ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 81
στιγμῆς καὶ σημείου λόγον , ὡς ἂν ἀρχὴ οὖσα ποσοῦ καὶ δὴ καὶ ἀφ’ ἑαυτῆς ὡσανεὶ ῥυεῖσα καὶ κατὰ τὸ ἑαυτῆς μέγεθος ἐφ’ ἓν διαστᾶσα , εἰς μῆκος προελεύσηται . οὕτως καὶ συμβεβηκότα τινὰ ἕξει κοινὰ πρὸς τὸ σημεῖον τό τε ἀρχὴ εἶναι ποσοῦ , ὡς ἐκεῖνο πηλίκου , καὶ τὸ ἀμερὴς εἶναι , ὡς ἐκεῖνο , καὶ τὸ δύνασθαι μηδὲν πλέον ἑαυτῆς , καθὰ κἀκεῖνο · ὡς γὰρ ἅπαξ ἓν οὐδὲν πλέον τοῦ ἕν , οὕτως ἐπ’ ἄλληλα σημεῖα γινόμενα οὐδὲν πλέον σημείου ποιεῖ · οὐδὲ γάρ ἐστιν ἡ γραμμὴ πλειόνων σύνθεσις σημείων , ἀλλ’ ἤτοι ψαυστῶν ἀδιαστασία ἔσται ἢ διαστάντων ἀψαυστία , ὥστ’ οὐκέτι μέρος γραμμῆς τὸ σημεῖον · οὐ γὰρ μόνον σημεῖόν ἐστιν οὗ μέρος οὐδέν , ἀλλὰ καὶ οὐδ’ ἄλλου τινός ἐστι μέρος . κοινὸν δὲ ἔχει πρὸς τὸ σημεῖον ἡ μονὰς καὶ τὸ στερεῶν πυραμίδων ἀπειρογόνων ταῖς βάσεσιν ἐπὶ κορυφῇ θεωρουμένη ὡς ἐκεῖνο πανσχήμων νοεῖσθαι . ἴδια δὲ ἤδη ἔχει , καθὰ διαφέρει σημείου , ὡσανεὶ ὁρογενὴς οὖσα , τό τε κατὰ σύνθεσιν ἑαυτῆς εἰς μῆκος διίστασθαι καὶ ἔτι τὸ μέρος εἶναι τούτου . εἰ δὲ τῆς ἐφ’ ἓν διαστάσεως παυσαίμεθα καταγράφοντες
Lemmas: στιγμή καί σημεῖον λόγος , ὡς εἄν ἀρχή εἰμί ποσός καί δή καί ἀπό ἑαυτοῦ ὡσανεί ῥέω καί κατά ὁ ἑαυτοῦ μέγεθος ἐπί εἷς διΐστημι , εἰς μῆκος προέρχομαι . οὕτως καί συμβεβηκός τις ἔχω κοινός πρός ὁ σημεῖον ὁ τε ἀρχή εἰμί ποσός , ὡς ἐκεῖνος πηλίκος , καί ὁ ἀμερής εἰμί , ὡς ἐκεῖνος , καί ὁ δύναμαι μηδείς πλέω ἑαυτοῦ , καθά ἐκεῖνος · ὡς γάρ ἅπαξ εἷς οὐδείς πλέω ὁ εἷς , οὕτως ἐπί ἀλλήλων σημεῖον γίγνομαι οὐδείς πλέω σημεῖον ποιέω · οὐδέ γάρ εἰμί ὁ γραμμή πλείων σύνθεσις σημεῖον , ἀλλά ἤτοι ψαυστός ἀδιαστασία εἰμί ἢ διΐστημι ἀψαυστία , ὥστε οὐκέτι μέρος γραμμή ὁ σημεῖον · οὖον γάρ μόνος σημεῖον εἰμί ὅς μέρος οὐδείς , ἀλλά καί οὐδέ ἄλλος τις εἰμί μέρος . κοινός δέ ἔχω πρός ὁ σημεῖον ὁ μονή καί ὁ στερεός πυραμίς ἀπειρόγονος ὁ βάσις ἐπί κορυφή θεωρέω ὡς ἐκεῖνος πανσχήμων νοέω . ἴδιος δέ ἤδη ἔχω , καθά διαφέρω σημεῖον , ὡσανεί ὁρογενής εἰμί , ὁ τε κατά σύνθεσις ἑαυτοῦ εἰς μῆκος διίστημι καί ἔτι ὁ μέρος εἰμί οὗτος . εἰμί δέ ὁ ἐπί εἷς διάστασις παύω καταγράφω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 82
τὰς μονάδας καὶ ἐπεκβάλλοντες τὸ μῆκος , ἐπὶ δὲ τὸ πλάτος ἐπέλθοιμεν κατ’ ἐπίπεδον σχηματίζοντες αὐτάς , ὁ τοιοῦτος ἀριθμὸς ἐπίπεδος κεκλήσεται · διχῇ γὰρ ἤδη διαστατὸς καὶ ποικίλλεται εἴδεσι καταγραφόμενος , ἀρχόμενος περὶ τριγώνου , περὶ ὧν ἐν κεφαλαίῳ οὕτως ἐφοδευτέον καὶ ποριστέον αὐτῶν εὔτακτον γένεσιν . Ἐκκειμένου γὰρ τοῦ ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀριθμοῦ , ἐὰν μὲν μηδὲν διαλιπόντες σωρηδὸν συντιθῶμεν αἰεὶ τοὺς ἐφεξῆς καθ’ ἕνα , οἷον ἕνα πρῶτον , εἶτ’ ἐπὶ τούτῳ δύο , εἶτα ἐπὶ τοῖς δυσὶ τρία καὶ πρὸς τούτοις τέσσαρα καὶ μέχρις οὗ βουλόμεθα , τρίγωνοι ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀποτελεσθήσονται οἱ αʹ γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ κηʹ λϛʹ καὶ ἐφεξῆς , ὧν ἕκαστος σχηματισθήσεται ἀναλυθεὶς εἰς μονάδας τριγώνου τρόπον , καὶ αὐτὴ δὲ καθ’ ἑαυτὴν ἡ μονὰς ὡς δυνάμει οὖσα τριγωνική . τὰς δὲ πλευρὰς ἕκαστος τῶν μετὰ μονάδα τοσούτων ἕξει μονάδων , ὅσωνπερ καὶ ὁ γνώμων ἐστίν , ἢ νὴ Δία ὅσωνπερ μονάδων ὁ ὕστατος παραληφθεὶς ἐν τῇ ἐπισυνθέσει γνώμων ἐστίν , ὅπερ ἴδιον μόνων τριγώνων ἐστίν .
Lemmas: ὁ μόνος καί ἐπεκβάλλω ὁ μῆκος , ἐπί δέ ὁ πλάτος ἐπέρχομαι κατά ἐπίπεδος σχηματίζω αὐτός , ὁ τοιοῦτος ἀριθμός ἐπίπεδος καλέω · διχή γάρ ἤδη διαστατός καί ποικίλλω εἶδος καταγράφω , ἄρχω περί τρίγωνος , περί ὅς ἐν κεφάλαιος οὕτως ἐφοδευτέον καί ποριστέον αὐτός εὔτακτος γένεσις . ἔκκειμαι γάρ ὁ ἐφεξῆς ἀπό μόνος ἀριθμός , ἐάν μέν μηδείς διαλείπω σωρηδόν συντίθημι ἀεί ὁ ἐφεξῆς κατά εἷς , οἷος εἷς πρῶτος , εἶτα ἐπί οὗτος δύο , εἶτα ἐπί ὁ δύο τρεῖς καί πρός οὗτος τέσσαρες καί μέχρι ὅς βούλομαι , τρίγωνος ἐφεξῆς ἀπό μόνος ἀποτελέω ὁ ὅς γε ϛυʹ εἷς ἵημι καί καίω λϛʹ καί ἐφεξῆς , ὅς ἕκαστος σχηματίζω ἀναλύω εἰς μόνος τρίγωνος τρόπος , καί αὐτός δέ κατά ἑαυτοῦ ὁ μονή ὡς δύναμις εἰμί τριγωνικός . ὁ δέ πλευρά ἕκαστος ὁ μετά μόνος τοσοῦτος ἔχω μόνος , ὁσώνπηρ καί ὁ γνώμων εἰμί , ἢ νή Ζεύς ὁσώνπηρ μόνος ὁ ὕστερος παραλαμβάνω ἐν ὁ ἐπισύνθεσις γνώμων εἰμί , ὅσπερ ἴδιος μόνος τρίγωνος εἰμί .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 83
αὐξητικὸς ἑκάστου εἴδους τῶν πολυγώνων κατὰ πρόσθεσιν τὸ αὐτὸ εἶδος διαφυλάττων , ὡς φέρε εἰπεῖν τῷ τρία τριγώνῳ ὄντι περιτεθεῖσα ἡ τριὰς τὸ αὐτὸ εἶδος ἔχοντα τὸν ἐπίσημον ἀπετέλεσε . μετῆκται δὲ ἀπὸ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ τὸ ὄνομα · λέγεται γὰρ ἡ ὑπεροχὴ ἥπερ ἔχει τετράγωνον τετραγώνου γνώμων . πάντως δὲ ἡ σχημάτισις κατ’ ἰσόπλευρον ἔσται τρίγωνον · ὥστε τρίγωνος ἂν εἴη ἀριθμὸς ὁ 〈 ἐκ 〉 τῶν ἀπὸ μονάδος κατὰ μονάδος διαφορὰν συντιθεμένων σωρηδὸν ἀπογεννώμενος . ἐν δὲ τῇ ἐπιπεδώσει ἄρξεται ὁ τέταρτος ἐναπολαμβάνειν τὸν πρῶτον , ὁ δὲ πέμπτος τὸν δεύτερον καὶ ἀκολούθως οἱ ἄλλοι , μέχρις οὗ πάλιν ὁ ἕβδομος τὸν πρῶτον περιέχοντα περισχῇ διὰ τὸ εἶναι καὶ αὐτὸς τέταρτος ἀπὸ τοῦ τετάρτου , καὶ οἱ ἑξῆς δὲ ἀναλόγως τὸ αὐτὸ ποιήσουσι . Πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς ἐὰν ἐκ τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι συντιθῶμεν σωρηδὸν μηκέτι τοὺς ἐφεξῆς ἀλλὰ τοὺς παρ’ ἕνα , τουτέστι τοὺς περισσούς , οἷον αʹ , εἶτα αʹ γʹ , εἶτα αʹ γʹ εʹ , καὶ πάλιν αʹ γʹ εʹ ζʹ καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως , τετράγωνοι φύσονται καὶ ἐπιπεδωθήσονται
Lemmas: αὐξητικός ἕκαστος εἶδος ὁ πολύγωνος κατά πρόσθεσις ὁ αὐτός εἶδος διαφυλάσσω , ὡς φέρω εἶπον ὁ τρεῖς τρίγωνος εἰμί περιτίθημι ὁ τριάς ὁ αὐτός εἶδος ἔχω ὁ ἐπίσημος ἀποτελέω . μέτειμι δέ ἀπό ὁ ἐν γεωμετρία ὁ ὄνομα · λέγω γάρ ὁ ὑπεροχή ὅσπερ ἔχω τετράγωνος τετράγωνος γνώμων . πάντως δέ ὁ σχημάτισις κατά ἰσόπλευρος εἰμί τρίγωνος · ὥστε τρίγωνος εἄν εἰμί ἀριθμός ὁ 〈 ἐκ 〉 ὁ ἀπό μόνος κατά μόνος διαφορά συντίθημι σωρηδόν ἀπογεννάω . ἐν δέ ὁ ἐπιπέδωσις ἄρχω ὁ τέταρτος ἐναπολαμβάνω ὁ πρῶτος , ὁ δέ πέμπτος ὁ δύο καί ἀκόλουθος ὁ ἄλλος , μέχρι ὅς πάλιν ὁ ἕβδομος ὁ πρῶτος περιέχω περιέχω διά ὁ εἰμί καί αὐτός τέταρτος ἀπό ὁ τέταρτος , καί ὁ ἑξῆς δέ ἀνάλογος ὁ αὐτός ποιέω . πάλιν δέ ἐκ ἄλλος ἀρχή ἐάν ἐκ ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ἀπό μόνος ἄρχω συντίθημι σωρηδόν μηκέτι ὁ ἐφεξῆς ἀλλά ὁ παρά εἷς , τουτέστι ὁ περισσός , οἷος ὅς , εἶτα ὅς γε , εἶτα ὅς γε εἰ , καί πάλιν ὅς γε εἰ γῆ καί ἐφεξῆς ἀκόλουθος , τετράγωνος φύω καί ἐπιπεδάω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 84
τετραγωνικῶς ἀναλυθέντες εἰς μονάδας . οἱ δὲ γνώμονες γωνίαν ποιοῦντες ἀεὶ περιτεθήσονται καὶ οὐκέτι κατὰ μίαν πλευρὰν αὐξηθήσονται οἱ τετράγωνοι , ὥσπερ ἐπὶ τῶν πρὸ αὐτῶν ἐγένετο . ἄρξεται δὲ πάλιν κἀνταῦθα ὁ τρίτος ἐμπεριέχειν τὸν πρῶτον καὶ ὁ τέταρτος τὸν δεύτερον καὶ ὁ πέμπτος τὸν τρίτον ἀλλὰ καὶ τὸν πρῶτον , ἕκτος δὲ τέταρτον καὶ δεύτερον , καὶ καθόλου οἱ ἀρτιοταγεῖς ἀρτίους καὶ οἱ περισσοταγεῖς περισσούς . ἔστιν οὖν τετραγωνικὸς ἀριθμὸς ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων συντιθεμένων ἀποτελούμενος , ὡς αʹ δʹ θʹ ιϛʹ κεʹ λϛʹ καὶ ὁ ἐφεξῆς ἕκαστος πάλιν ἔχων τοσούτων μονάδων τὴν πλευράν , ὅσουσπερ καὶ τοὺς ἐν τῇ συνθέσει παραληφθέντας γνώμονας . ἐπεὶ δὲ τὸ τετράγωνον σχῆμα ἐν γραμμικοῖς διαγωνίου ἀχθείσης εἰς δύο τρίγωνα λύεται , δῆλον δ’ ὅτι καὶ συνίσταται ἐκ τούτων , εὕροιμεν ἂν καὶ ἐν ἀριθμητικοῖς ἐκ πάντων δύο τριγώνων ἀριθμῶν συνεχῶν τετράγωνον συνιστάμενον . γεννῶνται δ’ οἱ τετράγωνοι καὶ ἑκάστου τῶν ἀπὸ μονάδος ἀριθμῶν ἑαυτὸν πολλαπλασιάσαντος · ἡ μὲν γὰρ μονὰς
Lemmas: τετραγωνικός ἀναλύω εἰς μόνος . ὁ δέ γνώμων γωνία ποιέω ἀεί περιτίθημι καί οὐκέτι κατά εἷς πλευρά αὐξάνω ὁ τετράγωνος , ὥσπερ ἐπί ὁ πρό αὐτός γίγνομαι . ἄρχω δέ πάλιν ἐνταῦθα ὁ τρίτος ἐμπεριέχω ὁ πρῶτος καί ὁ τέταρτος ὁ δύο καί ὁ πέμπτος ὁ τρίτος ἀλλά καί ὁ πρῶτος , ἕκτος δέ τέταρτος καί δύο , καί καθόλου ὁ ἀρτιοταγής ἄρτιος καί ὁ περισσοταγής περισσός . εἰμί οὖν τετραγωνικός ἀριθμός ὁ ἐκ ὁ ἀπό μόνος δυάς διαφέρω συντίθημι ἀποτελέω , ὡς ὅς δέ ὁ ιϛʹ κύ λϛʹ καί ὁ ἐφεξῆς ἕκαστος πάλιν ἔχω τοσοῦτος μόνος ὁ πλευρά , ὁσόυσπηρ καί ὁ ἐν ὁ σύνθεσις παραλαμβάνω γνώμων . ἐπεί δέ ὁ τετράγωνος σχῆμα ἐν γραμμικός διαγώνιος ἄγω εἰς δύο τρίγωνος λύω , δῆλος δέ ὅτι καί συνίστημι ἐκ οὗτος , εὑρίσκω εἄν καί ἐν ἀριθμητικός ἐκ πᾶς δύο τρίγωνος ἀριθμός συνεχής τετράγωνος συνίστημι . γεννάω δέ ὁ τετράγωνος καί ἕκαστος ὁ ἀπό μόνος ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω · ὁ μέν γάρ μονή
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 85
ἑαυτὴν μονάσασα τετραγωνικὴ γίνεται , ἡ δὲ δυὰς ἑαυτὴν δυάσασα τετράγωνον τὸν δʹ ποιεῖ καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν τριάσασα τὸν θʹ καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . Ἐὰν δὲ πάλιν ἐκ τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ τοὺς δύο διαλείποντας τῇ μονάδι σωρηδὸν ἐπισυνθῶμεν , πεντάγωνοι φύσονται οἱ αʹ εʹ ιβʹ κβʹ λεʹ καὶ ἐφεξῆς , καὶ αὐτοὶ ἀναλυόμενοι εἰς μονάδας καὶ πενταγωνικῶς σχηματιζόμενοι κατὰ τὰς τρεῖς πλευρὰς περιτιθεμένων τῶν γνωμόνων . πάλιν δὲ τοσούτων μονάδων ἔσται ἡ πλευρὰ ἑκάστου , ὅσοιπερ καὶ γνώμονες εἰς τὴν γένεσιν αὐτοῦ συνετέθησαν . ἔσται οὖν πενταγωνικὸς ἀριθμὸς ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος τριάδι διαφερόντων συντιθεμένων ἀποτελούμενος , ἑξαγωνικὸς δὲ ὁ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος τετράδι διαφερόντων , καὶ ἑπταγωνικὸς ὁ 〈 ἐκ 〉 τῶν πεντάδι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , καὶ κατὰ δυάδος ὑπεροχὴν τῶν πολυγώνων πρὸς τὰς διαφορὰς τῶν γνωμόνων τὴν ὀνομασίαν ἰσχόντων . εἰ δέ τις ἐκθοῖτο στιχηδὸν ἐφεξῆς τοὺς πολυγώνους ἀπὸ τριγώνου προτάξας αὐτῶν καὶ τὸν συνεχῆ ἀριθμόν , φανήσονται ἐν τῷ διαγράμματι τρίγωνοι μὲν δύο παρὰ δύο ἄρτιοι καὶ περισσοὶ ὄντες , τετράγωνοι δὲ εἷς παρ’ ἕνα , πεντάγωνοι δὲ ὁμοίως τοῖς τριγώνοις δύο παρὰ δύο , καὶ
Lemmas: ἑαυτοῦ μονάζω τετραγωνικός γίγνομαι , ὁ δέ δυάς ἑαυτοῦ δυάζω τετράγωνος ὁ δέ ποιέω καί ὁ τριάς ἑαυτοῦ τριάζω ὁ ὁ καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ἐάν δέ πάλιν ἐκ ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ὁ δύο διαλείπω ὁ μόνος σωρηδόν ἐπισυνθέω , πεντάγωνος φύω ὁ ὅς εἰ ἶβις κβʹ λαός καί ἐφεξῆς , καί αὐτός ἀναλύω εἰς μόνος καί πενταγωνικός σχηματίζω κατά ὁ τρεῖς πλευρά περιτίθημι ὁ γνώμων . πάλιν δέ τοσοῦτος μόνος εἰμί ὁ πλευρόν ἕκαστος , ὅσος καί γνώμων εἰς ὁ γένεσις αὐτός συντίθημι . εἰμί οὖν πενταγωνικός ἀριθμός ὁ ἐκ ὁ ἀπό μόνος τριάς διαφέρω συντίθημι ἀποτελέω , ἑξαγωνικός δέ ὁ ἐκ ὁ ἀπό μόνος τετράς διαφέρω , καί ἑπταγωνικός ὁ 〈 ἐκ 〉 ὁ πεντάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος , καί κατά δυάς ὑπεροχή ὁ πολύγωνος πρός ὁ διαφορά ὁ γνώμων ὁ ὀνομασία ἴσχω . εἰμί δέ τις ἐκθέω στιχηδόν ἐφεξῆς ὁ πολύγωνος ἀπό τρίγωνος προτάσσω αὐτός καί ὁ συνεχής ἀριθμός , φαίνω ἐν ὁ διάγραμμα τρίγωνος μέν δύο παρά δύο ἄρτιος καί περισσός εἰμί , τετράγωνος δέ εἷς παρά εἷς , πεντάγωνος δέ ὁμοίως ὁ τρίγωνος δύο παρά δύο , καί
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 86
ὅλως οἱ ὁμοταγεῖς αὐτῶν , τουτέστιν *** ἀρτιοταγεῖς . καὶ γὰρ γνωμόνων ἔτυχον ἅπαντες οἱ πολύγωνοι κατά τινα φυσικὴν εὐταξίαν , τρίγωνος μὲν ἑνὸς παρ’ ἕνα περισσοῦ καὶ ἀρτίου , τετράγωνος δὲ περισσῶν μόνων , πεντάγωνος δὲ ἑνὸς πάλιν παρ’ ἕνα καὶ ἑξάγωνος περισσῶν μόνων , καὶ τοῦτο δι’ ὅλου ἀκολούθως . Ἐπεὶ δὲ ἡ μονὰς πάσης γενέσεως τῶν πολυγώνων ἀφηγεῖται καὶ διὰ τοῦτο πανσχήμων ἐστίν , ἐοικέναι λέγεται τοῦτο κύκλῳ καὶ σφαίρᾳ , διότι τε ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς ὁ κύκλος περιέχεται καὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἡ σφαῖρα καὶ διότι ὅ τε κύκλος χωρητικός ἐστι καὶ περικλειστικὸς παντὸς πολυγώνου ἐπιπέδου σχήματος καὶ ἡ σφαῖρα στερεοῦ . φανήσεται δὲ καὶ ἑξῆς καὶ τῶν στερεῶν σχημάτων τῆς γενέσεως ἀφηγουμένη ἡ μονὰς καὶ δυνάμει ἐπιδεχομένη τοὺς πάντων λόγους , πρὸς τούτοις τε ὅτι ἀφ’ ἑαυτῆς καὶ περὶ ἑαυτὴν ὡσανεὶ κινηθεῖσα εἰς ἑαυτὴν ἀποκαθίσταται , καθὰ καὶ ὁ κύκλος ἀπό τινος περί τι ἐξ ἴσου διαστήματος εἰς ταὐτὸν ἀποκαθίσταται . εἰ δὲ ὁ κυκλικὸς λόγος τῇ μονάδι ἐμφαίνεται ἄρχονται δὲ ἐπὶ τριάδος αἱ σχηματίσεις τῶν πολυγώνων , τὴν δυάδα εὐλόγως οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου
Lemmas: ὅλως ὁ ὁμοταγής αὐτός , τουτέστιν *** ἀρτιοταγής . καί γάρ γνώμων τυγχάνω ἅπας ὁ πολύγωνος κατά τις φυσικός εὐταξία , τρίγωνος μέν εἷς παρά εἷς περισσός καί ἄρτιος , τετράγωνος δέ περισσός μόνος , πεντάγωνος δέ εἷς πάλιν παρά εἷς καί ἑξάγωνος περισσός μόνος , καί οὗτος διά ὅλος ἀκόλουθος . ἐπεί δέ ὁ μονή πᾶς γένεσις ὁ πολύγωνος ἀφηγέομαι καί διά οὗτος πανσχήμων εἰμί , ἔοικα λέγω οὗτος κύκλος καί σφαῖρα , διότι τε ὑπό εἷς γραμμή ὁ κύκλος περιέχω καί εἷς ἐπίπεδος ὁ σφαῖρα καί διότι ὅς τε κύκλος χωρητικός εἰμί καί περικλειστικός πᾶς πολύγωνος ἐπίπεδος σχῆμα καί ὁ σφαῖρα στερεός . φαίνω δέ καί ἑξῆς καί ὁ στερεός σχῆμα ὁ γένεσις ἀφηγουμένη ὁ μονή καί δύναμις ἐπιδέχομαι ὁ πᾶς λόγος , πρός οὗτος τε ὅτι ἀπό ἑαυτοῦ καί περί ἑαυτοῦ ὡσανεί κινέω εἰς ἑαυτοῦ ἀποκαθίστημι , καθά καί ὁ κύκλος ἀπό τις περί τίς ἐκ ἴσος διάστημα εἰς αὐτός ἀποκαθίστημι . εἰμί δέ ὁ κυκλικός λόγος ὁ μόνος ἐμφαίνω ἄρχω δέ ἐπί τριάς ὁ σχημάτισις ὁ πολύγωνος , ὁ δυάς εὔλογος ὁ ἀπό Πυθαγόρας
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 87
ἀόριστον ἔφασαν εἶναι , διότι καθ’ αὑτὴν οὐδ’ ὁτιοῦν περιορίζεται σχῆμα · πρῶτον γὰρ εὐθύγραμμον καὶ στοιχεῖον ἐπίπεδον τὸ τρίγωνον , διότι ἐν τρισὶν ὅροις τὸ διχῇ διαστατόν . καὶ ἐπειδὴ ἐν γραμμικοῖς εἰδοποιεῖται τὰ πολύγωνα ὑπὸ τριγώνου , εἴ γε τὴν σύστασιν ἀπ’ αὐτοῦ καὶ εἰς αὐτὸ τὴν ἀνάλυσιν ἴσχει , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἐν ἀριθμοῖς εἰδοποιηθήσονται οἱ πολυγώνιοι ὑπὸ τῶν τριγώνων κατά τινα φυσικὴν εὐταξίαν . ἔσται γὰρ ὁ δυνάμει τρίγωνος ἡ μονὰς διαφορὰ τῶν ἐνεργείᾳ πρώτων πολυγώνων ἐπὶ βάθος θεωρουμένων τῶν γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ καὶ ἐφεξῆς , ὁ δὲ ἐνεργείᾳ πρῶτος τρίγωνος ὁ τρία , τῇ δὲ τάξει δεύτερος , τῶν δευτέρων πολυγώνων ἔσται διαφορὰ τῶν ϛʹ θʹ ιβʹ ιεʹ ιηʹ καʹ κδʹ κζʹ , ὁ δὲ τρίτος ὁ ϛʹ τῶν τριγώνων περίεισιν ιʹ ιϛʹ κβʹ κηʹ λδʹ μʹ μϛʹ νβʹ , καὶ πάλιν ὁ τέταρτος τῶν τετάρτων καὶ ὁ πέμπτος τῶν πέμπτων καὶ ἐφοσονοῦν . καὶ ἐν τῇ σχηματογραφίᾳ δὲ τῶν πολυγώνων δύο μὲν ἐπὶ πάντων αἱ αὐταὶ μενοῦσι πλευραὶ μηκυνόμεναι καθ’ ἕκαστον , αἱ δὲ παρὰ ταύτας ἐναποληφθήσονται
Lemmas: ἀόριστος φημί εἰμί , διότι κατά ἑαυτοῦ οὐδέ ὁστισοῦν περιορίζω σχῆμα · πρῶτος γάρ εὐθύγραμμος καί στοιχεῖον ἐπίπεδος ὁ τρίγωνος , διότι ἐν τρεῖς ὅρος ὁ διχή διαστατός . καί ἐπεί ἐν γραμμικός εἰδοποιέω ὁ πολύγωνος ὑπό τρίγωνος , εἰμί γε ὁ σύστασις ἀπό αὐτός καί εἰς αὐτός ὁ ἀνάλυσις ἴσχω , καί διά οὗτος καί ἐν ἀριθμός εἰδοποιέω ὁ πολυγώνιος ὑπό ὁ τρίγωνος κατά τις φυσικός εὐταξία . εἰμί γάρ ὁ δύναμις τρίγωνος ὁ μονή διαφορά ὁ ἐνέργεια πρῶτος πολύγωνος ἐπί βάθος θεωρέω ὁ γε δέ εἰ ϛυʹ γῆ ἤ ὁ εἷς καί ἐφεξῆς , ὁ δέ ἐνέργεια πρῶτος τρίγωνος ὁ τρεῖς , ὁ δέ τάξις δύο , ὁ δύο πολύγωνος εἰμί διαφορά ὁ ϛυʹ ὁ ἶβις ἵημι ΙΗΥ καί κδέʹ κζʹ , ὁ δέ τρίτος ὁ ϛυʹ ὁ τρίγωνος περίειμι εἷς ιϛʹ κβʹ καίω λδʹ εἷς μϛʹ νβʹ , καί πάλιν ὁ τέταρτος ὁ τέταρτος καί ὁ πέμπτος ὁ πέμπτος καί ἐφίημι . καί ἐν ὁ σχηματογραφία δέ ὁ πολύγωνος δύο μέν ἐπί πᾶς ὁ αὐτός μένω πλευρά μηκύνω κατά ἕκαστος , ὁ δέ παρά οὗτος ἐναπολαμβάνω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 88
τῇ τῶν γνωμόνων περιθέσει αἰεὶ ἀλλασσόμεναι , μία μὲν ἐν τριγώνῳ δύο δὲ ἐν τετραγώνῳ καὶ τρεῖς ἐν πενταγώνῳ καὶ ὁμοίως ἐπ’ ἄπειρον , κατὰ δυάδος κἀνταῦθα διαφορὰν τῆς κλήσεως τῶν πολυγώνων πρὸς τὴν ποσότητα τῶν ἀλλασσομένων γινομένης . ἐντεῦθεν καὶ ἡ ἔφοδος τοῦ Θυμαριδείου ἐπανθήματος ἐλήφθη . ὡρισμένων γὰρ ἢ ἀορίστων μερισαμένων ὡρισμένον τι καὶ ἑνὸς οὑτινοσοῦν τοῖς λοιποῖς καθ’ ἕκαστον συντεθέντος , τὸ ἐκ πάντων ἀθροισθὲν πλῆθος ἐπὶ μὲν τριῶν μετὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὁρισθεῖσαν ποσότητα ὅλον τῷ συγκριθέντι προσνέμει τ’ ἀφ’ οὗ τὸ λεῖπον καθ’ ἕκαστον τῶν λοιπῶν ἀφαιρεθήσεται , ἐπὶ δὲ τεσσάρων τὸ ἥμισυ καὶ ἐπὶ πέντε τὸ τρίτον καὶ ἐπὶ ἓξ τὸ τέταρτον καὶ ἀεὶ ἀκολούθως , δυάδος κἀνταῦθα διαφορᾶς ἐπιφαινομένης πρός τε τὴν ποσότητα τῶν μεριζομένων καὶ πρὸς τὴν τοῦ μορίου κλῆσιν . παρατηρητέον πῶς κἀνταῦθα ἡ μονὰς χώρας ἔσχε τῷ ὅλῳ συζυγῆσαι · ἐν μὲν γὰρ τῷ τῶν πολυγωνιῶν θεωρήματι τῷ κατὰ τὴν σχηματογραφίαν ἐλέγομεν μίαν εἶναι τὴν ἀλλασσομένην πλευρὰν τῶν τριγώνων , δύο δὲ τῶν τετραγώνων .
Lemmas: ὁ ὁ γνώμων περίθεσις ἀεί ἀλλάσσω , εἷς μέν ἐν τρίγωνος δύο δέ ἐν τετράγωνος καί τρεῖς ἐν πεντάγωνος καί ὁμοίως ἐπί ἤπειρος , κατά δυάς ἐνταῦθα διαφορά ὁ κλῆσις ὁ πολύγωνος πρός ὁ ποσότης ὁ ἀλλάσσω γίγνομαι . ἐντεῦθεν καί ὁ ἔφοδος ὁ Θυμαριδείου ἐπάνθημα λαμβάνω . ὁρίζω γάρ ἢ ἀόριστος μερίζω ὁρίζω τίς καί εἷς ὅστις ὁ λοιπός κατά ἕκαστος συντίθημι , ὁ ἐκ πᾶς ἀθροίζω πλῆθος ἐπί μέν τρεῖς μετά ὁ ἐκ ἀρχή ὁρίζω ποσότης ὅλος ὁ συγκρίνω προσνέμω τε ἀπό ὅς ὁ λείπω κατά ἕκαστος ὁ λοιπός ἀφαιρέω , ἐπί δέ τέσσαρες ὁ ἥμισυς καί ἐπί πέντε ὁ τρίτος καί ἐπί ἓξ ὁ τέταρτος καί ἀεί ἀκόλουθος , δυάς ἐνταῦθα διαφορά ἐπιφαίνω πρός τε ὁ ποσότης ὁ μερίζω καί πρός ὁ ὁ μόριον κλῆσις . παρατηρητέον πῶς ἐνταῦθα ὁ μονή χώρα ἔχω ὁ ὅλος συζυγέω · ἐν μέν γάρ ὁ ὁ πολυγώνιον θεώρημα ὁ κατά ὁ σχηματογραφία λέγω εἷς εἰμί ὁ ἀλλάσσω πλευρά ὁ τρίγωνος , δύο δέ ὁ τετράγωνος .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 89
καὶ τρεῖς πενταγώνων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως ἐνταῦθα δὲ τῷ ἐπανθήματι εἰ μὲν τρεῖς εἶεν οἱ μεριζόμενοι μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τοῦ ὁρισθέντος ὁρισμοῦ , ὅλον τὸ ληφθὲν προσνεμοῦμεν τῷ συγκριθέντι πρὸς τοὺς λοιπούς , ὡς ἀναλόγως ἔχειν ἐνταῦθα τὸ ὅλον πρὸς τὴν ἐν τοῖς τριγώνοις ἀλλασσομένην μίαν πλευράν . καὶ ἐπεὶ ἐκεῖ δύο ἔσονται ἐπὶ τετραγώνων αἱ ἀλλασσόμεναι πλευραί , ἐνταῦθα , εἰ τέσσ̣αρες εἶεν οἱ μεριζόμενοι , τὸ ἥμισυ προσνεμοῦμεν , εἴτε τρίτον ἐπιτρεῖς , καὶ ἀεὶ ἀναλόγως ποιοῦντες οὐ διαπεσούμεθα . ὅτι δὲ οὐ παρέλκει τὸ ἐπάνθημα τοῦτο , ἀλλὰ καὶ πρὸς θεώρημα ἀριθμητικὸν ἔχει τὴν ἀναφορὰν καὶ ἐφόδου γλαφυρωτάτης πρὸς ἀνεύρεσιν αἴτιον ἡμῖν γίνεται , οὕτως ἂν θεωρήσαιμεν . προστετάχθω γὰρ ἡμῖν λόγου χάριν ἀριθμοὺς ἐκθέσθαι τέσσαρας , ὧν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ δευτέρου διπλάσιος ἔσται τρίτου ἅμα καὶ τετάρτου , καὶ πάλιν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ τρίτου τριπλάσιος δευτέρου ἅμα καὶ τετάρτου , ὁμοίως τε ὁ αὐτὸς πρῶτος μετὰ τοῦ τετάρτου τετραπλάσιος τῶν δύο μέσων δευτέρου ἅμα καὶ τρίτου , σύμπαντες δὲ ἅμα πενταπλάσιοι τῶν αὐτῶν δύο
Lemmas: καί τρεῖς πεντάγωνος καί ἑξῆς ἀκόλουθος ἐνταῦθα δέ ὁ ἐπάνθημα εἰμί μέν τρεῖς ἄγω ὁ μερίζω μετά ὁ ἀφαίρεσις ὁ ὁρίζω ὁρισμός , ὅλος ὁ λαμβάνω προσνέμω ὁ συγκρίνω πρός ὁ λοιπός , ὡς ἀνάλογος ἔχω ἐνταῦθα ὁ ὅλος πρός ὁ ἐν ὁ τρίγωνος ἀλλάσσω εἷς πλευρά . καί ἐπεί ἐκεῖ δύο εἰμί ἐπί τετράγωνος ὁ ἀλλάσσω πλευρά , ἐνταῦθα , εἰμί τέσσαρες ἄγω ὁ μερίζω , ὁ ἥμισυς προσνέμω , εἴτε τρίτος ἐπιτρεῖς , καί ἀεί ἀνάλογος ποιέω οὖον διαπίπτω . ὅτι δέ οὖον παρέλκω ὁ ἐπάνθημα οὗτος , ἀλλά καί πρός θεώρημα ἀριθμητικός ἔχω ὁ ἀναφορά καί ἔφοδος γλαφυρός πρός ἀνεύρεσις αἴτιος ἐγώ γίγνομαι , οὕτως εἄν θεωρέω . προστάσσω γάρ ἐγώ λόγος χάρις ἀριθμός ἐκτίθημι τέσσαρες , ὅς ὁ πρῶτος μετά ὁ δύο διπλάσιος εἰμί τρίτος ἅμα καί τέταρτος , καί πάλιν ὁ πρῶτος μετά ὁ τρίτος τριπλάσιος δύο ἅμα καί τέταρτος , ὁμοίως τε ὁ αὐτός πρῶτος μετά ὁ τέταρτος τετραπλάσιος ὁ δύο μέσος δύο ἅμα καί τρίτος , σύμπας δέ ἅμα πενταπλάσιος ὁ αὐτός δύο
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 90
μέσων , ὡς ἂν καὶ τάξει φυσικῇ τῶν πολλαπλασίων ἀπὸ διπλασίου εἰς πενταπλάσιον ἡ προχώρησις εἴη . ἐφοδευτέον δὴ οὕτως . ἐπεὶ ἡμίσους χρεία διὰ τὸν διπλάσιον , λαμβάνω τὸν δύο ἀριθμόν · πρώτιστος γὰρ ἡμίσους παρεκτικὸς καὶ πρῶτος διπλάσιος . ἐπεὶ δὲ καὶ τρίτου διὰ τὸν τριπλάσιον λόγον , τρὶς ποιῶ τὰ δύο . ὁ δὴ γενόμενος ϛʹ δι’ ἀμφοτέρους τοὺς γεννήτορας πρῶτος ἔσται καὶ ἡμίσους καὶ τρίτου ἐπιδεκτικός . πάλιν δὲ ἐπεὶ τετάρτου μέρους δεῖ διὰ τὸν τετραπλάσιον λόγον , τετράκι τὰ ϛʹ ποιῶ , καὶ ἐπεὶ πενταπλασίου χρεία , τὰ κδʹ πεντάκις , ἅπερ γίνεται ρκʹ , καὶ ἔχω τοῦτον τὸν ἀριθμὸν κοινὸν ὄντα συγκεφαλαίωμα τῶν τεσσάρων ὅρων , ὃ δὴ καὶ θετέον εἶναι μεριστὸν εἰς τοὺς ἀναφανησομένους τέσσαρας ἀριθμούς , οἷς ἐμφανίσονται οἱ προειρημένοι λόγοι . διανεμητέον τὸν ρκʹ τρόπῳ τούτῳ . ἐπεὶ οἱ πρῶτοι δύο ἀριθμοὶ τῶν λοιπῶν δύο διπλάσιοι ἔσονται , ἐστὶ δὲ διπλασίων πυθμὴν ὡς δύο πρὸς ἕν , ἅ ἐστιν ὁμοῦ τρία , δὶς ποιῶ τὸν ρκʹ , καὶ τὸν σμʹ μερίζω παρὰ τὸν τρίτον . γίνεται δὴ μέρος ἓν τὰ πʹ . φημὶ δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τοὺς δύο πρώτους ἀριθμούς , οἵπερ διπλάσιοι
