heron.metrica 1.8
η . | Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου · οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ , η , θ . σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ · γίγνεται κδ . τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ · γίγνεται ιβ . ἄφελε τὰς ζ μονάδας · λοιπαὶ ε . πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η · λοιπαὶ δ . καὶ ἔτι τὰς θ · λοιπαὶ γ . ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε · γίγνονται ξ . ταῦτα ἐπὶ τὸν δ · γίγνονται σμ · ταῦτα ἐπὶ τὸν γ · γίγνεται ψκ · τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου . ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι , ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως · ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ , μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ · γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο · πρόσθες τὰς κζ · γίγνεται νγ τρίτα δύο . τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται κϛU+2220γ΄ . ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛU+2220γ΄ . τὰ γὰρ κϛU+2220γ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄ · ὥστε τὸ διάφορον μονάδος ἐστὶ μόριον λϛ΄ . ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐν ἐλάσσονι μορίῳ τοῦ λϛ΄ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι , ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξομεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϛ΄ , καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάττονα τοῦ λϛ΄ τὴν διαφορὰν γιγνομένην . ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε · τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν . δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντα μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν , δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι . ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ δοθεῖσα · εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν . ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ , ∠Η , ΕΗ , ΖΗ . τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ∠Η τοῦ ΑΒΗ τριγώνου · τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τρι|γώνου καὶ τῆς ΕΗ , τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου , διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . ἡ ΓΒ , καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ · ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α∠ τῇ ΑΖ , τὴν δὲ ∠Β τῇ ΒΕ , τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ . ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ · ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφʼ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ . ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ , τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ . ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ , ΓΒΛ , ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ , ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι . εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ , ΑΗ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ , ΒΗ , ΓH καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ , ΑΗ∠ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ , ∠ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ Γ ΛΒ . ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Α∠Η ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ ἴση · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ∠ τρίγωνον τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ . ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ , ἡ Α∠ πρὸς ∠Η , τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ , καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ πρὸς ΒΘ , ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ , τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ , καὶ συνθέντι , ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘΘΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ · ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ · ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ , οὗ πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ , ΘΒ , ΒΕ , ΓΕ · ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , ἡ δὲ ΒΘ ἡ ὑπεροχὴ , ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ , ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπεροχὴ , | ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ , ἡ δὲ ΕΓ ἡ ὑπεροχὴ , ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ , ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΖ , ἐπεὶ καὶ τῇ Α∠ ἐστὶν ἴση . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ , ἡ δὲ ΑΓ μονάδων ιε . σύνθες τὰ ιγ καὶ ιδ καὶ ιε · καὶ γίγνεται μβ . ὧν ἥμισυ · γίγνεται κα . ὕφελε τὰς ιγ · λοιπαὶ η · εἶτα τὰς ιδ · λοιπαὶ ζ · καὶ ἔτι τὰς ιε · λοιπαὶ ϛ . τὰ κα ἐπὶ τὰ η , καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ , καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ϛ · συνάγονται ζνϛ · τούτων πλευρὰ πδ . τοσούτου ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: η̅ . | εἰμί δέ καθολικός μέθοδος ὥστε τρεῖς πλευρά δίδωμι οίσ̔ουδηποτς τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω χωρίς καθέτης · οἷος εἰμί ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά μονάς ζ̅ , η̅ , θ̅ . συντίθημι ὁ ζ̅ καί ὁ η̅ καί ὁ θ̅ · γίγνομαι κδʹ . οὗτος λαμβάνω ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ιβʹ . ἀφαιρέω ὁ ζ̅ μονάς · λοιπός ε . πάλιν ἀφαιρέω ἀπό ὁ ιβ ὁ η̅ · λοιπός δ . καί ἔτι ὁ θ̅ · λοιπός γ . ποιέω ὁ ιβ ἐπί ὁ ε · γίγνομαι ξ . οὗτος ἐπί ὁ δ · γίγνομαι σμʹ · οὗτος ἐπί ὁ γ · γίγνομαι ψκʹ · οὗτος λαμβάνω πλευρά καί εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον . ἐπεί οὖν ὁ ψκʹ ῥητός ὁ πλευρά οὐ ἔχω , λαμβάνω μετά διάφορος ἐλαχύς ὁ πλευρά οὕτως · ἐπεί ὁ συνεγγίζω ὁ ψκʹ τετράγωνος εἰμί ὁ ψκθʹ καί πλευρά ἔχω ὁ κζʹ , μερίζω ὁ ψκʹ εἰς ὁ κζʹ · γίγνομαι κϛʹ καί τρίτος δύο · προστίθημι ὁ κζʹ · γίγνομαι νγʹ τρίτος δύο . οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι κϛU+2220γ΄ . εἰμί ἄρα ὁ ψκʹ ὁ πλευρόν ἐγγύς ὁ κϛU+2220γ΄ . ὁ γάρ κϛU+2220γ΄ ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ψκʹ λϛʹ · ὥστε ὁ διάφορος μονάς εἰμί μόριον λϛʹ . ἐάν δέ βούλομαι ἐν ἐλαχύς μόριον ὁ λϛʹ ὁ διαφορά γίγνομαι , ἀντί ὁ ψκθʹ τάσσω ὁ νῦν εὑρίσκω ψκʹ καί λϛʹ , καί αὐτός ποιέω εὑρίσκω πολύς ἐλαχύς ὁ λϛʹ ὁ διαφορά γίγνομαι . ὁ δέ γεωμετρικός οὗτος ἀπόδειξις εἰμί ὅδε · τρίγωνον δίδωμι ὁ πλευρά εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . δυνατός μέν οὖν εἰμί ἄγω εἷς κάθετος καί πορίζω αὐτός ὁ μέγεθος εὑρίσκω ὁ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν , δέω δέ εἰμί χωρίς ὁ καθέτης ὁ ἐμβαδόν πορίζω . εἰμί ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΝΓ καί εἰμί ἕκαστος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ δίδωμι · εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . ἐγγράφω εἰς ὁ τρίγωνος κύκλος ὁ ∠ΕΖ , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ , ∠Η , ΕΗ , ΖΗ . ὁ μέν ἄρα ὑπό ΒΓ ΕΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ΒΗΓ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό ΓΑ ΖΗ ὁ ΑΓΗ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό ΑΒ ∠Η ὁ ΑΒΗ τρίγωνον · ὁ ἄρα ὑπό ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος καί ὁ ΕΗ , τουτέστι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ∠ΕΖ κύκλος , διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ὁ ΓΒ , καί ὁ Α∠ ἴσος κεῖμαι ὁ ΒΘ · ὁ ἄρα ΓΒΘ ἥμισυς εἰμί ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν Α∠ ὁ ΑΖ , ὁ δέ ∠Β ὁ ΒΕ , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΓΕ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΘ ΕΗ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΓΘ ΕΗ πλευρόν εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΘ ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ · εἰμί ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΘΓ ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ . ἄγω ὁ μέν ΓΗ πρός ὀρθός ὁ ΗΛ , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΒΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΛ . ἐπεί οὖν ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΗΛ , ΓΒΛ , ἐν κύκλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΗΒΛ τετράπλευρος · ὁ ἄρα ὑπό ΓΗΒ , ΓΛΒ δύο ὀρθός εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΓΗΒ , ΑΗ∠ δύο ὀρθός ἴσος διά ὁ δίχα τέμνω ὁ πρός ὁ Η γωνία ὁ ΑΗ , ΒΗ , ΓH καί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΗΒ , ΑΗ∠ ὁ ὑπό ὁ ΑΗΓ , ∠ΗΒ καί ὁ πᾶς τέσσαρες ὀρθός ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΗ∠ ὁ ὑπό Γ ΛΒ . εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό Α∠Η ὀρθός ὁ ὑπό ΓΒΛ ἴσος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ∠ τρίγωνον ὁ ΓΒΛ τρίγωνον . ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ΒΛ , ὁ Α∠ πρός ∠Η , τουτέστι ὁ ΒΘ πρός ΕΗ , καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ πρός ΒΘ , ὁ ΒΛ πρός ΕΗ , τουτέστι ὁ ΒΚ πρός ΚΕ διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΒΛ ὁ ΕΗ , καί συντίθημι , ὡς ὁ ΓΘ πρός ΒΘ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ΕΚ · ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΓΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΘΘΒ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΕΓ πρός ὁ ὑπό ΓΕΚ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΕΗ · ἐν ὀρθογώνιον γάρ ἀπό ὁ ὀρθός ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω ὁ ΕΗ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΓΘ ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ὅς πλευρόν εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΘΒ ἐπί ὁ ὑπό ΓΕΒ . καί εἰμί δίδωμι ἕκαστος ὁ ΓΘ , ΘΒ , ΒΕ , ΓΕ · ὁ μέν γάρ ΓΘ ἥμισυς εἰμί ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ὁ δέ ΒΘ ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΓΒ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ὑπεροχή , | ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΕΓ ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΑΒ , ἐπειδή ἴσος εἰμί ὁ μέν ΕΓ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΒΘ ὁ ΑΖ , ἐπεί καί ὁ Α∠ εἰμί ἴσος . δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . συντίθημι δή οὕτως · εἰμί ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς ιεʹ . συντίθημι ὁ ιγʹ καί ιδʹ καί ιεʹ · καί γίγνομαι μβʹ . ὅς ἥμισυς · γίγνομαι ἄν . ὑφαιρέω ὁ ιγʹ · λοιπός η̅ · εἶτα ὁ ιδʹ · λοιπός ζʹ · καί ἔτι ὁ ιος · λοιπός ϛ . ὁ ἄν ἐπί ὁ η̅ , καί ὁ γίγνομαι ἐπί ὁ ζ̅ , καί ἔτι ὁ γίγνομαι ἐπί ὁ ϛ · συνάγω ζνϛʹ · οὗτος πλευρόν πδʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν .