heron.metrica 2.7
ζ . Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις . ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ , παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸ ∠ΕΖ . ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ . καὶ δοθεῖσα ἑκάστη τῶν Α Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον . ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ καὶ μείζων ἡ ΒΓ . αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η . λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ Α∠ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η . ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ Α∠ , φανερόν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ∠Ε , τὴν δὲ ΑΓ τῆς ∠Ζ . λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η . ἐπεὶ γὰρ Α∠ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ∠Ε ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ∠Ζ , εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α∠Η . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ , τῷ δὲ ∠ΕΖ κατὰ τὸ Κ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘΖΚ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ . ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ , τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ . λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθεὶς · δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα . λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς . ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΗ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον δοθεῖσά ἐστιν · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ . ὥστε καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν . ἐπεὶ οὐν πυραμίδος , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον , δέδοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆ , κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἡ ΗΘ , δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον , δοθέν ἐστι . λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓ∠Ε στερεὸν δοθέν ἐστι . συντεθήσεται δὴ οὕτως . δεῖ τὴν ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ . καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθʼ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν πυραμίδα , ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον καὶ ἧς βάσις τὸ ∠ΕΖ , κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον , καὶ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ στερεῷ . | καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται · ἐκ γὰρ τοῦ λόγου , οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν , λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ , εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος , ἧς τμῆμά ἐστιν ἡ κόλουρος , καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπίπεδον . ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος · ὥστε πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφανούμεθα στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος .
Lemmas: ζ̅ . στερεός μετρέω περιέχω ὑπό ἐπίπεδος τρίγωνος ἔχω βάσις . εἰμί ὁ λέγω στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ ∠ΕΖ , παράλληλος δέ ὁ ΑΒΓ ὁ ∠ΕΖ . ἐπίπεδος δέ εἰμί ὁ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ . καί δίδωμι ἕκαστος ὁ Α Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καί ἔτι ὁ ἀπό ὁ ∠ΕΖ ἐπίπεδος κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπίπεδος . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΕΖ καί μέγας ὁ ΒΓ . ὁ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβάλλω συμπίπτω . συμπίπτω κατά ὁ Η . λέγω δή ὅτι καί ὁ Α∠ ἐκβάλλω συμπίπτω κατά ὁ Η . ὅτι μέν οὖν ἑκάτερος ὁ ΒΕ ΓΖ συμπίπτω ὁ Α∠ , φανερός διά ὁ εἰμί ὁ μέν ΑΒ μέγας ὁ ∠Ε , ὁ δέ ΑΓ ὁ ∠Ζ . λέγω ὅτι κατά ὁ Η . ἐπεί γάρ Α∠ σημεῖον ἐν τε ὁ διά ὁ ΑΒ ∠Ε εἰμί ἐπίπεδος καί ἐν ὁ διά ὁ ΑΓ ∠Ζ , εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ Α∠Η . ἄγω δή ἀπό ὁ κάθετος ἐπί ὁ ΑΒΓ ἐπίπεδος καί ἐμβάλλω κατά ὁ Θ , ὁ δέ ∠ΕΖ κατά ὁ Κ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΘΖΚ . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΖΚ · ἀλλά καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΖ , τουτέστι ὁ ΘΗ πρός ΗΚ . λόγος δέ ὁ ΒΓ πρός ΕΖ δίδωμι · δίδωμι γάρ κατεράω . λόγος ἄρα καί ὁ ΗΘ πρός ΗΚ δίδωμι . ὥστε καί ὁ ΘΚ πρός ΚΗ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΘΚ ὁ γάρ ἀπό ὁ ∠ΕΖ ἐπίπεδος κάθετος ἐπί ὁ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπίπεδος δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΚΗ . ὥστε καί ὁ ΗΘ δίδωμι εἰμί . ἐπεί ὀν πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον , δίδωμι ὁ τε βάσις καί ὁ ἀπό ὁ , κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ὁ ΗΘ , δίδωμι ἄρα ὁ ὁ πυραμίς στερεός . κατά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὁ πυραμίς στερεός , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ∠ΕΖ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον , δίδωμι εἰμί . λοιπός ἄρα ὁ ΑΒΓ∠Ε στερεός δίδωμι εἰμί . συντίθημι δή οὕτως . δέω ὁ ΘΚ ποιέω ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΖ προστίθημι ὁ ΚΗ ὁ ΘΗ πρός ΗΚ . καί εὑρίσκω ἑκάτερος ὁ κάθετος ὁ ΗΘ ΗΚ κατά ἑαυτοῦ μετρέω ἑκάτερος πυραμίς , ὅς τε βάσις ὁ ΑΒΓ τρίγωνον καί ὅς βάσις ὁ ∠ΕΖ , κορυφή δέ ὁ σημεῖον , καί ὁ ὑπεροχή αὐτός ἀποφαίνω ἴσος εἰμί ὁ ζητέω στερεός . | καί καθόλου δέ πᾶς πυραμίς κόλουρος βάσις ἔχω ὁανδήποτες ὡσαύτως μετρέω · ἐκ γάρ ὁ λόγος , ὅς ἔχω εἷς πλευρόν ὁ βάσις πρός ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ κορυφή εἰμί , λέγω δέ ὁ ἐφέδρα , εὑρίσκω ὁ κορυφή ὁ πυραμίς , ὅς τμῆμα εἰμί ὁ κόλουρος , καί ὁ κάθετος ἐπί ὁ ὁ ἐφέδρα ἐπίπεδος . ἔχω οὖν καί ὁ ἐπί ὁ ἐφέδρα καί ὁ λοιπός ἔχω στερεός ὁ ἀποτέμνω πυραμίς · ὥστε πάλιν ὁ ὅλος μετρέω πυραμίς ἀφαιρέω ὁ ἀποτέμνω καί ὁ λοιπός ἀποφαίνω στερεός ὁ κόλουρος πυραμίς .