heron.metrica 3.22
κβ . | Ἔστω δὴ δοθεὶς κόλουρος κῶνος , ὃν δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ . ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφὴ δὲ ὁ ∠Ε . καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει , ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπομένου · δεδόσθω δʼ ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος μονάδων κη , ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα , τὸ δὲ ὕψος μονάδων ιβ · καὶ διῃρήσθω , ὡς εἴρηται , τῷ ΖΗ κύκλῳ , ὥστε τὸν ∠ΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου · ὁ ἄρα ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος πρὸς τὸν ∠ΕΖΗ λόγον ἔχει , ὃν ε πρὸς δ . καὶ ἔστιν ὁ ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος δοθείς · αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ∠ΕΖΗ κωνοκόλουρος . ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ∠Θ καὶ προσηυξήσθω ὁ κῶνος . καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ , ἄξων δὲ ὁ Γ∠ . ἐπεὶ ἡ ∠Ε ἔστι δοθεῖσα , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Λ , τουτέστιν ἡ ΚΘ . ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Κ δοθεῖσά ἐστιν · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν · λόγος ἄρα τῆς Κ∠ πρὸς ΑΘ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς ∠Θ · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ∠Θ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ · ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν · ἴση γάρ ἐστι τῇ ∠Θ . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν · δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠Ε κῶνος κ ΖΗ · καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ · λόγος ἄρα τῶν ΓΑΒ , ∠ΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον . | ὡς δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους , οὕτω καὶ οἱ απὸ τῶν ΓΚΛ κύβοι πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΓΜ κύβον . δοθέντες δὲ οἱ ἀπὸ τῶν ΚΓΛ κύβοι · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΓΜ κύβος · δοθεῖοα ἄρα ἡ ΓΜ · ὥστε καὶ ἡ ΛΜ · λόγος ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ΛΜ , τουτέστι τῆς Α∠ πρὸς ΑΖ δοθείς · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Α∠ , ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΖ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · ὥστε καὶ ἡ διʼ αὐτοῦ τομὴ , τουτέστιν ὁ ΖΗ κύκλος . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · λαβὲ τὸ στερεὸν τοῦ κολουροκώνου , ὡς ἐμάθομεν . γίνεται εχ𝔮η . ταῦτα ἐπὶ τὸν δ · γίγνεται μ βψ 𝔮β . παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται δφνη β · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ∠ΕΖΗ κολουροκώνου . καὶ ἀπὸ τῶν κη ἄφελε κα · λοιπὰ ζ · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται γU+2220 · καὶ τῶν κη τὸ ἥμισυ · γίγνεται ιδ · καὶ ποίησον ὡς τὰ γU+2220 · πρὸς τὰ ιδ , οὕτως τὸ ὕψος , τουτέστι τὰ ιβ , πρὸς ἄλλον τινά · ἔστι δὲ πρὸς μη . ἄφελε τὰ ιβ · λοιπὰ λϛ · ἔσται ὁ ἄξων τοῦ Γ∠Ε κώνου μονάδων λϛ . καὶ ἔστιν ἡ ∠Ε διάμετρος μονάδων κα · τὸ ἄρα στερεὸν τοῦ κώνου , ὡς ἐμάθομεν , ἔσται δρνη · πρόσθες ταῦτα ἑκατέρῳ τῷ τε εχ𝔮η καὶ τῷ δφνη β · γίγνεται θωνϛ · καὶ τὰ δρνη · γίγνεται μ διδ · σύνθες τὰ δφνη β καὶ τὰ δρνη · γίγνεται μ διδ . καὶ κύβισον τὸν μη · καὶ ἔτι τὸν λϛ · καὶ σύνθες τοὺς β κύβους · γίνονται μ ξσμη . ποίησον οὖν ὡς τὰ μ διδ πρὸς τὸ ηψιϛ β , οὕτως μ ζσμη πρός τι · ἔστι δὲ πρὸς μ ζν . τούτων λαβὲ κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα · γίγνονται μϛ . ἄφελε τὰς λϛ · λοιπαὶ μονάδες ι · καὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους ἐφʼ ἑαυτά · γίνεται ρμδ · καὶ τὰ γU+2220 ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ιβ δ΄ . σύνθες · γίγνονται ρνϛ δʹ · ὧν πλευρὰ γίγνεται ιβU+2220 · ἡ τοῦ κωνοκολούρου πλευρὰ ἡ ∠Α ιβU+2220 · καὶ ποίησον ὡς τὰ ιβ τοῦ ὕψους πρὸς τὰ ι , οὕτως τὰ ιβU+2220 πρὸς τί · | ἔστι δὲ πρὸς ι ε . καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τετμήσθω ὁ κῶνος , ὡς εἴρηται . καὶ ἔσται τὸ προκείμενον .
