ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 106
μὴ διακρινόμενος αὐτοῦ 〈 τὸν 〉 προμήκη , ὅπερ εἰ συγχωρήσειέ τις αὐτῷ , συμβήσεται τὰ ἐναντία ἀσυνύπαρκτα φύσει ὄντα ἅμα καὶ περὶ τὸ αὐτὸ εὑρίσκεσθαι · τὸν αὐτὸν γὰρ ἀριθμὸν τετράγωνον ἀλλὰ καὶ ἑτερομήκη ἀποφαίνει ὁ ἐκείνου λόγος , οἷον τὸν λϛʹ καὶ τὸν ιϛʹ καὶ ἑτέρους πολλούς , ὅπερ ἴσον ἂν εἴη τῷ τὸν περισσὸν ἀριθμὸν ταὐτὸν εἶναι τῷ ἀρτίῳ . εἰ δέ γε ἐκεῖνοι ἀπ’ αὐτῆς τῆς φύσεως καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων εἷς παρ’ ἕνα διευτακτοῦνται καὶ οὐκ ἄν ποτε συγγυθεῖεν , οὕτως τετράγωνοι καὶ ἑτερομήκεις φυσικώτατοι καὶ αὐτοὶ εὐταξίᾳ χρήσονται ὡς ἂν ἀπ’ ἐκείνων τὴν πλάσιν ἔχοντες καὶ διακόσμησιν , ἡγουμένης καὶ ἀρχούσης τῶν μὲν περισσῶν μονάδος , δυάδος δὲ τῶν ἀρτίων · ἐκ μὲν γὰρ τῶν αʹ γʹ εʹ ζʹ θʹ ιαʹ ιγʹ ιεʹ ιζʹ ιθʹ καὶ ἐφοσονοῦν συντιθεμένων , γίνονται τετράγωνοι οἱ αʹ δʹ θʹ ιϛʹ κεʹ λϛʹ μθʹ ξδʹ παʹ ρʹ · ἐκ δὲ τῶν βʹ δʹ ϛʹ ηʹ ιʹ ιβʹ ιδʹ ιϛʹ ιηʹ κʹ ἑτερομήκεις οἱ βʹ ϛʹ ιβʹ κʹ λʹ μβʹ νϛʹ οβʹ ҁʹ ριʹ . καὶ οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι πλευρὰς ἕξουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἀριθμούς , οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἔγγιστα , τουτέστι παρὰ μονάδα τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς σύνδυο , κατὰ τὸν συνημμένον τρόπον ἐκλεγομένους ,
Lemmas: μή διακρίνω αὐτός 〈 ὁ 〉 προμήκης , ὅσπερ εἰμί συγχωρέω τις αὐτός , συμβαίνω ὁ ἐναντίος ἀσυνύπαρκτος φύσις εἰμί ἅμα καί περί ὁ αὐτός εὑρίσκω · ὁ αὐτός γάρ ἀριθμός τετράγωνος ἀλλά καί ἑτερομήκης ἀποφαίνω ὁ ἐκεῖνος λόγος , οἷος ὁ λϛʹ καί ὁ ιϛʹ καί ἕτερος πολύς , ὅσπερ ἴσος εἄν εἰμί ὁ ὁ περισσός ἀριθμός αὐτός εἰμί ὁ ἄρτιος . εἰμί δέ γε ἐκεῖνος ἀπό αὐτός ὁ φύσις καί οὐ ἐγώ τίθημι εἷς παρά εἷς διευτακτέω καί οὐ ἄν ποτός συγγυτιθημι , οὕτως τετράγωνος καί ἑτερομήκης φυσικός καί αὐτός εὐταξία χράω ὡς εἄν ἀπό ἐκεῖνος ὁ πλάσις ἔχω καί διακόσμησις , ἡγέομαι καί ἄρχω ὁ μέν περισσός μόνος , δυάς δέ ὁ ἄρτιος · ἐκ μέν γάρ ὁ ὅς γε εἰ γῆ ὁ ἰά πνίξ ἵημι ἵζω εὐθύς καί ἐφίημι συντίθημι , γίγνομαι τετράγωνος ὁ ὅς δέ ὁ ιϛʹ κύ λϛʹ μθʹ ξδʹ παῖς ῥεῖα · ἐκ δέ ὁ βε δέ ϛυʹ ἤ εἷς ἶβις ἴδη ιϛʹ ΙΗΥ καί ἑτερομήκης ὁ βε ϛυʹ ἶβις καί λίαν μβʹ νϛʹ ΟΒΑ ҁʹ Ῥίον . καί ὁ μέν Ἰσάκις ἴσος πλευρά ἔχω ὁ ἀπό μόνος ἐφεξῆς ἀριθμός , ὁ δέ ἀνισάκις ἄνισος ἔγγιστος , τουτέστι παρά μόνος ὁ ἀπό μόνος ἐφεξῆς σύνδυο , κατά ὁ συνάπτω τρόπος ἐκλέγω ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 107
ἵνα καὶ αἱ πλευραὶ μονάδι ἀλλήλων διαφέρωσιν . ἐν μὲν οὖν τῇ τῶν τετραγώνων γενέσει ἡ μονὰς τὴν αἰτίαν ἀποφέρεται τῆς συστάσεως · ἔν τε γὰρ τῇ τῶν γνωμόνων περιθέσει αὕτη ἐστὶν ἡ προϋφισταμένη , ἄνευ δὲ αὐτῆς καθ’ αὐτοὺς τῶν περισσῶν ἡ ἐπισύνθεσις οὐκ ἂν γεννήσειε τετραγώνους , ἔν τε τῇ κατὰ τὸν λεγόμενον δίαυλον ἐπισωρείᾳ τῶν ἐφεξῆς ἀριθμῶν παρέχει ἑαυτὴν ἡ μονὰς ὕσπληγά τε καὶ νύσσαν καθ’ ἑκάστην ἐπισύνθεσιν · ἀπ’ αὐτῆς τε γὰρ ἡ τῆς προβάσεως ἀρχὴ γίνεται κατὰ τὴν γένεσιν ἑκάστου τετραγώνου , ὡς ἀπὸ ὕσπληγος μέχρι ὡσανεὶ καμπτῆρος τῆς τοῦ ἀποτελεσθησομένου πλευρᾶς , καὶ πάλιν ἐπ’ αὐτὴν ἡ ἐπάνοδος ὡς ἐπί τινα νύσσαν , κατὰ διαφόρησιν πάντων τῶν ἀριθμῶν καὶ αὐτῆς , πλὴν τοῦ καμπτῆρος , ὅπερ καὶ πλευρὰ ἔσται τοῦ κατ’ αὐτὸν τετραγώνου . οὕτως γὰρ καὶ συμβήσεται ἕκαστον τῶν ἀριθμῶν μέχρις ἑαυτοῦ τὴν ἀπὸ μονάδος πρόβασιν ἀναδεχόμενον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ τὴν ἀνάκρουσιν τῆς παλινδρομίας ὡς ἐπὶ μονάδα ποιούμενον πλευρὰν τετραγωνικὴν ὑπάρχειν , τὸν μὲν δύο πλευρὰν τοῦ
Lemmas: ἵνα καί ὁ πλευρά μόνος ἀλλήλων διαφέρω . ἐν μέν οὖν ὁ ὁ τετράγωνος γένεσις ὁ μονή ὁ αἴτιος ἀποφέρω ὁ σύστασις · ἐν τε γάρ ὁ ὁ γνώμων περίθεσις οὗτος εἰμί ὁ προϋφιστάμενος , ἄνευ δέ αὐτός κατά αὐτός ὁ περισσός ὁ ἐπισύνθεσις οὐ εἄν γεννάω τετράγωνος , ἐν τε ὁ κατά ὁ λέγω δίαυλος ἐπισωρεία ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός παρέχω ἑαυτοῦ ὁ μονή ὕσπληξ τε καί νύσσα κατά ἕκαστος ἐπισύνθεσις · ἀπό αὐτός τε γάρ ὁ ὁ πρόβασις ἀρχή γίγνομαι κατά ὁ γένεσις ἕκαστος τετράγωνος , ὡς ἀπό ὕσπληξ μέχρι ὡσανεί καμπτήρ ὁ ὁ ἀποτελέω πλευρά , καί πάλιν ἐπί αὐτός ὁ Ἐπάνοδος ὡς ἐπί τις νύσσα , κατά διαφόρησις πᾶς ὁ ἀριθμός καί αὐτός , πλήν ὁ καμπτήρ , ὅσπερ καί πλευρόν εἰμί ὁ κατά αὐτός τετράγωνος . οὕτως γάρ καί συμβαίνω ἕκαστος ὁ ἀριθμός μέχρι ἑαυτοῦ ὁ ἀπό μόνος πρόβασις ἀναδέχομαι καί ἀπό αὐτός ὁ ἀνάκρουσις ὁ παλινδρόμηση ὡς ἐπί μόνος ποιέω πλευρά τετραγωνικός ὑπάρχω , ὁ μέν δύο πλευρά ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 108
τέτταρα τετραγώνου · αʹ γὰρ καὶ δύο καὶ ἐξ ὑποστροφῆς πάλιν ὁ αʹ , ὁ δʹ γίνεται τετράγωνος . τὸν δὲ γʹ τοῦ θʹ · αʹ γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ ἐξ ὑποστροφῆς βʹ καὶ αʹ , ὁ θʹ τετράγωνος . τὸν δὲ τέταρτον δʹ τοῦ ιϛʹ · αʹ γὰρ καὶ βʹ γʹ δʹ 〈 καὶ ἐξ ὑποστροφῆς γʹ βʹ αʹ , ὁ ιϛʹ τετράγωνος 〉 . καὶ μέχρι ὅσου τις θέλει διελεγχέτω , εὕροι ἂν πάντας μὲν τοὺς ἐντὸς τοῦ ὑστάτου ἀριθμοῦ , ὅς ἐστι πλευρὰ τοῦ τετραγώνου , διαφορουμένους ἐν τῇ συνθέσει κατά τε τὴν ἀπὸ μονάδος πρόοδον καὶ τὴν εἰς αὐτὴν ἐπάνοδον · μόνον δὲ τὸν πλευρικὸν ἀδιαφόρητον , καὶ ἀρχῆς τε ἅμα καὶ τέλους καὶ πρὸς τούτοις μεσότητος λόγον ἔχοντα , ἀρχῆς μὲν διότι ἀπ’ αὐτοῦ ἡ ἐπάνοδος εἰς μονάδα , τέλους · δὲ διότι ἐπ’ αὐτὸν ἡ πρόοδος ἀπὸ μονάδος , μεσότητος δὲ διότι ὁρίζει τήν τε πρόοδον καὶ ἐπάνοδον , ὡσανεὶ καμπτὴρ ὑπάρχων , καὶ μή τι διὰ τοῦτο δύναμίς ἐστιν αὐτοῦ τὸ πᾶν συγκεφαλαίωμα τῶν ἐπισυντιθεμένων ἀριθμῶν κατά τε πρόοδον καὶ ἐπάνοδον , ἐπειδὴ ὥσπερ ἐν ἀκροπόλει μόνος τεταγμένος δορυφορεῖται ὡς ὑπὸ δυνάμεως τῶν λοιπῶν ἀριθμῶν κατὰ πρόβασιν . ἐν δὲ τῇ τῶν ἑτερομηκῶν
Lemmas: τέσσαρες τετράγωνος · ὅς γάρ καί δύο καί ἐκ ὑποστροφή πάλιν ὁ ὅς , ὁ δέ γίγνομαι τετράγωνος . ὁ δέ γε ὁ ὁ · ὅς γάρ καί δύο καί τρεῖς καί ἐκ ὑποστροφή βε καί ὅς , ὁ ὁ τετράγωνος . ὁ δέ τέταρτος δέ ὁ ιϛʹ · ὅς γάρ καί βε γε δέ 〈 καί ἐκ ὑποστροφή γε βε ὅς , ὁ ιϛʹ τετράγωνος 〉 . καί μέχρι ὅσος τις ἐθέλω διελέγχω , εὑρίσκω εἄν πᾶς μέν ὁ ἐντός ὁ ὕστερος ἀριθμός , ὅς εἰμί πλευρόν ὁ τετράγωνος , διαφορέω ἐν ὁ σύνθεσις κατά τε ὁ ἀπό μόνος πρόοδος καί ὁ εἰς αὐτός ἐπάνοδος · μόνος δέ ὁ πλευρικός ἀδιαφορέω , καί ἀρχή τε ἅμα καί τέλος καί πρός οὗτος μεσότης λόγος ἔχω , ἀρχή μέν διότι ἀπό αὐτός ὁ Ἐπάνοδος εἰς μόνος , τέλος · δέ διότι ἐπί αὐτός ὁ πρόοδος ἀπό μόνος , μεσότης δέ διότι ὁρίζω ὁ τε πρόοδος καί ἐπάνοδος , ὡσανεί καμπτήρ ὑπάρχω , καί μή τίς διά οὗτος δύναμις εἰμί αὐτός ὁ πᾶς συγκεφαλαίωμα ὁ ἐπισυντίθημι ἀριθμός κατά τε πρόοδος καί ἐπάνοδος , ἐπεί ὥσπερ ἐν ἀκρόπολις μόνος τάσσω δορυφορέω ὡς ὑπό δύναμις ὁ λοιπός ἀριθμός κατά πρόβασις . ἐν δέ ὁ ὁ ἑτερομήκης
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 109
συστάσει εἴτε γνωμονικῶς δέοι περιτιθέναι τινὶ τὴν ἐπισωρείαν τῶν ἀρτίων , ἡ δυὰς μόνη φανήσεται ἀναδεχομένη καὶ ὑπομένουσα τὴν περίθεσιν , ἄνευ δὲ αὐτῆς οὐ φύσονται ἑτερομήκεις · εἴτε κατὰ τὸν αὐτὸν δίαυλον οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ συνσωρεύοιντο , ἡ μὲν μονὰς ὡς ἂν ἀρχὴ οὖσα πάντων κατὰ τὸν Φιλόλαον ( οὐ γὰρ ἕν φησιν ἀρχὰ πάντων ) καὶ τοῖς ἑτερομήκεσιν εἰς γένεσιν ὕσπληγα ὁμοίως ἑαυτὴν παρέξει , οὐκέτι δὲ καὶ νύσσα ἔσται τῆς καθ’ ὑποστροφὴν παλινδρομίας καὶ ἐπανόδου , ἀλλὰ τὸ τοιοῦτον ἡ δυὰς ἀντ’ αὐτῆς ὑποστήσεται · ταύτης γὰρ αὐτῆς ἔσται ἡ ἐπάνοδος . ἔοικε δὲ ἡ μὲν ἀπὸ μονάδος πρόοδος μέχρι τῶν πλευρικῶν δύο ἀριθμῶν , οἵπερ καμπτήρων λόγον ἕξουσιν ἐπὶ τῶν ἑτερομηκῶν γενέσει προϊούσῃ ἀπὸ τῆς κοινῆς πάντων ἀρχῆς ὡσανεὶ ἐπ’ ἀκμὴν αὐτοὺς τοὺς καμπτῆρας , ἡ δὲ ἀπὸ τούτων ἐπάνοδος ὥσπερ τις ἀνάλυσις οὖσα καὶ παρακμὴ φθορᾷ , διόπερ εὐλόγως εἰς μὲν σύστασιν καὶ αὐτῶν τῶν ἑτερομηκῶν ὡς ἂν εἴδους λόγον ἔχουσα ἡ μονὰς ἑαυτὴν ἐπιδώσει , εἰς δὲ ἀνάλυσιν καὶ ὡσανεὶ φθορὰν οὐκέτι , ἀλλὰ εἰς δυάδα ὕλης λόγον ἔχουσαν καταστρέψει , ὥσπερ ὁρῶμεν καὶ ἐπὶ τῶν φυσικῶν τὰ ἐν γενέσει πάντα τὸ μὲν γίνεσθαι καὶ τόδε τι εἶναι καὶ ἕν εἶναι ἕκαστον ἔχοντα παρὰ τὸ εἶδος , τὸ δὲ φθείρεσθαι
Lemmas: σύστασις εἴτε γνωμονικός δήω περιτίθημι τις ὁ ἐπισωρεία ὁ ἄρτιος , ὁ δυάς μόνος φαίνω ἀναδέχομαι καί ὑπομένω ὁ περίθεσις , ἄνευ δέ αὐτός οὖον φύω ἑτερομήκης · εἴτε κατά ὁ αὐτός δίαυλος ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός συσσωρεύω , ὁ μέν μονή ὡς εἄν ἀρχή εἰμί πᾶς κατά ὁ Φιλόλαος ( οὖον γάρ εἷς φημί ἀρχή πᾶς ) καί ὁ ἑτερομήκης εἰς γένεσις ὕσπληξ ὁμοίως ἑαυτοῦ παρέχω , οὐκέτι δέ καί νύσσα εἰμί ὁ κατά ὑποστροφή παλινδρόμηση καί ἐπάνοδος , ἀλλά ὁ τοιοῦτος ὁ δυάς ἀντί αὐτός ὑφίστημι · οὗτος γάρ αὐτός εἰμί ὁ Ἐπάνοδος . ἔοικα δέ ὁ μέν ἀπό μόνος πρόοδος μέχρι ὁ πλευρικός δύο ἀριθμός , ὅσπερ καμπτήρ λόγος ἔχω ἐπί ὁ ἑτερομήκης γένεσις πρόειμι ἀπό ὁ κοινός πᾶς ἀρχή ὡσανεί ἐπί ἀκμή αὐτός ὁ καμπτήρ , ὁ δέ ἀπό οὗτος Ἐπάνοδος ὥσπερ τις ἀνάλυσις εἰμί καί παρακμή φθορά , διόπερ εὔλογος εἰς μέν σύστασις καί αὐτός ὁ ἑτερομήκης ὡς εἄν εἶδος λόγος ἔχω ὁ μονή ἑαυτοῦ ἐπιδίδωμι , εἰς δέ ἀνάλυσις καί ὡσανεί φθορά οὐκέτι , ἀλλά εἰς δυάς ὕλη λόγος ἔχω καταστρέφω , ὥσπερ ὁράω καί ἐπί ὁ φυσικός ὁ ἐν γένεσις πᾶς ὁ μέν γίγνομαι καί ὅδε τίς εἰμί καί εἷς εἰμί ἕκαστος ἔχω παρά ὁ εἶδος , ὁ δέ φθείρω
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 110
καὶ μὴ εἶναι ἀλλὰ ἀοριστεῖν παρὰ τὴν ὕλην · εἴδους γὰρ καὶ μορφῆς στερόμενον τὸ τόδε τι ὕλη ἂν εἴη ἀόριστος καὶ ἄποσος καὶ ἄποιος , διὰ τὴν τῆς δυάδος ἀοριστίαν καὶ ἀνισότητα . διὰ τοῦτο ἰδίως τῶν ἑτερομηκῶν εἰδοποιὸς ἡ δυὰς ἐφάνη οὖσα καὶ τῆς ἰδίας δυνάμεως αὐτοῖς κατὰ τὰς πλευρὰς μεταδιδοῦσα , τουτέστι τῆς ἀνισότητος · δύο γὰρ τὸ ἄνισον , ὑπεροχὴ καὶ ἔλλειψις · ἡ δὲ μονὰς τῶν τετραγώνων , διόπερ καὶ ἰσάκις ἴσοι · ἀρχὴ γὰρ τῶν ἴσων τὸ ἓν καὶ ἡ μονάς , εἴ γε τὸ ἴσον ἓν πρὸς ἕν ἐστι , καὶ τὰ ἴσα καθ’ ἕνα λόγον ἐστὶν ἴσα . δῆλον οὖν ὅτι ἀναλόγως ἐξ εἴδους καὶ ὕλης τὰ ἐν κόσμῳ πάντα συνέστη καὶ γίνεται , ὡς ἐκ μονάδος καὶ δυάδος τὰ ἐν ἀριθμῷ συμπτώματα πάντα . πρώτως μὲν γὰρ εἰδοποιὸς ἑκατέρα ἡ ἀρχὴ τῶν δύο μηκῶν τοῦ ἀριθμοῦ , ἀρτίου λέγω καὶ περισσοῦ , δευτέρως δὲ ἡ μὲν τετραγώνων ἡ δὲ ἑτερομηκῶν , καὶ οὐκ ἐπαλλάττουσιν αἱ δυνάμεις αὐτῶν , ἀλλ’ ἐναντιώταται οὖσαι κατὰ τὸν ἴδιον λόγον ἑκατέρα διατίθησι τὰ μετίσχοντα αὐτῶν · ὡς γὰρ τὸ θερμὸν
Lemmas: καί μή εἰμί ἀλλά ἀοριστέω παρά ὁ ὕλη · εἶδος γάρ καί μορφή στέρομαι ὁ ὅδε τίς ὕλη εἄν εἰμί ἀόριστος καί ἄποσος καί ἄποιος , διά ὁ ὁ δυάς ἀοριστία καί ἀνισότης . διά οὗτος ἰδίως ὁ ἑτερομήκης εἰδοποιός ὁ δυάς φαίνω εἰμί καί ὁ ἴδιος δύναμις αὐτός κατά ὁ πλευρά μεταδίδωμι , τουτέστι ὁ ἀνισότης · δύο γάρ ὁ ἄνισος , ὑπεροχή καί ἔλλειψις · ὁ δέ μονή ὁ τετράγωνος , διόπερ καί Ἰσάκις ἴσος · ἀρχή γάρ ὁ ἴσος ὁ εἷς καί ὁ μόνος , εἰμί γε ὁ ἴσος εἷς πρός εἷς εἰμί , καί ὁ ἴσος κατά εἷς λόγος εἰμί ἴσος . δῆλος οὖν ὅτι ἀνάλογος ἐκ εἶδος καί ὕλη ὁ ἐν κόσμος πᾶς συνίστημι καί γίγνομαι , ὡς ἐκ μόνος καί δυάς ὁ ἐν ἀριθμός σύμπτωμα πᾶς . πρῶτος μέν γάρ εἰδοποιός ἑκάτερος ὁ ἀρχή ὁ δύο μῆκος ὁ ἀριθμός , ἄρτιος λέγω καί περισσός , δύο δέ ὁ μέν τετράγωνος ὁ δέ ἑτερομήκης , καί οὐ ἐπαλλάσσω ὁ δύναμις αὐτός , ἀλλά ἐναντίος εἰμί κατά ὁ ἴδιος λόγος ἑκάτερος διατίθημι ὁ μετέχω αὐτός · ὡς γάρ ὁ θερμός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 111
θερμαίνειν πέφυκε τὰ πλησιάζοντα καὶ τὸ ψυχρὸν ψύχειν καὶ τὸ ὑγρὸν ὑγραίνειν , οὕτως καὶ αἱ τῶν ὄντων ἀρχαὶ ἄμικτοι τῶν ἄλλων δυνάμεων οὖσαι πάντα τὰ μεταλαμβάνοντα αὐτῶν κατὰ τὰς οἰκείας δυνάμεις ῥυθμίζουσι . πέφυκε δὲ τὸ μὲν ἓν καὶ ἡ μονὰς ὁρίζειν καὶ περαίνειν καὶ μορφοῦν καὶ ἰσάζειν καὶ σῴζειν καὶ ὅλως ἑνοποιεῖν , ἡ δὲ δυὰς μερίζειν καὶ διχάζειν καὶ φθείρειν καὶ ὅλως ἀορισταίνειν , διόπερ ἐν τῇ εἰρημένῃ γενέσει τῶν ἑτερομηκῶν εἰς τὴν αὐτῆς δυάδος σύστασιν ἡ μονὰς οὐκέτι ἑαυτὴν παρέξει , ἀλλ’ αὐτὴ καθ’ αὑτὴν ἡ δυὰς ὡς ἂν ἀρχὴ οὖσα καὶ αὐτὴ εὐθὺς ἑτερομηκῶν ἐστι πυθμήν . διότι δὲ ἐξ ἀρχῆς οὐκ ἂν εἴη , φησὶν ὁ Πλάτων , οὐκ ἂν ἔτι ἀρχὴ εἴη . εὑρίσκεται δὲ ἀναλόγως καὶ ἐν ταῖς κοσμικαῖς ἀρχαῖς ὁ δημιουργὸς θεὸς μὴ ὢν τῆς ὕλης γεννητικός , ἀλλὰ καὶ αὐτὴν ἀίδιον παραλαβών , εἴδεσι καὶ λόγοις τοῖς κατ’ ἀριθμὸν διαπλάττων καὶ κοσμοποιῶν . εἰς δέ γε τὰς τῶν λοιπῶν ἑτερομηκῶν συστάσεις κατὰ μόνην τὴν πρόοδον , ὡς ἔφαμεν , ἐπιδώσει αὑτὴν ἡ μονάς , οὐκέτι δὲ καὶ εἰς τὴν ἐπάνοδον , οἷον οὕτως ἐκ τοῦ ἕν καὶ δύο
Lemmas: θερμαίνω φύω ὁ πλησιάζω καί ὁ ψυχρός ψύχω καί ὁ ὑγρός ὑγραίνω , οὕτως καί ὁ ὁ εἰμί ἀρχή ἄμικτος ὁ ἄλλος δύναμις εἰμί πᾶς ὁ μεταλαμβάνω αὐτός κατά ὁ οἰκεῖος δύναμις ῥυθμίζω . φύω δέ ὁ μέν εἷς καί ὁ μονή ὁρίζω καί περαίνω καί μορφόω καί ἰσάζω καί σῴζω καί ὅλως ἑνοποιέω , ὁ δέ δυάς μερίζω καί διχάζω καί φθείρω καί ὅλως ἀορισταίνω , διόπερ ἐν ὁ εἴρω γένεσις ὁ ἑτερομήκης εἰς ὁ αὐτός δυάς σύστασις ὁ μονή οὐκέτι ἑαυτοῦ παρέχω , ἀλλά αὐτός κατά ἑαυτοῦ ὁ δυάς ὡς εἄν ἀρχή εἰμί καί αὐτός εὐθύς ἑτερομήκης εἰμί πυθμήν . διότι δέ ἐκ ἀρχή οὐ εἄν εἰμί , φημί ὁ Πλάτων , οὐ εἄν ἔτι ἀρχή εἰμί . εὑρίσκω δέ ἀνάλογος καί ἐν ὁ κοσμικός ἀρχή ὁ δημιουργός θεός μή εἰμί ὁ ὕλη γεννητικός , ἀλλά καί αὐτός ἀίδιος παραλαμβάνω , εἶδος καί λόγος ὁ κατά ἀριθμός διαπλήσσω καί κοσμοποιέω . εἰς δέ γε ὁ ὁ λοιπός ἑτερομήκης σύστασις κατά μόνος ὁ πρόοδος , ὡς φημί , ἐπιδίδωμι ἑαυτοῦ ὁ μόνος , οὐκέτι δέ καί εἰς ὁ ἐπάνοδος , οἷος οὕτως ἐκ ὁ εἷς καί δύο
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 112
καὶ τρία ὁ ϛʹ γίνεται ἑτερομήκης συνεχὴς ὢν τῇ δυάδι καὶ πλευρὰς ἔχων δυάδα καὶ τριάδα , καίπερ καμπτήρων ἀμφότεραι λόγον ἔχουσαι . ἐν μὲν γὰρ τοῖς τετραγώνοις διὰ τὴν ταυτότητα καὶ ἰσότητα τῶν πλευρῶν ἕνα καμπτῆρα εἶναι συνέβαινεν , ὃς δὴ πλευρικὸς ἦν καθ’ ἕκαστον τετράγωνον ἀριθμός · ἐνταῦθα δὲ ἐπὶ τῶν ἑτερομηκῶν , ὅτι διαφόρους καὶ ἀνίσους εἶναι δεῖ τὰς πλευράς , δύο καμπτήρων ἐδέησε , κατ’ ἐπάνοδον δ’ ἐπισυνθεῖναι κωλυόμεθα ἀριθμὸν ὑπὸ τοῦ ϛʹ , ἐπείπερ ὑπόκειται ἡ μονὰς ἀνεπίδεκτος οὖσα τῆς ἐπανόδου καὶ ἀναλύσεως · ἡ δὲ δυὰς οὐδὲν ἔλαττον τῆς τριάδος καμπτὴρ ὑπάρχει , ἀλλ’ ἰσοκρατῶς ἀμφότεροι πλευρικοί εἰσιν ἀριθμοὶ τοῦ ϛʹ ἑτερομήκους ἐκ τοῦ δὶς τρία 〈 ἢ 〉 ἐκ τοῦ τρὶς βʹ ποιοῦντες αὐτόν . ἅπαξ δὲ χρὴ κατὰ μόνην τὴν πρόοδον ἐκ πάντων ἑτερομηκῶν τοὺς καμπτῆρας λαμβάνεσθαι , ὡς καὶ ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐποιοῦμεν . πάλιν ἐκ τῶν αʹ βʹ γʹ δʹ καὶ ἐξ ὑποστροφῆς μόνου τοῦ βʹ ὁ ιβʹ τρίτος ἑτερομήκης γίνεται , οὗ πλευραὶ δύο καμπτῆρες ὅ τε γʹ
Lemmas: καί τρεῖς ὁ ϛυʹ γίγνομαι ἑτερομήκης συνεχής εἰμί ὁ δυάς καί πλευρά ἔχω δυάς καί τριάς , καίπερ καμπτήρ ἀμφότερος λόγος ἔχω . ἐν μέν γάρ ὁ τετράγωνος διά ὁ ταυτότης καί ἰσότης ὁ πλευρά εἷς καμπτήρ εἰμί συμβαίνω , ὅς δή πλευρικός εἰμί κατά ἕκαστος τετράγωνος ἀριθμός · ἐνταῦθα δέ ἐπί ὁ ἑτερομήκης , ὅτι διάφορος καί ἄνισος εἰμί δεῖ ὁ πλευρά , δύο καμπτήρ δήω , κατά ἐπάνοδος δέ ἐπισυνθέω κωλύω ἀριθμός ὑπό ὁ ϛυʹ , ἐπεί ὑπόκειμαι ὁ μονή ἀνεπίδεκτος εἰμί ὁ ἐπάνοδος καί ἀνάλυσις · ὁ δέ δυάς οὐδείς μικρός ὁ τριάς καμπτήρ ὑπάρχω , ἀλλά ἰσοκρατῶς ἀμφότερος πλευρικός εἰμί ἀριθμός ὁ ϛυʹ ἑτερομήκης ἐκ ὁ δίς τρεῖς 〈 ἢ 〉 ἐκ ὁ τρίς βε ποιέω αὐτός . ἅπαξ δέ χρή κατά μόνος ὁ πρόοδος ἐκ πᾶς ἑτερομήκης ὁ καμπτήρ λαμβάνω , ὡς καί ἐπί ὁ τετράγωνος ποιέω . πάλιν ἐκ ὁ ὅς βε γε δέ καί ἐκ ὑποστροφή μόνος ὁ βε ὁ ἶβις τρίτος ἑτερομήκης γίγνομαι , ὅς πλευρά δύο καμπτήρ ὅς τε γε
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 113
καὶ μὴν ἐκ τοῦ αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ καὶ ἐξ ὑποστροφῆς γʹ βʹ ὁ ἑξῆς εὔτακτος κʹ γίνεται , πλευρὰς ἔχων καὶ αὐτὸς τοὺς δύο καμπτῆρας , καὶ ἐκ τοῦ τετράκι πέντε ἢ πεντάκι τέσσαρα γεννώμενος , καὶ τοῦτο μέχρι παντὸς συμβήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον . ἔσται οὖν καὶ τοῖς ἑτερομήκεσι ποικίλη ἡ γένεσις , καθὰ καὶ τοῖς τετραγώνοις , καὶ κατὰ σύνθεσιν καὶ κατ’ ἔγκρασιν καὶ κατὰ τὸν εἰρημένον δίαυλον . κατὰ μὲν ἔγκρασιν , ὡς ἐγίνοντο ἐκεῖνοι ἐκ τοῦ ἅπαξ αʹ καὶ δὶς βʹ καὶ τρὶς γʹ καὶ τετράκι δʹ καὶ ἐφοσονοῦν , οὕτως οἱ ἑτερομήκεις γενήσονται ἐκ τοῦ ἅπαξ βʹ καὶ δὶς γʹ καὶ τρὶς δʹ καὶ τετράκι εʹ καὶ ἐφεξῆς , κατὰ συνδυασμὸν ἐγκιρναμένων δύο ἀριθμῶν μονάδι ἀλλήλων διαφερόντων . κατὰ δὲ σύνθεσιν , ὡς ἐκεῖνοι ἦσαν πρῶτον εἷς περισσὸς εἶτα δύο εἶτα τρεῖς εἶτα τέσσαρες καὶ ἀεὶ ὁμοίως *** , οὐκέτι κατὰ συνδυασμὸν ἀλλὰ κατὰ πρόσθεσιν τὴν ἐπὶ τοῖς ἐξ ἀρχῆς . περὶ δὲ τῆς κατὰ τὸν λεγόμενον δίαυλον αὐτῶν γενέσεως μικρῷ πρόσθεν εἴρηται . καὶ ὁ δʹ , ιβʹ τετράκι γʹ ἀποτελεῖται . λέγεται δὲ κατ’ ἔγκρασιν ἡ εἰρημένη πλάσις ἑκατέρου εἴδους , ὅτι ὁ
Lemmas: καί μήv ἐκ ὁ ὅς βε γε δέ εἰ καί ἐκ ὑποστροφή γε βε ὁ ἑξῆς εὔτακτος καί γίγνομαι , πλευρά ἔχω καί αὐτός ὁ δύο καμπτήρ , καί ἐκ ὁ τετράκις πέντε ἢ πεντάκις τέσσαρες γεννάω , καί οὗτος μέχρι πᾶς συμβαίνω κατά ὁ αὐτός ἔφοδος . εἰμί οὖν καί ὁ ἑτερομήκης ποικίλος ὁ γένεσις , καθά καί ὁ τετράγωνος , καί κατά σύνθεσις καί κατά ἔγκρασις καί κατά ὁ εἴρω δίαυλος . κατά μέν ἔγκρασις , ὡς γίγνομαι ἐκεῖνος ἐκ ὁ ἅπαξ ὅς καί δίς βε καί τρίς γε καί τετράκις δέ καί ἐφίημι , οὕτως ὁ ἑτερομήκης γίγνομαι ἐκ ὁ ἅπαξ βε καί δίς γε καί τρίς δέ καί τετράκις εἰ καί ἐφεξῆς , κατά συνδυασμός ἐγκιρνάω δύο ἀριθμός μόνος ἀλλήλων διαφέρω . κατά δέ σύνθεσις , ὡς ἐκεῖνος εἰμί πρῶτος εἷς περισσός εἶτα δύο εἶτα τρεῖς εἶτα τέσσαρες καί ἀεί ὁμοίως *** , οὐκέτι κατά συνδυασμός ἀλλά κατά πρόσθεσις ὁ ἐπί ὁ ἐκ ἀρχή . περί δέ ὁ κατά ὁ λέγω δίαυλος αὐτός γένεσις μικρός πρόσθεν εἴρω . καί ὁ δέ , ἶβις τετράκις γε ἀποτελέω . λέγω δέ κατά ἔγκρασις ὁ εἴρω πλάσις ἑκάτερος εἶδος , ὅτι ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 114
γενόμενος τοὺς γνώμονας εἰλικρινεῖς ἀποδοῦναι οὐκέτι ἔχει διὰ τὴν σύμφθαρσιν , ἀλλ’ ἐν ταῖς διακρίσεσι συμφαίνονται ἀλλήλοις , οἷον φέρ’ εἰπεῖν ὁ ϛʹ ἐκ τοῦ δὶς τρεῖς ὢν οὐ λύεται εἰς τὸν δύο καὶ τρία , ἀλλ’ ἡ σύμφθαρσις πλέον τι τῆς ποσότητος τῶν γνωμόνων ἀπετέλεσε . τοσαυτάκις γάρ ἐστι θάτερος τῶν γνωμόνων ἐν τῷ γεννωμένῳ , ὅσοσπερ ὁ σύζυγος αὐτοῦ ἐστι , καὶ διὰ τοῦτο συνεμφαίνεσθαι ἀλλήλοις εἴρηνται , καθὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐγκιρναμένων ὑγρῶν συμβαίνει χυλῶν τε καὶ χυτῶν καὶ τηκτῶν καὶ τῶν ὁμοίων · οὐ γὰρ ἔστιν εἰς τὰ ἐξ ἀρχῆς τὴν διάκρισιν γενέσθαι διὰ τὸ συνεφθάρθαι καὶ συνεμφαίνεσθαι τὰς ποιότητας . κατὰ δὲ παράθεσιν καὶ σύνθεσιν εἴρηται ἡ ἑτέρα πλάσις , ὅτι δυνα - τὸν λύεσθαι τοὺς ἀποτελουμένους εἰς τοὺς ἐξ ὧν συνετέθησαν , οἷον τὸν ϛʹ ἐκ τοῦ βʹ καὶ δʹ συγκείμενον δυνατὸν διελεῖν εἰς τοὺς αὐτούς , ὥστε καὶ πᾶν πλῆθος κατὰ σωρείαν ἢ κατὰ συναγελασμὸν συγκείμενον εἰς ἑνιαῖα διακρῖναι . μόνη δὲ ἀπὸ πάντων ἀριθμῶν ἡ δυάς , ὡς ἔμπροσθεν ἐμάθομεν , τὸ κατ’ ἔγκρασιν τῷ κατὰ σύνθεσιν ἴσον ἀποτελεῖ , τῶν μετ’ αὐτὴν ἀριθμῶν πλέον τὸ κατὰ σύγκρασιν τοῦ κατὰ
Lemmas: γίγνομαι ὁ γνώμων εἰλικρινής ἀποδίδωμι οὐκέτι ἔχω διά ὁ σύμφθαρσις , ἀλλά ἐν ὁ διάκρισις συμφαίνω ἀλλήλων , οἷος φέρω εἶπον ὁ ϛυʹ ἐκ ὁ δίς τρεῖς εἰμί οὖον λύω εἰς ὁ δύο καί τρεῖς , ἀλλά ὁ σύμφθαρσις πλέω τίς ὁ ποσότης ὁ γνώμων ἀποτελέω . τοσαυτάκις γάρ εἰμί θατέρως ὁ γνώμων ἐν ὁ γεννάω , ὅσοσπερ ὁ σύζυγος αὐτός εἰμί , καί διά οὗτος συνεμφαίνω ἀλλήλων εἴρω , καθά καί ἐπί ὁ ἐγκιρνάω ὑγρός συμβαίνω χυλός τε καί χυτός καί τηκτός καί ὁ ὅμοιος · οὖον γάρ εἰμί εἰς ὁ ἐκ ἀρχή ὁ διάκρισις γίγνομαι διά ὁ συμφθείρω καί συνεμφαίνω ὁ ποιότης . κατά δέ παράθεσις καί σύνθεσις εἴρω ὁ ἕτερος πλάσις , ὅτι δυνα - ὁ λύω ὁ ἀποτελέω εἰς ὁ ἐκ ὅς συντίθημι , οἷος ὁ ϛυʹ ἐκ ὁ βε καί δέ σύγκειμαι δυνατός διαιρέω εἰς ὁ αὐτός , ὥστε καί πᾶς πλῆθος κατά σωρεία ἢ κατά συναγελασμός σύγκειμαι εἰς ενιαία διακρίνω . μόνος δέ ἀπό πᾶς ἀριθμός ὁ δυάς , ὡς ἔμπροσθεν μανθάνω , ὁ κατά ἔγκρασις ὁ κατά σύνθεσις ἴσος ἀποτελέω , ὁ μετά αὐτός ἀριθμός πλέω ὁ κατά σύγκρασις ὁ κατά
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 115
σύνθεσιν ποιούντων , τῆς δὲ πρὸ αὐτῆς μονάδος ἀνάπαλιν ἔλαττον · διόπερ αὐτὴν ἴσην καὶ δικαίαν οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου ἐκ τοῦ συμβαίνοντος ἐκάλουν , καὶ ἐκ τοῦ τοιοῦδε τὸ σπερματικὸν αὐτῆς καὶ ἀρχοειδὲς γνωρίζεται · ὡς γὰρ ἡ μονὰς *** καὶ σπερματικῶς ἀδιακρίτους τοὺς ἐν ἀριθμῷ λόγους περιέχει , οὕτω καὶ ἡ δυὰς συγκεχυμένον καὶ ἀδιάφορον μόνον περιέξει τὸ τῆς ἐγκράσεως καὶ τὸ τῆς παραθέσεως ἰδίωμα , ὅπερ οὐδὲ τῇ μονάδι ὑπάρξει , ἀλλ’ ἔσται δυάδος ἴδιον . καὶ ἐν τοῖς φυσικοῖς δ’ ἂν εὕροιμεν τὰ σπέρματα πάντα τοὺς λόγους τῶν ἀποτελεσθησομένων ἐξ αὐτῶν ἀδιακρίτους καὶ συγκεχυμένους ἔχοντα , ὡς ἂν δυνάμει ὄντα ἐκεῖνα ἃ ἐξ αὐτῶν γενήσεται . πάλιν οὖν ἐξ ἄλλης ἀρχῆς ἐπεὶ οἱ μὲν τετράγωνοι δυνάμεις εἰσὶν ἰδίῳ τινῶν μήκει αὐξηθέντων ἀριθμῶν , ἑτερομήκεις δὲ οὐκ ἰδίῳ ἀλλ’ ἑτέρῳ , οὐκ ἀπεικότως ἑτερομήκεις ἐκλήθησαν , οὗ κατὰ ἀντιδιαστολὴν τοὺς τετραγώνους οὐκ ἦν ἀπρεπὲς ἰδιομήκεις καλεῖν . οἱ δὲ παλαιοὶ ταὐτούς τε καὶ ὁμοίους αὐτοὺς ἐκάλουν διὰ τὴν περὶ τὰς πλευράς τε καὶ γωνίας ὁμοιότητα καὶ ἰσότητα , ἀνομοίους δὲ
Lemmas: σύνθεσις ποιέω , ὁ δέ πρό αὐτός μόνος ἀνάπαλιν μικρός · διόπερ αὐτός ἴσος καί Δίκαιος ὁ ἀπό Πυθαγόρας ἐκ ὁ συμβαίνω καλέω , καί ἐκ ὁ τοιόσδε ὁ σπερματικός αὐτός καί ἀρχοειδής γνωρίζω · ὡς γάρ ὁ μονή *** καί σπερματικός ἀδιάκριτος ὁ ἐν ἀριθμός λόγος περιέχω , οὗτος καί ὁ δυάς συγχέω καί ἀδιάφορος μόνος περιέχω ὁ ὁ ἔγκρασις καί ὁ ὁ παράθεσις ἰδίωμα , ὅσπερ οὐδέ ὁ μόνος ὑπάρχω , ἀλλά εἰμί δυάς ἴδιος . καί ἐν ὁ φυσικός δέ εἄν εὑρίσκω ὁ σπέρμα πᾶς ὁ λόγος ὁ ἀποτελέω ἐκ αὐτός ἀδιάκριτος καί συγχέω ἔχω , ὡς εἄν δύναμις εἰμί ἐκεῖνος ὁ ἐκ αὐτός γίγνομαι . πάλιν οὖν ἐκ ἄλλος ἀρχή ἐπεί ὁ μέν τετράγωνος δύναμις εἰμί ἴδιος τις μῆκος αὐξάνω ἀριθμός , ἑτερομήκης δέ οὐ ἴδιος ἀλλά ἕτερος , οὐ ἀπεικότως ἑτερομήκης καλέω , ὅς κατά ἀντιδιαστολή ὁ τετράγωνος οὐ εἰμί ἀπρεπής ἰδιομήκης καλέω . ὁ δέ παλαιός αὐτός τε καί ὅμοιος αὐτός καλέω διά ὁ περί ὁ πλευρά τε καί γωνία ὁμοιότης καί ἰσότης , ἀνόμοιος δέ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 116
ἐκ τοῦ ἐναντίου καὶ θατέρους τοὺς ἑτερομήκεις . ἐν δὲ τῇ ἐκθέσει ἑκατέρου εἴδους οἱ μὲν ἕνα παρ’ ἕνα περισσοὶ καὶ ἄρτιοι γενήσονται , ὅτι οἱ τοιοῦτοι αὐτοὺς αὐξάνουσιν · οἱ δ’ ἑτερομήκεις πάντες ἄρτιοι , ὅτι περισσὸς ἄρτιον ἢ ἄρτιος περισσὸν μηκύνει , πᾶς δὲ περισσὸς κατ’ ἄρτιον αὐξηθεὶς ἄρτιον γεννᾷ . καὶ ἐπεὶ ἐνταῦθα λόγου ἐσμέν , ἰστέον ὅτι χρήσιμον ἡμῖν τοῦτο ἔσται τὸ παράδειγμα εἰς τὸν ἐν τῇ Πλάτωνος πολιτείᾳ γαμικὸν ἀριθμόν , ἔνθα φησὶν ἐκ δύο ἀγαθῶν ἀγαθογονίαν πάντως ἔσεσθαι καὶ ἐκ δύο τῶν ἐναντίων τὸ ἐναντίον , ἐκ δὲ μικτῶν πάντως κακογονίαν οὐδέποτε δὲ ἀγαθογονίαν . καὶ γὰρ ἐκ μὲν τῆς τῶν περισσῶν καθ’ ἑαυτοὺς συνόδου καὶ ἐπισυνθέσεως ἡγουμένης μονάδος ἐγίνοντο τετράγωνοι τῆς τἀγαθοῦ φύσεως ὄντες ἀπὸ τοιούτων · αἰτία δὲ τούτου ἥ τε ἰσότης καὶ πρὸ ταύτης τὸ ἕν · ἐκ δὲ τῆς τῶν ἀρτίων ἡγουμένης δυάδος ἑτερομήκεις τῆς ἐναντίας φύσεως ὄντες , διότιπερ καὶ οἱ γεννήτορες · πάλιν δὲ αἰτία τούτου ἥ τε ἀνισότης καὶ πρὸ ταύτης ἡ ἀόριστος δυάς . καὶ εἰ κρᾶσις δὲ γένοιτο καὶ ὡς ἂν εἴποι τις γάμος ἀρτίου καὶ περισσοῦ , οἱ γεννώμενοι ὄγκοι καὶ τῆς καθ’ ἑκατέρου
Lemmas: ἐκ ὁ ἐναντίος καί θήτερος ὁ ἑτερομήκης . ἐν δέ ὁ ἔκθεσις ἑκάτερος εἶδος ὁ μέν εἷς παρά εἷς περισσός καί ἄρτιος γίγνομαι , ὅτι ὁ τοιοῦτος αὐτός αὐξάνω · ὁ δέ ἑτερομήκης πᾶς ἄρτιος , ὅτι περισσός ἄρτιος ἢ ἄρτιος περισσός μηκύνω , πᾶς δέ περισσός κατά ἄρτιος αὐξάνω ἄρτιος γεννάω . καί ἐπεί ἐνταῦθα λόγος εἰμί , ἰστέον ὅτι χρήσιμος ἐγώ οὗτος εἰμί ὁ παράδειγμα εἰς ὁ ἐν ὁ Πλάτων πολιτεία γαμικός ἀριθμός , ἔνθα φημί ἐκ δύο ἀγαθός ἀγαθογονία πάντως εἰμί καί ἐκ δύο ὁ ἐναντίος ὁ ἐναντίος , ἐκ δέ μικτός πάντως κακογονία οὐδέποτε δέ ἀγαθογονία . καί γάρ ἐκ μέν ὁ ὁ περισσός κατά ἑαυτοῦ σύνοδος καί ἐπισύνθεσις ἡγέομαι μόνος γίγνομαι τετράγωνος ὁ ἀγαθός φύσις εἰμί ἀπό τοιοῦτος · αἰτία δέ οὗτος ὅς τε Ἰσότης καί πρό οὗτος ὁ εἷς · ἐκ δέ ὁ ὁ ἄρτιος ἡγέομαι δυάς ἑτερομήκης ὁ ἐναντίος φύσις εἰμί , διότιπερ καί ὁ γεννήτωρ · πάλιν δέ αἰτία οὗτος ὅς τε ἀνισότης καί πρό οὗτος ὁ ἀόριστος δυάς . καί εἰμί κρᾶσις δέ γίγνομαι καί ὡς εἄν εἶπον τις γάμος ἄρτιος καί περισσός , ὁ γεννάω ὄγκος καί ὁ κατά ἑκάτερος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 117
φύσεως εἴτε μονάδι διαφέροιεν οἱ γεννήτορες εἴτε καὶ μείζονί τινι ἀριθμῷ · ἢ γὰρ ἑτερομήκεις ἢ προμήκεις οἱ ἀποτελούμενοι . καὶ πάλιν ἐκ μὲν τετραγώνων ἀλλήλοις μιγέντων οἱ γινόμενοι τετράγωνοι , ἐκ δὲ ἑτερομηκῶν ὅμοιοι , ἐκ δὲ μικτῶν οὐδέποτε μὲν τετράγωνοι πάντως δὲ ἑτερογενεῖς , καὶ τοῦτό φησιν ὁ θειότατος Πλάτων παριδόντας τοὺς τῆς πολιτείας αὐτοῦ ἄρχοντας καὶ ἀρχούσας , διὰ τὸ μὴ τεθράφθαι ἐν τοῖς μαθήμασιν ἢ εἰ καὶ τραφεῖεν παρ - ενθυμηθέντας , τοὺς γάμους φύρδην ἀναμίξειν , ἀφ’ ὧν φαῦλοι γενόμενοι οἱ ἔγγονοι ἀρχὴ στάσεως καὶ διαφορᾶς τῇ συμπάσῃ πολιτείᾳ γενήσονται . ἵνα δὲ καὶ μάθωμεν τὴν ἑκατέρου εἴδους τετραγώνων καὶ ἑτερομηκῶν , ἐναντιωτάτης περ ὄντων φύσεως , ἐναρμόνιον καὶ συμφυεστάτην σύζευξιν , ἐκθετέον στιχηδὸν καὶ παραλλήλως ἑκατέρους ἀπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς , τετραγώνους μὲν ἀπὸ μονάδος ἀπὸ δὲ δυάδος ἑτερομήκεις , οὕτως · αʹ δʹ θʹ ιϛʹ κεʹ λϛʹ μθʹ ξδʹ παʹ ρʹ βʹ ϛʹ ιβʹ κʹ λʹ μβʹ νϛʹ οβʹ ҁʹ ριʹ
Lemmas: φύσις εἴτε μόνος διαφέρω ὁ γεννήτωρ εἴτε καί μέγας τις ἀριθμός · ἢ γάρ ἑτερομήκης ἢ προμήκης ὁ ἀποτελέω . καί πάλιν ἐκ μέν τετράγωνος ἀλλήλων μίγνυμι ὁ γίγνομαι τετράγωνος , ἐκ δέ ἑτερομήκης ὅμοιος , ἐκ δέ μικτός οὐδέποτε μέν τετράγωνος πάντως δέ ἑτερογενής , καί οὗτος φημί ὁ θεῖος Πλάτων παροράω ὁ ὁ πολιτεία αὐτός ἄρχω καί ἄρχω , διά ὁ μή τρέφω ἐν ὁ μάθημα ἢ εἰμί καί τρέφω παρά - ἐνθυμέομαι , ὁ γάμος φύρδην ἀνάμιξις , ἀπό ὅς φαῦλος γίγνομαι ὁ ἔγγονος ἀρχή στάσις καί διαφορά ὁ σύμπας πολιτεία γίγνομαι . ἵνα δέ καί μανθάνω ὁ ἑκάτερος εἶδος τετράγωνος καί ἑτερομήκης , ἐναντίος περ εἰμί φύσις , ἐναρμόνιος καί συμφύω σύζευξις , ἐκθετέον στιχηδόν καί παράλληλος ἑκάτερος ἀπό ὁ οἰκεῖος ἀρχή , τετράγωνος μέν ἀπό μόνος ἀπό δέ δυάς ἑτερομήκης , οὕτως · ὅς δέ ὁ ιϛʹ κύ λϛʹ μθʹ ξδʹ παῖς ῥεῖα βε ϛυʹ ἶβις καί λίαν μβʹ νϛʹ ΟΒΑ ҁʹ Ῥίον
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 118
καὶ προσεκτέον πῶς ὁ πρῶτος τῶν θατέρων πρὸς πρῶτον τῶν ταὐτῶν περιέχει τὸν πυθμενικὸν λόγον τοῦ πρώτου τῶν πολλαπλασίων , ὁ δὲ δεύτερος πρὸς δεύτερον ἀπὸ πυθμένος τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων , ὁ δὲ τρίτος πρὸς [ γʹ ] τὸν τρίτον ἀπὸ πυθμένος τοῦ δευτέρου τῶν ἐπιμορίων , καὶ ὁ τέταρτος πρὸς τὸν τέταρτον ἀπὸ πυθμένος τοῦ τρίτου τῶν ἐπιμορίων , καὶ τοῦτο ἐφ’ ὅσον τις θέλει ἐξετάζων εὑρήσει εὐτάκτως προχωροῦν . διαφορὰ δ’ ἔσται αὐτοῖς πᾶσι πρὸς πάντας καθ’ ἑκάστην συζυγίαν ἐξεταζομένοις ὁ ἑξῆς ἀπὸ μονάδος ἀριθμός . καθ’ ἑαυτοὺς δὲ ἐξεταζομένων τῶν στίχων , ἐπὶ μὲν τῶν ὁμοίων οἱ ἀπὸ τριάδος περισσοὶ ἔσονται διαφοραί , ἐπὶ δὲ τῶν ἀνομοίων οἱ ἀπὸ τετράδος ἄρτιοι . καὶ πάλιν ἑκάστη διαφορὰ τῶν ἀνομοίων σύνδυο λαμβανομένων πρὸς τὴν ὁμοιότητα τῶν ὁμοίων λόγον ἕξει ἐπιμόριον , πάντως δὲ οἱ λόγοι περισσώνυμοι γενήσονται · ἐπίτριτος γὰρ καὶ ἐπίπεμπτος καὶ ἐφέβδομος καὶ ἐπέννατος καὶ ἑξῆς ἀκολούθως . πάλιν ἐκ πρώτου ὁμοίου καὶ δὶς τοῦ ὑπ’ αὐτὸν ἀνομοίου 〈 καὶ δευτέρου ὁμοίου 〉 ὁ ἀποτελεσθεὶς ὅμοιός ἐστι , καὶ ἐκ τρίτου ὁμοίου καὶ δὶς τοῦ ὑπ’ αὐτὸν ἀνομοίου καὶ τετάρτου ὁμοίου ὁ γενόμενος ὅμοιος , καὶ ἀεὶ οὕτως ποιοῦντες , ὥστε ἄρχειν τῆς προτέρας γενέσεως τὸ τέλος τῆς ὑστέρας ,
Lemmas: καί προσεκτέος πῶς ὁ πρῶτος ὁ θήτερος πρός πρῶτος ὁ αὐτός περιέχω ὁ πυθμενικός λόγος ὁ πρῶτος ὁ πολλαπλάσιος , ὁ δέ δύο πρός δύο ἀπό πυθμήν ὁ πρῶτος ὁ ἐπιμόριος , ὁ δέ τρίτος πρός [ γε ] ὁ τρίτος ἀπό πυθμήν ὁ δύο ὁ ἐπιμόριος , καί ὁ τέταρτος πρός ὁ τέταρτος ἀπό πυθμήν ὁ τρίτος ὁ ἐπιμόριος , καί οὗτος ἐπί ὅσος τις ἐθέλω ἐξετάζω εὑρίσκω εὔτακτος προχωρέω . διαφορά δέ εἰμί αὐτός πᾶς πρός πᾶς κατά ἕκαστος συζυγία ἐξετάζω ὁ ἑξῆς ἀπό μόνος ἀριθμός . κατά ἑαυτοῦ δέ ἐξετάζω ὁ στίχος , ἐπί μέν ὁ ὅμοιος ὁ ἀπό τριάς περισσός εἰμί διαφορά , ἐπί δέ ὁ ἀνόμοιος ὁ ἀπό τετράς ἄρτιος . καί πάλιν ἕκαστος διαφορά ὁ ἀνόμοιος σύνδυο λαμβάνω πρός ὁ ὁμοιότης ὁ ὅμοιος λόγος ἔχω ἐπιμόριος , πάντως δέ ὁ λόγος περισσωνυμέω γίγνομαι · ἐπίτριτος γάρ καί ἐπίπεμπτος καί ἐφέβδομος καί ἐπέννατος καί ἑξῆς ἀκόλουθος . πάλιν ἐκ πρῶτος ὁμοιόω καί δίς ὁ ὑπό αὐτός ἀνόμοιος 〈 καί δύο ὁμοιόω 〉 ὁ ἀποτελέω ὅμοιος εἰμί , καί ἐκ τρίτος ὁμοιόω καί δίς ὁ ὑπό αὐτός ἀνόμοιος καί τέταρτος ὁμοιόω ὁ γίγνομαι ὅμοιος , καί ἀεί οὕτως ποιέω , ὥστε ἄρχω ὁ πρότερος γένεσις ὁ τέλος ὁ ὕστερος ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 119
ὁμοίους πάντας γεννήσομεν . εἰ δὲ ἀνάπαλιν ἀρξαίμεθα ἀπὸ τῶν ἀνομοίων ἄκρους αὐτοὺς τάσσοντες , μέσους δὲ τοὺς ὁμοίους καθ’ ἑκάστην σύζευξιν , ἀνόμοιοι πάντες γενήσονται καὶ τῆς θατέρου φύσεως . εἰ δὲ μὴ τοὺς μεσοταγεῖς μεσεμβολοίημεν ὁμοίους , ἀλλὰ τοὺς ἐφεξῆς ἀεὶ καθ’ ἑκάστην γένεσιν , ἄκρους τηροῦντες τοὺς αὐτοὺς ἀνομοίους , οἱ παραλειφθέντες ἔσονται ὅμοιοι ὅ τε ιςʹ καὶ ὁ λςʹ καὶ ὁ ξδʹ καὶ οἱ ἀνάλογον . καὶ οὗτοι μὲν ἄρτιοι πάντες , ὅτι οἱ μεσεμβολούμενοι ὅμοιοι κἂν περισσοὶ ὦσι δὶς λαμβανόμενοι μετὰ ἀρτίων τῶν ἀνο - μοίων ἄκρων ἀρτίους ποιοῦσι · δὶς γὰρ πᾶς περισσὸς ἄρτιος γίνεται · οἱ δὲ πρότεροι πάντες περισσοί , διότι ὁ ἕτερος τῶν ὁμοίων ἄκρος πάντως ἦν περισσὸς καὶ διὰ τὸ ἅπαξ λαμβάνεσθαι τὴν περισσότητα ἐφύλαττον . ἡ δὲ τῶν κατὰ τοὺς αὐτοὺς τῶν γνωμόνων σύζευξις εὐτάκτους τινὰς λόγους ἀποφαίνει · ἐκ μὲν γὰρ · τοῦ ἅπαξ πρώτου ὁμοίου καὶ δὶς πρώτου ἀνομοίου καὶ ἅπαξ δευτέρου ὁμοίου ὁ ὑποδιπλάσιος λόγος φύσεται , ἐκ δὲ τοῦ δευτέρου ὁμοίου καὶ δὶς τοῦ ὑπ’ αὐτὸν ἀνομοίου καὶ τοῦ ἑξῆς ὁμοίου ὁ ὑφημιόλιος , καὶ κατὰ τὴν τρίτην σύζευξιν ὁ ἐπίτριτος καὶ κατὰ τὴν τετάρτην ὁ ἐπιτέταρτος καὶ ἑξῆς ἀκολούθως .
Lemmas: ὅμοιος πᾶς γεννάω . εἰμί δέ ἀνάπαλιν ἄρχω ἀπό ὁ ἀνόμοιος ἄκρος αὐτός τάσσω , μέσος δέ ὁ ὅμοιος κατά ἕκαστος σύζευξις , ἀνόμοιος πᾶς γίγνομαι καί ὁ θατέρου φύσις . εἰμί δέ μή ὁ μεσοταγής μεσεμβολέω ὅμοιος , ἀλλά ὁ ἐφεξῆς ἀεί κατά ἕκαστος γένεσις , ἄκρος τηρέω ὁ αὐτός ἀνόμοιος , ὁ παραλείπω εἰμί ὅμοιος ὅς τε ιʹ καί ὁ λςʹ καί ὁ ξδʹ καί ὁ ἀνάλογος . καί οὗτος μέν ἄρτιος πᾶς , ὅτι ὁ μεσεμβολέω ὅμοιος κἀν περισσός εἰμί δίς λαμβάνω μετά ἄρτιος ὁ ἀνο - μοιόν ἄκρος ἄρτιος ποιέω · δίς γάρ πᾶς περισσός ἄρτιος γίγνομαι · ὁ δέ πρότερος πᾶς περισσός , διότι ὁ ἕτερος ὁ ὅμοιος ἄκρος πάντως εἰμί περισσός καί διά ὁ ἅπαξ λαμβάνω ὁ περισσότης φυλάσσω . ὁ δέ ὁ κατά ὁ αὐτός ὁ γνώμων σύζευξις εὔτακτος τις λόγος ἀποφαίνω · ἐκ μέν γάρ · ὁ ἅπαξ πρῶτος ὁμοιόω καί δίς πρῶτος ἀνόμοιος καί ἅπαξ δύο ὁμοιόω ὁ ὑποδιπλάσιος λόγος φύω , ἐκ δέ ὁ δύο ὁμοιόω καί δίς ὁ ὑπό αὐτός ἀνόμοιος καί ὁ ἑξῆς ὁμοιόω ὁ ὑφημιόλιος , καί κατά ὁ τρίτος σύζευξις ὁ ἐπίτριτος καί κατά ὁ τέταρτος ὁ ἐπιτέταρτος καί ἑξῆς ἀκόλουθος .
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 120
καὶ ἐν τῇ τῶν παραλελειμμένων ὁμοίων γενέσει ἡ σύζευξις τῶν γενομένων οὐκέτι μὲν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοὺς τρεῖς ὅρους καθ’ ἑκάστην συζυγίαν ἀποφαίνει , ἀλλ’ ἐν διαφόροις , οὐ μὴν ἀνοικείοις γε , ἀλλὰ πάλιν τινὰ φυσικὴν εὐταξίαν καὶ συγγένειαν διπλασίου λόγου πρὸς ἡμιόλιον καὶ ἡμιολίου πρὸς ἐπίτριτον καὶ ἐπιτρίτου πρὸς ἐπιτέταρτον · ἐν μὲν γὰρ τοῖς βʹ δʹ ϛʹ ὅροις διπλάσιος καὶ ἡμιόλιος λόγος ἐστίν , ἐν δὲ τοῖς ϛʹ θʹ ιβʹ ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος , ἐν δὲ τοῖς ιβʹ ιϛʹ κʹ ἐπίτριτος καὶ ἐπιτέταρτος καὶ ἑξῆς ἀναλόγως , μονάδι μεγαλωνυμωτέρως τοῦ δευτέρου λόγου πρὸς τὸν σύζυγον λεγομένου . πάλιν ἕκαστος ὅμοιος μεθ’ ἑκάστου ὁμοταγοῦς ἀνομοίου τρίγωνον ποιεῖ · οἱ δὲ γενόμενοι τρίγωνοι ἄρχοντος τοῦ τρία αἰεὶ παρ’ ἓν γενήσονται οὗτοι γʹ ιʹ καʹ λϛʹ νεʹ οηʹ ρεʹ καὶ ἀνάλογον , παραλείποντες ἐκ τῆς εὐτάκτου τῶν τριγώνων πλάσεως τόν τε ϛʹ καὶ τὸν ιεʹ καὶ τὸν κηʹ καὶ τὸν μεʹ καὶ τὸν ξϛʹ καὶ τὸν ҁαʹ καὶ τοὺς τούτοις ἀνάλογον . εἰ δὲ μὴ τῇ κατὰ παράλληλον μόνῃ συνθέσει χρησαίμεθα ἀλλὰ καὶ τῇ κατ’ ἐμπλοπὴν συμπλέκοντες ἂν πρῶτον ἀνόμοιον δευτέρῳ
Lemmas: καί ἐν ὁ ὁ παραλείπω ὅμοιος γένεσις ὁ σύζευξις ὁ γίγνομαι οὐκέτι μέν ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ τρεῖς ὅρος κατά ἕκαστος συζυγία ἀποφαίνω , ἀλλά ἐν διάφορος , οὖον μήv ἀνοίκειος γε , ἀλλά πάλιν τις φυσικός εὐταξία καί συγγένεια διπλάσιος λόγος πρός ἡμιόλιος καί ἡμιόλιος πρός ἐπίτριτος καί ἐπίτριτος πρός ἐπιτέταρτος · ἐν μέν γάρ ὁ βε δέ ϛυʹ ὅρος διπλάσιος καί ἡμιόλιος λόγος εἰμί , ἐν δέ ὁ ϛυʹ ὁ ἶβις ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος , ἐν δέ ὁ ἶβις ιϛʹ καί ἐπίτριτος καί ἐπιτέταρτος καί ἑξῆς ἀνάλογος , μόνος μεγαλώνυμος ὁ δύο λόγος πρός ὁ σύζυγος λέγω . πάλιν ἕκαστος ὅμοιος μετά ἕκαστος ὁμοταγής ἀνόμοιος τρίγωνος ποιέω · ὁ δέ γίγνομαι τρίγωνος ἄρχω ὁ τρεῖς ἀεί παρά εἷς γίγνομαι οὗτος γε εἷς καί λϛʹ ναῦς ΟΗΕ ῥέω καί ἀνάλογος , παραλείπω ἐκ ὁ εὔτακτος ὁ τρίγωνος πλάσις ὁ τε ϛυʹ καί ὁ ἵημι καί ὁ καίω καί ὁ μου καί ὁ ξϛʹ καί ὁ ҁαʹ καί ὁ οὗτος ἀνάλογος . εἰμί δέ μή ὁ κατά παράλληλος μόνος σύνθεσις χράω ἀλλά καί ὁ κατά ἐμπλοπὴν συμπλέκω εἄν πρῶτος ἀνόμοιος δύο
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 121
ὁμοίῳ καὶ δεύτερον ἀνόμοιον τρίτῳ ὁμοίῳ καὶ τρίτον τετάρτῳ καὶ τέταρτον πέμπτῳ καὶ ἀεὶ ἀκολούθως , πάντες ἑξῆς σὺν τοῖς προτέροις ἀπὸ τριάδος οἱ τρίγωνοι φύσονται οὗτοι γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ κηʹ λϛʹ μεʹ νεʹ ξϛʹ οηʹ ҁαʹ ρεʹ καὶ οἱ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον . πάλιν δὲ καὶ αὐτῶν τῶν καθ’ αὑτοὺς τῶν ἀνομοίων τὰ ἡμίση τοὺς ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τριγώνους ποιήσει . ἑκάστη δὲ διαφορὰ ἀνομοίων καθ’ ἕκαστον πρὸς ὁμοίους λόγον ἕξει πρὸς οὓς ὧν ἐστι διαφορὰ οὐκ ἄτακτον · οὗ μὲν γὰρ ἡμίσεια ἔσται οὗ δὲ τρίτον , καὶ οὗ μὲν τρίτον οὗ δὲ τέταρτον , καὶ οὗ μὲν τέταρτον οὗ δὲ πέμπτον , καὶ ἀεὶ ἀκολούθως , ἀρχὴν δὲ παρέξει τῆς τοιαύτης εὐταξίας ἡ δευτέρα συζυγία τοῦ δʹ πρὸς ϛʹ · τῇ γὰρ πρώτῃ συζυγίᾳ τῇ αʹ πρὸς δύο οὐχ ὑπάρξει τὸ τοσοῦτον διὰ τὸ ἀμερὲς εἶναι τὸ ἓν καὶ τὴν μονάδα εἴδους καὶ ταυτότητος λόγον ἔχουσαν . πρώτη δὲ δυὰς ἐπιδεκτικὴ ἔσται μερισμοῦ καὶ διακρίσεως , τῆς θατέρου φύσεως οὖσα καὶ τὸν τῆς ὕλης λόγον ἀναδεδεγμένη , καὶ ἐπεὶ συζυγὴς οὖσα τῇ μονάδι δι’ ἐκείνην ἐκωλύθη τῆς εἰρημένης εὐταξίας τῶν μορίων ἄρξαι ,
Lemmas: ὅμοιος καί δύο ἀνόμοιος τρίτος ὅμοιος καί τρίτος τέταρτος καί τέταρτος πέμπτος καί ἀεί ἀκόλουθος , πᾶς ἑξῆς σύν ὁ πρότερος ἀπό τριάς ὁ τρίγωνος φύω οὗτος γε ϛυʹ εἷς ἵημι καί καίω λϛʹ μου ναῦς ξϛʹ ΟΗΕ ҁαʹ ῥέω καί ὁ ἑξῆς ἐπί ἤπειρος . πάλιν δέ καί αὐτός ὁ κατά ἑαυτοῦ ὁ ἀνόμοιος ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό μόνος εὔτακτος τρίγωνος ποιέω . ἕκαστος δέ διαφορά ἀνόμοιος κατά ἕκαστος πρός ὅμοιος λόγος ἔχω πρός ὅς ὅς εἰμί διαφορά οὐ ἄτακτος · ὅς μέν γάρ ἥμισυς εἰμί ὅς δέ τρίτος , καί ὅς μέν τρίτος ὅς δέ τέταρτος , καί ὅς μέν τέταρτος ὅς δέ πέμπτος , καί ἀεί ἀκόλουθος , ἀρχή δέ παρέχω ὁ τοιοῦτος εὐταξία ὁ δύο συζυγία ὁ δέ πρός ϛυʹ · ὁ γάρ πρῶτος συζυγία ὁ ὅς πρός δύο οὐ ὑπάρχω ὁ τοσοῦτος διά ὁ ἀμερής εἰμί ὁ εἷς καί ὁ μόνος εἶδος καί ταυτότης λόγος ἔχω . πρῶτος δέ δυάς ἐπιδεκτικός εἰμί μερισμός καί διάκρισις , ὁ θατέρου φύσις εἰμί καί ὁ ὁ ὕλη λόγος ἀναδέχομαι , καί ἐπεί συζυγής εἰμί ὁ μόνος διά ἐκεῖνος κωλύω ὁ εἴρω εὐταξία ὁ μόριον ἄρχω ,
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 122
αὕτη διαφορὰ οὖσα τῆς δευτέρας συζυγίας εὑρίσκεται , τοῦ μὲν τέσσαρα ἡμίσεια οὖσα , τοῦ δὲ ϛʹ , γον . ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸν δʹ συγκρινομένη οὐδὲν ἧττον διαφορὰν πρὸς αὐτὸν φυλάττει . καὶ ἐπειδὴ τῇ κατὰ τὰς διαφορὰς ποσότητι ἀδιαφοροῦσιν οἱ τρεῖς ὅροι οἱ βʹ δʹ ϛʹ , καὶ ποιότητι τῇ κατὰ τοὺς λόγους διαφέρουσι · διπλάσιος μὲν γὰρ ὁ δʹ τοῦ βʹ , ἡμιόλιος δὲ ὁ ϛʹ τοῦ δʹ . ὁ δὲ αὐτὸς ϛʹ πρὸς τὸν ἑξῆς ὁμοίως συγκρινόμενος τὸν θʹ , ποιότητι μὲν οὐ διοίσει · τὸν γὰρ αὐτὸν ἡμιόλιον λόγον φυλάξει , ὑπόλογον ἑαυτὸν παρέχων , ὥσπερ καὶ πρὸς τὸν δʹ τοῦ αὐτοῦ λόγου πρόλογος ἦν · τῇ δὲ κατὰ τὴν διαφορὰν ποσότητι διοίσει , εἴ γε πρὸς μὲν τὸν δʹ δυάς ἐστιν ἡ διαφορά , πρὸς δὲ τὸν θʹ τριάς . πάλιν ὁ θʹ πρὸς τὸν ϛʹ ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸν ιβʹ συγκρινόμενος ποιότητι μὲν τῶν λόγων διοίσει , εἴ γε τοῦ μὲν ἡμιόλιος τοῦ δὲ ὑπεπίτριτός ἐστι , ποσότητι δὲ τῇ κατὰ τὰς διαφορὰς οὐ διοίσει · τριὰς γὰρ αὐτῷ διαφορὰ πρὸς ἑκάτερον . καὶ καθόλου ἔνθα μὲν τῇ κατὰ τὰς
Lemmas: οὗτος διαφορά εἰμί ὁ δύο συζυγία εὑρίσκω , ὁ μέν τέσσαρες ἥμισυς εἰμί , ὁ δέ ϛυʹ , γος . ἀλλά καί πρός ὁ δέ συγκρίνω οὐδείς κακός διαφορά πρός αὐτός φυλάσσω . καί ἐπεί ὁ κατά ὁ διαφορά ποσότης ἀδιαφορέω ὁ τρεῖς ὅρος ὁ βε δέ ϛυʹ , καί ποιότης ὁ κατά ὁ λόγος διαφέρω · διπλάσιος μέν γάρ ὁ δέ ὁ βε , ἡμιόλιος δέ ὁ ϛυʹ ὁ δέ . ὁ δέ αὐτός ϛυʹ πρός ὁ ἑξῆς ὁμοίως συγκρίνω ὁ ὁ , ποιότης μέν οὖον διαφέρω · ὁ γάρ αὐτός ἡμιόλιος λόγος φυλάσσω , ὑπόλογος ἑαυτοῦ παρέχω , ὥσπερ καί πρός ὁ δέ ὁ αὐτός λόγος πρόλογος εἰμί · ὁ δέ κατά ὁ διαφορά ποσότης διαφέρω , εἰμί γε πρός μέν ὁ δέ δυάς εἰμί ὁ διαφορά , πρός δέ ὁ ὁ τριάς . πάλιν ὁ ὁ πρός ὁ ϛυʹ ἀλλά καί πρός ὁ ἶβις συγκρίνω ποιότης μέν ὁ λόγος διαφέρω , εἰμί γε ὁ μέν ἡμιόλιος ὁ δέ υπεπιτριος εἰμί , ποσότης δέ ὁ κατά ὁ διαφορά οὖον διαφέρω · τριάς γάρ αὐτός διαφορά πρός ἑκάτερος . καί καθόλου ἔνθα μέν ὁ κατά ὁ
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 123
