ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
heron.geodaesia-sp 10.7
τὴν δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν . ποίησον οὕτως · ἄφελε ὁμοίως τὸ ι΄ καὶ τὸ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν , καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου . οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν , ὡς εἴπομεν , σχοινίων ιβ , μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ι΄ ᾱ ε΄ , καὶ τὸ λ΄ γίνεται γ΄ι΄ καὶ ε΄ . ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις ᾱ U+2220 ι · ταῦτα ὑπεξαίρει ἐπὶ τῶν ιβ · λοιπὰ ι γ΄ ιε΄ · τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος . εἶτα πολλαπλασίασον τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ ϛ ἐπὶ τὰ ῑ γ΄ ι΄ καὶ ε΄ · γίνονται καὶ οὕτως ξβ γ΄ ι΄ καὶ ε΄ · καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων . ὧν τὸ U+2220΄ · γίνονται λα ε΄ · καὶ ἔστι γῆς μοδίων λα καὶ λιτρῶν η .
Lemmas: ὁ δέ κάθετος αὐτός εὑρίσκω . ποιέω οὕτως · ἀφαιρέω ὅμοιος ὁ Ι΄ καί ὁ Λ΄ ὁ εἷς ὁ πλευρά , καί ὁ λοιπός εἰμί ὁ ἀριθμός ὁ καθέτης . οἷος εἰμί ἕκαστος ὁ πλευρά , ὡς λέγω , σχοινίον ιβʹ , εἷς δέ πλευρά ὁ Ι΄ αʹ Ε΄ , καί ὁ Λ΄ γίγνομαι ἐγώ καί Ε΄ . οὗτος συντίθημι εὑρίσκω αʹ U+2220 Ι · οὗτος ὑπεξαιρέω ἐπί ὁ ιβʹ · λοιπός ιʹ Γ΄ ἵημι · τοσοῦτος σχοινίον εἰμί ὁ κάθετος . εἶτα πολλαπλασιάζω ὁ U+2220ʹ ὁ βάσις ἐπί ὁ κάθετος ἤγουν ὁ ϛ ἐπί ὁ ιʹ Γ΄ Ι΄ καί Ε΄ · γίγνομαι καί οὕτως ξβʹ Γ΄ Ι΄ καί Ε΄ · καί εἰμί ὁ ἐμβαδόν σχοινίον τοσοῦτος . ὅς ὁ U+2220΄ · γίγνομαι λα Ε΄ · καί εἰμί γῆ μόδιος λα καί λίτρα η̅ .
heron.geodaesia-sp 10.8
Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον , οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων λ · εὑρεῖν δὲ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ . ποίει οὕτως · τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά · γίνονται ϡ · ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ , καὶ γίνονται α , αψ · ὧν τὸ λ΄ · γίνονται τ𝒢 · τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν . κατὰ δὲ τὴν ἄνω μέθοδον οὕτως · τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά · γίνονται ϡ · ὧν τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄ · γίνονται τ𝒢 · τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἕτερος τρίγωνος ἰσόπλευρος , ὅς ἕκαστος ὁ πλευρά ἀνά σχοινίον λ · εὑρίσκω δέ ὁ ἐμβαδόν αὐτός . ποιέω οὕτως · ὁ λ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ϡ · οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ιγʹ , καί γίγνομαι α , ἄψ · ὅς ὁ Λ΄ · γίγνομαι τ𝒢 · τοσοῦτος σχοινίον εἰμί ὁ ἐμβαδόν . κατά δέ ὁ ἄνω μέθοδος οὕτως · ὁ λ ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι ϡ · ὅς ὁ Γ΄ καί ὁ Ι΄ · γίγνομαι τ𝒢 · τοσοῦτος σχοινίον εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
heron.geodaesia-sp 10.9
ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδόν , ποίει οὕτως · λαβὲ τῶν λ τὸ γʹ καὶ τὸ ι΄ · καὶ γίνονται ιγ . ταῦτα ἐπὶ τὰ λ · γίνονται τ𝒢 · τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω εὑρίσκω καί ἄλλως ὁ ἐμβαδόν , ποιέω οὕτως · λαμβάνω ὁ λ ὁ γε καί ὁ Ι΄ · καί γίγνομαι ιγʹ . οὗτος ἐπί ὁ λ · γίγνομαι τ𝒢 · τοσοῦτος εἰμί σχοινίον ὁ ἐμβαδόν .