Lemmas: μέσος , ὡς εἄν καί τάξις φυσικός ὁ πολλαπλάσιος ἀπό διπλάσιος εἰς πενταπλάσιος ὁ προχώρησις εἰμί . ἐφοδευτέον δή οὕτως . ἐπεί ἥμισυς χρεία διά ὁ διπλάσιος , λαμβάνω ὁ δύο ἀριθμός · πρῶτος γάρ ἥμισυς παρεκτικός καί πρῶτος διπλάσιος . ἐπεί δέ καί τρίτος διά ὁ τριπλάσιος λόγος , τρίς ποιέω ὁ δύο . ὁ δή γίγνομαι ϛυʹ διά ἀμφότερος ὁ γεννήτωρ πρῶτος εἰμί καί ἥμισυς καί τρίτος ἐπιδεκτικός . πάλιν δέ ἐπεί τέταρτος μέρος δεῖ διά ὁ τετραπλάσιος λόγος , τετράκις ὁ ϛυʹ ποιέω , καί ἐπεί πενταπλάσιος χρεία , ὁ κδέʹ πεντάκις , ὅσπερ γίγνομαι ρκεʹ , καί ἔχω οὗτος ὁ ἀριθμός κοινός εἰμί συγκεφαλαίωμα ὁ τέσσαρες ὁράω , ὅς δή καί θετέος εἰμί μεριστός εἰς ὁ ἀναφαίνω τέσσαρες ἀριθμός , ὅς ἐμφανίζω ὁ προερέω λόγος . διανεμητέον ὁ ρκεʹ τρόπος οὗτος . ἐπεί ὁ πρῶτος δύο ἀριθμός ὁ λοιπός δύο διπλάσιος εἰμί , εἰμί δέ διπλάσιος πυθμήν ὡς δύο πρός εἷς , ὅς εἰμί ὁμοῦ τρεῖς , δίς ποιέω ὁ ρκεʹ , καί ὁ σμι μερίζω παρά ὁ τρίτος . γίγνομαι δή μέρος εἷς ὁ ἀπό . φημί δή τοσοῦτος εἰμί μόνος ὁ δύο πρῶτος ἀριθμός , ὅσπερ διπλάσιος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 91
ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο , ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν ἐν τεσσαράκοντα μονάσι . πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος καὶ ὁ τρίτος τριπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου , ὡς τρία πρὸς ἕν , ἅ ἐστιν ὁμοῦ δʹ , ποιῶ τρὶς τὸν αὐτὸν ρκʹ καὶ γίνεται τξʹ , ἃ μερίζω παρὰ τὸ τέταρτον , ἵν’ ᾖ τὸ μέρος ҁʹ . φημὶ δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τὸν πρῶτον ἅμα καὶ τὸν τρίτον , τοὺς τριπλασίους τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου , ὄντων δηλονότι ἐν μονάσι λʹ . πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος σὺν τῷ τετάρτῳ τετραπλάσιός ἐστι τῶν δύο μέσων δευτέρου καὶ τρίτου , ὡς τέσσαρα πρὸς ἕν , ἅ ἐστιν ὁμοῦ πέντε , τετράκις ποιῶ τὰ ρκʹ , γίνεται υπʹ , μερίζω παρὰ τὸν εʹ καὶ ἔχω μέρος ἓν τὰ ҁϛʹ . τοσούτων οὖν φημι μονάδων εἶναι τὸν πρῶτον σὺν τῷ τετάρτῳ , οἵπερ τετραπλάσιοί εἰσι τῶν δύο μέσων ἐν μονάσιν ὄντων κδʹ . κατὰ συνδυασμὸν οὖν εὑρημένων τῶν ἀριθμῶν , οὐδέπω δὲ καθ’ ἑαυτοὺς διακεκριμένων , ἔφοδον ἡμῖν τῆς διακρίσεως παρέχει ἡ τοῦ Θυμαρίδου ἐπανθήματος γνῶσις . συγκεφαλαιωθέντων γὰρ ὁμοῦ τῶν κατὰ τὰς συζυγίας ἀριθμῶν , λέγω δὲ τοῦ πʹ καὶ ҁʹ καὶ ҁϛʹ , τὸ σύμπαν ἔσται σξϛʹ .
Lemmas: εἰμί ὁ λοιπός δύο , εἰμί δηλονότι καί αὐτός ἐν τεσσαράκοντα μόνος . πάλιν ἐπεί ὁ πρῶτος καί ὁ τρίτος τριπλάσιος εἰμί ὁ λοιπός δύο καί τέταρτος , ὡς τρεῖς πρός εἷς , ὅς εἰμί ὁμοῦ δέ , ποιέω τρίς ὁ αὐτός ρκεʹ καί γίγνομαι τξεʹ , ὁ μερίζω παρά ὁ τέταρτος , ἵνα εἰμί ὁ μέρος ҁʹ . φημί δή τοσοῦτος εἰμί μόνος ὁ πρῶτος ἅμα καί ὁ τρίτος , ὁ τριπλάσιος ὁ λοιπός δύο καί τέταρτος , εἰμί δηλονότι ἐν μόνος λίαν . πάλιν ἐπεί ὁ πρῶτος σύν ὁ τέταρτος τετραπλάσιος εἰμί ὁ δύο μέσος δύο καί τρίτος , ὡς τέσσαρες πρός εἷς , ὅς εἰμί ὁμοῦ πέντε , τετράκις ποιέω ὁ ρκεʹ , γίγνομαι ὑπό , μερίζω παρά ὁ εἰ καί ἔχω μέρος εἷς ὁ ҁϛʹ . τοσοῦτος οὖν φημί μόνος εἰμί ὁ πρῶτος σύν ὁ τέταρτος , ὅσπερ τετραπλάσιος εἰμί ὁ δύο μέσος ἐν μόνος εἰμί κδέʹ . κατά συνδυασμός οὖν εὑρίσκω ὁ ἀριθμός , οὐδέπω δέ κατά ἑαυτοῦ διακρίνω , ἔφοδος ἐγώ ὁ διάκρισις παρέχω ὁ ὁ Θυμαρίδης ἐπάνθημα γνῶσις . συγκεφαλαιόω γάρ ὁμοῦ ὁ κατά ὁ συζυγία ἀριθμός , λέγω δέ ὁ ἀπό καί ҁʹ καί ҁϛʹ , ὁ σύμπας εἰμί σξϛʹ .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 92
ἀφαιρῶ δὴ τὸν ἐξ ἀρχῆς μερισθέντα εἰς τοὺς τέσσαρας ὅρους τὸν ρκʹ , καὶ λείπεταί μοι ρμϛʹ , ὧν ἐπεὶ τέσσαρές εἰσιν οἱ μερισάμενοι τὸ ἥμισυ ἕξει ὃ κατὰ τὴν πρώτην συζυγίαν ἴδιον ὁ πʹ . ἔστι δὲ ἥμισυ ὁ ογʹ , καὶ τὰ λοιπὰ ἀπὸ τῶν πʹ τὰ ζʹ ἔσται τοῦ δευτέρου ὅρου . ἐπειδὴ ἡ δευτέρα συζυγία περιέχει ἀριθμὸν τὸν ҁʹ , πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ҁʹ τὸν ογʹ , καὶ λείπεται ιζʹ , ἅ φημι εἶναι τοῦ τρίτου ὅρου . ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ τρίτη συζυγία ҁϛʹ ἐστὶ μονάδων , πάλιν ἀφαιρῶ τὰ ογʹ , καὶ τὰ λοιπὰ κγʹ προσνέμω τῷ τετάρτῳ ὅρῳ . καὶ οὕτως γίνεταί μοι ὁ πρῶτος ὅρος τῶν ογʹ , ὡσανεὶ γνώμων τῆς τῶν συζυγιῶν εὑρέσεως , ὥστε καθ’ ἕκαστον ἰδίᾳ διακεκριμένους τοὺς τέσσαρας εὑρεθῆναι ἐφεξῆς ὄντας ογʹ ζʹ ιζʹ κγʹ , οἵπερ εἰσὶν ὁμοῦ ρκʹ περιέχοντες τοὺς εἰρημένους λόγους τόν τε διπλάσιον καὶ πενταπλάσιον . πρώτιστοι μὲν οὖν οὗτοι καὶ πυθμενικοὶ ἀριθμοὶ ἐν τελείαις μονάσιν τοὺς εἰρημένους λόγους ἐπιδέχονται . εἰ δὲ καὶ μερίζειν θέλοιμεν τὴν μονάδα καὶ τοὺς κατ’ αὐτὴν εἰδοποιηθέντας ἀριθμοὺς περισσοὺς εἰς δύο ἴσα , φανήσονται καὶ οἱ τῶν προκειμένων ἀριθμῶν ἡμίσεις
Lemmas: ἀφαιρέω δή ὁ ἐκ ἀρχή μερίζω εἰς ὁ τέσσαρες ὅρος ὁ ρκεʹ , καί λείπω ἐγώ ρμϛʹ , ὅς ἐπεί τέσσαρες εἰμί ὁ μερίζω ὁ ἥμισυς ἔχω ὅς κατά ὁ πρῶτος συζυγία ἴδιος ὁ ἀπό . εἰμί δέ ἥμισυς ὁ ἔμφλοξ , καί ὁ λοιπάς ἀπό ὁ ἀπό ὁ γῆ εἰμί ὁ δύο ὁράω . ἐπεί ὁ δύο συζυγία περιέχω ἀριθμός ὁ ҁʹ , πάλιν ἀφαιρέω ἀπό ὁ ҁʹ ὁ ἔμφλοξ , καί λείπω ἵζω , ὅς φημί εἰμί ὁ τρίτος ὁράω . ἐπεί δέ καί ὁ τρίτος συζυγία ҁϛʹ εἰμί μόνος , πάλιν ἀφαιρέω ὁ ἔμφλοξ , καί ὁ λοιπάς κγʹ προσνέμω ὁ τέταρτος ὅρος . καί οὕτως γίγνομαι ἐγώ ὁ πρῶτος ὅρος ὁ ἔμφλοξ , ὡσανεί γνώμων ὁ ὁ συζυγία εὕρεσις , ὥστε κατά ἕκαστος ἴδιος διακρίνω ὁ τέσσαρες εὑρίσκω ἐφεξῆς εἰμί ἔμφλοξ γῆ ἵζω κγʹ , ὅσπερ εἰμί ὁμοῦ ρκεʹ περιέχω ὁ εἴρω λόγος ὁ τε διπλάσιος καί πενταπλάσιος . πρῶτος μέν οὖν οὗτος καί πυθμενικός ἀριθμός ἐν τέλειος μόνος ὁ εἴρω λόγος ἐπιδέχομαι . εἰμί δέ καί μερίζω ἐθέλω ὁ μόνος καί ὁ κατά αὐτός εἰδοποιέω ἀριθμός περισσός εἰς δύο ἴσος , φαίνω καί ὁ ὁ πρόκειμαι ἀριθμός ἥμισυς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 93
τοὺς αὐτοὺς περιέχοντες λόγους ὅ τε λϛʹ ( ʹʹ καὶ ὁ γʹ ( ʹʹ καὶ ὁ ηʹ ( ʹʹ καὶ ιαʹ ( ʹʹ , ὧν καὶ τὰ συγκεφαλαιώματα ξʹ , ἅτινα ἡμίση ἔσται δηλονότι τοῦ προτέρου συγκεφαλαιώματος τοῦ ρκʹ . εἰ δὲ καὶ πολλαπλασίους τῶν ἐξ ἀρχῆς ποιῶμεν καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασίου εἶδος , ἢ ἐπιμορίους , ἢ ἐπιμερεῖς , οἱ γενόμενοι πάντως τοὺς αὐτοὺς λόγους περιέξουσιν . ἵνα δὲ τεσσάρων ἄλλων ἀριθμῶν ἐκτεθέντων κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς προτέροις ὁμοταγεῖς κατὰ συνδυασμὸν τὸν προειρημένον τῶν ὁμοιοτάτων , ἀντὶ μὲν πολλαπλασίων γενικῶς 〈 ὑποπολλαπλάσιοι γίνωνται 〉 , εἰδικῶς δὲ ἀντὶ μὲν διπλασίων ἡμιόλιοι , ἀντὶ δὲ τριπλασίων ἐπίτριτοι ἀντὶ δὲ τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι , λαμβάνω κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον , ἐπεὶ ἡμιολίου λόγου χρεία , ἀντὶ διπλασίου τὸν πρῶτον δυνάμενον ἥμισυ παρασχεῖν , τουτέστι τὸν δύο , ὅσπερ ἦν καὶ πρῶτος διπλάσιος ἐπὶ τῶν προτέρων ἀριθμῶν , καὶ πεντάκις αὐτὸν ποιῶ , διότι σύστημά ἐστι τὰ εʹ τῶν τὸν ἡμιόλιον λόγον περιεχόντων τοῦ γʹ καὶ βʹ . καὶ ἐπεὶ ἀντὶ τριπλασίου ἐπιτρίτου λόγου χρεία , πυθμὴν δὲ ἐπιτρίτων ὁ δʹ πρὸς γʹ ἐστίν , ὁμοῦ ζʹ , ποιῶ ταῦτα δεκάκις , γίνεται οʹ .
Lemmas: ὁ αὐτός περιέχω λόγος ὅς τε λϛʹ ( ʹʹ καί ὁ γε ( ʹʹ καί ὁ ἤ ( ʹʹ καί ἰά ( ʹʹ , ὅς καί ὁ συγκεφαλαίωμα ξο , ὅστις ἥμισυς εἰμί δηλονότι ὁ πρότερος συγκεφαλαίωμα ὁ ρκεʹ . εἰμί δέ καί πολλαπλάσιος ὁ ἐκ ἀρχή ποιέω κατά ὁποῖος πολλαπλάσιος εἶδος , ἢ ἐπιμόριος , ἢ ἐπιμερής , ὁ γίγνομαι πάντως ὁ αὐτός λόγος περιέχω . ἵνα δέ τέσσαρες ἄλλος ἀριθμός ἐκτίθημι κατά ὁ αὐτός τάξις ὁ πρότερος ὁμοταγής κατά συνδυασμός ὁ προερέω ὁ ὅμοιος , ἀντί μέν πολλαπλάσιος γενικός 〈 ὑποπολλαπλάσιος γίγνομαι 〉 , εἰδικός δέ ἀντί μέν διπλάσιος ἡμιόλιος , ἀντί δέ τριπλασίων ἐπίτριτος ἀντί δέ τετραπλασίων ἐπιτέταρτος , λαμβάνω κατά ὁ αὐτός ἔφοδος , ἐπεί ἡμιόλιος λόγος χρεία , ἀντί διπλάσιος ὁ πρῶτος δύναμαι ἥμισυς παρέχω , τουτέστι ὁ δύο , ὅσπερ εἰμί καί πρῶτος διπλάσιος ἐπί ὁ πρότερος ἀριθμός , καί πεντάκις αὐτός ποιέω , διότι σύστημα εἰμί ὁ εἰ ὁ ὁ ἡμιόλιος λόγος περιέχω ὁ γε καί βε . καί ἐπεί ἀντί τριπλάσιος ἐπίτριτος λόγος χρεία , πυθμήν δέ ἐπίτριτος ὁ δέ πρός γε εἰμί , ὁμοῦ γῆ , ποιέω οὗτος δέκα , γίγνομαι οὐ .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 94
πάλιν ἐπεὶ χρεία ἐπιτετάρτου ἀντὶ τετραπλασίου , ἔστι δὲ πυθμὴν ἐπιτετάρτων εʹ πρὸς δʹ , ἅ ἐστι ὁμοῦ θʹ , ἐνάκις ποιῶ τὸν οʹ , γίνεται χλʹ . οὗτος οὖν ἔσται ὁ συνέχων τοὺς περιεκτικοὺς τῶν εἰρημένων λόγων ἀριθμούς . καὶ ἐπεὶ ἡμιολίου λόγου χρεία , διότι τοὺς πρώτους δύο ἀριθμοὺς τῶν ὑστέρων δύο ἡμιολίους εἶναι δεήσει , ἔστι δὲ ὁ πρῶτος λόγος ἐν τοῖς ἡμιόλιον λόγον περιέχουσι πυθμέσιν ὁ γʹ , τρὶς ποιῶ τὸν χλʹ καὶ 〈 γίνεται 〉 ͵αωҁʹ , ἃ μερίζω παρὰ τὸν εʹ , ὅ ἐστι σύστημα τῶν πυθμενικῶν ἡμιόλιον , καὶ ἴσχω πέμπτον μέρος τὸν 〈 τοηʹ 〉 ἀριθμόν , 〈 ὅν 〉 φημι εἶναι πρώτην συζυγίαν τῶν ἀναφανησομένων πρώτου καὶ δευτέρου ἀριθμοῦ οἳ ἔσονται ἐν τῇ ἐκθέσει ἡμιόλιοι τῶν ὑστέρων δύο . πάλιν ὅτι ἐπιτρίτου λόγου χρεία , διότι τὸν πρῶτον καὶ τὸν τρίτον ἀριθμὸν συνάμφω ἐπιτρίτους χρὴ εἶναι δευτέρου καὶ τετάρτου , ἔστι δὲ πρόλογος ἐν ἐπιτρίτῳ πυθμέσιν ὁ δʹ , τετράκις ποιῶ τὸν χλʹ , γίνεται βφκʹ , ἃ μερίζω παρὰ τὸ συναμφότερον τῶν τὸν ἐπίτριτον λόγον περιεχόντων πυθμένων , τουτέστι τὸν ζʹ , καὶ ἴσχω μέρος ζον τὸν τξʹ ἀριθμόν , ὃς γίνεταί μοι
Lemmas: πάλιν ἐπεί χρεία ἐπιτέταρτος ἀντί τετραπλάσιος , εἰμί δέ πυθμήν ἐπιτέταρτος εἰ πρός δέ , ὅς εἰμί ὁμοῦ ὁ , ἐννέα ποιέω ὁ οὐ , γίγνομαι χλέω . οὗτος οὖν εἰμί ὁ συνέχω ὁ περιεκτικός ὁ εἴρω λόγος ἀριθμός . καί ἐπεί ἡμιόλιος λόγος χρεία , διότι ὁ πρῶτος δύο ἀριθμός ὁ ὕστερος δύο ἡμιόλιος εἰμί δήω , εἰμί δέ ὁ πρῶτος λόγος ἐν ὁ ἡμιόλιος λόγος περιέχω πυθμήν ὁ γε , τρίς ποιέω ὁ χλέω καί 〈 γίγνομαι 〉 ͵αωʹ , ὁ μερίζω παρά ὁ εἰ , ὅς εἰμί σύστημα ὁ πυθμενικός ἡμιόλιος , καί ἴσχω πέμπτος μέρος ὁ 〈 τοηʹ 〉 ἀριθμός , 〈 ὅς 〉 φημί εἰμί πρῶτος συζυγία ὁ ἀναφαίνω πρῶτος καί δύο ἀριθμός ἕ εἰμί ἐν ὁ ἔκθεσις ἡμιόλιος ὁ ὕστερος δύο . πάλιν ὅτι ἐπίτριτος λόγος χρεία , διότι ὁ πρῶτος καί ὁ τρίτος ἀριθμός συνάμφω ἐπίτριτος χρή εἰμί δύο καί τέταρτος , εἰμί δέ πρόλογος ἐν ἐπίτριτος πυθμήν ὁ δέ , τετράκις ποιέω ὁ χλέω , γίγνομαι βφκʹ , ὁ μερίζω παρά ὁ συναμφότεροι ὁ ὁ ἐπίτριτος λόγος περιέχω πυθμήν , τουτέστι ὁ γῆ , καί ἴσχω μέρος ζος ὁ τξεʹ ἀριθμός , ὅς γίγνομαι ἐγώ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 95
δευτέρας συζυγίας τῶν ἀναφανησομένων πρώτου καὶ τρίτου ἀριθμοῦ , οἳ συνάμφω ἐπίτριτοι ἔσονται δευτέρου καὶ τετάρτου . ὁμοίως διότι ἐπιτετάρτου λόγου χρεία , ἵνα πρῶτος καὶ τέταρτος συνάμφω τῶν δύο μέσων ἐπιτέταρτοι ὦσιν , ἔστι δὲ πρόλογος ἐν ἐπιτετάρτῳ πυθμέσι 〈 ὁ εʹ 〉 , ποιῶ πεντάκις τὸν χλʹ , γίνεται ͵γρνʹ , μερίζω παρὰ τὸ συναμφότερον τῶν τὸν ἐπιτέταρτον λόγον περιεχόντων πυθμένων , τουτέστιν θʹ , καὶ ἴσχω μέρος θον · τνʹ , ἃ δὴ λέγω τρίτην εἶναι συζυγίαν πρώτου καὶ τετάρτου ἀριθμοῦ , οἳ συνάμφω ἐπιτέταρτοι γενήσονται δευτέρου ἅμα καὶ τρίτου . ἵνα δὲ καὶ διακρίνω εἰς τοὺς ζητουμένους τέσσαρας ἀριθμοὺς τὰς τρεῖς συζυγίας , χρήσομαι τῇ αὐτῇ ἐφόδῳ τοῦ Θυμαριδείου ἐπανθήματος . συγκεφαλαιῶ γὰρ πάλιν τοὺς τῶν συζυγιῶν ἀριθμοὺς τόν τε τοηʹ καὶ τὸν τξʹ καὶ τὸν τνʹ , ἴν’ ᾖ μοι τὸ ἀθροισθὲν πλῆθος απηʹ , καὶ πάλιν ἀφαιρῶ τὸ ἐξ ἀρχῆς συγκεφαλαίωμα χλʹ . καὶ ἐπειδὴ τέσσαρές εἰσιν οἱ ζητούμενοι ὅροι , τὸ ἥμισυ τοῦ λειπομένου ἀριθμοῦ τοῦ υνηʹ τὰ σκθʹ προσνέμω τῷ πρώτῳ ὅρῳ τῶν ζητουμένων , ὃς πρὸς τοὺς λοιποὺς τρεῖς τὴν σύγκρισιν ἕξει . ἀπὸ δὲ τοηʹ ,
Lemmas: δύο συζυγία ὁ ἀναφαίνω πρῶτος καί τρίτος ἀριθμός , ἕ συνάμφω ἐπίτριτος εἰμί δύο καί τέταρτος . ὁμοίως διότι ἐπιτέταρτος λόγος χρεία , ἵνα πρῶτος καί τέταρτος συνάμφω ὁ δύο μέσος ἐπιτέταρτος εἰμί , εἰμί δέ πρόλογος ἐν ἐπιτέταρτος πυθμήν 〈 ὁ εἰ 〉 , ποιέω πεντάκις ὁ χλέω , γίγνομαι ͵γρνʹ , μερίζω παρά ὁ συναμφότεροι ὁ ὁ ἐπιτέταρτος λόγος περιέχω πυθμήν , τουτέστιν ὁ , καί ἴσχω μέρος θον · τνηʹ , ὁ δή λέγω τρίτος εἰμί συζυγία πρῶτος καί τέταρτος ἀριθμός , ἕ συνάμφω ἐπιτέταρτος γίγνομαι δύο ἅμα καί τρίτος . ἵνα δέ καί διακρίνω εἰς ὁ ζητέω τέσσαρες ἀριθμός ὁ τρεῖς συζυγία , χράω ὁ αὐτός ἔφοδος ὁ Θυμαριδείου ἐπάνθημα . συγκεφαλαιῶ γάρ πάλιν ὁ ὁ συζυγία ἀριθμός ὁ τε τοηʹ καί ὁ τξεʹ καί ὁ τνηʹ , ἵνα εἰμί ἐγώ ὁ ἀθροίζω πλῆθος ἄπειμι , καί πάλιν ἀφαιρέω ὁ ἐκ ἀρχή συγκεφαλαίωμα χλέω . καί ἐπεί τέσσαρες εἰμί ὁ ζητέω ὅρος , ὁ ἥμισυς ὁ λείπω ἀριθμός ὁ υνηʹ ὁ σκθʹ προσνέμω ὁ πρῶτος ὅρος ὁ ζητέω , ὅς πρός ὁ λοιπός τρεῖς ὁ σύγκρισις ἔχω . ἀπό δέ τοηʹ ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 96
