heron.metrica 1.11
ια . | Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠ , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ , ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ , ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον . ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ , καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ , ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ · ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ , ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι . ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν , ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα · καὶ ἔσται μονάδων ιβ , ὡς προδέδεικται . τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ , Γ∠ τοῖς Η , Θ , καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΚΗΛ , ΜΘΝ . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ , τὸ δὲ ∠ΜΘ τῷ ΓΝΘ ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘ∠ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ , ἡ δὲ ∠Μ τῇ ΓΝ , αἱ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ . κοινῶν προστεθεισῶν τῶν Α∠ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ , τουτέστι δύο αἱ ΚΜ , συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση . καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ · ἐστι γὰρ μονάδων κβ · ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ · αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ μονάδων ια . ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ · ἴση γάρ ἐστι τῇ Α Ζ · τὸ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ . καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ · ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ τραπέζιον μονάδων ρλβ . συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ · γίγνονται λοιπαὶ ι . τούτων τὸ ἥμισυ ε . καὶ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ · γίγνονται κε · καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ · γίγνονται ρξθ . ἄφελε τὰ κε · λοιπὰ ρμδ . τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ · ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ . τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως · σύνθες τὰ ιϛ καὶ τὰ ϛ · γί|νονται κβ · ὧν ἥμισυ · γίγνονται ια · ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · γίγνεται ρλβ · τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ιαʹ . | εἰμί τραπέζιον ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ∠ ἴσος ἔχω ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί μονάς ιγʹ , ὁ δέ Α∠ μονάς ϛ , ὁ δέ ΒΓ μονάς ιϛʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν καί ὁ κάθετος . ἄγω ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΑΕ , καί κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΒΓ ὁ ΑΖ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕΓ∠ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν Α∠ ὁ ΕΓ , ὁ δέ Γ∠ ὁ ΑΕ · ὥστε εἰμί ὁ μέν ΑΕ μονάς ιγʹ , ὁ δέ ΕΓ μονάς ϛ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΕ μονάς ιʹ . ἐπεί οὖν ἰσοσκελής εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχω ἕκαστος πλευρά δίδωμι , εἰμί ἄρα καί ὁ ΑΖ κάθετος δίδωμι · καί εἰμί μονάς ιβʹ , ὡς προδείκνυμι . τέμνω δή δίχα ὁ ΑΒ , Γ∠ ὁ Η , Θ , καί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΚΗΛ , ΜΘΝ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΚΗ τρίγωνον ὁ ΒΗΛ , ὁ δέ ∠ΜΘ ὁ ΓΝΘ ὥστε κοινός προστίθημι ὁ ΑΗΘ ἑξάπλευρος ἴσος εἰμί ὁ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΚ ὁ ΒΛ , ὁ δέ ∠Μ ὁ ΓΝ , ὁ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσος εἰμί ὁ ΒΛ ΝΓ . κοινός προστίθημι ὁ Α∠ ΛΝ εἰμί συναμφότεροι ὁ ΚΜΛΝ , τουτέστι δύο ὁ ΚΜ , συναμφότεροι ὁ Α∠ ΒΓ ἴσος . καί εἰμί δίδωμι συναμφότεροι ὁ Α∠ ΒΓ · εἰμί γάρ μονάς κβʹ · εἰμί ἄρα καί ὁ δύο ὁ ΚΜ μονάς κβʹ · αὐτός ἄρα ὁ ΚΜ μονάς ιαʹ . ἀλλά καί ὁ ΚΛ μονάς ιβʹ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ Α Ζ · ὁ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμος εἰμί μονάς ρλβʹ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον · εἰμί ἄρα καί ὁ ΑΒΓ∠ τραπέζιον μονάς ρλβʹ . συντίθημι δέ ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · ἀφαιρέω ἀπό ὁ ιϛʹ ὁ ϛ · γίγνομαι λοιπός ι̅ . οὗτος ὁ ἥμισυς ε . καί οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ἄν · καί ὁ ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ρξθʹ . ἀφαιρέω ὁ ἄν · λοιπός ρμδʹ . οὗτος πλευρόν γίγνομαι ιβʹ · εἰμί ὁ κάθετος μονάς ιβʹ . ὁ δέ ἐμβαδόν οὕτως · συντίθημι ὁ ιϛʹ καί ὁ ϛ · γίγνομαι κβʹ · ὅς ἥμισυς · γίγνομαι ιαʹ · οὗτος ἐπί ὁ κάθετος · γίγνομαι ρλβʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .