heron.metrica 1.39
λθ . Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως . ἔστω τμῆμα σφαίρας , οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ , τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ , ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ . ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε · ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν . ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ( I c . 42sq . t . l p . 176 Heib . ) ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος · ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου · καὶ ἔστι μονάδων ιγ . ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϛ . τὸ ἄρα ἐμβαδὸν , ὡς προείρηται , ἔσται μονάδων φλα ζ΄ . τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια . Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν , αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι , ἀναγκαῖον δὲ ὡς οἶμαι πρὸς τὰς | ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας , ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι . εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν , ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει , δεήσει ἐπʼ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα , ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀποᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς , καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα . εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια , ἀλλʼ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου , δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ , ἄχρι ἂν περιειληθῇ , εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς , ὡς προείρηται , καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας . εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν , μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων · καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι .
Lemmas: λθʹ . τμῆμα δέ σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια μετρέω οὕτως . εἰμί τμῆμα σφαῖρα , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχω ὁ μέν ΑΓ διάμετρος μονάς κδʹ , ὁ δέ ΕΖ κάθετος μονάς ε . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ εἰμί μονάς ΚΛ , ὁ ἄρα ΑΖ εἰμί μονάς ιβʹ . ὁ δέ ΖΕ μονάς ε · ὁ ἄρα ΑΕ εἰμί μονάς ιγʹ διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Ζ γωνία . ἀποδείκνυμι δέ ὁ αὐτός Ἀρχιμήδης ἐν ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος ( I c . 42sq . t . l p . 176 Heib . ) ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ πόλος ὁ βάσις ὁ τμῆμα · ὁ δέ ΑΕ ἐκ ὁ πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος · καί εἰμί μονάς ιγʹ . ὁ ἄρα διάμετρος ὁ λέγω κύκλος εἰμί μονάς κϛʹ . ὁ ἄρα ἐμβαδόν , ὡς προλέγω , εἰμί μονάς φλαʹ ζʹ . τοσοῦτος ἄρα καί ὁ ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια . ὅσος μέν οὖν εἰμί σχῆμα τάσσω ἐπιφάνεια , αὔταρκος νομίζω μετρέω , ἀναγκαῖος δέ ὡς οἴομαι πρός ὁ | ἄτακτος λέγω ἐπιφάνεια , ὡς δέω αὐτός μετρέω . εἰ μέν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδος εἰμί , ὁ δέ περιέχω αὐτός γραμμή ἄτακτος ὑπάρχω , δέω ἐπί αὐτός ὁ γραμμή λαμβάνω τις συνεχής σημεῖον , ὥστε ὁ ἐπιζεύγνυμι αὐτός κατά ὁ ἑξῆς εὐθύς γραμμή μή κατά πολύς ἀπᾴδω ὁ περιέχω ὁ σχῆμα γραμμή , καί οὕτως ὡς πολύγωνος μετρέω εἰς τρίγωνος καταδιαιρέω . εἰ δέ οὐ εἰμί ἐπίπεδος ὁ ἐπιφάνεια , ἀλλά ὥσπερ ἀνδριάς ἤ ἄλλος τις τοιοῦτος , δέω λαμβάνω χάρτης ὅτι λεπτός ἤ σινδών περιτείνω κατά μέρος ἐπί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός , ἄχρι ἄν περιειλέω , εἶτα ἐκτείνω ὁ χάρτης ἤ ὁ σινδών εἰς ἐπίπεδος μετρέω περιέχω ὑπό ἄτακτος γραμμή , ὡς προλέγω , καί ἀποφαίνω ὁ ἐμβαδόν ὁ ἐπιφάνεια . εἰ δέ τις εἰμί ἕτερος ἐπιφάνεια ἤ σχῆμα ἐπιφάνεια , μετρέω ἐκ ὁ προλέγω · καί γάρ αὔταρκος νομίζω ὁ ἐκ δύο διάστασις ἐπιφάνεια μετρέω .