ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
heron.metrica 1.36
λϛ . Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς τῶν βάσεων , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι μονάδων ιδ , τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε . ἐὰν δὴ νοήσωμεν τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην , τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς ἐπίπεδον , ἔσται τι παραλληλόγραμμον , οὗ τὸ μὲν μῆκος ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου , τὸ δὲ πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος . ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ , ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται μονάδων μδ · τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος ἔσται μονάδων μδ . τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ . τοσούτου δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια , τουτέστι μονάδων σκ , ὡς καὶ ὑποτέτακται .
Lemmas: λϛʹ . εἰμί κύλινδρος ἐπιφάνεια μετρέω χωρίς ὁ βάσις , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις εἰμί μονάς ιδʹ , ὁ δέ ὕψος μονάς ε . ἐάν δή νοέω τέμνω ὁ ἐπιφάνεια κατά τις πλευρά ὁ κύλινδρος καί ἀναπλόω , τουτέστι ἐκτείνω εἰς ἐπίπεδος , εἰμί τις παραλληλόγραμμος , ὅς ὁ μέν μῆκος εἰμί ὁ περιφέρεια ὁ βάσις ὁ κύλινδρος , ὁ δέ πλάτος ὁ ὁ κύλινδρος ὕψος . ἐπεί οὖν ὁ διάμετρος ὁ κύκλος εἰμί μονάς ιδʹ , ὁ ἄρα περιφέρεια εἰμί μονάς μδʹ · ὁ ἄρα ὁ παραλληλόγραμμος μῆκος εἰμί μονάς μδʹ . ὁ δέ πλάτος μονάς ε · ὁ ἄρα ἐμβαδόν ὁ παραλληλόγραμμος εἰμί μονάς σκʹ . τοσοῦτος δέ καί ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια , τουτέστι μονάς σκʹ , ὡς καί ὑποτάσσω .
heron.metrica 1.37
λζ . | Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν · ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν ἀνηπλωμένην καὶ εἰς ἐπίπεδον ἐκτεταμένην , ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ πλευρᾷ τοῦ κώνου , τὴν δὲ ΒΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ περιφερείᾳ τῆς βάσεως τοῦ κώνου . ἐὰν οὖν πάλιν δοθῇ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κώνου μονάδων ιδ , ἡ δὲ πλευρὰ μονάδων ι , ἔσται ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ , ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι . δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει , ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , οὗ ἔστιν ὁ τομεύς · τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως ἔσται μονάδων σκ .
Lemmas: λζʹ . | κῶνος δέ ἰσοσκελής ὁ ἐπιφάνεια μετρέω ἀκόλουθος ἐκπετάζω αὐτός · ἐάν γάρ νοέω ὅμοιος κατά πλευρά ἀναπλόω καί εἰς ἐπίπεδος ἐκτείνω , εἰμί τις κύκλος τομεύς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχω ὁ μέν ΑΒ πλευρά ἴσος ὁ πλευρά ὁ κῶνος , ὁ δέ ΒΓ περιφέρεια ἴσος ὁ περιφέρεια ὁ βάσις ὁ κῶνος . ἐάν οὖν πάλιν δίδωμι ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις ὁ κῶνος μονάς ιδʹ , ὁ δέ πλευρόν μονάς ιʹ , εἰμί ὁ μέν ΒΓ περιφέρεια μονάς μδʹ , ὁ δέ ΑΒ μονάς ιʹ . δείκνυμι δέ Ἀρχιμήδης ἐν ὁ ὁ κύκλος μέτρησις , ὅτι πᾶς τομεύς ἥμισυς εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ὁ τομεύς περιφέρεια καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί ὁ τομεύς · ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ ΒΓ εἰμί μονάς υπʹ · ὁ ἄρα ἐμβαδόν ὁ τομεύς εἰμί μονάς σκʹ .
heron.metrica 1.38
λη . Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ( l c . 23 t . l p . 136 Heib . ) ἀποδείξας τετραπλασίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ · ὥστε ἐὰβ δοθῇ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας μονάδων ιδ , δεῖ εὑρεῖν κύκλον τετραπλασίονα τοῦ κύκλου , οὗ ἡ διάμετρός ἐστι μονάδων ιδ . εἰ δὲ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου ἐστὶ τετραπλάσιος , ἡ ἄρα διάμετρος τῆς διαμέτρου ἐστὶ διπλασία , ἐπείπερ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν , ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τῶν κύκλων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα . τὰ ιδ δίς · γίγνεται κη . τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου , οὗ ἡ διάμετρος κη , | ἔστιν , ὡς ἐμάθομεν , μονάδων χιϛ . ὥστε καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται μονάδων χιϛ . ἢ καὶ ἄλλως · ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης , ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶν ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , τὸ δὲ ὕψος ἴσον · ὥστε δεήσει ἐπιφάνειαν κυλίνδρου μετρῆσαι , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων ιδ , τὸ δὲ ὕψος ὁμοίως ιδ . ὡς οὖν προεδείχθη , ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐστι μονάδων χιϛ · τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια .
Lemmas: λη . ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ αὐτός μετρέω Ἀρχιμήδης ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος ( l c . 23 t . l p . 136 Heib . ) ἀποδείκνυμι τετραπλασίων εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα · ὥστε ἐάβʹ δίδωμι ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα μονάς ιδʹ , δέω εὑρίσκω κύκλος τετραπλασίων ὁ κύκλος , ὅς ὁ διάμετρος εἰμί μονάς ιδʹ . εἰ δέ ὁ κύκλος ὁ κύκλος εἰμί τετραπλάσιος , ὁ ἄρα διάμετρος ὁ διάμετρος εἰμί διπλάσιος , ἐπεί ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον ὁ κύκλος τετράγωνος πρός ἀλλήλων . ὁ ιδʹ δίς · γίγνομαι πη . ὁ δέ ἐμβαδόν ὁ κύκλος , ὅς ὁ διάμετρος πη , | εἰμί , ὡς μανθάνω , μονάς χιϛʹ . ὥστε καί ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια εἰμί μονάς χιϛʹ . ἤ καί ἄλλος · ἀποδείκνυμι Ἀρχιμήδης , ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ἐπιφάνεια κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ὕψος ἴσος · ὥστε δέω ἐπιφάνεια κύλινδρος μετρέω , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις εἰμί μονάς ιδʹ , ὁ δέ ὕψος ὅμοιος ιδʹ . ὡς οὖν προδείκνυμι , ὁ ἐπιφάνεια αὐτός εἰμί μονάς χιϛʹ · τοσοῦτος ἄρα καί ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια .
heron.metrica 2.1
α . Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι , τὸ δὲ ὕψος η . ὕψος δὲ τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον ἀγομένην , ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν τε σκαληνός . νενο|ήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ . τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν . ἥ τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ τὸ ὕψος δοθέν . καὶ ἔστιν , ὡς ἐμάθομεν , μονάδων χκη δ . ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον , ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ ια ὁμοίως οὖν καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον , ἐπειδήπερ πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον .
Lemmas: α . εἰμί δή κῶνος μετρέω , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις εἰμί μονάς ιʹ , ὁ δέ ὕψος η̅ . ὕψος δέ ὁ κῶνος καλέω ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ἐάν τε ὀρθός ὁ κῶνος ὑπάρχω ἐάν τε σκαληνός . νοέω δή κύλινδρος ὀρθός ἀπό ὁ αὐτός βάσις ὁ κῶνος ὕψος ἔχω ὁ αὐτός ὁ κῶνος . οὗτος δή ὁ κύλινδρος ὁ στερεός εἰμί δίδωμι . ὁ τε γάρ διάμετρος αὐτός ὁ βάσις δίδωμι εἰμί καί ὁ ὕψος δίδωμι . καί εἰμί , ὡς μανθάνω , μονάς χκηʹ δ . ἀλλά ἐπεί πᾶς κῶνος κύλινδρος τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος , εἰμί ὁ στερεός ὁ κῶνος μονάς σθʹ ιαʹ ὅμοιος οὖν καί πυραμίς πᾶς ὁ στερεός λαμβάνω δίδωμι ὁ βάσις αὐτός καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ βάσις ἐπίπεδος , ἐπειδή πᾶς πυραμίς τρίτος μέρος εἰμί ὁ στερεός ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος .
heron.metrica 2.2
β . Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι , οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι , τὸ δὲ ὕψος μονάδων η . ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον . νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ · ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις , οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ . τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ στερεόν ἐστιν δοθέν · τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως · καὶ ἔστι μονάδων χκη δ . καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται .
Lemmas: β . εἰμί δή κύλινδρος σκαληνός μετρέω , ὅς ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις μονάς ιʹ , ὁ δέ ὕψος μονάς η̅ . ὕψος δέ καλέω ὁ ἀπό ὁ ἐφέδρα αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ἕδρα ἐπίπεδος . νοέω δή πάλιν κύλινδρος ὀρθός ἀπό ὁ αὐτός βάσις ὁ προλέγω κύλινδρος ὕψος ἔχω ὁ αὐτός · ἐπεί οὖν ὁ ἰσοϋψής κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις , ὁ δέ λέγω κύλινδρος ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὀρθός κύλινδρος ὁ σκαληνός . ὁ δέ ὀρθός ὁ στερεός εἰμί δίδωμι · ὁ τε γάρ ὕψος αὐτός δίδωμι εἰμί καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις · καί εἰμί μονάς χκηʹ δ . καί ὁ σκαληνός ἄρα ὁ στερεός τοσοῦτος εἰμί .
heron.metrica 2.3
γ . | Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει . ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος , ἰσόπλευρος καὶ ἰσογώνιος ἡ ΑΒΓ∠ΕΖ , ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων ι , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η · ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ ἔσται ἡ ΗΘΚ ΛΜΝ . καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ · ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον . ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν , ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεῷ . δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΚ ΛΜΝ . ὥστε δεήσει λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξαγώνου πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον , τουτέστι τὰς η μονάδας , καὶ τοσούτου τὸ στερεὸν ἀποφήνασθαι . καὶ οἵαν δʼ ἂν ἔχῃ βάσιν τὸ στερεὸν , ὡσαύτως μετρεῖται .
Lemmas: γ . | εἰμί δή στερεός παραλληλεπίπεδον μετρέω ὁ ὕψος ἔχω μή πρός ὀρθός ὁ βάσις . εἰμί δέ λόγος ἕνεκα ὁ μέν βάσις αὐτός ἑξάγωνος , ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ , ὁ δέ ΑΒ πλευρόν μονάς ιʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ ἐφέδρα κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ἕδρα ἐπίπεδος εἰμί μονάς η̅ · ὁ δέ ἐφέδρα αὐτός εἰμί ὁ ΗΘΚ ΛΜΝ . καί ἀπό ὁ ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ὁ ἕδρα ἐπίπεδος ὁ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ · εἰμί ἄρα καί ὁ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος . ἐπεί οὖν ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἴσος ἄρα ὁ ΒΕΖ στερεός ὁ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεός . δίδωμι δέ ὁ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΑΗ ΛΜΝ . ὥστε δέω λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ λέγω κάθετος , τουτέστι ὁ η̅ μονάς , καί τοσοῦτος ὁ στερεός ἀποφαίνω . καί οἷος δέ ἄν ἔχω βάσις ὁ στερεός , ὡσαύτως μετρέω .
heron.metrica 2.4
δ . | Ἔστω πρίσμα , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα . καὶ . ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε · εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσματος . συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον · τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ ποίσματος . δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον · μένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν .
Lemmas: δ . | εἰμί πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , κορυφή δέ ὁ ΕΖ εὐθύς . καί . εἰμί ὁ μέν ΑΒ μονάς ιʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς η̅ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΖ κορυφή κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδος εἰμί μονάς ε · εὑρίσκω ὁ στερεός ὁ πρίσμα . συμπληρόω ὁ ΑΒΓΗ στερεός παραλληλεπίπεδον · ὁ ἄρα ΑΒΓΗ στερεός παραλληλεπίπεδον διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ ποῖσμα . δίδωμι δέ ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον · μένω ὁ τρίτος λαμβάνω ἀποφαίνω ὁ ὁ πυραμίς στερεός .
heron.metrica 2.10
ι . Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆσαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον , τῇ δὲ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγεγραμμένης . ἔστιν κῶνος κόλουρος , οὗ κέντρα τῶν βάσεων τὰ Α , Β , ἄξων δὲ ὁ ΑΒ . καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε ἄξων καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων . λέγω ὅτι καὶ τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου δοθέν ἐστιν . νενοήσθω γὰρ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Γ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ τοῖς Α , Β · καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου τὸ Γ∠Ε τρίγωνον , | ἐν δὲ ταῖς βάσεσιν τὰς ∠Ε ΖΗ διαμέτρους . λόγος ἄρα τῆς ∠Ε πρὸς ΖH δοθείς . ὥστε καὶ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΖ , τουτέστι τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ · καὶ διελόντι τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΒ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν , τουτέστιν ὁ ἄξων τοῦ ὅλου κώνου . δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ∠Ε διάμετρος τῆς βάσεως . δέδοται ἄρα καὶ ὁ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον . διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὁ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος · κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , δοθείς ἐστι · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δοθείς ἐστι . δεήσει ἄρα ποιῆσαι ὡς τὴν ∠Ε διάμετρον πρὸς τὴν ΖΗ , προστεθείσης τῇ ΑΒ τῆς ΑΓ τὴν ΒΓ πρὸς ΓΑ · καὶ διελόντι ὡς ἡ τῶν ∠Ε ΖΗ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΗ , ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΑ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ . καὶ μετρῆσαι τὸν κῶνον , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελεῖν τὸν κῶνον , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον . καὶ λοιπὸν ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου .
Lemmas: ι̅ . εἰμί δέ καί ἄλλος ὁ κόλουρος κῶνος μετρέω πρόδηλος μέν ἀπόδειξις χράω , ὁ δέ περί ὁ ἀριθμός λῆψις οὐ εὐχερής ὁ προγράφω . εἰμί κῶνος κόλουρος , ὅς κέντρον ὁ βάσις ὁ Α , Β , ἄξων δέ ὁ ΑΒ . καί δίδωμι εἰμί ὁ τε ἄξων καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις . λέγω ὅτι καί ὁ στερεός ὁ κόλουρος κῶνος δίδωμι εἰμί . νοέω γάρ ὁ ὁ κῶνος κορυφή ὁ Γ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ Α , Β · καί ἐκβάλλω διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος καί ποιέω τομή ἐν μέν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κόλουρος κῶνος ὁ Γ∠Ε τρίγωνον , | ἐν δέ ὁ βάσις ὁ ∠Ε ΖΗ διάμετρος . λόγος ἄρα ὁ ∠Ε πρός ΖH δίδωμι . ὥστε καί ὁ ∠Γ πρός ΓΖ , τουτέστι ὁ ΒΓ πρός ΓΑ · καί διαιρέω ὁ ΒΑ πρός ΑΓ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΒ δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΓ ὥστε καί ὅλος ὁ ΒΓ δίδωμι εἰμί , τουτέστι ὁ ἄξων ὁ ὅλος κῶνος . δίδωμι δέ καί ὁ ∠Ε διάμετρος ὁ βάσις . δίδωμι ἄρα καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Β κέντρον κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον . διά αὐτός δή καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Α κέντρον κύκλος · κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , δίδωμι εἰμί · καί λοιπός ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δίδωμι εἰμί . δέω ἄρα ποιέω ὡς ὁ ∠Ε διάμετρος πρός ὁ ΖΗ , προστίθημι ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ ὁ ΒΓ πρός ΓΑ · καί διαιρέω ὡς ὁ ὁ ∠Ε ΖΗ ὑπεροχή πρός ὁ ΖΗ , ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι δέ ὁ ΒΑ δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΓ . καί μετρέω ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Β κέντρον κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , καί ἀπό οὗτος ἀφαιρέω ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ Α κέντρον κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον . καί λοιπός ἀποφαίνω ὁ στερεός ὁ κόλουρος κῶνος .
heron.metrica 2.11
ια . Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι εὑρεῖν τὸ στερεόν . Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ( l c . 34 corroll . vol . l p . 146 Heib . ) δείκνυσιν , ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας . ὥστε κατὰ | τοῦτον τὸν λόγον δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα λαβεῖν τῶν γενομένων τὸ ια καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολλαπλασιάσαντα , τουτέστιν ἐπὶ τὸν ι , τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ δίμοιρον , καὶ ἀποφήνασθαι τὸ τῆς σφαίρας στερεόν · εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ . κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται , ὅτι ια κύβοι οἱ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίγνονται κα σφαίραις . ὥστε δεήσει κυβίσαντα τὰ ι · ἔστι δὲ α · τούτων λαβεῖν τὰ ια . εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ . καὶ τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας .
Lemmas: ιαʹ . σφαῖρα δίδωμι ὁ διάμετρος μονάς ιʹ εὑρίσκω ὁ στερεός . Ἀρχιμήδης ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος ( l c . 34 corroll . vol . l p . 146 Heib . ) δείκνυμι , ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρον ὁ σφαῖρα ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα . ὥστε κατά | οὗτος ὁ λόγος δέω ὁ ι̅ ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω λαμβάνω ὁ γίγνομαι ὁ ιαʹ καί οὗτος ἐπί ὁ ὕψος ὁ κύλινδρος πολλαπλασιάζω , τουτέστι ἐπί ὁ ι̅ , ὁ γίγνομαι λαμβάνω ὁ δίμοιρος , καί ἀποφαίνω ὁ ὁ σφαῖρα στερεός · εἰμί δέ μονάς φκγʹ ιζʹ . κατά δέ ὁ αὐτός λόγος δείκνυμι , ὅτι ιαʹ κύβος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἴσος γίγνομαι ἄν σφαῖρα . ὥστε δέω κυβίζω ὁ ι̅ · εἰμί δέ α · οὗτος λαμβάνω ὁ ιαʹ . εἰμί δέ μονάς φκγʹ ιζʹ . καί τοσοῦτος ἀποφαίνω ὁ στερεός ὁ σφαῖρα .
heron.metrica 2.14
ιδ . | Ἔστω κυλίνδρου τμῆμα μετρῆσαι τετμημένου διὰ τοῦ κέντρου μιᾶς τῶν βάσεων · καὶ ἔστω ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΑΒ μονάδων ζ , τὸ δὲ ὕψος τοῦ τμήματος μονάδων κ · ἀποδέδειχεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ , ὅτι τὸ τοιοῦτον τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν βάσιν τοῦ κυλίνδρου τετράγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ τμήματι . δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου · ὅθεν δεήσει τὰ ζ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸ ὕψος , τουτέστιν ἐπὶ τὰ κ · γίγνεται Ϡπ · καὶ τούτων τὸ ἕκτον γίγνεται ρξγ γ΄ . τοσούτου ἔσται τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ιδʹ . | εἰμί κύλινδρος τμῆμα μετρέω τέμνω διά ὁ κέντρον εἷς ὁ βάσις · καί εἰμί ὁ μέν διάμετρος ὁ βάσις ὁ ΑΒ μονάς ζʹ , ὁ δέ ὕψος ὁ τμῆμα μονάς κ · ἀποδείκνυμι Ἀρχιμήδης ἐν ὁ ἐφοδικός , ὅτι ὁ τοιοῦτος τμῆμα ἕκτος μέρος εἰμί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περιγράφω περί ὁ βάσις ὁ κύλινδρος τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ τμῆμα . δίδωμι δέ ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον · δίδωμι ἄρα καί ὁ τμῆμα ὁ κύλινδρος · ὅθεν δέω ὁ ζ̅ ἐπί ἑαυτοῦ ποιέω πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ὕψος , τουτέστι ἐπί ὁ κ · γίγνομαι Ϡπʹ · καί οὗτος ὁ ἕκτος γίγνομαι ρξγʹ γʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κύλινδρος .
heron.metrica 2.15
ιε . Ὁ δʼ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ αὐτῷ βιβλίῳ δείκνυσιν , ὅτι ἐὰν εἰς κύβον δύο κύλινδροι διωσθῶσιν τὰς βάσεις ἔχοντες ἐφαπτομένας τῶν πλευρῶν τοῦ κύβου , τὸ κοινὸν τμῆμα τῶν κυλίνδρων δίμοιρον ἔσται τοῦ κύβου . τοῦτο δὲ εὔχρηστον | τυγχάνει πρὸς τὰς οὕτως κατασκευαζομένας καμάρας , αἳ γίγνονται ἐπὶ πλεῖστον ἔν τε ταῖς κρήναις καὶ βαλανείοις , ὅταν αἱ εἴσοδοι ἢ τὰ φῶτα ἐκ τῶν τεσσάρων μερῶν ὑπάρχῃ · καὶ ὅπου ξύλοις οὐκ εὔθετοι στεγάζεσθαι τοὺς τόπους . Ἀκόλουθον δέ ἐστι καὶ τὰς τῶν πέντε σχημάτων τῶν Πλάτωνος καλουμένων , λέγω δὴ κύβου τε καὶ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου , ἔτι δὲ καὶ δωδεκαέδρου καὶ εἰκοσαέδρου , τὰς μετρήσεις προσεντάξαι . ὁ μὲν οὖν κύβος φανερὰν τὴν μέτρησιν ἔχει · δεῖ γὰρ κυβίσαι τὰς διδομένας τῆς πλευρᾶς αὐτοῦ μονάδας καὶ ἀποφαίνεσθαι αὐτοῦ τὸ στερεόν .
Lemmas: ιε . ὁ δέ αὐτός Ἀρχιμήδης ἐν ὁ αὐτός βιβλίον δείκνυμι , ὅτι ἐάν εἰς κύβος δύο κύλινδρος διωθέω ὁ βάσις ἔχω ἐφάπτω ὁ πλευρά ὁ κύβος , ὁ κοινός τμῆμα ὁ κύλινδρος δίμοιρος εἰμί ὁ κύβος . οὗτος δέ εὔχρηστος | τυγχάνω πρός ὁ οὕτως κατασκευάζω καμάρα , ὅς γίγνομαι ἐπί πολύς ἐν τε ὁ κρήνη καί βαλανεῖον , ὅταν ὁ εἴσοδος ἤ ὁ φώς ἐκ ὁ τέσσαρες μέρος ὑπάρχω · καί ὅπου ξύλον οὐ εὔθετος στεγάζω ὁ τόπος . ἀκόλουθος δέ εἰμί καί ὁ ὁ πέντε σχῆμα ὁ Πλάτων καλέω , λέγω δή κύβος τε καί πυραμίς καί ὀκτάεδρον , ἔτι δέ καί δωδεκάεδρος καί εἰκοσάεδρος , ὁ μέτρησις προσεντάσσω . ὁ μέν οὖν κύβος φανερός ὁ μέτρησις ἔχω · δέω γάρ κυβίζω ὁ δίδωμι ὁ πλευρά αὐτός μονάς καί ἀποφαίνω αὐτός ὁ στερεός .
heron.metrica 2.16
ιϛ . Ἔστω δὲ πυραμίδα μετρῆσαι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρον τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον . ἧς ἑκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ιβ . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ε ΕΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ τουτέστι τὸ ἀπὸ τοῦ Γ∠ , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε · καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ Γ∠ μονάδων ρμδ . τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Ε ἔσται μονάδων U+A7FCϛ · αὐτὴ δε ἡ ∠Ε ὡς ἔγγιστα μονάδων αθU+2220γ΄ · ἐπεὶ οὖν ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δέδοται , δέδοται δὲ καὶ ἡ κάθετος ἡ ∠Ε , δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος . ὥστε δεήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὡς ἐμάθομεν πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὰς θU+2220γ΄ · καὶ τῶν γιγνομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν .
Lemmas: ιϛʹ . εἰμί δέ πυραμίς μετρέω , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ ἰσόπλευρος τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ ∠ σημεῖον . ὅς ἕκαστος πλευρόν εἰμί μονάς ιβʹ . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος κύκλος ὁ Ε · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ε ΕΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΓ τουτέστι ὁ ἀπό ὁ Γ∠ , τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΕ ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ∠ ὁ ἀπό ὁ ∠Ε · καί εἰμί ὁ ἀπό Γ∠ μονάς ρμδʹ . ὁ ἄρα ἀπό ∠Ε εἰμί μονάς U+A7FCϛ · αὐτός δε ὁ ∠Ε ὡς ἐγγύς μονάς ἀΐσσω · ἐπεί οὖν ἕκαστος ὁ ΑΒ ΒΓ ΓΑ δίδωμι , δίδωμι δέ καί ὁ κάθετος ὁ ∠Ε , δίδωμι ἄρα καί ὁ στερεός ὁ πυραμίς . ὥστε δέω ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ ἰσόπλευρος τρίγωνον ὡς μανθάνω πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ θU+2220γ΄ · καί ὁ γίγνομαι ὁ τρίτος λαμβάνω ἀποφαίνω ὁ ὁ πυραμίς στερεός .
heron.metrica 2.17
ιζ . | Ἔστω δὲ ὀκτάεδρον μετρῆσαι , οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ζ . ἔστω τὸ εἰρημένον ὀκτάεδρον , οὗ γωνίαι ἔστωσαν αἱ πρὸς τοῖς ΑΒΓ ∠ΕΖ σημείοις · τοῦτο δὲ σύγκειται ἐκ δύο πυραμίδων , ὧν βάσις κοινὴ τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον , κορυφαὶ δὲ τὰ Ε , Ζ σημεῖα · ἑκατέρας ἄρα αὐτῶν τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ , ὕψος δὲ τὸ ἥμισυ τῆς ΕΖ · ὥστε ὅλου τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον , ὕψος δὲ ἡ ΕΖ διάμετρος . ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ μονάδων μθ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ ἔσται U+A7FCη · ἡ ἄρα ΕΖ ὡς ἔγγιστα ἔσται μονάδων ι . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἐστὶ μονάδων ζ , τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ τετράγωνον ἔσται μονάδων μθ · καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὕψος τοῦ στερεοῦ · τὸ ἄρα στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔσται μονάδων υU+A7FC · καὶ ἔστι τριπλάσιον τοῦ ὀκταέδρου · τὸ ἄρα ὀκτάεδρον ἔσται ρξγ γʹ · τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν .
Lemmas: ιζ . | εἰμί δέ ὀκτάεδρον μετρέω , ὅς ἕκαστος πλευρόν εἰμί μονάς ζʹ . εἰμί ὁ λέγω ὀκτάεδρον , ὅς γωνία εἰμί ὁ πρός ὁ ΑΒΓ ∠ΕΖ σημεῖον · οὗτος δέ σύγκειμαι ἐκ δύο πυραμίς , ὅς βάσις κοινός ὁ ΑΒΓ∠ τετράγωνος , κορυφή δέ ὁ Ε , Ζ σημεῖον · ἑκάτερος ἄρα αὐτός τριπλάσιος εἰμί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ , ὕψος δέ ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ · ὥστε ὅλος ὁ ὀκτάεδρον τριπλάσιος εἰμί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ∠ τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ ΕΖ διάμετρος . ἐπεί οὖν εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ μονάς μθʹ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ εἰμί U+A7FCη · ὁ ἄρα ΕΖ ὡς ἐγγύς εἰμί μονάς ιʹ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ εἰμί μονάς ζʹ , ὁ ἄρα ΑΒΓ∠ τετράγωνος εἰμί μονάς μθʹ · καί εἰμί ὁ ΕΖ ὕψος ὁ στερεός · ὁ ἄρα στερεός παραλληλεπίπεδον εἰμί μονάς υU+A7FC · καί εἰμί τριπλάσιος ὁ ὀκτάεδρον · ὁ ἄρα ὀκτάεδρος εἰμί ρξγʹ γʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός .
heron.metrica 2.18
ιη . Ἔστω εἰκοσάεδρον μετρῆσαι , οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἔστω μονάδων ι . ἐπεὶ οὖν τὸ εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιέχεται , νενοήσθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπιζευγμέναι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰς τῶν τριγώνων γωνίας · ἔ|σονται ἄρα εἴκοσι πυραμίδες ἴσαι βάσεις μὲν ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα , κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας · καὶ μία αὐτῶν νενοήσθω , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε · ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου τριγώνων λόγον ἔχει , ὃν τὰ ρκζ πρὸς τὰ U+A7FCγ , καὶ ἔστιν ἡ οῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ μονάδων υ , ἔσται ἄρα ἡ ∠Ε κάθετος μονάδων ζ καὶ μα . ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἑκάστη πλευρὰ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἡ ∠Ε δὲ κάθετος , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ πυραμὶς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον . καὶ ἕστιν εἰκοστὸν μέρος τοῦ εἰκοσαέδρου · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ εἰκοσάεδρον . δεήσει ἄρα τὰ ι ἐπὶ τὰ U+A7FCγ ποιῆσαι καὶ τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ ρκζ΄ καὶ ἔχειν τὴν τῆς πυραμίδος κάθετον · καὶ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπλεύρου καὶ εἰκοσάκι ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον · καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου στερεόν .
Lemmas: ιηʹ . εἰμί εἰκοσάεδρος μετρέω , ὅς ἕκαστος ὁ πλευρά εἰμί μονάς ιʹ . ἐπεί οὖν ὁ εἰκοσάεδρος ὑπό εἴκοσι τρίγων ἰσόπλευρος περιέχω , νοέω ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐπί ὁ ὁ τρίγων γωνία · εἰμί ἄρα εἴκοσι πυραμίς ἴσος βάσις μέν ἔχω ὁ ὁ εἰκοσάεδρος τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · καί εἷς αὐτός νοέω , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ ∠ σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλος ὁ Ε . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ε · ἐπεί οὖν ὁ ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα κάθετος ἄγω ἐπί εἷς ὁ ὁ εἰκοσάεδρος τρίγων λόγος ἔχω , ὅς ὁ ρκζʹ πρός ὁ U+A7FCγ , καί εἰμί ὁ οῦ εἰκοσάεδρος πλευρόν μονάς υ̅ , εἰμί ἄρα ὁ ∠Ε κάθετος μονάς ζʹ καί μαʹ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἕκαστος πλευρόν δίδωμι εἰμί καί ὁ ∠Ε δέ κάθετος , δίδωμι ἄρα καί ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ ∠ σημεῖον . καί ἕστiν εἰκοστός μέρος ὁ εἰκοσάεδρος · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ εἰκοσάεδρος . δέω ἄρα ὁ ιʹ ἐπί ὁ U+A7FCγ ποιέω καί ὁ γίγνομαι λαμβάνω ὁ ρκζʹ καί ἔχω ὁ ὁ πυραμίς κάθετος · καί λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρος καί εἰκοσάκις ποιέω πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ λέγω κάθετος · καί ὁ γίγνομαι ὁ τρίτος λαμβάνω ἀποφαίνω ὁ ὁ εἰκοσάεδρος στερεός .
heron.metrica 2.19
ιθ . Ἔστω δὴ δωδεκάεδρον μετρῆσαι , οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ι . πάλιν οὖν , ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νοήσωμεν ἐπιζευγμένας εὐθείας ἐπὶ τὰς τοῦ πενταγώνου γωνίας , ἔσονται ιβ πυραμίδες πενταγώ |νους βάσεις ἔχουσαι , κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας · λόγον δὲ ἔχει ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν πενταγώνων , ὃν τὰ η πρὸς τὰ θ καὶ ἔστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ μονάδων ι · ἡ ἄρα εἰρημένη κάθετος ἔσται μονάδων ια δ΄ . πάλιν οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου λαβόντες καὶ πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τὴν κάθετον καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντες ἕξομεν μιᾶς πυραμίδος τὸ στερεόν · ὃ δωδεκάκι ποιήσαντες ἕξομεν τὸ τοῦ δωδεκαέδρου στερεόν .
Lemmas: ιθʹ . εἰμί δή δωδεκάεδρος μετρέω , ὅς ἕκαστος πλευρόν εἰμί μονάς ιʹ . πάλιν οὖν , ἐάν ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα νοέω ἐφιζνέευγμαι εὐθεῖα ἐπί ὁ ὁ πεντάγωνος γωνία , εἰμί ιβʹ πυραμίς πενταγώ νόος βάσις ἔχω , κορυφή δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · λόγος δέ ἔχω ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα κάθετος ἄγω ἐπί εἷς ὁ πεντάγωνος , ὅς ὁ η̅ πρός ὁ θʹ καί εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν μονάς ιʹ · ὁ ἄρα λέγω κάθετος εἰμί μονάς ιαʹ δʹ . πάλιν οὖν ὁ ἐμβαδόν ὁ πεντάγωνος λαμβάνω καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ κάθετος καί ὁ γίγνομαι ὁ τρίτος λαμβάνω ἔχω εἷς πυραμίς ὁ στερεός · ὅς δωδεκάκις ποιέω ἔχω ὁ ὁ δωδεκάεδρος στερεός .
heron.metrica 2.20
κ . Τῶν δὴ ἐν τάξει στερεῶν σωμάτων μετρηθέντων εὔλογον ὑπολαμβάνομεν καὶ τὰ ἄτακτα , οἷον ῥιζώδη ἢ πετρώδη , παριστορῆσαι τῇ μετρήσει , ὡς ἔνιοι ἱστοροῦσι τὸν Ἀρχιμήδη ἐπινενοηκέναι πρὸς τὰ τοιαῦτα μέθοδον . εἰ μὲν γὰρ εὐμετάφορον εἴη τὸ μέλλον μετρεῖσθαι , δεήσει δεξαμενὴν πάντη ὀρθογωνίαν ποιήσαντα δυναμένην δέξασθαι , ὃ βουλόμεθα μετρηθῆναι , πληρῶσαι ὕδατος καὶ ἐμβαλεῖν τὸ ἄτακτον σῶμα . δῆλον δὴ οὖν , ὅτι ὑπερχυθήσεται τὸ ὕδωρ καὶ τοσοῦτόν γε , ὅσος ἐστὶν ὁ τοῦ ἐμβληθέντος σώματος εἰς τὸ ὕδωρ ὄγκος , ἐξαρθέντος τοῦ σώματος πάλιν ἐκ τῆς δεξαμενῆς ἐλλιπὲς ἔσται . μετρήσαντες οὖν τὸν ἐκκεκενωμένον τόπον ἀποφανούμεθα τοσούτου | εἶναι τὸ στερεὸν τοῦ ἐμβληθέντος σώματος . ἢ καὶ ἄλλως δυνατόν ἐστι τὸ αὐτὸ μετρῆσαι · ἐὰν γὰρ προσπλασθῇ τὸ ἄτακτον σῶμα κηρῷ ἢ πηλῷ , ὥστε γενέσθαι ἀποκρυβὲν πάντη ὀρθογώνιον , καὶ τοῦτο μετρήσαντες ἀφέλωμεν τὸν πηλὸν καὶ ὀρθογώνιον πλάσαντες ἐκμετρήσωμεν καὶ ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ προτερου μετρηθέντος τὸ καταλειπόμενον , ἀποφανούμεθα τὸ τοῦ σώματος στερεόν · τῇ δὲ τοῦ περιπλάσματος μεθόδῳ χρῆσθαι δεῖ ἐπὶ τῶν μὴ δυναμένων μετατίθεσθαι σωμάτων .
Lemmas: κ . ὁ δή ἐν τάξις στερεός σῶμα μετρέω εὔλογος ὑπολαμβάνω καί ὁ ἄτακτος , οἷος ῥιζώδης ἤ πετρώδης , παριστορέω ὁ μέτρησις , ὡς ἔνιοι ἱστορέω ὁ Ἀρχιμήδης ἐπινοέω πρός ὁ τοιοῦτος μέθοδος . εἰ μέν γάρ εὐμετάφορος εἰμί ὁ μέλλω μετρέω , δέω δεξαμενή πάντῃ ὀρθογωνία ποιέω δύναμαι δέχομαι , ὅς βούλομαι μετρέω , πληρόω ὕδωρ καί ἐμβάλλω ὁ ἄτακτος σῶμα . δῆλος δή οὖν , ὅτι ὑπερχέω ὁ ὕδωρ καί τοσοῦτος γε , ὅσος εἰμί ὁ ὁ ἐμβάλλω σῶμα εἰς ὁ ὕδωρ ὄγκος , ἐξαίρω ὁ σῶμα πάλιν ἐκ ὁ δεξαμενή ἐλλιπής εἰμί . μετρέω οὖν ὁ ἐκκενόω τόπος ἀποφαίνω τοσοῦτος | εἰμί ὁ στερεός ὁ ἐμβάλλω σῶμα . ἤ καί ἄλλος δυνατός εἰμί ὁ αὐτός μετρέω · ἐάν γάρ προσπλάσσω ὁ ἄτακτος σῶμα κηρός ἤ πηλός , ὥστε γίγνομαι ἀποκρύπτω πάντῃ ὀρθογώνιον , καί οὗτος μετρέω ἀφαιρέω ὁ πηλός καί ὀρθογώνιον πλάσσω ἐκμετρέω καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ προτρειος μετρέω ὁ καταλείπω , ἀποφαίνω ὁ ὁ σῶμα στερεός · ὁ δέ ὁ περίπλασμα μέθοδος χράω δέω ἐπί ὁ μή δύναμαι μετατίθημι σῶμα .
heron.metrica 3.pr
| Οὐ πολὺ ἀπᾴδειν νομίζομεν τὰς τῶν χωρίων διαιρέσεις τῶν γιγνομένων ἐν τοῖς χωρίοις μετρήσεων · καὶ γὰρ τὸ ἀπονεῖμαι χωρίον τοῖς ἴσοις ἴσον καὶ τὸ πλέον τοῖς ἀξίοις κατὰ τὴν ἀναλογίαν πάνυ εὔχρηστον καὶ ἀναγκαῖον θεωρεῖται . ἤδη γοῦν καὶ ἡ σύμπασα γῆ διῄρηται κατʼ ἀξίαν ὑπʼ αὐτῆς τῆς φύσεως · νέμεται γὰρ κατʼ αὐτὴν ἔθνη μέγιστα μεγάλην λελογχότα χώραν , ἔνια δὲ καὶ ὀλίγην μικρὰ καθʼ αὑτὰ ὑπάρχοντα · οὐχ ἧττον δὲ καὶ κατὰ μίαν αἱ πόλεις κατʼ ἀξίαν διῄρηνται · τοῖς μὲν ἡγεμόσι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς ἄρχειν δυναμένοις μείζω καὶ κατὰ ἀναλογίαν , τοῖς δὲ μηδὲν τοιοῦτο δυναμένοις δρᾶν μικροὶ κατελείφθησαν τόποι , κῶμαί τε τοῖς μικροψυχοτέροις καὶ ἐποίκια καὶ ὅσα τοιαῦτά ἐστιν · ἀλλὰ τὰ μὲν παχυμερεστέραν πως καὶ ἀργοτέραν εἴληφε τὴν ἀναλογίαν · εἰ δέ τις βούλοιτο κατὰ τὸν δοθέντα λόγον διαιρεῖν τὰ χωρία , ὥστε μηδὲ ὡς εἰπεῖν κέγχρον μίαν τῆς ἀναλογίας ὑπερβάλλειν ἢ ἐλλείπειν τοῦ δοθέντος λόγου , μόνης προσδεήσεται γεωμετρίας · ἐν ἐφαρμογὴ μὲν ἴση , τῇ δὲ ἀναλογίᾳ δικαιοσύνη , ἡ δὲ περὶ τούτων ἀπόδειξις ἀναμφισβήτητος , ὅπερ τῶν ἄλλων τεχνῶν ἢ ἐπιστημῶν οὐδεμία ὑπισχνεῖται .
Lemmas: | οὐ πολύς ἀπᾴδω νομίζω ὁ ὁ χωρίον διαίρεσις ὁ γίγνομαι ἐν ὁ χωρίον μέτρησις · καί γάρ ὁ ἀπονέμω χωρίον ὁ ἴσος ἴσος καί ὁ πολύς ὁ ἄξιος κατά ὁ ἀναλογία πάνυ εὔχρηστος καί ἀναγκαῖος θεωρέω . ἤδη γοῦν καί ὁ σύμπας γῆ διαιρέω κατά ἀξία ὑπό αὐτός ὁ φύσις · νέμω γάρ κατά αὐτός ἔθνος μέγας μέγας λαγχάνω χώρα , ἔνιοι δέ καί ὀλίγος μικρός κατά ἑαυτοῦ ὑπάρχω · οὐ ἥσσων δέ καί κατά εἷς ὁ πόλις κατά ἀξία διαιρέω · ὁ μέν ἡγεμών καί ὁ ἄλλος ὁ ἄρχω δύναμαι μέγας καί κατά ἀναλογία , ὁ δέ μηδείς τοιοῦτος δύναμαι δράω μικρός καταλείπω τόπος , κώμη τε ὁ μικρόψυχος καί ἐποίκιον καί ὅσος τοιοῦτος εἰμί · ἀλλά ὁ μέν παχυμερής πως καί ἀργός λαμβάνω ὁ ἀναλογία · εἰ δέ τις βούλομαι κατά ὁ δίδωμι λόγος διαιρέω ὁ χωρίον , ὥστε μηδέ ὡς λέγω κέγχρος εἷς ὁ ἀναλογία ὑπερβάλλω ἤ ἐλλείπω ὁ δίδωμι λόγος , μόνος προσδέομαι γεωμετρία · ἐν ἐφαρμογή μέν ἴσος , ὁ δέ ἀναλογία δικαιοσύνη , ὁ δέ περί οὗτος ἀπόδειξις ἀναμφισβήτητος , ὅς ὁ ἄλλος τέχνη ἤ ἐπιστήμη οὐδείς ὑπισχνέομαι .
heron.metrica 3.1
α . Χωρίον τρίγωνον διελεῖν εἰς τρίγωνα χωρία ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ τὴν αὐτὴν ἔχοντα κορυφήν . ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε · καὶ δέον ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς δύο χωρία τρίγωνα λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα , ὃν ε πρὸς γ , κορυφὴν δὲ τὸ Α . γεγονέτω καὶ ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ Α∠ · λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου πρὸς τὸ Α∠Γ τρίγωνον , ὃν ε πρὸς γ · καὶ συνθέντιλόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ Α∠Γ τρίγωνον , ὃν η πρὸς γ . καὶ ἔστιν | ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἡ ἄρα Γ∠ ἔσται μονάδων ε δʹ . λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ μονάδων ηU+2220δʹ . κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν Α∠ , ἔσται γεγονὸς τὸ προκείμενον · τὸ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου ἐμβαδὸν εὑρήσομεν μονάδων νβU+2220 , τὸ δὲ τοῦ Α∠Γ τριγώνου μονάδων λαU+2220 . ἔχει δὲ τὰ νβU+2220 πρὸς τὰ λαU+2220 λόγον , ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ γ .
Lemmas: α . χωρίον τρίγωνος διαιρέω εἰς τρίγωνος χωρίον ἐν ὁ δίδωμι λόγος ὁ αὐτός ἔχω κορυφή . εἰμί ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς ιεʹ · καί δέω εἰμί διαιρέω αὐτός εἰς δύο χωρίον τρίγωνος λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων , ὅς ε πρός γ , κορυφή δέ ὁ Α . γίγνομαι καί εἰμί ὁ διαιρέω εὐθύς ὁ Α∠ · λόγος ἄρα ὁ ΑΒ∠ τρίγωνον πρός ὁ Α∠Γ τρίγωνος , ὅς ε πρός γ · καί συνθέντιλογος ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Α∠Γ τρίγωνον , ὅς η̅ πρός γ . καί εἰμί | ὁ ΒΓ μονάς ιδʹ · ὁ ἄρα Γ∠ εἰμί μονάς ε δʹ . λοιπός ἄρα ὁ Β∠ μονάς ηU+2220δʹ . ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ , εἰμί γίγνομαι ὁ πρόκειμαι · ὁ μέν γάρ ὁ ΑΒ∠ τρίγωνον ἐμβαδόν εὑρίσκω μονάς νβU+2220 , ὁ δέ ὁ Α∠Γ τρίγωνον μονάς Ἴα . ἔχω δέ ὁ νβU+2220 πρός ὁ Ἴα λόγος , ὅς ἔχω ὁ ε πρός ὁ γ .
heron.metrica 3.2
β . Τὸ δοθὲν · τρίγωνον εἰς τὸν δοθέντα λόγον διελεῖν εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλῳ τῇ βάσει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ , τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε . καὶ δέον ἔστω αὐτὸ διελεῖν , ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ τραπεζίου . ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ ∠Ε · τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α∠Ε τρίγωνον τοῦ ∠ΕΓΒ τραπεζίου · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε τρίγωνον λόγον ἔχει , ὃν δ πρὸς γ . ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε τρίγωνον , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Α διὰ τὸ ὅμοια εἶναι τὰ τρίγωνα . καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον μονάδων ρξθ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Α∠ τετράγωνον μονάδων ρκϛU+2220δʹ · αὐτὴ ἄρα ἡ Α∠ ἔσται ὡς ἔγγιστα μονάδων ια δʹ . ὥστε ἐὰν ἀπολάβωμεν τὴν Α∠ μονάδων ια δʹ καὶ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν ∠Ε , ἔσται τὸ προκείμενον . ἵνα δὲ μὴ παράλληλον ἄγωμεν , ἐπειδήπερ ἐν τοῖς χωορίοις δύσεργον ὑπάρχει τὸ τοιοῦτον διὰ τὴν τῶν τόπων ἀνωμαλίαν , ἀποληψόμεθα καὶ τὴν ΑΕ μονάδων ὅσων ἂν ᾖ . ἔστιν δὲ , ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΑΓ , τουτέστιν ὡς τὰ ιγ πρὸς ιε , οὕτως τὴν Α∠ , τουτέστιν ια δʹ , πρὸς ἄλλην τινὰ · τουτέστι τὴν ΑΕ . ἔσται μονάδων ιβ να . | τοσούτου ἔσται ἡ ΑΕ . ἐπιζεύξαντες οὖν τὴν ∠Ε ἕξομεν τὴν διαιροῦσαν τὸ χωρίον . ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη · ἐπεὶ ὁ λόγος , ἐν ᾧ διαιρεῖται , ἔστι γ πρὸς α , σύνθες γ καὶ α · γίγνεται δ . καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά · γίγνεται ρξθ . ταῦτα ἐπὶ τὸν γ · γίγνεται φζ . παράβαλε παρὰ τὸν δ · γίγνεται ρκϛU+2220δ΄ . τούτων πλευρὰ γίγνεται ὡς ἔγγιστα ια δ΄ . ταῦτα ἐπὶ τὸν ιε · γίγνεται ρξηU+2220δ΄ . ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ιγ · γίγνεται ιβ καὶ να . τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΑΕ καὶ ἐπίζευξον τὴν ∠Ε .
Lemmas: β . ὁ δίδωμι · τρίγωνος εἰς ὁ δίδωμι λόγος διαιρέω εὐθύς τις παράλληλος ὁ βάσις . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἔχω ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΑΓ μονάς ιεʹ . καί δέω εἰμί αὐτός διαιρέω , ὥστε ὁ πρός ὁ κορυφή τρίγωνος τριπλάσιος εἰμί ὁ λοιπός τραπέζιον . εἰμί ὁ διαιρέω εὐθύς ὁ ∠Ε · τριπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ Α∠Ε τρίγωνον ὁ ∠ΕΓΒ τραπέζιον · ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Α∠Ε τρίγωνος λόγος ἔχω , ὅς δ πρός γ . ὡς δέ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Α∠Ε τρίγωνον , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Α διά ὁ ὅμοιος εἰμί ὁ τρίγωνος . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ τετράγωνος μονάς ρξθʹ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α∠ τετράγωνος μονάς ρκϛU+2220δʹ · αὐτός ἄρα ὁ Α∠ εἰμί ὡς ἐγγύς μονάς ιαʹ δʹ . ὥστε ἐάν ἀπολαμβάνω ὁ Α∠ μονάς ιαʹ δʹ καί παράλληλος ἄγω ὁ ∠Ε , εἰμί ὁ πρόκειμαι . ἵνα δέ μή παράλληλος ἄγω , ἐπειδή ἐν ὁ χωόριος δύσεργος ὑπάρχω ὁ τοιοῦτος διά ὁ ὁ τόπος ἀνωμαλία , ἀπολαμβάνω καί ὁ ΑΕ μονάς ὅσος ἄν εἰμί . εἰμί δέ , ἐάν ποιέω ὡς ὁ ΑΒ πρός ΑΓ , τουτέστι ὡς ὁ ιγʹ πρός ιεʹ , οὕτως ὁ Α∠ , τουτέστι ιαʹ δʹ , πρός ἄλλος τις · τουτέστι ὁ ΑΕ . εἰμί μονάς ιβʹ ναʹ . | τοσοῦτος εἰμί ὁ ΑΕ . ἐπιζεύγνυμι οὖν ὁ ∠Ε ἔχω ὁ διαιρέω ὁ χωρίον . ὁ δέ μέθοδος εἰμί τοιοῦτος · ἐπεί ὁ λόγος , ἐν ὅς διαιρέω , εἰμί γ πρός α , συντίθημι γ καί α · γίγνομαι δ . καί ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ . οὗτος ἐπί ὁ γ · γίγνομαι φζʹ . παραβάλλω παρά ὁ δ · γίγνομαι ρκϛU+2220δ΄ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι ὡς ἐγγύς ιαʹ δʹ . οὗτος ἐπί ὁ ιος · γίγνομαι ρξηU+2220δ΄ . οὗτος παραβάλλω παρά ὁ ιγ · γίγνομαι ιβ καί να . τοσοῦτος ἀπολαμβάνω ὁ ΑΕ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ε .
heron.metrica 3.3
γ . Ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχου τὴμ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , τὴν δὴ ΒΓ μονάδων ιδ , τὴν δὲ ΓΑ μονάδων ιε . καὶ ἀπειλήφθω ἡ Α∠ , εἰ τύχοι , μονάδων ιβ . καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠Ε διαιροῦσαυ τὸ ΑΒΓ πρίγωνον ἐν λόχῳ τῷ δοθάντι . ἔσπω δὴ ὁ λόγος , ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ β . ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β , ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον αἱ ΒΖ ∠Η . ἔσται δὴ ἡ ΒΖ κάθετος , ὡς ἐμάθομεν , μονάδων ια ε΄ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ , τουτέστιν ὡς ιγ πρὸς ιβ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ∠Η , καὶ ἔστιυ ἡ ΒΖ ια εʹ , ἡ ἄρα ∠Η ἔσται μονάδων ι καὶ κβ καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε λόγον ἔχει , ὃν ε πρὸς γ , καὶ ἔστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μονάδων πδ , τὸ ἄρα Α∠Ε τρίγωνον ἔσται μονάδων ν καὶ β . τοῦ δὲ Α∠Ε τριγώνου διπλάσιόν ἐσυι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η ἔσται μονάδων ρ καὶ δ . καὶ ἔστιν ἡ ∠Η μονάδων ι καὶ κβ · ἡ ἄρα ΑΕ ἔσπαι μονάδων θU+2220δ΄ . κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν ∠Ε , ἔσται τὸ προκείμενον . ἔστι δὲ ἡ μέθοδος τοιαύτη · ἐπεὶ ἡ ΒΖ κάθετός ἐστιν , ια ε΄ ἐπὶ τὰ ιβ · | καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς τὸν ιγ · γίνονται μονάδες ι καὶ κβ , καὶ ἐπεὶ λόγος , ἐν ᾧ διαιρεῖται , ὁ τῶν γ πρὸς τὰ β , σύνθες γ καὶ . β · γίγνεται ε · καὶ πολλαπλασίασον τὸν γ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου , τουτέστιν ἐπὶ τὰ πδ · γίχνεται σνβ . ταῦτα μέρισον εἰς τὸν ε · γίγνεται νβοέ . ταῦτα δίς · γίγνεται ρ καὶ δ . μέρισον ταῦτα παρὰ τὸν ι καὶ κβ · γίγνονται μονάδες θ∠δ΄ . τοσούτου ἀπολαβὼν τὴν ΑΕ ἐπίζευξον τὴν ∠Ε · καὶ ἔσται τὸ προκείμενον .
Lemmas: γ . εἰμί δή ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ χόω τήμʹ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δή ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΓΑ μονάς ιεʹ . καί ἀπολαμβάνω ὁ Α∠ , εἰ τυγχάνω , μονάς ιβʹ . καί δέω εἰμί ἀπό ὁ ∠ διάγω ὁ ∠Ε διαίρευμι ὁ ΑΒΓ πρίγωνον ἐν λόχος ὁ δοθάντις . πὠμί δή ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ε πρός ὁ β . ἄγω ἀπό ὁ Β , ∠ ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ὁ ΒΖ ∠Η . εἰμί δή ὁ ΒΖ κάθετος , ὡς μανθάνω , μονάς ιαʹ πέντε . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός Α∠ , τουτέστι ὡς ιγʹ πρός ιβʹ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ∠Η , καί ἔστις ὁ ΒΖ ιαʹ πέντε , ὁ ἄρα ∠Η εἰμί μονάς ιʹ καί κβʹ καί ἐπεί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Α∠Ε λόγος ἔχω , ὅς ε πρός γ , καί εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον μονάς πδʹ , ὁ ἄρα Α∠Ε τρίγωνον εἰμί μονάς ν καί β . ὁ δέ Α∠Ε τρίγωνον διπλάσιος ἐσυι ὁ ὑπό ὁ ΑΕ ∠Η ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ ∠Η εἰμί μονάς ρ̅ καί δ . καί εἰμί ὁ ∠Η μονάς ιʹ καί κβʹ · ὁ ἄρα ΑΕ σπάω μονάς θU+2220δ΄ . ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ε , εἰμί ὁ πρόκειμαι . εἰμί δέ ὁ μέθοδος τοιοῦτος · ἐπεί ὁ ΒΖ κάθετος εἰμί , ιαʹ πέντε ἐπί ὁ ιβʹ · | καί ὁ γίγνομαι μερίζω εἰς ὁ ιγ · γίγνομαι μονάς ιʹ καί κβʹ , καί ἐπεί λόγος , ἐν ὅς διαιρέω , ὁ ὁ γ πρός ὁ β , συντίθημι γ καί . β · γίγνομαι ε · καί πολλαπλασιάζω ὁ γ ἐπί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον , τουτέστι ἐπί ὁ πδʹ · γίχνω σνβʹ . οὗτος μερίζω εἰς ὁ ε · γίγνομαι νβοὲ . οὗτος δίς · γίγνομαι ρ̅ καί δ . μερίζω οὗτος παρά ὁ ι̅ καί κβʹ · γίγνομαι μονάς θ∠δ΄ . τοσοῦτος ἀπολαμβάνω ὁ ΑΕ ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ε · καί εἰμί ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.5
ε . Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς Α∠ τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον κῇ ΕΖ εὐθείᾳ , ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠ δοθέντι ἴσον εἶναι δοθεισῶν τῶν ΕΖ Γ∠ καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η · διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ . ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΓ δοθείς · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · κατὰ τὰ αὐτὰ | δὴ καὶ τὸ Ε · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω δοθεὶς λόγος , ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ · καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε , ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ , αἱ δὲ ΑΒ Γ∠ οἱαιδηποτοῦν . σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ · γίγνεται ε · καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β · γίγνεται ν · ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται ι · τοσούτων ἀπειλήφθω μονάδων ἡ ΒΖ . πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β · γίγνεται μ · ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται η . τοσούτων ἀπόλαβε τὴν ΑΕ . καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ , ποιήσει τὸ προκείμενον .
Lemmas: ε . τετράπλευρος δίδωμι ὁ ΑΒΓ∠ καί παράλληλος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ΒΓ διαιρέω ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος πῇ ΕΖ εὐθύς , ὥστε λόγος ὁ ΑΒΕΖ πρός ὁ ΓΕΖ δίδωμι ἴσος εἰμί δίδωμι ὁ ΕΖ Γ∠ καί εἰς ὁ αὐτός νεύω σημεῖον ὁ Η · διά δή οὗτος εἰμί ὡς ὁ ΑΒΕΖ πρός ὁ ΓΕΖ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΖΓ . ὥστε λόγος καί ὁ ΒΖ πρός ΖΓ δίδωμι · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ · κατά ὁ αὐτός | δή καί ὁ Ε · θέσις ἄρα ὁ ΕΖ . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · εἰμί δίδωμι λόγος , ὅς ἔχω ὁ β πρός ὁ γ · καί εἰμί ὁ μέν ΒΓ μονάς ἄν , ὁ δέ ΑΓ μονάς κ , ὁ δέ ΑΒ Γ∠ οίσ̔αιδηποτς . συντίθημι ὁ β καί ὁ γ · γίγνομαι ε · καί ὁ ἄν ἐπί ὁ β · γίγνομαι ν · οὗτος παραβάλλω παρά ὁ ε · γίγνομαι ι̅ · τοσοῦτος ἀπολαμβάνω μονάς ὁ ΒΖ . πάλιν ὁ κ ἐπί ὁ β · γίγνομαι μ · οὗτος παραβάλλω παρά ὁ ε · γίγνομαι η̅ . τοσοῦτος ἀπολαμβάνω ὁ ΑΕ . καί ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ποιέω ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.6
ϛ . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι . διήχθω οὖν , ὡς ἐμάθομεν , ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον ἐν τῷ αὐτῷ| λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ΕΖ τῷ ΑΒΘΗ · ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ · δοθεῖσα δὲ ἡ ΗΕ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἀπειλήφθω ἡ ΒΖ μονάδων ι · τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη · καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η , ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε , λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ . καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ · ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ . ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται μονάδων ιγ · ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ προκείμενον .
Lemmas: ϛ . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἀπολαμβάνω ὁ ΑΗ μονάς ε καί ἐπιτάσσω ἀπό ὁ Η διάγω ὁ ΗΘ διαιρέω ὁ τετράπλευρος ἐν λόγος ὁ δίδωμι . διάγω οὖν , ὡς μανθάνω , ὁ ΕΖ διαιρέω ὁ χωρίον ἐν ὁ αὐτός λόγος καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΖ ΕΘ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ΕΖ ὁ ΑΒΘΗ · ὥστε καί λοιπός ὁ ΕΖΗ τρίγωνον ὁ ΗΘΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΗΖ ὁ ΕΘ · ἀλλά καί ὁ ΗΕ ὁ ΖΘ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΗΕ ὁ ΖΘ · δίδωμι δέ ὁ ΗΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΘ · καί εἰμί δίδωμι ὁ Ζ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Θ · θέσις ἄρα ὁ ΗΘ . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · ἀπολαμβάνω ὁ ΒΖ μονάς ιʹ · τοσοῦτος γάρ ἀποδείκνυμι · καί ἐπεί ὁ ΑΕ εἰμί μονάς η̅ , ὁ δέ ΑΗ μονάς ε , λοιπός ἄρα ὁ ΗΕ μονάς γ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΖΘ · ἀπολαμβάνω οὖν ὁ ΖΘ μονάς γ . ὥστε ὅλος ὁ ΒΘ εἰμί μονάς ιγʹ · ἐπιζεύγνυμι οὖν ὁ ΗΘ εἰμί ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.8
η . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων β · καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον . διήχθωσαν οὖν αἱ ΗΘ , ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ , ΕΘ · ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ . ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ . παράλληλος ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ . ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΗΚ . ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ . ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ , οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ . δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ . δοθὲν | ἄρα τὸ Θ · ἀλλὰ καὶ τὺ Η · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως . ποίησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε , οὕτως τὰ β πρὸς τί · γίγνεται β καὶ δ . ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζU+2220 · λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ ἔσται μονάδων ε καὶ ε . ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ · καὶ σύνθες τὰς ϛU+2220 καὶ μονάδας ε καὶ δ · γίγνεται ιβ ιδ΄ . ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε · καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ · γίγνονται μονάδες . η δ΄ . τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ . καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον .
Lemmas: η̅ . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἀπολαμβάνω ὁ ΑΗ μονάς β · καί δέω εἰμί διάγω ὁ ΗΘ ἐν ὁ αὐτός λόγος διαιρέω ὁ τετράπλευρος . διάγω οὖν ὁ ΗΘ , ΕΖ ὁ αὐτός λόγος διαιρέω ὁ τετράπλευρος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΖ , ΕΘ · εἰμί δή ὅμοιος ἴσος ὁ ΑΗΒΘ ὁ ΑΕΖΒ . ὥστε καί ὁ ΗΕΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ΗΘΖ τρίγωνον . παράλληλος ἄρα ὁ ΗΖ ὁ ΕΘ . ἄγω δή καί ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΗΚ . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΗΚΖ τρίγωνον ὁ ΕΖΘ . ὡς ἄρα ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΚ , οὕτως ὁ ΖΘ πρός ΖΚ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΖΚ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΘ . δίδωμι | ἄρα ὁ Θ · ἀλλά καί σύ Η · θέσις ἄρα ὁ ΗΘ . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως . ποιέω ὡς ὁ ιγʹ πρός ὁ ιεʹ , οὕτως ὁ β πρός τίς · γίγνομαι β καί δ . ὅλος δέ ὁ ΒΖ εἰμί ζU+2220 · λοιπός ἄρα ὁ ΚΖ εἰμί μονάς ε καί ε . ὁ δέ ΑΗ ε καί δ · καί συντίθημι ὁ ϛU+2220 καί μονάς ε καί δ · γίγνομαι ιβʹ ιδʹ . οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί μονάς ε καί ε · καί ὁ γίγνομαι μερίζω εἰς μονάς ε καί δ · γίγνομαι μονάς . η̅ δέ . τοσοῦτος ἀπολαμβάνω ὁ ΖΘ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ ποιέω ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.9
θ . Κύκλου δοθέντος , οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ , γράψαι ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ , οὗ διάμετρος ἡ Γ∠ , διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι . ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ Γ∠ ἴτυος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλον δοθείς , λόγος ἄρα καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ Γ∠ κύκλου δοθείς . ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους , οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν δίαμέτρων τετράγωνα · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ δοθείς · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Γ∠ . συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος , ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε . σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε · γίγνεται η · καὶ τὰ κ ἐφ᾿ ἐαυτά · γίγνεται υ · ἐπὶ τὸν ε · γίγνεται β . ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η · γίγνεται σν · τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα · γίγνεται ιε ιγ . τοσούτου ἔσται ἡ Γ∠ διάμετρος .
Lemmas: θ̅ . κύκλος δίδωμι , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , γράφω ἕτερος περί ὁ αὐτός κέντρον αὐτός , ὅς διάμετρος ὁ Γ∠ , διαιρέω ὁ ἐκ ἀρχή κύκλος ἐν λόγος ὁ δίδωμι . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΑΒ Γ∠ ἴτυς πρός ὁ περί διάμετρος ὁ Γ∠ κύκλος δίδωμι , λόγος ἄρα καί ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ Γ∠ κύκλος δίδωμι . ὡς δέ ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δίαμετρον τετράγωνος · λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Γ∠ δίδωμι · καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΑΒ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό Γ∠ . συντίθημι δή οὕτως · εἰμί ὁ μέν ΑΒ διάμετρος μονάς κ , ὁ δέ δίδωμι λόγος , ὅς ἔχω ὁ γ πρός ὁ ε . συντίθημι ὁ γ καί ὁ ε · γίγνομαι η̅ · καί ὁ κ ἐπί ἐαυτός · γίγνομαι υ̅ · ἐπί ὁ ε · γίγνομαι β . οὗτος μερίζω παρά ὁ η̅ · γίγνομαι σ · οὗτος πλευρά λαμβάνω ὡς ἐγγύς · γίγνομαι ιος ιγ . τοσοῦτος εἰμί ὁ Γ∠ διάμετρος .
heron.metrica 3.10
ι . | Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι , προγέγραπται · ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι , δι᾿ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται , ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα . Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠ Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι . γεγονέτω · ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον , συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ∠ . εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ , ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διῆκταί τις εὐθεῖα χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν · δοθέντα ἄρα τὰ Ε , Ζ σημεῖα . τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται . δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον . κἂν τὸ ∠ σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ , ἀλλʼ ὡς ἔτυχεν , οὐδὲν διοίσει .
Lemmas: ι̅ . | ὅσος μέν οὖν ὁ ἐπίπεδος δυνατός εἰμί ἀριθμός διαιρέω , προγράφω · ὅσος δέ διαιρέω μέν ἀναγκαῖος εἰμί , διά ἀριθμός δέ οὐ δύναμαι , οὗτος γεωμετρικός ἐκτίθημι . εἰμί τρίγωνον δίδωμι ὁ ΑΒΓ καί ἐκβάλλω αὐτός εἷς πλευρά ὁ ΒΓ ἀπό δίδωμι ὁ ∠ διάγω ὁ ∠ Ε διαιρέω ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγος δίδωμι . γίγνομαι · ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΑΕΖ τρίγωνον πρός ὁ ΖΕΒΓ τετράπλευρος , συντίθημι λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΖΕ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΒΓ δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΖΕ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ∠ . εἰς δύο ἄρα θέσις ὁ ΑΒ , ΑΓ περαίνω κατά ὁ αὐτός ὁ Α ἀπό δίδωμι ὁ ∠ διάγω τις εὐθύς χωρίον ἀποτέμνω δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ Ε , Ζ σημεῖον . οὗτος δέ ἐν ὁ βʹ ὁ ὁ χωρίον ἀποτομή δείκνυμι . δείκνυμι ἄρα ὁ πρόκειμαι . ἐάν ὁ ∠ σημεῖον μή ἐπί ὁ ΒΓ , ἀλλά ὡς τυγχάνω , οὐδείς διαφέρω .
heron.metrica 3.11
ια . Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τμηθείσης τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ∠Ε λόγῳ . γεγσνέτω · καὶ ἤχθω τῇ μὲν Α∠ παράλληλος ἡ ΓΗ , τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ . ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ . τὸ | ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετραπλεύρῳ · ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον , τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠ , οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον . τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ κατὰ τὸ Ζ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠ , τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ , τουτέστι τὸ ΕΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΖ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΖ∠Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠ · ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ , θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ · δοθὲν ἄρα τὸ Η . καὶ ἔστι παρὰ θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ . δοθὲν ἄρα τὸ Θ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΘ · καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ . δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν ∠Ε παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ , τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ , καὶ τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς Ε∠ , οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ . καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον .
Lemmas: ιαʹ . τετράπλευρος δίδωμι ὁ ΑΒΓ∠ καί τέμνω ὁ Α∠ κατά ὁ Ε διάγω ὁ ΕΖ τέμνω ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος ἐν ὁ ὁ ΑΕ πρός ὁ ∠Ε λόγος . γίγνσμαι · καί ἄγω ὁ μέν Α∠ παράλληλος ὁ ΓΗ , ὁ δέ ΕΒ ἐπιζεύγνυμι παράλληλος ὁ ΗΘ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ ΕΘ ΕΗ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΗΕ τρίγωνον ὁ ΕΒΘ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΒΕ . ὁ | ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΘΕ τετράπλευρος · ὡς ἄρα ὁ ΑΗΕ τρίγωνον , τουτέστι ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ Ε∠ , οὕτως ὁ ΑΒΘΕ τετράπλευρος πρός ὁ ΕΓ∠ τρίγωνον . τέμνω δή καί ὁ ΓΘ κατά ὁ Ζ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ Ε∠ , ὁ ΘΖ πρός ΖΓ , τουτέστι ὁ ΕΘ τρίγωνον πρός ὁ ΕΓΖ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΖΕ τετράπλευρος πρός ὁ ΓΕΖ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὁ ΑΕ πρός ὁ Ε∠ · ἐπεί οὖν δίδωμι ὁ Γ , θέσις ἄρα καί ὁ ΓΗ . θέσις δέ καί ὁ ΑΒΗ · δίδωμι ἄρα ὁ Η . καί εἰμί παρά θέσις ὁ ΒΕ ὁ ΗΘ . δίδωμι ἄρα ὁ Θ · δίδωμι ἄρα ὁ ΓΘ · καί τέμνω ἐν δίδωμι λόγος κατά ὁ Ζ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ · θέσις ἄρα ὁ ΕΖ . δέω ἄρα εἰς ὁ σύνθεσις ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ καί ὁ μέν ∠Ε παράλληλος ἄγω ὁ ΓΗ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΗΘ , καί τέμνω ὁ ΘΓ κατά ὁ Ζ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός Ε∠ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός ΖΓ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ ποιέω ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.12
ιβ . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι . γεγονέτω · καὶ διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον . δοθέντα ἄρα τὰ Η , Θ . δοθὲν δὲ καὶ τὸ Ε · θέσει | ἄρα ἡ ΕΖ . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η , καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ . ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα .
Lemmas: ιβʹ . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι δίδωμι τις τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε καί δέω εἰμί διάγω ὁ ΕΖ διαιρέω ὁ τετράπλευρος ἐν λόγος ὁ δίδωμι . γίγνομαι · καί διαιρέω ὁ Α∠ ἐν ὁ δίδωμι λόγος κατά ὁ Η · καί διάγω ὁ ΘΕ ὁ αὐτός λόγος τέμνω ὁ τετράπλευρος . δίδωμι ἄρα ὁ Η , Θ . δίδωμι δέ καί ὁ Ε · θέσις | ἄρα ὁ ΕΖ . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · διαιρέω ὁ Α∠ ἐν ὁ δίδωμι λόγος κατά ὁ Η , καί διάγω ὁ ΗΘ τέμνω ὁ τετράπλευρος ἐν ὁ αὐτός λόγος · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ καί οὗτος παράλληλος ὁ ΗΖ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΕ . εἰμί δή οὗτος ὁ ποιέω ὁ πρόβλημα .