ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 130
μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς · ἔστι γὰρ σπθʹ πρὸς ρμδʹ . καὶ δὴ ὁμοίως κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τῆς προσθήκης γιγνομένης ποτὲ μὲν μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον ἔσται τὸ ἀπό τοῦ ἀπό , ποτὲ δὲ μονάδι ἔλαττον , καὶ οὕτως ῥηταὶ γίνονται πρὸς ἀλλήλας πλευραί τε καὶ διάμετροι . ἀλλ’ οὖν ἐπειδὴ ἐναλλὰξ ποτὲ μὲν δυνάμει μείζους εἰσὶν ἢ διάμετροι διπλάσιαι πλευρῶν , ποτὲ δὲ μονάδι ἐλάττους ἢ διπλάσιαι , ἔσονται κατ’ ἐπίνοιαν πᾶσαι ὁμοῦ αἱ διάμετροι πασῶν ὁμοῦ τῶν πλευρῶν δυνάμει διπλάσιαι · ἀπίσωσις γὰρ γίνεται τοῦ μείζονος τῷ ἐλάττονι ἀναμιγέντος , διότι στάσις τοῦ ὑπερέχοντος πρὸς ὑπερεχόμενον ἡ ἰσότης ἐστί , διόπερ κἀνταῦθα τὸ μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον προστεθὲν τῷ μονάδι ἐλάττονι ἢ διπλασίῳ ἀπισώσει τὸ πᾶν , ὥστε ἀεὶ τὴν διάμετρον δυνάμει διπλασίαν εἶναι τῆς πλευρᾶς , καθάπερ καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν δείκνυται . καὶ τοσαῦτα μὲν ἡμῖν περὶ τῶν τοῖς ἐπιπέδοις ἀριθμοῖς συμβεβηκότων εἰρήσθω .
Lemmas: μόνος μείζων ἢ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ πλευρά · εἰμί γάρ σπθʹ πρός ρμδʹ . καί δή ὁμοίως κατά ὁ αὐτός λόγος ὁ προσθήκη γίγνομαι ποτέ μέν μόνος μείζων ἢ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἀπό , ποτέ δέ μόνος μικρός , καί οὕτως ῥητός γίγνομαι πρός ἀλλήλων πλευρά τε καί διάμετρος . ἀλλά οὖν ἐπεί ἐναλλάξ ποτέ μέν δύναμις μείζων εἰμί ἢ διάμετρος διπλάσιος πλευρά , ποτέ δέ μόνος μικρός ἢ διπλάσιος , εἰμί κατά ἐπίνοια πᾶς ὁμοῦ ὁ διάμετρος πᾶς ὁμοῦ ὁ πλευρά δύναμις διπλάσιος · ἀπίσωσις γάρ γίγνομαι ὁ μείζων ὁ μικρός ἀναμείγνυμι , διότι στάσις ὁ ὑπερέχω πρός ὑπερέχω ὁ Ἰσότης εἰμί , διόπερ ἐνταῦθα ὁ μόνος μείζων ἢ διπλάσιος προστίθημι ὁ μόνος μικρός ἢ διπλάσιος ἀπίσωσις ὁ πᾶς , ὥστε ἀεί ὁ διάμετρος δύναμις διπλάσιος εἰμί ὁ πλευρά , καθάπερ καί ἐπί ὁ γραμμικός δείκνυμι . καί τοσοῦτος μέν ἐγώ περί ὁ ὁ ἐπίπεδος ἀριθμός συμβεβηκός εἴρω .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 131
Στερεὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τρίτον διάστημα παρὰ τὰ ἐν ἐπιπέδοις δύο προσειληφώς , δηλονότι τετάρτου ὅρου προσγενομένου · ἐν γὰρ τέσσαρσιν ὅροις τὸ τριχῇ διαστατόν , ἵνα καὶ λαβόντος καὶ ληφθέντος καὶ τρίτου καθ’ ὃν λαμβάνεται τέταρτος αὐτὸς ᾖ . τῶν δὴ στερεῶν ἀριθμῶν εἰσιν οἱ μὲν ἰσογώνιοί τε καὶ ἰσοεπίπεδοι καὶ ἰσοδιάστατοι , καθ’ ὁμοιότητα καὶ αὐτοὶ λαμβανόμενοι τῶν ἐν γραμμικοῖς · καλοῦνται δ’ οὗτοι κύβοι καὶ τετράεδροι πυραμίδες , ὧν πάντῃ μεταλαμβάνεται ἡ βάσις · οἱ δὲ παραλληλεπίπεδοι καὶ ἰσογώνιοι , ἀνισοδιάστατοι δέ , ὧν εἴδη πλινθίδες τε καὶ δοκίδες , οἱ δὲ ἀνισεπίπεδοι καὶ ἀνισογώνιοι καὶ ἀνισοδιάστατοι , καλούμενοι σφηκίσκοι ἢ ὥς τινες βωμίσκοι ἢ σφηνίσκοι , ἑκάστου ὀνόματος καθ’ ὁμοιότητα τεθέντος , οἱ δὲ μικτοὶ πάσας μὲν γωνίας παρὰ μίαν ἴσας ἔχοντες πάντα δὲ ἐπίπεδα
Lemmas: Στερεός δέ εἰμί ἀριθμός ὁ τρίτος διάστημα παρά ὁ ἐν ἐπίπεδος δύο προσλαμβάνω , δηλονότι τέταρτος ὁράω προσγίγνομαι · ἐν γάρ τέσσαρες ὅρος ὁ τριχῆ διαστατός , ἵνα καί λαμβάνω καί λαμβάνω καί τρίτος κατά ὅς λαμβάνω τέταρτος αὐτός εἰμί . ὁ δή στερεός ἀριθμός εἰμί ὁ μέν ισογώνιος τε καί ἰσοεπίπεδος καί ἰσοδιάστατος , κατά ὁμοιότης καί αὐτός λαμβάνω ὁ ἐν γραμμικός · καλέω δέ οὗτος κύβος καί τετράεδρος πυραμίς , ὅς πάντῃ μεταλαμβάνω ὁ βάσις · ὁ δέ παραλληλεπίπεδος καί ισογώνιος , ἀνισοδιάστατος δέ , ὅς εἶδος πλινθίς τε καί δοκίς , ὁ δέ ανισεπίπεδος καί ανισογώνιος καί ἀνισοδιάστατος , καλέω σφηκίσκος ἢ ὅς τις βωμίσκος ἢ σφηνίσκος , ἕκαστος ὄνομα κατά ὁμοιότης τίθημι , ὁ δέ μικτός πᾶς μέν γωνία παρά εἷς ἴσος ἔχω πᾶς δέ ἐπίπεδος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 132
πάλιν παρ’ ἓν ἴσα πυραμίδες , αἱ ἀπὸ 〈 τῆς 〉 τετραγώνῳ βάσει χρωμένης ἀρχόμεναι μέχρις ἀπείρου , ὧν οὐκέτι μετάληψις ἔσται κατὰ τὴν βάσιν , ὡς ἐπὶ τῆς τριγώνῳ βάσει χρωμένης συνέβαινεν . ἀναλογεῖ δὲ ἐν ἐπιπέδοις τὸ μὲν ἐν τετραπλεύροις κυρίως λεγόμενον τετράγωνον κύβῳ , τὸ δὲ παραλληλόγραμμον πλινθίδι ἢ δοκίδι , ἥν τινες στηλίδα καλοῦσι , τὸ δὲ τραπέζιον σφηνίσκῳ . δεῖγμα δὲ τοῦ μὲν πάντῃ ἰσάκις ἴσως διισταμένου κύβου ὅ τε ηʹ καὶ ὁ κζʹ καὶ ὁ ξδʹ καὶ ρκεʹ καὶ σιϛʹ , ἔκ τε τοῦ δὶς δύο δὶς καὶ ἐκ τοῦ τρὶς τρία τρὶς καὶ τετράκι τέσσαρα τετράκις καὶ πεντάκι πέντε πεντάκις καὶ ἑξάκις ἓξ ἑξάκις γινόμενοι . ὧν πάντων κύβων καλουμένων ὅσοι ἂν ἐπὶ τὸ αὐτὸ πάσῃ προβάσει καταλήγωσιν ἔτι μᾶλλον καὶ σφαιρικοὶ λεγέσθωσαν , ἑνὶ πλείονι διαστήματι αὐξηθέντες ἀπὸ κυκλικῶν καὶ αὐτῶν ὁμοκαταλήκτων ὄντων , ὡς ὁ ρκεʹ ἀπὸ πλευρᾶς πεντάδος ὢν καὶ ὁ σιϛʹ ἀπὸ πλευρᾶς ἑξάδος . κἂν ἐπὶ πλέον δὲ αὐξάνωνται οὗτοι , οὐδὲν ἧττον ἑκάτεροι ἐπὶ τὴν ἑαυτῶν πλευρὰν καταλήξουσιν .
Lemmas: πάλιν παρά εἷς ἴσος πυραμίς , ὁ ἀπό 〈 ὁ 〉 τετράγωνος βάσις χράω ἄρχω μέχρι ἤπειρος , ὅς οὐκέτι μετάληψις εἰμί κατά ὁ βάσις , ὡς ἐπί ὁ τρίγωνος βάσις χράω συμβαίνω . ἀναλογέω δέ ἐν ἐπίπεδος ὁ μέν ἐν τετράπλευρος κύριος λέγω τετράγωνος κύβος , ὁ δέ παραλληλόγραμμος πλινθίς ἢ δοκίς , ὅς τις στηλίδα καλέω , ὁ δέ τραπέζιον σφηνίσκος . δεῖγμα δέ ὁ μέν πάντῃ Ἰσάκις ἴσως διίστημι κύβος ὅς τε ἤ καί ὁ κζʹ καί ὁ ξδʹ καί ρκεʹ καί σιϛʹ , ἐκ τε ὁ δίς δύο δίς καί ἐκ ὁ τρίς τρεῖς τρίς καί τετράκις τέσσαρες τετράκις καί πεντάκις πέντε πεντάκις καί ἑξάκις ἓξ ἑξάκις γίγνομαι . ὅς πᾶς κύβος καλέω ὅσος εἄν ἐπί ὁ αὐτός πᾶς πρόβασις καταλήγω ἔτι μᾶλλον καί σφαιρικός λέγω , εἷς πλείων διάστημα αὐξάνω ἀπό κυκλικός καί αὐτός ὁμοκατάληκτος εἰμί , ὡς ὁ ρκεʹ ἀπό πλευρά πεντάς εἰμί καί ὁ σιϛʹ ἀπό πλευρά ἑξάς . κἀν ἐπί πλέω δέ αὐξάνω οὗτος , οὐδείς κακός ἑκάτερος ἐπί ὁ ἑαυτοῦ πλευρά καταλήγω .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 133
ἡ δὲ μονὰς ὥσπερ τὰ ἐν ἐπιπέδοις πάντα περιεῖχε χωρὶς τοῦ ἑτερομηκικοῦ λόγου , οὕτως καὶ τὰ ἐν στερεοῖς · πυραμιδική τε γὰρ ἔσται ἐπὶ κορυφῆς θεωρουμένη παντὸς εἴδους πυραμίδος , δυνάμει στερεοῦ σημείου λόγον ἔχουσα καθ’ ἕκαστον · παντὸς γὰρ στερεοῦ ἀριθμοῦ αἱ γωνίαι μονάδες σημειώδεις ἔσονται τῶν 〈 ἐν 〉 ἐπιπέδοις δυνάμει μείζονες , διότι στερεαί · ἁπλοῦν μὲν γὰρ τὸ σημεῖόν ἐστι πέρας ὂν τοῦ ἐφ’ ἓν διαστατοῦ μεγέθους , διπλοῦν δὲ δυνάμει ἐν ἐπιπέδοις διὰ τὴν σύννευσιν τῶν δύο γραμμῶν ἐφ’ ἓν σημεῖον , ἐν δὲ στερεοῖς δυνάμει ἀόριστον ἀρχόμενον ἀπὸ τριπλοῦ , διότι πρώτη σύννευσις τριῶν πλευρῶν στερεὰν γωνίαν τὴν πυραμιδικὴν ἀποτελεῖ . καὶ μὴν σφαιρικὴ ἔσται ἡ μονάς , ὥσπερ ἦν καὶ κυκλική , τρὶς κατὰ τὸ ἑαυτῆς μέγεθος διαστᾶσα . τῶν δὲ πάντῃ ἀνισοδιαστάτων ἀριθμῶν ὑπόδειγμα κοινὸν ἔστω ὁ ξʹ · καὶ γὰρ ἐκ τοῦ τρὶς τέσσαρα πεντάκις ἐστὶ καὶ ἀνάπαλιν ἐκ τοῦ πεντάκι τέσσαρα τρὶς καὶ ἐκ τοῦ τετράκι πέντε τρὶς καὶ ἐκ τοῦ τετράκι τρία πεντάκις .
Lemmas: ὁ δέ μονή ὥσπερ ὁ ἐν ἐπίπεδος πᾶς περιέχω Χωρὶς ὁ ετερομηκιπου λόγος , οὕτως καί ὁ ἐν στερεός · πυραμιδικός τε γάρ εἰμί ἐπί κορυφή θεωρέω πᾶς εἶδος πυραμίς , δύναμις στερεός σημεῖον λόγος ἔχω κατά ἕκαστος · πᾶς γάρ στερεός ἀριθμός ὁ γωνία μόνος σημειώδης εἰμί ὁ 〈 ἐν 〉 ἐπίπεδος δύναμις μείζων , διότι στερεός · ἁπλόος μέν γάρ ὁ σημεῖον εἰμί πέρας εἰμί ὁ ἐπί εἷς διαστατός μέγεθος , διπλόος δέ δύναμις ἐν ἐπίπεδος διά ὁ σύννευσις ὁ δύο γραμμή ἐπί εἷς σημεῖον , ἐν δέ στερεός δύναμις ἀόριστος ἄρχω ἀπό τριπλόος , διότι πρῶτος σύννευσις τρεῖς πλευρά στερεός γωνία ὁ πυραμιδικός ἀποτελέω . καί μήv σφαιρικός εἰμί ὁ μόνος , ὥσπερ εἰμί καί κυκλικός , τρίς κατά ὁ ἑαυτοῦ μέγεθος διΐστημι . ὁ δέ πάντῃ ἀνισοδιάστατος ἀριθμός ὑπόδειγμα κοινός ἵστημι ὁ ξο · καί γάρ ἐκ ὁ τρίς τέσσαρες πεντάκις εἰμί καί ἀνάπαλιν ἐκ ὁ πεντάκις τέσσαρες τρίς καί ἐκ ὁ τετράκις πέντε τρίς καί ἐκ ὁ τετράκις τρεῖς πεντάκις .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 134
παραλληλεπιπέδων δέ , πλινθίδων μὲν ἰσάκις ἴσων ἐλαττονάκις οὐσῶν ὁ ιηʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία δὶς ὢν καὶ ὁ μηʹ ἐκ τοῦ τετράκι τέσσαρες τρίς , δοκίδων δέ , ἅς τινες στηλίδας , ἰσάκις ἴσας μειζονάκις οὔσας ὁ λϛʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία τετράκις ὢν καὶ ὁ μεʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία πεντάκι · ἔνεστι γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων καὶ ἐπὶ τῶν πλινθιδίων μὴ μόνον παρακειμένας , τουτέστι παρὰ μονάδας , μειώσεις τε καὶ αὐξήσεις ποιεῖσθαι , ἀλλὰ καὶ διεστώσας , ἵνα μᾶλλον ἡ ὁμοιότης σχηματίσεως ἐμφαίνωνται . πυραμίδων δὲ λόγος ῥᾴων γένοιτο καὶ εὐεφόδευτος εἰ τὴν τῶν πολυγώνων ἔκθεσιν ἀπὸ τριγώνων κατὰ παραλλήλους στίχους ὡς μικρῷ πρόσθεν διαγράψαιμεν , εἶτ’ ἐφαρμόζοιμεν σωρηδὸν τοὺς ὁμογενεῖς ἀλλήλοις εὐτάκτως μέχρις ὁποσουοῦν , ἵνα κορυφὴ μὲν πάντως μονὰς ᾖ καθ’ ἑκάστην ἐπισωρείαν , ὁμοιοσχήμων δὲ δυνάμει πάσῃ βάσις γίνηται . διὰ μὲν οὖν τῶν [ τριῶν ] γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ καὶ ἐφεξῆς τριγώνων ἔσονται πυραμίδες αἱ τρίγωνον βάσιν ἔχουσαι αὗται · δʹ ιʹ κʹ λεʹ νϛʹ , διὰ δὲ τῶν τετραγώνων τῶν δʹ θʹ ιςʹ κεʹ λϛʹ αἱ τετραγώνῳ
Lemmas: παραλληλεπίπεδος δέ , πλινθίς μέν Ἰσάκις ἴσος ἐλαττονάκις εἰμί ὁ ΙΗΥ ἐκ ὁ τρίς τρεῖς δίς εἰμί καί ὁ μῆον ἐκ ὁ τετράκις τέσσαρες τρίς , δοκίς δέ , ὅς τις στηλιδαις , Ἰσάκις ἴσος μειζονάκις εἰμί ὁ λϛʹ ἐκ ὁ τρίς τρεῖς τετράκις εἰμί καί ὁ μου ἐκ ὁ τρίς τρεῖς πεντάκις · ἔνειμι γάρ καί ἐπί οὗτος καί ἐπί ὁ πλινθίδιον μή μόνος παράκειμαι , τουτέστι παρά μόνος , μειόω τε καί αὐξάνω ποιέω , ἀλλά καί διίστημι , ἵνα μᾶλλον ὁ ὁμοιότης σχημάτισις ἐμφαίνω . πυραμίς δέ λόγος ῥᾴδιος γίγνομαι καί εὐεφόδευτος εἰμί ὁ ὁ πολύγωνος ἔκθεσις ἀπό τρίγωνος κατά παράλληλος στίχος ὡς μικρός πρόσθεν διαγράφω , εἶτα ἐφαρμόζω σωρηδόν ὁ ὁμογενής ἀλλήλων εὔτακτος μέχρι ὁπόσσις , ἵνα κορυφή μέν πάντως μονή εἰμί κατά ἕκαστος ἐπισωρεία , ὁμοιοσχήμων δέ δύναμις πᾶς βάσις γίγνομαι . διά μέν οὖν ὁ [ τρεῖς ] γε ϛυʹ εἷς ἵημι καί καί ἐφεξῆς τρίγωνος εἰμί πυραμίς ὁ τρίγωνος βάσις ἔχω οὗτος · δέ εἷς καί λαός νϛʹ , διά δέ ὁ τετράγωνος ὁ δέ ὁ ιʹ κύ λϛʹ ὁ τετράγωνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 135
βάσει χρώμεναι εʹ ιδʹ λʹ νεʹ ҁαʹ , διὰ δὲ τῶν πενταγώνων τῶν εʹ ιβʹ κβʹ λεʹ ναʹ αἱ βάσει πενταγώνῳ χρώμεναι αἱ ϛʹ ιηʹ μʹ οεʹ ρκϛʹ . τὸ δ’ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων ποιήσομεν · ὡς γὰρ γνώμονας εἴχομεν τῶν πολυγώνων τοὺς ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀριθμούς , οὕτως καὶ πυραμίδων 〈 τοὺς 〉 ἑφεξῆς πολυγώνους καθ’ ἕκαστον . ἀνάλογος δ’ ἔσται καὶ ἡ ποσότης τῶν ἐπιπέδων πρὸς τὰς πλευρὰς τὰς τῶν γνωμόνων , καὶ ὡς ἐκείνων περισσοταγεῖς μὲν δύο παρὰ δύο ἦσαν ἄρτιοι καὶ περισσοί , ἀρτιοταγεῖς δὲ εἷς παρ’ ἕνα , οὕτως κἀπὶ τούτων περισσοταγεῖς μία παρὰ τρεῖς ἀρτίας περισσὴ καὶ εἰς πεντάδα γε λήγουσα πλὴν τῇ δυνάμει · καὶ γὰρ ἐν πέμπταις ἀπ’ ἀλλήλων εἰσὶ χώραις · ἀρτιοταγεῖς δὲ δύο παρὰ δύο , συμπιπτουσῶν ἀναγκαίως ταῖς ἐν περισσοταγέσι περισσαῖς τῶν καὶ ἐντεῦθεν ὁμοιοκαταλήκτων . σύστημα δέ ἐστιν ἑκάστη τῆς ὑπὲρ αὐτὴν ἑτεροειδοῦς καὶ τῆς τῶν εἰς ἐπίπεδον ἕνα βαθμὸν ὑποβεβηκυίας , ὡς καὶ ἐπὶ τῶν πολυγώνων συνέβαινεν · οἷον 〈 ἡ 〉 εʹ τῆς δʹ καὶ αʹ , ἡ ϛʹ τῆς εʹ καὶ αʹ , ἡ ζʹ τῆς ϛʹ καὶ αʹ , καὶ
Lemmas: βάσις χράω εἰ ἴδη λίαν ναῦς ҁαʹ , διά δέ ὁ πεντάγωνος ὁ εἰ ἶβις κβʹ λαός ναί ὁ βάσις πεντάγωνος χράω ὁ ϛυʹ ΙΗΥ εἷς ΟΕΕ ρκϛʹ . ὁ δέ αὐτός καί ἐπί ὁ ἑξῆς πολύγωνος ποιέω · ὡς γάρ γνώμων ἔχω ὁ πολύγωνος ὁ ἐφεξῆς ἀπό μόνος ἀριθμός , οὕτως καί πυραμίς 〈 ὁ 〉 ἐφεξῆς πολύγωνος κατά ἕκαστος . ἀνάλογος δέ εἰμί καί ὁ ποσότης ὁ ἐπίπεδος πρός ὁ πλευρά ὁ ὁ γνώμων , καί ὡς ἐκεῖνος περισσοταγής μέν δύο παρά δύο εἰμί ἄρτιος καί περισσός , ἀρτιοταγής δέ εἷς παρά εἷς , οὕτως ἐπί οὗτος περισσοταγής εἷς παρά τρεῖς ἄρτιος περισσός καί εἰς πεντάς γε λήγω πλήν ὁ δύναμις · καί γάρ ἐν πέμπτος ἀπό ἀλλήλων εἰμί χώρα · ἀρτιοταγής δέ δύο παρά δύο , συμπίτνω ἀναγκαῖος ὁ ἐν περισσοταγής περισσός ὁ καί ἐντεῦθεν ὁμοιοκαταληκτέω . σύστημα δέ εἰμί ἕκαστος ὁ ὑπέρ αὐτός ετεροειδής καί ὁ ὁ εἰς ἐπίπεδος εἷς βαθμός ὑποβαίνω , ὡς καί ἐπί ὁ πολύγωνος συμβαίνω · οἷος 〈 ὁ 〉 εἰ ὁ δέ καί ὅς , ὁ ϛυʹ ὁ εἰ καί ὅς , ὁ γῆ ὁ ϛυʹ καί ὅς , καί
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 136
πάλιν ἡ ιδʹ τῆς ιʹ καὶ δʹ , ἡ δὲ ιηʹ τῆς ιδʹ καὶ δʹ , ἡ δὲ κβʹ τῆς ιηʹ καὶ δʹ , καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως κατὰ τὸ βάθος καὶ τὸ πλάτος ἑκάστης τῶν πολυγώνων διαγραφῆς ἐφαρμόζοντες ἀνάλογα εὑρήσομεν , ὅτι ἑκάστη πυραμὶς σύστημά ἐστι τῆς ὑπὲρ αὐτὴν καὶ τῆς ὑπ’ ἐκείνην · πρῶτον γὰρ οὐδὲν εἶτα παράπαξ εἰς ἐπίπεδον εἶτα παρὰ δὶς εἶτα παρὰ τρὶς καὶ ἐφεξῆς . καὶ τὰ ἄλλα κατὰ ταὐτὰ ἀναλόγως συμπτώματα καὶ περὶ ταύτας εὑρήσομεν . καὶ ἐν μὲν πλάτει διοίσουσιν ἀλλήλων ἰδίαις βάσεσιν , ἐν δὲ βάθει μετὰ τὸν ἰσότητι στίχον εὐθυγραμμικῶς ἐκκείμενον τετρὰς ἔσται ἡ διαφορὰ στοιχεῖον οὖσα πυραμίδων ἐνεργείᾳ , εἶτα δεκὰς ἡ δευτέρα πυραμίς , εἶτα εἰκοσὰς ἡ τρίτη πυραμὶς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ἐὰν δέ τις πυραμὶς μὴ ἐπὶ μονάδα κορυφῶται , ἀλλ’ ἐπὶ τὸν παρ’ αὐτῇ γνώμονα , κόλουρος καλεῖται · ἐὰν δὲ μηδὲ ἐπ’ ἐκεῖνον , ἀλλ’ ἐπὶ τὸν ἑξῆς , δικόλουρος , καὶ ὁμοίως τρικόλουρος καὶ τετρακόλουρος καὶ ἀεὶ ἀκολούθως ὀνομασθήσεται κατὰ τὴν ποσότητα τῶν ἀφαιρουμένων
