ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 54
ἕξει ἡ ἑτέρα τῶν ἄκρων μονὰς ἡ δὲ ἑτέρα τετραγώνου ἡ δὲ μέση πλευρᾶς . καὶ ὁστισοῦν τῶν ἐν τῷ διαγράμματι ληφθείη , ἥμισυς ἔσται δύο τῶν ἑκατέρωθεν αὐτοῦ ἐπί τε μῆκος καὶ πλάτος . διαγωνίως δὲ εἰ λαμβάνοιντο , πῇ μὲν ἔσται μονάδι ἐλάττων ἥμισυς ὁ μέσος , πῇ δὲ μονάδι μείζων . ἀλλὰ καὶ ἀπὸ τῆς ἐν ἀρχῇ γωνίας , τουτέστι τῆς μονάδος , εἰς τὴν ἐν τέλει ἡ διαγώνιος ἔσται μόνων τετραγώνων , ἑκάστου παρασπιζομένου ὑπὸ δύο ἑτερομηκῶν κατά τε μῆκος καὶ πλάτος , ὡς κἀνταῦθα σῴζεσθαι τὸ καθολικὸν ἐκεῖνο τὸ ἐκ δύο συνεχῶν ἑτερομηκῶν καὶ δὶς τοῦ μέσου αὐτῶν ἀνάλογον τετραγώνου γεννᾶσθαι πάντως τετράγωνον , καὶ ἀνάπαλιν ἐκ δύο τετραγώνων καὶ δὶς τοῦ μέσου αὐτῶν ἀνάλογον ἑτερομήκους ὁμοίως τετράγωνον , καὶ τῇδε μὲν περισσούς , τῇδε δὲ ἀρτίους . ἀλλὰ τὸ μὲν ἀρτίους φύεσθαι καὶ νῦν συμβαίνει διὰ τὸ τοὺς παρασπιζομένους τετραγώνους εἶναι μόνους παρ’ ἕνα , φύσει περισσοὺς ὄντας καὶ ἀρτίους , καὶ τοὺς δορυφοροῦντας
Lemmas: ἔχω ὁ ἕτερος ὁ ἄκρος μονή ὁ δέ ἕτερος τετράγωνος ὁ δέ μέσος πλευρά . καί ὅστις ὁ ἐν ὁ διάγραμμα λαμβάνω , ἥμισυς εἰμί δύο ὁ ἑκατέρωθεν αὐτός ἐπί τε μῆκος καί πλάτος . διαγώνιος δέ εἰμί λαμβάνω , πῇ μέν εἰμί μόνος μικρός ἥμισυς ὁ μέσος , πῇ δέ μόνος μείζων . ἀλλά καί ἀπό ὁ ἐν ἀρχή γωνία , τουτέστι ὁ μόνος , εἰς ὁ ἐν τέλος ὁ διαγώνιος εἰμί μόνος τετράγωνος , ἕκαστος παρασπίζω ὑπό δύο ἑτερομήκης κατά τε μῆκος καί πλάτος , ὡς ἐνταῦθα σῴζω ὁ καθολικός ἐκεῖνος ὁ ἐκ δύο συνεχής ἑτερομήκης καί δίς ὁ μέσος αὐτός ἀνάλογος τετράγωνος γεννάω πάντως τετράγωνος , καί ἀνάπαλιν ἐκ δύο τετράγωνος καί δίς ὁ μέσος αὐτός ἀνάλογος ἑτερομήκης ὁμοίως τετράγωνος , καί ὅδε μέν περισσός , ὅδε δέ ἄρτιος . ἀλλά ὁ μέν ἄρτιος φύω καί νῦν συμβαίνω διά ὁ ὁ παρασπίζω τετράγωνος εἰμί μόνος παρά εἷς , φύσις περισσός εἰμί καί ἄρτιος , καί ὁ δορυφορέω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 55
ἑτερομήκεις ἀεὶ ἀρτίους , εἴτε δὲ ἄρτιος εἴη ὁ μέσος εἴτε περισσός , δὶς λαμβανόμενος ἄρτιον ποιεῖ · τὸ δὲ περισσοὺς γίνεσθαι οὐκέτι , ἐπεὶ οὐ παρασπίζονται ἑτερομήκεις ὑπὸ τετραγώνων · ἅπαξ γὰρ λαμβανομένων τῶν ἄκρων , ἐν οἷς πάντως ἐστὶ περισσός , διέμεινεν ἡ περισσότης . καὶ ἐφ’ ἑκάστου δὲ τετραγώνου ἐφ’ ἑκάτερα γαμμοειδῶς πάλιν εὔτακτοι αἱ σχέσεις θεωροῦνται ἀπ’ ἀρχῆς , τουτέστιν ἀπὸ διπλασίου . εἰ δὲ καὶ τοὺς ἑτερομήκεις γαμμοειδῶς παρασπίζοιμεν τοῖς τετραγώνοις
Lemmas: ἑτερομήκης ἀεί ἄρτιος , εἴτε δέ ἄρτιος εἰμί ὁ μέσος εἴτε περισσός , δίς λαμβάνω ἄρτιος ποιέω · ὁ δέ περισσός γίγνομαι οὐκέτι , ἐπεί οὖον παρασπίζω ἑτερομήκης ὑπό τετράγωνος · ἅπαξ γάρ λαμβάνω ὁ ἄκρος , ἐν ὅς πάντως εἰμί περισσός , διαμένω ὁ περισσότης . καί ἐπί ἕκαστος δέ τετράγωνος ἐπί ἑκάτερος γαμμοειδῶς πάλιν εὔτακτος ὁ σχέσις θεωρέω ἀπό ἀρχή , τουτέστιν ἀπό διπλάσιος . εἰμί δέ καί ὁ ἑτερομήκης γαμμοειδῶς παρασπίζω ὁ τετράγωνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 56
ἅπαξ τοὺς ἄκρους συντιθέντες καὶ δὶς τὸν μέσον , ποιήσομεν οὓς ἐλέγομεν ἐνταῦθα παραλείπεσθαι τετραγώνους περισσούς . διαφορὰν δὲ ἕξουσι πρὸς ἀλλήλους οἱ διαγώνιοι ἀριθμοὶ τῇδε μὲν ἀπὸ τριάδος περισσοὺς ἀπ’ ἀρχῆς εἰς τέλος , τῇδε δὲ ἀπὸ δυάδος ἀρτίους ἀπὸ μέσων ἐπὶ πέρατα , συζυγούντων κατ’ ἰσότητα τῶν ἑκατέρωθεν εὐτάκτων . Ἐπιμόριος δὲ γίνεται λόγος , ὅταν τῶν συγκρινομένων ὅρων ὁ μείζων ἔχῃ τὸν λοιπὸν καὶ ἔτι ἓν αὐτοῦ μόριον γενικῶς · εἰδικῶς δὲ ἐὰν μὲν ἥμισυ ᾖ τὸ μόριον ἡμιόλιος ἐὰν δὲ τρίτον ἐπίτριτος ἐὰν δὲ τέταρτον ἐπιτέταρτος καὶ ἑξῆς ἀκολούθως ἀεί , προλόγων μὲν γιγνομένων τῶν μειζόνων ὅρων πρὸς τοὺς ἐλάττονας , ἀνάπαλιν δ’ ὑπολόγων τῶν ἐλαττόνων πρὸς τοὺς μείζονας , τὴν ὀνομασίαν ἰσχόντων καὶ τούτων ἀεὶ μετὰ τῆς ὑπό προθέσεως . ὑπόδειγμα δ’ αὐτῶν ἡμιολίου μὲν ἐὰν ἐκτεθέντος τοῦ συνεχοῦς ἀριθμοῦ ἐκλέξωμεν τοὺς ἀπὸ δυάδος ἀρτίους καὶ συγκρίνωμεν τῷ μὲν πρώτῳ τὸν παρ’ οὐδὲν τῷ δὲ ἑξῆς τὸν παρ’ ἕνα τῷ δὲ τρίτῳ τὸν παρὰ δύο καὶ 〈 τῷ 〉 τετάρτῳ τὸν
Lemmas: ἅπαξ ὁ ἄκρος συντίθημι καί δίς ὁ μέσος , ποιέω ὅς λέγω ἐνταῦθα παραλείπω τετράγωνος περισσός . διαφορά δέ ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ διαγώνιος ἀριθμός ὅδε μέν ἀπό τριάς περισσός ἀπό ἀρχή εἰς τέλος , ὅδε δέ ἀπό δυάς ἄρτιος ἀπό μέσος ἐπί πέρας , συζυγέω κατά ἰσότης ὁ ἑκατέρωθεν εὔτακτος . ἐπιμόριος δέ γίγνομαι λόγος , ὅταν ὁ συγκρίνω ὁράω ὁ μείζων ἔχω ὁ λοιπός καί ἔτι εἷς αὐτός μόριον γενικός · εἰδικός δέ ἐάν μέν ἥμισυς εἰμί ὁ μόριον ἡμιόλιος ἐάν δέ τρίτος ἐπίτριτος ἐάν δέ τέταρτος ἐπιτέταρτος καί ἑξῆς ἀκόλουθος ἀεί , πρόλογος μέν γίγνομαι ὁ μείζων ὁράω πρός ὁ μικρός , ἀνάπαλιν δέ ὑπολογή ὁ μικρός πρός ὁ μείζων , ὁ ὀνομασία ἴσχω καί οὗτος ἀεί μετά ὁ ὑπό πρόθεσις . ὑπόδειγμα δέ αὐτός ἡμιόλιος μέν ἐάν ἐκτίθημι ὁ συνεχής ἀριθμός ἐκλέγω ὁ ἀπό δυάς ἄρτιος καί συγκρίνω ὁ μέν πρῶτος ὁ παρά οὐδείς ὁ δέ ἑξῆς ὁ παρά εἷς ὁ δέ τρίτος ὁ παρά δύο καί 〈 ὁ 〉 τέταρτος ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 57
παρὰ τρεῖς καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως · ἐπιτρίτου δὲ ὅταν τοὺς ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφέροντας ἐκλέξαντες συγκρίνωμεν αὐτοῖς τῷ μὲν πρώτῳ τὸν παρ’ οὐδὲν τῷ δὲ δευτέρῳ τὸν παρ’ ἕνα τῷ δὲ τρίτῳ τὸν παρὰ δύο τῷ δὲ τετάρτῳ τὸν παρὰ τρεῖς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως τοῖς προτέροις . ἐπιτετάρτου δ’ ἕξομεν ὑπόδειγμα , ἐὰν τοὺς ἀπὸ τετράδος τετράδι διαφέροντας ἐκλέξαντες πάλιν συγκρίνωμεν αὐτοῖς τῷ μὲν πρώτῳ τὸν παρ’ οὐδὲν τῷ δὲ δευτέρῳ τὸν παρ’ ἕνα καὶ τῷ τρίτῳ τὸν παρὰ δύο καὶ ἀεὶ ὁμοίως τοῖς προειρημένοις . καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ τοῦ ἐπιμορίου εἰδῶν τὸ ἀνάλογον ποιήσομεν , κατ’ αὐτὸ τὸ τοῦ μορίου ὄνομα λαμβάνοντες ἀριθμοὺς τοὺς πρώτους δυναμένους ἀφ’ ἑαυτῶν παρασχεῖν τὸ μόριον , καθ’ ὃ ἐπιμόριοι αὐτῶν ἔσονται οἱ συγκρινόμενοι , οἵπερ καὶ μονάδι αὐτῶν διοίσουσι καὶ πυθμένες τῶν λόγων γενήσονται . ἡ δὲ τοῦ μορίου κλῆσις κατὰ τὸν ἐλάττονα λόγον ἀεὶ θεωρουμένη , μονάδι μεγαλωνυμωτέρα ἔσται κατὰ τὸν μείζονα . οὐκ ἔσται δὲ κατὰ τοὺς μείζονας ὅρους ἡ τοῦ μορίου ἐξέτασις , διότι οὐθεὶς
Lemmas: παρά τρεῖς καί ἐφεξῆς ἀκόλουθος · ἐπίτριτος δέ ὅταν ὁ ἀπό τριάς τριάς διαφέρω ἐκλέγω συγκρίνω αὐτός ὁ μέν πρῶτος ὁ παρά οὐδείς ὁ δέ δύο ὁ παρά εἷς ὁ δέ τρίτος ὁ παρά δύο ὁ δέ τέταρτος ὁ παρά τρεῖς καί ἑξῆς ἀκόλουθος ὁ πρότερος . ἐπιτέταρτος δέ ἔχω ὑπόδειγμα , ἐάν ὁ ἀπό τετράς τετράς διαφέρω ἐκλέγω πάλιν συγκρίνω αὐτός ὁ μέν πρῶτος ὁ παρά οὐδείς ὁ δέ δύο ὁ παρά εἷς καί ὁ τρίτος ὁ παρά δύο καί ἀεί ὁμοίως ὁ προερέω . καί ἐπί ὁ λοιπός δέ ὁ ἐπιμόριος εἶδος ὁ ἀνάλογος ποιέω , κατά αὐτός ὁ ὁ μόριον ὄνομα λαμβάνω ἀριθμός ὁ πρῶτος δύναμαι ἀπό ἑαυτοῦ παρέχω ὁ μόριον , κατά ὅς ἐπιμόριος αὐτός εἰμί ὁ συγκρίνω , ὅσπερ καί μόνος αὐτός διαφέρω καί πυθμήν ὁ λόγος γίγνομαι . ὁ δέ ὁ μόριον κλῆσις κατά ὁ μικρός λόγος ἀεί θεωρέω , μόνος μεγαλώνυμος εἰμί κατά ὁ μείζων . οὐ εἰμί δέ κατά ὁ μείζων ὅρος ὁ ὁ μόριον ἐξέτασις , διότι οὐδείς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 58
τῶν πυθμενικῶν φανήσεται ἔχων ἐκεῖνο τὸ μόριον , καθ’ ὃ ἐπιμόριος ἕκαστος αὐτῶν ἐστι τοῦ συγκρινομένου ἐλάττονος , κατὰ δὲ τοὺς πυθμένας αὔξονται οἱ λόγοι . Ἐπιμερὴς δέ ἐστι σχέσις , ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸς δηλονότι . ἀλλ’ ἐὰν δύο ταῦτα , ἐπιδιμερὴς λέγεται καὶ ὁ ἐλάττων ὑποδιμερής , ἐὰν δὲ τρία ἐπιτριμερὴς καὶ ὑποτριμερής , ἐὰν δὲ τέσσαρα ἐπιτετραμερὴς καὶ ὑποτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ὑπόδειγμα δ’ ἕξομεν ἐπιδιμερῶν μὲν ἐὰν ἐκθέμενοι τοὺς ἀπὸ τριάδος περισσοὺς συγκρίνωμεν ἑκάστῳ τὸν παρ’ ἕνα αὐτῶν , ἐπιτριμερῶν δὲ ἐὰν τοὺς ἀπὸ τετράδος ἐκθέμενοι συνεχεῖς ἀριθμοὺς συγκρίνωμεν αὐτοῖς τοὺς παρὰ δύο . ἐπεὶ δὲ οὐκ εἰλικρινεῖς ἀλλὰ πεφυρμέναι ἑτέραις σχέσεσιν αἱ τοιαῦται πλάσεις , χρησόμεθα ταῖς κατὰ πολλαπλασίων λόγον προκοπαῖς , ὥσπερ ἐπὶ τῶν μορίων πυθμένας λαμβάνοντες τοὺς παρέξοντας ἀφ’ ἑαυτῶν τὰ μέρη , καθὰ ὁ ἐπιμερὴς κέκληται , οἷον ἐπιδιμερῶν τὸν πέντε πρὸς τρία , εἶτα διπλασίους καὶ τριπλασίους τούτων καὶ ἐπ’ ἄπειρον , ἐπιτριμερῶν
Lemmas: ὁ πυθμενικός φαίνω ἔχω ἐκεῖνος ὁ μόριον , κατά ὅς ἐπιμόριος ἕκαστος αὐτός εἰμί ὁ συγκρίνω μικρός , κατά δέ ὁ πυθμήν αὐξάνω ὁ λόγος . ἐπιμερής δέ εἰμί σχέσις , ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἔχω ὁ μικρός καί ἔτι μέρος τις αὐτός πλείων εἷς δηλονότι . ἀλλά ἐάν δύο οὗτος , ἐπιδιμερής λέγω καί ὁ μικρός ὑποδιμερής , ἐάν δέ τρεῖς ἐπιτριμερής καί ὑποτριμερής , ἐάν δέ τέσσαρες ἐπιτετραμερής καί ὑποτετραμερής καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ὑπόδειγμα δέ ἔχω ἐπιδιμερής μέν ἐάν ἐκτίθημι ὁ ἀπό τριάς περισσός συγκρίνω ἕκαστος ὁ παρά εἷς αὐτός , ἐπιτριμερής δέ ἐάν ὁ ἀπό τετράς ἐκτίθημι συνεχής ἀριθμός συγκρίνω αὐτός ὁ παρά δύο . ἐπεί δέ οὐ εἰλικρινής ἀλλά φύρω ἕτερος σχέσις ὁ τοιοῦτος πλάσσω , χράω ὁ κατά πολλαπλάσιος λόγος προκοπή , ὥσπερ ἐπί ὁ μόριον πυθμήν λαμβάνω ὁ παρέχω ἀπό ἑαυτοῦ ὁ μέρος , καθά ὁ ἐπιμερής καλέω , οἷος ἐπιδιμερής ὁ πέντε πρός τρεῖς , εἶτα διπλάσιος καί τριπλάσιος οὗτος καί ἐπί ἤπειρος , ἐπιτριμερής
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 59
δὲ ἑπτὰ πρὸς τέσσαρα , εἶτα διπλασίους καὶ τριπλασίους αὐτῶν καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , ἐπιτετραμερῶν δὲ ἐννέα πρὸς πέντε , καὶ ἀνάλογον μέχρι παντός , ἵν’ ἡ μὲν τῶν ἐλαττόνων ὅρων προκοπὴ ἐν τοῖς πυθμέσι κατὰ τοὺς ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς ἀριθμοὺς γίνηται , ἡ δὲ τῶν μειζόνων κατὰ τοὺς ἀπὸ πεντάδος περισσούς . καθόλου δὲ πυθμένας ἕξομεν παντὸς λόγου , ἐν μὲν πολλαπλασίοις , ἐφ’ ὧν ἡ μονὰς ἐλάττων ὅρος ἐστὶ τῶν συγκρινομένων , ἐξαίρετον δ’ ἐπὶ διπλασίου τὸ τὴν αὐτὴν καὶ διαφορὰν εἶναι · ἐν δὲ ἐπιμορίοις κατὰ μὲν τὸ ἡμιόλιον ἡ δυὰς ἔσται ὁ ἐλάττων ὅρος , διαφορὰν δὲ ἕξουσιν οἱ ὅροι πάλιν μονάδα . κατὰ δὲ τὸ ἐπίτριτον καὶ ἐπιτέταρτον καὶ τοὺς ἑξῆς ἐπιμορίουςλόγους ἔσται ὁ ἐλάττων ὅρος ὁ τὴν ὀνομασίαν παρέχων ἀφ’ ἑαυτοῦ τῷ μορίῳ , καθ’ ὃ ἐπιμόριος
Lemmas: δέ ἑπτά πρός τέσσαρες , εἶτα διπλάσιος καί τριπλάσιος αὐτός καί ἑξῆς ἀκόλουθος , ἐπιτετραμερής δέ ἐννέα πρός πέντε , καί ἀνάλογος μέχρι πᾶς , ἵνα ὁ μέν ὁ μικρός ὁράω προκοπή ἐν ὁ πυθμήν κατά ὁ ἀπό τριάς ἐφεξῆς ἀριθμός γίγνομαι , ὁ δέ ὁ μείζων κατά ὁ ἀπό πεντάς περισσός . καθόλου δέ πυθμήν ἔχω πᾶς λόγος , ἐν μέν πολλαπλάσιος , ἐπί ὅς ὁ μονή μικρός ὅρος εἰμί ὁ συγκρίνω , ἐξαίρω δέ ἐπί διπλάσιος ὁ ὁ αὐτός καί διαφορά εἰμί · ἐν δέ ἐπιμόριος κατά μέν ὁ ἡμιόλιος ὁ δυάς εἰμί ὁ μικρός ὅρος , διαφορά δέ ἔχω ὁ ὅρος πάλιν μόνος . κατά δέ ὁ ἐπίτριτος καί ἐπιτέταρτος καί ὁ ἑξῆς ἐπιμόριος εἰμί ὁ μικρός ὅρος ὁ ὁ ὀνομασία παρέχω ἀπό ἑαυτοῦ ὁ μόριον , κατά ὅς ἐπιμόριος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 60
λόγος ἐστί , διαφορὰ δὲ ἔσται ἐν πᾶσιν ἡ αὐτὴ μονάς . ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιμορίῳ πυθμέσιν ἡ αὐτὴ μονὰς καίτοι τόπον οὐκ ἔχουσα ἢ τοῖς ὅροις ἐμφαντάζεσθαι , ὡς ἐπὶ τῶν τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν , ἢ διαφορὰ εἶναι αὐτῶν , ὡς ἐπὶ τῶν τοῦ ἐπιμορίου , διὰ τὸ πλείοσιν ἑνὸς μέρεσιν ὑπερέχειν τὸν μείζονα ὅρον τοῦ ἐλάττονος , τρόπον ἕτερον ἐνοφθῇ τοῖς ὅροις · τὰ γὰρ ἀπολειπόμενα ἐν τῷ μείζονι ἀκαταμέτρητα μόρια συγκρινόμενα τῷ ἐλάττονι διαφορὰν ἕξει πάντως μονάδα . Λοιπόν ἐστιν εἰπεῖν περὶ τῶν μικτῶν σχέσεων ἔκ τε πολλαπλασίου καὶ τῶν λοιπῶν δύο ἐπιμορίου 〈 καὶ ἐπιμεροῦς 〉 καὶ τῶν ὑπολόγων τούτων , ἵνα κατὰ τὴν τῆς δεκάδος τελειότητα καὶ αἱ τῆς ἀνισότητος σχέσεις φυσικῶς τὴν γένεσιν ἴσχωσι , πέντε μὲν τῶν προλόγων ὄντων , πέντε δὲ τῶν τούτοις συζύγων ὑπολόγων · προλόγων μὲν κατά τε τὸ πολλαπλάσιον καὶ ἐπιμόριον καὶ ἐπιμερὲς καὶ πολλαπλασιεπιμόριον καὶ πολλαπλασιεπιμερές , ὑπολόγων δὲ τῶν ἴσων μετὰ τῆς ὑπό προθέσεως ὀνομαζομένων . ἡ γὰρ τῆς ἰσότητος σχέσις ἅτε διαφορὰν οὐκ ἔχουσα ἢ ἀλλ’ ὡσανεὶ ταυτότης
Lemmas: λόγος εἰμί , διαφορά δέ εἰμί ἐν πᾶς ὁ αὐτός μόνος . ἀλλά καί ἐν ἐπιμόριος πυθμήν ὁ αὐτός μονή καίτοι τόπος οὐ ἔχω ἢ ὁ ὅρος ἐμφαντάζω , ὡς ἐπί ὁ ὁ πολλαπλάσιος εἶδος , ἢ διαφορά εἰμί αὐτός , ὡς ἐπί ὁ ὁ ἐπιμόριος , διά ὁ πλείων εἷς μέρος ὑπερέχω ὁ μείζων ὅρος ὁ μικρός , τρόπος ἕτερος ἐνοράω ὁ ὅρος · ὁ γάρ ἀπολείπω ἐν ὁ μείζων ακαταμέτρητος μόριον συγκρίνω ὁ μικρός διαφορά ἔχω πάντως μόνος . λοιπός εἰμί εἶπον περί ὁ μικτός σχέσις ἐκ τε πολλαπλάσιος καί ὁ λοιπός δύο ἐπιμόριος 〈 καί ἐπιμερής 〉 καί ὁ ὑπολογή οὗτος , ἵνα κατά ὁ ὁ δεκάς τελειότης καί ὁ ὁ ἀνισότης σχέσις φυσικός ὁ γένεσις ἴσχω , πέντε μέν ὁ πρόλογος εἰμί , πέντε δέ ὁ οὗτος σύζυγος ὑπολογή · πρόλογος μέν κατά τε ὁ πολλαπλάσιον καί ἐπιμόριος καί ἐπιμερής καί πολλαπλασιεπιμόριος καί πολλαπλασιεπιμερής , ὑπολογή δέ ὁ ἴσος μετά ὁ ὑπό πρόθεσις ὀνομάζω . ὁ γάρ ὁ ἰσότης σχέσις ἅτε διαφορά οὐ ἔχω ἢ ἀλλά ὡσανεί ταυτότης
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 61
οὖσα καὶ ἑνότης , εἴγε τὸ ἴσον ἓν πρὸς ἕν ἐστιν , ἑτέρας φύσεως ἔσται καὶ τῆς ἐναντίας γε τῇ ἀνισότητι , καὶ διὰ τοῦτο οὐ συγκαταριθμηθήσεται τοῖς εἴδεσι τῆς ἀνισότητος . καὶ μὴν καὶ ἀρχῆς λόγον ἕξει ἡ ἰσότης πρὸς τὴν ἀνισότητα , καθάπερ καὶ ἐν γραμμικοῖς ἡ ὀρθὴ γωνία πρὸς ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν , καὶ ἐν μουσικοῖς διαστήμασιν ἡ μέση πρὸς τοὺς ἐπιτεινομένους φθόγγους καὶ ἀνιεμένους . καὶ γὰρ ταῦτα ἀπό τινος ὡρισμένου καὶ πεπερασμένου λαβόντα κατὰ τὸν τῆς ἰσότητος λόγον , ἀπὸ τούτου τὴν παρατροπὴν ἐπί τε τὸ μεῖζον καὶ τὸ ἴσον ἴσχοντα κατὰ τὴν ἀνισότητα ἐπ’ ἄπειρον πρόεισιν . ἵν’ οὖν δεδειγμένον ᾖ τὸ τὰς τῆς ἀνισότητος σχέσεις ἐκ τῆς ἰσότητος φυσικῇ ἀνάγκῃ γίνεσθαι καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων , καὶ πρῶτόν γε τὴν πολλαπλασιότητα ἀπὸ διπλασίου ἀρξαμένην , ἀφ’ ἧς πάλιν τὴν ἐπιμοριότητα ἀπὸ ἡμιολίου τὴν ἀρχὴν ἴσχουσαν , καὶ ἀπὸ ταύτης τὴν ἐπιμερότητα κατὰ τὴν ἀνάλογον τάξιν καὶ ἑξῆς ἀπὸ τούτων τὰς μικτάς , ἐκθετέον τρεῖς ὅρους , καὶ πρῶτόν γε ἐν μονάσιν εἶτα 〈 ἐν 〉 δυάσι καὶ πάλιν ἐν τριάσι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , καὶ παρ’ ἑκάστην ἔκθεσιν ἄλλους τρεῖς ὅρους πλαστέον διὰ τριῶν
Lemmas: εἰμί καί ἑνότης , εἰ ὁ ἴσος εἷς πρός εἷς εἰμί , ἕτερος φύσις εἰμί καί ὁ ἐναντίος γε ὁ ἀνισότης , καί διά οὗτος οὖον συγκαταριθμέω ὁ εἶδος ὁ ἀνισότης . καί μήv καί ἀρχή λόγος ἔχω ὁ Ἰσότης πρός ὁ ἀνισότης , καθάπερ καί ἐν γραμμικός ὁ ὀρθός γωνία πρός ἀμβλύς καί ὀξύς , καί ἐν μουσικός διάστημα ὁ μέσος πρός ὁ ἐπιτείνω φθόγγος καί ἀνίημι . καί γάρ οὗτος ἀπό τις ὁρίζω καί περαίνω λαμβάνω κατά ὁ ὁ ἰσότης λόγος , ἀπό οὗτος ὁ παρατροπή ἐπί τε ὁ μείζων καί ὁ ἴσος ἴσχω κατά ὁ ἀνισότης ἐπί ἤπειρος πρόειμι . ἵνα οὖν δείκνυμι εἰμί ὁ ὁ ὁ ἀνισότης σχέσις ἐκ ὁ ἰσότης φυσικός ἀνάγκη γίγνομαι καί οὐ ἐγώ τίθημι , καί πρότερος γε ὁ πολλαπλασιότης ἀπό διπλάσιος ἄρχω , ἀπό ὅς πάλιν ὁ ἐπιμοριότης ἀπό ἡμιόλιος ὁ ἀρχή ἴσχω , καί ἀπό οὗτος ὁ ἐπιμερότης κατά ὁ ἀνάλογος τάξις καί ἑξῆς ἀπό οὗτος ὁ μικτός , ἐκθετέον τρεῖς ὅρος , καί πρότερος γε ἐν μόνος εἶτα 〈 ἐν 〉 δυάς καί πάλιν ἐν τριάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος , καί παρά ἕκαστος ἔκθεσις ἄλλος τρεῖς ὅρος πλαστέον διά τρεῖς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 62
προσταγμάτων ἀεὶ τῶν αὐτῶν , καὶ παρὰ τοὺς πλασθέντας ἑκατέρους τρεῖς καὶ ἐκ τούτων ἄλλους καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ἐφ’ ἑκάστης δὲ πλάσεως πειρατέον κατὰ φύσιν τε καὶ ἀναστρόφως τοὺς ὅρους ἐκτίθεσθαι , καὶ δευτέραν ἔκθεσιν τοῖς αὐτοῖς προστάγμασι χρωμένους πλάσσειν τοὺς ἀπ’ αὐτῶν . ἔσται δὲ τὰ προστάγματα τάδε · ποιήσας πρῶτον ὅρον πρώτῳ τῶν ἐκκειμένων ἴσον , δεύτερον δὲ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ , τὸν δὲ τρίτον πρώτῳ δυσὶ δευτέροις ἅμα καὶ τρίτῳ . ἐκ πάντων οὖν ἐν ἰσότητι ὅρων τριῶν προεκτεθέντων , εἶτ’ ἐν μονάσιν εἶτ’ ἐν δυάσιν ἢ καὶ τριάσι καὶ ἐφεξῆς , διὰ τῶν προειρημένων προσταγμάτων γενικῶς μὲν πολλαπλάσιοι γενήσονται , εἰδικῶς δὲ πολλαπλασίων οἱ διπλάσιοι , πρῶτοι μὲν ἐκ μονάδων , οἱ δὲ συνεχεῖς ἐκ δυάδων καὶ οἱ μετ’ αὐτοὺς ἐκ τριάδων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ἐκ δὲ τῶν πλασθέντων διπλασίων τριπλάσιοι , πρῶτοι πάλιν ἐκ πρώτων καὶ συνεχεῖς ἐκ συνεχῶν , ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοι ἀποσῴζοντες τὴν αὐτῶν εὐταξίαν , καὶ ἐκ τετραπλασίων πενταπλάσιοι καὶ ἀεὶ οἱ ἑπό - μενοι λόγοι ἐκ τῶν ἡγουμένων . εἰ δὲ πλάσσοντες
Lemmas: πρόσταγμα ἀεί ὁ αὐτός , καί παρά ὁ πλάσσω ἑκάτερος τρεῖς καί ἐκ οὗτος ἄλλος καί ἀεί ἑξῆς ἀκόλουθος . ἐπί ἕκαστος δέ πλάσις πειρατέον κατά φύσις τε καί ἀναστρόφως ὁ ὅρος ἐκτίθημι , καί δύο ἔκθεσις ὁ αὐτός πρόσταγμα χράω πλάσσω ὁ ἀπό αὐτός . εἰμί δέ ὁ πρόσταγμα ὅδε · ποιέω πρῶτος ὅρος πρῶτος ὁ ἔκκειμαι ἴσος , δύο δέ πρῶτος ἅμα καί δύο , ὁ δέ τρίτος πρῶτος δύο δύο ἅμα καί τρίτος . ἐκ πᾶς οὖν ἐν ἰσότης ὁράω τρεῖς προεκτίθεμαι , εἶτα ἐν μόνος εἶτα ἐν δυάς ἢ καί τριάς καί ἐφεξῆς , διά ὁ προερέω πρόσταγμα γενικός μέν πολλαπλάσιος γίγνομαι , εἰδικός δέ πολλαπλάσιος ὁ διπλάσιος , πρῶτος μέν ἐκ μόνος , ὁ δέ συνεχής ἐκ δυάς καί ὁ μετά αὐτός ἐκ τριάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ἐκ δέ ὁ πλάσσω διπλάσιος τριπλάσιος , πρῶτος πάλιν ἐκ πρῶτος καί συνεχής ἐκ συνεχής , ἐκ δέ τριπλασίων τετραπλάσιος ἀποσῴζω ὁ αὐτός εὐταξία , καί ἐκ τετραπλασίων πενταπλάσιος καί ἀεί ὁ ἑπὸ - μένω λόγος ἐκ ὁ ἡγέομαι . εἰμί δέ πλάσσω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 63
οὐ τῇ τοιᾷδε κατὰ φύσιν τῶν ὅρων ἐκθέσει χρησαίμεθα , ἀλλὰ ἀναστρέψαιμεν τοὺς πρώτους ἀπὸ τῶν ἰσοτήτων πλασθέντας ὅρους , ὥστε τὸν τρίτον ὅρον ἐν τῇ τοῦ πρώτου χώρᾳ τάξαι τὸν δὲ πρῶτον ἐν τῇ τοῦ τρίτου , τὸν δὲ μέσον ὁμοίως μέσον τηρήσαιμεν , ἔπειτα διὰ τῶν αὐτῶν προσταγμάτων ἑτέρους πλάσσοιμεν , φύσονται γενικῶς μὲν ἐπιμόριοι ἀπὸ πολλαπλασίων , εἰδικῶς δὲ ἡμιόλιοι μὲν ἀπὸ διπλασίων εὔτακτοι ἀπ’ εὐτάκτων , ἐπίτριτοι δὲ ἀπὸ τριπλασίων ἀποσῴζοντες τὴν αὐτὴν τάξιν , καὶ ὁμοίως ἐπιτέταρτοι ἀπὸ τετραπλασίων καὶ ἐπίπεμπτοι ἀπὸ πενταπλασίων καὶ ἑξῆς κατά τινα συγγένειαν φυσικὴν συμπαρεκτεινομένων τοῖς εἴδεσι τοῦ πολλαπλασίου τῶν παρωνυμούντων καθ’ ἕκαστον εἶδος ἐπιμορίων . ἐκ δὲ αὐτῶν τούτων πάλιν ἀναστραφέντων τῶν ὅρων τοὺς ἐπιμερεῖς λόγους πάντως γεννήσομεν πρώτους πάλιν ἐκ πρώτων καὶ δευτέρους ἐκ δευτέρων καὶ τρίτους ἐκ τρίτων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , καὶ τούτων διευτακτουμένων καταλλήλως τῇ ἐξ ἀρχῆς παρωνυμήσει . ὑποδείγματος δὲ ἕνεκα ἔστωσαν μονάδες τρεῖς κατ’ ἴσον λόγον προεκκείμεναι . εἰ δὴ ποιήσαιμεν κατὰ τὰ εἰρημένα προστάγματα
Lemmas: οὖον ὁ τοιόσδε κατά φύσις ὁ ὁράω ἔκθεσις χράω , ἀλλά ἀναστρέφω ὁ πρῶτος ἀπό ὁ ισότητα πλάσσω ὅρος , ὥστε ὁ τρίτος ὅρος ἐν ὁ ὁ πρῶτος χώρα τάσσω ὁ δέ πρῶτος ἐν ὁ ὁ τρίτος , ὁ δέ μέσος ὁμοίως μέσος τηρέω , ἔπειτα διά ὁ αὐτός πρόσταγμα ἕτερος πλάσσω , φύω γενικός μέν ἐπιμόριος ἀπό πολλαπλάσιος , εἰδικός δέ ἡμιόλιος μέν ἀπό διπλάσιος εὔτακτος ἀπό εὔτακτος , ἐπίτριτος δέ ἀπό τριπλασίων ἀποσῴζω ὁ αὐτός τάξις , καί ὁμοίως ἐπιτέταρτος ἀπό τετραπλασίων καί ἐπίπεμπτος ἀπό πενταπλασίων καί ἑξῆς κατά τις συγγένεια φυσικός συμπαρεκτείνω ὁ εἶδος ὁ πολλαπλάσιος ὁ παρωνυμέω κατά ἕκαστος εἶδος ἐπιμόριος . ἐκ δέ αὐτός οὗτος πάλιν ἀναστρέφω ὁ ὁράω ὁ ἐπιμερής λόγος πάντως γεννάω πρῶτος πάλιν ἐκ πρῶτος καί δεύτερος ἐκ δύο καί τρίτος ἐκ τρίτος καί ἑξῆς ἀκόλουθος , καί οὗτος διευτακτέω κατάλληλος ὁ ἐκ ἀρχή παρωνύμησις . ὑπόδειγμα δέ ἕνεκα εἰμί μόνος τρεῖς κατά ἴσος λόγος προέκκειμαι . εἰμί δή ποιέω κατά ὁ εἴρω πρόσταγμα
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 64
πρῶτον ὅρον πρώτῳ ἴσον ἔσται μονάς , εἰ δὲ δεύτερον πρώτῳ καὶ δευτέρῳ ἔσται δυάς , εἰ δὲ τρίτον πρώτῳ δυσὶ δευτέροις τρίτῳ ἔσται τετράς , καὶ γενήσονται οἱ πλασθέντες ἐν διπλασίῳ λόγῳ αʹ βʹ δʹ . ἐκ δὲ αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ προστάγματα ἕξομεν τοὺς ἐν τριπλασίῳ αʹ γʹ θʹ , καὶ ἀπὸ τούτων τοὺς ἐπὶ τούτοις ἐν τετραπλασίῳ αʹ δʹ ιϛʹ , καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως . εἰ δὲ δυάδας ἐν ἰσότητι προεκθοίμεθα , ἔσονται οἱ ἑξῆς ὅροι ἐν διπλασίῳ ὁμοίως ὄντες λόγῳ οἱ βʹ δʹ ηʹ , καὶ ἀπὸ τούτων πάλιν οἱ ἑξῆς τριπλάσιοι βʹ ϛʹ ιηʹ , ἀφ’ ὧν οἱ ἑξῆς τετραπλάσιοι βʹ ηʹ λβʹ , καὶ ἀθρόοι ἀκόλουθοι . εἰ δὲ ἀναστρέψαιμεν τοὺς πρώτους ἐν διπλασίῳ λόγῳ τοὺς αʹ βʹ δʹ διὰ τῶν αὐτῶν προσταγμάτων ποιήσομεν τοὺς πρώτους ἐν ἡμιολίῳ ἀναλογίᾳ ὄντας τοὺς δʹ ϛʹ θʹ , ἀπὸ δὲ τούτων πάλιν ἀναστραφέντων τοὺς ἐν ἐπιδιμερεῖ ὁμοίως
Lemmas: πρῶτος ὅρος πρῶτος ἴσος εἰμί μόνος , εἰμί δέ δύο πρῶτος καί δύο εἰμί δυάς , εἰμί δέ τρίτος πρῶτος δύο δύο τρίτος εἰμί τετράς , καί γίγνομαι ὁ πλάσσω ἐν διπλάσιος λόγος ὅς βε δέ . ἐκ δέ αὐτός κατά ὁ αὐτός πρόσταγμα ἔχω ὁ ἐν τριπλάσιος ὅς γε ὁ , καί ἀπό οὗτος ὁ ἐπί οὗτος ἐν τετραπλάσιος ὅς δέ ιϛʹ , καί ἐφεξῆς ἀκόλουθος . εἰμί δέ δυάς ἐν ἰσότης προεκθέω , εἰμί ὁ ἑξῆς ὅρος ἐν διπλάσιος ὁμοίως εἰμί λόγος ὁ βε δέ ἤ , καί ἀπό οὗτος πάλιν ὁ ἑξῆς τριπλάσιος βε ϛυʹ ΙΗΥ , ἀπό ὅς ὁ ἑξῆς τετραπλάσιος βε ἤ λβʹ , καί ἀθρόος ἀκόλουθος . εἰμί δέ ἀναστρέφω ὁ πρῶτος ἐν διπλάσιος λόγος ὁ ὅς βε δέ διά ὁ αὐτός πρόσταγμα ποιέω ὁ πρῶτος ἐν ἡμιόλιος ἀναλογία εἰμί ὁ δέ ϛυʹ ὁ , ἀπό δέ οὗτος πάλιν ἀναστρέφω ὁ ἐν ἐπιδιμερής ὁμοίως
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 65
ἀναλογίᾳ ὄντας τοὺς θʹ ιεʹ κεʹ . ἐκ τούτου συμφανῆ γίνεσθαι τὴν συγγένειαν τῶν σχέσεων . εἰ γὰρ ὁ διπλάσιος λόγος ἀπὸ ἰσότητος ἐγεννήθη , ἐμάθομεν δὲ παρωνομασμένον τὸ ἥμισυ τῷ δύο , εἰκότως ἑξῆς ὡς οἰκεῖος ὁ ἡμιόλιος λόγος ἐπλάσθη ἐν ἐπιμορίοις , ἀπὸ δὲ τούτου πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερέσι κατὰ τὴν οἰκειότητα τῆς δυάδος ὁ ἐπιδιμερής . εἰ δὲ οἱ πρῶτοι ἐν τριπλασίῳ λόγῳ , ἐκφύσονται ἀπ’ αὐτῶν ἐπίτριτοι καὶ ἀπὸ τούτων ἐπιτριμερεῖς , εἰ δὲ τετραπλάσιοι ἐπιτέταρτοί τε καὶ ἐπιτετραμερεῖς καὶ ἀεὶ οἱ ἑξῆς , ἀποσῴζοντες τὴν οἰκειότητα τῆς παρωνυμήσεως καὶ πυθμένες μὲν ἀπὸ πυθμένων δεύτεροι δὲ ἀπὸ δευτέρων καὶ τρίτοι ἀπὸ τρίτων καὶ ἀεὶ ὁμοίως . πυθμένας δὲ ἐπιμορίων ἐν τρισὶν ὅροις μὴ τοὺς αὐτοὺς οἰώμεθα γενήσεσθαι , ὅπερ ἐν δυσὶ φαίνονται · οὐ γὰρ δυνατὸν ἐν δυσὶν ὄντος λόγου τινὸς καὶ τρίτον ὅρον προσπορισθῆναι τὸν αὐτὸν λόγον πρὸς τὸν μέσον ἀποσῴζοντα , διότι μὴ τοῦ αὐτοῦ μορίου παρεκτικός ἐστιν ὁ μείζων , καθ’ ὃ ἐπιμόριός ἐστι τοῦ πρώτου , ἵνα καὶ ὁ τρίτος κατ’ αὐτὸν ἐκείνῳ
Lemmas: ἀναλογία εἰμί ὁ ὁ ἵημι κύ . ἐκ οὗτος συμφανής γίγνομαι ὁ συγγένεια ὁ σχέσις . εἰμί γάρ ὁ διπλάσιος λόγος ἀπό ἰσότης γεννάω , μανθάνω δέ παρονομάζω ὁ ἥμισυς ὁ δύο , εἰκότως ἑξῆς ὡς οἰκεῖος ὁ ἡμιόλιος λόγος πλάσσω ἐν ἐπιμόριος , ἀπό δέ οὗτος πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερής κατά ὁ οἰκειότης ὁ δυάς ὁ ἐπιδιμερής . εἰμί δέ ὁ πρῶτος ἐν τριπλάσιος λόγος , ἐκφύω ἀπό αὐτός ἐπίτριτος καί ἀπό οὗτος ἐπιτριμερής , εἰμί δέ τετραπλάσιος ἐπιτέταρτος τε καί ἐπιτετραμερής καί ἀεί ὁ ἑξῆς , ἀποσῴζω ὁ οἰκειότης ὁ παρωνύμησις καί πυθμήν μέν ἀπό πυθμήν δύο δέ ἀπό δύο καί τρίτος ἀπό τρίτος καί ἀεί ὁμοίως . πυθμήν δέ ἐπιμόριος ἐν τρεῖς ὅρος μή ὁ αὐτός οἴομαι γίγνομαι , ὅσπερ ἐν δύο φαίνω · οὖον γάρ δυνατός ἐν δύο εἰμί λόγος τις καί τρίτος ὅρος προσπορίζω ὁ αὐτός λόγος πρός ὁ μέσος ἀποσῴζω , διότι μή ὁ αὐτός μόριον παρεκτικός εἰμί ὁ μείζων , κατά ὅς ἐπιμόριος εἰμί ὁ πρῶτος , ἵνα καί ὁ τρίτος κατά αὐτός ἐκεῖνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 66
τὸν λόγον ἀποσῴζῃ · πᾶς γὰρ ἐπιμορίου λόγου πυθμὴν ὁ τοὺς ὅρους ἔχων μονάδι διαφέροντας οὐχ ὁμοίους αὐτοὺς ἕξει διαιρετούς , ἀλλ’ εἰ μὲν ὁ ἐλάττων διχῇ διαιροῖτο , ὁ μείζων τριχῇ , εἰ δὲ ὁ ἐλάττων τριχῇ , ὁ μείζων τετραχῇ , καὶ ἀεὶ μονάδι μεγαλωνυμωτέραν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος τὴν διαίρεσιν ἐπιδέξεται , ὥστε τοῦ μορίου ἐν λόγῳ ᾡτινιοῦν κατὰ τὸν ἐλάττονα ἐξεταζομένου , ὃς ὑπόλογός ἐστι πρὸς τὸν μείζονα , οὐκ ἔσται τις τρίτος πρόλογος κατ’ ἐκεῖνο τὸ μόριον ὑπόλογον ἔχων τὸν μείζονα . ἀλλ’ οὖν ἐπεὶ μή εἰσιν οἱ αὐτοὶ τοῖς ἐν δυσὶν οἱ ἐν τρισίν , ἑτέρως ἐμφαντασθήσονται οἱ πυθμένες τοῖς ἀνάλογον · διαφοραὶ γὰρ αὐτῶν γενήσονται , οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἐπεὶ ἀνάλογον ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ εἰσὶν οἱ δʹ ϛʹ θʹ , ἔσονται αὐτῶν διαφοραὶ οἱ τὸν αὐτὸν λόγον περιέχοντες πυθμένες ὁ γʹ καὶ ὁ βʹ , καὶ πάλιν ἐν ἐπιτρίτῳ οἱ θʹ ιβʹ ιϛʹ , ἔσονται διαφοραὶ τούτων οἱ πυθμενικοὶ ὁ δʹ πρὸς τὸν γʹ , καὶ ἀεὶ ὁμοίως τὸ αὐτὸ συμβήσεται ἐν ἅπασι τοῖς εἴδεσι τῶν ἐπιμορίων · καθ’ ὃ γὰρ πυθμένες ἔσονται ἐν τρισίν , ὧν διαφοραὶ
Lemmas: ὁ λόγος ἀποσῴζω · πᾶς γάρ ἐπιμόριος λόγος πυθμήν ὁ ὁ ὅρος ἔχω μόνος διαφέρω οὐ ὅμοιος αὐτός ἔχω διαιρετός , ἀλλά εἰμί μέν ὁ μικρός διχή διαιρέω , ὁ μείζων τριχῆ , εἰμί δέ ὁ μικρός τριχῆ , ὁ μείζων τετραχῇ , καί ἀεί μόνος μεγαλώνυμος ὁ μείζων ὁ μικρός ὁ διαίρεσις ἐπιδέχομαι , ὥστε ὁ μόριον ἐν λόγος ὅστις κατά ὁ μικρός ἐξετάζω , ὅς ὑπόλογος εἰμί πρός ὁ μείζων , οὐ εἰμί τις τρίτος πρόλογος κατά ἐκεῖνος ὁ μόριον ὑπόλογος ἔχω ὁ μείζων . ἀλλά οὖν ἐπεί μή εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐν δύο ὁ ἐν τρεῖς , ἑτέρως ἐμφαντάζω ὁ πυθμήν ὁ ἀνάλογος · διαφορά γάρ αὐτός γίγνομαι , οἷος φέρω εἶπον ἐπεί ἀνάλογος ἐν ἡμιόλιος λόγος εἰμί ὁ δέ ϛυʹ ὁ , εἰμί αὐτός διαφορά ὁ ὁ αὐτός λόγος περιέχω πυθμήν ὁ γε καί ὁ βε , καί πάλιν ἐν ἐπίτριτος ὁ ὁ ἶβις ιϛʹ , εἰμί διαφορά οὗτος ὁ πυθμενικός ὁ δέ πρός ὁ γε , καί ἀεί ὁμοίως ὁ αὐτός συμβαίνω ἐν ἅπας ὁ εἶδος ὁ ἐπιμόριος · κατά ὅς γάρ πυθμήν εἰμί ἐν τρεῖς , ὅς διαφορά
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 67
οἱ ἐν δυσίν . ἐν δὲ τοῖς πολλαπλασίοις οἱ ἀνάλογον ἀπ’ ἀρχῆς ἐκκείμενοι τοὺς ἐλάττονας ὅρους ἀεὶ πυθμένας ἕξουσι καθ’ ἕκαστον λόγον . αἰτία δὲ τούτου ἡ μονὰς ὑπόλογον ἑαυτὴν πρὸς πάντας λόγους τοῦ πολλαπλασίου παρέχουσα . οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ αἱ ἐν τοῖς ἀνάλογον διαφοραὶ τὸν αὐτὸν λόγον περιέξουσιν , εἰ καὶ μὴ πυθμένες εἰσὶ τῶν λόγων , ὡς ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων συνέβαινε . μόνοι δὲ οἱ ἐν διπλασίῳ ἀνάλογον ἀπ’ ἀρχῆς ἐξαίρετον ἕξουσι τὸ καὶ διαφορὰς ἔχειν τοὺς ἐλάττονας ὅρους , οἵπερ εἰσὶ πυθμενικοί . ἐν δὲ τοῖς τῶν ἐπιμερῶν εἴδεσιν οἱ τοὺς πυθμένας τῶν λόγων περιέχοντες ὅροι οὔτ’ ἐν ταῖς διαφοραῖς φανήσονται ὡς ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων , οὔτε ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὅροις ὡς ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων , ἀλλὰ κατά τινα ἄλλην εὔτακτον ἀναλογίαν . οἱ μὲν γὰρ ἐν λόγῳ ἐπιδιμερεῖ ἀνάλογον ὄντες ἐν ἡμίσει τῶν διαφορῶν τοὺς πυθμενικοὺς περιέξουσι , πάλιν κἀνταῦθα τῆς οἰκειότητος τοῦ ἡμίσους πρὸς τὴν δυάδα , καθ’ ἣν ἐπιδιμερὴς ὁ λόγος ἐστί , ἐμφαινομένης · οἱ δ’ ἐν ἐπιτριμερεῖ ἐν τρίτῳ τῶν διαφορῶν οἱ δὲ ἐν ἐπιτετραμερεῖ ἐν τετάρτῳ καὶ οἱ ἐν
Lemmas: ὁ ἐν δύο . ἐν δέ ὁ πολλαπλάσιος ὁ ἀνάλογος ἀπό ἀρχή ἔκκειμαι ὁ μικρός ὅρος ἀεί πυθμήν ἔχω κατά ἕκαστος λόγος . αἰτία δέ οὗτος ὁ μονή ὑπόλογος ἑαυτοῦ πρός πᾶς λόγος ὁ πολλαπλάσιος παρέχω . οὐδείς δέ κακός καί ὁ ἐν ὁ ἀνάλογος διαφορά ὁ αὐτός λόγος περιέχω , εἰμί καί μή πυθμήν εἰμί ὁ λόγος , ὡς ἐπί ὁ ἐπιμόριος συμβαίνω . μόνος δέ ὁ ἐν διπλάσιος ἀνάλογος ἀπό ἀρχή ἐξαίρω ἔχω ὁ καί διαφορά ἔχω ὁ μικρός ὅρος , ὅσπερ εἰμί πυθμενικός . ἐν δέ ὁ ὁ ἐπιμερής εἶδος ὁ ὁ πυθμήν ὁ λόγος περιέχω ὅρος οὔτε ἐν ὁ διαφορά φαίνω ὡς ἐπί ὁ ἐπιμόριος , οὔτε ἐν ὁ μικρός ὅρος ὡς ἐπί ὁ πολλαπλάσιος , ἀλλά κατά τις ἄλλος εὔτακτος ἀναλογία . ὁ μέν γάρ ἐν λόγος ἐπιδιμερής ἀνάλογος εἰμί ἐν ἥμισυς ὁ διαφορά ὁ πυθμενικός περιέχω , πάλιν ἐνταῦθα ὁ οἰκειότης ὁ ἥμισυς πρός ὁ δυάς , κατά ὅς ἐπιδιμερής ὁ λόγος εἰμί , ἐμφαίνω · ὁ δέ ἐν ἐπιτριμερής ἐν τρίτος ὁ διαφορά ὁ δέ ἐν ἐπιτετραμερής ἐν τέταρτος καί ὁ ἐν
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 68
ἐπιπενταμερεῖ ἐν πέμπτῳ , καὶ ἀεὶ ἑξῆς τὸ ὅμοιον ἔσται , ἀποσῳζομένης τῆς συμφυΐας τοῦ μορίου πρὸς τὸν λόγον . καὶ γὰρ καθ’ αὑτοὺς οἱ λόγοι ἐν τοῖς μέρεσι τὴν ὀνομασίαν ἴσχουσιν ἐξεταζόμενοι πρὸς τὰ μόρια , καθά ἐστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος ὅρου πρὸς τὸν ἐλάττονα μονάδι μειωνυμώτερον · ἐπιδιμερὴς μὲν γὰρ ἔσται ὁ πρῶτος λόγος τρίτων , ἐπιτριμερὴς δὲ ὁ δεύτερος τετάρτων καὶ ἐπιτετραμερὴς ὁ τρίτος πέμπτων καὶ ἑξῆς ὁμοίως . Αἱ δὲ μικταὶ σχέσεις ἔκ τε πολλαπλασίου καὶ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν ἐπιμορίου καὶ ἐπιμεροῦς γεννῶνται καὶ αὗται ἐκ τῶν πρὸ ἑαυτῶν , ἡ μὲν ἐν πολλαπλασιεπιμορίῳ λόγῳ ἐκ τῆς ἐν ἐπιμορίῳ , ἀφ’ ἧς καὶ 〈 ἡ 〉 ἐν ἐπιμερεῖ ἐγεννᾶτο , οἷον εἰδικῶς ἡ διπλασιεφήμισυς ἀπὸ τῆς ἐν ἡμιολίοις φύεται , οὐκέτι ἀναστρόφως τῶν ὅρων κειμένων , ἀλλὰ κατὰ φύσιν χρωμένων ἡμῶν τοῖς αὐτοῖς τρισὶ προστάγμασιν · οὔσης γὰρ ἀναλογίας ἐν ἡμιολίῳ τῆς δʹ ϛʹ θʹ , ἧς αἱ διαφοραὶ οἱ πυθμενικοὶ ὅροι , πλασθήσεται ἡ διπλασιεφήμισυς 〈 ἐν 〉 ὅροις τοῖς δʹ ιʹ κεʹ . ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ τῆς θʹ
Lemmas: ἐπιπενταμερής ἐν πέμπτος , καί ἀεί ἑξῆς ὁ ὅμοιος εἰμί , ἀποσῴζω ὁ συμφυία ὁ μόριον πρός ὁ λόγος . καί γάρ κατά ἑαυτοῦ ὁ λόγος ἐν ὁ μέρος ὁ ὀνομασία ἴσχω ἐξετάζω πρός ὁ μόριον , καθά εἰμί ὁ ὑπεροχή ὁ μείζων ὁράω πρός ὁ μικρός μόνος μειώνυμος · ἐπιδιμερής μέν γάρ εἰμί ὁ πρῶτος λόγος τρίτος , ἐπιτριμερής δέ ὁ δύο τέταρτος καί ἐπιτετραμερής ὁ τρίτος πέμπτος καί ἑξῆς ὁμοίως . ὁ δέ μικτός σχέσις ἐκ τε πολλαπλάσιος καί ἑκάτερος ὁ λοιπός ἐπιμόριος καί ἐπιμερής γεννάω καί οὗτος ἐκ ὁ πρό ἑαυτοῦ , ὁ μέν ἐν πολλαπλασιεπιμόριος λόγος ἐκ ὁ ἐν ἐπιμόριος , ἀπό ὅς καί 〈 ὁ 〉 ἐν ἐπιμερής γεννάω , οἷος εἰδικός ὁ διπλασιεφήμισυς ἀπό ὁ ἐν ἡμιόλιος φύω , οὐκέτι ἀναστρόφως ὁ ὁράω κεῖμαι , ἀλλά κατά φύσις χράω ἐγώ ὁ αὐτός τρεῖς πρόσταγμα · εἰμί γάρ ἀναλογία ἐν ἡμιόλιος ὁ δέ ϛυʹ ὁ , ὅς ὁ διαφορά ὁ πυθμενικός ὅρος , πλάσσω ὁ διπλασιεφήμισυς 〈 ἐν 〉 ὅρος ὁ δέ εἷς κύ . ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπίτριτος λόγος ὁ ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 69
ιβʹ ιϛʹ , ἧς πάλιν αἱ διαφοραί εἰσιν οἱ πυθμενικοὶ ὅροι , ὁμοίως ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρχομένων ἡμῶν ἡ διπλασιεπίτριτος ἐν ὅροις τοῖς θʹ καʹ μθʹ . ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτῳ τῆς ιϛʹ κʹ κεʹ , ἧς αἱ διαφοραὶ πάλιν οἱ πυθμενικοί , ἡ διπλασιεπιτέταρτος γεννᾶται ἐν ὅροις τοῖς ιϛʹ λϛʹ παʹ , καὶ ἑξῆς ὁμοίως , ἀποσῳζομένης κἀνταῦθα τῆς οἰκειότητος τοῦ μετὰ τὴν πολλαπλασιότητα ἐπιτρέχοντος μορίου πρὸς τὴν ὀνομασίαν τοῦ ἐπιμορίου λόγου , ἀφ’ οὗπερ ἡ γένεσίς ἐστι τῇ μικτῇ σχέσει . ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιος ἡ γεννῶσα σχέσις διπλασιεφήμισυς ἡ γεννωμένη , ἐπεὶ δὲ ἐπίτριτος διπλασιεπίτριτος , καὶ 〈 ἐπεὶ 〉 ἐπιτέταρτος διπλασιεπιτέταρτος , καὶ ἑξῆς δὲ ἀκολούθως . πάλιν δὲ καὶ τούτων οἱ πυθμένες διευτακτηθήσονται οὐκέτ’ αὐτόθεν ἐμφαινόμενοι ταῖς διαφοραῖς τῶν πλασσομένων , ὡς ἐπὶ τῶν ἁπλῶν σχέσεων ἐγίνετο , ἀλλὰ διὰ τὸ μικτὰς εἶναι τὰς σχέσεις
Lemmas: ἶβις ιϛʹ , ὅς πάλιν ὁ διαφορά εἰμί ὁ πυθμενικός ὅρος , ὁμοίως ἀπό ὁ μικρός ὁράω ἄρχω ἐγώ ὁ διπλασιεπίτριτος ἐν ὅρος ὁ ὁ καί μθʹ . ἐκ δέ ὁ ἐν ἐπιτέταρτος ὁ ιϛʹ καί κύ , ὅς ὁ διαφορά πάλιν ὁ πυθμενικός , ὁ διπλασιεπιτέταρτος γεννάω ἐν ὅρος ὁ ιϛʹ λϛʹ παῖς , καί ἑξῆς ὁμοίως , ἀποσῴζω ἐνταῦθα ὁ οἰκειότης ὁ μετά ὁ πολλαπλασιότης ἐπιτρέχω μόριον πρός ὁ ὀνομασία ὁ ἐπιμόριος λόγος , ἀπό ὅσπερ ὁ γένεσις εἰμί ὁ μικτός σχέσις . ἐπεί γάρ ἡμιόλιος ὁ γεννάω σχέσις διπλασιεφήμισυς ὁ γεννάω , ἐπεί δέ ἐπίτριτος διπλασιεπίτριτος , καί 〈 ἐπεί 〉 ἐπιτέταρτος διπλασιεπιτέταρτος , καί ἑξῆς δέ ἀκόλουθος . πάλιν δέ καί οὗτος ὁ πυθμήν διευτακτέω οὐκέτι αὐτόθεν ἐμφαίνω ὁ διαφορά ὁ πλάσσω , ὡς ἐπί ὁ ἁπλόος σχέσις γίγνομαι , ἀλλά διά ὁ μικτός εἰμί ὁ σχέσις
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 70
καὶ τοὺς λόγους ηὐξῆσθαι ἐν μορίοις τῶν διαφορῶν ὄντες φανήσονται . διπλασιεφημίσους μὲν γὰρ λόγου ὁ πυθμὴν ἐν τρίτῳ μέρει τῶν διαφορῶν , διπλασιεπιτρίτου δὲ ἐν τετάρτῳ καὶ διπλασιεπιτετάρτου δ’ ἐν πέμπτῳ , καὶ ἑξῆς ἀκολούθως μονάδι μεγαλωνυμώτερον ἀεὶ ἔσται τὸ μόριον ἀντεξεταζόμενον πρὸς τὸ ὄνομα τοῦ ἐπιτρέχοντος μορίου ἐν τοῖς εἴδεσι τοῦ πολλαπλασιεπιμορίου . παρατηρητέον δὲ ἐφ’ ἑκάστης πλάσεως τῶν τε ἐπιμερῶν σχέσεων καὶ τῶν πολλαπλασιεπιμορίων πῶς καὶ ἀντιπεπόνθησίς τις γλαφυρὰ ὑποφύεται . αἱ μὲν γὰρ ἐπιμερεῖς ἅπαξ πλῆρες τὸ μέτρον προσέβαλλον καὶ πλείονα τὰ ἀκαταμέτρητα ἀπέλειπον μόρια ἀρχόμενα ἀπὸ δύο · ἐπιδιμερὴς γὰρ ἡ πρώτη , εἶτ’ ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως · αἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι ἀντιπεπονθότως δὶς μὲν τὸ μέτρον προσβάλλουσι πληρούντως , ἓν δὲ μέρος ἀεὶ ἀπολείπουσιν ἀκαταμέτρητον ἀρχόμενον καὶ αὐτὸ ἀπὸ τοῦ συζυγοῦντος τῷ δύο ἀριθμῷ μορίου , καὶ ἑξῆς προκόπτον ἀκολούθως . ἐπὶ δὲ πασῶν τῶν πλασσομένων σχέσεων