ὅσπερ ἦν τῆς πρώτης συζυγίας ἀριθμός , ἂν ἀφέλω τὰ σκθʹ , λείπεταί μοι ρμθʹ . τοῦτον οὖν φημι τὸν δεύτερον ἐν τῇ ἐκθέσει ἀριθμὸν εἶναι . πάλιν ἐπεὶ ἡ δευτέρα συζυγία ἀριθμός ἐστιν ὁ τῶν τξʹ , ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν σκθʹ καὶ λείπεταί μοι ρλαʹ , ὅν φημι εἶναι τρίτον ὅρον ἐν τῇ ἐκθέσει . ὁμοίως ἐπεὶ τρίτης συζυγίας ἐστὶ τὰ τνʹ , ἀφέλω σκθʹ , λείπω ρκαʹ καὶ ἴσχω τὸν τέταρτον . ὁμοῦ οὖν τῶν τεσσάρων ὅρων τάξει τούτων σκθʹ ρμθʹ ρλαʹ ρκαʹ ὁ μὲν πρῶτος καὶ δεύτερος συνάμφω ἔσονται τρίτου τε καὶ τετάρτου ἡμιόλιοι , πρῶτος δὲ ἅμα καὶ τρίτος δευτέρου καὶ τετάρτου ἐπίτριτοι , πρῶτος δὲ πάλιν καὶ τέταρτος συνάμφω δευτέρου τε καὶ τρίτου ἐπιτέταρτοι , ὅπερ ἔδει δεῖξαι . καὶ ταῦτα μὲν ἔξωθεν ἡμῖν εἰς ἔνδειξιν τῆς τῶν ἀριθμητικῶν ἐπανθημάτων γλαφυρίας οὐκ ἀσκόπως παρηδολεσχείσθω . Ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὴν τῶν πολυγώνων θεωρίαν καὶ προσεκτέον πῶς καὶ καθ’ ὅλων αὐτῶν τὸ διάγραμμα συμβαίνοι τοὺς συνεχεῖς ἀπὸ μονάδος ἀριθμούς , εἰ προεκτεθείησαν κατὰ πρῶτον στίχον , γνώμονας εἶναι τοῦ συνεχοῦς αὐτοῖς τριγωνικοῦ
Lemmas: ὅσπερ εἰμί ὁ πρῶτος συζυγία ἀριθμός , εἄν ἀφαιρέω ὁ σκθʹ , λείπω ἐγώ ρμθʹ . οὗτος οὖν φημί ὁ δύο ἐν ὁ ἔκθεσις ἀριθμός εἰμί . πάλιν ἐπεί ὁ δύο συζυγία ἀριθμός εἰμί ὁ ὁ τξεʹ , ἀφαιρέω ὁ αὐτός σκθʹ καί λείπω ἐγώ ρλαʹ , ὅς φημί εἰμί τρίτος ὅρος ἐν ὁ ἔκθεσις . ὁμοίως ἐπεί τρίτος συζυγία εἰμί ὁ τνηʹ , ἀφαιρέω σκθʹ , λείπω ρκαʹ καί ἴσχω ὁ τέταρτος . ὁμοῦ οὖν ὁ τέσσαρες ὁράω τάξις οὗτος σκθʹ ρμθʹ ρλαʹ ρκαʹ ὁ μέν πρῶτος καί δύο συνάμφω εἰμί τρίτος τε καί τέταρτος ἡμιόλιος , πρῶτος δέ ἅμα καί τρίτος δύο καί τέταρτος ἐπίτριτος , πρῶτος δέ πάλιν καί τέταρτος συνάμφω δύο τε καί τρίτος ἐπιτέταρτος , ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . καί οὗτος μέν ἔξωθεν ἐγώ εἰς ἔνδειξις ὁ ὁ ἀριθμητικός ἐπάνθημα γλαφυρία οὐ ἄσκοπος παραδολεσχέω . ἐπανιτέον δέ ἐπί ὁ ὁ πολύγωνος θεωρία καί προσεκτέος πῶς καί κατά ὅλος αὐτός ὁ διάγραμμα συμβαίνω ὁ συνεχής ἀπό μόνος ἀριθμός , εἰμί προεκτίθημι κατά πρῶτος στίχος , γνώμων εἰμί ὁ συνεχής αὐτός τριγωνικός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 97
στίχου , τοῦ δὲ παρ’ ἕνα τοὺς παρ’ ἕνα καὶ τοῦ παρὰ δύο τοὺς παρὰ δύο καὶ 〈 τοῦ παρὰ τρεῖς τοὺς 〉 παρὰ τρεῖς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . καὶ οἱ μὲν τοῦ ἑπταγώνου πάντες γνώμονες ὁμοκατάληκτοι ἔσονται τοῖς πρώτοις δυσὶ τῷ τε αʹ καὶ τῷ ϛʹ , οἱ δὲ τῶν ἄλλων κατ’ ἄλλας καὶ ἄλλας θεωρίας , ὥσπερ ἐν τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἐκθέσει πάντες οἱ τέλειοι εὑρεθήσονται , καὶ ἴδιόν τι τοῖς ἑξαγώνοις συμβεβηκὸς ἔσται τὸ καὶ τριγώνοις εἶναι πᾶσιν , οὐκέτι μὴν τοῖς τριγώνοις πᾶσι τὸ καὶ ἑξαγώνοις εἶναι συμβήσεται , ἀλλ’ ἢ μόνοις τοῖς παρ’ ἕνα , τουτέστι τοῖς ἡμίσεσι τοῖς αʹ ϛʹ ιεʹ κηʹ μεʹ ἵνα καὶ ἐνταῦθα τὸ ἥμισυ τῷ δύο οἰκείως συζυγῇ . ἐπεὶ γὰρ διπλάσιος ὁ ἑξάγωνος καταστὰς γωνίας τε καὶ πλευρᾶς τοῦ τριγώνου , διὰ τοῦτο τοὺς ἡμίσεις παρέξει ἀφ’ ἑαυτοῦ ὁ τριγωνικὸς στίχος ἑξαγώνους , οἱ δ’ ἐν τῇ ἐκθέσει τῶν ἑξαγώνων τέλειοι ἅμα καὶ τρίγωνοί εἰσιν . ἐν δὲ τῇ τοῦ πενταγώνου , ἔνθα δύο ἄρτιοι ἀνὰ μέσον τῶν δύο συζυγιῶν περισσῶν , ὁ μὲν ἕτερος ἀναγκαίως τῶν ἀρτίων ἀρτιοπέρισσός ἐστιν , ὁ δὲ λοιπὸς περισσάρτιος . καὶ πολλὰ ἄλλα παρακολουθήματα γλαφυρὰ εὕροι τις ἂν συντείνων ἑαυτὸν συμβεβηκότα
Lemmas: στίχος , ὁ δέ παρά εἷς ὁ παρά εἷς καί ὁ παρά δύο ὁ παρά δύο καί 〈 ὁ παρά τρεῖς ὁ 〉 παρά τρεῖς καί ἑξῆς ἀκόλουθος . καί ὁ μέν ὁ ἑπτάγωνος πᾶς γνώμων ὁμοκατάληκτος εἰμί ὁ πρῶτος δύο ὁ τε ὅς καί ὁ ϛυʹ , ὁ δέ ὁ ἄλλος κατά ἄλλος καί ἄλλος θεωρία , ὥσπερ ἐν ὁ ὁ ἑξάγωνος ἔκθεσις πᾶς ὁ τέλειος εὑρίσκω , καί ἴδιος τίς ὁ ἑξάγωνος συμβαίνω εἰμί ὁ καί τρίγωνος εἰμί πᾶς , οὐκέτι μήv ὁ τρίγωνος πᾶς ὁ καί ἑξάγωνος εἰμί συμβαίνω , ἀλλά ἢ μόνος ὁ παρά εἷς , τουτέστι ὁ ἥμισυς ὁ ὅς ϛυʹ ἵημι καίω μου ἵνα καί ἐνταῦθα ὁ ἥμισυς ὁ δύο οἰκεῖος συζυγή . ἐπεί γάρ διπλάσιος ὁ ἑξάγωνος καθίστημι γωνία τε καί πλευρά ὁ τρίγωνος , διά οὗτος ὁ ἥμισυς παρέχω ἀπό ἑαυτοῦ ὁ τριγωνικός στίχος ἑξάγωνος , ὁ δέ ἐν ὁ ἔκθεσις ὁ ἑξάγωνος τέλειος ἅμα καί τρίγωνος εἰμί . ἐν δέ ὁ ὁ πεντάγωνος , ἔνθα δύο ἄρτιος ἀνά μέσος ὁ δύο συζυγία περισσός , ὁ μέν ἕτερος ἀναγκαῖος ὁ ἄρτιος ἀρτιοπέρισσος εἰμί , ὁ δέ λοιπός περισσάρτιος . καί πολύς ἄλλος παρακολούθημα γλαφυρός εὑρίσκω τις εἄν συντείνω ἑαυτοῦ συμβεβηκός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 98
τῷ τῶν πολυγώνων διαγράμματι , οἷον ὅτι ἐπὶ βάθος οἱ πρῶτοι μετὰ τὰς μονάδας ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ἐστιν , οἱ δὲ δεύτεροι κοινῇ μὲν διαφορᾷ χρώμενοι τριάδι , τάξει δὲ οἱ ἐπιμόριοι ἀφ’ ἡμιολίου ἀρχόμενοι , οἱ δὲ τρίτοι ἐπιμερεῖς κοινῇ μὲν ἑξάδα διαφορὰν ἔχοντες ὀνομαζόμενοι δὲ τάξει τινὶ ἄλλῃ πρὸς ἀλλήλους · ἐπιτριμερεῖς μὲν γάρ , ἀλλὰ πέμπτα τὰ μέρη ἐπὶ τοῦ πρώτου , ἐπὶ δὲ τοῦ ἑξῆς ὄγδοα , εἶτα ἑνδέκατα , εἶτα τεσσαρεσκαιδέκατα , ἑξῆς ἀκολούθως , ὀνομαζομένων τῶν μορίων ἀεὶ κατὰ τὸ τοῦ ὑπολόγου ἥμισυ καὶ τῇ συζυγίᾳ τῆς ἐπιμερότητος . ἐμφανέστερον δὲ εὑρίσκεται ὁ ἐν τῷ διαγράμματι ἕκαστος μὲν τετράγωνος σύστημα ὢν τοῦ ὑπὲρ αὐτοῦ τριγώνου καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ὁμοειδοῦς , ἅπας δὲ πεντάγωνος τοῦ κατ’ αὐτὸν ἐπὶ βάθος τριγώνου
Lemmas: ὁ ὁ πολύγωνος διάγραμμα , οἷος ὅτι ἐπί βάθος ὁ πρῶτος μετά ὁ μόνος ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός εἰμί , ὁ δέ δύο κοινός μέν διαφορά χράω τριάς , τάξις δέ ὁ ἐπιμόριος ἀπό ἡμιόλιος ἄρχω , ὁ δέ τρίτος ἐπιμερής κοινός μέν ἑξάς διαφορά ἔχω ὀνομάζω δέ τάξις τις ἄλλος πρός ἀλλήλων · ἐπιτριμερής μέν γάρ , ἀλλά πέμπτος ὁ μέρος ἐπί ὁ πρῶτος , ἐπί δέ ὁ ἑξῆς ὄγδοος , εἶτα ἑνδέκατος , εἶτα τεσσαρεσκαιδέκατος , ἑξῆς ἀκόλουθος , ὀνομάζω ὁ μόριον ἀεί κατά ὁ ὁ ὑπολογέω ἥμισυς καί ὁ συζυγία ὁ ἐπιμερότης . ἐμφανής δέ εὑρίσκω ὁ ἐν ὁ διάγραμμα ἕκαστος μέν τετράγωνος σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός τρίγωνος καί ὁ πρό ἐκεῖνος ὁμοειδής , ἅπας δέ πεντάγωνος ὁ κατά αὐτός ἐπί βάθος τρίγωνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 99
