heron.metrica 1.15
ιε . Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠ γωνίαν . ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠ . ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΑΖ , ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ , ἐπὶ δὲ τὴν Β∠ ἡ ΑΕ . φανερὸν δὴ , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠ καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ , ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ , Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ , ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ , ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ . λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ . καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ , ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν , δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘΕ . καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΕ · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε , Η . δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ · ὥστε καὶ ἡ ΑΗ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · | ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι , ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ , ἡ δὲ ∠Α μονάδων ιζ . ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει 𝔮ϛU+2220έί , ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ , ἡ δὲ Β∠ δυνάμει φ . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ∠ ἐστὶ μονάδων κ , ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι , τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ . ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ , τὰ 𝔮ϛ δ πρὸς τί · ἔσται πρὸς κδέ · τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ ΕΘ . καὶ πολλα πλασιάσαντες τὰ οβ έ ἐπὶ τὰ κδ έ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ΕΘ προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ , ΕΘ , τουτέστι τοῖς οβ έ καὶ κδ έ συντεθεῖσιν . καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ . καὶ σύνθες τὰ 𝔮ϛ U+2220 έ ί καὶ κδ έ · γίγνεται ρκα . καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ έ · γίγνεται δυνάμει δτνϛ . μέρισον εἰς τὸν ρκα · γίγνεται λϛ . καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε , ἅ ἐστι μήκει ε . πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ · ἔστι δὲ ι · γίγνεται ιε · τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος . καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδέ , ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ , ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια . ρκθ καὶ ρξ · ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ · λοιπὰ λθ καὶ δ . ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ · γίγνεται ϛυ · ὧν πλευρὰ γίγνεται π · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται μ . ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ . ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ ὁμοίως μ · ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π , ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν , προγέγραπται · ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν , δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ , ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν . ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ . ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν . τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς . καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω , ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου , ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ .
Lemmas: ιε . εἰμί τραπέζιον ὁ ΑΒΓ∠ δίδωμι ἔχω ἕκαστος ὁ πλευρά καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΓ∠ γωνία . ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ Γ∠ . ἄγω γάρ ἐπί μέν ὁ Γ∠ κάθετος ὁ ΑΖ , ἐπί δέ ὁ ΑΖ ὁ ΒΗ , ἐπί δέ ὁ Β∠ ὁ ΑΕ . φανερός δή , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ Β∠ καί ὁ ἐπί αὐτός κάθετος ὁ ΑΕ , ἐπεί καί ὁ ΒΑ , Α∠ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΒ∠ ὁ ὑπό ΒΘΑ , ἀλλά καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΓ∠ ὀρθός ὁ ὑπό ΑΕΘ ἴσος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ∠Γ πρός ΓΒ , ὁ ΑΕ πρός ΕΘ . λόγος δέ ὁ Γ∠ πρός ΓΒ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΕ πρός ΕΘ δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΘ . καί ὀρθός γωνία περιέχω · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΘ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΒΕ , ΕΘ δίδωμι εἰμί , δίδωμι ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΘΕ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΘΕ · ὀρθός γάρ ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Ε , Η . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΘ · ὥστε καί ὁ ΑΗ · ἀλλά καί ὁ ΗΖ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΒΓ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΖ δίδωμι εἰμί . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · | εἰμί γάρ ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιʹ , ὁ δέ Γ∠ μονάς κ , ὁ δέ ∠Α μονάς ιζʹ . ἀκόλουθος δή ὁ ἐπί ὁ ἐμβαδός λέγω εἰμί ὁ μέν ΑΕ κάθετος δύναμις 𝔮ϛU+2220έί , ὁ δέ ΒΕ δύναμις οβʹ έʹ , ὁ δέ Β∠ δύναμις φ̅ . καί ἐπεί ὁ μέν Γ∠ εἰμί μονάς κ , ὁ δέ ΓΒ μονάς ιʹ , ὁ ἄρα ἀπό οὗτος μονάς υ̅ καί μονάς ρ̅ . ποιέω οὖν ὡς ὁ υ̅ πρός ρ̅ , ὁ 𝔮ϛ δ πρός τίς · εἰμί πρός κδέʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἀπό ΕΘ . καί πολλαʹ πίμπλασιαμι ὁ οβʹ έʹ ἐπί ὁ κδʹ έʹ καί ὁ γίγνομαι ὁ πλευρά λαμβάνω καί διπλασιάζω ὅς γίγνομαι ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΕ ΕΘ προστίθημι ὁ ἀπό ΒΕ , ΕΘ , τουτέστι ὁ οβʹ έʹ καί κδʹ έʹ συντίθημι . καί ἔχω ὁ ΒΘ δύναμις ρπʹ . καί συντίθημι ὁ 𝔮ϛ U+2220 έ ί καί κδʹ έ · γίγνομαι ρκαʹ . καί πολλαπλασιάζω ὁ ρπʹ ἐπί ὁ κδʹ έʹ · γίγνομαι δύναμις δτνϛʹ . μερίζω εἰς ὁ ρκαʹ · γίγνομαι λϛʹ . καί ἀφαιρέω ἀπό δύναμις ρκαʹ δύναμις λϛʹ λοιπός δύναμις ἄν , ὅς εἰμί μῆκος ε . προστίθημι ὅσος εἰμί ὁ ΒΓ · εἰμί δέ ι̅ · γίγνομαι ιος · τοσοῦτος εἰμί ὁ ΑΖ κάθετος . καί ὁ μέν ΕΘ δύναμις κδέʹ , ὁ δέ ΗΘ μῆκος ϛ , ὁ δέ ΑΘ μῆκος ιαʹ . ρκθʹ καί ρξʹ · οὗτος ἀφαιρέω ἀπό ὁ ρξθʹ · λοιπός λθʹ καί δ . οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ρξδʹ · γίγνομαι ϛυʹ · ὅς πλευρόν γίγνομαι π · οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι μ . εἰμί ὁ ΑΒ∠ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν μονάς μ . ἀλλά καί ὁ ΒΓ∠ ὅμοιος μ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον ὁ ἐμβαδόν εἰμί μονάς π , ὅς δέω δείκνυμι . ὅσος μέν οὖν δέω ἐπί τε τρίπλευρος καί τετράπλευρος τάσσω λέγω , προγράφω · ἐάν δέ δέω καί τετράπλευρος τυγχάνω ὁ πλευρά λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν λέγω , δέω καί εἷς διαγώνιος λαμβάνω αὐτός , ὥστε διαιρέω αὐτός εἰς δύο τρίγωνος ἔχω ὁ ἐμβαδόν δίδωμι . μανθάνω γάρ τρίγωνον ὁ πλευρά δίδωμι ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω ὁ καθολικός μέθοδος . ἄνευ δέ εἷς διαγώνιος ἀδύνατος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τετράπλευρος λέγω . ὁ γάρ αὐτός πλευρά δίδωμι ὁ τετράπλευρος μεταπίπτω ὁ ἐμβαδόν διαρρομβέω αὐτός καί παρασπάω ἐν ὁ αὐτός πλευρά . καί ὁ μέν περί ὁ τρίπλευρος καί τετράπλευρος ἐπί τοσοῦτος λέγω , ἑξῆς δέ περί ὁ ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος εὐθύγραμμος γράφω ἄχρι ὁ δωδεκάγωνον , ἐπειδή οὗτος συνεγγίζω μάλα ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια .