heron.metrica 1.pr
Ἡ πρώτη γεωμετρία , ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος , περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο , ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη · χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος , ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ διανομῶν · καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα , προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως , ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι , καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ . ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι , διʼ ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι , καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα . καὶ πρὸ τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι , διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ ( π . σφ . καὶ κυλ . l , 33 vol . l p . 136 Heib . ) καὶ ὅτι τὸ στερεὸν αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου ( ibid . l , 34 corollarium vol . l p . 146 Herb . ) καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει . ἀναγκαίας οὖν ὑπαρχούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγησάμεθα συναγαγεῖν , ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προσεθεωρήσαμεν . ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων , συμπαραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας κοίλας ἢ κυρτὰς , ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο διαστάσεων ἐπινοεῖται . αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρημένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον , εὐθύγραμμον μὲν , ἐπεὶ ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός | ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς · πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει , αἱ δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας . διὸ πρὸς ἑστηκός τι , λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν , ἔτι δὲ καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο · πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει , αἱ δʼ ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας . καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν ἐμβαδὸς , ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἔχῃ πήχεος ἑνός · ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται , ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς ἑνός . ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη . πάλιν δʼ αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον , πάντη ἰσόπλευρον · τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός · ἢ πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη . διʼ ἣν μὲν οὖν αἰτίαν πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται , εἴρηται , ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων . ἵνα οὖν μὴ καθʼ ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν , ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθμοὺς ἐκθησόμεθα · ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί τις μέτρον ὑποτίθεσθαι .
Lemmas: ὁ πρῶτος γεωμετρία , ὡς ὁ παλαιός ἐγώ διδάσκω λόγος , περί ὁ ἐν ὁ γῆ μέτρησις καί διανομή κατασχολέω , ὅθεν καί γεωμετρία καλέω · χρειώδης δέ ὁ πρᾶγμα ὁ ἄνθρωπος ὑπάρχω ἐπί πολύς προάγω ὁ γένος , ὥστε καί ἐπί ὁ στερεός σῶμα χωρέω ὁ διοίκησις ὁ τε μέτρησις καί διανομή · καί ἐπειδή οὐ ἐξαρκέω ὁ πρῶτος ἐπινοέω θεώρημα , προσοδεηθέω ἔτι περισσός ἐπίσκεψις , ὥστε καί μέχρι νῦν τις αὐτός ἀπορέω , καίτοι Ἀρχιμήδης τε καί Εὔδοξος γενναῖος ἐπιβάλλω ὁ πραγματεία . ἀμήχανος γάρ εἰμί πρό ὁ Εὔδοξος ἐπίνοια ἀπόδειξις ποιέω , διά ὅς ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος τριπλάσιος εἰμί , καί ὅτι ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος πρός ἀλλήλων . καί πρό ὁ Ἀρχιμήδης σύνεσις ἄπιστος εἰμί ἐπινοέω , διότι ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν αὐτός ( π . σφι . καί κυλ . l , 33 vol . l p . 136 Heib . ) καί ὅτι ὁ στερεός αὐτός δύο τριτημόριον εἰμί ὁ περιλαμβάνω αὐτός κύλινδρος ( ibid . l , 34 corollarium vol . l p . 146 Herb . ) καί ὅσος οὗτος ἀδελφός τυγχάνω . ἀναγκαῖος οὖν ὑπάρχω ὁ λέγω πραγματεία καλός ἔχω ἡγέομαι συνάγω , ὅσος ὁ πρό ἐγώ εὔχρηστος ἀναγράφω καί ὅσος ἐγώ προσθεωρέω . ἄρχω δέ ἀπό ὁ ἐπίπεδος μέτρησις , συμπαραλαμβάνω ὁ ἐπίπεδος καί ὁ ἄλλος ἐπιφάνεια κοῖλος ἤ κυρτός , ἐπειδή πᾶς ἐπιφάνεια ἐκ δύο διάστασις ἐπινοέω . ὁ δέ σύγκρισις ὁ λέγω ἐπιφάνεια γίγνομαι πρός τις χωρίον εὐθύγραμμος τε καί ὀρθογώνιον , εὐθύγραμμος μέν , ἐπεί ὁ εὐθύς ἀμετάπτωτος | εἰμί παρά ὁ ἄλλος γραμμή · πᾶς γάρ εὐθύς ἐπί πᾶς εὐθεῖα ἐφαρμόζω , ὁ δέ ἄλλος κοῖλος ἤ κυρτός οὐ πᾶς ἐπί πᾶς . διό πρός ἵστημι τις , λέγω δέ ὁ εὐθεῖα , ἔτι δέ καί πρός ὁ ὀρθός γωνία ὁ σύγκρισις ποιέω · πάλιν γάρ πᾶς ὀρθός ἐπί πᾶς ὀρθός ἐφαρμόζω , ὁ δέ ἄλλος οὐ πᾶς ἐπί πᾶς . καλέω δέ πῆχυς μέν ἐμβαδός , ὅταν χωρίον τετράγωνος ἕκαστος πλευρά ἔχω πῆχυς εἷς · ὅμοιος δέ καί ἐμβαδός πούς καλέω , ὅταν χωρίον τετράγωνος ἔχω ἕκαστος πλευρά πούς εἷς . ὥστε ὁ λέγω ἐπιφάνεια ὁ σύγκρισις λαμβάνω πρός ὁ λέγω χωρίον ἤ ὁ οὗτος μέρος . πάλιν δέ αὖ ὁ στερεός σῶμα ὁ σύγκρισις λαμβάνω πρός χωρίον στερεός εὐθύγραμμος τε καί ὀρθογώνιον , πάντῃ ἰσόπλευρος · οὗτος δέ εἰμί κύβος ἔχω ἕκαστος πλευρά ἤτοι πῆχυς εἷς ἤ πούς εἷς · ἤ πάλιν πρός ὁ οὗτος μέρος . διά ὅς μέν οὖν αἰτία πρός ὁ λέγω χωρίον ὁ σύγκρισις γίγνομαι , λέγω , ἑξῆς δέ ἄρχω ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια μέτρησις . ἵνα οὖν μή κατά ἕκαστος μέτρησις πούς ἤ πῆχυς ἤ ὁ οὗτος μέρος ὀνομάζω , ἐπί μονάς ὁ ἀριθμός ἐκτίθημι · ἔξεστι γάρ αὐτός πρός ὅς βούλομαι τις μέτρον ὑποτίθημι .