heron.metrica 1.17
ιζ . Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον , οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι . καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ . ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α∠ . ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ , τουτέστιν ἡ ΑΒ , τῆς Β∠ , τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β∠ . ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Β . τοῦ δὲ ἀπὸ ∠Β τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ . ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Α∠ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠ λόγον ἔχει , ὃν δ πρὸς γ , καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ , τουτέστιν τό τε ἀπὸ ΒΓ ἐφʼ ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ . ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ | δυνάμεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ λόγον ἔχει , ὃν δ πρὸς γ , τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τὸ ὑπὸ Α∠ ΒΓ ἐστὶν ἐφʼ ἑαυτό , τουτέστι δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτά . ἡ ἄρα ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτὰ λόγον ἔχει , ὃν ιϛ πρὸς ιβ δύο δὲ τρίγωνα ἐφ᾿ ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια . ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφʼ ἑαυτὸ λόγον ἔχει , ὃν ιϛ πρὸς γ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις , ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό · ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν ἐστιν . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως . τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται μ · τούτων λαβὲ γ . γίγνεται αωοε . τούτων πλευρὰν λαβέ · καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν , εἰλήφθω ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου . καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν μγ γ΄ . Λῆμμα . Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ , δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς τῷ Α . δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ . ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ ∠ , καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ Γ∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ . ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ Β∠ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ∠ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τῆν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς · πενταγώνου ἄρα ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β∠ · | τῆς ἄρα Α∠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ . καὶ ἔστι τῆς Α∠ ἡμίσεια ἡ ΑΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ .
Lemmas: ιζ . εἰμί δέ πρότερος τρίγωνον ἰσόπλευρος , ὅς ἕκαστος εἰμί πλευρόν μονάς ιʹ . καί εἰμί ὁ ΑΒΓ . ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΓΒ ὁ Α∠ . ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΒΓ , τουτέστι ὁ ΑΒ , ὁ Β∠ , τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἀπό Β∠ . ὥστε τριπλάσιος ὁ ἀπό Α∠ ὁ ἀπό ∠Β . ὁ δέ ἀπό ∠Β τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΒΓ . ἐπίτριτος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ΒΓ ὁ ἀπό Α∠ . ὁ ἄρα ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό Α∠ λόγος ἔχω , ὅς δ πρός γ , καί πᾶς ἐπί ὁ ἀπό ΒΙ , τουτέστι ὁ τε ἀπό ΒΓ ἐπί ἑαυτοῦ καί ὁ ἀπό Α∠ ἐπί ὁ ἀπό ΒΓ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΓ | δύναμις πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ἐπί ὁ ἀπό ὁ Α∠ λόγος ἔχω , ὅς δ πρός γ , τουτέστι ὅς ιϛʹ πρός ιβʹ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΓ ἐπί ὁ ἀπό ὁ Α∠ ὁ ὑπό Α∠ ΒΓ εἰμί ἐπί ἑαυτοῦ , τουτέστι δύο τρίγωνος ἐπί ἑαυτοῦ . ὁ ἄρα ἀπό ΒΓ δυναμοδύναμις πρός δύο τρίγων ἐπί ἑαυτοῦ λόγος ἔχω , ὅς ιϛʹ πρός ιβʹ δύο δέ τρίγωνος ἐπί ἑαυτοῦ εἷς τρίγωνον ἐπί ἑαυτοῦ εἰμί τετραπλάσιος . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΓ δυναμοδύναμις πρός εἷς τρίγωνος ἐπί ἑαυτοῦ λόγος ἔχω , ὅς ιϛʹ πρός γ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΒΓ δυναμοδύναμις , ἐπεί καί ὁ ΒΓ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον ἐπί ἑαυτοῦ · ὥστε καί αὐτός ὁ τρίγωνον δίδωμι εἰμί . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως . ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι μ · οὗτος λαμβάνω γ . γίγνομαι αωοεʹ . οὗτος πλευρά λαμβάνω · καί ἐπεί οὐ ἔχω ῥητός πλευρά , λαμβάνω ὡς μανθάνω ἐγγύς μετά διάφορος . καί εἰμί ὁ ἐμβαδόν μγʹ γʹ . λῆμμα . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Γ , δύο δέ πέμπτος ὀρθός ὁ πρός ὁ Α . δείκνυμι ὅτι ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΑΓ . ἐκβάλλω ὁ ΑΓ ἐπί ὁ ∠ , καί ὁ ΑΓ ἴσος κεῖμαι ὁ Γ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ . ἴσος ἄρα ὁ μέν ΑΒ ὁ Β∠ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΓΒ∠ . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΒΑ γωνία τρεῖς πέμπτος εἰμί ὀρθός διά ὁ τῆν ὑπό ΒΑΓ γωνία δύο πέμπτος εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒ∠ γωνία ἕξ πέμπτος εἰμί ὀρθός · πεντάγωνος ἄρα εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΑΒ∠ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ Β∠ · | ὁ ἄρα Α∠ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΑΒ . καί εἰμί ὁ Α∠ ἥμισυς ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ .