ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
heron.metrica 1.1
α . Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον τοιοῦτο , τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε . ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε , ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως εἰς τὰς γ μονάδας καὶ διὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευ|ραῖς , ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε , ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α . κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον , ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος .
Lemmas: α . εἰμί χωρίον ἑτερομήκης ὁ ΑΒΓ∠ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς ε , ὁ δέ ΑΓ μονάς γ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ἐπεί πᾶς παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον περιέχω λέγω ὑπό δύο ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω εὐθύς καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ ΑΓ περιέχω τοιοῦτος , ὁ ἐμβαδόν ὁ ἑτερομήκης εἰμί μονάς ιεʹ . ἐάν γάρ ἑκάτερος πλευρόν διαιρέω ὁ μέν ΑΒ εἰς ὁ μονάς ε , ὁ δέ ΑΓ ὅμοιος εἰς ὁ γ μονάς καί διά ὁ τομή παράλληλος ἄγω ὁ ὁ παραλληλόγραμμος πλευρά , εἰμί ὁ χωρίον διαιρέω εἰς χωρίον ιεʹ , ὅς ἕκαστος εἰμί μονάς α . ἐάν τετράγωνος δέ εἰμί ὁ χωρίον , ὁ αὐτός ἁρμόζω λόγος .
heron.metrica 1.2
β . Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν . καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ . εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ τὴν ὑποτείνουσαν . προσαναπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , οὗ τὸ ἐμβαδὸν , ὡς ἐπάνω δέδεικται , μονάδων ιβ . τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ παραλληλογράμμου · ἔσται οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων ϛ · καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία , τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ . καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα μονάδων κε · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε · αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε . ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη · τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν τὸ ἥμισυ τούτων · γίνεται ϛ · τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου . καὶ τὰ γ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα συνθεῖναι · καὶ γίγνονται κε · καὶ τούτων πλευρὰν λαβόντα ἔχειντοῦ τριγώνου τὴνὑποτείνουσαν .
Lemmas: β . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία . καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ μονάς γ , ὁ δέ ΒΓ μονάς δ . εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον καί ὁ ὑποτείνω . προσαναπληρόω ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , ὅς ὁ ἐμβαδόν , ὡς ἐπάνω δείκνυμι , μονάς ιβʹ . ὁ δέ ΑΒΓ τρίγωνον ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος · εἰμί οὖν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν μονάς ϛ · καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Β γωνία , ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ τετράγωνος μονάς ἄν · καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἄρα εἰμί μονάς ἄν · αὐτός ἄρα ὁ ΑΓ μονάς ε . ὁ δέ μέθοδος εἰμί οὗτος · ὁ μέν γ ἐπί ὁ δ ποιέω λαμβάνω ὁ ἥμισυς οὗτος · γίγνομαι ϛ · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον . καί ὁ γ ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω καί ὅμοιος ὁ δ ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω συντίθημι · καί γίγνομαι ἄν · καί οὗτος πλευρά λαμβάνω ἔχειντοῦ τρίγωνον τηνυποτεινουω .
heron.metrica 1.3
γ . Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι . τὴν δὲ ΒΓ | μονάδων ιβ . εὑρεῖν αὐτοὺ τὸ ἐμβαδὸν . ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠ . καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ , διὰ δὲ τῶν Β , Γ τῇ Α∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ , ΓΖ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ Α∠ , ἴση ἐστὶν ἡ Β∠ τῇ ∠Γ . καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ · ἡ ἄρα Β∠ ἐστὶ μονάδων ϛ . ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι · ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων η , ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Β∠ ∠Α · ὥστε καὶ ἡ ΒΕἔσται μονάδων η . ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ . τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων 𝔮ϛ · ὥστε τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη . ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη · λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ · γίνονται ϛ · καὶ τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ · γίνονται ρ . ἄφελε τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτὰ , ἅ ἐστι λϛ · γίγνονται λοιπὰ ξδ . τούτων πλευρὰ γίνεται η · τοσούτου ἔσται ἡ Α∠ κάθετος . καὶ τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η · γίνονται 𝔮ϛ . τούτων τὸ ἥμισυ . γίνονται μη · τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου .
Lemmas: γ . εἰμί τρίγωνον ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ ἴσος ἔχω ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ καί ἑκάτερος ὁ ἴσος μονάς ιʹ . ὁ δέ ΒΓ | μονάς ιβʹ . εὑρίσκω αὐτου ὁ ἐμβαδόν . ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ ὁ Α∠ . καί διά μέν ὁ Α ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ , διά δέ ὁ Β , Γ ὁ Α∠ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΕ , ΓΖ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · βάσις τε γάρ αὐτός ἔχω ὁ αὐτός καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . καί ἐπεί ἰσοσκελής εἰμί καί κάθετος ἄγω ὁ Α∠ , ἴσος εἰμί ὁ Β∠ ὁ ∠Γ . καί εἰμί ὁ ΒΓ μονάς ιβʹ · ὁ ἄρα Β∠ εἰμί μονάς ϛ . ὁ δέ ΑΒ μονάς ιʹ · ὁ ἄρα Α∠ εἰμί μονάς η̅ , ἐπειδή ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ ∠Α · ὥστε καί ὁ ΒΕἔστημι μονάς η̅ . ὁ δέ ΒΓ εἰμί μονάς ιβʹ . ὁ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμος ὁ ἐμβαδόν εἰμί μονάς 𝔮ϛ · ὥστε ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν εἰμί μονάς μηδέ . ὁ δέ μέθοδος εἰμί οὗτος · λαμβάνω ὁ ιβʹ ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ϛ · καί ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . ἀφαιρέω ὁ ϛ ἐπί ἑαυτοῦ , ὅς εἰμί λϛʹ · γίγνομαι λοιπός ξδʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι η̅ · τοσοῦτος εἰμί ὁ Α∠ κάθετος . καί ὁ ιβ ἐπί ὁ η̅ · γίγνομαι 𝔮ϛ . οὗτος ὁ ἥμισυς . γίγνομαι μή · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον .
heron.metrica 1.4
δ . Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν , ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός · ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν . καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν , ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα ἢ ὀξεῖα · εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώ|νοις , δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία · εἰ δὲ ἔλασσον , ὀξεῖα · εἰ δὲ μεῖζον , δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία . ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων . ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία . εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα , ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα . ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν · ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνοις · οὐκ ἔστιν δέ · οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία . οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν · ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνων · οὐκ ἔστιν δέ · οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα ἐστιν . ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή · ὀξεῖα ἄρα ἐστίν . ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων , ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία .
Lemmas: δ . ὁ δέ ἀνισοσκελής τρίγων ὁ γωνία δέω ἐπισκοπέω ὅπως ὁ ἄγω κάθετος ἀπό ὁ γωνία ἐπί ὁ πλευρά οἶδα , ἤτοι ἐντός ὁ γωνία πίπτω ἤ ἐκτός · εἰμί οὖν δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἔχω ἕκαστος πλευρά δίδωμι μοῖρα . καί δέω εἰμί ἐπισκοπέω εἰ τυγχάνω ὁ πρός ὁ Α γωνία , ἤτοι ὀρθός εἰμί ἤ ἀμβλύς ἤ ὀξύς · εἰ μέν οὖν ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ΑΓ τετράγωνος , δῆλος ὅτι ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία · εἰ δέ ἐλαχύς , ὀξύς · εἰ δέ μέγας , δῆλος ὅτι ἀμβλύς εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία . ὑπόκειμαι δή ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος ἐλαχύς ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ΑΓ τετράγωνος . ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία . εἰ γάρ οὐ εἰμί ὀξύς , ἤτοι ὀρθός εἰμί ἤ ἀμβλύς . ὀρθός μέν οὖν οὐ εἰμί · δέω γάρ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ ΑΒ τετράγωνος · οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία . οὐδέ μήν ἀμβλύς εἰμί · δέω γάρ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ ΑΒ τετράγωνος · οὐ εἰμί δέ · οὐδέ ἄρα ἀμβλύς εἰμί . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ ὀρθός · ὀξύς ἄρα εἰμί . ὅμοιος δή ἐπιλογίζομαι καί ἐάν ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ΑΓ τετράγωνος , ὅτι ἀμβλύς εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία .
heron.metrica 1.5
ε . Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . φανερὸν ὅτι ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία · τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετραγώνων . κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔλασσόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς δέδεικται . καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ μονάδων τξε , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων σκε · λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ μονάδων ρμ · τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔσται μονάδων ο . καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ ∠Β · καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ| , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β∠ μονάδων κε · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ρμδ . αὐτὴ ἄρα ἡ Α∠ ἔσται μονάδων ιβ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ ἔσται μονάδων ρξη . καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ . ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη · τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρξθ · καὶ τὰ ιδ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ𝔮ϛ · καὶ τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτὰ · γίγνεται σκε · σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρ𝔮ϛ · γίγνεται τξε · ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε · γίγνεται λοιπὰ ρμ · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ο · παράβαλε παρὰ τὸν ιδ · γίγνεται ε · καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρξθ . ἀφʼ ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἐαυτά · λοιπὰ ρμδ . τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ · τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος . ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ · γίγνεται ρξη · τούτων τὸ ἥμισυ πδ · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ε . εἰμί τρίγωνον ὀξυγώνιος ὁ ΑΒΓ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς ιεʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . φανερός ὅτι ὀξύς εἰμί ὁ πρός ὁ Β γωνία · ὁ γάρ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ τετράγωνος . κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΒΓ ὁ Α∠ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ Β∠ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ ὡς δείκνυμι . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ΒΓ μονάς τξεʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ μονάς σκεʹ · λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ Β∠ μονάς ρμʹ · ὁ ἄρα ἅπαξ ὑπό ὁ ΓΒ Β∠ εἰμί μονάς ο̅ . καί εἰμί ὁ ΒΓ μονάς ιδʹ · ὁ ἄρα Β∠ εἰμί μονάς ε . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ ∠Β · καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ μονάς ρξθ| , ὁ δέ ἀπό ὁ Β∠ μονάς ἄν · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α∠ εἰμί μονάς ρμδʹ . αὐτός ἄρα ὁ Α∠ εἰμί μονάς ιβʹ . εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ μονάς ιδʹ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΓΑ∠ εἰμί μονάς ρξηʹ . καί εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον διπλάσιος · ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί μονάς πδʹ . ὁ δέ μέθοδος εἰμί τοιοῦτος · ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ · καί ὁ ιδʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ𝔮ϛ · καί ὁ ιος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι σκε · συντίθημι ὁ ρξθʹ καί ὁ ρ𝔮ϛ · γίγνομαι τξεʹ · ἀπό οὗτος ἀφαιρέω ὁ σκε · γίγνομαι λοιπός ρμʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ο̅ · παραβάλλω παρά ὁ ιδʹ · γίγνομαι ε · καί ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ . ἀπό ὅς ἀφαιρέω ὁ ε ἐπί ἐαυτός · λοιπός ρμδʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι ιβʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ κάθετος . οὗτος πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ιδʹ · γίγνομαι ρξηʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς πδʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
heron.metrica 1.6
ϛ . Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν . ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ Α∠ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠ . καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ρκα , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ · τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠ μονάδων ρι . τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔστιν μονάδων νε . καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια · ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ · ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων ιβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ια · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠ ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ . αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ Γ τριγώνου . τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων ξ ϛ . ἡ δὲ μέθοδος ἔσται αὕτη . τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ · καὶ τὰ ια ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρκα · καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται υ . σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα · γίγνεται σ𝔮 · ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν υ · λοιπὰ ρι . | τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται νε . παράβαλε παρὰ τὸν ια · γίγνεται ε . καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρξθ . ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἑαυτά · λοιπὰ ρμδ . τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ . ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ . ταῦτα ἐπὶ τὰ ια · γίγνεται ρλβ . τούτων τὸ ἥμισυ ξϛ · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου . Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα , ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα .
Lemmas: ϛ . εἰμί τρίγωνον ἀμβλυγώνιος ὁ ΑΒΓ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιαʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ κάθετος καί ὁ ἐμβαδόν . ἐκβάλλω ὁ ΒΓ καί ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ Α∠ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒΒ∠ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ μονάς υ̅ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΓ μονάς ρκαʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΒ ρξθʹ · ὁ ἄρα δίς ὑπό ὁ ΓΒΒ∠ μονάς ριʹ . ὁ ἄρα ἅπαξ ὑπό ὁ ΓΒ Β∠ εἰμί μονάς νεʹ . καί εἰμί ὁ ΒΓ μονάς ιαʹ · ὁ ἄρα Β∠ εἰμί μονάς ε . ἀλλά καί ὁ ΑΒ μονάς ιγʹ · ὁ ἄρα Α∠ εἰμί μονάς ιβʹ . ἀλλά καί ὁ ΒΓ μονάς ιαʹ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α∠ ΒΓ εἰμί μονάς ρλβʹ . αί εἰμί διπλάσιος ὁ ΑΒ Γ τρίγωνον . ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί μονάς ξ ϛ . ὁ δέ μέθοδος εἰμί οὗτος . ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ρξθʹ · καί ὁ ιαʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρκαʹ · καί ὁ κ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι υ̅ . συντίθημι ὁ ρξθʹ καί ὁ ρκαʹ · γίγνομαι σ𝔮 · οὗτος ἀφαιρέω ἀπό ὁ υ̅ · λοιπός ριʹ . | οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι νε . παραβάλλω παρά ὁ ιαʹ · γίγνομαι ε . καί ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ . ἀφαιρέω ὁ ε ἐπί ἑαυτοῦ · λοιπός ρμδʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι ιβʹ . εἰμί ὁ κάθετος μονάς ιβʹ . οὗτος ἐπί ὁ ιαʹ · γίγνομαι ρλβʹ . οὗτος ὁ ἥμισυς ξϛʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον . μέχρι μέν οὖν οὗτος ἐπιλογίζομαι ὁ γεωμετρικός ἀπόδειξις ποιέω , ἑξῆς δέ κατά ἀνάλυσις διά ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις ὁ μέτρησις ποιέω .
heron.metrica 1.7
ζ . Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ , ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ἀριθμὸν καὶ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον , ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ , οὕτως ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον . ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχουσιν , ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ · ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφʼ ἑαυτόν . τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός .
Lemmas: ζ̅ . ἐάν εἰμί δύο ἀριθμός ὁ ΑΒ , ΒΓ , εἰμί ὁ ἀπό ΑΒ τετράγωνος ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος πλευρόν ὁ ὑπό ΑΒΓ περιέχω ἀριθμός . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ τε ἀπό ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ΑΒΓ περιέχω ἀριθμός καί ὁ ὑπό ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ΒΓ τετράγωνος , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ΑΒΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ΒΓ τετράγωνος . ἐπεί οὖν τρεῖς ἀριθμός ἀνάλογος ἔχω , εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἐπί ἑαυτοῦ . ὁ ἄρα ἀπό ΑΒ ἐπί ὁ ἀπό ΒΓ τετράγωνος πλευρόν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ περιέχω ἀριθμός .
heron.metrica 1.9
θ . | Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου , ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν . ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η , τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ · καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠ . ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ∠ μονάδων κ · ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α , καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α . ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ξγ . ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἔσται μονάδων ϛτ . τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α∠ · ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ . τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε · ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν , τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων . τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου · ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε . ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου . τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζU+2220δ΄ η΄ ιϛ΄ . δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν · ἔστι δὲ λθU+2220η΄ ιϛ΄ .
Lemmas: θ̅ . | ἐπεί οὖν μανθάνω τρίγωνον ὁ πλευρά δίδωμι εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν ῥητός εἰμί ὁ καθέτης , εἰμί μή ῥητός ὑπάρχω ὁ καθέτης ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω . εἰμί γάρ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς η̅ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς ιβʹ · καί ἄγω κάθετος ὁ Α∠ . ἀκόλουθος δή ὁ ἐπί ὁ ὀξυγώνιος λέγω εἰμί ὁ δίς ὑπό ΓΒ∠ μονάς κ · ὁ ἄρα Β∠ εἰμί μονάς α , καί ὁ ἀπό αὐτός ἄρα μονάς α . ἀλλά καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μονάς ξδʹ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α∠ εἰμί μονάς ξγʹ . ἀλλά καί ὁ ἀπό ΒΓ μονάς ρ̅ · ὁ ἄρα ἀπό ΒΓ ἐπί ὁ ἀπό Α∠ εἰμί μονάς ϛτʹ . οὗτος δέ πλευρόν εἰμί ὁ ὑπό ΒΓ Α∠ · ὁ ὑπό ὁ ΒΓ Α∠ ἄρα ἐπί ἑαυτοῦ εἰμί μονάς ϛτʹ . ὁ ἄρα ἥμισυς ὁ ὑπό ΒΓ Α∠ ἐπί ἑαυτοῦ μονάς αφοεʹ · ὅς γάρ τετράγωνος ὁ πλευρά διπλασίων ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἀπό αὐτός τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς . ὁ δέ ἥμισυς ὁ ὑπό ὁ ΒΓΑ∠ ὁ ἐμβαδόν εἰμί ὁ τρίγωνον · εἰμί ἄρα ὁ ὁ τρίγωνον ἐμβαδόν δύναμις αφοεʹ . ἔξεστι δέ ὁ ξγʹ ὁ πλευρά σύνεγγυς λαμβάνω εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν ὡς ῥητός εἰμί ὁ καθέτης . ὁ δέ ξγʹ σύνεγγυς εἰμί ὁ πλευρόν ζU+2220δ΄ ηʹ ιϛʹ . δέω οὖν τοσοῦτος ὑφίστημι ὁ κάθετος ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω · εἰμί δέ Ἅλθης ιϛʹ .
heron.metrica 1.10
ι . Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὰς ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α , Β γωνίας , καὶ ἔστω ἡ | μὲν Α∠ μονάδων ϛ , ἡ δὲ ΒΓ ια , ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ∠ . τετμήσθω δίχα ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε , καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ Ζ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΗΓ . κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Α∠ ΒΗ · συναμφότερος συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση ἐστίν . δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ . ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν · δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ , τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ · δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ∠Ε τρίγωνον τῷ ΕΗΓ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ ἴσον ἐστι . δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἡ δὲ Γ∠ εὑρεθήσεται οὕτως · ἤχθω κάθετος ἡ ∠Θ . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ Α∠ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΘ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δοθεῖσά ἐστιν . ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Θ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ · καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Γ∠ . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια · γίγνεται ιζ . τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ηU+2220 . ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ · γίγνεται ρβ · τοσούτου ἄρα τὸ ἐμβαδόν . ἡ δὲ ∠Γ οὕτως · ὕφελε ἀπὸ τῶν ια τὰ ϛ · καὶ γίγνεται λοιπὰ ε . ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ · γίγνεται κε · καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτὰ · γίγνεται ρμδ . πρόσθες τὰ κε · γίγνεται ρξθ . τούτων πλευρὰ γίγνεται ιγ · τοσούτων ἔσται ἡ ∠Γ .
Lemmas: ι̅ . εἰμί τραπέζιον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ∠ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Α , Β γωνία , καί εἰμί ὁ | μέν Α∠ μονάς ϛ , ὁ δέ ΒΓ ιαʹ , ὁ δέ ΑΒ μονάς ιβʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν καί ἔτι ὁ Γ∠ . τέμνω δίχα ὁ Γ∠ κατά ὁ Ε , καί ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω διά ὁ Ε ὁ ΖΕΗ , καί ἐκβάλλω ὁ Α∠ ἐπί ὁ Ζ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ∠Ε ὁ ΕΓ , ἴσος ἄρα καί ὁ ∠Ζ ὁ ΗΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ Α∠ ΒΗ · συναμφότεροι συναμφότεροι ἄρα ὁ ΑΖ ΒΗ συναμφότεροι ὁ Α∠ ΒΓ ἴσος εἰμί . δίδωμι δέ εἰμί συναμφότεροι ὁ Α∠ ΒΓ . ἐπεί καί ἑκάτερος αὐτός · δίδωμι ἄρα καί συναμφότεροι ὁ ΑΖ ΒΗ , τουτέστι δύο ὁ ΒΗ καί ὁ ΒΗ ἄρα εἰμί δίδωμι . ἀλλά καί ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ∠Ε τρίγωνον ὁ ΕΗΓ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμος ὅλος ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον ἴσος εἰμί . δίδωμι δέ δείκνυμι ὁ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ∠ ὁ δέ Γ∠ εὑρίσκω οὕτως · ἄγω κάθετος ὁ ∠Θ . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ Α∠ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΘ . ἀλλά καί ὁ ΒΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΘ δίδωμι εἰμί . ἀλλά καί ὁ ∠Θ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΒ · καί ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Θ γωνία · δίδωμι ἄρα καί ὁ Γ∠ . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · συντίθημι ὁ ϛ καί ὁ ιαʹ · γίγνομαι ιζʹ . οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ηU+2220 . οὗτος ἐπί ὁ ιβ · γίγνομαι ρβʹ · τοσοῦτος ἄρα ὁ ἐμβαδόν . ὁ δέ ∠Γ οὕτως · ὑφαιρέω ἀπό ὁ ιαʹ ὁ ϛ · καί γίγνομαι λοιπός ε . οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ἄν · καί ὁ ιβʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρμδʹ . προστίθημι ὁ ἄν · γίγνομαι ρξθʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι ιγʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ∠Γ .
heron.metrica 1.12
ιβ . Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν , καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ , ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν . ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ . ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ · ἡ δὲ ΓΕ μονάδων ϛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα · ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον εἶναι ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ . δίχα δὴ τμηθεισῶν τῶν ΑΒ Γ ∠ τοῖς Η , Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν , ὅτι τὸ μὲν ΑΒΓ ∠ τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλογράμμῳ , συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ Α ∠ διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ · καὶ ἔσται ἡ ΚΜ μονάδων ιϛU+2220 · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΖ · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρη . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν κζ τὰ ϛ · λοιπὰ γίγνεται κα . καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω ἡ ΑΖ κάθετος · ἔστιν δὲ μονάδων ιβ , ὡς ἐμάθομεν · καὶ σύνθες κζ καὶ ϛ · γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϛU+2220 · ταῦτα ἐπὶ ιβ · γίγνεται ρ𝔮η . τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ιβʹ . εἰμί τραπέζιον ὀξυγώνιος ὁ ΑΒΓ∠ ὀξύς ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ Γ∠ μονάς κ , ὁ δέ Α∠ μονάς ϛ , ὁ δέ ΒΓ μονάς κζʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ κάθετος καί ὁ ἐμβαδόν . ἄγω ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΑΕ καί κάθετος ὁ ΑΖ . ὁ μέν ἄρα ΑΕ εἰμί μονάς κ · ὁ δέ ΓΕ μονάς ϛ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΕ μονάς ἄν · ὥστε διά ὁ ὁ ΑΒΕ ὀξυγώνιος τρίγωνον εἰμί εἰμί ὁ ΑΖ κάθετος μονάς ιβʹ . δίχα δή τέμνω ὁ ΑΒ Γ ∠ ὁ Η , Θ καί κάθετος ἄγω ὁ ΚΗΛ ΜΘΝ ὅμοιος ὁ ἐπάνω δείκνυμι , ὅτι ὁ μέν ΑΒΓ ∠ τραπέζιον ἴσος εἰμί ὁ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμος , συναμφότεροι δέ ὁ ΒΓ Α ∠ διπλόος εἰμί ὁ ΚΜ · καί εἰμί ὁ ΚΜ μονάς ιϛU+2220 · εἰμί δέ καί ὁ ΚΛ μονάς ιβʹ , ἐπεί καί ὁ ΑΖ · ὁ ἄρα ἐμβαδόν ὁ τραπέζιον εἰμί μονάς ρηʹ . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · ἀφαιρέω ἀπό ὁ κζ ὁ ϛ · λοιπός γίγνομαι ἄν . καί τρίγωνον ὀξυγώνιος ὁ πλευρά δίδωμι ιγʹ καί ἄν καί κ εὑρίσκω ὁ ΑΖ κάθετος · εἰμί δέ μονάς ιβʹ , ὡς μανθάνω · καί συντίθημι κζʹ καί ϛ · γίγνομαι ὁ ἥμισυς ιϛU+2220 · οὗτος ἐπί ιβʹ · γίγνομαι ρ𝔮η . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
heron.metrica 1.13
ιγ . Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β , καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , ἡ δὲ Γ∠ κ , ἠ δὲ ΑΓ ϛ , ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιζ . εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν . ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΖ · ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ , ἡ δὲ Ζ∠ μονάδων ϛ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια · ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ . καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Β∠ΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρλη . συντεθήσεται δὲ οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ ϛ · λοιπὰ ια · καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ , ια , κ εὑρήσθω ἡ κάθετος · γίγνεται ιβ · καὶ σύνθες τὰ ιζ καὶ ϛ · γίγνεται κγ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιαU+2220 · ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ · γίγνεται ρλη · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου .
Lemmas: ιγʹ . εἰμί τραπέζιον ἀμβλυγώνιος ὁ ΑΒΓ∠ ἔχω ἀμβλύς ὁ πρός ὁ Β , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ Γ∠ κ , ὁ δέ ΑΓ ϛ , ὁ δέ Β∠ μονάς ιζʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ κάθετος καί ὁ ἐμβαδόν . ἄγω κάθετος ὁ ΑΕ καί ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΑΖ · εἰμί ἄρα ὁ μέν ΑΖ μονάς κ , ὁ δέ Ζ∠ μονάς ϛ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΖ μονάς ιαʹ · ὥστε διά ὁ ὁ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιος εἰμί εἰμί ὁ ΑΕ μονάς ιβʹ . καί ὅμοιος ὁ ἐπάνω δείκνυμι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ Β∠ΑΓ καί ὁ ΑΕ διπλάσιος ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον · ὁ ἄρα ἐμβαδόν ὁ τραπέζιον εἰμί μονάς ρληʹ . συντίθημι δέ οὕτως · ἀφαιρέω ἀπό ὁ ιζ ὁ ϛ · λοιπός ιαʹ · καί τρίγωνον ἀμβλυγώνιος ὁ πλευρά δίδωμι ιγʹ , ιαʹ , κ εὑρίσκω ὁ κάθετος · γίγνομαι ιβʹ · καί συντίθημι ὁ ιζʹ καί ϛ · γίγνομαι κγʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς γίγνομαι Ἴα · οὗτος ἐπί ὁ ιβ · γίγνομαι ρληʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τραπέζιον .
heron.metrica 1.18
ιη . Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε . οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ , Ζ∠ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΖΗ . ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ∠ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς · ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς . καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ἀλλ᾿ ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον , ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν · ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ιϛ . συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ , ὃν θ πρὸς δ . καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ὃν ε πρὸς δ . καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ , ὃν κε πρὸς ιϛ . καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ , ὃν θ πρὸς ιϛ · τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος , ὃν γ πρὸς δ · ὥστε τῆς Γ∠ πρὸς ΖΞ λόγος ἐστὶν , ὃν ϛ πρὸς δ , τουτέστιν ὃν γ πρὸς β · τὸ ἄρα ἀπὸ Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠ ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν γ πρὸς β . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ∠ ΖΗ . καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον . καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ ΑΒΓ∠Ε πενταγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον . συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . τούτων τὸ τρίτον · γίνεται λγ γ΄ . ταῦτα πεντάκις · γίγνεται ρξϛ β . τοσού | του ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου ὡς ἔγγιστα · ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λάβωμεν , ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ιηʹ . εἰμί πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ∠Ε . ὅς ἐκάδιος πλευρόν εἰμί μονάς ιʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί αὐτός κύκλος ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ , Ζ∠ καί κάθετος ἐπί ὁ Γ∠ ὁ ΖΗ . εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΖ∠ γωνία τέσσαρες πέμπτος ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΓΖΗ δύο πέμπτος εἰμί ὀρθός . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΓΗΖ · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . ἀλλά ἐπεί ἐν ἀριθμός οὐ εἰμί εὑρίσκω τετράγωνος τετράγωνος πενταπλάσιος , ὡς σύνεγγυς δέω λαμβάνω · εἰμί δέ ὁ πη πρός ιϛʹ . συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγος ἔχω πρός ὁ ΖΗ , ὅς θʹ πρός δ . καί διαιρέω ὁ ΓΖ πρός ΖΗ λόγος ἔχω ὅς ε πρός δ . καί ὁ ἀπό ΓΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ΖΗ , ὅς ἄν πρός ιϛʹ . καί λοιπός ὁ ἀπό ΓΗ πρός ὁ ἀπό ΖΗ , ὅς θʹ πρός ιϛʹ · ὁ ἄρα ΓΗ πρός ΗΖ λόγος , ὅς γ πρός δ · ὥστε ὁ Γ∠ πρός ΖΞ λόγος εἰμί , ὅς ϛ πρός δ , τουτέστι ὅς γ πρός β · ὁ ἄρα ἀπό Γ∠ πρός ὁ ὑπό Γ∠ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς γ πρός β . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ὁ Γ∠ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Γ∠ ΖΗ . καί εἰμί διπλάσιος ὁ ΓΖ∠ τρίγωνον · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΖ∠ τρίγωνος . καί εἰμί πέμπτος μέρος ὁ ΑΒΓ∠Ε πεντάγωνος · δίδωμι ἄρα καί ὁ πεντάγωνος . συντίθημι δέ οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ὁ τρίτος · γίγνομαι λγʹ γʹ . οὗτος πεντάκις · γίγνομαι ρξϛʹ β . τοσούς | τις εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ πεντάγωνος ὡς ἐγγύς · ἐάν δέ ἕτερος τετράγωνος ἕτερος τετράγωνος πενταπλάσιος μάλα ἐγγίζω λαμβάνω , ἀκριβής εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν .
heron.metrica 1.19
ιθ . Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ , Η∠ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ , Η∠ · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον . καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον . καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνον . συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίνεται ρ . ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά · γίγνονται μ . τούτων τὸ τέταρτον · γίγνεται βφ . ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι · γίγνεται μ ζφ . τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα · γίγνεται σνθ . τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου . Λῆμμα . Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ , ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει , ὃν η πρὸς ζ . ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α , καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ . τουτέστιν ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέν|τρου τοῦ κύκλου · καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ Α∠ . ἔσται ἄρα ἡ Α∠ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠ , ΑΓ · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β . λόγος ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃ τοῦ μθ πρὸς ιϛ · καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β , ὃν ζ πρὸς δ . καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ · τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν , ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ .
Lemmas: ιθʹ . εἰμί ἑξάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ , ὅς ἕκαστος πλευρόν ἀνά μονάς ιʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί αὐτός κύκλος ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ , Η∠ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Γ∠ ἑκάτερος ὁ ΓΗ , Η∠ · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΗ∠ τρίγωνον . καί εἰμί αὐτός ὁ πλευρόν δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΗ∠ τρίγωνος . καί εἰμί ἕκτος μέρος ὁ ἑξάγωνος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνος . συντίθημι δέ οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι μ . οὗτος ὁ τέταρτος · γίγνομαι βφʹ . οὗτος εἰκοσάκις καί ἑπτάκις · γίγνομαι μ ζφʹ . οὗτος λαμβάνω πλευρά ἐγγύς · γίγνομαι σνθʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ἑξάγωνος . λῆμμα . ἐάν εἰς κύκλος ἑπτάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω , ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος πρός ὁ ὁ ἑπτάγωνος πλευρά λόγος ἔχω , ὅς η̅ πρός ζʹ . εἰμί γάρ κύκλος ὁ ΒΓ περί κέντρον ὁ Α , καί ἐναρμόζω εἰς αὐτός ἑξάγωνος πλευρόν ὁ ΒΓ . τουτέστι ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρο ὁ κύκλος · καί κάθετος ἐπί αὐτός ὁ Α∠ . εἰμί ἄρα ὁ Α∠ ὡς ἐγγύς ἴσος ὁ ὁ ἑπτάγωνος πλευρά . ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ , ΑΓ · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . τριπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ ὁ ἀπό ὁ ∠Β . λόγος ἄρα ὁ Α∠ πρός ∠Β δύναμις ὡς ἐγγύς ὅς ὁ μθʹ πρός ιϛʹ · καί μῆκος λόγος ὁ Α∠ πρός ∠Β , ὅς ζ̅ πρός δ . καί εἰμί ὁ Β∠ διπλόος ὁ ΒΓ · ὁ ΒΓ ἄρα πρός ∠Α λόγος εἰμί , ὅς ἔχω ὁ η̅ πρός ζ̅ .
heron.metrica 1.20
κ . Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ , ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε ἡ ΘΚ . λόγος ἄρα τῆς Θ∠ πρὸς ∠Ε , ὃν η πρὸς ζ , πρὸς δὲ τὴν ∠Κ , ὃν η πρὸς γU+2220 , τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ζ . ὥστε τῆς ΘΚ πρὸς Κ∠ λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ , τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα . ὥστε καὶ τῆς ∠Ε πρὸς ΚΘ λόγος , ὃν μβ πρὸς μγ , τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϛ . καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε ΚΘ λόγος ὁ αὐτός · ὥστε τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ∠ΘΕ τρίγωνον λόγος , ὃν πδ πρὸς μγ . τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α πρὸς ζ · καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ πρὸς μγ . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ∠Ε δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑπτάγωνον . συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ · γίγνεται δτ . τούτων τὸ ιβ΄ · γίγνεται τνη γ΄ . τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου .
Lemmas: κ . εἰμί ἑπτάγωνος ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , ὅς ἕκαστος πλευρόν μονάς ι̅ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί αὐτός κύκλος ὁ Θ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Θ , ΘΕ καί κάθετος ἐπί ὁ ∠Ε ὁ ΘΚ . λόγος ἄρα ὁ Θ∠ πρός ∠Ε , ὅς η̅ πρός ζʹ , πρός δέ ὁ ∠Κ , ὅς η̅ πρός γU+2220 , τουτέστι ὅς ιϛʹ πρός ζʹ . ὥστε ὁ ΘΚ πρός Κ∠ λόγος ὡς ἐγγύς ὁ ὁ ιδʹ γʹ πρός ὁ ζʹ , τουτέστι ὅς μγʹ πρός ἄν . ὥστε καί ὁ ∠Ε πρός ΚΘ λόγος , ὅς μβʹ πρός μγʹ , τουτέστι ὅς πδʹ πρός πϛʹ . καί ὁ ἀπό ∠Ε ἄρα πρός ὁ ὑπό ∠Ε ΚΘ λόγος ὁ αὐτός · ὥστε ὁ ἀπό ∠Ε πρός ὁ ∠ΘΕ τρίγωνος λόγος , ὅς πδʹ πρός μγʹ . ὁ δέ τρίγωνον πρός ὁ ἑπτάγωνος λόγος ὁ ὁ α πρός ζʹ · καί ὁ ἀπό ∠Ε ἄρα πρός ὁ ἑπτάγωνος ιβ πρός μγʹ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ∠Ε δίδωμι ἄρα καί ὁ ἑπτάγωνος . συντίθημι δέ οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί ὁ μγʹ · γίγνομαι δτʹ . οὗτος ὁ ιβʹ · γίγνομαι τνηʹ γʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ἑπτάγωνος .
heron.metrica 1.21
κα . | Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ , οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ∠ , ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ . ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς · ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ∠ΚΛ . συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Μ · τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Μ · ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς . ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Λ τῇ ΜΛ . διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Μ τοῦ ἀπὸ ΜΛ · ἡ ἄρα ∠Μ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα , ὃν ιζ πρὸς ιβ . ἴση δέ ἐστιν ἡ ὃν ιβ πρὸς ιζ . πρὸς ἄρα τὸ ἐννάγωνον λόγον ἔχει , ὃν ιβ πρὸς οϛU+2220 , τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ , τουτέστιν ὃν η πρὸς να . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον . συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . ταῦτα ἐπὶ να · γίγνεται ερ . τούτων τὸ η΄ · γίγνεται χλζU+2220 . τοσούτου ἔσται τοῦ ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἄν . | εἰμί ὀκτάγωνον ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓΗ , ὅς ἕκαστος πλευρόν μονάς ιʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί αὐτός κύκλος ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ∠ , ΚΕ καί ἐπί ὁ ∠Ε κάθετος ἄγω ὁ ΚΛ . ὁ ἄρα ὑπό ∠ΚΕ γωνία ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ὥστε τέταρτος εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ∠ΚΛ . συνίστημι δή αὐτός ἴσος ὁ ὑπό Κ∠Μ · τέταρτος ἄρα καί ὁ ὑπό Κ∠Μ · ἥμισυς ἄρα ὁ ὑπό ∠ΜΛ εἰμί ὀρθός . ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ Λ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ∠Λ ὁ ΜΛ . διπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ∠Μ ὁ ἀπό ΜΛ · ὁ ἄρα ∠Μ πρός ΜΛ λόγος ἔχω ἐγγύς , ὅς ιζʹ πρός ιβʹ . ἴσος δέ εἰμί ὁ ὅς ιβʹ πρός ιζʹ . πρός ἄρα ὁ ἐννάγωνον λόγος ἔχω , ὅς ιβʹ πρός Ἴος , τουτέστι ὅς κδʹ πρός ρνγʹ , τουτέστι ὅς η̅ πρός ναʹ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΕΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐννάγωνον . συντίθημι δέ οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί να · γίγνομαι ε̅ρ̅ . οὗτος ὁ ηʹ · γίγνομαι χλζU+2220 . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐννάγωνον ὁ ἐμβαδόν .