Lemmas: καί ὁ λόγος αὐξάνω ἐν μόριον ὁ διαφορά εἰμί φαίνω . διπλασιεφημισος μέν γάρ λόγος ὁ πυθμήν ἐν τρίτος μέρος ὁ διαφορά , διπλασιεπιτριτοω δέ ἐν τέταρτος καί διπλασιεπιτεταρτος δέ ἐν πέμπτος , καί ἑξῆς ἀκόλουθος μόνος μεγαλώνυμος ἀεί εἰμί ὁ μόριον ἀντεξετάζω πρός ὁ ὄνομα ὁ ἐπιτρέχω μόριον ἐν ὁ εἶδος ὁ πολλαπλασιεπιμόριον . παρατηρητέον δέ ἐπί ἕκαστος πλάσις ὁ τε ἐπιμερής σχέσις καί ὁ πολλαπλασιεπιμόριος πῶς καί ἀντιπεπόνθησις τις γλαφυρός ὑποφύω . ὁ μέν γάρ ἐπιμερής ἅπαξ πλήρης ὁ μέτρον προσβάλλω καί πλείων ὁ ακαταμέτρητος ἀπολείπω μόριον ἄρχω ἀπό δύο · ἐπιδιμερής γάρ ὁ πρῶτος , εἶτα ἐπιτριμερής καί ἐπιτετραμερής καί ἑξῆς ἀκόλουθος · ὁ δέ πολλαπλασιεπιμόριος ἀντιπεπονθότως δίς μέν ὁ μέτρον προσβάλλω πληρόω , εἷς δέ μέρος ἀεί ἀπολείπω ἀκαταμέτρητος ἄρχω καί αὐτός ἀπό ὁ συζυγέω ὁ δύο ἀριθμός μόριον , καί ἑξῆς προκόπτω ἀκόλουθος . ἐπί δέ πᾶς ὁ πλάσσω σχέσις
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 71
καὶ ἀφ’ ὧν αἱ πλάσεις οἱ ἄκροι τετράγωνοι γίνονται . ἡ δὲ λοιπὴ μικτὴ σχέσις ἡ πολλαπλασιεπιμερὴς γεννᾶται ἐκ τῆς ἐπιμεροῦς , καὶ ἐκ μὲν τῆς ἐπιδιμεροῦς 〈 ἢ 〉 δὶς ἐπιτρίτου , εἰδικῶς τῆς θʹ καὶ ιεʹ κεʹ , ἀρχομένων ἡμῶν ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ὅρου , γεννᾶται ἡ διπλασιεπιδιμερὴς τρίτων ἐν ὅροις τοῖς θʹ κδʹ ξδʹ , ἐκ δὲ τῆς ἐπιτριμεροῦς ἢ τρὶς ἐπιτετάρτου τῆς ιϛʹ κηʹ μθʹ ἡ διπλασιεπιτριμερὴς τετάρτων ἐν ὅροις τοῖς ιϛʹ μδʹ ρκαʹ , πάλιν δὲ ἐκ τῆς ἐπιτετραμεροῦς ἢ τετράκις ἐπιπέμπτου τῆς κεʹ μεʹ παʹ γεννᾶται ἡ διπλασιεπιτετραμερὴς πέμπτων ἐν ὅροις τοῖς κεʹ οʹ ρҁϛʹ , καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον εὑρήσομεν ἀναλόγως καὶ ἀκολούθως προϊοῦσαν τὴν πλάσιν τῶν πολλαπλασιεπιμερῶν σχέσεων ταῖς ἐπιμερέσιν . ἐκ μὲν γὰρ ἐπιδιμεροῦς τρίτων ἐγένετο ἡ διπλασιεπιδιμερὴς τρίτων , ἐκ δὲ τῆς ἐπιτριμεροῦς τετάρτων ἡ διπλασιεπιτριμερὴς τετάρτων , ἐκ δὲ τῆς ἐπιτετραμεροῦς πέμπτων ἡ διπλασιεπιτετραμερὴς πέμπτων . πάλιν δὲ καὶ αὐτῶν
Lemmas: καί ἀπό ὅς ὁ πλάσσω ὁ ἄκρος τετράγωνος γίγνομαι . ὁ δέ λοιπός μικτός σχέσις ὁ πολλαπλασιεπιμερής γεννάω ἐκ ὁ ἐπιμερής , καί ἐκ μέν ὁ ἐπιδιμερής 〈 ἢ 〉 δίς ἐπίτριτος , εἰδικός ὁ ὁ καί ἵημι κύ , ἄρχω ἐγώ ἀπό ὁ μικρός ὁράω , γεννάω ὁ διπλασιεπιδιμερής τρίτος ἐν ὅρος ὁ ὁ κδέʹ ξδʹ , ἐκ δέ ὁ ἐπιτριμερής ἢ τρίς ἐπιτέταρτος ὁ ιϛʹ καίω μθʹ ὁ διπλασιεπιτριμερής τέταρτος ἐν ὅρος ὁ ιϛʹ μδʹ ρκαʹ , πάλιν δέ ἐκ ὁ ἐπιτετραμερής ἢ τετράκις ἐπίπεμπτος ὁ κύ μου παῖς γεννάω ὁ διπλασιεπιτετραμερής πέμπτος ἐν ὅρος ὁ κύ οὐ ρҁϛʹ , καί κατά ὁ ἑξῆς ἐπί ἤπειρος εὑρίσκω ἀνάλογος καί ἀκόλουθος πρόειμι ὁ πλάσις ὁ πολλαπλασιεπιμερος σχέσις ὁ ἐπιμερής . ἐκ μέν γάρ ἐπιδιμερής τρίτος γίγνομαι ὁ διπλασιεπιδιμερής τρίτος , ἐκ δέ ὁ ἐπιτριμερής τέταρτος ὁ διπλασιεπιτριμερής τέταρτος , ἐκ δέ ὁ ἐπιτετραμερής πέμπτος ὁ διπλασιεπιτετραμερής πέμπτος . πάλιν δέ καί αὐτός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 72
τούτων οἱ πυθμένες κατά τινα λόγον φανήσονται διευτακτούμενοι · τῆς μὲν γὰρ διπλασιεπιδιμεροῦς τρίτων ἐν πέμπτῳ μέρει τῶν διαφορῶν ἐνοφθήσονται οἱ πυθμένες , τῆς διπλασιεπιτριμεροῦς τετάρτων ἐν ἑβδόμῳ , τῆς δὲ διπλασιεπιτετραμεροῦς πέμπτων ἐν ἐννάτῳ , καὶ ἀεὶ κατὰ δυάδος προσθήκην τὴν κλῆσιν ἕξει τὸ μόριον , οἷον ὁ ιαʹ καὶ ιγʹ καὶ ιεʹ , καὶ ἀεὶ ὁμοίως . Ἐπιδειχθείσης ἡμῖν τῆς τῶν σχέσεων πλάσεως ἀπλατῶν καὶ μικτῶν ἀπὸ ἰσότητος τὴν ἀρχὴν ἐσχηκυίας , καθόλικόν τι θεώρημα προσληπτέον χρήσιμον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τοὺς λόγους τῆς ἁρμονικῆς θεωρίας τοιοῦτον . ἕκαστον τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἢ οὑτινοσοῦν ἀριθμοῦ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὢν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος ἢ τοῦ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου . τῷ μὲν γὰρ καθ’ ἕκαστον πρώτῳ πολλαπλασίῳ εἰς βάθος παρώνυμος εἷς ἐπιμόριος παραγραφήσεται , δευτέρῳ δὲ καθ’ ἕκαστον δύο , τρίτῳ δὲ τρεῖς , τετάρτῳ τέσσαρες , καὶ ἑξῆς ἀκολούθως ,
Lemmas: οὗτος ὁ πυθμήν κατά τις λόγος φαίνω διευτακτέω · ὁ μέν γάρ διπλασιεπιδιμερής τρίτος ἐν πέμπτος μέρος ὁ διαφορά ἐνοράω ὁ πυθμήν , ὁ διπλασιεπιτριμερος τέταρτος ἐν ἕβδομος , ὁ δέ διπλασιεπιτετραμερης πέμπτος ἐν ἐννάω , καί ἀεί κατά δυάς προσθήκη ὁ κλῆσις ἔχω ὁ μόριον , οἷος ὁ ἰά καί πνίξ καί ἵημι , καί ἀεί ὁμοίως . Ἐπιδείκνυμι ἐγώ ὁ ὁ σχέσις πλάσις ἀπλατής καί μικτός ἀπό ἰσότης ὁ ἀρχή ἔχω , καθολικός τίς θεώρημα προσληπτέον χρήσιμος ἐγώ εἰμί εἰς ὁ λόγος ὁ ἁρμονικός θεωρία τοιοῦτος . ἕκαστος ὁ ἀπό μόνος πολλαπλάσιος ἢ ὅστις ἀριθμός πρῶτος καί ἀσύνθετος τοσοῦτος ἐπιμόριος ἡγέομαι λόγος ἀντιπαρώνυμος ὁπόστος εἄν αὐτός εἰμί τυγχάνω ἀπό μόνος ἢ ὁ πρῶτος καί ἀσύνθετος . ὁ μέν γάρ κατά ἕκαστος πρῶτος πολλαπλάσιος εἰς βάθος παρώνυμος εἷς ἐπιμόριος παραγράφω , δύο δέ κατά ἕκαστος δύο , τρίτος δέ τρεῖς , τέταρτος τέσσαρες , καί ἑξῆς ἀκόλουθος ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 73
ὥστε σύριγγι ὁμοίου τοῦ διαγράμματος γενομένου πολλὴν γλαφυρίαν ἐμφαίνεσθαι κατά τε τὸ μῆκος καὶ τὸ βάθος καὶ τὴν ὑποτείνουσαν . ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται , ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί τε καὶ ἐπίτριτοι , ἐκ δὲ τετραπλασίων πενταπλάσιοί τε καὶ ἐπιτέταρτοι , καὶ ἐφοσονοῦν ἀεὶ τῆς αὐτῆς ἀκολουθίας ἀποσῳζομένης . ὁ δὲ συνεχὴς ἀεὶ πολλαπλάσιος ὑποφύσεται διὰ τῆς ὑποτεινούσης κωλυτὴρ γινόμενος τῶν περαιτέρω τῆς εἰρημένης τάξεως ἐπιμορίων ἐστερημένος τοιούτου ἐπιμορίου καθὸ λέγεται ὁ ἐπιμόριος , ὡς ὁ τρία ἡμίσους καὶ ὁ τέσσαρα τρίτου καὶ ὁ πέντε τετάρτου καὶ ἀεὶ ὁμοίως . καθ’ ἑκάστην δὲ σύριγγα ὁ κατὰ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τεταγμένος ἀριθμὸς πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν συγγενεῖς κατά τε τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος λόγον τινὰ ἀποσώσει οὐκ ἄτακτον , οἷον ἐν μὲν τῇ τῶν διπλασίων ἐκθέσει διπλάσιός τε καὶ ὑφημιόλιος γινόμενος , ἐν δὲ τῇ τῶν τριπλασίων τριπλάσιός τε καὶ ὑπεπίτριτος , καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀναλόγως . Προληπτέον δὲ καὶ ἄλλο τι θεώρημα χρησιμώτατον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τὴν μουσικὴν εἰσαγωγὴν τοιοῦτον . δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐὰν ἡ πρὸς ἀλλήλους διαφορὰ
