ποσότητι · διὰ τοῦτο γὰρ καὶ οὕτως ὠνόμασται , ὡς πλημμελής τις ὢν καὶ πλεομελὴς καὶ πλεονέκτης , τεταγμένος ἐν τῷ οἷον ἀδικεῖν καὶ πλέον τι τοῦ ἐπιβάλλοντος αὐτῷ ἔχειν , ὡς εἴ τινι πλέονες δάκτυλοι ἐν μιᾷ χειρὶ ἢ ἐν ποδὶ εἶεν . ἐλλιπὲς
Lemmas: καί ἐπί ἄλλος ὁ ἀρχή πολύς οὖον μετέχω ὅς ἐκ ἀνάγκη ὁ σύγκριμα μέτειμι , ὥσπερ σημεῖον ὁ γραμμή συμβεβηκός οὐ ἐνθεωρέω καί ὁ διάστημα φθόγγος καί ὁ ἀναλογία λόγος καί ὁ σωματικός ὕλη καί εἶδος καί ὁ πολύς ἕτερος σύστημα φάρμακον τε καί μίγμα ἕκαστος προέχω στοιχεῖον . πάλιν δέ ἐκ ὑπαρχή ὁ ἄρτιος ἀριθμός κατά ἑαυτοῦ καί παντάπασι ἀπαλλάσσω ὁ πρός ὁ περισσός ἐνταῦθα ἐπιπλοκή ὁ μέν εἰμί ὑπερτελής ὁ δέ ἐλλιπής ἐναντίος ἀλλήλων , κοινός δέ αὐτός καί οἱονεί μεσότης ὁ λέγω τέλειος διαφέρω κατά τίς ἄμφω καί πάλιν ἄμφω κατά τίς μετέχω . ὑπερτελής μέν οὖν εἰμί ὅταν ἄρτιος ἀριθμός πᾶς ὁ αὐτός μέρος συντίθημι πλείων ἀποδίδωμι αὐτός καί ὑπερπαίω ὁ ποσότης · διά οὗτος γάρ καί οὕτως ὀνομάζω , ὡς πλημμελής τις εἰμί καί πλεομελής καί πλεονέκτης , τάσσω ἐν ὁ οἷος ἀδικέω καί πλέω τίς ὁ ἐπιβάλλω αὐτός ἔχω , ὡς εἰμί τις πλέω δάκτυλος ἐν εἷς χείρ ἢ ἐν πούς ἄγω . ἐλλιπής
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 44
δὲ ὅταν ὁμοίως ἄρτιος ἀριθμὸς τοῖς ἑαυτοῦ πᾶσι μέρεσι συντεθεὶς συγκρινόμενος μείζων φαίνηται , τὰ δὲ μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ ποιῇ , διὸ καὶ οὕτως ὠνόμασται , ἐστερημένος μερῶν τῶν εἰς συμπλήρωσιν αὐτοῦ προσηκόντων ὡσανεὶ πλεονεκτούμενός τις ἐν τῷ ἀδικεῖσθαι καὶ μὴ ἀπειληφέναι τὰ ἴδια , ὡς εἴ τις ἄγλωσσος εἴη ἢ μονόχειρ . ὑπόδειγμα τοῦ μὲν προτέρου ὅ τε ιβʹ καὶ οἱ τούτου ἐπ’ ἄπειρον πολυπλάσιοι καὶ ὁ ιηʹ καὶ ὁ κʹ καὶ ἄλλοι πολλοὶ τοιοῦτοι , τοῦ δὲ δευτέρου ὅ τε ηʹ καὶ ὁ ιʹ καὶ ὁ ιδʹ καὶ οἱ ὅμοιοι . Τέλειον δέ ἐστιν ὃ τούτων μέσον θεωρεῖται καὶ οὔτε πλέονα ὡς τὸ ὑπερτελὲς οὔτε ἔλασσονα ὡς τὸ ἐλλιπὲς τὰ μέρη ἑαυτοῦ συντεθέντα ἔχει , ἀλλὰ τὰ ἀνὰ μέσον τοῦ τε μείζονος καὶ τοῦ ἐλάσσονος , ὅπερ ἐστὶν ἴσα , ὡς ἂν δικαιότητί τινι καὶ τῶν ἰδίων καὶ προσηκόντων ἀπολήψει . συνᾴδει δὲ τὰ τοιαῦτα παραδείγματα τῷ τὰς ἀρετὰς ὀρθῶς νομίζεσθαι μετριότητάς τινας καὶ μεσότητας ὑπερβολῆς καὶ ἐλλείψεως , ἀλλ’ οὐκ ἀκρότητας , ὥς τινες ὑπέλαβον εἶναι , καὶ ἀντικεῖσθαι μὲν κακὸν κακῷ , συναμφότερα δ’ ἑνὶ ἀγαθῷ , ἀγαθὸν δὲ ἀγαθῷ μηκέτι , ἀλλὰ δυσὶν ἅμα κακοῖς , ὥσπερ δειλίαν θρασύτητι
Lemmas: δέ ὅταν ὁμοίως ἄρτιος ἀριθμός ὁ ἑαυτοῦ πᾶς μέρος συντίθημι συγκρίνω μείζων φαίνω , ὁ δέ μέρος μικρός ἑαυτοῦ ποιέω , διό καί οὕτως ὀνομάζω , στερέω μέρος ὁ εἰς συμπλήρωσις αὐτός προσήκω ὡσανεί πλεονεκτέω τις ἐν ὁ ἀδικέω καί μή ἀπολαμβάνω ὁ ἴδιος , ὡς εἰμί τις ἄγλωσσος εἰμί ἢ μονόχειρ . ὑπόδειγμα ὁ μέν πρότερος ὅς τε ἶβις καί ὁ οὗτος ἐπί ἤπειρος πολυπλάσιος καί ὁ ΙΗΥ καί ὁ καί καί ἄλλος πολύς τοιοῦτος , ὁ δέ δύο ὅς τε ἤ καί ὁ εἷς καί ὁ ἴδη καί ὁ ὅμοιος . Τέλειος δέ εἰμί ὅς οὗτος μέσος θεωρέω καί οὔτε πλέω ὡς ὁ ὑπερτελής οὔτε μικρός ὡς ὁ ἐλλιπής ὁ μέρος ἑαυτοῦ συντίθημι ἔχω , ἀλλά ὁ ἀνά μέσος ὁ τε μείζων καί ὁ μικρός , ὅσπερ εἰμί ἴσος , ὡς εἄν δικαιότης τις καί ὁ ἴδιος καί προσήκω ἀπολαμβάνω . συνᾴδω δέ ὁ τοιοῦτος παράδειγμα ὁ ὁ ἀρετή ὀρθῶς νομίζω μετριότης τις καί μεσότης ὑπερβολή καί ἔλλειψις , ἀλλά οὐ ἀκρότης , ὅς τις ὑπολαμβάνω εἰμί , καί ἀντίκειμαι μέν κακός κακός , συναμφότεροι δέ εἷς ἀγαθός , ἀγαθός δέ ἀγαθός μηκέτι , ἀλλά δύο ἅμα κακός , ὥσπερ δειλία θρασύτης
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 45
ὧν κοινὸν ἀνανδρία συναμφότερα δὲ ἀνδρείᾳ , καὶ πανουργίαν ἠλιθιότητι ὧν κοινὸν ἀφροσύνη συναμφότερα δὲ φρονήσει , καὶ ἀσωτίαν φιλαργυρίᾳ ὧν κοινὸν ἀνελευθερία συναμφότερα δὲ ἐλευθεριότητι , καὶ κατάπληξιν ἀναισχυντίᾳ ὧν κοινὸν ἀναίδεια συναμφότερα δὲ αἰδοῖ , καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀρετῶν τε καὶ ἀστείων ἕξεων τὸ ἀνάλογον τηροῦσιν ἡμῖν ἀναφανήσεται , καθάπερ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ ἀνίσου σχέσεως δειχθήσεται μειζονότης ἐλαττονότητι ὧν κοινὸν ἀνισότης 〈 συναμφότερα δὲ 〉 τῇ ἰσότητι . τοῦ δὴ οὖν τελείου διὰ τὸ τοιοῦτον ἡ σπανιότης , ὥσπερ ἀγαθοῦ τινος καὶ οὐχὶ πολύχου ὄντος κακοῦ , ἕνα μὲν ἐν μονάσιν ἡμῖν μόνον , τουτέστιν ἐντὸς δεκάδος , ἕνα δὲ μόνον ἐν δεκάσι , τουτέστι πρὸ τοῦ εἰς *** ἑκατοντάσιν , καὶ ἕνα μόνον ἐν χιλιάσι παρέξει φυσικῷ νόμῳ .
Lemmas: ὅς κοινός ἀνανδρία συναμφότεροι δέ ἀνδρεῖος , καί πανουργία ἠλιθιότης ὅς κοινός ἀφροσύνη συναμφότεροι δέ φρόνησις , καί ἀσωτία φιλαργυρία ὅς κοινός ἀνελευθερία συναμφότεροι δέ ἐλευθεριότης , καί κατάπληξις ἀναισχυντία ὅς κοινός ἀναίδεια συναμφότεροι δέ αἰδώς , καί ἐπί ὁ λοιπός ἀρετή τε καί ἀστεῖος ἕξις ὁ ἀνάλογος τηρέω ἐγώ ἀναφανάω , καθάπερ καί ἐπί ὁ ὁ ἄνισος σχέσις δείκνυμι μειζονότης ἐλαττονότης ὅς κοινός ἀνισότης 〈 συναμφότεροι δέ 〉 ὁ ἰσότης . ὁ δή οὖν τέλειος διά ὁ τοιοῦτος ὁ σπανιότης , ὥσπερ ἀγαθός τις καί οὐ πολυχοω εἰμί κακός , εἷς μέν ἐν μόνος ἐγώ μόνος , τουτέστιν ἐντός δεκάς , εἷς δέ μόνος ἐν δεκάς , τουτέστι πρό ὁ εἰς *** ἑκατοντάς , καί εἷς μόνος ἐν χιλιάς παρέχω φυσικός νόμος .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 46
καὶ εἰ τύχοι ἐν πρώτῳ βαθμῷ μυριάδων ὁμοίως μόνον ἕνα , καὶ ἐν δευτέρῳ πάλιν ἕνα , καὶ τὸ τοιοῦτον ἐπ’ ἄπειρον . ὑπόδειγμα δὲ τούτου ὁ ϛʹ καὶ ὁ κηʹ 〈 καὶ ὁ 〉 υҁϛʹ καὶ ὁ ͵ηρκηʹ καὶ οἱ ὅμοιοι παρὰ μέρος εἰς ἑξάδα καὶ ὀγδοάδα καταλήγοντες . γενέσεως δὲ ἔφοδος καὶ αὕτη συστατικὴ τῆς φιλαλληλίας τῶν τοῦ ἀριθμοῦ εἰδῶν καὶ μετὰ συμπνοίας ἀιδιότητος . τοὺς γὰρ ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον διπλασίους , ὅπερ ἐστὶν ἀρτιάκις ἀρτίους , ἐπισωρεύειν δεῖ καθ’ ἕνα ἕκαστον ἀεὶ καὶ κατὰ ἑκάστου ἀριθμοῦ σωρείαν ἐπισκοπεῖν . εἰ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἐκ τῆς ἐπισωρείας γένοιτο , πολυπλασιάσωμεν τὸν γενόμενον τῷ ἐν τῇ συνθέσει ὑστάτῳ ληφθέντι · ὁ γὰρ ἀποτελεσθεὶς τέλειος ἐκ παντὸς ἔσται · εἰ δὲ δεύτερος καὶ σύνθετος , παραλείπωμεν αὐτόν , ἄλλον δὲ τὸν ἑξῆς ἀνάλογον ἐπισωρεύσωμεν , εἰ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ὁ γενόμενος · ἐὰν γὰρ τῷ προσεπισωρευθέντι πολυπλασιαστέον αὐτόν , καὶ οὕτως ὁ τῇ τάξει συνεχὴς τέλειος ἀναφανήσεται . καὶ οὕτως μέχρι παντός . διὰ μὲν οὖν τῆς τῶν ἀρτιάκις
Lemmas: καί εἰμί τυγχάνω ἐν πρῶτος βαθμός μυριάς ὁμοίως μόνος εἷς , καί ἐν δύο πάλιν εἷς , καί ὁ τοιοῦτος ἐπί ἤπειρος . ὑπόδειγμα δέ οὗτος ὁ ϛυʹ καί ὁ καίω 〈 καί ὁ 〉 υʹ καί ὁ ͵ηρκηʹ καί ὁ ὅμοιος παρά μέρος εἰς ἑξάς καί ὀγδοάς καταλήγω . γένεσις δέ ἔφοδος καί οὗτος συστατικός ὁ φιλαλληλία ὁ ὁ ἀριθμός εἶδος καί μετά σύμπνοια ἀιδιότης . ὁ γάρ ἀπό μόνος ἀνάλογος διπλάσιος , ὅσπερ εἰμί ἀρτιάκις ἄρτιος , ἐπισωρεύω δεῖ κατά εἷς ἕκαστος ἀεί καί κατά ἕκαστος ἀριθμός σωρεία ἐπισκοπέω . εἰμί πρῶτος καί ἀσύνθετος ἐκ ὁ ἐπισωρεία γίγνομαι , πολυπλασιάζω ὁ γίγνομαι ὁ ἐν ὁ σύνθεσις ὕστερος λαμβάνω · ὁ γάρ ἀποτελέω τέλειος ἐκ πᾶς εἰμί · εἰμί δέ δύο καί σύνθετος , παραλείπω αὐτός , ἄλλος δέ ὁ ἑξῆς ἀνάλογος ἐπισωρεύω , εἰμί πρῶτος καί ἀσύνθετος ὁ γίγνομαι · ἐάν γάρ ὁ προσεπισωρεύω πολυπλασιαστέον αὐτός , καί οὕτως ὁ ὁ τάξις συνεχής τέλειος ἀναφανάω . καί οὕτως μέχρι πᾶς . διά μέν οὖν ὁ ὁ ἀρτιάκις
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 47
ἀρτίων συνθέσεως ἡ τοῦ ἀρτίου φύσις , διὰ δὲ τῆς ἐξ αὐτῶν περισσογονίας , μάλιστα δὲ τῶν πρώτων καὶ ἀσυνθέτων ἀποτελέσεως , ἡ τοῦ περισσοῦ παρεμφαίνεται . οὐ χρὴ δὲ ξενίζεσθαι εἰ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ ποικίλα τινὰ ἐπικατηγορεῖται , οἷον φέρ’ εἰπεῖν αὐτῷ τούτῳ τῷ ϛʹ τὸ τέλειον εἶναι αὐτὸν καὶ τὸ πρῶτον ἀρτιοπέρισσον καὶ πάλιν πρῶτον ἑτερομήκη καὶ πρὸς τῶν Πυθαγορικῶν ἔτι γάμον καλεῖσθαι , ὅτι κατ’ αὐτὸ πρώτιστον σύνοδος ἄρσενος καὶ θήλεος ἐκ κατακράσεως γίνεται · καὶ γὰρ ἐκ τοῦ αὐτοῦ ὑγίειαν τὸν αὐτὸν καλοῦσι καὶ ἔτι κάλλος διὰ τὴν ἐν αὐτῷ τῶν μερῶν ὁλοκληρίαν καὶ συμμετρίαν . παρακηκόασι δὲ οἱ καὶ φιλίαν τὸν αὐτὸν νομίζοντες αὐτοὺς λέγειν διὰ τὴν τῶν διαφερόντων σύνοδον ἐν αὐτῷ καὶ φίλωσιν · ἄλλους γάρ τινας ἄντικρυς φίλους ἀριθμοὺς καλοῦσιν ἐν τῷ προσοικειοῦν τάς τε ἀρετὰς καὶ τὰς ἀστείας ἕξεις τοῖς ἀριθμοῖς , οἷον τὸν σπδʹ καὶ τὸν σκʹ · γεννητικὰ γὰρ ἀλλήλων τὰ ἑκατέρου αὐτῶν μέρη κατὰ τὸν τῆς φιλίας λόγον , ὡς Πυθαγόρας ἀπεφήνατο ·