heron.metrica 1.23
κγ . Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ , οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ , καὶ ἐπεζεύχθωσαναἱ ΜΕ , ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ . | ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς · ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς . συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ · δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ · λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ , ὃν ε πρὸς δ , πρὸς δὲ τὴν ΕΝ , ὃν ε πρὸς γ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ , ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ · ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ , ὃν ϛ πρὸς θ , τουτέστιν ὃν β πρὸς γ . καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἂρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΜΝ , ὃν β πρὸς γ · ὥστε πρὸς τὸ ΕΖΜ τρίγωνον , ὃν β πρὸς αU+2220 · ὥστε πρὸς τὸ δεκάγωνον λόγον ἔχει , ὃν β πρὸς ιε . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον . συντεθήσεται δὲ οὕτως . τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε · γίγνεται αφ . τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ψν · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου .
Lemmas: κγʹ . εἰμί δεκάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΓΑΗ , ὅς ἕκαστος πλευρόν μονάς ιʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί αὐτός κύκλος ὁ Μ , καί ἐπιζεύγνυμι ΜΕ , ΜΖ καί κάθετος ἐπί ὁ ΕΖ ὁ ΜΝ . | ὁ ἄρα ὑπό ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτος εἰμί ὀρθός · ὥστε ὁ ὑπό ΕΜΝ πέμπτος εἰμί ὀρθός . συνίστημι αὐτός ἴσος ὁ ὑπό ΜΕΞ · δύο ἄρα πέμπτος εἰμί ὁ ὑπό ΝΞΕ . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΕΝΞ · λόγος ἄρα ὁ ΕΞ πρός ΝΞ , ὅς ε πρός δ , πρός δέ ὁ ΕΝ , ὅς ε πρός γ . ἴσος δέ ὁ μέν ΕΞ ὁ ΞΜ , ὁ δέ ΕΝ ὁ ΝΖ · εἰμί ἄρα λόγος ὁ ΕΖ πρός ΜΝ , ὅς ϛ πρός θʹ , τουτέστι ὅς β πρός γ . καί ὁ ἀπό ΕΖ ἄρα πρός ὁ ὑπό ΕΖ ΜΝ , ὅς β πρός γ · ὥστε πρός ὁ ΕΖΜ τρίγωνον , ὅς β πρός αἴ · ὥστε πρός ὁ δεκάγωνος λόγος ἔχω , ὅς β πρός ιεʹ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΕΖ δίδωμι ἄρα καί ὁ δεκάγωνος . συντίθημι δέ οὕτως . ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί ὁ ιος · γίγνομαι αφ . οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ψν · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ δεκαγῶνος .
heron.metrica 1.24
κδ . Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜ , οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι . εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΗ . τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστὶν . δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν , ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ , ὁ δὲ τῆς πρὸς ΗΖ λόγος , ὃν κδ πρὸς ζ · τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ , τουτέστιν ὁ τῶν ζ πρὸς ιβ . τοῦ δὲ τριγώνου | πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγος , ὃν β πρὸς ια · ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ὃν ζ πρὸς ξϛ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον . συντεθήσεται δὴ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϛ · γίγνεται ϛχ . τούτων τὸ ἕβδομον · γίγνεται Ϡ μβ ϛ · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου . Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὔκ ἐστιν ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια , ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρούμενα μετρεῖται · τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ καθόλου τῶν ἐπιφανειῶν ὅσαι δύνανται μετρεῖσθαι , ἑξῆς κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐκθησόμεθα .
Lemmas: κδʹ . εἰμί ἑνδεκάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΒΕΖ , ὅς ἕκαστος πλευρόν μονάς ιʹ . εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . περιγράφω περί αὐτός κύκλος , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΝ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΗ . ὁ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατος ὁ ἑνδεκάγωνος εἰμί . δείκνυμι δέ ἐν ὁ περί ὁ ἐν κύκλος εὐθεῖα , ὅτι λόγος ὁ ΖΞ πρός ΖΗ ὡς ἐγγύς ὁ ὁ ἄν πρός ζʹ , ὁ δέ ὁ πρός ΗΖ λόγος , ὅς κδʹ πρός ζʹ · ὁ ἄρα ἀπό ΖΗ πρός ὁ ΖΗΞ τρίγωνος λόγος ὁ ὁ μθʹ πρός πδʹ , τουτέστι ὁ ὁ ζʹ πρός ιβʹ . ὁ δέ τρίγωνον | πρός ὁ ἑνδεκάγωνος λόγος , ὅς β πρός ιαʹ · ὥστε πρός ὁ ἑνδεκάγωνος λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ὅς ζʹ πρός ξϛʹ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΖΗ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἑνδεκάγωνος . συντίθημι δή οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . οὗτος ἐπί ὁ ξϛʹ · γίγνομαι ϛχʹ . οὗτος ὁ ἕβδομος · γίγνομαι Ϡ̅ μβʹ ϛ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ἑνδεκάγωνος . ὅσος δέ ὁ πολύγωνος σχῆμα οὐ εἰμί ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , οὗτος εἰς τρίγωνος καταδιαιρέω μετρέω · ὁ δέ περιφερής ὁ ἐπίπεδος σχῆμα καί καθόλου ὁ ἐπιφάνεια ὅσος δύναμαι μετρέω , ἑξῆς κατά ὁ ἀκόλουθος ἐκτίθημι .
heron.metrica 1.27
κζ . Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα . ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α , Β , Γ , ∠ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α · λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠ · ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β , τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτταρσι τοῖς Β . τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ . ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠ . ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Ἂ ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠ .
Lemmas: κζ . εἰς δέ ὁ ὁ τμῆμα μέτρησις προγράφω οὗτος . εἰμί ὁσσαδηποτοῦν μέγεθος τετραπλάσιος ἀλλήλων ὁ Α , Β , Γ , ∠ ἤ καί πολύς ἄρχω ἀπό μέγας ὁ Α · λέγω ὅτι ὁ γʹ ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ∠ καί ὁ γʹ ὁ ∠ · ἐπεί γάρ ὁ Α τετραπλάσιος εἰμί ὁ Β , ὁ Α ἄρα ἴσος εἰμί τέσσαρες ὁ Β . ὁ ἄρα τρίτος ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ Β καί ὁ γʹ ὁ Β . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ γʹ ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ Γ καί ὁ γʹ ὁ Γ . ὅμοιος δή καί ὁ Γ ὁ γʹ ἴσος εἰμί ὁ ∠ καί ὁ γʹ ὁ ∠ . ὥστε ὁ γʹ ὁ Ἄν ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ∠ καί ὁ γʹ ὁ ∠ .
heron.metrica 1.28
κη . Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β , ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ . ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος . προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠ , ΖΕ ἐπὶ τὰ Η , Θ , καὶ κάθετος ἡ ΖΚ . ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε , τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε , τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ . ὥστε | καὶ τὸ ὑπὸ Η∠Ε τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ · ἀλλὰ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ Η∠ , ΚΒ , τουτέστιν ἢ ∠Β πρὸς ΒΚ . ἡ ἄρα ∠Β τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ · ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ∠Β τῆς ∠Κ , τουτέστι τῆς ΕΖ , ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος .
Lemmas: πη . εἰμί τμῆμα κύκλος ὁ ΑΒΓ καί ἀπό μέσος ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ∠Β , ἀπό δέ μέσος ὁ Α∠ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ . ὅτι ὁ Β∠ ὁ ΕΖ ἐλαχύς εἰμί ἤ ἐπίτριτος . προσαναπληρόω ὁ κύκλος καί ἐκβάλλω ὁ Β∠ , ΖΕ ἐπί ὁ Η , Θ , καί κάθετος ὁ ΖΚ . ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ∠Ε , τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό Α∠ ὁ ἀπό ∠Ε , τουτέστι ὁ ἀπό ΖΚ . ὥστε | καί ὁ ὑπό Η∠Ε τετραπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ΗΚΒ · ἀλλά ὁ ὑπό Η∠Β πρός ὁ ὑπό ΗΚΒ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ὑπό Η∠Β πρός ὁ ὑπό Η∠ , ΚΒ , τουτέστι ἤ ∠Β πρός ΒΚ . ὁ ἄρα ∠Β ὁ ΒΚ μέγας εἰμί ἤ τετραπλόος · ἀναστρέφω ἄρα ὁ ∠Β ὁ ∠Κ , τουτέστι ὁ ΕΖ , ἐλαχύς εἰμί ἤ ἐπίτριτος .
heron.metrica 1.29
κθ . Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ∠Β καὶ δίχα αἱ ΑΒ , ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε , Ζ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ . ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων . ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ , παράλληλος δὲ τῇ Β∠ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ · ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ Κ∠ . ἡ ἄρα Β∠ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος . τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ · ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων · ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΘΗ , τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον · ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου . τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒ∠ · ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒ∠ τοῦ ΑΒΘ · τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου . πολλῷ ἄρα τὸ Α∠Β ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ . διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ∠ΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου · τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων .
Lemmas: κθʹ . εἰμί τμῆμα ὁ ἐπί ὁ ΑΓ , καί πρός ὀρθός ἀπό μέσος ὁ ΑΓ ὁ ∠Β καί δίχα ὁ ΑΒ , ΒΓ περιφέρεια κατά ὁ Ε , Ζ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ . ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγων . ἄγω κάθετος μέν ἐπί ὁ ΑΒ ὁ ΕΗ , παράλληλος δέ ὁ Β∠ διά ὁ Η ὁ ΘΚ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ ΘΒ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΚ ὁ Κ∠ . ὁ ἄρα Β∠ ὁ ΘΚ ἐλαχύς εἰμί ἤ ἐπίτριτος . ὁ δέ ΗΚ εἰμί διπλόος · ὥστε ὁ ΚΗ ὁ ΘΗν ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλασίων · ὡς δέ ὁ ΚΗ πρός ΘΗ , ὁ ΑΚΒ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒΘ τρίγωνον · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ ΑΚΒ τρίγωνον ὁ ΑΒΘ τρίγωνον . ὁ δέ ΑΚΒ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒ∠ · ἐλαχύς ἄρα ἤ τετραπλάσιος ὁ ΑΒ∠ ὁ ΑΒΘ · ὁ δέ ΑΒΘ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΕΒ , ἐπεί καί ὁ ΕΗ ὁ ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος . πολύς ἄρα ὁ Α∠Β ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ ΑΕΒ . διά ὁ αὐτός καί ὁ ∠ΒΓ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ ΒΖΓ τρίγωνον · ὁ ἄρα ΑΒΓ ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγων .
heron.metrica 1.30
λ . | Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν . συντιθέντες γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος ἀπεφαίνοντο . δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς διαμέτρου . ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τοιαύτην ὑπόθεσιν μετρῶμεν , ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ . οἷον ἔστω ἡμικύκλιον , οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ Γ∠ . καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ . ἡ ἄρα Γ∠ μονάδων ϛ . οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται μονάδων λϛ . ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη , ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου , δεῖ τὰ ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ · εἰσὶ δὲ μονάδες νδ . ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ . τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ ϛ , ἃ γίγνεται ιη . ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις · γίγνεται ὁμοίως νδ .
Lemmas: λ . | ὁ δέ τμῆμα ὁ κύκλος ὁ ἐλαχύς ἡμικύκλιον ὁ μέν ἀρχαῖος ἀμελής μετρέω . συντίθημι γάρ αὐτός ὁ βάσις καί ὁ κάθετος καί οὗτος ὁ ἥμισυς λαμβάνω ἐπί ὁ κάθετος ποιέω καί τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν ὁ τμῆμα ἀποφαίνω . δοκέω δέ οὗτος ἀκολουθέω ὁ ὁ περίμετρον ὁ κύκλος τριπλασίων ὑπολαμβάνω ὁ διάμετρος . ἐάν γάρ ἡμικύκλιον κατά ὁ τοιοῦτος ὑπόθεσις μετρέω , ἀκολουθέω ὁ ἐμβαδόν ὁ ἡμικύκλιον σύμφωνος ὁ λέγω μέθοδος . οἷος εἰμί ἡμικύκλιον , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ καί κάθετος ὁ Γ∠ . καί εἰμί ὁ διάμετρος μονάς ιβʹ . ὁ ἄρα Γ∠ μονάς ϛ . οὐκοῦν ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια εἰμί μονάς λϛʹ . ὁ ἄρα ὁ ἡμικύκλιον μονάς ιηʹ . ἐπεί οὖν δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό ὁ περιφέρεια καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον διπλάσιος εἰμί ὁ χωρίον , δέω ὁ ιη πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ϛ λαμβάνω ὁ ἥμισυς · εἰμί δέ μονάς νδʹ . ὥστε ὁ ἡμικύκλιον ὁ ἐμβαδόν κατά ὁ λέγω ὑπόθεσις εἰμί μονάς νδʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί ἐάν συντίθημι ὁ ιβ καί ὁ ϛ , ὅς γίγνομαι ιηʹ . ὅς ἥμισυς λαμβάνω ἐπί ὁ ὁ καθέτης ποιέω · γίγνομαι ὅμοιος νδʹ .
heron.metrica 1.31
λα . Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος | τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως . οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ , καθʼ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων · ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ , τὴν δὲ ∠Γ κάθετον ζ , ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ · ἐπὶ τὸν ζ · γίγνεται ρνδ . ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ . καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι . τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν . σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ · ὧν ἥμισυ γίγνεται ιU+2220 · ἐπὶ τὰ ζ · γίγνεται ογU+2220 . καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων μθ . τούτων καθόλου τὸ ιδ΄ · γίγνεται γU+2220 . ταῦτα πρόσθες τοῖς ογU+2220 · γίγνεται οζ . ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρήσασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημάτων · οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη ἁρμόσει ἡ ἔφοδος , ἀλλʼ ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου · ἐπεί τοι , ἐὰν ἡ βάσις ᾖ μονάδων ξ , ἡ δὲ κάθετος α , ἔσται τὸ περιεχόμενον σχῆμα μονάδων ξ , ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος . τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδ΄ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως · ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδ΄ . ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη ἔφοδος , ἀλλʼ , ὡς εἴρηται , ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ . ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ , τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα .
Lemmas: λα . ὁ δέ ἀκριβής ζητέω προστίθημι ὁ λέγω ἐμβαδόν ὁ τμῆμα | ὁ ιδʹ μέρος ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ βάσις . οὗτος δή ὁ ἕτερος φαίνω ἀκολουθέω ἔφοδος , κατά ὅς ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια τριπλάσιος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ κύκλος καί ὁ ζʹ μέρος μέγας · ἐάν γάρ ὅμοιος ὑφίστημι ὁ μέν ΑΒ διάμετρος μονάς ιδʹ , ὁ δέ ∠Γ κάθετος ζʹ , εἰμί ὁ περιφέρεια ὁ ἡμικύκλιον μονάς κβʹ · ἐπί ὁ ζ̅ · γίγνομαι ρνδʹ . ὅς ἥμισυς γίγνομαι οζʹ . καί τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν ὁ ἡμικύκλιον ἀποφαίνω . ὁ δέ αὐτός καί ἐάν οὕτως ποιέω . συντίθημι ὁ ιδʹ καί ὁ ζʹ · ὅς ἥμισυς γίγνομαι Ἴ · ἐπί ὁ ζ̅ · γίγνομαι οἴ . καί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ βάσις μονάς μθʹ . οὗτος καθόλου ὁ ιδʹ · γίγνομαι γU+2220 . οὗτος προστίθημι ὁ οἴ · γίγνομαι οζʹ . οὗτος οὖν ὁ ἔφοδος χράω δέω ἐπί ὁ ἐλαχύς ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα · οὐ μέντοι ἐπί πᾶς τμῆμα πάλιν καί οὗτος ἁρμόζω ὁ ἔφοδος , ἀλλά ὅταν ὁ βάσις ὁ τμῆμα μή μέγας εἰμί ἤ τριπλόος ὁ καθέτης · ἐπεί τοι , ἐάν ὁ βάσις εἰμί μονάς ξ , ὁ δέ κάθετος α , εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα μονάς ξ , ὅς δή μέγας εἰμί ὁ τμῆμα . οὗτος δέ μέγας εἰμί ὁ ιδʹ ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ βάσις · εἰμί γάρ μονάς ξδʹ ιδʹ . ὥστε οὐ ἐπί πᾶς τμῆμα ἁρμόζω ὁ λέγω ἔφοδος , ἀλλά , ὡς λέγω , ὅταν ὁ βάσις ὁ καθέτης μή μέγας εἰμί ἤ τριπλόος . ἐάν δέ εἰμί μέγας ἤ τριπλόος , ὁ ἑξῆς ἔφοδος χράω .
heron.metrica 1.33
λγ . | Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμικυκλίου , μετρήσομεν οὕτως . ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ , οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ , ἡ δὲ Β∠ κάθετος μονάδων ιδ . προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ἐπὶ τὸ Ε . ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β∠Ε , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Α∠ μονάδων ἐστὶ μθ , ἔσται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε μονάδων μθ . καὶ ἔστιν ἡ Β∠ μονάδων ιδ ἡ ἄρα ∠Ε ἔσται μονάδων γU+2220 · ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων ιδ · τοῦ ἄρα ΑΕΓ τμήματος , ὅ ἐστιν ἔλασσον ἡμικυκλίου , τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων , ὡς ἐμάθομεν , λδ η΄ . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Β∠ ἐστὶ μονάδων ιδ , ἡ δὲ ∠Ε γU+2220 , ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται μονάδων ιζU+2220 · τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν ἔσται σμU+2220η΄ . ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λδη΄ . λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϛU+2220 .
Lemmas: λγʹ . | ἐάν δέ δέω τμῆμα μετρέω μέγας ἡμικύκλιον , μετρέω οὕτως . εἰμί τμῆμα κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὅς ὁ μέν ΑΓ βάσις εἰμί μονάς ιδʹ , ὁ δέ Β∠ κάθετος μονάς ιδʹ . προσαναπληρόω ὁ κύκλος καί ἐκβάλλω ὁ Β∠ ἐπί ὁ Ε . ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β∠Ε , ὁ δέ ἀπό ὁ Α∠ μονάς εἰμί μθʹ , εἰμί ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Β∠Ε μονάς μθʹ . καί εἰμί ὁ Β∠ μονάς ιδʹ ὁ ἄρα ∠Ε εἰμί μονάς γU+2220 · εἰμί δέ καί ὁ ΑΓ μονάς ιδʹ · ὁ ἄρα ΑΕΓ τμῆμα , ὅς εἰμί ἐλαχύς ἡμικύκλιον , ὁ ἐμβαδόν εἰμί μονάς , ὡς μανθάνω , λδʹ ηʹ . καί ἐπεί ὁ μέν Β∠ εἰμί μονάς ιδʹ , ὁ δέ ∠Ε γU+2220 , ὁ ἄρα ΒΕ διάμετρος εἰμί μονάς ιζU+2220 · ὁ ἄρα κύκλος ὁ ἐμβαδόν ὡς μανθάνω εἰμί σμU+2220η΄ . ὅς ὁ ὁ ΑΕΓ τμῆμα ἐμβαδόν εἰμί μονάς λδηʹ . λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἐμβαδόν εἰμί μονάς σϛU+2220 .
heron.metrica 1.34
λδ . Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι , ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϛ , ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ . ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται ( c . 5 t . l p . 312 Heib . ) ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει , δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδ΄ · ἔστι δὲ ρμϛU+2220 · τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως .
Lemmas: λδʹ . εἰμί δέ ἔλλειψις μετρέω , ὅς ὁ μέν μέγας ἄξων μονάς ιϛʹ , ὁ δέ ἐλαχύς ιβʹ . ἐπεί οὖν ἐν ὁ κωνοειδής Ἀρχιμήδης δείκνυμι ( c . 5 t . l p . 312 Heib . ) ὅτι ὁ ὑπό ὁ ἄξων δύναμαι κύκλος ἴσος ὁ ἔλλειψις , δέω ὁ ιϛʹ ἐπί ὁ ιβʹ πολλαπλασιάζω οὗτος λαμβάνω ὁ ιαʹ ιδʹ · εἰμί δέ ρμϛU+2220 · τοσοῦτος ἀποφαίνω ὁ ἐμβαδόν ὁ ἔλλειψις .
heron.metrica 1.35
λε . Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ , ἧς ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ , ὁ δὲ Β∠ ἄξων μονάδων ε . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ . τῷ ἄρα ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ Β∠ , | τουτέστι μονάδων λ . ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ , ὡς προείρηται , ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς , τουτέστι παραβολῆς , ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον , τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ . τὸ ἄρα τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ .
Lemmas: λε . εἰμί δή παραβολή μετρέω ὁ ΑΒΓ , ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί μονάς ιβʹ , ὁ δέ Β∠ ἄξων μονάς ε . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΒΓ . ὁ ἄρα ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ ὑπό ΑΓ Β∠ , | τουτέστι μονάς λ . ἀποδείκνυμι δέ Ἀρχιμήδης ἐν ὁ ἐφοδικός , ὡς προλέγω , ὅτι πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , τουτέστι παραβολή , ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος , τουτέστι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ὁ δέ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν εἰμί μονάς λ . ὁ ἄρα ὁ παραβολή ἐμβαδόν εἰμί μονάς μ .