heron.metrica 2.pr
| Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρητέον , ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς , ἔτι τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς , πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους , ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες . εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός , ἀναγκαῖον καὶ ταύτας προσυπογράψψαι , ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρίζεσθαι . Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθείσης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς , μήκους τε καὶ πλάτους καὶ βάθους ἢ πάχους · οὐδὲν γὰρ διοίσει ἢ κοῖλον ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν . βάθος μὲν γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων , πάχος δὲ ἐπὶ τῶν ναστῶν . ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ , τὸ δὲ πλάτος μονάδων ιβ , τὸ δὲ πάχος μονάδων π . ἐὰν δὴ διʼ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν , γίγνονται μονάδες ατ . τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν ἔσται μονάδων . τούτου δʼ ἡ ἀπόδειξις φανερά . ἐὰν γὰρ τὰς τρεῖς διαστάσεις ἐπινοήσωμεν διῃρημένας εἰς μοναδιαῖα διαστήματα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβάλωμεν παράλληλα τοῖς περιέχουσι τὸ στερεὸν ἐπιπέδοις , ἔσται ὥσπερ καταπεπρισμένον τὸ στερεὸν εἰς μοναδιαῖα στερεά , ὧν τὸ πλῆθος ἔσται ὁ εἰρημένος ἀριθμός . καὶ καθόλου δὲ πᾶν στερεὸν σχῆμα πάχος ἔχον οἱονδηποτοῦν καὶ μῆκος οἱονδηποτοῦν , τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει μετρεῖται τῆς βάσεως αὐτοῦ μετρηθείσης καὶ ἐπὶ τὸ ὕψος πολλαπλασιασθείσης . οἷον · ἔστω τοῦ στερεοῦ βάσις ἔλλειψις , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς ὀρθὰς ἐπινοείσθω τις εὐθεῖα τῷ τῆς ἐλλείψεως ἐπιπέδῳ ὕψος ἔχουσα δοθέν . τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως σχῆμα φερέσθω κατὰ τῆς εἰρη|μένης εὐθείας οὕτως , ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατʼ αὐτῆς φέρεσθαι , τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἐπίπεδον ἀεὶ παράλληλον ὑπάρχειν τῇ ἐξ ἀρχῆς θέσει . ἔσται δή τι σχῆμα ὡσπερεὶ κύλινδρος βάσιν ἔχον τὴν εἰρημένην ἔλλειψιν . τοῦ δὴ τοιούτου σχήματος τὸ ὕψος πρὸς ὀρθὰς καλῶ τῇ βάσει · ὃ δὴ μετρεῖται τῷ προειρημένῳ τρόπῳ . κἂν ἡ βάσις δὲ ἕτερον ἔχῃ σχῆμα , τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει , ὡς εἴρηται , ὁμοίως μετρηθήσεται · ὥστε καὶ κύλινδρος ὡσαύτως μετρεῖται . κἂν μὴ δὲ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει , ἀλλὰ κεκλιμένον ᾖ , τὸ δὲ στερεὸν τοιοῦτον , ὥστε τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖν τομὰς ἴσας τῇ βάσει , δοθεῖσα δὲ ᾖ ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν βάσιν , τὸ στερεὸν ὡσαύτως λαμβάνεται . δεῖ γὰρ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τῆς βάσεως αὐτοῦ πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὸ στερεόν · τὸ δὲ εἰρημένον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖ τομὰς τῇ βάσει ἴσας , γίγνεται οὕτως . ἐὰν ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ εὐθεῖά τις ἐπισταθῇ ἤτοι ὀρθὴ ἢ κεκλιμένη πρὸς τὴν βάσιν καὶ μενούσης αὐτῆς ἡ τοῦ στερεοῦ βάσις φέρηται κατὰ τῆς εἰρημένης εὐθείας , ὥστε τὸ μὲν πρὸς τῇ βάσει σημεῖον κατὰ τῆς εὐθείας φέρεσθαι , τὴν δὲ βάσιν ἀεὶ φερομένην παράλληλον ἑαυτῇ διαμένειν , τὸ τοιοῦτον σχῆμα τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιήσει τομὰς τοσαύτας τῇ βάσει ἴσας , ἐπειδήπερ τῆς βάσεως ἡ φορὰ κατὰ παράλληλον αὐτῇ θέσιν ἐφέρετο .