Lemmas: ἄρτιος σύνθεσις ὁ ὁ ἄρτιος φύσις , διά δέ ὁ ἐκ αὐτός περισσογονία , μάλιστα δέ ὁ πρῶτος καί ἀσύνθετος ἀποτέλεσις , ὁ ὁ περισσός παρεμφαίνω . οὖον χρή δέ ξενίζω εἰμί ὁ αὐτός ἀριθμός ποικίλος τις ἐπικατηγορέω , οἷος φέρω εἶπον αὐτός οὗτος ὁ ϛυʹ ὁ τέλειος εἰμί αὐτός καί ὁ πρῶτος ἀρτιοπέρισσος καί πάλιν πρῶτος ἑτερομήκης καί πρός ὁ Πυθαγορικός ἔτι γάμος καλέω , ὅτι κατά αὐτός πρῶτος σύνοδος ἄρσην καί θῆλυς ἐκ κατάκρασις γίγνομαι · καί γάρ ἐκ ὁ αὐτός ὑγίεια ὁ αὐτός καλέω καί ἔτι κάλλος διά ὁ ἐν αὐτός ὁ μέρος ὁλοκληρία καί συμμετρία . παρακούω δέ ὁ καί φίλιος ὁ αὐτός νομίζω αὐτός λέγω διά ὁ ὁ διαφέρω σύνοδος ἐν αὐτός καί φίλωσις · ἄλλος γάρ τις ἄντικρυς φίλος ἀριθμός καλέω ἐν ὁ προσοικειόω ὁ τε ἀρετή καί ὁ ἀστεῖος ἔχω ὁ ἀριθμός , οἷος ὁ σπδʹ καί ὁ σκῶ · γεννητικός γάρ ἀλλήλων ὁ ἑκάτερος αὐτός μέρος κατά ὁ ὁ φίλιος λόγος , ὡς Πυθαγόρας ἀποφαίνω ·
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 48
ἐρομένου γάρ τινος τί ἐστι φίλος εἶπεν · ἕτερος ἐγώ , — ὅπερ ἐπὶ τούτων τῶν ἀριθμῶν δείκνυται . ἀλλ’ ἐπεὶ κατ’ οἰκεῖον τόπον διελοῦμεν τὰ ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων εἰς τὴν τοιαύτην θεωρίαν πάνυ ἀνθηροτάτην καὶ γλαφυρὰν οὖσαν ἀναφερόμενα , χωρητέον ἐπὶ τὰ ἑξῆς . Ἀκόλουθον γὰρ τούτοις διαλαβεῖν περὶ τοῦ μηκέτι καθ’ αὑτὸ ἀλλ’ ἤδη πρός τι ποσοῦ , οὐκ ἐπειδὴ πᾶσα ἡ περὶ τοῦ καθ’ αὑτὸ τεχνολογία πέρας ἔχει ( πῶς γὰρ ὅπου μήτε περὶ ἐπιπέδων παμποικίλων ὄντων μήτε περὶ στερεῶν διειλάμεθα ; ) , ἀλλ’ ὅτι μάλιστα εἰς τὴν ἐκείνων παρακολούθησιν συνεργοῦσιν οὗτοι . καὶ γὰρ οὐδὲ τὸν περὶ τούτων συνεχῶς ἔχοντες ἀπαρτιοῦμεν λόγον , ἀλλὰ στοχαζόμενοι τῆς τοῦ εἰσαγομένου διὰ τὴν τάξιν εὐμαρείας τὸ πλέον αὐτοὺς μετ’ ἐκείνους ποιησόμεθα , ὑπερθέντες ἃ παρὰ μέρος τὴν περὶ ἀναλογιῶν ἐξήγησιν . ὅπερ οὖν πρὸ βραχέος συντείνειν ἐφαίνετο πρὸς τὸν περὶ ἀρετῶν λόγον ἐν τῷ τῶν τελείων καὶ ἐναντίων διορισμῷ , τοῦτ’ εὐθὺς ἐν ἀρχῇ τοῦ πρός τι ποσοῦ
Lemmas: ἔρομαι γάρ τις τίς εἰμί φίλος εἶπον · ἕτερος ἐγώ , — ὅσπερ ἐπί οὗτος ὁ ἀριθμός δείκνυμι . ἀλλά ἐπεί κατά οἰκέω τόπος διαιρέω ὁ ὑπό ὁ Πυθαγόρειος εἰς ὁ τοιοῦτος θεωρία πάνυ ἀνθηρός καί γλαφυρός εἰμί ἀναφέρω , χωρητέον ἐπί ὁ ἑξῆς . ἀκόλουθος γάρ οὗτος διαλαμβάνω περί ὁ μηκέτι κατά ἑαυτοῦ ἀλλά ἤδη πρός τίς ποσός , οὐ ἐπεί πᾶς ὁ περί ὁ κατά ἑαυτοῦ τεχνολογία πέρας ἔχω ( πῶς γάρ ὅπου μήτε περί ἐπίπεδος παμποίκιλος εἰμί μήτε περί στερεός διαιρέω ; ) , ἀλλά ὅτι μάλιστα εἰς ὁ ἐκεῖνος παρακολούθησις συνεργέω οὗτος . καί γάρ οὐδέ ὁ περί οὗτος συνεχῶς ἔχω ἀπαρτίζω λόγος , ἀλλά στοχάζομαι ὁ ὁ εἰσάγω διά ὁ τάξις εὐμάρεια ὁ πλέω αὐτός μετά ἐκεῖνος ποιέω , ὑπερτίθημι ὁ παρά μέρος ὁ περί ἀναλογία ἐξήγησις . ὅσπερ οὖν πρό βραχύς συντείνω φαίνω πρός ὁ περί ἀρετή λόγος ἐν ὁ ὁ τέλειος καί ἐναντίος διορισμός , οὗτος εὐθύς ἐν ἀρχή ὁ πρός τίς ποσός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 49
πάλιν ἡμῖν συνεμφαίνεται . τῶν γὰρ πρὸς ἄλλο πως θεωρουμένων ἀριθμῶν αἱ γενικώταται δύο σχέσεις εἰσὶν ἰσότης τε καὶ ἀνισότης , καὶ ἡ μὲν ἰσότης ὥσπερ μετριότης τις καὶ μεσότης ἄσχετός ἐστιν οὔτ’ ἄνεσιν οὔτ’ ἐπίτασιν ἐπιδεχομένη , ἡ δὲ ἀνισότης κατὰ πρώτην τομὴν εἰς δύο σχίζεται εἴς τε τὸ μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον , ὥσπερ κἀπὶ τῶν ἀρετῶν τὸ ἀντίθετον εἰς ὑπερβολὴν καὶ ἔλλειψιν ἀντιδιεστέλλοντο ἡ κακία . ἀντίκειται δὲ τὸ μεῖζον τῷ ἔλαττον καὶ συναμφότερα ἅμα τῷ ἴσῳ , οὔτε δὲ ἴσον ἄν τι εἴη ἄνευ τοῦ τινί , οὔτε μεῖζον ἢ ἔλαττον ἄνευ τινός , διόπερ εἰκότως πρός τι . ἀλλὰ τῷ μὲν ἴσον ἀνθυπακούει τὸ αὐτὸ ὄνομα ὡς ἂν μεσότητι , ὅπερ καὶ ἐπ’ ἄλλων τινῶν τοῦ πρός τι ὑποδειγμάτων δείκνυται ἐπί τε τοῦ ἀδελφὸς καὶ συστρατιώτης καὶ γείτων καὶ ἧλιξ καὶ ἄλλων ὁμοίων · τῷ δὲ ἀνίσῳ κατὰ μὲν τὸ γενικὸν παραπλήσιόν τι συμβέβηκε κατὰ δὲ τὰ εἴδη οὐκέτι , ἀλλ’ ἑτερώνυμος ἡ ἀνταπόκρισις γίνεται , καθάπερ ἐπ’ ἄλλων , οἷον πατὴρ καὶ διδάσκαλος καὶ ἐρώμενος καὶ τῶν ὁμοίων . ἴσον μὲν
Lemmas: πάλιν ἐγώ συνεμφαίνω . ὁ γάρ πρός ἄλλος πως θεωρέω ἀριθμός ὁ γενικός δύο σχέσις εἰμί Ἰσότης τε καί ἀνισότης , καί ὁ μέν Ἰσότης ὥσπερ μετριότης τις καί μεσότης άσχετος εἰμί οὔτε ἄνεσις οὔτε ἐπίτασις ἐπιδέχομαι , ὁ δέ ἀνισότης κατά πρῶτος τομή εἰς δύο σχίζω εἰς τε ὁ μείζων καί ὁ μικρός , ὥσπερ ἐπί ὁ ἀρετή ὁ ἀντίθετος εἰς ὑπερβολή καί ἔλλειψις ἀντιδιαστέλλω ὁ κακία . ἀντίκειμαι δέ ὁ μείζων ὁ μικρός καί συναμφότεροι ἅμα ὁ ἴσος , οὔτε δέ ἴσος ἄν τίς εἰμί ἄνευ ὁ τις , οὔτε μείζων ἢ μικρός ἄνευ τις , διόπερ εἰκότως πρός τίς . ἀλλά ὁ μέν ἴσος ἀνθυπακούω ὁ αὐτός ὄνομα ὡς εἄν μεσότης , ὅσπερ καί ἐπί ἄλλος τις ὁ πρός τίς ὑπόδειγμα δείκνυμι ἐπί τε ὁ ἀδελφός καί συστρατιώτης καί γείτων καί ἧλιξ καί ἄλλος ὅμοιος · ὁ δέ ἄνισος κατά μέν ὁ γενικός παραπλήσιος τίς συμβαίνω κατά δέ ὁ εἶδος οὐκέτι , ἀλλά ἑτερώνυμος ὁ ἀνταπόκρισις γίγνομαι , καθάπερ ἐπί ἄλλος , οἷος πατήρ καί διδάσκαλος καί ἐράω καί ὁ ὅμοιος . ἴσος μέν
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 50
οὖν ἐστι ποσὸν ὃ ἀντεξεταζόμενον τῷ συζύγῳ οὔτε πλέον οὔτε ἔλαττόν τι ἔχει , ἄνισον δὲ ὃ καὶ αὐτὸ ἀντεξεταζόμενον τῷ συζύγῳ ἢ μεῖζόν ἐστι ἢ ἔλαττον · ἐν γὰρ τῇ συζυγίᾳ τὸ μέτρον πλέον τι μετὰ τὴν μίαν μέτρησιν ἐν τῷ μετρουμένῳ καταλείψει . καὶ μεῖζον μέν ἐστιν ὃ πέφυκε μετρούμενον ὑπὸ θατέρου μετὰ μίαν προσβολὴν ἀκαταμέτρητον αὑτοῦ τι ἀπολιπεῖν ὁποσονοῦν , ἔλαττον δὲ μετρητικὸν ὂν τοῦ συζύγου , μιᾷ προσβολῇ περισχεῖν ὅλον οὐ δύναται . καθ’ ὑποδιαίρεσιν δὲ τὰ δύο ταῦτα τοῦ ἀνίσου εἴδη ἀνὰ πέντε σχέσεις ἀποτελεῖ , συναμφότερα δὲ ὁμοῦ δέκα · τοῦ τε γὰρ μείζονος τὸ μέν ἐστι πολλαπλάσιον τὸ δὲ ἐπιμόριον τὸ δὲ ἐπιμερές , δύο δὲ τὰ λοιπά , μιγέντος τοῦ πολλαπλασίου πρὸς ἑκάτερον τῶν λοιπῶν , πολλαπλασιεπιμόριον καὶ πολλαπλασιεπιμερές · τοῦ δὲ ἐλάττονος κατὰ ἀντιπεπόνθησιν μετὰ τῆς ὑπό προθέσεως τὸ μέν ἐστιν ὑποπολλαπλάσιον τὸ δὲ ὑποεπιμόριον τὸ δὲ ὑποεπιμερές , δύο δὲ τὰ λοιπά , καθὰ καὶ ἐπὶ τοῦ προτέρου εἴδους μικτὰ ἔκ τε τοῦ πολλαπλασίου καὶ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν , ὑποπολλαπλασιεπιμόριόν τε καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερές . ἐφοδιάζει δὲ ἡμᾶς ἡ πρόθεσις ἐν τοῖς ὀνόμασι προλόγους μὲν ὡς
Lemmas: οὖν εἰμί ποσός ὅς ἀντεξετάζω ὁ σύζυγος οὔτε πλέω οὔτε ἐλάσσων τίς ἔχω , ἄνισος δέ ὅς καί αὐτός ἀντεξετάζω ὁ σύζυγος ἢ μέγας εἰμί ἢ μικρός · ἐν γάρ ὁ συζυγία ὁ μέτρον πλέω τίς μετά ὁ εἷς μέτρησις ἐν ὁ μετρέω καταλείπω . καί μείζων μέν εἰμί ὅς φύω μετρέω ὑπό θατέρου μετά εἷς προσβολή ἀκαταμέτρητος αὐτός τίς ἀπολείπω ὁπόσος , μικρός δέ μετρητικός εἰμί ὁ σύζυγος , εἷς προσβολή περιέχω ὅλος οὖον δύναμαι . κατά ὑποδιαίρεσις δέ ὁ δύο οὗτος ὁ ἄνισος εἶδος ἀνά πέντε σχέσις ἀποτελέω , συναμφότεροι δέ ὁμοῦ δέκα · ὁ τε γάρ μείζων ὁ μέν εἰμί πολλαπλάσιον ὁ δέ ἐπιμόριος ὁ δέ ἐπιμερής , δύο δέ ὁ λοιπός , μείγνυμι ὁ πολλαπλάσιος πρός ἑκάτερος ὁ λοιπός , πολλαπλασιεπιμόριος καί πολλαπλασιεπιμερής · ὁ δέ μικρός κατά ἀντιπεπόνθησις μετά ὁ ὑπό πρόθεσις ὁ μέν εἰμί ὑποπολλαπλάσιος ὁ δέ ὑποεπιμόριος ὁ δέ ὑποεπιμερής , δύο δέ ὁ λοιπός , καθά καί ἐπί ὁ πρότερος εἶδος μικτός ἐκ τε ὁ πολλαπλάσιος καί ἑκάτερος ὁ λοιπός , ὑποπολλαπλασιεπιμόριόν τε καί ὑποπολλαπλασιεπιμερής . εφοδιάζω δέ ἐγώ ὁ πρόθεσις ἐν ὁ ὄνομα πρόλογος μέν ὡς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 51
ἂν φύσει καὶ τιμιότητι πρώτους , καθάπερ δειχθήσεται , τοὺς προτέρους εἰδέναι , ὑπολόγους δὲ καὶ τὰ ἐναντία ἔχοντας τοὺς δευτέρους τοὺς δυομένους . εἰ δέ τις λέγοι τὴν ἰσότητα σχέσιν μὴ εἶναι διὰ τὸ τοὺς κατ’ αὐτὴν ὅρους ἀδιαστάτους καὶ ἀδιαφόρους ὑπάρχειν , ὑπομνηστέον ὅτι σχέσις ἕτερόν τι διαστήματός ἐστιν · ἰδοὺ γὰρ ἐν τῷ τυχόντι ἀνισότητος ὑποδείγματι δυεῖν ὅρων διάστημα μὲν ταὐτὸ κἂν ἀναστρέφωνται , ἀναστρεφομένων δ’ ὅμως λόγος πάντως ἕτερος , τουτέστι σχέσις , ὥστ’ οὐδὲν κωλύει τοὺς ἐν ἰσότητι ὅρους διαφορὰν μὲν μὴ ἔχειν ἀδιαστάτους ὄντας , σχέσιν δὲ πάντως , ἢ οὐκ ἔσται τῶν πρός τι τὸ ἴσον , ὅπερ ἀμήχανον . Πολλαπλάσιον μὲν οὖν ἐστι τοῦ μείζονος τὸ πρῶτον εἶδος , ὅταν δυεῖν ὅρων ὁ ἕτερος τὸν ἕτερον πλεονάκις ἢ ἅπαξ καταμετρῇ πληρούντως . ἄρξεται δὲ ἀπὸ τοῦ δίς , ἵνα παρὰ τοῦτο ὀνομάζωνται ὁ μὲν μετρούμενος διπλάσιος ὁ δὲ μετρῶν ὑποδιπλάσιός τε καὶ ἥμισυς συνωνύμως , ὥσπερ ἀμέλει καὶ αὐτὸ τὸ ὑπόλοιπον γένος ὑποπολλαπλάσιόν τε λέγεται συνωνύμως
Lemmas: εἄν φύσις καί τιμιότης πρῶτος , καθάπερ δείκνυμι , ὁ πρότερος οἶδα , ὑπόλογος δέ καί ὁ ἐναντίος ἔχω ὁ δεύτερος ὁ δυομενος . εἰμί δέ τις λέγω ὁ ἰσότης σχέσις μή εἰμί διά ὁ ὁ κατά αὐτός ὅρος αδιάστατος καί ἀδιάφορος ὑπάρχω , ὑπομνηστέον ὅτι σχέσις ἕτερος τίς διάστημα εἰμί · ἰδού γάρ ἐν ὁ τυγχάνω ἀνισότης ὑπόδειγμα δύο ὁράω διάστημα μέν αὐτός κἀν ἀναστρέφω , ἀναστρέφω δέ ὅμως λόγος πάντως ἕτερος , τουτέστι σχέσις , ὥστε οὐδείς κωλύω ὁ ἐν ἰσότης ὅρος διαφορά μέν μή ἔχω αδιάστατος εἰμί , σχέσις δέ πάντως , ἢ οὐ εἰμί ὁ πρός τίς ὁ ἴσος , ὅσπερ ἀμήχανος . πολλαπλάσιον μέν οὖν εἰμί ὁ μείζων ὁ πρῶτος εἶδος , ὅταν δύο ὁράω ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος πλεονάκις ἢ ἅπαξ καταμετρέω πληρόω . ἄρχω δέ ἀπό ὁ δίς , ἵνα παρά οὗτος ὀνομάζω ὁ μέν μετρέω διπλάσιος ὁ δέ μετρέω ὑποδιπλάσιος τε καί ἥμισυς συνώνυμος , ὥσπερ ἀμελέω καί αὐτός ὁ ὑπόλοιπος γένος ὑποπολλαπλάσιος τε λέγω συνώνυμος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 52
ἐκαὶ ψιλῶς μέρος · ὰν δὲ τρίς , ὁ μὲν μείζων τριπλάσιος ὁ δὲ ἐλάττων ὑποτριπλάσιός τε καὶ τρίτον καὶ τἆλλα κατὰ τὸ ἑξῆς εἴδη . ὑπόδειγμα δὲ πάντων εὐτάκτων πολυπλασίων σαφὲς ἕξομεν ἐὰν ἐκθέμενοι τὸν ἀπὸ μονάδος συνεχῆ ἀριθμὸν ἤτοι πρὸς αὐτὴν τὴν μονάδα συγκρίνωμεν τοὺς μετ’ αὐτὴν καθ’ ἕκαστον ἑξῆς , ἢ πρὸς τὴν μετ’ αὐτὴν δυάδα τοὺς μετ’ ἐκείνην παρ’ ἕνα καθ’ ἕκαστον ὁμοίως ἑξῆς , πρὸς τριάδα τοὺς παρὰ δύο , ἢ πρὸς τετράδα τοὺς παρὰ τρεῖς καὶ ἐπ’ ἄπειρον , συμπροκοπτόντων τῇ τοῦ ἀριθμοῦ ἐφοσονοῦν ἐκθέσει . ἐὰν δὲ κατὰ παραλλήλους στίχους καταγράψωμεν ἅπαντα τὰ τοῦ πολυπλασίου εἴδη ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενα , προσεκθέμενοι τὸν ἐφεξῆς ἀριθμὸν καὶ πρὸς αὐτὸν γεννήσαντες ἐπὶ βάθος τὴν πολλαπλασιότητα , ἐνοψόμεθα πολλά τε ἄλλα τερπνὰ ἐπακολουθήματα καὶ γλαφυρίαν ποικίλην καὶ εὔτακτον δὲ γένεσιν ἀντιπαρωνυμίας ἐπιμορίων παντοίων πρὸς πολλαπλασίους παντοίους καθ’ ὁμογένειαν καὶ ἔτι ἐπιμερῶν καὶ εἴ τις ἐπισκέπτοιτο καὶ μικτῶν , καὶ ὅλοι ὅλων στίχοι μιᾷ
