heron.metrica 2.13
ιγ . Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν σχημάτων μεμετρημένων , ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους , ἀκολούθως τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν · τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης , τουτέστι κενῆς , πάλιν ἔσται ἑκάστη αὐτῶν | δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή . ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς . ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο τυχόντα ἐπʼ αὐτῆς σημεῖα . εἰλήφθω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα , καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ , ἄχρι οὗ εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ ∠Ε κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓ∠Ε περιφέρεια , ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν · κἂν μὴ ᾖ δὲ ὅλος ὁ κύκλος , ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ , πάλιν ἀπογεννήσει τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα , καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι · τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀναγραφεῖ , ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν , δύο μὲν κοίλων τῶν ἄκρων , μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς , ἅμα περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας . δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπογεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου μετρῆσαι . δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ , ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος μονάδων ιβ . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τῶν Α , Z τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ∠ΖΕ ΑΗΘ . καὶ διὰ τῶν ∠ , Ε τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠ΗΕΘ . δέδεικται δὲ Διονυσοδώρῳ ἐν τῷ περὶ τῆς σπείρας ἐπιγραφομένῳ , ὅτι ὃν λόγον ἔχει ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρὸς τὸ ἥμισυ τοῦ ∠ΕΗΘ παραλληλογράμμου , τοῦτον ἔχει καὶ ἡ γεννηθεῖσα σπεῖρα ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸν κύλινδρον , οὗ ἄξων μέν ἐστιν ὁ ΗΘ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἡ ΕΘ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ ἐστίν , ἡ ἄρα ΖΓ ἔσται | μονάδων ϛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων η · ἔσται ἄρα ἡ ΑΖ μονάδων ιδ , τουτέστιν ἡ ΕΘ , ἥτις ἐστὶν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου · δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ κύκλος · ἀλλὰ καὶ ὁ ἄξων δοθείς · ἔστιν γὰρ μονάδων ιβ , ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε . ὥστε δοθεὶς καὶ ὁ εἰρημένος κύλινδρος · καὶ ἔστι τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθέν · ὥστε καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ . ἀλλὰ καὶ ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος · δοθεῖσα γὰρ ἡ ΓΒ διάμετρος . λόγος ἄρα τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθείς · ὥστε καὶ τῆς σπείρας πρὸς τὸν κύλινδρον λόγος ἔστι δοθείς . καὶ ἔστι δοθείς ὁ κύλινδρος · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως . ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ · λοιπὰ η . καὶ πρόσθες τὰ κ · γίγνεται κη · καὶ μέτρησον κύλινδρον , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων κη , τὸ δὲ ὕψος ιβ · καὶ γίγνεται τὸ στερεὸν αὐτοῦ ζτU+A7FCβ . καὶ μέτρησον κύκλον , οὗ διάμετρός ἐστι μονάδων ιβ · γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ , καθὼς ἐμάθομεν , ριγ ζʹ · καὶ λαβὲ τῶν κη τὸ ἥμισυ · γίγνεται ιδ . ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ · γίγνεται πδ · καὶ πολλαπλασιάσας τὰ ζτU+A7FCβ ἐπὶ τὰ ριγ ζʹ · καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ · γίγνεται θϠνϛ δ . τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας . δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως μετρῆσαι . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιδ , καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι μονάδων κη · ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται μονάδων πη · ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη · καὶ ἔστιν ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου , τουτέστιν ἡ ΒΓ , μονάδων ιβ · ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου , ὡς ἐμάθομεν , ἔσται μονάδων ζτU+A7FCβ . πάλιν θϠνς δ .
Lemmas: ιγʹ . ὁ κωνικός καί κυλινδρικός καί σφαιρικός σχῆμα μετρέω , ἐάν δέω καί καμάρα ἔχω ὁ προλέγω σχῆμα μετρέω ἤ θόλος , ἀκόλουθος ὁ ἐπί ὁ λουτήρ μέτρησις ποιέω · ὁ γάρ ἐντός ἐπιφάνεια κοῖλος εἰμί , τουτέστι κενός , πάλιν εἰμί ἕκαστος αὐτός | δύο ὅμοιος τμῆμα ὑπεροχή . εἰμί δέ σπεῖρα μετρέω πρότερος ἐκτίθημι ὁ γένεσις αὐτός . εἰμί γάρ τις ἐν ἐπίπεδος εὐθύς ὁ ΑΒ καί δύο τυγχάνω ἐπί αὐτός σημεῖον . λαμβάνω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒ εὐθύς , καί μένω ὁ Α σημεῖον περιφέρω κατά ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ , ἄχρι ὅς εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι συμπεριφέρω καί ὁ ΒΓ ∠Ε κύκλος ὀρθός διαμένω πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . ἀπογεννάω ἄρα τις ἐπιφάνεια ὁ ΒΓ∠Ε περιφέρεια , ὅς δή σπειρικός καλέω · ἐάν μή εἰμί δέ ὅλος ὁ κύκλος , ἀλλά τμῆμα αὐτός , πάλιν ἀπογεννάω ὁ ὁ κύκλος τμῆμα σπειρικός ἐπιφάνεια τμῆμα , καθά εἰμί καί ὁ ὁ κίων ὑπόκειμαι σπεῖρα · τρεῖς γάρ εἰμί ἐπιφάνεια ἐν ὁ καλέω ἀναγραφεύς , ὅς δή τις καί ἐμβολεύς καλέω , δύο μέν κοῖλος ὁ ἄκρον , εἷς δέ μέσος καί κυρτός , ἅμα περιφέρω ὁ τρεῖς ἀπογεννάω ὁ εἶδος ὁ ὁ κίων ὑπόκειμαι σπεῖρα . δέω οὖν εἰμί ὁ ἀπογεννάω σπεῖρα ὑπό ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος μετρέω . δίδωμι ὁ μέν ΑΒ μονάς κ , ὁ δέ ΒΓ διάμετρος μονάς ιβʹ . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Α , Z ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω ὁ ∠ΖΕ ΑΗΘ . καί διά ὁ ∠ , Ε ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ∠ΗΕΘ . δείκνυμι δέ Διονυσόδωρος ἐν ὁ περί ὁ σπεῖρα ἐπιγράφω , ὅτι ὅς λόγος ἔχω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΕΗΘ παραλληλόγραμμος , οὗτος ἔχω καί ὁ γεννάω σπεῖρον ὑπό ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρός ὁ κύλινδρος , ὅς ἄξων μέν εἰμί ὁ ΗΘ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις ὁ ΕΘ . ἐπεί οὖν ὁ ΒΓ μονάς ιβʹ εἰμί , ὁ ἄρα ΖΓ εἰμί | μονάς ϛ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΓ μονάς η̅ · εἰμί ἄρα ὁ ΑΖ μονάς ιδʹ , τουτέστι ὁ ΕΘ , ὅστις εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις ὁ λέγω κύλινδρος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ κύκλος · ἀλλά καί ὁ ἄξων δίδωμι · εἰμί γάρ μονάς ιβʹ , ἐπεί καί ὁ ∠Ε . ὥστε δίδωμι καί ὁ λέγω κύλινδρος · καί εἰμί ὁ ∠Θ παραλληλόγραμμος δίδωμι · ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός . ἀλλά καί ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος · δίδωμι γάρ ὁ ΓΒ διάμετρος . λόγος ἄρα ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρός ὁ ∠Θ παραλληλόγραμμος δίδωμι · ὥστε καί ὁ σπεῖρα πρός ὁ κύλινδρος λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ κύλινδρος · δίδωμι ἄρα καί ὁ στερεός ὁ σπεῖρα . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως . ἀφαιρέω ἀπό ὁ κ ὁ ιβ · λοιπός η̅ . καί προστίθημι ὁ κ · γίγνομαι πη · καί μετρέω κύλινδρος , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις εἰμί μονάς πη , ὁ δέ ὕψος ιβʹ · καί γίγνομαι ὁ στερεός αὐτός ζτU+A7FCβ . καί μετρέω κύκλος , ὅς διάμετρος εἰμί μονάς ιβʹ · γίγνομαι ὁ ἐμβαδόν αὐτός , καθώς μανθάνω , ριγʹ ζʹ · καί λαμβάνω ὁ πη ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ιδʹ . ἐπί ὁ ἥμισυς ὁ ιβʹ · γίγνομαι πδʹ · καί πολλαπλασιάζω ὁ ζτU+A7FCβ ἐπί ὁ ριγʹ ζʹ · καί ὁ γίγνομαι παραβάλλω παρά ὁ πδʹ · γίγνομαι θϠνϛʹ δ . τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός ὁ σπεῖρα . δυνατός δέ εἰμί καί ἄλλος μετρέω . ἐπεί γάρ ὁ ΑΖ εἰμί μονάς ιδʹ , καί εἰμί ἐκ ὁ κέντρον , ὁ ἄρα διάμετρος εἰμί μονάς πη · ὥστε ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος γίγνομαι μονάς πη · ἁπλόω ἄρα ὁ σπεῖρον καί γίγνομαι ὡς κύλινδρος ἔχω ὁ μῆκος μονάς πη · καί εἰμί ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ κύλινδρος , τουτέστι ὁ ΒΓ , μονάς ιβʹ · ὥστε ὁ στερεός ὁ κύλινδρος , ὡς μανθάνω , εἰμί μονάς ζτU+A7FCβ . πάλιν θϠνςʹ δ .