καὶ δὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου , καὶ πᾶς ἑξάγωνος τοῦ κατ’ αὐτὸν ἐπὶ βάθος τριγώνου καὶ τρὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου , καὶ ἑπτάγωνος ὁμοίως τοῦ κατ’ αὐτὸν καὶ τετράκι τοῦ πρὸ ἐκείνου , καὶ ἀεὶ τὸ αὐτὸ συμβήσεται κατὰ πρόσθεσιν μονάδος τῆς ποσότητος παραυξομένης . πάλιν ὁ δεύτερος τετράγωνος ὁ θʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τριγώνου τοῦ ἕξ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου γʹ , ὡς εἴρηται . ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον πεντάγωνος ιβʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ θʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τετραγώνου τοῦ δʹ , παρὰ τὸν εʹ , διαγωνίου κειμένου αὐτῷ ἑνὸς τριγώνου . ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον ἑξάγωνος ὁ ιεʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν πενταγώνου τοῦ ιβʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου εʹ , παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ πρῶτον αʹ . ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ ιηʹ ἐκ τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ ιεʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ ϛʹ , παρὰ τρὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ αʹ . οἱ γὰρ ἐνεργείᾳ πρῶτοι πολύγωνοι οἱ μετὰ τὰς δυνάμει μονάδας τεταγμένοι παρ’ οὐδὲν ἦσαν , ἀλλά πως ἕκαστος ἐκ τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου . πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς ὁ ιϛʹ τετράγωνος κατὰ τὸν τέταρτον ἐπὶ πλάτος στίχον τεταγμένος σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τριγώνου
Lemmas: καί δίς ὁ πρό ἐκεῖνος , καί πᾶς ἑξάγωνος ὁ κατά αὐτός ἐπί βάθος τρίγωνος καί τρίς ὁ πρό ἐκεῖνος , καί ἑπτάγωνος ὁμοίως ὁ κατά αὐτός καί τετράκις ὁ πρό ἐκεῖνος , καί ἀεί ὁ αὐτός συμβαίνω κατά πρόσθεσις μόνος ὁ ποσότης παραυξάνω . πάλιν ὁ δύο τετράγωνος ὁ ὁ σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός τρίγωνος ὁ ἕξ καί ὁ πρό ἐκεῖνος γε , ὡς εἴρω . ὁ δέ ὑπό οὗτος πεντάγωνος ἶβις σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός τετράγωνος ὁ ὁ καί ὁ πρό ἐκεῖνος τετράγωνος ὁ δέ , παρά ὁ εἰ , διαγώνιος κεῖμαι αὐτός εἷς τρίγωνος . ὁ δέ ὑπό οὗτος ἑξάγωνος ὁ ἵημι σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός πεντάγωνος ὁ ἶβις καί ὁ πρό ἐκεῖνος εἰ , παρά δίς ὁ αὐτός τρίγωνος ὁ πρῶτος ὅς . ὁ δέ ὑπό αὐτός ἑπτάγωνος ὁ ΙΗΥ ἐκ ὁ ὑπέρ αὐτός ἑξάγωνος ὁ ἵημι καί ὁ πρό ἐκεῖνος ὁ ϛυʹ , παρά τρίς ὁ αὐτός τρίγωνος ὁ ὅς . ὁ γάρ ἐνέργεια πρῶτος πολύγωνος ὁ μετά ὁ δύναμις μόνος τάσσω παρά οὐδείς εἰμί , ἀλλά πως ἕκαστος ἐκ ὁ ὑπέρ αὐτός καί ὁ πρό ἐκεῖνος . πάλιν δέ ἐκ ἄλλος ἀρχή ὁ ιϛʹ τετράγωνος κατά ὁ τέταρτος ἐπί πλάτος στίχος τάσσω σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός τρίγωνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 100
τοῦ ιʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ϛʹ ὁμοίως παρ’ οὐδέν . ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ ιϛʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ θʹ , παρὰ τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον τὸν γʹ , διαγώνιον ὄντα πρὸς αὐτόν . ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑξάγωνος ὁ κηʹ συνέστηκεν ἔκ τε τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν κβʹ πενταγώνου καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιβʹ , παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ . ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ λδʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ κηʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιεʹ , παρὰ τρὶς [ καὶ ] τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ . καὶ ἑξῆς ὁμοίως τὸ αὐτὸ συμβήσεται συμπροκοπτόντων τοῖς ἑξῆς ἐπὶ τὸ πλάτος λαμβανομένοις πολυγώνοις καὶ τῶν γνωμονικῶν τριγώνων . ὁ μὲν γὰρ ἐφεξῆς εἰς τὸ · ἔπος στίχος τῶν πολυγώνων , οὗ ἄρχει ὁ ιεʹ τρίγωνος , διεκταθήσεται ὁμοίως τοῖς προειρημένοις κατὰ τὸν ιʹ τρίγωνον · ὁ δὲ μετ’ αὐτόν , οὗ ἀρχὴ καʹ , κατὰ τὸν ιεʹ . καὶ ἀεὶ ὁμοίως διεκταθήσεται ἡ προκοπὴ τῶν πολυγώνων καὶ τῶν εἰδοποιούντων αὐτοὺς τριγώνων , ὥστε καθολικὸν ἐπ’ αὐτῶν εἶναι θεώρημα τοῦτο · ἕκαστος γὰρ πολύγωνος σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν μονάδι μικρωνυμωτέρου
Lemmas: ὁ εἷς καί ὁ πρό ἐκεῖνος ϛυʹ ὁμοίως παρά οὐδείς . ὁ δέ ὑπό αὐτός πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα ὁ ὑπέρ αὐτός τετράγωνος ὁ ιϛʹ καί ὁ πρό ἐκεῖνος ὁ ὁ , παρά ὁ ἐνέργεια πρῶτος τρίγωνος ὁ γε , διαγώνιος εἰμί πρός αὐτός . ὁ δέ ὑπό αὐτός ἑξάγωνος ὁ καίω συνίστημι ἐκ τε ὁ ὑπέρ αὐτός κβʹ πεντάγωνος καί ὁ πρό ἐκεῖνος ἶβις , παρά δίς ὁ αὐτός τρίγωνος ὁ γε . ὁ δέ ὑπό αὐτός ἑπτάγωνος ὁ λδʹ σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός ἑξάγωνος ὁ καίω καί ὁ πρό ἐκεῖνος ἵημι , παρά τρίς [ καί ] ὁ αὐτός τρίγωνος ὁ γε . καί ἑξῆς ὁμοίως ὁ αὐτός συμβαίνω συμπροκόπτω ὁ ἑξῆς ἐπί ὁ πλάτος λαμβάνω πολύγωνος καί ὁ γνωμονικός τρίγωνος . ὁ μέν γάρ ἐφεξῆς εἰς ὁ · ἔπος στίχος ὁ πολύγωνος , ὅς ἄρχω ὁ ἵημι τρίγωνος , διεκτείνω ὁμοίως ὁ προερέω κατά ὁ εἷς τρίγωνος · ὁ δέ μετά αὐτός , ὅς ἀρχή καί , κατά ὁ ἵημι . καί ἀεί ὁμοίως διεκτείνω ὁ προκοπή ὁ πολύγωνος καί ὁ εἰδοποιέω αὐτός τρίγωνος , ὥστε καθολικός ἐπί αὐτός εἰμί θεώρημα οὗτος · ἕκαστος γάρ πολύγωνος σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός μόνος μικρώνυμος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 101
καὶ τριγώνου τοῦ ἑνὶ βαθμῷ ὑποβεβιβασμένου . καὶ τὰ μὲν τοῖς ἐπιπέδοις ἀριθμοῖς συμβαίνοντα ὡς ἐν ἐπιδρομῇ ἐπὶ τοσοῦτον ἡμῖν δεδείχθω .
