heron.metrica 1.26
κϛ . Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει c . 2 t . Ι p . 262 Heib . ) δείκνυσιν , ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ κύκλοις · ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ι , δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιῆσαι · γίγνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ια · γίγνεται αρ · ὧν τὸ ιδ΄ . γίγνεται οηU+2220ιδ΄ . τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου . ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων , ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει ἢ ὃν ἔχει μ αωοε πρὸς μ ζυμα , ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχει μ ζωπη πρὸς μ βτνα · ἀλλʼ ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι , καταβιβάζονται εἰς ἐλαἀριθμούς , ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ . ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν , δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον , καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον · ἔστι δὲ μονάδων μδ . καὶ ἀνάπα |λιν δὲ , ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν , ποιήσομεν τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντες ἕξομεν τὴν διάμετρον · ἔστι δὲ ιδ . δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει ( c . 1 t . I p . 259 Heib . ) , ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου · ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ , λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ · εἰσὶ δὲ μονάδες ζ · πολλαπλασιάσομεν ἐπὶ τὰ μδ · καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ λαβόντες · εἰσὶ δὲ μονάδες ρνδ · τοσούτου ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου . Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον πορίσασθαι , λαβόντες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ χωρίου · ἔστω δὲ μονάδων ρνδ · τούτων τὰ ιδ ἑνδέκατα · ἃ γίγνεται ρ𝔮ϛ · καὶ τούτων πάλιν λαβόντες πλευρὰν · ἔστι δὲ μονάδων ιδ · τοσούτου ἀποφανούμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον . Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν μετρήσαντα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντα ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα . ἵνα δὲ μὴ δύο κύκλων μέτρησιν ποιησώμεθα , δείξομεν οὕτως . Ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον , ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ Γ∠ . ἐπεὶ οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου καὶ ὁμοίως τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος κύκλου , τῆς ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΒ Γ∠ ὑπεροχῆς τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ εἰρημένου χωρίου , ὃ καλεῖται ἴτυς . ἡ δὲ τῶν ἀπὸ ΑΒΓ∠ ὑπεροχὴ τὸ τετράκις ἐστὶν ὑπὸ ΓΒ Β∠ · ἐπειδήπερ καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ΓΒ Β∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ Β∠ . συναμφότερος δὲ ἡ ΓΒ Β∠ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ἐπειδήπερ καὶ ἡ Β∠ τῇ ΑΓ ἴση ἐστὶν . ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ μὲν Γ∠ μονάδων ιδ , ἑκατἑρα δὲ τῶν ΑΓ | Β∠ μονάδων ϛ , ἔσται ἡ ΓΒ μονάδων κ . ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ · γίγνεται ρκ · ταῦτα τετράκι · γίγνεται υπ · τούτων τὰ ια ιδ΄ . γίγνεται τοζ ζ΄ . τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἴτυος .
Lemmas: κϛʹ . Ἀρχιμήδης μέν οὖν ἐν ὁ ὁ κύκλος μέτρησις c . 2 t . Ι p . 262 Heib . ) δείκνυμι , ὅτι ιαʹ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἴσος γίγνομαι ὡς ἐγγύς ιδʹ κύκλος · ὥστε ἐάν δίδωμι ὁ διάμετρος ὁ κύκλος εἰ τυγχάνω μονάς ι̅ , δέω ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω · γίγνομαι ρ̅ · οὗτος ἐπί ὁ ιαʹ · γίγνομαι αρ · ὅς ὁ ιδʹ . γίγνομαι ὁ . τοσοῦτος δέω ἀποφαίνω ὁ ἐμβαδόν ὁ κύκλος . ὁ δέ αὐτός Ἀρχιμήδης δείκνυμι ἐν ὁ περί πλινθίς καί κύλινδρος , ὅτι πᾶς κύκλος ὁ περίμετρος πρός ὁ διάμετρος μέγας μέν λόγος ἔχω ἤ ὅς ἔχω μ αωοεʹ πρός μ ζυμαʹ , ἐλαχύς δέ ἤ ὅς ἔχω μ ζωπηʹ πρός μ βτναʹ · ἀλλά ἐπεί οὗτος ὁ ἀριθμός πρός ὁ μέτρησις οὐ εὐθετέω , καταβιβάζω εἰς ἐλαἀριθμούς , ὡς ὁ κβʹ πρός ὁ ζʹ . ὥστε ἐάν δίδωμι ὁ διάμετρος ὁ κύκλος εἰ τυγχάνω μονάς ιδʹ καί βούλομαι τις ὁ περίμετρον εὑρίσκω , δέω ποιέω ὁ ιδʹ ἐπί ὁ κβʹ καί οὗτος λαμβάνω ὁ ἕβδομος , καί ἀποφαίνω τοσοῦτος ὁ περίμετρον · εἰμί δέ μονάς μδʹ . καί Ανάπα λιν δέ , ἐάν δίδωμι ὁ περίμετρος μονάς μδʹ καί βούλομαι ὁ διάμετρος εὑρίσκω , ποιέω ὁ μδʹ ἑπτάκις καί ὁ γίγνομαι ὁ κβʹ λαμβάνω ἔχω ὁ διάμετρος · εἰμί δέ ιδʹ . δείκνυμι δέ ὁ αὐτός Ἀρχιμήδης ἐν ὁ ὁ κύκλος μέτρησις ( c . 1 t . I p . 259 Heib . ) , ὅτι ὁ ὑπό ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον διπλάσιος εἰμί ὁ κύκλος · ὥστε ἐάν δίδωμι ὁ περίμετρος μονάς μδʹ , λαμβάνω ὁ διάμετρος ὁ ἥμισυς · εἰμί δέ μονάς ζʹ · πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ μδʹ · καί ὁ γίγνομαι ὁ ἥμισυς λαμβάνω · εἰμί δέ μονάς ρνδʹ · τοσοῦτος ἀποφαίνω ὁ ἐμβαδόν ὁ κύκλος . ἐάν δέω χωρίον τις δίδωμι ἤτοι εὐθύγραμμος ἤ οίσ̔ουδηποτς οὗτος ἴσος κύκλος πορίζω , λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν ὁ χωρίον · εἰμί δέ μονάς ρνδʹ · οὗτος ὁ ιδʹ ἑνδέκατος · ὅς γίγνομαι ρ𝔮ϛ · καί οὗτος πάλιν λαμβάνω πλευρά · εἰμί δέ μονάς ιδʹ · τοσοῦτος ἀποφαίνω ὁ ὁ κύκλος διάμετρος . δύο κύκλος περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια αὐτός χωρίον δυνατός εἰμί εὑρίσκω μετρέω ἑκάτερος ὁ κύκλος καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς . ἵνα δέ μή δύο κύκλος μέτρησις ποιέω , δείκνυμι οὕτως . εἰμί δύο κύκλος περί ὁ αὐτός κέντρον , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ Γ∠ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ιαʹ ιδʹ γίγνομαι ὁ ἐμβαδόν ὁ μέγας κύκλος καί ὅμοιος ὁ ἀπό ὁ Γ∠ ὁ ιαʹ ιδʹ γίγνομαι ὁ ἐμβαδόν ὁ ἐλαχύς κύκλος , ὁ ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ Γ∠ ὑπεροχή ὁ ιαʹ ιδʹ γίγνομαι ὁ ἐμβαδόν ὁ λέγω χωρίον , ὅς καλέω ἴτυς . ὁ δέ ὁ ἀπό ΑΒΓ∠ ὑπεροχή ὁ τετράκις εἰμί ὑπό ΓΒ Β∠ · ἐπειδή καί ὁ τετράκις ὑπό ΓΒ Β∠ μετά ὁ ἀπό Γ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΓΒ Β∠ . συναμφότεροι δέ ὁ ΓΒ Β∠ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ἐπειδή καί ὁ Β∠ ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί . ὥστε ἐάν δίδωμι ὁ μέν Γ∠ μονάς ιδʹ , ἑκάτερος δέ ὁ ΑΓ | Β∠ μονάς ϛ , εἰμί ὁ ΓΒ μονάς κ . οὗτος ἐπί ὁ ϛ · γίγνομαι ρκʹ · οὗτος τετράκις · γίγνομαι υπ · οὗτος ὁ ιαʹ ιδʹ . γίγνομαι τοζʹ ζʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ἴτυς .