heron.metrica 2.12
ιβ . Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ , ἡ δὲ κάθετος μονάδων β . πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ( de sph . et cyl . lI , 2 coroll . vol . l p . 200 Heib . ) , ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει , ὃν ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον . ἔστω οὖν τμῆμα τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου , οὗ κάθετος ἡ Β∠ . καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ζ . ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρημένον κῶνον , οὕτω συναμφότερος ἡ ∠Ε ΕΖ πρὸς τὴν ∠Ε καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Α∠ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ , τουτέστι τὸ ὑπὸ Β∠ ∠Ε . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Β∠ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν . ὥστε καὶ ἡ ΕΖ . καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ∠Ε ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν . ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσά ἐστιν . λόγος ἄρα καὶ τοῦ κώνου , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διά|μετρον τὴν ΑΓ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ Β∠ , πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἐστὶν δοθείς · καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κῶνος · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας . δεήσει δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀνάλυσιν λαβεῖν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ καὶ ἐφʼ ἑαυτὸ ποιῆσαι · ἔστι δὲ λϛ · καὶ ταῦτα παραβαλεῖν παρὰ τὸν β · γίγνεται ιη . καὶ προσθεῖναι τὰ β · γίγνεται κ . καὶ τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ι · ταῦτα μετὰ τῶν ιη γίγνεται κη · καὶ τὴν κάθετον δὶς ποιῆσαι , τουτέστι τὰ β · γίγνεται δ . ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ιϛ · ταῦτα ἐπὶ τὰ κη · γίγνεται υμη · τούτων τὸ ια · γίγνεται τνη · τούτων τὸ γ΄ · γίγνεται ριζ γ΄ . τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος . καὶ λουτῆρα δὲ ἀκολούθως μετρήσομεν τῇ τοῦ τμήματος μετρήσει · ἔστι γὰρ δύο τμημάτων ὑπεροχή . ἀπὸ τοῦ μείζονος οὖν ἀφελόντες τὸ ἔλασσον ἀπορανούμεθα τὸ τοῦ λουτῆρος στερεόν . καὶ κόγχην δὲ ὁμοίως μετρήσομεν ὡς ἡμισφαιρίου ἢ τμήματος ἥμισυ ὑπάρχουσαν . αἱ γὰρ ἐν αὐτῇ ξύσται ἐν ἀδιαφόρῳ παραλαμβάνονται εἰς τὰς μετρήσεις .
Lemmas: ιβʹ . εἰμί δή τμῆμα σφαῖρα μετρέω , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις εἰμί μονάς ιβʹ , ὁ δέ κάθετος μονάς β . πάλιν οὖν ὁ αὐτός Ἀρχιμήδης δείκνυμι ( de sph . et cyl . lI , 2 coroll . vol . l p . 200 Heib . ) , ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα πρός ὁ κῶνος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὁ λοιπός τμῆμα κάθετος μετά ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πρός ὁ αὐτός κάθετος . εἰμί οὖν τμῆμα ὁ λέγω ὁ σφαῖρα ὁ κατά ὁ ΑΒΓ ὁ κύκλος , ὅς κάθετος ὁ Β∠ . καί εἰμί ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Ζ . ὡς ἄρα ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ λέγω κῶνος , οὕτως συναμφότεροι ὁ ∠Ε ΕΖ πρός ὁ ∠Ε καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ΑΓ , δίδωμι ἄρα καί ὁ Α∠ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό Α∠ , τουτέστι ὁ ὑπό Β∠ ∠Ε . καί εἰμί δίδωμι ὁ Β∠ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ∠Ε · καί ὅλος ἄρα ὁ ΒΕ δίδωμι εἰμί . ὥστε καί ὁ ΕΖ . καί συναμφότεροι ἄρα ὁ ∠Ε ΕΖ δίδωμι εἰμί . ἀλλά καί ὁ ∠Ε δίδωμι εἰμί . λόγος ἄρα καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ περί διάμετρον ὁ ΑΓ κύκλος , ὕψος δέ ὁ Β∠ , πρός ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα εἰμί δίδωμι · καί εἰμί δίδωμι ὁ κῶνος · δίδωμι ἄρα καί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα . δέω δέ κατά ὁ αὐτός ἀνάλυσις λαμβάνω ὁ ιβ ὁ ἥμισυς καί ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω · εἰμί δέ λϛʹ · καί οὗτος παραβάλλω παρά ὁ β · γίγνομαι ιηʹ . καί προστίθημι ὁ β · γίγνομαι κ . καί οὗτος ὁ ἥμισυς γίγνομαι ι̅ · οὗτος μετά ὁ ιη γίγνομαι πη · καί ὁ κάθετος δίς ποιέω , τουτέστι ὁ β · γίγνομαι δ . ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ιϛʹ · οὗτος ἐπί ὁ πη · γίγνομαι υμηʹ · οὗτος ὁ ιαʹ · γίγνομαι τνηʹ · οὗτος ὁ γʹ · γίγνομαι ριζʹ γʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός ὁ τμῆμα . καί λουτήρ δέ ἀκόλουθος μετρέω ὁ ὁ τμῆμα μέτρησις · εἰμί γάρ δύο τμῆμα ὑπεροχή . ἀπό ὁ μέγας οὖν ἀφαιρέω ὁ ἐλαχύς ἀπορραίνω ὁ ὁ λουτήρ στερεός . καί κόγχη δέ ὅμοιος μετρέω ὡς ἡμισφαίριον ἤ τμῆμα ἥμισυς ὑπάρχω . ὁ γάρ ἐν αὐτός σύστα ἐν ἀδιάφορος παραλαμβάνω εἰς ὁ μέτρησις .