Lemmas: καί τρίγωνος ὁ εἷς βαθμός ὑποβιβάζω . καί ὁ μέν ὁ ἐπίπεδος ἀριθμός συμβαίνω ὡς ἐν ἐπιδρομή ἐπί τοσοῦτος ἐγώ δείκνυμι .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 102
Ἐπεὶ δὲ καὶ περὶ ἑτερομηκῶν λέγειν καιρός διότι τῆς τῶν ἐπιπέδων ἰδιότητός εἰσι καὶ αὐτοί , ἄξιον θαυμάσαι τῶν περὶ Πυθαγόραν τὴν περὶ τὰ μαθήματα σπουδήν τε καὶ ἀκρίβειαν · κατιδόντες γὰρ οἱ σοφώτατοι πάντας τοὺς ἐν ἀριθμῷ λόγους ποικιλωτάτους ὄντας καὶ ἀπείρους τὸ πλῆθος ἀπὸ μονάδος ἅπαντας , ὥσπερ ἀπὸ κοινῆς τινος ῥίζης , φυομένους καὶ εἰς τὸ ἐνεργείᾳ ἀπὸ δυνάμεως μεθισταμένους ἀρτίους τε καὶ περισσοὺς καὶ καθ’ ἑκάτερον τοὺς εἰδικοὺς αὐτῶν τελείους τε καὶ τοὺς ἐναντίους , ἔτι μὴν καὶ τὰς δέκα σχέσεις ἀπ’ αὐτῆς πλασσομένας , πολυγώνους τε καὶ ἐπιπέδους ἀπὸ τριγώνου μέχρις ἀπείρου , ἔτι μὴν καὶ στερεούς , ὡς ἑξῆς δειχθήσεται , κατὰ πᾶν εἶδος στερεοῦ , σφαιρικοὺς λέγω καὶ κυβικοὺς καὶ πυραμιδικούς , πλευρικούς τε καὶ διαμετρικούς , καὶ ἁπλῶς ἅπαντα ὅσα συμβέβηκε τοῖς ἀριθμοῖς προσεμφαινόμενα τῇ μονάδι
Lemmas: ἐπεί δέ καί περί ἑτερομήκης λέγω καιρός διότι ὁ ὁ ἐπίπεδος ἰδιότης εἰμί καί αὐτός , ἄξιος θαυμάζω ὁ περί Πυθαγόρας ὁ περί ὁ μάθημα σπουδή τε καί ἀκρίβεια · καθοράω γάρ ὁ σοφός πᾶς ὁ ἐν ἀριθμός λόγος ποικίλος εἰμί καί ἤπειρος ὁ πλῆθος ἀπό μόνος ἅπας , ὥσπερ ἀπό κοινός τις ῥίζα , φύω καί εἰς ὁ ἐνέργεια ἀπό δύναμις μεθίστημι ἄρτιος τε καί περισσός καί κατά ἑκάτερος ὁ εἰδικός αὐτός τέλειος τε καί ὁ ἐναντίος , ἔτι μήv καί ὁ δέκα σχέσις ἀπό αὐτός πλάσσω , πολύγωνος τε καί ἐπίπεδος ἀπό τρίγωνος μέχρι ἤπειρος , ἔτι μήv καί στερεός , ὡς ἑξῆς δείκνυμι , κατά πᾶς εἶδος στερεός , σφαιρικός λέγω καί κυβικός καί πυραμιδικός , πλευρικός τε καί διαμετρικός , καί ἁπλόος ἅπας ὅσος συμβαίνω ὁ ἀριθμός προσεμφαίνομαι ὁ μόνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 103
ἐκείνην τε καὶ ἀπ’ ἐκείνης διατρανούμενα δὲ μόνον λόγον τὸν ἑτερομηκικὸν ἐν ἁπάσῃ τῇ θεωρίᾳ τῇ ἀριθμητικῇ κατὰ μηδὲν αὐτῇ κοινωνοῦντα μήτε ἐν τῷ μεταλαμβάνειν μήτε ἐν τῷ μεταδιδόναι , ἀλλ’ ὥσπερ ἀντίξουν αὐτῇ καὶ ἑτερογενῆ ἐπίτηδες ὑπ’ αὐτῆς τῆς φύσεως ἀναδειχθέντα πως . κατὰ τὴν τῶν ἀρχῶν τούτων ἐναντιότητα τῶν ὄντων ἁπάντων συνισταμένων . ὡς ἑξῆς ἐπιδειχθήσεται , ἡ τῆς ἁρμονίας οὐσία χώραν ἀναγκαίως ἔχει , εἴ γε συναρμογά τίς ἐστι καὶ ἕνωσις τῶν διχοφωνεόντων καὶ τᾷ φύσει πολεμίων ἁρμονία κατὰ τοὺς Πυθαγορείους , καὶ ἄλλως ἵνα τὰ καθόλου κἀνταῦθα διαφυλάττηται τὸ μηδὲν εἶναι ἐν τοῖς οὖσιν οὗ τὸ ἐναντίον οὐκ ἔστιν . εὐθὺς οὖν καὶ ἐξ αὐτοῦ τοῦ ὀνόματος τῆς ἑτερότητος τὴν ἐναντιότητα συνιδεῖν ἔστι · ταὐτὸν γὰρ ἐναντία . ἡ δὲ ταυτότης καὶ ἑνότης περὶ τὴν τῆς μονάδος φύσιν φαντάζεται , ὅπως καὶ μονάδα ἔφαμεν αὐτὴν κεκλῆσθαι διὰ τὸ μονὴν καὶ στάσιν ἔχειν αὐτῆς τὸν λόγον , εἴτε καθ’ ἑαυτὴν ἐξετάζοιτο , εἴτε καὶ σὺν ἄλλῳ ὡτινιοῦν εἴτε ἀριθμῷ εἴτε ὄγκῳ εἴτε μεγέθει πλησιάζοι καὶ ἀνακίρναιτο ,
Lemmas: ἐκεῖνος τε καί ἀπό ἐκεῖνος διατρανουμην δέ μόνος λόγος ὁ ἑτερομηκικὸν ἐν ἅπας ὁ θεωρία ὁ ἀριθμητικός κατά μηδείς αὐτός κοινωνέω μήτε ἐν ὁ μεταλαμβάνω μήτε ἐν ὁ μεταδίδωμι , ἀλλά ὥσπερ ἀντίξοος αὐτός καί ἑτερογενής ἐπίτηδες ὑπό αὐτός ὁ φύσις ἀναδείκνυμι πως . κατά ὁ ὁ ἀρχή οὗτος ἐναντιότης ὁ εἰμί ἅπας συνίστημι . ὡς ἑξῆς ἐπιδείκνυμι , ὁ ὁ ἁρμονία οὐσία χώρα ἀναγκαῖος ἔχω , εἰμί γε συναρμογή τίς εἰμί καί ἕνωσις ὁ διχοφωνέω καί ὁ φύσις πολέμιος ἁρμονία κατά ὁ Πυθαγόρειος , καί ἄλλως ἵνα ὁ καθόλου ἐνταῦθα διαφυλάσσω ὁ μηδείς εἰμί ἐν ὁ εἰμί ὅς ὁ ἐναντίος οὐ εἰμί . εὐθύς οὖν καί ἐκ αὐτός ὁ ὄνομα ὁ ἑτερότης ὁ ἐναντιότης συνοράω εἰμί · αὐτός γάρ ἐναντίος . ὁ δέ ταυτότης καί ἑνότης περί ὁ ὁ μόνος φύσις φαντάζω , ὅπως καί μόνος φημί αὐτός καλέω διά ὁ μονή καί στάσις ἔχω αὐτός ὁ λόγος , εἴτε κατά ἑαυτοῦ ἐξετάζω , εἴτε καί σύν ἄλλος ὅστις εἴτε ἀριθμός εἴτε ὄγκος εἴτε μέγεθος πλησιάζω καί ἀνακρίνω ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 104
στάσιν αὐτῷ καὶ ταυτότητα παρέχει · ἅπαξ γὰρ τὰ ἑκατὸν ρʹ , καὶ ἅπαξ τὸ τρίγωνον τρίγωνον , καὶ ἅπαξ ὁ ἄνθρωπος ἄνθρωπος , καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως . καὶ μὴν καὶ ὅτι τῶν περισσῶν εἰδοποιὸς ἐφάνη οὖσα ἡ μονὰς ἰδίως , γνώμονες δὲ τετραγώνων ἐφάνησαν ὄντες οἱ περισσοί , ταυτότητα δὲ καὶ ἰσότητα ἐνείδομεν τοῖς τετραγώνοις ὑπάρχουσαν , εὐλόγως ἂν ἡ ταυτότης ἀπὸ μονάδος καὶ διὰ μονάδα τοῖς ἀλόγοις συμβαίνειν λέγοιτο . εἰ δὲ ἡ ταυτότης κατὰ μονάδα , ἡ ἑτερότης κατὰ τὴν ἐναντίαν δύναμιν συμβήσεται τοῖς οὖσιν · πάλιν γὰρ αὕτη φανησεται ἰδίως τοὺς ἑτερομήκεις εἰδοποιοῦσα καὶ μηδὲν τῆς μονάδος εἰς τὴν πλάσιν αὐτῶν δεομένη , ἀλλ’ εὐθὺς ἑτερότητα καὶ παρατροπὴν τῆς διὰ μονάδα ταυτότητος κατὰ τὰς πλευρὰς ἀπογεννῶσα . παρὰ μονάδα γὰρ ἴσας τὰς πλευρὰς παντὸς ἑτερομήκους ἀποφαίνει , διότι καὶ αὕτη παρὰ μονάδα ἴση ἐστὶ τῇ μονάδι , καὶ πρώτη ἀνισότητος αἰτία γενήσεται καὶ μείζονος καὶ ἐλάττονος ἐμφαντική . καὶ ἡ συνήθεια τὸ ἕτερον ἐπὶ δυοῖν λέγει · ὅθεν καὶ οἱ γεννῶντες τὸν ἑτερομήκη δύο τέ εἰσιν ἀριθμοὶ καὶ μονάδι ἀλλήλων διαφέροντες . ἐκ ταὐτοῦ , ὃ δὴ καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον , ἐξ ἑτέρου , ὃ δὴ καὶ ἄνισον
Lemmas: στάσις αὐτός καί ταυτότης παρέχω · ἅπαξ γάρ ὁ ἑκατόν ῥεῖα , καί ἅπαξ ὁ τρίγωνος τρίγωνος , καί ἅπαξ ὁ ἄνθρωπος ἄνθρωπος , καί ἐπί πᾶς ὁμοίως . καί μήv καί ὅτι ὁ περισσός εἰδοποιός φαίνω εἰμί ὁ μονή ἰδίως , γνώμων δέ τετράγωνος φαίνω εἰμί ὁ περισσός , ταυτότης δέ καί ἰσότης ἐνοράω ὁ τετράγωνος ὑπάρχω , εὔλογος εἄν ὁ ταυτότης ἀπό μόνος καί διά μόνος ὁ ἄλογος συμβαίνω λέγω . εἰμί δέ ὁ ταυτότης κατά μόνος , ὁ ἑτερότης κατά ὁ ἐναντίος δύναμις συμβαίνω ὁ εἰμί · πάλιν γάρ οὗτος φαίνω ἰδίως ὁ ἑτερομήκης ειδοποιώ καί μηδείς ὁ μόνος εἰς ὁ πλάσις αὐτός δήω , ἀλλά εὐθύς ἑτερότης καί παρατροπή ὁ διά μόνος ταυτότης κατά ὁ πλευρά ἀπογεννάω . παρά μόνος γάρ ἴσος ὁ πλευρά πᾶς ἑτερομήκης ἀποφαίνω , διότι καί οὗτος παρά μόνος ἴσος εἰμί ὁ μόνος , καί πρῶτος ἀνισότης αἰτία γίγνομαι καί μείζων καί μικρός εμφατικός . καί ὁ συνήθεια ὁ ἕτερος ἐπί δύο λέγω · ὅθεν καί ὁ γεννάω ὁ ἑτερομήκης δύο τε εἰμί ἀριθμός καί μόνος ἀλλήλων διαφέρω . ἐκ αὐτός , ὅς δή καί ἴσος καί ὅμοιος , ἐκ ἕτερος , ὅς δή καί ἄνισος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 105
καὶ ἀνόμοιόν ἐστιν , ὡσανεί ἐκ δύο στοιχείων πάντα διαφερόντων , γίνεσθαι ἔδοξε τοῖς ἀπὸ Πυθαγόρου πρώτιστα μὲν τὰ ἐν ἀριθμοῖς συμπτώματα διὰ τὴν τῆς δυάδος πρὸς μονάδα ἐναντιότητα , κατὰ δὲ τὴν τούτων ἤδη μετουσίαν καὶ ἀφομοίωσιν καὶ τὰ ἐν κόσμῳ πάντα · τὰ μὲν γὰρ ἄλλα πάντα τὸν ἀριθμὸν φαίνεται μιμούμενα , ὁ δὲ ἀριθμὸς παρ’ ἑαυτοῦ ἀρχὰς μονάδα καὶ δυάδα . ὡς οὖν ἀπὸ πάντων τῶν τέσσαρας πλευράς τε καὶ γωνίας ἐχόντων σχημάτων συστείλαντες τὸ ὄνομα τετράγωνον ἐκαλέσαμεν τὸν πάσας πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἔχοντα , οὕτως καὶ ἑτερομήκη καλέσομεν ἀπὸ πάντων τῶν τῆς ἑτερότητος εἰδῶν κατὰ τὰς πλευρὰς τὸν ἐγγυτάτω τῆς ἑτερότητος τὴν παρατροπὴν ἐμφήναντα , τουτέστι τὸν παρὰ μονάδα τὸ ἕτερον ἐν τοῖς μήκεσιν ἐσχηκότα , ἀντιδιεσταλμένως λεγόμενον τῷ αὐτομήκει . ὅπερ πάλιν οὐ συνιδὼν ὁ Εὐκλείδης συνέχεε κἀπὶ τούτῳ τὴν τῆς θεωρίας ἐξαλλαγὴν καὶ ποικιλίαν , οἰηθεὶς ἑτερομήκη εἶναι τὸν ἀπλῶς ὑπὸ διαφόρων δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιασθέντων γινόμενον καὶ
Lemmas: καί ἀνόμοιος εἰμί , ὡσανεί ἐκ δύο στοιχεῖον πᾶς διαφέρω , γίγνομαι δοκέω ὁ ἀπό Πυθαγόρας πρῶτος μέν ὁ ἐν ἀριθμός σύμπτωμα διά ὁ ὁ δυάς πρός μόνος ἐναντιότης , κατά δέ ὁ οὗτος ἤδη μετουσία καί ἀφομοίωσις καί ὁ ἐν κόσμος πᾶς · ὁ μέν γάρ ἄλλος πᾶς ὁ ἀριθμός φαίνω μιμέομαι , ὁ δέ ἀριθμός παρά ἑαυτοῦ ἀρχή μόνος καί δυάς . ὡς οὖν ἀπό πᾶς ὁ τέσσαρες πλευρά τε καί γωνία ἔχω σχῆμα συστέλλω ὁ ὄνομα τετράγωνος καλέω ὁ πᾶς πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἔχω , οὕτως καί ἑτερομήκης καλέω ἀπό πᾶς ὁ ὁ ἑτερότης εἶδος κατά ὁ πλευρά ὁ ἐγγύς ὁ ἑτερότης ὁ παρατροπή ἐμφαίνω , τουτέστι ὁ παρά μόνος ὁ ἕτερος ἐν ὁ μῆκος ἔχω , ἀντιδιεσταλμένως λέγω ὁ αὐτομῆκος . ὅσπερ πάλιν οὖον σύν-εἶδον ὁ Εὐκλείδης συγχέω ἐπί οὗτος ὁ ὁ θεωρία ἐξαλλαγή καί ποικιλίας , οἴομαι ἑτερομήκης εἰμί ὁ ἀπλόος ὑπό διάφορος δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω γίγνομαι καί