Lemmas: πάλιν ὁ ἴδη ὁ εἷς καί δέ , ὁ δέ ΙΗΥ ὁ ἴδη καί δέ , ὁ δέ κβʹ ὁ ΙΗΥ καί δέ , καί ἐφεξῆς ἀκόλουθος κατά ὁ βάθος καί ὁ πλάτος ἕκαστος ὁ πολύγωνος διαγραφή ἐφαρμόζω ἀνάλογος εὑρίσκω , ὅτι ἕκαστος πυραμίς σύστημα εἰμί ὁ ὑπέρ αὐτός καί ὁ ὑπό ἐκεῖνος · πρῶτος γάρ οὐδείς εἶτα παραπάσσω εἰς ἐπίπεδος εἶτα παρά δίς εἶτα παρά τρίς καί ἐφεξῆς . καί ὁ ἄλλος κατά αὐτός ἀνάλογος σύμπτωμα καί περί οὗτος εὑρίσκω . καί ἐν μέν πλάτος διαφέρω ἀλλήλων ἴδιος βάσις , ἐν δέ βάθος μετά ὁ ἰσότης στίχος εὐθυγραμμικός ἔκκειμαι τετράς εἰμί ὁ διαφορά στοιχεῖον εἰμί πυραμίς ἐνέργεια , εἶτα Δεκὰς ὁ δύο πυραμίς , εἶτα εἰκοσάς ὁ τρίτος πυραμίς καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ἐάν δέ τις πυραμίς μή ἐπί μόνος κορυφόω , ἀλλά ἐπί ὁ παρά αὐτός γνώμων , κόλουρος καλέω · ἐάν δέ μηδέ ἐπί ἐκεῖνος , ἀλλά ἐπί ὁ ἑξῆς , δικόλουρος , καί ὁμοίως τρικόλουρος καί τετρακόλουρος καί ἀεί ἀκόλουθος ὀνομάζω κατά ὁ ποσότης ὁ ἀφαιρέω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 137
γνωμόνων . ἰδιώματα δὲ καὶ κύβων πολλὰ εὑρήσομεν ὥσπερ καὶ τῶν τετραγώνων · καὶ γὰρ ἑκάστου ἀριθμοῦ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑαυτὸν πολλαπλασιάσαντος καὶ τὸν ἐξ αὐτοῦ γίνονται εὔτακτοι κύβοι . καὶ εἰ τάξει οἱ ἀπὸ τετράδος τετράγωνοι τάξει τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀριθμοὺς ἑκάστους ἕκαστον μηκύνῃ ἢ ὑπὸ ἑκάστου μηκύνοιτο , ὁμοίως γενήσονται εὔτακτοι κύβοι . ἔτι οἱ περισσοὶ ἐπειδὴ ἔτι ὁμοποιοί εἰσι καὶ τῆς αὐτοῦ φύσεως , ὡς ἐδείχθη , εἰ συντιθοῖντο κατ’ ἐκλογὰς ἀεὶ προσθέσει ἑνός , φύσονται κύβοι · οἷον αʹ πρῶτον ὁ δυνάμει κύβος ἀσύνθετος , εἶτα δύο περισσοὶ γʹ εʹ ὁ ηʹ κύβος δεύτερος , εἶτα τρεῖς περισσοὶ ζʹ θʹ ιαʹ 〈 ὁ κζʹ 〉 τρίτος κύβος , εἶτα τέσσαρες ιγʹ ιεʹ ιζʹ ιθʹ ὁ ξδʹ τέταρτος κύβος , καὶ ἐπὶ τῶν ἐφεξῆς ὁμοίως . πάλιν ἐν τῇ τῶν ἀναλόγων ἐκθέσει οἱ μὲν τρίτοι τετράγωνοί εἰσιν , οἱ δὲ τέταρτοι κύβοι , οἱ δὲ ζοι κύβοι ἅμα καὶ τετράγωνοι . πᾶς δὲ κύβος τῇ ἑαυτοῦ πλευρᾷ αὐξηθεὶς τετράγωνον ποιεῖ , ὃς ἔσται τοσουτοπλάσιος τοῦ κύβου ὁσαπλάσιος ἔσται καὶ ὁ ἀπὸ τῆς κυβικῆς πλευρᾶς τετράγωνος
Lemmas: γνώμων . ἰδίωμα δέ καί κύβος πολύς εὑρίσκω ὥσπερ καί ὁ τετράγωνος · καί γάρ ἕκαστος ἀριθμός ὁ ἀπό μόνος ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω καί ὁ ἐκ αὐτός γίγνομαι εὔτακτος κύβος . καί εἰμί τάξις ὁ ἀπό τετράς τετράγωνος τάξις ὁ ἀπό δυάς ἐφεξῆς ἀριθμός ἕκαστος ἕκαστος μηκύνω ἢ ὑπό ἕκαστος μηκύνω , ὁμοίως γίγνομαι εὔτακτος κύβος . ἔτι ὁ περισσός ἐπεί ἔτι ὁμοποιός εἰμί καί ὁ αὐτός φύσις , ὡς δείκνυμι , εἰμί συντίθημι κατά ἐκλογή ἀεί πρόσθεσις εἷς , φύω κύβος · οἷος ὅς πρῶτος ὁ δύναμις κύβος ἀσύνθετος , εἶτα δύο περισσός γε εἰ ὁ ἤ κύβος δύο , εἶτα τρεῖς περισσός γῆ ὁ ἰά 〈 ὁ κζʹ 〉 τρίτος κύβος , εἶτα τέσσαρες πνίξ ἵημι ἵζω εὐθύς ὁ ξδʹ τέταρτος κύβος , καί ἐπί ὁ ἐφεξῆς ὁμοίως . πάλιν ἐν ὁ ὁ ἀνάλογος ἔκθεσις ὁ μέν τρίτος τετράγωνος εἰμί , ὁ δέ τέταρτος κύβος , ὁ δέ ζέω κύβος ἅμα καί τετράγωνος . πᾶς δέ κύβος ὁ ἑαυτοῦ πλευρά αὐξάνω τετράγωνος ποιέω , ὅς εἰμί τοσουτοπλάσιος ὁ κύβος ὁσαπλάσιος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ κυβικός πλευρά τετράγωνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 138
αὐτῆς τῆς πλευρᾶς , ὁ δὲ τετράγωνος πλευρὰ καὶ αὐτὸς ἔσται τετραγωνικὴ τοῦ γενομένου ἔκ τε τοῦ κύβου καὶ τῆς αὐτοῦ πλευρᾶς . πάλιν ὡς ἐκ δύο τετραγώνων μηκυνάντων ἀλλήλους τετράγωνος ἐγένετο , οὕτως ἐκ δύο κύβων κύβος , ἐκ δὲ κύβου ἑαυτὸν λαβόντος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος . καὶ ἐν τοῖς ἀνάλογον ἐὰν ὁ μὲν μετὰ μονάδα κύβος ᾖ , καὶ οἱ λοιποὶ κύβοι ἔσονται · καὶ τεσσάρων ἀνάλογον ὄντων , ἐὰν ὁ πρῶτος κύβος ᾖ , καὶ ὁ τέταρτος ἔσται κύβος , ἢ καὶ μετροῦντος κύβου κύβον , καὶ πλευρὰ πλευρὰν μετρήσει . καὶ σχεδὸν τὰ συμβεβηκότα πάντα τετραγώνοις ἀναλόγως ἐνοραθήσεται καὶ τοῖς κύβοις . ἐπιτρέψαντες οὖν τοῖς δι’ αὑτῶν φιλοκαλήσουσι τὴν τῶν τοιούτων συμπτωμάτων ἀνεύρεσιν , ἐπὶ τὸν περὶ ἀναλογιῶν μεταβησόμεθα τόπον . Ἡ τοίνυν ἀναλογία λόγων ἐστὶ πλειόνων ὁμοιότης καὶ ταυτότης . τί δέ ποτ’ ἐστὶ λόγος ὁ κατ’ ἀναλογίαν , ἐπεὶ πολλαχῶς ὁ λόγος , ἐν τοῖς πρόσθεν διεσαφήσαμεν ὅτι δυεῖν ὅρων ὁμογενῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους ἐστὶ σχέσις . ὁμογενῶν δὲ πρόσκειται , διότι τὰ ὑπὸ ταὐτὸ γένος συγκρίνειν προσῆκεν , οἷον μνᾶν πρὸς τάλαντον , ὧν
Lemmas: αὐτός ὁ πλευρά , ὁ δέ τετράγωνος πλευρόν καί αὐτός εἰμί τετραγωνικός ὁ γίγνομαι ἐκ τε ὁ κύβος καί ὁ αὐτός πλευρά . πάλιν ὡς ἐκ δύο τετράγωνος μηκύνω ἀλλήλων τετράγωνος γίγνομαι , οὕτως ἐκ δύο κύβος κύβος , ἐκ δέ κύβος ἑαυτοῦ λαμβάνω κύβος ἅμα καί τετράγωνος . καί ἐν ὁ ἀνάλογος ἐάν ὁ μέν μετά μόνος κύβος εἰμί , καί ὁ λοιπός κύβος εἰμί · καί τέσσαρες ἀνάλογος εἰμί , ἐάν ὁ πρῶτος κύβος εἰμί , καί ὁ τέταρτος εἰμί κύβος , ἢ καί μετρέω κύβος κύβος , καί πλευρόν πλευρά μετρέω . καί σχεδόν ὁ συμβεβηκός πᾶς τετράγωνος ἀνάλογος ἐνοράω καί ὁ κύβος . ἐπιτρέπω οὖν ὁ διά ἑαυτοῦ φιλοκαλέω ὁ ὁ τοιοῦτος σύμπτωμα ἀνεύρεσις , ἐπί ὁ περί ἀναλογία μεταβαίνω τόπος . ὁ τοίνυν ἀναλογία λόγος εἰμί πλείων ὁμοιότης καί ταυτότης . τίς δέ πρός εἰμί λόγος ὁ κατά ἀναλογία , ἐπεί πολλαχῶς ὁ λόγος , ἐν ὁ πρόσθεν διασαφέω ὅτι δύο ὁράω ὁμογενής ὁ πρός ἀλλήλων εἰμί σχέσις . ὁμογενής δέ πρόσκειμαι , διότι ὁ ὑπό αὐτός γένος συγκρίνω προσήκω , οἷος μνᾶ πρός τάλαντον , ὅς
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 139
κοινὸν γένος τὸ βάρος , καὶ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν ἢ στερεόν · κοινὸν γὰρ αὐτῶν τὸ μέγεθος . ἔστι δέ τινα καὶ κατὰ δύναμιν καὶ κατὰ ὄγκον καὶ ἄλλα τινὰ γένη συγκρινόμενα . τὰ δὲ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλα οὐ δυνατὸν εἰδέναι , οἷον πῆχυς πρὸς κοτύλην , πρὸς χοίνικα τὸ λευκόν . ἓν δὲ γένος ἐστὶ καὶ τὸ ποσὸν καὶ ποσοῦ ὁ ἀριθμός , ὥστε γενήσεται καὶ τῶν ἐν ἀριθμῷ λόγων ἡ σύγκρισις , ἔσται αὐτῶν λόγος τις καὶ σχέσις ποιά . κἂν μὲν ἐν ἰσότητι ὧσιν οἱ ὅροι , ἴσου πρὸς ἴσον ἐστὶ λόγος · ἀδιάφορος γὰρ ἡ ἰσότης · ἐν δὲ ἀνισότητι κατὰ διαφοράν . καὶ διάστημα μὲν οὐ ταὐτὸ ἔσται καὶ ὁ λόγος διττὸς καὶ ὅτι καὶ τὸ ἄνισον δύο καὶ οὐχ ἓν καὶ διάστημα μὲν ταὐτὸν ἔσται , λόγος δὲ ἕτερος · τοῦ γὰρ δύο πρὸς ἓν καὶ τοῦ ἑνὸς πρὸς δύο διάστημα μὲν ταὐτόν , λόγος δὲ διπλάσιός τε καὶ ἥμισυς , ὥστε ἕτερον λόγον εἶναι διαστήματος · καὶ γὰρ ἐπὶ πλείοσιν ὅροις , λόγου πολλάκις τοῦ αὐτοῦ ὄντος , διάστημα ἕτερόν ἐστιν , ὡς ἐπὶ τῶν δʹ ϛʹ θʹ . ὅτι
Lemmas: κοινός γένος ὁ βάρος , καί γραμμή πρός ἐπιφάνεια ἢ στερεός · κοινός γάρ αὐτός ὁ μέγεθος . εἰμί δέ τις καί κατά δύναμις καί κατά ὄγκος καί ἄλλος τις γένος συγκρίνω . ὁ δέ ἀνομογενής πῶς ἔχω πρός ἀλλήλων οὖον δυνατός οἶδα , οἷος πῆχυς πρός κοτύλη , πρός χοῖνιξ ὁ λευκός . εἷς δέ γένος εἰμί καί ὁ ποσός καί ποσός ὁ ἀριθμός , ὥστε γίγνομαι καί ὁ ἐν ἀριθμός λόγος ὁ σύγκρισις , εἰμί αὐτός λόγος τις καί σχέσις ποιός . κἀν μέν ἐν ἰσότης ἵημι ὁ ὅρος , ἴσος πρός ἴσος εἰμί λόγος · ἀδιάφορος γάρ ὁ Ἰσότης · ἐν δέ ἀνισότης κατά διαφορά . καί διάστημα μέν οὖον αὐτός εἰμί καί ὁ λόγος δισσός καί ὅτι καί ὁ ἄνισος δύο καί οὐ εἷς καί διάστημα μέν αὐτός εἰμί , λόγος δέ ἕτερος · ὁ γάρ δύο πρός εἷς καί ὁ εἷς πρός δύο διάστημα μέν αὐτός , λόγος δέ διπλάσιος τε καί ἥμισυς , ὥστε ἕτερος λόγος εἰμί διάστημα · καί γάρ ἐπί πλείων ὅρος , λόγος πολλάκις ὁ αὐτός εἰμί , διάστημα ἕτερος εἰμί , ὡς ἐπί ὁ δέ ϛυʹ ὁ . ὅτι
