heron.metrica 3.20
κ . Ἔστω γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα οἱανδηποτοῦν τὴν ΑΒΓ∠ , κορυφὴν δὲ τὸ Ε σημεῖον · καὶ δεδόσθω αὐτῆς μία πλευρὰ ἡ ΑΕ μονάδων ε . καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει , ὥστε τὴν ἀποτεμνομένην πρὸς τῇ κορυφῇ πυραμίδα τοῦ καταλειπομένου στερεοῦ εἶναι , εἰ τύχοι , τετραπλῆν . τεμνέσθω καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΖΗΘΚ . ἡ ἄρα ΑΖ πλευρά ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ ΖΗΘΚ στερεοῦ · ἡ ἄρα ΑΒΓ∠Ε πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΘΗΚΕ πυραμίδα λόγον ἔχει , ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ . ὡς δὲ αἱ πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας , οὕτως ο ἀπὸ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν κύβοι · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβον λόγον ἔχει , ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ · καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος μονάδων ρκε · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβος ἔσται μονάδων ρ . δεήσει ἄρα τῶν ρ μονάδων λαβεῖν κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα · ἔστι δὲ μονάδων δ καὶ θ , ὡς ἑξῆς δείξομεν . ὥστε ἐὰν ἀποληφθῇ ἡ ΕΖ μονάδων δ καὶ θ καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τμηθῇ ἡ πυραμὶς ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει , ἔσται τὸ προκείμενον . συντεθήσεται δὲ οὕτως · κύβισον τὰ ε · γίγνεται ρκε . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν , ἐν διαιρεῖται ἡ πυραμὶς , ὃν δ πρὸς α , σύνθες δ καὶ ἓν · γίγνεται ε . καὶ τὰ ρκε ἐπὶ τὸν δ · γίγνεται φ . παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται ρ · καὶ τούτων κυβικὴν πλευράν · γίγνεται δ καὶ θ . τοσούτου ἔσται ἡ ΕΖ . Ὡς δὲ δεῖ λαβεῖν τῶν ρ μονάδων κυβικὴν πλευρὰν , νῦν ἐροῦμεν . Λαβὲ τὸν ἔγγιστα κύβον τοῦ ρ τόν τε ὑπερβάλλοντα καὶ τὸν ἐλλείποντα · ἔστι δὲ ὁ ρκε καὶ ὁ ξδ . καὶ ὅσα μὲν ὑπερβάλλει , μονάδες κε , ὅσα δὲ ἐλλείπει , μονάδες λϛ . | καὶ ποίησον τὰ ε ἐπὶ τὰ λϛ · γίγνεται ρπ · καὶ τὰ ρ · γίγνεται σπ . καὶ παράβαλε τὰ ρπ παρὰ τὰ σπ · γίγνεται θ . πρόσβαλε τῇ τοῦ ἐλάσσονος κύβου πλευρᾷ , τουτέστι τῷ δ · γίγνεται μονάδες δ καὶ θ . τοσούτων ἔσται ἡ τῶν ρ μονάδων κυβικὴ πλευρὰ ὡς ἔγγιστα .
Lemmas: κ . εἰμί γάρ πυραμίς βάσις μέν ἔχω οίσ̔ανδηποτς ὁ ΑΒΓ∠ , κορυφή δέ ὁ Ε σημεῖον · καί δίδωμι αὐτός εἷς πλευρόν ὁ ΑΕ μονάς ε . καί δέω εἰμί τέμνω αὐτός ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις , ὥστε ὁ ἀποτέμνω πρός ὁ κορυφή πυραμίς ὁ καταλείπω στερεός εἰμί , εἰ τυγχάνω , τετραπλόος . τέμνω καί ποιέω τομή ὁ ΖΗΘΚ . ὁ ἄρα ΑΖ πλευρόν εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ ΖΗΘΚ στερεός · ὁ ἄρα ΑΒΓ∠Ε πυραμίς πρός ὁ ΖΘΗΚΕ πυραμίς λόγος ἔχω , ὅς ὁ ε πρός ὁ δ . ὡς δέ ὁ πυραμίς πρός ἀλλήλων , οὕτως ο̅ ἀπό ὁ ὁμόλογος πλευρά κύβος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΕ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ κύβος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ε πρός ὁ δ · καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ κύβος μονάς ρκεʹ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ κύβος εἰμί μονάς ρ̅ . δέω ἄρα ὁ ρ̅ μονάς λαμβάνω κυβικός πλευρά ὡς ἐγγύς · εἰμί δέ μονάς δ καί θ̅ , ὡς ἑξῆς δείκνυμι . ὥστε ἐάν ἀπολαμβάνω ὁ ΕΖ μονάς δ καί θʹ καί διά ὁ Ζ σημεῖον τέμνω ὁ πυραμίς ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις , εἰμί ὁ πρόκειμαι . συντίθημι δέ οὕτως · κυβίζω ὁ ε · γίγνομαι ρκεʹ . καί ἐπεί λόγος εἰμί , ἐν διαιρέω ὁ πυραμίς , ὅς δ πρός α , συντίθημι δ καί εἷς · γίγνομαι ε . καί ὁ ρκεʹ ἐπί ὁ δ · γίγνομαι φ̅ . παραβάλλω παρά ὁ ε · γίγνομαι ρ̅ · καί οὗτος κυβικός πλευρά · γίγνομαι δ καί θ̅ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ΕΖ . ὡς δέ δέω λαμβάνω ὁ ρ̅ μονάς κυβικός πλευρά , νῦν λέγω . λαμβάνω ὁ ἐγγύς κύβος ὁ ρ̅ ὁ τε ὑπερβάλλω καί ὁ ἐλλείπω · εἰμί δέ ὁ ρκεʹ καί ὁ ξδʹ . καί ὅσος μέν ὑπερβάλλω , μονάς ἄν , ὅσος δέ ἐλλείπω , μονάς λϛʹ . | καί ποιέω ὁ ε ἐπί ὁ λϛʹ · γίγνομαι ρπʹ · καί ὁ ρ̅ · γίγνομαι σπ̅ . καί παραβάλλω ὁ ρ̅π̅ παρά ὁ σπ · γίγνομαι θ̅ . προσβάλλω ὁ ὁ ἐλαχύς κύβος πλευρά , τουτέστι ὁ δ · γίγνομαι μονάς δ καί θ̅ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ὁ ρ̅ μονάς κυβικός πλευρόν ὡς ἐγγύς .