διαφορὰς ποσότητι διαφέρουσι τρεῖς ὅροι οὕτως λαμβανόμενοι ὡς εἴρηται , ποιότητι κατὰ τοὺς λόγους ἀδιάφοροι ἔσονται · εἰ δὲ διαφέροιεν ποιότητι , ποσότητι ἀδιαφορήσουσι . καὶ ἐξ ἀλλήλων δ’ ἂν γνωρισθείησαν ὅμοιοί τε καὶ ἀνόμοιοι · ὁ γὰρ πρῶτος ἀνόμοιος ἐκ δὶς πρώτου ἐστὶν ὁμοίου , καὶ ὁ δεύτερος ὅμοιος ἐκ δὶς πρώτου ἐστὶν ἀνομοίου , ὁ δὲ δεύτερος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς 〈 καὶ 〉 ἡμίσους δευτέρου ὁμοίου . πάλιν ὁ τρίτος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τρίτου ἐστὶ τρίτου ὁμοίου , ὥσπερ καὶ τέταρτος ὅμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τρίτου ἐστὶ τρίτου ἀνομοίου . ὁ δὲ τέταρτος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τετάρτου ἐστὶ τετάρτου ὁμοίου , καθὰ καὶ ὁ πέμπτος ὅμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τετάρτου ἔσται τετάρτου ἀνομοίου , ὁ δὲ πέμπτος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ πέμπτου ἔσται τοῦ συζύγου , καὶ ὁ ἕκτος ἐξ ἑνὸς καὶ ἕκτου , καὶ ἀεὶ ἀκολούθως τὸ αὐτὸ συμβήσεται , τοῦ μορίου ὀνομαζομένου κατὰ τὴν ποσότητα τῆς χώρας ἑκάστου τῶν ἀνομοίων πρὸς τὸν ὁμοιοταγῆ ὅμοιον συγκρινομένου , οὗ καὶ τὸ μόριον ἔσται πρώτως , δευτέρως δὲ καὶ τοῦ ἀνομοίου πρὸς τὸν ἑξῆς ὅμοιον συγκρινομένου . καὶ ἄλλα πολλὰ εὕροι τις ἂν γλαφυρὰ καθ’ ἑαυτὸν ἐνατενίζων τῷ διαγράμματι καὶ ἀεὶ διεξετάζων τὴν ἐναρμόνιον
Lemmas: διαφορά ποσότης διαφέρω τρεῖς ὅρος οὕτως λαμβάνω ὡς εἴρω , ποιότης κατά ὁ λόγος ἀδιάφορος εἰμί · εἰμί δέ διαφέρω ποιότης , ποσότης ἀδιαφορέω . καί ἐκ ἀλλήλων δέ εἄν γνωρίζω ὁμοῖος τε καί ἀνόμοιος · ὁ γάρ πρῶτος ἀνόμοιος ἐκ δίς πρῶτος εἰμί ὁμοιόω , καί ὁ δύο ὅμοιος ἐκ δίς πρῶτος εἰμί ἀνόμοιος , ὁ δέ δύο ἀνόμοιος ἐκ εἷς 〈 καί 〉 ἥμισυς δύο ὁμοιόω . πάλιν ὁ τρίτος ἀνόμοιος ἐκ εἷς καί τρίτος εἰμί τρίτος ὁμοιόω , ὥσπερ καί τέταρτος ὅμοιος ἐκ εἷς καί τρίτος εἰμί τρίτος ἀνόμοιος . ὁ δέ τέταρτος ἀνόμοιος ἐκ εἷς καί τέταρτος εἰμί τέταρτος ὁμοιόω , καθά καί ὁ πέμπτος ὅμοιος ἐκ εἷς καί τέταρτος εἰμί τέταρτος ἀνόμοιος , ὁ δέ πέμπτος ἀνόμοιος ἐκ εἷς καί πέμπτος εἰμί ὁ σύζυγος , καί ὁ ἕκτος ἐκ εἷς καί ἕκτος , καί ἀεί ἀκόλουθος ὁ αὐτός συμβαίνω , ὁ μόριον ὀνομάζω κατά ὁ ποσότης ὁ χώρα ἕκαστος ὁ ἀνόμοιος πρός ὁ ὁμοιοτηγής ὅμοιος συγκρίνω , ὅς καί ὁ μόριον εἰμί πρῶτος , δύο δέ καί ὁ ἀνόμοιος πρός ὁ ἑξῆς ὅμοιος συγκρίνω . καί ἄλλος πολύς εὑρίσκω τις εἄν γλαφυρός κατά ἑαυτοῦ ἐνατενίζω ὁ διάγραμμα καί ἀεί διεξετάζω ὁ ἐναρμόνιος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 124
σχέσιν τῶν ἐναντίων τῶν δύο δυνάμεων ταυτότητος καὶ ἑτερότητος ἐμφαινομένων τῇ τῶν τετραγώνων καὶ ἑτερομηκῶν ἐκθέσει . ἱκανὸν δὲ ἐγκώμιον ἔσται τῆς δεκάδος ἡ κατὰ τὸν εἰρημένον δίαυλον τῶν τετραγώνων γένεσις , ὅταν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βαθμῷ τῶν ἀριθμῶν , ὧν ὁρίζει αὐτὴ ἡ δεκάς , ἀπὸ μονάδος ἡ πρόοδος μέχρις αὐτῆς γένηται καὶ πάλιν ἀπ’ αὐτῆς ὡς ἀπὸ ἀριθμοῦ τινος διορίζοντος μονάδας ἀπὸ δεκάδων ἡ ἐπάνοδος ὡς ἐπὶ μονάδα · ἔσται γὰρ ἐκ τῆς 〈 δεκάδος 〉 ὡς ἀπὸ συνθέσεως τετράγωνος ὁ ρʹ ἀριθμός , καὶ αὐτὸς ὢν ἄρθρον διοριστικὸν δεκάδων καὶ ἑκατοντάδων , καὶ μονὰς τριωδουμένη καλούμενος πρὸς τῶν Πυθαγορείων , ὥσπερ καὶ ἡ δεκὰς δευτερωδουμένη μονὰς καὶ χιλιὰς τετρωδουμένη μονάς . πλευρὰ δὲ ἔσται τοῦ ρʹ τετραγώνου αὐτὴ ἡ δεκάς , καὶ δύναμις αὐτῆς τὸ συγκεφαλαίωμα τῆς ἐπὶ ταύτῃ ἐπισωρείας τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν δὶς λαμβανομένων · οὕτω γὰρ καὶ διαύλῳ ἀπεικάσθαι εἴρηται ὅ τε κατὰ πρόοδον ὡς ἀπὸ ὕσπληγος τῆς ἀρχῆς καὶ ὁ κατ’ ἐπάνοδον ὡς ἀπὸ καμπτῆρος τοῦ τέλους τρόπος
Lemmas: σχέσις ὁ ἐναντίος ὁ δύο δύναμις ταυτότης καί ἑτερότης ἐμφαίνω ὁ ὁ τετράγωνος καί ἑτερομήκης ἔκθεσις . ἱκανός δέ ἐγκώμιον εἰμί ὁ δεκάς ὁ κατά ὁ εἴρω δίαυλος ὁ τετράγωνος γένεσις , ὅταν ἐν μέν ὁ πρῶτος βαθμός ὁ ἀριθμός , ὅς ὁρίζω αὐτός ὁ δεκάς , ἀπό μόνος ὁ πρόοδος μέχρι αὐτός γίγνομαι καί πάλιν ἀπό αὐτός ὡς ἀπό ἀριθμός τις διορίζω μόνος ἀπό δεκάς ὁ Ἐπάνοδος ὡς ἐπί μόνος · εἰμί γάρ ἐκ ὁ 〈 δεκάς 〉 ὡς ἀπό σύνθεσις τετράγωνος ὁ ῥεῖα ἀριθμός , καί αὐτός εἰμί ἄρθρον διοριστικός δεκάς καί ἑκατοντάς , καί μονή τριωδουμενω καλέω πρός ὁ Πυθαγόρειος , ὥσπερ καί ὁ Δεκὰς δευτερόω μονή καί χιλιάς τιτρώσκω μόνος . πλευρόν δέ εἰμί ὁ ῥεῖα τετράγωνος αὐτός ὁ δεκάς , καί δύναμις αὐτός ὁ συγκεφαλαίωμα ὁ ἐπί οὗτος ἐπισωρεία ὁ ἐντός αὐτός ἀριθμός δίς λαμβάνω · οὗτος γάρ καί δίαυλος ἀπεικάζω εἴρω ὅς τε κατά πρόοδος ὡς ἀπό ὕσπληξ ὁ ἀρχή καί ὁ κατά ἐπάνοδος ὡς ἀπό καμπτήρ ὁ τέλος τρόπος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 125
τῆς ἐπισυνθέσεως τῶν ἀριθμῶν . εἰ δὲ τῇ δεκάδι μηκέτι μὲν καμπτῆρι , ὕσπληγι δὲ χρησαίμεθα καὶ ἀρχῇ τῆς προόδου μέχρις ἑκατοντάδος , ἀφ’ ἧς πάλιν ἡ ἐπάνοδος ἐπὶ τὴν δεκάδα ἔσται , ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως γενήσεται ὁ πρῶτος ἀριθμὸς ἡ τετρωδουμένη μονάς , ἄρθρον καὶ αὐτὸς ὢν διοριστικὸν ἑκατοντάδων τε καὶ μυρίαδων . οὐκέτι δὲ καὶ πλευρὰ ἔσται τετραγωνικὴ τοῦ χίλια ἀριθμοῦ ἡ ἑκατοντάς · οὐδὲ γὰρ τετράγωνός ἐστιν ὁ χίλια , ἀλλὰ κύβος , ἀπὸ πλευρᾶς δεκάδος . ἵνα δ’ ἐπιπεδωθῇ προμηκικῶς πλευρὰ αὐτοῦ , ἔσται ἡ ἑκατοντὰς σὺν τῇ καὶ δεκάδι , ὡς δῆλον εἶναι ὅτι δεήσεται ἡ ἑκατοντὰς τῆς δεκάδος εἰς τὸ πλευρικὴν γενέσθαι . πάλιν εἰ τῇ ἑκατοντάδι ἀρχῇ χρησαίμεθα καὶ ἀντὶ ὕσπληγος , προσέλθοιμεν δὲ ἐπισυντιθέντες τὰς μετ’ αὐτὴν ἑκατοντάδας μέχρι χιλιάδος , καὶ ἀπὸ ταύτης ὡς ἀπὸ
Lemmas: ὁ ἐπισύνθεσις ὁ ἀριθμός . εἰμί δέ ὁ δεκάς μηκέτι μέν καμπτήρ , ὕσπληξ δέ χράω καί ἀρχή ὁ πρόοδος μέχρι ἑκατοντάς , ἀπό ὅς πάλιν ὁ Ἐπάνοδος ἐπί ὁ δεκάς εἰμί , ἐκ ὁ ἐπισύνθεσις γίγνομαι ὁ πρῶτος ἀριθμός ὁ τιτρώσκω μόνος , ἄρθρον καί αὐτός εἰμί διοριστικός ἑκατοντάς τε καί μυριάς . οὐκέτι δέ καί πλευρόν εἰμί τετραγωνικός ὁ χίλιοι ἀριθμός ὁ ἑκατοντάς · οὐδέ γάρ τετράγωνος εἰμί ὁ χίλιοι , ἀλλά κύβος , ἀπό πλευρά δεκάς . ἵνα δέ ἐπιπεδόομαι προμηκικῶς πλευρόν αὐτός , εἰμί ὁ ἑκατοντάς σύν ὁ καί δεκάς , ὡς δῆλος εἰμί ὅτι δήω ὁ ἑκατοντάς ὁ δεκάς εἰς ὁ πλευρικός γίγνομαι . πάλιν εἰμί ὁ ἑκατοντάς ἀρχή χράω καί ἀντί ὕσπληξ , προσέρχομαι δέ ἐπισυντίθημι ὁ μετά αὐτός ἑκατοντάς μέχρι χιλιάς , καί ἀπό οὗτος ὡς ἀπό
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 126
καμπτῆρος ὁμοίως ἐπὶ τὴν ἑκατοντάδα ἐπανέλθοιμεν ὡς ἐπὶ νύσσαν , ἔσται ἀριθμὸς ὁ τῶν μυρίων ἡ πεντωδουμένη μονάς , πλευρὰν ἔχων ὡς μὲν τετράγωνος τὴν ἑκατοντάδα ὡς δὲ προμήκης τὴν χιλιάδα μετὰ τῆς αὐτῆς δεκάδος . οὕτως ἡ δεκὰς εἰς μὲν τὸ αὐτὴ τὴν πλευρικὴν γενέσθαι κατὰ τὸν διαυλικὸν τρόπον οὐδενὸς τῶν ἄλλων γενέσεων ἄρθρων τοῦ ἀριθμοῦ δεήσεται , ἑκατοντάδος λέγω καὶ χιλιάδος · αὗται δὲ ἵνα αὐταῖς τὸ τοιοῦτο συμβῇ πάντως δεήσονται τῆς δεκάδος , ὅθεν αὐτῇ ἐγκώμιον τοῦτο προσενείμαμεν . λοιπὸν δὲ εἰπεῖν καὶ ὅσα ἄλλα συμπτώματα δύναται ἐπινοεῖσθαι ὑπὸ τῶν κατὰ τὸ φιλοθέωρον συντεινόντων ἑαυτοὺς ἐπὶ τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμβεβηκότων τοῖς ἀριθμοῖς , οἷον ὅτι πᾶς τετράγωνος ἤτοι αὐτόθεν τρίτον ἔχει , ἢ εἰ μὴ ἔχει πάντως γε τέταρτον , ἢ εἰ μηδὲ τοῦτο μονάδος ἀφαιρεθείσης ἐκ μὲν τρίτον ἔχοντος τέταρτον ἔχοντα ἀποτελέσεις , ἐκ δὲ τέταρτον ἔχοντος τρίτον ἔχοντα , εἰ δὲ μηδ’ ἕτερον , ἀμφότερα · εἰ δὲ ἔχοι ἀμφότερα , ἔστιν ὅτε ἡ ἀφαίρεσις τῆς μονάδος ἀμφοτέρων
Lemmas: καμπτήρ ὁμοίως ἐπί ὁ ἑκατοντάς ἐπανέρχομαι ὡς ἐπί νύσσα , εἰμί ἀριθμός ὁ ὁ μυρίος ὁ πεντῳδουμένη μόνος , πλευρά ἔχω ὡς μέν τετράγωνος ὁ ἑκατοντάς ὡς δέ προμήκης ὁ χιλιάς μετά ὁ αὐτός δεκάς . οὕτως ὁ Δεκὰς εἰς μέν ὁ αὐτός ὁ πλευρικός γίγνομαι κατά ὁ διαυλικός τρόπος οὐδείς ὁ ἄλλος γένεσις ἄρθρον ὁ ἀριθμός δήω , ἑκατοντάς λέγω καί χιλιάς · οὗτος δέ ἵνα αὐτός ὁ τοιοῦτος συμβαίνω πάντως δήω ὁ δεκάς , ὅθεν αὐτός ἐγκώμιον οὗτος προσφέρω . λοιπός δέ εἶπον καί ὅσος ἄλλος σύμπτωμα δύναμαι ἐπινοέω ὑπό ὁ κατά ὁ φιλοθέωρος συντείνω ἑαυτοῦ ἐπί ὁ ἀνεύρεσις ὁ συμβεβηκός ὁ ἀριθμός , οἷος ὅτι πᾶς τετράγωνος ἤτοι αὐτόθεν τρίτος ἔχω , ἢ εἰμί μή ἔχω πάντως γε τέταρτος , ἢ εἰμί μηδέ οὗτος μόνος ἀφαιρέω ἐκ μέν τρίτος ἔχω τέταρτος ἔχω ἀποτελέω , ἐκ δέ τέταρτος ἔχω τρίτος ἔχω , εἰμί δέ μηδέ ἕτερος , ἀμφότερος · εἰμί δέ ἔχω ἀμφότερος , εἰμί ὅτε ὁ ἀφαίρεσις ὁ μόνος ἀμφότερος
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 127
στερίσκει . καὶ ἅπας ἀριθμὸς τὸν δυάδι διαφέροντα ἐφ’ ἑκάτερα ὁποτερονοῦν ὁμογενῆ πολλαπλασιάσας καὶ προσλαβὼν μονάδα τετράγωνον ποιεῖ . περισσοὶ μὲν ἀρτίους ποιοῦσιν , ἄρτιοι δὲ περισσούς . καὶ ἅπας ἀριθμὸς τὸν ἑαυτοῦ πολλαπλάσιον μηκύνας τοσουτοπλάσιον τοῦ ἐξ αὐτοῦ τετραγώνου ποιήσει , κἂν ἐπιμόριον κἂν ἐπιμερῆ κἂν μικτὸν λαμβάνῃ . ὁμοίως καὶ πᾶς τρίγωνος ὀκτάκι γενόμενος καὶ προσλαβὼν μονάδα τετράγωνον ποιεῖ , καὶ ἐκ δύο τετραγώνων ἐπ’ ἀλλήλους γενομένων ὁ γενόμενος τετράγωνος , καὶ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἐὰν ὁ τῇ μονάδι ἑξῆς τετράγωνος ᾖ καὶ οἱ λοιποὶ τετράγωνοι ἔσονται , καὶ τριῶν τινων ἀνάλογον ὄντων ἐὰν ὁ πρῶτος τετράγωνος ᾖ καὶ ὁ τρίτος ἔσται τετράγωνος , καὶ μετροῦντος τετράγωνον τετραγώνου καὶ πλευρὰ πλευρὰν μετρήσει , καὶ πᾶς ἐκ δύο πλευρῶν συνεχῶν τετραγώνων μηκυνθεὶς ἀνάλογον αὐτῶν μέσος ἔσται , καὶ πολλὰ ἄλλα τοιαῦτα δι’ ἑαυτῶν τε προθυμηθέντες εὑρήσομεν καὶ ὑπ’ ἄλλων ἐκπεπονημένα ἱστορῆσαι δυνησόμεθα . τὰ νῦν δὲ μετιτέον ἐπὶ τὸν πλευρικόν τε καὶ διαμετρικὸν λόγον ἱκανωτάτης
Lemmas: στερίσκω . καί ἅπας ἀριθμός ὁ δυάς διαφέρω ἐπί ἑκάτερος ὁπότερος ὁμογενής πολλαπλασιάζω καί προσλαμβάνω μόνος τετράγωνος ποιέω . περισσός μέν ἄρτιος ποιέω , ἄρτιος δέ περισσός . καί ἅπας ἀριθμός ὁ ἑαυτοῦ πολλαπλάσιον μηκύνω τοσουτοπλάσιος ὁ ἐκ αὐτός τετράγωνος ποιέω , κἀν ἐπιμόριος κἀν ἐπιμερής κἀν μικτός λαμβάνω . ὁμοίως καί πᾶς τρίγωνος ὀκτάκι γίγνομαι καί προσλαμβάνω μόνος τετράγωνος ποιέω , καί ἐκ δύο τετράγωνος ἐπί ἀλλήλων γίγνομαι ὁ γίγνομαι τετράγωνος , καί ἐκ ὁ ἀπό μόνος ἀνάλογος ἐάν ὁ ὁ μόνος ἑξῆς τετράγωνος εἰμί καί ὁ λοιπός τετράγωνος εἰμί , καί τρεῖς τίνω ἀνάλογος εἰμί ἐάν ὁ πρῶτος τετράγωνος εἰμί καί ὁ τρίτος εἰμί τετράγωνος , καί μετρέω τετράγωνος τετράγωνος καί πλευρόν πλευρά μετρέω , καί πᾶς ἐκ δύο πλευρά συνεχής τετράγωνος μηκύνω ἀνάλογος αὐτός μέσος εἰμί , καί πολύς ἄλλος τοιοῦτος διά ἑαυτοῦ τε προθυμέομαι εὑρίσκω καί ὑπό ἄλλος ἐκπονέω ἱστορέω δύναμαι . ὁ νῦν δέ μετιτέον ἐπί ὁ πλευρικός τε καί διαμετρικός λόγος ἱκανός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 128
ἐξετάσεως ἐν γεωμετρίᾳ τετυχηκότα , διότι δοκεῖ κατ’ αὐτόν πως ῥυθμίζεσθαι καὶ εἰδοποιεῖσθαι τὰ σχήματα . ὡς οὖν καὶ ἐπ’ αὐτῶν τῶν σχημάτων ἐποιοῦμεν μετάγοντες αὐτῶν τοὺς λόγους καθ’ ὁμοιότητα καὶ ἐπὶ τοὺς ἀριθμούς · ῥητὰ γὰρ κἀκεῖνα γίνεται τοῖς ἀριθμοῖς · οὕτως χρὴ καὶ περὶ πλευρᾶς καὶ διαμέτρου διαλεγομένους καὶ ἀκολουθοῦντας τῇ τοῦ ἀριθμοῦ φύσει ἀποσῴζειν ὡς ἐνδέχεται τὴν ὁμοιότητα . οὐ γὰρ ὥσπερ ἐν πηλίκοις πλευρᾶς λογωθείσης ἡ διάμετρος ἄλογος ἢ ἀνάπαλιν διαμέτρου λογωθείσης πλευρὰ ἄλογος , οὕτω καὶ ἐν ποσοῖς , ἀλλ’ ἔσται ῥητὴ πλευρὰ διαμέτρῳ , ἵνα πάντῃ ῥητὸς ᾖ ὁ ἀριθμὸς καὶ τοῦτ’ ἐξαίρετον ἔχῃ , ὡς ἂν ἀρχικώτατος ὢν καὶ τοῖς ἄλλοις ἅπασιν αἴτιος γενόμενος ῥητότητος . κοινὸν μὲν γὰρ ἀριθμοῖς καὶ μεγέθεσιν ὡς ἂν ἀσωμάτοις οὖσι τὸ ἀκίνητα εἶναι , ἴδιον δὲ ἀριθμοῦ τὸ μηδὲ ἀσυμμετρίαν ἔχειν , τῶν μεγεθῶν ἐχόντων . δεῖ δὴ πάλιν ἀπὸ μονάδος τὴν γένεσιν τοῦ πλευρικοῦ καὶ διαμετρικοῦ λόγου μεθοδεῦσαι , ἐπειδὴ πάντων τῶν ἐν ἀριθμοῖς λόγων ἔφαμεν αὐτὴν
Lemmas: ἐξέτασις ἐν γεωμετρία τυγχάνω , διότι δοκέω κατά αὐτός πως ῥυθμίζω καί εἰδοποιέω ὁ σχῆμα . ὡς οὖν καί ἐπί αὐτός ὁ σχῆμα ποιέω μετάγω αὐτός ὁ λόγος κατά ὁμοιότης καί ἐπί ὁ ἀριθμός · ῥητός γάρ ἐκεῖνος γίγνομαι ὁ ἀριθμός · οὕτως χρή καί περί πλευρά καί διάμετρος διαλέγω καί ἀκολουθέω ὁ ὁ ἀριθμός φύσις ἀποσῴζω ὡς ἐνδέχομαι ὁ ὁμοιότης . οὖον γάρ ὥσπερ ἐν πηλίκος πλευρά λογόω ὁ διάμετρος ἄλογος ἢ ἀνάπαλιν διάμετρος λογόω πλευρόν ἄλογος , οὗτος καί ἐν ποσός , ἀλλά εἰμί ῥητός πλευρόν διάμετρος , ἵνα πάντῃ ῥητός εἰμί ὁ ἀριθμός καί οὗτος ἐξαίρω ἔχω , ὡς εἄν ἀρχικός εἰμί καί ὁ ἄλλος ἅπας αἴτιος γίγνομαι ῥητότης . κοινός μέν γάρ ἀριθμός καί μέγεθος ὡς εἄν ἀσώματος εἰμί ὁ ἀκίνητος εἰμί , ἴδιος δέ ἀριθμός ὁ μηδέ ἀσυμμετρία ἔχω , ὁ μέγεθος ἔχω . δεῖ δή πάλιν ἀπό μόνος ὁ γένεσις ὁ πλευρικός καί διαμετρικός λόγος μεθοδεύω , ἐπεί πᾶς ὁ ἐν ἀριθμός λόγος φημί αὐτός
iamblichus-philosophy.in-nicomachi-arithmeticam-introductionem 129
ἀφηγεῖσθαι . ὀνομάσαι γὰρ δεῖ δύο μονάδας τὴν μὲν πλευρὰν τὴν δὲ διάμετρον , καὶ χρήσασθαι καθολικαῖς τισι προσθέσεσι καὶ ἀεὶ ταῖς αὐταῖς , τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον προστιθέντας τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευράς , ἐπειδὴ ὅσον ἡ πλευρὰ 〈 δὶς 〉 δύναται ἐν γραμμικοῖς , ἡ διάμετρος ἅπαξ . γίνεται οὖν ἡ διάμετρος μονάδι μείζων τῆς πλευρᾶς . ἡ δ’ ἐξ ἀρχῆς ἄνευ τῆς προσθήκης τὸ ἀπὸ τῆς μοναδικῆς διαμέτρου δυνάμει τετράγωνον μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μοναδικῆς πλευρᾶς δυνάμει τετραγώνου · ἐν ἰσότητι γὰρ οὖσαι αἱ μονάδες τὴν ἑτέραν τῆς λοιπῆς μονάδι ἐλάττονα ποιοῦσιν ἢ διπλασίαν . τῆς δὲ προσθήκης γενομένης ὡς εἴρηται , ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον · θʹ γὰρ καὶ δʹ . πάλιν ἐὰν προσθῶμεν τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευράς , ἔσται ζʹ καὶ εʹ , καὶ γίνεται τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς · ἔστι γὰρ μθʹ πρὸς κεʹ . πάλιν εἰ ἡ αὐτὴ προσθήκη γίγνοιτο , ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου
Lemmas: ἀφηγέομαι . ὀνομάζω γάρ δεῖ δύο μόνος ὁ μέν πλευρά ὁ δέ διάμετρος , καί χράω καθολικός τις πρόσθεσις καί ἀεί ὁ αὐτός , ὁ μέν πλευρά διάμετρος προστίθημι ὁ δέ διάμετρος δύο πλευρά , ἐπεί ὅσος ὁ πλευρόν 〈 δίς 〉 δύναμαι ἐν γραμμικός , ὁ διάμετρος ἅπαξ . γίγνομαι οὖν ὁ διάμετρος μόνος μείζων ὁ πλευρά . ὁ δέ ἐκ ἀρχή ἄνευ ὁ προσθήκη ὁ ἀπό ὁ μοναδικός διάμετρος δύναμις τετράγωνος μόνος μικρός ἢ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ μοναδικός πλευρά δύναμις τετράγωνος · ἐν ἰσότης γάρ εἰμί ὁ μόνος ὁ ἕτερος ὁ λοιπός μόνος μικρός ποιέω ἢ διπλάσιος . ὁ δέ προσθήκη γίγνομαι ὡς εἴρω , εἰμί ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ πλευρά μόνος μείζων ἢ διπλάσιος · ὁ γάρ καί δέ . πάλιν ἐάν προστίθημι ὁ μέν πλευρά διάμετρος ὁ δέ διάμετρος δύο πλευρά , εἰμί γῆ καί εἰ , καί γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ διάμετρος μόνος μικρός ἢ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ πλευρά · εἰμί γάρ μθʹ πρός κύ . πάλιν εἰμί ὁ αὐτός προσθήκη γίγνομαι , εἰμί ὁ ἀπό ὁ διάμετρος