Lemmas: | μετά ὁ ὁ ἐπιφάνεια μέτρησις εὐθύγραμμος τε καί μή κατά ὁ ἀκόλουθος ἐπί ὁ στερεός σῶμα χωρέω , ὅς καί ὁ ἐπιφάνεια ἐν ὁ πρό οὗτος βιβλίον μετρέω ἐπίπεδος τε καί σφαιρικός , ἔτι τε κωνικός καί κυλινδρικός , πρός δέ οὗτος ἄτακτος , ὅς ὁ ἐπίνοια ὥσπερ παράδοξος εἰμί τις εἰς Ἀρχιμήδης ἀναφέρω κατά διαδοχή ἱστορέω . εἴτε δέ Ἀρχιμήδης εἴτε ἄλλος τις , ἀναγκαῖος καί οὗτος προσυπογράψπω , ὅπως κατά μηδείς ἐνδεής ὁ πραγματεία τυγχάνω ὁ βούλομαι αὐτός μεταχειρίζω . στερεός εὐθύγραμμος ὀρθογώνιον μετρέω δίδωμι ἕκαστος αὐτός πλευρά , μῆκος τε καί πλάτος καί βάθος ἤ πάχος · οὐδείς γάρ διαφέρω ἤ κοῖλος ὑπάρχω μετρέω τις σῶμα ἤ ναστός . βάθος μέν γάρ καλέω ἐπί ὁ κοῖλος σῶμα , πάχος δέ ἐπί ὁ νάστης . εἰμί δέ ὁ μέν μῆκος μονάς κ , ὁ δέ πλάτος μονάς ιβʹ , ὁ δέ πάχος μονάς π . ἐάν δή διά ἀλλήλων ὁ ἀριθμός πολλαπλασιάζω , γίγνομαι μονάς ατʹ . τοσοῦτος δέ καί ὁ στερεός εἰμί μονάς . οὗτος δέ ὁ ἀπόδειξις φανερός . ἐάν γάρ ὁ τρεῖς διάστασις ἐπινοέω διαιρέω εἰς μοναδιαῖος διάστημα καί διά ὁ τομή ἐπίπεδος ἐκβάλλω παράλληλος ὁ περιέχω ὁ στερεός ἐπίπεδος , εἰμί ὥσπερ καταπρίω ὁ στερεός εἰς μοναδιαῖος στερεός , ὅς ὁ πλῆθος εἰμί ὁ λέγω ἀριθμός . καί καθόλου δέ πᾶς στερεός σχῆμα πάχος ἔχω οίσ̔ονδηποτς καί μῆκος οίσ̔ονδηποτς , ὁ δέ ὕψος πρός ὀρθός ὁ βάσις μετρέω ὁ βάσις αὐτός μετρέω καί ἐπί ὁ ὕψος πολλαπλασιάζω . οἷος · εἰμί ὁ στερεός βάσις ἔλλειψις , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ ἔλλειψις πρός ὀρθός ἐπινοέω τις εὐθεῖα ὁ ὁ ἔλλειψις ἐπίπεδος ὕψος ἔχω δίδωμι . ὁ δέ ὁ ἔλλειψις σχῆμα φέρω κατά ὁ λέγω εὐθεῖα οὕτως , ὥστε ὁ μέν κέντρον κατά αὐτός φέρω , ὁ δέ ὁ ἔλλειψις ἐπίπεδος ἀεί παράλληλος ὑπάρχω ὁ ἐκ ἀρχή θέσις . εἰμί δή τις σχῆμα ὡσπερεί κύλινδρος βάσις ἔχω ὁ λέγω ἔλλειψις . ὁ δή τοιοῦτος σχῆμα ὁ ὕψος πρός ὀρθός καλέω ὁ βάσις · ὅς δή μετρέω ὁ προλέγω τρόπος . ἐάν ὁ βάσις δέ ἕτερος ἔχω σχῆμα , ὁ δέ ὕψος πρός ὀρθός ὁ βάσις , ὡς λέγω , ὅμοιος μετρέω · ὥστε καί κύλινδρος ὡσαύτως μετρέω . ἐάν μή δέ ὁ ὕψος ὁ στερεός πρός ὀρθός ὁ βάσις , ἀλλά κλίνω εἰμί , ὁ δέ στερεός τοιοῦτος , ὥστε τέμνω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ποιέω τομή ἴσος ὁ βάσις , δίδωμι δέ εἰμί ἀπό ὁ κορυφή αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ βάσις , ὁ στερεός ὡσαύτως λαμβάνω . δέω γάρ λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν ὁ βάσις αὐτός πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ λέγω κάθετος καί ἀποφαίνω τοσοῦτος ὁ στερεός · ὁ δέ λέγω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ποιέω τομή ὁ βάσις ἴσος , γίγνομαι οὕτως . ἐάν ἐπί ὁ βάσις αὐτός εὐθύς τις ἐφίστημι ἤτοι ὀρθός ἤ κλίνω πρός ὁ βάσις καί μένω αὐτός ὁ ὁ στερεός βάσις φέρω κατά ὁ λέγω εὐθεῖα , ὥστε ὁ μέν πρός ὁ βάσις σημεῖον κατά ὁ εὐθεῖα φέρω , ὁ δέ βάσις ἀεί φέρω παράλληλος ἑαυτοῦ διαμένω , ὁ τοιοῦτος σχῆμα τέμνω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ποιέω τομή τοσοῦτος ὁ βάσις ἴσος , ἐπειδή ὁ βάσις ὁ φορά κατά παράλληλος αὐτός θέσις φέρω .