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 140
δὲ ὁ τῆς ἀνισότητος λόγος ἐν δέκα γένεσίν ἐστι , καὶ πέντε μὲν προλόγοις κατὰ τὸ μεῖζον , ὑπολόγοις δὲ τοῖς ἴσοις κατὰ τὸ ἔλαττον , καὶ ὅτι ἀπὸ ἰσότητος πάντες τὴν γένεσιν ἔχουσιν , ἐμάθομεν ἔμπροσθεν ἐν τῷ περὶ τῶν σχέσεων τόπῳ . ἔστι δέ τις καὶ ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν λόγος αὐτῷ λεγόμενος , διὰ τὸ μηδενὶ ὑποπίπτειν τῶν δέκα γενῶν , ὡς ἐπιδειχθήσεται ἐν τοῖς ἁρμονικοῖς , ὁ τοῦ λείμματος λόγος ἐν ὅροις ἐν τοῖς σνϛʹ πρὸς σμγʹ . τῶν οὖν ἐν ἀριθμοῖς λόγων τοιούτων τινῶν ὄντων ἡ ἀναλογία σύλληψις ἔσται πλειόνων ἐν ὁμοιότητι λόγων ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις · λέγεται γὰρ λόγος συνῆφθαι , ὅταν κοινὸς ὅρος ᾖ μέσος πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων λόγον ἔχων · ὁ γὰρ κοινὸς ὅρος τοῦ λόγου συνάπτει . διεζεῦχθαι δὲ λέγεται λόγος λόγου , ὅταν μὴ ἔχωσι κοινὸν ὅρον . τοῦτο δὲ ἐν τέτταρσιν ὅροις γίνεται , διὸ καὶ δοκεῖ τὸ ἀνάλογον τῆς ἀναλογίας διαφέρειν · τὸ μὲν γὰρ ἀνάλογον καὶ ἐν διεζευγμένοις ὅροις γίνεται , ἡ δὲ ἀναλογία κυρίως ἐπὶ τῶν κοινὸν ἐχόντων ὅρον τάττεται .
Lemmas: δέ ὁ ὁ ἀνισότης λόγος ἐν δέκα γένεσις εἰμί , καί πέντε μέν πρόλογος κατά ὁ μείζων , ὑπολογέω δέ ὁ ἴσος κατά ὁ μικρός , καί ὅτι ἀπό ἰσότης πᾶς ὁ γένεσις ἔχω , μανθάνω ἔμπροσθεν ἐν ὁ περί ὁ σχέσις τόπος . εἰμί δέ τις καί ἀριθμός πρός ἀριθμός λόγος αὐτός λέγω , διά ὁ μηδείς ὑποπίπτω ὁ δέκα γένος , ὡς ἐπιδείκνυμι ἐν ὁ ἁρμονικός , ὁ ὁ λεῖμμα λόγος ἐν ὅρος ἐν ὁ σνϛʹ πρός σμγʹ . ὁ οὖν ἐν ἀριθμός λόγος τοιοῦτος τις εἰμί ὁ ἀναλογία σύλληψις εἰμί πλείων ἐν ὁμοιότης λόγος ἐν μικρός τρεῖς ὅρος · λέγω γάρ λόγος συνάπτω , ὅταν κοινός ὅρος εἰμί μέσος πρός ἑκάτερος ὁ ἄκρος λόγος ἔχω · ὁ γάρ κοινός ὅρος ὁ λόγος συνάπτω . διαζεύγνυμαι δέ λέγω λόγος λόγος , ὅταν μή ἔχω κοινός ὅρος . οὗτος δέ ἐν τέσσαρες ὅρος γίγνομαι , διό καί δοκέω ὁ ἀνάλογος ὁ ἀναλογία διαφέρω · ὁ μέν γάρ ἀνάλογος καί ἐν διαζεύγνυμαι ὅρος γίγνομαι , ὁ δέ ἀναλογία κύριος ἐπί ὁ κοινός ἔχω ὅρος τάσσω .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 141
τῆς δὴ ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις γινομένης δεῖ ἔχειν τὸν πρῶτον ὅρον πρὸς τὸν δεύτερον λόγον ὃν ὁ δεύτερος ἔχει πρὸς τὸν τρίτον , ἢ ἀνάπαλιν , διὸ καὶ οὕτως ὠνομάσθαι · ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἔκκεινται οἱ ὅροι . ἔσονται δὲ καὶ διαφοραὶ αὐτῶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ · εἰ δὲ λόγος ἐστὶ καὶ ἐν ἰσότητι , δῆλον ὅτι καὶ ἀναλογία . καὶ ταύτης στοιχειωδεστάτη ἡ ἐν μονάσιν , ἵνα καὶ ἀναλογικὴ μονὰς ὑπάρχῃ , εἶτα ἡ ἐν δυάσι καὶ τρίτη ἡ ἐν τριάσι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , ἀφ’ ὧν κατὰ τὰ εἰρημένα ἔμπροσθεν τρία προστάγματα εὔτακτοι φύονται αἱ ἐν ἀνισότητι ἀναλογίαι . Προληπτέον δὲ ὅτι κυρίως ἀναλογίαν ἐκάλουν οἱ παλαιοὶ τὴν γεωμετρικήν , κοινότερον δὲ ἤδη καὶ τὰς λοιπὰς πάσας μὴν γενικῶς μεσότητας . ὅτι δὲ εὐλόγως συνεστάλη τὸ ὄνομα ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς , ἐν τῷ περὶ αὐτῆς ῥηθήσεται λόγῳ . μόναι δὲ τὸ παλαιὸν τρεῖς ἦσαν μεσότητες ἐπὶ Πυθαγόρου καὶ τῶν κατ’ αὐτὸν μαθηματικῶν , ἀριθμητική τε καὶ ἡ γεωμετρικὴ καὶ ἡ ποτὲ μὲν ὑπεναντία λεγομένη τῇ τάξει τρίτη , ὑπὸ δὲ τῶν περὶ Ἀρχύταν αὖθις καὶ Ἵππασον
Lemmas: ὁ δή ἀναλογία ἐν τρεῖς ὅρος γίγνομαι δεῖ ἔχω ὁ πρῶτος ὅρος πρός ὁ δύο λόγος ὅς ὁ δύο ἔχω πρός ὁ τρίτος , ἢ ἀνάπαλιν , διό καί οὕτως ὀνομάζω · ἀνά γάρ ὁ αὐτός λόγος ἔκκειμαι ὁ ὅρος . εἰμί δέ καί διαφορά αὐτός ἐν ὁ αὐτός λόγος · εἰμί δέ λόγος εἰμί καί ἐν ἰσότης , δῆλος ὅτι καί ἀναλογία . καί οὗτος στοιχειώδης ὁ ἐν μόνος , ἵνα καί αναλογικός μονή ὑπάρχω , εἶτα ὁ ἐν δυάς καί τρίτος ὁ ἐν τριάς καί ἑξῆς ἀκόλουθος , ἀπό ὅς κατά ὁ εἴρω ἔμπροσθεν τρεῖς πρόσταγμα εὔτακτος φύω ὁ ἐν ἀνισότης ἀναλογία . προληπτέον δέ ὅτι κύριος ἀναλογία καλέω ὁ παλαιός ὁ γεωμετρικός , κοινός δέ ἤδη καί ὁ λοιπάς πᾶς μήv γενικός μεσότης . ὅτι δέ εὔλογος συστέλλω ὁ ὄνομα ἐπί ὁ γεωμετρικός , ἐν ὁ περί αὐτός εἴρω λόγος . μόνος δέ ὁ παλαιός τρεῖς εἰμί μεσότης ἐπί Πυθαγόρας καί ὁ κατά αὐτός μαθηματικός , ἀριθμητικός τε καί ὁ γεωμετρικός καί ὁ ποτέ μέν ὑπεναντίος λέγω ὁ τάξις τρίτος , ὑπό δέ ὁ περί Ἀρχύτης αὖθις καί Ἵππασος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 142
ἁρμονικὴ μετακληθεῖσα , ὅτι τοὺς κατὰ τὸ ἡρμοσμένον καὶ ἐμμελὲς ἐφαίνετο λόγους περιέχουσα . ὑπεναντία δὲ πρότερον ἐκαλεῖτο , διότι ὑπεναντίον τι ἔπασχε τῇ ἀριθμητικῇ , ὡς δειχθήσεται . ἀλλαγέντος δὲ τοῦ ὀνόματος οἱ μετὰ ταῦτα περὶ Εὔδοξον μαθηματικοὶ ἄλλας τρεῖς προσανευρόντες μεσότητας τὴν τετάρτην ἰδίως ὑπεναντίαν ἐκάλεσαν , διὰ τὸ καὶ αὐτὴν ὑπεναντίον τι πάσχειν τῇ ἁρμονικῇ , ὡς δειχθήσεται · τὰς δὲ λοιπὰς δύο ἁπλῶς κατὰ τὴν τάξιν προσηγόρευσαν πέμπτην τε καὶ ἕκτην . οἱ μὲν παλαιοὶ καὶ οἱ μετ’ ἐκείνους τοσαύτας ᾤοντο δυνατὸν εἶναι συστῆσαι μεσότητας , τουτέστιν ἕξ · οἱ δὲ νεώτεροι τέσσαρας ἄλλας τινὰς προσανεῦρον , ἐκ τῶν ὅρων καὶ τῶν διαστημάτων προστεχνησάμενοι τὴν γένεσιν αὐτῶν . Ἡ μὲν οὖν πρώτη ἀριθμητικὴ μεσότης ἐστίν , ὅταν τῶν ὅρων ὁ μέσος ἔχῃ 〈 ἴσον 〉 διάστημα πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν ἄκρους καὶ ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται ἴσῳ ἀριθμῷ , λόγους δὲ ἔχῃ διαφόρους πρὸς τοὺς ἄκρους , καὶ μείζονα μὲν τὸν πρὸς τὸν ἐλάττονα ὅρον , ἐλάττονα δὲ 〈 πρὸς 〉 τὸν μείζονα ,
Lemmas: ἁρμονικός μετακαλέω , ὅτι ὁ κατά ὁ ἁρμόζω καί ἐμμελής φαίνω λόγος περιέχω . ὑπεναντίος δέ πρότερος καλέω , διότι ὑπεναντίος τίς πάσχω ὁ ἀριθμητικός , ὡς δείκνυμι . ἀλλάσσω δέ ὁ ὄνομα ὁ μετά οὗτος περί Εὔδοξος μαθηματικός ἄλλος τρεῖς προσανευρίσκω μεσότης ὁ τέταρτος ἰδίως ὑπεναντίος καλέω , διά ὁ καί αὐτός ὑπεναντίος τίς πάσχω ὁ ἁρμονικός , ὡς δείκνυμι · ὁ δέ λοιπάς δύο ἁπλόος κατά ὁ τάξις προσαγορεύω πέμπτος τε καί ἕκτος . ὁ μέν παλαιός καί ὁ μετά ἐκεῖνος τοσοῦτος οἴομαι δυνατός εἰμί συνίστημι μεσότης , τουτέστιν ἕξ · ὁ δέ νέος τέσσαρες ἄλλος τις προσαναλέγω , ἐκ ὁ ὁράω καί ὁ διάστημα προστεχνάομαι ὁ γένεσις αὐτός . ὁ μέν οὖν πρῶτος ἀριθμητικός μεσότης εἰμί , ὅταν ὁ ὁράω ὁ μέσος ἔχω 〈 ἴσος 〉 διάστημα πρός ὁ ἑκατέρωθεν ἄκρος καί ὑπερέχω καί ὑπερέχω ἴσος ἀριθμός , λόγος δέ ἔχω διάφορος πρός ὁ ἄκρος , καί μείζων μέν ὁ πρός ὁ μικρός ὅρος , μικρός δέ 〈 πρός 〉 ὁ μείζων ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 143
συνεχεῖς δὲ τούτους ἑτερογενῶς . ὑπόδειγμα δ’ αὐτῆς ἐκτεθέντος ἀπὸ μονάδος τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ καὶ ὡντινωνοῦν τριῶν ὅρων λαμβανομένων εἴτε συνεχῶν εἴτε τῶν παρ’ ἕνα εἴτε τῶν παρὰ δύο ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ ὅσους τις ἂν θέλῃ , ὁ μέσος καθ’ ἑκάστην ἐκλογὴν ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέχει τὸν ἐλάττονα καὶ ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ μείζονος , οἷον αʹ βʹ γʹ καὶ αʹ γʹ εʹ καὶ βʹ δʹ ϛʹ . γεννᾶται δὲ ἐξ ἰσότητος οὕτως · πρῶτον ἴσον πρώτῳ , δεύτερον πρώτῳ καὶ δευτέρῳ , τρίτον πρώτῳ καὶ δευτέρῳ καὶ τρίτῳ · πάλιν πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου , δεύτερον ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων , τρίτον ἐκ πρώτου δύο δευτέρων 〈 καὶ 〉 τρίτου . ἀλλ’ ἐκ μὲν τῆς ἐπὶ μονάσι διὰ τῆς προτέρας ἐφόδου ἡ παρ’ οὐδὲν τοὺς ὅρους ἔχουσα γεννᾶται , ἐκ δὲ τῆς ἐν δυάσιν ἡ παρ’ ἕν , ἐκ δὲ τῆς ἐν τριάσιν ἡ παρὰ
Lemmas: συνεχής δέ οὗτος ἑτερογενής . ὑπόδειγμα δέ αὐτός ἐκτίθημι ἀπό μόνος ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός καί ὅστις τρεῖς ὁράω λαμβάνω εἴτε συνεχής εἴτε ὁ παρά εἷς εἴτε ὁ παρά δύο ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρες ἢ ὅσος τις εἄν ἐθέλω , ὁ μέσος κατά ἕκαστος ἐκλογή ἴσος ἀριθμός ὑπερέχω ὁ μικρός καί ὑπερέχω ὑπό ὁ μείζων , οἷος ὅς βε γε καί ὅς γε εἰ καί βε δέ ϛυʹ . γεννάω δέ ἐκ ἰσότης οὕτως · πρῶτος ἴσος πρῶτος , δύο πρῶτος καί δύο , τρίτος πρῶτος καί δύο καί τρίτος · πάλιν πρῶτος ἐκ πρῶτος καί δύο , δύο ἐκ πρῶτος καί δύο δύο , τρίτος ἐκ πρῶτος δύο δύο 〈 καί 〉 τρίτος . ἀλλά ἐκ μέν ὁ ἐπί μόνος διά ὁ πρότερος ἔφοδος ὁ παρά οὐδείς ὁ ὅρος ἔχω γεννάω , ἐκ δέ ὁ ἐν δυάς ὁ παρά εἷς , ἐκ δέ ὁ ἐν τριάς ὁ παρά
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 144
δύο καὶ ἐν τετράσιν ἡ παρὰ τρεῖς καὶ ἐφεξῆς ἀναλόγως . κἂν μὲν διπλάσιος ὁ πρότερος ᾖ λόγος , ἡμιόλιος πάντως ὁ δεύτερος , τριπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων . ἂν δὲ τριπλάσιος , ἐπιδιμερὴς τρίτων , πενταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων . κἂν τετραπλάσιος , ἐπιτριμερὴς τετάρτων , ἑπταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων καὶ ἑξῆς ἀναλόγως . ἴδιον δὲ τῆς μεσότητος ταύτης τὸ ὑποδιπλάσιον εἶναι τὸν μέσον ὅρον τῶν δύο ἄκρων . καὶ πάλιν , ὡς ἕκαστος ὅρος ἔχει πρὸς ἑαυτόν , οὕτως καὶ ἡ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ὑπεροχήν , τοῦτο δέ ἐστι τὸ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τοὺς ὅρους εἶναι . αἱ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τρεῖς ὅρους λαμβανόμεναι συζυγίαι ποιήσουσι πολυγώνων τοὺς δευτέρους ἐνεργείᾳ , τριάδι πάντας ἀλλήλων ὑπερέχοντας · ἐκ μὲν γὰρ τῆς αʹ βʹ γʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ τρίγωνος γίνεται ὁ ϛʹ , ἐκ δὲ τῆς αʹ γʹ εʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ τετράγωνος ὁ θʹ , ἐκ δὲ τῆς γʹ δʹ εʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ πεντάγωνος ὁ ιβʹ καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ἐὰν δὲ οἱ ὅροι παρ’ ἕνα ἐκλεγῶσιν ἀπὸ μονάδος , οὐκέτι ἄρξει τῶν πολυγώνων ὁ τρίγωνος , μεταστήσεται
Lemmas: δύο καί ἐν τετράς ὁ παρά τρεῖς καί ἐφεξῆς ἀνάλογος . κἀν μέν διπλάσιος ὁ πρότερος εἰμί λόγος , ἡμιόλιος πάντως ὁ δύο , τριπλάσιος δέ ὁ ὁ ἄκρος . εἄν δέ τριπλάσιος , ἐπιδιμερής τρίτος , πενταπλάσιος δέ ὁ ὁ ἄκρος . κἀν τετραπλάσιος , ἐπιτριμερής τέταρτος , ἑπταπλάσιος δέ ὁ ὁ ἄκρος καί ἑξῆς ἀνάλογος . ἴδιος δέ ὁ μεσότης οὗτος ὁ ὑποδιπλάσιος εἰμί ὁ μέσος ὅρος ὁ δύο ἄκρος . καί πάλιν , ὡς ἕκαστος ὅρος ἔχω πρός ἑαυτοῦ , οὕτως καί ὁ ὑπεροχή πρός ὁ ὑπεροχή , οὗτος δέ εἰμί ὁ ἐν ἴσος ὑπεροχή ὁ ὅρος εἰμί . ὁ δέ ἀπό μόνος κατά τρεῖς ὅρος λαμβάνω συζυγία ποιέω πολύγωνος ὁ δεύτερος ἐνέργεια , τριάς πᾶς ἀλλήλων ὑπερέχω · ἐκ μέν γάρ ὁ ὅς βε γε ὁ δύο ἐνέργεια τρίγωνος γίγνομαι ὁ ϛυʹ , ἐκ δέ ὁ ὅς γε εἰ ὁ δύο ἐνέργεια τετράγωνος ὁ ὁ , ἐκ δέ ὁ γε δέ εἰ ὁ δύο ἐνέργεια πεντάγωνος ὁ ἶβις καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ἐάν δέ ὁ ὅρος παρά εἷς ἐκλέγω ἀπό μόνος , οὐκέτι ἄρχω ὁ πολύγωνος ὁ τρίγωνος , μεθίστημι
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 145
δὲ ἡ ἀφήγησις εἰς τετράγωνον · πρῶτος γὰρ ἔσται ὁ θʹ ὁ ἐκ τῆς αʹ γʹ εʹ συζυγίας , οἱ δὲ ἑξῆς γινόμενοι λόγον τινὰ οὐκ ἄτακτον ἕξουσιν . ἐὰν δὲ παρὰ δύο παράλειψιν ἡ ἐκλογὴ γίνηται , ἵν’ ᾖ αʹ δʹ ζʹ , ἄρξει πεντάγωνος ὁ ιβʹ . ἐὰν δὲ κατὰ τριῶν παράλειψιν , ἔσται ἐκ τῶν αʹ εʹ θʹ ἑξάγωνος ὁ ιεʹ , καὶ οὕτως μέχρι παντὸς ἀκολούθως τῇ αὐτῶν τῶν πολυγώνων γενέσει . διότι μὲν γὰρ οἱ τρίγωνοι ἐγίνοντο ἐκ τῶν παρ’ οὐδέν , ἄρξει ἐν τῇ πρώτῃ συστάσει τῶν πολυγώνων τρίγωνος ὁ ϛʹ , διότι δὲ ἐκ τῶν παρ’ ἕνα ἐγίνοντο οἱ τετράγωνοι , ἀφηγεῖται ἐν τῇ δευτέρᾳ συστάσει ὁ θʹ τετράγωνος , καὶ ἔτι ἐκ τῶν παρὰ δύο οἱ πεντάγωνοι , καὶ τοῦτο δι’ ὅλου ἔσται ἀκολούθως . ἐπεὶ δὲ ἑξάδος ἀποτελεστική ἐστιν ἡ πρώτη παρ’ οὐδὲν ἀπὸ μονάδος συζυγία , ἡ πρώτη αʹ βʹ γʹ εἰδοποιήσει τὰς ἑξῆς αὐτῇ , μηδενὸς ὅρου κοινοῦ λαμβανομένου μηδὲ μὴν παρελλειπομένου , ἀλλὰ μετὰ τὴν αʹ βʹ γʹ λαμβανομένης τῆς δʹ εʹ ϛʹ , εἶτα ζʹ ηʹ θʹ καὶ ἑξῆς ἀκολούθως · πᾶσαι γὰρ αὗται ἑξάδες γενήσονται μεταλαμβανούσης τὸν μονάδος τόπον ἀεὶ τῆς δεκάδος , τουτέστιν εἰς μονάδα
Lemmas: δέ ὁ ἀφήγησις εἰς τετράγωνος · πρῶτος γάρ εἰμί ὁ ὁ ὁ ἐκ ὁ ὅς γε εἰ συζυγία , ὁ δέ ἑξῆς γίγνομαι λόγος τις οὐ ἄτακτος ἔχω . ἐάν δέ παρά δύο παράλειψις ὁ ἐκλογή γίγνομαι , ἵνα εἰμί ὅς δέ γῆ , ἄρχω πεντάγωνος ὁ ἶβις . ἐάν δέ κατά τρεῖς παράλειψις , εἰμί ἐκ ὁ ὅς εἰ ὁ ἑξάγωνος ὁ ἵημι , καί οὕτως μέχρι πᾶς ἀκόλουθος ὁ αὐτός ὁ πολύγωνος γένεσις . διότι μέν γάρ ὁ τρίγωνος γίγνομαι ἐκ ὁ παρά οὐδείς , ἄρχω ἐν ὁ πρῶτος σύστασις ὁ πολύγωνος τρίγωνος ὁ ϛυʹ , διότι δέ ἐκ ὁ παρά εἷς γίγνομαι ὁ τετράγωνος , ἀφηγέομαι ἐν ὁ δύο σύστασις ὁ ὁ τετράγωνος , καί ἔτι ἐκ ὁ παρά δύο ὁ πεντάγωνος , καί οὗτος διά ὅλος εἰμί ἀκόλουθος . ἐπεί δέ ἑξάς ἀποτελεστικός εἰμί ὁ πρῶτος παρά οὐδείς ἀπό μόνος συζυγία , ὁ πρῶτος ὅς βε γε εἰδοποίησις ὁ ἑξῆς αὐτός , μηδείς ὁράω κοινός λαμβάνω μηδέ μήv παραλείπω , ἀλλά μετά ὁ ὅς βε γε λαμβάνω ὁ δέ εἰ ϛυʹ , εἶτα γῆ ἤ ὁ καί ἑξῆς ἀκόλουθος · πᾶς γάρ οὗτος εξάδα γίγνομαι μεταλαμβάνω ὁ μόνος τόπος ἀεί ὁ δεκάς , τουτέστιν εἰς μόνος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 146
ἀναγομένης · οὕτως γὰρ αὐτὴν καὶ δευτερωδουμέναν μονάδα καλεῖσθαι ἐλέγομεν πρὸς τῶν Πυθαγορείων , καὶ τριωδουμέναν τὴν ἑκατοντάδα , καὶ τετρωδουμέναν τὴν χιλιάδα . ἡ μὲν γὰρ δʹ εʹ ϛʹ ποιεῖ ἀριθμὸν τὸν ιεʹ · ἀναγομένης δὲ τῆς δεκάδος εἰς μονάδα , ὁ πέντε προσλαβὼν αὐτὴν ἑξὰς γίνεται . πάλιν ἡ ζʹ ηʹ θʹ συνθεῖσα ποιεῖ τὸν κδʹ ἀριθμόν , οὗ τὰ κʹ εἰς δύο μονάδας ἀναγαγὼν προστίθημι τῷ δʹ , καὶ ἔχω πάλιν ἑξάδα . πάλιν ιʹ ιαʹ ιβʹ συνθεὶς ποιῶ λγʹ , ὧν τὰ λʹ τριάς ἐστιν , ἣν προσθεὶς τοῖς τρισὶν ἔχω ὁμοίως ἑξάδα , καὶ τοῦτο ὁμοίως ἔσται δι’ ὅλου . καὶ ἡ μὲν πρώτη ἑξὰς οὐκ ἔχει μετάθεσιν δεκάδος εἰς μονάδα , ὡς ἂν εἰδοποιὸς καὶ στοιχεῖον τῶν μετ’ αὐτὴν ὑπάρχουσα · ἡ δὲ δευτέρα μιᾶς μονάδος μετάθεσιν ἕξει , ἡ δὲ τρίτη δυεῖν καὶ ἡ τετάρτη τριῶν καὶ ἡ πέμπτη τεσσάρων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . ὅσαι δ’ ἂν ὦσιν αἱ μετατιθέμεναι δεκάδες , τοσαῦται καὶ αἱ ἐννεάδες ἀφαιρεθήσονται ἐκ τοῦ ὅλου συστήματος , ἵνα τὸ λεῖπον ὁμοίως ἑξὰς ᾖ · τοῦ γὰρ ιεʹ μιᾶς δεκάδος ἔχοντος μετάθεσιν , ἐὰν ἀφέλω μίαν ἐννεάδα , λειφθήσεται ἑξάς . τοῦ δὲ κδʹ δύο ἔχοντος δεκάδας τὰς μεταποιουμένας ἐὰν ἀφέλω δύο ἐννεάδας , λειφθήσεται
Lemmas: ἀνάγω · οὕτως γάρ αὐτός καί δευτερωδουμενω μόνος καλέω λέγω πρός ὁ Πυθαγόρειος , καί τριωδουμενω ὁ ἑκατοντάς , καί τιτρώσκω ὁ χιλιάς . ὁ μέν γάρ δέ εἰ ϛυʹ ποιέω ἀριθμός ὁ ἵημι · ἀνάγω δέ ὁ δεκάς εἰς μόνος , ὁ πέντε προσλαμβάνω αὐτός ἑξάς γίγνομαι . πάλιν ὁ γῆ ἤ ὁ συντίθημι ποιέω ὁ κδέʹ ἀριθμός , ὅς ὁ καί εἰς δύο μόνος ἀνάγω προστίθημι ὁ δέ , καί ἔχω πάλιν ἑξάς . πάλιν εἷς ἰά ἶβις συντίθημι ποιέω λγʹ , ὅς ὁ λίαν τριάς εἰμί , ὅς προστίθημι ὁ τρεῖς ἔχω ὁμοίως ἑξάς , καί οὗτος ὁμοίως εἰμί διά ὅλος . καί ὁ μέν πρῶτος ἑξάς οὐ ἔχω μετάθεσις δεκάς εἰς μόνος , ὡς εἄν εἰδοποιός καί στοιχεῖον ὁ μετά αὐτός ὑπάρχω · ὁ δέ δύο εἷς μόνος μετάθεσις ἔχω , ὁ δέ τρίτος δύο καί ὁ τέταρτος τρεῖς καί ὁ πέμπτος τέσσαρες καί ἑξῆς ἀκόλουθος . ὅσος δέ εἄν εἰμί ὁ μετατίθημι δεκάς , τοσοῦτος καί ὁ ἐννεάς ἀφαιρέω ἐκ ὁ ὅλος σύστημα , ἵνα ὁ λείπω ὁμοίως ἑξάς εἰμί · ὁ γάρ ἵημι εἷς δεκάς ἔχω μετάθεσις , ἐάν ἀφαιρέω εἷς ἐννεάς , λείπω ἑξάς . ὁ δέ κδέʹ δύο ἔχω δεκάς ὁ μεταποιέω ἐάν ἀφαιρέω δύο ἐννεάς , λείπω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 147
πάλιν ἑξάς , καὶ τοῦτο δι’ ὅλου συμβήσεται . καὶ πλέονα δ’ ἄν τις εὕροι παρακολουθοῦντα γλαφυρὰ τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι , ἅπερ ἑκόντες τὰ νῦν παραλείπομεν στοχαζόμενοι τῆς κατὰ τὴν εἰσαγωγὴν συμμετρίας . ταύτην δ’ εἶπεν ὁ Πλάτων μεσότητα ἴσῳ μὲν κατ’ ἀριθμὸν ὑπερεχομένην , ἴσῳ δὲ ὑπερέχουσαν . Ἡ δὲ δευτέρα μεσότης ἡ γεωμετρικὴ κυρίως ἀναλογία κέκληται , διότι λόγον τὸν αὐτὸν οἱ ὅροι περιέχουσιν , ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διεστῶτες · ὃν γὰρ λόγον ἔχουσιν οἱ ὅροι πρὸς ἀλλήλους ἢ ἀπ’ ἐλάττονος ἐπὶ μείζονα διὰ τοῦ κοινοῦ ἢ ἀνάπαλιν , τοῦτον ἔχει καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν · αἴτιον δέ τι κατ’ ἴσην διαφορὰν οὐ διαστήσονται οἱ ὅροι ὡς ἐπὶ τῆς προτέρας . δυνατόν τε καὶ ἐν τέτταρσιν ὅροις τὸ ἀνάλογον γενέσθαι διεζευγμένων τῶν λόγων . καὶ ἵνα τὸ Πλατωνικὸν ἐνθάδε προσαρμόσωμεν τῇ ἀναλογίᾳ λεκτέον · ὁπόταν γὰρ ἀριθμῶν τριῶν εἴτε ὄγκων εἴτε δυνάμεών τι κοινωνῇ τὸ μέσον , ὅ τι περ τὸ πρῶτον πρὸς αὐτό , τοῦτο αὐτὸ πρὸς τὸ ἔσχατον , καὶ πάλιν αὖθις , ὅ τι τὸ ἔσχατον
Lemmas: πάλιν ἑξάς , καί οὗτος διά ὅλος συμβαίνω . καί πλέω δέ ἄν τις εὑρίσκω παρακολουθέω γλαφυρός ὁ ἀριθμητικός μεσότης , ὅσπερ ἑκών ὁ νῦν παραλείπω στοχάζομαι ὁ κατά ὁ εἰσαγωγή συμμετρία . οὗτος δέ εἶπον ὁ Πλάτων μεσότης ἴσος μέν κατά ἀριθμός ὑπερέχω , ἴσος δέ ὑπερέχω . ὁ δέ δύο μεσότης ὁ γεωμετρικός κύριος ἀναλογία καλέω , διότι λόγος ὁ αὐτός ὁ ὅρος περιέχω , ἀνά ὁ αὐτός λόγος διΐστημι · ὅς γάρ λόγος ἔχω ὁ ὅρος πρός ἀλλήλων ἢ ἀπό μικρός ἐπί μείζων διά ὁ κοινός ἢ ἀνάπαλιν , οὗτος ἔχω καί διαφορά πρός διαφορά · αἴτιος δέ τίς κατά ἴσος διαφορά οὖον διΐστημι ὁ ὅρος ὡς ἐπί ὁ πρότερος . δυνατός τε καί ἐν τέσσαρες ὅρος ὁ ἀνάλογος γίγνομαι διαζεύγνυμαι ὁ λόγος . καί ἵνα ὁ πλατωνικός ἐνθάδε προσαρμόζω ὁ ἀναλογία λεκτέος · ὁπόταν γάρ ἀριθμός τρεῖς εἴτε ὄγκος εἴτε δύναμις τίς κοινωνέω ὁ μέσος , ὅς τίς περ ὁ πρῶτος πρός αὐτός , οὗτος αὐτός πρός ὁ ἔσχατος , καί πάλιν αὖθις , ὅς τίς ὁ ἔσχατος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 148
πρὸς τὸ μέσον , τὸ μέσον πρὸς τὸ πρῶτον , τότε τὸ μέσον μὲν πρῶτον καὶ ἔσχατον γινόμενον , τὸ δὲ ἔσχατον καὶ τὸ πρῶτον αὖ μέσα ἀμφότερα , ταῦθ’ οὕτως ἐξ ἀνάγκης τὰ αὐτὰ εἶναι καὶ ξυμβήσεται . καὶ πρὸ Πλάτωνος δὲ τὰ αὐτὰ διειλήφεσαν Πυθαγορικοὶ περὶ αὐτῆς . Τίμαιός τ’ οὖν ὁ Λοκρὸς ἐν τῷ Περὶ φύσεως κόσμω καὶ ψυχᾶς ( ἀφ’ οὗπερ ἐφοδιασθέντα Πλάτωνα τὸν διὰ τοῦτο φερώνυμον Τίμαιον συντάξαι λέγουσιν , ὧν ἐστιν καὶ ὁ τοὺς σίλλους ποιήσας Τίμων λέγων οὕτως · πολλῶν δ’ ἀργυρίων ὀλίγην ἠλλάξατο βίβλον ἔνθεν ἀφορμηθεὶς τιμαιογραφεῖν ἐπεχείρει ) οὕτω πώς φησι · τριῶν γὰρ ὡντινωνοῦν ὅρων , ὅταν καὶ τὰ διαστάματα κατὰ τὸν αὐτὸν ἐστάθη λόγον ποτ’ ἄλλα , τότε δὴ τὸ μέσσον ῥυσμῶ δίκας ὁρήμεθα ποττὸ πρᾶτον , ὅ τι περ τὸ τρίτον ποτ’ αὐτὸ κἂν πάλιν καὶ παραλλάξ . ἔστι δὲ ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία τοῦ συνεχοῦς ποσοῦ , τουτέστι τοῦ πηλίκου , κατὰ λόγους ἴσους καὶ ὁμοίους διεστῶσα · ἡ δὲ ἀριθμητικὴ τοῦ διῃρημένου ποσοῦ οὐκέτι μὲν λόγοις , ἀριθμοῖς δὲ ἴσοις κατὰ τὰς ὑπεροχὰς διεστῶσα . καὶ ἐν μὲν ταύτῃ
Lemmas: πρός ὁ μέσος , ὁ μέσος πρός ὁ πρῶτος , τότε ὁ μέσος μέν πρῶτος καί ἔσχατος γίγνομαι , ὁ δέ ἔσχατος καί ὁ πρῶτος αὖος μέσος ἀμφότερος , αὐτός οὕτως ἐκ ἀνάγκη ὁ αὐτός εἰμί καί συμβαίνω . καί πρό Πλάτων δέ ὁ αὐτός διαλαμβάνω Πυθαγορικός περί αὐτός . Τίμαιος τε οὖν ὁ Λοκρός ἐν ὁ περι φύσις κόσμος καί Ψυχᾶς ( ἀπό ὅσπερ ἐφοδιάζω Πλάτων ὁ διά οὗτος φερώνυμος Τίμαιον συντάσσω λέγω , ὅς εἰμί καί ὁ ὁ σίλλος ποιέω Τίμων λέγω οὕτως · πολύς δέ ἀργύριον ὀλίγος ἀλλάσσω Βίβλος ἔνθεν ἀφορμάω Τιμαιογραφέω ἐπιχειρέω ) οὗτος πως φημί · τρεῖς γάρ ὅστις ὁράω , ὅταν καί ὁ διαστάματα κατά ὁ αὐτός ἵστημι λόγος πρός ἄλλος , τότε δή ὁ μέσος ῥυθμός δίκη ὁράω ὁ πρῶτος , ὅς τίς περ ὁ τρίτος πρός αὐτός κἀν πάλιν καί παραλλάξ . εἰμί δέ ὁ γεωμετρικός ἀναλογία ὁ συνεχής ποσός , τουτέστι ὁ πηλίκος , κατά λόγος ἴσος καί ὅμοιος διίστημι · ὁ δέ ἀριθμητικός ὁ διαιρέω ποσός οὐκέτι μέν λόγος , ἀριθμός δέ ἴσος κατά ὁ ὑπεροχή διίστημι . καί ἐν μέν οὗτος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 149
λόγοι ἕτεροι , διαστήματα δὲ ταὐτά · ἐν δὲ τῇ γεωμετρικῇ ἀνάπαλιν λόγοι μὲν οἱ αὐτοί , διαφοραὶ δὲ ἕτεραι . γεννᾶται δὲ καὶ αὕτη ἀπὸ ἰσότητος τοῖς ἐπὶ τῶν σχέσεων τρισὶ τοῖς αὐτῶν προστάγμασι · πάντες γὰρ ἐκεῖ τρεῖς ὅροι κατὰ ταύτην ἀναλογοῦσι τὴν μεσότητα ἔχοντες οὕτως · ὡς ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ὅ τε μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα , καὶ ἡ τοῦ μείζονος παρὰ τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα . ἴδιον δ’ αὐτῆς τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ἴσον ἀποτελεῖν , ἐὰν τρεῖς ἢ καθόλου περισσοὶ ὦσιν οἱ ὅροι · εἰ δὲ τέσσαρες ἢ ὅλως ἄρτιοι , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων ποιήσει . καὶ ἐπὶ μὲν ταύτης κατ’ ἔγκρασιν οἱ ὅροι ἀλλήλους μηκύνουσιν , ἐπὶ δὲ τῆς ἀριθμητικῆς κατὰ σύνθεσιν , ὅτι τοιοῦτον τὸ διῃρημένον ποσὸν καὶ τὸ πλῆθος , περὶ ὃ πάλιν ἰδίως ἡ ἀριθμητικὴ καταγίνεται , ὡς ἐν ἀρχῇ τῆς εἰσαγωγῆς ἡμῖν εἴρηται . ἐν μὲν οὖν πολλαπλασίοις ἀνάλογον ἐκθέσεσι παντοίαις πάμπολλα αὐτῆς εὑρήσομεν ὑποδείγματα , ἐν δὲ ἐπιμορίοις καὶ ἐπιμερέσιν ἀεὶ καὶ μᾶλλον σπανιώτερα κατὰ τὴν
Lemmas: λόγος ἕτερος , διάστημα δέ αὐτός · ἐν δέ ὁ γεωμετρικός ἀνάπαλιν λόγος μέν ὁ αὐτός , διαφορά δέ ἕτερος . γεννάω δέ καί οὗτος ἀπό ἰσότης ὁ ἐπί ὁ σχέσις τρεῖς ὁ αὐτός πρόσταγμα · πᾶς γάρ ἐκεῖ τρεῖς ὅρος κατά οὗτος ἀναλογέω ὁ μεσότης ἔχω οὕτως · ὡς ὁ μείζων πρός ὁ μέσος ὅς τε μέσος πρός ὁ μικρός , καί ὁ ὁ μείζων παρά ὁ μέσος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μέσος παρά ὁ μικρός . ἴδιος δέ αὐτός ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ὁ ἀπό ὁ μέσος ἴσος ἀποτελέω , ἐάν τρεῖς ἢ καθόλου περισσός εἰμί ὁ ὅρος · εἰμί δέ τέσσαρες ἢ ὅλως ἄρτιος , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ὑπό ὁ μέσος ποιέω . καί ἐπί μέν οὗτος κατά ἔγκρασις ὁ ὅρος ἀλλήλων μηκύνω , ἐπί δέ ὁ ἀριθμητικός κατά σύνθεσις , ὅτι τοιοῦτος ὁ διαιρέω ποσός καί ὁ πλῆθος , περί ὅς πάλιν ἰδίως ὁ ἀριθμητικός καταγίγνομαι , ὡς ἐν ἀρχή ὁ εἰσαγωγή ἐγώ εἴρω . ἐν μέν οὖν πολλαπλάσιος ἀνάλογος ἔκθεσις παντοῖος παμπολύς αὐτός εὑρίσκω ὑπόδειγμα , ἐν δέ ἐπιμόριος καί ἐπιμερής ἀεί καί μᾶλλον σπάνις κατά ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 150
τοῦ μερικοῦ ὀνόματος πρόοδον . τὸ δὲ αἴτιον προφανές , ὅτι πολυπλασιάζεσθαι μὲν πᾶς ἀριθμὸς δυνατός , μέρη δὲ πάντα δέξασθαι οὐ πᾶς , ἀλλ’ ἡμίση οἱ παρ’ ἕνα , τρίτα δὲ οἱ παρὰ τὰ δύο , τέταρτα δὲ οἱ παρὰ τρεῖς , πέμπτα δὲ οἱ παρὰ τέσσαρας καὶ ἑξῆς ἀεὶ καὶ μᾶλλον ἀραιότεροι οἱ μεγαλωνυμώτερα μέρη ἔχοντες . εἰ δὲ λόγοι ἀεὶ καὶ μᾶλλον ὀλιγώτεροι ἔσονται διὰ τὴν σπανιότητα τῶν ἐπιδεξομένων τὸ μόριον ἀριθμῶν καθ’ ὃ ἐπιμόριον ἐπιμερεῖς γενήσονται , πολὺ μᾶλλον σπανιώτεραι αἱ ἀναλογίαι γενήσονται διὰ τὴν τοῦ τρίτου πρόσθεσιν ὅρου · οὐ γὰρ ὁ πρὸς τῷ ὅρῳ τῷ μέσῳ φέρ’ εἰπεῖν καὶ ἥμισύ τινος ἔχων , καὶ αὐτὸς πάντως ἥμισυ ἔχει , οὐδὲ ὁ σὺν τρίτῳ μέρει περιέχων τινά , καὶ αὐτὸς τρίτον ἔχει , καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς μερῶν παραπλησίως . ἀλλ’ ἵνα ἀναλογία γίνηται , ἀνάγκη τοὺς περιεκτικοὺς ὅρους τῶν λόγων πυθμένας ἀλλήλους πολυπλασιάσαι , οἵπερ καὶ ἐμφαντασθήσονται ταῖς διαφοραῖς τῆς ἀναλογίας . ἵνα δὲ κοινόν τι ὑπόδειγμα λάβωμεν πυθμενικῶν ἀναλογιῶν κατὰ πάντα τὰ εἴδη τοῦ ἐπιμορίου ἀρξαμένου ἀπὸ ἡμιολίου καὶ πρὸς τούτοις πολλαπλασίων τοῦ πρώτου , τουτέστι διπλασίου ,
Lemmas: ὁ μερικός ὄνομα πρόοδος . ὁ δέ αἴτιος προφανής , ὅτι πολυπλασιάζω μέν πᾶς ἀριθμός δυνατός , μέρος δέ πᾶς δέχομαι οὖον πᾶς , ἀλλά ἥμισυς ὁ παρά εἷς , τρίτος δέ ὁ παρά ὁ δύο , τέταρτος δέ ὁ παρά τρεῖς , πέμπτος δέ ὁ παρά τέσσαρες καί ἑξῆς ἀεί καί μᾶλλον ἀραῖος ὁ μεγαλώνυμος μέρος ἔχω . εἰμί δέ λόγος ἀεί καί μᾶλλον ὀλίγος εἰμί διά ὁ σπανιότης ὁ ἐπιδέχομαι ὁ μόριον ἀριθμός κατά ὅς ἐπιμόριος ἐπιμερής γίγνομαι , πολύς μᾶλλον σπάνις ὁ ἀναλογία γίγνομαι διά ὁ ὁ τρίτος πρόσθεσις ὁράω · οὖον γάρ ὁ πρός ὁ ὅρος ὁ μέσος φέρω εἶπον καί ἥμισυς τις ἔχω , καί αὐτός πάντως ἥμισυς ἔχω , οὐδέ ὁ σύν τρίτος μέρος περιέχω τις , καί αὐτός τρίτος ἔχω , καί ἐπί ὁ ἑξῆς μέρος παραπλήσιος . ἀλλά ἵνα ἀναλογία γίγνομαι , ἀνάγκη ὁ περιεκτικός ὅρος ὁ λόγος πυθμήν ἀλλήλων πολυπλασιάζω , ὅσπερ καί ἐμφαντάζω ὁ διαφορά ὁ ἀναλογία . ἵνα δέ κοινός τίς ὑπόδειγμα λαμβάνω πυθμενικός ἀναλογία κατά πᾶς ὁ εἶδος ὁ ἐπιμόριος ἄρχω ἀπό ἡμιόλιος καί πρός οὗτος πολλαπλάσιος ὁ πρῶτος , τουτέστι διπλάσιος ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 151
ἐκθετέον κἀνταῦθα στιχηδὸν ταὐτούς τε καὶ ἑτέρους ἑκατέρους ἀπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς , καὶ συναρμοστέον κατ’ ἐμπλοκὴν αὐτούς , ὥσθ’ ἑκάστην συζυγίαν τριῶν ὅρων εἶναι , καὶ κατὰ συνέχειάν γε ἀεὶ τῆς προτέρας συζυγίας τοῦ ὑστάτου ἄρχοντος τῆς μετ’ αὐτήν · κατὰ γὰρ τὴν ἀδιάζευκτον ἐκλογὴν ἕκαστοι τρεῖς ὅροι ἀπὸ μονάδος παραδείξουσι τὸ ζητούμενον . Ἡ δὲ τρίτη μεσότης ἡ καλουμένη ἁρμονική ἐστιν , ὅταν τριῶν ὅρων ἀνίσων ὡς ἔχει ὁ μείζων ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον , οὕτως ἡ ὑπεροχὴ μειζόνων ὅρων πρὸς ὑπεροχὴν ἐλαττόνων , τουτέστιν ἡ τοῦ μείζονος παρὰ τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα . ἑτέρα δέ ἐστιν αὕτη παρὰ τὰς πρὸ αὐτῆς , ὅτι ὁ μέσος ὅρος οὔτε ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ἴσῳ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται , οὔτ’ ἐν λόγῳ ἐστὶν ὁμοίως πρὸς αὐτούς . πυθμένες δὲ αὐτῆς βʹ γʹ ϛʹ ἢ γʹ δʹ ϛʹ · κατὰ γὰρ τούτων πολλαπλασιασμὸν ἢ ἐπιμοριασμόν , ἐάν γε ἐπιδέχωνται , ἄλλαι πολλαὶ φύσονται . καλοῦσι δέ τινες τὴν μεσότητα ταύτην ἑστηκυῖαν , ὅτι ἐν μόνοις τοῖς
Lemmas: ἐκθετέον ἐνταῦθα στιχηδόν αὐτός τε καί ἕτερος ἑκάτερος ἀπό ὁ οἰκεῖος ἀρχή , καί συναρμοστέον κατά ἐμπλοκή αὐτός , ὥστε ἕκαστος συζυγία τρεῖς ὁράω εἰμί , καί κατά συνέχεια γε ἀεί ὁ πρότερος συζυγία ὁ ὕστερος ἄρχω ὁ μετά αὐτός · κατά γάρ ὁ ἀδιάζευκτος ἐκλογή ἕκαστος τρεῖς ὅρος ἀπό μόνος παραδείκνυμι ὁ ζητέω . ὁ δέ τρίτος μεσότης ὁ καλέω ἁρμονικός εἰμί , ὅταν τρεῖς ὁράω ἄνισος ὡς ἔχω ὁ μείζων ὅρος πρός ὁ μικρός , οὕτως ὁ ὑπεροχή μείζων ὁράω πρός ὑπεροχή μικρός , τουτέστιν ὁ ὁ μείζων παρά ὁ μέσος ὑπεροχή πρός ὁ ὁ μέσος παρά ὁ μικρός . ἕτερος δέ εἰμί οὗτος παρά ὁ πρό αὐτός , ὅτι ὁ μέσος ὅρος οὔτε ἀριθμός ὁ ἄκρος ἴσος ὑπερέχω καί ὑπερέχω , οὔτε ἐν λόγος εἰμί ὁμοίως πρός αὐτός . πυθμήν δέ αὐτός βε γε ϛυʹ ἢ γε δέ ϛυʹ · κατά γάρ οὗτος πολλαπλασιασμός ἢ ἐπιμοριασμός , ἐάν γε ἐπιδέχομαι , ἄλλος πολύς φύω . καλέω δέ τις ὁ μεσότης οὗτος ἵστημι , ὅτι ἐν μόνος ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 152
εἰρημένοις πυθμενικοῖς ὅροις ὥσπερ ἑστῶσι καὶ πρωτοτύποις φαίνεται · ἐπὶ γὰρ τῆς ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρικῆς ἀπείρους συζυγίας ἔνεστι συντάττεσθαι . ἀλλ’ οὖν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς πυθμενικαῖς οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ καὶ τριπλασίῳ λόγῳ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ αἱ τῶν μειζόνων πρὸς τοὺς μέσους διαφοραὶ πρὸς τὰς τῶν μέσων πρὸς τοὺς ἐλάττονας . ἁρμονικὴ δὲ κέκληται ἡ μεσότης ὅτι σπερματικῶς τοὺς ἐν ἁρμονίᾳ λόγους ἔστιν ἐνιδεῖν αὐτῇ , οἷον ἐν τῇ γʹ δʹ ϛʹ τὸ διὰ τεσσάρων λεγόμενον σύμφωνον , ὅπερ ἐλάχιστόν ἐστι τῶν ἄλλων συμφώνων διαστημάτων , ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ θεωρούμενον ἐν ὅροις ἐστὶ τοῖς ἐλάττοσι , τουτέστι τῷ δʹ πρὸς γʹ · τὸ δὲ διὰ πέντε , ὅπερ ἑξῆς μετὰ τὸ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ ὂν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις , τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς δʹ · τὸ δὲ διὰ πασῶν σύστημα ὂν ἀμφοτέρων τῶν προειρημένων καὶ ἐν διπλασίονι λόγῳ θεωρούμενον ἐν τοῖς ἄκροις , τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς γʹ . καὶ ἔτι ἡ τοῦ ϛʹ διαφορὰ παρὰ τὸν δʹ πρὸς τὴν τοῦ δʹ παρὰ τὸν γʹ ὁμοίως ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐστί , κατὰ τὴν διὰ πασῶν συμφωνίαν .
Lemmas: εἴρω πυθμενικός ὅρος ὥσπερ ἵστημι καί πρωτότυπος φαίνω · ἐπί γάρ ὁ ἀριθμητικός καί γεωμετρικός ἤπειρος συζυγία ἔνειμι συντάσσω . ἀλλά οὖν ἐν ἀμφότερος ὁ πυθμενικός ὁ τε ἄκρος ἐν διπλάσιος καί τριπλάσιος λόγος εἰμί πρός ἀλλήλων καί ὁ ὁ μείζων πρός ὁ μέσος διαφορά πρός ὁ ὁ μέσος πρός ὁ μικρός . ἁρμονικός δέ καλέω ὁ μεσότης ὅτι σπερματικός ὁ ἐν ἁρμονία λόγος εἰμί ἐνιδεῖν αὐτός , οἷος ἐν ὁ γε δέ ϛυʹ ὁ διά τέσσαρες λέγω σύμφωνος , ὅσπερ ἐλάχιστος εἰμί ὁ ἄλλος σύμφωνος διάστημα , ἐν ἐπίτριτος λόγος θεωρέω ἐν ὅρος εἰμί ὁ μικρός , τουτέστι ὁ δέ πρός γε · ὁ δέ διά πέντε , ὅσπερ ἑξῆς μετά ὁ διά τέσσαρες εἰμί ἐν ἡμιόλιος λόγος εἰμί ἐν ὁ μείζων ὅρος , τουτέστι ὁ ϛυʹ πρός δέ · ὁ δέ διά πᾶς σύστημα εἰμί ἀμφότερος ὁ προερέω καί ἐν διπλασίων λόγος θεωρέω ἐν ὁ ἄκρος , τουτέστι ὁ ϛυʹ πρός γε . καί ἔτι ὁ ὁ ϛυʹ διαφορά παρά ὁ δέ πρός ὁ ὁ δέ παρά ὁ γε ὁμοίως ἐν διπλάσιος λόγος εἰμί , κατά ὁ διά πᾶς συμφωνία .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 153
καὶ μὴν καὶ ἡ δύναμις τῶν ἄκρων ἐπ’ ἀλλήλους γενομένων τὰ ιηʹ πρὸς τὴν τοῦ μέσου ἐφ’ ἑαυτὸν γενομένου τὴν ιϛʹ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ οὖσαν περιέχει τὸ τονιαῖον διάστημα · ἐν γὰρ τοῖς πρωτοτύποις ὅροις τοῖς γʹ δʹ ϛʹ οὐκ ἐνῆν τὸν λόγον τοῦ διαστήματος τούτου φανῆναι , διότι οὐδεὶς αὐτῶν ὀγδόου μέρους ἐστὶ παρεκτικός , καθ’ ὃ ἄλλος τις αὐτοῦ ἔσται ἐπόγδοος . πάλιν ἡ δύναμις τοῦ μεγίστου ἐστὶ τριπλασία , ὁ δὲ τριπλάσιος λόγος περιέχει τὴν διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε συμφωνίαν , ἡ δὲ δύναμις καθ’ αὑτὸν τοῦ μεγίστου πρὸς τὴν δύναμιν τοῦ ἐλαχίστου λόγον ἕξει τετραπλάσιον , ὃς περιέχει τὴν δὶς διὰ πασῶν συμφωνίαν . πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς δύναμις τοῦ μὲν ἐλαχίστου πρὸς τὸν μέσον ιβʹ , τοῦ δ’ αὐτοῦ πρὸς τὸν μέγιστον ιηʹ , τοῦ δὲ μέσου πρὸς τὸν μέγιστον κδʹ · ἰδία δὲ τοῦ μὲν γʹ καθ’ ἑαυτὸν θʹ , τοῦ δὲ δʹ ιϛʹ , τοῦ δὲ ϛʹ λϛʹ . καὶ ἔστιν ἐν μὲν ἐπιτρίτῳ λόγῳ τῷ τὸ διὰ τῶν τεσσάρων περιέχοντι τά τε κδʹ τῶν ιηʹ καὶ τὰ ιβʹ τῶν θʹ · ἐν δὲ ἡμιολίῳ τῷ διὰ πέντε τά τε ιηʹ τῶν ιβʹ καὶ τὰ κδʹ τῶν ιϛʹ καὶ τὰ λϛʹ τῶν κδʹ ,
Lemmas: καί μήv καί ὁ δύναμις ὁ ἄκρος ἐπί ἀλλήλων γίγνομαι ὁ ΙΗΥ πρός ὁ ὁ μέσος ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ὁ ιϛʹ ἐν ἐπόγδοος λόγος εἰμί περιέχω ὁ τονιαῖος διάστημα · ἐν γάρ ὁ πρωτότυπος ὅρος ὁ γε δέ ϛυʹ οὐ ἐν-εἰμί ὁ λόγος ὁ διάστημα οὗτος φαίνω , διότι οὐδείς αὐτός ὄγδοος μέρος εἰμί παρεκτικός , κατά ὅς ἄλλος τις αὐτός εἰμί ἐπόγδοος . πάλιν ὁ δύναμις ὁ μέγας εἰμί τριπλάσιος , ὁ δέ τριπλάσιος λόγος περιέχω ὁ διά πᾶς ἅμα καί διά πέντε συμφωνία , ὁ δέ δύναμις κατά ἑαυτοῦ ὁ μέγας πρός ὁ δύναμις ὁ μικρός λόγος ἔχω τετραπλάσιος , ὅς περιέχω ὁ δίς διά πᾶς συμφωνία . πάλιν δέ ἐκ ἄλλος ἀρχή δύναμις ὁ μέν μικρός πρός ὁ μέσος ἶβις , ὁ δέ αὐτός πρός ὁ μέγας ΙΗΥ , ὁ δέ μέσος πρός ὁ μέγας κδέʹ · ἴδιος δέ ὁ μέν γε κατά ἑαυτοῦ ὁ , ὁ δέ δέ ιϛʹ , ὁ δέ ϛυʹ λϛʹ . καί εἰμί ἐν μέν ἐπίτριτος λόγος ὁ ὁ διά ὁ τέσσαρες περιέχω ὁ τε κδέʹ ὁ ΙΗΥ καί ὁ ἶβις ὁ ὁ · ἐν δέ ἡμιόλιος ὁ διά πέντε ὁ τε ΙΗΥ ὁ ἶβις καί ὁ κδέʹ ὁ ιϛʹ καί ὁ λϛʹ ὁ κδέʹ ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 154
ἐν δὲ τριπλασίῳ λόγῳ , ἵνα τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συστῇ , ὁ λϛʹ πρὸς τὸν ιβʹ , ἐν δὲ τετραπλασίῳ , ἵνα τὸ δὶς διὰ πασῶν φανῇ , ὁ λϛʹ πρὸς θʹ , ἐν δὲ ἐπογδόῳ πρὸς τὴν τοῦ τονιαίου διαστήματος ἔμφασιν τὰ ιηʹ τοῦ ιϛʹ , ὡς προερρήθη . καὶ ἡ ἑτέρα δὲ πυθμενικὴ μεσότης ἡ βʹ γʹ ϛʹ αὐτόθεν μὲν ἔχει τὸν τριπλάσιον λόγον ἔν τε τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους καὶ τὰς διαφορὰς πάλιν πρὸς ἀλλήλας , ἐν ᾧ λόγῳ ἐστὶν ἡ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε μικτὴ συμφωνία , ὅπερ οὐχ ὑπῆρχε τῇ προτέρᾳ μεσότητι γʹ δʹ ϛʹ . εἰ δὲ καὶ πολλαπλασιάσαιμεν τούς τε ὅρους καθ’ ἑαυτοὺς καὶ ἐπ’ ἀλλήλους καὶ διαφορὰς καθ’ ἑαυτὰς καὶ ἐπὶ τοὺς ὅρους καὶ ἔτι ἐπ’ ἀλλήλας , φύσονται ἡμῖν πλείους συμφωνιῶν λόγοι , ὡς ἔνεστί τινα δι’ ἑαυτοῦ φιλοκαλήσαντα κατανοῆσαι . προσαρμοσθείη δ’ ἂν κἀπὶ ταύτης τῆς μεσότητος οἰκείως
Lemmas: ἐν δέ τριπλάσιος λόγος , ἵνα ὁ διά πᾶς καί διά πέντε συνίστημι , ὁ λϛʹ πρός ὁ ἶβις , ἐν δέ τετραπλάσιος , ἵνα ὁ δίς διά πᾶς φαίνω , ὁ λϛʹ πρός ὁ , ἐν δέ ἐπόγδοος πρός ὁ ὁ τονιαῖος διάστημα ἔμφασις ὁ ΙΗΥ ὁ ιϛʹ , ὡς προλέγω . καί ὁ ἕτερος δέ πυθμενικός μεσότης ὁ βε γε ϛυʹ αὐτόθεν μέν ἔχω ὁ τριπλάσιος λόγος ἐν τε ὁ ἄκρος πρός ἀλλήλων καί ὁ διαφορά πάλιν πρός ἀλλήλων , ἐν ὅς λόγος εἰμί ὁ διά πᾶς καί διά πέντε μικτός συμφωνία , ὅσπερ οὐ ὑπάρχω ὁ πρότερος μεσότης γε δέ ϛυʹ . εἰμί δέ καί πολλαπλασιάζω ὁ τε ὅρος κατά ἑαυτοῦ καί ἐπί ἀλλήλων καί διαφορά κατά ἑαυτοῦ καί ἐπί ὁ ὅρος καί ἔτι ἐπί ἀλλήλων , φύω ἐγώ πλείων συμφωνία λόγος , ὡς ἔνειμι τις διά ἑαυτοῦ φιλοκαλέω κατανοέω . προσαρμόζω δέ εἄν ἐπί οὗτος ὁ μεσότης οἰκεῖος