ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
heron.metrica 3.13
ιγ . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου . καὶ ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε · καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓ∠ δοθέντα · καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ ΖΗ . καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ Α∠ τῇ ΒΓ , ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος · δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒ ΖΗ · θέσει ἄρα ἡ ΖΕ . τοῦτο γὰρ ἑξῆς . εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι , συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ · δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον . καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ | Θ γωνία · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ · ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομήν · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ .
Lemmas: ιγʹ . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ὁ δίδωμι σημεῖον ἐπί μηδείς εἰμί πλευρά ὁ τετράπλευρος . καί εἰμί ὁ μέν δίδωμι τετράπλευρος ὁ ΑΒΓ∠ , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ὁ Ε · καί εἰμί διάγω ὁ ΕΖ ποιέω λόγος ὁ ΑΒΖΗ πρός ὁ ΓΗΖ δίδωμι · καί ἀνάπαλιν καί συντίθημι λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ πρός ὁ ΑΒΖΗ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΑΒΓ∠ τετράπλευρος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒ ΖΗ . καί εἰ μέν παράλληλος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ΒΓ , εἰμί ὁ ΑΒΖΗ ἴσος ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΗ ΒΖ καί ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΒΓ . καί εἰμί δίδωμι ὁ κάθετος · δίδωμι ἄρα καί συναμφότεροι ὁ ΑΒ ΖΗ · θέσις ἄρα ὁ ΖΕ . οὗτος γάρ ἑξῆς . εἰ δέ μή εἰμί παράλληλος , συμπίπτω κατά ὁ Θ · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΖΗ τετράπλευρος . καί ὅλος ἄρα ὁ ΗΖΘ τρίγωνον δίδωμι εἰμί . καί εἰμί δίδωμι ὁ | Θ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ὑπό ΘΗΖ · ἀπάγω ἄρα εἰς ὁ ὁ χωρίον ἀποτομή · θέσις ἄρα ὁ ΕΖ .
heron.metrica 3.14
ιδ . Ἑξῆς δὲ δείξομεν , ὡς δεῖ πολυπλεύρου εὐθυγράμμου δοθέντος καὶ σημείου ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς διαγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημιείου εὐθεῖαν διαιροῦσαν τὸ χωρίον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ · ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ , τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς ἔστω τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΗΘ διαιροῦσα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ · ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΘΗΖ χωρίου πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς , καὶ συνθέντι ἄρα λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΓ∠Ε ὧν τὸ ΗΓ∠Ε δοθέν ἐστι · λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΘΓ τρίγωνον δοθέν ἐστιν . καὶ ἔστιν αὐτοῦ διπλάσιον , καθέτου ἀχθείσης τῆς ΗΚ ἐπὶ τὴν ΓΒ , τὸ ὑπὸ ΓΘ ΗΚ . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΗΚ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΘ . δοθὲν ἄρα τὸ Θ · θέσει ἄρα ἡ ΘΗ . συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω δοθεὶς λόγος τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ · καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ , οὕτως τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς ἄλλο τι χωρίον τὸ Ξ · καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀφῃρήσθω ἴσον τῷ ΗΓ∠Ε · καὶ ἔστω λοιπὸν τὸ Ο . καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω ἡ ΗΚ · καὶ παραβεβλήσθω τὸ Ο παρὰ τὴν ΗΚ · καὶ ποιείτω πλάτος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΘ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ · ἔσται δὴ ἡ ΗΘ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα .
Lemmas: ιδʹ . ἑξῆς δέ δείκνυμι , ὡς δέω πολύπλευρος εὐθύγραμμος δίδωμι καί σημεῖον ἐπί εἷς αὐτός πλευρά διάγω ἀπό ὁ σημίειον εὐθεῖα διαιρέω ὁ χωρίον ἐν ὁ δίδωμι λόγος · εἰμί ὁ δίδωμι χωρίον ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ , ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ἐπί εἷς αὐτός πλευρά εἰμί ὁ Η · καί διάγω ὁ ΗΘ διαιρέω ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ ἐν ὁ δίδωμι λόγος · ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΑΒΘΗΖ χωρίον πρός ὁ ΗΘΕ δίδωμι , καί συντίθημι ἄρα λόγος εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ πρός ὁ ΗΘΕ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΘΕ ὅς ὁ ΗΓ∠Ε δίδωμι εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ΗΘΓ τρίγωνον δίδωμι εἰμί . καί εἰμί αὐτός διπλάσιος , καθέτης ἄγω ὁ ΗΚ ἐπί ὁ ΓΒ , ὁ ὑπό ΓΘ ΗΚ . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΗΚ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΘ . δίδωμι ἄρα ὁ Θ · θέσις ἄρα ὁ ΘΗ . συντίθημι δή ἀκόλουθος ὁ ἀνάλυσις οὕτως · εἰμί δίδωμι λόγος ὁ ΛΜ πρός ὁ ΜΝ · καί ποιέω ὡς ὁ ΛΜ πρός ΜΝ , οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ΕΖ πρός ἄλλος τις χωρίον ὁ Ξ · καί ἀπό ὁ Ξ ἀφαιρέω ἴσος ὁ ΗΓ∠Ε · καί εἰμί λοιπός ὁ Ο . καί κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΗΚ · καί παραβάλλω ὁ Ο παρά ὁ ΗΚ · καί ποιέω πλάτος ὁ ἥμισυς ὁ ΓΘ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ · εἰμί δή ὁ ΗΘ ποιέω ὁ πρόβλημα .
heron.metrica 3.15
ιε . | Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς , καὶ ἔστω τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΗΘ , ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον · δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓ∠Ε . καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ , ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ · ἔσται λοιπὸν τὸ ΘΓΕΚ · ὥσ??ε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ . εἰ δὲ οὔκ εἰσι παράλληλοι , συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ · δοθὲν ἄρα τὸ Γ∠ΕΛ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν ἐστιν . καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Λ γωνία · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΛΘ · ἀπῆκται ἄρα πρὸς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ .
Lemmas: ιε . | ὁ αὐτός ὑπόκειμαι εἰμί ὁ δίδωμι σημεῖον ἐπί μηδείς πλευρά , καί εἰμί ὁ Η · καί διάγω ὁ ΗΘ , ὥστε ἐν δίδωμι λόγος διαιρέω ὁ χωρίον · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΘΕΚ . καί εἰ μέν παράλληλος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ · εἰμί λοιπός ὁ ΘΓΕΚ · ὁράω θέσις εἰμί ὁ ΗΘ . εἰ δέ οὐ εἰμί παράλληλος , συμπίπτω κατά ὁ Λ · δίδωμι ἄρα ὁ Γ∠ΕΛ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΘΚΛ τρίγωνον δίδωμι εἰμί . καί εἰμί δίδωμι ὁ Λ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ὑπό ΚΛΘ · ἀπάγω ἄρα πρός ὁ ὁ χωρίον ἀποτομή · θέσις ἄρα ὁ ΗΘ .
heron.metrica 3.16
ιϛ . Δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ , Γ∠ καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΚΒ∠ ποιοῦσαν συναμφότερον τὴν ΑΒ , Γ∠ δοθεῖσαν . γεγονέτω · καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ζ . δοθεῖσα ἄρα ἡ Γ∠Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ · θέσει ἄρα ἡ ΑΖ . καὶ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Η · ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ , ∠Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Η . ἀλλὰ καὶ τὸ Ε · θέσει ἄρα ἡ ΕΗ . δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφʼ ἑκάτερα · καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα .
Lemmas: ιϛʹ . δύο θέσις παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ , Γ∠ καί δίδωμι ὁ Ε διάγω ὁ ΚΒ∠ ποιέω συναμφότεροι ὁ ΑΒ , Γ∠ δίδωμι . γίγνομαι · καί ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ∠Ζ . δίδωμι ἄρα ὁ Γ∠Ζ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ · θέσις ἄρα ὁ ΑΖ . καί δίχα τέμνω κατά ὁ Η · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΒ , ∠Ζ · δίδωμι ἄρα ὁ Η . ἀλλά καί ὁ Ε · θέσις ἄρα ὁ ΕΗ . δέω ἄρα εἰς ὁ σύνθεσις τίθημι ὁ δίδωμι ἴσος ὁ ΓΖ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ καί δίχα τέμνω κατά ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος · καί εἰμί ὁ ποιέω ὁ πρόβλημα .
heron.metrica 3.17
ιζ . | Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ , ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι . ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β . καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , οὗ διάμετρος ἡ Γ∠ . καὶ τετμήσθω ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε , ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β , οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠ . καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ , Ζ∠ · καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ · καὶ πόλῳ τῷ Ε , διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας . ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς Α πρὸς τὴν Β · ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ , ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ∠Ζ . οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν , ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ Ζ∠ τετράγωνα πρὸς ἄλληλα · ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠ , τουτέστιν ἡ Α πρὸς τὴν Β . αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β ταῦτα γὰρ ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται ( c . 3 t . I p . 207 Heib . ) .