Lemmas: ὥστε σῦριγξ ὁμοιόω ὁ διάγραμμα γίγνομαι πολύς γλαφυρία ἐμφαίνω κατά τε ὁ μῆκος καί ὁ βάθος καί ὁ ὑποτείνω . ἐκ μέν γάρ διπλάσιος τριπλάσιος τε καί ἡμιόλιος φύω , ἐκ δέ τριπλασίων τετραπλάσιος τε καί ἐπίτριτος , ἐκ δέ τετραπλασίων πενταπλᾶσιόω τε καί ἐπιτέταρτος , καί ἐφίημι ἀεί ὁ αὐτός ἀκολουθία ἀποσῴζω . ὁ δέ συνεχής ἀεί πολλαπλάσιος ὑποφύω διά ὁ ὑποτείνω κωλυτήρ γίγνομαι ὁ περαιτέρω ὁ εἴρω τάξις ἐπιμόριος στερέω τοιοῦτος ἐπιμόριος καθό λέγω ὁ ἐπιμόριος , ὡς ὁ τρεῖς ἥμισυς καί ὁ τέσσαρες τρίτος καί ὁ πέντε τέταρτος καί ἀεί ὁμοίως . κατά ἕκαστος δέ σῦριγξ ὁ κατά ὁ ὀρθός γωνία τάσσω ἀριθμός πρός ὁ ἑκατέρωθεν συγγενής κατά τε ὁ πλάτος καί ὁ βάθος λόγος τις ἀποσῴζω οὐ ἄτακτος , οἷος ἐν μέν ὁ ὁ διπλάσιος ἔκθεσις διπλάσιος τε καί ὑφημιόλιος γίγνομαι , ἐν δέ ὁ ὁ τριπλασίων τριπλάσιος τε καί ὑπεπίτριτος , καί ἐπί ὁ λοιπός ἀνάλογος . προληπτέον δέ καί ἄλλος τίς θεώρημα χρήσιμος ἐγώ εἰμί εἰς ὁ μουσική εἰσαγωγή τοιοῦτος . δύο ἀριθμός ἄνισος ἐάν ὁ πρός ἀλλήλων διαφορά
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 74
κατά τινας ἄλλους ἀριθμοὺς παρὰ μονάδα ἴσους ἀλλήλοις μετρῇ , τὸν μὲν μείζονα κατὰ τὸν μείζονα τὸν δὲ ἐλάττονα κατὰ τὸν ἐλάττονα , ἤτοι πληρούντως αὐτοὺς μετρήσει ἢ ὑπερβαλλόντως ἢ ἐλλιπῶς . ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ μὲν πλῆρες ἑνὶ τρόπῳ πλῆρές ἐστιν , ὡς τὸ τέλειον καὶ τὸ ἴσον , κατὰ τὴν τῶν ἀρετῶν φύσιν , τὸ δὲ ἐλλιπὲς καὶ τὸ ὑπερβάλλον ἄπειρά τε καὶ ἀόριστα , καθὰ καὶ αἱ κακίαι , διὰ τὴν τῆς ἀνισότητος φύσιν , κατὰ μὲν τὴν πλήρη μέτρησιν ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν οἱ μετρηθέντες λόγον ἕξουσι πρὸς ἐκείνους , καθ’ οὓς ἐμέτρησεν αὐτοὺς ἡ διαφορά , καὶ ἔσται ὁ τούτων μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα , ὡς ὁ ἐκείνων μονάδι μείζων πρὸς τὸν μονάδι ἐλάττονα · κατὰ δὲ τὰς λοιπὰς δύο μετρήσεις ἢ μείζονα ἢ ἐλάττονα , καὶ οὐκέτι τὸν αὐτόν . ἀλλ’ εἰ μὲν ἐλλιπὴς ᾖ ἡ μέτρησις , ὥστε μετὰ τὴν τοῦ μέτρου προσβολὴν τοσαυτάκις καὶ οἱ πρὸ αὐτῶν ἀκαταμέτρητόν τι ἀπολειφθῆναι ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μετρηθεῖσιν , ἴσον δὲ τοῦτο , ἐν μείζονι πάντες οἱ ὅλοι λόγῳ γενήσονται ἤπερ τὰ ὑπὸ τοῦ μέτρου καταληφθέντα πληρούντως αὐτῶν μέρη πρὸς ἄλληλα ἐξεταζόμενα ,
Lemmas: κατά τις ἄλλος ἀριθμός παρά μόνος ἴσος ἀλλήλων μετρέω , ὁ μέν μείζων κατά ὁ μείζων ὁ δέ μικρός κατά ὁ μικρός , ἤτοι πληρόω αὐτός μετρέω ἢ ὑπερβαλλόντως ἢ ἐλλιπῶς . ἀλλά ἐπεί ὁ μέν πλήρης εἷς τρόπος πλήρης εἰμί , ὡς ὁ τέλειος καί ὁ ἴσος , κατά ὁ ὁ ἀρετή φύσις , ὁ δέ ἐλλιπής καί ὁ ὑπερβάλλω ἄπειρος τε καί ἀόριστος , καθά καί ὁ κακία , διά ὁ ὁ ἀνισότης φύσις , κατά μέν ὁ πλήρης μέτρησις εἷς καί ὁ αὐτός ὁ μετρέω λόγος ἔχω πρός ἐκεῖνος , κατά ὅς μετρέω αὐτός ὁ διαφορά , καί εἰμί ὁ οὗτος μείζων πρός ὁ μικρός , ὡς ὁ ἐκεῖνος μόνος μείζων πρός ὁ μόνος μικρός · κατά δέ ὁ λοιπάς δύο μετρέω ἢ μείζων ἢ μικρός , καί οὐκέτι ὁ αὐτός . ἀλλά εἰμί μέν ἐλλιπής εἰμί ὁ μέτρησις , ὥστε μετά ὁ ὁ μέτρον προσβολή τοσαυτάκις καί ὁ πρό αὐτός ἀκαταμέτρητος τίς ἀπολείπω ἐν ἀμφότερος ὁ μετρέω , ἴσος δέ οὗτος , ἐν μείζων πᾶς ὁ ὅλος λόγος γίγνομαι ἤ2 ὁ ὑπό ὁ μέτρον καταλαμβάνω πληρόω αὐτός μέρος πρός ἀλλήλων ἐξετάζω ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 75
καὶ καθόλου οἱ ἐνδοτέρω καὶ εἰς τὸ ἔλαττον κατὰ ἴσην διαφορὰν ὑποβιβαζόμενοι ἀριθμοὶ μείζονας ἀεὶ καὶ μᾶλλον λόγους ἕξουσιν τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς μειζόνων , ὡς ἐπὶ τῶν ἀριθμητικῶν μεσοτήτων πασῶν ἔστιν ἰδεῖν τοὺς ἐλάττονας ὅρους αἰεὶ ἐν μείζοσιν ὄντας λόγοις , τοὺς δὲ μείζονας ἐν ἐλάττοσιν · ἐὰν δέ γε ὑπερβάλλουσα ᾖ ἡ μέτρησις , ὥστε , καταμετρηθέντων ὑπὸ τῆς κοινῆς αὐτῶν διαφορᾶς τῶν ὅλων , κατὰ τὴν αὐτῶν ποσότητα ὑπερπαίειν ἴσῃ τινὶ ποσότητι τὸ μέτρον , ἐν ἐλάσσονι οἱ ὅλοι λόγῳ πρὸς ἀλλήλους ἔσονται ἤπερ οἱ τὴν ἴσην ὑπερέκπτωσιν τοῦ μέτρου ἐν ἀμφοῖν ὁρίζοντες . ἔστω δὲ τῶν λεχθέντων τριῶν τρόπων ὑποδείγματα τρεῖς τινες αἵδε συζυγίαι · τῆς μὲν πλήρους μετρήσεως ἡ νʹ καὶ νεʹ , τῆς δ’ ἐλλειπούσης ἡ μηʹ καὶ νγʹ , τῆς δὲ ὑπερβαλλούσης ἡ νγʹ καὶ [ ἡ ] νηʹ , κοινὴ δὲ διαφορὰ ἐν πάσαις ἡ πεντάς . καθ’ ἑκατέρων οὖν τῶν ἐν ἑκάστῃ συζυγίᾳ ὅρων μετροῦσα ἡ πεντὰς τοὺς μὲν μείζονας ἑνδεκάκις μετρήσει τοὺς δὲ ἐλάττονας δεκάκις . ἀλλ’ ἐν μὲν τῇ πρώτῃ ἴσους τοὺς λόγους ἕξουσιν οἵ τε ὅλοι καὶ οἱ καθ’ οὓς ἐμετρήθησαν , εἴ γε οὗτοι μὲν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιδεκάτῳ
Lemmas: καί καθόλου ὁ ἐνδοτέρω καί εἰς ὁ μικρός κατά ἴσος διαφορά ὑποβιβάζω ἀριθμός μείζων ἀεί καί μᾶλλον λόγος ἔχω ὁ ὑπέρ αὐτός μείζων , ὡς ἐπί ὁ ἀριθμητικός μεσότης πᾶς εἰμί ὁράω ὁ μικρός ὅρος ἀεί ἐν μείζων εἰμί λόγος , ὁ δέ μείζων ἐν μικρός · ἐάν δέ γε ὑπερβάλλω εἰμί ὁ μέτρησις , ὥστε , καταμετρῶ ὑπό ὁ κοινός αὐτός διαφορά ὁ ὅλος , κατά ὁ αὐτός ποσότης ὑπερπαίω ἴσος τις ποσότης ὁ μέτρον , ἐν μικρός ὁ ὅλος λόγος πρός ἀλλήλων εἰμί ἤ2 ὁ ὁ ἴσος ὑπερέκπτωσις ὁ μέτρον ἐν ἄμφω ὁρίζων . ἵστημι δέ ὁ λέγω τρεῖς τρόπος ὑπόδειγμα τρεῖς τις ὅδε συζυγία · ὁ μέν πλήρης μέτρησις ὁ ν καί ναῦς , ὁ δέ ἐλλείπω ὁ μῆον καί νγʹ , ὁ δέ ὑπερβάλλω ὁ νγʹ καί [ ὁ ] ναῦς , κοινός δέ διαφορά ἐν πᾶς ὁ πεντάς . κατά ἑκάτερος οὖν ὁ ἐν ἕκαστος συζυγία ὁράω μετρέω ὁ πεντάς ὁ μέν μείζων ἕνδεκα μετρέω ὁ δέ μικρός δέκα . ἀλλά ἐν μέν ὁ πρῶτος ἴσος ὁ λόγος ἔχω ὁ τε ὅλος καί ὁ κατά ὅς μετρέω , εἰμί γε οὗτος μέν ἐν ὁ αὐτός ἐπιδέκατος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 76
λόγῳ ἔσονται . 〈 ἐν δὲ τῇ δευτέρᾳ μείζονα οἱ ὅλοι τῶν καθ’ οὓς ἐμετρήθησαν · οἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιδεκάτῳ λόγῳ ἔσονται , 〉 οἱ δ’ ὅλοι οὐκέτι μὲν ἐν τῷ αὐτῷ , ἀλλ’ ἐν μείζονι ἢ ἐπιδεκάτῳ · ὁ γὰρ νγʹ ἔχει τὸν μηʹ καὶ μεῖζον ἢ τὸ δέκατον αὐτοῦ . ἐν δὲ τῇ τρίτῃ ἐλάττονα οἱ ὅλοι τῶν καθ’ οὓς ἐμετρήθησαν · οἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιδεκάτῳ ἔσονται λόγῳ , οἱ δὲ ὅλοι 〈 ἐν 〉 ἐλάττονι ἢ ἐπιδεκάτῳ · ὁ γὰρ νηʹ τοῦ νγʹ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπιδέκατος , εἴ γε ἔχει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα καὶ ἔλαττον ἢ τὸ δέκατον αὐτοῦ . ἐὰν δὲ ὅροις ἀνίσοις ἴσοι ἀριθμοὶ προστεθῶσιν , ἡ μὲν αὐτὴ ἔσται διαφορὰ τῶν τε ἐξ ἀρχῆς καὶ τῶν μετὰ τῆς προσθέσεως , λόγον δὲ ἐλάττονα ἕξουσιν οἱ ὕστερον , τουτέστιν οἱ σὺν τῇ προσθέσει . κἂν ἀπὸ ἀνίσων δὲ ὅρων ἴση ἀφαίρεσις γένηται , οἱ ἐξ αὐτῶν λειπόμενοι ἀριθμοὶ τὴν αὐτὴν μὲν ἕξουσι διαφορὰν τοῖς ἐξ ἀρχῆς ,
