heron.metrica 2.6
ϛ . Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν · ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος ὁμοία τῇ βάσει . ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , ἡ δὲ κορυφὴ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ . ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιη , ἡ δὲ ΒΓ κδ , ἡ δὲ ΑΓ λϛ , ἡ δὲ ∠Ε ιμ · ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ , ἡ δὲ ∠Ζ κδ . ἔστω δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν μονάδων ι . κείσθω τῇ μὲν ∠Ε ἴση ἡ ΑΗ , τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ , καὶ τετμήσθωσν δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ , Λ σημείοις , καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ . ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνα , ὡς ἔστιν ἡ ΑΒ πρὸς ∠Ε , τουτεστι πρὸς ΑΗ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ , τουτέστι πρὸς ΓΘ . παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι αἱ ΚΝΜ ΒΘ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ . παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ , τουτέστι τῇ ΑΓ . παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚ ΛΝ τῷ ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί . λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ , τουτέστιν ἡ ΝΞ τῇ ∠Ε , ἡ δὲ ΓΘ , τουτέστιν ἡ ΜΝ , τῇ ΕΖ | καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν , ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ∠Ζ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΞ τῇ ΜΓ . συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΑΓ ΜΞ , τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ∠Ζ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΓΞ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΚΗ , συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΑ ΗΑ , τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ∠Ε , ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΚ , τουτέστιν ἡ ΞΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ ΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΛΓ . ἐπεὶ οὖν τὸ στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος σύγκειται ἔκ τε τοῦ πρίσματος τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον , κορυφὴν δὲ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν , καὶ τοῦ πρίσματος , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμον , κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα , καὶ ἑτέρου πρίσματος , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ , καὶ ἔτι τῆς πυραμίδος , ἧς βάσις τὸ ΒΗΘ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον · ἀλλὰ τῶν μὲν πρισμάτων , ὧν βάσις ἐστὶ τὰ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμα , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῇ πυραμίδι τὸ στερεόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΝΜΘΓ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὴν κάθετον , τοῦ δὲ πρίσματος , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ , τὸ στερεόν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον ἐπὶ τὴν κάθετον , τῆς δὲ πυραμίδος , ἧς βάσις ἐστὶ τὸ ΒΗΘ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον , τὸ στερεόν ἐστι τὸ τρίτον τοῦ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν κάθετον , τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἓν καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΛΝΘ διὰ τὸ ἴσα εἶναι , τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΛΝΘ τριγώνου τὸ δωδέκατόν ἐστι τοῦ ΒΗΘ τριγώνου · ὥστε τῆς κολούρου πυραμίδος τὸ στερεόν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΞΛΓ τριγώνου προσλαβὸν τὸ ιβʹ μέρος τοῦ ΒΗΘ τριγώνου καὶ πολλαπλασιασθὲν ἐπὶ τὴν κάθετον . καὶ ἔστιν ἡ κάθετος θεῖσα . δεῖξαι ἄρα δεῖ , ὅτι δοθέν ἐστι καὶ τὸ ΞΛΓ τρίγωνον καὶ τὸ ιβʹ τοῦ ΒΗΘ ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστι συναμφότερος ἡ ΑΒ ∠Ε καὶ ἐδείχθη αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΞΛ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΞΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΓ ΓΞ ἐστὶ δοθεῖσα · ὥστε δοθέν ἐστι τὸ ΞΛΓ τρίγωνον . πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΗ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΗ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΘ . πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΜΞ , καὶ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΞ ΜΓ δοθεῖσα , τουτέστιν ἡ ΗΘ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΒ τρίγωνον · ὥστε καὶ τὸ ιβʹ αὐτοῦ δοθὲν . συντεθήσεται δὲ οὕτως . σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ ιβ · καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιε · καὶ τὰ κδ καὶ ιϛ · ὧν ἥμισυ γίγνεται κ . καὶ λϛ καὶ κδ · ὧν ἥμισυ γίγνεται λ . καὶ μέτρησον τρίγωνον , οὗ πλευραὶ ιε , κ , λ · γίγνεται , ὡς ἐμάθομεν , ἔγγιστα ρλα δ΄ . καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν ιη τὰ ιβ · λοιπὰ ϛ . καὶ ἀπὸ τῶν κδ τὰ ιϛ · λοιπὰ η . καὶ ἀπὸ τῶν λϛ τὰ κδ · λοιπὰ ιβ . καὶ μέτρησον τρίγωνον , οὗ πλευραὶ ϛ , η , ιβ · ἔσται ὁμοίως , ὡς ἐμάθομεν , κα ἔγγιστα · τούτων τὸ ιβ΄ · γίγνεται αU+2220δʹ . πρόσθες ταῖς ρλα δʹ · γίγνονται ρλγ . ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον , καὶ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ΑΒΓ∠ΕΖ κολούρου πυραμίδος .
Lemmas: ϛ . εἰμί δή πυραμίς κόλουρος μετρέω τρίγωνος ἔχω βάσις · εἰμί δή καί ὁ κορυφή αὐτός τρίγωνος ὅμοιος ὁ βάσις . εἰμί οὖν ὁ μέν βάσις αὐτός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ὁ δέ κορυφή ὁ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιος ὁ ΑΒΓ . εἰμί δέ ὁ μέν ΑΒ μονάς ιηʹ , ὁ δέ ΒΓ κδʹ , ὁ δέ ΑΓ λϛʹ , ὁ δέ ∠Ε ιμʹ · ὥστε εἰμί ὁ μέν ΕΖ ιϛʹ , ὁ δέ ∠Ζ κδʹ . εἰμί δή καί ὁ ἀπό ὁ ∠ΕΖ τρίγωνον κάθετος ἐπί ὁ βάσις μονάς ιʹ . κεῖμαι ὁ μέν ∠Ε ἴσος ὁ ΑΗ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΓΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ , καί τετμάθωσν δίχα ὁ ΒΘ ΒΗ ὁ Κ , Λ σημεῖον , καί διά ὁ Κ ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΝ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνος , ὡς εἰμί ὁ ΑΒ πρός ∠Ε , τουτέστι πρός ΑΗ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΕΖ , τουτέστι πρός ΓΘ . παράλληλος ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΗΚ ΚΒ καί παράλληλος ὁ ΚΝΜ ΒΘ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΝΗ ὁ ΝΘ . ἀλλά καί ὁ ΒΛ ὁ ΛΘ . παράλληλος ἄρα ὁ ΛΝΞ ὁ ΑΒ . ἀλλά καί ὁ ΚΛ ὁ ΗΘ , τουτέστι ὁ ΑΓ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καί ἴσος εἰμί · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΗΚ ΛΝ ὁ ΝΚΛΘ ἴσος εἰμί . λοιπός ὁ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμος ὁ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμος εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΗ , τουτέστι ὁ ΝΞ ὁ ∠Ε , ὁ δέ ΓΘ , τουτέστι ὁ ΜΝ , ὁ ΕΖ | καί ἴσος γωνία περιέχω , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΞΜ ὁ ∠Ζ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΚΛ ἑκάτερος ὁ ΑΞ ΜΓ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΞ ὁ ΜΓ . συναμφότεροι ἄρα ὁ ΑΓ ΜιΞ , τουτέστι συναμφότεροι ὁ ΑΓ ∠Ζ ἥμισυς εἰμί ὁ ΓΞ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΚΗ , συναμφότεροι ἄρα ὁ ΒΑ ΗΑ , τουτέστι συναμφότεροι ὁ ΑΒ ∠Ε , ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΚ , τουτέστι ὁ ΞΛ . διά ὁ αὐτός δή καί συναμφότεροι ὁ ΒΓ ΕΖ ἥμισυς εἰμί ὁ ΛΓ . ἐπεί οὖν ὁ στερεός ὁ κόλουρος πυραμίς σύγκειμαι ἐκ τε ὁ πρίσμα ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμος , κορυφή δέ ὁ ∠Ε εὐθύς , καί ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμος , κορυφή δέ ὁ ΕΖ εὐθύς , καί ἕτερος πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΜΝΞ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ ∠ΕΖ , καί ἔτι ὁ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΒΗΘ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Ε σημεῖον · ἀλλά ὁ μέν πρίσμα , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμος , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ πυραμίς ὁ στερεός εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΝΜΘΓ παραλληλόγραμμος ἐπί ὁ κάθετος , ὁ δέ πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΜΝΞ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ ∠ΕΖ , ὁ στερεός εἰμί ὁ ΜΝΞ τρίγωνον ἐπί ὁ κάθετος , ὁ δέ πυραμίς , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΒΗΘ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Ε σημεῖον , ὁ στερεός εἰμί ὁ τρίτος ὁ ὁ ΒΗΘ τρίγωνον ἐμβαδός ἐπί ὁ κάθετος , ὁ δέ τρίτος ὁ ΒΗΘ τρίγωνον εἷς καί τρίτος εἰμί ὁ ΛΝΘ διά ὁ ἴσος εἰμί , ὁ δέ τρίτος ὁ ΛΝΘ τρίγωνον ὁ δωδέκατος εἰμί ὁ ΒΗΘ τρίγωνον · ὥστε ὁ κόλουρος πυραμίς ὁ στερεός εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΞΛΓ τρίγωνον προσλαμβάνω ὁ ιβʹ μέρος ὁ ΒΗΘ τρίγωνον καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ κάθετος . καί εἰμί ὁ κάθετος τίθημι . δείκνυμι ἄρα δέω , ὅτι δίδωμι εἰμί καί ὁ ΞΛΓ τρίγωνον καί ὁ ιβʹ ὁ ΒΗΘ ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒ ∠Ε καί δείκνυμι αὐτός ἥμισυς ὁ ΞΛ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΞΛ . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ΛΓ ΓΞ εἰμί δίδωμι · ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ ΞΛΓ τρίγωνον . πάλιν ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΑ ΑΗ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΗ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΘ . πάλιν ἐπεί δίδωμι ἑκάτερος ὁ ΑΓ ΜιΞ , καί λοιπός ἄρα συναμφότεροι ὁ ΑΞ ΜΓ δίδωμι , τουτέστι ὁ ΗΘ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΘΒ τρίγωνον · ὥστε καί ὁ ιβʹ αὐτός δίδωμι . συντίθημι δέ οὕτως . συντίθημι ὁ ιηʹ καί ὁ ιβʹ · καί ὁ γίγνομαι ὁ ἥμισυς γίγνομαι ιεʹ · καί ὁ κδʹ καί ιϛʹ · ὅς ἥμισυς γίγνομαι κ . καί λϛʹ καί κδʹ · ὅς ἥμισυς γίγνομαι λ . καί μετρέω τρίγωνον , ὅς πλευρά ιος , κ , λ · γίγνομαι , ὡς μανθάνω , ἐγγύς ρλαʹ δʹ . καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ιη ὁ ιβʹ · λοιπός ϛ . καί ἀπό ὁ κδʹ ὁ ιϛʹ · λοιπός η̅ . καί ἀπό ὁ λϛʹ ὁ κδʹ · λοιπός ιβʹ . καί μετρέω τρίγωνον , ὅς πλευρά ϛ , η̅ , ιβ · εἰμί ὅμοιος , ὡς μανθάνω , ἄν ἐγγύς · οὗτος ὁ ιβʹ · γίγνομαι αU+2220δʹ . προστίθημι ὁ ρλαʹ δʹ · γίγνομαι ρλγʹ . οὗτος ἐπί ὁ κάθετος , καί τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ κόλουρος πυραμίς .