heron.metrica 1.32
λβ . Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον . ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ | ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ . λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ . τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων . ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον , τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ . τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον , τὸ Η , τὸ δὲ Θ τοῦ Λ , τὸ δὲ τοῦ Μ . καὶ τοῦτο γιγνέσθω , ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ . γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ . καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν · τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια · τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν · τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ . ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ . καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως . τὰ ἄρα προειρημένα , οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ , τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἢ τετραπλάσια , τὸ δὲ ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον · ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ . ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων , τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄τοῦ Μ , τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ . τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ . τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον . τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον · ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ · τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον · πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τρι| γώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον . ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν , ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος . ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος , ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων · ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος , τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως , καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν , μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος . ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ , ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς , τουτέστι παραβολῆς , ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον . Λῆμμα . Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ , τοῖς δὲ Θ , Κ , Λ , Ν , Μ , Ξ τὸ ΒΓ , τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω · πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ , τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ , Κ , Λ , Ν , Μ , Ξ , τοῦ ΑΒ , τουτέστι τοῦ Η , μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον ; ἔστω γὰρ τὸ Α∠ τοῦ ∠Γ τριπλάσιον · τὸ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ∠Γ . ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ Α∠ ἐπίτριτόν ἐστιν . τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον .
Lemmas: λβ . πᾶς τμῆμα κύκλος μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος τρίγωνον ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος . εἰμί τμῆμα κύκλος ὁ | ΑΒΓ καί ἀπό μέσος ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ∠Β καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ΒΓ . λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ τμῆμα μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · τέμνω γάρ ὁ ΑΒ ΒΓ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Ε , Ζ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ . ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγων . εἰμί οὖν ὁ μέν ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος ὁ Η χωρίον , ὁ δέ ΑΒΕ ΒΖΓ τρίγωνος ἴσος ὁ ΘΚ . ὁ ἄρα Η ὁ ΘΚ ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος , ὁ Η , ὁ δέ Θ ὁ Λ , ὁ δέ ὁ Μ . καί οὗτος γίγνομαι , ἕως ὅς ὁ ὁ ἔσχατος τρίτος ἐλαχύς γίγνομαι ὁ Κ . γίγνομαι καί εἰμί ὁ Μ . καί τέμνω ὁ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρεια δίχα καί ἐπί ὁ διχοτομία ἐπιζεύγνυμι · ὁ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνος ὁ γίγνομαι τρίγων ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος · ὁ δέ ΘΚ ὁ Λ μέγας ἤ τετραπλάσιος εἰμί · ὁ ἄρα γίγνομαι τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ Λ . εἰμί αὐτός ἴσος ὁ ΛΝ . καί πάλιν τέμνω ὁ γίγνομαι περιφέρεια καί ἐπιζεύγνυμι ὅμοιος . ὁ ἄρα προλέγω , ὅς ἴσος εἰμί ὁ ΛΝ , ὁ γίγνομαι τρίγων ἐλαχύς ἤ τετραπλάσιος , ὁ δέ ΛΝ ὁ Μ μέγας εἰμί ἤ τετραπλάσιος · ὥστε ὁ ἔσχατος γίγνομαι τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ Μ . εἰμί αὐτός ἴσος ὁ ΜΞ . καί ἐπεί ὁ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιος εἰμί ἀλλήλων , ὁ ἄρα τρίτος ὁ Η ἴσος εἰμί ὁ ΘΛΜ καί ὁ γʹτός Μ , ὁ δέ γʹ ὁ Μ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΚΝΞ ἐπεί καί ὁ Κ . ὁ ἄρα τρίτος ὁ Η ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΚΛ ΝΜΞ . ὁ ἄρα Η ὁ λέγω ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος . ὁ Η ἄρα μετά ὁ ΘΚ ΛΝ ΜΞ ὁ ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος · ἀναστρέφω ἄρα ὁ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετά ὁ Η ὁ Η ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ὁ δέ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετά ὁ Η ἴσος ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα πολύγωνος · ὁ ἄρα ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα πολύγωνον ὁ ΑΒΓ τρίγωνον μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος · πολύς ἄρα ὁ ἐπί ὁ ΑΓ τμῆμα ὁ ΑΒΓ τρι γώνον μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος . ὥστε ἐάν μετρέω ὁ τρίγωνος καί οὗτος ὁ τρίτος προστίθημι , ἀποφαίνω ὡς ἐγγύς ὁ ἐμβαδόν ὁ τμῆμα . ἁρμόζω δέ ὁ αὐτός μέθοδος , ὅταν ὁ βάσις ὁ καθέτης μέγας εἰμί ἤ τριπλασίων · ἐάν μέντοι τμῆμα εἰμί περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί παραβολή καί δίδωμι ὁ τε βάσις αὐτός καί ὁ κάθετος , τουτέστι ὁ ἄξων ὁ μέχρι ὁ βάσις , καί οὗτος βούλομαι ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω , μετρέω ὁ τρίγωνος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος καί οὗτος προστίθημι ὁ τρίτος αὐτός ἀποφαίνω ὁ ἐμβαδόν ὁ τμῆμα . δείκνυμι γάρ Ἀρχιμήδης ἐν ὁ ἐφοδικός , ὅτι πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , τουτέστι παραβολή , ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ὁ βάσις μέν ἔχω αὐτός ὁ αὐτός καί ὕψος δέ ἴσος . λῆμμα . εἰμί ὁ μέν Η ἴσος ὁ ΑΒ , ὁ δέ Θ , Κ , Λ , Ν , Μ , Ξ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΑΒ ὁ ΒΓ ἐλαχύς ἤ τριπλάσιος εἰμί · πῶς ἀναστρέφω ὁ ΑΓ , τουτέστι ὁ Η μετά ὁ Θ , Κ , Λ , Ν , Μ , Ξ , ὁ ΑΒ , τουτέστι ὁ Η , μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος ; εἰμί γάρ ὁ Α∠ ὁ ∠Γ τριπλάσιος · ὁ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιος εἰμί ὁ ∠Γ . ἀναστρέφω ἄρα ὁ ΑΓ ὁ Α∠ ἐπίτριτος εἰμί . ὁ ΑΓ ἄρα ὁ ΑΒ μέγας εἰμί ἤ ἐπίτριτος .