Lemmas: κβʹ . | Εἰμί δή δίδωμι κόλουρος κῶνος , ὅς δέω διαιρέω ἐν ὁ δίδωμι λόγος . εἰμί βάσις μέν ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφή δέ ὁ ∠Ε . καί ἐπιτάσσω διαιρέω αὐτός ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις , ὥστε ὁ πρός ὁ κορυφή τμῆμα τετραπλάσιος εἰμί ὁ καταλείπω · δίδωμι δέ ὁ μέν ὁ ΑΒ κύκλος διάμετρος μονάς πη , ὁ δέ ὁ ΑΕ μονάς ἄν , ὁ δέ ὕψος μονάς ιβʹ · καί διαιρέω , ὡς λέγω , ὁ ΖΗ κύκλος , ὥστε ὁ ∠ΕΖΗ κῶνος κόλουρος τετραπλασίων εἰμί ὁ ΖΗΑΒ κόλουρος κῶνος · ὁ ἄρα ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος πρός ὁ ∠ΕΖΗ λόγος ἔχω , ὅς ε πρός δ . καί εἰμί ὁ ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος δίδωμι · ὁ γάρ διάμετρος ὁ βάσις αὐτός δίδωμι εἰμί καί ἔτι ὁ ὕψος δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ∠ΕΖΗ κωνοκόλουρος . ἄγω δή κάθετος ὁ ∠Θ καί προσαυξάνω ὁ κῶνος . καί εἰμί αὐτός κορυφή ὁ Γ , ἄξων δέ ὁ Γ∠ . ἐπεί ὁ ∠Ε εἰμί δίδωμι , δίδωμι ἄρα καί ὁ ∠Λ , τουτέστι ὁ ΚΘ . ἀλλά καί ὁ ∠Κ δίδωμι εἰμί · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΘ δίδωμι εἰμί · λόγος ἄρα ὁ Κ∠ πρός ΑΘ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΚ πρός ∠Θ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ∠Θ · δίδωμι ἄρα ὁ ΓΚ · ὅς ὁ ΚΛ δίδωμι εἰμί · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ∠Θ . καί λοιπός ἄρα ὁ Γ∠ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Γ∠Ε κῶνος κ ΖΗ · καί ἔτι ὁ ΓΒΑ · λόγος ἄρα ὁ ΓΑΒ , ∠ΕΓ κῶνος πρός ὁ ΓΗΖ κῶνος . | ὡς δέ ὁ κῶνος πρός ἀλλήλων , οὕτως καί ὁ απὸ ὁ ΓΚΛ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΜ κύβος . δίδωμι δέ ὁ ἀπό ὁ ΚΓΛ κύβος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΓΜ κύβος · δοθεῖος ἄρα ὁ ΓΜ · ὥστε καί ὁ ΛΜ · λόγος ἄρα ὁ ΚΛ πρός ὁ ΛΜ , τουτέστι ὁ Α∠ πρός ΑΖ δίδωμι · καί εἰμί δίδωμι ὁ Α∠ , ἐπεί καί ἑκάτερος ὁ ∠Θ ΘΑ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΖ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ · ὥστε καί ὁ διά αὐτός τομή , τουτέστι ὁ ΖΗ κύκλος . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · λαμβάνω ὁ στερεός ὁ κολουρόκωνος , ὡς μανθάνω . γίγνομαι χέω . οὗτος ἐπί ὁ δ · γίγνομαι μ βψ 𝔮β . παραβάλλω παρά ὁ ε · γίγνομαι δφνη β · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ∠ΕΖΗ κολουρόκωνος . καί ἀπό ὁ πη ἀφαιρέω ἄν · λοιπός ζʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι γU+2220 · καί ὁ πη ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ιδʹ · καί ποιέω ὡς ὁ γU+2220 · πρός ὁ ιδʹ , οὕτως ὁ ὕψος , τουτέστι ὁ ιβʹ , πρός ἄλλος τις · εἰμί δέ πρός μή . ἀφαιρέω ὁ ιβ · λοιπός λϛʹ · εἰμί ὁ ἄξων ὁ Γ∠Ε κῶνος μονάς λϛʹ . καί εἰμί ὁ ∠Ε διάμετρος μονάς ἄν · ὁ ἄρα στερεός ὁ κῶνος , ὡς μανθάνω , εἰμί δρνηʹ · προστίθημι οὗτος ἑκάτερος ὁ τε χέω καί ὁ δφνηʹ β · γίγνομαι θωνϛʹ · καί ὁ δρνη · γίγνομαι μ διδ · συντίθημι ὁ δφνηʹ β καί ὁ δρνηʹ · γίγνομαι μ διδ . καί κυβίζω ὁ μή · καί ἔτι ὁ λϛ · καί συντίθημι ὁ β κύβος · γίγνομαι μ ξσμηʹ . ποιέω οὖν ὡς ὁ μ διδ̅ πρός ὁ ηψιϛʹ β , οὕτως μ ζσμηʹ πρός τις · εἰμί δέ πρός μ ζνʹ . οὗτος λαμβάνω κυβικός πλευρά ὡς ἐγγύς · γίγνομαι μϛʹ . ἀφαιρέω ὁ λϛʹ · λοιπός μονάς ι̅ · καί ὁ ιβʹ ὁ ὕψος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρμδʹ · καί ὁ γU+2220 ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ιβʹ δʹ . συντίθημι · γίγνομαι ρνϛʹ δʹ · ὅς πλευρόν γίγνομαι ιβU+2220 · ὁ ὁ κωνοκόλουρος πλευρόν ὁ ∠Α ιβU+2220 · καί ποιέω ὡς ὁ ιβʹ ὁ ὕψος πρός ὁ ιʹ , οὕτως ὁ ιβU+2220 πρός τίς · | εἰμί δέ πρός ι̅ ε . καί διά ὁ Ζ σημεῖον τέμνω ὁ κῶνος , ὡς λέγω . καί εἰμί ὁ πρόκειμαι .