heron.mechanicorum-fragmenta 1.11
Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα πῶς ἔστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς , δείξομεν , ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο , καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων , στερεόν . ἐκθησόμεθα συμφυὲς αὐτῷ . διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται · καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΟ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ , ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ , περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ βάρος . ὅτι γὰρ κινήσεται , δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης , ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα · ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ Περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος Μηχανικοῖς , ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν ἐλασσόνων κύκλων , ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις αὐτῶν γίνηται . Ὡς Ἥρων ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς καὶ ἐν τοῖς Βελοποιικοῖς . Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν δέ , φησίν , τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον . Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ , ∠Α , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β , ΓΑ , καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω | τέμνον τὰς ΓΕ , ΑΖ , ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν . γεγονέτω , καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ , ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ , ΗΖ . λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ , ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ , ΒΓ . περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β∠ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , Β∠ . ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ , ∠Α , καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β . καὶ κινείσθω , ἕως ἀποτοῦ τέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε , τουτέστι τὰς ΕΗ , ΕΖ . καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων , ὡς εἴρηται , γινομένων τῶν ΕΗ , ΕΖ . δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΕΘ . δίχα τέμνει δὴ δηλονότι τὴν Γ∠ . ἐπεὶ οὖν δίχα τέμνεται Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον , αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η , ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠ τῇ ΑΗ καὶ διῆκται ἡ ΗΖ , τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ , ΗΖ . ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ . ὧν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ . λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ . ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ , ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ , ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ , ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ , ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ . τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ , ΓΕ . ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Θ καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ , τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ . τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ , ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ , ΘΕ . καὶ ἔστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ , ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ , τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ , ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ , ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ . καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠Α . · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ . ἀλλʼ ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η , οὕτως ἡ Ζ πρὸς ΓΒ , καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ . . ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ , καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ . τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ , ΓΖ . ·
Lemmas: κατά δέ ὁ περί ὁ Ἥρων πῶς εἰμί δυνατός δύο δίδωμι εὐθεῖα δύο μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὀργανικός , δείκνυμι , ἐπειδή εἰμί ὁ πρόβλημα οὗτος , καθά φημί καί ὁ Ἥρων , στερεός . ἐκτίθημι συμφυής αὐτός . διά δέ οὗτος καί ὁ παράκειμαι αὐτός ὁ ΧΨ στρέφω · καί ὁ συμφυής αὐτός ὁ ΥΦ καί ὁ παράκειμαι αὐτός ὁ ΣΤ καί ὁ οὗτος συμφυής ὁ ΠΡ καί ὁ οὗτος παράκειμαι ὁ ΞΟ καί ὁ οὗτος συμφυής ὁ ΜΝ καί ὁ οὗτος παράκειμαι ὁ ΗΘ , ὥστε καί ὁ οὗτος συμφυής ἄξων ὁ ΕΖ , περί ὅς ἐπειλέω ὁ ἐκ ὁ φορτίον ὅπλον κινέω ὁ βάρος . ὅτι γάρ κινέω , δῆλος ἐκ ὁ προστίθημι ἕτερος δύναμις ὁ ὁ χειρολάβη , ὅστις περιγράφω κύκλος ὁ ὁ κοχλίον περίμετρος μέγας · ἀποδείκνυμι γάρ ἐν ὁ Περι ζυγόν Ἀρχιμήδης καί ὁ Φίλων καί Ἥρων Μηχανικός , ὅτι ὁ μέγας κύκλος κατακρατέω ὁ ἐλαχύς κύκλος , ὅταν περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ κύλισις αὐτός γίγνομαι . ὡς Ἥρων ἐν Μηχανικός εἰσαγωγή καί ἐν ὁ Βελοποιϊκός . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὅς δέω δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . κεῖμαι ὥστε ὀρθός γωνία δέ , φημί , ὁ δεῖξις ὁ μάλα πρός ὁ χειρουργία εὔθετος . εἰμί γάρ ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὀρθός ἀλλήλων κεῖμαι , ὅς δέω δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . συμπληρόω ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , καί ἐκβάλλω ὁ ∠Γ , ∠Α , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Β , ΓΑ , καί παράκειμαι κανόνιον πρός ὁ Β σημεῖον καί κινέω | τέμνω ὁ ΓΕ , ΑΖ , ἄχρι ὅς ὁ ἀπό ὁ Η ἄγω ἐπί ὁ ὁ ΓΕ τομή ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ ἐπί ὁ ὁ ΑΖ τομή . γίγνομαι , καί εἰμί ὁ μέν ὁ κανόνιον θέσις ὁ ΕΒΖ , ἴσος δέ ὁ ΕΗ , ΗΖ . λέγω οὖν ὅτι ὁ ΑΖ , ΓΕ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ . περιέχω ὁ πρός ὁ Β , καί συμπληρόω ὁ Β∠ παραλληλόγραμμος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , Β∠ . ἐκβάλλω ὁ ∠Γ , ∠Α , καί νοέω κανόνιον ὡς ὁ ΖΒΗ κινέω περί τις τύλος μένω πρός ὁ Β . καί κινέω , ἕως ἀποτίημι τέμνω ἴσος ὁ ἀπό ὁ Ε , τουτέστι ὁ ΕΗ , ΕΖ . καί νοέω ἀποτέμνω καί θέσις ἔχω ὁ ΖΒΗ ἴσος , ὡς λέγω , γίγνομαι ὁ ΕΗ , ΕΖ . δή ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Γ∠ κάθετος ὁ ΕΘ . δίχα τέμνω δή δηλονότι ὁ Γ∠ . ἐπεί οὖν δίχα τέμνω Ἐπεί γάρ ὀρθογώνιον εἰμί ὁ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμος , ὁ τέσσαρες εὐθεῖα ὁ ∠Η , ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ ∠ ὁ ΑΗ καί διάγω ὁ ΗΖ , ὁ ἄρα ὑπό ∠ΖΑ μετά ὁ ἀπό ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΖ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ∠ΕΓ μετά ὁ ἀπό ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΕ καί εἰμί ἴσος ὁ ΗΕ , ΗΖ . ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ∠ΖΑ μετά ὁ ἀπό ΑΗ ὁ ὑπό ∠ΕΓ μετά ὁ ἀπό ΓΗ . ὅς ὁ ἀπό ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΗΑ . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ∠ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΖΑ . ὡς ἄρα ὁ Ε∠ πρός ∠Ζ , ὁ ΖΑ πρός ΓΕ ὡς δέ ὁ Ε∠ πρός ∠Ζ , ὁ τε ΒΑ πρός ΑΖ καί ὁ ΕΓ πρός ΓΒ , ὥστε εἰμί καί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΑΖ , ὁ τε ΖΑ πρός ΓΕ καί ὁ ΓΕ πρός ΓΒ . ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΖ , ΓΕ . ὁ Γ∠ κατά ὁ Θ καί πρόσκειμαι ὁ ΓΖ , ὁ ὑπό ∠ΖΓ μετά ὁ ἀπό ΓΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΘΖ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΕΘ . ὁ ἄρα ὑπό ∠ΖΓ μετά ὁ ἀπό ΓΘ , ΘΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΖΘ , ΘΕ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ΓΘ , ΘΕ ἴσος ὁ ἀπό ΓΕ , ὁ δέ ἀπό ΖΘ , ΘΕ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ἄρα ὑπό ∠ΖΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ΕΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ∠ΗΑ μετά ὁ ἀπό ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΗ . καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΓ , ὁ δέ ΗΕ ὁ ΕΖ . καί ὁ ὑπό ∠ΖΓ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠Α . · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ Ζ∠ πρός ∠Η , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΖ . ἀλλά ὡς ὁ Ζ∠ πρός ∠Η , οὕτως ὁ Ζ πρός ΓΒ , καί ὁ ΒΑ πρός ΑΗ . . ὡς ἄρα ὁ ΒΑ πρός ΑΗ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΖ , καί ὁ ΓΖ πρός ΓΒ . ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΗ , ΓΖ . ·