Lemmas: καίμι ψιλός μέρος · ἄν δέ τρίς , ὁ μέν μείζων τριπλάσιος ὁ δέ μικρός υποτριπλάσιος τε καί τρίτος καί ἄλλος κατά ὁ ἑξῆς εἶδος . ὑπόδειγμα δέ πᾶς εὔτακτος πολυπλασίων σαφής ἔχω ἐάν ἐκτίθημι ὁ ἀπό μόνος συνεχής ἀριθμός ἤτοι πρός αὐτός ὁ μόνος συγκρίνω ὁ μετά αὐτός κατά ἕκαστος ἑξῆς , ἢ πρός ὁ μετά αὐτός δυάς ὁ μετά ἐκεῖνος παρά εἷς κατά ἕκαστος ὁμοίως ἑξῆς , πρός τριάς ὁ παρά δύο , ἢ πρός τετράς ὁ παρά τρεῖς καί ἐπί ἤπειρος , συμπροκόπτω ὁ ὁ ἀριθμός ἐφίημι ἔκθεσις . ἐάν δέ κατά παράλληλος στίχος καταγράφω ἅπας ὁ ὁ πολυπλάσιος εἶδος ἀπό μόνος ἄρχω , προσεκτίθημι ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός καί πρός αὐτός γεννάω ἐπί βάθος ὁ πολλαπλασιότης , ἐνοράω πολύς τε ἄλλος τερπνός επακολούθημα καί γλαφυρία ποικίλος καί εὔτακτος δέ γένεσις ἀντιπαρωνυμία ἐπιμόριος παντοῖος πρός πολλαπλάσιος παντοῖος κατά ὁμογένεια καί ἔτι ἐπιμερής καί εἰμί τις ἐπισκέπτομαι καί μικτός , καί ὅλος ὅλος στίχος εἷς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 53
καὶ ἀπαραλλάκτῳ σχέσει εὐτάκτως προκοπτούσῃ ὁμολόγως φανήσονται ἐν τε πλάτει καὶ βάθει . ἔτι μὴν καὶ ἐπιμορίων πυθμένες μὲν ἑνὶ στίχῳ ἐπὶ βάθος εὑρεθήσονται , δεύτεροι δὲ ἀπὸ πυθμένος ἐν τῷ ἑξῆς , τρίτοι δὲ καὶ τέταρτοι κατὰ τὴν πρὸς τούτους ἀντακολουθίαν διαφορὰς ἔχοντες τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀριθμούς . ἐὰν δὲ καὶ τὰς μὲν ἐπὶ πλάτος μονάδας ἀφέλωμεν , ὡς ἂν μηδὲν ποικίλον ἐχούσας , τὸν δὲ συνεχῆ ἀριθμὸν ἀντ’ αὐτῶν προτάξωμεν ὑπὸ τῆς αὐτῆς μονάδος , γλαφυρίαν τινὰ ἐνοψόμεθα καὶ σπερματικῶς ὑποφαινόμενον τὸν λόγον τῆς τῶν μαντικῶν πλινθιδίων ἐφόδου , ὃς ἐν τοῖς ἐπανθήμασι τῆς ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς παραδίδοται . καὶ εἰ μέχρι δεκάδος εἴη ἡ ἔκθεσις τῶν πολλαπλασίων , ἐπί τε μῆκος καὶ πλάτος γενήσονται μονάδες ἐγγώνιοι αἱ μὲν ἄκραι ἅπαξ ἡ δὲ μέση δίς , ὅπως καὶ ἐνταῦθα ἀποσῴζηται τὸ τῆς ἀναλογίας ἴδιον · ἴσον γὰρ ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου , καὶ σημείου μὲν λόγον
Lemmas: καί ἀπαράλλακτος σχέσις εὔτακτος προκόπτω ὁμόλογος φαίνω ἐν τε πλάτος καί βάθος . ἔτι μήv καί ἐπιμόριος πυθμήν μέν εἷς στίχος ἐπί βάθος εὑρίσκω , δύο δέ ἀπό πυθμήν ἐν ὁ ἑξῆς , τρίτος δέ καί τέταρτος κατά ὁ πρός οὗτος ἀντακολουθία διαφορά ἔχω ὁ ἀπό μόνος ἑξῆς ἀριθμός . ἐάν δέ καί ὁ μέν ἐπί πλάτος μόνος ἀφαιρέω , ὡς εἄν μηδείς ποικίλος ἔχω , ὁ δέ συνεχής ἀριθμός ἀντί αὐτός προτάσσω ὑπό ὁ αὐτός μόνος , γλαφυρία τις ἐνοράω καί σπερματικός ὑποφαίνω ὁ λόγος ὁ ὁ μαντικός πλινθίδιον ἔφοδος , ὅς ἐν ὁ ἐπάνθημα ὁ ἀριθμητικός εἰσαγωγή παραδίδωμι . καί εἰμί μέχρι δεκάς εἰμί ὁ ἔκθεσις ὁ πολλαπλάσιος , ἐπί τε μῆκος καί πλάτος γίγνομαι μόνος ἐγγώνιος ὁ μέν ἄκρος ἅπαξ ὁ δέ μέσος δίς , ὅπως καί ἐνταῦθα ἀποσῴζω ὁ ὁ ἀναλογία ἴδιος · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ὁ ἀπό ὁ μέσος , καί σημεῖον μέν λόγος