iamblichus-philosophy.de-communi-mathematica-scientia 27
Ἐπεὶ δὲ τοῦ πεπαιδευμένου ἔργον ἐστὶ τὸ δύνασθαι κρῖναι εὐστόχως τί καλῶς ἢ μὴ καλῶς ἀποδίδωσιν ὁ λέγων , τοιοῦτον δή τινα τὸν ὅλως πεπαιδευμένον οἰόμεθα εἶναι , καὶ τὸ πεπαιδεῦσθαι τὸ δύνασθαι ποιεῖν τὸ εἰρημένον . δῆλον δὴ τοῦθ’ ὅτι καὶ περὶ τὰ μαθήματα τὸν ὀρθῶς πεπαιδευμένον ἀπαιτεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὴν ὀρθότητα καὶ τὸ οἰκεῖον ἔργον , εἰ καλῶς ἢ μὴ καλῶς ποιεῖται τὴν περὶ αὐτῶν θεωρίαν . ὥσπερ γὰρ τὸν ἁπλῶς πεπαιδευμένον περὶ πάντων ὡς εἰπεῖν κριτικὸν νομίζομεν εἶναι ἕνα τὸν ἀριθμὸν ὄντα , οὕτως καὶ περί τινος ἐπιστήμης ἀφωρισμένης εἴη ἄν τις ἕτερος τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ εἰρημένῳ διακείμενος περὶ μόριον . ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῆς περὶ τὰ μαθήματα θεωρίας δεῖ τινας ὑπάρχειν ὅρους τοιούτους , πρὸς οὓς ἀναφέρων ἀποδέξεται ὁ πεπαιδευμένος τὸν τρόπον τῶν δεικνυμένων , χωρὶς τοῦ πῶς ἔχειν τἀληθές , εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως . λέγω δὲ οἷον πότερον δεῖ λαμβάνοντας ἓν ἕκαστον θεώρημα τῶν μαθηματικῶν περὶ τούτου διορίζειν καθ’ αὑτό , οἷον περὶ τῶνδε τῶν τριγώνων , ἢ τὰ κοινὰ θεωρήματα καὶ τὰ πᾶσιν ὑπάρχοντα δεῖ σκοπεῖν κατά τι κοινὸν ὑποθεμένους . πολλὰ γὰρ ὑπάρχει τὰ αὐτὰ πολλοῖς γένεσιν ἑτέροις οὖσιν ἀλλήλων , οἷον εἴ τις καθόσον ἐστὶ τρίγωνα ποιοῖτο τὴν ἀπόδειξιν , ἢ καθόσον ἐστὶν εὐθύγραμμα κοινῶς . εἰ γάρ τινα τὰ αὐτὰ ὑπάρχοι τοῖς εἴδει διαφέρουσιν , οὐδ’ ἡ ἀπόδειξις αὐτῶν οὐδεμίαν ὀφείλει ἔχειν διαφοράν . ἕτερα δὲ ἴσως ἐστίν , οἷς συμβαίνει τὴν μὲν κατηγορίαν ἔχειν τὴν αὐτήν , διαφέρειν δὲ τῇ κατ’ εἶδος διαφορᾷ · οἷον τὸ ὅμοιον ἐπὶ μὲν τριγώνων ἐστὶν ἄλλο , ἐπ’ ἀριθμῶν δὲ ἕτερον . καὶ δεῖ καθ’ ἑκάτερον ἰδίας ποιεῖσθαι ἀποδείξεις . ἐπισκεπτέον οὖν , πότε κοινῶς κατὰ γένος καὶ πότε ἰδίως καθ’ ἕκαστον θεωρητέον · τὸ γὰρ διωρίσθαι περὶ τούτων μέγα μέρος εἰς παιδείαν μαθηματικὴν συμβάλλεται . ἔτι κατὰ τὴν ὑποκειμένην οὐσίαν δεῖ τοὺς λόγους ἀπαιτεῖν τὸν μαθηματικόν , καὶ τὸν τρόπον τῶν ἀποδείξεων οἰκεῖον ποιεῖσθαι . ὥσπερ οὖν τοῦ ῥητορικοῦ πιθανολογοῦντος ἀνεχόμεθα , οὕτω τὸν μαθηματικὸν ἀποδείξεις δεῖ ἀπαιτεῖν ἀναγκαίας . οὐ πανταχοῦ δὲ τὰς αὐτὰς ἀνάγκας δεῖ ζητεῖν οὐδ’ ὁμοίως τὴν αὐτὴν ἀκρίβειαν ἐν ἅπασιν , ἀλλ’ ὥσπερ τὰ κατὰ τὰς τέχνας ταῖς ὑποκειμέναις ὕλαις διαιροῦμεν , οὐχ ὁμοίως ἐν χρυσῷ καὶ καττιτέρῳ καὶ χαλκῷ ζητοῦντες τὸ ἀκριβές , οὐδὲ ἐν φελλῷ καὶ πύξῳ καὶ λωτῷ , τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐν ταῖς θεωρητικαῖς . εὐθὺς γὰρ ποιήσει τὰ ὑποκείμενα διαφοράς , ὅταν 〈 τὰ μὲν 〉 ἁπλούστερα ᾖ τὰ δὲ ἐν συνθέσει μᾶλλον , καὶ τὰ μὲν ὅλως ἀκίνητα τὰ δὲ κινούμενα , οἷον τὰ ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἐν ἁρμονίᾳ ἢ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ καὶ ἀστρονομίᾳ , καὶ τῶν μὲν ὁ νοῦς ἡ ἀρχὴ τῶν δὲ ἡ διάνοια , ἐνίων δὲ καὶ ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως μικραί τινες ἂν ὦσιν ἀφορμαί , καθάπερ τῶν οὐρανίων . οὐ γὰρ οἷόν τε τὰς αὐτὰς οὐδὲ τὰς ὁμοίας αἰτίας περὶ τῶν τοιούτων φέρειν , ἀλλ’ ὅσον αἱ ἀρχαὶ διαφέρουσι , τοσοῦτον καὶ τὰς ἀποδείξεις διαφέρειν · ἐν ἑκάσταις γὰρ συγγενὴς ὁ τρόπος . ἔτι δ’ ἐν μείζονι διαστάσει τούτων , ὅτι ἐπιζητοῦσιν οἱ μὲν ἔχοντες οἱ δὲ οὐκ ἔχοντες ἀρχάς · ὥστε οὐδ’ ἐνταῦθα ὁμοίας αἰτίας οὐδ’ ὁμοίους τοὺς λόγους ἀποδεικτέον . ἀνάγκη δὲ πρὸς ταῦτα γνωρίζειν τί ταὐτὸ καὶ ἕτερον ἔχουσι καὶ τί κατ’ ἀναλογίαν ταὐτόν , καὶ αἱ ποῖαι πλειόνων δέονται καὶ κατὰ ποίας πλείω τὰ ἀπορούμενα · σχεδὸν γὰρ τούτοις καὶ τοῖς τοιούτοις αἱ παραλλαγαὶ τῶν περὶ ἕκαστον ἀποδείξεων καὶ λόγων εἰσίν . οὐ μόνον δὲ πρὸς τὸ κρίνειν , ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸ ζητεῖν ὡς δεῖ , συμβάλοιτ’ ἂν ἡ τοιαύτη θεωρία · διορισμὸν γὰρ ἔχουσα τῆς καθ’ ἕκαστον αἰτίας , οἰκείους ποιήσει λόγους , ὅπερ οὐ ῥᾴδιον μὴ συνεθισθέντα δρᾶν . ἡ γὰρ φύσις αὐτὴ καθ’ ἑαυτὴν ἐπὶ μὲν τὰς ἀρχὰς ὑφηγήσασθαι δύναται , κρῖναι δὲ ἕκαστα μὴ προσλαβοῦσα σύνεσιν ἑτέραν οὐκ αὐτάρκης . ἔτι διακριτέον εἰ πλείους αἰτίαι εἰσὶ περὶ ὧν δεῖ τὸν μαθηματικὸν λέγειν , ποία τε τούτων πρώτη καὶ δευτέρα πέφυκεν . ἐξεταστικὸς γὰρ καὶ τῶν ἀποδιδομένων αἰτίων ὁ πεπαιδευμένος μαθηματικῶς , καὶ τῆς τάξεως αὐτῶν θεωρητικός . Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν κἀκεῖνο , ὅτι πολλοὶ τῶν νεωτέρων Πυθαγορικῶν μόνα τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα τὰ ὑποκείμενα τοῖς μαθήμασιν ὑπελάμβανον , καὶ μόνας ταύτας ἀρχὰς ὑπετίθεντο · καὶ τὰς ἐπιστήμας οὖν κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον περὶ τῶν τοιούτων ἀφωρίζοντο καὶ τὰς ἀποδείξεις . ἐπεὶ δὲ ἡμεῖς ἔν τε τοῖς προάγουσι νυνὶ λόγοις καὶ ἐν τοῖς ὕστερον ῥηθησομένοις ἀποδείξομεν , ὅτι πολλαὶ οὐσίαι καὶ ἕτεραι ἀκίνητοι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἔχουσαι , οὐ μόναι αἱ τῶν μαθημάτων , καὶ ὅτι πρεσβύτεραι καὶ τιμιώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι , ἀποδείξομεν δὲ καὶ ὅτι οὐ μόνον ἀρχαί εἰσιν αὗται αἱ μαθηματικαί , ἀλλὰ καὶ ἄλλαι , καὶ αἵ γε πρεσβύτεραι καὶ δυνατώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι , καὶ ὅτι οὐ πάντων τῶν ὄντων εἰσὶν ἀρχαὶ αἱ μαθηματικαὶ ἀλλὰ τινῶν · διὰ δὴ ταῦτα διορισμὸν ἀπαιτεῖ νυνὶ ἡ μαθηματικὴ ἀπόδειξις , τῶν ποίων τινῶν κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων ἐστὶν ἀποδεικτική , καὶ ἐκ ποίων τινῶν ἀρχῶν συλλογίζεται , καὶ περὶ ποίων τινῶν προβλημάτων ποιεῖται τὰς ἀποδείξεις . ἡ γὰρ περὶ τούτων ἐπικρίνουσα παιδεία τήν τε ὀρθότητα καὶ τὸ τέλος ἀφορίζεται τῆς μαθηματικῆς , τήν τε ἐπίκρισιν αὐτῆς ποιεῖται δεόντως , καὶ τὸν τρόπον πῶς δεῖ ποιεἶσθαι τὰς ζητήσεις καλῶς περιλαμβάνει . ὥστε καὶ περὶ τούτων ἡμῖν ταυτὶ διωρίσθω .
Lemmas: ἐπεί δέ ὁ παιδεύω ἔργον εἰμί ὁ δύναμαι κρίνω εὔστοχος τίς καλῶς ἢ μή καλῶς ἀποδίδωμι ὁ λέγω , τοιοῦτος δή τις ὁ ὅλως παιδεύω οἴομαι εἰμί , καί ὁ παιδεύω ὁ δύναμαι ποιέω ὁ εἴρω . δῆλος δή οὗτος ὅτι καί περί ὁ μάθημα ὁ ὀρθῶς παιδεύω ἀπαιτέω δεῖ παρά ὁ μαθηματικός ὁ ὀρθότης καί ὁ οἰκέω ἔργον , εἰμί καλῶς ἢ μή καλῶς ποιέω ὁ περί αὐτός θεωρία . ὥσπερ γάρ ὁ ἁπλόος παιδεύω περί πᾶς ὡς εἶπον κριτικός νομίζω εἰμί εἷς ὁ ἀριθμός εἰμί , οὕτως καί περί τις ἐπιστήμη ἀφορίζω εἰμί ἄν τις ἕτερος ὁ αὐτός τρόπος ὁ εἴρω διάκειμαι περί μόριον . ὥστε δῆλος ὅτι καί ὁ περί ὁ μάθημα θεωρία δεῖ τις ὑπάρχω ὅρος τοιοῦτος , πρός ὅς ἀναφέρω ἀποδείκνυμι ὁ παιδεύω ὁ τρόπος ὁ δείκνυμι , Χωρὶς ὁ πῶς ἔχω ἀληθής , εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως . λέγω δέ οἷος πότερος δεῖ λαμβάνω εἷς ἕκαστος θεώρημα ὁ μαθηματικός περί οὗτος διορίζω κατά ἑαυτοῦ , οἷος περί ὅδε ὁ τρίγωνος , ἢ ὁ κοινός θεώρημα καί ὁ πᾶς ὑπάρχω δεῖ σκοπέω κατά τίς κοινός ὑποτίθημι . πολύς γάρ ὑπάρχω ὁ αὐτός πολύς γένεσις ἕτερος εἰμί ἀλλήλων , οἷος εἰμί τις καθόσον εἰμί τρίγωνος ποιέω ὁ ἀπόδειξις , ἢ καθόσον εἰμί εὐθύγραμμος κοινῶς . εἰμί γάρ τις ὁ αὐτός ὑπάρχω ὁ εἶδος διαφέρω , οὐδέ ὁ ἀπόδειξις αὐτός οὐδείς ὀφείλω ἔχω διαφορά . ἕτερος δέ ἴσως εἰμί , ὅς συμβαίνω ὁ μέν κατηγορία ἔχω ὁ αὐτός , διαφέρω δέ ὁ κατά εἶδος διαφορά · οἷος ὁ ὅμοιος ἐπί μέν τρίγωνος εἰμί ἄλλος , ἐπί ἀριθμός δέ ἕτερος . καί δεῖ κατά ἑκάτερος ἴδιος ποιέω ἀποδείκνυμι . ἐπισκεπτέος οὖν , πότε κοινῶς κατά γένος καί πότε ἰδίως κατά ἕκαστος θεωρητέον · ὁ γάρ διά-ὁρίζω περί οὗτος μέγας μέρος εἰς παιδεία μαθηματικός συμβάλλω . ἔτι κατά ὁ ὑπόκειμαι οὐσία δεῖ ὁ λόγος ἀπαιτέω ὁ μαθηματικός , καί ὁ τρόπος ὁ ἀπόδειξις οἰκέω ποιέω . ὥσπερ οὖν ὁ ῥητορικός πιθανολογέω ἀνέχω , οὗτος ὁ μαθηματικός ἀποδείκνυμι δεῖ ἀπαιτέω ἀναγκαῖος . οὖον πανταχοῦ δέ ὁ αὐτός ἀνάγκη δεῖ ζητέω οὐδέ ὁμοίως ὁ αὐτός ἀκρίβεια ἐν ἅπας , ἀλλά ὥσπερ ὁ κατά ὁ τέχνη ὁ ὑπόκειμαι ὕλη διαιρέω , οὐ ὁμοίως ἐν χρυσός καί κασσίτερος καί χαλκός ζητέω ὁ ἀκριβής , οὐδέ ἐν φελλός καί πύξος καί λωτός , ὁ αὐτός τρόπος καί ἐν ὁ θεωρητικός . εὐθύς γάρ ποιέω ὁ ὑπόκειμαι διαφορά , ὅταν 〈 ὁ μέν 〉 ἁπλόος εἰμί ὁ δέ ἐν σύνθεσις μᾶλλον , καί ὁ μέν ὅλως ἀκίνητος ὁ δέ κινέω , οἷος ὁ ἐν ἀριθμός καί ἐν ἁρμονία ἢ ὁ ἐν γεωμετρία καί ἀστρονομία , καί ὁ μέν ὁ νόος ὁ ἀρχή ὁ δέ ὁ διάνοια , ἔνιοι δέ καί ἀπό ὁ αἴσθησις μικρός τις εἄν εἰμί ἀφορμή , καθάπερ ὁ οὐράνιος . οὖον γάρ οἷος τε ὁ αὐτός οὐδέ ὁ ὅμοιος αἴτιος περί ὁ τοιοῦτος φέρω , ἀλλά ὅσος ὁ ἀρχή διαφέρω , τοσοῦτος καί ὁ ἀποδείκνυμι διαφέρω · ἐν ἕκαστος γάρ συγγενής ὁ τρόπος . ἔτι δέ ἐν μείζων διάστασις οὗτος , ὅτι ἐπιζητέω ὁ μέν ἔχω ὁ δέ οὐ ἔχω ἀρχή · ὥστε οὐδέ ἐνταῦθα ὅμοιος αἴτιος οὐδέ ὅμοιος ὁ λόγος ἀποδεικτέον . ἀνάγκη δέ πρός οὗτος γνωρίζω τίς αὐτός καί ἕτερος ἔχω καί τίς κατά ἀναλογία αὐτός , καί ὁ ποῖος πλείων δήω καί κατά Ποίας πλείων ὁ ἀφοράω · σχεδόν γάρ οὗτος καί ὁ τοιοῦτος ὁ παραλλαγή ὁ περί ἕκαστος ἀπόδειξις καί λόγος εἰμί . οὖον μόνος δέ πρός ὁ κρίνω , ἀλλά καί πρός ὁ ζητέω ὡς δεῖ , συμβάλλω εἄν ὁ τοιοῦτος θεωρία · διορισμός γάρ ἔχω ὁ κατά ἕκαστος αἴτιος , οἰκεῖος ποιέω λόγος , ὅσπερ οὖον ῥᾴδιος μή συνεθίζω δράω . ὁ γάρ φύσις αὐτός κατά ἑαυτοῦ ἐπί μέν ὁ ἀρχή ὑφηγέομαι δύναμαι , κρίνω δέ ἕκαστος μή προσλαμβάνω σύνεσις ἕτερος οὐ αὐτάρκης . ἔτι διακριτέος εἰμί πλείων αἰτία εἰμί περί ὅς δεῖ ὁ μαθηματικός λέγω , ποῖος τε οὗτος πρῶτος καί δύο φύω . ἐξεταστικός γάρ καί ὁ ἀποδίδωμι αἴτιος ὁ παιδεύω μαθηματικός , καί ὁ τάξις αὐτός θεωρητικός . οὖον δεῖ δέ λανθάνω ἐκεῖνος , ὅτι πολύς ὁ νέος Πυθαγορικός μόνος ὁ κατά ὁ αὐτός καί ὡσαύτως ἔχω ὁ ὑπόκειμαι ὁ μάθημα ὑπολαμβάνω , καί μόνος οὗτος ἀρχή ὑποτίθημι · καί ὁ ἐπιστήμη οὖν κατά ὁ αὐτός τρόπος περί ὁ τοιοῦτος ἀφορίζω καί ὁ ἀποδείκνυμι . ἐπεί δέ ἐγώ ἐν τε ὁ προάγω νυνί λόγος καί ἐν ὁ ὕστερος ῥέομαι ἀποδείκνυμι , ὅτι πολύς οὐσία καί ἕτερος ἀκίνητος καί κατά ὁ αὐτός ἔχω , οὖον μόνος ὁ ὁ μάθημα , καί ὅτι πρέσβυς καί τίμιος αὐτός εἰμί ἐκεῖνος , ἀποδείκνυμι δέ καί ὅτι οὖον μόνος ἀρχή εἰμί οὗτος ὁ μαθηματικός , ἀλλά καί ἄλλος , καί ὁ γε πρέσβυς καί δυνατός αὐτός εἰμί ἐκεῖνος , καί ὅτι οὖον πᾶς ὁ εἰμί εἰμί ἀρχή ὁ μαθηματικός ἀλλά τις · διά δή οὗτος διορισμός ἀπαιτέω νυνί ὁ μαθηματικός ἀπόδειξις , ὁ ποῖος τις κατά ὁ αὐτός καί ὡσαύτως ἔχω εἰμί ἀποδεικτικός , καί ἐκ ποῖος τις ἀρχή συλλογίζομαι , καί περί ποῖος τις πρόβλημα ποιέω ὁ ἀποδείκνυμι . ὁ γάρ περί οὗτος ἐπικρίνω παιδεία ὁ τε ὀρθότης καί ὁ τέλος ἀφορίζω ὁ μαθηματικός , ὁ τε ἐπίκρισις αὐτός ποιέω δήω , καί ὁ τρόπος πῶς δεῖ ποιέω ὁ ζητέω καλῶς περιλαμβάνω . ὥστε καί περί οὗτος ἐγώ οὗτος διά-ὁρίζω .