heron.metrica 3.4
δ . Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει , ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις . ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ τοῖς ∠ , Ζ , Ε , ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α∠ πρὸς τὴν ∠Β , οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ , ἔσται τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις . ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ , ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ , καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ , ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ , οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ · καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ , οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ , ὅ ἐστι δοθέν . δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ , ὅ ἐστι δοθὲν . καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ · ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ , τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ δι | πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ∠ δοθέν ἐστι · θέσει ἄρα αἱ ∠Ε ΕΖ Ζ∠ . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ , ἡ δὲ ΓΑ μονάδων ιε . ἔστω δὲ καὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ . λοιπὰ ἄρα τὰ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ . πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ · γίνεται αχπ · ταῦτα τετράκι · γίγνεται ϛψκ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ · ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ · μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ · γίγνεται μϛ · καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εU+2220 . καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220 , οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ · γίγνεται μονάδων ε κε . πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220 , οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ · γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ . γίγνεται ἡ Β∠ μονάδων ε καὶ γ .
Lemmas: δ . τρίγωνον δίδωμι ὁ ΑΒΓ ἀφαιρέω ἀπό αὐτός τρίγωνον ὁ ∠ΕΖ δίδωμι ὁ μέγεθος , ὥστε ὁ καταλείπω τρίγωνος ὁ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσος εἰμί ἀλλήλων . ἐάν δή τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ ὁ ∠ , Ζ , Ε , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΓ καί ὁ ΓΕ πρός ΕΑ , εἰμί ὁ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνος ἴσος ἀλλήλων . ἐπιζεύγνυμι οὖν ὁ ΑΖ καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΖ πρός ΖΓ , ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ , καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΖ , ὁ ΓΑ πρός ΑΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΖΓ , οὕτως ὁ ΑΖΓ πρός ὁ ΑΖΕ · καί ἀναστρέφω ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒΖ , οὕτως ὁ ΑΖΓ πρός ὁ ΕΓΖ , ὅς εἰμί δίδωμι . δίδωμι δέ καί ὁ ΑΒΓ · δίδωμι ἄρα ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΓ ἐπί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΖΕΓ , ὅς εἰμί δίδωμι . καί ἴσος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΖ τρίγωνον ἐπί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΖΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΒΖ ἐπί ὁ ἐμβαδόν ὁ ΑΖΓ · ἀλλά ὁ μέν ἐμβαδός ὁ ΑΒΖ καθέτης ἄγω ὁ ΑΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ΕΒ ΑΗ , ὁ δέ ἐμβαδός ὁ ΑΖΓ δι | πλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ΖΓ ΑΗ · δίδωμι ἄρα ὁ ὑπό ΖΒ ΑΗ ἐπί ὁ ὑπό ΑΗ ΖΓ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΗ ἐπί ὁ ὑπό ΒΖΓ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ · λόγος ἄρα ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΖ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΑ πρός ΑΕ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΓΑ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε . κατά ὁ αὐτός δή καί ὁ ∠ δίδωμι εἰμί · θέσις ἄρα ὁ ∠Ε ΕΖ Ζ∠ . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · εἰμί γάρ ὁ μέν ΑΒ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιδʹ , ὁ δέ ΓΑ μονάς ιεʹ . εἰμί δέ καί ὁ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάς πδʹ . λοιπός ἄρα ὁ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνος εἰμί ἀνά μονάς κ . πολλαπλασιάζω ὁ πδʹ ἐπί ὁ κ · γίγνομαι αχπʹ · οὗτος τετράκις · γίγνομαι ϛψκʹ . καί ἐπεί ὁ ΑΗ κάθετος εἰμί μονάς ιβʹ · ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι ρμδʹ · μερίζω ὁ ϛψκʹ παρά ὁ ρμδʹ · γίγνομαι μϛʹ · καί εἰμί ὁ ΒΓ μονάς ιδʹ · εἰμί ἄρα καί ὁ μέν ΒΖ ὡς ἐγγύς μονάς η̅ καί ὁ ΖΓ μονάς εἶμι . καί ποιέω ὡς ὁ ιδʹ πρός ὁ εἶμι , οὕτως ὁ ιεʹ πρός ἄλλος τις · γίγνομαι μονάς ε ἄν . πάλιν ὡς ὁ ιδʹ πρός ὁ εἶμι , οὕτως ὁ ιγʹ πρός ἄλλος τις · γίγνομαι πρός μονάς ε καί γ . γίγνομαι ὁ Β∠ μονάς ε καί γ .