Lemmas: ιζ . | σφαῖρα δίδωμι καί λόγος τέμνω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τις , ὥστε ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ δίδωμι . εἰμί γάρ ὁ δίδωμι λόγος ὁ ὁ Α πρός ὁ Β . καί ἔκκειμαι ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὅς διάμετρος ὁ Γ∠ . καί τέμνω ὁ Γ∠ κατά ὁ Ε , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ Ε∠ . καί ἀπό ὁ Ε ὁ Γ∠ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΖ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , Ζ∠ · καί λαμβάνω τίς τυγχάνω σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Θ · καί πόλος ὁ Ε , διάστημα δέ ἴσος ὁ ΓΖ κύκλος γράφω ὁ ΚΛ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . εἰμί δή ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ἐν ὁ σφαῖρα ὑπό ὁ ΚΛ κύκλος ὁ ἐπιφάνεια ἔχω λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ αὐτός ὁ ὁ Α πρός ὁ Β · ὁ μέν γάρ πρός ὁ Θ πόλος ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ , ὁ δέ ὁ λοιπός τμῆμα ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ∠Ζ . ὁ δέ λέγω κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΓΖ Ζ∠ τετράγωνος πρός ἀλλήλων · ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ Ε∠ , τουτέστι ὁ Α πρός ὁ Β . ὁ ἄρα λέγω ἐπιφάνεια λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ ὁ Α πρός ὁ Β οὗτος γάρ ἐν ὁ βʹ περί σφαῖρα Ἀρχιμήδης δείκνυμι ( c . 3 t . I p . 207 Heib . ) .
heron.metrica 3.18
ιη . | Τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἕσα θυσὶν εὐθείαις . τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν ἐστι , δῆλον , τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν ὡς ἔγγιστα οὕτω . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Α , καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον , οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ , καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ∠ΑΕ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ ∠Γ . λέγω ὅτι τὸ ∠ΒΓ τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ . ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου . καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ · τὸ ἄρα Β∠ΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου , ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ ∠ΒΓ τμῆμα ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον . ὁμοίως δὲ καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαντες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος · ὥστε καὶ τὸ καταλειπόμενον τρίτον μέρος ἔσται τοῦ ὅλου κύκλου .
Lemmas: ιηʹ . | ὁ δίδωμι κύκλος διαιρέω εἰς τρεῖς ἕννυμι θυσία εὐθύς . ὁ μέν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητός εἰμί , δῆλος , ὁ εὐχρηστία δέ ἕνεκα διαιρέω αὐτός ὡς ἐγγύς οὕτως . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α , καί ἐναρμόζω εἰς αὐτός τρίγωνον ἰσόπλευρος , ὅς πλευρόν ὁ ΒΓ , καί παράλληλος αὐτός ἄγω ὁ ∠ΑΕ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ ∠Γ . λέγω ὅτι ὁ ∠ΒΓ τμῆμα τρίτος ἐγγύς εἰμί μέρος ὁ ὅλος κύκλος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΑ ΑΓ . ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεύς τρίτος εἰμί μέρος ὁ ὅλος κύκλος . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΒΓ∠ τρίγωνον · ὁ ἄρα Β∠ΓΖ σχῆμα τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὅλος κύκλος , ὅς δή μέγας εἰμί αὐτός ὁ ∠ΒΓ τμῆμα εἰμί ὡς πρός ὁ ὅλος κύκλος . ὅμοιος δέ καί ἕτερος πλευρά ἰσόπλευρος τρίγωνον ἐγγράφω ἀφαιρέω ἕτερος τρίτος μέρος · ὥστε καί ὁ καταλείπω τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὅλος κύκλος .