Lemmas: λόγος εἰμί . 〈 ἐν δέ ὁ δύο μείζων ὁ ὅλος ὁ κατά ὅς μετρέω · ὁ μέν γάρ ἐν ὁ ἐπιδέκατος λόγος εἰμί , 〉 ὁ δέ ὅλος οὐκέτι μέν ἐν ὁ αὐτός , ἀλλά ἐν μείζων ἢ ἐπιδέκατος · ὁ γάρ νγʹ ἔχω ὁ μῆον καί μείζων ἢ ὁ δέκατος αὐτός . ἐν δέ ὁ τρίτος μικρός ὁ ὅλος ὁ κατά ὅς μετρέω · ὁ μέν γάρ ἐν ὁ αὐτός ἐπιδέκατος εἰμί λόγος , ὁ δέ ὅλος 〈 ἐν 〉 μικρός ἢ ἐπιδέκατος · ὁ γάρ ναῦς ὁ νγʹ μικρός εἰμί ἢ ἐπιδέκατος , εἰμί γε ἔχω ὁ μείζων ὁ μικρός καί μικρός ἢ ὁ δέκατος αὐτός . ἐάν δέ ὅρος ἄνισος ἴσος ἀριθμός προστίθημι , ὁ μέν αὐτός εἰμί διαφορά ὁ τε ἐκ ἀρχή καί ὁ μετά ὁ πρόσθεσις , λόγος δέ μικρός ἔχω ὁ ὕστερος , τουτέστιν ὁ σύν ὁ πρόσθεσις . κἀν ἀπό ἄνισος δέ ὁράω ἴσος ἀφαίρεσις γίγνομαι , ὁ ἐκ αὐτός λείπω ἀριθμός ὁ αὐτός μέν ἔχω διαφορά ὁ ἐκ ἀρχή ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 77
ἐν μείζονι δὲ λόγῳ γενήσονται . Ἔτι κἀκεῖνο προληπτέον χρήσιμον ἡμῖν εἰς τὰ αὐτὰ ἐσόμενον · ὅτι ἐὰν διάστημα ὁτιοῦν δὶς συντεθῇ , τουτέστιν ὁστισοῦν λόγος διαφορηθῇ , διαμένοντος δηλονότι κοινοῦ τοῦ μέσου ὅρου , οἱ ἄκροι πάντως ἐν μείζονι λόγῳ ἔσονται ἤπερ οἱ ἁπλοῦν τὸ διάστημα περιέχοντες . ἀλλ’ ἐὰν μὲν τὸ διαφορούμενον διάστημα ἐν πολλαπλασίονι λόγῳ ᾖ , καὶ οἱ ἐμπεριέχοντες ἄκροι ἐν πολλαπλασίονι ἔσονται · ἐὰν δὲ ἐν ἐπιμορίῳ , οὔτ’ ἐν ἐπιμορίῳ ἔσονται οἱ περιέχοντες οὔτ’ ἐν πολλαπλασίῳ , ἀλλ’ ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει μικτῇ . ἔστιν οὖν καὶ ἀναστρέψαντα εἰπεῖν ὅτι ἐὰν σύνθετον διάστημα τοὺς ἄκρους ἔχῃ ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ ὄντας πρὸς ἀλλήλους , πάντως καὶ τὸ διαφορηθὲν διάστημα
Lemmas: ἐν μείζων δέ λόγος γίγνομαι . ἔτι ἐκεῖνος προληπτέον χρήσιμος ἐγώ εἰς ὁ αὐτός εἰμί · ὅτι ἐάν διάστημα ὁστισοῦν δίς συντίθημι , τουτέστιν ὅστις λόγος διαφορέω , διαμένω δηλονότι κοινός ὁ μέσος ὁράω , ὁ ἄκρος πάντως ἐν μείζων λόγος εἰμί ἤ2 ὁ ἁπλόος ὁ διάστημα περιέχω . ἀλλά ἐάν μέν ὁ διαφορέω διάστημα ἐν πολλαπλασίων λόγος εἰμί , καί ὁ ἐμπεριέχω ἄκρος ἐν πολλαπλασίων εἰμί · ἐάν δέ ἐν ἐπιμόριος , οὔτε ἐν ἐπιμόριος εἰμί ὁ περιέχω οὔτε ἐν πολλαπλάσιος , ἀλλά ἐν ἄλλος τις σχέσις μικτός . εἰμί οὖν καί ἀναστρέφω εἶπον ὅτι ἐάν συντίθημι διάστημα ὁ ἄκρος ἔχω ἐν πολλαπλάσιος λόγος εἰμί πρός ἀλλήλων , πάντως καί ὁ διαφορέω διάστημα
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 78
ἐν πολλαπλασίονι λόγῳ ἔσται · ἐὰν δὲ μήτε πολλαπλάσιος ᾖ ὁ λόγος τῶν ἄκρων μήτε ἐπιμόριος , μικτὸς δέ τις , τὸ διαφορηθὲν διάστημα πολλαπλάσιον μὲν οὐκ ἔσται , ἐπιμόριον δὲ ἢ ἑτερογενές . ἀφ’ οὗ βεβαιωθήσεται ἐν τοῖς ἁρμονικοῖς λόγοις τίνα μὲν σύμφωνα διαστήματα συμφώνοις συντιθέμενα μείζους συμφωνίας ἀποτελέσει , τίνα δὲ οὐχί , καὶ ἐν τίνι λόγῳ εἰσὶν αἱ ἀποτελούμεναι σύνθετοι , καὶ ἐν τίνι 〈 αἱ 〉 ἐξ ἀρχῆς . Ἔτι κἀκεῖνο προληπτέον , ὅτι ἀριθμὸς ἀριθμὸν ἕτερον πολλαπλασιάσας τὸν ἀπογεννώμενον ἔχοντα παρέξει ἑκατέρου τῶν γεννησάντων τὰ ἰδιώματα . καὶ ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τινὶ ὄντες ἑτέρους δύο μηκύνωσιν ἐν ἄλλῳ λόγῳ μηκύνοντας , ὁ μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα , ἀνάγκη τοὺς ἐξ αὐτῶν γεννωμένους ἀποσῶσαι ἑκάτερον τὸν λόγον · καὶ ἐὰν μὲν πυθμενικοὶ ὦσιν οἱ γεννήτορες , πυθμενικὴ καὶ ἡ λῆξις τῶν λεγομένων ἐν τοῖς ἀπογεννωμένοις συμβήσεται , εἰ δὲ μὴ πυθμένες εἶεν , τὴν αὐτὴν ἀποσώσουσιν ἀναλογίαν τῆς τάξεως . Ὁμοίως κἀκεῖνο προληπτέον · πάντες οἱ ὅροι κατ’ ἀρτίαν ἔκθεσιν ἐκκείμενοι κατ’ ἴσην ὑπεροχήν , εἴτε τῆς ἀρτίας φύσεως εἶεν εἴτε τῆς περισσῆς εἴτε καὶ ἑκατέρας , τοσουτοπλάσιον
Lemmas: ἐν πολλαπλασίων λόγος εἰμί · ἐάν δέ μήτε πολλαπλάσιος εἰμί ὁ λόγος ὁ ἄκρος μήτε ἐπιμόριος , μικτός δέ τις , ὁ διαφορέω διάστημα πολλαπλάσιον μέν οὐ εἰμί , ἐπιμόριος δέ ἢ ἑτερογενής . ἀπό ὅς βεβαιόω ἐν ὁ ἁρμονικός λόγος τίς μέν σύμφωνος διάστημα σύμφωνος συντίθημι μείζων συμφωνία ἀποτελέω , τίς δέ οὐ , καί ἐν τίς λόγος εἰμί ὁ ἀποτελέω σύνθετος , καί ἐν τίς 〈 ὁ 〉 ἐκ ἀρχή . ἔτι ἐκεῖνος προληπτέον , ὅτι ἀριθμός ἀριθμός ἕτερος πολλαπλασιάζω ὁ ἀπογεννάω ἔχω παρέχω ἑκάτερος ὁ γεννάω ὁ ἰδίωμα . καί ἐάν δύο ἀριθμός ἐν λόγος τις εἰμί ἕτερος δύο μηκύνω ἐν ἄλλος λόγος μηκύνω , ὁ μείζων ὁ μείζων καί ὁ μικρός ὁ μικρός , ἀνάγκη ὁ ἐκ αὐτός γεννάω ἀποσῴζω ἑκάτερος ὁ λόγος · καί ἐάν μέν πυθμενικός εἰμί ὁ γεννήτωρ , πυθμενικός καί ὁ λῆξις ὁ λέγω ἐν ὁ ἀπογίγνομαι συμβαίνω , εἰμί δέ μή πυθμήν ἄγω , ὁ αὐτός ἀποσῴζω ἀναλογία ὁ τάξις . ὅμοιος ἐκεῖνος προληπτέον · πᾶς ὁ ὅρος κατά ἄρτιος ἔκθεσις ἔκκειμαι κατά ἴσος ὑπεροχή , εἴτε ὁ ἄρτιος φύσις ἄγω εἴτε ὁ περισσός εἴτε καί ἑκάτερος , τοσουτοπλάσιος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 79
τὸ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως πάντων τῶν ἐκκειμένων ὅρων ἀποτελοῦσι τοῦ ἐκ μόνων τῶν ἄκρων , ὅσονπερ τοῦ πλήθους τῶν ὅρων ἥμισυ ὑπάρχει , ἀφ’ οὗ παρωνυμήσει ἡ πολλαπλασιότης . Ἀκόλουθον τούτοις τὸν περὶ ἀναλογιῶν ὄντα τόπον , ὅτι σύστημα λόγων ἐστὶν ἡ ἀναλογία , τὸ παρὸν ὑπερθέμενοι , πρότερον τὸν περὶ ἐπιπέδων καὶ στερεῶν ἐπελευσόμεθα , ἴδιον ὄντα τοῦ καθ’ αὑτὸ ποσοῦ καὶ διὰ τὸ χρήσιμον τῆς διδασκαλίας ὑπέρθεσιν λαβόντα .
Lemmas: ὁ ἐκ ὁ ἐπισύνθεσις πᾶς ὁ ἔκκειμαι ὁράω ἀποτελέω ὁ ἐκ μόνος ὁ ἄκρος , ὅσος ὁ πλῆθος ὁ ὁράω ἥμισυς ὑπάρχω , ἀπό ὅς παρωνύμησις ὁ πολλαπλασιότης . ἀκόλουθος οὗτος ὁ περί ἀναλογία εἰμί τόπος , ὅτι σύστημα λόγος εἰμί ὁ ἀναλογία , ὁ πάρειμι ὑπερτίθημι , πρότερος ὁ περί ἐπίπεδος καί στερεός ἐπέρχομαι , ἴδιος εἰμί ὁ κατά ἑαυτοῦ ποσός καί διά ὁ χρήσιμος ὁ διδασκαλία ὑπέρθεσις λαμβάνω .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 80
Ἐπειδὰν τοίνυν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ὁστισοῦν ἤτοι καθ’ αὑτὸν ἢ καὶ ἐπισυντιθέμενος τοῖς πρὸ αὐτοῦ εἰς μονάδας ἀναλύηται καὶ κατὰ γραμμὴν ἐπεκτείνηται , εὐθυγραμμικὸς κεκλήσεται , διότι ἀπλατῶς ἐπὶ μόνον τὸ μῆκος πρόεισιν · ἰστέον γὰρ ὡς τὸ παλαιὸν φυσικώτερον οἱ πρόσθεν ἐσημαίνοντο τὰς τοῦ ἀριθμοῦ ποσότητας ἀναλύοντες εἰς μονάδας , ἀλλ’ οὐχ ὥσπερ οἱ νῦν συμβολικῶς . ἰδίως δὲ εὐθυγραμμικοὶ καλοῦνται οἱ διάγραμμα ἐπίπεδον μὴ ποιοῦντες , ὡς ὁ εʹ καὶ ὁ ζʹ καὶ οἱ ὅμοιοι · εὐθυμετρικοὶ δὲ καλοῦνται διὰ τὸ κατ’ εὐθεῖαν μετρεῖσθαι ὑπὸ μονάδος . καὶ ἐπειδὴ ἀρχή ἐστι καὶ στοιχεῖον μήκους ἡ στιγμή , ἧσπερ ῥύσιν φασὶν εἶναι οἱ γεωμέτραι τὴν γραμμήν , ἕξει καὶ ἡ μονὰς καθ’ ὁμοιότητα
Lemmas: ἐπειδάν τοίνυν ἀριθμός ἀπό μόνος ὅστις ἤτοι κατά ἑαυτοῦ ἢ καί ἐπισυντίθημι ὁ πρό αὐτός εἰς μόνος ἀναλύω καί κατά γραμμή ἐπεκτείνω , εὐθυγραμμικός καλέω , διότι ἀπλατῶς ἐπί μόνος ὁ μῆκος πρόειμι · ἰστέον γάρ ὡς ὁ παλαιός φυσικός ὁ πρόσθεν σημαίνω ὁ ὁ ἀριθμός ποσότης ἀναλύω εἰς μόνος , ἀλλά οὐ ὥσπερ ὁ νῦν συμβολικός . ἰδίως δέ εὐθυγραμμικός καλέω ὁ διάγραμμα ἐπίπεδος μή ποιέω , ὡς ὁ εἰ καί ὁ γῆ καί ὁ ὅμοιος · εὐθυμετρικός δέ καλέω διά ὁ κατά εὐθύς μετρέω ὑπό μόνος . καί ἐπεί ἀρχή εἰμί καί στοιχεῖον μῆκος ὁ στιγμή , ὅσπερ ῥύσις φημί εἰμί ὁ γεωμέτρης ὁ γραμμή , ἔχω καί ὁ μονή κατά ὁμοιότης