heron.geodaesia-sp 10.10
ἔστι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν . λαβὲ τὰ λ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ κς τῆς καθέτου · καὶ γίνονται ψπ · ὧν τὸ U+2220΄ · γίνονται τ𝒢 · τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: εἰμί δέ καί ἄλλως εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . λαμβάνω ὁ λ ὁ εἷς ὁ πλευρά καί πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ΚΣ ὁ καθέτης · καί γίγνομαι ψπʹ · ὅς ὁ U+2220΄ · γίγνομαι τ𝒢 · τοσοῦτος σχοινίον εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
heron.geodaesia-sp 10.11
ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν , οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων λ , ποίει οὕτως · τὴν ᾱ πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν · γίνονται ϡ ὧν τὸ δ΄ σκε · λοιπὰ χοε . ὧν πλευρὰ τετράγωνος σύνεγγυς κϛ · καὶ ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων κϛ . ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὴν βάσιν , τουτέστιν ἐπὶ τὰ λ · γίνονται ψπ · ὧν τὸ U+2220ʹ γίνεται τ𝒢 . τούτων δὲ τὸ U+2220ʹ γίνεται ρ𝒢ε · καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω τρίγωνον ἰσόπλευρος ὁ κάθετος εὑρίσκω , ὅς ἕκαστος πλευρά σχοινίον λ , ποιέω οὕτως · ὁ αʹ πλευρά ἐπί ἑαυτοῦ · γίγνομαι Ϡʹ ὅς ὁ Δ΄ σκεʹ · λοιπός χόω . ὅς πλευρά τετράγωνος σύνεγγυς κϛʹ · καί εἰμί ὁ κάθετος σχοινίον κϛʹ . οὗτος πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ βάσις , τουτέστι ἐπί ὁ λ · γίγνομαι ψπʹ · ὅς ὁ U+2220ʹ γίγνομαι τ𝒢 . οὗτος δέ ὁ U+2220ʹ γίγνομαι ρε · καί εἰμί γῆ μόδιος τοσοῦτος .
heron.geodaesia-sp 11
Μέθοδος ἐπὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ .
Lemmas: μέθοδος ἐπί πᾶς τρίγωνον σκαληνός .
heron.geodaesia-sp 11.1
Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ δοθέντος , μὴ μέντοι ὀρθογωνίου , εὑρίσκειν τὴν κάθετον . ποίει οὕτως · δεῖ δὴ πρότερον εὑρίσκειν τὰς ἐπὶ τῆς βάσεως γινομένας διὰ τῆς καθέτου ἀποτομὰς ἀνίσους οὔσας , τὴν μὲν μείζονα , τὴν δὲ ἐλάσσονα , ποιεῖν δὲ οὕτως · πολλαπλασίαζε ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν ἀπογραφόμενος ἰδίᾳ καὶ ἰδίᾳ τάξας πρότερον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν βάσιν , τὴν δὲ μείζονα ὑποτείνουσαν , τὴν δὲ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν · τοῦτο δʼ ἔσται σοι δῆλον , εἴπερ ὁ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἀριθμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν β πλευρῶν .
Lemmas: Παντὸς τρίγωνον σκαληνός δίδωμι , μή μέντοι ὀρθογώνιον , εὑρίσκω ὁ κάθετος . ποιέω οὕτως · δέω δή πρότερος εὑρίσκω ὁ ἐπί ὁ βάσις γίγνομαι διά ὁ καθέτης ἀποτομή ἄνισος εἰμί , ὁ μέν μέγας , ὁ δέ μικρός , ποιέω δέ οὕτως · πολλαπλασιάζω ἕκαστος πλευρά ἀριθμός ἀπογράφω ἴδιος καί ἴδιος τάσσω πρότερος ὁ μέν ὁ πλευρά βάσις , ὁ δέ μέγας ὑποτείνω , ὁ δέ μικρός ὑποτείνω · οὗτος δέ εἰμί σύ δῆλος , εἴπερ ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ εἷς πλευρά ἀριθμός μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ λοιπός β πλευρά .
heron.geodaesia-sp 11.2
τὴν μείζονα τῶν πλευρῶν τάττε βάσιν , καὶ εἰ μὲν βούλει τὴν μείζονα εὑρίσκειν ἀποτομήν , συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως γινόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων τὰ ἡμίση μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως , καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν μείζονα ἀποτομὴν τῆς βάσεως .
Lemmas: ὁ μέγας ὁ πλευρά τάσσω βάσις , καί εἰμί μέν βούλομαι ὁ μέγας εὑρίσκω ἀποτομή , συντίθημι ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ βάσις γίγνομαι μετά ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ὑποτείνω καί ἀπό ὁ γίγνομαι ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μικρός ὑποτείνω καί ὁ καταλείπω ὁ ἥμισυς μερίζω παρά ὁ ἀριθμός ὁ βάσις , καί ὁ ἀπό ὁ μερισμός γίγνομαι γιγνώσκω ἔρχομαι ὁ μέγας ἀποτομή ὁ βάσις .
heron.geodaesia-sp 11.3
εἰ δὲ τὴν ἐλάσσονα θέλεις εὑρίσκειν ἀποτομήν , τὸ ἀνάπαλιν ποίει · συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάσσονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων λάμβανε τὰ ἡμίση καὶ ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως , καὶ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν ἐλάσσονα ἀποτομήν .
Lemmas: εἰμί δέ ὁ μικρός θέλω εὑρίσκω ἀποτομή , ὁ ἀνάπαλιν ποιέω · συντίθημι ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ βάσις μετά ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μικρός ὑποτείνω καί ἀπό ὁ γίγνομαι ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ὑποτείνω καί ὁ καταλείπω λαμβάνω ὁ ἥμισυς καί οὗτος μερίζω παρά ὁ ἀριθμός ὁ βάσις , καί ὁ ἐκ ὁ μερισμός γίγνομαι γιγνώσκω ἔρχομαι ὁ μικρός ἀποτομή .
heron.geodaesia-sp 11.4
εὑρίσκοντι οὖν σοι τὰς τοιαύτας ἀποτομὰς ῥᾴδιον ἔσται σοι καὶ τὴν κάθετον θηρᾶσθαι · ἢ γὰρ ἀφαιρῶν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ἀποτομῆς ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἕξεις τὴν κάθετον ἢ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ἀποτομῆς ἀφαιρῶν ἐκ τοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης .
Lemmas: εὑρίσκω οὖν σύ ὁ τοιοῦτος ἀποτομή ῥᾴδιος εἰμί σύ καί ὁ κάθετος θηράω · ἢ γάρ ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ἀποτομή ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ὑποτείνω ἔχω ὁ κάθετος ἢ ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μικρός ἀποτομή ἀφαιρέω ἐκ ὁ ὁ μικρός ὑποτείνω .
heron.geodaesia-sp 11.5
Ἔστω δὲ καὶ διʼ ὑποδείγμετος σαφηνείας χάριν τρίγωνον σκαληνόν , οὗ αἱ πλευραὶ ζ ϛ ια . τούτων τὰ ια τάττω βάσιν διὰ τὸ ἀμβλυγώνιον εἶναι τὸ τοιοῦτον τρίγωνον · ὁ γὰρ ἀπὸ ταύτης τῆς πλευρᾶς ἤγουν τῆς ἐχούσης ια πολλαπλασιασμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν δύο πλευρῶν · τὰ ϛ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν καὶ τὰ ζ μείζονα . τούτων τῶν πλευρῶν ἑκάστην πολλαπλασιάζω ἐφʼ ἑαυτήν , καὶ γίνονται βάσεως μὲν ρκα , ἐλάττονος ὑποτεινούσης λϛ , μείζονος δὲ μθ .
Lemmas: εἰμί δέ καί διά ὑπόδειγμα σαφήνεια χάρις τρίγωνος σκαληνός , ὅς ὁ πλευρά ζʹ ϛ ἰά . οὗτος ὁ ἰά τάσσω βάσις διά ὁ ἀμβλυγώνιος ἔρχομαι ὁ τοιοῦτος τρίγωνος · ὁ γάρ ἀπό οὗτος ὁ πλευρά ἤγουν ὁ ἔχω ἰά πολλαπλασιασμός μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ λοιπός δύο πλευρά · ὁ ϛ μικρός ὑποτείνω καί ὁ ζʹ μέγας . οὗτος ὁ πλευρά ἕκαστος πολλαπλασιάζω ἐπί ἑαυτοῦ , καί γίγνομαι βάσις μέν ρκαʹ , μικρός ὑποτείνω λϛʹ , μέγας δέ μθʹ .
heron.geodaesia-sp 11.6
θέλω δὲ εὑρεῖν τὴν μείζονα ἀποτομήν . συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης · γίνονται ὁμοῦ ρο . τούτων ἀφαιρῶ τὸν πολλαπλασιασμὸν τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ λϛ · λοιπὰ ρλδ · τούτων τὸ U+2220 ″ ξζ . ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια , καὶ γίνονται ϛ ια καὶ ἔστιν ἡ μείζων ἀποτομὴ ϛ ια΄ . λοιπὴ ἄρα ἡ ἐλάττων ἀποτομὴ ἔσται δ καὶ ι ια΄ .
Lemmas: θέλω δέ εὑρίσκω ὁ μέγας ἀποτομή . συντίθημι ὁ ὁ βάσις πολλαπλασιασμός μετά ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ὑποτείνω · γίγνομαι ὁμοῦ ροʹ . οὗτος ἀφαιρέω ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μικρός ὑποτείνω ἤγουν ὁ λϛʹ · λοιπός ρλδ · οὗτος ὁ U+2220 ″ ξζ . οὗτος μερίζω παρά ὁ ἀριθμός ὁ βάσις ἤγουν ὁ ἰά , καί γίγνομαι ϛ ἰά καί εἰμί ὁ μέγας ἀποτομή ϛ ΙΑ΄ . λοιπός ἄρα ὁ μικρός ἀποτομή εἰμί δ καί ιʹ ΙΑ΄ .
heron.geodaesia-sp 11.7
εἰ δὲ θέλω τὴν ἐλάττονα εὑρεῖν πρότερον ἀποτομήν , συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης · γίνονται ὁμοῦ ρνζ . τούτων ἀφαιρῶ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ μθ · λοιπὰ ρη · τούτων τὰ U+2220΄ νδ . ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια , καὶ γίνονται δ καὶ ῑ ἑνδέκατα · καὶ ἔστιν ἡ ἐλάσσων ἀποτομή . λοιπὴ ἄρα ἡ μείζων ἀποτομὴ ἔσται ϛ καὶ ᾱ ἑνδεκάτου , καὶ ἔστιν ἡ τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος .
Lemmas: εἰμί δέ θέλω ὁ μικρός εὑρίσκω πρότερος ἀποτομή , συντίθημι ὁ ὁ βάσις πολλαπλασιασμός μετά ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μικρός ὑποτείνω · γίγνομαι ὁμοῦ ρνζʹ . οὗτος ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός ὁ μέγας ὑποτείνω ἤγουν ὁ μθʹ · λοιπός ρηʹ · οὗτος ὁ U+2220΄ νδʹ . οὗτος μερίζω παρά ὁ ἀριθμός ὁ βάσις ἤγουν ὁ ἰά , καί γίγνομαι δ καί ιʹ ἑνδέκατος · καί εἰμί ὁ μικρός ἀποτομή . λοιπός ἄρα ὁ μέγας ἀποτομή εἰμί ϛ καί αʹ ἑνδέκατος , καί εἰμί ὁ ὁ ἀποτομή εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος .
heron.geodaesia-sp 11.8
εἶτα λαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ἀποτομῶν καὶ ἀφαιρῶν τοῦτον ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ὑποτεινουσῶν τῆς τῇ ἀποτομῇ ἀναλογούσης καὶ τοῦ καταλιμπανομένου τετράγωνον λαμβάνων πλευρὰν ἔχω τὴν κάθετον .
Lemmas: εἶτα λαμβάνω ὁ ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός εἷς ὁ ἀποτομή καί ἀφαιρέω οὗτος ἀπό ὁ πολλαπλασιασμός εἷς ὁ ὑποτείνω ὁ ὁ ἀποτομή ἀναλογέω καί ὁ καταλείπω τετράγωνος λαμβάνω πλευρά ἔχω ὁ κάθετος .
heron.geodaesia-sp 12
Μέθοδος ἐπὶ παντὸς τριγώνου εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: μέθοδος ἐπί πᾶς τρίγωνον εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν .
heron.geodaesia-sp 12.1
Παντὸς τριγώνου δοθέντος εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν . ποίει οὕτως · συντίθει τὸν ἀριθμὸν τῶν τριῶν πλευρῶν ὁμοῦ καὶ τῶν συναγομένων λάμβανε τὸ U+2220ʹ καὶ ἀπὸ τούτων πάλιν ἀφαίρει ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν καὶ τῶν ὑπολιμπανομένων τον μὲν τῆς μιᾶς πλευρᾶς πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὸν U+2220ʹ τοῦ ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν πλευρῶν , τὸν δὲ τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ προτέρου πολλαπλασιασμοῦ , καὶ αὖθις τὸν τῆς λοιπῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ δευτέρου πολλαπλασιασμοῦ · καὶ τοῦ γεγονότος λαβὲ τὴν τετραγωνικὴν πλευράν · καὶ τοῦτο ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: Παντὸς τρίγωνον δίδωμι εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · συντίθημι ὁ ἀριθμός ὁ τρεῖς πλευρά ὁμοῦ καί ὁ συνάγω λαμβάνω ὁ U+2220ʹ καί ἀπό οὗτος πάλιν ἀφαιρέω ἕκαστος πλευρά ἀριθμός καί ὁ ὑπολείπω ὁ μέν ὁ εἷς πλευρά πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ U+2220ʹ ὁ ἀπό ὁ σύνθεσις ὁ πλευρά , ὁ δέ ὁ ἕτερος ἐπί ὁ γίγνομαι ἀπό ὁ πρότερος πολλαπλασιασμός , καί αὖθις ὁ ὁ λοιπός πλευρά ἐπί ὁ γίγνομαι ἀπό ὁ δεύτερος πολλαπλασιασμός · καί ὁ γίγνομαι λαμβάνω ὁ τετραγωνικός πλευρά · καί οὗτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
heron.geodaesia-sp 12.2
Οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τρίγωνον , οὗ αἱ πλευραὶ γ δ ε , ὅπερ καὶ ὀρθογώνιον τρίγωνόν ἐστιν . ὁ ἐκ τῶν τριῶν πλευρῶν συντιθέμενος ἀριθμὸς γίνεται ιβ · γ γὰρ καὶ δ ζ , καὶ ζ καὶ ε ιβ · τούτων τὸ U+2220ʹ ϛ · ὧν ἀφαιρουμένης ἑκάστης πλευρᾶς καταλείπονται μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τῆς μὲν γ , τῆς δὲ β , τῆς δὲ ᾱ . τούτων ὁ μὲν γ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ϛ ποιεῖ τὸν ιη , ὁ δὲ β ἐπὶ τὸν ιη ποιεῖ τὸν λϛ , ἡ δὲ μονὰς ἐπὶ τὸν λϛ ποιεῖ πάλιν τὸν αὐτὸν λϛ . τούτων πλευρὰ τετράγωνος ὁ ϛ · καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου ϛ . καὶ τοῦτο δῆλον καὶ ἀπὸ τῆς ἑτέρας μεθόδου τῆς περὶ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων · τὰ γὰρ γ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ἡμίση τῆς βάσεως , τουτέστι τὰ β , πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τὸν ϛ . πεπείραται δὲ αὕτη ἡ μέθοδος καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς πᾶσι τριγώνοις καὶ ἔστιν ἀσφαλεστάτη .
Lemmas: οἷος ὡς ἐν ὑπόδειγμα εἰμί τρίγωνον , ὅς ὁ πλευρά γ δ ε , ὅς καί ὀρθογώνιον τρίγωνος εἰμί . ὁ ἐκ ὁ τρεῖς πλευρά συντίθημι ἀριθμός γίγνομαι ιβʹ · γ γάρ καί δ ζʹ , καί ζʹ καί ε ιβʹ · οὗτος ὁ U+2220ʹ ϛ · ὅς ἀφαιρέω ἕκαστος πλευρά καταλείπω εἷς ἕκαστος πλευρά ὁ μέν γ , ὁ δέ β , ὁ δέ αʹ . οὗτος ὁ μέν γ πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ϛ ποιέω ὁ ιηʹ , ὁ δέ β ἐπί ὁ ιη ποιέω ὁ λϛʹ , ὁ δέ μονή ἐπί ὁ λϛʹ ποιέω πάλιν ὁ αὐτός λϛʹ . οὗτος πλευρά τετράγωνος ὁ ϛ · καί εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ τοιοῦτος τρίγωνον ϛ . καί οὗτος δῆλος καί ἀπό ὁ ἕτερος μέθοδος ὁ περί ὁ ὀρθογώνιον τρίγων · ὁ γάρ γ ὁ καθέτης ἐπί ὁ ἥμισυς ὁ βάσις , τουτέστι ὁ β , πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ ϛ . πειράω δέ οὗτος ὁ μέθοδος καί ἐν ὁ λοιπός πᾶς τρίγωνος καί εἰμί ἀσφαλής .