heron.metrica 1.14
ιδ · Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν . δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον . ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος , τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγωνίων |ἢ ἀμβλυγωνίων , καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν . τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ παράλληλον εἶχε · τὸ δὲ παρὸν τὸ Α ΒΓ∠ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ἐχέτω ὀρθὴν , μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο ν καὶ ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν , τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὲ Β Γ μονάδων ι , τὴν δὲ Γ∠ μονάδων κ , τὴν δὲ ∠Α μονάδων ιζ · δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν . ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ · καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΕ . ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ , δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον · καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἔσται δοθέν · ἔστι γὰρ μονάδων φ · ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν · δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠ · καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ . ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὐπὸ ΑΒ∠ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ . δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ · ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ∠ΒΒΕ δοθέν ἐστι · καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ∠Β ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ Β∠ · δοθὲν ἄρα κα τὸ ἀπὸ ΒΕ . ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΕΑ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Β∠ · καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ . καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον · ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓ∠ · ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · τὰ ι ἐπὶ τὰ κ · γίγνεται σ . καὶ τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ρ . καὶ πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρ . καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται υ . σύνθες · γίγνεται φ . καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρξθ . ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ · ἄφελε | τὰ ιζ ἐφʼ ἑαυτά · λοιπαὶ τπ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρ𝔮 · ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται μ ϛρ . ταῦτα παρὰ τὸν φ · γίγνεται οβ έ · ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν ρξθ · γίγνονται λοιπαὶ 𝔮ϛU+2220ε΄ι΄ . ταῦτα ἐπὶ τὸν φ · γίγνεται μ ηυ . τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρι · τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τὸ ἐμβαδόν . ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ μονάδων ρ · τοῦ ἄρα ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται σι . ὅτι δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν , δείξομεν ἑξῆς .
Lemmas: ιδʹ · ὁ δέ ῥόμβος καί ὁ ῥομβοειδής ὁ μέτρησις φανερός ἔχω . δέω γάρ ἑκάτερος αὐτός ὁ πλευρά δίδωμι εἰμί καί εἷς διάμετρος . ὅς δίδωμι ὁ μέν ῥόμβος εἰμί ἐκ δύο ἰσοσκελής τρίγων σύγκειμαι , ὁ δέ ῥομβοειδής ἐκ δύο τρίγων ἤτοι ὀξυγώνιος ἤ ἀμβλυγώνιος , καί διά οὗτος δίδωμι αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ὁ μέν οὖν ἀποδείκνυμι τετράπλευρος εἷς πλευρά εἷς πλευρά παράλληλος ἔχω · ὁ δέ πάρειμι ὁ Α ΒΓ∠ ὁ μέν πρός ὁ Γ γωνία ἔχω ὀρθός , μηδείς δέ πλευρά μηδείς παράλληλος ν καί ἔτι ἕκαστος ὁ πλευρά δίδωμι , ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ Β Γ μονάς ιʹ , ὁ δέ Γ∠ μονάς κ , ὁ δέ ∠Α μονάς ιζʹ · δείκνυμι αὐτός ὁ ἐμβαδόν δίδωμι . ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ · καί ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΑΕ . ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΒΓ Γ∠ δίδωμι εἰμί καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Γ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ∠ τρίγωνον · καί ἔτι ὁ ἀπό ὁ Β∠ εἰμί δίδωμι · εἰμί γάρ μονάς φ̅ · ἀλλά καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ Β∠ · καί εἰμί μέγας ὁ ἀπό ὁ Α∠ . ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΒ∠ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ Β∠ ὁ ἀπό ὁ Α∠ μέγας εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ∠Β ΒΕ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ∠Β ΒΕ · ὥστε καί ὁ ἅπαξ ὑπό ὁ ∠ΒΒΕ δίδωμι εἰμί · καί εἰμί πλευρόν ὁ ἀπό ὁ Β∠ ἐπί ὁ ἀπό ΒΕ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ∠Β ἐπί ὁ ἀπό ΒΕ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό Β∠ · δίδωμι ἄρα ἄν ὁ ἀπό ΒΕ . ἀλλά καί ὁ ἀπό ΕΑ ἐπί ὁ ἀπό Β∠ · καί εἰμί αὐτός πλευρόν ὁ ὑπό Β∠ ΑΕ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό Β∠ ΑΕ . καί εἰμί διπλάσιος ὁ ΑΒ∠ τρίγωνον · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒ∠ τρίγωνος · ἀλλά καί ὁ ΒΓ∠ · ὥστε καί ὅλος ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος δίδωμι εἰμί . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · ὁ ι̅ ἐπί ὁ κ · γίγνομαι σ̅ . καί οὗτος ὁ ἥμισυς · γίγνομαι ρ̅ . καί πάλιν ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρ̅ . καί ὁ κ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι υ̅ . συντίθημι · γίγνομαι φ̅ . καί ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ . οὗτος μετά ὁ φ̅ γίγνομαι χξθʹ · ἀφαιρέω | ὁ ιζ ἐπί ἑαυτοῦ · λοιπός τπʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς γίγνομαι ρ𝔮 · οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι μ ϛρ . οὗτος παρά ὁ φ̅ · γίγνομαι οβʹ έ · ἀφαιρέω οὗτος ἀπό ὁ ρξθʹ · γίγνομαι λοιπός Ἠϊών . οὗτος ἐπί ὁ φ̅ · γίγνομαι μ ηυʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι σκʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς γίγνομαι ριʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ΑΒ∠ ὁ ἐμβαδόν . ἀλλά καί ὁ ΒΓ∠ μονάς ρ̅ · ὁ ἄρα ΑΒΓ∠ τετράπλευρος ὁ ἐμβαδόν εἰμί σι . ὅτι δέ καί ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ Γ∠ δίδωμι εἰμί , δείκνυμι ἑξῆς .