heron.metrica 2.8
η . Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων περιεχόμενον ἐπιπέδων , οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓ∠ ἢ μή . καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ , τῇ δὲ ΖΘ ἡ ΒΛ . καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ , Χ καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ , ΦΜ , ΛΝ , ΧΤ . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ . τὸ δὴ εἰρημένον στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν παραλληλεπίπεδον , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ , καὶ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , κορυφὴ δὲ ἡ ΖΗ εὐθεῖα , καὶ | ἕτερον πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , κορυφὴ δε ἡ ΗΘ εὐθεῖα , καὶ πυραμίδα , ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ PΓ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον . ἀλλὰ τὸ μὲν πρίσμα , οὗ βάσις τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῶ , οὗ βάσις τὸ ΚΠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ τῷ στερεῷ , τὸ δὲ πρίσμα , οὗ βάσις τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ , οὗ βάσις μὲν τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ , ἡ δὲ πυραμὶς , ἧς βάσις τὸ ΡΓ παραλληλόγραμμον , ἴση ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ , οὗ βάσις μὲν ἓν καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ · ὥστε τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεὸν ἴσον εἶναι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ , οὗ βάσις τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς στερεῷ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΚ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡμίσεια ἡ ΑΦ , δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΦ . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΧ , τουτέστιν ἡ ΦΞ δοθὲν ἄρα τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον . πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἡ ΒΚ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΦ , τουτέστιν ἡ ΡΠ . κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΞ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΞΡ παραλληλόγραμμον . ὥστε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ δοθέν ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ δοθέν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεόν . συντεθήσεται δὴ οὕτως ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει . ἔστω γὰρ ἡ μὲη ΑΒ μονάδων κ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιβ , ἡ δὲ ΕΖ μονάδων τὸν λόγον ἔχει ἡ πυραμὶς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛΜ παραλληλόγραμμον , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον , πρὸς τὸν κῶνον , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον , ἐπειδήπερ καὶ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον , οὗ βάσις τὸ ΘΛ παραλληλόγραμμον , ὕψος δὲ τὸ ΖΗ , πρὸς τὸν κύλινδρον , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος , ὕψος δὲ τὸ αὐτό , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ πυραμὶς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΝΞΟΠ τε |τράγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει πρὸς τὸν κῶνον , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον . καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ στερεὸν , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΛ , κορυφὴ δὲ τὸ ΝΟ , πρὸς τὸν κόλουρον κῶνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . δοθὲν δὲ τὸ ΘΛΝΟ στερεὸν , ὡς δέδεικται · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ κόλουρος κῶνος . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως . σύνθες κ καὶ ιβ · ὧν τὸ ἥμισυ γίγνεται ιϛ . ἐφʼ ἑαυτὰ σνϛ , ἐπεί ἐστι τετράγωνος . καὶ ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ · λοιπὰ η . ὧν ἥμισυ γίγνεται δ . ἐφʼ ἑαυτὰ ιϛ · τούτων τὸ γʹ · γίγνεται εγ΄ . πρόσθες σνϛ · γίγνεται σξα γʹ · τούτων τὸ ια · γίγνεται σε γʹ . ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος , τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι · γίγνεται βνγ γʹ . τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου .
Lemmas: η̅ . εἰμί δέ στερεός μετρέω ὑπό εὐθύγραμμος περιέχω ἐπίπεδος , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , κορυφή δέ ὁ ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιος ὁ ΑΒΓ∠ ἤ μή . καί κεῖμαι ὁ μέν ΕΖ ἴσος ὁ ΑΚ , ὁ δέ ΖΘ ὁ ΒΛ . καί τέμνω ὁ ΒΚ ΓΛ δίχα ὁ Φ , Χ καί παράλληλος ἄγω ὁ ΚΥ , ΦΜ , ΛΝ , ΧΤ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ . ὁ δή λέγω στερεός εἰμί κατατέμνω εἰς τε στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΡ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , κορυφή δέ ὁ ΕΗ , καί πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΚΛ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , κορυφή δέ ὁ ΖΗ εὐθύς , καί | ἕτερος πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΝΥ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , κορυφή δε ὁ ΗΘ εὐθύς , καί πυραμίς , ὅς ὁ βάσις μέν ὁ PΓ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , κορυφή δέ ὁ σημεῖον . ἀλλά ὁ μέν πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΚΛ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , ἴσος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις ὁ ΚΠ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον καί ὕψος ὁ αὐτός ὁ στερεός , ὁ δέ πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΝΥ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , ἴσος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις μέν ὁ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον , ὕψος δέ ὁ αὐτός , ὁ δέ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΡΓ παραλληλόγραμμος , ἴσος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις μέν εἷς καί ὁ τρίτος ὁ ΡΞ παραλληλόγραμμος , ὕψος δέ ὁ αὐτός · ὥστε ὁ ἐκ ἀρχή στερεός ἴσος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις ὁ ΑΞ παραλληλόγραμμος καί ὁ τρίτος ὁ ΡΞ παραλληλόγραμμος , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ ἐκ ἀρχή στερεός · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΞ παραλληλόγραμμος καί ὁ τρίτος ὁ ΡΞ ἐπεί γάρ ἑκάτερος ὁ ΒΑ ΑΚ δίδωμι εἰμί καί εἰμί αὐτός ἥμισυς ὁ ΑΦ , δίδωμι ἄρα ὁ ΑΦ . κατά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΧ , τουτέστι ὁ ΦΞ δίδωμι ἄρα ὁ ΑΞ παραλληλόγραμμος . πάλιν ἐπεί δίδωμι ὁ ΒΚ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΚΦ , τουτέστι ὁ ΡΠ . κατά ὁ αὐτός καί ὁ ΠΞ δίδωμι ἄρα καί ὁ ΞΡ παραλληλόγραμμος . ὥστε καί ὁ τρίτος αὐτός δίδωμι εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὕψος ὁ στερεός δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐκ ἀρχή στερεός . συντίθημι δή οὕτως ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις . εἰμί γάρ ὁ με͂ος ΑΒ μονάς κ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιβʹ , ὁ δέ ΕΖ μονάς ὁ λόγος ἔχω ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΘΚΛΜ παραλληλόγραμμος , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον , πρός ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον , ἐπειδή καί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον , ὅς βάσις ὁ ΘΛ παραλληλόγραμμος , ὕψος δέ ὁ ΖΗ , πρός ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος , ὕψος δέ ὁ αὐτός , ὁ αὐτός λόγος ἔχω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΝΞΟΠ τε |τράγωνον , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον , ὁ αὐτός λόγος ἔχω πρός ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ Γ∠ κύκλος , κορυφή δέ ὁ σημεῖον . καί λοιπός ἄρα ὁ στερεός , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΘΛ , κορυφή δέ ὁ ΝΟ , πρός ὁ κόλουρος κῶνος ὁ αὐτός ἔχω λόγος . δίδωμι δέ ὁ ΘΛΝΟ στερεός , ὡς δείκνυμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ κόλουρος κῶνος . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως . συντίθημι κ καί ιβʹ · ὅς ὁ ἥμισυς γίγνομαι ιϛʹ . ἐπί ἑαυτοῦ σνϛʹ , ἐπεί εἰμί τετράγωνος . καί ἀπό ὁ κ ὁ ιβ · λοιπός η̅ . ὅς ἥμισυς γίγνομαι δ . ἐπί ἑαυτοῦ ιϛʹ · οὗτος ὁ γʹ · γίγνομαι εγʹ . προστίθημι σνϛʹ · γίγνομαι σξαʹ γʹ · οὗτος ὁ ιαʹ · γίγνομαι σύ γʹ . οὗτος ἐπί ὁ ὕψος , τουτέστι ἐπί ὁ ι̅ · γίγνομαι βνγʹ γʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός ὁ κόλουρος κῶνος .