heron.metrica 3.19
ιθ . Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον τὸ ∠ , ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν ∠Α ∠Β | ∠Γ τὰ ΑΒ∠ ∠ΒΓ ΓΑ∠ τρίγωνα ἴσα εἶναι . γεγονέτω · καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ . καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ · τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου . ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ . καὶ ἔστι ἡ ΑΒ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ · καὶ δοθὲν τὸ Β · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε · καὶ παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ε∠ · θέσει ἄρα ἡ Ε∠ . πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ζ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · θέσει ἄρα ἡ Ζ∠ · θέσει δὲ καὶ ἡ ∠Ε · δοθὲν ἄρα τὸ ∠ . συντεθήσεται δὴ οὕτως . εἰλήφθω τῆς μὲν ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ , τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ , καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ε∠ , τῇ δὲ ΑΒ ἡ Ζ∠ . ἐπιζευχθεῖσαι οὖν αἱ ∠Α , ∠Β , ∠Γ ποιήσουσι τὰ ΑΒ∠ , ∠ΒΓ , Γ∠Α τρίγωνα ἴσα . Αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαιρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται , ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χωρήσομεν . ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ , οἷον κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει , εὐκόπως διαιρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους . ὃν γὰρ ἔχει λόγον τὸ μῆκος , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεὸν . τῶν δὲ μειούρων αἱ διαιρέσεις οὐχ οὕτως , οἷον πυραμίδων | καὶ κώνων καὶ τῶν τοιούτων · διὸ περὶ αὐτῶν γράψομεν .
Lemmas: ιθʹ . τρίγωνον δίδωμι ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τις σημεῖον ὁ ∠ , ὥστε ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ὁ ∠Α ∠Β | ∠Γ ὁ ΑΒ∠ ∠ΒΓ ΓΑ∠ τρίγωνος ἴσος εἰμί . γίγνομαι · καί ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Ε καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ · ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτος μέρος εἰμί ὁ ΑΒΓ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΒΓ · τριπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΕΒΓ τρίγωνον . ὥστε καί ὁ ΑΒ ὁ ΒΕ εἰμί τριπλόος . καί εἰμί ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΕ · καί δίδωμι ὁ Β · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε · καί παρά ὁ ΒΓ ὁ Ε∠ · θέσις ἄρα ὁ Ε∠ . πάλιν δέ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Ζ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΑ τριπλάσιος εἰμί ὁ ΖΆ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ · θέσις ἄρα ὁ Ζ∠ · θέσις δέ καί ὁ ∠Ε · δίδωμι ἄρα ὁ ∠ . συντίθημι δή οὕτως . λαμβάνω ὁ μέν ΑΒ τρίτος μέρος ὁ ΒΕ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΑΖ , καί ὁ μέν ΒΓ παράλληλος ὁ Ε∠ , ὁ δέ ΑΒ ὁ Ζ∠ . ἐπιζεύγνυμι οὖν ὁ ∠Α , ∠Β , ∠Γ ποιέω ὁ ΑΒ∠ , ∠ΒΓ , Γ∠Α τρίγωνος ἴσος . ὁ μέν οὖν ὁ λέγω ἐπίπεδος χωρίον διαίρεσις αὔταρκος λέγω , ἑξῆς δέ ἐπί ὁ στερεός χωρέω . ὅσος μέν οὖν ἰσοπαχής τυγχάνω στερεός , οἷος κύλινδρος καί παραλληλεπίπεδον καί ὅσος ἁπλῶς ὁ βάσις ὁ κορυφή ὁ αὐτός ἔχω , εὔκοπος διαιρέω εἰς ὁ δίδωμι λόγος . ὅς γάρ ἔχω λόγος ὁ μῆκος , ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί ὁ στερεός . ὁ δέ μέιορος ὁ διαίρεσις οὐ οὕτως , οἷος πυραμίς | καί κῶνος καί ὁ τοιοῦτος · διό περί αὐτός γράφω .
heron.metrica 3.21
κα . Τὸν δοθέντα κῶνον διελεῖν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ . ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ . καὶ ἔστω αὐτοῦ ἡ πλευρὰ μονάδων ε . καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν , ὡς εἴρηται , ὥστε τὸν ἀποτεμνόμενον πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ καταλειπομένου κολούρου κώνου . ἀκολούθως οὖν τοῖς ἐπὶ τῆς πυραμίδος εἰρημένοις ἕξει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβον λόγον , ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ δ · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβος ἔσται μονάδων ρ · αὐτὴ ἄρα ἡ Γ∠ ἔσται μονάδων δ καὶ θ ἔγγιστα . ἀπειλήφθω οὖν ἡ Γ∠ τοσούτων . καὶ διὰ τοῦ ∠ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω παράλληλον τῇ βάσει καὶ ποιείτω τομὴν τὸν ∠Ε κύκλον , ὃς ποιήσει τὸ προκείμενον .
Lemmas: ἄν . ὁ δίδωμι κῶνος διαιρέω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις ἐν ὁ δίδωμι λόγος . εἰμί ὁ δίδωμι κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ . καί εἰμί αὐτός ὁ πλευρόν μονάς ε . καί ἐπιτάσσω διαιρέω , ὡς λέγω , ὥστε ὁ ἀποτέμνω πρός ὁ κορυφή κῶνος τετραπλασίων εἰμί ὁ καταλείπω κόλουρος κῶνος . ἀκόλουθος οὖν ὁ ἐπί ὁ πυραμίς λέγω ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΓ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ Γ∠ κύβος λόγος , ὅς ἔχω ὁ ε πρός ὁ δ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Γ∠ κύβος εἰμί μονάς ρ̅ · αὐτός ἄρα ὁ Γ∠ εἰμί μονάς δ καί θʹ ἐγγύς . ἀπολαμβάνω οὖν ὁ Γ∠ τοσοῦτος . καί διά ὁ ∠ ἐπίπεδος ἐκβάλλω παράλληλος ὁ βάσις καί ποιέω τομή ὁ ∠Ε κύκλος , ὅς ποιέω ὁ πρόκειμαι .
heron.metrica 3.23
κγ . Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν , ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν ἐπιταχθέντα . ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α πρὸς τὴν Β · καὶ ἐκκείσθω κύκλος ἐν ἐπιπέδῳ εἷς τῶν μεγίστων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , οὗ κέντρον μὲν τὸ Γ , διάμετρος δὲ ἡ ∠Ε · καὶ τῇ ΓΕ ἴση κείσθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , τὴν Α πρὸς τὴν Β · ἡ δὲ ∠Ε τετμήσθω κατὰ τὸ Θ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΕΖ πρὸς ΖζΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Θ · καὶ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚΛ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Κ∠ · καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας καὶ πόλῳ τῷ Μ , διαστήματι δὲ ἴσῳ τῇ Κ∠ κύκλος γεγράφθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ ΝΞ . λέγω ὅτι τὰ ἀπολαμβανόμενα τμήματα ὑπὸ τοῦ γραφέντος κύκλου πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν ἡ Α πρὸς τὴν Β . τοῦτο γὰρ ὁμοίως | Ἀρχιμήδει δέδεικται ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας ( c . 4 t . 1 p . 210 Heib . ) .
Lemmas: κγʹ . ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω , ὥστε ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω . εἰμί δή ὁ δίδωμι λόγος ὁ Α πρός ὁ Β · καί ἔκκειμαι κύκλος ἐν ἐπίπεδος εἷς ὁ μέγας ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὅς κέντρον μέν ὁ Γ , διάμετρος δέ ὁ ∠Ε · καί ὁ ΓΕ ἴσος κεῖμαι ὁ ΕΖ καί τέμνω κατά ὁ Η , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ , ὁ Α πρός ὁ Β · ὁ δέ ∠Ε τέμνω κατά ὁ Θ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΕΖ πρός ΖζΗ , οὕτως ὁ ἀπό Ε∠ πρός ὁ ἀπό ∠Θ · καί ὁ ∠Ε πρός ὀρθός ὁ ΘΚΛ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ∠ · καί λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα καί πόλος ὁ Μ , διάστημα δέ ἴσος ὁ Κ∠ κύκλος γράφω ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ΝΞ . λέγω ὅτι ὁ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὑπό ὁ γράφω κύκλος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς ὁ Α πρός ὁ Β . οὗτος γάρ ὅμοιος | Ἀρχιμήδης δείκνυμι ἐν ὁ βʹ περί σφαῖρα ( c . 4 t . 1 p . 210 Heib . ) .